unidad 3 - ficha 1 - pertenencia y orden.pdf

7/25/2019 Unidad 3 - Ficha 1 - Pertenencia y orden.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/unidad-3-ficha-1-pertenencia-y-ordenpdf 1/14

INSTITUTO DE PROFESORES “ARTIGAS”

ESPECIALIDAD MATEMÁTICA

GEOMETRÍA

UNIDAD 3

FICHA 1: PERTENENCIA, ORDEN Y PARTICIÓN

1 – Conceptos primitivos.2 – Relaciones de pertenencia.3 – Orden en las rectas.4 – Partición del plano.5 – Partición del espacio.6 – Ángulos.7 – Ángulos diedros.

8 – Triángulos.9 – Ángulos triedros.10 – Polígonos convexos.11 – Ángulos poliedros convexos.12 – Superficies poliédricas y poliedros convexos.

Profesor Sergio Peralta2008



Instituto de Profesores “Artigas” Geometría – Unidad 3

Prof. Sergio Peralta - 2008 Ficha 1: Pertenencia, orden y partición.

1 - CONCEPTOS PRIMITIVOS.

Consideramos que el conjunto universal de la Geometría Métrica es un conjunto llamadoESPACIO (

) cuyos elementos se denominan PUNTOS, que escribiremos con letras mayúsculas denuestro alfabeto (A, B, C, … P, ...)

En , encontramos subconjuntos llamados PLANOS que designaremos con letras del alfabeto

griego (α, β, γ, δ, ϕ, π, ... ω, ...), y en cada plano subconjuntos llamados RECTAS que se nombraráncon letras minúsculas de nuestro alfabeto (a, b, c, ... r, ...).

Los conceptos primitivos de la Geometría Métrica son: ESPACIO, PUNTO, PLANO yRECTA.

2 – RELACIONES DE PERTENENCIA.

2.1 – AXIOMAS DE PERTENENCIA.

AXIOMA 1Existe un conjunto infinito ( ) llamado espacio, cuyos elementos se llaman puntos.AXIOMA 2En existen subconjuntos estrictos, llamados planos, cada uno de los cuales tiene infinitos puntos.AXIOMA 3En cada plano existen subconjuntos estrictos, llamados rectas, cada uno de los cuales tiene infinitos

puntos.AXIOMA 4 – DETERMINACIÓN DE UNA RECTA.Dados dos puntos distintos, existe y es única la recta a la cual pertenecen.AXIOMA 5 – DETERMINACIÓN DE UN PLANO.Dados tres puntos no alineados, existe y es único el plano al cual pertenecen.

AXIOMA 6Si dos puntos distintos de una recta pertenecen a un plano, la recta está contenida en él.

DEFINICIONES.Familia de rectas, es el conjunto de todas las rectas del espacio,R.Familia de rectas de π, es el conjunto de todas las rectas contenidas en el plano π,

Rπ. Rectas coplanares: Dos rectas contenidas en un plano, se llaman coplanares.

2.2 – SEGUNDA DETERMINACIÓN DEL PLANOUna recta y un punto que no pertenece a ella, determinan un plano que los contiene.

( H ) P ∉ r( T ) ∃α / P ∈ α ∧ r ⊂ α.

α es único

Por el axioma 3, en ( r ) existen infinitos puntos, consideremosdos: A y B.P ∉ r y A, B ∈ r entonces A, B y P no están alineados, por el axioma 5 determinan un plano α talque A, B, P ∈ α.

A, B ∈ r⇒ r ⊂ α (Por el axioma 6)

A, B ∈ α





Hemos probado que existe un plano α tal que P ∈ α y r ⊂ α, para demostrar que es único,razonemos por el método de reducción al absurdo suponiendo que además de α en esas condiciones,existe β ≠ α tal que P ∈ β y r ⊂ β r ⊂ β y A, B ∈ r ⇒ A, B ∈ β

por lo que A, B, P ∈ β (1) además A, B, P ∈ α (2) Dado que β ≠ α (1) y (2) contradicen el axioma 5. Llegamos a una contradicción por suponer que α no es único por lo que el teorema queda demostrado.

2.3 – TERCERA DETERMINACIÓN DEL PLANO

Dos rectas distintas que tienen un punto común, determinan un plano que los contiene.

( H ) r ∩ s = { O }( T ) ∃α / r ⊂ α ∧ s ⊂ α

α es único

Demostrar este teorema utilizando un procedimiento similar al de la justificación del item 2.2.

2.4 – POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS

TEOREMAExisten en rectas no coplanares.

x QDado el plano α de la figura, sea r una rectacontenida en él, P un punto perteneciente a α

x P pero no perteneciente a r y Q un punto no perteneciente a α.

r Demostrar que las rectas PQ y r son disjuntas α y no coplanares.

TEOREMADadas dos rectas, contenidas en un plano π, se cumple una y sólo una de las siguientes posibilidades:

1) son la misma recta.2) su intersección es un conjunto unitario.3) son rectas disjuntas.

r, s ∈Rπ ∃ P / P ∈ r ∧ P ∈ s ∃ Q / Q ≠ P ∧ Q ∈ r ∧ Q ∈ s ⇒ r = s

∃ Q / Q ≠ P ∧ Q∈ r ∧ Q ∈ s ⇒ r ∩ s = {P}

∃ P / P ∈ r ∧ P ∈ s ⇒ r ∩ s = φ





DEFINICIONES.RECTAS COINCIDENTES: Dos rectas son COINCIDENTES si todos sus puntos son comunes.

RECTAS SECANTES: Dos rectas son SECANTES si tienen un sólo punto común.

RECTAS QUE SE CRUZAN (ALABEADAS): Dos rectas se cruzan si no son coplanares.

RECTAS PARALELAS: Dos rectas son PARALELAS si y sólo si, son coplanares y no son

secantes. ∃α / r ⊂ α ∧ s ⊂ α ∧ r ∩ s = φ Paralelas disjuntasr // s ⇔

r = s Paralelas coincidentes

OBSERVACIONES:1) Dos rectas secantes, son coplanares.2) Dos rectas que se cruzan, son disjuntas.3) Si dos rectas coplanares no son secantes, son paralelas.4) Si dos rectas son distintas, a lo sumo tienen un punto común.

5) Si dos rectas distintas tienen un punto común, son secantes.

TEOREMAS: Para todo punto existen en un plano infinitas rectas a las que pertenece dicho punto.

Para toda recta existen infinitos planos que pasan por dicha recta.

CONSECUENCIAEn el espacio existen infinitos planos y en cada plano, infinitas rectas.

2.5- INTERSECCIÓN DE DOS PLANOSTEOREMA

Si dos planos distintos tienen dos puntos distintos comunes, su intersección es la recta que esos puntos determinan.

H) α ≠ β T) rα ∩ β = β A ≠ B AB = rA, B ∈ α , A, B ∈ β B

Aα r

1)ax . 6

def . int . e inc .

2 )ax . 6

Por H) : A B , AB r r

A, B

Por H) : A B , AB r r

A, B

≠ = ⎫⎫⇒ ⊂ α⎬ ⎪∈ α ⎭ ⎪

⇒⎬≠ = ⎫ ⎪⇒ ⊂ β⎬ ⎪∈ β ⎭ ⎭

r ⊂ α ∩ β (#)

Debemos demostrar que todo punto de la intersección de los planos pertenece a la recta: porreducción al absurdo suponemos que

3) 4 )P / P P r ∃ ∈ α ∩ β ∧ ∉





absurdo r ⇒ ⊃ α ∩ β (*)

teo. 2.2

Por : 4) P r

3) P

1) r

3) P

2) r

∉ ⎫⎪∈ α ⎪⎪

⊂ α α = β⇒⎬⎪∈ β⎪

⊂ β ⎪⎭

Por H) α ≠ β

Por definición de igualdad de conjuntos, de (#) y (*) se deduce: r = α ∩ β

3 – ORDEN EN LAS RECTAS.

AXIOMA 7

1 – En toda recta está definida una relación de ORDEN TOTAL AMPLIO.

2 – Una recta no tiene primer ni último punto.3 – Para todo par de puntos de una recta, existe otro punto de ella entre ambos.

NOTACIÓN: A B se lee “A precede o coincide con B”

DEFINICIÓN: A ≺ B ⇔ A B ∧ A ≠ B

A ≺ B se lee “A precede estrictamente a B”

El axioma 7, establece que:

1 − ∀ r ∈R : r → r cumple las propiedades:

a) idéntica ∀ A ∈ r ⇒ A A

b) antisimétrica A B ∧ B A ⇒ Α = Β

c) transitiva A B ∧ B C ⇒ A C

d) de orden total ∀ A, B ∈ r ⇒ A B ∨ B A

2 – ∀ A ∈ r ∃ P ∈ r / P ≺ A

∀ A ∈ r ∃ Q ∈ r / A ≺ Q

3 – ∀ A, B ∈ r A ≺ B ⇒ ∃ P ∈ r / A ≺ P ∧ P ≺ B (P “está entre” A y B)∀ A, B ∈ r B ≺ A ⇒ ∃ P ∈ r / B ≺ P ∧ P ≺ A (P “está entre” B y A)

RECTA ORIENTADA es toda recta provista de un orden.Indicamos que está orientada nombrando dos de sus puntos X

en el orden considerado. X ≺ Y r Y

Si leemos:”recta orientada XY”, se entiende que X ≺ Y.

En virtud de este axioma, dados dos puntos X e Y, uno de ellos precede al otro en la recta orientada ala cual pertenecen.





DEFINICIONES:

A B ⇔ B A A B se lee “A sigue a o coincide con B”

A B ⇔ B ≺ A A B se lee “A sigue estrictamente a B”

OBSERVACIONES:

1) La relación también es un orden total amplio en toda recta r.

2) El axioma de orden en la recta afirma que en toda recta hay dos órdenes o sentidos, uno opuestodel otro y ninguno de ellos está en situación privilegiada respecto del otro.

DEFINICIÓN:

SEMIRRECTA: Dados A y B tales que A ≺ B, AB = { X / X ∈ r ∧ X A }

Escribir las definiciones de:SEMIRRECTAS OPUESTASPUNTOS INTERIORES

RECTA SOPORTE o SOSTENSEMIRRECTA ABIERTASEGMENTO ABPUNTOS INTERIORESSEGMENTO NULOSEGMENTO ABIERTO Y SEMIABIERTO POR LA IZQUIERDA O POR LA DERECHA.

DEFINICIONES:FIGURA es todo subconjunto del espacio.

FIGURA CONVEXA es toda figura para la cual todo par de puntos pertenecientes a ella determinan

un segmento incluido en ella.

TEOREMA:La intersección de dos figura convexas, es una figura convexa.

( H ) F y G son dos figuras convexas ⇒ ( T ) F ∩ G es una figura convexa

Consideremos dos puntos A y B cualesquiera, pertenecientes a F ∩ G A ∈ F B ∈ F

A ∈ F ∩ G ⇒ además B ∈ F ∩ G ⇒

A ∈ G B ∈ G A ∈ F , B ∈ F y F es convexa ⇒ el segmento AB está contenido en forma amplia en F

A ∈ G , B ∈ G y G es convexa ⇒ el segmento AB está contenido en forma amplia en G

⇒ el segmento AB está contenido en forma amplia en F ∩ G.

Hemos probado que si A y B son dos puntos cualesquiera, pertenecientes a F ∩ G, entonces elsegmento AB está contenido en forma amplia en F ∩ G, por lo cual se cumple la tesis.





4 – PARTICIÓN DEL PLANO. 5 – PARTICIÓN DEL ESPACIO.

AXIOMA 8: Para toda recta r ∈ R π , existen en el planoπ dos únicos conjuntos ϕ y ϕ’ que cumplen:a) {r, ϕ, ϕ’} es una partición del plano π.

b) ϕ y ϕ’ son convexos.

c) para todo punto de ϕ y para todo punto deϕ’, existe en el segmento que determinan unúnico punto que también pertenece a la rectar.

AXIOMA 9: Para todo plano π, existen en el espacio

dos únicos conjuntos γ y γ’ que cumplen:a) {π , γ , γ’} es una partición del espacio .

b) γ y γ’ son convexos.

c) para todo punto de γ y para todo punto deγ’, existe en el segmento que determinan un

único punto que también pertenece al planoπ.

OBSERVACIONES:1) Se dice que r SEPARA a un par de

puntos cuando uno de ellos pertenece a ϕ yel otro a ϕ’.

2) Si r separa a un par de puntos A y B por el axioma 8 – c, existe en el segmentoAB un punto I que también pertenece a r,

por lo que:A ∈ ϕ ∧ Β ∈ ϕ ’ I ∈ r ⇒

r ∩ ϕ = φ ∧ r ∩ ϕ’ = φΙ ≠ A ∧ Ι ≠ B ⇒ I es interior alsegmento AB.

DEFINICIONES:SEMIPLANO ABIERTO DE BORDE r.Cada uno de los subconjuntos ϕ y ϕ’mencionados en el axioma 8 se llamasemiplano abierto de borde r.

SEMIPLANO DE BORDE r(SEMIPLANO CERRADO).Los conjuntos ϕ ∪ r y ϕ’ ∪ r se llamansemiplanos de borde r.

NOTACIÓN: {r, ϕ, ϕ’} es una partición del plano, P ∈ ϕ ⇒ r ∪ ϕ = r, Pse lee “semiplano de borde r al que

pertenece P”.

Los puntos pertenecientes a ϕ se llamanpuntos interiores al semiplano r, P.

Toda recta incluida en un plano π determinados semiplanos. Se dice que cada uno es elsemiplano opuesto al otro.

OBSERVACIONES:1) Se dice que π SEPARA a un par de

puntos cuando uno de ellos pertenece a γ y elotro a γ’.

2) Si π separa a un par de puntos A y B por el axioma 9 – c, existe en el segmentoAB un punto I que también pertenece a π,

por lo que:

DEFINICIONES:SEMIESPACIO ABIERTO DE BORDE π.Cada uno de los subconjuntos γ y γ’mencionados en el axioma 9 se llamasemiespacio abierto de borde π.

SEMIESPACIO DE BORDE π (SEMIESPACIO CERRADO).Los conjuntos γ ∪ π y γ’ ∪ π se llamansemiespacios de borde π.

NOTACIÓN: {π, γ, γ’} es una partición del espacio, P ∈ γ ⇒ π ∪ γ = π, Pse lee “semiespacio de borde π al que

pertenece P”.

Los puntos pertenecientes a γ se llamanpuntos interiores al semiespacio π ,P.

Todo plano determina dos semiespacios. Sedice que cada uno es el semiespacio opuesto al otro.





TEOREMAS. Consecuencias delAxioma de partición del plano:1) El segmento determinado por dos puntosde un mismo semiplano abierto, es disjuntocon el borde del mismo.2) Dada una recta r, si un segmento del

plano es disjunto con ella, entonces sus

extremos pertenecen a un mismo semiplanoabierto con borde en r.3) Dado un segmento, si uno y sólo uno desus puntos interiores pertenece a una recta r,entonces sus extremos pertenecen a distintossemiplanos abiertos con borde r.

TEOREMA:Si {r, ϕ, ϕ’} es una partición del plano,P ∈ ϕ y S = { X / X ∈ r ∨ XP ∩ r = φ},entonces S = r, P

OTRA DEFINICIÓN DE SEMIPLANO:r,P = {X / X ∈ r ∨ XP ∩ r = φ}

TEOREMA:La caracterización de un semiplano esindependiente del punto interior utilizado.( H ) {r, ϕ, ϕ’} es una partición del plano,A ≠ B, A, B ∈ ϕ ( T ) r,A = r,B

TEOREMA:Todo semiplano cerrado es una figuraconvexa.( H ) {r, ϕ, ϕ’} es una partición del plano.( T ) r ∪ ϕ es una figura convexa.

TEOREMA DE PASCH:Dados en un plano una recta y tres puntosque no le pertenecen, si la recta es secantecon uno de los tres segmentos que los puntos

determinan, entonces también es secante conotro pero no lo es con el tercero.

COROLARIO:Si en un plano una recta es disjunta con dosde los segmentos que tres puntosdeterminan, también es disjunta con eltercero.

TEOREMAS. Consecuencias delAxioma de partición del espacio:1)

2)

3)

TEOREMA:

OTRA DEFINICIÓN DE SEMIESPACIO:

TEOREMA:

TEOREMA:

TEOREMA DE PASCH:Dado un plano y tres puntos que no le

pertenecen, si el plano es secante con uno delos tres segmentos que los puntos

determinan, entonces también es secante conotro pero no lo es con el tercero.

COROLARIO:Si un plano es disjunto con dos de lossegmentos que tres puntos determinan,también es disjunto con el tercero.





TEOREMASi dos planos distintos tienen un punto común, su intersección es una recta que pasa por ese punto.

H) α ≠ β T) r / A r r A B∃ ∈ ∧ = ∩ A , A∈ α ∈ β β s

P B

Por un punto, en un plano, existen infinitasrectas, entonces en β existe una recta s por A.Considerando la recta s y el plano α se presentan Jdos casos: α A

I)teo.2.5

s

Como s y por H)

⊂ α ⎫⇒⎬

⊂ β α ≠ β ⎭

s

A s

= α ∩ β

∈

Q

II) s ⊄ α Como A ∈ s

ax.7P,Q / P,Q s , Q op AP , Q A⇒ ∃ ∈ ∈ ≠

De modo que:

{ }¿?

PQ s , sA PQ

A PQ , A

⎫⊂ ⊄ α ⎪⇒ = ∩ α⎬

∈ ∈α ⎪⎭

Por el ax. 3, las rectas son subconjuntos estrictos de los planos, como s B B s⊂ β ⇒ ∃ ∈β ∧ ∉ Considerando el punto B y el plano α , se presentan dos casos:

i)teo. 2.5

B

Como B

Por H) : A , A ,

Como B s y A s A B

∈α ⎫⎪∈β ⎪

⇒⎬∈α ∈β α ≠ β⎪

⎪∉ ∉ ≠ ⎭

AB

A AB

= α ∩ β

∈

ii) { }teo. de Pasch

B

A PQ BP o BQ corta al

P,Q

∉α ⎫⎪

= ∩ α ⇒ α⎬⎪∉α ⎭

Sea, por ejemplo, el segmento BQ

el que corta al α

{ }J

J / J BQJ BQ

∈α⎧⎪∃ = ∩ α ⇒ ⎨

∈⎪⎩

, pero como BQ J⊂ β ⇒ ∈β

Como B s , Q s , J int erior a BQ J sA J

Pero A s

⎫∉ ∈ ⇒ ∉ ⎪⇒ ≠⎬

∈ ⎪⎭

De modo que los planos distintos α y β tienen dos puntos comunes (A y J), entonces por el teorema2.5

AJ

A AJ

= α ∩ β

∈





6 – ÁNGULOS.

DEFINICIONES:Angulo convexo AOB:Si A, O y B son tres puntos no alineados, sellama ángulo convexo AOB a la intersección

de los semiplanos OA,B y OB,A.

Las semirrectas OA y OB se llaman lados yel punto O, vértice.

Punto interior a un ángulo convexo:Es todo punto del ángulo convexo, no

perteneciente a sus lados.

Rayo interior a un ángulo convexo:Es toda semirrecta con origen en el vértice ya la cual pertenece un punto interior.

Ángulo cóncavo AOB:Es el conjunto de los puntos del plano AOB,no interiores al ángulo convexo AOB.

Ángulo llano: Es cada uno de lossemiplanos determinados por una semirrectay su opuesta. Estas semirrectas son sus

lados.

Ángulo nulo: Es una semirrecta, que esconsiderada como lados coincidentes delángulo.

Ángulos consecutivos:

Ángulos adyacentes:

Ángulos opuestos por el vértice:

TEOREMA DEL RAYO INTERIORTodo rayo interior a un ángulo convexo,interseca en un punto a cualquier segmentocuyos extremos pertenezcan a lados distintosdel ángulo.

7– ÁNGULOS DIEDROS.

DEFINICIONES:Angulo diedro convexo a

β

:Si aα y aβ son dos semiplanos no opuestos nicoincidentes, se llama ángulo diedro

convexo αaβ a la intersección de lossemiespacios aα que contiene a aβ y aβ quecontiene a aα.Los semiplanos aα y aβ se llaman caras y larecta a, arista.

Punto interior a un ángulo diedro con-vexo:Es todo punto del ángulo diedro convexo, no

perteneciente a sus caras.

Ángulo diedro cóncavo aβ

:Es el con-junto de los puntos, no interiores alángulo diedro convexo αaβ.

Ángulo diedro llano:

Ángulo diedro nulo:

Ángulos diedros consecutivos:

Ángulos diedros adyacentes:

Ángulos diedros opuestos por el vértice:





8 – TRIÁNGULOS.

Si A, B y C son tres puntos no alineados, sellama triángulo ABC a la _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ de los semiplanos _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

9 – ÁNGULOS TRIEDROS.

Si Oa, Ob y Oc son tres semirrectas nocoplanares, se llama triedro abc a la

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ de los semiespacios _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

A, B y C son los _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ deltriángulo. Los segmentos AB, BC y CA sonlos _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

O se llama _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ del triedro.Las semirrectas Oa, Ob y Oc son las _ _ _ _

_ _ _ _ _ y los ángulos aOb, bOc y cOa sonlas _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

Puntos interiores, son los puntos deltriángulo, _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ .

Puntos exteriores, son los puntos del plano,

no _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

Contorno del triángulo, es el conjunto de los puntos perteneciente a _ _ _ _ _ _ _ _ _.

Puntos interiores, son los puntos del triedro, _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

Puntos exteriores, son los puntos del plano,

no _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

ABC, BCA y CAB son los ángulos internosdel triángulo.

Los adyacentes a los internos se llamanángulos _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ del triángulo.

Los diedros de caras a(b) y a(c); b(a) y b(c);c(a) y c(b) son los diedros internos deltriedro.

Los adyacentes a los internos se llaman

diedros _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ del triedro.

10 – POLÍGONOS CONVEXOS.

Dados n puntos A1, A2, A3, . . . An ordenados del plano tales que tres conse-cutivos no estén alineados y las rectas

determinadas por dos consecutivos dejen alos restantes en un mismo semiplano, sellama polígono convexo A1A2A3 . . . An a la

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ de estossemiplanos.

11 – ÁNGULOS POLIEDROSCONVEXOS.

Dadas n semirrectas Oa1, Oa2, Oa3, . . . Oan ordenadas tales que tres consecutivas nosean coplanares y los planos deter-minados

por dos consecutivas dejen a las restantes enun mismo semiespacio, se llama ángulopoliedro convexo a1a2 . . . an a la _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ de estos semiespacios.

Los puntos A1, A2, A3, . . . . . An son los _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ del polígono. Lossegmentos determinados por vérticesconsecutivos se llaman _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

Las semirrectas Oa1, Oa2, Oa3, . . . . . Oan son las _ _ _ _ _ _ _ _ _ del ángulo poliedroconvexo. Los ángulos convexosdeterminados por aristas consecutivas sellaman _ _ _ _ _ _ _ .

Los segmentos determinados por dosvértices no consecutivos se llamandiagonales.





Problema: Obtener una fómula que permitacalcular el número de diagonales de un

polígono convexo de n vértices.

Puntos interiores, son los puntos _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.

Puntos exteriores, son los puntos del plano,no _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

Contorno del polígono convexo, es elconjunto de los puntos perteneciente a _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _.

AnA1A2, A1A2A3, A2A3A4, . . . son losángulos internos del polígono convexo.

Los adyacentes a los internos se llamanángulos _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ del polígonoconvexo.

Se llaman polígonos regulares a los polígonos convexos que tienen _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

12 – SUPERFICIE POLIÉDRICA.POLIEDRO CONVEXO.

Se llama superficie poliédrica a la unión deun número finito de polígonos, llamadoscaras de la superficie, que cumplen lassiguientes condiciones: 1 – Cada lado de una cara pertenece tambiéna otra y sólo a otra. Ambas caras se llamancontiguas.

2 – Dos caras contiguas están contenidasen planos distintos.

La superficie poliédrica se llama convexa sicada cara deja a las restantes en un mismosemiespacio.

Poliedro convexo es la intersección de todosestos semiespacios.

Los vértices y lados de las caras se llamanvértices y aristas del poliedro.

Se llaman poliedros regulares a los poliedros convexos cuyas caras son polí-gonos regulares iguales y en cuyos vérticesconcurren el mismo número de ellas.





A

B

C

P

Q

D

PROBLEMAS

I) ¿Pueden estar cuatro puntos alineados? ¿Tienen que estar alineados dos puntos? ¿Tienen que sercoplanares cuatro puntos? ¿Pueden ser coplanares n puntos?

II) A partir de la figura tridimensional representada indicar si los

siguientes conjuntos {A,B,C,D}, {P,B,C}, {A,D,Q}, {A,B,C,Q},{P,D,Q}, {D,B,C,Q} cumplen alguna de las afirmaciones:1) están alineados;2) no están alineados pero son coplanares;3) no son coplanares.

III) ¿Pueden tres rectas de un plano separarlo en tres regiones?, ¿en cuatro?, ¿en cinco?, ¿en seis?,¿y en siete?

IV) Analizar el valor de verdad de las siguientes proposiciones y justificar.1) H) A, B y C puntos distintos T) A, B y C determinan un plano2) H) r es paralela a α T) r y s son cruzadas

s no es paralela a α 3) H) r , , b⊂ α β ∩ α = ∅ ⊂ β T) r y b son secantes4) H) i , A A i , B B iα ∩ β = ∈ α ∧ ∉ ∈ β ∧ ∉ T) AB no es paralela a i.

V) Construye la figura correspondiente a cada enunciado:1) α y β son planos secantes según una recta r; s y t son rectas contenidas respectivamente en α y

β. s y t se cortan en A.

2) r y s son rectas secantes de un plano α y A es un punto exterior a α. t es la intersección de los planos (A,r) y (A,s).3) α y β son dos planos secantes según una recta r; s y t son rectas secantes del plano α . s y t

cortan a β en A y B.

VI) ABCDEFGH es un cubo de centro O. Se consideran: M punto medio del segmento AC, N puntomedio del segmento EG y los planos α = (BDH) , β = (ACG).1) Indicar la posición relativa de la recta AO respecto de las siguientes rectas:

a) EC b) NG c) BC d) HF e) MC.2) Idem 1) de la recta MN respecto de: a) BF b) FH c) AB d) FD e) CG.En los casos de rectas secantes determinar punto de intersección y plano determinado, en loscasos de rectas paralelas indicar el plano que las contiene.

VII) Se consideran las rectas a y b no coplanares y los puntos A tal que A∈a y B tal que B∈ b. Hallarla intersección de los planos α = (b,A) y β = (a,B).

VIII) Sea ABCD un tetraedro cualquiera y M un punto del segmento AC. Analiza el valor de verdadde las siguientes afirmaciones:

1) El punto A pertenece a la intersección de los planos (BMC) y (CMD).2) Las rectas BM y CD son paralelas.3) Los planos (MAB) y (BCD) se cortan según la recta BC.

4) Las rectas DM y AB son secantes.

IX) ABCD es un tetraedro cualquiera, E un punto del segmento AB y F un punto del segmento CD.Hallar la intersección de los planos (ABF) y (CDE).




P f S i P lt 2008 Fi h 1 P t i d ti ió

B

C

D

E

F

A

Q

P

X) Sobre la arista AB de un tetraedro ABCD se considera un punto M y en el plano (BCD) una recta r

que no corta a los lados del triángulo BCD. Trazar la sección del tetraedro con el plano (M, r).

XI) ABCDEF es un prisma. P es un punto de la cara BCFE y Q un punto de la cara ABED.Construye la intersección de la recta PQ y el plano (ABC).

XII) ABCDEFGH es un cubo, M es un punto del segmento EH y N es un punto de la cara BCGF.Construye la intersección de la recta MN con el plano (ADC).

XIII) Sean M, N y P los puntos medios de tres aristas de un cubo.

Estudia la sección plana del plano (MNP) con el cubo discutiendo según la posición de M, N y P.

XIV) ABCDEFGH es un prisma recto tal que su cara ABCD está contenida en un plano α.AE = a, AB = 4a y AD = 3a.

K ∈ EF de modo que EK = a y L ∈ GF siendo GL = a. M es el punto medio de BF y β = (KLM).

a) Determinar KM ∩ α y α ∩ β. b) Construir en verdadera magnitud la sección del prisma con β.c) Calcular, en función de a, el perímetro de la sección construida.

XV) ABCDE es una pirámide de base cuadrada ABCD cuyo lado mide a y tal que las aristas AE, BE,

CE y DE miden 2a. M es el punto medio AE, P un punto de BE tal que BP = BE, Q de CE tal queCQ = CE y β = (MPQ).

1 – Determinar: a) la intersección de los planos (ABC) y β. b) CD ∩ β.c) la sección de la pirámide con β.

2 – Construir en verdadera magnitud la sección determinada en la parte anterior.

XVI) Teorema de Euler. ¿Qué relación se puede establecer, en todo poliedro convexo, entre el número c de caras, el número v de vértices y el número a de aristas?

unidad 3 - ficha 1 - pertenencia y orden.pdf

Documents