unidad i: sistemas de dos ecuaciones con dos incÓgnitas · sistemas de dos ecuaciones con dos...

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República Bolivariana de Venezuela Universidad Alonso de Ojeda

Facultad de Ingeniería. Escuela de Computación.

Asignatura: ALGEBRA LINEAL Sección: IC231 PERIODO: LAR-2014-I

Docente: ING. YESIKA MEDINA

UNIDAD I: SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Método de igualación.

Método de reducción.

Método de sustitución

Método de eliminación Gaussiana.

Método de GAUSS-JORDAN

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES: conjunto de ecuaciones que tienen

exponente uno y su representación gráfica es una recta.

2X +3Y =4

3X+7Y=-2

ecuaciones

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES: Son expresiones definidas de la

siguiente manera

a1.x1 + a2.x2 +… + an. xn =b

sus variables están elevadas al exponente uno, donde:

x1, x2, , …xn: son variables de la ecuación

a1, a2, … , an: son coeficientes de las variables.

b: término independiente o constante.

ECUACIÓN LINEAL CON DOS INCÓGNITAS.

Esta definida dela forma a x + a y = c

Donde:

x, y : son variables. a, b: son coeficientes. c: son términos independientes o

constantes

mailto:[email protected]






TIPOS DE SISTEMA DE ECUACIONES.

La resolución de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un conjunto de

número reales que satisfacen todas y cada una de las ecuaciones del sistema, el

mismo valor de las variables debe satisfacer todas las ecuaciones.

Única Solución: Las variables tienen una respuesta satisfactoria. X=N°,

Y=N° Son llamados sistema compatible determinado y gráficamente las

rectas se cortan en un solo punto, es decir tienen un punto en común.

Infinitas Soluciones: En este sistema “X” y “Y” son iguales a cero, 0=0

Son llamados sistema compatible indeterminado y gráficamente las rectas

se solapan (una sobre la otra), tienen infinitos puntos en común.

Sin Solución: En este caso no se cumple la igualdad en el resultado

obtenido, 3=5, 0=4, dos líneas paralelas la recta no se corta son llamados

sistema incompatibles o inconsistente gráficamente las rectas son paralelas

no tienen punto común de intersección.

NOTA: LOS SISTEMA COMPATIBLE O CONSISTENTE SON AQUELLOS SISTEMAS

DE ECUACIONES LINEALES QUE TIENEN UNO O INFINITAS SOLUCIONES.

NOTA: LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEOS SON SISTEMAS DE ECUACIONES

LINEALES DONDE TODOS LOS TÉRMINOS INDEPENDIENTES O CONSTANTES SON CEROS Y

SIEMPRE TIENEN AL MENOS UNA SOLUCIÓN TRIVIAL (SUS VARIABLES SERAN IGUAL A CERO)

MÉTODO DE SOLUCIÓN PARA SISTEMA DE ECUACIONES.

o Método de Sustitución: Consiste en despejar en una de las ecuaciones

cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente para a







continuación sustituirla en otra ecuación por su valor. En caso de sistema

con más de dos incógnitas la seleccionada debe ser sustituida por su valor

equivalente en todas las ecuaciones excepto en las que hemos despejado

3x+y =22

4x-3y=-1

Despejando Y

Y=22-3X

Sustituir cada ocurrencia de la incógnita Y en la otra ecuación para así

obtener una ecuación en donde la única incógnita sea X entonces

4x-3(22-3x) = -1

4x-66+9x = -1

13x =65

X=5

Si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las

ecuaciones originales obtendremos

3(5) +y = 22

Y = 22-15

Y=7

o Método de Igualación: Se puede entender como un caso particular del

método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos

ecuaciones y a continuación se igualan entre sí, aparte derecha de ambas

ecuaciones.

Despejamos ambas:

3x+y = 22

4x-3y =-1

Y= 22-3x

(-1) -3y = -1 -4x (-1)

Y = 1+4x / 3







Ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda por lo que se

puede afirmar que las partes derechas también son iguales.

22-3x= 1+4𝑥

3

3(22-3x) = 1+4x

66-9x = 1+4x

-9x-4x= 1-66

(-1) -13x = -65 (-1)

X = 65/13

X=5

Ahora que tenemos a X sustituimos en una de las ecuaciones originales y

buscamos el valor de Y.

o Método de Eliminación o Reducción: Consiste en transformar una de las

ecuaciones de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una

misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. Si

suman las dos ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación

de dicha incógnita. 2x-3y=5

5x+6y =4

2 { 2x +3y = 5

{5x+ 6y =4

-4x -6y= -10

5x+6y =4

X=-6

2(-6) +3y=5

-12 +3y = 5

Y = 17/3

GUIA DE EJERCICIOS. MÉTODO DE SOLUCIÓN PARA SISTEMA DE

ECUACIONES.

1. 3X + Y = 22







4X - 3Y = -1

2. X + 3Y = 9

-2X + Y = -4

3. 2X + 3Y = 8

3X – Y = 1

4. X + Y = 5

X – Y = 1

5. 6X - 3Y = -15

3X + Y = 0

6. X - 2Y = 5

Y - 3X = 5

7. 3X + 2Y = 7

2X - 3Y = 9

8. 4X + 3Y = 11

5X - 2Y = 8

9. 5X + 6Y = 39

8X - 7Y = -4

10. 3X + 2Y = 21

5X - 3Y = 16

11. X + Y = 1

X - Y = 7

12. 3X + Y = 22

4X - 3Y = -1







RESOLUCIÓN DE m de ECUACIONES LINEALES CON n INCÓGNITAS.

Conjunto finito de ecuaciones lineales

Se escribe:

a11.x1 + a12.x2 +… + a1n.xn = b1

a21.x1 + a22.x2 +… + a2n.xn = b2

a31.x1 + a32.x2 +… + a3n.xn = b3

.

.

.

am1.x1 + am2.x2 +… + amn.xn = bm

Donde:

x1: es la incógnita o variable 1≤ i ≤ n.

aij: coeficiente que acompaña a las incógnitas

i: número de ecuaciones, 1≤ i ≤ m

j: número de incógnitas a la cual multiplica 1≤ j≤ n.

a11 representa el coeficiente que acompaña a la primera variable ubicada

en la primera ecuación,

a32 representa el coeficiente que acompaña la segunda variable ubicada

en la tercera ecuación.

b1: término independiente o constante 1≤ i ≤ m

MÉTODO DE ELIMINACIÓN GAUSSIANA.

DEFINICIÓN DE UN SISTEMA TRIANGULAR: ES UN SISTEMA EN EL

CUAL TODOS LOS COEFICIENTES DE LA LINEA DIAGONAL NO SON

NULOS, Y NULOS TODOS LOS SITUADOS DEBAJO DE ELLA.

SON SISTEMAS TRIANGUALES LOS SIGUIENTES:

2X + Y + Z = 2

-Y - 3Z = 4

2Z = 8







X + Y – Z = -3

2Y - 4Z = 10

3Z = 6

3X - 2Y –Z = 4

3Y + Z= 10

-2Z = -2

Este método consiste en transformar el sistema de ecuaciones

original hasta obtener un sistema triangular .La idea es obtener un sistema

equivalente aplicando el método de reducción para conseguir que las

diversas ecuaciones sean tales que en una de ellas sólo aparezca una

incógnita ; en otra aparezca dos incógnitas ; entre las que se encuentran la

que ha permanecido en la ecuación anterior; en otra ecuación aparezca tres

incógnitas , entre las que se encuentre las dos que han permanecido en la

ecuación anterior ; y así sucesivamente.

Cuando el sistema quede triangulado la resolución será más sencilla.

OBSERVACIONES: Debemos tener presente lo siguiente:

Si el número de ecuaciones coincide con el número de incógnitas el

sistema es COMPATIBLE DETERMINADO y admite una única

solución.

Si el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas el

sistema resulta COMPATIBLE INDETERMINADO y como

consecuencia admitirá infinitas soluciones.







Si tiene una ecuación en donde todos los coeficientes son nulos y el

término independiente diferente de cero, el sistema es

INCOMPATIBLE y como consecuencia no tiene solución.

Si el sistema es homogéneo éste será SIEMPRE COMPATIBLE.

Aquí se hace el mismo razonamiento anterior, con la condición que

la solución es trivial sí el número de ecuaciones coincide con el

número de incógnitas.

Si el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas,

el sistema admite soluciones diferentes de la trivial, Se dice que es

INDETERMINADO.

TEOREMA: UN SISTEMA HOMOGÉNEO DE ECUACIONES LINEALES,

QUE TIENE MÁS INCÓGNITAS QUE ECUACIONES, SIEMPRE TIENE UN

NÚMERO INFINITO DE SOLUCIONES.

EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN GAUSIANA Consiste en reducir un

sistema de ecuaciones lineales a otro que es más fácil de resolver y que tiene el

mismo conjunto de soluciones que el original.

Procedimiento:

a) Conformar la matriz aumentada asociada al sistema,

b) Aplicar las operaciones elementales por filas hasta llevar la matriz a la

forma escalonada.

c) Con los elementos anteriores conformamos el nuevo sistema de

ecuaciones.

Ejemplo: Sea el siguiente sistema

𝑥 + 3𝑦 −𝑧 = 0

2𝑦 +𝑧 = 13𝑥 +7𝑦 +𝑧 = −2







a) Se conforma la matriz aumentada asociada al sistema.

1 3 -1 | 0

A= 0 2 1 | 1

3 7 1 | -2

b) Se aplican las operaciones elementales.

-3F1+ F3 F3

1 3 -1 | 0

A= 0 2 1 | 1

3 2 1 | -2

F3+F2F2

1 3 -1 | 0

A= 0 2 1 | 1

0 -2 4 | -2

1

5 F2 F2 ,

−1

2 F3 F3

1 3 -1 | 0

A= 0 0 5 | -1

0 -2 4 | -2

F2 < F3

1 3 -1 | 0

A= 0 0 1 | -1/5

0 1 -2 | 1

MATRIZ ESCALONADA

1 3 -1 | 0

A= 0 1 -2 | 1

0 0 1 | -1/5

NUEVO SISTEMA DE ECUACIONES

X + 3Y – Z = 0 (A)

Y – 2Z = 1 (B)

Z = -1/5 ©

Sustituyendo C en B y despejando Y , nos queda : y = 3/5

Sustituyendo C, B, en A y despejando X, nos queda : x= -2

COMPRUEBE QUE LOS VALORES DE x = -2, y= 3/5, z = -1/5, son los correctos y satisfacen

el sistema, sustituyéndolos en el sistema original.







GUIA DE EJERCICIOS. MÉTODO DE ELIMINACIÓN GAUSIANA.

a) X+Y+2Z=9

2X+4Y-3Z=1

3X+6Y-5Z=0

b) 2X-4Y+3Z=11

3X+3Y-Z=2

X-Y+2Z=5

c) 2X+2Y+Z=4

X+3Y+Z=0

5X+Y+Z=12

d) 2X+5Y+Z= 27

3X+2Y+4Z=13

2X+Y-2Z=7

e) X+Y+Z=4

2X-Y+3Z=-2

3X-+2Z=1

f) 3X-4Y+2Z=-3

4X+2Y-4Z=4

2X-3Y+Z=-3

g) 3X+Y-2Z=2

X+Y –Z=1

2Z+2Y-3Z=1







MÉTODO DE GAUSS-JORDAN

Consiste en reducir un sistema de ecuaciones lineales a otro sistema que es

más fácil de resolver y que tiene el mismo conjunto de solución que el sistema

original.

Procedimiento:

a) Conforme la matriz aumentada asociada al sistema.

b) Aplicar las operaciones elementales por filas hasta llevar la matriz a la

forma escalonada reducidas por filas .

c) Con los elementos anteriores conformamos el nuevo sistema de

ecuaciones

Ejemplo: Tomando la matriz escalonada del ejemplo anterior.

1 3 -1 | 0

A= 0 1 -2 | 1

0 0 1 | -1/5

-3F2+F1F1

1 0 5 | -3

A= 0 1 -2 | 1

0 0 1 | -1/5

2F3+F2F2, -5F3+F1F1

Se obtiene la matriz escalonada reducida por filas:

1 0 0 | -2

A= 0 1 0 | 3/5

0 0 1 | -1/5

El nuevo sistema es:

X= -2

Y= 3/5

Z= -1/5







Método Gauss – Jordán

1. X -2 Y+ 3Z = 11

4X + Y- Z = 4

2X - Y+ 3Z =10

2. 3X + 6Y -6Z = 9

2X - 5Y+ 4Z = 6

-X + 16Y -14 = -3

3. 3X + 6Y-6Z = 9

2X -5Y+ 4Z = 6

5X + 28Y-26Z = -8

4. X + Y- Z = 7

4X - Y+ 5Z = 4

6X + Y+ 3Z = 18

5. 2X + 4Y+ 6Z = 18

4X + 5Y+ 6Z = 24

2X + 7Y+ 12Z = 30

6. 2X + 4Y+ 6Z = 18

4X + 5Y+ 6Z = 24

3X + Y-2Z = 4

7. 3X + 6Y -9Z = 3

2X + 4Y -8Z = 0

-2X - 3Y+4 Z = 1

8. 3X + 2Y+ Z = 1

5X + 3Y+ 4Z = 2

X + Y- Z = 1







9. 2X - Y+ 2Z = 6

3X + 2Y- Z = 4

4X + 3Y-3 Z = 1

10. X + Y+ Z = 1

2X + 3Y -4Z = 9

X - Y+ Z = 1

11. 3X + 2Y+ Z = 1

5X + 3Y+ 4Z = 2

X + Y- Z = 1

12. X - 9Y+ 5Z = 33

X + 3Y- Z = -9

X - Y+ Z = 5

13. 2X + 3Y+ Z = 1

3X -2Y-4Z = -3

5X – Y- Z = 4

14. 3X + 2Y+ 4Z = 1

5X – Y - 3Z = -7

4X + 3Y+ Z = 2







UNIDAD II: VALORES Y VECTORES PROPIOS.

DEFINICIÓN DE MATRIZ: Una matriz es un cuadro rectangular de

números formados por m filas y n columnas. Los números en el cuadro son

llamados elementos de una matriz.

Los elementos de las líneas horizontales los llamaremos filas y los elementos

de las líneas verticales los llamaremos columnas.

Consideremos la siguiente matriz:

1 2 3 0 < - - - - -

A= 2 -1 4 5 < - - - - -

3 -1 2 4 < - - - - -

Las matrices serán denotadas con letras mayúsculas y sus

elementos con letras minúsculas. Este último es el caos de la matriz F.

F= a b

c d

ORDEN DE UNA MATRIZ: se define como número s de filas x

número de columnas; por tanto, una matriz de m filas y n columnas de

orden mxn.

De los ejemplos vistos anteriormente se tiene que:

A es una matriz de 3 filas y cuatro columnas. Tiene orden 3x3 - 𝐴3𝑋4

F es una matriz de dos filas y dos columnas. Tiene orden 2x2 𝐹2𝑥2

EXPRESIÓN GENERAL DE UNA MATRIZ DE ORDEN mxn: La expresión ge

Eral de una matriz cualesquiera puede escribirse empleando letras con subíndices

asi:

COLUMNAS

FILAS







𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎1𝑛

𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎2𝑛

𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎3𝑛

am1 am2 am3 amn

Los subíndices indican la posición del número en la matriz. El primero indica la fila

y el segundo indica la columna.

𝑎23 : denota el elemento de la fila 2 y la columna 3.

𝑎41: denota el elemento de la fila 4 y la columna 1.

𝑎𝑖𝑗: denota el elemento de la fila i y la columna j.

Ejemplo:

M= 1 −1 02 4 53 −4 8

𝑎23 = 5 𝑎32 = −4 𝑎33 = 8𝑎12 = −1 𝑎21 = 2 𝑎13 = 0

ALGUNOS TIPOS DE MATRICES:

Atendiendo su forma Matriz: fila, columna, cuadrada, traspuesta.

Atendiendo a los elementos Matriz: Nula, diagonal, unidad o identidad,

triangular.

OPERACIONES CON MATRICES.

SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES: La suma de dos matrices A y B del mismo

orden es otra matriz A + B del mismo orden, obtenida sumando los elementos

correspondientes de las matrices sumandos.

1 2 4𝐴 = −5 4 −2 1 −3 0

B= 1 4 32 −2 23 5 4







La suma de las matrices A y B vendrá dada así:

1 2 4𝐴 + 𝐵 = −5 4 −2 1 −3 0

+ 1 4 32 −2 23 5 4

= 1 + 1 2 + 4 4 + 3

−5 + 2 4 − 2 −2 + 2 1 + 3 −3 + 5 0 + 4

𝟐 𝟔 𝟕𝑨 + 𝑩 = −𝟑 𝟐 𝟎 𝟒 𝟐 𝟒

PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES.

1. Propiedad Asociativa. A + (B + C) = (A + B) + C.

2. Propiedad Conmutativa. A + B = B + A.

3. 0 Es la matriz nula. A + 0 = A

4. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A,

recibe el nombre de matriz opuesta, ya que: A+(-A)=0

Dos matrices son opuestas si su suma es la matriz nula o cero.

LA DIFERENCIA DE LAS MATRICES A y B se representa por A – B, y se

define así: A – B = A + (-B)

PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN NÚMERO. Es otra matriz obtenida

multiplicando cada uno de los elementos de la matriz por el número

Ejemplo:

1 2 4𝐴 = −5 4 −2 1 −3 0

y el escalar 3 se tiene que:

1 2 43. 𝐴 = 3. − 5 4 −2 1 −3 0

3.1 3.2 3.4= 3. (−5) 3.4 3. (−2)

3. 1 3. (−3) 3.0

𝟑 𝟔 𝟏𝟐𝟑. 𝑨 = −𝟏𝟓 𝟏𝟐 −𝟔

𝟑 −𝟗 𝟎







PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ.

Si h y k son nímeros reales cualesquiera y A y B matrices se tiene que:

1. Propiedad distributiva primera k (A + B) = kA + kB.

2. Propiedad distributiva segunda (k + h) A = kA + Ka.

3. Propiedad asociativa mixta k(h.A) = (kh) A

4. Elemento neutro 1.A = A

GUÍA DE EJERCICIOS MATRICES.

Dadas las matrices

A= 2 1 3

−2 0 13 2 4

B= 3 2 45 3 24 6 1

C= 2 3 −14 5 30 −2 1

ESCALARES 𝑘1 = 2 𝑘2 = 3

D= 1 3

−2 0 E=

1 3−2 0

F= −1 3 2 40 5 −3 21 2 4 5

G= 1 3 5 − 21 2 −3 2

−1 0 2 4

Encontrar:

𝑘1. 𝐴 + 𝑘2. 𝐵

𝑘1. 𝐵 + 𝑘2. 𝐶

𝐴𝑡 + 𝐶𝑡

Método para resolver sistemas aplicando inversa de una matriz.

Inversa de una matriz 2x2.

Inversa de una Matriz de tamaño nxn.

Transpuesta de una matriz.







GUIA DE EJERCICIOS MATRICES.

2 0 13 0 05 1 1

B= 1 0 11 2 11 1 0

C= 1 23 4

D= 2 84 10

E= 3/2 −1 0

3 −2 6/5

F=2 1/2 4

−5 0 3/2

G= 3 −5 49 8 −7

H=−2 −1 15 −7 6

I= −2 −5 −48 −9 −7







J= 2 −1 −35 −7 6

K=3 2 6

−2 4 6

L=2

−46

M= 3 12 2

N=−2 11 −2

O= 3 0 12 3 −2

P= 5 6

−3 2

Q= −1 03 8

R= 2 3

−5 7







S=0 1 2

−1 1 13 0 4

T= 4 −1 23 0 20 −1 4

U=0 1 −1

−2 0 34 2 1

V= 2 0 13 0 05 1 1

UNIDAD III: TÓPICOS DE ANÁLISIS NUMÉRICOS.

Función determinante.

Función permutación.

Definición de determinante.

Determinante de una matriz de tamaño 2x2, 3x3 y nxn.

Regla de CRAMER.

Método de Co-Factores.

Ejercicios Prácticos







UNIDAD IV: ESPACIOS VECTORIALES.

Espacio vectorial.

Definición de espacio vectorial y SUBESPACIO vectorial.

Realización de ejercicios.

Definición de combinación lineal.

Definición de dependencia e independencia lineal.

Definición de base vectorial y dimensionamiento.

Vectores propios: propiedades y aplicaciones.

UNIDAD V: TRANSFORMACIONES LINEAL.

Transformación lineal. Matriz asociada a una transformación lineal.

Definición de imagen, rango y núcleo.

Transformaciones ortogonales.

Transformaciones de R2 a R2 de R3 a R3, de Rn a Rn.


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