Universidad Autónoma de Sinaloa  

ESCUELA DE CIENCIAS FISICO-MATEMATICAS

Manejo e Interpretación Polarimétrica de las Matrices de Mueller

TESIS

COMO REQUISITO PARA OBTENER EL TITULO DE Licenciado en Física

PRESENTA HUZIEL ENOC SAUCEDA FELIX

DIRECTORES DE TESIS Dr. Gelacio Atondo Rubio Dr. Rafael Espinosa Luna

CULIACAN ROSALES, SINALOA. JULIO DE 2008

            

 Manejo e Interpretación Polarimétrica de 

las Matrices de Mueller  

 

Huziel Enoc Sauceda Félix  

Julio de 2008            

 

i  

           Índice general  

 1. Introducción, 1 

Referencias, 6  

2. Polarización de la Luz. Representaciones de la luz polarizada, 7 2.1 Introducción, 7 2.2 Luz Polarizada, 7 2.3 Estados de polarización de la luz, 8 2.4 Parámetros elípticos de la elipse de polarización, 13 2.5 Producción de Luz Polarizada, 16 2.6 Representaciones de la Luz Polarizada, 20 

2.6.1 Representación de Jones, 20 2.6.2 Representación de Stokes, 22 2.6.3 Matriz de Coherencia de Wolf, 30 

2.7 Medición clásica de los parámetros de polarización de Stokes, 34 Referencias, 39 

3. Representación matricial de la interacción luz‐materia, 41 3.1 Introducción, 41 3.2 Representación matricial de Jones para la interacción luz‐

materia, 41 3.2.1 Matriz de Jones para un polarizador lineal, 42 3.2.2  Matriz de Jones para un retardador, 44 3.2.3 Matriz de Jones para un rotador, 44 

3.3 Representación matricial de Mueller‐Stokes para la interacción luz‐materia, 45 

ii  

3.3.1 Matriz de Mueller para un polarizador lineal, 46 3.3.2 Matriz de Mueller para un retardador, 49 3.3.3 Matriz de Mueller para un rotador, 50 

3.4 Medición de las características de los elementos polarizadores, 50 

3.4.1 Medición de los coeficientes de atenuación de un polarizador lineal, 50 

3.4.2 Medición de la fase de desfasamiento de un retardador, 53 3.4.3 Medición del ángulo de rotación del rotador, 55 

3.5 Medición experimental de los elementos de las matrices de Mueller, 56 Referencias, 59 

 4. Métricas de despolarización de la luz, 60 

4.1 Introducción, 60 4.2 Parámetros de diatenuación, D(M), y polarizancia, P(M), 61 4.3 Grado de polarización, DoP, 63 4.4 Índice de despolarización, DI(M), 64 4.5 Métrica Q(M), 64 

Referencias, 67  

5. Manejo de matrices reportadas. Discusión de resultados, 69 5.1 Introducción, 69 5.2 Confiabilidad de la medición, 69 5.3 Porcentaje de luz despolarizada en un haz, 70 5.4 Aplicación de las métricas a matrices reportadas, 72 5.5 Resultados, 75 

Referencias, 76  

6. Conclusiones, 77      Apéndice A: Matrices de Mueller reportadas. Sistemas parcialmente despolarizantes, 78                 Referencias, 82   Apéndice B: Matrices de Mueller reportadas. Sistemas diatenuantes y no despolarizantes, 84 

iii  

                Referencias, 85  Apéndice C: Matrices de Mueller reportadas. Sistemas no despolarizantes y no diatenuantes, 87                  Referencias, 89  Apéndice D: Matrices de Mueller reportadas. Matrices que no son físicamente aceptables, 90                 Referencias, 91  Apéndice E: Programa para calcular los valores numéricos de las métricas, 92                 

                   

iv  

   

           Agradecimientos          Le  dedico  este  trabajo  a mis  hermanos,  Citlaly Nahiby,  Yary Nohemy  y  Angel,  a  mi  novia  Frida  Morán  Fitch  y,  muy especialmente, a mis padres, Blanca Elsa Félix Pérez y Gumercindo Sauceda López, ya que ellos hicieron todo esto posible.           Agradezco al CONACYT por haberme permitido participar en el Proyecto 46969‐F,  titulado:  “Una  reformulación para  las matrices de Mueller”  a  cargo  del  Dr.  Rafael  Espinosa  Luna,  así  como  por haberme otorgado una beca por medio de este proyecto. También, quiero  agradecer  al  Dr.  Gelacio  Atondo  Rubio  y  al  Dr.  Rafael Espinosa  Luna  por  haber  dirigido  esta  tesis,  por  todos  esos consejos, por compartir sus  ideas y escuchar  las mías, el apoyo en todo momento  y, más  que  nada,  por  darme  la  oportunidad  de trabajar  hombro  a  hombro  en  sus  temas  de  investigación.  Por ultimo,  pero  no  menos  importante,  quiero  agradecer  a  los sinodales,  quienes  se  tomaron  la molestia  de  revisar,  evaluar  y aprobar esta tesis.        

 

1  

    Capítulo 1  Introducción        Es un tanto difícil decidir quien fué el primero en descubrir  la propiedad de polarización de la luz. Los primeros humanos pudieron haber notado una mancha peculiar cuando veían el cielo en cierta dirección. Por otra parte,  la luz polarizada tiene muchas peculiaridades y  fue descubierta muchas veces en muchos  contextos. Uno  de  los  descubrimientos más  antiguos  de  la  luz polarizada  fue hecho por  los Vikingos cerca del año 700, quienes usaban  la luz  polarizada  para  navegar  mediante  unos  cristales  [1].  En  1669,  un matemático danés de  la Universidad de Copenhague, Erasmus Bartholinus, no  solo  observó  doble  refracción  en  una  pieza  calcita  (CaCO3),  sino  que también  elaboró  algunos  experimentos  y  escribió  una  memoria  de  60 páginas  con  los  resultados  que  obtuvo.  Esta  fue  la  primera  descripción científica  del  efecto  de  la  polarización  y  por  sus  esfuerzos  él  ha  sido considerado como el descubridor de esta propiedad de la luz.  Christian Huygens desarrolló su teoría pulso‐onda de  la  luz, que publicó en 1690 en su famoso libro de óptica “Traite de la Lumiere”, mientras que Isaac Newton  creaba  su  teoría  corpuscular de  la  luz,  la  cual  fue plasmada en  su libro “Optics” en 1704. Aunque finalmente los dos tenían razón, ya que la luz tiene esa personalidad dual onda‐partícula, Huygens se acercó más al punto de vista moderno.   Huygens hizo un experimento donde hacía pasar luz a través de dos cristales, rotando  uno  respecto  del  otro.  Notó  que  para  algunas  orientaciones  del segundo cristal no se veía la doble imagen del primer cristal, esto significaba 

2  

que cada uno de  los dos haces eran, de alguna manera, diferentes a  la  luz ordinaria.  La  interpretación  de  Huygens  fue  que  el  cristal  imprimía  una disposición dentro de cada haz, mientras que Newton pensaba que el cristal separaba partículas con diferentes “lados”.  Quizá como un resultado de  la prevalecencia de  la  teoría corpuscular de  la luz, el   estudio de sus propiedades de polarización no avanzó mucho en  los siguientes  100  años.  En  1801  Young  realizó  el  famoso  experimento  de interferencia de luz con la doble rendija. Esto parecía la prueba definitiva de que  la  luz  se  comportaba  como  una  onda,  probando  que  la  suma  de  los haces  de  luz  salientes  por  las  dos  rejillas  podría  dar  como  resultado  una sombra  (interferencia  destructiva).  Él  utilizó  su  teoría  para  explicar fenómenos  ópticos  ya  observados  en  esos  tiempos,  como  los  anillos  de Newton y los arcos supernumerarios del arcoíris.  Posteriormente,  en  1808,  el  joven  Etienne  Louis  Malus  hizo  un  crucial descubrimiento cuando se encontraba en su departamento  jugando con un cristal de Iceland Spar (Calcita). Él observaba a través del cristal, el reflejo del sol que provenía de una ventana del palacio de Luxemburgo, y notó como la intensidad variaba conforme rotaba el cristal. Después de esto, el siguió con una serie de experimentos demostrando que la habilidad de polarizar luz no estaba restringida  para cristales especiales, sino que podía ser obtenida por reflexión  de  cualquier  sustancia  ordinaria,  transparente  u  opaca,  excepto para metales  pulidos.  Con  esto,  él  dedujo  la  conocida  Ley  de Malus,  que predice la intensidad a través de un polarizador cuando el ángulo de rotación varía respecto al eje de transmisión del mismo.   Unos  años  después,  Dominique  François  Arago  (1786‐1853)  descubrió  la interferencia de  colores,  esto  lo hizo  viendo  al  cielo  a  través de una mica colocada  entre  un  vidrio  reflector  y  un  prisma  de  calcita.  Pero  lo sorprendente  fué  que  al  remover  el  vidrio  reflector  desaparecieron  los colores y solo observó un  fondo obscuro,  lo cual  indicaba que el cielo azul tenía  que  estar  polarizado.  También  encontró  evidencia  de  polarización circular  removiendo  la  mica  y  colocando  un  cristal  de  cuarzo.  Esto  lo presentó en un artículo en  la Academia de París en 1811. Al año siguiente, Jean‐Baptiste  Biot  presentó  dos  artículos  que  eran  mucho  más 

3  

comprensibles  que  el  de  Arago,  por  lo  cual,  a  Biot  se  le  conoce  como  el descubridor de la polarización circular.  Al año siguiente, Sir David Brewster retomó los trabajos de Malus y remontó sus  experimentos  usando  gran  variedad  de  piedras  preciosas  y  otros materiales.  Tras  muchas  frustraciones,  él  encontró  que  el  índice  de refracción es la tangente del ángulo de polarización y éste el conocido como el ángulo de Brewster [1].  A  la mitad  del  siglo  XIX,  la  teoría  ondulatoria  de  la  luz  desarrollada  por Augustin  Jean  Fresnel  (1788‐1827)  y  su  sucesor,  Arago,  fue  un  completo triunfo.  La  teoría  ondulatoria  explicaba  completamente  los  fenómenos ópticos  de  interferencia,  difracción  y  polarización.  Además,  Fresnel  había aplicado  satisfactoriamente  la  teoría  ondulatoria  al  problema  de  la propagación  y  polarización  de  la  luz  en medios  anisotrópicos,  esto  es,  en cristales. Otro experimento  fue desarrollado en 1851 por Armand Hypolite Louis  Fizeau  (1819‐1896),  quien  demostró  que  la  velocidad  de  la  luz  es menor en un medio óptico denso que en el vacío, resultado predicho por la teoría ondulatoria.  Para  el  año  1852,  se  desató  una  crisis  de  gran magnitud  en  óptica,  dicha crisis,  irónicamente, había sido  introducida por Fresnel 35 años antes. En el año de 1817 Fresnel y su colega Arago, crearon una serie de experimentos para  determinar  la  influencia  de  la  polarización  en  el  experimento  de interferencia  de  Thomas  Young  (1773‐1829).  Al  principio  de  estos experimentos  Fresnel  y Arago  sostenían que  las  vibraciones de  la  luz eran longitudinales.  Al  final  de  sus  experimentos  ellos  fueron  incapaces  de explicar  sus  resultados en  términos de vibraciones  longitudinales. Arago  le comunicó a Young de sus desconcertantes resultados, quien entonces sugirió que  el  experimento  podía  ser  entendido  si  las  vibraciones  fueran transversales,  solo  con  dos  componentes  ortogonales.  Esto  hizo  algunos, pero no  todos  los  resultados  comprensibles. Al  concluir  sus experimentos, Fresnel y Arago, resumieron sus resultados en una serie de afirmaciones, que ahora conocemos como las cuatro leyes de interferencia de Fresnel y Arago.  Después,  Fresnel  se  enfocó  en  el  problema  de  desarrollar  la  teoría matemática  que  describiera  estas  cuatro  leyes  de  interferencia.  La  teoría 

4  

ondulatoria  de  Fresnel  era  una  descripción  de  la  luz  en  términos  de  su amplitud y describía exitosamente la luz completamente polarizada, esto es, luz polarizada elípticamente y sus estados degenerados, polarización lineal y circular. Pero los experimentos de Fresnel‐Arago no fueron realizados con luz completamente  polarizada,  sino  con  luz  en  otro  estado  llamado  luz  no polarizada. Con el propósito de describir los experimentos de Fresnel‐Arago, era necesario que Fresnel desarrollara una teoría matemática para la luz no polarizada pero, para su sorpresa, basándose en su formulación de la luz en términos de  la amplitud, él era  incapaz de escribir dicha teoría matemática para  la  luz  no  polarizada.  Fresnel  nunca  tuvo  éxito  en  su  búsqueda, heredando a otros el problema tras su muerte en 1827. Por muchos años sus sucesores no fueron mas exitosos que lo que el había sido.   Para 1852, 35 años habían pasado desde que se habían enunciado  las  leyes de  interferencia  de  Fresnel‐Arago  y  aún  no  había  una  descripción satisfactoria de la luz no polarizada o de las leyes de interferencia. Al parecer la luz no polarizada, así como la llamada parcialmente polarizada, no podían ser descritas dentro del marco de  referencia de  la  teoría ondulatoria de  la luz, lo que representaba un serio problema para las teorías existentes en esa época.  El año de 1852 fué un momento crítico en el desarrollo de la óptica, porque en  ese  año  Sir  George  Gabriel  Stokes  (1819‐1903)  publicó  dos  artículos remarcables.  El  primero  apareció  con  el  título  “On  the  composition  and resolution of streams of polariced light from different sources”, un título que parece estar muy desviado de las leyes de interferencia de Fresnel‐Arago; el artículo  en  sí  no  pareció  atraer  mucho  la  atención.  Ahora  éste  es considerado como uno de  los grandes artículos de  la óptica clásica. En este artículo Stokes provee una formulación matemática para describir cualquier estado  de  la  luz  y, más  importante  aun,  una  formulación  para  la  luz  no polarizada:  las ecuaciones para  las  leyes de  interferencia de  Fresnel‐Arago podían  ahora  ser  descritas  en  el  lenguaje matemático.  Stokes  había  sido capaz  de  demostrar,  finalmente,  que  la  luz  no  polarizada  y  parcialmente polarizada podían ser descritas dentro del marco de la teoría ondulatoria de la luz.  

5  

Stokes tuvo éxito en su formulación, ya que el proporcionó una formulación de la luz polarizada en términos de cantidades medibles; esto es, irradiancias (observables físicos). En el siglo XIX este punto de vista fue completamente único. La  idea de observable  físico no reapareció en  física hasta  la creación de  la mecánica  cuántica en el año de 1925 por Werner Heisenberg  (1901‐1976) y después en óptica con  la  formulación observable del campo óptico en 1954 por Emil Wolf (1922‐     ).  Cerca  del  final  de  su  artículo,  Stokes  introdujo  su  descubrimiento  de  que cuatro parámetros, ahora conocidos como los parámetros de polarización de Stokes,  podían  describir  cualquier  estado  de  polarización  de  la  luz.  Al contrario de la formulación para el campo óptico en términos de la amplitud, sus parámetros eran directamente medibles.  El tema de su segundo artículo, fue la fluorescencia, en el cual estableció que “la  longitud de onda de  la  radiación  fluorescente emitida es mayor que  la longitud  de  onda  de  excitación”,  lo  cual    es  conocido  como  la  ley  de fluorescencia de Stokes. Además, encontró que  la  luz  fluorescente emitida no estaba polarizada. En 1905, dos años después de la muerte de Stokes, un joven físico con el nombre de Albert Einstein (1879‐1955) publicó un artículo en  donde  demostraba  que  la  ley  de  fluorescencia  de  Stokes,  podía fácilmente ser explicada y comprendida con  la base de  la hipótesis cuántica de Max Planck (1858‐1947). Los artículos de Stokes fueron olvidados durante casi  cien  años.  Pero,  ya  para  finalizar,  su  importancia  fue  finalmente reconocida  con  su  descubrimiento  en  1940  por  el  Nobel  Subrahmanya Chandrasekhar  (1910‐‐        ), quien usó  los parámetros de Stokes para  incluir los efectos de  la  luz polarizada en  las ecuaciones de transferencia radiativa [2].  Hasta aquí hemos dado una “breve” reseña histórica de cómo se descubrió esta propiedad de la luz, que es la polarización, las dificultades en las que se vieron los genios que trabajaron en ello, las frustraciones que les provocó el no  poder  explicar  el  fenómeno,  y  creo  es  justo  y  necesario  dar  gracias  a todos  aquellos  que  dieron  su  vida  en  aras  de  la  ciencia  para  que  hoy podamos trabajar tranquilamente con una formulación poderosa, como lo es el formulismo de Stokes, en el área de la luz polarizada.  

6  

En  los  siguientes  Capítulos,  veremos  como  se  fueron  desarrollando  las teorías  para  explicar  el  fenómeno  de  la  polarización,  los  métodos  para estudiar la interacción de la luz polarizada con la materia y las métricas que se  utilizan  actualmente  para medir  las  propiedades  despolarizantes  de  un material.  En  el  Capítulo  2,  veremos  los  primeros  intentos  por  explicar  la polarización  de  una  onda  electromagnética,  como  lo  es  la  elipse  de polarización,  así  como  los  métodos  más  comunes  que  se  utilizan  para obtener luz polarizada. Luego, pasaremos a las representaciones matriciales que desarrollaron  Jones, Stokes y Wolf, en particular nos enfocaremos a  la representación de Stokes y daremos un método con el cual podemos medir los  parámetros  de  Stokes.  En  el  Capítulo  3,  analizaremos  las  diferentes representaciones  para  la  interacción  luz‐materia,  donde  nos  enfocaremos fuertemente  en  la  representación  de  Mueller‐Stokes.  También,  veremos cuales son las matrices de Mueller para los elementos ópticos más comunes, así como un método para medir sus características y, en general, el método para  medir  la  matriz  de  Mueller  para  cualquier  material  (pasivo).  En  el Capítulo 4, veremos las métricas más comunes que se utilizan en la medición de las propiedades despolarizantes de las matrices de Mueller de diferentes materiales  o  elementos  ópticos,  y  en  particular  nos  enfocaremos  en  la métrica Q(M)  [3],  ya  que,  hasta  ahora,  es  la métrica  que  extrae  la mayor cantidad  de  información  de  una  matriz  de  Mueller.  En  el  Capítulo  5, presentaremos  un  análisis  polarimétrico  para  varias matrices  reportadas1, usando para ello  las métricas expuestas en el Capítulo 4. Por último, en el Capítulo 6, presentamos  las  conclusiones obtenidas de  la aplicación de  las diferentes  métricas  a  las  matrices  reportadas  por  algunos  grupos  de investigación.   Referencias   [1] www.polarization.com  [2] D. Goldstein, Polarized Light, Marcel Dekker, New York, 2003.  [3] R. Espinosa‐Luna and E. Bernabeu, Opt. Commun. 227 (2007) 256‐258.  

                                                            1 Las matrices reportadas se encuentran en las Apéndices A, B, C y D. 

7  

    Capítulo 2  Polarización de la luz. Representaciones de la luz polarizada  2.1  Introducción  En  el  Capítulo  anterior  se  presentó  una  reseña  histórica  de  cómo  se desarrolló a  lo  largo del tiempo el tema de  la polarización de  la  luz. Ahora nos  enfocaremos  al  análisis  de  los  diferentes  tipos  de  representaciones matemáticas  que  se  han  desarrollado  para  la  representación  de  la  luz polarizada,  parcialmente  polarizada  y  no  polarizada.  Empezaremos  con  la representación más obvia desde  el punto de vista geométrico, denominada elipse  de  polarización,  y  de  ahí  surgirán  las  representaciones  más elaboradas, como lo son la representación de Jones, Stokes y Wolf. Veremos también  que  en  la  representación  de  Stokes  y    en  la  de Wolf  es  posible representar  luz parcialmente polarizada y no polarizada, a diferencia de  la representación  de  Jones  que  esta  restringida  a  trabajar  solo  con  luz completamente  polarizada.  Y  para  finalizar,  se  da  un método  para medir mediante  un  experimento  los  parámetros  de  Stokes,  y  ver  así  que  la formulación de Stokes permite trabajar con cantidades observables.  2.2  Luz Polarizada  A  lo  largo de  la historia se han desarrollado diferentes métodos para tratar de explicar el comportamiento de la luz, como lo son la teoría corpuscular y la teoría ondulatoria de la luz. Para este trabajo, nos será más útil estudiar la 

8  

naturaleza ondulatoria de  la  luz, ya que es más palpable y accesible hablar de polarización. La luz, al igual que cualquier otro tipo de onda vectorial del espectro electromagnético, está constituida por dos campos, uno eléctrico y otro magnético, y además por una dirección de propagación. Por cuestión de  sencillez,  nos  restringiremos  solo  al  estudio  del  campo  eléctrico,  sin perder  generalidad,  ya que el  tratamiento para el  campo magnético es el mismo. Dentro  de  la  óptica  existen  dos  ramas  que  nos  sirven  para  describir  la propagación  e  interacción  de  la  luz  con  un  medio,  estas  son  la  Óptica Geométrica y la Óptica Física. En la primera, se considera que la onda tiene longitud de onda infinita, reduciendo el problema a un simple rayo de luz y se  utiliza  en  problemas  donde  no  son  necesarias  para  la  explicación  del fenómeno  las  propiedades  ondulatorias.  En  la  segunda,  por  su  parte, considera  que  la  luz  se  propaga  e  interacciona  como  onda  y  a  la  vez considera  dos  tratamientos,  la  aproximación  escalar  y  la  formulación vectorial.  La  aproximación  escalar  se  utiliza  cuando  la  orientación  de  los campos  es  independiente  de  los  fenómenos  ópticos  que  pudieran originarse. En  la  formulación vectorial de  la  luz es necesario considerar  su propia  naturaleza  y  para  esto  las  ondas  electromagnéticas  requieren  de cuatro campos vectoriales básicos para su descripción completa: el campo eléctrico  E,  el  desplazamiento  eléctrico  D,  el  campo  magnético  H  y  la inducción magnética B2. De estos  cuatro vectores el  campo eléctrico es el seleccionado  para  definir  los  estados  de  polarización,  ya  que  la  fuerza debida al campo eléctrico, en medios materiales, es mucho más intensa que la del campo magnético.  2.3 Estados de polarización de  la luz  En un medio  isotrópico y uniforme,  la  luz generalmente puede describirse como una superposición de ondas planas. Ahora consideremos una de estas ondas  con  vector  de  onda  k,  donde  el  campo  eléctrico  E  puede  estar orientado  en  cualquier  dirección  al  plano  perpendicular  a  k,  y  B  se encuentra a  lo  largo del vector k × E. Supongamos que k, en relación a un sistema coordenado cartesiano derecho, se encuentra en la dirección del eje z y tiene una magnitud |k|=ω/v, donde v=c/n es la velocidad de fase, c es la 

                                                            2 Estos cuatro vectores están relacionados por las ecuaciones de Maxwell,  

, , , 0. 

9  

velocidad  de  la  luz  en  el  vacío, n  es  el  índice de  refracción  del medio  de propagación  y  ω=2πν  es  la  frecuencia  angular  con  frecuencia  ν.  La  onda monocromática puede escribirse entonces como   

,                                                                                    2‐1  

Donde E0 es un vector constante en el plano xy y puede ser complejo. Esto significa que podemos escribir  

, , 0                                                                                    2‐2  

donde E0x y E0y son  las amplitudes y son reales y positivas y δx y δy son sus respectivas  fases.  Entonces  las  tres  componentes  del  campo  eléctrico pueden expresarse como  

, cos                                                                     2‐3a  

, cos                                                                    2‐3b  

, 0                                                                                                           2‐3c  

El  comportamiento  de  las  ecuaciones  (2‐3)  lo  podemos  clasificar dependiendo de la fase relativa (figura 2‐1)   

                                                                                                             2‐4 

 Figura 2‐1. Desfasamiento entre las componentes ortogonales del campo 

eléctrico asociado a la onda eléctrica. 

10  

 y  las magnitudes  relativas  de  E0x  y  E0y.  Retomando  las  ecuaciones  (2‐3)  y haciendo τ= ωt‐kz estas quedan como   

, cos                                                                                  2‐5a  

, cos                                                                                 2‐5b  donde  τ  es  el  propagador.  A medida  que  el  campo  se  propaga,  EX(z,t)  y EY(z,t) dan raíz a un vector resultante;  la punta de este vector describe una trayectoria en el espacio, y la curva generada es fácil de obtener a partir de las  ecuaciones  (2‐5). Haciendo  un  poco  de  álgebra  de  tal  forma  que  nos deshagamos de los términos que contienen al propagador τ, llegamos a que la ecuación de la curva generada es   

2 cos                                                                      2‐6 

 La ecuación  (2‐6) es  la ecuación de una elipse  y prueba que en  cualquier instante de tiempo la curva descrita por el campo a medida que se propaga es,  en  general,  una  elipse.  A  este  comportamiento  se  le  conoce  como polarización  óptica  y  la  ecuación  (2‐6)  es  llamada  elipse  de  polarización (figura 2‐2). 

 

 Figura 2‐2. Elipse de polarización. 

11  

 La elipse de polarización, ecuación (2‐6), se degenera en  formas especiales para  ciertos  valores  de  E0X,  E0Y  y  δ.  Ahora  consideramos  estas  formas particulares.  1.  E0Y=0. En este caso EY(z,t) es cero, entonces las ecuaciones (2‐5) nos queda como   

, cos                                                                                2‐7a  

, 0                                                                                                         2‐7b  Y de lo anterior se observa que solo hay oscilación de campo en la dirección x.  La  luz,  en  este  caso,  se  dice  que  esta  linealmente  polarizada horizontalmente.  Similarmente,  si  E0X=0  y  E0Y≠0,  entonces  tenemos oscilaciones  lineales a  lo  largo del eje y,  lo que da  lugar a  luz  linealmente polarizada verticalmente.  2. δ=0 o π. Con esto la ecuación (2‐6) queda como   

2 0                                                                                        2‐8 

 O bien,  

0  

 Y con esto  

                                                                                                      2‐9   

 Y estas ecuaciones son  líneas rectas con pendientes ±(E0Y/E0X). Para el caso en que las pendientes son ±1 las ecuaciones (2‐9) quedan como   

                                                                                                               2‐10  

12  

Para el  signo positivo  tenemos  luz  linealmente polarizada a +45° y para el negativo tenemos luz linealmente polarizada a ‐45°.  3. δ=π/2 o 3π/2. La ecuación de la elipse de polarización se reduce a  

1                                                                                                          2‐11 

 Pero la forma de la elipse no se ve  alterada para estos valores de δ.  4. E0Y= E0X=E0 y δ= π/2 o 3π/2. La elipse de polarización ahora se reduce a  

1                                                                                                            2‐12  Donde  (2‐12)  es  la  ecuación  de  una  circunferencia.  Entonces,  para  estas condiciones  se  dice  que  la  luz  esta  circularmente  polarizada  a  la  derecha (δ=π/2) o a  la  izquierda (δ=3π/2). En  la  figura 2‐3 se presentan  los estados de polarización ya vistos. 

 

 Figura 2‐3. Estados de polarización degenerados. 

 También  hay  otros  tipos  de  polarización,  como  lo  es  la  luz  parcialmente polarizada y la no polarizada, pero estos estados de polarización de la luz no se pueden representar por medio de  la elipse de polarización, ya que para esta consideramos que  la  luz era  totalmente coherente3. En un haz de  luz 

                                                            3 Se dice que dos puntos de una onda son coherentes cuando guardan una relación de fase constante, es decir cuando conocido el valor instantáneo del campo eléctrico en uno de los puntos, es posible predecir el del otro. Existen 2 manifestaciones claramente diferenciadas de coherencia: la coherencia temporal y la espacial. 

13  

parcialmente  polarizado,  las  oscilaciones  del  campo  eléctrico  en  una dirección  prevalecen  sobre  las  de  otras  direcciones.  La  luz  parcialmente polarizada se puede considerar como  la mezcla de un haz en un estado de polarización  pura  y  un  haz  no  polarizado.  Esta  depende  de  la  coherencia mutua  entre  los  campos  eléctricos  vibrando  a  lo  largo de dos direcciones perpendiculares. La luz parcialmente polarizada, lo mismo que la natural, se pueden representar como la superposición de dos ondas polarizadas planas no coherentes cuyos planos de oscilaciones son perpendiculares entre sí. La diferencia entre estos dos tipos de  luz consiste en que, en el caso de  la  luz natural la intensidad de estas ondas es igual, mientras que para el caso de la luz  parcialmente  polarizada,  es distinta. Mas  adelante  en  este  capítulo  se verá una representación matemática para estos tipos de polarización. En  la siguiente sección analizaremos la elipse de polarización y sus parámetros.  2.4 Parámetros elípticos de la elipse de polarización  La elipse de polarización tiene la forma  

2 cos                                                                      2‐6 

 donde  δ=δY‐δX.  En  general,  la  elipse  de  polarización  se  encuentra  rotada respecto de  los  ejes  coordenados;  en  la  forma  estándar de una  elipse no aparece  el  término  cruzado.  En  esta  sección  encontraremos  relaciones matemáticas entre los parámetros de la elipse de polarización y el ángulo  ψ al  cual  se  encuentra  rotada  la  elipse,  y  otro  parámetro  importante,  χ,  el ángulo de elipticidad. En la figura 2‐2 mostramos la elipse rotada un ángulo ψ(0≤ψ≤π), donde ψ es el ángulo entre Ox y Ox’.  Las componentes Ex’ y Ey’ son   

cos sen ,                                                                               2‐13a  

sen cos .                                                                           2‐13b  

14  

Si 2a y 2b son  las  longitudes de  los ejes mayor y menor,  respectivamente, entonces por comparación con las ecuaciones (2‐5), la ecuación de la elipse en términos de Ox’ y Oy’ pueden escribirse como  

cos ,                                                                                            2‐14a  

sen ,                                                                                        2‐14b  donde τ es el propagador y δ’ es una fase arbitraria. El signo ± describe  los dos posibles sentidos en que se va a generar la elipse. De las ecuaciones (2‐14) se puede llegar a la forma usual de la elipse, dada por  

1.                                                                                                         2‐15  Podemos relacionar a a y b de las ecuaciones (2‐14) con los parámetros E0x y E0y de las ecuaciones (2‐6) recordando que las ecuaciones originales para el campo óptico están dadas por las ecuaciones (2‐5)  

, cos                                                                                  2‐5a  

, cos                                                                                 2‐5b  entonces de las ecuaciones (2‐5), (2‐13) y (2‐14) se puede llegar a que  

                                                                                         2‐16a   

sin                                                                                           2‐16b  

tan 2                                                                                          2‐16c 

 Otra forma de determinar ψ es transformando directamente las ecuaciones (2‐6) a las ecuaciones (2‐15). Para esto tomamos la transformación   

cos sin                                                                                  2‐17a  

sin cos                                                                                  2‐17b 

15  

 Sustituyendo las ecuaciones (2‐17) en las ecuaciones (2‐6) se puede eliminar el término cruzado, siempre y cuando se cumpla la relación (2‐16c). Es  útil  introducir  un  ángulo  auxiliar  α(0≤α≤π/2)  para  la  elipse  de polarización definido por  

tan                                                                                                              2‐18 

 y de las ecuaciones (2‐17c) y (2‐18), tenemos que  tan 2 tan 2 cos                                                                                          2‐19  de donde podemos ver que si δ=0 o π, el ángulo de rotación es ψ=±α. Para δ=π/2 o 3π/2  tenemos ψ=0. Otro parámetro  importante    es  el  ángulo de elipticidad, χ. Este esta definido como  

tan , .                                                                       2‐20   Observamos que para polarización  lineal b=0, entonces χ=0. Similarmente, para polarización circular b=a, con esto concluimos que χ=±π/4. Entonces, la ecuación (2‐20) describe los extremos de la elipse de polarización. Usando las ecuaciones (2‐16a), (2‐16b) y (2‐18), encontramos que   

sen 2 sen                                                                                            2‐21 

 y  con  ayuda  de  la  ecuación  (2‐20)  podemos  reescribir  la  relación  (2‐21) como   sen 2 sen 2 sen                                                                                         2‐22  la  cual es  la  relación entre  la elipticidad de  la elipse de polarización  y  los parámetros E0x, E0y y δ de  la elipse de polarización. Podemos ver que  sólo para  δ=π/2  o  3π/2  la  ecuación  (2‐22)  se  reduce  a  χ=±α,  que  sería  lo esperado para esos valores. Los resultados obtenidos en esta sección serán usados otra vez, por  lo que conviene  resumirlos.  Los  parámetros  elípticos  E0x,  E0y  y  δ  de  la  elipse  de 

16  

polarización están relacionados con el ángulo de orientación ψ y el ángulo de elipticidad χ por las siguiente ecuaciones  tan 2 tan 2 cos                       0≤ψ≤π                                                    2‐23a  sen 2 sen 2 sen                    ‐π/4≤χ≤π/4                                             2‐23b  donde 0≤α≤π/2 y   

                                                                                         2‐23c   

tan                                                                                                           2‐23d 

 

tan                                                                                                        2‐23e   Hacemos énfasis en que la elipse de polarización también puede ser descrita en términos de la orientación ψ y el ángulo de elipticidad χ. En la siguiente sección discutiremos brevemente  los métodos mas comúnmente utilizados para producir luz polarizada.  2.5 Producción de luz polarizada  Actualmente,  existen  varios  dispositivos  y  métodos  para  obtener  luz polarizada,  los dispositivos  se denominan polarizadores; un polarizador es un aparato óptico cuya energía de entrada es la luz natural4 y cuya salida es luz en algún estado de polarización particular. Los métodos más comunes de obtención  de  luz  polarizada  son  dicroísmo,  birrefringencia,  reflexión  y esparcimiento (scattering), los cuales analizamos enseguida.  DICROISMO Existe una clase de medios ópticos anisotrópicos que exhiben el fenómeno conocido como dicroísmo, lo cual significa que la luz que se propaga en una determinada  dirección,  puede  ser  absorbida  de  forma  selectiva, 

                                                            4 Si bien se conoce a la luz natural como luz no polarizada, se trata de una denominación incorrecta dado que en realidad la luz natural se encuentra compuesta por una sucesión rápidamente variable de diferentes estados de polarización. Quizás, sea más correcto referirnos a ella como luz polarizada al azar [1]. 

17  

dependiendo  de  la  orientación  del  campo  eléctrico  respecto  de  las anisotropías del medio en cuestión  (figura 2‐5). En un caso extremo,  la  luz vibrando  en  una  dirección  en  particular  puede  ser  completamente absorbida  y  la  componente  perpendicular  a  esta,  será  transmitida completamente  (en  el  caso  ideal).  Una  forma matemática  para  esto,  en términos  de  intensidad  transmitida  It,  esta  dada  en  términos  de  la intensidad incidente  Ii por la ley de Malus,  

                                                                                                          2‐24  donde  θ es el ángulo entre el campo eléctrico  incidente y  las anisotropías del medio [2]. 

 

 Figura 2‐5. Dibujo esquemático de un cristal dicroico.   

 BIRREFRINGENCIA La  doble  refracción  o  birrefringencia  ocurre  en  medios  ópticamente anisotrópicos,  esto  es,  medios  que  tienen  propiedades  ópticas  que dependen de  la dirección cristalina. El  término “doble” o “bi” se  refiere al efecto  de  las  dos  diferentes  direcciones  de  propagación  que  un  rayo incidente puede tener en tal medio (figura 2‐6), dependiendo de la dirección de polarización [2]. 

 

18  

 Figura 2‐6. Dibujo esquemático de un cristal birrefringente. 

 REFLEXION Cuando un haz de  luz natural  alcanza un  ángulo de  incidencia distinto de cero sobre el límite de separación de dos dieléctricos, los rayos reflejados y refractados  resultan  parcialmente  polarizados.  En  el  rayo  reflejado prevalecen las oscilaciones perpendiculares al plano de incidencia (figura 2‐7), mientras que el  refractado  contiene ambas polarizaciones. El grado de polarización depende del ángulo incidencia y de los índices de refracción de que forman la interface. La ley de Brewster es  tan                                                                                                             2‐25 

 donde θB es el ángulo se Brewster, nr es el índice de refracción del segundo medio y ni el del primero (figura 2‐7). Si el ángulo de incidencia θ es igual a θB, el rayo reflejado estará totalmente polarizado y el grado de polarización del  rayo  refractado  alcanzara  su máximo,  pero  aun  así,  seguirá  estando parcialmente polarizado [2]. 

 

19  

 Figura 2‐7. Polarización por reflexión. 

 ESPARCIMIENTO (SCATTERING) El mecanismo  básico  para  la  producción  de  luz  polarizada  a  partir  de  luz natural  por  esparcimiento  es  el  siguiente.  Si  las  partículas  son  bastante pequeñas y simples, se pueden  inducir oscilaciones en estas por el campo eléctrico de  la  luz  incidente. Hay  reirradiación de  luz en  todas direcciones salvo en la dirección del campo eléctrico original (figura 2‐8). 

 

 Figura 2‐8. Polarización por esparcimiento.  

 La  luz  esparcida  en  una  dirección  de  90°  con  respecto  a  la  dirección  de propagación,  puede  ser  polarizada  linealmente  con  el  campo  eléctrico  en 

20  

una  dirección  perpendicular  al  plano  de  esparcimiento,  esto  es,  el  plano formado por el vector de propagación del campo  incidente y el del campo esparcido [2].  Habiendo  dado  esta  breve  descripción  de  los  métodos  naturales  más comunes  para  obtener  luz  linealmente  polarizada,  pasamos  a  analizar  las diferentes  formas matemáticas para  representar  los diferentes estados de polarización de la luz.  2.6 Representaciones de la luz polarizada  En  la  sección  2.3  vimos  lo  que  era  la  elipse  de  polarización  y  sus  casos particulares como lo son la polarización lineal y circular. Esta descripción de la  luz en  términos de  la elipse de polarización es útil, ya que nos permite representar varios tipos de  luz polarizada, pero también es  inadecuada por algunas razones. A medida que el haz de luz se propaga a través del espacio, sabemos que en el plano transversal al vector de propagación el vector del campo traza una elipse o algún otro  estado particular de la luz, ya sea una circunferencia o una línea, en un intervalo de tiempo de 10‐15 segundos. Este periodo  de  tiempo  es  claramente muy  corto  para  seguir  el  trazado  de  la elipse o  cualquier estado de polarización. Esto nos advierte que  será muy difícil observar  la elipse de polarización de manera directa. Otra  limitación es que esta  formulación  solo nos permite  representar  luz  completamente polarizada y monocromática. En vista de las limitaciones que se encuentran con  la  presente  formulación,  se  buscaron  algunas  representaciones alternativas, las cuales analizaremos en seguida.  2.6.1 Representación de Jones  Es  bien  sabido  que  se  puede  representar  a  una  onda  plana  en  forma compleja de la forma  E , ,                                                                              2‐26a  E , ,                                                                             2‐26b  

21  

o  bien,  podemos  suprimir  el  propagador    y  las  ecuaciones  (2‐26) queda como  E ,                                                                                                      2‐27a  E  .                                                                                                    2‐27b  Para obtener una  forma vectorial de  la  luz polarizada, podemos  tomar  las ecuaciones (2‐27) y escribirlas como un vector cartesiano, de tal forma que   

,                                                                                                    2‐28  o en forma de un vector columna  

.                                                                                    2‐29 

 El cual es llamado vector de Jones. La ecuación (2‐29) representa a un haz de luz polarizado elípticamente.  En el  vector de  Jones,  (2‐29),  las  amplitudes máximas  E0X  y  E0Y  son  cantidades  reales  pero  EX  y  EY  son  cantidades imaginarias debido a la presencia de la exponencial imaginaria.   Ahora pasamos a normalizar el vector de Jones. La  intensidad total del haz esta dada por  

 ,                                                                                               2‐30  o bien, en forma matricial  

 ,                                                                              2‐31 

 donde E† es el conjugado complejo de E. Efectuando  la multiplicación de  la ecuación  (2‐31)  donde  el  campo  es  de  la  forma  de  la  ecuación  (2‐29), obtenemos que la intensidad es de la forma  

.                                                                                           2‐32 

22  

 Es costumbre escoger E0

2=1, con lo que decimos que el vector de Jones esta normalizado. Entonces la condición de normalización es  

1.                                                                                                                2‐33  Notemos  que  los  vectores  de  Jones  solo  pueden  describir  luz completamente polarizada y monocromática.  Una  propiedad  adicional  de  los  vectores  de  Jones  son  la  ortogonalidad  y ortonormalidad. Se dice que, dos vectores Ei y Ej son ortogonales si   

0                                                                                                                2‐34  Si  se  satisface  esta  condición,  decimos  que  los  vectores  de  Jones  son ortogonales. Las condiciones  (2‐31) y  (2‐34) se pueden escribir en una sola ecuación, que es  

                                                                                                             2‐35  donde  δij  es  la  delta  de  Kronecker.  La  ecuación  (2‐35)  es  conocida  como condición de ortonormalidad.  Como  ya  mencionamos  anteriormente,  los  vectores  de  Jones  tienen  la restricción de solo poder representar  luz completamente polarizada, por  lo que  no  pueden  representar  luz  no  polarizada  o  parcialmente  polarizada. Esto  es  una  limitación  muy  seria  porque,  en  la  naturaleza,  la  luz  esta comúnmente  despolarizada  o  parcialmente  polarizada.  Entonces,  los vectores de  Jones, así como  la elipse de polarización, son una  idealización del  verdadero  comportamiento  de  la  luz.  Ahora  nos  enfocamos  en  una representación  en  la que  representamos  la  luz  polarizada  en  términos de observables  y  más  aún,  la  representación  matemática  para  la  luz  no polarizada y parcialmente polarizada.  2.6.2 Representación de Stokes  Hasta este punto, nos hemos restringido al estudio de la luz completamente polarizada, ya que  los métodos matemáticos que hemos estado utilizando 

23  

no  nos  permitían  el  estudio  de  la  luz  en  general.  En  el  año  de  1852  Sir George Gabriel Stokes descubrió que el comportamiento de  la polarización podía ser representado en términos de observables y que se podía describir completamente  el  estado  de  polarización  de  la  luz  mediante  cuatro parámetros. También, Stokes proporcionó una definición experimental de la luz no polarizada [3],   “la  luz  no  polarizada  es  aquella  cuya  intensidad  permanece  inafectada cuando  un  polarizador  es  rotado  o  bajo  la  presencia  de  un  retardador  de cualquier valor de retardancia”.   Anteriormente  enfatizamos  que  no  se  puede  observar  la  amplitud  del campo óptico, pero si podemos medir la intensidad del mismo. Esto sugiere que si tomamos el promedio temporal de la elipse de polarización, podemos obtener  información de esta en términos de observables. Para  lograr esto, consideremos la onda plana descrita por las siguientes ecuaciones  

, t cos                                                        2‐36a  

, t cos                                                       2‐36b  Donde las ecuaciones (2‐36) son ortogonales en cualquier punto del espacio y  no  necesariamente  son  monocromáticas,  convenientemente  tomamos z=0,  esto  para  estudiar  el  comportamiento  del  campo óptico  a  través del tiempo en un punto fijo. Entonces, las ecuaciones (2‐36) quedan como  

t cos  ,                                                                   2‐36a  

t cos  ,                                                                  2‐36b  donde  E0x(t)  y  E0y(t)  son  las  amplitudes  instantáneas,  ω  es  la  frecuencia angular  instantánea,  y  δy(t)  y  δx(t)  son  las  fases  instantáneas.  Aquí consideramos que  las amplitudes y  fases, en cualquier momento,  fluctúan muy  lentamente  comparadas  con  la  rápida  variación del  coseno.  Si  ahora tomamos un instante de tiempo t=t0 y hacemos un poco de álgebra con las ecuaciones (2‐37), de tal forma que nos quede una ecuación sin el término ωt, podemos llegar a la familiar ecuación 

24  

 

2 cos ,                            2‐38 

 donde δ(t0)=δY(t0)‐δX(t0). La ecuación (2‐38) es la elipse de polarización en el instante t=t0.  Para  el  caso  de  radiación monocromática,  las  amplitudes  y  las  fases  son constantes  en  cualquier  instante,  entonces  la  ecuación  (2‐38)  para  un instante t es  

2 cos  .                                                      2‐39 

 En donde Ex(t) y Ey(t) continúan siendo funciones del tiempo. Ahora, con el fin de representar la ecuación (2‐39) en términos de observables del campo óptico, podemos tomar el promedio en el tiempo de observación. Debido a que este es un periodo muy largo con respecto a una oscilación del campo, podemos  tomarlo como  infinito. Pero en vista de  la periodicidad de Ex(t) y Ey(t), solo necesitamos el promedio en un periodo T, entonces  la ecuación (2‐39) queda como  

2 cos ,                                                 2‐40 

 donde   

lim .                 i,j=x,y                         2‐41 

 Utilizando esta definición podemos calcular  los términos de  la ecuación (2‐41),  

 ,                                                                                                 2‐42a 

 

 ,                                                                                                2‐42b 

 

cos .                                                                     2‐42c 

25  

 Luego, multiplicamos la expresión (2‐40) por [2E0x(t)E0y(t)]

2 y sustituimos las ecuaciones (2‐42), esto da lugar a la siguiente ecuación,  2 2 2 cos 2                    2‐43  Como  queremos  llegar  a  una  expresión  que  esté  en  términos  de  la intensidad, sumamos y restamos E0x

4+E0y4 al  lado  izquierdo de  la expresión 

(2‐43); haciendo esto y reagrupando términos llegamos a la ecuación:  

2 cos 2 sen . 2‐44  Ahora escribimos las cantidades entre paréntesis como   

,                                                                                                  2‐45a  

 ,                                                                                                 2‐45b  

2 cos ,                                                                                           2‐45c  

2 sen ,                                                                                          2‐45d  y con esto la ecuación (2‐44) queda como   

.                                                                                             2‐46  Las cuatro ecuaciones dadas en (2‐45) son los parámetros de polarización de Stokes  para  una  onda  plana  y  la  ecuación  (2‐46)  se  cumple  solo  para  luz monocromática y  totalmente polarizada. Se puede ver que  los parámetros de Stokes son cantidades  reales y que, a su vez, son  los observables de  la elipse  de  polarización  y,  con  esto,  del  campo  de  polarización.  El  primer parámetro de Stokes S0, es la intensidad total del haz de luz. El parámetro S1, describe la cantidad de luz polarizada linealmente en dirección horizontal o vertical y el parámetro S2, describe la cantidad de luz polarizada linealmente a  +45  o  ‐45,  y  el  parámetro  S3,  describe  la  cantidad  de  luz  circularmente polarizada a derecha o izquierda contenida en el haz. 

26  

Si  ahora  consideramos  un  haz  de  luz  parcialmente  polarizado,  entonces podemos ver que  las  relaciones  (2‐45) siguen siendo válidas para periodos de  tiempo muy  cortos,  cumpliéndose  que  las  amplitudes  y  fases  fluctúan muy  lentamente. Usando  la  desigualdad  de  Schwarz,  podemos  demostrar que para cualquier estado de polarización los parámetros de Stokes siempre satisfacen la desigualdad  

                                                                                               2‐47  donde  el  signo  de  igualdad  aplica  cuando  tenemos  luz  completamente polarizada y la desigualdad cuando tengamos luz parcialmente polarizada o luz no polarizada. Los parámetros de  Stokes nos permiten describir el  grado de polarización DoP5 para cualquier estado de polarización. Por definición [4‐6],  

⁄ ,                                                                               2‐48 

 donde  Ipol  es  la  suma  de  las  componentes  de  polarización  e  Itot  es  la intensidad  total  del  haz.  El  valor  de  DoP=1  corresponde  a  un  haz  de  luz completamente polarizado, DoP=0  corresponde  a  luz no polarizada,  y 0 < DoP < 1 corresponde a luz parcialmente polarizada. Retomando las ecuaciones (2‐26) y en un punto fijo del espacio z=0,  E ,  ,                                                              2‐49a  

E , ,                                                              2‐49b  donde,  E ,                                                                                                      2‐50a  E ,                                                                                                     2‐50b  son  las  amplitudes  complejas.  Los  parámetros  de  Stokes  para  una  onda plana en términos de cantidades complejas son 

                                                            5 El grado de polarización se analizara mas a fondo en el capitulo 4. 

27  

 ,                                                                                            2‐51a 

 ,                                                                                            2‐51b 

 ,                                                                                            2‐51c 

 .                                                                                       2‐51d 

 Los  cuatro parámetros de  Stokes pueden  ser  arreglados en  forma de una matriz columna y escritos como  

.                                                                                                            2‐52 

 La matriz  columna  (2‐52) es  llamada vector de Stokes. El vector de Stokes para un haz de luz elípticamente polarizado es  

2 cos2 sen

.                                                                                       2‐53 

 La  ecuación  (2‐53)  también  es  llamada  vector  de  Stokes  para  una  onda plana. Recordemos que el ángulo de elipticidad χ y el ángulo de orientación ψ de la elipse de polarización están dados por   

sen 2  , 

 

tan 2  ,                                                                                           

 y de la ecuación (2‐45) se puede deducir que   

28  

sen 2  ,              ‐π/4≤χ≤π/4                                                                    2‐54a 

 

tan 2  .                  0≤ψ<π                                                                         2‐54b 

 Es conveniente expresar  las amplitudes E0x y E0y en términos de un ángulo. Para hacer esto reescribimos S0 como  

,                                                                                         2‐55  lo cual sugiere que   

cos  ,                                                                                                  2‐56a  

sen  .          0≤α≤π/2                                                                       2‐56b  El vector de Stokes también puede ser expresado en términos de S0, ψ y χ. Para probar esto escribimos la ecuación (2‐42) como  

sen 2 ,                                                                                                   2‐57a  

tan 2  ,                                                                                                  2‐57b  y  tenemos que  

.                                                                                              2‐46  Sustituyendo  las ecuaciones (2‐57) en la expresión (2‐46) obtenemos que   

cos 2 cos 2 ,                                                                                        2‐58  y ahora, sustituyendo la ecuación (2‐58) en (2‐57b) nos queda, en resumen, que   

cos 2 cos 2  ,                                                                                     2‐59a  

cos 2 sen 2  ,                                                                                    2‐59b 

 

 

 y a 

 Loeccoes 

 

 

 Coam 

 

acomodan

os parámetcuaciones oordenadastán relacio

.

omparandombas son id

       

,            

ndo lo ante

tros de Stode  transfs esféricasonadas con

,      

,       

                  

o  las  exprdénticas si

               

                   

                  

erior en for

.            

okes, ecuaformación s. Recorden las coord

                  

                  

                   

esiones  (2i los ángulo

                  

                  

Figura 2‐8

                  

rma de vec

                  

aciones  (2‐que  pasa

emos que denadas ca

                  

                  

                  

2‐59)  con os son  

                  

                  

8. Esfera d

                  

ctor de Sto

                  

‐59), son  idan  de  coolas coordeartesianas x

                  

                  

                  

las  ecuaci

                  

                  

de Poincaré

                  

okes,  

                  

dénticos aordenadas enadas esfx, y y z por

                  

                  

                  

ones  (2‐61

                  

                  

 é. 

               2‐

                2

a  las conoccartesiana

féricas  r, θr medio de

               2‐

              2‐

              2‐

1),  vemos 

               2‐

               2‐

29 

‐59c 

2‐60 

cidas as  a 

θ y φ e  

‐61a 

61b 

‐61c 

que 

‐62a 

‐62b 

30  

 En  la  figura  2‐8  se  puede  ver  como  quedaría  la  esfera.  Vemos  que expresando el estado de polarización de  un haz de luz en términos de χ y ψ nos permite describir su elipticidad y orientación en la esfera; el radio de la esfera  es  tomado  como  la  unidad.  La  representación  del  estado  de polarización como vector en la esfera fue introducida por Henri Poincaré en 1892 y es, apropiadamente, llamada esfera de Poincaré. Esta es muy usada para describir el cambio de polarización en  la  luz cuando  interactúa con un elemento  polarizador  no  diatenuante  (que  no  reduce  su  intensidad).  Es necesario recordar que en todo este desarrollo, se consideró que  la  luz era completamente polarizada, ya que tomamos la condición (2‐46). Una propiedad que muestran los vectores de Stokes es que si dos haces de luz, S1 y S2, son completamente independientes respecto de sus amplitudes y  fases, estos se pueden superponer de  tal  forma que el vector  resultante sea la simple suma de los mismos   

,                                                                                          2‐63  o en general, para n haces de luz completamente independientes, el vector resultante esta dado de la forma  

∑  .                                                                                         2‐64  Habiendo visto el tratamiento de Stokes para representar  la  luz polarizada, pasamos ahora a otra  formulación no menos  importante que  la de Stokes, esta tiene sus bases en la coherencia de la luz y fue desarrollada por Wolf.  2.6.3 Matriz de coherencia de Wolf  Hasta  aquí  demostramos  que  un  estado  de  polarización  puede  ser completamente  representado  por  un  vector  de  Stokes.  Hay  otra representación en  la cual  la polarización puede ser descrita por una matriz de  2×2  conocida  como matriz  de  coherencia  de Wolf.  Además,  hay  una relación  directa  entre  los  elementos  de  la  matriz  de  coherencia  y  los parámetros de Stokes, la misma que discutiremos a continuación.   Consideremos un campo óptico que consiste de las siguientes componentes: 

31  

 ,                                                                               2‐65a 

 .                                                                               2‐65b 

 Si tomamos la parte real de estas expresiones, obtenemos que  

 ,                                                                      2‐66a  

 ,                                                                     2‐66b  las cuales son equivalentes a las ecuaciones (2‐3). Los elementos Jij de la matriz de coherencia J, están definidos como  

lim  ,                  i,j=x,y                              2‐67 

 de aquí que  

 ,                                                                                                             2‐68  y con esto vemos que  la matriz J es Hermitiana. La matriz de coherencia es definida como:  

 .                                                          2‐69 

 La traza de esta matriz esta dada por  

 ,                                                             2‐70  y es la intensidad total del haz de luz.  Retomando  los  parámetros  de  Stokes  de  las  ecuaciones  (2‐51),  para  una onda cuasi‐monocromática  

,                                                                                      2‐71a 

32  

 ,                                                                                      2‐71b 

 ,                                                                                      2‐71c 

 ,                                                                                2‐71d 

 donde los brakets simbolizan promedios temporales. De donde es fácil ver la relación con los elementos de J, de modo que las ecuaciones (2‐71) quedan como  

,                                                                                                    2‐72a  

,                                                                                                    2‐72b  

,                                                                                                    2‐72c  

.                                                                                              2‐72d  Las  ecuaciones  (2‐72)  muestran  que  los  parámetros  de  Stokes  y  los elementos de la matriz de coherencia están relacionados linealmente, por lo que  podemos  fácilmente  obtener  los  elementos  en  términos  de  los parámetros de Stokes, entonces  

,                                                                                               2‐73a 

 

,                                                                                               2‐73b 

 

,                                                                                              2‐73c 

 

.                                                                                             2‐73d 

 La  descripción  de  una  onda,  en  términos  de  la matriz  de  coherencia,  es totalmente equivalente a la descripción en términos del vector de Stokes. De la desigualdad de Schwarz tenemos que  

33  

 ,                                                    2‐74 

 y de la definición (2‐67) obtenemos que  

 ,                                                                                                   2‐75  o bien  

0 ,                                                                                           2‐76  y con las ecuaciones (2‐76) y (2‐73) llegamos a que    det 0,                            2‐77  y de  la ecuación (2‐46) se deduce que la igualdad pertenece al caso en que la  luz  es  completamente polarizada  y  el  signo > pertenece  al  caso de  luz parcialmente polarizada, entonces  det 0,            luz completamente polarizada,                                          2‐78a  det 0,            luz parcialmente polarizada.                                               2‐78b  Con  ayuda  de  las  ecuaciones  (2‐72)  podemos  llegar  a  que  el  grado  de polarización en términos de J esta dado por  

1

 .                                                                                            2‐79 

 Si tomamos las ecuaciones (2‐73) y las sustituimos en (2‐69) nos queda que   

 ,                                                    2‐80 

 donde fácilmente podemos descomponer la ecuación (2‐80) en matrices de 2×2 de tal forma que  

34  

∑ ,                                                                                                      2‐81 

 donde   

.                                                                      2‐82 

 Para  j=0  la matriz  (2‐82)  es  la  identidad  y  para  j=1,  2,  3  se  trata  de  las matrices  de  Pauli.  Esta  conexión  entre  la  matriz  de  coherencia,  los parámetros  de  Stokes  y  las  matrices  de  Pauli  aparentemente  fue descubierta por U. Fano en 1954.  Hasta aquí hemos hablado de que los parámetros de Stokes son cantidades reales  y  que  por medio  de  estas  podemos medir  experimentalmente  las propiedades  de  un  haz  de  luz.  Con  base  en  esto,  en  la  siguiente  sección analizamos un método experimental para obtener los parámetros de Stokes.  2.7  Medición clásica de los parámetros de polarización de Stokes  Los parámetros de Stokes son muy útiles ya que son accesibles directamente mediante el experimento. Esto es debido al hecho de que se  trata de una formulación a base de  intensidades de estados de polarización del haz de luz. La medición de estos parámetros, se realiza pasando luz a través de dos elementos ópticos  llamados polarizador y  retardador,  respectivamente,  los cuales  analizaremos  con  más  detalle  en  el  siguiente  Capítulo. Específicamente, el campo eléctrico incidente es descrito en términos de sus componentes, y el campo eléctrico que emerge del elemento polarizador es entonces  usado  para  determinar  la  intensidad  del  haz  finalmente emergente. En el siguiente Capítulo podremos resolver el mismo problema pero con un método mas poderoso conocido como el formalismo matricial de Mueller. Primero hacemos pasar el haz por un retardador y luego por un polarizador. Las componentes del haz incidente son  

,                                                                                         2‐83a  

35  

.                                                                                        2‐83b  En  la Sección 2.6.2 vimos que  los parámetros de Stokes de una onda plana en la forma compleja estaban dados por  

 ,                                                                                           2‐51a  

 ,                                                                                           2‐51b  

 ,                                                                                           2‐51c  

,                                                                                       2‐51d  donde  i=(‐1)1/2  y  el  asterisco  representa  el  complejo  conjugado. Haciendo pasar el haz por el desfasador, que tiene la propiedad de adelantar en φ/2 la fase  de  la  componente  del  campo  en  dirección  x  y  retardar  φ/2  la componente  en  la  dirección  y.  Entonces,  las  componentes  del  campo emergente del retardador son  

/ ,                                                                                                2‐84a  

/ .                                                                                             2‐84b  Después, el campo descrito por  las ecuaciones (2‐84)  lo hacemos  incidir en un elemento llamado polarizador. Este tiene la propiedad de transmitir solo la  componente  del  campo  que  se  encuentra  a  lo  largo  del  eje  de transmisión. Idealmente, si el eje de transmisión está a un ángulo θ, sólo las componentes  de  Ey’  y  Ex’  en  esa  dirección  pueden  ser  transmitidas perfectamente y hay una completa atenuación en cualquier otro ángulo. Un elemento  polarizador  que  se  comporta  de  esta  forma  es  llamado polarizador. El campo transmitido a lo largo del eje de transmisión es  

cos sen .                                                                                    2‐85  Sustituyendo  las ecuaciones  (2‐84) en  la ecuación  (2‐85), el  campo queda como  

36  

/ cos / sen .                                                              2‐86   La intensidad del haz esta definida como  

.                                                                                                                 2‐87  Sustituyendo  la  ecuación  (2‐86)  en  la  ecuación  (2‐87),  nos  queda  que  la intensidad es  

, cos sen sen cos ,   2‐88  o bien, usando las fórmulas trigonométricas para ángulos dobles  

cos  ,                                                                                              2‐89a 

 

sen  ,                                                                                              2‐89b 

 

sen cos .                                                                                          2‐89c 

 Entonces,  sustituimos  las  ecuaciones  (2‐89)  en  la  ecuación  (2‐88)  para obtener  

,cos 2 cos sen 2

sen sen 2 .                                                                                   2‐90  Pero  los  términos  entre  paréntesis  son  exactamente  los  parámetros  de Stokes dados en la ecuación (2‐51). Con esto, la ecuación (2‐90) se reduce a   

, cos 2 cos sen 2 sen sen 2 .            2‐91 

 La ecuación (2‐91) es la famosa fórmula de intensidad de Stokes para medir los  cuatro  parámetros  de  Stokes.  Con  esta  fórmula  es  fácil  ver  que  los parámetros  de  Stokes  son  directamente  accesibles  con  una medición,  es decir, son cantidades observables. 

37  

Ajustando  los  ángulos  θ  y  φ  de  tal  forma  que  algunos  términos  de  la ecuación (2‐91) se eliminen, podemos llegar a un sistema de ecuaciones de cuatro por cuatro. Haciendo esto, llegamos a que  

0°, 0° ,                                                                                            2‐92a 

 

45°, 0° ,                                                                                          2‐91b 

 

90°, 0° ,                                                                                          2‐91c 

 

45°, 90° ,                                                                                  2‐91d 

 y resolviendo el sistema para los parámetros de Stokes, obtenemos que6,  

0°, 0° 90°, 0° ,                                                                              2‐92a  

0°, 0° 90°, 0° ,                                                                              2‐92b  

2 45°, 0° 0°, 0° 90°, 0° ,                                                    2‐92c  

2 45°, 90° 0°, 0° 90°, 0° .                                                  2‐92d  Las ecuaciones  (2‐92)  son muy  importantes, ya que por medio de ellas es como  se  puede  acceder  experimentalmente  a  los  parámetros  de  Stokes. Para determinar estos parámetros es necesario medir la intensidad a cuatro diferentes ángulos. Estas intensidades son fáciles de medir en nuestra época por medio de un detector, pero en  los  tiempos de Stokes no existían este tipo de dispositivos, su único detector era el ojo humano, detector capaz de medir intensidad cero, casi cero y brillante, entonces esto no permitía el uso de  los  parámetros  de  Stokes  de  manera  confiable.  Aunque,  esto  no  le mortificaba  a  Stokes,  ya  que  el  no  desarrolló  la  teoría  para  describir  el campo  óptico  en  términos  de  observables,  sino  que  el  buscaba  una representación matemática para la luz no polarizada. 

                                                            6 Las unidades en las que se miden los parámetros de Stokes son [Sj]=Watt/metro2, que son las unidades de la irradiancia. 

38  

Para  finalizar esta sección es conveniente  remarcar que  los parámetros de Stokes están  linealmente  relacionados con  los coeficientes de  la matriz de coherencia,  lo que hace, también, al método de  la matriz de coherencia un método  que  trabaja  con  cantidades  medibles;  es  decir,  con  observables físicas.   Retomando las ecuaciones (2‐73),  

,                                                                                               2‐73a 

 

,                                                                                               2‐73b 

 

,                                                                                              2‐73c 

 

,                                                                                             2‐73d 

 y sustituyendo las ecuaciones (2‐92) en las ecuaciones (2‐73) nos queda que  

0°, 0° ,                                                                                                    2‐74a  

90°, 0° ,                                                                                                 2‐74b  

45°, 0° 45°, 90° 0°, 0° 90°, 0° 1 ,        2‐74c 

 

45°, 0° 45°, 90° 0°, 0° 90°, 0° 1 .       2‐74d 

 En estas últimas ecuaciones  se puede  ver que en  la matriz de  coherencia también  es  factible  trabajar  con  cantidades  experimentales,  aunque  la matriz de coherencia es más usada en la óptica teórica.  Para  finalizar el Capítulo, damos un resumen de  los tipos más comunes de polarización,  en  las  diferentes  representaciones  para  en  el  Capítulo siguiente analizar  la interacción de  la  luz con medios ópticos, por medio de representaciones matemáticas de estos, enfocándonos en un método muy poderoso conocido como formulismo de Mueller‐Stokes.  

39  

   

  Jones Stokes WolfLuz linealmente polarizada (horizontal) 

10  

 

1100

 

 1 00 0  

 Luz linealmente polarizada (vertical) 

01  

 

11

00

 

 0 00 1  

  

Luz linealmente polarizada (+45) 

1√2

11  

 

1010

 

 12

1 11 1  

 

 Luz linealmente polarizada (‐45) 

1√2

11  

 

101

0

 

 12

1 11 1  

  

Luz circularmente polarizada (derecha) 

1√2

1  

 

1001

 

 12

11  

 

Luz circularmente polarizada (izquierda) 

1√2

1  

 

1001

 

 12

11  

 

 Luz no 

polarizada No hay 

1000

 

 12

1 00 1  

 Tabla 2‐1 Tipos más comunes de luz polarizada en diferentes 

representaciones.  Referencias  [1] Eugene Hecht, Óptica (editorial y año). 

40  

 [2] Tesis de Maestría, Gelasio Atondo Rubio.  [3] D. Goldstein, Polarized Light (Marcel Dekker, New York, 2003).  [4] S. Y. Lu and R. A. Chipman, Opt. Commun. 146 (1998) 11.  [5] B. DeBoo, J. Sasian and R. Chipman, Opt. Express 12 (2004) 4941.  [6] R. Chipman, Appl. Opt. 44 (2005) 2490.                            

41  

    Capítulo 3  Representación matricial de la interacción luz‐materia  3.1 Introducción  En  este  Capítulo,  veremos  las  representaciones  matemáticas  para  la interacción entre la luz y la materia. Primero, repasaremos el formulismo de Jones para este  fenómeno, de una  forma muy breve ya que no es nuestra prioridad.  Posteriormente  pasaremos  al  formulismo  de  Mueller‐Stokes, retomando algunas matrices para los elementos polarizadores más comunes y  veremos  un método  para  obtener más  información  de  estos  elementos. Finalmente,  daremos  un  resultado  el  cual  nos  servirá  para  obtener  los valores  experimentales,  en  base  a  intensidades,  para  la matriz  de Mueller asociados a una muestra de interés.  3.2 Representación matricial de Jones para la interacción luz‐materia.   En la sección 2.6.1 del Capítulo anterior, analizamos la representación de un haz de luz mediante un vector de Jones, ahora, en esta sección veremos una representación  matricial  para  describir  la  interacción  luz‐materia, basándonos en el formulismo de Jones. En particular, trataremos el caso de la  interacción  de  la  luz  con  algunos  elementos  polarizadores.  Para  esto, supongamos  que  las  componentes  del  haz  emergente  del  elemento polarizador  están  linealmente  relacionados  con  las  componentes  del  haz incidente. Esto lo podemos escribir como, 

42  

 ,                                                                                              3‐1a 

 ,                                                                                             3‐1b 

 donde  Ex’  y  Ey’  son  las  componentes  ortogonales  del  campo  eléctrico asociado al haz de luz emergente y Ex y Ey son las componentes ortogonales del  campo  eléctrico  asociado  al  haz  de  luz  incidente.  Las  cantidades  jik, i,k=x,y, son los elementos de la matriz de transformación. Las ecuaciones (3‐1) pueden escribirse en forma matricial y quedan como  

,                                                                                     3‐2a 

 o bien  

,                                                                                                                   3‐2b  donde   

.                                                                                                       3‐2c 

 La matriz de 2×2 J, ec. (3‐2c), es llamada la matriz de Jones del sistema.   En la sección 2.7 utilizamos algunos elementos polarizadores para encontrar una  forma  de  medir  los  parámetros  de  Stokes,  ahora  retomaremos  una representación matemática para estos.  3.2.1 Matriz de Jones para un polarizador lineal.  Un polarizador lineal se caracteriza por las relaciones  

,                                                                                                              3‐3a  

, 0 , 1                                                                            3‐3b  

43  

donde  los  pi‘s  son  los  coeficientes  de  atenuación  en  la  componente  i.  En forma matricial las ecuaciones (3‐3) quedan como  

00 .                                                                                       3‐4a 

 Entonces la matriz de Jones, ecuación (3‐2c), para un polarizador es  

00 .                                                                                                      3‐4b 

 Para un polarizador lineal horizontal ideal, se tiene que px=1 y py=0, entonces la matriz de Jones es  

1 00 0                                                                                                          3‐5a 

 y de manera similar para un polarizador lineal vertical,  

0 00 1 .                                                                                                        3‐5b 

 Es conveniente obtener la matriz de Jones para un polarizador lineal rotado, para esto usamos la conocida transformación,   

                                                                                                     3‐6  donde J es la matriz de rotación para ejes coordenados   

cos sensen cos .                                                                                            3‐7 

 Efectuando la multiplicación señalada en la ecuación (3‐6), obtenemos que la matriz de Jones para un polarizador lineal cuyo eje de transmisión forma un ángulo theta respecto a la horizontal, está dada por   

44  

sen cossen cos

                             3‐8 

 El siguiente elemento óptico de nuestro interés es el retardador.   3.2.2 Matriz de Jones para un retardador.  Un  retardador  lineal  aumenta  la  fase  +φ/2  a  lo  largo  del  eje  rápido  (x)  y retarda la fase por ‐φ/2, a lo largo del eje lento (y). Este comportamiento es descrito por  

/ ,                                                                                                       3‐9a  

/ ,                                                                                                       3‐9b  de donde podemos inmediatamente expresar esto en forma matricial  

/ 00 / .                                                                        3‐10a 

 Entonces la matriz de Jones, ecuación (3‐2c), para un retardador lineal queda como  

/ 00 / .                                                                                       3‐10b 

 La última matriz de nuestro interés es la asociada a un rotador.  3.2.3 Matriz de Jones para un rotador.  Las ecuaciones que describen el comportamiento de un haz que incide en un rotador son   

cos sen ,                                                                                 3‐11a  

sen cos ,                                                                             3‐11b  

45  

donde β es el ángulo de rotación. Y en forma matricial   

cos sensen cos .                                                                      3‐12a 

 Entonces la matriz de Jones, ecuación (3‐2c), para un rotador es  

cos sinsin cos .                                                                                      3‐12b 

 Habiendo  dado  una  pequeña  introducción  a  la  representación  de  Jones, pasamos a una representación matemática más poderosa para la interacción de  la  luz  con  materia,  y  que  maneja  términos  reales  y  completamente accesibles mediante un experimento, la representación de Mueller‐Stokes.  3.3  Representación  matricial  de  Mueller‐Stokes  para  la  interacción  luz‐materia.  En  la  sección  anterior,  vimos  un  método  para  encontrar  la  expresión matemática  para  un  elemento  polarizador,  entonces  por  analogía supongamos  que  un  haz  de  luz,  representado  por  un  vector  de  Stokes  S, interacciona  con un elemento polarizador  y de este emerge un haz de  luz representado por el vector S’ (ver figura 3‐1).  

 Figura 3‐1. Esquema de la interacción de un vector de Stokes con un elemento óptico.  

 Aquí  el  haz  incidente  interacciona  con  el medio  polarizador,  y  para  el  haz emergente suponemos que cada elemento de S’ puede ser expresado como una combinación lineal de los elementos de S, esto se puede escribir como:  

46  

 ,                                                      3‐13a  

 ,                                                      3‐13b  

 ,                                                      3‐13c  

 .                                                      3‐13d  En forma matricial, las ecuaciones (3‐13) quedan como  

                                                     3‐14 

 o bien  

·                                                                                                                 3‐15  donde  S  y  S’  son  los  vectores  de  Stokes  incidente  y  emergente, respectivamente, y M es una matriz de 4×4 de elementos  reales  conocida como matriz de Mueller.  Cuando un haz de luz interactúa con materia su estado de polarización puede experimentar una afectación. El estado de polarización puede ser modificado por (1) un cambio en  la fase, (2) cambio en  la amplitud, (3) un cambio en  la dirección  de  las  componentes  ortogonales  del  campo,  o  (4)  transfiriendo energía del estado polarizado a un estado no polarizado (o despolarizado). Si la  energía  en  el  estado  polarizado  pasa  a  un  estado  despolarizado,  el elemento  es  llamado  despolarizador.    También,  para  el  caso  en  que  la amplitud  del  haz  incidente  sea  modificada,  se  trata  de  un  dispositivo diatenuador.  A  continuación,  analizaremos  los  elementos  polarizadores  más  comunes, ahora,  para  el  caso  de  los  vectores  de  Stokes  y,  les  asociaremos  sus respectivas matrices de Mueller.    3.3.1 Matriz de Mueller para un polarizador lineal.  

47  

Retomando la ecuación (3‐3) de la sección 3.2.1,  

,                                                                                                              3‐3a  

, 0 , 1                                                                             3‐3b  y  recordando  la  definición  de  los  parámetros  de  Stokes  en  términos  de cantidades complejas, las ecuaciones (2‐51) para el haz incidente son  

,                                                                                             3‐16a  

,                                                                                             3‐16b  

,                                                                                              3‐16c  

,                                                                                        3‐16d  y para el haz emergente   

,                                                                                           3‐17a  

,                                                                                           3‐17b  

,                                                                                            3‐17c  

.                                                                                      3‐17d  Sustituyendo  las  ecuaciones  (3‐3)  en  las  ecuaciones  (3‐17)  y  utilizando  las relaciones (3‐16), llegamos a que   

0 00 0

0 00 0

2 00 2

                            3‐18 

 y con esto obtenemos que la matriz de Mueller para un polarizador lineal es 

48  

 

0 00 0

0 00 0

2 00 2

.                                            3‐19 

 Es  conveniente  escribir  lo  anterior  en  términos  trigonométricos,  entonces hacemos  

,                                                                                                       3‐20a  

cos ,                                                                                                         3‐20b  

sin ,                                                                                                         3‐20c  Con esto, la ecuación (3‐19) queda como  

1 cos 2cos 2 1

0 00 0

0 00 0

sen 2 00 sen 2

                                               3‐21 

 donde    0≤γ≤90°.  Para  un  polarizador  lineal  horizontal  γ=0  y  para  un polarizador lineal vertical γ=90°. En la figura 3‐2 se puede apreciar un sistema con un polarizador vertical y un analizador horizontal.  

 Figura 3‐2.  Polarización de ondas de luz.  

  

49  

En  la  práctica  no  hay  un  polarizador  lineal  perfecto,  por  lo  que  todos  los polarizadores crearan luz elípticamente polarizada, aunque la elipticidad sea muy pequeña, de hecho, despreciable, siempre habrá un porcentaje de ella en el haz modificado.  3.2.2 Matriz de Mueller para un retardador.  Un retardador es un elemento polarizador que cambia la fase del haz de luz con que interacciona. Este elemento introduce un desfasamiento φ entre las componentes  ortogonales  del  campo  eléctrico  asociado  al  haz  de  luz incidente, esto se puede apreciar en la figura 3‐3.  

 Figura 3‐3. Interacción de una onda de luz con un retardador. 

 Retomando  las expresiones  (3‐9), que  representan  la  interacción de un haz de luz con un retardador, las sustituimos en las ecuaciones (3‐17) y hacemos un desarrollo similar al de la sección 3.2.1, con esto podemos llegar a que la matriz de Mueller para un retardador (o compensador) es  

50  

1 00 1

0 00 0

0 00 0

cos sensen cos

                                                                  3‐22 

 Ahora pasamos al último elemento polarizador, el rotador.  3.3.3 Matriz de Mueller para un rotador.  Tomando la misma idea de la sección 3.2.3, con las ecuaciones (3‐11) y (3‐17) podemos obtener que la matriz de Mueller para un rotador es  

1 00 cos 2

0 0 sen 2 0

0 sen 20 0

cos 2 00 1

.                                                            3‐23 

 Después de haber obtenido las matrices de Mueller para el polarizador lineal, el  retardador y el  rotador, ahora pasamos a analizar algunos métodos para obtener las características de cada uno de estos elementos, como lo son los coeficientes de atenuación en un polarizador  lineal, el desfasamiento en un retardador y el ángulo de rotación en un rotador.  3.4 Medición de las características de los elementos polarizadores.  Es bien sabido que para poder trabajar en algún experimento, se debe tener bien  caracterizado  todo  el  equipo,  por  lo  que  es  conveniente  desarrollar técnicas para medir  las propiedades de cada uno de  los elementos con  los que trabajemos.  3.4.1 Medición de los coeficientes de atenuación de un polarizador lineal  Primero empezaremos con el polarizador  lineal, este está caracterizado por los  coeficientes  de  atenuación  px  y  py  de  los  ejes  ortogonales  x  y  y, respectivamente.  A  continuación  describimos  un  procedimiento experimental  para medir  estos  coeficientes.  La  configuración  que  se  tiene que montar para medir px y py en el laboratorio está descrita en la figura 3‐4.  

51  

 Figura  3‐4.  Arreglo  experimental  para  encontrar  la  característica  de  un  elemento  óptico.  Este consiste de una fuente de  luz,  la cual se enfoca a un elemento óptico que genera  luz polarizada (conocida),  luego  esta  se  hace  incidir  en  el  elemento  óptico  a  examinar  y  de  ahí  pasa  a  un analizador,  este  se  encuentra  rotado  un  ángulo  α,  el  cual  se  varia  para  ver  el  cambio  en  la intensidad del haz  Sd,  con este procedimiento  y  con  la ayuda de algunas ecuaciones,  se puede caracterizar polarimétricamente a un  elemento óptico. 

 Esta misma  configuración  nos  servirá  para  la  caracterización  polarimétrica del retardador y el rotador.  La matriz de Mueller para un polarizador lineal esta dada por la ecuación  (3‐19), pero esta la podemos reescribir como   

0 00 0

0 00 0

00

,                                                                                       3‐23 

 donde   

,                                                                                                  3‐24a 

 

,                                                                                                  3‐24b 

 ,                                                                                                              3‐24c 

 donde las relaciones (3‐24) satisfacen la ecuación    

.                                                                                                        3‐25  Consideremos  un haz de luz en un estado de polarización representado por el vector de Stokes S,  

52  

 

.                                                                                                               3‐26 

 Para medir las características del polarizador a examinar se escoge el primer polarizador (figura 3‐4), que es llamado generador de polarización, como un polarizador  lineal  a  +45°.  Entonces  el  vector  de  Stokes  que  emane  estará dado por   

1010

,                                                                                                            3‐27 

 donde I0=(1/2)(S0+S2) es la intensidad emergente. Luego el vector saliente del segundo  polarizador,  es decir,  el polarizador  que  se quiere  caracterizar,  lo obtenemos al multiplicar la ecuación (3‐23) por la ecuación (3‐27), y esto nos da  

0

.                                                                                                          3‐28 

 El  polarizador  antes  del  detector  óptico  es  un  analizador,  que  es  un polarizador  lineal  que  puede  ser  rotado  un  cierto  ángulo  α.  La matriz  de Mueller  para  este  se  obtiene multiplicando  la matriz  para  un  polarizador horizontal por la de un rotador, lo que da por resultado  

1 cos 2 cos 2 cos 2

sen 2 0sen 2 cos 2 0

sen 2 sen 2 cos 20 0

sen 2 0 0 0

.                            3‐29 

 Entonces, el vector de Stokes que llegara al detector será  

53  

cos 2 sen 21

cos 2sen 2

0

,                                                3‐30 

 y la intensidad del haz es   

cos 2 sen 2 .                                                               3‐31 

 Rotando el analizador en 0°, 45° y 90°, respectivamente, se obtiene que   

0° ,                                                                                              3‐32a 

 

45° ,                                                                                           3‐32b 

 

90° ,                                                                                            3‐32c 

 y de las ecuaciones (3‐32) se obtiene lo que buscábamos  

°,                                                                                                         3‐33a 

 °.                                                                                                       3‐33b 

 Ahora pasamos al caso del retardador.  3.4.2 Medición de la fase de desfasamiento de un retardador  Hay  numerosas  ocasiones  en  las  que  se  debe  de  conocer  con  mucha exactitud el desfasamiento que provoca un retardador. Los retardadores más comunes  son de  cuarto‐de‐onda  y media‐onda,  los  cuales  son más usados para  crear  luz polarizada  circularmente  y para  revertir  el  sentido de  la  luz elípticamente polarizada, respectivamente. En  esta  sección  retomamos  la  figura  3‐4,  pero  ahora  el  generador  de  luz polarizada será un polarizador  lineal horizontal, el elemento óptico será un 

54  

retardador con su eje  rápido  rotado a un ángulo θ de  la horizontal, para el analizador  hacemos  α=90°  para  que  este  se  convierta  en  un  polarizador lineal vertical. Para obtener  la matriz de Mueller del retardador rotado solo multiplicamos la ecuación (3‐22) por la ecuación (3‐23), entonces la matriz de Mueller del sistema será  

                                                                                    3‐34  con  

1 11 1

0 0 0 0

0 00 0

0 00 0

,                                                                            3‐35 

 donde el signo más corresponde al polarizador horizontal y el menos, para el vertical. Al hacer las multiplicaciones  de la ecuación (3‐34), nos queda que    

1 11 1

0 00 0

0 00 0

0 00 0

.                                                    3‐36 

 La intensidad del haz que llega al detector es  

, .                                                                            3‐37 

 donde I0 es la intensidad de la fuente de luz. De la expresión (3‐37) podemos ver rápidamente que  

0°, 0                                                                                             3‐38a  

45°,                                                                          3‐38b 

 y de la ecuación (3‐38b) podemos despejar φ,   

55  

cos 1 .                                                                                          3‐39 

 Podemos notar que  todas  las  cantidades de  las que depende φ  se pueden medir. Por último, pasamos al caso del rotador.  3.4.3 Medición del ángulo de rotación del rotador  El último elemento polarizador que nos queda por caracterizar es el rotador. La matriz de Mueller para el rotador esta dada por la expresión (3‐23),  

1 00 cos 2

0 0 sen 2 0

0 sen 20 0

cos 2 00 1

.                                                             3‐23 

 De nuevo, retomemos la figura 3‐4, pero ahora el generador de polarización, será un polarizador  lineal vertical y, obviamente el elemento polarizador de en medio será un rotador y el analizador permanecerá  igual; es decir, como un polarizador  lineal horizontal  rotado un ángulo α. El  vector de  Stokes  S’ que incide en el rotador es  

11

00

,                                                                                                         3‐40 

 y el vector S” que llega a el analizador es  

1cos 2

sen 20

,                                                                                              3‐41 

 y el vector de Stokes que  llega al detector  se encuentra multiplicando a  la expresión  del  rotador  (3‐29)  por  el  vector  (3‐41)  y  de  ese  resultado  se obtiene que la intensidad de Sd es  

1 cos 2 2 .                                                                            3‐42 

56  

 Para α=180°‐θ se  tiene  intensidad nula, y de esa expresión encontramos el ángulo de rotación   

180° ,                                                                                                        3‐43  de donde podemos ver que no es necesario el detector para conocer θ, ya que podemos ver que no se transmite  luz si empleamos una pantalla opaca en el lugar del detector. Habiendo dado las diferentes representaciones para la  interacción  de  la  luz  con  un medio  óptico,  así  como  las  técnicas  para caracterizar polarimétricamente  los elementos ópticos, pasamos a describir un  método  para  calcular  los  valores  de  los  parámetros  de  la  matriz  de Mueller, para una muestra experimental. Si se desea profundizar mas en  lo que se ha visto hasta aquí, se puede consultar la referencia [1].  3.5 Medición experimental de los elementos de las matrices de Mueller.  La muestra experimental o superficie de  la cual se quiere obtener  la matriz de  Mueller  puede  ser  de  alta  simetría,  como  lo  es  una  superficie unidimensional,  1‐D,  que  es  una  superficie  definida  con  respecto  a  un sistema de coordenadas cartesianas y esta solo tiene rugosidad a lo largo de un eje y en el otro es constante, o bien, puede ser bidimensional, 2‐D, que es una  superficie  arbitraria  cuya  rugosidad    varía  a  lo  largo  de  los  dos  ejes coordenados. Pero aquí no nos  interesa de que tipo sea  la muestra, ya que daremos  las  expresiones  de  tal  forma  que  la  superficie  a  analizar  sea arbitraria.  Consideremos  una  superficie,  o  en  general  un  elemento  material, representada por  la matriz de Mueller M al que se  le hace  incidir un haz de luz representado por el vector de Stokes Si (ya caracterizado) y de la muestra emerge un haz So, que es de la forma  

.                                                                                                               3‐44  Luego de esto, el vector So es analizado o filtrado, es decir, se hace pasar por un Analizador y de este sale el vector Sd que es  

57  

,                                                                                                            3‐45  donde A es  la matriz de Mueller que representa a el Analizador. También  la ecuación (3‐45) puede expresarse como   

∑ ∑ ,                                                                                  3‐46   donde  aij,  mjk  y  Si

f  son  los  elementos  de  las  matrices  A,  M  y  S, respectivamente. Luego, Sd es medido con un detector, pero este solo mide intensidades, por  lo que dicha medición  será proporcional al elemento S0

d. Entonces nos quedamos solo con el elemento S0

d que esta dado por [2]  

∑ ∑ ,                                                                               3‐47a  o bien  

         .                                           3‐47b  De  la expresión anterior nos podemos dar cuenta de que  los únicos valores relevantes de A, son  los del primer renglón y que  la matriz de Mueller para un sistema general, tiene 16 elementos  independientes, es decir, todos son independientes.  Pero  no  es  tan  grave,  ya  que  con  un  conjunto  de  cuatro vectores de Stokes incidentes y cuatro analizadores se pueden obtener los 16 valores. El conjunto de los vectores de Stokes es [2]  

, , ,1100

,11

00

,1010

,1001

,                                                 3‐48 

 donde  los  vectores  de  Stokes,  son  polarización  lineal  paralela  (p),  lineal perpendicular (s), lineal a +45 con respecto a el plano de incidencia y circular a  derechas  (+),  respectivamente.  Luego  el  conjunto  de  analizadores  esta dado por  

58  

 , , ,  

1 1 0 01 1 0 000

00

0 00 0

,1 1 0 01 1 0 0

00

00

0 00 0

,1 0 1 00 0 0 010

00

1 00 0

,1 0 0 00 1 0 000

00

0 11 0

,        3‐49 

 donde  los Ai son  los filtros o analizadores correspondientes a los estados de polarización de  los vectores  incidentes. Ahora, si denotamos a  la  intensidad medida  en  el  detector  por  Iij,  donde  i  representa  el  vector  de  Stokes incidente  (p,s,+,r)  y  j  representa  el  analizador  utilizado  (p,s,+,r).  Con  esto podemos obtener  los 16  valores de  la matriz de Mueller  aplicando  a  cada filtro del conjunto (3‐39) uno de  los vectores de Stokes del conjunto (3‐48),  dando como resultado [2],  

                                                                         3‐50a 

 

                                                                        3‐50b 

 

                                                   3‐50c 

 

                                                    3‐50d 

 

                                                                         3‐50e 

 

                                                                         3‐50f 

 

                                                   3‐50g 

 

                                                    3‐50h 

 

                                                    3‐50i 

 

                                                    3‐50j 

 

59  

2               3‐50k 

 

2                 3‐50l 

 

                                                  3‐50m 

 

                                                  3‐50n 

 

2                3‐50o 

 

2                  3‐50p 

 Los valores de mij que se acaban de dar son totalmente generales, por lo que aplican a cualquier muestra. Para el caso de muestras del tipo 1‐D  la matriz se reduce a [3],  

0 00 0

0 00 0

                                                                  3‐51 

 Habiendo  presentado  los  métodos  matemáticos  para  representar  la interacción de  la  luz con  la materia, así como  la  forma de obtener matrices experimentales,  podemos  ahora,  pasar  a  ver  algunas  de  las  métricas  de despolarización  existentes,  por  medio  de  las  cuales  se  puede  extraer información de las matrices de Mueller, ya sean teóricas o experimentales.   Referencias  [1] D. Goldstein, Polarized Light, Marcel Dekker, New York, 2003.  [2] G. Atondo‐Rubio, R.  Espinosa‐Luna, A. Mendoza‐Suarez, Opt.  Commun. 244 (2005) 7‐13.  [3] K.A. O’Donnell, M.E. Knotts, J. Opt. Soc. Am. A 8 (1991) 1126.  

60  

    Capítulo 4  Métricas de despolarización  de la luz  4.1 Introducción  En Capítulos anteriores hemos visto la representación matemática de la luz y de  su  interacción  con  la  materia,  de  donde  surgieron  las  Matrices  de Mueller,  y  con  esto,  una  representación matemática  para  una  respuesta lineal a la luz por una muestra de materia o sistema óptico. Pero hasta aquí no  hemos  propuesto  alguna  forma  de  analizar  o  extraer  información  del sistema  bajo  estudio  mediante  su  matriz  de  Mueller.  En  este  Capítulos veremos algunas de  las métricas más  importantes  y, por  lo  tanto,  las mas utilizadas en el análisis de estas matrices. El sentido de una métrica escalar es proveer la máxima información posible acerca de la naturaleza interna de un  sistema  despolarizante  sistema  bajo  estudio.  Como  el  sistema  estará representado por la matriz de Mueller M, las métricas serán función de M y en algunos casos del vector de Stokes incidente, Si. Las métricas que veremos son:  los  parámetros  de  Diatenuación  y  de  Polarizancia,  el  Grado  de Polarización,  el  Índice  de  Despolarización  y  la métrica  Q(M),  siendo  ésta última  la más  importante,  ya que  se ha demostrado que es  la que  aporta mayor información [1].   4.2 Parámetros de diatenuación,  D(M), y  de polarizancia, P(M).  Es conveniente que definamos una cantidad de gran importancia y que nos servirá de mucho en los temas siguientes, esta cantidad expresa la ganancia 

61  

del medio. La Ganancia g esta definida como la intensidad emergente tras la interacción, dividida por la intensidad del haz incidente [2]  

.                                                                                                             4‐1a 

Para sistemas pasivos7 se tiene que   0 1.                                                                                                             4‐1b  Un diatenuador es aquel elemento óptico que provoca una disminución en la  intensidad  total  o,  en  particular,  en  alguna  de  las  intensidades  de  una componente  polarizada  del  haz  de  luz  incidente.  Para  comprender mejor esta característica y poder encontrar una métrica retomemos la ecuación (3‐13a),  

.                                                     3‐13a  De esta ecuación podemos  ver que  la  intensidad  total del haz emergente depende solo de  los elementos del primer renglón de  la matriz de Mueller M, donde m0j determina qué cantidad de la intensidad de Sij va a contribuir a la  intensidad  total  del  haz  emergente.  En  base  a  esto,  se  define  la Diatenuación como [3]   

,                                                                  4‐2a 

donde    0 1.                                                                                                     4‐2b  En el caso en que D(M)=0, esto nos dice que sólo la intensidad total del haz incidente va a contribuir en una cantidad m00 a  la  intensidad  total del haz emergente,  y  cuando  D(M)=1,  la  intensidad  total  del  haz  incidente contribuye  de  igual manera  que  los  estados  degenerados  a  la  intensidad total del haz emergente. De igual forma, retomemos las ecuaciones (3‐13), 

                                                            7 Es conveniente recordar que el formulismo de Mueller‐Stokes se desarrolló sobre sistemas que producen respuestas lineales y pasivos, es decir, no aportan energía durante la interacción. 

62  

 ,                                                     3‐13a 

 ,                                                     3‐13b 

 ,                                                     3‐13c 

 .                                                     3‐13d 

 Podemos  ver  que  los  elementos  mj0,  determinan  qué  cantidad  de  la intensidad  total  del  vector  incidente,  va  a  contribuir  a  cada  uno  de  los estados de polarización Soj del vector emergente. Se define el Parámetro de Polarización o Polarizancia como [3]  

,                                                                   4‐3a 

donde  0 1.                                                                                                     4‐3b  Para  en  caso  en  que  P(M)=0,  se  tiene  que  la  intensidad  total  del  haz incidente sólo va a contribuir a  la  intensidad  total del haz emergente, y  lo hará en una cantidad m00, en el caso en que P(M)=1, podemos ver que  la intensidad  total  del  haz  incidente  va  a  contribuir  de  igual  forma  a  la intensidad total y a los estados degenerados, del haz emergente.   4.3 Grado de polarización, DoP.  Consideremos un haz de luz Si que interacciona con un elemento óptico M, de donde emerge un haz de luz So dado por la ecuación (3‐14). Sabemos que los  elementos  Soj  son  mediciones  experimentales  de  la  intensidad  (ver ecuaciones  (2‐92)),  el  término  So0  es  la  intensidad  total  del  haz,  S

o1  es  el 

término  que  representa  la  intensidad  de  la  componente  linealmente polarizada  del  haz,  So2  lleva  la  información  acerca  de  la  intensidad  de  la componente  polarizada  a  ±45°y  So3  representa  la  intensidad  de  la componente  polarizada  circularmente.  En  el  caso  más  general,  So  se 

63  

encontrará parcialmente polarizado; es decir,  tendrá un porcentaje de  luz no  polarizada  y  otro  de  luz  polarizada.  Esto  lo  podemos  verificar sustituyendo los elementos de So en la ecuación (2‐47),  

.                                                                                              2‐47   Si se cumple la igualdad, el haz está totalmente polarizado y si se cumple la desigualdad,  entonces  el  haz  se  encuentra  en  un  estado  parcialmente polarizado. El Grado de Polarización se define como [3‐5],   

,                                                            4‐4a 

 donde  Ipol    es  la  suma  de  las  componentes  de  polarización,    Itot  es  la intensidad total del haz y se cumple que  0 1.                                                                                                       4‐4b  La  definición  (4‐4a)  es  válida  para  cualquier  vector  de  Stokes,  pero  en nuestro caso esta queda como  

∑.                  4‐5 

 Con  lo que DoP=DoP(M,Si) está directamente  relacionado con  la matriz de Mueller y el vector de Stokes  incidente. Si DoP=0, el haz de  luz emergente estará  totalmente  despolarizado,  si  DoP=1  el  haz  estará  totalmente polarizado  y  si  0<DoP<1,  el  haz  de  luz  se  encontrará  en  un  estado parcialmente polarizado.       4.4 Índice de despolarización, DI(M).  El  término  despolarización  se  refiere  a  la  pérdida  en  el  grado  de polarización, DoP, a medida que  la  luz  se propaga a  través de un  sistema óptico, el  cual está  representado por  la matriz de Mueller M. El  índice de despolarización,  DI(M),  ha  sido  definido  como  un  escalar  asociado  a  la 

64  

matriz M, representando la despolarización de la luz como consecuencia de la respuesta lineal del sistema óptico. El Índice de Despolarización se define como [6,7],  

∑ ,√3

,                                            4‐6a 

donde   0 1.                                                                                                   4‐6b  Cuando DI(M)=0, el sistema es totalmente despolarizador, si DI(M)=1 es no despolarizante  y  si  0<DI(M)<1  el  sistema  óptico  es  parcialmente despolarizador.  4.5 Métrica Q(M).   En esta sección veremos cómo se deduce  la métrica Q(M) a través de DoP. Consideremos una matriz de Mueller despolarizante dada por [1]   

,                                                                                                        4‐7  donde   

000

000

000

000

,                                                                   4‐8a 

 0 0 0 0

.                                                                   4‐8b 

 Ahora consideremos la ecuación (4‐5),   

.                                                                                     4‐5 

65  

 Pero   

0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

  

 El superíndice T indica la transpuesta, entonces  

.                                                       4‐9  Y de igual forma  

000

000

000

000

000

000

000

000

000

000

,  

 y con esto  

                                                                                     4‐10  Sustituyendo las ecuaciones (4‐9) y (4‐10) en (4‐5),  

66  

 .                                                                                     4‐11 

 O bien   

 ,                                                     4‐12 

 y de la condición (4‐4b) se tiene que   

1.  

 Y con esto   

 .                                                 4‐13  Del producto interno de  las matrices Md,n, en  la ecuación (4‐13), se pueden obtener las nueve restricciones bilineales entre los elementos de la matriz M cuando el sistema es no despolarizante [1].   Notemos que la trasa del producto interno de las matrices Mn es  

∑ , ∑ , ∑ ∑ ,∑   

 Sustituyendo  las  ecuaciones  (4‐6a)  y  (4‐2a)  en  la  expresión  anterior,  nos queda que  

3  .                                         4‐14  Por otro lado,  

∑ ∑ ,                                    usando de nuevo la ecuación (4‐2a), obtenemos que 

67  

 1 .                                                           4‐15          

 Con todo esto, se define la métrica Q=Q(M) como [1]   

 ,                                                     4‐16a 

 donde   0 3.                                                                                                   4‐16b  El  caso  Q(M)=0,  corresponde  a  un  sistema  totalmente  despolarizante, cuando Q(M)=3, se trata de un sistema no despolarizante y no diatenuante, si 0<Q(M)<1 entonces se trata de un sistema parcialmente despolarizante y si  1≤Q(M)<3  y  además  0<D(M)≤1,  el  sistema  es  parcialmente despolarizante; en caso de que 1≤Q(M)<3 y que D(M)=1, el  sistema es no despolarizante diatenuante.      En  el  siguiente  Capítulo  veremos  la  aplicación  de  las  métricas  aquí mostradas y así estar en condiciones de obtener toda la información posible de una  serie de matrices de Mueller  reportadas,  y  con esto probar  si  son físicamente consistentes.  Referencias   [1] R. Espinosa‐Luna and E. Bernabeu, Opt. Commun. 227 (2007) 256‐258.  [2] C. Brosseau, Fundamentals of polarized light a statistical optics approach, John Wiley, New York, 1998.  [3] S. Y. Lu and R. A. Chipman, Opt. Commun. 146 (1998) 11.  [4] B. DeBoo, J. Sasian and R. Chipman, Opt. Express 12 (2004) 4941  [5] R. Chipman, Appl. Opt. 44 (2005) 2490  

68  

[6] J. J. Gil and E. Bernabeu, "A depolarization criterion in Mueller matrices", Opt. Acta 32, 259‐261 (1985).  [7] J. J. Gil and E. Bernabeu, "Depolarization and polarization  indexes of an optical system", Opt. Acta 33, 185‐189 (1986).  Nota: Optica Acta cambió de nombre, a  Journal of Modern Optics  (J. Mod. Opt.).                

         

69  

    Capítulo 5  Polarización de la luz. Representaciones de la luz polarizada  5.1 Introducción  En el Capítulo anterior dimos a conocer  las métricas con sus significados y sus  límites numéricos,  lo cual será de vital  importancia en este capítulo, ya que  nos  permitirá  descartar  las matrices  que  no  estén  bien  reportadas, producto  de  una mala medición  o  un  cálculo mal  elaborado.  Así mismo, definiremos una cantidad que nos permitirá conocer el porcentaje de luz no polarizada  que  tiene  un  haz  de  luz,  y  esta misma  cantidad,  será  utilizada como métrica de confiabilidad en la medición de los elementos de la matriz de Mueller, la cual nos representa el sistema óptico.  5.2 Confiabilidad de la medición.  Cuando hacemos incidir un haz de luz Si en un sistema representado por una matriz de Mueller M, el vector emergente So  lleva  información del sistema, la cual puede ser de vital  importancia, en el sentido de que nos puede dar información  acerca  de  si  estamos  haciendo  bien  la medición,  tanto  de M como de So. Esto  lo podemos ver cuando  los valores de  las métricas estén fuera de  sus  rangos, por ejemplo, en el  caso de que Q(M)  sea mayor que tres, cuando teóricamente Q(M) debe de estar entre cero y tres. Pero, aun cuando las métricas que se presentaron en el Capítulo anterior estén dentro de sus valores permitidos, esto no garantiza que  las mediciones estén bien 

70  

hechas,  ya  que  hay  casos  en  los  que  la  ganancia  es mayor  que  uno  (aun cuando el resto de las métricas están dentro de sus rangos), lo cual no esta permitido,  por  que  estamos  tratando  sistemas  pasivos,  es  decir,  que  no aportan  energía  solo  la  reemiten  y  en  la mayoría  de  los  casos,  absorben cierta  cantidad  de  energía.  También,  se  puede  hacer  un  análisis  de  los valores Soj vigilando que se cumpla  la desigualdad (2‐47), que en el caso de So, esta dada por  

.                                                                       5‐1a  Si obtenemos una matriz de Mueller M, experimental o teóricamente, esta debe de  cumplir,  forzosamente,  las  restricciones dadas por  la desigualdad (5‐1a) y las métricas,  0 1,                                                                                                     5‐1b  0 1,                                                                                                      5‐1c  0 , 1,                                                                                          5‐1d  0 1,                                                                                                   5‐1e  0 3.                                                                                                     5‐1f  El hecho de que M no  cumpla  con  los  valores permitidos de  las métricas dados en  las expresiones  (5‐1), es atribuible directamente a un error en  la medición experimental, o en el cálculo  teórico, de  los elementos mij de  la matriz de Mueller M. En el caso de la Ganancia del sistema, no es suficiente que se cumpla la ecuación   

0 1 .                                                                                              5‐2 

Ya que  se ha probado, que es una condición necesaria pero no  suficiente, para que la matriz M, represente un sistema físicamente realizable [2].  5.3 Porcentaje de luz despolarizada en un haz.  

71  

Es interesante conocer que tan despolarizante es un elemento óptico, y esto se puede saber rápidamente por medio del vector emergente So utilizando la ecuación (5‐1a). Primero, definamos una cantidad No tal que   

,                                                        5‐3  o bien   

,                                                        5‐4  y sacando la raíz a lo anterior, nos queda que  

0.                                                  5‐5  No  es  una  cantidad  que  se  encarga  de  hacer  que  siempre  se  cumpla  la igualdad  en  la  ecuación  (5‐1a)  y  representa  la  intensidad  de  la  luz despolarizada  en  el  haz  So.  En  el  caso  en  que  el  haz  emergente  esté totalmente  polarizado,  No  será  igual  a  cero  y  para  el  caso  en  que  So  se encuentre en un estado parcialmente polarizado, No tomará un valor mayor que  cero.  De  la  ecuación  (5‐4),  podemos  ver  que  otra  prueba  de confiabilidad en la medición de los elementos de la matriz de Mueller es   

0.                                                                                                             5‐1g   El proponer la ecuación (5‐1g) suena un tanto absurdo, pero la intención de esta ecuación es verificar que  los elementos estén bien medidos, o por  lo menos  verificar que  se  cumpla  la  ecuación  (5‐1a),  ya que,  como  veremos mas adelante, ciertas matrices  reportadas no cumplen con  la ecuación  (5‐1g).  Sin  embargo,  el  verdadero  sentido  de  haber  definido    No,  es  el  de encontrar que porcentaje de  la  intensidad  total de el haz emergente,  So0, esta despolarizado, para esto hacemos lo siguiente.  La  intensidad  total  del  haz  emergente  es  So0,  o  dicho  de  otra  forma,  So0 representa el 100% de la luz del haz, ahora, ¿que porcentaje representa No? Esto se resuelve fácilmente con una regle de tres,  

100%     

72  

 Entonces, sea  Ño el porcentaje de luz no polarizada en So y esta definido por  

 .                                                   5‐6 

 Ahora con ayuda de la ecuación (5‐6) podemos saber que porcentaje de luz no  polarizada  tiene  un  haz.  Otro  detalle  que  es muy  obvio  pero  que  es necesario mencionar, ya que es de mucha importancia en el área de diseño, es el porcentaje de luz polarizada lineal y circularmente que tiene el haz que emerge  del  sistema  representado  por  M.  Esto  lo  podemos  deducir rápidamente  a  partir  de  la  ecuación  (5‐6).  Sea  Ño

j el  porcentaje  de  luz polarizada en el estado Soj del haz de luz S

o y es definido por  

 .                                                                                                        5‐7 

 Aquí, el  signo de Soj determinará de que  tipo de polarización  se  trata y  la ecuación (5‐7) dará el porcentaje de este tipo de polarización en el haz, por ejemplo, si j=1 y So1 es negativo, la ecuación (5‐7) representara el porcentaje de luz polarizada verticalmente con la que cuenta el haz.  5.4 Aplicación de las métricas a matrices reportadas.     Recientemente,  se han publicado una  serie de matrices de Mueller,  tanto experimentales  como  teóricas  (ver  Apéndices  A,  B,  C  y  D),  de  las  cuales, algunas de ellas no especifican que sistema representa  la matriz reportada, ni tampoco bajo que error están hechas  las mediciones o  los cálculos. Aquí supondremos  que  todas  las  matrices  reportadas  fueron  medidas  (o calculadas)  con  un  error  de  ±0.03,  esto  pensando  en  que  los  autores  de estos artículos contaban con un buen equipo de medición.  Vimos en la sección 4.5 que la métrica mas completa es Q(M) [1], por lo que clasificaremos  el  estudio  de  las  matrices  según  el  tipo  de  sistema  que representen y los valores de Q(M) que estos tomen.  

  

73  

  M7  M8  M11  M18  M19  2b‐M  2b‐M∆  4‐M  4‐M∆ Q(M)  0.74  0.72  0.75  0.11   0.29  0.94  0.96  0.42  0.42 DI(M)  0.52  0.51  0.50  0.19  0.31  0.57  0.57  0.37  0.38 P(M)  0.01  0.00  0.09  0.01  0.01  0.12  0.07  0.04  0.07 D(M)  0.18  0.19  0.04  0.02  0.03  0.14  0.00  0.05  0.00 

DoP_max  0.70  0.71  0.66  0.22  0.33  0.83  0.80  0.61  0.60 (No

So_DoP)2  0.37  0.33  0.53  0.97  0.91  0.37  0.36  0.58  0.64 Ño

So_DoP  72.41%  70.06%  74.29% 97.51% 94.45% 55.81% 60.00%  79.33%  80.00%G_max  1.18  1.19  1.04  1.02  1.03  1.14   1.00  1.05  1.00 

(NoSo_G)2 1.10  1.10  0.95  0.99  0.95  0.74   0.84  0.89  0.77 

ÑoSo_G 88.88%  88.14%  93.72% 97.55% 94.63% 75.46% 91.65%  89.85%  87.75%

Tabla 5.1 Métricas escalares aplicadas a matrices con 0<Q(M)<1 del Apéndice A. 

En  la Tabla 5.1 aplicamos  las métricas dadas en el conjunto de ecuaciones (5.1).  Para  el  caso  de  la  métrica  DoP(M,Si)  (grado  de  polarización),  que depende  tanto de M como del vector  incidente, hicimos el calculo para el vector  Si=Simax  que  maximiza  el  valor  de  DoP(M,  Simax)=DoPmax.  También aplicamos  las ecuaciones  (5‐1g)  y  (5‐6) al  vector emergente  SoDoP_max, esto para darnos una idea de que tan despolarizado esta el vector y para ver si se cumple  (5‐1a),  y  con  esto  aumentar  la  confiabilidad  de  la medición  de  la matriz de Mueller del sistema. Este mismo proceso se aplicó a  la Ganancia del sistema, ecuación (5‐2), calculando así  la ganancia máxima del sistema, Gmax, y también el porcentaje de luz no polarizada que tiene el vector SoG_max de ganancia máxima.  Esto mismo  se  repite para diferentes  tipos de  sistemas ópticos,  los  cuales están representados por  las matrices reportadas de  los Apéndices A, B y C, cuyos resultados se muestran en las Tablas 5.2 a 5.6.    

  M4  M5  M6  M12 Q(M)  1.00  1.00  1.00  1.00 DI(M)  0.58  0.58  0.58  0.58 P(M)  0.03  0.06  0.10  0.00 D(M)  0.03  0.06  0.10  0.00 

DoP_max  1.00  1.00  1.00  1.00 (No

So_DoP)2  0.00  0.00  0.00  0.00 Ño

So_DoP  0.00% 0.00% 0.00% 0.00% G_max  0.93  0.85  0.79  1.00 

(NoSo_G)2 0.00  0.00  0.00  1.00 

ÑoSo_G 0.00% 0.00% 0.00% 100.00%

Tabla 5.2 Métricas escalares aplicadas a matrices con Q(M)=1 del Apéndice A. 

74  

   M2  M3  M9  M10  M17  M22  M23  2a‐M  2a‐M∆ 

Q(M)  2.10  1.87  2.96  1.44  2.90  1.87  1.66  2.81  2.82 DI(M)  0.84  0.81  0.99  0.69  0.98  0.81  0.76  0.97  0.97 P(M)  0.09  0.18  0.01  0.06  0.01  0.18  0.18  0.05  0.02 D(M)  0.09  0.18  0.03  0.05  0.04  0.18  0.18  0.06  0.00 

DoP_max  1.13  1.11  1.04  0.77  1.02  0.98  0.90  1.09  1.06 (No

So_DoP)2  ‐0.20  ‐0.08  ‐0.09  0.38  ‐0.03  0.03  0.13  ‐0.17  ‐0.14 Ño

So_DoP  ‐  ‐  ‐  64.89% ‐  22.79% 42.92%  ‐  ‐ G_max  0.97  0.90  1.03  1.05  1.04  0.90  0.90  1.06  1.00 

(NoSo_G)2 0.04  ‐0.10  0.12  0.54  0.11  0.16  0.25  0.22  0.09 

ÑoSo_G 20.62%  ‐  33.63% 69.99% 31.89% 44.44% 55.56%  44.25%  30.00%

Tabla 5.3 Métricas escalares aplicadas a matrices con 1<Q(M)<3 del Apéndice A. 

   M13  M14  M20  1a‐M  1b‐M  1b‐MD 2b‐MD 

Q(M)  2.71  2.71  2.98  2.98  2.78  2.80  2.92 DI(M)  1.00  1.00  1.00  1.00  1.00  1.00  1.00 P(M)  0.28  0.28  0.11  0.07  0.24  0.24  0.14 D(M)  0.28  0.28  0.11  0.07  0.24  0.24  0.14 

DoP_max  1.00  1.01  1.01  1.01  1.01  1.01  1.15 (No

So_DoP)2  0.01  0.00  0.00  0.00  ‐0.02  ‐0.03  ‐0.26 

ÑoSo_DoP  15.63%  0.00% 0.00% 0.00% ‐  ‐  ‐ 

G_max  0.64  0.64  0.21  1.07  1.24  1.24  1.14 (No

So_G)2 0.00  ‐0.01  0.00  0.01  0.00  ‐0.01  0.14 Ño

So_G 0.00%  ‐  0.00% 9.35% 0.00% ‐  32.82% 

Tabla 5.4 Métricas escalares aplicadas a matrices con 1<Q(M)<3 y DI(M)=1 del Apéndice B. 

   M21  1a‐MD  1a‐MR 1b‐MR  2a‐MR 2a‐MD 2b‐MR  4‐MR  4‐MD 

Q(M)  2.99  2.99  2.99  2.99  3.01  2.99  2.99  3.01  3.00 DI(M)  1.00  1.00  1.00  1.00  1.00  1.00  1.00  1.00  1.00 P(M)  0.06  0.07  0.00  0.00  0.00  0.06  0.00  0.00  0.05 D(M)  0.06  0.07  0.00  0.00  0.00  0.06  0.00  0.00  0.05 

DoP_max  1.00  1.00  1.00  1.00  1.01  1.00  1.01  1.01  1.00 (No

So_DoP)2  0.00  0.00  ‐0.02  0.00  ‐0.01  ‐0.01  ‐0.02  ‐0.02  0.00 Ño

So_DoP  0.00%  0.00%  ‐  0.00%  ‐  ‐  ‐  ‐  0.00% G_max  0.33  1.07  1.00  1.00  1.00  1.06  1.00  1.00  1.05 

(NoSo_G)2 0.00  0.01  ‐0.01  0.01  ‐0.01  ‐0.01  0.00  ‐0.01  0.02 

ÑoSo_G 0.00%  9.35%  ‐  10.00% ‐  ‐  0.00%  ‐  13.47%

Tabla 5.5 Métricas escalares aplicadas a matrices con Q(M)≈3 del Apéndice C. 

 

75  

  M1  M15  M16  M24 Q(M)  3.92  3.10  3.11  3.12 DI(M)  1.15  1.02  1.03  1.02 P(M)  0.10  0.00  0.02  0.05 D(M)  0.10  0.00  0.13  0.06 

DoP_max  1.75  1.02  1.16  1.21 (No

So_DoP)2 ‐1.36  ‐0.05 ‐0.27  ‐0.38 Ño

So_DoP  ‐  ‐  ‐  ‐ G_max  0.93  0.98  1.13  1.01 

(NoSo_G)2 0.02  ‐0.02 0.20  0.12 

ÑoSo_G 15.21% ‐  39.58% 34.30%

Tabla 5.6 Métricas escalares aplicadas a matrices con Q(M)>3 del Apéndice D. 

Los  resultados mostrados en  las Tablas  se  calcularon  con un programa de computadora  en  FORTRAN  95.  El  código  fuente  del  programa  se  puede encontrar en el Apéndice E.  5.5 Resultados.  En este punto es conveniente recordar que  la aproximación que utilizamos para  los  cálculos  numéricos  en  las  matrices  fue  de  dos  decimales  y consideramos un  error de ±0.03, en base a esta aproximación obtuvimos los siguientes resultados.  En  la Tabla 5.1 podemos ver que  todas  las matrices que ahí aparecen  son parcialmente  despolarizantes,  según  la  métrica  Q(M).  El  Índice  de Despolarización se mantiene dentro de su rango con un promedio de 0.44,  la  Polarizancia  se  mantiene  dentro  de  sus  parámetros  pero  con  valores debajo de 0.15 y la Diatenuación debajo de 0.23. Para todas las matrices de la  Tabla  5.1  DoPmax  se  mantiene  dentro  de  su  rango  pero  la  Ganancia máxima para M7, M8, M11, M18, M19, 2b‐M y 4‐M esta por encima de 1, por  lo que no representan un sistema  físicamente aceptable, mientras que 2b‐M∆  y  4‐M∆  cumplen  con  todos  los  requisitos  para    representar  un sistema físico real.  De  la  Tabla  5.2  podemos  ver  que  las  matrices  M4,  M5,  M6  y  M12 representan  sistemas  físicamente  aceptables  y  parcialmente despolarizantes,  esto  según  Q(M).  También  podemos  ver  que  M12 

76  

despolariza  totalmente  al  vector  que  maximiza  la  Ganancia  del  sistema, mientras que M4, M5 y M6 lo mantienen totalmente polarizado.   En  la  Tabla  5.3  podemos  ver  rápidamente  que  cuando  les  aplicamos  la ecuación  (5‐1g)  a  las  matrices  con  1<Q(M)<3  del  Apéndice  A,  solo  las matrices M10, M22 y M23 cumplen con esta condición de confiabilidad de la medición  de  los  elementos  de  la matriz M  y  que  se  aplica  al  vector  que emerge cuando DoP es máximo. De estas tres matrices, solo M22 y M23 son físicamente aceptables, ya que M10 tiene una ganancia máxima por encima de  uno.  Los  sistemas  representados  por  las  matrices  M22  y  M23  son parcialmente despolarizantes, según la métrica Q(M).  De todas las matrices de la Tabla 5.4, solo M13, M14 y M20 son físicamente aceptables y son diatenuantes y no despolarizantes, esto gracias a la métrica Q(M).  Pero M14  tiene  un  problema  con  la  ecuación  (5‐1g)  en  el  vector emergente de Gmax , y a pesar de que es solo un centésima esta no se puede aproximar a 0 (esto se puede verificar en el Apéndice F), por lo que tampoco representa un sistema físicamente realizable. Con esto nos queda que solo M13  y  M20  representan  sistemas  reales,  los  cuales  emiten  vectores totalmente polarizados cuando la ganancia es máxima.  En  la Tabla 5.5  se puede apreciar que  solo  las matrices M21 y 1b‐MR  son físicamente  aceptables.  Si  aplicamos  estrictamente  la  definición  de  la métrica Q(M), estas dos matrices  representan  sistemas diatenuantes  y no despolarizantes, podemos ver, también, que los vectores emergentes están totalmente polarizados para el caso en que DoP es máximo.  Por  último,  en  la  Tabla  5.6  se  puede  notar  rápidamente,  que  ninguna  de estas  matrices  representa  un  sistema  físico  real,  ya  que  Q(M)  esta  por encima de 3. En total, de las 42 matrices reportadas solo nueve representan sistemas físicos reales (según nuestra aproximación) y el resto, son matrices mal reportadas por causa de una mala medición o un calculo mal formulado.  Referencias  [1] R. Espinosa‐Luna and E. Bernabeu, Opt. Commun. 227 (2007) 256‐258.  [2] L. Giudicotti and M. Brombin, Appl. Opt. 46 (2007) 2638.  

77  

    Capítulo 6  Conclusiones  En el Capítulo anterior, aplicamos  las métricas expuestas en el Capítulo 4 a un conjunto de matrices de Mueller reportadas, esto con el fin de extraer la información polarimétrica del material o sistema óptico representado por la matriz  de Mueller  correspondiente.  Con  esto,  nos  dimos  cuenta  que  solo nueve  de  las  42  matrices  de  Mueller  reportadas  por  algunos  grupos  de investigación son físicamente aceptables, según nuestra aproximación de un ±0.03 de error en la medición de los elementos de las matrices. Esto nos dice que,  las matrices que no cumplen con  las restricciones (5‐1), en caso de ser matrices  de  Mueller  experimentales,  pueden  estar  representando  un sistema activo, o bien, que tengan errores grandes en  la medición y para el caso de  ser matrices  teóricas, probablemente se obtuvieron a partir de un cálculo mal elaborado. También nos dimos cuenta que la métrica Q(M) es de gran  utilidad  para  clasificar  sistemas  despolarizante,  es  decir,  proporciona información  precisa  acerca  del  tipo  de  sistema  despolarizante  del  que  se trata. Y por último, obtuvimos una “métrica”, ecuación  (5‐7), que nos da el porcentaje de luz polarizada (en cierto estado) que contiene un haz de luz, y a su vez nos da una medida de confiabilidad de la medición de un vector de Stokes o bien de  la matriz de Mueller. Se obtuvieron buenos resultados del programa  (en  lenguaje  FORTRAN,  ver  Apéndice  E)  utilizado,    ya  que  se comparo con otros programas y resultados anteriores, además, se aumento la precisión en el calculo.  

78  

   Apéndice A  Matrices de Mueller reportadas. Sistemas parcialmente despolarizantes  Las matrices que aparecen aquí, son las matrices originales, es decir, las que aparecen en  los artículos. Debido a que en  los artículos no se especifica el error  bajo  el  cual  realizaron  la  medición  (el  calculo)  tomamos  la aproximación ±0.03 y sobre las matrices aproximadas hicimos los cálculos.  Matrices que cumplen con 0≤Q(M)<1.  

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

−−

=

3690.03175.00597.00116.02016.01376.04297.00026.02158.02555.04038.00083.0

0802.00322.01631.00000.1

7M  

 

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−

=

3170.03149.00598.00003.02624.01745.04302.00019.02324.02324.04042.00018.0

0725.00655.01633.00000.1

8M

  

M7 y M8 las tomamos de [1].  

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−=

4318.00728.00185.00260.00457.04708.01171.00389.00789.00001.05573.00711.0

0246.00169.00262.01

11M  

79  

 M11 la tomamos de [2]. 

 

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−−

=

1306.00082.00118.00035.00024.02225.00121.00009.00096.00038.02066.00077.00028.00031.00227.00000.1

18M  

 

 

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−−

=

2754.00029.00023.00026.00009.03276.00024.00008.00023.00087.03236.00101.00018.00021.00269.00000.1

19M  

 M18 y M19 las tomamos de [3].  

,

334.0128.0006.0046.0139.0435.0151.0018.0001.0061.0759.0111.0

023.0066.0115.01

2

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−

−−

=− Mb  

 

,

358.0014.0021.003.0014.0488.0072.0062.0

021.0072.0756.0028.00001

2

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

−−=− ∆Mb  

 

,

538.0017.0024.0041.0032.0235.0045.0024.0003.0029.0256.0002.0041.0021.0009.01

4

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−

=− M   

 

80  

,

541.0015.0009.0064.0015.0241.001.0028.0

009.001.0258.0001.00001

4

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=− ∆M  

 2b‐M, 2b‐M∆, 4‐M y 4‐M∆  las  tomamos de  [4]. Las matrices que cumplen con Q(M)=1 son 

 

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

000000000090.003.00003.090.0

4M , 

 

 

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

000000000080.005.00005.080.0

5M , 

 

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

00000000007215.0069.000069.07215.0

6M , 

 

M4, M5 y M6 las tomamos de [5].  

,

0.0046-0.0013-0.00330.00130.00290.0049-0.00680.0007-0.0005-0.0083-0.99630.000.0010-0.0015-0.0013-1

12

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=M  

 

M12 la tomamos de [6]. Las matrices que cumplen con 1<Q(M)<3 son  

81  

,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−−

=

8061.00012.01672.00775.00026.06825.02809.00048.01668.02820.05762.00115.0

0786.00055.00131.08886.0

2M

,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−−

=

6608.00120.02168.01240.00282.05394.01714.00384.01863.01811.04687.00573.0

1185.00295.00623.07599.0

3M ,

M2 y M3 la tomamos de [5].  

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

9956.00002.00178.00092.00083.09838.00341.00012.00350.00013.09956.00045.00001.00279.00118.01

9M  

 

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

=

6163.00035.00010.00571.00104.07277.00544.00078.00250.00268.07163.00004.0

0243.00509.00146.01

10M  

 M9 y M10 las tomamos de [2].   

,

1.00.002-0.004-0.0020.002-0.9660.0330.0070.0090.030-0.9760.0020.002-0.0190.0260.998

17

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=M  

 M17 la tomamos de [7]. 

 

82  

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−

=

4687.01863.01811.00573.02168.06608.0012.01240.01714.00282.05394.00384.00623.01185.00295.07599.0

22M ,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−

=

4822.01794.00572.00554.01920.06184.00001.01208.00496.00001.05285.00372.00576.01206.00257.07599.0

23M .

M22 y M23 las tomamos de [8].  

,

936.0115.0019.0039.0026.0975.0126.0002.0047.0144.0962.0029.0039.0044.0026.01

2

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

=− Ma  

 

,

941.0073.0022.0009.0073.0982.001.0023.0021.001.0976.0008.0

0001

2

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−=− ∆Ma  

 2a‐M y 2a‐M∆ las tomamos de [4]  Referencias  [1] M. W. Williams, Appl. Opt. 25 (1986) 3616.  [2] J. Cariou, B. Le Jeune, J. Lotran, and Y. Guern, Appl. Opt. 29 (1990) 1689.  [3] C. Collet, J. Zallat, and Y. Takakura, Opt. Express 12 (2004) 1271.  [4] S. Manhas, M. K. Swami, P. Buddhiwant, N. Ghosh, P. K. Gupta, and K. Singh, Opt. Express 14 (2006) 190.  [5]  D. G. M.  Anderson  and  R.  Barakat,  J. Opt.  Soc.  Am.  A  11,  2305‐2319 (1994). 

83  

 [6] M. H. Smith, Appl. Opt. 41 (2002) 2488. 

 [7] D. Goldstein, Polarized Light (Marcel Dekker, New York, 2003), pp 576.  [8] A. Aiello, G. Puentes, D. Voigt, and J. P. Woerdman, Opt. Lett. 31 (2006) 818.                       

    

84  

Apéndice B  Matrices de Mueller reportadas. Sistemas diatenuntes y no despolarizantes  Las matrices que aparecen aquí, son las matrices originales, es decir, las que aparecen en  los artículos. Debido a que en  los artículos no se especifica el error  bajo  el  cual  realizaron  la  medición  (el  calculo)  tomamos  la aproximación ±0.03 y sobre las matrices aproximadas hicimos los cálculos.  Las matrices cumplen con 1<Q(M)<3 y DI(M)=1 y son  

,

48.0000048.0000050.014.00014.050.0

13

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=M  

 

,

0.4800000.0000000.0000000.0000000.0000000.4995210.0032700.1379000.0000000.0035780.4807250.0243600.0000000.1378730.0243110.500000

14

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=M  

M13 y M14 las tomamos de [1] de las páginas 171 y 172, respectivamente.  

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

=

19.0000019.0000019.002.00002.019.0

20M  

 

85  

M20 la tomamos de [2].   

,

331.0831.0442.0001.0837.0475.0266.0031.0

43.0284.0856.006.00.0031.006.01

1

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−−

=− Ma  

 

,

383.0837.0310.0029.0804.0487.0303.0179.0435.0119.0874.0155.02.0093.009.01

1

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−

=− Mb  

 

,

992.0009.0009.02.0009.0976.0004.0093.0009.0004.0975.009.02.009.009.01

1

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−−

=− DMb  

 

,

991.0001.0001.0023.0001.0993.0004.0066.0001.0004.0998.0115.0

023.0066.0115.01

2

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

−−

=− DMb  

 1a‐M, 1b‐M, 1b‐MD y 2b‐MD las tomamos de [3].  Referencias  [1] D. Goldstein, Polarized Light (Marcel Dekker, New York, 2003).  [2] C. Collet, J. Zallat, and Y. Takakura, Opt. Express 12 (2004) 1271.  [3] S. Manhas, M. K. Swami, P. Buddhiwant, N. Ghosh, P. K. Gupta, and K. Singh, Opt. Express 14 (2006) 190.  

86  

                                

   

87  

 Apéndice C  Matrices de Mueller reportadas. Sistemas no despolarizantes y no diatenuntes   Las matrices que aparecen aquí, son las matrices originales, es decir, las que aparecen en  los artículos. Debido a que en  los artículos no se especifica el error  bajo  el  cual  realizaron  la  medición  (el  cálculo)  tomamos  la aproximación ±0.03 y sobre las matrices aproximadas hicimos los cálculos.  Matrices que cumplen con Q(M)≈1 son  

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

=

31.0000031.0000031.002.00002.031.0

21M  

 

M21 la tomamos de [1].  

,

332.0833.0443.00839.0475.0265.00431.0283.0857.00

0001

1

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=− RMa  

 

,

998.000001001.0031.00001.0106.00031.006.01

1

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=− DMa  

 

88  

,

398.0861.0318.00809.0492.032.00432.0130.0892.000001

1

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=− RMb  

 

,

998.0044.0033.00048.099.0136.00027.0138.099.000001

2

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

=− RMa  

,

999.0001.0001.0039.0001.0999.0001.0044.0001.0001.0998.0026.0039.0044.0026.01

2

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=− DMa  

 

,

95.0306.0057.00312.0924.0175.000184.0985.000001

2

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−=− RMb  

 

,

998.0063.0032.00067.0986.0151.00022.0152.0988.000001

4

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

=− RM  

 

,

100041.00999.00021.000999.0009.0041.0021.0009.01

4

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−

=− DM  

 

89  

Todas estas últimas las tomamos de [2].  Referencias  [1] C. Collet, J. Zallat, and Y. Takakura, Opt. Express 12 (2004) 1271.  [2] S. Manhas, M. K. Swami, P. Buddhiwant, N. Ghosh, P. K. Gupta, and K. Singh, Opt. Express 14 (2006) 190.   

                     

   

90  

 Apéndice D  Matrices de Mueller reportadas. Matrices que no son físicamente aceptables    Las matrices que aparecen aquí, son las matrices originales, es decir, las que aparecen en  los artículos. Debido a que en  los artículos no se especifica el error  bajo  el  cual  realizaron  la  medición  (el  cálculo)  tomamos  la aproximación ±0.03 y sobre las matrices aproximadas hicimos los cálculos.  Las matrices que cumplen con Q(M)>3 son  

,

7947.000920.00617.008277.0913.00294.00920.00913.08304.00503.0

0617.00294.00503.08488.0

1

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

=M  

 M1 la tomamos de [1]. 

,

0.9940.002-0.003-0.0050.007-0.9990.00700.0060.007-100.0050.00300.978

15

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=M  

 

 

,

0.9650.247-0.2590.009-0.351-0.688-0.6730.008

0.0050.726-0.731-0.024-0.130-0.0210.0191

16

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=M  

91  

 M15 y M16 las tomamos de [2] de las páginas 174 y 175, respectivamente.  

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

−−−

=

071.0981.0293.0037.0885.0087.0261.0003.0

314.0322.0848.0024.0016.0048.0019.0946.0

24M . 

 

M24 la tomamos de [3].    Referencias  [1] B. J. Howell, Appl. Opt. 18 (1979) 809.  [2] D. Goldstein, Polarized Light (Marcel Dekker, New York, 2003).  [3] L. Giudicotti and M. Brombin, Appl. Opt. 46 (2007) 2638.             

   

92  

 Apéndice E  Programa para calcular los valores numéricos de las métricas   El código fuente del programa que utilizamos para el cálculo de las métricas se  encuentra  en  lenguaje  FORTRAN  95.  Es  necesario  escribir  las matrices reportadas  en  archivos  .txt  (con  el  nombre  correspondiente)  y  que  estos archivos se encuentren en  la carpeta donde se  localiza FORTRAN, para que puedan ser leídas a la hora de ejecutar el programa.  !Tesis Huziel Enoc Sauceda Félix !Programa para el calculo de las metricas para una matriz de Mueller. ! Tesis: aproximacion de +,‐ 0.03 de error program calculo de metricas INTEGER::i,j,k,n,r,nM REAL::Si(180,360,4),gain(180,360),Mi_pre(50,4,4) ,Si00(4),So00(4),a00,Theta,Fhi,Chi,Psi,So(180,360,4),a(180,360),M(4,4) REAL::DoP_max,G_max,Si_DoPmax(4),Si_Gmax(4),Chi_Gmax,Psi_Gmax,Chi_DoPmax,Psi_DoPmax,S(4),ungrado,pi,b REAL::So_Gmax(4),No_So_DoPmax,No_So_Gmax,aux(10), DoP(200,400),l,So_DoPmax(4) 1call system("cls") WRITE(*,*) "|‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐|" WRITE(*,*) "|                       CALCULO DE LAS METRICAS                    |" WRITE(*,*) "|‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐|" 2WRITE(*,*) WRITE(*,*) "|‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐|" WRITE(*,*) "|               Elija una de las siguientes opciones:              |" WRITE(*,*) "|‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐|" WRITE(*,*) "| 1.‐ Utilizar una de las matrices de Mueller predeterminadas      |" WRITE(*,*) "| 2.‐ Usar una nueva matriz de Mueller                             |" WRITE(*,*) "|‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐|" WRITE(*,*) READ(*,*)n select case (n)                case (1)                        5call system("cls")                        WRITE(*,*) "|‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐|"                        WRITE(*,*) "|     Calculo de la metrica:   Grado de Polarizacion, DoP(M,Si)    |"                        WRITE(*,*) "|‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐|"                        WRITE(*,*)                        WRITE(*,*) "|‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐|"                        WRITE(*,*) "|         Elija una de las siguientes matrices de Mueller          |"                        WRITE(*,*) "|‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐|"                        WRITE(*,*) "| 1.‐ Matriz M1                                                    |" 

93  

                       WRITE(*,*) "| 2.‐ Matriz M2                                                    |"                        WRITE(*,*) "| 3.‐ Matriz M3                                                    |"                        WRITE(*,*) "| 4.‐ Matriz M4                                                    |"                        WRITE(*,*) "| 5.‐ Matriz M5                                                    |"                        WRITE(*,*) "| 6.‐ Matriz M6                                                    |"                        WRITE(*,*) "| 7.‐ Matriz M7                                                    |"                        WRITE(*,*) "| 8.‐ Matriz M8                                                    |"                        WRITE(*,*) "| 9.‐ Matriz M9                                                    |"                        WRITE(*,*) "| 10.‐ Matriz M10                                                  |"                        WRITE(*,*) "| 11.‐ Matriz M11                                                  |"                        WRITE(*,*) "| 12.‐ Matriz M12                                                  |"                        WRITE(*,*) "| 13.‐ Matriz M13                                                  |"                        WRITE(*,*) "| 14.‐ Matriz M14                                                  |"                        WRITE(*,*) "| 15.‐ Matriz M15                                                  |"                        WRITE(*,*) "| 16.‐ Matriz M16                                                  |"                        WRITE(*,*) "| 17.‐ Matriz M17                                                  |"                        WRITE(*,*) "| 18.‐ Matriz M18                                                  |"                        WRITE(*,*) "| 19.‐ Matriz M19                                                  |"                        WRITE(*,*) "| 20.‐ Matriz M20                                                  |"                        WRITE(*,*) "| 21.‐ Matriz M21                                                  |"                        WRITE(*,*) "| 22.‐ Matriz M22                                                  |"                        WRITE(*,*) "| 23.‐ Matriz M23                                                  |"                        WRITE(*,*) "| 24.‐ Matriz M24                                                  |"                        WRITE(*,*) "| 25.‐ Matriz 1a‐M                                                 |"                        WRITE(*,*) "| 26.‐ Matriz 1a‐MR                                                |"                        WRITE(*,*) "| 27.‐ Matriz 1a‐MD                                                |"                        WRITE(*,*) "| 28.‐ Matriz 1b‐M                                                 |"                        WRITE(*,*) "| 29.‐ Matriz 1b‐MR                                                |"                        WRITE(*,*) "| 30.‐ Matriz 1b‐MD                                                |"                        WRITE(*,*) "| 31.‐ Matriz 2a‐M                                                 |"                        WRITE(*,*) "| 32.‐ Matriz 2a‐Mdelta                                            |"                        WRITE(*,*) "| 33.‐ Matriz 2a‐MR                                                |"                        WRITE(*,*) "| 34.‐ Matriz 2a‐MD                                                |"                        WRITE(*,*) "| 35.‐ Matriz 2b‐M                                                 |"                        WRITE(*,*) "| 36.‐ Matriz 2b‐Mdelta                                            |"                        WRITE(*,*) "| 37.‐ Matriz 2b‐MR                                                |"                        WRITE(*,*) "| 38.‐ Matriz 2b‐MD                                                |"                        WRITE(*,*) "| 39.‐ Matriz 4‐M                                                  |"                        WRITE(*,*) "| 40.‐ Matriz 4‐Mdelta                                             |"                        WRITE(*,*) "| 41.‐ Matriz 4‐MR                                                 |"                        WRITE(*,*) "| 42.‐ Matriz 4‐MD                                                 |"                        WRITE(*,*) "| 43.‐ Regresar al menu anterior                                   |"                        WRITE(*,*) "|‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐|"                        WRITE(*,*)                        READ(*,*)nM                        select case (nM) !lee la matriz que se eligio del archivo que la contiene                                       case (1)                                               !M1                                               open (UNIT=101,FILE="Matriz_M1.txt")                                               do i=1,4                                                       READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4)                                               end do                                       case (2)                                               !M2                                               open (UNIT=102,FILE="Matriz_M2.txt")                                               do i=1,4                                                       READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) 

94  

                                              end do                                        case (3)                                               !M3                                               open (UNIT=103,FILE="Matriz_M3.txt")                                               do i=1,4                                                       READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4)                                               end do                                        case (4)                                               !M4                                               open (UNIT=104,FILE="Matriz_M4.txt")                                               do i=1,4                                                       READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4)                                               end do                                        case (5)                                               !M5                                               open (UNIT=105,FILE="Matriz_M5.txt")                                               do i=1,4                                                       READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4)                                               end do                                        case (6)                                               !M6                                               open (UNIT=106,FILE="Matriz_M6.txt")                                               do i=1,4                                                       READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4)                                               end do                                        case (7)                                               !M7                                               open (UNIT=107,FILE="Matriz_M7.txt")                                               do i=1,4                                                       READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4)                                               end do                                        case (8)                                               !M8                                               open (UNIT=108,FILE="Matriz_M8.txt")                                               do i=1,4                                                       READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4)                                               end do                                        case (9)                                               !M9                                               open (UNIT=109,FILE="Matriz_M9.txt")                                               do i=1,4                                                       READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4)                                               end do                                        case (10)                                               !M10                                               open (UNIT=110,FILE="Matriz_M10.txt")                                               do i=1,4                                                       READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4)                                               end do  

95  

                                      case (11)                                               !M11                                               open (UNIT=111,FILE="Matriz_M11.txt")                                               do i=1,4                                                       READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4)                                               end do                                       case (12)                                               !M12                                               open (UNIT=112,FILE="Matriz_M12.txt")                                               do i=1,4                                                       READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4)                                               end do                                       case (13)                                               !M13                                               open (UNIT=113,FILE="Matriz_M13.txt")                                               do i=1,4                                                       READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4)                                               end do                                       case (14)                                               !M14                                               open (UNIT=114,FILE="Matriz_M14.txt")                                               do i=1,4                                                       READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4)                                               end do                                       case (15)                                               !M15                                               open (UNIT=115,FILE="Matriz_M15.txt")                                               do i=1,4                                                       READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4)                                               end do                                       case (16)                                               !M16                                               open (UNIT=116,FILE="Matriz_M16.txt")                                               do i=1,4                                                       READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4)                                               end do                                       case (17)                                               !M17                                               open (UNIT=117,FILE="Matriz_M17.txt")                                               do i=1,4                                                       READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4)                                               end do                                       case (18)                                               !M18                                               open (UNIT=118,FILE="Matriz_M18.txt")                                               do i=1,4                                                       READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4)                                               end do                                       case (19)                                               !M19                                               open (UNIT=119,FILE="Matriz_M19.txt")                                               do i=1,4                                                       READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4)                                               end do                                       case (20)                                               !M20                                               open (UNIT=120,FILE="Matriz_M20.txt")                                               do i=1,4 

96  

                                                      READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4)                                               end do                                       case (21)                                               !M21                                               open (UNIT=121,FILE="Matriz_M21.txt")                                               do i=1,4                                                       READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4)                                               end do                                       case (22)                                               !M22                                               open (UNIT=122,FILE="Matriz_M22.txt")                                               do i=1,4                                                       READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4)                                               end do                                       case (23)                                               !M23                                               open (UNIT=123,FILE="Matriz_M23.txt")                                               do i=1,4                                                       READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4)                                               end do                                       case (24)                                               !M24                                               open (UNIT=124,FILE="Matriz_M24.txt")                                               do i=1,4                                                       READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4)                                               end do                                       case (25)                                               !M20                                               open (UNIT=125,FILE="Matriz_1a‐M.txt")                                               do i=1,4                                                       READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4)                                               end do                                               close (UNIT=125)                                       case (26)                                               !M20                                               open (UNIT=126,FILE="Matriz_1a‐MR.txt")                                               do i=1,4                                                       READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4)                                               end do                                       case (27)                                               !M20                                               open (UNIT=127,FILE="Matriz_1a‐MD.txt")                                               do i=1,4                                                       READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4)                                               end do                                       case (28)                                               !M20                                               open (UNIT=128,FILE="Matriz_1b‐M.txt")                                               do i=1,4                                                       READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4)                                               end do                                       case (29)                                               !M20                                               open (UNIT=129,FILE="Matriz_1b‐MR.txt")                                               do i=1,4                                                       READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4)                                               end do                                       case (30) 

97  

                                              !M20                                               open (UNIT=130,FILE="Matriz_1b‐MD.txt")                                               do i=1,4                                                       READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4)                                               end do                                       case (31)                                               !M20                                               open (UNIT=131,FILE="Matriz_2a‐M.txt")                                               do i=1,4                                                       READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4)                                               end do                                       case (32)                                               !M20                                               open (UNIT=132,FILE="Matriz_2a‐Mdelta.txt")                                               do i=1,4                                                       READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4)                                               end do                                       case (33)                                               !M20                                               open (UNIT=133,FILE="Matriz_2a‐MR.txt")                                               do i=1,4                                                       READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4)                                               end do                                       case (34)                                               !M20                                               open (UNIT=134,FILE="Matriz_2a‐MD.txt")                                               do i=1,4                                                       READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4)                                               end do                                       case (35)                                               !M20                                               open (UNIT=135,FILE="Matriz_2b‐M.txt")                                               do i=1,4                                                       READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4)                                               end do                                       case (36)                                               !M20                                               open (UNIT=136,FILE="Matriz_2b‐Mdelta.txt")                                               do i=1,4                                                       READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4)                                               end do                                       case (37)                                               !M20                                               open (UNIT=137,FILE="Matriz_2b‐MR.txt")                                               do i=1,4                                                       READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4)                                               end do                                       case (38)                                               !M20                                               open (UNIT=138,FILE="Matriz_2b‐MD.txt")                                               do i=1,4                                                       READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4)                                               end do                                       case (39)                                               !M20                                               open (UNIT=139,FILE="Matriz_4‐M.txt")                                               do i=1,4                                                       READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) 

98  

                                              end do                                       case (40)                                               !M20                                               open (UNIT=140,FILE="Matriz_4‐Mdelta.txt")                                               do i=1,4                                                       READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4)                                               end do                                       case (41)                                               !M20                                               open (UNIT=141,FILE="Matriz_4‐MR.txt")                                               do i=1,4                                                       READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4)                                               end do                                       case (42)                                               !M20                                               open (UNIT=142,FILE="Matriz_4‐MD.txt")                                               do i=1,4                                                       READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4)                                               end do                                       case (43)                                                GOTO 1                                       case default                                                   WRITE(*,*) "De un valor en el intervalo [1,43]"                                                   GOTO 5                        end select !iguala la matriz predeterminada a una matriz M, ya que es mas apropiado para el calculo                        do i=1,4                                do j=1,4                                        M(i,j)=Mi_pre(nM,i,j)                                end do                        end do                case (2) !pide los valores de la nueva matriz                        WRITE(*,*) "De los valores de la matriz de Mueller M, en forma matricial:"                        WRITE(*,*)                        !lee los valores de la matriz de Mueller                        READ(*,*)((M(k,j),j=1,4),k=1,4)                case default                            WRITE(*,*) "De un valor en el intervalo [1,2]"                            GOTO 2 end select !crea una matriz aproximada tal que solo se queda con los dos primeros desimales open (UNIT=500,FILE="Matriz_auxiliar.txt") do i=1,4         WRITE(500,501) M(i,1), M(i,2), M(i,3), M(i,4)         501 FORMAT(4x,4(f10.2)) end do close (UNIT=500) !lee la matriz aproximada open (UNIT=500,FILE="Matriz_auxiliar.txt") do i=1,4         read(500,*) M(i,1), M(i,2), M(i,3), M(i,4) end do close (UNIT=500)  !definicion de constantes pi=3.14159265 ungrado=(2*pi)/360 

99  

 DoP_max=0 G_max=0 !Empieza el calculo de DoPmax y Gmax do Theta=1,180                   do Fhi=1,360                                    !calcula el vector incidente Si(Theta,Fhi)                                    Chi=((Theta‐90)*ungrado)/2                                    Psi=(Fhi*ungrado)/2                                    Si(Theta,Fhi,1)=1                                    Si(Theta,Fhi,2)=COS(2*Chi)*COS(2*Psi)                                    Si(Theta,Fhi,3)=COS(2*Chi)*SIN(2*Psi)                                    Si(Theta,Fhi,4)=SIN(2*Chi)                                    !hace cero todos los valores del vector emergente So                                    do i=1,4                                            So(Theta,Fhi,i)=0                                    end do                                     !multiplica Si con M para obtener el vector saliente So                                    do i=1,4                                            do k=1,4                                                    So(Theta,Fhi,i)=So(Theta,Fhi,i)+M(i,k)*Si(Theta,Fhi,k)                                            end do                                    end do                                    !calcula el [DoP*So(0)]^2, a(theta,Fhi) es una variable auxiliar                                    a(theta,Fhi)=0.0000                                    do i=2,4                                            a(Theta,Fhi)=a(Theta,Fhi)+So(Theta,Fhi,i)*So(Theta,Fhi,i)                                    end do                                    !calcula DoP*So(0)                                    a(Theta,Fhi)=SQRT(a(Theta,Fhi))                                    !calcula DoP                                    DoP(Theta,Fhi)=a(Theta,Fhi)/So(Theta,Fhi,1)                                    !calcula G                                    gain(Theta,Fhi)=So(Theta,Fhi,1)/Si(Theta,Fhi,1)                                    !calcula DoPmax                                    if (DoP_max<DoP(Theta,Fhi)) then                                                                             DoP_max=DoP(Theta,Fhi)                                                                             !guarda el vector que maximiza DoP                                                                             do i=1,4                                                                                     Si_DoPmax(i)=Si(Theta,Fhi,i)                                                                             end do                                                                             do i=1,4                                                                                     So_DoPmax(i)=0                                                                             end do                                                                             !guarda el vector emergente para el caso en que DoP=DoPmax                                                                             do i=1,4                                                                                     do k=1,4                                                                                             So_DoPmax(i)=So_DoPmax(i)+M(i,k)*Si_DoPmax(k)                                                                                     end do                                                                                                                                                          end do                                                                             !guarda las coordenadas del maximo                                                                             Chi_DoPmax=Chi                                                                             Psi_DoPmax=Psi                                     end if                                     !calcula Gmax                                     if (G_max<gain(Theta,Fhi)) then 

100  

                                                                           G_max=gain(Theta,Fhi)                                                                            !guarda el vector que maximiza G                                                                            do i=1,4                                                                                    Si_Gmax(i)=Si(Theta,Fhi,i)                                                                            end do                                                                            do i=1,4                                                                                    So_Gmax(i)=0                                                                            end do                                                                            !guarda el vector emergente para el caso en que DoP=DoPmax                                                                            do i=1,4                                                                                     do k=1,4                                                                                             So_Gmax(i)=So_Gmax(i)+M(i,k)*Si_Gmax(k)                                                                                     end do                                                                                                                                                         end do                                                                            !guarda las coordenadas del maximo                                                                            Chi_Gmax=Chi                                                                            Psi_Gmax=Psi                                     end if                   end do end do  !calcula las metricas  WRITE(*,*) "|‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐|" WRITE(*,*) "|             C A L C U L O   D E   M E T R I C A S                |" WRITE(*,*) "|‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐|" WRITE(*,*) WRITE(*,*) "|‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐|" WRITE(*,*) "|            Calculo de todas las Metricas para M                  |" WRITE(*,*) "|‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐|" WRITE(*,*) !escribe la matriz aproximada WRITE(*,*)"la matriz es :" WRITE(*,*) do i=1,4         WRITE(*,315) M(i,1), M(i,2), M(i,3), M(i,4)         315 FORMAT(4x,4(f10.2)) end do WRITE(*,*) WRITE(*,*)"y las metricas para esta son:" WRITE(*,*) !CALCULA DI(M)                        !calcula b=3[m00*DI_M]^2+m00^2, b es una variable auxiliar                        DI_M=0.0                        b=0.0                        do i=1,4                                do j=1,4                                        b=b+M(i,j)*M(i,j)                                end do                        end do                        !calcula b=3[m00*DI_M]^2                        b=b‐M(1,1)*M(1,1)                        !calcula b=3^(1/2)m00*DI_M                        b=SQRT(b)                        l=SQRT(3.0)                        !calcula b=DI_M                        DI_M=b/(l*M(1,1)) 

101  

 !CALCULA P(M)                        !calcula el [P*M(1,1)]^2                        b=0.0000                        do i=2,4                                b=b+M(i,1)*M(i,1)                        end do                        !calcula P*M(1,1)                        b=SQRT(b)                        !calcular P                        P=b/M(1,1)  !CALCULA D(M)                        !calcula el [D*M(1,1)]^2                        b=0.0000                        do i=2,4                                b=b+M(1,i)*M(1,i)                        end do                        !calcula D*M(1,1)                        b=SQRT(b)                        !calcular D                        D=b/M(1,1)  !CALCULA Q(M)                        Q=0                        Q=((3*DI_M*DI_M)‐(D*D))/(1+(D*D))  !aproxima las metricas, ya que estas trabajan directamente con los elementos de la matriz  !crea el archivo auxiliar aux(1)=Q aux(2)=DI_M aux(3)=P aux(4)=D  open (UNIT=602,FILE="archivo_auxiliar.txt") do i=1,4         WRITE(602,604) aux(i)         604 FORMAT(4x,4(f10.2)) end do close (UNIT=602) !lee el archivo open (UNIT=602,FILE="archivo_auxiliar.txt") do i=1,4         read(602,*) aux(i) end do close (UNIT=602)  Q=aux(1) DI_M=aux(2) P=aux(3) D=aux(4) !escribe en la pantalla los valores de las metricas WRITE(*,*) WRITE(*,69)Q 69 FORMAT(' Q(M)    ',f10.2) WRITE(*,*) WRITE(*,60)DI_M 

102  

60 FORMAT(' DI(M)   ',f10.2) WRITE(*,*) WRITE(*,67)P 67 FORMAT(' P(M)    ',f10.2) WRITE(*,*) WRITE(*,68)D 68 FORMAT(' D(M)    ',f10.2) !dice que tipo de sistema es segun Q(M) WRITE(*,*) if (Q==0) then              WRITE(*,*)"el sistema es totalmente despolarizante"              else                  if (Q<1) then                               WRITE(*,*)"el sistema es parcialmente despolarizante"                               else                                   if ((Q<3).AND.(DI_M==1.0)) then                                                      WRITE(*,*)"el sistema es diatenuante y no despolarizante"                                                      else                                                          if (Q<3) then                                                                       WRITE(*,*)"el sistema es parcialmente despolarizante"                                                                       else                                                                           if (Q==3) then                                                                                         WRITE(*,*)"el sistema es no diatenuante y no despolarizante"                                                                                         else                                                                                             WRITE(*,*)"la matriz M no representa un sistema fisico realizable"                                                                           end if                                                          end if                                   end if                  end if end if  WRITE(*,*) !escribe DoP_max WRITE(*,*) "El valor maximo de DoP es:" WRITE(*,4)DoP_max 4 FORMAT(3x,f10.2) WRITE(*,*) WRITE(*,*) "el vector que lo maximiza es:" do i=1,4         WRITE(*,12)Si_DoPmax(i)         12 FORMAT(3x,f10.4) end do WRITE(*,*) !aproxima So_DoPmax(i)                                    open (UNIT=602,FILE="archivo_auxiliar.txt")                                    do i=1,4                                            WRITE(602,614) So_DoPmax(i)                                            614 FORMAT(4x,4(f10.2))                                    end do                                    close (UNIT=602)                                    !lee el archivo auxiliar                                    open (UNIT=602,FILE="archivo_auxiliar.txt")                                    do i=1,4                                            read(602,*) So_DoPmax(i)                                    end do                                    close (UNIT=602) !escribe el vector emergente WRITE(*,*) "y el vector emergente es:" 

103  

do i=1,4         WRITE(*,400)So_DoPmax(i)         400 FORMAT(3x,f10.2) end do WRITE(*,*) !Calcula No^2, donde No=N_out es el porcentaje de luz no polarizada del haz S_out  ! b es una variable auxiliar b=0 b=So_DoPmax(1)*So_DoPmax(1)‐So_DoPmax(2)*So_DoPmax(2)‐So_DoPmax(3)*So_DoPmax(3)‐So_DoPmax(4)*So_DoPmax(4)  !aproxima b a dos decimales                                    open (UNIT=502,FILE="archivo_auxiliar.txt")                                             WRITE(502,504) b                                            504 FORMAT(4x,4(f10.2))                                     close (UNIT=502)                                    b=0                                    open (UNIT=503,FILE="archivo_auxiliar.txt")                                             read(503,*) b                                     close (UNIT=503)  ! pregunta si (No)^2 es menor que cero IF(b<0)then                       WRITE(*,*)"el vector emergente cuando DoP es maxima, S_out, no puede representar una haz de luz"                       WRITE(*,*)                       WRITE(*,571)b                       571 FORMAT(" (S0_out)^2‐(S1_out)^2‐(S2_out)^2‐(S3_out)^2=",f10.2)                       No_So_DoPmax=b                       else                           !Calcula No=porcentaje de luz no polarizada en So_DoPmax                           No_So_DoPmax=100*SQRT(b)/So_DoPmax(1)                           WRITE(*,572)No_So_DoPmax                           572 FORMAT("el cual tiene un ",f10.2,"% de luz no polarizada") END if WRITE(*,*) !escribe la ganancia maxima WRITE(*,*) "La ganancia maxima es:" WRITE(*,15)G_max 15 FORMAT(3x,f10.2) WRITE(*,*) !muestra el vector que la maximiza WRITE(*,*) "el vector que la maximiza es:" do i=1,4         WRITE(*,19)Si_Gmax(i)         19 FORMAT(3x,f10.4) end do WRITE(*,*) !aproxima So_Gmax(i)                                     open (UNIT=602,FILE="archivo_auxiliar.txt")                                    do i=1,4                                            WRITE(602,615) So_Gmax(i)                                            615 FORMAT(4x,4(f10.2)) 

104  

                                   end do                                    close (UNIT=602)                                    !la lee                                    open (UNIT=602,FILE="archivo_auxiliar.txt")                                    do i=1,4                                            read(602,*) So_Gmax(i)                                    end do                                    close (UNIT=602) !escribe es vector emergente WRITE(*,*) "y el vector emergente es:" do i=1,4         WRITE(*,401)So_Gmax(i)         401 FORMAT(3x,f10.2) end do WRITE(*,*) !Calcula (No)^2  b=So_Gmax(1)*So_Gmax(1)‐So_Gmax(2)**2‐So_Gmax(3)*So_Gmax(3)‐So_Gmax(4)*So_Gmax(4)  !aproxima b                                    open (UNIT=702,FILE="archivo_auxiliar.txt")                                             WRITE(702,703) b                                            703 FORMAT(4x,4(f10.2))                                     close (UNIT=702)                                    !la lee                                     open (UNIT=702,FILE="archivo_auxiliar.txt")                                             read(702,*) b                                     close (UNIT=702) !pregunta si (No)^2<0 IF(b<0)then                       WRITE(*,*)"el vector emergente cuando G es maxima, S_out, no puede representar una haz de luz"                       WRITE(*,*)                       WRITE(*,570)b                       570FORMAT(" (S0_out)^2‐(S1_out)^2‐(S2_out)^2‐(S3_out)^2=",f10.2)                       No_So_Gmax=b                       else                           !Calcula No=porcentaje de luz no polarizada en So_DoPmax                           No_So_Gmax=100*SQRT(b)/So_Gmax(1)                           WRITE(*,573)No_So_Gmax                           573 FORMAT(" el cual tiene un ",f10.2,"% de luz no polarizada") END if  ! !escribe un archivo con todo lo desplegado en la pantalla ! open (UNIT=300,FILE="Datos_Metricas_para_M_aprox.txt") WRITE(300,*)"la matriz es :" WRITE(300,*) !escribe la matriz aproximada do i=1,4         WRITE(300,309) M(i,1), M(i,2), M(i,3), M(i,4)         309 FORMAT(4x,4(f10.2)) end do 

105  

!escribe los valores de las metricas WRITE(300,*) WRITE(300,*)"y las metricas para esta son:" WRITE(300,*) WRITE(300,304)Q 304 FORMAT(' Q(M)    ',f10.2) WRITE(300,*) WRITE(300,301)DI_M 301 FORMAT(' DI(M)   ',f10.2) WRITE(300,*) WRITE(300,302)P 302 FORMAT(' P(M)    ',f10.2) WRITE(300,*) WRITE(300,303)D 303 FORMAT(' D(M)    ',f10.2) WRITE(300,*) !dice que tipo de sistema es if (Q==0) then              WRITE(300,*)"el sistema es totalmente despolarizante"              else                  if (Q<1) then                               WRITE(300,*)"el sistema es parcialmente despolarizante"                               else                                   if ((Q<3).AND.(DI_M==1)) then                                                      WRITE(300,*)"el sistema es diatenuante y no despolarizante"                                                      else                                                          if (Q<3) then                                                                       WRITE(300,*)"el sistema es parcialmente despolarizante"                                                                       else                                                                           if (Q==3) then                                                                                         WRITE(300,*)"el sistema es no diatenuante y no despolarizante"                                                                                         else                                                                                             WRITE(300,*)"la matriz M no representa un sistema fisico realizable"                                                                           end if                                                          end if                                   end if                  end if end if !escribe el valor maximo de DoP y los datos relacionados WRITE(300,*) WRITE(300,*) "El valor maximo de DoP es:" WRITE(300,305)DoP_max 305 FORMAT(3x,f10.2) WRITE(300,*) WRITE(300,*) "el vector que lo maximiza es:" do i=1,4         WRITE(300,306)Si_DoPmax(i)         306 FORMAT(3x,f10.4) end do WRITE(300,*) WRITE(300,*) "y el vector emergente es:" do i=1,4         WRITE(300,403)So_DoPmax(i)         403 FORMAT(3x,f10.2) end do WRITE(300,*) IF(No_So_DoPmax<0)then 

106  

                      WRITE(300,*)"el vector emergente cuando DoP es maxima, S_out, no puede representar una haz de luz"                       WRITE(300,*)                       WRITE(300,575)No_So_DoPmax                       575 FORMAT(" (S0_out)^2‐(S1_out)^2‐(S2_out)^2‐(S3_out)^2=",f10.2)                        else                           !Calcula No=porcentaje de luz no polarizada en So_DoPmax                           WRITE(300,576)No_So_DoPmax                           576 FORMAT("el cual tiene un ",f10.2,"% de luz no polarizada")  END if !escribe la ganancia maxima y los datos relacionados WRITE(300,*) WRITE(300,*) "La ganancia maxima es:" WRITE(300,307)G_max 307 FORMAT(3x,f10.2) WRITE(300,*) WRITE(300,*) "y el vector que la maximiza es:" do i=1,4         WRITE(300,308)Si_Gmax(i)         308 FORMAT(3x,f10.4) end do WRITE(300,*) WRITE(300,*) "y el vector emergente es:" do i=1,4         WRITE(300,404)So_Gmax(i)         404 FORMAT(3x,f10.2) end do WRITE(300,*) IF(No_So_Gmax<0)then                       WRITE(300,*)"el vector emergente cuando G es maxima, S_out, no puede representar una haz de luz"                       WRITE(300,*)                       WRITE(300,577)No_So_Gmax                       577 FORMAT(" (S0_out)^2‐(S1_out)^2‐(S2_out)^2‐(S3_out)^2=",f10.2)                        else                           !Calcula No=porcentaje de luz no polarizada en So_DoPmax                           WRITE(300,578)No_So_Gmax                           578 FORMAT("el cual tiene un ",f10.2,"% de luz no polarizada") END if !cierra el archivo close (UNIT=300) WRITE(*,*) WRITE(*,*)"Desea realizar otra operacion? Si(1),No(0) " 333READ(*,*)n if (n==1) then               GOTO 2 end if if (n==0) then               else                   WRITE(*,*)"solo puede dar 0 o 1, de uno de estos valores "                   GOTO 333 end if end program