Captulo 2 Generacin de Nmeros AleatoriosII.1IntroduccinLavidarealraramenteesdeterminstica.Muchasdelasinfluenciasexternasaunsistemabajoestudio (tal como el arribo de las entidades) y el comportamiento de los componentes internos delsistema(talescomoladuracindeltiempodeservicio)siguenunpatrnnodeterminsticooaleatorio.Elarribodelosclientesaunalavandera,eltiempodeusodeunacomputadorayeltiempo de traslado de tu casa a tu lugar de trabajo, son ejemplos representativos de esta situacin.Paraconstruirun modelodesimulacinrepresentativodeunsistemabajoestudioes necesariorecrear los efectos aleatorios que estn presentes en el sistema. En este captulo se presentan losconceptos de aleatoriedad y pseudo aleatoriedad, algunos mtodos numricos para la generacinde nmeros aleatorios, algunos mtodos para probar la aleatoriedad de los nmeros generados, elmtododeMonteCarloyalgunosejerciciosdesimulacindondeseaplicanlosconocimientoscubiertos.II.2Efectos de la aleatoriedad en la simulacinUnmtodoposibleparare-crearlosefectosaleatoriosqueestnpresentesenelsistema,eselusodelconjuntode datos obtenidos delmundorealyelaborarelmodelo sujetoaexactamentealos mismos patrones de datos. Sin embargo, existen algunos problemas con el uso de este tipo dedatos.PrimeroLos datosestnlimitadosgeneralmenteennmero; elnumerodedatosquepuedenserreunidos es frecuentemente limitado debido al tiempo y al costo asociado con la obtencinde datos. Esto limita la longitud de la simulacina la longitud del perodo de obtencin dedatos.SegundoLosdatosestndisponiblessolosilossistemasestnactualmenteoperando.Unpapelimportante en la simulacin es el diseo de sistemas no existentes.TerceroNoes posiblederealizarfcilmenteunanlisisdesensibilidadusandodatosreales.CuartoDebidoaquelosdatosobtenidosgeneralmentenoestnenformalebleparalacomputadora,capturargrandescantidadesdedatosenlacomputadorarequieredemasiado tiempo.Idealmenteelmodelosujetoalosdatosrealesdeberadesempearseexactamentequeelsistemaquesimula,yporestolasestadsticasresultantesdeberancorrespondercercanamente a las estadsticas obtenidas del desempeo del sistema actual.Es necesario desarrollar un procedimiento para generar datos aleatorios artificialmente de acuerdoa las especificaciones del analista. El procedimiento sigue los pasos siguientes:Paso 1Obtener datos reales en cantidad suficiente para servir como una fuente confiablede la actual poblacin estadstica.Paso 2Desarrollarunanlisisestadsticodelamuestraparaidentificarlanaturaleza(distribucindeprobabilidadysusparmetros)delapoblacinestadsticadelacual la muestra es tomada.Paso 3Usaruninstrumentocomomecanismoqueseacapazdecrearunnumeroilimitadodevariablesaleatoriasquesearepresentativoporlapoblacinidentificada en el paso 2.II.3Generador de Nmeros AleatoriosExisten diferentes formas de obtener nmeros aleatorios: Provisin externa Tablas de Rand (nmeros aleatorios) Generacin interna a partir de un proceso fsico al azar Generacin interna de sucesiones dgitos por medio de una relacin de recurrenciaII.3.1Provisin Externa: Tablas RANDSetienela ventajadequelaseriedenmerosobtenidadeunatablaesreproducibleysetienecomo inconveniente la lentitud para su obtencin y que se requiere una gran cantidad de memoriaparasualmacenamiento.EnelapndicedetablasalfinaldelcaptulosemuestraunatablatomadadelaCorporacnRand,AMillionRandomDigitswith100,000NormalDeviates (NewYork: The Free Press, 1955)II.3.2Generacin interna a partir de un proceso fsico al azar.Algunosmtodosparacrearciertosresultadosaleatoriosusaninstrumentosfsicos(monedas,dados,yruletas).Algunastcnicasnumricaspuedenserusadasenlageneracindenmerosaleatorios,ydespusestosnmerosaleatoriossernusadosparagenerarlasvariablesaleatorias.Limitaciones de los instrumentos fsicos para generan nmeros aleatorios:1.-Los instrumentos fsicos no pueden generarnmeros aleatorios verdaderos a menos quesean altamente elaborados tcnicamente y caros.2.-Es un proceso de generacin caro3.-Losflujosdenmerosaleatoriosgeneradosporlosinstrumentosfsicosson norepetitivos. La propiedad de repetibilidad es deseable considerando la necesidad de quevarios escenarios de modelacin estn sujetos al mismo conjunto de efectos aleatorios.II.3.3Generacin interna de sucesiones dgitos por medio de una relacinde recurrenciaLasmetodologasporsoftwareparagenerarnmerosaleatorioshansidodesarrolladasvatcnicas numricas. A este proceso se le denomina Generacin de Nmeros Pseudoaleatorios.Lapalabrapseudoaleatoriosugierequelosnmeros generadosestninte-relacionados atravsde relaciones numricas y realmente no son independientes uno del otro.Propiedades deseables de los generadores de nmeros Pseudoaleatorios:1.-Deben ser uniformemente distribuidos entre el rango continuo de cero a uno.2.-Elnmerogeneradodebesertanindependientementeposibledeotronumero;idealmente, no debe existir autocorrelacin entre ellos.3.-Elgenerador debe sertanrpido y no deber requerir una excesiva memoria dela computadora.4.-Los nmeros generados deben tenerun ciclo largo antes de que la secuenciaserepita.5.-Deberserposibleregenerarelflujodenmerosaleatorios(sonreproducibles)pararepetirpatronessimilaresalosvariosescenariosdemodelacinaquesepuede estar sujeto.6.-Deber ser posible generar flujos mltiples de nmeros aleatorios los que debenserindependientesunosdeotros.Estapropiedad permite laasignacinde flujosde dedicados a ciertos mdulos dentro del modelo.Algunos mtodos para generar nmeros pseudoaleatorios son: Mtodo de Centros al Cuadrado Mtodo de Congruencia LinealMtodo de Congruencia MixtoMtodo de Congruencia Multiplicativa Generadores combinadosII.3.3.1Mtodo de Centros al CuadradoUnodelos mtodos ms simplesparalageneracin denmeros Pseudoaleatorioses elmtododeCentrosalcuadrado(middlesquare).JonvonNeumannen1946sugirilageneracindenmeros aleatorios realizando operaciones aritmticas en una computadora,elevando al cuadradoelnmeroprevioyextrayendolosdgitoscentrales.Aunqueestemtodogeneralmentetieneunpobredesempeo(siunceroapareceenlasecuencia,estesereternamenteperpetuo),lasimplicidaddeestealgoritmolohaceapropiadoparademostrarelconceptodelageneracindelos nmeros Pseudoaleatorios. Para obtener los nmeros aleatorios de n-dgitos, el procedimientode centros al cuadrado es el siguiente:1.-Seleccione un nmero de n-dgitos2.-Obtenga elcuadrado delnmero.Sielnumero de dgitos delresultado es menor que 2n,agregue los ceros a la izquierda necesarios para hacer el numero par entre n dgitos o igualde 2n dgitos de longitud.3.-Tome lo n dgitos centrales del numero encontrado en el paso 2.4.-Coloque un punto decimal antes del primer dgito del numero encontrado en el paso 3, elnumero fraccional resultante es un numero aleatorio.5.-Sustituya el nmero encontrado en el paso 3 en el paso 2 y repita el proceso.El siguiente ejemplo numrico demuestra este algoritmo para el caso de 4-dgitos.Trabajando con 2n dgitosS0 = Semilla = 5625S1 = (5625)2 = 31|6406|25r1=0.6406S2 = (6406)2 = 41|0368|36r2=0.0368S3 = (0368)2 = 00|1354|25r3=0.1354S4 = (1354)2 = 01|8333|16r4=0.8333S4= (8333)2 =69|4388|89r5=0.4388Trabajando con un valor par menor o igual a 2n dgitosS0 = Semilla = 5625S1 = (5625)2 = 31|6406|25r1=0.6406S2 = (6406)2 = 41|0368|36r2=0.0368S3 = (0368)2 =1|3542|4r3=0.3542S4 = (1354)2 = 12|5457|64r4=0.5457S4= (8333)2 =29|7788|49r5=0.7788.Apesarde lasimplicidad de estemtodo,esteno esgeneralmenteusado debidoasu debilidad.Porejemploestemtodopuederpidamentedegenerardependiendodelaeleccindelnmerosemilla. Estose puede demostrar eligiendo una semilla con valor de 500:S0 = Semilla = 5500S1 = (5500)2 = 30250000r1=0.2500S2 = (2500)2 = 06250000r2=0.2500Note que los valoressubsecuentes de los nmeros aleatorios sern los mismos. Otra debilidad deestemtodoes que silnumerogeneradoes cercanoa cero(teniendo varios ceros despusdelpunto decimal), todos los nmeros subsecuentes sern tambin muy pequeos.Eldesempeodetodoslosmtodosnumricosdependedeltamaodelapalabradelacomputadoraqueejecutalasoperacionesrelativas,debidoaquelosposiblestamaosdelosnmeros mayores y menores soninfluenciados porel numero debitsqueabarcaeltamao de lapalabra de la computadora (usualmente 16 o 32 ).II.3.3.2Mtodo de Congruencia LinealElmtododecongruencialinealeslatcnicamasampliamenteusadaparagenerarnmerosaleatorios,talcomosedescribir mas adelanteendetalle.Tambinsereportaunaextensindeestemtodoqueproducesecuenciasconperiodoslargos.Muchosotrosmtodoshansidopropuestos, y estos son revisados en Bratley, Fox y Schrage [1987], Law y Kelton [1991] y Ripley[1987]Los nmeros generados sonpseudoaleatorios, cumplen con las pruebas de aleatoriedad, sondeterminsticos (dirigidos) y son determinados a partir del ltimo nmero generado. Este mtodoproduce una secuencia de nmeros enteros X1,X2,....... entre cero y m-1 de acuerdo a ls siguienterelacin recursiva:Xi = ( aXi - 1+ C ) mod mEl valor inicial de la semilla X0se llama semilla, a es la constante multiplicativa, c es el incremento,y meselmodulo..Sic0,setieneel mtododecongruenciamixta.Cuandoc=0,setieneelmtodo de congruencia multiplicativa.En los mtodos de congruencia la longitud del ciclo de repeticin del numero aleatorio es siempremas pequeo que el parmetro m. Por esto, un valor relativamente grande de m es deseable, Unvalor de2k- 1,donde keseltamaodelapalabra delacomputadora,trabajabien,comoloesa=2k+ 5. Siempre que el parmetro c sea primo relativo a m. Debidoaquelasherramientasdeloslenguajesdeprogramacinydelossimuladoresestnequipadasconrutinasgeneradorasdenmerosaleatoriaspre-probadas,losusuariosraramentetienen necesidad de crear sus propios programas generadores de nmeros aleatorios.Propiedades secundarias que deben ser consideradas. Estas incluyen la densidad mxima yel periodo mximo.Primero. Note que los nmeros generados pueden nicamente asumir valores de un conjunto I={0,1/m,2/m,3/m,4/m,........,(m-1)/m.}, ya que Xies un entero en el conjunto {0, 1, 2, 3,...,m}.Por loque cada Ries discretoen I,en lugardesercontinuosobreelintervalo[0,1].Estaaproximacinaparecepareceserdepocaconsecuenciadadoqueelmodulode mesunenterodemasiadogrande.(Valorestalescomom=231-1ym=248sondeusocomnenlosgeneradorescomoGPSSS/H,SIMSCRIPTII.5,SLAMII,SIMANV,yotroslenguajes.)Pormximadensidadseentiende que los valores asumidos por Ri, i=1,2,...., dejan huecos no grandes en [0,1].Segundo, para ayudar a lograr una densidad mxima y evitar el Ciclaje( por ejemplo, recurrenciadelamismasecuenciadelosnmerosgenerados)enaplicacionesprcticas,elgeneradordeber tener el periodo mas grande posible. El periodo mximo puede ser logrado con la adecuadaeleccin de a, c, m y X0; Law y Kelton [1991].Para m a la potencia 2, digamos m=2b, y c0, el periodo mas largo posible es P = m = 2b,el cualel logrado dado que c es relativamente primo a m ( que es, el factor comn mayorde c y m es 1), y a=1+4k, donde k y b son enteros.Para m a la potencia de 2, digamos m=2b, y c=0, el periodo mas largo posible es P = m/4=2b-2, elcualseobtienedadoque lasemilla X0 es impar yel multiplicador, aestadadopor a=3+8k o a=5+8k, para k y b enteros.Para m un numero primo y c=0, el periodo mas largo posible es P = m-1 el cual se obtienedado que el multiplicador, a tiene la propiedad de que el entero mas pequeo k tal que ak-1es divisible por m es k=m-1.Nmeros PrimosUn nmero es primo cuando es entero positivo, distinto de 0 y 1y que nicamente se puededividirpor smismoy por1paradarunasolucinexacta(portanto,paratodoslos otrosnmeros por los que intentemos dividir el nmero primo no dar solucin exacta).http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Launchpad/2208/Ejemplos:Divisores de 3= {1, 3} => es primoD(7)={1, 7} => es primoD(9)={1, 3, 9} => no es primo, es divisible por 3 adems de 1 y 9Factores primosLos factores primos de un nmero son aquellos nmeros primos que son divisores exactosdedichonmero.Porejemplo,losfactoresprimosdeln24sonel2,2,2y3(nosonfactoresprimosel4,el6,el8oel12,porqueaunquesondivisoresexactos,nosonprimos).http://www.esi.unav.es/Asignaturas/Informat2/C/Ejerres/Ex_feb6/exam_c.htmRelativamente primosa y n son relativamente primos si no tienen factores en comn sino1, o sea quegcd(a,n) = 1. Calcular gcd(a,n) con el algoritmo de Eucldes.Donde gcd= Mximo Comn Divisor por sus siglas en ingles.Por ejemplo 6 y 4 no son relativamente primos porque tienen en comn el 2Por ejemplo 6 y 11 son relativamente primos porque 6=2*3 y 11=11. (11=6x1+5, 6=2x3+0)Mnimo Comn MltiploEl mnimo comn mltiplo de dos o ms nmeros, es el nmero ms pequeo posible, quees mltiplo de esos nmeros.Por ejemplo: El mnimo comn mltiplo de los nmeros 100, 200, 300, es 600, pues 600 esel nmero ms pequeo que es mltiplo de 100, 200 y 300.Paracalcularelmnimocomnmltiplodedosomsnmerossedescomponenlosnmeros en factores primos100 = 22 52200 = 23 52300 = 22 31 52y se cogen los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.En nuestro caso 2331 52 = 600Algoritmo de EuclidesSean a y b los nmeros de los que queremos calcular el mximo comn divisor (MCD).MCD(a,c) Es decir, el mayor entero positivo que divide a ambos.Hacemos las siguientes divisiones hasta que el resto de una de ellas sea cero.a = cq1 + r1c = r1 q2 + r2r1= r2 q3+ r3r2= r3q4+ r4............................rn - 1 = rn qn+ 1 + 0Siendo q1, q2, ... los cocientes y r1, r2, ... los restos. El mximo comn divisor es rn.(En MCD(a,c),rn el mayor entero positivo que divide a ambos.)Ejemplo: Calcular el MCD de 200 y 162,200 = 162 x 1 + 38162 = 38 x 4 + 1038 = 10 x 3 + 810 = 8 x 1 + 28 = 2 x 4 + 0 El MCD de 200 y 162 es 2.Mximo comn divisor de varios nmerosEjemplo: Calcular el MCD de 2353 y 16512353=1651x1+7021651=702x2+247702=247x2+208247=208x1+39208=39x5+1339=13x3+0. El MCD de 2353 y 1651 es 13Ejemplo: Calcular el MCD de 43 y 2143=21x2+ 121=1x20+ 120=1x20 +0El MCD de 43 y 21 es 1. Por lo tanto son relativamente primoshttp://www.terra.es/personal/jftjft/Aritmetica/Numeros/AlgoEucl.htmhttp://www.oma.org.ar/omanet/cym98/divcomeu.htmII.3.3.2.1Mtodo de congruencia mixtaRelacin:Xi = ( aXi - 1 + C ) mod m; ri = Xi /m(1)donde X0es la semillaXn es igual residuo de dividir lo que esta dentro del parmetro entre m.Los parmetros a, c, y m tambin como la semilla son enteras no-negativas y deben satisfacer:0 < m,a< m, c0.II.3.4Generadores combinadosCuandolaaplicacinrequieredeunperiodomayoralquesepuedealcanzarconungeneradorsimple, se recurre a los generadores combinados de congruencia lineal. Para generar la secuenciade Xi y Ri requerida, este generador necesita las salidas Xi,j, j = 1..k, de k diferentes generadoresdecongruenciamultiplicativacuyosparmetrostienenlosvaloresapropiadosparaasegurarunperiodo mj-1. El generador j produce la salida Xi,j entera uniformemente distribuida de 1 a mj-1. Lacombinacin se calcula mediante las siguientes frmulas:( ) ( )111 mod 1kji ij jjX X m _ ,(3)1, 01, 0iiiiiXXmRmXm> '(4)El periodo mximo posible es:( ) ( ) ( )1 211 1.... 12kkm m mP (5)Para computadoras de 32 bits se sugiere combinar dos generadores k = 2 con m1 = 2147483563,a1 = 40014, m2 = 2147483399 y a2 = 40692. La semilla del primer generador se toma del intervalo[1,2147483562],ylasemilladelsegundogeneradorsetomadelintervalo[1,2147483398].Elperiodo es (m1-1) (m2-1)/22x1018.II.3.5Otros GeneradoresGeneradores Paralelos de nmeros aleatorios.Sincronizacin; reproducibilidad; gasto transicin ]Generadores de Fibonacci retardados[ Sincronizacin; reproducibilidad; gasto transicin ]Generadores Comerciales:IMSL Generador congruencial multiplicativom = 231 1,a = 16807; 397204094; 950706376http://www.stat.cmu.edu/AnexoLos resultados tericos que veremos a continuacin facilitan la eleccin de los parmetrosde a y c su demostracin puede verse en el texto clsicoD. Knuth (1981): The Art of Computer Programming. Ed. A. Wesley Vol N2Proposicin 2.1HasidoprobadoporM.Greenbergeren1961queenungeneradorcongruenciallasecuenciatendr un periodo mximo m, s y slo s;i) m.c.d (c, m) = 1 ;(c es relativamente primo a m, es decir que son primos relativos)ii)a - 1 mod p; para cada factor primo p de m.(si q es un nmero primo que divide a m, entonces q divide a a-1)iii) a - 1 mod 4 ; si 4 divide a m.(Si 4 divide a m, entonces 4 divide a a-1)Por ejemplo sip=5 y m=100 en:Si a=11, a-1=10, entonces en i) 10 mod 5 cumple pero no en ii) 10 mod 4 Si a=21, a-1=20, entonces eni) 20 mod 5cumple, y tambin en ii)cumple 20 mod 4Puesto que c esta asociado en la prctica con el efecto de traslacin, inicialmente asumiremos(c=0), es decir partiremos estudiando los generador congruencial multiplicativos.Dem: Donald Knuth Vol 2 (1981)Obs: 1) Lo anterior sugiere elegir m lo ms grande posible, para asegurarnos un perodolargo (posibles elecciones de m son; m=231 -1, m=216 +1)2) Sea p el perodo de la secuencia de nmeros aleatorios, si p=m el generador se llamade perodo completo.3) Si m es un nmero primo entonces el mximo perodo se obtiene si a =1Proposicin 2.2 Sea un generador multiplicativo (c=0) [Xn+1 = a Xnmod m] tiene perodo p=(m-1),slo si p es primo. El periodo divide a (m-1) y es (m-1) si y slo si a es una raz primitiva de m-1,es decir a(m-1)/p 1 mod m, para todos los factores primos p de (m-1).Cuandoc=0,unonopuedeobtenerunperiodocompleto,peroparalograrelperiodomximoposible, lo siguiente deber ser satisfecho:1 X0 es relativamente primo a m2 a es un elemento primitivo a modulo mPero es posible obtener un periodo de longitud m-1 pero generalmente el periodo es de alrededorde m/4.http://www.cs.panam.edu/~meng/Course/CS6337/Note/master/node40.htmlProposicin 2.3Si a es un raz primitiva de m, akmod m, lo es siempre que k y m-1 sean primos relativos.EquivalentementeSi a es una raz primitiva de m, akmod m lo es siempre que ;mcd(k,m-1)=1Dem:B. Ripley (1987) Stochastic SimulationEd. John Wiley. pp 47Obs: 1) En general los generadores congruenciales son de la formaXn+1= g (Xn, Xn-1,.... ,Xn-k,...) mod mg (x) = a Xng (x) = a Xn+ cg (x) = a Xn2 + c Xn+ dUsando g (x) = (a1 Xn-1+ a2 Xn-2+ ... + ar Xn-r), se obtieneun generador de Fibonacci retardado. La teora de estos generadores se puede ver enMarsaglia (1985)]2) Una buena eleccin de m, permite obtener un generador eficiente (ciclo mximo).Peroanse debe estudiar con ms detalle la eleccin de a y c, pues se tienen muchos gradosde libertad.3) Un buen generador congruencial debe ser:i)De mximo perodoii)Su salida debe parecer aleatoriaiii)Poder implementar de forma eficiente en aritmtica de 32 bits.Un algoritmo de muy fcil implementacin del tipo congruencial es m = 231-1a = 75 (raz primitiva de m)Xn = 75 Xn-1mod (231-1)un = ,_

1 231nXDicho generador se encuentra en las bibliotecas IMSL y NAGLafamosarutinaRANDU,queungeneradormuypopulardistribuidoporIBMenlos60sproporcionaba para sus equipos un modelo congruencial multiplicativo con m = 231 ; a = 65539 ; c =0Xn = 65539 Xn-1mod(231)un = ,_

312nXLo que sugiereciertaprevisibilidaden susalida (Mal Generadoryaque mas tardeseprobotenerun problema serio.) Cambiar el nmero 65539 por 69069 mejora el desempeo significativamente.Este generador proporciona tripletas consecutivas de nmeros que caen en 15 planos! Lo quesugiere cierta previsiblidad en su salida (Mal Generador)Barsaglia (1968) demostr que sucesiones consecutivas no superpuestas de n nmeros aleatoriosobtenidos de generadores multiplicativos caen en, a lo sumo [n! m] 1/n hiperplanos paralelos.Algunas cotas de casos representativosn=3n=5n=7n=9n=10m = 2167323 161413m = 2322953220804841Es decir, en un computador con palabras de 32 bits, menos de 41 hiperplanos contendrn las 10-plasEnteorapuedeconseguirsequeunbuengeneradorconm=232produzca357.913.941puntosindependientes en un cubo de dimensin 3, siendo el mnimo nmero de hiperplanos que contieneestos puntos 108, en contraste con los 2953.Para la famosa rutina RANDU de IBM,Xn = 65539 Xn mod (231)las tripletas consecutivas de nmeros caen en 15 planos.II.4Mtodo de Monte CarloII.4.1IntroduccinLa Simulacin de Monte Carlo es una tcnica que permite realizar un muestreo simulado. Con sloconocerelcomportamientoprobabilsticodeleventoatravsdeunafuncindedensidad,esposibleobtenerunacantidadilimitadademuestrascuyatendenciasermuysimilaralcomportamientoreal. ElmtododeMonteCarlocalculalaincertidumbreenelpronosticodeeventos futuros.ElnombredeMonteCarlofueacuadoporNicholasMetropolis(inspiradoporelinterseneljuegodeStanislawUlamquinen1946seconvirtienelprimermatemticoendignificaresteenfoque con un nombre, en honor a un pariente que era propenso al juego; Hoffman 1998, p.239)duranteelproyectoManhattanenlaSegundaGuerraMundial,debidoalasimilituddelasimulacin estadsticaa los juegosde oportunidad,y tambin aque lacapitaldeMnaco (MonteCarlo) era el centro de apuestasy similares situaciones. El mtodo de Monte Carlo es ahora usadode manera rutinaria en diversos campos, desde la simulacin de fenmenos fsicos complejos talescomoDiseodereactoresnucleares,Terapiaderadiacinparaelcncer,Evolucinestelar,Exploracindepozospetroleros,etc.hastaFlujodetrficovehicularyareo,Pronsticos,portafolio de inversiones, simulacin de un juego de Azar, etc.II.4.2ProcedimientoEn lugar de usar un solo valor para cada variable en un modelo, usa muchos valores. El motor delmtododeMonteCarlo corre(trabaja)sobreelmodelouna yotra vezusandodiferentes valorespara cada una de las variables en el modelo. Cada corrida es llamada prueba. Los resultados sontabulados,ydespusdeungrannumerodepruebas,elpronsticoesmostradocomounsolovalor, pero como un rango de valores.La seleccin del valor para la variable de cada prueba es aleatorio. Pero los valores permitidos dela variable no son aleatorios. Estos son cuidadosamente calculados usando el mejor conocimientode cmo la variable se comporta.Cualquier mtodo que resuelve un problema a travs de generar nmeros aleatorios apropiados yde observar que fraccin del nmero cumple cierta propiedad o propiedades. Este mtodo es tilparaobtenersolucionesnumricasaproblemasquesonmuycomplicadospararesolversedeforma analtica.Elprocesoparagenerarvariablesaleatoriasqueseapeganaesadistribucinempricaeselsiguiente:Partiendodeladistribucindeprobabilidaddelafuncinseelaboralatablaqueservirpara generar las variables aleatorias.Elcomportamientodelevento(E)secolocaenlacolumna1,yenlacolumna2sucorrespondiente probabilidad (P)En la columna 3, se coloca correspondientemente probabilidad acumulada (PA)En la columna 4se establece correspondientementeel rango de Monte Carlo (RMC) paracada tipo de eventoEste rango se obtienede la forma siguiente:EventoEiProbabilidadPiProbabilidadAcumulada(PAi)Rango deMonte Carlo1 P1PA10 PA12 P2PA2PA1s PA2. . . PA2s - ....... . . .n PnPAnPA(n-1)s - 1donde PAises un valor inmediato superior a PAi.Para generar variables aleatorias se genera un nmero pseudo aleatorio y se busca en quenivel del rango de Monte Carlo corresponde y la variable ser el evento que se encuentreen el nivel encontrado.Parademostrarelproceso,considerequeladistribucindeprobabilidad(FDP)dadarepresentalastoneladasdebasurarecolectadaspordaporeldepartamentodelimpiezadelaciudad.Elobjetivo es simular las toneladas de basura recolectadas en un da particular;Toneladas debasurarecolectadas pordaProbabilidad(FDP)10 .1020 .2230 .2540 .2050 .1260 .0770 .04Para iniciar el proceso se requiere desarrollar una distribucinacumulada de probabilidad (FAP).Para esto, se requiere conocer la probabilidad de que las toneladas de basura recolectadas en undado da sean menores o iguales a un valor dado. Ahora se puede lograr lo anterior sumando lasprobabilidades iniciando con la recoleccin de 10 toneladas por da.La tabla siguiente proporciona la distribucin de probabilidad original y la distribucin deprobabilidad asociada.Toneladas debasurarecolectadas pordaProbabilidad(FDP)ProbabilidadAcumulada (FAP)Rango de Monte Carlo10 .10 .10 0.0000 0.099920 .22 .32 0.1000 0.319930 .25 .57 0.3200 0.569940 .20 .77 0.5700 0.769950 .12 .89 0.7700 0.959960 .07 .96 0.8900 0.959970 .04 1.00 0.9600 1.0000Debido a que cualquier distribucin acumulada las probabilidades caer dentro del rango de 0 a 1,una ocurrencia aleatoria (variacin) correspondiente a una dada distribucin de probabilidad puedesergeneradaseleccionandounnmeroaleatorioentre0y1,encontrandounrangoenladistribucinacumuladadentrodelcualelnmeroaleatoriocae,eidentificandolavariacinasociada. Por ejemplo, considere que se genera el nmero aleatorio .4764; el nivel asociado de larecoleccinserde30toneladasdebasura.Sisegeneraelnmeroaleatorio.8416elnivelderecoleccindebasuraesde50.Siserepiteelprocesodemuestreoparaunnmerogrande deveces (iteraciones),esperamos obtenerun valorde 30 toneladas para un nivelde recoleccindel25%delasveces,unvalorderecoleccinde50toneladas12%delasveces,unvalorderecoleccin de 60 toneladas 7% de las veces, y as sucesivamente.ObtenermuestrasdeunadistribucindeprobabilidadusandoelMtododeMonteCarloesunproceso directo una vez que la curva de la probabilidad acumulada (distribucin) se desarrolla.Enelanexoal finaldelcaptulose proporcionaunaInformacinbsicaparatrabajarenExcellasimulacin de Monte CarloII.4.3EjemplosEjemplo #1Aviones de CargaConsidereelservicioterminaldeunacompaadecargaareaquetienemuchosavionesdecarga. Los aviones de carga son programados llegar a la terminal uno al principio del da, para unaposible operacin de mantenimiento. Cada avin es inspeccionado conforme arriba. Asuma que laduracin de la inspeccin es mnima. Una vez que es inspeccionado, la probabilidad de encontrarun avin con necesidad de servicio de mantenimiento es de 0.5; que es, un promedio del 50% delosavionestienennecesidaddelserviciodemantenimiento.Sunavinnecesitaservicio,laoperacin de mantenimiento puede tomar ya sea 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, o 3 das. La posibilidad de queun avin requiera cualquiera de estos servicios es de 1/6.La compaa de carga generalmente utiliza una instalacin de mantenimiento en la terminal. Cadaavinentierralecuestaalacompaa$5000porda.Eladministradordelacompaaestainteresado en investigar el atractivo econmico de utilizar una instalacin adicional de servicio en laterminal. Cada instalacin le cuesta a la compaa $2500 por da rentarla y operarla.Se elabora la tabla de donde se generar la informacin relativa a la duracin del servicioProbabilidadAcumuladaDuracin1/600.51/60.166670 11/60.333340 1.51/60.500010 21/60.666680 2.51/60.833350 3Paradeterminarsiunavinalaterrizarrequiereonoservicio,seconsideraporexistirdosposibilidades;queexisteun50%deprobabilidaddequerequieraservicioyun50%dequenorequiera.Seanalizaenlatablasiguienteelcomportamientodeestesistemaparaunaydosinstalaciones de servicio para 100 das de operacin.Una Instalacinde Servicio Dos InstalacionesDaNumeroAleatorioRequiereManto.NumeroAleatorio DDS DIS DTS NDO DIS DTS1DTS2 NDO IN10.2928 Si0.56782.00 1.0032.001.00 302.00120.0314 Si0.80732.50 3.005.5 3.502.00 34.50 1.00230.0043 Si0.97223.00 5.508.5 5.503.00 64.50 3.00140.2567 Si0.47211.50 8.5010 6.004.50 64.50 2.00250.5709 No0.00000.00 0.0010 0.000.00 64.50 0.0060.3235 Si0.14730.50 10.00 11 4.506.00 6.54.50 0.50170.8838 No0.00000.00 0.0011 0.000.00 6.54.50 0.0080.3805 Si0.19801.00 10.50 12 3.508.00 94.50 1.00190.7669 No0.00000.00 0.0012 0.000.00 94.50 0.0010 0.5615 No0.00000.00 0.0012 0.000.00 94.50 0.0091 0.4309 Si0.11800.50 94.50 95 4.0091.50 9293.00 1.00192 0.3604 Si0.20661.00 95.00 96 4.0092.00 9393.00 1.00193 0.0181 Si0.27031.00 96.00 97 4.0093.00 9493.00 1.00194 0.9460 No0.00000.00 0.0097 0.000.00 9493.00 0.0095 0.2206 Si0.60682.00 97.00 99 4.0095.00 9793.00 2.00196 0.8654 No0.00000.00 0.0099 0.000.00 9793.00 0.0097 0.2081 Si0.21031.00 99.00 100 3.0097.00 9893.00 1.00198 0.1012 Si0.21521.00100.00 101 3.0098.00 9993.00 1.00199 0.8101 No0.00000.00 0.00101 0.000.00 9993.00 0.00100 0.6454 No0.00000.00 0.00101 0.000.00 9993.00 0.00Tiempo TotalOcioso 251.00 78.00TiempoPromedioOcioso 2.510 0.780Costo PromedioTotal $15,050.00$8,900.00DDS=Duracindelosdasdeservicio,DIS=Daqueiniciodelservicio,DTS=Daqueterminaelservicio, NDO= Numero de das ociosos,DTS1,DTS2=DTS para la instalacin 1 o 2.A continuacin se muestran 10 corridas del sistema y el promedio del anlisis del costo con una ydos instalaciones, resultando ms conveniente tener dos instalacionesUna Instalacin Dos InstalacionesNo. de Corridas$11,025.00No. de Corridas $8,750.001 14625 1 91752 10150 2 90504 29950 4 96005 16350 5 83256 7550 6 83757 18075 7 92258 8450 8 90259 14175 9 972510 19375 10 8925Promedio$14,972.50Promedio $9,017.50Ejemplo #2Vendedor de Peridicos 1Un vendedor de peridicos trata de maximizar sus ganancias. El nmero de peridicos que vendecada da es una variable aleatoria, sin embargo el anlisis de los datos del mes pasado muestra ladistribucin de demanda diaria. Un peridico le cuesta $2.00, y este los vende en $3.00. Losperidicos que no se venden los regresa a la editorial y recibe $1.00Para toda la demanda no satisfecha se estima un costo de $1.00 en clientela y ganancia perdida.Si la poltica es pedir una cantidad igual a la demanda del da anterior, determine la ganancia diariapromedio del vendedor mediante la simulacin de este sistema. Suponga que la demanda del daanterior fue de 20 unidades. Determine la ganancia promedio si se simulan 7 das de la semana.Probabilidad.05.15.22.38.14.06Demanda por da303132333435Demandaporda Probabilidad ProbabilidadAcumuladaRangodeMonte Carlo30 .05 .05.0000 - .049931 .15 .25.0500 - .019932 .22 .42.2000 - .419933 .38 .80.4200 - .799934 .14 .94.8000 - .939935 .06 1.00.9400 1.00Da No.AleatorioCompra Demanda Ingreso Perdida Ganancia1.3052232 2201001202.8993234 320203003.3543432 320203004.3603232 32003205.9173234 320203006.1163431 310302807.7233133 31020290$1910Ganancia diaria promedio = $1910 / 7 = $272.85Ejemplo #3La Panadera UNO:La panadera "UNO" prepara pan fresco de cebolla diariamente. el pan se vende a $4 por pieza ycuesta $2 prepararlo. Al final del da, si quedan por vender algunas piezas de pan, otra panaderalas comprar el 70% a $1 la pieza.Se sabe que la demanda diaria (en docena de piezas) de pan fresco de cebolla en la panaderacae en un rango de 3 a 7 piezas apegada a una distribucin uniforme. La panadera "UNO" estaconsiderando producir diariamente2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 docenas.Simula 30 das y compare la ganancia diaria promedio y la desviacin estndar bajo estas polticasde orden.Precio Unitario$4Costo por Unidad$2Precio/unidadde Sobrantes$1.0Cantidad preparada 60Simulacin No vendidosDa No.AleatorioDemandaIngresoCosto.7x (Preparadas- demanda) Ganancia1 0.35 48 $192 $120 $8.40 $80.402 0.51 60 $240 $120 $0.00 $120.003 0.88 84 $240 $120 $0.00 $120.0027 0.35 48 $192 $120 $8.40 $80.4028 0.27 48 $192 $120 $8.40 $80.4029 0.35 48 $192 $120 $8.40 $80.4030 0.77 72 $240 $120 $0.00 $120.00Promedio$102.84Desv.Est.$26.88ProduccinDiaria Promedio Des.Est.$102.84 $26.8824 $48.00 $0.0036 $72.00 $0.0048 $86.76 $17.0460 $97.56 $32.3672 $89.88 $50.4084 $102.00 $58.21No. deSimuladas $102.841 89.642 102.843 96.244 94.925 97.566 97.567 93.68 93.69 101.5210 94.92Ejemplo #4Vendedor de Peridicos 2Un vendedor de peridicos trata de maximizar sus ganancias. En nmero de peridicos que vendecada da es una variable aleatoria, sin embargo, el anlisis de los datos del mes pasado muestrauna distribucin de la demanda diaria. Un peridico cuesta $2.00 y se vende a $3.00. Losperidicos no vendidos son regresados a la editorial y se le devuelve $1.00 por peridico. Si lapoltica es ordenar una cantidad igual a la demanda del da anterior, determine la ganancia diariapromedio del vendedor mediante la simulacin del sistema. Suponga que la demanda del da ceroson 22 peridicos.Cantidad Cantidad Cantidad Costo Recupera GananciaDa No.Aleatorio Ordenada Vendidaadevolver PeridicosIngresopor ventapordevolucin Total1 0.146039497 22 30 8 44 66 8 $30.002 0.465226909 30 33 3 60 99 3 $42.003 0.204796821 33 32 0 66 96 0 $30.004 0.520907847 32 33 1 64 99 1 $36.005 0.047294516 33 30 0 66 90 0 $24.00996 0.146151174 33 30 0 66 90 0 $24.00997 0.562005707 30 33 3 60 99 3 $42.00998 0.669380273 33 33 0 66 99 0 $33.00ProbabilidadProb.Acum.Venta/da0.05 0 300.15 0.15 310.22 0.2 320.38 0.42 330.14 0.8 340.06 0.94 35Orden Inicial 22999 0.194992203 33 31 0 66 93 0 $27.001000 0.229756047 31 32 1 62 96 1 $35.00$33.19Orden Inicial$33.1915 $33.2517 $33.2419 $33.2921 $33.2623 $33.2525 $33.2327 $33.2229 $33.2631 $33.1833 $33.2535 $33.25Ejemplo #5Tienda de Bicicletas:Unvendedordeunatiendagrandedebicicletasobtieneunbonosisevendenmasdecuatrobicicletasenunda.Laprobabilidaddevendermasdecuatrobicicletasesdeslo0.40.Sielnmerodebicicletasquesevendeesmasdecuatro,ladistribucindeventaseslaquesemuestra a continuacin:Bicicletas Vendidas 5678Probabilidad 0.350.450.150.05Latiendatienecuatromodelosdiferentesdebicicletas.Elvalordelbonodependedeltipodebicicletasvendidas.ElbonoparaelmodeloAesde$100ydeestetiposevendenel40%.Elmodelo B constituye el 35% de las ventas y se paga un bono de $150. El bono para el modelo C esde $200, y estas bicicletas constituyen el 20% de las ventas. Por ltimo, el modelo D paga un bonode $250 por cada venta pero si lo constituye el 5% de las ventas. Elabore un modelo de simulacinpara calcular elbono que puede esperar un vendedor de bicicletasLa cantidad ordenada al inicio no incide en laganancia promedio finalProbabilidadProb.Acum.Venta > 40.40No0.60.6SiNo. de Bicis Tipo deMontodelDa No.Aleatorio Venta > 4 No.Aleatorio Vendidas No.Aleatorio Modelo Bono10.43415598No------------ --------20.05716015No------------ --------30.58119526No------------ --------40.12996407No------------ --------50.58843679No------------ --------2446 0.22242083No------------ --------2447 0.60632961Si0.477826545 60.97438282 D2502448 0.62497196Si0.73060447 60.06091508 A1002449 0.45832253No------------ --------2450 0.39685564No------------ --------149350Monto Promedio del Bono60.95918367Ejemplo #6Vendedor de ArtculosUn vendedor ofrece artculos puerta por puerta ha experimentado los siguientes resultados:La probabilidad de que abran lapuerta 0.3ProbabilidadProb.Acum.NmeroVendido0.350 50.450.35 60.150.8 70.050.95 8ProbabilidadProb.Acum.Tipo de modelo vendido0.40 A0.350.4 B0.20.75 C0.050.95 DSi abrieron : la probabilidad de que sea mujer 0.8: la probabilidad de que sea hombre 0.2La probabilidad de venta :Si en mujer 0.15:Si eshombre 0.25Cuando se hace la venta, el numero de suscripciones que se ordenan tienen la siguiente:distribucin:La ganancia por cada suscripcin vendida es de $200. Simule 25 llamadas a la puerta ydetermnese la ganancia total.Abren puertas Si abrieron AbriProbabilidadProb.Acum Evento Probabilidad Prob.Acum Evento0.30 Si 0.8 0Mujer0.70.7No 0.2 0.8HombreSi fue mujer Si fue hombreProbabilidadProb.Acum Evento Probabilidad Prob.Acum Evento0.150Venta 0.25 0Venta0.850.15No venta 0.75 0.25No ventaPara MujerSuscripcionesvendidas Para HombreSuscripcionesvendidasProbabilidadProb.Acum que ordena Probabilidad Prob.Acum que ordena0.60 1 0.1 0 10.30.6 2 0.40.1 2Numero de Probabilidad SuscripcionesHombreMujer10.60.120.30.430.10.34 00.20.10.9 3 0.30.5 30 1 4 0.20.8 4Abre Hombre Cantidad deNumero No.aleatorio Abren puerta No.aleatorio o Mujer No.aleatorio Ordena No.aleatorio Suscripcin Ganancia10.957988658No0.671346311 Mujer0.503450471 No venta0.598407559 0 020.972991209No0.171965066 Mujer0.080243385 Venta0.281614365 240030.002724943Si0.946003643Hombre0.913109616No venta0.86086830 040.001200631Si0.798898347 Mujer0.191988174 No venta0.727183155 0 050.31786884Si0.877091084 Hombre0.122861998 Venta0.839007486 480060.19713945Si0.103850118 Mujer0.12333433 Venta0.477777513 240070.971590043No0.464279245 Mujer0.897796359 No venta0.469372205 0 080.637996158Si0.915747553 Hombre0.768040401 No venta0.136109282 0 090.944651937No0.940587656 Hombre0.722701232 No venta0.860128925 0 0100.767511794No0.537502455 Mujer0.022940396 Venta0.508953387 3600110.087013154Si0.642538015 Mujer0.577172797 No venta0.625361709 0 0120.809171743No0.888668162 Hombre0.821345252 No venta0.643043523 0 0130.471397805Si0.54176344 Mujer0.870072432 No venta0.192677656 0 0140.588561254Si0.498585231 Mujer0.81688463 No venta0.835280134 0 0150.88905175No0.497526706 Mujer0.421106877 No venta0.901969637 0 0160.576079597Si0.455132777 Mujer0.070325115 Venta0.874283002 4800170.856161771No0.544688716Mujer0.599208821No venta0.041154870 0180.664661932Si0.39330377 Mujer0.84765087 No venta0.990521191 0 0190.050448359Si0.11994632 Mujer0.204135723 No venta0.028264425 0 0200.174100308Si0.796248166 Mujer0.164566243 No venta0.416400965 0 0210.468482107Si0.685203293 Mujer0.592863837 No venta0.727067118 0 0220.25936841Si0.737488425 Mujer0.085145292 Venta0.423237478 2400230.838514208No0.826603299 Hombre0.282322743 No venta0.902988929 0 0240.905979756No0.465596926 Mujer0.838735984 No venta0.437425796 0 0250.301669347Si0.170072522 Mujer0.493564212 No venta0.505456709 0 0Promedio136Desv.Est.262.8053779Mnima0Mxima800Intervalodeconfianzapara laMediaLmiteInferior32.98224779LmiteSuperior239.0177522Ejemplo #7Preparacin de TortasUn vendedordeTortasproduce50tortasdiarias auncostode$10portortaylas vendeenlaLomaaunpreciode$30portorta.Las tortas quenosevendensontiradasalfinaldelda,sinembargo,elvendedoran notienepermisodelayuntamientopara tirarlas tortas sobrantes enelbasurero de La Loma, por lo que si llegan a descubrirlo tirndolas lo multarancon $300 pesos.La demanda de las tortas se comporta de la manera siguiente:Demanda10 20 25 30 50 70 100Probabilidad0.10.20.40.10.10.050.05La probabilidad de que la polica atrape al vendedor tirando las tortas el del 25%. Con base en estainformacin calcule:a) Cul el nmero promedio de tortas no surtidas?b) Cul es el nmero promedio de tortas que hay que tirar?c) Cul es la utilidad promedio por da?d) Si el permiso para tirar las tortas en el basurero cuesta $200 por semana Deber el vendedorcomprar el permiso o seguir tirando las tortas?Da No. Aleatorio Prepara Demanda Vendidas Sobrante IngresosCostopreparaPerdida porsobrantesMultaatrapantirndolas10.7628984950303020$450.00$400.00$140.00$0.0020.6374228750252525$375.00$400.00$175.00$0.0030.3413655650252525$375.00$400.00$175.00$0.0040.7625322050303020$450.00$400.00$140.00$30.0050.0400775850101040$150.00$400.00$280.00$0.0060.813315815050500$750.00$400.00$0.00$0.0070.7859885350303020$450.00$400.00$140.00$30.0080.4047220550252525$375.00$400.00$175.00$0.0090.9866671650100500$750.00$400.00$0.00$0.0011350.2979192650202030$300.00$400.00$210.00$30.0011360.0764634550101040$150.00$400.00$280.00$0.0011370.1589382350202030$300.00$400.00$210.00$0.00ProbabilidadProb.Acum.Demanda0.10100.20.1200.40.3250.10.7300.10.8500.0050.9700.0050.95 100Tortas demandadas 50Prob.Prob.Acum.Atrapan0.0000 0.2500 SI0.2501 0.9999 NOCosto/torta $8.00Precio/venta $15.00Multa por tirar las tortas $30.0011380.1436901750202030$300.00$400.00$210.00$0.0011390.3925432850252525$375.00$400.00$175.00$0.0011400.3789582350252525$375.00$400.00$175.00$0.0011410.9601200950100500$750.00$400.00$0.00$0.0011420.5508110350252525$375.00$400.00$175.00$0.00$476,775.00$456,800.00$177,205.00$6,300.00$476,775.00Ingresos porVenta-$456,800.00 Costo Torta$6,300.00 MultaUtilidad $26,275.00Si se desea determinar la cantidad de tortas a elaborar por da, tenemos:Demanda Utilidad$28,720.0021 14777422 15123823 15732724 15654625 15486526 16183927 15180328 15375229 15060130 14569531 13424932 13013833 12536734 128051Ejemplo #8Problema de Inversin35 117505Variando laDemandaUtilidad$28,720.0010 7994020 14371025 16167530 14383535 11908040 9249545 56295Prueba Ao 1 Ao 2 Ao 3 Ao 4 Valor Presente11304.28678 1123.3312788.722667792.934452 4009.27509721072.06406 943.6842281087.90655937.951717 4041.60655531011.25743 1153.72127771.283213885.526081 3821.78799541316.14017 1062.14633938.17405 803.843112 4120.30365651117.49928 821.4066151089.33864769.811011 3798.055546961237.05108 1018.027831013.3921 773.440545 4041.911552971032.37706 1095.95416871.149568692.832608 3692.313395981312.66736 1078.91844845.700583865.571927 4102.858313991142.51156 1182.4495826.061729753.881666 3904.9044571001048.76212 958.726802834.66856 892.320451 3734.477936Valor presente 3990.931094Unacompaadeinversionesestaconsiderandounaoportunidaddeinversinenunproyecto de 4 aos. Se estima que el retorno por cada uno de los aos esta uniformementedistribuidaentre$1000y$1500.Considereun10%detasaderetorno,lacompaaestainteresadaenencontrarelvaloresperado(media)ylavarianzadelvalorpresentedelproyecto para propsitos de riesgo basado en la simulacin del proyecto.Se genera la relacin X = 0.91X1+0.82X2+0.75X3+0.68X4 basada en P = F(1+i)^(-n)II.4.4Ejercicios de SimulacinEjercicio #1Unaaerolneausavariasunidadesdeenergaauxiliarquesonexpuestasaserviciosseveros.Tresbalerossonlafuentedelproblema.Enelpasado,losbaleroshansidoremplazadosconformefallan.Conunnuevonfasisenelcontroldecostosymantenimientopreventivo,eladministradordeseaevaluarlaspolticasdea)reemplazarlosbaleroscuandoestosfallen,b)cuando un balero falle reemplazar los tres baleros; c) cuando un balero falle, reemplcelo junto concualquier otro balero que haya estado en uso 1700 horas o ms.Se proporciona la informacin siguiente:Tiempo de mecnico:reemplazar 1 balero5 horasreemplazar 2 baleros 6 horasreemplazar 3 baleros 7 horasTasa salarial de mecnico $3000 por horaCosto del balero $5000Costo por tiempo ocioso$2000 por horaLa vida actual de servicio de los baleros es como sigue:Vida de Baleros (horas) Nmero de Baleros Probabilidad promedio1100 3 0.0151200 10 0.051300 12 0.061400 20 0.11500 27 0.1351600 35 0.1751700 30 0.151800 25 0.1251900 18 0.092000 15 0.0752100 4 0.022200 1 0.005200 1Simule15.000horasdeservicioparacadaunadelaspolticasalternativasconlosnmerosaleatorios siguientes:Balero # 1:841, 584, 157, 599, 436, 255, 982, 525, 265, 247, 383, 288, 517, 883, 10Balero # 2:848, 888, 534, 412, 059, 501, 084, 899, 836, 715, 887, 878, 896, 377, 70Balero # 3:501, 921, 522, 870, 813, 446, 252, 378, 125, 316, 588, 522, 026, 616, 93Ejercicio # 2ElhoteldeunAeropuertotiene100cuartos.Enunanochedadaserecibenhasta105reservaciones debidoalaposibilidaddequenotodossepresenten.Losregistrosindicanqueelnmerodereservacionesdiariassedistribuyeuniformementeenelintervalodeenterosde96a105. Esto es, cada nmero entero tiene una probabilidad de ocurrir de 0.1.Los clientes que no llegan se representan por la siguiente distribucin:No. Que no se presenta012345Probabilidad.1.2.25.30.10.05Elaboreunmodelodesimulacinparadeterminarelnmeroesperadodecuartosusadospornoche y el porcentaje de noches en las que hay clientes para ms de 100 cuartos.Ejercicio #3Un especialista del corazn programa 16 pacientes por da, uno cada 30 min. Iniciando a las 9 a.m.Seesperaquelospacienteslleguenasuscitasalashorasprogramadas:Sinembargo,laexperiencia muestra que el 10% de los pacientes llegan 15 min. Antes, 25% llegan 5 min. Antes, 50% a la hora, 10% llegan tarde y 5% llegan 15 min. Tarde. El tiempo que pasa el especialista variadependiendo de su problema. Simula la jornada del doctor.Duracin242730333639Probabilidad.1.2.4.15.1.05Ejercicio #4LabibliotecadelTecnolgicotieneunacopiadoraparausodelosestudiantes.Estoslleganalamquina con una distribucin de tiempos entre llegadas como se muestra a continuacinTiempo entre llegadas (minutos)12345Probabilidad.2.25.4.1.05El tiempo que se tarda en hacer una copia esta distribuido de la manera siguienteDuracin (segundos)2916212831Probabilidad.1.2.3.2.1.1Un anlisis de los datos acumulados muestra que elnmero de copias que hace un estudiante alpasar a la mquina se comporta de la manera siguienteNumero de copias678910Probabilidad.2.25.35.15.05El bibliotecario cree que con el sistema actual, la cola en la copiadora es demasiado larga y que eltiempoqueunestudiantepasaenelsistema(tiempodeespera+tiempodeservicio)esdemasiado. Construya un modelo de simulacin para estimar la duracin promedio del tiempo deespera en la cola y el tiempo de espera estimado del sistema.Ejercicio #5Iniciando con una semilla de 5983 genere 10 nmeros aleatorios de 3 dgitos usando el mtodo decentros al cuadrado.Ejercicio #6Usando el mtodo de congruencia lineal con parmetros X0=97, a=62541, c=19, y m=1000, genere10 nmeros aleatorios de 3 dgitos.AnexoInformacin bsica para trabajar el Excel la simulacin de Monte Carlo.Ejemplo de Funcin =BUSCARVEsto se pone serio. Vamos a seguir con una de las funciones ms tiles que existen de cara alcontrol de una lista de argumentos como podran ser, por ejemplo, productos de una empresa.Observa la sintaxis de la funcin =BUSCARV( )=BUSCARV(Celda;Rango;Columna)Es decir, buscar el valor de una celda en un rango de celdas y retornar el contenido de ncolumnas a su derecha.Ahora ms claro. Qu significa esto? Supongamos que tenemos un listado de productos tal queas:Supontequeesunlistasperlargade artculos enalmacn.Observaqueenlapartesuperiorhemospreparadotrescasillasdecolor.Estasceldasservirnparanuestropropsito.Enlacelda C2colocaremos la frmula:=BUSCARV(C1;A7:C15;2)Paraquservirestahoja?Loqueharemosserescribir uncdigodeartculoenlaceldaC1(amarilla)yExcelharqueaparezcaautomticamentela descripcinyla cantidaddisponible en las celdas inferiores.Estetipodehojasvaperfectoparahacerunaconsultaaunlistado.Lafrmulamirarloquehayenlacelda C1,ylobuscarenelrango A7:C15.Una vez que lo encuentre, (lo encontrar en la 1 columna), mostrar lo que hay 2 columnas a suderecha (contndose ella), es decir, la descripcin del producto.Observa detenidamente los tres argumentos que nos pide la funcin =BUSCARV, primero la celdadondeestarloqueintentamosbuscar(elcdigo),luegoelrangodondehadebuscarlo,yporltimo el nmero de columna que queremos mostrar.Ahora, escribiremos la frmula para la celda C3. Bsicamente es igual a la anterior, pero ahora elnmero de columna ser el 3, es decir, mostrar la cantidad:=BUSCARV(C1;A7:C15;3)Ahora slo faltar comprobar las dos frmulas escribiendo cualquier cdigo de la lista de artculosen la celda C1.Un detalle importante de la funcin =BUSCARV( ) es que si la lista o rango donde hay que buscarestdesordenada,tendremosqueaadirlapalabra FALSOalfinaldelafrmula.Observaesteejemplo:=BUSCARV(C1;A7:C15;2;FALSO)En nuestro caso no hace falta, pues la lista est alfabticamente ordenada.Para elaborar un tabla de frecuencia de los valores dados realice los pasos que se describen acontinuacin:Paso 1: Elabore una columna con los lmites superiores C10:C19Paso 2: Resalte las celdas D10:D19Paso 3: Entre la formula =frecuencia(B2:C6,C10:C18)y presione la tecla F2Paso 4: Presione Ctrl-Mays-IntroUsando las funciones BUSCARLastablasBuscarsontilescuandosedeseacompararunvalorparticulardeunconjuntodevalores, y dependiendo de donde encuentre el valor, se asigna una dada respuesta. Por ejemplo,podemos tener una tabla siguiente de frecuencias en la ocurrencia de una eventoProbabilidad Prob.Acum. Venta/da0.05 0 300.15 0.15 310.22 0.2 320.38 0.42 330.14 0.8 340.06 0.94 35Para un determinado nmero aleatorio en B16, cual es la Cantidad vendida en D31.=BUSCAR(B16,C6:D11)Con esta instruccin busca el contenido de la celda B16 en la regin comprendida de la celda B6 ala celda D11Ejemplo de la Funcin BUSCARVSuponga que el seor Prezcompra una moto nueva de $20,000,realiza un pago inicial de$5,000, y le es financiado la cantidad restante en 36 meses a una tasa de inters anual del 8.5%.Existen al menos 2 productos que pudieran ser de inters : El pago mensual y el total de interesespagados. Estos son afectados por al menos 2 insumos: El pago inicial y la tasa de inters anual.Veamos primero el ejemplo de la tabla de datos en un sentido, donde vemos como un soloresultado, el pago mensual, que vara conforme la tasa de inters anualvara. Esto se muestra enla tabla siguiente.Paracrearlatablaanterior:EntralaformulaparaelresultadoenlaceldaE3.(Debidoaqueelpagomensualfuecalculadocon la funcin PAGO en la celda B7, simplemente entre =B7 en la celda E3.)Iniciando en la celdaD4, entre cualquier secuencia de tasas de inters.Seleccione la tabla completa, esto es, el rangoD3:E8.Finalmente,usedelmenDatos/TablayentreB4comolaceldadeinsumoparalacolumna. (Si no hay celda de insumo. djela en blanco.)Tambinsepuedencapturarmasdeunproductoenunatabladeunsloproducto.Comoejemplo, aparece a continuacin, donde un slo insumo es todava la tasa de inters, pero existendos productos: pago mensual y total de intereses pagados.Esta tabla esta elaborada exactamentecomo antes excepto que el rango de la tabla es ahora D3:F8.A continuacin se presenta la tabla de pagos mensuales donde se vara el nmero de meses de 12a 60 con incrementos de 12.Las tablas de dos sentidos permiten variar 2productos, uno sobre una fila y el otro sobre unacolumna, y captura un solo producto en el cuerpo de latabla. La tabla siguiente lo ilustra, donde se vara la tasa de inters anual y el pago inicial. El nicoproducto es el pago mensual.Para crear la tabla anterior:Entrela formula(=B7)dondeunsoloproductoenlaesquinasuperiorizquierda(celdaD2)delatabla de datos.(Nuevamente, podemos colorear esta celda de gris para enfatizar.)Entre cualquiersecuencia de pagos iniciales a la derecha de estos y cualquier secuencia de tasas de inters abajodeestos.Finalmente,seleccionelatablacompletadatostablarango,D2:G7,usedelMenDatos/Tabla,entre B2 como la celda de insumo, y entre B4 como la celda columna de insumo.Apendice de TablasTabla de Nmeros Aleatorios1396270992651722805302190836346601270305667618834443905469417230011641435483045507686318400326189139005044865838051594081650882979920026360641078863266127457238472673530329066021406086739847509689671943753211591623950595625096120786816299022339572640835035166221636681928429438754847553405394582292153680771420358044486223577795514200358684092716839619110556801879241487166148305300812167494534788199826158698493290879716002235415208520290999476455680562126584364936301368181577024951075304387241571206936372935587571213830254606374665121781074158362849816045816194924038095180068470762331074899879296635488441961910479414714647494309783976832817203849602941093646062353007216698082554902701231256299784307239196973704379780378683046707066758912218833333151803159347580746561801887898429317279711644062843844455665291797452842584296246735042163181223195281544577764334464120470067333547068066664754861673701887509344330675190869975656179018342732519699389066854594562000762286064587750463294654495665361603819677705288911210656281862226611639626060800550545420440167966292069276285000232540198482731985962197589279500458712890588437963233227324398185287630490054460220838927943492000664085786568493364222240446822407915944168382134683926598299836764543626400395149236488702802421814596047448933635630977614344495895241020700671923048003206241425668624927544270525120395121651538677353170073455422283115797751343985673527784173620859510769132249968467044972485343879076132640017180188806608302196106389546887411306478871101765576886066557636360703728501420742187104714401745371482045248780076591138583746334017197092791373069897915363054261387251756084666299688595760488702310355086948130300940475709610853103930301390372896396580088532717895996450681685830103267938297337117635699105511509152947201347581878982242589305102081838906694499856879501395216395168370053857133893987820572122996552529420941538921510540963692678553400533271309042072584845766600926869918296507889616490161420097469883079228245292934279232670206158471430260043305305714908642340334500841621794379874584455667699472917975509631336409937005358812247278907582354235273679129767003343625939333209921253065748398115334605530443572461452447662507195304125797919022904035738408500313770351658174203059339637642204548603698802201213912622980831768959677566039331679858525486736772416560430025170085280677813553000181384056477086495574340135924283085514007515538542302370268804352426918053534603212581357269356723478460478332049635645Tomada de la Corporacn Rand, A Million Random Digits with 100,000 Normal Deviates (New York: The Free Press,1955)Referencias Bibliogrficas:AM Law and WD Kelton. Simulation, Modeling and Analysis. New York: McGraw-Hill, 2nd edition,1991.Azarang, M. R. y Garca Dunna, E., (1996), Simulacin y Anlisis de Modelos EstocsticosMcGrawHill/Interamericana de Mxico, S.A. de C.V., Mxico.Banks, J. y Carson, J.S., (1984), Discrete event system simulation, Prentice-Hall, Englewood Cliffs,N.J..Coss Bu Ral, (2002), Simulacin Un enfoque prctico , LimusaDavis y Mc kewon, Modelos Cuantitativos para la Administracin , Mc. Graw-HillD. H. Lehmer, "Mathematical methods in large-scale computing units," in Proc. 2nd Symposium onD.H.Lehmer.RandomnumbergenerationontheBRLhigh-speedcomputingmachines,byM.L. Juncosa. Math. Rev., 15:559, 1954.E. Gentle (Hardcover - July 2003) Large-Scale Digital Calculating Machinery, Cambridge, MA,1949, pp. 141--146.Fishman, G. S.Monte Carlo: Concepts, Algorithms and Applications. Springer. 1997Rubinstein, Reuven Y. Simulation and The Monte Carlo Method. Wiley. 1981Gottfried, B.S., (1984), Elements of Stochastic Process Simulation, Prentice-Hall, Inc., EnglewoodCliffs, N.J.Gordon, G., (1989), Simulacin de Sistemas, Editorial Diana, MxicoHammersley, J. M. and D. C. Handscomb, 1964, Monte Carlo Methods, John Wiley & Sons, NewCorkHillier, F.S. y Lieberman, G.J., (2003), Introduccin a la Investigacin de Operaciones.Knuth, D. E. The art of computer programming vol 2, seminumerical algorithms, 2nd edAddisonWesley, 1981. pp. 9-20.Naylor, Balintfy y Burdick, Tcnicas de Simulacin de computadoras, LimusaPaul Bratley, Bennett L. Fox, Linus E. Schrage, A Guide to Simulation, Second Edition, Springer-Verlag New York Inc., 1987.Proceedings of the Second International Conference on Operations Research, pp. 50-68.Random Number Generation and Monte Carlo Methods (Statistics and Computing) by JamesRipley, B. D. (1987) Stochastic Simulation. WileyRoss, S., (1997), Simulation, 2a Edicin, Academic Press, USAShdmit y Taylor,Anlisis y Simulacin de Sistemas Industriales,TrillasTaha, H.A., (1991), Investigacin de Operaciones, 2Edicin, Alfaomega S.A., Mxico.Tocher, K.D. The Art of Simulation. English Universities Press, London, 1963.Tocher, K.D. (1963). The Art of Simulation, Van Nostrand Company, Princeton, NJ.Tocher, K.D. (1966). ``Some Techniques of Model Building,'' Operational Research Quarterly,16(2), pp. 189-217, June.Tocher, K.D. (1979). Keynote Address, In: Proceedings of the 1979 Winter Simulation Conference,pp. 640-654, San Diego, CA, December 3-5.Tocher, K.D. and Owen, G.D. (1960). ``The Automatic Programming of Simulations,'' In:Winston, Investigacin de Operaciones, Gpo. Editorial Iberoamricahttp://www.maa.org/mathland/mathland_4_22.htmlhttp://stat.fsu.edu/~geo/diehard.htmlhttp://www.ing.ula.ve/~hhoeger/curso_sim.htmlwww.cp.eng.chula.ac.th/faculty/ cws/classes/2110301/home.htmhttp://www.stat.cmu.edu/http://random.mat.sbg.ac.at/links/monte.htmlhttp://www.mat.usach.cl/histmat/html/ia.htmlwww.addlink.es/product/palisade/risk.htmhttp://www.csm.ornl.gov/ssi-expo/MChist.htmlhttp://www.ccs.uky.edu/http://dmawww.epfl.ch/benarous/Pmmi/interactive/rng0.htm