unidad 4 c-1control/diseÑo directo/rta-t
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03/06/2013
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DISEÑO DE
CONTROLADORES DIGITALES
Existen dos formas generales de diseñar el control de sistemas en tiempo discreto:
Indirecto: consiste en diseñar el controlador digital en el dominio de tiempo continuo, utilizando las técnicas analógicas y luego transformando el resultado del dominio continuo al dominio discreto.
Directo: se diseña el controlador digital en el dominio discreto directamente, utilizando una función de transferencia del proceso a controlar. Se utilizan técnicas de diseño en el dominio .
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La estrategia de diseño es definir las características de la respuesta del sistema en el tiempo o en frecuencia; como el sobre paso máximo, el tiempo de asentamiento, el tiempo de levantamiento márgenes de fase o magnitud, etc. Estas características determinan la ubicación de los polos de la función de transferencia z de lazo cerrado. Entonces se determina el periodo de muestreo teniendo en cuenta el teorema de y los criterios de elección para que se obtenga la función de transferencia deseada.
El periodo de muestreo es un aspecto crítico en la discretización de compensadores continuos. Como norma general, cabe anotar que interesa es un periodo de muestreo lo mas pequeño posible, siempre que no condicione al sistema a dos aspectos importantes: su implementación y los errores de cuantificación. Los criterios se basan en los siguientes aspectos:
75 a 25ientoestablecim de tiempo:
20 a 10ntolevantamie subida, de tiempo:
banda de ancho 40 a 20 N
2 B
r
s
r
ss
r
r
r
rs
Bs
s
Nt
NtT
Nt
NtT
BWBWN
T
LAZO CERRADO
LAZO ABIERTO
ganancia de cruce de frecuencia :80 a 04
2Tg
g
ggs
NN
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OGATA, Katsuhiko. Sistemas De Control En Tiempo Discreto. Segunda Edición. DORSEY, John. Sistemas de Control Continuo y Discreto BIBLIOGRAFÍA WEB ASTRÖM, Kral J- Computer Controlled Systems. Tercera Edición PARASKEVOPOLUS,P. Modern Control Engineering. Primera Edición. CHEN, Chi-Tsong. Analog And Digital Control System Design. Tercera Edición SMITH C., CORRIPIO A., Control Automático de Procesos. Primera Edición DORF R., BISHOP R., Sistemas de Control Moderno. Décima Edición.
DISEÑO DIRECTO: BASADO EN LA RESPUESTA EN EL TIEMPO
0
* )()()(k
kTtkTxtx
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Para el sistema mostrado la ecuación característica es:
La cual es la misma que la encontrada en el lugar geométrico de las raíces en tiempo continuo (plano )
0)()(1 zHzG
CONDICIONES DE ÁNGULO Y MAGNITUD: en muchos sistemas en tiempo discreto, la ecuación característica puede tener cualquiera de las dos siguientes formas
y
Para combinar esta dos formas en una, definamos la ecuación característica
Donde:
o
0)()(1 zHzG 0)(1 zGH
0)(1 zF
)()()( zHzGzF )()( zGHzF
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Observe que es la función de transferencia de lazo abierto. La ecuación característica se puede escribir de esta manera también:
Dado que es una cantidad compleja se puede hallar la magnitud y el ángulo de dicha cantidad, de esta manera:
1)(zF
1)(zF0,1,2,...N ),12(180 )( NzF
Los valores de que satisfacen tanto las condiciones de ángulo como de magnitud se encuentran en las raíces de la ecuación característica, es decir en los polos de la lazo cerrado.
Una gráfica de los puntos en el plano complejo que satisface solamente la condición de ángulo es el lugar geométrico de las raíces. Las raíces de la ecuación característica que corresponden a un valor dado de la ganancia pueden localizarse en el lugar geométrico de las raíces mediante la condición de magnitud.
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Ahora se investigará los efectos de la ganancia y el periodo de muestreo sobre la estabilidad relativa de un sistema de lazo cerrado.
Suponga el sistema de control siguiente
)(* sG D ZOH1
1s
+ _
Controlador digital Gh(s) Gp(s)
r(t) c(t)
Donde el controlador digital es de tipo integral, es decir
Se dibujará el lugar de las raíces para tres valores del periodo de muestreo (T=0.5 seg, T=1 seg y T=2 seg), también se hallará el valor crítico de la ganancia para cada uno de los casos. Finalmente localizaremos los polos en lazo cerrado correspondiente a para cada uno de los tres casos.
11)( 1 z
Kzz
KzGD
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En primera medida obtenemos la de .
De esta manera:
La función de transferencia pulso de la trayectoria directa es
La ecuación característica
Es decir
0))(1(
)1(1 T
T
ezzeKz
0)(1 zG
T
T
phD eze
zKzsGsGZzGzG 1
1)()()()(
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Para un periodo de muestreo T=0.5 seg
Observe ve que tiene polos z=1 y z=o,6065 y un cero en z=0
)6065,0)(1(3935,0)(zz
KzzG
)()(
zBzAK
Entonces:
Diferenciando la ecuación en función de z obtenemos
De allí que:
Con esto se obtiene: z=0.7788 y z=-0.7788
zzzK3935,0
)6065,0)(1(
6065,0
03935,0
6065,0
2
2
2
zz
zdzdK
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Al reemplazar en la ecuación de se obtiene un valor de , en tanto que al reemplazar el valor de obtenemos un valor de
Como resultó positivo entonces, el valor es un punto de ruptura de salida real y el valor es un punto de ruptura de entrada real.
Para hallar el valor crítico de la ganancia se obtiene mediante la condición de la magnitud de la función de transferencia pulso de la trayectoria directa, así:
Kezzez
T
T 1))(1(
)1(
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Para el caso de T=0.5 se obtiene
La ganancia crítica ocurre en z=-1, con este valor se obtiene:
Con lo que K=8.165
Con un K=2 se obtienen dos polos complejos conjugados en lazo cerrado que son
)6065,0)(1(3935,01zz
zK
)6065,01)(11()1(3935,01
K
6623.04098.0y 6623.04098.0 21 jzjz
Gráfica del lugar de las raíces con un T=0.5 seg
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Para obtener la función de transferencia de lazo cerrado primero se halla la función de transferencia de la planta en Z, de esta manera
n=[1] ; d=[1 1]; Gps=tf(n,d); Gpz=c2d(Gps,0.5,'zoh') % FT de la Planta en Z Gdz=tf([1 0],[1 -1],0.5) % FT del controlador
%en Z G=series(Gpz,Gdz) % función de trasferencia de
%lazo abierto M= feedback (G,1) %función de trasferencia de
%lazo cerrado
11)(
ssG p
111)( 1 z
zz
zGD
Después de obtener la función de transferencia de lazo abierto del sistema, se procede a graficar el LR en
de la siguiente manera: num=[0 0.3935 0]; den=[1 -1.6065 0.6065]; G=tf(num,den,0.5) G2=tf -%potencia de z negativas
rlocus (G) % lugar de las raíces en z rlocus (G2) % lugar de las raíces en z^-1 Sisotool (G) % diseño de compensadores y %controladores
)6065,0)(1(3935,0)(zz
KzzG
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Respuesta en Matlab del L.R. Root Locus
Real Axis-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
System: GGain: 2Pole: 0.409 + 0.662iDamping: 0.24Overshoot (%): 46.1Frequency (rad/sec): 2.09
EJERCICIO1: La ecuación obtenida para un periodo de muestreo de 1 seg. es:
Con polos en z=1, 0.3679 y cero e z=0
El punto de ruptura de salida y el punto de ruptura de entrada son z=0,6065 y z=-0,6065 respectivamente con valores correspondientes de ganancia K=0,2449 y K=4,083 respectivamente. El lugar de las raíces se gráfica de esta manera.
)3679,0)(1(6321,0)(zz
KzzG
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El valor crítico de la ganancia K es 4,328. Los polos de lazo cerrado para K=2 son:
6043.005185.0y 6043.005185.0 21 jzjz
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EJERCICIO2: La ecuación obtenida para un periodo de muestreo de 2 seg. es:
Con polos en z=1, 0.1353 y cero e z=0
El punto de ruptura de salida y el punto de ruptura de entrada son z=0,3678 y z=-0,3678 respectivamente. Sus valores correspondientes de ganancia son K=0,4622 y K=2,164 respectivamente. El lugar de las raíces se gráfica de esta manera.
)1353,0)(1(8647,0)(
zzKzzG
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El valor crítico de la ganancia K es 2,626. Los polos de lazo cerrado para K=2 son:
2169.02971.0y 2169.02971.0 21 jzjz
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Conclusión:
. Una regla práctica es muestrear la señal de ocho a diez veces durante un ciclo de oscilaciones senoidales amortiguadas de la salida de un sistema subamortiguados. Para sistemas sobreamortiguados prueba de ocho a diez veces durante el tiempo de levantamiento de la respuesta escalón.
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Conclusión: De manera alternativa, al reducir el periodo de muestreo permite que el valor crítico de la ganancia respecto a la estabilidad sea mayor. Esto hace que el sistema se comporte mas como un sistema continuo.
El factor de amortiguamiento relativo de un polo en lazo cerrado se puede determinar de forma analítica a partir de la localización del polo en lazo cerrado en el plano z.
Sabiendo que
Al igual que
entonces
21nn js
21nn jTez
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De lo cual obtenemos y A partir de estas ecuaciones se puede hallar los parámetros de respuesta de .
Por ejemplo en el caso del periodo de muestreo igual 0,5seg. tenemos un polo en lazo cerrado para y
. Por lo tanto resolviendo
Tnez radTTzdn
1 2
7788,06623,04098,0 22z
7788,0Tnez
Con lo cual
También se halla
Dividiendo ambos resultados
radTz n 0167,14098,06623,0tan1 12
25,0Tn
0167,125,0
1 2n
n
TT
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Es decir
Con lo que nos queda
Cabe anotar que esta valor se puede también obtener de forma gráfica
2459,01 2
2388,0
La respuesta al escalón de la función de transferencia de lazo cerrado del diagrama de bloques del ejemplo es
Usando un valor de Periodo igual a y una ganancia de se obtiene una respuesta para una entrada escalón unitario
KzzzKz
zGzG
zRzC
3935,0)6065,0)(1(3935,0
)(1)(
)()(
121
1
11
6065,08195,017870,0
)(23935,0)6065,0)(1(
23935,0)(
zzzz
zRzzz
zzC
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Se obtiene un ángulo de
Para completar un ciclo se halla 360°/58,25° =6,16 muestras por ciclo de oscilación amortiguada Con la cual se obtiene la secuencia c(kT)
25,580167,14098,06623,0tan 1 radz
T=0.5 G=zpk([0],[1,.6065],[.3935*2],T) M= feedback (G,1) step(M,0:T:15) figure stem(0:T:15, step(M,0:T:15)) grid
0 5 10 150
0.5
1
1.5
kT
0 5 10 15 20 250
0.5
1
1.5Step Response
Time (sec)
dstep([0 .787 0],[1 -.8195 .6065]) hold on stem(step(M)) grid
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Para periodos de muestreo de 1 y 2 seg las gráficas son:
T=1; Gps=tf([1] , [1 1]); Gpz=c2d(Gps,T,'zoh') Gdz=tf([2 0],[1 -1],T) G=series(Gpz,Gdz) M= feedback (G,1) step(M,0:T:15) figure stem(0:T:15, step(M,0:T:15)) grid
0 5 10 150
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
kT
360°/85.10°=4,23 muestras por ciclo
0 2 4 6 8 10 12 140
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
kT
360°/143,87°=2,5 muestras por ciclo
Comparación Función de Transferencia Continua y con función de transferencia ya discretizada.
Zero-OrderHold
1
s+1Transfer Fcn
y2
To Workspace2
y1
To Workspace1
Step
Scope
K
Gain1
K
Gain
First-OrderHold
z
(z-1)
DiscreteZero-Pole1
.3935z
(z-1)(z-0.6065)
DiscreteZero-Pole
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De las gráficas se sabe que para un periodo de muestreo pequeño la secuencia en función de dará una imagen precisa de Sin embargo si no se utiliza un periodo de muestreo considerablemente pequeño la función
no presentará una solución precisa.
Ahora analizando el efecto del periodo de muestreo sobre la exactitud en estado permanente.
Por ejemplo para la ganancia . La función de transferencia de lazo abierto es
)6065,0)(1(787,0)(zz
zzG
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Con lo cual la constante de error estática de la velocidad Kv es
Y su error en estado estable en repuesta a una entrada rampa unitaria es
25,0
411
vss K
e
4)6065,0)(1(5,0
787,0)1()()1(lim1
1
v
zv
Kzzz
zzT
zGzK
Secuencia de la respuesta del sistema a una entrada rampa unitaria, para T=0,5 seg
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Para un periodo de se obtiene de la misma manera la constante de error estable de la velocidad y error en estado estable en repuesta a una entrada rampa unitaria
Y su error en estado estable en repuesta a una entrada rampa unitaria es
2)6065,0)(1(5,0
6321,0)1()()1(lim1
1
v
zv
Kzzz
zzT
zGzK
5,0211
vss K
e
Y por último para un periodo de se obtiene de igual forma la
constante de error estable de la velocidad y error en estado estable en repuesta a una entrada rampa unitaria, respectivamente.
11
)6065,0)(1(5,08647,0)1()()1(lim
1
1
ss
v
zv
eK
zzzzz
TzGzK
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Y para T=1 seg y T= 2 seg respectivamente
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en los tres casos se observa que al aumentar el periodo de muestreo la estabilidad relativa del sistema se ve afectada de forma adversa.
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Como ya se ha explicado, la respuesta transitoria depende de la posición de los polos y los ceros de la función de transferencia en lazo cerrado y del periodo de muestreo T. En general, las características de desempeño estarán especificadas como la respuesta a una entrada escalón. Los parámetros utilizados son los mismos que se utilizaban para caracterizar la respuesta en régimen transitorio de un sistema continuo, y son: El tiempo de retardo . El tiempo de subida . El tiempo de pico . El sobreimpulso máximo . El tiempo de asentamiento o asentamiento .
Recordando
rt
pt
ptpeeMp21
st
22 cos2)(
ezezKzG
Si se posee un sistema con dos polos complejo conjugados el sistema se puede expresar como:
jeep
e
1
1p
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Al igual que en el caso continuo, la posición de los polos de un sistema determinan las características de su respuesta en transitoria.
Para hallar regiones en el plano que garanticen valores de sobre-impulso, tiempo de asentamiento o frecuencia natural no amortiguada, se analiza la forma en como se transforman las regiones correspondientes del plano
: para garantizar un tiempo de asentamiento menor a cierto valor en un sistema continuo, los polos deben estar en la región sombreada de la derecha de la figura 1. En la figura 2 se muestra su contraparte en obtenida mediante la transformación
Figura 1 Figura 2
Tsez
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para garantizar un sobre pico pequeño (SP<5%) los polos del sistema continuo, deben estar en la zona sombreada de la figura 1. En la figura 2 se observa su contraparte en .
Figura 1 Figura 2
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cuando se quiere garantizar que la frecuencia se menor a cierta cantidad, esto implica que los polos en un sistema de tiempo continuo están a una distancia del origen, con el fin de garantizar un tiempo de subida dado como en la figura 1, se observa además su contraparte en
Figura 1 Figura 2
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: El control digital
incluye muchos componentes que no se encuentran en los sistemas de control continuos, como son los convertidores A/D y D/ A, los prefiltros, etc.
El prefiltro analógico se suele situar entre el sensor y el convertidor A/D. Su tarea es reducir el ruido de alta frecuencia en la señal continua para prevenir el aliasing. En efecto, en los sistemas continuos, el ruido de alta frecuencia, estando fuera del alcance del ancho de banda del sistema, no da respuestas apreciables. En cambio en los sistemas digitales dicho ruido, por efecto del puede convertirse en ruido de baja frecuencia y dar respuestas significativas.
Es el aparato que hace todos los cálculos y aplica la ley de control. Su coste depende de la frecuencia de trabajo y del tamaño de las palabras de bits usadas.
Es el compromiso de dos factores principalmente: el costo y la eficacia de control. Bajar la frecuencia significa dejar más tiempo para los cálculos de control, poder usar ordenadores más lentos o poder aplicar leyes de control más complicadas: en pocas palabras, el costo por función baja. Por eso hay que elegir la frecuencia de muestreo menor posible.
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Existen varios métodos de aproximación para lograr la discretización de un PID continuo. El más general consiste en aproximar la integral por el integral del trapecio y la derivada por el método de diferencia hacia atrás:
)()1(1
12
1)()()1(11
21)(
obtiene se dosolucionan
112
1
)()(1)(
11
11
1
1
0
zEzTT
zTT
TTKzMzEz
TT
zz
TTKzM
TieiTeTTTieiTeT
TkTeKkTm
dttdeTdtte
TteKtm
d
ii
d
i
dk
ii
d
t
iForma Posicional del PID
Integral trapecio
Derivada hacia atrás
Al ecuación anterior se puede escribir también así:
Si ahora definimos las constantes como
Si seguimos solucionando la ecuación
TKTK
TKTK
TTKK D
Di
Ii
p 2
1
zzK
zzKKzK
zKK
zEzM
DIpDI
p1
1)1(
1)()(
obtiene se doReemplazan
11
)1()2()(
)1()12()(
)()()(
2222
zzKzKKKKKz
zzzzKzKzzK
zEzMzG DDpDIpDIp
PID
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Si ahora definimos las constantes como
que se conoce como forma de velocidad del PID, cuya
ventaja principal es que elimina el problema del integral windup. El problema principal es que sólo el término de control integral incluye la entrada R(z), por lo que este último no se puede excluir del controlador digital si éste se utiliza en su forma de velocidad.
TTKKqKKKq
TT
TTKKKKq
dDT
TTT
Dp
d
iDIp
d
i 22
21
0
y 1)2(
2
1
)1()( 21
20
zzqzqzqzGPID
TkeqTkeqkTeqTkmkTm 211 210
Otro método usual es por aproximación de Operadores
)()1(1
11)(
Zrmadaen transfo obtiene se dosolucionan
integral)(operador derivada)(operador si
)()(1)()(
Lap lace de ada transformaplicando
)()(1)(
11
1s11
0
1
1
zEzTT
zTTKzM
s
ssETsEsT
sEKsM
dttdeTde
TteKtm
d
i
zT
Tz
di
d
t
i
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Continuando
Dicha expresión tiene la misma forma que la calcula anteriormente en la que varían q0, q1, q2. Estas diferencias son pequeñas si:
en la primera representación.
1
22
110
1
21
11
1)()(
1
211
)()(
)1(1
11)()(
zzqzqq
zEzM
z
zTTKz
TTK
TT
TTK
zEzM
zTT
zTTK
zEzM
ddd
i
d
i
Se procede:
1.Eliminar las acciones integral y derivativa del controlador
2.Colocar una ganancia pequeña, y empezar a aumentarla hasta que el sistema oscile, se anota como (Ku).
3.Se mide el periodo de la oscilación y se anota como (Tu).
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P 0.5KU - -
PI 0.45KU 0.83TU -
PID 0.6KU 0.5TU
0.125TU
C(t)
t
Tu
Una vez calculados se puede obtener el algoritmo de control requerido utilizando las ecuaciones de discretización de Controladores PID. Usando este método se obtiene un sistema de lazo cerrado con coeficiente de amortiguamiento bajo.
Este método fue propuesto por Ziegler y Nichols, en donde se aproxima la función de lazo abierto de la planta a una función de primer orden de esta forma
donde es la ganancia, la
constante de tiempo y el retardo.
Los parámetros del controlador se estiman a partir de una tabla, teniendo en cuenta que:
Donde T es el periodo de muestreo
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El método de Ziegler y Nichols es aplicable sí 0.1< / <1
P - -
PI 3.33 -
PID 2
0.5
Línea tangente
t
C(t)
K
Este método parte con la exigencia de que el error debe ser mínimo. A continuación se presentan algunos índices de desempeño basados en integrales del error y utilizados ampliamente en el diseño de sistemas de control, todos basados en la ecuación de primer orden de .
Control P ICE IAE IAET
ICE: Integral de Cuadrado del error IAE: Integral del Valor Absoluto del error IAET: Integral del Valor Absoluto del error por tiempo
Ajustes del Controlador P
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Control PI ICE IAE IAET
Control PID ICE IAE IAET
Ajustes del Controlador PI
Ajustes del Controlador PID
Un regulador proporcional permite seleccionar la posición
de los polos en bucle cerrado del sistema al desplazarse éstos por las ramas del lugar de raíces. Para su diseño, los pasos a seguir son: Fijar la posición de los polos dominantes del sistema final. A partir de las especificaciones dinámicas se pueden acotar las regiones del plano en las que deben estar situados los polos dominantes para cumplir las especificaciones. Representar el lugar de raíces con el objetivo de comprobar si es posible situar las raíces en la región acotada de las especificaciones usando sólo una acción proporcional (regulador tipo P). En principio debe elegirse el valor de que, cumpliendo las especificaciones, lleve al mínimo error en régimen permanente. Esto se consigue eligiendo el máximo valor de K que sitúa las raíces en el lugar de las especificaciones.
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La función de transferencia del controlador PD es:
donde
De esta expresión se puede deducir que el regulador
PD introduce un polo en el origen y un cero en que está situado entre el origen y el punto (1, 0). Para obtener la posición del cero se utiliza generalmente el criterio del ángulo. Una vez fijada ésta, se puede determinar la ganancia mediante el criterio del módulo. Una vez calculada la ganancia hay que comprobar que los polos dominantes del sistema cumplen las especificaciones.
zczKzG d 1
d
dd TT
Tc
Matemáticamente también se puede obtener el PD a partir dela forma posicional del PID, excluyendo la parte integral z
zKK
zKKKzzG
zKzKzK
zzKKzG
DP
DKK
K
DPDDP
PD
DDPDPPD
)(
1)(
obtiene se doReemplazan
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El efecto que produce el controlador PI es la introducción en la función de transferencia en bucle abierto de un polo en z = 1 y un cero que en condiciones normales ( ) estará próximo a ese polo, ya que en el caso de la aproximación trapezoidal su posición vendrá dada por:
y función de transferencia
Al introducir un polo en z = 1 aumenta el tipo del sistema en una unidad, con lo que se mejora el comportamiento en régimen permanente. Además, al encontrarse el par polo-cero muy cercanos entre sí hace que la forma del lugar de raíces del sistema original sin regulador no varía demasiado.
1zczKzG i
TTTTc
i
ii 2
2
De igual forma se puede obtener el controlador PI a partir dela forma posicional del PID, excluyendo la parte derivativa
11)(
11)(
obtiene se doReemplazan
zz
KKz
KKKzzG
zzKKzK
zzKKzG
IP
IKK
K
IPIIP
PI
IPPIPPI
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Para un sistema cuya calcular el regulador
más sencillo que cumpla las siguientes especificaciones:
Mp
ts
ep
9.07.01)(
zzzG p
El primer paso es establecer la región de validez de las especificaciones. A partir de las ecuaciones vistas con anterioridad:
323,07435,0psistema del dominante polo elobtener puede se resultado esteCon
º48.2321.02.0
15
48,2321.01,2 jee
eM
t
j
p
s
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Graficando el LGR de Gp(z) encontramos:
Root Locus
Real Axis-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Podemos comprobar que no nos vale con un controlador P. El siguiente paso es probar con un controlador PD.
Para calcular la posición del cero se hace uso del criterio del ángulo. De esta forma
y, por tanto, el cero estará en
38,23)(tan3
329.82)(tan2
85.115)(tan1801 que sabiendoº6,4112180321
7435.032.01
7.07435.032.01
7435.09.032.01
a
a
abnbaaa
38.06.41tan
323.07435.0c
c
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El nuevo valor de la ganancia se puede calcular mediante el método del lugar de raíces, mediante la herramienta , o mediante el criterio de Magnitud. En la siguiente figura se ve que el nuevo lugar de raíces sí pasa por los puntos establecidos mediante las especificaciones, y que la ganancia proporcional asociada será .
197.01281.51
0.0035j + 5.1281-1
1)9.0)(7.0(
)38.0(
323.07435.0
K
zzzzK
jz
Gráfica usando sisotool y encontrando el valor de la ganancia K
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De esta forma, nos vale con el regulador PD cuya función de transferencia en el dominio digital vendrá dada por: La última condición a comprobar tiene que ver con el error en estado permanente. Para comprobar si se cumple utilizamos el teorema del valor final: %22%71.19
071.411071.4lim
1 pzp ezGzRK
zzzR 38.0197.0
Vemos que, efectivamente, el sistema propuesto cumple con todas las especificaciones impuestas. Su respuesta a una entrada escalón se muestra en la siguiente figura:
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Modelo montado en Simulink
y2
To Workspace2
t
To Workspace
Step
Scope1
k
Gain1
(z-0.38)
z
DiscreteZero-Pole2
1
(z-.7)(z-0.9)
DiscreteZero-Pole1
Clock
OGATA, Katsuhiko. Sistemas De Control En Tiempo Discreto. Segunda Edición. DORSEY, John. Sistemas de Control Continuo y Discreto BIBLIOGRAFÍA WEB ASTRÖM, Kral J- Computer Controlled Systems. Tercera Edición PARASKEVOPOLUS,P. Modern Control Engineering. Primera Edición. CHEN, Chi-Tsong. Analog And Digital Control System Design. Tercera Edición SMITH C., CORRIPIO A., Control Automático de Procesos. Primera Edición DORF R., BISHOP R., Sistemas de Control Moderno. Décima Edición.