universidad autÓnoma del estado de hidalgo instituto … · 2019. 12. 9. · universidad autÓnoma...
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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE
HIDALGO
INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA
ÁREA ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA
“EFECTO DE LA ACTIVIDAD DOCENTE EN EL
DESARROLLO DE TAREAS DE GENERALIZACIÓN DE
PATRONES”
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE
MAESTRA EN CIENCIAS EN MATEMÁTICAS Y SU
DIDÁCTICA
PRESENTA:
Dévora Escorcia Custodio
Dirigida por:
Dr. Fernando Barrera Mora
Dr. Aarón Reyes Rodríguez
Pachuca de Soto, Hidalgo; Diciembre 2019
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AGRADECIMIENTOS
A Dios
Por los momentos buenos y también los complicados, por los errores que he cometido y me
dejaron enseñanza, por lo bueno que tengo hoy y por lo que está por venir. Pero sobre todo
porque está a mi lado.
A mis Maestros
Por su tiempo, el cual es valioso, por enseñar de la mejor forma, con el ejemplo. Por
acercarme a una de las muchas partes sutiles de la matemática.
A mi Familia
Por estar en mi vida, por darme fuerza, por hacer cualquier cosa por verme sonreír, por
amarme sin importar nada.
A mis Hijos
Por ser mi mejor decisión. Por pensarlos tanto he imaginarlos aún más, deseo que hagan lo
que más les agrade como lo estoy haciendo yo.
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RESUMEN
La literatura de investigación en educación matemática incluye gran cantidad de trabajos que
han abordado los procesos de identificación y generalización de patrones, en los niveles
educativos básico y medio superior. Tales trabajos aportan evidencia en cuanto a que los
estudiantes mejoran su capacidad para representar algebraicamente procesos de abstracción
y generalización, a partir del análisis de representaciones figurales. Sin embargo, solo algunas
de estas investigaciones han centrado la atención en el efecto que tiene, sobre el
entendimiento de los estudiantes, el apoyo del docente durante la implementación de las
tareas.
En este contexto, el presente trabajo tiene como objetivo documentar y analizar el efecto que
tienen las preguntas que formula el profesor a los estudiantes durante la realización de tareas
con patrones. Esto se llevó a cabo con estudiantes de bachillerato de una escuela pública en
el estado de Hidalgo. La hipótesis de trabajo sostiene que el tipo de preguntas que formula el
docente a sus estudiantes son de gran importancia para determinar las rutas y características
de aprendizaje, que los estudiantes construyen.
El trabajo muestra resultados de la implementación de tres tareas, diseñadas con base en El
ciclo básico para favorecer el entendimiento. Una de las tareas fue guiada a través de diversas
preguntas. Los resultados indican que en las tareas no guiadas, los estudiantes sólo abordaron
la fase de acción pues desconocen cómo avanzar; mientras que en la tarea guiada con
preguntas logran transitar con menos dificultad entre las diferentes fases del ciclo de
aprendizaje con entendimiento, realizando conexiones y formulando nuevas preguntas. Por
otra parte, en las tareas individuales no tienen oportunidad de exteriorizar con alguien sus
ideas o dudas, por lo que no avanzaron hasta la generalización y representación de patrones.
En las tareas por equipo cometieron errores, y al ser reorientados por algún compañero o por
el docente, a través de alguna pregunta, les permitió seguir avanzando con la tarea.
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ABSTRACT
The research literature in mathematics education includes a large number of works that have
addressed the processes of identification and generalization of patterns, in the basic and upper
secondary education levels. Such works provide evidence that students improve their ability
to algebraically represent processes of abstraction and generalization, based on the analysis
of figurative representations. However, only some of these investigations have focused
attention on the effect that, on the students' understanding, has the support of the teacher
during the implementation of the tasks.
In this context, the present work aims to document and analyze the effect that the questions
that the teacher formulates to the students during the accomplishment of tasks with patterns.
This was carried out with high school students from a public school in the state of Hidalgo.
The working hypothesis argues that the type of questions that the teacher asks his students
are of great importance to determine the routes and characteristics of learning, which the
students construct.
The work shows results of the implementation of three tasks, designed based on the Basic
cycle to promote understanding. One of the tasks was guided through various questions. The
results indicate that in the tasks that were not guided, the students only approached the action
phase because they do not know how to move forward; while in the guided task with
questions they manage to transit with less difficulty between the different phases of the
learning cycle with understanding, making connections and formulating new questions. On
the other hand, in the individual tasks, they have no opportunity to externalize their ideas or
doubts with someone, so they did not advance up to the generalization and representation of
patterns. In the tasks developed within a team, they made mistakes, and when being
reoriented by a peer or by the teacher through some questions, they continue advancing with
the solution of the task.
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ÍNDICE
CAPÍTULO 1. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN .............................................. 8
1.1 INTRODUCCIÓN ...................................................................................................... 8
1.2 REVISIÓN DE LA LITERATURA ........................................................................ 10
1.3 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ................................................................ 15
CAPÍTULO 2. MARCO CONCEPTUAL .................................................................... 17
2.1 INTRODUCCIÓN.................................................................................................... 17
2.2 DIMENSIÓN ONTOLÓGICA ................................................................................ 18
2.2 MATEMÁTICAS: LA CIENCIA DE LOS PATRONES ....................................... 19
2.3 DIMENSIÓN EPISTEMOLÓGICA ....................................................................... 19
2.4 DIMENSIÓN DIDÁCTICA ..................................................................................... 20
2.4.1 APRENDIZAJE CON ENTENDIMIENTO ........................................................ 20
2.4.2 CICLO PARA DESARROLLAR UN APRENDIZAJE CON
ENTENDIMIENTO ....................................................................................................... 21
CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA ................................................................................. 24
3.1 INTRODUCCIÓN.................................................................................................... 24
3.2 PARTICIPANTES ................................................................................................... 24
3.3 DISEÑO Y PRUEBA PILOTO DE UNA TAREA ................................................. 25
3.4 LAS TAREAS .......................................................................................................... 26
7
3.5 IMPLEMENTACIÓN DE LAS TAREAS .............................................................. 29
3.6 INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE LA INFORMACIÓN ..................... 30
CAPÍTULO 4. RESULTADOS ..................................................................................... 31
4.1 INTRODUCCIÓN.................................................................................................... 31
4.2 ANÁLISIS DE LA PRUEBA PILOTO ................................................................... 31
4.3 RESULTADOS DE LA TAREA “BLOQUES DE MADERA” ............................. 33
4.5 RESULTADOS DE LA TAREA “PALILLOS DE COLORES” ........................... 41
4.6 ANÁLISIS DEL EFECTO DE LAS PREGUNTAS QUE EL PROFESOR
FORMULA A LOS ESTUDIANTES ............................................................................ 48
CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES ................................................................................ 53
5.1 INTRODUCCIÓN.................................................................................................... 53
5.2 RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN .............................. 53
5.3 LIMITACIONES ..................................................................................................... 55
5.4 POSIBLES TRABAJOS A FUTURO ..................................................................... 55
6. REFERENCIAS ......................................................................................................... 56
7. APÉNDICES .............................................................................................................. 60
8
CAPÍTULO 1. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
1.1 Introducción
Diversos trabajos de investigación reconocen que las tareas de instrucción determinan las
características del conocimiento que los estudiantes construyen, y son el medio principal con
el que cuentan los profesores para apoyar el aprendizaje (Stein y Smith, 1998). Desde una
perspectiva de resolución de problemas, promover un entendimiento matemático requiere
que las tareas de instrucción permitan a los estudiantes “hacer matemáticas”1, así como
establecer conexiones entre diversos conceptos, procedimientos o ideas (Hiebert, et al.,
1997). Tareas planteadas en contextos motivadores pueden despertar el interés por conocer
cosas nuevas, y desarrollar habilidades para reflexionar, comunicar ideas y formular
problemas o preguntas de manera sistemática (actitud inquisitiva); esto es, poner en práctica
las actividades fundamentales del quehacer matemático.
Aprender matemáticas con entendimiento requiere de construir habilidades para la resolución
de problemas, así como desarrollar un lenguaje para expresar ideas o puntos de vista; y para
construir y sustentar argumentos visuales, empíricos o deductivos (Santos Trigo, 2015).
Durante el proceso de aprendizaje, el profesor puede apoyar a los estudiantes mediante
preguntas que orienten su actividad o mediante sugerencias que le permitan seguir avanzando
en el descubrimiento de conjeturas, en la construcción de rutas novedosas de solución o en
la formulación de nuevos problemas.
Una de las estrategias de enseñanza más antiguas, la enseñanza socrática (método de la
mayéutica), consiste esencialmente en realizar preguntas. Cuando Sócrates se enfoca en
formular preguntas al esclavo de Menón, en vez de ofrecerle respuestas, advierte sobre la
importancia de las preguntas para que, quien aprende, encuentre las respuestas él mismo
(Platón, 1987, pp. 302-311). En Latinoamérica, Paulo Freire también apoya una pedagogía
1John Mason (1999), menciona que las modas de enseñar pueden cambiar, pero la esencia de aprendizaje permanece constante. La esencia en el aprendizaje de las matemáticas, es hacer. Aprender matemáticas implica mucho más que simplemente dominar técnicas, implica adoptar una forma particular de percibir el mundo. Para hacer matemáticas existen seis modos de interacción (exponer, explorar, hacer ejercicios, explicar, examinar y expresar). Desafortunadamente como se presentan las matemáticas oscurecen el proceso y solo presentan una rutina blanda, un producto (Mason, 1999).
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basada en formular preguntas, en contraposición a una enseñanza basada en responder
preguntas que los estudiantes no han planteado ni les interesan (Freire y Faundez, 2013). En
este contexto, el favorecer una actitud inquisitiva es central en el aula de matemáticas como
medio para construir conocimiento estructurado (Forero, 2014).
Para promover el entendimiento matemático los profesores deben conocer qué es lo que
saben sus estudiantes y, a partir de ese conocimiento, proponer tareas y escenarios de
instrucción que apoyen y fomenten la construcción de formas matemáticas de pensar. Se
propone la resolución de problemas como una aproximación relevante para desarrollar un
aprendizaje con entendimiento, pues al resolver problemas se llevan a cabo actividades
fundamentales del quehacer matemático, entre las que se encuentran: exploración de
relaciones, identificación de patrones, formulación de conjeturas, empleo de distintas
representaciones, justificación y comunicación de resultados (NCTM, 2000).
El profesor es un actor fundamental en el proceso de aprendizaje, debido a que sus
conocimientos y, en consecuencia, el tipo de actividades que propone en el salón de clase,
moldean las características del aprendizaje que los estudiantes construyen (Barrera y Reyes,
2013). Para lograr que los estudiantes tengan una sólida formación matemática se requiere
de un currículo flexible, y de profesores con amplios conocimientos disciplinares, de teorías
de aprendizaje y aproximaciones didácticas.
De acuerdo con Hiebert et. al., (1997), entendemos algo cuando podemos ver cómo ese algo
se relaciona o conecta con otras cosas que conocemos. Cuando se promueve la construcción
de conexiones robustas, el conocimiento se organiza en redes conceptuales que permiten
extender y aplicar este conocimiento. Tales redes se estructuran mediante los procesos de
reflexión y comunicación de ideas que se ejecutan durante la actividad de resolver y formular
problemas. Estos autores argumentan que el logro de un aprendizaje con entendimiento está
determinado por cinco elementos: (i) las tareas, (ii) el papel del maestro, (iii) la cultura social
en el salón de clase, (iv) las herramientas disponibles y (v) la equidad.
La capacidad del profesor para integrar esos cinco elementos, al implementar tareas de
instrucción, contribuirá a promover la construcción de entendimiento matemático. Abordar
tareas que representan un reto intelectual, más que únicamente dificultades procedimentales
o de cálculo, es fundamental para el aprendizaje de la disciplina. Particularmente, la
10
identificación y generalización de patrones es parte esencial de la formación matemática de
toda persona y, por ello, debiera de considerarse en el currículo de todos los niveles escolares
(NCTM, 2000).
Por lo regular, las tareas de instrucción propuestas en los materiales educativos de
bachillerato en México, no promueven el desarrollo de actividades relevantes relacionadas
con el quehacer matemático, y se enfocan en procesos de memorización, repetición y
desarrollo de fluidez en la aplicación de algoritmos. Sin embargo, el aprendizaje con
entendimiento matemático debiera orientarse en fomentar formas de pensar que permitan a
los estudiantes ver el mundo a través de los lentes de un matemático (Schoenfeld, 1992), lo
cual significa desarrollar habilidad para interpretar y analizar fenómenos mediante
herramientas y lenguaje propios de la disciplina. En este contexto, el presente trabajo
pretende determinar si las preguntas que realiza un docente, para orientar la actividad de
estudiantes, al implementar tareas de identificación y generalización de patrones, contribuye
a que ellos conecten ideas, formulen preguntas, exploren diversas rutas para resolver
problemas. Es decir, se busca identificar cómo las acciones docentes contribuyen al
desarrollo de formas matemáticas de pensar (Schoenfeld, 1992) y la construcción de un
aprendizaje con entendimiento (Hiebert et al., 1997).
1.2 Revisión de la literatura
La revisión de la literatura para el desarrollo de este trabajo se llevó a cabo en dos vertientes.
En la primera de ellas se revisaron trabajos cuyo eje son las tareas con patrones, mientras que
la segunda se enfocó en investigaciones que analizan el efecto de la intervención docente en
el aprendizaje de los estudiantes.
Son diversas las investigaciones realizadas con respecto a cómo las tareas con patrones
apoyan la formación matemática de los estudiantes. Por ejemplo, en el nivel de educación
básica (grados K-9), Cuartas (2015), identificó cómo generalizan patrones lineales
estudiantes de quinto grado, a partir de secuencias pictóricas. Las tareas se entregaron de
forma escrita, en una hoja de trabajo, y, posteriormente, se realizaron entrevistas
semiestructuradas. La metodología incluyó estudios de caso. En los resultados se indica que
una estrategia inicial fue identificar que las primeras diferencias de la sucesión son
11
constantes. Además, se reconoció una prevalencia de las generalizaciones empíricas, y que
los apoyos visuales facilitaron la solución de la tarea.
Por otra parte, Mouhayar y Jurdac (2016), realizaron un estudio con 1232 estudiantes de los
grados 4 al 11, en cinco escuelas en el Líbano, cuyo objetivo fue explorar el tipo de
razonamiento empleado por los estudiantes en tareas de identificación y generalización de
patrones. El análisis de los datos mostró que el razonamiento numérico fue más empleado
respecto al razonamiento figurativo, en lo que respecta a la generalización de patrones
denominados “cercanos” y “lejanos”; pero no para el tipo denominado “inmediato”. Los
resultados mostraron que para la estrategia recursiva, el enfoque de razonamiento numérico
parece predominar sobre el enfoque de razonamiento figurativo. Sin embargo, el enfoque de
razonamiento figurativo prevalece sobre el enfoque de razonamiento numérico, en el caso de
la estrategia funcional. Otro resultado relevante es que el razonamiento numérico fue
preponderante entre los estudiantes de grado 4-5 y el razonamiento figurativo para los grados
10-11.
En el caso de la educación secundaria (grados 7-9), Cañadas (2012), describe el tipo de
patrones y la forma de expresar la generalidad que llevan a cabo 359 estudiantes de grado 9
y 10 en la resolución de un problema en el que debían identificar y generalizar patrones,
denominado “problema de baldosas”. Entre los resultados se identificó un predominio de la
generalización verbal y, el apoyo de ésta, a otras formas de expresar la generalidad, diferente
de la algebraica. Particularmente, se concluyó que la generalización verbal es una forma más
accesible de generalización que la algebraica.
En esta línea de ideas, Chua y Hoyles (2014) obtuvieron las tasas de éxito de 104 estudiantes
de secundaria en Singapur, al abordar tareas de generalización de patrones. Se implementó
una prueba escrita que incluyó cuatro tareas en las que debían generalizar patrones lineales
en secuencias figurales. Se asignó un tiempo de 45 minutos para que los estudiantes
contestaran la prueba. Los autores concluyen que la mayoría de los estudiantes producen,
correctamente, una variedad de reglas funcionales expresadas algebraicamente después de
analizar una representación figurativa.
Kilic (2017a), realizó un estudio con 474 estudiantes de secundaria, cuyo objetivo fue
identificar los tipos de secuencias figurales generadas a partir de los primeros términos de
12
ciertas sucesiones numéricas. Las tareas consistieron en generar patrones figurales basados
en la sucesión 2, 6, 12, 20, 30... Se pidió a los estudiantes que escribieran el proceso que
siguieron para abordar la tarea. Los resultados del estudio indicaron que los participantes
produjeron diferentes patrones figurativos mediante diversas rutas y utilizaron estrategias de
generación de patrones tales como contar, determinar una figura, dibujar, y dividir. Se
concluyó que el análisis de patrones numéricos puede apoyar el desarrollo de un pensamiento
algebraico. Por lo tanto, es importante utilizar múltiples estrategias de solución al abordar
tareas que involucran patrones figurativos.
Roig y Linares (2008), aplicaron una tarea de patrones a 511 estudiantes de secundaria, de
entre 15 y 16 años, con la finalidad de identificar los procesos de abstracción que se llevaron
a cabo. Se entrevistó a 71 estudiantes para que explicaran los procesos de razonamiento que
siguieron al abordar las tareas. El marco teórico del trabajo se construyó con base en el
constructo de abstracción reflexiva propuesto por Piaget y el de Reflexión sobre la relación
actividad-efecto, de Simon y Tzur. Los resultados permitieron identificar dos fases en el
proceso de abstracción, las cuales se denominan proyección y anticipación local. En la fase
de proyección se construyen diferentes términos de la sucesión sin que se produzca la
abstracción del patrón. Mientras en la anticipación local, se abstrae el patrón y se usa para
anticipar el valor de nuevos términos de la sucesión. El mecanismo clave en el paso de la
fase de Proyección a la fase de Anticipación Local es el cambio en el foco de atención desde
el conjunto de datos particulares de los primeros términos, hacia la estructura de la secuencia.
Santos Trigo (2014), utilizó una tarea en cuyo enunciado se establece que a dos estudiantes,
encargados de la siembra de hortalizas en el jardín de la escuela, se les asigna un pedazo de
tierra, en forma de un cuadrado, y deciden repartirse el terreno en dos partes, de tal manera
que a cada uno le corresponda la misma área. Durante el proceso de solución de la tarea se
observó que los estudiantes desarrollaron un método inquisitivo para reflexionar
constantemente, y de manera profunda, sobre las diversas maneras de representar y explorar
la situación problemática. Es decir, los estudiantes construyen, desarrollan, refinan, o
transforman sus formas de comprender y resolver problemas como resultado de formular
preguntas relevantes y responderlas con el uso de distintos medios, incluyendo herramientas
computacionales.
13
Al igual que la variedad de estudios de patrones, encontramos una amplia diversidad de
investigaciones relacionadas con el análisis de la actividad docente. Al respecto, Montenegro,
Costa y Lopes (2018) realizaron un estudio con 18 estudiantes portugueses, de edades entre
10 y 13 años, quienes asistían a una escuela pública. La finalidad de la investigación fue
analizar el impacto de las representaciones visuales en la enseñanza y aprendizaje del álgebra.
Se implementó una tarea diseñada para explorar un patrón figurativo. Los instrumentos de
colección de datos fueron audios de la clase, el trabajo escrito de los alumnos y notas de
elaboradas por el profesor del grupo. Los resultados confirman que realizar conversiones
entre representaciones permitió a los estudiantes entender las tareas. Por otra parte, una
función importante del docente consistió en ayudar a los alumnos por medio de preguntas
tales como: ¿Qué es lo mismo entre las figuras 1 y 2? ¿Y qué es diferente? ¿Cómo es la
figura 1? ¿Cómo es la figura 2? Este tipo de preguntas apoyó el tránsito entre diferentes
registros de representación. Varios autores han identificado dificultades en las actividades de
conversión entre representaciones (por ejemplo, Duval, 2006a). En este trabajo se confirma
que la exploración dinámica de las representaciones visuales facilitó las conversiones entre
registros de representación y brindó flexibilidad para convertir las representaciones
simbólicas y verbales, lo que resultó beneficioso para los estudiantes. Otra conclusión
relevante fue que los maestros deben considerar durante el diseño de tareas aspectos
relacionados con la transformación de las representaciones semióticas, con la finalidad de
apoyar el aprendizaje de los estudiantes.
Forero (2014), llevó a cabo un estudio en el que describe y contrasta el uso de las preguntas
que efectúan los docentes y los efectos que generan en las respuestas y en las conversaciones
de los estudiantes, durante la enseñanza-aprendizaje del concepto de número en los primeros
cursos de primaria en Colombia. La autora encontró que las preguntas mantienen su
protagonismo en el aula; sin embargo se identifican dos maneras de usarlas, una primera
manera donde los docentes no favorecen relaciones entre conceptos, ya que son preguntas
con poca demanda cognitiva y no fomentan procesos complejos de pensamiento y de
comunicación; y una segunda manera en la que aparecen preguntas que favorecen
razonamientos complejos. Estas últimas preguntas posibilitan la participación activa de los
estudiantes en las dinámicas de aula, ya que las respuestas incluyen explicaciones y
14
argumentaciones. Sin embargo, se requieren unas condiciones tanto de los docentes como de
los contextos en el aula, para que preguntas de ese tipo sean parte de la actividad escolar.
Kilic (2017b), investigó la capacidad de conversión entre sucesiones numéricas y figurales
que muestran 25 profesores de matemáticas. Durante el estudio, se pidió a los participantes
que generaran patrones figurativos basados en patrones numéricos. Los resultados del estudio
indican que muchos participantes podían generar diferentes patrones figurales, cuando estos
son lineales. Los docentes utilizan diferentes estrategias para generar patrones lineales, pero
tienen problemas en el caso de los patrones no lineales. Van De Walle (2004) considera que
relacionar diferentes representaciones tales como materiales físicos, palabras, números o
expresiones simbólicas es importante al trabajar con patrones.
Lima (2018), buscó identificar de qué manera, tareas que involucran generalizar patrones,
utilizando modelos de área, pueden favorecer el entendimiento de la propiedad distributiva.
Diseñó dos tareas que involucran análisis de sucesiones figurales en las cuales estudiantes
debían representar áreas de rectángulos de dos formas diferentes, identificar un patrón y
generalizarlo. El rol del instructor consistió en guiar a los estudiantes para centrar su atención
en las operaciones y no en los resultados. Las tareas se implementaron con un grupo de 27
estudiantes de bachillerato. Entre las conclusiones se considera que durante el desarrollo de
las tareas de instrucción, es importante que el docente pida a los estudiantes argumentar sus
resultados.
Stein (1996), identificó que los niveles bajos de participación y logro de los estudiantes que
habitan en comunidades urbanas de escasos recursos no se deben principalmente a la falta de
capacidad o potencial intelectual, sino más bien a un conjunto de prácticas educativas que no
les proporcionan oportunidades de aprendizaje con entendimiento. En la investigación se
examinó cómo las variaciones en la calidad de la instrucción se relacionan con las
características del conocimiento que los estudiantes logran construir, a partir de
observaciones de tres clases.
Las investigaciones revisadas aportan evidencia de que la mayoría de los estudiantes
producen correctamente una variedad de reglas funcionales expresadas en forma algebraica,
a partir del análisis de secuencias figurales, además de que pueden realizar generalizaciones
expresadas de forma verbal o simbólica. El trabajo con patrones puede apoyar el desarrollo
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de un pensamiento algebraico, por lo que, las tareas con patrones son fundamentales en la
formación matemáticas de los estudiantes. Se identifican dos fases en el proceso de
abstracción, las cuales se denominan proyección y anticipación local. Los estudiantes
construyen, desarrollan, refinan, o transforman sus formas de comprender y resolver
problemas como resultado de formular preguntas relevantes y responderlas con el uso de
distintos medios. El papel del docente debiera ser fundamental para el diseño e
implementación de tareas de instrucción con alta demanda cognitiva (Stein y Smith, 1998),
orientadas al desarrollo de significados.
1.3 Planteamiento del problema
Mediante la revisión de la literatura se ha podido constatar que varios trabajos de
investigación se han interesado en el análisis de los procesos de identificación y
generalización de patrones, desde primaria hasta el bachillerato. En diversas investigaciones
se puede observar que el apoyo visual facilita a los estudiantes la resolución de las tareas,
además de que es mucho más sencillo expresar la generalidad de forma verbal más que de
forma algebraica. Otros trabajos concluyen que el análisis de patrones numéricos puede
apoyar al desarrollo del pensamiento algebraico, pero no tantos trabajos centran su atención
en el apoyo que pueda brindar el docente. Se logró identificar una problemática interesante,
la cual se refiere a que uno de los objetivos por los que los docentes hacen preguntas es con
la finalidad de que los estudiantes emitan una respuesta correcta, más que entender el
pensamiento de los estudiantes, o apoyarlos en el proceso de solución de problemas, al
ofrecerles sugerencias para centrar su atención en aspectos relevantes que le permitan
avanzar en una ruta de solución. Las preguntas despiertan el deseo de conocer cosas nuevas
y, en muchas ocasiones, el profesor se olvida de ellas, cuando la base para promover el
entendimiento debiera ser preguntar. Según Polya (1945, p.46) “el estudiante adquiere en su
trabajo personal la más amplia experiencia posible, pero si se deja solo ante su problema, sin
ayuda alguna o casi ninguna, puede ser que no progrese”.
En general, las tareas propuestas en las investigaciones que se revisaron no consideran
problemas relativos al apoyo que un docente ofrece a los estudiantes, por medio de preguntas,
para favorecer el proceso de reconocimiento y generalización de patrones. En la mayoría de
los artículos únicamente se reportan las estrategias utilizadas por los estudiantes sin el apoyo
16
del docente. En este contexto, el objetivo de este trabajo es diseñar e implementar tareas
guiadas y no guiadas, con la finalidad de compararlas, además de documentar y analizar el
efecto de las preguntas que formula el profesor, durante la realización de tareas con patrones,
sobre el proceso de entendimiento de las ideas algebraicas de estudiantes de bachillerato, en
una escuela pública en la ciudad de Pachuca de Soto, Hidalgo. Las preguntas de investigación
que guían este trabajo son: (1) ¿Qué tipo de preguntas pudieran orientar a los estudiantes en
la exploración, reconocimiento y generalización de patrones en secuencias figurales?, y (2)
¿Cuál es el rol de las preguntas que formula el profesor en el proceso de establecer conexiones
entre diversos conceptos en tareas que involucran identificación y generalización de
patrones?
17
CAPÍTULO 2. MARCO CONCEPTUAL
2.1 Introducción
Cualquier investigación requiere de una estructura de conceptos teóricos básicos, para
orientar el logro del objetivo planeado. No basta conocer qué se quiere investigar, sino que
es necesario explicitar las hipótesis, métodos y teorías utilizadas en el análisis de un objeto
de estudio. Un marco de investigación es un conjunto de ideas, principios, acuerdos o reglas
que proporcionan la base o estructura para sustentar un trabajo de investigación. En este
contexto, Lester (2005) utiliza la metáfora de un andamio para referirse a un marco de
investigación:
Me gusta pensar en un marco como un andamio construido para hacer posible las
reparaciones en un edificio. Un andamio encierra el edificio y permite a los trabajadores
alcanzar regiones que de otro modo son inaccesibles. Por lo tanto, un marco de
investigación es una estructura básica de las ideas (es decir, abstracciones y relaciones) que
sirven de base de un fenómeno que debe investigarse. (p. 458).
Un marco de investigación puede clasificarse en uno de los siguientes tres tipos: teórico,
práctico y conceptual (Eisenhart, 1991). Un marco teórico guía las actividades de
investigación con base en una teoría formal; es decir una teoría que ha sido desarrollada para
explicar ciertos fenómenos y sus relaciones, como la epistemología genética de Piaget o la
teoría sociocultural de Vygotski. El uso de un marco teórico se orienta a la recopilación de
datos relevantes, cuya interpretación y los hallazgos correspondientes se utilizan para
apoyar, ampliar o modificar la teoría. Al utilizar un marco teórico, el investigador está
decidiendo conformarse a las convenciones aceptadas de argumentación y experimentación
asociada con la teoría. Algunos investigadores consideran que elegir un marco teórico fuerza
a los investigadores a ajustar los datos a la teoría (Eisenhart, 1991).
Un marco práctico, guía una investigación utilizando aquello “qué funciona” en la
experiencia de aquellos directamente involucrados en una problemática. Este tipo de marco
se basa en un acumulado de prácticas, los hallazgos de investigaciones previas y a menudo
en el punto de vista ofrecido por la opinión pública. Tiene algunas limitaciones, por ejemplo,
que los hallazgos derivados de un conjunto de prácticas tienden a ser, en el mejor de los
casos, solo localmente generalizables.
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Un marco conceptual se basa en investigaciones previas, pero se construye a partir de una
variedad de fuentes, las cuales se estructuran mediante un conjunto de justificaciones. Puede
basarse en diferentes teorías y varios aspectos del conocimiento práctico del investigador.
Así, un marco conceptual consiste en una estructura de conceptos y justificaciones de por
qué esos conceptos son apropiados para abordar e interpretar un fenómeno que se está
investigando.
Este trabajo se fundamenta en un marco conceptual, integrado por tres dimensiones:
ontológica, epistemológica y didáctica. La perspectiva ontológica consiste en adoptar una
postura con respecto a lo que son las matemáticas y su aprendizaje. En la perspectiva
epistemológica se presentarán las ideas de cómo consideramos que se aprende, finalmente
en la perspectiva didáctica se expondrá cuáles son, para nosotros, las características
deseables que debe incluir el aprendizaje, así como los medios para lograr que el aprendizaje
tenga esas características deseables.
2.2 Dimensión Ontológica
Durante el aprendizaje de las matemáticas es importante el proceso y el sentido que los
estudiantes muestran en el desarrollo o construcción de las ideas matemáticas. Romberg
(1992) ilustra la idea de desarrollar o hacer matemáticas mediante una analogía con la música.
Afirma que la música, al igual que las matemáticas, posee varias ramas categorizadas en una
variedad de formas (clásica, jazz, rock, instrumental, vocal), también tiene un sistema para
preservar información (notas, claves), y teorías que describen la estructura de las
composiciones (escalas, patrones). Sin embargo, no importa cuántos artefactos de la música
uno aprenda, esto no es lo mismo que hacer música. De forma análoga, en matemáticas uno
puede aprender conceptos acerca de los números y las operaciones aritméticas, resolver
ecuaciones, graficar funciones, etcétera; pero eso no es hacer matemáticas. “La razón
principal de la existencia de las matemáticas, es resolver problemas, y por esto desarrollar
matemáticas incluye resolver problemas, abstraer, inventar, probar, y encontrar el sentido a
las ideas matemáticas” (Halmos, 1980, p. 519).
19
2.2 Matemáticas: la ciencia de los patrones
La comunidad matemática ha debatido la pertinencia de adoptar una posición respecto a lo
que es la disciplina y esbozar las características de un plan de estudios que refleje las
necesidades sociales actuales (Schoenfeld, 1992). Existen diferentes perspectivas de lo que
son las matemáticas, pero en este trabajo, adoptamos aquella que la concibe como la ciencia
de los patrones (Steen, 1988). Esta perspectiva se relaciona con una postura didáctica en la
cual es importante que el estudiante participe activamente en la generación de ideas y
conceptos centrales de la disciplina, como un cuerpo dinámico de conocimientos en constante
expansión. En esta perspectiva, el estudiante, al resolver problemas, recopila información,
descubre o crea relaciones, discute sus ideas, plantea conjeturas, y constantemente evalúa y
contrasta resultados. La actividad matemática no consiste en aplicar reglas o algoritmos de
manera automatizada, sino construir esas reglas y procedimientos que nos permitan entender
los patrones y regularidades que aparecen en nuestro mundo (Barrera y Reyes, 2013).
2.3 Dimensión epistemológica
La postura que adoptamos en este trabajo es de tipo socio-constructivista. Al respecto,
Vygotski (2006), resalta la importancia de la actividad del sujeto durante el proceso de
aprendizaje, ya que este no se concreta a responder a los estímulos que recibe del medio,
sino que usa su actividad para transformarlos. Para llegar a conocer algo, el sujeto
cognoscente usa instrumentos mediadores que le permiten obtener información acerca del
objeto de conocimiento. Una visión constructivista del aprendizaje pone en el centro de
atención al sujeto activo, consciente, orientado hacia un objetivo. Cada individuo, con base
en sus conocimientos previos, construye nuevos conocimientos, independientemente de las
características del escenario de instrucción. Aprender involucra modificar estructuras
mentales, por medio de un proceso de adaptación al medio, que en este caso está constituido
por comunidades de práctica (salones de clase). Durante la interacción que se lleva a cabo
en las comunidades de práctica se generan significados considerados como compartidos
(taken-as-shared), y cada integrante de la comunidad interpreta los estímulos, en función de
sus estructuras cognitivas, las que seguramente son diferentes a las de los demás miembros
de la comunidad. En el proceso de comunicación de ideas, dentro de una comunidad de
20
práctica (Wenger, Mc. Dermott y Snyder, 2002), se negocian significados, para construir
esos significados considerados como compartidos (Cobb et al., 1991; Simon, 1994).
2.4 Dimensión Didáctica
2.4.1 Aprendizaje con entendimiento
En esta investigación consideramos importante que los estudiantes desarrollen un aprendizaje
con entendimiento. El entendimiento es una idea complicada porque es algo que siempre está
cambiando y está creciendo, razón por la cual existen diferentes niveles de entendimiento
respecto de temas o tópicos particulares. “El conocer no es una proposición de todo o nada”,
sino que hay varios niveles del dominio de conocimiento (Schoenfeld, 1992, p. 343).
Entendemos algo, si podemos ver como ese algo se relaciona o conecta con otras cosas que
conocemos. Entre mayor sea el número de conexiones estructuradas que se pueden realizar,
será mayor nuestro nivel de entendimiento (Hiebert et al., 1997).
¿Cómo podemos lograr que los estudiantes aprendan matemáticas con entendimiento? Al
respecto es muy importante la postura del profesor acerca de cuáles son las características
deseables del conocimiento y cuáles son las acciones apropiadas para lograr esas
características, a través de las tareas implementadas en el aula. El rol del profesor es crucial
para favorecer la construcción de un ambiente propicio para el aprendizaje con
entendimiento, que oriente el proceso de instrucción mediante preguntas y sugerencias a los
estudiantes al resolver problemas. Es importante que el profesor escuche a los estudiantes,
identifique sus dificultades de comprensión e ideas erróneas, para tratar de entender cómo
piensan, y así encontrar estrategias que apoyen el desarrollo de entendimiento matemático.
El Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas (NCTM 2000), menciona que uno de los
caminos para desarrollar conexiones entre conocimientos matemáticos (base del
entendimiento) es resolver problemas por diferentes rutas. Es decir, ligar ideas matemáticas
con conocimientos bien cimentados permite el acercamiento de más de una forma y así
obtener, mediante diversos caminos, la solución a un problema.
21
2.4.2 Ciclo para desarrollar un aprendizaje con entendimiento
El entendimiento se considera como fundamental en los procesos de aprendizaje, ya que al
entender una idea, ésta se puede usar con flexibilidad, adaptarse para resolver problemas y
ser la base para aprender otros conceptos y métodos. Además, el entender proporciona
satisfacción y un sentido de logro. Por lo que se propone como alternativa para la
construcción de la comprensión matemática, ciclos sucesivos de acción, observación,
formulación de conjeturas y justificación de resultados (Barrera y Reyes, 2018). En la fase
de acción, los estudiantes interactúan con los datos e identifican aquellos que son relevantes
de los que no lo son; también representan la información, cuantifican atributos de algunos
objetos o agregan elementos auxiliares para ampliar la información del planteamiento. Esta
fase es importante porque el conocimiento tiene su origen en las experiencias físicas (ver,
tocar, escuchar, etc.) y en las imágenes mentales formadas a partir de estas experiencias. La
acción no es suficiente para entender algo, es necesario llevar a cabo un proceso de reflexión;
por ello, en la fase de observación identificamos relaciones entre datos e incógnitas, así como
patrones y regularidades. Las fases de acción y de observación se relacionan mediante flechas
en ambas direcciones, debido a que la identificación de relaciones y patrones puede requerir
de una interacción recurrente con los objetos físicos o conceptuales en los que están inmersas.
En la fase de formulación de conjeturas, los alumnos generalizan los resultados observados
en la fase previa y formalizan sus observaciones en términos matemáticos. Finalmente, en la
fase de justificación comunica sus conjeturas al resto de los integrantes, expresando
argumentos de diferentes tipos tras sustentarlas: visuales, empíricos y formales. Aunado a lo
anterior, en esta última etapa del ciclo extienden resultados o se formulan nuevas preguntas
y problemas que conducirán a una nueva fase de acción (Figura 1).
22
Figura 1. Ciclo básico para promover un aprendizaje con entendimiento.
Los aspectos ontológicos del marco de investigación se pusieron en práctica durante el diseño
de las tareas, donde los estudiantes participan activamente en la identificación de
regularidades orientadas a generalizar y simbolizar patrones a partir de secuencias figurales.
La dimensión epistemológica se implementó al diseñar el escenario de instrucción. Desde
una perspectiva socio-constructivista del aprendizaje, el estudiante al interactuar en una
comunidad de práctica genera significados considerados-como-compartidos (taken-as-
shared) al discutir sus formas de pensar o razonar, y contrastarlas con las de sus compañeros.
La relación que existe entre las tareas y la dimensión didáctica está centrada en el rol del
profesor al favorecer la construcción de un ambiente propicio para aprender con
23
entendimiento, orientando el proceso de construcción de conexiones mediante preguntas que
permitan a los estudiantes resolver problemas y desarrollar aspectos esenciales del
pensamiento matemático. En un escenario de resolución de problemas el estudiante es un
sujeto activo y el profesor favorece la construcción de conexiones entre conceptos
(entendimiento) a través de tareas que representan un reto intelectual.
Figura 2. Relación entre los elementos del marco y el problema de investigación.
24
CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA
3.1 Introducción
La investigación cualitativa es una categoría de diseños de investigación en la que se extraen
descripciones de significados a partir de observaciones, las cuales adoptan la forma de
entrevistas, narraciones, notas de campo, grabaciones, transcripciones de audio, registros
escritos de todo tipo, fotografías o películas. Taylor y Bogdan (1986, p. 20) consideran que
la investigación cualitativa es “aquella que produce datos descriptivos: las propias palabras
de las personas, habladas o escritas, y conductas observables”. Estos autores señalan las
siguientes características propias de la investigación cualitativa: (i) es inductiva, (ii) el
investigador ve al escenario y a las personas desde una perspectiva holística, (iii) los
investigadores son sensibles a los efectos que ellos mismo causan sobre las personas que son
objeto de estudio, (iv) los investigadores tratan de comprender a las personas dentro del
marco de referencia de ellas mismas, (v) para el investigador todas las perspectivas son
valiosas, (vi) los métodos cualitativos son humanistas, (vii) todos los escenarios y personas
son dignos de estudio, (vii) la investigación cualitativa es un arte.
Este trabajo de investigación es de carácter cualitativo, se analizó el efecto de las preguntas
que formula el profesor, durante la realización de tareas con patrones, sobre el proceso de
entendimiento de ideas algebraicas de estudiantes. La investigación se realizó en tres
momentos, el primer momento fue el diseño y aplicación de una prueba piloto, el segundo
momento el diseño y aplicación de tres tareas, finalmente el análisis de las tareas. Los
instrumentos para la recolección de datos fueron tareas escritos elaboradas por los estudiantes
y videograbaciones de las sesiones, las cuales posteriormente se transcribieron. Mediante las
soluciones de las tareas que reportaron los estudiantes, se analizó el efecto de las preguntas
formuladas por el docente sobre el proceso de entendimiento.
3.2 Participantes
Los participantes de esta investigación fueron 20 estudiantes de bachillerato, de entre 15 y
16 años, de los cuales 10 son hombres y 10 mujeres. Para la prueba piloto fueron diez
estudiantes que cursaban el primer semestre y para la aplicación de las tres tareas diez
estudiantes de segundo semestre. Los estudiantes pertenecen a diversos grupos y distintas
25
especialidades (Diseño gráfico digital, puericultura, mantenimiento en equipo de cómputo y
preparación de alimentos y bebidas). La razón por la cual se eligió a estos alumnos fue porque
tienen especial interés en la exploración de patrones y porque estoy a cargo de estos grupos.
Debido a que los participantes eran menores de edad, se solicitó la autorización, por escrito,
de los padres de familia para filmar en video el trabajo de los participantes, indicando que
para mantener confidencial su identidad se ocultaría mediante seudónimos.
3.3 Diseño y prueba piloto de una tarea
Retomando la revisión de la literatura se identificaron cuatro aspectos relevantes a considerar
para el diseño de una tarea, el primer aspecto es que los docentes generalmente hacen
preguntas con la finalidad de que los estudiantes emitan una respuesta correcta, más que para
entender cómo piensan, o apoyarlos en el proceso de solución de problemas, al ofrecerles
sugerencias para avanzar o centrar su atención en aspectos relevantes en una ruta de solución.
El segundo, que las variaciones en las preguntas o sugerencias se relacionan con el
desempeño o dificultades mostradas por los estudiantes. El tercer aspecto es que la
construcción de entendimiento requiere que los estudiantes desarrollen sucesivos ciclos de
acción, observación, formulación de conjeturas y justificación de resultados y, finalmente el
cuarto aspecto, que una actividad sobre identificación de patrones en secuencias figurales
puede promover procesos característicos del pensamiento algebraico tales como la
abstracción, la generalización y la simbolización.
Se diseñó una tarea piloto con la finalidad de adquirir experiencia para el diseño de las tres
tareas que se aplicarían para analizar. Una primera versión de la tarea (Apéndice A) se
implementó con seis de los diez estudiantes de primer semestre de bachillerato, detectando
que hubo algunas dificultades de comprensión debido a ciertas ambigüedades o fallas en la
redacción. Posteriormente, se realizaron modificaciones a la tarea (Apéndice B) y se
implementó nuevamente con cuatro estudiantes. Las modificaciones se detallan en el capítulo
de análisis de resultados.
26
3.4 Las Tareas
Las tareas que se utilizaron en este trabajo fueron diseñadas con base en el ciclo básico para
promover un aprendizaje con entendimiento (Figura 1), las cuales se basaron en la
identificación y generalización de patrones a partir de secuencias figurales. Una tarea guiada
es aquella que contiene una serie de preguntas elaboradas por el docente, las cuales orientaron
a los estudiantes para que transitaran entre las diferentes fases de ciclo, favoreciendo el
desarrollo de una actitud inquisitiva. Las tareas no guiadas únicamente cuentan con
indicaciones generales para transitar por cada fase. Se construyeron tres tareas, una de ellas
guiada para reconocer un patrón lineal y las otras dos no guiadas, una para reconocer un
patrón lineal y la otra para reconocer un patrón cuadrático.
Bloques de madera (Apéndice C) Es una tarea no guiada, resuelta individualmente, en la
que los estudiantes deben identificar y generalizar un patrón de orden lineal (4𝑛 + 1). En la
fase de acción se proporcionó las hojas de trabajo y bloques de madera, con la cual los
estudiantes construyeron las tres figuras indicadas en la hoja de trabajo (Apéndice C).
Posteriormente, se solicitó dibujar las figuras 4 y 5, observando cuántos bloques se necesitan
para formar cada una de ellas (Figura 3).
Figura 1 Figura 2 Figura 3
Figura 3. Secuencia figural de la tarea “bloques de madera”.
Para el desarrollo de la fase de observación se propuso que el estudiante identificara el
número de piezas de una figura cercana. Si así lo deseaba, podía construirla con los bloques
de madera que se le proporcionaron (por ejemplo la figura 4). También se le solicitó
determinar el número de bloques de una figura lejana (como la figura 73) con la finalidad
que el material manipulable no fuera suficiente para su construcción. Para la fase de
27
formulación de conjeturas se pidió la representación algebraica de la cantidad de piezas de
cualquier figura. Y en la fase de justificación de resultados se solicitó calcular el total de
piezas de una figura cercana (como la figura 5) y una lejana (como la figura 100), con la
finalidad de que tuviera elementos para determinar la corrección de la expresión algebraica
que obtuvo.
Fichas (Apéndice D) Es una tarea no guiada, resuelta individualmente, en la que los
estudiantes debían identificar y generalizar un patrón de orden cuadrático 𝑛(𝑛 + 1). En la
fase de acción se pidió a los estudiantes construyeran las tres primeras figuras (figura 4) y
dibujaran las figuras indicadas en la tabla. En la fase de observación se pidió que identificaran
el número de piezas de las figuras en la posición 7 y 65. En la formulación de conjeturas
solicitamos la representación algebraica del patrón y para la fase de justificación tuvieron
que explicar el proceso que siguieron para identificar y generalizar el patrón.
Figura 1 Figura 2 Figura 3
Figura 4. Secuencia figural de la tarea “fichas”.
Palillos de colores (Apéndice E) Es una tarea guiada. Durante el análisis preliminar de la
tarea se identificó que existen diferentes formas en que se puede orientar la actividad de los
estudiantes para reconocer una estructura en la secuencia figural que conducen a la
identificación y generalización del patrón, por lo que se diseñaron diferentes rutas para
identificarlo (Apéndice F). Se eligió la que les permitía establecer conexiones con
conocimientos previos que pudieran reconocer en su mayoría (Versión A). En esta tarea los
estudiantes debían identificar y generalizar un patrón de orden lineal (2𝑛 + 1). Para abordar
la tarea, los estudiantes trabajaron en equipos.
28
Figura 1 Figura 2 Figura 3
Figura 5. Secuencia figural de la tarea “palillos de colores” versión A.
En la fase de acción se solicitó a los estudiantes que dibujaran las dos figuras siguientes con
la finalidad de reconocer la construcción del patrón. En la fase de observación se orientó el
trabajo de los estudiantes, por medio de preguntas acerca de la posición de los palillos, como
las siguientes: Menciona las posiciones que tienen los palillos, ¿Cuántos palillos horizontales
tiene la figura 1?, ¿Cuántos palillos horizontales tiene la figura 3?, ¿Cuántos palillos
horizontales tendrá la figura 20?, ¿Tiene alguna relación la cantidad de palillos horizontales
con el número de figura?, ¿Cuál?, ¿Cuántos palillos están en posición inclinada en la figura
2?, ¿Cuántos palillos están en posición inclinada en la figura 4?, ¿Cuántos palillos estarán en
la posición inclinada en la figura 20?, ¿Tiene alguna relación la cantidad de palillos con el
número de la figura?, ¿Cuál? Para orientación hacia la formulación de conjeturas utilizamos
las siguientes preguntas: ¿Cuántos palillos tendrá la figura 500 en posición horizontal?,
¿Cuántos palillos tendrá la figura 500 en posición inclinada?, ¿Cuántos palillos tendrá en
total la figura 500? Si deseo referirme a la figura 2 sería: Figura 2, Si deseo referirme a la
figura 5 sería: Figura 5, para referirme a la figura 20 sería la figura____. Si deseo referirme
a alguna figura que desconozco el número, sería __________. ¿Cuántos palillos horizontales
tendrá cualquier figura que desconozco su número? ¿Cuántos palillos inclinados tendrá
cualquier figura que desconozco su número? ¿Cuántos palillos tendrá en total cualquier
figura que desconozco su número? Finalmente para justificar representan los siguiente.
¿Cómo representas el número de palillos de la figura 513? No obtengas el resultado,
solamente se necesita que utilices alguna forma de representar la cantidad de piezas. Calcula
el total de piezas para la figura 1027. ¿Cómo representas el número de palillos de la figura
312? ¿Cómo representas la cantidad de piezas de la figura 13 más la cantidad piezas de la
figura 270?
FIGURA 1 FIGURA 2 FIGURA 3
FIGURA 1 FIGURA 2 FIGURA 3
FIGURA 1 FIGURA 2 FIGURA 3
29
3.5 Implementación de las tareas
La aplicación de las tareas se llevó a cabo con un grupo de estudiantes de segundo semestre.
Estas se realizaron en un salón para asesorías dentro de la institución, es un lugar cómodo
con buena ventilación e iluminación. Se entregaron las hojas de trabajo impresas, además de
material concreto (bloques de madera, palitos de colores, fichas) para la fase de acción. Se
realizaron videograbaciones durante la aplicación de las diferentes tareas, utilizando una
tableta, estas fueron realizadas por la profesora.
La aplicación de las tareas se realizó en un periodo de dos meses debido a que se tuvo que
adaptar las fechas de implementación, en función de los horarios de alumnos, y así evitar
interferir en sus diversas actividades escolares. Cabe hacer mención que se solicitó permisos
con anticipación a los docentes con los que tenían clase, y si estos no lo otorgaban o los
estudiantes tenían algunas prácticas en los diferentes laboratorios, se re-agendó la aplicación
(Tabla 1 y 2). Se decidió, en primera instancia, implementar la tarea de orden lineal no guiada,
para poder observar como respondían los estudiantes ante una tarea relativamente sencilla
que contaba únicamente con instrucciones generales. Posteriormente, se decidió aplicar una
tarea un poco más compleja, de orden cuadrática no guiada. Finalmente se aplicó la tarea
guiada para comparar las tres tareas e identificar hasta que fase del ciclo habían progresado.
Para abordar las tareas 1 y 2 los estudiantes trabajaron individualmente. El único material del
que dispusieron fueron las hojas de trabajo impresas y el material concreto (bloques de
madera) para la fase de acción, el espacio entre la implementación entre tareas fue de un mes.
La tarea 3, se aplicó en el mismo mes de la actividad dos, esta actividad se trabajó en equipos.
Tabla 1. Aplicación de tareas 1 y 2.
ESTUDIANTE FECHA DE
APLICACIÓN
DE LA
TAREA 1
NUEVA
FECHA
FECHA DE
APLICACIÓN
DE LA
TAREA 2
NUEVA
FECHA
A 4-2-19 4-3-19 6-3-19
B 6-2-19 6-3-19
C 6-2-19 21-2-19 6-3-19 Operación
D 7-2-19 7-3-19
E 11-2-19 13-2-19 11-3-19
30
Tabla 2. Aplicación de tarea 3.
EQUIPO FECHA DE
APLICACIÓN
DE LA
TAREA 3
NUEVA
FECHA
A,B,H 25-3-19
E,F,J 27-3-19 3-4-19
C,D,G 28-3-19 8-4-19
I Problemas económicos
3.6 Instrumentos de recolección de la información
Los métodos y las técnicas de recolección de información son herramientas con que cuenta
el investigador para documentar la información recabada de la realidad. Los instrumentos de
recolección de datos que se utilizaron para este trabajo fueron las tareas escritas realizadas
por los estudiantes así como grabaciones en video de las sesiones de trabajo, las cuales se
transcribieron posteriormente. El análisis de la información incluyó la elaboración de cuadros
comparativos.
F 13-2-19 13-3-19 14-3-19
G 14-2-19 20-2-19 13-3-19
H 18-2-19 14-3-19
I 20-2-19 20-3-19 Problemas
J 21-2-19 11-3-19 20-3-19
31
CAPÍTULO 4. RESULTADOS
4.1 Introducción
En este capítulo se exponen los resultados obtenidos del análisis de los datos recabados
durante el proceso de implementación de las tareas. En primer lugar se analizó de forma
individual la prueba piloto aplicada a los 10 estudiantes de primer semestre. Posteriormente,
se exponen los resultados derivados de la implementación de tareas no guiadas que abordaron
de forma individual, los 10 estudiantes de segundo semestre, seguido del análisis de la tarea
guiada realizada por los tres equipos que se formaron. Se comparan los dos tipos de tareas,
para finalmente analizar el efecto de las preguntas que realicé como apoyo para los
estudiantes.
4.2 Análisis de la prueba piloto
Considerando las investigaciones previas se diseña una prueba piloto de una tarea guiada.
La primera versión se aplicó a 6 de los 10 estudiantes de primer semestre (Apéndice E), la
cual arrojó problemas de redacción y ambigüedad en algunas preguntas e indicaciones, por
ejemplo se solicitaba que dibujaran dos figuras más y algunos estudiantes dibujaron otras dos
figuras que no tenían nada que ver con el patrón. Por mencionar otro ejemplo al solicitar el
número de piezas del origen de simetría, había estudiantes que consideraban 5 y otros uno.
Era necesario especificar y aclarar tanto indicaciones, preguntas y el exceso de tablas. (Tabla
3):
Tabla 3. Primera modificación de la prueba piloto.
Fase Indicación,
pegunta o tabla
Modificación
Acción Dibuja dos figuras más Dibuja dos figuras más
siguiendo el patrón de las
figuras anteriores, es
decir observa cuántos
32
rectángulos debe tener
cada figura.
Observación ¿Observas simetría en
las figuras?
Marca el origen de la
simetría de cada figura.
¿Cuántas piezas
conforman el origen de
la simetría?
Tabla 1. (Número de
piezas del origen de la
simetría).
Tabla 2. Se encontraba
fragmentada
¿Identifica simetría en las
figuras, explica?
Si encuentras simetría,
indica el origen de la
simetría de cada figura.
¿Cuántas piezas tiene el
centro de simetría?
Tabla 1. (Número de
piezas en el origen de la
simetría).
Tabla 2. Se ajustó
Conjeturas En todas las preguntas
se hace mención del
origen de simetría.
Se modifica origen de
simetría por centro de
simetría.
Justificación
de
resultados
¿Cómo representas la
cantidad de la figura
200?
¿Cómo representas el
número de rectángulos de
la figura 200? No
indiques el resultado,
solamente se necesita que
utilice alguna forma de
presentar la cantidad de
piezas
33
Considerando la investigación de Stein (1996), la variación en la calidad de la instrucción se
relaciona con las características que los estudiantes logran construir, por lo que consideramos
realizar una segunda versión de la tarea con modificaciones, la cual se aplicó a los 4
estudiantes restantes (Apéndice F). Con la finalidad de que la tarea quedara clara y pudiera
guiar al estudiante durante las diversas fases del ciclo para promover el aprendizaje con
entendimiento, así que nuevamente realizamos modificaciones en algunas fases (Tabla 4).
Tabla 4. Segunda modificación de la prueba piloto.
Fase Pregunta, indicación o
tabla
Modificación
Observación ¿Cuántas piezas hay en cada
rama que parten de los
vértices de la figura central?
¿Cuántas piezas hay en cada
rama que parten de los
vértices de la figura central
para los siguientes casos?
Conjeturas Si deseo referirme a
cualquier figura ¿Cómo la
puedo representar?
Si deseo referirme a la figura
1. Es figura 1
Si deseo referirme a la figura
2. Es figura 2
Si deseo referirme a alguna
figura que desconozco el
número, sería _________
4.3 Resultados de la tarea “Bloques de madera”
Es una tarea no guiada, es decir aunque sigue el ciclo para observación de aprendizaje con
entendimiento no cuenta con preguntas que orienten la actividad de los estudiantes durante
las diversas fases del ciclo. Los estudiantes trabajaron la actividad de forma individual, sin
alguna intervención de compañeros o el profesor (Apéndice A). Se logró observar que de 10
alumnos, tres lograron transitar por las diferentes fases del ciclo sin ningún apoyo, el tiempo
en el que lo realizan fue relativamente corto. Del total de estudiantes, seis de ellos lograron
transitar por la fase de acción, manipulan el material concreto, pueden representar figuras
34
cercanas pero cuando se solicita el número de piezas de alguna figura lejana como la 73 no
lograron realizar el cálculo. Sin embargo, algunos de ellos sí lograron generalizar el patrón
pero no pudieron escribir la representar algebraicamente. Finalmente, dos de ellos en la fase
de acción pudieron representar con el material concreto, pero cuando se solicitó que dibujaran
dos figuras siguiendo el patrón anterior, cambian la imagen (Tabla 5).
Tabla 5. Fases del ciclo que abordaron los estudiantes en la tarea “bloques de madera”.
ESTUDIANTE ACCIÓN OBSERVACIÓN CONJETURAS JUSTIFICACIÓN
DE
RESULTADOS
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
Se encontraban algunos de ellos tensos, probablemente por la filmación, intentaron
preguntar, sin que el docente respondiera, invirtieron tiempo en tratar de entender lo que se
solicitaba y después de realizar algunos intentos, terminaron diciendo “ya no puedo”. Sin
embargo se encontraron elementos relevantes como los siguientes: Algunos estudiantes,
como el estudiante A identificaron el patrón sin necesidad de manipular el material concreto.
Otros estudiantes (B y C), a pesar de contar con el material concreto no fueron capaces de
construir otros elementos de la secuencia, siguiendo el patrón de las primeras tres figuras, lo
que obstaculizó el tránsito por las siguientes fases del ciclo de aprendizaje (Figura 6).
35
Estudiante B
Estudiante C
Figura 6. Dificultades de los estudiantes para construir otros elementos de la secuencia.
Cuartas (2015), al igual que Chua y Hoyles (2014), reportan que el apoyo visual facilita la
resolución de tareas; sin embargo en los casos anteriores, las imágenes no apoyaron a los
estudiantes en la identificación de regularidades. Aunque este posible error de los estudiantes
se deba a la forma en que se planteó la indicación, ya que pudiese ser confuso para los
estudiantes el significado de la expresión “el patrón de las figuras anteriores”.
Otra observación relevante se deriva del trabajo del estudiante D, quien no llegó a representar
algebraicamente el patrón, pero intenta expresar las regularidades observadas, por medio de
otros registros representacionales (Figura 7).
36
Figura 7. Intento del estudiante D por expresar regularidades.
En la fase de observación, la estudiante E, identificó que las primeras diferencias de la
secuencia eran constantes e iguales a cuatro. Al respecto, Cuartas (2015) indica que una
estrategia inicial utilizada por los estudiantes consistió en identificar que las primeras
diferencias de los elementos consecutivos de una sucesión son constantes, pero el estudiante
olvida corroborar con las figuras previas, lo cual impide que llegue a conjeturas verdaderas
(Figura 8).
Figura 8. Conjetura incorrecta.
37
En la fase de observación el estudiante G realizó algunas operaciones que lo llevan de forma
errónea al cálculo de las piezas por un error aritmético. En el momento de solicitar la
representación algebraica no entendió que le solicitan, pues dibuja un triángulo, pero cuando
justifica resultados él utiliza la generalización o representación algebraica de forma adecuada
(Figura 9).
Figura 9. Sin conjeturas expresadas, pero generalización adecuada.
El estudiante F únicamente logró transitar por la fase de acción, mientras que la estudiante H
solamente llegó a la de observación, pero las observaciones que realizó fueron erróneas,
probablemente porque la figura se encontraba lejos de su alcance para construirla con el
material (Figura 10).
Figura 10. Observaciones erróneas.
38
Alumno I: Las figuras cercanas las logró identificar e intentó utilizar letras para las
representaciones pero no sabe cómo. Identificó que existe una figura central rodeada de más
figuras (Figura 11).
Figura 11. Identifica una parte central.
Alumno J: Identificó con facilidad el patrón y su representación algebraica.
Se puedo observar que todos los estudiantes cuentan con elementos para reconocer el patrón
y lo intentan, pero la orientación que se da hacia el reconocimiento de este no es la apropiada.
Según (Polya 1945, p.46) “el estudiante adquiere en su trabajo personal la más amplia
experiencia posible, pero si se deja solo ante su problema, sin ayuda alguna o casi ninguna,
puede ser que no progrese”.
4.4 Resultados de la tarea “Fichas”
Al igual que la tarea anterior, no está guiada pero es de orden cuadrático. Fue la segunda
experiencia de los estudiantes, por lo que se mostraron más relajados por la filmación. Se
proporcionaron las fichas y tarea impresa, en esta ocasión solo 2 estudiantes lograron
transitar por todas las fases sin ninguna complicación. Muy parecido el comportamiento que
tuvieron con la tarea de orden lineal, en su mayoría llegaron a la fase de acción, pero después
se vuelve confuso lo que se les solicita. Los resultados obtenidos corroboran lo que menciona
Kilic (2017b), los estudiantes tienen mayor facilidad para identificar los patrones lineales
pero se enfrentan con más problemas con los casos de patrones no lineales (Tabla 6).
39
Tabla 6. Fases del ciclo que abordaron los estudiantes en la tarea “fichas”.
ESTUDIANTE ACCIÓN OBSERVACIÓN CONJETURAS JUSTIFICACIÓN
DE RESULTADOS
A
B
C No asistió debido a problema de salud
D
E
F
G
H
I No asistió debido a problemas económicos.
J
Resulta relevante la forma en que algunos estudiantes intentaron comunicarse en la fase de
justificación de resultados, les solicitamos describir cómo reconocieron el patrón y
expresaron la generalidad con las siguientes frases:
Alumno B: “Se aumenta el doble de la figura, haciendo que aumenta más de 2 veces”, el
alumno sabe que saldrá más del doble de cada figura, por ejemplo si es la figura 5, con
seguridad será una cantidad mayor a 10.
Alumno D: “Según la secuencia y patrón que puede observar en las figuras previas”,
identificó que el patrón tiene que ver con las imágenes previas que pudo calcular si son
cercanas. Para el cálculo de cantidad de piezas de la figura 100 realiza la operación (99x100).
Pero no logra la representación algebraica. Figura 12.
40
Figura 12. Sin representación algebraica.
Alumno E: “Utilizando las fichas me di cuenta de que manera iba incrementado”, reflejó que
el material es importante, de hecho realiza algunas diferencias ente algunas cantidades de
piezas de algunas figuras. Para realizar el cálculo de la figura 100 lo realizó con la
multiplicación (100x99). Figura 13. Sin embargo la alumna H llega a la observación errónea
que todas las figuras van aumentando 6 piezas más.
Figura 13. El material fue importante pero no suficiente
Alumno F: “Por las filas e hileras de la figuras anteriores”, el estudiante reconoció que tienen
relación las filas y las hileras
Alumna G_ Reconoció algunos cambios entre las figuras, calcula el número de piezas para
la figura 4 y propuso una representación algebraica. Figura 14.
41
Figura 14. Propuesta de representación algebraica.
Los estudiantes intentaron argumentar lo que observaron en la medida de sus posibilidades,
pero en su mayoría se pierde en el intento, no logran llegar a los patrones sugeridos, dadas
estas dificultades, la necesidad de apoyo y ayuda externa son fundamentales para que estos
retos no se conviertan en enormes muros que los diferencien de una minoría. Aprender
matemáticas con entendimiento requiere desarrollar un lenguaje para expresar y defender
ideas o puntos de vista; así como para construir y sustentar argumentos de diferente tipo,
visuales, empíricos o deductivos (Santos Trigo, 2015). El docente jugará un papel
fundamental en la proposición de tareas inquisitivas, es aquí donde el tipo de pregunta e
instrucción será crucial.
4.5 Resultados de la tarea “Palillos de colores”
Es una tarea de orden lineal guiada. Para abordar esta tarea los estudiantes trabajaron en
equipo. Se formaron tres equipos, en cada uno de ellos se encuentra un estudiante que logró
identificar alguno de los patrones anteriores. Cuenta con preguntas que permitieron a los
estudiantes identificar elementos relevantes para reconocer el patrón, además de llegar a la
generalización. Los tres equipos logran transitar en las diferentes fases, con distintas
dificultades (Apéndices C). Tabla 7. Las condiciones de la tarea provocaron la interacción de
los estudiantes, les permitió intercambiar ideas y externar dudas.
42
Tabla 7. Fases del ciclo que abordaron los equipos en la tarea “palillos de colores”.
EQUIPO ACCIÓN OBSERVACIÓN CONJETURAS JUSTIFICACIÓN
DE RESULTADOS
A,B,H
E,F,J
C,D,G
EQUIPO ABH
Fue un equipo que en su mayoría prefirió leer las actividades en silencio, sin embargo uno
de los estudiantes estaba muy atento a los comentarios de otros integrantes del grupo. En este
apartado se analiza la actividad del equipo por fase. En la fase de acción iniciaron la
construcción de forma individual, posteriormente decidieron construir todas la figuras sobre
una. Llegaron a acuerdos para construir y dibujar. En la fase de observación uno de los
estudiantes realizó movimientos con la mano para indicar horizontales, pues a uno de los
compañeros no le quedaban claras las posiciones (Figura 15). Los estudiantes lograron ver
las relaciones que existen entre los palillos horizontales y diagonales con la posición de la
figura, a través de las preguntas. Pero su forma de redactar no es muy clara, por ejemplo en
la pregunta, ¿Tiene alguna relación la cantidad de palillos con el número de la figura?
Contestan si, suma uno.
Figura 15. Alumno indicando la posición de los palillos.
43
En la fase de formulación de conjeturas, después de las observaciones pudieron imaginar la
cantidad de palillos que conformaban las figuras lejanas como la 500, claro que tuvieron que
retomar la figura 1, para llegar a la cantidad de palillos horizontales y diagonales en una
figura. Uno de los estudiantes comentó que la pregunta se refería a de todos los palillos de la
figura, no únicamente horizontales y diagonales. Por lo que realizaron el cálculo del total de
palillos. Fue importante la aclaración del estudiante, porque en la generalización les solicitan
la cantidad de piezas total de las figuras, nuevamente retomando la cantidad de horizontales
y diagonales. Por su parte, en la fase de justificación de resultados cuando se preguntó,
¿Cómo representas la cantidad de piezas de la figura 13 más la cantidad de piezas de la figura
270? Vertieron algunas sugerencias para la representación, el estudiante A escribió que
pudiera quedar (2(13) + 1)+ (2(270) + 1) a lo que respondió el estudiante B que mejor
(2(13)+2(270))+2. El estudiante A comentó que era lo mismo, pero el estudiante B insistió
que está simplificada (Figura 16).
Figura 16. Representación de los estudiantes.
El docente comentó que la tarea los guiaba para que observaran las barras horizontales e
inclinadas de la figura. Fue interesante observar lo que contestaron a la pregunta ¿Habrá
alguna otra forma de ver el patrón? Los estudiantes comentaron que contando la cantidad de
palillos de cada figura, por ejemplo la 1 tiene 3, la 2 tiene 5, la tres tiene 7, la formula sería
n+2. Pero el docente insistió ¿cómo lo veía?, uno de ellos trató de explicar que entre cada
figura van aumentando de dos en dos. Nuevamente el docente pregunta ¿Cuántas piezas
tendrá la figura 90? Contestando uno de ellos 92, el docente insistió ¿Cómo? , el estudiante
menciona, siempre va a sumar dos al valor total de forma constante. El docente comentó que
no entendió muy bien pero lo quiere comprobar con la figura 3, según la conjetura que tiene
la figura tendría 5 y no es cierto pues esta tiene 7. Él estudia retomó, el número va
aumentando un número más en cada figura, si es la figura 1 aumenta 2, si es la figura 2
44
aumenta 3, y ahí se aprecia una regularidad en la secuencia, 1 + 2 igual a 3, 3 + 2 igual a 5.
El docente solicita que si lo puede escribir porque está imaginando una tabla. El estudiante
accedió pero aclaró que no es una tabla (Figura 17).
Figura 17. Argumentos del estudiante.
EQUIPO CDG
En la fase de acción construyeron cinco figuras, el docente intervino para preguntar, ¿Qué
logran observar? Los estudiantes comentaron que cada figura va cambiando, que ya pueden
imaginar la figura 6. Se pusieron de acuerdo para dibujar las figuras solicitadas. En la fase
de observación uno de los estudiantes comentó las posiciones de los palillos, son horizontales
y verticales, a lo que el docente intervino para preguntar ¿Cuáles serían las verticales? y ¿Qué
piensan los demás? El estudiante retomó diciendo no, no, no, perdón no son verticales son
diagonales. Su redacción no fue muy clara, pero de manera oral se refirieron adecuadamente
(Figura 18).
Figura 18. Redacción del equipo.
45
En la fase de formulación de conjeturas los estudiantes no tuvieron problemas para realizar
el cálculo de la cantidad de horizontales y diagonales en la figura alejada como la 500, ni
para el cálculo total de piezas de dicha figura. Cuando se solicitó referirse a alguna figura
que desconozco el número, inicia un pequeño debate entre los que consideraban que era x y
la estudiante que consideraba que era n, finalmente el estudiante que consideraba a x,
comenta que es lo mismo pues ambas son variables. Una vez aclarando este punto para
establecer cantidad de horizontales, diagonales y total de piezas no tuvieron problema. El
docente intervino preguntando ¿Por qué 2x+1?, uno de los estudiantes intervino contestando
que se basan en lo anterior, sumando la cantidad de palillos horizontales y verticales. Una
estudiante preguntó ¿No sería n +2?, el docente pregunta ¿Por qué n+2?, la estudiante
argumentó, porque la figura 1 es n+2 igual a 3. El docente volvió a preguntar ¿Sirve para los
demás? Y la alumna contesta, no esperen, si es 2x+1.
En la fase de justificación de resultados, para la representación de las figuras, no tuvieron
problemas, relacionaron apropiadamente con la generalización que habían descubierto.
Cuando el docente les preguntó si ¿Habrá otra manera de ver el patrón?, uno de ellos contestó
que algebraicamente o por colores. Al solicitar que explicaran, comenzaron a manipular el
material indicando que primero los palillos en posición horizontal amarilla y las inclinadas
una azul y la otra verde, para la primera figura y construyen la segunda figura siguiendo el
patrón. El docente intervino para preguntar ¿Qué preguntas harían para guiar a alguien más?
Los estudiantes contestan ¿Cuántos colores tendrían? El docente contestó, si me preguntas
de la figura 1 contesto 3 y de la figura 2 también 3. Los alumnos corrigieron, no, sería
¿Cuántos palillos de cada color hay?, el docente contestó, bueno en la primera tengo un
amarillo, un azul y un verde, en la segunda, dos verdes, dos azules y tres amarillos. Los
alumnos decidieron cambiar, no mejor las horizontales de abajo se queden amarillas pero las
de arriba de otro color (coloca una roja). Probemos dijo el docente considerando la figura
uno, esta tendrá 1 amarillo, 1 azul y un verde. La segunda 2 azules, 1 amarillos, 1 verdes y
1 roja ¿Y la tercera? Sin construir los alumnos contestan 2 amarillas, 2 azules, 2 verdes y 1
roja.
46
EQUIPO EFJ
En la fase de acción uno de los estudiantes comentó que las figuras van aumentando de dos
en dos, porque se pone la primera figura y después solo dos (Figura 19). En la fase de
observación identificaron las posiciones de los palillos, pero constantemente regresaron a las
imágenes para realizar el conteo de palillos. Antes de llegar a las preguntas de la relación de
palillos horizontales con la figura, ya habían observado que eran la misma cantidad. Cuando
llegan a la relación de los palillos inclinados con la figura, regresaron nuevamente a las
figuras para concluir que siempre será 1 más que la figura.
Figura 19. Estudiante indicando que la cantidad de palillos aumenta de dos en dos.
En la fase de formulación de conjeturas cuando tuvieron que realizar el cálculo del total de
palillos de la figura en la posición 500, identificaron la cantidad de palillos horizontales e
inclinados, pero al llegar al total comentó un estudiante, quedamos que iba avanzando de dos
en dos entonces serían 502 o 505, regresaron a la página de las imágenes y realizaron el
conteo de las primeras tres imágenes, escribiendo entre cada una el 2 (Figura 20). El docente
intervino preguntando ¿Cuántos palillos tiene la figura 1?, ¿Qué cantidad tiene de
horizontales?, ¿Qué cantidad tiene de inclinadas?, ¿Y en total? Lo realizó con 2 figuras.
Posteriormente solicitó que regresen a la figura 500. Los alumnos comentaron, entonces la
500 tiene horizontales e inclinadas y sería 1001.
47
Figura 20. Identificación de que las primeras diferencias son constantes.
Tuvieron algunos problemas en la generalización, cuando representaron cualquier figura
determinaron que sería con alguna letra por ejemplo x, para determinar la cantidad de palillos
horizontales llegaron a la conclusión que es la misma letra porque los palillos horizontales
son igual a la figura pero al llegar a los inclinados desean referirse a ellos como y, pues es
una cantidad diferente a la de los palillos horizontales. El docente les solicitó que vuelvan a
observa la figura 500, tanto horizontales como inclinados, insistió que los inclinados también
tienen relación con la figura. Los alumnos lograron ver la relación que tienen los inclinados
con la figura contestando que es x+1. Para llegar a cuántos palillos tendrá en total cualquier
figura que desconozco su número, comentaron que habían quedado que es la suma de
horizontales e inclinadas. Entonces sería x más x+1, pero con paréntesis. La docente intervino
para comentar que probablemente pueden reducir (Figura 21). Comentó la docente que se
atrevió a pedir la reducción, porque estaban observando algo en el inicio. Regresaron a las
figuras, porque la alumna E, comentó, esto está pasando. ¿Qué observan de figura, en figura?
Los alumnos comentaron que observaban el cambio de 2, el cual se encontraba en la
generalización.
48
Figura 21. Reducción de términos que realiza el equipo.
En la fase de comunicación de resultados los estudiantes comentaron, la cantidad de palillos
horizontales es igual al mismo número de la figura y las diagonales 1 más que la figura.
Volvieron a tener dudas en la representación de las piezas de la figura 13 más las piezas de
la figura 270. La docente apoyó sugiriendo que den inicio con la 13 y posteriormente con la
270. Se puedo observar en los 3 equipos dadas las condiciones de la actividad, que el
brindarles preguntas les permitió acercarse paulatinamente hacia una idea, la cual es
cuestionable, los estudiantes intercambiaron ideas, externar dudas y pueden ayudarse.
Compartimos la idea que plantea Forero (2014), quien expresa que cuando los estudiantes
participan activamente en las tareas con preguntas que puedan discutir, la discusión posibilita
enriquecer las explicaciones y argumentaciones, ya que se intercambian ideas, se construyen
significados para los objetos matemáticos conjuntamente. Pero se requiere condiciones que
el docente propicie para que aparezcan esas preguntas movilizadoras del pensar.
4.6 Análisis del efecto de las preguntas que el profesor formula a los estudiantes
Considerando el análisis de las tareas guiadas y no guiadas, realizamos un análisis del efecto
de las preguntas y sugerencias formuladas por la docente en cada fase del ciclo de aprendizaje
con entendimiento (Tablas 8 y 9).
49
Tabla 8. Preguntas de la tarea no guiada “bloques de madera”
FASES PREGUNTAS O INSTRUCCIÓN EFECTO
Acción 1. Forma las siguientes figuras utilizando
bloques de madera.
2. Dibuja dos figuras más siguiendo el patrón
de las figuras anteriores.
1. La construcción de las figuras.
2. Si logró ver el comportamiento
puede dibujar las siguientes, de lo
contrario puede elaborar otro
patrón.
Observación 3. Número de piezas de la figura 4
4. Número de pieza de la figura 73
3. Puede realizar el conteo
porque es una figura cercana.
4. Será complicada si no
reconoció el patrón, pues no tiene
al alcance la cantidad necesaria
de material concreto para poder
realizar la figura.
Conjeturas 5.Representación algebraica de cualquier
figura
5. Esta indicación está formada
de 2 elementos, debido a que en
primera instancia debió
reconocer el patrón y en segunda
tiene que tener elementos para
representar. Así que si no lo
reconoció no tendrá que
representar, o puedo reconocerlo
pero no saber cómo representar.
La instrucción te brinda ayuda
nula.
Justificación
de Resultados
6. Representa el cálculo del total de piezas de
la figura 5. No indiques el resultado,
solamente se necesita que utilices alguna
forma de representar la cantidad de piezas.
7. Representa el cálculo del total de piezas de
la figura 100. No indiques el resultado,
solamente se necesita que utilices alguna
forma de representar la cantidad de piezas.
8. Representa la cantidad de piezas de la
figura 50 más la cantidad de piezas de la
figura 200.
6, 7 y 8. Para llevar a cabo estas
instrucciones, se requiere de una
representación. Puede ser no
necesariamente la algebraica, de
hecho como muestra las
evidencias pueden ser
propiamente imágenes como
algunos estudiantes lo hacen.
Como se puede constatar en las evidencias, este tipo de tarea le brinda oportunidades a una
minoría de estudiantes, mientras que en su mayoría únicamente lo intentan realizar pero no
50
les es clara. Al realizarla de forma individual te quita aún más la posibilidad de externar
alguna idea de la probabilidad de intentar algo más.
Tabla 9. Preguntas de la tarea guiada “palillos de colores”
FASES PREGUNTAS O INSTRUCCIÓN EFECTO
Acción 1. Construye las primeras tres
utilizando el material.
2. Observa la cantidad de palillos
de las figuras y dibuja dos
figuras más.
1. Permite manipular el material y
construir el patrón.
2. Al solicitar que observes la
cantidad de palillos, restringe la
posibilidad de realizar otro patrón
y permite acercarse al
reconocimiento del patrón que se le
está presentando.
Observación 3.Menciona las posiciones que tienen
los palillos
_______ ____________
4. ¿Cuántos palillos horizontales tiene
la figura 1?_____________
5. ¿Cuántos palillos horizontales tiene
la figura 3?______________
6. ¿Cuántos palillos horizontales
tendrá la figura 20?____________
7. ¿Tiene alguna relación la cantidad
de palillos horizontales con el número
de figura?_______
¿Cuál?_________________________
___________
8. ¿Cuántos palillos están en posición
inclinada en la figura 2?___________
9. ¿Cuántos palillos están en posición
inclinada en la figura 4?___________
10. ¿Cuántos palillos estarán en la
posición inclinada en la figura
20?____________
11. ¿Tiene alguna relación la cantidad
de palillos con el número de la
figura?____________
3. Realizar conexiones.
4, 5, 6. Observar comportamiento.
7 y 8. Establecer relación de la
cantidad de palillos en posición
horizontal con la figura.
9 y 10. Establecer relación de la
cantidad de palillos en posición
inclinada con la figura.
11 y 12. Aproximarlo a conjeturar.
51
12. ¿Cuál?______________
Conjeturas Primera Parte
13. ¿Cuántos palillos tendrá la figura
500 en posición
horizontal?______________
14. ¿Cuántos palillos tendrá la figura
500 en posición
inclinada?____________
15. ¿Cuántos palillos tendrá en total la
figura 500?___________
Segunda Parte
16.Si deseo referirme a la figura 2
sería: Figura 2
17.Si deseo referirme a la figura 5
sería: Figura 5
18.Si deseo referirme a la figura 20
sería ____________
19.Si deseo referirme a alguna figura
que desconozco el número, sería
________________
20. ¿Cuántos palillos horizontales
tendrá cualquier figura que desconozco
su número?_______
21. ¿Cuántos palillos inclinados tendrá
cualquier figura que desconozco su
número?_________
22. ¿Cuántos palillos tendrá en total
cualquier figura que desconozco su
número?__________
Nota: Hasta el momento ha tenido
contacto con figuras cercanas, las
cuales puede manipular con
material concreto. En la primera
parte de conjeturas se brinda la
oportunidad de alejarse, es decir,
pensar en alguna figura como la
500, la cual ya no se encuentra a su
alcance para trabajar con material
concreto.
13. A partir de lo observado con la
relación de la cantidad de palillos
en posición horizontal con la figura
puede predecir, sin necesidad de
construir y contar.
14. A partir de lo observado con la
relación de la cantidad de palillos
en posición inclinada con la figura
puede predecir, sin necesidad de
construir y contar.
15. Reflexionar que la figura está
conformada de la suma de los
palillos de ambas posiciones,
horizontales e inclinadas.
Nota: En la segunda parte se
pretende que a partir de sus
primeras conjeturas y de forma
paulatina llegue a
generalizaciones.
16, 17, 18. Proporcionar elementos
para referirme a la figura
considerando su número de
posición.
19. Representar cualquier figura.
Por ende la necesidad de utilizar
los símbolos algebraicos.
20. Realizar conexiones entre lo
que había hecho y observado en
relación a la cantidad de palillos en
posición horizontal de varias
figuras con cualquier figura.
52
21. Realizar conexiones entre lo
que había hecho y observado en
relación a la cantidad de palillos en
posición vertical de varias figuras
con cualquier figura.
22. Generalizar la cantidad de
palillos de cualquier figura.
Justificación de
Resultados
23. ¿Cómo representas el número de
palillos de la figura 513? No obtengas
el resultado, solamente se necesita que
utilices alguna forma de representar la
cantidad de piezas.
24. Calcula el total de piezas para la
figura 1027
25. ¿Cómo representas el número de
palillos de la figura 312?
26. ¿Cómo representas la cantidad de
piezas de la figura 13 más la cantidad
piezas de la figura 270?
23. Representar el proceso que
generalizó, después del ciclo que
realizó donde interviene de forma
directa la comunicación.
24. Probar la validez de la
generalización.
25. Verificar si su proceso es el
adecuado
26. Operar el proceso
Con base en los datos obtenidos de la implementación de las tareas, constatamos, al igual que
Montenegro, Costa y Lopes (2018), que una de las funciones importante del docente consiste
en ayudar a los alumnos por medio de preguntas, de hecho se buscó orientar a los estudiantes
durante las diferentes fases del ciclo para observar algunos aspectos del aprendizaje con
entendimiento. También compartimos la idea de Lima (2018), de que el rol del instructor
consiste en guiar a los estudiantes para centrar su atención en el proceso de resolución de los
problemas, no en los resultados.
53
CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES
5.1 Introducción
El docente es un actor fundamental en el proceso de aprendizaje de los estudiantes debido a
que su conocimiento y actitud, y, en consecuencia las características de las actividades que
propone en el salón de clase, son determinantes en el tipo de aprendizaje que los estudiantes
logran construir. Por otra parte, las tareas de instrucción son el vehículo para que los
estudiantes desarrollen entendimiento de las ideas matemática, y por ello deben dar lugar a
procesos inquisitivos de discusión y reflexión. Pero ¿Cómo construir esas tareas?, después
de la experiencia de realizar la prueba piloto de una de las tareas, identificamos algunos
aspectos que pueden ser importantes durante el proceso de diseño: (i) Incorporar todas las
fases del ciclo para desarrollar aprendizaje con entendimiento, (ii) Es importante que la hoja
de trabajo de las tareas incluya una serie de preguntas que permitan al alumno identificar
estructuras en las secuencias figurales que le permitan generalizar y simbolizar el patrón, (iii)
Cuidar la redacción de las indicaciones y de las preguntas, de forma que sean claras y
precisas, (iv) No suponer que el estudiante conoce algún término por muy sencillo que lo
parezca, pues entender las indicaciones es fundamental para que transite por todas las fases
del ciclo, (v) Utilizar algún material concreto en la fase de acción, ya que las experiencias
sensoriales son la base de todo conocimiento; (vi) Realizar una prueba piloto de la tarea antes
de realizar la implementación definitiva, y (vii) Ser consciente de que una tarea nunca queda
terminada, cada implementación permite realizar ajustes y mejoras.
5.2 Respuestas a las preguntas de investigación
Mediante la aplicación de las tareas, se pudieron identificar de forma clara algunos de los
errores y las dificultades de los estudiantes para reconocer, generalizar y representar un
patrón mediante una expresión simbólica; además se pudo reconocer la relevancia de
preguntas durante el proceso de instrucción. Con base en las preguntas de investigación ¿Qué
tipo de preguntas pudieran orientar a los estudiantes en la exploración y reconocimiento de
patrones?, y ¿Cuál es el rol de las preguntas que formula el profesor en el proceso de
establecer conexiones entre diversos conceptos? Después de la comparación entre tareas
guiadas de forma inquisitiva y tareas no guiadas, el efecto que presentan las preguntas en las
54
tareas será determinante para poder guiar al alumno, las preguntas serán la llave para pensar,
reflexionar, construir, promoviendo el intercambio de ideas, al preguntar a los estudiantes se
deposita la responsabilidad en ellos, los estas invitando a actuar.
Cuestionarnos nos permite explorar, indagar, curiosear, interactuar, realizar conexiones. Pero
algo es claro, pocos estudiantes se cuestionan, la mayoría siguen en el mejor de los casos
instrucciones. Como docentes muchas ocasiones preguntamos esperando una respuesta
correcta, pero no con la finalidad de orientar. Sugerimos que los estudiantes se cuestionen,
pero cómo aprenderán a cuestionarse si no promovemos tareas inquisitiva, indudablemente
gran cantidad de ellos no lo habrá por si solos. Fue claro en la comparación de tareas guiadas
y no guiadas, el avance de los estudiantes en las diferentes fases del ciclo de aprendizaje con
entendimiento, mientras que en las tareas que no contaban con preguntas en su mayoría
únicamente podían llegar a la fase de acción, pues desconocían como avanzar, de hecho no
reconocían lo que les solicitaban, mientras que en las tareas con preguntas orientadoras les
permitía ir realizando conexiones y formular nuevas preguntas.
Es notoria la diferencia entre las tareas individuales y en equipo, mientras en las tareas
individuales no tienen oportunidad de exteriorizar con alguien sus ideas o dudas, no se
atreven a tomar riesgos, por lo que prefieren dejar las tareas hasta donde se sientan seguros.
Las tareas por equipo les permite cometer errores, los cuales pueden ser reorientados por
algún compañero o propiamente por el docente a través de alguna pregunta, realizan
consensos entre ellos para continuar o detenerse, en algunas ocasiones algún estudiante toma
el control, pero llegan algunos momentos que decide pedir opinión, ya sea para asegurarse
o porque propiamente tiene dudas.
Se puede visualizar que para aprender el lenguaje algebraico es importante que los
estudiantes tengan algo que comunicar; para ello necesita percibir un patrón o una regularidad
y después intentar expresarlo y comunicarlo a alguien. No podrá realizarlo solo, requiere de
ayuda externa que el docente puede brindar, por medio de preguntas, pero estás no pueden
ser arbitrarias, tendrán que ser en las diferentes fases del ciclo de aprendizaje con
entendimiento.
Sería interesante que como docentes pudiéramos diseñar tareas que representen un reto
cognitivo para los estudiantes, pensadas, progresivas, inquisitivas y recurrentes que les
55
permitan más adelante cuestionarse por ellos solos. No solamente les ayudaría a los procesos
matemáticos sino para su vida.
Finalmente, se pudo corroborar con base en la experimentación e investigaciones previas
que una tarea construida con base en el ciclo para observar aprendizaje con entendimiento
de forma inquisitiva, puede ser una opción para que los estudiantes exploren el
reconocimiento y generalización de patrones. Debido a que cuenta con apoyo visual el cual
facilita a los estudiantes la identificación de patrones, le permite al estudiante generalizar de
forma verbal, siendo esta una forma más accesible que la generalización algebraica, donde
cada una de sus fases contiene preguntas que posibilitan que el estudiante participe de forma
dinámica con respuestas que pueden discutirse y a su vez en la discusión favorece las
explicaciones y argumentaciones.
5.3 Limitaciones
El periodo de aplicación de las tareas en este trabajo fue una limitante para obtener
conclusiones más amplias acerca del efecto de la actividad docente en el desarrollo de tareas
de generalización de patrones. Además del propio diseño de las tareas. Otro de los factores
que limitó el alcance del trabajo fue el hecho de que los estudiantes elegidos tenían particular
interés en el tema, siendo este un factor que influyó en los resultados.
5.4 Posibles trabajos a futuro
En trabajos futuros se podrían diseñar y aplicar tareas con la finalidad de sustentar de mejor
manera las conclusiones que se han obtenido hasta hoy. Se pudieran aplicar las tareas a grupos
más numerosos de estudiante para analizar el efecto de las preguntas. En lo subsecuente nos
interesaría considerar diferentes rutas de instrucción que permitan a los alumnos identificar
patrones lineales.
56
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60
7. APÉNDICES
APÉNDICE A
Resultados obtenidos durante la primera aplicación de la prueba piloto
61
62
63
64
65
APÉNDICE B
Resultados obtenidos en la segunda aplicación de la prueba piloto
ACCIÓN
Forma las siguientes figuras utilizando bloques de madera
FIGURA 1 FIGURA 2 FIGURA 3
Dibuja dos figuras más siguiendo el patrón de las figuras anteriores, es decir, observa
cuántos rectángulos debe tener cada figura.
66
(Reflexión)
OBSERVACIÓN
¿Identificas simetría en las figuras, explica?_______________
Si encuentras simetrías, indica el origen de la simetría de cada figura
¿Cuántas piezas forman el origen de la simetría?________
¿Cambia el número de piezas del origen de la simetría en cada figura?_____________
Completa la siguiente tabla
Figura Número de piezas
que tiene el
origen de la
simetría
1
2
3
80
¿Cuántos vértices tiene la pieza central de la figura 20?___________
¿Cuántas piezas hay en cada rama que parten de los vértices de la figura
central?____________
Completa la siguiente tabla
67
Figura Número de vértices de la
pieza central
Número de piezas de
cada rama
Número de piezas de
todas las ramas
1
2
10
100
(Generalización, Abstracción)
CONJETURAS
¿Cuántas piezas tendrá en el centro de simetría la figura 148?__________________
¿Cuántos vértices tendrá en el centro de simetría la figura 148?_____________
¿Cuántas piezas tendrá en cada rama la figura 148?___________
¿De cuántas piezas está formada la figura 148?___________
Si deseo referirme a cualquier figura ¿Cómo la puedo representar?_________
¿Cuántas piezas tendrá en el centro cualquier figura?____________
¿Cuántos vértices tendrá la pieza del centro?_________
¿Cuántas piezas tendrá cada rama de cualquier figura?____________
¿Cuántas piezas tiene toda la figura?___________
Completa la tabla:
Número de
piezas centrales
de cualquier
figura
Número de
vértices de la
pieza central de
cualquier figura
Número de
piezas de cada
rama
Total de piezas
de cualquier
figura
68
(Comunicación)
JUSTIFICACIÒN DE RESULTADOS
Calcula el total de piezas para la figura 73
Existen otros caminos para poder realizarlo
Sugiere al menos dos:
1. ¿Cómo representas el número de rectángulos de la figura 50?
69
APÉNDICE C
TAREA NO GUIADA “BLOQUES DE MADERA”
ACCIÓN
Forma las siguientes figuras utilizando bloques de madera.
FIGURA 1 FIGURA 2 FIGURA 3
Dibuja dos figuras más siguiendo el patrón de las figuras anteriores
(Reflexión)
OBSERVACIÓN
Número de piezas de la figura 4 ____________
Número de pieza de la figura 73__________
70
(Generalización, Abstracción)
CONJETURAS
Representación algebraica de cualquier figura _________
(Comunicación)
JUSTIFICACIÒN DE RESULTADOS
Representa el cálculo del total de piezas de la figura 5. No indiques el resultado, solamente
se necesita que utilices alguna forma de representar la cantidad de piezas.
Representa el cálculo del total de piezas de la figura 100. No indiques el resultado, solamente
se necesita que utilices alguna forma de representar la cantidad de piezas.
Representa la cantidad de piezas de la figura 50 más la cantidad de piezas de la figura 200.
2. ¿Cómo representas el número de rectángulos de la figura 200? No indiques el
resultado, solamente se necesita que utilices alguna forma de representar la cantidad
de piezas.
3. ¿Cómo representas la cantidad de piezas de la figura 50 más la cantidad piezas de
la figura 200?
71
APÉNDICE D
TAREA NO GUIADA “FICHAS DE COLORES”
ACCIÓN
1. Utilizando las fichas, forma la figura 1, 2, y 3. Y dibuja las figuras 7 y 10.
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 7 Figura 10
(Reflexión)
OBSERVACIÓN
Número de piezas de la figura 4 ____________
Número de pieza de la figura 100____________
(Generalización, Abstracción)
CONJETURAS
Representación algebraica de cualquier figura _________
(Comunicación)
JUSTIFICACIÒN DE RESULTADOS
Describe cómo reconociste el patrón:
72
APÉNDICE E
TAREA GUIADA “PALILLOS DE COLORES”
ACCIÓN
FIGURA 1 FIGURA 2 FIGURA TRES
Observa la cantidad de palillos de las figuras y dibuja dos figuras más:
(Reflexión)
OBSERVACIÓN
Menciona las posiciones que tienen los palillos
____________________ _____________________
¿Cuántos palillos horizontales tiene la figura 1?_____________
¿Cuántos palillos horizontales tiene la figura 3?______________
73
¿Cuántos palillos horizontales tendrá la figura 20?____________
¿Tiene alguna relación la cantidad de palillos horizontales con el número de figura?_______
¿Cuál?_____________________________________
¿Cuántos palillos están en posición inclinada en la figura 2?___________
¿Cuántos palillos están en posición inclinada en la figura 4?___________
¿Cuántos palillos estarán en la posición inclinada en la figura 20?____________
¿Tiene alguna relación la cantidad de palillos con el número de la figura?____________
¿Cuál?______________
(Generalización, Abstracción)
CONJETURAS
¿Cuántos palillos tendrá la figura 500 en posición horizontal?______________
¿Cuántos palillos tendrá la figura 500 en posición inclinada?____________
¿Cuántos palillos tendrá en total la figura 500?___________
Si deseo referirme a la figura 2 sería: Figura 2
Si deseo referirme a la figura 5 sería: Figura 5
Si deseo referirme a la figura 20 sería ____________
Si deseo referirme a alguna figura que desconozco el número, sería ________________
¿Cuántos palillos horizontales tendrá cualquier figura que desconozco su número?_______
¿Cuántos palillos inclinados tendrá cualquier figura que desconozco su número?_________
¿Cuántos palillos tendrá en total cualquier figura que desconozco su número?_________
74
(Comunicación)
JUSTIFICACIÒN DE RESULTADOS
¿Cómo representas el número de palillos de la figura 513? No obtengas el resultado,
solamente se necesita que utilices alguna forma de representar la cantidad de piezas.
Calcula el total de piezas para la figura 1027
4. ¿Cómo representas el número de palillos de la figura 312?
5. ¿Cómo representas la cantidad de piezas de la figura 13 más la cantidad piezas de la figura
270?
75
APÉNDICE F
Versiones de la tarea guiada
VERSIÓN B
FIGURA 1 FIGURA 2 FIGURA 3
Fase de acción, los estudiantes construyeron, apoyándose de palitos de colores, dos figuras
más. Fase de observación marca en las cinco figuras anteriores parejas de palillos con
diferentes colores utilizando el siguiente ejemplo:
Completa la tabla
Número de Figuras ¿Cuántas parejas de palillos contiene?
Número de palillos sin pareja
Total de palillos
1
2
3
45
80
Respondan a lo siguiente: ¿Cuántos palillos no tienen pareja en las figuras?, ¿Tiene alguna
relación las parejas de palillos que se forman con el número de la figura?, ¿Cuál? Para
elaborar conjeturas se oriente con los siguientes cuestionamientos. ¿Cuántos parejas de
76
palillos se formaran en la figura 379?, ¿Cuál será la cantidad de palillos sin pareja de la
figura 379? ¿Cuántos palillos tendrá en total la figura 370? Si deseo referirme a la figura 8
sería: Figura 8. Si deseo referirme a la figura 100 sería: Figura 100. Si deseo referirme a la
figura 267 sería _____Si deseo referirme a alguna figura que desconozco el número, sería
_________ ¿Cuántas parejas de palillos tendrá la figura que desconozco su número?,
¿Cuántos palillos sin pareja tendrá la figura que desconozco su número?, ¿Cuántos palillos
tendrá en total cualquier figura que desconozco su número? Para justificar se solicita realice
las siguientes representaciones: ¿Cómo representas el número de palillos de la figura 867?
No obtengas el resultado, solamente se necesita que utilices alguna forma de representar la
cantidad de piezas. Calcula el total de piezas para la figura 416, ¿Cómo representas el número
de palillos de la figura 31?, ¿Cómo representas la cantidad de piezas de la figura 87 más la
cantidad piezas de la figura 356? Finalmente compartirá el equipo los que realizó.
VERSIÓN C
FIGURA 1 FIGURA 2 FIGURA 3
Para la fase de acción se solicitó a los estudiantes que construyan apoyándose de palillos las
dos figuras siguientes. En la fase de observación marcarán con un color rojo tres palillos en
cada figura. Por ejemplo en la figura 3
Contesten y completen la tabla ¿Marcaste los tres palillos en todas las
figuras?___________________
77
Número de Figura Número de palillos sin marcar
1
2
3
4
5
¿Tiene alguna relación la cantidad de palillos restantes con la figura?, ¿Cuál? Para las
conjeturas se orienta con los siguientes cuestionamientos. ¿Cuántos palillos marcaras de
color rojo en la figura 35? ¿Qué cantidad de palillos quedaran sin coloreas de rojo en la
figura 35?, ¿Qué cantidad de palillos tendrá en total la figura 35? Si deseo referirme a la
figura 9 sería: Figura 9. Si deseo referirme a la figura 698 sería: Figura 698. Si deseo
referirme a la figura 567 sería ______Si deseo referirme a alguna figura que desconozco el
número, sería ______ ¿Qué cantidad de palillos marcaras de rojo en la figura que desconozco
su número?, ¿Qué cantidad de palillos quedaran sin coloreas en la figura que desconozco su
número?, ¿Qué cantidad de palillos tendrá en total la figura que desconozco su número? Para
justificación de resultados, ¿Cómo representas el número de palillos de la figura 513? No
obtengas el resultado, solamente se necesita que utilices alguna forma de representar la
cantidad de piezas. Calcula el total de piezas para la figura 1027. ¿Cómo representas el
número de palillos de la figura 312? ¿Cómo representas la cantidad de piezas de la figura
13 más la cantidad piezas de la figura 270? Finalmente compartirá el equipo lo que construyó.
VERSIÓN D
FIGURA 1 FIGURA 2 FIGURA 3
Fase de acción se pidió al equipo dibuje las dos figuras siguientes. Y marque con un color
rojo el contorno de la siguiente figura:
78
Para la fase de observación debieran marcar los palillos que se encuentran en el contorno de
las 5 figuras anteriores. Apoyándose del ejemplo de la figura 2:
Se solicita completar la tabla.
Número de Figuras ¿Cuántos palillos tiene el contorno?
Número de palillos que no están en el
contorno de la figura
Total de palillos
1
2
3
4
60
124
¿Tiene alguna relación el número de palillos del contorno de la figura con el número de la
figura?, ¿Cuál?, ¿Tiene alguna relación el número palillos que no están en el contorno de la
figura con el número de la figura?, ¿Cuál? Para formular las conjeturas se sugiere se
acerquen a un caso particular a través de las siguientes preguntas: ¿Cuál será la cantidad de
palillos del contorno de la figura 512?, ¿Cuántos palillos no están en el contorno de la figura
512?, ¿Cuántos palillos tendrá en total la figura 512? Posteriormente para llegar a la
generalización: Si deseo referirme a la figura 3 sería: Figura 3. Si deseo referirme a la figura
10 sería: Figura 10. Si deseo referirme a la figura 67 sería _____Si deseo referirme a alguna
figura que desconozco el número, sería _____ ¿Cuántos palillos tendrá en el contorno la
figura que desconozco su número?, ¿Cuántas palillos no están en el contorno la figura que
79
desconozco su número?, ¿Cuántos palillos tendrá en total cualquier figura que desconozco
su número?
Para justificar se solicitan algunos representaciones, ¿Cómo representas el número de palillos
de la figura 867? No obtengas el resultado, solamente se necesita que utilices alguna forma
de representar la cantidad de piezas. Calcula el total de piezas para la figura 416. ¿Cómo
representas el número de palillos de la figura 31?, ¿Cómo representas la cantidad de piezas
de la figura 87 más la cantidad piezas de la figura 356? Para finalmente comunicar a los
demás equipos.
VERSIÓN E
FIGURA 1 FIGURA 2 FIGURA 3
En la fase de acción se solicita a los estudiantes dibujen dos figuras más, posteriormente
dibujar un triángulo. Al llegar la fase de reflexión se pide que los alumnos respondan ¿Puedes
observar algunos triángulos que componen cada figura? Y que completen la tabla
Número de Figuras ¿Cuántos triángulos contiene?
1
2
3
16
30
80
¿Tiene alguna relación la cantidad de palillos triángulos que contiene cada figura con el
número de la figura? ¿Cuál? ¿Puedes observar que los triángulos tienen líneas en común?
Marca las líneas que tienen en común cada figura. Por ejemplo en la figura 3
Completa la tabla
Número de figura Líneas en común entre los triángulos
1
2
3
16
30
¿Tiene alguna relación la cantidad de palillos que comparten los triángulos con el número de
la figura? ¿Cuál?
Para a fase de conjeturas nos acercamos a un caso particular a partir de los siguientes
cuestionamientos ¿Cuál será la cantidad de triángulos que contiene la figura 720? ¿Cuántos
palillos comparten los triángulos de la figura 720? ¿Cuántos palillos tendrá en total la figura
720? Acercándonos a la generalización a través de: Si deseo referirme a la figura 7 sería:
Figura 7, si deseo referirme a la figura 10 sería: Figura, si deseo referirme a la figura 671
sería ________.Si deseo referirme a alguna figura que desconozco el número, sería ________
¿Cuántos triángulos tendrá la figura que desconozco su número? ¿Cuántas palillos
compartirán los triángulos de la figura que desconozco su número?_______ ¿Cuántos palillos
tendrá en total cualquier figura que desconozco su número? Y en la fase de justificación en
primera instancia se solicitan algunas representaciones para finalmente comunicar lo que
realizaron a los demás equipos.
81
APÉNDICE G
Transcripción de los videos de los equipos en la tarea “palillos de colores”
EQUIPO ABH
Fase de Acción
Leen en silencio la instrucción y comienzas a construir los tres.
Alumno A_ Realiza el conteo de él y de la alumna H, le indica al alumno B que le falta para
la figura 4
Alumno B_ Coloca más palitos para la cinco
Alumno A_ Ya sería la 5
Alumno B_ Quita los palitos restantes
Todos_ Sonríen y siguen construyendo
Alumno A_ Construye otra la cinco
Alumna H_ Sobre la tres construye la 4 y sobre la 4 la 5. Sobre la 6 construye la 6
Docente_ ¿Qué es lo que observan entre una figura y otra?
Alumno A_ Van aumentando
Alumno B_ 2 cada una
Docente_ Esta bien, ¿Pueden dibujar la 4 y la 5?
Alumno B_ Tú que vas en diseño
Alumno A_ Ella también va en diseño
Docente_ ¿Todos están de acuerdo con esas imágenes?
82
Alumno A_ Muestra a sus compañeros
Todos_ Si
Fase de Observación
Leen en silencia la parte de observación
Alumno A_ Hace movimientos con la mano en posición horizontal
Alumno B_ Toma un palito y lo coloca horizontal y diagonal
Alumno A_ Comienza a contestas auxiliándose de las figuras construidas, le muestra a sus
compañeros
Alumna H_ Se detiene para observar las construcciones
Docente_ Si alguien tiene alguna duda, pregunte
Alumno A_ ¿Tiene alguna relación la cantidad de palillos horizontales con el número de la
figura, cuál? Si
Alumno B_ Es el mismo
Alumna H_ Tiene los mismos que la figura
Alumno A_ ¿Cuántos palillos están en posición inclinada en la figura 2?
Alumno B_ Señala 1
Alumno A_ Toma la construcción de la alumna H, quita las palitos restantes para dejar la
figura dos y realiza el conteo
Alumno B_ De la siguiente es 5
Alumnos A y H_ Construyen y hacen el conteo para corroborar
Alumno B_ Si, tenía razón
Alumno A_ Entonces de 20 es 21
83
Alumno A_ ¿Tiene alguna relación la cantidad de palillos con el número de la figura? Si,
suma uno
Fase de Conjeturas
Alumno A_ ¿Cuántos palitos tendrá la figura 500 en posición horizontal? 500 No?
Alumno B_ Traza en el aire una horizontal y contesta si
Alumno A_ Lee en silencio y contesta, 501
Alumno A_ ¿Cuántos palillos tendrá en total la figura 500? Dice total
Alumno B_ Construye la figura 1, tiene dos inclinadas
Alumno A_ Pero quiere totales, horizontales más las diagonales, 1001
Alumno A_ Lee, si deseo referirme a la figura 2 sería: figura 2, Si deseo referirme a la figura
5 sería: figura 5, si deseo referirme a la figura 20 sería _____, le muestra a la alumna H.
¿figura 20?
Alumna H_ Pues yo digo
Alumno A_ Si, verdad
Alumno A_ Si deseo referirme a alguna figura que desconozco el número, sería__
Alumno B_ Figura n
Alumno A_ ¿Cuántos palillos horizontales tendrá cualquier figura que desconozco su
número? n, ¿cuántos palillos inclinados tendrá cualquier figura que desconozco su número?
n+1, ¿Cuántos palillos tendrá en total cualquier figura que desconozco su número? 2n+1
Fase de Justificación de resultados
Alumno A_ ¿Cómo representas el número de palillos de la figura 513? A de ser como el
anterior, 2 por 513 más 1
Alumnos B y H_ Si
84
Alumno A_ total de piezas de la figura 1027, sería 1027 más 1028, 2055 no?
Alumno B_ Si
Alumno A_ ¿Cómo representas la cantidad de piezas de la figura 13 más la cantidad de piezas
de la figura 270? Sería 2 por 13 más uno igual a 27 más 2 por 270 más 1 igual a 541,
entonces sería 568. Ah, pero dice como representas, entonces solo indicamos (2(13) + 1…
Alumno B_ Porque no mejor (2(13)+2(270))+2
Alumno A_ Es lo mismo que estaba escribiendo
Alumno B_ Es más simplificado
Alumno A_ Solo por un número, como quieras.
Docente_ Si se dieron cuenta, las preguntas te guiaban para que observaras las horizontales
e inclinadas, ¿Habrá alguna otra forma de verlo?
Alumno B_ ¿Con respecto a qué?
Docente_ Regresen a la figuras por favor. Figura 1,2,3, Y todas las preguntas te fueron
guiando para ver horizontales e inclinadas ¿Habrá otra manera verlo?
Alumno B_ ¿Sin necesidad de ver una figura?
Docente_ Sin necesidad de ver horizontales o inclinadas, para reconocer el patrón
Alumno A_ Contando, por ejemplo la 1 tiene 3, la 2 tiene 5, la tres tiene 7, la formula sería
n+2
Docente_ ¿Y cómo la reconoces?, Haber coloca los números en la figura
Alumno A_ Escribe frente a cada figura
Docente_ ¿Cómo logras ver el patrón?
Alumno A_ Va aumentando de dos en dos
Docente_ La figura número cuatro tendrá__
85
Alumno A y B_ 9
Docente_ Y la figura 90
Alumno A y B_ 92
Docente_ ¿Cómo?
Alumno B_ Siempre va a sumar dos al valor total, de forma constante
Docente_ Ya no entendí, por ejemplo la figura tres sería 5 y no es cierto, tiene 7
Alumno A_ Pusssssss
Alumno B_ Ya
Docente_ Por que la preguntas te guiaron, pero sin ellas, como llegas al patrón.
Alumno A_ Se dirige a la alumna H, ¿ya entendiste?
Alumna H_ No
Alumno A_ Por ejemplo la figura 1 tiene 3, la figura 2, tiene 5, sería 5 menos 2 da 3, y 3
menos 1 da 2, y así. Entonces por cualquier valor sería n+(n+1), si sustituimos por ejemplo
con el cuatro sería 4 +5 igual a 9.
Docente_ Pero, ¿Cómo llegas a n+(n+1)?, ¿Cómo sabes que ese?
Alumno A_ Deduciendo
Docente_ ¿Cómo lo deduces?
Alumno A_ Buena pregunta, pero no lo se
Docente_ ¿Por la figura o por el número?
Alumno A y B_ Por el número
Alumno B_ Por que el número va aumentando un número más en cada figura, si es la figura
1 aumenta 2, si es la figura 2 aumenta 3, y ahí se ve la secuencia cronológica, 1 + 2 igual a
3, 3 + 2 igual a 5
86
Docente_ ¿Puedes escribirlo?
Alumno B_ Si
Docente_ Me estaba imaginando una tabla
Alumno B_ No era una tabla
Docente_ Algún ejemplo
Alumno B_ Si es una secuencia cronológica entre sumas. 1 + 2 igual a 3. El 1 y el 2 están
correlacionados en el sistema alfa numéricos
EQUIPO CDG
Fase de Acción
Docente_ Bienvenidos
Alumno D_ ¿Las primeras tres no las hacemos?
Docente_ Si, constrúyalas las primeras tres
Alumno D_ Tú puedes hacer la otra
Docente_ Ya tienen 5 figuras, ¿consideran que necesitan construir más?
Alumnos_ Son suficientes
Docente_ ¿Qué logran observar?
Alumno D_ Que sigue un patrón
Docente_ ¿Cómo va cambiando?, ¿Ya se pueden imaginar la figura 6?
Alumna G_ Si
Docente_ Me parece que les solicitan las siguientes 2 figuras, dibújenlas y ya pueden
contestar
87
Alumno D_ ¿Quién las dibuja?
Alumna D_ Yo
Alumna G_ Son esta
Alumno D_ No, pide la seis
Docente_ No, me parece que colocan las tres primeras y solicitan la 4 y 5
Alumno D_ A sí, perdón
(Alumna 2 Dibuja)
Fase de observación
Les solicitan que identifiquen las posiciones de los palitos a lo que:
Alumno D_ Horizontal y vertical
Docente D_ ¿Cuáles serían las verticales?
Alumno D_ Señala
Docente ¿Qué piensan los demás?
Alumno D_ No, no, no, son diagonales
Alumna C_ Son diagonal
Alumna G_ Horizontal y diagonal
Alumna G_ ¿Cuántos palitos horizontales tiene la figura uno?
Alumna C_ 1
Alumna G_ Y la tres?
Alumno D_ 3, entonces la 20 tiene 20
(Leen en silencio ¿Tiene alguna relación la cantidad de palillos horizontales con el número
de la figura?)
88
Alumno D_ Si
Alumna G_ ¿Cuál?
Alumno D_ Escribe, se aumenta 1 horizontal mediante aumenta la secuencia
(Leen en silencia la siguiente pregunta. ¿Cuántos palillos están en posición inclinada en la
figura 2?)
Alumna D_ Son 2
Alumna G_ De la figura 2
Alumna C_ Ah, son 3
Alumno D_ ¿Y de la 4?
Alumna C_ Son 5 y de la 20 es 21
(Leen en silencia la siguiente pregunta. ¿Tiene alguna relación la cantidad de palillos con el
número de la figura, cuál?)
Alumnos_ si, incrementa 1 respecto a la secuencia.
Fase de Conjeturas
Alumna C_ 500
Alumno D_ 501
Todos_ 1001
Leen los ejemplos e intervienen
Alumno D y Alumna C_ Figura 20
Alumna C_ Si deseo referirme a alguna figura que desconozco el número, sería
Alumno D_ Figura x
Alumna G_ o figura n
89
Alumno D_ Da igual, de todos modos representan una variable
Alumna C_ ¿Cuántos palillos horizontales tendrá cualquier figura que desconozco su
número?
Alumno D_ X, porque es lo mismo que la figura
Leen en silencio
Alumno D, alumna G_ x+1
Leen en silencio ¿Cuántos palillos tendrá en total cualquier figura que desconozco su
número?
Alumno D_ 2x……… 2x+1
Docente_ ¿Por qué?
Alumno D y alumna C_ Porque si nos basamos en los anteriores es 2x+1, esta es x y esta es
x+1 dan 2x+1
Alumna G_ ¿No sería n +2?
Docente_ ¿Por qué n+2?
Alumna G_ Porque la figura 1 es n+2 igual a 3. N figura dos, sustituyendo términos
obviamente
Alumno D_ Pues pon la que quieras
Alumna G_ No, espérate
Deciden colocar 2x+1
Fase de Justificación de resultados
Leen en silencio
Docente_ No queremos el total, solo la representación. Sin llegar al total
Alumna C_ Solo representación
90
Docente_ Por ejemplo total de horizontales
Alumna C_ A ya, 513
Alumna G_ Por eso, solo el procedimiento
Alumna C_ Horizontales 513, Diagonales 514
Alumna C_ Para la figura 1027 será 1027+1028
Alumno D_ 2055
Alumna C_ ¿Cómo representas la cantidad de piezas dela figura 13 más la cantidad de piezas
de la figura 270? Sería 13 + 14 y después 270 + 271. Aparte 541+27
Alumno D_ Y ya
Docente_ Hace un momento se detuvieron en el comentario de la compañera, yo los lleve a
que observarán horizontales y verticales, perdón horizontales y diagonales, ¿Habrá otra
manera de verlo?
Alumna G_ Algebraica
Docente_ De hecho llegaron a esa representación ¿Habrá otra manera de verla?
Alumno D_ Por colores
Docente_ Haber
Alumno D_ Así, coloco en la primera figura una amarilla horizontal y las inclinadas azul y
verde
Alumno C_ En la segunda y sigue el patrón
Docente_ ¿Qué preguntas harían para guiar? Yo pregunté horizontales y verticales. Para
llegar a 2x+1 o 2n+1 porque fue a lo que llegaron
Alumna C_ ¿Cuántos colores tendrían?
Docente_ Si me preguntas de la figura 1 contesto 3 y de la figura 2 también 3
91
Alumno D_ Bueno, sería 2 por 3, cambiando el 3 por una variable
Docente_ Entonces la pregunta cambia. Sería ¿Cuántos azules hay?
Docente_ A ver si me da el patrón, en la primera tengo un amarillo, un azul y un verde, en
la segunda, dos verdes, dos azules y tres amarillos
Alumno D_ No, mejor que las horizontales de abajo se queden amarillas pero las de arriba
de otro color (coloca una roja).
Docente_ Regreso a la figura uno, esta tendrá 1 amarillo, 1 azul y un verde. La segunda 2
azules, 1 amarillos, 1 verdes y una roja ¿Y la tercera?
Todos_ 2 amarillas, 2 azules, 2 verdes y 1 rojas
Docente_ Es otra forma de verlo.
EQUIPO EFJ
Fase de apertura
Inician la construcción
Alumna E_ Van aumentando de dos en dos. Porque se pone la primera figura y después solo
2
Alumno F_ Entonces sobre cada figura se agregan 2 y después otros 2. ¿Quién dibuja?
Alumno J_ Tú
Fase de Observación
Leen en silencio
Alumna E_ Señala y comenta, sería horizontal y diagonal
Leen en silencio ¿Cuántos palillos horizontales tiene la figura 1?
Alumno J_ La primera tiene tres
92
Alumna E_ Regresa la página de las imágenes y comenta, no, nada más tiene una
Alumno F_ Ah sí, la figura 3 si tiene 3. Supongo que 20 tendría la figura 20
Leen en silencia ¿Tienen alguna relación la cantidad de palillos horizontales con el número
de figura, cuál?
Alumna E_ Yo creo que si
Alumno F_ Ya lo vimos. Es la misma cantidad y el número de figura
Leen en silencio
¿Cuántos palillos están en posición inclinada en la figura 2?, Regresan a las imágenes para
realizar el conteo.
Alumna E_ Son 3
Alumno J_ Son 5 en la figura 4
Alumna E_ Yo veo que es una más que la figura
Alumno F_ y 21 en la 20
Leen en silencio ¿Tiene alguna relación la cantidad de palillos con el número de la figura,
cuál?
Alumno F_ Si, exactamente lo que acabas de menciona, es 1 más que el número de la figura
Fase de Conjeturas
Leen en silencio ¿Cuántos palillos tendrá la figura 500 en posición horizontal?
Alumno F_ 500
Alumno J_ inclinadas 501
Leen en silencio ¿Cuántos palillos tendrá en total la figura 500?
Alumna E_ Quedamos que iba avanzando de dos en dos
93
Alumno F_ Entonces serían 502 o 505
Regresan a la página de las imágenes y realizan el conteo de las primeras tres imágenes
Alumna E_ Entre esta y esta van 2, estas también. Pero la figura 1…
Docente_ ¿Cuántos palillos tiene la figura 1?
Alumna E_ 2
Docente_ Horizontales
Alumno F_ Ah, 1
Docente_ ¿E inclinadas?
Alumna E_ 2
Docente_ ¿Y en total?
Alumno J_ 3
Docente_ ¿Cuántas horizontales tiene la figura 3?
Alumna E_ 3
Docente_ ¿Cuántas inclinadas?
Alumno F_ 4
Docente_ ¿Y en total?
Todos_ 7
Docente_ Regresen a la figura 500
Alumna E_ Ah, entonces la 500 tiene horizontales e inclinadas y sería mil…
Alumno F_ 1001
Leen en silencio, si deseo referirme a la figura 2 sería figura 2, si deseo referirme a la figura
5 sería figura 5
94
Alumno F_ La 20, sería figura 20
Alumno J_ Si
Leen en silencio. Si deseo referirme a alguna figura que desconozco el número, sería___
Todos_ sería x
Alumna E_ Los palillos horizontales serían x, porque si no conocemos la figura, esta sería x,
y los horizontales son igual a la figura
Alumno F_ La cantidad de inclinados, yo digo que y porque son diferentes
Docente_ Vuelvan a observar la parte superior, en la figura 500 ¿cuántos palillos horizontales
eran?
Todos_ 500
Docente_ ¿E inclinados?
Todos_ 501
Docente_ Observaron que los inclinados era una más que la figura. Si la figura es x, ¿Cuántos
palillos son inclinados?
Alumna E_ Mmmmm, es x+1
Leen en silencio ¿Cuántos palillos tendrá en total cualquier figura que desconozco su
número?
Alumno F_ Habíamos quedado que es la suma de horizontales e inclinadas. Entonces sería x
mas x+1, pero con paréntesis
Alumna E_ Ah sí
Docente_ Creo que pueden hacer esa reducción
Alumno F_ Sí, 2x+1
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Docente_ Me atreví a pedir la reducción, porque estaban observando algo en el inicio.
Regresen a las figuras, porque la alumna E, comentaba esto está pasando. ¿Qué veían de
figura en figura?, Porque al construir iban colocando
Alumna E_ Era el 2
Docente_ Observen lo que encontraron
Alumno F_ El dos está en la reducción
Fase de Justificación de Resultados
Alumna E_ Aquí solo explicamos. Sería, las horizontales es igual al mismo número de la
figura
Alumno F_Y las diagonales dos más que la figura
Alumna E_ No, 1 mas
Leen en silencio. Calcula el total de piezas para la figura 1027
Alumno F_ Aplicamos 2x+1, sustituimos la x por 1027 sería 2054 + 1 igual a 2055
Leen en silencia ¿Cómo representas la cantidad de piezas de la figura 13 más la cantidad de
piezas de la figura 270?
Docente_ ¿Por qué no inician con la 13?
Alumna E_ Horizontales 13, diagonales 14
Alumno F_ De la 270, horizontales 270, diagonales 27
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