unidad 7 funciones
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UUNNIIDDAADD 77:: FFUUNNCCIIOONNEESS
Antes de comenzar el estudio de las funciones se debe hacer un breve repaso sobre valor absoluto junto con
algunas de sus propiedades, debido a que dicho concepto será utilizado en esta unidad.
7.1 VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto x de un número real x se define como sigue:
0
0
xsix
xsixx
Además:
xx 2
axax
axaax
axaxax o
Se estudiará el concepto de función a partir de un ejemplo o estudio de caso:
ESTUDIO DE CASO: Un granjero tiene 24 m de cerca y desea encerrar un terreno rectangular limitado por un rio
de orilla recta. Exprese el área del terreno en términos de la longitud del ancho del terreno. Además determine las dimensiones que debe tener el terreno de tal manera que su área sea la más grande (área máxima)
Considérese la siguiente figura:
Se supondrá que el terreno tiene un largo y y un ancho x . Por lo
tanto el área del terreno es:
xyA
La ecuación anterior expresa el área A del terreno en términos del largo y y del ancho x . Pero se debe expresar A en términos de x .
Para tal efecto, se debe tener en cuenta que el granjero solamente dispone de 24 m cerca para encerrar el terreno, es decir:
242 yx
Ahora si se despeja y en la ecuación anterior: xy 224 y se reemplaza y en la ecuación del área se tiene
que:
x
y
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xxA 224
2224 xxA
La ecuación anterior expresa el área A del terreno en términos del ancho x . Es decir, A depende de x
Según el ejemplo la magnitud A depende de la magnitud x . Esto es lo mismo que decir A está en función de x .
Esta dependencia entre A y x se simboliza como:
2224 xxxA
La variable A se denomina variable dependiente.
La variable x se denomina variable independiente.
Veamos qué pasa con el área A si el ancho del terreno es igual a 4 . Es decir, si 4x :
Si 4x , entonces 64424242
AA
Lo anterior se denota de la siguiente manera:
644 A
Y se denomina evaluar el área A en 4x
Hallemos 000202402
AA
Es claro que x no puede ser 0 ya que A valdría 0 . Además x no puede ser negativo ( 0x ) ya que x
representa una longitud.
Hallemos 0121221224122
AA
Es claro que x no puede ser 12 ya que A valdría 0 . Además x no puede ser mayor que 12 ( 12x )
debido a que A sería negativo ( 0A ). A no puede ser negativo ya que A representa un área.
¿Qué valores puede tomar x ?
Valores entre 0 y 12 , sin incluir al 0 y sin incluir al 12 . Es decir 120 x
El conjunto de valores que puede tomar la variable independiente, que en este caso es x , se denomina Dominio y
se representa con la letra D . Según el ejemplo:
12 ,0120: xRxD
Por otro lado, para determinar las dimensiones que debe tener el terreno de tal manera que su área sea máxima,
se debe graficar la ecuación:
2224 xxA
Para tal efecto se completa cuadrados:
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Axx
Axx
122
242
2
2
362
6
2366
212
2
2
2
Ax
Ax
Axx
726212
Ax
La anterior ecuación representa una parábola con vértice en 27 ,6 , eje de simetría paralelo a A y abierta hacia
abajo, cuya gráfica se muestra en la siguiente figura:
Según la gráfica, es claro que el valor más grande de A es 72 y se obtiene cuando 6x . Es decir:
7266262462
AA
Reemplazando 6x en la ecuación xy 224 para hallar el valor de y se tiene que:
126224 yy
Por lo tanto, las dimensiones que debe tener el terreno de tal manera que su área sea máxima son:
Largo: 12y
Ancho: 6x
¿Qué valores tomara A ?
Valores mayores que 0 y menores o iguales que 72 . Es decir 720 A
El conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente, que en este caso es A se denomina Imagen y se
representa con la letra I . Según el ejemplo:
27 ,6
X
A
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x
f(x)
D I f
-2
f(-2)
D I f
27 ,0720: ARAI
A continuación se define formalmente lo que es una función.
7.1 FUNCIÓN
Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto D llamado Dominio, exactamente un
elemento xf de un conjunto I , llamado Imagen. Tal asignación se puede expresar claramente mediante el
siguiente diagrama sagital:
Se acostumbra a hacer explícito el valor de la función f evaluada en un valor x de la siguiente manera
xfy , donde x es la variable independiente y y es la variable dependiente.
Dada la siguiente función xx
xf
2
18 , exprésela como una ecuación y halle 2f
Solución:
Para expresar la función anterior como una ecuación se hace explícito el valor de la función evaluada en x
haciendo xfy , por lo tanto:
xxy
2
18
Por otro lado,
322
182
2f
32 f
El resultado anterior se puede entender mejor mediante el siguiente diagrama sagital:
7.2.1 Dominio de una función
El dominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente de tal manera que la
función esté bien definida.
7.2.2 Imagen de una función
La imagen de una función es el conjunto de valores que tomará la variable dependiente.
Ejemplo No. 113
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Halle el dominio de las siguientes funciones:
a. xx
xf
2
18
b. 24 xxf
c. 22 xxxf
Solución:
a. La función xx
xf
2
18 está bien definida si 02 xx . Es decir, si:
01xx
0x y 01x
Entonces 0x
y 1x
Por lo tanto 1,010: RxxRxD
,11 ,00 , D
La representación gráfica del dominio es la siguiente:
b. La función 24 xxf está bien definida si 04 2 x . Es decir, si:
2444 222 xxxx
22 x
Por lo tanto 22: xRxD
2 ,2D
La representación gráfica del dominio es la siguiente:
c. La función 22 xxxf está bien definida si 022 xx . Es decir, si 012 xx
12 xx es mayor o igual que cero si 01020102 xxxx
Ejemplo No. 114
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Para determinar cuáles valores de x cumplen con la anterior condición se debe hacer lo siguiente:
01 02 01 02 xxxx
1 2 1 2 xxxx
,1 ,2 1, 2,
,12,
Por lo tanto 12: xxRxD
,12, D
La representación gráfica del dominio es la siguiente:
Un recipiente rectangular con su parte superior abierta tiene un volumen de 10 m3. La longitud de su largo es el
doble de su ancho. El material para construir la base cuesta 10 dolares el m2 y el material para los lados cuesta 6
dolares el m2. Exprese el costo del material en función del ancho de la base.
Solución:
Se sabe que:
Costo del material (C ) = Costo de la base (CB ) + Costo de los lados (CL )
Pero:
CB = 10 x Área de la base ( AB ) y CL = 6 x Área de los lados ( AL )
Dónde:
xxAB 2 22xAB
xhxhxhxhAL 22 xhxhAL 42
Por lo tanto:
2210 xCB 220xCB
xhxhCL 426 xhCL 36
Lo que da como resultado final: xhxC 3620 2
Ejemplo No. 115
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Pero se debe expresar el costo del material C en función del ancho x de la base del recipiente. Para tal efecto se
debe tener en cuenta que el volumen V del recipiente es 10 m3, es decir 10V
Pero: hxhxxV 22)2 hxV 22
Por lo tanto:
102 2 hx
Despejando h de la ecuación anterior y reemplazándola en la ecuación del costo del material C se tiene que:
2
5
xh
Por lo tanto:
2
2 53620
xxxC
xxC
18020 2 , con 0x
Exprese el área de un triángulo equilátero en función de la longitud de uno de sus lados.
Solución:
El área A del triángulo equilátero es igual al área 1A del triángulo
rectángulo de la izquierda más el área 2A del triángulo rectángulo de
la derecha. Es decir: 21 AAA
Siendo 21 AA
Pero
2
2
22
hx
hbA
42
xhA
Además
4
3
42
22
222
2
22 xh
xxh
xhx
2
3xh
Por lo tanto
2
3
42
xxA
8
3 2
2
xA
Con lo que 8
32
8
3
8
3 222 xxxA
4
3 2xA
Ejemplo No. 116
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7.2.3. Grafica de una función
La gráfica de una función f de una variable
independiente es el conjunto:
:, 2 xfyRyxG
Grafique la función del ejemplo anterior.
Solución:
La grafica de dicha función se muestra en la figura de la derecha:
Trace la gráfica de la función valor absoluto xxf
Solución:
Según la definición de valor absoluto se tiene que:
0
0
xsix
xsixxxf
De lo anterior se tiene que la gráfica de f coincide con la recta xy , a la derecha del eje Y , y coincide con la
recta xy , a la izquierda del eje Y .
7.2.4 Simetría
Si una función f
satisface xfxf , para todo número x en su dominio D , entonces f se denomina
función par. El significado geométrico de una función par es que su gráfica es simétrica con respecto al eje Y . Esto significa que si se traza la gráfica de f para 0x , se obtiene toda la gráfica con solo reflejarla con
respecto al eje Y .
Ejemplo No. 118
Ejemplo No. 117
4
3 2xA
A
x
Y
X
0
xy
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Si una función f
satisface xfxf , para todo número x
en su dominio D , entonces f se denomina
función impar. El significado geométrico de una función impar es que su gráfica es simétrica con respecto al origen. Esto significa que si se traza la gráfica de f para 0x , se obtiene toda la gráfica con solo girarla 180
alrededor del origen.
2xxf es par, ya que:
xfxxxf 22
3xxf es impar, ya que:
xfxxxf 33
NOTA: La gráfica de una función de una variable independiente es una curva en el plano XY , pero no toda curva en el plano XY
es la gráfica de una función de una variable independiente.
7.2.5 Prueba de la recta vertical
Una curva en el plano XY es la gráfica de una función de una variable independiente si y solamente si ninguna
recta vertical corta a la curva más de una vez.
La curva representa la gráfica de una función. La curva no representa la gráfica de una función.
1. Halle hxf y hf 2 si 2xxxf
2. Una función está definida por 13 xxf . Determine la solución de la ecuación 412 xfxf
ACTIVIDAD No. 48
Ejemplo No. 119
X
Y
X
Y
X
Y 2xy
X
Y 3xy
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3. Sea f una función definida por 12 xxf . Encuentre los valores de h para los cuales h2 está en
el dominio de f
4. Si 1
1
x
xxf . Pruebe que:
a. afa
f
1
b. afa
f11
5. Si xxxf 2 . Pruebe que afaf 1
6. Si x
xf1
. Pruebe que
ab
abfbfaf
7. Si xfy y 54
35
x
xxf . Pruebe que yfx
8. Si x
xf1
. Pruebe que xhx
hxfhxf
2
9. Grafique las siguientes funciones:
a. xxxf
b. xxg 2
c. x
xxh
10. Determine si cada una de las siguientes funciones es par, impar o ninguna de las dos cosas. Si la función es par o impar, aplique la simetría para trazar la gráfica:
a. 2 xxf
b. 3 xxg
c. xxxh 2
d. xxxf 3
11. Halle el dominio de las siguientes funciones empleando notación de conjuntos y notación de intervalos:
a. 42 xxf b. 65
22
xx
xxf c.
12
12
2
xx
xxxf
d. 12
4)(
2
x
xxf
e. 4 28 xxf f. 3
2
x
xxf g.
32
1
x
xxf h.
14
16)(
2
2
x
xxf
12. Si Un punto yxP , se mueve, en sentido horario, sobre la parábola 051622
yx . Exprese
mediante una función de una variable independiente la distancia del punto yxP , al punto 2,2
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13. Exprese mediante una función de una variable independiente, el área del rectángulo que tiene dos vértices en el eje X y los otros dos en la parábola 216 xy , por arriba del eje X .
14. Dada una esfera de radio R , exprese mediante una función de una variable independiente el volumen del cono circular recto de radio r altura h que puede inscribirse en la esfera.
15. Una hoja de papel de dimensiones 12 cm de largo y 8 cm de ancho, se corta por las esquinas en cuadros de x
cm de lado.
a. Pruebe que el volumen de la caja rectangular que se puede construir a partir de la hoja viene dado por xxxV 464 , con 40 x
b. Estime el volumen máximo que puede tener la caja.
16. Una pista de patinaje de 400 m de longitud tiene lados paralelos y extremos semicirculares, tal como se muestra en la figura 1. Exprese el área A encerrada por la pista en función del diámetro d de los
semicírculos. 17. Una ventana normanda tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo, tal como se muestra en la
figura 2. Si el perímetro de la ventana es de 3 m, exprese el área A de la ventana en función del ancho x de
la misma.
Figura 1 Figura 2
18. Un alambre de 100 cm de longitud se corta en dos partes, la primera parte de longitud x cm y la segunda
parte de longitud y cm, tal como se muestra en la figura 3. El primer segmento se dobla para formar un
triángulo equilátero y el segundo segmento se dobla para formar un cuadrado. Exprese el área CA del
cuadrado y el área TA del triángulo en función de la longitud x del primer segmento.
19. Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado con un triángulo equilátero, tal como se muestra en la
figura 4. Si el perímetro de la ventana es de 30 m. Exprese el área A de la ventana en función de su ancho x .
20. Se desea construir un recipiente con forma de cilindro circular recto para que contenga 1000 cm3 de aceite,
tal como se muestra en la figura 5. Exprese el área superficial del cilindro en función de su altura.
Figura 3 Figura 4 Figura 5
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7.3 MODELOS MATEMÁTICOS
Un modelo matemático es una descripción matemática de un fenómeno o evento del mundo real.
7.3.1 Modelos lineales
Un modelo matemático es lineal si la gráfica de la función asociada al modelo es una línea recta. La función
asociada a un modelo lineal se denomina función lineal y es de la forma:
bmxxf
La compañía Silicon Valley puede producir 1000 chips por mes a un costo total de 25000 dólares, y 1025 chips a
25500 dólares. Si la compañía vende cada chip a 30 dólares, halle las funciones lineales de costo, ingreso y
utilidad.
Solución:
Una función lineal de costo es de la forma:
bmxC
Si 10001 x entonces 250001 C
Si 10252 x entonces 255002 C
Por lo tanto, la pendiente m sería: 202025
500
10001025
2500025500
12
12
m
xx
CCm
La función lineal de costo quedaría de la siguiente forma bxC 20
Como 1000x y 25000C , entonces el valor de b sería:
b 10002025000
2000025000b
5000b
Por lo tanto, la función lineal de costo es: 500020 xC
Si la compañía vende cada chip a 30 dólares, entonces el ingreso I de vender x chips es x30 . Por lo tanto, la
función lineal de ingreso es:
xI 30
Si tenemos en cuenta que la utilidad U es igual al ingreso I menos el costo C , es decir CIU . Entonces la
función lineal de utilidad es:
Ejemplo No. 120
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5000203050002030 xxUxxUCIU 500010 xU
En la siguiente figura la recta C representa la gráfica de la función lineal de costo y la recta I representa la
gráfica de la función lineal de ingreso:
La línea recta que representa la gráfica de la función lineal de costo se intercepta con la línea recta que
representa la gráfica de la función lineal de ingreso en el punto (500, 15000) denominado punto de equilibrio.
Si se producen menos de 500 chips se obtendrán pérdidas debido a que el costo de producción será mayor que los
ingresos obtenidos por las ventas (la recta C está por encima de la recta I), si se producen 500 chips el costo
será igual al ingreso (la recta C se intercepta con la recta I) y si se producen más de 500 chips el costo de
producción será menor que el ingreso obtenido por las ventas (la recta C está por debajo de la recta I)
7.3.2 Modelos cuadráticos
Un modelo matemático es cuadrático si la gráfica de la función asociada al modelo es una parábola. La función
asociada a un modelo cuadrático se denomina función cuadrática y es de la forma:
cbxaxxf 2
Dicha parábola tiene su vértice en a
bx
2
Además, si 0a la parábola es abierta hacia arriba y si 0a la parábola es abierta hacia abajo.
La cantidad W de dióxido de carbono (en libras) que produce un auto deportivo depende de su rendimiento de
combustible de acuerdo con la ecuación cuadrática 1375702 xxW , con 4015 x . Donde x
representa el rendimiento de combustible (en millas por galón). Según el modelo anterior ¿cuál es el rendimiento
de combustible del automóvil que produce la menor cantidad de dióxido de carbono?
Ejemplo No. 121
Cantidad de chips (x)
I
C
Costo e Ingreso
(500,15000)
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Solución:
La gráfica de la ecuación 1375702 xxW es una parábola que se muestra en la siguiente figura:
Tenemos que 1a y 70b , por lo tanto,
su vértice está en:
35
12
70
2
a
bx
Si 35x entonces: 150W
La parábola tiene el vértice en 150,35 y es
abierta hacia arriba ya que 0a . Por lo
tanto, el rendimiento de combustible del automóvil que produce la menor cantidad de
dióxido de carbono es 35 millas por galón.
7.3.3 Modelos exponenciales
Son modelos cuya función asociada se denomina función exponencial y son de la forma:
xAbxf
Con RbA , y 0b
En las primeras etapas de la epidemia del SIDA la cantidad de personas infectadas se duplica cada 6 meses, y en
enero de 1985 se estimaba que había 1.3 millones de personas contagiadas.
a) Suponga un modelo de crecimiento exponencial y determine un modelo que pronostique la cantidad de personas infectadas a los t años después de 1985.
b) Use el modelo para estimar la cantidad de personas infectadas en octubre de 1985. c) Grafique el modelo exponencial.
Solución:
a) En el momento 0t (enero de 1985) la cantidad de infectados era 1.3 millones. Como ese número se duplica
cada 6 meses, se cuadruplica cada año. A los t años se requiere, en consecuencia, multiplicar los 1.3 millones
originales por t4 . De esta manera el modelo es:
tP 43.1 , con 0t
Ejemplo No. 122
(35,150)
W: cantidad de dióxido (libras)
X: rendimiento de combustible (millas por galón)
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b) Octubre de 1985 corresponde a 75.012
9t , ya que octubre es 9 meses después de enero.
Por lo tanto para estimar la cantidad de personas infectadas en octubre de 1985 se debe evaluar la función
exponencial ttP 43.1 en 75.012
9t . Veamos:
6770.343.175.0 75.0 P
Es decir habrán 3.6770 millones de personas infectadas en octubre de 1985.
c) La gráfica de la función exponencial ttP 43.1 se muestra en la siguiente figura:
7.3.4 Modelos logarítmicos
Los logarítmicos son modelos cuya función asociada se denomina función logarítmica y son de la forma:
xLogxf a
Con Ra y 0a
Una epidemia de influenza se difunde entre la población de Estados Unidos. Se estima que 150 millones de personas
son susceptibles a esta cepa en particular. Ya hay 10000 personas enfermas y esa cantidad se duplica cada 2
semanas. Como asesor del Secretario de Salud debe usted pronosticar el curso de la epidemia. En particular, el
Secretario requiere conocer:
a) Cuántas personas habrán enfermas en un mes.
b) Cuándo habrá 1 millón de personas infectadas.
Ejemplo No. 123
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c) Cuándo habrá 10 millones de personas infectadas.
d) Cuándo habrá 100 millones de personas infectadas.
Observación: Aunque la difusión inicial de una epidemia parece ser exponencial, no puede continuar así debido a
que el tamaño de la población susceptible es limitado. Un modelo matemático que se suele usar para las epidemias
es la curva logarítmica, la cual viene dada por la siguiente ecuación:
tkPNP
NPtA
00
0
Donde:
tA es la población infectada en el instante de tiempo t
0P es la población infectada al principio. Es decir, es la población enferma en 0t
k es una constante que determina la rapidez de difusión de la epidemia.
Solución:
En la siguiente figura se muestra el comportamiento de la curva logarítmica:
La parte inicial de esta gráfica describe en forma aproximada un crecimiento exponencial. Veamos por qué:
Primero se multiplica el numerador y el denominador de la curva logarítmica por tk para obtener:
00
0
PNkP
kNPtA
t
t
Como tk se acerca a 1 a medida que t se acerca a 0, el denominador de la curva logarítmica quedaría como:
NPNPPNP 0000 1
0P
0
tA infectadaPoblación
N
0P
) ( semanasentTiempo
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Es decir, tkPtA 0 a medida que t es pequeño (se acerca a 0) o lo que es equivalente tA crece en forma
exponencial en la primera parte de la epidemia. Por otra parte, como el término tk se hace pequeño (se acerca a
0) a medida que t aumenta, la curva logarítmica quedaría como NtA . Es decir NtA a medida que t
aumenta. Para hacer los pronósticos se tiene que:
ttt kkkPNP
NPtA
14999000010000
0001500000000
1000015000000010000
10000150000000
00
0
tk
149991
150000000
Se requiere hallar el valor de k . Veamos como:
Se sabe que la difusión inicial de la epidemia está determinada por tkPtA 0 y que además 200002 A
Por lo tanto, 21000020000 k
2
10000
20000k
22 k
2k
De esta manera la curva logarítmica es t
tA
2 149991
150000000 cuya gráfica es:
a) Para determinar cuántas personas habrá enfermas en un mes, se debe evaluar la curva logarítmica en 4t
(cuatro semanas). Veamos:
39992109992.32 149991
1500000004 4
4
A
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Es decir, dentro de un mes (4 semanas) habrá enfermas 39992109992.3 4 personas. Para realizar los
demás pronósticos se debe despejar t de la curva logarítmica:
tA
2 149991
150000000
1500000002 149991
t
A
1500000002 14999
AAt
AA
t
1500000002 14999
A
At
14999
1500000002
A
ALnLn
t
14999
1500000002
A
ALntLn
14999
1500000002
2
14999
150000000
Ln
A
ALn
At
Se debe evaluar esta última función en 1000000A , 10000000A y 100000000A . Veamos:
3068.13
2
100000014999
1000000150000000
1000000
Ln
Ln
t
1304.20
2
1000000014999
10000000150000000
10000000
Ln
Ln
t
7452.29
2
10000000014999
100000000150000000
100000000
Ln
Ln
t
Es decir:
En 13.3 semanas habrán 1 millón de personas infectadas.
En 20.1 semanas habrán 10 millones de personas infectadas.
En 29.7 semanas habrán 100 millones de personas infectadas.
Ahora, se terminará esta sección recordando algunos aspectos importantes de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente. Las gráficas de las funciones Senxxf , Cosxxg
y Tanxxh se muestran a
continuación:
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Página 178
Grafica de la función Seno
Grafica de la función Coseno
Grafica de la función Tangente
En la siguiente tabla se describe el dominio, la imagen y el período de las funciones seno, coseno y tangente:
Función Dominio (D) Imagen (I) Período
Senx ,RxD 1 ,111: xRxI 2 Cosx
Tanx ZnxRxD n ,:2
12 ,RyI
Senxy
Cosxy
Tanxy
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Página 179
7.4 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Consideremos las funciones f y g
definidas de la siguiente manera:
3 xxf
722 xxxg
Hallemos 8752552
g
85 g
Es decir, al número 5 le corresponde el número 8 según la función g
Ahora, hallemos 288 3f
28 f
Es decir, al número 8 le corresponde el número 2 según la función f
Veamos gráficamente lo que hace cada función:
El objetivo es buscar una función que al número 5 le asigne el número 2 . Veamos:
Se sabe que 28 f , pero 58 g
Por lo tanto 25 gf
Lo anterior indica que la función xgf hace que al número 5 le sea asignado el número 2 . Tal función está
definida así:
3 22 7272 xxxxfxgf
3 2 72 xxxgf
Veamos si es cierto que la función anterior le asigna al número 5 el número 2 :
2875255 33 2gf
25 gf
Gráficamente se tiene:
La función 3 2 72 xxxgf se denomina función compuesta de f con g . Ahora definamos lo que es
una función compuesta en general:
Sean f y g dos funciones. La función compuesta gf es la función definida de la siguiente manera:
xgfxgf
Gráficamente se tiene:
g5 85 g
f8 28 f
g5 5g
f 25 gf
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Página 180
Si xxf y xxg 2 halle cada función y su dominio:
a. gf
b. fg
c. ff
d. gg
Solución:
a. 4 222 xxxfxgfxgf 4 2 xxgf
La función 4 2 xxgf está bien definida si 02 x . Es decir:
22 xx
Por lo tanto: 2 ,2: xRxD
b. xxgxfgxfg 2 xxfg 2
La función xxfg 2 está bien definida si 0x y 02 x . Es decir:
422 xxx
Por lo tanto: 4 ,040: xRxD
c. 4 xxxfxffxff 4 xxff
La función 4 xxff está bien definida si 0x
Por lo tanto: ,00: xRxD
d. xxgxggxgg 222 xxgg 22
La función xxgg 22 está bien definida si 02 x y 022 x . Es decir:
22 xx
22422222 xxxxx
Por lo tanto: 2 ,222: xRxD
Ejemplo No. 124
gx xg
f xgfxgf
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Página 181
1. Cuando el aire seco se eleva, se expande y enfría. Si la temperatura en el suelo es de C20 y la temperatura a
un kilometro de altura es de C10 . Exprese la temperatura T en función de la altura h suponiendo que un
modelo lineal es el más apropiado.
2. El gerente de una fábrica de refrigeradores observa que el lunes la empresa fabrico 30 refrigeradores a un
costo de 25000 dólares y el martes fabrico 40 refrigeradores a un costo de 30000 dólares.
Halle la función lineal de costo.
Si se venden los refrigeradores a 1500 dólares cada uno. ¿Cuál es la función lineal de ingreso?
¿Cuál es la función lineal de utilidad?
¿Cuántos refrigeradores debe vender la empresa por día para alcanzar el punto de equilibrio? 3. Una editorial pronostica que la ecuación de demanda para la venta de su última novela de ciencia ficción será
82 pq . Donde q es la cantidad de libros que puede vender por año la editorial a un precio p cada uno
¿Qué precio debe cobrar la editorial para obtener el máximo ingreso I anual?
Nota: El ingreso I depende del precio p a través de la siguiente ecuación: pqI
4. En cada caso halle gf , fg , ff , gg y el dominio de cada una:
a. 1 xxf , 2xxg
b. 1
1
xxf ,
1
1
x
xxg
c. 12 xxf , xxg 1
5. Si 14 xxf , 2 xxg y xxh , halle hgf y su respectivo dominio.
7.5 FUNCIÓN EXPONENCIAL
Una función exponencial es una función de la forma:
xaxf
El número Ra se denomina base de la función exponencial. Además 0a
En la siguiente tabla se muestran los tres casos que se presentan para la función exponencial:
Valor de la base a Tipo de curva Dominio Imagen
Caso 1 xaxf
10 a
,D ,0I
ACTIVIDAD No. 49
W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O F u n c i o n e s
Página 182
Caso 2 xxf 1
1a
1I
Caso 3 xaxf
1a
,0I
7.6 FUNCIONES UNO A UNO
Comparemos las funciones f y g cuyos diagramas sagitales se muestran a continuación:
Las funciones que se comportan como la función f se conocen con el nombre de funciones biunívocas o uno a
uno. Una función f es uno a uno si nunca toma el mismo valor dos o más veces. Es decir:
21 xfxf siempre que 21 xx
Gráficamente se puede saber si una función es uno a uno aplicando la siguiente prueba conocida con el nombre de
prueba de la recta horizontal:
255
204
153
102
5 1
f
f
f
f
f
El diagrama sagital muestra que la función f
nunca toma el mismo valor dos veces.
1
2
3
4
5
5
10
15
20
25
A B f
255
204
103
102
5 1
g
g
g
g
gEl diagrama sagital muestra que la función g
toma el mismo valor dos veces. Es decir:
32 gg
1
2
3
4
5
5
10
15
20
25
A B g
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Página 183
7.6.1 Prueba de la recta horizontal
Una función es uno a uno si y solamente si ninguna recta horizontal corta su grafica más de una vez.
Determine si las funciones 2xxf y 3xxg son o no son uno a uno. Justifique su respuesta.
Solución:
La función 2xxf no es uno a uno ya que dos números distintos pueden tener el mismo cuadrado. Es decir
la función puede tomar el mismo valor dos veces.
La función 3xxg es uno a uno ya que dos números distintos no pueden tener el mismo cubo. Es decir la
función no puede tomar el mismo valor dos veces.
Lo anterior se puede apreciar mejor a través de las gráficas de 2xxf y 3xxg :
Las funciones uno a uno son importantes ya que se caracterizan por ser funciones que poseen inversa.
7.7 FUNCIÓN INVERSA
Consideremos la función 3xxg con dominio el conjunto A e imagen el conjunto B, cuyo diagrama sagital se
muestra a continuación:
Ejemplo No. 125
Anteriormente se mostró que esta función es uno a uno, y por lo tanto tiene inversa. El objetivo es hallar una función que sea la inversa de g
con dominio el conjunto B e imagen el conjunto A, cuyo diagrama sagital
sea el siguiente:
- 2
- 1
0
1
2
- 8
- 1
0
1
8
A B g
Note que la recta horizontal corta la gráfica de la
función en más de un punto.
2xy 3xy
Note que la recta horizontal corta la gráfica de la
función en un solo punto.
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Página 184
x
f(x)
A B f
A B f-1
Ahora, se define formalmente lo que es la inversa de una función.
Sea f una función uno a uno con dominio el conjunto A e imagen el conjunto B. Entonces su función inversa 1f es la función la cual tiene como dominio el conjunto B y como imagen al conjunto A, la cual se define de la
siguiente manera:
yxfxyf 1
Para cualquier x en A y y en B.
Lo anterior se comprende mejor a través del siguiente diagrama sagital:
Note que:
Dominio de f es igual a la imagen de 1f
Imagen de f es igual al dominio de 1f
Halle la inversa de 23 xxf
Solución:
Paso 1: Exprese la función como una ecuación: 23 xy
Paso 2: Despeje x
33 33 22 yxyx
3 2 yx
Paso 3: Intercambie x y y
3 2 xy
Paso 4: Exprese la ecuación anterior como una función empleando la notación 1f : 31 2 xxf
Ejemplo No. 126
Es claro que dicha función es 3 xxgdeinversa . Veamos:
Se escoje un número del dominio de g . Por ejemplo él 2 y se halla:
8223g
Es decir, la función g le asigna al número A2 el número B8
Ahora, se halla: 288 3 gdeinversa
Es decir, la función gdeinversa le asigna al número B8 el
número A2 .
- 2
- 1
0
1
2
- 8
- 1
0
1
8
A B gdeinversa
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Página 185
7.7.1 Ecuaciones de cancelación
Sea f una función uno a uno con dominio A e imagen B. Entonces se cumple:
xxff 1 para todo x en A
xxff 1 para todo x en B
Si x
xxf
25
31)(
halle xf 1
y compruebe que se cumplen las ecuaciones de cancelación:
Solución:
Expresando la función como una ecuación: x
xy
25
31
Despejando x
yyx
yxxy
xxyy
xxy
5132
5132
3125
3125
32
15
y
yx
Intercambiando x y y : 32
15
x
xy
Expresando la ecuación anterior como una función: 32
151
x
xxf
Verifiquemos ahora que se cumplen las ecuaciones de cancelación:
xx
x
xxx
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
xfxff
17
17
25
6156225
25155
325
62
125
155
325
312
125
315
25
3111
xx
x
xxx
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
xfxff
17
17
32
210151032
31532
32
2105
32
3151
32
1525
32
1531
32
151
La función exponencial xaxf , vista anteriormente es una función uno a uno y, por lo tanto, tiene inversa. La
función inversa a la función exponencial xaxf es la función logarítmica de base a y se denota aLog
Ejemplo No. 127
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Página 186
7.8 FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Una función logarítmica es una función de la forma: xLogxf a
El número Ra se denomina base de la función logarítmica. Además 0a
Como la función logarítmica es la inversa de la función exponencial y viceversa se tiene que si xaxf ,
entonces xLogxf a1
y si xLogxf a , entonces xaxf 1
Recordando la definición de función inversa y considerando que xLogxf a y xaxf 1
se tiene que:
yxfxyf 1
Por lo tanto: yxLxa a
y og
Lo anterior se denomina equivalencia entre la ecuación exponencial y la ecuación logarítmica. Tal equivalencia
sirve para calcular logaritmos exactos.
Calcule 82Log y 813Log
Solución:
82Log es igual a un número, tal que el 2 (la base del logaritmo) elevado a dicho número debe ser
exactamente igual a 8. Tal numero debe ser el 3, ya que 823 . Es decir: 8238 3
2 Log
813Log es igual a un número, tal que el 3 (la base del logaritmo) elevado a dicho número debe ser
exactamente igual a 81. Tal numero debe ser el 4, ya que 8134 . Es decir: 813381 4
3 Log
¿Cuál es el dominio y la imagen de la función logarítmica?:
Solución:
Suponga que xaxf y considere el siguiente diagrama sagital:
Ejemplo No. 129
Ejemplo No. 128
x
xf
D I xaxf
xLogxf a1
Recuerde que el dominio de la función exponencial xaxf es el conjunto ,D
, que su imagen es
el conjunto ,0I y que su inversa es la función
logarítmica xLogxf a1
cuyo dominio es la imagen de
xaxf y cuya imagen es el dominio de xaxf . Por lo
tanto el dominio y la imagen de la función logarítmica son
respectivamente ,0D y ,I
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Página 187
7.8.1 Ecuaciones de cancelación para las funciones exponencial y logarítmica
xaLog x
a para todo Rx
xaxLoga para todo 0x
7.8.2 Propiedades logarítmicas
yLogxLogxyLog aaa
yLogxLogy
xLog aaa
xnLogxLog a
n
a
Si xa
xf210
1)(
pruebe que xLogaxLogxf 1010
1 1)(
Solución:
Exprese la función como una ecuación xay
210
1
Despeje x
y
ayLogLog
y
ay
ayy
yay
ay
x
x
x
x
x
110
110
110
110
110
10
2
10
2
2
2
2
yLogayLogxyLogayLogxyLogayLogx 1010101010102
11
2
11
2
112
2
1
102
1
10 1 yLogayLogx
yLogayLogx 1010 1
Intercambie x y y : xLogaxLogy 1010 1
Exprese la ecuación anterior como una función: xLogaxLogxf 1010
1 1
Ejemplo No. 130
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Página 188
7.8.3 Función exponencial natural y función logarítmica natural
De todas las bases posibles para una función exponencial existe una que es la más conveniente para los fines del
cálculo. Se trata del número 71828.2e (notación elegida por el matemático suizo Leonhard Euler en 1727).
Cuando en una función exponencial la base es e , es decir, si xexf la función se denomina función
exponencial natural. La inversa de la función exponencial natural xexf es la función logarítmica
xLogxf e1 la cual se denomina función logarítmica natural. Usualmente esta función se denota Lnx en
vez de xLoge
Es de suma importancia con relación a la función exponencial natural y logarítmica natural recordar lo siguiente:
Equivalencia entre la ecuación exponencial natural y la ecuación logarítmica natural.
yLnxxe y
Ecuaciones de cancelación para las funciones
exponencial natural y logarítmica natural.
xeLn x para todo Rx
xeLnx para todo 0x
Propiedades logarítmicas naturales.
LnyLnxxyLn
LnyLnxy
xLn
nLnxLnxn Logaritmo natural de Euler. 1Lne Logaritmo natural de 1. 01Ln
Si y
y
be
aex
3
31
pruebe que 3 bxaLny
Solución:
bxaLnLne
bxae
bxae
bxeae
aebxe
y
y
y
yy
yy
1
1
1
1
1
3
3
3
33
33
3
1
3
1313 bxaLnybxaLnybxaLnybxaLnLny
3 bxaLny
Ejemplo No. 131
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Página 189
Halle el valor de x si 1652
xxe
Solución:
065
1
2
652
xx
LnLne xx
023 xx 03x 3x
02x 2x
A continuación se muestran las gráficas de la función exponencial natural y la función logarítmica natural:
Ejemplo No. 133
Ejemplo No. 132
xey
Lnxy
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Página 190
7.9 TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES
Al aplicar ciertas transformaciones a la gráfica de una función dada se pueden obtener las gráficas de ciertas
funciones relacionadas y, de este modo, reducir el trabajo al trazar dichas gráficas. En primer lugar, se consideran
las traslaciones.
Si c es un número positivo, entonces la gráfica de cxfy es precisamente la de xfy
desplazada
hacia arriba a una distancia c unidades.
Del mismo modo, si cxfxg , donde 0c , entonces el valor de g en x es el mismo que el valor de
f
en cx . Por lo tanto, la gráfica de cxfy es precisamente la de xfy
desplazada c unidades a
la derecha, tal como se muestra en la figura:
Desplazamientos verticales y horizontales
Supóngase que 0c . Para obtener la gráfica de:
cxfy , se desplaza la gráfica de xfy una distancia de c unidades hacia arriba.
cxfy , se desplaza la gráfica de xfy una distancia de c unidades hacia abajo.
cxfy , se desplaza la gráfica de xfy una distancia de c unidades hacia la derecha.
cxfy , se desplaza la gráfica de xfy una distancia de c unidades hacia la izquierda.
Considérense ahora las transformaciones de alargamientos y reflexión. Si 1c , entonces la gráfica de xcfy es la de xfy
alargada en el factor de c en la dirección vertical. La gráfica de xfy es
la de xfy
reflejada respecto al eje x , debido a que el punto yx , reemplaza al punto yx, , tal como
se muestra en la figura:
x
y
c
c
c c
cxfy cxfy xfy
cxfy
cxfy
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Página 191
Alargamientos y reflexiones verticales y horizontales
Supóngase que 1c . Para obtener la grafica de:
xcfy , alárguese la gráfica de xfy verticalmente en un factor de c
xfc
y1
, comprímase la gráfica de xfy verticalmente en un factor de c
cxfy , comprímase la gráfica de xfy horizontalmente en un factor de c
c
xfy , alárguese la gráfica de xfy horizontalmente en un factor de c
xfy , refléjese la gráfica de xfy respecto al eje x
xfy , refléjese la gráfica de xfy respecto al eje y
En la siguiente figura se ilustran transformaciones de alargamiento aplicadas a la función Cosxy
Ejemplo No. 134
x
y
xfy
xfy
xcfy
xfy
xfc
y1
Cosxy
xCosy21
Cosxy 2
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Página 192
Dada la gráfica de xy , haga uso de las transformaciones para graficar 2 xy , 2 xy ,
xy , xy 2 y xy
Solución:
Gráfica de xy
La gráfica de 2 xy se obtiene al desplazar la
gráfica de xy un número de 2 unidades hacia
abajo.
La gráfica de 2 xy se obtiene al desplazar
la gráfica de xy un número de 2 unidades
hacia la derecha.
La gráfica de xy se obtiene al reflejar la gráfica
de xy respecto al eje x
La gráfica de xy 2 se obtiene al alargar
verticalmente la gráfica de xy en un factor
de 2
La gráfica de xy se obtiene al reflejar la gráfica
de xy respecto al eje y
Ejemplo No. 135
W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O F u n c i o n e s
Página 193
1. Halle en cada caso )(1 xf :
a) 3)( xLnxf b) x
x
e
exf
1
1)( c)
xceb
axf
)(
2. Si xbea
xf2
1)(
pruebe que bxLnaxLnxf 1)(1
3. Si y
y
be
aex
2
21
pruebe que bxaLny
4. Si 1
1)(
x
x
ae
aexf pruebe que Lna
x
xLnxf
1
1)(1
5. 1
)(2
2
x
x
ae
exf pruebe que 1)(1 axLnxLnxf y xff 1
6. Si
a
t
eQtQ 10 halle tQ 1
7. Halle el valor de x en cada ecuación:
a) 312 xLn b) 243 xe c) 11 xLnLnx
d) 1LnxLn e) 1242 LnxLnxLn f) 234 xLnxLnxLn
g) 0232 xLnLnx h) 1423 LnxLnxLn
8. Si y
y
be
aex
2
21
pruebe que bxaLny
9. Si se invierte una cantidad P, durante T años a una tasa anual de interés R, y si se reinvierte el interés M veces
al año, el valor futuro A es MT
M
RPA
1 . Despeje la variable T de la ecuación anterior.
10. Explique cómo se obtienen las gráficas siguientes a partir de la gráfica de xfy
a) xfy 5 b) 5 xfy c) xfy
d) xfy 5 e) xfy 5 f) 35 xfy
11. ¿Cómo se relaciona la gráfica de Senxy 2 con la gráfica de Senxy ?
12. ¿Cómo se relaciona la gráfica de xy 1 con la gráfica de xy ?
Preguntas de selección múltiple con única respuesta: Las preguntas de este tipo constan de un enunciado y de
cuatro posibilidades de respuesta, entre las cuales se debe escoger la correcta.
AUTOEVALUACIÓN No. 7
ACTIVIDAD No. 50
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Página 194
1. Si x es un número real. Es verdadero que:
A. Si 3x , entonces 33 xx
B. Si 0x , entonces 22 xx
C. Si Rx , entonces xx
D. Si Rx , entonces xx 55
2. Sea x
xxf
2
2 . Considere las siguientes afirmaciones:
I. 0xf solo si 2x
II. 2
11 xfxf
III. xfxf 33
IV. Si 1xf , entonces 2x
De las afirmaciones anteriores son verdaderas.
A. I y III
B. II y IV C. II y III D. I y IV
3. Si 220 xxxf
y 8af
, entonces a es igual a:
A. 4 o 3
B. 3 o 4
C.
2 o 5
D. 2 o 5
4. Un agricultor desea cercar un campo rectangular y luego dividirlo en tres lotes rectangulares
mediante dos cercas paralelas a uno de los lados. El agricultor necesita 1000 metros de alambre. Si x es el largo del campo, el área A del campo se expresa correctamente como:
A.
2250
xx
B. xx 500
C. xx 2100
D. xx 250
5. La siguiente figura muestra la gráfica de xfy :
W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O F u n c i o n e s
Página 195
La grafica de la función xfy es:
A.
B.
C.
D.
6. De la igualdad 111 22
2
2 xLogxLogxLog se puede afirmar que:
A. Siempre es falsa. B. Es verdadera solo si 1x
C. Es verdadera para todos los números reales. D. Es verdadera para los números reales diferentes de 1 .
W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O F u n c i o n e s
Página 196
7. La proposición incorrecta es:
A. Todas las funciones exponenciales, al ser graficadas cortan al eje Y en el punto 1,0 .
B. Si 1a , la función xay es decreciente.
C. La función exponencial no tiene ceros. D. La curva de una función exponencial jamás corta al eje X.
8. Si xxf )( y 4)( 2 xxg , el dominio de la función )(xgf es:
A. ,22,
B. ,22,
C. 2,
D. ,22,
9. Si xxf 2)( , entonces 1
3
xf
xf es igual a:
A. 4f
B. xf
C. 2f
D. xf 2
10. Si 1
1)(
x
xxf , entonces
xf
1 es igual a:
A. 1xf
B. xf 1
C. xf
D. xf
11. Un recinto rectangular requiere 2000 pies de valla para cerrarlo. Si una de sus dimensiones es x pies. El área y en pies cuadrados expresada en función de x junto con su respectivo dominio es:
A. 1000 xxy para 10000 x
B. xxy 100 para 10000 x
C. xxy 100 para 10000 x
D. 1000 xxy para 10000 x
12. Si xxxf 2)( 2 , entonces
h
afhaf es igual a:
A. ha 2
B. ha 22
C. ha 22
D. ha 2