1. Vctor Arrieche 17.784.798 SAIA A 2. Operaciones Veritativas: Los Conectivos u Operadores Lgicos son smbolos oconectivos que nos permiten construir otras proposiciones; osimplemente unir dos o ms proposiciones, a partir deproposiciones dadas. Se le llama conectivos lgicos a losconectivos: y; o; oo; si,.. Entonces; s y slo si; no ;Ejemplo: p: Marte es un planeta ; q: el sol es una estrella.1)Marte es un planeta y el sol es una estrella.2)O Marte es un planeta o el sol es una estrella.3)Marte es una estrella s y slo si el sol es una estrella. 3. NOTA IMPORTANTE: Cuando una proposicin no contieneconectivos lgicos diremos que es una proposicin atmica osimple; y en el caso contrario, diremos que es una proposicinmolecular o compuesta.Proposicin atmica o simple:1) Marte es un planeta2) El sol es una estrellaproposicin molecular o compuesta:1)Marte es un planeta y el sol es una estrella.2)O Marte es un planeta o el sol es una estrella.3)Marte es una estrella s y slo si el sol es una estrella. 4. TABLA SIMBOLICA 5. La negacin Sea p una proposicin, la negacin de p es otra proposicin identificada por: ~ p, que se lee "no p", "no es cierto que p", "es falso que p", y cuyo valor lgico est dado por la siguiente tabla de verdad.Ejemplo: p: Barcelona es un estado Oriental.~ p: Es falso que Barcelona es un estado Oriental.~ p: No es cierto que Barcelona sea un estado Oriental.~ p: Barcelona no es un estado Oriental. 6. La conjuncin Sean p y q dos proposiciones. La conjuncin de p y q es la proposicin p ^ q, que se lee "p y q", y cuyo valor lgico est dado con la tabla o igualdad siguiente:Ejemplo:p: el negro primero peleo en Carabobo.q: Bolvar muri en Colombia.p ^ q: El Negro Primero pele en Carabobo y Bolvar muri enColombia.Adems, VL(p ^ q) = 1, ya que VL(p)= 1 y VL(q)= 1. 7. La disyuncin inclusiva Sean p y q dos proposiciones. La disyuncin de p y q es la proposicin p v q, que se lee "p o q", y cuyo valor lgico est dado por la tabla siguiente:Ejemplo:p: La estatua de la Divina Pastora est en Barquisimetoq: La estatua de Miranda est en Caracas.p v q: La estatua de la Divina Pastora est en Barquisimeto o Laestatua de Miranda est en Caracas.VL(pvq)=1, ya que VL(p)=1 y VL(q) = 0. 8. La disyuncin exclusiva Sean p y q dos proposiciones. La disyuncin exclusiva de p y q es la proposicin pvq, que se lee "o p o q", y cuyo valor lgico est dado por la tabla.Ejemplo: p: 17 es un nmero primo; q: 17 es un nmero parp v q: 17 es un nmero primo 17 es un nmero par.VL(p v q) = 1, ya que VL(p) = 1 y VL(q) = 0. 9. El condicional Sean p y q dos proposiciones. El condicional conantecedente p y consecuente q es la proposicin p q, que selee "si p, entonces q", y cuyo valor lgico est dado por lasiguiente tabla:Ejemplo:Observe las proposiciones condicionales siguientes:1. Si 5 es primo, entonces 2 + 1 = 3 (Verdadera).2. Si 5 es primo, entonces 2 + 1 = 4 (Falsa). 10. Condicionales Asociados Dado un condicional pq podemos asociarles lossiguientes condicionales:1. Directo: p q2. Recproco: q p3. Contrarrecproco: ~ q ~ p4. Contrario: ~ p ~ q 11. Ejemplo Escribir el recproco, contrarrecproco y contrario delsiguiente condicional: Si 5 es primo entonces 7 es impar.Solucin* Recproco: Si 7 es impar entonces 5 es primo.* Contrario: Si 5 no es primo entonces 7 no es impar.* Contrarrecproco: Si 7 no es impar entonces 5 no es primo. 12. El BicondicionalSean p y q dos proposiciones. Se llama Bicondicionalde p y q a la proposicin pq, que se lee "p si slo si q", o "pes condicin necesaria y suficiente para q", y cuyo valor lgicoes dado por la siguiente tabla.La tabla nos dice que pq es verdadero cuando VL(p) = VL(q),y esa falsa cuando VL(p) VL(q)Ejemplo: p: 2 + 1 = 3 ; q: 2< 3 pq : 2 + 1 = 3 si y slo si 2< 3 13. Formas Proposicionales A las nuevas expresiones que se obtienen al aplicar losconectivos lgicos a las variables proposicionalesp, q, r, s, t, entre otros., se les llaman formasproposicionales, por ejemplo: t (q ^ ~ r) ~ [(p s)^ (rq)] son formas proposicionales y podemos decir, para ser mspreciso que las variables proposicionales tambin son formasproposicionales. 14. Tablas de Verdad de las Formas ProposicionalesLas tablas de verdad permiten determinar el valor de verdadde una proposicin compuesta y depende de las proposicionessimples y de los operadores que contengan.Las posibilidades de combinar valores de verdad dependen delnmero de proposiciones dadas.Para una proposicin (n = 1), tenemos 21 = 2 combinacionesPara dos proposiciones (n = 2), tenemos 22 = 4 combinacionesPara tres proposiciones (n = 3), tenemos 2 3 = 8 combinacionesPara n proposiciones tenemos 2n combinaciones 15. Tautologas y ContradiccionesProposicin Tautolgica o Tautologa Es aquella proposicin molecular que es verdadera (esdecir, todos los valores en su conectivo principal de su tabla deverdad son (1) independientemente de los valores de sus variables.Ejemplo:Probar que P v ~ P es una tautologa P v ~P1 1 00 1 1 16. ContradiccinEs aquella proposicin molecular que siempre es falsa (es decircuando los valores de su conectivo principal son todos 0)independientemente de los valores de sus variables proposicionales que laforman.Por ejemplo, la proposicin molecular del ejemplo siguiente es unacontradiccin, p ^ ~ p, para chequearlo recurrimos al mtodo de las tablasde verdad.Ejemplo: Probar que p ^ ~ p es una contradiccinp~p 100 001 17. Leyes del Algebra de ProposicionesLeyes Idempotentes1.1. p ^ p =p1.2. p v p = p2.Leyes Asociativas2.1. (P v q) v r =p v (q v r)2.2. (P ^ q) ^r = p ^(q ^ r)3. Leyes Conmutativas3.1. P ^q = q ^p3.2. P v q = q v p4. Leyes Distributivas4.1. P v ( q ^ r ) = ( p v q ) ^ (p v r)4.2. P ^ ( q v r ) = ( p ^q ) v (p ^ r)5. Leyes de Identidad5.1. P v F =P5.2. P ^ F = F5.3. P v V = V5.4. P ^ V =P 18. 6. Leyes de Complementacin6.1. P v ~ P = V (tercio excluido)6.2. P ^ ~ P = F (contradiccin)6.3. ~ ~ P = P (doble negacin)6.4. ~ V = F, ~ F = VOtras Equivalencias Notablesa. p q = ~ p v q (Ley del condicional)b. p q = (p q) ^ (q p) (Ley del bicondicional)c. p v q = ( p ^ ~ q ) v ( q ^ ~ p ) (Ley de disyuncin exclusiva)d. p q = ~ q ~ p (Ley del contrarrecproco)e. p^q=~(~pv~q)f. (p v q ) r ) = ( p r ) ^ (q r ) (Ley de demostracin por casos)g. g. (p q) = (p ^ ~ q F) (Ley de reduccin al absurdo) 19. IMPORTANTE Una de las grandes utilidades de las leyes dadasanteriormente es que nos permiten simplificar proposiciones.El procedimiento de probar que una proposicin esequivalente a otra usando las leyes del lgebraproposicional, es llamada prueba deductiva. 20. EjemploProbar deductivamente la ley de exportacin( p ^ q ) r ) = ( p (q r )Solucin( p ^ q ) r = ~ ( p ^ q ) v r ( Ley condicional )= (~ p v ~ q) v r ( Ley de De Morgan)= ~ p v (~ q v r ) ( Ley asociativa )= ~ p v (q r) ( Ley condicional)= p (q r) ( Ley condicional) 21. Circuitos LgicosLos circuitos lgicos o redes de conmutacin lospodemos identificar con una forma proposicional. Esdecir, dada una forma proposicional, podemos asociarle uncircuito; o dado un circuito podemos asociarle la formaproposicional correspondiente. Adems, usando las leyesdel lgebra proposicional podemos simplificar los circuitosen otros ms sencillos, pero que cumplen la misma funcinque el original. 22. Veamos los siguientes interruptores en conexin:La conexin en serie: p^qLa conexin en paralelo:pvq 23. EjemploConstruir el circuito correspondiente a la siguienteexpresin: (p ^ q) v [( p ^ r) v ~ s)]Solucin: 24. Ejemplo: Simplificar el siguiente circuito:(p v q)^ (~ p v q)^ (~ p v ~ q) = [(p v q)^ (~ p v q)] ^ (~ p v ~ q)= [(p ^ ~ p) v q] ^ (~ p v ~ q)= [F v q] ^ (~ p v ~ q)= q ^ (~ p v ~ q)= ( q ^ ~ p) v (q ^ ~ q)= ( q ^ ~ p) v F= ( q ^ ~ p) ; esto es equivalente a: