Unidad I

Unidades de medida

Introducción

Toda magnitud física debe llevar asociadas sus unidades. Es fundamental para el método científico que las medidas sean reproducibles y, para que esto sea posible, las magnitudes con sus unidades han de ser expresadas de una manera concisa y no ambigua.

En la actualidad el sistema métrico que se emplea a nivel internacional es el Sistema Internacional de Unidades (SI), y es el que emplearemos a lo largo de estas páginas. El Sistema Internacional de Unidades fue creado en 1960. Tiene la ventaja de que todas sus unidades básicas están basadas en fenómenos físicos, a excepción de la unidad de masa, que se define en referencia a un patrón de platino iridiado.

Las unidades básicas del Sistema Internacional son siete:

Magnitud Física Unidad SímboloLongitud metro m

Tiempo segundo sMasa kilogramo kgIntensidad de corriente eléctrica amperio ATemperatura kelvin KCantidad de sustancia mol molIntensidad luminosa candela cd

Como es un sistema métrico decimal, los múltiplos y submúltiplos de cada una de estas unidades se expresan en potencias de 10. En la siguiente tabla se muestran los nombres de algunos de ellos.

1000n 10n Prefijo Símbolo Escala Corta Escala Larga Equivalencia decimal10008 1024 yotta Y Septillón Cuadrillón 1 000 000 000 000 000 000 000 00010007 1021 zetta Z Sextillón Mil trillones 1 000 000 000 000 000 000 00010006 1018 exa E Quintillón Trillón 1 000 000 000 000 000 00010005 1015 peta P Cuadrillón Mil billones 1 000 000 000 000 00010004 1012 tera T Trillón Billón 1 000 000 000 00010003 109 giga G Billón Mil millones (o millardo) 1 000 000 00010002 106 mega M Millón 1 000 00010001 103 kilo k Mil 1 00010002/3 102 hecto h Centena 10010001/3 101 deca da / D Decena 1010000 100 ninguno Unidad 11000-1/3 10-1 deci d Décimo 0.11000-2/3 10-2 centi c Centésimo 0.011000-1 10-3 mili m Milésimo 0.0011000-2 10-6 micro µ Millonésimo 0.000 0011000-3 10-9 nano n Billonésimo Milmillonésimo 0.000 000 0011000-4 10-12 pico p Trillonésimo Billonésimo 0.000 000 000 001

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1000-5 10-15 femto f Cuadrillonésimo Milbillonésimo 0.000 000 000 000 0011000-6 10-18 atto a Quintillonésimo Trillonésimo 0.000 000 000 000 000 0011000-7 10-21 zepto z Sextillonésimo Miltrillonésimo 0.000 000 000 000 000 000 0011000-8 10-24 yocto y Septillonésimo Cuadrillonésimo 0.000 000 000 000 000 000 000 001

Unidades derivadas

Las unidades derivadas son las utilizadas para expresar magnitudes físicas que dependen (son combinaciones) de las magnitudes básicas.

Órdenes de magnitud

Un orden de magnitud es una clase de escala o magnitud de cualquier cantidad, donde cada clase contiene valores de un cociente fijo con respecto a la clase precedente. El cociente más comúnmente utilizado es el 10.

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Órdenes de magnitud

Un orden de magnitud es una clase de escala o magnitud de cualquier cantidad, donde cada clase contiene valores de un cociente fijo con respecto a la clase precedente. El cociente más comúnmente utilizado es el 10.

Nombre Decimal Potencia de diez Orden de MagnitudDiezmilésima 0.0001 10-4 -4Milésima 0.001 10-3 -3Centésima 0.01 10-2 -2Décima 0.1 10-1 -1Unidad 1 100 0Diez 10 101 1Cien 100 102 2Mil 1000 103 3Diez mil 10000 104 4Un millón 1000000 106 6Mil millones 1000000000 109 9Un billón 1000000000000 1012 12

Pendiente de una recta.

Introducción

La pendiente de una gráfica desde el punto de vista de Matemática y Física podemos calcular la pendiente usando gráficas experimentales. Veamos cómo esta sección puede ayudarte a entender el concepto de pendiente. Para calcular la pendiente de la línea recta, tenemos que escoger dos puntos en la gráfica, digamos los puntos: A y C. Estos puntos tienen coordenadas (X1,Y1) = (0s,0m) y (X2,Y2) = (20s, 100m). Usemos la ecuación para el cálculo de la pendiente:

Una representación gráfica

El cambio en la posición de un objeto también se puede representar gráficamente. Las características de la gráfica son parámetros que nos ayudan a describir el movimiento del objeto bajo estudio. Imagina que un auto viaja por el expreso. Al hacer un registro de la posición del objeto según pasa el tiempo, obtenemos los siguientes datos:

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Tiempo(Segundos)

Posición(Metros)

0 01 102 203 304 405 50

Observa que la gráfica resulta ser una línea recta ascendente. Esta característica nos indica que el objeto se mueve rítmicamente o sea se mueve con rapidez constante; en este caso, a razón de diez metros por cada segundo. Otra característica es que la gráfica queda subiendo de izquierda a derecha (tiene una pendiente positiva), lo que indica que la distancia aumenta según aumenta el tiempo. Así que el objeto se está alejando del punto de origen.

Podemos calcular la pendiente usando la siguiente ecuación:

De forma que si tenemos dos puntos y los sustituimos obtenemos el siguiente resultado:

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Observa que la pendiente es positiva y se dice m>0. Esto significa que una pendiente positiva para gráficas lineales describe una gráfica lineal ascendente.

Lineal descendente

Hay distintos tipos de gráficas lineales, observa la siguiente gráfica. ¿Qué forma tiene? Tu respuesta debe ser lineal descendente. ¿Por qué decimos que es diferente a la anterior? Es diferente a la gráfica anterior porque a medida que el tiempo aumenta el objeto se aleja de la posición inicial en reversa.

¿Cuánto es la pendiente? Podemos calcular la pendiente de la siguiente forma:

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Fíjate que el resultado es negativo. Obtenemos una pendiente negativa. Esto significa que la pendiente negativa o m<0 describe una gráfica lineal descendente.

Veamos ahora lo que ocurre con la siguiente gráfica:

¿Qué forma tiene la gráfica? La forma de la gráfica es lineal horizontal. ¿Cuánto es la pendiente? Para calcular la pendiente debemos realizar el siguiente procedimiento:

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Debes notar que en este caso que la gráfica es lineal horizontal, la pendiente es cero, m=0. En el próximo caso verás una gráfica lineal vertical.

Podemos calcular la pendiente, veamos el procedimiento:

Este resultado significa que la pendiente de una gráfica lineal vertical es indefinida debido a la división entre cero.

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Tipos de magnitudes

Magnitudes escalares y vectoriales

Las magnitudes que emplearemos en este curso de Física serán de dos tipos: escalares y vectoriales.

Una magnitud escalar es aquella que queda completamente determinada con un número y sus correspondientes unidades, y una magnitud vectorial es aquella que, además de un valor numérico y sus unidades (módulo) debemos especificar su dirección y sentido.

La elección de un escalar o un vector para representar una magnitud física depende de la naturaleza de la misma; si estamos describiendo la temperatura de una habitación, la densidad de un cuerpo, su masa... necesitaremos representarlas mediante un número. Por el contrario, cuando trabajemos con magnitudes como la fuerza, la velocidad, la aceleración, el campo eléctrico, etc., emplearemos vectores.

Un vector en el espacio tridimensional está caracterizado por tres números que se denominan componentes o coordenadas del vector.

Las componentes de un vector serán en general diferentes dependiendo del sistema de coordenadas que utilicemos para expresarlas, pero siempre es posible relacionarlas de una manera sistemática.

Sistemas de coordenadas

En general a lo largo de estas páginas emplearemos el sistema de coordenadas cartesianas para especificar las componentes de un vector.

El sistema de coordenadas cartesianas está constituido por tres ejes (dos si trabajamos en dos dimensiones) perpendiculares entre sí que se cortan en un punto llamado origen.

Componentes cartesianas

En tres dimensiones:

Las componentes cartesianas de un vector son las proyecciones de dicho vector sobre cada uno de los ejes. Como se observa en la figura anterior están relacionadas con el ángulo que forma el vector con el eje x y con su longitud (módulo):

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Por tanto, el vector a puede expresarse como:

Y en ese caso está expresado en coordenadas polares (esféricas en tres dimensiones).

Vectores constituyentes

Vector unitario

Un vector unitario es aquél que tiene módulo 1. Para hallar un vector unitario a partir de cualquier vector, hay que dividir este último por su módulo.

AB mide 3, por lo que:

Y su módulo:

Un vector unitario puede emplearse para definir el sentido positivo de cualquier eje. Así, para los ejes cartesianos x,y,z se emplean los vectores i, j y k:

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Vectores unitarios para los ejes cartesianos:

La orientación de estos tres ejes cartesianos puede cambiarse, siempre y cuando su orientación relativa sea la misma.

Del mismo modo pueden definirse un vector tangente y un vector perpendicular a una curva en cada punto, o un vector unitario en las direcciones radial y angular:

Con ayuda de estos vectores unitarios puede expresarse un vector cualquiera en función de sus vectores constituyentes.

Vectores constituyentes de un vector

Una vez introducidos los vectores unitarios i, j, k que definen los sentidos positivos de los ejes cartesianos, podemos expresar cualquier vector como la suma de los siguientes vectores:

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Componentes cartesianas

En tres dimensiones:

Como se observa en la figura anterior:

Y de forma análoga en tres dimensiones:

Que es la forma que más comúnmente emplearemos para expresar una magnitud vectorial.

Operaciones con vectores

Supongamos que tenemos dos vectores u y v expresados a partir de sus vectores constituyentes, en dos dimensiones para simplificar:

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Suma de vectores

Se define el vector suma de ambos (w) a otro vector cuyas componentes se calculan sumando las componentes de cada uno de ellos.

Se puede apreciar según el dibujo que gráficamente esto equivale a colocar un vector a continuación del otro y dibujar el vector desde el origen del primero al final del segundo.

Producto escalar (·)

El producto escalar de dos vectores u y v que forman un ángulo φ se define como:

De la expresión anterior se observa que el producto escalar de dos vectores no es un vector, es un número (un escalar). Además el producto escalar de dos vectores perpendiculares es nulo. Se deducen entonces los siguientes resultados:

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Si los vectores están expresados en componentes, en tres dimensiones y aplicando los resultados anteriores se obtiene que:

El producto escalar de dos vectores posee la propiedad conmutativa.

Producto vectorial (x)

El producto vectorial de dos vectores que forman un ángulo φ es otro vector, de dirección perpendicular al plano formado por los dos vectores, sentido el que da la regla de la mano derecha y módulo el que se especifica a continuación:

El producto vectorial no posee la propiedad conmutativa, ya que se cumple que:

Además, se cumple que el producto vectorial de dos vectores paralelos es nulo. Se obtienen entonces las siguientes relaciones:

Si los vectores vienen expresados en componentes el producto vectorial se calcula desarrollando el determinante:

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Gráficas de posición vs tiempo

Considera a un objeto que se mueve en línea recta, como por ejemplo un automóvil que viaja por una autopista recta. Imagina que tomamos alguna información, tal como su posición en momentos distintos y de acuerdo a la siguiente figura:

El Punto A será el punto el que tomaremos como referencia, o como origen. La siguiente tabla ilustra los datos de posición y tiempo observados.

Observa que a medida que el tiempo transcurre el auto se mueve de una forma uniforme. Si tomamos una foto del auto cada 10 segundos de su movimiento rectilíneo y sobreponemos cada foto sobre la otra obtendríamos la imagen que ves a la derecha. Podemos incluir unos puntos rojos para marcar su posición promedio cada 10 segundos como ilustrado. Si eliminamos el auto y simplificamos nuestro modelo obtenemos la siguiente figura:

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Esto significa que podemos marcar puntos a través del transcurso del tiempo. Debemos mantener el incremento del tiempo constante para observar si hay cambios en el incremento de la posición del objeto.

Posición y desplazamiento

Debemos diferenciar entre lo que es posición y desplazamiento. La posición en Física es determinada con relación a un eje el cual es marcado en unidades de longitud en el caso del ejemplo es en metros y se extiende indefinidamente en posiciones opuestas. En la siguiente imagen vemos que le podemos dar un nombre a ese eje. Podemos llamarlo x y a la derecha tiene la dirección positivas, a la izquierda la dirección es negativa, por lo tanto en el caso del movimiento rectilíneo medimos la posición con relación al origen.

Con los datos del ejemplo anterior, hagamos una gráfica de posición versus tiempo. La gráfica tiene la siguiente forma:

¿Qué podemos decir sobre la forma en que se mueve el objeto? ¿Cómo podemos representar este movimiento mediante una ecuación matemática? ¿En cuál posición se encuentra el auto, luego de 20 segundos?

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Para aprender a calcular la pendiente puedes visitar el siguiente enlace: Pendiente

Desplazamiento

Si una partícula está en movimiento rectilíneo se puede determinar fácilmente el cambio en su posición. A medida que se mueve desde una posición inicial a una posición final. El desplazamiento define la distancia, la dirección y el sentido entre dos posiciones. El auto comienza en la línea de partida y luego llega a su destino, esto implica que la posición inicial fue diferente a la posición final por lo que hubo un cambio de posición. Este cambio de posición representa que el auto recorrió una distancia y tuvo un desplazamiento. Ese desplazamiento, depende de la cantidad de diferencia neta entre la posición inicial y final. Más adelante, en la unidad de cinemática, continuaremos analizando este concepto.

Actividad: con la siguiente grafica llene la tabla de abajo.

ramo

Forma Posición (m) Tiempo (s) Rapidez (m/s) Velocidad (m/s)

AB Lineal Horizontal

Constante en 120m, N Aumenta de 0 a 20 0, No hay movimiento

+0m/s,No hay

BC

CD

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Tramo

Forma Posición (m) Tiempo (s) Rapidez (m/s)

Velocidad (m/s)

AB

BC

CD

DE

EF

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Análisis de gráficas de posición versus tiempo.

La siguiente imagen de la derecha muestra la gráfica de posición versus tiempo del movimiento del auto que explicamos en el ejemplo de la introducción al tema de gráficas. ¿Qué podemos decir sobre la forma en que se mueve el objeto?

Veamos, por ejemplo, lo que sucede entre los puntos B y C de la gráfica. El Punto C representa la posición del objeto cuando han transcurrido 20 segundos. El Punto B representa la posición del objeto cuando habían transcurrido solo 10 segundos. Así que, el tiempo que le tomó al objeto desplazarse desde el Punto B al C fue de 20s – 10s = 10s. Por otro lado, en el Punto C el objeto se encontraba a 100 m del origen de coordenadas y en el Punto B se encontraba a 50 m. Por lo tanto, la distancia entre los puntos B y C es de 100 m – 50 m = 50 m. Así que, podemos concluir que al objeto le tomó un tiempo de 10 s desplazarse del Punto B al C y que la distancia que recorrió al hacer esto fue de 50 m.

Si haces el mismo análisis que el descrito arriba notarás que al moverse del Punto C al D, el objeto recorrerá la misma distancia, 50 m, en el mismo tiempo, 10 s. Lo mismo ocurre al desplazarse del Punto D al E y del Punto E al F y del F al G. Como la distancia y el tiempo son los mismos en todos estos casos, decimos que el objeto se mueve con una rapidez constante o uniforme. La tabla de datos muestra las cantidades consideradas en cada punto.

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Si divides la distancia que le toma al objeto entre el tiempo que le toma desplazarse en esa distancia verás algo interesante. Por ejemplo, cuando el objeto se desplaza del Punto B al C, tenemos: distancia/tiempo = 50 m/ 10 s = 5 m/s. Repite esto con las distancias y tiempos que calculamos antes:

Esto que encontraste era de esperarse ya que en todos los casos que examinamos tanto la distancia recorrida como el tiempo eran iguales. Pero, ¿qué sucede si consideramos dos puntos que no son sucesivos, como por ejemplo los Puntos B y F?

Nota que entre al desplazarse de B a F, el objeto recorre una distancia de 250 m – 50 m = 200 m y le toma un tiempo igual a 50 s – 10 s = 40 s. Si divides la distancia recorrida entre el tiempo tendrás: 200 m/40 s = 5 m/s, ¡el mismo que cuando consideraste dos puntos sucesivos! Considera cualesquiera dos puntos y verás que el resultado sigue siendo el mismo. Hemos descubierto una propiedad invariante de este objeto: su rapidez. Es decir, este objeto se mueve siempre con la misma rapidez de 5 m/s. Cada segundo que transcurre, el objeto recorre una distancia de 5 m.

Hagamos nuestro análisis con un poco más de detalle. Si te fijas en la gráfica, todos los puntos, A hasta G, se encuentran en una línea recta. Las líneas rectas se caracterizan por que tienen una cantidad que es constante: su pendiente.

Calculemos la pendiente de nuestra gráfica:

Para calcular la pendiente de la línea recta, tenemos que escoger dos puntos en la gráfica, digamos los puntos: A y C. Estos puntos tienen coordenadas (x1,y1) = (0s,0m) y (x2, y2) = (20s, 100m). Usemos la ecuación para el cálculo de la pendiente:

Nota que el resultado es 5 m/s. Es decir, ¡la pendiente de la línea es la rapidez con que se mueve el objeto!

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En resumen:

Podemos considerar que el eje de y representa la posición del objeto al norte. La pendiente de una gráfica de posición vs tiempo es la velocidad del objeto. Su velocidad es… 5m/s,N Como la pendiente es constante su velocidad es uniforme.

En esta tabla vemos el resultado al calcular la pendiente para la mayoría de los tramos presentados en la gráfica, así como, la respuesta para la forma, posición y tiempo para los tramos de la gráfica.

Ejemplo 2

Expliquemos el movimiento del objeto en la próxima gráfica:

Puedes observar que la gráfica tiene una forma lineal horizontal. Podemos describir lo que ocurre en el tramo AB. Esto es así porque la posición del objeto no cambia. A medida que el tiempo aumenta de 20 a 40 segundos

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el objeto se mantiene en una posición de 150 m. Esto quiere decir que no se mueve a través del tiempo o simplemente no hay movimiento. Otra alternativa para analizar la gráfica es que tenemos es buscar la pendiente y verás que te dará cero.

Ejercicio de práctica 1

Observa la siguiente gráfica y contesta las preguntas y llenan la tabla que aparece a continuación.

Dibuja en tu libreta y llena la siguiente tabla de acuerdo a los datos que puedes obtener de la gráfica de la izquierda.

Tramo Forma Posición (m) Tiempo (s) Rapidez (m/s) Velocidad (m/s)

AB

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BC

CD

Ejercicio de práctica 2

Dibuja en tu libreta y llena la siguiente tabla de acuerdo a los datos que puedes obtener de la gráfica de la izquierda.

Tramo Forma Posición (m) Tiempo (s) Rapidez (m/s) Velocidad (m/s)

AB

BC

CD

DE

EF

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