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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL

Facultad Regional Delta Campana.

Departamento de Ciencias Básicas

JORGE MARIO GIANFELICE

ABRIL 2010

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TEORÍA ELECTROMAGNÉCTICA DE JAMES CLERK MAXWELL.

- Breve introducción

James Clerck Maxwell no fue el primero en hacer predicciones correctas sobre los misterios

de las fuerzas naturales, dos siglos antes Isacc Newton ya había escrito un libro sobre el tema,

pero tuvo que expresarse en términos de acción a distancia. Esa idea llegó a aplicarse no sólo a

la gravedad sino también a la electricidad y al magnetismo.

En la década de 1830 detrás de los franceses Coulomb y Ampere, y sobre todo siguiendo la

pista de Hans Cristian Oersted apareció Michael Faraday, que se sentía fuertemente atraído

por la electricidad y el magnetismo. En agosto de 1831 ya tenía claro cuál iba a ser su camino.

Faraday tomando las cosas donde Oersted las había dejado, confirmó que una corriente

eléctrica puede producir un campo magnético, y yendo más lejos aún todavía, dedujo que un

flujo magnético variable en el tiempo puede crear una corriente eléctrica. Finalmente dio con

la idea de que una corriente eléctrica variable en un circuito puede inducir en que aparezca

una corriente en otro. Después de estos hechos y especialmente a la luz de descubrimientos

similares del americano Joseph Henrry, el principio de inducción en la naturaleza de la

electricidad y el magnetismo, estaba ahí para que el mundo científico pudiese contemplarlo.

Ciertamente en el interior de la casa de Maxwell el libro de Faraday “Investigaciones

experimentales en la electricidad”, era considerado como el texto definitivo. Cuando obtuvo la

obra de Faraday, Maxwell, estaba preparado para obtener nuevas conclusiones, una habilidad

que había desarrollado desde sus años de estudiante. Cuando ara alumno de Cambridge el

profesor de matemáticas de Maxwell hizo la siguiente observación: “… parece imposible que él

piense algo incorrecto en temas de física...” Poco después siendo graduado escribió un artículo

con el que la comunidad científica tuvo que estar de acuerdo, su título era, “sobre las líneas de

fuerza de Faraday”. Con la preparación de esa obra, Maxwell había hecho sus deberes para

continuar. En la primavera de 1846 Michael Faraday había redactado un trabajo llamado,

“Consideraciones sobre las vibraciones en los rayos”; en esa profética publicación especulaba

en que la luz era un tipo de vibración en las líneas de fuerza, teniendo en cuenta que conectan

partículas y también masas de materia. En otras palabras, en la imaginación de Faraday las

cargas eléctricas estaban ligadas por líneas de fuerzas en el espacio vacío. Sin embargo, aún

cuando su idea era fácil de ver, introducía una fascinante cuestión científica, ¿una carga

vibrando haría vibrar también a las líneas de fuerza? En este punto Faraday debió haber

imaginado que cada línea se comportaría como si fuera una hilera de osciladores mecánicos

unidos. En tal caso había visto una perturbación propagándose a lo largo de la hilera, bien

como onda longitudinal, bien como onda transversal. Independientemente de las formas que

3

pudieran haber tomado esas vibraciones, lo importante estaba en el hecho de que Faraday las

había hecho notar.

Entre líneas, en alguna parte en el libro de Faraday, “Consideraciones sobre las vibraciones en

los rayos”, James Clerck Maxwell descubriría su teoría electromagnética de la luz. Sin embargo

antes de poder leer lo escrito por Faraday para posteriormente refinarlo y pulirlo con sus

elegantes matemáticas, Maxwell tuvo que descifrar una pista decisiva: encontró una velocidad

muy significativa relacionada con las fuerzas de la electricidad y el magnetismo. Cada onda

tiene una velocidad característica que la hace viajar. Por ejemplo en aguas profundas la

velocidad de las olas depende la aceleración de la gravedad y de la longitud de la ola. En el aire

la velocidad del sonido depende tanto de la presión de éste como de la densidad del medio, y

para los osciladores mecánicos conectados la velocidad viene dada por la constante del

muelle, la masa de los cuerpos y la distancia entre cada uno. Así, había llegado el momento en

que Maxwell se sentara a determinar la velocidad de las ondas en las líneas de fuerza de

Faraday. Desde la perspectiva matemática de Maxwell las líneas de Faraday eran una

expresión de la naturaleza, siguiendo las tres leyes de la inversa del cuadrado de la distancia

para la gravedad, la electricidad y el magnetismo.

∧

−= rr

mmGFg .

.2

21

∧

= rr

QQKFg e .

.2

21

1 2

2

..

m

P PFg K r

r

∧

=

Al mismo tiempo cada una de estas leyes contiene una constante específica, que al caer en

manos de Maxwell terminaron convirtiéndose en bases de la subyacente teoría.

Puesto que las fuerzas fundamentales de la electricidad y el magnetismo no son

independientes las constantes eK y mK deberían estar de alguna marea relacionadas, pero la

cuestión es, ¿cómo? Si tomamos el cociente:

2

216

2

27

2

29

10.9

10.1

10.9

s

m

K

K

C

Nsk

C

NmK

M

e

m

e

=≡

=

=

−

4

se puede ver que tiene por unidades el cuadrado de una velocidad, pero ¿de qué velocidad? Y

ahí estaba la respuesta, si procedemos a quitar la raíz cuadrada obtenemos,

cs

m

s

m

K

K

M

e === 8

2

216

10.310.9

la velocidad de la luz. Fue un descubrimiento asombroso. Después de casi 50 años de

minuciosos exámenes científicos en otros lugares, James Maxwell vio la luz y encontró su

velocidad en las fuerzas de la electricidad y el magnetismo. Pero no eran sólo las fuerzas

fundamentales las que ocupaban la mente de Maxwell.

Hacia 1857 se propuso un premio académico a quien pudiera explicar la naturaleza sólida

de los anillos de Saturno y su constante movimiento alrededor del planeta. La respuesta de

Maxwell dio en el blanco, la estructura que podía explicar tal estabilidad, eran que los anillos

estuviesen constituidos por partículas desconectadas. El trabajo de Maxwell no sólo ganó el

premio de Cambridge, ganó el elogio de toda la comunidad científica. El trabajo fue calificado

como una aplicación notabilísima de las matemáticas. Luego de este acontecimiento Maxwell

puso sus ojos en otras partículas además de la de los anillos de Saturno. Desarrolló una teoría

cinética de los gases, en donde la moléculas del gas son pequeñas partículas elásticas que

chocan unas con otras al moverse a diferentes velocidades. Maxwell pensaba que toda

investigación en física debía basarse en principios puramente mecánicos, y esa creencia no

sólo lo llevó a su teoría de los gases sino que lo condujo también a sus grandes logros en

electricidad y magnetismo.

Para continuar su investigación el matrimonio Maxwell se trasladó a Kesintong en Londres

en el año 1860. En el Kin Collige, fue fecundo tanto en la teoría cinética de los gases como en

electricidad, y en la Royal Institution de Londres Maxwell conoció finalmente a Faraday.

Faraday, había visto la electricidad en términos mecánicos, no sólo como una idea que estaba

en armonía con la acción a distancia de Newton, sino como algo de líneas físicas. Una

estructura sólida de fuerzas que irradiaba a través del espacio. Maxwell afirmaría con gran

admiración que Faraday había visto un medio allí donde los estrictos newtonianos no veían

otra cosa que acción a distancia. Maxwell añadió con agudeza: “Faraday buscó el lugar de los

fenómenos en verdaderas acciones que se producen en el medio”. Con estas consideraciones

Maxwell llamaría a las líneas de fuerzas vibrantes de Faraday, campos. En términos modernos

campos eléctricos y campos magnéticos.

5

Ahora había que ver en qué medio la acción tiene lugar y es ahí donde Maxwell tuvo que

determinar si las ondas podían viajar a través de los campos eléctricos y magnéticos a la

velocidad de la luz. Si esto es así tendrían que obedecer a las cuatro leyes de la electricidad y el

magnetismo.

a) El flujo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga neta

dividida por 0ε , es decir;

0

4ε

πQ

QKdAE E ==⋅∫∫

Donde, Q es la carga total encerrada por la superficie.

b) El flujo magnético a través de cualquier superficie cerrada es siempre igual a cero, es

decir;

0∫∫ =⋅dAB

c) La circulación del campo eléctrico a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es igual

a menos el ritmo de cambio del flujo magnético que atraviesa dicha superficie

bordeada por esa trayectoria, es decir:

( )∫∫∫ ⋅−⋅ dABdt

ddrE

(1)

(2)

(3)

6

d) La circulación del campo magnético a lo largo de cualquier trayectoria cerrada, es

igual a 0µ multiplicada por la intensidad de la corriente eléctrica que pasa a través de

la superficie bordeada por esa trayectoria, es decir;

Ι=∫ .. 0µdrB

Teniendo en cuenta estas leyes, Maxwell las separó de la siguiente manera:

Las dos primeras son las leyes de Gauss para el campo eléctrico y magnético, que establecen el

comportamiento del flujo de cada uno respectivamente, a través de cualquier superficie

cerrada.

0

4ε

πQ

QKdAE E ==⋅∫∫

0∫∫ =⋅dAB

(4)

7

Las otras dos leyes establecen: una, la circulación del campo eléctrico (ley de Faraday de la

inducción) y la otra, la circulación del campo magnético (ley de Ampere), ambas lo hacen a

través de una trayectoria cerrada.

( )∫∫∫ ⋅−=⋅ dABdt

ddrE

Ι=∫ .. 0µdrB

De acuerdo con este esquema Maxwell supuso que existe una onda en la intensidad1 del

campo eléctrico como se muestra a continuación.

Consideró que esta es una onda transversal plana que viaja a la velocidad de la luz. Pero si se

tiene en cuenta el campo eléctrico en cualquier instante tendremos una circulación como se ve

en la siguiente figura:

Es decir, como está dirigido hacia arriba en una región y hacia abajo en otra próxima, tiene

una circulación en sentido horario. De acuerdo con la ley de Faraday debe haber un flujo

magnético a través de una superficie cerrada bordeada por esa trayectoria, y más aún, éste

debe estar cambiando con el tiempo como se muestra en la figura 7.

1

8

Esto significa que a una onda eléctrica siempre le acompaña una magnética vaya donde vaya.

Pero esto a su vez demanda que en cualquier instante hay una circulación del campo

magnético según la siguiente trayectoria:

Pero según la ley de Ampere esto sólo puede ser verdad si hay una corriente que atraviesa

la superficie que es bordeada por la trayectoria. Pero en el espacio (supuestamente vacío) no

hay corrientes eléctricas, así que no hay manera de escaparse del hecho de que según las

leyes de la electricidad y del magnetismo de los tiempos de Maxwell no podría haber

absolutamente onda electromagnética alguna.

La cuestión ahora era la siguiente, si las leyes de la física establecían que en un espacio

aparentemente vacío no podrían existir ondas, ¿podría haber sido que aunque fueran leyes

fundamentales de algún modo estaban incompletas?

Maxwell obtuvo un gran triunfo al encontrar la pieza que faltaba y lo consiguió observando

un aparato sencillo y completamente convencional, un capacitor. El problema era el siguiente.

… la circulación magnética a lo largo de cualquier trayectoria cerrada depende de la intensidad

de corriente que atraviesa la superficie bordeada por dicha trayectoria (ley de Ampere). La

9

única manera de estar seguro de que la corriente va a través de esa superficie, es imaginando

una membrana bordeada por la trayectoria

La corriente aparentemente deberá pasar por la membrana independientemente de la forma

que tenga según se muestra en las siguientes figuras,

Pero esto ya no es cierto si la corriente va a un capacitor. Entonces aún cuando hay una

corriente no puede haber ninguna a través de la membrana. Si eso es así, ¿a qué resulta ser

igual la circulación magnética? …

Buscando una respuesta a esa pregunta Maxwell tomó una página del libro de Faraday

observó que cuando el flujo magnético varía crea una circulación eléctrica; y luego según su

costumbre miró las cosas desde el otro lado, y se preguntó ¿puede la variación del flujo

eléctrico crear circulación magnética? La respuesta prometía una solución al problema del

capacitor. Así el razonamiento fue el siguiente;

10

Cuando la corriente fluye a un capacitor la carga aumenta lo que crea un campo eléctrico

creciente entre las placas; el flujo eléctrico a través de la membrana se puede deducir a partir

de la ley de Gauss imaginando una superficie cerrada, como muestra la figura

Todo el flujo va a través de la membrana en forma de cúpula y es igual a la carga neta del

capacitor dividida por 0ε , es decir:

0ε

QdAE∫∫ =⋅

Luego el ritmo de cambio del flujo eléctrico en cada placa del capacitor viene dado por esta

última expresión pero con la integral de superficie abierta. Así diferenciando ambos miembros

se obtiene,

( )

=⋅∫∫

0ε

Q

dt

ddAE

dt

d

Y acomodando algunos términos obtenemos:

( )dt

dQdAE

dt

d=⋅∫∫0ε

( ) Ι==⋅∫∫ dt

dQdAE

dt

d0ε

Finalmente, el cambio en el tiempo del flujo viene dado simplemente por la corriente que

circula por el hilo. En otras palabras 0ε multiplicado por el ritmo de cambio del flujo eléctrico

(5)

11

a través de la membrana en forma de cúpula es lo mismo que la intensidad de la corriente

eléctrica a través de la membrana plana, de acuerdo con la ecuación:

( )∫∫ ⋅=Ι dAEdt

d0ε

Este fue el descubrimiento crucial de Maxwell, la manera precisa como un flujo eléctrico

variable puede generar un campo magnético como si fuese una especie de corriente eléctrica.

Teniendo en cuenta que esta aparente corriente proviene del ritmo de cambio del flujo

eléctrico, como si éste al desplazarse genera la circulación magnética. Maxwell llamó a esta

corriente, corriente de desplazamiento dΙ

Dicho de otro modo, la circulación magnética lo largo de una trayectoria cerrada viene dada

no sólo por la corriente eléctrica a través de la superficie bordeada por dicha trayectoria sino

también por el ritmo de cambio del flujo eléctrico que atraviesa la superficie encerrada por la

misma trayectoria. De este modo es como Maxwell completó las leyes de la electricidad y el

magnetismo es decir agregando la corriente de desplazamiento a la ley de Ampere, resultando

ahora:

0 0 0. . ( ) . ( )

d

dB dr E dA

dtµ µ ε= Ι + Ι = Ι + ⋅∫ ∫∫�

Con estas leyes Maxwell pudo mostrar que el campo eléctrico y magnético estaban

indudablemente unidos por estas cuatro leyes, concluyendo que cada vez que existe uno

también debe existir el otro. De esta manera propuso el nombre unificado como campo

electromagnético.

Con la ley de Amper corregida, Maxwell se propuso demostrar que las ondas

electromagnéticas siguen con el modelo de ecuaciones matemáticas de las ondas mecánicas

transversales. La deducción fue la siguiente:

0ε

QdAE∫∫ =⋅

0∫∫ =⋅dAB

(6)

(7)

(8)

12

( )∫∫∫ ⋅−=⋅ dABdt

ddrE

0 0 0. . ( ) . ( )

d

dB dr E dA

dtµ µ ε= Ι + Ι = Ι + ⋅∫ ∫∫�

Primero consideró la circulación eléctrica en la intensidad del campo eléctrico viajando a la

velocidad de la luz en una onda transversal. Para ello tomó un instante determinado como se

muestra en la figura

Y para dos puntos x y x +dx de la onda, tomó el siguiente diferencial de área

Así se presenta un diferencial de forma rectangular cuyos lados son L y dx, en el plano x-y.

Luego la variación del campo eléctrico en cada instante, entre dos puntos contiguos que

forman el segmento diferencial dx, viene dado por la derivada parcial en la dicción del

desplazamiento, que en este caso es en la dirección x, y se expresa como:

dxx

ExEdxxE

dx

xEdxxE

x

E y

yy

yyy⋅

∂

∂+=+≡

−+=

∂

∂)()(

)()(

Ey(x + dx) Ey(x)

d x

L

x z

y

(11)

(9)

(10)

13

Luego la expresión vectorial del campo será la diferencia entre los dos puntos sobre el

segmento diferencial dx, expresándose como:

)()()()( xEdxx

ExExEdxxEEE y

y

yyyy −

⋅

∂

∂+=−+==

Segundo planteó, en virtud de la consideración inicial, la relación campo eléctrico vs flujo

magnético a partir de la ley de Faraday (9).

( )∫∫∫ ⋅−=⋅ dABdt

ddrE

El primer término de esta ecuación resulta de calcular la integral de línea cerrada en el

rectángulo planteado. El sentido de integración elegido es anti-horario y resulta:

i. Cero para los lados inferior y superior del rectángulo, dado que coinciden en valor absoluto

pero toman sentido opuesto de orientación.

ii. En los lados laterales tendremos:

∫ ⋅drE

drxEdxx

ExE y

y

y∫

−

⋅

∂

∂+= )()(

De este modo:

Ldxx

ELxELdx

x

ELxEdrxEdx

x

ExE

y

y

y

yy

y

y ⋅⋅∂

∂=⋅−⋅⋅

∂

∂+⋅=

−

⋅

∂

∂+∫ )()()()(

El segundo término de la ecuación (10) resulta del cálculo de la variación de flujo magnético

que atraviesa el área del rectángulo en la dirección z. Así como el área es fija y no varía la

integral de superficie abierta será:

ABdAB z ⋅=⋅∫∫

Luego tendremos:

( )t

BLdx

t

BA

dt

ABddAB

dt

d zzz

∂

∂−=

∂

∂⋅−=

⋅−=⋅− ∫∫ .

)(

Finalmente igualando (14) a (15) se tiene:

(12)

(13)

(14)

(15)

14

Ldxx

E y⋅⋅

∂

∂ =

t

BLdx z

∂

∂− .

Así:

=∂

∂

x

E y

t

Bz∂

∂−

Tercero, consideró la circulación magnética en la intensidad del campo magnético viajando a la

velocidad de la luz en una onda transversal. Para ello tomó un instante determinado como se

muestra en la figura

Y para dos puntos x y x +dx de la onda, tomó el siguiente diferencial de área

Ahora se presenta un diferencial de forma rectangular cuyos lados son L y dx, en el plano x-

z. Luego la variación del campo magnético en cada instante, entre dos puntos contiguos que

forman el segmento diferencial dx, viene dado por la derivada parcial en la dicción del

desplazamiento, que en este caso es en la dirección x, y se expresa como:

dxx

BxBdxxB

dx

xBdxxB

x

B zzz

zzz ⋅∂

∂+=+≡

−+=

∂

∂)()(

)()(

Luego la expresión vectorial del campo magnético será la diferencia entre los dos puntos sobre

el segmento diferencial dx, expresándose como:

)()()()( xBdxx

BxBxBdxxBBB z

zzzzz −

⋅

∂

∂+=−+==

Bz(x + dx) Bz(x)

d x

L x

z

y

(17)

(18)

(16)

15

Cuarto planteó la relación la relación campo magnético vs flujo eléctrico a partir de la ley de

Amper corregida (10).

0 0. . ( )

dB dr E dA

dtµ ε= Ι + ⋅∫ ∫∫�

El primer término de esta ecuación resulta de calcular la integral de línea cerrada en el

rectángulo planteado. El sentido de integración elegido es anti-horario (en el eje z se antepone

una diferencia negativa) y resulta:

i. Cero para los lados inferior y superior del rectángulo, dado que coinciden en valor

absoluto pero toman sentido opuesto de orientación.

ii. En los lados laterales tendremos:

∫ ⋅drB

drdxx

BxBxB z

zz∫

⋅

∂

∂+−= )()(

Así;

Ldxx

BLdx

x

BLxBLxBdrdx

x

BxBxB zz

zzz

zz ⋅⋅∂

∂−=⋅⋅

∂

∂−⋅−⋅=

⋅

∂

∂+−∫ )()()()(

El segundo término de la ecuación (10) resulta del cálculo de la variación de flujo magnético

que atraviesa el área del rectángulo en la dirección z. Cómo en el movimiento de la onda

magnética no conlleva corriente alguna la magnitud correspondiente a la corriente circulante

resulta valer cero, resultando;

0 0 0 0. . ( )

d dB dr E dA E dA

dt dtµ ε ε µ= Ι + ⋅ = ⋅∫ ∫∫ ∫∫�

Luego, como el área es fija y no varía la integral de superficie abierta será:

AEdAE y ⋅=⋅∫∫

Luego tendremos:

( )t

ELdx

t

EA

dt

AEddAE

dt

d yyy

∂

∂=

∂

∂⋅=

⋅=⋅∫∫ 00000000 .

)(εµεµεµεµ

(19)

(20)

16

Finalmente, uniendo (19) y (20) se tiene;

Ldxx

Bz ⋅⋅∂

∂−

t

ELdx

y

∂

∂= 00. εµ

Así;

t

E

x

B yz

∂

∂=

∂

∂− 00εµ

Con las expresiones (16) y (21) Maxwell obtuvo la ecuación de onda para los campos

eléctricos y magnéticos de la siguiente manera:

a) Para el campo eléctrico:

Derivamos las expresión (16) espacialmente, obteniéndose;

=∂

∂

∂

∂

x

E

x

y

t

B

xz

∂

∂

∂

∂−

x

B

tx

Ezy

∂

∂

∂

∂−=

∂

∂≡

2

2

Pero reemplazando la ecuación (21) en el segundo término de (22), resulta;

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

t

E

tx

E yy

002

2

εµ

Reordenando los términos;

2

2

002

2

t

E

x

E y

∂

∂=

∂

∂εµ

Resultando finalmente la ecuación diferencial de onda para el campo eléctrico.

b) Para el campo magnético:

Derivamos la expresión (21) espacialmente, obteniéndose:

t

E

xx

B

x

yz

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

∂

∂− 00εµ

x

E

tx

B yz

∂

∂

∂

∂=

∂

∂−≡ 002

2

εµ

Pero reemplazando la ecuación (16) en el segundo término de (24), resulta;

t

B

tx

B zz

∂

∂

∂

∂−=

∂

∂− 002

2

εµ

Reordenando los términos;

(21)

(22)

(23)

(24)

17

2

2

002

2

t

B

x

B zz

∂

∂=

∂

∂εµ

Resultando finalmente la ecuación diferencial de onda para el campo magnético.

Las ecuaciones (23) y (25) son las ecuaciones de onda para los campos eléctricos y

magnéticos respectivamente. En las mismas Maxwell, notó que el producto 00εµ debería

estar relacionado con la velocidad de la onda electromagnética. De esta manera, y de acuerdo

a que del cociente de las constantes eléctricas y magnéticas obtuvo la velocidad de la luz,

concluyó que:

04

1

επ=eK y

π

µ

4

0=mK

Luego,

00000

0 14

4

1

4

4

1

εµµ

π

επ

π

µ

επ=⋅==

M

e

K

K

Pero este resultado es el cuadrado de la velocidad de la luz, por lo tanto;

2

00

1c

K

K

M

e ==εµ

Y en consecuencia:

200

1

c=εµ

Así las ecuaciones (23) y (25) se pueden expresar como:

2

2

22

21

t

E

cx

E y

∂

∂=

∂

∂

2

2

22

21

t

B

cx

B zz

∂

∂=

∂

∂

Las expresiones (27) y (28) son del tipo correspondiente a un movimiento armónico,

similares a las que explican una onda mecánica transversal. Asimismo, el encuentro de la

velocidad de la luz en las fuerzas de la electricidad y el magnetismo permitió unir dos grandes

campos de la física: el electromagnetismo y la óptica, denominando a este resultado espectro

electromagnético. Pero aún quedaba un interrogante que Maxwell no pudo descifrar. Dado

(25)

(27)

(28)

18

que toda onda tiene un medio de propagación y su velocidad depende de él, ¿cuál es el medio

de propagación de una onda electromagnética? Para responder a esta cuestión los físicos

introdujeron en la ciencia un concepto totalmente Aristotélico: el éter. Para el siglo XIX el éter

venía a imponerse más que una necesidad filosófica. El éter era el medio a través del cual las

ondas de luz del sol se propagarían para nutrir e iluminar la Tierra. Pero cómo Maxwell

confirmó que la luz es sólo un parte de una onda electromagnética, el éter resultaría el medio

de propagación de todo el espectro. Así quedaba resuelta una grave cuestión dejando

únicamente su confirmación experimental.

Por otro lado, y paralelamente a los tiempos de Maxwell, otros físicos, encontraron otras

ondas que viajaban a la velocidad de la luz. Al presentar su teoría Maxwell concluyó que

debían formar parte del espectro electromagnético.

Así fue como Fraunhofer observó y representó el espectro de absorción del sol marcando

las líneas más prominentes. La historia del espectro solar se puede decir que comienza con

Herschel en 1800, cuando demostró que aquél se extendía a longitudes de onda mayores que

el rojo visible. Luego, la investigación se demoró por falta de instrumentos de registro

adecuados y por la alta absorción de la mayoría los materiales ópticos en esa región del

espectro. En 1801, Ritter demostró la extensión del espectro más allá del violeta, que en 1852

fue estudiada por Stokes quien usó lentes de cuarzo y prismas, e identificó líneas por medio de

pantallas fluorescentes.

Veinte años después, Leiving y Dewar introdujeron la fotografía del ultravioleta (como fue

llamada esta región). Estos descubrimientos fueron seguidos por el de los rayos X y el de los

rayos gamma que acompañan a las desintegraciones radiactivas, ambos en el dominio de las

longitudes de onda más cortas que el ultravioleta.

En el otro extremo de la escala, se producen las radiaciones extremadamente largas usadas en

radiocomunicaciones. Desde aproximadamente 1930, seis octavas de la escala, la región

llamada microondas que se extiende desde longitudes de cerca de 2 mm a 16 cm, han sido

muy estudiadas científicamente.

El espectro electromagnético completo2 está dividido en regiones con nombres

determinados, según el uso a que se lo destina o los métodos especiales usados en su

detección. Cada región puede contribuir en forma importante a la espectroscopia a medida

que se desarrollan adecuadas fuentes de radiación e instrumentos para analizarla en cada caso

particular. En la Fig.6 se ven las posiciones relativas de las distintas regiones del espectro

electromagnético.

2 Cf. Cabrera, J. M., (1993): Óptica electromagnética. U.S.A. Addison-Wesley Iberoamericana. Pág: 35

19

Fig.6: El espectro electromagnético completo en una escala de octavas. Los límites de las distintas regiones son

sólo aproximados. Se dan las longitudes de ondas y las frecuencias correspondientes a estos límites.

Las ecuaciones diferenciales, anteriormente obtenidas, contienen como cualquier ecuación

diferencial, la familia de funciones que hacen a su solución. En el caso de la ecuaciones 27) y

(28) tienen como solución a la familia de funciones comunes a todas las ondas que vienen

expresadas por;

)..cos(.),( txkEtxE máx ω−= (29)

)..cos(.),( txkBtxB máx ω−= (30)

1015

102

2

1014

1012

109

103

106

10-13

10-10

10-9

10-6

10-2

103

102

100

105

1 Aº

1 μ

1 nm

1 m

1cm

1 km

1 THz

1 GHz

1 MHz

1 kHz

Luz visible

Ultravioleta

Infrarrojo

Microondas

Radiofrecuencia

Rayos X

Rayos γ

22

Octavas

5.5

5 Octavas

1 Octava

5.5

11 Octavas

6.5

Octavas

Frecuencia

(Hz)

Longitud de

onda (m)

Fracciones del espectro

electromagnético

20

Estas funciones resultan similares a las halladas al movimiento ondulatorio en una cuerda, y

de ahí que se las denomine funciones de onda, pero ahora resultando ser características del

campo electromagnético. En etas funciones de onda (29) y (30) podemos caracterizar:

),( txE : Campo eléctrico en el punto x a tiempo t.

máxE : Campo eléctrico máximo.

)..cos( txk ω− : Expresión funcional trigonométrica que contiene (k) el número de ondas, y

(ω ) la velocidad angular característica de cualquier onda.

),( txB : Campo magnético en el punto x a tiempo t.

Por otro lado en todo punto de la función de onda los valores de los módulos de ambos

campos se relacionan de la siguiente manera;

)..cos(.),( txkEtxE máx ω−= )..cos(.),( txkBtxB máx ω−=

)..sin( txkkEx

Emáx ω−⋅⋅−=

∂

∂ )..sin( txkB

t

Bmáx ωω −⋅⋅=

∂

∂

Luego por la relación (16) se obtiene;

=−⋅⋅− )..sin( txkkEmáx ω )..sin( txkkBmáx ω−⋅⋅

Tomando los módulos y anulando los argumentos por ser el mismo desfasaje angular, resulta;

=⋅kE ω⋅B

Bk

E ⋅=ω

(31)

Para cualquier onda las constantes k yω están relacionadas por:

λν

λπ

νπω⋅=

⋅

⋅⋅=2

2

k (32)

La relación (32), es decir el producto de la frecuencia y la longitud de onda, representa la

velocidad de cualquier onda, que en el caso de las ondas electromagnéticas resulta ser la

velocidad de la luz, en consecuencia;

ck

=⋅= λνω

Y reemplazando en (31) se concluye:

BcE ⋅= (33)

21

- Algunas consideraciones actuales.

En este apartado vamos a considerar tres aspectos importantes a nuestro estudio de las

ondas electromagnéticas: el vector Poynting, intensidad y contenido energético.

El vector obtenido por el producto vectorial de los campos eléctricos y magnéticos mediados

por la inversa de la permeabilidad del vacío se denomina vector Poynting “S”. En términos

matemáticos se lo expresa por;

BES ×=0

1

µ (34)

En virtud de esta definición este vector tiene la dirección y sentido resultante del producto

vectorial de los campos involucrados, es decir resulta ser normal a cada uno de ellos. En

términos práctico el vector Poynting resulta apuntar siempre en el sentido de la velocidad de

propagación de la onda electromagnética.

Las unidades de este vector son de energía por unidad de tiempo y de área transversal, lo

que por lo tanto establece un flujo de potencia por unidad de área. Así indica la potencia por

unidad de área en cada punto de la onda, variando entre cero y un valor máximo.

Como los vectores E y B son también normales entre sí resulta el producto vectorial entre

ellos ser igual al producto de sus módulos para todo punto del espacio a cualquier tiempo t.

Entonces:

BEBES ⋅=×=00

11

µµ (35)

Luego reemplazando (35) en (33) podemos obtener las relaciones;

2

0

1E

cS

⋅=

µ (36)

2

0

1BcS ⋅⋅=

µ (37)

La intensidad de una onda electromagnética queda caracterizada por el valor medio del

vector Poynting denotado por: ⟩⟨S este valor se calcula a través de los valores medios de

2E y2B los que a su vez dependen del valor medio del cuadrado de la función coseno, que

resulta ser numéricamente igual a 2

1 . Partiendo de las ecuaciones (29) y (30) tendremos para

ambos campos;

2

1)..(cos.

2222 ⋅=−= máxmáx EtxkEE ω (38)

2

1)..(cos.

2222 ⋅=−= máxmáx BtxkBB ω (39)

22

Reemplazando (38) y (39) en (36) y (37) respectivamente se obtiene el valor de la intensidad

de la onda para cada campo de la forma;

c

ES

máx

⋅⋅=⟩⟨=Ι

0

2

2 µ (40)

0

2

2 µ⋅

⋅=⟩⟨=Ι

máxBcS (41)

El contenido energético de una onda electromagnética está caracterizado por la energía por

unidad de volumen la que se encuentra repartida por partes iguales en cada campo. Las

expresiones que permiten su cálculo son las siguientes;

2

02

1EE ⋅= εµ (42)

0

2

2

1

µµ

BB = (43)

Luego si reemplazamos (33) en (42) resulta;

22

02

1BcE ⋅⋅= εµ (44)

Pero;

0

0

2

200

11

µεεµ =⋅≡= c

c

Sustituyendo en (44) se concluye;

0

2

2

1

µµ

BE = (45)

Las expresiones (43) y (45) resultan idénticas con lo que se puede concluir que las energías de

ambos campos son iguales.

BIBLIOGRAFÍA:

Rietz, J.1996. Fundamentos de la teoría Electromagnética. E.U.A. Printed in U.S.A.

Finn, A. 1987. Campos y ondas. Vol.II. U.S.A. Addison -Wesley