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Universidad de Buenos Aires

Espacios MétricosAbril de 2017

Copyright ©2017 Jorge Alberto Guccione y Juan José Guccione

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ÍNDICE GENERAL

Índice general I

Índice de figuras V

1 Espacios métricos 11.1 Definición y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Espacios pseudométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3 Bolas abiertas, bolas cerradas y esferas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4 Base de entornos de un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5 Distancia entre conjuntos y diámetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.6 Espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.7 Pseudonormas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.8 La bola unitaria en espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.9 Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2 Topología de espacios métricos 392.1 Conjuntos abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.1.1 El interior de un conjunto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.1.2 Bases de un espacio métrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.1.3 Subbases de un espacio métrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2 Conjuntos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.2.1 El conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.2.2 La clausura de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3 La frontera y el borde de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3 Funciones continuas 553.1 Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2 Funciones uniformemente continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.3 Funciones de Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.4 Isometrías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.5 Métricas Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.5.1 Métricas equivalentes y funciones subaditivas crecientes . . . . . . . . . . . 69

4 Producto numerable de espacios metricos 734.1 Métricas sobre un producto numerable de espacios . . . . . . . . . . . . . . . 734.2 Bolas abiertas en productos numerables de espacios . . . . . . . . . . . . . . 764.3 Convergencia de sucesiones en un producto numerable . . . . . . . . . . . . . 77

I

ÍNDICE GENERAL ÍNDICE GENERAL

4.4 Abiertos en productos numerables de espacios métricos . . . . . . . . . . . . . 784.5 Cerrados en productos numerables de espacios métricos . . . . . . . . . . . . . 784.6 Continuidad y productos numerables de espacios . . . . . . . . . . . . . . . 794.7 Funciones de Lipschitz y productos numerables de espacios . . . . . . . . . . . 794.8 Métricas equivalentes en productos numerables . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5 Espacios métricos separables 85

6 Espacios métricos completos 916.1 Sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.2 Definición de espacio métrico completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.3 Completación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.4 Completitud de producto numerables de espacios métricos . . . . . . . . . . . . 98

7 Compaccidad 1017.1 Primeras caracterizaciones y propiedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . 1017.2 Funciones continuas sobre espacios compactos . . . . . . . . . . . . . . . . 1067.3 La propiedad del número de Lebesgue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.4 El Teorema de Arzelá-Ascoli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107.5 Compaccidad de un producto numerables de espacios métricos . . . . . . . . . . 1117.6 Funciones propias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.7 Compaccidad y el conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.8 Isometrías en espacios compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.9 Espacios localmente compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.10 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

7.10.1 El teorema fundamental del álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.10.2 El Teorema de Stone-Weirstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.10.3 Conjuntos ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

8 Espacios conexos y espacios arco-conexos 1298.1 Espacios conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1298.2 Espacios arco-conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1348.3 Espacios localmente conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1368.4 Espacios localmente arco-conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

9 El teorema del punto fijo para contracciones 1399.1 Existencia y unicidad de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1439.2 Algunas generalizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

10 El Teorema de Baire 14910.1 El Teorema de Baire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15110.2 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

10.2.1 Puntos aislados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15310.2.2 Funciones continuas sin derivada en ningún punto . . . . . . . . . . . . . 15410.2.3 Principio de acotación uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

11 Espacios normados y espacios de Banach 15911.1 Espacios de Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

II

ÍNDICE GENERAL ÍNDICE GENERAL

11.2 Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16211.3 Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

11.3.1 Familias sumables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16711.4 Espacios normados separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16811.5 Cocientes de espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16911.6 Normas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17111.7 Contracciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17311.8 Isometrías en espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17511.9 Transformaciones lineales inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

11.9.1 Elementos Inversibles de L (E). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18111.10 El teorema de la función abierta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18311.11 Funciones multilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

12 Dualidad 18912.1 El espacio dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18912.2 Ejemplos de espacios duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19012.3 El Teorema de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19412.4 Traspuesta de una aplicación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19612.5 Espacios normados reflexivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19712.6 Dualidad y separabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

13 Espacios de Hilbert 20113.1 Espacios con producto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20113.2 Isometrías en espacios con producto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . 20613.3 Ortogonalidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20713.4 Espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

A Resolución de los ejercicios 215

III

ÍNDICE DE FIGURAS

1.1. Desigualdad triangular en el plano euclideano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Distancia d∞ enR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Distancia d∞ entre dos funciones continuas f : [a,b] →R y g : [a,b] →R . . . . . . . . . 51.4. Comparación entre las distancias d1 y d2 en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5. Distancia d1 entre dos funciones continuas f : [a,b] →R y g : [a,b] →R . . . . . . . . . . 71.6. Prueba de que ab ≤ ap

p + bq

q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.7. Significado geométrico de la subaditividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.8. Bolas abiertas B1(0,0) enR2, respecto de d∞, d1 y d2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.9. Bola abierta Bd∞

r ( f ) en C [1,4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.10. Ilustracion geométrica de la Observación 1.26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.11. Distancia de un punto a un conjunto convexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.12. Invariancia por traslaciones y homogeneidad de la distancia euclideana del plano . . . . 251.13. Un subconjunto del plano euclideano que satisface las condiciones 1-5 del Teorema 1.87 31

2.1. Ilustración en el plano de la prueba de que las bolas abiertas son abiertos . . . . . . . . . 402.2. Ilustración de la Proposición 2.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.3. Primeros pasos en la construcción del conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.4. Ilustración de la Proposición 2.75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

V

CA

PÍ

TU

LO

1ESPACIOS MÉTRICOS

Muchas de las nociones que se estudian en un primer curso riguroso de Análisis Matemático enuna variable están basados en el concepto de límite de funciones, el cual en general se introducemediante lo que popularmente se conoce como una “definición epsilon-delta”, y en el de límitede sucesiones, cuya introducción no necesita de “deltas” pero no prescinde de “epsilons”. Una vezpresentados estos conceptos, para establecer las propiedades básicas uno tiene que probar que sonverdaderas afirmaciones tales como, por ejemplo, que para cada par f y g de funciones reales devariable real que satisfacen hipótesis apropiadas, cada x0 ∈R y cada ε> 0, existe un δ> 0 tal que si|x −x0| < δ, entonces

| f (x)+ g (x)− ( f (x0)+ g (x0))| < ε,

y otras que tienen un aspecto similar. Como el módulo de la diferencia entre dos números es ladistancia que los separa (definida como la longitud del segmento que los une), las afirmaciones quese hacen en este tipo de pruebas son afirmaciones acerca de distancias. Además, un examen detalladode estas demostraciones muestra que los argumentos se basan en las siguientes propiedades: ladistancia entre dos puntos nunca es negativa y es cero si y solo si los dos son iguales, no depende delorden en que se toman los puntos, y no puede superar la suma de las distancias de estos puntos a unpunto intermedio. Abstrayendo estas propiedades Maurice Fréchet introdujo los espacios métricosen su trabajo Sur quelques points du calcul fonctionnel en 1906, para explicar en términos abstractosimportantes resultados obtenidos por matemáticos de su generación o ligeramente mayores, comoHadamard, y de una o dos generaciones anteriores, como Arzelá.

En la primera sección de este capítulo, luego de definir el concepto de espacio métrico y establecerunas pocas propiedades muy básicas, veremos varios ejemplos, entre los que se encuentra el másimportante, a saber: el conjunto R de los números reales provisto de la distancia usual. En lamayoría de estos ejemplos consideramos espacios métricos concretos, pero en cuatro examinamosdos métodos para construir nuevos espacios a partir de espacios métricos dados: la traslación deestructura a través de una función inyectiva, y la construcción de una métrica en un producto de dosespacios. En la segunda consideramos una ligera generalización de la noción de espacio métrico,los espacios pseudométricos, y vemos como construir un espacio métrico a partir de un espaciopseudométrico.

1

1.1 Definición y ejemplos Espacios métricos

1.1. Definición y ejemplos

Fréchet definió un espacio métrico como un conjunto no vacío provisto de una función distanciaque tiene tres propiedades, motivado por el hecho de que, como dijimos en la introducción delcapítulo, muchas demostraciones en análisis matemático solo dependen de estas. Por otra parte, lamisma terminología usada sugiere que el concepto abstracto de función “distancia” debe podersemotivar geométricamente, y esto es cierto. Por ejemplo, consideremos el plano euclideano con ladistancia d(x, y), entre dos puntos x e y , definida como la longitud del segmento que los une. Comoel segmento que une x consigo mismo es el segmento degenerado (de longitud cero) consistentedel único punto x, es claro que d(x, x) = 0, y como el segmento que une x con y es el mismo queune y con x, también es claro que d(x, y) = d(y, x). Además, para cada terna de puntos x,y y z delplano, la longitud del segmento que une x con z es menor o igual que la suma de las longitudes delos segmentos que unen x con y e y con z (siendo igual cuando y pertenece al segmento que une xcon z (Vease la Figura 1.1).

x

z

y

long xz ≤ long x y + long y z

Figura 1.1: Desigualdad triangular en el plano euclideano

Definición 1.1. Un espacio métrico es un par (X ,d), formado por un conjunto no vacío X y unafunción

d : X ×X −→R≥0,

llamada función distancia o métrica de X , que satisface

1. d(x, y) = 0 si y solo si x = y ,

2. d(x, y) = d(y, x) para todo x, y ∈ X , (simetría)

3. d(x, z) ≤ d(x, y)+d(y, z) para todo x, y, z ∈ X . (desigualdad triangular)

Los elementos de X son llamados puntos de X .

Muchas veces, cuando no haya posibilidad de confusión hablaremos simplemente de un espaciométrico X , sin hacer referencia a la función distancia, la que genéricamente será denotada con d .Si es necesario distinguir entre varias funciones distancias utilizaremos la notación autoexplicati-va d X o notaciones específicas como dp , d∞, d f , d , etcétera. Sin embargo, cuando lo consideremosconveniente usaremos la notación completa (X ,d). Unas palabra más acerca de la terminologíausada en estas notas. A veces al probar que una función d : X × X −→R≥0 es una métrica o unapseudométrica (ver la Sección 1.2) diremos que d tiene la propiedad triangular, para expresar quesatisface la condición requerida en el item 3 de la definición anterior.

La proposición que sigue tiene tres items. En el primero se da una versión de la desigualdadtriangular que es válida para un número arbitrario de puntos, en el segundo se establece que la

2

Espacios métricos 1.1 Definición y ejemplos

distancia de dos puntos a un tercero no puede diferir más que la distancia entre ellos, y en el tercerose da una generalización de este hecho.

Proposición 1.2. Para cada espacio métrico X , las siguientes afirmaciones son verdaderas:

1. Para toda sucesión finita x1, . . . , xn de puntos de X ,

d(x1, xn) ≤ d(x1, x2)+·· ·+d(xn−1, xn).

2. |d(x,u)−d(y,u)| ≤ d(x, y), para todo x, y,u ∈ X .

3. |d(x,u)−d(y, v)| ≤ d(x, y)+d(u, v), para todo x, y,u, v ∈ X .

Demostración. 1. Procedemos por inducción en n. Es claro que esto es cierto para n = 1. Suponga-mos que lo es para n. Entonces por la desigualdad triangular y la hipótesis inductiva,

d(x1, xn+1) ≤ d(x1, xn)+d(xn , xn+1) ≤ d(x1, x2)+·· ·+d(xn−1, xn)+d(xn , xn+1).

2. Basta observar que, debido a la desigualdad triangular y la simetría de la distancia,

d(x,u)−d(y,u) ≤ d(x, y) y d(y,u)−d(x,u) ≤ d(y, x) = d(x, y),

3. Esto vale porque

|d(x,u)−d(y, v)| = |d(x,u)−d(y,u)+d(y,u)−d(y, v)|≤ |d(x,u)−d(y,u)|+ |d(y,u)−d(y, v)|= |d(x,u)−d(y,u)|+ |d(u, y)−d(v, y)|≤ d(x, y)+d(u, v),

debido a que |a +b| ≤ |a|+ |b| para todo a,b ∈R, a la simetría de la distancia y al item 2.

En el siguiente ejercicio se pide probar que la definición de espacio métrico puede darse mediantesolo dos axiomas.

Ejercicio 1.3 (Eves, Hodward). Pruebe que si X es un conjunto no vacío y d : X × X −→R es unafunción que satisface

1. d(x, y) = 0 si y solo si x = y ,

2. d(x, y) ≤ d(y, z)+d(z, x) para todo x, y, z ∈ X ,

entonces d(x, y) = d(y, x) ≥ 0 para todo x, y ∈ X y, por lo tanto, d es una métrica.

Ejemplos 1.4. A continuación damos unos pocos ejemplos de espacios métricos. Luego de listarlosprobaremos que en todos la función distancia satisface las condiciones pedidas en la Definición 1.1.Más adelante veremos más ejemplos.

1. Es claro que cada conjunto unitario tiene una única estructura de espacio métrico. En cambioun conjunto {x, y} con dos puntos tiene infinitas, dado que podemos tomar

d(x, x) = d(y, y) = 0 y d(x, y) = d(y, x) = a,

donde a es un número real positivo arbitrario.

3


2. R es un espacio métrico vía la función distancia d(x, y) := |x−y |. En otras palabras, la distanciaentre dos puntos es la longitud del segmento que los une. Este es el ejemplo paradigmáticoy más importante de espacio métrico y, salvo indicación en contrario, consideraremos a Rprovisto de esta métrica. Más generalmente,Rn es un espacio métrico via la función distan-cia d∞(x, y) := max1≤i≤n |xi − yi |, donde xi es la i -ésima coordenada de x, e yi , la de y . En lafigura 1.2 se ilustra esta definición. La distancia d∞ entre dos puntos x e y del plano es lamáxima longitud de los lados del rectángulo con vértices opuestos x e y y lados paralelos a losejes cartesianos; en este caso, la longitud de los lados verticales.

x

y

d∞(x, y) = long x2 y2

x1 y1

x2

y2

Figura 1.2: Distancia d∞ enR2

3. El conjunto B[a,b], de las funciones acotadas del intervalo cerrado [a,b] enR, es un espaciométrico via la función distancia d∞ : B[a,b]×B[a,b] −→R≥0, definida por

d∞( f , g ) := supt∈[a,b]

| f (t )− g (t )|1.

Siempre consideraremos a B[a,b] provisto de esta métrica.

4. El conjunto C[a,b], de las funciones continuas del intervalo cerrado [a,b] enR, es un espaciométrico via la función distancia d∞ : C[a,b]×C[a,b] −→R≥0, definida por

d∞( f , g ) := maxt∈[a,b]

| f (t )− g (t )|2.

Salvo indicación en contrario, consideraremos a C[a,b] provisto de esta métrica. En la Figura 1.3se muestra el significado de esta distancia. En esta ilustración el segmento de longitud máximadel conjunto

{f (t ), g (t ) : a ≤ t ≤ b

}es el segmento f (t0), g (t0) en color naranja.

5. Para cualquier conjunto X , la función d : X ×X −→R≥0, definida por

d(x, y) :={

0 si x = y ,

1 en otro caso,

es una función distancia sobre X , llamada métrica discreta de X . Cada par (X ,d), formado porun conjunto no vacío X y una métrica discreta, es un espacio métrico discreto.

6. Si (X ,d) es un espacio métrico, entonces también lo es cada subconjunto Y de X via la mé-trica inducida por d , la cual es, por definición, la función distancia de Y obtenida restrin-giendo d a Y ×Y . Cada uno de estos espacios es llamado un subespacio métrico de X . Porejemplo, (C [a,b],d∞) es un subespacio métrico de (B [a,b],d∞).

1Que no es infinito porque, como f y g son acotadas, existen números reales m ≤ M tales que m ≤ f (t ), g (t ) ≤ M paratodo t , por lo que supt∈[a,b] | f (t )− g (t )| ≤ M −m.

2Recuerdese que toda función continua definida en un intervalo cerrado y acotado [a,b] tiene un máximo global.

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x

y

f (x)

g (x)

a t0 b

Figura 1.3: Distancia d∞ entre dos funciones continuas f : [a,b] →R y g : [a,b] →R

7. Si (X ,d) es un espacio métrico y f : Y → X es una función inyectiva, entonces Y es un espaciométrico via la distancia d f definida por

d f (y, y ′) := d( f (y), f (y ′)).

El ejemplo anterior es el caso particular obtenido tomando la inclusión canónica de Y en X .Otro ejemplo se obtiene considerando el conjunto N∗ :=N∪ {∞} y la función S : N∗ → R,definida por S(n) := n−1 (donde ∞−1 := 0). La distancia d s : N∗×N∗ −→R≥0 construída deesta manera está dada por

d s(m,n) :={|m−1 −n−1| si m,n ∈N,

m−1 si n =∞.

Denotaremos conN∗S a este espacio métrico.

8. El producto X ×Y , de dos espacios métricos X e Y , es un espacio métrico via la distancia

d∞((x, y), (x ′, y ′)) := max(d X (x, x ′),d Y (y, y ′)),

donde d X denota a la función distancia en X y d Y , a la de Y . Por inducción se sigue inme-diatamente que un producto X1 ×·· ·×Xn , de una cantidad finita de espacios métricos, es unespacio métrico via la distancia

d∞((x1, . . . , xn), (x ′

1, . . . , x ′n)

):= max

(d X1 (x1, x ′

1), . . . ,d Xn (xn , x ′n)

).

Salvo indicación en contrario, siempre consideraremos a X1 ×·· ·×Xn provisto de esta métrica.

9. Otra forma bastante usual de dar una estructura de espacio métrico al producto X ×Y de dosespacios métricos X e Y , es hacerlo via la distancia d2, definida por

d2((x, y), (x ′, y ′)) := 2√

d X (x, x ′)2 +d Y (y, y ′)2.

Por inducción se sigue inmediatamente que un producto X1 ×·· ·×Xn , de una cantidad finitade espacios métricos, es un espacio métrico via la distancia

d2((x1, . . . , xn), (x ′

1, . . . , x ′n)

):= 2

√d X1 (x, x ′)2 +·· ·+d Xn (xn , x ′

n)2.

Esta aproximación tiene ventajas y desventajas respecto de la adoptada en el item anterior.Frecuentemente esta última permite hacer demostraciones más fáciles, pero muchas veces la

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presentada aquí produce métricas más naturales y, en muchos casos, más convenientes. Porejemplo, tomando X1 = ·· · = Xn =R, y aplicando esta construcción, se obtiene la métrica usualdeRn (ver el item 11). De todos modos, como veremos más adelante, para muchos propósitosestas métricas son equivalentes, y en esos casos la preferencia por una u otra podría debersemás a una cuestión de gusto que a otra cosa.

10. Para cada conjunto Y , el conjunto de los subconjuntos finitos de Y es un espacio métricovia d(A,B) = #(A4B).

11. Para cada número real p ≥ 1, la función dp : Rn ×Rn −→R≥0, definida por

dp (x, y) := p

√n∑

i=1|xi − yi |p ,

es una distancia enRn .La distancia d1 en el plano es poéticamente llamada métrica del taxistaporque si x e y representan puntos en calles de una ciudad con calles en damero (como agrandes rasgos es Buenos Aires), entonces d1(x, y) es la distancia que debe recorrer un taxi parair de x a y ,suponiendo que las calles tienen dos manos. El espacio euclideano de dimensión nes el espacio vectorialRn provisto de la distancia d2, la cual es llamada la distancia euclideanadeRn . Debido a razones que explicaremos en otro capítulo, esta es la más importante de lasinfinitas métricas que pueden definirse sobre este espacio vectorial. Por ahora notemos quepara n = 1, 2 y 3 da la distancia usual entre dos puntos (definida como la longitud del segmentoque los une). En la Figura 1.4 comparamos las distancias d1 y d2.

x

y

d1(x, y) = longitud de la linea roja

= longitud de la linea naranja

d2(x, y) = longitud de la linea azul

Figura 1.4: Comparación entre las distancias d1 y d2 en el plano

12. Para cada número real p ≥ 1, la función dp : C[a,b]×C[a,b] →R, definida por

dp ( f , g ) := p

√∫ b

a| f (t )− g (t )|p d t ,

es una distancia en C[a,b]. En la Figura 1.5 ilustramos esta definición para p = 1 con las mismasfunciones consideradas en la Figura 1.3. En este caso la distancia de f a g es el area de la regiónpintada de verde.

Vamos a probar ahora que las afirmaciones hechas en los items 1 a 12 son verdaderas. Con estefin veamos primero que en todos los casos se cumplen las dos primeras condiciones de la definiciónde distancia. En los Ejemplos 1 y 5 estas se satisfacen por la misma definición de d . En el Ejemplo 2,porque, como el módulo de un número coincide con el módulo de su opuesto y la función módulosolo se anula en 0,

max1≤i≤n

|xi − yi | = max1≤i≤n

|yi −xi | y max1≤i≤n

|xi − yi | = 0 ⇔ x = y ;

6


x

y

a b

f (x)

g (x)

Figura 1.5: Distancia d1 entre dos funciones continuas f : [a,b] →R y g : [a,b] →R

y cuentas similares prueban que también se satisfacen en los Ejemplos 3 y 4. Las igualdades

d f (y, y ′) = d( f (y), f (y ′)) = d( f (y ′), f (y)) = d f (y ′, y),

y el hecho de que, como f es inyectiva,

d( f (y), f (y ′)) = 0 ⇔ f (y) = f (y ′) ⇔ y = y ′,

prueban que se satisfacen en el Ejemplo 7 (y entonces también en el 6). En el Ejemplo 8 se cumplenporque, como d X (x, x ′) = d X (x ′, x) y d Y (y, y ′) = d Y (y ′, y),

max(d X (x, x ′),d Y (y, y ′)) = max(d X (x ′, x),d Y (y ′, y)),

y porque, como d X (x, x ′) = 0 si y solo si x = x ′ y d Y (y, y ′) = 0 si y solo si y = y ′,max(d X (x, x ′),d Y (y, y ′)) = 0 ⇔ x = x ′ e y = y ′.

En el Ejemplo 9, porque

2√

d X (x, x ′)2 +d Y (y, y ′)2 = 2√

d X (x ′, x)2 +d Y (y ′, y)2),

y porque

2√

d X (x, x ′)2 +d Y (y, y ′)2 = 0 ⇔ d X (x, x ′) = d Y (y, y ′) = 0 ⇔ x = x ′ e y = y ′.


A4B = B4A y A4B =;⇔ A∪B = A∩B ⇔ A = B.


p

√n∑

i=1|xi − yi |p = p

√n∑

i=1|yi −xi |p ,

debido a que el módulo de un número coincide con el módulo de su opuesto, y porque

p

√n∑

i=1|xi − yi |p = 0 ⇔

n∑i=1

|xi − yi |p = 0 ⇔ xi = yi para todos los índices i ,

debido a que la función a 7→ ppa es inyectiva y a que la función módulo solo se anula en 0; y en elEjemplo 12, por argumentos similares.

7


Para concluir nuestra tarea todavía debemos ver que en todos los casos la función distancia tienela propiedad triangular. Consideremos primero el Ejemplo 7. En este

d f (y, y ′) = d( f (y), f (y ′)) ≤ d( f (y), f (y ′′))+d( f (y ′′), f (y ′)) = d f (y, y ′′)+d f (y ′′, y ′)

para todo y, y ′, y ′′ ∈ Y , como queremos, simplemente porque la propiedad triangular vale en X . ElEjemplo 6 no es necesario tratarlo, ya que es una instancia del 7. En los Ejemplos 1 y 5 (y, de hecho,en todos) es claro que

d(x, y) ≤ d(x, z)+d(z, y) si x = y .

Simplemente, la expresión d(x, x) a la izquierda del signo ≤ vale cero, y la expresión d(x, z)+d(z, x),a la derecha, es mayor o igual que cero. Supongamos que x 6= y . En el Ejemplo 1 esto implica quex = z 6= y o y = z 6= x, por lo que

d(x, y) = a = d(x, z)+d(z, y);

y en el Ejemplo 5 implica que x 6= z o y 6= z, por lo que

d(x, y) = 1 ≤ d(x, z)+d(z, y).

Examinemos ahora el segundo ejemplo. Reemplazando a por x − y y b por y − z en la desigualdad

|a +b| ≤ |a|+ |b|,

válida para todo a,b ∈R, se comprueba que la desigualdad triangular es cierta enR. Pero entoncestambién lo es en (Rn ,d∞), porque dados x, y, z ∈Rn ,

|xi − zi | ≤ |xi − yi |+ |yi − zi | ≤ d∞(x, y)+d∞(y, z) para todo i ∈ {1, . . . ,n},

donde xi , yi y zi son las i -ésimas coordenadas de x, y y z, respectivamente. Una cuenta similarprueba que la función distancia tiene la propiedad triangular en el tercer, cuarto y octavo ejemplos.Veamos que esto es cierto también en el noveno. Para abreviar notaciones escribamos a := d X (x, x ′),a := d X (x ′, x ′′), a := d X (x, x ′′), b := d Y (y, y ′), b := d Y (y ′, y ′′) y b := d Y (y, y ′′). Debemos verificar que

a2 + b2 ≤(

2√

a2 +b2 + 2√

a2 + b2)2

. (1.1)

Un cálculo directo muestra que(2√

a2 +b2 + 2√

a2 + b2)2 = a2 +b2 + a2 + b2 +2

2√

a2 +b2 2√

a2 + b2.

Además, dado que d X y d Y satisfacen la desigualdad triangular,

a2 ≤ (a + a)2 = a2 + a2 +2aa y b2 ≤ (b + b)2 = b2 + b2 +2bb.

Por lo tanto, para probar que vale la desigualdad (1.1), es suficiente ver que

aa +bb ≤ 2√

a2 +b2 2√

a2 + b2.

Pero esto es cierto, porque

(aa +bb)2 = a2a2 +b2b2 +2aabb ≤ a2a2 +b2b2 +a2b2 +b2a2 = (a2 +b2)(a2 + b2),

8


debido a quea2b2 +b2a2 −2aabb = (ab −ba)2 ≥ 0.

En la Observación 1.18, daremos otra demostracion de que d2 es una distancia. La propiedad trian-gular se satisface en el décimo, porque

A4C ⊆ (A4B)∪ (B4C ),

para cada terna (A,B ,C ) de subconjuntos de Y [1]. Solo nos resta considerar los Ejemplos 11 y 12. Lapropiedad triangular en el primero de ellos se obtiene remplazando ai y bi por |xi − yi | e |yi − zi |respectivamente, en la desigualdad de Minkowski

p

√n∑

i=1|ai +bi |p ≤ p

√n∑

i=1|ai |p + p

√n∑

i=1|bi |p , (1.2)

la cual es válida para todo a1, . . . , an ,b1, . . . ,bn ∈R. Cuando p = 1, esta desigualdad es una consecuen-cia inmediata de que

|a +b| ≤ |a|+ |b| para todo a,b ∈R,

mientras que para p > 1, se sigue de la desigualdad de Hölder, que asegura que

n∑i=1

|ai bi | ≤ p

√n∑

i=1|ai |p q

√n∑

i=1|bi |q (1.3)

para todo a1, . . . , an ,b1, . . . ,bn ∈R y p, q > 1 tales que 1/p +1/q = 1. En efecto, usando (1.3) dos vecesy teniendo en cuenta que (p −1)q = p, obtenemos que

n∑i=1

(|ai |+ |bi |)p =n∑

i=1(|ai |+ |bi |)(|ai |+ |bi |)p−1

=n∑

i=1|ai |(|ai |+ |bi |)p−1 +

n∑i=1

|bi |(|ai |+ |bi |)p−1

≤ p

√n∑

i=1|ai |p q

√n∑

i=1(|ai |+ |bi |)p + p

√n∑

i=1|bi |p q

√n∑

i=1(|ai |+ |bi |)p

=(

p

√n∑

i=1|ai |p + p

√n∑

i=1|bi |p

)q

√n∑

i=1(|ai |+ |bi |)p ,

lo que, debido a que

n∑i=1

(|ai |+ |bi |)p = p

√n∑

i=1(|ai |+ |bi |)p q

√n∑

i=1(|ai |+ |bi |)p

porque 1p + 1

q = 1, implica que vale la desigualdad

p

√n∑

i=1(|ai |+ |bi |)p ≤ p

√n∑

i=1|ai |p + p

√n∑

i=1|bi |p ,

que a su vez tiene como consecuencia inmediata la de Minkowski, porque

|ai +bi |p ≤ (|ai |+ |bi |)p ,

9


dado que |ai +bi | ≤ |ai |+ |bi | y la función a 7→ ap es creciente.Probemos ahora que vale la desigualdad de Hölder. Es claro que esta se satisface si todos los ai ’s o

todos los bi ’s son cero, y que si se cumple para (a1, . . . , an) y (b1, . . . ,bn), entonces también se cumplepara (λa1, . . . ,λan) y (µb1, . . . ,µbn), cualesquiera sean λ y µ enR. Por lo tanto, para ver que vale serásuficiente mostrar que

n∑i=1

|ai |p =n∑

i=1|bi |q = 1 =⇒

n∑i=1

|ai bi | ≤ 1. (1.4)

Pero esto se sigue de que si p, q > 1 satisfacen 1/p +1/q = 1, entonces

ab ≤ ap

p+ bq

qpara todo a,b ≥ 0. (1.5)

En efecto, usando esta desigualdad y la hipótesis de (1.4) obtenemos que

n∑i=1

|ai ||bi | ≤ 1

p

n∑i=1

|ai |p + 1

q

n∑i=1

|bi |q = 1

p+ 1

q,

lo que, combinado con el hecho de que 1/p +1/q = 1, da (1.4). Resta comprobar que la desigual-dad (1.5) es verdadera. Para ello consideramos el plano (ξ,η). Como p > 1, la función η = ξp−1,definida para los números reales mayores o iguales que cero, es estrictamente creciente. Dado que,por hipótesis, (p −1)(q −1) = 1, su inversa es ξ= ηq−1. Es claro que ab es menor que la suma de lasareas A1, de la superficie delimitada por el eje ξ, la recta ξ = a y el gráfico de η = ξp−1 y A2, de lasuperficie delimitada por el eje η, la recta η= b y la gráfica de ξ= ηq−1.

ξ

η

a

b

Figura 1.6: Prueba de que ab ≤ ap

p + bq

q

Para terminar la demostración es suficiente observar que

A1 =∫ a

0ξp−1 dξ= ap

py A2 =

∫ b

0ηq−1 dη= bq

q.

Veamos ahora que en el último ejemplo también se satisface la desigualdad triangular. En efecto,esto se sigue de la desigualdad integral de Minkowski

p

√∫ b

a|α(t )+β(t )|p d t ≤ p

√∫ b

a|α(t )|p d t + p

√∫ b

a|β(t )|p d t , (1.6)

reemplazando α por f − g y β por g −h. Cuando p = 1 la desigualdad (1.6) vale porque

|α(t )+β(t )| < |α(t )|+ |β(t )| =⇒∫ b

a|α(t )+β(t )|d t ≤

∫ b

a|α(t )|d t +

∫ b

a|β(t )|d t ,

10


mientras que cuando p > 1, es consecuencia facil de la desigualdad integral de Hölder

∫ b

a|α(t )β(t )|d t ≤ p

√∫ b

a|α(t )|p d t

q

√∫ b

a|β(t )|q d t , (1.7)

en la que q = pp−1 . En efecto, usando (1.7) dos veces obtenemos

∫ b

a(|α(t )|+ |β(t )|)p d t =

∫ b

a(|α(t )|+ |β(t )|)(|α(t )|+ |β(t )|)p−1 d t

=∫ b

a|α(t )|(|α(t )|+ |β(t )|)p−1 d t +

∫ b

a|β(t )|(|α(t )|+ |β(t )|)p−1 d t

≤ p

√∫ b

a|α(t )|p d t

q

√∫ b

a(|α(t )|+ |β(t )|)p d t

+ p

√∫ b

a|β(t )|p d t

q

√∫ b

a(|α(t )|+ |β(t )|)p d t

= p

√∫ b

a|α(t )|p d t + p

√∫ b

a|β(t )|p d t

q

√∫ b

a(α(t )|+ |β(t )|)p d t ,

lo que implica que

p

√∫ b

a(|α(t )|+ |β(t )|)p d t ≤ p

√∫ b

a|α(t )|p d t + p

√∫ b

a|β(t )|p d t ,

y, por lo tanto, que vale la desigualdad de Minkowski. Finalmente, la desigualdad integral de Hölderse sigue de (1.5) argumentando como en la demostración de la desigualdad de Hölder (1.3)[2]

Ejercicio 1.5. Pruebe que

n∑i=1

|ai bi | ≤n∑

i=1|ai | max

1≤ j≤n|b j | para todo a1, . . . , an ,b1, . . . ,bn ∈R.

Este resultado es la desigualdad de Hölder para p = 1 (con q =∞). Enuncie y pruebe una versiónintegral.


p

√ ∞∑i=1

|xi + yi |p ≤ p

√ ∞∑i=1

|xi |p + p

√ ∞∑i=1

|yi |p , (1.8)

para cada par (xn)n∈N e (yn)n∈N de sucesiones de números reales, donde, por supuesto, el ladoderecho es +∞ si alguna de las series que aparecen en él no converge.

INDICACIÓN: use la desigualdad (1.2).

Ejercicio 1.7. Pruebe que tres números reales positivos a,b y c son las distancias de un espaciométrico de tres puntos 3 si y solo si a ≤ b + c, b ≤ a + c y c ≤ a +b.

3i. e., que existe un espacio métrico de tres puntos ({x, y, z},d) con d(x, y) = a, d(y, z) = b y d(x, z) = c.

11


Definición 1.8. Una función α : Rn≥0 →R≥0 es subaditiva si

α(u + v) ≤α(u)+α(v) para todo u, v ∈Rn≥0.

Observación 1.9. Para cada función α : R≥0 →R≥0 y cada punto u ∈R≥0, el subgráfico4 de la funciónu + v 7→ α(u)+α(v), de [u,∞) en R≥0, se obtiene aplicando al subgráfico de α la traslacion quelleva el origen a (u,α(u)); y el gráfico de la función u + v 7→α(u + v), también de [u,∞) enR≥0, esla intersección del gráfico de α con [u,∞)×R≥0. Por lo tanto α es subaditiva si y solo si para cadapunto del gráfico de α, la translación del subgráfico de α que lleva el origen a dicho punto incluyeal conjunto de los puntos del gráfico de α que no están a su izquierda (ver la Figura 1.7). Dejamoscomo ejercicio para el lector probar que las funciones subaditivas α : Rn

≥0 →R≥0, con n > 1, tienenuna caracterización geométrica similar.

x

y

u

Figura 1.7: Significado geométrico de la subaditividad

Proposición 1.10. Si α : R≥0 →R≥0 es una función subaditiva creciente tal que α−1(0) = {0}, entoncesα◦d es una función distancia para cada X y cada función distancia d : X ×X →R≥0.

Demostración. Como d(x, y) = d(y, x) para todo x, y ∈ X , es cierto que

α◦d(x, y) =α◦d(y, x) para todo x, y ∈ X .

Además,α◦d(x, y) = 0 ⇔ d(x, y) = 0 ⇔ x = y

porque α−1(0) = {0} y d(x, y) = 0 si y sólo si x = y . Por último, las desigualdades

α◦d(x, z) ≤α(d(x, y)+d(y, z)) ≤α◦d(x, y)+α◦d(y, z),

la primera de las cuales vale porque α es creciente y d tiene la propiedad triangular, y la segunda, porla última hipótesis, muestran que α◦d tiene la propiedad triangular.

Ejercicio 1.11. Pruebe que las funciones α1(x) := mın(1, x) y α2(x) := x1+x satisfacen las hipótesis de

la Proposición 1.10.

4Recordemos que el subgráfico de una función real de variable real es el conjunto de los puntos del plano que estándebajo de su gráfico.

12

Espacios métricos 1.2 Espacios pseudométricos

1.2. Espacios pseudométricos

Definición 1.12. Decimos que un par (X ,d), formado por un conjunto X y una función

d : X ×X −→R≥0,

llamada función pseudodistancia o pseudométrica de X , es un espacio pseudométrico si d satisface:

1. d(x, y) = 0 si x = y ,

2. d(x, y) = d(y, x) para todo x, y ∈ X , (simetría)

3. d(x, z) ≤ d(x, y)+d(y, z) para todo x, y, z ∈ X . (desigualdad triangular)

Ejemplo 1.13. Si en el item 7 del Ejemplo 1.4 la función f : Y → X no es inyectiva, entonces la funciónd f : Y ×Y −→R definida por la fórmula d f (y, y ′) := d( f (y), f (y ′)) es una función pseudodistancia.Las pseudométricas d Xi ◦ (pi ×pi ) consideradas en la Observación 1.18 son de este tipo.

Ejemplo 1.14. Las fórmulas

dp ( f , g ) := p

√∫ b

a| f (t )− g (t )|p d t ,

consideradas en el item 12 del Ejemplo 1.4, definen pseudométricas sobre el espacio R[a,b] de lasfunciones integrables Riemann de [a,b] enR. La razón es que la integral de una función positiva nonula integable Riemann puede ser cero (considerese por ejemplo una función que se anula en todo[a,b], salvo en finitos puntos).

Ejercicio 1.15. Pruebe que si (X ,d) es un espacio pseudométrico, entonces la relación en X , definidapor x ∼ y si d(x, y) = 0, es de equivalencia. Denotemos con X al conjunto cociente de X por ∼, y conp : X → X a la proyección canónica. Pruebe que existe una única función

d : X ×X −→R≥0

tal que d = d ◦ (p ×p), y que esta función es una distancia.

El resultado que sigue es una generalización directa de la Proposición 1.10. En su enunciadoconsideramos aRn

≥0 provisto de la suma coordenada a coordenada y la relación de orden parcialdefinida por u ≤ v si ui ≤ vi para todo i ∈ {1, . . . ,n}.

Proposición 1.16. Si α : Rn≥0 →R≥0 es una función subaditiva creciente tal que α−1(0) = {0}, enton-

ces para cada familia finita d i : X × X −→R≥0 (i = 1, . . . ,n) de pseudométricas definidas sobre unconjunto X , la función α◦ (d 1, . . . ,d n) : X ×X −→R≥0, definida por

α◦ (d 1, . . . ,d n)(x, y) :=α(d 1(x, y), . . . ,d n(x, y)

),

es una pseudométrica, que es una métrica si y solo si para cada par de elementos x 6= y de X existei ∈ {1, . . . ,n} tal que d i (x, y) > 0.

Demostración. Escribamos d := α◦ (d 1, . . . ,d n). Como d 1(x, x) = ·· · = d n(x, x) = 0 para todo x ∈ Xy α(0) = 0,

d(x, x) =α(d 1(x, x), . . . ,d n(x, x)

)=α(0) = 0 para todo x ∈ X ,

y como d j (x, y) = d j (y, x) para todo x, y ∈ X y todo j ,

d(x, y) =α(d 1(x, y), . . . ,d n(x, y)

)=α(d 1(y, x), . . . ,d n(y, x)

)= d(y, x) para todo x, y ∈ X ,

13

1.2 Espacios pseudométricos Espacios métricos

lo que prueba que d es simétrica. Para ver que vale la desigualdad triangular es suficiente notar que

d(x, z) =α(d 1(x, z), . . . ,d n(x, z)

)≤α(

d 1(x, y)+d 1(y, z), . . . ,d n(x, y)+d n(y, z))

≤α(d 1(x, y), . . . ,d n(x, y)

)+α(d 1(y, z), . . . ,d n(y, z)

)= d(x, y)+d(y, z)

para todo x, y, z ∈ X , donde la primera desigualdad se sigue de que α es creciente y

d i (x, z) ≤ d i (x, y)+d i (y, z) para todo x, y, z ∈ X y todo i ,

y la segunda, de la subaditividad de α. Por último, dado que α(v) = 0 si y solo si v = 0,

d es una métrica ⇔ (d 1(x, y), . . . ,d n(x, y)) 6= 0 siempre que x 6= y

⇔ para cada par de elementos x 6= y de X existe i tal que d i (x, y) > 0,

como queremos.

Ejemplo 1.17. Las funciones αp : Rn≥0 →R≥0 (1 ≤ p ≤∞), definidas por

αp (v1, . . . , vn) :=max(v1, . . . , vn) si p =∞,

p√

v p1 +·· ·+ v p

n si p <∞,

satisfacen las condiciones pedidas a α en la proposición anterior. En efecto, por la misma definiciónde αp es claro que αp (0) = 0 para todo p. Por otra parte, si vi > 0 para algún i , entonces

αp (v1, . . . , vn) ≥ vi > 0.

Así, αp (v) = 0 si y solo si v = 0. Afirmamos que que la función α∞ es creciente y subaditiva. En efecto,tomemos v y w enRn

≥0. Por una parte, si v ≤ w o, lo que es igual, vi ≤ wi para todo i , entonces

α∞(v) = max(v1, . . . , vn) ≤ max(w1, . . . , wn) =α∞(w),

lo que prueba que α∞ es creciente, y, por otra parte, como

vi +wi ≤ max(v1, . . . , vn)+max(w1, . . . , wn) para todo i ,

es cierto que

α∞(v +w) = max(v1 +w1, . . . , vn +wn) ≤ max(v1, . . . , vn)+max(w1, . . . , wn) =α∞(v)+α∞(w),

lo que prueba que es subaditiva. Consideremos ahora las funcionesαp , con p <∞. Por la desigualdadde Minkowski para cada v y w enRn

≥0,

αp (v +w) = p√

(v1 +w1)p +·· ·+ (vn +wn)p ≤ p√

v p1 +·· ·+ v p

n + p√

w p1 +·· ·+w p

n =αp (v)+αp (w),

de modo que estas funciones son subaditivas. Resta verificar que son crecientes, pero esto es ciertoporque si (v1, . . . , vn) ≤ (w1, . . . , wn), entonces

αp (v1, . . . , vn) = p√

v p1 +·· ·+ v p

n ≤ p√

w p1 +·· ·+w p

n =αp (w1, . . . , wn),

donde la desigualdad vale debido a que las funciones x 7→ xp y x 7→ ppx son crecientes.

14

Espacios métricos 1.3 Bolas abiertas, bolas cerradas y esferas

Observación 1.18. Consideramos ahora dos situaciones. Supongamos primero que d 1, . . . ,d n es unafamilia de pseudométricas definidas sobre un conjunto X , que tiene la propiedad de que para cadapar de elementos x 6= y de X , existe i tal que d i (x, y) 6= 0. Entonces por la Proposición 1.16 y elejemplo anterior, X es un espacio métrico vía cada una de las funciones distancia

dp : X ×X →R≥0 (1 ≤ p ≤∞),

definidas por:

dp (x, y) :=max

(d 1(x, y), . . . ,d n(x, y)

)si p =∞,

p√

d 1(x, y)p +·· ·+d n(x, y)p si p <∞.

Supongamos ahora que tenemos espacios métricos (X1,d X1 ), . . . , (Xn ,d Xn ). Entonces el productoX := X1 ×·· ·×Xn es un espacio métrico via cada una de las funciones distancia

dp : X ×X −→R≥0 (1 ≤ p ≤∞),

definidas por:

dp (x, y) :=max

(d X1 (x1, y1), . . . ,d Xn (xn , yn)

)si p =∞,

p√

d X1 (x1, y1)p +·· ·+d Xn (xn , yn)p si p <∞,

donde x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn). En efecto, para comprobarlo basta aplicar la observaciónanterior con

X := X1 ×·· ·×Xn y d i := d Xi ◦ (pi ×pi ),

donde pi : X → Xi es la proyección canónica.

En el resto de estas notas, salvo cuando se indique otra cosa, las letras mayúsculas X , Y y Zdesignarán a espacios métricos.

1.3. Bolas abiertas, bolas cerradas y esferas

En esta sección presentamos los conceptos básicos de bola abierta, bola cerrada y esfera. Las tresnociones son importantes, pero la primera es fundamental para el desarrollo de la teoría, porqueen ella se basa la definición de conjunto abierto (que daremos en un capítulo posterior). Luegode establecer estas definiciones describimos la forma de las bolas abiertas y cerradas en algunosespacios métricos concretos, lo que automáticamente da la forma de las esferas, y estudiamos endetalle como son las bolas abiertas y cerradas en productos finitos de espacios métricos. Por últimodescribimos las bolas abiertas y cerradas en subespacios.

Definición 1.19. La bola abierta y la bola cerrada con centro en un punto x de un espacio métrico Xy radio r > 0 son los conjuntos

Br (x) := {y ∈ X : d(y, x) < r } y Br [x] := {y ∈ X : d(y, x) ≤ r },

respectivamente.

Definición 1.20. La esfera con centro x y radio r es el conjunto

Sr (x) := {y ∈ X : d(y, x) = r }.

15

1.3 Bolas abiertas, bolas cerradas y esferas Espacios métricos

Cuando sea necesario ser más precisos acerca de la métrica o del espacio que estamos consi-derando usaremos alguna de las notaciones autoexplicativas tales como BX

r (x), Bdr (x), BX

r [x], Bdr [x],

SXr (x) o Sd

r (x).

Observación 1.21. De las mismas definiciones de bola abierta, bola cerrada y esfera se sigue inmedia-tamente que

Br (x)∪Sr (x) = Br [x] y Br (x)∩Sr (x) =;.

La forma de las bolas abiertas, las bolas cerradas y las esferas de un espacio métrico depende tantodel conjunto subyacente como de la función distancia. Esto se ve claramente al considerar algunosde los siguientes ejemplos (no damos ninguno de esferas porque estos se obtienen inmediatamentecalculando Br [x] \ Br (x)).

Ejemplo 1.22. Examinemos las bolas abiertas y cerradas enR2 cuando las funciones distancia sond∞, d2 y d1, respectivamente.

- La bola abierta Bd∞r (x, y) es el cuadrado abierto (x − r, x + r )× (y − r, y + r ) y la bola cerrada

Bd∞r [x, y] es el cuadrado [x − r, x + r ]× [y − r, y + r ].

- La bola abierta Bd2r (x, y) es el círculo abierto con centro (x, y) y radio r y la bola cerrada Bd2

r [x, y]es el círculo con centro (x, y) y radio r .

- La bola abierta Bd1r (x, y) es el cuadrado abierto con vértices (x − r, y), (x + r, y), (x, y − r ) y

(x, y + r ) y la bola cerrada y la bola cerrada Bd1r [x, y] es el cuadrado con los mismos vértices.

En la Figura 1.8 se representan las bolas con centro (0,0) y radio r en(R2,d∞

),(R2,d1

)y

(R2,d2

).

Las bolas abiertas con centro en un punto arbitrario (x, y) del plano y radio r tienen la misma forma

porque Bdpr (x, y) = (x, y)+B

dpr (0,0).

−r r

(a) p =∞

−r r

(b) p = 1

−r r

(c) p = 2

Figura 1.8: Bolas abiertas B1(0,0) enR2, respecto de d∞, d1 y d2

Ejemplo 1.23. En un espacio métrico discreto X

Br (x) ={

{x} si r ≤ 1,

X si r > 1y Br [x] =

{{x} si r < 1,

X si r ≥ 1.

Ejemplo 1.24. En C [a,b] la bola abierta Bd∞r ( f ) es el conjunto de las funciones g ∈ C[a,b] tales que

supx∈[a,b] | f (x)−g (x)| < r y la bola cerrada Bd∞r [ f ] es el conjunto de las funciones g ∈ C[a,b] tales que

supx∈[a,b] | f (x)− g (x)| ≤ r . Por otra parte, Bd1r ( f ) es el conjunto de las funciones g ∈ C[a,b] tales que

el area de la superficie determinada por las rectas verticales que pasan por a y b, el eje de absisas y elgráfico de | f −g | es menor que r , mientras que Bd1

r [ f ] es el conjunto de las funciones g ∈ C[a,b] talesque el area de la misma superficie es menor o igual que r . Más generalmente, para cada p ∈ [1,∞)

16

Espacios métricos 1.3 Bolas abiertas, bolas cerradas y esferas

la bola abierta Bdpr ( f ) es el conjunto de las funciones g ∈ C[a,b] tales que el area de la superficie

determinada por las rectas verticales que pasan por a y b, el eje de absisas y el gráfico de | f − g |p es

menor que r p , y la bola cerrada Bdpr [ f ] es el conjunto de las funciones g ∈ C[a,b] tales que el area de

la misma superficie es menor o igual que r p . No es posible representar geométricamente estas bolasmarcando todos sus puntos en un dibujo (como hicimos en la Figura 1.8) pero para la distancia d∞

podemos darnos una idea geométrica de su “forma” dibujando el grfico de una función f y pintandode verde la región del plano formada por los puntos (x, y) ∈R2 tales que a ≤ x ≤ b y |y − f (x)| < r .Una función continua g : [a,b] →R pertenece a Bd∞

r ( f ) si y solo si su gráfico está incluído en la zonapintada. En la Figura 1.9 hacemos esto, marcando con una linea continua azul el gráfico de f y conlineas punteadas los gráficos de dos funciones pertenecientes a Bd∞

r ( f ).

x

y

f (x)

f (x)+ r

f (x)− r

a b

Figura 1.9: Bola abierta Bd∞r ( f ) en C [1,4]

Ejemplo 1.25. Por la misma definición de la distancia d∞, para cada punto (x, y) de un produc-to X ×Y de espacios métricos y cada r > 0,

BX×Yr (x, y) = BX

r (x)×BYr (y) y BX×Y

r [x, y] = BXr [x]×BY

r [y].

Por inducción resulta entonces que

BXr (x1, . . . , xn) = BX1

r (x1)×·· ·×BXnr (xn) y BX

r [x1, . . . , xn] = BX1r [x1]×·· ·×BXn

r [xn]

para cada producto finito X := X1 × ·· · × Xn de espacios métricos, cada punto (x1, . . . , xn) de X ycada r > 0.

Observación 1.26. Para cada subespacio Y de un espacio métrico X y cada y ∈ Y ,

BYr (y) = BX

r (y)∩Y y BYr [y] = BX

r [y]∩Y .

Proposición 1.27. Para cada par de puntos x e y de un espacio métrico, Br [x]∩Bs(y) =; siempreque r + s ≤ d(x, y).

Demostración. Si existiera z ∈ Br [x]∩Bs(y), entonces sería

d(x, y) ≤ d(x, z)+d(z, y) < r + s ≤ d(x, y),

lo que es absurdo.

Definición 1.28. Un subconjunto V de un espacio métrico X es un entorno de un punto x ∈ X , siincluye una bola abierta con centro en x.

17

1.4 Base de entornos de un punto Espacios métricos

Y

X

y

(a) Bola abierta en un subespacio

y

Y

X

(b) Bola cerrada en un subespacio

Figura 1.10: Ilustracion geométrica de la Observación 1.26

Ejemplos 1.29. La bola abierta Br (x) es un entorno de x para cada r > 0. También lo es la bolacerrada Br [x] y el propio espacio X .

Nota 1.30. La intersección de dos entornos de x es un entorno de x. En efecto, para comprobarlobasta observar que si V1 ⊇ Br1 (x) y V2 ⊇ Br2 (x), entonces V1 ∩V2 ⊇ Br (x), para cada r ≤ mın(r1,r2).Además, si V es un entorno de x y W ⊇V , entonces W es un entorno de x, porque W incluye a todabola con centro x incluída en V .

1.4. Base de entornos de un punto

Definición 1.31. Una base de entornos de x es un conjunto B de entornos de x, tal que para cadabola abierta Br (x) existe V ∈B con V ⊆ Br (x).

Ejemplos 1.32. Los conjuntos

{V : V es un entorno de x},{Br (x) : r ∈R}

,{B1/n(x) : n ∈N}

y{B1/n[x] : n ∈N}

son bases de entornos de x. Las dos últimas son bases contables de entornos.

Ejercicio 1.33. Fijemos un punto x := (x1, . . . , xn) en un producto finito X := X1×·· ·×Xn de espaciosmétricos. Pruebe que si Bi es una base de entornos de xi para todo i , entonces el conjunto{

V1 ×·· ·×Vn : Vi ∈Bi para todo i}

es una base de entornos de x.

Definición 1.34. Fijemos un punto x de un espacio métrico X . Una subbase de entornos de x escualquier conjunto S de entornos de x, tal que el conjunto de las intersecciones finitas de elementosde S es una base de entornos de x.

Ejercicio 1.35. Tomemos un espacio métrico X y fijemos un punto x de X . Pruebe que el conjunto{V : V es un entorno de x} es finito si y solo si X es finito. Pruebe que esto no necesariamente escierto para las otras bases de entornos consideradas arriba.

Ejemplo 1.36. Para cada x ∈R, el conjunto

{(x −1/n,+∞) : n ∈N}∪ {(−∞, x +1/n) : n ∈N}

es una subbase de entornos de x.

18

Espacios métricos 1.5 Distancia entre conjuntos y diámetro

Ejemplo 1.37. Para cada punto (x, y) de un producto X ×Y de espacios métricos, el conjunto

{Br (x)×Y : r > 0}∪ {X ×Bs(y) : s > 0}

es una subbase de entornos de (x, y). En efecto, esto se sigue inmediatamente de que, por el Ejem-plo 1.25,

(Br (x)×Y )∩ (X ×Br (y)) = BXr (x)×BY

r (y) = BX×Yr (x, y).

Más generalmente, para cada punto (x1, . . . , xn) de un producto finito X1 × ·· · × Xn de espaciosmétricos, el conjunto

{X1 ×·· ·×Xi−1 ×Br (xi )×Xi+1 ×·· ·×Xn : 1 ≤ i ≤ n y r > 0}

es una subbase de entornos de (x1, . . . , xn).

Ejercicio 1.38. Consideremos una familia finita X1, . . . , Xn de espacios métricos y fijemos puntosx1 ∈ X1, . . . , xn ∈ Xn . Pruebe que si Si es una subbase de entornos de xi para cada 1 ≤ i ≤ n, entoncesel conjunto

{X1 ×·· ·×Xi−1 ×S ×Xi+1 ×·· ·×Xn : 1 ≤ i ≤ n y S ∈Si }

es una subbase de entornos de (x1, . . . , xn). Pruebe también que para un producto numerable deespacios métricos vale un resultado análogo.

La importancia de la noción de subbase de entornos se debe a que, como vimos recién, algunosespacios métricos tienen subbases de entornos muy simples, y a que (como veremos por ejemploal estudiar la continuidad de funciones en un punto) hay condiciones que en principio deberíanverificarse sobre todos los entornos de un punto, pero que basta comprobarlas sobre una subbasede entornos, lo que permite obtener demostraciones simples de algunos resultados importantes.Nosotros no adoptaremos este punto de vista en estas notas, salvo en algunos ejercicios, cuyo objetivoserá el de ilustrar la utilidad del método.

1.5. Distancia entre conjuntos y diámetro

En esta sección presentamos las nociones de distancia de un punto a un conjunto, de distanciaentre conjuntos y de diámetro de un conjunto y estudiamos algunas de sus propiedades básicas.

Definición 1.39. La distancia de un punto x de un espacio métrico X a un subconjunto A de X es, pordefinición, el elemento

d(x, A) := ınfy∈A

d(x, y),

de [0,∞].

Definición 1.40. La distancia d(A,B), entre dos subconjuntos A y B de X , está definida por:

d(A,B) := ınfa∈A,b∈B

d(a,b)

Si bien un elemento de X no es un conjunto de X , consideramos a la segunda definición másgeneral que la primera porque d(x, A) = d({x}, A) para cada x ∈ X y cada A ⊆ X . A pesar de su nombre,de su importancia, y de que d(A,B) ≥ 0 y d(A,B) = d(B , A), para todo A,B ⊆ X , esta “distancia” nodefine una pseudométrica en ningún subconjunto interesante del conjunto de partes de X . Másadelante veremos como definir una métrica sobre una colección importante de subconjuntos de X .

19

1.5 Distancia entre conjuntos y diámetro Espacios métricos

Observación 1.41. Por su misma definición, d(A,B) =∞ si y solo si A =; o B =;[3].

Observación 1.42. Para cada par A y B de subconjuntos de X ,

d(A,B) := ınfa∈A

d(a,B) = ınfb∈B

d(A,b).

Ejemplo 1.43. EnR, provisto de la métrica usual,

d(0,[1,2]

)= d(0,(1,2]

)= 1 y d((0,1], (1,2)) = d(Q,R\Q

)= d(0,(0,1]

)= 0.

El último ejemplo muestra que la distancia de un punto a un conjunto puede ser cero sin que elpunto pertenezca al conjunto.

Ejemplo 1.44. En (R2,d2),

d(R× {0}, {(x, y) ∈R2 : y = x2 +1}

)= d(R× {0}, {(x, y) ∈R2 : y > x2 +1}

)= 1

y

d({(x,1/x) : x ∈ (0,∞)}, {(x,−1/x) : x ∈ (0,∞)}

)= 0.

Ejemplo 1.45. En un espacio métrico discreto X ,

d(A,B) ={

0 if A∩B 6= ;,

1 if A∩B =;,

para cada par de subconjuntos no vacíos A y B de X .

Ejercicio 1.46. Pruebe que en cada espacio métrico X , para todo a,b ∈ X y r, s ∈ (0,∞),

d(a,b)− r − s ≤ d(Br [a],Bs[b]

)≤ d(Br (a),Bs(b)

)≤ d(a,b).

Ejercicio 1.47. Pruebe que en el ejercicio anterior pueden darse todas las posibilidades. En otraspalabras, que cualesquiera sean r, s ∈ (0,∞) y 0 ≤ t ≤ u ≤ r + s, existen un espacio métrico X y puntosa,b ∈ X tales que

d(Br [a],Bs[b]

)= d(a,b)−u y d(Br (a),Bs(b)

)= d(a,b)− t .

INDICACIÓN: X puede tomarse como un subespacio deR.

Ejercicio 1.48. Recordemos que para cada conjunto Y , el conjunto P f (Y ), de los subconjuntosfinitos de de Y es un espacio métrico via d(A,B) = #(A4B). Fijemos un subconjunto finito A de Y yun subconjunto B de P f (Y ). ¿ Qué significa que d(A,B) = 1?

Definición 1.49. Decimos que la distancia de un punto x de un espacio métrico X a un subconjuntoA de X se realiza si existe a ∈ A tal que d(x, a) = d(x, A). Si este es el caso, decimos también que ladistancia de x a A se realiza en el punto a.

Definición 1.50. Decimos que la distancia entre dos subconjuntos A y B de un espacio métrico X serealiza si existen a ∈ A y b ∈ B tales que d(a,b) = d(A,B). Si este es el caso, decimos también que ladistancia de A a B se realiza en los puntos a y b.

20

Espacios métricos 1.5 Distancia entre conjuntos y diámetro

Como el lector puede verificar sin dificultad, en algunos de los ejemplos que vimos recién ladistancia se realiza, y en otros, no. Considerando una circunferencia en R2 y el centro de esta, secomprueba fácilmente que cuando la distancia de un punto x ∈ X a un subconjunto A de X se realiza,el punto a puede no ser único. Por supuesto, lo mismo pasa con la distancia entre subconjuntos.

Recordemos que un subconjunto U de un espacio vectorial V es convexo si cualesquiera sean v yw en U , el segmento v w := {t w + (1− t )v : 0 ≤ t ≤ 1}, con extremos v y w , está incluído en U .

Ejercicio 1.51. Supongamos que a y A son un punto de R2 y un subconjunto convexo no vacíodeR2, respectivamente. Pruebe que si la distancia euclideana d2(a, A) se realiza, entonces el puntode A en el que lo hace es único (ver la Figura 1.11).

a

A

Figura 1.11: Distancia de un punto a un conjunto convexo

Proposición 1.52. |d(x, A)−d(y, A)| ≤ d(x, y) para todo x, y ∈ X y todo subconjunto no vacío A de X .

Demostración. Por la definición de d(x, A) y la propiedad triangular de d , sabemos que

d(x, A) ≤ d(x, z) ≤ d(x, y)+d(y, z) para todo z ∈ A.

Así que d(x, A)−d(x, y) es una cota inferior de {d(y, z) : z ∈ A}. Por lo tanto

d(x, A)−d(x, y) ≤ ınf{d(y, z) : z ∈ A} = d(y, A)

o, lo que es equivalente,d(x, A)−d(y, A) ≤ d(x, y).

Por simetría, d(y, A)−d(x, A) ≤ d(x, y) y, en consecuencia, |d(x, A)−d(y, A)| ≤ d(x, y), como quere-mos.

Notación 1.53. Para cada subconjunto A de un espacio métrico X y cada ε ∈ [0,∞], denotamos con Aε

al conjunto de los puntos de X cuya distancia a A es menor o igual que ε. Dicho de otro modo,

Aε := {x : d(x, A) ≤ ε}.

Notese que A∞ = X .

Proposición 1.54. Para cada x ∈ X , cada par de subconjuntos A y B de X y cada familia (B j ) j∈J desubconjuntos de X , las siguientes afirmaciones son verdaderas.

1. d(x,;) =∞ y d(x, A) <∞ si A es no vacío.

2. d(x, {x}) = 0.

3. Si A ⊆ B, entonces d(x, A) ≥ d(x,B).

21

1.5 Distancia entre conjuntos y diámetro Espacios métricos

4. Para todo ε ∈ [0,∞], d(x, A) ≤ d(x, Aε)+ε.

5. d(x,

⋃j∈J B j

)= ınf j∈J d(x,B j ).

6. d(x,

⋂j∈J B j

)≥ sup j∈J d(x,B j ).

Demostración. 1. Por la Observación 1.41).

2. Por definición,d(x, {x}) = ınf{d(x, x)} = ınf{0} = 0.

3. Si A ⊆ B , entonces {d(x, a) : a ∈ A} ⊆ {d(x,b) : b ∈ B} y, por lo tanto,

d(x, A) = ınf{d(x, a) : a ∈ A} ≥ ınf{d(x,b) : b ∈ B} = d(x,B),

como afirmamos.

4. Para cada a ∈ Aε y cada δ> 0, existe a′ ∈ A tal que d(a, a′) ≤ ε+δ. Por lo tanto

d(x, A) ≤ d(x, a′) ≤ d(x, a)+d(a, a′) ≤ d(x, a)+ε+δ.

Como a y δ son arbitrarios, el item es verdadero.

5. Por definición y por propiedades básicas del ínfimo,

d(x,

⋃j∈J

B j

)= ınf

b∈⋃j∈J B j

d(x,b) = ınfj∈J

(ınf

b∈B j

d(x,b))= ınf

j∈Jd(x,B j ),

como afirmamos.

6. Porque d(x, A) ≥ d(x,B) si A ⊆ B .

Los items del siguiente ejercicio extienden los resultados de la proposición anterior.

Ejercicio 1.55. Supongamos que (Ai )i∈I y (B j ) j∈J son familias de subconjuntos de X y A, B , C y Dson subconjuntos de X . Pruebe que las siguientes afirmaciones son verdaderas:

1. d(A,B) <∞ si y solo si A y B no son vacíos.

2. d(A,B) = 0 si A∩B 6= ;.

3. Si A ⊆ B y C ⊆ D , entonces d(B ,D) ≤ d(A,C ).

4. Para todo ε,ε′ con 0 ≤ ε,ε′ ≤∞, d(A,B) ≤ d(Aε,Bε′)+ε+ε′.5. d

(⋃i∈I Ai ,

⋃j∈J B j

)= ınfi∈I , j∈J d(Ai ,B j ).

6. d(⋂

i∈I Ai ,⋂

j∈J B j)≥ supi∈I , j∈J d(Ai ,B j ).

Definición 1.56. Por definición, el diámetro de un subconjunto A de un espacio métrico X es

diam A := supa,b∈A

d(a,b).

Definición 1.57. Un subconjunto de X es acotado si su diámetro no es infinito.

Ejemplo 1.58. El conjunto vacío y las bolas son conjuntos acotados porque

diam;= sup;=−∞ y diamBr (x) ≤ diamBr [x] ≤ 2r.

22

Espacios métricos 1.6 Espacios normados

Ejemplo 1.59. Todo espacio métrico discreto X es acotado. En efecto

diam X ={

0 si #X = 0,

1 si #X > 0.

Ejemplo 1.60. Un subconjunto no vacío A de R es acotado si y solo si ınf A y sup A son númerosreales. Esto es una consecuencia inmediata de la igualdad

diam A = sup A− ınf A,

cuya prueba dejamos como ejercicio para el lector.

Ejercicio 1.61. Pruebe que las siguientes afirmaciones son verdaderas para cada par de subconjunosA y B de X :

1. Si A ⊆ B , entonces diam A ≤ diamB .

2. diam Aε ≤ 2ε+diam A para todo ε≥ 0.

3. diam(A∪B) ≤ diam A+diamB +d(A,B).

Ejercicio 1.62. Dé un ejemplo de un espacio métrico X en el que diamBr [x] < 2r para algún x ∈ X yalgún r > 0.

Ejercicio 1.63. Pruebe que todo subconjunto de un espacio métrico X , que es unión finita de sub-conjuntos acotados de X , es acotado. Dicho de otro modo, pruebe que si A1, . . . , An son subconjuntosacotados de X , entonces

⋃ni=1 Ai es un subconjunto acotado de X .

El siguiente resultado es un reemplazo de la propiedad triangular para distancia entre conjuntos.

Proposición 1.64. Para toda terna A, B, C de subconjuntos no vacíos de un espacio métrico,

d(A,B) ≤ d(A,C )+d(C ,B)+diamC .

Demostración. Por la propiedad triangular de d y las definiciones de distancia entre conjuntos y dediámetro de un conjunto,

d(A,B) ≤ d(a,b) ≤ d(a,c)+d(c ′,b)+d(c,c ′) ≤ d(a,c)+d(c ′,b)+diamC ,

para cada a ∈ A, b ∈ B y c,c ′ ∈C . Tomando ínfimos en d(a,c) y en d(c ′,b), obtenemos la desigualdaddeseada.

1.6. Espacios normados

En esta sección k =R o C. Fijado un k-espacio vectorial E , los elementos de k son llamadosescalares y los de E vectores. Usaremos letras griegas para designar a los escalares y caracteres latinospara designar a los vectores. Las expresiones

λ+µ, λµ, x + y y λ · x

denotan a la suma y al producto de dos escalares λ y µ, a la suma de dos vectores x e y , y a la acciónde un escalar λ sobre un vector x, respectivamente.

23

1.6 Espacios normados Espacios métricos

Definición 1.65. Una norma en un k-espacio vectorial E es una función ‖ ‖ : E →R≥0 que satisface:

1. ‖x‖ = 0 si y solo si x = 0.

2. ‖λ · x‖ = |λ|‖x‖. (‖ ‖ es homogénea)

3. ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+‖y‖. (‖ ‖ es subaditiva)

Un espacio normado sobre k o k-espacio normado (E ,‖ ‖) es un k-espacio vectorial E , provisto deuna norma ‖ ‖.

A veces, cuando no haya posibilidad de confusión, hablaremos de un espacio normado E sin hacerreferencia a la función norma, la cual será denotada con el símbolo ‖ ‖, ni al cuerpo k. Si es necesariodistinguir entre varias normas usaremos la notación autoexplicativa ‖ ‖E , o notaciones específicascomo ‖ ‖p , ‖ ‖∞, etcétera. Pero también algunas veces usaremos la notación completa (E ,‖ ‖).

Observación 1.66. UnC-espacio normado es también unR-espacio normado, con la misma norma.

Proposición 1.67. Si ‖ ‖ es una norma en E, entonces la función d : E ×E −→R≥0, definida por

d(x, y) := ‖x − y‖,

es una métrica que satisface:

1. d(x + z, y + z) = d(x, y). (invariancia por traslaciones)

2. d(λ · x,λ · y) = |λ|d(x, y). (homogeneidad)

Demostración. Por la condición 1 de la definición de norma,

d(x, y) = 0 ⇔‖x − y‖ = 0 ⇔ x = y,

por la condición 2,

d(x, y) = ‖x − y‖ = ‖−1 · (y −x)‖ = |−1|‖y −x‖ = ‖y −x‖ = d(y, x),

y, por la condición 3,

d(x, z) = ‖x − z‖ ≤ ‖x − y‖+‖y − z‖ = d(x, y)+d(y, z).

Así que d es una métrica, la que, como lo prueban las igualdades

d(λ · x,λ · y) = ‖λ · x −λ · y‖ = |λ|‖x − y‖ = |λ|d(x, y)

y

d(x + z, y + z) = ‖(x + z)− (y + z)‖ = ‖x − y‖ = d(x, y),

es homogénea e invariante por traslaciones.

Definición 1.68. Decimos que una distancia d : E ×E −→R, definida sobre un k-espacio vectorial E ,está asociada a una norma, si existe una norma ‖ ‖ en E tal que d(x, y) = ‖x − y‖ para todo x, y ∈ E .

La proposición anterior muestra que para que una distancia esté asociada a una norma debeser homogénea e invariante por traslaciones. En el ejercicio que sigue se pide probar que estascondiciones son suficientes, y que la norma es única.

24


a

f = 2a

g = 2b

b

c

d = a + c

e = b + clong de = long ab

long f g = long 2ab

Figura 1.12: Invariancia por traslaciones y homogeneidad de la distancia euclideana del plano

Ejercicio 1.69. Pruebe que si d : E ×E −→R≥0 es una distancia invariante por traslaciones y homo-génea, entonces d está asociada a una única norma.

Ejemplos 1.70. En el segundo de los ejemplos de espacios métricos dados en la primera sección delCapítulo 1 vimos que (Rn ,d∞) es un espacio métrico. En realidadRn tiene una estructura canónicadeR-espacio vectorial y la distancia d∞ proviene de una norma. Se trata de la norma ‖ ‖∞ enRn ,definida por

‖x‖∞ := max1≤i≤n

|xi |,donde xi es la i -ésima coordenada de x. También en el tercero, cuarto, onceavo y decimosegundoejemplo de espacios métricos dados en la primera sección del Capítulo 1 las distancias provienen denormas. El tercer ejemplo fue (B[a,b],d∞). Su conjunto subyacente B[a,b] es unR-espacio vectorialvia la suma y el producto por escalares definidos por

( f + g )(t ) := f (t )+ g (t ) y (λ · f )(t ) :=λ f (t ),

y su métrica d∞ es la distancia asociada a la norma ‖ ‖∞, definida por

‖ f ‖∞ := supt∈[a,b]

| f (t )− g (t )|. (1.9)

El conjunto subyacente C[a,b] del cuarto ejemplo es un subespacio vectorial de B[a,b]. Por lo tanto lafórmula (1.9) define por restricción una norma (también denotada ‖ ‖∞) sobre C[a,b], cuya funcióndistancia d∞ asociada, es la restricción a C[a,b]×C[a,b] de la distancia d∞ de B[a,b]. Las normas alas que están asociadas las métricas dp consideradas en los ejemplos onceavo y decimosegundo sonla norma ‖ ‖p deRn , definida por

‖x‖p := p

√n∑

i=1|xi |p ,

y la norma ‖ ‖p en C [a,b], definida por

‖ f ‖p := p

√∫ b

a| f (t )|p d t ,

respectivamente. En ambos las estructuras de epacio vectorial son las consideradas antes.

Observación 1.71. Frecuentemente la norma ‖ ‖∞ de C[a,b] se define por la fórmula

‖ f ‖∞ := maxt∈[a,b]

| f (t )− g (t )|.

Esto es correcto porque toda función real continua definida sobre un intervalo cerrado y acotadoalcanza su máximo.

25

1.6 Espacios normados Espacios métricos

Ejemplo 1.72. Para cada p ∈ [1,∞], el C-espacio vectorial Cn es un espacio normado via la nor-ma ‖ ‖p definida por

‖(z1, . . . , zn)‖p :=

p

√n∑

i=1|zi |p si p <∞,

max1≤i≤n

|zi | si p =∞.

En efecto, es claro que estas funciones satisfacen la primera condición pedida en la Definición 1.65.También satisfacen la segunda, porque

‖λ · (z1, . . . , zn)‖p = p

√n∑

i=1|λ · zi |p = p

√|λ|p

n∑i=1

|zi |p = |λ| p

√n∑

i=1|zi |p = |λ|‖(z1, . . . , zn)‖p

para cada p <∞, mientras que

‖λ · (z1, . . . , zn)‖∞ = max1≤i≤n

|λ · zi | = |λ| max1≤i≤n

|zi | = |λ|‖(z1, . . . , zn)‖∞.

Por último, son subaditivas porque

‖(z1, . . . , zn)+ (w1, . . . , wn)‖p = p

√n∑

i=1|zi +wi |p

≤ p

√n∑

i=1(|zi |+ |wi |)p

≤ p

√n∑

i=1|zi |p + p

√n∑

i=1|wi |p por la desigualdad

de Minkowski (1.2)

= ‖(z1, . . . , zn)‖+‖(w1, . . . , wn)‖p

para todo p <∞, mientras que

‖(z1, . . . , zn)+ (w1, . . . , wn)‖∞ = max1≤i≤n

|zi +wi |

≤ max1≤i≤n

(|zi |+ |wi |) por la subaditividadde la función | |

≤ max1≤i≤n

|zi |+ max1≤i≤n

|wi |= ‖(z1, . . . , zn)‖∞+‖(w1, . . . , wn)‖∞.

Ejemplo 1.73. Si (E ,‖ ‖) es un espacio normado, entonces también lo es cada subespacio vectorial Fde E , con la norma inducida por ‖ ‖, la que, por definición, es la norma de F obtenida restringiendo ‖ ‖a F . Cada uno de estos espacios es llamado un subespacio normado de E . Por ejemplo, (C [a,b],‖ ‖∞)es un subespacio normado de (B [a,b],‖ ‖∞).

Ejemplo 1.74. Si (E ,‖ ‖) es un espacio normado y f : F → E es un monomorfismo de espaciosvectoriales, entonces F es un espacio normado via la norma ‖ ‖ f definida por ‖y‖ f := ‖ f (y)‖[4]. ElEjemplo 1.73 es el caso particular obtenido tomando como f a la inclusión canónica de F en E .

Ejercicio 1.75. Consideremos el espacio normado (Cn ,‖ ‖p ), donde 1 ≤ p ≤∞, como un espacionormado sobreR (ver la Observación 1.66). Pruebe que la norma inducida sobreRn a través de lainclusión canónica i : Rn →Cn , de acuerdo al Ejemplo 1.74, es la norma ‖ ‖p .

26


Ejemplo 1.76. El producto cartesiano E×F , de dos espacios normados E y F , es un espacio normadovia la norma ‖ ‖∞, definida por ‖(x, y)‖∞ = max(‖x‖E ,‖y‖F )[5]. Notemos que la métrica que induceesta norma sobre E ×F es la definida en el item 8 del Ejemplo 1.4. Salvo indicación en contrario,siempre consideraremos al producto cartesiano de espacios normados dotado de esta norma.

Notaciones 1.77. Para cada par A y B de subconjuntos de un espacio normado E , cada escalar λ ycada subconjunto Λ de k, escribimos

A+B := {a +b : a ∈ A y b ∈ B}, λ · A := {λ ·a : a ∈ A} y Λ · A := {λ ·a :λ ∈Λ y a ∈ A}.

Proposición 1.78. Para cada λ ∈ k \ {0} y cada r ∈R>0,

λ ·Br (0) = B|λ|r (0) y λ ·Br [0] = B|λ|r [0].

Demostración. La inclusión λ ·Br (0) ⊆ B|λ|r (0) vale porque ‖λ · y‖ = |λ|‖y‖ < |λ|r para todo y ∈ Br (0).En particular

1

λ·B|λ|r (0) ⊆ B 1

|λ| |λ|r (0) = Br (0)

y, por lo tanto, también vale que B|λ|r (0) ⊆λ ·Br (0). La segunda igualdad puede probarse en formasimilar[6].


Br [0] = ⋂λ∈(1,∞)

λ ·Br (0) y Br (0) = ⋃λ∈(0,1)

λ ·Br [0]

para todo r ∈R>0.

La importancia en los espacios normados de las bolas centradas en 0 se debe a que determinan atodas las demás, como lo muestra el resultado que sigue.

Proposición 1.80. Para todo punto x de un espacio normado E y cada r > 0,

Br (x) = x +Br (0) y Br [x] = x +Br [0].

Demostración. La primera igualdad vale porque

y ∈ Br (x) ⇔ d(y, x) < r ⇔ d(y −x,0) < r ⇔ y −x ∈ Br (0),

y la segunda puede probarse en forma similar.

Proposición 1.81. En un espacio normado no nulo E,

diamBr (x) = diamBr [x] = 2r

para todo x ∈ E y todo r > 0.

Demostración. Sabemos que diamBr (x) ≤ diamBr [x] ≤ 2r . Para probar que vale la desigualdadrecíproca es suficiente notar que

x ± λ

‖y‖ · y ∈ Br (x) y d

(x + λ

‖y‖ · y, x − λ

‖y‖ · y

)= λ

‖y‖‖2 · y‖ = 2λ

para cada y ∈ E \ {0} y cada λ ∈ [0,r ).

27

1.7 Pseudonormas Espacios métricos

1.7. Pseudonormas

Definición 1.82. Una pseudonorma en un k-espacio vectorial E es una función ‖ ‖ : E →R≥0 quesatisface:

1. ‖x‖ = 0 si x = 0,

2. ‖λ · x‖ = |λ|‖x‖, (homogeneidad)

3. ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+‖y‖. (subaditividad)

Un espacio pseudonormado es un k-espacio vectorial E , provisto de una pseudonorma.

Ejercicio 1.83. Pruebe que si ‖ ‖ es una pseudonorma en E , entonces la función d : E ×E →R≥0,definida por d(x, y) = ‖x − y‖, es una pseudométrica que satisface:

1. d(x + z, y + z) = d(x, y), (invariancia por traslaciones)

2. d(λ · x,λ · y) = |λ|d(x, y). (homogeneidad)

Pruebe que, recíprocamente, si d es una pseudométrica invariante por traslaciones y homogéneaen E , entonces existe una única pseudonorma ‖ ‖ en E tal que

d(x, y) = ‖x − y‖ para todo x, y .

En el siguiente ejercicio se supone que el lector conoce la construcción del espacio cociente deun espacio vectorial por un subespacio (Vease el Apéndice A).

Ejercicio 1.84. Pruebe que si (E ,‖ ‖) es un espacio pseudonormado, entonces el conjunto

S := {x ∈ E : ‖x‖ = 0}

es un subespacio vectorial de E . Denotemos con E/S al espacio cociente y con p : E → E/S a laproyección canónica. Pruebe que existe una única función ‖ ‖ : E/S →R≥0, tal que ‖ ‖◦p = ‖ ‖, y que‖ ‖ es una norma.

Ejercicio 1.85. Pruebe que en la situación del ejercicio anterior la función distancia d , asociada ala norma ‖ ‖, coincide con la obtenida aplicando el Ejercicio 1.15 a la pseudométrica asociada a lapseudonorma ‖ ‖.

1.8. La bola unitaria en espacios normados

En un espacio métrico arbitrario es imposible recuperar la función distancia conociendo unabola. En un espacio normado E la situación es mucho mejor. La norma (y por lo tanto la métrica) y labola cerrada unitaria B1[0] se determinan mutuamente por las fórmulas

B1[0] = {x ∈ E : ‖x‖ ≤ 1} y ‖x‖ = mın{λ ∈R≥0 : x ∈λ ·B1[0]}5, (1.10)

5También la bola abierta unitaria B1(0) y la norma se determinan mutuamente. En este caso las fórmulas son

B1(0) = {x ∈ E : ‖x‖ < 1} y ‖x‖ = ınf{λ ∈R≥0 : x ∈λ ·B1(0)}.

28

Espacios métricos 1.8 La bola unitaria en espacios normados

la primera de las cuales es cierta por definición. Para ver que también vale la segunda es suficientenotar que si x 6= 0, entonces

x = ‖x‖ ·( 1

‖x‖ · x)∈ ‖x‖ ·B1[0],

y que si x =λ · x ′ con λ ∈R≥0 y x ′ ∈ B1[0], entonces ‖x‖ =λ‖x ′‖ ≤λ. Por consiguiente tiene sentidopreguntarse que condiciones debe satisfacer un subconjunto B de un espacio vectorial E para ser labola cerrada unitaria de una norma. Los resultados que siguen responden esta cuestión.

Proposición 1.86. La bola cerrada unitaria B1[0] de un espacio normado E tiene las siguientespropiedades:

1. N ·B1[0] = E,

2. λ · x + (1−λ) · y ∈ B1[0] para todo x, y ∈ B1[0] y λ ∈ [0,1], (B1[0] es convexo)

3. λ ·B1[0] ⊆ B1[0] para todo escalar λ con |λ| ≤ 1,

4.⋂

n∈N 1n ·B1[0] = 0,

5. para todo x ∉ B1[0] existe λ ∈ (0,1) tal que λ · x ∉ B1[0].

Demostración. 1. Porque, como la función ‖ ‖ es homogénea,

x = n ·( 1

n· x

)⊆ n ·B1[0]

para todo x ∈ E y n ∈N tal que n ≥ ‖x‖.

2. B1[0] es convexo porque, por la homogeneidad y subaditividad de la norma, si ‖x‖ ≤ 1 y ‖y‖ ≤ 1,entonces

‖λ · x + (1−λ) · y‖ ≤λ‖x‖+ (1−λ)‖y‖ ≤ 1

para todo λ ∈ [0,1].

3. Porque, por la homogeneidad de la norma,

‖λ · x‖ = |λ|‖ x‖ ≤ |λ| ≤ 1

para todo x ∈ B1[0] y todo λ con |λ| ≤ 1.

4. Porque, por la homogeneidad de la norma y el hecho de que ‖x‖ = 0 si y solo si x = 0,

x ∈ ⋂n∈N

1

n·B1[0] ⇔‖x‖ < 1/n para todo n ∈N ⇔‖x‖ = 0 ⇔ x = 0.

5. Porque, como la norma es homogénea, si ‖x‖ > 1, entonces ‖λ ·x‖ > 1 para todo λ ∈ (1/‖x‖,1).

Teorema 1.87. Si un subconjunto B de un espacio vectorial E satisface

1. R≥0 · B = E, (B es absorbente)

2. λ · x + (1−λ) · y ∈ B para todo x, y ∈ B y λ ∈ [0,1], (B es convexo)

3. λ · B ⊆ B para todo escalar λ con |λ| = 1,

4.⋂λ∈R>0

λ · B = 0,

5. para todo x ∉ B existe λ ∈ (0,1) tal que λ · x ∉ B,

entonces B es la bola cerrada unitaria de una norma de E (En la Figura 1.13 se representa un subcon-junto del plano euclideano que satisface las condiciones 1–5).

29

1.8 La bola unitaria en espacios normados Espacios métricos

Demostración. Veamos primero que la condición requerida en el item 3 se cumple para todo λ ∈ kcon |λ| ≤ 1. Para empezar, por el item 1 sabemos que existe x ∈ B. Pero entonces, por el item 3también −x ∈ B y, en consecuencia, por el item 2,

0 = 1

2· x + 1

2· (−x) ∈ B.

Así, nuevamente por el item 2,

λ · x =λ · x + (1−λ) ·0 ∈ B para todo x ∈ B y todo λ ∈ [0,1]. (1.11)

Finalmente, si 0 < |λ| ≤ 1, entonces debido a la condición (1.11) y al item 3,

λ · B = |λ| ·(λ

|λ| · B

)⊆ |λ| · B ⊆ B,

como queremos. Además, si |λ| = 1, entonces

λ · B = B (1.12)

porque B =λ · (λ−1 · B) ⊆λ · B.

Notemos que por el item 1 podemos definir una función ‖ ‖ : E →R≥0 por

‖x‖ := ınf{λ ∈R≥0 : x ∈λ · B}.

Debemos probar que ‖ ‖ es una norma. Como 0 ∈ λ · B para todo λ, es claro que ‖0‖ = 0. Por otraparte, dado que el item 3 vale para todo escalar cuyo módulo es menor o igual que 1,

λ′ · B =λλ′

λ· B =λ ·

(λ′

λ· B

)⊆λ · B. (1.13)

para cada par λ′,λ de escalares tales que |λ′| < |λ|. En consecuencia, si ‖x‖ = 0, entonces

x ∈ ⋂λ∈R>0

λ · B[7],

lo que por el item 4 implica que x = 0. Esto concluye la prueba de que ‖x‖ = 0 si y solo si x = 0.Afirmamos que la función ‖ ‖ es homogénea. En efecto, como

x ∈λ′ · B ⇔λ · x ∈λλ′ · B para todo x ∈ E , λ ∈ k \ {0} y λ′ ∈R≥0

y, por la igualdad (1.12),

λλ′ · B = |λ|λ′ ·(λ

|λ| · B

)= |λ|λ′ · B,

para cada λ ∈ k \ {0} y cada x ∈ E ,

‖λ · x‖ = ınf{|λ| ·λ′ ∈R≥0 : x ∈λ′ · B} = |λ|‖x‖.

Puesto que, además,‖0 · x‖ = ‖0‖ = 0 = 0‖x‖ para todo x ∈ E ,

30

Espacios métricos 1.8 La bola unitaria en espacios normados

la función ‖ ‖ satisface la condición de homogeneidad, como queremos. Para inferir que ‖ ‖ esuna norma solo resta verificar que es subaditiva. Para ello supongamos que x ∈ λ · B y x ′ ∈ λ′ · B,con λ,λ′ ∈R>0, y escribamos x =λ · x y x ′ =λ′ · x ′. Entonces, gracias al item 2,

x +x ′ =λ · x +λ′ · x ′ = (λ+λ′) ·(

λ

λ+λ′ · x + λ′

λ+λ′ · x ′)∈ (λ+λ′) · B,

por lo que ‖x +x ′‖ ≤ ‖x‖+‖x ′‖.

Notemos ahora que si x es un punto de B, entonces x ∈ B1[0] por la misma definición de ‖x‖, porlo que B ⊆ B1[0]. Para concluír la demostración del teorema debemos verificar que vale la inclusiónrecíproca. Supongamos que x pertenece a B1[0]. Nuevamente por la definición de ‖x‖, esto significaque para todo ε> 0 existe 0 <λ< 1+ε tal que x ∈λ · B. En consecuencia, por la condición (1.13),

x ∈ ⋂λ∈R>1

λ · B[8].

Pero entoncesλ · x ∈λ · (λ−1 · B) = B para todo λ ∈ (0,1),

lo que por el item 5 implica que x ∈ B.

Figura 1.13: Un subconjunto del plano euclideanoque satisface las condiciones 1-5 del Teorema 1.87

Ejercicio 1.88. Pruebe que la bola abierta unitaria B1(0) de un espacio normado E tiene las siguientespropiedades:

1. N ·B1(0) = E ,

2. λ · x + (1−λ) · y ∈ B1(0) para todo x, y ∈ B1(0) y λ ∈ [0,1], (B1(0) es convexo)

3. λ ·B1(0) ⊆ B1(0) para todo escalar λ con |λ| ≤ 1,

4.⋂

n∈N 1n ·B1(0) = 0,

5. para cada x ∈ B1(0) existe λ ∈ (1,∞) tal que λ · x ∈ B1(0).

Ejercicio 1.89. Pruebe que si un subconjunto B de un espacio vectorial E satisface

31

1.9 Sucesiones Espacios métricos

1. R≥0 ·B = E , (B es absorbente)

2. λ · x + (1−λ) · y ∈ B para todo x, y ∈ B y λ ∈ [0,1], (B es convexo)

3. λ ·B ⊆ B para todo escalar λ con |λ| = 1,

4.⋂λ∈R>0

λ ·B = 0,

5. para cada x ∈ B existe λ ∈ (1,∞) tal que λ · x ∈ B,

entonces es la bola abierta unitaria de una norma.

Observación 1.90. En la Proposición 1.86 se probó en particular que en cada espacio normado E ,la bola cerrada con centro 0 y radio 1 es un conjunto convexo. El mismo argumento prueba que,en realidad, todas las bolas, tanto las abiertas como las cerradas, son convexas. Más aún, dados unpunto v en la esfera Sr (x) y un punto w en la bola abierta Br (x), todos los puntos distintos de v delsegmento v w , están en Br (x). En efecto,

‖(1−λ) · v +λ ·w −x‖ = ‖(1−λ) · (v −x)+λ · (w −x)‖ ≤ (1−λ)‖v −x‖+λ‖w −x‖ < r,

para todo λ ∈ (0,1].

1.9. Sucesiones

Definición 1.91. Una sucesión de puntos de un conjunto X es una función x: N→ X .

Siguiendo una práctica habitual escribiremos xn en lugar de x(n) y denotaremos a la sucesión xcon el símbolo (xn)n∈N.

Definición 1.92. Una sucesión (yn)n∈N es una subsucesión de (xn)n∈N si existe una función estricta-mente creciente s : N→N tal que yn = xsn para todo n ∈N.

Definición 1.93. Una sucesión (xn)n∈N de puntos de un espacio métrico X es convergente si hay unpunto x ∈ X con la siguiente propiedad: dado ε> 0, existe n0 ∈N tal que

d(xn , x) < ε para todo n > n0.

En este caso decimos también que (xn)n∈N tiende (o converge) a x y que x es el límite de (xn)n∈N, yescribimos

lımn→∞xn = x, o (xn)n∈N −−−−→

n→∞ x.

Una sucesión de puntos de X es divergente si no es convergente.

Observación 1.94. Una sucesión (xn)n∈N de puntos de X tiende a x si y solo si la sucesión de númerosreales (d(xn , x))n∈N tiende a 0.

Observación 1.95. Si una sucesión (xn)n∈N de puntos de X converge, entonces lo hace a un solopunto. En efecto, si

(xn)n∈N −−−−→n→∞ x y (xn)n∈N −−−−→

n→∞ y,

entonces dado ε> 0 existe n0 ∈N tal que

d(xn , x) < ε y d(xn , y) < ε para todo n > n0,

y en consecuencia0 ≤ d(x, y) ≤ d(x, xn)+d(xn , x) < 2ε,

por la propiedad triangular de d . Como ε es arbitrario, esto implica que d(x, y) = 0, como queremos.

32

Espacios métricos 1.9 Sucesiones

Ejemplo 1.96. Una sucesión de puntos x1, x2, x3, . . . de X es finalmente constante si existe n0 ∈Ntal que xn = xn0 para todo n ≥ n0. Toda sucesión finalmente constante es convergente. Si X tiene lamétrica discreta estas son las únicas sucesiones convergentes.

Ejemplo 1.97. La sucesión de números reales (1/n)n∈N tiende a 0.

Ejemplo 1.98. La sucesión de números reales ((−1)n)n∈N es divergente.

Ejemplo 1.99. Una sucesión de funciones acotadas fn : [a,b] →R tiende a una función acotadaf : [a,b] →R, respecto de la distancia d∞, si y solo si fn tiende a f uniformemente.

Ejemplo 1.100. Una sucesión de funciones continuas fn : [a,b] →R tiende a una función continuaf : [a,b] →R, respecto de la distancia d1, si y solo si el area de la región acotada determinada por losgráficos de fn y f tiende a cero.

Observación 1.101. Para cada espacio métrico X , cada sucesión (xn)n∈N de puntos de X y cada x ∈ Xson equivalentes:

1. (xn)n∈N −−−−→n→∞ x.

2. Para toda bola abierta Bε(x), existe n0 ∈N tal que xn ∈ Bε(x) si n ≥ n0.

3. Para todo entorno V de x, existe n0 ∈N tal que xn ∈V si n ≥ n0.

En efecto, los items 1 y 2 son equivalentes porque d(xn , x) < ε si y solo si xn ∈ Bε(x). El item 3 se siguedel item 2 porque todo entorno de x incluye una bola abierta Bε(x), y el item 2 se sigue del item 3porque toda bola abierta con centro en x es un entorno de x.

Observación 1.102. Para verificar que una sucesión (xn)n∈N de puntos de un espacio métrico Xconverge a un punto x ∈ X , es suficiente comprobar que la condición 3 de la Observación 1.101se satisface para cada entorno V de una subbase de entornos S de x. En efecto, supongamos quedados V1, . . . ,Vi ∈S , existen n1, . . . ,ni ∈N tales que xn ∈V j for all n ≥ n j . Entonces xn ∈V1 ∩·· ·∩Vi

para todo n ≥ max(n1, . . . ,ni ). Por la misma definición de subbase de entornos, esto implica que lacondición 3) de la Observación 1.101 se satisface para todo entorno V de x.

Observación 1.103. Una sucesión (xn)n∈N de puntos de un espacio normado E converge a un punto xsi y solo si la sucesión (xn −x)n∈N tiende a 0.

Observación 1.104. Consideremos un espacio métrico X y un subespacio Y de X . Una sucesión(yn)n∈N de puntos de Y tiende a y ∈ Y si y solo si (yn)n∈N tiende a y en X e y ∈ Y .

Definición 1.105. Una sucesión (xn)n∈N de puntos de X es acotada si lo es el conjunto {xn : n ∈N}.

Ejercicio 1.106. Pruebe que si una sucesión es convergente, entonces es acotada.

Proposición 1.107. Una sucesión (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), . . . de puntos de un producto X × Y deespacios métricos converge a un punto (x, y) si y solo si (xn)n∈N tiende a x e (yn)n∈N tiende a y.

Demostración. Como d∞((x, y), (xn , yn)

)= max(d X (x, xn),d Y (y, yn)), la sucesión(d∞

((x, y), (xn , yn)

))∈N

tiende a cero si y solo si las sucesiones (d X (xn , x))n∈N y (d Y (yn , y))n∈N lo hacen.

33

1.9 Sucesiones Espacios métricos

Corolario 1.108. Consideremos un producto X := X1×·· ·×Xm de una cantidad finita espacios métricosy un punto x = (x1, . . . , xm) ∈ X . Una sucesión (xn)n∈N de puntos de X tiende a x si y solo si la suce-sión (xn

j )n∈N, donde xnj es la j -ésima coordenada de xn , tiende a x j para todo j ∈ {1, . . . ,m}.

Demostración. Se sigue de la Proposición 1.107 por inducción en n.

Corolario 1.109. Una sucesión (xn)n∈N de puntos de Rm , donde xn = (xn1 , . . . , xn

m), converge a unpunto x = (x1, . . . , xm) deRn respecto la norma ‖ ‖∞ si y solo si la sucesión de números reales (xn

i )n∈Ntiende a xi , para cada índice i .

Demostración. Esto es un caso particular del Corolario 1.108.

Nota 1.110. El resultado anterior vale para todas las normas ‖ ‖p , pero cuando p 6=∞ no se siguedirectamente de la Proposición 1.107. Es necesario probar además que (Rn ,‖ ‖p ) y (Rn ,‖ ‖∞) tienenlas mismas sucesiones convergentes, y que cada de ellas una tiene el mismo límite en (Rn ,‖ ‖p ) yen (Rn ,‖ ‖∞) (el lector puede probar esto ahora como un ejercicio o deducirlo más adelante delEjercicio 3.93).

Proposición 1.111. Si una sucesión (xn)n∈N converge a un punto x, entonces también lo hace todasubsucesión (xsn )n∈N de (xn)n∈N.

Demostración. Tomemos ε> 0 arbitrario. Por la definición de límite de una sucesión existe n0 ∈Ntal que xn ∈ Bε(x) para todo n ≥ n0. Como s es estrictamente creciente, existe m0 ∈N tal que sm > n0

si m ≥ m0. Por lo tanto xsm ∈ Bε(x) para todo m ≥ m0.

Corolario 1.112. Una sucesión de puntos de un espacio métrico que tiene una subsucesión divergenteo dos subsucesiones que convergen a puntos distintos, es divergente.

Demostración. Es una consecuencia inmediata de la proposición anterior.

Definición 1.113. Un punto x de un espacio métrico X es un punto de aglomeración de una sucesión(xn)n∈N de puntos de X , si hay una subsucesión

(xsn

)n∈N de (xn)n∈N que tiende a x.

Ejemplos 1.114. Por ejemplo, los puntos de aglomeración de la sucesión ((−1)n)n∈N son −1 y 1, y lasucesión identidad (n)n∈N no tiene ninguno.

Observación 1.115. Por la Proposición 1.111 las sucesiones convergentes tienen un solo punto deaglomeración. La recíproca es falsa, por ejemplo la sucesión (xn)n∈N definida por

xn :={

n si n es par,

1 si n es impar,

tiene un solo punto de aglomeración, pero no es convergente.

Observación 1.116. Un punto x de X es un punto de aglomeración de (xn)n∈N si y solo si para todabola r > 0 hay infinitos m ∈N tales que xm ∈ Br (x). En efecto, si x = lımn→∞ xsn , entonces existen0 ∈N tal que

xsn ∈ Br (x) para todo n ≥ n0.

Como la función n 7→ sn es inyectiva, esto prueba que el conjunto

{m ∈N : xm ∈ Br (x)}

34

Espacios métricos 1.9 Sucesiones

es infinito. Recíprocamente, si para todo r > 0 el conjunto Ur de los m ∈N tales que xm ∈ Br (x) esinfinito, entonces la sucesión (xsn )n∈N, definida tomando como sn al n-ésimo elemento de U1/n ,tiende a x, y es una subsucesión de (xn)n∈N, porque la función n 7→ sn es estrictamente creciente.

Ejercicio 1.117. Pruebe que si x : N→ Q es una función sobreyectiva, entonces el conjunto depuntos de aglomeración de (xi )i∈N esR.

Observación 1.118. Recordemos que la recta real extendida R∗ consta del conjunto R más doselementos −∞ y ∞ tales que −∞< a <∞ para cada número real a. EnR∗ todo conjunto es acotadoy tiene supremo e infimo. Consideremos una sucesión (xn)n∈N de puntos deR. Definimos el límitesuperior y el límite inferior de (xn)n∈N como los elementos

lımsupn

xn := ınfn

supi≥n

xi y lıminfn

xn := supn

ınfi≥n

xi ,

deR∗, respectivamente. En los cursos de análisis matemático en una variable se prueba que

1. lıminfn xn ≤ lımsupn xn .

2. lıminfn xn >−∞ si y solo si (xn)n∈N es acotada inferiormente enR y lımsupn xn <∞ si y solosi es acotada superiormente enR.

3. Si lımsupn xn ∈R, entonces lımsupn xn es un punto de aglomeración de (xn)n∈N. Además,para cada M > lımsupn xn hay solamente una cantidad finita de n’s tales que xn ≥ M . Enconsecuencia lımsupn xn es el máximo punto de aglomeración de (xn)n∈N.

4. Si lıminfn xn ∈ R, entonces lıminfn xn es un punto de aglomeración de (xn)n∈N. Además,para cada M < lıminfn xn hay solamente una cantidad finita de n’s tales que xn ≤ M . Enconsecuencia lıminfn xn es el mínimo punto de aglomeración de (xn)n∈N.

5. Los siguientes hechos son equivalentes:

a) (xn)n∈N converge,

b) lıminfn xn = lımsupn xn ∈R,

c) (xn)n∈N es acotada y tiene un solo punto de aglomeración.

Además, en este caso lımn xn = lıminfn xn = lımsupn xn .

6. lımsupn xn = −∞ si y solo si lımn xn = −∞ (esto es, para todo M ∈R existe n0 ∈N tal quexn < M para todo n ≥ n0). Análogamente, lıminfn xn =∞ si y solo si lımn xn =∞ (esto es, paratodo M ∈R existe n0 ∈N tal que xn > M para todo n ≥ n0).

7. lımsupn xn = ∞ si y solo si (xn)n∈N tiene una subsucesión que tiende a ∞. Análogamentelıminfn xn =−∞ si y solo si (xn)n∈N tiene una subsucesión que tiende a −∞.

Es muy tentador considerar como convergentes a las sucesiones con límite ∞ o −∞, a pesar deque estos no son números reales, y considerar a ∞ como un punto de aglomeración de (xn)n∈N silımsupn xn =∞, y a −∞ como uno, si lıminfn xn =−∞. Llegado a este punto es un paso pequeñoadmitir además que las sucesiones tomen valores en R∗ (es decir aceptar que xn pueda ser ±∞para algunos valores de n). Las ventajas son por lo menos dos: todas las sucesiones tienen puntosde aglomeración (dicho de otra forma, toda sucesión tiene una subsucesión convergente) y unasucesión es convergente si y solo si tiene un único punto de aglomeración. Hay una pregunta natural.¿Existe una métrica sobre R∗ bajo la cual la convergencia de sucesiones es la descripta arriba?(incluyendo la convergencia a +∞ y a −∞). Como veremos más adelante, la respuesta es que si.También estudiaremos y caracterizaremos los espacios métricos que tienen la propiedad de que todasucesión tiene una subsucesión convergente.

35

Notas

Observación 1.119. Por las condiciones 1), 2) y 3) de la observación anterior toda sucesión acotadasuperior o inferiormente tiene una subsucesión convergente[9].

Ejercicio 1.120. ¿Cuándo converge una sucesión (xn)n∈N de puntos deN∗S ? (ver el séptimo item de

los Ejemplos 1.4).

Notas

[1]. Si x ∈ A \ C y x ∈ B , entonces x ∈ B4C ; y si x ∈ A \ C y x ∉ B , entonces x ∈ A4B . Por lo tanto,A \C ⊆ (A4B)∪ (B4C ). Por simetría, C \ A ⊆ (A4B)∪ (B4C ).

[2]. Es claro que (1.7) se satisface si α= 0 o β= 0, y que si se cumple para α y β, entonces tambiénse cumple para λ ·α y µ ·β, cualesquiera sean λ y µ en R. Debido a esto y a que la integraldefinida de cualquier función continua no nula h : [a,b] →R≥0 es mayor que cero, para ver quela desigualdad integral de Hölder vale, será suficiente mostrar que∫ b

a|α(t )|p d t =

∫ b

a|β(t )|q d t = 1 =⇒

∫ b

a|α(t )β(t )| ≤ 1. (1.14)

Pero esto es cierto, porque, por (1.5),∫ b

a|α(t )β(t )|d t ≤ 1

p

∫ b

a|α(t )|p d t + 1

q

∫ b

a|β(t )|q d t = 1

p+ 1

q= 1.

[3]. Como el ínfimo de un subconjunto J deR es infinito si y solo si J es vacío,

d(A,B) =∞ si y solo si {d(a,b) : a ∈ A y b ∈ B} =;,

lo que ocurre si y solo si A =; o B =;.

[4]. Como f es inyectiva,‖v‖ f = 0 ⇔‖ f (v)‖ = 0 ⇔ f (v) = 0 ⇔ v = 0;

como f (λ · v) =λ · f (v) para todo λ ∈ k y v ∈ F y la función ‖ ‖ es homogénea,

‖λ · v‖ f = ‖ f (λ · v)‖ = ‖λ · f (v)‖ = |λ|‖ f (v)‖ = |λ|‖v‖ f ;

y, como f (v +w) = f (v)+ f (w) para todo v, w ∈ F y la función ‖ ‖ es subaditiva,

‖v +w‖ f = ‖ f (v +w)‖ = ‖ f (v)+ f (w)‖ ≤ ‖ f (v)‖+‖ f (w)‖ = ‖v‖ f +‖w‖ f .

36

Notas

[5]. Para ver que la función ‖ ‖ es una norma es suficiente notar que, como ‖x‖E = 0 si y solo si x = 0y ‖y‖F = 0 si y solo si y = 0,

‖(x, y)‖∞ = 0 ⇔‖x‖E = 0 y ‖y‖F = 0 ⇔ x = 0 e y = 0;

como ‖ ‖E y ‖ ‖F son homogéneas,

‖λ · (x, y)‖∞ = max(‖λ · x‖E ,‖λ · y‖F )

= max(|λ|‖x‖E , |λ|‖y‖F )

= |λ|max(‖x‖E ,‖y‖F )

= |λ|‖(x, y)‖∞;

y, como ‖ ‖E y ‖ ‖F son subaditivas,

‖(x, y)+ (x ′, y ′)‖∞ = max(‖x +x ′‖E ,‖y + y ′‖F )

≤ max(‖x‖E +‖x ′‖E ,‖y‖F +‖y ′‖F )

≤ ‖(x, y)‖∞+‖(x ′, y ′)‖∞.

[6]. Como ‖λ · y‖ = |λ|‖y‖ ≤ |λ|r para todo y ∈ Br [0],

λ ·Br [0] ⊆ B|λ|r [0].

En consecuencia, dado que λ y r son arbitrarios,

1

λ·B|λ|r [0] ⊆ B 1

|λ| |λ|r [0] = Br [0]

y, por lo tanto, B|λ|r [0] ⊆λ ·Br [0].

[7]. Por la definición de ‖x‖, si ‖x‖ = 0, entonces para cada λ ∈R>0 existe λ′ <λ tal que x ∈λ′ · B y,por lo tanto, debido a (1.13), x ∈λ · B.

[8]. Arguméntese como en la nota anterior.

[9]. Por el item 2) la sucesión (xn)n∈N está acotada si y solo si −∞< lıminfn xn y lımsupn xn <∞.Por el item 1) esto implica que lıminfn xn ∈R y lımsupn xn ∈R.

37

CA

PÍ

TU

LO

2TOPOLOGÍA DE ESPACIOS MÉTRICOS

2.1. Conjuntos abiertos

Definición 2.1. Un subconjunto U de un espacio métrico X es abierto si para todo x ∈U existe r > 0tal que Br (x) ⊆U o, equivalentemente, si es entorno de cada uno de sus puntos.

Observación 2.2. Por la misma definición de abierto, si U es un abierto de X , entonces trivialmentecada x ∈ U tiene un entorno incluído en U . Recíprocamente, si cada x ∈ U tiene un entorno Vx

incluído en U , entonces U es entorno de cada uno de sus puntos. Dicho de otro modo, U es abierto.

Observación 2.3. De la definición se sigue inmediatamente que todo conjunto abierto es unión debolas abiertas. Pronto veremos que también vale la recíproca.

Ejemplo 2.4. Los intervalos abiertos (acotados o no) son subconjuntos abiertos de R. En efecto,supongamos, por ejemplo, que x ∈ (a,b) con a,b ∈R y a < b. Entonces la bola Bε(x) = (x −ε, x +ε),donde ε= mın(x −a,b −x), está incluída en (a,b).

Ejemplo 2.5. Todos los subconjuntos de un espacio métrico discreto X son abiertos.

Ejemplo 2.6. El conjunto (y > x) := {(x, y) ∈ R2 : y > x} es un subconjunto abierto de (R2,‖ ‖∞).Para comprobarlo basta observar que si y > x y ε = y−x

2 , entonces todo punto de la bola abierta

B‖ ‖∞ε (x, y) = (x − ε, x + ε)× (y − ε, y + ε) pertenece a (y > x). Más generalmente, para cada función

continua f : R→R los conjuntos {(x, y) ∈R2 : y > f (x)} y {(x, y) ∈R2 : y < f (x)} son subconjuntosabiertos de (R2,‖ ‖∞). Dejamos como ejercicio para el lector la tarea de probar esto.

Ejemplo 2.7. Por el Ejemplo 1.25, el producto A1 ×·· ·× An de abiertos Ai de espacios métricos Xi esabierto en X1 ×·· ·×Xn . El ejemplo anterior muestra que no todos los subconjuntos abiertos de unproducto finito de espacios métricos tienen esta forma.

Ejemplo 2.8. Los conjuntos abiertos de (R2,‖ ‖∞) y de (R2,‖ ‖2) son los mismos. Esto es así por-que B‖ ‖∞

r /p

2(x) ⊆ B‖ ‖2

r (x) ⊆ B‖ ‖∞r (x) para cada r > 0. Más adelante veremos que, más generalmente,

(Rn ,‖ ‖p ) y (Rn ,‖ ‖q ) tienen los mismos abiertos para todo n ≥ 1 y cada p, q ≥ 1.

39

2.1 Conjuntos abiertos Topología de espacios métricos

Ejemplo 2.9. El conjunto A := {f ∈ B[a,b] : supx∈[a,b] f (x) < 1

}es un subconjunto abierto de B[a,b],

para cada a,b ∈R con a < b. En efecto, si supx∈[a,b] f (x) = r < 1, entonces B1−r ( f ) ⊆ A. En cambioel conjunto B := { f ∈ B[a,b] : f (x) < 1 for all x} no es abierto porque si el supremo de los valorestomados por f es 1, entonces ninguna bola con centro en f está incluída en B .

Ejemplo 2.10. El conjunto { f ∈ C[a,b] : f (x) < 1 for all x} es un subconjunto abierto de C[a,b], paracada a,b ∈R con a < b. La razón es que si f (x) < 1 para todo x, entonces el supremo de los valorestomados por f es menor que 1 porque, por el Teorema de Bolzano, toda función real continuadefinida sobre un intervalo cerrado y acotado alcanza su máximo.

Observación 2.11. En todo espacio métrico X las bolas abiertas Br (x) son conjuntos abiertos. Enefecto, para cada y ∈ Br (x) la bola Br−d(x,y)(y) está incluída en Br (x), porque

d(x, z) ≤ d(x, y)+d(y, z) < d(x, y)+ r −d(x, y) = r para todo z ∈ Br−d(x,y)(y).

También en todo espacio métrico X el complemento de cada bola cerrada Br [x] es un conjuntoabierto. En efecto, por la Proposición 1.27

Bs(y) ⊆ X \ Br [x]

para cada y ∈ X \ Br [x], y todo 0 < s < d(x, y)− r .

r ′ = r − long x y

long xz ≤ long x y + long y z

< long xz + r ′

= r

r r ′

x

y

z

Figura 2.1: Ilustración en el plano de la prueba de que las bolas abiertas son abiertos

Teorema 2.12. Las siguientes afirmaciones son verdaderas para todo espacio métrico X :

1. X y ; son abiertos.

2. Si (U j ) j∈J es una familia de subconjuntos abiertos de X , entonces⋃

j∈J U j es abierto.

3. Si U y V son subconjuntos abiertos de X , entonces U ∩V es abierto.

Demostración. Es claro que X y ; son abiertos. Fijado x ∈⋃j∈J U j , existe i ∈ J tal que x ∈Ui . Enton-

ces, como Ui es abierto,Br (x) ⊆Ui ⊆

⋃j∈J

U j

para algún r > 0. Esto prueba que⋃

j∈J U j es abierto. Por último, dado x ∈U ∩V , existen númerosreales positivos r y r ′, tales que Br (x) ⊆U y Br ′(x) ⊆ V . Denotemos con r ′′ al mínimo de r y r ′. Esevidente que Br ′′(x) ⊆U ∩V .

40

Topología de espacios métricos 2.1 Conjuntos abiertos

Por la misma definición de abierto, todo abierto de un espacio métrico X es unión de bolasabiertas. Recíprocamente, por la Observación 2.11 y el Teorema 2.12, todo subconjunto de X que esunión de bolas abiertas es abierto. Para los abiertos de la recta hay una descripción más precisa.

Teorema 2.13. Un subconjunto U deR es abierto si y solo si es unión disjunta de intervalos abiertos.

Demostración. ⇐): Esto es una consecuencia inmediata de la Observación 2.11 y del Teorema 2.12.

⇒): Para cada x ∈U , denotemos con Ix a la unión de todos los intervalos abiertos deR que contienena x y están incluídos en U . Escribamos ax := ınf(Ix ) y bx := sup(Ix ). Es evidente que

(ax ,bx ) ⊆ Ix ⊆

[ax ,bx ] si ax 6= −∞ y bx 6=∞,

(ax ,bx ] si ax =−∞ y bx 6=∞,

[ax ,bx ) si ax 6= −∞ y bx =∞,

(ax ,bx ) si ax =−∞ y bx =∞,

pero como Ix es abierto, forzosamente Ix = (ax ,bx ). Como x ∈U es arbitrario, U =⋃Ix . Para terminar

la demostración basta observar que si Ix ∩ Iy 6= ;, entonces Ix = Iy , ya que si no fuera así, Ix ∪ Iy seríaun intervalo abierto estrictamente mayor que Ix o que Iy , que contendría a x y a y , contradiciendo ladefinición de Ix o de Iy .

Ejercicio 2.14. Pruebe que la descomposición de un abierto U deR como unión disjunta de interva-los abiertos obtenida en el Teorema 2.13 es única. Pruebe también que la cantidad de intervalos esfinita o numerable.

2.1.1. El interior de un conjunto

Por el Teorema 2.12, para cada conjunto A ⊆ X hay un subconjunto abierto A◦ de A, que es máxi-mo en el sentido de que incluye a cualquier otro. En efecto, A◦ es la unión de todos los subconjuntosabiertos de A.

Definición 2.15. El interior de un subconjunto A de X es el máximo subconjunto abierto A◦ de A.Un punto x de X es un punto interior de A si pertenece a A◦. En otras palabras, si Br (x) ⊆ A paraalgún r > 0.

Observación 2.16. La noción de interior de un conjunto no es intrínseca. Esto significa que el interiorde un conjunto A depende del espacio ambiente en el cual se lo considera inmerso. Por ejem-plo, [0,1)◦ = [0,1) cuando se considera a [0,1) como subconjunto deR≥0, pero [0,1)◦ = (0,1) cuandose considera como subconjunto deR. No obstante esto, a veces no mencionaremos explícitamenteel espacio ambiente cuando sea obvio cual es. Lo mismo vale para las nociones de exterior, clausura,frontera y borde de un conjunto, que introduciremos enseguida.

Ejemplo 2.17. EnR todo intervalo (x −ε, x +ε) tiene puntos racionales e irracionales. Por lo tantoQ◦ = (R\Q)◦ =; enR.

Ejemplo 2.18. EnR el interior de cualquiera de los intervalos acotados (a,b), (a,b], [a,b] y [a,b] esel intervalo abierto (a,b), el interior de los intervalos (−∞, a) y (−∞, a] es el intervalo (−∞, a), y elde los intervalos (a,∞) y [a,∞) es (a,∞). Para terminar, el interior de (−∞,∞) =R esR, y el de losintervalos degenerados ;= (a, a) = [a, a) = (a, a] y {a} = [a, a] es el conjunto vacío.

41


Teorema 2.19. Consideremos subconjunto A y B de un espacio métrico X y una familia (A j ) j∈J desubconjuntos de X . Las siguientes afirmaciones son verdaderas:

1. x ∈ A◦ si y solo si d(x, X \ A) > 0.

2. x ∈ A◦ si y solo si para toda sucesión (xn)n∈N de puntos de X que tiende a x, existe n0 ∈N tal quexn ∈ A para todo n ≥ n0.

3. A◦ ⊆ A y A◦ = A si y solo si A es abierto.

4. Si A ⊆ B, entonces A◦ ⊆ B◦.

5. A◦◦ = A◦.

6. (A∩B)◦ = A◦∩B◦.

7.⋃

j∈J A◦j ⊆ (

⋃j∈J A j )◦.

Demostración. Es evidente que los items 1, 3, 4 y 5 valen[1]. Por la Observación 1.101, si x ∈ A◦,entonces toda sucesión de puntos de X que tiende a x satisface las condición requerida en el item 2.Por otra parte si x ∉ A◦, entonces podemos construir una sucesión (xn)n∈N de puntos de X \ A quetiende a x, elegiendo xn en B1/n(x) \ A. Esto muestra que el item 2 es verdadero (nótese que hemosusado el axioma de elección). Por el item 4 sabemos que (A∩B)◦ ⊆ A◦∩B◦, y la inclusión recíprocavale porque A◦∩B◦ es un subconjunto abierto de A∩B . De modo que el item 6 también es verdadero.Por último, el item 7 se sigue del item 3.

Ejercicio 2.20. Pruebe que en el último item del Teorema 2.19 la inclusión puede ser estricta.

Proposición 2.21. Consideremos un producto finito X1 ×·· ·×Xn de espacios métricos. La igualdad

(A1 ×·· ·× An)◦ = A◦1 ×·· ·× A◦

n

vale para cada n-upla (A1, . . . , An) de conjuntos, con Ai ⊆ Xi para todo i .

Demostración. Por el Ejemplo 2.7, sabemos que

(A1 ×·· ·× An)◦ ⊇ A◦1 ×·· ·× A◦

n ,

y por la descripción de la bolas abiertas de un producto de finitos espacios métricos, dada en elEjemplo 1.25, es evidente que vale la inclusión opuesta.

Recordemos que un subespacio de X es un subconjunto Y de X provisto de la métrica inducida,y que

BYr (y) = BX

r (y)∩Y y BYr [y = BX

r [y]∩Y

para cada punto y ∈ Y .

Proposición 2.22. Consideremos un subespacio métrico Y de X . Un subconjunto A de Y es abiertoen Y si y solo si existe A ⊆ X , abierto en X , tal que A = A∩Y .

Demostración. Denotemos con A◦Y al interior de A como subconjunto de Y . Para cada punto y en

A◦Y , tomemos una bola abierta BY

ry(y) ⊆ A. Entonces

A◦ = ⋃y∈A◦

Y

B Yry

(y) = ⋃y∈A◦

Y

(B X

ry(y)∩Y

)=

( ⋃y∈A◦

Y

B Xry

(y)

)∩Y .

42

Topología de espacios métricos 2.1 Conjuntos abiertos

En consecuencia, si A es abierto en Y , entonces A es la intersección de Y con un abierto de X .Recíprocamente, supongamos que A es la intersección de Y con un abierto U de X . Para todo x ∈ A,existe r > 0 tal que BX

r (y) ⊆U . Así, BYr (y) = BX

r (y)∩Y está incluído en U ∩Y = A, por lo que x ∈ A◦.Como esto vale para todo x ∈ A, A es un subconjunto abierto de Y .

YA

X

A

Figura 2.2: Ilustración de la Proposición 2.22

Definición 2.23. El exterior de un subconjunto A de X es el conjunto Ext(A) := (X \ A)◦.

Observación 2.24. Un punto x ∈ X pertenece al exterior de A si y solo si d(x, A) > 0. En efecto, es claroque Br (x) ⊆ X \ A si y solo si d(x, A) ≥ r .

2.1.2. Bases de un espacio métrico

Definición 2.25. Una base de X es un conjunto B ⊆P (X ), de subconjuntos abiertos de X , tal que

U = ⋃V ∈BV ⊆U

V , (2.1)

para todo abierto U de X .

Observación 2.26. La condición (2.1) se satisface si y solo si para cada abierto U de X y cada x ∈U ,existe B ∈B tal que x ∈ B ⊆U .

Ejemplo 2.27. Como un subconjunto de un espacio métrico es abierto si y solo si es unión de bolasabiertas, los conjuntos

{Br (x) : x ∈ X y r > 0

}y B′ = {

B1/n(x) : x ∈ X y n ∈N}son bases de cada

espacio métrico X .

Ejemplo 2.28. El conjunto IQ := {(a,b) : a,b ∈Q y a < b}, de los intervalos abiertos con extremosracionales, es una base deR. En efecto, supongamos que U es un abierto deR. Entonces fijado unpunto x ∈U , existe ε> 0 tal que (x −ε, x +ε) ⊆U . Como entre dos números reales cualesquiera hayun número racional, existen r, s ∈Q tales que x −ε< r < x y x < s < x +ε, de modo que x ∈ (r, s) ⊆U .Por la Observación 2.26 esto prueba que IQ es una base de entornos deR, como afirmamos.

Observación 2.29. Como cada abierto de X es unión de bolas abiertas, para comprobar que unconjunto B ⊆P (X ), de subconjuntos abiertos de X , es una base de X , es suficiente comprobar quecada bola abierta es unión de miembros de B o, equivalentemente, que para cada bola abierta Br (x0)y cada punto x ∈ Br (x0), existe un V ∈B tal que x ∈V ⊆ Br (x0).

43


Observación 2.30. Si B es una base de X , entonces {U ∩Y : U ∈ B} es una base de Y para cadasubespacio Y de X . En efecto, por la Proposición 2.22, fijado un subconjunto abierto V de Y , hay unabierto W de X tal que V =W ∩Y . Además, como B es una base de X ,

W = ⋃α∈A

Uα

para una familia (Uα)α∈A de elementos de B. Pero entonces

V =W ∩Y = ⋃α∈A

Uα∩Y .

Proposición 2.31. Consideremos espacios métricos X1, . . . , Xn . Si Bi es una base de Xi (1 ≤ i ≤ n),entonces el conjunto

B := {V1 ×·· ·×Vn : Vi ∈Bi para todo i }

es una base de X := X1 ×·· ·×Xn .

Demostración. Por la Observación 2.29 para probar esto es suficiente notar que para cada bolaabierta BX

r (x1, . . . , xn) de X y cada punto (x ′1, . . . , x ′

n) de BXr (x1, . . . , xn) existe un abierto V1×·· ·×Vn ∈B

tal que(x ′

1, . . . , x ′n) ∈V1 ×·· ·×Vn ⊆ BX

r (x1, . . . , xn).

Pero esto es cierto porque, por el Ejemplo 1.25,

BXr (x1, . . . , xn) = BX1

r (x1)×·· ·×BXnr (xn)

y porque para cada i existe un Vi ∈Bi tal que xi ∈ Vi ⊆ Br (xi ), debido a que Bi es una base de Xi

para todo i .

2.1.3. Subbases de un espacio métrico

Definición 2.32. Una subbase de X es cualquier conjunto S de abiertos de X tal que el conjunto delas intersecciones finitas de elementos de S forman una base de X .

Ejemplo 2.33. El conjunto {(b,+∞) : b ∈R}∪ {(−∞,b) : b ∈R} es una subbase deR[2].

Ejemplo 2.34. Por el Ejemplo 2.28, el conjunto {(b,+∞) : b ∈Q}∪ {(−∞,b) : b ∈Q} también es unasubbase de entornos deR.

Ejemplo 2.35. Para cada producto X ×Y de espacios métricos, el conjunto

{Br (x)×Y : x ∈ X y r ∈R}∪ {X ×Bs(y) : y ∈ Y y s ∈R}

es una subbase de X ×Y . En efecto, esto se sigue inmediatamente de que, por el Ejemplo 1.25,

(Br (x)×Y )∩ (X ×Br (y)) = BXr (x)×BY

r (y) = BX×Yr (x, y).

Más generalmente, para cada producto finito X1 ×·· ·×Xn de espacios métricos, el conjunto

{X1 ×·· ·×Xi−1 ×Br (xi )×Xi+1 ×·· ·×Xn : 1 ≤ i ≤ n, xi ∈ Xi y r ∈R}

es una subbase de X1 ×·· ·×Xn .

44

Topología de espacios métricos 2.2 Conjuntos cerrados

Ejercicio 2.36. Pruebe que toda base de un espacio métrico X es una subbase de X .

Ejercicio 2.37. Pruebe que para cada producto X1 ×X2 ×X3 ×·· · de numerables espacios métricos,el conjunto

{X1 ×·· ·×Xi−1 ×Br (xi )×Xi+1 ×·· · : i ∈N, xi ∈ Xi y r ∈R}

es una subbase de X1 ×X2 ×X3 ×·· · .INDICACIÓN: use el Ejercicio 4.10.

Ejercicio 2.38. Consideremos una familia finita X1, . . . , Xn de espacios métricos. Pruebe que si Si esuna subbase de Xi (i = 1, . . . ,n), entonces el conjunto

{X1 ×·· ·×Xi−1 ×S ×Xi+1 ×·· ·×Xn : 1 ≤ i ≤ n y S ∈Si }

es una subbase de X1 ×·· ·×Xn . Pruebe que para un producto numerable de espacios métricos valeun resultado análogo.

Tal como ocurre con el concepto de subbase de entornos, la importancia de la noción de subbasese debe a que algunos espacios métricos tienen subbases muy simples, y a que (como veremospor ejemplo al estudiar la continuidad de funciones) hay condiciones que en principio deberíanverificarse sobre todos los abiertos, pero que es suficiente comprobar sobre una subbase, lo quepermite obtener demostraciones simples de algunos resultados importantes. Nosotros no adoptamoseste punto de vista en estas notas, salvo en algunos ejercicios.

2.2. Conjuntos cerrados

Definición 2.39. Un subconjunto C de X es cerrado si X \C es abierto.

Observación 2.40. De la definición no se sigue que un conjunto que no es abierto es cerrado. Porejemplo, enR el intervalo [0,1) no es abierto ni cerrado.

Ejemplo 2.41. Dados números reales a ≤ b, el intervalo cerrado [a,b] es un subconjunto cerradodeR. Para cada a ∈R los intervalos cerrados (−∞, a] y [a,∞) también son subconjuntos cerradosdeR.

Ejemplo 2.42. Para cada espacio métrico X y cada x ∈ X , el conjunto {x} es cerrado. En efecto X \ {x}es abierto, porque Br (y) ⊆ X \ {x} para todo y 6= x y todo 0 < r < d(x, y).

Ejemplo 2.43. Todos los subconjuntos de un espacio métrico discreto X son subconjuntos cerradosde X , porque todos son abiertos.

Ejemplo 2.44. Los conjuntos A := {(x, y) ∈R2 : y ≥ f (x)} y B := {(x, y) ∈R2 : y ≤ f (x)} son subconjun-tos cerrados de (R2,‖ ‖∞), para cada función continua f : R→R. Para probar que el primero lo es,debemos ver que su complemento Ac = {(x, y) ∈R2 : y < f (x)} es abierto. Pero esto es cierto, porque,como f es continua, dado (x0, y0) ∈ Ac existe δ> 0 tal que f (x) > y0 +ε para todo x ∈ (x0 −δ, x0 +δ),

donde ε := f (x0)−y0

2 y, por lo tanto, Br (x0, y0) = Br (x0)×Br (y0) ⊆ Ac para todo 0 < r < mın(δ,ε). Deja-mos como ejercicio para el lector la tarea (similar) de probar que B es cerrado.

45

2.2 Conjuntos cerrados Topología de espacios métricos

Ejemplo 2.45. Consideremos espacios métricos X e Y . El producto A×B de un subconjunto cerradode X con un subconjunto cerrado B de Y es un subconjunto cerrado de X ×Y . Esto es así porquesu complemento (X ×Y ) \ (A×B) es unión de los conjuntos abiertos (X \ A)×Y y X × (Y \ B)[3]. Enconsecuencia, por una inducción fácil, el producto A1 ×·· ·× An de cerrados Ai de espacios métricosXi (i = 1, . . . ,n) es cerrado en X1×·· ·×Xn . El ejemplo anterior muestra que no todos los subconjuntoscerrados de un producto finito de espacios métricos tienen esta forma.

Ejemplo 2.46. Los conjuntos cerrados de (R2,‖ ‖∞) y de (R2,‖ ‖2) son los mismos, porque susconjuntos abiertos lo son. Más adelante veremos que, más generalmente, (Rn ,‖ ‖p ) y (Rn ,‖ ‖q )tienen los mismos cerrados para todo n ≥ 1 y cada p, q ≥ 1.

Ejemplo 2.47. Para cada a,b ∈R con a < b, el conjunto A := {f ∈ B[a,b] : f (x) ≤ 1 para todo x

}es

un cerrado de B[a,b]. En efecto, su complemento es abierto, porque Br−1(h) ⊆ Ac para cada h ∈ Ac ,donde r := supx∈[a,b] h(x)[4].

Ejemplo 2.48. Para cada a,b ∈R con a < b, el conjunto B := { f ∈ C[a,b] : f (x) ≤ 1 para todo x} esun subconjunto cerrado de C[a,b]. Por la Proposición 2.22, para comprobar que esto es cierto essuficiente notar que B c = Ac ∩C[a,b], donde A es como en el Ejemplo 2.47.

Observación 2.49. Por la Observación 2.11, en todo espacio métrico las bolas cerradas y los comple-mentos de las bolas abiertas son conjuntos cerrados.

Teorema 2.50. Las siguientes afirmaciones son verdaderas:

1. X y ; son cerrados.

2. Si (C j ) j∈J es una familia de subconjuntos cerrados de X , entonces⋂

j∈J C j es cerrado.

3. Si C y D son subconjuntos cerrados de X , entonces U ∪V es cerrado.

Demostración. Es claro que X y ; son cerrados. Si (C j ) j∈J es una familia de subconjuntos cerradosde X , entonces

⋂j∈J C j es cerrado porque, por las Leyes de Morgan,

X \⋂j∈J

C j =⋃j∈J

X \C j ,

que es abierto por el Teorema 2.12. Por último, para concluír que C ∪D es cerrado si C y D lo son, essuficiente notar que

X \ (C ∪D) = (X \C )∩ (X \ D)

es abierto por Teorema 2.12.

2.2.1. El conjunto de Cantor

Ahora vamos a introducir un ejemplo famoso de conjunto cerrado que tiene muchas propiedadesinteresantes. Por ejemplo, en un sentido es muy pequeño porque tiene interior vacío, pero en otrosentido es muy grande, porque tiene el cardinal del continuo. Tomemos el intervalo J0 := [0,1] yquitémosle el intervalo

(13 , 2

3

). El conjunto resultante J1 es unión de los intervalos cerrados I0 := [

0, 13

]e I1 := [2

3 ,1], de longitud 1

3 . Partamos cada uno de estos intervalos en tres partes iguales, y eliminemosel intervalo abierto del medio. El conjunto obtenido J2 es unión de los cuatro intervalos I00 := [

0, 19

],

I01 := [29 , 3

9

], I10 := [6

9 , 79

]e I11 := [8

9 ,1], cada uno de longitud 1

9 . Partiendo cada uno de estos intervalosen tres partes iguales y quitando el intervalo abierto del medio, obtenemos el conjunto J3, el cuales unión de los ocho intervalos cerrados I000 := [

0, 127

], I001 := [ 2

27 , 327

], I010 := [ 6

27 , 727

], I011 := [ 8

27 , 927

],

46


I100 := [1827 , 19

27

], I101 := [20

27 , 2127

], I110 := [24

27 , 2527

]e I111 := [26

27 ,1]. Continuando con este proceso recursivo

obtenemos una familia de conjuntos

J1 ⊇ J2 ⊇ J3 ⊇ ·· · ⊇ Jn ⊇ ·· · ,

donde Jn es la unión de 2n intervalos cerrados disjuntos Ii1...in (ih ∈ {0,1}), cada uno de longitud 13n

(ver la Figura 2.3).

J1

J2

J2

J3

Figura 2.3: Primeros pasos en la construcción del conjunto de Cantor

Definición 2.51. El conjunto de Cantor C es la intersección⋂

n∈N Jn de todos los Jn ’s.

Observación 2.52. Como cada Jn es cerrado, C es cerrado, y como Jn no incluye a ninguna bolaabierta de radio mayor que 1

3n , C tiene interior vacío.

Lema 2.53. Los extremos izquierdo y derecho del intervalo Ii1...in son los números racionales

n∑h=1

2 ih

3hy

n∑h=1

2 ih

3h+ 1

3n =n∑

h=1

2 ih

3h+

∞∑h=n+1

2

3h, (2.2)

Demostración. Lo probaremos por inducción en n. Es claro que el resultado es cierto para I0 e I1.Supongamos que lo es para Ii1...in . Entonces, como Ii1...in+1 es construído partiendo Ii1...in en tresintervalos iguales (de longitud 1

3n+1 ) y tomando el intervalo de la izquierda si in+1 = 0 y el de la derechasi in+1 = 1, los extremos izquierdo y derecho de Ii1...in+1 son

2 in+1

3n+1 +n∑

h=1

2 ih

3h=

n+1∑h=1

2 ih

3hy

n+1∑h=1

2 ih

3h+ 1

3n+1 =n+1∑h=1

2 ih

3h+

∞∑h=n+2

2

3h,

respectivamente.

Teorema 2.54. El conjunto de Cantor C es el conjunto de todos los números reales que tienen unaexpresión en base 3 de la forma

∑∞h=1

ah

3h , con cada ah = 0 o 2. Además esta escritura es única (a pesar deque como el lector sabrá, o habrá notado por la igualdad en (2.2), la escritura en base 3 de un númeroreal puede no serlo).

Demostración. Como Jn es unión disjunta de los intervalos Ii1...in (ih ∈ {0,1}) e Ii1...in+1 ⊆ I j1... jn si ysolo si jl = il para todo l , un número real x pertenece a C si y solo si existen i1, i2, . . . , ih , · · · ∈ {0,1}tales que x ∈ Ii1...in para todo n. Por el Lema 2.53, esto ocurre si y solo si

x =∞∑

h=1

ah

3h, donde ah = 2 ih .

La unicidad se sigue inmediatamente de que los i1, i2, . . . , ih , . . . son únicos.

47


Corolario 2.55. La función f : C→ {0,1}N definida por

f

( ∞∑h=1

ah

3h

):=

( a1

2,

a2

2,

a3

2, . . .

)es biyectiva y, por lo tanto, C tiene el cardinal del continuo.

Demostración. Esto se sigue inmediatamente del Teorema 2.54.

2.2.2. La clausura de un conjunto

Definición 2.56. La clausura o adherencia A, de un subconjunto A de X , es la intersección de todoslos subconjuntos cerrados de X que que incluyen a A.

Observación 2.57. Por su misma definición y el Teorema 2.50, la clausura de A es el mínimo cerradoque incluye a A.

Ejemplo 2.58. Como todo subconjunto abierto no vacío de R tiene puntos de Q y de R \Q, laclausura deQ enR esR, y lo mismo es cierto para la clausura deR\Q enR.

Ejemplo 2.59. EnR la clausura de los intervalos acotados (a,b), (a,b], [a,b] y [a,b] es el intervalocerrado [a,b], la clausura de los intervalos (−∞, a) y (−∞, a] es el intervalo (−∞, a], y la de losintervalos (a,∞) y [a,∞) es [a,∞). Por supuesto, la clausura (−∞,∞) =R es R. Además la de losintervalos degenerados ;= (a, a) = [a, a) = (a, a] es el conjunto vacío y la del intervalo degenerado{a} = [a, a] es {a}.

Proposición 2.60. X \ A = (X \ A)◦ y X \ A◦ = X \ A.

Demostración. La primera igualdad vale porque (X \ A)◦ es el máximo subconjunto abierto de X \ Ay, por lo tanto, es el complemento del mínimo cerrado que incluye a A. La otra igualdad se puedeprobar de la misma manera.

Proposición 2.61. Para todo A ⊆ X y cada x ∈ X son equivalentes:

1. x ∈ A.

2. Br (x)∩ A 6= ; para todo r > 0.

3. V ∩ A 6= ; para todo entorno V de x.

4. Hay una sucesión de puntos de A que tiende a x.

5. d(x, A) = 0.

Demostración. 1. ⇒ 2. Si existiera r > 0 tal que Br (x)∩ A = ;, entonces Br (x) estaría incluído enX \ A y, por lo tanto, x pertenecería a (X \ A)◦ = X \ A , lo que es absurdo.

2. ⇒ 3. Porque todo entorno de x incluye una bola abierta con centro x.

3. ⇒ 4. Tomemos xn ∈ B 1n

(x)∩ A. Es evidente que la sucesión (xn)n∈N tiende a x.

4. ⇒ 1. Como es el límite de una sucesión de puntos de A,

x ∉ (X \ A)◦ = X \ A.

Así, x ∈ A.

2. ⇔ 5. Esto es evidente[5].

48


Teorema 2.62. Las siguientes afirmaciones son verdaderas para cada par de subconjuntos A y B de X :

1. A ⊆ A y A = A si y solo si A es cerrado.

2. A ⊆ B ⇒ A ⊆ B.

3. A = A.

4. A∪B = A∪B.

5.⋂

j∈J A j ⊆⋂j∈J A j .

Demostración. Es evidente que los tres primeros items son verdaderos[6]. Por el item 2 sabemos queA∪B ⊆ A∪B , y la inclusión recíproca vale porque A∪B es un subconjunto cerrado de X que incluyea A∪B . La última afirmación se sigue del item 2.

Ejercicio 2.63. Pruebe que en el último item del Teorema 2.62 la inclusión puede ser estricta.

El resultado que sigue da otra prueba de que el producto de cerrados en un producto finito deespacios métricos, es cerrado (Ejemplo 2.45).

Proposición 2.64. Consideremos un producto finito X1 ×·· ·×Xn de espacios métricos. La igualdad

A1 ×·· ·× An = A1 ×·· ·× An

vale para cada n-upla (A1, . . . , An) de conjuntos, con Ai ⊆ Xi para todo i .

Demostración. Por una inducción fácil basta probarlo cuando n = 2. Por el Ejemplo 2.45 sabemosque A1×A2 es un cerrado (que claramente incluye a A1×A2). Entonces, por la Proposición 2.61, paraconcluír que es la adherencia de A1 × A2 s suficiente notar que toda bola Br (a1)×Br (a2) con centroen un punto (a1, a2) ∈ A1 × A2 tiene puntos de A1 × A2.

Definición 2.65. Un punto x ∈ X es un punto de acumulación de un subconjunto A de X , si

Br (x)∩ (A \ {x}) 6= ; para todo r > 0.

Dicho de otra forma, si toda bola abierta con centro x contiene puntos de A distintos de x, o,equivalentemente, si d(x, A \ {x}) = 0. Denotamos con A′ al conjunto de los puntos de acumulaciónde A.

Observación 2.66. Para que x ∈ X sea un punto de acumulación de A es necesario y suficiente queexista una sucesión (xn)n∈N de puntos distintos de A que tienda a x.

Observación 2.67. Es claro que A′ ⊆ A y que si x ∈ A \ A, entonces x ∈ A′. Así,

A = A∪ A′. (2.3)

En consecuencia, A es cerrado si y solo si A′ ⊆ A.

Definición 2.68. Un punto x ∈ A es un punto aislado de A si existe r > 0 tal que Br (x)∩ A = {x},es decir si no es un punto de acumulación de A. Denotamos con ais(A) al conjunto de los puntosaislados de A.

Observación 2.69. Por la igualdad (2.3) y la misma definición de ais(A),

A = ais(A)∪ A′ y ais(A)∩ A′ =;.

49


Observación 2.70. Un punto x ∈ X es un punto aislado de X si y solo si el conjunto {x} es abierto.

Definición 2.71. Un conjunto A ⊆ X es un subconjunto discreto de X si A′∩ A =;. En otras palabras,si todos sus puntos son aislados.

Observación 2.72. Un conjunto discreto puede no ser cerrado. Por ejemplo, A := { 1n : n ∈ N}

esdiscreto, pero no es cerrado, porque 0 es un punto de acumulación de A.

Definición 2.73. Un conjunto A ⊆ X es perfecto si A′ = A, o, dicho de otro modo, si A es cerrado y notiene puntos aislados.

Ejercicio 2.74. Pruebe que el conjunto de Cantor C es perfecto.

Proposición 2.75. Consideremos un subespacio métrico Y de X . Un subconjunto A de Y es cerradoen Y si y solo si existe A ⊆ X , cerrado en X , tal que A = A∩Y .

Demostración. Las equivalencias

A es cerrado en Y ⇔ Y \ A es abierto en Y

⇔∃U ⊆ X , abierto en X , tal que U ∩Y = Y \ A

⇔∃U ⊆ X , abierto en X , tal que (X \U )∩Y = A,

muestran que la afirmación del enunciado es verdadera.

YA

X

A

Figura 2.4: Ilustración de la Proposición 2.75

Corolario 2.76. Para cada espacio métrico X , cada subespacio Y de X y cada subconjunto A de Y , las

adherencias AX

, de A en X , y AY

, de A en Y , satisfacen la igualdad

AY = A

X ∩Y .

Demostración. Por el teorema anterior sabemos que AX ∩Y es el mínimo subconjunto cerrado de Y

que contiene a A.Por lo tanto es igual a AY

.

50

Topología de espacios métricos 2.3 La frontera y el borde de un conjunto

2.3. La frontera y el borde de un conjunto

Definición 2.77. La frontera de un subconjunto A de X es el conjunto

Fr(A) := A∩ (X \ A).

Observación 2.78. La frontera de cada subconjunto de X es un subconjunto cerrado de X ,porquees la intersección de dos subconjuntos cerrados de X . Por la Proposición 2.61, la frontera de A es elconjunto de los puntos x ∈ X cuya distancia a A y a X \ A es cero, y también es es conjunto de lospuntos x ∈ X tales que toda bola abierta con centro x tiene puntos de A y puntos de X \ A. Además,por la Proposición 2.60,

Fr(A) = A∩ (X \ A◦) = A \ A◦. (2.4)

En consecuencia

A∪Fr(A) = A◦tFr(A) = A y A \ Fr(A) = A \ Fr(A) = A◦.

Así, A es cerrado si y solo si Fr(A) ⊆ A, y es abierto si y solo si A∩Fr(A) =;.

Observación 2.79. Por las Observaciones 2.11 y 2.49, sabemos que si

Br (x) ⊆ A ⊆ Br [x],

entonces Fr(A) ⊆ Sr (x). La inclusión puede ser estricta. Por ejemplo, si X está dotado de la métricadiscreta, entonces Fr(B1(x)) =; y S1(x) = X \ {x} para todo x ∈ X . Como veremos enseguida, esto nopuede pasar en espacios normados.

Proposición 2.80. Cada bola abierta Br (x) de un espacio normado E, con centro en un punto de unaesfera Ss(y), tiene puntos de Bs(y) y de E \ Bs[y].

Demostración. Consideremos el vector z := x +λ · (y −x), donde λ es un escalar. Las igualdades

‖x − z‖ = ‖λ · (x − y)‖ = |λ|‖x − y‖ = |λ|r

y‖y − z‖ = ‖(1−λ) · (y −x)‖ = |1−λ|r

muestran quez ∈ Br (x)∩Bs(y) si |λ| < 1 y |1−λ| < s/r ,

esto es, si λ ∈ Bks/r (1)∩Bk

1 (0), donde k denota al cuerpo de escalares, y que

z ∈ (E \ Br [x]

)∩Bs(y) si |λ| > 1 y |1−λ| < s/r ,

o, lo que es igual, si λ ∈ Bks/r (1)∩ (

k \ Bk1 [0]

).

Corolario 2.81. Consideremos un conjunto A de un espacio normado E. Si existen un x ∈ E y un r > 0tales que

Br (x) ⊆ A ⊆ Br [x],

entonces Fr(A) = Sr (x). En consecuencia A◦ = Br (x) y A = Br [x].

Demostración. Por la Proposición 2.80 sabemos que Sr (x) ⊆ Fr(A). La inclusión opuesta vale por-que Br (x) y X \ Br [x] son abiertos.

51

2.3 La frontera y el borde de un conjunto Topología de espacios métricos

Proposición 2.82. Para cada subconjunto A de un espacio métrico X y cada subconjunto B de unespacio métrico Y , la frontera de A×B como subconjunto de X ×Y satisface

Fr(A×B) = (Fr(A)×B)∪ (A×Fr(B)).

Demostración. Por la igualdad (2.4) y las Proposiciones 2.21 y 2.64,

Fr(A×B) = A×B \ (A×B)◦

= (A×B) \ (A◦×B◦)

=((A \ A◦)×B

)∪(A× (B \ B◦)

)= (Fr(A)×B)∪ (A×Fr(B)),

como queríamos.

Corolario 2.83. Consideremos un producto finito X1 ×·· ·×Xn de espacios métricos. La igualdad

Fr(A1 ×·· ·× An) =n⋃

i=1A1 ×·· ·× Ai−1 ×Fr(Ai )× Ai+1 ×·· ·× An

vale para cada n-upla (A1, . . . , An), donde Ai es un subconjunto de Xi .

Demostración. Se sigue de la proposición anterior por inducción en n. Dejamos los detalles al lector(El caso n = 1 es trivial. El caso n = 2 se necesita para el paso inductivo).

Ejemplo 2.84. Por el Corolario 2.83, la frontera en (Rn ,‖‖∞) del hipercubo abierto

(−1,1)×·· ·× (−1,1)︸︷︷︸n veces

,

es el subconjunto{(x1, . . . , xn) ∈ [−1,1]×·· ·× [−1,1] : existe i con xi =−1 o xi = 1

}de Rn . Más generalmente, por los Corolarios 2.81 y 2.83, dados espacios normados E1, . . . ,En , lafrontera en E1 ×·· ·×En del conjunto

BE11 (0)×·· ·×BEn

1 (0),

es el conjunton⋃

i=1BE1

1 [0]×·· ·×BEi−11 [0]×SEi

1 (0)×BEi+11 [0]×·· ·×BEn

1 [0].

Ejercicio 2.85. Calcule la frontera deR× {0} como subconjunto deR2.

Definición 2.86. El borde de un subconjunto A de X es el conjunto ∂(A) := A \ A◦.

Observación 2.87. Para cada subconjunto A de X ,

∂(X \ A) = (X \ A) \ (X \ A)◦ = A \ A.

Ejercicio 2.88. Consideremos el conjunto A = (0,1]∪{2n+1n : n ∈N}

. Calcule A◦, A, A′, Fr(A) y ∂(A),con A pensado como subconjunto de los espaciosR,R>0 y (0,1]∪ (2,∞) (provistos de la distanciausual).

52

Notas

Observación 2.89. La relación entre el borde y la frontera de un conjunto está dada por las igualdades

∂(A) = Fr(A)∩ A y Fr(A) = ∂(A)∪∂(X \ A).

En efecto,Fr(A)∩ A = (A \ A◦)∩ A = A \ A◦ = ∂(A)

y∂(A)∪∂(X \ A) = (A \ A◦)∪ (A \ A) = A \ A◦ = F r (A).

Ejercicio 2.90. Pruebe que para cada espacio métrico X y cada subconjunto A de X es cierto que:

1. Fr(A) = Fr(X \ A).

2. X = A◦tFr(A)tExt(A).

3. Fr(A) =; si y solo si A es abierto y cerrado.

4. Fr(A) es cerrado.

5. Fr(A) = ∂(A) si y solo si A es cerrado.

6. ∂(A)◦ =;.

7. ∂(A) = A∩X \ A.

8. ∂(∂(A)) = ∂(A).

Notas

[1]. Si x ∈ A◦ entonces existe r > 0 tal que Br (x) ⊆ A y, por lo tanto, d(x, X \ A) ≥ r > 0. Recíproca-mente, si d(x, X \ A) > 0, entonces Br (x) ⊆ A para todo 0 < r < d(x, X \ A) y, en consecuencia,x ∈ A◦. Esto prueba que el item 1 es verdadero. El item 3 lo es por la misma definición de interior.El item 4 por la definición de interior y porque A◦ es un subconjunto abierto de B , y el item 5,por el item 3 y porque A◦ es abierto.

[2]. Para comprobarlo basta notar que (b,c) = (b,+∞)∩ (−∞,c) para todo b,c ∈R.

[3]. Estos conjuntos son abiertos por el Ejemplo 2.7.

[4]. Si g ∈ Br−1(h), entonces

supx∈[a,b]

g (x) = supx∈[a,b]

(h(x)+ g (x)−h(x)) ≥ supx∈[a,b]

h(x)− supx∈[a,b]

|g (x)−h(x)| > r − (r −1) = 1,

donde la primera desigualdad vale porque para todo ε> 0 existe x ∈ [a,b] tal que h(x) > r −ε,por lo que

h(x)+ g (x)−h(x) > r −ε− supx∈[a,b]|g (x)−h(x)|.[5]. Br (x)∩ A 6= ; para todo r > 0 si y solo si x tiene puntos de A arbitrariamente cerca, o, equiva-

lentemente, si y solo si d(x, A) = ınfy∈A d(x, y) = 0.

[6]. El item 1 es verdadero por la misma definición de clausura. El item 2 por la definición declausura y porque B es un conjunto cerrado que incluye a A, y el item 3, por el ite 1 y porque Aes cerrado.

53

CA

PÍ

TU

LO

3FUNCIONES CONTINUAS, FUNCIONES

UNIFORMEMENTE CONTINUAS E ISOMETRÍAS

3.1. Funciones continuas

Definición 3.1. Una función f : X → Y es continua en un punto x ∈ X si para todo ε> 0 existe δ> 0tal que f (Bδ(x)) ⊆ Bε( f (x)), es continua en un subconjunto A de X si lo es en cada punto de A, y escontinua si es continua en X .

Ejemplos 3.2. La inclusión canónica i A : A → X es continua para cada espacio métrico X y cadasubespacio A de X , y las funciones constantes

Xcy0

Yx y0

son continuas para cada par de espacios métricos X ,Y . En particular, la función identidad idX escontinua.

Observación 3.3. De la definición de continuidad en un punto se sigue inmediatamente que si x esun punto aislado de X , entonces para cada espacio métrico Y , toda función f : X → Y es continuaen x.

Proposición 3.4. Son equivalentes:

1. f : X → Y es continua en x.

2. Para todo entorno abierto U de f (x) hay un entorno abierto V de x tal que f (V ) ⊆U .

3. f −1(U ) es un entorno de x, para cada entorno U de f (x).

4. ( f (xn))n∈N tiende a f (x), para cada sucesión (xn)n∈N que tiende a x.

Demostración. 1. ⇒ 2. Por hipótesis, dado ε> 0 tal que Bε( f (x)) ⊆U , existe δ> 0 tal que

f (Bδ(x)) ⊆ Bε( f (x)) ⊆U .

55

3.1 Funciones continuas Funciones continuas

Así que podemos tomar V = Bδ(x).

2. ⇒ 3. Tomemos un entorno abierto U ′ de f(x) incluído en U . Por hipótesis existe un entorno abiertoV ′ de x tal que f (V ′) ⊆U ′. Como f −1(U ) ⊇V ′, esto prueba que f −1(U ) es un entorno de x.

3. ⇒ 1. Para cada ε> 0, la preimagen por f de Bε( f (x)) es un entorno de x y, por lo tanto, incluye auna bola abierta Bδ(x).

3. ⇒ 4. Dado ε > 0 tomemos un entorno V de x tal que f (V ) ⊆ Bε( f (x)). Si n0 es tal que xn ∈ Vsiempre que n ≥ n0, entonces f (xn) ∈ Bε( f (x)) siempre que n ≥ n0.

4. ⇒ 3. Supongamos que hay un entorno V de f (x) tal que f −1(V ) no es un entorno de x. Entoncestomando para cada n ∈N un punto xn ∈ B 1

n(x)\ f −1(V ), obtenemos una sucesión (xn)n∈N que tiende

a x, tal que la sucesión ( f (xn))n∈N no tiende a f (x).

Ejercicio 3.5. Pruebe que para cada función f : X → Y , cada punto x ∈ X y cada subbase de entornosS de f (x) son equivalentes:

1. f : X → Y es continua en x.

2. Para todo U ∈S hay un entorno abierto V de x tal que f (V ) ⊆U .

3. f −1(U ) es un entorno de x, para cada U ∈S .

Teorema 3.6. Para cada función f : X → Y son equivalentes:

1. f es continua.

2. f −1(U ) es abierto en X , para cada subconjunto abierto U de Y .

3. f −1(C ) es cerrado en X , para cada subconjunto cerrado C de Y .

4. f (B) ⊆ f (B) para cada B ⊆ X .

Demostración. 1. ⇒ 2. Por la equivalencia entre los items 1 y 3 de la proposición anterior, f −1(U ) esun entorno de cada uno de sus puntos.

2. ⇒ 1. Fijemos x ∈ X y un entorno abierto U de f (x). Por hipótesis f −1(U ) es un entorno abierto dex. Esto termina la demostración, porque f ( f −1(U )) ⊆U .

2. ⇒ 3. Si C es un cerrado de Y , entonces f −1(C ) es un cerrado de X , porque

f −1(C ) = X \ f −1(Y \C )

y, por hipótesis, f −1(Y \C ) es cerrado.

3. ⇒ 2. Si A es un cerrado de Y , entonces f −1(A) es un cerrado de X , porque

f −1(A) = X \ f −1(Y \ A)

y, por hipótesis, f −1(Y \ A) es abierto. .

3. ⇒ 4. Como B ⊆ f −1(

f (B))

y f −1(

f (B))

es cerrado, B ⊆ f −1(

f (B)).

4. ⇒ 3. Tomemos un cerrado arbitrario C de X ′. Por hipótesis

f ( f −1(C )) ⊆ f ( f −1(C )) ⊆C =C

y, en consecuencia, f −1(C ) ⊆ f −1(C ), lo que prueba que f −1(C ) es cerrado.

Ejercicio 3.7. Fijemos una subbase S de Y . Pruebe que para cada función f : X → Y son equivalen-tes:

56

Funciones continuas 3.1 Funciones continuas

1. f : X → Y es continua.

2. f −1(U ) es abierto en X para cada U ∈S .

Ejercicio 3.8. Recordemos queN∗S es el conjuntoN∪ {∞} provisto de la métrica dS dada por

d s(m,n) :={|m−1 −n−1| si m,n ∈N,

|m−1| si n =∞

(Vease el septimo item en los Ejemplos 1.4). Dada una sucesión (xn)n∈N de puntos de un espaciométrico X y un elemento x ∈ X , consideremos la función x∗ : N∗

S → X definida por

x∗(n) :={

xn si n ∈N,

x si n =∞.

Pruebe que son equivalentes:

1. La sucesión (xn)n∈N tiende a x.

2. La función x∗ es continua.

3. La función x∗ es continua en x.

Proposición 3.9. Las siguientes afirmaciones son verdaderas para cada terna X , Y , Z de espaciosmétricos, cada subconjunto A de X y cada subconjunto B de Y .

1. Si f : X → Y es continua en A y g : Y → Z es continua en f (A), entonces g ◦ f es continua en A.

2. Si f : X → Y es continua en A y f (A) ⊆ B, entonces la función f |B|A : A → B, obtenida restringiendo

el dominio de f a A y el codominio de f a B, es continua.

Demostración. 1) Como f es continua en A y g es continua en f (A), si (xn)n∈N tiende a a ∈ A,entonces f (xn)n∈N tiende a f (a) y g ◦ f (xn)n∈N tiende a g ◦ f (a).

2) Primero notemos que f|A es continua porque es la composición de f con i A : A → X , y ambasfunciones son continuas. Pero entonces por la Observación 1.104, dada una sucesión arbitraria(an)n∈N de puntos de A que tiende a un punto a ∈ A, la sucesión ( f (an))n∈N formada por susimágenes tiende a f (a) en B y, por lo tanto, la función f |B

|A es continua.

Nota 3.10. El item 2 de la proposición anterior dice que si una función definida sobre X es continuaen un subconjunto A de X , entonces su restricción a A es continua. La recíproca no vale. Por ejemplo,la función χQ : R→R definida por

χQ(x) :={

1 si x ∈Q,

0 en caso contrario,

es continua restringida aQ y aR\Q, pero no es continua en ni enQ ni enR\Q.

Proposición 3.11. Las proyecciones canónicas pX : X ×Y → X y pY : X ×Y → Y son funciones conti-nuas para cada par de espacios métricos X e Y . Además, para todo espacio métrico Z , una funciónf : Z → X ×Y es continua en z ∈ Z si y solo si las composiciones pX ◦ f y pY ◦ f son continuas en z. Enconsecuencia f es continua si y solo si pX ◦ f y pY ◦ f lo son.

57


Demostración. Tomemos una sucesión (zn)n∈N de puntos de Z que tiende a z. Por la Proposi-ción 1.107, sabemos que la sucesión f (zn)n∈N tiende a f (z) si y solo si pX ◦ f (zn)n∈N tiende a pX ◦ f (z)y pY ◦ f (zn)n∈N tiende a pY ◦ f (z). Por la equivalencia entre los items 1 y 4 de la Proposición 3.4, estoprueba la segunda afirmación. La primera se deduce de esta tomando f = idX×Y .

Corolario 3.12. Una función f : Z −→ X1 × ·· · × Xn es continua en un punto z ∈ Z si y solo si lasfunciones p j ◦ f ( j ∈ {1, . . . ,n}), donde p j : X → X j es la proyección canónica, son continuas en z. Enconsecuencia f es continua si y solo si las funciones p j ◦ f lo son.

Demostración. Esto se sigue de la Proposicion 3.11 por inducción en n.

Corolario 3.13. Para cada familia finita f j : X j → Y j (1 ≤ j ≤ n), de funciones continuas, la función

f1 ×·· ·× fnX1 ×·· ·×Xn Y1 ×·· ·×Yn

(x1, . . . , xn)(

f1(x1), . . . , fn(xn))

es continua.

Demostración. Basta observar que p j ◦ ( f1 × ·· · × fn) = f j ◦ p j para todo j ∈ {1, . . . ,n}, y que estasfunciones son continuas debido a que son composición de funciones continuas.

Ejercicio 3.14. Pruebe que las funciones

k ×k+

k(x, y) x + y

, k ×km

k(x, y) x y

y k \ {0} inv k \ {0}x x−1

donde k :=R o C, son continuas. Concluya que la suma, el producto y el cociente de funcionescontinuas f : X → k y g : X → k, son funciones continuas (por supuesto, el dominio del cociente def por g es X \ g−1(0)).

Nota 3.15. Como la función identidad id: k → k y las funciones constantes ca : k → k (a ∈ k) soncontinuas, una consecuencia directa del ejercicio anterior es que las funciones racionales P

Q : A → k,

donde P y Q son polinomios con coeficientes en k y A = k \Q−1(0), son continuas.

Proposición 3.16. Consideremos una función f : X → Y . Supongamos que X es unión X =C1 ∪C2 dedos subconjuntos cerrados. Si f|C1 y f|C2 son continuas, entonces f es continua.

Demostración. Para cada subconjunto cerrado C de Y ,

f −1(C ) = f −1|C1

(C ∩C1)∪ f −1|C2

(C ∩C2)

es cerrado porque es unión de dos cerrados.

Ejercicio 3.17. Pruebe que la función f : R2 →R definida por

f (x, y) :={

x2 −2x y + y2 +2 si x ≥ y(x−y)3−3(x−y)2+2x2+2y2+2

x2+y2+1 si x ≤ y

es continua.

58

Funciones continuas 3.1 Funciones continuas

Definición 3.18. Decimos que una función continua f : X → [0,1] separa dos subconjuntos disjun-tos A y B de X si f vale cero sobre A y uno sobre B .

El siguiente resultado muestra que para cada par de cerrados disjuntos hay una función continuaque los separa.

Teorema 3.19. Supongamos que C y D son subconjuntos cerrados y no vacíos de un espacio métrico X ,tales que C ∩D =;. Entonces la función ζC ,D : X → [0,1], dada por

ζC ,D (x) := d(x,C )

d(x,C )+d(x,D),

está bien definida, es continua, se anula sobre C y vale 1 sobre D.

Demostración. Por la Proposición 2.61, como C y D son cerrados disjuntos,

d(x,C )+d(x,D) > 0 para todo x ∈ X .

Además, es claro que 0 ≤ ζC ,D (x) ≤ 1 para todo x. Por lo tanto, la función ζC ,D está bien definida. Paraprobar que es continua es suficiente notar que es cociente de funciones reales que lo son. Por último,es claro que ζC ,D vale cero sobre C y uno sobre D .

Corolario 3.20. Fijados un cerrado C y un abierto U de X , con C ⊆U , existe una función continuaf : X → [0,1], tal que f|D = 1 y f|X \U = 0.

Demostración. Apliquese el Teorema 3.19 con D = X \U .

Corolario 3.21. Fijados un punto x ∈ X y un entorno abierto U de x, existe una función continuaf : X → [0,1], tal que f (x) = 1 y f|X \U = 0.

Demostración. Esto es una consecuencia inmediata del corolario anterior, porque los puntos soncerrados.

Corolario 3.22. Fijados subconjuntos cerrados y no vacíos C y D de un espacio métrico X , tales queC ∩D =;, existen abiertos disjuntos U y V de X , tales que C ⊆U y D ⊆V .

Demostración. Se puede tomar U := ζC ,D (−∞, 12 ) y V := ζC ,D ( 1

2 ,∞), donde ζC ,D es la función intro-ducida en el Teorema 3.19.

Definición 3.23. Una función continua f : X → Y es un homeomorfismo si es biyectiva y su inversaes continua. Dos espacios métricos X e Y son homeomorfos o topológicamente equivalentes si existeun homeomorfismo de X en Y .

Observación 3.24. Si X e Y son homeomorfos escribimos X ' Y . La relación de homeomorfismo esreflexiva simétrica y transitiva, porque id: X → X es un homeomorfismo para todo espacio métricoX , si f : X → Y es un homeomorfismo, entonces f −1 : X → Y también lo es, y la composición de doshomeomorfismos es un homeomorfismo.

Definición 3.25. Una propiedad de espacios métricos es una propiedad topológica si cada vez queun espacio métrico X la tiene, la tienen también todos los espacios homeomorfos a X .

Ejemplo 3.26. Si X e Y son homeomorfos, entonces X es perfecto si y solo si Y lo es. Por lo tanto,esta es una propiedad topológica.

59


Observación 3.27. Una función f : X → Y puede ser continua y biyectiva sin ser un homeomorfismo.Un ejemplo es la función identidad id: (R,d) →R, donde d es la métrica discreta y el codominio esconsiderado con la métrica usual.

Definición 3.28. Una función f : X → Z es abierta si f (U ) es abierto para todo abierto U de X y escerrada si f (C ) es cerrado para todo cerrado C de X .

Ejemplos 3.29. Para cada par X , Y de espacios métricos, la proyecciones canónicas pX : X ×Y → Xy pY : X ×Y → Y son funciones abiertas porque

pX (BX×Yr (x, y)) = pX (BX

r (x)×BYr (y)) = BX

r (x)

y

pY (BX×Yr (x, y)) = pY (BX

r (x)×BYr (y)) = BY

r (y)

para todo r > 0 y cada (x, y) ∈ X ×Y . En general estas funciones no son cerradas. Por ejemplo, elconjunto

{(x, y) ∈R2 : x > 0 e y = 1

x

}es un subconjunto cerrado deR2 cuya proyección a la primera

coordenada es el conjunto (0,∞), que no es cerrado. Otro ejemplo de una función abierta que engeneral no es cerrada es la inclusión canónica iY : : Y → X , de un subconjunto abierto Y de X en X .En cambio, si Y es cerrado, entonces iY es una función cerrada, que en general no es abierta.

Ejercicio 3.30. Encuentre funciones f j : X j → Y j (i = 1, . . . ,8) entre espacios métricos, tales que:

- f1 no es ni continua, ni abierta, ni cerrada,

- f2 es continua, pero no es abierta ni cerrada,

- f3 es abierta, pero no es continua ni cerrada,

- f4 es cerrada, pero no es continua ni abierta,

- f5 es continua y abierta, pero no es cerrada,

- f6 es continua y cerrada, pero no es abierta,

- f7 es abierta y cerrada, pero no es continua,

- f8 es continua, abierta y cerrada.

Observación 3.31. Para cada función biyectiva f : X → X ′ son equivalentes:

1. f es un homeomorfismo.

2. f es continua y abierta.

3. f es continua y cerrada.

Esto es claro porque, por el Teorema 3.6, una función biyectiva f es abierta si y solo si es cerrada, yesto ocurre si y solo si f −1 es continua.

Ejemplo 3.32. Todos los intervalos abiertos no vacíos de R son homeomorfos. En efecto, la fun-ción f1 : R→ (−1,1), definida por

f1(x) := x

1+|x| ,

es un homeomorfismo con inversa f −11 (y) := y

1−|y | . Para cada intervalo acotado (a,b), también es unhomeomorfismo la función f2 : (−1,1) → (a,b), definida por

f2(x) := b −a

2x + b +a

2,

60

Funciones continuas 3.2 Funciones uniformemente continuas

y es claro que para cada a ∈R lo son las funciones f3 : (−∞, a) → (−a,∞) y f4 : (−∞,1) → (−∞, a),dadas por

f3(x) =−x y f4(x) := x +a −1.

Por último, la función f5 : R→ (−∞,1), definida por

f5(x) :={

x si x ≤ 0,x

1+x si x ≥ 0,

es un homeomorfismo[1].

3.2. Funciones uniformemente continuas

Definición 3.33. Decimos que una función f : X → Y es uniformemente continua si para todo ε> 0existe δ> 0 tal que para todo x, x ′ ∈ X ,

d(x, x ′) < δ⇒ d(

f (x), f (x ′))< ε.

Decimos que f es uniformemente continua sobre un subconjunto A de X si su restricción a A esuniformemente continua.

La diferencia entre las definiciones de continuidad y de continuidad uniforme, es que en la prime-ra δ puede variar con el punto del dominio en el que se está evaluando la continuidad, no exigiéndoseque se haya uno que sirva para todos, mientras que en la segunda esto se pide explícitamente.

Observación 3.34. Consideremos una función f : X → Y y un subconjunto A de X . Si f es unifor-memente continua sobre A, entonces f|A es continua. En particular toda función uniformementecontinua es continua.

Observación 3.35. Hay funciones que son continuas y no son uniformemente continuas. Una esla función f : R>0 → R definida por f (x) := 1

x . Es continua porque es cociene de dos funcionescontinuas (Ver el Ejercicio 3.14). Pero no es uniformemente continua porque para todo δ ∈ (0,1),

| f (δ)− f (δ/2)| =∣∣∣ 1

δ− 1

δ/2

∣∣∣= δ/2

δ2/2= 1

δ> 1.

Ejemplo 3.36. Para cada subconjunto A de X , la inclusión canónica i A : A → X es uniformementecontinua. En particular la función identidad id: X → X es uniformemente continua.

Ejemplo 3.37. La función f : [0,1] →R, dada for f (x) :=px, es uniformemente continua. En efecto,

en los cursos de cálculo en una variable se prueba que esta función es continua1, y en el Capítulo 7veremos que toda función continua cuyo dominio es un intervalo cerrado deR, es uniformementecontinua.

Proposición 3.38. Si f : X → Y y g : Y → Z son funciones unifomemente continuas, entonces g ◦ f esunifomemente continua.

1Más adelante deduciremos esto del hecho de que la función x 7→ x2 es continua.

61

3.2 Funciones uniformemente continuas Funciones continuas

Demostración. Puesto que g es uniformemente continua, sabemos que para cada ε> 0, existe δ> 0tal que para todo y, y ′ ∈ Y ,

d(g (y), g (y ′)

)< ε siempre que d(y, y ′) < δ.

Como también f es uniformemente continua, existe δ′ > 0 tal que para todo x, x ′ ∈ X ,

d(

f (x), f (x ′))< δ siempre que d(x, x ′) < δ.

Combinando ambos hechos obtenemos que

d(g ◦ f (x), g ◦ f (x ′)

)< ε siempre que d(x, x ′) < δ′,

lo que termina la demostración.

Proposición 3.39. Una función f : Z → X × Y es uniformemente continua si y solo si lo son lascomposiciones pX ◦ f y pY ◦ f , de f con las proyecciones canónicas pX : X ×Y → X y pY : X ×Y → Y .

Demostración. Para simplificar las expresiones que aparecen en la prueba escribimos fX := pX ◦ f yfY := pY ◦ f . Como

d∞(

f (z), f (z ′))= max

(d

(fX (z), fY (z ′)

),d

(fY (z), fY (z ′)

)),

son equivalentes:

- Para todo ε> 0, existe δ> 0 tal que

d(z, z ′) < δ⇒ d(

fX (z), fX (z ′))< ε y d

(fY (z), fY (z ′)

)< ε para todo z, z ′ ∈ Z .

- Para todo ε> 0, existe δ> 0 tal que

d(z, z ′) < δ⇒ d∞(

f (z), f (z ′))< ε para todo z, z ′ ∈ Z .

Esto prueba que la afirmación es verdadera, porque el primer item se satisface si y solo si fX y fY sonuniformemente continuas, y el segundo dice que f es uniformemente continua.

Corolario 3.40. Una función f : Z −→ X1×·· ·×Xn es uniformemente continua si y solo si las funcionesp j ◦ f ( j ∈ {1, . . . ,n}), donde p j : X → X j es la proyección canónica, son uniformemente continuas.

Demostración. Esto se sigue inmediatamente de la Proposicion 3.39 por inducción en n.

Corolario 3.41. La proyección canónica p j : X1 × ·· ·× Xn −→ X j es uniformemente continua paracada j .

Demostración. Esto es una consecuencia Corolario 3.40 porque la función identidad de X1 ×·· ·×Xn

es uniformemente continua.

Corolario 3.42. Para cada familia finita f j : X j → Y j (1 ≤ j ≤ n), de funciones uniformemente conti-nuas, la función

f1 ×·· ·× fnX1 ×·· ·×Xn Y1 ×·· ·×Yn

(x1, . . . , xn)(

f1(x1), . . . , fn(xn))

es uniformemente continua.

62

Funciones continuas 3.2 Funciones uniformemente continuas

Demostración. Basta observar que p j ◦ ( f1×·· ·× fn) = f j ◦p j para todo j ∈ {1, . . . ,n}, y que las funcio-nes f j ◦p j son uniformemente continuas porque son composición de funciones uniformementecontinuas.

Proposición 3.43. Consideremos una función f : X → Y , y escribamos X como unión X = A1 ∪ A2

de dos subconjuntos. Supongamos que existe γ> 0 con la siguiente propiedad: para cada par a, a′ deelementos de X tales que

a ∈ A1 \ A2, a′ ∈ A2 \ A1 y d(a, a′) < γ,

existe a′′ ∈ A1 ∩ A2 con max(d(a, a′′),d(a′, a′′)

)≤ d(a, a′). Si f|A1 y f|A2 son uniformemente continuas,entonces f es uniformemente continua.

Demostración. Por hipótesis, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que si a, a′ ∈ A1 o a, a′ ∈ A2, entoncesd

(f (a), f (a′)

)< ε/2 < ε. Es evidente que podemos tomar δ< γ. Si lo hacemos, entonces

d(

f (a), f (a′))≤ d

(f (a), f (a′′)

)+d(

f (a′′), f (a′))< 2

ε

2= ε,

donde a′′ es como en el enunciado, para cada a ∈ A1 y a′ ∈ A2.

Ejemplo 3.44. La función f : [0,1] →R, dada por f (x) :=px, es uniformemente continua. En efecto,

en el Ejemplo 3.37 vimos que f es uniformemente continua sobre [0,1], y usando la desigualdad

|pa −p

b| =∣∣∣ a −bp

a +pb

∣∣∣≤ 1

2|a −b|,

valida para todo a,b ≥ 1, se comprueba fácilmente que f es uniformemente continua sobre [1,∞].Como las hipótesis de la Proposición 3.43 se satisfacen (como γ puede tomarse cualquier númeroreal positivo), f es uniformemente continua, como afirmamos.

Corolario 3.45. Consideremos una función f : X → Y , y escribamos X como unión X = A1 ∪ A2 dedos subconjuntos. Si d

(A1 \ A2, A2 \ A1

)> 0 y f|A1 y f|A2 son uniformememnte continuas, entonces f esuniformemente continua.

Demostración. Si tomamos γ= d(

A1 \ A2, A2 \ A1) > 0, entonces las hipótesis de la proposición se

satisfacen trivialmente, porque no hay ningún a1 ∈ A1 y a2 ∈ A2 a distancia menor que γ.

Definición 3.46. Una función f : X → Y es un isomorfismo uniforme si es biyectiva, uniformementecontinua, y su inversa es uniformemente continua. Dos espacios métricos X e Y son uniformementeequivalentes si existe un isomorfismo uniforme de X en Y . En ese caso escribimos X 'u Y .

Observación 3.47. Los argumentos usados para probar que la relación ' es reflexiva simétrica ytransitiva, prueban que 'u también lo es.

Definición 3.48. Una propiedad de espacios métricos es una propiedad uniforme si cada vez que unespacio métrico X la tiene, la tienen también todos los que son uniformemente isomorfos a X .

Observación 3.49. Por supuesto, las propiedades topológicas son propiedades uniformes. Pero haymuchas propiedades uniformes que no son topológicas. No damos ningún ejemplo ahora, porquetodavía no hemos introducidos ninguna, pero más adelante veremos varias (como la completitud yla acotación total).

63

3.3 Funciones de Lipschitz Funciones continuas

3.3. Funciones de Lipschitz

Definición 3.50. Una función f : X → Y es una función de Lipschitz si existe una constante K ≥ 0tal que d

(f (x), f (x ′)

)≤ K d(x, x ′) para todo x, x ′ ∈ X . El mínimo K que satisface esta condición es laconstante de Lipschitz de f . Una función de Lipschitz es una función corta o una función no expansivasi tiene constante de Lipschitz menor o igual que 1, y es una contracción si su constante de Lipschitzes menor que 1.

Proposición 3.51. Toda función de Lipschitz es uniformemente continua.

Demostración. Supongamos que f : X → Y es de Lipschitz con constante de Lipschitz K . Entoncesdado ε> 0, basta tomar δ := ε

K , para conseguir que

d(

f (x), f (x ′))≤ K d(x, x ′) < Kδ= ε para todo x, x ′ ∈ X con d(x, x ′) < δ.

Esto prueba que f es uniformemente continua, como afirmamos.

Observación 3.52. Hay funciones uniformemente continuas que no son funciones de Lipstichz. Unaes la función f : [0,1] →R, dada for f (x) :=p

x, que consideramos en el Ejemplo 3.37. Esta no es deLipschitz, porque

|pa −p

b| = 1pa +p

b|a −b|,

y 1pa+pb

toma valores arbitrariamente grandes en el intervalo [0,1].

Ejemplo 3.53. Para cada subconjunto A de X , la inclusión canónica i A : A → X es una función corta.

Ejemplo 3.54. Las proyecciones canónicas pX : X ×Y → X y pY : X ×Y → Y , de un producto X ×Yde espacios métricos en cada una de sus coordenadas, son funciones cortas porque

d∞((x, y), (x ′, y ′)

)= max(d(x, x ′),d(y, y ′)

)≥ d(x, x ′)y

d∞((x, y), (x ′, y ′)

)= max(d(x, x ′),d(y, y ′)

)≥ d(y, y ′),

para cada par (x, y) y (x ′, y ′) de puntos de X ×Y .

Ejemplo 3.55. Para todo espacio métrico X la función distancia d : X ×X →R≥0 es una función deLipschitz, porque, por las propiedades triangular y simétrica de d y el item 2 de la Proposición 1.2,

‖d(x, x ′)−d(y, y ′)‖ ≤ ‖d(x, x ′)−d(x, y ′)‖+‖d(x, y ′)−d(y, y ′)‖≤ d(x, y)+d(x ′, y ′)≤ 2max

(d(x, y),d(x ′, y ′)

)= 2d∞

((x, x ′), (y, y ′)

)para todo x, x ′, y, y ′ ∈ X .

Nota 3.56. La cuenta hecha en el ejemplo anterior muestra que 2 es una cota superior de la constantede Lipschitz de d . Para R esta constante es 2, como puede comprobarse tomando x = 0, x ′ = 2e y = y ′ = 1. Por supuesto, el hecho de que la máxima constante de Lipschitz para las funcionesdistancia sea 2 se debe a que estamos considerando a X × X provisto de la distancia d∞. Si loconsideramos provisto con la distancia d1 (ver Observación 1.18), entonces d es una función corta[2].

64

Funciones continuas 3.3 Funciones de Lipschitz

Ejemplo 3.57. Para cada subconjunto A de X , la función f : X →R, definida por f (x) := d(x, A), esuna función corta porque

|d(x, A)−d(y, A)| ≤ d(x, y) para todo x, y ∈ X ,

por la Proposición 1.52.

Proposición 3.58. Si f : X → Y y g : Y → Z son funciones de Lipschitz, entonces g ◦ f es de Lipschitz.

Demostración. Denotemos con K f y Kg a las constantes de Lipschitz de f y g , respectivamente.Como

d(g ◦ f (x), g ◦ f (x ′)

)≤ Kg d(

f (x), f (x ′))≤ Kg K f d(x, x ′)

para cada para x, x ′ de puntos de X , la función g ◦ f es de Lipschitz, con constante de Lipschitzmenor o igual que Kg K f .

Proposición 3.59. Una función f : Z → X ×Y es de Lipschitz si y solo si lo son las composiciones pX ◦ fy pY ◦ f , de f con las proyecciones canónicas pX : X ×Y → X y pY : X ×Y → Y . Además, la constantede Lipschitz K f de f es el máximo de las constantes de Lipschitz KpX ◦ f , de pX ◦ f , y KpY ◦ f , de pY ◦ f .

Demostración. Para simplificar las expresiones que aparecen en la prueba escribimos fX := pX ◦ f yfY := pY ◦ f . Como

d∞(

f (z), f (z ′))= max

(d

(fX (z), fY (z ′)

),d

(fY (z), fY (z ′)

)),

para cada K ∈R≥0 son equivalentes:

d(

fX (z), fX (z ′))≤ K d(z, z ′) y d

(fY (z), fY (z ′)

)≤ K d(z, z ′) para todo z, z ′ ∈ Z ,

y

d∞(

f (z), f (z ′))≤ K d(z, z ′) < δ para todo z, z ′ ∈ Z .

Esto prueba que la afirmación es verdadera.

Corolario 3.60. Una función f : Z −→ X1 ×·· ·×Xn es de Lipschitz si y solo si la función p j ◦ f , dondep j : X → X j es la proyección canónica, es de Lipschitz para todo j ∈ {1, . . . ,n}. Además, la constante deLipschitz de f es el máximo de las constantes de Lipschitz de las p j ◦ f .

Demostración. Esto se sigue de la Proposicion 3.59 por inducción en n.

Corolario 3.61. Para cada familia finita f j : X j → Y j (1 ≤ j ≤ n) de funciones de Lipschitz, la función

f1 ×·· ·× fnX1 ×·· ·×Xn Y1 ×·· ·×Yn

(x1, . . . , xn)(

f1(x1), . . . , fn(xn))

es de Lipschitz.

Demostración. Basta observar que p j ◦ ( f1×·· ·× fn) = f j ◦p j para todo j ∈ {1, . . . ,n}, y que las funcio-nes f j ◦p j son de Lipschitz porque son composición de funciones de Lipschitz.

Proposición 3.62. Consideremos una función de Lipschitz f : X → Y . La imagen por f de cadaconjunto acotado A de X , es un conjunto acotado de Y .

65

3.3 Funciones de Lipschitz Funciones continuas

Demostración. Denotemos con K a la constante de Lipschitz de f . Como

d(

f (x), f (x ′))≤ K d(x, x ′) para todo x, x ′ ∈ X ,

si A tiene diámetro M , entonces f (A) tiene diámetro menor o igual que K M .

Observación 3.63. Para que valga el resultado anterior no basta que f sea uniformemente continua.Por ejemplo, si X es un espacio métrico no acotado, entonces la función identidad id: Xd → X ,donde Xd es el conjunto subyacente de X dotado con la métrica discreta, es uniformemente continuay aplica su dominio (que es un conjunto acotado) sobre su codominio (que no lo es). Es más,cuando X esN (con la distancia usual), f es un isomorfismo uniforme.

Definición 3.64. Una función f : X → Y es un isomorfismo de Lipschitz si es biyectiva, de Lipschitz,y su inversa es de Lipschitz. Dos espacios métricos X e Y son isomorfos en el sentido de Lipschitz sihay un isomorfismo de Lipschitz f : X → Y . En ese caso escribimos X 'Lips Y .

Observación 3.65. Tal como ocurre con las relaciones ' y 'u , la relación 'Lips es reflexiva simétrica ytransitiva y esto puede probarse usando los mismos argumentos.

Definición 3.66. Una propiedad de un espacio métrico es una propiedad de Lipschitz si cada vez queun espacio la tiene, la tienen también todos los que son isomorfos a el en el sentido de Lipschitz.

Observación 3.67. Es claro que las propiedades uniformes son propiedades de Lipschitz. Una propie-dad de Lipschitz que no es uniforme, es la de ser un espacio métrico acotado.

Proposición 3.68. Para cada espacio normado E, las siguientes afirmaciones son verdaderas:

1. La función E‖ ‖−−→R≥0 es una función corta.

2. La función E ×E+−→ E es de Lipschitz.

3. La función k ×E·−→ E es continua. Además, su restricción a Br (0)×Br (0) es de Lipschitz, para

todo r > 0.

4. Si λ ∈ k \ {0} y a ∈ E, entonces la función ψλ : E → E, definida por ψλ,a(x) := a +λ · x, es unisomorfismo de Lipschitz.

Demostración. El primer item es verdadero, porque, por el item 2 de la Proposición 1.2,

|‖x‖−‖x ′‖| = |d(x,0)−d(x ′,0)| ≤ d(x, x ′) = ‖x −x ′‖para todo x, x ′ ∈ E . El segundo lo es, porque, por la propiedad triangular de ‖ ‖ y la definición de ‖ ‖∞,

‖(x1 +x2)− (x ′1 +x ′

2)‖ ≤ ‖x1 −x ′1‖+‖x2 −x ′

2‖ ≤ 2‖(x1, x2)− (x ′1, x ′

2)‖∞.

para todo x1, x2, x ′1, x ′

2 ∈ E . El tercero lo es, porque, como la función ‖ ‖ es homogénea y tiene lapropiedad triangular,

‖λ · x −λ′ · x ′‖ =≤ ‖λ(x −x ′)+ (λ−λ′)x ′‖≤ |λ|‖x −x ′‖+|λ−λ′|‖x ′‖≤ r

(|λ−λ′|+‖x −x ′‖)≤ 2r‖(λ, x)− (λ′, x ′)‖∞

para cada λ,λ′ ∈ B kr (0) y cada x, x ′ ∈ B E

r (0). Por último, para probar que lo es el cuarto es suficientenotar que ψλ,a es de Lipschitz porque es composición de las funciones continuas de Lipschitzx 7→λ.x y x 7→ a +x, que es inversible y que su inversa es una función del mismo tipo.

66

Funciones continuas 3.4 Isometrías

3.4. Isometrías

Definición 3.69. Decimos que una función f : X → Y es una isometría si d(x, x ′) = d(

f (x), f (x ′))

para todo x, x ′ ∈ X .

Ejemplo 3.70. Para cada subconjunto A de un espacio métrico X , la inclusión canónica de A en X esuna isometría, si (como es usual) se piensa a A con la métrica inducida por la de X . Más generalmente,f : (Y ,d f ) −→ X (donde d f es la distancia presentada en el Ejemplo 1.4(7)) es una isometría paracada función inyectiva f : Y → X .

Observación 3.71. Las isometrías son funciones cortas, pero en realidad la definición de isometría esmucho más fuerte, porque donde en la de función corta se pide que valga una desigualdad, en la deisometría se pide que valga una igualdad.

Ejemplo 3.72. Para cada elemento v de un espacio normado E , la traslación Tv : E → E , definida porTv (x) := x + v , es una isometría biyectiva, con inversa T−v

[3].

Ejercicio 3.73. Use el ejemplo anterior para dar otra prueba de la Proposición 1.80.

Ejemplos 3.74. Las reflexiones ortogonales respecto de una recta son isometrías biyectivas del planoeuclideano[4]. También lo son las rotaciones de un angulo θ fijo (en el sentido contrario de las agujasdel reloj)[5], alrededor de un punto.

Ejercicio 3.75. Pruebe que fijada una recta L en el plano euclideano, cada punto x ∈R2 se escribede manera única en la forma x = u +a, con u ∈ L y a ortogonal a L.

Ejemplo 3.76. Las igualdades

1

2‖(x + y, x − y)‖1 = 1

2(|x + y |+ |x − y |) = max(|x|, |y |) = ‖(x, y)‖∞,

muestran que la función (x, y) 7→ ( x+y2 , x−y

2

)es una isometría biyectiva de (R2,‖ ‖∞) en (R2,‖ ‖1).

Observación 3.77. Las isometrías son funciones inyectivas. En efecto, si f : X → Y es una isometría,entonces

f (x) = f (x ′) ⇒ d(

f (x), f (x ′))= 0 ⇒ d(x, x ′) = 0 ⇒ x = x ′.

Por supuesto, esto no es verdad para espacios pseudométricos.

Ejercicio 3.78. Pruebe, mediante un ejemplo, que existen espacios métricos X con isometrías nosobreyectivas f : X → X .

Proposición 3.79. Si f : X → Y y g : Y → Z son isometrías, entonces g ◦ f es una isometría.

Demostración. Porque

d(g ◦ f (x), g ◦ f (x ′)

)= d(

f (x), f (x ′))= d(x, x ′)

para todo x, x ′ ∈ X .

Observación 3.80. Si f : X → Y es una isometría, entonces

f(Br (x)

)= f (X )∩Br(

f (x))

y f(Br [x]

)= f (X )∩Br[

f (x)],

para todo x ∈ X y r > 0.

67

3.5 Métricas Equivalentes Funciones continuas

Definición 3.81. Una isometría f : X → Y es un isomorfismo isométrico si es biyectiva. Si este eseste caso, entonces su inversa es una isometría automáticamente. Dos espacios métricos X e Yson isométricamente isomorfos o isométricos si hay una isometría biyectiva f : X → Y . Si X e Y sonisométricos escribimos X 'Metr Y .

Observación 3.82. Tal como ocurre con las relaciones ', 'u y 'Lips, la relación 'Metr es reflexivasimétrica y transitiva.

Definición 3.83. Una propiedad de un espacio métrico es una propiedad métrica si cada vez que unespacio la tiene, la tienen también todos los que son isométricos a el.

Observación 3.84. Es evidente que las propiedades de Lipschitz son propiedades métricas. Unapropiedad métrica que no es de Lipschitz es, por ejemplo, la de tener diámetro 1.

3.5. Métricas Equivalentes

Definición 3.85. Decimos que dos métricas d 1 y d 2 de un conjunto X son topológicamente equiva-lentes y escribimos d 1 ∼ d 2 si la función identidad id: (X ,d 1) −→ (X ,d 2) es un homeomorfismo, yque d 1 y d 2 son uniformemente equivalentes, si la función id: (X ,d 1) −→ (X ,d 2) es un isomorfismouniformeme. Señalamos este hecho escribiendo d 1 u∼ d 2.

Observación 3.86. Las relaciones ∼ y u∼ son relaciones de equivalencia[6].

Proposición 3.87. Para cada par d 1 y d 2 de métricas definidas sobre un conjunto X , son equivalentes

1. d 1 y d 2 son topológicamente equivalentes.

2. (X ,d 1) y (X ,d 2) tienen los mismos abiertos.

3. (X ,d 1) y (X ,d 2) tienen los mismos cerrados.

4. Para cada x ∈ X y cada ε> 0 existe δ> 0 tal que B d 1

δ(x) ⊆ B d 2

ε (x) y B d 2

δ(x) ⊆ B d 1

ε (x).

5. Una sucesión (xn)n∈N de puntos de X tiende a x ∈ X en (X ,d 1) si y solo si tiende a x en (X ,d 2).

Demostración. 1. ⇔ 2. Por la equivalencia entre los items 1 y 2 del Teorema 3.6.

2. ⇔ 3. Porque un conjunto es cerrado si y solo si es el complemento de un abierto.

2. ⇔ 4. Por la definición de subconjunto abierto de un espacio métrico, dada al comienzo de laSección 2.1.

1. ⇔ 5. Por la equivalencia entre los items 1 y 4 de la Proposición 3.4.

Ejercicio 3.88. Pruebe que dos métricas d 1 y d 2 de un conjunto X son uniformemente equivalentessi y solo si para cada ε> 0 existe δ> 0 tal que

B d 1

δ (x) ⊆ B d 2

ε (x) y B d 2

δ (x) ⊆ B d 1

ε (x)

para todo x ∈ X .

Ejercicio 3.89. Considerese una familia finita (Xi ,d i ) de espacios métricos. Pruebe que una funcióndistancia d definida sobre el producto X := X1 ×·· ·× Xn es equivalente a la distancia d∞ si y solosi (X ,d) tiene la siguiente propiedad: para todo espacio métrico Z una función f : Z → (X ,d) escontinua si y solo si las funciones coordenadas pi ◦ f , donde pi : (X ,d) −→ (Xi ,d i ) es la proyec-ción canónica, son continuas. Pruebe también que d es uniformemente equivalente a d∞ si y solosi (X ,d) tiene la siguiente propiedad: para todo espacio métrico Z una función f : Z → (X ,d) esuniformemente continua si y solo si las funciones coordenadas pi ◦ f son uniformemente continuas.

68

Funciones continuas 3.5 Métricas Equivalentes

3.5.1. Métricas equivalentes y funciones subaditivas crecientes

Por la Proposición 1.16 sabemos que si α : Rn≥0 →R≥0 es una función subaditiva creciente tal

que α−1(0) = {0}, entonces para toda familia finita d i : X ×X −→R≥0 (i = 1, . . . ,n) de pseudométricasdefinidas sobre un conjunto X , con la propiedad de que para cada par de elementos x 6= y de Xexiste i ∈ {1, . . . ,n} tal que d i (x, y) > 0, la función α◦ (d 1, . . . ,d n) : X ×X −→R≥0, definida por

α◦ (d 1, . . . ,d n)(x, y) :=α(d 1(x, y), . . . ,d n(x, y)

),

es una métrica. En particular, como vimos en la Observación 1.18, tomando como α la función

α∞(v1, . . . , vn) := max(v1, . . . , vn)

obtenemos la métrica d∞ dada por

d∞(x, y) := max(d 1(x, y), . . . ,d n(x, y)

).

A continuación establecemos condiciones necesarias y suficientes para que α◦ (d 1, . . . ,d n) sea equi-valente a d∞ para todo X y toda familia (d 1, . . . ,d n) de pseudométricas que satisface las condicionespedidas arriba. Para simplificar los enunciados,en los Lemas 3.90 y 3.91, y en la Proposición 3.92asumimos implicitamente queα : Rn

≥0 →R≥0 es una función subaditiva creciente tal queα−1(0) = {0}y que las (d 1, . . . ,d n) son familias de pseudométricas de X que distinguen puntos en el sentido de quepara cada par de elementos x 6= y de X existe i ∈ {1, . . . ,n} tal que d i (x, y) > 0. Además consideramosaRn

≥0 provisto de la distancia d∞ y aR≥0 provisto de la distancia usual.

Lema 3.90. Son equivalentes:

1. α es continua.

2. α es continua en 0.

3. La función identidad id: (X ,d∞) −→ (X ,α◦(d 1, . . . ,d n)) es uniformemente continua para todo Xy todo (d 1, . . . ,d n).

4. La función identidad id: (X ,d∞) −→ (X ,α◦ (d 1, . . . ,d n)) es continua para todo X y (d 1, . . . ,d n).

Demostración. Es claro que 1. ⇒ 2. y 3. ⇒ 4.

2. ⇒ 3. Por hipótesis sabemos que para cada ε> 0 existe δ> 0 tal que α(x) < ε siempre que ‖x‖∞ < δ.En consecuencia α◦ (d 1, . . . ,d n)(x, x ′) < ε si d∞(x, x ′) < δ.

4. ⇒ 1. Tomemos como (X ,d i ) aRn≥0 provisto de la pseudodistancia d i (x, y) := |xi − yi |, donde xi

e yi son las i -ésimas coordenadas de x e y respectivamente, y escribamos

d(x, y) :=α◦ (d 1, . . . ,d n)(x, y) =α(|x1 − y1|, . . . , |xn − yn |).

Por el item 2 de la Proposición 1.2,

|α(x)−α(y)| = |d(x,0)− d(y,0)| ≤ d(x, y) para todo x, y ∈Rn≥0.

En consecuencia la función (Rn

≥0, d)

R

x α(x)

es continua. Pero entonces por el item 4 también lo es α : Rn≥0 →R.

69

3.5 Métricas Equivalentes Funciones continuas

Lema 3.91. Son equivalentes:

1. Para todo ε> 0 existe δ> 0 tal que α(x) < δ⇒‖x‖∞ < ε.

2. La función identidad id: (X ,α◦(d 1, . . . ,d n)) −→ (X ,d∞) es uniformemente continua para todo Xy todo (d 1, . . . ,d n).

3. La función identidad id: (X ,α◦ (d 1, . . . ,d n)) −→ (X ,d∞) es continua para todo X y (d 1, . . . ,d n).

Demostración. Es claro que 2 ⇒ 3.

1. ⇒ 2. Dado ε> 0, si δ tiene la propiedad pedida en el item 1, entonces

α◦ (d 1, . . . ,d n)(x, x ′) < δ⇒‖d 1(x, x ′), . . . ,d n(x, x ′)‖∞ = d∞(x, x ′) < ε.

3. ⇒ 1. Tomemos (X ,d i ) como en la prueba del Lema 3.90. Como

id: (Rn≥0,α◦ (d 1, . . . ,d n)) −→ (Rn

≥0,d∞)

es continua en 0, dado ε> 0, existe δ> 0 tal que α(x) =α◦ (d 1, . . . ,d n)(x,0) < δ⇒‖x‖∞ < ε.

Proposición 3.92. Son equivalentes:

1. α es continua y para todo ε> 0 existe δ> 0 tal que α(x) < δ⇒‖x‖∞ < ε.

2. α es continua en 0 y para todo ε> 0 existe δ> 0 tal que α(x) < δ⇒‖x‖∞ < ε.

3. (X ,α◦ (d 1, . . . ,d n)) es equivalente a (X ,d∞) para todo X y (d 1, . . . ,d n).

4. (X ,α◦ (d 1, . . . ,d n)) es uniformemente equivalente a (X ,d∞) para todo X y (d 1, . . . ,d n).

Ejercicio 3.93. Pruebe que fijadas pseudométricas d 1, . . . ,d n sobre un conjunto X , tales que paracada par de elementos x 6= y de X existe i con d i (x, y) 6= 0, las funciones distancia dp : X ×X → R≥0

construídas en la Observación 1.18 son uniformemente equivalentes

Ejercicio 3.94. Pruebe que fijados espacios métricos (X1,d X1 ), . . . , (Xn ,d Xn ), todas las funcionesdistancia dp : X ×X → R≥0 definidas sobre el producto X := X1 ×·· ·×Xn en la Observación 1.18 sonuniformemente equivalentes. Concluya que las distancias dp (1 ≤ p ≤∞) de Rn , definidas en lositems 2 y 11 de los Ejemplos 1.4, son todas uniformemente equivalentes, y queRn es completo concada una de ellas.

Ejercicio 3.95. Pruebe que las distancias dp (1 ≤ p ≤∞) deCn , asociadas a las normas definidas enel Ejemplo 1.72, son todas uniformemente equivalentes. Concluya queCn es completo con cada unade ellas.

70

Notas

Notas

[1]. Las funciones f1, f2, f3, f4 y f5 son continuas por el Ejercicio 3.14 y la Proposición 3.16. Además,un cálculo directo muestra que son inversibles, y que sus inversas f −1

1 , . . . , f −15 satisfacen

f −11 (y) = y

1−|y | , f −12 (y) = 2

b −ay − b +a

b −a,

f −13 (y) = y−1, f −1

4 (y) = y −a +1

y

f −15 (y) =

{y si y ≤ 0,

x1−y si y ≥ 0.

Como, nuevamente por el Ejercicio 3.14 y la Proposición 3.16, estas funciones son continuas,las funciones f1, f2, f3, f4 y f5 son homeomorfismos.

[2]. Porque

‖d(x, x ′)−d(y, y ′)‖≤ ‖d(x, x ′)−d(x, y ′)‖+‖d(x, y ′)−d(y, y ′)‖≤ d(x, y)+d(x ′, y ′)= d1

((x, x ′), (y, y ′)

).

[3]. Porque ‖Tv (x)−Tv (y)‖ = ‖(x + v)− (y + v)‖ = ‖x − y‖ para todo x, y ∈ E .

[4]. Fijada una recta L, denotemos con SL a la reflexión ortogonal respecto de L y con ⟨ , ⟩ alproducto interno usual deR2. Para verificar que SL es una isometría, tomemos x e y enR2 yescribamos x = u +a e y = v +b, con u, v ∈ L y a,b ortogonales a L (Ejercicio 3.75). Entonces,como SL(x) = u −a y SL(y) = v −b,

‖SL(x)−SL(y)‖22 = ⟨SL(x)−SL(y),SL(x)−SL(y)⟩= ⟨(u − v)+ (b −a), (u − v)+ (b −a)⟩= ⟨u − v,u − v⟩+⟨b −a,b −a⟩= ⟨u − v,u − v⟩+⟨a −b, a −b⟩= ⟨x − y, x − y⟩= ‖x − y)‖2

2,

donde la tercera y quinta igualdades valen porque a −b es ortogonal a u − v .

[5]. La rotación ángulo θ alrededor de x0 ∈R2 es la función rθ : R2 →R2, definida por

rθ(x) = z(x −x0)+x0,

donde z = cos(θ)+ ı sen(θ) y, por supuesto, la multiplicación es la multiplicación enC. Es unaisometría, porque

‖rθ(x)− rθ(y)‖2 = ‖z(x −x0)− z(y −x0)‖2 = ‖z(x − y)‖2 = ‖z‖2‖x − y‖2 = ‖x − y‖2

para todo x, y ∈R2.

71

Notas

[6]. Como id: (X ,d) −→ (X ,d) es un isomorfismo uniforme para cada espacio métrico, ∼ y u∼ sonreflexivas. Dado que si id: (X ,d 1) −→ (X ,d 2) es un homeomorfismo, entonces id: (X ,d 2) −→(X ,d 1) también lo es, y dado que lo mismo vale para isomorfismos uniformes, ∼ y u∼ sonsimétricas. Por último, como los homeomorfismos y los isomorfismos uniformes son cerradospor composición, ∼ y u∼ son transitivas.

72

CA

PÍ

TU

LO

4PRODUCTO NUMERABLE DE ESPACIOS METRICOS

4.1. Métricas sobre un producto numerable de espacios metricos

Hay varias formas de definir una métrica sobre el producto X := X1×X2×X3×·· · , de los conjuntossubyacentes de una familia numerable

((X1,d 1), (X2,d 2), (X3,d 3), . . . )

de espacios métricos, que tenga alguna relación con las distancias dadas en los espacios coordenados.Para empezar, en general no podemos tomar

d(x, y) := sup(d 1(x1, y1),d 2(x2, y2),d 3(x3, y3), . . .

)para todo par de elementos x := (x1, x2, x3, . . . ) e y := (y1, y2, y3, . . . ) de X , debido a que el conjun-to {d j (x j , y j ) : j ∈N} puede no ser acotado. Una alternativa mejor es definir

d(x, y) := sup(d

1(x1, y1),d

2(x2, y2),d

3(x3, y3), . . .

),

donde dj(x j , y j ) := mın(1,d j (x j , y j )). De hecho, esta fórmula define una métrica, como el lector

puede comprobar como ejercicio. Sin embargo, por razones que resultarán claras más adelante, noes esta la métrica que más nos interesa. En su lugar vamos a usar la siguiente función:

d∞(x, y) := sup

(d

1(x1, y1)

2,

d2

(x2, y2)

22 ,d

3(x3, y3)

23 , . . .

).

Proposición 4.1. La función d∞ : X ×X −→R≥0 es una métrica.

Demostración. De la definición se sigue inmediatamente que d∞(x, y) = 0 si y solo si x = y [1], yque d∞(x, y) = d∞(y, x) para todo x, y ∈ X [2]. Para concluír la prueba debemos ver que

d∞(x, z) ≤ d∞(x, y)+ d∞(y, z) para todo x, y, z ∈ X .

73

4.1 Métricas sobre un producto numerable de espacios Producto numerable de espacios metricos

Para ello basta observar que d∞(x, y)+ d∞(y, z) es una cota superior de la familia

(d

1(x1, y1)

2,

d2

(x2, y2)

22 ,d

3(x3, y3)

23 , . . .

),

lo que es cierto porque, como las dj’s son funciones distancia,

dj(x j , z j )

2 j≤ d

j(x j , y j )

2 j+ d

j(y j , z j )

2 j≤ d∞(x, y)+ d∞(y, z)

para cada j ∈ N, donde x j , y j y z j denotan a las j -ésimas coordenadas de los puntos x, y y z,respectivamente.

Observación 4.2. Fijemos elementos x := (x1, x2, x3, . . . ) e y := (y1, y2, y3, . . . ) de X y un número realpositivo ε. Si existe n ∈N tal que 1

2n < ε y x j = y j para j < n, entonces d∞(x, y) < ε[3]. Dicho de otromodo, para que dos puntos estén a una distancia menor que un ε> 0 arbitrario pero fijo, basta conque una cantidad suficiente de las primeras coordenadas de esos puntos coincidan.

Otra función d1 : X ×X −→R≥0, usada frecuentemente para proveer de una estructura de espaciométrico a X es la definida por

d1(x, y) :=∞∑

j=1

dj(x j , y j )

2 j,

donde x j e y j denotan a las j -ésimas coordenadas de x e y , respectivamente.

Proposición 4.3. La función d1 : X ×X −→R≥0 es una métrica.

Demostración. De la definición se sigue inmediatamente que d1(x, y) = 0 si y solo si x = y [4], yque d1(x, y) = d1(y, x) para todo x, y ∈ X [5]. Además, como

d1(x, z) =∞∑

j=1

dj(x j , z j )

2 j

≤∞∑

j=1

dj(x j , y j )+d

j(y j , z j )

2 jporque cada d

jsatisface la desigualdad triangular

=∞∑

j=1

dj(x j , y j )

2 j+

∞∑j=1

dj(y j , z j )

2 j

= d1(x, y)+ d1(y, z),

para todo x, y, z ∈ X , la función d1 satisface la desigualdad triangular.

Las función d1 es un elemento de una familia infinita de métricas que definiremos ahora. Paracada número real p ≥ 1, definimos la función dp : X ×X →R≥0 por

dp (x, y) := p

√√√√√ ∞∑j=1

dj(x j , y j )p

2 j.

Proposición 4.4. La función dp : X ×X −→R≥0 es una métrica.

74

Producto numerable de espacios metricos 4.1 Métricas sobre un producto numerable de espacios

Demostración. Es evidente que dp (x, y) = 0 si y solo si x = y [6], y que dp (x, y) = dp (y, x) para todox, y ∈ X [7]. Resta probar que vale la desigualdad triangular. Pero esto se sigue de que

p

√√√√√ n∑j=1

dj(x j , z j )p

2 j≤ p

√√√√√ n∑j=1

(d

j(x j , y j )p

2 j+ d

j(y j , z j )p

2 j

)porque cada d

jtiene la

propiedad triangular

≤ p

√√√√√ n∑j=1

dj(x j , y j )p

2 j+ p

√√√√√ n∑j=1

dj(y j , z j )p

2 jpor la desigualdad de Minkowski

≤ dp (x, z)+ dp (z, y),

para cada x, y, z ∈ X y cada n ∈N.

Veremos en el Capítulo 3.5, que si bien las métricas dp son distintas, para muchos propósitosson equivalentes. La elección de una u otra es una cuestión de gusto. Como dijimos arriba, nosotrostrabajaremos con la distancia d∞.

La primera de las alternativas descartadas al definir la función distancia en un producto numera-ble de espacios da lugar a métricas importantes cuando es definida sobre conjuntos apropiados. Porejemplo, el de la sucesiones acotadas de números reales (recordemos que una sucesión (xn)n∈N denúmeros reales es acotada si sup(|x1|, |x2|, |x3|, . . . ) <∞). Cuando estudiemos los espacios de Banach,veremos este ejemplo en detalle.

Definición 4.5. Una función α : RN≥0 →R≥0 es subaditiva si

α(u + v) ≤α(u)+α(v) para todo u, v ∈Rn≥0.

En el siguiente ejercicio consideramos aRN≥0 provisto de la suma coordenada a coordenada y larelación de orden parcial definida por x ≤ y si y solo si xi ≤ yi para todo i ∈N.

Ejercicio 4.6. Pruebe que si d n : X × X −→R≥0 (n ∈N) es una familia numerable de pseudomé-tricas y α : RN≥0 →R≥0 es una función subaditiva creciente tal que α−1(0) = 0, entonces la funciónd : X ×X −→R≥0, definida por

d(x, y) :=α(d 1(x, y),d 2(x, y),d 3(x, y), . . .

),

es una pseudométrica, que es una métrica si y solo si para todo par de elementos x 6= y de X , existen ∈N tal que d n(x, y) > 0.

Para cada sucesión acotada a := (an)n∈N, de números reales positivos, denotamos con αa∞ a lafunción deRN≥0 enR≥0, definida por

αa∞(x) := sup

n∈N(a1x1, a2x2, a3x3, . . . ),

donde xn := mın(1, xn). Cuando además∑∞

n=1 an <∞, también tenemos las funciones αap deRN≥0 en

R≥0, definidas por

αap (x) := p

√ ∞∑n=1

an xpn ,

para cada p ∈ [1,∞).

75

4.2 Bolas abiertas en productos numerables de espacios Producto numerable de espacios metricos

Ejercicio 4.7. Pruebe que las funciones αap satisfacen las condiciones requeridas en el ejercicio

anterior.

INDICACIÓN: para probar que αap , con p <∞, es subaditiva, use la desigualdad (1.8).

Ejercicio 4.8. Consideremos una sucesión acotada a := (an)n∈N de números reales positivos y unafamilia numerable (d n)n∈N de métricas definidas sobre un conjunto X , que tiene la propiedad depara cada par de elementos x 6= y de X , existe n ∈N tal que d n(x, y) 6= 0.

1. Pruebe que la función da∞ : X ×X −→R≥0, definida por

da∞(x, y) := sup

(a1d

1(x, y), a2d

2(x, y), a3d

3(x, y), . . .

),

donde dn

(xn , yn) := mın(1,d n(xn , yn)

), es una métrica.

2. Supongamos que∑∞

n=1 an <∞. Pruebe que para cada p ∈ [1,∞), la función dap : X ×X −→R≥0,

definida por

dap (x, y) := p

√ ∞∑n=1

andn

(x, y)p ,

también es una métrica.

INDICACIÓN: Use los Ejercicios 4.6 y 4.7.

Ejercicio 4.9. Consideremos una sucesión acotada a := (an)n∈N de números reales positivos, y unafamilia numerable (Xn ,d Xn )n∈N de espacios métricos. Escribamos X := X1 ×X2 ×X3 ×·· · .

1. Pruebe que X es un espacio métrico via la función distancia d a∞ : X ×X −→R≥0, definida por

d a∞(x, y) := sup

(a1d

X1(x1, y1), a2d

X2(x2, y2), a3d

X3(x3, y3), . . .

),

donde x := (x1, x2, x3 . . . ), y := (y1, y2, y3, . . . ), y dXn

(x, y) := mın(1,d Xn (x, y)

).

2. Supongamos que∑∞

n=1 an <∞. Pruebe que X también es un espacio métrico via cada una delas funciones distancia d a

p : X ×X −→R≥0, con p ∈ [1,∞), definidas por

d ap (x, y) := p

√ ∞∑i=1

ai dXi

(xi , yi )p .

4.2. Bolas abiertas en productos numerables de espacios métricos

Observación 4.10. Analicemos la forma de las bolas abiertas en el producto

(X , d∞) := (X1 ×X2 ×X3 ×·· · , d∞)

de una familia numerable (Xi ,d i )i∈N de espacios métricos. Por la definición de d∞, para cadax := (x1, x2, x3, . . . ) ∈ X y cada r > 0, un punto y := (y1, y2, y3, . . . ) de X está en Br (x) si y solo si

supj∈N

(d

1(x1, y1)

2,

d2

(x2, y2)

22 ,d

3(x3, y3)

23 , . . .

)< r, (4.1)

76

Producto numerable de espacios metricos 4.3 Convergencia de sucesiones en un producto numerable

donde dn

:= mın(1,d n). Pero podemos ser más precisos. Es claro que Br (x) = X si r > 12

[8]. Suponga-mos que r ≤ 1

2 . Como( 1

2n

)n∈N es una sucesión decreciente que tiende a 0, existe s ∈N tal que

· · · < 1

2s+3 < 1

2s+2 < 1

2s+1 < r ≤ 1

2s .

Como las funciones dj

toman sus valores en [0,1],

Im

(d

j

2 j

)⊆

[0,

1

2s+1

]cuando j > s.

Como además

dj(x j , y j )

2 j< r si y solo si d

j(x j , y j ) < 2 j r

y

dj(x j , y j ) = d j (x j , y j ) si y solo si d j (x j , y j ) ≤ 1,

la bola abierta de radio r y centro x es el conjunto

Br (x) = BX12r (x1)×BX2

22r(x2)×·· ·×BXs

2s r (xs)×Xs+1 ×Xs+2 ×·· · [9].

Ejercicio 4.11. Pruebe que para cada punto (x1, x2, . . . ) de un producto X1 ×X2 ×·· · de una cantidadnumerable de espacios métricos, el conjunto

{X1 ×·· ·×Xi−1 ×Br (xi )×Xi+1 ×·· · : i ∈N y r > 0}

es una subbase de entornos de (x1, x2, x3, . . . ).

INDICACIÓN: Use el Ejemplo 4.10.

4.3. Convergencia de sucesiones en un producto numerable de espaciosmétricos

Un resultado análogo al del Corolario 1.108 vale para el producto de una cantidad numerable deespacios métricos, dotado de la métrica d∞. Esta es una de las razones por las que esta métrica esútil. Por supuesto, para probar esto no puede apelarse a la Proposición 1.107.

Proposición 4.12. Consideremos una familia numerable (Xi ,di )i∈N de espacios métricos. Una suce-sión (xn)n∈N de puntos de

(X , d∞) := (X1 ×X2 ×X3 ×·· · , d∞)

tiende a un punto x ∈ X si y solo si la sucesión (xni )n∈N, donde xn

i es la i -ésima coordenada de xn ,tiende a la i -ésima coordenada xi de x, para todo i ∈N.

Demostración. Supongamos primero que (xn)n∈N tiende a x. Dado que

mın(1,d j (xni , xi )) ≤ 2i d∞(xn , x)

la sucesión (xni )n∈N tiende a xi , para cada i ∈N. Recíprocamente, como, por el Ejemplo 4.10, para

cada ε≤ 1/2 existe s ∈N tal que

Bε(x) = BX12ε (x1)×BX2

22ε(x2)×·· ·×BXs

2sε(xs)×Xs+1 ×Xs+2 ×·· · , (4.2)

si para cada i ∈N la sucesión (xni )n∈N tiende a xi , entonces lımn→∞ xn = x[10].

Ejercicio 4.13. Use la Observación 1.102, el Ejemplo 1.37 y el Ejercicio 4.11 para dar pruebas simplesdel Corolario 1.108 y de la Proposición 4.12.

77

4.4 Abiertos en productos numerables de espacios métricos Producto numerable de espacios metricos

4.4. Abiertos en productos de numerables espacios métricos

Observación 4.14. El resultado establecido en la Proposición 2.21 no vale en un producto

(X ,d∞) := (X1 ×X2 ×X3 ×·· · , d∞),

de una familia numerable ((X1,d 1), (X2,d 2), (X3,d 3), . . .

de espacios métricos. De hecho, por la descripción de las bolas abiertas de (X , d∞) obtenida en elEjemplo 4.10, es claro que si un producto

A1 × A2 × A3 ×·· · ,

donde cada Ai es un subconjunto abierto de (Xi ,di ), es abierto en (X ,d∞), entonces existe n0 ∈Ntal que An = Xn para todo n ∈N.

Ejercicio 4.15. Pruebe que A1×A2×A3×·· · es un abierto de (X , d∞) si y solo si cada An es un abiertode (Xn ,d n) y el conjunto de los An ’s distintos de Xn es finito.

Ejercicio 4.16. Consideremos una familia numerable X1, X2, . . . de espacios métricos. Pruebe que siBi es una base de Xi (i ∈N), entonces el conjunto

B := {V1 ×·· ·×Vn ×·· · : existe j ∈N con Vi ∈Bi para i < j y Vi = Xi para i ≥ j }

es una base de X := X1 ×X2 ×·· · .INDICACIÓN: use el Ejercicio 4.10.

4.5. Cerrados en productos de numerables espacios métricos

El resultado establecido en la Proposición 2.64 vale en un producto numerable de espaciosmétricos.

Proposición 4.17. Consideremos el producto (X , d∞) := (X1 ×X2 ×X3 ×·· · , d∞), de una familia nu-merable

((X1,d 1), (X2,d 2), (X3,d 3), . . .

)de espacios métricos. La igualdad

A1 × A2 × A3 ×·· · = A1 × A2 × A3 ×·· · ,

vale para cada familia numerable de conjuntos (A1, A2, A3, . . . ), con Ai ⊆ Xi para todo i . En conse-cuencia, si los Ai ’s son conjuntos cerrados, entonces A1 × A2 × A3 ×·· · es cerrado.

Demostración. Por la Proposición 2.61, y porque por la Proposición 4.12 una sucesión (xn)n∈N depuntos de A1×A2×A3×·· · , donde xn := (xn

1 , xn2 , xn

3 , . . . ), converge a un punto (x1, x2, x3, . . . ) de (X , d∞)si y solo si (xn

i )n∈N tiende a xi en (Xi ,d i ), para todo i ∈N.

78

Producto numerable de espacios metricos 4.6 Continuidad y productos numerables de espacios

4.6. Continuidad y productos numerables de espacios métricos

Los resultados establecidos en los Corolarios 3.12 y 3.13 valen para productos de numerablesespacios métricos.

Proposición 4.18. Consideremos un producto X := X1×X2×X3×·· · de numerables espacios métricosy un espacio métrico Z . Una función f : Z → X es continua en un punto z ∈ Z si y solo si la funciónp j ◦ f , donde p j : X → X j es la proyección canónica, es continua en z para todo j ∈N. En consecuenciaf es continua si y solo si las funciones p j ◦ f lo son.

Demostración. Tomemos una sucesión (zn)n∈N de puntos de Z que tiende a z. Por la Proposi-ción 4.12, sabemos que f (zn)n∈N tiende a f (z) si y solo si p j ◦ f (zn)n∈N tiende a p j ◦ f (z) paratodo j , donde p j : X → X j es la proyección canónica. Por la equivalencia entre los items 1 y 4 de laProposición 3.4, esto prueba la afirmación.

Corolario 4.19. Las proyecciones canónicas p j : X → X j , donde X es como en la proposición anterior,son continuas.

Demostración. En la proposición anterior tomese como f la función identidad.

Corolario 4.20. Para cada familia numerable f j : X j → Y j ( j ∈N), de funciones continuas, la función

f1 × f2 × f3 ×·· ·X1 ×X2 ×X3 ×·· · Y1 ×Y2 ×Y3 ×·· ·

(x1, x2, x3, . . . )(

f1(x1), f2(x2), f3(x3), . . .)

es continua.

Demostración. Basta observar que p j ◦( f1× f2× f3×·· · ) = f j ◦p j para todo j ∈N, y que las funcionesf j ◦p j son continuas debido a que son composición de funciones continuas.

Ejercicio 4.21. Use el Ejercicio 3.5 para dar una demostración alternativa de la Proposición 4.18.

4.7. Funciones de Lipschitz y productos numerables de espaciosmétricos

Proposición 4.22. Consideremos un producto X := X1×X2×X3×·· · de numerables espacios métricosy un espacio métrico Z . Una función f : Z → X es de Lipschitz si y solo si la función p j ◦ f , dondep j : X → X j es la proyección canónica, es de Lipschitz para todo j ∈N, y el conjunto

{Kp j ◦ f : j ∈N}

,donde Kp j ◦ f es la constante de Lipschitz de p j ◦ f , es acotado. Además, la constante de Lipschitz de fes el supremo, sup j∈NKp j ◦ f , de las constantes de Lipschitz de las funciones coordenadas p j ◦ f .

Demostración. Para simplificar las expresiones que aparecen en la prueba escribimos f j := p j ◦ f .Como

d∞(

f (z), f (z ′))= sup

j∈Nd

(f j (z), fY j z ′)

),

para cada K ∈R≥0 son equivalentes:

d(

f j (z), f j (z ′))≤ K d(z, z ′) para todo j ∈N y z, z ′ ∈ Z ,

79

4.8 Métricas equivalentes en productos numerables Producto numerable de espacios metricos

y

d∞(

f (z), f (z ′))≤ K d(z, z ′) < δ para todo z, z ′ ∈ Z .

Esto prueba que la afirmación es verdadera.

El siguiente resultado mejora la Proposición 4.19.

Corolario 4.23. Las proyecciones canónicas p j : X → X j , donde X es como en la proposición anterior,son funciones cortas.

Demostración. En la proposición anterior tomese como f la función identidad.

Corolario 4.24. Para cada familia numerable f j : X j → Y j ( j ∈N) de funciones de Lipschitz tal que elconjunto

{K f j : j ∈N}

, donde K f j es la constante de Lipschitz de f j , es acotado, la función

f1 × f2 × f3 ×·· ·X1 ×X2 ×X3 ×·· · Y1 ×Y2 ×Y3 ×·· ·

(x1, x2, x3, . . . )(

f1(x1), f2(x2), f3(x3), . . .)

es de Lipschitz.

Demostración. Basta observar que p j ◦ ( f1 × f2 × f3 ×·· · ) = f j ◦p j para todo j ∈N, que las funcionesf j ◦p j son de Lipschitz debido a que son composición de funciones de Lipschitz, y que el conjuntode las constantes de Lipschitz de las funciones f j ◦p j es acotado.

4.8. Métricas equivalentes en productos numerables de espaciosmétricos

Recordemos que un producto X := X1 ×X2 ×X3 ×·· · , de numerables espacios métricos, no soloes un espacio métrico via la distancia d∞ introducida arriba de la Proposición 4.1, sino también vialas distancia dp (1 ≤ p <∞) introducida debajo de la Proposición 4.3. Ahora veremos que todas estasmétricas son equivalentes. Por razones didácticas consideramos primero un caso particular.

Proposición 4.25. Las distancias d∞ y d1 son topológicamente equivalentes.

Demostración. Denotemos con d i a la distancia de Xi y escribamos di(x, y) := mın(1,d i (x, y)). Como,

para cada par x = (x1, x2, x3, . . . ) e y = (y1, y2, y3, . . . ) de puntos de X ,

d∞(x,y) = supj∈N

(d

1(x1, y1)

2,

d2

(x2, y2)

22 ,d

3(x3, y3)

23 , . . .

)≤

∞∑j=1

dj(x j , y j )

2 j= d1(x,y),

la función id: (X , d1) −→ (X , d∞) es continua. Por otra parte, dado ε> 0, si d∞(x,y) < ε2i , donde i es

cualquier número natural tal que 12i < ε

2, entonces

d1(x,y) =∞∑

j=1

dj(x j , y j )

2 j=

i∑j=1

dj(x j , y j )

2 j+

∞∑j=i+1

dj(x j , y j )

2 j≤

i∑j=1

ε

2i+

∞∑j=i+1

1

2 j= ε

2+ 1

2i< ε,

por lo que la función id: (X , d∞) −→ (X , d1) también es continua.

80

Producto numerable de espacios metricos 4.8 Métricas equivalentes en productos numerables

Proposición 4.26. Para cada número real p ≥ 1, las distancias d∞ y dp son topológicamente equiva-lentes.

Demostración. Como para cada par x = (x1, x2, x3, . . . ) e y = (y1, y2, y3, . . . ) de puntos de X ,

d∞(x,y) = supj∈N

(d

1(x1, y1)

2,

d2

(x2, y2)

22 ,d

3(x3, y3)

23 , . . .

)≤ p

√√√√√ ∞∑j=1

dj(x j , y j )

2 j= dp (x,y)

la función id: (X , dp ) −→ (X , d∞) es continua. Por otra parte, fijado ε> 0, si d∞(x,y) < ε

21/p2 i 1/p 2i (p−1)/p,

donde i es cualquier número natural tal que 12i < εp

2p , entonces

dp (x,y) = p

√√√√√ ∞∑j=1

dj(x j , y j )p

2 j

= p

√√√√√ i∑j=1

dj(x j , y j )p

2 j+ p

√√√√√ ∞∑j=i+1

dj(x j , y j )p

2 jpor la desigualdad (1.8)

= p

√√√√√ i∑j=1

2 j (p−1)(d

j(x j , y j )

2 j

)p+ p

√√√√√ ∞∑j=i+1

dj(x j , y j )p

2 j

≤ p

√√√√ i∑j=1

2 j (p−1) εp

2p i 2i (p−1)+ p

√√√√ ∞∑j=i+1

1

2 j

≤ p

√√√√ i∑j=1

εp

2p i+ p

√√√√ ∞∑j=i+1

1

2 j

= p

√εp

2p + 1

2i

< ε

y, por lo tanto, la función id: (X , d∞) −→ (X , d1) también es continua.

Ejercicio 4.27. Considerese una familia numerable (Xi ,d i ) de espacios métricos. Pruebe que unafunción distancia d definida sobre el producto X := X1×X2×X3 · · · es equivalente a la distancia d∞ siy solo si (X ,d) tiene la siguiente propiedad: para todo espacio métrico Z una función f : Z → (X ,d)es continua si y solo si las funciones coordenadas pi ◦ f , donde pi : (X ,d) −→ (Xi ,d i ) es la proyeccióncanónica, son continuas.

81

Notas

Notas

[1]. Si x 6= y , entonces x j 6= y j para al menos un subíndice j y, por lo tanto,

d∞(x, y) ≥ d j (x j , y j )

2 j> 0.

En cambio, si x = y , entonces d j (x j , y j ) = 0 para todo j y, en consecuencia,

d∞(x, y) = sup

(d 1(x1, y1)

2,

d 2(x2, y2)

22 ,d 3(x3, y3)

23 , . . .

)= 0.

[2]. Como d j (x j , y j ) = d j (y j , x j ) para todo j ,

d∞(x, y) = sup

(d 1(x1, y1)

2,

d 2(x2, y2)

22 ,d 3(x3, y3)

23 , . . .

)= sup

(d 1(y1, x1)

2,

d 2(y2, x2)

22 ,d 3(y3, x3)

23 , . . .

)= d∞(y, x).

[3]. Como x j = y j para j < n y 12n < ε,

d∞(x, y) = sup

(d

n(xn , yn)

2n ,d

n+1(xn+1, yn+1)

2n+1 ,d

n+2(xn+2, yn+2)

2n+2 , . . .

)≤ 1

2n < ε.


d1(x, y) ≥ d j (x j , y j )

2 j> 0.

En cambio, si x = y , entonces dj(x j , y j ) = 0 para todo j y, en consecuencia,

d1(x, y) =∞∑

j=1

d j (x j , y j )

2 j= 0.

[5]. Como d j (x j , y j ) = d j (y j , x j ) para todo j ,

d1(x, y) =∞∑

j=1

d j (x j , y j )

2 j=

∞∑j=1

d j (y j , x j )

2 j= d1(y, x).

82

Notas


dp (x, y) ≥p

√√√√dj(x j , y j )p

2 j> 0.

En cambio, si x = y , entonces dj(x j , y j ) = 0 para todo j y, en consecuencia,

dp (x, y) = p

√√√√√ ∞∑j=1

dj(x j , y j )p

2 j= 0.

[7]. Como dj(x j , y j ) = d

j(y j , x j ) para todo j ,

dp (x, y) = p

√√√√√ ∞∑j=1

dj(x j , y j )p

2 j= p

√√√√√ ∞∑j=1

dj(y j , x j )p

2 j= dp (y, x).

[8]. Como las funciones di

toman sus valores entre 0 y 1,

d∞(x, y) = supj∈N

(d 1(x1, y1)

2,

d 2(x2, y2)

22 ,d 3(x3, y3)

23 , . . .

)≤ sup

j∈N

(1

2,

1

22 ,1

23 , . . .

)≤ 1

2

para todo x, y ∈ X .

[9]. Sabemos que un punto y := (y1, y2, y3, . . . ) de X pertenece a Br (x) si y solo si se satisface lacondición (4.1). Veamos como deben ser sus coordenadas para que esto ocurra. Como

dj(x j , z)

2 j≤ 1

2s+1 < r para todo j > s y todo z ∈ X j ,

las coordenadas y j de y , con j > s, son arbitrarias. Así que y ∈ Br (x) si y solo sid

j(x j ,y j )2 j < r para

cada j ≤ s. Pero, como r 2s ≤ 1, esto ocurre si y solo si

d j (x j , y j ) < r 2 j para cada j ≤ s.

[10]. Como lımn→∞ xni = xi para todo i , existe n0 ∈N tal que xn

i ∈ B2i ε(xi ) para todo n > n0 y i ≤ s.Pero entonces xn ∈ Bε(x) para todo n > n0.

83

CA

PÍ

TU

LO

5ESPACIOS MÉTRICOS SEPARABLES

Definición 5.1. Un subconjunto A de un espacio métrico X es denso si A = X . Por ejemplo,Q yR\Qson densos enR. Recordemos que un conjunto A es contable si es finito o numerable. Un espaciométrico es separable si tiene un subconjunto contable y denso.

Observación 5.2. Si X tiene un subconjunto denso finito A, entonces X = A, porque A es cerra-do. Por lo tanto, los subconjuntos densos contables de espacios métricos separables infinitos sonnecesariamente numerables.

Ejemplo 5.3. Todo espacio métrico contable es separable, y un espacio métrico discreto es separablesi y solo si es contable.

Ejemplo 5.4. La recta realR es separable, porqueQ es numerable y denso enR.

Ejercicio 5.5. Pruebe que R\Q es separable exibiendo un subconjunto numerable denso.

Ejemplo 5.6. Fijada cualquier familia { f1, f2, f3, . . . } de funciones acotadas f j : [0,1] → R, la fun-ción f : [0,1] →R, definida por

f (x) :={

0 si x 6= 1n para todo n ∈N,

1− fn(x) si x = 1n ,

está a una distancia mayor o igual que 1 de todas las f j ’s. Por lo tanto B [0,1] no es separable.

Recordemos que una base de X es un conjunto B ⊆P (X ), de subconjuntos abiertos de X , talque

U = ⋃V ∈BV ⊆U

V ,

para todo abierto U de X , y que esto ocurre si y solo si para cada abierto U de X y cada x ∈U , existeB ∈B tal que x ∈ B ⊆U .

85

Espacios métricos separables

Definición 5.7. Una colección (Uλ)λ∈Λ de subconjuntos de un espacio métrico X es un cubrimientode un subconjunto A de X si A ⊆⋃

λ∈ΛUλ. Un subcubrimiento de (Uλ)λ∈Λ es una subfamilia (Uλ)λ∈Ξque también cubre A. Un cubrimiento de A es abierto si sus miembros son abiertos.

Proposición 5.8. Para cada espacio métrico X son equivalentes:

1. X es separable.

2. X tiene un subconjunto contable S tal que U ∩S 6= ;, para todo subconjunto abierto no vacío Ude X .

3. X tiene un subconjunto contable S tal que Br (x)∩S 6= ;, para toda bola abierta Br (x) de X .

4. X tiene una base contable.

5. Cada cubrimiento abierto de X tiene un subcubrimiento contable (propiedad de Lindeloff).

6. Todo conjunto de abiertos de X disjuntos dos a dos es contable.

7. Todo conjunto de bolas abiertas de X disjuntas dos a dos es contable.

8. Todo subconjunto discreto de X es contable.

Demostración. 1. ⇒ 2. Supongamos que S es un subconjunto contable denso de X y tomemos unabierto no vacío U . Por la Proposición 2.61, como U es entorno de cada uno de sus puntos, U ∩S 6= ;.

2. ⇒ 3. Porque las bolas abiertas son subconjuntos abiertos no vacíos de X .

3. ⇒ 1. Por la Proposición 2.61, la condición 3 dice que S = X .

1. ⇒ 4. Afirmamos que para cada conjunto contable denso {xn ∈ X : n ∈N}, el conjunto{B 1

m(xn) : n,m ∈N

}es una base contable de X . Para comprobar que esto es cierto, fijados una bola abierta Br (x) y unpunto y ∈ Br (x), tomemos m ∈ N tal que B 2

m(y) ⊆ Br (x) y elijamos xn ∈ B 1

m(y). Es evidente que

entonces y ∈ B 1m

(xn) ⊆ B 2m

(y) ⊆ Br (x).

4. ⇒ 5. Fijemos una base contable B := {Un : n ∈N} de X . Dado un cubrimiento abierto (V j ) j∈J de X ,consideremos el subconjunto {Un1 ,Un2 , . . . } de B formado por los Ui ’s tales que Ui ⊆V j para algún j .Para cada ni , tomemos un V j tal que Uni ⊆V j y llamemoslo Vni . Entonces⋃

i∈NVni ⊇

⋃i∈N

Uni = X ,

donde la última igualdad se sigue de que V j =⋃{Un : Un ⊆V j }, para cada j ∈ J .

5. ⇒ 3. Por hipótesis, para cada n ∈N el cubrimiento abierto Vn := (B1/n(x)

)x∈X tiene un subcubri-

miento contable Vn := (B1/n(xm,n)

)m∈N. Afirmamos que el conjunto contable A := {xn,m : n,m ∈N}

tiene la propiedad pedida en el item 3. En efecto, dados x ∈ X y r > 0, tomemos un número natu-ral n ≥ 1/r y elijamos xm,n tal que x ∈ B1/n(xm,n). Entonces xm,n ∈ Br (x). Como r es arbitrario, estotermina la demostración.

4. ⇒ 6. Consideremos una base arbitraria B de X . Si hay un conjunto no contable U , de abiertosdisjuntos dos a dos de X , entonces cada elemento no vacío de U incluye un elemento de B. Por lotanto, B no puede se contable.

6. ⇒ 7. Porque las bolas abiertas son subconjuntos abiertos de X .

86


7. ⇒ 8. Tomemos un subconjunto discreto D de X y escribamos rx := d(x,D \ {x}) para cada elemen-to x de D . Por hipótesis, rx > 0. Afirmamos que los elementos del conjunto

U :={

B rx2

(x) : x ∈ D}

,

son disjuntos dos a dos. En efecto, si B rx2

(x)∩B rx′2

(x ′) 6= ;, entonces por la propiedad triangular

d(x, x ′) ≤ rx

2+ rx ′

2≤ max(rx ,rx ′),

lo que es absurdo. Esto prueba la afirmación. Entonces U es contable (por el item 8) y, por lo tanto,también lo es D.

8. ⇒ 1. Fijado n ∈N, consideremos el conjunto Dn , constituído por todos los subconjuntos D de Xtales que d(x, x ′) ≥ 1

n para todo x, x ′ ∈ D , dotado con el orden definido por inclusión. Si {Dλ :λ ∈Λ}es una cadena de elementos de Dn , entonces

D := ⋃λ∈Λ

Dλ

pertenece a Dn , porque dados x, x ′ ∈ D, existe λ ∈ Λ tal que x, x ′ ∈ Dλ. En consecuencia, por elLema de Zorn Dn tiene elementos maximales. Elijamos uno D(n). Notemos que d(x,D(n)) < 1

n ,para todo x ∈ X , debido a que de lo contrario D(n)∪ {x} pertenecería a Dn , lo que contradice lamaximalidad de D(n). De esto se sigue inmediatamente que

⋃n∈ND(n) es denso en X . Además es

contable, porque cada uno de los D(n)’s lo es.

Proposición 5.9. Si X es un espacio métrico separable, entonces cada subespacio A de X es separable.

Demostración. Por la Proposición 5.8 sabemos que un espacio es separable si y solo si tiene unabase numerable, y por la Observación 2.30 sabemos que si un espacio métrico tiene está propiedad,entonces también la tienen todos sus subespacios.

Ejercicio 5.10. Pruebe que si un espacio métrico es una unión contable de subespacios separables,entonces es separable.

Proposición 5.11. Si X es separable y f : X → Y es continua y sobreyectiva, entonces Y es separable.

Demostración. Tomemos un subconjunto numerable denso S de X . Por el Teorema 3.6, dado que fes continua, Y = f (X ) = f (S) ⊆ f (S). Como f (S) es contable, esto prueba que Y es separable.

Ejercicio 5.12. Pruebe la Proposición 5.11 usando la propiedad de Lindeloff.

Proposición 5.13. Un producto de finitos espacios métricos es separable si y solo si cada uno lo es.

Demostración. Tomemos un producto X := X1 ×·· ·×Xn de finitos espacios métricos, y supongamosque cada Xi tiene un subconjunto contable denso Si . Entonces, por la Proposición 2.64,

S1 ×·· ·×Sn = S1 ×·· ·×Sn = X1 ×·· ·×Xn = X .

Como el conjunto S1 × ·· ·×Sn es contable porque es un producto finito de conjuntos contables,esto prueba que si cada Xi es es separable, entonces X también lo es. Recíprocamente, como lasproyecciones canónicas p j : X → X j son funciones continuas, si X es separable, entonces cada Xi loes, por la Proposición 5.11.

87


Corolario 5.14. Rn es un espacio métrico separable para todo n ∈N.

Demostración. Por la Proposición 5.13 para ver que esto es cierto es suficiente recordar que, comovimos en el Ejemplo 5.4, la recta realR es separable.

Recordemos que ℵ0 es el cardinal de conjunto de los números naturales, y que el cardinal delcontinuo c es el cardinal del conjunto {0,1}N, de las funciones deN en 0,1. Así, c= 2ℵ0 . Es fácil verque el cardinal deR es c. Esa es la razón del nombre “cardinal del continuo”. El siguiente resultadomuestra que un espacio separable no puede tener más elementos queR.

Teorema 5.15. Si X es un espacio métrico separable, entonces su cardinal \(X ) es menor o igual que c.

Demostración. Tomemos una base contable B de X y formemos una sucesión U1,U2,U3, . . . en laque aparezcan todos sus elementos (en la lista formada por los Ui ’s puede haber repeticiones, dehecho, si X es finito necesariamente las hay, pero esto no afecta nuestro argumento). Definimosξ : X → {0,1}N por

ξ(x)i :={

1 si x ∈Ui ,

0 en caso contrario.

Consideremos x, x ′ ∈ X . Por el Corolario 3.22, si x 6= x ′, entoncen existen abiertos disjuntos V y Wde X tales que x ∈V y x ′ ∈W . Como B es una base, existe Ui tal que x ∈Ui ⊆V . En consecuenciax ′ ∉Ui . Así ξ(x)i = 1 y ξ(x ′)i = 0. Esto muestra que ξ es inyectiva, y termina la demostración.

Definición 5.16. Un punto x ∈ X es un punto de condensación de un conjunto A ⊆ X , si Br (x)∩ A noes contable para ningún r > 0. Cualquiera sea A ⊆ X , denotamos con As al conjunto de los puntos decondensación de A.

Observación 5.17. De la definición de punto de condensación se sigue inmediatamente que si A ⊆ B ,entonces As ⊆ B s .

Proposición 5.18. Si X es separable y A ⊆ X no es contable, entonces As ∩ A 6= ;.

Demostración. Fijemos una base contable B = {U1,U2, . . . } de A. Si A∩ As =;, entonces para cadax ∈ A existe U j ∈B tal que x ∈U j y A∩U j es contable. Esto implica que A =⋃

{A∩Ui : \(A∩Ui ) ≤ℵ0}y, por lo tanto, es contable.

El siguiente resultado mejora la proposición anterior.

Proposición 5.19. Si X es un espacio métrico separable y A ⊆ X no es contable, entonces A \ (As ∩ A)es contable.

Demostración. Si A \ (As ∩ A) no fuera contable, entonces, por la Proposición 5.18 y la Observa-ción 5.17,

As ∩ (A \ (As ∩ A)

)⊇ (A \ (As ∩ A)

)s ∩ (A \ (As ∩ A)

) 6= ;,

lo que es absurdo.

Corolario 5.20. Si X es un espacio métrico separable y no contable, entonces X \ X s es contable.

Demostración. Este es un caso particular de la Proposición 5.19.

Proposición 5.21. Si X es separable, entonces el conjunto As , de los puntos de condensación de A, esperfecto para cada subconjunto A de X .

88


Demostración. Debemos probar que As es cerrado y sin puntos aislados. Por la definición de clausura,cada bola abierta Br (x), cuyo centro es un punto x de As , tiene un punto x ′ ∈ As . Como Br (x) esabierto, incluye a una bola Br ′(x ′), con centro x ′. Como esta bola tiene una cantidad no contable depuntos de A, la primera también los tiene. Esto prueba que x ∈ As y, por lo tanto, que As es cerrado.Pasando a la otra cuestión, si U es un entorno abierto de un punto x de As , entonces U ∩ (A \ {x}) esno contable. En consecuencia, por la Proposición 5.18,

U ∩ (As \ {x}) ⊇ (U ∩ (A \ {x})

)s ∩U ∩ (A \ {x}) 6= ;.

Esto prueba que x es un punto de acumulación de As .

Ejercicio 5.22. Pruebe que si X no es separable, entonces As es cerrado para cada subconjunto A deX , pero puede tener puntos aislados.

89

CA

PÍ

TU

LO

6ESPACIOS MÉTRICOS COMPLETOS

El criterio de Cauchy es un criterio para la convergencia de sucesiones en R que no requiereconocer el límite de la sucesión. A diferencia de lo que ocurre enR, en espacios métricos generalesla condición de Cauchy no es suficiente para garantizar la convergencia de una sucesión. Un espaciométrico en el que las sucesiones de Cauchy convergen es llamado completo. Como veremos en capí-tulos posteriores esta condición es esencial para muchos resultados importantes. En este capítuloprimero presentamos la noción de sucesión de Cauchy, luego definimos los espacios métricos com-pletos, damos algunas caracterizaciones de ellos y comenzamos su estudio. En particular probamosque varios ejemplos que ya hemos considerado son espacios completos. Finalmente probamos quecualquier espacio métrico puede sumergirse en forma natural en un espacio métrico completo.

6.1. Sucesiones de Cauchy

Definición 6.1. Una sucesión (xn)n∈N de puntos de un espacio métrico X es de Cauchy si paratodo ε> 0 existe n0 ∈N tal que d(xn , xm) < ε siempre que n,m ≥ n0.

Proposición 6.2. Toda sucesión convergente (xn)n∈N de puntos de X es de Cauchy.

Demostración. Escribamos x = lımn→∞ xn y tomemos n0 ∈N tal que d(x, xn) < ε2 para todo n ≥ n0.

Entoncesd(xn , xm) ≤ d(xn , x)+d(x, xm) < ε siempre que n,m ≥ n0,

por la propiedad triangular de d .

Observación 6.3. La recíproca de la proposición anterior es falsa. Por ejemplo, la sucesión( 1

n

)n∈N

es de Cauchy en X :=R \ {0} y no es convergente (no al menos en ese espacio). En este ejemplo elespacio X puede sumergirse en otro en el que toda sucesión de Cauchy es convergente (se trata delespacioR, que, como veremos pronto, tiene esta propiedad). Más adelante probaremos que este esun fenómeno general.

Antes de introducir los espacios que vamos a estudiar en este capítulo, veamos que una condiciónque evidentemente es necesaria para que una sucesión de Cauchy converja, también es suficiente.

91

6.2 Definición de espacio métrico completo Espacios métricos completos

Proposición 6.4. Si una sucesión de puntos de X es de Cauchy y tiene una subsucesión convergente,entonces es convergente.

Demostración. Supongamos que (xn)n∈N es una sucesión de Cauchy con una subsucesión conver-gente

(xsn

)n∈N y escribamos x := lımn→∞ xsn . Por hipótesis, dado ε> 0, existe n0 ∈N tal que

d(xsl , x) < ε/2 y d(xn , xm) < ε/2 siempre que l ,m,n ≥ n0.

Elijamos l ≥ n0. Entonces,

d(xn , x) ≤ d(xn , xsl )+d(xsl , x) < ε/2+ε/2 = ε,

siempre que n ≥ n0, puesto que sl ≥ n0. Esto prueba que (xn)n∈N es convergente.

Observación 6.5. Una función continua puede transformar una sucesión de Cauchy en una queno lo es, aún si es un homeomorfismo. Por ejemplo, la función inv: (0,∞) −→ (0,∞), definida porinv(x) := 1

x , aplica la sucesión (1/n)n∈N, que es de Cauchy, en la sucesión identidad, que no lo es.Pero si f : X → Y es uniformemente continua y (xn)n∈N es una sucesión de Cauchy de puntos deX , entonces

(f (xn)

)n∈N lo es también. En efecto, dado ε> 0, existe δ> 0 tal que d

(f (x), f (x ′)

) < ε

siempre que d(x, x ′) < δ. Para este δ existe n0 ∈N tal que d(xl , xm) < δ para todo l ,m ≥ n0. Peroentonces d

(f (xl ), f (xm)

)< ε para todo l ,m ≥ n0. En particular, la de ser de Cauchy es una propiedaduniforme que no es topológica.

6.2. Definición de espacio métrico completo y primeros ejemplos

Definición 6.6. Un espacio métrico es completo si todas sus sucesiones de Cauchy son convergentes.

Ejemplo 6.7. Todo espacio métrico discreto es completo porque sus sucesiones de Cauchy sonfinalmente constantes. Por otra parte Q no es completo. Por ejemplo, toda sucesión de númerosracionales que tiende a

p2 es de Cauchy, pero no es convergente enQ porque

p2 no es racional.

Observación 6.8. Por la Observación 6.5, si d 1 y d 2 son métricas uniformemente equivalentes de X ,entonces (X ,d 1) y (X ,d 2) tienen las mismas sucesiones de Cauchy. En consecuencia, uno es completosi y solo si el otro lo es.

Lema 6.9. Si (xn)n∈N es una sucesión de Cauchy de elementos deR, entonces su imagen es un conjuntoacotado.

Demostración. Puesto que (xn)n∈N es de Cauchy, existe n0 ∈N tal que d(xn , xn0 ) < 1 si n ≥ n0. Por lotanto

{xn : n ∈N} ⊆ {xn : n < n0

}∪ (xn0 −1, xn0 +1

),

lo que termina la prueba.

Teorema 6.10. R es completo.

Demostración. Debemos verificar que en R toda sucesión de Cauchy (xn)n∈N converge. Por laProposición 6.4, para ello es suficiente ver que (xn)n∈N tiene una subsucesión convergente o, lo quees igual, un punto de aglomeración. Pero esto es cierto porque, como por el Lema 6.9 el conjunto{xn : n ∈N} es acotado, lımsupn xn ∈R y, por la Observación 1.118, es un punto de aglomeraciónde (xn)n∈N.

92

Espacios métricos completos 6.2 Definición de espacio métrico completo

Proposición 6.11. Todo subconjunto cerrado C de un espacio métrico completo X es completo.

Demostración. Como X es completo, toda sucesión de Cauchy (xn)n∈N converge a un punto x ∈ X .Además, por la Proposición 2.61, sabemos que x es un punto de acumulación de C . Puesto que C escerrado, de esto se sigue inmediatamente que x pertenece a C .

Corolario 6.12. Los subconjuntos cerrados deR son espacios métricos completos.

Demostración. Por las Proposiciones 6.10 y 6.11.

El siguiente resultado muestra que la recíproca de la Proposición 6.11 vale aunque el espacioambiente no sea completo.

Proposición 6.13. Si C es un subespacio completo de un espacio métrico X , entonces C es un subcon-junto cerrado de X .

Demostración. Fijado x ∈C , tomemos una sucesión (xn)n∈N de puntos de C que tiende a x. Comoes convergente, (xn)n∈N es de Cauchy. Por lo tanto, como C es completo, converge en C . Como sulímite no puede ser otro que x, esto implica que x ∈C . Así que C =C .

Lema 6.14. Una sucesión (xn)n∈N, de puntos de un producto X1×·· ·×Xm de finitos espacios métricos,es de Cauchy si y solo si la sucesión (xn j )n∈N, donde xn j es la j -ésima coordenada de xn , es de Cauchypara todo j ∈ {1, . . . ,m}.

Demostración. Esto es cierto porque, por la definición de d∞,

d∞(xn ,xl ) = max1≤ j≤m

(d(xn j , xl j )

)para todo n, l ∈N.

Proposición 6.15. Un producto X1 ×·· ·×Xm , de espacios métricos X1, . . . , Xm , es completo si y solo silo es cada Xi .

Demostración. Escribamos X := X1 ×·· ·× Xm y fijemos un punto x j ∈ X j en cada uno de los X j ’s.Para cada i , la función ιi : Xi → X , definida por

ιi (x) := (x1, . . . , xi−1, x, xi+1, . . . , xm),

es una isometría con imagen cerrada. En consecuencia, por la Proposición 6.11, si X es completo,entonces lo es cada Xi . Recíprocamente, si cada Xi es completo, entonces X es completo por elLema 6.14, y porque una sucesión de puntos de X converge si y solo si cada una de sus sucesionescoordenadas converge. En efecto, dada una sucesión de Cauchy de puntos de X , cada una de sussucesiones coordenadas es de Cauchy y, por lo tanto, convergente. Pero entonces la sucesión originaltambién converge.

Corolario 6.16. Rn es un espacio métrico completo para todo n ∈N0.

Demostración. Para n = 0 esto es claro porqueR0 = {0}, y para n ≥ 1 se sigue del Teorema 6.10 y laProposición 6.15.

Teorema 6.17. Para cada espacio métrico X son equivalentes:

1. X es completo.

93

6.2 Definición de espacio métrico completo Espacios métricos completos

2. Para toda cadena decreciente B1 ⊇ B2 ⊇ B3 ⊇ ·· · , de bolas cerradas cuyos radios tienden a cero,

∞⋂n=1

Bn 6= ;.

3. Para toda cadena decreciente C1 ⊇C2 ⊇C3 ⊇ ·· · , de subconjuntos cerrados no vacíos de X talque lımn→∞ diam(Cn) = 0,

∞⋂n=1

Cn 6= ;.

4. Para toda cadena decreciente C1 ⊇C2 ⊇C3 ⊇ ·· · , de subconjuntos cerrados no vacíos de X talque lımn→∞ diam(Cn) = 0, existe x ∈ X tal que

∞⋂n=1

Cn = {x}.

Demostración. 1. ⇒ 2. Para cada n ∈N, tomemos un punto xn ∈ Bn . Como el radio de Bn tiendea 0 cuando n tiende a infinito, la sucesión x1, x2, x3, . . . es de Cauchy. En consecuencia, como Xes un espacio completo, existe x = lımn→∞ xn . Es evidente que x ∈ Bn = Bn para todo n. Por lotanto x ∈⋂

{Bn : n ∈N}.

2. ⇒ 3. Elijamos n1 < n2 < . . . tales que diam(Cni ) < 1/2i , y para cada i ∈N tomemos xni ∈Cni . Esevidente que Cni+1 ⊆Cni ⊆ B1/2i [xni ] para todo i ∈N. En particular xni+1 ∈ B1/2i [xni ]. Por consiguiente

d(y, xni ) ≤ d(y, xni+1 )+d(xni+1 , xni ) ≤ 1/2i +1/2i = 1/2i−1,

para todo y ∈ B1/2i [xni+1 ], de modo que

B1/2i [xni+1 ] ⊆ B1/2i−1 [xni ].

En consecuencia, por el item 2, existe x ∈⋂i B1/2i [xni+1 ]. Como

d(xni , x) ≤ 1

2i−1para todo i ∈N,

la sucesión (xni )i∈N tiende a x, y como

xni+ j ∈Ci para todo i ∈N y todo j ≥ 0,

y estos conjuntos son cerrados, x ∈Ci para todo i ∈N, por lo que

x ∈⋂{Ci : i ∈N},

que por lo tanto es no vacío, como queríamos.

3. ⇒ 4. Como lımn→∞ diam(Cn) = 0, la intersección de los Cn ’s no puede tener más de un punto,pero por el item 3 sabemos que por lo menos tiene uno.

4. ⇒ 1. Fijemos una sucesión x1, x2, x3, . . . de elementos de X . Para cada n ∈ N tomemos Cn ={xn , xn+1, xn+2, . . . }. Si x1, x2, x3, . . . es de Cauchy, entonces lımn→∞ diam(Cn) = 0 y, en consecuencia,

∞⋂n=1

Cn = {x}.

para algún x ∈ X . Afirmamos que lımn→∞ xn = x. En efecto, puesto que dado ε> 0, existe n0 ∈N talque diam(Cn) < ε para todo n > n0, y puesto que x y xn pertenecen a Cn ; dado ε> 0, existe n0 ∈N (elmismo n0) tal que

d(x, xn) < ε para todo n > n0.

Así que lımn→∞ xn = x.

94

Espacios métricos completos 6.2 Definición de espacio métrico completo

Definición 6.18. Una función f : Z → X , de un conjunto Z en un espacio métrico X , es acotada sidiam( f (Z )) <∞, es decir si su imagen es un conjunto acotado.

Nota 6.19. Para sucesiones (el caso Z =N) la definición de función acotada fue dada en arribadel Ejercicio 1.106, y para funciones f : [a,b] →R, donde [a,b] es un intervalo cerrado de R, lasupusimos conocida por el lector cuando dimos el tercero de los Ejemplos 1.4 de espacios métricos.

Observación 6.20. El conjunto B(Z , X ) := { f : Z → X : f es acotada} es un espacio métrico via

d∞( f , g ) := supz∈Z

d( f (z), g (z))[1].

Siempre consideraremos a B(Z , X ) provisto de esta métrica.

Nota 6.21. En el Capítulo 1 escribimos B[a,b] en lugar de B([a,b],R), pero en este y en los que siguenno usaremos esa notación simplificada. Lo mismo ocurrirá con la notación para el espacio de lasfunciones continuas y acotadas C[a,b], cuando consideremos casos más generales, lo que haremospronto.

Definición 6.22. Decimos que una sucesión de funciones fn ∈ B(Z , X ) es uniformemente de Cauchysi ( fn)n∈N es de Cauchy en B(Z , X ) y que tiende uniformemente a f ∈ B(Z , X ) si tiende a f en B(Z , X ).En este caso también escribimos

fnunif−−−→ f o f = lım

uniffn .

Ejemplo 6.23. Los elementos de B(Z ,R) son las funciones de Z enR, acotadas en el sentido usual.En cambio, cuando X es (R, d), donde d(x, y) := mın(1, |x − y |), (vease el Ejercicio 1.11) B(Z , X ) es elconjunto de todas las funciones de Z enR. Más generalmente, si (X ,d) es cualquier espacio métricoy d(x, y) := mın(1,d(x, y)), entonces B(Z , (X , d)) = X Z . Además, como

d∞( f , g ) = mın(1,d∞( f , g )) para cada f , g ∈ B(Z , (X ,d)),

la inclusión canónicai : (B(Z , (X ,d),d∞) −→ (B(Z , (X ,d), d∞)

es un isomorfismo uniforme de B(Z , (X ,d),d∞) con su imagen.

Teorema 6.24. Si X es completo, entonces B(Z , X ) también lo es.

Demostración. Por la definición de d∞, si f1, f2, . . . es una sucesión uniformemente de Cauchyde puntos de B(Z , X ), entonces f1(z), f2(z), . . . es una sucesión de Cauchy en X , y por lo tantoconvergente, para cada z ∈ Z . Denotemos con f : Z → X a la función definida por

f (z) = lımn→∞ fn(z).

Como ( fn)n∈N es uniformemente de Cauchy, dado ε> 0, existe n0 ∈N tal que d∞( fn , fm) < ε siempreque n,m ≥ n0. En consecuencia, si n ≥ n0, entonces

d( fn(z), f (z)) = lımm→∞d( fn(z), fm(z)) ≤ ε,

para todo z ∈ Z . De modo que fn tiende a f uniformemente. Para ver que f es acotada es suficientenotar que si d∞( fn(z), f (z)) < 1 para todo z ∈ Z , entonces

d( f (z), f (z ′)) ≤ d( f (z), fn(z))+d( fn(z), fn(z ′))+d( fn(z ′), f (z ′)) ≤ 2+diam fn(Z )

para todo z, z ′ ∈ Z .

95

6.3 Completación Espacios métricos completos

El teorema anterior nos permite dar una prueba alternativa de que Rn es un espacio métricocompleto.

Corolario 6.25. (Rn ,d∞), donde d∞ es la distancia introducida en el item 2 de los Ejemplos 1.4, escompleto para todo n ∈N0.

Demostración. Por el Teorema 6.24, comoR es completo, también lo es (B({1, . . . ,n},R),d∞). Paraterminar la demostración basta observar que hay un isometría biyectiva evidente entre (Rn ,d∞)y (B({1, . . . ,n},R),d∞) (esto justifica el uso del mismo símbolo para designar a las funciones distanciade ambos espacios).

Notación 6.26. Supongamos que Z también es un espacio métrico y denotemos con C(Z , X ) alconjunto de las funciones continuas y acotadas de Z en X . Dicho de otro modo,

C(Z , X ) := {f ∈ B(Z , X ) : f es continua

}.

Teorema 6.27. C(Z , X ) es un subconjunto cerrado en B(Z , X ) y, por lo tanto, es un espacio métricocompleto.

Demostración. Debemos probar que si f ∈ C(Z , X ), entonces f es continua. Tomemos una sucesión( fn)n∈N de elementos de C(Z , X ) que tiende uniformemente a f , y fijemos un punto z0 ∈ Z . Dadoε> 0, tomemos n0 ∈N tal que d∞( fn0 , f ) < ε

3 . Como fn0 es continua, existe δ> 0 tal que

d( fn0 (z), fn0 (z0)) < ε

3

siempre que z ∈ Bδ(z0). Por lo tanto,

d( f (z), f (z0)) ≤ d( f (z), fn0 (z))+d( fn0 (z), fn0 (z0))+d( fn0 (z0), f (z0)) < ε

para todo z ∈ Bδ(z0). Como z0 es arbitrario, esto prueba la continuidad de f .

6.3. Completación

Consideremos espacios métricos X y X . Recordemos que una función f : X → Y es uniforme-mente continua si para todo ε> 0, existe δ> 0 tal que d( f (x), f (x ′)) < ε siempre que d(x, x ′) < δ.

Teorema 6.28. Supongamos que A ⊆ X es un conjunto denso y f : A → Y es una función continua.Los siguientes hechos valen:

1. Si g : X → Y y h : X → Y son funciones continuas que extienden a f , entonces g = h.

2. Si f es uniformemente continua e Y es completo, entonces existe una función uniformementecontinua g : X → Y , que extiende a f . Además, si f es una isometría, entonces g también lo es.

Demostración. 1. Denotemos con C a {x ∈ X : g (x) = h(x)}. Debemos probar que C = X . Para ello,como A ⊆C y A = X , basta comprobar que C es cerrado, pero esto es una consecuencia inmediatade que si (xn)n∈N es una sucesión de puntos de C y x = lımn→∞ xn , entonces

g (x) = lımn→∞g (xn) = lım

n→∞h(xn) = h(x).

2. Fijemos un punto x ∈ X y tomemos una sucesión (xn)n∈N de puntos de A que tiende a x. Co-mo f es uniformemente continua, la sucesión

(f (xn)

)n∈N es de Cauchy y, por lo tanto, dado que

96

Espacios métricos completos 6.3 Completación

Y es completo, convergente. Definimos g (x) = y , donde y = lımn→∞ f (xn). Debemos probar queesta definición no depende de la sucesión elegida. Supongamos que empezando con otra suce-sión (x ′

n)n∈N, de puntos de A que tiende a x, obtenemos y ′ = lımn→∞ f (x ′n). Entonces la suce-

sión f (x1), f (x ′1), f (x2), f (x ′

2), . . . es convergente y tiene subsucesiones que convergen a y e y ′. Enconsecuencia, y = y ′. Para concluír la demostración debemos probar que g extiende a f , es uni-formemente continua y es una isometría si f lo es. Si x ∈ A, entonces tomando xn = x para todo n,vemos que

g (x) = lımn→∞ f (xn) = f (x),

lo que muestra que g extiende a f . Además, como f es uniformemente continua, para todo ε> 0,existe δ> 0 tal que

d( f (x), f (x ′)) < ε si x, x ′ ∈ A y d(x, x ′) < δ.

Tomemos x, x ′ ∈ X tales que d(x, x ′) < δ y elijamos sucesiones (xn)n∈N y (x ′n)n∈N, de puntos de A,

tales que x = lımn→∞ xn y x ′ = lımn→∞ x ′n . Entonces lımn→∞ d(xn , x ′

n) = d(x, x ′) < δ, por lo que

d(g (x), g (x ′)

)= lımn→∞d

(f (xn), f (x ′

n))≤ ε.

Esto prueba que g es uniformemente continua, y es claro que es una isometría si lo es f [2].

Definición 6.29. Una completación de un espacio métrico X es un espacio métrico completo X ,junto con una isometría i : X → X tal que i (X ) es denso en X .

Por el item 1 del Teorema 6.28, la métrica de X está determinada por la de X y por i . Esto tambiénse deduce fácilmente del siguiente resultado.

Teorema 6.30. Todo espacio métrico tiene una completación. Además, dadas completaciones (X1, i1)y (X2, i2) de un espacio métrico X , existe una única isometría biyectiva f : X1 → X2 tal que el diagrama

X X2

X1

i2

i1f

conmuta.

Demostración. Unicidad: Aplicando el Teorema 6.28 a las funciones

i2 ◦ i−11 : i1(X ) → X2 e i1 ◦ i−1

2 : i2(X ) → X1,

obtenemos isometrías f : X1 → X2 y g : X2 → X1, respectivamente. Como i1(X ) es denso en X1 yg ◦ f|i1(X ) : i1(X ) → X1 es la inclusión, g ◦ f = idX1

. Analogamente, f ◦ g = idX2.

Existencia: Fijemos a ∈ X y consideremos la función ia : X → B(X ,R), definida por

ia(x)(y) := d(x, y)−d(a, y).

La igualdad |d(x, y)−d(a, y)| ≤ d(x, a) muestra que, efectivamente, ia(x) es acotada. Dado que

d∞(ia(x), ia(x ′)) = supy∈X

|ia(x)(y)− ia(x ′)(y)| = supy∈X

|d(x, y)−d(x ′, y)| ≤ d(x, x ′)

y

d∞(ia(x), ia(x ′)) ≥ |ia(x)(x)− ia(x ′)(x)| = |d(x, x)−d(x ′, x)| = d(x, x ′),

la función ia es una isometría. Es claro ahora que (ia(X ), ia) es una completación de X .

97

6.4 Completitud de producto numerables de espacios métricos

6.4. Completitud de producto numerables de espacios métricos

En esta sección probamos que un producto numerables de espacios métricos es completo si ysólo si lo es cada uno de ellos.

Lema 6.31. Una sucesión (xn)n∈N, de puntos de un producto X1 ×X2 ×X3 · · · de numerables espaciosmétricos, es de Cauchy si y solo si la sucesión (xn j )n∈N, donde xn j es la j -ésima coordenada de xn , esde Cauchy para todo j ∈N.

Demostración. Tomemos una sucesión (xn)n∈N de puntos de X1 ×X2 ×X3 ×·· · y supongamos quesus sucesiones coordenadas son de Cauchy. Dado ε> 0, existe h0 ∈N tal que 1

2h0< ε. Además, por

hipótesis existe n0 ∈N tal que dj(xm j , xl j ) < 2 j ε para todo m, l > n0 y j < h0, donde xh j es la j -ésima

coordenada de xh y d(x, y) := mın(1,d(x, y)). Por lo tanto

d∞(xm ,xl ) = sup

(d 1

(xm1, xl 1

)2

,d 2

(xm2, xl 2

)22 ,

d 3(xm3, xl 3

)23 , . . .

).

para todo m, l > n0. Como ε es arbitrario, esto prueba que (xn)n∈N es de Cauchy. Recíprocamente, si(xn)n∈N es de Cauchy, entonces por la misma definición de d∞ es claro que lo son sus sucesionescoordenadas[3].

Proposición 6.32. Un producto de numerables espacios métricos es completo si y solo si lo es cada unode ellos.

Demostración. El argumento usado en la prueba de la Proposición 6.15 muestra que si un produc-to X := X1 ×X2 ×X3 ×·· · , de numerables espacios métricos, es completo, entoces lo es cada Xi . Larecíproca se sigue del Lema 6.31 y del hecho de que una sucesión de puntos de X converge si y solo sisus sucesiones coordenadas convergen, argumentando como en el caso del producto de un númerofinito de espacios métricos.

Notas

[1]. Es evidente que d∞ satisface las dos primeras condiciones de la definición de distancia. Tambiénsatisface la tercera, porque, por la definición de d∞ y el hecho de que d X es una funcióndistancia,

d X (f (z), g (z)

)= d X (f (z),h(z)

)+d X (h(z), g (z)

)≤ d∞( f ,h)+d∞(h, g )

para todo f , g ,h ∈ B(Z , X ) y todo z ∈ Z .

[2]. Fijados x, x ′ ∈ X , elijamos sucesiones (xn)n∈N y (x ′n)n∈N, de puntos de A, que tienden a x y x ′

respectivamente. Entonces

d(g (x), g (x ′)

)= lımn→∞d

(f (xn), f (x ′

n))= lım

n→∞d(xn , x ′

n

)= d(x, x ′).

Como x y x ′ son arbitrarios esto prueba que g es una isometría.

98

Notas

[3]. Como (xn)n∈N es de Cauchy, dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que d∞(xm ,xl ) < ε/2 j para todom, l > n0. Pero entonces, por la misma definición de d∞,

d j(xm j , xl j

)< ε para todo m, l > n0.

Puesto que d j (x, y) = d j (x, y) siempre que d j (x, y) ≤ 1, esto prueba que la sucesión (xn j )n∈N esde Cauchy.

99

CA

PÍ

TU

LO

7COMPACCIDAD

7.1. Primeras caracterizaciones y propiedades básicas

Recordemos que una colección (Uλ)λ∈Λ de subconjuntos de un espacio métrico X es un cubri-miento de un subconjunto A de X si A ⊆⋃

λ∈ΛUλ. Un subcubrimiento de (Uλ)λ∈Λ es una subfamilia(Uλ)λ∈Ξ que también cubre A. Un cubrimiento de A es abierto si sus miembros son abiertos. A pesarde que hemos definido un cubrimiento de A como una familia de subconjuntos de X , a veces diremosque un subconjunto de partes de X es un cubrimiento de A (después de todo un conjunto puedetransformarse en una familia simplemente tomando como conjunto de índices el mismo conjunto).

Definición 7.1. Un espacio métrico X es compacto si todo cubrimiento abierto de X tiene unsubcubrimiento finito. Un subconjunto Y de X es compacto, si lo es con la métrica inducida.

Observación 7.2. Por la Proposición 2.22, un subconjunto Y de un espacio métrico X es compacto si ysolo si cada familia (Uλ)λ∈Λ de abiertos de X tal que Y ⊆⋃

λ∈ΛUλ tiene una subfamilia finita (Uλ)λ∈Ξtal que Y ⊆⋃

λ∈ΞUλ. Dicho de otro modo, si cada cubrimiento de Y por subconjuntos abiertos de Xtiene un subcubrimiento finito.

Proposición 7.3. Para cada espacio métrico X las siguientes afirmaciones son verdaderas:

1. Todo subconjunto compacto C de X es cerrado.

2. Si X es compacto y C es cerrado, entonces C es compacto.

Demostración. 1. Veamos que X \ C es abierto. Tomemos x0 ∈ X \ C . Para cada x ∈ C , existenbolas abiertas disjuntas Bεx (x0) y Bεx (x). Como X es compacto existen x1, . . . , xn ∈ C tales queC ⊆⋃n

i=1 Bεxi(xi ). Es evidente que

⋂ni=1 Bεxi

(x0) es un entorno de x0 que no corta a C .

2. Tomemos un cubrimiento (Ui )i∈I de C por abiertos de X . Como X es compacto y C es cerrado,existen i1, . . . , in ∈ I tales que X = (⋃n

j=1 Ui j

)∪ (X \C ), por lo que, necesariamente, C ⊆⋃nj=1 Ui j .

Ejercicio 7.4. Pruebe que toda unión finita de subconjuntos compactos de un espacio métrico X esun subconjunto compacto de X .

101

7.1 Primeras caracterizaciones y propiedades básicas Compaccidad

Observación 7.5. Por las Leyes de Morgan, un espacio métrico X es compacto si y solo si todacolección de cerrados de X con intersección vacía tiene una subcolección finita con intersecciónvacía[1].

Definición 7.6. Un subconjunto A de un espacio métrico X es totalmente acotado si para todo ε> 0existen nε ∈N y subconjuntos M1, . . . , Mnε

de X , tales que A ⊆ ⋃nε

i=1 Mi y diam(Mi ) < ε para todo i .Dicho de otro modo, A es totalmente acotado si para todo ε> 0 hay una subfamilia finita de subcon-juntos de diámetro menor que ε de X , que cubre A.

Ejercicio 7.7. Pruebe que si (xn)n∈N es una sucesión de Cauchy de puntos de X , entonces el conjunto{xn : n ∈N} es totalmente acotado.

Ejercicio 7.8. Pruebe que un producto de finitos espacios métricos es totalmente acotado si y solo sisus coordenadas lo son.

Proposición 7.9. Para cada conjunto A de un espacio métrico X , las siguientes afirmaciones sonverdaderas:

1. A es totalmente acotado si y solo si para todo ε> 0 existen finitos puntos x1, . . . , xmεen A tales

quemın{d(x, xi ) : 1 ≤ i ≤ mε} < ε para todo x ∈ A.

En otras palabras, A ⊆⋃mε

i=1 Bε(xi ).

2. Si A ⊆ B ⊆ X y B es totalmente acotado, entonces A también lo es.

3. Si A es totalmente acotado, entonces A también lo es.

4. Si A es totalmente acotado y f : X → Y es uniformemente continua, entonces f (A) es un subcon-junto totalmente acotado de Y .

5. Si A es totalmente acotado, entonces A es acotado.

6. Si A no es totalmente acotado, entonces existen ε> 0 y una familia (xn)n∈N de puntos de A talque d(xi , x j ) ≥ ε para todo i , j .

Demostración. Si A es totalmente acotado, entonces tomando un punto xi en cada Mi (donde losMi ’s son los conjuntos cuya existencia se asegura en la Definición 7.6), obtenemos puntos x1, . . . , xnε

tales que cada x ∈ X dista menos que ε de algún xi . Recíprocamente, si esto es cierto, entonces lasbolas Bε(x1), . . . ,Bε(xmε

) tienen diámetro menor que 2ε y su unión incluye al conjunto A, que porlo tanto es totalmente acotado. Esto prueba que el item 1 es verdadero. El item 2 lo es porque todafamilia de subconjuntos de X que cubre B , cubre A. El item 3 vale porque el diámetro de un conjuntoes igual al de su adherencia y

A ⊆nε⋃

i=1Mi ⇒ A ⊆

nε⋃i=1

Mi .

Veamos que vale el item 4. Como f es uniformemente continua, para todo ε > 0, existe δ > 0 talque d(x, x ′) < δ⇒ d

(f (x), f (x ′)

)< ε. En consecuencia, la imagen por f de cualquier subconjunto dediámetro menor que δ de X es un subconjunto de diámetro menor que ε de Y , y, por lo tanto, paracada familia finita (M1, . . . , Mn), de subconjuntos de diámetro menor que δ de X , que cubre A, lafamilia

(f (M1), . . . , f (Mn)

)es un cubrimiento de f (A) mediante conjuntos de diámetro menor que ε.

El item 5 es verdadero por el Ejercicio 1.63 y porque A es una unión finita de conjuntos de diámetromenor que 1. Para probar que lo es el item 6, notemos que si la condición establecida en el item 1es falsa para algún ε> 0, entonces dado un punto arbitrario x1 de A, existe x2 ∈ A \ Bε(x1), porque

102

Compaccidad 7.1 Primeras caracterizaciones y propiedades básicas

A Ú Bε(x1); existe x3 ∈ A \ (Bε(x1)∪Bε(x2)), porque A Ú Bε(x1)∪Bε(x2), etcétera. La familia (xn)n∈Nconstruída de este modo satisface la condición pedida en el enunciado.

Ejercicio 7.10. Pruebe que un subconjunto A de X es totalmente acotado si y solo si toda sucesiónde puntos de A tiene una subsucesión de Cauchy.

Proposición 7.11. Todo espacio métrico totalmente acotado es separable.

Demostración. Supongamos que X es un espacio métrico totalmente acotado. Entonces, para ca-da n ∈N existe un conjunto finito de puntos Fn en X tal que B1/n(x)∩Fn 6= ; para todo x ∈ X . Esclaro que

⋃n∈NFn es denso y numerable.

Lema 7.12. Consideremos un cubrimiento abierto (Ui )i∈I de un espacio métrico totalmente acotado X .Si X no es cubierto por ninguna subcolección finita de (Ui )i∈I , entonces para todo ε> 0 hay una bolacerrada Bε[x] que no es cubierta por ninguna subcolección finita de (Ui )i∈I .

Demostración. Como X es totalmente acotado hay puntos x1, . . . , xn ∈ X tales que X =⋃ni=1 Bε[xi ]. Si

todas estas bolas cerradas fueran cubiertas por subcolecciones finitas de (Ui )i∈I , entonces X tambiénlo sería.

Teorema 7.13. Para todo espacio métrico X son equivalentes:

1. X es compacto.

2. A′ 6= ; para todo subconjunto infinito A de X .

3. Toda sucesión (xn)n∈N de puntos de X tiene una subsucesión convergente.

4. X es totalmente acotado y completo.

5. Todo cubrimiento numerable de X tiene un subcubrimiento finito.

6. Toda colección numerable de cerrados de X con intersección vacía tiene una subcolección finitacon intersección vacía.

Demostración. 1. ⇒ 2. Supongamos que A′ =; para algún subconjunto infinito A de X . Entonces Aes cerrado y cada x ∈ A es el centro de una bola abierta Bεx (x) tal que Bεx (x)∩ A es finito. En conse-cuencia {X \ A}∪ {Bεx (x) : x ∈ A} es un cubrimiento abierto de X que no tiene ningún subcubrimientofinito.

2. ⇒ 3. Es claro que si {xn : n ∈N} es un conjunto finito, entonces x1, x2, . . . tiene una subsucesiónconvergente (de hecho, una subsucesión constante). Si {xn : n ∈N} es infinito, entonces tiene unpunto de acumulación x, lo cual nos permite construír una subsucesión (xni )i∈N que tiende a x,simplemente tomando xni+1 ∈ B 1

i+1(x)∩ {xni+1, xni+2, . . . }.

3. ⇒ 4. Por el Teorema 6.4, sabemos que X es completo. Veamos que es totalmente acotado. Sino lo fuera, existirían ε> 0 y una sucesión (xn)n∈N de puntos de X tal que d(xi , x j ) ≥ ε si i 6= j . Esobvio que esta sucesión no tiene ninguna subsucesión convergente (alternativamente, como todasucesión convergente es de cauchy, podríamos haber deducido que X es totalmente acotado delEjercicio 7.10).

4. ⇒ 1. Supongamos que X tuviera un cubrimiento abierto (Ui )i∈I sin ningún subcubrimientofinito. Por el Lema 7.12 existen bolas cerradas B1 ⊇ B2 ⊇ B3 ⊇ ·· · , con diam(Bn) < 1

n , ninguna delas cuales es cubierta por una subcolección finita de

{Ui : i ∈ I

}. Por el Teorema 6.17, como X es

completo,⋂∞

n=1 Bn = {x} para un x ∈ X . Tomemos Ui tal que x ∈Ui . Es claro que B j ⊆Ui para algún j ,lo que es absurdo.

103

7.1 Primeras caracterizaciones y propiedades básicas Compaccidad

1. ⇒ 5. Esto es claro.

5. ⇒ 2. Supongamos que X tuviera un subconjunto infinito A sin ningún punto de acumulación.Tomemos un subconjunto numerable B de A. Como B no tiene puntos de acumulación, es cerrado ypara cada b ∈ B existe una bola abierta Brb (b) con centro b ta que Brb (b)∩B = {b}. La colección

{X \ B}∪ {Brb : b ∈ B} (7.1)

es un cubrimiento numerable de X sin ningún subcubrimiento finito, porque para cada b ∈ B , labola Brb es el único elemento de (7.1) que contiene a b.

5. ⇔ 6. Por las leyes de Morgan[2].

Corolario 7.14. Todo espacio métrico compacto es separable.

Demostración. Esto es una consecuencia inmediata del Teorema 7.13 y la Proposición 7.11, perotambién se sigue inmediatamente de que por la Proposición 5.8, un espacio métrico es separable si ysólo si todo cubrimiento abierto tiene un subcubrimiento contable.

Teorema 7.15. Para todo espacio métrico X es verdad que:

1. Todo subconjunto compacto de X es totalmente acotado y cerrado.

2. X es completo si y solo si todo subconjunto totalmente acotado y cerrado de X es compacto.

Demostración. 1. Por el Teorema 7.13 y la Proposición 7.3, los subconjuntos compactos de X sontotalmente acotados y cerrados.

2. Supongamos primero que X es completo. Entonces, por la Proposición 6.11, los subconjun-tos totalmente acotados y cerrados de X son totalmente acotados y completos. En consecuencia,nuevamente por el Teorema 7.13, son compactos. Supongamos ahora que todos los subconjuntostotalmente acotados y cerrados de X son compactos, y tomemos una sucesión de Cauchy (xn)n∈Nde puntos de X . Por el Ejercicio 7.7 y el item 3 de la Proposición 7.9, el conjunto {xn : n ∈N} estotalmente acotado y completo y, por lo tanto, es compacto. Por el Teorema 7.13, esto implica que(xn)n∈N tiene una subsucesión convergente, lo que, por la Proposición 6.4, basta para garantizarque (xn)n∈N converge. Como (xn)n∈N es arbitraria, esto prueba que X es completo.

Teorema 7.16. Si X1, . . . , Xn son compactos, entonces el producto X1 ×·· ·×Xn es compacto.

Demostración. Para n = 1 esto es claro. Supongamos que es cierto cuando n = m y que n = m +1.Tomemos una sucesión (xi )i∈N de puntos de X1 × ·· · × Xn y escribamos xi = (xi 1, . . . , xi ,m+1). Porhipótesis inductiva hay una subsucesión (xi j ) j∈N de (xi )i∈N tal que, para cada k con 1 ≤ k ≤ m lasucesión (xi j ,k ) j∈N converge. Tomando una subsucesión adecuada de (xi j ) j∈N, podemos conseguirque la sucesión formada por las últimas coordenadas también sea convergente. Por el Corolario 1.108,esto prueba que X1 ×·· ·×Xn es compacto.

Ejercicio 7.17. Pruebe que vale la recíproca del Teorema 7.16 (esto es, que si un producto de finitosespacios métricos es compacto, entonces todas sus coordenadas lo son).

Lema 7.18. Toda sucesión (yn)n∈N de puntos de un conjunto totalmente ordenado Y , tiene unasubsucesión creciente o una subsucesión decreciente.

104

Compaccidad 7.1 Primeras caracterizaciones y propiedades básicas

Demostración. Denotemos con D al conjunto de todos los índices n tales que yn > yi para todoi > n. Si D es infinito y D = {i1 < i2 < . . . }, entonces yi1 > yi2 > yi3 > ·· · . Así que podemos suponer queD es finito, y que por lo tanto tiene un máximo elemento n0. Como n1 := n0 +1 no pertenece a D,existe n2 > n1 tal que yn1 ≤ yn2 . Como n2 ∉ D, existe n3 > n2 tal que yn2 ≤ yn3 . Prosiguiendo de estamanera obtenemos una subsucesión creciente (yni )i∈N de (yn)n∈N

En el lema y teorema que siguenRn es pensado como un espacio métrico via la distancia d∞.Por el Ejercicio 3.93, si cambiáramos d∞ por cualquier otra de las distancias introducidas en losEjemplos 1.4, obtendríamos los mismos resultados.

Lema 7.19. El producto I = I1 ×·· ·× In de una familia finita de intervalos cerrados y acotados deR escompacto.

Demostración. Por el Teorema 7.16 basta probar que todo intervalo cerrado y acotado [a,b] de R escompacto. Por el Teorema 7.13 para ello es suficiente mostrar que toda sucesión de puntos de [a,b]tiene una subsucesión convergente. Pero esto se sigue inmediatamente del Lema 7.18. En efecto,por este lema toda sucesión de puntos de [a,b] tiene una subsucesión monótona, la cual, siendoacotada, converge.

Teorema 7.20. Un subconjunto C deRn es compacto si y solo si es cerrado y acotado.

Demostración. si C es compacto, entonces por el item 5 de la Proposición 7.9 y los Teoremas 7.13 y7.15, es cerrado y acotado. Recíprocamente, si C es cerrado y acotado, entonces es un subconjuntocerrado de un cubo I = I1 ×·· ·× In , el cual es compacto por el Lema 7.19. Así, por el Teorema 7.15también lo es C .

Ejemplo 7.21. El conjunto de Cantor C, introducido en la Subsección 2.2.1, es compacto porque esun subconjunto cerrado y acotado deR.

En la Observación que sigue respondemos la cuestión planteada en la Observación 1.118.

Observación 7.22. Recordemos que el símbolo R∗ denota a la recta real extendida. Dado que lafunción f : R∗ → [−1,1], definida por

f (x) :=

x

1+|x| , si x ∈R,

1, si x =∞,

−1, si x =−∞,

es biyectiva[3], R∗ es un espacio métrico via la distancia d f definida en el item 7 del Ejemplo 1.4.Además, Por el Ejemplo 3.70 sabemos que la función f : (R∗,d f ) −→ [−1,1] es una isometría. Enconsecuencia, (R∗,d f ) es compacto. En el Ejemplo 3.32 vimos que la restricción de f a R es unhomeomorfismo deR (con la estructura usual de espacio métrico) con su imagen. Por lo tanto unasucesión de elementos deR converge a un número real en (R∗,d f ) si y solo si converge a ese mismonúmero enR provisto de la distancia usual, y es claro que lo mismo es cierto para sucesiones quetoman los valores ±∞ un número finito de veces. Afirmamos que una sucesión (xn)n∈N tiende a ±∞en (R∗,d f ) si y solo si lo hace en el sentido usual. En efecto,

lımn→∞xn =∞ ⇔ lım

n→∞ f (xn) = 1

⇔ Para todo 1 > ε> 0, existe n0 ∈N tal que n > n0 ⇒ f (xn) > 1−ε⇔ Para todo 1 > ε> 0, existe n0 ∈N tal que n > n0 ⇒ xn > f −1(1−ε),

105

7.2 Funciones continuas sobre espacios compactos Compaccidad

donde la última equivalencia se sigue de que f es creciente y define por restricción un homeomorfis-mo deR con (0,1). Esto muestra que la convergencia a +∞ es la usual, y un cálculo similar pruebaque la convergencia a −∞ también lo es.

Ahora daremos una caracterización de la compaccidad análoga a la caracterización de completi-tud exibida en el Teorema 6.17.


1. X es compacto.

2. Cada sucesión decreciente de cerrados no vacíos C1 ⊇C2 ⊇C3 ⊇ ·· · de X tiene intersección novacía.

3. La unión de cada sucesión creciente de abiertos propios U1 ⊆U2 ⊆U3 ⊆ ·· · de X es un abiertopropio de X .

Demostración. 1. ⇒ 2. Como X es compacto, si⋂∞

i=1 Ci =;, entonces existe n ∈N tal que

Cn =n⋂

i=1Ci =;.

Pero esto es imposible, porque Cn 6= ;. Así que⋂∞

i=1 Ci 6= ;.

2. ⇒ 3. Por las Leyes de Morgan[4].

3. ⇒ 1. Por el Teorema 7.13 para probar esto es suficiente verificar que todo cubrimiento abiertonumerable (Vn)n∈N de X tiene un subcubrimiento finito. Para ello escribamos Un := ⋃n

i=1 Vi paratodo n ∈N. Por la misma definición de los Ui ’s, es claro que U1 ⊆U2 ⊆U3 ⊆ ·· · y

∞⋃i=1

Ui =∞⋃

i=1Vi = X .

Por lo tanto existe n0 ∈N tal que Un0 =⋃n0

i=1 Vi = X , como queremos.

7.2. Funciones continuas sobre espacios compactos

Teorema 7.24. Si X es compacto y f : X → Y es continua, entonces f (X ) es un subconjunto compactode Y .

Demostración. Si (Ui )i∈I es un cubrimiento abierto de f (X ), entonces(

f −1(Ui ))

i∈I es un cubrimien-to abierto de X . Como X es compacto, existen i1, . . . , in ∈ I tales que X ⊆ f −1(U1)∪·· ·∪ f −1(Ui ). Porlo tanto, f (X ) ⊆U1 ∪·· ·∪Un .

Corolario 7.25. Si X es compacto y f : X → Y es continua, entonces f es cerrada.

Demostración. Por el item 2 del Teorema 7.15, si A es cerrado en X , entonces es compacto. Enconsecuencia, por el Teorema 7.24, f (A) es compacto y así, por el item 1 del Teorema 7.15, cerradoen Y .

Corolario 7.26. Si f : X → Y es biyectiva y continua y X es compacto, entonces f es un homeomorfis-mo.

Demostración. Esto es una consecuencia inmediata del Corolario 7.25 y la Observación 3.31.

106

Compaccidad 7.2 Funciones continuas sobre espacios compactos

Una de las propiedades más importantes de los intervalos cerrados y acotados de números realeses que, como afirma el Teorema de Bolzano, toda función real continua definida sobre uno tieneun máximo y un mínimo globales. Los espacios métricos compactos tienen la misma propiedad.En efecto, si X es compacto y f : X → R es continua, entonces por los Teoremas 7.20 y 7.24 suimagen f (X ) es un subconjunto cerrado y acotado de R y, por lo tanto, existen x0 y x1 en X talesque f (x0) = Inf( f (X )) y f (x1) = Sup( f (X )). El siguiente resultado muestra que no existen espacios nocompactos con esta propiedad.

Teorema 7.27. Para todo espacio métrico X son equivalentes:

1. X es compacto.

2. Toda función continua f : X →R tiene un máximo y un mínimo globales.

3. Toda función continua f : X →R es acotada

Demostración. 1. ⇒ 2. Lo acabamos de probar.


3. ⇒ 1. Por el Teorema 7.13 es suficiente probar que X es totalmente acotado y completo. Suponga-mos primero que no es totalmente acotado. Entonces existen ε> 0 y una sucesión (xi )i∈N de puntosde X tal que d(xi , x j ) > ε si i 6= j . Por el Teorema 3.19 sabemos que para todo n ∈N hay una funcióncontinua fn : X →R≥0 que se anula en X \ Bε/4(xn) y vale 1 en xn . La función g : X →R≥0, definidapor

g (x) := ∑n∈N

n fn(x),

está bien definida porque para cada x ∈ X existe a lo sumo un n ∈N con fn(x) 6= 0, no es acotadaporque g (xn) = n para todo n ∈N, y es continua porque lo es en cada punto debido a que coincidecon n fn en Bε/2(xn) y se anula en X \

⋃n∈NBε/3(xn). Esto prueba que X es totalmente acotado.

Supongamos ahora que no es completo y tomemos una sucesión de Cauchy (xn)n∈N de puntos de Xque no es convergente. Por el Teorema 6.30 sabemos que X tiene una completación X , y podemossuponer que X ⊂ X . La función f : X →R, definida por

f (x) := 1

d(x, x),

donde x es el límite de (xn)n∈N en X , no es acotada porque d(xn , x) tiende a cero cuando n tiendea infinito, y es continua por el item 1 de la Proposición 3.9, debido a que es la composición de lafunción

R\ {0}inv

R\ {0}x x−1

(que es continua por el Ejercicio 3.14), con la función

X R\ {0}x d(x, x)

(que lo es por el Ejemplo 3.57 y el item 2 de la Proposición 3.9).

Corolario 7.28. Supongamos que A y C son subconjuntos de un espacio métrico X , y que C compactoy no vacío. Entonces existe un punto c ∈C tal que d(C , A) = d(c, A).

107

7.3 La propiedad del número de Lebesgue Compaccidad

Demostración. Si A = ;, entonces d(c, A) = d(C , A) =∞ para cada c ∈ C . Por otra parte, si A 6= ;,entonces, como vimos en el Ejemplo 3.57, la función f : X → R, definida por f (x) := d(x, A), escontinua. Por lo tanto también lo es su restricción a C . En consecuencia, por el Teorema 7.27 existeun punto c ∈C tal que

d(c, A) = f (c) = mın(d(x, A))x∈C = d(C , A),

como queremos.

Corolario 7.29. Supongamos que A y C son subconjuntos de un espacio métrico X . Si C es compacto,entonces d(C , A) > 0 si y solo si C ∩ A =;.

Demostración. Por el Corolario 7.28, si C 6= ;, entonces existe c ∈C tal que d(C , A) = d(c, A) y, por lotanto d(C , A) > 0 si y solo si d(c, A) > 0, lo que por la Proposición 2.61 ocurre si y solo si c ∉ A. Si C =;la demostración es más simple. Basta observar que d(C , A) =∞ y C ∩ A =;.

Corolario 7.30. Para todo par de subconjuntos compactos C y D de un espacio métrico X , existenpuntos c ∈C y d ∈ D tales que d(C ,D) = d(c,d).

Demostración. Por la simetría de la función distancia y el Corolario 7.28, existen c ∈C y d ∈ D talesque

d(C ,D) = d(c,D) = d(c,d),

como queremos.

Ejercicio 7.31. Pruebe que para cada espacio métrico X son equivalentes:

1. X es compacto.

2. Toda función continua f : X →R es acotada superiomente.

3. Toda función continua f : X →R tiene un máximo global.

4. Toda función continua f : X →R es acotada inferiormente.

5. Toda función continua f : X →R tiene un mínimo global.

7.3. La propiedad del número de Lebesgue

Definición 7.32. Decimos que un número real ε> 0 es un número de Lebesgue de un cubrimientoabierto (Uλ)λ∈Λ de un espacio métrico X , si todo subconjunto de X de diámetro menor que ε estáincluído en un miembro del cubrimiento. En otras palabras, si para todo subconjunto A de X dediámetro menor que ε, existe λ ∈Λ tal que A ⊆Uλ. Un espacio métrico tiene la propiedad del númerode Lebesgue si todo cubrimento abierto de X tiene un número de Lebesgue.

Observación 7.33. Es fácil ver que un cubrimiento abierto (Uλ)λ∈Λ, de un espacio métrico X , tiene unnúmero de Lebesgue si y solo si existe r > 0 con la propiedad de que para todo x ∈ X hay un λx ∈Λtal que Br (x) ⊆Uλx .

Ejemplo 7.34. Si X tiene la métrica discreta, entonces X tiene la propiedad del número de Lebesgue,porque cada subconjunto no vacío de diámetro menor que 1 de X tiene un solo punto.

Teorema 7.35. Si f : X → Y es continua y X tiene la propiedad del número de Lebesgue, entonces f esuniformemente continua.

108

Compaccidad 7.3 La propiedad del número de Lebesgue

Demostración. Dado ε> 0, para todo x ∈ X existe δx > 0 tal que d(x, x ′) < δx ⇒ d( f (x), f (x ′)) < ε/2.La familia B := (Bδx (x))x∈X es un cubrimiento abierto de X . Supongamos que δ es un número deLebesgue de B. Por la misma definición de número de Lebesgue, dados x, x ′ ∈ X con d(x, x ′) < δ,existe x ′′ ∈ X tal que x, x ′ ∈ Bδx′′ (x). Por lo tanto

d( f (x), f (x ′)) ≤ d( f (x), f (x ′′))+d( f (x ′′), f (x ′)) < ε.

Como ε es arbitrario, esto prueba que f es uniformemente continua.

Proposición 7.36. Todo espacio métrico que tiene un número de Lebesgue es completo.

Demostración. Supongamos que X no es completo y tomemos una completación X de X con X ⊆ X .Dado x ∈ X \ X (X \ X es no vacío porque X no es completo), la colección{

X \ B1/n[x] : n ∈N}(7.2)

es un cubrimiento abierto de X que no tiene ningún número de Lebesgue, porque para todo ε> 0, elconjunto X ∩Bε/2(x) es un subconjunto abierto no vacío de X , de diámetro menor que ε, que no estáincluído en ningún elemento de (7.2).

Teorema 7.37. Un espacio métrico X es compacto si y solo si es totalmente acotado y tiene la propiedaddel número de Lebesgue.

Demostración. Por los Teoremas 7.13 y 7.36 solo debemos probar que si X es compacto, entonces tie-ne la propiedad del número de Lebesgue. Para ello será suficiente mostrar que, dado un cubrimientoabierto arbitrario (Uλ)λ∈Λ de X , la función f : X →R>0, definida por

f (x) := Sup{r > 0 : existe λ ∈Λ tal que Br (x) ⊆Uλ

}1,

es continua. En efecto, por el Teorema 7.27 la función f tiene un mínimo f (x0) > 0 y, por la mismadefinición de f , para todo x ∈ X existe un λx ∈ Λ tal que B f (x0)(x) ⊆ Uλx . Entonces nos hemosreducido probar que f es continua, para lo cual es suficiente ver que

f (x) = a y d(x, x ′) < δ ⇒ a −δ≤ f (x ′) ≤ a +δ.

La primera desigualdad vale trivialmente si a −δ≤ 0, y también vale cuando a −δ> 0, porque, porla propiedad triangular, Br (x ′) ⊆ Br+d(x,x ′)(x) para todo r > 0 y, por la definición de f (x), si r ≤ a −δ,existe λ ∈Λ tal que Br+d(x,x ′)(x) ⊆Uλ. La segunda desigualdad vale, porque, si fuera f (x ′) > a +δ,entonces por la propiedad triangular y la definición de f (x ′) existiría λ ∈Λ tal que

B f (x ′)−δ(x) ⊆ B f (x ′)−δ+d(x,x ′)(x ′) ⊆Uλ,

lo que contradice la definición de f (x), porque f (x ′)−δ> a.

Corolario 7.38. Si f : X → Y es continua y X es compacto, entonces f es uniformemente continua.

Demostración. Por los Teoremas 7.35 y 7.37.

1 f está bien definida porque X tiene diámetro finito debido a que es compacto.

109

7.4 El Teorema de Arzelá-Ascoli Compaccidad

7.4. El Teorema de Arzelá-Ascoli

Definición 7.39. Un conjunto Y ⊆ X es relativamente compacto si Y es compacto.

Observación 7.40. Por los items 1 y 2 de las Proposición 7.9, el Teorema 7.13 y el hecho de quetodo subconjunto cerrado de un espacio métrico completo es un espacio métrico completo, si X escompleto, entonces Y es relativamente compacto si y solo si es totalmente acotado.

Recordemos que para cada par de espacios métricos X y Z , el conjunto C (Z , X ), de las funcionescontinuas y acotadas de Z en X es un espacio métrico via la distancia d∞.

Definición 7.41. Un conjunto F ⊆ C(Z , X ) es equicontinuo si para cada z ∈ Z y cada ε> 0, existeδ> 0tal que

d(z ′, z) < δ⇒ d( f (z ′), f (z)) < ε para todo z ′ ∈ Z y f ∈F ,

y es uniformemente equicontinuo si para cada ε> 0, existe δ> 0 tal que

d(z ′, z) < δ⇒ d( f (z ′), f (z)) < ε, para todo z, z ′ ∈ Z y f ∈F .

Teorema 7.42 (Arzelá–Ascoli). Consideremos F ⊆ C(Z , X ), y escribamos F (z) := { f (z) : f ∈F } paratodo z ∈ Z . Si Z es compacto y X es completo, entonces son equivalentes:

1. F es equicontinuo y F (z) es relativamente compacto para todo z ∈ Z .

2. F es relativamente compacto

3. F es uniformemente equicontinuo y F (z) es relativamente compacto para todo z ∈ Z .

Demostración. 1. ⇒ 2. Tomemos ε> 0. Como F es equicontinua, para cada z ∈ Z existe δz > 0, talque si z ′ ∈ Bδz (z), entonces d( f (z), f (z ′)) < ε para todo f ∈F . Por compaccidad,

Z ⊆n⋃

i=1Bδzi

(zi ),

para un subconjunto finito {z1, . . . , zn} de puntos de Z . Como⋃n

i=1 F (zi ) es totalmente acotado,existen un número finito de bolas Bε(a j ) de radio ε, tales que

n⋃i=1

F (zi ) ⊆m⋃

j=1Bε(a j ).

Denotemos con Inm al conjunto de todas las funciones σ : {1, . . . ,n} −→ {1, . . . ,m}. Para cada σ ∈ Inm ,escribamos Fσ = { f ∈F : d( f (zi ), aσ(i )) < ε, para todo i }. Es fácil ver que

F = ⋃σ∈Inm

Fσ.

Asumamos ahora que f y g son funciones que pertenecen a un mismo Fσ. Dado z ∈ Z , existe zi talque d(z, zi ) < δzi . Entonces,

d( f (z), g (z)) ≤ d( f (z), f (zi ))+d( f (zi ), aσ(i ))+d(aσ(i ), g (zi ))+d(g (zi ), g (z)) < 4ε.

Así, diam(Fσ) < 4ε. Como ε y σ son arbitrarios, esto muestra que F es totalmente acotado.

110

Compaccidad 7.5 Compaccidad de un producto numerables de espacios métricos

2. ⇒ 3. Tomemos ε > 0. Por la Observación 7.40, como F es relativamente compacto, existensubconjuntos F1, . . . ,Fn de C(Z , X ), todos de diámetro menor que ε, tales que F =⋃n

i=1 Fi . Elijamos

f1 ∈F1, . . . , fn ∈Fn .

Dado que, por el Teorema 7.38, las fi ’s son uniformemente continuas, existe δ> 0 tal que

d(z, z ′) < δ⇒ d( fi (z), fi (z ′)) < ε para todo i .

Fijado f ∈F , existe i tal que d∞( f , fi ) < ε. Por lo tanto, si d(z, z ′) < δ, entonces

d( f (z), f (z ′)) ≤ d( f (z), fi (z))+d( fi (z), fi (z ′))+d( fi (z ′), f (z ′)) ≤ 3ε.

Esto prueba que F es uniformente equicontinua. Finalmente, F (z) es relativamente compacto paratodo z ∈ Z , porque F es relativamente compacto y la aplicación

evz : F → X ,

definida por evz ( f ) = f (z), es continua.


7.5. Compaccidad de un producto numerables de espacios métricos

Proposición 7.43. Un producto numerable de espacios métricos es totalmente acotado si y solo si suscoordenadas lo son.

Demostración. Por el Corolario 4.23 y el item 4 de la Proposición 7.9, si X := X1 × X2 × X3 × ·· · estotalmente acotado, entonces también lo es cada Xi . Supongamos, recíprocamente, que cada Xi estotalmente acotado y escribamos d i := mın(1,di ), donde di es la distancia de Xi . Fijado ε> 0, paracada j ∈N hay un subconjunto finito de cardinal mínimo A j := {

x j 1, . . . , x j ,n j

}de X j , tal que

n j⋃i=1

Bε/2 j (x j i ) = X j ,

donde las bolas están calculadas respecto de la distancia d j . Por la minimalidad de n j es evidenteque n j = 1 cuando 1

2 j < ε y, por lo tanto, A := A1 ×·· · An ×·· · es un subconjunto finito de X . Además,

es claro que X ⊆⋃x∈A B d∞

ε (x).

Teorema 7.44. Un producto numerable de espacios métricos es compacto si y solo si lo son todas suscoordenadas.

Demostración. Por las Proposiciones 6.32 y 7.43 sabemos que un producto numerable de espaciosmétricos es totalmente acotado y completo si y solo si lo son sus coordenadas. Esto termina lademostración, porque, por el Teorema 7.13, un espacio métrico es compacto si y solo si es totalmenteacotado y completo.

Ejercicio 7.45. Obtenga el Teorema 7.16 como un corolario del Teorema 7.44.

Definición 7.46. El cubo de Hilbert es el producto ([0,1]N, d∞), de numerables copias del intervalocerrado [0,1] provisto de la métrica usual.

111

7.6 Funciones propias Compaccidad

Por el Teorema 7.44 el cubo de Hilbert es compacto. En consecuencia, por el Teorema 7.15, unsubconjunto de [0,1]N es compacto si y solo si es cerrado. El resultado que sigue muestra que salvohomeomorfismos estos son todos los espacios métricos compactos.

Teorema 7.47. Todo espacio métrico compacto es homeomorfo a un subconjunto cerrado del cubo deHilbert.

Demostración. Tomemos un espacio métrico compacto X . Podemos suponer sin pérdida de gene-ralidad que el diámetro de X es menor o igual que 1 (Si no, cambiamos la distancia d de X pord := mın(1,d)). Por el Corolario 7.14 sabemos que X tiene un una familia numerable densa (xi )i∈N(puede haber repeticiones, porque, de hecho, X podría ser finito). Definimos g : X → [0,1]N por

g (x) := (d(x, x1),d(x, x2),d(x, x3), . . .

).

La función g es continua por la Proposición 4.18, y porque, por la Proposición 1.2, cada una delas funciones x 7→ d(x, xi ) es continua. Por el Corolario 7.26 y el Teorema 7.15, para terminar lademostración es suficiente probar que g es inyectiva. Pero si g (x) = g (y), entonces la funciónz 7→ d(x, z)−d(y, z) se anula en un subconjunto denso de X y, en consecuencia, es la función nula.Especializando en z = y , obtenemos que d(x, y) = 0 y que, por lo tanto, x = y .

7.6. Funciones propias

Los Corolarios 7.25 y 7.26 son dos de los resultados más útiles probados en esta sección. Engeneral, una función continua y biyectiva f : X → Y no tiene porque ser un homeomorfismo y,cuando lo es, esto puede ser dificil de probar. Cuando X es compacto, el Corolario 7.26 asegura queesto es cierto automáticamente. Es natural preguntarse si existen hipótesis más generales razonablesbajo las cuales estos resultados valen. A continuación estudiamos este problema.

Proposición 7.48. Para toda función continua f : X → Y son equivalentes:

1. f es cerrada.

2. La imagen f (C ), de cada subconjunto cerrado numerable y discreto C de X tal que f|C es inyectivay f (C ) es compacto, numerable y tiene un solo punto de acumulación, es un subconjunto cerradode Y .

Demostración. Es evidente que si el item 1 es verdadero, entonces también lo es el item 2. Supon-gamos que el item 1 es falso. Esto es, que hay un subconjunto cerrado D de X tal que f (D) no escerrado. Entonces existe una sucesión (yn)n∈N, de puntos distintos de f (D), que converge a unpunto y ∈ Y \ f (D). Para cada n ∈N tomemos un punto xn ∈ D ∩ f −1(yn), y consideremos el conjun-to C := {xn : n ∈N}. Vamos a probar que C es cerrado, numerable y discreto, que f es inyectiva sobreC y que f (C ) es compacto, numerable y tiene un solo punto de acumulación, pero que f (C ) 6= f (C ).Como

f (xi ) = yi 6= y j = f (x j ) if i 6= j ,

el conjunto C es numerable y f|C es inyectiva. Además f (C ) es numerable y f (C ) 6= f (C ), porque

f (C ) = {yi : i ∈N} 6= {yi : i ∈N} = {yi : i ∈N}∪ {y},

y f (C ) es compacto y tiene un solo punto de acumulación, porque y es el único punto de acumulaciónde cada subconjunto infinito de {yi : i ∈N}

⋃{y}. Resta probar que C es cerrado y discreto, o, lo

112

Compaccidad 7.6 Funciones propias

que es equivalente, que C ′ = ;. Supongamos que C tiene un punto de acumulación x. Entoncesexisten j1 < j2 < j3 · · · ∈N tales que d(x jn , x) < 1/n. Pero como f es continua esto implica que

f (x) = lımn→∞ f (x jn ) = lım

n→∞ y jn = y,

lo que es imposible porque x ∈ D e y ∉ f (D). Así que C ′ =;, como queremos.

Definición 7.49. Una función continua f : X → Y es propia si f −1(C ) es compacto para cada sub-conjunto compacto C de Y .

Ejemplo 7.50. Si X e Y son espacios discretos, entonces f es propia si y solo si la preimagen de cadasubconjunto finito de Y es un subconjunto finito de X .

Ejemplo 7.51. Una función continua f : C → D , de un subconjunto cerrado C deRm en un subcon-junto cerrado D deRn , es propia si y solo si para cada m ∈R>0 existe n ∈R>0 tal que f

(C \ Bn[0]

)⊆D \ Bm[0]. En efecto, si f es propia, entonces el conjunto f −1(D ∩Bn[0]) es compacto. En consecuen-cia, por el Teorema 7.20, está incluído en una bola Bn[0]. De modo que f

(C \Bn[0]

)⊆ D \Bm[0], comoqueremos. Recíprocamente, si se cumple esta condición, entonces para cada subconjunto compactoK de D, existe un n ∈R>0 tal que f −1(K ) ⊆ Bn[0][5]. Esto prueba que f −1(K ) es acotado. Además,como f es continua y K es cerrado, f −1(K ) es cerrado. Por lo tanto, nuevamente por el Teorema 7.20,f −1(K ) es compacto.

Ejercicio 7.52. Pruebe que para cada par X e Y de espacios métricos, la proyección canónica pX : X ×Y −→ Y es propia si y solo si Y es compacto.

Ejercicio 7.53. Pruebe que para cada par f : X → Y y g : Y → Z de funciones continuas entreespacios métricos, los siguientes hechos valen:

1. Si f y g son propias, entonces g ◦ f es propia.

2. Si g ◦ f es propia, entonces f es propia.

3. Si g ◦ f es propia y f es sobreyectiva, entonces g es propia.

Proposición 7.54. Una función f : X → Y es propia si y solo si toda sucesión (xn)n∈N de puntos de Xtal que

(f (xn)

)n∈N es convergente, tiene una susbsucesión convergente.

Demostración. ⇒) Tomemos una sucesión (xn)n∈N de puntos de X . Si(

f (xn))

n∈N tiende a un pun-to y ∈ Y , entonces el conjunto

{f (xn) : n ∈N}∪{

y}

es compacto, por lo que también lo es su preima-gen por f . En consecuencia, por el Teorema 7.13, como todos los xn pertenecen a este conjunto, lasucesión (xn)n∈N tiene una subsucesión convergente.

⇐) Supongamos que f no es propia y tomemos un subconjunto compacto K de Y tal que f −1(K )no es compacto. Entonces hay una sucesión (xn)n∈N de puntos de f −1(K ) que no tiene ningunasubsucesión convergente. Como K es compacto, la sucesión

(f (xn)

)n∈N tiene una subsucesión

convergente(

f (xn j ))

j∈N. Esto prueba que f aplica la sucesión (xn j ) j∈N en una sucesión convergente,lo que termina la demostración porque (xn j ) j∈N no tiene ninguna subsucesión convergente.

Proposición 7.55. Toda función propia f : X → Y es cerrada.

Demostración. Basta probar que ningún subconjunto C de X satisface las condiciones pedidas en elitem 2 de la Proposición 7.48. En realidad probaremos más: que cada subconjunto infinito C de Xtal que f (C ) es compacto tiene un punto de acumulación. En efecto, como f es propia, si f (C ) escompacto, entonces f −1

(f (C )

)es compacto, y es claro que C ⊆ f −1

(f (C )

). Por el Teorema 7.13, esto

implica que C tiene al menos un punto de acumulación.

113

7.7 Compaccidad y el conjunto de Cantor Compaccidad

Corolario 7.56. Toda función propia y biyectiva f : X → Y , es un homeomorfismo.

Demostración. Se sigue inmediatamente del Corolario 7.55 y la Observación 3.31.

Teorema 7.57. Una función f : X → Y es propia si y solo si es cerrada y f −1(y) es compacto para caday ∈ Y .

Demostración. Por las Proposiciones 7.55 y 7.54 solo debemos probar que si f es cerrada y f −1(y)es compacto para cada y ∈ Y , entonces cada sucesión (xn)n∈N de puntos de X tal que

(f (xn)

)n∈N

tiende a un punto y de Y , tiene una subsucesión convergente. Supongamos primero que hay infinitosíndices n1 < n2 < n3 < ·· · tales que xni ∈ f −1(y). Como f −1(y) es compacto, la sucesión

(xni

)i∈N

tiene una subsucesión convergente, la que asimismo lo es de (xn)n∈N. Supongamos ahora que elconjunto de los n’s tales que xn ∈ f −1(y) es finito y denotemos con n0 al máximo de los n ∈ f −1(y).Para verificar que también en este caso la sucesión (xn)n∈N tiene una subsucesión convergente essuficiente probar que la sucesión (xn+n0 )n∈N tiene una subsucesión convergente. Pero si esto no fueracierto, entonces el conjunto {xn0+i : i ∈N} no tendría puntos de acumulación[6] y, por lo tanto, seríacerrado. En consecuencia, como f es cerrada, también lo sería { f (xn0+i ) : i ∈N}, lo que es imposible,porque y es un punto de acumulación de { f (xn0+i ) : i ∈N} que no pertenece a { f (xn0+i ) : i ∈N}.

Ejercicio 7.58. Consideremos una función continua f : X → Y . Pruebe que si f −1(D) es compactopara cada subconjunto numerable, compacto y con un solo punto de acumulación D de Y , entoncesf es cerrada.

Ejercicio 7.59. Pruebe, dando un ejemplo, que el resultado probado en el Ejercicio 7.58 es másgeneral que el dado en el Corolario 7.55.

Ejercicio 7.60. De un ejemplo de una función continua y cerrada que no satisface las hipótesispedidas en el Ejercicio 7.58.

7.7. Compaccidad y el conjunto de Cantor

En esta sección mostraremos que el conjunto de Cantor es homeomorfo al producto numerablede copias del espacio discreto {0,1} y usamos esto para probar que para todo espacio métricocompacto X hay una función continua sobreyectiva del conjunto de Cantor en X .

Proposición 7.61. El conjunto de CantorC es homeomorfo al producto {0,1}N, donde {0,1} está dotadode la métrica discreta. Más precisamente, la función f : C→ {0,1}N, introducida en el Corolario 2.55,es un homeomorfismo.

Demostración. Por el Corolario 2.55 sabemos que f es biyectiva, y en el Ejemplo 7.21 vimos que C escompacto. En consecuencia, por el Corolario 7.26, para terminar la demostración es suficiente probarque f es continua. Por la Proposición 4.18 para ello solo debemos verificar que p j ◦ f es continuapara cada j , donde p j : {0,1}N −→ {0,1} es la j -ésima proyección canónica. Pero esto es cierto porque

(p j ◦ f )−1(0) = ⋃(i1,...,i j−1)∈{0,1} j−1

Ii1...i j−10 and (p j ◦ f )−1(1) = ⋃(i1,...,i j−1)∈{0,1} j−1

Ii1...i j−11,

donde los conjuntos Ii1...i j−10 e Ii1...i j−11 son los intervalos cerrados presentados al comienzo de laSubsección 2.2.1.

Proposición 7.62. El conjunto de Cantor C es homeomorfo a CN.

114

Compaccidad 7.7 Compaccidad y el conjunto de Cantor

Demostración. Por la Proposición 7.61 es suficiente probar que el espacio X := {0,1}N es homeomor-fo a XN. ComoN yN×N son numerables, hay una biyección α : N→N×N. Definimos h : X → XN

por (h(x)i ) j := xα−1(i , j ). Como α−1 es biyectiva, h también lo es. Por la Proposición 4.18, para probar

que h es continua es suficiente ver que lo son las funciones pi j ◦h (i , j ∈N), donde pi j : XN→ [0,1]es la composición p j ◦ρi , de la proyección a la i -ésima coordenada ρi : XN→ X con la proyección ala j -ésima coordenada p j : X → [0,1]. Pero esto es cierto porque pi j ◦h es la proyección de X a lacoordenada α−1(i , j )-ésima. Finalmente, h es un homeomorfismo por el Corolario 7.26.

Llamemos di a la distancia de {0,1} dada por di (0,1) = 12i . Escribamos X := {0,1}N y consideremos

las distancias d ′∞ : X ×X −→R≥0 y d ′1 : X ×X −→R≥0 definidas (usando la distancia di en la i-ésima

coordenada) como arriba de la Proposición 4.1 y como abajo de la Observación 4.3, respectivamente.Consideremos también la distancia d∞ : X ×X −→R≥0, definida de la misma forma que d ′∞, perousando la distancia discreta d(0,1) = 1 en cada coordenada. Así, para cada par x = (x1, x2, x3, . . . )e y = (y1, y2, y3, . . . ) de puntos de X ,

d ′∞(x, y) = max

{1

22i: xi 6= yi

}=

{1

22i0si xi = yi para i < i0 y xi0 6= yi0 ,

0 si x = y ,

d ′1(x, y) = ∑

xi 6=yi

1

22i

y

d∞(x, y) = max

{1

2i: xi 6= yi

}=

{1

2i0si xi = yi para i < i0 y xi0 6= yi0 ,

0 si x = y .

Por la Proposición 4.25 sabemos que los espacios métricos (X , d ′1) y (X , d ′∞) son topológicamen-

te equivalentes. Además, (X , d ′∞) es topológicamente equivalente a (X , d∞) trivialmente o por laProposición 4.18. Así, d ′

1 ∼ d ′∞ ∼ d∞.

Lema 7.63. Para cada x ∈ X la función d ′1(x,−) : X →R es inyectiva.

Demostración. Debemos probar que, para cada par v = (v1, v2, v3, . . . ) y w = (w1, w2, w3, . . . ) depuntos distintos de X ,

d ′1(x, v) 6= d ′

1(x, w).

Como v 6= w , existe j0 ∈ N tal que v j = w j para j < j0 y v j0 6= w j0 . Supongamos, por ejemplo,que x j0 6= v j0 . Entonces

d ′1(x, v)− d ′

1(x, w) = 1

22 j0+ ∑

j> j0x j 6=v j

1

22 j− ∑

j> j0x j 6=w j

1

22 j≥ 1

22 j0− ∑

j> j0

1

22 j= 1

22 j0− 1

22 j0+1

1

1− 14

= 2

3

1

22 j0> 0

y, en consecuencia, d ′1(x, v) 6= d ′

1(x, w), como queremos.

Lema 7.64. Para cada conjunto cerrado C del conjunto de Cantor C hay una función continuasobreyectiva fC : C→C .

Demostración. Por la Proposición 7.61 basta probar que (X , d∞) tiene esta propiedad, y por loscomentarios arriba del Lema 7.63, podemos reemplazar (X , d∞) por (X , d ′

1). Dado x ∈ X , la funciónd ′

1(x,−) : C →R es continua. En consecuencia, por el Teorema 7.27 y el Lema 7.63 existe un únicopunto y x ∈C tal que d ′

1(x,C ) = d ′1(x, y x ). La función qC : X →C , dada por qC (x) := y x , es sobreyectiva

115

7.7 Compaccidad y el conjunto de Cantor Compaccidad

porque es la identidad sobre C . Para probar que es continua notemos primero que fijados x yx ′ en X y δ> 0, si d ′

1(x, x ′) < δ, entonces xi = x ′i para todo i tal que 1

22i > δ (o, lo que es igual, para

todo i < 12 log2(1/δ)). Afirmamos que y x

i = y x ′i para todo i < 1

2 log2(1/δ). En efecto, supongamos que

esto es falso y tomemos el mínimo i tal que y xi 6= y x ′

i . Si xi = y xi , entonces

d ′1(x ′, y x ) = ∑

x ′j 6=y x

j

1

22 j< ∑

x ′j 6=y x

j

j<i

1

22 j+ ∑

j≥i+1

1

22 j= ∑

x ′j 6=y x

j

j<i

1

22 j+ 1

3

1

22i< ∑

x ′j 6=y x

j

j≤i

1

22 j< d ′

1(x ′, y x ′),

donde la última desigualdad se sigue de que x ′i = xi = y x

i 6= y x ′i , lo que contradice la elección de

y x ′. Un cálculo similar muestra que si xi 6= y x

i , entonces d ′1(x, y x ′

) < d ′1(x, y x ), lo que contradice la

elección de y x . Esto termina la prueba de la afirmación. Denotemos con i (δ) al mínimo númeronatural mayor o igual que 1

2 log2(1/δ). Ahora es claro que si d ′1(x, x ′) < δ, entonces

d ′1(y x , y x ′

) ≤ ∑i≥i (δ)

1

22i= 4

3

1

22i (δ)≤ 4

3δ,

lo que prueba la continuidad de qC .

Lema 7.65. Hay una función continua y sobreyectiva del conjunto de Cantor C en el cubo de Hil-bert [0,1]N.

Demostración. Como, por la Proposición 7.62, sabemos que C es homeomorfo a CN, para concluírque el lema es verdadero basta probar que hay una sobreyección continua de CN en el cubo deHilbert. Por el Corolario 4.20, para ello es suficiente ver que hay una función continua y sobreyectivade C en el intervalo [0,1]. Además, por la Proposición 7.61 podemos reemplazar C por {0,1}N. Vamosa probar que la función b : {0,1}N→ [0,1], dada por

b(x1, x2, x3, . . . , ) := ∑i=1∞

xi

2i,

está bien definida y es una sobreyección continua. Está bien definida porque

0 ≤ ∑i=1∞

xi

2i≤ ∑

i=1∞

1

2i= 1 para todo (x1, x2, x3, . . . ) ∈ {0,1}N,

es sobreyectiva porque dado y ∈ [0,1], if (0, y1 y2 y3 · · · ) es una escritura de y en base 2, entonces

y = b(y1, y2, y3, . . . ),

y es continua porque

|b(x1, x2, x3, . . . )−b(x ′1, x ′

2, x ′2, . . . )| ≤ ∑

j>i

1

2 j= 1

2i,

siempre que d∞((x1, x2, x3, . . . ), (x ′

1, x ′2, x ′

3, . . . ))< 1

2i .

Teorema 7.66. Todo espacio métrico compacto es imagen continua del conjunto de Cantor. En otraspalabras, para todo espacio métrico compacto X existe una función continua sobreyectiva g : C→ X .

Demostración. Por el Teorema 7.47 sabemos que hay un homeomorfismo h : X → D, de X en unsubconjunto cerrado D del cubo de Hilbert, y por el Lema 7.65 existe una función continua ysobreyectiva p : C→ [0,1]N, de C en el cubo de Hilbert. Escribamos C := p−1(D), y consideremosla función continua sobreyectiva fC : C → C construída en el Lema 7.64. La función g : C → X ,dada por g (x) := h−1(p( fC (x))), satisface las condiciones requeridas. En efecto, es continua porquees composición de funciones continuas y es sobreyectiva porque es composición de funcionessobreyectivas.

116

Compaccidad 7.8 Isometrías en espacios compactos

7.8. Isometrías en espacios compactos

Teorema 7.67. Si X es compacto, entonces toda isometría f : X → X es sobreyectiva.

Demostración. Supongamos que f no es sobreyectiva y tomemos x ∈ X \ f (X ). Por el Corolario 7.25existe r > 0 tal que Br (x) ⊆ X \ f (X ). Por lo tanto, cualesquiera sean i < j enN0,

d( f i (x), f j (x)) = d(x, f j−i (x)) ≥ r.

En consecuencia, la sucesión x, f (x), f 2(x), f 3(x), . . . no tiene ninguna subsucesión convergente, loque es imposible por el Teorema 7.13. De modo que f es sobreyectiva.

Definición 7.68. Una función f : X → Y , entre espacios métricos arbitrarios X e Y , es una expansiónsi d(x, x ′) ≤ d( f (x), f (x ′)) para todo x, x ′ ∈ X .

Ejemplo 7.69. La función f : R→R definida por

f (x) :={

x si x ≤ 0,

x +1 si x > 0,

es una expansión.

La expansión definida en el ejemplo anterior no es una función continua. El siguiente teoremamuestra en particular que esto no puede ocurrir si X es compacto y X = Y .

Lema 7.70. Supongamos que f : X → X es una expansión y fijemos un punto x de X . Si la suce-sión

(f n(x)

)n∈N tiene una subsucesión convergente, entonces

(f n(x)

)n∈N tiene una subsucesión que

tiende a x.

Demostración. Si(

f ni (x))

i∈N es una subsucesión convergente de(

f n(x))

n∈N, entonces para cadam ∈N existe r (m) ∈N tal que d

(f ni (x), f nr (m)

)≤ 1m para todo i ≥ r (m). Además es claro que los r (m)

pueden elegirse de forma tal que nr (m+1) ≥ 2×nr (m) para todo m. Tomemos n′m := nr (m+1) −nr (m).

Las igualdadesn′

m+1 = nr (m+2) −nr (m+1) ≥ nr (m+1) > nr (m+1) −nr (m) = n′m

muestran que ( f n′i (x))i∈N es una subsucesión de ( f n(x))n∈N. Como f es una expansión

d(x, f n′

i (x))= d

(x, f (nr (i+1)−nr (i ))(x)

)≤ d(

f nr (i ) (x), f nr (i+1) (x))≤ 1

i,

lo que prueba que(

f n′i (x)

)i∈N tiende a x.

Teorema 7.71 (Freudenthal-Hurewicz). Si f : X → X es una expansión y X es compacto, entonces f esuna isometría.

Demostración. Fijemos x, x ′ ∈ X . Por el Teorema 7.16 sabemos que X ×X es compacto. Además, porla misma definición de d∞, la función f × f : X ×X −→ X ×X es una expansión. En consecuencia, porel Teorema 7.13 y el Lema 7.70, existe una sucesión estrictamente creciente de enteros no negativos0 = n0 < n1 < n2 < n3 < ·· · tal que

lımi→∞

( f ni (x), f ni (x ′)) = (x, x ′).

Como la sucesión

d(x, x ′),d( f (x), f (x ′)),d( f 2(x), f 2(x ′)),d( f 3(x), f 3(x ′)), . . .

es creciente, esto implica que d(x, x ′) = d( f (x), f (x ′)).

117

7.9 Espacios localmente compactos Compaccidad

7.9. Espacios localmente compactos

Definición 7.72. Un espacio métrico X es localmente compacto si cada punto x de X tiene un basede entornos compactos.


1. X es localmente compacto.

2. Para cada x ∈ X y cada entorno abierto V de x, existe un entorno abierto relativamente compac-to U de x, con U ⊆V .

3. Para cada x ∈ X hay una bola cerrada Brx [x], con centro x, que es un subconjunto compactode X

4. Cada punto x de X tiene un entorno compacto

Demostración. 1. ⇒ 2. Como X es localmente compacto, x tiene un entorno compacto C incluídoen V . El conjunto U :=C ◦ satisface las condiciones pedidas.

2. ⇒ 3. Como es un entorno abierto de x, el conjunto U incluye a una bola cerrada Brx [x], la que escompacta porque es un subconjunto cerrado de U .


4. ⇒ 1. Dado un entorno compacto C de un punto x de X , el conjunto {C ∩Br [x] : r ∈R} es un basede entornos compactos de x.

Corolario 7.74. Todo espacio métrico compacto es localmente compacto.

Demostración. Porque por su misma definición, los espacios métricos compactos satisfacen lacondición 4.

Ejemplos 7.75. Los espacios (Rn ,dp ) (1 ≤ p ≤∞) y los espacios discretos infinitos son ejemplos deespacios métricos localmente compactos que no son compactos.

El conjunto Q de los números racionales no es localmente compacto. Es más, en Q ningúnentorno V de un número racional x puede ser compacto, porque no es completo (una completaciónde V es la adherencia de V ) en R, la cual incluye infinitos números irracionales. Un argumentosimilar muestra que el conjunto R \Q, de los números irracionales, no es localmente compacto.Estos ejemplos muestran que un subconjunto de un espacio métrico localmente compacto puedeno ser localmente compacto. Sin embargo tenemos el siguiente resultado.

Proposición 7.76. Todo subconjunto abierto o cerrado de un espacio métrico localmente compacto Xes localmente compacto.

Demostración. Supongamos primero que A ⊆ X es abierto. Entonces por el item 2) de la Proposi-ción 7.73 cada a ∈ A tiene entorno compacto, lo que, por la equivalencia entre los items 1) y 4) dela misma proposición, implica que A es localmente compacto. Si A es cerrado se llega a la mismaconclusión usando nuevamente la Proposición 7.73, y que, por la Proposición 2.22 y el Teorema 7.15,para cada a ∈ A la intersección A ∩C , de A con un entorno compacto C de a en X , es un entornocompacto de a en A.

Corolario 7.77. Si X es un espacio métrico localmente compacto y A ⊆ X es la intersección de unabierto con un cerrado, entonces A es localmente compacto.

118

Compaccidad 7.9 Espacios localmente compactos

Demostración. Supongamos que A =U ∩C , donde U ⊆ X es abierto y C ⊆ X es cerrado. Entonces, Ces localmente compacto porque es un cerrado de X y, a posteriori, A es localmente compacto porquees un abierto de C .

Proposición 7.78. El producto de dos espacios métricos es localmente compacto si y solo si cada unolo es.

Demostración. Supongamos que X ×Y es localmente compacto y fijemos un punto (x0, y0) ∈ X ×Y .Entonces X e Y son localmente compactos porque son homeomorfos a los subespacios cerradosX × {y0} e {x0}×Y de X ×Y . Recíprocamente, si X e Y son localmente compactos, entonces X ×Yes localmente compacto porque para cada x ∈ X y cada y ∈ Y , el producto C ×D, de un entornocompacto C de X , con un entorno compacto D de y , es un entorno compacto de (x, y).

Corolario 7.79. El producto de un número finito de espacios métricos es localmente compacto si y solosi cada uno lo es.

Demostración. Se sigue inmediatamente del resultado anterior por inducción.

Proposición 7.80. Un producto X := X1 × X2 × X3 × ·· · , de una cantidad numerable de espaciosmétricos, es localmente compacto si y solo si todos son localmente compactos y a lo sumo un númerofinito de ellos no es compacto.

Demostración. Si todos los Xi ’s son localmente compactos y Xi1 , . . . , Xin (n ≥ 0) son los únicos Xi ’sno compactos, entonces dado un punto x := (x1, x2, x3, . . . ) de X y entornos compactos Ci j de xi j ,el conjunto C1 ×C2 ×C3 ×·· · , donde Ci = Xi si i ∉ {ii , . . . , in}, es un entorno compacto de x. Comox es arbitrario, esto prueba que X es localmente compacto. Recíprocamente, si X es localmentecompacto, entonces el mismo argumento usado en la prueba de la Proposición 7.78 muestra quelos Xi ’s son localmente compactos, y de la caracterización de las bolas en productos obtenida en elEjemplo 4.10, se sigue que solamente un número finito de los Xi ’s puede no ser compacto.

Teorema 7.81. Si X es un espacio métrico separable y localmente compacto, entonces X tiene sub-conjuntos abiertos relativamente compactos U1,U2,U3, . . . tales que

⋃i∈NUi = X y Ui ⊆ Ui+1 para

todo i .

Demostración. Como X es localmente compacto, tiene un cubrimiento por abiertos relativamentecompactos. Por la Proposición 5.8 este cubrimiento tiene un subcubrimiento numerable (Vi )i∈N (losconjuntos Vi no tienen porqué ser todos distintos. Es más, si X es compacto el conjunto {Vi : i ∈N}podría ser finito). Tomemos U1 = V1, y supongamos que hemos contruído U1, . . . ,Ui . Como Ui escompacto exiten j1 < j2 < ·· · < jri , con ri ≥ i mínimo tal que Ui ⊆V j1 ∪·· ·∪V jri

. Definimos Ui+1 por

Ui+1 :=jri⋃

j=1V j .

Por la misma construcción de los Ui ’s es claro Ui ⊆Ui+1 para todo i . Además

∞⋃i=1

Ui ⊇∞⋃

i=1Vi = X

y cada uno de los Ui ’s es compacto porque es un subconjunto cerrado de una unión finita decompactos.

119

7.9 Espacios localmente compactos Compaccidad

Ejercicio 7.82. Pruebe que si un espacio métrico X tiene subconjuntos abiertos relativamentecompactos U1,U2,U3, . . . tales que

⋃i∈NUi = X y Ui ⊆Ui+1 para todo i , entonces X es localmente

compacto y separable.

Proposición 7.83. Si (X ,d) es un espacio métrico localmente compacto y separable, entonces existeuna métrica equivalente d sobre X tal que los subconjuntos compactos de X son los subconjuntoscerrados de X que son acotados respecto de d.

Demostración. Por el Teorema 7.81 sabemos que X tiene una familia numerable de subconjuntosabiertos relativamente compactos y no vacíos U1,U2,U3, . . . tales que⋃

i∈NUi = X y Ui ⊆Ui+1 para todo i .

Por el Teorema 3.19, para cada i ∈N existe una función continua fi : X → [0,1] tal que fi (Ui−1) = 0y fi (X \Ui ) = 1 (donde U0 =;). Definimos f : X →R por

f (x) :=∞∑

i=1fi (x) for all x ∈ X

(la definición es correcta y f es continua porque X =⋃i∈NUi , f j (Ui ) = 0 para cada j > i y los Ui ’s

son subconjuntos abiertos de X [7]). Definimos d : X ×X −→R por

d(x, y) := d(x, y)+| f (x)− f (y)|.Como tanto d como la función módulo tienen la propiedad triangular,

d(x, z) = d(x, z)+| f (x)− f (z)|≤ d(x, y)+d(y, z)+| f (x)− f (y)|+ | f (y)− f (z)|= d(x, y)+d(y, z)

para todo x, y, z.

Además es claro que d(x, y) = 0 si y solo si x = y y que d(x, y) = d(y, x) para todo x, y . Por lo tanto d esuna métrica. Como d(x, y) ≤ d(x, y) para todo x, y ∈ X , la función

id: (X ,d) −→ (X ,d)

es una función de Lipschitz con constante de Lipschitz menor o igual a 1 (es decir, una función corta),y como f es continua respecto de d , la función

id: (X ,d) −→ (X ,d)

es continua[8]. Esto prueba que d es equivalente a d. Por ende, todo subconjunto compacto de (X ,d)es cerrado y totalmente acotado respecto de d y, entonces, acotado respecto de d. Resta probar quevale la recíproca. Esto es, que los subconjuntos C de X , que son cerrados y acotados respecto ded, son compactos. Pero si C es un tal conjunto, entonces existen x ∈ X y r ∈N tales que C ⊆ Bd

r [x0].Supongamos que x ∈U j . Por la misma definición de f ,

l −1 ≤ f (y) ≤ l para todo l ∈N e y ∈Ul \Ul−1

y, por lo tanto,

d(y, x) = d(x, y)+| f (y)− f (x)| > | f (y)− f (x)| ≥ r para todo y ∈ X \Ur+ j con y 6= x.

En consecuencia C ⊆ Br [x] ⊆Ur+ j , lo que, por la Proposición 7.3, implica que Br [x] es compacto.

Ejercicio 7.84. que si un espacio métrico X tiene la propiedad de que los subconjuntos cerrados yacotados de X son compactos, entonces X es localmente compacto, separable y completo. Concluyaque el espacio (X ,d), construído en la Proposición 7.83, es completo.

120

Compaccidad 7.10 Aplicaciones

7.10. Aplicaciones

En esta sección ...

7.10.1. El teorema fundamental del álgebra

El Teorema fundamental del Algebra asegura que todo polinomio no constante con coeficientescomplejos tiene una raíz. Aquí daremos una prueba basada en el hecho de que una función realcontinua definida sobre un compacto alcanza su mínimo.

Teorema 7.85 (Teorema fundamental del álgebra). Para cada polinomio no constante P ∈ C[X ],existe z0 ∈C tal que P (z0) = 0.

Demostración. Escribamos P (X ) = an X n +an−1X n−1 +·· ·+a1X +a0. Como

lımz→∞ |P (z)| = lım

z→∞ |z|n∣∣∣∣an +an−1

1

z+·· ·+a1

1

zn−1 +a01

zn

∣∣∣∣=∞,

existe r > 0 tal que |P (z)| > |P (0)| para todo z ∈C\ Br [0]. En consecuencia, por el Teorema 7.27 existez0 ∈C tal que |P (z)| ≥ |P (z0)| para todo z ∈C[9]. Supongamos que P (z0) 6= 0. Reemplazando P por

1P (z0) P (X −z0), podemos asumir sin pérdida de generalidad que z0 = 0 y P (0) = 1. Sea m tal que am 6= 0y ai = 0 para 0 < i < m. Entonces

P (z) = an zn +an−1zn−1 +·· ·+am zm +1 = %(z)am zm +am zm +1,

donde%(z) := an

amzn−m +·· ·+ am+1

amz.

Fijemos b ∈C tal que bm =−a−1m y elijamos 1 > δ> 0 tal que |%(tb)| < 1

2 si |t | < δ (δ existe porque % escontinua y %(0) = 0). Entonces

|P (tb)| = |%(tb)am t mbm +am t mbm +1|= |−%(tb)t m − t m +1|≤ |%(tb)t m |+ |1− t m |= |%(tb)||t m |+ |1− t m |≤ 1

2t m +1− t m

= 1− 1

2t m

para todo t ∈ (0,δ), lo que contradice la minimalidad de |P (0)|. Por lo tanto P (0) = 0.

7.10.2. El Teorema de Stone-Weirstrass

Definición 7.86. Tomemos un conjunto X . Decimos que una función f : X →R es menor o igualque otra g : X →R, y escribimos f ≤ g , si f (x) ≤ g (x) para todo x ∈ X .

Observaciones 7.87. El conjuntoRX , de funciones de X enR, es un conjunto ordenado (más aún, esun reticulado aunque esto no vamos a usarlo) via la relación dada en la definición anterior. Es claroque la relación de orden presentada en el Ejemplo 7.101 es la inducida por esta.

121

7.10 Aplicaciones Compaccidad

Definición 7.88. Decimos que una sucesión ( fn)n∈N, de funciones de un conjunto X en R, escreciente si lo es respecto de la relación de orden dada en la Definición 7.86. Esto es, si fn(x) ≤ fn+1(x)para todo n ∈N y x ∈ X .

Teorema 7.89 (Dini). Consideremos una función continua f : X →R, donde X es un espacio métricocompacto. Si ( fn)n∈N es un sucesión creciente de funciones continuas de X enR y lımn→∞ fn(x) = f (x)para todo x ∈ X (convergencia puntual), entonces fn tiende a f uniformemente.

Demostración. Por hipótesis, para cada x ∈ X y ε > 0 existe n0(x) tal que d( fn(x), f (x)) < ε2 pa-

ra todo n ≥ n0(x). Además, como fn0(x) y f son continuas, hay un entorno abierto Vx de x talque d( fn0(x)(x ′), f (x ′)) < ε para todo x ′ ∈ Vx . Entonces, dado que ( fn)n∈N es una sucesión crecien-te, d( fn(x), f (x ′)) < ε para todo n ≥ n0(x) y x ′ ∈Vx . Por compaccidad, existen x1, . . . , xm ∈ X talesque X =Vx1 ∪·· ·∪Vxm . Debido de nuevo a que ( fn)n∈N es creciente, si n ≥ max{n0(x1), . . . ,n0(xm)},entonces d( fn(x), f (x)) < ε para todo x ∈ X .

Lema 7.90. La sucesión de polinomios Pn(t ) ∈R[t ], definida recursivamente por

- P0(t ) := 0,

- Pn+1(t ) := Pn(t )+ 12 (t −P 2

n(t )),

es creciente en [0,1] y tiende ap

t uniformente en [0,1].

Demostración. Es claro que Pn(0) = 0 para todo n ≥ 0[10]. Afirmamos que

0 ≤ Pn(t ) < Pn+1(t ) <pt para todo n ≥ 0 y todo t ∈ (0,1). (7.3)

Para probar que esto es cierto fijemos un t ∈ (0,1). La desigualdad (7.3) es verdadera para n = 0 y t ,porque 0 < 1

2 t <pt . Supongamos que 0 ≤ Pn−1(t ) < Pn(t ) <p

t . Entonces

Pn+1(t ) = Pn(t )+ 1

2

(t −P 2

n(t ))> Pn(t )

porque P 2n(t ) < t . Para concluír la prueba de la afirmación resta ver que Pn+1(t ) <p

t , para lo que essuficiente notar que, por hipótesis inductiva, Pn(t ) <p

t < 2−p(t ), y que

Pn+1(t ) <pt ⇔ Pn(t )+ 1

2

(t −P 2

n(t ))< Pn(t )+p

t −Pn(t )

⇔ t −P 2n(t ) < 2

(pt −Pn(t )

)⇔p

t +Pn(t ) < 2

⇔ Pn(t ) < 2−√

(t ),

donde la tercera desigualdad equivale a la cuarta porquep

t −Pn(t ) > 0.Escribamos ahora f (t ) := lımn→∞ Pn(t ). Como Pn+1(t ) = Pn(t )+ 1

2

(t −P 2

n(t )),

f (t ) = f (t )+ 1

2

(t − f (t )2),

por lo que f (t ) =pt . Finalmente, la convergencia es uniforme por el Teorema de Dini.

Definición 7.91. Una R-álgebra conmutativa es un anillo conmutativo unitario A, junto con unmorfismo de anillos unitarios i : R→ A. Una subálgebra B de A es un subanillo unitario B de A talque i (R) ⊆ B .

122


Ejemplo 7.92. Para cada espacio métrico X , el conjunto C(X ,R), de las funciones continuas yacotadas de X enR, es unaR-álgebra via

- ( f + g )(x) = f (x)+ g (x),

- ( f g )(x) = f (x)g (x),

- i (λ)(x) =λ.

Definición 7.93. Una subálgebra A de C(X ,R) separa puntos si para cada par de puntos distin-tos x, y ∈ X , existe f ∈ A tal que f (x) 6= f (y).

Proposición 7.94. Si A es una subálgebra de C(X ,R), entonces la adherencia A, de A respecto de ladistancia d∞, también lo es.

Demostración. Tomemos fn , gn , f , g ∈ C(X ,R). Como la suma y el producto enR son continuos, si

f = lımunif

fn y g = lımunif

gn ,

entonces f + g = lımunif

( fn + gn) y f g = lımunif

fn gn .

Teorema 7.95 (Stone-Weirstrass). Consideremos un espacio métrico compacto X . Toda subálgebra deC(X ,R), que separa puntos, es densa.

Demostración. Supongamos que A es una subálgebra de C(X ,R) que separa puntos. Probaremosque A = C(X ,R) en varios pasos.

1. Si f , g ∈ A, entonces max( f , g ) y mın( f , g ) pertenecen a A. En efecto, como

max( f , g ) = f + g

2+ | f − g |

2y mın( f , g ) = f + g

2− | f − g |

2,

donde | f − g | es la función definida por | f − g |(x) = | f (x)− g (x)|, para verificar esta afirmación,bastará probar que h ∈ A ⇒|h| ∈ A. Pero por el Lema 7.90 sabemos que

MPn ◦ 1

M 2 h2 unif−−−→√

h2 = |h|,

donde M > 0 es cualquier cota superior de {|h(x)| : x ∈ X }, y como Pn ◦ 1M 2 h2 ∈ A para todo n ∈N, de

este hecho se sigue que |h| ∈ A.

2. Dados x, y ∈ X y a,b ∈R, existe f ∈ A tal que f (x) = a y f (y) = b. En efecto, si g ∈ A satisfa-ce g (x) 6= g (y), podemos tomar

f (z) = a + (b −a)

(g (z)− g (x)

g (y)− g (x)

).

3. Dados h ∈C (X ,R), x ∈ X y ε> 0, existe hx ∈ A tal que hx (x) = h(x) y hx (x ′) ≤ h(x ′)+ε∀x ′ ∈ X . Enefecto, por el segundo paso para cada y ∈ X podemos elegir una función real continua hx y ∈ A, talque hx y (x) = h(x) y hx y (y) = h(y). Una vez hecho esto podemos tomar un entorno abierto Vy

de y tal que hx y (y ′) < h(y ′)+ ε para todo y ′ ∈ Vy . Por compaccidad, existen y1, . . . , ym ∈ X talesque X =⋃m

i=1 Vyi . La función hx = mın(hx y1 , . . . ,hx ym ) satisface la desigualdad pedida y, por el primer

paso, pertenece a A.

4. Dados h ∈ C (X ,R) y ε > 0, existe h ∈ A tal que h − ε < h < h + ε. En efecto, para cada x ∈ X ,tomemos hx como en el tercer paso, y un entorno abierto Vx de x tal que hx (x ′) > h(x ′)− ε paratodo x ′ ∈Vx . Por compaccidad existen x1, . . . , xm ∈ X tales que X =⋃m

i=1 Vxi . Claramente la función

h = max(hx1 , . . . ,hxm ) satisface la desigualdad pedida y, por el primer paso, pertenece a A.

123

7.10 Aplicaciones Compaccidad

Corolario 7.96 (Weirstrass). Toda función continua f : [a,b] →R es límite uniforme de una sucesiónP1,P2,P3, . . . de funciones polinomiales Pn : [a,b] →R.

Demostración. Es una consecuencia inmediata del Teorema 7.95, porque el álgebra de las funcionespolinomiales de [a,b] enR, es una subálgebra de C

([a,b],R

), que separa puntos.

7.10.3. Conjuntos ordenados

Proposición 7.97. Consideremos un conjunto X provisto de un orden parcial ≤ y de una funcióndistancia d : X × X −→R≥0. Si para cada x ∈ X el conjunto Sx := {y ∈ X : y < x} es abierto, entoncestodo subconjunto compacto de X tiene elementos maximales.

Demostración. Supongamos que X tiene un subconjunto compacto Y sin elementos maximales.Entonces para todo y ∈ Y existe y ′ ∈ Y con y < y ′ y, por lo tanto,⋃

y∈Y

(Sy ∩Y

)= Y

Como Y es compacto y Sy ∩Y es un abierto de Y para cada y , existen y1, . . . , yn ∈ Y tales que

Y ⊆ Sy1 ∪·· ·∪Syn .

Pero entonces cada elemento maximal de {y1, . . . , yn} es un elemento maximal de Y , absurdo. Por lotanto todo subconjunto compacto de X tiene elementos maximales.

Recordemos que un conjunto ordenado (X ,≤) es un semireticulado superior si cada par deelementos x e y tiene supremo x ∨ y y es un semireticulado inferior si cada par de elementos x e ytiene ínfimo x ∧ y . Un reticulado es un conjunto ordenado (X ,≤) que es un semireticulado superior yun semireticulado inferior. Una inducción evidente muestra que en un semireticulado superior todafamilia finita de elemento tiene supremo. El resultado que sigue afirma que si X tiene un estructurade espacio métrico compatible con el orden en un sentido natural, entonces todo subconjuntocompacto no vacío de X tiene supremo.

Proposición 7.98. Si (X ,≤) es un semireticulado superior y X tiene una estructura de espacio métricocompleto (X ,d) que satisface:

1. lımn→∞ xn ≤ lımn→∞ yn para cada par (xn)n∈N e (yn)n∈N de sucesiones convergentes de puntosde X tales que xn ≤ yn para todo n,

2. d(x, x ′) < ε y d(y, y ′) < ε⇒ d(x ∨ y, x ′∨ y ′) < ε para todo ε> 0,

entonces todo subconjunto compacto no vacío de X tiene supremo.

Demostración. Fijemos un subconjunto compacto C de X y denotemos con D al conjunto de lossupremos de todas las familias finitas de elementos de C . Así, x ∈ D si y solo si existen x1, . . . , xr ∈C ,con r ≥ 1 tales que x = x1 ∨ ·· ·∨ xr . Afirmamos que D es totalmente acotado. En efecto, como Ces totalmente acotado, dado ε > 0, existen x ′

1, . . . , x ′`ε

∈ C tales que mın(d(x, x ′

1), . . . ,d(x, x ′`ε

)) < ε

para todo x ∈ C . Por lo tanto, para cada r -upla (x1, . . . , xr ) de puntos de C , existen x ′i1

, . . . , x ′ir

talesque d(x j , x ′

i j) < ε para todo j y, en consecuencia, por la condición 2 y una inducción fácil,

d(x1 ∨·· ·∨xr , xi1 ∨·· ·∨xir ) < ε,

124


lo que prueba que la afirmación es verdadera. Pero entonces, por los comentarios al comienzo de laSección 7.4, la clausura D de D es un subconjunto compacto de X .

Por otra parte, como C es compacto existen una familia (x1, x2, x3, . . . ) de puntos de C y núme-ros m1 < m2 < m3 < ·· · tales que:

a. para todo n ∈N el conjunto {xn , xn+1, . . . } es denso en C ,

b. para todo x ∈C , existe xi ∈ (x1, . . . , xml ) con d(x, xi ) < 1l .

En efecto, como todo conjunto compacto es totalmente acotado y C es compacto, para todo l ∈Nexisten una cantidad finita de puntos ul ,1, . . . ,ul ,rl ∈C tales que

C ⊆rl⋃

i=1B1/l (ul ,i ).

Escribamos m0 := 0, m1 := r1, m2 := r1 + r2, m3 := r1 + r2 + r3, etcétera. Es claro que los números mi

(i ∈N) y la familia

(x1, x2, x3, . . . ) := (u1,1, . . . ,u1,r1 ,u2,1, . . . ,u2,r2 ,u3,1, . . . ,u3,r3 , . . . ),

obtenida tomando xmi−1+ j := ui , j para 1 ≤ j ≤ ri , satisfacen las condiciones pedidas en los items ay b [11].

Escribamos yn := x1 ∨ ·· · ∨ xmn . Podemos suponer sin pérdida de generalidad que la suce-sión (yn)n∈N converge a un punto y de D (si es necesario, la reemplazamos por una subsucesiónconvergente, la cual existe porque D es compacto). Afirmamos que y =∨

C . Para probar esto debe-mos mostrar que todo x ∈C es menor o igual que y , y que si z ≥ x para todo x ∈C , entonces z ≥ y .

Todo x ∈ C es menor o igual que y. Escribamos Cn := {xn , xn+1, xn+2, . . . }. Como, por el item b,los Cn ’s son subconjuntos densos de C , para cada x ∈C hay una subsucesión (xi j ) j∈N de (x j ) j∈N, tal

que x = lım j→∞ xi j[12]. Por el item a, como xi j ≤ yi j para todo j ,

x = lımj→∞

xi j ≤ lımj→∞

yi j = y.

Si z ≥ x para todo x ∈C , entonces z ≥ y. Si z ≥ x para todo x ∈C , entonces z ≥ x1 ∨·· ·∨ xmn = ypara todo n, y, por la condición 1,

z ≥ lımn→∞= y,

como queremos.

Proposición 7.99. Si (X ,≤) es un semireticulado inferior y X tiene una estructura de espacio métricocompleto (X ,d) que satisface:

1. lımn→∞ xn ≤ lımn→∞ yn para cada par (xn)n∈N e (yn)n∈N de sucesiones convergentes de puntosde X tales que xn ≤ yn para todo n,

2. d(x, x ′) < ε y d(y, y ′) < ε⇒ d(x ∧ y, x ′∧ y ′) < ε para todo ε> 0,

entonces todo subconjunto compacto no vacío de X tiene ínfimo.

Demostración. Aplíquese el resultado anterior a X provisto del orden ¹ deinido por x ¹ y si x ≥ y .

Proposición 7.100. Si (X ,≤) es un reticulado y X tiene una estructura de espacio métrico completo(X ,d) que satisface:

125

Notas

1. lımn→∞ xn ≤ lımn→∞ yn para cada par (xn)n∈N e (yn)n∈N de sucesiones convergentes de puntosde X tales que xn ≤ yn para todo n.

2. d(x, x ′) < ε y d(y, y ′) < ε⇒ d(x ∧ y, x ′∧ y ′) < ε y d(x ∨ y, x ′∨ y ′) < ε para todo ε> 0,

entonces todo subconjunto compacto no vacío de X tiene supremo e ínfimo.

Demostración. Por las Proposiciones 7.98 y 7.99.

Ejemplo 7.101. Para cada espacio métrico Z , el conjunto C (Z ,R). de la funciones continuas yacotadas de Z enR, es un reticulado si definimos f ≤ g si f (z) ≤ g (z) para todo z ∈ Z . Este reticulado,provisto de la métrica usual, satisface las hipótesis de la Proposición 7.100, pero no satisface lahipótesis de la Proposición 7.97.

Ejercicio 7.102. Pruebe las afirmaciones hechas en el Ejemplo 7.101.

Ejercicio 7.103. Supongamos que (X ,≤) es un conjunto parcialmente ordenado y que (X ,d) es unespacio métrico completo. Pruebe que los siguientes hechos son equivalentes:

1. lımn→∞ xn ≤ lımn→∞ yn para cada par (xn)n∈N e (yn)n∈N de sucesiones convergentes tales quexn ≤ yn para todo n.

2. El conjunto {(x, y) ∈ X ×X : x ≤ y} es cerrado en X ×X ,

3. El conjunto {(x, y) ∈ X ×X : x ≥ y} es cerrado en X ×X ,

Notas

[1]. Supongamos que X es compacto y tomemos una colección (Cλ)λ∈Λ, de subconjuntos cerradosde X , con intersección vacía. Entonces, por las Leyes de Morgan,⋃

λ∈Λ(X \Cλ) = X \

⋂λ∈Λ

Cλ = X .

En consecuencia, como X es compacto y los X \ Cλ son abiertos, existen λ1, · · · ,λn ∈Λ talesque

(X \Cλ1 )∪·· ·∪ (X \Cλn ) = X

y, por lo tanto, nuevamente por las leyes de Morgan, Cλ1 ∩·· ·∩Cλn =;. El mismo argumento,reemplazando los cerrados por abiertos, las intersecciones por uniones y las uniones porintersecciones, prueba que si toda familia de cerrados de X con intersección vacía tiene unasubfamilia finita con intersección vacía, entonces X es compacto.

[2]. Procedase como en la nota anterior.

[3]. La inversa de f es la función definida por

f −1(y) :=

y

1−|y | , si y ∈ (0,1),

∞, si y = 1,

−∞, si y =−1,

(Vease el Ejemplo 3.32).

126

Notas

[4]. Por el item 2 y las Leyes de Morgan, como X \U1 ⊇ X \U2 ⊇ X \U3 ⊇ ·· · es una interseccióndecreciente de cerrados no vacíos de X ,

X \∞⋃

i=1Ui =

∞⋂i=1

(X \Ui ) 6=∞.

Pero entonces⋃∞

i=1 Ui ( X .

[5]. Como es compacto, K es acotado. Por consiguiente existe un m ∈R>0 tal que K ⊆ Bm[0]. Paraeste m existe un n ∈R>0 tal que f

(C \ Bn[0]

)⊆ D \ Bm[0]. Por lo tanto f −1(K ) ⊆ Bn[0].

[6]. Si x ∈ X es un punto de acumulación de {xn0+i : i ∈ N}, entonces para todo n ∈ N existeninfinitos x j ∈ B1/n(x). Denotemos con j1 al mínimo índice mayor que n0 tal que x j1 ∈ B1(x), conj2 al mínimo índice mayor que j1 tal que x j2 ∈ B1/2(x), con j3 al mínimo índice mayor que j2 talque x j3 ∈ B1/3(x), etcétera. Es claro que la sucesión (x jn )n∈N tiende a x.

[7]. Si x ∈U j , entonces fh(x) = 0 para todo h > j . Por consiguiente, f está dada por

f (x) :=j∑

h=1fh(x)

sobre U j y, en consecuencia, está bien definida y es continua sobre U j y, a posteriori, como losU j ’s cubren X , sobre todo X .

[8]. Si (xn)n∈N es una sucesión de puntos de X que tiende a x respecto de d o, lo que es igual,si lımn→∞ d(xn , x) = 0, entonces

lımn→∞d(xn , x) = lım

n→∞d(xn , x)+ lımn→∞ | f (xn)− f (x)| = 0.

[9]. Por el Teorema 7.27 existe z0 ∈ Br [0] tal que |P (z)| ≥ |P (z0)| para todo z ∈ Br [0]. Como

|P (z)| > |P (0)| ≥ |P (z0)| para todo z ∈C\ Br [0],

|P (z)| ≥ |P (z0)| para todo z ∈C.

[10]. Para P0 esto es cierto por definición. Supongamoso que lo es para Pn . Entonces

Pn+1(0) := Pn(0)+ 1

2(0−P 2

n(0)) = 0+ 1

2(0−0) = 0.

[11]. Dados x ∈ C y l ∈ N, existe ul , j (con 1 ≤ j ≤ rl ) tal que d(x, xml−1+ j ) = d(x,ul , j ) < 1l . Esto

prueba que vale el item b. Para probar que vale el item a es suficiente notar que si l > m,entonces ml−1 + j > n.

[12]. Basta tomar xi1 ∈ C tal que d(x, xi1 ) < 1, xi2 ∈ Ci1+1 tal que d(x, xi2 ) < 1/2, xi3 ∈ Ci2+1 tal qued(x, xi3 ) < 1/3, etcétera.

127

CA

PÍ

TU

LO

8ESPACIOS CONEXOS Y ESPACIOS ARCO-CONEXOS

En este capítulo presentamos las nociones de conexión, arco-conexión, conexión local y arco-conexión local. Los conceptos de espacio conexo y espacio arco-conexo formalizan la idea de que unespacio esta hecho de una sola pieza, interpretándola de dos maneras distintas. No son equivalentes,siendo el segundo más estricto que el primero. Los conceptos de espacio localmente conexo y deespacio localmente arco-conexo formalizan la versión local de esta idea. Como veremos más adelantelas versiones locales son independientes de las globales en el sentido de que un espacio puede tenerambas propiedades, una sola de las dos, o ninguna.

8.1. Espacios conexos

La idea de espacio conexo es la de espacio hecho de una sola pieza, en el sentido de que nopuede escribirse como unión de dos abiertos disjuntos no vacíos. Intuitivamente es claro que Ry los intervalos deR son conexos (aunque, como veremos, esto no es tan fácil de probar) y que elconjunto {0,1}, con la métrica discreta, no lo es. Un poco menos obvio es queQ no es conexo, aunqueesto también es cierto. Una descomposición se obtiene escribiendo

Q= {x ∈Q : x <

p2}∪{

x ∈Q : x >p

2}.

Ahora damos la definición formal, comenzando con el concepto de espacio no conexo. Recordemosque X y el conjunto vacío son subconjuntos abiertos y cerrados de cada espacio métrico X .

Definición 8.1. Un espacio métrico X es desconexo si tiene un subconjunto abierto y cerrado novacío y propio. Un espacio métrico es conexo si no es desconexo. Un subconjunto Y de X es conexo,si lo es con la métrica inducida.


1. X es desconexo.

2. Existen subconjuntos abiertos U1 y U2 de X tales que U1 6= ;, U2 6= ;, X =U1 ∪U2 y U1 ∩U2 =;.

3. Existen subconjuntos cerrados C1 y C2 de X tales que C1 6= ;, C2 6= ;, X =C1 ∪C2 y C1 ∩C2 =;.

129

8.1 Espacios conexos Espacios conexos y espacios arco-conexos

4. Hay una función continua sobreyectiva ϕ : X → {0,1} (aquí {0,1} es considerado provisto de lamétrica discreta).

Demostración. 1. ⇒ 2. Supongamos que U es un subconjunto no vacío y propio de X que es abiertoy cerrado. Es claro que U1 :=U y U2 := X \U satisfacen las condiciones pedidas en el item 2[1].

2. ⇒ 3. Como X =U1 ∪U2 y U1 ∩U2 =;, U2 es el complemento de U1. Pero entonces, como ambosconjuntos son abiertos, ambos son cerrados, y podemos tomar C1 =U1 y C2 =U2.

3. ⇒ 4. La función ϕ : X → {0,1}, definida por

ϕ(x) :={

0 si x ∈C1,

1 si x ∈C2,

es continua porque la preimagen de cada subconjunto cerrado de {0,1} (y todos lo son) es unsubconjunto cerrado de X , y es sobreyectiva porque C1 y C2 son no vacíos.

3. ⇒ 4. Como ϕ es continua, es conjunto ϕ−1(0) es abierto y cerrado, y como ϕ es sobreyecti-va, ;(ϕ−1(0)( X .

Definición 8.3. Dos subconjuntos A y B de un espacio métrico X estan separados si A ∩B = ;y A∩B =;.

Teorema 8.4. Consideremos dos subconjuntos A y B de un espacio métrico X y escribamos Y := A∪B.Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. A y B son subconjuntos separados de X .

2. A y B son cerrados en Y y A∩B =;.

Demostración. Supongamos que A y B subconjuntos separados de X . Entonces A y B son subcon-juntos cerrados de Y porque, como A∩B =; y A∩B =;,

A = A∩ A = (A∩ A)∪ (A∩B) = A∩Y y B = B ∩B = (B ∩B)∪ (A∩B) = Y ∩B .

Además, A∩B =;. Recíprocamente, si A y B son cerrados en Y y A∩B =;, entonces

A = A∩Y = (A∩ A)∪ (A∩B)

y, por lo tanto, A ∩B ⊆ A ∩B = ;. Similarmente A ∩B = ;, de modo que A y B son subconjuntosseparados de X .

Corolario 8.5. Un subconjunto Y de un espacio métrico X es conexo si y solo si no es unión disjuntade subconjuntos no vacíos separados de X .

Demostración. Esto es una consecuencia inmediata del Teorema 8.4 y de la equivalencia entre lositems 1 y 3 de la Proposición 8.2.

Recordemos que, por definición, un subconjunto I de un conjunto totalmente ordenado (X ,≤)es un intervalo si x, y ∈ I y x < y implica que a ∈ I para todo a ∈ X tal que x < a < y . Esto es, si noexisten x < a < y en X con x, y ∈ I y a ∈ X \ I .

Teorema 8.6. Un subconjunto deR es conexo si y solo si es un intervalo.

130

Espacios conexos y espacios arco-conexos 8.1 Espacios conexos

Demostración. ⇒) Si Y ⊆ R no es un intervalo, entonces existen a,b ∈ Y y c ∈ R \ Y tales quea < c < b. Por lo tanto los conjuntos Y1 := Y ∩ (−∞,c) e Y2 := Y ∩ (c,∞) son no vacíos, e Y = Y1 ∪Y2.Además es claro que Y1 e Y2 tienen intersección vacía. Como, por la Proposición 2.22, Y1 e Y2 sonabiertos de Y , esto muestra que Y no es conexo.

⇐) Supongamos que un intervalo Y es desconexo. Entonces existe una función continua no cons-tante ϕ : Y → {0,1}. Tomemos a < b ∈ Y , con ϕ(a) 6=ϕ(b), y denotemos con x0 al supremo de todoslos x ∈ [a,b] tales que ϕ es constante en [a, x]. Si ϕ(x0) = ϕ(a), entonces por la continuidad de ϕexiste ε > 0 tal que ϕ es constante en [a, x0 + ε]; y si ϕ(x0) = ϕ(b), entonces, nuevamente por lacontinuidad de ϕ, existe ε > 0 tal que a < x0 − ε y ϕ(x0 − ε) = ϕ(b). Como ambas situaciones sonabsurdas, Y es conexo.

Teorema 8.7. Si X es conexo y f : X → Y es continua, entonces f (X ) es conexo.

Demostración. Si f (X ) es desconexo, entonces tiene subconjuntos abiertos no vacíos A y B , talesque f (X ) = A∪B y A∩B =;. En consecuencia,

f −1(A)∪ f −1(B) = f−1(A∪B) = X y f −1(A)∩ f −1(B) = f−1(A∩B) =;.

Además, como f es continua, f −1(A) y f −1(B) son subconjuntos abiertos y no vacíos de X . Enconclusión, X es desconexo.

El siguiente resultado es una generalización del Teorema de Bolzano.

Corolario 8.8. Un espacio métrico X es conexo si y solo si la imagen de cada función continuaf : X →R es un intervalo.

Demostración. Por los Teoremas 8.7 y 8.6, si X es conexo, entonces f (X ) es un intervalo para todafunción real continua f con dominio X . Por otra parte, si X es desconexo, hay una función continuay sobreyectiva ϕ : X → {0,1}, la que al ser compuesta con la inclusión canónica i : {0,1} → R seconvierte en una función continua de X enR, con imagen {0,1}.

Ejercicio 8.9. Pruebe el Teorema 8.7 mostrando que toda función continua de ϕ(X ) en {0,1} esconstante.

Teorema 8.10. Si A es un subconjunto conexo de X y A ⊆ B ⊆ A, entonces B es conexo.

Demostración. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que B = X . Dado que A es conexo, todafunción continuaϕ : B → {0,1} es constante sobre A. Comoϕ−1(0) yϕ−1(1) son cerrados, esto implicaque ϕ es constante.

Corolario 8.11. Si A ⊆ X es conexo y denso, entonces X es conexo.

Demostración. Por el Teorema 8.10 y porque A = X .

Teorema 8.12. Consideremos una familia (Ai )i∈I de subconjuntos conexos de X . Si para cada par depuntos x, x ′ ∈⋃

i∈I Ai , existen Ai1 , . . . , Ain tales que

x ∈ Ai1 , x ′ ∈ Ain y Ai j ∩ Ai j+1 6= ; para todo j ,

entonces⋃

i∈I Ai es conexo.

131

8.1 Espacios conexos Espacios conexos y espacios arco-conexos

Demostración. Como los conjuntos Ai son conexos, toda función continua

ϕ :⋃i∈I

Ai → {0,1}

es constante sobre la unión de cada familia finita Ai1 , . . . , Ain , tal que Ai j ∩ Ai j+1 6= ; para todo j . Porla hipótesis esto implica que ϕ es constante.

Proposición 8.13. Un producto de dos espacios es conexo si y solo si cada uno de ellos lo es.

Demostración. Consideremos un producto X1 ×X2 de dos espacios métricos. Por la Proposición 8.7,como las proyecciones canónicas pi : X1×X2 −→ Xi (i = 1,2) son funciones continuas y sobreyectivas,si X1 ×X2 es conexo, entonces también lo son X1 y X2. Supongamos, recíprocamente, que X1 y X2

son conexos. Entonces la familia de todos los subconjuntos de X1 ×X2 de la forma X1 × {x} (x ∈ X2) o{x}×X2 (x ∈ X1) satisface las hipótesis de Teorema 8.12. En efecto, sus miembros son conexos porqueson homeomorfos a X1 o a X2, y para cada par (x1, x2) y (x ′

1, x ′2) de puntos de X1 ×X2,

(x1, x2) ∈ X1 × {x2}, (x ′1, x ′

2) ∈ {x ′1}×X2 y

(X1 × {x2}

)∩ ({x ′

1}×X2) 6= ;.

Por lo tanto X1 ×X2 es conexo.

Corolario 8.14. Un producto de un número finito de espacios métricos es conexo si y solo si cada unode ellos lo es.

Demostración. Se sigue del resultado anterior por inducción.

Proposición 8.15. Un producto numerable de espacios métricos es conexo si y solo si todos son conexos.

Demostración. Denotemos con X a un producto numerable X1 ×X2 ×X3 ×·· · de espacios métricos.Tal como en el caso de un producto de dos espacios, si X es conexo, entonces cada Xi es conexo,porque es la imagen de X por lo i -ésima proyección canónica. Supongamos, recíprocamente, quelos Xi ’s son conexos, y tomemos un punto (x1, x2, x3, . . . ) ∈ X . Por el Corolario 8.14 sabemos que

X (n) := X1 ×·· ·×Xn × {(xn+1, xn+2, xn+3, . . . )}

es un subespacio conexo de X para cada n. En consecuencia, por el Teorema 8.12, la unión de losX (n)’s también es un subconjunto conexo de X . Ahora bien, si una cantidad infinita de los Xi ’stiene más de un punto, entonces X (∞) :=⋃∞

n=1 X (n)( X . Pero por la forma de las bolas abiertas enun producto numerable de espacios métricos (ver el Ejemplo 4.10) es claro que toda bola abiertade X tiene puntos de X (∞). Por lo tanto, X (∞) = X , lo que por el Teorema 8.10 implica que X esconexo.

Definición 8.16. La componente conexa de un punto x de un espacio métrico X es el conjunto

Cx =⋃{A ⊆ X : x ∈ A y A es conexo}.

Ejemplos 8.17. Veamos algunos ejemplos:

1. Si X es conexo, entonces Cx = X para todo x ∈ X .

2. Las componentes conexas de (0,2) \ {1} son los intervalos (0,1) y (1,2).

3. Si X tiene la métrica discreta, entonces Cx = x para todo x ∈ X .

4. Cx = x para todo x ∈Q.

132

Espacios conexos y espacios arco-conexos 8.1 Espacios conexos

Observación 8.18. Por el Teorema 8.10 las componentes conexas de X son cerradas, y el últimoejemplo muestra que pueden no ser abiertas.

Proposición 8.19. Para cada espacio métrico X y todo x, y ∈ X , las siguientes afirmaciones sonverdaderas:

1. Cx es conexo y no vacío.

2. Si x ∈ A y A es conexo, entonces A ⊆Cx .

3. Cx ∩Cy =; o Cx =Cy .

4. X =⋃x∈X Cx .

Demostración. Los items 1 y 3 son verdaderos por el Teorema 8.12, el item 2, por la misma definiciónde Cx , y el item 4, porque x ∈Cx para todo x.

Ejercicio 8.20. Los items 1, 3 y 4 de la Proposición 8.19 dicen que las componentes conexas de Xparten X . Muestre que la relación binaria ∼c en X , definida por x ∼c y si X tiene un subconjuntoconexo A tal que x, y ∈ A, es la relación de equivalencia asociada a esa partición.

Definición 8.21. Un espacio métrico X es totalmente desconexo si todos sus subconjuntos con másde un punto son desconexos.

Ejemplos 8.22. Todo espacio métrico discreto es totalmente desconexo. TambiénQ, con la distanciausual, es totalmente desconexo.

Proposición 8.23. El conjunto de Cantor C es totalmente desconexo.

Demostración. Tomemos dos puntos distintos x e y de C. Por el Teorema 2.54, sabemos que x e ytienen escrituras únicas

x =∞∑

h=1

ah

3he y =

∞∑h=1

bh

3h, con cada ah y cada bh igual a 0 o 2.

Supongamos que h0 es el mínimo índice h con ah 6= bh , y escribamos c := 13h0

+∑h0−1h=1

ah

3h . Comoc ∉C, cada subconjunto D de C, que incluye a {x, y} es unión de los conjuntos separados D ∩ (c,∞) yD ∩ (−∞,c), los que son no vacíos porque x está en uno e y en el otro. Por lo tanto D es desconexo, loque, como x e y son arbitrarios, prueba que C es totalmente desconexo.

Ejercicio 8.24. Pruebe la proposición anterior mostrando que hay una función continua sobreyectivaf : D −→ {0,1}.

Nota 8.25. Por el Ejercicio 2.74, el Ejemplo 7.21 y la Proposición 8.23 sabemos que C es un espaciométrico compacto, perfecto y totalmente desconexo. Estas propiedades caracterizan topológica-mente al conjunto de Cantor. En otras palabras, todo espacio métrico que las tiene es homeomorfoa C.

Ejercicio 8.26. Pruebe que X es totalmente desconexo si y solo si Cx = x para todo x ∈ X .

133

8.2 Espacios arco-conexos Espacios conexos y espacios arco-conexos

8.2. Espacios arco-conexos

Definición 8.27. Dados puntos x, y de un espacio métrico X , un arco o camino de x a y es unafunción continua ϕ : [a,b] → X , de un intervalo cerrado no degenerado de R en X , con ϕ(a) = xy ϕ(b) = y . Los puntos x e y son los extremos inicial y final del arco. Decimos que x e y se puedenunir por un arco si existe un arco ϕ : [a,b] → X , de x a y .

Observaciones 8.28. Como todos los intervalos cerrados no degenerados deR son homeomorfos,el intervalo [a,b] puede ser reemplazado por cualquier otro. Dados arcos ϕ : [a,b] → X , de x a y ,y ψ : [b,c] → X , de y a z, las funciones ϕ : [−b,−a] → X y ψ∗ϕ : [a,c] → X , definidas por

ϕ(t ) =ϕ(−t )

y

ψ∗ϕ(t ) ={ϕ(t ) si t ≤ b,

ψ(t ) si t ≥ b,

son arcos de y a x y de x a z, respectivamente. Por ende, la relación binaria ∼ac en X , definidapor x ∼ac y si existe un arco de x a y en X , es una relación de equivalencia.

Definición 8.29. Un espacio métrico X es arco-conexo si cada par de puntos de X se pueden unirpor un arco. Un subconjunto Y de X es arco-conexo si lo es con la métrica inducida.

Ejemplos 8.30. Si bien toda las afirmaciones que siguen pueden comprobarse en forma directa,algunas son más fáciles de verificar apelando a resultados que daremos después en esta mismasección:

1. Un subconjunto deR es arco-conexo si y solo si es un intervalo.

2. Rn \ {0} es arco-conexo si y solo si n ≥ 2.

3. La esfera unitaria euclideana Sn := {x ∈Rn+1 : ‖x‖2 = 1} es arco-conexo para todo n ≥ 1.

Definición 8.31. Un subconjunto A deRn es estrellado si tiene un punto x tal que para todo otropunto y de A, el segmento que une x con y está incluído en A. Esto es, si para todo y ∈ A, la fun-ción ϕ : [0,1] →Rn , definida por ϕ(t ) := t · y + (1− t ) · x, toma sus valores en A.

Ejemplo 8.32. Todo subconjunto estrellado A deRn es arco-conexo. En efecto, fijemos x ∈ A como enla Definición 8.31. Como A es estrellado, dados y, z ∈ A, existen caminos ϕy : [0,1] → A y ϕz : [0,1] →A, que unen x con y y x con z, respectivamente. Entonces ϕx ∗ ϕz : [−1,1] → A es un camino queune z con y .

Teorema 8.33. Todo espacio métrico arco-conexo X es conexo.

Demostración. Por el Teorema 8.7, como los intervalos de R son conexos y los arcos son funcio-nes continuas, cada par de puntos x, y de X pertenecen a un subconjunto conexo de X . Por elTeorema 8.12 esto implica que X es conexo.

El siguiente ejemplo muestra que la recíproca de este resultado no vale.

134

Espacios conexos y espacios arco-conexos 8.2 Espacios arco-conexos

Ejemplo 8.34. La curva seno del topólogo es el subconjunto

A = {(x, y) ∈R2 : x > 0 e y = sen(1/x)

}∪ ({0}× [−1,1]

),

deR2. Es fácil ver que {(x, y) ∈R2 : x > 0 e y = sen1/x} es arco-conexo. Por lo tanto su adherenciaA es conexa. Sin embargo A no es arco-conexo. En efecto, si hubiera un arco ϕ : [0,1] → A, de (0,1)a (1,sen(1)), entonces este camino pasaría por todos los puntos (x, y) de A con 0 < x < 1 (porquesi no su imagen no sería conexa), pero hay infinitos de estos puntos con segunda coordenada 1 einfinitos con segunda coordenada −1, y es imposible que todos esten en la imagen de ϕ, porque ϕ esuniformemente continua.

Teorema 8.35. Si X es arco-conexo y f : X → Y es continua, entonces f (X ) es arco-conexo.

Demostración. Porque si ϕ es un arco de x a x ′ en X , entonces f ◦ϕ es un arco de f (x) a f (x ′)en f (X ).

Teorema 8.36. Consideremos una familia (Ai )i∈I de subconjuntos arco-conexos de X . Si para cadapar de puntos x, x ′ ∈⋃

i∈I Ai , existen Ai1 , . . . , Ain tales que

x ∈ Ai1 , x ′ ∈ Ain y Ai j ∩ Ai j+1 6= ; para todo j ,

entonces⋃

i∈I Ai es arco-conexo.

Demostración. Por hipótesis, dados x, x ′ ∈ ⋃i∈I Ai , existen puntos x = x0, x1, . . . , xn−1, xn = x tales

que para cada i < n hay un camino

ϕi : [ai , ai+1] −→ ⋃i∈I

Ai

de xi en xi+1. El arco ϕn ∗·· ·∗ϕ0 va de x a x ′.

Proposición 8.37. Un producto finito de espacios métricos es arco-conexo si y solo si todos lo son.

Demostración. Supongamos que un producto finito X := X1 ×·· ·Xn de espacios métricos es arco-conexo. Entonces, por el Teorema 8.35, como las proyecciones canónicas pi : X → Xi (i = 1, . . . ,n)son funciones continuas y sobreyectivas, los Xi ’s son arco-conexos. Recíprocamente, si los Xi ’sson arco-conexos, entonces para cada par x := (x1, . . . , xn) y x ′ := (x ′

1, . . . , x ′n) de puntos de X , la

función ϕ : [0,1] → X , dada por ϕ(t ) := (ϕ1(t ), . . . ,ϕn(t )), donde ϕi : [0,1] → Xi es un arco en Xi queva de xi a x ′

i , es un arco en X que va de x a x ′.

Corolario 8.38. Rn es arco-conexo para todo n ≥ 1.

Demostración. Esto es una consecuencia inmediata de la Proposición 8.37 y el item 1 del Ejem-plo 8.30.

Proposición 8.39. Un producto numerable de espacios métricos es arco-conexo si y solo si todos loson.

Demostración. Supongamos que un producto numerable X := X1×X2×X3×·· · de espacios métricoses arco-conexo. Entonces, por el Teorema 8.35, como las proyecciones canónicas pi : X → Xi (i ∈N)son funciones continuas y sobreyectivas, los Xi ’s son arco-conexos. Recíprocamente, si los Xi ’s sonarco-conexos, entonces para cada par x := (x1, x2, x3, . . . ) y x ′ := (x ′

1, x ′2, x ′

3, . . . ) de puntos de X , lafunción ϕ : [0,1] → X , dada por ϕ(t ) := (ϕ1(t ),ϕ1(t ),ϕ1(t ), . . . ), donde ϕi : [0,1] → Xi es un arco en Xi

que va de xi a x ′i , es un arco en X que va de x a x ′.

135

8.3 Espacios localmente conexos Espacios conexos y espacios arco-conexos

Definición 8.40. La componente arco-conexa de un punto x de un espacio métrico X es el conjunto

C arcx =⋃

{A ⊆ X : x ∈ A y A es arco-conexo}.

Proposición 8.41. Para cada espacio métrico X y todo x, y ∈ X las siguientes afirmaciones son verda-deras:

1. C arcx es arco-conexo y no vacío.

2. C arcx ⊆Cx .

3. Si x ∈ A y A es arco-conexo, entonces A ⊆C arcx .

4. C arcx ∩C arc

y =; o C arcx =C arc

y .

5. X =⋃x∈X C arc

x .

Demostración. Los items 1 y 4 son verdaderos por el teorema 8.36, el item 2, por el Teorema 8.33, elitem 3, por la misma definición de C arc

x , y el item 5, porque x ∈C arcx para todo x.

Corolario 8.42. Cada componente conexa de X es unión disjunta de componentes arco-conexas.

Demostración. Es una consecuencia inmediata de los items 2 y 4 de la Proposición 8.41.

Ejercicio 8.43. Los items 1, 4 y 5 de la Proposición 8.41 dicen que las componentes arco-conexas de Xparten X . Muestre que la relación binaria ∼ac, definida en las Observaciones 8.28, es la relación deequivalencia asociada a esa partición. Pruebe también que x ∼ac y si y solo si existe un subconjuntoarco-conexo A de X tal que x, y ∈ A.

Demostración. Esto es una consecuencia inmediata de los items 2, 4 y 5 de la Proposición 8.41.

Observación 8.44. A diferencia de las componentes conexas, las arco-conexas pueden no ser cerradas.Por ejemplo, las de la curva seno del topólogo son los subconjuntos {0}× [−1,1], que es cerrado, y{(x, y) ∈R2 : x > 0 e y = sen(1/x)}, que no lo es.

8.3. Espacios localmente conexos

Definición 8.45. Un espacio métrico X es localmente conexo si todo punto de X tiene una base deentornos conexos. Un subconjunto de un espacio métrico es localmente conexo si lo es con la métricainducida.

Definición 8.46. El peine del topólogo es el subconjunto

PdT := ([0,1]× {0})∪ ({0}× [0,1])∪∞⋃

n=1({1/n}× [0,1]),

deR2, con la métrica inducida.

Observación 8.47. Las propiedades de ser conexo y de ser localmente conexo son independientes.Los intervalos deR son conexos y localmente conexos, los abiertos deR que no son intervalos sonlocalmente conexos pero no son conexos, el peine del topólogo es conexo pero no es localmenteconexo[2], yQ no es conexo ni localmente conexo.

Ejercicio 8.48. Pruebe que la curva seno del topólogo no es localmente conexa.

136

Espacios conexos y espacios arco-conexos 8.4 Espacios localmente arco-conexos

Teorema 8.49. Un espacio X es localmente conexo si y solo si las componentes conexas de los subcon-juntos abiertos de X son abiertas.

Demostración. Supongamos que X es localmente conexo y tomemos un abierto U de X . Si V es unacomponente conexa de U , entonces V es abierta, porque cada x ∈V tiene un entorno conexo Vx (verla Observación 2.2). Recíprocamente, supongamos que las componentes conexas de los abiertosde X son abiertas y tomemos un x ∈ X . Una base de entornos abiertos conexos de x se obtieneseleccionando una base cualquiera {Uλ :λ ∈Λ}, de entornos abiertos de x, y tomando para cada λ lacomponente conexa Vλ(x) de Uλ, que contiene a x.

Corolario 8.50. Un espacio métrico X es localmente conexo si y solo si cada punto x ∈ X tiene unabase de entornos abiertos conexos.

Demostración. Esto fue probado en la demostración del Teorema 8.49. Para quienes objeten (conrazón) que un corolario de un teorema debería ser un corolario del enunciado, y no de la demostra-ción, damos la siguiente prueba: por el Teorema 8.49, para cada x ∈ X , el conjunto {Vr (x) : r ∈ (0,∞)},donde Vr (x) es la componente conexa de Br (x) que contiene a x, es una base de entornos abiertosconexos de x.

Ejercicio 8.51. Pruebe que un producto finitos de espacios métricos es localmente conexo si y solosi cada uno de ellos lo es.

Ejercicio 8.52. Pruebe que un producto numerable de espacios métricos es localmente conexo si ysolo si cada uno de ellos lo es y todos, salvo un número finito, son conexos.

8.4. Espacios localmente arco-conexos

Definición 8.53. Un espacio métrico X es localmente arco-conexo si todo punto de X tiene una basede entornos arco-conexos. Un subconjunto de un espacio métrico es localmente arco-conexo si lo escon la métrica inducida.

Ejemplo 8.54. Los espacios discretos son localmente arco-conexos y como las bolas abiertas deRn

son arco-conexas, también los abiertos deRn son localmente arco-conexos.

Ejercicio 8.55. Pruebe que la esfera unitaria euclideana Sn es un espacio localmente arco-conexopara cada n ≥ 0.

Observación 8.56. Los mismos ejemplos que los considerados en la Observación 8.47, muestran quelas propiedades de ser arco-conexo y de ser localmente arco-conexo son independientes.

Teorema 8.57. Un espacio X es localmente arco-conexo si y solo si las componentes arco-conexas delos subconjuntos abiertos de X son abiertas.

Demostración. Copiese la prueba del Teorema 8.49, cambiando conexo por arco-conexo en todaspartes.

Corolario 8.58. Un espacio métrico X es localmente arco-conexo si y solo si cada punto x ∈ X tieneuna base de entornos abiertos arco-conexos.

137

Notas

Demostración. Por el Teorema 8.57, para cada x ∈ X el conjunto {Vr (x) : r ∈ (0,∞)}, donde Vr (x) es lacomponente arco-conexa de Br (x) que contiene a x, es una base de entornos abiertos arco-conexosde x.

Teorema 8.59. En todo espacio metrico localmente arco-conexo, las componentes conexas y las com-ponentes arco-conexas coinciden.

Demostración. Por la Proposición 8.42 sabemos que cada componente conexa Cx de X es unióndisjunta de componentes arco-conexa. Como, por el Teorema 8.57, estas son abiertas, y Cx es conexo,necesariamente C arc

x =Cx .

Corolario 8.60. Todo espacio métrico conexo y localmente arco-conexo es arco-conexo.

Demostración. Esto es una consecuencia inmediata del teorema anterior.

Notas

[1]. U1 es abierto porque U es abierto y U2 es abierto porque U es cerrado. Además

U1 ∪U2 =U ∪ (X \U ) = X y U1 ∩U2 =U ∩ (X \U ) =;.

Por último, U1 y U2 son no vacíos porque ;(U ( X .

[2]. En efecto, para cada (0, t ) ∈ PdT con t > 0, y cada 0 < r < t ,

B d∞r (0, t )∩PdT = ({0}× (t − r, t + r ))∪ ⋃

1/n<r({1/n}× (t − r, t + r )),

que es un conjunto que no incluye a ningún entorno conexo de (0, t ) en PdT.

138

CA

PÍ

TU

LO

9EL TEOREMA DEL PUNTO FIJO PARA CONTRACCIONES

En este capítulo, salvo que se indique otra cosa, dados una función f : X → X y un númeronatural n, el símbolo f n denota a la potencia n-ésima de f respecto de la composición. Así, f n es lacomposición de f , consigo misma, n-veces.

Definición 9.1. Un punto x de un conjunto X es un punto fijo de una función f : X → X si f (x) = x.

Ejemplos 9.2. Todos los puntos de X son puntos fijos de la función identidad idX . La funciónf : {1,2} −→ {1,2}, dada por f (1) := 2 y f (2) := 1, no tiene puntos fijos.

Ejercicio 9.3. Pruebe que toda función continua f : [a,b] −→ [a,b], de un intervalo cerrado a,b deR en si mismo, tiene al menos un punto fijo.

Definición 9.4. Una función f : X → X es una contracción si existe 0 ≤ κ< 1 tal que

d(

f (x), f (y))≤ κd(x, y) para todo x, y ∈ X .

Esto es, si es una función de Lipschitz con constante de Lipschitz menor que 1.

Ejemplo 9.5. Supongamos que f : R→R es una función derivable. Si existe un número real κ< 1tal que | f ′(x)| < κ para todo x, entonces f es una contracción. En efecto, por el Teorema del valormedio de Lagrange, para todo par de puntos x, y ∈R con x < y , existe c ∈ (x, y) tal que

| f (y)− f (x)| = | f ′(c)(x − y)| ≤ κ(y −x) = κ|y −x|.

Teorema 9.6 (Teorema del punto fijo para contracciones). Si (X ,d) es un espacio métrico completo,entonces toda contracción f : X → X tiene un único punto fijo x. Además, para cada x0 ∈ X , lasucesión

(f n(x0)

)n∈N tiende a x y

d(

f n(x0), x)≤ κn

1−κd(x0, f (x0)

)para todo n ∈N, (9.1)

donde κ es la constante de Lipschitz de f

139

El teorema del punto fijo para contracciones

Demostración. Unicidad: Si f (x) = x y f (y) = y , entonces d(x, y) = d(

f (x), f (y)) ≤ κd(x, y). Co-

mo κ 6= 1, forzosamente x = y .

Existencia: Elijamos x0 ∈ X y consideremos la sucesión x0, x1, x2 . . . , donde xn = f n(x0). Como f esuna contracción, para todo m ≥ n,

d(xn , xm) = d(

f n(x0), f m(x0))

≤ κnd(x0, f m−n(x0)

)≤ κn

m−n−1∑i=0

d(

f i (x0), f i+1(x0))

≤ κn

(m−n−1∑

i=0κi

)d

(x0, f (x0)

)≤ κn

1−κd(x0, f (x0)

).

(9.2)

Esto implica que (xn)n∈N es de Cauchy, porque kn tiende a 0 cuando n tiende a infinito. Por lo tanto,como es completo, (xn)n∈N converge. Escribamos x = lımn→∞ xn . Entonces

f (x) = f(

lımn→∞ f n(x0)

)= lım

n→∞ f n+1(x0) = x.

Resta probar que la última afirmación es verdadera. Pero como d(xn , f (x)

)= lımm→∞ d(xn , xm), estoes una consecuencia de la desigualdad (9.2).

El corolario que sigue dice que si dos iteraciones consecutivas f n−r (x0) y f n−r+1(x0) están cerca,entonces el punto fijo no puede estar lejos.

Corolario 9.7. Con las notaciones y las hipótesis del Teorema 9.6,

d(

f n(x0), x)≤ κr

1−κd(

f n−r (x0), f n−r+1(x0))

para todo r,n ∈N, con r ≤ n.

Demostración. Esto no es más que la cota 9.1, cuando la iteración para aproximar el punto fijo x seempieza en f n−r (x0) en lugar de x0. Esto es, cuando para obtener sucesivas aproximaciones a x seusa de la sucesión f (z0), f 2(z0), f 3(z0), . . . , con z0 := f n−r (x0).

Observación 9.8. La hipótesis de que d(

f (x), f (y)) < d(x, y) para todo x, y ∈ X con x 6= y es lo

suficientemente fuerte como para concluír que f puede tener a lo sumo un punto fijo[1], pero nobasta para garantizar lo tenga. Por ejemplo, supongamos que x1 < x2 < x3 < ·· · es una sucesiónestrictamente creciente de números reales que no es de Cauchy (o, lo que es igual, que tiende ainfinito) y tiene la propiedad de que xi+2−xi+1 < xi+1−xi para todo i . Entonces X := {xi : i ∈N} es unsubespacio cerrado (y por lo tanto completo) deR, y la función f : X → X , definida por f (xi ) := xi+1

no tiene puntos fijos. Pero

| f (x j )− f (xi )| = x j+1 −xi+1 = x j+1 −x j +x j −xi+1 < x j −xi+1 +xi+1 −xi = |x j −xi |

para cada par i < j de índices. Un ejemplo concreto se obtiene tomando xi :=∑il=1

1l .

Ejercicio 9.9. Supongamos que I es un intervalo deR con extremo derecho +∞. Así I =R o exis-te a ∈R tal que I = (a,∞) o I = [a,∞).

140


1. Pruebe que si g : I → R>0 es una función continua y derivable tal que −1 < g ′(x) < 0 paratodo x, entonces la función f : I → I , definida por f (x) := x + g (x) no tiene puntos fijos ysatisface | f (x)− f (y)| < |x − y | para todo x, y ∈R. De un ejemplo concreto.

2. Pruebe que si h : I →R es una función derivable tal que h y h′ son estrictamente crecientesy existe a > 0 tal que h−1 : h(I ) → I es derivable en todo punto de la forma y +a, con y ∈ h(I ),entonces la función g : I →R>0, definida por g (x) := h−1(h(x)+a)− x satisface las condicio-nes pedidas en el item anterior. De un ejemplo concreto que produzca una función g noconsiderada antes.

Ejemplo 9.10. La función f : R→R, definida por f (x) := 12 arccot(x), donde arccot(x) es el único

y ∈ (0,π) tal que cot(y) = x, tiene derivada f ′(x) = −12+2x2 y, por lo tanto, es una contracción con

constante de Lipschitz k ≤ 12 (en realidad 1

2 ). En consecuencia tiene un único punto fijo x. Queremoscalcular x en forma aproximada. En la segunda columna del cuadro 9.1 figuran los resultados de lasprimeras 10 iteraciones de f , empezando en x0 = 0. En la tercera columna calculamos la cota, dadapor la fórmula 9.1, del error cometido en las sucesivas aproximaciones de x obtenidas en la segundacolumna.

Cuadro 9.1: Sucesivos valores de f n(0)

n f n(0) 12n−1 | f (0)|

1 0.785398163397448 0.7853981633974482 0.452511288383271 0.3926990816987243 0.572927987477856 0.1963495408493624 0.525260306808957 0.0981747704246815 0.543572642458640 0.0490873852123416 0.536450568133418 0.0245436926061717 0.539207614801741 0.0122718463030868 0.538138378864879 0.0061359231515439 0.538552757237983 0.003067961575772

10 0.538392122547261 0.001533980787886

Ejemplo 9.11. Los métodos exactos para resolver sistemas de ecuaciones lineales son computacio-nalmente muy demandantes, y son impracticables cuando el número de variables crece más alláde unos pocos valores. Por eso se han desarrollado procedimientos iterativos para resolver este tipode problemas. Ahora veremos uno que se obtiene aplicando el teorema del punto fijo para contrac-ciones. La técnica que presentaremos no se usa en la práctica debido a que se dispone de otras máseficientes, pero da una primera idea de los métodos iterativos en álgebra lineal. Consideremos unsistema de m ecuaciones lineales con m incognitas y coeficientes enC,

a11z1+·· ·+ a1m zm = b1

a21z1+·· ·+ a2m zm = b2

.... . .

......

an1z1+·· ·+amm zm =bm

. (9.3)

141


Escribamos (9.3) en la forma Az = b, con

A =

a11 · · · a1m...

. . ....

am1 · · · amm

, z =

z1...

zm

y b =

b1...

bm

(en este ejemplo representamos los elementos de Cm como vectores columnas). Como Az = b siy solo si (−A+ I )z +b = z, resolver el sistema (9.3) es equivalente a encontrar los puntos fijos de lafunción

TC ,b : Cm →Cm ,

definida por TC ,b(z) := C z + b, donde C := −A + I . Por consiguiente, si TC ,b es una contracciónrespecto de alguna norma deCm , entonces (9.3) tiene solución única, y un método para encontrarlaes calcular lımn→∞ T n

C ,b(z0), (por supuesto que en general en forma aproximada, y con ayuda de unacomputadora), donde z0 es un vector columna arbitrario, pero fijo, deCm . Tomemos una norma ‖ ‖y escribamos TC := TC ,0. Puesto que

‖(TC ,b(z)−TC ,b(w)‖ = ‖C z −C w‖ = ‖(TC (z)−TC (w)‖,

y TC es una función lineal, el operador TC ,b es una contracción respecto de ‖ ‖ si y solo si existe0 ≤ κ< 1 tal que

‖TC (z)‖ ≤ κ‖z‖ todo z ∈Cm ,

Por supuesto, que este sea o no el caso, depende de la norma deCm elegida. Por ejemplo, supongamosque elegimos la norma ‖ ‖∞. Un cálculo directo muestra que

‖C z‖∞ = max1≤i≤m

∣∣∣∣∣ m∑j=1

ci j z j

∣∣∣∣∣≤ max1≤i≤m

(m∑

j=1|ci j ||z j |

)≤ max

1≤i≤m

(m∑

j=1|ci j |

)(9.4)

para todo z ∈Cm con ‖z‖∞ = 1, donde (aquí y en las demás cuentas hechas en este ejemplo) ci j esla entrada i , j de la matriz C y z j es la j -ésima coordenada de z. Por lo tanto para que TC sea unacontracción respecto de ‖ ‖∞ es suficiente que

m∑j=1

|ci j | < 1 para todo i .

Supongamos ahora que elegimos la norma ‖ ‖1. Entonces

‖C z‖1 =m∑

i=1

∣∣∣∣∣ m∑j=1

ci j z j

∣∣∣∣∣≤ m∑i=1

m∑j=1

|ci j ||z j | =m∑

j=1

(|z j |

m∑i=1

|ci j |)≤ max

j

(m∑

i=1|ci j |

)

para todo z ∈Cm con ‖z‖1 = 1 y, por lo tanto, TC es una contracción respecto de ‖ ‖1 siempre que

m∑i=1

|ci j | < 1 para todo j .

Finalmente, si usamos la norma ‖ ‖p , con 1 < p <∞, entonces por la desigualdad de Hölder

‖z‖pp =

m∑i=1

∣∣∣∣∣ m∑j=1

ci j z j

∣∣∣∣∣p

≤m∑

i=1

q

√√√√ m∑j=1

|ci j |q p

√√√√ m∑j=1

|z j |pp

=m∑

i=1

q

√√√√ m∑j=1

|ci j |qp

142

El teorema del punto fijo para contracciones 9.1 Existencia y unicidad de soluciones

para todo z ∈Cm con ‖z‖p = 1, donde 1 < q <∞ está definido por la igualdad 1/p+1/q = 1. Por ende,usando esta norma obtenemos que una condición suficiente para que TC sea una contracción es que

m∑i=1

q

√√√√ m∑j=1

|ci j |qp

< 1.

Notemos que cuando p = 2, esta condición toma la forma más sencilla∑m

i , j=1 |ci j |2 < 1.

Antes de continuar presentamos el concepto de función afín. Por ahora nuestro único objetivo esintroducir la terminología. Estudiaremos un poco más profundamente esta noción en un capítuloposterior, en el cual la presentaremos mediante una definición alternativa, pero equivalente.

Definición 9.12. Una función f : V → W , donde V y W son R-espacios vectoriales, es afín si lafunción g : V →W dada por g (x) := f (x)− f (0) es lineal.

En el ejemplo anterior vimos que un operador afín TC ,b : Cm →Cm es una contracción respectode una norma ‖ ‖ de C m si y solo si lo es TC , y vimos condiciones suficientes para que esto ocurra conlas normas más conocidas. Estas condiciones pueden ser útiles para mostrar, por ejemplo, que TC

tiene un único punto fijo (necesariamente 0) para una matriz determinada C . Pero mucho más intere-sante sería encontrar condiciones necesarias y suficientes sobre C para que TC sea una contracciónrespecto de alguna norma ‖ ‖ deCn . Nosotros analizaremos esta cuestión en el Capítulo 11

9.1. Existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales

Ahora probaremos un famoso teorema de Picard acerca de la existencia y unicidad de las solucio-nes de ciertas ecuaciones diferenciales. En el proceso usaremos libremente el concepto de derivadae integral de funciones reales con valores enRn .

Teorema 9.13. Supongamos que tenemos una ecuación diferencial

d y

d x= f (x, y),

donde f : U →Rn es una función continua definida en un abierto U deR×Rn . Si existe un M ≥ 0 talque

d∞(

f (x, y1), f (x, y2))≤ Md∞(y1, y2) para todo (x, y1) y (x, y2) en U ,

entonces para cada (x0, y0) ∈U existe un segmento [x0 −d , x0 +d ] y una única función diferenciable

ϕ : [x0 −d , x0 +d ] −→Rn ,

cuyo gráfico pasa por (x0, y0), tal que

(x,ϕ(x)) ∈U ydϕ

d x(x) = f (x,ϕ(x)) para todo x ∈ [x0 −d , x0 +d ],

o, equivalentemente, tal que (x,ϕ(x)) ∈U para todo x ∈ [x0 −d , x0 +d ] y

ϕ(x) = y0 +∫ x

x0

f (t ,ϕ(t ))d t . (9.5)

143

9.2 Algunas generalizaciones El teorema del punto fijo para contracciones

Demostración. Por el Teorema 6.27 sabemos que el conjunto C([x0 −d , x0 +d ],Rn

), de las funcio-

nes continuas de [x0 −d , x0 +d ] en Rn , es un espacio métrico para cada d > 0 (aquí tanto a Rn

como a C([x0 −d , x0 +d ],Rn

)los consideramos provistos de la distancia d∞). Como f es conti-

nua, existen K ≥ 0 y un entorno abierto V de (x0, y0), incluído en U , tal que ‖ f (x, y)‖∞ ≤ K paratodo (x, y) ∈V . Dado que es abierto, este conjunto V incluye una infinidad de rectángulos n +1-di-mensionales Rd ,r := [x0 −d , x0 +d ]×Bd∞

r [y0], con centro (x0, y0). Escribamos

Dd ,r :=C([x0 −d , x0 +d ],Bd∞

r [y0]).

Ahora mostraremos que los números d y r pueden tomarse en forma tal que la corresponden-cia ϕ : Dd ,r −→C

([x0 −d , x0 +d ],Rn

), dada por

A(ϕ)(x) := y0 +∫ x

x0

f (t ,ϕ(t ))d t ,

aplica Dd ,r en Dd ,r , y define por correstricción una contracción de Dd ,r . Esto es suficiente paraconcluír que existe una funciónϕ que satisface la tesis del enunciado. En efecto, por el Teorema 6.27),sabemos que Dd ,r es un espacio métrico completo. En consecuencia, por el Teorema 9.6, como Aes una contracción de Dd ,r , hay una única función ϕ en Dd ,r que satisface la igualdad (9.5), comoqueremos. Veamos ahora que d y r pueden elegirse en forma apropiada. La desigualdad

‖A(ϕ)(x), y0‖∞ =∥∥∥∥∫ x

x0

f (t ,ϕ(t ))d t

∥∥∥∥∞

≤ K |x −x0|,

muestra que para que A aplique Dd ,r en si mismo basta tomar r = K d , y la desigualdad

‖(A(ϕ1)(x)− A(ϕ2)(x)‖∞ =∥∥∥∥∫ x

x0

(f (t ,ϕ1(t ))− f (t ,ϕ2(t ))

)d t

∥∥∥∥∞

≤ Md‖ϕ1,ϕ2‖∞,

muestran que para que A sea una contracción es suficiente tomar d de forma tal que Md < 1. Comoambas cosas pueden hacerse esto termina la demostración de la existencia de una solución de laecuación diferencial. Pero en principio no es suficiente para probar la unicidad. Por el teoremadel punto fijo para contracciones es claro que hay una sola solución ϕ que satisface ϕ(x0) = y0

y ‖ϕ(x)− y0‖ ≤ r para todo x ∈ [x0−d , x0+d ]. Pero en principio podría haber otras. Supongamos quehay otra solución ϕ. Entonces existe al menos un punto x ∈ [x0 −d , x0 +d ] tal que ‖ϕ(x)− y0‖ > r .Supongamos que algunos de estos puntos son mayores que x0 y tomemos su ínfimo x1. Por lacontinuidad de ϕ, necesariamente ‖ϕ(x)− y1‖ = r . Pero, por otra parte,

‖ϕ(x1)− y0‖∞ =∥∥∥∥∫ x1

x0

f (t ,ϕ(t ))d t

∥∥∥∥∞

≤∫ x1

x0

| f (t ,ϕ(t ))|d t ≤ K (x1 −x0) < r,

porque ‖ f ‖∞ ≤ K sobre Rd ,r y r = K d . De modo que no hay puntos x mayores que x0 con ϕ(x) > r .Un cálculo similar muestra que tampoco hay puntos x menores que x0 con ϕ(x) > r . Por lo tanto lasolución es única.

9.2. Algunas generalizaciones

Teorema 9.14. Si (X ,d) es un espacio métrico completo y f : X → X es una correspondencia tal quef n0 es una contración para algún n0 ∈N, entonces f tiene un único punto fijo.

144

El teorema del punto fijo para contracciones 9.2 Algunas generalizaciones

Demostración. Como, por el Teorema 9.6, la función f n0 tiene un solo punto fijo, f no puede tenermás de uno, porque todo punto fijo de f también lo es de f n0 . Supongamos que x es el único puntofijo de f n0 . Entonces las igualdades

f (x) = f(

f n0 (x))= f n0

(f (x)

),

muestran que f (x) también es un punto fijo de f n0 . Como el punto fijo de f n0 es único, esto implicaque f (x) = x. Así, f tiene un punto fijo, como queremos.

Ejemplo 9.15. Es fácil mostrar que existe una función f que satisface las hipótesis del Teorema 9.14,con el mínimo n tal que f n es una contracción arbitrariamente grande. En efecto, para ello bastatomar X := {1, . . . ,n}, con la métrica discreta, y definir

f (i ) :={

1 si i = 1,

i −1 si i > 1.

Ejercicio 9.16. Supongase que (Y ,d Y ) es un espacio métrico completo y que {x1, . . . , xn} es un con-junto de cardinal n disjunto de Y .

1. Pruebe que X := Y ∪ {x1, . . . , xn} es un espacio métrico completo via

d X (w, z) :=

d Y (w, z) si w, z ∈ Y ,

0 si w ∉ Y y w = z,

1 en otro caso.

2. Pruebe además que si g : Y → Y es una contracción, entonces para cada x0 ∈ Y , la fun-ción f : X → X , definida por

f (z) :={

g (z) si z ∈ Y ,

xi−1 si z = xi con i ≥ 1,

tiene la propiedad de que f n es una contracción y f j no es una contracción para ningún j < n.

Ahora usaremos el teorema anterior para probar que un tipo de ecuaciones integrales tienesolución única.

Teorema 9.17. Fijemos un intervalo cerrado [a,b] de R y denotemos con T al triángulo formadopor los puntos (x, y) ∈ [a,b]× [a,b] con y ≤ x. Consideremos funciones continuas K : T ×R −→R

y ϕ : [a,b] →R. Si K satisface la siguiente condición de Lipschitz con respecto a la tercera variable:

|K (x, y, z1)−K (x, y, z2)| ≤ M |z1 − z2| para todo (x, y, z1) y (x, y, z2) en T ×R,

entonces la ecuación integral

f (x) =λ∫ x

aK (x, y, f (y))d y +ϕ(x), (9.6)

donde λ ∈R es arbitrario, tiene una única solución continua f : [a,b] →R.

145

9.2 Algunas generalizaciones El teorema del punto fijo para contracciones

Demostración. Consideremos la aplicación

A : C ([a,b],R) −→C ([a,b],R),

definida por

A( f )(x) =∫ x

aK (x, y, f (y))d y +ϕ(x).

Afirmamos que

d(An( f1)(x), An( f2)(x)) ≤ |λ|n M n (x −a)n

n!d∞( f1, f2) para todo x ∈ [a,b].

En efecto, el caso n = 0 es trivial, y suponiendo que el resultado vale para n obtenemos

d(An+1( f1)(x), An+1( f2)(x)) = |λ|∥∥∥∥∫ x

a

(K (x, y, An( f1)(y))−K (x, y, An( f2)(y))

)d y

∥∥∥∥∞≤ |λ| sup

x∈[a,b]

∫ x

a|K (x, y, An( f1)(y))−K (x, y, An( f2)(y))|d y

≤ |λ|∫ x

aM |An( f1)(y))− An( f2)(y))|d y

≤ |λ|M∫ x

a|λ|n M n (y −a)n

n!d∞( f1, f2)d y

= |λ|n+1M n+1d∞( f1, f2)∫ x

a

(y −a)n

n!d y

= |λ|n+1M n+1 (x −a)n+1

(n +1)!d∞( f1, f2),

lo que prueba la afirmación. En consecuencia A es uniformemente continua y An es una contracciónpara n suficientemente grande. Por lo tanto, por el Teorema 9.14, la ecuación integral (9.6) tiene unaúnica solución continua.

En la Observación 9.8 vimos que la condición d(

f (x), f (y))< d(x, y) para x 6= y no es suficiente

para garantizar que f tenga un extremo. El siguiente teorema de Edelstein da un resultado positivocuando el espacio ambiente es compacto.

Teorema 9.18 (Edelstein). Si (X ,d) es un espacio métrico compacto, entonces toda función f : X → Xque satisface d

(f (x), f (y)

)< d(x, y) para para todo x, y ∈ X con x 6= y, tiene un único punto fijo.

Demostración. En la Observación 9.8 vimos que no puede haber más de un punto fijo. Para verque efectivamente hay uno, notemos que por el Teorema 7.27, la aplicación g : X →R, definidapor g (y) := d

(y, f (y)

)alcanza su mínimo en un punto x de X [2] Si f (x) 6= x, entonces

d(

f (x), f 2(x))< d

(x, f (x)

),

lo que contradice el hecho de que g tiene un mínimo global en x. Por lo tanto f (x) = x.

A diferencia de la demostración del Teorema del punto fijo para contracciones, la prueba delTeorema 9.18 no es constructiva, en el sentido de que no da un método para aproximar el puntofijo x. A continuación veremos que el algoritmo para aproximar x propuesto en el enunciado delprimer teorema funciona también bajo las hipótesis del segundo.

146

Notas

Proposición 9.19. Si (X ,d) y f : X → X satisfacen las hipótesis del Teorema 9.18, entonces para cadax0 ∈ X la sucesión

(f n(x0)

)n∈N tiende al único punto fijo x de f .

Demostración. Si existe n0 tal que f n0 (x0) = x, entonces x = f (x) = f n0+1(x) = f n0+2(x) = ·· · . Asi quepodenos suponer que f n(x0) 6= x para todo n. Asumiendo esto, la desigualdad

d(

f n+1(x0), x)= d

(f n+1(x0), f (x)

)< d(

f n(x0), x)

muestra que la sucesión de números reales positivos(d( f n(x0), x)

)n∈N es estrictamente decre-

ciente, por lo que converge a su ínfimo o. Supongamos que o > 0. Como X es compacto, la su-cesión

(f n(x0)

)n∈N tiene una subsucesión convergente

(f n j (x0)

)j∈N. Denotemos con x a su límite.

Como la función distancia es continua,

d(x, x) = d

(lımj→∞

f n j (x0), x

)= lım

j→∞d

(f n j (x0), x

)= o.

Pero entonces, por un lado

d(

f (x), x)= d

(f (x), f (x)

)< d(x, x) = o,

mientras que, por otro lado, como f y d son continuas,

d(

f (x), x)= d

(lımj→∞

f n j+1(x0), x

)= d

(lım

n→∞ f n(x0), x)= lım

n→∞d(

f n(x0), x)= o,

lo que es una contradicción. Así que o = 0, como queremos.

Observación 9.20. En vista de la proposición anterior se podría pensar que bajo las hipótesis delTeorema de Eldestein f es una contracción, pero esto no es cierto. Por ejemplo, la función f : [0,1] →R, definida por f (x) := x(1−x), satisface

| f (x)− f (y)| = |x −x2 − y + y2| = |x − y − (x − y)(x + y)| = |x − y ||1− (x + y)| < |x − y |

si x 6= y , pero no existe ningún λ ∈ (0,1) tal que | f (x)− f (y) ≤λ|x − y | para todo x, y ∈ (0,1), con x 6= y .

Notas

[1]. Si x es un punto fijo e y ∈ X \ {x} , entonces

d(x, f (y)

)= d(

f (x), f (y))< d(x, y),

por lo que f (y) 6= y .

[2]. La función g es continua porque es composición de las funciones continuas y 7→ (y, f (y)

)y d .

147

CA

PÍ

TU

LO

10EL TEOREMA DE BAIRE

Empezamos este capítulo estableciendo dos resultados muy simples y elementales, acerca deciertas uniones e intersecciones finitas, que valen en todo espacio métrico X .

Proposición 10.1. Si U1, . . . ,Un ⊆ X son abiertos densos, entonces⋂n

i=1 Ui es denso.

Demostración. Consideremos un abierto V de X . Como U1 es denso, V ∩U1 6= ;. Como U2 es den-so, V ∩U1 ∩U2 6= ;, etcétera.

Ejercicio 10.2. Pruebe que todo subconjunto de X que es unión finita de cerrados con interior vacíotiene interior vacío

Un teorema muy profundo y extraordinariamente útil de Baire asegura que en espacos métricoscompletos los resultados anteriores valen para intersecciones y uniones numerables. En este capítuloprobamos este hecho y derivamos unas pocas de sus consecuencias. Muchas más pueden encontrarseen el excelente libro “El Teorema de Categoría de Baire y Aplicaciones” de Wilman Brito.

Definición 10.3. Decimos que un subconjunto A de un espacio métrico X es nunca denso si A tieneinterior vacío, que es de primera categoría si existe una familia numerable (An)n∈N de conjuntosnunca densos de X tal que A =⋃∞

n=1 An , que es de segunda categoría si no es de primera categoría yque es residual si su complemento X \ A es de primera categoría.

Observación 10.4. Si A ⊆ X es unión de subconjuntos nunca densos An (n ∈N) de X , entonces cadasubconjunto B de A es unión de los subconjuntos nunca densos An ∩B de X . Por consiguiente, todosubconjunto de un subconjunto de primera categoría de X , es de primera categoría. Por la mismadefinición de subconjunto residual, esto implica que todos los superconjuntos incluídos en X , de unsubconjunto residual de X , son subconjuntos residuales de X .

Proposición 10.5. Toda unión contable de subconjuntos de primera categoría de un espacio métrico Xes un subconjunto de primera categoría de X .

Demostración. Como toda unión finita se puede expresar como una unión numerable agregandoconjuntos vacíos, basta probar que cada unión numerable

⋃∞m=1 Am , de subconjuntos de primera

149

El Teorema de Baire

categoría de X , es de primera categoría, para lo que es suficiente notar que si Am es unión numerablede subconjuntos con interior Am,n (n ∈N) de X , entonces

∞⋃m=1

Am = ⋃n,m∈N

Am,n

también es una unión numerable.

En muchas teorías matemáticas es conveniente tener formas de asignarle un invariante a losobjetos de estudio, que de alguna manera mida el “tamaño” que estos tienen. Por supuesto, enrealidad la noción de tamaño está dada por el invariante que se asigna, y se han inventado muchos.Por ejemplo existe el concepto de cardinal de un conjunto, que formaliza la noción de “cantidadde elementos”, también se han inventado diversos conceptos de dimensión (en álgebra, análisis ygeometría), la noción de medida (de Lebesgue) de conjuntos medibles, etcétera. La introducción delos conceptos de conjuntos de primera y segunda categoría y de conjunto residual se enmarca eneste tipo de prácticas. La idea es que los subconjuntos de primera categoría de un espacio métricodeberían ser pequeños, los de segunda categoría deberían ser grandes y los residuales, enormes.¿Pero es verdaderamente así?. No, no lo es. Al menos, no siempre. Por ejemplo, todos los subconjuntosdeQ son de primera categoría (porque son finitos o numerables), por endeQ no tiene subconjuntosde segunda categoría, y todos son residuales. Sin embargo, Q es un espacio métrico patológico.Enseguida veremos que en espacios razonables, los conjuntos de primera y de segunda categoría secomportan como deben.

Definición 10.6. Un espacio métrico es un espacio de Baire si todos los subconjuntos de primeracategoría tienen interior vacío.

Proposición 10.7. Para todo espacio métrico X son equivalentes:

1. X es un espacio de Baire.

2. Todo subconjunto residual de X es denso.

3. Toda unión numerable de cerrados con interior vacío, tiene interior vacío.

4. Toda intersección numerable de abiertos densos, es denso.

Demostración. 1. ⇔ 2. Porque un subconjunto de X tiene interior vacío si y solo si su complementoes denso.

3. ⇔ 4. Por las leyes de Morgan y porque un subconjunto de X es abierto y denso si y solo si sucomplemento es cerrado y tiene interior vacío[1].

1. ⇒ 3. Como un conjunto es cerrado si y solo si coincide con su adherencia, el item 1 implica elitem 3.

3. ⇒ 1. La unión de una familia numerable (A1, A2, A3, . . . ) de conjuntos nunca densos Ai tieneinterior vacío, porque está incluída en el conjunto

⋃∞i=1 Ai , cuyo interior es vacío por hipótesis.

Observación 10.8. Por definición, un espacio métrico es de Baire si sus subconjuntos de primeracategoría son pequeños en un sentido topológico preciso. Además, por la Observación 10.4, ningúnsubconjunto de segunda categoría de X puede estar incluído en uno de primera categoría. En otraspalabras, ningún subconjunto de segunda categoría de X es menor que uno de primera categoría,respecto de la inclusión. Por otra parte, por la Proposición 10.5, todo subconjunto residual de X esde segunda categoría y, nuevamente por la Observación 10.4, ningún subconjunto no residual de Xpuede incluir a uno residual.

150

El Teorema de Baire 10.1 El Teorema de Baire

Teorema 10.9. Si (Ci )i∈N es una familia de cerrados de un espacio de Baire X y U es un abierto de Xque corta al interior de

⋃∞i=1 Ci , entonces U corta a

⋃∞i=1 C ◦

i . Dicho de otra forma,

U ∩( ∞⋃

i=1Ci

)◦6= ;⇒U ∩

∞⋃i=1

C ◦i 6= ;.

Demostración. Debemos probar que existe n ∈N tal que U ∩C ◦n 6= ;. Como U es abierto,

U ∩( ∞⋃

i=1Ci

)◦6= ; y

∞⋃i=1

(U ∩Ci

)=U ∩∞⋃

i=1Ci ⊇U ∩

( ∞⋃i=1

Ci

)◦,

el interior de⋃∞

i=1

(U∩Ci

)es no vacío. En consecuencia, por la Proposición 10.7, existe un subíndice n

tal que (U ∩Cn)◦ 6= ;. Pero entonces

U ∩C ◦n ⊇U ∩ (

U ∩Cn)◦ 6= ;,

donde la última desigualdad vale porque U es denso en U y(U∩Cn

)◦, es un abierto no vacío de U .

Corolario 10.10. Si (Ci )i∈N es una familia de cerrados de un espacio de Baire X y el interior de⋃∞

i=1 Ci

es denso, entonces⋃∞

i=1 C ◦i es denso.

Demostración. Esto es una consecuencia inmediata de Teorema 10.9 porque un subconjunto de Xes denso si y solo si su intersección con cada abierto U de X es no vacío.

10.1. El Teorema de Baire

Teorema 10.11 (Teorema de Baire). Los espacios métricos completos son espacios de Baire.

Demostración. Debemos probar que si X es un espacio métrico completo y (Ci )i∈N es una familianumerable de cerrados de X con interior vacío, entonces

⋃∞i=1 Ci tiene interior vacío. Supongamos

que esto no es cierto para un X y una familia (Ci )i∈N, y tomemos un abierto U de X incluídoen

⋃∞i=1 Ci . Como el interior de C1 es vacío, existe x1 ∈U \C1. Por lo tanto, como U \C1 es abierto,

hay una bola cerrada B r1 (x1) tal que B r1 (x1) ⊆ U y C1 ∩B r1 (x1) = ;. Podemos suponer ademásque r1 < 1. El mismo argumento prueba que hay una bola cerrada B r2 (x2), de radio menor que 1/2,tal que B r2 (x2) ⊆ B r1 (x1) y C2 ∩B r2 (x2) = ;. Siguiendo con este procedimiento obtenemos unasucesión de bolas cerradas

B r1 (x1),B r2 (x2),B r3 (x3),B r4 (x4), . . . ,

cada una incluída en la anterior, cuyos radios tienden a cero y tales que Ci ∩B i = ;. Por el Teo-rema 6.17, la intersección

⋂∞i=1 B i contiene un punto x, que no puede estar en ningún Ci . Pero

como B 1 ⊆U ⊆⋃∞i=1 Ci , esto es imposible.

No todos los espacios métricos son espacios de Baire. Por ejemplo, como ya vimos,Q no lo es.Por otra parte, hay espacios métricos no completos que son espacios de Baire. Quizás la forma másfácil de convencerse de esto es notar que si a un espacio métrico completo (o, más generalmente, aun espacio de Baire) se le sustrae un cerrado con interior vacío, lo que queda es un espacio de Baire.El siguiente resultado generaliza este hecho.

Proposición 10.12. Si X es un espacio de Baire, Y es un subconjunto denso de X y existen abiertos Ui

de X (i ∈N) tales que Y =⋂i∈NUi , entonces Y , con la métrica inducida, es un espacio de Baire.

151

10.1 El Teorema de Baire El Teorema de Baire

Demostración. Debemos probar que la intersección de una familia numerable arbitraria (V j ) j∈N deabiertos densos de Y , es un conjunto denso de Y . Por la Proposición 2.22, para cada j ∈N existe unabierto W j de X tal que V j =W j ∩Y . Entonces

A := ⋂i∈N

V j =⋂

j∈NW j ∩Y = ⋂

j∈Ni∈N

W j ∩Ui

es intersección de una familia numerable de abiertos de X y, por lo tanto, como X es de Baire, esdenso en X . Como A ⊆ Y esto implica que A es denso en Y [2].

Definición 10.13. Un subconjunto de un espacio métrico X es llamado un conjunto Gδ si es inter-sección de una familia numerable de abiertos de X y es llamado un conjunto Fσ si es unión de unafamilia numerable de cerrados. Un subconjunto de X es ambiguo si es un Gδ y un Fσ

Ejemplos 10.14. Como el conjunto vacío y X son abiertos y cerrados, cada subconjunto abierto de Xes un Gδ y cada subconjunto cerrado de X es un Fσ. Como los puntos son cerrados, cada subconjuntonumerable de X es un Fσ y cada subconjunto de X obtenido quitandole a X un subconjunto nume-rable de puntos es un Gδ. En particular Q es un subconjunto Fσ deR. Si X es discreto y numerable,entonces todos sus subconjuntos son ambiguos.

Ejercicio 10.15. Pruebe que toda unión numerable de Fσ’s es un Fσ y que toda intersección numera-ble de Gδ’s es un Gδ.

Observación 10.16. La Proposición 10.12 dice que todo subconjunto Gδ y denso de un espacio deBaire es un espacio de Baire.

Ejemplo 10.17. El conjuntoR\Q de los números irracionales, con la métrica usual, es un espaciode Baire. En efecto, comoR es un espacio de Baire,R\Q es denso enR y

R\Q= ⋂x∈Q

R\ {x},

esto es un corolario de la Proposición 10.12.

Proposición 10.18. Si un subconjunto de un espacio métrico completo es un Gδ, entonces es un espaciode Baire.

Demostración. Si X es un espacio métrico completo e Y ⊆ X es un Gδ, entonces Y es un Gδ de Y .Como Y es completo porque es un cerrado de un espacio métrico completo, el resultado se sigue delTeorema 10.11 y la Proposición 10.12.

Ejemplo 10.19. El conjunto de los números racionales no es un Gδ deR, porque si lo fuera sería unespacio de Baire, y sabemos que no lo es.

Ejercicio 10.20. Pruebe que para todo espacio métrico X las siguientes afirmaciones son equivalen-tes:

1. X es un espacio de Baire.

2. Toda unión numerable de Fσ’s con interior vacío es un Fσ con interior vacío.

3. Toda intersección numerable de Gδ’s densos es un Gδ denso.

152

El Teorema de Baire 10.2 Aplicaciones

Recordemos que un punto x de un espacio métrico X es aislado si existe r > 0 tal que Br (x) = {x}.Esto es, si {x} es un abierto de X . Recordemos también que un espacio métrico infinito (y los espaciossin puntos aislados lo son) no puede tener ningún subconjunto denso finito. Por consiguiente, losconjuntos densos considerados en el teorema que sigue y en su corolario no pueden ser finitos.

Teorema 10.21. Si X es un espacio de Baire sin puntos aislados y G ⊆ X es un Gδ denso, entonces G esno numerable. En particular X es no numerable.

Demostración. Escribamos G como intersección G = ⋂∞i=1 Ui , de una familia numerable de abier-

tos (Ui )i∈N. Si G fuera numerable (digamos G = {x1x2, . . . }) entonces

;=G ∩X \G = ⋂i∈N

Ui ∩⋂

j∈NX \ {x j },

lo que contradice la hipótesis de que X es un espacio de Baire, porque los conjuntos X \ {x j } sonabiertos densos debido a que los puntos xi no son aislados.

Corolario 10.22. Si X es un espacio métrico completo sin puntos aislados, entonces ningún subcon-junto denso numerable de X es un Gδ.

Demostración. Por el teorema anterior y porque los espacios métricos completos son espacios deBaire.

Corolario 10.23. Si X es un espacio métrico completo con finitos puntos aislados, entonces X no esnumerable (aunque puede ser finito).

Demostración. Si X es finito no hay nada que probar. Supongamos entonces que X es infinto ydenotemos con ais(X ) al conjunto de sus puntos aislados. Como ais(X ) es finito y abierto (porque esuna unión finita de conjuntos abiertos), X \ ais(X ) es un subespacio completo sin puntos aislados deX . En consecuencia, por el Corolario 10.22, como X \ ais(X ) es trivialmente un Gδ de si mismo, elconjunto X \ ais(X ) (y por lo tanto también X ) es no numerable.

10.2. Aplicaciones

En esta sección

10.2.1. Puntos aislados

Los resultados de esta subsección están muy relacionados con los últimos resultados de la secciónanterior. Dado un subconjunto A de un espacio métrico X , denotemos con aisA(X ) al subconjuntode A formado por los puntos aislados de X que están en A.

Proposición 10.24. Si X es un espacio de Baire, entonces U ∩V ⊆ aisU∩V (X ), para cada par U y V deabiertos de X , con uno de ellos numerable.

Demostración. Supongamos que (U ∩V ) \ aisU∩V (X ) es no vacío. Entonces es finito y todos suspuntos son aislados, o es infinito numerable, y por el Teorema 10.9 también tiene puntos aislados.Pero esto evidentemente es absurdo.

Corolario 10.25. Si V es un abierto numerable de un espacio de Baire X , entonces aisV (X ) es infinitoy V = aisV (X )

153

10.2 Aplicaciones El Teorema de Baire

Demostración. Como aisV (X ) ⊆ V , es claro que aisV (X ) ⊆ V , y tomando U = X en la Proposi-ción 10.24, se comprueba que V ⊆ aisV (X ). Resta verificar que aisV (X ) es infinito. Pero esto escierto, porque si aisV (X ) fuera finito, entonces

V = aisV (X ) = aisV (X ),

debido a que los subconjuntos finitos de un espacio métrico son cerrados, lo que es absurdo, porque,como V es numerable, V no es finito.

Ejercicio 10.26. Use el Corolario 10.25 para dar otra prueba del Corolario 10.23.

10.2.2. Funciones continuas sin derivada en ningún punto

Durante mucho tiempo se discutió si existían funciones continuas sin derivadas. Por ejemplo,Lagrange creía que toda función continua era derivable salvo posiblemente en un conjunto pequeñode puntos, pero Riemman pensaba que existían funciones reales continuas de variable real noderivables, y propuso un ejemplo, que resultó ser falso. El primer ejemplo de una función continuasin derivada en ningún punto publicado en una revista de matemática con referato fue dado porWeierstrass, pero parece haber uno anterior debido a Bolzano. Para más detalles ver el libro de Britomencionado arriba. Aplicando el Teorema de Baire es posible probar que las funciones continuas sinderivada no solo existen sino que son la mayoría.

Definición 10.27. Una función continua g : [a,b] →R es lineal a trozos si existe una partición

a = x0 < x1 < ·· · < xn−1 < xn = b

de [a,b] tal que la restricción de g a [xi , xi+1] es una función afín g (x) =αi x +βi para todo i .

El siguiente resultado es interesante en si mismo.

Proposición 10.28. El conjunto LT([a,b],R), de las funciones lineales a trozos de [a,b] enR, es densoen

(C ([a,b],R),d∞

).

Demostración. Fijemos f ∈C ([a,b],R). Debemos probar que para todo ε> 0 la bola Bε( f ) contienefunción lineal a trozos g : [a,b] → R. Puesto que f es uniformemente continua, existe δ > 0 talque | f (x)− f (x ′)| < ε/2 siempre que |x−x ′| < δ. Tomemos n ∈Nmayor que (b−a)/δ, y consideremosla partición

a = x0 < x1 < ·· · < xn−1 < xn = b

de [a,b], donde xi = a+ i (b−a)/n. Afirmamos que la única función g : [a,b] →R que coincide con fen cada punto de la partición y es lineal en cada intervalo [xi , xi+1], pertenece a Bε( f ). En efecto, porla desigualdad triangular,

|g (x)− f (x)| ≤ |g (x)− g (xi )|+ |g (xi )− f (x)| < ε/2+ε/2 = ε,

para todo x ∈ [a,b], donde xi es el punto de la partición más cercano a f .

Definición 10.29. Por definición, la máxima pendiente MP( f , x), de una función f : [a,b] →R en unpunto x ∈ [a,b], es el supremo de los valores

∣∣( f (x +h)− f (x))/h

∣∣. Así,

MP( f , x) := Sup

{∣∣∣∣ f (x +h)− f (x)

h

∣∣∣∣ : x +h ∈ [a,b]

}.

154

El Teorema de Baire 10.2 Aplicaciones

Observación 10.30. Si MP( f , x) > MP(g , x), entonces

MP( f + g , x) ≥ MP( f , x)−MP(g , x),

porque ∣∣∣∣ ( f + g )(x +h)− ( f + g )(x)

h

∣∣∣∣= ∣∣∣∣ f (x +h)− f (x)

h+ g (x +h)− g (x)

h

∣∣∣∣≥

∣∣∣∣ f (x +h)− f (x)

h

∣∣∣∣− ∣∣∣∣ g (x +h)− g (x)

h

∣∣∣∣≥

∣∣∣∣ f (x +h)− f (x)

h

∣∣∣∣−MP(g , x)

para todo h.

Lema 10.31. Para todo M , N ∈ (0,∞) existe h ∈ C ([a,b],R) tal que ‖h‖∞ ≤ M y MP(h, x) > N paratodo x.

Demostración. Consideremos la partición

a = x0 < x1 < ·· · < xn−1 < xn = b

de [a,b], donde xi = a+i b−an . La función lineal a trozos h : [a,b] →R, afín en cada intervalo [xi , xi+1],

determinada por

h(xi ) ={

M si i es par,

−M si i es impar,

satisface las condiciones pedidas si n ≥ N (b−a)2M .

Teorema 10.32. El conjunto de las funciones continuas f : [a,b] →R derivables algún punto es deprimera categoría en

(C ([a,b],R),d∞

).

Demostración. Consideremos los conjuntos

Cn := { f ∈C ([a,b],R) : MP( f , x) ≤ n para algún x},

donde n varía sobre los números naturales. Como la unión de los Cn incluye a todas las funcionesderivables en algún punto, para terminar la demostración bastará probar que cada Cn es cerrado coninterior vacío.

Cn es cerrado. Por la misma definición de Cn , dada una sucesión ( fi )i∈N de puntos de Cn que tiendeuniformemente a una función f : [a,b] →R, existe una sucesión (xi )i∈N de puntos de [a,b] talesque MP( fi , xi ) ≤ n para todo i . Como [a,b] es compacto, (xi )i∈N tiene una subsucesión convergen-te

(xi j

)j∈N. Digamos que x es su límite. Dado h tal que x +h ∈ [a,b], exite una sucesión (h j ) j∈N que

tiende a h, tal que xi j +h j ∈ [a,b] para todo j . Como h es arbitrario, la igualdad∣∣∣∣ f (x +h)− f (x)

h

∣∣∣∣= lımj→∞

∣∣∣∣ f j (xi j +h j )− f (xi j )

h j

∣∣∣∣≤ n,

prueba que MP( f , x) ≤ n. Así, f ∈Cn .

Cn tiene interior vacío. Debemos probar que cada bola abierta Br ( f ) con centro en una funcióncontinua arbitraria f , tiene puntos que no están en Cn . Por la Proposición 10.28, sabemos que hay una

155

Notas

función lineal a trozos g : [a,b] →R a distancia menor que r /2 de f . Como forman un conjunto finito,los módulos de las pendientes de los trozos lineales de g están acotados por un número naturalm. Por el Lema 10.31, sabemos que existe una función continua h : [a,b] → R con |h(x)| ≤ r /2y MP(h, x) > m +n para todo x. Por la desigualdad triangular la función g +h pertenece a Br ( f ) y laObservación 10.30 muestra que no está en Cn .

10.2.3. Principio de acotación uniforme

Fijemos una familia ( fi )i∈I de funciones continuas de un espacio métrico completo X enR. Paracada n ∈N, denotemos con Cn al conjunto de los x ∈ X tales que | fi (x)| ≤ n para todo i ∈ I . Notemosque Cn es cerrado porque Cn =⋂

i∈I f −1i ([−n,n]), y que{

x ∈ X : supi∈I

| fi (x)| =∞}= X \

⋃n∈N

Cn .

Teorema 10.33 (Principio de acotación uniforme). Si {x ∈ X : supi∈I | fi (x)| =∞} no es denso, entonceshay un abierto no vacío U ⊆ X y un m ≥ 0 tal que | fi (x)| ≤ m para todo i ∈ I y todo x ∈U .

Demostración. La hipótesis dice que hay un abierto no vacío V de X tal que

V ∩{

x ∈ X : supi∈I

| fi (x)| =∞}=;,

o, lo que es igual,V ⊆ ⋃

n∈NCn .

Pero entonces, por el Teorema 10.11, existe m tal que C ◦m 6= ;. Así, podemos tomar U =C ◦

m .

Observación 10.34. En realidad vale un resultado más fuerte. Por el Teorema 10.9, si V es un abiertode X que corta al interior de

⋃n∈NCn , entonces existe un abierto no vacío U ⊆ V y un m ≥ 0 tal

que | fi (x)| ≤ m para todo i ∈ I y todo x ∈U .

Notas

[1]. Supongamos que el item 3 es verdadero. Entonces para cada familia numerable (Un)n∈N deabiertos densos de X ,

X \∞⋂

i=1Ui =

∞⋃i=1

X \Ui

tiene interior vacío. Por lo tanto⋂∞

i=1 Ui es denso. Recíprocamente, si el item 4 es verdadero,entonces para cada familia numerable (Cn)n∈N de cerrados con interior vacío de X ,

X \∞⋃

i=1Ci =

∞⋂i=1

X \Ci

es un subconjunto denso de X , por lo que⋂∞

i=1 Ui tiene interior vacío.

156

Notas

[2]. Tomemos un abierto arbitrario V de Y . Por la Proposición 2.22 sabemos que V = V ∩Y , paraun abierto V de X . Por consiguiente

A∩V = A∩ (V ∩X

)= A∩ V 6= ;,

donde la última desigualdad es verdadera porque V es denso en X . Como V es arbitrario, estoprueba que A es denso en Y , como afirmamos.

157

CA

PÍ

TU

LO

11ESPACIOS NORMADOS Y ESPACIOS DE BANACH

En el Capítulo 1.6 presentamos los espacios normados. Allí vimos las propiedades básicas de estaestructura, establecimos notaciones, mostramos algunos ejemplos y caracterizamos los subconjuntosde un espacio vectorial que son la bola unitaria respecto de una norma. Ahora continuaremos elestudio de estos espacios, con énfasis en los que son completos. Denotemos con k a R o C yrecordemos que una norma en un k-espacio vectorial E es una función ‖ ‖ : E →R≥0 que satisface:

1. ‖x‖ = 0 si y solo si x = 0,

2. ‖λ · x‖ = |λ|‖x‖,

3. ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+‖y‖,

y que un espacio normado es un k-espacio vectorial E , provisto de una norma. Recordemos tambiénque si ‖ ‖ es una norma en E , entonces la función d : E ×E −→R≥0, definida por d(x, y) = ‖x − y‖, esuna métrica que satisface:

1. d(x + z, y + z) = d(x, y) (Invariancia por traslaciones)

2. d(λ · x,λ · y) = |λ|d(x, y) (Homogeneidad).

11.1. Espacios de Banach

Definición 11.1. Un espacio normado espacio de Banach si, con la distancia asociada, es un espaciométrico completo.

Ejemplos 11.2. A continuación damos una lista de espacios normados, señalando cuales de ellosson espacios de Banach.

1. En los Ejemplos 1.70 presentamos los espacios normados (Rn ,‖ ‖p ), (Cn ,‖ ‖p ), (C[a,b],‖ ‖p )y (B[a,b],‖ ‖∞), donde 1 ≤ p ≤∞. Por el Ejercicio 3.93 sabemos que (Rn ,‖ ‖p ) es un espacio deBanach, y por el Ejercicio 3.95, que lo es (Cn ,‖ ‖p ). Como veremos enseguida con más generali-dad, también son espacios de Banach (B[a,b],‖ ‖∞) y (C[a,b],‖ ‖∞). Por otra parte (C[a,b],‖ ‖p )no es completo cuando p <∞.

159

11.1 Espacios de Banach Espacios normados y espacios de Banach

2. El item 1 del Corolario 11.52 (vease la Sección 11.6) dice que todos los espacios normadosde dimensión finita son espacios de Banach. Esto da una nueva prueba de que varios de losespacios normados considerados en el item anterior son espacios de Banach.

3. Un subespacio vectorial F de un espacio normado E es en si mismo un espacio normado viala norma inducida. Cada uno de estos espacios es llamado un subespacio normado de E . Esfácil ver que si F es un subespacio normado de E , entonces también lo es su clausura F . Por laProposición 6.13 sabemos que si F es un subespacio de Banach de E , entonces F es cerradoen E y, por el comentario que sigue al Teorema 6.4, que si E es un espacio de Banach, entoncestambién lo es todo subespacio cerrado suyo.

4. Fijados un conjunto Z y un espacio normado E , el conjunto B(Z ,E ), de las funciones acotadasde Z en E , es un espacio normado via la suma de funciones, el producto por escalares y lanorma definidas por

- ( f + g )(z) = f (z)+ g (z),

- (λ · f )(z) =λ · f (z),

- ‖ f ‖∞ = supz∈Z ‖ f (z)‖.

Es evidente que la métrica asociada a esta norma es la distancia d∞ introducida en el Capítulo 6.Por el Teorema 6.24, si E es un espacio de Banach, entonces también lo es B(Z ,E).

5. Asumamos ahora que Z es un espacio métrico. Por el Teorema 3.68, dados un escalar λ yfunciones continuas f : Z → V y g : Z → V , la función f +λ · g es continua. Por lo tanto elconjunto C(Z ,E ), de las funciones continuas y acotadas de Z en E , es un subespacio normadode B(Z ,E). Por el Teorema 6.27, si E es un espacio de Banach, entonces también lo es C(Z ,E).

6. Para cada espacio de Banach E , el conjunto c(E ), de las sucesiones convergentes de elementosde E , es un subespacio cerrado de B(N,E). Además, el conjunto c0(E), formado por las suce-siones que convergen a cero, es un subespacio cerrado de c(E). En consecuencia, todos estosespacios son de Banach. Siguiendo la práctica usual escribiremos l∞(k), c(k) y c0(k) en lugarde B(N,k), c(k) y c0(k), respectivamente. De hecho, simplificando aún más las notaciones,frecuentemente escribiremos l∞, c y c0 en lugar de l∞(R), c(R) y c0(R) en lugar

7. El R-espacio vectorial lp (1 ≤ p <∞), formado por las sucesiones x = (xn)n∈N de númerosreales que satisfacen

∑∞i=1 |xi |p <∞, es un espacio de Banach via la norma ‖ ‖p , definida por

‖x‖p := p

√ ∞∑i=1

|xi |p .

En efecto, para cada sucesión x = (xn)n∈N y cada n ∈N, denotemos con x|n a (x1, . . . , xn). Por elitem 11 de los Ejemplos 1.4,

‖x|n + y|n‖p ≤ ‖x|n‖p +‖y|n‖p ≤ ‖x‖p +‖y‖p .

Como esto vale para todo n,

‖x + y‖p = lımn→∞(‖x|n + y|n‖p ) ≤ ‖x‖p +‖y‖p .

Como además

‖λ · x|p = p

√ ∞∑i=1

|λxi |p = |λ| p

√ ∞∑i=1

|xi |p = |λ|‖x|p ,

160

Espacios normados y espacios de Banach 11.1 Espacios de Banach

lp es un subespacio de l∞ y ‖ ‖p es una norma sobre lp . Veamos que es completo. Supon-gamos que (xn)n∈N es una sucesión de Cauchy en lp . Entonces la sucesión (xn

m)n∈N, de lascoordenadas m-ésimas de (xn)n∈N, es de Cauchy para todo m ∈N, y, por lo tanto, comoR escompleto, existe xm := lım xn

m . Escribamos x = (x1, x2, x3, . . . ). Dado ε> 0, elijamos n0 ∈N talque ‖xn −xn′‖p < ε, para todo n,n′ ≥ n0. Entonces

‖xn|m −x|m‖p = lım

n′→∞‖xn

|m −xn′|m‖p ≤ ε.

para cada m ∈N y, por consiguiente,

‖xn −x‖p = lımm→∞‖xn

|m −x|m‖p ≤ ε para todo n ≥ n0. (11.1)

En consecuencia ‖x‖p ≤ ‖xn‖p+‖x−xn‖p <∞, por lo que x ∈ lp . Por último, la acotación (11.1)muestra que x = lımn→∞ xn en lp .

8. Los argumentos usados en el item anterior, con el item 11 de los Ejemplos 1.4 reemplazadopor el Ejemplo 1.72, prueban que el C-espacio vectorial lp (C) (1 ≤ p <∞), formado por lassucesiones z = (zn)n∈N de números complejos que satisfacen

∑∞i=1 |zi |p <∞, es un espacio de

Banach via la norma ‖ ‖p , definida por

‖z‖p := p

√ ∞∑i=1

|zi |p .

Ejercicio 11.3 (Desigualdad de Hölder para sucesiones). Tomemos p, q ∈ [1,∞] tales que 1p + 1

q = 11.Pruebe que si x = (x1, x2, x3, . . . ) ∈ lp (C) e y = (y1, y2, y3, . . . ) ∈ lq (C), entonces

x y := (x1 y1, x2 y2, x3 y3, . . . ) ∈ l1(C) y ‖x y‖1 = ‖x‖p‖y‖q .

Ejercicio 11.4. Pruebe que en la situación considerada en el Ejemplo 1.74, F es un espacio de Banachvia ‖ ‖ f si y solo si f (F ) es un cerrado de E .

Ejercicio 11.5. Pruebe, exibiendo una sucesión de cauchy no convergente, que (C[a,b],‖ ‖p ) no escompleto cuando p <∞.

Teorema 11.6. Supongamos que(E , i : E ,→ E

)es una completación de un espacio normado E. Enton-

ces E tiene una única estructura de espacio de Banach tal que i es una isometría lineal continua.

Demostración. Por el Corolario 3.13 y las Proposiciones 6.15 y 2.64, sabemos que E × E es completoe i × i : E ×E ,→ E × E es una función continua cuya imagen es un subconjunto denso de E × E . Enotras palabras, que i × i : E ×E ,→ E × E es una completación de E ×E . En consecuencia, por losTeoremas 6.28 y 3.68 las funciones

E‖ ‖−−→R≥0, E ×E

+−→ E y k ×E·−→ E

se extienden de manera única a funciones continuas

E‖ ‖−−→R≥0, E × E

+−→ E y k × E·−→ E ,

1Cuando p = 1 tomamos q =∞, y cuando p =∞ tomamos q = 1.

161

11.2 Transformaciones lineales Espacios normados y espacios de Banach

que por simplicidad hemos denotado con los mismos símbolos. Para mayor simplicidad aún, supon-gamos que i : E ,→ E es la inclusión2, y dados x e y en E tomemos sucesiones (xn)n∈N e (yn)n∈N en Eque convergen a x y y respectivamente. Por la continuidad de la suma y producto por escalares en E ,

x +λ ·E y = lımn→∞xn +λ ·E lım

n→∞ yn = lımn→∞(xn +λ · yn),

para cada λ ∈ k. Usando este hecho se comprueba fácilmente que E es un k-espacio vectorial. Porejemplo, la suma es comutativa porque

x + y = lımn→∞(xn + yn) = lım

n→∞(yn +xn) = y +x,

y los restantes axiomas se demuestran de la misma manera. Además como la suma y el productopor escares de E extienden a los definidos sobre E , la inclusión de E en E es una función lineal (y yasabemos que es una isometría). Por último, las igualdades

‖x + y‖ = ‖ lımn→∞(xn + yn)‖ = lım

n→∞‖xn + yn‖ ≤ lımn→∞(‖xn‖+‖yn‖) = ‖x‖+‖y‖

y‖λ · x‖ = ‖ lım

n→∞(λ · xn)‖ = lımn→∞‖λ · xn‖ = lım

n→∞(|λ|‖xn‖) = |λ| lımn→∞(‖xn‖) = |λ|‖x‖,

muestran que ‖ ‖E es una norma y, las igualdades

‖x − y‖ = ‖ lımn→∞(xn − yn)‖ = lım

n→∞‖xn − yn‖ = lımn→∞d(xn , yn) = d(x, y),

que ‖ ‖E define la distancia de E .

11.2. Transformaciones lineales

Definición 11.7. Supongamos que E y F son espacios normados. Una función lineal f : E → F , esacotada si existe una constante c ≥ 0, llamada una cota de f , tal que ‖ f (x)‖ ≤ c‖x‖ para todo x ∈ E .

Notaciones 11.8. Denotamos con el símbolo Homk (E ,F ) al k-espacio vectorial de las transforma-ciones lineales de E en F , y con el símbolo L (E ,F ) al subconjunto de Homk (E ,F ) formado por lastransformaciones lineales acotadas. Como es usual, escribiremos Endk (E) en lugar de Homk (E ,E)y L (E) en lugar de L (E ,E).

Observación 11.9. Supongamos que f1, f2 : E → F son acotadas con cotas c1 y c2 respectivamente. Ladesigualdad

‖ f1(x)+λ · f2(x)‖ ≤ ‖ f1(x)‖+‖λ · f2(x)‖ ≤ (c1 +|λ|c2)‖x‖muestra que entonces f1+λ · f2 es acotada con cota c1+|λ|c2. Así, L (E ,F ) es un subespacio vectorialde Homk (E ,F ).

Definición 11.10. Una transformación lineal f ∈L (E ,F ) es un isomorfismo de espacios vectorialesnormados si es biyectiva y f −1 ∈ L (F,E). Dos espacios normados E y F son isomorfos si hay unisomorfismo f : E → F .

Teorema 11.11. Para cada f ∈ Homk (E ,F ), son equivalentes:

2Para hacer esto basta reemplazar E por i (E).

162

Espacios normados y espacios de Banach 11.2 Transformaciones lineales

1. f ∈L (E ,F ).

2. f es uniformemente continua.

3. f es continua en 0.

4. sup‖x‖≤1 ‖ f (x)‖ <∞.

Demostración. 1. ⇒ 2. Si c es una cota estrictamente positiva de f 3, entonces

‖ f (x)− f (x ′)‖ = ‖ f (x −x ′)‖ ≤ c‖x −x ′‖ para todo x, x ′ ∈ E .

Por lo tanto, dado ε> 0, basta tomar 0 < δ< ε/c para que ‖ f (x)− f (x ′)‖ < ε si ‖x −x ′‖ < δ.

2. ⇒ 3. Porque toda función uniformemente continua es continua.

3. ⇒ 4. Por hipótesis existe δ> 0 tal que f (Bδ(0)) ⊆ B1(0). En consecuencia,

‖ f (x)‖ = 1

δ′‖δ′ f (x)‖ = 1

δ′‖ f (δ′x)‖ < 1

δ′,

para todo x con ‖x‖ ≤ 1 y cada 0 < δ′ < δ.

4. ⇒ 1. Escribamos M = sup‖x‖≤1 ‖ f (x)‖. Es evidente que ‖ f (0)‖ ≤ M0 y, para todo x 6= 0,

‖ f (x)‖‖x‖ = f

(x

‖x‖)≤ M .

Esto termina la prueba.

Ejemplo 11.12. Por los Teoremas 11.6 y 11.11, la inyección canónica i : E ,→ E , de un espacionormado en su completación, es una función lineal acotada.

Definición 11.13. Para cada f ∈L (E ,F ), definimos la norma de f por ‖ f ‖ := sup‖x‖≤1 ‖ f (x)‖.

Proposición 11.14. Para cada par de espacios normados E y F y toda función lineal acotada f : E → F ,es cierto que

‖ f ‖ = sup‖x‖<1

‖ f (x)‖ = sup‖x‖=1

‖ f (x)‖ = supx∈E\{0}

‖ f (x)‖‖x‖ = mın{c ∈R≥0 : ‖ f (x)‖ ≤ c‖x‖ para todo x ∈ E },

donde los supremos y el mínimo son calculados enR≥0.

Demostración. Cuando E = 0, todas las expresiones valen 0. Solo podría haber dudas con dos deellas, pero también valen 0, porque el supremo de un subconjunto vacío de un conjunto ordenadoes el elemento mínimo de ese conjunto. De paso, este es el único punto para el que es necesariorecordar que estamos tomando el supremo enR≥0, y no, por ejemplo, enR. En el resto de la pruebaasumimos que E 6= 0. Como cada punto x de la esfera unitaria S1(0) es límite de una sucesión (xn)n∈Nde puntos de B1(0) (por ejemplo, tómese xn := (n −1)/nx) y la norma de E es una función continua,es verdad que

sup‖x‖<1

‖ f (x)‖ = sup‖x‖≤1

‖ f (x)‖ = ‖ f ‖,

y como ‖ f (0)‖ = 0 y

‖ f (x)‖ = ‖x‖∥∥∥∥ 1

‖x‖ · f (x)

∥∥∥∥= ‖x‖∥∥∥∥ f

(1

‖x‖ · x

)∥∥∥∥≤∥∥∥∥ f

(1

‖x‖ · x

)∥∥∥∥ para todo x ∈ B1[0] \ {0},

3Tomamos c > 0 para no dividir por 0. Esta restricción es innecesaria si convenimos en que, en este teorema, ε/0 =∞.

163

11.2 Transformaciones lineales Espacios normados y espacios de Banach

también es verdad que ‖ f ‖ = sup‖x‖=1 ‖ f (x)‖. Además sup‖x‖=1 ‖ f (x)‖ = supx∈E\{0}‖ f (x)‖‖x‖ , porque

‖ f (x)‖‖x‖ =

∥∥∥∥ 1

‖x‖ · f (x)

∥∥∥∥=∥∥∥∥ f

(1

‖x‖ · x

)∥∥∥∥ para todo x ∈ E \ {0}.

Resta probar que

supx∈E\{0}

‖ f (x)‖‖x‖ = mın{c ∈R≥0 : ‖ f (x)‖ ≤ c‖x‖ para todo x ∈ E }. (11.2)

Para ello escribamos c0 := supx∈E\{0}‖ f (x)‖‖x‖ . Por la misma definición de c0 es cierto que ‖ f (x)‖ ≤ c‖x‖

para todo x 6= 0, y es evidente que para x = 0 vale la igualdad. Por otra parte, para cada c < c0,

existe x ∈ E \ {0} tal que ‖ f (x)‖‖x‖ > c, o, lo que es equivalente, ‖ f (x)‖ > c‖x‖. Esto prueba que vale la

igualdad (11.2), con lo cual la demostración está terminada.

Teorema 11.15. Para cada par E y F de espacios normados, L (E ,F ) es un espacio normado via lafunción ‖ ‖ presentada en la Definición 11.13.

Demostración. Por la Observación 11.9 sabemos que L (E ,F ) es un espacio vectorial. Así que solodebemos probar que ‖ ‖ es una norma. Tomemos f , g ∈L (E ,F ) y λ ∈ k. Por definición,

‖λ · f ‖ = sup‖x‖≤1

‖λ · f (x)‖ = sup‖x‖≤1

|λ|‖ f (x)‖ = |λ|‖ f ‖y

‖ f ‖ = 0 ⇒‖ f (x)‖ = 0 para todo x ∈ E con ‖x‖ ≤ 1 ⇒ f = 0.

Además, por las desigualdades

‖( f + g )(x)‖ = ‖ f (x)+ g (x)‖ ≤ ‖ f (x)‖+‖g (x)‖ = (‖ f ‖+‖g‖)‖x‖,

validas para todo x ∈ E , es cierto que ‖ f + g‖ ≤ ‖ f ‖+‖g‖.

Definición 11.16. Para cada par E y F de espacios normados, la función evaluación de L (E ,F ) es lafuncion ev: L (E ,F )×E −→ F , definida por ev( f , x) := f (x).

Observación 11.17. Como

‖ f (x)− g (y)‖ = ‖ f (x)− g (x)+ g (x)− g (y)‖≤ ‖( f − g )(x)‖+‖g (x − y)‖≤ ‖ f − g‖‖x‖+‖g‖‖x − y‖,

(11.3)

para todo f , g ∈ L (E ,F ) y todo x, y ∈ E , la evaluación es una función continua. En efecto, por ladesigualdad (11.3), dado ε> 0, si ‖ f −g‖ < ε

2(‖x‖+1) y ‖x− y‖ < ε2(‖g‖+1) , entonces ‖ f (x)−g (y)‖ < ε. En

consecuencia, si f = lımn→∞ fn en L (E ,F ) y x = lımn→∞ xn en E , entonces f (x) = lımn→∞ f (xn) enF . Esto muestra en particular que si fn tiende a f en L (E ,F ), entonces fn tiende a f puntualmente.Más aún, nuevamente por (11.3), si fn tiende a f en L (E ,F ), entonces fn tiende a f uniformementesobre cada subconjunto acotado de E .

Proposición 11.18. Si f ∈L (E ,F ) y g ∈L (F,G), entonces g ◦ f ∈L (E ,G) y, además, ‖g ◦ f ‖ ≤ ‖g‖‖ f ‖.

Demostración. Porque ‖g ( f (x))‖ ≤ ‖g‖‖ f (x)‖ ≤ ‖g‖‖ f ‖‖x‖ para todo x ∈ E .

164

Espacios normados y espacios de Banach 11.3 Series

Teorema 11.19. Si F es un espacio de Banach, entonces también lo es L (E ,F ).

Demostración. Supongamos que ( fn)n∈N es una sucesión de Cauchy en el espacio normado L (E ,F ).Entonces

(fn(x)

)n∈N es una sucesión de Cauchy en F para cada x ∈ E , porque

‖ fn(x)− fm(x)‖ ≤ ‖ fn − fm‖‖x‖.

Escribamos f (x) = lımn→∞ fn(x). Las igualdades

f (x +x ′) = lımn→∞ fn(x +x ′) = lım

n→∞ fn(x)+ lımn→∞ fn(x ′) = f (x)+ f (x ′)

y

f (λ · x) = lımn→∞ fn(λ · x) =λ · lım

n→∞ fn(x) =λ · f (x),

muestran que f es lineal. Afirmamos que f es acotada y ( fn)n∈N tiende a f en L (E ,F ). En efecto,como ( fn)n∈N es de Cauchy, dado ε> 0, existe n0 ∈N tal que ‖ fn − fm‖ < ε si n,m ≥ n0. Entonces

‖( f − fm)(x)‖ = lımn→∞‖( fn − fm)(x)‖ ≤ ε‖x‖ para cada x ∈ E , (11.4)

y, por lo tanto,‖ f (x)‖ ≤ ‖ fm(x)‖+‖( f − fm)(x)‖ < (‖ fm‖+ε)‖x‖,

para todo m > n0, lo que implica en particular que f ∈L (E ,F ). Por último, de la igualdad (11.4) sesigue que f = lımn→∞ fn .

Teorema 11.20. (Teorema de acotación uniforme) Consideremos una familia de funciones linealescontinuas ( fλ : E → F )λ∈Λ, donde E y F son espacios normados. Si E es de Banach y para cada x ∈ Eexiste Mx ≥ 0 tal que ‖ fλ(x)‖ ≤ Mx para todo λ, entonces existe M ≥ 0 tal que ‖ fλ‖ ≤ M para todo λ.

Demostración. Por el principio de acotación uniforme (Teorema 10.33) existe una bola abierta Bδ(x0)y un N ≥ 0 tal que ‖ fλ(x)‖ ≤ N para todo λ ∈Λ y todo x ∈ Bδ(x0). Si x ∈ Bδ(0), entonces

‖ fλ(x)‖ = ‖ fλ(x +x0)− fλ(x0)‖ ≤ ‖ fλ(x +x0)‖+‖ fλ(x0)‖ ≤ N +Mx0 .

así, para cada x ∈ B1(0),

‖ fλ(x)‖ = 1

δ‖ fλ(δ · x)‖ ≤ 1

δ(N +Mx0 ).

De modo que podemos tomar M = 1δ (N +Mx0 ).

11.3. Series

Definición 11.21. Dada una sucesión (ai )i∈N, de elementos de un espacio normado E , la serie∑∞

i=1 ai

en E , es la sucesión (Sn)n∈N, de las sumas parciales Sn :=∑ni=1 ai .

Observación 11.22. Pruebe que dada una sucesión (sn)n∈N cualquiera de elementos de un espacionormado E , existe una única serie

∑∞i=1 ai en E , tal que sn =∑n

i=1 ai para todo n. En otras palabras,pruebe que cada sucesión de elementos de un espacio normado es una serie.

Como una serie∑∞

i=1 ai en E no es otra cosa que una sucesión de elementos de E , tiene sen-tido decir que es convergente o converge. Esto significa simplemente que la sucesión (Sn)n∈N esconvergente. En este caso decimo también que la serie es sumable.

165

11.3 Series Espacios normados y espacios de Banach

Definición 11.23. Si una serie∑∞

i=1 ai en E converge, y s = lımn→∞ Sn , entonces decimos que s es ellímite o la suma de

∑∞i=1 ai , y escribimos s :=∑∞

i=1 ai , siguiendo la costumbre bien establecida, quesolo abandonaremso si es necesario para evitar ambiguedades, de denotar con el mismo símbolo alas series convergentes y a su suma.

Proposición 11.24. Supongamos∑∞

i=1 ai y∑∞

i=1 bi son series convergentes en E y λ es un escalar.Entonces las series

∑∞i=1(ai +bi ) y

∑∞i=1λ ·ai son convergentes. Además,

∞∑i=1

(ai +bi ) =∞∑

i=1ai +

∞∑i=1

bi y∞∑

i=1λ ·ai =λ ·

∞∑i=1

ai .

Demostración. Escribamos s :=∑∞i=1 ai y t :=∑∞

i=1 bi . Por hipótesis, dado ε> 0 existe n0 ∈N tal que∥∥s −∑ni=1 ai

∥∥ y∥∥t −∑n

i=1 bi∥∥ son menores que ε para todo n > n0. Entonces∥∥∥∥s + t −

n∑i=1

(ai +bi )

∥∥∥∥=∥∥∥∥s −

n∑i=1

ai + t −n∑

i=1bi

∥∥∥∥≤∥∥∥∥s −

n∑i=1

ai

∥∥∥∥+∥∥∥∥t −n∑

i=1bi

∥∥∥∥< 2ε

y ∥∥∥∥λ · s −n∑

i=1λ ·ai

∥∥∥∥=∥∥∥∥λ · s −λ

n∑i=1

λ ·ai

∥∥∥∥= |λ|∥∥∥∥s −λ

n∑i=1

ai

∥∥∥∥< |λ|ε

para todo n > n0. Como ε es arbitrario esto termina la demostración.

Proposición 11.25. Una serie∑∞

i=1 ai en un espacio de Banach E converge si y solo si para todo ε> 0

existe n0 ∈N tal que∥∥∑m+l

i=m ai∥∥< ε para todo m ≥ n0 y l ≥ 0.

Demostración. Escribamos Sn :=∑ni=1 ai . Como E es de Banach,

∑∞i=1 ai es convergente si y solo si la

sucesión (Sn)n∈N es de Cauchy. Esto es, si y solo si para todo ε> 0 existe n0 ∈N tal que∥∥∥∥m+l∑i=m

ai

∥∥∥∥= ‖Sm+l −Sm‖ < ε

siempre que m ≥ n0 y l ≥ 0.

Observación 11.26. Por la proposición anterior, para que una serie∑∞

i=1 ai en un espacio de Banachsea convergente, es necesario que la sucesión (an)n∈N tienda a 0. Pero esta condición no es suficiente,como se comprueba considerando la serie armónica

∑∞i=1

1i enR, que la satisface y no converge.

Definición 11.27. Decimos que una serie∑∞

i=1 ai en un espacio normado E es absolútamente con-vergente si la serie de números reales

∑∞i=1 ‖ai‖ converge.

Proposición 11.28. En un espacio de Banach toda serie absolutamente convergente converge.

Demostración. Supongamos que E es un espacio de Banach y que∑∞

i=1 ai es una serie en E , que esabsolutamente convergente. Entonces, como

∑∞i=1 ‖ai‖ es de Cauchy y

‖an0 +·· ·+am0‖ ≤ ‖an0‖+·· ·+‖am0‖ para todo n0 < m0,

la serie∑∞

i=1 ai es de Cauchy, y, por lo tanto, convergente.

166

Espacios normados y espacios de Banach 11.3 Series

Ejercicio 11.29. Pruebe que si en un espacio normado E toda sucesión absolutamente conver-gente converge, entonces E es de Banach. Dicho de otro modo, pruebe que vale la recíproca de laProposición 11.28.

INDICACIÓN: Use que si una sucesión (xn)n∈N de puntos de E es de Cauchy, entonces tiene unasubsucesión

(xn j

)j∈N tal que

∥∥xi j −xi j+1

∥∥≤ 12 j para todo j .

Proposición 11.30. Si una serie∑∞

i=1 ai en un espacio de Banach E es absolutamente convergen-te, entonces

∑∞i=1 a j (i ) es absolutamente convergente para cada función biyectiva j : N→N y, ade-

más,∑∞

i=1 a j (i ) =∑∞i=1 ai .

Demostración. Para cada ε> 0, escribamos rε := max{

j−1(i ) : 1 ≤ i < n0}+1, donde n0 es el mínimo

número natural tal que∑∞

i=n0‖ai‖ < ε. Por la misma definición de rε,

∞∑i=rε

‖a j (i )‖ ≤∞∑

i=n0

‖ai‖ < ε,

lo que prueba que∑∞

i=1 a j (i ) es absolutamente convergente. Para concluir que la segunda afirmaciónes verdadera es suficiente notar que∥∥∥∥∥ n∑

i=1ai −

n∑i=1

a j (i )

∥∥∥∥∥≤∞∑

i=n0

‖ai‖ < ε

para todo n ≥ rε, porque para cada i < n0 existe li < rε tal que j (li ) = i .

El resultado anterior dice que en los espacios de Banach las series absolutamente convergentesconvergen en forma incondicional. Esto es, que todos los reordenamientos de estas series convergen,y la suma siempre es la misma. Es bien sabido que para las series numéricas vale la recíproca, y estotambién es cierto para las series en espacios de Banach de dimensión finita, pero deja de serlo enespacios de dimensión infinita. Por ejemplo, en l∞ la serie

∑∞i=1

1i ei , donde ei es la sucesión cuya

única coordenada no nula es la i -ésima, que vale 1, converge en forma incondicional a (1, 12 , 1

3 , . . . ),pero no converge absolutamente porque

∑∞i=1

∥∥1i ei

∥∥=∑∞i=1

1i =∞. Para un tratamiento profundo de

la convergencia condicional e incondicional de series referimos al lector al excelente libro [?]. Noso-tros aquí nos limitaremos a presentar la noción familia sumable y su relación con la convergenciaincondicional

11.3.1. Familias sumables

Definición 11.31. Una familia (ai )i∈I , de elementos de un espacio de Banach E , es sumable consuma a si para todo ε> 0 existe un subconjunto finito I0 de I tal que∥∥∥a −∑

i∈Jai

∥∥∥< ε

para todo subconjunto finito J de I , que incluye a I0.

Ejercicio 11.32. Pruebe que si una familia (ai )i∈I de elementos de E es sumable con suma a y essumable con suma b, entonces a = b.

INDICACIÓN: Esto no es del todo trivial. Si no entiende que se pide en el ejercicio vea la Observa-ción 1.95.

167

11.4 Espacios normados separables Espacios normados y espacios de Banach

11.4. Espacios normados separables

Proposición 11.33. Si un espacio normado E tiene una sucesión de elementos (xn)n∈N que genera unsubespacio denso, entonces es separable.

Demostración. Consideremos elQ-subespacio vectorial

⟨x1, x2, . . .⟩Q ={{∑∞

i=1λi · xi :λi ∈Q y \{i :λi 6= 0} <∞}si k =R,{∑∞

i=1λi · xi :λi ∈Q[i ] y \{i :λi 6= 0}<∞} si k =C,

de E . Es fácil ver que ⟨x1, x2, . . .⟩Q es numerable y ⟨x1, x2, . . .⟩Q = ⟨x1, x2, . . .⟩ = E .

Corolario 11.34. Los espacios lp (k) (1 ≤ p <∞) son separables.

Demostración. Por la Proposición 11.33, para verificar que esta afirmación es verdadera basta probarque el conjunto {ei : i ∈N}, donde ei es el elemento de lp (k) cuyas coordenadas son todas 0, exceptola i -ésima, que vale 1, genera un subespacio denso de lp (k). Pero esto es cierto, porque para cadaelemento x = (x1, x2, x3, . . . ) de lp (k),

∥∥∥∥x −n∑

i=1xi ·ei

∥∥∥∥p=

(∑i>n

|xi |p) 1

p

,

tiende a cero cuando n tiende a ∞.

Ejemplo 11.35. El espacio de Banach l∞(k) no es separable, porque dado un conjunto numerablearbitrario {xn = (xn1 , xn2 , . . . ) : n ∈N} ⊆ l∞, la sucesión y = (y1, y2, . . . ), definida por

y j :={

0 si |x j j | ≥ 1,

2 en otro caso,

está a una distancia mayor o igual a 1 de cada xn .

Definición 11.36. Una base de Schauder de un k-espacio normado E es una sucesión (xn)n∈N deelementos de E tal que para cada x ∈ E hay única sucesión de escalares (λn)n∈N tal que x =∑∞

i=1λi xi .

Observación 11.37. Por la unicidad de los λn ’s, un espacio normado que tiene una base de Schauderno puede tener dimensión finita.

Ejemplo 11.38. Para cada p ∈ (1,∞), la sucesión (ei )i∈N, donde ei es como en el Corolario 11.34, esuna base de Schauder de lp (k).

Observación 11.39. Es claro que cada base de Schauder (xn)n∈N satisface la condición pedida en laProposición 11.33. Así todo espacio normado que tiene una es separable. Banach preguntó si todoespacio de Banach separable de dimensión infinita tiene una base de Schauder. En 1973 Per Enflorespondió esta pregunta dando ejemplos de espacios de Banach separables de dimensión infinitaque no tienen bases de Schauder.

168

Espacios normados y espacios de Banach 11.5 Cocientes de espacios normados

11.5. Cocientes de espacios normados

Recordemos que el espacio cociente de un k-espacio vectorial V por un subespacio S es elconjunto V /S = {v : v ∈V }, donde v denota a v +M 4, con la estructura de espacio vectorial dada por

v +w = v +w y λ · v para todo v, w ∈V y λ ∈ k.

Recordemos también que la proyección canónica

Vp

V /Sv v

es un morfismo de espacios vectoriales, y que dado un morfismo de espacios vectoriales f : V →Wcon S ⊆ ker f , hay un único morfismo f : V /S −→W tal que f = f ◦p.

Teorema 11.40. Supongamos que E es un espacio normado y S es un subespacio de E. La fun-ción ‖ ‖E/S : E/S −→ R≥0, definida por ‖v‖E/S := d(v,S) = ınf{‖w‖ : w ∈ v −S}, es una pseudonormaque es una norma si y solo si S es cerrado. Más aún, ‖v‖ = 0 si y solo si v ∈ S. Por último, si E es deBanach y S es cerrado, entonces E/S es de Banach.

Demostración. Notemos primero que la definición de ‖v‖E/S no depende de v , sino solo de suclase, porque v − S = u − S si u ∼ v . Es claro ‖v‖E/S ≥ 0 para todo v ∈ E . Además, por su mismadefinición, ‖v‖ es cero si y solo si 0 ∈ v −S, o, equivalentemente, v ∈ S[1]. Por las definiciones de laacción de k sobre E y de ‖ ‖E/S ,

‖λ · v‖E/S = ‖λ · v‖E/S = ınf{‖x‖ : x ∈λ · v −S},

y como λ · v −S =λ · (v −S) si λ 6= 0 e ınf{‖x‖ : x ∈ S} = 0,

ınf{‖x‖ : x ∈λ · v −S} = ınf{‖λ · y‖ : y ∈ v −S} = |λ| ınf{‖y‖ : y ∈ v −S} = |λ|‖v‖E/S .

Por lo tanto la función ‖ ‖ es homogénea. También es subaditiva porque, debido a las definiciones desuma en E/S y de ‖ ‖E/S ,

‖v +w‖E/S = ‖v +w‖E/S = ınf{‖x‖ : x ∈ v +w −S},

y porque

ınf{‖x‖ : x ∈ v +w −S} ≤ ınf{‖y‖+‖z‖ : y + z ∈ v +w −S}

≤ ınf{‖y‖ : y ∈ v −S}+ ınf{‖z‖ : z ∈ w −S}

= ‖v‖E/S +‖w‖E/S ,

donde la primera desigualdad vale por la subaditividad de ‖ ‖ y la segunda porque dado ε> 0,

‖y‖+‖z‖ ≤ ınf{‖y‖ : y ∈ v −S}+ ınf{‖z‖ : z ∈ w −S}+2ε

para cada y ∈ v −S y z ∈ w −S tales que ‖y‖ ≤ ‖v‖E/S +ε y ‖z‖ ≤ ‖w‖E/S +ε. Supongamos ahora queE es de Banach y que

∑∞i=1 vi es una serie absolutamente convergente. Si elijimos los vi ’s de forma

4El hecho de que la misma notación es usada para denotar la adherencia de un conjunto no debería causar problemas.

169

11.5 Cocientes de espacios normados Espacios normados y espacios de Banach

tal que ‖vi‖ ≤ ‖v‖E/S + 12i , entonces por la Proposición 11.28 la serie

∑∞i=1 vi convege, digamos que

a s. Como ∥∥∥∥s −n∑

i=1vi

∥∥∥∥=∥∥∥∥s −

n∑i=1

vi

∥∥∥∥≤∥∥∥∥s −

n∑i=1

vi

∥∥∥∥para todo n,y la última expresión tiende a cero cuando n tiende a infinito,

∑∞i=1 vi converge. Por el

Ejercicio 11.29, esto implica que E/S es de Banach.

Ejercicio 11.41. Supongamos que E es un espacio normado y S es un subespacio cerrado de E .Pruebe que si S y E/S son completos, entonces E es completo.

En el resto de la sección E es un espacio normado, S es un subespacio de E y p : E −→ E/S es laproyección canónica.

Lema 11.42 (Lema de Riez). Si S no es denso en E, entonces para cada ε> 0 existe un elemento v en laesfera unitaria S1(0) tal que d(v,S) > 1−ε.

Demostración. Tomemos u ∈ E \ S y escribamos a := d(u,S) = ınf{u − s : s ∈ S}. Puesto que u ∉ S,necesariamente a > 0. Fijemos δ > 0 y elijamos s ∈ S tal que a ≤ ‖u − s‖ < a +δ. Entonces v :=

1‖u−s‖ · (u − s) tiene norma 1 y

‖v − t‖ =∥∥∥∥ 1

‖u − s‖ · (u − s)− t

∥∥∥∥= 1

‖u − s‖‖u − (s +‖u − s‖ · t )‖ > a

a +δpara todo s ∈ S. Por consiguiente, escogiendo δ lo suficientemente pequeño como para que a

a+δ seamayor que 1−ε, conseguiremos que d(v,S) sea mayor que 1−ε, como deseamos.

Observación 11.43. Si S es denso en E , entonces ‖ ‖E/S es la seminorma nula de E/S (esto es claropor la definición de ‖ ‖ y porque cada punto de E tiene puntos de S arbitrariamente cerca). Enconsecuencia el conjunto vacío y E/S son los únicos abiertos de E/S y ‖p‖ = 0. Además p(U ) = E/Spara cada subconjunto abierto no vacío U de E , porque x −S es denso en E para cada punto x de E ,con lo cual p(x) ∈ p(U ). En particular p es abierta. Veremos ahora que esto también es cierto cuandoS no es denso.

Teorema 11.44. Si S no es denso en E, entonces p es una función lineal acotada de norma 1 que esabierta.

Demostración. Ya sabemos que p es lineal. Por el Lema de Riez ‖p‖ = supv∈§1(0) ‖p(v)‖E/S ≥ 1. Pe-ro ‖p‖ ≤ 1 porque

‖p(v)‖ = ınf{‖w‖ : w ∈ v −S} ≤ ‖v‖ para todo v ∈ E .

Así que, necesariamente, ‖p‖ = 1. Resta verificar que p es abierta. Como cada abierto U de E esunión U =⋃

x∈U Brx (x) de bolas abiertas y

p

( ⋃x∈U

Brx (x)

)= ⋃

x∈Up

(Brx (x)

),

para ello bastará ver que p(Br (x)

)= Br (p(x)) para cada x ∈ E y cada r > 0. Pero p(Br (x)

)⊆ Br (p(x))porque ‖p‖ = 1, y, por la misma definición de la distancia de E/S, dado y ∈ Br (p(x)), existe s ∈ S talque d E (y − s, x) < r , con lo cual y = p(y − s) ∈ p

(Br (x)

).

170

Espacios normados y espacios de Banach 11.6 Normas equivalentes

Proposición 11.45. Supongamos que S es un subespacio de un espacio normado E. Las siguientesafirmaciones son verdaderas:

1. Un subconjunto U de E/S es abierto en E/S si y solo si su preimagen p−1(U ), por la proyeccióncanónica p : E −→ E/S, es abierto en E.

2. Una función g : E/S −→ X , de E/S en un espacio métrico X , es continua si y solo si g ◦ p escontinua.

3. Dados un espacio normado F y una función lineal continua f : E → F con S ⊆ ker f , existe unaúnica función lineal continua f : E/S −→ F tal que el triángulo

E F

E/S

f

pf

conmuta.

Demostración. 1. Como p es continua, si U es abierto, entonces p−1(U ) también lo es. Recíproca-mente, como p es abierta y sobreyectiva, si p−1(U ) es abierto, entonces U = p(p−1(U )) es abierto.

2. Por el item 1 sabemos que para cada subconjunto U de F , el conjunto f −1(U ) es abierto si y solosi f −1(U ) = p−1

(f −1(U )

)es abierto. En consecuencia, por la equivalencia entre los items 1 y 2 del

Teorema 3.6, la función f es continua si y solo si f lo es.

3. Esto es un corolario inmediato del item 2 y de la propiedad universal de (E/S, p) como cocientede espacios vectoriales.

Ejercicio 11.46. Supongamos que S y T son subespacios de un espacio normado E . Pruebe que si Ses cerrado y T tiene dimensión finita, entonces S +T es cerrado.

11.6. Normas equivalentes

Definición 11.47. Decimos que dos normas ‖ ‖1 y ‖ ‖2, definidas sobre un espacio vectorial E ,son equivalentes, y escribimos ‖ ‖1 ∼ ‖‖2 si la función identidad id: (E ,‖ ‖1) −→ (E ,‖ ‖2) es unhomeomorfismo.

Observación 11.48. Es suficiente comparar las Definiciones 11.47 y 3.85 para concluir que dos normasson equivalentes si y solo si las métricas asociadas a ellas son topológicamente equivalentes. Unavez notado esto es claro que los Ejercicios 3.93 y 3.95 pueden plantearse como ejercicios sobreequivalencia de normas.

El siguiente resultado explica en particular porque no se definen dos nociones de equivalenciaentre normas, como se hizo con las distancias.

Proposición 11.49. Para cada par de normas ‖ ‖1 y ‖ ‖2, definidas sobre un espacio vectorial E, lassiguientes afirmaciones son equivalentes:

1. ‖ ‖1 y ‖ ‖2 son equivalentes.

2. las funciones id: (E ,‖ ‖1) −→ (E ,‖ ‖2) y id: (E ,‖ ‖2) −→ (E ,‖ ‖1) son continuas en 0.

171

11.6 Normas equivalentes Espacios normados y espacios de Banach

3. idE es uniformemente continua cuando consideramos al dominio con la norma ‖ ‖1 y al codo-minio con la norma ‖ ‖2 y cuando consideramos al dominio con la norma ‖ ‖2 y al codominiocon la norma ‖ ‖1.

4. Existen c1 y c2 enR> 0 tales que ‖x‖1 ≤ c1‖x‖2 y ‖x‖2 ≤ c2‖x‖1 para todo x ∈ E.

Demostración. 1. ⇔ 2. ⇔ 3. Por la equivalencia entre los items 2 y 3 del Teorema 11.11.

3. ⇒ 4. Como id: (E ,‖ ‖2) −→ (E ,‖ ‖1) es continua, existe δ> 0 tal que B‖ ‖2

δ[0] ⊆ B‖ ‖1

1 [0]. Por consi-

guiente δ ‖x‖1‖x‖2

≤ 1 para todo x ∈ E \ {0}, o, lo que es equivalente, ‖x‖1 ≤ 1δ‖x‖2 para todo x ∈ E . Así, la

primera desigualdad en el item 4 vale con c1 = 1δ . La otra desigualdad se prueba en forma similar.

4. ⇒ 2. Dado ε> 0, si ‖x‖2 < εc1

, entonces ‖x1‖ < ε, y si ‖x‖1 < εc2

, entonces ‖x2‖ < ε.

Supongamos que E y F son k-espacios normados. Como una función lineal f : E → F es acotadasi y solo si es continua, y la continuidad o no de una función depende solo de cuales son los abiertosde E y F , el espacio L (E ,F ) no cambia si cambiamos las normas ‖ ‖E y ‖ ‖F , de E y F , por normasequivalentes ‖ ‖′E y ‖ ‖′F . Por supuesto la norma sobre F (E ,F ) construída a partir de ‖ ‖E y ‖ ‖F nocoincide con la construída a partir de ‖ ‖′E y ‖ ‖′F . En el siguiente ejercicio pedimos mostrar que sison equivalentes.

Ejercicio 11.50. Pruebe que bajo las condiciones anteriores la norma sobre L (E ,F ) construídausando las normas ‖ ‖E y ‖ ‖F es equivalente a la construída usando las normas ‖ ‖′E y ‖ ‖′F .

El resultado que sigue permite resolver en forma inmediata los Ejercicios 3.93 y 3.95.

Teorema 11.51. Si E es un k-espacio vectorial de dimensión finita (k =R o C), entonces todas lasnormas de E son equivalentes.

Demostración. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que E = kn y que una de las normas esla norma ‖ ‖∞. Denotemos con ‖ ‖ a la otra norma y con (e1, . . . ,en) a la base canónica de kn . Cadavector x = (x1, . . . , xn) ∈ kn satisface

‖x‖ = ‖x1 ·e1 +·· ·+xn ·en‖ ≤ |x1|‖e1‖+·· ·+ |xn |‖en‖ ≤ nM‖x‖∞,

donde M = max(‖e1‖, . . . ,‖en‖). Así, para todo par de vectores x, y ∈ kn ,

|‖x‖−‖y‖| ≤ ‖x − y‖ ≤ nM‖x − y‖∞.

En consecuencia, la aplicación ‖ ‖ : (kn ,‖ ‖∞) −→ k continua. Como {x ∈ kn : ‖x‖∞ = 1} es compacto,existen c1,c2 > 0, tales que c1 ≤ ‖x‖ ≤ c2 para todo x ∈ kn con ‖x‖∞ = 1. Pero esto implica que

‖x‖ = ‖x‖∞∥∥∥∥ x

‖x‖∞

∥∥∥∥≤ c2‖x‖∞ y ‖x‖ = ‖x‖∞∥∥∥∥ x

‖x‖∞

∥∥∥∥≥ c1‖x‖∞

para cada x ∈ kn \ {0}.

Corolario 11.52. Los siguientes hechos valen:

1. Cada k-espacio vectorial de dimensión finita es completo con cualquier norma.

2. En cada espacio vectorial de dimensión finita un conjunto es compacto si y solo si es cerrado yacotado.

3. En cada espacio normado los subespacios de dimensión finita son cerrados.

172

Espacios normados y espacios de Banach 11.7 Contracciones lineales

4. En cada espacio vectorial de dimensión finita las bolas cerradas son compactas.

Demostración. 1. Tomemos un k-espacio vectorial de dimensión finita E . Como cadaC-espaciovectorial de dimensión finita tiene dimensión finita sobreR, basta probarlo k =R. Además, comotodo R-espacio vectorial de dimensión finita es isomorfo a Rn para algún n, podemos suponerque E =Rn . Una vez hecha esta reducción, el item 1 se sigue inmediatamente del Teorema 11.51 ydel hecho de que (Rn ,‖ ‖∞) es completo, por el Corolario 6.16.

2. Sabemos que esto es cierto para (Rn ,‖ ‖∞). Pero entonces lo es también para (Rn ,‖ ‖), donde ‖ ‖es una norma arbitraria, porque por el Teorema 11.51, los espacios normados (Rn ,‖ ‖∞) y (Rn ,‖ ‖),tienen los mismos subconjuntos cerrados, los mismos subconjuntos acotados, y los mismos sub-conjuntos compactos. Esto es suficiente para inferir que el enunciado del item 3 es verdadero paratodos los espacios normados de dimensión finita, porque cada uno es isométricamente isomorfo aun (Rn ,‖ ‖) mediante un isomorfismo lineal.

3. Esto es una consecuencia inmediata del item 2.

4. Esto es una consecuencia directa del item 1 y la Proposición 6.13.

Ejercicio 11.53. Pruebe que las siguientes afirmaciones son equivalentes para cada k-espacio nor-mado E .

1. dimE <∞.

2. Las bolas cerradas de E son compactas.

3. B1[0] es un subconjunto compacto de E .

INDICACIÓN: En el Corolario 11.52 se probó que el primer item implica el segundo. Para probar queel tercero implica el primero use el Lema de Riez.

Proposición 11.54. Si dimk (E) <∞, entonces Homk (E ,F ) =L (E ,F ) para todo espacio normado F .

Demostración. Por el Teorema 11.51 basta probarlo cuando E es kn provisto con la norma ‖ ‖∞. Eneste caso toda transformación lineal f : E → F es acotada porque, para cada x = (x1, . . . , xn) ∈ kn

‖ f (x)‖ = ‖ f (x1 ·e1 +·· ·+xn ·en)‖ ≤ |x1|‖ f (e1)‖+·· ·+ |xn |‖ f (en)‖ ≤ M‖x‖∞,

donde M = ‖ f (e1)‖+·· ·+‖ f (en)‖).

11.7. Contracciones lineales en espacios vectoriales complejos dedimensión finita

Esta sección está relacionada directamente con el Ejemplo 9.11 y los comentarios que le siguen.Antes de continuar recordemos brevemente lo más relevante para nosotros ahora de ese ejemplo.Dada una matriz C ∈ Mm(C) y un vector b ∈Cm , consideramos la aplicación afín TC ,b : Cm →Cm

definida por TC ,b(z) =C z +b (estamos escribiendo los elementos deCm como vectores columnas), yvimos que TC ,b es una contracción respecto de una norma ‖ ‖ deCm si y solo si existe 0 ≤ κ< 1 talque

‖TC (z)‖ ≤ κ‖z‖ todo z ∈Cm ,

donde TC := TC ,0. Así, TC ,b es una contracción respecto de ‖ ‖ si y solo si ‖TC‖ < 1. Hasta ahora lanorma de ‖C‖ es arbitraria, pero fija. Si permitimos que varíe arribamos a una cuestión muy natural,

173

11.7 Contracciones lineales Espacios normados y espacios de Banach

que mencionamos luego de ese ejemplo pero dejamos pendiente, y a la que volvemos ahora, que es lade encontrar condiciones necesarias y suficientes sobre C para que TC sea una contracción respectode alguna norma ‖ ‖ deCn . Por simplicidad, en el resto de la sección para cada matriz A ∈ Mm(C)denotamos también con A a la transformación lineal TA : Cm →Cm , asociada a A.

Observación 11.55. Fijemos una norma ‖ ‖ enCm y una matriz inversible U ∈ Mm(C). Por el Ejem-plo 1.74 sabemos que la función ‖ ‖U : Cm →R≥0, definida por ‖z‖U := ‖Uz‖, es una norma. Además,las igualdades

‖C‖U = sup‖z‖U=1

‖C z‖U = sup‖z‖U=1

‖UC z‖ = sup‖Uz‖=1

‖UCU−1Uz‖ = sup‖w‖=1

‖UCU−1w‖ = ‖UCU−1‖,

muestran que ‖C‖U = ‖UCU−1‖ para cada matriz C ∈ Mm(C).

Definición 11.56. El espectro de una matriz C ∈ Mm(C) es el conjunto de sus autovalores.

Definición 11.57. El radio espectral %(C ) de una matriz C ∈ Mm(C), es el máximo de los valoresabsolutos de los autovalores de C . Así, %(C ) = max(|λ| :λ es un autovalor de C ).

Observación 11.58. Consideremos una matriz C ∈ Mm(C). Si v ∈Cm es un autovector cuyo autovalorλ tiene módulo %(C ), entonces ‖C v‖ = %‖v‖. Por lo tanto ‖C‖ ≥ %(C ).

Ejercicio 11.59. Pruebe que para cada m ≥ 2 existen matrices C ∈ Mm(C), tales que para toda norma‖ ‖ deCm , la norma inducida ‖C‖ es estrictamente mayor que el radio espectral de C .

Notación 11.60. Dados números complejos λ y ζ denotamos con Jt (λ,ζ) a la matriz

Jt (λ,ζ) =

λ . . . . . . . . . . .

ζ . . . . . . . .

0

0 ζ

λ

∈ Mt (C). (11.5)

Por ejemplo, Jt (λ,1) es el bloque de Jordan de tamaño t , con autovalor λ.

Lema 11.61. Para cada ε> 0, existe una norma ‖ ‖ sobreCm tal que ‖C‖ < %(C )+εDemostración. Por el Teorema de Jordan existe una matriz inversible U tal que J :=UCU−1 es unamatriz de Jordan. Lo que esto dice es que J es una matriz de bloques

J1 . . . . . . . . . . .

0

0Jr

,

donde cada Ji es un bloque de Jordan. Esta matriz es única, salvo por una permutación de losbloques de Jordan. Además, como C y J tienen los mismos autovalores, %(J ) = %(C ). Para cada δ> 0consideremos la matriz diagonal Dδ :=∑m

i=1δ1−i Ei i , donde Ei i es la matriz que tiene un uno en la

174

Espacios normados y espacios de Banach 11.8 Isometrías en espacios normados

intersección de la i -ésima fila con la i -ésima columna y ceros en todas las demás entradas. Es fácilver que Dδ es inversible (con inversa Dδ−1 ) y que Dδ JD−1

δes la matriz

J =

J1 . . . . . . . . . . .

0

0Jr

,

donde Ji = Jt (λ,δ) si Ji = Jt (λ,1). En consecuencia, por la Observación 11.55, la desigualdad (9.4) yel hecho de que %( J ) = %(J ) = %(C ), si δ< ε, entonces

‖C‖DδU∞ = ‖DδUCU−1D−1

δ ‖∞ = ‖ J‖∞ < %( J )+ε= %(C )+ε,

lo que termina la demostración.

Proposición 11.62. Para cada matriz C ∈ Mm(C), son equivalentes:

1. lımn→∞C n = 0 respecto de todas las normas de Mm(C).

2. lımn→∞C n = 0 respecto de alguna norma de Mm(C).

3. lımn→∞C n z = 0 respecto de todas las normas deCm , para todos los vectores z ∈C m .

4. lımn→∞C n z = 0 respecto de alguna norma deCm , para todos los vectores z ∈C m .

5. %(C ) < 1.

6. Existe una norma ‖ ‖ enCm , tal que la norma ‖C‖, de C respecto de la norma de Mm(C) inducidapor ‖ ‖, es menor que 1.

Demostración. 1. ⇒ 2. y 3. ⇒ 4. Por el Teorema 11.51 ambas afirmaciones son verdaderas.

1. ⇒ 3. Tomemos una norma arbitraria ‖ ‖ sobreC y denotemos con ‖C n‖ a la norma de C n respectode la norma de Mm(C) inducida por ‖ ‖. Como ‖C n z‖ ≤ ‖C n‖‖z‖ y ‖C n‖ tiende a 0, también lasucesión(C n z)n∈N tiende a cero.

4. ⇒ 5. Si %(C ) ≥ 1, entonces la sucesión (C n z)n∈N = (λn ·z)n∈N no tiende a cero respecto de ningunanorma, para ningún autovector z ∈C m cuyo autovalor λ tiene norma %(C ).

5. ⇒ 6. Esto es una consecuencia inmediata del Lema 11.61.

6.⇒ 1. Consideremos primero la norma del item 6. Como ‖C‖ < 1y ‖C n‖ ≤ ‖C‖n , la sucesión (C n)n∈Ntiende a cero respecto de esta norma. Pero entonces, por el Teorema 11.51, también tiende a cerorespecto de cualquier otra norma.

11.8. Isometrías en espacios normados

En esta sección

Proposición 11.63. Supongamos que E y F son espacios normados. Una función lineal f : E → F esuna isometría si y solo si ‖ f (x)‖ = ‖x‖ para todo x ∈ E.

175

11.8 Isometrías en espacios normados Espacios normados y espacios de Banach

Demostración. Si f es una isometría, entonces

‖ f (x)‖ = d( f (x),0) = d(x,0) = ‖x‖

para todo x ∈ E . Recíprocamente, si se satisface esta condición, entonces

d( f (x), f (x ′)) = ‖ f (x)− f (x ′)‖ = ‖ f (x −x ′)‖ = ‖x −x ′‖ = d(x, x ′)

para todo x, x ′ ∈ E .

Observación 11.64. Si una función lineal f : E → F , donde E y F son espacios normados no nulos, esuna isometría, entonces

‖ f ‖ = sup‖x‖=1

‖ f (x)‖ = sup‖x‖=1

‖x‖ = 1.

La recíproca no vale. Por ejemplo, el endomorfismo deR2 dado por (x, y) 7→ (x,0) tiene norma 1 y noes una isometría.

Proposición 11.65. Si f : E → F es un isomorfismo lineal entre espacios normados, ‖ f ‖ ≤ 1 y ‖ f −1‖ ≤ 1,entonces f es una isometría.

Demostración. Cuando E y F son espacios nulos esto es claro. Supongamos entonces que E (y, porlo tanto, F ) son no nulos. Para cada x ∈ E ,

‖x‖ = ‖ f −1 ◦ f (x)‖ ≤ ‖ f −1‖‖ f (x)‖ ≤ ‖ f (x)‖.

Pero por otra parte, ‖ f (x)‖ ≤ ‖ f ‖‖x‖ ≤ ‖x‖, y en consecuencia, por la Proposición 11.63, f es unaisometría.

Ejemplo 11.66. Es evidente que la función j : E →L (k,E), definida por j (x)(λ) := λ · x, es lineal ybiyectiva, con inversa dada por j−1( f ) = f (1)[2]. Además, Por la Proposición 11.14

‖ j‖ = sup‖x‖=1

‖ j (x)‖ = sup‖x‖=1

sup|λ|=1

‖ j (x)(λ)‖ = sup‖x‖=1

sup|λ|=1

|λ|‖x‖ = 1

y

‖ j−1‖ = sup‖ f ‖=1

‖ j−1( f )‖ = sup‖ f ‖=1

‖ f (1)‖ ≤ sup‖ f ‖=1

‖ f ‖ = 1.

Así, por la Proposicion 11.65, j es una isometría.

Definición 11.67. Decimos que una función f : V →W , donde V y W sonR-espacios vectoriales,es afín si f (t · x + (1− t ) · y) = t · f (x)+ (1− t ) · f (y) para todo x, y ∈V y t ∈R.

Ejercicio 11.68. Pruebe que toda función afín aplica conjuntos convexos en conjuntos convexos.

Ejercicio 11.69. Pruebe que si f : U → V y g : V → W son funciones afines, entonces también loes g ◦ f . En otras palabras, pruebe que las funciones afines son cerradas por composición.

Ejemplos 11.70. Recordemos que para cada v ∈V la traslación Tv : V →V , es la función que a cadaelemento x de V le suma v (Vease el Ejemplo 3.72). Las igualdades

Tv (t · x + (1− t ) · y) = t · x + (1− t ) · y + v = t · (x + v)+ (1− t ) · (y + v) = t ·Tv (x)+ (1− t ) ·Tv (y),

válidas para todo x, y ∈V y t ∈R, prueban que las traslaciones son funciones afines. Además, por lamisma definición de función afín, también lo son las funciones lineales.

176


El resultado que sigue dice en particular que todas las funciones afines son composición de unafunción lineal y una traslación. Esto muestra que las Definiciones 9.12 y 11.67 determinan el mismoconcepto.

Proposición 11.71. Para cada función f : V →W , donde V y W son espacios vectoriales, las siguientesafirmaciones son equivalentes:

1. f (t · x + (1− t ) · y) = t · f (x)+ (1− t ) · f (y) para todo x, y ∈V y t ∈ [0,1].

2. f es afín.

3. T− f (0) ◦ f es lineal.

Demostración. 1. ⇒ 2. Debemos probar que f (t · x + (1− t ) · y) = t · f (x)+ (1− t ) · f (y) para t ∉ [0,1].Supongamos que t < 0. Entonces 1

1−t ∈ [0,1] y, por lo tanto,

f (y) =(

1

1− t· (t · x + (1− t ) · y)+

(1− 1

1− t

)· x

)= 1

1− t· f (t · x + (1− t ) · y)+

(1− 1

1− t

)· f (x).

De este hecho se sigue que

f (t · x + (1− t ) · y) = t · f (x)+ (1− t ) · f (y), (11.6)

como queremos. Cuando t > 1, aplicando la igualdad 11.6 con t reemplazado por 1− t y(los roles dex e y cambiados, obtenemos que también en este caso

f (t · x + (1− t ) · y) = t · f (x)+ (1− t ) · f (y).


2. ⇒ 3. Un cálculo directo muestra que

T− f (0) ◦ f (t · x) = f (t · x + (1− t ) ·0)− f (0)

= t · f (x)+ (1− t ) · f (0)− f (0)

= t · ( f (x)− f (0))

= t ·T− f (0) ◦ f (x),

para todo t ∈R y x ∈V . Por lo tanto

T− f (0) ◦ f (x + y) = 2 ·T− f (0) ◦ f

(1

2· x + 1

2· y

)= 2 · f

(1

2· x + 1

2· y

)−2 · f (0)

= f (x)+ f (y)−2 · f (0)

= T− f (0) ◦ f (x)+T− f (0) ◦ f (y),

para todo x, y ∈V .Por el Ejercicio 11.69 y los Ejemplos 11.70,

f = T f (0) ◦T− f (0) ◦ f

es una función afín.

177

11.8 Isometrías en espacios normados Espacios normados y espacios de Banach

Ahora vamos a probar que bajo condiciones favorables las isometrías entre espacios de Banachson funciones afines. Recordemos que las bolas en un espacio de Banach son conjuntos convexos.

Definición 11.72. Un espacio normado E es estrictamente convexo si ninguna esfera de E incluyeun segmento.

Ejemplos 11.73. Para cada n ≥ 2, los espacios normados (Rn ,‖ ‖p ) (1 < p <∞) son estrictamenteconvexos y los espacios normados (Rn ,‖ ‖1) y (Rn ,‖ ‖∞) no lo son.

Ejercicio 11.74. Pruebe que las afirmaciones hechas en el ejemplo anterior son verdaderas.

Lema 11.75. Una función continua f : E → F , donde E y F son espacios normados, es afín si y solo

si f( x+y

2

)= f (x)+ f (y)2 para todo x, y ∈ E.

Demostración. Por la Proposición 11.71, para verificar que la afirmación no trivial es verdadera essuficiente probar que

f (t · x + (1− t ) · y) = t · f (x)+ (1− t ) · f (y) para todo x, y ∈ E y t ∈ [0,1].

Como f es continua, para ello basta ver que esto es cierto cuando t es racional diádico. Esto es,cuando t tiene la forma n

2i , con i ∈N0 y 0 ≤ n ≤ 2i . Cuando i = 1, lo es por hipótesis. Supongamosque lo es cuando i = i0. Entonces también lo es cuando i = i0 +1, como lo prueba la cuenta

f

(n

2i0+1· x +

(1− n

2i0+1

)· y

)= f

(n

2i0·(

1

2· x + 1

2· y

)+

(1− n

2i0

)· y

)= n

2i0· f

(1

2· x + 1

2· y

)+

(1− n

2i0

)· f (y)

= n

2i0+1· f (x)+

(1− n

2i0+1

)· f (y)

si 0 ≤ n ≤ 2i0 , y la cuenta

f

(n

2i0+1· x +

(1− n

2i0+1

)· y

)= f

(n −2i0

2i0· x +

(1− n −2i0

2i0

)·(

1

2· x + 1

2· y

))= n −2i0

2i0· f (x)+

(1− n −2i0

2i0

)· f

(1

2· x + 1

2· y

)= n

2i0+1· f (x)+

(1− n

2i0+1

)· f (y),

si 2i0 < n ≤ 2i0+1.

Teorema 11.76. Si E y F son espacios normados y F es estrictamente convexo, entonces toda isometríaf : E → F es afín.

Demostración. Por el Lema 11.75 solo debemos verificar que

f( x + y

2

)= f (x)+ f (y)

2para todo x, y ∈ E .

Como f es una isometría y ∥∥∥x − x + y

2

∥∥∥=∥∥∥y − x + y

2

∥∥∥= 1

2‖x − y‖,

178


para ello es suficiente probar que v := f (x)+ f (y)2 está a distancia 1

2‖x − y‖ de f (x) y f (y), y que ningúnotro punto de F tiene esta propiedad. Pero

‖ f (x)− v‖ = ‖ f (y)− v‖ = 1

2‖ f (x)− f (y)‖ = 1

2‖x − y‖

porque f es una isometría, y si hubiera otro punto w ∈ F con esta propiedad, entonces, como F esestrictamente convexo, y tantos v como w están en la esfera de radio 1

2‖x − y‖ con centro f (x) y enla esfera del mismo radio con centro f (y),

‖x − y‖ = ‖ f (x)− f (y)‖ ≤∥∥∥ f (x)− v +w

2

∥∥∥+∥∥∥ v +w

2− f (w)

∥∥∥< ‖x − y‖,

lo que es absurdo.

Mazur y Ulam probaron que para isometrías sobreyectivas la conclusión del teorema anteriorvale sin necesidad de que F sea estrictamente convexo. Nuestro próximo objetivo es establecer eseresultado.

Definición 11.77. La función antipodal de un espacio vectorial V es la función lineal AV : V → V ,definida por AV (x) :=−x para todo x ∈V .

Observación 11.78. Es claro que AV es un isomorfismo (con A−1V = AV ) para cada espacio vectorial V .

Observación 11.79. Supongamos que E es un espacio normado y tomemos x ∈ E arbitrario. Lasigualdades ‖AE (x)‖ = ‖−x‖ = ‖x‖ muestran que AE es una isometría.

Lema 11.80. Supongamos que E es un espacio normado y f : E → E es una isometría biyectiva. Siexiste x ∈ E tal que f (x) = x y f (−x) =−x, entonces f (0) = 0.

Demostración. Denotemos con W al conjunto de las isometrías biyectivas de E en E que dejanfijos los puntos x y −x, y escribamos λ := Sup{‖g (0)‖ : g ∈W }. Debemos probar que λ= 0. Para elloconviene notar primero que la función g := AE ◦ g−1 ◦ AE ◦ g está en W para cada g ∈W , porque escomposición de isometrías biyectivas,

g (x) = AE ◦ g−1(−x) = x y g (−x) = AE ◦ g−1(x) =−x,

y que λ es finito, porque

‖g (0)‖ ≤ ‖g (0)− g (x)‖+‖g (x)‖ = ‖−x‖+‖x‖ = 2‖x‖ para toda g ∈W ,

donde la desigualdad vale por la propiedad triangular de la norma, y la primera igualdad, porque ges una isometría y g (x) = x.

Supongamos que λ> 0, y tomemos g ∈W tal que ‖g (0)‖ >λ/2. Como AE y g son isometrías,

‖g (0)‖ = ‖AE ◦ g−1 ◦ AE ◦ g (0)‖ = ‖g−1 ◦ AE ◦ g (0)‖ = ‖AE ◦ g (0)− g (0)‖ = 2‖g (0)‖ >λ,

lo que es absurdo, porque g ∈W . Así que λ= 0, como queremos.

Lema 11.81. Tomemos una función biyectiva h : E → F , donde E y F son espacios normados, yconsideremos la función h : E → E definida por h := AE ◦h−1 ◦ AF ◦h. Si h(0) = 0, entonces h(0) = 0.

179

11.9 Transformaciones lineales inversibles Espacios normados y espacios de Banach

Demostración. En efecto, si h(0) = 0, entonces

AF ◦h(0) = h ◦ AE ◦ h(0) = h ◦ AE (0) = h(0),

lo que solo es posible si h(0) = 0.

Teorema 11.82 (Mazur-Ulam). Toda isometría biyectiva f : E → F entre espacios normados es unafunción afín.

Demostración. Por el Lemma 11.75, para ver que f es afín es suficiente mostrar que

f( x + y

2

)= f (x)+ f (y)

2para todo x, y ∈ E ,

o, equivalentemente, que hx,y (0) = 0 para todo x, y ∈ X , donde hx,y es la isometría biyectiva

hx,y := T− f (x)+ f (y)2

◦ f ◦T x+y2

.

Por el Lema 11.81, para ello basta comprobar que cero es un punto fijo de la función

hx,y := AE ◦h−1x,y ◦ AF ◦hx,y .

Pero esto es cierto por el Lema 11.80, porque

hx,y

( x − y

2

)= x − y

2, hx,y

( y −x

2

)= y −x

2[3]

y hx,y es una isometría biyectiva por ser composición de isometrías biyectivas.

11.9. Transformaciones lineales inversibles

Recordemos que un álgebra conmutativa sobre un cuerpo k es un anillo conmutativo A juntocon un morfismo de anillos i : k → A.

Definición 11.83. Una k-álgebra (no necesariamente conmutativa) es un anillo A junto con unmorfismo de anillos i : k → A tal que i (λ)a = ai (λ) para todo a ∈ A y λ ∈ k.

Ejemplo 11.84. El anillo de matrices Mn(k) es un álgebra via la aplicación i : k → Mn(k) definidapor i (λ) :=λ · I , donde I es la matriz identidad.

Observación 11.85. Si A es una k-álgebra, entonces A es un k-espacio vectorial via λ ·a := i (λ)a, y

λ · (ab) = (λ ·a)b = a(λ ·b) (11.7)

para todo λ ∈ k y a,b ∈ A. Recíprocamente, cada anillo A provisto de una estructura de k espaciovectorial que satisface (11.7) es una k-álgebra con i (λ) :=λ ·1.

Definición 11.86. Un álgebra de Banach es una k-álgebra A, dotada de una estructura de espacio deBanach tal que ‖ab‖ ≤ ‖a‖‖b‖ para todo a,b ∈ A.

Observación 11.87. En toda álgebra de Banach ‖1‖ ≥ 1, porque ‖1‖ 6= 0 y

‖1‖ = ‖1×1‖ ≤ ‖1‖2.

Observación 11.88. Del Teorema 11.19 y la Proposición 11.18 se sigue inmediatamente que L (E) esun álgebra de Banach. El morfismo de estructura i : k →L (E) está dado por i (λ) =λ · idE .

180

Espacios normados y espacios de Banach 11.9 Transformaciones lineales inversibles

11.9.1. Elementos Inversibles de L (E)L (E)L (E)

En esta subsección establecemos algunas propiedades básicas del grupo de unidades del álgebrade funciones lineales continuas L (E ) de un espacio de Banach E , o, más generalmente, del grupo deunidades de un álgebra de Banach.

Observación 11.89. Dada un álgebra de Banach A, la serie ex := ∑∞i=0

x i

i ! es convergente para cadax ∈ A, porque lo es absolutamente. La función x 7→ ex , definida por esta serie es, por definición, lafunción exponencial de A.

Ejercicio 11.90. Pruebe que la función exponencial de un álgebra de Banach A tiene las siguientespropiedades:

- e0 = 1.

- Si x, y son elementos de A que conmutan, entonces ex+y = ex e y .

- ex es inversible para todo x ∈ A y (ex )−1 = e−x .

Notación 11.91. Dada una álgebra A, denotamos con U(A) al grupo de elementos inversibles de A.

Lema 11.92. Si A es un álgebra de Banach, entonces 1+B1(0) = 1−B1(0) ⊆ U(A).

Demostración. La igualdad se cumple porque B1(0) =−B1(0). Consideremos la inclusión. Si x ∈ B1(0),entonces la serie 1+x +x2 +·· · es absolutamente convergente porque

1+‖x‖+‖x2‖+·· · ≤ 1+‖x‖+‖x‖2 +·· · = 1

1−‖x‖ .

Además,(1−x)(1+x +x2 +·· · ) = lım

n→∞1−xn+1 = 1,

y (1+x+x2+·· · )(1−x) = 1 por la misma razón. Esto prueba que 1−B1(0) ⊆ U(A), como queremos.

Teorema 11.93. Si A es un álgebra de Banach, entonces U(A) es abierto.

Demostración. Debemos probar que para cada x0 ∈ U(A) existe δ> 0 tal que Bδ(x0) ⊆ U(A), o, lo quees equivalente, que x−1

0 (x0 +x) = 1+x−10 x es inversible para todo x ∈ Bδ(0). Pero por el Lema 11.92,

para que esto ocurra es suficiente tomar δ= ‖x−10 ‖−1, porque entonces ‖x−1

0 x‖ ≤ ‖x−10 ‖‖x‖ < 1.

Teorema 11.94. Si A es un álgebra de Banach, entonces la función InvA : U(A) −→ U(A), definidapor InvA(x) := x−1, es continua.

Demostración. Tomemos x0 ∈ U(A) y x ∈ B‖x−10 ‖−1 (0). Los argumentos dados en la demostración del

Teorema 11.93 prueban que x0 −x es inversible. Usando que

(x0 −x)−1 = (1−x−10 x)−1x−1

0

y(1−x−1

0 x)−1 = 1+x−10 x + (x−1

0 x)2 + (x−10 x)3 +·· · ,

181

11.9 Transformaciones lineales inversibles Espacios normados y espacios de Banach

obtenemos la siguiente acotación:

‖(x0 −x)−1 −x−10 ‖ = ‖(1−x−1

0 x)−1x−10 −x−1

0 ‖≤ ‖(1−x−1

0 x)−1 −1‖‖x−10 ‖

=∥∥∥∥ ∞∑

n=1(x−1

0 x)n∥∥∥∥‖x−1

0 ‖

≤ ‖x−10 ‖

∞∑n=1

(‖x−10 ‖‖x‖)n

= ‖x−10 ‖‖x‖

1−‖x−10 ‖‖x‖‖x−1

0 ‖.

El resultado se sigue ahora de que‖x−1

0 ‖‖x‖1−‖x−1

0 ‖‖x‖‖x−10 ‖ tiende a 0 cuando x tiende a 0.

Corolario 11.95. Para toda álgebra de Banach A, la función InvA es un homeomorfismo.

Demostración. Por el Teorema 11.94 y porque InvA es involutiva.

Notación 11.96. Dados espacios normados E y F , denotamos con I (E ,F ) al subconjunto de L (E ,F )formado por los isomorfismos.

Corolario 11.97. Para cada par E y F de espacios de Banach, I (E ,F ) es un subconjunto abierto deL (E ,F ). Además, la función

InvE ,F : I (E ,F ) −→I (F,E),

definida por InvE ,F ( f ) := f −1, es un homeomorfismo.

Demostración. Si E y F no son isomorfos esto es evidente. Supongamos entonces que hay un iso-morfismo de espacios de Banach u : F → E . Como

u ◦ ( f + f ) = u ◦ f +u ◦ f , u ◦λ · f =λ ·u ◦ f , ‖u ◦ f ‖ ≤ ‖u‖‖ f ‖ y ‖u−1 ◦ g‖ ≤ ‖u−1‖‖g‖

para todo λ ∈ k, f , f ∈L (E ,F ) y g ∈L (E), la función

Lu : L (E ,F ) −→L (E),

definida por Lu( f ) := u ◦ f , es un isomorfismo de espacios de Banach, y un argumento similar pruebaque también lo es la función

Ru : L (F,E) −→L (E),

definida por Ru(g ) := g ◦u. Como

L−1u

(U (L (E))

)=I (F,E)

y, por el Teorema 11.93, sabemos que U(L (E)) es un subconjunto abierto de L (E), el conjun-to I (E ,F ) es un subconjunto abierto de L (E ,F ). Para ver que InvE ,F es continua basta notarque InvE ,F = Ru ◦ InvL (E) ◦Lu , y recordar que InvL (E) es continua por el Teorema 11.94. Ahora esclaro que InvE ,F es un homeomorfismo, con inversa InvF,E .

182

Espacios normados y espacios de Banach 11.10 El teorema de la función abierta

11.10. El teorema de la función abierta

Recordemos que una función f : X → Y , de un espacio métrico X en otro Y , es abierta si f (U ) esabierto en Y para cada abierto U de X .

Teorema 11.98 (Teorema de la función abierta). Si E y F son espacios de Banach, entonces todafunción lineal, continua y sobreyectiva f : E → F , es abierta.

Demostración. Es suficiente verificar que existe ξ> 0 tal que

f(BEξt (0)

)⊇ BFt (0) para todo t > 0. (11.8)

En efecto, supongamos que esto es cierto y, dados un abierto U de E y un punto abitrario x ∈ E ,tomemos t > 0 tal que BE

ξt (x) ⊆U . Entonces

f (U ) ⊇ f(BEξt (x)

)= f(x +BE

ξt (0))= f (x)+ f

(BEξt (0)

)⊇ f (x)+BFt (0) = BF

t ( f (x)),

lo que prueba que f (U ) es abierto.

Nos hemos reducido entonces a probar que para algún ξ > 0 se cumple (11.8). Por el Teore-ma 10.11, como

F =∞⋃

i=1f(BE

i (0))= ∞⋃

i=1f(BE

i (0)),

existen n ∈N e y ∈ F tales que f(BE

n (0))⊇ BF

r (y) para algún r > 0. Afirmamos que

f(BE

n+‖x‖(0))⊇ BF

r (0) para todo x ∈ f −1(y).

En efecto, si z ∈ BFr (0), entonces z ′ := z + y ∈ BF

r (y) ⊆ f(BE

n (0)), y en consecuencia,

z = z ′− y ∈ f(BE

n (0))− f (x) = f

(BE

n (0))− f (x) = f

(BE

n (0)−x)⊆ f

(BE

n+‖x‖(0))[4].

Tomemos λ> 1 tal que n+‖x‖ ≤λr . Es evidente que f(BEλr (0)

)⊇ BFr (0), y, de hecho, vale un resultado

que aparentemente es más fuerte, pero que en realidad es equivalente:

f(BEλt (0)

)⊇ BFt (0) para todo t > 0.

En efecto, como f(BEλr (0)

)⊇ BFr (0), dado y ∈ BF

t (0), existe una sucesión de puntos (xn)n∈N de BEλr (0)

tal que rt · y = lımn→∞ f (xn) y, en consecuencia,

y = lımn→∞ f

( t

r· xn

) ∈ f(BEλt (0)

).

Vamos a ver ahora que f(BE

2λt (0)) ⊇ BF

t (0). Esto es, que la inclusión (11.8) se cumple para ξ = 2λ.Fijemos y ∈ BF

t (0) y 0 < δ < 1/2. Tomemos primero x1 ∈ BEλt (0) tal que y − f (x1) ∈ BF

δt (0), luegotomemos x2 ∈ BE

λδt (0) tal que y −( f (x1)+ f (x2)) ∈ BFδ2t

(0), etcétera. Siguiendo con este procedimientoobtenemos puntos x1, x2, x3 · · · ∈ E , tales que

xn ∈ BEλδn−1t (0) e y −

n∑i=1

f (xi ) ∈ BFδn t (0) para todo n ∈N.

183

11.10 El teorema de la función abierta Espacios normados y espacios de Banach

La serie∑∞

i=1 xi es absolutamente convergente porque

∞∑i=1

‖xi‖ ≤∞∑

i=1λδi−1t = λt

1−δ < 2λt .

Además, si x =∑∞i=1 xi , entonces ‖x‖ ≤∑∞

i=1 ‖xi‖ < 2λt y f (x) =∑∞i=1 f (xi ) = y .

Corolario 11.99. Si f : E → F es una función lineal continua y biyectiva entre espacios de Banach,entonces f es un isomorfismo.

Demostración. Por la Observación 3.31, esto se sigue inmediatamente del teorema anterior.

Recordemos que un espacio vectorial E es suma directa interna de dos subespacios F1 y F2 si lafunción lineal j : F1×F2 −→ E , definida por j (y, y ′) = y+y ′, es un isomorfismo de espacios vectoriales.Si E es un espacio normado y dotamos a F1×F2 con la norma ‖ ‖∞, entonces, por la Proposición 3.68,la función j deviene continua .

Corolario 11.100. Si un espacio de Banach E es suma directa interna de dos subespacios cerrados F1 yF2, entonces la aplicación j : F1 ×F2 −→ E definida arriba es un isomorfismo de espacios de Banach.

Demostración. Por la Proposición 6.11, como F1 y F2 son subconjuntos cerrados de E y que E esun espacio de Banach, tanto F1 como F2 son completos. En consecuencia, por la Proposición 6.15,también lo es F1 ×F2. Entonces, por el Corolario 11.99, la función j es un isomorfismo.

Ejercicio 11.101. Pruebe que si un espacio de Banach E es suma directa interna de dos subespa-cios F1 y F2, y la función j : F1 ×F2 −→ E definida arriba es un isomorfismo de espacios de Banach,entonces F1 y F2 son subespacios cerrados de E .

Recordemos que, por definición, el gráfico de una función arbitraria f : X → Y es el subconjun-to Gr( f ) = {(x, y) ∈ X ×Y : y = f (x)} de X ×Y .

Ejercicio 11.102. Pruebe que si X e Y son espacios métricos y f : X → Y es una función continua,entonces su gráfico es un subconjunto cerrado de X ×Y (Recuerdese que X ×Y es un espacio métricovia la distancia d∞ introducida en el item 8 del Ejemplo 1.4).

El corolario que sigue muestra que para las funciones lineales entre espacios de Banach lacondición necesaria para la continuidad obtenida en el ejercicio anterior es también suficiente.

Corolario 11.103. Supongamos que E y F son espacios de Banach. SI el gráfico de una función linealf : E → F es un subconjunto cerrado en E ×F , entonces f es continua.

Demostración. Consideremos el diagrama conmutativo

Gr( f ) F

E

πF

πEf

donde πE y πF son las funciones lineales definidas por πE (x, y) = x y πF (x, y) = y . Tanto πE como πF

son continuas por las Propopiciones 3.9 y 3.11. Además Gr( f ) es un espacio de Banach porque esun subespacio cerrado de E ×F y, por la misma definición de Gr( f ), es claro que πE es biyectiva. Enconsecuencia, por el Corolario 11.99, la función π−1

F es continua, también lo es f =π f ◦π−1E .

184

Espacios normados y espacios de Banach 11.11 Funciones multilineales

11.11. Funciones multilineales

Definición 11.104. Una función f : V1 × ·· · ×Vn −→ W , del producto de una familia V1, . . . ,Vn

de k-espacios vectoriales en un k-espacio vectorial W , es multilineal si para todo i con 1 ≤ i ≤ n ytoda familia x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn con x j ∈V j , la aplicación x 7→ f (x1, . . . , xi−1, x, xi+1, . . . , xn) es unafunción lineal de Vi en W . Las funciones multilineales de n variables son llamadas también funcio-nes n-lineales. Las de una variable son las funciones lineales, y las de dos variables son llamadasfunciones bilineales.

Ejemplo 11.105. La multiplicación de una k-álgebra A es una función bilineal µ : A× A −→ A.

Ejemplo 11.106. la función que a cada n-upla de vectores columna v1, . . . , vn ∈ kn le asigna eldeterminante de la matriz ( v1 ... vn ) es una función n-lineal de kn ×·· ·×kn en k

Observación 11.107. El conjunto de todas las aplicaciones multilineales de V1×·· ·×Vn en W , provistode la suma y el producto por escalares definidos por

( f + g )(x1, . . . , xn) = f (x1, . . . , xn)+ g (x1, . . . , xn)

y

(λ · f )(x1, . . . , xn) =λ f (x1, . . . , xn),

es un k-espacio vectorial, llamado el espacio de las funciones multilineales de V1 ×·· ·×Vn en W ydenotado Mult(V1, . . . ,Vn ;W ).

Teorema 11.108. La función

Ψ : Mult(E1, . . . ,En ;F ) −→ Mult(E1, . . . ,En−1;Homk (En ,F )),

definida por Ψ( f )(x1, . . . , xn−1)(x) = f (x1, . . . , xn−1, x), es un isomorfismo de espacios vectoriales.

Demostración. Las igualdades

Ψ( f + g )(x1, . . . , xn−1)(x) = ( f + g )(x1, . . . , xn−1, x)

= f (x1, . . . , xn−1, x)+ g (x1, . . . , xn−1, x)

=Ψ( f )(x1, . . . , xn−1)(x)+Ψ(g )(x1, . . . , xn−1)(x)

y

Ψ(λ · f )(x1, . . . , xn−1)(x) = (λ · f )(x1, . . . , xn−1, x)

=λ f (x1, . . . , xn−1, x)

=λΨ( f )(x1, . . . , xn−1)(x)

= (λ · (Ψ( f )(x1, . . . , xn−1)))(x)

= (λ ·Ψ( f ))(x1, . . . , xn−1)(x),

muestran que Ψ es lineal, y un cálculo directo muestra la función

Φ : Mult(E1, . . . ,En−1;Homk (En ,F )) −→ Mult(E1, . . . ,En ;F ),

definida por Φ(g )(x1, . . . , xn) = g (x1, . . . , xn−1)(xn) es inversa a derecha e izquierda de Ψ.

185

11.11 Funciones multilineales Espacios normados y espacios de Banach

Teorema 11.109. Fijados espacios normados E1, . . . ,En y F , para cada f ∈ Mult(E1, . . . ,En ;F ) sonequivalentes:

1. f es continua en 0.

2. f es continua.

3. Existe M ≥ 0 tal que‖ f (x1, . . . , xn)‖ ≤ M‖x1‖· · ·‖xn‖

para todo (x1, . . . , xn) ∈ E1 ×·· ·×En .

Demostración. 3. ⇒ 2. Fijemos r > 0. Para todo par x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) de elementosde E1 ×·· ·×En ,

f (x)− f (y) =n∑

i=1f (x1, . . . , xi−1, yi , . . . , yn)− f (x1, . . . , xi , yi+1, . . . , yn)

=n∑

i=1f (x1, . . . , xi−1, yi −xi , yi+1, . . . , yn).

En consecuencia, si x e y pertenecen a B‖ ‖∞r (0) = BE1

r (0)×·· ·×BEnr (0), entonces

‖ f (x)− f (y)‖ =∥∥∥∥ n∑

i=1f (x1, . . . , xi−1, yi −xi , yi+1, . . . , yn)

∥∥∥∥≤

n∑i=1

‖ f (x1, . . . , xi−1, yi −xi , yi+1, . . . , yn)‖

≤n∑

i=1M‖xi‖· · ·‖xi−1‖‖yi −xi‖‖yi+1‖· · ·‖yn‖

≤ Mr n−1n∑

i=1‖yi −xi‖

≤ Mnr n−1‖y −x‖∞,

por lo que f es de Lipschitz en cada bola B‖ ‖∞r (0), y, por consiguiente, continua.

2. ⇒ 1. esto es claro.

1. ⇒ 3. Por la continuidad de f en 0, existe δ > 0 tal que si (x1, . . . , xn) ∈ Bδ(0)× ·· ·×Bδ(0), enton-ces ‖ f (x1, . . . , xn)‖ < 1. Esto implica que, fijado 0 < δ′ < δ, para cada n-upla (x1, . . . , xn) con xi ∈ Ei \{0},

‖ f (x1, . . . , xn)‖ =∥∥∥∥ f

(‖x1‖δ′

· y1, . . . ,‖xn‖δ′

· yn

)∥∥∥∥= ‖x1‖· · ·‖xn‖

δ′n‖ f (y1, . . . , yn)‖

≤ 1

δ′n‖x1‖· · ·‖xn‖,

donde y j = δ′‖x j ‖ · x j . Como esta desigualdad también vale cuando uno o varios de los xi ’s se anulan,

podemos tomar M = 1δ′n .

Notación 11.110. Dados espacios normados E1, . . . ,En y F , denotamos con L (E1, . . . ,En ;F ) al subes-pacio de Mult(E1, . . . ,En ;F ) formado por las funciones multilineales continuas.

186

Espacios normados y espacios de Banach 11.11 Funciones multilineales

Definición 11.111. Para cada f ∈L (E1, . . . ,En ;F ), definimos la norma ‖ f ‖ de f por

‖ f ‖ := mın{M : ‖ f (x1, . . . , xn)‖ ≤ M‖x1‖· · ·‖xn‖ para todo (x1, . . . , xn) ∈ E1 ×·· ·×En}.

Teorema 11.112. Dados espacios normados E1, . . . ,En y F , la aplicación Ψ definida en el Teore-ma 11.108 induce por restricción un isomorfismo de espacios vectoriales

Ψ : L (E1, . . . ,En ;F ) −→L (E1, . . . ,En−1;L (En ,F )).

Además ‖Ψ( f )‖ = ‖ f ‖ para toda f ∈L (E1, . . . ,En ;F ). Dicho de otro modo, Ψ es una isometría linealbiyectiva.

Demostración. Para toda f ∈L (E1, . . . ,En ;F ) y cada (x1, . . . , xn) ∈ E1 ×·· ·×En ,

‖Ψ( f )(x1, . . . , xn−1)(x)‖ = ‖ f (x1, . . . , xn−1, x)‖ ≤ ‖ f ‖‖x1‖· · ·‖xn−1‖‖x‖.

Por lo tanto Ψ( f )(x1, . . . , xn−1) ∈L (En ,F ) y ‖Ψ( f )(x1, . . . , xn−1)‖ ≤ ‖ f ‖‖x1‖· · ·‖xn−1‖, lo que implicaque Ψ( f ) ∈L (E1, . . . ,En−1;L (En ,F )) y ‖Ψ( f )‖ ≤ ‖ f ‖.

Tomemos ahora una función g ∈L (E1, . . . ,En−1;L (En ,F )). Como

‖Ψ−1(g )(x1, . . . , xn)‖ = ‖g (x1, . . . , xn−1)(xn)‖ ≤ ‖g (x1, . . . , xn−1)‖‖xn‖ ≤ ‖g‖‖x1‖· · ·‖xn‖para todo (x1, . . . , xn) ∈ E1 ×·· ·×En , la aplicación Ψ−1(g ) es continua y ‖Ψ−1(g )‖ ≤ ‖g‖. En conse-cuencia Ψ es una isometría lineal, por la Proposición 11.65.

Teorema 11.113. Fijados espacios normados E1, . . . ,En y F , la función ‖ ‖ : L (E1, . . . ,En ;F ) −→ R≥0 esuna norma. Además, para cada f ∈L (E1, . . . ,En ;F ),

‖ f ‖ = sup(x1,...,xn )∈B

E11 [0]×···×BEn

1 [0]

‖ f (x1, . . . , xn)‖

Demostración. Para n = 1 esto es cierto por la Definición 11.13 y la Proposición 11.14. Supongamosque lo es para n −1 ≥ 1. Entonces, por hipótesis inductiva, para cada f , g ∈L (E1, . . . ,En ;F ) y cadaλ ∈ k,

‖ f + g‖ = ‖Ψ( f + g )‖ = ‖Ψ( f )+Ψ(g )‖ ≤ ‖Ψ( f )‖+‖Ψ(g )‖,

‖λ · f ‖ = ‖Ψ(λ · f )‖ = |λ|‖Ψ( f )‖ = |λ|‖ f ‖y

‖ f ‖ = ‖Ψ( f )‖= sup

(x1,...,xn−1)∈BE11 [0]×···×B

En−11 [0]

‖Ψ( f )(x1, . . . , xn−1)‖

= sup(x1,...,xn−1)∈B

E11 [0]×···×B

En−11 [0]

supxn∈BEn

1 [0]

‖ f (x1, . . . , xn−1, xn)‖

= sup(x1,...,xn )∈B

E11 [0]×···×BEn

1 [0]

‖ f (x1, . . . , xn)‖,

como queremos.

Ejercicio 11.114. Supongamos que f es como en el Teorema 11.113. Pruebe que

‖ f ‖ = sup(x1,...,xn )∈X1×···×Xn

‖ f (x1, . . . , xn)‖,

donde para cada i ∈ {1, . . . ,n}, el símbolo Xi denota a uno de los conjuntos BEi1 [0], BEi

1 (0) o SEi1 (0).

187

Notas

Notas

[1]. Porque (v−sn)n∈N es una sucesión en v−S que tiende a cero si y solo si (sn)n∈N es una sucesiónen S que tiende a v .

[2]. Fijemos x ∈ E . Como

(λ+µ) · x =λ · x +µ · x y (µλ) · x =µ · (λ · x) para todo λ,µ ∈ k,

la función j (x) es lineal. Entonces, por la Proposición 11.54, también es continua. Además, lasigualdades

λ · (x + y) =λ · x +λ · y y λ · (µ · x) =µ · (λ · x) para todo λ ∈ k y x, y ∈ E ,

prueban que la correspondencia x 7→ j (x) es lineal, y un cálculo directo muestra que j esinversible y que la inversa de j aplica cada f ∈L (k,E) en f (1).

[3]. Un cálculo directo, usando que, por la misma definición de hx,y ,

hx,y

( x − y

2

)= T− f (x)+ f (y)

2

(f (x)

)= f (x)− f (y)

2y

hx,y

( y −x

2

)= T− f (x)+ f (y)

2

(f (y)

)= f (y)− f (x)

2,

muestra que

hx,y

( x − y

2

)= AE ◦h−1

x,y ◦ AF

(f (x)− f (y)

2

)= AE ◦h−1

x,y

(f (y)− f (x)

2

)= AE

( y −x

2

)= x − y

2,

e intercambiando x con y obtenemos que

hx,y

( y −x

2

)= hy,x

( y −x

2

)= y −x

2.

[4]. Las igualdades se cumplen porque la traslación T f (x) es un homeomorfismo y f es lineal, y lainclusión, porque

‖w −x‖ ≤ ‖w‖+‖x‖ ≤ n +‖x‖ para todo w ∈ BEn (0).

188

CA

PÍ

TU

LO

12DUALIDAD

12.1. El espacio dual

Recordemos que el dual algebraico de un k-espacio vectorial V es el k-espacio vectorial V ′ de lasfuncionales lineales de V .

Definición 12.1. El dual topológico o espacio dual de un espacio normado E es el espacio norma-do E∗ :=L (E ,k) de las funcionales lineales continuas.

Observación 12.2. Por el Teorema 11.19 sabemos que el dual de un espacio normado es un espaciode Banach.

Definición 12.3. Un subespacio H de E es un hiperplano si H Ú E y no hay ningún subespacio Lde E tal que H Ú L Ú E .

Proposición 12.4. Para cada subespacio H de E, son equivalentes:

1. H es un hiperplano.

2. Existe x ∈ E \ H tal que ⟨H , x⟩ = E.

3. Hay una funcional lineal no nula ϕ : E → k, tal que H = ker(ϕ).

Demostración. 1. ⇒ 2. Por el item 2, la igualdad ⟨H , x⟩ = E vale para cada x ∈ E \ H .

2. ⇒ 3. Basta definir ϕ(h +λ · x) =λ para todo h ∈ H y λ ∈ k.

3. ⇒ 1. Elijamos una funcional lineal no nula ϕ ∈ Homk (E ,k) tal que H = ker(ϕ) y tomemos x ∈ L talque ϕ(x) 6= 0. Cada y ∈ E se escribe como suma de un elemento de H y uno de L, en la forma

y =(

y − ϕ(y)

ϕ(x)x

)+ ϕ(y)

ϕ(x)x.

Como H ⊆ L, esto prueba que L = E .

Proposición 12.5. Una funcional lineal ϕ : E → k es continua si y solo si ker(ϕ) es cerrado.

189

12.2 Ejemplos de espacios duales Dualidad

Demostración. Por el Teorema 3.6, como los puntos son cerrados, si ϕ es continua, entonces ϕ−1(0)es cerrado. Veamos que la afirmación recíroca es verdadera. Como la función nula es continua,podemos suponer que ϕ es no nula, y, por lo tanto, sobreyectiva. Fijemos un punto x de ϕ−1(0) ydenotemos con M a la distancia d(x,ϕ−1(0)), de x a ϕ−1(0). Dado y ∈V , existen λ ∈ k y z ∈ϕ−1(0),únicos tales que y = z +λ · x. Más aún, como ϕ(x) = 1 y ϕ(z) = 0,

λ=ϕ(z)+λ ·ϕ(x) =ϕ(y).

Si y ∉ϕ−1(0), entonces

‖y‖ = ‖z +ϕ(y) · x‖ = |ϕ(y)|∥∥∥∥ 1

ϕ(y)· z +x

∥∥∥∥≥ |ϕ(y)|M ,

y es claro que ‖y‖ ≥ |ϕ(y)|M si y ∈ϕ−1(0). En consecuencia, como M > 0 porque ϕ−1(0) es cerrado,

|ϕ(y)| ≤ 1

M‖y‖ para cada y ∈ E ,

lo que prueba que ϕ es acotada, o, lo que es igual, continua.

12.2. Ejemplos de espacios duales

En esta subsección calculamos explícitamente los duales de varios espacios de Banach másconocidos.

Espacios de dimensión finita

Todo espacio de Banach de dimensión finita es isomorfo como espacio vectorial a su dualalgebraico, y, en consecuencia, por la Proposición 11.54, a su espacio dual. De hecho, hay infinitosisomorfismos lineales de E en E∗, pero eso no es algo que nos importe ahora. Más importante paranosotros es que fijado uno f : E → E∗, aplicando el Ejemplo 1.74 obtenemos una norma sobre E queconvierte a f en una isometría lineal. Resumiendo, para cada espacio de Banach de dimensión finitaE hay una norma ‖ ‖ f sobre E y una isometría lineal f : (E ,‖ ‖ f ) −→ E∗. La norma ‖ ‖ f no es única,porque depende de f , pero dos cualesquiera son isomorfas mediante una isometría lineal. Comoveremos enseguida, para las normas ‖ ‖p es posible elegir f en forma tal que se obtitene una normadel mismo tipo.

Teorema 12.6. Para todo p ∈ [1,∞] hay una isometría lineal biyectiva de f :(kn ,‖ ‖q

)−→ (kn ,‖ ‖∗p

)(k =R oC), donde q está determinado por la igualdad 1

p + 1q = 1.

Demostración. Cada punto y ∈ kn tiene asociado una funcional lineal ϕy :(kn ,‖ ‖p

)−→ k, dada por

ϕy (x) :=n∑

i=1yi xi para todo x ∈ kn ,

donde xi e yi denotan a la i -ésima coordenada de x e y , respectivamente[1]. Definimos

f :(kn ,‖ ‖q

)−→ (kn ,‖ ‖p

)∗ ,

190

Dualidad 12.2 Ejemplos de espacios duales

por f (y) := ϕy . Es claro que f es una función lineal[2]. Además, dado que por la desigualdad deHölder y la propiedad triangular del módulo,

‖ϕy‖ ≤ sup‖x‖p=1

|ϕy (x)| = sup‖x‖p=1

∣∣∣∣∣ n∑i=1

yi xi

∣∣∣∣∣≤ sup‖x‖p=1

n∑i=1

|yi ||xi | ≤ sup‖x‖p=1

‖y‖q‖x‖p = ‖y‖q ,

la norma de f satisface la desigualdad

‖ f ‖ = sup‖y‖=1

| f (y)| = sup‖y‖=1

‖ϕy‖ ≤ sup‖y‖=1‖

‖y‖q ≤ 1.

En consecuencia, por la Proposición 11.65 y el hecho de que(kn ,‖ ‖q

)y

(kn ,‖ ‖p

)∗ tienen la mismadimensión, para concluir que f es una isometría biyectiva es suficiente probar que tiene una inversaa izquierda g de norma menor o igual que 1. Para cada ψ ∈ (

kn ,‖ ‖p)∗, definimos

g (ψ) := (ψ(e1), . . . ,ψ(en)

),

donde (e1, . . . ,en) es la base canónica. Para ver que ‖g‖ ≤ 1 debemos probar que ‖g (ψ)‖q ≤ ‖ψ‖ paratoda funcional ψ. Consideramos dos casos:

p = 1. En este caso ‖ψ(ei )‖ ≤ ‖ψ‖‖ei‖1 = ‖ψ‖ para cada i ∈N y, por lo tanto,

‖g (ψ)‖∞ = ‖ψ(e1), . . . ,ψ(en)‖∞ ≤ ‖ψ‖,

lo que prueba la afirmación.

p > 1. Escribamos u :=(|ψ(e1)|q−1cis(ψ(e1)), . . . , |ψ(en)|q−1cis(ψ(en))

), donde cis : k → k es la fun-

ción definida por

cis(a) :={ |a|

a si a 6= 0,

0 si a = 0.

Un cálculo directo muestra que

ψ(u) =∞∑

i=1uiψ(ei ) =

n∑i=1

|ψ(ei )|q−1cis(ψ(ei ))ψ(ei ) =n∑

i=1|ψ(ei )|q .

En consecuencia

n∑i=1

|ψ(ei )|q = |ψ(u)| ≤ ‖ψ‖‖u‖p ={‖ψ‖(∑n

i=1 |ψ(ei )|(q−1)p) 1

p = ‖ψ‖(∑ni=1 |ψ(ei )|q) 1

p si p <∞,

‖ψ‖‖(1, . . . ,1)‖∞ = ‖ψ‖ si p =∞,

por lo que

‖g (ψ)‖q = q

√n∑

i=1|ψ(ei )|q ≤ ‖ψ‖,

lo que también prueba la afirmación en este caso.

Para terminar la demostración solo resta probar que f ◦ g (ψ) =ψ para todo(kn ,‖ ‖p

)∗. Pero estoes cierto, porque

f ◦ g (ψ)(x) = f(ψ(e1), . . . ,ψ(en)

)(x) =

n∑i=1

xiψ(ei ) =ψ(x)

para todo x = (x1, . . . , xn) ∈Rn .

191

12.2 Ejemplos de espacios duales Dualidad

El dual de lplplp

Nuestro proximo objetivo es calcular el dual de lp (k), cuando p ∈ [1,∞). Para esto utilizaremoslas técnicas usadas para demostrar el Teorema 12.6. Las ligeras dificultades nuevas que surgen sedeben a que no toda funcional lineal de lp es continua y a la necesidad de probar la convergencia delas series que aparecen al estudiar el problema.

Teorema 12.7. Para cada p ∈ [1,∞) hay una isometría biyectiva f pq : lq (k) −→ lp (k)∗, donde q está

determinado por la igualdad 1p + 1

q = 1.

Demostración. Fijemos y = (y1, y2, . . . ) ∈ lq (k). Por la desigualdad de Hölder (ver el Ejercicio 11.3),para cada x = (x1, x2, . . . ) ∈ lp (k) la serie

∑∞i=1 yi xi converge absolutamente y la funciónϕy : lp (k) → k,

definida por

ϕy (x) :=∞∑

i=1yi xi ,

es continua en 0. Además, la Proposición 11.24 implica que la función ϕy es lineal, y que tam-bién lo es la función f p

q : lq (k) −→ lp (k)∗, definida por f pq (y) := ϕy . Asimismo, f p

q es inyectiva,

porque f pq (y)(ei ) = yi para todo i ∈N, donde ei es la sucesión cuyas coordenadas son todas 0, salvo

la i -ésima, que vale 1. Por lo tanto, por la Proposición 11.65, para concluir que f pq es una isometría

sobreyectiva es suficiente ver que ‖ f pq ‖ ≤ 1 y que existe una transformación lineal g : lp (k)∗ −→ lq (k)

tal que ‖g‖ ≤ 1 y f pq ◦ g = id. Para empezar, notemos que como

‖ϕy‖ ≤ sup‖x‖p=1

|ϕy (x)| = sup‖x‖p=1

∣∣∣∣ ∞∑i=1

yi xi

∣∣∣∣≤ sup‖x‖p=1

∞∑i=1

|yi xi | ≤ sup‖x‖p=1

‖y‖q‖x‖p = ‖y‖q ,

para todo y ∈ X ,‖ f p

q ‖ = sup‖y‖=1

‖ f pq (y)‖ = sup

‖y‖=1‖ϕy‖ ≤ sup

‖y‖=1‖y‖q ≤ 1.

Dado ϕ ∈ lp (k)∗, definimosg (ϕ) := (

ϕ(e1),ϕ(e2),ϕ(e3), . . .)

.

Veamos que g (ϕ) ∈ lq (k) y que ‖g (ϕ)‖q ≤ ‖ϕ‖. Consideramos dos casos:

p = 1. En este caso ‖ϕ(ei )‖ ≤ ‖ϕ‖‖ei‖1 = ‖ϕ‖ para cada i ∈N y, por lo tanto,

‖g (ϕ)‖∞ = ‖ϕ(e1),ϕ(e2), . . .‖∞ ≤ ‖ϕ‖,

lo que prueba simultaneamente ambas afirmaciones.

p > 1. Para cada n ∈N, denotemos con x(n) a la sucesión x(n) = (x(n)

1 , x(n)2 , x(n)

3 , . . .), definida por

x(n)i :=

{|ϕ(ei )|q−1cis(ϕ(ei )) si i ≤ n,

0 si i > n,

donde cis es como en el Teorema 12.6. Es claro que x(n) ∈ lp (k) para todo n. Un cálculo directomuestra que

ϕ(x(n)) =∞∑

i=1x(n)

i ϕ(ei ) =n∑

i=1|ϕ(ei )|q−1cis(ϕ(ei ))ϕ(ei ) =

n∑i=1

|ϕ(ei )|q .

Así,n∑

i=1

∣∣ϕ(ei )∣∣q = ∣∣ϕ(x(n))

∣∣≤ ‖ϕ‖∥∥x(n)∥∥

p = ‖ϕ‖( n∑

i=1|ϕ(ei )|(q−1)p

) 1p

= ‖ϕ‖( n∑

i=1|ϕ(ei )|q

) 1p

,

192

Dualidad 12.2 Ejemplos de espacios duales

por lo que

q

√n∑

i=1|ϕ(ei )|q ≤ ‖ϕ‖.

Haciendo tender n a infinito, obtenemos que ‖g (ϕ)‖q ≤ ‖ϕ‖. Igual que en el caso anterior, estoprueba simultaneamente ambas afirmaciones.

Para terminar la demostración solo resta probar que f pq ◦g (ϕ) =ϕ para todo ϕ ∈ lp (k)∗. Pero esto

es cierto, porque dado x = (x1, x2, x3, . . . ) ∈ lp (k),

f pq ◦ g (ϕ)(x) = f p

q (ϕ(e1),ϕ(e2),ϕ(e3), . . . )(x) =∞∑

i=1xiϕ(ei ) =ϕ(x),

donde la última igualdad se sigue de que, como vimos en la demostración del Corolario 11.34,∥∥∥∥x −n∑

i=1xi ·ei

∥∥∥∥p=

(∑i>n

|xi |p) 1

p

−→ 0 cuando n tiende a ∞,

y, por lo tanto, x =∑∞i=1 xi ei en lp (k).

El dual de c0(k)c0(k)c0(k)

Ahora calcularemos el dual del espacio c0(k) de todas las sucesiones en k que tienden a 0. Paraello es clave el siguiente resultado, que es interesante en si mismo.

Lema 12.8. Para cada x = (x0, x1, . . . , . . . ) la sucesión∑∞

i=1 xi · ei , donde ei es como en la prueba delTeorema 12.7, es sumable y tiende a x.

Demostración. Como x ∈ c0, dado ε > 0, existe n0 ∈N tal que |xi | < ε para todo n > n0. Por consi-guiente, ∥∥∥∥x −

n+1∑i=1

xi ·ei

∥∥∥∥∞

= ‖(0, . . . ,0, xn+1, xn+2, . . . )‖∞ < ε

para todo n > n0, lo que prueba la afirmación hecha en el enunciado.

Teorema 12.9. Hay una isometría biyectiva f : l1(k) −→ c0(k)∗.

Demostración. Por la desigualdad de Hölder, fijado y = (y1, y2, . . . ) ∈ l1(k),∣∣∣∣ ∞∑i=1

yi xi

∣∣∣∣≤ ∞∑i=1

|yi ||xi | ≤ ‖y‖1‖x‖∞ <∞

para todo x = (x0, x1, . . . ) ∈ c0. En consecuencia, la función ϕy : c0 → k, definida por

ϕy (x) :=∞∑

i=1yi xi ,

es una funcional lineal continua cuya norma es menor o igual que ‖y‖1. Por lo tanto la transfor-mación lineal f : l1(k) −→ c∗0 , definida por f (y) := ϕy , es acotada con ‖ f ‖ ≤ 1. Además es inyec-tiva porque f (y)(ei ) = yi para todo i . Ahora vamos a verificar que f es una isometría biyectiva,

193

12.3 El Teorema de Hahn-Banach Dualidad

procediendo como lo hicimos en esa demostración. Esto es, mostraremos que existe una trans-formación lineal acotada g : c∗0 → l1(k), tal que ‖g‖ ≤ 1 y f ◦ g = id. Para cada ϕ ∈ c∗0 , definimosg (ϕ) := (

ϕ(e1),ϕ(e2),ϕ(e3), . . .). Como

n∑i=1

|ϕ(ei )| =n∑

i=1cis(ϕ(ei ))ϕ(ei ) =ϕ

( n∑i=1

cis(ϕ(ei )) ·ei

)≤ ‖ϕ‖

∥∥∥∥ n∑i=1

cis(ϕ(ei )) ·ei‖∞ ≤ ‖ϕ‖

para todo n, la sucesión g (ϕ) ∈ l1 y ‖g (ϕ)‖1 ≤ ‖ϕ‖. para terminar la demostración solo resta verque f ◦ g = id[3]. Pero esto es cierto porque, por el lema y la contnuidad de ϕ,

f ◦ g (ϕ)(x) = f(ϕ(e1),ϕ(e2),ϕ(e3), . . .

)(x) =

∞∑i=1

ϕ(ei )xi =ϕ(x)

para todo x ∈ c0.

12.3. El Teorema de Hahn-Banach

Teorema 12.10 (Hahn-Banach). Para cada espacio normado E, cada subespacio S ⊆ E y cada funcio-nal ϕ ∈ S∗, existe ϕ ∈ E∗ tal que ϕ|S =ϕ y ‖ϕ‖ = ‖ϕ‖.

Demostración. Caso k =R. Consideremos las extensiones parciales de ϕ. Esto es, los pares (W,ψ),formados por un subespacio W de E tal que S ⊆W y una funcional ψ ∈W ∗ tal que ψ|S =ϕ y ‖ψ‖ =‖ϕ‖. Ordenamos estas extensiones por (W,ψ) ≤ (W ′,ψ′) si W ⊆W ′ y ψ′

|W =ψ. Por el Lema de Zorn

existe una extensión maximal(W ,ψ

). Debemos probar que W = E , lo que haremos mostrando que

si W ( E y x ∈ E \W , entonces ψ se puede extender a una φ ∈ (W ⊕⟨x⟩)∗ tal que ‖φ‖ = ‖ψ‖. Dando

por hecho el caso trivial ψ= 0, y multiplicando por una constante, podemos suponer que ‖ψ‖ = 1.Definimos φ(w +λ ·x) := ψ(w)+λa, con a ∈R fijo. Debemos verficar que se puede elegir a de formatal que ‖φ‖ ≤ ‖ψ‖ = 1. Es decir, de forma tal que

∣∣ψ(w)+λa∣∣≤ ‖w +λ · x‖ para todo λ ∈R y w ∈ W .

Reemplazando w por λ ·w se ve que para ello es suficiente elegir a tal que∣∣ψ(w)+a

∣∣≤ ‖w +x‖ paratodo w ∈ W , o, equivalentemente, tal que

−ψ(w)−‖w +x‖ ≤ a ≤−ψ(w)+‖w +x‖ para todo w ∈ W .

Así, hemos reducido la cuestión a probar que

supw∈W

(−ψ(w)−‖w +x‖)≤ ınfv∈W

(−ψ(v)+‖v +x‖),

o, lo que es igual, que −ψ(w)−‖w + x‖ ≤ −ψ(v)+‖v + x‖ para todo v, w ∈ W . Pero esto es ciertoporque

ψ(v)− ψ(w) ≤ ∣∣ψ(v −w)∣∣≤ ‖v −w‖ = ‖(v +x)− (w +x)‖ ≤ ‖v +x‖+‖w +x‖,

donde la segunda desigualdad vale porque∥∥ψ∥∥= 1.

Caso k =C. Denotemos con ψ a la parte real de ϕ. Como

ψ(i · v) =ℜe(ϕ(i · v)) =ℜe(iϕ(v)) =−ℑm(ϕ(v))

para todo v ∈ S, sabemos queϕ(v) =ψ(v)−iψ(i ·v) para todo v ∈ S. Por el caso real, también sabemosque hay una extensión ψ : E →R que satisface ‖ψ‖ = ‖ψ‖. Pero entonces la función ϕ(v), definida

194

Dualidad 12.3 El Teorema de Hahn-Banach

por ϕ(v) := ψ(v)− i ψ(i · v), extiende a ϕ. Además esC-lineal porque es una resta de dos funcionesR-lineales y

ϕ(i · v) = ψ(i · v)+ i ψ(v) = i(ψ(v)− i ψ(i · v)

)= i ϕ(v) para todo v ∈ E .

Por último, puesto que para cada v ∈ E tal que ϕ(v) 6= 0,∣∣ϕ(v)∣∣= ϕ(

ϕ(v)−1∣∣ϕ(v)

∣∣v)= ψ(ϕ(v)−1

∣∣ϕ(v)∣∣v)≤ ∥∥ψ∥∥∥∥ϕ(v)−1

∣∣ϕ(v)∣∣v∥∥= ∥∥ψ∥∥‖v‖,

la desigualdad ‖ϕ‖ ≤ ‖ψ‖ = ‖ψ‖ ≤ ‖ϕ‖ vale.

Corolario 12.11. Para cada subespacio cerrado S de E y cada punto x ∈ E \ S, existe una funcionallineal ϕ ∈ E∗ tal que ϕ(x) = 1 y ϕ|S = 0.

Demostración. Consideremos la función lineal ϕx : S ⊕⟨x⟩ −→ k, definida por

ϕx (s +λ · x) :=λ para todo s ∈ S y todo λ ∈ k.

Por la Proposición 12.5, como S = ker(ϕ) es cerrado, ϕ es continua. La demostración se terminaaplicando el Teorema 12.10.

Corolario 12.12. Dados x, y ∈ E tales que ⟨x⟩∩ ⟨y⟩ = {0}, existe una funcional continua ϕ ∈ E∗ talque ϕ(y) = 0 y ϕ(x) = 1.

Demostración. Esto es consecuencia inmediata del Corolario 12.11 y del hecho de que, por el Coro-lario 11.52, el subespacio ⟨y⟩ de E , es cerrado.

Corolario 12.13. Si E 6= 0, entonces E∗ 6= 0.

Demostración. Basta aplicar el Corolario anterior con x 6= 0 e y = 0.

Teorema 12.14. Si L (E ,F ) es un espacio de Banach y E 6= 0, entonces F también es un espacio deBanach.

Demostración. Fijemos una funcionalϕ ∈ E∗ no nula y un punto x0 ∈ E tal queϕ(x0) = 1. Dado y ∈ F ,definimos fy : E → F por fy (x) :=ϕ(x) · y . Es claro que fy es lineal, y es continua porque

‖ fy (x)‖ = ‖ϕ(x) · y‖ ≤ ‖y‖‖ϕ‖‖x‖.

Además la correspondencia y 7→ fy , de F en L (E ,F ), es lineal y satisface

‖ fy‖ = sup‖x‖=1

‖ fy (x)‖ = ‖y‖ sup‖x‖=1

|ϕ(x)| = ‖y‖‖ϕ‖.

Por lo tanto aplica cada sucesión de Cauchy (yn)n∈N en una sucesión de Cauchy, y por lo tantoconvergente, ( fyn )n∈N. Denotemos con f a su límite. Las igualdades

f (x0) = lımn→∞ fyn (x0) = lım

n→∞ϕ(x0) · yn = lımn→∞ yn ,

prueban, en particular, que F es completo.

195

12.4 Traspuesta de una aplicación lineal Dualidad

12.4. Traspuesta de una aplicación lineal

Recordemos que la traspuesta algebraica de una función lineal f : V → W es la función linealf ′ : W ′ →V ′ dada por f ′(ϕ) =ϕ◦ f .

Teorema 12.15. Si f : E → F es una función lineal continua entre espacios normados, entonces latransformación f ′ : F ′ → E ′ induce por restricción una función lineal continua f ∗ : F∗ → E∗. Másaún, ‖ f ∗‖ = ‖ f ‖.

Demostración. Como f es continua, ϕ ◦ f es continua para cada funcional lineal continua ϕ. Demodo que f ′ induce una función lineal f ∗ : F∗ → E∗. Además las igualdades

‖ f ∗‖ = sup‖ϕ‖≤1

‖ f ∗ (ϕ)‖ = sup‖ϕ‖≤1

‖ϕ‖‖ f ‖ ≤ ‖ f ‖,

prueban que f ∗ es continua y ‖ f ∗‖ ≤ ‖ f ‖. Resta verificar que ‖ f ‖ ≤ ‖ f ∗‖. Esto es claro cuando f = 0.Supongamos que f 6= 0, elijamos 0 < ε< ‖ f ‖ y tomemos x ∈ SE

1 (0) tal que ‖ f ‖−ε| f (x)‖. Por el Teoremade Hahn-Banach hay una funcional ϕ ∈ F∗, de norma 1, tal que ϕ( f (x)) = ‖ f (x)‖. Por ende,

‖ f ∗‖ ≥ ‖ f ∗(ϕ)‖ = ‖ϕ◦ f ‖ ≥ ‖ϕ( f (x))‖ > ‖ f ‖−ε.

Como ε es arbitrario esto prueba que ‖ f ‖ ≤ ‖ f ∗‖, como deseamos.

Definición 12.16. La función f ∗ construída en el teorema anterior es llamada la función traspuestade f .

Ejemplo 12.17. Supongamos que S es un subespacio de un espacio normado E . La transpuestai∗ : E∗ → S∗, de la inclusión canónica i : S → E , es la función ϕ 7→ ϕ|S , que manda cada funcio-nal lineal continua de E a su restricción a S. Por el Teorema de Hahn-Banach sabemos que i∗ essobreyectiva.

Observación 12.18. La correspondencia f 7→ f ∗ tiene las siguientes propiedades:

1. id∗E = idE∗ para cada espacio normado E .

2. (α · f +β ·h)∗ =α · f ∗+β ·h∗ para todo par f ,h : E → F de funciones lineales continuas entreespacios normados y cada para α, β de escalares.

3. ( f ◦ g )∗ = g∗ ◦ f ∗ para cada par componible f : E → F y g : F → H , de funciones linealescontinuas entre espacios normados.

4. para cada par E y F de espacios normados, la función f 7→ f ∗, de L (E ,F ) en L (F∗,E∗), esuna isometría lineal.

En efecto, la validez de los primeros tres items es una consecuencia inmediata de que la traspuestaalgebraica tiene estas propiedades y la traspuesta topológica de una función lineal continua es obteni-da a partir de la traspuesta algebraica por restricción. El cuarto es verdadero por la Proposición 11.63y el item 2.

196

Dualidad 12.5 Espacios normados reflexivos

12.5. Espacios normados reflexivos

Es bien sabido que cada espacio de dimensión finita V es linealmente isomorfo en forma nocanónica a su espacio dual V ∗ e isomorfo en forma canónica al doble dual (V ∗)∗ de V . Esto no escierto para espacios normales de dimensión infinta, para los cuales el morfismo canónico en el dobledual sigue existiendo, pero puede no ser sobreyectivo. En esta sección estudiamos este tema.

Definición 12.19. El doble dual de un espacio normado E es el espacio normado E∗∗ := (E∗)∗,obtenido tomando el dual de su espacio dual.

Observación 12.20. Por la Observación 12.2 y el Corolario 12.13 sabemos que E∗∗ es un espacio deBanach que es no nulo si y solo si lo es E . De hecho, cuando E 6= 0, es fácil dar ejemplos concretosde elementos no nulos de E∗∗. Para cada x ∈ E , la función jx : E∗ → k definida por jx (ϕ) :=ϕ(x) esuna función lineal[4] que, por la Observación 11.17, es continua. Además, por el Corolario 12.11,si x 6= 0, entonces ix 6= 0. Nuestro próximo objetivo ees determinar las propiedades fundamentales dela correspondencia x 7→ jx .

Definición 12.21. La inmersión canónica de un espacio normado E es su doble dual es la fun-ción j E : E → E∗∗, definida por j E (x) := jx .

Teorema 12.22. La función J E es una isometría lineal de E en E∗∗. Además, para cada par E y F deespacios normados y cada función lineal continua f : E → F , el diagrama

E E∗∗

F F∗∗ ,

j E

f f ∗∗

j F

donde f ∗∗ := ( f ∗)∗, conmuta.

Demostración. Como

j E (α · x +β · y)(ϕ) =ϕ(α · x +β · y) =αϕ(x)+βϕ(y) =α j E (x)(ϕ)+β j E (y)(ϕ)

para todo α,β ∈ k, x, y ∈ E y ϕ ∈ E∗, la función j E es lineal. Además es continua y tiene norma menoro igual que 1, porque∥∥ j E (x)

∥∥= sup‖ϕ‖≤1

∣∣ j E (x)(ϕ)∣∣= sup

‖ϕ‖≤1|ϕ(x)| ≤ ‖x‖ para todo x ∈ E .

Debido a esto, por la Proposición 11.63 para concluir que j E es una isometría es suficiente verificarque

∥∥ j E∥∥ ≥ 1. Pero esto es cierto porque, por el Teorema de Hahn-Banach, para todo x ∈ E \ {0}

la función ψ : ⟨x⟩ → k, definida por ψ(λ · x) := λ‖x‖, se extiende a una función lineal ψ : E → k denorma 1, y ∥∥ j E (x)

∥∥≥ ‖ j E (x)(ψ)∥∥= ‖x‖.

Por último, las igualdades

j F ◦ f (x)(ϕ) =ϕ(f (x)

)= j E (x)(ϕ◦ f ) = j E (x)(

f ∗(ϕ))= f ∗∗(

j E (x))(ϕ)

muestran que el cuadrado conmuta.

197

12.5 Espacios normados reflexivos Dualidad

Definición 12.23. Un espacio normado E es reflexivo si la inmersión canónica j E : E → E∗∗ essobreyectiva.

Observación 12.24. Por la Observación 12.2 todo espacio normado reflexivo es completo.

Ejemplo 12.25. Dado que dimk (E ) = dimk (E∗∗) para todo espacio de dimensión finita E y la inmer-sión canónica j E es inyectiva, los espacios normados de dimensión finita son reflexivos.

Proposición 12.26. Para cada p ∈ (1,∞), el espacio lp (k) es reflexivo.

Demostración. Debemos probar que para cada Φ ∈ lp (k)∗∗ existe z ∈ lp (k) tal que j lp (k)(z) = Φ.Escribamos q := (1−p−1)−1. Por el Teorema 12.7 sabemos que la función f p

q : lq (k) −→ lp (k)∗, dadapor

f pq (y)(w) :=

∞∑i=1

yi wi para todo w ∈ lp (k),

donde yi y wi son las i -ésimas coordenadas de y y w , respectivamente, es una isometría linealbiyectiva. Por consiguiente, Φ◦ f p

q ∈ lq (k)∗, y, nuevamente por el Teorema 12.7, existe z ∈ lp (k) tal

que Φ◦ f pq = f q

p (z). Ahora un cálculo directo muestra que j lp (k)(z) = f qp (z)◦ g , donde g es la inversa

de f pq

[5], y que, por lo tanto, j lp (k)(z) =Φ, como queremos.

Nota 12.27. Para probar la proposición anterior no basta observar lp (k)∗∗ ' lq (k)∗ ' lp (k). El proble-ma es que lo que se quiere probar no es que lp (k) es isomorfo a su doble dual, sino que j lp (k) es unisomorfismo. De hecho, en [?] se da un ejemplo de un espacio de Banach que no es reflexivo, a pesarde que es isomorfo a su doble dual.

Teorema 12.28. Un espacio de Banach E es reflexivo si y solo si lo es E∗.

Demostración. ⇒) Tomemos α ∈ E∗∗∗. Debemos probar que existe ϕ ∈ E∗ tal que j E∗(ϕ) = α, o,

equivalentemente, tal que Ψ(ϕ) =α(Ψ) para todo Ψ ∈ E∗∗. Como E es reflexivo, esto ocurre si y solosi

ϕ(x) = j E (x)(ϕ) =α(j E (x)

)=α◦ j E (x) para todo x ∈ E .

Por lo tanto ϕ :=α◦ j E .

⇐) Supongamos que E no es reflexivo. Entonces, por la Proposición 6.13, como j E es una isometríalineal y E es completo, j E (E) es un subespacio cerrado propio de E∗∗. En consecuencia, por elCorolario 12.11 hay una funcional lineal continua no nula α ∈ E∗∗∗ cuyo núcleo incluye a j E (E).Dado que E∗ es reflexivo, existe ϕ ∈ E∗ tal que α= j E∗

(ϕ). Como α se anula sobre j E (E),

ϕ(x) = j E (x)(ϕ) =α(j E (x)

)= 0 para todo x ∈ E .

Así, ϕ= 0, lo que es absurdo porque α 6= 0.

Proposición 12.29. Cada subespacio cerrado de un espacio normado reflexivo es reflexivo.

Demostración. Supongamos que E es reflexivo y que S es un subespacio cerrado de E . Por hipótesis,dada α ∈ S∗∗, existe un único x ∈ E tal que j E (x) = α ◦ i∗, donde i∗ es la función traspuesta dela inclusión canónica i : S → E [6]. Afirmamos que x ∈ S. En efecto, si x ∈ E \ S, entonces por elCorolario 12.11 existe una funcional lineal continua ψ : E → k tal que S ⊆ ker(ψ) y ψ(x) = 1. Pero estoimplica que

0 =α(0) =α◦ i∗(ψ) =ψ(x) = 1,

198

Dualidad 12.6 Dualidad y separabilidad

absurdo. Así que x ∈ S, como queremos. Además, como i∗ es sobreyectiva, cada χ ∈ S∗ tiene unaextensión ζ ∈ E∗, y por lo tanto

α(χ) =α◦ i∗(ζ) = ζ(x) =χ(x).

Como χ es arbitrario esto prueba que S es reflexivo.

Salvo por la mención a un espacio no reflexivo hecha en la Nota 12.27, todos los espaciosconsiderados en esta sección son reflexivos. En la sección que sigue veremos un ejemplo concreto deun espacio que no lo es.

12.6. Dualidad y separabilidad

En esta sección nuestro objetivo principal es explicar como se comportan los espacios dualesrespecto de la propiedad de ser separable. Un espacio puede ser separable sin que lo sea el espaciodual. Por ejemplo, l1(k) es separable y l∞(k), que es isométricamente isomorfo a l1(k)∗ no lo es. Porel contrario, como probaremos inmediatamente, para cada espacio normado E , la separabilidad deE∗ fuerza la de E .

Teorema 12.30. Supongamos que E es un espacio normado. Si E∗ es separable, entonces también loes E.

Demostración. Por el Corolario 12.12, si E∗ = 0, entonces E = 0 y, en particular, separable. Supon-gamos que E∗ 6= 0. Por hipótesis E∗ tiene un subconjunto numerable denso {ϕ1,ϕ2, . . . }. Para cadan ∈N tomemos xn ∈ E tal que ‖xn‖ = 1 y ‖ϕn‖ ≤ |ϕn(xn)|+ 1

n . Por la Proposición 11.33, para terminarla demostración será suficiente probar que

S := ⟨x1, x2, . . .⟩ = E .

Supongamos que no es así y, fijado x ∈ E \ S, consideremos la funcional ψ : S ⊕⟨x⟩→ k, definida porψ(s+λ ·x) =λ para todo s ∈ S y λ ∈ k. Notemos que ψ es continua porque kerψ= S es cerrado. Por elTeorema de Hahn-Banach, ψ tiene una extensión ψ ∈ E∗. Por la densidad de {ϕ1,ϕ2, . . . }, existe unasucesión (ϕn j ) j∈N de elementos de este conjunto que tiende a ψ. Por un lado

lımj→∞

|ϕn j (xn j )| = ‖ψ‖,

porque ‖ϕn j ‖→‖ψ‖ y ||ϕn j (xn j )|−‖ϕn j ‖| < 1n j

. Por otro lado

|ϕn j (xn j )| = |ϕn j (xn j )− ψ(xn j )| ≤ ‖ϕn j − ψ‖‖xn j ‖ = ‖ϕn j − ψ‖ −→ 0,

porque ψ se anula sobre S. Así, ψ= 0, lo que es absurdo porque ψ(x) = 1.

Corolario 12.31. El espacio l1(k) no es reflexivo.

Demostración. Si l1(k) fuera reflexivo, entonces l∞(k) sería separable por el Teorema 12.30. Pero enel Ejemplo 11.35 vimos que no lo es.

Ejercicio 12.32. Pruebe que un espacio de Banach E es reflexivo y separable si y solo si lo es E∗.

199

Notas

Notas

[1]. La igualdades

ϕy (λ · x) =n∑

i=1yiλxi =λ

n∑i=1

yi xi =λϕ(x) para todo λ ∈ k y x ∈ kn

y

ϕy (x + y) =n∑

i=1yi (xi + zi ) =

n∑i=1

yi xi +n∑

i=1yi zi =ϕy (x)+ϕy (z) para todo x, z ∈ kn ,

muestran que ϕy es lineal.

[2]. Para comprobar esto es suficiente notar que para todo λ ∈ k e y , y ′ y x en kn ,

f (λ · y)(x) =n∑

i=1

n∑i=1

λyi xi =λ f (y)(x) y f (y + y ′)(x) =n∑

i=1(yi + y ′

i )xi =n∑

i=1yi xi +

n∑i=1

y ′i xi .

[3]. Es fácil probar que g es lineal, pero no es necesario. La linealidad de g se sigue automáticamentedel hecho de que f es lineal y g es la inversa de f .

[4]. Porque, para todo ϕ,ψ ∈ E∗ y λ ∈ k,

jx (λ ·ϕ) = (λ ·ϕ)(x) =λϕ(x) y jx (ϕ+ψ) = (ϕ+ψ)(x) =ϕ(x)+ψ(x).

[5]. Para cada ϕ ∈ lp (k), la función g aplica ϕ en el único elemento y de lq (k) tal que

ϕ(x) =∞∑

i=1yi xi para todo x = (x1, x2, x3, . . . ) ∈ lp ,

por lo que

f qp (z)◦ g (ϕ) =

∞∑i=1

yi zi =ϕ(z) = j lp (k)(ϕ).

[6]. La función α◦ i∗ es una funcional continua porque es composción de una funcional continuacon una función lineal continua.

200

CA

PÍ

TU

LO

13ESPACIOS DE HILBERT

En este capítulo k =R oC y, para cada número complejo λ, el símbolo λ denota el conjugadode λ

13.1. Espacios con producto interno

Definición 13.1. Un k-espacio con producto interno, o espacio con producto interno sobre k o k-espacio prehilbertiano (E ,⟨ , ⟩) es un k-espacio vectorial E provisto de una aplicación ⟨ , ⟩ : E×E −→ k,llamado el producto interno de E , tal que para todo u, v, w ∈ E y λ ∈ k,

1. ⟨u + v, w⟩ = ⟨u, w⟩+⟨v, w⟩,2. ⟨λ ·u, v⟩ =λ⟨u, v⟩,3. ⟨u, v⟩ = ⟨v,u⟩,4. ⟨u,u⟩ ≥ 0 para cada u ∈ E y ⟨v, v⟩ = 0 si y solo si v = 0.

Observación 13.2. Las dos primeras condiciones dicen que el producto interno es lineal en la primeravariable, y la tercera dice que la función ⟨ , ⟩ es simétrica hermitiana. Combinando las tres, obtenemosque para todo u, v, w ∈ E y λ,µ ∈ k,

⟨u,λ · v +µ ·w⟩ = ⟨λ · v +µ ·w,u⟩ =λ ⟨v,u⟩+µ ⟨w,u⟩ =λ⟨u, v⟩+µ⟨u, w⟩,

es decir, que ⟨ , ⟩ es sesquilineal (el prefijo sesqui significa 1 y 1/2). Por lo tanto, en el caso real lasfunción ⟨u, v⟩ es una forma bilineal simétrica. En otras palabras, es lineal en cada variable y

⟨u, v⟩ = ⟨v,u⟩ para todo u, v ∈V .

Por último, la cuarta condición dice que la función ⟨ , ⟩ es definida positiva.

Cuando no haya posibilidad de confusión, hablaremos simplemente de un k-espacio con pro-ducto interno E sin hacer referencia al producto interno, el que genericamente será denotado ⟨ , ⟩. Sies necesario ser más específico usaremos la notación autoexplicativa ⟨ , ⟩E . Asimismo, a veces no

201

13.1 Espacios con producto interno Espacios de Hilbert

haremos referencia al cuerpo de base k, y diremos simplemente que E es un espacio con productointerno o un espacio prehilbertiano. Estos comentarios son extensivos a los espacios de Hilbert, queestudiaremos más adelante.

Ejemplos 13.3. El espacio vectorial Rn es un R-espacio con producto interno, llamado espacioeuclideano de dimensión n via

⟨x, y⟩ :=n∑

i=1ui vi .

El espacio vectorialCn también es un espacio con producto interno, en este caso sobreC, llamadoespacio hermitiano de dimensión n, via

⟨x, y⟩ :=n∑

i=1ui vi .

Asimismo, los espacios de sucesiones l2(k) (k =R oC) son k-espacios con producto interno via

⟨u, v⟩ :=∞∑

i=1ui vi ,

En todos estos ejemplos ui e vi denotan a las i -ésimas coordenadas de u e v , respectivamente. Porúltimo, el espacio (C [a,b],R), de las funciones continuas de un intervalo cerrado [a,b] enR, es unR-espacio con producto interno via

⟨ f , g ⟩ :=∫ b

af (x)g (x) d x,

y el espacio (C [a,b],C), de las funciones continuas de un intervalo cerrado [a,b] en C, es un C-espacio con producto interno via

⟨ f , g ⟩ :=∫ b

af (x)g (x) d x.

Salvo indicación en contrario en este capítulo a los espacios kn , l2(k) y (C [a,b],k) los consideramosprovistos de estas estructuras de producto interno.

Ejemplo 13.4. Todo subespacio lineal V de un espacio con producto interno E es un espacio conproducto interno via la restricción del producto interno de E a V ×V .

Ejercicio 13.5. Pruebe que las afirmaciones hechas en los Ejemplos 13.3 son verdaderas.

Ejercicio 13.6. Supongamos que E es unC-espacio vectorial y denotemos conRE al espacio vectorialreal subyacente a E . Pruebe que si ⟨ , ⟩ es un producto interno sobre E , entonces ⟨ , ⟩R :=ℜe ◦⟨ , ⟩ esun producto interno sobre RE que satisface

⟨i ·u, v⟩R =−⟨u, i · v⟩R para todo u, v ∈RE . (13.1)

Pruebe que vale la recíproca. Esto es, que si ⟨ , ⟩R es un producto interno sobre RE que satisface lacondición (13.1), entonces la función ⟨ , ⟩ : E ×E −→C, definida por

⟨u, v⟩ := ⟨u, v⟩R+ i ⟨u, i · v⟩R,

es un producto interno sobre E , y es el único cuya parte real es ⟨ , ⟩R.

202

Espacios de Hilbert 13.1 Espacios con producto interno

La siguiente es, junto con la de Hölder, una de las desigualdades más importantes del análisis.Una razón es que, como veremos pronto, permite probar que los espacios con producto internotienen una estructura natural de espacio normado.

Teorema 13.7 (Desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz). Para todo u, v ∈ E,

|⟨u, v⟩| ≤√

⟨u,u⟩√

⟨v, v⟩.Además, en la desigualdad anterior vale la igualdad si y solo si u y v son linealmente independientes.

Demostración. Cuando v = 0, ambos lados se anulan. Supongamos que v 6= 0 y tomemos λ := ⟨u,v⟩⟨v,v⟩ .

Entonces

0 ≤ ⟨u −λ · v,u −λ · v⟩= ⟨u,u⟩−⟨u,λ · v⟩−⟨λ · v,u⟩+⟨λ · v,λ · v⟩= ⟨u,u⟩−λ⟨u, v⟩−λ⟨v,u⟩+ |λ|2⟨v, v⟩= ⟨u,u⟩−λ⟨u, v⟩−λ⟨u, v⟩+ |λ|2⟨v, v⟩

= ⟨u,u⟩− |⟨u, v⟩|2⟨v, v⟩ .

Por lo tanto |⟨u, v⟩| ≤p⟨u,u⟩p⟨v, v⟩, como queremos. La igualdad vale si y solo si u −λ · v = 0, lo queocurre si y solo si u y v son linealmente dependientes[1].

Teorema 13.8. Cada espacio con producto interno E es un espacio normado via la norma ‖ ‖ definidapor ‖u‖ :=p⟨u,u⟩.Demostración. Debemos probar que la función ‖ ‖ satisface las condiciones pedidas en la Defini-ción 1.65. Por la Condición 4 de la Definición 13.1,

‖u‖ =√⟨u,u⟩ ≥ 0 para todo u ∈ E ,

y ‖u‖ = 0 si y solo si u = 0. Por la Condición 2 y la Observación 13.2, para todo λ ∈ k y u ∈ E ,

‖λ ·u‖ =√

⟨λ ·u,λ ·u⟩ =√|λ|2⟨u,u⟩ = |λ|‖u‖,

de modo que la función ‖ ‖ es homogénea. Por último, por la Condición 1 de la Definición 13.1, laObservación 13.2 y la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz, para todo u, v ∈ E ,

‖u + v‖2 = ⟨u + v,u + v⟩= ⟨u,u⟩+⟨u, v⟩+⟨v,u⟩+⟨v, v⟩= ‖u‖2 +2ℜe(⟨u, v⟩)+‖v‖2

≤ ‖u‖2 +2|⟨u, v⟩|+‖v‖2

≤ ‖u‖2 +2‖u‖‖v‖+‖v‖2

= (‖u‖+‖v‖)2,

lo que prueba que la función ‖ ‖ es subaditiva.

Una propiedad importante de los paralelogramos es que la suma de los cuadrados de las longitu-des de sus diagonales es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de sus lados. El siguienteresultado generaliza este hecho.

203

13.1 Espacios con producto interno Espacios de Hilbert

Proposición 13.9 (Ley del paralelogramo). Para cada par u, v de elementos de un espacio con productointerno E,

‖u + v‖2 +‖u − v‖2 = 2‖u‖2 +2‖v‖2.

Demostración. Por la bilinealidad del producto interno y la definición de la norma de E ,

‖u + v‖2 +‖u − v‖2 = ⟨u + v,u + v⟩+⟨u − v,u − v⟩= ⟨u,u⟩+⟨u, v⟩+⟨v,u⟩+⟨v, v⟩+⟨u,u⟩−⟨u, v⟩−⟨v,u⟩−⟨v, v⟩= 2‖u‖2 +2‖v‖2,

como afirmamos.

Ejemplo 13.10. Tomemos p ∈ [1,∞]. Cuando p 6= 2 no existe ningún producto interno sobre kn queproduzca la norma ‖ ‖p . Para comprobarlo basta notar que la norma ‖ ‖p no satisface la identidaddel paralelogramo. Para ello tomemos u = (1,1,0, . . . ,0), v = (1,−1,0, . . . ,0) y notemos que

‖u‖2 = ‖v‖2 ={

22/p si p 6=∞,

1 si p =∞ y ‖u + v‖2 = ‖u − v‖2 = 4.

Así la identidad del paralelogramo no se cumple. El mismo argumento prueba que los espacios lp (k)son son k-espacios con producto interno cuando p 6= 2.

Las fórmulas dadas en el siguiente resultado muestran que el producto interno de un espacioprehilbertiano está univocamente determinado por la norma inducida.

Proposición 13.11 (Identidades de polarización). Para cada par u, v de elementos de un espacio conproducto interno E,

⟨u, v⟩ ={

14

(‖u + v‖2 −‖u − v‖2)

si k =R,14

(‖u + v‖2 −‖u − v‖2)+ 1

4 i(‖u + i · v‖2 −‖u − i · v‖2

)si k =C.

Demostración. Por la bilinealidad del producto interno y el hecho de que ⟨v,u⟩ = ⟨u, v⟩,

‖u + v‖2 −‖u − v‖2 = ⟨u + v,u + v⟩−⟨u − v,u − v⟩= ⟨u,u⟩+⟨u, v⟩+⟨v,u⟩+⟨v, v⟩−⟨u,u⟩+⟨u, v⟩+⟨v,u⟩−⟨v, v⟩= 2⟨u, v⟩+2⟨v,u⟩

== 4ℜe(⟨u, v⟩).

Cuando k =R, esto termina la demostración. Cuando k =C, esta desigualdad, con v reemplazadopor i · v , muestra que

‖u + i · v‖2 −‖u − i · v‖2 =ℜe(⟨u, i · v⟩) =ℜe(−i ⟨u, v⟩) =ℑm(⟨u, v⟩).

La igualdad de polarización para k =C se sigue inmediatamente de estos hechos.

Corolario 13.12. Si una norma es inducida por un producto interno, entonces este es único y estádado por la identidad de polarización.

Demostración. es una consecuencia inmediata de la proposción anterior.

204

Espacios de Hilbert 13.1 Espacios con producto interno

Corolario 13.13. En todo espacio prehilbertiano el producto interno es una función continua.

Demostración. Por la identidades de polarización, el producto interno es una combinación lineal defunciones continuas, y, por lo tanto, es una función continua.

Ejercicio 13.14. Pruebe que para todo espacio con producto interno E y cada subconjunto acotadoX de E ×E , la restricción del producto interno de E a X es una función de Lipschitz. Pruebe tambiénque para cada x ∈ E las funciones y 7→ ⟨x, y⟩ y y 7→ ⟨y, x⟩, de E en k, son de Lipschitz.

Proposición 13.15. Una norma en un k-espacio vectorial E está inducida por un producto interno siy solo si satisface la identidad del paralelogramo.

Demostración. ⇒) Esto fue probado en la Proposición 13.9.

⇐) Por el Ejercicio 13.6 es suficiente probarlo cuando k =R y mostrar que cuando k =C el pro-ducto interno real obtenido considerando E comoR-espacio vectorial satisface la Condición (13.1).Suponemos entonces que k =R y definimos

⟨u, v⟩ := 1

4

(‖u + v‖2 −‖u − v‖2).

Como ⟨u,u⟩ = ‖u‖2, la función ⟨ , ⟩ satisface la Condición 4 de la Definición 13.1. Además es continuaporque es composición de funciones continuas, y

⟨u, v⟩ = 1

4

(‖u + v‖2 −‖u − v‖2)= 1

4

(‖v +u‖2 −‖v −u‖2)= ⟨v,u⟩,

lo que prueba que satisface la Condición 3 de Definición 13.1. Veamos que ⟨ , ⟩ es lineal en la primeravariable. Por la igualdad del paralelogramo

⟨x + y, w⟩+⟨x − y, w⟩ = 1

4

(‖x + y +w‖2 −‖x + y −w‖2 +‖x − y +w‖2 −‖x − y −w‖2)= 1

2

(‖x +w‖2 −‖x −w‖2)= 2⟨x, w⟩,

(13.2)

para todo x, y, w ∈ E . Tomado y = x en estas igualdades, obtenemos que

⟨2 · x, w⟩ = 2⟨x, w⟩. (13.3)

Por lo tanto

⟨u, z⟩+⟨v, z⟩ =⟨

1

2· (u + v)+ 1

2· (u − v), z

⟩+

⟨1

2· (u + v)− 1

2· (u − v), z

⟩= 2

⟨1

2· (u + v)

⟩= ⟨u + v, z⟩

para todo u, v, w ∈ E , lo que dice que la función ⟨ , ⟩ es aditiva en la primera coordenada. Esto,combinado con la igualdad (13.3) y la continuidad de ⟨ , ⟩ implica que

⟨λ ·u, w⟩ =λ⟨u, w⟩ para todo λ ∈R. (13.4)

En efecto, supongamos que esta igualdad vale para λ= n ∈N. Entonces

⟨(n +1) ·u, w⟩ = ⟨n ·u +u, w⟩ = ⟨n ·u, w⟩+⟨u, w⟩ = (n +1)⟨u, w⟩,

205

13.2 Isometrías en espacios con producto interno Espacios de Hilbert

por lo que (13.4) vale para todo λ ∈N. En consecuencia, por la aditividad de ⟨ , ⟩ en la primeracoordenada, ⟨0 ·u, w⟩ = 0 y

⟨0 ·u, w⟩ = ⟨0, w⟩ = 0 = 0⟨u, w⟩y

⟨λ ·u, w⟩ = ⟨0− (−λ ·u), w⟩ = 0−⟨(−λ ·u), w⟩ =λ⟨u, v⟩

para todo λ ∈−N. Tomemos ahora un númeor racional arbitrario mn . Las igualdades

n⟨m

n·u, w

⟩= ⟨m ·u, w⟩ = m · ⟨u, w⟩,

muestran que ⟨mn · u, w⟩ = m

n ⟨u, w⟩. Esto es suficiente para concluir que la Condición (13.4) secumple, porque la función ⟨ , ⟩ es continua y cada número real es límite de una sucesión de númerosracionales.

Supongamos ahora que k =C. Como dijimos al principio de la demostración, para probar que elresultado vale en este caso es suficiente notar que

⟨i ·u, v⟩ = 1

4

(‖i ·u + v‖2 −‖i ·u − v‖2)=−|i |14

(‖−u + i · v‖2 −‖−u − i · v‖2)= ⟨−u, i · v⟩,

para cada u, v ∈ E .

13.2. Isometrías en espacios con producto interno

Proposición 13.16. Dados R-espacios con producto interno E y F , una función f : E → F es unaisometría si y solo si f preserva producto internos (i. e. ⟨v, w⟩ = ⟨ f (v), f (w)⟩) para todo v, w ∈ E.

Demostración. Supongamos que f es una isometría. Entonces

⟨ f (v)− f (w), f (v)− f (w)⟩ = ‖ f (v)− f (w)‖2 = ‖v −w‖2 = ⟨v −w, v −w⟩

para todo v, w ∈ E . Desarrollando las expresiones en los extremos de esta igualdad obtenemos

⟨ f (v), f (v)⟩−2⟨ f (v), f (w)⟩+⟨ f (w), f (w)⟩ = ⟨v, v⟩−2⟨v, w⟩+⟨w, w⟩.

Como

⟨ f (v), f (v)⟩ = ‖ f (v)‖2 = ‖v‖2 = ⟨v, v⟩ y ⟨ f (w), f (w)⟩ = ‖ f (w)‖2 = ‖w‖2 = ⟨w, w⟩,

de las igualdades anteriores se sigue que ⟨ f (v), f (w)⟩ = ⟨v, w⟩, como queremos. Recíprocamente,si f preserva productos internos, entonces

‖ f (v)− f (w)‖2 = ⟨ f (v)− f (w), f (v)− f (w)⟩ = ⟨v −w, v −w⟩ = ‖v −w‖2

para todo v, w ∈ E , y f es una isometría.

Teorema 13.17. DadosR-espacios con producto interno E y F , toda isometría f : E → F , con f (0) = 0,es una función lineal.

206

Espacios de Hilbert 13.3 Ortogonalidad

Demostración. Primero vamos a probar que f (v +w) = f (v)+ f (w) para todo v, w ∈ E o, equivalen-temente, que x := f (v +w)− f (v)− f (w) = 0. Por la Proposición 13.16,

⟨x, x⟩ = ⟨ f (v +w), f (v +w)⟩+⟨ f (v), f (v)⟩+⟨ f (w), f (w)⟩−2⟨ f (v +w), f (v)⟩−2⟨ f (v +w), f (w)⟩+2⟨ f (v), f (w)⟩= ⟨v +w, v +w⟩+⟨v, v⟩+⟨w, w⟩−2⟨v +w, v⟩−2⟨v +w, w⟩+2⟨v, w⟩= 0.

Por lo tanto x = 0, como queríamos. Usando este hecho es fácil probar por inducción que

f (n · v) = n · f (v) para todo n ∈N. (13.5)

Pero entonces f (0) = 0, y como f (−n ·v)+ f (n ·v) = f (0) = 0, la igualdad (13.5) vale para n ∈Z. Ahorafijemos i0 ∈N0 y supongamos que f (λ · v) =λ · f (v) cuando λ es un número racional diádico n

2i coni ≤ i0. Entonces

1

2i0· f (v) = f

( 1

2i0· v

)= 2 f

( 1

2i0+1· v

)y, en consecuencia, f (λ · v) =λ · f (v) para todo racional diádico λ. Finalmente, como todo númeroreal λ es límite λ= lımi→∞λi de una sucesión de números racionales diádico y las isometrías sonfunciones continuas,

f (λ · v) = lımi→∞

f (λi · v) = lımi→∞

λi · f (v) =λ · f (v)

para todo número real λ.

Observación 13.18. Por el Teorema 13.17, toda isometría f : E → F , de R-espacios con productointerno, es una función afín. Además f es biyectiva si y solo si la función lineal v 7→ f (v)− f (0) loes. Por ejemplo, toda isometría del espacio euclideano Rn en si mismo es biyectiva, porque todoendomorfismo inyectivo de un espacio vectorial de dimensión finita es biyectivo, pero hay isometríasno biyectivas de l2 en si mismo. Debido a estos resultados, el problema de determinar las isometríasbiyectivas de un espacio de un R-espacio con producto interno E en si mismo, se reduce al dedeterminar los automorfismos lineales de E que preservan distancias. Por ejemplo, cuando E es elespacio euclideanoRn , estos son las aplicaciones ortonormales deRn .

Ejercicio 13.19. De un ejemplo de una isometría no biyectiva f : l2 → l2.

Observación 13.20. Una isometría f , con f (0) = 0, entre C-espacios con producto interno, es unafunción R-lineal, porque todo C-espacio con producto interno E es un R-espacio vectorial conproducto interno ℜe ◦⟨ , ⟩E , pero no necesariamente esC-lineal. Por ejemplo, la conjugación, y lafunción f : C2 →C2, definida por f (z, w) := (z, w) son isometríasR-lineales que no sonC-lineales.

Ejercicio 13.21. Pruebe que todo espacio prehilbertiano es estrictamente convexo. Use este hechoy el Teorema 11.76 para dar otra prueba de que las isometrías entre espacios prehilbertianos sonfunciones afines.

13.3. Ortogonalidad

Definición 13.22. Decimos que dos elementos u y v de un espacio prehilbertiano E son ortogonalessi ⟨u, v⟩ = 0 y que dos subconjuntos U y V de E son ortogonales si ⟨u, v⟩ = 0 para todo u ∈U y v ∈V .Usamos las notaciones u⊥v y U⊥V , respectivamente, para señalar estos hechos. Por simplicidad,

207

13.3 Ortogonalidad Espacios de Hilbert

cuando U es ortogonal a {v} decimos que U es ortogonal a v o, lo que es igual, que v es ortogonal a U ,y escribimos U⊥v (o v⊥U ).

Notación 13.23. Dado un subconjunto U de E , denotamos con U⊥ al conjunto de todos los v ∈ Etales que v⊥U . Por simplicidad, para cada elemento u de E escribimos u⊥ en lugar de {u}⊥.

Observación 13.24. Puesto que la función ϕu : E → k, definida por ϕu(v) := ⟨v,u⟩, es lineal y con-tinua, u⊥ = kerϕu es un hiperplano cerrado de E . Por lo tanto, U⊥ = ⋂

u∈U U⊥ es un subespaciocerrado de E para todo U .

Ejercicio 13.25. Pruebe que para cada par U y V de subconjuntos de un espacio prehilbertiano Elas siguientes afirmaciones son verdaderas:

1. U ⊆U⊥⊥.

2. Si U ⊆V , entonces V ⊥ ⊆U⊥.

3. U⊥ =U⊥⊥⊥.

4. U ∩U⊥ ⊆ {0} y U ∩U⊥ = {0} si y solo si 0 ∈U .

Teorema 13.26 (Teorema de Pitágoras). Para todo par u e v de vectores ortogonales de un k-espaciocon producto interno E,

‖u + v‖2 = ‖u‖2 +‖v‖2.

Demostración. En efecto,

‖u + v‖2 = ⟨u + v,u + v⟩ = ‖u‖2 +2ℜe(⟨u, v⟩)+‖v‖2 = ‖u‖2 +‖v‖2,

porque ⟨u, v⟩ = 0.

Corolario 13.27. Si u1, . . . ,ur son elementos ortogonales dos a dos de un k-espacio con productointerno E, entonces

‖u1 +·· ·+ur ‖2 = ‖u1‖2 +·· ·+‖ur ‖2.

Demostración. Esto se sigue inmediatamente del Teorema de Pitágoras, por inducción en r .

Definición 13.28. Un subconjunto U de un k-espacio prehilbertiano E es ortogonal si ⟨u, v⟩ = 0 paratodo u, v ∈U y es normalizado si ‖u‖ = 1 para todo u ∈U . Un subconjunto de E es ortonormal sies ortogonal y normalizado. Una base de Hilbert de E es un conjunto ortonormal que es maximalrespecto del orden de inclusión (es decir, que no está incluído propiamente en ningún otro).

Ejemplo 13.29. La base canónica {e1, . . . ,en} es una base de Hilbert de kn y el conjunto {ei : i ∈N} esuna base de Hilbert de l2(k).

Ejercicio 13.30. Pruebe que las afirmaciones hechas en el ejemplo anterior son verdaderas.

Observación 13.31. Supongamos que un elemento x de un espacio prehilbertiano E es combinaciónlineal finita x =λ1 ·u1 +·· ·+λnun , de elementos de un subconjunto ortonormal U de E . Entonces

λi =n∑

j=1λ j ⟨u j ,ui ⟩ = ⟨x,ui ⟩ para todo i ,

porque ⟨u j ,ui ⟩ = δi j para todo j . Esto muestra que los λi ’s son únicos y da una forma muy simplede encontrarlos. En particular U es lineamente independiente.

208

Espacios de Hilbert 13.3 Ortogonalidad

Proposición 13.32. Todo subconjunto ortonormal U de un espacio prehilbertiano E está incuído enuna base de Hilbert de E.

Demostración. Denotemos con V al conjunto de todos los subconjuntos ortonormales de E queincluyen a U , ordenado por inclusión (por ejemplo, U ∈ V ). Cada cadena de elementos de V esacotada superiormente. En efecto, dada una cadena

(Ui

)i∈I de elementos de V ,

V := ⋃i∈I

Ui

es un elemento de V que incluye a todos los Ui ’s[2]. En consecuencia, por el lema de Zorn, V tieneelementos maximales, cada uno de los cuales es una base de Hilbert de E que incluye a U .

Observación 13.33 (Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt). Dados vectores linealmenteindependientes x1, . . . , xn de un espacio prehilbertiano E , existen vectores u1, . . . ,un tales que el con-junto {u1, . . . ,un} es ortonormal y gen(u1, . . . ,u j ) = gen(x1, . . . , x j ) para todo i . Un algoritmo, conocidocomo proceso de ortonormalización de Gram-Schimdt, para construir los vectores u1, . . . ,un , es elsiguiente1:

- Primero se define u1 := 1‖u1‖ · x1.

- Luego se define u2 := 1‖v2‖ · v2, donde v2 := x2 −⟨x2,u1⟩ ·u1.

- En general, luego de construir u1, . . . ,u j se pone

v j+1 := x j+1 −j∑

i=1⟨x j+1,ui ⟩ ·ui

y se define u j+1 := 1‖v j+1‖ · v j+1.

El hecho de que el algoritmo funcione requiere una explicación. Es evidente que u1 y x1 generanel mismo subespacio de E , y u2 está bien definido, porque v2 es no nulo debido a que u1 y x2 sonindependientes. Además

⟨u2,u1⟩ = 1

‖v2‖⟨v2,u1⟩ = ⟨x2,u1⟩−⟨x2,u1⟩⟨u1,u1⟩ = 0,

y es claro que valen cada una de las igualdades

gen(u1,u2) = gen(u1, v2) = gen(u1, x2) = gen(x1, x2).

Los mismos argumentos permiten probar por inducción en j que, como dijimos arriba, {u1, . . . ,u j }es ortonormal y gen(u1, . . . ,u j ) = gen(x1, . . . , x j ) para todo j .

Consideremos ahora una familia numerable (x j ) j∈N, de vectores de E linealmente independien-tes. El algoritmo de Gram-Schmidt (aplicado a cada subfamilia x1, x2, . . . , xn), muestra que existenvectores u1,u2,u3, . . . tales que {u j : j ∈ N} es ortonormal y gen(u1, . . . ,ui ) = gen(x1, . . . , xi ) paratodo i .

Definición 13.34. Una sucesión (ui )i∈N de elementos no nulos de un espacio prehilbertiano E esortogonal si lo es su imagen. Una sucesión ortogonal (ui )i∈N es ortonormal si ‖ui‖ = 1 para todo i .

Observación 13.35. La última parte de la Observación 13.33 dice que para cada sucesión (xi )i∈Nde vectores independientes de E , existe una sucesión ortonormal (ui )i∈N de vectores de E tal quegen(u1, . . . ,u j ) = gen(x1, . . . , x j ) para todo j . En consecuencia los conjuntos {xi : i ∈N} y {ui : i ∈N}generan el mismo subespacio vectorial de E .

1Nosotros damos una variante en la que en cada paso se normalizan los vectores. La alternativa es normalizarlos alfinal.

209

13.4 Espacios de Hilbert Espacios de Hilbert

13.4. Espacios de Hilbert

Definición 13.36. Un espacio con producto interno es un espacio de Hilbert si, con la norma asociada,es un espacio de Banach.

Ejemplos 13.37. Salvo los dos últimos, los espacios con producto interno considerados en losEjemplos 13.3 son espacios de Hilbert.

Ejemplos 13.38. Por el Ejemplo 13.4 y la Proposición 6.11, todo subespacio cerrado de un espaciode Hilbert es un espacio de Hilbert.

Teorema 13.39. Supongamos que(E , i : E ,→ E

)es una completación de un espacio con producto

interno. Entonces E tiene una única estructura de espacio de Hilbert tal que i es una isometría linealcontinua.

Demostración. Por el Teorema 11.6 sabemos que E tiene una única estructura de espacio de Banachtal que i es una isometría lineal continua. Como la norma de E es continua y satisface la igualdaddel paralelogramo sobre el subconjunto denso i (E) de E , la norma de E satisface la igualdad delparalelogramo sobre todo E . En consecuencia, por la Proposición 13.15 y el Corolario 13.12, hay unúnico producto interno sobre E que induce su norma.

Observación 13.40. Por la Proposición 13.16, si(E , i : E ,→ E

)es una completación de un espacio con

producto interno, entonces ⟨v, w⟩ = ⟨i (v), i (w)⟩ para todo v, w ∈ E . Dicho de otro modo, el productointerno de E extiende el de E .

Proposición 13.41 (Propiedad del punto más cercano). Para cada punto x de un espacio de Hilbert Ey cada subconjunto cerrado y convexo C de E, existe un único punto x0 ∈C tal que d(x, x0) = d(x,C ).

Demostración. Como el conjunto C − x es cerrado y convexo[3] y d(x,C ) = d(0,C − x), podemossuponer sin pérdida de generalidad (y lo haremos) que x = 0. Escribamos d := d(C ,0) y tomemos unasucesión (xn)n∈N de puntos de C tal que lımn→∞ ‖xn‖ = d . Por la igualdad del paralelogramo, paratodo m,n ∈N,

0 ≤ ‖xm −xn‖2 = 2‖xm‖2 +2‖xn‖2 −‖xm +xn‖2 = 2‖xm‖2 +2‖xn‖2 −4

∥∥∥∥1

2· (xm +xn)

∥∥∥∥Además, como C es convexo, 1

2 ·(xm +xn) ∈C , y por consiguiente 12‖xm +xn‖2 ≤ d 2. En consecuencia,

0 ≤ ‖xm −xn‖2 ≤ 2‖xm‖2 +2‖xn‖2 −4d 2 para todo m,n ∈N.

Por lo tanto la sucesión (xn)n∈N es de Cauchy, y por la completitud de C converge a un punto x0 ∈C .Por la continuidad de la norma

‖x0‖ = lımn→∞‖xn‖ = d .

Esto termina prueba la existencia. Para la unicidad es suficiente notar que, nuevamente por laigualdad del paralelogramo,

0 ≤ ‖x0 − z‖2 = 2‖x0‖2 +2‖z‖2 −4

∥∥∥∥1

2· (x0 + z)

∥∥∥∥2

≤ 4d 2 −4d 2 = 0,

para todo z ∈C con ‖z‖ = d .

210

Notas

Lema 13.42. Si en la proposición anterior C es un subespacio cerrado de E, entonces (x −x0)⊥C .

Demostración. Basta probar que x−x0 es ortonormal a todos los elementos de norma 1 de C . Fijemosentonces c ∈C con ‖c‖ = 1, y escribamos w := x −x0. Como x0 es el punto de C más cercano a x,

‖w‖2 ≤ ‖w −⟨w,c⟩ · c‖2 = ⟨w −⟨w,c⟩ · c, w −⟨w,c⟩ · c⟩ = ‖w‖2 −|⟨w,c⟩|2,

y por lo tanto ⟨w,c⟩ = 0, como queremos.

Teorema 13.43. Si S es un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert E, entonces S⊥ es un subespaciocerrado de E, E = S ⊕S⊥ y las proyecciones pS : E → S y pS⊥ : E → S⊥ asociadas a esta descomposiciónsatisfacen:

1. pS y pS⊥ son funciones lineales.

2. x = pS(x)+pS⊥(x) para todo x ∈ E.

3. Si x = y + z con y ∈ S y z ∈ S⊥, entonces y = pS(x) y z = pS⊥(x).

4. pS(x) es el punto de S más cercano a x para todo x ∈ E.

5.∥∥x

∥∥2 = ∥∥pS(x)∥∥2 +∥∥pS⊥(x)

∥∥2 para todo x ∈ E.

Demostración. Por la Observación 13.24 sabemos que S⊥ es un subespacio cerrado de E , y porel item 4 del Ejercicio 13.25 que S ∩ S⊥ = {0}. Además E = S + S⊥, por la Proposición 13.41 y elLema 13.42. Así que E = S ⊕S⊥, y los primeros 3 items valen por razones puramente algebraicas(vease la introducción). Nuevamente por el Lema 13.42, también vale el item 4. Por último, paracada x ∈ E ,

‖x‖2 = ⟨pS(x)+pS⊥(x), pS(x)+pS⊥(x)⟩ = ⟨pS(x), pS(x)⟩+⟨pS⊥(x), pS⊥(x)⟩ = ∥∥pS(x)∥∥2 +∥∥pS⊥(x)

∥∥2,

porque pS(x) y pS⊥(x) son ortogonales. Esto prueba que vale el item 5.

Corolario 13.44. Un subespacio S de un espacio de Hilbert E es denso en E si y solo si S⊥ = {0}.

Demostración. Si S = E , entonces S⊥ = S⊥ = {0}, donde la primera igualdad vale por la continuidad

del producto inteno. recíprocamente, si S⊥ = 0, entonces S = E , por el Teorema 13.43

Corolario 13.45. Un subconjunto ortonormal U de un espacio de Hilbert E es una base de Hilbert deE si y solo si el subespacio de E generado por U es denso en E.

Demostración. Esto es una consecuencia inmediata del corolario anterior.

Notas

[1]. Como v 6= 0, los vectores u y v son linealmente independientes si y solo si existe µ ∈ k talque u −µ · v = 0. La cuenta

0 = ⟨u −µ · v, v⟩ = ⟨u, v⟩−µ⟨v, v⟩,

muestra que µ=λ.

[2]. Es claro que Ui ⊆V para todo i . Para ver que V es un subconjunto ortonormal de E es suficientenotar que cada x ∈ V tiene norma 1 porque está en un Ui , y que x⊥y para cada par x, y deelementos de V , porque existe un i ∈ I tal que ambos pertenecen a Ui .

211

Notas

[3]. Por la Observación 3.31, el Ejercicio 11.68 y porque la función ϕ : E → E , definida por

ϕ(y) := y −x,

es un homeomorfismo afín.

212

Apéndices

213

AP

ÉN

DI

CE

ARESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS

Capítulo 1

Ejercicio 1.3 Tomando z = x en la segunda condición y combinandola con la primera obtene-mos que

d(x, y) ≤ d(y, x)+d(x, x) = d(y, x).

Por simetría, d(x, y) = d(y, x) para todo x, y ∈ X . Usando este hecho, y tomando ahora y = x enla segunda condición, obtenemos

2d(x, z) = d(x, z)+d(z, x) ≥ d(x, x),

que, por la primera condición, es cero.

Ejercicio 1.5 Como |yi | ≤ max1≤ j≤n |y j |,n∑

i=1|xi yi | =

n∑i=1

|xi ||yi | ≤n∑

i=1|xi | max

1≤ j≤n|y j |,

como queremos. La versión integral dice que para cada par f , g : [a,b] → R de funcionescontinuas, ∫ b

a| f (t )g (t )|d t ≤ sup

t∈[a,b]|g (t )|

∫ b

a| f (t )|d t .

Para demostrarlo basta observar que, como |g (t )| ≤ supt∈[a,b] |g (t )|,∫ b

a| f (t )g (t )|d t =

∫ b

a| f (t )||g (t )|d t ≤

∫ b

a| f (t )| sup

t∈[a,b]|g (t )|d t = sup

t∈[a,b]|g (t )|

∫ b

a| f (t )|d t .

Ejercicio 1.6 Basta tomar límite para n tendiendo a infinito en la desigualdad (1.2).

Ejercicio 1.11 Es claro que α(x) = 0 si y solo si x = 0 y que β(x) = 0 si y solo si x = 0. Como

α(x + y) ≤ x + y =α(x)+α(y) si x ≤ 1 e y ≤ 1,

215

Resolución de los ejercicios

y

α(x + y) = 1 ≤α(x)+α(y) si x > 1 o y > 1,

la función α es subaditiva. Las igualdades

β(x + y) = x + y

1+x + y= x

1+x + y+ y

1+x + y≤ x

1+x+ y

1+ y=β(x)+β(y),

prueban que también lo es β.

Ejercicio 1.15 Por el item 1 de la definición de pseudométrica, ∼ es reflexiva, mientras que,por el item 2, es simétrica. Veamos que también es transitiva. En efecto, por el item 3, si x ∼ z yz ∼ y ,

0 ≤ d(x, y) ≤ d(x, z)+d(z, y) = 0,

por lo que x ∼ y . Para probar que d está bien definida, debemos ver que si x ∼ x ′ e y ∼ y ′,entonces d(x, y) = d(x ′, y ′). Pero, por la desigualdad triangular,

d(x ′, y ′) ≤ d(x ′, x)+d(x, y)+d(y, y ′) = d(x, y),

y, similarmente, d(x, y) ≤ d(x ′, y ′). Por último d es una métrica pues

d(x, y) = 0 ⇔ d(x, y) = 0 ⇔ x ∼ y ⇔ x = y ,

d(x, y) = d(x, y) = d(y, x) = d(y , x)

y

d(x, y) = d(x, y) ≤ d(x, z)+d(z, y) = d(x, z)+d(z, y),

donde x denota a p(x), etcétera.

Ejercicio ?? Es evidente que d( f )(x, x) = 0 y que d( f )(x, y) = d( f )(y, x) para todo x, y ∈ X . Vea-mos que vale la propiedad triangular. Si x = z, entonces

d( f )(x, z) = 0 ≤ d( f )(x, y)+d( f )(y, z),

mientras que, si x = y o y = z, entonces

d( f )(x, z) = d( f )(x, y)+d( f )(y, z).

Finalmente, si x, y y z son tres puntos distintos,

d( f )(x, y) = f (x)+ f (y) ≤ f (x)+ f (z)+ f (z)+ f (y) = d( f )(x, z)+d( f )(z, y).

Resta ver que d( f ) es una métrica si y solo si f −1(0) tiene a lo sumo un elemento. Para ello essuficiente notar que si x 6= y en X , entonces

d( f )(x, y) = 0 ⇔ f (x) = f (y) = 0.

En particular, como |x| = 0 si y solo si x ∈R es cero, la función d(| |) es una métrica.

Ejercicio ?? Como es usual denotamos con χA : R→R a la función característica de A y con| | : R→R a la función módulo. Por definición

dA(x, y) = |x − y |+d(χA)(x, y) y δ(x, y) = |x − y |+d| |(x, y),

donde d(χA) y d| | son como en el Ejercicio ??. En consecuencia, por la Observación 1.18, lasfunciones dA y δ son métricas.

216


Ejercicio 4.6 Es evidente que d(x, x) = 0 para todo x ∈ X y que d es simétrica. Para ver quevale la desigualdad triangular es suficiente notar que, para todo x, y, z ∈ X ,

d(x, z) =α(d1(x, z), . . . ,dn(x, z), . . .

)≤α(

d1(x, y)+d1(y, z), . . . ,dn(x, y)+dn(y, z), . . .)

≤α(d1(x, y), . . . ,dn(x, y), . . .

)+α(d1(y, z), . . . ,dn(y, z), . . .

)= d(x, y)+d(y, z),

donde la primera desigualdad se sigue de que α es creciente y

di (x, z) ≤ di (x, y)+di (y, z) para todo i ,

y la segunda de la subaditividad de α. Por último, dado que α(v) = 0 si y solo si v = 0,

d es una métrica ⇔ (d1(x, y), . . . ,dn(x, y), . . . ) 6= 0 siempre que x 6= y

⇔ para cada par de elementos x 6= y de X existe i tal que di (x, y) > 0,

como queremos.

Ejercicio 4.7 Es evidente que αap es creciente. Además como ai > 0 para todo i ,

αap (x) = 0 ⇔ xi para todo i ⇔ x = 0

Dado que, por el Ejercicio 1.11,

αa∞(x + y) = sup

n∈N(a1(x + y)1, a2(x + y)2, a3(x + y)3, . . . )

≤ supn∈N

(a1x1 +a1 y1, a2x2 +a2 y2, a3x3 +a3 y3, . . . )

≤ supn∈N

(a1x, a2x, a3x3, . . . )+ supn∈N

(a1 y , a2 y , a3 y3, . . . )

=αa∞(x)+αa

∞(y),

cuando p =∞ también se satisface la tercera condición. Supongamos que p ∈ [1,∞). Entonces,por el Ejercicio 1.11 y la desigualdad (1.8),

αap (x + y) = p

√ ∞∑i=1

ai (x + y)pi

≤ p

√ ∞∑i=1

ai (xi + y i )p

= p

√ ∞∑i=1

( ppai xi + ppai y i )p

≤ p

√ ∞∑i=1

ai xpi + p

√ ∞∑i=1

ai y pi

=αap (x)+αa

p (y),

como queremos.

217


Ejercicio 4.8 Como, para todo p ∈ [1,∞],

dap (x, y) =αa

p

(d (1)(x, y),d (2)(x, y),d (3)(x, y), . . .

),

el ejercicio se sigue de los Ejercicios 4.6 y 4.7.

Ejercicio 4.9 Por el Ejercicio 4.8, con d (i ) := d Xi ◦ (pi ×pi ), donde pi : X → Xi es la proyeccióncanónica.

Capítulo 1.3

Ejercicio ?? Si x ∉ A, entonces por definición

BRAr (x) = {y ∈ X \ A : |x − y | < r }∪ {y ∈ A : |x − y | < r −1},

mientras que si x ∈ A, entonces, nuevamente por definición,

BRAr (x) = {x}∪ {y ∈ X \ A : |x − y | < r −1}∪ {y ∈ A : |x − y | < r −2}.

El ejercicio se sigue inmediatamente de estos hechos.

Ejercicio ?? Por definición d(−x,−y) = d(x, y) para todo x, y ∈R. En consecuencia, cualquierasea x ≥ 0,

Br (−x) = {−y : y ∈ Br (x)}.

Por lo tanto basta considerar el caso en que x ≥ 0. Pero entonces

Br (x) = {x}∪ {y ∈R : x +|y |+ |y −x| < r },

y así, el ejercicio se sigue de que

- Si y ≥ x, entonces x +|y |+ |y −x| = 2y ,

- Si 0 ≤ y < x, entonces x +|y |+ |y −x| = 2x,

- Si y < 0, entonces x +|y |+ |y −x| = 2(x − y).

Ejercicio 1.33 Tomemos Vi ∈ Bi para cada i . Como Vi es un entorno de xi , existe ri > 0 talque Bri (xi ) ⊆Vi . En consecuencia, debido al Ejemplo 1.25,

BXr (x) = BX1

r (x1)×·· ·×BXnr (xn) ⊆V1 ×·· ·×Vn ,

donde r := mın(r1, . . . ,rn). Por lo tanto cada producto V1 ×·· ·×Vn con Vi ∈Bi es un entornode x. Tomemos ahora r > 0. Dado que Bi es una base de entornos de xi , existe Vi ∈Bi tal queVi ⊆ Br (xi ). Así, nuevamente por el Ejemplo 1.25,

V1 ×·· ·×Vn ⊆ BX1r (x1)×·· ·×BXn

r (xn) = BXr (x),

por lo que{V1 ×·· ·×Vn : Vi ∈Bi para todo i

}es una base de entornos de x.

Ejercicio ?? Tomemos Vi ∈Bi para cada i de manera tal que existe s ∈N0 tal que Vi = Xi paratodo i > s. Como Vi es un entorno de xi , para cada 1 ≤ i ≤ s existe ri > 0 tal que Bri (xi ) ⊆ Vi .Así, por el Ejemplo 4.10,

BXr (x) = BX1

2r (x1)×·· ·×BXs2s r (xs)×Xs+1 ×Xs+2 ×·· · ⊆V1 ×·· ·×Vs ×Xs+1 ×Xs+2 ×·· · ,

218


donde r := mın(r1/2,r2/22 . . . ,rs/2s). Por lo tanto cada producto V1 ×·· ·×Vs ×Xs+1 ×Xs+2 ×·· ·con Vi ∈Bi es un entorno de x. Tomemos ahora 0 < r ≤ 1/2 y llamemos s al mínimo natural talque r ≤ 1/2s . Como Bi es una base de entornos de xi , para cada 1 ≤ i ≤ s existe Vi ∈Bi tal queVi ⊆ B2i r (xi ). Por lo tanto, nuevamente por el Ejemplo 4.10,

V1 ×·· ·×Vs ×Xs+1 ×Xs+2 ×·· · ⊆ BX12r (x1)×·· ·×BXs

2s r (xs)×Xs+1 ×Xs+2 ×·· · = BXr (x),

por lo que{V1 ×V2 ×V3 ×·· · : Vi ∈Bi para todo i y Vi = Xi salvo para finitos índices i

}es una base de entornos de x.

Ejercicio 1.35 Es evidente que si X es finito, entonces {V : V es entorno de x} también lo es.Recíprocamente, supongamos que X no es finito. Entonces (X \ {y})y∈X \{x} es una familiainfinita de entornos distintos de x. Para concluír que también la última afirmación es verda-dera, basta notar que para cada espacio métrico discreto, el conjunto

{Br (x) : r ∈R}

tiene 2elementos.

Ejercicio 4.11 Esto es cierto porque, por el Ejemplo 4.10, para cada punto x := (x1, x2, x3, . . . )de X y cada 0 < r ≤ 1/2,

Br (x) =s(r )⋂i=1

X1 ×·· ·×Xi−1 ×B2i+1r ×Xi+1 ×Xi+2 ×·· · ,

donde s(r ) := mın{s ∈N : r ≤ 1/2s}.

Ejercicio 1.38 Para cada i denotemos con Bi a la base de xi formada por la interseccionesfinitas de elementos de Si . Dado que para cada i ,

{X1 ×·· ·×Xi−1 ×V ×Xi+1 ×·· ·×Xn : V ∈Bi }

es el conjunto de las intersecciones finitas de elementos de

{X1 ×·· ·×Xi−1 ×S ×Xi+1 ×·· ·×Xn : S ∈Si },

podemos suponer que Bi =Si para todo i . En consecuencia, debido al Ejercicio 1.33, paraterminar la demostración de la primera parte del ejercicio, basta observar que, cualesquierasean V1 ∈B1, . . . ,Vn ∈Bn ,

V1 ×·· ·×Vn =n⋂

i=1X1 ×·· ·×Xi−1 ×Vi ×Xi+1 ×·· ·×Xn .

Consideremos ahora una familia numerable X1, X2, X3, . . . de espacios métricos y fijemospuntos x1 ∈ X1, x2 ∈ X2, x3 ∈ X3, . . . . Vamos a probar que si Si es una subbase de entornos de xi

para cada i , entonces el conjunto

{X1 ×·· ·×Xi−1 ×S ×Xi+1 ×Xi+1 ×·· · : 1 ≤ i y S ∈Si }

es una subbase de entornos de (x1, x2, x3, . . . ). Como en el caso de un producto finito de espaciosmétricos, podemos suponer que Bi =Si para todo i . Así, debido al Ejercicio ??, para terminarla demostración, basta observar que, cualesquiera sean s ∈N y V1 ∈B1, . . . ,Vs ∈Bs ,

V1 ×·· ·×Vs ×Xs+1 ×Xs+2 ×·· · =s⋂

i=1X1 ×·· ·×Xi−1 ×Vi ×Xi+1 ×Xi+2 ×·· · .

219


Capítulo 1.5

Ejercicio 1.46 Como a ∈ Br (a) ⊆ Br [a] y b ∈ Bs(b) ⊆ Bs[b] es evidente que

d(Br [a],Bs[b]) ≤ d(Br (a),Bs(b)) ≤ d(a,b).

La desigualdad que falta probar se sigue facilmente de que, para cada x ∈ Br [a] e y ∈ Bs[b],

d(a,b) ≤ d(a, x)+d(x, y)+d(y,b) ≤ d(x, y)+ r + s.

Ejercicio 1.48 Que A ∉B y que B tiene al menos un elemento de la forma A∪ {x} o A \ {x}.

Ejercicio 1.51 Fijemos un punto x de A. Debemos probar que si d2(a, A) = d2(a, x), enton-ces d2(a, y) > d2(a, A), para todo y ∈ A \ {x}. Como d2(a,b) = d2(0,b − a) y A es convexo si ysolo si A−a lo es, podemos suponer que a = 0. Supongamos que d2(a, y) = d2(a, x) y escriba-mos x = (x1, x2) e y = (y1, y2). Dado que

x21 + y2

1 −2x1 y1 = (x1 − y1)2 ≥ 0 y x22 + y2

2 −2x2 y2 = (x2 − y2)2 ≥ 0,

y al menos una de estas desigualdades es estricta,

d2

(0,

x + y

2

)=

√( x1 + y1

2

)2+

( x2 + y2

2

)2

=√

x21

4+ y2

1

4+ x1 y1

2+ x2

2

4+ y2

2

4+ x2 y2

2

<√

x21

2+ y2

1

2+ x2

2

2+ y2

2

2.

En consecuencia, como x21 +x2

2 = d2(0, x)2 = d2(0, y)2 = y21 + y2

2 ,

d2

(0,

x + y

2

)<

√x2

1 +x22 = d2(0, x),

lo que es absurdo porque x+y2 ∈ A por la convexidad de A. Por ende x = y .

Ejercicio 1.55 Repondemos cada uno de los items del ejercicio por separado.

1. Por la Observación 1.41.

2. Porque 0 ≤ d(A,B) ≤ d(a, a) = 0 para todo a ∈ A∩B .

3. Si A ⊆ B y C ⊆ D , entonces {d(x, y) : x ∈C e y ∈ D} ⊆ {d(x, y) : x ∈ A e y ∈ B} y, por lo tanto,

d(C ,D) = ınf{d(x, y) : x ∈C e y ∈ D} ≥ ınf{d(x, y) : x ∈ A e y ∈ B} = d(A,B).

4. Para cada a ∈ Aε, cada b ∈ Bε′ y cada δ> 0, existe a′ ∈ A y b′ ∈ B tales que d(a, a′) ≤ ε+δ yd(b,b′) ≤ ε′+δ. Por lo tanto

d(A,B) ≤ d(a′,b′) ≤ d(a′, a)+d(a,b)+d(b,b′) ≤ d(a,b)+ε+ε′+2δ.

Como a, b y δ son arbitrarios, el item es verdadero.

220


5. Por la definición de distancia entre conjuntos y propiedades básicas del ínfimo,

d(⋃

i∈IAi ,

⋃j∈J

B j

)= ınf

a∈⋃i∈I Ai y b∈⋃

j∈J B j

d(a,b) = ınfi∈I y j∈J

(ınf

a∈Ai y b∈B j

d(a,b))= ınf

i∈I y j∈Jd(Ai ,B j ),

como afirmamos.

6. Por el item 3.

Ejercicio 1.61 Repondemos cada uno de los items del ejercicio por separado.

1. Si A ⊆ B , entonces {d(a, a′) : a, a′ ∈ A} ⊆ {d(b,b′) : b,b′ ∈ B} y, por lo tanto,

diam A = sup{d(a, a′) : a, a′ ∈ A} ≤ sup{d(b,b′) : b,b′ ∈ B} = diamB.

2. Para cada a,b ∈ Aε y cada δ> 0, existen a′,b′ ∈ A tales que d(a, a′) ≤ ε+δ y d(b,b′) ≤ ε′+δ.Por lo tanto

d(a,b) ≤ d(a, a′)+d(a′,b′)+d(b′,b) ≤ d(a′,b′)+2ε+2δ.

Como δ es arbitrario,

d(a,b) ≤ diam A+2ε para todo a,b ∈ Aε,

y, en consecuencia, diam Aε ≤ diam A+2ε, como queremos.

3. Debemos probar que

d(x, y) ≤ diam A+diamB +d(A,B)+δ para todo x, y ∈ A∪B y todo δ> 0.

Como esto claro cuando x e y pertenecen a A o x e y pertenecen a B , podemos suponerque x ∈ A e y ∈ B . En este caso, tomando a ∈ A y b ∈ B tales que d(a,b) < d(A,B)+δ, obtenemosque

d(x, y) ≤ d(x, a)+d(a,b)+d(b, y) < diam A+diamB +d(A,B)+δ,

como queremos.

Ejercicio 1.62 Para cada punto x de un espacio discreto,

diamBr [x] = 0 < 2r si r < 1 y diamBr [x] = 1 < 2r si r ≥ 1.

Ejercicio 1.63 Es claro que podemos suponer que ninguno de los Ai ’s es vacío, lo que tieneel efecto de que la distancia de

⋃n−1i=1 Ai a An es finita. Procedemos por inducción en n. El

caso n = 1 es trivial. Supongamos que n > 1 y que el resultado vale para n −1. Entonces portercer item del Ejercicio 1.61,

diam

(n⋃

i=1Ai

)≤ diam

(n−1⋃i=1

Ai

)+diam An +d

(n−1⋃i=1

Ai , An

)<∞,

como queremos.

221


Capítulo 1.6

Ejercicio 1.69 Si d está asociada a una norma ‖ ‖, entonces ‖x‖ = d(x,0) para todo x ∈ E . Estoprueba la unicidad. Para probar la existencia debemos ver que la función ‖ ‖, definida por laigualdad anterior, es una norma. Pero esto es cierto porque

‖x‖ = 0 ⇔ d(x,0) = 0 ⇔ x = 0,

‖λ · x‖ = d(λ · x,0) = d(λ · x,λ ·0) =λd(x,0) =λ‖x‖y

‖x + y‖ = d(x + y,0) ≤ d(x + y, y)+d(y,0) = d(x,0)+d(y,0) = ‖x‖+‖y‖.

Ejercicio 1.75 Esto es cierto porque la función módulo de C extiende a la función módulodeR y la norma ‖ ‖p sobreCn está definida por la misma fórmula que la norma ‖ ‖p sobreRn ,pero usando la primera en lugar de la segunda.

Ejercicio 1.79 Debido a la Proposición 1.78 resolver el ejercicio es equivalente a probar que

Br [0] = ⋂s>r

Bs(0) y Br (0) = ⋃s<r

Bs[0].

Pero esto es verdad porque

x ∈ Br [0] ⇔‖x‖ ≤ r ⇔‖x‖ < s para todo s > r ⇔ x ∈ ⋂s>r

Bs(0)

y

x ∈ Br (0) ⇔‖x‖ < r ⇔‖x‖ ≤ s para todo s < r ⇔ x ∈ ⋃s<r

Bs[0].

Ejercicio 1.88 Resolvemos cada uno de los items por separado.

1. Porque, como la función ‖ ‖ es homogénea,

x = n ·(

1

n· x

)⊆ n ·B1(0)

para todo x ∈ E y n ∈N tal que n > ‖x‖.

2. B1(0) es convexo porque, como la norma es homogénea y subaditiva, si ‖x‖ < 1 y ‖y‖ < 1,entonces

‖λ · x + (1−λ) · y‖ ≤λ‖x‖+ (1−λ)‖y‖ < 1

para todo λ ∈ [0,1].

3. Porque, por la homogeneidad de la norma,

‖λ · x‖ = |λ|‖ x‖ < |λ| ≤ 1

para todo x ∈ B1(0) y todo λ con |λ| ≤ 1.

4. Porque, debido a la Proposición 1.78 y al hecho de que ‖x‖ = 0 si y solo si x = 0,

x ∈ ⋂n∈N

1

n·B1(0) ⇔‖x‖ < 1/n para todo n ∈N ⇔‖x‖ = 0 ⇔ x = 0.

5. Porque, nuevamente por la homogeneidad de la norma, si ‖x‖ < 1, entonces ‖λ ·x‖ < 1 paratodo λ ∈ (1,1/‖x‖).

222


Ejercicio 1.89 Veamos primero que la condición requerida en el item 3 se cumple para todoλ ∈ k con |λ| ≤ 1. Para empezar, por el item 1 sabemos que existe x ∈ B. Pero entonces, por elitem 3 también −x ∈ B y, en consecuencia, por el item 2,

0 = 1

2· x + 1

2· (−x) ∈ B.

Así, nuevamente por el item 2,

λ · x =λ · x + (1−λ) ·0 ∈ B para todo x ∈ B y todo λ ∈ [0,1]. (A.1)

Finalmente, si 0 < |λ| ≤ 1, entonces debido a la condición (1.11) y al item 3,

λ ·B = |λ| ·(λ

|λ| ·B

)⊆ |λ| ·B ⊆ B,

como queremos. Además, si |λ| = 1, entonces

λ ·B = B (A.2)

porque B =λ · (λ−1 ·B) ⊆λ ·B.

Notemos que por el item 1 podemos definir una función ‖ ‖ : E →R≥0 por

‖x‖ := ınf{λ ∈R≥0 : x ∈λ ·B}.

Debemos probar que ‖ ‖ es una norma. Como 0 ∈λ ·B para cada escalar λ, es claro que ‖0‖ = 0.Por otra parte, dado que el item 3 vale para todo escalar cuyo módulo es menor o igual que 1,

λ′ ·B =λλ′

λ·B =λ ·

(λ′

λ·B

)⊆λ ·B. (A.3)

para cada par λ′,λ de escalares con |λ′| < |λ|. En consecuencia, si ‖x‖ = 0, entonces

x ∈ ⋂λ∈R>0

λ ·B,

lo que por el item 4 implica que x = 0. Por lo tanto ‖x‖ = 0 si y solo si x = 0. Afirmamos que lafunción ‖ ‖ es homogénea. En efecto, por la igualdad (A.2),

x ∈λ′ ·B ⇔λ · x ∈λλ′ ·B = |λ|λ′ ·B para todo x ∈ E , λ ∈ k \ {0} y λ′ ∈R≥0.

En consecuencia

‖λ · x‖ = ınf{|λ| ·λ′ ∈R≥0 : x ∈λ′ ·B} = |λ|‖x‖ para cada λ ∈ k \ {0} y cada x ∈ E .

Como, además,‖0 · x‖ = ‖0‖ = 0 = 0‖x‖ para todo x ∈ E ,

la función ‖ ‖ satisface la condición de homogeneidad, como queremos.

Para deducir que ‖ ‖ es una norma solo resta verificar que ‖ ‖ es subaditiva. Para ello suponga-mos que x ∈λ ·B y x ′ ∈λ′ ·B, con λ,λ′ ∈R>0 y escribamos x =λ · x y x ′ =λ′ · x ′. Entonces por elitem 2

x +x ′ =λ · x +λ′ · x ′ = (λ+λ′) ·(

λ

λ+λ′ · x + λ′

λ+λ′ · x ′)∈ (λ+λ′) ·B,

223


por lo que ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+‖y‖.

Notemos ahora que si x ∈ B1(0), entonces por la misma definición de ‖x‖ existe λ ∈ (0,1) talque x ∈λ·B , lo que prueba que B1(0) ⊆ B , porque el item 3 vale para todo escalar λ con módulomenor que 1. Para concluír la resolución del ejercicio debemos verificar que vale la inclusiónrecíproca. Supongamos que un punto x pertenece a B. Entonces por el item 5 existe λ ∈ (0,1)tal que x ∈λ ·B , lo que, por la definición de ‖ ‖, dice que x ∈ B1(0).

Ejercicio 1.83 Por la condición 1 de la definición de pseudonorma,

x = y ⇒‖x − y‖ = 0 ⇒ d(x, y) = 0,

por la condición 2,

d(x, y) = ‖x − y‖ = ‖−1 · (y −x)‖ = |−1|‖y −x‖ = ‖y −x‖ = d(y, x),

y, por la condición 3,

d(x, z) = ‖x − z‖ ≤ ‖x − y‖+‖y − z‖ = d(x, y)+d(y, z).

De modo que d es una pseudométrica, que, como lo prueban las igualdades

d(λ · x,λ · y) = ‖λ · x −λ · y‖ = |λ|‖x − y‖ = |λ|d(x, y)

y

d(x + z, y + z) = ‖(x + z)− (y + z)‖ = ‖x − y‖ = d(x, y),

es homogénea e invariante por traslaciones.

Supongamos, recíprocamente, que d : E ×E →R≥0 es una pseudométrica homogénea e inva-riante por traslaciones. Si d está asociada a una pseudonorma ‖ ‖, entonces ‖x‖ = d(x,0) paratodo x ∈ E . Esto prueba la unicidad. Para probar la existencia debemos ver que la función ‖ ‖,definida por la igualdad anterior, es una pseudonorma; pero esto se sigue de que

x = 0 ⇒ d(x,0) = 0 ⇒‖x‖ = 0,

‖λ · x‖ = d(λ · x,0) = d(λ · x,λ ·0) =λd(x,0) =λ‖x‖y

‖x + y‖ = d(x + y,0) ≤ d(x + y, y)+d(y,0) = d(x,0)+d(y,0) = ‖x‖+‖y‖.

Finalmente, d(x, y) = d(x − y,0) = ‖x − y‖ para todo x, y ∈ E , como queremos

Ejercicio 1.84 Dado que, para todo λ ∈ k y todo x, y ∈ E ,

‖λ · x + y‖ ≤ |λ|‖x‖+‖y‖ = 0,

el conjunto S es un subespacio vectorial de E . Definimos ‖ ‖ por ‖p(x)‖ := ‖x‖. Para probarque ‖ ‖ está bien definida debemos ver que ‖x + y‖ = ‖x‖ para todo y ∈ S. Pero esto es ciertoporque, por la subaditividad,

‖x + y‖ ≤ ‖x‖+‖y‖ = ‖x‖ y ‖x‖ = |x + y − y | ≤ ‖x + y‖+‖y‖ = ‖x + y‖.

Es evidente que ‖ ‖ = ‖ ‖◦p. Por último ‖ ‖ es una norma porque

‖p(x)‖ = 0 ⇔‖x‖ = 0 ⇔ x ∈ S ⇔ p(x) = 0,

‖λ ·p(x)‖ = ‖p(λ · x)‖ = ‖λ · x‖ = |λ| · ‖x‖ = |λ|‖p(x)‖y

‖p(x)+p(y)‖ = ‖p(x + y)‖ = ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+‖y‖ = ‖p(x)‖+‖p(y)‖.

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Ejercicio 1.85 Porque d(p(x), p(y)) = ‖p(x − y)‖ = ‖x − y‖ = d(x, y).

Ejercicio ?? Por el Ejemplo ??, con E := E1 ×·· ·×En y ‖ ‖(i ) := ‖ ‖Ei ◦pi , donde pi : E → Ei es laproyección canónica.

Capítulo 1.9

Ejercicio 1.106 Supongamos que (xn)n∈N es convergente y denotemos con x a su límite. Pordefinición existe n0 ∈N tal que d(xn , x) ≤ 1 para todo n ≥ n0. Como {xn : n ∈N} ⊆ Br [x], donder := max{1,d(x1, x), . . . ,d(xn−1, x)}, la sucesión (xn)n∈N es acotada.

Ejercicio 4.13 Supongamos que X es un producto de una cantidad finita o numerable deespacios métricos, que (xn)n∈N es una sucesión de puntos de X y que x es un punto de X .Denotemos con V es la subbase de entornos de X del Ejemplo 1.37 o del Ejercicio 4.11 segúncorresponda. Por la Observación 1.102, la sucesión (xn)n∈N converge a x si y solo si para cadaV ∈ V existe n0 tal que xn ∈V para todo n ≥ n0. Pero, debido a la forma de los elementos de V ,esto significa que para cada índice i del producto que define a X y cada r > 0, existe n0 ∈ N talque xn

i ∈ Br (xi ), donde xni y xi denotan a las i -ésimas coordenadas de xn y x respectivamente.

Por lo tanto (xn)n∈N converge a x si y solo si para cada uno de los índices i que definen a X , lasucesión (xn

i )n∈N converge a xi .

Ejercicio 1.117 Tomemos y ∈R arbitrario y r > 0. ComoQ∩Br (y) es infinito y x : N→Q essobreyectiva, hay infinitos puntos de la sucesión (xi )i∈N que están en Br (y). En consecuencia,debido a la Observación ??, el punto y es un punto de aglomeración de (xi )i∈N . Como y ∈R esarbitrario, esto prueba el ejercicio.

Ejercicio 1.120 Fijemos m ∈N. Si l 6= m, entonces

d s(l ,m) = |l−1 −m−1| ≥ mın(|(m −1)−1 −m−1|, |(m +1)−1 −m−1|) > 0

En consecuencia

lımn→∞xn = m ⇐⇒ existe n0 ∈N tal que xn = m para todo n ≥ n0.

En cambio, lımn→∞ xn =∞ si y solo si (xn)n∈N tiende a infinito en el sentido usual.

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