unidad 2 mec.fluidos, fluidos en reposo.pdf
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UNIVERSIDAD NACIONAL
SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Mecánica de Fluidos
Marco A. Silva Lindo
MECÁNICA DE FLUIDOS
UNIDAD DIDÁCTICA II:
FLUIDOS EN REPOSO
2.1 GRADIENTE DE PRESIONES
La presión se define como la cantidad de fuerza ejercida sobre una área unitaria de una
sustancia.
Presión en un punto: p = lim ∆A->0 (Fn/∆A)
SI: Pascal (Pa) o N/m2
lbf/pie2 o lbf/pulg
2
La unidad de presión pascal es demasiado pequeña para las presiones que se encuentran
en la práctica; por lo tanto, son de uso común sus múltiplos kPa= 103 Pa y MPa= 10
6 Pa
La presión que ejerce un fluido en reposo sobre un punto es de la misma magnitud (en
todas las direcciones) cambiando solamente en dirección y sentido.
Dos principios importantes sobre la presión:
a) La presión actúa uniformemente en todas las direcciones sobre un pequeño
volumen de fluido.
b) En un fluido confinado entre fronteras sólidas, la presión actúa perpendicularmente
a la frontera.
Se habla de presión solo cuando se trata de un gas o un líquido. La contraparte de la
presión en los sólidos es el esfuerzo normal.
El gradiente de presiones es una relación matemática que nos indica la variación de la
presión con respecto a las coordenadas de un determinado sistema.
Denotando p = p(x,y,z) y diferenciando parcialmente:
dp = ∂p dx + ∂p dy + ∂p dz
∂x ∂y ∂z
px py pz
Si tomamos un diferencial de volumen, entonces el diferencial de presión que actúa
sobre este elemento es la suma escalar del diferencial de presión en x, y y z, pero como
F = p. A => el diferencial de fuerza resultante en cada una de las direcciones será:
(
) ( )
(
) ( )
(
) ( )
x
z
y
dy dx
dz
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Entonces, la fuerza total sobre el diferencial de volumen será:
( ) (
)
Siendo d∀ = dx dy dz
La fuerza por unidad de volumen en un punto (en un d∀) será:
(
)
Si denotamos de acuerdo al operador matemático:
(
)
Entonces:
Debe notarse, que esta es la fuerza que se produce sobre el flujo debido a la presión.
Pero de acuerdo con el principio de acción y reacción, la fuerza que produce el flujo
sobre dicho punto es:
ECUACIÓN GENERAL DE LA HIDROSTÁTICA:
Para la deducción se asume un elemento diferencial de fluido, sobre el cual actúan las
fuerzas másicas y las fuerzas superficiales.
Fuerzas másicas o de cuerpo:
donde:
Diferencial de fuerzas másicas
Aceleración de la gravedad efectiva = Aceleración de la gravedad
Aceleración cualquiera del elemento
dm = ρ d∀ = Diferencial de masa
( )
Fuerzas superficiales: ∀
∀
Por equilibrio estático, se debe cumplir:
( ) ∀ ( ) ∀ ∀
x
z
y
dy dx
dz
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Ecuación General de la Estática de Fluidos (Ecuación
General del movimiento para un fluido que actúa como un
cuerpo rígido)
Caso particular:
Ecuación General de la Estática de Fluidos para un campo
gravitacional
Condiciones: 1. Fluido en reposo
2. Única fuerza volumétrica es la debida a la gravedad.
3. El eje z es vertical hacia arriba.
2.2 VARIACIÓN DE LA PRESIÓN EN UN FLUIDO ESTÁTICO
a). Fluido incompresible
Para un fluido incompresible ρ = ρ0 = cte g = cte.
∫
∫
Es decir: p – po = –ρo g(z–zo) = ρo g(zo–z)
h = zo – z h es positivo
p = po + ρogh
Nota:
1. La presión es la misma en cualquiera de dos puntos que se encuentren en el
mismo nivel y que formen parte del mismo tramo continuo de líquido.
2. La presión aumenta si uno baja a lo largo de una columna de líquidos.
b). Fluido compresible
Para cualquier fluido estático
Antes de poder integrar se necesita expresar ρ como función de cualquiera de las
otras variables de la ecuación.
Se puede considerar
∀ ∀⁄
⁄ pues ∀ = m/ρ
Suponiendo E = cte ρ = f (p) Fluido Barotrópico.
Con esto se puede integrar la ecuación general de estática de fluidos.
Para gases ideales p= ρRT
x
y
z
zo
g
h
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2.3 PRESIONES ABSOLUTA Y MANOMÉTRICA
Los valores de la presión se deben establecer respecto a un nivel de referencia.
La presión real que se encuentra en una posición dada se llama presión absoluta y
se mide en relación al vacío absoluto (presión cero absoluta). Por lo tanto, la
presión absoluta siempre es positiva.
Los niveles de presión que se miden respecto a la presión atmosférica se denominan
presiones manométricas, es decir indican la diferencia entre la presión absoluta y
la presión atmosférica local.
Una presión manométrica por encima de la presión atmosférica local siempre
es positiva.
Una presión manométrica por debajo de la presión atmosférica local es
negativa y se le conoce como presión de vacío.
La magnitud de la presión atmosférica varía con la ubicación y condiciones
climáticas. La presión atmosférica se puede obtener mediante un barómetro, en el
cual se mide la altura de una columna de mercurio.
La mayor parte de los manómetros miden en realidad una diferencia de presión entre la
presión real y la presión del ambiente (generalmente la presión atmosférica).
Se cumple: pabs = pman + patm
Unidades:
patm = 1.033 kg/cm2 = 101.3 kPa (a nivel del mar)
1 Pa = 1 N/m2 10.33 m de H2O = 760 mm Hg = 14.7 psi
1 lbf.pulg-2
=6895 Pa = 6895 N.m-2
= 6895 kg.m-1
.s-2
1 bar = 105 Pa = 0.1 MPa = 100 kPa
1 atm =101,325 Pa =101.325 kPa =1.013 bars =1.033 kgf/cm2 =10.33 m de H2O =14.7 lbf/pulg
2
1 kgf/cm2 = 9.807 N/cm
2 = 9.807 x 10
4 N/m
2 = 9.807 x 10
4 Pa = 0.9807 bar = 0.9679 atm
2.4 FUERZAS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS
1) FUERZAS SOBRE SUPERFICIES PLANAS
Una superficie plana inclinada expuesta a un líquido, queda sometida a la presión del
fluido distribuida sobre su superficie.
pabsoluta pmanométrica
patmosférica
Nivel de presión
Vacío absoluto
pabsoluta
pmanométrica patmosférica
Nivel de presión
Vacío absoluto
pbarométrica
pbarométrica
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La figura muestra la distribución de la presión sobre la
superficie de un plano inclinado totalmente sumergido
en un líquido.
La presión absoluta arriba del líquido es po, la cual es
la presión atmosférica local patm si ese líquido está
abierto a la atmosfera. Pero po puede ser diferente de
patm si se crea un vacío en el espacio que está arriba
del líquido o se presuriza.
Entonces, la presión absoluta en cualquier punto de la placa es
p = po + ρgh = po + ρgy senθ
En un diferencial de área:
dF = p dA=( po + ρgh) dA =( po + ρgy senθ) dA = po dA + ρgy senθ dA
La fuerza hidrostática resultante FR que actúa sobre la superficie se determina cuando
se integra dF sobre toda el área superficial.
FR = ∫ = ∫( ) = po A+ ρg senθ ʃ y dA
FR = = ( ) = ( )
FR = donde Presión en el centro de gravedad o
centroide, equivale a la presión promedio sobre la superficie.
La fuerza hidrostática resultante FR actúa en el centro de presión CP.
La presión po suele ser la atmosférica, la cual, en la mayoría de los casos, se puede
ignorar, ya que actúa sobre los dos lados de la placa. Cuando este no es el caso, una
po
O
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manera práctica de tomar en cuenta la contribución de po a la fuerza resultante es
sencillamente sumar a , una profundidad equivalente .
Cuando se analizan las fuerzas hidrostáticas sobre superficies sumergidas,
sencillamente se puede restar la presión atmosférica cuando actúa sobre ambos lados
de la estructura.
CENTRO DE PRESIONES
La ubicación vertical del punto de aplicación de la fuerza resultante se determina
cuando se iguala el momento de la fuerza resultante al momento de la fuerza de
presión distribuida, respecto al eje x. Esto da
∫ = ∫ ( ) = ∫ ∫
o
Donde y’ es la distancia del centro de presión al eje x e ∫ es el segundo
momento de área (llamado también momento de inercia del área) respecto al eje x que
pasa por O.
Los momentos de inercia respecto a dos ejes paralelos están interrelacionados por el
teorema de los ejes paralelos.
Donde es el segundo momento de área respecto al eje x que pasa por el centroide
del área e (la coordenada y del centroide o centro de gravedad) es la distancia entre
los dos ejes paralelos.
Reemplazando, obtenemos:
[ ( )⁄ ]
Para p0 = 0
De manera similar se obtiene:
[ ( )⁄ ]
h ≡
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Para p0 = 0
Donde es el producto de inercia respecto a los ejes x e y que pasan por el centroide
del área.
Parábola
La presión actúa normal a la superficie y las fuerzas hidrostáticas que intervienen
sobre una placa plana de cualquier configuración forman un volumen cuya base es el
área de la placa y altura es la presión de variación lineal. Este prisma virtual de
presiones tiene una interpretación física interesante: su volumen es igual a la magnitud
de la fuerza hidrostática resultante que actúa sobre la placa, y la línea de acción de esta
b
a
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fuerza pasa por el centroide del prisma homogéneo. La proyección del centroide sobre
la placa es el centro de presión.
2) FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS
En una superficie curva sumergida la determinación de la fuerza hidrostática resultante
es más complicada, pues se necesita la integración de las fuerzas de presión que
cambian de dirección a lo largo de la superficie curva.
La manera más sencilla de calcular la resultante de las fuerzas debidas a las presiones
sobre una superficie curva es determinar las dos componentes horizontales en ángulo
recto y la componente vertical por separado.
La fuerza de presión en este caso está dada por: dF = pdA
La fuerza resultante se determina sumando las contribuciones de cada elemento
diferencial: ∫
Esta fuerza resultante se puede descomponer en componentes:
Donde i, j, k son los vectores unitarios de las direcciones x, y, z respectivamente.
Cada una de estas componentes de fuerza se puede expresar como:
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
Donde θx, θy y θz son los ángulos entre dA y los vectores unitarios i, j y k
respectivamente.
Por lo tanto dAx, dAy y dAz son las proyecciones del elemento dA sobre los planos
perpendiculares a los ejes x, y y z respectivamente.
Área proyectada
en el plano xy
Área proyectada
en el plano yz
Área proyectada
en el plano xz
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Así tenemos:
La fuerza que actúa sobre la superficie
solida es igual y opuesta a la que actúa
sobre la superficie líquida (tercera ley
de Newton).
Componentes Horizontales
Una componente horizontal es igual a la fuerza debida a las presiones que se ejercerían
sobre la proyección vertical de la superficie curva. El plano vertical de proyección es
normal a la dirección de la componente.
( )
( )
Su centro de presión se calcula usando el área proyectada del mismo modo que en una
superficie plana.
Componente vertical
La componente vertical es igual al peso del líquido situado verticalmente por encima
de la superficie curva y extendido hasta la superficie libre.
y
z
x
profundidad al centro de
gravedad del área proyectada
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Superficie libre imaginaria: es la superficie que se forma suponiendo que el fluido
ocupa una posición tal, que iguala la presión en ambas caras de la superficie.
∀
Su centro de presión coincide con el centro de gravedad del volumen del fluido real o
imaginario, que se encuentra sobre la superficie curva.
Fuerza Resultante:
La magnitud de la fuerza hidrostática resultante que actúa sobre la superficie curva es:
√
Se puede determinar la localización exacta de la línea de acción de la fuerza resultante
tomando un momento respecto a un punto apropiado
2.5 EMPUJE Y FLOTACIÓN DE CUERPOS SUMERGIDOS
Si un objeto se sumerge en un líquido o flota sobre una superficie, la fuerza que
experimenta debido a la presión del líquido de densidad ρ se denomina fuerza de
empuje o flotación.
con ρ constante e integrando: p = p0 + ρgh
La fuerza neta vertical neta sobre el elemento resulta:
Superficie libre Superficie libre imaginaria
Cuerpo flotante
Cuerpo sumergido
dA
∀
h
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dF =(p0 + ρgh2) dA - (p0 + ρgh1) dA = ρg(h2- h1) dA = ρg ∀
Entonces F = ρg ∀ = γ ∀= E ∀ : volumen del cuerpo sumergido o volumen
desalojado por el cuerpo
La fuerza vertical neta debida a la presión, o fuerza de empuje sobre el objeto, es igual
a la fuerza de gravedad del líquido desplazado por el objeto (peso del volumen del
líquido desplazado) y actúa hacia arriba pasando por el centroide del volumen
desplazado (Ley de Arquímedes).
Ahora tenemos que hablar de la densidad del material que estamos sumergiendo en el
agua u otro líquido. Todos sabemos que los cuerpos que son más pesados (tienen
mayor densidad) se van a hundir en el agua o en cualquier otro líquido, contrario a lo
que sucede con los cuerpos que son livianos (tienen menor densidad), esto es
básicamente porque la densidad en ambos casos es diferente. Se infiere que un cuerpo
sumergido en un fluido
1) Permanece en reposo en cualquier punto en el fluido, cuando ;
2) Se hunde hasta el fondo, cuando ; y
3) Asciende hasta la superficie del fluido y flota cuando .
Punto de aplicación
∫ ⟹
∀ ∫ ∀ es el centroide del Volumen.
Caso particular: Cuerpos flotantes o sumergidos en dos líquidos.
∀ ∀
∀ ∀
∀ ∀
2.6 FLUIDOS CON MOVIMIENTO DE CUERPO RÍGIDO
Un fluido incompresible (ρ = constante) con movimiento de cuerpo rígido se mueve
sin deformarse como si efectivamente consistiera en un cuerpo sólido. Como no
1
∀
h
∀
2
Cuerpo flotante
Densidad del cuerpo = c
Densidad del fluido =
Cuerpo suspendido (neutralmente flotante)
Cuerpo hundido
c ˃
c = c <
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existen deformaciones, tampoco puede haber esfuerzos cortantes; en consecuencia, el
único esfuerzo que actúa sobre cada elemento de fluido es la presión. Entonces no hay
movimiento de una capa con respecto a las adyacentes.
a) FLUIDO CON ACELERACIÓN LINEAL UNIFORME
En la sección 2.1 se dedujo una expresión para la
fuerza total debida a la presión y a la gravedad que
actúan sobre una partícula de fluido de volumen d∀:
( ) ∀
Igual a ∀
y ∀ ∀
( ) ∀ entonces
∀
Nótese que o “nabla” (del en inglés) es un operador vectorial que se usa para
expresar los gradientes de una función escalar de manera compacta en forma
vectorial. Asimismo, el gradiente de una función escalar se expresa en una
dirección determinada y, por consiguiente, es una cantidad vectorial.
Por otro lado ∀ y
∀
Reemplazando:
o ( )
Cuando se resuelven los vectores en sus componentes, esta relación se puede
expresar de manera más explícita como:
(
) ( ) ( )
También se pueden expresar en forma escalar en las tres direcciones ortogonales
como:
En el eje x:
( )
En el eje y:
( )
x
z
y
d∀
FUERZA DE PRESIÓN POR UNIDAD DE VOLUMEN EN
UN PUNTO
FUERZA VOLUMÉTRICA O DE CUERPO POR UNIDAD DE
VOLUMEN EN UN PUNTO
ACELERACIÓN DE LA PARTÍCULA DE
FLUIDO
MASA POR UNIDAD DE
VOLUMEN + = x
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En el eje z:
( )
CASO PARTICULAR:
es decir y ρ =γ/g con
La dirección de la gravedad coincide con el eje negativo z:
Fluidos en aceleración:
,
y
( )
Fluidos en reposo:
,
y
Caída libre de un cuerpo de fluido:
,
y
→ p = constante
Aceleración hacia arriba de un cuerpo de fluido:
,
y
La diferencia de presión se duplica.
Aceleración en trayectoria recta
Considerando un recipiente parcialmente lleno con un líquido que se mueve sobre
una trayectoria recta con una aceleración constante. Tomando la proyección de la
trayectoria de movimiento sobre el plano horizontal como el eje x y la proyección
sobre el plano vertical como el eje z, como se muestra. No existiendo movimiento
en la dirección y, es decir .
En este caso las ecuaciones del movimiento para fluidos se reducen a:
,
y
( )
x
z
Superficie libre
θ
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Entonces la diferencial total de p = p (x,y,z)
Queda de la siguiente manera:
( )
Con ρ = constante, integrando entre dos puntos 1 y 2 en el fluido, se obtiene:
( )
( )( )
Tomando el punto 1 como el origen ( x = 0, z = 0) y p1 = p0 = patm y el punto 2
como cualquier punto en el fluido, la distribución de presión queda:
Variación de la presión:
( )
Ascenso vertical de la superficie
El ascenso o descenso vertical de la superficie libre se determina considerando dos
puntos sobre dicha superficie, es decir p1 = p2, entonces:
( )
( )( )
Despejando ( ) ⟹
( )
Ecuación para las Isobaras
Se obtiene haciendo dp = 0 (p1 = p2)
x
z
Superficie libre θ
Isobaras: superficies de presión constante (son paralelas a la superficie libre real o imaginaria)
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Las isobaras son superficies paralelas cuya pendiente en el plano xz es:
Para un recipiente lleno y tapado
debe considerarse como si no
estuviera tapado. Se trabaja con
una superficie libre imaginaria.
b) FLUIDO CON ROTACIÓN UNIFORME ALREDEDOR DE UN EJE
VERTICAL
Consideraciones:
Todas las partículas de un fluido que gira alrededor de un eje vertical
tienen la misma velocidad angular, pues al no haber deformación no
pueden desarrollarse esfuerzos cortantes.
La aceleración actuante es consecuencia de la velocidad angular y está
dirigida radialmente hacia el eje de rotación.
En el sentido vertical prevalecen las condiciones hidrostáticas.
Se analiza en coordenadas cilíndricas (r, θ, z). Se tiene simetría en el eje z tomado
como eje de rotación, y no hay dependencia respecto de θ, . También
puesto que no hay movimiento en la dirección z. La aceleración centrípeta
dirigida en forma radial hacia el eje de rotación es .
En el eje r: (
)
(
)
∀
( )
Las ecuaciones del movimiento para fluidos en rotación se reducen a:
,
y
Entonces la diferencial total de p = p (r, θ, z) queda de la siguiente manera:
z
ω
r r
p
dr
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Con ρ = constante, integrando entre dos puntos 1 y 2 en el fluido, se obtiene:
(
) ( )
Debe observarse que en un radio fijo, la presión varia en forma hidrostática en la
dirección vertical, como en un fluido en reposo.
Tomando el punto 1 como el origen (r = 0, z = 0) y p1 = p0 = patm y el punto 2
como cualquier punto en el fluido, la distribución de presión se puede expresar
como:
Variación de la presión:
Ecuación para las Isobaras
La ecuación para las superficies de presión constante o isobaras, se obtiene
haciendo dp = 0 (p1 = p2)
Integrando:
Superficies de presión constante:
Resulta la ecuación de una parábola, por lo tanto las superficies de presión
constante, inclusive la superficie libre, son paraboloides de revolución, paralelos a
la superficie libre real o imaginaria.
La constante C1 es diferente para distintas isobaras.
Tomando como origen la base del cilindro, para la superficie libre con r = 0 y z = 0
se obtiene C1 = hc
ω
Superficie libre
Isobaras: superficies de presión constante
z
r
R
: Altura original del fluido en el recipiente sin rotación.
: Altura mínima, distancia de la superficie libre al fondo del recipiente a lo largo del eje de rotación.
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Como el volumen se conserva, entonces:
Volumen original = Volumen del paraboloide
∀ (
)
Se tiene:
Diferencia máxima en las alturas
Se determina cuando se evalúa z, en r = R
De la formula se obtiene:
Comparándola con la obtenida del gráfico:
Se obtiene:
Referencias bibliográficas:
1. Chereque, Wendor. Mecánica de Fluidos I. Pontificia Universidad Católica del Perú.
Lima, 1987.
2. Cengel Y. A.; Cimbala J.M. Mecánica de Fluidos Fundamentos y Aplicaciones.
Primera Edición. Editorial Mc. Graw Hill. México 2006.
3. Rocha, Arturo. Diseño de Tuberías y Canales.
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CENTROIDES
Arco circular Arco cuarto de circular
X
R
Y
XC
0
2
y
Rsenx
RL
R
Y
X
Y
X
C
Ry
Rx
RL
2
2
2
Semicircunferencia Sector circular
X
YR
X
Y
C
Ry
Rx
RL
2
X
R
Y
XC
0
3
2
2
y
Rsenx
RA
Superficie rectangular Cuadrante
X
Y
X
Y
h
b
C
2
2
hy
bx
bhA
R
Y
X
Y
X
C
3
4
3
4
4
2
Ry
Rx
RL
Semicírculo Cuadrante de elipse
X
YR
X
Y
C
3
4
2
2
Ry
Rx
RA
x
y
Y
X
b
a
C
3
4
3
4
4
by
ax
abA
Superficie triangular Superficie triangular
x
y
h
b
Y
X
C
3
3
2
2
hy
bx
bhA
x
y
a
X
Y
b
h
C
3
3
2
hy
bax
bhA
Cuadrante de parábola Enjuta parabólica
x
y
b
h
X
Y
C
5
2
8
5
3
2
hy
bx
bhA
x
y
X
Y
b
h
C
10
3
4
3
3
hy
bx
bhA
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CENTROIDES
Paralelepípedo rectangular Tetraedro rectangular
y
z
x
b
ca
2
2
2
cz
by
ax
abcV
a
c
b
x
z
y
4
4
4
6
cz
by
ax
abcV
Cilindro de revolución Semicilindro
x
z
y
R
L
0
0
2
2
z
y
Lx
LRV
L
R
y
z
x
3
4
0
2
2
2
Rz
y
Lx
LRV
Semiesfera paraboloide
R
x
z
y
8
3
0
0
3
2 3
Rz
y
x
RV
h Ry
z
x
0
3
2
0
2
2
z
hy
x
hRV
Cono de revolución Semicono
x
y
z
R
h
0
0
4
3
3
2
z
y
hx
hRV
x
h
R
z
y
Rz
y
hx
hRV
0
4
3
6
2
Pirámide irregular Cáscara semicilíndrica
x
y
z
a
h
b
bz
hy
ax
abhV
8
3
4
8
3
3
G
y
Rz
x
L/2
L/2
0
0
2
z
y
Rx
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MOMENTOS DE INERCIA
Sector circular Cuadrante circular
X
R
Y
XC
4
4
4
2
1
22
1
4
22
1
4
RI
senR
I
senR
I
Z
Y
X
R
Y
X
Y
X
C
4
4
4
4
8
9
4
16
9
4
16
16
RI
RI
RI
RII
Z
Y
X
YX
Semicírculo Circulo
YR
X
Y
C
4
4
4
8
9
8
8
8
RI
RI
RII
Z
X
YX
C
R
Y
X
4
4
4
4
4
4
RI
RI
RI
Z
Y
X
Superficie rectangular Superficie triangular
X
Y
X
Y
h
b
C
12
12
3
3
3
3
3
3
hbI
bhI
hbI
bhI
Y
X
Y
X
x
y
a
Y
b
h
C
X
4
36
12
3
3
3
hbI
bhI
bhI
Z
X
X
Superficie subparabólica Superficie de cuadrante de elipse
2y=h(x/b)
h
b
X'
Y'Y
X
80
2100
37
5
21
3
3
3
3
hbI
bhI
hbI
bhI
Y
X
Y
X
x
y
X
b
a
C
Y
9
4
16
9
4
16
16
16
3
3
3
3
baI
abI
baI
abI
Y
X
Y
X
Cuadrante de parábola Tímpano de grado n
2
X
X'
Y'Y
h
b
y=h(x/b)
480
19
175
8
15
2
7
2
3
3
3
3
hbI
bhI
hbI
bhI
Y
X
Y
X
x
y
Y
b
h
C
y=f(x)=hx / b n>0n n
X
3
133
3
3
n
hbI
n
bhI
Y
X
UNIVERSIDAD NACIONAL
SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Mecánica de Fluidos
Marco A. Silva Lindo