Unidad 1

SISTEMAS NUMERICOS

Objetivos

• Comprender el manejo de números y operaciones aritméticas desde un lenguaje de programación de bajo nivel.

• Repasar los métodos de representación numérica de los sistemas: decimal, binario, octal y hexadecimal, para números enteros y fraccionarios.

• Discutir los métodos de conversión entre los sistemas numéricos de nuestro interés, tanto para números enteros y fraccionarios.

• Comprender la representación de números binarios con signo empleando la notación complemento a 2.

• Repasar las operaciones aritméticas elementales: suma, resta, multiplicación y división.

• Establecer claramente el concepto de “overflow” y su comparación con el “carry”. • Concepto de punto fijo y flotante. • Comprender la necesidad de codificar la información. • Describir lo métodos de detección y corrección de errores: paridad, “checksum”,

códigos de redundancia cíclica y “Hamming”.

11 IINNTTRROODDUUCCCCIIOONN Un microprocesador, como cualquier sistema digital, emplea dos estados (0 y 1) para la

representación de información. Cabe recordar que los símbolos 1 y 0 representan esos dos estados y no tienen ningún significado numérico por sí mismos. Sin embargo, cuando estos símbolos se utilizan para representar los dígitos del sistema numérico binario, ellos se deben manejar de acuerdo a las reglas del sistema numérico. Por lo tanto, en esta unidad se verá el tratamiento de los sistemas numéricos necesario para su implementación en computadoras. Al final de la unidad veremos la necesidad de codificar la información y distintas alternativas para la detección y corrección de errores en la transmisión de datos.

22 SSIISSTTEEMMAA DDEE NNUUMMEERRAACCIIÓÓNN Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que

permiten construir todos los números válidos en el sistema. Un sistema de numeración puede representarse como N = S + R donde:

• N es el sistema de numeración considerado.

• S son los símbolos permitidos en el sistema. En el caso del sistema decimal son {0,1...9}; en el binario son {0,1}; en el octal son {0,1...7}; en el hexadecimal son {0,1...9,A,B,C,D,E,F}.

• R son las reglas de generación que nos indican qué números son válidos y cuáles son no-válidos en el sistema.

Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeración considerado, pero una regla común a todos es que para construir números válidos en un sistema de numeración determinado sólo se pueden utilizar los símbolos permitidos en ese sistema (para indicar el sistema de numeración utilizado se añade como subíndice al número).

De una forma general y amplia podemos clasificar los sistemas de numeración en dos grandes tipos:

Posicionales: El valor de los símbolos que componen el sistema depende del valor que se les ha asignado, y de la posición que ocupan en el número (Números decimales). No Posicionales: El valor de los símbolos que componen el sistema es fijo, y no depende de la posición que ocupa el símbolo dentro del número (Números romanos)

33 MMEETTOODDOOSS DDEE RREEPPRREESSEENNTTAACCIIOONN NNUUMMEERRIICCAA

Un número N, en un sistema de numeración posicional, se representa como:

N = dp-1*bp-1 + dp-2*bp-2 + .....+ d0*b0 + d-1*b-1 + d-q*b-q [1]

donde: b : base o raíz del sistema numérico. d´s: dígitos o símbolos del sistema numérico, que son los b dígitos permitidos. p : número de dígitos enteros. q : número de dígitos fraccionarios.

N se puede expresar como:

N = dp-1dp-2 ... d0.d-1d-2 ... d-q punto base p = 0 número fraccionario q = 0 número entero p<>0 y q<>0 número mixto

3.1 Sistema Decimal N10 = 27,510 = 2*101 + 7*101 + 5*10-1

b (base)= 10 d (dígito)= 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 p=2 y q=1.

3.2 Sistema Binario N2 = 101.012 = 1*22 + 0*21 + 1*20 + 0*2-1 + 1*2-2 = 4 + 0 + 1 + 0 + 1/4 = 5.2510

b (base) = 2 d (dígito)= 0,1 p=3 y q=2.

3.3 Sistema decimal codificado en BCD Decimal Binario 0 0000 1 0001 El código BCD es la representación 2 0010 de los 10 dígitos del sistema decimal 3 0011 con 4 bits del sistema binario. 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001 - 1010 | 1011 | 1100 no 1101 usados 1110 | 1111

3.4 Sistema Octal N8 = 34.18 = 3*81 + 4*80 + 1*8-1 = 24 + 4 + 1/8 = 28.12510

b (base) = 8 d (dígito) = 0,1,2,3,4,5,6,7 p=2 y q= 1.

3.5 Sistema Hexadecimal N16 = D56.A216 = 13*162 + 5*161 + 6*160 + 10*16-1 + 2*16-2 = 3414.632810

b (base) = 16 d (símbolo) = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F p=3 y q=2

La utilidad y conversión con el sistema binario es similar al sistema octal, con la única

diferencia que los bits se agrupan de a cuatro. Este sistema es usado como entrada/salida en muchas aplicaciones con microprocesadores, como kits de desarrollo, interfaces, etc., ya que provee un medio eficiente para especificar direcciones, datos e instrucciones (8 y 16 bits).

44 RRAANNGGOO DDEE UUNN NNUUMMEERROO Cuando se representan números en una base b y m dígitos, hay bm números posibles en un

rango de 0....bm-1. Sea Nb un número entero cualquiera, éste tendrá un equivalente decimal que caerá en el

rango 0...bm-1, y podrá ser representado exactamente como muestra la Fig. 1.1 Sea:

b: base m: número de dígitos

Entonces habrá bm números en el rango [0 ..... bm–1 ] Números Enteros

|__________|_________|__________| b=2 00 01 10 11 m=2 Nb = 012 =110

Figura 1.1

Números Fraccionarios (rango [0...1] )

Cuando se trabaja con números fraccionarios hay infinitos números en el intervalo entre 0

y 1, por lo tanto, como m (número de dígitos) es finito, únicamente se pueden representar bm fracciones (puntos), siendo el salto entre puntos:

@ = b-m [2] (@: Intervalo de resolución)

|____|____|____|____|____|__....__|____|____| 0 | | 1

@ valor de fracción que puede ser representado exactamente.

Figura 1.2

Aproximaciones: Para representar una fracción (punto) que no corresponda a los valores de representación

exacta, será necesario aproximar. Para ello hay dos formas comunes:

- Truncación - Redondeo

Sea Fb el valor verdadero del número tal cual se expresa a continuación:

Fb = .a-1a-2a-3...a-ma-(m+1)a-(m+2)....a-(m+p)

∑−

+−=

−1

)(*

pmi

ii ba [3]

Siendo m el número de dígitos a utilizar.

4.1 Truncación Se dice que una fracción es truncada cuando todos los dígitos a la derecha de a-m se

desprecian. @ |______...__________|___________.______|________..... 0 fv Fb fv+1 Et

Figura 1.3

fv: valor truncado Fb: valor real Et: error por truncación (Et < b-m)

El máximo error cometido (ver Fig 1.3) será siempre menor que el intervalo de

resolución; es decir:

Et < b-m Ejemplo

Fb = .23749 fv = .237 m = 3

donde fv es el valor truncado.

4.2 Redondeo Se dice redondeo cuando se selecciona el valor más próximo al valor deseado, es decir que

verifica si el valor se encuentra de la mitad del intervalo de resolución a la derecha o a la izquierda. Por supuesto, esto requiere una complejidad adicional en el hardware. @ |______...__________|___________.______|________..... 0 fv Fb fv+1 Et

Figura 1.4

Er: error por redondeo (Er ≤ @/2 )

Fb = .23749 fv = .238 m = 3

donde fv es el valor por redondeo.

55 CCOONNVVEERRSSIIOONN DDEE SSIISSTTEEMMAASS NNUUMMEERRIICCOOSS

Las conversiones más importantes son: decimal-binario, decimal-octal y decimal- hexadecimal, ya que cualquier otra conversión entre esos cuatro sistemas se puede realizar como una combinación de los anteriores. En muchos casos, la conversión de un número fraccionario finito, expresado en un sistema numérico de base b1, no produce un número fraccionario finito equivalente en una base b2. El error entre ambas representaciones lo determina el número de dígitos empleados en la representación en la base b2.

5.1 Conversión Decimal-Binario La conversión de números enteros y fraccionarios decimales en binarios, se lleva a cabo por sucesivas divisiones y multiplicaciones, respectivamente, por la base (2). Números Enteros Como resultado de la división de un número decimal por dos, se obtiene un cociente Q y un resto R. Los restos que se obtienen de las sucesivas divisiones son los bits del número binario. El resto R es siempre un número entero menor que el divisor (dos en este caso), por lo tanto R puede ser 0 ó 1.

N = dp-1*2p-1 + dp-2*2p-2 + .....+ d0*20 1. N/2 = dp-1*2p-2 + dp-2*2p-3 + .....+ d0*2-1 |____________________||______| Q0: cociente R0: resto

d0=R0: bit menos significativo

2. Q0/2 = Q1 + d1 * 2-1

d1=R1: próximo bit . . . . . . p. Qp-2/2 = Qp-1 + Rp-1 donde Qp-1= 0

dp-1=Rp-1: bit más significativo. Ejemplo: N=13 13/2 = 6 y R0=1 6/2 = 3 y R1=0 3/2 = 1 y R2=1 1/2 = 0 y R3=1 1310 = 11012 Números Fraccionarios

En este caso se multiplica sucesivamente por dos. Los enteros resultantes son los sucesivos dígitos a la base convertida.

N = d-1*2-1 + d-2*2-2 + ... + d-q*2q 1. 2*N = d-1*20 + d-2*2-1 + ... + d-q*2-q+1 |_____| |_________________| I-1: entero X-1: fracción

d-1=I-1: bit menos significativo. 2. 2*X-1 = d-2*20 + d-3*2-1 + ... + d-q*2-q+2 |_____| |__________________| I-2: entero X-2: fracción

d-2=I-2: próximo bit . . . . q+1. 2*X-q+1 = d-q*20 = I-q

d-q=I-q: bit más significativo Ejemplo

N=0.55 2*0.55 = 1.1 ---> d-1= 1 2*0.1 = 0.2 ---> d-2= 0 2*0.2 = 0.4 ---> d-3= 0 2*0.4 = 0.8 ---> d-4= 0 2*0.8 = 1.6 ---> d-5= 1

0.5510 = 0.100012

5.2 Conversión Decimal-Octal

La conversión de números enteros y fraccionarios decimales a octales se lleva a cabo por sucesivas divisiones y multiplicaciones, respectivamente, por la base (8). Ejemplo:

N=1310 13/8 = 1 y R0 = 5 1310 = 158 1/8 = 0 y R1 = 1

5.3 Conversión Decimal-Hexadecimal

La conversión de números enteros y fraccionarios decimales a hexadecimales se lleva a cabo por sucesivas divisiones y multiplicaciones, respectivamente, por la base (16). Ejemplo:

N=1310: 13/16 = 0 y R0 = 13 1310 = D16

66 NNUUMMEERROOSS CCOONN SSIIGGNNOO En el sistema binario (b=2) si se disponen de m dígitos, es posible representar 2m números

en un rango de 0 hasta 2m-1. Con esta restricción, si se necesita representar números con signo, es necesario resignar el rango de operación (2m-1-1), ya el bit más significativo representa el signo del número.

Las premisas más importantes que debe cumplir un buen sistema de representación son: que tenga igual cantidad de números positivos como negativos, que exista un único cero, que se puedan realizar las operaciones aritméticas básicas (suma, resta, multiplicación y división), etc.

6.1 Representación

Hay tres formas básicas de representar números con signo en el sistema binario.

• Bit de Signo o "Magnitud Signada" • Complemento a dos • Complemento a uno

Debido a que en el sistema binario no se encuentran otros símbolos más que 0 y 1, es que

se utiliza el bit más significativo del número como signo del número. Donde un 0 significa que el número positivo, y un 1, que es un número negativo.

6.1.1 Bit de Signo o “Magnitud Signada”

En esta representación, para una palabra de n bits, los n-1 bits de la derecha representan la magnitud del número y el número positivo si comienza con cero (0) y si el mismo empieza con uno (1) el número es negativo. Ejemplo:

Sea N = 810 = 10002 8 = 01000 -8 = 11000

6.1.2 Complemento a Dos El complemento (N') de un número (N) en una base b se define como:

N' = bp – N [4]

p: número de dígitos de N b: base bp: módulo

El módulo toma distintas denominaciones de acuerdo con el sistema numérico que se emplee. Por ejemplo, para el sistema decimal, se denomina complemento a 10, y para el sistema binario, complemento a 2. Ejemplo

N=2010 -----> N' = 100 - 20 = 80 N=10012 -----> N' = 10000 - 1001 = 0111

Es importante notar que el complemento de un número depende del módulo elegido. Hay dos formas de hallar el complemento a dos de un número:

• Hallar el complemento lógico del número y luego sumarle 1. 1001 -----> 0110 ------> 0110 + 1 = 0111

• Comenzando del bit menos significativo, dejar todos los bits sin cambio hasta el primer 1 inclusive, luego complementar los restantes.

6.1.3 Complemento a Uno

El complemento a 1 (N") de un número (N), también llamado complemento de base disminuida, no es más que el complemento lógico del número o el complemento a dos menos uno.

N" = bp - N - 1

si el número fuese mixto (q <> 0),

N" = bp - b-q - N 6.1.4 Complemento Como Números Negativos

Para representar números con signo en la forma de complemento, se consideran números negativos a aquéllos cuyo bit más significativo es "1", y números positivos a aquéllos cuyo bit más significativo es "0". La diferencia con magnitud-signada, radica en la forma de interpretar los bits restantes.

La representación de números positivos y negativos como complemento, tiene significativas ventajas sobre la representación bit de signo desde el punto de vista de hardware y de software. 6.1.5 Números en Complemento a Dos

Un número entero expresado en complemento a dos tiene la siguiente expresión:

N = -d7*27 + . . . + di*2i [5]

Un número fraccionario expresado en complemento a dos tiene la siguiente expresión:

N = -d0*20 + . . . . + d-i*2-i [6] La representación en una recta sería: 1001 1011 1101 1111 0001 0011 0101 0111 |---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---| 1000 1010 1100 1110 0000 0010 0100 0110 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 Sea p el número de bits incluido el bit de signo, entonces habrá 2p números posibles siendo el rango de variación de números:

-2p-1 <= N <= 2p-1 -1 6.1.6 Números en Complemento a Uno La representación en una recta sería: 1001 1011 1101 0001 0011 0101 0111 |---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---| 1000 1010 1100 1110 0000 0010 0100 0110 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

Sea p el número de bits incluido el bit de signo, entonces habrá 2p números posibles siendo el rango de variación de números:

-(2p-1-1) <= N <= 2p-1 -1

Uno de los inconvenientes de esta representación es que tiene dos formas de representar el cero. Esto requiere de interpretaciones adicionales de los resultados para la toma de decisiones. 6.1.7 Elección del Sistema de Representación Numérica

Se pueden mencionar tres razones principales por las cuales la elección de la representación en complemento a dos es la más adecuada:

1. El hardware aritmético es más simple que en bit de signo y no mucho más complejo que en complemento a uno.

2. En complemento a uno y bit de signo existen dos formas de representar al cero

(existe un +0 y un -0). Esto causa ciertos problemas en el hardware para la toma de decisiones, por ejemplo saltar si el resultado es negativo.

3. Hay resultados incorrectos en complemento a uno y bit de signo que se deben

corregir. Ejemplo:(-107)+(-10)= =-117

6.2 OPERACIONES ARITMETICAS En un microprocesador la ALU (Unidad Aritmético-Lógica) es la parte del procesador

encargada de realizar las operaciones aritméticas y lógicas con los datos suministrados. Los datos manejados por la ALU provienen y se almacenan en registros. La ALU debe además activar indicadores (banderas o “flags”) como resultados de las operaciones realizadas. Por lo tanto definiremos una serie de banderas que nos permitirán interpretar los resultados obtenidos. Y para poder descifrar a las banderas, debemos observar las operaciones aritméticas elementales. 6.2.1 Suma Binaria La suma de M + N produce: M + N = S N 0 0 1 1 M 0 1 0 1 ___________________________ S 0 1 1 10 transporte (“carry”)

Las funciones lógicas que implementan la operación suma con la generación de su respectivo carry son:

S = X + Y = X XOR Y

Cy = X AND Y

El carry se produce cuando se supera la capacidad del dígito (en la base que se trabaje 1:

binaria, 9: decimal) en una columna (peso) determinada. Cuando se trabaja con computadoras no se puede tener infinitos bits de representación de números. Es decir, que los números se representan por n bits (generalmente 4, 8, 16, 32 bits). Por lo tanto el flag de carry indica que tuve un desborde en el rango de representación de los números naturales (sin signo).

Si el máximo rango de representación de números con signos (positivos o negativos) se excede, el flag de carry no nos brinda información de desborde del rango de representación. Cuando se trabaja con números enteros (con signo), la condición de desborde se indica con un flag denominado "overflow" (si se desbordan los números positivos) o "underflow" (si se desbordan los números negativos). 6.2.1.1 Suma en Complemento a Dos

En complemento a dos, con (n+1) bits se pueden representar números en el rango de (2n -1) a (-2n). Por ejemplo, con 8 bits el rango es de +127 a -128. Por lo tanto, cualquier operación que exceda dicho rango producirá "overflow". Condiciones para la Detección de Overflow

Se analizarán cuatro casos testigos, que permiten encontrar cuáles son las condiciones en las que se produce overflow, y así poder generalizarlo. 0110 (+6) 0110 (+6) 1001 (-7) 1010 (-6) + + + + 0011 (+3) 0001 (+1) 1101 (-3) 1111 (-1) ------ ---- ------ ---- ------ ---- ------ ---- 0 1001 -7 0 0111 +7 1 0110 +6 1 1001 -7 C=0 C=0 C=1 C=1 Cs=1 Cs=0 Cs=0 Cs=1 donde:

C : es el carry Cs: es el carry al bit de signo (bit2 bit3)

Por lo tanto, ocurre overflow si y sólo si la suma de dos números de igual signo produce un número de signo opuesto.

C Cs V 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

Cs XOR C = V

Otra forma de determinar el overflow (V) es: Z XOR C. Sin embargo es necesario verificar previamente los signos de los operandos. 6.2.2 Resta Binaria La resta binaria produce: M - N = R

M N R B (Borrow)0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0

R = M - N = M XOR N B = /M AND N

donde:

M: minuendo N: sustraendo

Si trabajamos con números naturales, el "borrow" significa que el minuendo es menor que

el sustraendo, y se debe "pedir prestado" a la próxima columna. Una de las mayores ventajas de usar complemento, es que la resta se lleva a cabo tomando

el complemento del sustraendo y luego se realiza la suma de los mismos. Es decir, se podría simplificar el hardware.

M - N = M + (comp N) Ejemplo: 1100 (-4) 1100 (-4) - + 0110 (+6) 1010 (-6) ------ ------- 0 0110 -10 1 0110 -10 6.2.2.1 Relaciones Overflow/Underflow – Carry/Borrow

Se analizarán distintos casos que permitirán establecer relaciones entre los flags Overflow/Underflow – Carry/Borrow resultantes de operaciones de resta entre 2 números enteros.

0100 (+4) 0100 (+4) 1100 (-4) 1100 (-4) - + - + 1011 (-5) 0101 (+5) 0110 (+6) 1010 (-6) ------ ---- ------ ---- ------ ---- ------ ---- 1 1001 +9 0 1001 +9 0 0110 -10 1 0110 -10 B=1 C=0 B=0 C=1 Bs=0 Cs=1 Bs=1 Cs=0 donde: C : carry

Cs: carry al bit de signo (bit2 ---> bit3) B : borrow Bs: borrow del bit de signo (bit3 ----> bit2)

Analizando los cuatro casos del ejemplo anterior se puede deducir que el borrow es el

carry complementado y que el overflow es: V' = /B XOR /Bs = C XOR Cs = V donde:

V’: es el overflow (denominado underflow ) que se produce en la resta.

Por lo tanto, los circuitos que detectan el overflow en la suma también lo harán en la resta. En general, los procesadores utilizan el mismo bit para representar el carry y el borrow.

Esto se debe a que son complementarios.

6.3 Doble Precisión Cuando se desea mayor precisión en las operaciones aritméticas que las que provee un

microprocesador utilizando la longitud de palabra estándar, se debe recurrir a la múltiple precisión. 6.3.1 Suma

Para realizar la suma se procede en igual forma que en simple precisión, con la única diferencia que la parte más significativa se debe sumar agregando el carry de la operación anterior. 1 0110 1101 + 1001 0110 1001 0110

6.3.2 Resta

Para realizar la resta se procede en igual forma que en simple precisión, con la única diferencia que la parte más significativa se debe restar teniendo en cuenta el borrow anterior. Una forma alternativa de implementarla sería complementar el sustraendo, y proceder como en el caso de la suma. 1 0001 1001 (25) + + 1110 1110 (-18) 0000 0111 07

Con respecto a las condiciones de overflow, valen las mismas reglas que en el caso de simple precisión.

6.4 Operaciones en BCD

El código BCD es la representación de los 10 dígitos del sistema decimal con 4 bits del sistema binario. Esta representación genera un conjunto de 6 valores no permitidos, que requiere que algunos resultados de operaciones aritméticas sean corregidos.

6.4.1 Suma en BCD

Los símbolos BCD son 0...9, por lo tanto, con 4 bits de representación, los símbolos A...F no son válidos. Esto quiere decir que al realizar operaciones aritméticas será necesario hacer algunas correcciones al resultado. Veremos los tres casos resultantes de una operación de suma aritmética: I. 0110 (6) II. 0110 (6) III. 1001 (9) + + + 0010 (2) 0111 (7) 1001 (9) 0 1000 (8) correcto 0 1101 (13) incorr. 1 0010 (18) incorr. [0] [8] + + 0110 (6) 0110 (6) 1 0011 1 1000 [1] [3] correcto [1] [8] correcto

El caso I. es el único resultado correcto, por lo tanto no necesita ningún tipo de corrección.

Los casos II. y III. Dan resultados incorrectos, por lo tanto es necesario adicionarle 6 para obtener el valor correcto. Resumiendo, hay dos casos de ajuste decimal de la suma de dos números A y B:

• si A + B ≥ 10 con carry = 0 • si A + B < 10 con carry = 1

Para usar BCD con signo será necesario usar un bit adicional (en un lugar de memoria)

para llevar el signo. 6.4.2 Resta BCD Hay dos formas posibles para realizar la resta BCD:

a. Realizar un hardware que realice la resta decimal con borrow. b. Hallar el complemento a 10 del sustraendo en BCD y luego sumarlos.

Para hallar el complemento a 10 de un número BCD de dos dígitos se puede hacer lo

siguiente:

a. Obtener el complemento a dos de cada dígito individualmente, sin tener en cuenta el carry.

b. Sumar al dígito menos significativo 1010, y al más significativo, 1001. Ejemplo 0010 0110 (26) 1110 1010 complemento a 2 individual + 1001 1010 0111 1010 7410 10010 - 2610 = 7410

6.5 Representación Punto Flotante (FP) Hasta ahora tratamos con números enteros y/o fraccionarios en notación punto fijo. Es

decir, que los números se representan por una cantidad fija de dígitos y cuyo punto base (decimal, binario, etc.) era fijo. Este tipo de representación limita el rango de números a representar (por ejemplo, en complemento a 2 es: [2m-1- 1] a [-2m-1] ). La representación en punto flotante (FP) básicamente presenta las ventajas de ajustar automáticamente la escala y extender el rango de números que el procesador puede manejar.

Los primeros microprocesadores (4 y 8 bits) no implementaban aritmética en punto flotante (FP) debido al reducido canal de datos y a la baja velocidad de operación. Sólo cuando era necesario, se recurría a implementaciones por software. El advenimiento de los microprocesadores de 16, 32 y 64 bits hicieron posible las implementaciones de aritmética en FP.

La representación de un número en FP se la siguiente: N * rp

donde:

N: es la mantisa r: es la base p: es el exponente

Dado un número fijo de bits para la representación en FP, existe un compromiso entre

rango y precisión: Cuando mayor es el rango, menor es la precisión. Formato

Actualmente la Sociedad del IEEE propuso el estándar P754 para aritmética en FP para números binarios. Este estándar especifica los formatos de números en FP, los resultados de las operaciones en FP, conversión de números, etc. Un número en FP se representa como una cadena de bits compuesta por tres componentes básicos:

Signo de la mantisa (s) Mantisa (l.f) Exponente entero con signo (e)

En algunos casos se considera un cuarto campo que corresponde al signo del exponente.

s Exponente (e) 1 Fracción (f) .

Bit: 0 1 8 9 10 31

Si s = 0 el número es positivo y si s = 1, es negativo. El exponente e es la potencia de 2 que determina el rango del número. Y la mantisa, (l.f), determina la precisión del número. La mayor exactitud se logra cuando l = 1. De esta forma, cualquier número, distinto de cero, se puede expresar como:

± 2e * (1.f) Exponente El exponente de un número binario en FP puede ser:

Exponente con signo en complemento a dos o en magnitud y signo. Exponente polarizado.

En el primer caso, el exponente es un número con expresado en alguna de las formas de

expresión de números con signo. En el segundo caso, correspondiente a la representación estándar del IEEE, al exponente

se le adiciona un número entero constante (polarización) que lo mantiene siempre positivo. Sea N el número de bits del exponente, por lo tanto la polarización será: 2N-1-1 (es decir, la polarización será de la forma 0111....111).

6.6 Multiplicación El producto binario P de 2 números X (multiplicando) e Y (multiplicador) es:

X Y P 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Sea N:

N = dp-1*2p-1 + dp-2*2p-2 + .....+ d0*20

Si multiplicamos por la base (2) será:

2 * N = dp-1*2p + dp-2*2p-1 + .....+ d0*21

Ejemplo:

N = 101 2 * N = 1010

o sea, multiplicar por dos es equivalente a desplazar un bit a la izquierda completando con

ceros en la derecha. Ejemplo 1011 * 1101 1011 0000 1011 1011 10001111 Veamos algunos algoritmos de multiplicación: Algoritmo de multiplicación de números naturales:

Sean X e Y dos números de p y q bits, respectivamente. Para implementar el producto será necesario utilizar dos registros: uno de p+q lugares, para almacenar el producto parcial, y otro, de p+q-1 lugares, a donde se llevará y rotará X. En los microprocesadores, esto se puede realizar por hardware o software. En el primer caso, se consigue mayor velocidad, y en el segundo, mayor flexibilidad.

Algoritmo de Booth:

Este es un algoritmo para multiplicar números con signo expresados en complemento a dos, sin tener necesidad de testear previamente los signos.

Ejemplo:

Se aplicará el algoritmo de Booth para realizar el producto de dos números negativos (-3 * -5).

Iguales

Testear Transiciones en el

Multiplicador

0 1

Restar Sumar

Desplazamiento Aritmético

Último Bit

S

N

S N

S

N

-3 111101 * -5 111011(0) 15 000000 000011 000011 0000011 00000011 111101 11110111 111110111 000011 000001111 0000001111 00000001111 000000001111 15 \/ signo

6.7 División La división de un número M/N es:

M = N*Q + R1 donde:

M: dividendo N: divisor R1: resto Q: cociente

Un algoritmo que pueda realizar la división de números naturales, M/N, consiste en restar

sucesivamente R-N (donde R es inicialmente igual a M, y luego R=R-N) hasta que haya borrow. Entonces en Q nos queda la cantidad de veces que entra el divisor en el dividendo.

77 CCOODDIIGGOOSS Algunos ejemplos de códigos son:

ASCII EBCDIC EXCESO 3 GRAY

7.1 Manejo de Información Empaquetada y Desempaquetada Es muy importante el manejo de información en la memoria del microprocesador. Por

ejemplo, información codificada en ASCII se puede almacenar en la memoria en forma empaquetada o desempaquetada: supongamos que se desea almacenar los caracteres hexadecimales A, B, C y D. Ejemplo: Código ASCII: A (41H), B (42H), C (43H), D (44H)

Empaquetada Desempaquetada 41 42 41 43 44 42 43 44

La ventaja de utilizar la forma empaquetada, es que se emplea mejor la memoria, sin

embargo, en forma desempaquetada, la información se puede manejar más fácil y rápidamente.

7.2 Códigos Detectores y Correctores de Errores La capacidad para detectar posibles errores en la información manipulada por las

computadoras es esencial para poder confiar en los resultados ofrecidos. El error es la alteración del valor correcto en uno o más bits de información producida durante su almacenamiento, transmisión o manipulación.

Cuando se transmite información entre sistemas digitales, se puede producir pérdida de información debido a problemas de ruido, deformación de la señal (desadaptación de impedancias, ancho de banda, "crosstalk", etc.). Los errores en un sistema de comunicaciones digitales se producen fundamentalmente por dos tipos de fallas:

• Eventos estáticos • Eventos dinámicos

Los eventos estáticos (EE) son aquellos de comportamiento y existencia conocidos, como

podría ser: distorsión de señal, pérdida por atenuación, “crosstalk”, etc. Los eventos dinámicos (ED) son aquellos que ocurren en forma aleatoria, como sería los

disturbios eléctricos producido por descargas atmosféricas, transitorios en líneas eléctricas de alimentación, etc, y todo aquello que por su naturales no se pueda prever su ocurrencia.

Para ello, es necesario detectar los errores producidos. Aquellos provenientes de EE son

más fáciles de manejar, ya que sus efectos son predecibles, no sucede lo mismo con los ED, cuya naturaleza aleatoria los hace impredecibles. Hay muchos métodos y códigos sofisticados, siendo posible en algunos casos recuperar la información transmitida.

Para poder detectar o incluso corregir posibles errores en la información, es preciso añadir información redundante de comprobación.

La redundancia (R) es la información agregada a los datos (D) de acuerdo con alguna formulación matemática conocida. El proceso de detección de errores consiste en comprobar si el conjunto datos/redundancia (D,R) cumple o no dicho formulación, entonces:

• Si la formulación se cumple, se asume que la información es correcta. • Si la formulación no se cumple, está claro que la información contiene errores.

Si la información redundante agregada permite conocer cuáles son los bits erróneos, es

posible realizar la corrección de los mismos y reconstruir la información original. Un concepto muy importante relativo a la corrección y detección de código de errores es

el término “distancia”. La distancia entre dos números binarios es igual a la cantidad de bits que difieren entre sí, se decir, es la cantidad de bits diferentes entre un número y otro. Por ejemplo entre 000 y 001, la distancia es 1 y entre 000 y 011, es 2.

S1

S2

ED

EE

Sean X e Y dos palabras de un códigos de n bits, y sea el operador ⏐w⏐ el número de 1's del mensaje w. Luego la distancia entre X e Y se define como:

D(X,Y) = ⏐X ⊕ Y⏐

La distancia mínima se define como el número de bits que deben cambiar para pasar de una palabra de código válida a otra palabra de código válida. Por lo tanto un código que detecte un error simple, tendrá una distancia mínima de 2.

La regla general para la corrección de errores es: sea un código de n bits y sea k la cantidad de errores a corregir. La combinaciones deberían elegirse de tal manera que una de otra difieran de al menos de una distancia 2k + 1. En general si la distancia mínima entre las combinaciones de un código es 2k, luego es posible detectar 2k-1 errores o detectar hasta k errores y simultáneamente corregir k - 1 errores. Si la distancia mínima es 4, puede detectar errores dobles y corregir errores simples. Regla General: Código n bits

Cantidad de Errores a Corregir k bits

Distancia Mínima 2k + 1bits

En general: Los códigos que vamos a estudiar son:

Mayoría Paridad Checksum Códigos de Redundancia Cíclica (CRC) Hamming

Como se dijo anteriormente, si D es el campo de datos y R la redundancia a ser agregada,

entonces el paquete de información I a ser enviado será una función de la forma: I = [D+R]. Por lo tanto, el paquete de información I se formará por los dos campos:

Dígitos de Información (D) Dígitos de Checheo (R)

Dmin = 2 k

Detecta 2k-1

Detecta k Corrige k-1

7.2.1 Función Mayoría

El mecanismo denominado “Función Mayoría”, consiste en repetir la información un determinado número n de veces, normalmente un número impar (n ≥ 3). Por lo tanto, el receptor dispondría de varias copias de la información que deberían ser exactamente iguales.

Si hay errores en la información recibida, normalmente afectarán a una sola copia o a un número pequeño de ellas. En consecuencia, el receptor seleccionará como información correcta a la copia que se repite mayor cantidad de veces. De ahí surge la importancia de elegir un número de copias impar.

Es posible considerar que la función mayoría se comporte como un mecanismo para detectar y/o corregir errores. 7.2.2 Paridad

Consiste en enviar un bit extra a cada caracter enviado, para mantener un número par o impar de unos (paridad par o impar, respectivamente).

Para calcular la redundancia para paridad par, se debe implementar la función or-exclusiva entre los bits:

P=dn−1♁dn−2♁...♁d1♁d0 Para calcular la redundancia para paridad impar, se debe implementar la función or-

exclusiva negado entre los bits: I=dn−1♁dn−2♁...♁d1♁d0

Ejemplo: 0 1010110 Paridad par 1 1010110 Paridad impar

A este método también se lo llama Chequeo de Redundancia Longitudinal ("Longitudinal Redundancy Check" LRC).

Una forma alternativa de chequear paridad, es enviando un carácter adicional, en donde se han calculado las paridades de los bits en columna de cada caracter: Ejemplo: 10110011 Caracter 1 10100011 Caracter 2 10011110 Caracter 3 10001110 Caracter de Chequeo (paridad par)

Ejemplo de un código ASCII correspondiente a la secuencia CINCO:

En este caso se denomina Chequeo de Redundancia Vertical ("Vertical Redundancy Check" VRC). El agregado de un bit de paridad de redundancia, hace que la distancia mínima sea 2. 7.2.3 Checksum

El "Checksum" se calcula como la suma módulo 256 del total de caracteres a enviar (es

decir que no se tiene en cuenta el carry producido). Este método consiste, por lo tanto, en enviar el resultado del cálculo como un carácter adicional. Ejemplo: 11001001 Caracter 1 10000110 Caracter 2 00101101 Caracter 3 01111100 Checksum

Este código puede verse como una variedad de VRL. Los métodos descriptos tienen el inconveniente de detectar únicamente un error simple,

ya que si se genera un error doble éstos no lo detectan. 7.2.4 Chequeo de Redundancia Cíclica (CRC)

Este método es mucho más efectivo que los anteriores en la detección de errores en los sistemas de comunicaciones. No permite la corrección de errores.

En este método, en forma similar a los anteriormente descriptos, se envía uno o más caracteres adicionales de redundancia denominados FCS ("frame check sequence") o BCC ("block check caracter"), que difieren fundamentalmente en la forma de calcularlo.

El CRC consiste en considerar a los bits a ser transmitidos como un polinomio en x (para n bits el orden es n-1) tal que la presencia de un término significa un "1", y la ausencia, un "0"; es decir: sean 1010101 los bits a transmitir, entonces el mensaje podrá ser considerado como un polinomio G(x) tal que:

G(x) = x7 + x5 + x3 + 1

Un mensaje de código cíclico consiste en un número de bits de datos y el BCC. Sea n el

número total de bits y k el número de bits de datos, por lo tanto, el número de bits del BCC es n - k. El código del mensaje (BCC) se obtiene de 2 polinomios:

polinomio generador P(x) mensaje polinomial G(x) (bits de datos).

Dados:

P(x): polinomio generador G(x): polinomio de mensaje de datos

Se desea hallar F(x), código del mensaje polinomial, como sigue:

Multiplicar el mensaje G(x) por x, siendo n - k el número de bits del BCC para dar

lugar al BCC (multiplicar por x, es lo mismo que desplazar el mensaje polinomial de datos n-k lugares completando con ceros a la derecha).

G(x) * xn-k

Dividir el producto resultante G(x) * xn-k por el polinomio generador P(x).

G(x) * xn-k = Q(x) P(x) + C(x)

Despreciar el cociente y sumarle a G(x) * xn-k el resto C(x) de la división para

producir el código de mensaje polinomial F(x).

F(x) = G(x) * xn-k + C(x) ; Mensaje Polinomial a Transmitir

Para entender las operaciones anteriores, es necesario tener en cuenta que estamos utilizando aritmética módulo 2. Es decir que tanto la suma como la resta binaria son la función OR exclusivo bit a bit sin acarreo.

Además es importante notar que la cantidad de bits del resto C(x) (n-k) será de un orden menor que el del polinomio generador P(x) (n-k+1). Por lo tanto, conociendo el número de bits de P(x), se puede determinar la cantidad de ceros que se debe agregar a G(x) para realizar la división polinomial.

Para hallar el polinomio G(x) se considera que la mayor potencia de x corresponde al bit más significativo, es decir: sean 101000111 los bits a transmitir, entonces G(x) será:

Ejemplo de cálculo de la redundancia: Sea la información original G(x) = 11001, patrón P(x)=101 Primero se multiplica G(x) por 22: G(x) · 2k = 1100100 El resultado anterior se divide entre P(x)=101

Entonces la trama enviada será: 1100110

G(x) 0........0

Ejemplo de implementación: Sea el mensaje de datos:

101000111

entonces: G(x) = x8 + x7 + x6 + x2 + 1

El hardware necesario para realizar la división en aritmética módulo 2 será el siguiente: x0 x2 x4 x5 donde el polinomio generador es:

P(x) = x5 + x4 + x2 + 1 Un polinomio generador muy conocido es el CRC-16 cuyo P(x) es:

P(x) = x16 + x15 + x12 + 1

Con respecto al receptor, éste se implementa realizando la división de la información recibida por el mismo polinomio generador que el transmisor. Si el resto de la división es 0, entonces la información se recibió sin error, en caso contrario se asumirá que hubo un error en la transmisión.

El efecto general que se observa en el chequeo por medio del CRC, es que cualquier bit se refleja en varios bits por un tiempo considerable después que éste fue transmitido. Esto es muy importante, ya que se ha comprobado que la mayoría de los problemas de errores en comunicación de datos se producen en pequeños grupos de bits ("burst"). Características más significativas del CRC:

Detecta todos los errores de 1 y 2 bits (errores simples y dobles). Detecta todos los errores de un “Burst” menor que el grado de P(x) Detecta el 99 % de los errores de un “Burst” mayor que el grado de P(x)

7.2.5 Código corrector de errores por paridad vertical y horizontal

Este código corrector de errores, emplea un método combinado de chequeo de errores, paridad horizontal y vertical. Si un error simple ocurre en una palabra de código, luego ambos chequeadores indican, en conjunto, la fila y la columna donde se halla el bit con error. Por lo tanto, este código, es capaz de detectar y corregir un error simple.

LCR 1000 0 1001 1 0110 1 0100 0 0010 0 0111 0 VCR 1001 1

7.2.6 Códigos Hamming

El código Hamming es un código de distancia 3, capaz de detectar errores dobles y

corregir si hay un error simple. El código Hamming se forma por n bits de información (Mn, Mn-1, ... M1) y k bits de chequeo (Ck, Ck-1, ..... C1) de paridad par o impar. El mensaje codificado está formado por n + k bits, siendo k el menor entero que cumple que:

2k ≥ n+k+1 [7]

(por ejemplo, si n = 7, entonces k = 4). Hamming es un código capaz de corregir un error simple por lo tanto debe identificar un

bit erróneo en una cadena de bits. Entonces la ecuación [7] nos dice que el número de combinaciones de los bits de chequeo (2k) debe ser al menos igual al número de bits del mensaje más los bits de redundancia más una combinación extra para identificar que no hubo errores.

Los bits de chequeo ocupan posiciones específicas en el mensaje codificado. Esas posiciones son potencias enteras de 2, es decir 1,2,4,8, .... 2k-1, es decir que los bits de paridad se ubican en los posiciones que tienen un único bit a 1 en su ordinal.

Los valores de cada Ci se calculan chequeando la paridad en lugares específicos del mensaje original M. Por ejemplo para un código de 6 bits de mensaje, el mensaje codificado será:

M6 M5 C4 M4 M3 M2 C3 M1 C2 C1 1010 1001 1000 0111 0110 0101 0100 0011 0010 0001

C1 = M1 ⊕ M3 ⊕ M5 ⊕ M7 ⊕ M9 ....... C2 = M2 ⊕ M3 ⊕ M6 ⊕ M7 ⊕ M10 ....... C3 = M4 ⊕ M5 ⊕ M6 ⊕ M7 ............ C4 = M8 ⊕ M9 ⊕ M10 . .............

Para el cálculo de los coeficientes Ci´s, los valores de Mi´s empleados, se refieren a la posición que ocupan los elementos en el mensaje codificado, tomando a M1 igual a cero (ya que corresponde al valor de Ci del mensaje codificado) para el cálculo inicial. Luego se reemplazan los valores de los Ci calculados en las posiciones del mensaje codificado.

En el receptor: se chequea la misma paridad aplicada al mensaje codificado. Es decir que se vuelven a calcular los coeficientes de la misma manera como fueron generados. Luego se calcula el número posicional P como:

P = pkpk-1....p2p1

Si P = 0, el resultado es correcto. Si P ≠ 0, el número indica la posición (el bit) con error. Ejemplo error simple: Supongamos que se recibe un carácter ASCII “f” (1100110B) con un error simple en la posición M4:

M7 M6 M5 C4 M4 M3 M2 C3 M1 C2 C1 1 1 0 0 “1” 1 1 0 0 1 0

C1 = 0 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ “1” ⊕ 0 ⊕ 1 = 1 C2 = 1 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ “1” ⊕ 1 ⊕ 1 = 1 C3 = 0 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ “1” = 1 C4 = 0 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 0 = 0 Entonces la posición a corregir será: P = p4p3p2p1 = 0111 (o sea la 7). Ejemplo error doble: Supongamos que se recibe un carácter ASCII “f” (1100110B) con un error doble en las posiciones M2 y M4:

M7 M6 M5 C4 M4 M3 M2 C3 M1 C2 C1 1 1 0 0 “1” 1 “0” 0 0 1 0

C1 = 0 ⊕ 0 ⊕ “0” ⊕ “1” ⊕ 0 ⊕ 1 = 0 C2 = 1 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ “1” ⊕ 1 ⊕ 1 = 1 C3 = 0 ⊕ “0” ⊕ 1 ⊕ “1” = 0 C4 = 0 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 0 = 0

Si se asume que hay un único bit erróneo, se trata del que tiene el ordinal 2, es decir, C2 que era un bit correcto. Por lo tanto se realiza una corrección errónea, ya que hay un error doble.

Para distinguir el caso de error simple del de error doble, se puede añadir un bit de paridad transversal T, o LRC, a la cadena de bits enviados (que no se usa para calcular las paridades de Hamming), tal que:

• Si no hay errores, P = 0 y T: correcto. • Si hay un error simple, P ≠ 0 y T: incorrecto. Es posible corregir el bit erróneo. • Si hay un error doble, P ≠ 0 y T: correcto. No es posible corregir el error.