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UNIVERSIDAD DEL VALLE CENTRO DE INVESTIGACIONES Y ESTUDIOS AVANZADOS EN

PSICOLOGÍA, COGNICIÓN Y CULTURA PROGRAMA DE INVESTIGACIÓN MATEMÁTICA Y COGNICIÓN

CONSTRUCCIÓN DE LA OPERACIÓN MULTIPLICATIVA Y DEL SISTEMA DE NOTACIÓN EN BASE 10:

UNA RELACIÓN POSIBLE

INFORME TÉCNICO FINAL II ETAPA

Mariela Orozco Hormaza Investigadora Principal

Escuela de Psicología Universidad del Valle

SANTIAGO DE CALI

OCTUBRE DE 2001

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Introducción

En la primera etapa de esta investigación se realizó un estudio de tipo descriptivo que indaga sobre la relación entre la construcción de la operación multiplicativa y la comprensión del sistema de notación en base diez. El estudio se realizó con 123 niños y niñas que asisten a los siete primeros grados de educación básica primaria en un colegio privado de alto nivel académico en Cali Colombia.

El alcance de los resultados obtenidos en esta primera etapa y su relación con las metas y propuestas formuladas definen el problema y los objetivos que guían la segunda etapa.

En la primera etapa de este proyecto, se propusieron dos objetivos principales:

1. Indagar sobre la posible relación entre el proceso de construcción de la multiplicación y la comprensión del sistema de notación en base diez, específicamente entre el tipo de estrategias que los niños utilizan para resolver tareas de multiplicación y los aciertos y dificultades al resolver tareas que implican componentes relativos al sistema.

2. Establecer si los aciertos y dificultades de los niños al resolver tareas de multiplicación y tareas referidas al sistema de notación en base diez están relacionados con la capacidad mental, la edad y el tipo de estilo cognitivo, de los niños que las resuelven.

Para llevar a cabo los objetivos se aplicaron individualmente a los niños cuatro tareas: Las dos primeras, escritura de numerales dictados y equivalencia, permiten establecer su nivel de comprensión sobre el sistema de notación en base diez. Las otras dos, proporción simple y producto cartesiano, son tareas de tipo multiplicativo y permiten diferenciar las estrategias de resolución.

En relación con el primer objetivo, los resultados confirmaron en buena medida el supuesto formulado, pues señalaron alta asociación entre el éxito en la tarea de escritura de numerales verbales y las estrategias seguidas en los dos problemas multiplicativos, particularmente en relación con el nivel de complejidad de las estrategias en proporción simple (rho=0.582, sig.< 0.0001) y en producto de medida (rho=0.688, sig<0.0001). Lo contrario, aunque de manera no tan clara, mostraron las asociaciones entre el éxito en la tarea de equivalencia y las estrategias que utilizan para resolver las dos tareas multiplicativas. En este caso las correlaciones resultaron moderadamente bajas, siendo más altas las que se presentaron con las estrategias utilizadas para resolver la tarea de proporción simple (rho=0.35, sig=0.0001).

En relación con el segundo objetivo, los resultados indicaron asociaciones altas entre las tres variables individuales y las estrategias seguidas en las tareas de proporcionalidad y producto cartesiano y el logro en la tarea de escritura. Estas correlaciones resultan particularmente altas para el rango de edad.

Finalmente, el análisis cualitativo de los errores de los niños al escribir numerales dictados, producen algunos desarrollos conceptuales que permiten identificar los tipos de error en función del proceso que se supone, los niños llevan a cabo cuando se equivocan al escribir los numerales que se les dicta. La categorización de los errores se llevó a cabo a la luz de un modelo neuropsicológico de transcodificación semántica (McCloskey, Caramazza y Basili, 1985) que permite inicialmente diferenciar errores léxicos de sintácticos. Sin embargo, se lograron establecer nuevas categorías de carácter sintáctico que permitieron

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avanzar en las elaboraciones teóricas sobre el mecanismo de transcodificación y sentar supuestos para investigaciones posteriores.

En esta investigación se recogen algunos de estos supuestos que relacionan las invariantes del sistema notacional - composición numérica y relación de equivalencia - con la comprensión y producción de numerales verbales y arábigos, se formula el problema y los objetivos específicos a alcanzar en esta segunda etapa del proyecto. Para llevarlos a cabo se diseñan las siguientes tareas:

Tarea de escritura de numerales dictados Tarea de lectura de numerales escritos Tarea de composición numérica Tarea de equivalencia

La metodología adoptada surge de la reflexión sobre el diseño de la investigación previa y se fortalece mediante variaciones específicas que en algunas tareas generan un diseño experimental de tareas.

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Revisión bibliográfica y marco conceptual1

La revisión para esta investigación se categoriza en función de las problemáticas que los autores abordan, a saber:

Procesamiento numérico Desarrollo de la notación numérica y de la comprensión del sistema Intersección entre procesamiento numérico y desarrollo

La revisión genera los conceptos que sustentan el estudio y sus análisis.

1. Procesamiento numérico

El dominio numérico tiene la especificidad de representar los números utilizando diferentes sistemas notacionales y diferentes formatos en el mismo sistema. La tarea de dictado de numerales implica que los sujetos traduzcan el número que escuchan, de un formato verbal hablado a un formato arábigo. La tarea de lectura de numerales exige el proceso contrario, es decir, que los sujetos traduzcan los numerales de un formato arábigo a un formato verbal hablado. El mecanismo que permite la traducción de un formato a otro, ha sido denominado por la neuropsicología cognitiva transcodificación numérica, y se ubica en las investigaciones más recientes sobre procesamiento numérico.

1.1. Modelos de procesamiento numérico

El estudio de la construcción del sistema de notación en base diez, a partir de tareas de notación numérica y de lectura de numerales que requieren del mecanismo de transcodificación, puede beneficiarse de los conceptos y métodos empleados en la neuropsicología cognitiva. Macaruso & Sokol (1998) plantean que un déficit cognitivo puede ser descrito en términos de daño funcional, pero también por las representaciones de los procesos implicados en el desempeño normal. De esta manera, la neuropsicología cognitiva puede resultar una herramienta útil en la construcción de modelos de sistemas cognitivos normales. Desde esta perspectiva, en los últimos veinte años, diferentes mecanismos de procesamiento numérico han resultado interesantes para las investigaciones sobre transcodificación y cálculo (Deloche & Seron, 1982, 1987; McCloskey, Caramazza & Basili, 1985; McCloskey, Sokol, & Goodman, 1986; Sokol & McCloskey, 1988; Campbell & Clark, 1988, 1992; McCloskey, Sokol, Goodman-Schulman & Caramazza, 1990; McCloskey, Alminosa, & Sokol, 1991; Cohen & Dehaene, 1991; Clark & Campbell, 1991; McCloskey, 1992; Macaruso, McCloskey & Aliminosa, 1993; Noël & Seron, 1993; Cipolotti, 1993, 1995; Cipolotti & Butterworth (1995); Campbell, 1994; Seron & Noël, 1995; Macaruso & Sokol, 1998; Noël & Turconi, 1999).

Estos autores, interesados en conocer la arquitectura cognitiva y los procesos subyacentes al procesamiento numérico, han generado los diferentes modelos que actualmente se debaten y permiten analizar el desempeño de los sujetos en este campo de conocimiento. Un tipo de modelo propone únicamente rutas semánticas de procesamiento; otro tipo presenta rutas únicas de carácter asemántico y otro tipo de modelo, considera una o varias rutas asemánticas adicionales al mecanismo semántico.

1 Realizado con la colaboración de Yenny Otalora Sevilla, Auxiliar de Investigación

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McCloskey et al. (1985, 1986a, 1986b, 1991; McCloskey, 1992; Macaruso, McCloskey & Aliminosa, 1993) desarrollan un modelo general de la estructura interna y el funcionamiento de los mecanismos cognitivos que permiten el procesamiento numérico normal. A partir de estudios sobre el desempeño de pacientes con discalculia adquirida, en tareas de transcodificación numérica y cálculo, los autores plantean una arquitectura cognitiva modular cuyos componentes son funcionalmente independientes los unos de los otros y se desarrollan a partir de la experiencia y el entrenamiento con información numérica. (Macaruso, McCloskey, & Aliminosa, 1993, p. 344).

En los mecanismos de procesamiento numérico, los autores diferencian los componentes de comprensión numérica y producción numérica. Todos los inputs numéricos son traducidos a través de módulos de comprensión de notación específica en una representación abstracta amodal del número. A la inversa, la producción de números requiere la activación de una representación abstracta interna, la cual es traducida en un output específico de notación por la vía del módulo de producción de notación específica. Para estos autores, la representación semántica interna de los números permite especificar en forma abstracta las cantidades básicas del número y la potencia de diez asociada con cada uno, por ejemplo, en el número 47, cuatro dieces y siete unos (McCloskey, Alminosa, & Sokol, 1991, p. 156). Para este modelo, la tarea de escritura de numerales arábigos desde numerales verbales hablados, como en un dictado, y la tarea de lectura de numerales arábigos a producciones verbales habladas requieren tanto comprensión como producción numérica, diferenciadas por rutas particulares de transcodificación.

S is tem a de C á lcu lo

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N úm era les A ráb igos

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“ C u aren tay siete”

“C u aren tay sie te”

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Figura 1. Rutas de transcodificación en las tareas de lectura y escritura, para el modelo propuesto por McCloskey et al. (McCloskey, Caramazza & Basili, 1985; McCloskey, Sokol, Goodman-Schulman &

Caramazza, 1990; McCloskey, 1992) adaptado a partir del gráfico de Cipolotti y Butterworth (1995) 2 En esta arquitectura cognitiva, existen mecanismos independientes para el cálculo mental que son ejecutados en módulos específicos, pero que también estan mediados por representaciones abstractas de naturaleza semántica (Seron & Noël, 1995).

2 Adaptación realizada por Juan José Giraldo Huertas.

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Cipolotti y Butterworth (1995) plantean que aunque el modelo de McCloskey ha tenido gran influencia, suponer que toda transcodificación, incluyendo la que se necesita para el cálculo, ocurre en una “única ruta de carácter semántico”, no es suficiente para interpretar el patrón de desempeño de muchos pacientes en tareas específicas. Los autores resumen varios modelos alternativos que contemplan una arquitectura cognitiva con rutas asemánticas únicas o complementarias al mecanismo semántico.

Dos de estos modelos (Deloche & Serón 1982,1987; Cohen & Dehaene, 1991; citados por Cipolotti & Butterworth, 1995, p. 376) proponen una única ruta "asemántica", en la cual la transcodificación de números puede ocurrir a través de una conexión directa sin la mediación de un código abstracto. Deloche & Seron (1982a, 1982b, citado por Seron & Noël, 1995) estudian en pacientes afásicos el proceso de transcodificación de un formato verbal a un formato arábigo o viceversa y describen para cada proceso un algoritmo diferente. Para transcodificar numerales verbales escritos a numerales arábigos, el algoritmo está conformado por cuatro pasos:

1. “Análisis sintáctico para aislar los primitivos léxicos en el numeral verbal escrito.

2. Categorización e identificación de los primitivos léxicos para especificar, la clase de información lexical (unidades, decenas, centenas) y la posición de la clase de información (primero, segundo, tercero), como parámetros requeridos por el algoritmo de transcodificación.

3. Transcodificación propiamente dicha, consistente en un conjunto de reglas de reescritura activadas por la clase de información lexical categorizada en el paso 2, que incorporan a una “estructura de dígitos” (Frame Digit), la especificación del dígito que corresponde con la información de posición, igualmente identificada en paso 2.

4. Proceso de codificación digital que controla la producción de la forma actual del dígito”. (Seron & Noël, 1995, p. 216)

Los autores plantean que la transcodificación es asemántica porque no requiere la mediación del valor semántico del número. El numeral deseado se produce por la aplicación de un conjunto de reglas de reescritura para los primitivos léxicos del numeral fuente. Este algoritmo de transcodificación les permite describir los errores de los pacientes, que según ellos, se deben específicamente a un déficit ocurrido en alguno de los pasos del proceso.

Cohen, Dehaene & Verstichel (1994, citados por Cipolotti & Butterworth, 1995, p. 376) proponen un modelo multirutas con rutas de transcodificación semántica y asemántica independientes. Los autores sugieren que la lectura de algunos numerales arábigos muy familiares, tales como datos famosos o marcas de carros, pueden ser "lexicalizados". En este sentido implican una ruta de transcodificación semántica, mientras que la lectura de cadenas de numerales arábigos no familiares podría implicar una ruta de transcodificación asemántica.

Cipolotti (1993, 1995, Cipolotti & Butterworth, 1995) propone un modelo multirutas, que adiciona al mecanismo de procesamiento semántico propuesto en el modelo de McCloskey, tres rutas de transcodificación, que no implican la generación de una representación semántica del número. Cipolotti & Butterworth (1995) sugieren que estas rutas son

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independientes, para el procesamiento numérico, y se activan diferencialmente de acuerdo a demandas específicas de las tareas a las que se enfrenta el sujeto. Por ejemplo, las tareas de transcodificación activan preferencialmente la ruta asemántica. El patrón de desempeño que uno de sus pacientes muestra, los lleva a plantear que los déficit que afectan la habilidad para producir numerales arábigos o verbales pueden ser específicos a las demandas de estas dos tareas particulares. Según los autores, la traducción de palabras números escritas a palabras número habladas puede presumiblemente ser llevado a cabo a través de procedimientos “print-to-sounds”, en términos de reglas, análogamente o de múltiples “mappings” (Cipolotti & Butterworth, 1995, p. 385). En este caso se considera una ruta para la pronunciación que no es mediada por el significado. Los autores también señalan que la activación de uno de los dos tipos de rutas puede inhibir el funcionamiento del otro. Finalmente, plantean que McCloskey (1992, p. 119-122) reconoce la posibilidad de rutas de transcodificación asemántica. Sin embargo, el no la ha incorporado formalmente en su modelo (Cipolotti & Butterworth, 1995, p. 385).

Seron & Noël (1995) explican que la transcodificación asemántica es cada vez más argumentada. Sin embargo, la evidencia empírica resulta insuficiente así como la descripción de las representaciones y los procesos involucrados.

1.2. Procesamiento sintáctico y léxico: clasificación de errores Según el modelo modular de McCloskey, Caramazza & Basili (1985), descrito en la sección anterior, en cada uno de los mecanismos de comprensión y producción numérica se distingue el procesamiento léxico y sintáctico. El primero involucra la comprensión o producción de los elementos individuales en un numeral (por ejemplo, el dígito “3” o la palabra “tres”); el segundo involucra el procesamiento de relaciones entre los elementos (p. e. orden de las palabras o dígitos). Estos dos mecanismos favorecen la comprensión o producción de números como un todo (McCloskey, 1992, p. 114).

En el mecanismo de procesamiento léxico del sistema numérico verbal, los autores distinguen el componente de procesamiento fonológico, que permite producir o comprender números hablados, del componente de procesamiento grafémico, que permite producir o comprender números escritos. McCloskey et al. no distinguen entre los mecanismos de sintaxis fonológica y grafémica porque suponen que la sintaxis de las expresiones verbales numéricas es la misma para los números hablados que para los escritos. Como los numerales arábigos solamente ocurren bajo la forma escrita, entonces, no necesitan diferenciar sus componentes de procesamiento fonológico y léxico.

Plantean que los errores en la producción y en la comprensión numérica en las tareas de transcodificación pueden revelar dificultades en el procesamiento léxico o en el sintáctico de cada uno de los dos componentes. Los primeros involucran errores en la comprensión o producción de los elementos del número, como los dígitos o las palabras numéricas, pero ”preservan la habilidad para ensamblar los elementos (probablemente errados) en un número que conserva la forma sintáctica apropiada y el mismo orden de magnitud.” (McCloskey, Caramazza & Basili, 1985, p. 177). En cambio, los errores producidos por deficiencias en el procesamiento sintáctico involucran respuestas en las cuales el orden de magnitud del numero es incorrecto. En este caso, los errores revelan las dificultades de los pacientes para ensamblar dígitos y palabras numéricas correctas como un todo numérico, es

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decir para procesar “las relaciones entre los elementos” (McCloskey, Caramazza & Basili, 1985, p. 173)

Los errores que los sujetos cometen en las tareas de transcodificación se pueden diferenciar en léxicos y sintácticos. Algunos autores (Temple, 1989; Power & Dal Martello, 1990; Seron, Deloche & Noel, 1992; citados por Macaruso & Sokol, 1998) han utilizado esta diferenciación para el análisis de producciones en la tarea de escritura principalmente. Cipolotti & Butterworth (1995) a partir del análisis del mismo modelo, establecen criterios para los errores en lectura:

Errores léxicos son errores locales concernientes a uno de los elementos del numeral (p.e. 27 - “veinticinco”).

Errores sintácticos son errores que involucran el ensamblaje sintáctico de los elementos del numeral; como un todo, este tipo de error no respeta la magnitud del numeral (p.e. 27 – “doscientos siete”).

Para Cipolotti y Butterworth (1995) los componentes sintácticos y lexicales operan en los sistemas de comprensión de numerales, en los sistemas de producción de numerales, en las reglas de conversión de numerales arábigos a palabras número habladas y en las reglas de conversión de palabras número habladas a numerales arábigos. Ejemplos de estos errores, en diferentes modalidades de transcodificación, se presentan así: ERRORES LÉXICOS

Formato Estímulo Estímulo Formato Producción Producción Verbal escrito Ochocientos setenta Verbal hablado Ochocientos setenta y seis Verbal hablado Siete mil novecientos Arábigo 7200 Verbal escrito Trescientos veintiuno Arábigo 320 ERRORES SINTÁCTICOS Formato Estímulo Estímulo Formato Producción Producción Verbal escrito Nueve Verbal hablado Nueve mil Verbal hablado Seis Arábigo 16 Verbal escrito Setecientos mil Arábigo 7.000.000 Los modelos de procesamiento numérico hacen posible entender los procesos que permiten la transcodificación y llevan a preguntarse: Cómo construyen los niños tales procesos? Definitivamente, este tipo de modelo no permite responder esta pregunta, pero desarrolla conceptos que facilitan los análisis, específicamente la diferenciación de errores. Suponemos que los niños requieren de un modelo semántico que permita comprender la naturaleza de los numerales y su relación con el número, pero igualmente reconocemos que es posible que una tarea, cómo la escritura de numerales desde un dictado, sólo exija una ruta de transcodificación asemántica.

2. Desarrollo de la notación numérica y de la comprensión del sistema

Desde la perspectiva del desarrollo, varios autores trabajan el problema de la comprensión y el manejo de los niños de la notación numérica y para ello abordan problemáticas diferenciadas. En el primer grupo se pueden ubicar aquellos que estudian la relación entre la escritura de palabras que nombran objetos y la escritura de numerales, en un segundo grupo, los que trabajan la relación entre conteo y escritura de numerales, en un tercer grupo, los que investigan la relación entre expresiones numéricas verbales y la escritura en

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formato arábigo, y finalmente, en el cuarto grupo, los que estudian la comprensión del sistema de notación en base diez y en este contexto enmarcan la escritura de numerales.

2.1. Escritura de palabras y de numerales

Gelman y Meck (1986) y Gelman (1990a y b, citados por Karmiloff-Smith, 1992) muestran que niños de muy corta edad diferencian entre las palabras de conteo y los nombres de objetos. Para estos autores, los niños manejan de manera diferenciada los principios que rigen el etiquetado de los objetos, de los principios que rigen el conteo. Por ejemplo, para nombrar cuatro cucharas, la expresión cuchara siempre sirve, independientemente del número de cucharas que se les presente. En cambio para contarlas, deben aplicar a cada cuchara una etiqueta diferente: uno, dos, tres, cuatro, y si el conteo se repite pueden asignar otra etiqueta diferente, a cada una de las cucharas previamente contadas. Para Gelman y sus colegas, los principios de irrelevancia de los objetos y del orden estable de la secuencia numérica, no así de las colecciones, constituyen la base para que desde los tres años, los niños infieran que “los números que oyen no son los nombres de los objetos, sino etiquetas para contar.” (Gelman, citada por Karmiloff-Smith, 1992, p. 136)

Karmiloff-Smith y Tolchinsky (1992) trabajan, desde la perspectiva del desarrollo de los sistemas de notación lingüística y arábiga, la relación entre la escritura de palabras y la notación decimal. Para ellas, las restricciones sintácticas y semánticas de estos dos sistemas de notación aparecen diferenciadas en las producciones escritas de los niños. Para comprobarlo, presentan a los niños cuatro pares de tarjetas de cartón, que varían de la siguiente manera: tres pares presentan objetos iguales y diferentes cantidades (por ejemplo dos ruedas en una figura y cinco ruedas en la otra) y el cuarto par presentan objetos diferentes y cantidades iguales (por ejemplo tres guardias en una figura y tres camiones en la otra. En ensayos balanceados entre la presentación de preguntas dirigidas a la escritura de nominales y preguntas sobre la notación de cardinales, les presentan una tarjeta y les piden que indiquen lo que hay dibujado en ella; inmediatamente después, les piden que escriban con el propósito de saber qué hay, repitiendo el mismo proceso con la otra tarjeta perteneciente al par. Una vez terminan de escribir, les piden que lean lo escrito.

Las autoras analizan las producciones de los niños bajo los siguientes criterios: 1) tipos de inscripciones que se pueden discernir, 2) características sintácticas de cada tipo de inscripción: tipo de elementos, cantidad y variedad de elementos por inscripción y relaciones entre elementos, 3) adecuación funcional de los sistemas: cómo usan los niños las respectivas inscripciones para reflejar el contenido de las tarjetas. A partir del análisis de las producciones escritas establecen cinco categorías:

1. Diferencias y similitudes por medios icónicos: el dibujo transmite el contenido. 2. Diferencias de cantidad por medios no icónicos: aumentan el número de letras al pasar

de escribir tarjetas con pocos objetos a tarjetas con más objetos. No modifican el número de letras cuando la cantidad de objetos es la misma.

3. No muestran diferencias ni similitudes: el mensaje es obviado. 4. Diferencias y similitudes por medios no icónicos: repiten cadenas para hacer

corresponder la grafía con el número de objetos en la figura o repiten tantas cifras iguales como objetos deben ser denotados.

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5. Producen inscripciones funcionalmente diferenciadas: adecuación funcional de la escritura, el número y el dibujo. No intentan mostrar diferencias de cardinalidad a través de la escritura.

Estos resultados les permiten concluir que los niños de 4 años son sensibles a las diferencias formales entre la escritura y notación de decimales, pero sólo hasta los 6 años son capaces de separar su función referencial-comunicativa. Según las autoras, el estudio da cuenta de un desarrollo gradual de los sistemas de notación, en el cual, los niños inicialmente recurren a procedimientos de notación no convencionales, antes de llegar a la producción de notaciones unitarias.

Pontecorvo (1996) igualmente trabaja la relación entre el desarrollo del sistema de notación numérica y la representación de la palabra y el nombre, además de otros aspectos relacionados con la notación de numerales. Parte de un conjunto de preguntas sobre estos temas: ¿Es posible establecer una secuencia evolutiva en la representación de la cantidad? ¿Cuáles son los criterios para realizar la secuencia evolutiva? ¿Qué relación de concomitancia o sucesión existe entre la articulación y la organización de los signos gráficos y la evolución del signo escrito en relación con la representación de cantidades y nombres, respectivamente? ¿Existe alguna relación particular entre la evolución de la notación de la cantidad y de la escritura, sin olvidar la diversidad de lo que el niño tiene que representar en los dos contextos simbólicos y teniendo en cuenta las especificidades de cada una de las notaciones?

La autora entrevista niños pre-escolares, entre 3,9 y 6,2 años y les solicita: 1) interpretar diversas grafías y/o diversos conjuntos de letras o números; 2) dibujar objetos, escribir el nombre y leerlo, escribir un diminutivo, un plural y una frase; 3) contar en secuencia, contar objetos y representarlos para recordar cuántos hay; si no usan el cardinal, les pide que representen nuevamente cuántos hay; les pide decir la edad y escribirla. Finalmente les pide reconocer los números, escribir un número equivalente de marcas para cada cifra y contar desde un punto medio.

Para el análisis utiliza como punto de partida el esquema de interpretación de Hughes (1982). Sin embargo, señala que este esquema resulta poco apropiado para distinguir diferentes tipos de respuesta y poco sensible a las diferencias que surgen en el nivel más primitivo. Para la notación de la cantidad, Pontecorvo identifica las siguientes categorías:

1. Signos no controlados, continuos o discretos. 2. Signos discretos que no corresponden a las cantidades. 3. Correspondencia biunívoca, pictográfica o con representación de la cantidad específica 4. Correspondencia biunívoca, abstracta (signos, líneas, letras). 5. Tras marcar el nombre del número o la correspondencia pasan al cardinal (en el

segundo pedido). 6. Uso de numerales como ordinales o como marca de correspondencia. 7. Uso del cardinal.

La autora concluye que, en los niños del estudio, la producción e interpretación de la numeración escrita y de las competencias aritméticas generales, antecede a la elaboración de la escritura de palabras. La notación de la cantidad parece estar más bien relacionada con la conceptualización de la escritura que con la valoración operativa de la cantidad y el proceso de apropiación y reconstrucción de los objetos culturales, con los cuales el niño

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entra sistemáticamente en contacto durante la primera escolarización, resulta ser pausado y articulado. En este sentido, los niños son capaces desde pequeños de diferenciar entre las palabras que sirven para contar y las que nombran objetos y entre la escritura de palabras y la notación decimal.

2.2. Relación entre conteo y escritura de numerales

Con el propósito de explorar la construcción conceptual del sistema de decenas, Kamii (1985 y 1986) estudia la comprensión de las relaciones entre los elementos en numerales multidígitos con las cantidades que representan. Inicialmente, trabaja con niños de 1º y posteriormente, de 4º, 6º y 8º, a quienes propone una tarea de conteo de fichas y solicita escribir el numeral que obtienen. Luego les pregunta sobre la relación de cada dígito en el numeral, con la cantidad de elementos de la colección que han contado.

Los niños pequeños piensan que cada dígito representa unidades y ninguno comprende el valor de posición. Con los niños mayores aumenta la proporción de los que son capaces de asignar diez fichas al 1 de 16: 51% para 4º, 60% para 6º y 78 % para 8º.

En una segunda investigación, Kamii (1986) solicita a los niños estimar y contar una colección de fichas, primero de manera espontánea y posteriormente de diez en diez. Coincidiendo con su estudio anterior, concluye que para comprender el valor de posición es necesario construir sobre el primer sistema de las unidades, un segundo sistema jerárquico, el de decenas. Para esto, el niño debe atravesar el mismo proceso que ha realizado con el de las unidades, a saber: segmentar el todo en partes iguales, ordenándolas e incluyéndolas jerárquicamente; en el caso de las decenas, incluyendo diez en veinte, veinte en treinta, treinta en cuarenta, etc. Por lo tanto, cuando se imparte una instrucción prematura sobre el valor posición, los niños a veces construyen los dos sistemas separados y yuxtaponen un sistema de unidades y un sistema independiente de decenas.

Siguiendo a Kamii, Ross (1989) trabaja con niños de 2º a 5º la comprensión de las relaciones entre los elementos en el numeral, utilizando numerales multidígitos. Para esto, solicita a cada niño que produzca un numeral después de contar una colección de elementos concretos y luego pregunta por la relación de cada dígito en el numeral, con la cantidad de elementos de la colección. Diferencia los niños en cinco estadios de interpretación de numerales de dos dígitos. Los niños del último estadio comprenden que los dígitos individuales representan una partición de la cantidad total en decenas y unidades y pueden discriminarlos, aún en colecciones partidas de manera no estándar. La autora considera que la comprensión del valor de posición requiere como prerrequisitos la coordinación y síntesis de una variedad de conocimientos sobre el sistema de notación y el manejo de las relaciones numéricas de parte a todo.

Sinclair (1992) trabaja la comprensión de la relación entre los elementos en numerales multidígitos y el conteo. Trabaja con niños de 5 a 9 años, que cuentan en francés y cursan los primeros años de primaria. Utiliza entrevistas clínicas en profundidad, en las cuales les presenta fichas con representaciones convencionales de pilas de diez y unidades y numerales de dos y tres dígitos, opacos y no opacos en relación con la notación. En los numerales inferiores a 25, utiliza fichas y los superiores a 25, los presenta verbalmente y los niños pueden o no, utilizar las fichas. Encuentra seis tipos diferenciados de respuestas que fluctúan entre la no atribución de las partes de la colección a partes de la notación y la atribución de partes de la colección a partes de la notación; igualmente, diferencia los tipos

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de atribución. Concluye que el sistema de numeración verbal juega un papel en el aprendizaje del sistema de notación. Los niños comienzan teniendo intuiciones acerca del significado preciso de los dígitos en posiciones particulares y estableciendo relaciones parte-todo en el numeral hablado, que pueden hacer corresponder con relaciones parte-parte en la notación.

Nunes (1982, 1985, citada por Nunes y Bryant, 1998) investiga sobre la importancia del conteo, particularmente de la correspondencia biunívoca, y de la suma para comprender las propiedades del sistema de numeración. La autora parte de dos postulados: 1) Que la práctica del conteo y particularmente de la correspondencia biunívoca es la base para dominar el sistema de numeración. De esta forma, los niños pueden darse cuenta que cualquier número se puede considerar como la suma de sus antecedentes. De la práctica de contar objetos, ellos pueden generalizar esta propiedad a otras composiciones aditivas. 2) Que la habilidad para contar objetos y conservar la correspondencia biunívoca se correlaciona con la comprensión de la composición aditiva.

En un estudio con niños británicos de 5 y 6 años (Nunes et al., en prensa, citados por Nunes y Bryant, 1998) proponen: 1) comparar el valor relativo de dos colecciones iguales de monedas de diferente denominación 2) pagar artículos con monedas de una sola denominación y con combinaciones de monedas con valores diferenciados3. Esta tarea llamada la tarea de la tienda se describe en la sección dedicada a la composición aditiva. Al utilizar monedas de una sola denominación, los autores pretenden evaluar la habilidad de los niños para contar. Ellos encuentran que esta tarea presenta pocas dificultades para os de 5 y 6 años, en cambio, los de 5 años logran un mejor desempeño en las tareas que no requieren considerar el valor relativo de las unidades, que en las que lo deben tener en cuenta. Finalmente, no encuentran relación en el desempeño de los sujetos en los dos tipos de pruebas.

Nunes y Bryant señalan que el conteo sencillo, mediante correspondencia biunívoca es un principio importante pero no suficiente para la comprensión del sistema de numeración. Por ejemplo, la composición aditiva, una de las invariantes del sistema, depende más de la comprensión infantil de la suma que de la correspondencia biunívoca del conteo. No es lo mismo saber contar que comprender el valor relativo de las unidades para contar y su composición aditiva con unidades de diferente valor. Los niños que hacen lo primero pueden no hacer lo segundo.

La revisión de las diferentes investigaciones sobre la relación entre el conteo y la comprensión de la escritura de numerales lleva a reconocer contradicciones entre saber contar y comprender el valor de posición en los numerales escritos. Fuson (1990), en un argumento compartido por otros investigadores como Steffe y Cobb (1989), explica que “durante largo tiempo, los niños de habla inglesa4 construyen dos tipos de estructuras conceptuales unitarias para los números de dos dígitos: como colecciones contadas de objetos simples o como colecciones de palabras habladas” (Fuson, 1990, p.181). Estas estructuras conceptuales tempranas pueden interferir con la construcción de significados que asignan valor a cada objeto que se cuenta.

3 Nunes ya había utilizado una versión similar de esta tarea con niños brasileros. 4 Lo mismo sucede en castellano.

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A la relación entre el conteo y la escritura de numerales, Fuson y Smith (1996) adicionan la relación con la cantidad y proponen un modelo tripartito, al que denominan UDSSI. Su nombre describe cinco concepciones del modelo: unitaria, decenas, secuencias de diez, separación de las decenas y concepción integrada. Para esta autora, todos los niños comienzan con una concepción unitaria del número de dos dígitos, que constituye una extensión simple de la tríada unitaria para los números de un dígito. En este momento las palabras numéricas separadas y los dos dígitos no tienen referentes de cantidad por si mismos. Por ejemplo, la palabra numérica total “diez y seis” o el numeral “16”, se refieren a la cantidad total5.

Según la autora, con el tiempo y la experiencia, el primer dígito adquiere para el niño significado de decena en la concepción de decenas y unidades y el segundo dígito llega a ser significado “como los que sobran de uno”6. Los niños son capaces entonces de contar de diez en diez y formar unidades conceptuales que son grupos de diez unidades simples7. Luego cuentas los unos. Para esta segunda concepción, hay más claridad en las marcas numéricas porque los niños piensan en los unos como numerales que se escriben sobre la cantidad de decenas. Por ejemplo, en 53 el 3 va sobre el 0 de 50. Esta concepción lleva a algunos niños a escribir “cincuenta y tres” como 503.

A partir de la concepción de decena, los niños desarrollan la concepción de la secuencia de diez y unos. Si los niños inicialmente, no entendían que en 50 hay 5 de diez, sino que simplemente cuentan de diez en diez, ahora los niños pueden pensar en una cantidad de dos dígitos como compuesta por dos tipos de unidades: de diez y de uno y denomina esta concepción como “separación de las decenas y los unos”. Estos niños pueden pensar “que cada diez está compuesto de diez unos” (Fuson & Smith, 1996).

Los autores suponen que la construcción que los niños hacen de la secuencia de diez depende en gran parte del ambiente en el cual aprenden y pueden construir primero una u otra concepción: Si la enseñanza se centra en las palabras, se facilita el desarrollo de la concepción en la secuencia de diez; si se centra en los numerales escritos, facilita la concepción de la separación de las decenas y los unos.8 En otros casos, los niños pueden construir las dos concepciones y relacionarlas en una concepción integrada de la secuencia y de la separación de los dieces.

2.3. Relación entre expresiones numéricas verbales y formato arábigo

Varios autores (Miller y Stigler, 1987, citados por Nunes y Bryant, 1998; Miura y Okamoto, 1989; Fuson, 1990, Lines y Bryant, citado por Nunes y Bryant, 1998) señalan que el carácter de las expresiones numéricas verbales facilita el aprendizaje de la escritura de numerales.

5 Aunque no la cita, probablemente se refiere a la tarea que Kamii utiliza para ejemplificar las dificultades que los niños tienen con el valor de posición: Kamii pide a los niños escribir el numeral después de contar 16 objetos y luego les pide establecer relación entre el 1 correspondiente a las decenas y los objetos contados. Ver p.11. 6 Las comillas son mías y reproducen una expresión utilizada por los maestros cuando enseñan las decenas y las unidades. 7 Steffe & Cobb (1989) las llaman unidades compuestas. 8 Propongo que esto depende del tipo de enseñanza que el niño reciba, más que de un proceso de construcción propio de los niños.

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Nunes y Bryant plantean que las expresiones lingüísticas en idiomas como el portugués, el castellano o el inglés no revelan con claridad la estructura del sistema decimal9 y postulan que los sistemas altamente regulares aumentan las posibilidades para comprender la composición aditiva gracias al uso de pistas lingüísticas particulares y a un entendimiento general de la composición aditiva.

Teniendo en cuenta que el sistema de numeración de los taiwaneses es tan transparente como el japonés, Miller y Stigler (1987, citado por Nunes y Bryant, 1998) trabajan la relación entre los indicadores lingüísticos del sistema de numeración hablado y la habilidad para contar y comparan niños taiwaneses y estadounidenses de 4, 5 y 6 años a quienes proponen: contar objetos alineados, contar objetos en desorden y contar hasta donde puedan, sin utilizar objetos, permitiéndoles llegar hasta donde cometan errores. Los taiwaneses puntúan más alto que los americanos en los tres tipos de pruebas. En relación con los errores que cometen al contar, no se presentan diferencias cuando se equivocan al establecer correspondencia entre las palabras de conteo y los ítems a ser contados. Sin embargo, se presenta una notable diferencia entre los grupos en la habilidad para expresar las palabras de conteo convencionales mientras señalan los objetos. Se encontró que los taiwaneses cuentan mejor que los americanos. En los números entre diez y veinte, que son irregulares en inglés, casi ningún niño de Taiwán comete errores, mientras los americanos generalmente se equivocan.

Según Nunes y Bryant estos resultados evidencian que gran parte de las diferencias de conteo entre ambos grupos son efecto directo de la diferencia en las palabras numéricas y concluyen que los estadounidenses cometen más errores porque las palabras numéricas en su idioma les dan menos pistas y requieren basarse en la memoria. Los autores se interesan no solo por la notación numérica, sino por la comprensión que los niños alcanzan de las invariantes del sistema: la composición aditiva y las unidades del sistema. Este estudio les suscita varias preguntas acerca de la comprensión que tienen los taiwaneses y americanos sobre la estructura de base diez y específicamente si los taiwaneses captan mejor sus invariantes que los americanos.

Lines y Bryant (en prensa, citado por Nunes y Bryant, 1998), tratando de responder esta pregunta, estudian el conteo y la composición aditiva de niños taiwaneses y británicos de 6 años a partir de la tarea de contar de Miller y Stigler y la tarea de la tienda de Nunes et al., en la que incluyen valores de 1 y 5 y 1 y 10 peniques. La tarea de 1 y 5 peniques se utiliza como control, para evaluar si los dos grupos difieren en su habilidad al combinar diferentes denominaciones, independientemente del valor de las mismas, o si sólo difieren en su habilidad al combinar unidades y decenas.

Los autores encuentran diferencias entre los niños ingleses y chinos. En la tarea de la tienda, cuando pagan con monedas de un penique, los dos grupos alcanzan más o menos el mismo nivel; en cambio, los británicos son menos exitosos que los chinos cuando utilizan las de 10 peniques. Los taiwaneses superan a los británicos en las dos tareas de composición, pero la diferencia es mayor cuando combinan monedas de 1 y 10 peniques que en las combinaciones de monedas de 1 y 5; igualmente la diferencia es mayor cuando utilizan 1 y 10 peniques que cuando utilizan 1 y 20 peniques.

9 En función de esta característica, algunos autores, denominan “opacos” a estos idiomas y “transparentes” a los que si revelan las regularidades del sistema. (Fuentes Loss, 1996)

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La transparencia lingüística diferenciada de las expresiones numéricas verbales en los dos idiomas, les permite a los autores suponer que la experiencia de los taiwaneses, de contar en un sistema regular como el chino o el japonés, les ayuda a entender las propiedades del sistema y por ello les resulta más fácil que a aquellos que deben aprender utilizando sistemas irregulares. Estas regularidades en el idioma de los taiwaneses ayudan también a la composición aditiva de unidades diferenciadas, pero especialmente a la composición aditiva de las decenas.

Nunes et al. (en prensa, citados por Nunes y Bryant, 1998) trabajan con niños británicos de 5 y 6 años y niños franceses de 5 a 7 años, teniendo en cuenta las diferencias en las expresiones numéricas en francés y en inglés. Los dos sistemas presentan dificultades similares hasta el 69, pero después de este número, el sistema francés es más irregular. Por ejemplo, 80 es “cuatro-veinte” y la expresión “cuatro veces veinte y diez y nueve” designa al numeral 99. Los autores se preguntan si las irregularidades del conteo en francés dificultan la comprensión de las propiedades de la numeración, o no causan ninguna dificultad, sobre todo después del 69. Les presentan a los niños una tarea de composición aditiva con monedas de 1 franco, para los franceses, y 1 penique, para los británicos, y otra tarea con monedas de 1 y 10 francos y 1 y 10 peniques, respectivamente. A los franceses también les presentan esta tarea utilizando combinaciones de 20 y 1, en el rango de los ochenta, tratando de evaluar si para ellos resulta más fácil componer utilizando cuatro monedas de 20 u ocho monedas de 10, en función de los indicadores de la palabra numérica “cuatro-veinte”.

Los autores encuentran que en general y con pocas diferencias, los dos grupos logran mejor desempeño en las tareas con monedas de un sola denominación (1 franco y 1 penique), que en las de diferentes denominaciones. La comparación de los grupos en primer grado no arroja diferencias significativas, es decir, la mayor irregularidad de los términos del conteo para los franceses no dificulta más la comprensión de la composición aditiva que a los británicos y no les es más difícil componer en el rango de los 80 que en rangos inferiores a 50. Para los franceses tampoco resulta más fácil sumar en el rango de los ochenta combinando cuatro monedas de 20, que ocho de 10.

Estos resultados sugieren que existen diferencias entre comprender el conteo y comprender la estructura del sistema en base diez. Si los niños entienden la composición aditiva, los valores que componen la suma (5, 10 y 20) no afectan de manera notable su desempeño en la tarea. Aunque los números de mayor rango en francés presentan más irregularidades en las palabras numéricas, estas no parecen influir en el aprendizaje de los niños, ya que pueden comprender la composición aditiva en el contexto de números menores y aplicar esta comprensión a los de mayor rango.

El estudio de Miura et al. (1994, citado por Nunes y Bryant, 1998) aporta nuevos datos a esta tesis. Ellos piden a niños - de 1° de primaria de China, Francia, Japón, Corea, Suecia y Estados Unidos - que entreguen al experimentador diferentes cantidades utilizando ladrillos individuales o en conglomerados de diez unidades. Los niños que manejan sistemas de numeración transparentes - chinos, coreanos y japoneses - tienden a utilizar los bloques de diez para construir cantidades de dos dígitos, por ejemplo, 53. En cambio, el sistema de los unos prima entre los hablantes de lenguas “opacas”.

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Finalmente, hay un grupo de autores (p.e. Lerner y Sadovsky, 1994; Scheuer y otras, 2000) que trabajan desde la perspectiva del desarrollo, la comprensión que los niños poseen del sistema de notación en base diez. Sus análisis les permiten concluir la relación entre la numeración hablada y la notación numérica.

Lerner y Sadovsky (1994) utilizan entrevistas clínicas con pares de niños, entre 5 y 8 años, confrontando las opiniones verbales de ambos niños con su escritura. Recurren a varias entrevistas, a veces con intervalos de minutos, para "comprobar" si la comprensión resulta "duradera", señalando que esta puede ser "local" y no anticipatoria de otros numerales; otras veces aplican las entrevistas con intervalos de quince días, para seguir el proceso de "achicamiento" que posibilita compensar el conflicto que se genera entre el procesamiento numérico, correspondiente al formato verbal y la representación que poseen de la magnitud del numeral.

En las tareas tienen en cuenta dos variaciones: comparación de números y producción de números. Para la tarea de comparación utilizan fundamentalmente una variación del juego de la guerra, utilizando 20 cartas con números que van del 5 al 31 y, a diferencia de un mazo normal, sólo emplean una figura (la de bastos)10. Los niños determinan quien gana bajo el criterio de la carta más alta. Para la tarea de producción, utilizan la consigna: "Piensen un número muy alto y escríbanlo". Una vez los niños lo escriben, observan los numerales que han escrito los compañeros, los comparan con los propios y establecen cuál es mayor. Los registros de los debates entre los niños llevan a suponer que la entrevistadora les propone que escriban otros numerales a partir de sus producciones.

El análisis de estas producciones, a partir de estudios de caso, les permiten postular cuatro pasos que los niños recorren en el conocimiento y comprensión del sistema: 1) establecen cual numeral es mayor que otro, utilizando como criterio la cantidad de cifras que lo conforman. 2) comparan numerales de la misma cantidad de cifras y utilizan como criterio el valor absoluto de la primera cifra del numeral. 3) entran en contradicción con el valor absoluto de alguna de las cifras y la posición del numeral. 4) aprenden primero a escribir decenas, centenas, unidades de mil exactas, a las que denominan nudos.

Las autoras profundizan sobre la comprensión que los niños tienen de sus producciones y sugieren que ellos, para escribir, hacen corresponder la notación con el orden de la enunciación verbal del número (p.e. para mil veinticinco escriben 100025). Es decir, los niños suponen que la numeración escrita se corresponde estrictamente con la numeración hablada y así justifican sus notaciones. Otros, parecen comprender las relaciones aditivas y multiplicativas que subyacen a estas notaciones y saben que en la numeración escrita la cantidad de cifras está vinculada con la magnitud del número que les presentan.

Este conocimiento les genera una contradicción que en principio no constituye un conflicto; luego, los niños muestran cierta insatisfacción con sus producciones y comienzan a achicarlas quitándoles ceros o reinterpretándolas, atribuyéndoles un valor mayor. Por último, anticipan el número de cifras que debe tener el numeral, a partir del conocimiento de la notación de números privilegiados a los que denominan las autoras denominan

10 Aunque falta claridad en la consigna, supongo que el juego de la guerra es parecido al que se juega en Colombia: se reparten todas las cartas de la baraja, de manera que no puedan ser vistas, en partes iguales para cada jugador (mínimo dos) , los jugadores deben mantener el mazo sin descubrir las cartas que les correspondieron y lanzan la primera carta del montón destapándola. Gana la carta mayor.

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"nudos". Los nudos son los numerales que representan las decenas, las centenas y las unidades de mil exactas. Las autoras sostienen que los niños primero elaboran estos nudos y solamente después elaboran la escritura de los números que se ubican entre estos (Lerner y Sadovsky, 1994, p. 110). Finalmente, ellas plantean que los niños aprovechan la información que poseen de la escritura convencional ("los cientos van con tres dígitos, los miles van con cuatro").

Scheuer y otras (2000) estudian el desarrollo de las estrategias de notación para cantidades con características diferenciadas, en niños menores de 6 años de 1° y 2° de primaria. En entrevistas clínicas, utilizan dos formatos de presentación: para los numerales entre 1 y 15, utilizan colecciones concretas y simbolización convencional y para cantidades mayores, como centenas y unidades de mil, utilizan la presentación verbal, teniendo en cuenta aspectos como el léxico, la sintaxis (expresiones aditivas y multiplicativas) y el intervalo numérico.

Para el análisis adoptan dos perspectivas: 1) la conceptual, o aspecto numérico, por ejemplo, correspondencia uno a uno, cantidad y palabra numérica; 2) el morfológico, es decir, la forma empleada, por ejemplo, si es numeral convencional, pseudo letra, cruz, etc.

En relación con la escritura de los números, las autoras establecen seis categorías: notaciones numéricas convencionales, notaciones múltiples, formas para números, formas para clases de números, notaciones logográmicas, que se caracterizan por una correspondencia literal entre la forma oral y su notación y, las notaciones compactadas, caracterizadas también por una correspondencia entre la forma oral y su notación, pero con un principio de integración de la notación posicional (Scheuer y otras, 2000, p. 14).

Para estas autoras, la adquisición de la notación numérica es producto de un desarrollo lento y complejo en el cual convive el uso de formas convencionales y no convencionales. El aprendizaje del sistema de numeración está ligado con el conocimiento de los números de manera oral y esta comprensión oral de cantidades especificadas precede a la notación convencional de los números, particularmente, a partir de las centenas.

2.4. Invariantes del sistema y la escritura de los numerales

Nunes y Bryant (1998) analizan las ventajas de los sistemas de base y concluyen que para poder sacar provecho de este tipo de sistema es necesario comprender su estructura. Así, proponen la noción de unidad, la composición aditiva y la equivalencia como invariantes de esta estructura. A continuación se presentan algunos supuestos e investigaciones realizadas por los autores en relación con las invariantes.

2.4.1. La composición aditiva

Nunes y Bryant trabajan la composición aditiva desde dos perspectivas: las operaciones que la preceden o sustentan –el conteo o la suma o las estrategias al sumar- y la relación entre composición aditiva y escritura de numerales.

Para Nunes y Bryant los niños deben comprender que combinando números pequeños se pueden crear números grandes; por ello, la composición aditiva del número, utilizando unidades de valores diferenciados, resulta fundamental para la comprensión del sistema de numeración en base diez. Ellos plantean que “cualquier número n puede descomponerse en otros dos precedentes en la lista ordinal de números, de tal forma que su suma de exactamente n. Esta propiedad o invariante de los números se conoce como composición

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aditiva del número.” (Nunes y Bryant, 1998, p. 63). La composición aditiva del número es una propiedad esencial de los sistemas de numeración de base y las palabras numéricas de nuestro sistema irregular explicitan esta composición aditiva11.

Aunque la dificultad de comprender la composición aditiva varía de una cultura a otra - según estos autores las variaciones dependen de las transparencias de los idiomas, al nombrar los números - los niños deben aprender a dominar los mismos principios para comprender su sistema de numeración. Además los niños pueden deducir la idea de composición aditiva dentro del ámbito de los números pequeños y aplicarla a números mayores.

En el marco de un estudio amplio que evalúa si los niños necesitan que les enseñen las decenas, antes de comprender el sistema, Nunes (1995, citada por Nunes y Bryant, 1998), trabaja con niños, entre 5 y 7 años, que no han recibido instrucción escolar, para evaluar su habilidad al combinar decenas y unidades. Para ello utiliza la tarea de la tienda, en la cual le pide a los sujetos que participen en un juego en el que deben comprar objetos al experimentador, quien es el tendero, y pagar el precio exacto. Les da monedas de mentira de diferentes denominaciones: de 1 y 5 cruceiros, ó de 1 y 10 cruzeiros. Siempre les entregan dinero suficiente para pagar el monto solicitado por el experimentador, pero el número de monedas es inferior al monto que deben pagar. Por ejemplo, les entrega cuatro monedas de 1 y dos de 5 y les vende un juguete que vale 7 cruzeiros. Los niños deben entregar una moneda de 5 y dos de 1.

4 2 Precio: 7 Cruzeiros

Luego, les entrega cuatro monedas de 10 y cuatro de 1 y les vende un juguete que vale 13 cruzeiros. En los dos casos solo entregan ocho monedas, pero si los niños tienen en cuenta el valor relativo de cada una, el dinero que reciben les alcanza. Las cantidades siempre oscilan dentro del rango de conteo de cada niño. La autora encontró que solamente un 39% de los niños entre 5 y 7 años realizan la tarea correctamente.

4 4 Precio: 13 cruzeiros

Los resultados obtenidos permiten a Nunes y Bryant concluir que para los niños no es necesario aprender a escribir números para comprender el valor relativo de las unidades, ni la composición aditiva de las mismas. “Saber contar y comprender el valor relativo de las unidades para contar y su composición aditiva, no son la misma cosa” (Nunes y Bryant, 1998, p.70). Entonces se preguntan ¿Cuál es la base para dominar el sistema decimal? Los autores plantean que hay un orden en la comprensión infantil del número: La estrategia de conteo en la suma antecede a la comprensión de las propiedades del sistema de numeración y ayuda al aprendizaje de la lectura y escritura de números. Sin embargo, esto no es suficiente. La resolución de problemas de adición en las que un sumando es invisible ayuda

11 En un trabajo previo, analizamos la manera como algunas expresiones numéricas explicitan tanto composición aditiva, como la multiplicativa (Orozco, 1999; Orozco y Hederich, 2001).

1 10

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a encontrar estrategias más eficaces de suma y constituye una base para comprender el sistema de numeración.

Para trabajar la relación entre adición y composición aditiva, Nunes utiliza nuevamente la tarea de la tienda, esta vez con niños ingleses y usa unidades de diferente tamaño. Los niños deben pagar artículos utilizando monedas a) de una sola denominación y b) combinando: 10 y 1 penique y 20 y 1 penique.

Como los niños de 5 y 6 años se apoyan en etiquetas verbales, por ser angloparlantes, les es más fácil combinar monedas de 20 y 1 peniques para componer “twenty three”; esto quiere decir que los indicadores lingüísticos si les ayudan. En cambio no resuelven fácilmente el primer tipo de composición (10 y 1) porque el referente lingüístico no es transparente. Por ejemplo para componer “twelve”. Por otro lado, los indicadores lingüísticos resultan más importantes para los niños de cinco años que para los de seis, pero no son suficientes. Las pruebas de composición aditiva con monedas de 20 y 1, por ejemplo, son más difíciles que las de monedas de un solo penique, ya que sólo exige procedimientos de conteo. Con otro estudio Nunes y Bryant pretenden medir la habilidad de los niños para sumar, pidiéndoles que resuelvan problemas sencillos de suma, apoyándose en fichas que utilizan como dulces falsos. Los niños disponen de fichas suficientes para representar ambos sumandos y contarlas todas. La autora registra si la respuesta es correcta o incorrecta y describe el tipo estrategia que utiliza: contar todo, contar a partir de, ó se valen de la memoria. Analizan la relación entre la habilidad para contar y la composición aditiva y la relación entre resolver problemas de tipo aditivo y la composición aditiva.

A estos niños también se les aplica la tarea de la tienda. Se encontró para los niños de 5 y 6 años resulta difícil combinar monedas de dos denominaciones, pero si se les pide pagar artículos con monedas de una denominación, no se encuentran dificultades. Los resultados revelan que el 10% de los niños de cinco años y 57% de seis años, utilizaron la estrategia contar a partir de o memoria. La correlación entre éxito al contar y resolver la composición aditiva no es significativa; la correlación entre éxito al resolver problemas aditivos y composición aditiva no resulta significativa; la correlación entre estrategia de contar “a partir de / o de memoria” con la composición aditiva resulta alta.

A partir de este estudio, los autores concluyen dos puntos importantes. En primer lugar, que es necesario distinguir entre la habilidad para contar y la comprensión de la estructura de decenas del sistema de numeración y en segundo lugar, que probablemente los avances de los niños en la comprensión de la suma les proporcione una base para comprender las propiedades de los sistemas de numeración.

El estudio de Kornilaki (1994, citada por Nunes y Bryant, 1998) sobre la relación entre la suma y la composición aditiva confirma estas conclusiones. Esta autora trabaja con niños de 5 y 6 años, que aún no asisten a la escuela, utilizando la tarea de suma con un sumando invisible. La investigadora muestra a los niños un monedero y les dice que una niña tiene 8 dracmas en su monedero y recibe 7 más, colocando sobre la en la mesa las monedas que le dan. En seguida les pregunta: ¿cuánto dinero tiene ahora la niña? Para averiguar el total, los niños deben contar a partir de ocho utilizando las monedas dentro del monedero.

Kornilaki encontró que la tarea resulta difícil para todos los niños y solo el 66% la responden correctamente. Todos los niños que aprueban la tarea de composición aditiva, aprueban la de suma con sumando invisible; sin embargo, no todos los que aprueban la

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tarea de sumando invisible pasan la de composición aditiva. Los resultados de este estudio permiten concluir que aprobar la tarea de suma con sumando invisible implica la habilidad necesaria pero no suficiente para comprender la composición aditiva. Kornilaki igualmente investiga si el tipo de estrategia que los niños utilizan para resolver la tarea de suma influye en su desempeño en la tarea de composición aditiva. Las estrategias que les permitieron resolver el problema, son:

• 23% de los niños representan el primer sumando utilizando los dedos. Cuentan con los dedos a partir de uno y luego cuentan los dracmas visibles.

• 37% señalaron el monedero (con dedos o movimientos de cabeza) mientras contaban desde uno hasta el primer sumando y después contaron las dracmas visibles.

• 21% dicen palabras numéricas desde uno hasta el valor del primer sumando y después cuentan los dracmas visibles.

• 18% dicen cardinal correspondiente al primer sumando y luego cuentan los dracmas visibles.

Los niños que no representan de manera explícita el sumando invisible y lo asocian con el conteo verbal tienen más probabilidad de realizar la tarea de composición aditiva. Los que solo utilizan el valor cardinal del conjunto de dracmas invisibles realizan la tarea de composición aditiva, lo mismo que cinco de los siete niños que utilizaron palabras numéricas. Estos son 11 de los 12 que lograron hacer la tarea de composición aditiva. Los resultados de estos estudios llevan a Nunes y Bryant proponer que el cambio en el desarrollo, que según ellos, implica las estrategias de contar a partir de o contar de memoria, puede resultar importante para comprender la estructura del sistema en base diez; cuando el niño entiende que no tiene que contar de nuevo el conjunto más grande, puede considerarlo como una unidad mayor que se puede combinar con una más pequeña. Suponen que este avance puede estar más relacionado con la habilidad para resolver la composición aditiva - y por lo tanto con la comprensión del sistema en base diez -, que la habilidad para manejar la correspondencia biunívoca, propia del conteo. Como Fuson (1983) ya lo había señalado, para utilizar el procedimiento de completar (contar a partir de) es necesario ir más allá de la concepción unitaria del número y entender que el cardinal representa al conjunto.

2.4.1.1. Composición aditiva y escritura y lectura de numerales

Nunes y Bryant descubren que niños y adultos que no saben leer y escribir, pero que tienen prácticas con monedas, pueden comprender las invariantes de un sistema de numeración de base y que su comprensión de la composición aditiva descansa, más bien, en su comprensión de la suma. A partir de esto se preguntan si es necesario que los niños comprendan la composición aditiva para poder escribir y leer números con múltiples dígitos.

Nunes y Schliemann (1982 y 1983, citadas por Nunes y Bryant, 1998) intentan responder esta pregunta, utilizando la tarea de la tienda y pidiendo después a los niños leer y escribir una serie de números con varios dígitos.

Anticipan 3 tipos de resultados probables y desechan el cuarto, así: 1) Niños que no pueden resolver ninguna de las tareas. 2) Niños que resuelven la tarea de composición aditiva, pero no pueden ni escribir ni leer. 3) Los que pueden resolver las dos tareas. La cuarta opción no

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es posible, porque pueden existir niños capaces de resolver los problemas de composición aditiva sin saber escribir ni leer números, pero no se deben encontrar niños que puedan escribir y leer bien los números y que no resuelvan bien la tarea de composición. Ellas entrevistan niños de 1º y 2º de primaria y todos quedan ubicados en los tres tipos de grupos.

Igualmente, los errores encontrados son sistemáticos. La mayoría de las veces representan las centenas y los millares literalmente. Escriben 10020 por ciento veinte; 100010061 por mil ciento sesenta y uno. Algunos niños eliminan ceros, sin embargo, no logran una representación compacta utilizando el valor posicional. Por ejemplo, escriben 1020 por “ciento veinte” y 10161 por “mil ciento sesenta y uno”. El tercer grupo dominó las dos tareas.

En otro estudio, realizado con niños británicos, Nunes et al. (en prensa, citados por Nunes y Bryant, 1998) parten de los siguientes supuestos: el tamaño del número no indica la dificultad para realizar la tarea de escritura o lectura y los números “redondos”12 son menos difíciles porque los niños tienen más experiencias con ellos, y para su escritura, no requieren de la composición aditiva. Los autores solicitan que los niños escriban a) números con un dígito (8), números con dos dígitos (14, 25, 47), números con tres dígitos (108 y 129) números con 4 dígitos (2569) y números redondos (10, 60, 100, 200 y 1.000).

Como aprendices activos del sistema, los niños intentan representar numerales que aún no les han enseñado. Los errores encontrados aquí también son sistemáticos. Algunos niños parecen utilizar “una correspondencia biunívoca entre una palabra numérica y un dígito” (p. 91). Los autores identifican otros errores como escribir el dígito equivocado e invertir el orden de los dígitos 74 por 47. Estos errores representan un porcentaje pequeño de la muestra y en ningún caso corresponde al más del 21 por ciento. La mayoría de los niños escriben correctamente los números de dos dígitos y los números redondos. Los autores suponen que la memoria explica que puedan escribir estos últimos; pero resulta poco probable que puedan memorizar números de dos dígitos sin un sistema que les permita memorizarlos. Proponen entonces que los niños utilizaron dos sistemas: uno para escribir los números de dos dígitos y otro para escribir los otros números. El segundo sistema que los niños utilizan es el empleo de la regla implícita de concatenación: “concatenan la cadena de números correspondientes a las etiquetas numéricas” (p. 91). Otro error sistemático es que a veces el número de ceros aumenta o disminuye. Este tipo de escritura es más frecuente que las negativas a escribir o los aciertos. De esta parte del estudio, se concluye que la escritura de los niños corresponde con reglas congruentes, pero implícitas que ellos poseen.

En relación con la tarea de composición, categorizan los niños en los que logran realizarlas y en los que no pueden hacerlo. El 60% de los que realizan la composición aditiva logran escribir 189, 129 y 2.569 mientras que solamente el 13% de los que no logran realizarla, obtienen respuestas correctas, en los mismos numerales. Estos resultados indican que en un sistema de numeración de base, la composición aditiva del número, utilizando unidades de diferente valor, es un concepto que fundamenta la lectura y la escritura, es decir, los niños que no comprenden la composición aditiva, utilizando unidades de valores diferenciados, no pueden escribir ni leer números. Sin embargo no todos los que comprenden la composición aditiva tienen éxito en la lectura y la escritura.

12 Nudos para Lerner y Sadovsky.

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Esto puede estar sustentado por la hipótesis que la comprensión de la composición aditiva depende de la comprensión de la suma y no de la correspondencia biunívoca, en el conteo, como se señaló anteriormente. Nunes y Bryant, también plantean que esto depende en cierta forma de la enseñanza, es decir, si se enseña adecuadamente, los niños que comprenden la composición aditiva aprenden inmediatamente a escribir y leer números.

2.4.2. Noción de unidad y relación de equivalencia

Para Nunes y Bryant un sistema de numeración de base exige contar unidades de tamaños diferenciados; por ejemplo en el sistema de base diez se cuentan decenas, centenas, unidades de mil, etc. Estas unidades no solo tienen diferentes tamaños sino que se pueden agrupar en diferentes clases u ordenes, como la clase de las unidades, la clase de las decenas, y siguientes.

Los autores plantean que la escritura de los números implica, el concepto de unidad porque en el sistema de notación indo-arábigo, los dígitos de los numerales “representan”13 unidades de un valor determinado y cada unidad está a su vez representada por la posición que el dígito ocupa de izquierda a derecha en el numeral. Esta propiedad del sistema es conocida como el valor de posición o valor posicional. En la escritura de numerales, el “0” guarda la posición, cuando “existen unidades vacías en el número”. Basados en este análisis postulan que para escribir numerales, se necesita comprender los mismos principios que se deben tener en cuenta en el sistema oral, pero el valor de posición y el uso del 0 son específicos del sistema de numeración escrito.

En el contexto de la medición, Nunes y Bryant introducen nuevamente, el problema del tamaño de las unidades con que se mide y señalan dos puntos importantes: en primer lugar para comprender el sistema de medida es necesario comprender el concepto de unidad en si mismo, pues permite asignar un valor determinado a una cantidad; en segundo lugar, es esencial entender las equivalencias entre las unidades del mismo sistema de medición.

Esto los lleva a señalar la importancia del valor de las unidades para contar, para ordenar y para comparar cantidades. Por ejemplo, cuando necesitamos contar cuánto dinero tenemos es necesario saber el valor de las unidades que se cuentan, pero además, comprender que no contamos el número de monedas sino que sumamos el valor diferenciado de las mismas. En este caso no es lo mismo tener diez monedas de 1 peso que diez monedas de 10 pesos. Cuando se cuenta unidades de diferente valor, igualmente es necesario entender que a mayor valor, menor número de unidades y a menor valor, mayor número de unidades. En términos de Piaget (1980) una compensación está implícita en el proceso que permite hacer las equivalencias cuando se comparan dos cantidades y en general entre las unidades del sistema. Por ejemplo, una moneda de 1000 pesos se puede cambiar por 10 monedas de 100 pesos ya que son equivalentes; pero en una colección de diez monedas de 10 pesos y otra de diez monedas de 1 peso, por ejemplo, hay el mismo número de monedas pero montos diferenciados.

En el mismo estudio en que Nunes (1985, p. 68), trabajó la composición aditiva con la tarea de la tienda, realiza una tarea para evaluar la comprensión que los niños brasileros tienen del concepto de unidad. Ellos deben comparar el valor total de dos colecciones conformadas por monedas de diferentes denominaciones. Les presenta cuatro monedas de 1 13 Las comillas son mías.

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cruceiro y cuatro de 10 y en entrevistas individuales les pregunta si con cualquiera de las dos colecciones ellos pueden comprar la misma cantidad de caramelos o si con una de las colecciones pueden comprar más. El 60% de los niños logran realizar la tarea y entre ellos, algunos no pueden contar el monto total de dinero, pero entienden que cuatro monedas de 10 cruceiros permiten comprar más caramelos que cuatro de 1 cruceiro.

Estos resultados quizá se deban a que la tarea, así presentada, no exige el manejo del concepto de unidad como tal. Solamente exige que los niños manejen conceptos muy primitivos, de tipo cualitativo, sobre las cantidades. Por ejemplo: saber cual moneda vale más y por lo tanto con esas monedas se puede comprar más caramelos. En cambio la comprensión de la nociones de valor y cantidad, exigen unas compensaciones que esta tarea no demanda.

Para trabajar la noción de unidad y la de equivalencia entre las unidades en el sistema, adoptamos una tarea de cambio de moneda de una denominación alta, por varias monedas de una denominación inferior. Esta tarea exige “igualar diferencias” manejando la noción de unidad cualquiera (Piaget, 1941/1964) inhibiendo el número de monedas, una característica engañosa de la tarea (Pascual-Leone, 1994), así esta se presente en formato verbal, para centrarse en el valor de las monedas y lograr compensar las diferencias, comprendiendo que a mayor valor de las monedas, menor número de monedas y a menor valor, mayor número.

3. El desarrollo y los mecanismos de procesamiento numérico

Desde la perspectiva del desarrollo de la comprensión numérica, probablemente los niños construyen de manera progresiva los elementos, mecanismos y reglas que permiten transcodificar las expresiones numéricas verbales a formato arábigo y viceversa, hasta lograr diferenciar en el numeral las cantidades básicas y su relación con las potencias de diez. En una investigación anterior Orozco y Hederich (2000) señalan que este proceso de diferenciación corresponde a la representación semántica del número, en el modelo de McCloskey et al.14 y suponen que se encuentra también en construcción. Los autores plantean que el estudio del desarrollo de la comprensión que el niño logra del sistema, exige preguntarse por diferentes tipos de coordinaciones entre las modalidades de procesamiento. Para ello, describen y diferencian con más detalle el procesamiento sintáctico de las expresiones verbales, del procesamiento sintáctico de los numerales arábigos y analizan su incidencia en los errores que los niños cometen al escribir numerales dictados.

Macaruso y Sokol (1998) señalan que, en el caso del desarrollo, el uso de poblaciones neuropsicológicas les ha mostrado que los datos reflejan una interrupción en el proceso normal de adquisición de conocimiento o destrezas. Ellos suponen que los modelos cognitivos que se han construido sobre patrones de errores en el desempeño de pacientes con discalculia adquirida (acalculia), pueden ser bastante aproximados a los modelos de detención en el desarrollo cognitivo dentro del mismo dominio, y por lo tanto pueden ser utilizados para este fin. Al mismo tiempo, explican que si los niños con discalculia de desarrollo pueden sufrir déficits selectivos en habilidades numéricas se puede suponer que

14 Y parece ser que al segundo paso del algoritmo de transcodificación Deloche y Serón, en el cual se categorizar e identifican las clases léxicas.

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en el desarrollo normal estas destrezas son favorecidas por componentes cognitivos relativamente diferenciados.

3. El desarrollo y los mecanismos de procesamiento numérico

La revisión de los autores que trabajan en la problemática del procesamiento numérico desde la perspectiva del desarrollo revela dos vías de investigación. Quienes trabajan el procesamiento numérico en niños con discalculia y quienes investigan la misma problemática en niños normales. Makaruso y Sokol realizan una revisión extensa de las investigaciones sobre la discalculia como desorden en el desarrollo. Según ellos, el uso de la neuropsicología cognitiva en estos estudios es limitado (p.e. Temple, 1989, 1991; Sokol, Macaruso y Gollan, 1991; Seron, Deloche y Noel, 1992; Sokol, et al. 1994; Sullivan, Macaruso & Sokol, 1996; todos citados por Macaruso y Sokol, 1998) y privilegia los análisis intra e intergrupos. En contraste, solo algunos investigadores han explorado la discalculia de desarrollo a través de descripciones de casos individuales.

Algunos estudios con grupos evalúan niños con discalculia a través de pruebas de habilidades numéricas, pruebas de desempeño y resolución de problemas aritméticos. En otros casos, se utiliza el estudio de grupos para contrastar las relaciones habilidad numérica-memoria. Y otro grupo de investigaciones caracterizan los pacientes, desde la perspectiva de la asimetría cerebral, atribuyendo habilidades deterioradas al hemisferio izquierdo o al hemisferio derecho. En general todos los estudios con grupo arrojan como resultados, patrones diferenciados de ejecución.

De las investigaciones que han explorado la discalculia a través de descripciones de casos individuales, resulta interesante un temprano estudio (Guttman, 1937; citado por Macaruso y Sokol, 1998, p. 204) que presenta un número de historias de caso de niños con dificultades en el procesamiento numérico. Por ejemplo, se reporta un niño que produce errores en la escritura de numerales. Se le dicta “tres mil dos cientos veinte y ocho” y escribe “302028”. La mayoría de estudios de caso en la discalculia son de tipo informativo en cuanto demuestran el rango de disturbios que pueden presentarse en el desarrollo. Las descripciones de caso también han sido utilizadas para analizados desde la perspectiva de la dicotomía hemisferio izquierdo/derecho y otros estudios han clasificado los casos, en categorías que describen las características de la disfunción.

Para Macaruso y Sokol, todas estas investigaciones favorecen el conocimiento de un amplio rango de desordenes asociados con la discalculia como déficit cognitivo. Sin embargo, consideran que presentan fallas teóricas y metodológicas, dado que no se atiende a las habilidades numéricas en detalle, sistemáticamente, ni a partir de un modelo fundamentado conceptual y empíricamente. Por lo tanto, no logran determinar que clase de deficiencias presentan los niños en el procesamiento numérico, ni cómo estas deficiencias corresponden a desórdenes de procesamiento global. Por ello consideran necesario hacer estudios de caso de niños, en los cuales se determine el “locus de quiebre” dentro de un modelo de procesamiento de información en una arquitectura cognitiva normal.

Los primeros investigadores que utilizan un modelo cognitivo, el de McCloskey et al., para evaluar niños con discalculia son Shalev y colaboradores (1995, citados por Macaruso y Sokol, 1998). Sin embargo, su investigación esta igualmente guiada a determinar diferencias en el procesamiento de cada uno de los hemisferios y en tareas de cálculo aritmético.

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Sokol, Macaruso y Gollan (1991, 1994) utilizan la batería de McCloskey et al. (ver descripción en Macaruso, McCloskey y Aliminosa, 1993) para evaluar estudiantes con diagnostico de dislexia y déficit en las habilidades matemáticas básicas. Los autores analizan casos que les permitan sustentar los diferentes supuestos del modelo de McCloskey et al. Por ejemplo, presentan los desempeños de sujetos en los que el componente de comprensión numérica esté intacto, mientras el componente de producción se encuentra deteriorado. Otros casos ilustran, de igual forma, la individualidad funcional de los componentes de procesamiento numérico-cálculo, procesamiento sintáctico-léxico, procesamiento verbal-arábigo, etc. La mayoría de los errores presentados, son analizados a partir del criterio error léxico- error sintáctico, y guardan las mismas características de los descritos anteriormente por McCloskey et al.

La evidencia empírica sobre el procesamiento numérico de niños normales ha sido reducida. Macaruso y Sokol (1998) y Noel y Turconi (1999) reportan algunas investigaciones (Power & Dal Martello, 1990, Seron et al., 1991, 1992, 1994) que utilizan el modelo de McCloskey, et al. para analizar los errores producidos por los niños, en la escritura de números arábigos al dictado y la lectura de numerales. Al parecer, en estos estudios se ha encontrado que la mayoría de los errores muestran un patrón consistente. Sin embargo, Sullivan, Macaruso & Sokol (1996) evaluaron niños normales de 3° y 4° de primaria con la algunos ítems de la batería de McCloskey et al. y utilizaron su modelo para analizar las producciones. Ellos descubrieron que la mayoría de los errores de los sujetos, por el contrario, presentan patrones bastante inconsistentes, como los encontrados en muchos niños con discalculia. Concluyen entonces que cualquier modelo de desarrollo de decodificación numérica necesita tomar en cuenta esta diversidad de errores mostrados por los niños evaluados.

Power y Dal Martello (1990, 1997, citados por Noel y Turconi, 1999) encuentran que niños italianos de 7 años transcodifican correctamente números por debajo de 100, pero en números de 3 y 4 dígitos aparecen errores preponderantemente sintácticos (87 %) que consisten, principalmente, en la inserción de ceros extras. Por ejemplo, “trescientos sesenta y cinco” lo escriben 30065 o 3065 y “tres mil quinientos ocho” como 30005008. Los autores proponen un algoritmo de transcodificación para la escritura de numerales dictados, en el cual se conserva la diferenciación entre la etapa de comprensión y la de producción del modelo de McCloskey et al. Conservan además, el propósito de interpretar el numeral verbal a partir de la construcción de la expresión semántica correspondiente. Sin embargo, asumen que esa representación semántica no se basa en una representación en base diez sino que refleja la estructura del sistema numérico verbal

Conceptos numéricos primitivos, incrustados en relaciones de suma y producto (pe. trescientos cuarenta y cinco es (C3 x C100) + (C4 x C10) + C5, con Cx como representación semántica de la cantidad x). Esta representación semántica se convierte, durante la etapa de producción, en el numeral arábigo correspondiente. En este nivel, dos operadores diferentes se usan dependiendo del tipo de relación, suma y producto, expresados en la representación semántica del número. En el caso de las relaciones de producto, se realiza una operación de concatenación (pe. seiscientos da C6 x C100 = <6> & 00 = 600; & significa escribir en el lado derecho del primer dígito) mientras una operación de reescritura se usa en las relaciones de suma

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(pe. ciento seis da C100 + C6 = <100> # <6> = 106; # significa escribir sobre el cero iniciando desde la derecha). (Power y Dal Martello, 1990; citados por Noël y Turconi, 1999, p 299).

Los autores plantean que la operación de concatenación domina en la mayoría de los errores, antes que los procedimientos de reescritura. Por lo tanto los errores resultan de una aplicación errada de la concatenación, más que de una regla de reescritura. Por ejemplo, decodificar “doscientos cinco” requiere la aplicación de una regla en la cual 5 es escrito sobre el 0 final de 200 para producir 205, pero los niños aplican reglas de concatenación en las cuales el 5 es añadido al 200 para producir 2005 (Power y Dal Martello (1990, citado por Makaruso y Sokol, 1998). Al estudiar la lectura de numerales arábigos en niños de 7 años, los autores encuentran también que la mayoría de los errores son sintácticos y ocurren en numerales por encima de 100. Suponen que ellos transcodifican estos numerales arábigos, tanto por fragmentación (pe. 834 se lee ochenta treinta y cuatro) como ignorando algunos dígitos (pe. 727 se lee setenta y siete). Cuando los multiplicadores “cientos” o “miles” aparecen en el lexicón de los niños, se producen otros tipos de errores. Por ejemplo, cuando usan un multiplicador errado (pe. 404 se lee como cuatro mil cuatro) o cuando equivocan la posición del multiplicador (pe. 404 se lee como ciento cuarenta y cuatro).

Seron, Deloche & Noël (1991, citados por Noel y Turconi, 1999) evalúan niños de 2º y 3º de primaria en la tarea de escritura de numerales arábigos, con una aproximación longitudinal de tres mediciones en un año, que les permite describir un patrón de evolución de la ejecución y los tipos de errores de los niños.

Seron y Fayol (1994, citados por Noël y Turconi, 1999) trabajan con niños de 2º grado en una tarea de escritura de numerales arábigos dictados, tratando de aislar, el centro funcional (functional locus) de las dificultades de los niños para transcodificar números en una arquitectura similar a McCloskey et al. (1985). Los autores encontraron un desempeño superior en las tareas de comprensión de numerales verbales que en las tareas de producción de numerales arábigos, concluyendo que las dificultades de los niños al escribir numerales desde el dictado se originan principalmente en la etapa de producción de numerales arábigos.

Seron, Van Lil y Noël (1995, citados por Noël y Turconi, 1999) estudiaron la progresión de niños de 7 años en la tarea de lectura en voz alta de numerales arábigos, a través de tres sesiones de evaluación durante el año escolar. También encontraron que la mayoría de los errores de transcodificación fueron sintácticos y su taza incrementa con la longitud de la cadena de dígitos. Los errores producidos son variados y se consideran resultado del uso de estrategias específicas desarrolladas por los niños y construidas desde el conocimiento adquirido en la lectura de estructuras arábigas más simples. Los autores concluyen que las actividades de lectura de numerales son parcialmente autónomas, debido a que siguen diferente progresión dentro de las sesiones de evaluación.

Seron, Noël y Van der Elst (1997, citados por Noel y Turconi, 1999) evalúan un grupo de niños de 6 años en dos momentos diferentes durante el año escolar para localizar el centro funcional de las dificultades de los niños en la lectura de numerales arábigos. Los autores concluyen también que existe una progresión con el tiempo, un efecto importante de la magnitud del número y una preponderancia de errores sintácticos.

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Noël y Turconi (1999) plantean que estos hallazgos se encuentran en la generalidad de los estudios sobre procesamiento numérico en niños normales y concluyen que el desarrollo normal de la transcodificación tanto en escritura y lectura de numerales arábigos, para los niños, es un proceso que toma de 2 a 3 años de duración, y esta progresión sigue la longitud del numeral (expresada en términos del número de dígitos). Además suponen que muy temprano en esta fase de aprendizaje, los errores léxicos son insignificantes y solamente se presentan errores sintácticos. En general los errores léxicos son poco comunes al final de los 7 años. Finalmente, plantean que la gran mayoría de los errores sintácticos se presentan en la etapa de producción de numerales arábigos o verbales y se derivan de la dificultad para dominar una o más de las reglas de transcodificación o partes del algoritmo.

A partir de estas consideraciones, los autores proponen que la evaluación de la transcodificación numérica en los niños debe considerar el tamaño máximo de los números que ellos pueden leer y escribir y compararlos con las normas. Para ellos la evaluación de los procesos de transcodificación numérica en niños podría incluir como menos dos tareas de transcodificación: lectura en voz alta de numerales arábigos y escritura de éstos bajo dictado para accionar el análisis, poniendo tareas de comprensión numérica y procesos de producción.

4. Discusión y aportes de la literatura revisada Como Noël y Turconi señalan, los modelos de procesamiento “son obviamente silenciosos en relación con los mecanismos de adquisición de estos procesos” (1999, p. 298). El trabajo con niños exige preguntarse cómo llegan los niños a construir los mecanismos, las reglas y componentes, que configuran la arquitectura de los modelos de procesamiento. Los trabajos sobre procesamiento de niños con dificultades y normales empiezan a formular algunas tesis que algunos casos compartimos y en otros casos discutimos15

Los aportes de las investigaciones sobre el desarrollo de la comprensión de la notación numérica se pueden sintetizar así:

1. Varios autores reconocen la relación entre expresiones numéricas verbales y la facilidad para contar, componer aditivamente y comprender las propiedades del sistema. Proponen esta relación trabajando desde dos perspectivas:

o La transparencia lingüística de las expresiones numéricas verbales.

o La correspondencia entre la notación con el orden de la enunciación verbal del número.

2. Todos afirman que la adquisición de la notación numérica es producto de un desarrollo lento y complejo que puede tomar mucho tiempo y en el cual conviven formas convencionales y no convencionales de escritura

3. Los trabajos sobre desarrollo igualmente aportan datos sobre la manera como los autores suponen que los niños comprenden el sistema pero no tienen en cuenta para nada los mecanismos de procesamiento.

4. La revisión de la literatura igualmente permite identificar:

Tipos de problemas que se han trabajado.

15 Esta discusión se plantea en las conclusiones de este informe.

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Metodología empleada. Tipos de interrogatorios y tareas utilizadas:

o Violación deliberada o Dictado o Diseño experimental o Confrontación

Categorías de análisis

Solamente Nunes y Bryant relacionan la escritura de numerales con la composición aditiva. Sin embargo, la manera simplista como Nunes y Bryant presentan los principios que las unidades definen en el sistema de numeración escrito –valor de posición y papel del “0”- los lleva a ignorar la importancia de la operación multiplicativa en el sistema y a utilizar una tarea excesivamente sencilla para evaluar la concepción de unidad.

En este contexto, este estudio se ubica en la intersección de la escritura y lectura de numerales y su relación con las invariantes del sistema; adopta un diseño cuasi-experimental que permite confirmar algunos supuestos y explorar otros; adopta algunas tareas y algunas categorías que permiten tipificar los numerales y definir cierto tipo de errores sintácticos. Finalmente se pregunta por los tipos de procesos que llevan a los niños de diferentes culturas a presentar errores que resultan altamente regulares.

Desde nuestra perspectiva, los trabajos que relacionan la escritura y lectura de numerales con las invariantes del sistema, presentan diferentes tipos de problemas. En primer lugar, sólo contemplan la composición aditiva; análisis posteriores muestran la necesidad de trabajar la composición aditiva y multiplicativa del sistema. En segundo lugar, el tipo de tareas que utilizan, trabajan con materiales concretos y se pierde al carácter numérico del problema.

En esta investigación, estamos interesados en identificar tareas propiamente numéricas que permitan trabajar las relación entre composición – simultáneamente aditiva y multiplicativa - y escritura y lectura de numerales.

A continuación evalúo el carácter indiferenciado de la composición en el sistema. –igualmente multiplicativa como aditiva - y analizo el papel de los dígitos en las unidades en el sistema de notación. Como veremos, los dígitos no “representan” las unidades; los dígitos constituyen los operadores de las unidades y las unidades son producto de las potencias de diez. Estas dos características definen el carácter multiplicativo del mismo.

5. Relación entre composición aditiva directa y composición multiplicativa y escritura de numerales

Como se planteó anteriormente la composición aditiva fundamenta la composición de los numerales en los distintos ordenes, porque “posibilita la inclusión de los números de un período inferior en el siguiente y permite entender porqué solo se escriben los operadores de las potencias” (Bedoya & Orozco, 1991). También se explicó que esta característica esencial del sistema de notación es conocida como el valor de posición.

Sin embargo, quisiera señalar que la composición de los numerales implica no solo la composición aditiva sino también la multiplicativa y que se puede suponer que una y otra tienen una relación alta y significativa para la escritura de numerales. Esto quiere decir, que

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la escritura de cualquier numeral es producto de la composición multiplicativa y aditiva de las diferentes unidades que lo conforman, así 2.053 es producto de:

2x103 = 2x1.000 = 2.000

0x102 = 0 x 100 = 0

5x101 = 5 x 10 = 50

3x100 = 3 x 1 = 3

2.053 Cuando los alumnos aprenden a escribir los números a partir de las operaciones de composición comprenden que el numeral representa una totalidad y que las cifras que lo conforman no se pueden considerar como dígitos separados: dos, cuatro, cinco, cero, si no, como un todo que corresponde a dos mil cuatrocientos cincuenta e igualmente entender que 2.450 equivale a 2 unidades de mil, 24 centenas, 245 decenas y 2.450 unidades.

Orozco (1999) plantea que la composición multiplicativa fundamenta la construcción de las unidades del sistema producto de los operadores de las potencias. Formalmente, la unidad decimal o unidad en base 10 se define como la clase conceptual cuyos componentes son las unidades decimales de ordenes 0, 1, 2, 3, etc.: (Bedoya, Orozco, 1991, p. 56)

100 = 1

101 = 10

102 = 100

10n = ....

La unidad en el sistema, se denomina de orden cero porque no hay una unidad cuyo valor sea igual a diez, o sea, no se configura un grupo de 10 elementos y por eso se escribe 100. Se llama unidad de orden uno, porque se forma una unidad16 que vale 10, o sea, se configura un grupo con 10 elementos y por eso se representa 101. Se llama unidad de orden dos, porque se forma una unidad que vale 10 veces 10, o sea 10 grupos de 10 y por eso se escribe 102, y así sucesivamente.

Desde esta perspectiva, se puede decir que cualquier unidad en el sistema es producto de la potenciación. Entonces, la unidad de orden 3 (10³) es 100 veces 10 y 1.000 veces 1.

Para escribir el numeral correspondiente a un número natural cualquiera, se utiliza una versión abreviada de lógica del sistema y solamente se escriben los operadores de las potencias. Para escribir el número “cinco mil treinta” solamente se utilizan los operadores de las potencias. Los dígitos que configuran al numeral 2.450 son múltiplos de las potencias. así:

16 La unidad puede ser compuesta o simple. Cuando me refiero a la unidad simple, utilizo la expresión elementos, cuando me refiero a la unidad compuesta especifico el valor de la misma.

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2x103 + 4x102 + 5x101 + 0x100

Ejemplo: 2.450 = 2 X 103 + 4 X 102 + 5 X 101 + 0 X 100

Potencia: orden de la unidad

Operadores: factores que multiplican la potencia

De la misma manera se puede decir que 50 es 5 veces 10, la unidad de orden uno; 400, es igual a 4 veces 100, la unidad de orden dos; 2.000 es igual a 2 veces 1.000, la unidad de orden 3... etc.”.

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Problema y objetivos La revisión realizada, revela tesis variadas y diferenciadas referidas a la relación entre el carácter de las expresiones numéricas verbales, la escritura de los niños y su comprensión del sistema de numeración en base diez.

Varios autores señalan la relación entre numeración hablada y escrita y para sustentar esta tesis, algunos se basan en la correspondencia entre la notación y el orden de la enumeración, en la numeración hablada (Lerner y Sadovsky, 1993); otros, en la relación entre las expresiones verbales y las tareas de composición aditiva (Nunes y Bryant1996/1998) y un tercer grupo, en la relación entre el conocimiento oral de los números y el aprendizaje del sistema de numeración, particularmente, a partir de las centenas (Scheuer y otras, 2000), o sea, cuando las expresiones verbales en castellano, italiano, francés e inglés presentan regularidades.

En una investigación precedente (Orozco, Hederich, 2000) señalamos la relación entre las expresiones numéricas verbales y la escritura de numerales y postulamos que probablemente la notación numérica está más relacionada con las características morfo sintácticas de las expresiones numéricas verbales que con las características operatorias del sistema de numeración. Sin embargo, limitaciones del diseño y de las tareas no permiten validar este postulado. Por lo tanto resulta conveniente y necesario continuar explorando, con diseños más controlados, las relaciones entre expresiones numéricas verbales, escritura y lectura de numerales y la comprensión que los niños alcanza de las invariantes17 del sistema de notación en base diez y así poder avanzar en la construcción de un modelo de procesamiento numérico que de cuenta de la manera como los niños progresivamente construyen su comprensión del sistema de numeración. Entendemos la notación numérica en el contexto de la comprensión de las propiedades y componentes del sistema de notación en base diez. Con Nunes y Bryant aceptamos que la noción de unidad es una de las invariantes del sistema y proponemos que además de la composición aditiva, que ellos proponen como otra invariante, es necesario considerar la composición multiplicativa como la tercera invariante del sistema.

1. Objetivos generales

1. Avanzar en la construcción de un modelo de procesamiento numérico en escritura y lectura de numerales, explorando:

Nivel de acierto y tipos de error en la escritura de los niños, en función de las variables del diseño y de variaciones controladas de los números que se les dictan.

Nivel de acierto que los niños alcanzan cuando leen lo que escriben. Posibles cambios, a corto y largo plazo, en el nivel de acierto que los niños alcanzan en

escritura y lectura de numerales. Posibles relaciones entre escritura y lectura de numerales e invariantes del sistema de

notación en base diez, específicamente: o Composición multiplicativa y aditiva o Relación de equivalencia entre unidades del sistema.

17 En una investigación previa, llamo a las composiciones aditivas y multiplicativas y a la relación de equivalencia entre las unidades del sistema, “componentes del sistema” (Orozco, 2001, p. 22); sin embargo, para este estudio adopto la expresión de “invariantes de los sistemas de numeración en base”, utilizada por Nunes y Bryant (1998, p. 64).

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2. Objetivos específicos

1. Describir el nivel de aciertos que los niños alcanzan al escribir numerales en función de:

Variaciones en el tiempo o A largo plazo: edad o grado o A corto plazo: aplicación 1 y 2

Variables de los numerales dictados o Rango numérico: superior y propio o Numerales con y sin cero o Nudos y numerales intermedio

2. Describir el tipo de error que los niños cometen en función de:

Variables de los numerales dictados o Rango numérico: superior y propio o Numerales con y sin cero o Nudos y numerales intermedio

3. Describir el nivel de aciertos que los niños alcanzan al leer los numerales que escriben, en función de:

Variaciones en el tiempo o A largo plazo: edad o grado o A corto plazo: aplicación 1 y 2

4. Explorar relaciones entre los aciertos de los niños al resolver tareas relativas a la escritura y lectura de numerales, composición multiplicativa y aditiva de numerales y relación de equivalencia entre las unidades del sistema.

3. Preguntas y supuestos

El problema se concreta a partir de un conjunto de preguntas y supuestos relativos a posibles relaciones entre porcentajes de niños que aciertan y se equivocan y las variables en consideración, a saber:

¿Se presentan diferencias significativas entre los porcentajes de niños asignados a niveles de acierto diferenciados, en función de la edad o grado, de primera y segunda aplicación y del rango numérico de los numerales que escriben?

Teniendo en cuenta los resultados en las investigaciones precedentes se puede suponer que el porcentaje de niños que aciertan en los ítems de rango propio, asignados al nivel alto de aciertos – más del 95% de ítems resueltos – es significativamente mayor que el porcentaje de niños con un nivel de aciertos alto en rango superior. Si esta hipótesis se confirma, es necesario preguntar:

¿Existe relación entre el porcentaje de niños que aciertan con el tipo de ítems que resuelven?

Igualmente, es posible suponer que en rango superior se presenta un porcentaje mayor niños que cometen errores que en rango propio. Si este supuesto se confirma, resulta conveniente preguntarse:

¿Cuál es el tipo de error más frecuente en rango superior? ¿Existe relación entre el tipo de ítems y el tipo de error?

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En relación con la lectura de numerales dictados se pueden formular las siguientes preguntas:

¿Se presentan diferencias significativas entre los porcentajes de niños asignados a niveles de acierto, en función de la edad o grado, de primera y segunda aplicación?

Finalmente, es necesario responder si, ¿existen relaciones entre los niveles de acierto que los niños alcanzan al resolver tareas relativas a la escritura y lectura de numerales, a las composiciones multiplicativa y aditiva, implícitas en la escritura de numerales y a la relación de equivalencia entre las unidades del sistema?

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Metodología

1. Diseño de la investigación

Estudio cuasi-experimental con diseño transversal y longitudinal, que establece una diferencia con los diseños transversales puros, al realizar dos cortes de observación y permite comparar las producciones: 1) de tres grupos de niños, diferenciados en función del grado escolar (Gr1-Gr3), con edades (E1-E3) que corresponden con cada grado; y 2) en dos momentos diferenciados del mismo año escolar que se denominan, primera y segunda aplicación; es decir, las mismas tareas se aplican dos veces, a los mismos niños, a través del mismo grado escolar y en este sentido se asemeja a un diseño longitudinal de medidas repetidas. La primera y segunda medición, se llevan a cabo con 10 semanas de diferencia entre cada aplicación.

La Figura 1 muestra un esquema en el que aparecen las mediciones realizadas y ubica un piloto de las tareas, previamente realizado, que para algunos niños y en algunas tareas guarda algunas características18 de una medición más.

G1(E1)-G3(E3) G1(E1)-G3(E3) G1(E1)-G3(E3) Piloto M1 M2 ----------10 semanas ----------- --------------10 semanas ------------

Figura 1. Esquema de las mediciones

Desde una perspectiva evolutiva, este diseño permite la obtención de datos en momentos específicos de tiempo, de manera transversal entre diferentes grados/edades y a su vez, a lo largo de una progresión temporal a corto plazo, entre aplicaciones diferenciadas19. Sin embargo, es necesario señalar diferencias con el diseño longitudinal, por que no se compara un solo grupo, sino diferentes grupos (Gr.1-Gr.3) de diferentes edades (E1-E3) y en un período más corto de tiempo (cada dos meses y medio).

En conclusión la investigación presenta un diseño con tres variables específicas que son representadas en el esquema de la Figura 2. Cada una de las variables tiene tres valores diferentes:

1. Grado/edad 1º / 6-6,6 años 2º / 7-7,6 años 3º / 8-8,6 años 2. Tareas relativas al sistema Escritura de numerales dictados Lectura de numerales Composición numérica Equivalencia 3. Mediciones Primera aplicación Segunda aplicación

18 Los ítems no son los mismos y el número de sujetos tampoco corresponde con las mediciones siguientes. 19 Las condiciones de inestabilidad de los niños en las escuelas no siempre permiten este tipo de diseño.

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Piloto Aplic. 1 Aplic. 2

2º

Escritura

Lectura

Composición

Equivalencia

1º

3º

Z

Escritura

Lectura

Composición

Equivalencia

Escritura

Lectura

Y

X

Figura 2. Esquema general del diseño de investigación

2. Los Sujetos

Se entrevistan 77 niños de 1 a 3 grado de educación básica primaria en dos colegios privados de alto nivel académico, de Cali. Con el fin de homogeneizar variables de investigación, el criterio de selección de la muestra es un rango de edad constante para cada grado escolar. La Tabla 1. muestra el número de niños en función de las variables grado/edad.

Grado Edad No niños 1º 6 – 6,6 24 2º 7 – 7,6 28 3º 8 – 8,6 25

Total 77 Tabla 1. Criterios de selección de la muestra

De la muestra seleccionada cuatro sujetos de cada grupo participan en una aplicación piloto que permite afinar las variables de la investigación y las tareas específicas, los instrumentos de recolección de datos y los instrumentos de registro. Los sujetos del piloto, sin embargo, ingresan a la muestra general dado que cumplen con los criterios de selección.

3. Las tareas

El manejo del sistema de notación en base diez involucra la escritura y lectura de numerales y comprensión de al menos dos invariantes del sistema:

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Composición aditiva y multiplicativa Relación de equivalencia entre unidades del sistema

Estos componentes se trabajan en las cuatro tareas diseñadas para este estudio. Para cada tarea se definen variables:

Escritura de numerales dictados Lectura de numerales arábigos Composición numérica Equivalencia

La variable rango numérico es común a las cuatro tareas y es específica para cada grupo de edad. Es decir, a todos los niños se les presentan tareas iguales, que varían en el rango, que se determina en función del grado de escolaridad (Ver Tabla 2), de acuerdo con los parámetros propuestos por el MEN para los mínimos en matemáticas. Para cada tarea la variable rango numérico toma uno o dos valores. Por ejemplo, en las tareas de escritura y lectura: rango propio y rango superior; en cambio, en las de composición y equivalencia se mide únicamente desempeño en rango propio.

Grado Rango numérico 1º 1 – 100 2º 101 - 1.000 3º 1.001 - 10.000 4º 10.000 – 100.00020

Tabla 2. Rango en función de grado

Las otras variables, se definen en función de las tareas, por ejemplo, para escritura, numeral con cero o sin ceros.

3.1 Escritura de numerales dictados

La presentación de la tarea de escritura se realiza utilizando la técnica del dictado. Un solo entrevistador dicta los numerales, controlando las pausas en cada uno de ellos y el tono de voz. En cada numeral dictado no se usa grabación para que el entrevistador pueda crear una relación empática con el niño21.

El experimentador lee a cada niño los numerales escritos en formato arábigo, en fichas rectangulares (3.5 x 5 cm) de cartulina, guardadas en bolsas marcadas en función del rango del numeral. Durante la situación experimental, se presentan primero los numerales de rango propio, correspondiente al grado escolar de cada niño, un orden aleatorio, a medida que se sacan de la bolsa. Después se dictan los numerales correspondientes al rango inmediatamente superior, también en orden aleatorio.

El niño recibe una hoja de papel con columnas de líneas impresas en las que escribe los numerales que se dictan. El entrevistador pide al niño que escriba los numerales siguiendo el orden de las columnas con la siguiente consigna: “vas a escuchar los números que te voy 20 En la tabla se considera el rango numérico de 4º porque fue utilizado como rango superior de 3º en la tarea de lectura y escritura de numerales. 21 Con el fin de evitar el reconocimiento de los niños de las marcas fonológicas del formato verbal arábigo en español los entrevistadores recibieron entrenamiento en un laboratorio de idiomas, modulando su entonación a partir de sus propias grabaciones.

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a dictar y luego los escribes uno debajo del otro en esta hoja (Anexo 1) y cuando termines esta columna continua en la siguiente”

Las secuencias del dictado y de la escritura son diferentes. Por ello al dictar los numerales el entrevistador solicita al niño: “Escuche y piense el número y luego escriba”. Si se presenta un error en el dictado por parte del entrevistador, se dice: “Perdón, vuelvo a empezar”. Cuando el niño expresa verbal o gestualmente que no sabe escribir el numeral dictado le dice: "Piensa como podrías escribirlo". El número se repite solo si está por encima del rango fijado para el grupo de edad. Si está en el mismo rango se le dice: “No te lo puedo repetir, por eso me tienes que prestar mucha atención”

3.1.1. Variables de la tarea

En la tarea de dictado, los ítems seleccionados están determinados para cada grupo de edad en función de cuatro variables experimentales, a saber: el rango numérico, la presencia o ausencia de ceros en el numeral, la condición de nudo o no nudo y si el numeral es intermedio entre dos nudos. Cada variable se sustenta los supuestos teóricos que guían la investigación.

Rango numérico

El rango numérico constituye la principal variable de la tarea de escritura y está determinada por el grado escolar de los niños. De acuerdo con el rango, el número de dígitos varía desde 1 hasta 5. Las diferencias en el rango de los numerales dictados permiten establecer dos categorías: numerales con rango propio y numerales con rango superior al fijado para el grado. A cada grado se le dicta un número diferenciado de ítems en rango propio y en rango superior (Ver Tabla 3). Por lo tanto el número de ítems no coincide entre grados.

Grado escolar

Rango numérico

Ítems dictados en rango propio

Ítems dictados en rango superior

Total Ítems dictados

11ºº 10 –100 y 100 –1.000 8 ítems 12 ítems 20 ítems

22ºº 100 –1.000 y 1.000 -10.000 12 ítems 19 ítems 31 ítems

33ºº 1.000 -10.000 y 10.000 – 100.000

19 ítems 28 ítems 48 ítems

Tabla 3. Rango numérico y número de ítems dictados para cada rango en y en función del grado escolar

Numerales con y numerales sin cero

Orozco y Hederich (2000) encuentran que la escritura de los numerales con cero, resulta más difícil para los alumnos. En las tareas para cada grado se incluye un número variado de numerales con cero tratando de balancear la posición del cero en el numeral. Con excepcion del grado 1º, los ítems con cero superan el número de ítems sin cero.

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Es nudo - no es nudo

Lerner y Sadovsky (199 ) definen como “nudo” a los numerales que constituyen unidades en un período dado. Sostienen que los nudos resultan más fáciles de escribir, que los numerales intermedios. Nunes y Bryant los llaman numerales redondos y plantean que los niños poseen un sistema especial que posibilita tu escritura.

Intermedios

Son numerales localizados ordinalmente entre dos nudos. Lerner y Sadovsky (199 ) señalan que estos son más difíciles que los nudos. (Ver anexo 2. Numerales dictados en función de grado y de las variables estipuladas).

3.2 Lectura de numerales Una vez el niño ha terminado de escribir el último numeral dictado se le dice: “Ahora vas a leer los números que has escrito”.

Se les solicita leer los numerales escritos en el orden que el investigador señale, que resulta diferente al orden en que lo han escrito. Como los niños escriben los numerales siguiendo el orden de las columnas, el entrevistador señala uno a uno los numerales, de acuerdo con el orden de las filas.22 Si un niño no sabe leer un numeral, se le dice: “Piensa y trata de leerlo como tú creas que se lee”.

3.3. Tarea de composición numérica: aditiva y multiplicativa En la tarea de composición se presentan dos enunciados verbales, que interrogan sobre la escritura de un número determinado a partir de sus componentes numéricos. Para cada enunciado se tiene una tarjeta en la cual este aparece escrito. Para iniciar la presentación se escoge una de las dos tarjetas y se pregunta al niño:

“Como se escribe un número que tiene...” Enseguida el investigador completa la consigna leyendo el enunciado que aparece en la tarjeta. Estos enunciados aparecen relacionados en la Tabla 4, en función del grado al cual corresponden.

Grado Enunciado 4 veces 10 y 5 veces 1 1º 8 veces 10 y 0 veces 1 4 veces 100, 5 veces 10 y 3 veces 1 2º 4 veces 100, 0 veces 10 y 5 veces 1 2 veces 1.000, 4 veces 100, 5 veces 10 y 3 veces 1 3º 2 veces 1.000, 4 veces 100, 0 veces 10 y 3 veces 1

Tabla 4. Enunciados en función del grado escolar

Después de la presentación verbal del enunciado, se entrega la tarjeta al niño, para que pueda leerla.

22 Este procedimiento se adopta para evitar que los niños se basen en claves de memoria, del numeral dictado.

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Si el niño enuncia las veces que se repite y no los resultados, o escribe varias cantidades dispersas, se le dice: “Aquí hay muchos números pero queremos uno solo. ¿Cómo se puede escribir un solo número que tenga todo esto?”

El componente multiplicativo de esta tarea se enuncia en las veces que cada tipo de unidad se repite; el aditivo en la composición aditiva de los resultados parciales que obtienen.

3.4 Tarea de equivalencia

Esta tarea propone un problema de cambio que presenta un enunciado verbal sobre la equivalencia entre unidades del sistema: las unidades varían en función del grado en el cual se encuentra el niño.

Para 1º de primaria la consigna es: “Un niño me dijo que 10 veces 10 es lo mismo que 1 vez 100”

Para 2º y 3º de primaria la consigna es: “Un niño me dijo que 10 veces 100 es lo mismo 1 vez 1.000”

Una vez el investigador termina de presentar cualquiera de los enunciados previos, dice al niño: "¿Tu que opinas? ¿Es cierto lo que este niño dice?" o ¿Es cierto lo que el niño dijo? Se espera una respuesta afirmativa o negativa y se le exige una argumentación que explique su respuesta: “¿Por qué crees que es cierto (o no es cierto) lo que dijo ese niño?” En la entrevista clínica, al estilo de Lerner y Sadovsky (1994) y como técnica para confrontar el conocimiento del niño, se introduce otro sujeto, que igualmente es un niño, que contra argumenta; en algunos casos, se asigna un nombre al niño. La totalidad de las entrevistas se filman y su contenido se transcribe.

4. El Registro

El registro incluye la descripción de cada niño: código, nombre y apellido, fecha de aplicación, equipo que aplica, fecha de nacimiento del niño y ubicación en los cassetes de filmación. El código para los sujetos queda asignado de acuerdo con los siguientes campos y criterios: Colegio: F: Nombre colegio 1 C: Nombre colegio 2 Grado: 0: Transición; 1: Primero; 2: Segundo; 3: Tercero. Curso: A, B, C. Piloto: P2: Pertenece 01: No pertenece. Número de niño: 01 hasta 27.

4.1 Tarea de escritura

Se registra el numeral que el niño escribe y todo lo que el niño hace desde el momento en que se le dicta el numeral: movimientos de labios, cabeza, cuerpo y vocalizaciones; se trata de registrar la manera como el niño escribe el numeral. Si la vocalización no se alcanza a escuchar se registra como subvocalización.

4.2 Tarea de lectura

Se describe el número dictado, la producción escrita del niño en formato arábigo y la producción de lectura. La palabra número que el niño verbaliza se escribe en letras. Se adoptan marcas para señalar cuando la lectura del niño no corresponde ni con el numero dictado por el investigador, ni con la producción escrita: se marca con una D, cuando la

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expresión que lee corresponde con él numero dictado y E cuando corresponde con la producción escrita del niño.

4.3 Tareas de composición y equivalencia

En cada tarea se registran las respuestas verbales del niño lo mismo que el registro escrito, esto último, en la tarea de composición numérica.

5. Análisis de datos

Las tareas se analizan en función del logro de cada niño al resolver cada ítem. Cada respuesta recibe un puntaje de 1 o 0: 1 para los aciertos y 0 para los errores. Para cada niño se obtiene el porcentaje de respuestas acertadas, que corresponde al número de aciertos sobre el número de ítems que debe resolver.

Para ponderar los aciertos de los niños al resolver todas las tareas, se consideran tres niveles. En el caso de escritura y lectura, los niveles se asignan de acuerdo con los siguientes criterios: bajo si presenta menos del 50% de numerales correctamente escritos o leídos, medio, si presenta entre el 50 (incluido) y el 95% de aciertos en cada una de las tareas y alto, si presentan el 95% o más de aciertos.

En la tarea de composición, los niveles de acierto responden a los siguientes criterios: bajo sí no acierta en ninguna de las dos preguntas de composición: medio, sí acierta en una de las dos composiciones y alto, sí acierta en las dos.

En equivalencia, se valora tanto el logro de la respuesta, cómo el tipo de argumento que el niño presenta para sustentarla. Los niveles de análisis considerados responden a los siguientes criterios: bajo sí la respuesta es errada y no presenta argumento o el argumento es errado, medio sí la respuesta es acertada y no presenta argumento o el argumento es errado, alto sí tanto respuesta como argumento son acertados.

Estos niveles se comparan estadísticamente, hallando porcentajes y diferencias, en las variables propias del diseño: grados y aplicaciones.

El diseño permite estudiar simultáneamente las diferencias significativas intra e inter grados y entre aplicaciones, para escritura y lectura. Igualmente, se analizan en estas dos tareas, los cambios en la distribución de los niños asignados a cada nivel, entre aplicaciones

El análisis de los errores en escritura, se realiza de acuerdo con las categorías del modelo de McCloskey y otros (1985) que permiten diferenciar errores léxicos de sintácticos.

Para escritura, algunos elementos técnicos y de procedimiento fueron tomados de los diseños dos por dos. De este tipo de diseño, se toman algunos criterios para el análisis final de los datos de la investigación, realizando las siguientes comparaciones entre variables de los ítems de la tarea: numerales con cero vs. numerales sin cero, nudo vs. no nudo y nudos vs. intermedios.

Las tareas de composición y equivalencia se analizan únicamente en función de niveles de acierto y grados.

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Resultados23

1. Escritura En la primera aplicación el porcentaje más alto de niños de 1º grado (58.3%) está asignado al nivel bajo de aciertos y el de 2º y 3º, al nivel medio (85.7 y 64%, respectivamente). En la segunda aplicación, los porcentajes más altos de niños que aciertan, para todos los grados, se concentran en el nivel medio, : 45.8%, para 1º, 57.1%, para 2º; y 64%, para 3º. Sin embargo, en 2º se presenta una clara disminución en el porcentaje de niños asignados al nivel medio, que pasan al alto. Estos resultados permiten suponer que los niños de 1º y 2º grado avanzan entre aplicaciones, pero no así los de 3º. (Ver tablas 1, 2).

En relación con rango propio y superior, variables de la tarea, sin excepción, en todos los grados el porcentaje de niños que aciertan en rango propio es superior al porcentaje que acierta en rango superior. Ahora bien, el análisis de los niveles de acierto que los niños alcanzan en función del rango de los numerales que escriben revela que en el nivel alto se ubican los porcentajes más altos de niños de 1º y 2º cuando escriben numerales en el rango propio y en el nivel medio, los porcentajes más altos de 3º; esto es así en las dos aplicaciones.

En cambio, cuando escriben numerales en el rango superior, el porcentaje más alto de los niños de 1º grado, se encuentra en el nivel bajo de aciertos y el porcentaje más alto de 2º y 3º, está asignado al nivel medio; esto es así, en las dos aplicaciones.

Estas descripciones del porcentaje y el nivel de acierto que en general los niños alcanzan, así como la más específica, en función de los rangos de los numerales que escriben, permiten responder algunas preguntas y supuestos que especifican el problema a investigar:

1. ¿Existen diferencias significativas entre los porcentajes asignados a los distintos niveles de ciertos, en función de grados, entre primera y segunda aplicación?

2. ¿Resultan significativos los cambios que se registran en los porcentajes de niños asignados a los diferentes niveles, entre los grados, en las dos aplicaciones

3. ¿Existen diferencias significativas en los porcentajes asignados a los niveles de aciertos en función del rango del numeral que escriben, inter e intra grados?

1.1 Diferencias intra grado entre aplicaciones

Los niños de 1º y 2º grado mejoran entre aplicaciones; en los de 3º no se operan cambios significativos, en ninguno de los niveles. Las diferencias en el porcentaje de niños, por grado, en función de niveles de acierto, entre primera y segunda aplicación, resultan significativas (p<.05) para 1º y 2º grado, en los siguientes casos: el porcentaje de niños de 1º cambian tanto en nivel bajo como en alto, pues en la segunda aplicación se encuentra un porcentaje mayor de niños asignados a niveles superiores; en 2º los cambios se presentan en los niveles medio y alto. En ambos casos, los índices negativos para el nivel alto señalan una mayor comprensión en la segunda aplicación.

23 Realizado con la colaboración de Diego Guerrero, Monitor de Investigación.

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Grado Nivel Primera vs. segunda aplicación Bajo t23 = 2,598; P24 = 0,016 Medio t23 = -0,526; P = 0,604

1°

Alto t23 = -2,095; P = 0,044 Bajo t27 = 0,000; P = 1 Medio t27 = 2,828; P = 0,009

2°

Alto t27 = -2,568; P = 0,014 Bajo t24 = 1,445; P = 0,161 Medio t24 = 0,000; P = 1

3°

Alto t24 = -0,596; P = 0,554

Comparación de diferencias en la distribución intra grados, entre aplicaciones, en función de niveles de acierto25

Estos resultados permiten formular una nueva pregunta ¿Se presentan cambios significativos en la distribución del porcentaje de niños que en cada grado cambian en el nivel de acierto, entre primera y segunda aplicación?

El análisis de los cambios en la distribución del porcentaje de niños asignados a cada nivel, entre aplicaciones, muestra que en 1º grado, el 57.1% de los niños que en primera Aplicación se encuentran en nivel bajo, en la segunda pasan a nivel medio y el 55.6% de los niños asignados a nivel medio en la primera aplicación, pasan a nivel alto en la segunda. En 2º grado, el único niño asignado a nivel bajo en la primera aplicación (100%) pasa a nivel medio, en la segunda y de 24 niños asignados a nivel medio en la primera, 1 (4.2%) desciende a nivel bajo y 8 (33.3%) pasan a nivel alto. En 3º, dos niños (100%) que son asignados a nivel bajo y 2 a medio (12.5%), en primera aplicación, pasan a nivel alto, en la segunda.

Las diferencias26 resultan significativas en los siguientes casos: en 1º grado el porcentaje de sujetos que pasa de nivel bajo a medio y de medio a alto y en 2º, el porcentaje de sujetos que pasa de medio a alto.

Grado Primera

aplicación Segunda

aplicación Significación 1º Bajo Medio 0, 012 Medio Alto 0,043

2º Medio Alto 0, 012

Cambios significativos en la distribución del porcentaje de niños asignados a los niveles de acierto entre aplicaciones

1.2 Diferencias entre grados, en primera y segunda aplicación

24 El nivel de significación aceptada para esta investigación es p < 0.05. 25 Para cada cuadro de presentación de la estadística analítica, se presenta el correspondiente anexo. El trabajo estadístico fue realizado por Rocío del Pilar Rojas. 26 Para analizar si los cambios entre aplicaciones en la distribución del porcentaje de niños asignados a los tres niveles resultan significativos, se utiliza la prueba de Wilconson y con el fin de obtener resultados más confiables solamente se tienen en cuenta aquellos grupos en los cuales el número de niños es mayor que 5.

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Al comparar porcentaje de niños asignados cada uno de los niveles entre los grados, únicamente 1º y 2º presentan diferencias significativas en los niveles de acierto bajo y medio para primera aplicación y bajo para segunda aplicación. En el nivel bajo tanto para primera como para segunda aplicación la diferencia se presenta a favor de 1º; en cambio para el nivel medio en la primera aplicación el porcentaje mas alto de niños se presenta a favor de 2º.

Aplicación Grado Nivel Primera Segunda

Bajo t28 = 5,032 P = 0,000 t29 = 2,527 P = 0,017 Medio t41 = -3,973 P = 0,000 t 50 = -0,803 P = 0,426 1º vs. 2° Alto t50 = -0,873 P = 0,387 t 49 = - 1,096 P = 0,278 Bajo t51 = -0,686 P = 0,496 t 51 = 0,944 P = 0,350 Medio t43 = 1,826 P = 0,075 t 51 = -0,501 P = 0,619 2° vs. 3° Alto t41 = -1,582 P = 0,121 t 51 = 0,242 P = 0,810

Comparación de diferencias entre grados, en primera y segunda aplicación, en función de niveles de acierto

Resulta entonces pertinente preguntar si igualmente resultan significativas las diferencias entre el porcentaje de niños de cada grado asignado a cada nivel de acierto, en relación con el rango de los numerales que escriben y si estas diferencias se presentan tanto en la primera como en la segunda aplicación.

1.3 Diferencias intra grado en cada nivel de acierto, entre rango propio y superior

En 1º y 2º se presentan diferencias significativas en las dos aplicaciones en el porcentaje de niños que son asignados a los diferentes niveles de acierto, tanto en la primera como en la segunda aplicación, pero no así en 3º.

En 1o, las diferencias resultan significativas entre los porcentajes de niños asignados a los niveles bajo y medio; en cambio en 2º, las diferencias resultan significativas para todos los niveles de acierto. En 3º no se presentan diferencias significativas en ninguno de los niveles de acierto.

Un porcentaje significativamente mayor de niños de 1º grado están ubicados en el nivel bajo cuando escriben numerales de rango superior y en el nivel alto, cuando escriben numerales en rango propio. En 2º grado, el porcentaje de niños asignados al nivel bajo de aciertos resulta significativamente mayor cuando escriben numerales de rango superior que al escribir numerales en rango propio; lo mismo sucede para el nivel medio de aciertos. En cambio en el nivel alto, un porcentaje significativamente mayor de niños de 2º queda ubicado en este nivel, cuando escriben numerales en rango propio.

¿Por qué estas diferencias no resultan significativas para 3º grado?

Las diferencias significativas encontradas entre el porcentaje de niños asignado a cada nivel de aciertos al escribir numerales en el rango correspondiente al grado en el que estudian con el porcentaje de niños asignados a cada nivel al escribir numerales en el rango superior, lleva a centrar los siguientes análisis en los resultados que se obtienen en rango superior y formular una serie de preguntas relativas a los comportamientos que los grupos presentan al escribir este tipo de numerales. Igualmente, a lo largo del texto trataremos de responder la pregunta previamente formulada.

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Aplicación Grado Niveles de acierto Primera Segunda Bajo t46 = -8,809 P = 0,000 t31 = -6,439 P = 0,000 Medio t33 = 1,766 P = 0,087 t35 = 1,418 P = 0,165 1º Alto t31 = 5,854 P = 0,001 t46 = 4,376 P = 0,000 Bajo t34 = -3,250 P = 0,003 t27 = -3,286 P = 0,003 Medio t52 = -3,200 P = 0,002 t52 = -2,586 P = 0,013 2° Alto t36 = 7,878 P = 0,000 t54 = 5,621 P = 0,000 Bajo t36 = -1,414 P = 0,166 t24 = -1,445 P = 0,161 Medio t48 = 0,000 P = 1 t48 = -0,56 P = 0,578 3° Alto t48 = 0,885 P = 0,381 t48 = 1,147 P = 0,257

Comparación entre porcentajes de aciertos por grado al escribir numerales en rango propio y superior, en primera y segunda aplicación

1.3.1 Cambio entre grados, en rango superior

La comparación entre grados, revela que en relación con la escritura de numerales de rango superior, las diferencias muestran un comportamiento similar en primera y segunda aplicación para 1º y 2º grado; en este caso, las diferencias resultan significativas en los niveles de acierto bajo y medio, en 1º grado, los porcentajes mas altos se presentan en el nivel bajo; en 2º, en el nivel medio. Entre 2º y 3º la única diferencia significativa se presenta en el nivel de aciertos alto; en 3º el porcentaje de niños asignados a nivel alto es significativamente superior que el de 2º, asignado al mismo nivel.

Aplicación Grado Niveles Primera Segunda

Bajo t44 = 5,145 P = 0,000 t50 = 3,288 P = 0,002 Medio t36 = -5,500 P = 0,000 t36 = -4,722 P = 0,000 1º vrs. 2° Alto t50 = 0,109 P = 0,914 t50 = 0,619 P = 0,539 Bajo t49 = 1,660 P = 0,103 t45 = 1,996 P = 0,052 Medio t51 = 0,341 P = 0,734 t51 = -0,463 P = 0,645 2° vrs. 3° Alto t31 = -2,483 P = 0,019 t46 = -1,175 P = 0,246

Comparación de diferencias en la distribución inter grados en numerales de rango superior, en primera y segunda aplicación, en función de niveles de acierto

1.4 Análisis del tipo de error en la escritura no convencional

Para analizar los errores que los niños cometen al resolver la prueba de escritura se proponen tres grandes categorías: error léxico, error sintáctico e inversión. (Ver Anexo 6. Distribución de porcentaje de niños en función de tipo de error , en escritura en rango propio y superior, en función de grado para primera y segunda aplicación.) Teniendo en cuenta que en la producción de los niños predominan los errores de tipo sintáctico y léxico, los análisis siguientes intentan examinar la relación entre este tipo de errores y los grados y aplicaciones. En primer lugar, examinemos la distribución de error léxico y sintáctico en primera y segunda aplicación, en función de grado.

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1.4.1 Comparaciones intragrado de errores sintácticos y léxicos

En las dos aplicaciones, el porcentaje de niños que presentan errores de tipo sintáctico disminuye a medida que los grados aumentan, el comportamiento contrario se presenta en los errores léxicos: en 3º grado, tanto en la primera como en la segunda aplicación, el porcentaje más alto de niños presentan errores de tipo léxico.

Grado Primera aplicación Segunda Aplicación 1° t30 = 4,467 P = 0,0001 t46 = 3,501 P = 0,001 2° t34 = 3,862 P = 0,0004 t54 = 1,630 P = 0,109 3° t37 = - 4,549 P = 0,00055 t42 = - 4,826 P = 0,000018

Comparación entre porcentajes de errores sintácticos y léxico, en función de grado en primera y segunda aplicación

En la primera aplicación, en 1º y 2º grado, la diferencia entre error sintáctico y error léxico es significativa; en estos grados, un porcentaje mayor de niños presentan errores sintácticos que léxicos. En tercero la diferencia es igualmente significativa pero la relación se invierte y el porcentaje de niños que presentan errores léxicos resulta significativamente mayor que los que cometen errores sintácticos.

En la segunda aplicación, en 1º y 3º grado, la diferencia entre el porcentaje de niños que presenta error sintáctico y léxico es significativa, no así para los de 2º. En 1º grado se presenta un porcentaje significativamente mayor de niños que cometen errores sintácticos que errores léxicos; en 3º la relación se invierte y el porcentaje de niños que presentan error léxico es significativamente mayor que el que comete errores sintácticos.

A medida que los niños avanzan en los grados, los errores léxicos tienden a aumentar y los sintácticos a disminuir.

La comparación de las diferencias en los porcentaje de errores léxicos y sintácticos resulta alta y significativa para todos los grados en las dos aplicaciones, con excepción de 2º grado en la segunda aplicación.

1.4.2 Comparaciones entre grados

La ANOVA para los dos tipo de error – léxico y sintáctico - permite señalar que tanto en la primera aplicación, como en la segunda, existen diferencias significativas entre los porcentajes promedio de error de los niños de 1º, 2º y 3º grado.

Tipo de error Primera aplicación Segunda Aplicación Sintáctico entre grados F2 = 24,865 P = 0,000 F2 = 6,120 P = 0,003 Léxico entre grados F2 = 1,438 P = 0,001 F2 = 2,246 P = 0,000

Comparación de los grupos por tipo de error en primera y segunda aplicación

Pruebas post - ANOVA permiten identificar las diferencias entre grados que resultan significativas para primera y segunda aplicación. La prueba de TUKEY muestra que en las dos aplicaciones las diferencias entre el porcentaje de niños que presentan error sintáctico se comporta de la siguiente manera: en 3º grado el porcentaje de niños que presenta error

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sintáctico resulta significativamente más bajo que en 1º y 2º; entre los porcentajes de niños de 1º y 2º que presentan este tipo de error no se presentan diferencias significativas. En relación con el error léxico, se presentan diferencias significativas entre el porcentaje de niños en los mismos grados – 1º y 3º y 2º y 3º - pero la relación es inversa: los niños de 3º grado presentan más errores léxicos que los niños de 1º y 2º grado.

Tipo de error Grados Apl Diferencia

de medias Sig.

1ap -5,9524E-03 ,998 1° vs. 2° 2ap 7,143E-02 ,846 1ap ,5583 ,000 1° vs. 3° 2ap ,4300 ,005 1ap ,5643 ,000

Sintácticos

2° vs. 3° 2ap ,3586 ,018 1ap -,1131 ,633 1° vs. 2° 2ap -,1726 ,347 1ap -,4617 ,001 1° vs. 3° 2ap -,5883 ,000 1ap -,3486 ,016

Léxicos

2° vs. 3° 2ap -,4157 ,003 Comparaciones múltiples, en función de grado para primera y segunda aplicación

1.5 Análisis en función del tipo de ítem

Examinemos entonces las diferencias en aciertos y errores en función del tipo de numerales dictados. Ya se han mostrado las diferencias en función del rango de numeral, las otras variaciones que se tienen en cuenta son: numerales con cero y sin cero; entre los numerales con cero, se diferencian los nudos y los que presentan cero, pero no son nudos. Finalmente, igualmente se contemplan numerales intermedios entre los nudos.

Nudo vs Intermedio Nudo vs No nudo Grado Ap1 Ap2 Ap1 Ap2

1º t37= 1,927 P =0,061 t46 = 2,724 P = 0,009 t36 = 1,723 P = 0,093 t46 = 2,831 P = 0,006

2º t54= 4,903 P > 0,001 t54 = 2,794 P = 0,007 t54 = 4,2739 P > 0,001 t54 = 2,282 P = 0,026

3º t48= 2,394 P = 0,020 t28 = 4,534 P > 0,001 t48 = 1,883 P = 0,065 t36 = 3,3420 P = 0,001

Diferencias en los porcentajes de aciertos entre tipo de numerales en función de las aplicaciones

Nudo vs Intermedio Nudo vs No nudo Grado Ap1 Ap2 Ap1 Ap2

1º t40 = -3,980 P > 0,001 t46 = -2,958 P = 0,004 t38 = -2,844 P = 0,007 t46 = -3,152 P = 0,002

2º t54= -3,806 P > 0,001 t54= -2,313 P = 0,024 t54= -3,163 P = 0,002 t54= -2,314 P = 0,024

3º t42= 0,164 P = 0,870 t38= -1,216 P = 0,231 t42= 0,216 P = 0,829 t48= -0,898 P = 0,373

Diferencias en los porcentajes de error sintáctico entre tipos de numerales en función de las aplicaciones

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Nudo vs Intermedio Nudo vs No nudo Grado Ap1 Ap2 Ap1 Ap2

1º t31= 2,160 P = 0,038 t46 = -0,066 P = 0,947 t32 = 1,399 P = 0,171 t46 = 0,155 P = 0,876

2º t27 = -4,260 P > 0,001 t54 = -2,423 P = 0,018 t27 = -3,660 P > 0,001 t27 = 0,005 P = 0,996

3º t24= -6,158 P > 0,001 t24= -6,063 P > 0,001 t24= -5,059 P > 0,001 t24= -5,750 P > 0,001

Diferencias en los porcentajes de errores léxicos entre tipo de numerales en función de las aplicaciones

La comparación de las producciones de los niños al escribir numerales con y sin cero no presenta diferencias significativas, en función de aciertos o errores para ninguno de los grados, en ninguna de las dos aplicaciones. (Ver Anexo 9. Diferencias en los porcentajes de aciertos, error sintáctico y léxicos entre tipos de numerales en función de escritura no convencional, para primera y segunda aplicación).

El porcentaje de niños de 1º grado que aciertan al escribir numerales nudos e intermedios y nudos y no nudos, en primera aplicación, no presenta diferencias significativas; en la segunda aplicación, el porcentaje de niños que aciertan al escribir los nudos resulta significativamente mayor que en los intermedios y en los no nudos. En relación con los errores sintácticos, el porcentajes de niños de 1º que cometen errores al escribir numerales intermedios y no nudos resulta significativamente mayor que el porcentaje que presenta este tipo de error al escribir numerales nudos, esto es así en ambas aplicaciones. En relación con los errores léxicos, en la primera aplicación los niños de 1º grado presentan un porcentaje significativamente más alto de este tipo de error, al escribir los nudos que al escribir numerales intermedios. En los niños de 1º, en este tipo de error no se presentan más diferencias significativas, en función del tipo de numeral que escriben.

El porcentaje de niños de 2º grado que aciertan presentan diferencias significativas al escribir numerales nudos y no nudo e intermedios. En todas las aplicaciones un porcentaje más alto de niños presenta aciertos al escribir numerales nudos que al escribir los otros tipos de numerales. En relación con los errores, la escritura de numerales no nudos e intermedios registra un porcentaje significativamente más alto de niños que cometen errores de tipo sintáctico al escribir numerales no nudos e intermedios que al escribir nudos, en las dos aplicaciones. En relación con los errores léxicos la misma relación se presenta entre nudos e intermedios en las dos aplicaciones y entre nudos y no nudos en la primera aplicación.

En 3º grado, las diferencias entre porcentajes de niños que aciertan al escribir numerales nudos y no nudos, en la primera aplicación no resultan significativas. Las otras diferencias son significativas. Un porcentaje significativamente más alto de niños de 3º presentan aciertos al escribir numerales nudos que numerales intermedios en las dos aplicaciones y nudos que no nudos en la segunda aplicación. En relación con los errores sintácticos los niños de 3º no presentan diferencias significativas. En cambio en los léxicos, las diferencias entre el porcentaje de niños que presentan errores léxicos al escribir numerales intermedios y no nudos es significativamente mayor que al escribir los numerales nudos; esto es así para las dos aplicaciones.

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2. Lectura

En las dos aplicaciones, los niños de 1º y 2º tienden a ubicarse en un nivel medio de lectura, o sea, son capaces de leer entre el 50 y 95% de los numerales que escriben; en tanto que más del 50% de los de 3º, se ubican en el nivel alto, es decir, que leen correctamente, más del 95% de los numerales que han escrito.

En 1º, en la primera aplicación más del 50% de los niños de ese grado, obtienen un nivel bajo en aciertos al leer su escritura, o sea, leen menos del 50% de los numerales que escriben. Ningún niño de 1º esta ubicado en el nivel alto, en la primera aplicación. En la segunda aplicación estos resultados cambian, pues más del 50% quedan asignados al nivel medio de aciertos y además, un 20.8% logran un nivel alto.

En 2º, tanto en la primera como en la segunda aplicación, el porcentaje más alto de niños queda ubicado en el nivel medio y los niños de 3º, en el alto. En el nivel alto se presenta un ligero aumento del porcentaje de niños de 1º y 2º asignados a este nivel. Ningún niño de 3º se ubica en el nivel bajo de lectura y en las dos aplicaciones, los porcentajes de niños asignados a nivel medio y bajo tienden a ser semejantes y mantenerse estables.

Resulta conveniente preguntarse si las diferencias entre grados y aplicaciones resultan significativas.

2.1. Diferencias intra grado entre aplicaciones

La comparación intra grado, entre primera y segunda aplicación, revela que en 1º, en los niveles bajo y alto y para 2º en nivel alto, se presentan cambios significativos en la tarea de lectura. (Ver Anexo 3. Pruebas de hipótesis para comparar los porcentajes de niños asignados a los niveles de acierto en primera y segunda aplicación en las tareas de escritura y lectura)

Grado Nivel de acierto Primera vrs. segunda aplicación

Bajo t23 = 4,053 P = 0,001 Medio t23 = -1,415 P = 0,170 1º Alto t23 = -2,460 P = 0,022 Bajo t27 = 0,441 P = 0,663 Medio t27 = 1,279 P = 0,212 2° Alto t27 = -2,423 P = 0,022 Bajo Medio t24 = 0,440 P = 0,664 3° Alto t24 = -0,440 P = 0,664

Comparación de diferencias en la distribución intra grados y entre aplicaciones, en función de nivel de aciertos 2.1.1 Cambios en la distribución entre aplicaciones

En 1º grado, 60% de los niños asignados al nivel bajo y el 44.4% de los niños asignados a nivel medio, en la primera aplicación, pasan a los niveles medio y alto en la segunda aplicación, respectivamente.

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En 2º grado, entre primera y segunda aplicación, 2 niños (9.1%) descienden del nivel medio al bajo y 5 niños (22.7%) pasan del nivel medio al alto.

En 3º, tres niños (27.3%) pasan del nivel medio en la primera aplicación, al alto en la segunda. Dos niños (14.3%) ubicados en el nivel alto en la primera aplicación, bajan al nivel medio en la segunda. Efectivamente se presenta una redistribución de los porcentajes de niños por niveles entre primera y segunda aplicación; sin embargo ¿resultan significativos estos cambios entre niveles, a través de los grados?

Los cambios27 entre primera y segunda aplicación sólo resultan significativos para 1º, en el paso del nivel bajo al medio (60% de los sujetos que se encontraban en el nivel bajo suben al nivel medio) y en 2º, del nivel medio al alto (5 sujetos, 22.7% avanzan del nivel medio al alto), lo cual nos permite afirmar que los descensos en 2º del nivel medio al bajo y en 3º, del nivel alto al medio, no resultan significativos.

Grado Primera

aplicacion Segunda

aplicacion Sig.

Cambios significativos en la distribución del porcentaje de niños asignados a los niveles de acierto entre aplicaciones

2.2 Diferencias entre grados

Entre 1º y 2º, en la primera aplicación, se encuentran diferencias significativas en los niveles bajo y medio y entre 2º y 3º, en el nivel medio y alto. En la segunda aplicación, solamente se presentan diferencias significativas entre 2º y 3º, en el nivel alto.

En la primera aplicación, en el nivel bajo de aciertos, el porcentaje de niños ubicados en este nivel, es significativamente mayor en 1º que en 2º; en el nivel medio, el porcentaje de niños es significativamente mayor en 2º que en 1º. La comparación entre 2º y 3º revela que en el nivel medio, el porcentaje de niños es significativamente mayor en 2º que en 3º y en el alto, el porcentaje de niños es significativamente mayor en 3º que en 2º. En la segunda aplicación, la única diferencia significativa se presenta entre 2º y 3º en el nivel alto. (Ver Anexo 4. Comparación de diferencias entre grados, en primera y segunda aplicación, en función de niveles de acierto para las tareas de escritura y lectura).

27 Para evaluar el nivel de significación de las diferencias en la distribución de los sujetos entre aplicaciones, se tienen en cuenta solamente aquellos grupos con un número de sujetos mayor que 5, con el fin de obtener resultados más confiables al aplicar la prueba de Wilconson.

1º Bajo Medio 0, 007 2º Medio Alto 0, 043

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Aplicación Grado Niveles de acierto Primera Segunda Bajo t37 = 4,419 P = 0,001 t37 = 1,395 P = 0,171 Medio t45 = -3,205 P = 0,002 t50 = -0,432 P = 0,668 1º vs. 2° Alto t27 = -1,800 P = 0,083 t50 = -0,632 P = 0,530 Bajo t27 = 1,800 P = 0,083 t27 = 1,441 P = 0,161 Medio t46 = 2,691 P = 0,010 t51 = 1,788 P = 0,080 2° vs. 3° Alto t39 = -3,854 P = 0,001 t51 = -2,383 P = 0,021

Comparación entre grados en primera y segunda aplicación, en función de niveles de acierto

3. Lectura y escritura y los invariantes del sistema

Para evaluar la relación entre escritura y lectura y las invariantes del sistema, además del dictado y la lectura de los numerales que escriben, los niños resuelven la tarea de composición y la tarea de equivalencia.

Los resultados al resolver la tarea de equivalencia muestran que el porcentaje más alto de niños de 1º tiende a ubicarse en el nivel bajo; los de segundo se reparte de manera bastante similar en los tres niveles, presentando un porcentaje ligeramente superior de sujetos que resuelven correctamente la tarea en el nivel alto. En 3º, el 60% de los niños están asignados al nivel alto. Si se evalúan los porcentajes de aciertos que los niños logran en los diferentes grados, en función del nivel bajo y del alto, se encuentra una relación inversa entre los porcentajes asignados a los dos niveles: a medida que los grados aumentan, el porcentaje de niños ubicados en el nivel bajo disminuye y en el nivel alto, aumenta.

En relación con la tarea de composición, las dificultades son mayores. Tanto en 1º como en 2º, los porcentajes más altos de niños, están asignados al nivel bajo de aciertos (87.5% y 44.4%, respectivamente). En 3º algo más que el 50% de los niños logran un nivel alto de aciertos.

La comparación de las producciones de los niños al escribir numerales, leer los numerales que escriben y resolver las tareas de equivalencia presenta una correlación positiva y significativa entre todas las tareas, cuando la comparación se establece sin diferenciar los grados. En cambio, cuando se establecen correlaciones en función de grados, en 1º, solamente se encuentra una correlación positiva y significativa entre los promedios de aciertos en la tarea de escritura con las de lectura y composición. Para 2º todas las correlaciones resultan positivas y significativas a excepción de la tarea de lectura con la tarea de composición. En tercero, solamente se encuentran dos correlaciones positivas y significativas: escritura con lectura y composición con equivalencia.

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Lectura Composición Equivalencia 1° 2° 3° 1° 2° 3° 1° 2° 3°

.715 .780 .693 .469 .557 .393 -.079 .633 .372 Escritura

.000** .000** .000** .021* .002** .052 .719 .000** .067

.395 .332 .310 .014 .507 .349 Lectura

.056 .085 .132 .948 .007** .087

-.292 .522 .487 Composición

.176 .005** .013*

Correlaciones en función de grados, para todas las tareas ** La correlación es significativa a un nivel de 0.01(2-colas) * La correlación es significativa a un nivel de 0.05(2-colas)

Análisis y discusión En la primera aplicación, los niños de 1º aún tienen dificultades para escribir numerales; en cambio, los 2º y 3º grado escriben correctamente más de la mitad de los numerales dictados.

Entre primera y segunda aplicación los niños de 1º y 2º aprenden a escribir numerales que al parecer en la primera no dominan; cambios significativos en el porcentaje de niños de 1º y 2º grado que quedan ubicados en el nivel alto de aciertos en la segunda aplicación, sustentan esta afirmación. En tercero, no se presentan cambios.

Teniendo en cuenta que todos los niños deben escribir numerales correspondientes a su grado y numerales en un rango superior, resulta necesario resaltar las diferencias que se encuentran en 2º grado, porque indican un mejor nivel de conocimiento de la escritura en este grado que en primero. La comparación entre los grados - 1º vs 2º y 2º vs 3º - en la primera aplicación muestra que las diferencias resultan significativas entre 1º y 2º; los niños de 2º logran un desempeño significativamente mejor que los de 1º porque el porcentaje de niños de 2º asignados a nivel bajo, es significativamente menor que el porcentaje de niños de 1º primero asignados a este nivel; en nivel medio, el porcentaje de niños de 2º es significativamente mayor que el porcentaje de niños de 1º ubicados en el mismo nivel; lo mismo sucede en la segunda aplicación con los niños de 1º y 2º ubicados en el nivel bajo. La comparación entre 2º y 3º no revela diferencias significativas en ninguno de los niveles y en ninguna de las aplicaciones.

Estos hechos confirman cambios y diferencias significativas entre aplicaciones, que no se pueden entender como resultado del desarrollo de los niños. Es posible entonces proponer que los cambios que se encuentran entre mediciones, en el mismo grupo de edad, son producto del aprendizaje y no del desarrollo. Este aprendizaje puede ser facilitado por la escuela y por la experiencia al hacer cada prueba.

Las diferencias entre grados, posiblemente pueden sustentarse por cambios debidos a la edad y en algunos casos relacionados con desarrollo o cambios en el funcionamiento de los procesos que permiten la comprensión del sistema de notación en base diez y con él, la escritura y lectura de numerales.

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En 1º y 2º grado, en las dos aplicaciones, se presentan diferencias significativas entre el porcentaje de niños que logran escribir correctamente numerales de rango propio y el porcentaje que acierta al escribir numerales de rango superior: en el nivel bajo, tanto en 1º como en 2º el porcentaje de niños ubicados en este nivel al escribir numerales de rango propio es significativamente menor que el porcentaje de niños ubicados en este nivel cuando escriben numerales de rango superior; en el nivel medio, el porcentaje de niños ubicados en este nivel al escribir numerales en rango propio es significativamente menor que cuando escriben numerales de rango superior. Por supuesto, en el nivel alto la comparación resulta significativa para 1º y 2º y de hecho, la relación entre porcentaje de niños con alto éxito al escribir numerales en rango propio, es significativamente mayor que los que escriben correctamente numerales en rango superior. En 3º estas diferencias no se presentan en ninguna de las dos aplicaciones.

Hasta aquí, he mostrado la consistencia de las diferencias entre 1º y 2º y los cambios que se operan en estos dos grados entre aplicaciones, al examinar los resultados generales y los resultados en función del rango del numeral dictado. Cabe entonces preguntarse, porque en 3º no se presentan estos cambios?

En la escritura no convencional, o sea en los numerales con rango superior, el porcentaje de niños de 1º y 2º que cometen errores sintácticos prima sobre los que cometen errores léxicos, en tanto que en 3º, el porcentaje de los que cometen errores léxicos es significativamente superior a los que cometen errores sintácticos. Estas diferencias son igualmente consistentes cuando se comparan los grados entre si. En 1º y 2º no se presentan diferencias significativas entre el porcentaje de niños que presentan errores léxicos y los que cometen errores sintácticos; las diferencias resultan significativas: 1) para error sintáctico, entre 1º y 3º y 2º y 3º: un porcentaje significativamente mayor de niños de 1º y 2º son asignados a error sintáctico que de niños de 3º; y 2) para error léxico, entre 1º y 3º y 2º y 3º, pero la relación es inversa: un porcentaje significativamente mayor de niños presentan error léxico en 3º que en 1º y 2º.

Estas diferencias se confirman cuando se comparan el porcentaje de aciertos, de errores sintácticos y léxicos en función de tipo de numeral que escriben y cuando en la segunda aplicación los porcentajes de niños que aciertan aumentan y sus logros se vuelven más estables.

En la segunda aplicación, en todos los grados, 1) los porcentajes de niños que aciertan al escribir numerales nudo resultan significativamente mayores que los porcentajes de acierto en numerales intermedios o no nudo; 2) los porcentajes de niños que presentan errores sintácticos resulta significativamente mayor cuando escriben numerales intermedios y no nudo que al escribir numerales nudos; 3) y en 3º el porcentaje de niños que cometen errores léxicos al escribir numerales intermedio y no nudos es significativamente mayor que al escribir numerales nudo.

Estos resultados permiten confirmar varios hechos; algunos de ellos exigen la formulación de nuevas hipótesis a investigar:

1) Los niños aprenden a escribir correctamente numerales nudo primero que numerales intermedios y no nudo. Este hecho ya había sido señalado por Lerner y Sadovsky y Nunes y Bryant; las primeras autoras señalan que este se pueden convertir en un

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elemento que permite corregir las contradicciones que se presentan entre el valor y la magnitud del numeral.

2) En 1º y 2º priman el porcentaje de niños que presentan errores sintácticos. En 3º prima el porcentaje de niños que presentan errores léxicos.

3) Los numerales intermedios, que incluyen numerales con cero y sin cero ubicados entre dos nudos y los numerales no nudos, o sea, numerales cuya escritura exige utilizar el cero pero no son unidades en un período dado, generan el mayor porcentaje de niños que presentan error. Si estos errores los cometen niños en 1º y 2º, tienden a ser sintácticos y si los presentan niños de 3º, tienden a ser léxicos.

4) Los errores sintácticos tienden a presentarse en la escritura no convencional, o sea, cuando los niños deben escribir numerales cuyo rango es superior al que actualmente manejan.

Los hechos anteriores permiten postular la siguiente hipótesis: probablemente los errores sintácticos son errores de construcción, que los niños tienden a cometer cuando están aprendiendo a escribir numerales. Este tipo de error tiende a presentarse prioritariamente cuando los niños escriben numerales que la escuela no les ha enseñado y se presentan independientemente de diferencias culturales y educativas. Igualmente podemos suponer que este tipo de error revela la comprensión que los niños poseen de la escritura de numerales y dan cuenta de las características del proceso de construcción de las reglas y los componentes del sistema de notación arábiga. Análisis más detallados del proceso de escritura de los niños cuando cometen este tipo de error, permitirá confirmar este hecho.

5) En 3º, un porcentaje significativamente mayor de niños comete errores léxicos que errores sintácticos. Este hecho permite suponer que los errores léxicos tienden a aumentar en los grados superiores en función de la magnitud de los numerales que deben escribir. Como señalamos en la investigación previa, es posible igualmente proponer que los errores léxicos se generan por una falla en la atención mental (Pascual-Leone, 1994), o en la memoria de trabajo. Tanto en esta como en la investigación previa, parece ser que las fallas en la memoria de trabajo dependen de la magnitud del numeral.

6) La diferencia en el porcentaje de niños que presentan errores léxicos en rango propio es significativamente menor que los que lo presentan en rango superior, en las dos aplicaciones. Igualmente, en rango superior, prima el porcentaje de niños de 3º que presentan errores léxicos sobre los sintácticos. Estos hechos permiten señalar una vez más que los errores sintácticos son errores de construcción y que los léxicos se deben a fallas en la memoria de trabajo.

Teniendo en cuenta que a medida que los niños progresan a través de los grados, deben escribir numerales que presentan una mayor cantidad de dígitos, entonces, se podría esperar que esta relación tienda a aumentar a medida que avanzan en los grados. En cambio, los errores sintácticos deben disminuir. El análisis de muestras grandes28 de errores léxicos y sintácticos permitirá confirmar esta tendencia.

28 La muestra de errores recogida en la investigación: “Diagnóstico de la comprensión de escolares del Sistema de Notación en Base Diez”. Este trabajo hace parte del proyecto de Yenny Otálora Sevilla por el cual recibe al premio Investigador Joven de COLCIENCIAS 2001.

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Solamente Nunes y Bryant postulan la necesidad de trabajar las relaciones entre la lectura y la escritura con los invariantes del sistema. Sin embargo, estos autores solamente estudian la relación entre la composición aditiva y escritura y lectura de numerales. El análisis del sistema (Ver Orozco y Hederich, 2000 y Orozco, 2001) revela que la composición multiplicativa es tan importante como la aditiva para comprender el sistema de notación. Por esto la tarea que propusimos a los niños, las incluye a las dos.

En este estudio encontramos una correlación alta y positiva entre los promedios de aciertos en las tareas en general; sin embargo, cuando los resultados se diferencian en función de los grados, en 1º y 2º se mantiene una correlación alta y significativa entre los promedios de aciertos en las tareas de escritura y composición; esta correlación no se presenta en 3º. Esto quiere decir que los niños que tienden a presentar niveles bajos de aciertos en la tarea de escritura, igualmente tienden a presentar niveles bajos en la de composición y lo mismo se puede decir para los niveles altos.

Este hecho permite postular que la comprensión de las composiciones está relacionada con la escritura, pero no permite especificar el carácter de la relación. Nuevos análisis estadísticos se deben asumir para definir el tipo de relación que presentan y contribuir a sustentar la tesis que propone la necesidad que el niño tiene de construir un mecanismo de carácter semántico que permita comprender y manejar las reglas del valor de posición.

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Conclusiones

En una reseña sobre investigaciones con niños normales, Noël y Turconi (1999) señalan que varios investigadores reiteradamente encuentran las siguientes regularidades en este tipo de estudios:

1. “Una progresión con el tiempo, en la escritura de los numerales al dictado”. En este estudio encontramos diferencias que resultan significativas en los niveles de aciertos que los niños logran a través de los grados. Igualmente, encontramos diferencias significativas en los niveles de acierto entre aplicaciones a corto plazo.

2. “Los números por debajo de 100 son transcodificados correctamente por niños de 7 años”. En esta investigación encontramos que niños de cualquier edad tienden a escribir correctamente los numerales cuyo rango es igual al fijado para la edad/grado.

3. “La preponderancia de los errores sintácticos en numerales de 3 y 4 dígitos, ... “o un efecto importante de la magnitud del número y una preponderancia de errores sintácticos” (Noël & Turconi, 1999, p. 299). En este estudio, los controles del diseño permiten señalar que los errores sintácticos se producen principalmente cuando los niños escriben numerales con un rango superior al fijado para el grado que cursan. Igualmente, en esta investigación encontramos que el porcentaje de niños que presenta errores sintácticos cuando escriben numerales en el rango superior al fijado para su edad/grado resulta significativamente mayor en 1º y 2º grado que el porcentaje de niños que en los mismos grados cometen errores léxicos. En cambio, en 3º grado esta relación se invierte: el porcentaje de niños que presentan errores léxicos resulta significativamente mayor que el porcentaje de niños, del mismo grado que cometen errores sintácticos. Este tipo de errores igualmente resulta significativamente más alto que los errores léxicos en 1º y 2º.

Estos hechos y la coincidencia y universalidad de los errores reportados, permiten proponer que los errores sintácticos son errores de construcción que surgen en el curso del aprendizaje, cuando los niños no dominan las reglas del sistema de notación numérica y aún trabajan con las reglas morfo sintácticas propias de las expresiones numéricas verbales. En cambio los errores léxicos, son producto de fallos en la memoria de trabajo y se producen cuando los niños ya han construido las reglas del sistema de notación numérico.

El estudio de las relaciones entre escritura y lectura con las invariantes del sistema de notación, que aportaría datos muy valiosos a la comprensión del procesamiento numérico, aún presenta dificultades, especialmente, en el diseño de las tareas y el seguimiento de los interrogatorios a los niños. Sin embargo, este estudio arroja datos sobre posibles relaciones entre las invariantes y la escritura y lectura de numerales.

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