unidad i guia de números complejos
TRANSCRIPT
PROFESOR: JULIO BARRETO 1 MATERIA: MATEMÁTICA IV
UNIDAD I: NÚMEROS COMPLEJOS.
Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el
mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números
complejos se designa como ,C siendo R el conjunto de los reales en donde se cumple que
.CR Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia
de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número
real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica
con la letra i ), o en forma polar.
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como
de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones
diferenciales, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además
los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de
la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en
la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas
electromagnéticas y la corriente eléctrica.
En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran
como puntos del plano: el plano complejo. Este cuerpo contiene a los números reales y los
imaginarios puros. Una propiedad importante que caracteriza a los números complejos es
el teorema fundamental del álgebra — pero que se demuestra aún en un curso de variable
compleja —, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n
soluciones complejas. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números
complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.
PROFESOR: JULIO BARRETO 2 MATERIA: MATEMÁTICA IV
ORIGEN
El primero en usar los números complejos fue el matemático italiano Girolamo
Cardano (1501–1576) quien los usó en la fórmula para resolver las ecuaciones cúbicas. El
término “número complejo” fue introducido por el gran matemático alemán Carl Friedrich
Gauss (1777–1855) cuyo trabajo fue de importancia básica en álgebra, teoría de los
números, ecuaciones diferenciales, geometría diferencial, geometría no euclídea, análisis
complejo, análisis numérico y mecánica teórica, también abrió el camino para el uso
general y sistemático de los números complejos.
En este sentido, los números complejos aparecen por primera vez en la solución de
ecuaciones de segundo y tercer grado a fines del siglo XV y principios del XVI. En esos
tiempos la solución de ecuaciones algebraicas era uno de los problemas centrales del
álgebra.
Pero no es sino hasta después de dos siglos que fueron aceptados como un recurso
técnico. Ciertamente que con las aportaciones de Argand, Gauss y Hamilton se descorre el
velo de misterio que rodeaba a estos números, pero sólo en el terreno formal; esto no
significó, de ninguna manera, que los números complejos fueran aceptados por completo
entre los matemáticos, ni mucho menos que fueran comprendidos del todo. Todavía en el
siglo XIX muchos matemáticos seguían considerándolos como “entes abominables”. Con
este se quiere señalar que el concepto de número complejo fue difícil de entender: es por
ello que se tardó tanto tiempo en ser aceptados.
Existe una infinidad de formas de introducir los números imaginarios, los cuales
están estrechamente ligados con los números complejos, pero aquí se mencionará la que no
causa tanta confusión matemática: un número imaginario representa una idea matemática
precisa, que se introdujo por la fuerza en el álgebra de la misma manera que con los
números negativos. De esta forma su entendimiento y uso serán más claros si consideramos
el desarrollo de sus progenitores: Los números negativos.
Los números negativos aparecieron como raíces de ecuaciones tan pronto nacieron
éstas; o mejor dicho, tan pronto como los matemáticos se ocuparon del álgebra. Toda
ecuación de la forma:
,0, ;0 babax
Tiene una raíz negativa.
Los griegos, para quienes la geometría era un regocijo y el álgebra un mal necesario,
descartaron a los números negativos.
PROFESOR: JULIO BARRETO 3 MATERIA: MATEMÁTICA IV
Incapaces de adoptarlos a su geometría, imposibilitados para representarlos
gráficamente, los griegos no los consideraron de modo alguno. Pero el álgebra los
necesitaba para desarrollarse. Más sabios que los griegos, los chinos y los hindúes
reconocieron a los números negativos antes de la era cristiana.
Cardano, eminente matemático del siglo XVI, jugador y bribón de vez en cuando y
a quien el álgebra debe muchísimo, fue el primero que reconoció la verdadera importancia
de las raíces (soluciones) negativas en las ecuaciones. Pero su conciencia científica lo
remordió hasta el punto tal que las llamó “ficticias”.
Rafael Bombelli, de Bologna, prosiguió la obra de Cardan donde éste la había
dejado y llegó a hablar de las raíces cuadradas de números negativos, pero no llegó, del
todo, a comprender el concepto de números imaginarios. En una obra publicada en 1572,
Bombelli señaló que las cantidades imaginarias eran indispensables para la solución de
muchas ecuaciones algebraicas de la forma: .0 ;02 aax Y que no pueden ser
resueltas sino con el auxilio de números imaginarios. Tratando de resolver una ecuación tan
sencilla como ,012 x se pueden distinguir dos alternativas: o la ecuación no tiene
sentido, o x es la raíz cuadrada de −1, que también es absurdo. Pero los matemáticos se
alimentan de absurdos y Bombelli salió del paso aceptando la segunda alternativa, que
generó la burla de muchos maestros de la época.
Sin embargo, el gran Leibniz escribió: “El espíritu divino encontró un escape
sublime en ese prodigio del análisis, en ese portento del mundo ideal, en ese anfibio entre
el ser y el no ser, al cual llamamos la raíz imaginaria de la unidad negativa”. También
Euler expresó que números como la raíz cuadrada de menos uno: “…no son ni nada, ni
menos que nada, lo cual necesariamente los hace imaginarios, o imposibles”.
Euler estaba en lo cierto, pero omitió decir que los números imaginarios eran útiles
e imprescindibles para el desarrollo de las matemáticas y la tecnología. Así, se les asignó
un lugar en el dominio de los números con todos los derechos, privilegios e inmunidades
pertenecientes a ellos.
Los números imaginarios surgieron de la extensión lógica de ciertos procesos. El
proceso de extraer raíces se denomina “evolución”. Es un nombre a propósito, porque los
números imaginarios evolucionaron, literalmente, por el proceso de extraer raíces. Si 4, 7,
11 tenían sentido, ¿por qué no habrían de tenerlo −4, −7, −11? Si 012 x tenía una
solución, ¿por qué no habría de tenerla 012 x ?
El reconocimiento de los imaginarios era como el reconocimiento de la Rusia
Soviética por los Estados Unidos de Norteamérica -la existencia era innegable, todo lo que
se necesitaba era una sanción formal y su aprobación.
PROFESOR: JULIO BARRETO 4 MATERIA: MATEMÁTICA IV
UNIDAD IMAGINARIA
El número imaginario más conocido es .1 Euler lo representó por el símbolo i
que aún se usa en la literatura. Así, la unidad imaginaria es el número 1 y se designa
por la letra .i Esto es:
i1
O sea que i será aquella cantidad que elevada al cuadrado resulta .1 Claramente:
.112
2 iii
Las leyes formales de operación para i son sencillas. En efecto, utilizando la Ley de
los Signos, se tiene:
.==ii=iiii
i;× i =i =i = iii
; = i = ii
= i;--i
= -i;-i
= i;+i
111
1
1
1
1
1
22
2
2
Con lo anterior se puede construir una tabla de las potencias de la unidad
imaginaria: 1i i
3i i
5i i
7i i
2i 1
4i 1
6i 1
8i 1
Esta tabla indica que las potencias impares de i son iguales a i o i y que las
potencias pares de 𝑖 son iguales a 1 o .1 Se cumple además que: .10 i
Nota: Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una
determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la
potencia equivalente a la dada. Debemos destacar que el “sobrante” o “resto” que oscilará
entre 0 y 3 (lo cual es lo que nos importa para realizar los cálculos como vemos en el
ejemplo de abajo).
PROFESOR: JULIO BARRETO 5 MATERIA: MATEMÁTICA IV
Ejemplos: Hallar .22i
Solución: Como haciendo la división, tenemos que: ,52
422 entonces:
11111525422 iii
Ejercicio:
Demostrar que: ii 27
RAÍZ CUADRADA DE CUALQUIER NÚMERO NEGATIVO
Podemos hallar la raíz cuadrada de cualquier número negativo como el siguiente:
.214144 i
Ejercicio: Demostrar que:
a) i 39
b) i2
10
2
5
Podemos definir a los números imaginarios de forma general:
NÚMEROS IMAGINARIOS
Un número imaginario se denota por ,bi donde:
b es un número real
i es la unidad imaginaria
Con los números imaginarios podemos calcular raíces con índice par y radicando
negativo.
PROFESOR: JULIO BARRETO 6 MATERIA: MATEMÁTICA IV
Ejemplo 1: Hallar las raíces de la ecuación 092 = + x
Solución: Tenemos que:
9909 22 x =x =+x
Es decir:
ixxx 319199 111
Y
ixxx 319199 111
Ejemplo 2: Hallar las raíces de la ecuación .=x + -x 0852
Solución: Usando la resolvente de la ecuación de segundo grado tenemos que:
0852 xx
1.2
8.1.45)5(2
x
2
3225)5( x
2
75 x
2
.75 ix
Por lo tanto se tendría dos soluciones:
ix2
7
2
51 y ix
2
7
2
52
NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA
Al número a+bi z le llamamos número complejo en forma binómica.
PROFESOR: JULIO BARRETO 7 MATERIA: MATEMÁTICA IV
En donde:
El número a es la parte real del número complejo, y se denotará como .Re az
El número b es la parte imaginaria del número complejo, denotado como .Im bz
Además:
Si 0 =b el número complejo se reduce a un número real ya que ,0 aia+ con
.0Im z
Si 0 =a el número complejo se reduce a bi+bi ,0 y se dice que es un número
imaginario puro, es decir, .0Re z
El conjunto de todos números complejos se designa por .C Se expresa:
RbabiaC ,/
Y tenemos que:
Los números complejos a+bi y bi a se llaman opuestos.
Los números complejos a+bi z y bi az se llaman conjugados.
De lo anterior se concluye que el conjunto de los Números Reales es un subconjunto
de los Números Complejos
Demos así la siguiente definición:
Definición: (Igualdad de Complejos): Dos números complejos 1z y 2z son
iguales siempre que:
21 ReRe zz y .ImIm 21 zz
Ejemplo: Verificar para cuales valores de x e y los números complejos
ixz 621 y yiz 3102 sean iguales.
Solución: Debe cumplirse que las partes reales y complejas de los números deben
ser iguales, es decir:
52
10102
xxx y yyy 2
3
636
PROFESOR: JULIO BARRETO 8 MATERIA: MATEMÁTICA IV
PLANO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS O DIAGRAMA DE ARGAND
El concepto de plano complejo permite interpretar geométricamente los números
complejos. Los diagramas de Argand se usan frecuentemente para mostrar las posiciones de
los polos y los ceros de una función en el plano complejo.
Definición (El Plano Complejo):El plano complejo es un sistema de coordenadas
rectangulares o cartesianas con la particularidad que en el eje X o de las abscisas se
representará la parte real del complejo (EJE REAL), y en el eje Y o de las ordenadas se
representará la parte imaginaria del mismo (EJE IMAGINARIO).
NOTAS: En el plano complejo los números imaginarios pueden ser representados
como puntos o como vectores. Además, la suma de números complejos se puede relacionar
con la suma con vectores, y la multiplicación de números complejos puede expresarse
simplemente usando coordenadas polares, donde la magnitud del producto es el producto
de las magnitudes de los términos, y el ángulo contado desde el eje real del producto es la
suma de los ángulos de los términos.
REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos.
El eje X se llama eje real.
El eje Y se llama eje imaginario.
El número complejo a+bi z se representa:
1. Por el punto ba, que se llama su afijo.
2. Mediante un vector de origen
0,0 y extremo .,ba
PROFESOR: JULIO BARRETO 9 MATERIA: MATEMÁTICA IV
Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, .X
Los afijos de los números imaginarios se sitúan sobre el eje imaginario, .Y
En este sentido, los Números Complejos se pueden expresar de varias formas:
1. FORMA BINÓMICA: Es la manera como se han presentado hasta ahora:
Ejemplos: 321 i; +=z 3
12 i; =z 9
2
13 ; i=z 24 ; =z .105 i=z
2. FORMA CANONICA O DE PAR ORDENADO: Se colocan, entre paréntesis
y separadas por una coma, primero la parte real y segundo la parte imaginaria del
complejo en cuestión.
Ejemplos: ;=z 3,21 1,3
12 ;=z
2
1,93 ;=z
;=z 0,24 .10,05=z
Nota: En los ejemplos anteriores que 4z es real y que 5z es imaginario puro.
3. FORMA TRIGONOMÉTRICA O POLAR (Será explicada más adelante).
Ejercicio: Representar los números complejos anteriores, tanto en forma binómica
como en forma canónica o como par ordenado.
PROFESOR: JULIO BARRETO 10 MATERIA: MATEMÁTICA IV
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS
Sean a+biz 1 y c+diz 2 dos numero complejos, entonces se pueden realizar
las siguientes operaciones:
1. SUMA Y DIFERENCIA DE NÚMEROS COMPLEJOS:
La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando las partes
reales y las partes imaginarias entre sí, respectivamente.
ib+d+a+c=dic+a+bi
ib -d+a -c=c+di-bia
Ejemplo: Sean ,251 i+z i+-z 382 y ,243 i-z hallemos .321 zzzz
i+i = -++ - -= i--i +-i+z 77232485243825
Ejercicio: Dados ;531 i+z ;42 iz ;23 iz 0,34 z y .3,04 z
Halla el resultado de: .54321 zzzzzz
2. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS:
El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva
del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que .12 i
iad+bc+dbac=dica+bizz 21
Ejemplo: Sean i+z 251 y ,322 iz hallemos .21 zzz
1116
415610
223532253225
i - =
i +=
i -+--= i-i+z
Ejercicio: Dados 2,31 z y ,5,22 z halla el valor de .21 zzz
PROFESOR: JULIO BARRETO 11 MATERIA: MATEMÁTICA IV
Deducción de una fórmula para realizar el producto de complejos más directamente,
realizando los productos entre estos números complejos.
2
21. idbicbidacadicbiazz
1 dbicbidaca
icbdadbca .
Por lo tanto la fórmula quedaría:
icbdadbcadicbiazz 21
O bien en forma canónica:
cbdadbcadcbazz ,,,21
Regla memorística para recordar la aplicación de la fórmula:
(Al estudiante se le deja verificar la regla resolviendo el ejemplo anterior del
producto de complejos).
Cálculo de la Parte Real:
dbca
ciónMultiplica
dc
ba
..
,
,
Siempre negativo
Cálculo de la Parte Imaginaria:
cbda
ciónMultiplica
dc
ba
..
,
,
Siempre positivo
PROFESOR: JULIO BARRETO 12 MATERIA: MATEMÁTICA IV
CONJUGADO DE UN COMPLEJO:
Llamaremos conjugados a dos complejos denotados como z y z que tengan sus
partes reales idénticas pero sus partes imaginarias opuestas. Esto será:
a+bi z y .biaz
Ejemplos:
En forma binómica: En forma canoníca:
PROPIEDAD DE LOS COMPLEJOS CONJUGADOS:
Al multiplicar dos complejos conjugados, el resultado es un número real positivo.
Ejemplo: Si ,2 iz halla el producto de .zz
Resolución:
522)1(422. iiizz
Por lo tanto: 5. zz
Vamos a probar ahora la propiedad para cualquier par de complejos conjugados
(Fórmula): Si tenemos que a+bi z y ,biaz entonces:
z z
1,3 1,3
5, 5,
3,0 3,0
0,e 0,e
0,0 0,0
z z
i 53 i 53
i 2 i 2
i3 i3
8 8
PROFESOR: JULIO BARRETO 13 MATERIA: MATEMÁTICA IV
iabbababiabiazz .).()(. 22
ibababazz ... 22
ibazz 0. 22 22. bazz (Fórmula)
(Al estudiante se le deja verificar la propiedad resolviendo el ejemplo anterior).
3. DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS:
El cociente de números complejos se realiza multiplicando numerador y denominador
por el conjugado de este.
idc
adbc+
dc
bdac=
dic
a+bi
2222
Ejemplo: Sean i+z 231 y ,212 iz calcule .2
1
z
zz
i+
i+
i+
i+=
i
i+z
5
8
5
1
5
8
5
43
41
62
41
43
21
2312
21
2213
21
23
2222
Nota: Para dividir números complejos multiplicamos el numerador y el
denominador por el conjugado del denominador. Realice la demostración de esta fórmula.
Ejercicios: Halla el valor de:
PROFESOR: JULIO BARRETO 14 MATERIA: MATEMÁTICA IV
ii
z
2
23
i
iz
65
827
GEOMETRÍA Y OPERACIONES CON COMPLEJOS
Geométricamente, las operaciones algebraicas con complejos las podemos entender
como sigue. Para sumar dos complejos 111 b+i=az y ,222 b+i=az podemos pensar en
ello como la suma de dos vectores del plano x-y apuntando desde el origen al punto
11,ba y ,22,ba respectivamente. Si trasladamos (movemos) el segundo vector, sin
cambiar su dirección, con lo que su punto de aplicación coincide con el punto final del
primer vector; el segundo vector así ubicado apuntará al complejo .21 zz
Siguiendo con esta idea, para multiplicar dos complejos 1z y ,2z primero medimos
el ángulo que forman en sentido contrario a las agujas del reloj con el eje positivo de
las x y sumamos ambos ángulos: el ángulo resultante corresponde con el del vector que
representa al complejo producto .21 zz
La longitud de este vector producto viene dada por la multiplicación de las longitudes
de los vectores originales. La multiplicación por un número complejo fijo puede ser vista
como la transformación del vector que rota y cambia su tamaño simultáneamente.
Multiplicar cualquier complejo por i corresponde con una rotación de 90º en
dirección contraria a las agujas del reloj. Asimismo el que 111 puede ser
PROFESOR: JULIO BARRETO 15 MATERIA: MATEMÁTICA IV
entendido geométricamente como la combinación de dos rotaciones de 180º ( 12 i ),
dando como resultado un cambio de signo al completar una vuelta.
NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR Y TRIGONOMÉTRICA
MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO
El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el
origen de coordenadas y su afijo. Se designa por .z Es dado por: .22 bazr
Ejemplo: Halla el módulo de .43 iz
Solución: De la fórmula tenemos que:
251694)3( 22 z
Por lo tanto: 5z
ARGUMENTO DE UN NÚMERO COMPLEJO
El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real.
Se designa por .zArg
El argumento de un complejo puede tomar infinitos valores que se diferencian entre sí
por un número enteros de vueltas: .con ,2 ZkkzArg
PROFESOR: JULIO BARRETO 16 MATERIA: MATEMÁTICA IV
Llamaremos argumento principal al que está comprendido entre 2,0 , o sea una
vuelta; y se calcula usando cualquier función trigonométrica como por ejemplo:
,r
barcSen
r
bSen ,
r
aarcCos
r
aCos .
a
barcTg
a
bTg
Para calcular el argumento, calculamos el arcotangente de a
b prescindiendo de los
signos, para ubicar el cuadrante en que se encuentra tendremos en cuenta:
IV cuadrante elen ,360
0y 0 si,270
III cuadrante elen ,180
0y 0 si,180
II cuadrante elen ,180
0y 0 si,90
I cuadrante elen ,
0y 0 si,0
0
0
0
0
0
0
0
ba
ba
ba
ab
a
barctg
Ejemplos: Halla el argumento de los siguientes complejos: iz .221 y
iz .572
Solución:
Argumento de z1: 12
2
arcTgTg
Por lo tanto: )º360(2º135:24
3kbienok
Argumento de z2: 714286,07
5arcTgTg
Por lo tanto: )º360(2º5376,215:28809,1 kbienokrad
FORMA TRIGONOMÉTRICA O POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO:
PROFESOR: JULIO BARRETO 17 MATERIA: MATEMÁTICA IV
En la figura se tiene que:
Senbdondedeb
Sen . ;
Y también:
Cosadondedea
Cos . .
Ahora, como ,bz=a+i sustituyendo obtenemos:
iSenCosz ... ,
Lo cual organizándolo nos queda: SeniCosz .. , y ahora sacando el factor
común resulta: SeniCosz . , y por último llamando a la expresión
SeniCos . = Cis se tiene la “Forma Trigonométrica o Polar de Z”:
Cisz .
Ejemplo 1: Convierta de la forma polar a la forma binómica: 120º2z
PROFESOR: JULIO BARRETO 18 MATERIA: MATEMÁTICA IV
Solución: Para pasar de la forma polar a la binómica, tenemos que pasar en primer
lugar a la forma trigonométrica.
Tomando en cuenta que: .isenααrrz α cos
Así,
00
00
1202120cos2z
120120cos2
isen
isenz
De aquí que la parte real es dada por:
.12
12120cos2 0
a
Y la parte imaginaria es:
.32
321202 0
senb
Por tanto, el número complejo en forma binómica es dado por:
i31z
Nota: Reales e imaginarios puros de módulo unidad:
z =10º = 1 z =1180º = −1 z =190º = i z =1270º = −i
Ejemplo 2: Pasar a la forma polar: i31z
Solución: Notemos que su modulo y argumento viene dados por:
.2z4z31z31z22
.601
3arcTg 0
Y por tanto nos queda que:
60º2z
NÚMEROS COMPLEJOS IGUALES, CONJUGADOS, OPUESTOS E INVERSOS
PROFESOR: JULIO BARRETO 19 MATERIA: MATEMÁTICA IV
NÚMEROS COMPLEJOS IGUALES: Dos números complejos son iguales si
tienen el mismo módulo y el mismo argumento.
k
rrrr
2
NÚMEROS COMPLEJOS CONJUGADOS: Dos números complejos
son conjugados si tienen el mismo módulo y opuestos sus argumentos.
k
rrrr
2 conjugado
NÚMEROS COMPLEJOS OPUESTOS: Dos números complejos son opuestos si
tienen el mismo módulo y sus argumentos se diferencian en π radianes.
k
rrrr
2 opuesto
Representaciones de los opuestos y conjugados:
NÚMEROS COMPLEJOS INVERSOS: El inverso de un número complejo no
nulo tiene por módulo el inverso del módulo y por argumento su opuesto.
-αα r
r
11
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR Y
TRIGONOMÉTRICA
PROFESOR: JULIO BARRETO 20 MATERIA: MATEMÁTICA IV
MULTIPLICACIÓN DE COMPLEJOS EN FORMA POLAR
La multiplicación de dos números complejos es otro número complejo tal que:
Su módulo es el producto de los módulos.
Su argumento es la suma de los argumentos.
Es decir: rrrrα
Ejemplo:
00000 6015451545183636
PRODUCTO POR UN COMPLEJO DE MÓDULO 1
Al multiplicar un número complejo z = rα por 1β se gira z un ángulo β alrededor del
origen.
rrα 1
Representaciones:
DIVISIÓN DE COMPLEJOS EN FORMA POLAR
La división de dos números complejos es otro número complejo tal que:
Su módulo es el cociente de los módulos.
Su argumento es la diferencia de los argumentos.
Es decir:
r
r
r
rα
Ejemplo:
0
000
0
30304515
45 23
6
3
6
PROFESOR: JULIO BARRETO 21 MATERIA: MATEMÁTICA IV
POTENCIA DE NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR
La potencia enésima de número complejo es otro número complejo tal que:
Su módulo es la potencia n−ésima del módulo.
Su argumento es n veces el argumento dado.
nnn
α rr
Ejemplo:
00
0 120304
44
301622
FÓRMULA DE MOIVRE: nisennisenn
coscos
Ejemplo:
44coscos4
isenisen
RAÍZ DE NÚMEROS COMPLEJOS
Raíz enésima de complejos en forma polar: n r
Tenemos que la raíz enésima de número complejo es otro número complejo tal que:
Su módulo es la n raíz enésima del módulo.
n rr
Su argumento es:
.1,3,2,1,0con ,2
nkn
k
Así:
n
n
kn rr 2
Ejemplo: Hallar 6 1 i
Solución:
Sea ,1 iz tenemos que su modulo es:
PROFESOR: JULIO BARRETO 22 MATERIA: MATEMÁTICA IV
211 22 z
Además, su argumento es:
0451
1
arctag
Por tanto, tenemos que:
0452z
Luego:
64502
De donde:
126 22 z
Y obtenemos:
03307
12
6
0
6
03247
12
5
0
5
03187
12
4
0
4
03127
12
3
0
3
0367
12
2
0
2
037
121
0
1
00
0
0
0
0
0
0
2033075
2032474
2031873
2031272
203671
20370
6
36045
zk
zk
zk
zk
zk
zk
k
Es decir:
EJERCICIOS DE NÚMEROS COMPLEJOS
1. Hallar .37i
PROFESOR: JULIO BARRETO 23 MATERIA: MATEMÁTICA IV
2. Halla el valor de “z”, donde iiiiiiz .5.2.3.5.3.2 59222582120031942
3. Hallar las raíces de la ecuación .=x x 012
4. Verificar para cuales valores de x e y los números complejos ixz 842
1 y
iyxxz 42 sean iguales.
5. Verificar para cuales valores de x e y los números complejos xiyxz 1 y
iyz 262 sean iguales.
6. Sean los números complejos: ;=z 3,21 1,3
12 ;=z
2
1,93 ;=z
;=z 0,24
.10,05 =z Representarlos en el plano complejo. Expresarlos en forma binómica.
7. Sean ,251 i+z iz 382 y .243 i-z Hallar:
a) .321 zzzz
b) .32 zzz
c) .3
2
1 zz
zz
8. Pasar a la forma polar y trigonométrica: .31 iz
9. Escribir en forma binómica: 0602z
10. Calcular todas las raíces de la ecuación: .016 x
11. Determina las soluciones de 0.225 ix .
12. Determina 4 º4081Cis .
13. Realiza las siguientes operaciones:
a)
0
0
60
3
20
2
3
b) 101 i
c) 631 i
PROFESOR: JULIO BARRETO 24 MATERIA: MATEMÁTICA IV
d) 3
3
1
i
i
14. Resuelve la siguiente raíz, expresando los resultados en forma polar.
5 1010 i
15. Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones i21 y su
conjugado.
16. Calcula la siguiente operación, dando el resultado en forma polar.
ii
ii
223
2332
17. Calcula el valor de cociente, y representa los afijos de sus raíces cúbicas.
i
ii
2
77
18. Expresa en forma polar y binómica un complejo cuyo cubo sea:
22cos8
isen
19. Expresa en función de cos y :sen
a) a5cos
b) asen5
20. Escribe en las formas polar y trigonométrica, los conjugados y los opuestos de:
a) i44
b) i22
21. Calcular todas las raíces de la ecuación: 0325 x
22. Expresa en función de cos y :sen
PROFESOR: JULIO BARRETO 25 MATERIA: MATEMÁTICA IV
a) a3cos
b) asen3
PROBLEMAS DE NÚMEROS COMPLEJOS
1. Calcula k para que el número complejo que obtenemos de la siguiente división esté
representado en la bisectriz del primer cuadrante.
ik
i
2
Solución: 3k
2. Halla el valor de k para que el cociente ik
ki
2sea:
a) Un número imaginario puro.
b) Un número real.
Solución: 2,0 kk
3. Se considera el complejo ,322 i se gira 45° alrededor del origen de coordenadas
en sentido contrario a las agujas del reloj.
Hallar el complejo obtenido después del giro.
Solución: 51054z
4. Hallar las coordenadas de los vértices de un hexágono regular de centro el origen
de coordenadas, sabiendo que uno de los vértices es el afijo del complejo 190°.
Solución:
2
1,
2
31,0,
2
1,
2
3,
2
1,
2
3,1,0,
2
1,
2
3454321 zzzzzz
5. Determina el valor de a y b para que el cociente bi
ia
3
2 sea igual a: 03152
Solución: 5,8 ba
6. ¿Cuáles son las coordenadas del punto que se obtiene al girar 90°, en sentido
antihorario alrededor del origen, el afijo del complejo 2 + i?
Solución: 2,1
PROFESOR: JULIO BARRETO 26 MATERIA: MATEMÁTICA IV
7. Halla las coordenadas de los vértices de un cuadrado de centro el origen de
coordenadas, sabiendo que uno de los vértices es el punto (0, −2).
Solución: 2,0,0,2,2,0,0,2 4321 zzzz
8. La suma de los componentes reales de dos números complejos conjugados es seis, y
la suma de sus módulos es 10. Determina esos complejos en la forma binómica y
polar.
APLICACIÓN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS A LA ELECTRICIDAD
Una aplicación de los números complejos es el cálculo de impedancias equivalentes
en redes eléctricas a corriente alterna. Antes, es necesario introducir algunos conceptos de
circuitos eléctricos.
La “impedancia” eléctrica es la oposición al flujo de la corriente eléctrica de
cualquier circuito. Por lo general, en los textos, la magnitud de la impedancia se denota
como z y se suele definir como:
22
CLR ZZZZ
Donde RZR es la impedancia resistiva o la resistencia del cuerpo a que fluya la
corriente, C
iZC (con 𝜔 la frecuencia angular de la corriente alterna) es la impedancia
capacitiva siendo C la capacidad que tiene el cuerpo para almacenar carga, y iLzL es
la impedancia inductiva siendo L la magnitud de la oposición que tiene el cuerpo a
cambios en la corriente.
Debido a la Ley de Ohm ( RV=I ), el voltaje y la corriente en un resistor tienen la
misma frecuencia angular; es decir están en fase. Este no es el caso del voltaje y la corriente
a través de un capacitor que retrasa a la frecuencia angular de la corriente alterna en −90° o
2
𝑟𝑎𝑑. En la corriente a través de un inductor, la frecuencia angular sufre una variación
de +90° o 2
𝑟𝑎𝑑; es decir, se adelanta 90° o
2
𝑟𝑎𝑑.
La representación geométrica de la invariancia, retraso y adelanto de la frecuencia de
la corriente con respecto a la frecuencia del voltaje es como se muestra en la figura adjunta.
PROFESOR: JULIO BARRETO 27 MATERIA: MATEMÁTICA IV
Lo anterior indica que la impedancia se puede representar como el número complejo:
;1
iC
LRZZZZ CLR
Con modulo: 2
2 1
CLRZ
Y con argumento:
R
CωLω
Z
1
arctanarg
Por otro lado, las impedancias también obedecen a las mismas reglas que para el
cálculo de sus componentes individuales CR, y L en circuitos RLC en serie y en
paralelo.
Circuito RLC en Serie Circuito RLC en Paralelo
Es decir, para un conjunto de elementos nZZZZ ,,,, 321 que están en serie y en
paralelo, respectivamente, la impedancia equivalente eqz es:
PROFESOR: JULIO BARRETO 28 MATERIA: MATEMÁTICA IV
neq ZZZZZ 321 O neq ZZZZZ
11111
321
Ejemplo 1: Por el circuito en serie mostrado en la figura adjunta circula una corriente
de 𝐼 = 2 sin 500𝑡 Amp. Obtener la magnitud de la impedancia equivalente del circuito y el
ángulo de desfasamiento entre la corriente y el voltaje.
Solución:
En este caso 𝜔= 500. El número complejo que representa a la impedancia equivalente
es:
iΩΩ + Hzi= H × × Ω + Hzi = mH × Ω + = Z -
eq 10105001020105002010 3
De esta forma, la magnitud de la impedancia equivalente es:
14,142001001001010 22 + =Zeq
El ángulo de desfasamiento está dado por el argumento de la impedancia
equivalente:
radZeq4
1arctan10
10arctanarg
Este resultado indica un adelanto en la corriente de 45° con respecto a la frecuencia
de entrada.
Ejemplo 2: Del circuito en paralelo mostrado en la figura siguiente:
PROFESOR: JULIO BARRETO 29 MATERIA: MATEMÁTICA IV
Obtener la impedancia total Z si
.2,4,6,2 21 LC XXRR
Solución: En este caso:
;4211 iiXRZ C
;2622 iiXRZ L
Puesto que los circuitos están en paralelo, entonces:
21
111
ZZZ
Esto implica que:
21
21
ZZ
ZZZ
Esto es:
i. -= i -
=i +
i +×
-i
i - =
i -
i - =
i + + i -
i + i - Z 8,19,2
17
3050
44
44
4
1010
28
2020
2642
2642
La magnitud y ángulo de desfasamiento de esta impedancia son:
41,365,1124,341,81,89,222
Z
0.55rad. = 0,62-arctan = 2,9
1,8-arctan = Zarg =
PROFESOR: JULIO BARRETO 30 MATERIA: MATEMÁTICA IV
∎
UNA FÓRMULA MARAVILLOSA
Relaciona los números imaginarios (i = raíz cuadrada de (–1)), con las potencias (número
e y logaritmos neperianos) y con las funciones trigonométricas. Permite recordar, sin
esfuerzo, fórmulas trigonométricas como la del seno o coseno de una suma de ángulos, del
ángulo doble o mitad, y calcular, con facilidad, derivadas de funciones trigonométricas.
Esta es la Fórmula de Euler: isene i cos
Y cuando , tenemos que:
1ie o bien 01ie
Para finalizar, se enunciará la opinión que emitió alrededor de la cuarta década del
siglo XX el eminente científico John von Neumann acerca de los números complejos:
“Hace 150 años, uno de los problemas más importantes de la ciencia aplicada -de la
que dependía el desarrollo de la industria, comercio y gobierno- era el problema de salvar
vidas en el mar. Las estadísticas sobre esas pérdidas eran terribles. El dinero y los esfuerzos
empleados en resolver el problema eran también terríficos, los matemáticos desarrollaban
una herramienta que salvaría más vidas que las que esperaba salvar el grupo de excéntricos
inventores. Esa herramienta se llegó a conocer como la teoría de Funciones de Variable
Compleja. Entre las muchas aplicaciones de esta noción puramente matemática, una de las
más fructíferas es la Teoría de la Comunicación por Radio.”
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Baldor, A. “Álgebra”. Distribuidora Cultural Venezolana S.A.
Churchill, R. (1992). Variable Compleja y Aplicaciones. Quinta Edición.
McGraw-Hill, México.
Edminister, Joseph A. (1981). Circuitos eléctricos. Serie de Compendios
Schaum, McGraw-Hill/INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S.A.
Mendiola, Esteban. “Matemáticas 4to. Año”. Editorial Biosfera S.R.L. Capítulo
VII
Jiménez, J y Salazar, J. “Matemáticas Primer Año, Ciclo Diversificado.”.
Ediciones CO-BO. Caracas.
INTERNET: http://www.vitutor.com/di/c/a_11.html#