Unidad 4

Resolución de Triángulos Oblicuángulos

Ing. Arnoldo Campillo Borrego.Autor.

Leyes de senos.

Los triángulos los puedes clasificar en rectángulos y oblicuángulos, según el tipo de herramienta matemática que utilices para resolverlos. Las leyes de Senos y Cosenos sirven para resolver los triángulos oblicuángulos, es decir los que tienen un ángulo mayor a 90°.Ejemplos:

Analicemos uno de los triángulos.

Para calcular el área del triángulo, mediante la fórmula A = ½ b h, necesitamos conocer su altura (h); ésta se puede calcular mediante la función sen A = h / c, de donde h = c sen A

Sustituyendo h en la fórmula para calcular el área obtenemos:

A = ½ b c sen A

Al dividir entre ½ a b c las expresiones algebraicas obtenidas para el cálculo de áreas de los triángulos oblicuángulos, encontramos lo siguiente:

Sen A = sen B = sen Ca b c

A esta expresión se le conoce como ley de senos. Observa los elementos que la forman. Esta ley se utiliza cuando se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de esos lados.

Calculemos el área del siguiente triángulo:Aplicando la ley de los senos, tenemos:

a = 12__ = __a__ = ___12__ Sen 40 sen 100 0.6428 0.9848

Realizamos una regla de tres y tenemos:(0.6428 x 12) ÷ 0.9848 = 7.8324

a = 7.8324 cm y b = 7.8324 cmLa igualdad se mantiene si utilizamos de forma recíproca la Ley de Senos, es decir: ___a__ = ___b__

sen A sen B

¿Y si en lugar de utilizar la función seno utilizamos la función coseno, qué expresión algebraica se obtiene?

Trabajemos con los dos triángulos rectángulos que se forman dentro de este triángulo oblicuángulo. Podemos calcular la altura (h) mediante el teorema de Pitágoras.

c2 = x2 + h2

a2 = h2 + (b – x)2

al desarrollar la fórmula: a2 = h2 + b2 - 2bx + x2

se ordenan términos: a2 = b2 - 2bx + x2 + h2

Al sustituir c2 = x2 + h2, se obtiene a2 = b2 - 2bx + c2 se ordenan términos: a2 = b2 + c2 - 2bx

x se puede sustituir por c cos A, de donde resulta: a2 = b2 + c2 - 2bc cos A

Más información adicional en www.vitutor.com/al/trigo/tr_e1.html