unidad: momentum lineal

Unidad: Momentum Lineal

Al usar la segunda Ley de Newton para estudiar cómo las fuerzas afectan al movimiento de un cuerpo, aparece de manera natural una combinación de variables llamada momento lineal (o también momentum). La segunda ley de Newton puede escribirse usando el momentum lineal como

donde el momentum p se define como

http://www.galeriagalileo.cl 1

F = m dv/dt = dp/dt

p = m v

http://www.galeriagalileo.cl/

Actividad: Bola que choca a otra en reposo

La imagen muestra dos bolas de pool idénticas, la de la derecha quieta y la otra moviéndose hacia la primera.

1. Haz una predicción: ¿Cómo se moverán las dos bolas después del choque?

Observa el video (grabado a 240 fps) para chequear tu predicción.



MOMENTUM_LINEAL_bola-bola-quieta/movimiento.html

Las bolas de pool tienen masa m=186 gr y la bola que se mueve tiene rapidez v=2,28 (m/s) antes de chocar.

2. ¿Cuál es el momentum lineal de la bola de la izquierda antes del choque?

3. ¿Cuánto momentum lineal ganó o perdió la bola de la izquierda producto del choque?

4. ¿Cuánto momentum lineal ganó o perdió la bola de la derecha producto del choque? 5. ¿Cuánto momentum lineal ganó o perdió el sistema formado por ambas bolas durante el choque?



Actividad: Autos iguales impulsados por un elástico

En la actividad anterior viste que el momentum lineal del sistema era el mismo antes y después del choque, solo se transfería momentum de una parte del sistema a la otra. A continuación veremos por qué ocurre esto estudiando el movimiento de dos autos conectados por un elástico que está inicialmente estirado y sujeto por un hilo.

Observa el video que muestra que cuando se quema el hilo los autos se mueven partiendo del reposo y terminan con rapideces iguales.

1. ¿Por qué cambió la rapidez del auto de la izquierda?

2. Utilizando un sistema de coordenadas positivo hacia la derecha y llamando v a la rapidez de los autos, ¿cuál es el momentum lineal del auto de la izquierda y del auto de la derecha?

3. ¿Cuál es el momentum lineal del sistema (auto de la izquierda) + (auto de la derecha) antes y después de quemar el hilo?



MOMENTUM_LINEAL-autos_de_masas_iguales_y_distintas_que_se_empujan_mutuamente_66_66/movimiento.html

Actividad: Autos de masas m y 2m impulsados por un elástico

En la actividad anterior viste que el momentum del sistema es el mismo antes y después de cortar el hilo y para este caso en particular el momentum del sistema era igual a 0. Para ser consistente al estudiar el momentum de cada auto y del sistema, se debe tener cuidado en colocar los signos correctos a las velocidades.

La imagen muestra el mismo experimento anterior pero ahora la masa del auto de la izquierda es el doble que la masa del auto de la derecha.

1. Predice cuantas veces más grande o más chica es la rapidez del auto de la derecha que la rapidez del auto de la izquierda. Si ambas rapideces son iguales señálalo explícitamente.

2. Predice si la fuerza que actúa sobre el auto de la derecha mientras acelera es menor, mayor o igual a la fuerza que actúa sobre el auto izquierda?

Observa el video para comprobar tus respuestas.




Como pudiste ver, el auto de la derecha se movió con el doble de rapidez que el auto de la izquierda.

3. A partir de este resultado, ¿qué puedes decir de las aceleraciones que experimentaron los autos mientras eran impulsados por el elástico?

4. Utiliza la Segunda Ley de Newton y tu respuesta anterior para deducir si la fuerza que actúa sobre el auto de la derecha ¿es mayor, menor o igual a la fuerza que actúa sobre el auto de la izquierda?

de donde podemos encontrar la ley de conservación del momentum lineal:


En resumen, el elástico ejerce fuerzas iguales y contrarias sobre los dos autos, por lo que el cuerpo del doble de masa experimenta la mitad de la aceleración.

m1 a

1 = m

2 a

2 es decir m

1 a

1 + m

2 a

2= 0

m1 0 + m

2 0 = m

1 v

1 después + m

2 v

2 después


Actividad: Autos de masas m y 2m, posición del centro de masa

1. Predicción: Observa la imagen de dos autos de masa m y 2m impulsados por un elástico y marca el punto desde donde tu creas que partieron moviéndose juntos ambos autos.

En el instante que se muestra, la rapidez del auto de la derecha es (5 cm)/(4/30 s) y la rapidez del auto de la izquierda es (5 cm)/(8/30 s)

2. La distancia total recorrida por el auto de la izquierda, es cuantas veces más grande o más chica que la distancia total recorrida por el auto de la derecha?

3. Utiliza tu respuesta anterior para encontrar y volver a marcar en la imagen el punto donde estaban unidos los dos autos al comienzo del movimiento. Ayúdate con las cintas blancas y negras de 5 (cm) para medir las distancias relevantes.

Chequea tu respuesta mirando la imagen en la siguiente transparencia.



A medida que los autos se mueven, la distancia D entre ellos aumenta. Sin embargo, el punto que se encuentra a distancia 2D/3 del auto de masa m y a distancia D/3 del auto de masa 2m, no se mueve durante todo el movimiento de los autos y se conoce como el centro de masa del sistema.


D

2D/3D/3


Actividad: Autos de masas distintas impulsados por un elástico (aplicación opcional)

Este experimento muestra una repetición del experimento anterior pero ahora las masas de los autos de la derecha e izquierda son 66 y 99 gramos respectivamente.

1. La magnitud del momentum lineal del auto de la derecha, ¿es mayor, menor o igual que la magnitud del momento lineal del auto de la izquierda?

2. La rapidez del auto de la derecha, ¿cuántas veces mayor o menor es que la rapidez del auto de la izquierda?

3. Cuando el auto de la izquierda ha avanzado dos barras, ¿dónde se encuentra al auto de la derecha?

4. ¿Dónde está el centro de masa del sistema?

Observa el video para comprobar tus respuestas anteriores.




Actividad: Auto que se mueve sobre una plataforma flotante

En esta actividad estudiaremos el movimiento de un auto a control remoto de masa 220 gramos que se encuentra sobre una plataforma flotante de 200 gr.

1. Haz una predicción: cuando el auto avanza hacia la derecha, la plataforma ¿se mantiene quieta, avanza hacia la derecha o avanza hacia la izquierda?

Ahora observa el video para comprobar tu predicción.

2. ¿Por qué se mueve la plataforma?

3. ¿Qué semejanza tiene este ejemplo con el de los autos impulsados por un elástico?

4. Si la masa de la plataforma es 0,9 veces la masa del auto, ¿Qué relación hay entre la fuerza que ejerce el auto sobre la plataforma y la fuerza que ejerce la plataforma sobre el auto?

5. Si la masa de la plataforma es 0,9 veces la masa del auto, ¿Qué relación hay entre la rapidez del auto y la rapidez de la plataforma en un instante dado?



MOMENTUM_LINEAL-auto_que_se_mueve_sobre_plataforma_flotante_sobre_plumavit/movimiento.html

6. El auto se mueve de izquierda a derecha y viceversa. Cuando el auto llega al extremo derecho de su trayectoria tiene rapidez cero. En ese instante, ¿qué rapidez tiene la plataforma?

Observa el video para chequear tu respuesta.

7. Utilizando un sistema de coordenadas positivo hacia la derecha. a) ¿Cuál es el valor del momento lineal del sistema mientras se mueve el auto? b) ¿Cuál era el valor del momento lineal del sistema antes que se moviera el auto? c) ¿Cuál es la fuerza total (o neta) sobre el sistema auto + plataforma?

El momentum lineal de un sistema permanece constante si la fuerza neta sobre el sistema es cero. En particular, el momentum se conserva si solo existen pares de fuerzas de acción y reacción entre partes del sistema.


F = Δp/Δt Si F es cero: 0 = Δp/Δt

y p no cambia de valor a medida que pasa el tiempo


Actividad: Fuerza y cambio de momentum lineal

Observa nuevamente el video del choque de dos bolas de la primera actividad. En las actividades anteriores nos preocupamos del momentum de cada sistema, ahora nos concentraremos en lo que le ocurre a cada objeto.

1. Determina el cambio de momentum de la bola de la izquierda: ΔP1 = P1final – P1inicial

2. Determina el cambio de momentum de la bola de la derecha: ΔP2 = P2final – P2inicial

3. ¿Qué relación hay entre ΔP1 y ΔP2? Recuerda usar los signos correctos.




Usando la Segunda ley de Newton en la forma:

ΔP1 = (Fuerza sobre la bola de la izquierda) ∙ (Δt)

ΔP2 = (Fuerza sobre la bola de la derecha) ∙ (Δt)

4. ¿Qué relación debería existir entre ΔP1 y ΔP2?

5. Utilizando tus valores para ΔP1 y ΔP2, ¿Cuánto vale ΔP del sistema?

6. Sabiendo que el P del sistema se conserva, ¿Cuánto debe valer ΔP del sistema?



Actividad: El momentum lineal como un vector (opcional)

Para poder visualizar la conservación del momentum lineal en las actividades anteriores, fue crucial usar correctamente los signos positivos o negativos en cada momentum. Una forma equivalente de trabajar es usando vectores, es decir usamos la dirección de una flecha para indicar el signo o dirección y el largo de la flecha para indicar la magnitud de la cantidad física correspondiente.

Bola de pool azul que choca a una bola en reposo.

1. Para la bola de la izquierda representa el vector momentum inicial.

2. Similarmente representa para la bola de la izquierda el vector momentum final .

3. Ahora resta los dos vectores para encontrar el vector Δp1 = p1 final – p1 inicial.



4. Para la bola de la derecha representa el vector momentum inicial.

5. Para la bola de la derecha representa el vector momentum final.

6. Ahora resta los dos vectores para encontrar el vector Δp2 = p2 final – p2 inicial.

7. El vector Δp1 (bola izquierda) tiene la misma magnitud que el vector Δp2 (bola derecha), pero ¿apuntan en la misma dirección o en direcciones contrarias?

8. ¿Cuánto vale el vector ΔP total (que es la suma de los vectores Δp izquierda y Δp derecha)?

9. Calcula el vector ΔP total en la forma P total final – P total inicial.



Actividad: Momentum lineal de una bola que rebota en una pared

Observa el video que muestra una bola de pool de masa m que se mueve hacia la derecha con rapidez v, que rebota en un muro saliendo con aproximadamente la misma rapidez que traía.

1. El momentum lineal de la pelota antes del choque, ¿es igual o distinto al momentum lineal de la pelota después del choque?

2. ¿Actúa una fuerza sobre la pelota en algún instante?

3. De acuerdo a tu respuesta anterior, ¿debería haber cambiado el momentum lineal de la pelota producto del choque?



MOMENTUM_LINEAL-bola-muro/movimiento.html

En la transparencia anterior viste que la velocidad del objeto cambia de dirección producto del choque. Es decir, el momentum lineal de la pelota cambia de signo (p cambia debido a la fuerza que ejerce el muro sobre la pelota). Considera las dos situaciones que ya hemos analizado:

En ambos casos la pelota incidente tiene la misma masa y rapidez, pero en el primer caso queda detenida y en el segundo caso rebota después del choque.

4. El cambio de momentum ΔP1 en el primer caso, tiene mayor menor o igual magnitud que el cambio de momentum ΔP2 en el segundo caso?




MOMENTUM_LINEAL-bola-muro/movimiento.html

Actividad: Bolas que chocan de frente

Este video muestra el choque frontal de dos bolas de pool que se mueven con la misma rapidez en direcciones contrarias.

1. Haz una predicción: ¿Cuál es el movimiento de las bolas después del choque?

Observa el video para chequear tu predicción.

2. Si las bolas al comienzo del video tenían rapidez de 10 cm/s y después del choque como producto de la pérdida de energía mecánica, la bola negra sale un poco más lento a 9cm/s, ¿Qué rapidez tiene la bola amarilla después del choque?

3. ¿Cuánto vale el momentum lineal del sistema antes del choque? ¿y cuanto vale después del choque?



MOMENTUM_LINEAL_bola-bola/movimiento.html

En general si antes de un choque:

la bola 1 tiene velocidad v1 antes y la bola 2 tiene velocidad v2 antes

y después del choque:

la bola 1 tiene velocidad v1 después y la bola 2 tiene velocidad v2 después

La ecuación que expresa la conservación del momento lineal es:

Donde las velocidades deben colocarse con los signos adecuados.


m1 v

1 antes + m

2 v

2 antes = m

1 v

1 después + m

2 v

2 después


Actividad: Momentum lineal de bolas que chocan en 2D (opcional)

El siguiente experimento muestra el choque de dos bolas de pool, pero a diferencia de las actividades anteriores, el movimiento resultante es un movimiento en dos dimensiones.

La siguiente imagen muestra la trayectoria de la bola verde (inicialmente quieta) después del choque.

1. Dibuja sobre la imagen cual crees tu que es la trayectoria de la bola incidente después del choque.

2. En la imagen, ¿cuál es la dirección de la fuerza que ejerce la bola incidente sobre la bola quieta?

3. ¿Cuál es la dirección de la fuerza que ejerce la bola quieta sobre la bola incidente?



Observa el video (grabado a 30 fps) para chequear tus respuestas anteriores.

Examinemos a continuación si tus respuestas anteriores son consistentes con la segunda ley de Newton:

4. Para la bola roja, representa en la imagen el vector momentum antes del choque, el vector momentum después del choque y la resta los dos vectores para encontrar el vector Δp = p final – p inicial.

Puedes chequear tu respuesta reescribiendo la resta como una suma de vectores, en la forma p inicial + Δp = p final. Verifica que se cumpla esta relación.

5. Determina si el vector anterior es consistente con la Segunda Ley de Newton en la forma ΔP = F ∙ Δt



MOMENTUM_LINEAL_choque_2D/movimiento.html

Un movimiento en 2D se puede analizar como dos movimientos en una dimensión que ocurren simultáneamente, por ejemplo las componentes verticales y horizontales.

1. En la aproximación que la bola roja de masa m se movía horizontalmente con rapidez v antes de chocar, ¿cuánto vale el momentum “vertical” del sistema antes del choque?

2. Usando la idea anterior y sabiendo que la bola verde se mueve como se muestra en la figura, deduce si el movimiento de la bola roja después del choque es en una trayectoria “inclinada hacia arriba”, “inclinada hacia abajo” u horizontal.

3. Antes del choque la bola roja se movía a 90 cm/s y después del choque su velocidad tenía una componente horizontal de 35 cm/s, ¿Cuál es la componente horizontal de la velocidad de la bola verde después del choque? (nota que en este ejemplo todas las bolas tienen la misma masa).

Como nota curiosa, en cursos posteriores verás que la conservación del momentum y la energía conducen a que el ángulo entre las dos bolas después que chocan es de 90°.



MOMENTUM_LINEAL_choque_2D/movimiento.html

Unidad: Momentum Lineal, Centro de Masa

El Centro de Masa (CM) se define como aquel punto que si concentrara toda la masa del sistema, se movería con el mismo momentum lineal que el sistema completo.

Actividad: Movimiento sobre una plataforma flotante

En esta actividad resumiremos lo aprendido en el movimiento de un auto que se mueve sobre una plataforma flotante. Nos concentraremos en el CM del sistema para una plataforma que tiene ahora mayor masa y su relación con cómo caminamos sobre la superficie de nuestro planeta.

Observa el siguiente video que muestra el mismo auto anterior de masa 220 gr, pero ahora moviéndose sobre una plataforma de mayor masa 450 gr.



MOMENTUM_LINEAL-auto_que_se_mueve_sobre_plataforma_flotante_sobre_madera/movimiento.html

Cuando el auto avanza hacia la derecha, la plataforma avanza hacia la izquierda debido a la fuerza que hace el auto sobre la plataforma. Esta fuerza es igual y contraria a la fuerza que ejerce la plataforma sobre el auto.

El momentum inicial del sistema auto + plataforma valía cero, o sea: mava = mpvp, por lo que las rapideces del auto y de la plataforma dependen de las masas de éstos.

Si la masa de la plataforma es muy grande, la fuerza que hace el auto produce un movimiento de la plataforma casi imperceptible y solo se distingue el movimiento del auto.

1. ¿Cómo sería el movimiento si la masa del auto fuese mucho mayor que la de la plataforma?

Cuando caminamos hacemos una fuerza sobre la superficie del planeta que tiende a mover al planeta en sentido contrario, durante esta interacción el planeta hace una fuerza igual y contraria sobre nosotros produciendo el movimiento de caminar.



Actividad: Centro de masa

El Centro de Masa (CM) se define como aquel punto que, si concentrara toda la masa del sistema, se movería con el mismo momentum lineal que el sistema que se está estudiando. Es decir, se define el CM por la ecuación:

Ptotal del sistema= m1 v1 + m2 v2 + ... = (masa total) vCM

En los ejemplos ya vistos el P total del sistema era cero, por lo que vCM era cero, es decir, el CM del sistema se mantenía quieto en cada experimento. Este resultado era cierto porque las únicas fuerzas que actuaban eran pares de acción y reacción, y se anulaban entre sí al considerar los efectos sobre el sistema como un todo. Pero si hay fuerzas externas (cuyo par de acción y reacción actúa fuera del sistema) tenemos

dPtotal sistema/dt = (masa total) (aceleración CM) = Fuerza externa


El CM es el punto del sistema que se mueve como si tuviese toda la masa del sistema

y como si todas las fuerzas externas actuaran sobre él.


De la primera fórmula de la transparencia anterior puede deducirse la siguiente expresión, que permite encontrar la posición del CM:

m1 x1 + m2 x2 + ... = (masa total) xCM

En particular, el peso de un objeto puede considerarse que actúa concentrado en el CM de éste. Tu profesor te mostrará varias formas prácticas de determinar donde está el CM de un objeto, y todas ellas se basan en este hecho.

1. Observa la imagen de la escoba que descansa sobre dos dedos, el CM de la escoba ¿está a la izquierda del dedo izquierdo, entre los dos dedos, o a la derecha del dedo derecho?

2. ¿Qué ocurre si los dedos comienzan a acercarse?

Observa el video para chequear tu predicción.

3. En el video pudiste observar que encontramos un punto donde la escoba puede quedar en equilibrio encima de un dedo. ¿El CM de la escoba está a la izquierda del dedo, a la derecha del dedo o sobre el dedo?



TORQUE_Y_ROTACION_centro_masa_escoba/movimiento.html

Actividad: Movimiento del Centro de Masa

A continuación mostraremos el lanzamiento de un martillo al aire desde la posición que se muestra en la imagen y donde el CM está marcado por un punto.

1. Predice el movimiento que seguirá la cabeza del martillo.

2. Predice el movimiento que seguirá el CM del martillo.

Observa el video para chequear tus predicciones.



TORQUE_Y_ROTACION-martillo_que_se_lanza_rotando_en_trayectoria_parabolica/movimiento.html

Actividad: Péndulo sobre un carro

Estudiaremos un péndulo que está montado encima de un carro con ruedas como muestra la figura.

1. Identifica que fuerza hará que el carro se mueva hacia la derecha.

2. Identifica que fuerza hará que la bola se mueva hacia la izquierda.

3. ¿Se mantiene constante el momentum lineal del sistema?

4. Indica donde crees que está el CM del sistema.

Observa el video del movimiento.

5. ¿Hay alguna imagen en el video en que puedas señalar con certeza la posición (horizontal) del CM?



MOMENTUM_LINEAL_pendulo_sobre_carro/movimiento.html

unidad: momentum lineal

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