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Sistemas Digitais
MAPA DE KARNAUGH
Sistemas Digitais – MAPA DE KARNAUGH 2
MAPA DE KARNAUGH
Introdução
A simplificação de expressões booleanas através da aplicação das
Propriedades e Teoremas da Álgebra Booleana pode ser um processo
trabalhoso e que nem conduz aos resultados esperados. Isto porque, além de
ser exigida muita prática, pode ser muito difícil determinar o conjunto exato
de propriedades e teoremas a utilizar. Uma outra desvantagem é que
frequentemente é difícil dizer se uma expressão foi reduzida a sua forma
mais simples.
O Mapa de Karnaugh fornece um método gráfico de agrupar
expressões com fatores comuns e eliminar redundâncias lógicas. O Mapa de
Karnaugh, também descrito como um arranjo especial de uma Tabela da
Verdade, é constituído de determinado número de células separadas de suas
vizinhas por uma unidade de distância (uma variável) entre os termos
booleanos. Este método gráfico de representação de funções e de aplicação
sistemática do processo de simplificação algébrica permite a fácil
determinação da expressão mínima da função na forma de Soma de
Produtos.
Definição
Um Mapa de Karnaugh é uma matriz com 2n células, onde n é o
número de variáveis da função e onde cada célula está associada a um
mintermo (produto) da Soma de Produtos.
As células do Mapa de Karnaugh são arranjadas de forma que
produtos logicamente adjacentes sejam, também, graficamente adjacentes.
Dois produtos são logicamente adjacentes quando diferem em apenas uma
variável. Os produtos abaixo, por exemplo, são logicamente adjacentes
porque diferem apenas pela variável X.
YX e YX ,
Sistemas Digitais – MAPA DE KARNAUGH 3
O diagrama abaixo ilustra a correspondência entre o Mapa de
Karnaugh e a Tabela Verdade para o exemplo geral de um problema
de duas variáveis.
Tabela Verdade
X Y F
0 0 a
0 1 b
1 0 c
1 1 d
Mapa de Karnaugh
X 0 1
0 a b
1 c d
Mintermos
X 0 1
0 m0 m1
1 m2 m3
Produtos
X 0 1
0 YX . YX .
1 YX . YX .
Os valores anotados dentro dos quadrados devem ser cópias dos
valores anotados na coluna referente à variável de saída da Tabela
Verdade. Existe, portanto, um quadrado no mapa para cada fileira na Tabela
de Verdade. Estes quadrados do Mapa de Karnaugh são denominados
células. Ao longo dos contornos do Mapa, aparecem os valores que as duas
variáveis de entrada podem assumir, como coordenadas. A variável X do
lado esquerdo das linhas e a variável Y está no topo das colunas.
Com o objetivo de mostrar o esquema de mapeamento das
informações da Tabela Verdade para o Mapa de Karnaugh seja a função F
apresentada a seguir:
Tabela Verdade
X Y F
0 0 1
0 1 0
1 0 1
1 1 1
Mapa de Karnaugh
X 0 1
0 1 0
1 1 1
A célula no canto superior direito do mapa acima tem as coordenadas
X = 0 e Y = 1 recebe o valor F = 0 da função, as demais células recebem o
valor F = 1.
Antes de avançar sobre a técnica de simplificação com o Mapa de
Karnaugh, vamos obter as expressões da função anterior diretamente da
Y
Y
Y
Y
Sistemas Digitais – MAPA DE KARNAUGH 4
Tabela Verdade, segundo as técnicas conhecidas:
Expressão Produto de Somas
X Y F
0 0 1
0 1 0
1 0 1
1 1 1
Z = X+ Y
Expressão Soma de Produtos
X Y F
0 0 1
0 1 0
1 0 1
1 1 1
X.Y.YX.YXZ
Recorrendo-se aos teoremas já estudados vamos tentar reduzir a
expressão na forma Soma de Produtos:
XY XY XY = XY XY XY XY
Y X +X ) +X(Y Y) = Y 1 +X 1= X +Y(
Z = X+ Y
Do procedimento anterior, obteve-se a forma reduzida (ou mínima) da
equação Soma de Produtos que, neste caso, corresponde à própria
equação na forma Produto de Somas.
Retornando-se ao Mapa de Karnaugh com os produtos da função em
estudo que irão compor sua expressão na forma Soma de Produtos, é
possível se constatar que o procedimento de simplificação anterior consistiu
em agrupar os mesmos como mostrado:
Produtos
X 0 1
0 YX .
1 YX . YX .
Mapa de Karnaugh
X 0 1
0 1
0
1 1
1
Observando-se a forma como foram agrupados os produtos no mapa à
esquerda constata-se que, para o grupo vertical, a variável comum ( Y )
permaneceu na equação da função enquanto que as variáveis diferentes ( X
e X ) foram eliminadas. O mesmo pode ser constatado da observação dos
termos do grupo horizontal, onde foram eliminadas da equação da função
as variáveis diferentes ( Y e Y ) e mantida a variável comum ( X ).
Y Y
Sistemas Digitais – MAPA DE KARNAUGH 5
Fazendo-se um paralelo entre os agrupamentos de produtos com o
mapa anterior à direita, é possível se perceber que apenas seus “1’s” foram
utilizados na simplificação da função. Mais que isso, é possível se perceber
que uma análise do valor das variáveis em cada grupo é suficiente para se
determinar sua utilização ou não na equação da função.
De fato, observando-se o grupo de “1’s” vertical constata-se que a
variável Y possui sempre o mesmo valor (Y = 0), indicando que a mesma
deve ser mantida na expressão. Já a variável X assume valores diferentes
em cada célula do grupo (X = 0 e X = 1) indicando que deve ser eliminada. O
mesmo pode ser constatado da observação dos “1’s” do grupo horizontal,
onde a variável X foi mantida, por assumir um único valor (X = 1), e a variável
Y foi eliminada, por assumir diferentes valores (Y = 0 e Y = 1).
Regras de Agrupamento das Células O Mapa de Karnaugh usa as seguintes regras para a simplificação das
expressões pelo agrupamento de células adjacentes que contêm 1's (uns).
Os grupos não podem incluir nenhuma célula que contenha
um 0 (zero)
B 0 1
0 0
1 1
Errado
B 0 1
0
1 1
1
Certo
Os grupos podem ser horizontais ou verticais, mas não
diagonais.
B 0 1
0
1
1 1
Errado
B 0 1
0 1
1 1
1
Certo
Os grupos devem conter 1, 2, 4, 8 ou, em geral, 2n células.
B 0 1
B 00 01 11 10
A
A A
A AC
A
Sistemas Digitais – MAPA DE KARNAUGH 6
0 1
1 1
Certo
0 1
1 1
1
Errado
B 0 1
0 1
1
1 1 1
Errado
B 00 01 11 10
0 0
0 0 1
1 1 1 1 1
Errado
Cada grupo deve ser tão grande quanto possível.
B 00 01 11 10
0 1
1 1
1
1 1 1
Certo
B 00 01 11 10
0 1
1 1
1
1 1
1
Errado
Obs: No segundo caso, não seria obtida a função mínima.
Cada célula que contém um deve pertencer a menos em um
grupo.
B 00 01 11 10
0 1
1
1 1
Errado
B 00 01 11 10
0 1
1
1 1
Certo
Obs: No primeiro caso, a célula não marcada fica fora da expressão
da função.
Os grupos podem se sobrepor.
B 00 01 11 10
0 1 1
1 1
B 00 01 11 10
0 1
1 1 1
A AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
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1 1 1
Certo
1 1
1
Errado
Obs: No segundo caso, não seria obtida a função mínima.
Os grupos podem envolver células em torno do mapa.
Assim, a célula mais à esquerda em uma fila pode ser agrupada com a
célula mais à direita ou a célula superior em uma coluna pode ser agrupada
com a célula inferior.
B 00 01 11 10
0 1
1
1 1 1
Errado
B 00 01 11 10
0 1
1
1 1 1
Certo
Deve haver tão poucos grupos quanto for possível, desde
que esta regra não contrarie alguma das regras
precedentes.
B 00 01 11 10
0 1
1 1 1
1 1 1
Certo
B 00 01 11 10
0 1
1 1
1
1 1
1
Errado
Resumindo
Não são permitidos zeros.
Não são permitidos grupos na diagonal.
Somente potências de 2 no tamanho do grupo.
Os grupos devem ser tão grandes quanto possível.
AC
AC
AC
AC
Sistemas Digitais – MAPA DE KARNAUGH 8
Cada um deve estar em pelo menos um grupo.
Sobreposições são permitidas.
Permitidos grupos em torno do mapa.
Poucos grupos permitidos, se isto não violar qualquer das
regras acima.
Regras de Extração das Funções Simplificadas A extração da expressão booleana simplificada do Mapa de Karnaugh
é realizada como descrito no procedimento detalhado a seguir.
Cada grupo representa um termo em uma expressão na forma
Soma de Produtos que será obtida.
Os valores de todas as variáveis nas células de cada grupo devem ser
verificados e os termos da expressão obtidos da seguinte maneira:
Se uma variável tiver o valor “1” em cada célula de um grupo,
então o termo para esse grupo incluirá essa variável.
Se uma variável tiver o valor “0” em cada célula de um grupo,
então o termo para esse grupo incluirá a negação dessa
variável.
Se uma variável tiver o valor “0” em algumas células de um
grupo e o valor “1” em outras células do grupo, então o termo
para esse grupo não incluirá essa variável.
Exemplos de Aplicação
Nesta seção serão apresentadas as soluções de alguns problemas
típicos sobre a obtenção da expressão mínima de uma função por meio do
uso do Mapa de Karnaugh.
Exemplo 1: Um circuito tem duas variáveis A e B de entrada e uma
variável Z de saída. Utilizando o Mapa de Karnaugh, determine da
expressão mínima da função Z.
Tabela Verdade
A B F
Mapa de Karnaugh
B
Sistemas Digitais – MAPA DE KARNAUGH 9
0 0 0
0 1 0
1 0 1
1 1 1
ABBA)B,A(fZ
A 0 1
0
1 1
1
Z = f(A,B) = A
Os “1´s” adjacentes são agrupados. Como variável A não muda de
valor será escrita diretamente na expressão. Já que a variável B é eliminada
porque muda de valor.
Partindo-se da expressão Soma de Produtos e usando as técnicas de
simplificação algébrica, é possível se constatar a correção desse resultado:
ABBA)B,A(fZ
B)BA()B,A(fZ
1.A)B,A(fZ
A)B,A(fZ
Exemplo 2: Um circuito tem duas variáveis A e B de entrada e uma
variável Z de saída. Utilizando o Mapa de Karnaugh, determine da
expressão mínima da função Z.
Tabela Verdade
A B Z
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
.BABA.B.A)B,A(fZ
Mapa de Karnaugh
A 0 1
0 1
1 1
1
Z = f(A,B) = A
Utilizando as regras de agrupamento e de extração, pelo
agrupamento de pares de 1´s como mostrados acima, a resposta simplificada
é obtida usando as seguintes etapas:
Dois grupos podem ser formados, tendo-se em mente que os maiores
conjuntos retangulares que podem ser feitos consistem em dois 1´s.
Note que um 1 pode pertencer a mais de um grupo.
grupo vertical, consiste de dois “1´s” que correspondem às células de
coordenadas A = 0 e B = 1 e A = 1 e B = 1. Visto de outra maneira, as
B
Sistemas Digitais – MAPA DE KARNAUGH 10
células do grupo são aquelas onde B = 1, independente do valor de A.
Assim quando B = 1 a saída deverá ser 1. A expressão da saída
conterá o termo B.
grupo horizontal corresponde à área do mapa onde A = 1. O grupo
pode ser definido como A. Isto implica que quando A = 1 a saída é 1.
Consequentemente, a saída é igual a 1 para A = 1 ou B = 1. Logo a
expressão simplificada é:
Z = A + B
Construção do Mapa de Karnaugh O Mapa de Karnaugh permite a minimização de funções booleanas de
forma sistemática e segura. Constituindo-se em uma ferramenta geométrica
alternativa para a representação da Tabela Verdade, tem a numeração de
suas células guardando uma relação direta com a numeração dos
mintermos. A figura a seguir mostra a correspondência entre a numeração
das linhas Tabela Verdade e a numeração das células do Mapa de Karnaugh
para funções de 1, 2, 3 e 4 variáveis.
Uma Variável
Tabela Verdade
A A Z
0 0 0 0
1 0 1 1
Mapa de Karnaugh
A 0 1
0 1
Duas Variáveis
Tabela Verdade
A B Z
0 0 0 0
1 0 1 1
2 1 0 1
3 1 1 0
Mapa de Karnaugh
A 0 1
0 0 1
1 2 3
Três Variáveis
B
1
1
1
Sistemas Digitais – MAPA DE KARNAUGH 11
Tabela Verdade
A B C Z
0 0 0 0 0
1 0 0 1 1
2 0 1 0 1
3 0 1 1 0
4 1 0 0 1
5 1 0 1 0
6 1 1 0 0
7 1 1 1 1
Mapa de Karnaugh
A 00 01 11 10
0 0 1 3 2
1 4 5 7 6
Quatro Variáveis
Tabela Verdade
A B C D Z
0 0 0 0 0 1
1 0 0 0 1 0
2 0 0 1 0 0
3 0 0 1 1 0
4 0 1 0 0 0
5 0 1 0 1 1
6 0 1 1 0 0
7 0 1 1 1 0
8 1 0 0 0 0
9 1 0 0 1 0
10 1 0 1 0 1
11 1 0 1 1 0
12 1 1 0 0 0
13 1 1 0 1 0
14 1 1 1 0 0
15 1 1 1 1 1
Mapa de Karnaugh
AB 00 01 11 10
00 0 1 3 2
01 4 5 7 6
11 12 13 15 14
10 8 9 11 10
Exemplo 3: Utilizando o Mapa de Karnaugh, determine da expressão
mínima da função F cujas três variáveis de entrada são X, Y e Z.
Tabela Verdade
X Y Z F
0 0 0 0 1
Mapa de Karnaugh
BC
CD
1 1
1 1
1
1
1
1
YZ
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1 0 0 1 1
2 0 1 0 0
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 0
6 1 1 0 0
7 1 1 1 0
X 00 01 11 10
0 0 1 3 2
1 4 5 7 6
ZXZY = Z)Y,F(X,
Exemplo 4: Utilizando o Mapa de Karnaugh, determine da expressão
mínima da função F cujas três variáveis de entrada são X, Y e Z.
Tabela Verdade
A B C D Z
0 0 0 0 0 1
1 0 0 0 1 0
2 0 0 1 0 0
3 0 0 1 1 0
4 0 1 0 0 1
5 0 1 0 1 0
6 0 1 1 0 0
7 0 1 1 1 0
8 1 0 0 0 1
9 1 0 0 1 0
10 1 0 1 0 1
11 1 0 1 1 0
12 1 1 0 0 1
13 1 1 0 1 0
14 1 1 1 0 1
15 1 1 1 1 0
Mapa de Karnaugh
AB 00 01 11 10
00 0 1 3 2
01 4 5 7 6
11 12 13 15 14
10 8 9 11 10
DADC = D)C,B,F(A,
Exemplo 5: Utilizando o Mapa de Karnaugh, determine da expressão
mínima da função F cujas três variáveis de entrada são X, Y e Z.
Tabela Verdade
X Y Z F
0 0 0 0 1
1 0 0 1 1
2 0 1 0 0
Mapa de Karnaugh
X 00 01 11 10
0 0 1 3 2
1 4 5 7 6
1 1
1
1
YZ
1 1
1
1
CD
1
1 1
1
1
1
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3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 0
6 1 1 0 0
7 1 1 1 0
ZXZY = Z)Y,F(X,
Problemas Propostos 1) Obtenha as funções simplificadas correspondentes aos seguintes
Mapas de Karnaugh de 3 variáveis:
2) Obtenha as funções simplificadas correspondentes aos seguintes
Mapas de Karnaugh de 4 variáveis:
3) Utilizando o Mapa de Karnaugh, simplifique as seguintes funções
lógicas, apresentando o resultado na forma Soma de Produtos:
a) F(A,B,C) = ΠM(0,2,6,7)
b) F(A,B,C) = Σm(0,2,3,4,5,6)
c) F(A,B,C,D) = Σm (2,5,7,11,13,15)
d) F(A,B,C,D) =Σm(3,4,5,6,7,12,13)
Sistemas Digitais – MAPA DE KARNAUGH 14
e) F(A,B,C,D) =Σm(1,5,6,7,11,12,13,15)
f) F(A,B,C,D) = Σm(1,5,6,7,8,9,10,14)
g) F(A,B,C,D) =Σm(0,2,8,10)
h) F(A,B,C,D) = ΠM(2,6,10,14)
4) Considere a seguinte função:
a) Simplifique a função usando um mapa de Karnaugh.
b) Obtenha o mesmo resultado algebricamente
5) Simplificar a expressão utilizando o Mapa de Karnaugh:
6) Dada a expressão a seguir, obtenha o circuito otimizado a partir do
Mapa de Karnaugh.
7) Utilizando o Mapa de Karnaugh, demonstre que o circuito (a) pode
ser minimizado e implementado como mostrado em (b).
Sistemas Digitais – MAPA DE KARNAUGH 15
BIBLIOGRAFIA BÁSICA
1. TOCCI, Ronald J.; WIDMER, Neal S.; MOSS, Gregory L., Sistemas
Digitais: Princípios e Aplicações, Prentice Hall Brasil, 2007.
2. UYEMURA, John P., Sistemas Digitais: Uma Abordagem Integrada,
São Paulo, Thomson Pioneira, 2002.
3. VAHID, Frank; LASCHUK, Anatólio, Sistemas Digitais: projeto,
otimização e HDLs, Bookman, 2008.
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR
1. ERCEGOVAC, Milos D.; LANG, Tomas e MORENO, Jaime H., Introdução
aos Sistemas Digitais, Porto Alegre, Bookman, 2000.
2. IDOETA, Ivan V.; CAPUANO, Francisco G., Elementos de eletrônica
digital. Livros Érica Editora. Ltda, 2002.
3. TAUB, Herbert; SCHILLING, Donald, Eletrônica Digital, São Paulo.
McGraw-Hill, 1982.