unidad i parametros de lineas de transmision
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UNIDAD I
PARAMETROS DE LAS LINEAS DE TRANSMISION.
INTRODUCCION.
En esta unidad se analizan los cuatro parámetros básicos de las líneas de transmisión: la resistencia serie, la inductancia serie, la capacitancia en derivación y la conductancia en derivación también se investigan los campos eléctricos y magnéticos en las líneas de transmisión.
Los cuatro parámetros de las líneas de transmisión son:
Resistencia Serie: Está relacionada con las perdidas óhmicas (I R) en la línea.
Impedancia Serie: Incluyendo la R y la reactancia inductiva, da lugar a la caída de tensión en serie a lo largo de la línea.
Capacitancia en Derivación: Este da lugar a las corrientes de carga de la línea.
Conductancia en Derivación: Está relacionada con las pérdidas V2G de la línea debida a las corrientes de fuga entre los conductores ó entre los conductores y tierra.
G = Conductancia.
I.1 CONSIDERACIONES DE DISEÑO DE LAS LINEAS DE TRANSMISIÓN
Una línea aérea de transmisión consta de conductores, aisladores, estructuras de soporte y, en la mayor parte de los casos, hilos de guarda.
CONDUCTORES
El aluminio ha reemplazado al cobre como el metal más común para conductores para transmisión aérea. Aun cuando se requiere un área más grande de sección transversal en el aluminio para obtener la misma pérdida que con el conductor de cobre, el aluminio tiene un costo menor y es más ligero. Asimismo, el suministro de aluminio es abundante, en tanto que del cobre es limitado.
Uno de los tipos más comunes de conductores es el conductor de aluminio reforzado con acero (ACSR), el cual consta de capas de hilos de aluminio que rodean un núcleo central de hilos de acero (figura 1.1). Los conductores trenzados son más fáciles de fabricar, ya que se pueden obtener tamaños más grandes de conductores sencillamente al agregar capas sucesivas de hilos. Los conductores trenzados también son más fáciles de manejar y más flexibles que los sólidos, en especial con tamaños más grandes. El uso de hilos de acero les da a los conductores ACSR una alta resistencia mecánica a peso. Para disipar el calor, los conductores de las líneas de transmisión aéreas están desnudos (sin cubierta de aislamiento).
Otros tipos de conductores incluye el conductor todo aluminio (AAC), el conductor de aluminio reforzado con aleación (ACAR) y el conductor de aluminio revestido con acero (Alumoweld). También existe un conductor conocido como "ACSR expandido", el cual tiene un relleno de fibra o de papel entre los hilos de aluminio y de acero. El relleno aumenta el diámetro del conductor, lo cual reduce el campo eléctrico en la superficie del conductor, para controlar el efecto corona.
Las líneas EHV (extra alta tensión) a menudo tiene más de un conductor por fase; este grupo de conductores se conoce como haz. Las líneas de 765 kV de la figura 1.2 tiene cuatro conductores por fase y la de doble circuito de 345 kV de la figura 1.3 tiene dos conductores por fase. Los conductores en haz tiene una menor intensidad del campo eléctrico en su superficie, con lo que se controla el efecto corona. También tiene una menor reactancia en serie.
AISLADORES
Los aisladores para las líneas de transmisión por encima de 69 kV tienen aisladores de tipo de suspensión, los cuales constan de una hilera de discos, típicamente de porcelana. El disco estándar (figura 1.4) tiene 10 in (0.254m) de diámetro, espaciamiento de 5 3/4 in (0.146m) entre centro de discos adyacentes y una resistencia mecánica de 7500kg.
TABLA I.1 Características típicas de una línea de transmisión [1, 2]
TensiónNominal
Conductores por fase
(kV)Número de conductores
por haz
Área de la sección
transversal del aluminio
por conductor(ACSR)(kcmil)
Espaciamiento de los haces
(cm)
Espacios libres mínimos
Fase a fase (m)
Fase a fase (m)
69 1 - - - -138 1 300 – 700 - 4 a 5 -230 1 400 – 1000 - 6 a 9 -345 1 2000 – 2500 - 6 a 9 7.6 a11345 2 800 – 2200 45.7 6 a 9 7.6 a 11500 2 2000 – 2500 45.7 9 a 11 9 a 14500 3 900 – 1500 45.7 9 a 11 9 a 14765 4 900 - 1300 45.7 13.7 12.2
TensiónNominal
Hilera de aisladores de suspensión Hilos de guarda
(kV)Número de hileras por
fase
Número de discos
aisladores estándar por
hilera de suspensión
Tipo
Espacios libres mínimos
NúmeroDiámetro
(cm)
69 1 4 a 6 Acero 0, 1 o 2 -138 1 8 a 11 Acero 0, 1 o 2 -230 1 12 a 21 Acero o ACSR 1 o 2 1.1 a 1.5345 1 18 a 21 Alumoweld 1 o 2 0.87 a 1.5345 1 y 2 18 a 21 Alumoweld 2 0.87 a 1.5500 2 y 4 24 a 27 Alumoweld 2 0.98 a 1.5500 2 y 4 24 a 27 Alumoweld 2 0.98 a 1.5765 2 y 4 30 a 35 Alumoweld 2 0.98
ESTRUCTURAS DE SOPORTE
En las líneas de transmisión se emplean diversas estructuras de soporte. En las figuras 1.2 se muestra una torre reticulada autosoportada de acero, cuyo uso es típico para líneas de 500 y 765 kV. En las líneas de 345 kV de doble circuito suelen tener torres autosoportada de acero con las fases dispuestas en configuración triangular.
HILOS DE GUARDA
Los hilos de guarda que se ubican arriba de los conductores de fases protegen a estos últimos contra descargas atmosféricas. Suelen ser de acero de alta o extra alta resistencia mecánica, Alumoweld o ACSR con sección transversal mucho menor que la de los conductores de fases. El número y ubicación de los hilos de guarda se selecciona de modo que casi todas las caídas de rayos terminen sobre ellos en lugar de sobre los conductores de fase. En la figura 1.2, 1.3 y 1.5 se tienen dos hilos de guarda. Los hilos de guarda se conectan a tierra en la torre. De este modo, cuando un rayo choca contra un hilo de guarda, fluye hacia tierra sin causar daños, siempre que la impedancia de la torre y la resistencia eléctrica de la cimentación de ésta sean pequeñas.
FACTORES ELÉCTRICOS
El diseño eléctrico determina el tipo, tamaño y número de conductores del haz por fase. Los conductores de fase se seleccionan para tener suficiente capacidad térmica para satisfacer las corrientes en forma continua, sobrecargas de emergencia y las capacidades de corriente de cortocircuito. Para las líneas EHV, el número de conductores del haz por fase se selecciona para controlar el gradiente de tensión en las superficies del conductor, reduciendo o eliminando de ésta manera el efecto corona.
El diseño eléctrico también determina el número de discos aisladores, en disposición de hilera vertical o en forma de V, y el espacio libre de fase a fase y de fase a torre, todo seleccionando para proporcionar un adecuado aislamiento de la línea. El aislamiento de la línea debe soportar sobretensiones transitorias debidas a rayos y a operaciones de conexión y desconexión, incluso cuando los aisladores están contaminados por neblina, sal o residuos industriales. También deben tomarse en cuenta los espacios libre reducidos que se producen por oscilaciones de las líneas por la acción del viento.
El número, tipo y ubicación de los hilos de guarda se seleccionan para interceptar las descargas atmosféricas que, de lo contrario, chocarían contra los conductores de fase. Asimismo, se puede reducir la resistencia al pie de la torre mediante el uso de varillas clavadas en la tierra o con un conductor enterrado (llamado toma de tierra equilibrada) que corra paralelo a la línea.
Los espaciamientos de los conductores, los tipos y los tamaños también determinan la impedancia en serie y la admitancia en derivación. La impedancia en serie afecta las caídas de tensión en la línea, las pérdidas I2R y los límites de estabilidad. La admitancia en derivación, principalmente capacitiva, afecta la corriente de carga de la línea, las cuales inyectan potencia reactiva al sistema de potencia. Con frecuencia se instalan reactores (inductores) en derivación en las líneas EHV poco cargadas, para absorber parte de esta potencia reactiva, reduciendo de esta manera las sobretensiones.
FACTORES MECANICOS
El diseño mecánico se enfoca sobre la resistencia mecánica de los conductores, hileras de aisladores y estructuras de soporte. Los conductores deben ser suficientemente fuertes como para soportar un espesor especificado de hielo y un viento especificado, además de su propio peso. Las hileras de aisladores de suspensión deben ser capaces de sostener los conductores de fases con cargas de hielo y vientos de torre a torre (longitud del claro). Las torres que satisfacen los requisitos mínimos de resistencia mecánica, llamadas torres de suspensión, están diseñadas para sostener los conductores de fase y los hilos de guarda con cargas de hielos y viento y, en algunos casos, tirones no balanceados provocados por la ruptura de uno o de dos conductores.
A= (d2 mil2)( ) = d2 cmilπ4
1 cmilπ/4 mil2
TIPOS DE CONDUCTORES EN L DE T. AEREAS
ACC CONDUCTOR DE ALUMINIOAAAC CONDUCTOR DE ALUMINIO CON ALEACIONACSR CONDUCTOR DE ALUMINIO CON REFUERZO DE ACEROACAR CONDUCTOR DE ALUMINIO CON REFUERZO DE ALEACIÓN
ALUMOWELD CONDUCTOR DE ALUMINIO REVESTIDO CON ACERO.
.
I.2 RESISTENCIA
La resistencia de cd de un conductor a una temperatura especificada T es
Rt =
ρt l
A [Ω ] Ecuación I.2.1
En donde ρT = resistencia del conductor a la temperatura Tl= longitud del conductorA = área de la sección transversal del conductor
En la tabla I.2 se resumen dos conjuntos de unidades de uso común para el cálculo de la resistencia, el SI y las unidades inglesas. En unidades inglesas, el área de la sección transversal del conductor se expresa en circular mils (cmil). Una pulgada es igual a 1000 mils y 1 cmils es igual π/4 mils2. Un circulo con diámetro de D in, o sea (D in)(1000 mil/in)=1000 D mil=d mil, tiene un área de :
A=( π4 D2 ¿2) (1000mil¿ )
2
= π4
(1000D )2=¿ π4d2 [mil2 ]
Es decir,
Ecuación I.2.2
La resistividad depende del metal del conductor. El cobre recocido es el estándar internacional para medir la resistividad ρ (o la conductividad σ, en donde σ= 1/ρ). En la tabla I.3 se encuentra una lista de la resistividad de los metales para conductores. Como se muestra, el aluminio estirado en frío, el cual tiene 61% de la conductividad del estándar internacional, tiene una resistividad a 20°C de 17.00Ωcmil/ft, o bien 2.83 X 10-8Ωm.
Tabla I.2 Comparación de las unidades del SI e Inglesas para el cálculo de la resistencia de los conductores.Cantidad Símbolo Unidades SI Unidades inglesasResistividad ρ Ωm Ωcmil/ftLongitud l m FtÁrea de la sección transversal A m2 CmilResistencia de cd Rdc= Ω Ωρl
A
Rca = ΩPpérdida
| I|2
Tabla I.3 % de la conductividad, resistividad y constante de temperatura de metales para conductores.Ρ20°C T
Resistividad a 20°CConstante de Temperatura
Material % de conductividad Ωm X 10-8 Ω-cmil/ft °CCobre: Recocido 100% 1.72 10.37 234.5 Estirado en frio 97.3% 1.77 10.66 241.5Aluminio: Estirado en frio 61% 2.83 17.00 228.1Latón 20-27% 6.4-8.4 38-51 480Hierro 17.2% 10 60 180Plata 108% 1.59 9.6 243Sodio 40% 4.3 26 207Acero 2-14% 12-88 72-530 180-980
La resistencia de los conductores depende de los factores siguientes:
1. La disposición en espiral.2. Temperatura.3. Frecuencia (“efecto piel”).4. Magnitud de la corriente; conductores magnéticos.
Éstas se describen en los párrafos siguientes.Para los conductores trenzados, las capas alternadas de hilos describen espirales en direcciones
opuestas para mantener los hilos unidos. La formación de la espiral hace que los hilos sean 1 o 2% mayor que la calculada a partir de la ecuación (I.2.1), para una longitud especificada del conductor.
La resistividad de los metales para conductores varía linealmente sobre las condiciones normales de operación con:
ρT 2=ρT 1 ( T 2+T
T1+T ) Ecuación. I.2.3
En donde ρT2 t ρT1 son las resistividades a las temperaturas T2 y T1 °C, respectivamente. T es una constante de temperatura que depende del material del conductor y se encuentra listada en la tabla I.3
La resistencia de ca o resistencia efectiva de un conductor es
Ecuación I.2.4
En donde Ppérdida es la pérdida real de potencia del conductor, en watts, e I es la corriente rms en el conductor. Para la cd, la distribución de la corriente es uniforme en toda la sección transversal del conductor y la ecuación (I.2.1) es válida. Sin embargo, para la ca, la distribución de corriente no esuniforme. Conforme aumenta la frecuencia, la corriente en un conductor cilíndrico sólido tiende a agolparse hacia la superficie del mismo, con menor densidad de corriente en el centro de éste. Este fenómeno se conoce como efecto piel. Un conductor con un radio grande incluso puede tener una densidad oscilatoria de corriente como función de la distancia radial al centro del mismo.Al aumentar la frecuencia, aumenta la pérdida en el conductor, la cual, por la ecuación (I.2.4), hace
(11.88)(5280 x 1.02)211 600
que se incremente la resistencia de ca. A las frecuencias de la transmisión de potencia (60 Hz), la resistencia de ca es al menos un pequeño porcentaje más alta que la de cd. Normalmente, los fabricantes de conductores proporcionan la resistencia de cd, a 50 y 60 Hz de los conductores con base en datos de prueba.
Para los conductores magnéticos, como los de acero usando para los hilos de guarda, la resistencia depende de la magnitud de la corriente. Los enlaces de flujo interno y, por lo tanto, las perdidas en el hierro o magnéticas, depende de la magnitud de la corriente. Para los conductores ACSR, el núcleo de acero tiene una resistividad relativamente elevada en comparación con la de los hilos de aluminio y, por lo tanto, el efecto de la magnitud de la corriente sobre la resistencia de este tipo de conductores es pequeño. Las tablas relativas a los conductores magnéticas registran las resistencias a dos niveles de corriente.
EJEMPLO I.1 CONDUCTOR TRENZADO: RESISTENCIA DE CD Y CA
Se lista un conductor de cobre 4/0 con 12 hilos. El diámetro del hilo es de 0.1328 in. Para este conductor:
a. Verifique el área total de la sección transversal del cobre de 211 600 cmil.b. Verifique la resistencia de cd a 50°C de 0.302 Ω/mi. Suponga un aumento de 2% en la resistencia
debido a la disposición en espiral.
SOLUCIÓN a. El diámetro del hilo es de d= (0.1328 in) (1000 mil/in)=132.8 mil y, por la ecuación (I.2.4), el área del
hilo es de d2 cmil. Usando cuatro cifras significativas, el área de la sección transversal del conductor de 12 es.A= 12 d2 = 12(132.8)2= 211 600 cmil
b. Usando la ecuación (I.2.3) y los datos del obre estirado en frio de la tabla I.3,
Por la ecuación (I.2.1), resistencia de cd a 50°C para una longitud de conductor de 1 milla (5280 ft) es.
Rcd, 50°C = =0.302 Ω/mi
(I.3) CONDUCTANCIALa conductancia explica la pérdida de potencia real entre conductores o entre los conductores y la
tierra. Para las líneas aéreas, esta pérdida de potencia se debe a las corrientes de fuga en los aisladores y corona. La corriente de fuga del aislador depende de la cantidad de suciedad, sal y otros contaminantes que se hayan acumulado sobre los aisladores, así como de factores meteorológicos, en particular la presencia de humedad. El efecto corona ocurre cuando un valor elevado de la intensidad del campo eléctrico en la superficie de un conductor hace que el aire se ionice eléctricamente y se vuelve conductor, depende de las condiciones meteorológicas, en particular la lluvia, y de las irregularidades en la superficie del conductor.
La conductancia suele despreciarse en los estudios de sistemas de potencia porque es un componente muy pequeño de la admitancia en derivación.
(I.4) INDUCTANCIA: CONDUCTOR CILÍNDRICO SÓLIDOLa inductancia de un circuito magnético que tiene una permeabilidad constante µ se puede obtener
con la determinación de:1. La intensidad del campo magnético, H, a partir de la ley de Ampere.2. La densidad de flujo magnético B (B=µH).
Ρ50°C = 10.6 = 11.88 Ω cmil/ft50 + 241.520 + 241.5
Ix2πx
Hx =A/mxI2πr2
Bx = µ0Hx = Wb/m2µ0xI2πr2
3. Los enlaces de flujos λ.4. La inductancia proveniente de los enlaces de flujos por ampere (L=λ/I).
Como un paso hacia el cálculo de las inductancias de conductores más generales y de configuración de conductores, en primer lugar se calcula la inductancia interna, la externa y la total de un conductor cilíndrico sólido. También se calcula el flujo que enlaza a un conductor en un arreglo de conductores portadores de corriente.
En la figura I.6 se muestra una sección de 1 m de un conductor cilíndrico sólido con radio r y que lleva la corriente I. Por sencillez, suponga que el conductor.
Figura I.6
1) Es suficientemente largo como para que se desprecien los efectos en los extremos. 2) es no magnético (µ = µ0 = 4π X 10-7 H/m) y 3) tiene una densidad uniforme de corriente (se desprecia el efecto piel). Por la ley de Ampere afirma que
∮H tandl= I cerradaecuación (I.4.1)
Para determinar el campo magnético en el interior del conductor seleccione el circulo punteado de radio X< r que se muestra en la figura I.6 como el contorno cerrado para la ley de Ampere. Debido a la simetría, Hx es constante a lo largo del contorno. De igual manera, no existe componente radial de Hx’ de modo que este es tangente a ese contorno; es decir, el conductor tiene un campo magnético concéntrico. Por la ecuación (I.4.1), la integral de Hx
alrededor del contorno seleccionado es
Hx(2πx) = Ix para x < r ecuación (I.4.2)
En donde Ix es la parte de la corriente total encerrada por el contorno. Si se resuelve la ecuación (I.4.2),
Hx = =A/m ecuación (I.4.3)
Suponga ahora una distribución uniforme de la corriente dentro del conductor es decir,
I x= ( xr )2
I para x¿ r cuación (I.4.4)
Usando la ecuación (I.4.4) en la ecuación (I.4.3),
ecuación (I.4.5)
Para un conductor no magnético, la densidad del flujo magnético, Bx es,
ecuación (I.4.6)
dλ= dФ = x3 dx Wb-t/mX 2r
µ0I2πr4
r
0
µ0I2π r4
r
0
µ0I8π
12
Hx = A/mx> rI
2πx
Bx = µ0Hx = (4π X 10-7) = 2 X 10 -7Wb/m2Ix
I2πx
dФ = Bxdx = 2 X 10-7dx wb/mIx
D1 D2
Hxr x
El flujo diferencial dФ por unidad de longitud del conductor en el rectángulo sombreado con líneas cruzadas y de ancho dx que se muestran en la figura I.6 es
dФ = Bxdx Wb/m ecuación (I.4.7)
El cálculo de los enlaces de flujos diferenciales es dλ en el rectángulo es difícil, ya que solo la fracción (x/r)2 de la corriente I esta enlazada por el flujo. Es decir
ecuación (I.4.8)
Si se integra la ecuación (I.4.8) desde x =0 hasta x=r se determina el flujo enlazado total λint en el interior del conductor:
ecuación (I.4.9)
La inductancia interna por unidad de longitud del conductor debido a este flujo enlazado es;
Ecuación (I.4.10)
A continuación, con el fin de determinar el flujo magnético en el exterior del conductor, seleccione el circulo de línea punteada de radio x> r de la figura I.7 como el contorno cerrado para la ley de Ampere. Notando que este contorno encierra la corriente completa I, la integración de la ecuación (I.4.1) proporciona
Hx(2πx)=I ecuación (I.4.11)
lo cual da
ecuación (I.4.12)
Afuera del conductor, µ=µ0 y
ecuación (I.4.13)
ecuación (I.4.14)
Figura (I.7) Campo magnético externo de un conductor cilíndrico sólido.
Lint= = X 10-7 H/mλint
Iµ0
8π
dλ= dФ = 2 X 10-7 dxWb-t/mIx
dxxx
D2
D1
D2
D1
= 2 X 10-7I ln Wb-t/mD2D1
Puesto que toda la corriente Ies enlazada por el flujo del exterior del conductor,
ecuación (I.4.15)
La integración de la ecuación (I.4.15) entre dos puntos externos a las distancias D1 y D2 del centro del conductor da el acoplamiento inductivo λ12 entre D1 y D2:
ecuación (I.4.16)
La inductancia externa L12 por unidad de longitud debida a los enlaces de flujos entre D1 y D2 es entonces
ecuación (I.4.17)
El flujo total λp que enlaza al conductor hasta el punto externo P, a la distancia D, es la suma del flujo enlazado interno, ecuación (I.4.9), y el flujo enlazado externo, ecuación (I.4.16) desde D 1= r hasta D2 =D, es decir,
λ p= 12x10−7 I+2 x10−7 I ln
Dr
ecuación (I.4.18)
Usando la identidad =2 ln e1/4 en la ecuación (I.4.18), se obtiene una expresión más conveniente para λp:
λp = 2 X 10-7I lne1/4 + ln
= 2 X 10-7I ln
=2 X 10-7ln Wb-t/m ecuación (I.4.19)
En donde
r´ = e-1/4r=0.7788r ecuación (I.4.20)
Asimismo, la inductancia total Lp debida tanto al flujo enlazado interno como al externo hasta la distancia D
λ12 = dλ = 2 X 10-7I
L12 = = 2 X 10-7ln H/mλ12
I
D2D1
12
Dr
De-1/4r
Dr,
es
ecuación (I.4.21)Lp = = 2X 10 -7 ln H/mλp
IDr´
I1 2
DIPrI
DIPrI
II2
DIPrI
12
DIPrI
DIPrI
DI1prI
e-1/41
DIPr´I
D2PDI2
I.5 ENLACES DE FLUJO DE UN CONDCUTOR DENTRO DE UN GRUPO DE CONDUCTORES
3 D3P P
D2P
2 D1P
1
DnP
n
Los conductores 1, 2,3,….n, llevan las corrientes fasoriales I1, I2,I3,…In las distancias de estos conductores desde un punto remoto P. se indican en la figura como D1P, D2P, D3p,…Dnp. Se determinaran los enlaces de flujo λIPI del conductor 1, debido a I´1, incluso los enlaces de flujo interno, pero se excluye todo el flujo mas allá de P.
Por las ecuación (I.4.9) λ∫¿=I2x10−7 [Wb− v
m ]¿
ecuación (I.4.16) λ12= 2x 10−7 І lnD2
D1
[Wb−vm ]
Tenemos: λIPI = λint + λ12
λIPI= X 10-7 + 2 X 10-7I1 ln
ecuación (I.5.1)
λIPI= + 2 II ln X 10-7
λIPI= X 10-7 I1+ 2X 10-7II ln
λIPI= 2 ln e1/4X 10-7II + 2X 10-7II ln
λIPI= 2 X 10-7II lne1/4+ ln
λIPI= 2 X 10-7II ln
λIPI= 2 X 10-7II ln [Wb v/m] : donde: r’1= e- 1/4r ; = 0.7788r ecuación (I.5.2)
Ahora los enlaces de flujo λIP2 con el conductor 1 debido a I2. Pero que excluyen el flujo más allá del punto P, son iguales al flujo producido por I2. Entre el punto P y el conductor 1 (esto es, dentro de las distancias limite D2P y D12 desde el conductor 2). Es decir,
Figura (I.8) vista de la sección transversal de un grupo de n conductores que llevan una corriente cuya suma es cero. P es un punto remoto a los conductores.
D3PDI3
DnPDIn
DIPr´I
D2PD12
D3PD13
DnPD1n
1r´I
1DI2
1DI3
1DIn
Ir´I
IDI2
IDI3
IDIn
Weber vueltam
λIp2 = 2 X 10-7I2ln ecuación (I.5.3)
Ahora para los enlaces del flujo λIP3, hacemos lo mismo.
λIP3 = 2 X 10-7I3ln ecuación (I.5.4)
Para los enlaces de flujo de n, tenemos,
λIPn= 2 X 10-7Inln ecuación (I.5.5)
ahora los enlaces de flujo λIp en el conductor 1 debido a todos los demás conductores en el grupo, pero excluyendo el flujo más allá del punto P. Son:
λIP = λIPI + λIP2 +λIP3 + λIPn ecuación (I.5.6)
λIP= 2 X 10-7 IIln +I2 ln + I3 ln + ……,+ In ln ecuación (I.5.7)
Ahora al expandir los términos logaritmos y reagrupamos y nos da;
λIP= 2 X 10-7 IIln + I2ln + I3ln +….+Inln
+ IIlnDIP + I2lnD2P + I3lnD3P +….+ InlnDnP ecuación (I.5.8)
Como la suma de todas las corrientes es cero, es decir,
II+ I2 +I3+….+ In = 0
Al resolver ParaIn = (II+ I2 + I3+….+ In-1 ) ecuación (I.5.9)
Ahora al dejar el punto P se mueva hacia el ∞de forma que el conjunto de términos que contengan logaritmos se vuelvan infinitesimales se obtiene:
λI= 2 X 10-7 II ln+ I2 ln + I3 ln + …. +In ln ecuación (I.5.10)
Ir´a
IDab
I Dac
IDan
In
IDaa´
IDab´
IDac´
IDam
Im
I.6.- INDUCTANCIA DE LINEAS DE CONDUCTORES COMPUESTOS
Los conductores trenzados caen dentro de la clasificación general de conductores “compuestos”, lo que significa que se componen de dos o más elementos o hilos que están eléctricamente en paralelo. Se limitará el estudio al caso en el que todos los hilos son idénticos y comparten la corriente por igual. Por lo general, los valores de la inductancia interna de conductores específicos son publicados por los fabricantes y se encuentran en los manuales. El método por desarrollar indica una aproximación a problemas más complicados de conductores homogéneos, y a una repartición desigual de la corriente entre hilos. Este método aplica a la determinación de la inductancia de líneas que consisten en circuitos eléctricos en paralelo, puesto que los conductores en paralelo pueden ser tratados, como hilos de un solo conductor compuesto.
INDUCTANCIA DE LINEA DE CONDUCTORES COMPUESTOS.
Figura (I.9) Línea Monofásica formada por dos conductores compuestos.
En la figura (I.9), representa una línea monofásica formada por dos conductores, cada conductor constituye una parte de la línea, se representa como un indefinido número de conductores agrupados arbitrariamente. Las únicas restricciones son que los hilos paralelos han de ser cilíndricos y con la corriente igualmente distribuida entre ellos. El conductor X está compuesto por n hilos paralelos, exactamente iguales, cada uno de los cuales lleva la corriente I/n.El conductor Y, que constituye el retorno de la corriente de X, está formado por m hilos paralelos, exactamente iguales cada uno de los cuales lleva corriente - I/m. las distancias entre los elementos se designaran por la letra D con los subíndices correspondientes. Aplicando la ecuación (I.5.10) al hilo a del conductor X, obtenemos los enlaces del hilo a.
λa= 2 X 10-7 ln + ln + ln + …. + ln -2 X 10-7 ln + ln + ln + …. + ln
ecuación(I.6.1)(NOTA; EL SIGN0 (-) ES POR QUE ES DE RETORNO)
bc
n
aCONDUCTORES X
b´ c´
m´
a´CONDUCTORES Y
IDaa´
IDab´
IDac´
IDam
Im
Ir´a
IDab
IDac
IDan
In
Hm
Daa´ Dab´ D ac´ ….Damm
r´aDab D ac …. Dann
λaI/n
La + Lb + LC+ ….+Lnn
Daa´ Dab´ D ac´ …. Dam+
m
r´aDab D ac …. Dann
Dba´ Dbb´ Dbc´ …. Dbm+
m
r´bDbaDbc…. Dbnn
Dca´ Dcb´ D cc´ ….Dcm+
m
r´cDcaDcb…. Dcnn
Dna´ Dnb´ Dnc´ ….Dnmm
r´nDnaDnb…. Dnnn
λa= 2 X 10-7 ln + ln + ln + …. +ln - 2 X 10-7 ln + ln + ln + …. + ln ecuación (I.6.1)
Por la propiedad de los logaritmos
λa= 2 X 10-7 IIn [ ln 1
r a' Dab Dac…Dan
]−2 x10−7 Im [ ln 1
Daa ' D ab' Dac' ….D am ] por la propiedad de los logaritmos:
λa= 2x10−7 I lnm√Daa ' Dab ' D ac'…D am
n√r ' aDab Dac…Dan
[ wb−vm ] ecuación (I.6.2)
Ahora si dividimos esta ecuación entre la corriente I/n, y encontramos la inductancia del hilo a es decir. L = λI
La = =2n X 10-7 ln ecuación (I.6.3)
Por lo tanto la inductancia promedio de los hilos del conductor X es:
Lpromedio= ecuacion (I.6.4)
Lx = 2 X 10-7 X ln
(Daa´ Dab´ D ac´ …. Dam) (Dba´ Dbb´ Dbc´ …. Dbm) (Dca´ Dcb´ D cc´ ….Dcm) (Dna´ Dnb´ Dnc´ ….Dnm)m
(r´aDab D ac … . Dan) (r´bDbaDbc….Dbn) (r´cDcaDcb…. Dcn ) (r´nDnaDnb…. Dnn)n
(Daa´ Dab´ D ac´ …. Dam) (Dba´ Dbb´ Dbc´ …. Dbm) (Dca´ Dcb´ D cc´ ….Dcm) (Dna´ Dnb´ Dnc´ ….Dnm)mn
(Daa Dab D ac … .Dan) (DbaDbbDbc….Dbn) (DcaDcbD cc …. Dcn ) (DnaDnbDnc…. Dnn)n2
DmDs Henrys
metro
n
Pero la suma de los logaritmos es = al producto de ellos, por lo tanto nos queda;
Lx = 2 X 10-7 X ln
n
hacemos : ŕa, ŕb, ŕc, ŕn = Daa, Dbb, Dcc, Dnn para tener una simetria de la ecuacion.
Lx = 2 X 10-7 X ln ecuación (I.6.5)
Lx = 2 X 10-7 X ln ecuación (I.6.6)
Donde:
Dm = Es la Distancia Media Geométrica (DMG) entre el conductor X y Y.
Ds = Es el Radio Medio Geométrico (RMG).
L = Lx + Ly ecuación (I.6.7)
DmDs
DmDs2.3 log X
ln XHm
103mH1H
Hm
mHm
1609 m1 milla
mHm
DmDs
Lx = 2 X 10-7 ln
Lx = 2 X 10-7 ln X X=
Lx = 2 X 10-7 ln X
Lx = 4.6 X 10-7 log X
Para convertir de H a mH hacemos;
Lx = 4.6 X 10-7 log X *
Lx = 4.6 X 10-4log X
Lx Para convertirlos en millas hacemos.
Lx = 4.6 X 10-4log X *
Lx = 0.74014log X
Lx =0.74014log ¿
x 30´ xxad
20´exb
20´
xc
CONDUCTOR XCONDUCTOR Y
DmDs
DmDs
mHmilla
Hm
DadDaeDbd Dbe Dcd D cemn
DadDaeDbd Dbc Dcd D ce2x3
30(36.05)(36.05)30(50)(36.05)6
Figura I.10 Disposición de los conductores monofásicos.
. Ejemplo (I.2) Uno de los conductores de una línea monofásica 1Ф, está compuesto de tres hilos macizos cada uno de los cuales tiene 0.1 pulgadas de radio. El circuito de retorno está compuesto por dos hilos de 0.2 pulg. De radio. La disposición de los conductores es la representación de la figura anterior. Encuentre la distancia debida a la corriente en cada lado de la línea y la inductancia de la línea completa en mili Henrys por milla.
SOLUCION: Primero calculamos la DMG entre los conductores X y Y de la línea.
Lx = 2 X 10-7 ln ... ; Lx = 0.7411 log
Dm = ; m=2, n=3
Dm=
Dad= Dbe= 30 pies
Dae= Dbd= Dce= = = =36.05 pies
Dcd= = = = 50 pies
Dm = =6√2'108,280 156
Dm=35.8 pies
202 + 302 400 + 900 1300
302 + 402 900 + 1600 2500
x30´xxad
20´exb
20´
xc
CONDUCTOR XCONDUCTOR Y
Ahora para encontrar la DMG propia de cada conductor X y Y.
Para encontrar RMG en X FORMULA GENERAL
Ds =
n = 3
Ds =
Daa= ŕa= rIℓ-¼ =rIℓ-0.25
ŕa= Daa =rI0.7788Ds = Daa = ŕa= 6.49 X 10-3
8.33 X 10-3 Pies X 0.7788 = 6.49 X 10-3
1 pie – 12 pulgDaa= Dbb = Dcc= ŕa= ŕb= ŕc= ŕ (0.7788) x - 00.1 pulg
x= = 8.33 X 10-3 PiesDbb=r’b
r’a=r’b=r’c
Dcc=r’c
∴Daa= Dbb = Dcc = 8.33 X 10-3 Pies (0.7788) = 6.44 X 10-3Pies.
Dab= 20 Pies; Dba = 20 Pies; Dca= 40 Pies.Dac = 40 Pies; Dbc= 20 Pies; Dcb= 20 Pies.
Ds =
Ds =
Ds = [(6.49 X 10-3)3 * 204 * 402 ]1/9
Ds = (6.49 X 10-3)3(1/9) * 204(1/9) * 402(1/9)
Ds = (6.49 X 10-3)3/9 * 204/9 * 402/9
Ds = (6.49 X 10-3)1/3 * 204/9 * 2 X 202/9 + = = =
Ds = 6.49 X 10-3 * 204/9 * 202/9(22/9)
Ds = 6.49 X 10-3 * 202/3*(22/9)
Ds = 6.49 X 10-3 * 202/3 * 41/9
Ds = 6.49 X 10-3 * 202 * 4
Ds= 1.8652 X 10-3* 400 * (1.166)
Ds= 0.186529803 (7.368) 1.166 = 1.602 Pies.
(DaaDabDac… .Dan) (DbaDbbDbc….Dbn) (DcaDcbD cc …. Dcn ) (DnaDnbDnc…. Dnn)n2
DaaDabDacDbaDbbDbcDcaDcbDcc32
0.1 pulg (1pie)12 pulg
9 DaaDabDacDbaDbbDbcDcaDcbDcc
9 (6.49 X 10-3)3 (20)(40)(20)(20)(40)(20)
9 (6.49 X 10-3)3 * 204 * 402
3
3
4 2 4 + 2 6 29 9 9 9 3
22/9= 22
= 4
22/9= 41/9
9
9
3
3 3 9
3
0.2pulg (1pie)12 pulg
Hm
DmDs
DmDs
mHmilla
DmDs
DmDs
35.781.602
mHmilla
mHmilla
mHmilla
mHmilla
mHmilla
mHmilla
Ahora para encontrar RMG en Y
Ds=
Daa= Dbb = ŕa = ŕb∴ r=0.2 Pulg
1 Pie 12 pulg X =X 0.2 Pulg
ŕa= 0.16666(0.7788) X = 0.016666 Pies (0.7788)
Ds= (0.01289)2 (20)(20) = (0.01298)2 (20)2
Ds= [ (0.01298)2 (20)2]1/4 = (0.01298)2(1/4) * (20)2(1/4)
Ds= (0.01298)2/4 * (20)2/4 = (0.01298)1/2 * (20)1/2 = 0.01298 * 20
Ds= (0.11392)(4.4721) = 0.5094 Pies
Según la ecuación 3.57 y ecuación 3.58
Lx = 2 X 10-7 ln ecuación (3.57)
Lx = 0.7411 log ecuación (3.58)
LT = Lx + Ly
LT = 1 + 1.3685 = 2.3685
LT = 2.3685
DddDdeDeeDedn2
22 4
PARA EL CONDUCTOR X
Lx = 0.7411 log
Lx = 0.7411 log
Lx = 0.9997274
Lx = 1
PARA EL CONDUCTOR Y
Ly = 0.7411 log
Ly = 0.7411 log
Ly = 1.3685
35.780.5094
HenrymetroEjemplo 2.2 Evalúe Lx, Ly y L en para la línea monofásica de dos conductores que se muestran en la
figura 4.12
x 0.5m x 1.5m x 2m x 0.3m x
1 2 3 1´ 2´rx rx rx=0.03m ry ry=0.04m
CONDUCTOR X CONDUCTOR Y
FIGURA 4.12 LINEA MONOFASICA DE DOS CONDUCTORES.
S O L U C I O N
1° Primero encontramos la DMG de los conductores ( de Dos conductores) Dxy= Dm
Dxy = mn D11´ D12´D21´D22´D31´D32´
Dxy = 2x3 (4)(4.3)(3.5)(3.8)(2)(2.3)
Dxy = 6 17.2 * 13.3 * 4.6
Dxy = 6 1052.296
Dxy =3.189 m.
2° Para encontrar el RMG del conductor X y YPara encontrar RMG conductor X
Dxx =Ds= r1D12D13r2D21D23r3 D32D31
Dxx =Ds= r1(0.5)(2) r2(0.5)(1.5) r3(1.5)(2)
Dxx =Ds= 9 r31(0.5)2(2)2(1.5)2
PERO r´x=0.03r´x=r10.7788r´x=0.03(0.7788)r´x=0.023364 m.
Dxx =Ds= 9 (0.023364)3(0.5)2(2)2(1.5)2
Dxx =Ds= 9 (1.27538 X 10-5 *0.25 * 4 * 2.25)
Dxx =Ds= 9 2.869605 X 10-5 m9
Ds= 0.312833727 m.
D11´=4m; D12´=4.3m; D21´=3.5mD22´=3.8m; D31´=2m; D32´=2.3m
n2
32
DxyDx
3.1890.315833
3.1890.096672
DxyDy
Ahora para encontrar RMG para el conductor Y
Dyy =Ds= ŕy1´ D1´2´D13ŕy2´D2´1´
Dyy =Ds= 40.031152(0.3) (0.021152(0.3)
Dyy =Ds= 4 (0.031152)2 (0.3)2
Dyy =Ds= [(0.031152)2 (0.3)2]¼
Dyy =Ds= (0.031152)2(¼) (0.3)2(¼)
Dyy =Ds= (0.031152)2/4 (0.3)2/4
Dyy =Ds= (0.031152)½ (0.3)½
Dyy =Ds= 0.031152 * 0.3
Dyy =Ds= 0.096672 m.
Por lo tanto
Lx=2 X 10-7ln = 2 X 10-7ln = 4.6435 X 10-7 [H/m]
Ly=2 X 10-7ln = 2 X 10-7ln = 6.9922 X 10-7[H/m]
LT=Lx + Ly = 4.6435 X 10-7 + 6.9922 X 10-7 = 1.1635 X 10-6[Henry/metros]
n2ŕy1´=0.7788 (0.04m)
ŕy1´=0.031152m = ŕy2´
1D
λxIx
λxI
λxIx
Dr’y
Dr’y
Dr’y
λY-I
λYIy
Dŕy
Dŕy
Dŕx
INDUCTANCIA (L)LINEA MONOFASICA DE DOS CONDUCTORES Y.
LINEA TRIFASICA DE 3 CONDUCTORES CON ESPACIAMIENTO IGUAL ENTRE FASES.
Figura I.10. Línea monofásica de dos conductores.
En la figura I.10 se muestra una línea monofásica de dos conductores que consta de dos conductores cilíndricos sólidos, X y Y. El conductor X con radio rx lleva corriente fasorial Ix=I saliendo de la pagina. El conductor Y en radio ry lleva corriente de retorno Iy=-I.como la suma de las dos corrientes es cero, por lo tanto.
λx = 2 X 10-7 (Ix ln +Iy )
λx = 2 X 10-7(I ln ln 1/D ¿
λx = 2 X 10-7I (ln - ln )
λx = 2 X 10-7Ix ln [weber – turn/ metro] ó [weber – vuelta / m] ecuación (I.7.1)
pero
Lx=
Lx= = = 2 X 10-7 ln [H/m por conductor ] ecuación (I.7.2)
Donde:
r´x= e-¼rx = 0.7788 rx
De igual modo, el flujo total que enlaza al conductor Y es.
λy = 2 X 10-7(Ix ln + Iyln )
λy = 2 X 10-7(I ln - I ln ) donde: Ix = I; Iy = -I
λy =-2 X 10-7Iln = -2 X 10-7Iln ecuación (I.7.3)
PERO: Ly = = = 2 X 10-7ln [H/m por conductor ] ecuación (I.7.4)
Ly =2 X 10-7ln [H/m por conductor ]
Ahora la inductancia total del circuito monofasico, tambien llamada INDUCTANCIA DE LAZO es:L = Lx + Ly
L = 2 X 10-7 ln + 2 X 10-7 ln por la propiedad de los logaritmos: ln (x.y)= lnx + lny
1D
1D
1
1r
Dŕx
xx
Dr
1D
1D
1D
1r
L = 4x10−7ln D2
rx' r y
'
L=4 x10−7 ln [ D2
r x' r y
' ]12
Donde ŕx=ŕy=ŕ
L = 4 X 10-7 ln D2 (1
2 )
[r x' r y
' ]1 /2 [H/mpor circuito]
L=4x10−7lnD
√r x' r y
' ec. ( I.7.5 )
Donde ŕx=ŕy=ŕ, la inductancia total de circuito es:
L= 4 X 10-7 ln D
√r x' r y
' si r x' = r y
' = r1'
L= 4x10−7 lnD
√r12 ; = 4x10−7 ln
Dr
L = 4x10−7 lnD
r1' ec. ( I.7.6 )
En la figura (I.11) se muestra las inductancias de la linea trifasica de tres conductores que constan de tres condcutores cilindricos solidos a, b, c, cada uno con radio r y con espaciamiento igual entre fases, D, entre dos conductores cualesquiera. Para determinar la inductancia, suponga las corrientes balanceadas en sec (+)Ia,Ib, eIc que satisfacen la Ia + Ib + Ic= 0Entonces de la ecuacion siguiente es valida y el flujo total que enlaza al conductor de fase a es.
λk= 2x10−7 ∑m=1
M
Im ln1Dkm
[Wb− tm ] donde: ecuacion (I.7.7)
t=turnns turns= vueltas ecuacion (4.4.30)
Donde:
λk= flujo totalM=M conductores
I1,I2,I3,Im cuya suma es cero.
c
D D r neutro
D Da b
a) Configuracion geometrica b) Inductancia de la fase
1D
1D
1ŕ
1ŕ
1D
Dŕ
Dŕ
Dŕ
λaIa
Dŕa
λcIc
λbIb
Dŕb
Dŕc
Figura (I.11) la linea trifasica de tres conductores con igual espaciamiento entre fases.
λa= 2 X 10-7 (Ia ln + Ib ln + Ic ln ) ecuacion (I.7.8)
pero ∴Ia+ Ib + Ic =0; Ib+ Ic =- Ia
λa= 2 X 10-7 Ia ln 1
r ' + (Ib + Ic) ln
1D ] ecuacion (I.7.9)
λa= 2 X 10-7 Ia ln - Ia ln
λa= 2 X 10-7Ia ln ( ) [Wb-t/m] ecuacion (I.7.10)
λa= 2 X 10-7Ia ln ; donde: La=λa
IaLa inductancia de la fase A es entonces:
La= = 2 X 10-7ln [H/m por fase] ecuacion (I.7.11)La=2 X 10-7ln [H/m por fase]
Debido a la simetria se obtiene el mismo resultado para:
Ib= y para Ic =
Lb= 2 X 10-7 ln [H/m por fase]
Lc= 2 X 10-7 ln [H/m por fase]
INDUCTANCIA DE LAS LINEAS TRIFASICAS CON DISPOSICION ASIMETRICAS.
Cuando los conductores de una linea 3Ф no están en disposición equilatera, el problema de encontrar la inductancia es mas dificil. En ese caso, los enlaces de flujos y la inductancia de todas las fases no son iguales. Existen inductancias diferentes en cada fase en un circuito desbalanceado.
El balance de las tres fases puede lograrse intercambiando las posiciones de los conductores a intervalos regulares a lo largo de la linea, de tal forma que cada conductor ocupe la posicion de cada uno de los otros conductores sobre una distancia igual. Este cambio de las posiciones de los conductores se llama TRANSPOSICION la figura (I.12) representa con ciclo completo de transposicion. Los conductores de cada fase se designan por a, b, c, y c, mientras que las posiciones ocupadas estan representadas por los numeros 1, 2, y 3 el resultado de la transposicion es que todos los conductores, tienen la misma inductancia media a lo largo del ciclo completo.
Las modernas lineas electricas no se transponen corrientemente, aunque pueden cambiarse las posiciones de los conductores en las subestaciones para equilibrar las inductancias de las fases mas exactamente.
Afortunadamente, la asimetria entre las fases de una linea sin transposicion es pequeña, pudiendose despreciar en muchos casos. si se desprecia la asimetria, la inductancia de una linea sin transposicion se calcula igual como al valor medio de la reactancia inductiva de una fase de la misma linea en la que se hubiera realizado correctamente la transposicion. La deduccion siguiente es para la lineas con transposicion.
Para encontrar la inductancia media del conductor, primeramente se calculan los enlaces de flujo de un conduc tor en cada posicion del ciclo de transposicion, hallando a continuacion la media de los enlaces de flujo aplicando la ecuacion (I.5.10)
ψ1= 2x10−7 [I 1 ln1
r1' + I2 ln
1D 12
+ I3 ln1D13
+…+ I n ln1D1n ] [ wb−vuelta
m ] ec. (I.5.10)
Aplicando la ecuación (I.5.10) al conductor a de la figura (I.12) para encontrar la expresión vectorial de los enlaces de flujos de a en la posición 1, b en la posición 2 y c en la posición 3.
a 1 Pos. 1 Cond. a Cond. c Cond. b
D31 D12 Pos. 2 Cond. b Cond.a Cond. c
Pos. 3 Cond.c Cond.b Cond.a 3 b 2
c D23FIGURA (I.12) CICLO DE TRANSPOSICION
ψa1 = 2 X 10-7(I a ln1
r a'+ I b+ I c ln
1D 12
¿ [weber – vuelta/metro] ecuación (I.8.1)
Ir´
ID31
λa1I + λa2I + λa3I 3
λa3ι3
λa2ι3
λa13 ι
1λa1I + λa2I + λa3I
3ι1
λa1I + λa2I + λa3I 3 ι
λa1 + λa2+ λa33
Ahora hacemos con a en la posición 2 donde: r’= Ds
b en la posición 3c en la posición 1
ψa2 = 2 X 10-7(Ia ln 1
r ' + Ib ln
1D23
+¿ Icln 1D12
) [weber – vuelta/metro] ecuación (I.8.2)
Ahora hacemos con a en la posición 3b en la posición 1c en la posición 2
Ya3 = 2 X 10-7(Ialn + Ibln+ Icln 1D23
) [weber – vuelta/metro] ecuación (I.8.3)
Por lo tanto el promedio de los enlaces de flujo son:
λa = λa1( ι3 )+λa2( ι3 )+λa3( ι3 )
ι
+ + λa= =
ιλa= =
λa= ecuación (I.8.4)
IDs
IDI2
ID3I
IDs
ID23
IDI2
IDs
ID31
ID23
Por lo tanto la ecuacion de flujo λa nos queda de la siguiente forma.
λa1 = 2 X 10-7 (Ialn + Ibln + Icln ) [weber – vuelta/metro]
λa2 = 2 X 10-7(Ialn + Ibln+ Icln ) [weber – vuelta/metro]
λa3 = 2 X 10-7(Ialn + Ibln+ Icln ) [weber – vuelta/metro]
λ
a=¿2x 10−7 [Ia ln
1D s
+ Ib ln1D12
+I c ln1D31 ]+2x 10−7[ Ia ln
1Ds
+ Ib ln1D23
+I c ln1D12 ]+2 x10−7 [ Ia ln
1Ds
+Ib ln1D31
+ I c ln1D23 ]
3¿
λa=2x 10−7
3 [ Ia ln
1Ds
+ Ib ln1D12
+ I c ln1D31
+ I a ln1Ds
+ I b ln1D23
+ I c ln1D12
+ I a ln1D s
+ I b ln1D 31
+ Ic ln1D 23 ]
λa=2x 10−7
3 [3 I a ln
1Ds
+ I b ln1
D12 D23 D31
+ I c ln1
D12 D 23 D31 ] ec. (I.8.4)
Pero: Ib + Ic = - Ia ec. ( I.8.5 )
λa=2x 10−7
3 [3 I a ln1D sa
+( I b+ I c ) ln [ 1D12 D 23 D31 ]]
λa=2x 10−7
3 [3 I a ln1D sa
−I a ln [ 1D12 D23 D 31 ]]
Eliminando a I a : λa= La I a ; La=λaI a
por la propiedad de los logaritmos: lnn√ x=1n
ln x
La= 2x 10−7
3¿ pero: Dsa= ra
' ; ln xn= n ln x
La= 2x 10−7
3¿
La= 2x 10−7
3 [ ln 1
ra' 3
1D12 D23 D31
] La= 2x 10−7
3 [ ln D12 D23 D31
r a' 3 ]
La=2x10−7ln ( D12 D23 D 31
ra'3 )
13
La= 2x10−7ln 3√D12 D23 D31
ra' [ Hm ] por fase ec. ( I.8.6 )
Se obtiene el mismo resultado para las otras fases es decir:
Lb= 2x10−7ln 3√D12 D23 D31
rb' [ Hm ] por fase ec. ( i.8.7 )
Lc= 2x10−7ln 3√D12 D23 D31
r c' [ Hm ] por fase ec. ( I.8.8 )
DeqDs
24.770.0373
DeqDs
10691 milla
103 mHH
Sin embargo solo se necesita considerar una fase para la operación 3Ф balaceada de una linea trifasica completamente transpuesta. Si se define
Deq = 3 DI2 D23D3I ecuación (I.8.9)
Se tiene en forma resumida.
La= 2 X 10-7ln [H/m] ecuación (I.8.10)
Donde: Deq: Es la raiz cubica del producto de los tres espaciamientos entre fases. Es la distancia media Geometrica entre fases (DMG).Ds : Es el radio RMG ( Radio Medio Geometrico )para los conductores Trenzados, o bien (r´)para los conductores cilindricos solidos.
EJEMPLO 3.5. Una linea trifasica de un circuito simple de 60 Hz esta dispuesta como se muestra en la figura 3.15. los conductores son ACSR Drake. Encontrar la inductancia y la reactancia inductiva por fase y por milla.
SOLUCION:
De la tablar A. 3 caracteristicas electricas de los conductores de alumnio reforzados de acero ACSR.
Ds= 0.0373 Pies ( Es por tablas)
Deq = 3DI2 D23 D31 = 3 20 * 20 * 38 = 3 15200 = 24.77 Pies
L= 0.7411 log La= 2 X 10-7 ln = 2 X 10-7ln = 2.0911
La= 1.2996 [H/m] = 2.0911 mH/milla [H/m]
L= 0.7411 (2.8222)= 2.09156 [mH/milla por fase]
Por lo tanto
XL = 2Hfl = 2(3.1416)(60)(2.09156) = 788.50 X 10-3 [H¯²/milla por fase]
XL = 0.78850 [Ω/milla por fase]
AHORA POR TABLAS
De las tablas A.1 y A.2, tenemos,
XL = Xa + Xd Xa= 0.399 (Ω/milla inductancia Xa)
XL = 0.399 + 0.38946 Xd= 0.2794 log d formula (d= distancia entre conductores)
XL = 0.7884 [Ω/milla por fase]Xd= 0.2794 log (24.77)
Xd= 0.38946
24.80.037
0.0520 pies (0.3048 metros1 pie
200 km1000 m1 km
12.60.0159
Hm
10001 km
m
EJEMPLO 4.4 Una linea de 3Ф, de 60 Hz, completamente transpuesta tiene un espaciamiento plano horizontal entre las fases, con 10 metros entre conductores adyacentes. Los conductores son ACSR de 1590,000 cmil con trenzado 54/3. La longitud de la linea es de 200 km. Determine la inductancia en H y la reactancia inductiva en Ω.
A B C
ο ο οSOLUCION X 10m X 10m X
FIGURA. DISPOSICION DE LOS CONDUCTORES 3ФDe la tabla A-4, tenemos
54/3 = 1590000 cmilDs = 0.0520 Pies (Convertirlo en metros) Deq = 3 DI2D32D3I
1 pie 0.3048 metros Deq = 3 10 * 10 *200.052 pies X
Deq = 3 2000X=
Deq = 12.599X= 0.0158496 = 0.0159 metros
Deq Ξ 12.6 metrosDs =0.0159 metros
La= 2 X 10-7 ln [ henry/ metro] * [ * ]
La= 2 X 10-7 ln 792.452
La= 2 X 10-7 (6.675) ( )( 200 km)
La= 0.2670 Henry ∴ La XL= 2πf La
XL = 2(3.1416)(60)(0.2670)=10.65 Ω ≡ 101Ω
CONDUCTORES MULTIPLES
Es una practica comun para las lineas de Extra Alta Tesion (EHT) (Extra High Tension) usar mas de un conductor por fase, una practica llamada formacion de haces. Con la formacion de haces se reduce la intensidad del campo electrico en las superficies de los conductores, lo cual a su vez, reduce o elimina el efecto corona y sus resultados, perdidas indeseables de potencia, interferencia en las comunicaciones y ruido audible. la formacion de haces tambien reduce la reactancia en serie de la linea al incrementar el RMG del haz.
En la figura 4.14 se muestra comunes haces comunes para EHT que consisten en dos o tres o cuatro conductores. El haz de tres conductores tiene a estos en los vertices de un triagulo equilatero y el de cuatro conductores los tiene en los vertices de un cuadrado.
En la figura 4.14 muestra esos arreglos la corriente no se dividira exactamente iguales entre los conductores del grupo a menos que se haga una TRANSPOSICION entre los conductores del grupo, sin embargo, la diferencia no tiene importancia practica y los metodos de DMG son exactamente para los calculos.
d
d d d dd
d dfigura 4.14 DISTRIBUCION DE CONDUCTORES AGRUPADOS
La reactancia reducida es otra ventaja de este tipo de linea incrementando el numero de conductores en un grupo se reduce el efecto CORONA y la reactancia. La reduccion en la reactancia resulta del incremento del RMG del grupo. Los calculos del RMG son, por supuesto, los mismos que para un conductor Trenzado, cada conductor de un grupo de dos conductores, por ejemplo, se considera como un hilo de un conductor de dos hilos. Si tomamos D s
para indicar el RMG de un conductor agrupado, encontramos refiriendonos a la figura anterios 4.14.
Dsb =n2
√( Ds xd )n ( formula )
PARA UN GRUPO DE DOS CONDUCTORES TRENZADOS.
d Dsb = 4 (Ds x d)2 = [(Ds x d)2]¼ = (Ds x d) 2(¼) = (Dsxd)½
Ds
Dsb = Ds x d ecuacion (I.9.1)
PARA UN GRUPO DE TRES CONDUCTORES TRENZADOS
Dsb= n² (Ds x d x d)n (formula)
d dDs
b= 3² (Ds x d x d)3 = 3 (Ds x d x d)3
Ds d
Dsb= [(Ds x d x d)3]⅟₉ = (Ds x d x d)3(⅟₉) = (Ds x d x d)³⁄₉
Dsb= (Ds x d x d)⅓ ∴D s
b= 3 Ds x d2 ecuacion (I.9.2)
PARA UN GRUPO DE CUATRO CONDUCTORES TRENZADOS.
Dsb= n² (Ds xd x dx 2½d)n
Dsb= 4² (Ds xd x dx 2½d)4 = 16 (Ds xd x dx 2½d)4
Dsb=[(Ds xd x dx 2½d)4]⅟₁₆ =(Ds xd x dx 2½d)4(⅟₁₆)
Dsb=(Ds xd x dx 2½d)⁴⁄₁₆ =(Ds xd x dx 2½d)¼
Dsb= 4 (Ds xd x dx 2½d)
Dsb= 4 (Ds xd x dx 2½d) = 4 2½
Dsb=1.090 4 Dsxd3 ecuacion (I.9.3)
d
dd
d
k
K2=d2 + d2 = 2d2 = 2 d2
K = 2 d = (2)½ d = 2½ d
4/16 = 2/8 = ¼
4 2½ = [2½]¼
21/8 = 8 2 = 1.090
mHmilla
DeqDs
18”12”
18” (pie)12”
Deq
mHmilla
30.2380.2643
NOTA IMPORTANTE: para el calculo de la inductancia con la ecuacion La=0.7411 log [ ], Dsb del grupo
reemplaza a Ds de un conductor simple. Para calculos Deq, la distancia desde el centro de un grupo al centro de un grupo al centro de otro grupo es suficientemente para Dab, Dbc y Dca. La obtencion de la DMG entre los conductores de un grupo y los dos de otro debe ser indistinguible de las distancias entre centros para el espacio corriente.
EJEMPLO 3.6 Cada conductor de la linea de conductores agrupadas que se muestran en la figura 3.17, es un ACSR de 1272000 cmil pheasant. Encuentre la reactancia inductiva en ohms por milla y por fase [Ω/ milla por fase]
SOLUCION
X d X 18” = 18 PULGADAS24’ = 24 PIES
| 18” | | 18” | | 18” |
a a´ b b´ c c´ | 24´ | 24´ |
FIGURA 3.17 DISTANCIA DE LOS CONDUCTORES EN UNA LINEA DE CONDUCTORES AGRUPADOS
Dsb= Ds xd 18” 1 pie X= = X= 1.5 pies
18” X
Pasando a la tabla A.1, del conductor Pheasant Ds= 0.0466 pies
Dsb= 0.0466(1.5) = 0.2643 pies
Ahora para calcular la distancia Deq= 3 DI2 D23 D31
Deq= 3 24 * 24 *48 = 3 27´698 = 30.238 pies
XL = 2πfL L=0.7411 log
XL = 2π(60) X 0.7411 log [ ]
XL = 2π(60) X 0.7411 log 114.40 = 575.1011 X 10-3[H/milla]
XL = 0.5751011 [Ω/milla] =0.5751 [Ω/milla por fase]
EJEMPLO 4.5 Cada uno de los conductores de 1590000 cmil del ejemplo 4.4 se remplaza por dos conductores ACSR 26/2 de 795000 cmil como se muestra en la figura 4.15. El espaciamiento en el Haz es de 0.40 metros. Se conserva el espaciamiento plano horizontal, con 10 m., entre centros de haces adyacentes. Calcule la reactancia inductancia de la linea y comparala con el ejemplo 4.4
SOLUCION
| 0.40m | | 0.40m | | 0.40m |
a a´ b b´ c c´ | 10m | 10m |
FIGURA 4.15 LINEA TRIFASICA DE CONDUCTORES EN HAZ PARA EL EJEMPLO 4.4.
12.60.067616
1000 metros 1 km
Herrymetro
Dsb= Ds xd d= 0.40 m
DS=0.0375 pies (Por tablas “DRAKE” tabla A-4, 26/2= 795000 cmil)
Dsb=3 DI2 D23 D31 = 3 10*10*20 = 12.6 metros
La = 2 X 10-7 ln ( ) = 2 X 10-7ln 186.34 = 1.04552 X 10-6
La = 1.04552 X 10-6[ * ][200 km] = 0.209 Henrys.
XLa = 2πfL = 2(3.1416)(60)80.209)=78.83ΩXLa = 78.83Ω
COMPARACION DEL EJEMPLO 4.5 Y EL EJEMPLO 4.4
La reactancia de la linea en haz de 78.8Ω es de 22% menor que el ejemplo 4.4. Aun cuando el haz de dos conductores tiene la misma cantidad de material en estas ( es decir, los mismos cmil por fase) una ventaja de la reactancia en serie reducida de la linea es la de menores caidas de tension en ella. Tambien, se incrementa la capacidad de transferencia de la lineas de (Extra Alta Tensión) (EHV), de mediana longitud y largas.