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UnisalesianoCentro Universitário Católico Salesiano Auxilium
Curso de Engenharia Civil
ESTRUTURAS DE CONCRETO I
Lajes Retangulares Maciças
Prof. André L. Gamino
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
____________________________________________________
Definição
Os elementos estruturais planos (com duas dimensões predominantes, isto é,bidimensionais) sujeitos a cargas transversais a seu plano são chamados genericamente deplacas. As placas de concreto armado são denominadas de lajes. Normalmente, elas temforma retangular e são maciças, resultando daí a denominação laje retangular maciça.
Os apoios das lajes são, geralmente, constituídos pelas vigas do piso. Nestes casos, ocálculo das lajes é feito, de maneira simplificada, como se elas fossem isoladas das vigas,com apoios (charneiras) livres à rotação e indeslocáveis à translação, considerando-se,contudo, a continuidade entre lajes contíguas. No detalhamento das armaduras sãotomados cuidados especiais para “cobrir”o monolitismo existente nas ligações entre a laje eas suas vigas de apoio.
2
Classificação
1. lajes armadas em uma direção:
Fig. 1.1 - Laje isolada armada em uma direção
V
2
V1 P1 P2
P
3 P4
lx B B
A
A
ly
flecha a
Fig. 1.2 - Laje contínua armada em uma direção
lx1 lx2 lx3
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
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Continuação
1. lajes armadas em uma direção:
Fig. 1.3 - Laje muito alongada
flecha a
C
lx D
C
ly 2 lx
D
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
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Continuação
2. lajes armadas em duas direções:
Fig. 2.1 - Laje armada em duas direções ou em cruz
flecha a
C
lx D
C ly 2 lx
D
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
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Lajes armadas em uma Direção
1. Esforços Solicitantes – Laje isolada
mx = p lx
2 / 8
my = mx vx = p lx /2
p
m
v
lx
mx
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
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Lajes armadas em uma Direção
2. Esforços Solicitantes – Laje em balanço
m’x = p lx2 / 2
vx = p lx + P
p
m
v
lx
P
m
v
m’x
Pplv
Plpl
m
xx
xx
x
2
2
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
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Lajes armadas em uma Direção
3. Esforços Solicitantes – Lajes contínuas
p1 p2
lx1 lx2
mx
1 mx2
m’x
v
A faixa de largura unitária da laje corresponde a uma viga contínua.
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
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Lajes armadas em uma Direção
1. DimensionamentoConforme a figura, tem-se:
dx = h - c - x / 2
dy = h - c - x - y / 2 onde
c = cobrimento mínimo da armadura em lajes, fixado em 0,5 cm nas lajes protegidas com argamassa de espessura mínima de 1 cm (NBR-6118)
x = diâmetro da armadura Asx correspondente a mx
y = diâmetro da armadura Asy correspondente a my . Nas lajes maciças revestidas, usuais em edifícios (comercial e residencial), pode-se adotar aproximadamente:
dx h - c - 0,5 cm
dy h - c - 1 cm
h y
x c
dy dx
dy dx
100 cm
Asy
Asx
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
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Lajes armadas em uma Direção
md = gf m = 1,4 m
b = 100 cm
h d0,8x
md
0,85fcd
Rcd
Rsd
0,68 b x fcd (d - 0,4 x) = md
Resulta:
x dm
bd f
d
cd
1 25 1 10 425 2
,,
Am
f d xs
d
yd
( , )0 4
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
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Lajes armadas em uma Direção
Costuma-se impor a armadura mínima usual de flexão para o momento
fletor principal mx:
x min de acordo com a tabela 19.1 da NBR 6118/2014
onde
h100
A
bh
A sxsxx
(em unidades: cm2 e cm).
Nos apoios de engastamento ou de continuidade de lajes (m’x) deve-se
verificar, também, a taxa mínima que é igual a 0,15%.
Para o momento fletor secundário my recomenda-se adotar
Asy 0,2 Asx ou y 0,5 min com o mínimo de 0,9 cm2 / m, onde
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
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Armadura
Elementos estruturais
sem armaduras
ativas
Elementos estruturais com
armadura ativa
aderente
Elementos estruturais
com armadura ativa
não aderente
Armaduras negativass min
s min– p 0,67 min
s min - 0,5p 0,67 min
(ver 19.3.3.2 da NBR 6118)
Armaduras positivas
de lajes armadas
nas duas direções
s 0,67 min s 0,67 min– p 0,5 min s min - 0,5p 0,5 min
Armadura positiva
(principal) de lajes
armadas em uma
direção
s min s min – p 0,5 min s min - 0,5p 0,5 min
Armadura positiva
(secundária) de
lajes armadas em
uma direção
As/s 20 % da armadura principal
As/s 0,9 cm2/m
s 0,5 min
-
Onde: s As/bw h e p Ap/bw h NOTA - Os valores de min constam da tabela 19.1 da NBR 6118/2014
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
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Valores de Armadura Mínima
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Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
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Valores de Taxas Geométricas de Armaduras Mínimas
Lajes armadas em uma Direção
Escolha das barras
Bitolas comerciais
= diâmetro nominal da barra em mm
As1 = área da seção transversal de uma barra em cm2
m1 = massa de uma barra por metro linear em kg/m
mm) As1(cm2) m1(kg/m)
4 0,125 0,1
5 0,2 0,16
6,3 0,315 0,25
8 0,5 0,4
10 0,8 0,63
12,5 1,25 1,0
100 cm
h
s s
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
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Lajes armadas em uma Direção
A escolha da bitola x espaçamento ( x s) é feita para as bitolas comerciais com as
seguintes recomendações:
min = 4 mm max = h/10
smin = 8 cm s smax = 20 cm ou 2.h prevalecendo o menor entre eles.
Para a armadura secundária de lajes devem possuir um espaçamento de, no máximo, 33
cm.
Para as bitolas, adota-se um mínimo de 4 mm e um máximo correspondente a um
décimo da espessura da laje. O espaçamento mínimo de 8 cm tem por finalidade facilitar
a concretagem da laje e, o espaçamento máximo, visa garantir a uniformidade de
comportamento admitida nos cálculos.
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
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Lajes armadas em uma Direção
Detalhamento das armaduras
• As armaduras obtidas para os momentos de vão são estendidas de apoio a apoio da laje;
• As armaduras resistentes calculadas junto aos apoios internos da laje são estendidas de modo à“cobrir” o diagrama de momento fletor negativo; uma extensão de lx/4 para cada lado do apoio é,normalmente, suficiente para essa finalidade;
• Nas bordas da laje costuma-se posicionar uma armadura (As,borda) com extensão lx/5, visandocontrolar uma fissuração proveniente do engastamento parcial da laje nestas vigas. Pode-seconsiderar min=0,15% para classes C-20 a C-30 (ver Tabela de taxas geométricas de armadurasmínimas.
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
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Lajes armadas em uma Direção
Verificação ao Cisalhamento
VSd VRd1
A resistência de projeto ao cisalhamento é dada por:
VRd1 = [Rd k (1,2 + 40 1) + 0,15 cp] bwdonde:Rd = 0,25 fctd
fctd = fctk,inf / gc
1 = As1/bw.d , não maior que 0,02
cp = NSd / Ac
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
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Lajes armadas em uma Direção
Verificação ao Cisalhamento
k é um coeficiente que tem os seguintes valores:
- para elementos onde 50 % da armadura inferior não chega até o apoio: k = 1;
- para os demais casos: k = 1,6 – d, não menor que 1, com d em metros;
onde:
fctk,,inf = 0,7 fct,m
fct,m = 0,3 fck2/3
As1 é a área da armadura de tração que se estende até não menos que d + lb,nec além da seção considerada;
bw é a largura mínima da seção ao longo da altura útil d;
NSd é a força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento (compressão positiva).
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
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Lajes armadas em uma Direção
Verificação ao Cisalhamento
O comprimento de ancoragem necessário pode ser calculado por:
onde:
a1 = 1,0 para barras sem gancho;
a1 = 0,7 para barras tracionadas com gancho, com cobrimento no plano normal ao do gancho 3 ;
min,,
,,
A
Ab
efs
calcsb1necb a
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
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Lajes armadas em uma Direção
Verificação ao Cisalhamento
é calculado por:
Onde:
fbd = h1 h2 h3 fctd
é o maior valor entre 0,3 , 10 e 100 mm.
b
min,b
bd
ydb
4 f
f h1 = 1,0 para barras lisas;
h1 = 1,4 para barras;
h1 = 2,25 para barras nervuradas;
h2 = 1,0 para situações de boa aderência;
h2 = 0,7 para situações de má aderência;
h3 = 1,0 para < 32 mm;
h3 = (132 - )/100 , para > 32 mm;
onde:
é o diâmetro da barra, em milímetros.
b
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
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Lajes armadas em uma Direção
Verificação ao Cisalhamento
Consideram-se em boa situação quanto à aderência os trechos das barras que estejam em uma das
posições seguintes:
a) com inclinação maior que 45° sobre a horizontal;
b) horizontais ou com inclinação menor que 45° sobre a horizontal, desde que:
− para elementos estruturais com h < 60 cm, localizados no máximo 30 cm acima da face inferior do
elemento ou da junta de concretagem mais próxima;
− para elementos estruturais com h ≥ 60 cm, localizados no mínimo 30 cm abaixo da face superior do
elemento ou da junta de concretagem mais próxima.
Os trechos das barras em outras posições e quando do uso de formas deslizantes devem ser considerados em
má situação quanto à aderência.
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
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Lajes armadas em uma Direção
Ganchos das armaduras de tração
Os ganchos das extremidades das barras da armadura longitudinal de tração podem ser:
a) semicirculares, com ponta reta de comprimento não inferior a 2 φ;
b) em ângulo de 45° (interno), com ponta reta de comprimento não inferior a 4 φ;
c) em ângulo reto, com ponta reta de comprimento não inferior a 8 φ.
Rsd Rsd Rsd
Semicircular Ângulo de 45º Ângulo reto
Nota: barras comprimidas não devem ter ganchos; feixes e barras com φ > 32 mm não devem ter ganchos;
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
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Lajes armadas em uma Direção
Ganchos das armaduras de tração
O diâmetro interno da curvatura dos ganchos (D) das armaduras longitudinais de tração deve ser pelo menos
igual ao estabelecido na tabela abaixo:
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
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Bitola(mm)
Tipo de Aço
CA - 25 CA - 50 CA - 60
< 20 4 5 6
≥ 20 5 8 ---
D
Exemplo e Detalhamento
4 m 4 m 4 m
4 m
L1 L2 L3
mx1 mx2 mx3
m’x23=-11 kN.m/m
6,96
kN.m/m11 kN.m/m
fck = 25 MPa
CA50
cl = 1,5 cm
cv = 2,0 cm
h = 10 cm (todas as lajes)
g = 2,5 kN/m2 (concreto)
q = 2,0 kN/m2 (ocupação)
vigas de bw = 12 cm
Agregado: granito
Dados:
- Laje de escritórios de bancos
- Considerar revestimento não argamassado (g = 1,0 kN/m2)
- CAA I (para efeito de ELS-W)
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Laje L1 Momento Fletor Principal:
mx = p lx2 / 8 = 5,542 / 8 = 11,0 kN.m/m
b = 100 cm ; d = dx h - c - 0,5 = 10 - 1,5 - 0,5 = 8 cm
md = gf mx = 1,411,0 = 15,4 kN.m/m = 1540 kN.cm/m
cmfbd
mdx
cd
d 73,14,1/5,28100425,0
154011825,1
425,01125,1
22
mcmxdf
mA
yd
ds /85,4
)73,14,08(48,43
1540
)4,0(
2
As > Asmin = x,min b h = 0,001510010 = 1,5 cm2/m
Exemplo e Detalhamento
Laje L1 bitola x espaçamento
min = 4 mm max = h/10 = 10 mm
smin = 8 cm s 20 cm
(mm) As1 (cm2) n = Asx/As1 s = 100/n (cm)
6,3 0,315 15,5 7 < smin
8 0,5 9,7 10
10 0,8 6,0 17
Exemplo e Detalhamento
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Laje L1 Momento Fletor Secundário:
my = mx = 0,211,0 = 2,2 kN.m/m
b = 100 cm ; d = dy h - c - 1,0 = 10 - 1,5 - 1,0 = 7,5 cm
md = gf mx = 1,42,2 = 3,08 kN.m/m = 308 kN.cm/m
As > Asmin = = 4,850,2 = 0,97 cm2/m
cm
fbd
mdx
cd
d
34,04,1/5,25,7100425,0
308115,725,1
425,01125,1
2
2
mcmxdf
mA
yd
ds /96,0
)34,04,05,7(48,43
308
)4,0(
2
As/s 20 % da armadura
principal
As/s 0,9 cm2/m
s 0,5 min
Exemplo e Detalhamento
Laje L1 bitola x espaçamento
min = 4 mm max = h/10 = 10 mm
smin = 8 cm s 20
(mm) As1 (cm2) n = Asx/As1 s = 100/n (cm)
4 0,125 7,76 13
5 0,2 4,85 20
6,3 0,315 3,0 32
Exemplo e Detalhamento
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Lajes L2=L3 Momento Fletor Principal (mx):
mx = 6,96 kN.m/m
b = 100 cm ; d = dx h - c - 0,5 = 10 - 1,5 - 0,5 = 8 cm
md = gf mx = 1,46,96 = 9,74 kN.m/m = 974 kN.cm/m
As > Asmin = x,min b h = 0,001510010 = 1,5 cm2/m
cmfbd
mdx
cd
d 06,14,1/5,28100425,0
97411825,1
425,01125,1
22
mcmxdf
mA
yd
ds /96,2
)06,14,08(48,43
974
)4,0(
2
Exemplo e Detalhamento
Lajes L2=L3 bitola x espaçamento
min = 4 mm max = h/10 = 10 mm
smin = 8 cm s 20 cm
(mm) As1 (cm2) n = Asx/As1 s = 100/n (cm)
6,3 0,315 9,4 11
8 0,5 5,92 17
10 0,8 3,7 27
Exemplo e Detalhamento
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Lajes L2=L3 Momento Fletor Principal (m’x23) no apoio interno:
mx = p lx2 / 8 = 5,542 / 8 = 11,0 kN.m/m
b = 100 cm ; d = dx h - c - 0,5 = 10 - 1,5 - 0,5 = 8 cm
md = gf mx = 1,411,0 = 15,4 kN.m/m = 1540 kN.cm/m
cmfbd
mdx
cd
d 73,14,1/5,28100425,0
154011825,1
425,01125,1
22
mcmxdf
mA
yd
ds /85,4
)73,14,08(48,43
1540
)4,0(
2
As > Asmin = x,min b h = 0,001510010 = 1,5 cm2/m
Exemplo e Detalhamento
Lajes L2=L3 bitola x espaçamento
min = 4 mm max = h/10 = 10 mm
smin = 8 cm s 20 cm
(mm) As1 (cm2) n = Asx/As1 s = 100/n (cm)
6,3 0,315 15,5 7 < smin
8 0,5 9,7 10
10 0,8 6,0 17
Exemplo e Detalhamento
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Lajes L2=L3 Momento Fletor Secundário (my):
my = . mx = 0,2. 6,96 kN.m/m = 1,39 kN.m/m
b = 100 cm ; d = dy h - c – 1,0 = 10 - 1,5 – 1,0 = 7,5 cm
Pode-se adotar a mesma armadura obtida para a laje L1
(5c/20)
Exemplo e Detalhamento
VSd VRd1
A resistência de projeto ao cisalhamento é dada por:
VRd1 = [Rd k (1,2 + 40 1) + 0,15 cp] bwd
onde:
Rd = 0,25 fctd = 0,32 MPa
fctd = fctk,inf / gc = 1,282 MPa
fctk,inf = 0,7.fct,m = 0,7x 2,565 = 1,795 MPa
fct,m = 0,3.fck2/3 = 0,3x 252/3 = 2,565 MPa
1 = Asx /bw.d = 5 /100 x 8,0 = 0,625% (não maior que 0,02)
k = 1,6 – d [m] = 1,6 – 0,08 = 1,52
Verificação do Cisalhamento (Laje 1)
Exemplo e Detalhamento
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Exemplo e Detalhamento
onde:
Asx = 5 cm2 (considerando toda a armadura)
bw = 100 cm (largura mínima da seção ao longo da altura útil d);
cp = NSd / Ac = 0
NSd = 0 pois não existe força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento.
Assim,
VRd1 = [Rd k (1,2 + 40 1) + 0,15 cp] bw.d = [0,032 x 1,52(1,2 + 40 x 0,00625)+ 0]100 x 8 =
VRd1 = 56,4 kN/m
VSd = Vx . gf = 11 x1,4 = 15,4 kN/m
VRd1 = 56,4 > 15,4 = VSd
Não há a necessidade de estribos!
Verificação da Flecha (Laje 1)
Exemplo e Detalhamento
Cálculo do Momento de Fissuração
Mr = (a.fct,m. Ic)/yt = (1,5 x 2565 x 8,34.10-5) / 0,05 = 6,4 kN.m
a = 1,5 para seção retangular;
fct,m já calculado anteriormente para o cisalhamento
Ic = b.h3/12 que é momento de inércia da seção de base 100 cm – ESTÁDIO I;
yt = 0,05 m (distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada)
Como :
Mr = 6,4 kN.m < 11 kN.m = Mx
Calcula-se pela formula de Branson o EIeq para considerar a perda da rigidez na seção fissurada.
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Exemplo e Detalhamento
Cálculo do Momento Equivalente
EIeq = Ec[(Mr/Ma)3. Ic + [1- (Mr/Ma)
3] III]
Ec = 0,85.1,0.5600.fck1/2 = 23,8 GPa ou 23,8 106 kN/m2;
III = é o momento de inércia da seção fissurada – ESTÁDIO II;
Calculando o xII para o ESTÁDIO II com ae = Es/Ec
III = 1,84.10-5 m4
xII = 0,0225 m
I II
b xII 3
3a e A s d xII 2
b xII2
2
A s a e d xII 0
Temos:
Verificação da Flecha (Laje 1)
Na prática, pode-
se usar αi = 0,85
para concretos das
classes C20 e C25.
Exemplo e Detalhamento
Cálculo do Momento Equivalente
Assim, pode-se calcular o momento de inércia equivalente
EIeq = Ec[(Mr/Ma)3. Ic + [1- (Mr/Ma)
3] III] =
EIeq = 23,8.106[(6,4/11)3x 8,34.10-5 + [1-(6,4/11)3] 1,84.10-5 ] = 742,6 kN m2
Flecha Imediata
Onde:
a2 = 21,4 (laje tipo 1 com ly/lx = 1,00);
p = g + y2 q = 4,1 kN/m2 (valor da carga para a combinação quase permanente (y2 = 0,3 segundo a
NBR 6118:2014);
ai = (b.p.lx4) / 12.Eieq . a2 = (1x 4,1x 44) / 12 x 742,6x 21,4 = 0,0055 m
Verificação da Flecha (Laje 1)
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Exemplo e Detalhamento
Flecha Diferida no Tempo
Dx = 2 - 0,6773 = 1,3227
t0 = 1 (tempo, em meses, que foi aplicado o carregamento)
t > 70 (tempo, em meses, que se deseja saber o valor da flecha)
Como:
= 0 (não existe armadura negativa)
a fDx
1 50 af = 1,3227
Dx x t( ) x t 0 para t ≤ 70 meses
x t 0 0.68 0.996t 0 t 0
0.32
x t 0.68 0.996t t
0.32
x(t) = 2 para t > 70 meses
Verificação da Flecha (Laje 1)
Exemplo e Detalhamento
Flecha Diferida no Tempo
af = ai x af = 0,0055 x 1,3227 = 0,0073 m
Flecha Total
aT = ai1 af) = 0,0055(1 + 1,3227) = 0,01287 m < 4,0/250 = 0,016m OK!
Verificação da Flecha (Laje 1)
Segundo a NBR 6118 (2014) este deslocamento deve estar limitado a l/250, sendo “l” o vão do
elemento estrutural.
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Exemplo e Detalhamento
Abertura de Fissuras (Laje 1)
45
ρ
4
E
σ
12,5η
φw
risi
si
b
i1
ctmsi
2
si
b
i2
fE
3σ
12,5η
φw
wklim
7,5
7,5
7,5 7,5
7,5 7,5
c < 7,5
a
(a < 15
Acr
Acr é a área da região de envolvimento protegida pela barra i;
Esi é o módudo de elasticidade do aço da barra considerada i;
i é o diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerada;
ri é a taxa de armadura em relação à área da região de envolvimento (Acri);
si é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura, no Estádio II;
hb é o coeficiente de conformação da armadura (1 em barras lisas, 1,4 barras
dentadas e 2,25 barras nervuradas)
Exemplo e Detalhamento
Abertura de Fissuras (Laje 1)
2
s
dsi
cri
scri
kN/cm ,88260,8.8.5
860
0,8.d.A
Mσ
,80%60,06873,8
5
A
Aρ
2
ctm
2
si
2565kN/cm,0f
21000kN/cmE
7,5
7,5 7,5
c = 1,5 cm
Acrit
p = g + y1 q = 4,3 kN/m2 (valor da carga para a combinação frequente e y1 = 0,4 segundo a
NBR 6118:2014);
Md = p lx2 / 8 = 4,342 / 8 = 8,6 kN.m/m
22
Exemplo e Detalhamento
w1 < wklim (tabela - NBR6118/2014)
w1< 0,4 mm OK!
mmw
w
038,0
45068,0
4
21000
88,26
25,25,12
8
1
1
mmw
w
12,0
256,021000
88,263
25,25,12
8
2
2
2
Laje L1
Exemplo e Detalhamento
T4
- 2
0Ø
5,0
c/2
0 C
= 4
06
T3 - 39Ø 8,0 c/10 C = 428
5
5
10
39
6
408
T1 - 20Ø 6,3 c/20 C = 1038
80
10
15 8 15
80
T1 - 20Ø 6,3 c/20 C = 103
T5
- 5
Ø 5
,0 c
/20
C =
40
6
T5
- 5
Ø 5
,0 c
/20
C =
40
6
23
Lajes L2=L3
Exemplo e Detalhamento
Exemplo e Detalhamento
Tipo ncm m
CUnit CTot
1 6,3 80 103 82,4
2 8 39 216 84,3
3 8 85 428 363,8
4 5 60 406 243,6
5 e 6 5 29 406 117,8
Ctot (m) Peso (kg)
5 361,4 55,7
6,3 82,4 20,2
8 448,1 177,0
TOTAL 252,9
Taxa de consumo por m3:
252,9 kg / 4,8 m3 = 52,7 kg/m3
24
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
____________________________________________________
Lajes armadas em duas Direções
lx = o menor vão teórico,
ly = o maior vão teórico (ly lx).
Normalmente, admitem-se as seguintes hipóteses simplificadoras:
vigas rigidas à flexão;
apoios da laje sobre as vigas através de charneiras (rotação livre);
a continuidade de lajes vizinhas quando estiverem no mesmo nível.
B
A
C
a
lx ly
ly
Lajes armadas em duas Direções
mx = momento fletor por unidade de largura com plano de atuação paralelo a lx;
my = momento fletor por unidade de largura com plano de atuação paralelo a ly.
y
xy
x
xx
y
xy
x
xx
pm
pm
pm
pm
aa
2222
;;;
onde, as variáveis a e estão tabeladas em função dos seguintes parâmetros:
tipo de carga (por exemplo, distribuida uniforme)
condições de apoio da laje (tipos de apoio)
relação (ly / lx).
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
____________________________________________________
25
Lajes armadas em duas DireçõesTipos de apoio usualmente empregados para o cálculo das lajes
lX
ly
charneira
engaste
1 2A 2B 3
4A 4B 5A 5B 6
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
____________________________________________________
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
____________________________________________________
Lajes armadas em duas Direções
TABELA 1 - TIPO 1
Laje com as 4 bordas livremente apoiadas
(carga uniforme)
mp
x
x
x
2
a
mp
y
x
y
2
a
wp
Ehmax
x 4
3
2a
0 2,
Beton-Kalender (1976)
y x/ a
x ay
x y a
2
1,00 22,7 22,7 21,4
1,05 20,8 22,5 19,4
1,10 19,3 22,3 17,8
1,15 18,1 22,3 16,5
1,20 16,9 22,3 15,4
1,25 15,9 22,4 14,3
1,30 15,2 22,7 13,6
1,35 14,4 22,9 12,9
1,40 13,8 23,1 12,3
1,45 13,2 23,3 11,7
1,50 12,7 23,5 11,2
1,55 12,3 23,5 10,8
1,60 11,9 23,5 10,4
1,65 11,5 23,5 10,1
1,70 11,2 23,5 9,8
1,75 10,8 23,5 9,5
1,80 10,7 23,5 9,3
1,85 10,4 23,5 9,1
1,90 10,2 23,5 8,9
1,95 10,1 23,5 8,7
2,00 9,9 23,5 8,6
>2 8,0 23,5 6,7
mx
my
y
x
26
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
____________________________________________________
TABELA 2 - TIPO 2A
Laje com 3 bordas livremente apoiadas e
uma borda menor engastada
(carga uniforme)
mp
x
x
x
2
a
mp
y
x
y
2
a
mp
y
x
y
2
wp
Ehmax
x 4
3
2a
0 2,
Beton-Kalender (1976)
y x/
ax a
y x
y a2
1,00 32,4 26,5 11,9 31,2
1,05 29,2 25,0 11,3 27,6
1,10 26,1 24,4 10,9 24,7
1,15 23,7 23,9 10,4 22,3
1,20 22,0 23,8 10,1 20,3
1,25 20,2 23,6 9,8 18,7
1,30 19,0 23,7 9,6 17,3
1,35 17,8 23,7 9,3 16,1
1,40 16,8 23,8 9,2 15,1
1,45 15,8 23,9 9,0 14,2
1,50 15,1 24,0 8,9 13,5
1,55 14,3 24,0 8,8 12,8
1,60 13,8 24,0 8,7 12,2
1,65 13,2 24,0 8,6 11,7
1,70 12,8 24,0 8,5 11,2
1,75 12,3 24,0 8,45 10,8
1,80 12,0 24,0 8,4 10,5
1,85 11,5 24,0 8,35 10,1
1,90 11,3 24,0 8,3 9,9
1,95 10,9 24,0 8,25 9,6
2,00 10,8 24,0 8,2 9,4
>2 8,0 24,0 8,0 6,7
mx
my
y
x
m’y
Lajes armadas em duas Direções
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
____________________________________________________
Lajes armadas em duas DireçõesTABELA 3 - TIPO 2B
Laje com 3 bordas livremente apoiadas e
uma borda maior engastada
(carga uniforme)
mp
x
x
x
2
a
mp
y
x
y
2
a
mp
x
x
x
2
wp
Ehmax
x 4
3
2a
0 2,
Beton-Kalender (1976)
y x/ a
x ay
x y a
2
1,00 26,5 32,4 11,9 31,2
1,05 25,7 33,3 11,3 29,2
1,10 24,4 33,9 10,9 27,4
1,15 23,3 34,5 10,5 26,0
1,20 22,3 34,9 10,2 24,8
1,25 21,4 35,2 9,9 23,8
1,30 20,7 35,4 9,7 22,9
1,35 20,1 37,8 9,4 22,1
1,40 19,7 39,9 9,3 21,5
1,45 19,2 41,1 9,1 20,9
1,50 18,8 42,5 9,0 20,4
1,55 18,3 42,5 8,9 20,0
1,60 17,8 42,5 8,8 19,6
1,65 17,5 42,5 8,7 19,3
1,70 17,2 42,5 8,6 19,0
1,75 17,0 42,5 8,5 18,7
1,80 16,8 42,5 8,4 18,5
1,85 16,5 42,5 8,3 18,3
1,90 16,4 42,5 8,3 18,1
1,95 16,3 42,5 8,3 18,0
2,00 16,2 42,5 8,3 17,8
>2 14,2 42,5 8,0 16,7
mx
my
y
x
m’x
27
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
____________________________________________________
Lajes armadas em duas Direções
TABELA 4 - TIPO 3
Laje com 2 bordas adjacentes engastadas e
as outras duas livremente apoiadas
(carga uniforme)
mp
x
x
x
2
a
mp
y
x
y
2
a
mp
x
x
x
2
mp
y
x
y
2
wp
Ehmax
x 4
3
2a
0 2,
Beton-Kalender (1976)
y x/
ax a
y x
y a2
1,00 34,5 34,5 14,3 14,3 41,3
1,05 32,1 33,7 13,3 13,8 37,1
1,10 30,1 33,9 12,7 13,6 34,5
1,15 28,0 33,9 12,0 13,3 31,7
1,20 26,4 34,0 11,5 13,1 29,9
1,25 24,9 34,4 11,1 12,9 28,2
1,30 23,8 35,0 10,7 12,8 26,8
1,35 23,0 36,6 10,3 12,7 25,5
1,40 22,2 37,8 10,0 12,6 24,5
1,45 21,4 39,1 9,8 12,5 23,5
1,50 20,7 40,2 9,6 12,4 22,7
1,55 20,2 40,2 9,4 12,3 22,1
1,60 19,7 40,2 9,2 12,3 21,5
1,65 19,2 40,2 9,1 12,2 21,0
1,70 18,8 40,2 8,9 12,2 20,5
1,75 18,4 40,2 8,8 12,2 20,1
1,80 18,1 40,2 8,7 12,2 19,7
1,85 17,8 40,2 8,6 12,2 19,4
1,90 17,5 40,2 8,5 12,2 19,0
1,95 17,2 40,2 8,4 12,2 18,8
2,00 17,1 40,2 8,4 12,2 18,5
>2 14,2 40,2 8,0 12,0 16,7
mx
my
y
x
m’x
m’y
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
____________________________________________________
Lajes armadas em duas DireçõesTABELA 5 - TIPO 4A
Laje com 2 bordas maiores livremente apoiadas e duas bordas
menores engastadas (carga uniforme)
mp
x
x
x
2
a
mp
y
x
y
2
a
mp
y
x
y
2
wp
Ehmax
x 4
3
2a
0 2,
Beton-Kalender (1976)
y x/ a
x ay
x y a
2
1,00 46,1 31,6 14,3 45,3
1,05 39,9 29,8 13,4 39,2
1,10 36,0 28,8 12,7 34,4
1,15 31,9 27,7 12,0 30,4
1,20 29,0 26,9 11,5 27,2
1,25 26,2 26,1 11,1 24,5
1,30 24,1 25,6 10,7 22,3
1,35 22,1 25,1 10,3 20,4
1,40 20,6 24,8 10,0 18,8
1,45 19,3 24,6 9,75 17,5
1,50 18,1 24,4 9,5 16,3
1,55 17,0 24,3 9,3 15,3
1,60 16,2 24,3 9,2 14,4
1,65 15,4 24,3 9,05 13,7
1,70 14,7 24,3 8,9 13,0
1,75 14,0 24,3 8,8 12,4
1,80 13,5 24,3 8,7 11,9
1,85 13,0 24,3 8,6 11,4
1,90 12,6 24,3 8,5 11,0
1,95 12,1 24,3 8,4 10,6
2,00 11,8 24,3 8,4 10,3
>2 8,0 24,3 8,0 6,7
mx
my
y
x
m’y
m’y
28
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
____________________________________________________
Lajes armadas em duas DireçõesTABELA 6 - TIPO 4B
Laje com 2 bordas maiores engastadas e duas bordas menores
livremente apoiadas (carga uniforme)
mp
x
x
x
2
a
mp
y
x
y
2
a
mp
x
x
x
2
wp
Ehmax
x 4
3
2a
0 2,
Beton-Kalender (1976)
y x/ a
x ay
x y a
2
1,00 31,6 46,1 14,3 45,3
1,05 29,9 46,4 13,8 43,2
1,10 29,0 47,2 13,5 41,5
1,15 28,0 47,7 13,2 40,1
1,20 27,2 48,1 13,0 39,0
1,25 26,4 48,2 12,7 37,9
1,30 25,8 48,1 12,6 37,2
1,35 25,3 47,9 12,4 36,5
1,40 24,8 47,8 12,3 36,0
1,45 24,4 47,7 12,2 35,6
1,50 24,2 47,6 12,2 35,1
1,55 24,0 47,6 12,1 34,7
1,60 24,0 47,6 12,0 34,5
1,65 24,0 47,6 12,0 34,2
1,70 24,0 47,4 12,0 33,9
1,75 24,0 47,3 12,0 33,8
1,80 24,0 47,2 12,0 33,7
1,85 24,0 47,1 12,0 33,6
1,90 24,0 47,1 12,0 33,5
1,95 24,0 47,1 12,0 33,4
2,00 24,0 47,0 12,0 33,3
>2 24,0 47,0 12,0 32,0
mx
my m’x
y
x
m’x
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
____________________________________________________
Lajes armadas em duas DireçõesTABELA 7 - TIPO 5A
Laje com 2 bordas menores engastadas, uma borda maior engastada e
outra livremente apoiada
(carga uniforme)
mp
x
x
x
2
a
mp
y
x
y
2
a
mp
x
x
x
2
mp
y
x
y
2
wp
Ehmax
x 4
3
2a
0 2,
Beton-Kalender (1976)
y x/ a
x ay
x y a
2
1,00 44,6 38,1 18,3 16,2 55,4
1,05 41,7 37,3 16,6 15,4 49,1
1,10 38,1 36,7 15,4 14,8 44,1
1,15 34,9 36,4 14,4 14,3 40,1
1,20 32,1 36,2 13,5 13,9 36,7
1,25 29,8 36,1 12,7 13,5 33,8
1,30 28,0 36,2 12,2 13,3 31,7
1,35 26,4 36,6 11,6 13,1 29,7
1,40 25,2 37,0 11,2 13,0 28,1
1,45 24,0 37,5 10,9 12,8 26,6
1,50 23,1 38,3 10,6 12,7 25,5
1,55 22,3 39,3 10,3 12,6 24,5
1,60 21,7 40,3 10,1 12,6 23,6
1,65 21,1 41,4 9,9 12,5 22,8
1,70 20,4 42,7 9,7 12,5 22,1
1,75 20,0 43,8 9,5 12,4 21,5
1,80 19,5 44,8 9,4 12,4 21,0
1,85 19,1 45,9 9,2 12,3 20,5
1,90 18,7 46,7 9,0 12,3 20,1
1,95 18,4 47,7 8,9 12,3 19,7
2,00 18,0 48,6 8,8 12,3 19,3
>2 14,2 48,6 8,0 12,0 16,7
mx
my
y
x
m’y
m’y
m’x
29
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
____________________________________________________
Lajes armadas em duas DireçõesTABELA 8 - TIPO 5B
Laje com 2 bordas maiores engastadas, uma borda menor engastada e
outra livremente apoiada
(carga uniforme)
mp
x
x
x
2
a
mp
y
x
y
2
a
mp
x
x
x
2
mp
y
x
y
2
wp
Ehmax
x 4
3
2a
0 2,
Beton-Kalender (1976)
y x/ a
x ay
x y a
2
1,00 38,1 44,6 16,2 18,3 55,4
1,05 35,5 44,8 15,3 17,9 51,6
1,10 33,7 45,7 14,8 17,7 48,7
1,15 32,0 47,1 14,2 17,6 46,1
1,20 30,7 47,6 13,9 17,5 44,1
1,25 29,5 47,7 13,5 17,5 42,5
1,30 28,4 47,7 13,2 17,5 41,2
1,35 27,6 47,9 12,9 17,5 39,9
1,40 26,8 48,1 12,7 17,5 38,9
1,45 26,2 48,3 12,6 17,5 38,0
1,50 25,7 48,7 12,5 17,5 37,2
1,55 25,2 49,0 12,4 17,5 36,5
1,60 24,8 49,4 12,3 17,5 36,0
1,65 24,5 49,8 12,2 17,5 35,4
1,70 24,2 50,2 12,2 17,5 35,0
1,75 24,0 50,7 12,1 17,5 34,6
1,80 24,0 51,3 12,1 17,5 34,4
1,85 24,0 52,0 12,0 17,5 34,2
1,90 24,0 52,6 12,0 17,5 33,9
1,95 24,0 53,4 12,0 17,5 33,8
2,00 24,0 54,1 12,0 17,5 33,7
>2 24,0 54,0 12,0 17,5 32,0
mx
my m’x
y
x
m’x
m’y
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
____________________________________________________
Lajes armadas em duas DireçõesTABELA 9 - TIPO 6
Laje com as 4 bordas engastadas
(carga uniforme)
mp
x
x
x
2
a
mp
y
x
y
2
a
mp
x
x
x
2
mp
y
x
y
2
wp
Ehmax
x 4
3
2a
0 2,
Beton-Kalender (1976)
y x/ a
x ay
x y a
2
1,00 47,3 47,3 19,4 19,4 68,5
1,05 43,1 47,3 18,2 18,8 62,4
1,10 40,0 47,8 17,1 18,4 57,6
1,15 37,3 48,3 16,3 18,1 53,4
1,20 35,2 49,3 15,5 17,9 50,3
1,25 33,4 50,5 14,9 17,7 47,6
1,30 31,8 51,7 14,5 17,6 45,3
1,35 30,7 53,3 14,0 17,5 43,4
1,40 29,6 54,8 13,7 17,5 42,0
1,45 28,6 56,4 13,4 17,5 40,5
1,50 27,8 57,3 13,2 17,5 39,5
1,55 27,2 57,6 13,0 17,5 38,4
1,60 26,6 57,8 12,8 17,5 37,6
1,65 26,1 57,9 12,7 17,5 36,9
1,70 25,5 57,8 12,5 17,5 36,3
1,75 25,1 57,7 12,4 17,5 35,8
1,80 24,8 57,6 12,3 17,5 35,4
1,85 24,5 57,5 12,2 17,5 35,1
1,90 24,2 57,4 12,1 17,5 34,7
1,95 24,0 57,2 12,0 17,5 34,5
2,00 24,0 57,1 12,0 17,5 34,3
>2 24,0 57,0 12,0 17,5 32,0
mx
my
y
x
m’y
m’y
m’x m’x
30
Lajes armadas em duas Direções
a) lajes isoladas: inicialmente, isolam-se as lajes, admitindo-se, para cada uma delas, as seguintes condições de apoio:
apoio livre, quando não existir laje vizinha junto a este apoio;
apoio engastado, quando existir laje vizinha no mesmo nível permitindo, assim, a continuidade da armadura negativa de flexão de uma laje para a outra;
vigas rígidas de apoio da laje;
e, calculam-se os momentos fletores máximos (em valor absoluto) nestas lajes isoladas (mx, my, mx’ e my’).
Para os pisos usuais de edifícios residenciais e comerciais (sobrecargas de valores moderados) pode ser aplicado o método simplificado exposto a seguir
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
____________________________________________________
Lajes armadas em duas Direçõesb) correção dos momentos fletores devido à continuidade entre as lajes
vizinhas:
momentos sobre os apoios comuns às lajes adjacentes: adota-se
para momento fletor de compatibilização, o maior valor entre 0,8 m>‘ e
(m1’ + m2’) / 2, onde m1’ e m2’ são os valores absolutos dos momentos
negativos nas lajes adjacentes junto ao apoio considerado e, m>‘, o
maior momento entre m1’ e m2’.
momentos nos vãos: para sobrecargas usuais de edifícios podem
ser adotados os momentos fletores obtidos nas lajes isoladas;
portanto. Para sobrecargas maiores convém efetuar essas correções,
principalmente, quando acarretar aumento no valor do momento
fletor. Para isso, existem tabelas apropriadas.
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
____________________________________________________
31
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
____________________________________________________
Lajes armadas em duas Direções
Dimensionamento a momento fletor
a) altura útil
Do mesmo modo que para as lajes armadas em uma direção, as alturas úteis são dadas por:
dx = h - c - x / 2 ; dy = h - c - x - y / 2
podendo ser estimadas, nas lajes usuais, por
dx h - c - 0,5 cm ; dy h - c - 1,0 cm
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
____________________________________________________
32
Lajes armadas em duas Direções
b) cálculo de As
md = (gf mx , gf my ou gf mx’) onde gf = 1,4 (kN.cm/m)
d = (dx ou dy) (cm)
As = (Asx ou Asy) (cm2 / m)
b = 100 cm
fcd = fck / gc (gc = 1,4) (kN/cm2)
fyd = fyk / gs (gs = 1,15) (kN/cm2)
Para x x34 :
cd2
d
fbd425,0
m11d25,1x
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
____________________________________________________
Lajes armadas em duas Direções
Armadura:
)x4,0d(f
mA
yd
ds
onde As = Asx para m = mx; As = Asy para m = my; As = As’ para m = m’
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
____________________________________________________
33
Lajes armadas em duas Direções
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
____________________________________________________
Armaduras mínimas (tabelas 19.1 e 17.3 da NBR 6118/2003)
armaduras de vão: As = (Asx ou Asy) 0,9 cm2/m e
bh
Ass
armaduras sobre os apoios de continuidade: As’ 1,5 cm2/m
bh
Ass
'
Lajes armadas em duas Direções
Escolha das barras
diâmetro:
4 mm h/8
espaçamento entre as barras:
armadura nos vãos: As
h
cmscm
2
208
armaduras nos apoios: As’ cmscm 208
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
____________________________________________________
34
Regras usuais de arranjo das armaduras de lajes
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
____________________________________________________
Casos Particulares
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
____________________________________________________
35
Casos Particulares
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
____________________________________________________
Casos Particulares
maiormenor
maiormenor
3
2
3
2
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
____________________________________________________
36
Exemplo
fck = 25 MPa Aço CA50Acl = 1,5 cm (cobrimento das lajes)q = 2,0 kN/m2 (escolas – outras salas)h = 10 cm
vigas: bw = 12 cmcv = 2,0 cm
CAA I (para efeito de ELS-W)Agregado graúdo: granito
Exemplo e Detalhamento
peso próprio = 0,1025 = 2,5 kN/m2
revestimento = 1,0 kN/m2
g = 3,5 kN/m2 (carga permanente)q = 2,0 kN/m2 (carga de ocupação)p = g + q = 5,5 kN/m2 (carga total)
Laje Tipo lx ly p ly/lx ax ay -x -y mx my m’x m’y
L1 3 3,5 4,0 5,5 1,14 28,0 33,9 12,0 13,3 2,4 2,0 -5,6 -5,1
L3 5B 3,5 4,0 5,5 1,14 32,0 47,1 14,2 17,6 2,1 1,4 -4,7 -3,8
37
Exemplo e Detalhamento
Apoio m’esq m’dir 0,8m’> m’médio m’ij
L1-L2 m’y=-5,1 m’y=-5,1 -4,1 -5,1 m’12=-5,1
L1-L3 m’x=-5,6 m’x=-4,7 -4,5 -5,2 m’13=-5,2
L3-L4 m’y=-3,8 m’y=-3,8 -3,0 -3,8 m’34=-3,8
L3-L5 m’y=-4,7 m’x=-4,7 m’35=-4,7
Laje d (cm) m (kN.cm) md (kN.cm) x (cm) As (cm2) s % Asmin (cm2) Asf Escolha
L1
(L2)
8,0 mx=240 336 0,35 0,980,10 1,00
1,005 c/20
7,5 my=200 280 0,31 0,87 1,00
8,0 m’12=510 714 0,76 2,13
0,15 1,50
2,13 6,3 c/15
8,0 m’13=520 728 0,78 2,18 2,18 6.,3 c/16
L3
(L4)
(L5)
8,07,5
mx=210 294 0,3 0,860,10 1,00
1,005 c/20
my=140 196 0,22 0,60 1,00
8,08,0
m’34=380 532 0,56 1,570,15 1,50
1,57 F5 c/12
m’35=470 658 0,70 1,96 1,96 6,3 c/16
Detalhamento
38
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
____________________________________________________
VSd VRd1
A resistência de projeto ao cisalhamento é dada por:
VRd1 = [Rd k (1,2 + 40 1) + 0,15 cp] bwd
onde:
Rd = 0,25 fctd = 0,32 MPa
fctd = fctk,inf / gc = 1,282 MPa
fctk,inf = 0,7.fct,m = 0,7x 2,565 = 1,795 MPa
fct,m = 0,3.fck2/3 = 0,3 x252/3 = 2,565 MPa
1 = Asx /bw.d = 1 /100 x 8,0 = 0,125% (não maior que 0,02)
k = 1,6 – d [m] = 1,6 – 0,08 = 1,52
Lajes armadas em duas Direções
Verificação ao Cisalhamento (Laje 1)
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
____________________________________________________
onde:
Asx = 1 cm2 (considerando toda a armadura)
bw = 100 cm (largura mínima da seção ao longo da altura útil d);
cp = NSd / Ac = 0
NSd = 0 pois não existe força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento.
Assim,
VRd1 = [Rd k (1,2 + 40 1) + 0,15 cp] bw.d = [0,032 x 1,52(1,2 + 40 x 0,00125)+ 0]100 x 8 =
VRd1 = 48,64 kN/m
VSd = px . gf = 4,82 x 1,4 = 6,7 kN/m
VRd1 = 48,64 > 6,7 = VSd
Não há a necessidade de estribos!
39
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
____________________________________________________
Cálculo do Momento de Fissuração
Mr = (a.fct,m. Ic)/yt = (1,5 x 2565 x 8,34.10-5) / 0,05 = 6,4 kN.m
a = 1,5 para seção retangular;
fct,m já calculado anteriormente para o cisalhamento
Ic = b.h3/12 que é momento de inércia da seção de base 100 cm – ESTÁDIO I;
yt = 0,05 cm (distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada)
Como :
Mr = 6,4 kN.m > 2,4 kN.m = Mx
Não se faz necessário o cálculo da flecha em ESTÁDIO II.
Lajes armadas em duas Direções
Verificação da Flecha (Laje 1) Mesmo em Estádio I
a norma recomenda o
uso do módulo
secante do concreto
para o cálculo do
Estado Limite de
Deformações
Excessivas.
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
____________________________________________________
Flecha Imediata
Onde:
a2 = 31,7 (laje tipo 3 com ly/lx = 1,15);
p = g + y2 q = 4,1 kN/m2 (valor da carga para a combinação quase permanente (y2 = 0,3 não há
equipamentos fixos e não há concentração de pessoas);
ai = (b.p.lx4) / 12.EI0 . a2 = (1 x 4,1 x 3,54) / 12 x 1983,34 x 31,7 = 0,000815 m
Flecha Diferida no Tempo
t0 = 1 (tempo, em meses, que foi aplicado o carregamento)
t > 70 (tempo, em meses, que se deseja saber o valor da flecha)
Lajes armadas em duas Direções
Verificação da Flecha (Laje 1)
40
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
____________________________________________________
Dx = 2 - 0,6773 = 1,3227
Como:
= 0 (não existe armadura negativa)
a fDx
1 50 af = 1,3227
Dx x t( ) x t 0 para t ≤ 70 meses
x t 0 0.68 0.996t 0 t 0
0.32
x t 0.68 0.996t t
0.32
x(t) = 2 para t > 70 meses
Lajes armadas em duas Direções
Verificação da Flecha (Laje 1)
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
____________________________________________________
Flecha Diferida no Tempo
af = ai x af = 0,000815 x 1,3227 = 0,0011
m
Flecha Total
aT = ai.1 af) = 0,000815(1 + 1,3227) = 0,00189 m
Lajes armadas em duas Direções
Verificação da Flecha (Laje 1)
41
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
____________________________________________________
Lajes armadas em duas Direções
Abertura de Fissuras (Laje 1)
45
ρ
4
E
σ
12,5η
φw
risi
si
b
i1
ctmsi
2
si
b
i2
fE
3σ
12,5η
φw
wklim
7,5
7,5
7,5 7,5
7,5 7,5
c < 7,5
a
(a < 15
Acr
Acr é a área da região de envolvimento protegida pela barra i;
Esi é o módudo de elasticidade do aço da barra considerada i;
i é o diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerada;
ri é a taxa de armadura em relação à área da região de envolvimento (Acri);
si é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura, no Estádio II;
hb é o coeficiente de conformação da armadura (1 em barras lisas, 1,4 barras dentadas e
2,25 barras nervuradas)
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
____________________________________________________
Lajes armadas em duas Direções
Abertura de Fissuras (Laje 1)
2
s
dsi
cri
scri
,7kN/cm290,8.8.1
190
0,8.d.A
Mσ
,54%20,025439,38
1
A
Aρ
2
ctm
2
si
2565kN/cm,0f
21000kN/cmE
7,5
7,5 7,5
c = 1,5 cm
Acrit
p = g + y1 q = 4,3 kN/m2 (valor da carga para a combinação frequente (y1 = 0,4 segundo a
NBR 6118:2014);
Md = p lx2 / 28 = 4,33,52 / 28 = 1,9 kN.m/m
42
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
____________________________________________________
Lajes armadas em duas Direções
Abertura de Fissuras (Laje 1)
w1 < wklim (tabela - NBR6118/2014)
w1< 0,4 mm OK!
mmw
w
051,0
450254,0
4
21000
7,29
25,2.5,12
5
1
1
mmw
w
09,0
256,0.21000
7,29.3
25,2.5,12
5
2
2
2