L/O/G/O

Tema: 2.5 Probabilidad Condicional

Ing. en Sistemas

Subtemas

2.5.2 Probabilidad Independiente

2.5.1 Probabilidad Dependiente

Probabilidad Condicional

2.5 Probabilidad Condicional.• Probabilidad condicionada es la probabilidad de que ocurra un evento

A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B.

• No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.

• Esta definida:

Ejemplo :

sería la probabilidad de tener dolor de

cabeza cuando se está

enfermo de gripe.

Si el evento B es, por ejemplo, tener la gripe, y el evento A es tener dolor de cabeza.

se puede interpretar como, tomando los mundos en los que B se cumple, la fracción en los que también se cumple A.

Ejemplo:• --La paradoja del falso positivo---• La magnitud de este problema es la mejor entendida en términos de

probabilidades condicionales.• Supongamos un grupo de personas de las que el 1 % sufre una cierta

enfermedad, y el resto está bien. Escogiendo un individuo al azar:• P(enfermo) = 1% = 0.01 y P(sano) = 99% = 0.99• Supongamos que aplicando una prueba a una persona que no tiene la

enfermedad, hay una posibilidad del 1 % de conseguir un falso positivo, esto es:

• P(positivo | sano) = 1% y P(negativo | sano) = 99%• Finalmente, supongamos que aplicando la prueba a una persona que tiene la

enfermedad, hay una posibilidad del 1 % de un falso negativo, esto es:• P(negativo | enfermo) = 1% y P(positivo | enfermo) = 99%

•

Ahora, uno puede calcular lo siguiente:• La fracción de individuos en el grupo que están sanos y

dan negativo:

La fracción de individuos en el grupo que están enfermos y dan positivo:

La fracción de individuos en el grupo que dan falso negativo:

• Además, la fracción de individuos en el grupo que dan positivo:

• Finalmente, la probabilidad de que un individuo realmente tenga la enfermedad, dado un resultado de la prueba positivo:

• La probabilidad de tener una enfermedad rara es de 0,001: P(enfermo) = 0,001

• La probabilidad de que cuando el paciente está enfermo se acierte en el diagnóstico es de 0,99: P(positivo | enfermo) = 0,99

• La probabilidad de falso positivo es de 0,05: P(positivo | sano) = 0,05

• Pregunta: Me dicen que he dado positivo, ¿Qué probabilidad hay de que tenga la enfermedad?

2.5.1 Probabilidad dependiente• Dos o más eventos serán dependientes cuando la

ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresión P(A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió.

• Se debe tener claro que A|B no es una fracción.• P(A|B) = P(A y B)/P(B) o P(B|A) = P(A y B)/P(A)

• El cálculo de probabilidades en una experiencia compuesta se realiza multiplicando las probabilidades de los sucesos componentes.

• Si las experiencias son independientes (el resultado de una no influye en las siguientes), entonces

• P[S1 y S2 y…y Sn] = P[S1]·P[S2]…P[Sn] • Así, para calcular la probabilidad de que al tirar tres dados

no se obtenga ningún 6 se procederá así: • P[ningún 6] = P[no 6]·P[no 6]·P[no 6] = (5/6)3 = 125/216 • Si las experiencias son dependientes (el resultado de cada

una influye en las probabilidades de las siguientes), entonces

2.5.1 Probabilidad dependiente

• P[S1 y S2 y…y Sn]= P[S1]·P[S2/supuesto que ocurrió S1]…P[Sn/supuesto que ocurrieron S1 y S2 y…]

• Así, para calcular la probabilidad de obtener tres tréboles al extraer tres cartas de una baraja, se procederá así:

• P[TRES TRÉBOLES] = P[1ª tréboles]·P[2ª tréboles/1ª tréboles]·P[3ª tréboles/1ª y 2ª tréboles] = (13/52)·(12/51)·(11/50) = 143/11.050

2.5.1 Probabilidad dependiente

2.5.2 Probabilidad Independiente.• En estadística, se dice que dos sucesos son independientes entre sí

cuando la probabilidad de cada uno de ellos no es influida por que el otro suceso ocurra o no. Esto se expresa en términos matemáticos como: Dos sucesos A y B son independientes si y sólo si la probabilidad de A condicionada por B es igual a la probabilidad de A. Es decir si:

Si el suceso A es independiente del suceso B, automáticamente el suceso B es independiente de A.

• La independencia de sucesos es algo muy importante para la estadística y es condición necesaria en multitud de teoremas. Por ejemplo, una de las primeras propiedades que se deriva de la definición de sucesos independientes es que si dos sucesos son independientes entre sí, la probabilidad de la intersección es igual al producto de las probabilidades.

Ejemplo:Hallar la probabilidad de que al tirar dos

veces una moneda las dos veces salga cara.

Solución :

Son sucesos independientes p( dos caras ) =(1/2).(1/2)=¼

Ejemplo2:

El suceso estatura de los alumnos de una clase y el color del pelo son independientes: el que un alumno sea más o menos alto no va a influir en el color de su cabello, ni viceversa.

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Tema: 2.6 La ley multiplicativa

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2.6.2 Conjuntos.

2.6.3 Problemas de eventosindependientes.

La ley multiplicativa

2.6.1 Cálculo de probabilidad deeventos.

2.6.4 Eventos dependientes.

2.6.5 Diagramas de árbol

2.6 La ley multiplicativa

• La ley multiplicativa de probabilidades indica que la probabilidad de que dos sucesos A y B ocurran simultáneamente.

• La ley multiplicativa se utiliza también con el fin de determinar una probabilidad condicional a partir de los valores .

Supongamos, por ejemplo, que queremos estudiar la incidencia del hecho de ser fumador como factor de riesgo en el desarrollo de una enfermedad en una determinada población. Para ello se diseñó un estudio prospectivo y, tras seleccionar una muestra de 180 sujetos. Considerando toda la muestra, la probabilidad de desarrollar la enfermedad (E) en la población de estudio.

Ley Multiplicativa

• Ejemplo

Se tienen dos urnas con fichas rojas y negras. La urna 1 tiene un 60% de fichas rojas y la urna 2 contiene un 30% de fichas rojas. Se elige una urna al azar lanzando una moneda (cara -> urna 1; sello -> urna 2). Finalmente se extrae una ficha de la urna elegida

Determine la probabilidad de obtener una ficha negra.

Ley Multiplicativa• ¿Qué pasa si repetimos 1 millón de veces el experimento? Se espera cerca de 500 mil caras -> urna 1 es la elegida, en cuyo caso un 40%

de las veces se obtendrá una ficha negra, es decir, cerca de 200 mil veces. De igual forma, se obtendrán cerca de 500 mil sellos -> urna 2, donde se

obtendrá un 70% de las veces fichas negras, por lo tanto, en total 350 mil veces. En forma análoga, se tiene describiendo los resultados:

Ley MultiplicativaP{Urna 1 y ficha negra}=20%P{Urna 1 y ficha roja} =30%P{Urna 2 y ficha negra}=35%P{Urna 2 y ficha roja} =15%

Urna 2

Urna 1Cara

Sello30%

70%

1/2

1/2

20%

30%

35%

15%

40%

60%

$

La suma de los cuatro porcentajes debe ser 100%

Ley Multiplicativa• Tabular:

Color de la Ficha

Negra Roja Suma

Urna 1 20% 30% 50%

Urna 2 35% 15% 50%

Suma 55% 45% 100%

Se puede apreciar que la probabilidad de obtener una ficha negra es 55%.

Las sumas por filas (o columnas) dan las probabilidades marginales

Ley Multiplicativa• Experimento en dos etapas

x el resultado de la primera etapa, ocurre con probabilidad p(x).

Dado x, la probabilidad de obtener el resultado y es p(y/x).La probabilidad de obtener x en la 1era etapa e y en la

2da etapa la denotamos por p(x,y)

Entoncesp(x,y)= p(x)p(y/x), yLey de las Probabilidades Totales

P(y) = suma sobre x de p(x) p(y/x)

2.6.1 CALCULO DE PROBABILIDAD DE EVENTOS Para calcular la probabilidad de eventos es necesario que éstos se

comporten de una manera más o menos estable. Precisamente, se echa mano de la regularidad estadística, que es la propiedad de los fenómenos aleatorios, y que consiste en que al aumentar el número de repeticiones de un experimento en condiciones prácticamente constantes, la frecuencia relativa de ocurrencia para cada evento tiende a un valor fijo.

• 1. La probabilidad subjetiva de un evento se la asigna la persona que hace el estudio, y depende del conocimiento que esta persona tenga sobre el tema.

• 2. La probabilidad frecuencia de un evento es el valor fijo al que tienden las frecuencias relativas de ocurrencia del evento de acuerdo a la regularidad estadística.

• 3. La probabilidad clásica de un evento E, que denotaremos por P(E), se define como el número de eventos elementales que componen al evento E, entre el número de eventos elementales que componen el espacio maestral.

Ejemplo: • ¿Cuál es la probabilidad de obtener un total de siete

u once cuando se• lanza un par de dados?• Si A es el evento de que ocurra 7 y B es el evento de

que ocurra 11. se tiene que• de los 36 lanzamientos se obtiene un total de siete solo

para 6 y se obtiene un• total de 11 solo para 2 lanzamientos. Como los dos

eventos son mutuamente• excluyente se tiene que:

• Probabilidades Como Conjuntos • 1) Ej.: espacio maestral o conjunto de todos los resultados posibles. • 2) A B : al menos uno de los eventos A ó B ocurre. • 3) A B : ambos eventos ocurren • 4) Ac : el evento A no ocurre. • Ejemplo: en el experimento "lanzar un dado de seis caras" sean los eventos: A =

sale par, B = sale primo. El evento "A ó B" = A B : "sale par o primo" se describe:

Si E es un conjunto de n elementos y A un subconjunto de k elementos, entonces P(A) = k/n, concordando con la definición de las probabilidades.

• Propiedades Además de P(E) = 1, P() = 0, 0 P(A) 1, tenemos: • 1) Si A B = (A y B se excluyen mutuamente) entonces: P(A B) = P(A) + P(B) • 2) P(A) + P(Ac) = 1 • 3) Si AB entonces

2.6.2 Conjuntos.

2.6.2 Conjuntos.• P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)• 4) Si A y B son eventos independientes (la ocurrencia de

A no influye en la ocurrencia de B), entonces • P(A B) = P(A) • P(B)• 5) Si A y B son eventos dependientes (la ocurrencia de

A influye en la ocurrencia de B), entonces • P(A B) = P(A) • P(B/A) • P(B/A) es la probabilidad del evento B, sabiendo que ha

ocurrido A.

2.6.3 Problemas de eventosindependientes.

• Cuando A y B son dos eventos con probabilidades positivas, hemos visto que en general la probabilidad condicional del evento B dado el evento A es diferente de la probabilidad del evento B. Sin embargo, cuando se tiene la igualdad: P(B/A) = P(B) es de especial importancia porque esto quiere decir que el evento B no depende o es independiente del evento A. Es decir, no importa si ocurrió o no el evento A puesto que la ocurrencia o no de A no afecta al evento B.

• Si B es independiente de A, entonces A es independiente de B. De la definición de probabilidad condicional se tiene:

y

Ejemplo

• Una persona lanza tres veces una moneda. Calcular la probabilidad de obtener una cara (A).

Solución:

• C: Evento que indica el resultado es cara

• S: Evento que indica el resultado es sello

2.6.3 Problemas de eventosindependientes.

2.6.4 Eventos dependientes.

• Un evento o más eventos dependen de otro evento previo, es decir, un evento A ocurre dado que ocurrió un evento B. Si existe este tipo de relación entre eventos se dice que son eventos dependientes o condicionados (el evento A depende del evento B, o el resultado del evento A está condicionado al resultado del evento B)

p(A)*p(B) ≠ p(A ∩ B)

La probabilidad de la intersección entre dos eventos A y B no nulos, no coincide con el producto de las probabilidades de cada uno.Si A y B son disjuntos, o sea, no tienen elementos en común, también son dependientes.

2.6.4 Eventos dependientes

Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresión P(AB) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió.Se debe tener claro que AB no es una fracción.P(AB) = P(A y B)/P(B) o P(BA) = P(A y B)/P(A)

2.6.4 Eventos dependientes

Ejemplo: • lanzar al aire dos veces una moneda son

eventos independientes por que el resultado del primer evento no afecta sobre las probabilidades efectivas de que ocurra cara o sello, en el segundo lanzamiento.

2.6.5 DIAGRAMA DE ARBOL.

• Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.

Ejemplo:• 1.Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su

sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas clasificaciones pueden estar los pacientes de este médico?

• Si contamos todas las ramas terminales, nos damos cuenta que el número de clasificaciones son 2 x 4 x 3 = 24 mismas que podemos enumerar;

• MAN, MAA, MAB, MBN, MBA, MBB, etc, etc.

2.6.5 DIAGRAMA DE ARBOL.

Datos Operaciones ResultadosTamaño: grande o chicoSabor: horchata o aguacateColor: rosa, amarillo o blanco

R

A

B

H R

G A

A B

R

H A

CH B

A R

A

B

18 posibilidades

• Ximena y sus amigas fueron a comprar aguas, al pedir el agua les dieron las siguientes posibilidades: tamaño del vaso: grande y pequeño, sabor de agua: horchata y aguacate, color del vaso: rosita, amarillo o blanco. ¿Cuántas posibilidades le ofrecen en la venta?

• Gallo lanza al aire dos monedas una de peso y otra de 25 centavos. ¿Cuántos resultados diferentes podría tener si ninguna cae de canto?

Datos Operaciones Resultados1. monedas, una de

peso y otra de 25 centavos.

2. Resultados diferentes

3. Ninguna cae de canto.

águila peso sol 25c águila sol

4 posibilidades

• Fernando desea un helado y le dan escoger las siguientes posibilidades. Tamaño grande o chico. sabor: nopal, aguacate, queso. Mermelada : Fresa, naranja, durazno, zapote, tamarindo, piña, ninguna. ¿Cuántas posibilidades le ofrecen en la venta?

• Datos: tamaño grande y chico. Sabor: nopal, aguacate, queso. Mermelada: fresa, naranja, durazno, zapote, tamarindo, piña y ninguna.

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Gracias!Nombre: Erick Viveros Mariño.