Unidad II: Representación del conocimiento y razonamiento

Instituto Tecnológico de Veracruz

Asignatura:

Inteligencia Artificial

Catedrático:

MSI. Patricia Horta Rosado

Presentado por:

Alarcón Barradas Andrés AlbertoAparicio Gutiérrez Abraham Montenegro Fierro Sandra GlendaRenteral Olivos Brenda Guadalupe

Grupo:

8H5A (09:00 – 10:00 Hrs.)

Semestre:

Enero - Junio 2010

Veracruz, Ver., 12 de Marzo de 2010

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2.1. MAPAS CONCEPTUALES

Origen de los mapas conceptuales

Los mapas conceptuales tienen su origen en los trabajos que Novak y sus colaboradores de la Universidad de Cornell.

Estos autores comparten la idea, de la importancia de la actividad constructiva del alumno en el proceso de aprendizaje, y consideran que los conceptos y las proposiciones que forman los conceptos entre sí son elementos centrales en la estructura del conocimiento y en la construcción del significado.

¿Qué son los mapas conceptuales?

Los mapas conceptuales o mapas de conceptos son un medio para visualizar ideas o conceptos y las relaciones jerárquicas entre los mismos.

Con la elaboración de estos mapas se aprovecha la gran capacidad humana para reconocer pautas en las imágenes visuales, con lo que se facilitan el aprendizaje y el recuerdo de lo aprendido.

Elementos de los mapas conceptuales

Los conceptos: Desde el punto de vista gramatical los conceptos se identifican como nombres, adjetivos y pronombres, los que representan hechos, objetos, ideas, etc.

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Palabras de enlace: Que se utilizan para unir los conceptos y para indicar el tipo de relación que se establece entre ellos.

Las proposiciones: Dos o más términos conceptuales unidos por palabras para formar una unidad semántica.

Utilización de los mapas conceptuales

La técnica de elaboración de mapas conceptuales es un medio didáctico poderoso para organizar información, sintetizarla y presentarla gráficamente. También nos permite apreciar el conjunto de la información que contiene un texto y las relaciones entre sus componentes, lo que facilita su comprensión, que es el camino más satisfactorio y efectivo para el aprendizaje. Otra utilidad es que pueden servir para relatar oralmente o para redactar textos en los que se maneje lógica y ordenadamente cierta información; de ahí que sean considerables como organizadores de contenido de gran valor para diversas actividades académicas y de la vida práctica.

Técnica de construcción de los mapas conceptuales

Es muy sencilla pero compleja a la vez, porque requiere realizar varias operaciones mentales. Se puede utilizar didácticamente para desarrollar ideas y mostrar las relaciones que hay entre ellas. La técnica consta de los siguientes pasos: 1. Leer cuidadosamente el texto y entenderlo claramente. En caso de haber

palabras que no se comprendan o no conozcan, habrá que consultarlas y comprobar cómo funcionan en el contexto en que se encuentran.

2. Localizar y subrayar las ideas o palabras más importantes (palabras clave) con las que se construirá el mapa; por lo general, son nombres o sustantivos.

3. Determinar la jerarquización de dichas ideas o palabras clave.

4. Establecer las relaciones entre ellas.

5. Utilizar correctamente la simbología:

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a) Ideas o conceptos: Cada una se presenta escribiéndola encerrada en un óvalo o en un rectángulo; es preferible utilizar óvalos.

b) Conectores: La conexión o relación entre dos ideas se representa por medio de una línea inclinada, vertical u horizontal llamada conector o línea ramal que une ambas ideas.

Para conexiones y relaciones

c) Flechas: se pueden utilizar en los conectores para mostrar que la relación de significado entre las ideas o conceptos unidos se expresa primordialmente en un solo sentido; también se usan para acentuar la direccionalidad de las relaciones, cuando se considera indispensable.

Para indicar la direccionalidad de las relaciones

Concepto Idea

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d) Descriptores: son la palabra (s) que describen la conexión; se escriben cerca de los conectores o sobre ellos. Estos descriptores sirven para "etiquetar" las relaciones. Tiene gran importancia elegir la palabra correcta; o sea, la que mejor caracterice la relación de que se trate, de acuerdo con el matiz de significado que debe darse con precisión.

Procedimiento general para construir un mapa conceptual Primero: Leer un texto e identificar en él las palabras que expresen las ideas principales o las palabras clave. No se trata de incluir mucha información en el mapa, sino que ésta sea la más relevante o importante que contenga el texto. Segundo: Cuando se haya terminado, subrayar las palabras se identificaron; asegurándonos de que, en realidad, se trata de lo más importante y de que nada falte ni sobre.

Hay que recordar que, por lo general, estas palabras son nombres o sustantivos comunes, términos científicos o técnicos. Tercero: Indicar el tema o asunto general y escribirlo en la parte superior del mapa conceptual, encerrado en un óvalo o rectángulo. Cuarto: Identificar las ideas que constituyen los subtemas ¿qué dice el texto del tema o asunto principal? Hay que escribirlos en el segundo nivel, también encerados en óvalos.

Animales

Vertebrados

Invertebrados

pueden ser

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Quinto: Trazar las conexiones correspondientes entre el tema principal y los subtemas. Sexto: Seleccionar y escribir el descriptor de cada una de las conexiones que se acaban de trazar. Séptimo: En el tercer nivel se deben colocar los aspectos específicos de cada idea o subtema, encerrados en óvalos. Octavo: Trazar las conexiones entre los subtemas y sus aspectos. Noveno: Escribir los descriptores correspondientes a este tercer nivel. Décimo: Considerar si se requieren flechas y, en caso afirmativo, trazar las cabezas de flecha en los conectores correspondientes.

A continuación se incluye el mapa conceptual del procedimiento anterior de manera simplificado.

2.2 REDES SEMÁNTICAS

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Historia sobre las redes semánticas

Los responsables de los primeros esquemas de representación formalizados fueron Quillian (1968) y Shapiro & Woddmansee (1971). Los esquemas de redes semánticas tienen una fundamentación psicológica muy sólida, por lo que se han realizado numerosos esfuerzos por llevar a cabo implementaciones importantes basadas en ellas.

Muchas disciplinas han desarrollado técnicas de realización de diagramas que constituyen lenguajes formales visuales que representan el conocimiento operacional en forma esquemática.

El filósofo y lógico Charles S. Pierce desarrolló sus grafos existenciales como una técnica formal de razonamiento para la inferencia lógica.

¿Qué son las redes semánticas?

Es una forma de representación de conocimiento lingüístico en la que los conceptos y sus interrelaciones se representan mediante un grafo. En caso de que no existan ciclos, estas redes pueden ser visualizadas como árboles. Las redes semánticas son usadas, entre otras cosas, para representar mapas conceptuales y mentales.

En un grafo o red semántica los elementos semánticos se representan por nodos, dos elementos semánticos entre los que se admite se da la relación semántica que representa la red, estarán unidos mediante una línea, flecha o arista. Cierto tipo de relaciones no simétricas requieren grafos dirigidos que usan flechas en lugar de líneas.

Las redes semánticas han sido muy utilizadas en Inteligencia Artificial para representar el conocimiento y por tanto ha existido una gran diversificación de técnicas.

Los elementos básicos que encontramos en todos los esquemas de redes son:

1. Estructuras de datos en nodos, que representan conceptos, unidas por arcos que representan las relaciones entre los conceptos.

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2. Un conjunto de procedimientos de inferencia que operan sobre las estructuras de datos.

Partes de una red semántica

Nodos: Es un concepto y se encierra en un círculo o elipse.Relaciones: Es una propiedad del concepto y pueden ponerse de dos formas:

Implícitas: Es una flecha que no especifica su contenidoExplícitas: Es una flecha en donde se especifica su contenido

2.3. Razonamiento monótono

2.4. La lógica de predicados: sintaxis, semántica, validez e inferencia.

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2.4.1 Lógica

Resumiendo, diremos que una lógica consta de lo siguiente:

1. Un sistema formal para describir lo que está sucediendo en un momento determinado, y que consta de :

a) La sintaxis del lenguaje, que explica cómo construir oraciones, y b) La semántica del lenguaje, que especifica las restricciones

sistemáticas sobre cómo se relacionan las oraciones con aquello que está sucediendo.

2. La teoría de la demostración: un conjunto de reglas para deducir las implicaciones de un conjunto de oraciones.

Nos concentraremos en dos tipos de lógica: la propositiva o lógica booleana y la lógica de primer orden (más exactamente, el cálculo de predicado de primer orden con igualdad).

En la lógica propositiva los símbolos representan proposiciones completas (hechos. Los símbolos de proposiciones pueden combinarse usando los conectivos booleanos para generar oraciones de significado más complejo. Una lógica como esta poco se preocupa por la manera de representar las cosas, por ello no es sorprendente que no ofrezca mucho como lenguaje de representación.

La lógica de primer orden (también conocida como cálculo de predicados de primer orden) se preocupa por la representación de los mundos en términos de objetos y predicados sobre objetos (es decir, propiedades de los objetos o relaciones entre los objetos), así como del uso de conectivos y cuantificadores, mediante los cuales se pueden escribir oraciones sobre todo lo que pasa en el universo, a un mismo tiempo.

2.4.1.1Lógica propositiva

La lógica propositiva permite ilustrar muchos de los conceptos de la lógica así como también la lógica de primer orden. Se explicará su sintaxis, semántica y respectivos procedimientos de inferencia.

Sintaxis

La sintaxis de la lógica propositiva es sencilla. Los símbolos utilizados en la lógica propositiva son las constantes lógicas Verdadero y Falso, símbolos de proposiciones tales como P y Q, los conectivos lógicos ˄, ˅, , , y ¬ y paréntesis ( ). Todas las oraciones se forman combinando los signos anteriores mediante las siguientes reglas:

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Las constantes lógicas Verdadero y Falso constituyen oraciones en sí mismo.

Encerrar entre paréntesis una oración produce también una oración, por ejemplo (P˄Q).

Una oración se forma combinando oraciones más sencillas con uno de los cinco conectores lógicos:

(y). Se le denomina conjunción (lógica). (o). Se le denomina disyunción. (implica). Se conoce como implicación (o condicional).

(equivalente). La oración es una equivalencia (también conocida como bicondicional).

(no). Se le conoce como negación.

En la gramática se representan oraciones atómicas, que en la lógica propositiva se representan mediante un solo signo (por ejemplo, P) y las oraciones complejas, que constan de conectores o paréntesis (por ejemplo, PQ). También se utiliza el término literal, que representa oraciones atómicas o una oración atómica negada.

En rigor, la gramática en ambigua: una oración como PQ˅R se podía entender como (PQ)˅R o como P(Q˅R). Lo anterior es semejante a la ambigüedad aritmética de expresiones tales como P+Q*R, ambigüedad que también se resuelve de la misma manera; se considera un orden de precedencia para los operadores, pero si hay confusión, se utilizan los paréntesis. El orden de precedencia lógica propositiva es (de mayor a menor); , , , y .

Por lo tanto, la oración:PQ˅RSEquivale a la oración:((P)(Q˅R))S

Oración Oración atómica Oración compleja

Oración atómica Verdadero / FalsoPQR…

Oración compleja (Oración) Oración Conector Oración Oración

Conector ˅

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Semántica

La semántica de la lógica propositiva también es bastante directa. Se define especificando la interpretación de los signos de proposición y de las constantes y especificando el significado de los conectores lógicos.

Un signo de proposición significa que cualquier hecho arbitrario puede ser su interpretación. Las oraciones que contienen solo un signo de proposición son satisfactibles pero no válidas: son verdaderas solo cuando el hecho al que aluden es relevante en un momento dado.

En el caso de las constantes lógicas no hay opción: la oración Verdadero siempre quiere decir aquello que sucede en la realidad: el hecho de la verdad. La oración Falso siempre quiere decir aquello que no existe en el mundo.

Una manera de definir una función es construir una tabla mediante la que se obtenga el valor de salida de todos los valores de entrada posibles. A este tipo de tablas se les conoce como tablas de verdad.

Mediante las tablas de verdad se define la semántica de las oraciones.

P Q ¬P PQ PQ PQ PQFalso Falso Verdadero Falso Falso Verdadero Verdadero Falso Verdadero Verdadero Falso Verdadero Falso Falso Verdadero Falso Falso Falso Verdadero Falso Falso Verdadero Verdadero Falso Verdadero Verdadero Verdadero Verdadero

Validez e inferencia

Las tablas de verdad sirven no solo para definir los conectores, sino también para probar la validez de las oraciones. Si se desea considerar una oración, se construye una tabla de verdad con una hilera por cada una de las posibles combinaciones de valores de verdad correspondientes a los signos propositivos de la oración. Se calcula el valor de verdad de toda la oración, en cada una de las hileras. Si la oración es verdadera en cada una de las hileras, la oración es válida. Por ejemplo:

((PH)H)P

P H PH (PH)H) ((PH)H)PFalso Falso Falso Falso Verdadero Falso Verdadero Verdadero Falso Verdadero Verdadero Falso Verdadero Verdadero Verdadero Verdadero Verdadero Verdadero Falso Falso

Reglas de inferencia

El procedimiento que mediante tablas de verdad permite cerciorarse de la confiabilidad de una inferencia podría ampliarse a clases enteras de inferencias.

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Madus Ponens o Implicación-Eliminación: (A partir de una implicación y la premisa de la implicación, se puede inferir la conclusión).αβ,α β

Y-Eliminación: (A partir de una conjunción se puede inferir cuales son los coyuntos).α1α2…αn αi

Y-Introducción: (A partir de una lista de oraciones es posible inferir su conjunción). α1, α2,…,αnα1α2…αn

O-Introducción: (a partir de una oración, es posible inferir su disyunción con todo lo demás). αiα1α2…αn

Doble Negación-Eliminación: (A partir de una oración doblemente negada, es posible inferir una oración positiva).α α

Resolución unitaria: (A partir de una disyunción, si uno de los disyuntos es falso, entonces se puede inferir que el otro es verdadero).αβ,β α

Resolución: (Es la más difícil. Puesto que β no puede ser al mismo tiempo verdadera ni falsa, uno de los otros disyuntos debe ser en una de las premisas. O, también, que la implicación es transitiva).αβ,βγo equivalente αβ,βγ αγαγ

Existen ciertos patrones de inferencias que se presentan una y otra vez, lo que permite establecer de una vez por todas su confiabilidad. De esta manera se aprende el patrón respectivo en algo que se conoce como regla de inferencia. Una vez establecida una regla, se le puede emplear para hacer más inferencias sin necesidad de pasar por el tedioso procedimiento de la construcción de las tablas de verdad.

Se considera confiable una regla de inferencia si la conclusión en verdadera en todos aquellos casos en donde las premisas también son válidas. Para probar la confiabilidad se construye una tabla de verdad con una línea del por cada modelo posible de los signos de proposición de la premisa, y se demuestra que para todos los modelos en los que la premisa es verdadera, la conclusión también lo es.

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α β γ αβ βγ αγFalsa Falsa Falsa Falsa Verdadera Falsa Falsa Falsa Verdadera Falsa Verdadera VerdaderaFalsa Verdadera Falsa Verdadera Falsa Falsa Falsa Verdadera Verdadera Verdadera Verdadera VerdaderaVerdadera Falsa Falsa Verdadera Verdadera VerdaderaVerdadera Falsa Verdadera Verdadera Verdadera VerdaderaVerdadera Verdadera Falsa Verdadera Falsa VerdaderaVerdadera Verdadera Verdadera Verdadera Verdadera Verdadera

1.4.1.2 Lógica de primer orden (calculo de predicados de primer orden)

La lógica de primer orden considera que el mundo está constituido por objetos, es decir, entes con identidades individuales y propiedades que los distinguen de otros objetos.Entre estos objetos, existen diversos tipos de relaciones. Algunas de estas son las funciones: relaciones en que una “entrada” corresponde un solo “valor”. No es difícil ofrecer una lista de ejemplos de objetos, propiedades, relaciones y funciones:

Objetos: gente, casas, números, teorías, Ronald McDonald, colores, juegos de beisbol, guerras, siglos…

Relaciones: hermano de, mayor que, dentro de, parte de, de color, sucedió luego de, es el dueño de…

Propiedades: rojo, redondo, de varios pisos, falso, lo mejor… Funciones: padre de, mejor amigo de, tercer tiempo de, uno más que…

De hecho, prácticamente cualquier hecho se refiere a los objetos y a propiedades y relaciones. Veamos algunos ejemplos:

“Uno más Dos es igual a tres.”Objetos: uno, dos, tres, uno más dos. Relación: es igual a. Función: más. (Uno más dos es el nombre del objeto que se obtiene al aplicar la función suma a los objetos uno y dos. Tres es otro de los nombres de tal objeto).

“Los cuadros cercanos al wumpus apestan”Objetos: wumpus, cuadros. Relación: cercanía. Propiedades: apestosos.

“El malvado rey Juan gobernó Inglaterra en 1200” Objetos: Juan, Inglaterra, 1200. Relación: gobernó. Propiedades:

malvado, rey.

La lógica de primer orden ha cobrado tanta importancia en matemáticas, filosofía e inteligencia artificial precisamente porque resulta muy práctico concebir

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que esos camposasí como en muchas áreas de la vida cotidiana de los humanosse ocupan de objetos y de las relaciones que éstos guardan entre sí.

Si bien la lógica de primer orden se ocupa de la existencia de objetos y relaciones, su alcance ontológico no abarca cosas tales como categorías, tiempo y acontecimientos, aspectos que forman también buena parte del mundo.

Sintaxis y semántica

En la lógica proposicional cada expresión es una oración, que representa un hecho. En la lógica de primer orden hay oraciones, pero también hay términos. Estos últimos representan objetos. Los signos que representan constantes, las variables y los signos de funciones sirven todos para construir términos; los cuantificadores y los signos de predicados sirven para construir oraciones.

Signos de constantes: A, B, C, Juan…En la interpretación respectiva deberá especificarse a qué objeto del mundo se está haciendo referencia mediante el signo de una constante. Si bien este signo nombra justamente un solo objeto, no todos los objetos necesitan tener nombre, aunque algunos pueden llegar a tener varios. Por ejemplo, el signo Juan, en el caso de una interpretación en particular se referirá al malvado rey Juan, quien fuera rey de Inglaterra desde 1199 hasta

Oración Oración atómica Oración Conector Oración Cuantificador Variable,… Oración Oración (Oración)

Oración atómica Predicado(término,…) Término=Término

Término Función(Término,…) Constante Variable

Conector ˅ Cuantificador Constante A X1 Juan …Variable a x s …Predicado Antes TieneColor Lloviendo …Función Madre PiernaIzquierdaDe …

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1216, y hermano menor de Ricardo Corazón de León. El signo Rey podría referirse en esa misma interpretación al mismo objeto/persona.

Signos de predicados: Redondo, Hermano,…Una interpretación especifica que mediante un signo de predicado se hace referencia a una relación particular de un modelo. Por ejemplo, el signo Hermano hace referencia a una relación de hermandad. Hermano es un signo de predicado binario, por lo que la hermandad es una relación que vincula (o desvincula) pares de objetos. En cualquier modelo dado, la relación se define mediante un conjunto de tuplas que la satisfacen. Una tupla es un conjunto de objetos clasificados de una manera determinada y en orden fijo. Se escriben entre paréntesis angulares. En un modelo que contenga los tres objetos rey Juan, Robin Hood y Ricardo Corazón de León, la relación de hermandad se define mediante el conjunto de tuplas.

{<Rey Juan, Ricardo Corazón de León,><Ricardo Corazón de León, rey Juan>}

Es decir, desde el punto de vista formal, hermano hace referencia a este conjunto de tuplas, bajo la interpretación que hemos escogido para este caso.

Signos de funciones: Coseno, PadreDe, PiernaIzquierdaDe…Algunas relaciones son funcionales, es decir, un determinado objeto está relacionado justamente con otro objeto mediante relación. Por ejemplo, a un ángulo le corresponde sólo un número que es un coseno; toda persona tiene alguien que es su padre. En estos casos, es más práctico definir un signo de la función (por ejemplo, Coseno) para referirse a esa relación especial entre ángulos y números. En el modelo, la correlación es precisamente un conjunto de n + 1 tuplas, con una propiedad en especial, es decir, que el último elemento de cada tupla sea el valor de la función correspondiente a los primeros n elementos; cada combinación de los primeros n elementos aparece exactamente en una tupla. Una tupla de cosenos es precisamente un conjunto de tuplas: por cada posible ángulo que interese, proporciona el coseno del angulo. A diferencia de los signos de predicado, utilizados para decir que entre ciertos objetos existen determinadas relaciones, los signos de función se emplean para referirse a objetos particulares sin utilizar su nombre.

Términos

Un término es una expresión lógica que se refiere a un objeto. Por lo tanto, los signos de constante son términos. A veces es más práctico utilizar una expresión para referirse a un objeto. Por ejemplo, en español se utilizaría la expresión “La pierna izquierda del rey Juan”, en vez de asignar un nombre a su pierna. Para eso son los signos de funciones: en vez de utilizar un signo de constante, se emplea PiernaIzquierdaDe(Juan).

La semántica formal de los términos es muy directa. Mediante una interpretación se especifica la relación funcional a la que alude el signo de función

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y los objetos a los que se alude mediante los términos que son sus argumentos. Así, el término complejo se refiere al objeto que aparece en la entrada número (n+1) de esa tupla en la relación cuyos primeros n elementos son los objetos a que aluden los argumentos. Es decir, el signo de función PiernaIzquierdaDe podría hacer referencia a las siguiente relación funcional:

{<Juan, pierna izquierda del rey Juan,><Ricardo Corazón de León, pierna izquierda de Ricardo>}

Y si el Rey Juan se refiere al rey Juan, entonces PiernaIzquierdaDe(ReyJuan) se refiere, de acuerdo con la relación, a la pierna izquierda del rey Juan.

Oraciones atómicas

Ahora que ya contamos con términos para referirnos a objetos y signos de predicado para referirnos a relaciones, combinémoslos para formar oraciones atómicas, mediante las que se afirman hechos. Una oración atómica está formada por un signo de predicado y por una lista de términos entre paréntesis.

Por ejemplo:

Hermano(Ricardo,Juan)

afirma, de acuerdo con la interpretación establecida anteriormente, que Ricardo Corazón de León es el hermano del rey Juan. Las oraciones atómicas pueden llegar a tener argumentos que son términos complejos:

Casado(PadreDe(Ricardo),MadreDe(Juan))

afirma que el padre de Ricardo Corazón de León está casado con la medre del rey Juan (nuevamente de acuerdo con la interpretación correspondiente). Se dice que una oración atómica es verdadera si la relación a la que alude el signo de predicado es válida para los objetos a los que aluden los argumentos. La relación se cumple solo en caso de que la tupla de objetos esté en la relación. Por lo tanto, la validez de una oración dependerá tanto de la interpretación como del mundo.

Oraciones complejas

Mediante los conectores lógicos se pueden construir oraciones más complicadas, como en el cálculo proposicional. La semántica de las oraciones formadas utilizando los conectores lógicos es idéntica a la del caso de las proposiciones. Por ejemplo:

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Hermano(Ricardo, Juan) Hermano(Juan, Ricardo) es verdadera sólo cuando Juan es el hermano de Ricardo y Ricardo es el hermano de Juan.

Mayor(Juan, 30) Menor(Juan, 30) es verdadera sólo cuando Juan es mayor de 30 o Juan es más joven de 30.

Mayor(Juan, 30)¬ Menor(Juan, 30) está diciendo que si Juan tiene más de 30, entonces no tiene menos de 30 años.

¬Hermano(Robin, Juan) es verdadera sólo si Robin no es hermano de Juan.

Cuantificadores

Ahora que ya contamos con una lógica que admite objetos, es natural el deseo de expresar propiedades de grupos complejos de objetos en vez de enumerarlos por su nombre. Los cuantificadores nos permiten hacer esto. La lógica de primer orden contiene dos cuantificadores estándar, denominados universales y existenciales.

Cuantificación universal ()

Recuérdese las dificultades que se presentaron con el problema de expresión de reglas generales en lógica proposicional. Reglas tales como “Todos Los gatos son mamíferos” son el pan cotidiano de la lógica de primer orden. Para expresar esta regla particular se emplearán los predicadores unarios Gato y Mamífero; en consecuencia, “Mancha es un gato” se representa de la siguiente manera: Gato(Mancha); y “Mancha es mamífero” por: Mamífero(Mancha). En español, lo que se intenta expresar es que por cualquier objeto x, si x es un gato, entonces x es un mamífero. La lógica de primer orden nos permite realizar lo anterior de la siguiente manera:

xGato(x)Mamífero(x)

en general se lee como “Para Todo…” Recuerde que esta A invertida representa “todo”. Por ejemplo, la oración xP, en donde P es cualquier expresión lógica, equivaldría a la conjunción (es decir, a ) de todas las oraciones que se obtiene al sustituir el nombre de un objeto por la variable x, siempre que aparezca en P. Por lo tanto, la oración anterior equivale a :

Gato(Mancha)Mamífero(Mancha)Gato(Rebeca)Mamífero(Rebeca)Gato(Félix)Mamífero(Félix)Gato(Ricardo)Mamífero(Ricardo)Gato(Juan)Mamífero(Juan).

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.

.

Por lo tanto será válida si y sólo si todas estas oraciones también son verdaderas, es decir, si P es verdadera para todos los objetos x del universo. Por lo tanto, a se le denomina cuantificador universal.

Cuantificador existencial ()

En el caso de la cuantificación existencial se hacen afirmaciones sobre cualquier objeto. Asimismo, también se pueden hacer afirmaciones acerca de algún objeto en el universo sin tener que nombrarlo, mediante un cuantificador existencial. Para afirmar, por ejemplo, que Mancha tiene una hermana que es gato, escribiremos:

xHermana(x, Mancha)Gato(x)

se lee: “Existe…” en general, xP es verdadero si P es verdadero para cierto objeto del universo. Por lo tanto, se le podría considerar equivalente a la disyunción (es decir, ) de todas las oraciones obtenidas al sustituir el nombre de un objeto por la variable x. Al efectuar esta sustitución en el caso de la oración anterior se obtiene:

(Hermana(Mancha, Mancha)Gato(Mancha))(Hermana(Rebeca, Mancha)Gato(Rebeca))(Hermana(Félix, Mancha)Gato(Félix))(Hermana(Ricardo, Mancha)Gato(Ricardo))(Hermana(Juan, Mancha)Gato(Juan))...

La oración existencialmente cuantificada es verdadera sólo cuando al menos una de estas disyunciones es verdadera. Si Mancha tuviera dos hermanas que fuesen gatos, entonces dos de las disyunciones serian verdaderas, con lo que toda la disyunción es también verdadera. Lo anterior es congruente con la oración original: “Mancha tiene una hermana que es gato”.

2.5. La demostración y sus métodos.

2.6. El método de resolución de Robinson.2.7. Conocimiento no-monótono y otras lógicas.

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2.8. Razonamiento probabilístico.

Un agente lógico se puede considerar como una entidad que posee conocimiento de su mundo, y que también es capaz de razonar sobre las posibles acciones que puede emprender para el logro de sus objetivos, además que tienen la posibilidad de aceptar nuevas tareas. Una de las limitaciones de la lógica de primer orden y, por lo tanto, del método del agente lógico, es que los agentes casi nunca tienen acceso a toda la verdad acerca de su ambiente.

En algunos casos las soluciones a las tareas que debe realizar el agente se averiguan directamente a partir de las percepciones del agente, en tanto que otras se infieren a partir de percepciones actuales y previas junto con lo que se sabe sobre las propiedades del ambiente.

Habrá preguntas importantes a las que el agente no pueda dar una respuesta categórica. Por lo tanto el agente debe actuar bajo condiciones de incertidumbre.

¿Qué es incertidumbre?

Se entiende por incertidumbre una situación en la cual no se conoce completamente la probabilidad de que ocurra un determinado evento.

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Por lo tanto para que el agente realice lo correcto, es decir tome una decisión racional, dependerá tanto de la importancia relativa de las diversas metas así como de la posibilidad y grado correspondiente en que esperamos que sean logradas.

Manejo del conocimiento incierto (Teoría de la probabilidad)

Ejemplo

Si nos interesara elaborar un sistema para diagnósticos odontológicos recurriendo a la lógica pondríamos reglas como:

∀ p S í ntoma ( p , DolorDientes )⇒Padecimiento( p ,Caries)

El problema es que esta regla está equivocada. No todos los pacientes que tienen dolor de dientes, también tienen caries; algunos quizá tengan algún padecimiento de las encías, o muelas del juicio afectadas. Esto provoca que tengamos una lista casi ilimitada de posibles causas. En este caso el empleo de la lógica de primer orden en un dominio como el del diagnostico médico es un intento fallido, debido a las siguientes tres razones:

Pereza: El listar el conjunto completo de antecedentes o consecuencias necesarios para garantizar una regla sin excepciones implica demasiado trabajo, y también sería muy difícil emplear las enormes reglas resultantes.

Ignorancia teórica: La ciencia médica no cuenta aún con una teoría completa de este dominio.

Ignorancia práctica: Aun conociendo todas las reglas, cuando no es posible realizar en un paciente todas las pruebas que sea necesario hacer, albergaríamos ciertas dudas en el caso particular de ese paciente.

La relación entre dolor de diente y caries no implica una consecuencia lógica en ambos sentidos. En estos casos lo que el agente puede ofrecer es solo un grado de creencia en las oraciones correspondientes. La herramienta para manejar los grados de creencia es la teoría de la probabilidad, mediante la que se le asigna a las oraciones un grado numérico de creencia entre 0 y 1.

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La probabilidad 0 asignada a una determinada oración corresponde a la inequívoca creencia de que la oración es falsa, en tanto que una probabilidad de 1 corresponde a la creencia de que la oración es verdadera.

Las probabilidades situadas entre 0 y 1 correspondes a grados intermedios de creencia en la verdad de la oración.

Si un agente asigna una probabilidad de 0.8 a una oración, entonces espera que en el 80% de los casos indiferenciables de la situación actual por lo que al conocimiento del agente se refiere, la oración resultara en efecto verdadera.

La teoría de la probabilidad parte de los mismos supuestos ontológicos que los de la lógica, es decir, que los hechos en realidad son o no son validos. La probabilidad que un agente asigna a una proposición dependerá de las percepciones que éste haya recibido hasta ese momento.Por lo tanto en todas las afirmaciones probabilísticas deberá indicarse la evidencia en la que se basa la probabilidad que se está calculando. Conforme el agente vaya recibiendo nuevas percepciones los cálculos de probabilidad se van actualizando, de manera que reflejen nuevas evidencias.

Previo a la obtención de evidencias se habla de probabilidad a priori o incondicional; después de obtener evidencias se habla de probabilidad posterior o condicional. En la mayoría de los casos, el agente contara con cierta evidencia que le aportan sus percepciones y le interesará calcular probabilidades condicionales de los resultados que son de su interés, en otros casos será necesario calcular las probabilidades condicionales en relación con la evidencia con la que se cuenta además de la evidencia que se espera obtener durante el curso de la ejecución de una determinada secuencia de acciones. Probabilidad y las decisiones racionales

La Teoría general de decisiones racionales conocida también como teoría de decisiones se puede expresar con la siguiente fórmula:

Teoría de decisiones = Teoría de la probabilidad + Teoría de la utilidad

La idea básica de la teoría de decisiones es que un agente será racional si y solo si elige una acción que le produzca la

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mayor de las utilidades esperadas, tomando en cuenta todos los resultados posibles de la acción. Es decir, para evaluar una acción, probabilidades y utilidades se combinan ponderando la utilidad de un resultado en particular con base en la probabilidad de que este se produzca.

Probabilidad a priori o incondicional

La notación P(A) indica en la probabilidad a priori o incondicional que la proposición A es verdadera. Por ejemplo, si Caries representa la proposición de que un determinado paciente tiene una caries entonces:

P (Caries )=0.1Significa que, de no existir más información, el agente asignará la probabilidad de 0.1 (10% de posibilidad) al evento de que el paciente tenga una caries.

Es importante destacar que P(A) se utiliza sólo cuando no se dispone de más información. En cuanto se disponga de información adicional B, será necesario razonar con la probabilidad condicional de A considerando B.

En las proposiciones puede también haber desigualdades que involucren lo conocido como variables aleatorias. Por ejemplo si nuestro objeto de atención es la variable aleatoria EstadoDelTiempo, tendríamos que:

P (EstadoDelTiempo=Soleado )=0.7P (EstadoDelTiempo=Lluvia )=0.2P (EstadoDelTiempo=Nublado )=0.08P (EstadoDe lTiempo=Nieve )=0.02

Los signos de las preposiciones pueden considerarse también como variables aleatorias, y se supone que su dominio es <verdadero,falso>. Por lo tanto, una expresión como P(Caries) podría considerarse como una abreviación de P(Caries=verdadero). Por otra parte, P(¬Caries) es una abreviación de P(Caries = falso).

Podemos utilizar también expresiones como P(EstadoDelTiempo,Caries) para representar las probabilidades de todas las posibles combinaciones de valores de un conjunto de variables aleatorias.

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Además podemos utilizar conectores lógicos para construir oraciones más complejas y asignarles probabilidades por ejemplo:

P (Caries∧¬ Asegurado)=0.06

Dice que hay 6% de posibilidades de que un paciente tenga caries y no esté asegurado.

Probabilidad condicional

Una vez que el agente cuenta con evidencias respecto a las proposiciones que constituyen el dominio, las probabilidades a priori pierden vigencia. En vez de éstas, se utilizan las probabilidades condicionales o posteriores, representadas

como P(A∨B) y que se interpreta como “la probabilidad de A, considerando que

todo lo que sabemos es B”. Por ejemplo:

P (Caries|DolorDientes )=0.8

Indica que si se descubre que un paciente padece de dolor dental, y todavía no se dispone de mayor información, la probabilidad de que el paciente tenga una caries es de 0.8 (80% de posibilidad).

Es importante tener presente que P(A∨B) sólo puede emplearse cuando todo lo

que se sabe es B. En cuanto sabemos C, debemos calcular P(A∨B∧C) en vez P(A∨B).

En el caso extremo C podría decirnos directamente si A es verdadera o falsa.

Ejemplo: Si se consulta a un paciente que se queja de dolor dental, y se descubre una caries y contamos con la evidencia adicional Caries, concluimos (de manera

trivial) que P (Caries|DolorDental∧Caries )=1.0

La probabilidad condicional se obtiene a través de la siguiente ecuación:

P (A|B )= P(A∧B)P (B)

se cumple siempreque P (B )>0

Esta ecuación también puede escribirse de la siguiente manera:

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P (A∧B )=P (A|B )P (B ) se conoce comoregla del producto

Esta ecuación expresa que: “Para que A y B sean ciertas, es necesario que B sea cierta, y luego que A sea cierta considerando B”.

También se puede expresar como:

P (A∧B )=P (B|A )P (A )

Ejemplo de probabilidad condicional:

Se lanza un dado, si el número que se obtuvo es impar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea primo?

Solución:

La probabilidad de que un número sea impar es de 12 dado que los números

impares pueden ser 1,3 y 5.

Es decir P (impar )=12

Así mismo vemos que la probabilidad de que sea primo e impar es de 13

ya que se

incluyen los números 3 y 5.

Es decir P (primo∧impar )=26=13

Finalmente tenemos que:

P (primo|impar )=P( primo∧impar )

P (impar )=

1312

=23=0.666(66.6%de posibilidad )

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Los axiomas de probabilidad

Los 2 primeros axiomas sirven para definir la escala de la probabilidad.

1. Todas las probabilidades están comprendidas entre 0 y 1.0≤ P ( A )≤1

2. La probabilidad de las proposiciones necesariamente verdaderas (es decir, validas) es de 1, y de las necesariamente falsas (es decir, la que no se pueden satisfacer) es de 0.

P (Verdadero )=1P (Falso )=0

3. La probabilidad de una disyunción se expresa de la siguiente manera:

P (A∨B )=P (A )+P (B )−P(A∧B)

En el tercer axioma se considera que la probabilidad total de (A ∨B) es la suma de

las probabilidades correspondientes a A y B, pero restando P(A∧B), con el fin de

que estos casos no se tomen en cuanta dos veces.

2.9. Teorema de Bayes

Thomas Bayes nacido en Londres en 1702 fue un matemático británico que estudió el problema de la determinación de la probabilidad de las causas a través de los efectos observados. El teorema que lleva su nombre se refiere a la probabilidad de un suceso que se presenta como suma de diversos sucesos mutuamente excluyentes.

Teorema de Bayes

Sea A1, A2,...,An un sistema completo de sucesos mutuamente excluyentes (no pueden ocurrir dos de ellos a la vez), tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquiera del que se conocen las

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probabilidades condicionales P(B/Ai). Entonces la probabilidad P(Ai/B) viene dada por la expresión:

Demostración:

Esto lo representamos gráficamente en la siguiente figura.

El cuadrado corresponde a todas las situaciones posibles, que en este caso pueden dividirse en tres: A1, A2, A3. El suceso B se puede producir en cualquiera de las tres situaciones.Recordando las formulas de la probabilidad condicional tenemos que:

P (A∧B )=P (A|B )P (B )P (A∧B )=P (B|A )P (A )

Si reescribimos la ecuación anterior para A1:

P (A1∧B )=P ( A1|B ) P (B )=P (B|A1 )P (A 1)

P (A1|B )=P (B|A1 )P (A 1)

P (B )

P (B )=P (A1∧B )+P (A2∧B )+P ( A3∧B )=∑ P (B∧ A i )=∑ P(B∨¿ Ai)P (A i)¿

P (A1|B )=P (B|A1) P(A1)

∑ P (B|A i ) P(Ai)

Para cualquiera de las otras situaciones (A2, A3) la fórmula es similar. 

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Ejemplo:

El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana:

a) Que llueva: probabilidad del 50%.b) Que nieve: probabilidad del 30%c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.

Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente:

a) Si llueve: probabilidad de accidente del 20%.b) Si nieva: probabilidad de accidente del 10%c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.

Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estábamos en la ciudad no sabemos qué tiempo hizo (si llovió, nevó o hubo niebla). El teorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades:Cabe recordar que las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se denominan "probabilidades a priori" (lluvia con el 50%, nieve con el 30% y niebla con el 20%).

Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A|B), que se denominan "probabilidades a posteriori".

Vamos a aplicar la fórmula: 

P (A i|B )=P (B|A i )P(A i)

∑ P (B|Ai ) P(Ai)

a) Probabilidad de que estuviera lloviendo: 

P (A1|B )= 0.20∗0.500.50∗0.20+0.30∗0.10+0.20∗0.05

=0.714

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La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día del accidente (probabilidad a posteriori) es del 71.4%.

b) Probabilidad de que estuviera nevando: 

P (A2|B )= 0.10∗0.300.50∗0.20+0.30∗0.10+0.20∗0.05

=0.214

La probabilidad de que estuviera nevando es del 21.4%.

c) Probabilidad de que hubiera niebla: 

P (A3|B )= 0.20∗0.050.50∗0.20+0.30∗0.10+0.20∗0.05

=0.0714

La probabilidad de que hubiera niebla es del 7.14% CONCLUSIÓN

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Referencias y bibliografía

1. http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/biblioteca/articulos/pdf/ mapas_conceptuales.pdf

2. http://es.wikipedia.org/wiki/Red_sem%C3%A1ntica