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UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
LICENCIATURA EN FÍSICO MATEMÁTICO
TÍTULO DEL TRABAJO DE INVESTIGACIÓN PRESENTADO:
LOS PRODUCTOS NOTABLES EN EL APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO.
PROPUESTA: GUÍA DIDÁCTICA CON ESTRATEGIAS ACTIVAS
AUTOR:
CHILAN CHOEZ DOUGLAS EDUARDO
TUTOR:
ING. TORRES GANGOTENA MARIO Msc.
Guayaquil, abril del 2019
ii
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN CARRERA: LICENCIATURA EN FÍSICO MATEMÁTICO
DIRECTIVOS
Dr. Santiago Galindo Mosquera, MSc. Dr. Pedro Rizzo Bajaña, MSc.
DECANO VICE-DECANO
Lcdo. Jorge Encalada Noboa, MSc. Ab. Sebastián Cadena Alvarado
GESTOR(A) DE CARRERA SECRETARIO
iii
iv
v
vi
DEDICATORIA
Dedico este proyecto a mi familia, especialmente a mi madre, que con su
apoyo incondicional me dieron la motivación necesaria para alcanzar este
logro en mi vida, a mi novia por darme ánimos y fortaleza para culminar la
presente investigación.
Douglas Chilan Choez
vii
AGRADECIMIENTO
Agradezco a Dios Todopoderoso por regalarme el don de la sabiduría,
paciencia e inteligencia para poder realizar este proyecto, a mi familia por
el tiempo que no pude compartir con ellos por alcanzar esta meta de mi
vida profesional, a mi Tutor que contribuyo con sus conocimientos para
realizar este trabajo investigativo.
Douglas Chilan Choez
viii
ÍNDICE
PORTADA………………………………………………………………….……..I
DIRECTIVOS ............................................................................................. ii
AUTORIZACIÓN DE LA AUTORIA INTELECTUAL ... ¡Error! Marcador no
definido.
DEDICATORIA ......................................................................................... vi
AGRADECIMIENTO ................................................................................ vii
ÍNDICE ................................................................................................... viii
ÍNDICE DE CUADROS ............................................................................ xii
ÍNDICE DE GRÁFICOS .......................................................................... xiii
ÍNDICE DE IMÁGENES .......................................................................... xiv
ÍNDICE DE ANEXOS ............................................................................... xv
RESUMEN.............................................................................................. xvi
ABSTRACT ........................................................................................... xvii
Introducción ........................................................................................... xviii
CAPÍTULO I
EL PROBLEMA
1.1. Planteamiento del Problema de Investigación ..................................1
1.1.1. Situación conflicto......................................................................3
1.2. Formulación del Problema ...............................................................5
1.3. Sistematización ................................................................................5
1.4. Objetivos de la Investigación............................................................5
1.4.1. Objetivo General........................................................................5
1.4.2. Objetivos Específicos ................................................................6
1.5. Justificación e Importancia ...............................................................6
1.6. Delimitación del Problema ...............................................................8
1.7. Premisas de la investigación ............................................................9
1.8. Operacionalización de las variables ...............................................10
CAPÍTULO II
MARCO TEÓRICO
2.1. Antecedentes de la investigación ...................................................12
2.2. Marco Teórico – Conceptual ..........................................................14
ix
2.2.1. Algebra ....................................................................................14
2.2.1.1. Importancia del álgebra .....................................................15
2.2.2. Productos Notables .................................................................16
2.2.2.1. Importancia de los productos notables ..............................17
2.2.2.2. Tipos de productos notables .............................................17
2.2.2.2.1. Binomio Elevado al cuadrado ........................................18
2.2.2.2.2. Productos de Binomios Conjugados o producto de la
suma por su diferencia. .....................................................................19
2.2.2.2.3. Producto de binomios con un término en común ...........21
2.2.2.2.4. Binomio elevado al cubo ................................................23
2.2.2.2.5. Trinomio elevado al cuadrado ........................................25
2.2.2.3. Errores comunes que presentan los estudiantes en el
desarrollo de los productos notables ....................................................26
2.2.3. Temas de la malla curricular del bachillerato que tienen relación
con los productos notables ...................................................................27
2.2.3.1. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita .............28
2.2.3.2. Operaciones con funciones de variable real ......................30
2.2.3.3. Funciones cuadráticas ......................................................31
2.2.3.4. Límites ..............................................................................33
2.2.3.5. Derivadas ..........................................................................34
2.2.4. Aprendizaje significativo ..........................................................36
2.2.4.1. Definición ..........................................................................36
2.2.4.2. Condiciones para alcanzar un aprendizaje significativo ....38
2.2.4.2.1. Actitud o predisposición del aprendiz .............................38
2.2.4.2.2. Material potencialmente significativo ..............................38
2.2.4.3. Características del aprendizaje significativo ......................39
2.2.4.4. Proceso para lograr un aprendizaje significativo ...............39
2.2.4.5. Tipos de aprendizaje significativo......................................40
2.2.4.5.1. Aprendizaje Representacional .......................................40
2.2.4.5.2. De conceptos .................................................................41
2.2.4.5.3. Aprendizaje de proposiciones ........................................41
2.2.5. Desarrollo del aprendizaje significativo en el ámbito educativo42
2.2.5.1. El aprendizaje significativo en el rendimiento académico ..42
2.2.5.2. Formas de aplicar el aprendizaje significativo en el aula ...43
x
2.2.6. Ventajas del Aprendizaje Significativo .....................................44
2.2.7. Fundamentación Filosófica ......................................................45
2.2.8. Fundamentación Epistemológica .............................................46
2.2.9. Fundamentación Pedagógica – Didáctica ................................47
2.2.10. Fundamentación Psicológica ................................................48
2.2.11. Fundamentación Sociológica ...............................................49
2.3. Marco Contextual ...........................................................................50
2.4. Marco Legal ...................................................................................51
2.4.1. Constitución Política de la República del Ecuador ...................51
2.4.2. Ley Orgánica de Educación Intercultural .................................52
CAPÍTULO III
METODOLOGÍA
3.1. Diseño de la investigación ................................................................55
3.2. Modalidad de la investigación ...........................................................55
3.3. Tipos de investigación ......................................................................56
3.4. Métodos de investigación .................................................................56
3.5. Técnicas de investigación .................................................................57
3.6. Instrumentos de investigación ...........................................................57
3.7. Población y Muestra ........................................................................58
3.7.1. Población ....................................................................................58
3.7.2. Muestra ......................................................................................59
3.8. Análisis e interpretación de los resultados de la encuesta aplicada a
los estudiantes de la Unidad Educativa Fiscal “Eloy Alfaro” .....................61
3.9. Análisis de la encuesta aplicada a los Docentes de Matemáticas de la
Unidad Educativa Fiscal “Eloy Alfaro” ......................................................71
3.10. Análisis e interpretación de resultados de la entrevista aplicada al
Rector de la Unidad Educativa “Eloy Alfaro”. ...........................................81
3.11. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ..................................83
3.11.1. Conclusiones: ...........................................................................83
3.11.2. Recomendaciones ....................................................................84
CAPÍTULO IV
PROPUESTA
4.1. Título de la Propuesta .......................................................................85
4.2. Justificación ......................................................................................85
xi
4.3. Objetivos de la propuesta .................................................................86
4.3.1. Objetivo General de la propuesta ...............................................86
4.3.2. Objetivos Específicos de la propuesta ........................................86
4.4. Aspectos Teóricos de la propuesta ...................................................86
4.4.1. Aspecto Pedagógico ...................................................................86
4.4.2. Aspecto Legal .............................................................................87
4.4. Factibilidad de su aplicación: ............................................................87
a. Factibilidad Técnica .......................................................................87
b. Factibilidad Financiera ...................................................................88
c. Factibilidad Humana ......................................................................88
4.5. Descripción de la Propuesta .............................................................88
4.6. Referencias Bibliográficas.................................................................98
ANEXOS ............................................................................................... 111
xii
ÍNDICE DE CUADROS
CUADRO No 1: Operacionalización de las variables ............................... 10
CUADRO No 2: Escala Likert .................................................................. 57
CUADRO No 3: Población de la Unidad Educativa Fiscal “Eloy Alfaro” ... 58
CUADRO No 4: Muestra de la Unidad Educativa Fiscal “Eloy Alfaro” ...... 59
CUADRO No 5: Pregunta 1 Encuesta dirigida a Estudiantes ................... 60
CUADRO No 6: Pregunta 2 Encuesta dirigida a Estudiantes ................... 61
CUADRO No 7: Pregunta 3 Encuesta dirigida a Estudiantes ................... 62
CUADRO No 8: Pregunta 4 Encuesta dirigida a Estudiantes ................... 63
CUADRO No 9: Pregunta 5 Encuesta dirigida a Estudiantes ................... 64
CUADRO No 10: Pregunta 6 Encuesta dirigida a Estudiantes ................. 65
CUADRO No 11: Pregunta 7 Encuesta dirigida a Estudiantes ................. 66
CUADRO No 12: Pregunta 8 Encuesta dirigida a Estudiantes ................. 67
CUADRO No 13: Pregunta 9 Encuesta dirigida a Estudiantes ................. 68
CUADRO No 14: Pregunta 10 Encuesta dirigida a Estudiantes ............... 69
CUADRO No 15: Pregunta 1 Encuesta dirigida a Docentes .................... 70
CUADRO No 16: Pregunta 2 Encuesta dirigida a Docentes .................... 71
CUADRO No 17: Pregunta 3 Encuesta dirigida a Docentes .................... 72
CUADRO No 18: Pregunta 4 Encuesta dirigida a Docentes .................... 73
CUADRO No 19: Pregunta 5 Encuesta dirigida a Docentes .................... 74
CUADRO No 20: Pregunta 6 Encuesta dirigida a Docentes .................... 75
CUADRO No 21: Pregunta 7 Encuesta dirigida a Docentes .................... 76
CUADRO No 22: Pregunta 8 Encuesta dirigida a Docentes .................... 77
CUADRO No 23: Pregunta 9 Encuesta dirigida a Docentes .................... 78
CUADRO No 24: Pregunta 10 Encuesta dirigida a Docentes .................. 79
xiii
ÍNDICE DE GRÁFICOS
GRÁFICO No 1: Pregunta 1 Encuesta dirigida a estudiantes .................. 60
GRÁFICO No 2: Pregunta 2 Encuesta dirigida a estudiantes .................. 61
GRÁFICO No 3: Pregunta 3 Encuesta dirigida a estudiantes .................. 62
GRÁFICO No 4: Pregunta 4 Encuesta dirigida a estudiantes .................. 63
GRÁFICO No 5: Pregunta 5 Encuesta dirigida a estudiantes .................. 64
GRÁFICO No 6: Pregunta 6 Encuesta dirigida a estudiantes .................. 65
GRÁFICO No 7: Pregunta 7 Encuesta dirigida a estudiantes .................. 66
GRÁFICO No 8: Pregunta 8 Encuesta dirigida a estudiantes .................. 67
GRÁFICO No 9: Pregunta 9 Encuesta dirigida a estudiantes .................. 68
GRÁFICO No 10: Pregunta 10 Encuesta dirigida a estudiantes .............. 69
GRÁFICO No 11: Pregunta 1 Encuesta dirigida a docentes .................... 70
GRÁFICO No 12: Pregunta 2 Encuesta dirigida a docentes .................... 71
GRÁFICO No 13: Pregunta 3 Encuesta dirigida a docentes .................... 72
GRÁFICO No 14: Pregunta 4 Encuesta dirigida a docentes .................... 73
GRÁFICO No 15: Pregunta 5 Encuesta dirigida a docentes .................... 74
GRÁFICO No 16: Pregunta 6 Encuesta dirigida a docentes .................... 75
GRÁFICO No 17: Pregunta 7 Encuesta dirigida a docentes .................... 76
GRÁFICO No 18: Pregunta 8 Encuesta dirigida a docentes .................... 77
GRÁFICO No 19: Pregunta 9 Encuesta dirigida a docentes .................... 78
GRÁFICO No 20: Pregunta 10 Encuesta dirigida a docentes .................. 79
xiv
ÍNDICE DE IMÁGENES
IMAGEN No 1: Demostración Geométrica de (𝑎 + 𝑏)2 ............................ 19
IMAGEN No 2: Demostración Geométrica de (𝑎 − 𝑏)2 ............................ 19
IMAGEN No 3: Demostración Geométrica de (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) ................... 21
IMAGEN No 4: Demostración Geométrica de (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) ................... 22
IMAGEN No 5: Demostración Geométrica de (𝑎 + 𝑏)3 ............................ 24
IMAGEN No 6: Demostración Geométrica de (𝑎 − 𝑏)3 ............................ 24
IMAGEN No 7: Demostración Geométrica de (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 ...................... 26
IMAGEN No 8: Mapa de contenidos conceptuales de 1ro BGU ............... 28
IMAGEN No 9: Elementos de una función cuadrática .............................. 32
xv
ÍNDICE DE ANEXOS
ANEXO 1: Formato de evaluación de la Propuesta de Titulación .......... 112
ANEXO 2: Acuerdo de Plan de Tutoría .................................................. 113
ANEXO 3: Informe de avance de Gestión Tutorial ................................. 114
ANEXO 4: Informe de Tutoría ................................................................ 117
ANEXO 5: Rúbrica de evaluación de trabajo de titulación ..................... 118
ANEXO 6: Certificado de Porcentaje de Similitud .................................. 119
ANEXO 7: Rúbrica de evaluación de la memoria escrita Trabajo de
Titulación ............................................................................................... 120
ANEXO 8: Carta dirigida al plantel ......................................................... 121
ANEXO 9: Carta de autorización del Colegio ......................................... 122
ANEXO 10: Fotos de estudiantes aplicando la encuesta ....................... 123
ANEXO 11: Fotos de la aplicación a la entrevista al Rector ................... 124
ANEXO 12: Certificado de Practica Docentes ........................................ 125
ANEXO 13: Certificado de Vinculación con la Comunidad ..................... 126
ANEXO 14: Instrumentos de investigación ............................................ 127
ANEXO 15: Fotos de Tutorías ............................................................... 129
ANEXO 16: Ficha de registro de Tesis ................................................. 130
xvi
UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
CARRERA: FÍSICO MATEMÁTICO
TÍTULO DEL TRABAJO DE INVESTIGACIÓN PRESENTADO LOS PRODUCTOS NOTABLES EN EL APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO
Autor: Douglas Eduardo Chilan Choez
Tutor: Ing. Mario Torres Gangotena MSc. Guayaquil, abril 2019
RESUMEN
El presente proyecto indaga acerca de la influencia que tienen los productos notables en el desarrollo de ejercicios de mayor complejidad, resalta la importancia que tiene el aprendizaje significativo para comprender y relacionar de mejor manera los conceptos algebraicos básicos con los productos notables para que sean aplicados en la resolución de los temas que se encuentra en la malla curricular del bachillerato. Permitió identificar que tan solo un número reducido de estudiantes pueden resolver por simple inspección los productos notables memorizando las reglas algebraicas, por lo cual se elaboró una guía didáctica con estrategias activas que estimule a los estudiantes a desarrollar los productos notables de manera interactiva. Palabras Claves: aprendizaje significativo, productos notables, guía
didáctica.
xvii
UNIVERSITY OF GUAYAQUIL FACULTY OF PHILOSOPHY, LETTERS AND EDUCATION SCIENCES
CAREER PHYSICS MATHEMATICS
TITLE OF RESEARCH WORK PRESENTED THE NOTABLE PRODUCTS IN SIGNIFICANT LEARNING
Author: Douglas Eduardo Chilan Choez
Advisor: Ing. Mario Torres Gangotena MSc. Guayaquil, april 2019
ABSTRACT
This project investigates the influence of notable products in the development of more complex exercises, highlights the importance of meaningful learning to better understand and relate the basic algebraic concepts with the notable products to be applied in the resolution of the topics found in the curriculum of the baccalaureate. It allowed to identify that only a small number of students can solve by simple inspection the remarkable products memorizing the algebraic rules, for which a didactic guide with active strategies was elaborated that stimulates the students to develop the remarkable products in an interactive way.
Keywords: meaningful learning, remarkable products, educational guide
xviii
Introducción
El dominio para resolver productos notables constituye un pilar
fundamental para abordar otros temas de mayor complejidad que se
encuentran en la malla curricular del bachillerato, pero la memorización
tradicional de los pasos para resolverlos hace que este tema no se aprenda
de forma significativa y no se considera que la aplicación de este método
tradicional solo es asimilado por un determinado número de estudiantes.
Esta problemática se detectó en los estudiantes del Primer Año de
Bachillerato de la Unidad Educativa Fiscal “Eloy Alfaro”, los cuales
presentan un déficit al momento de identificar y desarrollar los diferentes
casos de los productos notables lo que les dificulta en gran manera
relacionarlos con otros temas en los que se vinculan directamente.
Por lo tanto, fue necesario elaborar una guía didáctica con
estrategias activas que sirva como material de apoyo para los docentes y
como medio de motivación para los estudiantes, la cual fomenta el
aprendizaje significativo fortaleciendo la memoria a largo plazo para que el
educando se sienta capacitado de resolver cualquier problema en los que
intervienen, simplificando el proceso de resolución. Esto contribuirá a
mejorar el rendimiento académico en la asignatura de matemáticas y
convertirá al estudiante en un ente activo del proceso educativo.
Este trabajo investigativo fue elaborado bajo la siguiente estructura:
Capítulo I: EL PROBLEMA: se detalla el planteamiento del problema de
manera macro y micro, la situación conflicto lo que nos permitió identificar
y formular el problema de investigación, así como los objetivos que
direccionan este proyecto, realizar la respectiva justificación y el cuadro de
operacionalización de las variables.
xix
Capítulo II: MARCO TEÓRICO: se realizó las respectivas
fundamentaciones conceptuales, contextuales, filosóficas, pedagógicas,
epistemológicas, psicológicas, sociales y legales para dar un sustento
estructural y lógico a las variables de estudio.
Capítulo III: METODOLOGÍA: se establece y detalla cómo se aplicará los
métodos, modalidades, tipos, técnicas e instrumentos de investigación que
se aplicarán para recolectar información y poder realizar las respectivas
conclusiones y recomendaciones de este trabajo investigativo.
Capítulo IV: PROPUESTA: comprende el desarrollo de la Propuesta de
investigación, Referencias Bibliográficas y los Anexos.
1
CAPÍTULO I
EL PROBLEMA
1.1. Planteamiento del Problema de Investigación
Una de las grandes dificultades que presentan los estudiantes en el
proceso de aprendizaje del Álgebra es el dominio para identificar y
desarrollar productos notables, esto se evidenció en la encuesta aplicada a
los estudiantes del Primer Año de Bachillerato de la Unidad Educativa
Fiscal “Eloy Alfaro”. Para Cervantes (2013) los productos notables son
multiplicaciones algebraicas que se realizan aplicando reglas para
simplificar su proceso de resolución, y que por lo general el profesor sólo
se limita a inducir a los estudiantes a la memorización de dichas reglas, sin
realizar ninguna demostración objetiva que desarrolle en ellos la habilidad
de análisis y síntesis para que tengan más seguridad al momento de
desarrollarlos.
El Tercer Estudio Regional Comparativo y Explicativo (TERCE)
realizado por la UNESCO señala en su informe Aportes de la Enseñanza
de las Matemáticas (Flotts, y otros, 2016) que en los últimos años la
educación en América Latina y el Caribe ha tenido muchos avances, se ha
reducido los índices del analfabetismo y se ha mejorado la cobertura
escolar, pero sin embargo aún existe un bajo rendimiento académico en la
asignatura de matemáticas, esto a pesar de que en los currículos
educativos de los quince países participantes de este estudio tienen como
objetivo principal formar estudiantes que sean capaces de razonar,
analizar, interpretar y crear su propia información para solucionar
problemas de la vida cotidiana y contribuir al desarrollo del país,
entendiéndose como tal que la enseñanza de la matemática se debe
enfocar en un aprendizaje significativo. Este objetivo que predomina en los
currículos educativos de América Latina no se estaría cumpliendo a
2
cabalidad por parte de los docentes de matemáticas, ya que en la mayoría
de los casos aún aplican métodos y técnicas tradicionales que sólo incitan
a la memorización de reglas o algoritmos que deben ser repetidos
estrictamente.
“Las distintas orientaciones curriculares organizan los contenidos de
manera progresiva y fomentan el desarrollo de experiencias significativas
de aprendizaje que serán insumos para niveles superiores” (Aportes para
la enseñanza de las matemáticas, 2016, pág. 27), esta articulación de
contenidos en la malla curricular se evidencia claramente en la asignatura
de matemáticas, en donde por lo general para resolver un problema se
necesita conocimientos previos, el estudiante al no desarrollar la capacidad
de aprender significativamente se verá dificultado de poder avanzar con el
aprendizaje de nuevos temas.
En nuestro país el último informe presentado por el Instituto Nacional
de Evaluación (INEVAL) expresa que “en el ciclo 2016 - 2017 se obtuvo un
promedio general de 7.52 en la Prueba Ser Bachiller dentro de los cuatro
campos evaluados” (Caballero, y otros, 2017, pág. 4). Matemáticas obtuvo
7.33, siendo el promedio más bajo de los cuatros disciplinas evaluadas, así
mismo el más alto porcentaje de insuficiencia recayó sobre esta asignatura
con un 32,4%. Dentro de los cinco grupos temáticos que se evaluaron en
matemáticas los que tienen relación con los productos notables son: La
resolución de problemas estructurados que alcanzó un 46% de acierto, y
las relaciones entre variables y sus representaciones que obtuvo un 41 %.
En la última prueba Ser Bachiller aplicada en el Régimen Costa en
el mes de enero el promedio en el campo de dominio matemático fue de
7,29 ubicándose como el más bajo de los cuatro campos evaluados, de
igual forma en la Zona 8 Distrito 09D02 se ubicó esta asignatura en el último
lugar con 7.10; la Unidad Educativa Fiscal “Eloy Alfaro” perteneciente a este
distrito se encuentra por debajo del promedio del Régimen Costa al obtener
un 6.77 de promedio y un 49.6% de deficiencia.
3
En estos resultados se refleja de manera clara el bajo rendimiento
académico en el área de matemáticas, especialmente en lo que respecta a
ejercicios con expresiones algebraicas, los cuales son la base para resolver
los problemas de razonamiento numérico que se plantean en los tópicos de
esta asignatura.
Esta carencia de conocimientos algebraicos en los estudiantes se
debe principalmente a que los docentes utilizan metodologías tradicionales
tales como la memorización y la repetición que limitan al estudiante a ser
sólo un receptor de información y no el creador de su conocimiento, lo que
no estaría de acuerdo a las nuevas exigencias del currículo que establece
que:
“…el docente debe diseñar tareas motivadoras que partan de
situaciones - problema reales y se adapten a los diferentes ritmos y
estilos de aprendizaje de cada estudiante, favorezcan la capacidad de
aprender por sí mismo y promuevan el trabajo en equipo, haciendo uso
de métodos, recursos y materiales didácticos diversos” (Ministerio de
Educación, 2016, pág. 13).
En la Unidad Educativa Fiscal “Eloy Alfaro”, después de aplicar una
encuesta a los estudiantes del Primer Año de Bachillerato de la sección
matutina, se evidenció que sólo el 6% de los consultados afirman que los
docentes los motivan a utilizar recursos didácticos, tales como las
actividades lúdicas o el uso de material concreto para reforzar conceptos y
procedimientos en la resolución de ejercicios con operaciones algebraicas.
1.1.1. Situación conflicto
El dominio para resolver productos notables constituye un pilar
fundamental para abordar otros temas de aplicación que se encuentran en
la malla curricular del Bachillerato, y por ende el estudiante al no poder
resolver ejercicios de esta índole no tendrá un aprendizaje significativo.
4
Debido al vacío que arrastra el estudiante para desarrollar productos
notables se verá impedido o aumentará la complejidad para resolver los
temas en los que intervienen como base para simplificar su proceso de
resolución, evidenciando claramente que no ha desarrollado la capacidad
de aprender significativamente, esta situación hace que el docente se vea
en la necesidad de reforzar la forma de desarrollar productos notables lo
que no le permite avanzar con lo planificado.
La memorización tradicional de los pasos para resolver productos
notables hace que este tema no se aprenda de una forma significativa, y si
a esto le sumamos que desde la casa se plantea el estereotipo de que el
Álgebra es una de las partes más difíciles de las matemáticas, se estaría
dando lugar a que el estudiante pierda el interés y se desmotive, más aún
cuando los docentes no aplican estrategias motivadoras que permitan a los
estudiantes desarrollar con facilidad la habilidad para resolver productos
notables.
Esta problemática se ha detectado en los estudiantes del Primer Año
de Bachillerato después de aplicarles una encuesta, los resultados
demostraron que tan sólo un 38% de los educandos consultados pueden
definir lo que es producto notable, de igual manera que tan sólo un 8% de
ellos ha podido memorizar las reglas para resolverlos, por lo que al pedirles
que completen la regla para resolver un binomio elevado al cubo un 60%
respondió incorrectamente y un 38% dejó los espacios en blanco.
Los estudiantes presentan carencias de conocimientos al momento
de identificar los nombres de los productos notables, lo que les dificulta en
gran manera relacionarlos con otros temas en los que se vinculan
directamente como lo son: Los casos de la factorización; este vacío también
les impide resolver ejercicios o problemas en los que la solución tiene que
ver con los productos notables.
5
1.2. Formulación del Problema
¿Cómo incide en el rendimiento académico la aplicación de
estrategias didácticas para resolver problemas y ejercicios en los que
intervienen los productos notables por medio de una guía didáctica que
fomente el aprendizaje significativo en los estudiantes del Primer Año de
Bachillerato de la Unidad Educativa Fiscal “Eloy Alfaro” de la ciudad de
Guayaquil del periodo lectivo 2017- 2018?
1.3. Sistematización
La sistematización del problema de investigación permite plantear
subpreguntas que orientan a buscar una solución más rápida al problema
planteado:
¿Qué relación tienen los productos notables con los temas de la
malla curricular del Primer Año de Bachillerato?
¿Cómo influye el aprendizaje significativo en el rendimiento
académico de los estudiantes?
¿Qué tipo de estrategias didácticas facilitarían mejorar la
comprensión de los productos notables?
1.4. Objetivos de la Investigación
1.4.1. Objetivo General
Aplicar estrategias didácticas en la resolución de problemas y
ejercicios en los que intervienen los productos notables por medio de una
guía didáctica que fomente el aprendizaje significativo para que mejore el
rendimiento académico en los estudiantes.
6
1.4.2. Objetivos Específicos
• Identificar la relación que tienen los productos notables con otros
temas de la malla curricular del Bachillerato.
• Determinar la influencia de las estrategias didácticas en el
rendimiento académico de los estudiantes.
• Elaborar una guía didáctica como un aporte al aprendizaje
significativo para resolver productos notables.
1.5. Justificación e Importancia
La Matemática es una asignatura fundamental en la formación
académica del estudiante, ya que por medio de ella se desarrolla el
pensamiento lógico, se forma una concepción científica y competencias de
indoles cotidianas; al ser una materia que organiza su contenido de manera
progresiva contribuye a llevar al educando a procesos mentales más
complejos, así mismo cada tema aporta significativamente a los insumos
de niveles superiores, como por ejemplo: Los productos notables sirven
para reducir procedimientos al momento de hacer operaciones como la
factorización de polinomios, funciones, derivadas, integrales, entre otros.
El actual Currículo expresa que: “Se debe fomentar metodologías
centradas en la actividad y participación de los estudiantes que favorezca
el pensamiento crítico y racional” (Ministerio de Educación, 2016, pág. 14).
Pero tradicionalmente en el proceso de enseñanza de las
Matemáticas, en particular de los productos notables se induce al
estudiante a que memorice cada uno de las diferentes reglas con la
finalidad de que estos los puedan resolver a corto plazo por simple
inspección y no se considera que la aplicación de este método tradicional
alcanza a ser asimilado por un determinado número de estudiantes,
7
además los limita y no permite el desarrollo del pensamiento crítico y
racional que es lo que establece el nuevo currículo.
Al no desarrollar la habilidad de resolver productos notables
aplicando las reglas de forma memorística, el estudiante busca otras
formas de solucionarlos comúnmente por medio de las operaciones
algebraicas básicas, lo que implica extender el proceso provocando que
esta tarea sea más compleja ocasionando desmotivación y frustración lo
que se evidencia a corto plazo en su rendimiento académico.
Por lo cual, “el desafío del docente es promover instancias en los
que los estudiantes puedan experimentar de forma activa la aplicación de
conceptos, hechos, habilidades y procesos” (Aportes para la enseñanza de
las matemáticas, 2016, pág. 27).
La vigente Reforma Curricular en nuestro país enfatiza en mejorar la
calidad educativa, para esto elaboró una malla curricular que responde a
las necesidades actuales, en donde se integran las diferentes ciencias
relacionándolas con el mundo real para lograr una mejor comprensión de
conceptos permitiendo tener un aprendizaje significativo con las diferentes
asignaturas; en comparación con la anterior Reforma del año 1996 que
presentaba carencias de relación entre los contenidos y las destrezas que
debían desarrollarse (Ministerio de Educación, 2016). Por lo que es
necesario que los docentes apliquen estrategias didácticas que permitan
alcanzar este propósito de la educación ecuatoriana.
“Con bases matemáticas sólidas se da un aporte significativo en la
formación de personas creativas, autónomas, comunicadoras y
generadoras de nuevas ideas” (Curriculo de los niveles de educación
obligatoria, 2016, pág. 219), desde este punto de vista se propone que la
enseñanza de las matemáticas no solo debe aprenderse de forma abstracta
si no fomentar un aprendizaje aplicado a la realidad del mundo actual para
8
que el estudiante desarrolle la habilidad de aprender de forma significativa
a lo largo de su vida. .
Actualmente el déficit que presentan los estudiantes del Primer Año
de Bachillerato en cuanto al desarrollo de productos notables es
preocupante, por lo que ese necesario implementar estrategias didácticas
que despierten el interés de los estudiantes y los motive a resolver de una
forma innovadora problemas y ejercicios de Álgebra en los que intervienen
las entidades notables, cumpliendo así con el paradigma educativo que
establece el Art. 343 de la Constitución: “…..El sistema tendrá como centro
al sujeto que aprende, y funcionará de manera flexible y dinámica,
incluyente, eficaz y eficiente”.
Por lo cual se elaborará una guía didáctica que recopile estrategias
activas de desarrollo de productos notables que fomenten un aprendizaje
significativo, para que los estudiantes puedan relacionarlos con ejercicios y
problemas en los que intervienen como parte su solución, reduciendo su
proceso de desarrollo y grado de complejidad, permitiendo de esta manera
mejorar su rendimiento académico en matemáticas.
1.6. Delimitación del Problema
Campo: Educación
Área: Matemáticas
Aspectos: Didáctico - Metodológico
Título: Los productos notables en el aprendizaje significativo
Propuesta: Guía didáctica con estrategias activas
Contexto: Unidad Educativa Fiscal “Eloy Alfaro”
9
1.7. Premisas de la investigación
Para desarrollar la presente investigación de la mejor manera y
alcanzar el objetivo propuesto, se plantean las siguientes premisas:
➢ Importancia de aprender álgebra
➢ Dificultades que presentan los estudiantes en el desarrollo de
productos notables.
➢ La enseñanza de los productos notables de forma tradicional impide
el desarrollo del pensamiento crítico y racional.
➢ Demostración analítica y geométrica de las reglas de los productos
notables para lograr un aprendizaje significativo
➢ Relación de los productos notables con otros temas de la malla
curricular del Primer Año de Bachillerato
➢ El aprendizaje significativo permite mejorar el rendimiento
académico
➢ Condiciones para poder alcanzar un aprendizaje significativo en los
estudiantes
➢ Ventajas del aprendizaje significativo para el desarrollo cognitivo del
estudiante
10
1.8. Operacionalización de las variables
OPERACIONALIZACIÓN DE LAS VARIABLES
Cuadro No. 1
VARIABLES
Dimensión
conceptual
Dimensión
Operacional INDICADORES
1.Variable
Independiente
Productos
Notables
Forma de
simplificar el
proceso para
multiplicar
binomios
Proceso para
resolver
productos
notables
Reglas algebraicas
Cálculo de áreas
Estrategias
Metodológicas
Temas de la
Malla Curricular
de Primero de
Bachillerato que
se relacionan
con los
productos
notables
Ecuaciones de
segundo grado
Operaciones con
funciones de variable
real
Funciones
cuadráticas
Límites
Derivadas
Tipos de
productos
notables
Binomio al cuadrado
Productos de
binomios conjugados
Productos entre
binomios con un
término en común
Binomio elevado al
cubo
2.Variable
Dependiente
Aprendizaje
Relación de
los conceptos
nuevos con
Generalidades
del aprendizaje
significativo
Definición
Condiciones para
lograr un aprendizaje
significativo
11
Significativo los adquiridos
anteriormente
Características del
aprendizaje
significativo
Proceso para lograr
un aprendizaje
significativo
Tipos de
aprendizaje
significativo
Representacional
De conceptos
Proporcional
El aprendizaje
significativo en
el rendimiento
académico
Formas de aplicar el
aprendizaje
significativo en el aula
El aprendizaje
significativo en el
ámbito educativo
Ventajas del
aprendizaje
significativo
Fuente: Investigación Elaborado por: Douglas Chilan Choez
12
CAPÍTULO II
MARCO TEÓRICO
2.1. Antecedentes de la investigación
Después de revisar el Repositorio de la Facultad de Filosofía, Letras
y Ciencias de la Educación de la Universidad de Guayaquil, se encontró
que existen varias tesis que se refieren al aprendizaje significativo, pero
ninguna se relaciona con el tema de “Los productos notables en el
aprendizaje significativo”, por lo que se considera la originalidad del
presente proyecto.
Posteriormente se realizó una investigación en varias páginas de
distintas Universidades, encontrando en la Universidad Nacional de
Huancavelica en Perú la tesis con el tema “Cálculo de áreas rectangulares
en el aprendizaje significativo de productos notables en estudiantes de la
Institución Educativa Mixto “ Ramón Castilla y Marquesado” Huancavelica”,
presentada por Sedano Escobar Marcial y Bernardo Asto Humberto en el
año 2017, la cual tiene como objetivo principal determinar el impacto que
tiene la enseñanza de los productos notables por medio de demostraciones
de cálculo de áreas que incentiven al aprendizaje significativo y que permita
a los estudiantes construir sus propios conceptos a partir del análisis, para
esto se aplicó el método científico, diseño cuasi experimental
correspondiente a una investigación de tipo aplicativo de nivel explicativo,
en donde se seleccionó a dos paralelos que sirvieron como grupo
experimental y de control respectivamente para recolectar información por
medio de pruebas de entrada y salida.
En el Repositorio de la Universidad Central del Ecuador se encontró
la tesis con el tema: “Fichas Dienes en el desarrollo del aprendizaje
13
significativo de las sumas, restas de polinomios y productos notables en la
asignatura de matemáticas, con los/as estudiantes de novenos años
paralelo “A” y “B” de EGB, del colegio Nacional “Conocoto”, Conocoto,
D: M. Quito, periodo 2016-2017”, realizada por Gastezzi Tapia Maura
Emma, en la cual abordó la enseñanza de los productos notables
apoyándose en las Fichas Dienes como material concreto, logrando por
medio de su manipulación que los estudiantes alcancen un aprendizaje
significativo al relacionar la teoría con la práctica, ayudando a que el
estudiante desarrolle la capacidad de análisis y síntesis. En este proyecto
se aplicó un estudio cuali-cuantitativo con una modalidad de investigación
bibliográfica y de campo, ya que se trabajó directamente con los
estudiantes seleccionados como muestras, con los cuales comprobó el
desconocimiento de este recurso didáctico y de su eficacia para alcanzar
un aprendizaje significativo.
Estos proyectos resaltan la importancia de aprender productos
notables de forma significativa por medio de la aplicación de estrategias
didácticas que permiten al educando ser un ente activo dentro del proceso
de enseñanza, motivándolos continuamente a relacionar la teoría con la
práctica, ayudando a reducir la complejidad al momento de aprender
nuevos temas que tienen relación directa con los productos notables.
Por lo tanto, a partir de estas investigaciones se cuenta con un
sustento estructural como base para identificar la influencia que tiene en el
rendimiento académico de los estudiantes del bachillerato el saber resolver
de forma correcta los productos notables sin necesidad de recurrir a la
forma mecánica y tradicional.
14
2.2. Marco Teórico – Conceptual
2.2.1. Álgebra
El matemático árabe Al-Juarismi en el siglo IX escribió un libro
titulado como lim al-jabr w’al muqabala que se traduce como la ciencia de
restauración y reducción, entendiéndose como: trasponer y combinar
términos semejantes, refiriéndose a las ecuaciones. Al traducir al latín
al-jabr se produjo el nombre de esta importante rama de las matemáticas
que en la actualidad conocemos como Álgebra (Swokowsski & Cole, 2018).
Para Valencia Cárdenas (2013) el álgebra forma parte de las
matemáticas al igual que la geometría, análisis matemático y la teoría de
números, con la única diferencia que hace énfasis en el estudio de las
estructuras, las relaciones y las cantidades empleando una combinación de
números y letras que sirven como variables lo que ha permitido la
formulación de las leyes generales de la aritmética, como por ejemplo
a+b=b+a, esta estructura beneficia a la exploración de las propiedades de
los números reales.
Hasta el siglo XVII el álgebra se consideró una abstracción de la
aritmética, porque permitía obtener valores desconocidos por medio de la
aplicación y resolución de las operaciones aritméticas básicas,
entendiéndose esto como la simple solución de ecuaciones. Actualmente
el álgebra se centra en el estudio de las estructuras algebraicas, lo cual es
la reunión de varias operaciones definidas que permiten ejecutar
operaciones internas (entre sus mismos elementos) o externas (entre los
elementos de otros conjuntos) (Oriol Esteve , 2014).
De lo expuesto anteriormente se concluye que el álgebra es la
combinación de números y letras que en su conjunto con los símbolos de
las operaciones aritméticas permiten deducir reglas y leyes matemáticas en
formas de ecuaciones, las letras al recibir el nombre de variables pueden
15
ser reemplazadas por cualquier número real, lo que permite llevar a
conclusiones más generales, es por esto que el álgebra se la estima como
una sintetización y a su vez una generalización de la aritmética.
2.2.1.1. Importancia del álgebra
En diferentes ocasiones al plantear un problema no se conoce el
valor de algunos de los datos que intervienen, como por ejemplo en la
resolución de problemas de física en donde el valor de una magnitud varia,
esta magnitud desconocida recibe el nombre de variable y para
representarla lo hacemos por medio de letras, las cuales a su vez permiten
formar ecuaciones para darle una solución.
Según Swokowski y Cole (2018) el álgebra al utilizar como
fundamento la combinación de números y letras permite crear y expresar
fórmulas que pueden ser aplicables en la economía, la ingeniería y hasta
en diferentes ámbitos sociales, puesto que contribuyen a resolver de forma
rápida diferentes conflictos como lo puede ser la instalación de líneas
telefónicas, el cálculo de las constantes de crecimiento poblacional, el
efecto del costo de un artículo en relación con su demanda, entre otros,
estos son claros ejemplos de la importancia y utilidad que recae sobre el
álgebra.
Se considera también que el álgebra fortalece el razonamiento lógico
y ayuda a desarrollar el pensamiento abstracto, por medio de ello podemos
describir características generales de un objeto matemático de estudio que
permitirá analizarlo de forma abstracta para darle solución.
Por lo tanto, es necesario que los estudiantes del Primer Año de
Bachillerato comprendan lo fundamental que es esta rama de las
matemáticas y que las técnicas que se aprenden en esta asignatura
representan una base esencial para poder realizar pruebas de ingreso a la
universidad; pero también se debe recalcar que su aplicación no solo se
16
limita al desarrollo de ejercicios, sino que abarca también diversos aspectos
de la vida cotidiana, que con los avances de la actualidad no solo se
necesita conocimientos básicos de aritmética, dado que la naturaleza
general del álgebra se ve reflejada en la cantidad de fórmulas que se
aplican en la ciencia e industria.
2.2.2. Productos Notables
La Real Academia Española (2017) define a la palabra “producto”
como el resultado de efectuar una multiplicación y a “notable” como lo que
sobresale por ser repetitivo en su línea de acción, por lo tanto, los productos
notables son multiplicaciones algebraicas de uso frecuente que cumplen
con características específicas que permiten deducir normas para
resolverlas por simple inspección sin necesidad de realizar todo el proceso
de multiplicación.
En esto concuerda el Diccionario ilustrado de conceptos
matemáticos que expresa que a los productos notables se los denomina
así porque aparecen frecuentemente en el álgebra por lo que se han
establecidos reglas que permiten calcularlos de forma rápida sin necesidad
de resolverlos (Soto Apolinar , 2011).
Por su parte el Dr. José Becerra (s.f.) de la Universidad Autónoma
de México, expresa que tanto en aritmética como en el álgebra las
multiplicaciones deben seguir un proceso establecido para poder
desarrollarlas, pero en el caso particular del álgebra se presentan
multiplicaciones de uso frecuente que mediante la aplicación de reglas
específicas permite resolverlos directamente sin aplicar la multiplicación
término a término, a este tipo de multiplicación algebraica se la denomina
como productos notables.
17
2.2.2.1. Importancia de los productos notables
Para Brenda Castro (2014) los productos notables tienen como fin
reducir el proceso de las multiplicaciones algebraicas que cumplen con
características determinadas en su desarrollo.
Esta característica fundamental de los productos notables beneficia
a la resolución de problemas en donde se ven involucrados, como lo es en
el caso de la física, la ingeniera y la industria en general, como por ejemplo
en el caso de un terreno nos permite calcular, medir y contar las áreas con
las que cuenta un perímetro determinado, es decir, nos permite calcular su
superficie. También ayuda a calcular la deformación de diferentes
estructuras, así como también se los aplica en el cálculo de una potencia
de una corriente eléctrica.
Los estudiantes al desarrollar la capacidad de relacionar los
diferentes temas del bachillerato y los casos de factorización con los
productos notables están dando paso al aprendizaje significativo,
fortaleciendo la memoria a largo plazo y su importancia dentro del campo
de las matemáticas.
2.2.2.2. Tipos de productos notables
Para Javier Vázquez (2013) los tipos de productos notables son:
• Binomio elevado al cuadrado
• Producto de binomios conjugados
• Productos de binomios con un término en común
• Binomio elevado al cubo
• Trinomio elevado al cuadrado
18
2.2.2.2.1. Binomio elevado al cuadrado
Un binomio es aquel que consta de dos términos y pueden estar
separados por el signo + (más) o – (menos). Para resolver este tipo de
binomio se lo debe multiplicar por sí mismo, el resultado que se obtiene es
un trinomio que en factorización se lo conoce como trinomio cuadrado
perfecto, este trinomio siempre su primer y tercer término van hacer
positivos, en cambio el signo del segundo término dependerá del signo que
tenga el binomio (IGER, 2014).
2.2.2.2.1.1. Deducción de la regla algebraica para resolver un
binomio elevado al cuadrado
Para deducir la regla algebraica hacemos uso de la definición de la
potenciación 𝑎2 = 𝑎 ∙ 𝑎, lo que permite expresar cada binomio de la
siguiente forma (𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) y a (𝑎 − 𝑏)2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑏),
para efectuar la multiplicación de forma vertical.
Después de haber realizado la multiplicación término a término tanto
para el binomio separado por el signo más como para el de signo menos
se observa que la respuesta es un trinomio donde el primer y tercer término
están elevados al cuadrado y el segundo término es el doble producto de
los términos que conforman el binomio, deduciendo así que:
“El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer
término, más/menos el doble producto del primer término por el
segundo término, más el cuadrado del segundo término” (Santillana,
2016, pág. 126).
a + b
a + b
a² + ab
+ ab + b²
a² +2ab + b²
a - b
a - b
a² - ab
- ab + b²
a² -2ab + b²
19
2.2.2.2.1.2. Demostración geométrica de un binomio elevado al
cuadrado
Por medio de la descomposición del área de un cuadrado se puede
demostrar este producto notable. Para el caso del binomio (𝑎 + 𝑏)2,
utilizamos un cuadrado de lado a+b:
IMAGEN No 1
Demostración geométrica de (𝒂 + 𝒃)𝟐
Fuente: Matemáticas 9 Alto rendimiento (Santillana)
En cambio, para el binomio (𝑎 − 𝑏)2, hacemos uso de un cuadrado
de lado a-b:
IMAGEN No 2
Demostración geométrica de (𝒂 − 𝒃)𝟐
Fuente: Matemáticas 9 Alto rendimiento (Santillana)
2.2.2.2.2. Productos de Binomios Conjugados o producto de la
suma por su diferencia.
Dos binomios son conjugados cuando tienen los mismos términos
con la única diferencia que el signo que separa a cada binomio va hacer
20
opuesto, es decir si un binomio tiene signo positivo el otro tendrá negativo.
El resultado de efectuar esta multiplicación será otro binomio cuyos
términos estarán elevados al cuadrado y siempre se encontrarán
separados por el signo menos, este resultado en factorización se conoce
como diferencia de cuadrados.
2.2.2.2.2.1. Deducción de la regla algebraica para resolver el
producto de binomios conjugados
Para deducir la regla algebraica que define al producto entre
binomios conjugados realizamos la multiplicación algebraica de forma
vertical entre los binomios (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏):
a + b
a - b
a² + ab
- ab - b²
a² - b²
Al realizar esta multiplicación se observa que el segundo término se
anula y se forma un binomio donde sus términos son los mismos con los
cuales se realizó la multiplicación con la diferencia que están elevados al
cuadrado y separados por un signo menos. Por lo que se puede concluir
que:
“El producto entre binomios conjugados o producto de la suma
por su diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados de dichos
términos” (Santillana, 2016, pág. 129)
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2
2.2.2.2.2.2. Demostración geométrica del producto de binomios
conjugados
Para demostrar geométricamente el producto de binomios
conjugados hacemos uso de un rectángulo de lados (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏):
21
IMAGEN No 3
Demostración geométrica de (𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃)
Fuente: Matemáticas 9 Alto rendimiento (Santillana)
2.2.2.2.3. Producto de binomios con un término en común
Consisten en dos binomios que son semejantes, es decir que tienen
un término en común, por lo general es el primer término y está
representado por una variable, al realizar el producto entre estos binomios
se obtiene como resultado un trinomio que en factorización es conocido
como trinomio de la forma x2+bx+c.
2.2.2.2.3.1. Deducción de la regla algebraica para calcular el
producto de binomios con un término en común.
Realizamos la multiplicación colocando los binomios de forma
vertical, haciendo uso de los siguientes ejemplos: (𝑥 + 3)(𝑥 + 2);
(𝑥 − 3)(𝑥 − 2) y (𝑥 − 3)(𝑥 − 2) respectivamente.
En cada uno de los resultados obtenidos para los casos que
presenta este binomio se observa que el término común de cada binomio
x + 3
x + 2
x² + 3x
+ 2x + 6
x² + 5x + 6
x - 3
x - 2
x² - 3x
- 2x + 6
x² - 5x + 6
x + 3
x - 2
x² + 3x
- 2x - 6
x² + x - 6
22
siempre esta elevado al cuadrado, también se identifica que el segundo
término es el resultado de la suma de los términos no comunes
acompañados del término común y el tercer término se obtiene realizando
el producto entre los términos no comunes, por lo que se puede concluir
que:
“El producto de dos binomios con un término en común es igual
al cuadrado del término común, más el producto de la suma de los dos
términos no comunes por el término común, más el producto de los
términos no comunes” (Santillana, 2016, pág. 131).
(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑥2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏
En donde a y b pertenecen a los números enteros.
2.2.2.2.3.2. Demostración geométrica del producto de binomios
con un término en común
Para comprobar este producto notable haremos uso de un
rectángulo de lado (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏):
IMAGEN No 4
Demostración geométrica de (𝒙 + 𝒂)(𝒙 + 𝒃)
Fuente: Matemáticas 9 Alto rendimiento (Santillana)
23
2.2.2.2.4. Binomio elevado al cubo
En aritmética se conoce que todo exponente indica el número de
veces en que se debe multiplicar la base por sí misma, en este caso se
debe multiplicar tres veces el binomio, dándonos como resultado un
polinomio constituido por cuatro términos que en factorización se conoce
como cubo perfecto.
2.2.2.2.4.1. Deducción de la regla para calcular un binomio
elevado al cubo
Para deducir la regla de este producto notable se aplica la definición
de la potenciación, por lo tanto: (𝑎 + 𝑏)3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) y
(𝑎 − 𝑏)3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑏) y realizamos la multiplicación de
forma vertical para cada caso:
En los resultados obtenidos (resaltados con rojo) después de realizar
la multiplicación de estos binomios de forma vertical, se observa que el
tercer y cuarto término están elevados al cubo y que el segundo y tercer
término siempre es el triple producto con la diferencia que en el segundo
término es el producto del cuadrado del primer término por el segundo y el
tercer término es el producto del primer término por el cuadrado del
segundo, además los signos que separa a los términos del resultado
dependerá del signo que tenga el binomio elevado al cuadrado, por lo que
se puede deducir que:
a - b
a - b
a² - ab
- ab + b²
a² -2ab + b²
a - b
a³ -2 a²b + ab²
- a²b +2 ab² - b³
a³ -3 a²b +3 ab² - b³
24
“Un binomio elevado al cubo es igual al cubo del primer
término, más/menos el triple producto del cuadrado del primer
término por el segundo término, más el triple del primer término por
el cuadrado del segundo término, más/ menos el cubo del segundo
término” (Santillana, 2016, pág. 133).
(𝑎 ± 𝑏)3 = 𝑎3 ± 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2±𝑏3
2.2.2.2.4.2. Demostración geométrica de un binomio elevado al
cubo
Para realizar esta demostración se utiliza un cubo de aristas (a+b)
para el caso de un binomio elevado al cubo con signo positivo (𝑎 + 𝑏)3:
IMAGEN No 5
Demostración geométrica de (𝒂 + 𝒃)𝟑
Fuente: Matemáticas 9 Alto rendimiento (Santillana)
Y para el caso del binomio elevado al cubo con signo negativo
(𝑎 − 𝑏)3 hacemos uso de un cubo de aristas (a-b):
IMAGEN No 6
Demostración geométrica de (𝒂 − 𝒃)𝟑
Fuente: Matemáticas 9 Alto rendimiento (Santillana)
25
2.2.2.2.5. Trinomio elevado al cuadrado
Un trinomio es un polinomio formado por tres términos, después de
resolver la potencia que indica que se debe multiplicar dos veces por sí
mismo este trinomio, se obtiene un polinomio de seis términos, en donde
tres términos estarán elevados al cuadrado y los otros tres restantes serán
el doble producto de cada uno de los términos.
2.2.2.2.5.1. Deducción de la regla algebraica para resolver un
trinomio elevado al cuadrado
Para deducir la regla de este producto notable, se aplica la definición
de la potencia y multiplicaremos de forma vertical apoyándonos en los
siguientes ejemplos:
• (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(𝑎 + 𝑏 + 𝑐):
a + b + c
a + b + c
a² + ab + ac
+ ab + b² + bc
+ ac + + bc + c²
a² +2 ab +2 ac + b² +2 bc + c²
• (𝑎 − 𝑏 − 𝑐)2 = (𝑎 − 𝑏 − 𝑐)(𝑎 − 𝑏 − 𝑐)
a - b - c
a - b - c
a² - ab - ac
- ab + b² + bc
- ac + + bc + c²
a² -2 ab -2 ac + b² +2 bc + c²
De los resultados obtenidos se observa que la respuesta está
conformada por seis términos en donde tres de ellos están elevados al
26
cuadrado y son siempre positivos, mientras que los otros tres términos son
todos los dobles productos posibles que se pueden formar con los términos
del trinomio, por lo que se deduce la siguiente regla:
“El cuadrado de un trinomio es igual a la suma de los cuadrados
de los términos, más/menos el doble producto del primer término
por el segundo término, más/menos el doble producto del segundo
término por el tercer término, más/menos el doble producto del
primer término por el tercer término” (Santillana, 2016, pág. 129)
(𝑎 ± 𝑏 ± 𝑐)2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 ± 2𝑎𝑏 ± 2𝑎𝑐 ± 𝑏𝑐
2.2.2.2.5.2. Demostración geométrica de un trinomio elevado al
cuadrado
Para demostrar este producto notable hacemos uso de un cuadrado
de lado (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2
IMAGEN No 7
Demostración geométrica de (𝒂 + 𝒃 + 𝒄)𝟐
Fuente: Matemáticas 9 Alto rendimiento (Santillana)
2.2.2.3. Errores comunes que presentan los estudiantes en el
desarrollo de los productos notables
Para Méndez Olave (2013) los principales errores que suelen
cometer los estudiantes en el desarrollo de productos notables son:
• No relacionar el modelo algebraico de las reglas con ejercicios que
tienen una estructura distinta.
27
• Cuando resuelven binomios o trinomios elevados al cuadrado y
binomios elevados al cubo aplican su seudoconcepto, interpretando
que el exponente se debe distribuir para cada término, o a su vez
solo elevan al cuadrado o al cubo el coeficiente que acompaña a
cada variable.
• Al realizar el producto entre binomios, hacen mal uso de la propiedad
distributiva, realizando la multiplicación término a término según la
posición en la que se encuentra cada uno.
2.2.3. Temas de la malla curricular del bachillerato que tienen
relación con los productos notables
El nuevo currículo que se aplica desde el año 2016 hace énfasis a
ver al estudiante como el centro de proceso de enseñanza aprendizaje, su
metodología fomenta la participación activa de los estudiantes para
fortalecer el pensamiento crítico y racional, así como también el trabajo
individual y cooperativo que despierte el interés por la lectura e
investigación (Ministerio de Educación, 2016).
También hace hincapié en que las instituciones educativas deben
desarrollar métodos que permitan tener en cuenta los distintos tipos de
aprendizaje que presente el alumnado, para que estos pueden aprender a
su propio ritmo de forma individual y colectiva.
Según el Acuerdo Ministerial Nro. MINEDUC-ME-2016-00020-A,
establece que la carga horaria de la asignatura de Matemáticas para el
Primer Año de Bachillerato es de 5 horas semanales, en el Segundo Año
de Bachillerato es de 4 horas, y en Tercer Año de Bachillerato es de 3
horas.
28
Los contenidos de la asignatura de Matemáticas en el Bachillerato
tienen un enfoque más práctico, busca la solución de problemas mediante
la elaboración y construcción de modelos matemáticos.
En el siguiente mapa de contenidos conceptuales se establece la
importancia y la relación de los productos notables con otros temas de
matemáticas en el bachillerato:
IMAGEN No 8
Mapa de contenidos conceptuales de 1ro BGU
Fuente: Currículo de los niveles de educación obligatoria (MINEDUC)
2.2.3.1. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita
Una ecuación de segundo grado o también conocida como
cuadrática es la que se representa de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, para
Ramírez Juárez (2013) esta forma de representar la ecuación se la conoce
como general o canónica, en donde 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 pertenecen a los números
reales y 𝑎 tiene que ser diferente de cero.
29
Según Zill & Dewar (2012) una ecuación cuadrática se puede
resolver por factorización, complementación de cuadrados y por la fórmula
cuadrática según sea el ejercicio que se presente.
“Las soluciones de una ecuación cuadrática también son conocidas
como raíces o ceros de la ecuación, y son los valores de la variable X, que
hacen cierta la igualdad” (Ramírez Juárez , 2013, pág. 1).
Los productos notables intervienen en las ecuaciones cuadráticas
cuando se presentan ejercicios en donde dadas sus raíces o ceros se pide
calcular la ecuación. Como en los siguientes casos:
a) Dada las soluciones x=5 y x=12, encontrar la ecuación cuadrática:
Solución:
𝑥 = 5 ∧ 𝑥 = 12
𝑥 − 5 = 0 ∧ 𝑥 − 12 = 0
(𝑥 − 5) (𝑥 − 12) = 0
𝑥2 − 17𝑥 + 60 = 0
b) Dada la solución única x=9, encontrar la ecuación cuadrática: Solución:
𝑥 = 9
(𝑥 − 9)2
(𝑥 − 9) (𝑥 − 9) = 0
𝑥2 − 18𝑥 + 81 = 0
En estos casos, se observa la aplicación de los productos notables,
en el primer ejercicio se emplea un producto entre binomios con un término
en común y en el otro ejercicio un binomio elevado al cuadrado, por lo que
se identifica la importancia de reconocer y resolver productos notables para
dar solución a problemas de este tipo en las ecuaciones cuadráticas.
30
2.2.3.2. Operaciones con funciones de variable real
Al igual que en la aritmética, con las funciones de variable real se
pueden realizar operaciones tales como la adición, sustracción, producto y
cociente. Para resolver estas operaciones se aplican las mismas
condiciones de las operaciones con expresiones algebraicas.
Los productos notables por lo general se presentan en la adición,
sustracción y multiplicación entre funciones, para resolver ejercicios tales
como los que se presentan a continuación:
Dada la función 𝑓(𝑥) =𝑥+5
𝑥−3 y 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 3 encontrar:
a) (𝒇 − 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)
(𝑓 − 𝑔)(𝑥) =𝑥 + 5
𝑥 − 3− ( 𝑥 + 3)
(𝑓 − 𝑔)(𝑥) =𝑥 + 5 − (𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
𝑥 − 3
(𝑓 − 𝑔)(𝑥) =𝑥 + 5 − (𝑥2 − 9)
𝑥 − 3
(𝑓 − 𝑔)(𝑥) =𝑥 + 5 − 𝑥2 + 9
𝑥 − 3
(𝑓 − 𝑔)(𝑥) =−𝑥2 + 𝑥 + 14
𝑥 − 3
b) (𝒇 + 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙)
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) =𝑥 + 5
𝑥 − 3+ 𝑥 + 3
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) =𝑥 + 5 + (𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
𝑥 − 3
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) =𝑥 + 5 + 𝑥2 − 9
𝑥 − 3
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) =𝑥2 + 𝑥 − 4
𝑥 − 3
31
c) (𝒇 ∙ 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒙) ∙ 𝒈(𝒙)
(𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥) =𝑥 + 5
𝑥 − 3( 𝑥 + 3)
(𝑓 − 𝑔)(𝑥) =(𝑥 + 5)(𝑥 + 3)
𝑥 − 3
(𝑓 − 𝑔)(𝑥) =𝑥2 + 8𝑥 + 15
𝑥 − 3
En estos ejercicios se observa claramente la importancia de saber
identificar y desarrollar productos notables para simplificar el proceso de
resolución de estas operaciones con funciones de variable real; en el caso
de las sumas y restas con funciones por lo general se presentan las
identidades notables cuando interviene fracciones, en cambio en la
multiplicación casi siempre estarán presentes.
2.2.3.3. Funciones cuadráticas
Según Tax (2014), las principales características de las funciones
cuadráticas son:
a) Su dominio está definido por todos los números reales
b) Es continua
c) Siempre corta al eje de las ordenadas en un solo punto
d) En el eje de las abscisas puede tener hasta máximo dos cortes
e) Su gráfica representa una parábola
f) La forma general de una función cuadrática completa está dada por
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, también se pude presentar de forma
incompleta
g) Si a es mayor que cero la parábola apuntará hacia arriba, si es menor
que cero apuntará hacia abajo.
Los elementos de una función cuadrática son:
32
IMAGEN No 9
Elementos de la función cuadrática
Fuente:http://funcuadratica.blogspot.com/2012/10/elementos-caracteristicos.html
Los cortes de la parábola con el eje x o de las abscisas también se
los conoce como raíces de la función.
Las funciones cuadráticas tienen una estrecha relación con las
ecuaciones de segundo grado, por lo que al igual que en las ecuaciones
cuadráticas las raíces sirven para determinar la ecuación, así mismo
permiten calcular también la función generadora, como en el caso
siguiente:
• Dados los cortes con el eje de las abscisas x=9 y x=2, determinar su
función:
Solución:
𝑥 = 9 ∧ 𝑥 = 2
𝑥 − 9 = 0 ∧ 𝑥 − 2 = 0
𝑓(𝑥) = (𝑥 − 9) (𝑥 − 2)
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 11𝑥 + 18
De la misma forma que en las ecuaciones cuadráticas, se debe
identificar el tipo de producto notable que se debe desarrollar para dar
solución al ejercicio, en este caso es un producto entre binomios con un
término en común, el resultado es la función cuadrática que se buscaba.
33
2.2.3.4. Límites
La ´palabra límite proviene del latín limes que se traduce como
frontera o borde. La Real Academia de la Lengua expresa que el “Límite
dentro de una secuencia infinitas de magnitudes, es la magnitud fija a la
que se aproximan cada vez más los términos de una secuencia” (2017,
párrf. 1).
Para Soto: “El límite de una función 𝑓 cuando la variable independiente
tiende a un valor constante 𝑘 se denota por:
lim𝑥→𝑘
𝑓(𝑥) = 𝑀
Donde M representa el valor al cual se acerca conforme los valores de x
se aproximan más al valor 𝑘, en caso de que le límite exista.”
(Diccionario ilustrado de conceptos matemáticos, 2011, pág. 91)
En algunos casos los límites pueden ser indeterminados, y para
eliminar esta indeterminación se utilizan artificios matemáticos; los casos
más comunes de indeterminación que se presentan al desarrollar límites
son (Matemáticas 1 BGU, 2016):
0
0 ,
∞
∞ , ∞ ∙ 0 , ∞ − ∞ , 1∞ , 00 , ∞0
Para solucionar algunas de estas indeterminaciones se hace uso de
los productos notables, como en el ejemplo que se plantea a continuación:
• Encontrar el siguiente límite de:
lim𝑥→2
2 − 𝑥
√2 − √𝑥
Al reemplazar comúnmente el límite:
lim𝑥→2
2 − 𝑥
√2 − √𝑥=
2 − 2
√2 − √2=
0
0
34
El resultado es una indeterminación, por lo que para poder resolver
este límite debemos aplicar la conjugada debido a que tenemos raíces en
el denominador:
lim𝑥→2
(2 − 𝑥)
(√2 − √𝑥)∙
(√2 + √𝑥)
(√2 + √𝑥)=
Después de aplicar la conjugada, en el denominador queda una
multiplicación entre binomios que en identidades notables se conoce como
productos de binomios conjugados:
lim𝑥→2
(2 − 𝑥)(√2 + √𝑥)
(√2 − √𝑥)(√2 + √𝑥)=
(2 − 𝑥)(√2 + √𝑥)
(√2)2
−(√𝑥)2 =
(2 − 𝑥)(√2 + √𝑥)
2 − 𝑥
lim𝑥→2
√2 + √𝑥 = √2 + √2 = 2√2
Particularmente en los ejercicios de límite en donde se presenta la
indeterminación 0/0 y aparecen raíces en el denominador se aplica la
conjugada la cual tiene relación directa con el producto de binomios
conjugados, notándose claramente la importancia de identificar y
desarrollar identidades notables para simplificar el proceso.
2.2.3.5. Derivadas
El concepto de derivada es uno de los más primordiales en análisis
matemático, para Ávila (s.f.) la derivada es el resultado de un límite y
gráficamente representa en la función a la pendiente de la línea tangente
en un punto determinado. La derivada puede representarse de las
siguientes formas:
𝑑
𝑑𝑥(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥𝑓(𝑥) = 𝑦´ = 𝑓´(𝑥) = 𝐷𝑥𝑦
“La derivada de una función 𝑓 en un punto 𝑥0, detonada por 𝑓´(𝑥0), es
𝑓′(𝑥0) = limℎ→0
𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0)
ℎ
Siempre que le límite exista” (Thomas, 2010, pág. 123).
35
Al calcular la derivada de una función aplicando su definición, por lo
general siempre aparecen productos notables de binomios elevados al
cuadrado y al cubo dependiendo del grado de la función, como se planteará
en el siguiente ejemplo:
• Encontrar la primera derivada de la siguiente función:
𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 𝑥2 + 5𝑥 − 2
Reemplazamos en la fórmula:
𝑓′(𝑥0) = limℎ→0
𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0)
ℎ
𝑓′(𝑥) = limℎ→0
2(𝑥 + ℎ)3 + (𝑥 + ℎ)2 + 5(𝑥 + ℎ) − 2 − (2𝑥3 + 𝑥2 + 5𝑥 − 2)
ℎ
Después de reemplazar en la fórmula general de la derivada, se
identifica que se debe desarrollar las siguientes identidades notables:
binomio elevado al cubo y binomio elevado al cuadrado:
𝑓 ´(𝑥) = limℎ→0
6𝑥2ℎ + 6𝑥ℎ2 + ℎ3 + 2𝑥ℎ + ℎ2 + 5ℎ
ℎ
𝑓 ´(𝑥) = limℎ→0
ℎ(6𝑥2 + 6𝑥ℎ + ℎ2 + 2𝑥 + ℎ + 5)
ℎ
𝑓 ´(𝑥) = limℎ→0
6𝑥2 + 6𝑥ℎ + ℎ2 + 2𝑥 + ℎ + 5
𝑓 ´(𝑥) = 6𝑥2 + 6𝑥(0) + 02 + 2𝑥 + 0 + 5
𝑓 ´(𝑥) = 6𝑥2 + 2𝑥 + 5
En el desarrollo de este ejercicio se evidencia la importancia de
identificar y resolver productos notables correctamente para disminuir el
proceso de resolución, de la misma forma en que se observó en las
operaciones con funciones, funciones y ecuaciones cuadráticas y límites,
que son temas de la malla curricular del bachillerato.
36
En estos temas que se encuentran en la malla curricular del
Bachillerato se identificó el papel fundamental que juegan los productos
notables, considerando que ya de por sí representan para los estudiantes
gran dificultad para desarrollarlos, es imprescindible reforzarlos por medio
de estrategias didácticas activas que fomenten el aprendizaje significativo,
puesto que representan la base para resolver de forma simplificada los
ejercicios en los cuales intervienen.
2.2.4. Aprendizaje significativo
El reto de todo docente es hacerse entender por medio de
estrategias didácticas que den un valor significativo a los contenidos con el
fin de que los conocimientos que adquieran los estudiantes les sirvan para
aplicarlos en la resolución de problema de su entorno y no solo sea una
repetición memorística y sistemática que carezcan de sentido práctico
La teoría del aprendizaje significativo es la propuesta que hizo David
Ausubel en 1963 en un contexto en el que, ante el conductismo
imperante, se planteó como alternativa un modelo de
enseñanza/aprendizaje basado en el descubrimiento, que privilegiaba el
activismo y postulaba que se aprende aquello que se descubre
(Rodríguez Palmero , 2011, pág. 30).
Esta teoría es en la actualidad una de las más primordiales en el
campo educativo dado que se centra en el educando y constituye un pilar
fundamental del enfoque constructivista, que es el que se plantea en el
currículo vigente como método de enseñanza aprendizaje.
2.2.4.1. Definición
El aprendizaje significativo es el proceso según el cual se relaciona un
nuevo conocimiento o una nueva información con la estructura cognitiva
de la persona que aprende de forma no arbitraria y sustantiva y no literal.
37
Dicha estructura requiere de unos aspectos relevantes presentes en la
misma, que reciben el nombre de subsumidores o ideas de anclaje
(Blanco Valbuena, 2016, pág. 61).
En esta definición se resaltan dos condiciones imprescindibles para
adquirir un aprendizaje significativo, por un lado, está la del sujeto que
aprende, que debe presentar predisposición y una buena aptitud para
aprender de forma significativa; y por otro la del facilitador que debe
presentar un material asimilable por el aprendiz que despierte la curiosidad
y desarrolle la capacidad de relación, análisis y síntesis.
Para Rodríguez Palmeiro el aprendizaje significativo es:
“….una teoría psicológica del aprendizaje, porque se ocupa de los
procesos mismos que el individuo pone en juego para generar su
conocimiento; centra la atención en lo que ocurre en el aula cuando los
estudiantes aprenden; en la naturaleza de ese aprendizaje; en las
condiciones que requiere para que este se reproduzca; en sus resultados
y consecuente mente en su evaluación; aborda todos y cada uno de los
elementos, factores y condiciones y tipos que garantizan su adquisición,
la asimilación y la retención de contenido que la escuela ofrece al
alumnado, de modo que adquiera significado para el mismo” (2011,
págs. 30 , 31).
Esta concepción establece la importancia que tiene el educando en
el proceso de enseñanza, el cual debe construir significativamente sus
conceptos para que pueda aprender para la vida; y hace referencia al
ambiente que el educador debe crear si lo que pretende es alcanzar y
fomentar el aprendizaje significativo en sus estudiantes.
Las definiciones expuestas se basan en la teoría de David Ausubel
y en resumen establecen que el aprendizaje significativo se da a cabo
cuando el individuo es capaz de relacionar la información nueva con los
38
conocimientos que ya posee, es decir este último asume el papel de
prerrequisito, por lo que el objetivo del aprendizaje debe ser más que repetir
teorías y conceptos de forma memorística.
2.2.4.2. Condiciones para alcanzar un aprendizaje significativo
El aprendizaje significativo para poder llevarse a cabo requiere de
dos condiciones esenciales: “La primera, relacionada con la actitud o
predisposición del aprendiz de aprender de manera significativa, y la
segunda, contempla la presentación de un material potencialmente
significativo” (Blanco Valbuena, 2016, pág. 61).
2.2.4.2.1. Actitud o predisposición del aprendiz
“Si el individuo no muestra la intención o disposición para establecer
relaciones sustantivas y no arbitrarias entre su estructura cognitiva y el
nuevo material, el aprendizaje no se produce de manera significativa,
incluso aunque existan los subsumidores adecuados y pertinentes y el
material sea lógicamente significativo” (Rodriguez Palmero, Moreira,
Caballero Sahelices, & Greca, 2010, pág. 13).
Es una condición que depende totalmente del estudiante, y es
primordial para alcanzar el aprendizaje significativo, si el estudiante no tiene
una buena disposición para aprender, este tipo de aprendizaje no puede
darse, ya que depende de la estructura cognoscitiva que haya desarrollado
el estudiante.
2.2.4.2.2. Material potencialmente significativo
Implica que el material que vaya a utilizar el docente pueda
relacionarse fácilmente con el nuevo contenido que se pretende enseñar,
pero este material no debe estar al pie de la letra, sino tener un significado
lógico que permita al estudiante relacionarlo de forma intencional con las
ideas que posee su estructura cognoscitiva de manera pertinente.
39
Para Rivera: “El material presentado debe tener una estructura
interna organizada, que sea susceptible de dar lugar a la construcción de
significado. Es decir, que no importa solo el contenido, sino también la
forma en que este presentado” (Aprendizaje significativo, 2013, pág. s/p).
2.2.4.3. Características del aprendizaje significativo
Las principales características del aprendizaje significativo según
David Ausubel (1983) son:
• Causa una interacción entre los conceptos más importantes de la
estructura cognitiva (conjunto de conceptos e ideas que un individuo
posee sobre un determinado campo de conocimiento) y la nueva
información que está adquiriendo, para que obtengan significado.
• El nuevo conocimiento se integra a la estructura cognitiva del
individuo de forma no arbitraria y sustancial (no al pie de la letra).
• Beneficia a la diferenciación, evolución y estabilidad de los
subsunsores (conceptos que ya están asimilados y sirven como
base para comprender nuevos conceptos).
• Es un aprendizaje a largo plazo.
2.2.4.4. Proceso para lograr un aprendizaje significativo
Según David Ausubel para lograr un aprendizaje significativo, se
debe seguir el siguiente proceso (Torres, 2013):
• Diferenciación progresiva: Es el conjunto de conceptos e ideas
que se organizan alcanzando nuevos significados, jerarquizándolos
según su importancia, para esto se deben presentar ideas generales
40
y de a poco ir incrementando los contenidos, creando oportunidades
que permitan integrar la información en diferentes entornos.
• Reconciliación integradora: Se produce cuando los conocimientos
previos se relacionan con la nueva información, lo que implica que
ha habido una reorganización de conceptos en donde las ideas
nuevas se concretan sobre las bases de los prerrequisitos (ideas
previas).
• Organizadores previos: Son todas aquellas estrategias didácticas
que utiliza el docente como apoyo para que el estudiante puede
relacionar con facilidad los conocimientos que posee con la nueva
información, en ocasiones se hace uso de organizadores gráficos al
final de la clase, para que el estudiante concrete su experiencia y
fortalezca el aprendizaje de forma significativa.
2.2.4.5. Tipos de aprendizaje significativo
Ausubel, Novak y Hanesian identificaron tres tipos de aprendizaje
significativo, basándose según el medio por el que se adquiere el nuevo
conocimiento, en: representacional, de conceptos y de proposiciones
(Pozo, 2016).
2.2.4.5.1. Aprendizaje Representacional
Es el más importante, pues de él depende los demás tipos de
aprendizaje, y radica en dar un significado a los objetos o símbolos que se
perciben, por lo que Ausubel afirma que: “ Ocurre cuando se igualan en
significados símbolos arbitrarios con sus referentes (objetos, eventos,
conceptos) y significan para el alumno cualquier significado al que sus
referentes aludan” (1983, pág. 5).
41
2.2.4.5.2. De conceptos
Para Ausubel los conceptos se definen como: “objetos, eventos,
situaciones o propiedades de que posee atributos de criterios comunes y
que se designan mediante algún símbolo o signos” (1983, pág. 61), desde
esta concepción se podría establecer que también se trata de un
aprendizaje representacional.
En general los conceptos se adquieren a través de los procesos de
formación y asimilación. La formación de conceptos es donde se obtienen
las características esenciales de los conceptos por medio de la
experimentación directa y la asimilación se lleva a cabo a medida que la
persona va enriqueciendo su léxico, pues las características que definen
los conceptos se combinan con las ideas o conocimientos previos que
posee, por lo cual puede distinguir el color, tamaño, forma, etc., que
concretan a un objeto específico (Valencia Cárdenas, 2013).
2.2.4.5.3. Aprendizaje de proposiciones
“Este tipo de aprendizaje va más allá de una simple asimilación de
lo que representan las palabras, combinadas o aisladas, puesto que exige
captar el significado de las ideas expresadas en forma de proposiciones”
(Ausubel, 1983, pág. 6).
Desde esta definición el aprendizaje de proposiciones involucra la
mezcla de diversas palabras que en su conjunto forman un referente
unitario, posteriormente éstas se combinan de tal manera que la idea
resultante va más allá que la suma del significado individual de cada
palabra, creando un nuevo significado que es almacenado en la estructura
cognoscitiva del individuo.
42
2.2.5. El desarrollo del aprendizaje significativo en el ámbito
educativo
El Dr. Alexander Ortiz docente de la Universidad de Magdalena en
Colombia, expresa que:
“El aprendizaje significativo se basa en preparar al estudiante a partir
del propio campo de actuación futura, o sea, desde la comunidad y la
sociedad, por lo que constituye un imperativo utilizar una metodología
problémica y desarrolladora en el proceso pedagógico, lo cual garantiza
la apropiación creativa y autónoma de los conocimientos por parte de los
estudiantes” (2012, pág. 6)
Esta concepción destaca lo imprescindible que es preparar a los
estudiantes para la vida y no para rendir una prueba; que los conocimientos
que adquieran no sólo sean conceptos aislados, sino que estén
relacionados con las necesidades actuales que se presentan, para que
adquieran significado y puedan apropiarse de esta información y utilizarla
a largo plazo en diferentes contextos.
El aprendizaje significativo no se puede alcanzar de manera
unilateral, sino que debe haber un intercambio de ideas entre los principales
actores del proceso educativo (estudiante y docente), en este intercambio
de ideas es donde el docente asume el papel de mediador y conductor con
el objetivo de dar sentido al aprendizaje, es decir asegurar que las ideas
previas se relacionen correctamente con la nueva información, para ampliar
y reforzar la construcción del nuevo conocimiento de manera organizada.
2.2.5.1. El aprendizaje significativo en el rendimiento académico
El rendimiento académico es un indicador de aprendizaje, el cual se
mide por medio de evaluaciones que permiten determinar de forma
cuantitativa, o en ciertos casos cualitativamente, el nivel de conocimiento
43
que ha adquirido el estudiante. En este sentido el rendimiento académico
se convierte en una “escala imaginaria de medida” para el aprendizaje
alcanzado en el aula (Lerner Matiz, 2012).
El aprendizaje significativo al ser donde se relaciona la nueva
información con las ideas previas que se posee, es decir donde se
adquieren nuevas habilidades y destrezas de forma significativa, se vincula
directamente con el rendimiento académico, dado que al ser una medida
de las capacidades que posee el educando, se manifiesta por medio de los
conocimientos, conceptos, habilidades, destrezas, entre otras actitudes
que demuestra durante el desarrollo de la clase (Cordova Aguilar, López
de Batres, & Melara Crespín, 2015).
2.2.5.2. Formas de aplicar el aprendizaje significativo en el aula
En la práctica docente es fundamental tener en cuenta ciertas
estrategias que permiten desarrollar en los estudiantes de manera eficaz el
aprendizaje significativo en la asignatura de matemáticas, entre ellas
tenemos (Gomez, 2017):
• Plantear actividades originales y relevantes de acuerdo al tema y
complejidad del mismo que permitan relacionarlos fácilmente con
actividades de la vida cotidiana para su fácil asimilación.
• Fomentar el trabajo colaborativo por medio de ejercicios o problemas
para tomar decisiones y formular algoritmos que los ayuden a
resolverlos, apoyándose en los conocimientos básicos matemáticos
que poseen.
• Motivar a los estudiantes a la búsqueda de alternativas de solución
haciendo uso de diferentes recursos como los pueden ser los
materiales concretos y softwares educativos que fomenten a la
44
adquisición, experimentación y ampliación de conceptos
algebraicos.
• Realizar permanentemente actividades, tales como situaciones
problemas o actividades lúdicas, que desarrollen la conciencia
crítica, lógica, reflexiva y abstracta en los estudiantes.
• Hacer una retroalimentación constante es fundamental para
relacionar los conceptos, lo que facilita el aprendizaje significativo.
• Conformar procesos de evaluación y coevaluación entre los
educandos, logrando que el aprendizaje significativo no sea visto
como una competencia, con la finalidad de que todos contribuyan a
la formación del nuevo conocimiento.
Para la MSc. Carmen Espinoza (2014),Catedrática de la Universidad
de San Sebastián en Chile, una forma de aplicar el aprendizaje significativo
es relacionándolo con el “ Aprendizaje Basado en Problemas” en donde a
través de situaciones problemas, se induce al estudiante a formar debates
dentro del aula de clases, para esto el estudiante se basa en la información
que ya conoce, lo que permite crear hipótesis y sintetizar la información
para dar solución a dicho problema.
2.2.6. Ventajas del Aprendizaje Significativo
Para Calderón (2017) el aprendizaje significativo ofrece las
siguientes ventajas en el ámbito educativo:
• La nueva información se retiene por más tiempo en la estructura
cognoscitiva del estudiante, es decir, el aprendizaje es a largo plazo.
45
• Al tener como base los conocimientos previos, facilita la adquisición
de los nuevos conceptos al establecer una relación entre ellos, lo
que permite asimilarlos con facilidad.
• Favorece a la rápida retroalimentación al momento de aplicar el
conocimiento en la resolución de problemas de su entorno.
• Permite la participación activa de los estudiantes, debido a que la
asimilación y la construcción del nuevo conocimiento los obtendrá
por medio de las actividades que realice con guía del docente.
• Permite incorporar los nuevos conocimientos significativamente
permitiendo la reflexión, análisis y síntesis; evitando la memorización
de conceptos y la repetición sistemática.
• Despierta la motivación por aprender de manera autónoma.
2.2.7. Fundamentación Filosófica
Las matemáticas al ser una ciencia formal que parte de axiomas y
sigue el razonamiento lógico, permite estudiar las propiedades y relaciones
entre entidades abstratas como números, figuras geométricas o símbolos
matemáticos, contribuyendo a deducir lenguajes formales que sirven como
herramientas para plantear problemas de manera no ambigua en contextos
específicos.
Las ciencias naturales han hecho un uso exclusivo de las
matemáticas para explicar diversos fenómenos observables, por lo que es
casi imposible pasar por alto las grandes extenciones que tiene esta
asignatura en diversos contextos, y a su vez facilita las condiciones
necesarias para poder relacionarlas con elementos y situaciones de la vida
cotidiana que permitan su comprensión, desarrollando así el pensamiento
lógico y crítico.
46
Una de las funciones que tiene la Filosofía en el ámbito educativo,
especialmente en las matemáticas, es la formación de una conciencia
crítica la misma que reincide sobre la práctica más que en el razonamiento,
“pues consiste en que a partir del conocimientos que posea de su entorno
el ser humano sea capaz de transformarlos por medio de la práctica, la
participación y la propuesta de nuevos espacios de reflexión” (Correa
Lozano, 2012, pág. 74).
Esta función apunta directamente a un aprendizaje significativo, que
a través de la práctica directa utilizando los recursos necesarios que se
encuentren en le entorno permitan comprender eficazmente los diversos
concpetos matemáticos. .
Para Correa Lozano: “La educación, junto con la reflexión filosófica,
deben ayudarnos a crear situaciones que lleven a la persona a darse
cuenta y a ubicarse en su propia realidad, para desde ahí criticar los hechos
y luego actuar sobre ellos” (2012, pág. 80).
2.2.8. Fundamentación Epistemológica
En el ámbito educativo la epistemología se refiere al conocimiento
que se produce durante el proceso de enseñanza aprendizaje, analiza los
métodos, técnicas y procedimientos, aplicados a través de la planificación,
que ayudan a estructurar una secuencia lógica para aprender de manera
significativa, en pocas palabras permite identificar como se da el
conocimiento en los individuos y que factores ayudan a incrementarlo.
Existen diversas posturas epistémicas en el contexto educativo,
entre ellas la que da aporte al presente trabajo investigativo, por estar
relacionada estrechamente con el aprendizaje significativo, es la dialéctica,
esta establece que tanto el objeto como el sujeto deben estar en
permanente interacción para que por medio de la actividad continua
construya su propio conocimiento, teniendo en cuenta que el conocimiento
47
es progresivo y va evolucionando a medida que el sujeto descubra nuevas
características del objeto de estudio (Azócar Añez, 2015).
En la práctica es el docente el encargado de proponer y aplicar
técnicas, estrategias y métodos que incentiven al estudiante a adueñarse
del conocimiento para que estén preparados a los requerimientos del
mundo actual, contextualizando la información según los avances
científicos y tecnológicos.
Por lo tanto, la epistemología aplicada en la educación propone que
el conocimiento sea cualitativo, es decir que sea de calidad y no una simple
acumulación de información. A demás implica que el conocimiento debe
ser integral por lo que el docente debe considerar la parte afectiva, moral y
social del educando durante el desarrollo del proceso de enseñanza
aprendizaje.
2.2.9. Fundamentación Pedagógica – Didáctica
Para la Doctora Rosa Celi: “El profesor debe ser un mediador que
ayuda a otros a aprender, pensar, sentir, actuar y desarrollarse como
personas” (2013, pág. 35).
La enseñanza no solo se trata de la transmisión de información, si
no de fomentar y desarrollar un pensamiento crítico que conduzca al
análisis y síntesis de calidad ante la gran cantidad y diversidad de
conocimiento que se genera en la sociedad actual, teniendo en cuenta que
la experiencia humana no solo se genera a partir del pensamiento, sino que
también está relacionada con la parte afectiva del individuo, las cuales al
trabajar en conjunto (pensamiento y la parte afectiva) dan significado a la
experiencia adquirida.
Para esto el docente debe cambiar las estrategias tradicionales de
enseñanzas en las cuales el educando es solo un receptor de información,
48
por nuevas estrategias que fomenten un aprendizaje significativo,
colaborativo y motivacional que promuevan la interacción activa entre
estudiantes y docentes, ubicando al rol del docente como un mediador del
proceso enseñanza aprendizaje.
El método Heuristico facilita la adquisición del aprendizaje
significativo, debido a que permite desarrollar en el estudiante cierta
autonomía durante el proceso de búsqueda de soluciones a las situaciones
problemas que se le plantean, ya que el docente por medio de preguntas
guía a los estudiantes para que reflexionen sobre la situación planteada;
así mismo este método permite presentar los contenidos adaptándolos al
nivel psicoevolutivo del estudiante, esto facilita que los educandos
establezcan relaciones entre los concpetos.
David Ausubel en su Teoría del Aprendizaje Significativo establece
la importancia de conocer la estructura cognitiva del educando, es decir,
identificar como el estudiante opera con sus conceptos y proposiciones; y
no solamente la cantidad de información que posee; esta propuesta permite
elaborar herramientas de tipo metacognitivas lo que ayuda a orientar de
mejor manera el desarrollo de la labor docente apoyándose en las
experiencias propias de los estudiantes que ayuden a construir su
conocimientos (Sylva Lazo, 2013).
2.2.10. Fundamentación Psicológica
En el actual modelo educativo, que rige desde el 2016, el estudiante
es el encargado de seleccionar, procesar, clasificar y tomar decisiones con
la información que adquiere, para enlazarla con conocimientos anteriores
formando una cadena que le permitirá recordar con facilidad lo que se le ha
enseñado, prevaleciendo de esta manera la importancia de formar bases
sólidas de conocimientos.
49
Según Castorina y Dubrovsky “una teoría psicológica puede ayudar
a los educadores a reflexionar sobre algunas facetas enigmáticas de su
práctica” (2014, pág. 81), lo que permite cambiar los métodos y técnicas de
la enseñanza tradicional en donde el estudiante solo era un ente receptivo,
para que este tome el papel que le corresponde dentro del proceso
educativo.
La teoría del aprendizaje significativo de Ausubel establece la
importancia de la construcción de significados como un componente
fundamental del aprendizaje, tomando en consideración los factores que
inciden en el proceso de enseñanza.
2.2.11. Fundamentación Sociológica
En el ámbito social la educación es un pilar fundamental ya que
constituye la base de la formación y del desarrollo de las relaciones
humanas, contribuye al progreso de la sociedad, por lo que sin educación
la humanidad no evolucionaría.
Para Isidro Hinojal: “La educación no es un hecho social cualquiera,
la función de la educación es la integración de cada persona en la sociedad,
así como el desarrollo de sus potencialidades individuales” (2013, pág. 12).
Por lo que la Educación y la Sociedad son conceptos que están
estrechamente relacionados, la educación de forma individual guía al
perfeccionamiento personal y colectivamente aporta al progreso social.
Durante el desarrollo del aprendizaje, el estudiante selecciona la
información que le parece más importante y la conserva para sí mismo, en
este un proceso el entorno en el que se desenvuelve juega un papel
fundamental, ya que este puede producir estímulos negativos o positivos
en el estudiante. Esta interacción del estudiante con su entorno es el que
permite desarrollar el aprendizaje significativo.
50
La teoría del aprendizaje significativo de David Ausubel permite
comprender al conocimiento como el resultado de la interacción del
individuo con el mundo real, esta teoría ha permitido transformar los
objetivos educativos y adaptarlos a los requerimientos que demanda la
sociedad actual ayudando a responder de forma efectiva a las necesidades
de un mundo globalizado; por lo que el enfoque de las destrezas con
criterios de desempeño del área de matemáticas no tienen que ser
desarrollados de forma abstracta, si no de manera creativa para que el
estudiante pueda procesar y relacionar la gran cantidad de información con
el contexto actual, siendo estos los elementos más esenciales del proceso
educativo. Por lo tanto, la educación no puede desarrollarse de manera
aislada en la sociedad, se debe adapatar a las necesidades de la misma.
2.3. Marco Contextual
La Unidad Educativa Fiscal “Eloy Alfaro” pertenece a la Zona 8,
Distrito 1 Circuito 5, y está ubicada en la Cdla. 9 de octubre Avenida
Rigoberto Ortiz entre Alberto Avellan y Pedro Asaad de la Provincia del
Guayas, Cantón Guayaquil, Parroquia Ximena; y está conformada por los
cursos de Educación General Básica Superior y Bachillerato, funciona en
las jornadas: matutina, vespertina y nocturna; su infraestructura presenta
condiciones óptimas y está construida sobre una superficie de 2240 metros
cuadrados; actualmente cuenta con 2842 estudiantes de los cuales 1077
son mujeres y 1765 son hombres. Al ser una institución que está ubicada
en una zona urbana, la mayor parte de sus estudiantes provienen de
familias de clase baja.
Fue creada el 28 de marzo de 1960 por medio de la Resolución 130
expedido por el Dr. Leónidas Ortega Moreira quien desempeñaba sus
funciones como Ministro de Educación Pública, estableciendo a la
institución con una modalidad de estudio presencial y exclusivamente para
varones; pero a partir del año 2013 por orden ministerial comenzó a
funcionar como colegio mixto, su primer rector fue el Dr. Francisco Ravira
51
Suárez, desde sus inicios se ha implantado como una de las instituciones
fiscales de renombre del sur de la ciudad de Guayaquil,
Las especialidades que actualmente ofrece esta Unidad Educativa
son el Bachillerato en Ciencias, en Informática y en Contabilidad. En sus
58 años de vida institucional ha formado estudiantes que han sido
protagonistas del cambio social, con una conciencia crítica para que
contribuyan al desarrollo del país, fortaleciendo el ámbito tecnológico y del
emprendimiento, inculcando en ellos sólidos valores éticos y morales.
2.4. Marco Legal
2.4.1. Constitución Política de la República del Ecuador
Título II. Derechos
Capítulo II. Derechos del Buen Vivir
Sección quinta
Educación
Art. 26.- La educación es un derecho de las personas a lo largo de
su vida y un deber ineludible e inexcusable del Estado. Constituye un área
prioritaria de la política pública y de la inversión estatal, garantía de la
igualdad e inclusión social y condición indispensable para el buen vivir. Las
personas, la familia y la sociedad tienen el derecho ya la responsabilidad
de participar en el proceso educativo.
Art. 27.- La educación se centrará en el ser humano y garantizará
su desarrollo holístico, en el marco del respeto a los derechos humanos, al
medio ambiente sustentable y a la democracia; será participativa,
obligatoria, intercultural, democrática, incluyente y diversa, de calidad y
calidez; impulsará la equidad de género, la justicia la solidaridad y la paz;
estimulará el sentido crítico, el arte y la cultura física, la iniciativa individual
y comunitaria, y el desarrollo de competencias y capacidades para crear y
trabajar.
52
La educación es indispensable para el conocimiento, el ejercicio de
los derechos y la construcción de un país soberano, y constituye un eje
estratégico para el desarrollo nacional.
Art. 28.- La educación responderá al interés público y no estará al
servicio de intereses individuales y corporativos. Se garantizará el acceso
universal, permanencia, movilidad y egreso sin discriminación alguna y la
obligatoriedad en el nivel inicial, básico y bachillerato o su equivalente.
Es derecho de toda persona y comunidad interactuar entre culturas
y participar en una sociedad que aprende. El estado promoverá el diálogo
intercultural en sus múltiples dimensiones.
Título VII. Régimen del Buen Vivir
Capítulo I. Inclusión y equidad
Sección Primera
Educación
Art. 343.- El sistema nacional de educación tendrá como finalidad el
desarrollo de las capacidades y potencialidades individuales y colectivas
de la población, que posibiliten el aprendizaje, y la generación y la
utilización de conocimientos, técnicas, saberes, artes y cultura. El sistema
tendrá como centro al sujeto que aprende, y funcionará de manera flexible
y dinámica, incluyente, eficaz y eficiente.
2.4.2. Ley Orgánica de Educación Intercultural
Título I. De los Principios Generales
Capítulo Único. Del Ámbito, Principios y Fines
Art.2.- Principios. - La actividad educativa se desarrolla a tendiendo
a los siguientes principios generales, que son los fundamentos filosóficos,
conceptuales y constitucionales que sustentan, definen y rigen las
decisiones y actividades en el ámbito educativo:
53
b) Educación para el cambio. - La educación constituye un
instrumento de transformación de la sociedad; contribuye a la
construcción del país, de los proyectos de vida y de la libertad de
sus habitantes, pueblos y nacionalidades; reconoce a las y los seres
humanos, en particular a las niñas, niños y adolescentes; como
centro del proceso de aprendizajes y sujetos de derecho; y se
organiza sobre la base de los principios constitucionales;
c) Libertad. - La educación forma a las personas para la
emancipación, autonomía y el pleno ejercicios de sus libertades. El
estado garantizará la pluralidad en la oferta educativa;
g) Aprendizaje permanente. – La concepción de la educación como
un aprendizaje permanente, que se desarrolla a lo largo de toda la
vida;
n) Comunidad de aprendizaje. – La educación tiene entre sus
conceptos aquel que reconoce a la sociedad como un ente que
aprende y enseña y se fundamenta en la comunidad del aprendizaje
entre docentes y educandos, considerada como espacios de diálogo
social e intercultural e intercambio de aprendizajes y saberes;
s) Flexibilidad. – La educación tendrá una flexibilidad que le permita
adecuarse a las diversidades y realidades locales y globales,
perseverando la identidad nacional y la diversidad cultural, para
sumirlas e integrarlas en el concierto educativo nacional, tanto en
sus conceptos como en sus contenidos, base científica –
tecnológicas y modelos de gestión;
dd) Articulación. – Se establece la conexión, fluidez, gradación
curricular entre niveles del sistema, desde lo macro hasta lo micro
curricular, con enlaces en los distintos niveles educativos y sistemas
y subsistemas del País;
54
ll) Pertinencia. – Se garantiza a las y los estudiantes una formación
que responda a las necesidades de su entorno social, natural y
cultural en los ámbitos local, nacional y mundial.
Art. 3.- Fines de la educación. – Son fines de la educación:
d) El Desarrollo de capacidades de análisis y conciencia crítica para
que las personas se inserten en el mundo como sujetos activos con
vocación transformadora y de construcción de una sociedad justa,
equitativa y libre;
Título II. De los Derechos y Obligaciones
Capítulo Cuarto. De los Derechos y Obligaciones de las y los
Docentes
Art. 11.- Obligaciones. - Las y los docentes tienen las siguientes
obligaciones:
i) Dar apoyo y seguimiento pedagógico a las y los estudiantes, para
superar el rezago y dificultades en los aprendizajes y en el desarrollo
de competencias, capacidades, habilidades y destrezas;
55
CAPÍTULO III
METODOLOGÍA
3.1. Diseño de la investigación
El presente proyecto de acuerdo a sus características corresponde
a una investigación de tipo bibliográfica, porque se recolecto la información
necesaria para dar sustento a este trabajo investigativo; la modalidad que
se empleará será la cuali-cuantitativa, ya que se recopilará datos
estadísticos por medio de una encuesta que se aplicará a un grupo
reducido de individuos en este caso a los estudiantes del Primer Año de
Bachillerato de la Unidad Educativa Fiscal “ Eloy Alfaro” de la ciudad de
Guayaquil, la cual constará de un cuestionario de diez preguntas en la
escala de Likert; y apoyándonos en el método de Análisis- Síntesis para
interpretar los resultados obtenidos y poder redactar las conclusiones y
recomendaciones.
3.2. Modalidad de la investigación
Este trabajo investigativo se basa en el enfoque Cuali-cuantitativo.
Para Sánchez Valtierra (2016) el enfoque mixto o cuali.cuantitativo es un
conjunto de procesos sistemáticos, empíricos y críticos que se combinan
en un estudio, contribuyendo a la recolección de información de tipo
cualitativa y cuantitativa, con el propósito de obtener una visión más
completa del fenómeno que se está investigando.
El presente proyecto es cualitativo, porque se partió desde una
pregunta de investigación que se formuló en concordancia con la
metodología que se pretende aplicar; también es cuantitativa porque se
recopilará los resultados obtenidos al aplicar los instrumentos de
investigación en una tabla de datos, por lo tanto, al realizar la mezcla de
56
estos enfoques dándoles igual importancia permite maximizar las ventajas
de cada una de ellas, proporcionando un aporte sustancial y significativo a
este proyecto.
3.3. Tipos de investigación
Según finalidad de este proyecto el tipo de investigación que se
aplicará será la bibliográfica. Para Manuel Rodríguez (2014) la
investigación bibliográfica es un proceso ordenado que recopila
información de diferentes materiales empíricos que pueden ser impreso,
gráfico, físico o virtuales; para analizarlas y clasificarlas como fuentes
conceptuales y metodológicas para un trabajo investigativo en particular.
Este proyecto sigue este tipo de investigación porque las teorías que
se plantearán serán recopiladas de datos y documentos comprobados y
actualizados, tales como: libros (físicos y virtuales), revistas, artículos
científicos, folletos y páginas web.
Según el objetivo gnoseológico, esta investigación es descriptiva,
porque se busca describir las características de la población de estudio, así
como los hechos o causas que intervienen para dar solución al problema
planteado en este proyecto.
3.4. Métodos de investigación
El método de análisis – síntesis permite reconocer y descifrar los
componentes de una realidad, para posteriormente organizar la
información más relevante según criterios establecidos para la
investigación.
El inductivo - deductivo, va desde lo particular (inducción) a lo
general (deducción), esto permite establecer un procedimiento lógico que
orienta a alcanzar el propósito de la investigación.
57
Este proyecto se apoya en el método de análisis – síntesis porque
se partió desde la definición de los productos notables para establecer la
relación que tiene con otros temas de la malla curricular del Bachillerato y
su importancia en la aplicación en diferentes ámbitos de la sociedad, así
mismo del inductivo -deductivo dado que se consideró a las operaciones
algebraicas básicas como prerrequisito para elaborar y aplicar la Guía
didáctica con estrategias activas.
3.5. Técnicas de investigación
De acuerdo a la metodología utilizada se utilizarán como técnicas de
investigación: la encuesta dirigida a los estudiantes y docentes de
matemáticas del Primer Año de Bachillerato de la Unidad Educativa Fiscal
“Eloy Alfaro” de la ciudad de Guayaquil, y la entrevista que se la realizará
al Rector de la Institución Educativa.
Para López Roldan y Fachelli (2015):
La encuesta permite recoger datos por medio de la utilización de un
cuestionario aplicado a las personas seleccionadas como muestras para
identificar el grado de información que poseen acerca de un tema
específico.
La entrevista consiste en un diálogo que se aplica directamente a
una persona sobre un tema específico con el fin de obtener información
concreta sobre el fenómeno de estudio.
3.6. Instrumentos de investigación
Como instrumento de investigación se utilizará un cuestionario de
diez preguntas elaboradas estrictamente para que sean respondidas bajo
la escala de Likert.
58
El cuestionario se realiza de forma escrita por medio de un formato
realizado en un papel el cual contiene una serie de preguntas que deben
ser llenadas por el encuestado sin intervención del encuestador (Arias,
2016).
La Escala Likert es una herramienta de medición psicométrica que
permite estimar las cualidades e identificar el grado de satisfacción de una
persona encuestada por medio de las interrogantes que se le aplican
(Llauradó, 2014).
La escala que se utilizará en el instrumento de investigación será la
siguiente:
CUADRO No 2
Escala Likert
ESCALA DE VALORES ALTERNATIVAS
5 SIEMPRE
4 CASI SIEMPRE
3 ALGUNAS VECES
2 POCAS VECES
1 NUNCA
3.7. Población y Muestra
3.7.1. Población
“La población, o en términos más precisos la población objetivo, es un
conjunto finito o infinito de elementos con características comunes para
los cuales serán extensivas las conclusiones de la investigación. Esta
queda delimitada por el problema y por los objetivos de estudio”. (Arias,
2016, pág. 81)
La población de estudio de este trabajo investigativo está
conformada por el Rector que es la Autoridad Principal, los tres docentes
de matemáticas y los estudiantes del Primer Año de Bachillerato de la
59
Unidad Educativa Fiscal “Eloy Alfaro” de la Ciudad de Guayaquil, Sección
matutina, la cual consta de cinco paralelos distribuidos de la siguiente
forma: dos de la especialidad de ciencias con 36 y 40 estudiantes
respectivamente, dos de informática con 45 estudiantes cada uno y uno de
contabilidad con 42 estudiantes, dando un total de 208 estudiantes.
CUADRO No. 3
Población del Primero Año de Bachillerato de la Unidad Educativa Fiscal “Eloy Alfaro”
Ítem Estratos Frecuencias Porcentajes
1 ESTUDIANTES 208 98.11%
2 DOCENTES 3 1.41%
3 AUTORIDADES 1 0.48%
Total 212 100%
Fuente: Secretaría del Plantel Elaborado por: Douglas Chilan Choez
3.7.2. Muestra
“La muestra es un subconjunto representativo y finito que se extrae
de la población accesible” (Arias, 2016, pág. 83)
Para la aplicación de la encuesta, en caso de la autoridad y de los
docentes de matemáticas de la Unidad Educativa se considera como
muestra a la población total, pero para los estudiantes se aplicará la fórmula
para estimar la muestra, la cual detallaremos a continuación:
Fórmula
Fórmula de Muestreo para población finita. (Arias, 2016, pág. 88)
Z: es una constante que depende del nivel de confianza que asignemos.
El nivel de confianza indica la probabilidad de que los resultados de nuestra
investigación sean ciertos
60
N = Población = 208
P = Probabilidad de éxito = 0,5
Q = Probabilidad de fracaso = 0,5
P*Q= Varianza de la Población= 0,25
E = Margen de error = 5,00%
NC (1-α) = Confiabilidad = 95%
Z = Nivel de Confianza = 1,96
𝑛 = 1,962 ∗ 0,25 ∗ 208
0.052(208 − 1) + 1,96² ∗ 0,25
𝑛 = 3.8416 ∗ 52
0.0025(207) + 3,8416 ∗ 0,25
𝑛 = 199,7632
0,5175 + 0,9604
𝑛 = 199,7632
1,4779
𝑛 = 135
Después de haber realizado los respectivos cálculos se aplicará la
encuesta a 135 estudiantes del Primer año de Bachillerato de la sección
matutina correspondiente a los dos paralelos de la especialidad de
informática y uno de ciencias, así mismo a la Autoridad principal y a los tres
docentes de matemáticas de la Unidad Educativa Fiscal “Eloy Alfaro”.
CUADRO No. 4
Muestra del Primer Año de Bachillerato de la Unidad Educativa Fiscal “Eloy Alfaro”
Ítem Estratos Frecuencias Porcentajes %
1 Estudiantes 135 97,12%
2 Docentes 3 .2,15%
3 Autoridades 1 0.73%
Total 139 100%
Fuente: Datos de la fórmula Elaborado por: Douglas Chilan Choez
61
3.8. Análisis e interpretación de los resultados de la encuesta aplicada
a los estudiantes de la Unidad Educativa Fiscal “Eloy Alfaro”
Pregunta 1.- ¿Aplicas los productos notables para resolver operaciones
algebraicas con fracciones?
CUADRO No. 5
Pregunta 1 de la Encuesta dirigida a los Estudiantes
Ítem Alternativas Frecuencias Porcentajes
1
Siempre 41 31%
Casi Siempre 45 33%
Algunas veces 28 21%
Muy pocas veces 18 13%
Nunca 3 2%
TOTAL 135 100%
Fuente: Encuesta a estudiantes Elaborado por: Douglas Chilan Choez
GRÁFICO No. 1
Pregunta 1 de la Encuesta Dirigida a Estudiantes
Fuente: Encuesta a estudiantes Elaborado por: Douglas Chilan Choez
Análisis: La mayoría de los estudiantes consideran que casi siempre
tienen que aplicar los casos de productos notables para resolver y
simplificar el proceso de desarrollo de las operaciones con fracciones
algebraicas, lo que les ayuda a optimizar el tiempo cuando se les aplica una
evaluación.
31%
33%
21%
13% 2%
SIEMPRE CASI SIEMPRE ALGUNAS VECES MUY POCAS VECES NUNCA
62
Pregunta 2.- ¿Las operaciones algebraicas básicas intervienen en la
resolución de los productos notables?
CUADRO No. 6
Pregunta 2 de la Encuesta dirigida a los Estudiantes
Ítem Alternativas Frecuencias Porcentajes
2
Siempre 26 19%
Casi Siempre 35 26%
Algunas veces 47 35%
Muy pocas veces 21 16%
Nunca 6 4%
TOTAL 135 100%
Fuente: Encuesta a estudiantes Elaborado por: Douglas Chilan Choez
GRÁFICO No. 2
Pregunta 2 de la Encuesta Dirigida a Estudiantes
Fuente: Encuesta a estudiantes Elaborado por: Douglas Chilan Choez
Análisis: La mayoría de los estudiantes opinan que sólo algunas veces las
operaciones algebraicas básicas intervienen en la resolución de los
productos notables, lo que demuestra que existe una memorización de las
reglas para resolverlas y no una relación significativa entre conceptos que
ayuden a una mejor comprensión y asimilación.
19%
26%35%
16%4%
SIEMPRE CASI SIEMPRE ALGUNAS VECES MUY POCAS VECES NUNCA
63
Pregunta 3.- ¿Las estrategias didácticas favorecen al desarrollo de los
productos notables?
CUADRO No. 7
Pregunta 3 de la Encuesta dirigida a los Estudiantes
Ítem Alternativas Frecuencias Porcentajes
3
Siempre 23 17%
Casi Siempre 50 37%
Algunas veces 31 23%
Muy pocas veces 21 16%
Nunca 10 7%
TOTAL 135 100%
Fuente: Encuesta a estudiantes Elaborado por: Douglas Chilan Choez
Gráfico No. 3
Pregunta 3 de la Encuesta Dirigida a Estudiantes
Fuente: Encuesta a estudiantes Elaborado por: Douglas Chilan Choez
Análisis: La mayor parte de los estudiantes aseveran que casi siempre las
estrategias didácticas que aplican los docentes, les ayudan a tener una
mejor comprensión del desarrollo de los productos notables lo que les
permite recordar con facilidad su proceso de resolución.
17%
37%23%
16%7%
SIEMPRE CASI SIEMPRE ALGUNAS VECES MUY POCAS VECES NUNCA
64
Pregunta 4.- ¿Relacionas los conceptos matemáticos básicos con otros de
mayor complejidad?
CUADRO No. 8
Pregunta 4 de la Encuesta dirigida a los Estudiantes
Ítem Alternativas Frecuencias Porcentajes
4
Siempre 13 10%
Casi Siempre 38 28%
Algunas veces 33 24%
Muy pocas veces 39 29%
Nunca 12 9%
TOTAL 135 100%
Fuente: Encuesta a estudiantes Elaborado por: Douglas Chilan Choez
Gráfico No. 4
Pregunta 4 de la Encuesta Dirigida a Estudiantes
Fuente: Encuesta a estudiantes Elaborado por: Douglas Chilan Choez
Análisis: Un pequeño porcentaje de los estudiantes encuestados afirman
que tienen facilidad para relacionar los conceptos matemáticos aprendidos
previamente con otros de mayor complejidad, lo que les permite formar una
secuencia lógica para dar rápida solución a los problema de aplicación.
10%
28%
24%
29%
9%
SIEMPRE CASI SIEMPRE ALGUNAS VECES MUY POCAS VECES NUNCA
65
Pregunta 5.- ¿Resuelves por simple inspección los diferentes casos de
productos notables?
CUADRO No. 9
Pregunta 5 de la Encuesta dirigida a los Estudiantes
Ítem Alternativas Frecuencias Porcentajes
5
Siempre 15 11%
Casi Siempre 20 15%
Algunas veces 27 20%
Muy pocas veces 60 44%
Nunca 13 10%
TOTAL 135 100%
Fuente: Encuesta a estudiantes Elaborado por: Douglas Chilan Choez
GRÁFICO No. 5
Pregunta 5 de la Encuesta Dirigida a Estudiantes
Fuente: Encuesta a estudiantes Elaborado por: Douglas Chilan Choez
Análisis: La mayoría de los estudiantes encuestados afirman que muy
pocas veces pueden resolver por simple inspección los diferentes casos de
productos notables, lo que evidencia claramente que han sido inducidos a
la memorización estricta de las reglas algebraicas para su resolución.
11%
15%
20%44%
10%
SIEMPRE CASI SIEMPRE ALGUNAS VECES MUY POCAS VECES NUNCA
66
Pregunta 6.- ¿Tu docente de matemáticas aplica estrategias didácticas
para aprender a desarrollar los productos notables de manera interactiva?
CUADRO No. 10
Pregunta 6 de la Encuesta dirigida a los Estudiantes
Ítem Alternativas Frecuencias Porcentajes
6
Siempre 32 24%
Casi Siempre 35 26%
Algunas veces 31 23%
Muy pocas veces 26 19%
Nunca 11 8%
TOTAL 135 100%
Fuente: Encuesta a estudiantes Elaborado por: Douglas Chilan Choez
GRÁFICO No. 6
Pregunta 6 de la Encuesta Dirigida a Estudiantes
Fuente: Encuesta a estudiantes Elaborado por: Douglas Chilan Choez
Análisis: Gran parte de los estudiantes manifiestan que casi siempre sus
docentes de matemáticas utilizan durante el desarrollo de las clases
estrategias didácticas que fomentan una mejor comprensión del desarrollo
de los productos notables para facilitar su aplicación en otros temas.
24%
26%23%
19%
8%
SIEMPRE CASI SIEMPRE ALGUNAS VECES MUY POCAS VECES NUNCA
67
Pregunta 7.- ¿Tu profesor de matemáticas utiliza actividades lúdicas
(juegos) para afianzar el proceso de solución de los productos notables?
CUADRO No. 11
Pregunta 7 de la Encuesta dirigida a los Estudiantes
Ítem Alternativas Frecuencias Porcentajes
7
Siempre 15 11%
Casi Siempre 15 11%
Algunas veces 32 24%
Muy pocas veces 37 27%
Nunca 36 27%
TOTAL 135 100%
Fuente: Encuesta a estudiantes Elaborado por: Douglas Chilan Choez
GRÁFICO No. 7
Pregunta 7 de la Encuesta Dirigida a Estudiantes
Fuente: Encuesta a estudiantes Elaborado por: Douglas Chilan Choez
Análisis: La tercera parte de los estudiantes encuestados manifiestan que
muy pocas veces los docentes utilizan como estrategia didáctica las
actividades lúdicas como medio para afianzar el desarrollo de los productos
notables para que puedan ser aplicados en ejercicios de mayor complejidad
11%
11%
24%27%
27%
SIEMPRE CASI SIEMPRE ALGUNAS VECES MUY POCAS VECES NUNCA
68
Pregunta 8.- ¿El docente hace un repaso de los conceptos anteriormente
estudiados antes de iniciar un tema nuevo?
CUADRO No. 12
Pregunta 8 de la Encuesta dirigida a los Estudiantes
Ítem Alternativas Frecuencias Porcentajes
8
Siempre 41 30%
Casi Siempre 42 31%
Algunas veces 27 20%
Muy pocas veces 17 13%
Nunca 8 6%
TOTAL 135 100%
Fuente: Encuesta a estudiantes Elaborado por: Douglas Chilan Choez
GRÁFICO No. 8
Pregunta 8 de la Encuesta Dirigida a Estudiantes
Fuente: Encuesta a estudiantes Elaborado por: Douglas Chilan Choez
Análisis: La mayor parte de los estudiantes encuestados sostienen que
casi siempre antes de iniciar una nueva clase, el docente les realiza un
repaso de los conceptos estudiados anteriormente con el propósito que
establezcan la relación entre los temas aprendidos.
30%
31%
20%
13%6%
SIEMPRE CASI SIEMPRE ALGUNAS VECES MUY POCAS VECES NUNCA
69
Pregunta 9.- ¿Identificas y desarrollas con facilidad productos notables
aplicando estrategias didácticas?
CUADRO No. 13
Pregunta 9 de la Encuesta dirigida a los Estudiantes
Ítem Alternativas Frecuencias Porcentajes
9
Siempre 31 23%
Casi Siempre 46 34%
Algunas veces 25 18%
Muy pocas veces 21 16%
Nunca 12 9%
TOTAL 135 100%
Fuente: Encuesta a estudiantes Elaborado por: Douglas Chilan Choez
GRÁFICO No. 9
Pregunta 9 de la Encuesta Dirigida a Estudiantes
Fuente: Encuesta a estudiantes Elaborado por: Douglas Chilan Choez
Análisis: La mayor parte de los estudiantes encuestados afirma tener casi
siempre facilidad para identificar y desarrollar productos notables por
simple inspección, lo que demuestra en su mayoría la dificultad que existe
para memorizar las reglas algebraicas para su resolución.
23%
34%18%
16%
9%
SIEMPRE CASI SIEMPRE ALGUNAS VECES MUY POCAS VECES NUNCA
70
Pregunta 10.- ¿El desarrollar correctamente productos notables facilita
resolver ejercicios de mayor complejidad en donde son parte de la
solución?
CUADRO No. 14
Pregunta 10 de la Encuesta dirigida a los Estudiantes
Ítem Alternativas Frecuencias Porcentajes
10
Siempre 44 33%
Casi Siempre 43 32%
Algunas veces 25 18%
Muy pocas veces 12 9%
Nunca 11 8%
TOTAL 135 100%
Fuente: Encuesta a estudiantes Elaborado por: Douglas Chilan Choez
GRÁFICO No. 10
Pregunta 10 de la Encuesta Dirigida a Estudiantes
Fuente: Encuesta a estudiantes Elaborado por: Douglas Chilan Choez
Análisis: La mayor parte de los estudiantes encuestados considera que el
saber identificar y desarrollar correctamente los productos notables
siempre les ayuda a resolver de forma simplificada ejercicios de mayor
complejidad que se presentan en el bachillerato.
33%
32%
18%
9%8%
SIEMPRE CASI SIEMPRE ALGUNAS VECES MUY POCAS VECES NUNCA
71
3.9. Análisis de la encuesta aplicada a los Docentes de Matemáticas
de la Unidad Educativa Fiscal “Eloy Alfaro”
Pregunta 1.- ¿Sus estudiantes aplican los productos notables para resolver
operaciones algebraicas con fracciones?
CUADRO No. 15
Pregunta 1 de la Encuesta dirigida a los Docentes
Ítem Alternativas Frecuencias Porcentajes
1
Siempre 0 0%
Casi Siempre 1 33%
Algunas veces 2 67%
Muy pocas veces 0 0%
Nunca 0 0%
TOTAL 3 100%
Fuente: Encuesta a los docentes Elaborado por: Douglas Chilan Choez
GRÁFICO No. 11
Pregunta 1 de la Encuesta Dirigida a los Docentes
Fuente: Encuesta a docentes Elaborado por: Douglas Chilan Choez
Análisis: Los docentes de matemáticas encuestados manifiestan en su
mayoría que solo algunas veces sus estudiantes identifican y aplican los
productos notables para simplificar el proceso de resolución de operaciones
con fracciones algebraicas.
0%33%
67%
0%0%
SIEMPRE CASI SIEMPRE ALGUNAS VECES MUY POCAS VECES NUNCA
72
Pregunta 2.- ¿Realiza demostraciones para que los estudiantes
comprendan que las operaciones algebraicas básicas intervienen en la
resolución de productos notables?
CUADRO No. 16
Pregunta 2 de la Encuesta dirigida a los Docentes
Ítem Alternativas Frecuencias Porcentajes
2
Siempre 2 67%
Casi Siempre 1 33%
Algunas veces 0 0%
Muy pocas veces 0 0%
Nunca 0 0%
TOTAL 3 100%
Fuente: Encuesta a docentes Elaborado por: Douglas Chilan Choez
GRÁFICO No. 12
Pregunta 2 de la Encuesta Dirigida a los Docentes
Fuente: Encuesta a docentes Elaborado por: Douglas Chilan Choez
Análisis: La mayoría de los docentes encuestados afirman realizar siempre
demostraciones matemáticas para que sus estudiantes comprendan y
relacionen cuales son las operaciones algebraicas básicas que intervienen
en los productos notables.
67%
33%
0%0%0%
SIEMPRE CASI SIEMPRE ALGUNAS VECES MUY POCAS VECES NUNCA
73
Pregunta 3.- ¿Las estrategias didácticas favorecen el desarrollo de los
productos notables?
CUADRO No. 17
Pregunta 3 de la Encuesta dirigida a los Docentes
Ítem Alternativas Frecuencias Porcentajes
3
Siempre 1 33%
Casi Siempre 2 67%
Algunas veces 0 0%
Muy pocas veces 0 0%
Nunca 0 0%
TOTAL 3 100%
Fuente: Encuesta a docentes Elaborado por: Douglas Chilan Choez
GRÁFICO No. 13
Pregunta 3 de la Encuesta Dirigida a los Docentes
Fuente: Encuesta a docentes Elaborado por: Douglas Chilan Choez
Análisis: Gran parte de los docentes encuestados afirman que casi
siempre las estrategias didácticas ayudan a que sus estudiantes
comprendan como desarrollar los productos notables fácilmente sin
necesidad de recurrir a la memorización de las reglas algebraicas.
33%
67%
0%0%0%
SIEMPRE CASI SIEMPRE ALGUNAS VECES MUY POCAS VECES NUNCA
74
Pregunta 4.- ¿Sus estudiantes relacionan fácilmente los conceptos
matemáticos básicos con otros de mayor complejidad?
CUADRO No. 18
Pregunta 4 de la Encuesta dirigida a los Docentes
Ítem Alternativas Frecuencias Porcentajes
4
Siempre 0 0%
Casi Siempre 1 33%
Algunas veces 2 67%
Muy pocas veces 0 0%
Nunca 0 0%
TOTAL 3 100%
Fuente: Encuesta a docentes Elaborado por: Douglas Chilan Choez
GRÁFICO No. 14
Pregunta 4 de la Encuesta Dirigida a los Docentes
Fuente: Encuesta a docentes Elaborado por: Douglas Chilan Choez
Análisis: Los docentes de matemáticas en su mayoría consideran que sólo
algunas veces sus estudiantes relacionan con facilidad los conceptos
matemáticos básicos con lo de mayor complejidad, lo que demuestra la
importancia de aplicar estrategias didácticas que fomenten el aprendizaje
significativo
0%
33%
67%
0%0%
SIEMPRE CASI SIEMPRE ALGUNAS VECES MUY POCAS VECES NUNCA
75
Pregunta 5.- ¿Sus estudiantes resuelven por simple inspección los
diferentes casos de productos notables?
CUADRO No. 19
Pregunta 5 de la Encuesta dirigida a los Docentes
Ítem Alternativas Frecuencias Porcentajes
5
Siempre 1 33%
Casi Siempre 0 0%
Algunas veces 2 67%
Muy pocas veces 0 0%
Nunca 0 0%
TOTAL 3 100%
Fuente: Encuesta a docentes Elaborado por: Douglas Chilan Choez
GRAFICO No. 15
Pregunta 5 de la Encuesta Dirigida a los Docentes
Fuente: Encuesta a docentes Elaborado por: Douglas Chilan Choez
Análisis: Los docentes de matemáticas encuestados en su gran mayoría
considera que sólo un determiando número de estudiantes han podido
memorizar las reglas algebraicas lo que le permite resolver los productos
notables por simple inspección.
33%
67%
SIEMPRE CASI SIEMPRE ALGUNAS VECES MUY POCAS VECES NUNCA
76
Pregunta 6.- ¿Aplica estrategias didácticas para que sus estudiantes
comprendan mejor el desarrollo de los productos notables?
CUADRO No. 20
Pregunta 6 de la Encuesta dirigida a los Docentes
Ítem Alternativas Frecuencias Porcentajes
6
Siempre 1 33%
Casi Siempre 2 67%
Algunas veces 0 0%
Muy pocas veces 0 0%
Nunca 0 0%
TOTAL 3 100%
Fuente: Encuesta a docentes Elaborado por: Douglas Chilan Choez
GRÁFICO No. 16
Pregunta 6 de la Encuesta Dirigida a los Docentes
Fuente: Encuesta a docentes Elaborado por: Douglas Chilan Choez
Análisis: Los docentes en su gran mayoría afirman que casi siempre
aplican estrategias didácticas durante la explicación de los productos
notables para que sus estudiantes comprendan mejor su desarrollo y
aplicación en ejercicios con los cuales se relaciona directamente.
33%
67%
SIEMPRE CASI SIEMPRE ALGUNAS VECES MUY POCAS VECES NUNCA
77
Pregunta 7.- ¿Utiliza actividades lúdicas (juegos) durante el desarrollo de
la clase para afianzar el proceso de solución de los productos notables?
CUADRO No. 21
Pregunta 7 de la Encuesta dirigida a los Docentes
Ítem Alternativas Frecuencias Porcentajes
7
Siempre 1 33%
Casi Siempre 0 0%
Algunas veces 0 0%
Muy pocas veces 2 67%
Nunca 0 0%
TOTAL 3 100%
Fuente: Encuesta a docentes Elaborado por: Douglas Chilan Choez
GRÁFICO No. 17
Pregunta 7 de la Encuesta Dirigida a los Docentes
Fuente: Encuesta a docentes Elaborado por: Douglas Chilan Choez
Análisis: La gran mayoria de los docentes manifiesta que muy pocas veces
aplican durante el desarrollo de sus clases actividades lúdicas como
estrategias didácticas que fomenten el desarrollo de los productos notables,
lo que implica que en gran parte solo se limitan a que memoricen las reglas
para su solución.
33%
0%0%67%
0%
SIEMPRE CASI SIEMPRE ALGUNAS VECES MUY POCAS VECES NUNCA
78
Pregunta 8.- ¿Con qué frecuencia realizas repaso de los conceptos
anteriormente estudiados antes de iniciar un tema nuevo de clases?
CUADRO No. 22
Pregunta 8 de la Encuesta dirigida a los Docentes
Ítem Alternativas Frecuencias Porcentajes
8
Siempre 2 67%
Casi Siempre 1 33%
Algunas veces 0 10%
Muy pocas veces 0 0%
Nunca 0 0%
TOTAL 3 100%
Fuente: Encuesta a docentes Elaborado por: Douglas Chilan Choez
GRÁFICO No. 18
Pregunta 8 de la Encuesta Dirigida a los Docentes
Fuente: Encuesta a docentes Elaborado por: Douglas Chilan Choez
Análisis: Los docentes aseguran que siempre realizan un breve repaso de
los temas anteriormente estudiados antes de iniciar un nuevo conocimiento
con el propósito de que puedan relacionarlos y alcancen un aprendizaje
significativo.
67%
33%
0%0%0%
SIEMPRE CASI SIEMPRE ALGUNAS VECES MUY POCAS VECES NUNCA
79
Pregunta 9.- ¿Sus estudiantes identifican y desarrollan con facilidad
productos notables aplicando estrategias didácticas?
CUADRO No. 23
Pregunta 9 de la Encuesta dirigida a los Docentes
Ítem Alternativas Frecuencias Porcentajes
9
Siempre 1 33%
Casi Siempre 2 67%
Algunas veces 0 0%
Muy pocas veces 0 0%
Nunca 0 0%
TOTAL 3 100%
Fuente: Encuesta a docentes Elaborado por: Douglas Chilan Choez
GRÁFICO No. 19
Pregunta 9 de la Encuesta Dirigida a los Docentes
Fuente: Encuesta a docentes Elaborado por: Douglas Chilan Choez
Análisis: La mayor parte de los docentes considera que cuando aplican
estrategias didácticas casi siempre sus estudiantes desarrollan e identifican
con mayor facilidad los diferentes casos de los productos notables para
resolver problemas de aplicación.
33%
67%
0%0%0%
SIEMPRE CASI SIEMPRE ALGUNAS VECES MUY POCAS VECES NUNCA
80
Pregunta 10.- ¿Resaltas a tus estudiantes la importancia de desarrollar
correctamente los productos notables al resolver ejercicios de mayor
complejidad en donde son parte de la solución?
CUADRO No. 24
Pregunta 10 de la Encuesta dirigida a los Docentes
Ítem Alternativas Frecuencias Porcentajes
10
Siempre 3 100%
Casi Siempre 0 0%
Algunas veces 0 0%
Muy pocas veces 0 0%
Nunca 0 0%
TOTAL 135 100%
Fuente: Encuesta a docentes Elaborado por: Douglas Chilan Choez
GRÁFICO No. 20
Pregunta 10 de la Encuesta Dirigida a los Docentes
Fuente: Encuesta a docentes Elaborado por: Douglas Chilan Choez
Análisis: De manera unánime los docentes afirman que siempre resaltan
la importancia de desarrollar correctamente los productos notables permite
simplificar el proceso en ejercicios de mayor complejidad en donde
intervienen directamente.
100%
SIEMPRE CASI SIEMPRE ALGUNAS VECES MUY POCAS VECES NUNCA
81
ENTREVISTA
3.10. Análisis e interpretación de resultados de la entrevista aplicada
al Rector de la Unidad Educativa “Eloy Alfaro”.
Entrevistador: Douglas Eduardo Chilan Choez
Lugar: Rectorado
Entrevistado: MSc. Marcos Monserrate Canales
Cargo: Rector
1. ¿Qué es para Ud. el aprendizaje significativo?
Es el aprendizaje en el cual los contenidos aprendidos permiten
conocer para que sirven o cómo podemos aplicarlos en la vida diaria.
2. ¿Considera Ud. que el aprendizaje significativo es esencial para
mejorar el rendimiento académico de los estudiantes en la
asignatura de matemáticas?
Este tipo de aprendizaje le da mayor importancia a esta asignatura,
así sabrán los estudiantes para que sirven los diferentes algoritmos
matemáticos
3. ¿Cree Ud. que en la actualidad es necesario que los docentes
de matemáticas apliquen estrategias didácticas?
Siempre he creído que se deben aplicar estrategias didácticas para
la mejor comprensión y asimilación de esta asignatura.
82
4. ¿Según su criterio cuáles podrían ser los factores que inciden
en el bajo rendimiento académico de las matemáticas?
La falta de motivación para aprender y enseñar matemáticas,
docentes que han sido asignados a dar matemáticas sin ser
profesionales especializados y la falta de recursos didácticos.
5. ¿Los profesores actualmente fomentan el aprendizaje
significativo en sus clases?
Puedo decir que el docente tiene al menos el conocimiento de lo
que es el aprendizaje significativo, pero le faltan estrategias para su
aplicación constante en el aula.
6. ¿Cuáles podrían ser las principales causas que impiden a los
docentes implementar estrategias didácticas en sus clases?
Desconocimiento de las estrategias didácticas que se pueden aplicar
en el aula según la necesidad de los estudiantes
Poca motivación y conocimiento del docente para incluirlas en su
planificación
Falta de capacitación constante lo que conlleva a una
desactualización.
83
3.11. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
3.11.1. Conclusiones:
• Los productos notables intervienen de manera significativa para
resolver simplificadamente ejercicios y problemas en los que son
parte de su solución por lo cual es necesario aplicar estrategias
didácticas que fomenten su fácil resolución.
• Pocas veces los docentes aplican estrategias didácticas
innovadoras para enseñar productos notables, por lo que aún
predomina la forma tradicional en la que se induce al estudiante a
memorizar las reglas para su resolución.
• Existe una retroalimentación constante por parte de los docentes
sobre los conceptos básicos algebraicos, pero no se resalta su
importancia y la relación que tienen con otros temas.
• El aprendizaje significativo juega un papel primordial en la
enseñanza de las matemáticas por lo tanto es importante que los
docentes utilicen estrategias didácticas que estimulen a los
estudiantes a relacionar conceptos matemáticos básicos con los de
mayor complejidad.
• Con la aplicación de la guía didáctica con estrategias activas se
evidenció en los estudiantes una mejor comprensión y facilidad para
resolver productos notables siendo esto reflejado en su rendimiento
académico.
84
3.11.2. Recomendaciones
• Los docentes de matemáticas deben resaltar siempre la importancia
que tiene los productos notables para resolver problemas y ejercicios
de mayor complejidad.
• Se debe innovar constantemente las estrategias que se aplican en
el proceso de enseñanza aprendizaje de las matemáticas evitando
en gran manera inducir al estudiante sólo a la memorización.
• Antes de iniciar cada clase es fundamental que los docentes
identifiquen los prerrequisitos que necesitan reforzar sus estudiantes
para que no queden vacíos en ellos y pueden asimilarlos con
facilidad al relacionarlos con otros temas.
• Los docentes deben emplear en el desarrollo de sus clases
actividades que fomenten el aprendizaje significativo, estas
actividades deben seguir un orden lógico y coherente que permitan
al estudiante relacionar fácilmente los conceptos.
• Por último, se recomienda a los docentes complementar sus clases
haciendo uso de la guía didáctica con estrategias activas que se
planteó en este proyecto.
85
CAPÍTULO IV
LA PROPUESTA
4.1. Título de la Propuesta
Guía didáctica con estrategias activas
4.2. Justificación
El actual paradigma educativo, establecido en el nuevo currículo del
año 2016, ubica al estudiante como el protagonista del proceso de
enseñanza aprendizaje, por lo tanto, es necesario innovar la labor docente
aplicando nuevas estrategias y técnicas de aprendizaje que despierten el
interés de los educandos y disminuya la apatía por la asignatura de
matemáticas, que se manifiesta en diferentes situaciones que ponen en
riesgo su rendimiento académico.
En virtud de lo expuesto anteriormente, la guía didáctica con
estrategias activas tiene como finalidad incentivar que los docentes motiven
a los estudiantes, para fortalecer el proceso de enseñanza - aprendizaje de
los productos notables y mejorar su rendimiento académico. El diseño y
aplicación de esta guía es aspirar que la asignatura de Matemáticas en el
tema de Productos Notables, se vuelva más metódica, participativa,
dinámica e interactiva con el fin de que los estudiantes formen bases
sólidas que le permitan aplicar sus conocimientos en la vida profesional.
Considero que es la mejor forma de estimular el interés en los
estudiantes del Primer Año de Bachillerato de la sección matutina de la
Unidad Educativa Fiscal “Eloy Alfaro” de la Ciudad de Guayaquil, para que
puedan resolver con facilidad cualquier ejercicio o problemas en los que
intervienen los productos notables, por lo cual esta guía didáctica es de
considero que será de mucha utilidad para los docentes y estudiantes, ya
86
que contiene una serie de ejercicios prácticos desarrollado con una
metodología activa que promueven el aprendizaje significativo.
4.3. Objetivos de la propuesta
4.3.1. Objetivo General de la propuesta
Innovar el desarrollo de los productos notables aplicando una guía
didáctica con estrategias activas para fomentar el aprendizaje significativo.
4.3.2. Objetivos Específicos de la propuesta
• Incorporar actividades lúdicas durante el desarrollo de la clase para
fomentar el aprendizaje significativo en los estudiantes.
• Socializar la propuesta planteada con las autoridades de la Unidad
Educativa Fiscal “Eloy Alfaro”.
• Aplicar la guía didáctica con estrategias activas a los estudiantes del
Primer Año de Bachillerato.
4.4. Aspectos Teóricos de la propuesta
4.4.1. Aspecto Pedagógico
Una guía didáctica es un material potencialmente pedagógico que
orienta al estudio de una asignatura, promueve el aprendizaje autónomo y
optimiza el desarrollo del proceso enseñanza aprendizaje.
Las estrategias activas ayudan a enseñar de manera novedosa.
permiten al educando participar de forma activa y creativa en el proceso de
enseñanza, fortalece su memoria compresiva y reflexiva, impulsan el
aprendizaje significativo y lo convierten en el centro del proceso educativo
(Tavarez Vásquez, 2014).
87
Una guía bien elaborada permite cumplir fácilmente con el Ciclo de
Aprendizaje (ERCA), es decir posibilita la adquisición de Experiencias
previas, consta de actividades que conducen a la Reflexión y a la
Conceptualización, y de ejercicios practicos para la Aplicación.
4.4.2. Aspecto Legal
La Constitución en el Art. 343 establece que:
El sistema nacional de educación tendrá como finalidad el desarrollo de
las capacidades y potencialidades individuales y colectivas de la
población, que posibiliten el aprendizaje, y la generación y la utilización
de conocimientos, técnicas, saberes, artes y cultura. El sistema tendrá
como centro al sujeto que aprende, y funcionará de manera flexible y
dinámica, incluyente, eficaz y eficiente.
La LOEI, establece en el Art. 11, literal i) como obligación del
docente:
Dar apoyo y seguimiento pedagógico a las y los estudiantes, para
superar el rezago y dificultades en los aprendizajes y en el desarrollo de
competencias, capacidades, habilidades y destrezas
4.4. Factibilidad de su aplicación:
a. Factibilidad Técnica
La presente propuesta tiene factibilidad técnica, porque se cuenta
con los recursos necesarios para su desarrollo tales como:
impresora, computador, internet y hojas; para realizar su aplicación
se tiene la autorización del Rector de la Unidad Educativa de utilizar
las instalaciones de la institución, así como la colaboración de los
docentes que imparten la asignatura de matemáticas y de los
estudiantes del Primer Año de Bachillerato.
88
b. Factibilidad Financiera
Es factible en la parte financiera, porque la inversión económica es
muy baja, ya que la guía será elaborada y aplicada utilizando
recursos propios del investigador .
c. Factibilidad Humana
Para ejecutar la propuesta se cuenta con la aprobación del Rector
quien cedió el permiso para utilizar la Unidad Educativa, con el apoyo
de los docentes de matemáticas quienes estuvieron prestos a
brindar información sobre las falencias de los estudiantes en lo que
respecta a los productos notables, también se contó con la
colaboración de los estudiantes del Primer Año de Bachillerato en
Informática y Ciencias a quienes se les explicó y aplicó la guía
didáctica.
4.5. Descripción de la Propuesta
La propuesta fue aplicada en una clase demostrativa a los
estudiantes del Primer Año de Bachillerato haciendo uso de la guía
didáctica como recurso metodológico, en presencia del Rector y de los
docentes de matemáticas.
La guía didáctica consta de la siguiente estructura:
➢ Portada
➢ Introducción
➢ Beneficiarios
➢ Requisitos previos
➢ Desarrollo de la propuesta
89
90
INTRODUCCIÓN
Esta Guía Didáctica tiene como fin promover el desarrollo de los
productos notables aplicando estrategias activas que incitan al aprendizaje
significativo, favoreciendo la memoria a largo plazo. Innovando de esta
manera la forma tradicional de enseñar los productos notables en donde
prevalecía la memorización de las reglas algebraicas.
Al resolver los productos notables de forma lúdica se estimula a los
estudiantes a que sean más participativos y dinámicos, convirtiéndose en
los protagonistas del proceso de aprendizaje, contribuyendo a mejorar su
rendimiento académico.
La presente Guía detalla paso a paso como desarrollar los Productos
Notables aplicando el esquema del tan conocido juego de tres en raya, lo
que despertará el interés de los estudiantes por aprender, eliminando de
esta manera el estereotipo que induce a la memorización de reglas
preestablecidas.
BENEFICIARIOS
Los beneficiarios de esta Guía Didáctica con Estrategias Activas
serán los docentes de matemáticas que contarán con un material de apoyo
para complementar sus clases, los estudiantes del bachillerato que tendrán
un modelo detallado que le servirá para recordar de forma rápida como
resolver productos notables y también el público en general que desea
aprender, comprender y dominar este tema fundamental del álgebra.
91
REQUISITOS PREVIOS
Para hacer uso de esta guía es fundamental recordar el desarrollo de las
operaciones algebraicas básicas, tales como: la adición, sustracción y
multiplicación entre expresiones algebraicas.
Adición y sustracción con expresiones algebraicas
Recuerda:
✓ Signos iguales se suman y se escribe en la respuesta el mismo signo
✓ Signos diferentes se restan y se escribe en la respuesta el signo de
mayor valor absoluto
Ejemplos:
Ejercicio 1: 𝟓𝒂𝟐𝒃 + 𝟏𝟐𝒂𝟐𝒃 =
Desarrollo:
a) Observamos que los dos términos coinciden en su parte literal y
exponente
5𝑎2𝑏 + 12𝑎2𝑏
b) Agrupamos los coeficientes
(5 + 12)𝑎2𝑏
c) Como los coeficientes tiene igual signo, efectuamos la suma y se
conserva la parte literal y exponente
17𝑎2𝑏
Para poder sumar o restar expresiones algebraicas, sus términos
deben tener la misma parte literal y exponentes, si cumple esta
condición se suman o restan los coeficientes, según sea el caso, y se
conserva la parte literal con sus exponentes.
92
Ejercicio 2: 𝟐𝟒𝒙𝟐𝒚𝟑 − 𝟏𝟕𝒙𝟐𝒚𝟑 =
Desarrollo:
a) Observamos que los dos términos coinciden en su parte literal y
exponente
24𝑥2𝑦3 − 17𝑥2𝑦3
b) Agrupamos los coeficientes
(24 − 17)𝑥2𝑦3
c) Como los coeficientes tienen diferentes signos, efectuamos la
resta y se conserva la parte literal y exponente
7𝑥2𝑦3
Ejercítate
Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones con expresiones
algebraicas:
a) 8𝑏3𝑐 + 17𝑏3𝑐
b) 15𝑥𝑦3𝑧2 − 23𝑥𝑦3𝑧2
c) 48𝑝𝑞 + 12𝑝𝑞
d) 29𝑎5𝑏3 + 17𝑏3𝑎5
e) −8𝑝𝑞3 + 36𝑝𝑞3
f) 64𝑐4𝑑4 − 32𝑐4𝑑4
93
Producto entre expresiones algebraicas
Recuerda:
Ley de signos
✓ Cuando se multiplica signos iguales la respuesta siempre será
positiva
+ ∙ + = +
− ∙ − = +
✓ Cuando se multiplica signos diferentes la respuesta siempre será
negativa
− ∙ + = −
+ ∙ − = −
Ejemplos:
1. (𝟓𝒂𝒃𝟑𝒄)(−𝟏𝟓𝒂𝟐𝒄)
Desarrollo:
a) Identificamos los coeficientes y las letras que se repiten
(5𝑎𝑏3𝑐)(−15𝑎2𝑐)
b) Agrupamos los coeficientes y sumamos los exponentes de las letras
que sean iguales
(5)(−15)𝑎1+2𝑏3𝑐1+1
c) Efectuamos la multiplicación, teniendo en cuenta la ley de signos.
−75𝑎3𝑏3𝑐2
Para efectuar el producto entre expresiones algebraicas, se
multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de la parte
literal, siempre y cuando estas sean iguales.
94
2. (−𝟏𝟒𝒙𝟑𝒚)(−𝟏𝟎𝒙𝟒𝒚𝟓𝒛)
Desarrollo:
a) Identificamos los coeficientes y las letras que se repiten
(−14𝑥−3𝑦)(−10𝑥4𝑦5𝑧)
b) Agrupamos los coeficientes y sumamos los exponentes de las letras
que sean iguales
(−14)(−10)𝑥−3+4𝑦1+5𝑧
c) Efectuamos la multiplicación, teniendo en cuenta la ley de signos.
140𝑥𝑦6𝑧
Ejercítate
Resuelve las siguientes multiplicaciones con expresiones
algebraicas:
a) (8𝑎𝑏𝑐)(12𝑎𝑏𝑐𝑑)
b) (4𝑥𝑦3𝑧2)(−22𝑦2𝑧3)
c) (−12𝑝7𝑞)(−7𝑝𝑞7)
d) (−𝑎5𝑏3)(18𝑏−7𝑎−4)
e) (−9𝑝𝑞3)(3𝑝−5𝑞6)
f) (6𝑏5𝑐4𝑑4)(−3𝑐−2𝑑−4)
95
RESOLUCIÓN DE PRODUCTOS NOTABLES APLICANDO EL
ESQUEMA DEL JUEGO DE TRES EN RAYA
Los productos notables son multiplicaciones algebraicas que cumplen
condiciones fijas y se pueden resolver por simple inspección por medio de
la memorización de reglas preestablecidas.
El juego de tres en raya es una actividad lúdica muy popular que se
práctica entre dos personas con la ayuda de un papel y lápiz, en el cual se
dibuja una especie de cuadricula de tres cuadrados de cada lado en dónde
se ubican “0” y ”X”, el primer jugador que logre ubicar tres de estos símbolos
de manera horizontal, vertical o diagonal gana el juego.
El esquema de este popular juego nos permite resolver productos notables
de una manera dinámica y divertida sin necesidad de memorizar las reglas
para su resolución. A continuación, se resolverá de forma detallada cada
uno de los casos de los productos notables:
• Binomio elevado al cuadrado
• Producto de binomios con un término en común
• Binomio de productos conjugados
• Binomio elevado al cubo
• Trinomio elevado al cuadrado
96
GUÍA #1
Binomio elevado al cuadrado
(2𝑏 + 3𝑐)2
Al estar elevado al cuadrado nos indica que se debe multiplicar dos veces
el binomio: (2𝑏 + 3𝑐)2 = (2𝑏 + 3𝑐)(2𝑏 + 3𝑐), a partir de esto
realizaremos el siguiente proceso:
1. Dibujamos el esquema del juego de tres en rayas
2. Ubicamos en los extremos del esquema a cada uno de los términos
que forman el binomio con su respectivo signo:
3. Multiplicamos de forma vertical cada uno de los términos que están
en los extremos y ubicamos la respuesta en la cuadricula que está
en medio:
2𝑏
2𝑏
+3𝑐
+3𝑐
2𝑏
2𝑏
+3𝑐
+3𝑐
4𝑏2 +9𝑐2
97
4. Efectuamos la multiplicación de manera diagonal con cada extremo
y escribimos la respuesta en el casillero superior e inferior del centro
respectivamente:
5. Sumamos de forma vertical las cuadriculas del centro y ubicamos la
respuesta en el cuadro que está en medio de ellos:
6. El resultado de resolver el binomio (2𝑏 + 3𝑐)2 son los términos
que se encuentran en línea horizontal central (resaltado de
color rojo):
Por lo tanto (2𝑏 + 3𝑐)2 = 4𝑏2 + 12𝑏𝑐 + 9𝑐2
2𝑏
2𝑏
+3𝑐
+3𝑐
4𝑏2 +9𝑐2
+6𝑏𝑐 2𝑏
2𝑏
+3𝑐
+3𝑐
4𝑏2 +9𝑐2
+6𝑏𝑐
+6𝑏𝑐
2𝑏
2𝑏
+3𝑐
+3𝑐
4𝑏2 +9𝑐2
+6𝑏𝑐
+6𝑏𝑐
+12𝑏𝑐
2𝑏
2𝑏
+3𝑐
+3𝑐
4𝑏2 +9𝑐2
+6𝑏𝑐
+6𝑏𝑐
+12𝑏𝑐
98
GUÍA #2
Productos de binomios con un término en común
(𝑎 + 4)(𝑎 − 7)
1. Dibujamos el esquema del juego de tres en rayas
2. Ubicamos en los extremos del esquema a cada uno de los términos
que forman el binomio con su respectivo signo:
3. Multiplicamos de forma vertical cada uno de los términos que están
en los extremos y ubicamos la respuesta en la cuadricula que está
en medio:
𝑎
𝑎
+4
−7
𝑎
𝑎
+4
−7
𝑎2 −28
99
4. Efectuamos la multiplicación de manera diagonal con cada extremo
y escribimos la respuesta en el casillero superior e inferior del centro
respectivamente:
5. Sumamos de forma vertical las cuadriculas del centro y ubicamos la
respuesta en el cuadro que está en medio de ellos:
6. El resultado de resolver (𝑎 + 4)(𝑎 − 7) son los términos que se
encuentran en línea horizontal central (resaltado de color rojo):
Por lo tanto (𝑎 + 4)(𝑎 − 7) = 𝑎2 − 3𝑎 − 28
𝑎
𝑎
+4
−7
𝑎2 −28
−7𝑎
+4𝑎
𝑎
𝑎
+4
−7
𝑎2 −28
−7𝑎
𝑎
𝑎
+4
−7
𝑎2 −28
−7𝑎
+4𝑎
−3𝑎
𝑎
𝑎
+4
−7
𝑎2 −28
−7𝑎
+4𝑎
−3𝑎
100
GUÍA #3
Productos de binomios conjugados
(𝑥 + 8)(𝑥 − 8)
1. Dibujamos el esquema del juego de tres en rayas
2. Ubicamos en los extremos del esquema a cada uno de los términos
que forman el binomio con su respectivo signo:
3. Multiplicamos de forma vertical cada uno de los términos que están
en los extremos y ubicamos la respuesta en la cuadricula que está
en medio:
𝑥
𝑥
+8
−8
𝑥
𝑥
+8
−8
𝑥2 −64
101
4. Efectuamos la multiplicación de manera diagonal con cada extremo
y escribimos la respuesta en el casillero superior e inferior del centro
respectivamente:
5. Sumamos de forma vertical las cuadriculas del centro y ubicamos la
respuesta en el cuadro que está en medio de ellos:
6. El resultado de resolver (𝑥 + 8)(𝑥 − 8) son los términos que se
encuentran en línea horizontal central (resaltado de color rojo):
Por lo tanto (𝑥 + 8)(𝑥 − 8) = 𝑥2 − 64
𝑥
𝑥
+8
−8
𝑥2 −64
−8𝑥
+8𝑥
𝑥
𝑥
+8
−8
𝑥2 −64
−8𝑥
𝑥
𝑥
+8
−8
𝑥2 −64
−8𝑥
+8𝑥
0
𝑥
𝑥
+8
−8
𝑥2 −64
−8𝑥
+8𝑥
0
102
GUÍA #4
Binomio elevado al cubo
(𝑦 − 5)3
1. Ubicamos en los extremos del esquema a cada uno de los términos
que forman el binomio con su respectivo signo:
2. Elevamos al cuadrado los términos ubicados en la parte inferior del
esquema:
3. Multiplicamos de forma vertical cada uno de los términos que están
en los extremos y ubicamos la respuesta en la cuadricula que está
en medio:
𝑦
𝑦
−5
−5
𝑦
𝑦2
−5
+25
𝑦3 −125
𝑦
𝑦2
−5
(−5)2
103
4. Efectuamos la multiplicación de manera diagonal con cada extremo
y escribimos la respuesta en el casillero superior e inferior del centro
respectivamente:
5. Sumamos de forma vertical las cuadriculas del centro y ubicamos la
respuesta en el cuadro que está en medio de ellos y la multiplicamos
por tres:
6. El resultado de resolver (𝑥 + 8)(𝑥 − 8) son los términos que se
encuentran en línea horizontal central (resaltado de color rojo):
Por lo tanto (𝑦 − 5)3 = 𝑦3 − 15𝑦2 + 75𝑦 − 125
𝑦
𝑦2
−5
+25
𝑦3 −125
+25𝑦
−5𝑦2
𝑦
𝑦2
−5
+25
𝑦3 −125
+25𝑦
𝑦
𝑦2
−5
+25
𝑥3 −125
+25𝑦
−5𝑦2
3(+25𝑦 − 5𝑦2)
𝑦
𝑦2
−5
+25
𝑦3 −125
+25𝑦
−5𝑦2
+75𝑦 − 15𝑦2
104
GUÍA #5
Trinomio elevado al cuadrado
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2
La definición de la potencia establece que el exponente indica las
veces que se debe multiplicar la base, por lo tanto multiplicaremos
dos veces este trinomio, para esto haremos uso de tres esquemas
del juego de tres en raya:
1. Dibujamos el esquema del juego de tres en rayas
2. Ubicamos en los extremos del esquema a cada uno de los términos
que forman el trinomio con su respectivo signo, de la siguiente
manera:
a) En el primer esquema colocamos el primer y segundo término
b) En el segundo esquema el segundo y tercer término
c) En el tercer esquema el tercer y primer término
𝑎
+𝑏
+𝑏
𝑎
𝑏
+𝑐
+𝑐
𝑏 +𝑎 𝑐
+𝑎 𝑐
105
3. Multiplicamos de forma vertical cada uno de los términos que están
en el extremo derecho de cada esquema y ubicamos la respuesta
en la cuadricula que está en medio:
4. Efectuamos la multiplicación en cada esquema de manera diagonal
con cada extremo y escribimos la respuesta en el casillero superior
e inferior del centro respectivamente:
5. En cada uno de los esquemas sumamos de forma vertical las
cuadriculas del centro y ubicamos la respuesta en el cuadro que está
en medio de ellos:
𝑎
+𝑏
+𝑏
𝑎
𝑏
+𝑐
+𝑐
𝑏 +𝑎 𝑐
+𝑎 𝑐
𝒂𝟐 𝒄𝟐 𝒃𝟐
𝑎
𝑎
+𝑏
+𝑏
𝒂𝟐
𝑏
𝒃𝟐
𝑏
+𝑐
+𝑐
+𝑎 𝑐
+𝑎 𝑐
𝒄𝟐
𝑎
𝑎
+𝑏
+𝑏
𝒂𝟐
𝑏
𝒃𝟐
𝑏
+𝑐
+𝑐
+𝑎 𝑐
+𝑎 𝑐
𝒄𝟐
+𝑐𝑎 +𝑏𝑐 +𝑎𝑏
+𝑐𝑎 +𝑏c +𝑎𝑏
+𝑐𝑎 +𝑏𝑐 +𝑎𝑏
+𝑏𝑐 +𝑎𝑏 +𝑐𝑎
+𝟐𝒄𝒂 +𝟐𝒃𝒄
𝑎
𝑎
+𝑏
+𝑏
𝒂𝟐
𝑏
𝒃𝟐
𝑏
+𝑐
+𝑐
+𝑎 𝑐
+𝑎 𝑐
𝒄𝟐
+𝑏𝑐 +𝑎𝑏 +𝑐𝑎
+𝟐𝒂𝒃
106
6. El resultado de resolver (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)3 son la suma de los términos
que se encuentran en línea horizontal central (resaltado de
color rojo):
Por lo tanto (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)3 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑏𝑐 + 2𝑎𝑐
Ejercítate
Resuelve los siguientes productos notables utilizando el esquema
del juego tres en raya:
a) (8𝑎 + 12𝑏)2
b) (4𝑥 − 5𝑦2)2
c) (3𝑥 + 5)(3𝑥 − 5)
d) (𝑎5 − 9𝑏)(𝑎5 − 3𝑏)
e) (𝑝 + 4)(𝑝 − 7)
f) (2𝑎 + 𝑏)3
g) (1
3𝑥 + 𝑦)
2
h) (2𝑎 + 𝑏)2
i) (𝑥 + 2𝑦 + 𝑧)2
j) (2𝑥3 + 𝑦2)2
k) (3𝑎2𝑏 + 2)(3𝑎2 − 2)
l) (𝑎2𝑏2 − 5)(𝑎2𝑏2 − 7)
m) (𝑥2 + 2𝑦 − 𝑧)3
n) (𝑥6 + 11)(𝑥6 − 5)
o) (𝑥2𝑦3𝑧 + 2𝑥𝑦2)3
p) (6𝑏2 − 𝑐5)2
q) (2𝑥𝑦𝑧 + 14)3
r) (6𝑚2 − 𝑛2𝑝)(6𝑚2 + 𝑛2𝑝)
s) (𝑝𝑞 + 𝑡𝑠)3
t) (𝑚𝑛2 + 6)(𝑚𝑛2 + 4)
u) (3
2𝑥𝑦2 − 2𝑥 + 𝑦)
2
v) (𝑚2 − 2𝑛 + 6𝑝)2
w) (𝑥2 −1
3) (𝑥2 +
9
4)
x) (6𝑥2 − 5𝑦 − 3)2
y) (5𝑏3 + 3𝑐3)3
z) (4𝑥 + 5𝑦)(4𝑥 − 5𝑦)
+𝟐𝒄𝒂 +𝟐𝒃𝒄
𝑎
𝑎
+𝑏
+𝑏
𝒂𝟐
𝑏
𝒃𝟐
𝑏
+𝑐
+𝑐
+𝑎 𝑐
+𝑎 𝑐
𝒄𝟐
+𝑏𝑐 +𝑎𝑏 +𝑐𝑎
+𝟐𝒂𝒃
+𝑎𝑏 +𝑏𝑐 +𝑐𝑎
107
4.6. Referencias Bibliográficas
Arias, F. G. (2016). El proyecto de investigación: Introducción a la metodología científica
(Septima ed.). Caracas, REpública Bolivariana de Venezuela: Episteme.
Ausubel, D. (1983). Teoria del aprendizaje significativo. Recuperado el 20 de julio de
2018, de Fasículos de CEIF:
http://www.educainformatica.com.ar/docentes/tuarticulo/educacion/
Azócar Añez, R. E. (11 de Mayo de 2015). La visión epistemologica de la educación.
Recuperado el 12 de agosto de 2018, de Aporrea:
https://www.aporrea.org/educacion/a207491.html
Blanco Valbuena, C. (2016). Cómo desarrollar procesos de aprendizaje para estudiantes:
Desarrollo de capacidades paar ser mentor (Primera ed.). Bogotá, Colombia:
OmniaSciencie. Recuperado el 20 de julio de 2018, de
https://books.googleusercontent.com/books/content?req=AKW5QacSj6gujKeA
bh2PjD3OERhgJganUn1RxFaDb5lmF9WEbo58d7WPEla3C1cQ1jG5WCWe6j6RMp
hdpGjXCLuJMuuHhAan_ynX556C8QWPWmL_upFfZYuGBriczMU0F5MNVQHXVr0
R3kshHLlKyn5miY8kwYkkvsojrcepgAWp1ZcbUMAKUGNl6OZm9l8WYFxPdK8y6
Caballero, A., Amaya, M., Toledo, S., Conrado, F., Castro, E., & Segovia, K. (2017).
Informe de Resultados Ser Bachiller Ciclo 2016 - 2017. Instituto Nacional de
Evaluación Educativa. Quito: Publicaciones Ineval. Recuperado el 19 de mayo de
2018, de http://www.evaluacion.gob.ec/dagireportes/nacional/2016-2017.pdf
Calderón Zambrano, R. L. (2017). Logros del aprendizaje de funciones linelaes y
cuadráticas mediante secuencia didáctica con el apoyo de Geogebra. Tesis de
Maestria , UNiversidad de Cuenca, Facultad de Filosofía, Letras y Ciencias de la
Educación, Cuenca. Obtenido de
http://dspace.ucuenca.edu.ec/handle/123456789/27378
Castro, B. (18 de julio de 2014). Solución de productos notables. Obtenido de Blogspot:
http://mataiem9-bcf.blogspot.com/
Celi Apolo, R. M. (2013). Fundamentos de pedagogía y didáctica (Primera ed.). Loja,
Ecuador: EDILOJA Cía. Ltda. Obtenido de
eva1.utpl.edu.ec/file.php/material/249/D11310.pdf/guiae
Cervantes Leyva, M. Ä. (2013). Ciencia Total. Recuperado el 20 de abril de 2018, de
http://www.cienciatotal.es/ciencias/pdfs/teoria/matematicas/2%20eso/COMO
%20ENSENAR%20LOS%20PRODUCTOS%20NOTABLES.pdf
Cordova Aguilar, M. Á., López de Batres, M. E., & Melara Crespín, J. N. (2015). El
aprendizaje significativo y su incidencia en el rendimiento académico de lso
estudiantes del primero al quinto año, turno matutino y vespertino, plan de
estudio 1998, que cursan la licenciatura en Ciencias de la Educación. Tesis de
Grado, Universidad de el Salvador, Departamento de Ciencias de la Educación,
San Salvador. Obtenido de http://ri.ues.edu.sv/7842/1/14102682.pdf
108
Espinoza Melo, C. C., & Sánchez Soto, I. (Junio de 2014). Aprendizaje Basado en
Problemas para enseñar y aprender Estadística y Probabilidad. Revista
Paradigma, 35(1), 103 - 128. Obtenido de
http://revistas.upel.edu.ve/index.php/paradigma/article/view/1557/647
Flotts, P., Manzi, J., Barrios , C., Saldaña, V., Mejías, N., & Abarzúa, A. (2016). Aportes
para la enseñanza de las matemáticas. Organización de las Naciones Unidas
para la Educación, Ciencia y Cultura, Departamento de Matemáticas. Santiago:
OrREAL/UNESCO. Recuperado el 15 de abril de 2018, de
http://www.unesco.org/new/es/santiago/education/education-assessment-
llece/terce/
Gomez, M. M. (30 de Octubre de 2017). ¿Cómo aplicar un aprendizaje significativo?
Recuperado el 4 de agosto de 2018, de e-Learning Master:
http://elearningmasters.galileo.edu/2017/10/30/aplicar-aprendizaje-
significativo/
Hernández Sampieri, R., Fernández Collado, C., & Baptista Lucio, P. (2014). Metodología
de la Invetigacón. México: McGrawHill.
Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica (IGER). (2014). Matemática 8 Segundo
Semestre. Guatemala, Guatemala: Grupo Utatlán. Recuperado el 3 de julio de
2018, de
https://books.google.com.gt/books?id=CtETBAAAQBAJ&printsec=frontcover&hl
=es&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false
Lerner Matiz, J. (abril de 2012). Cuadernos de Investigación: Rendimiento Académico de
los Estudiantes de Pregrado de la Universidad EAFIT (Vol. I). Medellin , Colombia:
Publicaciones EAFIT. Obtenido de
publicaciones.eafit.edu.co/index.php/cuadernos-
investigacion/issue/download/156/22
Llauradó, O. (12 de diciembre de 2014). La escala de Likert: Qué es y cómo se utilizarla.
Recuperado el 4 de septiembre de 2018, de Netquest:
https://www.netquest.com/blog/es/la-escala-de-likert-que-es-y-como-utilizarla
López Roldan, P., & Fachelli, S. (2015). Metodología de la Investigación Social
Cuantitativa: La encuesta (Primera ed.). Barcelona, España: Ballaterra
(Cerdanyola del Valles). Obtenido de http://ddd.uab.cat/record/163567
Méndez Olave, T. (diciembre de 2008). Dificulatdes en la práctica de productos notables
y factorización. Revista del Instituto de Matemáticas y Física(15), 59 - 69.
Recuperado el 10 de julio de 2018, de
https://ecitydoc.com/download/dificultades-en-la-practica-de-productos-
notables-y_pdf
Méndez, Z. (2008). Aprendizaje y cognición. San José, Costa Rica: UNED.
Ministerio de Educación. (2016). Curriculo de los niveles de educación obligatoria.
Recuperado el 29 de mayo de 2018, de https://educacion.gob.ec/wp-
content/uploads/downloads/2016/08/Curriculov2.pdf
109
Oriol Esteve , T. (2014). Juegos matemáticos para la enseñanza para la enseñanza de
álgebra en el segundo ciclo de la ESO. Trabajo de fin de máster, Universidad
Internacional de la Rioja, Barcelona. Obtenido de
https://reunir.unir.net/bitstream/handle/123456789/2427/esteve.tomas.pdf?se
quence=1
Ortiz Ocaña, A. (2012). Pedagogía problémica, significativa y vivencial. Santa Martha,
Colombia: Bubok.
Perlaza, J., & Vimos, B. (2013). Aprendixaje significativo en matemáticas y su influencia
en le rendimiento académico. Tesis de grado, Milagro. Obtenido de
http://repositorio.unemi.edu.ec/bitstream/123456789/666/3/APRENDIZAJE%20
SIGNIFICATIVO%20EN%20MATEM%C3%81TICA%20Y%20SU%20INFLUENCIA%20
EN%20EL%20RENDIMIENTO%20ACAD%C3%89MICO.pdf
Pozo, J. i. (2016). Teorias cognitivas del aprendizaje (Novena ed.). Madrid, España:
Ediciones Morata S. L. Obtenido de
https://books.google.com.ec/books?isbn=8471123355
Ramírez Juárez , O. (Septiembre de 2012). Ecuaciones cudráticas. (P. Cardona Torres,
Ed.) Obtenido de Repositorio de la Universidad Virtual del Estado de Guanajato:
http://roa.uveg.edu.mx/repositorio/licenciatura/44/LECTURA1EcuacionesCuadr
ticas.pdf
Real Academia Española. (2017). Diccionario de la Lengua Española. Recuperado el 3 de
julio de 2018, de Real Academia Española: http://dle.rae.es/?id=1nMBfgm
Rivera, J. (13 de abril de 2013). Aprendizaje significativo. Recuperado el 20 de julio de
2018, de Blogspot: http://jessica-
riveraespin1990.blogspot.com/2013/04/requisitos-para-lograr-el-
aprendizaje.html
Rodriguez , M. L. (13 de agosto de 2014). Investigación Bibliográfica y Documental.
Recuperado el 3 de septiembre de 2018, de Guía de Tesis:
https://guiadetesis.wordpress.com/tag/investigacion-bibliografica-y-
documental/
Rodríguez Palmero , L. (2011). La teoría del aprendiaje significativo: una revisión
aplicable a la escuela actual. IN Revista Electrónica d'investigació i Innovació
Educativa i Socioeducativa, III(1), 29 - 50. Obtenido de
https://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=3634413
Rodriguez Palmero, L., Moreira, M. A., Caballero Sahelices, C., & Greca, I. (2010). La
teoría del aprendizaje significativo en la perspectiva de la psicología cognitiva
(Primera ed.). Barcelona, España: Ediciones Octaedro S. L. Obtenido de
https://elibros.octaedro.com/appl/botiga/client/img/10112.pdf
Sánchez Valtierra, J. (13 de Marzo de 2016). Métodos de investigación mixto: Un
paradígma de investigación cuyo tiempo ha llegado. Recuperado el 31 de agosto
de 2018, de Blog Investigación Mixta:
http://investigacionmixtablog.blogspot.com/
110
Santillana. (2016). Matemática 9 (Alto rendimiento ed.). (G. Villafuerte, Ed.) Quito,
Pichincha, Ecuador: Santillana S. A.
Segura García, J. (2013). Universidad de Las Américas. Obtenido de
https://sites.google.com/site/javieraandreaseguragarcia/clases/las-variables
Soto Apolinar , E. (2011). Diccionario ilustrado de conceptos matemáticos (Tercera ed.).
Monterrey , México. Recuperado el 25 de Junio de 2018, de
http://www.aprendematematicas.org.mx/
Swokowsski, E. W., & Cole, J. A. (2018). Älgebra y trigonometría con geometría analítica
(Primera ed.). (J. Reyes Martínez, Ed., & M. d. Carril Villareal , Trad.) Ciudad de
México, México: Cengage Learning.
Sylva Lazo, M. (Septiembre de 2013). David Ausuble y su aporte a al educación. Ciencia
UNEMI, 20-25. Obtenido de
https://dialnet.unirioja.es/descarga/articulo/5210288.pdf
Tavarez Vásquez, G. M. (13 de Diciembre de 2014). Estrategías Activas de Aprendizaje.
Obtenido de Blogger:
http://glenysdiplomadoadistancia.blogspot.com/p/concepto-de-estrategia-
activa-y-de.html
Tax Tax, E. B. (2014). Método holístico y aprendizaje de ecuaciones cuadráticas. Tesis de
grado, Universidad Rafael Landívar , facultad de Humanidades, Quetzaltenango.
Obtenido de http://recursosbiblio.url.edu.gt/tesiseortiz/2014/05/86/Tax-
Edgar.pdf
Tébar Belmonte, L. (2010). La medicación pedagógica. Cali: Santillana S. A.
Thomas, G. B. (2010). Cálculo una variable (Decimosegunda ed.). (R. Fuerte Rivera, Ed.,
& V. H. Ibarra Mercado, Trad.) México, México: Pearson Educación.
Torres. (2007). Educación matemática y el desarrollo del pensamiento lógico
matemático. Lima, Perú: Rubiños.
Valencia Cárdenas, M. S. (2012). “Aplicación de la Estrategia Didáctica de Organizadores
Gráficos en el aprendizaje de productos notables y factorización de los
estudiantes del noveno año de educación general básica del Colegio Nacional
Veracruz del cantón Pastaza”. Tesis de Maestria, Universidad Técnica de
Ambato, Ambato. Obtenido de
http://repositorio.uta.edu.ec/jspui/handle/123456789/6018
Vázquez, J. (2013). Productos Notables y Factorización. Recuperado el 30 de junio de
2018, de Blogspot: http://profejavierv.blogspot.com/2013/06/factor-comun-el-
resultado-de.html
Zill, D. G., & Dewar, J. M. (2012). Älgebra, Trigonometría y geometría analítica (Tercera
ed.). (S. G. López Hernández, Ed., & M. d. Carril Villareal, Trad.) México D. F.,
México: Mc Graw Hill.
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FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN CARRERA FÍSICO MATEMÁTICO
ANEXO 8
122
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN CARRERA FÍSICO MATEMÁTICO
ANEXO 9
123
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
CARRERA FÍSICO MATEMÁTICO
ANEXO 10
APLICACIÓN DE LA ENCUESTA A LOS ESTUDIANTES DEL PRIMER AÑO DE
BACHILLERATO ESPECIALIZACÓN INFORMÁTICA PARALELO A
APLICACIÓN DE LA ENCUESTA A LOS ESTUDIANTES DEL PRIMER AÑO DE
BACHILLERATO ESPECIALIZACÓN INFORMÁTICA PARALELO B
124
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN CARRERA: FÍSICO MATEMÁTICO
ANEXO 11
EXPLICACIÓN DEL USO DE LA GUÍA DIDÁCTICA A LOS ESTUDIANTES DEL PRIMER
AÑO DE BACHILLERATO ESPECIALIZACÓN INFORMÁTICA PARALELO A
DESPEJANDO LAS DUDAS SOBRE EL USO DE LA GUÍA DIDÁCTICA A LOS
ESTUDIANTES DEL PRIMER AÑO DE BACHILLERATO ESPECIALIZACÓN
INFORMÁTICA PARALELO A
125
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN CARRERA: FÍSICO MATEMÁTICO
ANEXO 12
EXPLICACIÓN DE NUESTRA PROPUESTA Y TRABAJO DE INVESTIGACIÓN AL
MSC. MARCO MOSERRATE RECTOR DE UNIDAD EDUCATIVA” ELOY ALFARO”
EL MSC. MARCO MONSERRATE RESPONDIENDO A LAS PREGUNTAS DE LA
ENTREVISTA
126
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN CARRERA FÍSICO MATEMÁTICO
ANEXO 13
127
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN CARRERA FÍSICO MATEMÁTICO
ANEXO 14
128
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
CARRERA FÍSICO MATEMÁTICO
ANEXO 15
129
130
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN CARRERA FÍSICO MATEMÁTICO
ANEXO 16
REVISIÓN DEL TRABJO DE INVESTIGACIÓN POR PARTE DEL MSC, MARIO
TORRES (TUTOR) EN LA OFICINA DE CARRERA
SEÑALANDO LAS PARTES A CORREGIR DEL TRABAJO DE INVESTIGACIÓN
131
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN CARRERA FÍSICO MATEMÁTICO
REPOSITORIO NACIONAL EN CIENCIA Y
TECNOLOGÍA
FICHA DE REGISTRO DE TESIS/TRABAJO DE GRADUACIÓN
TÍTULO Y SUBTÍTULO: Los productos notables en el aprendizaje significativo. Propuesta: Guía
didáctica con estrategias activas
AUTOR(ES) (apellidos/nombres): Chilan Choez Douglas Eduardo
REVISOR(ES)/TUTOR(ES)
(apellidos/nombres):
Ing. Torres Gangotena Mario, MSc.
Ing. Víctor Barros Barros, MSc.
INSTITUCIÓN: Universidad de Guayaquil
UNIDAD/FACULTAD: Filosofía, Letras y Ciencias de la educación
MAESTRÍA/ESPECIALIDAD: Físico Matemático
GRADO OBTENIDO: Licenciatura en Físico Matemático
FECHA DE PUBLICACIÓN: No. DE PÁGINAS: 151
ÁREAS TEMÁTICAS: Educación y tendencias educativas
PALABRAS CLAVES/ KEYWORDS: Palabras Claves: aprendizaje significativo, productos notables, guía
didáctica
Keywords: meaningful learning, remarkable products, educational guide
RESUMEN/ABSTRACT
RESUMEN El presente proyecto indaga acerca de la influencia que tienen los productos notables en el desarrollo de ejercicios de mayor complejidad, resalta la importancia que tiene el aprendizaje significativo para comprender y relacionar de mejor manera los conceptos algebraicos básicos con los productos notables para que sean aplicados en la resolución de los temas que se encuentra en la malla curricular del bachillerato. Permitió identificar que tan solo un número reducido de estudiantes pueden resolver por simple inspección los productos notables memorizando las reglas algebraicas, por lo cual se elaboró una guía didáctica con estrategias activas que estimule a los estudiantes a desarrollar los productos notables de manera interactiva. ABSTRACT This project investigates the influence of notable products in the development of more complex exercises, highlights the importance of meaningful learning to better understand and relate the basic algebraic concepts with the notable products to be applied in the resolution of the topics found in the curriculum of the
ANEXO 17
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baccalaureate. It allowed to identify that only a small number of students can solve by simple inspection the remarkable products memorizing the algebraic rules, for which a didactic guide with active strategies was elaborated that stimulates the students to develop the remarkable products in an interactive way
ADJUNTO PDF: SI NO
CONTACTO CON AUTOR/ES: Teléfono: 0960034462 E-mail: [email protected]
CONTACTO CON LA INSTITUCIÓN: Nombre:
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