unidad 1: operaciones con números reales, complejos y...
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Unidad 1: Operaciones con números reales, complejos y expresiones
algebraicas.
1.1 Números reales (R).
Todo aquel que se representa en la recta numérica ya sean racionales o irracionales.
1.1.1 Clasificación de los números reales.
Reales
Racionales
Naturales
Primos
Compuestos
Enteros
Positivos
Cero
Negativos
Irracionales
2
1.1.1.1 Naturales (N).
Cualquier miembro del siguiente conjunto, ℕ = {1, 2, 3, 4, …} es un número natural, que en este
caso empieza del uno ya que el cero no es considerado un número natural.
▪ Números primos: es un número natural mayor que 1 que tiene únicamente dos divisores
distintos: el 1 y él mismo.
▪ Números compuestos: es el que posee más de dos divisores.
1.1.1.2 Enteros (Z).
Es el conjunto numérico múltiplo de una unidad que contiene los números naturales, sus inversos
aditivos y el cero.
𝑍 = {… , −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, … }
▪ Positivos: Un número real es positivo si no es 0 ni un número negativo.
▪ Cero: Signo numérico de valor nulo.
▪ Negativos: Es cualquier número cuyo valor es menor que cero, se representan igual que los
positivos, pero añadiendo un signo menos (-) delante de ellos
1.1.1.3 Racionales (Q).
Es todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros o, más
precisamente, un entero y un natural positivo, es decir, una fracción común 𝑎
𝑏 con numerador a y
denominador b distinto de cero.
1.1.1.4 Irracionales (Q’).
Es un número que no puede ser expresado como una fracción, donde es irreducible, un decimal
infinito.
3
1.1.1.5 Números reales.
Los postulados de orden para los números reales son:
▪ Tricotomía: Si 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, entonces al comparar estos números, sólo puede ocurrir uno de
los tres casos siguientes:
𝑎 > 𝑏, 𝑎 < 𝑏 𝑜 𝑎 = 𝑏
▪ Transitivo: Establece la comparación entre tres números de la siguiente manera:
Sean 𝑎, 𝑏 y 𝑐 ∈ 𝑅, si 𝑎 > 𝑏 y 𝑏 > 𝑐 entonces 𝑎 > 𝑐
▪ Aditivo: Dados los números reales que cumplen con la propiedad de tricotomía, si se suma
otro número real a los dos primeros se conserva la propiedad:
Sean 𝑎, 𝑏 y 𝑐 ∈ 𝑅, si 𝑎 > 𝑏 entonces 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐
▪ Multiplicativo: Dados dos números reales que cumplen con la propiedad de tricotomía, si
se multiplica por otro número positivo a los dos primeros se conserva la propiedad:
Sean 𝑎, 𝑏 y 𝑐 ∈ 𝑅, si 𝑎 > 𝑏 entonces 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐 (con 𝑐 > 0) y 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐 (con 𝑐 < 0)
1.1.1.6 Propiedades de los números reales.
Sean 𝑎, 𝑏 y 𝑐 ∈ 𝑅, entonces se verifican las siguientes propiedades.
Propiedad Adición Multiplicación
Cerradura 𝑎 + 𝑏 ∈ 𝑅 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ 𝑅
Conmutativa 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
Asociativa 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) = (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐
Distributiva 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐
Neutro 𝑎 + 0 = 𝑎 𝑎 ∗ 1 = 𝑎
Inverso 𝑎 + (−𝑎) = 0 𝑎 ∗1
𝑎= 1
Nota:
▪ El símbolo ∈ indica que un elemento (𝑎, 𝑏 o 𝑐) pertenece a un conjunto (𝑅).
▪ El símbolo ∉ indica que un elemento (𝑎, 𝑏 o 𝑐) no pertenece a un conjunto (𝑅).
4
1.1.2 Suma y resta.
1.1.2.1 Con números enteros.
Los números enteros con signos iguales se suman y se coloca el signo de los sumandos.
Ejemplos:
a) −3 − 4 = −7
b) 4 + 3 + 9 = 16
c) −5 − 2 − 11 = −18
Los números con signos diferentes se restan y se escribe el resultado con el signo del número mayor
en valor absoluto.
Ejemplos:
a) −10 + 7 = −3
b) −9 + 15 = 6
c) −4 + 12 − 9 = −13 + 12 = −1
d) 13 + 15 − 21 + 7 − 32 = 35 − 53 = −18
Signos de agrupación:
Son los que agrupan o delimitan operaciones entre números y son representados por los siguientes
símbolos:
▪ Paréntesis ( )
▪ Corchetes [ ]
▪ Llaves { }
▪ Vínculos ____
El orden en que se utilizan se muestra a continuación:
{[(____)]}
En caso de existir varios signos de agrupación se procede a ejecutar las operaciones de adentro
hacia afuera
5
Operaciones con signos de agrupación
Para la eliminación de un signo de agrupación se multiplica por el número o signo que le antecede,
en caso de que existan varios signos de agrupación se procede a eliminar de adentro hacia afuera.
Ejemplos:
1.- Al simplificar la expresión −(−2 + 5) se obtiene:
a) −3
b) 3
c) −7
d) 7
Solución:
Se multiplican los elementos dentro del paréntesis por el signo que le antecede:
−(−2 + 5) = 2 − 5 = −3
2.- El resultado de simplificar −3 + [4 − (5 − 3)] es:
a) 1
b) 5
c) −5
d) −1
Solución:
−3 + [4 − (5 − 3)] = −3 + [4 − 5 + 3] = −3 + 4 − 5 + 3 = −8 + 7 = −1
3.- La simplificación de 2 − {−3 + 5 − [4 − 6 + (3 − 8) − (2 − 4)] − 2}, se obtiene:
a) 1
b) −1
c) 3
d) −3
Solución:
2 − {−3 + 5 − [4 − 6 + (3 − 8) − (2 − 4)] − 2} = 2 − {−3 + 5 − [4 − 6 + 3 − 8 − 2 + 4] − 2}
= 2 − {−3 + 5 − 4 + 6 − 3 + 8 + 2 − 4 − 2}
= 2 + 3 − 5 + 4 − 6 + 3 − 8 − 2 + 4 + 2 = 18 − 21 = −3
6
1.1.2.2 Con números racionales.
Máximo común divisor (MCD)
Es el mayor de los divisores que es común a dos o más números.
Ejemplo:
Obtener el MCD de 36, 30 y 18.
Solución:
Los números se descomponen en factores primos hasta que no tengan un divisor primo en común:
36 30 18 2
18 15 9 3
6 5 3
El máximo común divisor se obtiene al multiplicar los números primos de la derecha:
MCD (36, 30, 18) = 2 ∗ 3 = 6
Mínimo común múltiplo (mcm)
Es el menor de los múltiplos que es común a dos o más números.
Ejemplo:
Obtener el mcm de 36, 12 y 15.
Solución.
Los números se descomponen simultáneamente en sus factores primos hasta que el cociente de
cada uno de ellos se la unidad.
36 12 15 2
18 6 15 2
9 5 3 3
3 1 5 3
1 1 5 5
1 1 1
7
El mínimo común múltiplo se obtiene al multiplicar los números primos de la derecha:
mcm (36, 12, 15) = 2 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 5 = 180
Fracciones comunes con denominadores iguales
Los numeradores se suman o se restan y se escribe el denominador en común.
Ejemplos:
1. 2
7+
8
7+
3
7=
2+8+3
7=
13
7= 1
6
7
2. 5
3+
7
3−
10
3=
5+7−10
3=
2
3
3. 11
4−
7
4=
11−7
4=
4
4= 1
Fracciones comunes con denominadores diferentes
El común denominador o mínimo común múltiplo se obtiene de los denominadores, se divide por
cada uno de los denominadores y el resultado se multiplica por su respectivo numerador, los
números que se obtiene se suman o se restan, según sea el caso.
Ejemplos:
1.- El resultado de 3
4+
5
2−
7
8 es:
a) 15
14 b)
1
16 c)
1
8 d)
19
8
Solución:
Se obtiene el mínimo común múltiplo (común denominador) de entre los denominadores:
4 2 8 2
2 1 4 2
1 1 2 2
1 1 1
mcm (4, 2, 8) = 2 ∗ 2 ∗ 2 = 8
8
Por tanto:
3
4+
5
2−
7
8=
3(2) + 5(4) − 7(1)
8=
6 + 20 − 7
8=
19
8
2.- El resultado de 2 −5
6−
2
5 es:
a) 23
30 b)
1
6 c)
15
11 d) −1
Solución:
Se realiza la operación:
2 −5
6−
2
5=
2
1−
5
6−
2
5=
2(30) − 5(5) − 2(6)
30=
60 − 37
30=
23
30
1.1.3 Multiplicación y división.
1.1.3.1 Con números enteros.
Leyes de los signos
Multiplicación
(+)(+) = + (−)(−) = + (+)(−) = − (−)(+) = −
División
+
+= +
−
−= +
+
−= −
−
+= −
9
Ejemplos:
1. (−3)(4) = −12
2. (−5)(−7) = 35
3. (−2)(−6)(−7) = −84
4. −76
19= −4
5. (−3)(12)
−4=
−36
−4= 9
6. (−7)(6)(−15)
(14)(−9)=
630
−126= −5
1.1.3.2 Con números racionales.
Multiplicación
En la multiplicación de fracciones comunes se realiza el producto de numerador por numerados y
denominador por denominador y se aplican leyes de los signos de la misma forma.
Ejemplos:
1. (5
6) (
2
15) =
(5)(2)
(6)(15)=
10
90=
1
9
2. (21
4) (
10
21) = (
9
4) (
10
21) =
(9)(10)
(4)(21)=
90
84=
15
14
3. (−3) (7
12) = (−
3
1) (
7
12) = −
21
12= −
7
4
División
En la división de fracciones comunes se realiza un producto cruzado.
Ejemplos:
1. 2
3÷
4
5=
(2)(5)
(3)(4)=
10
12=
5
6
2. 3 ÷9
7=
3
1÷
9
7=
(3)(7)
(1)(9)=
21
9=
7
3
3. 23
5÷ 1
1
2=
13
5÷
3
2=
(13)(2)
(5)(3)=
26
15
10
División vertical
En caso de ser una división vertical de fracciones se realiza el producto de los medios y el resultado
será el denominador de la fracción resultante, se multiplican los extremos y el resultado será el
numerador de la fracción resultante.
Ejemplos:
1.
2
35
9
=(2)(9)
(3)(5)=
18
15=
6
5
2. 37
2
=3
17
2
=6
7
3.
4
15
8=
4
158
1
=4
120=
1
30
Fracciones complejas
Se llama fracción compleja aquella que está formada por operaciones subsecuentes entre fracciones.
Ejemplos:
1.- Al simplificar la siguiente expresión 2+
1
3
2−1
3
, se obtiene:
a) 1 b) 7
5 c) 3 d)
5
7
Solución:
Se identifican las operaciones secundarias, las cuales serán las primeras en ser resueltas:
2 +13
2 −13
=
21 +
13
21 −
13
=
6 + 13
6 − 13
=(3)(7)
(3)(5)=
7
5
2.- Al simplificar la expresión
1
2+
1
31
2−
1
3
, se obtiene:
a) 5 b) 1
5 c) −
1
5 d) −5
11
Solución:
12
+13
12
−13
=
3 + 26
3 − 26
=
5616
=(6)(5)
(6)(1)=
30
6= 5
1.1.3.3 Razones y proporciones.
Razón
Es el cociente de dos cantidades, al numerador se le llama antecedente y al denominador
consecuente.
Ejemplo:
En la razón 2
3 o 2 ∶ 3, el número 2 se le llama antecedente y el número 3 consecuente.
Proporción
Se le denomina proporción a la igualdad de dos razones:
𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑 o 𝑎: 𝑏 ∷ 𝑐: 𝑑
Se lee: 𝑎 es a 𝑏, como 𝑐 es a 𝑑.
Términos de una proporción
En la proporción 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑 , 𝑎 y 𝑑 reciben el nombre de extremos y 𝑏 y 𝑐 medios.
Ejemplos:
1.- El valor de 𝑥 en la proporción 𝑥
3=
12
4 es:
a) 9 b) 8 c) 11 d) 12
Solución:
En toda proporción el valor de un extremo equivale al producto de los medios dividido por el
extremo restante:
12
𝑥
3=
12
4→ 𝑥 =
(3)(12)
4=
36
4= 9
2.- el valor de 𝑦 en la proporción 7
𝑦=
10
2 es:
a) 35 b) 7
5 c)
5
7 d)
1
35
Solución:
En toda proporción el valor de un medio equivale al producto de los extremos dividido por el medio
restante.
7
𝑦=
10
2→ 𝑦 =
(7)(2)
10=
14
10=
7
5
Proporción directa o regla de tres directa
Una proporción es directa si al aumentar o disminuir una de las cantidades, la otra también aumenta
o disminuye en la misma proporción:
Definición:
Si 𝑚 es a 𝑛 como 𝑐 es a 𝑑, entonces 𝑚
𝑛=
𝑐
𝑑
Ejemplos:
1.- Se compran 25 dulces con $12.00, ¿cuántos dulces se pueden comprar con $36.00?
a) 12.5 b) 50 c) 75 d) 100
Solución:
La proporción es directa, ya que con más dinero se compra mayor número de dulces.
Se establece la proporción: 25 dulce es a $12.00 como 𝑥 es a $36.00, entonces:
25
12=
𝑥
36→ 𝑥 =
(25)(36)
12=
900
12= 75
13
2.- Un comerciante vende un artículo en $112.00 y gana 40% sobre el costo del artículo, ¿cuál es
el costo de dicho artículo?
a) $80.00 b) $78.40 c) $70.00 d) $33.60
Solución:
Sea 𝑥 el costo del artículo que representa el 100% y $112.00 el 140%, entonces:
𝑥
100=
112
140→ 𝑥 =
(112)(100)
140=
11 200
140= $80.00
1.1.4 Raíces y potencias.
1.1.4.1 Potencia.
Es la representación del producto de una base por sí misma, un cierto número de veces.
𝑎𝑛 = 𝑎 ∗ 𝑎 ∗ 𝑎 ∗ … ∗ 𝑎 → 𝑛 veces
Donde, 𝑎 = base y 𝑛 = exponente.
Ejemplos:
1. (3)4 = (3)(3)(3)(3) = 81
2. (2
7)
3= (
2
7) (
2
7) (
2
7) =
8
343
3. (−5)3 = (−5)(−5)(−5) = −125
4. −25 = −(2)(2)(2)(2)(2) = −32
Leyes de los exponentes:
I. 𝑎0 = 1 II. 𝑎1 = 𝑎 III. 𝑎𝑛 ∗ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚
IV. 𝑎𝑛
𝑎𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚 V. (𝑎𝑛)𝑚 = 𝑎𝑛∗𝑚 VI. (𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐)𝑛 = 𝑎𝑛 ∗ 𝑏𝑛 ∗ 𝑐𝑛
VII. (𝑎
𝑏)
𝑛=
𝑎𝑛
𝑎𝑛 VIII. 𝑎−𝑛 =1
𝑎𝑛 IX. 𝑎𝑛 =1
𝑎−𝑛
X. (𝑎
𝑏)
−𝑛= (
𝑏
𝑎)
𝑛 XI. √𝑎𝑛𝑚
= 𝑎𝑛
𝑚
14
Ejemplos:
1.- El resultado de 23∗25
22 es:
a) 24 b) 25 c) 23 d) 26
Solución:
23 ∗ 25
22=
23+5
22= 28−2 = 26
2.- Al simplificar la expresión (34
37)
1
3 se obtiene:
a) −3 b) 1
3 c) 3 d) −
1
3
Solución:
(34
37)
13
= (34−7)13 = (3−3)
13 = 3
(−3)(13
)= 3
−33 = 3−1 =
1
3
3.- Al simplificar la expresión √5−123 se obtiene:
a) 54 b) 1
53 c) 1
54 d) 5−3
Solución:
√5−123= 5−
123 = 5−4 =
1
54
4.- La expresión (2𝑚
2−3)2
es equivalente a:
a) 22𝑚+6 b) 22𝑚−6 c) 22𝑚−9 d) 22𝑚+5
15
Solución:
(2𝑚
2−3)
2
= (2𝑚−(−3))2 = (2𝑚+3)2 = 2(𝑚+3)(2) = 22𝑚+6
5.- La expresión √4−2 ∗ 473 es equivalente a:
a) 43
5 b) 45
3 c) 4−5
3 d) 4−3
5
Solución:
√4−2 ∗ 473= √4−2+73
= √453= 4
53
1.1.4.2 Radicación.
Operación que permite encontrar un número que, multiplicado por sí mismo, tantas veces como lo
indica el índice, da como resultado el radicando.
Radical: √𝑎𝑛
Donde: 𝑎 = radicando y 𝑛 = índice
Ejemplos:
1. √81 = ±9
2. √273
= 3
3. √6254
= ±5
4. √−325
= −2
Simplificación de radicales
Dado un radical de la forma √𝑎𝑛
expresarlo en su forma más sencilla.
Ejemplos:
16
1.- Al simplificar √8 se obtiene:
a) 2√2 b) 2 c) √2 d) 4√2
Solución:
Se descompone el radicando 8 en sus factores primos:
8 2
4 2
2 2
1
8 = 2 ∗ 2 ∗ 2 = 23
Por tanto:
√8 = √23 = √22 ∗ 2 = √22 ∗ √2 = 2√2
2.- Una expresión equivalente a √543
es:
a) 2√33
b) 3√23
c) 2√3 d) 3√2
Solución:
Se descompone 54 en sus factores primos:
54 2
27 3
9 3
3 3
1
54 = 2 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 = 2 ∗ 33
Por tanto:
√543
= √2 ∗ 333= √2
3∗ √333
= 3√23
17
3.- Al simplificar √1283
se obtiene:
a) 4√2 b) 2√4 c) 4√23
d) 2√43
Solución:
Se descompone el radicando en sus factores primos:
128 2
64 2
32 2
16 2
8 2
4 2
2 2
1
128 = 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 = 27
Por tanto:
√1283
= √273= √26 ∗ 2
3= √263
∗ √23
= 22 ∗ √23
= 4√23
4.- Una expresión equivalente a 1
3√18 es:
a) 1
3√2 b) √6 c) 3 d) √2
Solución:
1
3√18 =
1
3√32 ∗ 2 =
1
3√32√2 =
1
3(3)√2 =
3√2
3= √2
Suma y resta de radicales
Para sumar o restar radicales deben tener el mismo índice y el mismo radicando:
𝑎 √𝑑𝑛
+ 𝑏 √𝑑𝑛
− 𝑐 √𝑑𝑛
= (𝑎 + 𝑏 − 𝑐) √𝑑𝑛
18
Ejemplos:
1.- El resultado de 2√3 + 5√3 − 3√3 es:
a) √3 b) 3√3 c) 4√3 d) 2√3
Solución:
En la operación el índice y el radicando coinciden, entonces:
2√3 + 5√3 − 3√3 = (2 + 5 − 3)√3 = 4√3
2.- El resultado de √18 − √50 + √98 es:
a) √66 b) 15√2 c) 9√2 d) 5√2
Solución:
Para resolver la operación se realiza una simplificación de radicales, porque los radicandos no son
los mismo, entonces:
√18 = √32 ∗ 2 = √32 ∗ √2 = 3√2
√50 = √52 ∗ 2 = √52 ∗ √2 = 5√2
√98 = √72 ∗ 2 = √72 ∗ √2 = 7√2
Entonces:
√18 − √50 + √98 = 3√2 − 5√2 + 7√2 = (3 − 5 + 7)√2 = 5√2
Propiedades de los radicales
1) √𝑎𝑛𝑛= 𝑎 2) √𝑎𝑛𝑚
= 𝑎𝑛
𝑚 3) √𝑎𝑛
∗ √𝑏𝑛
= √𝑎𝑏𝑛
4) √𝑎𝑛
∗ √𝑏𝑚
= √𝑎𝑚 ∗ 𝑏𝑛𝑛𝑚
5) √ √𝑎𝑚𝑛
= √𝑎𝑛𝑚
6) √𝑎
𝑛
√𝑏𝑛 = √
𝑎
𝑏
𝑛 7)
√𝑎𝑛
√𝑏𝑚 = √
𝑎𝑚
𝑏𝑛
𝑛𝑚
19
Ejemplos:
1.- Al simplificar la expresión √563 se obtiene:
a) 52 b) 5−2 c) 53 d) 5−3
Solución:
Al aplicar: √𝑎𝑛𝑛= 𝑎
𝑛
𝑚 se obtiene √563= 5
6
3 = 52
2.- Al simplificar √√643
se obtiene:
a) √26
b) √23
c) √2 d) 2
Solución:
Al aplicar √ √𝑎𝑚𝑛
= √𝑎𝑛𝑚
se obtiene:
√√643
= √64(2)(3)
= √646
= √266= 2
3.- Una expresión equivalente a √536 es:
a) √5 b) 52 c) √53
d) 53
Solución:
Al aplicar √𝑎𝑛𝑛= 𝑎
𝑛
𝑚 se obtiene:
√536= 5
36 = 5
12 = √5
Multiplicación de radicales con índices iguales
Se aplica la siguiente propiedad:
√𝑎𝑛
∗ √𝑏𝑛
= √𝑎𝑏𝑛
20
Ejemplos:
1.- Al realizar la multiplicación √3 ∗ √2 se obtiene:
a) √5 b) √54
c) √6 d) √64
Solución:
√3 ∗ √2 = √(3)(2) = √6
2.- Al realizar la multiplicación √43
∗ √23
se obtiene:
a) 2 b) √89
c) √8 d) 4
Solución:
√43
∗ √23
= √(4)(2)3
= √83
= √233= 2
Multiplicación de radicales con índices diferentes
Se aplica la siguiente propiedad:
√𝑎𝑛
∗ √𝑏𝑚
= √𝑎𝑚 ∗ 𝑏𝑛𝑛𝑚
Ejemplos:
1.- La simplificación de la multiplicación √43
∗ √5 es:
a) √206
b) √203
c) √205
d) √20006
Solución:
Los índices de las raíces son diferentes, por consiguiente, se aplica √𝑎𝑛
∗ √𝑏𝑚
= √𝑎𝑚 ∗ 𝑏𝑛𝑛𝑚,
obteniendo:
√43
∗ √5 = √42 ∗ 53(3)(2)
= √16 ∗ 1256
= √20006
21
2.- Una expresión equivalente a √24
∗ √2 es:
a) 41
8 b) 41
4 c) 23
4 d) 21
8
Solución:
Se convierte los radicales a un índice común y se multiplican los radicandos:
√24
∗ √2 = √2 ∗ 224= √234
= 234
División de radicales con índices iguales
Se aplica la siguiente propiedad:
√𝑎𝑛
√𝑏𝑛 = √
𝑎
𝑏
𝑛
Ejemplos:
1.- El resultado de √15
√3 es:
a) √3 b) 5 c) 3 d) √5
Solución:
√15
√3= √
15
3= √5
2.- El resultado de la división √483
√23 es:
a) 2√33
b) 3√23
c) 2√3 d) 3√2
Solución:
√483
√23 = √
48
2
3
= √243
= √23 ∗ 33
= √233∗ √3
3= 2√3
3
22
División de radicales con índices diferentes:
Se aplica la siguiente propiedad:
√𝑎𝑛
√𝑏𝑚 = √
𝑎𝑚
𝑏𝑛
𝑛𝑚
Ejemplos:
1.- Una expresión equivalente a √2
√23 es:
a) √26
b) √2 c) √23
d) 1
Solución:
Los índices de las raíces son diferentes, por tanto, se aplica √𝑎
𝑛
√𝑏𝑚 = √
𝑎𝑚
𝑏𝑛
𝑛𝑚 obteniendo:
√2
√23 = √
23
22
6
= √8
4
6
= √26
2.- El resultado de √3
√34 es:
a) √3 b) √34
c) √38
d) √33
Solución:
√3
√34 = √
32
3
8
= √9
3
8
= √38
Racionalización
Racionalizar es representar una fracción que contenga una raíz en el denominador, en otra fracción
equivalente, cuyo denominador sea un número racional.
23
Racionalización de un denominador monomio
Dada una fracción de la forma 𝑐
√𝑎𝑚𝑛 su racionalización se efectúa al multiplicar por el término √𝑎𝑚𝑛
√𝑎𝑚𝑛
Ejemplos:
1.- Al racionalizar la expresión 1
√2 se obtiene:
a) √2 b) 2
√2 c)
√2
2 d)
√23
2
Solución: Para racionalizar la fracción 1
√2 se multiplica por √2 tanto el numerador como
denominador:
1
√2=
1
√2∗
√2
√2=
√2
√22=
√2
2
2.- Al racionalizar la expresión 6
√3 se obtiene:
a) √2 b) 3√2 c) √3 d) 2√3
Solución:
La fracción se multiplica por √3 tanto numerador como denominador:
6
√3=
6
√3∗
√3
√3=
6√3
3= 2√3
Racionalización de un denominador binomio
Para racionalizar una fracción con denominador binomio se multiplica por su conjugado.
Conjugado de un binomio
Dado el binomio (𝑎 + 𝑏) su conjugado es el binomio (𝑎 − 𝑏) y viceversa, el producto de dos
binomios conjugados da como resultado una diferencia de cuadrados.
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2
24
Ejemplos:
1.- Al racionalizar la expresión 1
3+√2 se obtiene:
a) 3 + √2 b) 3−√2
7 c)
3−√2
4 d)
3−√2
5
Solución:
1
3 + √2=
1
3 + √2∗
3 − √2
3 − √2=
3 − √2
(3)2 − (√2)2 =
3 − √2
9 − 2=
3 − √2
7
2.- Al racionalizar la expresión 2
4−√5 se obtiene:
a) 8+√10
11 b)
10√5
11 c)
8+2√5
11 d)
8+√5
11
Solución:
Se multiplica tanto el numerador como denominador por 4 − √5, entonces:
2
4 − √5=
2
4 − √5∗
4 + √5
4 + √5=
2(4 + √5)
(4)2 − (√5)2 =
2(4 + √5)
16 − 5=
2(4 + √5)
11=
8 + 2√5
11
3.- Una expresión equivalente a 3
√8+√5 es:
a) √8 − √5 b) 3
√13 c)
√8−√5
3 d)
3
√8−√5
Solución:
3
√8 + √5=
3
√8 + √5∗
√8 − √5
√8 − √5=
3(√8 − √5)
(√8)2
− (√5)2 =
3(√8 − √5)
8 − 5=
3(√8 − √5)
3= √8 − √5
1.2 Números imaginarios.
25
La unidad imaginaria se define como:
𝑖 = √−1
Ejemplos:
1. √−81 = √(81)(−1) = √81√−1 = 9√−1 = 9𝑖
2. √−4 = √(4)(−1) = √4√−1 = 2𝑖
3. √−21 = √(21)(−1) = √27√−1 = √(9)(3)√−1 = 3√3𝑖
4. √−64
9= √(
64
9) (−1) = √
64
9√−1 =
8
3𝑖
1.2.1 Suma y resta de números imaginarios.
Se aplica la siguiente propiedad:
𝑎𝑖 + 𝑏𝑖 − 𝑐𝑖 = (𝑎 + 𝑏 − 𝑐)𝑖
Ejemplos:
1.- El resultado de simplificar 4𝑖 − 7𝑖 + 6𝑖 es:
a) 9𝑖 b) 3𝑖 c) −3𝑖 d) −9𝑖
Solución:
4𝑖 − 7𝑖 + 6𝑖 = (4 − 7 + 6)𝑖 = 3𝑖
2.- Al simplificar 5𝑖 +1
2𝑖 − 𝑖 se obtiene:
a) 5
2𝑖 b)
8
2𝑖 c)
10
2𝑖 d)
9
2𝑖
Solución:
5𝑖 +1
2𝑖 − 𝑖 = (5 +
1
2− 1) 𝑖 = (
5
1+
1
2−
1
1) 𝑖 =
10 + 1 − 2
2𝑖 =
9
2𝑖
3.- La simplificación de la expresión √−20 − 4√5i − √−45 es:
a) √−60 b) 5√5𝑖 c) −5√5𝑖 d) √5𝑖
26
Solución:
√−20 − 4√5i − √−45 = √20𝑖 − 4√5𝑖 − √45𝑖 = √(4)(5)𝑖 − 4√5𝑖 − √(9)(5)𝑖
= 2√5𝑖 − 4√5𝑖 − 3√5𝑖 = (2√5 − 4√5 − 3√5)𝑖 = −5√5𝑖
1.2.1.1 Potencias de i.
Son los resultados de elevar 𝑖 a una potencia 𝑛.
𝑖1 = 𝑖, 𝑖2 = −1, 𝑖3 = −1, 𝑖4 = 1, …
A partir de 𝑖5, los resultados anteriores se repiten en el mismo orden.
1.2.2 Números complejos.
Un número complejo es de la forma 𝑎 + 𝑏𝑖, con 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅.
Donde: 𝑎: parte real, 𝑏: parte imaginaria e 𝑖 = √−1
Los números complejos se representan de dos formas.
1) 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 → Forma rectangular
2) 𝑧 = (𝑎, 𝑏) → Forma cartesiana
Ejemplos:
Forma rectangular Forma cartesiana
𝑧1 = 6 − 8𝑖
𝑧2 = 4 + 5𝑖
𝑧3 = −3
𝑧4 = 7𝑖
𝑧5 =3
5−
2
5𝑖
𝑧1 = (6, −8)
𝑧2 = (4, 5)
𝑧3 = (−3, 0)
𝑧4 = (0, 7)
𝑧5 = (3
5, −
2
5)
1.2.2.1 Gráfica de un número complejo.
27
Un número complejo se grafica en un sistema de ejes coordenados, donde al eje horizontal se le
denomina eje real y al eje vertical eje imaginario.
Sea el número complejo 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖, la gráfica de éste se representa en la figura:
Ejemplos:
1.- Traza la gráfica de 𝑧 = 4 − 3𝑖.
Solución:
Se transforma a su forma rectangular 𝑧 = (4, −3), se grafica en el punto en el sistema.
2.- Trazar la gráfica de 𝑤 = −5 + 2𝑖
Solución:
28
Se transforma a su forma rectangular 𝑤 = (−5, 2), se grafica el punto en el sistema:
1.2.2.2 Magnitud de un número complejo.
Sea 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 un número complejo, la magnitud de un número complejo es la distancia del
segmento de recta formado por el origen del sistema y el punto que resulta de transformar a forma
rectangular y se define por:
|𝑧| = √𝑎2 + 𝑏2, con 𝑎: parte real, 𝑏: parte imaginaria
A la magnitud de un número complejo también se le llama módulo o valor absoluto.
Ejemplos:
1.- La magnitud de 𝑧 = 5 − 12𝑖 es:
a) √13 b) 13 c) √119 d) √17
Solución:
Se determinan la parte real y la parte imaginaria:
𝑎 = 5, 𝑏 = −12
Se obtiene la magnitud de 𝑧:
|𝑧| = √(5)2 + (−12)2 = √25 + 144 = √169 = 13
1.2.2.3 Operaciones de números complejos.
Suma y resta
Dados los números complejos 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 y 𝑤 = 𝑥 + 𝑦𝑖, se define:
29
a) 𝑧 + 𝑤 = (𝑎 + 𝑏𝑖) + (𝑥 + 𝑦𝑖) = (𝑎 + 𝑥) + (𝑏 + 𝑦)𝑖 o 𝑧 + 𝑤 = (𝑎 + 𝑥, 𝑏 + 𝑦)
b) 𝑧 + 𝑤 = (𝑎 + 𝑏𝑖) − (𝑥 + 𝑦𝑖) = (𝑎 − 𝑥) + (𝑏 − 𝑦)𝑖 o 𝑧 − 𝑤 = (𝑎 − 𝑥, 𝑏 − 𝑦)
Ejemplos:
1.- Si 𝑧 = 4 + 2𝑖 y 𝑤 = −5 + 3𝑖, el resultado de (𝑧 + 𝑤) es:
a) −1 + 5𝑖 b) 1 − 5𝑖 c) −1 − 5𝑖 d) 1 + 5𝑖
Solución:
𝑧 + 𝑤 = (4 + 2𝑖) + (−5 + 3𝑖) = (4 − 5) + (2 + 3)𝑖 = −1 + 5𝑖
2.- El resultado de (2, 5) + (−4, −3) es:
a) (−6, 2) b) (−2, −2) c) (6, −2) d) (−2, 2)
Solución:
(2, 5) + (−4, −3) = (2 − 4, 5 − 3) = (−2, 2)
3.- Si 𝑧 = −1 + 4𝑖 y 𝑤 = 7 − 6𝑖, el resultado de (𝑧 − 𝑤) es:
a) 8 + 10𝑖 b) −8 + 10𝑖 c) 8 − 10𝑖 d) −8 − 10𝑖
Solución:
𝑧 − 𝑤 = (−1 + 4𝑖) − (7 − 6𝑖) = [−1 − 7] + [4 − (−6)]𝑖 = (−1 − 7) + (4 + 6)𝑖 = −8 + 10𝑖
Conjugado de un número complejo
Dado que el número complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, el conjugado de 𝑧 se denota por 𝑧̅, con 𝑧̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖.
Ejemplos:
30
Número complejo Conjugado
𝑧 = 4 + 3𝑖
𝑧1 = −2 − 5𝑖
𝑧2 = 6
𝑧3 = 7𝑖
𝑧̅ = 4 − 3𝑖
𝑧1̅ = −2 + 5𝑖
𝑧2̅ = 6
𝑧3̅ = −7𝑖
Multiplicación de números complejos
Dados los números complejos 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 y 𝑤 = 𝑥 + 𝑦𝑖, se define:
𝑧 ∗ 𝑤 = (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑥 + 𝑦𝑖) = (𝑎𝑥 − 𝑏𝑦) + (𝑎𝑦 + 𝑏𝑥)𝑖
Ejemplos:
1.- El producto de 𝑧 = 2 + 3𝑖 con 𝑤 = −1 + 4𝑖 es:
a) −14 + 5𝑖 b) 14 − 5𝑖 c) 14 + 5𝑖 d) −14 − 5𝑖
Solución:
Se aplica la definición:
𝑧 ∗ 𝑤 = (2 + 3𝑖)(−1 + 4𝑖) = [(2)(−1) − (3)(4)] + [(2)(4) + (3)(−1)]𝑖 = −14 + 5𝑖
2.- El resultado de (5 − 𝑖)(4 + 2𝑖) es.
a) 20 − 2𝑖 b) −20 + 2𝑖 c) 22 + 6𝑖 d) −22 + 6𝑖
Solución:
(5 − 𝑖)(4 + 2𝑖) = [(5)(4) − (−1)(2)] + [(5)(2) + (−1)(4)]𝑖 = 22 + 6𝑖
División de números complejos
Dados los números complejos 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 y 𝑤 = 𝑥 + 𝑦𝑖, se define:
𝑧
𝑤=
𝑎 + 𝑏𝑖
𝑥 + 𝑦𝑖=
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦
𝑥2 + 𝑦2+
𝑏𝑥 − 𝑎𝑦
𝑥2 + 𝑦2𝑖
31
Ejemplo:
Si 𝑧 = 2 − 4𝑖 y 𝑤 = −4 + 3𝑖, el resultado de 𝑧
𝑤 es:
a) 4
5−
2
5𝑖 b) −
4
5+
2
5𝑖 c) −
4
5−
2
5𝑖 d)
4
5+
2
5𝑖
Solución:
Al aplicar la definición:
𝑧
𝑤=
2 − 4𝑖
−4 + 3𝑖=
(2)(−4) + (−4)(3)
(−4)2 + (3)2+
(−4)(−4) − (2)(3)
(−4)2 + (3)2𝑖 =
−20
25+
10
25𝑖 = −
4
5+
2
5𝑖
1.3 Expresiones algebraicas.
1.3.1 Término algebraico.
Expresión utilizada para generalizar una cantidad, se le conoce como monomio y sus elementos son:
coeficiente(s), bases(s) y exponentes(s).
Ejemplos:
Término Coeficiente Base(s) Exponente(s)
−4𝑥2𝑦3
𝑚𝑛
−2
3(𝑥 + 𝑦)2
−4
1
−2
3
𝑥, 𝑦
𝑚, 𝑛
(𝑥 + 𝑦)
2, 3
1, 1
2
1.3.1.1 Lenguaje algebraico.
Expresa oraciones de lenguaje común en términos algebraicos.
Lenguaje común Lenguaje algebraico
El doble de un número cualquiera. 2𝑥
La diferencia de dos números cualquiera. 𝑥 − 𝑦
El cubo de la suma de dos números cualquiera. (𝑥 + 𝑦)3
32
La suma del cubo de dos números cualquiera. 𝑥3 + 𝑦3
Las dos terceras partes del cuadrado de la diferencia de
un número y el triple de otro.
2
3(𝑥 − 3𝑦)2
La raíz cúbica del producto de la semidiferencia de dos
números por la semisuma de los mismos. √(
𝑥 − 𝑦
2) (
𝑥 − 𝑦
2)
3
1.3.1.2 Términos semejantes.
Son términos algebraicos que tienen las mismas bases afectadas por los mismos exponentes.
Ejemplos:
Son términos semejantes:
1) 3𝑥2 con − 2𝑥2
2) 1
2𝑥3𝑦 con 5𝑥3𝑦
3) 3(𝑥 + 𝑦)2 con2
3(𝑥 + 𝑦)2
4) 5𝑥
4𝑦 con
2𝑥
𝑦
No son términos semejantes:
1) 3𝑥2𝑦 con 4𝑥𝑦2
2) 4𝑥3 con 5𝑥
Reducción de términos semejantes
Se suman o se restan los coeficientes de los términos semejantes y no se alteran los exponentes de
las bases.
Ejemplos:
1) 4𝑥 − 9𝑥 = (4 − 9)𝑥 = −5𝑥
2) −3𝑚𝑛 + 7𝑚𝑛 − 2𝑚𝑛 = (−3 + 7 − 2)𝑚𝑛 = 2𝑚𝑛
3) 1
2𝑎2𝑏3 −
2
3𝑎2𝑏3 +
5
6𝑎2𝑏3 = (
1
2−
2
3+
5
6) 𝑎2𝑏3 =
3−4+5
6𝑎2𝑏3 =
4
6𝑎2𝑏3 =
2
3𝑎2𝑏3
33
1.3.2 Valor numérico.
Dada la expresión algebraica su valor numérico es aquel que se obtiene al sustituir las literales o
bases por un valor determinado y simplificar las operaciones indicadas.
Ejemplos:
1.- Si 𝑥 = 2, 𝑦 = −3, el valor numérico de 3𝑥2𝑦 es:
a) 27 b) −36 c) 36 d) −27
Solución:
Se sustituyen los valores de las literales en la expresión algebraica:
3𝑥2𝑦 = 3(2)2(−3) = 3(4)(−3) = −36
2.- Si 𝑚 =1
2, 𝑛 =
1
3 y 𝑝 =
1
6, el valor numérico de 𝑚𝑛 − 𝑛𝑝 es:
a) 1
6 b)
1
18 c)
1
9 d)
2
9
Solución:
Al sustituir los valores de 𝑚, 𝑛 𝑦 𝑝 en la expresión algebraica:
𝑚𝑛 − 𝑛𝑝 = (1
2) (
1
3) − (
1
3) (
1
6) =
1
6−
1
18=
3 − 1
18=
2
18=
1
9
3.- El valor numérico de 3𝑎2𝑏 − 2𝑎𝑏 + 4𝑎𝑏2, si 𝑎 = −4 y 𝑏 = −1 es:
a) 72 b) 56 c) −72 d) −56
Solución:
Al sustituir los valores en la expresión:
3𝑎2𝑏 − 2𝑎𝑏 + 4𝑎𝑏2 = 3(−4)2(−1) − 2(−4)(−1) + 4(−4)(−1)2
= 3(16)(−1) − 2(−4)(−1) + 4(−4)(1) = −48 − 8 − 16 = −72
34
4.- Si 𝑥 =1
4 , 𝑦 =
1
3 , 𝑧 = 2, el valor numérico de √
𝑥+𝑦
𝑦+𝑧 es:
a) 2 b) 1 c) 1
3 d)
1
2
Solución:
√𝑥 + 𝑦
𝑦 + 𝑧= √
14
+13
13
+ 2= √
3 + 412
1 + 63
= √
71273
= √(3)(7)
(12)(7)= √
3
12= √
1
4=
1
2
1.3.3 Operaciones con polinomios.
Un polinomio es la suma o diferencia de varios monomios o términos algebraicos.
1.3.3.1 Suma.
Los términos semejantes entre los polinomios se reducen.
Ejemplos:
1.- El resultado de sumar 3𝑥 + 2𝑦 − 9 con −7𝑥 − 9𝑦 + 5 es:
a) −4𝑥 − 7𝑦 − 4 b) 4𝑥 − 7𝑦 − 4 c) 4𝑥 + 7𝑦 + 4 d) 4𝑥 − 7𝑦 + 4
Solución:
3𝑥 + 2𝑦 − 9 − 7𝑥 − 9𝑦 + 5 = 3𝑥 − 7𝑥 + 2𝑦 − 9𝑦 − 9 + 5 = −4𝑥 − 7𝑦 − 4
2.- Al realizar la siguiente operación (5𝑥2 − 4𝑥𝑦 + 7𝑦2) + (−9𝑥2 − 6𝑦2 + 8𝑥𝑦), se obtiene:
a) −4𝑥2 − 4𝑥𝑦 + 𝑦2 b) −4𝑥2 + 4𝑥𝑦 − 𝑦2 c) 4𝑥2 − 4𝑥𝑦 − 𝑦2 d) −4𝑥2 + 4𝑥𝑦 + 𝑦2
Solución:
35
(5𝑥2 − 4𝑥𝑦 + 7𝑦2) + (−9𝑥2 − 6𝑦2 + 8𝑥𝑦) = 5𝑥2 − 4𝑥𝑦 + 7𝑦2 − 9𝑥2 − 6𝑦2 + 8𝑥𝑦
= −4𝑥2 + 4𝑥𝑦 + 𝑦2
1.3.3.2 Resta.
Se identifica el minuendo y el sustraendo para establecer la operación.
Minuendo – Sustraendo
Ejemplos:
1.- Al restar −2𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 de 5𝑥 + 6𝑦 − 7𝑧, se obtiene:
a) −7𝑥 + 7𝑦 − 12𝑧 b) 7𝑥 + 7𝑦 − 12𝑧 c) 7𝑥 − 7𝑦 − 12𝑧 d) 7𝑥 + 7𝑦 + 12𝑧
Solución:
Se establece la operación:
(5𝑥 + 6𝑦 − 7𝑧) − (−2𝑥 − 𝑦 + 5𝑧) = 5𝑥 + 6𝑦 − 7𝑧 + 2𝑥 + 𝑦 − 5𝑧 = 7𝑥 + 7𝑦 − 12𝑧
2.- De 7𝑥2 + 3𝑥𝑦 − 4𝑦2 restar −𝑥2 + 2𝑥𝑦
a) 8𝑥2 − 𝑥𝑦 − 4𝑦2 b) −8𝑥2 + 𝑥𝑦 − 4𝑦2 c) 8𝑥2 + 𝑥𝑦 − 4𝑦2 d) 8𝑥2 − 𝑥𝑦 + 4𝑦2
Solución:
Se realiza la operación:
(7𝑥2 + 3𝑥𝑦 − 4𝑦2) − (−𝑥2 + 2𝑥𝑦) = 7𝑥2 + 3𝑥𝑦 − 4𝑦2 + 𝑥2 − 2𝑥𝑦 = 8𝑥2 + 𝑥𝑦 − 4𝑦2
3.- Al realizar la operación (𝑚2 + 7𝑚𝑛 − 5𝑛2) − (−2𝑚2 + 5𝑚𝑛 − 3𝑛2), se obtiene:
a) 3𝑚2 − 2𝑚𝑛 − 2𝑛2 b) 3𝑚2 + 2𝑚𝑛 + 2𝑛2 c) −3𝑚2 + 2𝑚𝑛 − 2𝑛2 d) 3𝑚2 + 2𝑚𝑛 − 2𝑛2
Solución:
(𝑚2 + 7𝑚𝑛 − 5𝑛2) − (−2𝑚2 + 5𝑚𝑛 − 3𝑛2) = 𝑚2 + 7𝑚𝑛 − 5𝑛2 + 2𝑚2 − 5𝑚𝑛 + 3𝑛2
= 3𝑚2 + 2𝑚𝑛 − 2𝑛2
36
1.3.3.3 Signos de agrupación.
Los signos de agrupación son:
( ): Paréntesis [ ]: Corchetes { }: Llaves —: Vínculo
Para suprimir un signo de agrupación se multiplica por el signo o número que le anteceda.
Ejemplos:
1.- Al simplificar la expresión 2𝑥 + {3𝑥 − 4𝑦 + [−5𝑥 + 𝑦 − 3(𝑦 − 𝑥) + 2𝑦]}, se obtiene:
a) 3𝑥 + 4𝑦 b) 3𝑥 − 4𝑦 c) 𝑥 + 2𝑦 d) 𝑥 − 2𝑦
Solución:
2𝑥 + {3𝑥 − 4𝑦 + [−5𝑥 + 𝑦 − 3(𝑦 − 𝑥) + 2𝑦]} = 2𝑥 + {3𝑥 − 4𝑦 + [−5𝑥 + 𝑦 − 3𝑦 + 3𝑥 + 2𝑦]}
= 2𝑥 + {3𝑥 − 4𝑦 − 5𝑥 + 𝑦 − 3𝑦 + 3𝑥 + 2𝑦} = 2𝑥 + 3𝑥 − 4𝑦 − 5𝑥 + 𝑦 − 3𝑦 + 3𝑥 + 2𝑦
= 3𝑥 − 4𝑦
2.- La simplificación de 3𝑎 + {−𝑎 + 2𝑏 − 2[𝑎 − 3(𝑏 − 𝑎)] + 3𝑏} es:
a) −6𝑎 + 11𝑏 b) 6𝑎 − 11𝑏 c) 5𝑎𝑏 d) −5𝑎𝑏
Solución:
3𝑎 + {−𝑎 + 2𝑏 − 2[𝑎 − 3(𝑏 − 𝑎)] + 3𝑏} = 3𝑎 + {−𝑎 + 2𝑏 − 2[𝑎 − 3𝑏 + 3𝑎] + 3𝑏}
= 3𝑎 + {−𝑎 + 2𝑏 − 2𝑎 + 6𝑏 − 6𝑎 + 3𝑏} = 3𝑎 − 𝑎 + 2𝑏 − 2𝑎 + 6𝑏 − 6𝑎 + 3𝑏
= −6𝑎 + 11𝑏
3.- Al simplificar la expresión −3(𝑎 − 𝑏) + 5𝑏 − {2𝑎 + 𝑏 + [𝑎 − 3𝑏 − (2𝑏 − 𝑎) + 5𝑏] − 𝑎}
a) 6𝑎 − 7𝑏 b) −13𝑎𝑏 c) 13𝑎𝑏 d) −6𝑎 + 7𝑏
Solución:
−3(𝑎 − 𝑏) + 5𝑏 − {2𝑎 + 𝑏 + [𝑎 − 3𝑏 − (2𝑏 − 𝑎) + 5𝑏] − 𝑎} =
= −3𝑎 + 3𝑏 + 5𝑏 − {2𝑎 + 𝑏 + [𝑎 − 3𝑏 − 2𝑏 + 𝑎 + 5𝑏] − 𝑎}
= −3𝑎 + 3𝑏 + 5𝑏 − 2𝑎 − 𝑏 − 𝑎 + 3𝑏 + 2𝑏 − 𝑎 − 5𝑏 + 𝑎
37
= −3𝑎 + 3𝑏 + 5𝑏 − 2𝑎 − 𝑏 − 𝑎 + 3𝑏 + 2𝑏 − 𝑎 − 5𝑏 + 𝑎
= −6𝑎 + 7𝑏
1.3.3.4 Multiplicación.
Regla de los signos
(+)(+) = + (−)(−) = + (+)(−) = − (−)(+) = −
Ley de los exponentes
Cuando se multiplican bases iguales, la base permanece y los exponentes se suman.
𝑎𝑛 ∗ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚
Monomio por monomio
Ejemplos:
1.- El resultado de (−4𝑥2𝑦3)(−2𝑥4𝑦5) es:
a) 8𝑥6𝑦8 b) −8𝑥6𝑦8 c) 6𝑥6𝑦8 d) −6𝑥6𝑦8
Solución:
(−4𝑥2𝑦3)(−2𝑥4𝑦5) = 8𝑥2+4𝑦3+5 = 8𝑥6𝑦8
2.- El resultado de (3𝑎−3𝑏2)(−5𝑎2𝑏)(𝑎5𝑏−2𝑐)
a) −15𝑎4𝑏 b) 15𝑎4𝑏𝑐 c) 15𝑎6𝑏2 d) −15𝑎4𝑏𝑐
Solución:
(3𝑎−3𝑏2)(−5𝑎2𝑏)(𝑎5𝑏−2𝑐) = 15𝑎−3+2+5𝑏2+1−2𝑐 = −15𝑎4𝑏𝑐
38
Monomio por polinomio
Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio.
Ejemplos:
1.- El resultado de (2𝑥2 + 3𝑥 − 5)(3𝑥2) es:
a) 6𝑥4 + 9𝑥3 − 15𝑥2 b) 6𝑥4 − 9𝑥3 − 15𝑥2 c) 6𝑥4 + 9𝑥3 + 15𝑥2 d) −6𝑥4 + 9𝑥3 − 15𝑥2
Solución:
(2𝑥2 + 3𝑥 − 5)(3𝑥2) = 6𝑥4 + 9𝑥3 − 15𝑥2
2.- El resultado de (3𝑎2𝑏3𝑐 + 7𝑎𝑏2𝑐2 − 2𝑎4𝑏2)(−4𝑎3𝑏5𝑐2) es:
a) 12𝑎5𝑏8𝑐3 − 28𝑎4𝑏7𝑐4 + 8𝑎7𝑏7𝑐2 b) −12𝑎5𝑏8𝑐3 − 28𝑎4𝑏7𝑐4 + 8𝑎7𝑏7𝑐2
c) −12𝑎5𝑏8𝑐3 + 28𝑎4𝑏7𝑐4 + 8𝑎7𝑏7𝑐2 d) −12𝑎5𝑏8𝑐3 − 28𝑎4𝑏7𝑐4 − 8𝑎7𝑏7𝑐2
Solución:
(3𝑎2𝑏3𝑐 + 7𝑎𝑏2𝑐2 − 2𝑎4𝑏2)(−4𝑎3𝑏5𝑐2) =
= −12𝑎2+3𝑏3+5𝑐1+2 − 28𝑎1+3𝑏2+5𝑐2+2 + 8𝑎4+3𝑏2+5𝑐2 = −12𝑎5𝑏8𝑐3 − 28𝑎4𝑏7𝑐4 + 8𝑎7𝑏7𝑐2
Polinomio por polinomio
Se multiplica cada uno de los elementos del primer polinomio por cada uno de los elementos del
segundo polinomio y los resultados se simplifican.
Ejemplos:
1. (3𝑥2 − 4𝑥 + 5)(3𝑥 − 7) = 3𝑥2(3𝑥 − 7) − 4𝑥(3𝑥 − 7) + 5(3𝑥 − 7) =
= 9𝑥3 − 21𝑥2 − 12𝑥2 + 28𝑥 + 15𝑥 − 35 = 9𝑥3 − 33𝑥2 + 43𝑥 − 35
2. (𝑚2 − 𝑚𝑛 + 𝑛2)(𝑚 + 𝑛) = 𝑚2(𝑚 + 𝑛) − 𝑚𝑛(𝑚 + 𝑛) + 𝑛2(𝑚 + 𝑛) =
= 𝑚3 + 𝑚2𝑛 − 𝑚2𝑛 − 𝑚𝑛2 + 𝑚𝑛2 + 𝑛3
39
1.3.3.5 División.
Regla de los signos
+
+= +
+
−= −
−
+= −
−
−= +
Ley de los exponentes
Si se dividen bases iguales, la base permanece y al exponente del numerador se le resta el exponente
del denominador.
𝑎𝑛
𝑎𝑚= 𝑎𝑛−𝑚; 𝑎0 = 1 para todo 𝑎 ≠ 0
Monomio entre monomio
Ejemplos:
1.- El resultado de −18𝑥3𝑦5𝑧2
9𝑥3𝑦3𝑧2 es:
a) 2𝑦2 b) −2𝑥𝑦2𝑧 c) −2𝑦2 d) −2𝑥2
Solución:
−18𝑥3𝑦5𝑧2
9𝑥3𝑦3𝑧2= −2𝑥3−3𝑦5−3𝑧2−2 = −2𝑥0𝑦2𝑧0 = −2𝑦2
2.- El resultado de −24𝑎6𝑏4
−4𝑎3𝑏−2 es:
a) 8𝑎3𝑏6 b) 6𝑎3𝑏2 c) 6𝑎3𝑏6 d) 8𝑎3𝑏2
Solución:
−24𝑎6𝑏4
−4𝑎3𝑏−2= 6𝑎6−3𝑏4−(−2) = 6𝑎6−3𝑏4+2 = 6𝑎3𝑏6
Polinomio entre monomio
Cada uno de los elementos del polinomio se divide por el monomio.
40
Ejemplos:
1.- El resultado de 15𝑥4𝑦5−10𝑥3𝑦6
−5𝑥2𝑦2 es:
a) −3𝑥2𝑦3 + 2𝑥𝑦4 b) 3𝑥2𝑦3 + 2𝑥𝑦4 c) −3𝑥2𝑦3 − 2𝑥𝑦4 d) −3𝑥3𝑦2 + 2𝑥4𝑦
Solución:
15𝑥4𝑦5 − 10𝑥3𝑦6
−5𝑥2𝑦2=
15𝑥4𝑦5
−5𝑥2𝑦2−
10𝑥3𝑦6
−5𝑥2𝑦2= −3𝑥4−2𝑦5−2 + 2𝑥3−2𝑦6−2 = −3𝑥2𝑦3 + 2𝑥𝑦4
2.- El resultado de 21𝑎5𝑏−2+14𝑎2𝑏3−7𝑎𝑏
7𝑎𝑏 es:
a) 3𝑎4𝑏 + 2𝑎𝑏2 − 1 b) −3𝑎4𝑏−3 + 2𝑎𝑏2 − 1 c) 3𝑎4𝑏−3 + 2𝑎𝑏2 d) 3𝑎4𝑏−3 + 2𝑎𝑏2 − 1
Solución:
21𝑎5𝑏−2 + 14𝑎2𝑏3 − 7𝑎𝑏
7𝑎𝑏=
21𝑎5𝑏−2
7𝑎𝑏+
14𝑎2𝑏3
7𝑎𝑏−
7𝑎𝑏
7𝑎𝑏= 3𝑎4𝑏−3 + 2𝑎𝑏2 − 1
Polinomio entre polinomio
Los términos se ordenan en forma decreciente, se divide el primer término del dividendo por el
primer término del divisor, el cociente que se obtiene se multiplica por el divisor, el resultado se
resta del dividendo y así sucesivamente, hasta obtener un residuo cero u otro cuyo grado sea menor
al grado del divisor.
Coeficiente
Divisor Dividendo
Residuo
Ejemplos:
1.- El coeficiente de 𝑥2+11𝑥+28
𝑥+4 es:
41
a) 𝑥 − 7 b) 𝑥 + 7 c) −𝑥 + 7 d) −𝑥 − 7
Solución:
Se ordenan el dividendo y el divisor y se realiza la división:
𝑥 + 7 ← Coeficiente
𝑥 + 4 𝑥2 + 11𝑥 + 28
−𝑥2 − 4𝑥
7𝑥 + 28
−7𝑥 − 28
0
2.- El residuo que se obtiene al dividir 2𝑎3 + 3𝑎2 − 5𝑎 + 7 por 𝑎2 − 𝑎 + 1 es:
a) 2𝑎 − 2 b) 2𝑎 + 2 c) −2𝑎 + 2 d) −2𝑎 − 2
Solución:
Se realiza la división mediante la caja divisora:
2𝑎 + 5
𝑎3 − 𝑎 + 1 2𝑎3 + 3𝑎2 − 5𝑎 + 7
−2𝑎3 + 2𝑎2 − 2𝑎
5𝑎2 − 7𝑎 + 7
−5𝑎2 + 5𝑎 − 5
−2𝑎 + 2 ← Residuo
1.3.3.6 Raíces y potencias.
Potencias
La simplificación de estas operaciones se basa en las leyes de los exponentes.
Leyes de los exponentes
42
I. 𝑎0 = 1 II. 𝑎1 = 𝑎 III. 𝑎𝑛 ∗ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚
IV. 𝑎𝑛
𝑎𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚 V. (𝑎𝑛)𝑚 = 𝑎𝑛∗𝑚 VI. (𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐)𝑛 = 𝑎𝑛 ∗ 𝑏𝑛 ∗ 𝑐𝑛
VII. (𝑎
𝑏)
𝑛=
𝑎𝑛
𝑎𝑛 VIII. 𝑎−𝑛 =1
𝑎𝑛 IX. 𝑎𝑛 =1
𝑎−𝑛
X. (𝑎
𝑏)
−𝑛= (
𝑏
𝑎)
𝑛 XI. √𝑎𝑛𝑚
= 𝑎𝑛
𝑚
Ejemplos:
1.- Al simplificar la expresión 𝑎5∗𝑎4
𝑎7 , se obtiene:
a) 𝑎3 b) 𝑎2 c) 𝑎−2 d) 𝑎−3
Solución:
𝑎5 ∗ 𝑎4
𝑎7=
𝑎5+4
𝑎7=
𝑎9
𝑎7= 𝑎9−7 = 𝑎2
2.- La simplificación de (√𝑥 ∗ √𝑥3
)6 es:
a) 𝑥 b) 𝑥6 c) 𝑥5 d) 𝑥3
Solución:
Se expresan las raíces como un exponente radical y se realizan las respectivas operaciones con los
exponentes:
(√𝑥 ∗ √𝑥3
)6 = (𝑥12 ∗ 𝑥
13)6 = 𝑥
62 ∗ 𝑥
63 = 𝑥3 ∗ 𝑥2 = 𝑥3+2 = 𝑥5
3.- Una expresión equivalente a (𝑥𝑚∗𝑥𝑛
𝑥2𝑛 )𝑚
es:
a) 𝑥2𝑚−𝑚𝑛 b) 𝑥𝑚−𝑛 c) 𝑥𝑚2−𝑛 d) 𝑥𝑚2−𝑚𝑛
Solución:
(𝑥𝑚 ∗ 𝑥𝑛
𝑥2𝑛 )
𝑚
= (𝑥𝑚+𝑛
𝑥2𝑛 )
𝑚
= (𝑥𝑚+𝑛−2𝑛)𝑚 = (𝑥𝑚−𝑛)𝑚 = 𝑥𝑚(𝑚−𝑛) = 𝑥𝑚2−𝑚𝑛
43
4.- Al simplificar la expresión (−27𝑎4𝑏5𝑐2
9𝑎2𝑏3𝑐)
2
, se obtiene:
a) 9𝑏4𝑐2 b) −9𝑏4𝑐2 c) 9𝑏2𝑐4 d) −9𝑏2𝑐4
Solución:
(−27𝑎4𝑏5𝑐2
9𝑎2𝑏3𝑐)
2
= (−3𝑏2𝑐)2 = 9𝑏4𝑐2
5.- Una expresión equivalente a (2𝑎+𝑏)5(2𝑎+𝑏)−1
(2𝑎+𝑏)2
a) (2𝑎 + 𝑏)2 b) (2𝑎 + 𝑏)3 c) (2𝑎 + 𝑏)4 d) 2𝑎 + 𝑏
Solución:
La base es el binomio (2𝑎 + 𝑏), entonces:
(2𝑎 + 𝑏)5(2𝑎 + 𝑏)−1
(2𝑎 + 𝑏)2=
(2𝑎 + 𝑏)5−1
(2𝑎 + 𝑏)2=
(2𝑎 + 𝑏)4
(2𝑎 + 𝑏)3= (2𝑎 + 𝑏)4−3 = (2𝑎 + 𝑏)1 = 2𝑎 + 𝑏
Simplificación de radicales
Dado un radical de la forma √𝑎𝑛
expresarlo en su forma más sencilla.
Ejemplos:
1.- Al simplificar el radical √4𝑥2𝑦4, se obtiene:
a) 2𝑥2𝑦 b) 4𝑥𝑦2 c) 2𝑥𝑦2 d) −4𝑥𝑦2
Solución:
El radicando 4 se representa como una potencia y se aplica la propiedad: √𝑎𝑛𝑚= 𝑎
𝑛
𝑚
√4𝑥2𝑦4 = √22𝑥2𝑦4 = 222𝑥
22𝑦
42 = 2𝑥𝑦2
44
2.- Al simplificar el radical √27𝑎6𝑏93, se obtiene:
a) −3𝑎2𝑏3 b) 3𝑎3𝑏2 c) −3𝑎3𝑏2 d) 3𝑎2𝑏3
Solución:
√27𝑎6𝑏93= √33𝑎6𝑏93
= 333𝑎
63𝑏
93 = 31𝑎2𝑏3 = 3𝑎2𝑏3
Operaciones con radicales
Suma y resta de radicales
𝑎 √𝑑𝑛
+ 𝑏 √𝑑𝑛
− 𝑐 √𝑑𝑛
= (𝑎 + 𝑏 − 𝑐) √𝑑𝑛
Ejemplos:
1.- Al simplificar la expresión √3𝑥 + 4√3𝑥 − 3√3𝑥 se obtiene:
a) 4√3𝑥 b) 3√3𝑥 c) 2√3𝑥 d) √3𝑥
Solución:
√3𝑥 + 4√3𝑥 − 3√3𝑥 = (1 + 4 − 3)√3𝑥 = 2√3𝑥
2.- La simplificación de la expresión √8𝑥2 + √18𝑥2 − √98𝑥2 es:
a) −2√2𝑥 b) −√2𝑥 c) 2√2𝑥 d) −2𝑥
Solución:
Se simplifica cada uno de los radicales de la expresión:
√8𝑥2 = √22 ∗ 2 ∗ 𝑥2 = 2√2𝑥 ; √18𝑥2 = √32 ∗ 2 ∗ 𝑥2 = 3√2𝑥 ; √98𝑥2 = √72 ∗ 2 ∗ 𝑥2 = 7√2𝑥
Por consiguiente:
45
√8𝑥2 + √18𝑥2 − √98𝑥2 = 2√2𝑥 + 3√2𝑥 − 7√2𝑥 = (2 + 3 − 7)√2𝑥 = −2√2𝑥
Multiplicación
Para realizar el producto de radicales se utilizan las siguientes propiedades:
Con índices iguales Con índices diferentes
√𝑎𝑛
∗ √𝑏𝑛
= √𝑎𝑏𝑛
√𝑎𝑛
∗ √𝑏𝑚
= √𝑎𝑚 ∗ 𝑏𝑛𝑛𝑚
Ejemplos:
El resultado de √𝑥3 ∗ √𝑥 es:
a) 𝑥 b) 𝑥3 c) 𝑥4 d) 𝑥2
Solución:
√𝑥3 ∗ √𝑥 = √𝑥3 ∗ 𝑥 = √𝑥4 = 𝑥42 = 𝑥2
2.- El producto de √𝑥23∗ √𝑥73
es:
a) 𝑥2 b) 𝑥3 c) 𝑥4 d) 𝑥
Solución:
√𝑥23∗ √𝑥73
= √𝑥2 ∗ 𝑥73= √𝑥2+73
= √𝑥93= 𝑥
93 = 𝑥3
3.- Una expresión equivalente a √𝑥 ∗ √𝑥3
es:
a) 𝑥1
6 b) 𝑥5
6 c) 𝑥1
2 d) 𝑥1
3
Solución:
Los índices de los radicales son diferentes, se aplica la propiedad: √𝑎𝑛
∗ √𝑏𝑚
= √𝑎𝑚 ∗ 𝑏𝑛𝑛𝑚
46
√𝑥 ∗ √𝑥3
= √𝑥3 ∗ 𝑥2(2)(3)
= √𝑥3+2(2)(3)
= √𝑥56= 𝑥
56
4.- El resultado de √𝑥34∗ √𝑥 es:
a) √𝑥4
b) 𝑥 √𝑥34 c) 𝑥 √𝑥
4 d) 𝑥√𝑥
Solución:
√𝑥34∗ √𝑥 = √𝑥3 ∗ 𝑥24
= √𝑥54= √𝑥4 ∗ 𝑥
4= 𝑥 √𝑥4
División
Para realizar la división de radicales se aplican las siguientes propiedades:
Con índice igual Con índice diferente
√𝑎𝑛
√𝑏𝑛 = √
𝑎
𝑏
𝑛 √𝑎
𝑛
√𝑏𝑚 = √
𝑎𝑚
𝑏𝑛
𝑛𝑚
Ejemplos:
1.- Al realizar √16𝑥73
√2𝑥3 , se obtiene:
a) 𝑥2 b) 3𝑥2 c) 4𝑥2 d) 2𝑥2
Solución:
Los índices de los radicales son iguales, entonces se utiliza la propiedad: √𝑎
𝑛
√𝑏𝑛 = √
𝑎
𝑏
𝑛
√16𝑥73
√2𝑥3 = √
16𝑥7
2𝑥
3
= √8𝑥63= √23𝑥63
= 233𝑥
63 = 2𝑥2
2.- El resultado de √𝑥
√𝑥3 es:
a) √𝑥6
b) √𝑥 c) √𝑥56 d) √𝑥53
Solución:
47
Los índices de los radicales son diferentes, entonces se utiliza la propiedad: √𝑎
𝑛
√𝑏𝑚 = √
𝑎𝑚
𝑏𝑛
𝑛𝑚
√𝑥
√𝑥3 = √
𝑥3
𝑥2
6
= √𝑥3−26= √𝑥
6