unidade 05 valor do dinheiro no tempo carlos alexandre
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Unidade 05
Valor do Dinheiro no Tempo
CARLOS ALEXANDRE
Valor do dinheiro no tempo: O dinheiro perde o valor com o tempo.
Todo capital parado e não investido, ou que não está sendo remunerado, perde o que poderia estar recebendo sob a forma de juros, o que configura uma medida de custo de oportunidade perdido.
JURO é a remuneração do capital empregado.
Para o INVESTIDOR: é a remuneração do investimento
Para o TOMADOR: é o custo do capital obtido por empréstimo
TAXA DE JUROS: é o índice que determina a remuneração de um capital num determinado período de tempo (dias, meses, anos, etc.)
Esse período é representado pela letra “n” ou “t”.
Taxa percentual: 34% ao mêsTaxa unitária: 0,34 ao mês
Regime de Juros
Existem dois regimes de juros:A) simplesB) compostos
Conceito:É aquele em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial; não incide, pois sobre os juros acumulados.
O valor dos juros é obtido da expressão:J = P x i x n
J = valor dos juros produzidos pelo capital P à taxa de juros i em n períodos. P = valor do capital inicial ou principali = taxa de remuneração do capital inicialn = número de períodos
JUROS SIMPLES
JUROS SIMPLES
1- Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$10.000,00, pelo prazo de 5 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3% a.m?
J = R$10.000,00 x 0,03 x 5 = R$1.500,00
J = P x i x n P = 10.000i = 3% = 0.03n = 5
JUROS SIMPLES
2 – Qual o capital que, à taxa de 4% a .m, rende juros de R$9.000,00 em um ano?
J = P x i x n P = J / ( i x n)
9.000 enter0,04 enter12 x /
P = R$9.000,00 / ( 0,04 x 12 ) = R$ 18.750,00
JUROS SIMPLES
3- Sabendo-se que os juros de R$6.000 foram obtidos com a aplicação R$7.500, à taxa de 8% a.m, pede-se que se calcule o prazo.
6.000 enter7.500 enter0,08 x /6.000 = 7.500 x 0,08 x nn = 10 meses
J = P x i x n J= 6.000P = 7.500 i = 0.08n = ?
JUROS SIMPLES
4 – Um empréstimo de R$23.000 é liquidado por R$29.200 no final 152 dias. Calcular a taxa de juros.
6.200 enter23.000 enter152 x /6.200 = 23.000 x i x 152i = 0,1773%
J = P x i x n J= 29.200 – 23.000 = 6.200P = 23.000 n = 152 i = ?
JUROS COMPOSTOS
No regime de juros compostos, os juros obtidos a cada novo período são incorporados ao capital, formando um montante que passará a participar da geração de juros no período seguinte, e assim sucessivamente. Dessa forma, não apenas o capital inicial rende juros, mas eles são devidos a cada período de forma cumulativa. Daí serem chamados juros capitalizados.
Calculadoras FinanceirasCalculadoras Financeiras
Teclas financeiras:Teclas financeiras:
nn = número de períodos= número de períodosPVPV = Present Value (Valor Presente)= Present Value (Valor Presente)FV = Future Value (Valor FuturoFV = Future Value (Valor Futuro))i = Taxa de juros expressa em porcentagemi = Taxa de juros expressa em porcentagemCHS = Inclui o sinal do fluxo de caixaCHS = Inclui o sinal do fluxo de caixa
Equação geral:FV = PV x ( 1 + i )n
VF – valor futuroVP – valor principal ou valor presente i – taxa n – número de períodos
JUROS COMPOSTOS
1 – Jane colocou R$ 800,00 em uma caderneta de poupança que paga 6% de juros compostos anualmente. Ela deseja determinar quanto dinheiro terá em sua conta no final de cinco anos.
VF = R$800,00 x ( 1 + 0,06 )5 VF =R$ 1.070,58 ou
PV = 800i = 6n = 5FV = ?
2 – Em que prazo um empréstimo de R$30.000,00 pode ser quitado em um único pagamento de R$ 51.310,18, sabendo-se que a taxa contratada é de 5% ao mês?
VF = VP x ( 1+ i )n
R$51.310,18 = R$30.000,00 x ( 1 + 0,05 )n(1,05) n = 51.310,18 / 30.000,00(1,05) n = 1,71034n x log 1,05 = log 1,71034n = log 1,71034 / log 1,05N = 0,53669 / 0,04879 = 11 meses
3 – Paulo deseja encontrar o valor presente de um montante futuro de R$ 1.700,00 que será recebido em oito anos a partir de hoje. O custo de oportunidade de Paulo é 8% a.a.
VP = VF / ( 1+ i ) n
VP = R$1.700,00 / ( 1+0,08)8
VP= 918,46
4 – A Loja Topa Tudo financia o valor de R$16.000,00 para pagamento em única prestação de R$22.753,61 no final de 8 meses. Qual a taxa mensal?
VF = VP x ( 1+ i ) n
22.753,61 = 16.000 x ( 1 + k )8
i = 4,5%
5 - Qual principal que deve ser aplicado hoje (valor presente), para se ter acumulado um total de R$1.000,00 daqui a 12 meses, no regime de juros compostos, a uma taxa de 3% ao mês?
VF = VP x ( 1+ i ) n
1.000 = VP x ( 1 + 0,03 ) 12
VP = 701,38
Quando a unidade de tempo for menor que a a taxa de juros o juros simples dá resultado maior
100.000 a uma taxa de 10% a.m durante 15 dias
Juros Simples:
J = P x i x n
J = 100.000 x 0,10 x 0,5
J = 105.000
Juros Compostos
FV = PV x ( 1 + i )n
FV = 100.000 (1 + 0,10) 0.5
FV = 104.880
Quando a unidade de tempo for maior que a a taxa de juros o juros simples dá resultado menor
100.000 a uma taxa de 10% a.m durante 60 dias
Juros Simples:
J = P x i x n
J = 100.000 x 0,10 x 2
J = 120.000
Juros Compostos
FV = PV x ( 1 + i )n
FV = 100.000 (1 + 0,10) 2
FV = 121.000
O maior cuidado que se deve ter ao se resolver problemas de matemática financeira é garantir que a taxa aplicada está na mesma unidade de tempo dos prazos da operação.
Entretanto, nem sempre os dados se apresentam assim, podendo ocorrer, por exemplo, que a taxa seja dada em anos (20% a.a.) enquanto a aplicação ocorra em meses (4 meses).
Assim, torna-se necessário converter a taxa dada à mesma unidade de tempo do prazo da operação que deseja calcular.
Juros Simples e Taxas Proporcionais
Ë uma taxa caracteristicamente de juros simples, formada de modo proporcional. A taxa proporcional (linear) é determinada pela relação simples entre a taxa de juros considerada na operação e o número de vezes em que ocorrem juros,
Exemplo:
24 % ao ano é proporcional a 2 % a.m ( 24/12 meses)
2,4 % a.m é proporcional a 28,8 % a.a (2,4 x 12)
5,0 % a.t é proporcional a 20 % a.a
Juros Compostos e Taxas Equivalentes
Pelo critério de juros simples a taxa equivalente é a própria taxa proporcional.
A importância da taxa equivalente volta-se para as operações que referenciam suas taxas em juros compostos.
Juros Compostos e Taxas Equivalentes
São taxas referentes a períodos distintos de capitalização que produzem o mesmo montante no final de determinado tempo para um mesmo capital inicial;
Taxas Equivalentes LOGO:
iq = ( 1 + it)q/t - 1
Para efeito de memorização denominamos as variáveis como segue:
iq – taxa para o prazo que eu queroit – taxa para o prazo que tenho q – prazo que eu quero t – prazo que eu tenho
Exemplo Numérico
Determinar a mensal equivalente a 60,103% a.a.:
iq=(1+0,60103)1/12 - 1 = (1,60103)1/12 – 1= 4% a.m.
iq = ( 1 + it)q/t - 1
Exemplo Numérico
iq = ( 1 + it)q/t - 1
2 – Determinar a taxa trimestral equivalente a 18 % a.a
iq=(1+0,18)3/12 - 1 = (1,18)3/12 – 1 = 4,2% a.t.
TAXA DE JUROS NOMINAL
É uma taxa referente a um período que não coincide com o período de capitalização de juros. A taxa nominal não corresponde, de fato, ao ganho/custo financeiro do negócio. Geralmente, tem periodicidade anual e aparece em contratos financeiros.
TAXA DE JUROS NOMINAL
Lembre-se, na taxa nominal emprega-se uma unidade de tempo que não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização!
Exemplo: 35% ao ano, com capitalização mensal;16% ao ano, com capitalização semestral;8 % ao mês, com capitalização diária.
TAXA DE JUROS EFETIVA
Veja bem: A taxa nominal é muito utilizada no mercado, quando da formalização dos negócios. Não é, porém, utilizada diretamente nos cálculos, por não corresponder, de fato, ao ganho / custo financeiro do negócio.
A taxa que representa o efetivo ganho / custo financeiro do negócio é a TAXA EFETIVA.
TAXA DE JUROS EFETIVA
É a que corresponde, de fato, ao ganho/custo financeiro do negócio. Toda taxa, cuja unidade de tempo coincide com o período de capitalização dos juros, é uma taxa efetiva.
Exemplo:40% ao ano, com capitalização anual;18% ao semestre, com capitalização semestral;4% ao mês, com capitalização mensal.
Como se obtém a taxa efetiva para o período de capitalização de juros?
a) A partir de uma taxa nominal Neste caso, você aplica o conceito de taxas proporcionais
(juros simples):
TAXA NOMINAL X TAXA EFETIVA
Ie = i n kOnde: i e = taxa efetiva para o período de
capitalização i n = taxa nominalk = número de capitalizações contidas
no período da taxa nominal
TAXA NOMINAL X TAXA EFETIVA
Exemplo: 36% ao ano, com capitalização mensal:(1 ano = 12 meses) k = 12Ie = i n = 36 = 3 % ao mês
k 12
TAXA NOMINAL X TAXA EFETIVA
b) Obtenção da taxa efetiva a partir de outra taxa efetiva, cuja unidade de tempo é diferente do período de capitalização dos juros.
Aqui se aplica o conceito de taxas equivalentes (juros compostos).
TAXA NOMINAL X TAXA EFETIVA
Exemplo: A partir da taxa nominal de 36% ao ano, cuja taxa
efetiva é de 3% ao mês, determinar a taxa efetiva anual equivalente.
iq = [(1+it)nq/nt – 1 ] x 100iq = [(1,03)12/1 – 1] x 100Taxa equivalente = 42,58% ao ano.Assim: A taxa efetiva anual equivalente à taxa
efetiva de 3% ao mês é de 42,58%, enquanto que a taxa nominal ao ano é de 36%.
TAXA NOMINAL X TAXA EFETIVA
VALOR PRESENTE - VALOR FUTURO
Capital inicial – Valor Presente – Present Value : é o valor que você aplica ou pega emprestado hoje.
Montante – Valor Futuro – Future Value : é o valor desta aplicação, ou de sua dívida no futuro, com a inclusão dos juros devidos.
VALOR PRESENTE - VALOR FUTURO
Se você aplicar hoje 100,00 numa aplicação que paga juros compostos com uma taxa de 10% a.a quanto você terá em 3 anos?
PV = 100 i = 0.10 n = 3 FV = ?
FV = PV (1 + i )n
FV = 100 (1 + 0.10)3
FV = 100 x 1,331 133,10
VALOR PRESENTE - VALOR FUTURO
Qual principal que deve ser aplicado hoje(PV) para se ter um acumulado um total de 1.000,00 daqui 12 meses, a uma taxa de 3% ao mês?
PV = ? i = 0.03 n = 12 FV = 1.000
FV = PV (1 + i )n
1000 = PV (1 + 0.03)12
1000 = PV x 1.4258
PV = 1000 / 1.4258 701.37
SÉRIES DE PAGAMENTOS OU RECEBIMENTOS UNIFORME
Diz-se que uma série é uniforme quando todos os seus termos (pagamentos ou desembolsos) são iguais e é feita em períodos homogêneos (a cada dia, mês, bimestre, semestre, ano, etc.).
SÉRIES DE PAGAMENTOS OU RECEBIMENTOS UNIFORME
Existem 2 tipos de séries uniformes: . Série Uniforme de Pagamentos
modelo Básico(postergada): onde o primeiro ocorre no final do primeiro período
. Série Uniforme antecipada: onde o primeiro termo ocorre no inicio do primeiro período.
SÉRIES DE PAGAMENTOS OU RECEBIMENTOS UNIFORME
PV = PMT x 1 – (1 + i ) –n
i
FV = PMT x (1 + i )n - 1 i
PMT = PV * i x (1 + i )n
i
SÉRIES DE DESEMBOLSOS UNIFORME
0 1 2 3 4 FV
Quando destinam-se a constituir um capital futuro, tomam o nome de SÉRIES DE DESEMBOLSO
SÉRIES UNIFORMES
Séries de Pagamentos ou recebimentos uniformes
Qual o valor presente (financiado) de um veículo adquirido em 10 parcelas mensais e iguais de R$5.000,00 cada, com uma taxa de juros de 2,0% ao mês.
PMT = 5.000,00 i = 2% n = 10 FV= 0 PV = ?
PV = PMT x 1 - (1+i)-n
iPV = 5000 x 1 - (1+0,02)-10
0,02PV = 5000 x 1 - 1,02-10
0,02PV = 5.000 x 8,982585 = R$44.912,93
SÉRIES UNIFORMES
Séries de Pagamentos ou recebimentos uniformes
Suponha que você tenha aplicado, ao final de cada mês a quantia de R$3.000,00 mensalmente, durante 12 meses, numa conta de poupança que rende 1,0% ao mês. A final do 12 meses, qual o valor acumulado na caderneta de poupança .
PMT = 3.000,00 i = 1% n = 12 FV= ?
FV = PMT x (1+i)n – 1 i
FV = 3000 x (1+0,01)12 – 1
0,01
FV = 3000 x 12,68
FV = R$38.047,51
SÉRIES UNIFORMES
Suponha que você queira financiar um veículo cujo valor à vista seria R$25.000,00, a concessionária oferece a seguinte alternativa: 24 prestações mensais e iguais, com juros de 2,5%. Qual deverá ser o valor de cada prestação?
PV = 25.000,00 n = 24 i = 2,5 FV = 0 PMT=?PMT =PV * i ×(1+ i)n
(1+ i)n - 1PMT = 25.000 x 0,025(1+0,025)24
(1+0,025)24 – 1PMT = 25.000 x 0,025 (1,025)24
(1,025)24 – 1PMT = 25.000 x 0,0452 0,8087PMT = R$1.397,82
Séries de Pagamentos não uniformes
Séries não uniformes
É quando recebimento/pagamentos de uma operação não são uniformes no que se refere a valores e periodicidades.
nPV= ∑ CF j=1 (1+i)j
nFV= ∑ CF x (1+i)j
j=1
Você tem uma dívida junto ao Banco, para a qual você efetuará os seguintes pagamentos a partir do próximo ano, anual e seqüencialmente: R$500,00, R$400,00, R$300,00 e R$100. Considerando uma taxa de juros de 10% ao ano, se você optar por pagar esta dívida à vista qual valor será pago:
n
PV= ∑ CF j=1 (1+i)j
Séries de Pagamentos não uniformes
Séries de Pagamentos não uniformes
PV = ∑ 500 + 400 + 300 + 100 = 1.078,81 1,101 1,102 1,103 1,104
n
PV= ∑ CF j=1 (1+i)j
500 400 300 100
1 2 3 4
0
0 TempoValor
CFo= 0 CFj1 = 500 CFj2= 400 CFj3= 300 CFj4 = 100 i=10% F NPV= ?
O gerente do seu banco lhe oferece a seguinte aplicação. Você deve aplicar a partir do próximo ano anualmente os seguintes valores: R$500,00, R$600,00 e R$800,00, os quais serão remunerados a uma taxa de 10% ao ano, qual será seu valor presente desta aplicação ?
Séries de Pagamentos não uniformes
5.4 – Apresentar e Calcular séries de pagamentos uniformes e séries de pagamentos não uniformes
500 600 800
1 2 3
0
0 TempoValor
PV = ∑ 500 + 600 + 800 = 1.551,46 1,101 1,102 1,103
5.5 – Apresentar e Calcular perpetuidades
Quando não há limite de tempo, ou seja quando o tempo a considerar é indeterminado (perpétuo). Exemplo: dividendos pagos por determinada ação.
PV = PMT i
5.5 – Apresentar e Calcular perpetuidades
Suponha que você participe de uma promoção na TV, a qual se for o ganhador terá uma renda perpétua de R$500,00. Considerando uma taxa de desconto de 2% ao mês, qual é o valor presente desta sua renda.
PV = PMT i
PV = 500 0,02PV = 25.000,00