unidad 7. proporcionalidad, semejanza y … · proporcionalidad, semejanza y relaciones mÉtricas...

UNIDAD 7. PROPORCIONALIDAD, SEMEJANZA Y RELACIONES MÉTRICAS

RAZONES Y PROPORCIONES

DEFINICIONES

RAZÓN: La razón entre dos números reales

a y b, (b0), es el cociente entre a y b, es

decir a

b. También se escribe: a/b, ab, a:b.

Al numerador se le llama antecedente y al

denominador consecuente.

PROPORCIÓN: Es la igualdad entre dos

razones: a c

b d . Se lee: “a es a b” como “c

es a d”. También se escribe: a/b=c/d,

a:b=c:d.

a y d son los extremos; b y c son los medios.

CUARTA PROPORCIONAL: Si a c

b x , es

decir a:b=c:x entonces “x es la cuarta

proporcional entre a, b y c”, en ese orden.

MEDIA PROPORCIONAL: Si a x

x b , es

decir a:x=x:b entonces “x es la media

proporcional entre a y b”. También se llama

media geométrica.

TERCEROS PROPORCIONALES: Si “x es la

media proporcional entre a y b”. Entonces “a

y b” son las terceras proporcionales de x.

RAZÓN ENTRE DOS SEGMENTOS: La

razón entre dos segmentos es la razón entre

sus medidas, en la misma unidad de medida.

SEGMENTOS PROPORCIONALES: Dos

segmentos son proporcionales a otros dos si la

razón entre los dos primeros es igual a la

razón entre los dos segundos.

PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES

Siempre que las razones resulten definidas:

1. Producto extremos = Producto medios

Si a c

b d entonces ad=bc

2. Razones inversas

Si a c

b d entonces

b d

a c

3. Intercambio de extremos

Si a c

b d entonces

d c

b a

4. Intercambio de medios

Si a c

b d entonces

a b

c d

5. Sumar (restar) a cada antecedente su

respectivo consecuente

Si a c

b d entonces

a b c d

b d

6. Sumar (restar) a cada consecuente su

respectivo antecedente

Si a c

b d entonces

a c

b a d c

7. Razones entre la suma y la diferencia del

antecedente y el respectivo consecuente

Si a c

b d entonces

a b c d

a b c d

8. La suma de los antecedentes es a la suma

de los consecuentes como cada

antecedente es a su consecuente,

Unidad siete proporcionalidad y semejanza, Página 1 de 45

Si a c

b d entonces

a c a c

b d b d

Esta propiedad es aplicable a cualquier serie

de dos o más razones iguales, es decir:

n1 2n1 2

n n1 2 1 2

a a ... aaa a...

b b b b b ... b

9. El cuadrado de la media proporcional es

igual al producto entre las terceras

proporcionales, es decir:

Si a x

x b entonces 2x ab .

Luego la la media geométrica entre a y b

es x ab .

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA

PROPORCIONALIDAD

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN

SEGMENTOS CONGRUENTES

TEOREMA: Si tres o más paralelas

determinan segmentos congruentes sobre una

transversal entonces dichas paralelas también

determinan segmentos congruentes sobre

cualquier otra transversal.

CONSTRUCCIÓN: Dividir un segmento dado

en n segmentos congruentes, (nZ, n2)

TEOREMA DE THALES TEOREMA: Si dos rectas son cortadas

por tres paralelas entonces los segmentos que

dichas paralelas determinan sobre una de las

rectas son proporcionales a los segmentos que

determinan sobre la otra.

COROLARIO: Toda paralela a un lado de un

triángulo determina segmentos proporcionales

sobre los otros dos lados, (o sobre sus

prolongaciones),

CONSTRUCCIÓN: Construir la cuarta

proporcional de tres segmentos dados.

TEOREMA (6o criterio de paralelismo): Si

en un triángulo una recta determina

segmentos proporcionales sobre dos lados (o

sobre sus prolongaciones) entonces dicha

recta es paralela al tercer lado.

TEOREMA: Si tres rectas concurrentes son

transversales a dos rectas paralelas entonces

sobre las paralelas se determinan segmentos

proporcionales y recíprocamente.

PROPIEDADES MÉTRICAS DE LAS

BISECTRICES

TEOREMA: En todo triángulo, la bisectriz

de un ángulo interior divide al lado opuesto en

dos segmentos proporcionales a los lados que

forman el ángulo y recíprocamente.

En un ABC, si AD es la bisectriz del A

interior, entonces: DB/DC=AB/AC y además

DB=ac/(b+c) ; DC=ab/(b+c)

TEOREMA: En todo triángulo, la bisectriz

de un ángulo exterior(*) divide exteriormente

al lado opuesto en segmentos proporcionales a

los lados del ángulo interior adyacente y

recíprocamente.

En un ABC, si AE es la bisectriz del A

exterior, con E sobre la prolongación de BC,

entonces EB/EC=AB/AC y además

EB=ac/bc; EC=ab/bc

(*) Excepto para el ángulo exterior del

ángulo opuesto a la base de un triángulo

isósceles.


TRIÁNGULOS SEMEJANTES

Dos triángulos ABC y A'B'C' son

semejantes si sus tres ángulos son

respectivamente congruentes y sus tres lados

son respectivamente proporcionales. Se

denota ABC A'B'C':

ABC A'B'C'

A A´

1. B B´

C C´

AB BC CA2. k

A B´ B C´ C A´

Los ángulos respectivamente congruentes, y

los lados respectivamente proporcionales se

llaman elementos homólogos (en semejanza).

El número k es la razón de semejanza del

ABC con respecto al A'B'C' y significa que

la medida de un lado del ABC es k veces la de

su lado homólogo en el A'B'C'.

Obviamente dos triángulos congruentes son

semejantes y su razón de semejanza es k=1.

TEOREMA: La relación de semejanza de

triángulos es una relación de equivalencia:

1. Reflexiva: ABCABC.

2. Simétrica: Si ABCA'B'C'

entonces A'B'C'ABC.

3. Transitiva: Si ABCA'B'C'

y A'B'C'A"B"C"

entonces ABCA"B"C".

La transitividad es un método muy utilizado

para probar que dos triángulos son

semejantes.

CRITERIOS DE SEMEJANZA

TEOREMA FUNDAMENTAL: Toda paralela a

un lado de un triángulo dado determina un

triángulo semejante a éste.

TEOREMA: ( SLAL) Si dos triángulos tienen

un ángulo congruente formado por lados

proporcionales entonces son semejantes.

TEOREMA: (SAA) Si dos triángulos tienen

dos ángulos respectivamente congruentes

entonces son semejantes.

TEOREMA: (SLLL) Si dos triángulos tienen

sus tres lados respectivamente proporcionales

entonces son semejantes.

TEOREMA: Si dos triángulos rectángulos

cumplen alguna de las siguientes propiedades

entonces son semejantes:

1. Si tienen un ángulo agudo congruente.

2. Si tienen los catetos proporcionales.

3. Si tienen proporcionales las hipotenusas y

uno de sus catetos.

TEOREMA: Si dos triángulos son

semejantes entonces la razón entre dos

elementos (rectilíneos) homólogos: alturas,

medianas, bisectrices, es igual a la razón de

semejanza entre los triángulos.


RELACIONES MÉTRICAS EN LOS

TRIÁNGULOS

PROYECCIONES ORTOGONALES SOBRE

UNA RECTA

PROYECCIÓN DE UN PUNTO: La proyección

ortogonal de un punto P sobre una recta L es

el punto P’ de intersección entre la recta L y la

recta perpendicular a L que pasa por P; es

decir P’ es el pie de dicha perpendicular.

PROYECCIÓN DE UN SEGMENTO: La

proyección ortogonal de un segmento AB sobre

una recta L es el segmento A’B’ formado por

los puntos proyecciones ortogonales de todos

los puntos del segmento AB sobre la recta L.

NOTA: En adelante nos referiremos a una

proyección ortogonal simplemente como

proyección.

RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS

RECTÁNGULOS

TEOREMA: En todo triángulo rectángulo la

altura relativa a la hipotenusa determina dos

triángulos rectángulos semejantes a él.

En un ABC rectángulo en A, sean m y n las

proyecciones de los catetos c y b sobre la

hipotenusa a y sea h la altura sobre ella:

CATETO MEDIA PROPORCIONAL TEOREMA: Cada cateto es media proporcional

entre la hipotenusa y su proyección sobre ella:

b2 = a n ; c2 = a m.

TEOREMA DE PITÁGORAS TEOREMA: El cuadrado de la hipotenusa es

igual a la suma de los cuadrados de los

catetos: a2 = b2 + c2.

ALTURA MEDIA PROPORCIONAL TEOREMA: La altura sobre la hipotenusa es

media proporcional entre las proyecciones de

los catetos sobre la hipotenusa: h2 = m n.

ALTURA 4a PROPORCIONAL TEOREMA: La altura relativa a la hipotenusa

es cuarta proporcional entre la hipotenusa y

los catetos: ah = bc .

CONSTRUCCIÓN: Dados dos segmentos

construir su media proporcional.

RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS

OBLICUÁNGULOS

LEY DEL COSENO TEOREMA: En un triángulo, el cuadrado del

lado a opuesto a un ángulo A agudo (obtuso)

es igual a la suma de los cuadrados de los

otros dos lados, menos (más) el doble

producto de uno de ellos por la proyección del

otro sobre él, es decir:

A agudo: a2 = b2 + c2 – 2 b Proy (c

/b)

A obtuso: a2 = b2 + c2 + 2 b Proy (c /b)

NOTA: Este teorema es una generalización

del teorema de Pitágoras.

TEOREMA: Dado un triángulo ABC de lados

a, b y c entonces:

1. A es agudo a2 < b2 + c2

2. A es recto a2 = b2 + c2

3. A es obtuso a2 > b2 + c2


CÁLCULO DE ALTURAS TEOREMA: La altura ha, relativa al lado a,

de un triángulo ABC está dada por:

a2

h p(p a)(p b)(p c)a

donde p es el semiperímetro: a b c

p2

CÁLCULO DE MEDIANAS TEOREMA: La mediana ma, relativa al lado a,

de un triángulo ABC está dada por:

22 2

2a

ab cm

2 4

CÁLCULO DE BISECTRICES TEOREMA: Si la bisectriz va=AD, del ángulo

Aint de un triángulo ABC determina los

segmentos DB y DC sobre el lado a, entonces:

2

av bc DB.DC

TEOREMA: Si la bisectriz wa=AE, del ángulo

Aext de un triángulo ABC determina los

segmentos EB y EC sobre el lado a y su

prolongación, entonces:

2

aw EB.EC bc

RELACIONES MÉTRICAS EN LA

CIRCUNFERENCIA

RADIO DE LA CIRCUNFERENCIA

CIRCUNSCRITA TEOREMA: En un ABC, el producto entre el

diámetro 2r de su circunferencia circunscrita

y la altura ha, es igual al producto entre los

lados b y c del triángulo, es decir a2rh bc ,

luego:

a

bc abcr

2h 4 p(p a)(p b)(p c)

donde p es el semiperímetro: a b c

p2

CUERDAS SECANTES TEOREMA: Si en un punto P interior a la

circunferencia se cortan dos cuerdas AB y

A B´ entonces el producto entre los dos

segmentos de la primera es igual al producto

entre los dos segmentos de la segunda, es

decir PA x PB PA´x PB´ .

RECTAS SECANTES TEOREMA: Si desde un punto P exterior a

una circunferencia se trazan dos rectas AB y

A B´ secantes a ella, (P-A-B, P´-A´-B´),

entonces el producto entre el segmento

externo de la primera y la secante completa es

igual al producto entre el segmento externo

de la segunda y la secante completa, es decir

PA x PB PA´x PB´ .

SECANTE Y TANGENTE TEOREMA: Si desde un punto P exterior a

una circunferencia se trazan una tangente PT

, y una secante PAB , entonces el segmento

tangente es media proporcional entre la

secante completa y su segmento externo, es

decir: 2

PA x PB PT


POTENCIA

POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO A

UNA CIRCUNFERENCIA: Dada una C(O; r) y

dado un punto P en su plano, se llama Potencia

“p” del punto P con respecto a la C(O; r), ¸ al

producto entre las medidas de los segmentos

orientados determinados, por él y por la

circunferencia, sobre cualquier recta secante

a ella que pase por P.

TEOREMA: Dada una C(O; r ) y dado un punto

P en su plano, si d = OP, entonces la potencia

p del punto P con respecto a la C(O; r ) está

dada por: p = d2 r2.

TEOREMA: La potencia de un punto exterior

a una circunferencia es el cuadrado del

segmento de tangente trazado desde él.

TEOREMA: El lugar geométrico de los puntos

de igual potencia con respecto a dos

circunferencias no concéntricas es una recta

perpendicular a la recta de sus centros.

EJE RADICAL

Dadas dos circunferencias no concéntricas se

llama Eje Radical de ellas al lugar geométrico

de los puntos del plano que tienen igual

potencia con respecto a ellas.

TEOREMA: Las tangentes a dos

circunferencias no concéntricas trazadas

desde un punto de su eje radical, exterior a

ellas, son congruentes y recíprocamente.

TEOREMA: Dadas dos circunferencias no

concéntricas, según su posición, el eje radical

se obtiene como sigue:

1. Exteriores: La recta que une los puntos

medios de sus segmentos tangentes

exteriores comunes.

2. Secantes: La recta secante común

3. Tangentes: La recta tangente común.

4. Interiores: La recta perpendicular a la

línea de sus centros que pasa por el punto

donde concurren los ejes radicales entre

cada una de ellas y una circunferencia

secante a ambas.

TEOREMA: Dadas tres circunferencias, de

centros no colineales, entonces sus ejes

radicales concurren en un punto.

CENTRO RADICAL

Dadas tres circunferencias, de centros no

colineales, se llama Centro Radical de ellas al

punto donde sus ejes radicales concurren.


CRUCIGRAMA PROPORCIONALIDAD

(REALIZÓ: Carlos Alberto Ríos Villa)

1 2

3

4 5

6 7 8 9 10

11

12 13

14

15 16

17

18

19 20 21

22

23 24

25 26

27

28

29

30 31

32

33 34

35


HORIZONTALES

1 ESTE TEOREMA DICE QUE SI POR UN LADO DE UN TRIÁNGULO SE TRAZA

UNA PARALELA A OTRO, ENTONCES RESULTAN DOS TRIANGULOS QUE SON SEMEJANTES

4 INTERSECCION ENTRE UNA RECTA Y LA PERPENDICULAR TRAZADA DESDE EL PUNTO A ELLA.

5 EN UNA PROPORCION, EL CONSECUENTE DEL PRIMER TERMINO Y EL ANTECEDENTE DEL SEGUNDO

6 EL CRITERIO DE SEMEJANZA MAS USADO 9 EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL TRIÁNGULO NOS PERMITE CONCLUIR

QUE EL CRITERIO SAAA SE PUEDE REDUCIR A ESTO. 11 EN UN TRIANGULO RECTANGULO ESTE SEGMENTO SE PUEDE CALCULAR

COMO EL PRODUCTO DE LOS SEGMENTOS EN QUE QUEDA DIVIDIDA LA HIPOTENUSA

12 EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO CADA LADO (NO LA HIPOTENUSA) AL CUADRADO, PUEDE CALCULARSE COMO EL PRODUCTO ENTRE LA HOPTENUSA Y SU PROYECCIÓN SOBRE ELLA

13 LA ALTURA RELAIVA A LA HIPOTENUSA EN UN TRIANGULO RECTANGULO LO DIVIDE EN ________________ TRIÁNGULOS SMEJANTES

14 SI ESTOS LADOS LO SON RESPECTIVAMENTE EN DOS TRIANGULOS RECTANGULOS, ESTOS SERÁN SEMEJANTES

15 CON ESTOS DOS ELEMENTOS RESPECTIVAMENTE PROPORCIONALES EN DOS TRIANGULOS RECTANGULOS, ESTOS SERAN SEMEJANTES

16 TEOREMA EN EL QUE DEBE HABER UNA PARALELA A UNO DE LOS LADOS DEL TRIANGULO

17 CRITERIO DE SEMEJANZA 18 ESTE TEOREMA CONCLUYE QUE ESTE SEGMENTO EN UN TRIANGULO CREA

SEGMENTOS PROPORCIONALES AL LADO ADYACENTE. 19 CRITERIO DE SEMEJANZA 21 LOS TRIANGULOS RESULTANTES AL TRAZAR LA ALTURA RELATIVA A LA

HIPOTENUSA EN UN TRIANGULO RECTANGULO, PERMITEN ESTABLECER ESTAS ECUACIONES.

23 EL TEOREMA DE THALES INVIRTIENDO LA HIPOTESIS Y LA TESIS, PERO ADEMAS SIMPLIFICADO.

24 PRODUCTO DE LA MEDIDA DE UN SEGMENTO SECANTE A UNA CIRCUNFERENCIA Y SU PARTE EXTERIOR

26 RESULTA SI EN UNA RAZON UN ANTECENTE Y UN CONSECUENTE SON IGUALES

27 EN UNA PROPORCIÓN EL NUMERADOR DEL PRIMERO Y EL DENOMINADOR DEL SEGUNDO TERMINO

28 ESTE SEÑOR DIJO TALES COSAS QUE REALMENTE TENEMOS MUCHO QUE AGRADECERLE, POR EJEMPLO QUE SI DOS RECTAS SON CORTADAS POR TRES PARALELAS ENTONCES LOS SEGMENTOS QUE SE FORMAN EN UNA SON PROPORCIONALES A LOS QUE SE FORMAN EN LA OTRA

29 DENOMINADOR DE UNA RAZON 30 SI ESTOS SEGMENTOS ESTAN EN UNA CIRCUNFERENCIA Y SE CORTAN EL

PRODUCTO DE LOS SEGMENTOS EN QUE SE DIVIDE UNO ES IGUAL AL PRODUCTO DE LOS SEGMENTOS EN QUE SE DIVIDE EL OTRO

32 EN TRIANGULOS SEMEJANTES ESTOS SEGMENTOS TAMBIEN LO SON 33 CON ALGUNOS DATOS Y USANDO ESTE TEOREMA PODEMOS ENCONTRAR

ALGUNAS PARTES DE UN TRIANGULOS CUALQUIERA 34 CONCLUSION A LA QUE PODEMOS LLEGAR SI DOS RECTAS FORMAN

SEGMENTOS PROPORCIONALES SOBRE OTRAS DOS 35 COCIENTE ENTRE DOS NUMEROS REALES

VERTICALES

1 INICIALES DE ESTE TEOREMA TAN FUNDAMENTAL EN

LAS PROPORCIONES. SI TRES O MAS PARALELAS DETERMINAN SEGMENTOS CONGRUENTES EN UNA TRANSVERSAL ENTONCES........

2 SI LA RELACIÓN DE DOS ES IGUAL A LA RELACION ENTRE OTROS DOS ENTOCES ESTAS PORCIONES DE RECTA SE LLAMAN ASÍ.

3 ESTE PERSONAJE, ENTRE OTRAS COSAS, ESTUDIO MUY BIEN LOS TRIANGULOS RECTANGULOS

7 UNO IGUAL ES SUFICIENTE PARA QUE DOS TRIANGULOS RECTANGULOS SEAN SEMEJANTES

8 ESTOS TRIANGULOS TIENEN LA MISMA FORMA PERO NO LA MISMA MEDIDA

10 OTRO NOMBRE PARA LA RAZON DE SEMEJANZA 20 EN UNA PROPORCIÓN EL ANTECEDENTE DEL PRIMERO

Y EL CONSECUENTE DEL SEGUNDO 22 LA MEDIDA DE ESTE SEGMENTO ES IGUAL A LA

POTENCIA DE UN PUNTO 25 RELACIÓN DE IGUALDAD ENTRE DOS RAZONES 31 ESTE SGMENTO DIVIDE EL LADO OPUESTO DE UN

TRIANGULO EN SEGMENTOS PROPORCIANALES A SU RESPECTIVO LADO ADYACENTE


Para afrontar la solución de los ejercicios correspondientes a esta unidad debes

tener presente los conceptos de razones y proporciones, así como sus diferentes

propiedades. En la solución de los ejercicios es necesario recordar los siguientes

aspectos:

1. teorema fundamental de la proporcionalidad

2. teorema de Thales

3. propiedades métricas de las bisectrices

4. teoremas sobre la semejanza de triángulos

5. relaciones métricas en triángulos oblicuángulos

6. relaciones métricas en triángulos rectángulos

7. calculo de la medida de las alturas, medianas y bisectrices

8. relaciones métricas en la circunferencia

Se hace recomendable la realización de un resumen sobre dicho tema.

UNIDAD 7

PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA


1. En un ΔABC cualquiera se trazan las alturas AJ y CH que se interceptan en I.

Demostrar que: IA.IJ = IC.IH

GRAFICA 83

( )

AFIRMACION RAZON

1 °

2

3

4

5

6 ( ) ( )( )

2. En una circunferencia C(O,R) se traza un diámetro AB, se toma un punto P tal que A-O-P-

B , se levanta PC perpendicular a AB que corta a C(O,R) en E (P-E-C) y se traza AC que

corta a C(O,R) en D (A-D-C). Demostrar que AB . AP = AD . AC

GRAFICA 84

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4 ( ) ( )


3. Demostrar que el segmento tangente común a dos circunferencias tangentes exteriores

y no congruentes es media proporcional entre los diámetros de las circunferencias.

GRAFICA 85

Determina los elementos de la hipótesis y la

tesis

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20


Carlos Rios

Texto tecleado

Intenta una solución mas sencilla trazando por O una paralela a

Carlos Rios

Texto tecleado

AB

21

igualación

22

23

4. Se tiene un triángulo ABC inscrito en una circunferencia, se toma un punto cualquiera E

sobre el arco BC y D punto de intersección entre AE y BC, Demostrar que:

AC . DE = DC . BE

GRAFICA 86

AFIRMACION RAZON

1 AxB

2

3

4

5 ( )( ) ( )


5. Una persona de 180 cm. de estatura camina hacia un tanque esférico que reposa sobre el piso.

Cuando está a una distancia de 500cm. Del punto de contacto del tanque con el piso, su cabeza chaca

con el tanque. ¿Cuánto mide el radio del tanque?

GRAFICA 87

Podemos observar que AD=DC y representa

la altura de la persona, mientras que OC

equivale al radio, de donde aplicando el

Teorema de Pitágoras obtenemos:

6. Se toma un triángulo ABC y se traza una recta que corta a los lados AC y AB del

triángulo en E y H respectivamente; se trazan AD, BK y CR perpendiculares a la recta y se

prolonga CB hasta cortarla en L. Demostrar que 1CL

BL

BH

AH

AE

CE

GRAFICA 88

1. Podemos determinar que los triángulos y son semejantes, de donde




4. Si tomamos las tres igualdades correspondientes y multiplicamos lado a lado

obtenemos

(

) (

)(

)

7. La hipotenusa de un triángulo mide 60u y la altura sobre ella 12u. Calcular la medida de

los catetos y su proyección sobre la hipotenusa.

GRAFICA 89

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4

5

6

7

8. En una circunferencia C(O,r), AB = 10u y CD = 6u son cuerdas paralelas y la distancia

entre ellas es de 4u; encuentre el radio de la circunferencia

GRAFICA 90

En este ejercicio podemos trazar el

segmento MN que pase por el centro de la

circunferencia y sea perpendicular a ambos

segmentos.

Por lo tanto con los dos triángulos isósceles

formados podemos aplicar el teorema de

Pitágoras

Y sabiendo que

Resuélvelo siguiendo el análisis


9. En un triángulo ABC Isósceles de base BC, se traza CD perpendicular a AB. Demostrar

que AB2 + AC2 + BC2 = BD2 + 2AD2 + 5CD2

GRAFICA 91

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4

5

6

7

10. Si CD es la bisectriz interior del ángulo C en un triángulo ABC y AC = b, BC = a , AB = c,

AC 2 . Demuestre que abac 2

GRAFICA 92

Determina la hipótesis y la tesis del

ejercicio

Por medio de la información suministrada tenemos que CD=m (¿Por qué?)

Si aplicamos el teorema de la bisectriz obtenemos que

donde por propiedades de

las proporciones

También podemos concluir que (¿Por qué?) lo que nos lleva a


Retomando

si sustituimos n obtenemos que √

11. Se tiene un triángulo cualquiera ABC. D y E dividen a BC en tres partes iguales, o es el

punto medio de BC y H el pie de la altura relativa a BC. Si CB = a, CA = b, y AB = c ; hallar

AO, HO, AE y AD en función de a, b y c.

GRAFICA 93

Para resolver el siguiente ejercicio podemos establecer que CD=DE=EB=1/3CB=a/3,

también tenemos que OD=OE=1/6CB=a/6 y OC=OB=1/2CB=a/2.

1. Ahora encontremos el valor de AH por medio del cálculo de la altura en función del

semiperimetro p

√

2. Hallemos AO mediana en función de a, b y c

3. Tomando el recto en H hallamos OH por Pitágoras ya que AO y AH son

conocidos.

4. Con todo lo anterior podemos tomar el rectángulo en H con AH conocido y

HE=OE-OH, aplicando el teorema de Pitágoras. Con todo lo anterior halla AD


12. Demostrar que si se traza un segmento tangente y uno secante a una circunferencia C(O,r) desde

un mismo punto exterior a ella, el segmento tangente es media proporcional entre el segmento

secante y su parte exterior.

GRAFICA 94

El siguiente ejercicio es muy fácil de resolver,

primero veamos que (¿Por qué?)

Lo que nos lleva a que (¿Por qué?)

De donde

realízalo argumentando cada paso

13. Se tiene un triángulo isósceles ABC de base BC inscrito en una circunferencia C(O,r), se

traza un segmento AE cualquiera, con E sobre el arco CB y que corta a BC en D demostrar

que AB2 = AE . AD

GRAFICA 95

Para demostrar este ejercicio tracemos BE y

BC, sabemos que y podemos

observar también que

(¿Por qué?).

Lo anterior nos lleva a que (¿Por

qué?).

De donde podemos concluir que


14. En un Triángulo ABC rectángulo en C se inscribe un cuadrado DEFG con DE sobre la

hipotenusa (A-D-E-B). Demostrar que AD . EB = DG . FE y que DE es media

proporcional entre AD y EB.

GRAFICA 96

otro ejercicio fácil de realizar estableciendo

que

Luego establecemos las proporciones

correspondientes teniendo presente que



15. Los radios de dos circunferencias concéntricas son 26u y 10u , calcular la longitud de la

cuerda de la mayor que es tangente a la menor.

GRAFICA 97

Observa que (¿Por qué?).

Luego aplicando el teorema de Pitágoras

podemos hallar AP=PB


16. El diámetro de una circunferencia mide 20u. ¿En cuánto habrá que prolongarlo para que

la tangente trazada desde el punto obtenido tenga igual longitud que el diámetro?

GRAFICA 98

Para resolver este ejercicio recuerda:

Si desde un punto P exterior a una

circunferencia se trazan una tangente , y una

secante , entonces el segmento tangente es

media proporcional entre la secante completa y

su segmento externo, es decir:

PT

PAB

2PA x PB PT


EJERCICIOS UNIDAD 7- PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA

1. En un triángulo ABC cualquiera se trazan OF (O baricentro) y CE perpendiculares a AB, con F y E sobre

AB. Demostrar que OF = (1/3)CE

Grafica 87

1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado del

problema determina la hipótesis y la tesis

2. Dada las afirmaciones determina la

razón de cada paso.

AFIRMACION RAZON

01 C =

CD ˄ D

CD

02 CE ‖ F

03 ∢DCE ∢D F

04 ΔCED Δ FD

05 CE

F ED

FD CD

D

06 CE

F ED

FD CD

CD

07 CE

F F

CE


2. Dado un trapecio ABCD rectángulo en A con AB=2DC=2a, CD=DA=a; AC y BD se interceptan en I.

Demostrar que 5aBD , 2aAC y aBI3

52

Grafica 88

1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado

del problema determina la hipótesis y la

tesis



AFIRMACION RAZON

01 Tracemos CE ⊥ AB AE EC EB a

02 BC √ a

03 DB2=𝑎2+4 𝑎2

DB=√ a

04 AC2= 𝑎2+ 𝑎2

AC=√ a

05 D

a B

a D B

06 ID+IB=DB

ID+2ID=√ a

3ID=√ a

ID=√

07 IB=2(√


3. Demostrar que en un paralelogramo la suma de las medidas de los cuadrados de los cuatro lados es

igual a la suma de los cuadrados de las diagonales.

Grafica 89



tesis



AFIRMACION RAZON

01 AC2=AB2+BC2+2AB BE

02 DB2=AD2+AB2-2AB A

03 Sumando las dos igualdades

04 AC2+ DB2=AB2+BC2+ AD2+AB2

05 AC2+ DB2=AB2+BC2+ AD2+DC2 AB DC

AD BC

4. En un triángulo PQR se prolonga PQ hasta S con PQ = QS, se toma U sobre PR tal que UR = (2/3) PU y

se traza SU que corta a QR en T. Calcular la razón QT/QR

Grafica 90



tesis



AFIRMACION RAZON

01 tracemos ‖

02 ∢R ∢R


∢R ∢R

∢ T ∢

03 ∢ TR ∢ T

04 Δ T Δ T

05 ΔR ΔR

06 R

R

R

R

07

R

R

R

R

R

R

R R

R

R R

R

R

R

08

T

T T

T

09

T

T T

T

10

T

T T

T

11

T

T

T T

T

12

T

T

13

R

T

T

R

(

R

T =


5. Se da un triángulo ABC con AB > AC . Se trazan las bisectrices interior AD y exterior de AE del A ,

con D y E sobre BC. Demostrar que:

22222

BD

AEAD

CD

AEAD

Grafica 91

1.De acuerdo a la gráfica y al

enunciado del problema determina la

hipótesis y la tesis



AFIRMACION RAZON

01 ∢DAC ∢CAE 90°

02 AD2+AE2=DE2

DE=√AD AE

03 DC

BD AC

AB

04 CE

BE AC

AB

05 DC

BD CE

BE

06 BE

BD CE

DC

CE

DC BE

BD

DE DC

DC BD DE

BD

DE

DC

DE

BD

DE

DC DE

BD

√AD AE

DC √AD AE

BD


6. En un trapecio ABCD isósceles de base mayor AB, la diagonal BD es perpendicular a AD. Si AB mide 50u

y AD = 14u. Calcular el perímetro del trapecio.

Grafica 92


del problema determina la hipótesis y

la tesis



Por ser trapecio isósceles AD=BC=14, si trazamos las alturas del trapecio en los puntos D y

C tenemos DP=CQ, por lo tanto los ΔAPD ΔB C por H-C lo cual implica AP=QB=m

Luego PQCD es rectángulo e implica DC entonces

AFIRMACION RAZON

01 AD2=A AB

142=m 0

M=98/25

02 AB m

0 9

0

03 P=AB+BC+DC+AD

P=50+14+1054/5+14

P=3004/25


7. En un trapecio ABCD de base mayor AB = 3a, AD = CD = a y A = 60º. Calcular BC y la longitud del

segmento que une los puntos medios de las bases.

Grafica 93



2. Dada las afirmaciones determina la razón

de cada paso.

Tracemos DQ ⊥ AB, DQ=h, luego ∢ADQ=30°, C ⊥ AB , CP=h luego DC=QP=a por ser rectángulo

QPCD

AFIRMACION RAZON

01 A

AD

a

02 A A A

A a

a

A a

03 B AB A

B a a

B a

04 D

√ AD

√ a

05 D C h

06 CB2=CP2+PB2

CB2 a2/4 + 9a2/4

CB=√ a

07 D C a

08

a

09 D

D , paralelogramo D ‖

10 D


8. Desde el punto medio D del cateto AB de un triángulo rectángulo en A se traza DE perpendicular a la

hipotenusa. Demostrar que EC2 - EB2 = AC2

Grafica 94




de cada paso.

AFIRMACION RAZON

01 AB

EB BC

BD AC

ED

DB

EB AC

ED CE ED

BD

DB EB EB EC

DB =EB CE EB

DB =EB CE EB

02 AC2+AB2=BC2

AC2= BC2-AB2

AC2=(CE+EB)2-(2DB)2

AC2=CE2+2CE EB+EB2-4DB2

AC2=EC2+2(2DB2-EB2)+EB2-4DB2

AC2=EC2+4DB2-2EB2+EB2-4DB2

AC2=EC2-EB2


9. Dos circunferencias secantes y congruentes O y O´ son ortogonales (las tangentes trazadas en sus

puntos de intersección son perpendiculares); por uno de sus puntos de intersección A se traza una cuerda

MAN(M sobre la circunferencia O y N sobre la circunferencia O´).

Demostrar que MA2 + NA2 = 2 2,OO

Grafica 95


del problema determina la hipótesis y

la tesis



AFIRMACION RAZON

01 Podemos demostrar que los triángulos

ΔAPO Δ por ALA

02 En el triángulo ΔOAO’ por Pitágoras

R√ ya que ∢OAO’ =90° ˄ OA=O’A=R

03 A

A y A

A por ser ⊥s a las cuerdas

04 Por A

A

05

A R

Por Pitágoras en el Δ A tenemos

A 2+(

A 2=R2

R2

A2+ A 2=4R2

A2+ A 2=2(√ R 2

A2+ A 2=2( 2


10. Se tiene un paralelogramo ABCD con AD = 20, AB = 36 y BD = 40, encontrar la medida del

segmento AC.

Grafica 96




de cada paso.

Tracemos CP⊥AB en P donde B proyeccion de BC sobre AB

AFIRMACION RAZON

01

B 0 0

B

AC2=AB2+BC2-2AB (B

402=362+202-2(36)(B

02 DB2=AB2+AD2+2(AB)(BP)

DB2=362+202+2(36)(

DB2=1792

DB=8√


11. Si ABC triángulo cualquiera, AD bisectriz del ángulo A, DE paralelo con AB (E sobre AC) y AB = c,

AC = b , BC = a, encontrar DC, BD, AE, CE y DE en función de a ,b y c.

Grafica 97

1.De acuerdo a la gráfica y al

enunciado del problema determina la

hipótesis y la tesis



AFIRMACION RAZON

01 ∢CAD ∢DAB

02 ∢DAB ∢EDA

03 ∢CAD ∢EDA

04 ΔAED isósceles

05 EA ED

06 ∢CED ∢CAB, ∢CDE ∢CBA

07 ΔCED ΔCAB

08 CE

CA ED

AB CD

CB

09 CD

DB

c

CD

DB CD

c CD

a

c CD

a

c

c

a ED

c ED

c

c }CE

ED

c CE

c

ED EA EA c

c } BD BC CD BD

ac

c


12. Demostrar que el triángulos formado por los pies de dos alturas de un triángulo y el otro vértice es

semejante al triángulo inicial.

Grafica 98




de cada paso.

AFIRMACION RAZON

01 Podemos demostrar por S-A-A

que ΔCAN ΔCB por lo tanto

ΔAMP ΔBNP

02 A

B

A

B

03 CA

CB A

B C

C

04

˄ ∢c es un ángulo común

05 ΔCAB ΔC


13. En un triángulo HJL rectángulo en H, LH = 15u y HJ = 20u, se traza por un punto K ubicado a 10u de L

y sobre la hipotenusa una perpendicular a ella que corta a HJ en I. Calcular KI.

Grafica 99




de cada paso.

AFIRMACION RAZON

01 ΔHJL Δ J

02 LJ2=152+202 LJ2 LJ

03 En 1

04 KJ=LJ-L J - 0 J

05

KI=


14. Encontrar la relación entre el lado, el radio y la apotema de los polígonos regulares de 3, 4, 5, 6, 8 y

10 inscritos en una circunferencia de radio “r”. ¿Qué haría en el caso de que los polígonos no fueran

inscritos sino circunscritos?

Grafica 100

1. De acuerdo a la gráfica y al enunciado


tesis

2. Dada la siguiente explicación al problema

organizarla de tal forma que se determine

claramente la afirmación y su correspondiente

razón.

AB=BC=AC= AD=√

R=

R=OA=OB=OC BD=

R=

√

a=OD

a2=R2-

a=

√

AC=2R AC2=2ℓ 4R=2ℓ2 R=√

A=OE=AE 2OE2=AO2=R2

a=

AB=ℓ BP=

OB=OA=AB=R

R=ℓ

A=OP=√

a=

√


15. En una circunferencia de r = 15u se trazan los diámetros AB y CD perpendiculares y la cuerda BC, si

M es el punto medio de BC, calcular la medida de AM.

Grafica 101



2. Dada las afirmaciones determina la razón de

cada paso.

AFIRMACION RAZON

01 CM=MB=

CB C B

√ R

√

R=CM=MB

Δ CB

02 ∢ACB 90°

03 ΔA C ΔB C

04 AC CB

05 2AC2=AB2=4R2

AC=√ R

06 AM2=AC2+CM2

AM2=2R2+

R2

AM2=

AM= √


16. Una cuerda de 48u dista 7u del centro de una circunferencia. Calcular la distancia al centro de otra

cuerda de 40u de longitud.

Grafica 102




de cada paso.

Recordemos : mediatriz de AB teorema : distancia del centro a una cuerda

OQ mediatriz de CD

AFIRMACION RAZON

01 ΔAOP Pitágoras A 2+OP2=OA2

A

02 ΔC Pitágoras C 2+QO2=OC2

02+OQ2=252

=15


17. La cuerda CD es perpendicular al diámetro AB y M es un punto cualquiera del arco BC. Si se trazan las

cuerdas AM, AC y CM y E punto de intersección entre AM y CD. Demostrar que los ángulos DEM y ACM

son congruentes.

Grafica 103




de cada paso.

AFIRMACION RAZON

01 B radio

02 B ⊥ CD

03 B Biseca CD

04 B Biseca CD

05 BD BC

06 AC CB AC BD=90°

07 ∢ACD

(90°+B

08 ∢DE

(AC B BD)

09 ∢DE

(90° B )

10 ∢AC ∢DE


18. En un trapecio ABCD se trazan por los extremos de la base menor CD las paralelas CF y DE a los

lados no paralelos (F y E sobre la base mayor); dichas paralelas encuentran a las diagonales DB y AC en

los puntos M y N. Por F y E se trazan paralelas a las diagonales AC y BD ; estas últimas encuentran a

BC y AD en P y Q. Demostrar que M-N-P-Q y que el segmento que los contiene es paralelo a AB.

1. De acuerdo a la gráfica y al enunciado del problema determina la hipótesis y la tesis

2. Dada la siguiente explicación al problema organizarla de tal forma que se determine claramente la

afirmación y su correspondiente razón.

Grafica 104

AFIRMACION RAZON

01 E ‖DB luego

, CA ‖ F luego

02 1= 2, 1= 2, 1= 2 por ser ángulos con lados paralelos por lo tanto ΔDA ΔCF ; ΔD E ΔC B por ALA ya que se forman los paralelogramos DAFC ˄ DEBC luego DC AF EB; lo que nos lleva por resta de segmentos que AE=FB

03 Como D ‖C ˄ D C forman un paralelogramo ‖AB ‖DC

D ‖C ˄ D C forman un paralelogramo ‖AB ‖DC

04 Volviendo a

y

Por lo tanto determina segmentos proporcionales entonces ‖AB ‖DC

05 Por postulado Q pasa una sola paralela a AB , por lo tanto Q,N,M,P están sobre dicha línea, es decir Q-N-M-P y , , , paralelas al segmento AB


19. Sean P,Q,R y X puntos tales que tres cualesquiera de ellos no están alineados y X esté en el

exterior del triángulo PQR, y se trazan los segmentos XP, XQ y XR. Sea A un punto cualquiera de XR y

trazamos una recta que pasa por A paralela a PR y que intersecta a XP en B. Además, una recta paralela a

PQ y que pasa por B intersecta a XQ en C y se traza AC. Demostrar que los triángulos ABC y RPQ son

semejantes.

Grafica 105




de cada paso.

AFIRMACION RAZON

01 ΔXAB ΔXRP

02 XA

XR AB

R XB

X

03 ΔXR ΔXAC

04 XA

XR AC

R XC

X

05 AB

R AC

R

06 ∢ R ∢ B

07 ∢CAB ∢ B

08 ∢ R ∢CAB

09 Δ R ΔCAB


20. Dado un triángulo cualquiera ABC, las bisectrices de los ángulos interno y externo de A intersectan a

BC en D y D’ respectivamente. Demostrar que:

,, CD

CD

BD

BD

Grafica 106

1. De acuerdo a la gráfica y al enunciado del


2. Dada la siguiente explicación al problema

organizarla de tal forma que se determine

claramente la afirmación y su correspondiente

razón.

AFIRMACION RAZON


Ejercicios recopilados por: Carlos Alberto Ríos Villa

EJERCICIOS DE PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA.

(recopiló: Carlos Alberto Ríos Villa)

1. En un ΔABC cualquiera se

trazan las alturas AJ y CH que se

interceptan en I. Demostrar que:

IA.IJ = IC.IH

2. En un triángulo ABC cualquiera se

trazan OF (O baricentro) y CE

perpendiculares a AB, con F y E

sobre AB. Demostrar que

OF = (1/3)CE

3. En una circunferencia C(O,R) se

traza un diámetro AB, se toma un

punto P tal que A-O-P-B , se levanta

PC perpendicular a AB que corta a

C(O,R) en E (P-E-C) y se traza AC

que corta a C(O,R) en D (A-D-C).

Demostrar que AB . AP = AD . AC

4. Dado un trapecio ABCD

rectángulo en A con AB=2DC=2a,

CD=DA=a; AC y BD se interceptan

en I. Demostrar que 5BD a ,

2AC a y 2 5

3BI a

5. Demostrar que el segmento

tangente común a dos

circunferencias tangentes

exteriores y no congruentes es

media proporcional entre los

diámetros de las circunferencias.

6. Se tiene un triángulo ABC

rectángulo en A con BC=a, AC=b,

AB=c, CD=d , DB=f y AD=h;

siendo D el pie de la altura relativa

a la hipotenusa si:

a) c =6 2 y d = 4 hallar f y b, h, a

b) b = f = 8. Hallar d, h, c y a

7. Se tiene un triángulo ABC

inscrito en una circunferencia, se

toma un punto cualquiera E sobre el

arco BC y D punto de intersección

entre AE y BC, Demostrar que:

AC . DE = DC . BE

8. Demostrar que en un

paralelogramo la suma de las

medidas de los cuadrados de los

cuatro lados es igual a la suma de

los cuadrados de las diagonales.

9. Una persona de 180 cm. de

estatura camina hacia un tanque

esférico que reposa sobre el piso.

Cuando está a una distancia de

500cm. Del punto de contacto del

tanque con el piso, su cabeza chaca

con el tanque. ¿Cuánto mide el radio

del tanque?

10. En un triángulo PQR se prolonga

PQ hasta S con PQ = QS, se toma U

sobre PR tal que UR = (2/3) PU y

se traza SU que corta a QR en T.

Calcular la razón QT/QR



11. Se toma un triangulo ABC y se

traza una recta que corta a los

lados AC y AB del triángulo en E y H

respectivamente; se trazan AD, BK

y CR perpendiculares a la recta y se

prolonga CB hasta cortarla en L.

Demostrar que 1CE AH BL

AE BH CL

12. Se da un triángulo ABC con AB

> AC . Se trazan las bisectrices

interior AD y exterior de AE del

A , con D y E sobre BC. Demostrar

que: 2 2 2 2

2AD AE AD AE

CD BD

13. La hipotenusa de un triángulo

mide 60u y la altura sobre ella 12u.

Calcular la medida de los catetos y

su proyección sobre la hipotenusa.

14. En un trapecio ABCD isósceles

de base mayor AB, la diagonal BD es

perpendicular a AD. Si AB mide 50u

y AD = 14u. Calcular el perímetro

del trapecio.

15. En una circunferencia C(O,r),

AB = 10u y CD = 6u son cuerdas

paralelas y la distancia entre ellas

es de 4u; encuentre el radio de la

circunferencia.

16. En un trapecio ABCD de base

mayor AB = 3a , AD = CD = a y

A = 60º. Calcular BC y la longitud

del segmento que une los puntos

medios de las bases.

17. En un triangulo ABC Iso de base

BC, se traza CD perpendicular a AB.

Demostrar que AB2 + AC2 + BC2 =

BD2 + 2AD2 + 3CD2

18. Desde el punto medio D del

cateto AB de un triángulo

rectángulo en A se traza DE

perpendicular a la hipotenusa .

Demostrar que EC2 - EB2 = AC2

19. Si CD es la bisectriz interior

del ángulo C en un triángulo ABC y

AC = b, BC = a , AB = c , 2C A .

Demuestre que 2c a ab

20. Dos circunferencias secantes y

congruentes O y O´ son

ortogonales (las tangentes trazadas

en sus puntos de intersección son

perpendiculares); por uno de sus

puntos de intersección A se traza

una cuerda MAN(M sobre la

circunferencia O y N sobre la

circunferencia O´). Demostrar que

MA2 + NA2 = 2 ´OO2

21. Se tiene un triángulo cualquiera

ABC. D y E dividen a BC en tres

partes iguales, o es el punto medio

de BC y H el pie de la altura relativa

a BC. Si CB = a, CA = b, y AB = c ;

hallar AO, HO, AE y AD en función

de a, b y c.

22. Se tiene un paralelogramo

ABCD con AD = 20, AB = 36 y



BD = 40, encontrar la medida del

segmento AC.

23. Demostrar que si se traza un

segmento tangente y uno secante a

una circunferencia C(O,r) desde un

mismo punto exterior a ella, el

segmento tangente es media

proporcional entre el segmento

secante y su parte exterior.

24. Si ABC triángulo cualquiera, AD

bisectriz del ángulo A, DE paralelo

con AB (E sobre AC) y AB = c,

AC = b , BC = a, encontrar DC, BD,

AE, CE y DE en función de a ,b y c.

25. Se tiene un triangulo isósceles

ABC de base BC inscrito en una

circunferencia C(O,r), se traza un

segmento AE cualquiera, con E

sobre el arco CB y que corta a BC en

D demostrar que AB2 = AE . AD

26. Demostrar que el triángulos

formado por los pies de dos alturas

de un triángulo y el otro vértice es

semejante al triángulo inicial.

27. En un Triángulo ABC rectángulo

en C se inscribe un cuadrado DEFG

con DE sobre la hipotenusa (A-D-E-

B). Demostrar que AD . EB = DG .

FE y que DE es media

proporcional entre AD y EB.

28. En un triángulo HJL rectángulo

en H, LH = 15u y HJ = 20u, se traza

por un punto K ubicado a 10u de L y

sobre la hipotenusa una

perpendicular a ella que corta a HJ

en I. Calcular KI.

29. Encontrar la relación entre el

lado, el radio y la apotema de los

polígonos regulares de 3, 4, 5, 6, 8 y

10 inscritos en una circunferencia

de radio “r”. ¿Qué haría en el caso

de que los polígonos no fueran

inscritos sino circunscritos?

30. En una circunferencia de r = 15u

se trazan los diámetros AB y CD

perpendiculares y la cuerda BC, si M

es el punto medio de BC, calcular la

medida de AM.

31. Los radios de dos

circunferencias concéntricas son

26u y 10u , calcular la longitud de

la cuerda de la mayor que es

tangente a la menor.

32. Una cuerda de 48u dista 7u del

centro de una circunferencia.

Calcular la distancia al centro de

otra cuerda de 40u de longitud.

33. El diámetro de una

circunferencia mide 20u. ¿En cuánto

habrá que prolongarlo para que la

tangente trazada desde el punto

obtenido tenga igual longitud que el

diámetro?

34. La cuerda CD es perpendicular

al diámetro AB y M es un punto

cualquiera del arco BC. Si se trazan



las cuerdas AM, AC y CM y E punto

de intersección entre AM y CD.

Demostrar que los ángulos DEM y

ACM son congruentes.

35. En un trapecio ABCD se trazan

por los extremos de la base menor

CD las paralelas CF y DE a los

lados no paralelos (F y E sobre la

base mayor); dichas paralelas

encuentran a las diagonales DB y AC

en los puntos M y N. Por F y E se

trazan paralelas a las diagonales AC

y BD ; estas últimas encuentran a

BC y AD en P y Q. Demostrar

que M-N-P-Q y que el segmento que

los contiene es paralelo a AB.

36. Sean P,Q,R y X puntos tales

que tres cualesquiera de ellos no

están alineados y X esté en el

exterior del triangulo PQR, y se

trazan los segmentos XP, XQ y XR.

Sea A un punto cualquiera de XR y

trazamos una recta que pasa por A

paralela a PR y que intersecta a XP

en B. Además, una recta paralela a

PQ y que pasa por B intersecta a

XQ en C y se traza AC. Demostrar

que los triángulos ABC y RPQ son

semejantes.

37. En una circunferencia se traza

un diámetro PQ, por P se traza la

tangente PR, si QR = 8 y el arco

MQ = 120º calcular el radio de la

circunferencia.

38. Se traza el cuadrilátero ABCD

tal que: A-E-D, B-F-E,

BF FC , BC AC , BE AD ,

CD AD .

Probar que:

1. BFC ADC ,

2.( ) ( )AD BC

BFAC

3. * *BE CD AC AD BC

AB AC AB AC AB

39. Dado un triángulo cualquiera

ABC , las bisectrices de los ángulos

interno y externo de A intersectan

a BC en D y D’ respectivamente.

Demostrar que: ' '

BD CD

BD CD

40. (CIRCUNFERENCIA) En un

ángulo recto XOY se inscribe un

circulo C tangente a OX en D, se

traza una recta OAB tal que el arco

AD sea la mitad del arco DB.

Calcular la medida del ángulo DOB y

los ángulos del cuadrilátero CADB

(sugerencia: trace AH CD ).

41. Se unen los tres vértices de un

triangulo ABC con un punto O

ubicado en el semiplano opuesto a B

con respecto a AC, sobre OA(o su

prolongación) se toma un punto

cualquiera A’ por el cual se traza la

paralela A’B’ a AB y la paralela

A’C’ a AC, B’ y C’ puntos sobre

OB y OC. Demostrar que

' 'B C BC .


TALLER N°8 – PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA

01 Si los segmentos BC y DE tienen sus extremos en los lados del EAB y

forman con estos lados los ángulos BCE y EDB congruentes, A - C - E y

A - D - B. Demuestre que:

AB DE = AE CB

02 En un triángulo ΔABC se toman los puntos P y Q sobre CA y CB respectivamente,

tal que PQ sea paralela a AB. Luego se traza por A una paralela a PB que

encuentra a la prolongación de CB en R. Demostrar que CB² = CQ x CR.

03 Si en un ABC rectángulo en A tomamos un punto cualquiera D sobre AC y

trazamos DE BC con E sobre BC. Demostrar que AB.CD = BC.ED

04 En el triángulo ABC inscrito en la circunferencia C (o,r) se traza AD bisectriz de

ángulo BAC, la prolongación de AD corta la circunferencia en E. Demostrar que AB

x EC = AE x BD

05 En un triángulo ABC se traza CD (A-D-B) tal que demostrar que AC

es media proporcional entre AB y AD

06 En un ABC rectángulo en C se inscribe un cuadrado DEFG con E y F sobre AB

talque A-E-F-B. Demuestre:

a. EDA ~CGD ~ FBG

b. ED x FG = AE x FB

c. EF es media proporcional de AE y FB

07 Dado un triángulo ABC rectángulo en B, de lado aAC 6 y aAB 3 , se traza

BCED , E sobre AB y D sobre AC , tal que ACDC3

1 y finalmente se traza

ABDF con F sobre BC ; Hallar:

a) EG (altura del AED sobre AD)

b) FH (altura del DFC sobre CD)


08 Se tiene un triángulo ABC, en este triángulo se trazan la bisectriz AD del ˂A y el

segmento DE paralelo a BA, con E sobre AC. Demostrar que: ( ) ( )

09 En un ABC isósceles de base AB se traza el segmento y

con E sobre ; demostrar que

10 Demostrar que el producto de las medidas de dos lados de un triángulo es igual al

producto de las medidas de los segmentos determinados sobre el tercer lado por

la medida de la bisectriz interior más el cuadrado de la medida de dicha bisectriz

11 En un paralelogramo ABCD se trazan BH perpendicular a AD con A-H-D y BI

perpendicular a CD con C-I-D. Demostrar que: AB×CI = BC×AH

12 En un paralelogramo ABCD se trazan, la diagonal BD, EF paralela a BC con C-F-D

y D-E-B. Demostrar que FE×AB = FD×AD

13 Se tiene un paralelogramo ABCD, con 2

DCAD

; se traza AM que intercepta a DB

en el punto E, Si M es el punto medio de DC. Probar que: EBDB 32

14 Se da el con . Las bisectrices de los ángulos interno y externo en A

intersecan a en los puntos D y E respectivamente. Demostrar que:

√

√

15 Demostrar que las diagonales de un trapecio se intersecan en un punto tal que las

longitudes de los segmentos de una de las diagonales es proporcional a las

longitudes de los segmentos correspondientes de la otra diagonal.

16 Se tiene con CD bisectriz, . Demostrar que

√( ) ( )( )

17 Demostrar que si dos triángulos rectángulos son semejantes, el producto de sus

hipotenusas es igual a la suma de los productos de los catetos homólogos.

18 Demostrar que la suma de los cuadrados de las tres medianas de un triángulo es

igual a tres cuartos de la suma de los cuadrados de los tres lados.

19 Se da un circulo de centro O , un diámetro AB y un punto M sobre la prolongación

de AB , se trazan las tangentes MN y MP al círculo, la cuerda NP encuentra al

diámetro en C. Demostrar que:


20 Un triángulo ABC está inscrito en una circunferencia de centro O, se traza el

diámetros MN perpendicular a BC, luego AM y AN que se encuentran a BC o su

prolongación en los puntos P y Q. Demostrar que:


unidad 7. proporcionalidad, semejanza y … · proporcionalidad, semejanza y relaciones mÉtricas...

Documents