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UNIVERSIDAD PONTIFICIA BOLIVARIANA – CIENCIAS BÁSICAS

APUNTES DE FÍSICA MECÁNICA – JUAN FELIPE HENAO

"Existe en la Naturaleza una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la electricidad y la energía atómica: se trata de la voluntad."

Albert Einstein

UNIDAD 4: TRABAJO, ENERGÍA Y LEYES DE CONSERVACIÓN

1. INTRODUCCIÓN

Las definiciones de las cantidades como posición, velocidad, aceleración y fuerza junto a los Principios como la Segunda Ley de Newton, nos ha permitido encontrar la solución de muchos problemas físicos. Sin embargo, algunas situaciones difíciles en la práctica se pueden tratar y simplificar con un planteamiento diferente. Este planteamiento o tratamiento consiste en un nuevo método de solución que introduce dos nuevas cantidades: trabajo y energía. En esta unidad analizaremos además de estos conceptos de la Física, las leyes de conservación, las fuerzas conservativas y colisiones para los modelos de partícula y sistema de partículas.

2. CONCEPTO DE TRABAJO EN FÍSICA

Casi todos los términos utilizados hasta este momento como velocidad, aceleración, fuerza, etc., tienen un significado similar en Física como en la vida cotidiana. Sin embargo, existe un término cuyo significado en Física es particularmente diferente de su significado diario y este concepto corresponde al trabajo. Para comprender el concepto de trabajo, consideremos un borrador que se empuja a lo largo de un riel del pizarrón mediante una fuerza que actúa a diferentes ángulos respecto a la dirección horizontal. Si queremos saber que tan efectiva es dicha fuerza, debe tenerse en cuenta no solo su magnitud, sino también su dirección.

Estos resultados sugieren que cuando se analizan las fuerzas para determinar el trabajo que realizan, se debe considerar la naturaleza vectorial de estas fuerzas. Adicionalmente, se debe conocer el desplazamiento ∆𝑟 del borrador mientras que se mueve a lo largo del riel, si se quiere determinar el trabajo invertido sobre él por la fuerza actuante. Por lo tanto, mover el borrador 3𝑚 a lo larfgo del riel requerirá más trabajo que moverlo 2𝑚 sobre el mismo riel.

F1 F2 F3

2

3. TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA CONSTANTE

La definición física del trabajo se apoya en estas simples observaciones. En consecuencia, se realiza mayor trabajo si la fuerza es mayor o si el desplazamiento es mayor o si se presentan ambas situaciones. Por ahora supondremos que todo cuerpo puede tratarse como un punto material (Modelo de Partícula). Teniendo en cuenta esto, analicemos varias situaciones.

3.1 Fuerza Constante Actuando en la Dirección del Desplazamiento

Consideremos un cuerpo (partícula) que experimenta un desplazamiento de magnitud 𝑠 en línea recta debido a la aplicación de una fuerza constante �⃗� que está actuando sobre él en la dirección de ese desplazamiento 𝑠, tal como se muestra en el siguiente diagrama ilustrativo.

Por lo tanto, definimos el trabajo 𝑊 realizado por la fuerza constante �⃗� como el producto de la magnitud de dicha fuerza, por la magnitud del desplazamiento 𝑠, de la siguiente forma:

𝑊 = 𝐹𝑠 [1]

Las unidades del trabajo 𝑊 en el Sistema Internacional son el "joule" el cual es equivalente a decir que 1𝐽 = 𝑁𝑚 y nombrado así en honor al físico inglés del siglo XIX James Prescott Joule. Debemos tener precaución para no confundir el concepto de trabajo 𝑊 con el de peso 𝑤.

3.2 Fuerza Constante con Ángulo respecto a la Dirección del Desplazamiento

Ahora podemos preguntarnos lo siguiente: ¿Qué ocurre si empujamos el borrador aplicando una fuerza con un ángulo 𝜙 respecto al desplazamiento? En este caso, la fuerza �⃗� tendrá una componente paralela a la dirección del desplazamiento y una componente perpendicular a la dirección del desplazamiento. Para indicar estas dos situaciones, podemos escribir que:

𝐹∥ = 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜙; 𝐹5 = 𝐹𝑠𝑒𝑛𝜙 [2]

Analicemos la situación en la que una fuerza constante es aplicada formando un ángulo 𝜙 así:

F F

s

F�F

!r

ɸ ɸ FII

F

3

Observamos de la figura anterior, que solo la componente paralela contribuye a mover el borrador. Luego, el trabajo invertido sobre un sistema por un agente que ejerce una fuerza constante será el producto de la magnitud de la fuerza, la magnitud del desplazamiento y el coseno del ángulo 𝜙. Matemáticamente lo anterior, lo podemos representar como se sigue:

𝑊 = 𝐹𝑠𝑐𝑜𝑠𝜙 [3]

Donde 𝐹 y 𝜙 son constantes durante el desplazamiento. Vemos que cuando 𝜙 = 0°, estamos en el primer caso de una fuerza constante actuando en la direccion del desplazamiento y cuando se da la condición que 𝜙 = 90°, no se realiza ningún trabajo y se cumple que 𝑊 = 0. Consideremos por ejemplo una partícula que se desplaza sobre una superficie horizontal sin ninguna fricción o rozamiento, tal como se muestra en el siguiente diagrama ilustrativo.

En este caso el trabajo 𝑊 invertido por la fuerza normal 𝐹; y el trabajo invertido por la fuerza gravitacional 𝑤 son cero debido a que ambas fuerzas son perpendiculares al desplazamiento y tienen componentes nulas.

El trabajo 𝑊 puede ser positivo, negativo o cero. Si la fuerza 𝐹 tiene una componente en la misma dirección del desplazamiento el trabajo 𝑊 será positivo. Si la fuerza 𝐹 tiene una componente opuesta a la dirección del desplazamiento el trabajo 𝑊 es negativo. Por último, si la fuerza 𝐹 es perpendicular al desplazamiento, el trabajo 𝑊 es nulo. Veamos estas tres situaciones físicas planteadas para el trabajo 𝑊 mediante el siguiente diagrama ilustrativo:

Nota: Debemos tener en cuenta quién efectúa el trabajo. Nunca olvidemos el especificar exactamente qué fuerza realiza el trabajo en cuestión. Si levantamos un libro, ejercemos una fuerza hacia arriba sobre el libro y el desplazamiento de éste es hacia arriba, así que el trabajo realizado por la fuerza de levantamiento sobre el libro es positivo. Por el contrario, el trabajo realizado por la fuerza gravitacional (peso) sobre el libro que se levanta es negativo, porque tal fuerza es opuesta al desplazamiento hacia arriba.

Ws

ɸ

FNF

Dirección del Desplazamiento

F

s

F

s

F

s

F

4

3.3 Trabajo como Producto Escalar de dos Vectores

Teniendo en cuenta la forma en que los vectores fuerza y desplazamiento se combinan en la expresión [3], es útil aplicar una herramienta matemática ya estudiada y denominada como el "Producto Escalar de dos Vectores". En este caso el trabajo 𝑊 se obtiene del producto de la magnitud de la fuerza 𝐹 por la magnitud del desplazamiento y por el coseno del ángulo 𝜙 que hay entre ellos. Lo anterior puede resumirse con la definición del producto escalar como:

𝑾 = 𝑭>>⃗ ∙ 𝒔>⃗ [4]

En consecuencia, el trabajo 𝑊 es una cantidad tipo escalar que resulta del producto escalar de los vectores fuerza y desplazamiento y por tanto no tendrá ninguna dirección asociada.

Ejemplo: Una partícula se mueve en el plano y se somete al desplazamiento 𝑠 = (2�̂� + 3𝚥̂)𝑚 cuando una fuerza constante �⃗� = (5�̂� + 2𝚥̂)𝑁 actúa sobre esta partícula. Calcule el trabajo 𝑊 realizado por �⃗� sobre la partícula en cuestión.

Solución: Vemos que el problema indica la aplicación de una fuerza constante, por lo tanto:

𝑊 = �⃗� ∙ 𝑠 = [(5�̂� + 2𝚥̂)𝑁] ∙ [(2�̂� + 3𝚥̂)𝑚] [1]

Recordemos que en el producto escalar se define como: �⃗� ∙ 𝐵>⃗ = 𝐴L𝐵L + 𝐴L𝐵L, luego tenemos:

𝑊 = [(5�̂� ∙ 2𝚥̂)] + [(2�̂� ∙ 3𝚥̂)]𝑁𝑚 = 16𝐽 [2]

4. TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA VARIABLE

Hasta ahora hemos considerado solo el trabajo efectuado por fuerzas constantes, pero ¿Qué pasaría cuando estiramos un resorte? Cuanto más lo estiramos, más fuerza debemos ejercer y por lo tanto la fuerza ejercida no es constante al estirarlo. Luego necesitamos aprender a calcular el trabajo realizado por la fuerza en los casos más generales. Sea una partícula que se desplaza lo largo del eje 𝑥 bajo la acción de una fuerza 𝐹 que cambia con la posición, así:

Fx

xΔx x2x1

Fx

xx1

W

x2

5

La partícula se desplaza en la dirección 𝑥 creciente de 𝑥O a 𝑥P. Sin embargo, si se piensa que la partícula se somete a un desplazamiento muy pequeño ∆𝑥, la componente 𝑥 de la fuerza 𝐹L es aproximadamente constante en ese pequeño intervalo, tal como lo muestra la figura. Por lo tanto, la altura de cada franja representa la fuerza promedio para este intervalo en el cual se cumple que ∆𝐴 = 𝐹L∆𝑥. Para este desplazamiento pequeño se puede aproximar el trabajo que se invierte sobre la partícula mediante la fuerza, escribiendo la siguiente expresión:

𝑊 ≈ 𝐹L∆𝑥 [1]

La expresión [1] es al área del rectángulo. Si tomamos en cuenta 𝐹L en función de la curva 𝑥 dividida en un gran número de franjas, el trabajo total consumido por el desplazamiento desde 𝑥O a 𝑥P es aproximadamente igual a la suma de un gran número de intervalos así:

𝑊 ≈R (𝐹L∆𝑥)

LS

LT [2]

Ahora si se permite que el tamaño de los desplazamientos pequeños se aproxime a cero, el número de términos en la suma crece sin límites, pero el valor de dicha suma se aproxima a un valor definido igual al área limitada por la curva 𝐹L y el eje 𝑥. En el límite donde el número de segmentos (franjas) se vuelve muy grande y el ancho de los mismos se hace pequeño, la sumatoria de indicada en la expresión [2] se convierte en una integral tal como se sigue:

𝑊U = lim

∆L→Z[R (𝐹L∆𝑥)

LS

LT\ = ] 𝐹L∆𝑥

LS

LT [3]

Donde el trabajo invertido por la componente 𝐹L de la fuerza variable cuando la partícula se traslada de 𝑥O a 𝑥P, es exactamente igual al área bajo la curva. Por tanto, la expresión [3] se reduce a 𝑊 = 𝐹𝑠𝑐𝑜𝑠𝜙 cuando la componente 𝐹L = 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜙 es constante. En una gráfica de fuerza como función de la posición, el trabajo total realizado por la fuerza está representado por el área bajo la curva entre la posición inicial 𝑥O y final 𝑥P. Luego el trabajo 𝑊 es igual a la fuerza media que actúa a lo largo sel desplazamiento, multiplicada por el desplazamiento.

Ahora, si más de una fuerza actúa sobre un sistema y el sistema se puede modelar como una partícula, el trabajo total consumido en el sistema es justo el trabajo invertido por la fuerza neta. El trabajo total o neto cuando la partícula se traslada de la posición inicial a la final es:

Σ𝑊 = 𝑊_`ab = ] Σ𝑊𝐹L

LS

LT𝑑𝑥 [4]

Este desarrollo es para el caso unidimensional, para el caso general de una fuerza neta Σ�⃗� cuya magnitud y dirección pueden variar, se aplica el producto escalar y podemos tener que:

Σ𝑊 = 𝑊_`ab = ]dΣ�⃗�e ∙ 𝑑𝑥 [5]

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Donde esta integral se calcula sobre la trayectoria que toma la partícula a través del espacio. El trabajo está dado por la integral curvilínea de �⃗� a lo largo de la curva 𝐶 que une los puntos inicial y final; es decir, por la circulación de �⃗� sobre la curva 𝐶 entre los puntos inicial y final. En consecuencia, el trabajo es una magnitud física escalar que dependerá en general de la trayectoria que une los puntos inicial y final, a no ser que la fuerza �⃗� sea conservativa, en cuyo caso el trabajo resultará independiente del camino recorrido. Un sistema físico en el cual la fuerza varía con la posición, es el cuerpo de masa 𝑚 conectado a un resorte y se cumple:

𝐹 = −𝑘𝑥 [6]

Donde 𝑘 es la constante llamada constante de fuerza o constante del resorte. La observación de que la fuerza es directamente proporcional al alargamiento (elongación), cuando este no es demasiado grande, fue realizada por Robert Hooke en 1678 y se denomina Ley de Hooke.

5. INTERPRETACIÓN GRÁFICA DEL TRABAJO

El trabajo 𝑊 se puede representar gráficamente tomando los valores de la componente de la fuerza que realiza el trabajo en el eje 𝑦 y los valores del desplazamiento en el eje 𝑥. En este sentido, la medida de este trabajo realizado estará representado por la superficie del área bajo la curva entre las posiciones inicial y final. Veamos este concepto con este ejemplo. Ejemplo: Una fuerza que actúa sobre una partícula varía con la posición 𝑥 como se muestra. Calcule el trabajo realizado por la fuerza en la partícula conforme pasa de 𝑥 = 0 a 𝑥 = 6𝑚.

Solución: Vemos de la gráfica que la fuerza es constante de 𝐴 hasta 𝐵 y después disminuye de forma lineal desde 𝐵 hasta 𝐶. Luego el trabajo neto realizado por esta fuerza será la suma del área 𝐴O (rectángulo) más el área 𝐴P (triángulo). Por tanto se debe cumplir lo siguiente:

𝑊 = 𝐴O + 𝐴P = (5𝑁)(4𝑚) + O

P(5𝑁)(2𝑚)

𝑊 = 20𝐽 + 5𝐽 = 25𝐽

Fx (N)

x (m)O

5B

4

A1

AFuerza que varía

linealmente

Fuerza Constante

6

A2C

7

6. ENERGÍA CINÉTICA Y TEOREMA TRABAJO-ENERGÍA

Hemos estudiado que el trabajo total realizado por las fuerzas externas sobre un cuerpo se relaciona con el desplazamiento de este, es decir, con los cambios en posición, pero también está relacionado con los cambios en la rapidez. Este cambio de la rapidez nos introduce al primer tipo de energía que puede tener un sistema y se denomina como la energía cinética. Consideremos un sistema que consiste de un solo cuerpo, digamos un bloque de masa 𝑚 que se mueve a través de un desplazamiento dirigido hacia la derecha bajo la acción de una fuerza neta Σ𝐹, también dirigida hacia la derecha, tal como se muestra en el diagrama.

Sabemos de la Segunda Ley de Newton que el bloque se mueve con una aceleración �⃗�. Si el bloque y por tanto la fuerza se mueven a través de un desplazamiento ∆𝑟 = ∆𝑥�̂� = d𝑥l − 𝑥me�̂�, el trabajo neto realizado por la fuerza neta Σ𝐹 puede definirse por la siguiente expresión:

𝑊_`ab = ] Σ𝐹𝑑𝑥

Ln

Lo [1]

Teniendo en cuenta la Segunda Ley de Newton Σ𝐹 = 𝑚𝑎, la expresión [1] puede reducirse a:

𝑊_`ab = ] 𝑚𝑎𝑑𝑥

Ln

Lo= ] 𝑚p

𝑑𝑣𝑑𝑡s𝑑𝑥

Ln

Lo= 𝑚] p

𝑑𝑣𝑑𝑡s𝑑𝑥

Ln

Lo [2]

Debemos considerar en este punto del desarrollo que la masa es constante. Seguidamente si aplicamos la regla denominada de la cadena, la exprsión [2] puede escribirse como se sigue:

𝑊_`ab = 𝑚] p

𝑑𝑣𝑑𝑥s p𝑑𝑥𝑑𝑡s 𝑑𝑥

Ln

Lo= 𝑚] p

𝑑𝑣𝑑𝑥s (𝑣)𝑑𝑥

Ln

Lo [3]

Aquí hemos sustituido 𝑣 = 𝑑𝑥/𝑑𝑡. De otro lado, notemos que (𝑑𝑣/𝑑𝑥)𝑑𝑥es el cambio de la velocidad 𝑑𝑣 durante el desplazamiento 𝑑𝑥 y reemplazando (𝑑𝑣/𝑑𝑥)𝑑𝑥 por 𝑑𝑣, se obtiene:

𝑊_`ab = 𝑚] 𝑣𝑑𝑣

un

uo [4]

Hemos cambiado la variable de integración 𝑥 por 𝑣 y así los límites de integración, por tanto:

𝑊_`ab =

12𝑚𝑣lP −

12𝑚𝑣mP [5]

!F "f#x

mm

xi xf

"i

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Donde 𝑣m es la rapidez del bloque cuando está en 𝑥 = 𝑥m y 𝑣l es la rapidez en 𝑥 = 𝑥m. Notemos que la ecuación [5] se desarrolló para un movimiento unidimensional pero es un resultado general. En otras palabras, la expresión [5] indica que el trabajo invertido por la fuerza neta en una partícula de masa 𝑚 será igual a la diferencia entre los valores inicial y final de una cantidad dada por dTS𝑚𝑣

Pe. A esta cantidad se le denomina como energía cinética asociada con el movimiento de la partícula y se denota como 𝐸w la cual matemáticamente será como:

𝑬𝒄 =

𝟏𝟐𝒎𝒗𝟐 [6]

Luego la energía cinética 𝐸w es una cantidad escalar con las mismas unidades del trabajo 𝑊 asociada a los cuerpos por el hecho de estar en movimiento y su valor depende solo de la masa y de la rapidez de la partícula, no de la dirección del movimiento. La energía cinética nunca podrá ser negativa y es cero sólo cuando la partícula está en estado de reposo. Con frecuencia es conveniente escribir la expresión [5] de forma matemática como se sigue:

𝑾𝒏𝒆𝒕𝒐 = 𝑬𝒄𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 − 𝑬𝒄𝒊𝒏𝒊𝒄𝒂𝒍 = ∆𝑬𝒄 [7]

Esta expresión constituye un resultado importante y es el Teorema Trabajo-Energía Cinética:

"Cuando se realiza trabajo en un sistema y el único cambio en el sistema es en su rapidez, el trabajo neto realizado en el sistema será igual al cambio en la energía cinética del sistema".

El Teorema Trabajo-Energía Cinética nos indica que la rapidez de un sistema aumenta si el trabajo neto realizado sobre él es positivo ya que la energía cinética final es mayor que la energía cinética inicial. Por el contrario, la rapidez de un sistema disminuye cuando el trabajo neto es negativo ya que la energía cinética final es menor que la energía cinética final. En consecuencia, cuando la rapidez es constante, no existe variación de la energía cinética y en este caso, el trabajo neto realizado por la fuerza es cero.

7. CONSIDERACIONES SOBRE EL TRABAJO Y LA ENERGÍA

Los conceptos de trabajo y energía se fundamentan en las Leyes de Newton, por lo que no se requiere ningún principio físico nuevo. Con el uso de estas dos magnitudes físicas, se tiene un método alternativo para describir el movimiento, especialmente útil cuando la fuerza no es constante. Veamos estas consideraciones relevantes sobre el concepto de trabajo y energía:

§ El trabajo 𝑊 es una de las formas (mecanismos) de transferencia de energía entre dos cuerpos o entre un sistema y su entorno. Para realizar un trabajo, es preciso ejercer una fuerza sobre un cuerpo y que éste experimente un desplazamiento.

§ Cuando dos cuerpos intercambian energía, lo hacen o bien de forma mecánica mediante la realización de un trabajo o bien de forma térmica mediante el calor. Podemos decir que el trabajo y el calor es energía en tránsito.

§ Siempre que se efectua trabajo, vienen a colación dos cuestiones: i) La aplicación de una fuerza y ii) El movimiento de algo debido a dicha fuerza.

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§ Un resultado posible al efectuar un trabajo sobre un sistema es que el sistema cambia su rapidez, no su velocidad ya que el trabajo es una magnitud escalar y no existe una dirección asociada a él.

§ Debido a que el trabajo es energía en tránsito, entonces un cuerpo no contiene trabajo sino que un cuerpo efectúa trabajo o se efectúa trabajo sobre él.

§ Una fuerza conservativa es aquella cuyo trabajo dependerá sólo de la posición incial y final de la partícula y no del camino descrito para ir de la posición inicial a la final.

§ El trabajo de una fuerza conservativa a lo largo de una trayectoria cerrada es cero y por lo tanro cualquier fuerza constante será una fuerza conservativa.

§ Las fuerzas que dependen de la posición serán fuerzas conservativas, por ejemplo la gravitacional, la elástica y la electromagnética. Esta fuerzas son muy importante en la Física y cada una de llas tiene asociada su propia energía.

§ Si un cuerpo se mueve entonces es capaz de efectuar un trabajo y por tanto presenta una energía debido a su movimiento. Decimos que el cuerpo posee energía cinética.

§ La energía es la capacidad que tienen lo cuerpos de producir cambios en ellos mismos o en otros cuerpos. La energía no es la causa de os cambios. Las causas de los cambios son sus interacciones y su consecuencia, la transferencia de energía.

§ El trabajo efectuado por una fuerza neta sobre un cuerpo será igual al cambio de la energía cinética de dicho cuerpo.

§ El Teorema-Trabajo Energía Cinética no representa en sí una nueva ley de la Mecánica Clásica sino simplemente define el trabajo y la energía y establece una relación entre estos dos conceptos a partir de la Segunda Ley de Newton.

§ La cantidad ∆𝐸w en el Teorema-Trabajo Energía Cinética solo se refiere a los puntos inicial y final para las magnitudes de la velocidad (rapidez), no depende de los detalles de la trayectoria seguida.

§ Un principio más fundamental que involucra energía será visto más adelante en el curso y se denomina como el "Principio de la Conservación de la Energía".

8. CONCEPTO DE POTENCIA

En la definición que hemos dado para el trabajo no se dice nada de cuanto tiempo se emplea para realizarlo. Para especificar una medida de qué tan rápido se realiza un trabajo vamos a introducir un nuevo concepto que denominaremos Potencia. La potencia es la rapidez con la cual se efectúa un trabajo y al igual que el trabajo y la energía es una cantidad escalar. Si una fuerza externa se aplica a un cuerpo (visto como partícula) y si el trabajo invertido por esta fuerza en el intervalo de tiempo ∆𝑡 es 𝑊, la potencia promedio durante el intervalo será:

𝑷𝒎𝒆𝒅 =

𝑾∆𝒕

[1]

Al igual que la definicición de velocidad y aceleración, la potencia instantánea será el valor límite de la potencia promedio a medida que ∆𝑡 tiende a cero y en este caso se tiene que:

𝑷 = 𝐥𝐢𝐦

∆𝒙→𝟎p𝑾∆𝒕s =

𝒅𝑾∆𝒕

[2]

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En el Sistema Internacional, la unidad de la potencia es el watt (𝑊) denominada así en honor al ingeniero mecánico e inventor escocés James Watt. En este sentido, un watt equivale a un joule por segundo: 1𝑊 = 1𝐽/𝑠. También es utilizada frecuentemente una unidad mayor, que es el caballo de potencia denotado por la abreviatura ℎ𝑝, donde 1ℎ𝑝 = 746𝑊 = 0,746𝑘𝑊. El watt es una unidad común de potencia eléctrica; una bombilla de 100𝑊 convierte 100 julios de energía en luz y calor cada segundo. Adicionalmente, debemos tener en cuenta que el kilowatt-hora es una unidad de trabajo o de energía y no de potencia. En Mecánica, también podemos expresar la potencia en términos de la fuerza y la velocidad. Supongamos que una fuerza �⃗� actúa sobre un cuerpo que tiene un desplazamiento vectorial 𝑑𝑟, por lo tanto se encuentra que 𝑑𝑊. En consecuencia, la potencia instantánea se escribirá:

𝑷 =

𝒅𝑾∆𝒕

= 𝑭>>⃗ ∙𝒅𝒓>⃗𝒅𝒕

= 𝑭>>⃗ ∙ 𝒗>>⃗ [3]

Donde el término �⃗� = 𝑑𝑟/𝑑𝑡 corresponde a la magnitud de la velocidad instantánea. Notemos que la ecuación [4] está expresada en función de un producto escalar y en este sentido, la potencia es la rapidez instantánea con que la fuerza �⃗� realiza trabajo sobre la partícula. Ejemplo: Un cuerpo de 40𝑘𝑔 que está inicialmente el reposo, se empuja con una fuerza de 130𝑁, desplazándolo en línea recta 5𝑚 a lo largo de un piso horizontal de coeficiente de roce 0,3. Calcular: a) El trabajo de la fuerza aplicada, b) El trabajo del roce, c) La variación de energía cinética, d) La rapidez final del cuerpo y e) La potencia final de la fuerza aplicada.

Solución: Observemos que las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son: el peso 𝑤, la fuerza normal 𝐹;, la fuerza de fricción 𝐹� y la fuerza aplicada 𝐹. El Diagrama de Cuerpo Libre será:

a) En este Diagrama de Cuerpo Libre, se indican cada una de las fuerzas que están actuando sobre el cuerpo en análisis. Calculemos el trabajo 𝑊 de la fuerza �⃗� aplicada de esta forma:

𝑊� = �⃗� ∙ 𝑟 = 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥 = (130𝑁)(5𝑚)𝑐𝑜𝑠0° = 650𝐽 [1]

y

x0

w

FN

FR F

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b) Ahora calculemos el trabajo realizado por la fuerza de fricción 𝐹�. Notemos del Diagrama de Cuerpo Libre que para la dirección 𝑦, intervienen el peso 𝑤 y la fuerza normal 𝐹;, luego:

𝐹; + (−𝑤) = 0 → 𝐹; = 𝑚𝑔 [2]

Sin embargo, recordemos que la fuerza de fricción y la fuerza normal están relacionadas por:

𝐹� = 𝜇𝐹; [3]

Por lo tanto, reemplazando la expresión [3] en la expresión [2], se puede tener lo siguiente:

𝐹� = 𝜇𝑚𝑔 [4]

De otro lado, el trabajo realizado por la fuerza de fricción lo podemos calcular como se sigue:

𝑊� = �⃗�� ∙ 𝑟 = 𝐹�(𝑐𝑜𝑠180)𝑥 = −𝜇𝑚𝑔𝑥 = −600𝐽 [5]

c) Determinemos ahora la variación de la energía cinética procediendo de la siguiente forma:

𝑊_`ab = ∆𝐸w = 𝐸wlm_�� − 𝐸wm_mw�� = 𝑊� +𝑊; +𝑊� +𝑊� [6]

Como 𝑊; = 𝑊� = 0 ya que las fuerzas normal y peso son perpendiculares al desplazamiento:

∆𝐸w = 𝑊� +𝑊� = 650𝐽 − 600𝐽 = 50𝐽 [7]

d) Para calcular la rapidez final, utilizamos el Teorema Trabajo-Energía Cinética definido así:

𝑊_`ab = ∆𝐸w =

12𝑚𝑣lP −

12𝑚𝑣mP [8]

Procedemos a despejar de la expresión [8] la velocidad final 𝑣l y teniendo en cuenta que el cuerpo parte del reposo (condiciones iniciales), podremos obtener el siguiente resultado:

𝑣l = �2∆𝐸w𝑚

= �2(50𝐽)40𝑘𝑔

= 1,6𝑚/𝑠 [9]

e) Calculemos finalmente la potencia final de la fuerza aplicada �⃗� recordando esta definición:

𝑃� = �⃗� ∙ �⃗� = 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃𝑣l [10]

En consecuencia, reemplazando los valores que intervienen en esta expresión, se tiene que:

𝑷𝑭 = (130𝑁)(1,6𝑚/𝑠) = 𝟐𝟎𝟖𝑾 [11]

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9. ENERGÍA POTENCIAL DE UN SISTEMA

Un cuerpo posee cierta cantidad de energía latente o potencial que se transforma en cinética o en otras formas de energía, cuando las condiciones de un sistema físico en análisis así lo determinen. La energía potencial es la energía asociada a la posición de un sistema y no a la asociada a su movimiento. Existen en Física Mecánica dos tipos de energía potencial; una es la energía potencial gravitacional que tiene que ver con la altura a la que se encuentra un cuerpo y la otra es la energía potencial elástica que tiene que ver con la deformación como ocurre en el caso de un resorte al cual se le aplica una fuerza determinada. Veremos que en algunos casos, la suma de estas dos energías es llamada Energía Mecánica Total del sistema.

9.1 Energía Potencial Gravitacional

Consideremos un sistema físico que consiste de un libro y la Tierra que interactúan a través de la fuerza gravitacional. Sabemos que se realiza trabajo al levantar el libro desde el reposo a través de un desplazamiento vertical dado por ∆𝑟 = d𝑦l − 𝑦me𝚥,̂ como lo muestra la figura:

Queremos determinar el trabajo efectuado por el peso cuando el cuerpo cae de una altura 𝑦O sobre el origen 𝑂 a una altura menor 𝑦P (situación a). El peso y el desplazamiento tienen la misma dirección, así que el trabajo 𝑊� �u efectuado sobre el cuerpo por su peso es positivo:

𝑊� �u = 𝐹 ∙ 𝑠 = 𝑤(𝑦O − 𝑦P) = 𝑚𝑔𝑦O −𝑚𝑔𝑦P [1]

Notemos que esta expresión también es válida cuando el cuerpo sube (situación b) donde 𝑦P es mayor que 𝑦O. En este caso, la cantidad (𝑦O − 𝑦P) es negativa y por tanto el trabajo 𝑊� �u es negativo por cuanto el peso y el desplazamiento tienen direcciones opuestas, luego:

𝑼𝒈𝒓𝒂𝒗 = 𝒎𝒈𝒚 [2]

La ecuación [1] muestra que podemos expresar el trabajo gravitacional 𝑊� �u en términos de la cantidad (𝑚𝑔𝑦) al principio y al final del desplazamiento. La energía potencial gravitacional 𝑈� �u será el producto del peso 𝑤 y la altura 𝑦 sobre el origen de coordenadas (referencia).

wy2

F

Movimiento

y1 y1-y2w

y1

FMovimiento

y2 y2-y1

O O

(a) (b)

2 1

21

Física

Física

13

Su valor inicial es 𝑈� �uO = 𝑚𝑔𝑦O y su valor final es 𝑈� �uP = 𝑚𝑔𝑦P. El cambio en 𝑈� �u será su valor final menos su valor inicial: ∆𝑈� �u = 𝑈� �uP − 𝑈� �uO. Por tanto, el trabajo gravitacional 𝑊� �u realizado por la fuerza gravitacional durante el desplazamiento de 𝑦O a 𝑦P será como:

𝑊� �u = 𝑈� �uO − 𝑈� �uP = −d𝑈� �uP − 𝑈� �uOe = −∆𝑈� �u [3]

Notemos que el signo negativo de ∆𝑈� �u es fundamental. Cuando el cuerpo sube 𝑦 aumenta, el trabajo realizado por la gravedad es negativo y la energía potencial gravitacional aumenta y se cumple que d∆𝑈� �u > 0e. Por el contrario si el cuerpo baja, 𝑦 disminuye, la gravedad realiza trabajo un positivo y la energía potencial gravitacional se reduce como d∆𝑈� �u < 0e. Las unidades de la energía potencial gravitacional son joules (𝐽), las mismas unidades que el trabajo y la energía cinética y por supuesto se trata de una cantidad escalar.

No es correcto llamar a 𝑈� �u = 𝑚𝑔𝑦 la "energía potencial gravitacional del cuerpo", ya que la energía potencial gravitacional 𝑈� �u es una propiedad compartida entre el cuerpo y la Tierra. El valor de 𝑈� �u aumenta si la Tierra permanece fija y la altura aumenta. En d𝑈� �u = 𝑚𝑔𝑦e intervienen características tanto del cuerpo (su masa 𝑚) como de la Tierra (el valor de 𝑔).

9.2 Energía Potencial Elástica

Una vez explicado el concepto de energía potencial gravitacional, estudiaremos un segundo tipo de energía que puede poseer un sistema denominada Energía Potencial Elástica. Existen situaciones donde encontramos energía potencial que no sea de naturaleza gravitacional. Un ejemplo es la banda (caucho) de hule de una resortera. El trabajo es efectuado por la fuerza que estira la banda y se almacena en la banda hasta que ésta se suelta. Posteriormente la banda imparte energía al proyectil. Describiremos el proceso de almacenar energía en un cuerpo deformable como un resorte o una banda de hule en términos de la energía potencial elástica. Un cuerpo será elástico si recupera su forma y su tamaño originales después de deformarse. Procederemos igual que con la energía potencial gravitacional, la diferencia ésta última es una propiedad que es compartida entre el cuerpo y la Tierra, mientras que la energía potencial elástica solo se almacena en el resorte u otro cuerpo deformable. Recordemos que un resorte es un sistema físico en el cual la fuerza varía con la posición, es decir, se trata de una fuerza variable y no constante. Sie el resorte orientado en dirección 𝑥 se deforma desde su configuración inicial (equilibrio), es decir, se estira o se comprime por efecto de una fuerza externa sobre el resorte, instantáneamente actúa una fuerza �⃗� creada por el resorte contra el cuerpo que ejerce la fuerza externa de magnitud dada como sigue:

𝐹 = −𝑘𝑥 [1]

Donde 𝑥 es la magnitud del desplazamiento del resorte desde su posición de equilibrio, 𝑥 = 0.

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Adicionalmente, 𝑘 es una constante positiva denominada constante de fuerza del resorte. En otras palabras, la fuerza requerida para estirar o comprimir un resorte es proporcional a la cantidad de estiramiento o compresión 𝑥. Esta ley de fuerza para resortes se denomina como la Ley de Hooke y matemáticamente de forma vectorial, puede escribirse de esta manera:

�⃗�§ = 𝐹§�̂� = −𝑘𝑥�̂� [2]

Esta ley es válida para pequeños desplazamientos dado que si el resorte se estira demasiado, puede deformarse y no recuperar su forma original. El signo negativo significa que la fuerza �⃗� que ejerce el resorte siempre tiene una dirección opuesta al desplazamiento, de esta forma:

Vemos que la fuerza que ejerce un resorte sobre el bloque varía con la posición 𝑥 del bloque en relación con la posición de equilibrio (𝑥 = 0). La cantidad 𝑥 nos indica la distancia que se estira o comprime el resorte. Cuando 𝑥 es positivo (resorte estirado), la fuerza del resorte se dirige hacia la izquierda y efectúa trabajo negativo sobre el bloque. Cuando (𝑥 = 0) equivale a la longitud natural del resorte, la fuerza del resorte es cero y por lo tanto el trabajo es nulo. Cuando 𝑥 es negativo (resorte comprimido), la fuerza del resorte se dirige a la derecha y efectúa un trabajo positivo sobre el bloque de masa 𝑚. En consecuencia, el trabajo realizado por el resorte desde una posición inicial a una posición final estará definido por la expresión:

𝑊§ = ] (−𝑘𝑥)𝑑𝑥

Ln

Lo=12𝑘𝑥mP −

12𝑘𝑥lP = ] �⃗�§ ∙ 𝑑𝑟 [3]

Tal como hicimos con el trabajo gravitacional, podemos expresar el trabajo del resorte en términos de una cantidad dada al principio y al final del desplazamiento. Esta cantidad está dada por dTS𝑘𝑥2e, la cual definiremos como energía potencial elástica que puede expresarse:

𝑼𝒆𝒍 =𝟏𝟐𝒌𝒙𝟐 [4]

x

x

x=0

W negativo

O

O

x

x

x

W positivo

(a)

(b)

(c)

15

Podemos finalmente usar esta expresión para definir el trabajo efectuado sobre el bloque por la fuerza elástica en términos del cambio en la energía potencial elástica tal como se sigue:

𝑊`� =

12𝑘𝑥mP −

12𝑘𝑥lP = 𝑈`�O − 𝑈`�P = −∆𝑈`� [5]

Donde la gráfica de la energía potencial elástica para un resorte ideal será una parábola; en la expresión 𝑈`� = (1/2)𝑘𝑥P la cantidad 𝑥 es la extensión o compresión del resorte. Además, la energía potencial elástica nunca será negativa.

Ejemplo: Un cilindro sólido homogéneo de masa 𝑀 y de radio 𝑅 parte del reposo y rueda sin deslizarse por un plano inclinado de longitud 𝐿 y de altura ℎ, formando un ángulo 𝜃 con la horizontal. Calcular: a) La velocidad del centro de masa y b) La aceleración del centro de masa cuando el cilindro llega a la parte más baja del plano, según esta figura:

Solución: Notemos algo muy importante antes de iniciar la solución del problema. Podemos identificar dos puntos de análisis: uno que corresponde al centro instantáneo de rotación y el otro que corresponde al centro de masa. Veamos la solución del problema por ambos puntos.

Teniendo en cuenta que la aceleración del centro de masa es constante, podremos tener que:

𝑣lP = 𝑣mP + 2𝑎¬­∆𝑥 [1]

h

θ

⍵

!CM

⍵ R

RM

M

90°

A

θ

h

⍵

B

⍵!CM

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Tal como se muestra en la figura, medido de centro a centro podemos afirmar que el cilindro se ha desplazado una distancia ∆𝑥 = 𝐿 y con la condición de que éste parte del reposo, luego:

𝑣lP = 2𝑎¬­𝐿 → 𝑣¬­ = ®2𝑎¬­𝐿 [2]

Esta expresión nos arrojará la velocidad que tiene el cilindro en la parte más baja del plano inclinado, por lo tanto, lo que debemos determinar es la aceleración de su centro de masa.

Para resolver el problema energéticamente, vamos a considerar en este caso dos estados particulares; un estado inicial y un estado final donde participan en ellos tanto la energía cinética debida al movimiento como la energía potencial debida a la posición. Para la energía potencial tomamos el nivel 𝑈� = 0 como la referencia que coincidirá con el punto más bajo del plano inclinado. Adicionalmente vemos que en el punto 𝐴 se tienen unas condiciones iniciales ya que la velocidad lineal y la velocidad angular ambas son cero.

Debemos tener presente además que el punto de contacto del cilindro con el plano inclinado corresponde al centro instantáneo de rotación y que este punto rota instante a instante sin que se deslize, lo cual quiere decir que el trabajo en este punto es cero. En otras palabras, a pesar que en el movimiento participa una fuerza no conservativa como la fuerza de fricción, ésta es estática, no es disipativa y se cumple el Principio de la Conservación de la Energía, que afirma que la energía al inicio será igual que la energía al final, lo cual se resume como:

∆𝐸­ = 0 → 𝐸m_mwm�� = 𝐸lm_�� [1]

Un caso contrario tendríamos si el cilindro desliza por cuanto la energía mecánica se perdería ya que la fuerza sería de carácter no conservativa. La expresión [1] la podemos escribir así:

𝐸w(m_mwm��) + 𝑈�(m_mwm��) = 𝐸w(lm_��) + 𝑈�(lm_��) [2]

90°

A

R

θ

h

⍵

B

R

⍵!CM

Estado Inicial

Estado Final

Ug=0

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Donde la energía cinética total de un cuerpo rígido en rodamiento puro corresponde a la suma de la energía cinética traslacional de su centro de masa, más la energía cinética rotacional alrededor de su centro de masa. El estado inicial será 𝐴 y el estado final será 𝐵.

Recordemos que el movimiento de rodamiento puro se puede modelar por una superposición de una traslación pura más una rotación pura, sin embargo, podemos resolver este problema energéticamente teniendo como referencia dos puntos particulares como lo hicimos mediante el método dinámico: 1) Para un punto situado en el centro instantáneo de rotación, o 2) Para un punto situado en el centro de masa.

Caso 1: Centro Instantáneo de Rotación: Situados desde este punto de contacto entre el cilindro y el plano, concluimos que sólo existe energía cinética de rotación y no de traslación. Teniendo en cuenta esta consideración, la expresión [2] puede escribirse de esta forma:

0 + 𝑀𝑔ℎ(¯) =

12𝐼b𝜔(²)

P + 0 [3]

Observemos que debido a que la referencia la hemos establecido en el centro instantáneo de rotación (punto 𝑂), el momento de inercia 𝐼b respecto a ese punto ya lo calculamos y era:

𝐼b = 𝐼¬­ + 𝑀𝑅P =

12𝑀𝑅P + 𝑀𝑅P =

32𝑀𝑅P [4]

Reorganizando la ecuación [4] y sabiendo de la geometría del problema que la altura ℎ está relacionada con la distancia 𝐿, podemos escribir que ℎ = 𝐿𝑠𝑒𝑛𝜃, con lo cual se obtiene que:

𝑀𝑔𝐿𝑠𝑒𝑛𝜃 =

12p32𝑀𝑅Ps𝜔P [5]

Recordemos que la condición de rodamiento para este tipo de movimiento, tiene esta forma:

𝑣¬­ = 𝑅𝜔 [6]

Por tanto reemplazando esta condición de rodamiento en [5], podemos escribir lo siguiente:

𝑀𝑔𝐿𝑠𝑒𝑛𝜃 =

34𝑀𝑅P

𝑣¬­P

𝑅P [7]

Manipulando y reorganizando la expresión [5], la velocidad del centro de masa 𝑣¬­ será así:

𝑣¬­P =

43𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝐿 [8]

Podemos sacar la raíz cuadrada en la expresión [8], para reescribirla de la siguiente manera:

𝑣¬­ = �43𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝐿 [9]

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Como el cilindro parte del reposo, se tienen ciertas condiciones iniciales con lo que tenemos:

𝒗𝑪𝑴 = ®𝟐𝒂𝑪𝑴𝑳 [10]

Despejando la aceleración del centro de masa con la velocidad del centro de masa, se llega a:

𝒂𝑪𝑴 =

𝟐𝟑𝒈𝒔𝒆𝒏𝜽 [11]

Caso 2: Centro de Masa: En el desarrollo anterior consideramos el análisis energético en el centro instantáneo de rotación, ahora el punto de análisis está en el centro de masa, luego:

0 + 0 + 𝑀𝑔ℎ(¯) =12𝑀𝑣¬­(²)

P +12𝐼¬­𝜔(²)

P + 0 [1]

Vemos que en este caso, a diferencia del anterior, la energía cinética está compuesta por dos componentes, una contribución traslacional y una rotacional. Podemos ahora reemplazar el momento de iniercia del cilindro (1/2)𝑀𝑅P y la condición de rodadura 𝑣¬­ = 𝑅𝜔, se tiene:

𝑀𝑔𝐿𝑠𝑒𝑛𝜃 =

12𝑀𝑣¬­(²)

P +12p12𝑀𝑅Ps[

𝑣¬­P

𝑅P\ [2]

Manipulando y reorganizando la expresión [2], la podemos reescribir de la siguiente manera:

𝑀𝑔𝐿𝑠𝑒𝑛𝜃 =

12𝑀𝑣¬­P +

14𝑀𝑣¬­P =

34𝑀𝑣¬­P [3]

Podemos proceder con el despeje de la velocidad del centro de masa, para tener lo siguiente:

𝒗𝑪𝑴𝟐 =𝟒𝟑𝒈𝑳𝒔𝒆𝒏𝜽 [4]

Una vez calculada dicha velocidad, la aceleración del centro de masa puede escribirse como:

𝒂𝑪𝑴 =𝟐𝟑𝒈𝒔𝒆𝒏𝜽 [5]

10. FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS

No todas las fuerzas se comportarán igual desde el punto de vista energético. El trabajo que realizan estas fuerzas sobre los cuerpos puede o no variar dependiendo de la trayectoria que describa el cuerpo en su desplazamiento. Este criterio será el que nos sirva para clasificar las fuerzas entre fuerzas conservativas y fuerzas no no conservativas.

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10.1 Fuerzas Conservativas

Se llaman fuerzas conservativas aquellas para las cuales el trabajo realizado por las fuerzas para mover un cuerpo entre dos puntos por cualquier trayectoria arbitraria, no depende de la trayectoria que une los puntos. Las fuerzas que dependen de la posición son conservativas, por ejemplo: gravitacional, elástica, electromagnética, etc. Supongamos que una partícula se mueve por la acción de una fuerza de la posición 𝐴 hasta la 𝐵 por caminos arbitrarios 1 y 2:

Si la fuerza es conservativa, entonces el trabajo para mover la partícula desde 𝐴 a 𝐵 sólo depende de las coordenadas inicial y final de la partícula. En este caso se cumple lo siguiente:

𝑊 ²(𝑇𝑟𝑎𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎1) = 𝑊 ²(𝑇𝑟𝑎𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎2) [1]

De otro lado, si ahora la partícula se mueve desde 𝐴 hasta 𝐵 por la trayectoria 1 y después regresa desde 𝐵 hasta 𝐴 por la trayectoria 2. Esta nueva situación su muestra en la figura:

En el regreso se cumplirá que 𝑊 ²(a �»O) = −𝑊 ²(a �»P), por lo tanto el trabajo realizado por una fuerza conservativa en una partícula móvil a lo largo de una trayectoria cerrada es cero.

La definición anterior tiene varias implicaciones y una de ellas es que sólo las fuerzas que son conservativas dan lugar a la energía potencial y el cálculo del trabajo realizado por ellas será:

𝑊�¼` ½�§¬b_§` u = −∆𝐸¾ [2]

En consecuencia, las fuerzas conservativas conservan la energía mecánica (capacidad para realizar un trabajo mecánico, es decir, un movimiento) del sistema.

10.2 Fuerzas No Conservativas

Las fuerzas no conservativas también conocidas como fuerzas disipativas son aquellas para las cuales el trabajo realizado por dichas fuerzas para mover una partícula entre dos puntos, depende de la trayectoria descrita para unir dichos puntos. Por ejemplo, las fuerzas de roce, que se oponen al desplazamiento, son no conservativas o disipativas; el trabajo de estas fuerzas es negativo y le hacen perder energía al sistema.

A

B1

2

A

B1

2

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11. CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA

Se define la energía mecánica de un sistema como la suma de la energía cinética y la energía potencial, lo cual matemáticamente puede resumirse mediante la siguiente expresión:

𝐸¿`w = 𝐸w + 𝑈 [1]

Donde 𝐸w incluye la energía cinética de todos los integrantes móviles del sistema y 𝑈 incluye todos los tipos de energía potencial del sistema. Además se dice que la energía mecánica de un sistema físico se conserva cuando la suma de las energías cinética y potencial se mantiene constante. Si esto se cumple, se obtiene la Ley de la Conservación de la Energía Mecánica:

𝐸¿`w(m) = 𝐸¿`w(l) = 𝐸¿`w = 𝑐𝑡𝑒 [2]

En consecuencia, la Ley de Conservación de la Energía Mecánica establecerá que la energía mecánica total de un sistema permanece constante si las únicas fuerzas que realizan trabajo sobre dicho sistema son del tipo conservativas. Cuando una cantidad física no cambia, se dice que ésta se conserva. Si existen fuerzas conservativas actuando dentro del sistema, la energía mecánica se transforma en energía interna.

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UNIDAD 4: RESUMEN DE LAS DEFINICIONES Y LAS FÓRMULAS UTILIZADAS

DESCRIPCIÓN CONCEPTUAL EXPRESIÓN MATEMÁTICA

Trabajo como producto escalar de dos vectores 𝑊 = �⃗� ∙ 𝑠

Magnitud del trabajo 𝑊 = 𝐹𝑠𝑐𝑜𝑠𝜙

Centro de masa para un sistema discreto de partículas (coordenada 𝑦) 𝑦À =

1𝑚Σm(𝑚m𝑦m)

Componente paralela y perpendicular del trabajo 𝐹∥ = 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜙; 𝐹5 = 𝐹𝑠𝑒𝑛𝜙

Trabajo realizado por una fuerza variable Σ𝑊 = 𝑊_`ab = ]dΣ�⃗�e ∙ 𝑑𝑥

Ley de Hooke para un resorte 𝐹 = −𝑘𝑥

Energía Cinética de Traslación 𝐸w =12𝑚𝑣P

Energía Cinética de Rotación 𝐸w =12𝐼b𝜔P

Teorema Trabajo-Energía Cinética 𝑊_`ab = 𝐸wlm_�� − 𝐸wm_mw�� = ∆𝐸w

Concepto de Potencia media o promedio 𝑃¿`Á =𝑊∆𝑡

Concepto de Potencia en función de la fuerza y la velocidad 𝑃 = �⃗� ∙ �⃗�

Energía Potencial Gravitacional 𝑈� �u = 𝑚𝑔𝑦

Energía Potencial Elástica 𝑈`� =12𝑘𝑥P

Conservación de la Energía Mecánica 𝐸¿`w = 𝐸w + 𝑈

Ley de la Conservación de la Energía Mecánica 𝐸¿`w(m) = 𝐸¿`w(l) = 𝐸¿`w = 𝑐𝑡𝑒