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Prof. Gil Sandro Gómez 1
Unidad 3. Ecuaciones Lineales de Orden Superior y Sus Aplicaciones
3.1 Ecuaciones Diferenciales Homogéneas
Una ecuación diferencial lineal de orden superior de la forma
11 1 0( ) ( )( ) ( ) ... ( ) '( ) ( ) ( ) 0 ~ (1)n n
n nx xa x y a x y a x y x a x y x
es homogénea, mientras que la ecuación 1
1 1 0( ) ( )( ) ( ) ... ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ~ (2),n nn nx xa x y a x y a x y x a x y x g x
con ( )g x no igual a cero, es no homogénea. El concepto homogénea
en este contexto no se refiere con en la ocasión anterior a los
coeficientes que son funciones homogéneas.
Más adelante veremos que para resolver una ecuación lineal no
homogénea (2), primero se debe resolver la ecuación homogénea
asociada (1).
3.2 Los Operadores Diferenciales Lineales
En el cálculo, la diferenciación se denota por la letra D , es decir
.Dydy
dx El símbolo se llama operador diferencial, porque transforma
una función diferenciable en otra función.
Un ejemplo clásico es:
2 2) sec 2(tan x xD x x . Las derivadas de orden superior se expresan
en términos de D de forma normal:
2
2
2 y, en general, ,
nn
n
dyD Dy D y D y
dx
d d y d y
dx dx dx
donde y representa una función diferenciable. En general, se define
como operador diferenciable de n-ésimo orden u operador polinomial
como
11 1 0( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ~ (3).n n
n nL y a x D y a x D y a x Dy a x y 1
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Teorema 1. Principio de superposición, ecuaciones homogéneas
Sean 1,..., ny y solución de la ecuación diferencial homogénea de
orden n , la ecuación (1), donde x está en el intervalo I . La
combinación lineal
1 1 2 2( ) ( ) ... ( ),n ny x y x y xy c c c
en donde 1 2, ,..., nc c c son constantes arbitrarias, también es una
solución cuando x está en el intervalo.
Dependencia e Independencia Lineal
Definición 3.1. Un conjunto de funciones 1 2 3( ), ( ),..., ( ), ( )nx x x xf f f f es
linealmente dependiente en un intervalo I si existen constantes
1 2 3( ), c ( ),..., c ( ), c ( )nc x x x x no todas cero, tales que
1 1 2 2( ) ( ) ... ( ) 0n nc f x c f x c f x
Para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es
linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente
independiente.
En otras palabras, un conjunto de funciones es linealmente
independiente en un intervalo I si las únicas constantes para las que
1 1 2 2( ) ( ) ... ( ) 0n nc f x c f x c f x
para toda x en el intervalo son 1 2 ... 0nc c c .
Para entender de una forma más sencilla estas definiciones escogemos
un conjunto que consiste en dos funciones 1 1 2 2( ) ( ) 0c f x c f x . Por
consiguiente, si se asume que 1 0c , se deduce que
2 11 2( ) ( )c cf x f x ; es decir, si un conjunto de dos funciones es
linealmente dependiente, entonces una función es simplemente un
múltiplo constante del otro. Un conjunto de dos funciones 1 2( ) ( )f x y f x
es linealmente independiente cuando ninguna función es múltiplo
constante de la otra en el intervalo.2
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Soluciones de ecuaciones diferenciales
Se tiene un gran interés sobre soluciones linealmente independientes de
una ecuación diferencial lineal. Aunque se podría apelar de forma
directa a la definición 3.1, resulta que la cuestión de si el conjunto de n
soluciones 1, 2, ..., ny y y de una ecuación diferencial lineal homogénea
de n-ésimo orden (1) es linealmente independiente se puede establecer
de forma práctica mediante un determinante, el cual definiremos más
adelante.
Wronskiano
Definición 3.2. Sean 1 2, ,.., nf f f n funciones diferenciables ( 1)n veces.
La función
1 2
1 2
1 2
1 1 1
1 2
( ) ( ) ... ( )
' ( ) ' ( ) ... ' ( )
, ,.., ~ (4)
( ) ( ) ... ( )
n
n
n
n n n
n
f x f x f x
f x f x f x
W f f f
f x f x f x
es el Wronskiano de 1 2, ,.., .nf f f
Teorema 2. Criterio para soluciones linealmente independientes
Sean 1, 2, ..., n ny y y soluciones de la ecuación diferencial lineal
homogénea de n-ésimo orden (1) en el intervalo I . El conjunto de
soluciones es linealmente independiente en I sí y sólo si
1 2, ,.., 0nW f f f para toda x en el intervalo.
Conjunto fundamental de soluciones
Definición 3.3. Cualquier conjunto de soluciones linealmente
independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea de
n-ésimo orden (1) en un intervalo I es un conjunto fundamental de
soluciones en el intervalo.3
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Teorema 3. Solución general de una ecuación homogénea
Sean 1, 2, ..., n ny y y soluciones en ( , )a b de
( 1)
1( ) ( )( ) ( ) ... ( ) 0 ~ (5),n n
nx xy x p y x p y x
donde 1 2, , ..., np p p son continuas en ( , )a b . Si en cierto punto 0x en
( , )a b estas soluciones satisfacen
1 2, ,.., 0 ~ (6),nW y y y
entonces toda solución de (5) en ( , )a b se puede expresar de la forma
1 1 2 2( ) ( ) ... ( ) ~ (7),( ) n ny x y x y xy x C C C
donde 1 2, ,..., nC C C son constantes.4
La combinación lineal de 1 2, ,..., ny y y en (7), con constantes arbitrarias
1 2, ,..., nC C C , se conoce como solución general de (5).
3.3 Reducción de Orden
Introducción.
La solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea de
segundo orden
2 1 0( ) '' ( ) ' ( ) 0~ (8)a x y a x y a x y
es una combinación lineal 1 1 2 2y c y c y , donde 1 2 y y y son soluciones
que constituyen un conjunto linealmente independiente en algún
intervalo I .
Reducción de orden. Asumamos que 1y denota la solución no trivial de
(8) y que 1y se define en un intervalo I . Se busca una segunda solución
2y , tal que 1 2 y y y sean un conjunto linealmente independiente en I . Si
1 2 y y y son linealmente independientes, entonces su cociente 2
1
yy
no
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es constante en I , es decir, 22 1
1
( )( ) ( ).
( )y x
u x o y y u xy x
La
función ( )u x se determine al sustituir 2 1
( )y y u x en la ecuación
diferencial que se proporciona. A este método se le llama reducción de
orden, porque se debe resolver una ecuación diferencial lineal de
primer orden para hallar u .
Caso general. Dividimos entre 2( )a x con el objetivo de escribir la
ecuación (8) en la forma estándar
'' ( ) ' ( ) 0 ~ (9)y P x y Q x y
donde ( ) ( )P x y Q c son continuas en un intervalo I . Supónganse
además que es una solución conocida de (9) en I y que 1 0 xy en
el intervalo. Si se define 1( ) ~ (10)y y u x , se deduce que
1 1 1 1 1, 2 ''( ) ~ (11)' '( ) ( ) ' '' ( ) '' '( ) ' u xy y u x u x y y u x y u x y y
Sustituyendo (10) y (11) en (9):
1 1 1 1 1 1'' ' '' (2 ' ) ' 0u y Py Qy y u y Py u
Hagamos 1 1 1
0'' 'y Py Qy entonces,
1 1 1'' (2 ' ) ' 0 ~ (12)y u y Py u
Si 'u w tenemos que:
1 1 1' (2 ' ) 0 ~ (13)wy y Py w
Como se observa, la ecuación (13) es lineal y se puede resolver como
tal o por separación de variable.5
1
1
2 '0 ~ (14)
ydx Pdx
y
dww
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Integrando la expresión (14):6
1
1
1
'2 0
ln 2ln
ydwdx Pdx
w y
w y Pdx C
Por las propiedades de los logaritmos:
21 ln ~ (15)ln Pdx Cwy
Por definición de funciones inversas
1
21 ~ (16)
Pdx
c ewy
Despajando a w de (16) y expresando la solución en función de la
variable u :
1
21
Pdxc e
wy
Como 'w u tenemos que:
122 2
1 1
112
1
'
Pdx PdxPdx
c e eu u dx dx c
y y
c ec
y
Seleccionado 1 2
1 0yc c , se encuentra de 1( ) ( )y u x y x que una
segunda solución de la ecuación (9) viene dada por
2 1 21
~ (17).Pdx
yye dx
y
Nota: un buen ejercicio para comprobar el conocimiento de
diferenciación es verificar que la expresión (17) es una solución de la
ecuación dada. Esto pondría a prueba la paciencia.
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Ejemplo. La función indicada 1( )y x es una solución de la ecuación
diferencial proporcionada. Utilice la reducción de orden para hallar la
segunda solución 2( )y x .7
2
31( )9 '' 12 ' 4 0;
x
x ey y y y
Dividimos la ecuación dada entre 9 para expresarla en su forma
estándar:
4
3
4 44 43 33 3
2 423 3
( )
2 1 21
2
2 2
2 2 23 3 3
2 23 3
4 4'' ' 0
3 9
4( ) entonces usando la ec. (17) tenemos que:
3
4 4( )
3 3
( ) ( )( )
( )
( ) ( )
x
x xx x
x x
p x dx
x x x
x x
y y y
P x
P x dx dx x e
e edx dx e e dx
e e
dx
ex y x dx
y x
x
x x x
y
y e e e
y e y e
La solución general viene dada por:
2 23 3
1 2
1 1 2 2
x x
y c e c xe
y c y c y
3.4 Ecuaciones Lineales Homogéneas de Coeficientes Constantes
Definición. Una ecuación diferencial lineal de n orden que tiene la
forma
1 21 2 2 1 0( ) ( ) ( ) ... ''( ) '( ) ( ) 0 ~ (1)n n n
n n na y x a y x a y x a y x a y x a y x
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se llama ecuación diferencial homogénea (1). Donde 10, ,...,n na a
1 0,a a son constantes reales. 8
Dado que las funciones constantes son continuas en todas sus partes, la
ecuación (1) tiene soluciones definidas para toda x en , . Si
podemos hallar n soluciones linealmente independientes de (1) en
, , digamos 1 2 2, , ,..., ny y y y , entonces podemos expresar una
solución de (1) en la forma
1 1 2 2( ) ( ) ... ( ) ~ (2),( ) n ny x y x y xy x C C C
donde 1 2, ,..., nC C C son constantes arbitrarias.
Si L es el operador diferencial definido mediante el lado izquierdo de
(1), es decir,
1 21 2 2 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ... ''( ) '( ) ( ) ~ (3)n n n
n n nL y a y x a y x a y x a y x a y x a y x
entonces podemos escribir (1) en la forma de operador
( ) 0 ~ (4).L y
Para rxy e tenemos
1 2
1 2 1 0
1 2
1 2 1 0
( ) ...
( ... ) ( ) ~ (5),
n n n
n n n
n n n
n n n
rx rx rx rx rx rx
rx rx
x a r a r a r a r a
a r a r a r a r a P r
L e e e e e e
e e
donde ( )P r es el polinomio1 2
1 2 1 0...n n n
n n na r a r a r a r a
. Así, rxe es
una solución de la ecuación (4), siempre que r sea una raíz de la
ecuación auxiliar (o característica)
1 2
1 2 1 0( ) ... ) 0 ~ (6).n n n
n n nP r a r a r a r a r a
De acuerdo al teorema fundamental del álgebra, la ecuación auxiliar
tiene n raíces, que pueden ser reales o complejas. Estas raíces pueden
obtenerse por medio de cualquier método o utilizando un CAS.
Ahora iniciaremos el análisis de los diferentes casos:9
Caso 1. Raíces reales distintas.
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Si las raíces de la ecuación auxiliar (6) son reales y diferentes, entonces
la solución general de la ecuación (1) viene dada por la suma de las
funciones linealmente independientes, la cual se escribe
3 11 2
1 2 3 1... ~ (7).n n
n n
r x r x r xrx r xy c c c c ce e e e e
Ejemplo. Halle la solución general de la ecuación
4 3 2
4 3 26 7 6 8 0y
d y d y d y dydx dx dx dx
Escribimos la ecuación auxiliar de la ecuación dada:
4 3 26 7 6 8 0r r r r
Determinamos las raíces de la ecuación auxiliar:
1 2 3 44, 2, 1 y 1r r r r
Usando la ec. (7), escribimos la solución general de la ecuación dada
4 2
1 2 3 4( ) x x x xy x c e c e c e c e
Caso 2. Raíces reales repetidas.
Si r es una raíz de multiplicidad m de la ec.(1), entonces cada función
de las n soluciones de (7) no son linealmente independientes. En este
caso para garantizar que no se vaya anular ninguna de las funciones, la
solución general se escribe como
2 2 11 2 3 1
( ) ... ~ (8).rx rx rx m rx m rxnn
y x c e c xe c x e c x e c x e
Ejemplo. Resuelva la ecuación diferencial
(5) (4)7 12 ''' 8 '' 02 y yy y
Primero escribimos la ecuación auxiliar de la E.D.O dada
25 4 37 82 12 0r r r r
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Las raíces de la ecuación auxiliar son:1 2
1
20 y r r , donde la primera
raíz es de multiplicidad dos y la segunda raíz es de multiplicidad tres.10
Ahora escribimos la solución general utilizando la expresión (8).
22 2 2
1 2 3 4 3( )x x x
y x c c x c e c xe x c e
Caso 3. Raíces complejas y conjugadas11
Si ( , )i reales es una raíz compleja de la ecuación auxiliar (6),
entonces lo es su conjugado complejo i , pues los coeficientes de
( )P r tienen valores reales. Si aceptamos funciones con valores
complejos como soluciones, entonces tanto ( )i xe como ( )i xe son
soluciones de (1). Para hallar dos soluciones con los valores reales que
pertenecen a las raíces i , podemos considerar solamente las
partes reales e imaginarias de ( )i xe ; es decir,
( )
cos s ~ (9),x xi xe x ie en xe
entonces dos soluciones linealmente independientes de (1) viene dada
por
cos , s ~ (10).x xe x e en x
Al emplear estas soluciones en lugar de ( )i xe y ( )i xe en (7)
conservamos la independencia lineal de n soluciones. La solución
general puede escribirse en la forma
1 2cos s ~ (11).x xy c e x c e en x
En caso que haya raíces complejas conjugadas repetidas, la solución
general tiene la forma
1 2cos s ... cos s ~ (12).n nn n
x x x xx xy ce x c e en x c e x c e en x
Ejemplo. Halle la solución de la ecuación diferencial homogénea de
coeficientes constantes.
10 Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez. 11 Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez.
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4 2
4 23). 16 24 9 0
d y d yy
dx dx
Primero escribimos la ecuación auxiliar de la EDO dada:
4 216 24 9 0 ~ (4)t t
Ahora procedemos hallar las raíces de la ecuación auxiliar:
2 Si z t , tenemos que la ecuación (4) se transforma en:
2 24 9 0 ~ (5)16 zz
Resolviendo la ecuación (5) tenemos:12
1 2
3
4zz
de ahí que: 3 3
4 2it con multiplicidad dos, entonces la solución
viene expresada en la forma:
1 2 3 4
3 3 3 3cos s cos s
2 2 2 2y c x c en x c x x c x en x
3.5 Superposición y Ecuaciones no Homogéneas
Teorema 4. Sean 1 2, ,..., p p pky y y soluciones particulares de la ecuación
diferencial lineal no homogénea de n-ésimo orden (2) en un intervalo I
que corresponde, a su vez, a K funciones distintas 1 2, ,..., ng g g . Es decir,
se supone que ipy denota una solución particular de la ecuación
diferencial correspondiente
1
1 1 0
1 2
( ) ( ) ... ( ) ' ( ) ( ),~ (13)
i=1, 2, ..., K. Entonces
( ) ( ) ... ( ) ~ (14)
n n
n n i
p p p pk
a x y a x y a x y a x y g x
donde
y y x y x y x
es una solución particular de
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Prof. Gil Sandro Gómez 12
1
1 1 0 1 2( ) ( ) ... ( ) ' ( ) ( ) ( ) ... ( ) ~ (15)n n
n n ka x y a x y a x y a x y g x g x g x
Métodos para resolver Ecuaciones no Homogéneas
3.6 Método del Anulador
Definición. Si ( )y f x es una función que tiene n derivadas y ( )L D es
un operador diferencial lineal con coeficientes constantes, tal que
( ) ( ) ( ) 0;L D y L D f x
entonces, decimos que el operador ( )L D es el anulador de ( )y f x .
Los operadores diferenciales anuladores son:
1. El operador diferencial 1nD anula cualquier función de la forma: 2 1, , ,..., , . es una constante.n nk x x x x K
2. ( )nD es el anulador de las funciones:
2 3 1, , , ,..., .x x x x n xx x x xe e e e e
3. 2 2 2( 2 )nD D es el anulador las funciones:
2 3 1
2 3 1
cos , cos , cos , cos , ..., cos .
s , s , s , s ,..., s .
x x x x n x
x x x x n x
x x x x x x x x x
en x x en x x en x x en x x en x
e e e e e
e e e e e
Si 0 , entonces 2 2( )nD es el anulador de:
2 3 1
2 3 1
cos , cos , cos , cos , ..., cos .
s , s , s , s ,..., s .
n
n
x x x x x x x x x
en x x en x x en x x en x x en x
S i 0 1y n , tenemos que 2 2( )D es el anulador de: cos , sx en x
o de su combinación lineal 1 2cos sc x c en x .
Ejemplo. Encuentre el anulador de cada una de las expresiones
siguientes:
21). 13 9 4x x sen x
Analicemos cada término de forma individual:
El anulador de 13x es 2D , el anulador de 29x es 3D y el de 4sen x es 2( 16)D , entonces como es una combinación lineal, el anulador total
es: 3 2( 16).D D
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22. cosx xe senx e x
El anulador de xe senx viene dado por: 2 2 22 )( nDD
22 2 2] 2 2
1, 1 1, entonces
2( 1) ( 1) (1)[ D D
n y
DD
El anulador de 2 cosxe x se expresa por: 2 2 22 )( nDD
2 2 2 22(2) (2) (1) 4 5
1, 2 1, entonces
D D D D
n y
Como es una combinación lineal, el anulador de (2) es:
2 22 2 4 5D D D D .
Nota: La solución de una ecuación diferencial lineal no homogénea,
( ) ( ) 0D L y g x consta de la suma de dos soluciones que son:
i. La solución de la ecuación diferencial homogénea asociada,
es decir, ( ) 0.D L y
ii. La solución particular de la ecuación diferencial no
homogénea.
La suma de las dos soluciones es la solución general, es decir, hy es la
solución de la homogénea asociada ( ) 0D L y y py es la solución
particular de ( ) ( )D L y g x , entonces la solución general viene
expresada por:
.h pyy y
De ahí que,
( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( )h p h pD L y y D L D L g x g xy y
Ahora desarrollaremos los métodos para determinar la solución
particular de las E.D.O no homogéneas. Estos son:
3.7 Coeficientes Indeterminados
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El método de coeficientes indeterminados se puede utilizar por
superposición o el anulador. Explicaremos el procedimiento desde
ambas perspectiva:
i. Coeficientes Indeterminados\Superposición
La idea fundamental que sustenta este método es una
conjetura acerca de la forma de py , que en realidad no es
más que una suposición informada, motivada por las clases de
funciones que constituyen la función de entrada ( )g x . El
método general se limitada a E. D lineales como (13) donde
Los coeficientes , 0, 1, 2, ..., i i na son constantes.
( )g x es una constante K , una función polinomial, una función
exponencial xe , una función seno o coseno cossenbx o bx o
sumas finitas y productos de estas funciones.
Caso 1. Ninguna de la solución particular supuesta es una solución
de la ecuación homogénea asociada.
En la siguiente tabla se muestran algunos ejemplos concretos de
( )g x en (13) junto con la solución particular.
Tabla 3.1 Soluciones particulares de prueba
( )g x Forma de py
2 2
3 3 2
9
4. 2 7
1. 1 ( tan )
2. 2 1
3. 5 Ax Bx C
x x Ax Bx
cualquier cons te A
x Ax B
x
7 7
7 7 7
2 7
5. 6 cos6 cos6 6
6.
7. (5 -10)
8.
x x
x x x
x
Cx E
sen x o x A x Bsen x
e Ae
x e Axe Be
x e
2 7
2 2 2
2 2 2
3
( )
4 4 cos 4
10. 8 cos 2 ( ) cos 2 ( ) 2
11. cos 4
9.
x
x x x
x
x A xB C e
e sen x Ae sen x Be x
x x Ax Bx C x Ex Fx G sen x
xe x
3 3 ( ) cos 4 ( ) 4x xAx B e x Cx E e sen x
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Regla de forma para el caso 1. La forma de py es una combinación
lineal de las funciones linealmente independientes que se generan
mediante diferenciaciones repetidas de ( )g x .
Caso 2. Una función en la solución particular supuesta también es una
solución de la ecuación diferencial homogénea relacionada.
Regla de la multiplicación para el caso2. Si alguna py contiene
términos que duplican los de cy , se debe multiplicar por nx , donde n
es el menor entero positivo que elimine esa duplicación.
Ejemplo caso 1. Halle la solución de la ecuación diferencial, utilizando el
método de coeficientes indeterminados/superposición.
22
2
12 ~ (1)
4
d y dy
dxdxy x x
Multiplicamos la ecuación (1) por 4:
22
24 4 4 8 ~ (2)
d y dy
dxdxy x x
Procedemos a escribir la ecuación homogénea asociada a la E.D.O (2):
2
20 ~ (3)4 4
d y dy
dxdxy
Hallamos la solución de la ecuación homogénea.
La ecuación característica es: 2 4 4 0
2 , es raíz de multiplicidad dos, entonces
2 2
1 2
x x
hy c e xc e
Ahora construimos la solución particular, la cual tiene la forma:
2 ~ (4)py Ax Bx C
Sustituyendo (4) en (2) tenemos:
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22 2 2
2
2
2
2
( ) 4 ( ) 4( )
4 4 4
4 8
2 8 4 4 8 ~ (5)
Ax Bx C Ax Bx C Ax Bx C
Ax Bx C
d d
dx dxx x
A Ax B x x
Aplicando la teoría de la igualdad de los polinomios:
4 4
8 4 8 ~ (6)
2 4 0
A
A B
A C
Resolviendo el sistema de ecuaciones (6) tenemos que:
11, 4
2A B y C
Entonces la solución particular es:
2 1
42
py x x
La solución general viene dada por:
2 2 2
1 2
14
2
h p
x x
y y y
y c e xc e x x
Ejemplo caso 2. Determine la solución general de E. D. O
2
22). 4 3 2y sen x
d y
dx
Escribimos la ecuación homogénea asociada de la ec. (2):
2
24 0 ~ (3)y
d y
dx
La ecuación característica de (3) es:
2 4 0 ~ (4) ,
la solución de (4) es
2 4 2i ,
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de ahí que la solución de (3) se expresa como:
1 2cos2 2hy c x c sen x
La supuesta solución particular, de acuerdo a la tabla 1, viene dada
por:
cos2 2py A x Bsen x
Haciendo una comparación entre la supuesta py y la hy , nos damos
cuenta que existe una duplicidad de los términos cos2 y 2x sen x , por lo
que debemos multiplicar por un nx que elimine este inconveniente.
Entonces cos2 2 ~ (5)py Ax x Bxsen x
Sustituyendo (5) en (2):
2
2cos2 2 4 cos2 2 3 2
4 cos2 4 2 4 2 4 cos2 4 cos2 4 2 3 2
3 2 ~ (6)4 2 4 cos2
Ax x Bxsen x Ax x Bxsen x sen x
Ax x Asen x Bxsen x B x Ax x Bxsen x sen x
sen x
d
dx
Asen x B x
Comparando términos en la ecuación (6):
3
3 2 y 4
4 2 4 cos2 0 0sen x AAsen x B x B
Entonces tenemos que:
3 cos2
4p
x xy
La solución general es igual a
1 2
3 cos2cos2 2
4
h py y y
x xy c x c sen x
Después de haber analizado el método de coeficientes indeterminados
por medio de superposición, ahora lo haremos por el criterio del
anulador.
ii. Coeficientes Indeterminados\Anulador
Prof. Gil Sandro Gómez 18
La ecuación diferencial ( ) ( )L y g x tiene coeficientes constantes, y
la función ( )g x consiste en sumas y productos finitos de constantes,
polinomios, funciones exponenciales axe , senos y cosenos.
i) Encuentre la función complementaria para la ecuación
homogénea ( ) 0.L y
ii) Opere ambos lados de la ecuación no homogénea
( ) ( )L y g x con un operador diferencial 1L que elimine la
función ( )g x .
iii) Determine la solución general de la ecuación diferencial
homogénea de orden superior 1 ( ) 0.L L y
iv) Anule de la solución del paso (iii) los términos que se duplican
en la solución complementaria cy encontrada en el paso (i).
Forme una combinación lineal py de los términos restantes.
Ésta es la forma de una solución particular de ( ) ( )L y g x .
v) Sustituya py encontrada en el paso (iv) en ( ) ( )L y g x . Iguale
los coeficientes de las distintas funciones en cada lado de la
igualdad y resuelva el sistema ecuaciones resultante a fin de
determinar los coeficientes desconocidos depy .
vi) Con la solución particular hallada en el paso (v), forme la
solución general c py y y de la ecuación diferencial que se
proporciona.
Nota: El método de coeficientes indeterminados se aplica sólo a no
homogeneidades que sean polinomios, exponenciales, senos o
cosenos, o productos de estas funciones. Tampoco se puede aplicar
a ecuaciones con coeficientes variables.
Ejemplo. Utilizando el método coeficientes indeterminados\anulador
encuentre la solución de
3. '' 25 6y y senx
1. Hallamos la solución complementaria de la ecuación homogénea
asociada
2
2
25 0
25 0 5
D y
r r i
Entonces, 1 2cos5 s 5cy c x c en x
2. El operador diferencial que anula a 6senx es:
2 1D
3. Operamos ambos lados de la ecuación diferencial no
homogénea dada:
Prof. Gil Sandro Gómez 19
2 2 2
2 2
2 2
1 25 1 6
1 25 6 6
1 25 0
D D y D senx
D D y senx senx
D D y
La solución de la ecuación homogénea resultante es:
2
2 2
1 2
1 2 3 4
1) 25) 0
, 5
cos s cos5 s 5
( (
c
i
entonces y c x c enx c x c en x
4. Eliminamos los términos que se duplican en la solución
complementaria obtenida en el paso (1). La solución particular
vendrá expresada como:
cos spy A x B enx
5. Sustituimos a py en la ecuación (3) y luego resolvemos las
ecuaciones resultantes:
2 cos s 25 cos s 6
6
6
24 0 10,
24 6 4
cos s 25 cos 25 s
24 cos 24 s
A x B enx A x B enx senx
senx
senx
AA B
B
D
A x B enx A x B enx
A x B enx
4p
senxy
6. La solución general de (3) es:
1 2cos5 s 54
senxy c x c en x
3.8 Método de Variación de Parámetros
Cuando se tiene la ecuación no homogénea
''( ) '( ) ( )ay x by x cy g x y ( ) 0g x no satisface las condiciones
previstas por la técnica de coeficientes indeterminados, se procede
bajo la técnica de Variación de Parámetros resumida así:
Prof. Gil Sandro Gómez 20
i. Dada la ecuación ''( ) '( ) ( )ay x by x cy g x se resuelve la
homogénea asociada ''( ) '( ) 0ay x by x cy , de donde se
obtiene cy .
ii. Se propone py con la misma estructura de cy pero las constantes
que se incluyen se sustituyen por parámetros variables, es decir,
funciones μ1(x) y μ2(x), desconocidas por determinar. Así
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )p x y x x y xy .
iii. Se deriva la py tantas veces indica la ecuación, pero en la primera
derivada de py se hacen los términos 1 1 2 2( ) ( ) 0.' 'x xy y
Mientras en la segunda derivada debido a la sustitución en la
ecuación diferencial propuesta resulta que
1 1 2 2( ) ( ) ( ) /' ' ' 'x x g x ay y .
iv. Se resuelve el sistema simultáneo con incógnitas μ’1(x) y μ’2(x),
obtenido en el paso previo, por medio del método de Cramer
(preferiblemente). Esto permite obtener las soluciones 11'
w
w y
22'
w
w .
v. Se resuelven las integrales 11
wdx
w
y 2
2 .w
dxw
vi. Se construye la solución particular
1 21 21 2 .p
w wy y y dx dx
w w
vii. Se enuncia la solución general de la ecuación como .c py y y
Nota: En realidad el método de Variación de Parámetros se aplica sin
importar la forma de ( )g x , sin embargo en lo general si en una
ecuación dada es aplicable el método de Coeficientes indeterminados,
Prof. Gil Sandro Gómez 21
casi siempre será más sencillo aplicarlo preferiblemente a la variación
de parámetros.
Este método será generalizado para ecuaciones de orden superior,
después del ejemplo.
Ejemplo. Usando el método de variación de parámetros, halle la
solución de la E.D.O dada.
2
2sec csc ~ (1)
d yy x x
dx
i. Resolvemos la ecuación homogénea asociada de (1)
2
2
2
2 2
0
1 0
1 0 1
d yy
dx
D y
de ahí que: 1 2cos sci y c x c enx
ii. Se propone 1 2cos spy x enx
iii. Derivamos a py y obtenemos el sistema de ecuaciones.
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
cos s
De donde ' cos ' s 0
- ' s ' cos sec csc
' cos ' s 0~ (2)
- ' s ' cos sec csc
py x enx
x enx
y enx x x x
x enx
enx x x x
iv. Resolvemos el sistema de ecs. (2)
Prof. Gil Sandro Gómez 22
2 2
1
2
coscos 1
cos
0
sec csc cos' sec
cos 0
sec csc' csc
x senxx sen x
senx x
senx
x x xx
x
senx x xx
v. Calculamos 1 2 :y
1 2sec ln sec tan csc ln csc cotxdx x x y xdx x x
vi. Tenemos que:
(cos )ln sec tan ( )ln csc cotpy x x x senx x x
vii. La solución general viene dada por: c py y y
1 2cos (cos )ln sec tan ( )ln csc coty c x c senx x x x senx x x
Método de Variación de Parámetros para E. D.O de Orden Superior
Este método puede ser generalizado para ecuaciones diferenciales
lineales de orden superior.
El propósito nuestro es determinar una solución particular de la ecuación
en la forma canónica
1
1 1 0( ) ... ( ) ' ( ) ( ) ~ (1)n n
ny P x y P x y P x y g x
Este método requiere que previamente hallemos una solución a la
ecuación homogénea asociada a (1). La ecuación homogénea
asociada es
1
1 1 0( ) ... ( ) ' ( ) 0 ~ (2)n n
ny P x y P x y P x y
Y la solución complementaria viene dada por:
1 1 2 2 1 1... ~ (3)c n n n ny c y c y c y c y , una solución particular de (1) es:
1 1 2 2 1 1... ~ (4)p n n n ny u y u y u y u y ,
Prof. Gil Sandro Gómez 23
donde ' , 1,2,...,ku k n se determinan mediante las n ecuaciones
1 1
( 2) ( 2)
1 1
( 1) ( 1)
1 1
' ... ' 0
' ... ' 0
' ... ' ( )
n n
n n
n n
n n
n n
y u y u
y u y u
y u y u g x
~ (5)
Una condición necesaria para que el sistema (5) tenga solución para xen ( , )a b es que el determinante de la matriz formada por los
coeficientes de 1 2' , ' ,... 'nu u u sea diferente de cero para toda x en
( , ).a b Este determinante es precisamente el Wronskiano:
1
1 2( 2) ( 2)
1
( 1) ( 2)
1
...
, ,..., ( ) ~ (6)....
...
n
nn n
n
n n
n
y y
W y y y xy y
y y
que nunca se anula en ( , )a b , pues 1,..., ny y es un conjunto
fundamental de soluciones.
Al resolver el sistema de ecuaciones mediante la regla de Cramer,
tenemos:
1 1
( )' ( ) ~ (7), 1,... ,
( ,..., )( )
kk
W xu x k n
W y y x donde ( )kW x es el determinante
que se obtiene al remplazar la k-ésima columna de Wronskiano por la
columna formada por los términos independientes del sistema de
ecuaciones (6).
Si integramos (7), tenemos que:
( )
( ) , 1,... ~ (8).kk
W xu x dx k n
W
Al sustituir (8) en (4), la solución particular de (1) es:
1
( )~ (9).
nk
p k
k
W xy y dx
W
La solución general de (1) viene dada por la expresión:
~ (10).c py y y
Prof. Gil Sandro Gómez 24
Observaciones:
El método de variación de parámetros tiene una ventaja
comparativa con la técnica de coeficientes indeterminados en
cuanto a que siempre se produce una solución particular cada vez
que se puede resolver la ecuación homogénea relacionada con (1).
La técnica es un poco laboriosa para ecuaciones de orden mayor
que tres.
Ejemplo. Determine la solución de la ecuación dada
2
22 ~ ( )
d yy senh x a
dx
Escribimos la ecuación homogénea a la ecuación (a):
2 1 0 ~ ( )D y b
La ecuación característica es: 2 1 0m y sus raíces son:
1 21 y 1m m
de ahí que la solución complementaria viene dada por:
1 2
x x
cy c e c e
Construyamos la solución particular a partir de la solución
complementaria, entonces 1 2( ) ( )x x
py u x e u x e
1 2
1 2
' ( ) ' ( ) 0~ ( )
' ( ) ' ( ) 2
x x
x x
u x e u x ec
u x e u x e senh x
Resolviendo el sistema de ecuaciones (c) tenemos que:
1 2
2
0 02 , 2
2 2
x x
x x
x x
x x
x x
e eW
e e
e eW e senh x W e senh x
senh x e e senh x
1 21 2
2 2 2 2' ~ ( ), ' ~ ( )
2 2 2 2
x x x xW e senh x e senh x W e senh x e senh xu d u e
W W
Procedemos a integrar a (d) y (e):
Prof. Gil Sandro Gómez 25
1
2
1 22 cosh 2
2 3 2
1 22 cosh 2
2 3 2
xx
xx
e senh xu e senh xdx x
e senh xu e senh xdx x
Por tanto, 2 2
cosh 2 cosh 23 2 3 2
x x
p
e senh x e senh xy x x
La solución general es: c py y y
1 2
2 2cosh 2 cosh 2
3 2 3 2
x xx x e senh x e senh x
y c e c e x x
3.9 Ecuación de Cauchy-Euler
Definición. Una ecuación diferencial lineal de la forma
1 21 2
1 2 1 01 2( ) ~ (11),
n n nn n n
n n nn n n
d y d y d y dya x a x a x a x a y g x
dx dx dx dx
donde los coeficientes 1 0, ,...,n na a a son constantes, se conoce como
ecuación de Cauchy-Euler. Los coeficientes monomiales kx
coinciden con el orden k de diferenciación
k
k
d y
dx.
Método de solución
Asumamos una solución de la forma my x , donde m es un valor a
determinar. Similar a lo que ocurre cuando se sustituye mxe en una
ecuación lineal con coeficientes constantes, sucede cuando se
sustituye mx , cada término de una ecuación de Cauchy-Euler se
convierte en un polinomio por mx , puesto que
Prof. Gil Sandro Gómez 26
( 1)...( 1) ( 1)( 2)...( 1) ~ (12).k
k m k m
k k kk
d ya a x m m m k x a m m m k x
dx
Asímy x , es una solución de la ecuación diferencial, siempre que m
sea una solución de la ecuación auxiliar.
Tenemos tres casos distintos a considerar:
Caso 1. Raíces reales diferentes. Sean 1 2, ,..., km m m las raíces de la
ecuación homogénea asociada de (11), con 1 2 ... km m m .
Entonces 1
1 ,..., kmm
ky x y x forman un conjunto fundamental de
soluciones. Por consiguiente, la solución de la ecuación homogénea
asociada a (11) viene expresada por
1
1 ... ~ (13)kmm
h k ky c x c y x
Caso 2. Raíces repetidas. Si las raíces de la ecuación homogénea
asociada a (11) son repetidas, entonces hay una solución a saber
1my x . Como 1m es una raíz de multiplicidad k , entonces, la
solución de la homogénea asociada a (11) viene dada por
1 1 1
1 ... (ln ) ~ (14).m m k
h ky c x c x x
La ecuación (14) se obtiene por medio del método de reducción de
orden, de una ecuación de n-ésimo orden.
Caso 3. Raíces complejas conjugadas.
Analicemos una situación particular para explicar el caso 3.
Sea
22
20 ~ (15).
d y dyax bx cy
dx dx
Si las raíces de (15) son el par conjugado 1 2, m i m i ,
donde 0y son reales, entonces la solución es
1 2
i iy c x c x . Después de realizar algunas operaciones y
haciendo uso de la fórmula de Euler, concluimos que dichas
soluciones pueden escribirse 1 2cos( ln ), ( ln )y x x y x sen x . Por
tanto la solución general es 1 2cos( ln ) ( ln ).y c x x c x sen x
Ejemplo. Encuentre la solución de la siguiente E. D
22 2
210 8 ~ (4)
d y dyx x y x
dx dx
Prof. Gil Sandro Gómez 27
La ecuación homogénea asociada a (4) es:
22
210 8 0 ~ (5)
d y dyx x y
dx dx
Asumamos que ~ (6)my x es una solución de la ec. (5).
Derivamos (6):
21 2
2, ( 1) ~ (7)m mdy d y
mx m m xdx dx
Sustituyamos (6) y (7) en (5):
2 2 1
2
( 1) 10 8 0 ~ (8)
( 1) 10 8 0
9 8 0 ~ (9)
m m mx m m x xmx x
m m m
m m
La solución de la ecuación característica (9) es:
1 2( 8)( 1) 0 8, 1m m m m
La solución de la ecuación homogénea es:
8 1
1 2hy c x c x
Mediante el método de coeficientes indeterminados encontramos la
solución particular de la ecuación (4) dada
2
py Ax Bx D
Derivamos a py :
' 2 , '' 2p py Ax B y A
Sustituyamos a py y sus derivadas en (4):
2 2 2 2
2 2
2 20 10 8 8 8
30 18 8 ~ (10)
Ax x A Bx Ax Bx D x
Ax Bx D x
Aplicando la teoría de polinomios en (10):
Prof. Gil Sandro Gómez 28
30 11
18 0 , 0 030
8 0
A
B A B y D
D
Entonces,
2
30p
xy
La solución general es: h py y y
28 1
1 230
xy c x c x