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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE

ENTRE RÍOS

FACULTAD DE CIENCIA Y

TECNOLOGÍA

CÁLCULO NUMÉRICO

T.P.Nº4 – 2012 Grupo: E-mail:

Ing. Celestino B. Brutti Ing. Felicia Dora Zuriaga

Año 2012

U.A.D.E.R. F.C.yT. Cálculo Numérico T.P.Nº4


Año 2012

EJERCICIO N°1 Dada la curva del gráfico que corresponde a cada grupo: a. Construir una tabla con los valores de xi y f(xi) en el intervalo [0, 7.2]

Orden xi f(xi) 0 x0= 0 f(x0) 1 x1= 0.3 f(x1) 2 x2= 0.6 f(x2) ……………..

n-1 xn-1= 6.9 f(xn-1) n xn= 7.2 f(xn)

b. Calcular el valor de las derivadas primera, segunda y tercera en cada uno de los puntos de la tabla

con fórmulas obtenidas por interpolación de tercer y cuarto orden. Con los resultados construir las siguientes tablas:

Derivadas con interpolación de 4to orden

Orden xi f(xi) f’(xi) f’’(xi) f’’’(xi) 0 x0 f(x0) f '(x0) f ''(x0) f '''(x0)

…………………………….

n xn f(xn) f '(xn) f ''(xn) f '''(xn) c. Calcular aplicando el método de Simpson 1/3 el área A de la región R limitada superiormente por

la curva, inferiormente por el eje x y lateralmente por las rectas x = 0 y x = 7.2

∫=Xn

X

dxxfA0

)(

d. Calcular el momento estático de la región R con respecto al eje y: My. Aplicar el método de Simpson 1/3

∫=Xn

Xy dxxxfM

0

)(

e. Calcular l momento estático de la región R con respecto al eje x: Mx. Aplicar el método de Simpson 1/3

∫=Xn

Xx dxxfM

0

2)(21

Derivadas con interpolación de 3er orden Orden xi f(xi) f’(xi) f’’(xi) f’’’(xi)

0 x0 f(x0) f '(x0) f ''(x0) f '''(x0)

…………………………….

n xn f(xn) f '(xn) f ''(xn) f '''(xn)



Año 2012

f. Con los resultados obtenidos en c, d, y e calcular las coordenadas (xc; yc) del centroide de la región

R. Graficar.

AM

x yc =

AM

y xc =

g. Calcular el momento de inercia Iy del área A de la región R aplicando el método de Simpson 1/3

∫=Xn

Xy dxxfxI

0

)(2

h. Calcular el momento de inercia Ix del área A de la región R aplicando el método de Simpson 1/3

∫=Xn

Xx dxxfI

0

3)(31

i. Calcular el momento de inercia centrífugo del área A de la región R aplicando el método de Simpson 1/3

∫=Xn

Xxy dxxfxI

0

2)]([21

j. Calcular la logitud de arco de la curva, utilizando los resultados de las derivadas obtenidas en el punto b. Aplicar el método de Simpson 3/8

∫ +=Xn

X

dxxfL0

2)]('[1

k. Calcular las coordenadas del centroide del arco de curva (xc; yc). Aplicar el método de Simpson 3/8. Graficar.

∫ +=Xn

Xc dxxfx

Lx

0

2)]('[11

∫ +=Xn

Xc dxxfxf

Ly

0

2)]('[1)(1

l. Calcular el volumen V generado al girar la región R alrededor del eje x. Aplicar el método de Simpson 3/8

∫=Xn

X

dxxfV0

2)(π

m. Calcular aplicando el método de Simpson 3/8, el área A de la región R, limitada superiormente por la curva, inferiormente por el eje x y lateralmente por las rectas x = 0 y x = 7.2

∫=Xn

X

dxxfA0

)(



Año 2012

n. Calcular la longitud de arco de la curva, utilizando los resultados de las derivadas obtenidas en el punto b. Aplicar el método de Simpson 3/8

∫ +=Xn

X

dxxfL0

2)]('[1

Observación: si construye esta tabla, ella puede facilitar la tarea Orden x )(xf )( fxx 2)(xf 2)]([ xfx )(' xf 2)]('[1 xf+ 2)]('[1 xfx + 2)]('[1)( xfxf + )(2 xfx

3)(xf

0 x0

n xn



Año 2012

Grupo 1 TPNº4 Cálculo Numérico 2012

01

23

45

67

0510152025



Año 2012


01

23

45

67

10152025



Año 2012


01

23

45

67

1015202530



Año 2012


01

23

45

67

202530



Año 2012


01

23

45

67

2224262830323436



Año 2012


01

23

45

67

25303540



Año 2012


01

23

45

67

182022242628



Año 2012


01

23

45

67

202224262830



Año 2012


01

23

45

67

2224262830323436



Año 2012

EJERCICIO N°2

Calcular aplicando el método Simpson 1/3 y Simpson 3/8 las siguientes integrales. Indicar la cota de error. Considerar un mínimo de 25 puntos.

G1 ( )( )∫ ++=9

0

1.01 23 dxsenxeI x

G2 ( ) ( )∫ ++=8.4

0

22 32.0 dxxLnexI x

G3 ( )∫ +++=2.7

0

33 43)3( dxxxeI x

G4 ( )dxxxxxLnI ∫ +++=6

0

224 05.02)54(

G5 ∫ ++=9

0

5.125 ])52( dxexxLnI x

G6 ∫ ++=4.2

0

26 )12()3( dxxarctgxI

G7 ( )( )∫ +++=6

0

27 13.02 dxexxLnI x

G8 ( )( )∫ +++=8.4

0

248 122 dxsenxxxI

G9 ∫ += −6

0

12.09 )3)(12(

2

dxxeI x



Año 2012

EJERCICIO N°3

Dada la región R del primer cuadrante limitada por las curvas y = f1(x); y = f2(x) e y = f3(x). Considerar la región del primer cuadrante más cercana al origen. Aplicar el método de Simpson 3/8 o Simpson 1/3.

a. Graficar. b. Determinar las intersecciones utilizando uno de los métodos estudiados en la unidad 2. c. Calcular el área A de la región R. d. Calcular el perímetro de R. e. Calcular el volumen generado al girar la región R alrededor del eje x.

G1. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

−=

+=

112.0161

2

2

2.0

xyxy

ey x

G2.

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

=

+=

xy

eyxseny

x

5

)2(41575.0

G3. ( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−=

+=

xyxy

xarctgy

25.0cos203

1232

G4. ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−=

+=

−+=

18923

)2cos(3)(815

2 xxyxarctgy

xxseny

G5. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+=

=

−=

)2(3)cos(720)2.0(38.0

xsenxyxtgy

ey x

G6. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−=

=

)cos(630

)1.0(62

xyxy

xarcseny

G7. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−+=

−=

)cos(26)2(3)75.0cos(622

12

xyxsenxy

xy

G8. ( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

−−=

+=

2

3

3533

xyxey

xxLnyx



Año 2012

G9. ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−=

++=

+=

116324)2(510

2

2

xxyxxLnyxarctgy



Año 2012

EJERCICIO N°4

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales aplicando el método indicado en cada caso y comparar con los valores de la solución exacta.

Realizar una tabla de 12 valores partiendo de x0 y con saltos h = 0.04 Graficar por separado la solución exacta y la calculada por el método numérico. Graficar su superpuestas ambas soluciones. a. Método de la serie de Taylor y de la serie de Taylor de tres términos. b. Método de Euler. c. Método de Heun. d. Método de Nystrom.

EJERCICIO N°5

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales aplicando el método indicado en cada caso y comparar con los valores de la solución exacta.

Realizar una tabla de 12 valores partiendo de x0 y con saltos h = 0.04 Graficar por separado la solución exacta y la calculada por el método numérico. Graficar su superpuestas ambas soluciones. a. Método de Runge-Kutta de tercer orden. b. Método de Runge-Kutta de cuarto orden.

EJERCICIO N°6 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales aplicando el método indicado en cada caso y

comparar con los valores de la solución exacta. Realizar una tabla de 12 valores partiendo de x0 y con saltos h = 0.04 Graficar por separado la solución exacta y la calculada por el método numérico. Graficar su superpuestas ambas soluciones. a. Método de Milne. b. Método de Hamming. c. Método de Milne modificado. d. Método de Hamming modificado.

Datos para los ejercicios 4, 5 y 6 Grupo 1

a. 45' 2 +=− xyy 4)1( =y b. ( ) ( ) 0421 22 =+−+ dyxdxy 6)2( =y

c. xeyxdx

dy 42=+ 5)2( =y

Grupo 2

a. 133' 2 ++=+ xxyy 5)2( =y b. ( )( ) ( ) 03123 =+−−+ xdyydxyxx 4)1( =y

c. xeyxdx

dy 53=+ 4)1( =y



Año 2012

Grupo 3 a. xeyy 34' =− 3)2( =y b. ( ) ( )( ) 013 2 =+−+ dyysenyxdxx 8)2( =y

c. 14++=+ xey

xdxdy x 8)2( =y

Grupo 4

a. xxeyy 22' =− 3)1( =y b. ( ) ( ) 06534 22 =+−−+ dyxxydxyx 9)3( =y

c. ( ) xexyxdx

dy 421+=+ 5)1( =y

Grupo 5

a. 32' +=+ xyy 4)3( =y

b. ( ) ( ) 032 423 =+−+ dyxdxyyx 6)2( =y

c. )(35 xsenyxdx

dy=+ 3)1( =y

Grupo 6

a. )(3' xsenyy =− 3)1( =y b. ( )( ) 018 223 =−++ dyydxexy x 10)3( =y

c. )cos(26 xyxdx

dy=+ 4)1( =y

Grupo 7

a. )cos(2' xyy =+ 4)1( =y b. ( ) ( ) 0124 22 =+−+ dyxdxy 9)3( =y

c. )(5 3 xseneyxdx

dy x=+ 7)1( =y

Grupo 8

a. ( ) xexyy 216' −+=− 6)1( =y b. ( )( ) ( ) 02224 =+−−+ xdyydxyxx 9)2( =y

c. )cos(5 2 xeyxdx

dy x=+ 10)2( =y

Grupo 9

a. 125' 3 ++=+ xxyy 7)2( =y b. ( ) ( )( ) 0)cos(42 2 =+−+ dyyyxdxx 5)1( =y

c. 268 2 ++=+ xxyxdx

dy 6)1( =y



Año 2012

EJERCICIO N°7

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales aplicando el método indicado en cada caso y comparar con los valores de la solución exacta. Realizar tablas de 21 valores partiendo de x0, y0 o z0 y con los saltos de h = 0.01 Graficar por separado la solución exacta y la calculada por el método numérico. Graficar superpuestas ambas soluciones.

a. Método de Euler. b. Método de Runge-Kutta de cuarto orden. c. Método de Milne. d. Método de Hamming.

G1.

6)0(;5)0(

4

23

==

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

+=

yx

yxdtdy

yxdtdx

4)0(;2)0(;2)0( ===

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=

+=

+=

zyx

yxdtdz

xzdtdy

yzdtdx

G2.

6)0(;4)0(

2

4

==

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

−=

yx

yxdtdy

yxdtdx

2)0(;5)0(;4)0(

71

)(

===

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−=

+=

+−=

zyx

xdtdz

ezdtdy

tsenydtdx

t

G3.

6)0(;4)0(

52

53

==

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−=

+=

yx

yxdtdy

yxdtdx

4)0(;5)0(;3)0( ===

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=

+=

+=

zyx

yxdtdz

zxdtdy

zydtdx

G4.

5)0(;4)0(

5

2

==

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

+−=

yx

yxdtdy

yxdtdx

3)0(;4)0(;2)0(

4

4

===

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

−=

++−=

zyx

ydtdz

xdtdy

zyxdtdx



Año 2012

G5.

6)0(;4)0(

3

2

==

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

+−=

yx

xydtdy

xydtdx

4)0(;6)0(;2)0(

282

2

8

===

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−+=

−=

=

zyx

zyxdtdz

zdtdy

ydtdx

G6.

5)0(;2)0(

23

32

==

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

−=

yx

yxdtdy

yxdtdx

8)0(;4)0(;3)0(

8

2

282

===

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

−=

++−=

zyx

ydtdz

xdtdy

zyxdtdx

G7.

5)0(;3)0(

24

==

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−=

−=

yx

yxdtdy

yxdtdx

6)0(;3)0(;4)0(

3

3

===

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=

+=

+=

zyx

yxdtdz

zxdtdy

zydtdx

G8.

3)0(;1)0(

4

2

==

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

+=

yx

xydtdy

xydtdx

8)0(;4)0(;2)0(

22

22

===

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=

+=

+=

zyx

yxdtdz

zxdtdy

zydtdx

G9.

6)0(;4)0(

5

2

==

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−=

+−=

yx

yxdtdy

yxdtdx

2)0(;5)0(;2)0(

22

3

22

===

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=

+=

+=

zyx

yxdtdz

zxdtdy

zydtdx

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