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1

CLCULO DIFERENCIAL GUIA UNIDAD 1

1. PREREQUISITOS:

Los temas necesarios para esta unidad son:

Sistemas de ecuaciones lineales y cuadrticas

Completacin de trinomios

GUIA DE APRENDIZAJE

Nombre de la asignatura : CLCULO DIFERENCIAL Cdigo : 5756

Unidad 1 : GEOMETRIA ANALITICA EN EL PLANO

Gua : 1/5 Tiempo estimado para desarrollo :

Autores de la Gua : ICFM Revisado por: ICFM

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Calcular la distancia entre dos puntos.

Encontrar la posicin de un punto el cual divide un segmento de lnea en una relacin

dada

Encontrar la pendiente de un segmento de recta y su inclinacin

Encontrar la ecuacin de una recta segn sus parmetros

Definir y usar la ecuacin general de una recta

Encontrar el ngulo entre 2 lneas

Hallar el punto de interseccin entre 2 lneas

Encontrar la distancia de un punto dado a una lnea

Dar ejemplos de lugares geomtricos

Reconocer e interpretar la ecuacin de un crculo en la forma estndar y mostrar su

radio y centro

Convertir la ecuacin general de un crculo a la forma estndar

Definir la parbola como un lugar geomtrico

Reconocer e interpretar la ecuacin de una parbola

Reconocer la ecuacin de una elipse en forma estndar y mostrar sus vrtices , focos,

y semiejes

Reconocer la ecuacin de una hiprbola en forma estndar y encontrar sus vrtices,

focos, semi ejes y asntotas

Determinar puntos de interseccin de curvas de segundo grado

Identificar el tipo de cnica a partir de la ecuacin general de segundo grado

2


Tipos de ngulos de acuerdo a su medida

Teorema de Pitgoras

2. MATERIAL DE APOYO :

Libro de texto: CONAMAT, Colegio Nacional de Matemticas: Geometra, Trigonometra y

geometra analtica, (Primera edicin). Pearson Educacin. Mxico, 2010.

Software matemtico (GEOGEBRA , WINPLOT)

Calculadora con CAS

3. ACTIVIDADES ESPECFICAS Una lectura compresiva de las definiciones, enunciados, y ejemplos desarrollados en clase. Elaboracin grupal de las respuestas del cuestionario, justificacin de cada etapa del

desarrollo de ejercicios. Discusin grupal sobre procedimientos, resultados. Anlisis crtico de los ejercicios desarrollados.

4. METODOLOGA DE TRABAJO

El docente durante la clase definir los conceptos necesarios para el desarrollo de la gua. Para

lo cual es imprescindible que el estudiante analice la teora con anterioridad para facilitar el

proceso enseanza-aprendizaje.

En clase los estudiantes organizan equipos de hasta 2 estudiantes (dependiendo del nmero de

estudiantes por curso) para desarrollar las actividades de la gua propuesta

El docente realiza el control de desarrollo de guas y califica en clase segn la rbrica de

evaluacin y si no termina el grupo de desarrollar completamente la gua, entonces entregar la

parte faltante al final de la clase o en la siguiente sesin.

5. ACTIVIDADES PREVIAS( EXTRACLASE)

5.1 Resolver las siguientes ecuaciones

a) 7x 5 = 4x + 7

b) xx

3

15

6

c) 0384 2 xx

5.2 Resolver el sistema de ecuaciones y verificar grficamente su punto de interseccin.

3x + 7y -3=0

y - 2x+2=0

5.3 Completar trinomios en la siguiente ecuacin de segundo grado :

+ + =

5.4 Resolver el siguiente sistema:

3


1

142 22

yx

yx

5.5 En la siguiente figura se sabe que los puntos D,O,A son colineales.(ejes sistema)

Indicar que tipo de ngulos son: , ,

5.6 La hipotenusa de un tringulo rectngulo mide 405.6 y la proyeccin de un cateto sobre ella 60m. Calcular:

a. Los catetos b y c b. La altura h relativa a la hipotenusa c. El rea del tringulo

6. REVISIN DE LOS CONCEPTOS DESARROLLADOS EN LA CLASE

6.1 ALGUNOS CUESTIONAMIENTOS PREVIOS

a. Recuerda cmo representar los nmeros en la recta numrica?

b. Sabe reducir fracciones algebraicas?

c. Recuerda la clasificacin de los ngulos y de los tringulos?

d. Cmo se aplica el Teorema de Pitgoras de tringulos rectngulos?

e. Recuerda el proceso y significado de interseccin entre rectas?

6.2 SISTEMAS DE COORDENADAS

Es el conjunto de medios con los cuales se puede fijar la posicin de un punto (en el plano

cartesiano).

El plano cartesiano tiene dos ejes perpendiculares los cuales en donde se cortan forman un ngulo

de 90, por ser perpendiculares y a su punto de interseccin se le conoce como origen del plano.

4


Los dos ejes dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes. En este plano cartesiano,

cada punto se representa por medio de una pareja de nmeros (x,y), llamada pareja ordenada.

La posicin de un punto quedar determino por las longitudes de los segmentos de rectas, que se

encuentran en el punto y son paralelas a dos rectas fijas llamadas ejes de coordenadas.

Sea el punto (x, y) sobre el plano cartesiano. La coordenada x se llama abscisa y representa la

distancia horizontal dirigida desde el origen. La coordenada y se llama ordenada y representa la

distancia vertical dirigida desde el origen.

Ejemplo 1 Fijar los siguientes puntos sobre el plano cartesiano

Puntos en el primer cuadrante: A(2, 4) B(3, 1) C(5, 3)

Puntos en el segundo cuadrante: D(3, 2) E(4, 3) F(1, 5)

Puntos en el tercer cuadrante: G(2, 4) H(5, 5) I(1, 2)

Puntos en el cuarto cuadrante: J(3, 4) K(2, 2) L(4, 4)

6.3 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

A partir del concepto de un punto como una pareja ordenada P(x, y), si se conocen las coordenadas

de dos puntos, se puede determinar la distancia entre ellos midiendo la longitud del segmento de

recta que los une. Si A tiene coordenadas (x1, y1) y B tienen coordenadas (x2, y2), entonces la

distancia entre A y B, est dada por:

5


En esta definicin, el orden en que se seleccione los puntos no influye en el valor de la distancia.

Ejemplo 2 Calcular la distancia entre los puntos: A(2, 1) y B(-3, 2)

Ejemplo 3 Clasificar el tringulo determinado por los puntos: A(4, -3), B(3, 0) y C(0, 1).

Por lo tanto es un tringulo Issceles

Por lo tanto es un tringulo?....................................coloque su respuesta

6.4 DIVISIN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZN DADA

El resultado de la comparacin de dos cantidades de la misma especie, se llama razn o relacin de dichas cantidades. Las razones o relaciones pueden ser razones por cociente o geomtricas.

La razn por cociente o geomtrica es el resultado de la comparacin de dos cantidades homogneas con el objeto de saber cuntas veces la una contiene a la otra.

Observacin: En geometra analtica las razones deben considerarse con su signo o sentido porque se trata de segmentos de recta dirigidos.

Consideramos los puntos A(X1,Y1) y B(X2, Y2) los extremos de una recta. Sea P(X, Y) el punto de divisin que se encuentra entre la recta, como se indica en la figura

Por su diferencia de segmentos se obtienen los valores de los catetos de dos tringulos rectngulos formados

2122

12 )()(),( yyxxBAd

6


El punto P(x, y) divide el segmento en la relacin PB

APr , como AB y PB tienen el mismo sentido el

valor de r ser positivo,

Si el punto P(x, y) se encuentra fuera de los extremos A y B en el sentido de AP y PB seran opuestos y el valor de r ser negativo como se indica en la figura siguiente

Considerando los tringulos semejantes formados tendremos una relacin de hipotenusas y catetos,

Despejando a X;

, ,

Factorizando

7


Por lo tanto:

Anlogamente:

Despejando Y;

, , ,

Factorizando

,

Por lo tanto:

Caso Particular:

Si el punto de divisin P(X, Y) est a la mitad del segmento AB como se indica en la figura tendremos:

Las coordenadas de P(X, Y) con el valor de r = 1 sern:

8


En este caso el punto P(X, Y) se le llaman el punto medio Pm y tendremos:

Donde:

Ejemplo 4 Hallar las coordenadas de un punto P(x, y) que dividida al segmento de la recta determinado

por los puntos A(2, 2) y B (-3, 4) en la relacin 3

1

PB

APr

Como r es positiva el punto P(x, y) se encuentra entre los extremos A y B.

Sustituyendo los valores de ambos puntos y r tendremos:

Por tanto el punto P(X, Y) tiene las coordenadas

x

y

(x,y) = (3/4,5/2)

A

B

9


6.5 ANGULO DE INCLINACIN DE UNA RECTA - PENDIENTE

La inclinacin de una recta cualquiera (que no sea paralela al eje X) es el ngulo menor que la recta forma con la direccin positiva del eje X, y se mide desde el eje X hacia la recta, en el sentido contrario a las manecillas del reloj.

La tangente del ngulo que una recta forma con la direccin positiva del eje X se denomina pendiente de la recta y generalmente se representa por la letra "m", m = tan

La pendiente de una recta o de un segmento puede considerarse como la razn avance

elevacin,

En general, la pendiente de una recta est determinada por el cambio en la distancia vertical (y2-y1), dividida entre el cambio en la distancia horizontal (x2-x1).

Entonces la pendiente m de 21PP es: 12

12

xx

yym

Si y1 = y2, su pendiente es cero. Si x1 = x2, la pendiente de la recta usualmente se denota por el smbolo

y se dice que es infinita; no es un nmero, es una forma de decir que no est definida.

Elevacin

Avance

10


6.6 ANGULO ENTRE DOS RECTAS

Sean l1 y l2 dos rectas no verticales, cuyos ngulos de inclinacin son 1 y 2 respectivamente. Al cortarse las rectas l1 y l2 forman cuatro ngulos iguales de dos en dos (fig. 10), esto es: 1 = 2 = y 1 = 2

Se define el ANGULO entrel1 y l2 como el ngulo positivo obtenido al rotar la recta l2 hacia l1. En este caso, el ngulo entre l1 y l2 viene

dado por: tan(1) =12

1+12

Fig. 10

6.6.1 Condiciones de Perpendicularidad y Paralelismo

Sean l1 y l2 dos rectas no verticales con pendientes m1 y m2 respectivamente. Entonces: i) l1 es paralela a l2 (l1 || l2) m1 = m2

ii) l1 es perpendicular a l2 (l1 l2) m1. m2 = -1

En la fig. 11 aparece ilustrada cada una de las situaciones

11


fig. 11

..

Ejemplo 5 Encontrar el ngulo formado por las rectas )2,2()5,4(),1,2()4,1( 21 yy

95.60

05.74

2

7

42

52)(

135

13

3

12

41)(

1

2

1

1

m

m

AC1 Hallar el permetro de la siguiente figura y las pendientes de los segmentos de recta que forman el cuadriltero.

Agudo

12


AC2 Graficar una recta de pendiente 10 % que pase por el origen y determine su ngulo de inclinacin

AC3 Los vrtices de un tringulo son A (-2,1), B (3,5) y C (7,0). Determinar si el tringulo es issceles y

calcular su rea aplicando la frmula de semipermetro.

Res: rea = 20,5 cm2

AC4 En el siguiente paralelogramo, cuales son las pendientes de las rectas BC, AD , la inclinacin de las

rectas AD y AB. Determinar los ngulos entre las diagonales.

Resp: 15.950 , 116,570

AC5 El extremo de un segmento de recta es el punto A(2, -4). Si la ordenada del otro extremo es 3/2 de

su abscisa, determine las coordenadas del punto, si la longitud del segmento es de 262 unidades.

13


Resp: P= (4,6) o P=(-84/13 , -126/13)

AC6 Una recta tiene un ngulo de inclinacin de 45 y pasa por los puntos A y B. Si el punto A tiene

coordenadas (3,-2) y la ordenada de B es -1, encuentre su abscisa.

Resp: 4

AC7 Hallar los puntos de triseccin y el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos

(-2, 3) y (6, -3).

Resp: Puntos de triseccin: (2/3, 1), (10/3, -1) Punto medio (2, 0)

AC8 Los vrtices de un tringulo son A(-1,3), B(3,5) y C(7,-1). Trazar las medianas y determinar el

punto de interseccin de las mismas usando la propiedad del baricentro.

Resp: Baricentro = (3, 7/3)

6.7 FORMAS DE LA ECUACIN DE UNA RECTA

6.7.1 Recta que pasa por el origen

Considere la recta l que pasa por el origen 0 y forma un ngulo de inclinacin con el eje x (fig. 12)

Fig. 12

Tmese sobre la recta los puntos P1(x1, y1),P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3). Al proyectar los puntos P1, P2 y P3 sobre el eje x, se obtienen los puntos P1, P2, P3.

Como los tringulos OP1P1, OP2P2 y OP3P3 son semejantes; se tiene que:

11

=22

=33

= = tan() =

Esto es, cualquiera que sea el punto P(x, y) sobre l,

= y = mx (1)

14


La ecuacin (1) es la ecuacin de la recta que pasa por el origen y tiene pendiente conocida m. Ejemplo 6

Escribir las ecuaciones de las rectas l, m, n, y r indicadas en la figura.

......

Para la recta l, se tiene y = (tan 30) x =3

3

Para la recta n, se tiene y = (tan 45). Es decir y = x

Igualmente, para la recta m, se tiene:

y = (tan 135) x = (-tan 45). x Esto es, y = -x

Ahora, como el punto P(1, 3) g r, se tiene que =3

1=

Luego, y = 3x es la ecuacin de la recta r.

6.7.2 Recta que pasa por un punto y de pendiente conocida

Considere la recta l que pasa por un punto dado P1(x1, y1) y cuya pendiente m tambin es conocida.

15


Al llamar b a la interseccin de la recta l con el eje y, entonces la ecuacin de l, viene dada por:

y = mx + b (1)

Como P1(x1, y1) l, entonces satisface (1) y en consecuencia se tiene:

y1 = mx1 + b (2)

fig. 13

Al restar de la ecuacin (2) la ecuacin (1) se elimina el parmetro b que se desconoce y se obtiene:

y y1 = m(x x1) (3)

La ecuacin (3) es conocida como la forma: PUNTO-PENDIENTE de la ecuacin de la recta. .

Ejemplo 7

Determine las ecuaciones de las rectas l y r que se muestran en la figura adjunta.

Para la recta l, se tiene: y 3 = ml (x + 1).

Pero ml = tan 135

= - tan 45 = -1

Luego, y 3 = - (x + 1)

x + y 2 = 0 es la ecuacin de la recta l.

Para la recta r se tiene: y 3 = mr (x + 1).

Pero, mr = tan()=3/1=3 Luego, y 3 = 3(x + 1) 3x y + 6 = 0 representa la ecuacin de la recta r.

16


AC9 Calcular:

a) Pendiente y ngulo de inclinacin de la recta AB

b) Ecuacin de la recta AB

AC10 a) Cul es la ecuacin de la recta que es perpendicular al eje de las abscisas y que se encuentra a

6 unidades a la izquierda de la ordenada? b) Cul es la ecuacin de una recta horizontal que pasa por el

punto (2,-3)?.

6.7.3 Ecuacin segmentaria o simtrica de la recta

Considere la recta l de la cual conocemos las intersecciones a y b con los ejes x e y respectivamente (fig. 14)

Como l pasa por los puntos A(a, 0) y B(0, b), entonces de acuerdo a la seccin la ecuacin de l viene dada por:

Es decir, de donde,

fig. 14

17


Dividiendo esta ltima ecuacin por b, se obtiene:

(1)

La ecuacin (1) se conoce como la ecuacin SEGMENTARIA, CANNICA O FORMA SIMETRICA de la recta. Los nmeros a y b son las medidas de los segmentos que la recta intercepta con cada eje, con su signo correspondiente, pues haciendo en (1)

y = 0, resulta x = a (Interseccin con el eje x) x = 0, resulta y = b (Interseccin con el eje y)

.. Ejemplo 8

Escribir las ecuaciones de las l,, l2 , l3 , y l4 que aparecen en la figura adjunta.

Para l1 se tiene: a = 1, b = -1

Luego,

1+

1= 1 es la ecuacin de l1, es

decir,

x y = 1

Para l2 :

1+

1= 1 , de donde x-y=-1

Para l3 :

1+

1= 1 , es decir, x + y = 1

Finalmente, para l4

1+

1= 1 de donde x + y = -1

AC11 Determinar la ecuacin de la recta que aparece en el siguiente grafico

18


6.7.4 Ecuacin general de la recta

La ecuacin Ax + By +C = 0 donde A, B, C son nmeros reales y A, B no son simultneamente nulos, se conoce como la ECUACIN GENERAL de primer grado en las variables x e y.

La ecuacin explcita de la recta cuando se conocen dos puntos excluye las rectas paralelas al eje y, cuyas ecuaciones son de la forma x = constante, pero todas las rectas del plano, sin excepcin, quedan incluidas en la ecuacin Ax + By + C = 0 que se conoce como: la ecuacin general de la lnea recta, como lo afirma el siguiente teorema: La ecuacin general de primer grado Ax + By + C = 0 (1) , A, B, C R; A y B no son simultneamente nulos, representan una lnea recta.

A0, B0 En este caso, la ecuacin (1) puede escribirse en la siguiente forma:

(4)

La ecuacin (4) representa una lnea recta, cuya pendiente es =

y cuya interseccin con el eje y viene dado por =

(fig. 15)

fig. 15

19


Ejemplo 9

Dada la recta l cuya ecuacin en su forma general viene dada por: 3x + 4y 5 = 0. Determinar:

a) La ecuacin de la recta que pasa por el punto P(1, 2) y es paralela a l.

b) La ecuacin de la recta que pasa por el punto P(1, 2) y es perpendicular a l.

Sean l1 y l2 las rectas paralela y perpendicular a l respectivamente y que pasan por el punto P(1, 2). Sean m1, m y m2 las pendientes de l1, l y l2 respectivamente.

Como l1 t l2 entonces m1 = m y puesto que m = -3/4 se sigue que m1 = -3/4. Ahora, usando la forma punto pendiente de la

ecuacin de la recta, se tiene para l1: 2 =3

4( 1)

y simplificndola se puede escribir en la forma general: 3x + 4y 11 = 0

b) Como l2 u l1, entonces m2 = -1/m y como m = -3/4, se sigue que m2 = 4/3.

Usando nuevamente la forma punto pendiente se tiene para l2: 2 =4

3( 1)

y simplificando se puede escribir en la forma general: 4x 3y + 2 = 0 3x + 4y 11 = 0

6.8 COORDENADAS DEL PUNTO DE INTERSECCIN DE DOS RECTAS

Las coordenadas x e y del punto de interseccin son la solucin del sistema de dos ecuaciones con dos

incgnitas:

Dicho sistema puede resolverse por cualquiera de los mtodos de lgebra.

6.9 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

20


Calcular la distancia del punto P(x1, y1) a una recta l.

La distancia del punto P(x1, y1) a la recta Ax + By + C = 0, B > 0, viene dada

por:

donde el signo de d indica que el punto P(x1, y1) est por encima o por debajo de la recta l.

En muchas ocasiones no interesa conocer la posicin del punto y la recta, sino simplemente la distancia positiva entre ellas. En este caso, la distancia del punto a la recta se expresa por medio de la frmula:

Ejemplo 10

a) Encontrar la ecuacin de la recta que contiene el punto P (17, 12) y es perpendicular a la recta de ecuacin 5x + 12y 60 = 0.

b) Encontrar el punto de interseccin de las rectas perpendiculares del literal a).

c) Encontrar la distancia del punto de interseccin obtenido en b) y el punto P dado en a).

a) Como la pendiente de la recta de ecuacin 5x + 12y 60 = 0 es m=-5/12 entonces, si m1 denota la pendiente de la perpendicular se sigue que m1=12/5.

21


As que de la recta que se busca, se conoce su pendiente y el punto P (17, 12). En

consecuencia, la ecuacin de dicha recta viene dada por: 12 =12

5( 17)

12x 5y 144 = 0 es la ecuacin general de la recta pedida. b) Para encontrar el punto de interseccin, entre las rectas, se resuelve simultneamente el sistema:

5x + 12y 60 = 0 (1)

12x 5y 144 = 0 (2)

Para ello, se multiplica por 5 la ecuacin (1) y se le suma la ecuacin (2) multiplicada por 12. As: 25x + 60y 300 = 0

144x 60y 1728 = 0

169x 2028 = 0 de donde x = 12 es la abscisa del punto de interseccin.

Reemplazando el valor de x as obtenido en cualquiera de las ecuaciones (1) (2) se obtiene y = 0 como la ordenada del punto de interseccin entre las rectas. Es decir

PI(12, 0) es el punto de interseccin pedido.

En la figura se ilustra la situacin planteada en los literales a) y b).

c) Usando la frmula de la distancia entre dos puntos, se obtiene:

Otra forma de obtener la distancia entre los puntos P y PI es usando la frmula de la distancia del punto P(17, 12) a la recta de ecuacin:

5x + 12y 60 = 0.

En efecto,

22


..

AC12 Demostrar que los puntos A (-5,2), B (1, 4) y C (4, 5) son colineales, hallando la ecuacin de la recta

que pasa por dos de estos puntos.

AC13Determinar la ecuacin de la recta si pasa por la interseccin de las rectas, 2x + y 5 = 0, 3x - 4y

2 = 0, y es paralela a la recta que pasa por los puntos (-1, 1) y (3, 6).

AC14 Hallar la ecuacin de la mediatriz del segmento A (-3,7), B (1,6). Esta recta pasa por el punto C.

Por qu? Demostrar analticamente.

23


AC15 Un barco navega con una trayectoria representada por la ecuacin: 7x-3y-1=0, sabiendo que un

faro se localiza en la posicin (-9,-15) Cul ser la distancia ms cercana entre el faro y el barco?

AC16 Dado el tringulo de vrtices: A (-2, 1), B(4,7) y C(6, -3). Determinar:

a) La ecuacin de la altura con respecto al lado AB

b) La ecuacin de la mediana del lado BC

c) El rea del tringulo

AC17 A presin en el interior de un recipiente con vaco parcial se mide con un manmetro de extremo

abierto. Este aparato mide la diferencia entre presin de recipiente y la presin atmosfrica. Se sabe que

1 diferencia de Omm de mercurio corresponde a una presin de 1 atmsfera, y que si la presin dentro

del recipiente se redujera a 0 atmsferas se observara una diferencia de 760mm de mercurio,

suponiendo que la diferencia D en mm de mercurio, y la presin P, en atmsferas, se relacionan mediante

una funcin lineal, determina esa funcin.

6.10 LA CIRCUNFERENCIA

Definicin como lugar geomtrico: Es el conjunto de puntos P(x. y) , tales que su distancia a un punto

fijo llamado centro es siempre igual a una constante llamada radio.

Ejemplo 11 Encontrar la ecuacin en forma general con centro.

2,7

2,1

2,3

3,6a

4r 2,3

d

c

b

0346

0169446

164496

1623

423

4,

22

22

22

22

222

yxyx

yyxx

yyxx

yx

yx

cpd

Nota: se exige siempre

-centro

-radio

Formula: 222 rkyhx Formula General: 022 cbyaxyx

Ecuacin-Grafica

Graficar la ecuacin 06518622 yxyx

24


1) Agrupamos trminos y pasamos el trmino independiente al otro lado

2) Completamos trinomios y lo que sumemos (para completar), lo sumamos tambin del otro lado

3) Se pasa a la forma 222 rkyhx

5r 25 3,-9-

2593

81965811896

22

22

c

yx

yyxx

Ejemplo 12 Encontrar las ecuaciones de las siguientes circunferencias:

a) Centro C (4,-2) y P (3,3)

0648

02644168

2624

26

1254323

22

22

22

22

yyxx

yyxx

yx

r

r

b) C (0,-2) y tangente a la recta 02125 yx

04

420

213

26

169

224

14425

2121205

22

22

yyx

yx

c) Radio 2 y es tangente a x = 2 y a y = -1 est en el primer cuadrante.

(4,1)

1y 1

12

10

11(y)0(x)2

422 x1

22

01

2)(0)(12

22

22

y

x

yx

01328

0412168

414

22

22

22

yxyx

yyxx

yx

d) Una mezquita tiene una entrada de cerradura formada x un rectngulo rematada x un circulo.

Deducir una ecuacin de crculo que tenga esa posicin respecto a los ejes.

25


2

3,0:

5.1

25.2

425.6

25.2

2

222

c

y

y

y

y

043

04

25

4

93

4

25

4

93

2

5

2

30

22

22

22

22

2

yyx

yyx

yyx

yx

AC18 Graficar el lugar geomtrico definido por cada una de las ecuaciones

a. + + =

b. + + =

AC19 Determinar la ecuacin de la circunferencia que contiene los puntos (0,6) (1,5) y cuyo centro

se encuentra sobre la recta definida por la ecuacin + = 1

Resp. ( + 3)2 + ( + 1)2 = 25

AC20 Determine la ecuacin general de la circunferencia tangente a la recta definida por la ecuacin

+ = y cuyo centro es el punto de coordenadas (, )

Resp. 132 + 132 + 26 + 52 16 = 0

AC21 Decir la posicin relativa de la recta y = 3 2x (tangente, secante, exterior) respecto a las

circunferencias dadas. Verificar en forma grfica y emita sus comentarios comparando la solucin grfica

y analtica.

x2 + y2 2x + 3y + 2 = 0

x2 + y2 3x + 4y 3 = 0

2x2 +2 y2 + 3x + 5y 5 = 0

AC22 Hallar la ecuacin de la tangente a la circunferencia + + = en el punto

(, )

Resp. 5 + 4 40 = 0

6.11 LA PARBOLA

Definicin como lugar geomtrico: La parbola se define como el conjunto de puntos P(x,y) tales que su

distancia a un punto fijo, llamado foco, es la misma que su distancia a una recta fija llamada directriz.

Ejemplo 13 Construir las grafica de la siguiente parbola: Foco F= (5,7) Directriz x=-1, x+1=0

26


Ecuacin de la Parbola

Dados el vrtice de coordenadas V= (h, k) y la distancia vrtice foco FV= c. La ecuacin de la parbola

se obtiene: Conociendo el vrtice y el LR

02048

521

521

01

501121

2

222

22

22

22

22

YXY

XYX

XYX

YXYX

27


02262

21612

21612

2761

2

7,1

4

2

2

2

2

2

yxx

yxx

yxx

yx

V

kyphx

Ejemplo 14 Graficar la ecuacin:

2

84

1,4

184

884

16248168

2488

02488

2

2

2

2

2

p

pLR

V

yx

yx

yxx

yxx

xyx

Ejemplo 15

4

3

12

9

129

03403

4

2

2

p

p

p

hxpky

Ejemplo 16 Un faro (o baliza) emplea un reflector parablico de 1m de dimetro Qu profundidad

debe tener para que la fuente luminosa se coloque a de distancia entre el vrtice y el plano de la

orilla o borde?

28


3536.0176.02

176.032

1

32

1

84

1

02402

1

4

2

2

2

2

dprofundida

mp

p

p

pp

hxpky

AC23 Graficar el lugar geomtrico definido por la ecuacin e indicar todos los elementos.

+ + =

+ =

AC24 Un punto (, ) se mueve de manera que su distancia al punto A(3,-1) es siempre igual a su

distancia a la recta + = Determinar la ecuacin del lugar geomtrico

Resp. 2 16 = 0

AC25 Determinar la ecuacin de la parbola cuyo eje es paralelo al eje X y pasa por los puntos A(19, 2),

B(10, -1) y C(7, 0). (Algebra lineal)

Resp. 3y2 x +7=0

AC26 Dos torres de 24 metros de altura sostienen un puente colgante, como el que se muestra en la

figura. Si las torres estn separadas 36 metros y el puntal ms corto mide 6 metros. Cul es la altura de

un puntal que se encuentra a 6 metros del centro?

29


Resp. 8m AC27 Encuentra los puntos de interseccin de la parbola y2 8y 16x + 64 = 0 con la recta 4x + y

24=0, grafique la regin que se encuentra entre estas dos grficas.

Resp. (4, 8) y (7, -4)

6.12 ELIPSE

Definicin como lugar geomtrico: Es el conjunto de puntos P(x, y) tales que la suma de sus distancias a

2 puntos fijos llamados focos es siempre igual a una constante llamada 2a.

a = Distancia del vrtice al centro

c = Distancia del centro al foco

b = Distancia del centro a B1

2a= distancia de V1 a V2

222 cba

30


a

bLRlado

a

ce

adExentricid

cba

CFc

CBb

VCa

C

Eje

2

222

1

1

2 recto

1

kh,

2bmenor Eje

2amayor

1

2

2

2

2

b

ky

a

hx

Ejemplo 17 Determinar la ecuacin de la elipse que tiene:

62ay

6,4F 2,4Fen cos 21

Fo

5

549

49

)7,4(

)1,4(

3

2

4,4

2

2

222

2

1

b

b

b

cba

V

V

a

c

C

0179407259

04580405144729

04516851689

454549

19

4

5

4

22

22

22

22

22

yxyx

yyxx

yyxx

yx

yx

Ejemplo 18 Graficar la ecuacin:

31


1

4

1

9

4-x 1

9

36

1

4

36

4

361944

964371291684

37189324

037183294

2222

22

22

22

22

yyx

yx

yyxx

yyxx

yxyx

4,1 3

5

3

8

3

)4(22

5c 5

c4a

Horizontal Elipse

2b 4b

3a 9

2

2

2

2

2

Ce

LR

a

bLR

c

a

3512 acVF

4,3 21,4

7,1 1.34V 1,54

1

11

B

F

4,-1 21,4

1,1 1.34V 1,54

2

22

B

F

Ejemplo 19 Encontrar la ecuacin de la elipse, coordenadas focos y excentricidad.

dmin =91 446 000 millas

dmx=94 560 000 millas

2a=dmin + dmax =186 006 000

a= 93 003 000

c= a dmin = 1 557 000

e= 155700/93003000=0.0167

2965,989,922

1557000000 003 95b 22222

b

cab

32


6.13 LA HIPRBOLA

Es el conjunto de puntos P(x, y) tales que la diferencia de sus distancias a 2 puntos fijos llamados focos

es siempre igual a una constante llamada 2a

aPFPF

aa

ce

bac

CFc

CBb

CVa

C

ejeB

ejeVV

2

2bLR 1

Vy V o Fy F entre medio punto

conjugado B

o transvers

21

2

222

2121

21

21

Ejemplo 20 Construir la siguientes hiprbola, encontrar todos sus elementos y determinar su ecuacin

en forma general

23.25b 5b 49b

3c 2a 0,0

42ay 0,3 ,0,3

22

21

C

FF

02045

36244416249

96243

049623

01296816

9681696

96496

49696

9603

9603

22

222

222

22

22

2222

222

22

2222

2222

2

2222

1

yx

xyxxx

xyxx

xyxx

xxyx

xyxxyx

xyxxyx

xyxxyx

yxxyxPF

yxxyxPF

Frmula general

33


CBCVCFc

aba

C

b

hx

a

b

ky

a

hx

b a

1a

ce

2bLR c

conjugado eje2b o, transverseje2a kh,

tical ver1k-y

horizontal 1

2222

2

2

2

2

2

2

2

2

Ejemplo 21 Graficar y determinar la ecuacin en forma general de las siguientes hiprbolas.

4 o transverseje )3,1(y )3,7( Focos

)3,4(

5

2

3

23.25b

2a

3

C

LR

e

c

Ejemplo22 Graficar 011385449 22 yxyx

3

8LR 6.313c 2b 3a

2.13

13e (3,1)

)1,1(B

)1,5(B verticaliperbola 1

4

)3(

9

)1(

)131,3(F 42b conjug Eje 19

)1(

4

)3(

)2,3(V 62a transEje 36)1(4)3(9

)4,3(V 481113)12(4)96(9

11384549

2

122

1,2

22

2

22

1

22

22

C

Hxy

yx

yx

yyxx

yyxx

0 ) 24 24 40 4 5x

0 20 36 24 4 80 40 5x

20 ) 9 6 ( 4 ) 16 8 5(x

1 5

) 3 (

4

) 4 (

1 ) ( ) (

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

2

2

y x y

y y x

y y x

y x

b

k y

a

h x

34


6.13.1 Asntotas de una hiprbola

Ecuaciones de las asntotas de la hiprbola horizontal.

0h-xb

0h-xb

kya

hxa

bky

kya

Ecuaciones de las asntotas de la hiprbola vertical.

0k-yb

0k-yb

hxa

hxb

aky

hxa

Ejemplo 23 Ecuacin de asntotas de las hiprbolas.

3b 62

055405449x 19

5

4

3-x

2a 42a

6conjugado eje

absisas a paralelo 4o transverseje 3,5

22

22

b

yxyy

C

0123

01923

01029310293

052335233

0543922

yx

yx

yxyx

yxyx

yx

01923

93102

0123

93102

32

35

yx

xy

yx

xy

xy

Ejemplo 24 Un cometa sigue una recta hiperblica al pasar cerca del sol y alcanza su punto ms

cercano a este astro, en el vrtice a 43 millones de millas de l.

Cuando la recta que une al sol c/n el cometa es al eje transverso de la hiprbola, el cometa est a 137

millones de millas del sol Haya una ecuacin de la rbita del cometa, si el eje x se coloca en el eje

transversal y el origen en el centro Dnde est el sol?

35


184951

137184986

13743

43

43

13742

0,0

22

22

a

aaaa

aaa

ac

ac

LR

C

25.79

4325.36

4.70

9.4966

25.36

137b 137

2

22

c

c

b

b

a

aa

b

0635040012964900

149001296

22

22

yx

yx

AC28 Determina si las siguientes ecuaciones representan una cnica (parbola, elipse o hiprbola), un

punto (coordenadas), 2 rectas (paralelas o concurrentes). En cada caso justifique su resultado.

4x + 5y + 8x - 10y + 9 = 0

9x2 + 4y2 16y = 20

x2 6x 12y 15 = 0

x2 y2 + 2x 2y = 0

y 5y +6 = 0

y2 + 2y 4x2 3 = 0

y2 + 4x 4y 20 = 0

42 32 + 8 + 30 83 = 0

AC29 Determinar y graficar la ecuacin de la cnica 92 + 2 54 + 4 + 49 = 0

AC30 Se sabe que el punto A es el vrtice de una parbola, C es el centro de una circunferencia y los puntos B y D son las intersecciones de las 2 curvas:

a) Hallar las ecuaciones de las curvas y graficar b) Verificar analticamente los puntos de interseccin c) El punto E pertenece a la circunferencia? d) El punto F pertenece a la circunferencia? e) Sombrear la regin comn menor a las 2 curvas

36


7. OBSERVACIONES ESPECIALES

Revise los conceptos vistos en clase, que estn relacionados con esta gua. Desarrollar todos los ejercicios propuestos en esta gua y los recomendados por el

docente. Utilice software matemtico para ayuda con las grficas de algunos ejercicios.

Ante cualquier duda, pregunte a su profesor.

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