UNIDAD VII – ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Usando ecuaciones para describir variaciones

A veces, la relación entre dos variables puede darse a través de una ecuación. Una ecuación es una regla que nos dice cómo influye la variación del valor de una de las variables sobre la variación del valor de la otra. Si la variable representa el número de años de estudios posteriores a la escuela primaria y representa los ingresos anuales promedio (en dólares) de personas residentes en Norteamérica, la siguiente ecuación representa la relación entre y .

Esta ecuación es una herramienta ponderosa que nos permite describir como están vinculados los ingresos y la educación y además realizar predicciones. Por ejemplo, para predecir cuales serán los ingresos medios , de personas con educación secundaria (high school education), reemplazamos , (4 años de estudios luego de la escuela primaria = educación secundaria), en nuestra ecuación y obtenemos

Así, nuestra ecuación predice que las personas con educación secundaria tendrán un ingreso medio anual de alrededor de

Una ecuación que se usa para describir una situación en el mundo real se denomina modelo matemático. Los modelos matemáticos suministran descripciones breves, a menudo simplificadas de situaciones a menudo complejas. Por eso, la exactitud de las predicciones realizadas utilizando dichos modelos puede ser objetada y se puede necesitar el auxilio de otras disciplinas que no pertenecen al campo matemático para responder las preguntas que nos formulamos acerca del problema en estudio. Sin embargo, estos modelos son guías muy valiosos cuando tratamos de entender los fenómenos físicos y sociales de nuestro mundo.

Descripción de la relación entre variables abstractas

Las variables pueden representar cantidades abstractas, que no estén asociadas con eventos u objetos reales. La siguiente ecuación o fórmula matemática define la relación entre dos cantidades, representadas por las variables abstractas e

Sustituyendo varios valores de y hallando los valores de asociados, podemos general pares de valores e , llamados soluciones de la ecuación, que hacen que la fórmula sea verdadera o se verifique. Por convención, representamos esas soluciones como pares de la forma . Así, será solución de porque , mientras que

no será unas solución dado que

Hay infinitas soluciones para la ecuación , dado que podemos sustituir por cualquier valor real y obtener un valor de correspondiente. La Tabla 1 muestra algunas pocas soluciones de la ecuación y cada solución representa un punto en la gráfica de la ecuación.

La gráfica de la ecuación se muestra en la Figura 2. Todos los puntos de la gráfica representan soluciones de la ecuación, y toda solución de la ecuación es un punto en la gráfica de dicha ecuación.

Las coordenadas del punto P son

El punto P representa sólo una de las infinitas soluciones de la ecuación.

A veces se usan flechas para indicar que una gráfica continúa indefinidamente en la dirección que se indica. En la Figura 2, las flechas indican que ambas ramas de la gráfica se extienden indefinidamente hacia arriba.

Ejercicios1. a. Usando la ecuación , explique con sus propias palabras cómo calcula el

valor de , dado un valor de .

b. ¿Cuáles de los siguientes pares ordenados representan soluciones de la ecuación dada en el punto a?

, , , , ,

c. Use para obtener una pequeña tabla de valores que representen soluciones de la ecuación.

2. Repita las instrucciones de los puntos a, b y c del ejercicio anterior usando la ecuación

3. Dadas las ecuaciones e , complete la Tabla 2

-4 -2 -1 0 1 2 4

Tabla 2a. Use la tabla y represente en un mismo gráfico los puntos que corresponden a los pares

ordenados y

b. Trace una gráfica suave que una los puntos de cada conjunto solución.

c. ¿Es una solución para la ecuación ? ¿Y para ?

d. ¿Es una solución para la ecuación ? ¿Y para ?

e. Observe las gráficas. ¿Es el par una solución para alguna de las ecuaciones? Verifique su respuesta reemplazando los valores en la ecuación.

4. Dada la ecuación

a. Hallar si

b. Halle dos puntos que no sean solución de esta ecuación.

c. Trace la gráfica de la ecuación.

5. Usando el gráfico estime los valores faltantes de e

6. Dada la ecuación

a. Describa con sus propias palabras cómo encuentra el valor de que corresponde a un valor dado de .

b. Halle el par solución que corresponde a un valor de c. Halle el par solución que corresponde a un valor de

d. ¿Existe un par solución para la ecuación cuando ? Explique su respuesta.

7. Los siguientes tres gráficos describen dos autos A y B

Age = edad; Cost = costo; Size = tamaño; Cruising Speedy = velocidad crucero; Range = rango;

Passenger capacity = capacidad

Diga si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Explique sus respuestas

a. El auto más nuevo es más caro.b. El auto más lento es más grande.c. El auto más grande es más nuevo.d. El auto más económico transporta más pasajerose. Enuncie dos hechos que deduzca de los gráficos.f. ¿Qué auto compraría? ¿Por qué?

8. a. ¿Cuáles de los siguientes pares de valores es solución de la ecuación ?

, , . Explique cómo llega a su conclusión.

b. Halle un par de valores que sea solución de la ecuación e indique cómo halló esa solución.

Ecuaciones de 2do Grado

Dada la ecuación podemos hallar el conjunto solución a través de la fórmula:

y

A se lo denomina discriminante. Su valor nos indica el tipo de raíces que tiene la ecuación

1. Si . Las raíces son reales e iguales. Se dice que la ecuación tiene

una raíz doble. Gráficamente significa que la curva que representa la función

es tangente al eje en el punto

2. Si . Las raíces son reales y distintas.

y

La curva de corta al eje en los puntos y

3. Si . La ecuación no tiene raíces reales pues no existe un valor real que sea la raíz cuadrada de un número negativo.

Gráficamente, la curva de no corta al eje

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Propiedades de las raíces de una ecuación de 2do grado

Vimos que las soluciones de la ecuación vienen dadas por

Si sumamos las raíces resulta

Si multiplicamos las raíces

Ejemplo 4 – Verificación de las propiedades de las raíces de una ecuación de 2do grado

Tomemos las raíces del Ejemplo 2 en donde la ecuación de 2do grado es: con

. Las raíces son .

Reconstrucción de la ecuación de 2do grado a partir de las raíces

Sabiendo que Tomemos la ecuación

Sacamos factor común

Observamos que la ecuación se puede reconstruir a partir de las raíces utilizando sus propiedades.

A le podemos dar cualquier valor real distinto de cero. Obtenemos una familia de infinitas ecuaciones de 2do con las mismas raíces

Ejemplo 5

Sean las raíces de una ecuación de 2do grado

Sumamos y multiplicamos las raíces

Reemplazamos en la expresión factoreada de la ecuación de 2do grado y obtenemos una familia de infinitas ecuaciones que tienen las mismas raíces. En particular, si

resulta

es una de ellas

Ejemplo 6 – Verificación

Hallar las raíces de

Que son las raíces que utilizamos para reconstruir la ecuación de 2do grado

Factorización del trinomio de 2do grado a partir de sus raíces

Si son las raíces de la ecuación entonces el trinomio de 2do grado puede ser escrito como

Verificación

donde hemos usado las propiedades de las raíces

Ejemplo 7 – Factorear

1. Hallamos las raíces de la ecuación

2. Escribimos el trinomio en forma factorizada

3. Verificamos

Ejercicios

1. Resolver las siguientes ecuaciones, aplicando la fórmula de las raíces de la ecuación de 2do grado

a.b.

c.d.

2. Hallar las ecuaciones de 2do grado cuyas raíces son:

a. b.

c. d.

e.f.

3. Factorizar los siguientes trinomios a partir de sus raíces

a.b.

c.d.