unidade 2 modelizar a incerteza 2009/10
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Unidade 2 Modelizar a incerteza 2009/10. . Em que medida a incerteza influencia as decisões? . Como se formaliza a incerteza? . Qual a atitude do investidor face ao risco?. Unidade 2 Modelizar a incerteza. Motivação :. Problema: - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
24-04-23Analise risco credito- Modelizar a incertza 2
. Em que medida a incerteza influencia as decisões?
. Como se formaliza a incerteza?
. Qual a atitude do investidor face ao risco?
Motivação : Problema:
Os agentes económicos quase nunca têm acesso a toda a informação sobre o ambiente em que interagem
O objectivo pretendido pode não ser obtido pela acção tomada
Solução Construir uma teoria de decisão
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Decisão em incerteza
A escolha entre acções ou planos dados dois elementos depende:
Probabilidade de sucesso ou do falhanço Consequência do sucesso ou do falhanço.
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CONCEITOS DA INCERTEZA
A INCERTEZA PODE SER DEFINIDA COMO UMA SITUAÇÃO EM QUE O AGENTE ECONÓMICO VÊ AS CONSEQUÊNCIAS DAS SUAS DECISÕES DEPENDER DE FACTORES EXÓGENOS CUJOS ESTADOS DA NATUREZA NÃO PODEM SER PREVISTOS COM CERTEZA
Encontra-se em situação de risco. O risco pode ser quantificado. Associa-se ao
risco uma distribuição de probabilidades. Probabilidade objectiva ou subjectiva?
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activos contingentes
Ano 1Ano 1 22 33
Cashflow E6Cashflow E6 E6E6 E106E106
Cupões Cupões zerozero
Ano Ano TerminalTerminal
Valor Valor nominalnominal
11 1 ano1 ano E6E6
22 2 anos2 anos E6E6
33 3 anos3 anos E 106E 106
E103 = E103 = 6.v1+6.v2+106.v36.v1+6.v2+106.v3Com taxa de juro Com taxa de juro sem risco igual a 6%sem risco igual a 6%
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Activos financeiros e a incerteza
Preço HojePreço Hoje Cash flow Cash flow Boa Boa conjunturaconjuntura
Cash flow má Cash flow má conjunturaconjuntura
Cupão zero Cupão zero unitáriounitário
v1v1 11 11
AcçãoAcção aa Cfa 1bCfa 1b Cfa 1mCfa 1m
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Activos financeiros e a incerteza
V1= 1 / (1+rf) Cfa1 = p . Cfa1b + (1-p). Cfa1m Ra = (cfa1-a) / a a = cfa1 / (1+ra)
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Decisão
Teoria da decisão = teoria de probabilidades (relativo às
hipóteses)+ teoria de utilidade (relativo aos resultados)
Ideia fundamental: Máxima utilidade esperada Ponderação decada resultado obtido pela
probabilidade de ocorrência.
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REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O PROBLEMA DE AVERSÃO AO RISCO:
As preferências de um indivíduo têm uma representação da utilidade esperada se existir uma função u tal que um consumo aleatório x é preferível a um consumo aleatório y se e só se :
E [u(x) ≥ E [u(y)] Onde E[.] é a expectativa de acordo com
a probabilidade subjectiva de cada indivíduo.
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REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O PROBLEMA DE AVERSÃO AO RISCO
Quais as condições necessárias e suficientes para que as preferências de um indivíduo possam ter uma representação na utilidade esperada?
Quais as condições necessárias e suficientes para que as preferências de um indivíduo apresentem aversão ao risco tendo como pressuposto a existência de uma utilidade esperada?
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REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O PROBLEMA DE AVERSÃO AO RISCO
Probabilidade objectiva (Von Neumann-Morgenstern (1953) e probabilidade subjectiva (Savage (1972): diferentes aproximações á representação das preferência através de uma função de utilidade esperada.
Uma relação de preferência é uma relação binária que é transitiva e completa
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Princípio básico Um agente tem de selecionar uma acção Considere Ac = {A1, A2,…Ai} um conjunto
de acções Considere Res = {res1, res2,…} um
conjunto de possíveis resultados Ex possiveis acções: plano 1 e 2.
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Princípio básico P(resj| Ai) =
Probabilidade de obtenção do resultado resj, dada a acção Ai:
U(resj) = utilidade associada a cada resultado.
Utilidade Captura o desejo de realização de resj Um agente ec preferirá um estado que lhe possa dar
maior utilidade. U(resj) > U(resi) resj é preferível a resi
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Princípio básico Dada P(res1| Ai), utilidade U(res1), P(res2| Ai), utilidade U(res2)…
A utilidade esperada (EU) de uma acção Aii:EU(Ai) = U(resj)*P(resj|Ai)
Escolher Ai tal que maximize EU MEU = argmax U(resj)*P(resj|Ai) Ai Ac resj OUT
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res-j res
Exemplo
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Decision node: You play
Chance node: Nature plays
Plan1
Plan20.70
0.30
0.80
0.20
SuccessReward: $100
SuccessReward: $50
FailureReward: -$1000
Failure
Reward: -$10
EU(Plan2):$50*0.7 -10*0.3= 32
EU(Plan1):100*0.8 –1000*0.2 = -120
Bigger Trees Possible
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Plan1
Plan2
0.70
0.70
0.80
0.20
Plan3
0.30
0.30
Plan1
Plan2
0.70
0.70
0.80
0.20
Plan3
0.30
0.30
Decnode
REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O PROBLEMA DE AVERSÃO AO RISCO Conceitos: - Os modelos de incerteza partem de uma situação simples de dois
momentos (t0 e t1) A incerteza em economia é modelizada pela consideração de diversos
estados da natureza “incertos” a serem realizados em t1 Um estado da natureza é a descrição completa de uma situação de
incerteza a ocorrer entre t0 e t1. Um plano de consumo é a especificação do número de unidades de
consumo de um bem em diversos estados da natureza Relação de preferência do indivíduo face a diversos planos de consumo:
mecanismo que permite um indivíduo comparar diferentes planos de consumo
Função de utilidade permite concretizar a relação de preferência do indivíduo
X é preferível a x´ se e só se U(x) ≥ U(x´) ou Em termos de utilidade esperada:
E[u(x)] ≥ E[u(x´)]
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Formalização do risco
A decisão do investidor é subjectiva Existem linhas de acção a tomar O resultado futuro é função dos estados de
natureza considerados no momento da decisão.
Os estados da natureza deverão ser mutuamente exclusivos e exaustivos
Os estados da natureza encontram-se fora do controle do decisor.
Para cada linha de acção existe uma consequência
Existe uma matriz de resultados (payoff matrix)
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Payoff matrix
Estados da naturezaEstados da natureza
Linhas de acçãoLinhas de acçãoE1 E2 E3 ….. Ej ……… EnE1 E2 E3 ….. Ej ……… En
A1A1A2A2.....Ai.Ai......AmAm
C11 C12 C13 …… C1j ……….C1nC11 C12 C13 …… C1j ……….C1nC21 C22 C23 …… C2j ……….C2nC21 C22 C23 …… C2j ……….C2n
Ci1 Ci2 Ci3 …… Cij ……….CinCi1 Ci2 Ci3 …… Cij ……….Cin
Cm1 Cm2 Cm3 …… Cmj Cm1 Cm2 Cm3 …… Cmj ……….Cmn……….Cmn
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Payoff matrixExemplo
Um vendedor de jornais vende ao preço de 5 euros uma revista que ele adquire ao preço de 3 euros. A sua experiência permite-lhe considerar que as vendas deste tipo de revista se situa em 2,3 ou 4 exemplares, sendo raro 1 ou 5. Tem a certeza de que vende pelo menos um exemplar.
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Payoff matrixExemploNº exemplares Nº exemplares vendidosvendidos
Nºde exemplares Nºde exemplares armazenadosarmazenados
1 2 3 4 51 2 3 4 5
11
22
33
44
55
2 2 2 2 22 2 2 2 2
-1 4 4 4 4-1 4 4 4 4
-4 1 6 6 6-4 1 6 6 6
-7 -2 3 8 8-7 -2 3 8 8
-10 -5 0 5 10-10 -5 0 5 10
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Payoff matrix
Exemplo Qual a melhor decisão? Critério Laplace : Não há razão q um estado da
natureza seja melhor que o outro – Média aritmética de cada linha e tomar a que der média mais elevada.
Critério Wald – Tomar em cada linha de acção a situação mais desfavorável e decidir pela menos desfavorável
Critério Hurwicz – Cada linha é ponderada pela situação mais favorável e menos favorável e faz-se a media aritmética (ponderada). O factor de ponderação é efectuado pelo decisor.
Critério de regressão – Procede a um regressão entre o valor previsto e o valor obtido à posteriori. Os parâmetros obtidos pela regressão irão afectar as decisões futuras.
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Activos financeiros e a incerteza
C1b>C1m>C1b>C1m>FF
Cash Cash flowflow
DívidaDívida AcçõesAcções
Boa conjunt.Boa conjunt.Má conjunt.Má conjunt.
Valor Valor mercadomercado
C1bC1bC1mC1m
D=F.v1bD=F.v1b+F.v1m+F.v1m
FFFF
A=(c1b-A=(c1b-F).v1b+F).v1b+(c1m-F).v1m(c1m-F).v1m
C1b-FC1b-FC1m-FC1m-F
C1b>>F>CC1b>>F>C1m1m
Cash flowCash flow DívidaDívida AcçõesAcções
Boa conjunt.Boa conjunt.Má conjunt.Má conjunt.
Valor Valor mercadomercado
C1bC1bC1mC1m
D=F.v1b+C1D=F.v1b+C1m.v1mm.v1m
FFC1mC1m
A=(c1b-A=(c1b-F).v1bF).v1b
C1b-FC1b-F00
Valor da empresa com Valor da empresa com dívida=A+Ddívida=A+D=C1b.v1b+C1m.v1m=C1b.v1b+C1m.v1m=valor da empresa sem =valor da empresa sem dívidadívida
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O valor da empresa é independente do seu endividamento (Modigliani e Miller)
Val = -I + C1.v1 Val = -I + C1b .v1b + C1m. V1m Valor da empresa = I + val = C1b .v1b +
C1m. V1m Valor da empresa endividada = A + D = C1b.v1b + C1m.v1m= valor da
empresa não endividada (hipotese 1)
Valor da empresa endividada = A+D =(F.v1b+C1m.v1m ) + ((c1b-F).v1b) = C1b.v1b + C1m.v1m= valor da empresa não endividada (hipotese 2)
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Decisão de investimento e mercado completo
Preço Preço hojehoje
Cash Cash flow flow boa boa conjconj
Cash Cash flow flow má má conjconj
Cupão Cupão zero unitzero unit
AcçãoAcção
0,950,95
1,451,45
11
22
11
11
Activos Activos contingentes contingentes BB
Activos Activos contingentes contingentes MM
Cupão zero Cupão zero unitunit
11 11
Acção2Acção2 22 11
0,95=1.v1b+1.v1m0,95=1.v1b+1.v1m1,45=2.v1b+1.v1m1,45=2.v1b+1.v1m
V1b = 0,5 v1m = 0,45V1b = 0,5 v1m = 0,45
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Aversão ao risco, exemplo…
Suponha que a um agente económico é dada a escolha de uma das seguintes hipóteses:
Escollha 1: obter certo $1,000,000 Esolha 2: Mandar uma moeda ao ar
Se sair cara, ganhar $3,000,000 Se sair coroa, não ganhar nada
Cálculo da utilidade esperada: EU(escolha1) = $1,000,000 EU(escolha2) = 0.5 * $0 + 0.5 * $3,000,000 =
$1,500,000
Porque muita gente prefere a escolha 1?24-04-23Analise risco credito- Modelizar a incertza 27
Aversão ao risco Porque a maior parte das pessoas são “avessas ao
risco” As funções de utilidade poderão ser :
Para o primeiro milhão U($1M) = 10 Para o segundo milhão U($2M) = 15 (Não 20) Para o terceiro milhão U($3M) = 18 (Não 30) ….
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Aversão ao risco If we plot amount of money on the x-axis and utility
on the y-axis, we get a concave curve
EU(choice1) = U($1M) = 10 EU(choice2) = 0.5*U(0) + 0.5*U($3M =18) = 9 That is why we prefer the sure $1M
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0
5
10
15
20
25
0 1M 2M 3M 4M
Money
Util
ity
Atitude face ao risco
Indiferença (neutro ao risco)
Aversão ao risco
Propensão ao risco
Nota: Há uma função de utilidade associada
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Risk Averse, Risk NeutralRisk Seeking
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0
5
10
15
20
25
0 1M 2M 3M 4M
Money
Utili
ty
RISK AVERSE
05
1015202530354045
0 1M 2M 3M 4M
Money
Utility
RISK NEUTRAL
0
20
40
60
80
100
120
0 1M 2M 3M 4M
Money
Utility
RISK SEEKER
EU(Choice1) = 10EU(Choice2) = 9
EU(Choice1) =10EU(Choice2) =15
EU(Choice1)=10EU(Choice2)=25
conclusão
Os activos financeiros são activos de risco. O crédito é uma operação que envolve risco.
Há todavia activos de maior ou menor risco e activos sem risco. Haverá crédito sem risco?
Os indivíduos têm um grau de maior ou menor aversão ao risco traduzido pela utilidade esperada do ganho obtido.
Os pagamentos são incertos o que envolve que as escolhas sejam designadas de lotarias mas o princípio de maximização da utilidade esperada é uma decisão racional.
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Economist’s jargon
Economists call a lottery a situation which involves uncertain payoffs: Cultivating apples is a lottery Cultivating pears is another lottery Playing with a fair die is another one Monthly consumption
Each lottery will result in a prize
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Drawing an indifference curve
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X2
X1
EU1
EU2
EU3
Convex Indifference curvesImportant to understand that:EU1 < EU2 < EU3
Line of lotteries without risk
Indifference curve and risk aversion
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X1
X2
3125/0.25
3125/0.75
Line of lotteries without risk
3125
3125
4000
500
Lot. A
Lot. B
We had said that if the individual was risk averse, he will prefer Lottery A to Lottery B.
These indifference curves belong to a risk averse individual as the Lottery A is on an indifference curve that is to the right of the indifference curve on which Lottery B lies.
Lot A and Lot B have the same expected value but the individual prefers A because he is risk averse and A does not involve risk
What shape is the utility function of a risk averse individual?
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X=money
U(x)
U’(x)>0, U’(x)>0, increasingincreasing
U’’(x)<0, concaveU’’(x)<0, concave
Indifference curves and risk aversion
We have just seen that if the indifference curves are convex then the individual is risk averse
Could a risk averse individual have concave indifference curves? No….
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Does risk aversion imply anything about the sign of U’’(x)
2 1 1
1 1 2
22 1 1
21 1 2
'( )*(1 ) '( )
''( )*(1 ) '( )
dx p U xdx p U x
d x p U xdx p U x
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Convexity means that the second derivative is positive
In order for this second derivative to be positive, we need that U’’(x)<0
A risk averse individual has utility function with U’’(x)<0
Geometric property
A risk-averse utility function U is concave
Such a function satisfies: U[(1 - p) x + p y] ≥ (1 - p) U(x) + p U(y)
For each x, y, and p [0,1] (Not just p = ½, which is where we started)
Geometrically, the curve lies on or above a line through any two of its points
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Measuring Risk Aversion
The most commonly used risk aversion measure was developed by Pratt
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"( )( ) '( )
U Xr XU X
For risk averse individuals, For risk averse individuals, U”U”((XX) < ) < 00– rr((XX) will be positive for risk averse ) will be positive for risk averse
individualsindividuals
Now take wealth into account The coefficient a(x) helps measure
what a person would pay to avoid a gamble: That payment is approximately a(x)
times ½ the variance of the gamble What fraction of wealth would the
person pay to avoid a gamble? Where wealth is given by x > 0
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The Arrow-Pratt Measures of Risk Aversion Absolute risk aversion - U΄΄(W)/U΄(W) = RA(W) Relative risk aversion -WU΄΄(W)/U΄(W) = RR(W) Risk aversion means U΄(W) > 0
and U΄΄(W) 0 The inverse of these measures
gives a measure of risk tolerance
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Risk Aversion
If utility is logarithmic in consumptionU(X) = ln (X )
where X> 0 Pratt’s risk aversion measure is
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"( ) 1( ) ( )
U Xr XU X X
Risk aversion decreases as wealth Risk aversion decreases as wealth increasesincreases
Risk Aversion
If utility is exponentialU(X) = -e-aX = -exp (-aX)
where a is a positive constant Pratt’s risk aversion measure is
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2"( )( ) ( )
aX
aX
U X a er X aU X ae
Risk aversion is constant as wealth Risk aversion is constant as wealth increasesincreases
Willingness to Pay for Insurance Consider a person with a current
wealth of £100,000 who faces a 25% chance of losing his automobile worth £20,000
Suppose also that the utility function is
U(X) = ln (x)
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Willingness to Pay for Insurance The person’s expected utility will be
E(U) = 0.75U(100,000) + 0.25U(80,000)E(U) = 0.75 ln(100,000) + 0.25 ln(80,000)
E(U) = 11.45714 In this situation, a fair insurance
premium would be £5,000 (25% of £20,000=expected loss)
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Willingness to Pay for Insurance
The individual will likely be willing to pay more than £5,000 to avoid the gamble. How much will he pay?
E(U) = U(100,000 - y) = ln(100,000 - y) = 11.45714100,000 - y = e11.45714
y= 5,426 The maximum premium he is willing to pay is £5,426 The individual will insure if he is charged a fair premium (£5000) Though this is just an example, this shows a general result. Risk
averse individuals will prefer to be insured as long as the cost of that insurance is not too large
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