universidad nacional de san agust n de arequipa
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Universidad Nacional de San Agustın deArequipa
Escuela de Posgrado
Unidad de Posgrado de la Facultad de Ciencias Naturales y
Formales
“Estabilizacion de un sistema de Boussinesq del tipo
Benjamın Bona Mahony con amortiguacion generalizada”
Tesis presentada por la bachiller:
ADHA MORALES MOYA
Para optar el Grado Academico de Maestra
en Ciencias: Matematicas, con mencion en
Matematica Universitaria Superior
Asesor: Dr. Dugan Paul Nina Ortiz
AREQUIPA - PERU
2019
Estabilizacion de un sistema de Boussinesq del tipo Benjamın Bona
Mahony con amortiguacion generalizada
Tesis presentada por:
BACH. MORALES MOYA ADHA
JURADO DICTAMINADOR:
Dr. Daniel Octavio Roque Roque- DM/UNSA
(Presidente)
Dr. Jesus Enrique Achire Quispe- DM/UNSA
(Secretario)
Dr. Dugan Paul Nina Ortiz - UNSA
(Asesor)
ii
Las ciencias matematicas exhiben particularmente
orden, simetrıa y lımites; y esas son las mas grandes
formas de belleza.
Aristoteles.
iii
Agradecimientos
A Dios por ser mi guıa y acompanarme en el transcurso de mi vida, brindandome
paciencia y sabidurıa para culminar con exito mis metas propuestas.
A mi madre por ser mi pilar fundamental y haberme apoyado incondicionalmente,
pese a las adversidades e inconvenientes que se presentaron.
A mi padre, el cual a pesar de haberlo perdido, ha estado siempre cuidandome y
guiandome desde el cielo.
A mis hermanos por llenarme de alegrıa dıa tras dıa, por todos los consejos brindados,
por compartir horas y horas de pelıculas, series y muchas caminatas, por las discusiones,
los gritos y herir mi cuerpo de puro amor.
A mi familia en general, porque me han brindado su apoyo incondicional y por
compartir conmigo buenos y malos momento.
A mi Asesor de tesis Dr. Dugan Paul Nina Ortiz quien con su experiencia, conocimiento,
paciencia y motivacion me oriento en la investigacion.
iv
Resumen
La familia de sistemas Boussinesq fue propuesta por J.L. Bona, M. Chen y J.C.
Saut (2002) para describir dos vıas de propagacion de ondas de gravedad de pequena
amplitud sobre la superficie de agua en un canal. En este trabajo se considera
una clase de estos sistemas de Boussinesq que acopla dos ecuaciones Benjamin-
Bona-Mahony con condiciones de frontera periodicas. Estudiamos las propiedades de
estabilidad del sistema resultante cuando se introducen operadores de amortiguacion
generalizada en cada ecuacion. Medinate el analisis espectral y la expansion de Fourier,
demostramos que las soluciones del sistema linealizado decaen uniformemente o no a
cero, dependiendo de los parametros de los operadores de amortiguacion. En el caso
del decaimiento uniforme, mostramos que las mismas propiedades son validas para el
sistema no lineal.
Palabras Claves:
Sistema Boussinesq, Ecuacion de Benjamin – Bona – Mahony, Amortiguacion
generalizada, Estabilidad y Series de Fourier.
v
Abstract
A family of Boussinesq systems was proposed by J. L. Bona, M. Chen and J.-C. Saut
(2002) to describe the two-way propagation of small amplitude gravity waves on the
surface of water in a canal. Our work considers a class of these Boussinesq systems which
couples two Benjamin–Bona–Mahony with periodic boundary conditions. We study
the stability properties of the resulting system when generalized damping operators
are introduced in each equation. By means of spectral analysis and Fourier expansion,
we prove that the solutions of the linearized system decay uniformly or not to zero,
depending on the parameters of the damping operators. In the uniform decay case, we
show that the same property holds for the nonlinear system.
Keywords:
Boussinesq system, Benjamin–Bona–Mahony equation, Generalized damping,
Stabilizability and Fourier series.
vi
Indice general
Introduccion VIII
1. Preliminares 1
1.1. Espacios de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Interpolacion de espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Espacios Lp(0, T ;X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4. Algunos resultados importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5. Teorıa de Semigrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6. Problema de Cauchy Abstracto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2. Existencia y unicidad 18
2.1. El sistema lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3. Comportamiento Asintotico del sistema linealizado 40
4. El Sistema no Lineal 49
vii
Introduccion
Comenzando en la segunda mitad de la decada de 1960 y en la decada de 1970,
surgio la teorıa matematica para las ecuaciones de onda dispersiva no lineales al frente
como un tema importante dentro del analisis no lineal. Por ejemplo en [4,5] los autores
han derivado y analizado cuatro parametros de la familia de sistemas Boussinesq. ηt + ωx + (ηω)x + aωxxx − bηxxt = 0
ωt + ηx + ωωx + cηxxx − dωxxt = 0(1)
para aproximar el movimiento de las ondas largas de pequena amplitud sobre la
superficie de un fluido ideal bajo la fuerza de la gravedad en situaciones donde el
movimiento es sensiblemente bidimensional. Aquı, la variable, x es proporcional a la
distancia en la direccion de propagacion mientras que t es proporcional al tiempo
transcurrido. La cantidad η(x, t) + h0 corresponde a la profundidad total del lıquido
en el punto x y en el tiempo t, donde h0 es la profundidad del agua no perturbada.
La variable ω(x, t) representa la velocidad horizontal en el punto (x, y) = (x, θh0) en
el tiempo t , donde y es la coordenada vertical, con y = 0 correspondiente al fondo del
canal. Ası, ω es la velocidad horizontal en la altura θh0, donde θ es una constante fija
en el intervalo [0, 1].
Los parametros a, b, c, d ∈ R, son escogidos de acuerdo con cada situacion fısica, y
satisfacen las siguientes relaciones
a+ b =1
2(θ2 − 1
3), c+ d =
1
2(1− θ2) > 0, θ ∈ [0, 1] (2)
viii
Anadiendo mecanismos de amortiguacion es a menudo importante, obtener una buena
concordancia entre las observaciones experimentales y la prediccion de modelos teoricos
que describen la propagacion de ondas en medios dispersos no lineales (vease, por
ejemplo, [6]). En este trabajo, se daran consideraciones para una clase general de
operadores de amortiguacion, con sımbolo no negativo. Nuestro proposito es investigar
los efectos disipativos generados por estos operadores en el modelo (1), planteados en
un dominio periodico, cuando los parametros dados en (2) son tales que a = c = 0. El
sistema resultante acopla dos ecuaciones del tipo Benjamin – Bona– Mahony la cual
se denomina sistema de Boussinesq puramente del tipo BBM o sistema debilmente
disipativo (ver[5,12,13]). Mas precisamente, consideramos el siguiente sistema
ηt + ωx − bηtxx + β1Mα1η + (ηω)x = 0 , x ∈ (0, 2π) , t > 0
ωt + ηx − dωtxx + β2Mα2ω + ωωx = 0 , x ∈ (0, 2π) , t > 0
η (t, 0) = η (t, 2π) ; ηx (t, 0) = ηx (t, 2π) , t > 0
ω (t, 0) = ω (t, 2π) ;ωx(t, 0) = ωx (t, 2π) , t > 0
η (0, x) = η0 (x) , x ∈ (0, 2π)
ω (0, x) = ω0 (x) , x ∈ (0, 2π)
(3)
donde b, d > 0, β1 ,β2 ≥ 0, α1, α2 ∈ [0, 2] y los operadores Mαj son los
multiplicadores de Fourier definidos en terminos de sus coeficientes de Fourier como
sigue
Mαj
(∑k∈Z
akeikx
)=∑k∈Z
(1 + k2
)αj2 ake
ikx, j = 1, 2 (4)
Una definicion precisa del operadorMαj son en algun sentido, similar al operador
derivada fraccional. En efecto para una funcion periodica h(x) =∑k∈Z∗
akeikx , el
operador derivada fraccional de Weyl de orden α > 0 aplicado a h es definido por
Wαx h(x) =
∑k∈Z∗
(ik)αakeikx
En consecuencia, los coeficientes de Fourier de Mαh y Wαt se comportan de la misma
manera para valores mayores a k. La energıa natural asociada a (3) esta dada por
ix
E (t) =1
2
∫ 2π
0
[b|ηx (t, x) |2 + |η (t, x) |2 + d|ωx (t, x) |2 + |ω (t, x) |2
]dx (5)
y, al menos formalmente, obtenemos
dE (t)
dt= −β1
∫ 2π
0
Mα1η (t) η (t) dx− β2
∫ 2π
0
Mα2ω (t)ω (t) dx−∫ 2π
0
(ηω)x (t) η (t) dx
(6)
La identidad (6) muestra que, si β1 , β2 ≥ 0, los terminos Mα1η y Mα2ω juegan el rol
de retroalimentacion de los mecanismos de amortiguacion. Para el sistema linealizado
obtenemos que la energıa (5) no esta aumentando. Sin embargo, para el sistema
completo (3) el lado derecho de (6) no tiene un signo definido. Por consiguiente, el
estudio del comportamiento asintotico de las soluciones se convierten en una tarea mas
difıcil.
Surgen las siguientes preguntas: Sera que E(t) −→ 0 cuando t −→ ∞. ¿Si este es el
caso, podemos dar su tasa de decaimiento?. Las mismas preguntas pueden ser hechas
con respecto al comportamiento de la norma en Hs (la norma de Sobolev de orden
s ∈ R) de η y ω.
Con respecto al sistema Boussinesq de tipo BBM – BBM, en [15] aborda el problema
de estabilizacion para el sistema linealizado, que se plantea en un intervalo acotado,
cuando el termino de amortiguacion localizada actua en una sola ecuacion.
Finalmente, mencionamos que un problema similar se planteo por Chen y Goubet [12]
en el eje real R y con α1 = α2 = 2, donde demuestran el decaimiento exponencial
cuando la amortiguacion esta activa en ambas ecuaciones.
El trabajo esta organizado de la siguiente manera. En el capıtulo 1, presentamos
las nociones preliminares. El capıtulo 2, se estudia la buena colocacion del problema
linealizado. El capıtulo 3, es dedicado a obtener la tasa de decaimiento para el
semigrupo lineal asociado. Finalmente en el capıtulo 4, estudiamos el comportamiento
asintotico del sistema no lineal (3) para el caso en el cual el sistema linealizado tiene
una tasa de decaimiento exponencial.
x
Capıtulo 1
Preliminares
En este capıtulo, daremos algunas definiciones y enunciaremos algunos resultados
relevantes que seran utiles posteriormente.
1.1. Espacios de Sobolev
Definicion 1.1.1. Sea Ω ⊂ Rn, abierto. Denotamos por Lp(Ω), con 1 6 p < ∞, el
espacio vectorial de las (clases de) funciones medibles u : Ω −→ R, tal que |u|p es
Lebesgue integrable en Ω, que, unido de la norma
‖u‖Lp(Ω) =
(∫Ω
|u(x)|pdx) 1
p
,
es un espacio de Banach.
En el caso p = ∞, denotamos por L∞(Ω), el espacio de las (clases de) funciones
medibles a Lebesgue y esencialmente limitadas en Ω, esto es, existe una constante
C > 0, tal que
|u(x)| 6 C, casi siempre en Ω,
que, unido de la norma
‖u‖L∞(Ω) = supx∈Ω
ess|u(x)|,
1
es un espacio de Banach. En particular, si p = 2, tenemos que L2(Ω) es un espacio de
Hilbert cuya norma y producto interno seran denotados, respectivamente, por
‖u‖L2(Ω) =
(∫Ω
|u(x)|2dx) 1
2
,
y
(u, v)L2(Ω) =
∫Ω
u(x)v(x)dx.
Decimos que una sucesion (ϕn) en Lp(Ω) converge para ϕ en Lp(Ω) si
‖ϕn − ϕ‖Lp(Ω) −→ 0, cuando n −→∞, para 1 6 p 6∞.
Definicion 1.1.2. Si p y q son ındices conjugados, esto es, si 1p
+ 1q
= 1, entonces
tenemos que el dual topologico de Lp(Ω), denotado por [Lp(Ω)]′, es el espacio Lq(Ω).
Ası mismo, si 1 6 p < ∞, entonces Lp(Ω) es separable y si 1 < p < ∞, Lp(Ω) es
reflexivo
Lema 1.1.3. (Desigualdad de Holder) Sea 1 6 p, q 6∞, tal que 1p+ 1q
= 1, f ∈ Lp(Ω)
y g ∈ Lq(Ω). Entonces, fg ∈ L1(Ω) y
∫Ω
|f(x)g(x)|dx 6 ‖f‖Lp(Ω)‖g‖Lq(Ω),
Demostracion: Ver Brezis (1983), pag. 87.
Definicion 1.1.4. Sean m ∈ N∗, y 1 6 p 6 ∞. Definimos el espacio de Sobolev de
orden m, denotado por Wm,p(Ω), como siendo el espacio vectorial de las (clases de)
funciones en Lp(Ω), para los cuales sus derivadas de orden |α|, en el sentido de las
distribuciones, pertenecen a Lp(Ω), para todo 0 6 |α| 6 m, o sea,
Wm,p(Ω) = u ∈ Lp(Ω); Dαu ∈ Lp(Ω), 0 6 |α| 6 m,
donde Dαu denota la derivada devil o distribucional. El espacio Wm,p(Ω) unido de la
2
norma
‖u‖Wm,p(Ω) =
∑06|α|6m
‖Dαu‖pLp(Ω)
1p
, si 1 6 p <∞,
es un espacio de Banach y, cuando p =∞, definiendo la norma
‖u‖Wm,∞(Ω) =∑
06|α|6m
‖Dαu‖L∞(Ω),
tenemos que Wm,∞(Ω) es un espacio de Banach.
Tenemos que Wm,p(Ω) es un espacio separable si 1 6 p <∞, y reflexivo si 1 < p <∞.
En particular, si p = 2, el espacio Wm,2(Ω) es un espacio de Hilbert, separable y
reflexivo, que es denotado por
Hm(Ω) = u ∈ L2(Ω); Dαu ∈ L2(Ω), 0 6 |α| 6 m,
cuya norma y producto interno seran denotados, respectivamente, por
‖u‖Hm(Ω) =
∑06|α|6m
‖Dαu‖2L2(Ω)
12
,
y
(u, v)Hm(Ω) =∑
06|α|6m
(Dαu,Dαv)L2(Ω)
Con la estructura topologica arriba, tenemos Hm(Ω) → L2(Ω).
Definicion 1.1.5. Definimos el espacio Wm,p0 (Ω) como siendo la cerradura de D(Ω)
en Wm,p(Ω).
El dual topologico del espacio Wm,p0 (Ω) es representado por W−m,q(Ω), si 1 6 p < ∞
con p y q ındices conjugados. Si ϕ ∈ W−m,q(Ω), entonces ϕ|D(Ω) pertenece a D′(Ω).
En el caso p = 2, Wm,20 (Ω) es denotado por Hm
0 (Ω), cuyo dual es H−m(Ω).
Teorema 1.1.6. (Teorema de inmersion ) Sean m > 1, 1 6 p < ∞ y Ω ⊂ Rn en un
conjunto abierto, limitado y con frontera regular.
3
Si 1p− m
n> 0, entonces Wm,p(Ω) ⊂ Lq(Ω), donde 1
q= 1
p− m
n.
Si 1p− m
n= 0, entonces Wm,p(Ω) ⊂ Lq(Ω), donde q ∈ [p,+∞).
Si 1p− m
n< 0, entonces Wm,p(Ω) ⊂ L∞(Ω),
siendo las inmersiones arriba continuas.
Demostracion: Ver Medeiros y Miranda (2000).
Lema 1.1.7. (Desigualdad de Poincare) Sea Ω ⊂ Rn un abierto limitado en alguna
direccion xi de Rn, o sea, existe una direccion ei tal que |πi(Ω)| < C, C constante,
donde πi : Rn −→ R es la proyeccion sobre el eje ei. Entonces, existe una constante
CΩ > 0, tal que
‖u‖2L2(Ω) 6 CΩ‖5u‖2
L2(Ω),
para cualquier u ∈ H10 (Ω).
Demostracion: Ver Medeiros y Miranda (2000).
Observacion 1.1.8. Por la desigualdad de Poincare, se muestra que las normas
‖u‖H1(Ω) y ‖5u‖L2(Ω) son equivalentes en H10 (Ω).
Teorema 1.1.9. (Rellich-Kondrachov)Sea Ω ⊂ Rn un subconjunto abierto, limitado y
con frontera regular.
Si n > 2m, entonces Hm(Ω) →c Lp(Ω), donde p ∈
[1, 2n
n−2m
)n = 2m, entonces Hm(Ω) →c L
p(Ω), donde p ∈ [1,+∞)
n < 2m, entonces Hm(Ω) →c Ck(Ω), donde k es un entero no negativo tal que
k < m− n2< k + 1
donde las inmersiones arriba son compactas.
Demostracion: Ver Brezis (1983), pag. 270.
4
Teorema 1.1.10. (Teorema de la traza) Sea Ω ⊂ Rn un subconjunto abierto limitado
de clase Cm+1 con frontera Γ. Entonces existe una aplicacion traza
γ = (γ0, γ1, . . . , γm−1), de Hm(Ω) en (L2(Ω))m, tal que
Si v ∈ C∞(Ω), entonces γ0(v) = v|Γ, γ1(v) = ∂v∂ν|Γ, ..., γm−1(v) = ∂m−1v
∂νm−1 |Γ, donde
ν es el vector normal unitario exterior a la frontera Γ.
La imagen de γ es el espacio∏m−1
j=0 Hm−j−1/2(Γ).
El nucleo de γ es Hm0 (Ω).
Demostracion: Ver Kesavan (1989), pag. 95.
1.2. Interpolacion de espacios de Hilbert
Sean X e Y espacios de Hilbert separables, tales que X → Y , con inmersion
continua y densa. Sean (·, ·)X y (·, ·)Y los productos internos en X e Y , respectivamente.
Indicaremos por D(S), el conjunto de las funciones u, definidas en X, tal que la
aplicacion v 7−→ (u, v)X , v ∈ X, es continua en la topologıa inducida por Y . Entonces,
(Su, v)Y = (u, v)X define S, como siendo un operador ilimitado en Y , con dominio
D(S), denso en Y .
Ası, tenemos que S es un operador autoadjunto y estrictamente positivo. Usando la
descomposicion espectral de operadores autoadjuntos, podemos definir Sθ, θ ∈ R.
En particular, usaremos A := S12 . El operador A es autoadjunto, definido positivo en
Y , con dominio X y
(u, v)X = (Au,Av)Y , ∀u, v ∈ X.
Definicion 1.2.1. Con las hipotesis arriba, definimos el espacio intermediario
[X, Y ]θ := D(A1−θ), θ ∈ [0, 1],
5
donde D(A1−θ) representa el dominio de A1−θ, unido de la norma
‖u‖[X,Y ]θ =(‖u‖Y + ‖A1−θu‖Y
) 12 .
Tenemos las siguientes propiedades:
1. X → [X, Y ]θ → Y
2. ‖u‖[X,Y ]θ 6 ‖u‖1−θX ‖u‖θY , ∀u ∈ X
3. Si 0 < θ0 < θ1 < 1, entonces [X, Y ]θ0 → [X, Y ]θ1
4. [[X, Y ]θ0 , [X, Y ]θ1 ]θ = [X, Y ](1−θ)θ0+θθ1
Para la demostracion de estas propiedades y otras, ver Lions y Magenes (1968).
1.3. Espacios Lp(0, T ;X)
Definicion 1.3.1. Sean X espacio de Banach y T > 0. Denotamos por Lp(0, T ;X),
1 6 p < ∞, el espacio de vectorial (clase de) funciones u : (0, T ) → X, fuertemente
medible, tal que la funcion t 7→ ‖u(t)‖pX es integrable segun Lebesgue en (0, T ), que
unido de la norma
‖u‖Lp(0,T ;X) =
(∫ T
0
‖u‖pXdt) 1
p
,
es un espacio de Banach. En el caso p = 2 y X un espacio de Hilbert, el espacio
L2(0, T ;X) es, tambien, un espacio de Hilbert, cuyo producto interno es dado por
〈u, v〉L2(0,T ;X) =
∫ T
0
〈u(t), v(t)〉Xdt.
Si p =∞, denotamos por L∞(0, T ;X), el espacio vectorial de las (clases de) funciones
u : (0, T ) → X, fuertemente medibles, tal que la funcion t 7→ ‖u(t)‖pX pertenece a
L∞(0, T ), que unido de la norma
‖u‖L∞(0,T ;X) = supt∈(0,T )
ess‖u‖X ,
6
es un espacio de Banach.
Ası mismo, cuando X es reflexivo y separable y 1 < p <∞, tenemos que Lp(0, T ;X) es
un espacio reflexivo y separable, cuyo dual topologico se identifica al espacio de Banach
Lq(0, T ;X ′), donde p y q son ındices conjugados y X ′ es el dual de X.
Teorema 1.3.2. (Aubin-Lions) Sean B0, B y B1, espacios de Banach tales que
B0 →c B → B1,
donde B0 y B1 son reflexivos, → denota inmersion continua y →c, inmersion compacta.
Defina W = u ∈ Lp(0, T ;B0);u′ ∈ Lq(0, T ;B1), donde 1 < p, q <∞ y T <∞, unido
de la norma
‖u‖W = ‖u‖Lp(0,T ;B0) + ‖u′‖Lq(0,T ;B1).
Entonces W es un espacio de Banach y W →c Lp(0, T ;B).
Demostracion: Ver Lions (1969).
Observacion 1.3.3. Note que, por el Teorema de Aubin-Lions, tenemos el siguiente
resultado:
Si (un)n∈N es una sucesion acotada en L2(0, T ;B0) y (u′n)n∈N es una sucesion acotada
en L2(0, T ;B1), entonces (un)n∈N es acotada en W , donde existe una sub sucesion
(unk)k∈N de (un)n∈N tal que unk → u, fuerte en L2(0, T ;B), cuando k →∞.
Definicion 1.3.4. Sean X espacio de Banach y T > 0. Entonces definimos el espacio
de las funciones debilmente continuas como siendo el espacio vectorial de las (clases
de) funciones L∞(0, T ;X), tal que , u : [0, T ] → X es una aplicacion t 7→ 〈ϕ, u(t)〉
es continua de [0, T ] en R, ∀ϕ ∈ X ′ = L(X;R). Este espacio sera denotado por
Cw([0, T ];X).
Teorema 1.3.5. Sean X y Y espacio de Banach tales que, X → Y y X reflexivo.
Entonces tenemos
L∞(0, T ;X) ∩ Cw([0, T ];Y ) = Cw([0, T ];X)
7
Demostracion: Ver Temam (1984).
1.4. Algunos resultados importantes
Teorema 1.4.1. (Punto fijo de Banach) Sean E un espacio de Banach y F ⊂ E un
subespacio cerrado de E. Si f : F → F es una contraccion, entonces existe un unico
z ∈ F , tal que f(z) = z.
Demostracion: Ver Rudin (1964), pag. 220.
Teorema 1.4.2. Sea X un espacio normado y B1(0) ⊂ X, la bola cerrada unitaria.
Entonces, B1(0) es compacta si, y solamente si, X posee dimension finita.
Demostracion: Ver Brezis (1983), pag. 148.
Teorema 1.4.3. Si X es un espacio vectorial normado y M es un subespacio de X de
dimension finita, entonces M es cerrado.
Demostracion: Ver Bachman y Narici (1972).
Teorema 1.4.4. (Convergencia dominada de Lebesgue) Sean (fn) una sucesion de
funciones medibles de Ω en X, f : Ω→ X y g ∈ L1(Ω). Si
|fn(x)| 6 g(x), casi siempre en Ω,∀n ∈ N
y
lımn→∞
fn(x) = f(x), casi siempre en Ω,
entonces,
lımn→∞
∫Ω
fn(x)dx =
∫Ω
f(x)dx.
Demostracion: Ver Folland (2013), pag. 53.
Lema 1.4.5. (Desigualdad de Young) Sean a, b > 0 y p, q > 0, tal que 1p
+ 1q
= 1.
Entonces,
ab 6ap
p+bq
q.
8
Demostracion: Ver Folland (2013), pag. 174.
Teorema de Cayley Hamilton para exponenciales de una matriz, dado por:
Teorema 1.4.6. Sea A una matriz cuadrada y sea pA (λ) su polinomio caracterıstico.
Entonces pA (A) = 0 .
Demostracion. Sea A una matriz de n × n. El polinomio caracterıstico de A es
pA(λ) = det(A − λIn). Supongamos que B = P−1AP y A son matrices semejantes.
Luego, se tiene que pA = pB.
En efecto,
pB(λ) = det(B − λIn) = det(P−1AP − λP−1P )
= det(P−1(A− λIn)P ) = det(P−1)det(A− λIn)det(P )
= det(A− λIn) = pA(λ)
pA = pB
Tambien, podemos inferir que pB (B) = pB (P−1AP ) = P−1pA (A)P.
Por otro lado A es una matriz cuadrada , entonces A es semejante a una matriz en
forma normal de Jordan (si es diagonal en bloque y la matriz en cada bloque sobre la
diagonal es un bloque de Jordan).
Supongamos que A es diagonal en bloque; es decir
A =
A1 0
0 A2
donde A1 y A2 son matrices cuadradas. Entonces
det(A) = det(A1)det(A2)
pA(λ) = pA1(λ)pA2(λ)
9
Como
Ak =
Ak1 0
0 Ak2
Se deduce que
pA(A) =
pA(A1) 0
0 pA(A2)
=
pA1(A1)pA2(A1) 0
0 pA1(A2)pA2(A2)
Por lo cual el teorema se cumple para los bloques de Jordan, entonces
pA1(A1) = 0 = pA2(A2)
Por lo tanto
pA(A) = 0.
1.5. Teorıa de Semigrupos
Definicion 1.5.1. Sea X un espacio de Banach. Una Aplicacion S : R+ → L(X) es
un semigrupo de operadores lineales acotados de X, si
i) S(0) = I, donde I es la aplicacion identidad del espacio X.
ii) S(s+ t) = S(t)S(s), ∀t, s ∈ R+.
Decimos que S es de clase C0, o fuertemente continuo, si
lımt→0+‖S(t)x− x‖X = 0, ∀x ∈ X.
Decimos que S es uniformemente continuo si
lımt→0+‖S(t)− I‖ = 0.
Teorema 1.5.2. Si (S(t))t>0 es un semigrupo de clase C0, entonces existen contantes
10
w > 0 y M > 1, tal que
‖S(t)‖ 6Mewt, ∀t > 0.
Demostracion: Ver Pazy (1983), pag. 4.
Corolario 1.5.3. Sea (S(t))t>0 un semigrupo de clase C0. Entonces, para cada x ∈ X,
la aplicacion
t 7−→ S(t)x
es continua. Equivalentemente, para cada x ∈ X,
lımt−→s
S(t) = S(s)x, ∀t, s ∈ R+.
Demostracion: Ver Pazy (1983), pag. 4.
Definicion 1.5.4. Si ‖S(t)‖ 6 1, ∀t > 0, decimos que S es un semigrupo de
contracciones.
Definicion 1.5.5. El operador A definido por
D(A) =
x ∈ X; lım
h−→0+
S(h)x− xh
existe
y
Ax = lımh−→0+
S(h)x− xh
,
es llamado generador infenitesimal del semigrupo S.
Observacion 1.5.6. Note que A es un operador lineal y D(A) es un subespacio de X.
Teorema 1.5.7. Sea (S(t))t>0 un semigrupo de clase C0 y A su generador infinitesimal.
Entonces,
i) lımh−→01h
∫ t+hh
S(s)xds = S(t)x, ∀x ∈ X
ii)∫ t
0S(s)xds ∈ D(A), ∀x ∈ X, y A
(∫ t0S(s)xds
)= S(t)x− x
iii) Para todo x ∈ D(A), S(t)x ∈ D(A) y ddtS(t)x = AS(t)x = S(t)Ax
11
iv) Para todo x ∈ D(A), S(t)x− S(s)x =∫ t
0AS(τ)xdτ =
∫ t0S(τ)Axdτ
Demostracion: Ver Pazy (1983), pag. 4.
Corolario 1.5.8. Si A es un generador infenitesimal de un semigrupo de clase C0,
entonces A es cerrado y D(A) = X.
Demostracion: Ver Pazy (1983), pag. 5.
Proposicion 1.5.9. Un operador cerrado con dominio denso es el generador
infenitesimal de, en lo maximo, un semigrupo de clase C0.
Demostracion: Ver Gomes (2005), pag. 15.
Definicion 1.5.10. Sean X espacio de Banach, X∗ el dual de X y 〈·, ·〉 la dualidad
entre X y X∗. Para cada x ∈ X, defina
J(x) = x∗ ∈ X∗; 〈x, x∗〉 = ‖x‖2X = ‖x∗‖2
X∗.
Note que, por el teorema de Hahn-Banach, J(x) 6= ∅, ∀x ∈ X.
Definicion 1.5.11. Una aplicacion dualidad es una aplicacion j : X → X∗, tal que
j(x) ∈ J(x), ∀x ∈ X, o sea, 〈x, j(x)〉 = ‖x‖2 = ‖j(x)‖2.
Definicion 1.5.12. Decimos que el operador lineal A : D(A) ⊂ X → X es disipativo
si, para alguna aplicacion dualidad j,
Re〈Ax, j(x)〉 6 0, ∀x ∈ D(A).
Si, ademas, existe λ > 0, tal que Im(λI − A) = X, entonces decimos que A es
m-disipativo.
Observacion 1.5.13. Si X es un espacio de Hilbert, entonces decimos que
A : D(A) ⊂ X → X es disipativo si
Re〈Ax, x〉 6 0, ∀x ∈ D(A).
12
Notacion: Decimos que A ∈ G(M,w), cuando A es el generador infinitesimal de un
grupo de clase C0, S, que satisface
‖S(t)‖ 6Mewt, ∀t > 0.
Teorema 1.5.14. (Lumer - Phillips) A ∈ G(1, 0) si, y solamente si, A es m-disipativo
y posee dominio denso en X.
Demostracion: Ver Pazy (1983), pag. 14.
Proposicion 1.5.15. Sea A : D(A) ⊂ X → X un operador lineal donde X es un
espacio de Banach. Si D(A) = X, A y A∗ son disipativos y A es cerrado (condicion
equivalente a A∗∗ = A ), entonces A ∈ G(1, 0).
Demostracion: Ver Pazy (1983), pag. 15.
1.6. Problema de Cauchy Abstracto
Sea X espacio de Banach, A : D(A) ⊂ X → X el generador infinitesimal de un
semigrupo de clase C0, (S(t))t>0 y f ∈ L1(0, T ;X).
Dado u0 ∈ D(A), el problema de Cauchy Abstracto consiste en determinar una funcion
u(t), tal que dudt
(t) = Au(t), t > 0
u(0) = u0.(1.1)
Definicion 1.6.1. Decimos que u es solucion clasica (o fuerte) de (1.1) en [0,+∞),
si u satisface (1.1) y u ∈ C(R+;D(A)) ∩ C1(R+;X).
Teorema 1.6.2. Si A ∈ G(M,w) y u0 ∈ D(A), el problema (1.1) posee una unica
solucion clasica
Demostracion: Ver Gomes (2005), pag. 104.
13
Considere, ahora, el siguiente problema dudt
(t) = Au(t) + f(t, u(t)), t > 0
u(0) = u0 ∈ X.(1.2)
Definicion 1.6.3. Una funcion u : [0,+∞) → X es una solucion clasica de (1.2) en
[0,+∞) si u satisface (1.2) en [0,+∞) y si u ∈ C(R;D(A))∩C1(R+;X). Una funcion
u ∈ C([0, T ];X), dada por
u(t) = S(t)u0 +
∫ t
0
S(t− s)f(s, u(s))ds,
es llamada de mild solution o solucion generalizada de (1.2) en [0, T ].
Note que si f ≡ 0, entonces u(t) = S(t)u0, u0 ∈ X, es una mild solution de (1.1).
Teorema 1.6.4. Sea f : [0,+∞)]×X → X una funcion continua en t. Suponga que,
para cada τ > 0, existe una constante L = L(τ), tal que
‖f(t, x)− f(t, y)‖ 6 L‖x− y‖,
∀x, y ∈ X y ∀t ∈ [0, τ ]. Entonces, para cada u0 ∈ X, (1.2) posee una unica mild solution
u ∈ C([0, τ ];X). Ademas, la aplicacion u0 7−→ u es continua de X en C([0, τ ];X).
Demostracion: Ver Gomes (2005), pag. 124.
Introducimos algunas notaciones que seran usadas posteriormente. Dados v ∈ L2 (0, 2π)
y k ∈ Z, denotamos por vk el k-esimo coeficiente de Fourier de v
vk =1
2π
∫ 2π
0
v(x)e−ikxdx
y ∀m ∈ N definimos el espacio
14
Hmp (0, 2π) =
v ∈ L2 (0, 2π) /v =
∑k∈Z
vkeikx,∑k∈Z
| vk |2(1 + k2
)m<∞
,
el cual es un espacio de Hilbert con respecto al producto interno
(v, ω)m =∑kεZ
vk.ωk(1 + k2
)m. (1.3)
La norma correspondiente a (1.3) es denotada por ‖‖m. Puede observarse que
Hmp (0, 2π) =
v ∈ Hm (0, 2π) /
∂rv
∂xr(0) =
∂rv
∂xr(2π), 0 ≤ r ≤ m− 1
,
donde Hm (0, 2π) representa el clasico espacio de Sobolev de exponente m en (0, 2π).
Podemos extender la definicion de Hmp (0, 2π) para el caso m = s > 0, un numero real
no negativo, donde
Hsp (0, 2π) =
v =
∑k∈Z
vkeikxεHs (0, 2π) /
∑k∈Z
| vk |2(1 + k2
)s<∞
. (1.4)
Para cualquier numero real no negativo s; Hsp (0, 2π) puede tambien considerarse como
un espacio de Hilbert con respecto al producto interno definido por (1.3) con m
reemplazado por s. En particular, para cualquier v ∈ Hsp (0, 2π),
‖ v ‖s=
(∑k∈Z
| vk |2(1 + k2
)s)1/2
.
Para s < 0 definimos el espacio Hsp (0, 2π) como el espacio dual topologico de
H−sp (0, 2π):
Hsp (0, 2π) =
(H−sp (0, 2π)
)′.
El teorema de representacion de Riesz asegura que para todo v ∈ H0p (0, 2π) = L2 (0, 2π)
15
puede ser identificado con un elemento ωv ∈(H0p (0, 2π)
)′tal que
ωv(z) =
∫ 2π
0
z(x).v(x)dx,(z ∈ H0
p (0, 2π))
Tradicionalmente, la misma notacion es usada para cualquier v y ωv ( los espacios(H0p (0, 2π)
)′y H0
p (0, 2π) son identificados). Dado s < 0, cualquier elemento ω ∈
Hsp (0, 2π) puede ser representado de manera unica por
ω =∑k∈Z
ωkeikx, (1.5)
donde
ωk = 12π
∫ 2π
0ω(e−ikx)dx,∀kεZ.
El ligero abuso de notacion en (1.5) (el elemento w en el lado izquierdo no es
una funcion de x y la funcion exponencial eikx en el lado derecho es actualmente el
representante de esta funcion en L2 en el espacio dual) es compensado por el hecho que
la expansion en (1.5) se ve exactamente como un correspondiente elemento del espacio
Hs con exponente positivo s.
Por otro lado, la siguiente aplicacion es un producto dual entre Hsp (0, 2π) y H−sp (0, 2π),
para cualquier s ≥ 0,
〈v, ω〉s =∑k∈Z
vkω−k,(v ∈ Hs
p(0, 2π), ω ∈ H−sp (0, 2π)). (1.6)
Consecuentemente, si s < 0, el espacio Hsp(0, 2π) tambien puede ser definido por (1.4)
y puede ser visto como un espacio de Hilbert con respecto al producto interno (1.3)
con m reemplazado por s.
16
Por otro lado, si α > 0 el operador (I − α∂2)−1p esta definido como:
(I − α∂2
x
)−1
pϕ = v ⇐⇒
v − αvxx = ϕ, en (0, 2π)
v(0) = v(2π), vx(0) = vx(2π)
para cualquier ϕ ∈ L2(0, 2π), la ecuacion elıptica anterior tiene una unica solucion,
v ∈ H2p (0, 2π), ası (I − α∂2
x)−1p esta bien definida como un operador compacto en
L2(0, 2π).
17
Capıtulo 2
Existencia y unicidad
2.1. El sistema lineal
En este capıtulo estudiaremos la existencia de soluciones del sistema lineal que
corresponde a (3). Mas precisamente, consideramos el siguiente sistema
ηt + ωx − bηtxx + β1Mα1η = 0 , x ∈ (0, 2π) , t > 0
ωt + ηx − dωtxx + β2Mα2ω = 0 , x ∈ (0, 2π) , t > 0
η (t, 0) = η (t, 2π) ; ηx (t, 0) = ηx (t, 2π) , t > 0
ω (t, 0) = ω (t, 2π) ;ωx(t, 0) = ωx (t, 2π) , t > 0
η (0, x) = η0 (x) , x ∈ (0, 2π)
ω (0, x) = ω0 (x) , x ∈ (0, 2π)
(2.1)
donde b, d > 0, β1 ,β2 ≥ 0, α1, α2 ∈ [0, 2] y los operadores Mαj son los multiplicadores
de Fourier definidos como sigue
Mαj : Hαjp (0, 2π) −→ L2(0, 2π)
Mαj
(∑k∈Z
akeikx
)=∑k∈Z
(1 + k2
)αj2 ake
ikx, j = 1, 2 (2.2)
18
Dado s ∈ R, introducimos el espacio de Hilbert
V s = Hsp(0, 2π)×Hs
p(0, 2π) (2.3)
con el producto interno definido por
〈(f1, f2), (g1, g2)〉 = b(f1, g1)s + d(f2, g2)s (2.4)
Remarcamos que el sistema (2.1) puede ser escrito en la siguiente forma vectorial
η
ω
t
(t) + A
η
ω
(t) =
0
0
(2.5)
η
ω
(0) =
η0
ω0
donde A es un operador lineal compacto en V s.
En efecto, del sistema (2.1) ηt + ωx − bηtxx + β1Mα1η = 0
ωt + ηx − dωtxx + β2Mα2ω = 0
Obtenemos
ηt − bηtxx = −β1Mα1η − ωx
ωt − dωtxx = −β2Mα2ω − ηx
De las ecuaciones anteriores factorizamos ηt y ωt:
(I − b∂2
x
)ηt = −β1Mα1η − ωx(
I − d∂2x
)ωt = −β2Mα2ω − ηx
19
Despejando ηt y ωt respectivamente, se tiene:
ηt = −(I − b∂2
x
)−1β1Mα1η −
(I − b∂2
x
)−1∂xω
ωt = −(I − d∂2
x
)−1∂xη −
(I − d∂2
x
)−1β2Mα2ω
de donde A (operador lineal compacto en V s) es definido por
A =
β1(I − b∂2x)−1p Mα1 (I − b∂2
x)−1p ∂x
(I − d∂2x)−1p ∂x β2(I − d∂2
x)−1p Mα2
(2.6)
Ahora pasamos al estudio de la existencia de soluciones para (2.1). Asumimos que el
dato inicial en (2.1) es dado por
(η0, ω0) =∑k∈Z
(η0k, ω
0k)e
ikx (2.7)
entonces, la solucion formal de (2.1) puede ser escrita
(η, ω)(t, x) =∑k∈Z
(ηk (t) , ωk (t))eikx (2.8)
donde (ηk(t), ωk(t)) cumple
(1 + bk2)(ηk)t + ikωk + β1(1 + k2)
α12 ηk = 0, t ∈ (0, T )
(1 + dk2)(ωk)t + ikηk + β2(1 + k2)α22 ωk = 0, t ∈ (0, T )
ηk(0) = η0k, ωk(0) = ω0
k
(2.9)
A continuacion desarrollamos los calculos necesarios para obtener (2.9) a partir de
(2.1). Multiplicando por e−ikx e integrando miembro a miembro a la primera ecuacion
del sistema (2.1), se tiene:
1
2π
∫ 2π
0
ηte−ikxdx+
1
2π
∫ 2π
0
ωxe−ikxdx− b
2π
∫ 2π
0
ηtxxe−ikxdx+
β1
2π
∫ 2π
0
Mα1ηe−ikxdx = 0
20
Calculo de (ηk)t :
1
2π
∫ 2π
0
ηte−ikxdx =
1
2π
∫ 2π
0
d
dt(η) e−ikxdx
=d
dt
(1
2π
∫ 2π
0
ηe−ikxdx
)=
d
dt(ηk)
= (ηk)t
Calculo de ωk :
1
2π
∫ 2π
0
ωxe−ikxdx =
1
2πωe−ikx|2π0 + ik
1
2π
∫ 2π
0
ωe−ikxdx
=1
2πωe−ikx|2π0 + ikωk
= ikωk
Calculo de −bk2 (ηk)t :
b
2π
∫ 2π
0
ηtxxe−ikxdx =
b
2π
d
dt
(∫ 2π
0
ηxxe−ikxdx
)=
1
2πbd
dt
[e−ikxηx + ik
∫ 2π
0
ηxe−ikxdx
]=
1
2πbd
dt
[e−ikxηx + ik
(ηe−ikx + ik
∫ 2π
0
ηe−ikxdx
)]=
1
2πbd
dt
[e−ikxηx + ikηe−ikx
]− bk2 d
dt
1
2π
∫ 2π
0
ηe−ikxdx
=1
2πbd
dt
[e−ikxηx + ikηe−ikx
]− bk2 d
dt(ηk)
= −bk2 d
dt(ηk)
21
β1
2π
∫ 2π
0
Mα1ηe−ikxdx =
1
2πβ1
∫ 2π
0
∑k∈Z
((1 + k2
)α12 ηk (t) eikx
)e−jkxdx
=1
2πβ1
(1 + k2
)α12 ηk (t)
∫ 2π
0
eikx−ijkdx
= β1
(1 + k2
)α12 ηk (t)
Luego sumando los terminos anteriores
(ηk)t + ikωk + bk2 d
dt(ηk) + β1
(1 + k2
)α12 ηk (t) = 0(
1 + bk2)
(ηk)t + ikωk + β1
(1 + k2
)α12 ηk (t) = 0
Multiplicando por e−ikx e integrando miembro a miembro la segunda ecuacion del
sistema (2.1), se tiene:
1
2π
∫ 2π
0
ωte−ikxdx+
1
2π
∫ 2π
0
ηxe−ikxdx− d 1
2π
∫ 2π
0
ωtxxe−ikxdx+ β2
1
2π
∫ 2π
0
Mα2ωe−ikxdx = 0
Calculo de (ωk)t :
1
2π
∫ 2π
0
ωte−ikxdx =
1
2π
∫ 2π
0
d
dt(ω) e−ikxdx
=d
dt
(1
2π
∫ 2π
0
ωe−ikxdx
)=
d
dt(ωk)
= (ωk)t
Calculo de −k2d ddt
(ωk) :
22
d
2π
∫ 2π
0
ωtxxe−ikxdx =
d
2π
d
dt
(∫ 2π
0
ωxxe−ikxdx
)=
1
2πdd
dt
[e−ikxωx + ik
∫ 2π
0
ωxe−ikxdx
]=
1
2πdd
dt
[e−ikxωx + ik
(ωe−ikx + ik
∫ 2π
0
ωe−ikxdx
)]=
1
2πdd
dt
[e−ikxωx + ikωe−ikx
]− dk2 d
dt
1
2π
∫ 2π
0
ωe−ikxdx
=1
2πdd
dt
[e−ikxωx + ikωe−ikx
]− dk2 d
dt(ωk)
= −k2dd
dt(ωk)
Calculo de ηk :
1
2π
∫ 2π
0
ηxe−ikxd =
1
2πηe−ikx|2π0 + ik
1
2π
∫ 2π
0
ηe−ikxdx
=1
2πηe−ikx|2π0 + ikηk
= ikηk
β21
2π
∫ 2π
0
Mα2ωe−ikxdx =
1
2πβ2
∫ 2π
0
∑k∈Z
((1 + k2
)α22 ωk (t) eikx
)e−jkxdx
=1
2πβ2
(1 + k2
)α22 ωk (t)
∫ 2π
0
eikx−ijkdx
= β2
(1 + k2
)α22 ωk (t)
Luego sumando los terminos anteriores obtenemos:
(ωk)t + ikηk + k2dd
dt(ωk) + β2
(1 + k2
)α22 ωk (t) = 0(
1 + dk2)
(ωk)t + ikηk + β2
(1 + k2
)α22 ωk (t) = 0
23
Ası, hemos obtenido el sistema (2.9).
Lema 2.1.1. Sean
ek =1
2k
(β1
(1 + k2
)α12
√1 + dk2
1 + bk2− β2
(1 + k2
)α22
√1 + bk2
1 + dk2
), (2.10)
λ±k =1
2
(β1 (1 + k2)
α12
1 + bk2+β2 (1 + k2)
α22
1 + dk2±
2 | k |√e2k − 1√
(1 + bk2) (1 + dk2)
), (2.11)
k ∈ Z∗
y ξk = ek −√e2k − 1, (k ∈ Z∗). La solucion (ηk (t) , ωk (t)) de (2.9) es dada por
ηk = 11−ξ2
k
[(η0k + i
√1+dk2
1+bk2 ξkω0k
)e−λ
+k t −
(ξ2k η
0k + i
√1+dk2
1+bk2 ξkω0k
)e−λ
−k t]
ωk = 11−ξ2
k
[(i√
1+bk2
1+dk2 ξkη0k − ξ2
kω0k
)e−λ
+k t −
(i√
1+bk2
1+dk2 ξkη0k − ω0
k
)e−λ
−k t] (2.12)
si |ek| 6= 1 y k 6= 0,ηk =
[(1− kξk√
(1+bk2)(1+dk2)t
)η0k − ikt
1+bk2 ω0k
]e−λ
+k t,
ωk =
[− ikt
1+dk2 η0k +
(1 + kξk√
(1+bk2)(1+dk2)t
)ω0k
]e−λ
+k t,
(2.13)
si |ek| = 1 y k 6= 0, y finalmente, η0 (t) = η00e−β1t,
ω0 (t) = ω00e−β2t.
(2.14)
si k = 0.
Demostracion. Para resolver el sistema (2.9) consideramos
A(k) =
β1(1+k2)α12
1+bk2ik
1+bk2
ik1+dk2
β2(1+k2)α22
(1+dk2)
24
El sistema (2.9) es equivalente a :
η
ωk
t
(t) + A (k)
ηk
ωk
(t) =
0
0
ηk
ωk
(0) =
η0k
ω0k
La solucion de (2.9) es dado por :
ηk
ωk
(t) = e−A(k)t
η0k
ω0k
. (2.15)
Los autovalores λ±k de la matriz A(k) estan dados por (2.11).
Hallamos los autovalores de A resolviendo:
λ2 − traz(A)λ+ det(A) = 0,
donde A es dada por
A = −
β1(1+k2)α12
1+bk2ik
1+bk2
ik1+dk2
β2(1+k2)α22
1+dk2
λ2 +
(β1(1 + k2)
α12
1 + bk2+β2(1 + k2)
α22
1 + dk2
)λ+
β1β2(1 + k2)α1+α2
2
1 + dk2+
k2
(1 + bk2) (1 + dk2)= 0
λ =−b±
√4
2a(2.16)
25
Donde 4 es dado por :
4 =
(β1(1 + k2)
α12
1 + bk2+β2(1 + k2)
α22
1 + dk2
)2
− 4
(β1β2(1 + k2)
α1+α22
(1 + bk2) (1 + dk2)+
k2
(1 + bk2) (1 + dk2)
)
=β2
1(1 + k2)α1
(1 + bk2)2 + 2β1β2(1 + k2)
α1+α22
(1 + bk2) (1 + dk2)− 4
β1β2(1 + k2)α1+α2
2
(1 + bk2) (1 + dk2)− 4k2
(1 + bk2) (1 + dk2)+
+β2
2(1 + k2)α2
(1 + dk2)2
=
(β1(1 + k2)
α12
1 + bk2− β2(1 + k2)
α22
1 + dk2
)2
− 4k2
(1 + bk2) (1 + dk2)
=
(β1(1 + k2)
α12
√1 + dk2
√1 + bk2
√1 + bk2
√1 + dk2
− β2(1 + k2)α22
√1 + bk2
√1 + dk2
√1 + dk2
√1 + bk2
)2
− 4k2
(1 + bk2) (1 + dk2)
=4k2
(1 + bk2) (1 + dk2)
( 1
2k
(β1(1 + k2)
α12
√1 + dk2
1 + bk2− β2(1 + k2)
α22
√1 + bk2
1 + dk2
))2
− 1
=
4k2
(1 + bk2) (1 + dk2)
[e2k − 1
]reemplazando en (2.16) obtenemos:
λ =1
2
[−
(β1(1 + k2)
α12
1 + bk2+β2(1 + k2)
α22
1 + dk2
)±
√4k2
(1 + bk2) (1 + dk2)[e2k − 1]
]
λ =1
2
[−
(β1(1 + k2)
α12
1 + bk2+β2(1 + k2)
α22
1 + dk2
)±
| 2k |√e2k − 1√
1 + bk2√
1 + dk2
]
λ1 = −1
2
[(β1(1 + k2)
α12
1 + bk2+β2(1 + k2)
α22
1 + dk2
)+
| 2k |√e2k − 1√
1 + bk2√
1 + dk2
]
λ2 = −1
2
[(β1(1 + k2)
α12
1 + bk2+β2(1 + k2)
α22
1 + dk2
)−
| 2k |√e2k − 1√
1 + bk2√
1 + dk2
]
Analizamos los siguientes casos:
1. Caso : |ek| < 1 y k 6= 0.
26
La matriz A(k) es diagonalizable y tenemos que P (k)−1A(k)P (k) = D(k), donde
D(k) =
λ+k 0
0 λ−k
P (k) =
√db
−i√
b(1+dk2)b(1+bk2)
ξk
i√
d(1+bk2)b(1+dk2)
ξk
√bd
De estas relaciones y (2.15) obtenemos que la solucion de (2.9) es dada por (2.12).
Observe que, en este caso λ±k son dos numeros complejos conjugados con la misma
parte real dada por 12
(β1(1+k2)
α12
1+bk2 +β2(1+k2)
α22
1+dk2
). Mas aun, tenemos que |ξk| = 1.
2. Caso : |ek| > 1 y k 6= 0.
La matriz A (k) es diagonalizable y tenemos que P (k)−1A(k)P (k) = D(k), donde
D(k) =
λ+k 0
0 λ−k
, P (k) =
√db
−i√
b(1+dk2)b(1+bk2)
ξk
i√
d(1+bk2)b(1+dk2)
ξk
√bd
Ası, la solucion de (2.9) es tambien dada por (2.12). Notamos que en este caso,
los autovalores λ±k son numeros reales los cuales satisfacen λ+k > λ−k
De (2.9) obtenemos
(ηk)t = −β1(1+k2)α12
1+bk2 ηk − ik1+bk2 ωk
(ωk)t = − ik(1+dk2)
ηk − β2(1+k2)α22
(1+dk2)ωk
(ηk)t
(ωk)t
=
−β1(1+k2)α12
1+bk2 − ik1+bk2
− ik(1+dk2)
−β2(1+k2)α22
(1+dk2)
ηk
ωk
.
Ahora, calculamos los autovectores asociados al sistema de ecuaciones
diferenciales lineales.
27
(−β1(1+k2)
α12
1+bk2 − λ)ηk − ik
1+bk2 ωk = 0
− ik(1+dk2)
ηk +
(−β2(1+k2)
α22
(1+dk2)− λ)ωk = 0
(2.17)
Para λ1
De la primera ecuacion de (2.17), se tiene
ωk =i
k
(1
2
β1(1 + k2)α12
1 + bk2− 1
2
(β2(1 + k2)
α22
1 + dk2+
| 2k |√e2k − 1√
(1 + bk2) (1 + dk2)
))ηk(1 + bk2
)ωk =
i√
1 + bk2
√1 + dk2
(1
2k
(β1(1 + k2)
α12
√1 + dk2
√1 + bk2
− β2(1 + k2)α22
√1 + bk2
√1 + dk2
)−√e2k − 1
)ηk
donde
ek = 12k
(β1(1+k2)
α12√
1+dk2√
1+bk2 − β2(1+k2)α22√
1+bk2√
1+dk2
)y ξk = ek −
√e2k − 1
ωk =i√
1 + bk2
√1 + dk2
(ek −
√e2k − 1
)ηk
= i
√1 + bk2
1 + dk2ξkηk
ηk
ωk
=
ηk
i√
1+bk2
1+dk2 ξkηk
=
√1 + bk2
1 + dk2
√1+dk2
1+bk2
iξk
ηk
Para λ2
De la primera ecuacion de (2.17)
ωk =i
k
(1
2
β1(1 + k2)α12
1 + bk2− 1
2
(β2(1 + k2)
α22
1 + dk2−
| 2k |√e2k − 1√
(1 + bk2) (1 + dk2)
))ηk(1 + bk2
)ωk =
i√
1 + bk2
√1 + dk2
(1
2k
(β1(1 + k2)
α12
√1 + dk2
√1 + bk2
− β2(1 + k2)α22
√1 + bk2
√1 + dk2
)+√e2k − 1
)ηk
ωk = i
√1 + bk2
1 + dk2
(ek +
√e2k − 1
)ηk
28
ηk
ωk
=
ηk
i√
1+bk2
1+dk2
(ek +
√e2k − 1
)ηk
=
(ek +
√e2k − 1
) 1(ek+√e2k−1
)i√
1+bk2
1+dk2
ηk
Hallamos las constantes c1 y c2 de la solucion general.
c1
√1+dk2
1+bk2
iξk
eλ1t + c2
1(ek+√e2k−1
)i√
1+bk2
1+dk2
eλ2t =
ηk
ωk
haciendo t = 0 y usando condiciones iniciales.
c1
√1 + dk2
1 + bk2+ c2
1
ek +√e2k − 1
= η0k (2.18)
c1iξk + c2i
√1 + bk2
1 + dk2= ω0
k (2.19)
de (2.19)
c1 =
(ω0k − c2i
√1 + bk2
1 + dk2
)1
iξk
en (2.18)
(ω0k − c2i
√1 + bk2
1 + dk2
)1
iξk
√1 + dk2
1 + bk2+ c2
1
ek +√e2k − 1
= η0k
c2 =
(−ξkη0
k − iω0k
√1+dk2
1+bk2
)ξk
(ek +
√e2k − 1
)ξk
(ek +
√e2k − 1− ξk
)c2 =
−ξkη0k − iω0
k
√1+dk2
1+bk2
1− ξ2k
29
donde
ξk
(ek +
√e2k − 1
)=
(ek −
√e2k − 1
)(ek +
√e2k − 1
)= 1
c1 =
ω0k +
ξkη0k + iω0
k
√1+dk2
1+bk2
1− ξ2k
i
√1 + bk2
1 + dk2
1
iξk
La solucion es dada por: ηk
ωk
=1
ξk (1− ξ2k)
(−iω0
k
(1− ξ2
k
)+ ξkη
0k
√1 + bk2
1 + dk2+ iω0
k
) √1+dk2
1+bk2
iξk
eλ1t
+
−ξkη0k − iω0
k
√1+dk2
1+bk2
1− ξ2k
1
ek+√e2k−1
i√
1+bk2
1+dk2
eλ2t
ηk
ωk
=1
1− ξ2k
(η0k + iω0
kξk
√1+dk2
1+bk2
)eλ1t −
(ξkη
0k + iω0
k
√1+dk2
1+bk2
)1(
ek+√e2k−1
)eλ2t(ξkη
0k
√1+bk2
1+dk2 i− ω0kξ
2k
)eλ1t −
(ξkη
0k
√1+bk2
1+dk2 i− ω0k
)eλ2t
ηk
ωk
=1
1− ξ2k
(η0k + iω0
kξk
√1+dk2
1+bk2
)eλ1t −
(ξkη
0k + iω0
k
√1+dk2
1+bk2
)ξke
λ2t(ξkη
0k
√1+bk2
1+dk2 i− ω0kξ
2k
)eλ1t −
(ξkη
0k
√1+bk2
1+dk2 i− ω0k
)eλ2t
3. Caso : |ek| = 1 y k 6= 0.
Para este caso corresponde a un autovalor doble
λ+k = λ−k =
1
2
(β1 (1 + k2)
α12
1 + bk2+β2 (1 + k2)
α22
1 + dk2
)
con multiplicidad geometrica igual a uno. La matriz A (k) ya no es diagonalizable
30
y, por consiguiente, P (k)−1A(k)P (k) = D(k), donde
D(k) =
λk 0
0 λk
P (k) =
√db
−i√
b(1+dk2)d(1+bk2)
ξk
i√
d(1+bk2)b(1+dk2)
ξk
√bd− i
k
√db
(1 + bk2)
De estas relaciones y (2.15) obtenemos que la solucion de (2.9) es dada por (2.13).
Hallando la solucion
De (2.17) y considerando |ek| = 1 y k 6= 0 se obtiene
λk = −1
2
(β1(1 + k2)
α12
1 + bk2+β2(1 + k2)
α22
1 + dk2
)
Por el Teorema 1.4.6, para la matriz A2×2 con autovalores (λ1 = λ2) iguales
etA = eλ1t (I2 + tN) , donde N = A− λ1I2 (2.20)
Hallando N
N =
−β1(1+k2)α12
1+bk2 − λ − ik1+bk2
− ik(1+dk2)
−β2(1+k2)α22
(1+dk2)− λ
−β1(1 + k2)α12
1 + bk2− λ = −
(1
2
β1(1 + k2)α12
1 + bk2− 1
2
β2(1 + k2)α22
1 + dk2− 1
2
| 2k |√e2k − 1√
1 + bk2√
1 + dk2
)
= −k(β1(1 + k2)
α12
√1+dk2
1+bk2 − β2(1 + k2)α22
√1+bk2
1+dk2− | 2k |√e2k − 1
)2k√
1 + bk2√
1 + dk2
= − k√1 + bk2
√1 + dk2
(ek −
√e2k − 1
)
31
−β2(1 + k2)α22
(1 + dk2)− λ =
1
2
β1(1 + k2)α12
1 + bk2− 1
2
β2(1 + k2)α22
1 + dk2+
1
2
| 2k |√e2k − 1√
1 + bk2√
1 + dk2
=k(β1(1 + k2)
α12
√1+dk2
1+bk2 − β2(1 + k2)α22
√1+bk2
1+dk2 + | 2k |√e2k − 1
)2k√
1 + bk2√
1 + dk2
=k√
1 + bk2√
1 + dk2
(ek +
√e2k − 1
)
reemplazando en la matriz N se tiene
N =
− k√1+bk2
√1+dk2
(ek −
√e2k − 1
)− ik
1+bk2
− ik(1+dk2)
k√1+bk2
√1+dk2
(ek +
√e2k − 1
)
=
− k√1+bk2
√1+dk2 ξk − ik
1+bk2
− ik(1+dk2)
k√1+bk2
√1+dk2
1ξk
La solucion del problema de valor inicial es dado por:
etA
η0k
ω0k
donde etA = e−λt (I2 + tN)
etA = e−λt
I2 + t
− k√1+bk2
√1+dk2 ξk − ik
1+bk2
− ik(1+dk2)
k√1+bk2
√1+dk2
1ξk
= e−λt
1− kt√1+bk2
√1+dk2 ξk − ikt
1+bk2
− ikt(1+dk2)
1 + kt√1+bk2
√1+dk2
1ξk
32
La solucion del problema del valor inicial
etA
η0k
ω0k
= e−λt
1− kt√1+bk2
√1+dk2 ξk − ikt
1+bk2
− ikt(1+dk2)
1 + kt√1+bk2
√1+dk2
1ξk
η0k
ω0k
= e−λt
η0k −
ktη0k√
1+bk2√
1+dk2 ξk − ikt1+bk2 ω
0k
− ikt1+dk2 η
0k + ω0
k +kω0
kt√1+bk2
√1+dk2
1ξk
= e−λt
η0k
ω0k
+
− kη0k√
1+bk2√
1+dk2 ξk − ik1+bk2 ω
0k
− ik1+dk2 η
0k +
kω0k√
1+bk2√
1+dk2
1ξk
t
4. Caso : k = 0. Este caso corresponde a los autovalores λ+
0 = β1 y λ−0 = β2 y la
matriz A (0) es dada en la forma diagonal. Ası, de (2.15) se sigue que la solucion
correspondiente de (2.9) es dada por (2.14)
Para hallar los autovalores de la matriz A hallamos las raıces del polinomio
caracterıstico p(λ)
A (0) =
−β1 0
0 −β2
Es evidente que λ1 = −β1, v1 = e1 ∨ λ2 = −β2, v2 = e2
Por tanto la solucion es:
c1
1
0
eλ1t + c2
0
1
eλ2t =
ηk
ωk
usando la condicion inicial, tenemos:
c1 = η00
c2 = ω00
33
Luego la solucion es dada por:
ηk = η00e−β1t
ωk = ω00e−β2t
Nota 2.1.2. Analizando los autovalores λ±k dados por (2.11). Primero notamos que
λ±k = λ±−k y cumple lo siguiente:
Si ek < 1, entonces los autovalores λ±k son numeros complejos.
Si ek ≥ 1, entonces los autovalores λ±k son numeros reales. Mas aun, si β1 ≥
0, β2 ≥ 0 y β21 + β2
2 > 0, entonces la parte real de λ±k cumple las siguientes
propiedades (supongamos que , si αj = max α1, α2 , entonces βj > 0):
1) R(λ±k)> 0;
2) Si α1 < 2 o α2 < 2, entonces lım infk−→∞R(λ±k)
= 0 . Mas precisamente, tenemos
que
lımk−→∞
2R(λ±k)
β1
bkα1−2 + β2
dkα2−2
= 1, si |ek| < 1, k lo suficientemente grande, (2.21)
y existe tres constantes l1, l2, l3 > 0 tales que
lımk−→∞
R(λ+k
)kmaxα1,α2−2
= l1, si |ek| ≥ 1, (2.22)
lım infk−→∞
R(λ−k)
kmınα1,α2−2= l2, si α1 + α2 > 2, |ek| ≥ 1, (2.23)
lım infk−→∞
R(λ−k)
k−maxα1,α2= l3, si α1 + α2 ≤ 2, |ek| ≥ 1. (2.24)
para k lo suficientemente grande.
34
Consecuentemente, existe una constante l > 0 tal que
R(λ±k ) ≥
l
k2−maxα1,α2 si α1 + α2 ≤ 2, maxα1, α2 ≤ 1
lkmaxα1,α2 si α1 + α2 ≤ 2, maxα1, α2 > 1
lk2−mınα1,α2 si α1 + α2 > 2
(2.25)
3) Si α1 = α2 = 2 , entonces lımk−→∞R(λ−k)
= 2β1β2
bdy lımk−→∞R
(λ+k
)= β1
b+ β2
d.
En este caso, si β1β2 = 0, entonces
R(λ−k)≥ l
k2, para alguna constante positiva l. (2.26)
Analizare mas profundo el caso del autovalor doble.
Lema 2.1.3. Con la notacion del lema (2.1.1), tenemos que:
i) Solo existe un numero finito de valores de k ∈ Z con la propiedad que |ek| = 1.
ii) Existe una subsucesion (ekm)m≥1 de (ek)k≥1 tal que lımkm−→∞ |ekm| = 1 si y solo
si uno de los siguientes casos se cumple
(C1) α1 = α2 = 1 y β1
√db− β2
√bd
= 2,
(C2) 1 = α1 > α2 y β1 = 2√
bd,
(C3) 1 = α2 > α1 y β2 = 2√
db.
Demostracion. Para la primera parte del lema, supongamos que tenemos un infinito de
diferentes valores (km)m≥1 ⊂ N tal que ekm = 1. Sin perdida de generalidad, podemos
asumir que lımm−→∞ km =∞. Tenemos los siguientes casos:
a) Si α1 > α2 entonces 1 = limm→∞
ekm = β1
2
√dblimm→∞
(1+k2m)
α12
km, lo cual implica que
35
α1 = 1 y β1 = 2√
bd. Esto sigue que
β2(1 + k2
m)α22
2km
√1 + bk2
m
1 + dk2m
= 1− (1 + k2m)
12
km
√b (1 + dk2
m)
d (1 + bk2m)
=
k2m(d−b−bd)−bdk2m(1+bk2
m)
1 + (1+k2m)
12
km
√b(1+dk2
m)d(1+bk2
m)
.
Luego
limm→∞
1
2β2km
(1 + k2
m
)α22
√1 + bk2
m
1 + dk2m
=d− b− bd
2bd,
lo cual implica que β2 = 0 y d = b + bd. Sin embargo, en este caso ek puede
escribirse como
ek =(1 + k2)
12
k
√b (1 + dk2)
d (1 + bk2).
Por consiguiente, ek = 1 es equivalente a una ecuacion de cuarto orden en k ,
la cual tiene por lo menos cuatro soluciones. Hemos obtenido una contradiccion
y, ası, este caso no es posible.
b) Si α1 < α2. La demostracion es similar a la parte a) y obtnemos la misma
conclusion.
c) Si α1 = α2 . Obtenemos que limm→∞
ekm = 1 si y solo si α1 = α2 = 1 y
β1
√db− β2
√bd
= 2. Sin embargo, en este caso ek esta dado por
ek =(1 + k2)
12
2k
(β1
√1 + dk2
1 + bk2− β2
√1 + bk2
1 + dk2
).
Por consiguiente, ek = 1 es equivalente a una ecuacion de sexto orden en k , el cual
tiene por lo menos seis soluciones. Hemos obtenido nuevamente una contradiccion.
Aquı, existe solo un numero finito de valores k ∈ Z con la propiedad que |ek| = 1.
La segunda parte del lema se demuestra en forma similar, analizando los tres
casos.
36
En la secuela, M y C denotan constantes positivas genericas las cuales pueden
cambiar de una fila a otra. El siguiente resultado caracteriza al semigrupo asociado a
nuestro problema lineal (2.1).
Teorema 2.1.4. La familia de operadores lineales (S(t))t≥0 definidos por
S (t)(η0, ω0
)=∑k∈Z
(ηk (t) , ωk (t)) eikx,((η0, ω0
)∈ V s
)(2.27)
donde los coeficientes (ηk (t) , ωk (t)) eikx son dados por (2.12)-(2.14), es un semigrupo
analıtico en V s y verifica la siguiente estimacion, para cada s ∈ R,
‖S (t)(η0, ω0
)‖V s ≤M‖
(η0, ω0
)‖V s ,
((η0, ω0
)∈ V s
), (2.28)
donde M es una constante positiva. Ademas, es el generador infinitesimal de este
operador (D (A) , A) , donde D (A) = V s y A es dado por (2.6).
Demostracion. Primeramente, mostramos que existe una constante M > 0 tal que
b | ηk (t) |2 +d | ωk (t) |2≤M(b | η0
k |2 +d | ω0k |2)× e−2tmın|R(λ+
k )|,|R(λ−k )|; (2.29)
(t ≥ 0, k ∈ Z)
En efecto,
|ηk|2 =1
|1− ξ2k|
2
∣∣∣∣∣(η0k + i
√1 + dk2
1 + bk2ξkω
0k
)e−λ
+k t −
(ξ2k η
0k + i
√1 + dk2
1 + bk2ξkω
0k
)e−λ
−k t
∣∣∣∣∣2
≤ 1
|1− ξ2k|
2
(ξ4k − 2ξ2
k + 1) (η0k
)2× e−2tmınR(λ+
k ),R(λ−k ); (t ≥ 0, k ∈ Z)
≤(η0k
)2 × e−2tmınR(λ+k ),R(λ−k ); (t ≥ 0, k ∈ Z)
37
|ωk|2 =1
|1− ξ2k|
2
∣∣∣∣∣(i
√1 + bk2
1 + dk2ξkη
0k − ξ2
kω0k
)e−λ
+k t −
(i
√1 + bk2
1 + dk2ξkη
0k − ω0
k
)e−λ
−k t
∣∣∣∣∣2
≤ 1
|1− ξ2k|
2
(ξ4k − 2ξ2
k + 1) (ω0k
)2× e−2tmınR(λ+
k ),R(λ−k ); (t ≥ 0, k ∈ Z)
≤(ω0k
)2 × e−2tmınR(λ+k ),R(λ−k ); (t ≥ 0, k ∈ Z)
b |ηk|2 + d |ωk|2 ≤ b(η0k
)2+ d
(ω0k
)2 × e−2tmınR(λ+k ),R(λ−k ); (t ≥ 0, k ∈ Z)
Note que, tomando en cuenta la primera parte del lema (2.1.4) es suficiente mostrar
que (2.29) es verificado si los coeficientes (ηk (t) , ωk (t)) son dados por (2.12). Tenemos
para analizar dos casos diferentes.
(1) Si no existe una subsucesion (ekm)m≥1 de (ek)k≥1 tal que lımkm→∞
| ekm |= 1, entonces
lım|k|→∞
sup1+ | ξk | + | ξk |2
| 1− ξ2k |
≤M,
para una constante positiva M . De la estimacion anterior y (2.12) deducimos que,
(2.29) se mantiene verdadera.
(2) Si existe una subsucesion (ekm)m≥1 de (ek)k≥1 tal que lımkm→∞
| ekm |= 1, entonces
lımkm→∞
ξ2km = 1 y lım
km→∞
(λ+km− λ−km
)= 0.
Consecuentemente, existe M > 0 tal que las siguientes dos estimaciones se
cumplen1
| 1− ξ2k || e−(λ+
km−λ−km)t − 1 |≤ M
| km |(1 + t) , (2.30)
1
| km |(1 + t) e−|R(λ+
km)|t ≤ M
| R(λ+km
)|| km |
. (2.31)
Mas aun, del lema(2.1.4) y (2.25), deducimos que existe l > 0 tal que∣∣R (λ+km
)∣∣ ≥ lkm
.
Combinando la estimacion anterior con (2.12),(2.30) y (2.31), deducimos que
(2.29) es verificado tambien en este caso.
38
Ahora, conforme a la definicion de la norma en V s y tomando en cuenta (2.29), tenemos
que
‖∑k∈Z
(ηk (t) , ωk (t)) eikx ‖2V s =
∑k∈Z
(b | ηk (t) |2 +d | ωk (t) |2
) (1 + k2
)s≤ M2
∑k∈Z
(b | η0
k |2 +d | ω0k |2) (
1 + k2)s
= M2 ‖(η0, ω0
)‖2V s
lo cual demuestra que S(t) es un operador lineal bien definido en V s y verifica (2.28)
para cada s ∈ R.
Las propiedades restantes son consecuencia inmediata de la teoria clasica de
semigrupos y las formulas explıcitas (2.12)-(2.14).
Nota 2.1.5. Dependiendo de los valores de los parametros β1, β2, α1 y α2, y el calculo
estimado en (2.28) puede ser mejorado. Esto, es dado en los teoremas del capıtulo 3.
Como una consecuencia directa del Teorema (2.1.5) y la teorıa de evolucion de
ecuaciones (ver Cazenave, Braides y Haraux (1998) , Tucsnak y Weiss (2009)) tenemos
el siguiente resultado de existencia y unicidad,lo que nos ayuda a expresar la solucion
del sistema no lineal:
Teorema 2.1.6. Sea T > 0 y s ∈ R. Para cada (η0, ω0) ∈ V s y (f, g) ∈ L1 (0, T ;V s)
existe una unica solucion (η, ω) ∈ W 1,1 ([0, T ];V s) del sistema
η
ω
t
(t) + A
η
ω
(t) =
f
g
,
η
ω
(0) =
η0
ω0
(2.32)
el cual verifica la formula constante de variacion η
ω
(t) = S (t)
η0
ω0
+
t∫0
S (t− s)
f
g
(s) ds (2.33)
39
Capıtulo 3
Comportamiento Asintotico del
sistema linealizado
En esta seccion estudiamos el comportamiento de la solucion del sistema (2.1)
cuando el tiempo tiende a infinito. Para tener un sistema disipativo asumimos que
β1 ≥ 0, β2 ≥ 0, β21 + β2
2 > 0 (3.1)
Las relaciones (3.1) son equivalentes a la condicion
mın| R(λ+k
)|, | R
(λ−k)|> 0, (k ∈ Z) (3.2)
donde λ±k son los autovalores dados por (2.11).
Primeramente, analizamos los casos en el cual las soluciones de (2.1) decaen
exponencialmente a cero.
Notamos que las soluciones para (2.1) decaen exponencialmente en V s si existen dos
constantes positivas M y µ tales que
‖S (t)(η0, ω0
)‖V s ≤Me−µt‖
(η0, ω0
)‖V s ,
(t ≥ 0,
(η0, ω0
)∈ V s
). (3.3)
40
Teorema 3.0.1. Las soluciones para (2.1) decaen exponencialmente en V s si y solo si
α1 = α2 = 2 y β1, β2 > 0. Ademas, µ de (3.3) es dado por
µ = infkεZ
| R(λ+k
)|, | R
(λ−k)|, (3.4)
donde los autovalores λ±k son dados por (2.11)
Demostracion. Primeramente, supongamos que α1 = α2 = 2 y β1, β2 > 0. De la
propiedad
Si α1 = α2 = 2 , entonces lımk−→∞R(λ−k)
= 2β1β2
bdy lımk−→∞R
(λ+k
)= β1
b+ β2
d.
asegura que los autovalores(λ±k)k∈Z cumplen:
mın| R(λ+k
)|, | R
(λ−k)|≥ D > 0, (k ∈ Z) (3.5)
donde D es un numero positivo, dependiendo de los parametros β1, β2, α1, α2, b y d.
De acuerdo a la segunda parte del lema(2.1.4), los coeficientes (ηk (t) , ωk (t)) que
aparecen en (2.27), verifican la estimacion (2.29), lo que implica inmediatamente que
(3.3) cumple con µ dado por (3.4).
Por otro lado, la propiedad (2) en la nota (2.1.3) demuestra que si mın α1, α2 < 2
, entonces la tasa de decaimiento no puede ser exponencial. De la propiedad (3),
de la nota mencionada anteriormente inferimos que la misma conclusion cumple si
α1 = α2 = 2 y β1.β2 = 0.
Ahora analizamos la tasa de decaimiento de las soluciones en los casos restantes.
Puesto que conocemos del Teorema (3.0.1) que no tenemos un decaimiento exponencial,
podemos solo esperar un decaimiento polinomial si el dato inicial tiene propiedades
adicionales de suavidad. Tenemos el siguiente resultado.
Teorema 3.0.2. Supongamos que (3.1) se cumple y mın α1, α2 ∈ [0, 2〉. Sea
41
δ > 0 definida por
δ =
2−maxα1, α2 si α1 + α2 ≤ 2, maxα1, α2 ≤ 1
maxα1, α2 si α1 + α2 ≤ 2, maxα1, α2 > 1
2−mınα1, α2 si α1 + α2 > 2.
(3.6)
Entonces , existe M > 0 tal que las soluciones para (2.1) satisface
‖ S (t)(η0, ω0
)‖V s≤
M
(1 + t)qδ
‖(η0, ω0
)‖V s+q , (t ≥ 0) ,
(η0, ω0
)∈ V s+q (3.7)
donde s ∈ R y q > 0.
Demostracion. Probamos el resultado para t suficientemente grande. De acuerdo a la
nota (2.1.3), existe un l > 0 tal que
| R(λ±k)|≥ l
kδ, (k ∈ Z∗) (3.8)
De (2.29) y (3.8) y redefiniendo la constante M , deducimos que
‖ S (t)(η0, ω0
)‖ = ‖
∑k∈Z
(ηk (t) , ωk (t)) eikx ‖
‖ S (t)(η0, ω0
)‖2V s= b ‖ ηk (t) ‖2
s +d ‖ ωk ‖2s =
∑k∈Z
(b | ηk (t) |2 +d | ωk |2
) (1 + k2
)sMultiplicando ambos miembros de la desigualdad (2.29) por (1 + k2)s
∑k∈Z
(b | ηk (t) |2 +d | ωk (t) |2
) (1 + k2
)s ≤M∑k∈Z
(b | η0
k |2 +d | ω0k |2) (
1 + k2)se−2tmınR(λ+
k ),R(λ−k )
42
De esta estimacion y de la igualdad anterior se deduce
‖ S (t)(η0, ω0
)‖2V s ≤ M2
∑k∈Z
(1 + k2
)se−2tmın|R(λ+
k ),|R(λ−k )| ×(b | η0
k |2 +d | ω0k |2)
≤ M2(e−mınβ1,β2t
(b | η0
0 |2 +d | ω00 |2)
+∑k∈Z∗
1
(1 + k2)qe−2l(t+1)
|k|δ(1 + k2
)s+q × (b | η0k |2 +d | ω0
k |2))
(3.9)
e−2tmın|R(λ+k )|,|R(λ−k )| < e−2R(λ+
k )(t+1) ≤ e−2 l
|k|δ(t+1)
≤M2e−2tmın|R(λ+0 )|,|R(λ−0 ) (b | η0
0 |2 +d | ω00 |2) +
M2∑k∈Z
(1 + k2)se−2tmın|R(λ+
k )|,|R(λ−k )| (b | η0k |2 +d | ω0
k |2)
≤M2e−mınβ1,β2t (b | η00 |2 +d | ω0
0 |2) +
M2∑k∈Z
1(1+k2)q
(1 + k2)se−2tmın|R(λ+
k )|,|R(λ−k )| (1 + k2)s+q
(b | η0k |2 +d | ω0
k |2)
≤M2e−mınβ1,β2t (b | η00 |2 +d | ω0
0 |2) +
M2∑k∈Z∗
1(1+k2)q
e−2l(t+1)
|k|δ (1 + k2)s+q × (b | η0
k |2 +d | ω0k |2)
Sea
Ek (t) =1
(1 + k2)qe−2
l
|k|δ(t+1)
para k ∈ Z∗
Estudiemos el termino Ek (t).
Dados ζ > 0, la siguiente desigualdad se cumple
xζe−x ≤ c (ζ) := ζζe−ζ , (x ≥ 0) . (3.10)
43
y usando (3.10) con x = 2l(t+1)
|k|δ y ζ = 2qδ
deducimos que, para cada k ∈ Z∗,
| Ek (t) |=| 1
(1 + k2)qe−2l(t+1)
|k|δ |= 1
(1+ | k |2)qe−2 l
|k|δ(t+1)
=xς
(1+ | k |2)qe−x.
1
xς
≤ 1
(1+ | k |2)qς ςe−ς
xς≤ 1
(1+ | k |2)qcς ς
xς=
1
(1+ | k |2)qc2qδ| k |2q
(2l)2qδ (t+ 1)
2qδ
(1+ | k |2
)q ≥| k |2q| k |2q
(1+ | k |2)q≤ | k |
2q
| k |2q= 1
De donde
| Ek (t) |≤ 1
(1+ | k |2)qc(
2qδ
)| k |2q
(2l (t+ 1))2qδ
≤c(
2qδ
)(2l)
2qδ
1
(t+ 1)2qδ
, (t ≥ 0)
De la estimacion anterior y (3.9) obtenemos que (3.7) es verificada (eventualmente,
redefiniendo una vez mas la constante M del tiempo).
≤M2e−mınβ1,β2t (b | η00 |2 +d | ω0
0 |2) +M2∑k∈Z∗
c( 2qδ )
(2l)2qδ
1
(t+1)2qδ
(1 + k2)s+q × (b | η0
k |2 +d | ω0k |2)
≤M2 c(2qδ )
(2l)2qδ
1
(t+1)2qδ
∑k∈Z∗
(1 + k2)s+q × (b | η0
k |2 +d | ω0k |2)
≤M2 c(2qδ )
(2l)2qδ
1
(t+1)2qδ
‖ (η0, ω0) ‖2V s+q
por lo tanto
‖ S (t)(η0, ω0
)‖V s≤M
1
(t+ 1)qδ
‖(η0, ω0
)‖V s+q
Nota 3.0.3. La tasa de decaimiento polinomial de la norma V s de soluciones con dato
inicial en V s+q dado por (3.7) es optimo, al menos en algun caso particular. En efecto,
consideramos que con la notacion del lema (2.1.1) |ek| < 1, ∀k ∈ Z. Esta condicion
es verificada si, por ejemplo, max α1, α2 < 1 y max β1, β2 es lo suficientemente
44
pequeno. En este caso, tenemos que existen dos constantes positivas l, l′ > 0 tal que
l
| k |δ≤ R
(λ±k)
=1
2
(β1 (1 + k2)
α12
1 + bk2+β2 (1 + k2)
α22
1 + dk2
)≤ l′
| k |δ, (k ∈ Z∗)
con δ = 2−max α1, α2. Mas aun, existe c > 0 dependiendo solo de b y d, tales que
las siguientes estimaciones son verificadas.
De la solucion (ηk, ωk) de (2.9) dada por (2.12) se deduce
|ηk|2 =1
|1− ξ2k|
2
∣∣∣∣∣(η0k + i
√1 + dk2
1 + bk2ξkω
0k
)e−λ
+tk −
(ξ2k η
0k + i
√1 + dk2
1 + bk2ξkω
0k
)e−λ
−tk
∣∣∣∣∣2
≥ 1
|1− ξ2k|
2
(ξ4k − 2ξ2
k + 1) (η0k
)2e−2tmınλ+
k ,λ−k
≥ 1
|1− ξ2k|
2
(ξ2k − 1
)2 (η0k
)2e−2t|R(λ+
k )|b |ηk|2
≥ b(η0k
)2e−2t|R(λ+
k )|
|ωk|2 =1
|1− ξ2k|
2
∣∣∣∣∣(i
√1 + bk2
1 + dk2ξkη
0k − ξ2
kω0k
)e−λ
+tk −
(i
√1 + bk2
1 + dk2ξkη
0k − ω0
k
)e−λ
−tk
∣∣∣∣∣2
≥ 1
|1− ξ2k|
2
(ξ4k − 2ξ2
k + 1) (ω0k
)2e−2tmınλ+
k ,λ−k
≥ 1
|1− ξ2k|
2
(ξ2k − 1
)2 (ω0k
)2e−2t|R(λ+
k )|
d |ωk|2 ≥ d(ω0k
)2e−2t|R(λ+
k )|
De las estimaciones anteriores deducimos
b |ηk|2 + d |ωk|2 ≥(b(η0k
)2+ d
(ω0k
)2)e−2t|R(λ+
k )|
‖ S (t)(η0, ω0
)‖2V s =
∑k∈Z
(b | ηk (t) |2 +d | ωk (t) |2
) (1 + k2
)s≥ c
∑k∈Z
(b | η0
k |2 +d | ω0k |2) (
1 + k2)se−2t|R(λ+
k )|
45
De l|k|δ ≤ R
(λ±k)≤ l′
|k|δ
e−2t l
|k|δ ≥ e−2tR(λ±k ) ≥ e−2t l′
|k|δ
∑k∈Z
1
1+ | k |2q(b(η0k
)2+ d
(ω0k
)2)e−2t l
|k|δ(1 + k2
)s+q ≥∑k∈Z
1
1+ | k |2q(b(η0k
)2+ d
(ω0k
)2)e−2tR(λ±k ) (1 + k2
)s+q ≥∑k∈Z
1
1+ | k |2q(b(η0k
)2+ d
(ω0k
)2)e−2t l′
|k|δ(1 + k2
)s+qSe verifica
c∑k∈Z
(b(η0k
)2+ d
(ω0k
)2) (
1 + k2)se−2t|R(λ+
k )| ≥
c∑k∈Z
1
1+ | k |2q(b(η0k
)2+ d
(ω0k
)2)e−2t l′
|k|δ(1 + k2
)s+qLuego
‖ S (t)(η0, ω0
)‖2V s ≥ c
∑k∈Z
(b | η0
k |2 +d | ω0k |2) (
1 + k2)s+q
× 1
1+ | k |2qe−2l′t|k|δ (3.11)
Ahora , sea ζ > qδ
y % > 0 un numero positivo real. Mostramos que existen un dato
inicial (η0, ω0) ∈ V s+q y un intervalo de tiempo I ⊂ [1,∞〉 de longitud positiva tales
que:
‖ S (t)(η0, ω0
)‖V s≥
%
tς‖(η0, ω0
)‖V s+q , (t ∈ I) (3.12)
En efecto, tomamos k0 ∈ N, tal que k0 ≥ max1,(
2%2e4l′
c
) 1
2δ(ς− qδ ) y I =[kδ0, 2k
δ0
].
46
Tambien, elegimos
(η0k0, ω0
k0
)=
(1
√2b (1 + k2
0)s+q
2
,1
√2d (1 + k2
0)s+q
2
)eik0x ∈ V s+q
De acuerdo a (3.11), tenemos que para cada t ∈ I, las siguientes desigualdades son
verificadas
‖ S (t)(η0k0, ω0
k0
)‖V s =
∑k∈Z
(b | η0
k0k|2 +d | ω0
k0k|2) (
1 + k20
)s≥ c
∑k∈Z
(b | η0
k0k|2 +d | ω0
k0k|2) (
1 + k20
)s+q 1
1+ | k0 |2qe−2l′t|k|δ
≥ c∑k∈Z
(b | η0
k0k|2 +d | ω0
k0k|2) (
1 + k20
)s+q 1
2 | k0 |2qe−4l′
= c∑k∈Z
(b | η0
k0k|2 +d | ω0
k0k|2) (
1 + k20
)s+q | k0 |2ςδ−2q
2 | k0 |2ςδe−4l′
≥ c∑k∈Z
(b | η0
k0k|2 +d | ω0
k0k|2) (
1 + k20
)s+q | k0 |2δ(ς−qδ )
2t2ςe−4l′
Redefiniendo la constante
‖ S (t)(η0k0, ω0
k0
)‖2V s ≥ ‖
(η0k0, ω0
k0
)‖2V s+q
%2
t2ς
‖ S (t)(η0k0, ω0
k0
)‖V s ≥ ‖
(η0k0, ω0
k0
)‖V s+q
%
tς
Aquı (3.12) es verificado lo cual demuestra que, en este caso, no existe una mejor tasa
de decaimiento polinomial que la dada por (3.7).
Nota 3.0.4. En los casos tratados en el teorema (3.0.2) los autovalores(λ±k)k∈Z tienen
parte real tendiendo a cero cuando |k| tiende a infinito (ver propiedad 2 en la nota
(2.1.3)). Por consiguiente, no podemos esperar un decaimiento exponencial uniforme
de las soluciones de nuestro sistema. Como fue probado en Littman y Markus (1988), el
hecho que el decaimiento de las soluciones de (2.1) no es exponencial es equivalente a la
tasa de decaimiento no uniforme: Dada cualquier funcion γ positiva no creciente existe
un dato inicial (η0, ω0) de (2.1) tal que la norma V s de la solucion correspondiente
47
decae mas lento que γ. El teorema (3.0.2) muestra que, asumiendo (η0, ω0) ∈ V s+q
tenemos un decamiento polinomial uniforme de orden 1δ
(q − 1
2
)para las soluciones en
la norma de V s.
Nota 3.0.5. Teniendo en cuenta la propiedad (3) y (2.26) en la nota (2.1.3),
obtenemos de la misma manera que (3.7) cumple con δ = 2 en el caso α1 = α2 = 2 y
β1 = 0 o β2 = 0.
48
Capıtulo 4
El Sistema no Lineal
Ahora estamos en condiciones de demostrar la buena posicion y la estabilizacion
para las soluciones del sistema no lineal (3) emitido de pequenos datos iniciales, cuando
el sistema linealizado es exponencialmente estable, es decir en la hipotesis del teorema
(3.0.1). La prueba sera hecha usando el argumento del punto fijo. Necesitaremos del
siguiente lema.
Lema 4.0.1. Sea s ≥ −1. Existe una constante c > 0, dependiendo solo de s , tal que
‖ fg ‖Hsp(0,2π)≤ c ‖ f ‖Hs+1
p (0,2π)‖ g ‖Hs+1p (0,2π) para cualesquiera f, g ∈ Hs
p (0, 2π) .
El resultado principal de esta seccion dice lo siguiente:
Teorema 4.0.2. Sea s ≥ 0 y supongamos que β1, β2 > 0 y α1 = α2 = 2.
Existen r > 0, c > 0 y µ > 0, tales que , para cualquier (η0, ω0) ∈ V s satisfaciendo
∣∣∣∣(η0, ω0)∣∣∣∣
V s≤ r,
el sistema (3) admite una unica solucion (η, ω) ∈ C ([0,∞〉 ;V s) la cual verifica
‖ (η (t) , ω (t)) ‖V s≤ ce−µt ‖(η0, ω0
)‖V s , (t ≥ 0) . (4.1)
Mas aun, µ puede ser definida como en (3.4).
49
Demostracion. La prueba sigue de cerca los argumentos desarrollados en Micu, Ortega,
Rosier y Zhang (2009), Teoremas (3.2) y (3.13). Notamos que la hipotesis del Teorema
(3.0.1) son verificadas y existen M,µ > 0 tales que (3.3) sigue siendo verdadero. Con
el fin de utilizar el argumento del punto fijo, escribimos el sistema en su forma integral
y se define el espacio
Ys,µ =
(η, ω) ∈ Cb(R+, V s
): eµt (η, ω) ∈ Cb
(R+, V s
)con la norma
‖ (η, ω) ‖Ys,µ := sup0≤t<∞
‖ eµt (η, ω) (t) ‖Vs ,
y la funcion Γ : Ys,µ −→ Ys,µ por
Γ (η, ω) (t) = S (t)(η0, ω0
)−
t∫0
S (t− τ)N (η, ω) (τ) dτ
donde N (η, ω) =(
(I − b∂2x)−1
(ηω)x , (I − d∂2x)−1ωωx
)y S (t)t≥0 es el semigrupo
definido en el Teorema (2.1.5). Del lema (4.0.1) deducimos que
‖ N (η1, ω1) ‖V s≤ c ‖ (η1, ω1) ‖2V s y
‖ ηx ‖2s−1 =
∑kεZ
| ηx |2(1 + k2
)s−1
=∑kεZ
| ikηk |2(1 + k2
)s−1
≤∑kεZ
| ηk |2(1 + k2
)s=‖ η ‖2
s
50
‖ ωx ‖2s−1 =
∑kεZ
| ωx |2(1 + k2
)s−1
=∑kεZ
| ikωk |2(1 + k2
)s−1
≤∑kεZ
| ωk |2(1 + k2
)s=‖ ω ‖2
s
‖ N (η, ω) ‖V s = ‖((I − b∂2
x
)−1(ηω)x ,
(I − d∂2
x
)−1ωωx
)‖V s
≤ ‖(I − b∂2
x
)−1(ηω)x ‖
2V s + ‖
(I − d∂2
x
)−1ωωx ‖2
V s
≤ ‖ (ηω)x ‖2V s−2 + ‖ ωωx ‖2
V s−2
≤ ‖ ηxω + ηωx ‖2V s−2 +c ‖ ω ‖2
V s−1‖ ωx ‖2V s−1
≤ ‖ ηxω ‖2V s−2 + ‖ ηωx ‖2
V s−2 +c ‖ ω ‖2V s−1‖ ωx ‖2
V s−1
≤ c1 ‖ ηx ‖2V s−1‖ ω ‖2
V s−1 +c2 ‖ η ‖2V s−1‖ ωx ‖2
V s−1 +c ‖ ω ‖2V s−1‖ ωx ‖2
V s−1
≤ (c1 + c2) ‖ ω ‖2V s‖ η ‖2
V s +c ‖ ω ‖2V s‖ ω ‖2
V s
≤ M ‖ (η, ω) ‖2V s
‖ N (η1, ω1)−N (η2, ω2) ‖V s≤ c (‖ (η1, ω1) ‖V s + ‖ (η2, ω2) ‖V s)× ‖ (η1, ω1)−(η2, ω2) ‖V s
para cualesquiera (η1, ω1) , (η2, ω2) ∈ V s y para algun c > 0. Entonces, combinando las
estimaciones anteriores y el Teorema (3.0.1) obtenemos
‖ Γ (η, ω) (t) ‖V s ≤ Me−µt ‖(η0, ω0
)‖V s
+ M
∫ t
0
e−µ(t−τ)× ‖((I − b∂2
x
)−1(ηω)x ,
(I − d∂2
x
)−1ωωx
)(τ) ‖V s dτ
≤ Me−µt ‖(η0, ω0
)‖V s +Mce−µt sup
0≤τ≤t‖ eµt (η, ω) ‖2
V s
51
‖ Γ (η, ω) (t) ‖V s = ‖ S (t)(η0, ω0
)−
t∫0
S (t− τ)N (η, ω) (τ) dτ ‖V s
≤ ‖ S (t)(η0, ω0
)‖V s + ‖
t∫0
S (t− τ)N (η, ω) (τ) dτ ‖V s
≤ Me−µt ‖(η0, ω0
)‖V s +
∫Me−µ(t−τ) ‖ N (η, ω) (τ) ‖V s dτ
≤ Me−µt ‖(η0, ω0
)‖V s +Me−µt
∫eµτc ‖ (η, ω) ‖2
V s dτ
≤ Me−µt ‖(η0, ω0
)‖V s +Mce−µt sup
0≤τ≤t‖ eµτ (η, ω) ‖2
V s
t∫0
e−µτdτ
≤ Me−µt ‖(η0, ω0
)‖V s +Mce−µt sup
0≤τ≤t‖ eµτ (η, ω) ‖2
V s1
µ
(1− e−µt
)t0
≤ Me−µt ‖(η0, ω0
)‖V s +Mce−µt ‖ (η, ω) ‖2
Y s,µ
≤ Mr +McR2
para cualquier t ≥ 0 y algunas constantes positivas M y c. Ası, si tomamos
(η, ω) ∈ BR (0), donde BR (0) ⊂ Ys,µ denota la bola centrada en cero y radio R, la
estimacion anterior permite concluir que
‖ Γ (η, ω) ‖Ys,µ≤M ‖(η0, ω0
)‖V s +Mc ‖ (η, ω) ‖2
Ys,µ≤Mr +McR2.
Calculos similares muestran que, para cualquier (η1, ω1) , (η2, ω2) ∈ BR (0),
‖ Γ (η1, ω1)− Γ (η2, ω2) ‖Ys,µ≤ 2MRc ‖ (η1, ω1)− (η2, ω2) ‖Ys,µ .
52
‖ Γ (η1, ω1)− Γ (η2, ω2) ‖Ys,µ = ‖t∫
0
S (t− τ) (N (η1, ω1)−N (η2, ω2)) dτ ‖V s
≤ Me−µtt∫
0
eµτ ‖ N (η1, ω1)−N (η2, ω2) ‖ dτ
≤ Me−µtt∫
0
eµτc (‖ (η1, ω1) ‖V s + ‖ (η2, ω2) ‖V s) ‖ (η1, ω1)− (η2, ω2) ‖V s dτ
≤ Mce−µt2R
t∫0
‖ eµτ ((η1, ω1)− (η2, ω2)) ‖V s dτ
≤ Mce−µt2R
t∫0
sup0≤τ≤t
‖ eµτ ((η1, ω1)− (η2, ω2)) ‖V s dτ
≤ Mce−µt2R
t∫0
‖ (η1, ω1)− (η2, ω2) ‖Ys,µ dτ
≤ Mce−µt2RT ‖ (η1, ω1)− (η2, ω2) ‖Ys,µ
Para una adecuada eleccion de R y r, la estimacion anterior garantiza que la aplicacion
Γ es una contraccion y envıa BR (0) en si mismo. En efecto, es suficiente elegir R = 2Mr
y r ≤ 18M2c
. Ası, Γ admite un punto fijo (η, ω) ∈ BR (0) . Obtenemos que (η, ω) es la
unica solucion del sistema (3) y satisface (4.1).
Nota 4.0.3. No podemos probar en un proceso similar que las soluciones del sistema
no lineal (3) tienen un decaimiento polinomial usando la estimacion obtenida para
el sistema linealizado en el teorema (3.0.2). En efecto, en la estimacion de (3.7)
necesitamos una solucion mas regular para acotar la norma del semigrupo en V s. Ası no
permite definir un espacio similar a Ys,µ introducido en la prueba del teorema (4.0.2), en
el cual aplicamos el argumento del punto fijo. De hecho, el decaimiento de las soluciones
de un problema no lineal con una parte linealizada no decae uniformemente, parece ser
una pregunta difıcil.
53
Aplicacion: Algunos ejemplos de sistemas de
Boussinesq para la modelizacion de Sutnamis
Podemos encontrar las ecuaciones de Boussinesq en la descripcion de playas, rios
y lagos. Estas ecuaciones estudian la dinamica de las aguas poco profundas como las
ecuaciones Korteweg-deVries (KdV)”. Entre muchas otras aplicaciones de las ecuaciones
de Boussinesq destaca la de modelar olas de tsunamis. Estos tipos de olas ya son
perfectamente descritos por las ecuaciones de Navier Stokes, pero todavıa no existen
tecnicas que permitan resolverlas en un dominio tridimensional. Para ello se usan las
ecuaciones de Boussinesq, pensadas como una simplificacion de las ecuaciones de Navier
Stokes.
Las ecuaciones de Boussinesq contienen una estructura hiperbolica (al igual que las
ecuaciones no lineales de aguas poco profundas) combinada con derivadas de orden
elevado para modelar la dispersion de la ola. En el siguiente grafico se presenta la
propagacion de una ola sobre un terraplen Ji 2013.
Figura 4.1: Esquema de Boussinesq
Las ecuaciones de Boussinesq pueden aparecer de muchas formas distintas.
Dependiendo de como hayamos escogido la variable de la velocidad podemos obtener
un modelo u otro. El caso mas usual es escoger la variable velocidad en un nivel
del agua arbitrario. La efectividad de la ecuacion de Boussinesq seleccionada variara
54
dependiendo de la dispersion.
Las ecuaciones de Boussinesq mas conocidas son: La ecuacion cubica de Boussinesq,
que sirve para describir el movimiento de ondas largas en aguas poco profundas; sistema
de Boussinesq acoplado, que describen el movimiento de dos fluidos distintos en aguas
poco profundas (como puede ser el caso de un barco que desprende accidentalmente
aceite, el aceite va creando una capa que flota encima de la superficie del agua); la
ecuacion de Boussinesq mejorada,es una ecuacion fısicamente estable que describe un
gran numero de fenomenos de olas dispersivas no lineales como la propagacion en ambas
direcciones de olas largas en la superficie de aguas poco profundas.
Sistema de Boussinnesq acoplado:
ut + vx + uux = 0
vt + (vu)x + uxxx = 0
Aplicando el metodo de la tangente hiperbolica, su solucion es dada por:
u (x, t) =w
k∓ 2k (kx− wt)
v (x, t) = 2k2sech2 (kx− wt)
En la Figura 4.2 se muestran las graficas de las dos funciones para los valores de k = 1
y w = 12. Andia 2016.
Figura 4.2: Grafica de las funciones u y v
55
Ecuacion mejorada de Boussinesq:
utt = uxx +(u2)xx
+ uxxtt
Aplicando el metodo de la tangente hiperbolica , su solucion es dada por:
u (x, t) = Asech2
[1
M
(A
6
) 12
(x−Mt− x0)
]
donde A y x0 son constantes arbitrarias y M =(1 + 2
3A) 1
2 .
Los siguientes esquemas fueron extraıdos de Andıa 2016, que muestra:
Figura 4.3 : Grafica de la propagacion de la onda en 3 dimensiones.
Figura 4.4 : Media grafica de la propagacion de los solitones para distintos valores del
tiempo.
Figura 4.5: Propagacion de los dos solitones de distintas amplitudes en 3 dimensiones.
Figura 4.3: Grafica solucion de la ecuacion mejorada de Boussinesq.
56
Figura 4.4: Grafica solucion de la ecuacion mejorada de Boussinesq.
Figura 4.5: Grafica solucion de la ecuacion mejorada de Boussinesq.
57
Conclusiones
El sistema de Boussinesq con amortiguacion generalizada, en el sistema lineal (2.1),
decae exponencialmente; si α1 = α2 = 2 con β1, β2 > 0 y ademas si α1, α2 ∈ [0, 2〉
decae polinomialmente.
El sistema de Boussinesq con amortiguacion generalizada, en el sistema no lineal
(3), decae exponencialmente si α1 = α2 = 2 y β1, β2 > 0.
La efectividad de la ecuacion de Boussinesq seleccionada variara dependiendo del
termino dispersivo, como se vee en Andia 2016.
La ecuacion mejorada de Boussinesq es una ecuacion fısicamente estable que
describe un gran numero de fenomenos de olas dispersivas no lineales, como se vee
en Andia 2016.
58
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