unidade 5 matrizes
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1
Unidade 5
5.1 Noção de Matriz Uma matriz A , m n× (m por n) é uma tabela de mn números dispostos em m linhas e n colunas
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
a a a
a a aA
a a a
=
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
⋯
.
Usamos a notação ( ) , 1,2,..., ; 1,2,...,ij m nA a i n j m×= = = .
Por exemplo,
2 3
2 1 5
3 4 9A
×
= −
é a matriz 2 3× e
3 3
2 4 5
1 3 7
3 9 2
B
×
− =
é a matriz 3 3× .
Tipos das Matrizes
Seja ( ) , 1,2,..., ; 1,2,...,ij m nA a i n j m×= = = uma matriz dada. A seguir apresentaremos alguns
tipos especiais de matrizes.
• Matriz linha É uma matriz que possui uma linha só. A i − ésima linha da matriz A é
[ ]1 2 ... , 1,2,...,i i in i na a a i m
×= .
Por exemplo, [ ]1 4
2 3 4 9A×
= .
• Matriz Coluna É uma matriz que possui uma coluna só. A j-ésima coluna de A é
2
1
2
.
.
j
j
mj m j
a
a
a×
,
para 1,2,...,j n= , por exemplo
A =
5 1
2
3
.7
8
5×
−
• Matriz nula É uma matriz na qual todos os elementos são iguais a zero, por exemplo,
3 2
0 0
0 0
0 0
A
×
=
,
é uma matriz nula. • Matriz quadrada Se m = n na matriz A, dizemos que A é uma matriz quadrada de ordem n. Ou seja, uma matriz quadrada tem o número de linhas e colunas iguais. Dizemos também que os elementos a11, a22, ..., ann formam a diagonal principal, por exemplo,
(a) A = 22
12
03
x
−
, A é matriz quadrada de ordem 2;
(b) B =
33254
322
913
x
−
−
, B é uma matriz quadrada de ordem 3.
Exercícios. 1) Escreva a matriz do tipo 3 2× tal que ija i j= + .
2) Escreva a matriz de ordem 4 tal que
1,
0,
1,ij
se i j
a se i j
se i j
>= =− <
3
• Igualdade de Matrizes Duas matrizes A e B de mesma ordem são iguais quando seus elementos correspondentes são iguais. Isto é, se A e B são de ordem n m× , então A B= se e somente se, ij ija b= para todo
i e j .
Exemplo 1.Obtenha , ,a b x e y de modo que 2 6 10
2 12 18
a b a
x y x y
+ = + −
.
Resolução.
Exemplo 2. Obtenha , ,a b x e y de modo que 2
3
2 4
a b bI
x y x y
− = − −
.
Resolução. Observação. A matriz quadrada tem algumas características particulares dadas a seguir:
o Matriz identidade: É a matriz quadrada, onde 0ija = para i j≠ e 1ija = para
i j= , ou seja
=
≠=
ji
jiaij ,1
,0,
por exemplo,
I3 =
100
010
001
.
4
• Transposta
A transposta de uma matriz ( )ij m nA a
×= é definida pela matriz ( )ji n m
B b×
= obtida
trocando-se as linhas pelas colunas, ou seja ji ijb a= , 1, 2, , 1, 2, ,i m e j n= =… … .
Escrevemos a matriz transposta como:
tB A= ,
Isto é, tA é obtida transformando-se ordenadamente cada linha de A em colunas.
Por exemplo,
(a) Se A =
−
452
331, então sua transposta é At =
− 43
53
21
;
(b) Se
2 3 1
5 2 1
3 2 0
A
= −
, então sua transposta é
2 5 3
3 2 2
1 1 0
tA
= −
.
• Matriz simétrica Uma matriz A é simétrica quando tA A= , ou seja, a matriz e sua transposta são iguais, por exemplo, se
2 3 1
3 4 9
1 9 4
A
=
,
então, 2 3 1
3 4 9
1 9 4
tA
=
,
isto é, tA A A= ⇒ matriz A é simétrica.
• Matriz anti-simétrica
Uma matriz A é anti-simétrica, quando tA A= − , por exemplo, se
A =
0 1 2
1 0 3
2 3 0
A
− = − −
,
então,
5
0 1 2
1 0 3
2 3 0
tA
− = − −
,
isto é, tA A= − ⇒ A matriz A é anti-simétrica. Determinante de uma Matriz Determinante de uma matriz é um valor numérico, e é obtido somente quando a matriz é quadrada. Seu cálculo segue no exemplo a seguir:
Seja
2 2 1
5 2 3
2 0 1
A
= −
,
então,
2 2 1
det( ) 5 2 3
2 0 1
A = − = 2 3
20 1
−⋅
5 32
2 1− ⋅
5 21
2 0
−+ ⋅
= 2(−2 − 0) − 2(5 − 6) + 1(0 + 4) = 2.
• Propriedades do Determinante
Seja A uma matriz quadrada. O determinante da matriz quadrada A, det( ) | |A A= satisfaz algumas propriedades. Veja a seguir: (i) O determinante de A e de sua transposta tA são iguais, ou seja, | | | |tA A= ;
(ii) Se uma matriz B é obtida de uma matriz A trocando-se duas linhas (ou colunas) de A,
então det( ) det( )B A= − ; (iii) Se uma matriz B é obtida de A multiplicando-se uma linha (ou coluna) de A por um
número real c, entào )det( )det( AcB = ;
(iv) Se ][ ijbB = é obtida de ][ ijaA = somando-se a cada elemento da r−ésima linha
(respectivamente, coluna) de A uma constante c, vezes o elemento correspondente a s−ésima linha (respectivamente, coluna) de A, sr ≠ , então )det()det( AB = ;
(v) Se uma matriz ][ ijaA = é uma matriz triangular superior (ou inferior), então )det(A é
igual ao produto dos elementos da diagonal principal, ou seja, o determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal;
6
(vi) O determinante de um produto de matrizes é igual ao produto de seus determinantes,
isto é, )det()det()det( BAAB ⋅= . Nesse caso é necessário que as matrizes sejam
quadradas; (vii) Se A tem uma linha (ou coluna) de zeros, então | | 0A = ; (viii) Se A tem duas linhas (ou colunas) idênticas, então | | 0A = ; (ix) Se A é triangular, isto é, A tem zeros acima ou abaixo da diagonal principal, então, o
valor do determinante de A é o produto dos elementos diagonais. Assim, em particular | | 1I = , onde I é a matriz identidade.
5.2 Operações Matriciais
Apresentaremos a seguir três tipos de operações em matrizes. Adição de matrizes, multiplicação de uma matriz por escalar e multiplicação de duas matrizes.
Adição de Matrizes
Definição. A soma ou adição de duas matrizes do mesmo tamanho ( )ij m nA a ×= e ( )ij m nB b ×= ,
1,2,..., ; 1,2,...,i m j n= = é definida como sendo a matriz ( )ij m nC c ×= obtida somando-se os
elementos correspondentes de A e B , ou seja,
ij ij ijc a b= + ,
para 1,2,..., ; 1,2,...,i m j n= = . Escrevemos
C A B= + . Por exemplo, (a) Se
2 2
2 4
3 5A
×
=
e 2 2
3 2
4 1B
×
− − =
,
então,
2 2
2 3 4 2
3 4 5 1A B
×
− − + = + + 2 2
1 2
7 6×
− =
.
(b) Se
3 2
3 2
5 4
9 3
A
×
=
e
3 2
5 7
9 3
2 1
B
×
= −
,
então,
7
3 2
3 5 2 7
5 9 4 3
9 2 3 1
A B
×
+ + + = + + + − 3 2
8 9
14 7
11 2×
=
.
• Propriedades da Operação de Adição Sejam A , B , C e D matrizes da ordem da mesma ordem, nm× . Então valem as seguintes propriedades: (i) Comutativa: ABBA +=+ ;
(ii) Associativa: CBACBA ++=++ )()( ;
(iii) Existência do elemento neutro: Existe uma única matriz nm× O tal que AOA =+ , para todas as matrizes A, nm× . A matriz O é chamada de matriz nula ou elemento
neutro para a soma de matrizes de ordem nm× ; (iv) Existência do inverso aditivo: Para cada matriz A existe uma única matriz da mesma
ordem D, tal que: ODA =+ . Denotamos D por A− , então podemos escrever OAA =−+ )( . A matriz A− é chamada de matriz inversa aditiva ou negativa de A.
Multiplicação de uma Matriz por Escalar
Definição. A multiplicação de uma matriz ( )ij m nA a ×= por um escalar α é definida pela
matriz ( )ij m nB b ×= obtida multiplicando-se cada elemento da matriz pelo escalar α, ou seja,
ij ijb aα= , 1,2,..., ; 1,2,...,i m j n= = . Então, escrevemos B Aα= .
Por exemplo, o produto da matriz
3 2
2 5
3 7
1 5
A
×
= − −
pelo escalar −2 é dada por
3 2
2 5
( 2) ( 2) 3 7
1 5
A
×
− = − − − 3 2
4 10
6 14
2 10×
− − = − −
.
• Propriedades da Multiplicação de uma Matriz por Escalar
Sejam A e B duas matrizes da mesma ordem. Se r e s são números reais então valem as seguintes propriedades:
(ii) ArssAr )()( = ;
8
(ii) sArAAsr +=+ )( ;
(iii) rBrABAr +=+ )( .
Por exemplo, se 2 3 5
2 1 6A
− − = −
, 1 2 4
3 7 2B = −
e 2r = − , então temos
2 10 2
2( )10 12 8
A B−
− + = − e
2 10 22 2
10 12 8A B
− − − = −
,
o que verifica a propriedade (iii).
Produto de Duas Matrizes
Definição. O produto de duas matrizes só é possível se o número de colunas da primeira
matriz for igual ao número de linhas da segunda. Ou seja, o produto de ( )ij m nA a ×= e
( )jk n pB b ×= é definida pela matriz ( )ik i pC c ×= e é obtida da seguinte forma:
1 1 2 21
...n
ik i k i k in nk ij jk
j
c a b a b a b a b=
= + + + =∑ ,
para todo 1,2,..., ; 1,2,....,i m k p= = . Então, escrevemos C AB= .
Por exemplo, se 2 3
1 2 3
5 3 0A
×
= −
e
3 3
3 2 0
4 5 3
1 2 2
B
×
= − − −
, então o produto de duas matrizes A
e B é dada por
2 3
1.3 2.4 3( 1) 1.2 2.5 3.2 1.0 2( 3) 3( 2)
5.3 ( 3)4 0( 1) 5.2 ( 3)5 0.2 5.0 ( 3)( 3) 0( 2)AB
×
+ + − + + + − + − = + − + − + − + + − − + −
2 3
8 18 12
3 5 9×
− = −
.
Observe que neste caso o produto BA não está definido. Entretanto, mesmo quando está definido, BA não será necessariamente igual a AB. • Propriedades da Operação da Multiplicação A seguir apresentaremos algumas propriedades da multiplicação entre matrizes. (i) Sejam A , B e C três matrizes da ordem nm× , kn× e pk × respectivamente, então
CABBCA )()( = .
(ii) Sejam A , B e C três matrizes da ordem nm× , kn× e kn× respectivamente, então
9
ACABCBA +=+ )( .
(iii) Sejam A , B e C três matrizes da ordem nm× , nm× e kn× respectivamente, então
BCACCBA +=+ )( .
(iv) Sejam A e B duas matrizes da ordem nm× e kn× respectivamente. Seja r um
número real, então BrAABrrBA )()()( == .
Veja o exemplo a seguir.
Se 1 2
2 0A = −
e 2 5
3 1B
− =
, então
2 6 5 2
4 10AB
+ − + = −
8 3
4 10
− = −
,
e 2 10 4
3 2 6BA
+ = −
12 4
1 6
=
.
Logo, AB BA≠
Exemplo 1. (a) Sejam
−
−=
751
312A ,
−−
−
−−
=
1531
4322
1252
B e
−
−
−
−
=
912
124
435
521
C
três matrizes. Então,
−
−−=
1377635
761084)(BCA e
−
−−=
1377635
761084)( CAB ,
o que verifica a propriedades (i).
(b) Sejam
−
−=
122
321A ,
−
−
−
=
53
32
25
B e
−
−
−
=
81
35
52
C
três matrizes. Então,
−−
−=+
310
63)( CBA e
−−
−=+
310
63BCAC ,
10
o que verifica a propriedade (ii).
(c) Sejam
−−
−=
125
123A e
−
=
01
42
12
B
dois matrizes. Seja 3−=r , então
−
−=−
3915
339)3( BA e
−
−=−
3915
339))(3( AB ,
o que verifica a propriedade (iv).
Exemplo 1. Obtenha a matriz [ ]X a b= tal que [ ]0 1
7 07 3
X−
⋅ =
.
Exemplo 2. Calcule a e b sabendo-se que 0AB = (matriz nula), onde
1 2
3 1
aA e B
b
= = −
.
Resolução.
11
Exemplo 3. Obtenha o número k tal que [ ] [ ]0 2
1 1 1 12 4
k
− ⋅ = ⋅ − − .
Resolução.
Exemplo 4. Seja a matriz 2 1
3 2A
− = −
. Obtenha 2 3A e A .
Resolução.
Exemplo 5. Dadas as matrizes 3 1 1 1 2 0
,4 5 2 3 1 1
A B e C−
= = = − − , determine a
matriz X , tal que
a) ( )2 12 3
3tX AB C X BC A− + = − + − .
b) 3X B A C= − + − .
c) 1
22
X A B C X− + = − + .
12
Propriedades da Transposta da Matriz
Vimos acima a definição da matriz transposta. Agora apresentaremos algumas propriedades da matriz transposta.
Sejam A e B duas matrizes. Seja r um número real, então a transposta de uma matriz satisfaz as seguintes propriedades:
(i) AA tt =)( ;
(ii) ttt BABA +=+ )( , onde A e B são matrizes da mesma ordem;
(iii) ttt ABAB =)( , onde A e B são matrizes da ordem nm× e kn× respectivamente;
(iv) tt rArA =)( .
Exemplo 2.
(a) Se
−
−=
352
232A e
−=
130
233B , então
−−
=+
44
80
21
)( tBA e
−−
=+
44
80
21tt BA ,
13
(b) Se
−
−=
423
321A e
−
−−
=
03
20
43
B são matrizes, então
−
=80
36)( tAB e
−
=80
36ttAB ,
Atividade 1
1) Considerar as seguintes matrizes:
−=
12
52A ,
−
−=
42
30B ,
−
−−=
420
013C ,
−
−−
=
401
032
123
D e
−
=
1103
922
415
E .
Se possível, calcular
(i) AB BA− ; (ii) DE ED− ; (iii) C D− ; (iv) 2B A− ; (v) 2D E− .
2) Dadas as matrizes
−=
12
32A ,
−
−=
2604
1231B e
−
=
45
31
02
C ,
se possível, determine: (i) a segunda linha da matriz CA; (ii) a primeira linha da matriz AB; (iii) a terceira linha da matriz BC; (iv) a quarta linha da matriz CB.
3) Dadas as matrizes
=
512
735A ,
−−
−
=
15
31
42
B ,
−−
−−
−
=
413
621
732
C ,
−=
37
25D ,
−−−=
327
543
581
E e
−
−=
74
32F ,
14
se possível, calcule: (i) AB ; (ii) BA ; (iii) AAC + ; (iv) FAB− ;
(v) CEBA + ; (vi) )(BDA ; (vii) DAB)( ; (viii) )( ECA + ;
(ix) AEAC + ; (x) ADF )( + .
4) Sejam
−
=51
32A e
−
=23
14B . Encontre
(i) AA 22 + ; (ii) ABBA 222 ++ ; (iii) 2)( BA+ ; (iv) BAAB+ ;
(v) 223 233 IAAA +++ ; (vi) 2
23 432 IBBB +−− . 5) Calcular os valores de a, b, c e d para:
(i)
−=
++
−−
34
21
22 badc
dcba,
(ii)
−
−=
++
−−
25
14
2
22
badc
dcba
6) Sejam
−
−=
xA
03
412 e
−
=
3
x
y
B . Se
−
=6
2AB , encontre x e y .
7) Encontre k tal que 1)()( =kAkA t , onde
−=
1
2
2
A .
1) Encontre um escalar r tal que rXAX = , onde
−=
14
26A e
−
=1
2X .
9) Sejam
−
−=
215
423A ,
−
−
=
31
53
42
B ,
−
−−=
204
432
152
C ,
−
=34
52D ,
−
−=
031
424
752
E e
=
30
42F .
Calcule, se possível: (i) DFD t)3( − ; (ii) )( FDAt + ; (iii) ttAB ;
(iv) tAC)2( ; (v) tt AAB )( + .
15
5.3 Operações Elementares
A seguir apresentaremos três tipos de operações elementares numa matriz A, onde iL ,
jL , etc.
representam as linhas da matriz. Estas operações são utilizadas posteriormente nas aplicações, especificamente na resolução de equações lineares.
1
a Operação: Permuta de linha, ou seja, a troca de duas linhas uma pela outra na matriz,
isto é, i jL L↔ , onde ,i jL L etc. representam as linhas da matriz.
Por exemplo, se considerarmos a matriz
2 3 1 0
1 5 3 7
3 2 0 1
A
=
,
então, trocando a linha 1L por 2L , ou vice-versa, obtemos
1 5 3 7
2 3 1 0
3 2 0 1
B
=
.
Está operação é chamada, permuta de linha ou troca de linhas.
2
a Operação: Multiplicação de uma linha por um escalar não nulo.
Por exemplo, se considerarmos a matriz
1 0 1 3
2 1 5 8
3 3 2 4
A
− =
−
,
então, multiplicando a segunda linha por 2, isto é, 22L , obtemos
1 0 1 3
4 2 10 16
3 3 2 4
B
− =
−
.
Está operação, chamamos de multiplicação de uma linha por um escalar.
3
a Operação: Substituição de uma linha pela soma com outra previamente multiplicada por
um escalar não nulo, ou seja, substituição de linha iL por i jL cL+ , onde c é um escalar não
nulo.
Por exemplo, se considerarmos a matriz
16
1 0 1 0
1 2 3 4
3 2 2 3
A
− = − −
,
então, efetuando a operação 1 3( 1)L L− + , isto é, multiplicando a primeira linha por (−1) e somando na terceira, obtemos
B =
1 0 1 0
1 2 3 4
2 2 2 3
− − −
.
As três operações dadas acima são fundamentais para definir a equivalência entre matrizes, definida a seguir:
Definição. (Matrizes equivalentes). Sejam A e B duas matrizes de mesma ordem, dizemos
que B é equivalente a A, se B é obtida de A através de um número finito de operações
elementares entre as linhas. Denotamos por B A∼ .
Observações
(i) As operações elementares definidas acima em relação às linhas, também podem ser
definidas em relação às colunas. Mas por uma questão prática, por exemplo, em
cálculo de inversa e resolução de sistema de equações sempre formamos a matriz
aumentada em relação às linhas, por isso sempre utilizamos as operações elementares
em relação às linhas.
(ii) Qualquer matriz quadrada A, de ordem n, não singular (det( ) 0A ≠ ), pode ser
transformada na matriz equivalente nI , de mesma ordem, por meio de uma sucessão
finita de operações elementares, isto é, AIn ~ .
5.4 Matriz Inversa
Nesta seção apresentaremos a matriz inversa e seus cálculos usando o processo de operações elementares e a matriz aumentada.
Definição. Dada uma matriz A quadrada de ordem n. Chamamos inversa de A, a matriz B tal
que
nAB BA I= = ,
onde nI é a matriz identidade de ordem n. Neste caso, dizemos que A é uma matriz inversível
(ou não singular). Denotamos por 1B A−= .
Observe que nem toda matriz quadrada sempre é inversível. A seguir apresentaremos um resultado que garante a existência da inversa da uma matriz.
17
Teorema 1.1. Uma matriz A quadrada é inversível se, e somente se, A é não singular
(oudet( ) | | 0A A= ≠ ).
Teorema 1.2. Se a matriz A admite inversa então esta inversa é única. Teorema 1.3. Uma matriz quadrada nn× é inversível se e somente se é equivalente por
linhas a nI .
Propriedades da Matriz Inversa A seguir apresentamos algumas propriedades da matriz inversa. (i) Se A e B são inversíveis, então
1 1 1( )AB B A− − −= .
(ii) Se A é inversível, então 1 1( )A A− − = .
(iii) Se A é não singular, então 1A− também é não singular.
(iv) Se A é inversível, então 1 1( ) ( )t tA A− −= .
Exemplo 4. Calcular a inversa da matriz
2 1
3 2A =
.
Resolução. Temos
det( )A =2 1
det( ) 4 3 1 03 2
A = = − = ≠ ⇒ existe a inversa de A.
Sabemos que
1AA I− = . Seja
1 a bA
c d
− =
,
então
23
12
dc
ba
1 0
0 1
=
,
ou,
++
++
dbca
dbca
2323
22 1 0
0 1
=
.
18
2 1
2 0
3 2 0
3 2 1
a c
b d
a c
b d
+ = + =
⇒ + =
+ =
2, 1, 3a b c⇒ = = − = − e 2d =
1 2 1
3 2A− −
⇒ = − .
Cálculo de Matriz Inversa Usando Operações Elementares – Método de
Jordan
O método para calcular a inversa da matriz A usando as operações elementares é o seguinte: 1
o Passo: Calcular det( )A . Se det( ) 0A ≠ , então existe a inversa da matriz, se det( ) 0A = ,
então não existe a inversa. Caso exista a inversa, seguir o próximo passo.
2o Passo: Escrever a matriz aumentada nn 2× na forma ][ nIA⋮ , onde A é a matriz de ordem
n e nI é a matriz identidade de ordem n, ou seja, colocar lado a lado a matriz A e nI
formando uma matriz aumentada.
3
o Passo: Transformar a matriz A, escrita no segundo passo, em matriz identidade, usando as
operações elementares nas linhas, e aplicando as mesmas operações em nI , dadas no
segundo passo, nas linhas correspondentes, assim obtemos ][ 1−AIn ⋮ .
Observação. A mesma seqüência de operações que leva a matriz A à sua identidade faz com
que a identidade chegue à inversa, ou seja, formando a matriz aumentada ][ nIA⋮ , e
aplicando as operações elementares chegamos a ][ 1−AIn ⋮ , isto é,
][ nIA⋮ ∼ ∼ ∼ ... ∼ ][ 1−AIn ⋮ .
Exemplo 5. Encontrar a inversa da matriz usando as operações elementares
1 1 2
2 3 1
1 3 5
A
− = − −
.
Resolução: det( ) 1 0A = − ≠ . Logo, existe a inversa da matriz A.
Vamos escrever a matriz A e a matriz identidade lado a lado na forma de matriz aumentada
−
−
−
100531
010132
001211
⋮
⋮
⋮
19
O objetivo agora é aplicar as operações elementares nas linhas de A e as mesmas operações na matriz 3I . Queremos chegar à matriz A como 3I , e a matriz 3I transformada passa a ser
inversa de A. Veja os passos a seguir.
−
−
−
100531
010132
001211
⋮
⋮
⋮
133
122 )2(
LLL
LLL
+→
−+→
~
−−−
−
101720
012310
001211
⋮
⋮
⋮
22 )1( LL −→
~
−
−
101720
012310
001211
⋮
⋮
⋮
233 )2( LLL −+→
~
−
−
−
123100
012310
001211
⋮
⋮
⋮
121 LLL +→
~
−
−
−
123100
012310
013501
⋮
⋮
⋮
322 )3( LLL −+→
~
−
−−
−
123100
3711010
013501
⋮
⋮
⋮
311 )5( LLL −+→
~
−
−−
−−
123100
3711010
51118001
⋮
⋮
⋮
Logo,
1
18 11 5
11 7 3
3 2 1
A−− −
= − − −
.
Exemplo 6. Determinar a inversa da matriz usando método de Jordan.
20
A =
−
−−
573
732
143
.
Resolução. det( ) 63 0A = − ≠ . Logo, existe a inversa da matriz A.
Vamos escrever a matriz A na forma aumentada com a matriz 3I .
[ ]33 4 1 1 0 0
2 3 7 0 1 0
3 7 5 0 0 1
A I
− − = −
⋮
⋮ ⋮
⋮
.
Fazendo as seguintes operações elementares na matriz acima,
[ ]33 4 1 1 0 0
2 3 7 0 1 0
3 7 5 0 0 1
A I
− − = −
⋮
⋮ ⋮
⋮
11 )3
1( LL −→
4 1 13 3 31 0 0
2 3 7 0 1 0
3 7 5 0 0 1
− − − −
⋮
∼ ⋮
⋮
133 )3( LLL −+→
4 1 13 3 31 0 0
2 3 7 0 1 0
0 3 6 1 0 1
− − − −
⋮
∼ ⋮
⋮
122 )2( LLL −+→
4 1 13 3 3
19 213 3
1 0 0
0 1 1 0
0 3 6 1 0 1
− − −
−
⋮
∼ ⋮
⋮
22 3LL →
4 1 13 3 31 0 0
0 1 19 2 3 0
0 3 6 1 0 1
− − − −
⋮
∼ ⋮
⋮
233 )3( LLL −+→
4 1 13 3 31 0 0
0 1 19 2 3 0
0 0 63 5 9 1
− − − −
− −
⋮
∼ ⋮
⋮
33 )63
1( LL −→
4 1 13 3 3
5 1 163 7 63
1 0 0
0 1 19 2 3 0
0 0 1
− − −
− −
−
⋮
∼ ⋮
⋮
211 )3
4( LLL −+→
5 1 163 7 63
1 0 25 3 4 0
0 1 19 2 3 0
0 0 1 − −
− − −
⋮
∼ ⋮
⋮
322 19LLL +→
21
31 19263 7 63
5 1 163 7 63
1 0 25 3 4 0
0 1 0
0 0 1 − −
− −
⋮
∼ ⋮
⋮
311 )25( LLL −+→
64 3 2563 7 63
31 19263 7 63
5 1 163 7 63
1 0 0
0 1 0
0 0 1
− − −
− −
⋮
∼ ⋮
⋮
respectivamente, obtemos
64 3 251 0 0
63 7 6331 2 19
0 1 063 7 635 1 1
0 0 163 7 63
− − − − −
⋮
⋮
⋮
.
Logo,
1
64 3 25
63 7 6331 2 19
63 7 635 1 1
63 7 63
A−
− − − = − −
.
Atividade 2
1) Calcular o valor do determinante das seguintes matrizes:
;
1371
034
321
−
−
=A ;
5342
4345
0123
39111
−
−
−
−−
=B .
120
051
372
−=C
2) Por meio de operações elementares, transformar as seguintes matrizes quadradas em
matrizes identidades equivalentes:
;
162
043
321
−−
−
=A ;
4004
2351
3010
2532
−
−−
−=B ;
43
31
−=C .
120
051
372
−=D
3) Se possível, encontrar as inversas das seguintes matrizes:
22
;
310
423
212
−−−=A ;
1130
421
521
−=B ;42
21
=C
;
411
132
122
−
−=D ;
4) Se
e 12
211
=−A
−
=−
23
121B ,
encontrar A, B, 1( )AB − e 1( )BA − .
5) Encontrar todos os valores de x para os quais a matriz
(i)
−
31
132
12
x
x
tem inversa;
(ii)
−−
−
01
32
321
x
x não tem inversa;
6) Encontre o valor de x nas seguintes equações:
(i) 1
532
141
22
−=
−
−
− xx
;
(ii) 2
0
41
523
−=−−
−
xx
x .