unidad politÉcnica de integraciÓn social curso de...
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UNIDAD POLITÉCNICA DE INTEGRACIÓN SOCIAL
CURSO DE INGRESO A NIVEL SUPERIOR
MATERIA: MATEMÁTICAS PROFESORES: JLML/AGM
“Derivadas segunda parte”
DERIVADAIncrementos: El incremento de una variable Δ𝑥 es el aumento o disminución que experimenta, desde un valor
𝑥 = 𝑥0 a otro 𝑥 = 𝑥1,Así, pues,Δ𝑥 = 𝑥1 − 𝑥0. Si se da un incremento Δ𝑥 a la variable 𝑥, la función 𝑦 = 𝑓 𝑥se vera incrementada en Δ𝑦 = 𝑓 𝑥0 + Δ𝑥 − 𝑓 𝑥0 a partir del valor 𝑦 = 𝑓 𝑥0 .
El cociente:
Recibe el nombre de cociente promedio de incrementos de la función en el intervalo comprendido
entre 𝑥 = 𝑥0 hasta 𝑥 = 𝑥0 + Δ𝑥.
limΔ𝑥→0
Δ𝑦
Δ𝑥= lim
Δ𝑥→0
𝑓 𝑥 + Δ𝑥
Δ𝑥=𝒇′ 𝒙 =
𝒅𝒇 𝒙
𝒅𝒙=𝒅𝒚
𝒅𝒙
Calculo de una derivada de una función 𝑦 = 𝑓 𝑥 con respecto a 𝑥 se define por el límite:
Δ𝑦
Δ𝑥=𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑦
𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑥
EJERCICIOS GUÍA IPN 2020:
“CALCULO DIFERENCIAL” PAGINAS 64-70
30.- Calcular la velocidad promedio de un cuerpo cuyo desplazamiento “s” en términos del tiempo “t” esta
descrito por la función:
𝑠 = 𝑡2 − 3𝑡 + 5Si consideramos 1 < 𝑡 < 5
Solución: Se aplica el concepto de cociente promedio de incrementos, para calcular la velocidad promedio, por lo que:
𝑡0 = 1𝑡𝑓 = 5
Tiempo inicial:
Tiempo final:
Δ𝑡 = 𝑡𝑓 − 𝑡0Incremento:
Δ𝑡 = 5 − 1 = 4
Δ𝑠
Δ𝑡=
𝑡0 + Δ𝑡 2 − 3 𝑡0 + Δ𝑡 + 5 − 𝑡02 − 3 𝑡0 + 5
Δ𝑡
Δ𝑠
Δ𝑡=𝑠 𝑡0 + Δ𝑡 − 𝑠 𝑡0
Δ𝑡Aplicando el cociente promedio:
Sustituyendo la función: 𝑠 = 𝑡2 − 3𝑡 + 5 y aplicando el cociente promedio
Δ𝑠
Δ𝑡=
1 + 4 2 − 3 1 + 4 + 5 − 1 2 − 3 1 + 5
4
Δ𝑠
Δ𝑡=
5 2 − 3 5 + 5 − 1 2 − 3 1 + 5
4=25 − 15 + 5 − 1 − 3 + 5
4=12
4
Δ𝑠
Δ𝑡= 3
Por lo que la
Velocidad promedio es:
DERIVACIÓN DE FUNCIONES ALGEBRAICAS
Formulas de derivación: En las formulas siguientes 𝑢, 𝑣 𝑦 𝑤 son funciones derivables de 𝑥 y sea 𝑐 una constante:
FORMULAS FORMULAS
1)𝑑 𝑐
𝑑𝑥= 0 6)
𝑑 𝑥𝑛
𝑑𝑥= 𝑛𝑥𝑛−1
2)𝑑 𝑥
𝑑𝑥= 1 7)
𝑑 𝑢𝑛
𝑑𝑥= 𝑛𝑢𝑛−1
𝑑
𝑑𝑥𝑢
3)𝑑 𝑐𝑢
𝑑𝑥= 𝑐
𝑑 𝑢
𝑑𝑥 8)𝑑
𝑑𝑥
𝑢
𝑣=
𝑣𝑑
𝑑𝑥𝑢 −𝑢
𝑑
𝑑𝑥𝑣
𝑣2
4)𝑑
𝑑𝑥𝑢 + 𝑣 − 𝑤 =
𝑑
𝑑𝑥𝑢 +
𝑑
𝑑𝑥𝑣 −
𝑑
𝑑𝑥𝑤 9)
𝑑
𝑑𝑥
1
𝑥= −
1
𝑥2
5)𝑑
𝑑𝑥𝑢𝑣 = 𝑢
𝑑
𝑑𝑥𝑣 + 𝑣
𝑑
𝑑𝑥𝑢 10)
𝑑
𝑑𝑥
1
𝑢= −
1
𝑢2𝑑
𝑑𝑥𝑢
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24.- Determinar la derivada de la función:
𝑓 𝑥 = 𝑥100
𝑑 𝑥𝑛
𝑑𝑥= 𝑛𝑥𝑛−1Aplicando:
𝑑 𝑥100
𝑑𝑥= 100𝑥100−1
𝑦′ = 100𝑥99
25.- Calcular la derivada de la
función:
𝑓 𝑡 =1
𝑡+ 𝑡
6
Sea:
𝑢 𝑡 =1
𝑡+ 𝑡
Derivando aplicando (2) y (9):
𝑑
𝑑𝑡𝑢 𝑡 = −
1
𝑡2+ 1
Aplicando (7):
𝑑
𝑑𝑡𝑓 𝑡 = 6
1
𝑡+ 𝑡
5
1 −1
𝑡2
27.- Calcular la derivada de la función:
𝑓 𝑡 =1
𝑡2+1
𝑡−
1
𝑡Podemos escribir:
𝑓 𝑡 = 𝑡−2 +1
𝑡− 𝑡−
12
Derivando aplicando (2) y (9):
𝑓′(𝑡) = −2𝑡−3 −1
𝑡2+1
2𝑡−
32
Aplicando leyes de los exponentes:
𝑓′(𝑡) = −2
𝑡3−
1
𝑡2+1
2
1
𝑡3
𝑓′(𝑡) = −2
𝑡3−
1
𝑡2+
1
2 𝑡3
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29.- Especificar el diferencial 𝑑𝑦 para la
función:
𝑦 = 𝑥 − 2𝑥 + 1
Derivando aplicando (2) y (9):
𝑦 = 𝑥12 − 2𝑥 + 1
𝑑𝑦
𝑑𝑥=1
2𝑥−
12 − 2
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
1
2 𝑥− 2
𝑑𝑦 =1
2 𝑥− 2 𝑑𝑥
31.- Determinar la derivada de la
función:
𝑦 =𝑥3
1 + 𝑥2
Derivando aplicando (8):
𝑦′ =1 + 𝑥2
𝑑𝑑𝑥
𝑥3 − 𝑥3𝑑𝑑𝑥
1 + 𝑥2
1 + 𝑥2 2
𝑦′ =1 + 𝑥2 3𝑥2 − 𝑥3 2𝑥
1 + 𝑥2 2
𝑦′ =3𝑥2 + 3𝑥4 − 2𝑥4
1 + 𝑥2 2
𝑦′ =𝑥4 + 3𝑥2
1 + 𝑥2 2
32.- Calcular la derivada de la siguiente
función:𝑦 = −4 𝑥 − 𝑥 −2
Aplicando (7):
𝑦′ = 8 𝑥 − 𝑥 −31
2 𝑥− 1
Sea: 𝑢 = 𝑥 − 𝑥
Derivando:𝑑𝑢
𝑑𝑥=
1
2 𝑥− 1
𝑦′ = 81
𝑥 − 𝑥 3
1 − 2 𝑥
2 𝑥
𝑦′ =4 1 − 2 𝑥
𝑥 𝑥 − 𝑥 3
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33.- Calcular la derivada de la función:
𝑓 𝑥 = 8 𝑥 − 93 𝑥 − 1
Se puede escribir como:
𝑓 𝑥 = 8𝑥12 − 9𝑥
13 − 1
Derivando:
𝑓′ 𝑥 = 81
2𝑥12−1 − 9
1
3𝑥13−1 − 1
𝑓′ 𝑥 = 4𝑥−12 − 3𝑥−
23
0
34.- Calcular la derivada de la función:
𝑦 = −7𝑥 + 3
Sea:
u = −7𝑥 + 3
𝑑𝑢
𝑑𝑥= −7
Derivando aplicando (7):
𝑦 = −7𝑥 + 312
𝑦′ =1
2−7𝑥 + 3 −
12 −7
𝑦′ =−7
2 −7𝑥 + 3
DERIVACIÓN DE FUNCIONES TRASCENDENTES
FORMULAS FORMULAS
1) 𝑑
𝑑𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠 𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥6)
𝑑
𝑑𝑥𝑐𝑠𝑐 𝑢 = −𝑐𝑠𝑐 𝑢 𝑐𝑜𝑡 𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
2) 𝑑
𝑑𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑢 = −𝑠𝑒𝑛 𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥7)
𝑑
𝑑𝑥𝑠𝑒𝑐 𝑢 = 𝑠𝑒𝑐 𝑢 𝑡𝑎𝑛 𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
3) 𝑑
𝑑𝑥𝑡𝑎𝑛 𝑢 = 𝑠𝑒𝑐2 𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥8)
𝑑
𝑑𝑥𝑐𝑜𝑡 𝑢 = −𝑐𝑠𝑐2 𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
4) 𝑑
𝑑𝑥𝑎𝑢 = 𝑎𝑢𝑙𝑛 𝑎
𝑑𝑢
𝑑𝑥(𝑎 > 0) 9)
𝑑
𝑑𝑥𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑢 =
1
𝑢𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑒
𝑑𝑢
𝑑𝑥(𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1)
5) 𝑑
𝑑𝑥𝑒𝑢 = 𝑒𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥10)
𝑑
𝑑𝑥𝑙𝑛 𝑢 =
1
𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
Formulas de derivación: En las formulas siguientes 𝑢, 𝑣 funciones derivables de 𝑥:
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26.- Determinar la derivada de la
función:
𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥3
Aplicando (5):
𝑢 = 𝑥3
𝑑𝑢
𝑑𝑥= 3𝑥2
Derivando:
𝑓′ 𝑥 = 𝑒𝑥33𝑥2
𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2𝑒𝑥3
28.- Encontrar la derivada de la función:
𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑎𝑥 + 𝑏
Aplicando (10):
𝑢 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑑𝑢
𝑑𝑥= 𝑎
Derivando:
𝑓′ 𝑥 =1
𝑎𝑥 + 𝑏𝑎
𝑓′ 𝑥 =𝑎
𝑎𝑥 + 𝑏
36.- La expresión_____es la derivada
de:y 𝑥 = 𝑒𝑠𝑒𝑛 𝑥 +𝑐𝑜𝑠 𝑥
Aplicando (1),(2) y (5):
𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + cos(𝑥)𝑑𝑢
𝑑𝑥= cos 𝑥 − sen(𝑥)
𝑑𝑢
𝑑𝑥= −sen 𝑥 + cos 𝑥
𝑦′ 𝑥 = −sen 𝑥 + cos 𝑥 𝑒𝑠𝑒𝑛 𝑥 +𝑐𝑜𝑠 𝑥
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35.- Ordenar las siguientes funciones, de mayor a menor, de acuerdo con el valor de su derivada en el punto x=0:
1. 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝑥
2. 𝑔 𝑥 = 𝑥 +1
4
2
3. ℎ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
4. 𝑦 𝑥 = 3𝑥 + 1
1. 𝑓′ 𝑥 = 𝑒𝑥 + 1
2. 𝑔′ 𝑥 = 2 𝑥 +1
4
3. ℎ′ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)
4. 𝑦′ 𝑥 =3
2 3𝑥 + 1
Evaluando en x=0
1. 𝑓′ 0 = 𝑒0 + 1 = 2
2. 𝑔′(0) = 2 0 +1
4=1
2
3. ℎ′ 0 = 𝑐𝑜𝑠 0 = 1
4. 𝑦′(0) =3
2 3 0 + 1=3
2
Derivando:
Ordenando:
1,4,3,2
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37.- Obtener la derivada de la siguiente
función:𝑦 = 𝑥3𝑐𝑜𝑠 𝑥
Aplicando derivada de un producto:
𝑢 = 𝑥3
𝑑𝑢
𝑑𝑥= 3𝑥2
𝑣 = cos(𝑥)
𝑑𝑣
𝑑𝑥= −sen(𝑥)
Derivada:
𝑦′ = 𝑥3 −𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 3𝑥2
𝑦′ = −𝑥3𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 3𝑥2𝑐𝑜𝑠 𝑥
38.- Obtener la derivada de la siguiente
función:
𝑦 = 9𝑥2+5𝑥−3
Sea:𝑢 = 𝑥2 + 5𝑥 − 3
𝑑𝑢
𝑑𝑥= 2𝑥 + 5
Aplicando (9):
𝑦′ = 9𝑥2+5𝑥−3ln(9) 2𝑥 + 5
𝑦′ = 2𝑥 + 5 9𝑥2+5𝑥−3ln(9)
39.- Obtener la derivada de la
siguiente función:
𝑦 = 𝑒𝑠𝑒𝑛(𝑥)Sea:
𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑢
𝑑𝑥= cos(𝑥)
Aplicando (5):
𝑦′ = cos(𝑥)𝑒𝑠𝑒𝑛(𝑥)
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41.- Determinar la derivada de
la función:
𝑦 = 𝑥2𝑙𝑛 𝑥2Sea:
𝑢 = 𝑥2
𝑑𝑢
𝑑𝑥= 2𝑥
𝑣 = 𝑙𝑛 𝑥2
𝑑𝑣
𝑑𝑥=2
𝑥
𝑦′ = 𝑥22
𝑥+ 𝑙𝑛 𝑥2 2𝑥
𝑦′ = 2𝑥 + 2𝑥𝑙𝑛 𝑥2
Derivando:
Factorizando:
𝑦′ = 2𝑥 1 + 𝑙𝑛 𝑥2
43.- Derivar la función:
cuando x>0
𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛2 𝑥
Sea:
𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛2 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 2
𝑢 = 𝑙𝑛 𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥=
1
𝑥
1
2 𝑥=
1
2𝑥
𝑓 𝑢 = 𝑢 2
Podemos escribir:
Derivando:
𝑓′ 𝑢 = 2𝑢𝑑𝑢
𝑑𝑥Sustituyendo:
𝑓′ 𝑥 = 2𝑙𝑛 𝑥1
2𝑥
𝑓′ 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥12
1
𝑥Aplicando propiedades de los
logaritmos:
𝑙𝑛 𝑎𝑢 = 𝑢𝑙𝑛 𝑎
𝑓′(𝑥) =1
2𝑙𝑛 𝑥
1
𝑥=
1
2𝑥𝑙𝑛 𝑥
𝑓′(𝑥) =𝑙𝑛 𝑥
2𝑥
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46.- Derivar la función:
𝑦 𝑥 = 𝑒𝑥𝑙𝑛 𝑥cuando x>0.
Sea:
𝑢 = 𝑒𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥= 𝑒𝑥
𝑣 = 𝑙𝑛 𝑥
𝑑𝑣
𝑑𝑥=1
𝑥
Derivando:
𝑦′ 𝑥 = 𝑒𝑥1
𝑥+ 𝑙𝑛 𝑥 𝑒𝑥
Factorizando:
𝑦′ 𝑥 = 𝑒𝑥 𝑙𝑛 𝑥 +1
𝑥
44.- Ordernar las siguientes funciones, de mayor a menor, de acuerdo con el
valor de su derivada en el punto x=2:
1) 𝑓 𝑥 =−1
𝑥 − 3
2) 𝑔 𝑥 =2
𝑥 + 1
3) ℎ 𝑥 =−3
𝑥
4) 𝑦 𝑥 =4
𝑥 + 2
Derivando:
1) 𝑓′ 𝑥 =1
𝑥 − 3 2
2) 𝑔′ 𝑥 =−2
𝑥 + 1 2
3) ℎ′ 𝑥 =3
𝑥2
4) 𝑦′ 𝑥 =−4
𝑥 + 2 2
Evaluando en x=2
1) 𝑓′(2) =1
2 − 3 2 = 1
2) 𝑔′ 2 =−2
2 + 1 2 = −2
9
3) ℎ′(2) =3
22=3
4
4) 𝑦′ 2 =−4
2 + 2 2 = −1
4
Ordenando: 1,3,2,4
DERIVACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
FORMULAS FORMULAS
𝟏)𝑑
𝑑𝑥𝑎𝑛𝑔𝑠𝑒𝑛 𝑢 =
1
1 − 𝑢2
𝑑𝑢
𝑑𝑥𝟒)
𝑑
𝑑𝑥𝑎𝑛𝑔𝑐𝑠𝑐 𝑢 = −
1
𝑢 𝑢2 − 1
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝟐)𝑑
𝑑𝑥𝑎𝑛𝑔𝑐𝑜𝑠 𝑢 = −
1
1 − 𝑢2
𝑑𝑢
𝑑𝑥𝟓)
𝑑
𝑑𝑥𝑎𝑛𝑔𝑠𝑒𝑐 𝑢 =
1
𝑢 𝑢2 − 1
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝟑)𝑑
𝑑𝑥𝑎𝑛𝑔𝑡𝑎𝑛 𝑢 =
1
1 + 𝑢2𝑑𝑢
𝑑𝑥𝟔)
𝑑
𝑑𝑥𝑎𝑛𝑔𝑐𝑜𝑡 𝑢 = −
1
1 + 𝑢2𝑑𝑢
𝑑𝑥
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42.- Determinar la derivada de:
𝑦 = 𝑎𝑛𝑔𝑡𝑎𝑛1
1 − 𝑥Sea:
𝑢 =1
1 − 𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥=
1
1 − 𝑥 2
Aplicando (3):
𝑑
𝑑𝑥𝑎𝑛𝑔𝑡𝑎𝑛 𝑢 =
1
1 + 𝑢2𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥𝑎𝑛𝑔𝑡𝑎𝑛
1
1 − 𝑥=
1
1 +1
1 − 𝑥
2
1
1 − 𝑥 2
Simplificando:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
1
1 − 𝑥 2 + 11 − 𝑥 2
1
1 − 𝑥 2=
11
1 − 𝑥 2 + 11 − 𝑥 2
1
1 − 𝑥 2
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
1
1 +1
1 − 𝑥
2
1
1 − 𝑥 2
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
1 − 𝑥 2
1 − 𝑥 2 + 1
1
1 − 𝑥 2
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
1
1 − 𝑥 2 + 1
APLICACIONES DE LA DERIVADADerivada de orden superior: Se conoce como
derivada de orden superior a la segunda, tercera, etc.
derivada de la función, si para una función 𝑓 𝑥 existe
su primera derivada.
Si 𝑦 = 𝑓 𝑥
𝑓′(𝑥) = 𝑦′ =𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑓′′ 𝑥 = 𝑦′′ =𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
𝑓′′′ 𝑥 = 𝑦′′′ =𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
𝑓(4) 𝑥 = 𝑦(4) =𝑑4𝑦
𝑑𝑥4
Segunda derivada
Primera derivada
Tercera derivada
Cuarta derivada
40.- Determinar la cuarta derivada de la función:
𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 3𝑥2 − 2𝑥 + 𝜋
Derivando consecutivamente:
𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 3𝑥2 − 2𝑥 + 𝜋
𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 + 6𝑥 − 2
𝑓′′ 𝑥 = 6𝑥 + 6
𝑓′′′ 𝑥 = 6
𝑓 4 𝑥 = 0
APLICACIONES DE LA DERIVADAEl punto critico de una función es cualquier valor en donde el
valor de la derivada es cero o donde la función no es derivable. Los
máximos y mínimos locales de una función ocurren en los puntos
críticos,
Una función 𝑓 𝑥 tiene un máximo en un punto 𝑓 𝑥0 cuando es
el mayor de los valores en un intervalo 𝑎, 𝑏 que contenga 𝑥0.
Una función 𝑓 𝑥 tiene un mínimo en un punto 𝑓 𝑥0 cuando es el
menor de los valores en un intervalo 𝑎, 𝑏 que contenga 𝑥0.
Una función 𝑓(𝑥) tiene un punto de inflexión en el punto
𝑓 𝑥0 en donde la curva de la función pasa de cóncava a convexa en
un intervalo 𝑎, 𝑏 que contenga 𝑥0.
Máximo
Mínimo
Punto de Inflexión
𝑓′ 𝑥 = 0
𝑓′ 𝑥 = 0
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45.- Determinar los puntos críticos de la
función:
𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 6𝑥2 − 36𝑥 + 7Derivando la función:
𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 − 12𝑥 − 36
Igualando a cero la derivada:
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 12𝑥 − 36 = 0
3𝑥2 − 12𝑥 − 36 = 0
Resolviendo:
3 𝑥2 − 4𝑥 − 12 = 0
𝑥2 − 4𝑥 − 12 = 𝑥 − 6 𝑥 + 2
Factorizando:
𝑥 = 6𝑥 = −2
49.- ¿En que puntos la recta tangente
a la gráfica de 𝑓 𝑥 tiene pendiente
cero si 𝑓 𝑥 = 2𝑥3 − 3𝑥2?
Derivando la función:
𝑓′ 𝑥 = 6𝑥2 − 6𝑥
Igualando a cero la derivada:
𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 − 6𝑥 = 0
Resolviendo:
6𝑥(𝑥 − 1) = 0
𝑥 = 0𝑥 = 1
47.- El número real_____ es el
valor critico de la función
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − cos(𝑥): en el
intervalo 0, 𝜋
Derivando la función:
𝑓′(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + sen 𝑥 = 0
Resolviendo:
sen 𝑥 = −cos(𝑥)
Dividiendo entre cos(𝑥):
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos(𝑥)= −1 tan(𝑥) = −1
x = angtan(−1) =3𝜋
4
𝑥 =3𝜋
4
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48.- ¿En cuales puntos de la gráfica el valor de
la derivada es cero?
50.- La grafica de una función 𝑓(𝑥) en el siguiente
intervalo (𝑎, 𝑏) se muestra a continuación. ¿Cuántos
puntos mínimos locales tiene la función en este
intervalo?
c, f, i, k3