universidade anhanguera de sÃo paulo unian-sp … · Às colegas professoras da rede municipal de...

UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO – UNIAN-SP

MARIA GRACILENE DE CARVALHO PINHEIRO

MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

FORMAÇÃO DE PROFESSORES DOS ANOS INICIAIS:

CONHECIMENTO PROFISSIONAL DOCENTE AO EXPLORAR A

INTRODUÇÃO DO CONCEITO DE FRAÇÃO

SÃO PAULO

2014

MARIA GRACILENE DE CARVALHO PINHEIRO

MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

FORMAÇÃO DE PROFESSORES DOS ANOS INICIAIS:

CONHECIMENTO PROFISSIONAL DOCENTE AO EXPLORAR A

INTRODUÇÃO DO CONCEITO DE FRAÇÃO

Dissertação apresentada ao Curso de Pós-

Graduação em Educação Matemática, Linha de

Pesquisa “Formação de Professores que ensinam

Matemática” – Universidade Anhanguera de São

Paulo – UNIAN, como requisito parcial à

obtenção do título de Mestre em Educação

Matemática.

SÃO PAULO

2014

Aos que amo e que são minha inspiração em tudo o que realizo.

AGRADECIMENTOS

Ao cursar o Mestrado, tive mais uma vez, a oportunidade de refletir acerca de “coisas” que

são imprescindíveis à nossa condição de ser humano e à nossa missão de educador.

Considero que a principal delas é que, o trabalho de pesquisa realizado no decorrer do curso

não pertence apenas a você, uma vez que ele jamais aconteceria sem que tivessem pessoas

dispostas a dialogar com você sobre questões inerentes ao teu projeto de investigação. Nesse

sentido, um trabalho de pesquisa se constitui, a meu ver, em um projeto que se concretiza por

meio da colaboração, da troca de ideias, da reflexão, da relação de convívio entre os

envolvidos. Dessa forma sou grata especialmente,

A Deus, pelo dom da vida e pelas bênçãos recebidas até hoje e as que ainda irei receber.

À minha orientadora, a Professora Doutora Angélica da Fontoura Garcia Silva, pela

parceria e dedicação dispensada no decorrer de toda a pesquisa. As tuas orientações foram

imprescindíveis à realização deste trabalho. Obrigada também pela amizade. Considero-a

um “presente” de Deus.

Ao Professor Doutor Ruy César Pietropaolo, pela confiança depositada em mim. Obrigada

por ter acreditado...

Aos Professores Doutores Cristiano Alberto Muniz e Maria Elisa Esteves Lopes Galvão, pela

gentileza em aceitar participar da Banca Examinadora e pelas contribuições dadas ao nosso

trabalho.

Às Professoras Doutoras Bette Prado, Nielce Lobo, Aparecida Duarte, pela atenção, amizade

e pelos ensinamentos compartilhados.

Ao Professor Doutor Ubiratan D’Ambrosio, pela oportunidade de participar de suas aulas,

de ouvir suas histórias de vida e por ter partilhado conosco muito de suas experiências.

Às Professoras Doutoras Vera Giusti, Rosana Lima, Maria Helena Palma e ao Professor

Doutor Vicenzzo Bongiovanni pela oportunidade de participar das suas aulas.

À Professora Doutora Tânia Campos Mendonça, pela maneira competente e dedicada com

que coordena os Programas de Mestrado e Doutorado.

Às Professoras Sujeitos da pesquisa e demais professoras participantes do Observatório da

Educação.

Às crianças que participaram das atividades desenvolvidas nas escolas... Vocês deram um

encanto novo à nossa investigação. Foi lindo vê-las pensando.

Às meninas da Secretaria, Anália e Débora por serem sempre tão atenciosas.

Ao Guilherme, pela humildade e disponibilidade com que sempre atende a todos.

À CAPES pela concessão da bolsa de estudo que tornou possível esta realização por meio do

projeto no. 99/2010 “Educação Continuada e Resultados de Pesquisa em Educação

Matemática: uma investigação sobre as transformações das práticas de professores dos anos

iniciais do ensino fundamental”, desenvolvido dentro do Programa Observatório da

Educação.

À Prefeitura Municipal de Inhuma Piauí em nome do Senhor Prefeito, Moacir Gonçalves, e

da Secretária de Educação, Maria Nilcimar Correia Cavalcante, pela concessão da licença,

por meio da qual foi possível cursar o Mestrado. Obrigada também pela confiança, incentivo

e amizade dispensados a mim.

Às colegas Professoras da Rede Municipal de Ensino de Inhuma- PI, pelos momentos de

estudo e aprendizado compartilhados.

Às amigas e amigos de curso, em especial, a Lidiane e a Mirtes, pela amizade partilhada.

À minha amiga, a Professora Socorro Quaresma, pela gentileza em revisar o texto desta

dissertação. A sua contribuição foi muito valiosa.

À minha amiga Dona Zefinha, pela ajuda incondicional dispensada durante todo o Mestrado.

À minha amiga, Professora Adamir, pelo incentivo à minha formação acadêmica e

profissional.

À minha família, pai, mãe, irmãos, cunhadas, cunhado e sobrinhos, pelo carinho dedicado a

mim. Que Deus sempre os abençoe.

A Júnior, meu companheiro..., pela parceria na defesa de uma educação pautada nos

princípios de cidadania, respeito e solidariedade humana.

Ao meu amigo Osildo, pelo apoio, incentivo e amizade.

Ao meu primo Raimundo, pelas vezes que me deixou transformar o seu escritório em local de

estudo e concentração.

A todos, com carinho e amizade, a minha gratidão!

RESUMO

O presente trabalho de pesquisa foi desenvolvido com o intuito de analisar as mudanças de

concepções relativas aos processos de ensino e aprendizagem de frações, de professores que

lecionam Matemática para os anos iniciais do Ensino Fundamental, participantes de um

curso de formação continuada. Esse estudo reuniu Pesquisadores em Educação Matemática e

Professoras que ensinam Matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental da rede

estadual de São Paulo em um curso de formação continuada desenvolvido no contexto do

Projeto Observatório da Educação – projeto de pesquisa e formação desenvolvido na

Universidade Anhanguera de São Paulo e financiado pela Capes. Para esta investigação

selecionamos três professoras como sujeitos. Os dados coletados foram obtidos em três fases:

a primeira constituiu-se na aplicação de instrumentos diagnósticos, por meio dos quais foi

possível planejar e desenvolver a segunda fase que foi destinada à intervenção, definida como

processo formativo. Por fim, a terceira foi reservada às entrevistas e observações em sala de

aula, com o objetivo de identificar implicações do processo formativo na prática pedagógica

das três professoras. Dessa forma, pretendeu-se analisar o processo de (re)construção dos

conhecimentos dessas professoras sobre a utilização de situações parte-todo e quociente para

introduzir o conceito de fração. No que se refere às teorias adotadas na produção da pesquisa,

bem como nas análises das informações produzidas em cada fase da investigação, foram

utilizados os estudos de Shulman, Ball et al e Serrazina sobre a discussão de questões

relativas à formação de professores e ao processo de reflexão da prática docente. Em relação

às questões didáticas relacionadas às frações, buscou-se contribuições da Teoria dos Campos

Conceituais de Gerard Vergnaud e adotou-se a classificação proposta por Nunes para os

significados da fração bem como a Sequência de tarefas desenvolvida para o ensino a partir da

situação quociente (Nunes et al). A análise da fase diagnóstica permitiu perceber a forte

crença que as professoras tinham acerca de que o significado parte-todo seria suficiente para

resolver qualquer situação com fração. Isso, porém, foi (re)construído durante a formação,

quando foi proporcionado a elas a vivência de experiências mais amplas em que tiveram a

oportunidade de discutir situações com o significado quociente e outras ideias subjacentes às

frações: equivalência, ordem e, sobretudo, a conservação da unidade de referência, que

decidiu-se definir como invariante, pois essa revelou-se determinante para a representação

gráfica equivocada da fração de quantidades apresentadas pelas professoras às situações

propostas. Dessa forma, conclui-se que, de maneira geral, o processo de formação contribuiu

para a (re)construção dos conhecimentos das professoras sobre os significados da fração e

que, as reflexões suscitadas no decorrer da formação as auxiliaram a (re)pensar suas práticas

docentes – fatos observados em sala de aula, um ano após a formação. Nesse trabalho,

reflete-se a necessidade de as escolas investirem na constituição de grupos de estudos que

contribuam para a ampliação do conhecimento profissional dos professores, pois para esses

desenvolverem-se é necessário que dialoguem com diferentes experiências e reflitam sobre

suas práticas, fortalecendo-as.

Palavras-Chave: Educação Matemática, Conhecimento Profissional Docente, Formação de

Professores, Conhecimentos necessários para o ensino de Frações, Implicações da Formação

na Prática docente, Reflexões sobre a prática.

ABSTRACT

This research was developed to analyze conceptual changes related to the process of teaching

and learning fractions in early Elementary School math teachers who were participants of a

continued education course. This study involved Mathematics Education researchers and

teachers who teach math in the first grades of Elementary School in the state schools of São

Paulo in a continued education course developed within the scope of the Education

Observatory Project - a research and development project from the Universidade Anhanguera

of São Paulo and funded by Capes, the Brazilian research agency. We selected three teachers

to be our subjects in this study. Data was collected in three stages: the first consisted of

applying diagnostic tools that made it possible to plan and develop the second stage, which

was meant to be the intervention, taken as a development process. Finally, the third stage was

used for interviews and classroom observations aiming to identify implications in the

development process in the pedagogical practice of these three teachers. Hence, the idea was

to analyze the knowledge (re)construction process experienced by these teachers regarding

parts-and-whole and quotient situations to introduce the concept of fraction. As far as theories

adopted for the development of this research, and for the analysis of the information produced

in each stage, the studies developed by Shulman, Ball et al and Serrazina were used on the

discussion about questions related to teacher development and the reflection on teachers'

practice. Regarding didactic questions related to fractions, the Conceptual Fields Theory, by

Gerard Vergnaud, and the classification proposed by Nunes for fraction meanings were used,

and also task Sequences developed for teaching based on the quotient situation (Nunes et al.).

The analysis of the diagnostics stage shows the strong belief that teachers had about the

meaning of parts-and-whole as being enough to solve any situation involving fractions.

However, this notion was (re)constructed during the development process, when teachers

were able to have a broader experience in which they had the chance to discuss situations with

quotient meaning and the underlying ideas to fractions: equivalence, order and, mainly, the

preservation of the reference unit, - defined as invariant - as this proved to be determinant for

erroneous graphic representations of fractions of quantities presented by the teachers in the

suggested situations. Hence, the general conclusion is that the development process

contributed towards a (re)construction of knowledge by the teachers about the meanings of

fraction and that the reflections brought up during the development process helped them

re(think) their teaching practices - facts that were noticed in their classroom a year after the

development process. In this study, it becomes apparent the need for schools to invest in

forming study groups that contribute for the broadening of teachers' professional knowledge,

because for teachers to develop it is necessary that they establish a dialog with different

experiences and reflect upon their practices and enhance them.

Key words: Mathematical Education, Professional Teaching Knowledge, Teacher

Development, Knowledge Required for the Teaching of Fractions, Implications of Teaching

Practice Development, Reflections upon Practice.

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Nossa interpretação das categorias de Ball et al (2008) referente aos

conhecimentos necessários ao ensino das frações

Tabela 2 - Situações propostas no 2º instrumento diagnóstico

Tabela 3 - Número de professoras que apresentaram uma resposta esperada ou

outras respostas às situações propostas no 2º instrumento diagnóstico ou que não

responderam

Tabela 4 - Síntese das sessões de formação

Tabela 5 - Significados da fração explorados nas situações elaboradas pelas

professoras

Tabela 6 - Número de significados e tipo de situações elaboradas pelas

professoras

Tabela 7 - Número de respostas consistentes e que fizeram uso da estratégia do

cálculo de algoritmos, respostas consistentes que se utilizaram da estratégia de

partição e número de respostas inconsistentes.

Tabela 8 - Número de professoras que apresentaram uma resposta esperada à

situações propostas no 2º instrumento diagnóstico ou que apresentaram outras

respostas

Tabela 9 - Respostas dos alunos à 2ª situação proposta na Sequência de Tarefas


47

55

65

75

84

87

91

113

134

139

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - As categorias do conhecimento propostas por Shulman (1985) e as

correspondentes de Ball et al (2008)

Figura 2 - Primeira situação parte-todo proposta no instrumento diagnóstico

Figura 3 - Segunda situação parte-todo proposta no instrumento diagnóstico

Figura 4 - Terceira situação parte-todo proposta no instrumento diagnóstico

Figura 5 - Quarta situação parte-todo proposta no instrumento diagnóstico

Figura 6: Quinta situação parte-todo proposta no instrumento diagnóstico

Figura 7 - Sexta situação parte-todo proposta no instrumento diagnóstico

Figura 8 - Primeira situação quociente proposta no instrumento diagnóstico

Figura 9 - Segunda situação quociente proposta no instrumento diagnóstico

Figura 10 - Terceira situação quociente proposta no instrumento diagnóstico

Figura 11 - Quarta situação quociente proposta no instrumento diagnóstico

Figura 12 - Quinta situação quociente proposta no instrumento diagnóstico

Figura 13 - Situações quociente, parte-todo e razão proposta no instrumento

diagnóstico

Figura 14 - Imagens vídeo 1: atividade desenvolvida com as professoras em

sessão de formação

Figura 15: Imagens vídeo 2: atividade desenvolvida com as professoras em sessão

de formação

Figura 16 - Situação elaborada pela Professora Renata – 2º instrumento

diagnóstico

Figura 17 - Situação elaborada pela Professora Ana – 2º instrumento diagnóstico

Figura 18 - Situação elaborada pela Professora Marcela - 2º instrumento

diagnóstico

Figura 19 - Situação elaborada pela Professora Renata – 2º instrumento

diagnóstico

Figura 20 - Resposta da Professora Ana à situação por ela elaborada – 2º

instrumento diagnóstico

47

55

56

57

58

58

59

60

61

61

62

63

64

72

74

85

85

85

86

88

Figura 21 - Resposta da Professora Marcela à situação por ela elaborada – 2º


Figura 22 - Situação elaborada pela Professora Renata e sua resposta à mesma –

2º instrumento diagnóstico

Figura 23 - Situação elaborada pela Professora Ana e sua resposta à mesma – 2º


Figura 24 - Situação elaborada pela Professora Marcela e sua resposta à mesma –


Figura 25 - Resposta das Professoras Renata, Ana e Marcela à 1ª situação

proposta – 2º instrumento diagnóstico

Figura 26 - Resposta das Professoras Marcela e Renata à 4ª situação proposta –


Figura 27 - Resposta da Professora Ana à 4ª situação proposta – 2º instrumento

diagnóstico

Figura 28: Resposta das Professoras Renata e Ana à 3ª situação proposta – 2º


Figura 29 - Resposta da Professora Marcela à 3ª situação proposta – 2º


Figura 30 - Estratégias de ensino apresentadas pelas Professoras Ana e Renata: 3ª

situação proposta – 2º instrumento diagnóstico

Figura 31 - Resposta da Professora Ana à 6ª situação proposta – 2º instrumento

diagnóstico



Figura 33 - Respostas da Professora Renata à 6ª situação proposta – 2º


Figura 34 - Resposta da Professora Renata à 5ª situação proposta – 2º instrumento

diagnóstico

Figura 35 - Respostas da Professora Marcela à 5ª situação proposta – 2º


Figura 36 - Respostas da Professora Ana à 5ª situação proposta – 2º instrumento

diagnóstico

Figura 37 - Justificativas das professoras referentes à resposta apresentada: 5ª

situação proposta – 2º instrumento diagnóstico

89

89

90

91

93

94

94

95

96

97

98

98

99

100

100

101

101

Figura 38 - Respostas da Professora Renata à 8ª situação proposta – 2º



diagnóstico

Figura 40 - Respostas da Professora Marcela à 8ª situação proposta – 2º


Figura 41 - Resposta das Professoras Marcela, Renata e Ana à 9ª situação

proposta – 2º instrumento diagnóstico


diagnóstico

Figura 43 - Resposta da Professora Renata à 7ª situação proposta – 2º instrumento

diagnóstico



Figura 45 - Resposta das Professoras Ana e Renata à 10ª situação proposta – 2º




Figura 47 - Sequência de Tarefas: 2ª situação

Figura 48 - Imagens vídeo do Aluno Vinícius - 1º Ano

Figura 49 - Imagens vídeo de Aluno Fábio - 2º Ano

Figura 50 - Protocolos dos Alunos Artur e Mateus - 5º Ano

Figura 51 - Protocolo do Aluno João - 5º Ano

Figura 52 - Imagem vídeo 1: Aluno Lucas - 2º Ano






103

103

104

105

106

106

108

109

110

123

124

125

125

126

127

128

128

129

129

130

Figura 58 - Imagens vídeo 7: Aluno Lucas - 2º Ano

Figura 59 - Protocolos dos Alunos José e Júnior - 2º e 5º Ano

Figura 60 - Protocolos dos Alunos Wesley e Ubiraci - 5º Ano

Figura 61 - Protocolo do Aluno Carlos - 2º Ano

Figura 62 - Protocolos das Alunas Bruna e Paloma - 1º e 5º Ano

Figura 63 - Protocolo do Aluno Ubirajara - 5º Ano

Figura 64 - Sequência de Tarefas: 3ª Situação

Figura 65 - Protocolos dos Alunos Victor e Fernanda - 5º Ano

Figura 66 - Imagem vídeo do Aluno Diogo - 1º Ano

Figura 67 - Protocolos das Professoras Ana e Renata


Figura 69 - Protocolo da Professora Ana

Figura 70 - Protocolo da Professora Renata

Figura 71 - Protocolo da Professora Marcela

Figura 72 - Imagens vídeo: alunos realizando atividade sugerida pela Professora

Ana

Figura 73 - Imagem vídeo 1: Ensino desenvolvido pela Professora Ana



Figura 76 - Imagens vídeo: Alunos realizando atividade sugerida pela Professora

Renata

Figura 77 - Imagens vídeo 1: Ensino desenvolvido pela Professora Renata


131

131

132

133

133

134

136

138

141

142

143

147

147

148

152

153

154

154

155

156

156

SUMÁRIO

APRESENTAÇÃO

16

CAPÍTULO 1 - CONFIGURAÇÃO DA PESQUISA 20

1.1 Antecedentes e Motivações 20

1.2 Relevância do Tema: o que dizem as pesquisas 22

1.3 Questão de Pesquisa e Objetivo 24

1.4 O Percurso da Investigação 26

1.5 Em busca de Referências Teóricas 27

CAPÍTULO 2 – FRAÇÕES: UMA ANÁLISE DAS PESQUISAS

EXISTENTES

29

2.1 Revisão de Literatura

2.1.1 Estudos relacionados ao Conhecimento Profissional Docente 29

29

2.1.2 Estudos relacionados à formação de professores e suas concepções acerca

do conceito de fração

32

2.2 Fundamentação Teórica 36

2.2.1 Teorias que versam sobre o objeto matemático: números racionais na

representação fracionária

2.2.1.1 Vergnaud e a Teoria dos Campos Conceituais

36

37

2.2.1.2 Nunes et. al. e os estudos sobre frações

2.3 Teorias que versam sobre a formação de professores: reflexões sobre a prática

e conhecimento profissional docente

40

44

CAPÍTULO 3 – A PESQUISA: PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

E O PROCESSO FORMATIVO

50

3.1 Pesquisa Qualitativa

3.2 Contexto da Pesquisa

50

51

3.3 Primeiro Instrumento Diagnóstico: Questionário de Entrada 53

3.3.1 Perfil das Professoras participantes da Formação

3.3.2 Segundo Instrumento Diagnóstico: as Situações

3.4 O Percurso da Formação

53

54

68

CAPÍTULO 4 - ANÁLISE DOS INSTRUMENTOS DIAGNÓSTICOS 79

4.1 Questionário de Entrada 79

4.2 Questões elaboradas pelas professoras 83

4.3 Significados de fração explorados nas situações elaboradas e tipos de

problemas

83

4.4 Respostas dos professores às situações elaborados 88

4.5 Respostas das professoras às situações propostos na segunda parte do

segundo instrumento diagnóstico: questionário com significado parte-todo e

quociente

92

4.5.1 Respostas às atividades com o significado parte-todo

Situações de representação

Situações que envolvia o invariante ordem

Situação que envolvia o invariante da equivalência

92

93

95

100

4.5.2 Respostas às atividades com o significado quociente

Situação de Representação 102

102

Situação que envolvia o invariante equivalência

Situação que envolvia o invariante ordem

105

108

CAPITULO 5 – ANÁLISE DO PROCESSO FORMATIVO

5.1 Respostas dos alunos à Sequência de tarefas: análise e discussão dos dados

5.2 Reflexões advindas da avaliação do processo formativo

115

122

142

CAPITULO 6 – DA PERCEPÇÃO À PRÁTICA DAS PROFESSORAS

6.1 Análise da atividade desenvolvida pelas professoras um ano após a formação

145

152

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Breve Relato dos Principais Resultados da Pesquisa

Saberes Matemáticos das Professoras anterior ao Processo Formativo

Reflexões sobre o objeto matemático: concepções, crenças e saberes

reconstruídos no decorrer da formação

Reflexões sobre o processo formativo: contribuições de um trabalho colaborativo

Reflexões sobre a Prática: implicações da formação

Resposta à Questão de Pesquisa e Reflexões que indicam Pesquisas Futuras

158

162

162

165

167

168

168

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ANEXO 1 – Sequência de Tarefas elaborada pela Professora Terezinha Nunes

APÊNDICE 1 – Primeiro Instrumento Diagnóstico: Questionário de Entrada

APÊNDICE 2 – Segundo Instrumento Diagnóstico: as situações

APÊNDICE 3 – Tabela para registro das respostas dos alunos à Sequência de

Tarefas

APÊNDICE 4 – Questionário de Avaliação

APÊNDICE 5 – Termo de Consentimento Livre e Esclarecido

171

175

182

185

195

200

203

16

APRESENTAÇÃO

O presente trabalho de pesquisa intitulado “Formação de Professores dos Anos

Iniciais: conhecimento profissional docente ao explorar a introdução do conceito de

fração” procurou investigar, discutir e analisar questões relacionadas ao conhecimento

profissional docente de professoras dos anos iniciais do Ensino Fundamental sobre a

introdução do conceito de números racionais na representação fracionária.

A pesquisa realizada, no âmbito do Projeto Observatório da Educação1 – um

programa de formação e pesquisa, constituído por Professores e Pesquisadores na área da

Educação Matemática, desenvolvido pela Universidade Anhanguera de São Paulo - UNIAN

- SP e financiado pela Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior-

CAPES, integra os trabalhos pertencentes à Linha de Pesquisa Formação de Professores que

Ensinam Matemática.

A investigação desenvolveu-se, ao mesmo tempo, com a realização da revisão de

literatura, estudo do referencial teórico e o planejamento e execução de um processo

formativo realizado com a participação de professoras dos Anos Iniciais do Ensino

Fundamental, pertencentes à rede estadual de São Paulo-SP, por meio dos quais foi possível

analisar e refletir sobre a utilização de situações parte-todo e quociente para a introdução do

conceito de fração2.

Com a revisão de literatura, alguns resultados de pesquisas serviram de inspiração

para o desenvolvimento desta investigação. Três desses investigaram sobre os processos de

ensino e aprendizagem de frações: Cardoso (2009), Campos (2011) e Canova (2013); dois

pesquisaram, especialmente, sobre a formação de professores: Garcia Silva (2007), Monteiro

Cervantes (2010) e dois, sobre as concepções de professores acerca do objeto matemático:

Teixeira (2008) e Costa (2011).

1 Projeto Observatório da Educação Auxílio número 99/2010 : Educação Continuada e Resultados de Pesquisa

em Educação Matemática: uma investigação sobre as transformações das práticas de professores dos anos

iniciais do Ensino Fundamental é coordenado pela professora Dra. Tânia Maria Mendonça Campos.

2 Optamos por utilizar, neste trabalho, o termo fração para designar os números racionais na representação

fracionária.

17

No que se refere à fundamentação teórica todos os passos desta pesquisa, desde a

organização, desenvolvimento, reflexões e análise das informações produzidas antes, durante

e após a formação, tomou como base as teorias desenvolvidas por:

- Shulman (1986, 1987): discute ideias relativas à formação de professores. Por meio

delas, buscou-se refletir sobre os conhecimentos, apontados pelo autor, como necessários ao

professor: Conhecimento do Conteúdo, Conhecimento Pedagógico do Conteúdo e

Conhecimento Curricular do Conteúdo.

- Ball, Thames e Phelps. (2008): trazem aspectos relacionadas aos conhecimentos

específicos da área, constituindo-se um aprimoramento das categorias de Shulman:

Conhecimento do Conteúdo da Disciplina e Conhecimento Pedagógico do Conteúdo

Matemático.

- Serrazina (1999): apresenta reflexões sobre a prática e discute as implicações de um

trabalho colaborativo.

- Vergnaud (1990,1993): discute aspectos que ajudam a compreender como um

conceito é construído: conjunto de situações, conjunto de invariantes e conjunto das

representações.

- Nunes, Bryant, Pretzlik, Hurry (2003, 2005, 2009): apoiados em Vergnaud,

propõem o ensino das frações a partir de diferentes situações: parte-todo, quociente,

operador e quantidades intensivas. Sugerem ainda que algumas situações podem favorecer a

compreensão de ideias importantes à formação do conceito, como a de equivalência e ordem.

Quanto à investigação, esta se desenvolveu em dez sessões: duas delas dedicadas à

aplicação e análise de instrumentos diagnósticos, por meio dos quais foi possível perceber e

discutir com o grupo de professoras os conhecimentos que elas possuíam acerca do tema em

estudo, frações. Além disso, serviu de norte para o planejamento do processo interventivo,

desenvolvido em seis sessões de formação. Passado um ano da formação, duas outras

sessões foram realizadas: entrevista e observação em sala de aula.

Passado a fase diagnóstica iniciou-se a intervenção. No decorrer desta, diferentes e

variadas atividades foram desenvolvidas com o propósito de discutir a introdução do ensino

de fração por meio dos significados parte-todo e quociente. Dessa forma, o foco da

intervenção foi refletir limites e possibilidades de se promover o ensino e a aprendizagem do

conceito de fração utilizando-se desses dois significados.

O significado parte-todo, aquele em que as professoras demonstraram, na fase

diagnóstica, ter conhecimento, foi discutido, durante o processo formativo, com o propósito

de ampliar ideias ainda não dominadas por elas como, por exemplo, as relativas aos

18

invariantes da fração, mais especificamente sobre a ordenação e também em relação à

conservação da unidade de referência. Para discutir tais ideias, consideradas fundamentais à

construção e compreensão do conceito de frações, foi proposta a vivência de uma atividade

com a literatura infantil “O pirulito do pato” do escritor Nilson José Machado.

Já para trabalhar fração por meio do significado quociente foi proposta a vivência de

uma Sequência de tarefas desenvolvida pela Professora Terezinha Nunes e seus colabores de

pesquisa. Esses pesquisadores inspirados nas investigações de Streefland (1991), sugerem

introduzir o conceito de fração a partir de atividades em que sejam exploradas situações em

que o aluno possa fazer uso do conhecimento contido em seu repertório, como por exemplo,

a ideia de divisão já conhecida por ele. Além disso, eles sugerem que o uso de tal Sequência

favorece a compreensão e construção da ideia de equivalência.

A Sequência foi desenvolvida com as professoras participantes da formação e

também em sala de aula, com os alunos de quatro delas, nas turmas de 1º, 2º, 4º, 5º, 7º e 8º

ano3. Com isso, ampliou-se a discussão, no sentido de que as docentes puderam, a partir da

análise dos protocolos dos alunos, refletir sobre os equívocos cometidos por eles, bem como

suas possíveis causas e modos de intervenção.

Na sessão dedicada à entrevista, as professoras, sujeitos deste estudo, puderam

expressar-se mais uma vez sobre assuntos discutidos durante a intervenção. Depois, o

retorno à escola, possibilitou a observação, em sala, da aula desenvolvida pelos sujeitos para

introduzir o ensino das frações com seus alunos. Essas atividades foram desenvolvidas com

o intuito de perceber implicações da formação na prática pedagógica, bem como possíveis

saberes (re)construídos a partir do processo interventivo. Dessa forma, foi possível discutir

na análise das informações produzidas nessas duas sessões, as impressões das professoras

acerca das diferentes propostas de introduzir o conceito de frações discutidas durante a

formação.

Com o propósito de descrever cada uma dessas fases que moldam este estudo

realizado ao longo de dois anos, o processo investigativo será descrito em seis capítulos,

organizados da seguinte maneira:

- No primeiro capítulo, serão apresentadas as motivações em pesquisar sobre o tema

frações; uma síntese da análise dos estudos já realizados e que serviram para justificar a

relevância do estudo; as questões e o objetivo de pesquisa. Serão descritas também, de

maneira breve, a trajetória e a fundamentação teórica adotada na realização da mesma.

3 A formação foi dedicada aos professores dos anos iniciais do Ensino Fundamental, porém uma professora dos

anos finais participou e aplicou a Sequência de Tarefas.

19

- No segundo capítulo, serão apresentadas as análises relativas à fundamentação

teórica adotada para subsidiar a pesquisa. Será descrita, ainda, nesse capítulo, a revisão de

literatura, na qual foram discutidos resultados de algumas pesquisas relacionadas ao tema.

- No terceiro capítulo, serão descritos os procedimentos metodológicos e o processo

formativo, nos quais serão apresentados o contexto da pesquisa, o percurso da formação e os

instrumentos utilizados na coleta dos dados, bem como, de maneira sucinta, considerações

sobre a aplicação dos instrumentos diagnósticos.

- No quarto capítulo, serão apresentadas a análise e discussão das respostas, dos

sujeitos de pesquisas, a cada instrumento diagnóstico que serviram de base para o

planejamento e desenvolvimento da formação.

- No quinto capítulo, serão discutidas as reflexões sobre o objeto matemático,

explicitadas, pelas professoras, durante o processo formativo. Será apresentada também a

análise das produções de alunos dos sujeitos da pesquisa.

- No sexto capítulo, será apresentada a análise de dois momentos que ocorreram com

as professoras, sujeitos da pesquisa, um ano após a realização do processo formativo:

entrevista e observação da aula que elas planejaram para introduzir o ensino de frações com

seus alunos.

Por fim, serão apresentadas as considerações finais, na qual será retomada a questão

de pesquisa, o objetivo da investigação, bem como um breve relato da trajetória da pesquisa.

Serão apresentadas também as reflexões dos autores sobre o presente trabalho de

investigação, a resposta à questão de pesquisa e proposição de novas investigações acerca do

tema em estudo.

20

CAPÍTULO 1 – CONFIGURAÇÃO DA PESQUISA

Este capítulo será dedicado à descrição de como esta pesquisa está configurada: as

motivações que inspiraram a investigação acerca das frações, a importância do tema,

trazendo brevemente resultados de alguns estudos já realizados e que justificam sua

relevância, bem como, o objetivo e as questões de pesquisa. Serão descritas também, de

maneira sucinta, a trajetória do estudo e a fundamentação teórica na qual nos apoiamos na

realização do mesmo.

1.1. Antecedentes e motivações4

Sou licenciada em Matemática pela Universidade Estadual do Piauí – UESPI. Cursei

especialização em Psicopedagogia Institucional pela Faculdade das Atividades Empresariais

de Teresina-PI e, também, especialização em Mídias na Educação, pela Universidade Federal

do Piauí.

Por alguns anos, realizei trabalhos de coordenação junto ao Departamento de Ensino

da Secretaria Municipal de Educação, Cultura e Desportos do município de Inhuma-Piauí e

participei de muitos estudos com professores. Momentos que me deram a oportunidade de

discutir e refletir sobre questões ligadas ao plano de ação educativa, projeto pedagógico, plano

de aula, planejamento, proposta curricular para o ensino de Matemática, dentre outros. Fui,

também, formadora do Programa Gestão da Aprendizagem Escolar – GESTAR II de

Matemática.

Nesses momentos de estudos, escutava várias queixas dos professores quanto ao

ensino e à aprendizagem dos conteúdos de Matemática e percebia que isso, muitas vezes, lhes

causava “desencanto” frente a situações do dia a dia na sala de aula.

Eram muitos os conteúdos em que os professores manifestavam ter dificuldade,

todavia um, em especial, me chamava atenção: os números racionais na representação

fracionária, pois essa temática também me afligia. Lembro-me de que, quando aluna do

4 Excepcionalmente, optamos por escrever esta subseção na primeira pessoa do singular por tratar-se de

experiências próprias do investigador. O restante do trabalho será escrito na primeira pessoa do plural, por

considerarmos que este estudo contou com contribuições da orientadora, banca além de colegas e outras

investigações.

21

Ensino Fundamental, tinha grande dificuldade com esses números. Eu compreendia, por

exemplo, o que significava 4

3 de alguma coisa. Isso porque, para escrever esse número, as

professoras sempre desenhavam um retângulo, dividia em partes iguais e pintavam algumas

partes dele, mas quando eu tinha que representar, por exemplo, o número 3

4 não sabia como

fazer. A minha dificuldade naquela época era estabelecer uma relação entre o que a professora

definia e a representação de uma fração imprópria. Assim eu questionava, se o denominador

representava a quantidade de partes em que o retângulo deveria ser dividido e o numerador a

quantidade de partes que eram pintadas, como é que eu ia pintar quatro partes, se eu tinha

dividido o retângulo em apenas três partes?

No trabalho de coordenação o que eu percebia quando discutíamos esse assunto, e os

professores diziam que os alunos não aprendiam, é que muitos ensinavam exatamente como

os meus professores haviam ensinado. Então pensava: talvez os alunos ainda não tivessem

maturidade para compreender esses números. Por outro lado, me questionava: será que é isso

mesmo? O que mais me incomodava era eu não ter respostas aos questionamentos dos

professores, porque, mesmo tendo formação na área da Matemática, não havia discutido isso

durante minha formação inicial. Nesse sentido, acredito que se eu fosse ensinar esse conteúdo

também utilizaria as mesmas estratégias de ensino que foram utilizadas pelos meus

professores.

Ingressando no curso de mestrado, integrando o grupo de pesquisa Formação de

Professores que Ensinam Matemática e depois de realizar algumas leituras, descobri que a

relação entre a formação e a trajetória escolar é marcante para o profissional da Educação.

Minhas leituras de Tardif (2000) e Serrazina (1999) me permitiram refletir sobre o ocorrido.

Os estudos de Tardif (2000), por exemplo, sobre a origem dos saberes docentes que

servem de base para o ensino revelam que “uma boa parte do que os professores sabem sobre

o ensino, sobre os papéis do professor e sobre como ensinar provém de sua própria história

de vida, principalmente de sua socialização enquanto alunos” (TARDIF, 2000, p. 216). O

autor discute que os professores são inseridos em seu campo profissional ainda no seu período

de escolarização. Dessa forma, eles adquirem conhecimentos, concepções e crenças5 sobre a

atividade docente que influenciam a sua atuação profissional.

5 Ressaltamos que a expressão, “crenças”, empregada no nosso estudo tem o mesmo sentido do empregado por

Ponte (1992). Para o autor, elas podem ser vistas como “... uma parte do conhecimento relativamente "pouco

elaborada" (...) Nas crenças predominaria a elaboração mais ou menos fantasista e a falta de confrontação com

a realidade empírica.” (PONTE, 1992, p. 192).

22

A compreensão desse fato evidencia a necessidade de que o professor experiencie,

durante toda a sua formação, em particular, no âmbito da formação inicial, como aluno,

situações semelhantes às que serão encontradas na sala de aula, fato que não ocorreu durante

minha formação e nem com os professores com os quais tive contato no Piauí.

Em relação ao ensino e à aprendizagem das frações, entendi, embasada na Teoria dos

Campos Conceituais de Gerard Vergnaud (1990, 1993, 2009), que a compreensão de um

conceito ou conteúdo não ocorre a partir de uma única experiência, nem em um único

momento, mas em um longo período de tempo e a partir da experiência, maturidade e

aprendizagem.

Dessa forma, ao ingressar no curso de Mestrado da Universidade Anhanguera, decidi

estudar e investigar outras formas de aprender e ensinar as frações, assim como investigar,

ainda, as contribuições que podem advir de uma formação continuada sobre esses números.

1.2. Relevância do Tema: o que dizem as pesquisas

O estudo e compreensão das frações são considerados fundamentais, principalmente

pelo seu uso na própria disciplina “(...) esses números têm grande importância na

matemática, relacionando-se a razões, raciocínio proporcional, ao cálculo algébrico, a

probabilidades, etc” (BERTONI, 2009, p. 28).

Já em 1983 pesquisadores como Behr, M. J., Lesh, R., Post, T. R., & Silver, E. A.

(1983) consideravam que o conceito de fração é uma das ideias matemáticas mais complexas

e importantes na formação do aluno. Eles justificam tal importância indicando que a

compreensão do conceito de fração envolve três perspectivas: prática, psicológica e

matemática. (BEHR et al., 1983).

Segundo esse estudo, na perspectiva prática, com a compreensão deste conceito é

possível aperfeiçoar as habilidades de dividir e de entender e manipular situações e problemas

no mundo real. Na perspectiva psicológica, o estudo das frações proporciona o

desenvolvimento e a expansão de estruturas mentais necessárias ao desenvolvimento

intelectual das crianças. Na perspectiva matemática, essa compreensão proporcionará a base

necessária para a compreensão de alguns conceitos matemáticos mais complexos que são

estudados posteriormente, como as operações algébricas elementares. (BEHR et. al., 1983).

Apesar da sua importância, esse é um tema que professores e alunos encontram

grandes dificuldades tanto no que se refere ao ensino quanto à aprendizagem. Algumas

23

pesquisas realizadas em outros países e também no Brasil apontam essas dificuldades

encontradas por professores e alunos. Por exemplo, pesquisas que foram realizadas no Brasil:

Campos et. al (1995), Rodrigues (2005), Canova (2006), Damico (2007), Garcia Silva (2007),

Monteiro Cervantes (2010), Campos (2011) dentre outras.

Algumas pesquisas como as de Campos, Jahn, Silva e Silva (1995); Nunes e Bryant

(1997) evidenciaram dificuldades encontradas por alunos quanto ao domínio do conceito de

fração. O mesmo foi constatado com alunos que estudavam no final da Escola Básica (17, 18

anos) por Rodrigues (2005). O autor observou que tais estudantes ainda apresentavam

dificuldades significativas tanto sobre a compreensão do papel da unidade de referência, nos

problemas envolvendo frações, como sobre as peculiaridades das situações envolvendo

grandezas discretas. Quanto aos alunos dos anos iniciais, Garcia Silva (2007), por exemplo,

ao realizar uma investigação com os alunos do 5º ano do Ensino Fundamental (crianças com 9

e 10 anos) observou também que esses estudantes apresentavam pouco domínio do conceito

de fração.

Na literatura, observamos que pesquisas atuais ainda apontam que o problema

continua. Campos (2011), por exemplo, afirma que “O ensino e aprendizagem de frações

constituem um obstáculo considerável para professores e alunos, desde o 4° ano do ensino

fundamental no Brasil, quando esse tema é abordado” (CAMPOS, 2011, p.1).

Na década de 90, Nunes e Bryant ao discutirem tal problemática chamam a atenção

sobre a forte tendência dos professores em trabalhar o conceito de fração utilizando

principalmente o significado parte-todo. Seus estudos consideram a possibilidade de:

[...] que esta lacuna seja uma consequência da aprendizagem do aluno de

linguagem fracional na escola simplesmente através do procedimento de

dupla contagem (NUNES E BRYANT, 1997, p. 212-213.).

Todavia estudos recentes como os de Campos (2011) apontam que outros autores

como Strefland (1987; 1993; 1997) sugerem que a introdução do ensino de frações pelo

quociente permite que ocorram situações nas quais o aluno apresenta maior compreensão do

uso das frações. Além desse estudo, outras investigações como as de Canova (2013), Mamede

(2007), Nunes e Bryant (2008), Nunes et. al. (2007) indicam que as crianças compreendem

melhor o uso das frações pelo quociente do que por parte-todo.

Quanto à formação de professores, estudos como os de Damico (2007), por exemplo,

ao analisar o conhecimento de futuros professores, em um curso de formação inicial, apontam

dificuldades no conhecimento didático relacionado ao ensino de frações. Da mesma forma,

24

Garcia Silva (2007) identificou o conhecimento profissional docente como um dos fatores que

pode exercer influência sobre o processo de desenvolvimento profissional dos docentes. A

autora, ao analisar depoimentos de professores participantes de um processo de formação

continuada, observou a relação entre o domínio do conteúdo e a prática pedagógica dos

sujeitos envolvidos e que:

[...] as limitações nos procedimentos de ensino foram acarretadas pelo fato de as

docentes terem um domínio não suficiente do conteúdo a ser ensinado. Este fato

pode ter impedido que os professores percebessem a possibilidade de variações da

metodologia utilizada (GARCIA SILVA, 2007, p.272).

A autora, apoiada em estudos de Shulman (1986), observou que a ausência de domínio

desse conteúdo específico implicou em lacunas na prática pedagógica dos envolvidos.

Dessa forma, a partir dos resultados das pesquisas citadas, consideramos relevante

investigar o conhecimento de professores acerca de diferentes situações que dão sentido ao

conceito de frações. Acreditamos que com esta investigação iremos oferecer contribuições ao

conhecimento já produzido na área, o que dará margem para novas discussões acerca dos

processos de ensino e aprendizagem das frações.

1.3. Questão de Pesquisa e Objetivo

Vergnaud (1990) defende que, o que dá significado a um conceito são as diferentes

situações por meio das quais ele é construído, considerando ainda como necessários ao seu

estudo e à sua compreensão o conjunto de invariantes e das representações simbólicas.

Algumas pesquisas, apoiadas nos estudos desse teórico, chamam a atenção para a necessidade

de se oferecer aos professores oportunidade de vivenciar, em cursos de formação continuada,

experiências que lhes permitam utilizar outros significados quando ensinam fração (Canova,

2006; Damico, 2007; Garcia Silva 2007; Monteiro Cervantes, 2010 e Canova, 2013).

Da mesma forma, documentos oficiais como os Parâmetros Curriculares Nacionais -

PCN apontam para a necessidade de que o ensino do conceito de fração utilize-se dos

significados parte-todo, quociente e razão. Porém pesquisas (Nunes et al, 1997; Rodrigues,

2005) indicam a tendência dos professores brasileiros em iniciar o ensino dessa temática

utilizando-se apenas do significado parte-todo. Respaldados nos argumentos descritos

anteriormente e nas ideias apresentadas nas pesquisas desenvolvidas por Streefland (1991,

1997) que apoiaram as investigações de Nunes & Bryant (2003) e Campos (2011) em relação

25

à introdução do conceito de fração por meio de situação quociente, propomos a seguinte

questão de pesquisa:

- Quais são as mudanças de concepções dos professores participantes de um processo

de formação continuada que buscou ampliar os conhecimentos necessários ao ensino de

fração?

Essa questão será respondida com o auxílio de outras perguntas:

- Quais são os conhecimentos dos professores sobre a introdução do conceito de

fração desenvolvido por meio de situações parte-todo e quociente?

- Quais são as concepções6 que os professores têm em relação aos processos de ensino

e de aprendizagem do conceito de fração?

- Quais são as reflexões explicitadas pelos professores, durante e depois de um

processo de formação continuada, quando discutem o conceito de fração?

- Quais são os possíveis saberes (re)construídos pelos professores, a partir da

participação em um curso de formação continuada, quanto aos processos de ensino e de

aprendizagem do conceito de fração?

No intuito de encontrar respostas para tais questões, estabelecemos o objetivo a ser

alcançado com este estudo:

Analisar as mudanças de concepções relativas aos processos de ensino e

aprendizagem de frações, de professores que lecionam Matemática para os anos iniciais do

Ensino Fundamental, participantes de um curso de formação continuada.

6 Ressaltamos que a expressão, “concepções”, empregada no nosso estudo tem o mesmo sentido do empregado

por Ponte (1992). Para o autor, “as concepções formam-se num processo simultaneamente individual (como

resultado da elaboração sobre a nossa experiência) e social (como resultado do confronto das nossas

elaborações com as dos outros). Assim, as nossas concepções sobre a Matemática são influenciadas pelas

experiências que nos habituámos a reconhecer como tal e também pelas representações sociais dominantes”

(PONTE, 1992, P. 185).

26

1.4. O Percurso da Investigação

O nosso estudo de natureza qualitativa ocorreu no âmbito do Projeto Observatório da

Educação da Universidade Anhanguera de São Paulo - SP, em um Curso de Formação

Continuada para Professoras dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental do Estado de São

Paulo, em que foram discutidos os processos de ensino e aprendizagem das frações.

No início da formação, aplicamos questionários de caráter diagnóstico, objetivando

identificar as concepções das docentes sobre situações parte-todo e quociente. De posse dos

resultados encontrados nesses diagnósticos, desenvolvemos o processo formativo com o

propósito de apresentar possibilidades de trabalho com os diferentes significados da fração,

propostos em pesquisas e em documentos oficiais (PCN). Para tanto, apresentamos alguns

recursos metodológicos (materiais manipuláveis, literatura infantil, dentre outros) para ensinar

frações e, por fim, refletimos sobre resultados de pesquisas realizadas sobre o tema. Sobre

esse ponto utilizamos um protocolo de pesquisa elaborado pela Professora Terezinha Nunes e

sua equipe na Universidade de Oxford e que foi desenvolvida tanto no Brasil, como na

Inglaterra e em Portugal.

Dessa forma, no decorrer da formação discutimos e refletimos com as professoras

sobre os diferentes significados da fração, sobre recursos metodológicos e ainda sobre os

processos de ensino e aprendizagem desse conceito, sobretudo, acerca das origens dos erros

cometidos pelos estudantes, o que possibilitou também análise das suas práticas pedagógicas

desenvolvidas antes e durante a formação.

Para registrar as discussões e reflexões ocorridas pelas Professoras Ana, Renata e

Marcela7, sujeitos desta pesquisa, nas sessões da formação, fizemos filmagem, anotações

num diário de campo e recolhemos atividades desenvolvidas tanto durante todo o processo

formativo como durante a aplicação do instrumento proposto por Nunes em sala de aula .

Passado um ano do processo de formação, realizamos entrevistas e observação em

sala. A entrevista com o propósito de identificar indícios de (re)construção de saberes das

professoras, bem como as suas impressões sobre as diferentes propostas de introduzir o

conceito de fração discutidas no decorrer da formação. O retorno às escolas objetivou

observar a aula desenvolvida pelos sujeitos deste estudo para introduzir o ensino do tema em

discussão.

7 Em relação aos sujeitos da pesquisa, descreveremos, no capítulo 4, os critérios que utilizamos na escolha dos

mesmos.

27

1.5. Em busca de Referências Teóricas

Teoricamente o nosso estudo está fundamentado tanto em pesquisas que discutem o

conhecimento profissional docente como nas questões didáticas sobre o objeto matemático:

fração. Quanto ao primeiro enfoque, nos apoiamos em estudos de Shulman (1986, 1987),

Tardif (2000), Serrazina (1999, 2010), Ball et al. (2008). Em relação às questões didáticas,

associadas ao objeto matemático, utilizamos a Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud

(1990, 1993, 2009, 2010) e a Sequência proposta por Nunes et al (2003, 2007, 2009) para a

introdução do conceito de fração a partir da ideia de quociente. Estes autores discutem a

importância em se trabalhar com diferentes significados dos números racionais na

representação fracionária.

Em relação ao Conhecimento Profissional Docente, os estudos de Shulman (1986,

1987) sugerem que a formação do professor deve atentar para a relevância de se levar em

consideração características próprias da disciplina a ser ensinada. Segundo esse teórico, faz-se

imprescindível pesquisar o conhecimento do professor sobre a área que irá ensinar, uma vez

que ele defende a necessidade de o professor dominar os conteúdos da disciplina que ele irá

lecionar. Para tanto, ele institui as Categorias de Conhecimento para o Ensino: Conhecimento

da Matéria Ensinada, Conhecimento Pedagógico de Conteúdo e Conhecimento Curricular.

Da mesma forma, Ball et al (2008), apoiados em tais Categorias, desenvolvem a

Teoria do Conhecimento para o Ensino da Matemática (MTK), segundo a qual alguns

domínios são necessários para o ensino de Matemática: Conhecimento do Conteúdo da

Disciplina e Conhecimento Pedagógico do Conteúdo Matemático. Estes se apresentam em

três vertentes: Conhecimento da matéria ensinada, Conhecimento Pedagógico de Conteúdo e

Conhecimento Curricular.

Serrazina, apoiada nestes e em outros teóricos, aponta ser o Conhecimento

Profissional “indispensável para desempenhar com sucesso uma atividade profissional”

(SERRAZINA, 1999, p. 140).

Sobre a reflexão, seus estudos apontam que existe uma relação entre a autoconfiança

do professor e os saberes docentes. O professor torna-se mais confiante à medida que detém

conhecimento sobre o que vai ensinar.

Quanto às questões didáticas relacionadas ao conteúdo, Vergnaud (1993, p. 8)

considera que um conceito é formado a partir de um conjunto de Situações (S) que torna o

conceito significativo; um conjunto de Invariantes (I) que se apresentam nos esquemas

desenvolvidos pelos alunos para resolverem uma situação e um conjunto de Representações

28

Simbólicas (R) as quais podem ser utilizadas para representar os invariantes, os

procedimentos e situações.

Nunes et al (2003), apoiados em Vergnaud (1990), propõem que a construção do

significado de fração se dê por meio das situações parte-todo, quociente, quantidades

intensivas e operador multiplicativo.

Nunes et al (2009) propõem, ainda, uma Sequência de Tarefas em que sugerem

introduzir o ensino das frações pelo significado quociente. A proposta dos autores é

possibilitar que os alunos se apropriem desse conceito a partir da resolução de situações do

seu dia a dia em que envolvam a ideia de divisão, estimulando-os a utilizar as estruturas

intuitivas já conhecidas por eles.

Dessa forma, foi a partir desses pressupostos que o nosso trabalho de pesquisa foi

organizado. Passaremos assim, à descrição dos capítulos que apresentará todos os passos da

investigação.

29

CAPÍTULO 2 – FRAÇÕES: UMA ANÁLISE DAS PESQUISAS

EXISTENTES

Neste capítulo, faremos uma breve apresentação dos estudos que se dedicaram a

pesquisar sobre o ensino e a aprendizagem de frações bem como aqueles que investigaram

acerca da formação de professores relativos a esse tema e que se utilizaram do mesmo

referencial teórico que adotamos para a nossa pesquisa.

Na revisão bibliográfica, voltamos o nosso olhar para três pesquisas que investigaram

sobre o ensino e a aprendizagem de frações Cardoso (2009), Campos (2011) e Canova

(2013) e em quatro que investigaram o conhecimento profissional docente, as crenças e as

concepções dos professores acerca do conceito de fração: Garcia Silva (2007), Monteiro

Cervantes (2010), Teixeira (2008) e Costa (2011). Garcia Silva (2007) e Monteiro

Cervantes (2010) realizaram suas investigações dentro de um processo formativo. Teixeira

(2008) e Costa (2011) procuraram perceber as crenças e concepções de professores do 2º, 3º

e 4º Ciclos do Ensino Fundamental, a partir da análise de instrumentos diagnósticos que

esses pesquisadores elaboraram apoiados em teorias que versam sobre o tema e seus

diferentes significados.

A descrição desses estudos está relacionada ao fato de que os seus resultados

trouxeram contribuições para o desenvolvimento e análise das informações produzidas pela

nossa pesquisa.

2.1. Revisão de Literatura

2.1.1. Estudos relacionados ao Conhecimento Profissional Docente

Embora tenhamos lido diversos estudos que se dedicaram a pesquisar sobre questões

relacionadas aos processos de ensino e aprendizagem das frações, nesta revisão

descreveremos apenas sobre os resultados encontrados nos estudos de Cardoso (2009),

Campos (2011) e Canova (2013).

Cardoso (2009) realizou uma investigação, em Portugal, contendo dois estudos sobre a

compreensão do conceito de fração observados em alunos do 6º ano de escolaridade, visto

30

que, naquele país, espera-se que os estudantes ao final do 6º ano tenham conhecimento da

representação e dos invariantes8 das frações nas diferentes situações.

O primeiro estudo realizado pela autora procurou perceber o desempenho dos alunos

na resolução de problemas que envolviam os aspectos lógicos e de representação de frações

apresentados em situações parte-todo, operador e quociente. Este revelou que a compreensão

desse conceito, por parte dos alunos, está diretamente relacionada ao tipo de situação

trabalhada. Para a autora,

[...] Na situação parte-todo, os alunos parecem saber representar fracções,

mas não dominam com igual competência e desempenho os aspectos de

ordenação e equivalência de frações. [...] na situação operador, os alunos

manifestaram dificuldades quer nos aspectos de representação quer nos

aspectos de ordenação e equivalência. Os resultados obtidos foram

surpreendentes no que concerne aos níveis de desempenho dos alunos na

resolução de tarefas envolvendo aspectos sobre a lógica de fracções

(equivalência e ordenação) na situação quociente, uma vez que esta

constitui uma nova interpretação de fracção para estes alunos (CARDOSO,

2009, p. 108).

A partir destes resultados, o segundo estudo realizado pela autora buscou refletir sobre

a importância da situação quociente para a compreensão do conceito de fração pelos alunos.

Após análise de um pré-teste, intervenção e pós-teste percebeu-se que os alunos revelaram

melhor desempenho na resolução de tarefas de ordenação e equivalência de frações em

situação quociente. Com isso, uma das conclusões a que a autora chegou é que: “A situação

quociente parece [...] facilitar a compreensão dos aspectos sobre a lógica das fracções

(ordenação e equivalência.)” (CARDOSO, 2009, p. 112).

Da mesma forma, no Brasil, Campos (2011), ao realizar uma investigação semelhante

com alunos de 4º e 5º ano do Ensino Fundamental, a partir de uma intervenção, conclui que o

trabalho de frações, por meio da situação quociente, pode promover “novas reflexões” e

avanços na aprendizagem desse conceito, bem como favorecer a compreensão dos invariantes

lógicos da fração. A diferença contida nestes estudos é que Campos somente investigou se os

alunos, geralmente, apresentavam maior facilidade de lidar com equivalência e ordenação de

frações em situação quociente.

8 A autora apoiada em Nunes et al. (2004) considera invariantes a ordenação e a equivalência de quantidades

representadas por frações.

31

Pelos resultados apresentados nesses estudos, Cardoso (2009) e Campos (2011)

acreditam que a situação quociente parece promover a compreensão dos alunos acerca do

conceito de fração, podendo ser utilizada para introduzi-lo e explorá-lo na sala de aula.

Canova (2013), no entanto, em pesquisa realizada com 378 alunos do 4º, 5º e 6º ano do

Ensino Fundamental de duas escolas da rede estadual de São Paulo, concluiu que as situações

parte-todo e quociente favoreceram distintamente a aprendizagem dos alunos, assumindo

papel importante na melhoria do desempenho dos alunos na construção do conhecimento de

fração.

Inicialmente, o estudo realizado por Canova (2013) foi constituído por um pré-teste,

composto por quatro problemas em que as frações eram exploradas por meio de situações

parte-todo e quatro por meio de situações quociente e aplicado a todos os alunos participantes

da pesquisa. Eram problemas de nomear fração e problemas de raciocínio9, sendo nesses

últimos, explorados os invariantes ordem e equivalência. Com o pré-teste, a pesquisadora

procurou “analisar o desempenho dos alunos por ano de escolaridade, quanto ao tipo de

situação (parte-todo e quociente) e tipo de questão (nomear e raciocínio)” (CANOVA, 2013,

p. 154).

Nessa primeira fase da pesquisa, a autora observou que, de modo geral, as questões de

nomear pareciam ser mais compreensíveis para os alunos do que as de raciocínio.

Aplicado e analisado o pré-teste, Canova (2013) distribuiu, de maneira aleatória, os

alunos em dois grupos: grupos experimentais e grupos controle. Embora ambos os grupos

tenham passado por intervenções, apenas os grupos experimentais vivenciaram situações com

frações, sendo que dos 264 alunos que compunham tais grupos, 129 experienciaram situações

parte-todo e 135, situações quociente.

Passada as intervenções, todos os alunos foram submetidos a um pós-teste, idêntico ao

pré-teste. A análise quantitativa e qualitativa do pós-teste mostrou que tanto os alunos dos

grupos quociente quanto os alunos dos grupos parte-todo tiveram melhor desempenho quanto

às questões de raciocínio nas situações quociente, conforme relata a pesquisadora: “nas

questões de raciocínio, o desempenho dos alunos foi melhor na situação quociente [...], assim

como foi para o grupo parte-todo” (CANOVA, 2013, p. 154).

9 Fundamentada em Vergnaud (1990) e Nunes et al. (2004) a autora considera questões de nomear frações como

as que solicitam a representação fracionária (a/b) da quantidade que foi indicada na língua natural e questões de

raciocínio são as que exploram os invariantes ordem e equivalência (uma quantidade é maior, menor ou igual a

outra quantidade). Para tanto ele não precisa, necessariamente, saber a representação fracionária.

32

Esse é um dado que consideramos importante, visto que, assim como os demais

estudos mostrados até então, este também revelou melhor desempenho dos alunos, quanto aos

invariantes ordem e equivalência, em situações quociente.

Reiteramos que esse estudo revelou também que os alunos nomeiam mais facilmente

frações nas situações parte-todo, ao passo que, nas situações quociente, eles demonstram

responder com mais facilidade as questões de raciocínio. Esse fato nos permite inferir mais

uma vez que, possivelmente, a situação parte-todo seja a mais explorada, pelos professores,

em sala de aula, conforme apontam também estudos como os de Canova (2006); Garcia Silva

(2007); Campos (2006, 2011); Cardoso e Mamede (2009); Monteiro Cervantes (2010).

Outro aspecto observado por Canova é que os alunos conseguiram fazer a

transferência do conhecimento adquirido, em uma situação, para a outra:

[...] o grupo quociente não vivenciou problemas que envolviam situação

parte-todo durante a intervenção, mas se beneficiou do aprendizado e

conseguiu aplicá-lo em outro tipo de situação (CANOVA, 2013, p. 163).

Esse dado nos permite inferir que o desempenho dos alunos em relação às situações

parte-todo traduz o tipo de ensino que os professores realizam e reforçam a hipótese de essa

ser a situação que os professores detêm o conhecimento.

2.1.2. Estudos relacionados à formação dos professores e suas concepções acerca do

conceito de fração.

Muitos estudiosos comungam da ideia de que é fundamental, no desenvolvimento do

trabalho do professor, que ele assuma o papel também de pesquisador, no sentido de tornar-se

um investigador da sua própria prática. Dessa forma, o professor torna-se capaz de refletir

criticamente sobre as dificuldades enfrentadas tanto em relação ao ensino quanto à

aprendizagem de conteúdos, e no nosso caso específico, do conteúdo frações. O ato de

investigar, por exemplo, o porquê do erro do aluno ou a maneira como ele pensou na

resolução de situações propostas, permite ao professor repensar o seu ensino e ainda, favorece

mudanças nas suas concepções tanto em relação ao conteúdo, como em relação ao seu ensino

e a maneira como o aluno desenvolve o conhecimento ou como o aluno aprende.

Nesse sentido, de acordo com Muniz (2008) “A pesquisa enquanto uma postura

crítica e investigativa do professor diante do currículo e da sua prática pedagógica é, a nosso

33

ver, o espaço mais legítimo de aprendizagem e de formação continuada do professor”

(MUNIZ, 2008, p. 210).

Partindo também desse princípio, buscamos analisar alguns estudos realizados com

professores e trouxemos, para este trabalho, algumas considerações que julgamos importantes

para a compreensão de fatos observados no decorrer da nossa pesquisa.

Um deles foi realizado por Costa (2011). Esse pesquisador investigou sobre as

concepções e competências de professores especialistas em Matemática que atuavam no

Ensino Fundamental sobre o conceito de fração em seus diferentes significados.

A pesquisa de natureza qualitativa e quantitativa ocorreu em dois momentos: primeiro

o autor buscou o apoio teórico que subsidiaria o desenvolvimento do estudo que iria realizar.

Posteriormente elaborou, para a coleta de dados, um instrumento diagnóstico, composto de

quatro partes: perfil, elaboração de situações-problema, respostas às situações-problema e

análise de uma situação. O instrumento foi aplicado a 21 professores que lecionavam para o

Ensino Fundamental.

Da análise do instrumento, o autor chegou às seguintes conclusões: em relação às

concepções, este estudo identificou que os professores possuem restrições quanto aos

significados de fração, voltados para os significados parte-todo e operador multiplicativo.

Outro ponto observado foi a ênfase em tratá-la apenas do ponto de vista do algoritmo, o que

fez com que esse pesquisador concluísse que a fração é vista, pelos professores participantes

do seu estudo, “[...] apenas como um procedimento matemático” (COSTA, 2011, p. 157).

Para o autor, uma explicação para esse fato pode estar relacionada à formação inicial desses

professores.

Quanto às competências didáticas, os professores demonstraram competência em

resolver a situação proposta, havendo um índice de acerto acima de 93%.

Na análise, um dos aspectos que chamou a atenção do pesquisador foi o alto índice de

resoluções das situações-problemas e das estratégias de ensino das frações, propostas pelos

professores, baseadas na percepção, distanciando-se dos invariantes lógicos. (Costa, 2011, p.

156). Esse fato foi observado, principalmente, entre os professores do 6º e 7º ano.

Os resultados desse estudo apontam para a necessidade de um trabalho de formação

continuada que promova o desenvolvimento do conhecimento dos professores acerca desse

conceito, com abordagem em seus diferentes significados.

Da mesma forma Teixeira (2008), ao realizar a análise das informações produzidas em

um instrumento no qual se buscou traçar um diagnóstico das competências e concepções de

professores do 2º Ciclo do Ensino Fundamental sobre o conceito de fração, chegou à

34

conclusão de que há a necessidade de realizar trabalhos que ampliem as concepções dos

professores sobre o conceito de fração e seu ensino. (TEIXEIRA, 2008).

Tais conclusões também são observadas em pesquisas que foram realizadas em um

contexto de formação como as de Garcia Silva (2007) e Monteiro Cervantes (2010), por

exemplo.

Garcia Silva (2007), em sua pesquisa, procurou analisar fatores que poderiam

interferir no desenvolvimento profissional de professores dos anos iniciais do Ensino

Fundamental sobre questões relacionadas às frações e seus diferentes significados. Para tanto,

a autora, organizou, a partir da análise de um instrumento diagnóstico apresentado a alunos e

professores dos anos iniciais, um processo formativo composto de 16 sessões em que foram

priorizadas a discussão e reflexão sobre a prática docente.

As sessões de formação foram dedicadas à aplicação de um diagnóstico para avaliar

os saberes de professores e alunos quanto aos significados de fração, ao estudo dos

significados das frações e à vivência de metodologias, à elaboração, pelos professores, de uma

sequência de trabalho que foi desenvolvida com seus alunos em sala de aula e à realização de

entrevistas, objetivando verificar as reflexões feitas pelos professores, ao final e depois de

decorridos um ano do processo formativo. (GARCIA SILVA, 2007).

Os fatores identificados, por essa pesquisadora, que interferem no desenvolvimento

profissional de professores quando estes participam de um processo formativo estão

relacionados às dificuldades deles relativas ao conhecimento matemático, às crenças e

concepções quanto ao ensino e à aprendizagem, em especifico, o das frações e à reflexão

aliada a um trabalho colaborativo. (GARCIA SILVA, 2007).

Com isso, esse estudo chegou à conclusão de que há a necessidade de um amplo

enfoque dos números racionais na representação fracionária, com análise em seus diferentes

significados nos cursos de formação inicial e continuada e de que...

[...] para romper crenças e concepções dos professores sobre ensino e

aprendizagem da Matemática e em específico do objeto matemático frações,

é necessária uma constante reflexão sobre a prática, sobretudo em

ambientes que propiciem um trabalho colaborativo (GARCIA SILVA,

2007, p. 9).

Também nesse mesmo contexto, Monteiro Cervantes (2010), ao investigar sobre o

conhecimento profissional de professores que lecionam matemática para os anos iniciais do

Ensino Fundamental relacionado ao ensino e aprendizagem das frações por meio do

35

significado quociente, quando estes participam de um curso de formação continuada, “conclui

que o trabalho colaborativo e reflexivo dos professores se torna fundamental para o

desenvolvimento profissional docente” (MONTEIRO CERVANTES, 2010, p. 64).

O estudo realizado pela autora partiu da análise de um protocolo apresentado por

Nunes et al. (2005) com a finalidade de verificar se resultados de pesquisas realizadas em

outros países e que mostram que os alunos têm mais facilidade em lidar com os invariantes

equivalência e ordem em situação quociente do que em situação parte-todo se repete no

Brasil.

Esse mesmo protocolo foi aplicado aos 20 professores participantes da intervenção

que foi organizada em um curso de formação, durante o qual elas puderam refletir sobre como

se sentiam ao ensinar fração e sobre a proposta de iniciar o ensino deste conceito pelo

quociente. Durante a formação, algumas das professoras aplicaram o protocolo em sala de

aula com seus alunos, mas não houve tempo, durante o processo formativo, para a discussão

sobre o ocorrido em sala de aula.

Monteiro Cervantes (2010) coletou os dados para seu estudo por meio de registros do

que foi observado nas sessões de formação, questionários, dos problemas propostos aos

professores, bem como a seus alunos e por meio de uma entrevista semiestruturada com uma

das professoras que aplicou o instrumento em sua sala.

A análise dos dados permitiu a pesquisadora perceber que “[...] as professores (re)

significaram o conceito de fração” (MONTEIRO CERVANTES, 2010, p. 64), o que fez com

que ocorressem mudanças nas concepções acerca do tema. Fato confirmado durante entrevista

com uma das professoras. “[...] Seu depoimento e análise dos protocolos dos alunos nos leva

a inferir que realmente ocorreu mudança nas concepções em relação à introdução da

temática” (MONTEIRO CERVANTES, 2011, p. 64, 65).

A partir dos resultados destas pesquisas, acreditamos que refletir sobre questões

relacionadas aos processos de ensino e de aprendizagem do conceito de fração a partir da

participação em um curso de formação é de fundamental importância para a reconstrução dos

saberes dos professores acerca desse tema. Todos esses estudos apontam para a importância

de um processo formativo constante que possibilite o desenvolvimento profissional dos

professores para o ensino da Matemática, sobretudo quando se trata do objeto matemático

frações.

Em nosso estudo, utilizamos e ampliamos procedimentos adotados por Garcia Silva

(2007) e Monteiro Cervantes (2010). O design inicial da formação foi inspirado em Garcia

Silva (2007). Além disso, apresentamos, aplicamos e analisamos com as professoras

36

investigadas o protocolo de Nunes et al. adotado por Monteiro Cervantes (2010) e,

procuramos, durante a formação, garantir espaço para sua discussão e análise das informações

produzidas nas salas das professoras participantes.

Em nossa revisão de literatura, notamos ainda que, nas pesquisas que analisamos, não

ocorreu nenhuma investigação in loco, ou seja, não foram realizadas observações em sala de

aula. Dessa forma, neste estudo, um ano após a ocorrência do processo formativo, fomos ao

local de trabalho das professoras e observamos uma aula de cada uma das três professoras,

sujeitos deste estudo, nas quais elas introduziam o tema fração.

2.2. Fundamentação Teórica

Nesta seção, apresentaremos as teorias que fundamentaram a nossa pesquisa,

primeiramente no que se refere a questões didáticas sobre o objeto matemático, frações, e

posteriormente as teorias relacionadas à formação dos professores: reflexões sobre a prática e

conhecimento profissional docente.

Quanto ao primeiro enfoque, buscamos apoio nas ideias defendidas por Gerard

Vergnaud (1990, 1993, 2009, 2010) a respeito da Teoria dos Campos Conceituais e nos

estudos de Nunes et al (2003, 2005, 2009) que ampliam as investigações realizadas por

Streefland (1991).

Em relação à formação de professores, nossa investigação está fundamentada nas

teorias que tratam da reflexão sobre a prática e sobre o conhecimento profissional docente.

Descreveremos, portanto, neste capítulo, um breve relato sobre os trabalhos de Shulman

(1986, 1987), Serrazina (1999) e Ball et al. (2008).

2.2.1. Teorias que versam sobre o objeto matemático: números racionais na

representação fracionária

Para fundamentar nosso estudo apresentaremos a seguir as pesquisas de Vergnaud

(1993, 2010) e os estudos de Nunes et al. (2003, 2005, 2009) desenvolvidos com apoio em

pesquisas realizadas por Streefland (1991).

37

2.2.1.1. Vergnaud e a Teoria dos Campos Conceituais

Vergnaud (1993) define a Teoria dos Campos Conceituais como sendo uma teoria

psicológica preocupada com o estudo do desenvolvimento cognitivo do aluno e que procura

compreender as ligações e quebras entre conhecimentos, que ocorrem durante a construção e

compreensão de um conceito.

Dessa forma, Vergnaud preocupa-se também com a análise desse mesmo

desenvolvimento, sobretudo ao relacioná-lo ao conteúdo conceitual. Talvez, por isso

considera-a também como “uma teoria da intervenção didática”. (VERGNAUD, 2010).

De acordo com essa teoria, se nos interessamos pela aprendizagem e ensino de um

conceito não podemos reduzi-lo à sua definição. Nesse sentido, Vergnaud (1993) considera

que um conceito é formado a partir de três conjuntos:

S: conjunto das situações que dão sentido ao conceito (referência).

I: conjunto dos invariantes em que se baseia a operacionalidade dos

esquemas (significado).

R: conjunto das formas de linguagem (ou não) que permitem representar

simbolicamente o conceito, suas propriedades, as situações e os

procedimentos de tratamento (significante) (VERGNAUD, 1993, p. 8).

Para esse autor, são as situações e problemas a resolver que dão sentido a um conceito

e é por meio de esquemas que os alunos expõem os seus conhecimentos. Vergnaud define os

esquemas como sendo o comportamento invariante, frente a uma classe de situações. É por

meio deles (os esquemas) que o aluno demonstra a sua compreensão de um conceito. O que

Vergnaud chama de conceito-em-ação ou teorema-em-ação. (VERGNAUD, 1993).

Segundo o autor “Existem vários exemplos de esquemas na aprendizagem

matemática” (VERGNAUD, 1993, p. 5). Alguns, segundo esse teórico, são quase que

automatizados. Isso ocorre quando os alunos, com base nos seus conhecimentos implícitos, os

explicitam ao resolver um problema, ou seja, demonstram habilidade na organização

invariante do seu comportamento ao realizarem alguma tarefa. Tais esquemas aparecem nas:

classes de situações em que o sujeito dispõe, no seu repertório, em dado

momento de seu desenvolvimento e sob certas circunstâncias, das

competências necessárias ao tratamento relativamente imediato da situação

(VERGNAUD, 1993, p. 2).

38

Outros esquemas, porém, pertencem à classe de situações que requer competências

ainda não adquiridas pelo aluno. Com isso, para desenvolvê-los é necessário tempo para

reflexão, exploração, tentativas e erros, ocasionando sucesso ou insucesso na realização de

uma tarefa.

O esquema é, portanto, a organização da ação do sujeito para uma dada classe de

situações. Por isso considerado por Vergnaud (2010) como um conceito fundamental da

psicologia cognitiva e da didática.

Os invariantes operatórios (conceitos em ação e teoremas em ação) que compõem os

esquemas de ação definidos por Vergnaud dividem-se em três tipos:

- Invariantes do tipo “proposição”: teoremas-em-ação

- Invariantes do tipo “função proposicional”: conceitos-em-ação ou categorias-em-

ação

- Invariante do tipo “argumento”: objetos materiais, personagens, números, relações

ou mesmo proposições.

Os teoremas-em-ação (proposições verdadeiras ou falsas) e os conceitos-em-ação

(conceitos indispensáveis à construção das proposições) são construídos numa relação

dialética em que “não há proposições sem funções proposicionais, nem função proposicional

sem proposições” (VERGNAUD, 1993, p. 7). Já “as funções proposicionais podem tornar-se

argumentos” (VERGNAUD, 1993, p. 8).

Dessa forma, para compreender, do ponto de vista cognitivo, em que consiste

determinado conceito, deve-se analisar a gama de comportamentos e esquemas desenvolvidos

pelo sujeito em diferentes situações, o que Vergnaud (1993) define como Campo Conceitual.

Por exemplo, de acordo com a sua teoria, o campo conceitual das estruturas aditivas é

composto por um conjunto de situações que requer a operacionalização de uma adição, uma

subtração ou a combinação destas e o conjunto dos conceitos e teoremas que torna possível a

análise das situações em que estão envolvidos. Da mesma forma, o campo conceitual das

estruturas multiplicativas é formado por um conjunto de situações que requer uma

multiplicação, uma divisão ou a combinação destas operações e um conjunto dos conceitos e

teoremas que torna possível a análise destas situações. (VERGNAUD, 1993, p. 10).

Por se tratar de uma teoria que explica, dentre outras, a construção das estruturas

multiplicativas e como a nossa pesquisa é sobre a introdução do conceito de frações,

apresentaremos algumas das contribuições da sua teoria em relação ao Campo Conceitual

dessas estruturas.

39

De acordo com a Teoria dos Campos Conceituais, um dos conceitos envolvidos no

campo conceitual das estruturas multiplicativas é o de proporcionalidade, pois segundo o

autor “a multiplicação e a divisão estão necessariamente associadas, desde a sua introdução,

às situações de proporcionalidade” (VERGNAUD, 2010, p. 3). Dessa forma, para Vergnaud,

“[...] os mais simples problemas de multiplicação e divisão implicam a proporção simples de

duas variáveis, uma em relação à outra” (VERGNAUD, 1993, p. 14).

A partir dessas ideias iniciais, Vergnaud considera que as estruturas multiplicativas

são relações quaternárias. Para ele, tal relação dá origem a quatro classes de problemas

elementares: multiplicação, partição, quotição e quarta proporcional. Exemplificaremos

utilizando a análise de um problema apresentado pelo próprio autor: “Susana pagou 48 reais

por 8 bolos de creme. Qual é o preço de um bolo?” (VERGNAUD, 2010, p. 6).

Segundo Vergnaud, esse é um tipo de problema que pode ser proposto aos alunos ao

introduzir a divisão. Nele, percebe-se a presença de duas grandezas distintas que estão

interrelacionadas: a quantidade de bolos - um e oito - e os preços correspondentes – quarenta

e oito reais e um preço desconhecido. Na análise feita pelo autor, ele sugere que esse é um

problema de fácil compreensão, pois a relação proporcional instituída a partir do problema,

“[...] pede que se estabeleça a inversão do coeficiente de proporcionalidade: (Vergnaud,

2010, p. 6), ou seja: “[...] 8 bolos são 8 vezes mais do que um bolo, por isso o preço de um

bolo é de 8 vezes menos” (VERGNAUD, 2010, p. 6).

No que se referem às frações, as relações que estão envolvidas nesse significado,

segundo Vergnaud (1993), são as de parte-parte, parte-todo e de proporção. Porém estas se

encontram, na sua maioria, apenas no âmbito das ideias implícitas dos alunos.

Partindo das ideias construídas pela Teoria dos Campos Conceituais, consideramos

que o conceito de fração só terá significado para o aluno, se lhe for permitido explorá-lo em

diferentes situações, a partir das quais ele poderá desenvolver a compreensão do conceito e

dos invariantes que lhes atribui sentido, bem como expressar o conjunto de símbolos de que

ele se utilizou, em uma determinada situação, para representar o conceito, os invariantes e os

procedimentos operatórios.

Partindo dessas ideias, passaremos à descrição de alguns estudos realizados por

Nunes et al (1997, 2003, 2005, 2009) em que eles tomam como base a Teoria dos Campos

Conceituais.

40

2.2.1.2. Nunes et al. e os estudos sobre frações

Outros estudos que contribuíram com a nossa pesquisa foram os desenvolvidos por

Nunes et al (1997, 2003, 2005, 2009). Esses pesquisadores partem da ideia de que como

ocorre com os números inteiros, com as frações, as crianças necessitam fazer conexões entre

quantidades e suas representações fracionárias. Porém, de acordo com seus estudos, este se

constitui um desafio para os alunos, uma vez que, na representação dos números fracionários,

são usados os mesmos algarismos utilizados na representação dos inteiros. Ainda assim, eles

não possuem a mesma interpretação. Entre o numerador e denominador é estabelecida uma

relação que dá significado à quantidade representada pela fração. Nesse sentido, o numerador

e o denominador não representam quantidades isoladas.

Ao aplicar a Teoria dos Campos Conceituais, na análise do conceito de fração, esses

pesquisadores sugerem começar a sua construção

a partir da concepção mais simples de fração e enriquecer essa definição de

fração perguntando qual é o invariante central desse conceito, quais são as

situações nas quais ele é usado e quais são os diferentes tipos de

representação relacionados a ele (NUNES et al., 2003, p. 1).

Ao considerarem que diferentes situações podem facilitar a compreensão da

construção do conceito de fração, por parte dos alunos, Nunes et al. (2005) sugerem uma

classificação para a construção desse conceito formada por quatro situações: parte-todo,

quociente, operador e quantidades intensivas.

Apoiados em Behr et al. (1983, 1984), Nunes et al. (2005, 2009) definem situações

parte-todo como aquelas em que um todo é dividido em n partes iguais, tomam-se uma ou

mais partes e a fração correspondente estabelece uma relação entre as partes em que o todo foi

dividido e as partes consideradas na situação. Dessa forma, o denominador indica em quantas

partes iguais o todo foi dividido, ao passo que o numerador indica o número de partes

referentes à situação. Um exemplo dessa situação pode ser um bolo dividido igualmente em 5

partes, das quais tomam-se 2 dessas partes; a fração correspondente a essa situação é 5

2,

sendo que 2 e 5 são partes do bolo.

Situações quociente são situações em que está presente a ideia de partilha na divisão.

Nelas aparecem duas quantidades: o dividendo e o divisor. Estes representam tanto a divisão

como o resultado dessa divisão. Por exemplo: 3 chocolates divididos para 5 crianças, a

41

representação 5

3 indica tanto a divisão, 3 divido por 5, como a quantidade que cada criança

irá receber 5

3.

Situações operador são aquelas que estão relacionadas à ideia de transformação.

Podemos exemplificá-la se considerarmos que 4

1 de 24 representa dividir 24 em quatro

grupos, tomar 1 grupo (NUNES, 2005).

Situações de quantidades intensivas envolvem duas unidades diferentes que podem ser

reunidas em um todo. Por exemplo: “dois terços de suco concentrado e um terço de água”

(NUNES et al., 2005, p. 152).

Assim, ao tomarem como base as ideias de Vergnaud (1990), Nunes et al (2005)

propõem que sejam consideradas as quatro situações (S) aqui descritas, situações essas que

darão significado às frações, determinarão a compreensão dos invariantes (I) ordem e

equivalência e possibilitarão a construção do conjunto das representações (R) possíveis da

quantidade fracionária: decimal, razão, percentual e fracionária.

Dessa forma, partindo da definição de que frações são números, Nunes et al (2003)

analisam os invariantes e apontam para a necessidade de sabermos como a criança entende a

lógica de classes (2

1 =

4

2 =

6

3 etc.) e a lógica das relações assimétricas (

2

1 >

3

1 >

4

1 etc.) da

fração, ou seja, perceber como as crianças compreendem o que são classes de equivalência de

frações e como ordená-las.

Nesse sentido, seus estudos mostram que quando as crianças usam o esquema de

particionamento em situações de parte-todo, elas podem compreender, quanto mais divide o

todo, menor será a fração que representa cada parte. Isso favorecerá a compreensão da

ordenação e equivalência de frações em situações parte-todo. Contudo, de acordo com esses

estudos, para que a criança desenvolva essa compreensão é preciso partir de experiências

concretas, de suas representações e reflexões (NUNES et al., 2009, p. 10).

Segundo Nunes et al. (2009), alguns pesquisadores consideram que “os números

racionais são números do domínio do quociente”. Dessa forma, eles defendem que as

crianças compreenderão, com maior facilidade, as frações se introduzidas por meio do

significado quociente. Outra ideia defendida por esses pesquisadores é que as situações em

que estão presentes a ideia de divisão favorecem a compreensão da equivalência e ordenação

de frações. No entanto, com isso eles não desconsideram a importância em o aluno vivenciar

42

todas as situações em que as frações estão presentes: “Nosso pressuposto é que os alunos

precisam pensar sobre os racionais em todas as situações, mas algumas podem facilitar a

aprendizagem inicial melhor do que outras” (NUNES 2005).

Ainda em sintonia com a Teoria dos Campos Conceituais, esses pesquisadores

consideram que um conceito não é definido por uma única representação, pois isso não

favoreceria a sua total compreensão. Porém essa não é uma ideia fácil. Eles esclarecem que

os símbolos usados para representar frações equivalentes, por exemplo, parece complicado, se

considerarmos que frações equivalentes são designadas por palavra e símbolos numéricos

diferentes.

Seguindo esse pensamento, os seus estudos apontam que as dificuldades dos alunos na

compreensão da equivalência estão relacionadas:

- à percepção e lógica: mesma fração, mesmo todo, diferenças perceptuais e

- ao papel que a linguagem assume na representação: números diferentes

representando a mesma quantidade (2

1 =

4

2) e o mesmo número pode representar

quantidades diferentes (2

1 de 8 e

2

1 de 10). (NUNES et al., 2005).

Já em relação às dificuldades que os alunos apresentam na compreensão da lógica da

ordenação entre frações, Nunes et al. (2005) afirmam que elas são observadas tanto quando as

frações possuem o mesmo denominador como quando elas têm o mesmo numerador.

Apontadas essas dificuldades, a autora apoiada na Teoria de Vergnaud, realiza uma

investigação que lhe permitiu analisar as situações que podem auxiliar na compreensão das

relações assimétricas das frações e em quais situações os alunos entendem melhor os aspectos

lógicos das classes de equivalência.

No primeiro caso, o estudante precisa perceber que em frações com mesmo

denominador, quanto maior o numerador maior será a fração. Já nas frações com mesmo

numerador quanto maior o denominador, menor é a fração. (NUNES, 2005).

A sua investigação partiu do pressuposto de que algumas situações podem facilitar a

compreensão de fração por parte dos alunos, embora eles necessitem, como já foi mencionado

anteriormente, pensar sobre elas em todas as situações. Participaram desse estudo 130 alunos

do 3º, 4º e 5º ano com idades compreendidas entre 7 a 9 anos. O ensino de frações para os

alunos investigados havia sido desenvolvido por meio do significado parte-todo e operador.

Após concluir que “os alunos compreendem a lógica da equivalência de frações

melhor em situações de quociente do que em situações parte-todo” (Nunes et al, 2005) , com

43

base em um programa criado por Streefland, elaboram uma Sequência de tarefas em que eles

sugerem que a introdução do conceito de fração seja realizado por meio de situações

quociente.

A Sequência de tarefas é formada por quatro situações quociente, envolvendo as ideias

de “partilha” e equivalência. Após responderem as duas primeiras situações, é iniciado o

ensino da escrita das quantidades na representação fracionária. A tarefa de equivalência tem o

objetivo de explorar algumas compreensões, segundo a autora, indispensáveis na

aprendizagem da matemática:

1. é possível dividir um número menor por um número maior

2. frações diferentes podem representar a mesma quantidade

3. dobro de coisas a ser divididas e duas vezes mais receptores

resultaria em quantidades equivalentes

4. o maior divisor, quanto menor for o quociente (NUNES et al., 2009,

p. 16).

Sobre o programa desenvolvido por Streefland (1990) para o ensino de frações, Nunes

et al (2005) relatam que este foi

[...] planejado com a finalidade de coordenar o conceito de fração com o

raciocínio multiplicativo, criando explicitamente relações entre as ideias de

fração como medida de quantidades (por exemplo, dois terços) e a ideia de

fração como uma indicação de uma divisão (3

2 é o mesmo que 2 dividido

por 3) (NUNES et al., 2005, p. 159).

Ainda, segundo esses pesquisadores, Streefland sugere que situações em que são

feitas distribuições equitativas favorecem a compreensão, por parte dos alunos, da ideia de

representação fracionária e, particularmente, da ideia da equivalência de frações.

Essas foram, portanto, algumas das ideias que serviram de base para as reflexões que

realizamos com as professoras, durante o processo formativo, sobre o ensino e a

aprendizagem das frações. Além disso, consideramos a importância em estudar o campo

conceitual em que as frações são construídas, ou seja, dada a importância em analisar a

relação entre os conceitos e os invariantes, conhecimentos contidos nos esquemas adotados

pelos alunos na resolução de situações, bem como a análise das situações que torna o

conceito significativo.

A próxima seção deste capítulo será dedicada às considerações que fizemos sobre as

teorias relacionadas à formação de professores.

44

2.3. Teorias que versam sobre a Formação de Professores: reflexões sobre a prática e

conhecimento profissional docente.

Reiteramos que nossa pesquisa buscou, também, fundamentar-se em teorias que tratam

da reflexão sobre a prática e sobre o conhecimento profissional docente. Desta forma,

descreveremos algumas das contribuições contidas nos estudos de Shulman (1986, 1987),

Serrazina (1999) e Ball et al. (2008).

Para analisar o conhecimento profissional docente, tomamos como base os estudos de

Lee Shulman. Neles, buscamos compreender as Categorias de Conhecimento para o Ensino:

Conhecimento do conteúdo; Conhecimento pedagógico de conteúdo e Conhecimento

curricular.

A sua teoria mostra que a organização dos conhecimentos necessários aos professores,

para fundamentar a compreensão do conteúdo, deveria incluir:

• Conhecimento do conteúdo;

• Conhecimento pedagógico geral, com referência especial para aqueles

princípios amplos e estratégias de gestão e organização de sala de aula, que

parecem transcender o conteúdo;

• Conhecimento curricular, com particular domínio dos materiais e

programas que servem como “ferramentas do ofício” para professores;

• Conhecimento pedagógico do conteúdo, amálgama especial de conteúdo e

pedagogia que é ramo do saber unicamente de professores, sua forma

própria especial de entendimento profissional;

• Conhecimento de estudantes e suas características;

• Conhecimento de contextos educacionais, que vão desde o funcionamento

do grupo ou da sala de aula, a governança e o financiamento dos distritos

escolares, para o caráter das comunidades e culturas; e

• Conhecimento dos fins educacionais, propósitos e valores, e seus

fundamentos filosóficos e históricos (SHULMAN, 1987, p. 11).

Observa-se que seus estudos apontam categorias fundamentais relativas ao

conhecimento dos professores para o desenvolvimento do ensino, uma vez que chama a

atenção para a importância tanto do conhecimento do conteúdo e das propostas curriculares

como das habilidades pedagógicas necessárias para desenvolvê-lo. Aspectos esses

considerados, por esse teórico, como a base do conhecimento para o ensino.

O conhecimento pedagógico do conteúdo é considerado, por Shulman, como a mais

importante das três categorias (Shulman, 1987), em razão de o conhecimento pedagógico do

conteúdo apresentar estreita relação do conhecimento do conteúdo com a prática do professor

45

em sala de aula. Portanto é conhecimento que pertence excepcionalmente aos professores. Ele

o define como sendo:

De especial interesse porque este identifica os distintos corpos de

conhecimento de ensino. Ele representa a mistura de conteúdo e pedagogia

dentro de um entendimento de como tópicos particulares, problemas ou

questões são organizados, representados e adaptados para os diferentes

interesses e habilidades dos alunos e apresentados para instrução

(SHULMAN, 1986, p. 6).

Observa-se que uma das ideias apontadas por Shulman, ao definir tal categoria, está

relacionada às concepções, preconceitos e interesses que os alunos apresentam durante o

processo de ensino e aprendizagem e que são essenciais para tornar a aprendizagem de

conteúdos específicos, fácil ou difícil (SHULMAN, 1987, p. 16).

Para o autor, a primeira categoria de conhecimento está relacionada ao conteúdo

específico da matéria a ser ensinada bem como as formas como ele está organizado. De

acordo com Shulman “para pensar apropriadamente sobre o conhecimento do objeto de

estudo, é preciso ir além do conhecimento de fatos e conceitos de um domínio, é necessário o

entendimento de estrutura da disciplina” (SHULMAN, 1987, p. 15).

O conhecimento curricular refere-se aos programas, à variedade de materiais

instrucionais e ao conjunto de características que são ou não indicadas para “o uso de um

currículo particular ou materiais de programas em circunstâncias particulares”

(SHULMAN, 1987, p. 17).

Dessa forma, as contribuições desse teórico para a nossa investigação vieram,

primeiramente, em razão de acreditarmos, assim como ele, ser de fundamental importância o

domínio do conteúdo específico, por parte dos professores, da área a ser ensinada. Sendo

assim, consideramos importante analisar os conhecimentos de conteúdo, curriculares e

pedagógicos dos professores sobre o objeto matemático dessa pesquisa, frações, sobretudo

acerca da utilização de situações parte-todo e quociente para introduzir o conceito de fração.

Da mesma forma, buscamos contribuições também nos estudos de Ball et al (2008),

pois estes ampliam as Categorias de Conhecimento para o Ensino instituídas por Shulman

(1986). Estes pesquisadores estudaram a prática docente e, com base em Shulman, criaram a

Teoria do Conhecimento para o Ensino da Matemática (MTK). De acordo com essa Teoria,

alguns domínios são necessários para o ensino de Matemática: o Conhecimento do Conteúdo

da Disciplina e o Conhecimento Pedagógico do Conteúdo Matemático, os quais eles os

46

subdividem em três vertentes, pois a partir da análise feita sobre a Matemática e o seu ensino,

considera a hipótese de que:

[...] as categorias de Shulman de conhecimento do conteúdo e do

conhecimento pedagógico do conteúdo podem ser subdivididas em

conhecimento do conhecimento comum e conhecimento do conteúdo

especializado, por um lado, e conhecimento do conteúdo e dos estudantes e

conhecimento do conteúdo e do ensino, por outro lado (BALL et al., 2008,

p. 5).

O Conhecimento do Conteúdo Especializado (SCK) é, para os autores, o de maior

interesse, pois “como conhecimento pedagógico do conteúdo, ele é estreitamente relacionado

com a prática [...] ele é conhecimento distintamente matemático, mas ele não é

necessariamente conhecimento matemático familiar aos matemáticos” (BALL et al., 2008, p.

5). Ao passo que o Conhecimento Comum do Conteúdo (CCK) refere-se ao conhecimento que

possui estreita relação com o conteúdo do currículo, porém não a um currículo específico. É o

conhecimento necessário ao professor para reconhecer algoritmos, desenvolver procedimentos

matemáticos e identificar quando os alunos não o fazem de maneira correta. Portanto

insuficiente ao ato de ensinar. Os autores o definem como sendo “o conhecimento que os

professores precisam para serem capazes de fazer o trabalho que eles atribuem aos seus

alunos” (BALL et al., 2008, p. 6).

O Conhecimento do Conteúdo e de Estudantes (KCS) se apresenta quando o professor

é capaz de interpretar o erro do aluno e propor-lhe encaminhamento. É um “Conhecimento

Pedagógico do Conteúdo” (BALL et al., 2008) que demanda que o professor conheça sobre

matemática e sobre os alunos, que seja capaz de fazer antecipações sobre o pensamento

matemático do aluno.

Quanto ao Conhecimento do Conteúdo e do Ensino (KCT), este demanda do professor

conhecer sobre o ensino (a sequência adequada dos conteúdos, escolha de exemplos para

iniciar, bem como para aprofundar o conteúdo, quando e como propor atividades

complementares à aprendizagem) e dominar conteúdos específicos da Matemática.

As categorias definidas por Ball et al (2008) para o conhecimento do conteúdo

necessário ao ensino são representadas pelo esquema a seguir:

47

Figura 1 - As categorias do conhecimento propostas por Shulman (1985) e as correspondentes de Ball et. al.

(2008)

Fonte: Ball et al (2008, p.5)

Considerando nossa temática de investigação: frações e as categorias de Ball, nos

inspiramos em Pereira (2013)10

para apresentar uma interpretação nossa dos tipos de

conhecimentos propostos por Ball et al (2008) para as frações:

Tabela 1 - Nossa interpretação das categorias de Ball et al (2008) referente aos conhecimentos

necessários ao ensino das frações Tipos de conhecimento para o

ensino de Matemática Conhecimento para o ensino de Fração

Conhecimento comum do

conteúdo

Como exemplo de um caso que demonstra o conhecimento básico a todos os

profissionais que estudaram Matemática na escola, sejam professores ou não

consideramos a compreensão da representação de fração de grandezas

contínuas e discretas; operações com fração. Exemplo: entender o significado

matemático da expressão: .4

1,

3

1horadeoufériasdereceber

Conhecimento especializado do

conteúdo

Como exemplo de um caso que demonstra o conhecimento que permite ao

professor prever erros dos estudantes e identificar suas causas e justificar do

ponto de vista da Matemática é possível pensar em propor e saber justificar

uma situação na qual o estudante precise manter o referencial. Numa situação

na qual solicitamos aos estudantes que escrevam qual a fração que exprime a

quantidade de bolo da figura como fração de bolo para a ilustração a seguir,

certamente, encontraremos alunos que indicarão 12

10em vez de

6

10,

provavelmente, porque consideraram os pedaços de bolo como grandezas

discretas e não contínuas.

10

Pereira (2013), em sua tese, apresentou uma tabela que contém a interpretação dos tipos de conhecimentos

propostos por Ball et al (2008), além de exemplos dessas categorias relativos à equação.

48

Conhecimento de conteúdo e de

alunos

Como exemplo ao conhecimento necessário para entender quais são os erros

comuns aos alunos e propor novas estratégias de ensino, podemos citar o

seguinte caso:

Um procedimento equivocado dos alunos para efetuar a adição de frações é

adicionar numeradores e denominadores. Sabendo que os estudantes trazem

do seu conhecimento intuitivo a ideia de metade, depois de identificar tal

equívoco, o professor pode propor que eles efetuem a operação 2

1

2

1 e

que comparem o resultado. Possivelmente os estudantes utilizarão o mesmo

raciocínio e encontrarão 4

2 . O que, possivelmente, os desestabilizará, pois

sabem, mesmo que informalmente, que duas metades formam um inteiro ou

2

1

2

1 = 1.


ensino

Como exemplo ao conhecimento de conteúdo e de ensino que relaciona a

compreensão de conteúdos específicos da Matemática com questões

pedagógicos que podem interferir no processo de ensino e aprendizagem,

podemos citar a compreensão da necessidade de trabalhar com os diferentes

tipos de situações a fim de construir o conceito de fração.


currículo

Como exemplo do conhecimento que o professor deve ter do conteúdo e do

currículo podemos citar o conhecimento que ele tem de quais seriam as

situações propostas para cada segmento de ensino que o professor leciona.

Por fim, buscamos bases teóricas em estudos realizados por Serrazina (1999) em que

ela, apoiada por Shulman, Ball et al e outros teóricos, investiga sobre aspectos relacionados ao

conhecimento profissional, apontado como “indispensável para desempenhar com sucesso

uma actividade profissional” (SERRAZINA, 1999, p. 140). Em seu estudo, ela destaca,

também, o papel da reflexão para a mudança de concepções e na aquisição de conhecimentos.

Partindo de uma pesquisa de caráter qualitativo e investigativo, desenvolvida com três

professoras da cidade de Lisboa em Portugal, no período de três anos, Serrazina, assumiu uma

postura de investigadora e formadora e realizou um estudo reflexivo e colaborativo em que as

professoras envolvidas “reflectiam sobre as suas práticas, discutiam e partilhavam

significados, aprofundando os conhecimentos de matemática e sobre o seu ensino e

aprendizagem” (SERRAZINA, 1999, p. 147).

A proposta era que, refletindo sobre o que ensinavam e como ensinavam e sendo

capazes de avaliar as suas práticas, as professoras mudariam a maneira como ensinavam. O

que ficou confirmado nos resultados da pesquisa: “[...] mudanças nas práticas parecem

ocorrer quando os professores ganham autoconfiança e são capazes de refletir nas suas

práticas” (SERRAZINA, 1999, p. 163).

Nesse sentido, consideramos assim como Serrazina (1999) que desenvolver um

processo formativo no qual é dada às professoras a oportunidade de refletir sobre o seu

trabalho em sala de aula, permitirá que elas “desenvolvam confiança nas suas capacidades e

49

sintam vontade de aumentar o seu conhecimento de Matemática e sobre a Matemática”

(SERRAZINA, 1999, p. 163). Defendemos, assim como a autora, que isso influencia o

desenvolvimento da atuação do professor em sala de aula e, consequentemente, a

aprendizagem dos alunos.

Ainda segundo essa pesquisadora, na literatura há uma vasta perspectiva teórica

relacionada a esse tema e a maioria dos autores comunga do pensamento de que o

conhecimento profissional docente é “composto por várias vertentes, sendo uma delas o

conhecimento do conteúdo a ensinar” (SERRAZINA, 1999, p. 140).

Foi com base nas teorias descritas que realizamos nossa pesquisa. Elas fundamentaram

a análise das informações produzidas no decorrer da investigação.

50

CAPÍTULO 3 – A PESQUISA: PROCEDIMENTOS

METODOLÓGICOS E O PROCESSO FORMATIVO

Neste capítulo, nos dedicaremos a apresentar os procedimentos metodológicos da

nossa pesquisa e o percurso da formação. Sendo assim, ele está organizado em quatro partes:

na primeira, serão descritas as características de uma pesquisa qualitativa; a segunda será

dedicada a apresentar o contexto da pesquisa e os procedimentos para a coleta e análise das

informações produzidas; na terceira, serão apresentados os instrumentos diagnósticos. Por

fim, a quarta parte será destinada à descrição do processo formativo.

Vale relembrar que o objetivo deste estudo consiste em analisar as mudanças de



curso de formação continuada.

Para atender tal proposta, desenvolvemos, a partir da análise de um questionário

diagnóstico, um processo formativo que nos permitiu proceder à coleta de informações.

Foram também fontes de coleta de dados, a entrevista e a observação em sala de aula de uma

atividade realizada pelos nossos sujeitos de pesquisa para introduzir o ensino de frações com

seus alunos; ambas desenvolvidas um ano após a realização da formação.

3.1. Pesquisa Qualitativa

Consideramos que a nossa pesquisa é de natureza qualitativa, uma vez que apresenta

as características deste tipo de investigação apontada por Bogdan e Biklen (1999, p. 47-50),

quais sejam:

1. Na investigação qualitativa a fonte direta de dados é o ambiente natural,

constituindo o investigador o instrumento principal;

2. A investigação qualitativa é descritiva. [...] Tentam analisar os dados em

toda a sua riqueza, respeitando, tanto quanto o possível, a forma em que

estes foram registrados ou transcritos;

3. Os investigadores qualitativos interessam-se mais pelo processo do que

simplesmente pelos resultados ou produtos. [...] Este tipo de estudo foca-se

no modo como as definições (as definições que os professores têm dos

alunos, as definições que os alunos têm de si próprios e dos outros) se

formam;

51

4. Os investigadores qualitativos tendem a analisar os seus dados de forma

indutiva;

5. O significado é de importância vital na abordagem qualitativa. [...] Os

investigadores qualitativos estabelecem estratégias e procedimentos que

lhes permitam tomar em consideração as experiências do ponto de vista do

informador (BOGDAN et al., 1999, p. 47-50).

No intuito de atender a essas características, parte do nosso estudo foi desenvolvido

em sala de aula. Durante a formação, foi proposta a realização de uma atividade sobre frações,

desenvolvida com os alunos dos nossos sujeitos, que nos permitiu observar a atuação das

professoras; na transcrição dos dados fizemos o registro fiel dos depoimentos e das reflexões

das professoras. Outra característica que buscamos atender e que caracteriza o nosso estudo

como qualitativo diz respeito ao fato de termos voltado o nosso olhar para todo o percurso da

formação. Todos os acontecimentos foram analisados e só posteriormente fizemos inferências

sobre os fatos observados. Por fim, em todas as análises, levamos em consideração

experiências vivenciadas por nossos sujeitos ao longo e depois de sua formação e atuação

profissional.

Na próxima seção, será descrito o contexto em que a pesquisa foi realizada.

3.2. Contexto da Pesquisa

Inspirados no desejo de buscar respostas à nossa questão de pesquisa, “Quais são as

mudanças de concepções dos professores participantes de um processo de formação

continuada que buscou ampliar os conhecimentos necessários ao ensino de fração?”

iniciamos o nosso estudo, no primeiro semestre de 2012, com a revisão de literatura na qual

buscamos dissertações e teses relacionadas aos números racionais, especialmente, aquelas

dedicadas à compreensão dos processos de ensino e de aprendizagem e as que investigaram a

formação de professores nos últimos anos. Para essa revisão também analisamos alguns

artigos que discutiram tal temática.

Ao tempo em que fazíamos a revisão de literatura, planejávamos a nossa investigação.

Esta foi desenvolvida no contexto de um processo formativo, do qual participou um grupo de

18 professoras da rede estadual de ensino do Estado de São Paulo. O grupo foi constituído de

acordo com as normas do Projeto Observatório da Educação da Universidade Anhanguera que

reúnem pesquisadores em Educação Matemática e professores que ensinam Matemática para

os anos iniciais do Ensino Fundamental. A proposta desta pesquisa foi a constituição de um

52

grupo colaborativo de formação e pesquisa, cuja finalidade era promover e analisar o

conhecimento profissional docente das professoras em formação sobre a introdução do

conceito de fração, quando estão imbuídas “de promover inovações pedagógicas em suas

aulas, decorrentes da discussão de resultados de pesquisas em Educação Matemática”

(Projeto Observatório, 2010, p. 2).

O nosso estudo foi desenvolvido em três fases: na primeira fase elaboramos,

aplicamos e analisamos dois instrumentos diagnósticos, o que nos permitiu planejar a

próxima fase da investigação. Na segunda fase realizamos uma formação e na terceira,

ocorrida um ano após o processo formativo, entrevistamos nossos sujeitos de pesquisa e

retornamos à escola para observar a aula que eles planejaram para introduzir o ensino de

frações aos seus alunos.

Dessa forma, a coleta de dados foi realizada em 10 sessões: 2 dedicadas à aplicação e

análise dos instrumentos diagnósticos, a partir da qual organizamos a intervenção que foi

desenvolvida em 6 sessões de formação e a entrevista e observação da aula das professoras,

em 2 sessões.

Durante a formação procuramos dar a oportunidade, às professoras participantes, de

refletirem sobre a introdução do conceito de fração, especialmente, por meio dos

significados parte-todo e quociente utilizando-se de diferentes metodologias. Para introduzir

o conceito, por meio da situação quociente, propomos a vivência de uma Sequência de

tarefas elaborada pela Professora Terezinha Nunes e sua equipe e que foi desenvolvida pelos

pesquisadores na Universidade Oxford e aplicadas em escolas inglesas, portuguesas e

brasileiras. Para discutir a situação parte-todo, fizemos uso da literatura infantil com o livro

“O pirulito do pato” do Nilson José Machado.

Antes de descrever o processo formativo, vamos apresentar os instrumentos

diagnósticos: um questionário de entrada que nos permitiu conhecer o perfil dos sujeitos de

pesquisa e um segundo questionário composto de duas partes: na primeira, foi solicitada às

professoras a elaboração e resolução de situações sobre fração e, na segunda parte, a

resolução de doze situações sobre frações com os significados parte-todo e quociente.

Faremos também a apresentação de uma breve análise das respostas das professoras a esses

instrumentos, uma vez que utilizamos esses dados no planejamento do processo formativo.

53

3.3. Primeiro Instrumento Diagnóstico: Questionário de Entrada

O primeiro instrumento diagnóstico (APÊNDICE 1), composto de onze questões com

a finalidade de traçar o perfil acadêmico e profissional das professoras envolvidas na

pesquisa, procurou analisar a formação e atuação em relação à aprendizagem e ao ensino de

Matemática, em especial, sobre frações.

O questionário, além de nos fornecer informações importantes para o planejamento do

processo formativo, possibilitou também, durante a formação, que as professoras refletissem e

avaliassem o seu desempenho sobre o tema investigado.

3.3.1. Perfil das professoras participantes da formação

A formação foi desenvolvida com um grupo constituído por 18 professoras dos anos

iniciais do Ensino Fundamental, todas pertencentes a escolas ligadas à Diretoria de Ensino

Norte 2. Dessas, apenas 15 responderam ao questionário, o que nos permitiu perceber que:

- Quanto à formação: das 15 professoras que responderam ao questionário, 11

possuíam formação inicial em Magistério, o que corresponde a 73% delas. Dessas, 93%

fizeram curso superior, a maioria em Pedagogia e aproximadamente, 27% cursaram Pós-

graduação Latu Sensu.

- Com relação à atuação profissional: aproximadamente 47% estavam no Magistério

há mais de 20 anos, o que caracteriza que, no geral, as professoras participantes do processo

formativo possuíam uma larga experiência profissional.

No que se refere ao aprendizado da Matemática, especialmente em relação aos

processos de ensino e aprendizagem das frações, durante a formação inicial, mesmo aquelas

que tiveram em seus cursos de graduação a disciplina Metodologia da Matemática, afirmaram

não terem sido suficientemente formadas para o ensino da Matemática, tão pouco para o

ensino das frações.

54

3.3.2. Segundo Instrumento Diagnóstico: as Situações

Reiteramos que o segundo instrumento diagnóstico aplicado às professoras constituiu-

se de duas partes (APÊNDICE 2). Na primeira parte, foi solicitado às docentes a elaboração e

resolução de 05 situações que elas utilizam para introduzir as frações para alunos de 9 ou 10

anos. A segunda parte, composta por 12 itens, na qual procuramos analisar a resolução de

problemas envolvendo diferentes situações com frações (parte-todo e quociente) pelas

professoras. Tal questionário nos permitiu analisar o Conhecimento Profissional Docente.

Acreditávamos que a aplicação desse questionário, de caráter diagnóstico, nos

permitiria identificar as diferentes concepções sobre a fração e seu ensino. Coletamos estes

dados em duas sessões que antecederam a formação. Ressalte-se que a aplicação dos

instrumentos diagnósticos foi realizada de maneira individual. Ressalte-se também, que cada

professora, individualmente, resolveu às situações por ela elaborada.

Na análise da primeira parte do questionário, percebemos que as professoras

elaboraram 68 situações, das quais a maioria, 57,35%, era relacionada ao significado parte-

todo e 23,5% ao significado operador. Tal fato parece confirmar pesquisas recentes (Garcia

Silva (2007); Cardoso e Mamede (2010); Garcia Silva e Canova (2011)) que indicaram haver

uma forte tendência por parte das professoras em trabalhar o conceito de fração utilizando o

significado parte-todo seguida do significado operador.

Ao solicitar a elaboração de situação procuramos investigar os conhecimentos do

conteúdo e do ensino, Ball et al (2008), das professoras sobre os significados de fração.

De modo geral, a análise dessa primeira parte do segundo instrumento diagnóstico,

revelou que pode haver restrição na seleção, organização e proposição de atividades, por parte

das professoras, sobretudo porque não utilizam das situações quociente. Nesse sentido, tais

indícios nos permitiram verificar haver necessidade de aprofundar as discussões sobre este

tipo de situação com o grupo, durante o processo formativo.

Na segunda parte do questionário objetivávamos analisar a compreensão que as

professoras tinham dos significados parte-todo e quociente por meio da resolução de situações

que nos permitiram avaliar tanto o conhecimento das professoras sobre o conteúdo como

também o conhecimento sobre os processos de ensino e aprendizagem das frações.

Para tanto, apresentamos doze situações envolvendo os dois significados, nos quais

exploramos a representação e os invariantes da fração (ordem, equivalência) fundamentados na

Teoria dos Campos Conceituais e nos estudos de Nunes (2003). A tabela 2 identifica os tipos

de situação apresentados no instrumento:

55

Tabela 2 - Situações propostas no 2º instrumento diagnóstico.

Situação

Representação de fração

Invariantes da fração

Ordem Equivalência

Parte-todo 1, 2, 4, 5, 6, 12 3 5 e 6

Quociente 7, 8, 9, 10, 11, 12 10 7

Com esse instrumento pretendíamos avaliar tanto o conhecimento das professoras

sobre o conteúdo como o conhecimento sobre os processos de ensino e aprendizagem de

frações, sendo 9 situações relacionadas ao primeiro aspecto e 3 ao segundo.

No primeiro item, procuramos avaliar o conhecimento das docentes sobre uma

situação de nível fácil. Para tanto, apresentamos uma questão retirada do Saresp11

- 2010, cuja

porcentagem de acerto foi cerca de 72% entre os estudantes do 5º ano do Ensino Fundamental.

A habilidade descrita para esse item na avaliação é a de analisar se os alunos identificavam

diferentes representações de um mesmo número racional. Nesta questão o aluno teria que

identificar a representação figural (parte-todo) para a fração 12

7.

1. (SARESP, 2010) As duas figuras cuja parte pintada corresponde à fração 12

7

são:

Figura 2 - Primeira situação parte-todo proposta no instrumento diagnóstico

11

SARESP - Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo é uma avaliação externa da

Educação Básica, realizada desde 1996 pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo – SEE/SP.

56

Pretendíamos com a segunda situação propor uma questão mais usual, que

normalmente é encontrada em livros didáticos. Objetivávamos ainda, assim como Garcia

Silva (2007) verificar se as professoras compreendiam que: “[...] a solução requer a

comparação entre partes e o todo e que para haver fração, o todo deve ser dividido em partes

iguais” (GARCIA SILVA, 2007, p. 144).

Para o segundo item, procuramos uma situação que constasse no currículo oficial.

Nesse sentido, propomos a seguinte situação presente no Programa de Orientações

Curriculares - Caderno de Apoio e Aprendizagem Ler e Escrever, do 4º ano, 2010 da

Prefeitura da cidade de São Paulo.

2. (Prefeitura de São Paulo, 2010) Rafael dividiu uma torta em oito pedaços

iguais e comeu dois. Qual a fração que representa o pedaço que Rafael comeu?

a) 8

2 b)

8

6 c)

6

8 d)

2

8

Figura 3 - Segunda situação parte-todo proposta no instrumento diagnóstico

Trata-se de um problema de representação de frações e que aborda o significado parte-

todo. Diferentemente da primeira situação proposta, esta não apresenta ícone, mas também

pode ser resolvida por meio da dupla contagem, indicando no denominador a quantidade de

pedaços em que Rafael dividiu a torta e no numerador a quantidade de pedaços que ele

comeu.

A terceira situação foi utilizada no instrumento aplicado por Costa (2011) com o

objetivo de avaliar as competências e estratégias de ensino dos professores especialistas em

Matemática em relação ao significado parte-todo de fração.

57

3. Bruna e Victor receberam uma barra de chocolate de mesmo tamanho cada

uma. Bruna comeu 5

3do chocolate dela e Victor comeu

4

3 do chocolate dele.

Quem comeu mais chocolate, Bruna ou Victor? Um aluno deu a seguinte resposta: Bruna e Victor comeram o mesmo tanto, porque os dois comeram três pedaços dos seus chocolates.

- Na sua concepção a resposta do aluno está: ( ) Certa ( ) Errada

- Por que está certo? ou Por que está errado?

- Como você resolveria o problema? Você pode resolver por escrito, por meio de operações ou qualquer tipo de representação.

- Que estratégia de ensino você usaria para explicar para a classe a melhor

forma de resolver o problema?

Figura 4 - Terceira situação parte-todo proposta no instrumento diagnóstico

Nossa opção em escolher esta situação se deve ao fato de ela possibilitar a análise do

que Ball et al (2008) identificam como conhecimento do conteúdo e dos estudantes. Nela está

presente a ideia do invariante ordem. Nunes et al (2003) consideram as relações assimétricas

apresentadas por frações com um mesmo numerador como uma das dificuldades relacionadas

ao ensino da ordenação de fração. Segundo seus estudos, as crianças precisam aprender a

pensar nas relações direta e inversa da fração: para denominadores iguais, quanto maior o

numerador, maior é a fração, enquanto que, para numeradores iguais, quanto maior o

denominador, menor é a fração.

A situação a seguir é semelhante a uma utilizada por Rodrigues (2005). Com ela

pretendíamos observar se as professoras manteriam o referencial ao representar as respectivas

frações de pizzas que sobraram nas mesas 1 e 2.

58

4. Na padaria do Senhor Joaquim são oferecidas pizzas como a representada a seguir:

O garçom foi retirar duas mesas - mesa 1 e mesa 2- e observou que os

fregueses não comeram todos os pedaços de pizza.

Analisando a situação podemos afirmar que:

a) A fração de pizza que representa a quantidade da sobra observada na Mesa 1 é _______.

b) A fração de pizza que representa a quantidade da sobra observada na Mesa 2 é ________.

Figura 5 - Quarta situação parte-todo proposta no instrumento diagnóstico

Os itens 5 e 6 foram retirados do instrumento da pesquisa realizada por Canova

(2013). Ambas são situações de representar frações a partir do significado parte-todo.

5. O índio corta a sua pizza em 4 partes iguais e come uma parte. A índia corta a sua pizza em 8 partes iguais e come duas partes. As pizzas são idênticas. Represente a fração que cada um comeu.

O índio irá comer mais do que a índia

A índia irá comer mais do que o índio

O índio irá comer tanto quanto a índia Porque _______________________________________________________________ _________________________________________________________________________

Figura 6 - Quinta situação parte-todo proposta no instrumento diagnóstico

59

Na situação 5 é explorado o invariante lógico da equivalência de frações, ideia

importante para a construção do conceito de fração, mas de difícil compreensão por muitos

alunos, uma vez que, segundo Nunes et al. (2003), “[...] a equivalência de frações é

designada por palavras diferentes – uma metade, dois quartos – e diferentes signos – 2

1,

4

2.”

(NUNES, et al, 2003, p. 3).

Com a situação 6 pretendíamos verificar se as professoras reconheciam o invariante

lógico da ordenação da fração em situações parte-todo e como elas lidavam com essa ideia,

considerada também fundamental no estudo das frações.

6. Ana divide seu chocolate em 7 partes iguais e come 4 partes. Marta divide seu chocolate em 10 partes iguais e come 5. Os chocolates são idênticos. Represente a fração que cada uma comeu.

Ana comeu mais do que Marta

Marta comeu mais do que Ana

Ana comeu tanto quanto a Marta

Porque _______________________________________________________________ _________________________________________________________________ ________________________________________________________________

Figura 7 - Sexta situação parte-todo proposta no instrumento diagnóstico

Em sintonia com a Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud e com outros estudos

relacionados às frações, como os de Kieren (1988) e Nunes et al. (2003), procuramos perceber

se as professoras demonstravam compreender os invariantes equivalência e ordem de frações

em situações parte-todo.

60

Em seguida, apresentamos às professoras seis situações que envolviam o significado

quociente. A primeira situação proposta sobre esse significado é semelhante a uma utilizada

por Rodrigues (2005), Garcia Silva (2007) e adotada por Canova (2013), inspirados em uma

situação proposta por Nunes et al (2003), quando estes pesquisadores analisavam a

compreensão dos sujeitos envolvidos, sobre equivalência entre frações.

7. Nove meninos irão dividir igualmente 6 pizzas e não deve sobrar nada.Três meninas irão dividir igualmente 2 pizzas e também não deve sobrar nada. As pizzas são idênticas. Represente a fração que cada criança irá receber de pizza.

Cada menino come mais do que cada menina

Cada menino come menos do que cada menina

Cada menino come tanto quanto cada menina Porque _______________________________________________________________ _________________________________________________________________ ________________________________________________________________

Figura 8 - Primeira situação quociente proposta no instrumento diagnóstico

Trata-se, primeiramente, de uma situação de representar frações, mas também traz o

invariante equivalência, em que é solicitada uma justificativa que nos permitiu avaliar se as

professoras demonstravam compreender esse invariante da fração em situação quociente, uma

vez que os estudos de Nunes et al (2003) apontam que os alunos compreendem mais

facilmente a equivalência de frações em situações quociente.

As situações 8 e 9 exploram a representação de frações relacionada ao significado

quociente.

61

8. Foram divididos, igualmente, 4 chocolates para 5 crianças. Que fração representa o que cada criança recebeu?

Figura 9 - Segunda situação quociente proposta no instrumento diagnóstico

A situação 8 foi utilizada por Garcia Silva (2007) inspirada em estudos de Nunes et al.

(2003) e Streefland (1984). Segundo essa pesquisadora, esses estudos sugerem que o ensino

dos números racionais na representação fracionária deve ser iniciado a partir de situações da

vida real, utilizando-se de problemas em que estão presentes a ideia de divisão.

9. Dois bolos idênticos foram divididos igualmente para 5 pessoas. Quanto recebeu cada uma?

Figura 10 - Terceira situação quociente proposta no instrumento diagnóstico

A situação 9 foi utilizada nos estudos de Costa (2011), também apoiado em Nunes et

al (2003). Com ela, pretendíamos verificar se as professoras observavam a fração como a

representação de uma divisão.

A questão, a seguir, é uma situação de representação, mas tem, ainda, o objetivo de

explorar a ordenação de fração por meio da situação quociente. Nela, é possível também, por

meio da justificativa à resposta apresentada pela professora, avaliar a sua compreensão desse

invariante.

62

10. Numa pizzaria havia duas mesas ocupadas: uma com 4 meninas e outra com 5 meninos. Para a mesa das meninas foram pedidas 2 pizzas e para a mesa dos meninos foram pedidas 4 pizzas.

- Escreva o número que representa a parte de pizza que cada um comeu.

As meninas: _________________

Os meninos: _________________

- Quem comeu mais, cada menina ou cada menino? Por quê?

__________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________

Figura 11 - Quarta situação quociente proposta no instrumento diagnóstico

Essa questão foi utilizada na pesquisa realizada por Cardoso (2009), com alunos do 6º

Ano, na qual a pesquisadora procurou perceber o conhecimento desses alunos sobre o

conceito de fração nas situações quociente, parte-todo e operador. Em seu estudo, ela

verificou que:

Apesar das situações Parte-todo e Operador serem as mais trabalhadas em

contexto de sala de aula, os alunos revelaram melhor desempenho em

tarefas sobre a equivalência e ordenação de fracções em situação Quociente

(CARDOSO, 2009, p. V).

Os itens 11 e 12 foram inspirados na Prova de Mérito12

realizada com os professores

da Educação Básica I e II da rede estadual de São Paulo, no dia 26 de julho de 2012, pela

Fundação VUNESP13

, com o objetivo de avaliar competências e habilidades que são exigidas

para os servidores da rede estadual e consequente promoção.

Dessa forma, pretendíamos analisar o desempenho das professoras nesse tipo de

situação em que mais uma vez procurávamos avaliar os domínios necessários para o ensino da

12

Trata-se de uma prova realizada em um processo de promoção. A prova versou sobre os perfis de

competências e habilidades requeridos para integrantes do Quadro do Magistério da rede estadual de São Paulo,

de acordo com a bibliografia estabelecida na Resolução SE 70, de 26-10-2010 e na Resolução SE 13, de 3-3-

2011. 13

Fundação para o Vestibular da Universidade Estadual Paulista.

63

Matemática apontados por Ball et al (2008), referentes a duas das três vertentes do

Conhecimento Pedagógico do Conteúdo: conhecimento do conteúdo e dos estudantes (KCS) e

conhecimento do conteúdo e do ensino (KCT).

11. A professora propôs o problema: “dividir três chocolates igualmente entre quatro amigos. Quanto receberá cada um?”

Nívea apresentou a seguinte resposta:

- O que você pode afirmar a respeito da resolução apresentada pela aluna?

- Quais propostas você indicaria a professora para intervir diante da

resposta da aluna?

Figura 12 - Quinta situação quociente proposta no instrumento diagnóstico

Com isso, nossa intenção, ao propor a questão 11, era perceber a análise que as

professoras fariam do erro da aluna e quais as intervenções e estratégias de ensino elas

proporiam a partir de tal análise. Nesse sentido, esperávamos que as professoras percebessem

que a aluna sabia representar as frações 2

1 e

4

1, todavia ela havia cometido um equívoco ao

adicionar numeradores e denominadores como se fossem dois números naturais. Assim, as

professoras poderiam indicar como proposta de intervenção que a aluna efetuasse a operação

64

2

1

2

1 e que comparasse o resultado encontrado (provavelmente

4

2) com cada uma das

parcelas (2

1), uma vez que analisando o protocolo observamos que o aluno compreende o

significado de 2

1 e, portanto, deve saber também que duas metades formam um inteiro ou

2

1

2

1 = 1. Nesse sentido, a professora desequilibraria a ideia do esquema utilizado pela

estudante favorecendo a busca de novas estratégias utilizando, por exemplo, a equivalência de

frações.

Além do que foi exposto, as professoras poderiam também sugerir, por exemplo, que a

aluna olhasse para as divisões que ela fez dos chocolates e as analisassem na tentativa de

perceber, por exemplo, que metade do chocolate é o mesmo que duas quantidades de quartos,

ou seja, 4

2

2

1 . Dessa forma,

4

2

2

1poradiçãonaasubstituidserpoderiafraçãoa . Assim a

aluna poderia juntar os 2 pedaços de quartos com 1 pedaço de quarto e obter os 3 pedaços de

quartos, ou seja, 4

3

4

1

4

2 .

Na questão, a seguir, pretendíamos analisar outra vertente do Conhecimento

Pedagógico do Conteúdo Matemático: o conhecimento do currículo (KCC) (Ball et al., 2008).

12. No concurso de mérito foi apresentada aos professores a seguinte questão:

No guia de Planejamento e Orientações Didáticas – 4ª série é discutida a necessidade

de apresentar aos alunos diferentes significados das frações. A seguir são apresentadas

quatro questões cujas respostas podem ser indicadas pela fração 5

2.

I. Dividir dois chocolates igualmente entre cinco amigos.

II. Dividir um bolo em cinco partes e comer duas dessas partes.

III. Adicionar 5 ovos para cada 2 copos de farinha.

IV. Dividir um retângulo em 5 partes iguais e pintar 2.

Os significados apresentados nessas situações são respectivamente:

(A) Parte-todo, parte-todo, quociente e razão.

(B) Quociente, parte-todo, parte-todo e razão.

(C) Quociente, parte-todo, razão e parte-todo.

(D) Razão, parte-todo, quociente e quociente.

(E) Parte-todo, quociente, parte-todo e razão.

- Se você participasse do concurso, como você responderia a questão? Você considera

que essa foi uma questão fácil? Justifique.

__________________________________________________________________

Figura 13 - Situações quociente, parte-todo e razão proposta no instrumento diagnóstico

65

Por fim, com a situação 12 objetivávamos perceber a capacidade das professoras em

reconhecer diferentes significados de fração.

A tabela a seguir representa o número de professoras que apresentaram uma resposta

esperada e as que apresentaram outras respostas para cada situação e, ainda, a quantidade de

professoras que não responderam:

Tabela 3 - Número de professoras que apresentaram uma resposta esperada ou outras respostas às situações

propostas no 2º instrumento diagnóstico ou que não responderam

Situação / Significado Respostas

esperada

Outras respostas Não respondeu

1 / Parte-todo 16 2 -

2 / Parte-todo 18 -

3 / Parte-todo 10 6 2

4 / Parte-todo Item a 17 1 -

Item b 12 06 -

5 / Parte-todo Item a 18 - -

Item b 18 - -

6 / Parte-todo Item a 18 - -

Item b 18 - -

7 / Quociente Item a 12 4 2

Item b 7 10 1

8 / Quociente 10 8 -

9 / Quociente 16 2 -

10 / Quociente Item a 13 4 1

Item b 11 06 1

11 / Quociente

12 / Quociente 10 3 5

Analisando os dados descritos na tabela acima, percebemos que o número de respostas

esperadas, apresentadas nas situações em que foi explorado o significado parte-todo foi

66

bastante significativo, pois verificamos que todas as professoras responderam de maneira

assertiva três das seis situações propostas, o que representa uma média de 50%.

No entanto, numa análise mais refinada, pudemos observar que apenas dez professoras

reconheceram o invariante ordem (situação 3), apontado por Nunes et al (2003) como uma

ideia fundamental para a compreensão do conceito de fração, mas também como uma das

dificuldades relacionadas ao ensino das frações. Outro aspecto observado foi quanto à

conservação da unidade de referência (situação 4; item b): somente doze das dezoito

professoras mantiveram o referencial. Na construção do conceito de fração, a compreensão do

papel da unidade de referência é um elemento de fundamental importância da mesma forma

como apontou o estudo de Campos et al, 2007.

Em relação às situações em que era explorado o significado quociente, observamos

que a média de respostas esperadas foi inferior à média observada nas situações parte-todo.

Da análise que fizemos dos protocolos, alguns aspectos nos chamaram a atenção:

primeiramente o fato de que mesmo em relação à situação 9, em que o número de acertos foi

maior que nas demais, percebemos que da mesma forma que Nunes e colegas (2003)

observaram, as professoras não chegaram a uma solução imediata, ou seja, elas não

reconheceram a fração como a representação de uma divisão. Para representar a fração

correspondente à situação, elas recorreram à ideia de partição. Isso talvez tenha sido o motivo

pelo qual muitas delas não tenham conseguido resolver corretamente as situações com

significado quociente. O que nos faz inferir que a transferência do conhecimento adquirido

em situações parte-todo para situações quociente nem sempre ocorre, havendo assim a

necessidade do ensino desse significado.

Nesse sentindo, de maneira geral, ao analisar a resolução das professoras às situações

propostas que envolviam diferentes significados verificamos que as docentes demonstraram

dificuldades ao resolver aquelas que apresentavam significado quociente, sobretudo, a que

tratava do invariante equivalência. Analisando as estratégias utilizadas observamos que todas

as professoras utilizaram-se de estratégias ligadas a partição, o que é mais um indício de que,

possivelmente, promoviam, antes do processo formativo, o ensino utilizando, sobretudo, do

significado parte-todo.

Com base nestes dados, planejamos o processo formativo com a proposta inicial de

discutir estes dois significados da fração (parte-todo e quociente) nas seis sessões de

formação.

A escolha em trabalhar com os significados parte-todo e quociente se justifica

primeiramente por considerarmos, assim como já foi apontado em outros estudos, que o

67

ensino do conceito de frações, por meio da abordagem de um único significado não é

suficiente para a compreensão de todas as ideias presentes nesse conceito. Além disso,

documentos oficiais como os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) apontam para a

necessidade de o professor desenvolver, ainda nos primeiros anos do Ensino Fundamental, o

ensino dos números racionais por meio desses dois significados (BRASIL, 1997, p. 54).

No que se refere ao significado parte-todo, mais especificamente, a nossa escolha se

justifica em razão de termos percebido, por meio da análise dos instrumentos diagnósticos,

que as professoras participantes da formação utilizavam-se, exclusivamente, desse

significado, uma vez que apresentaram maior número de acertos às situações parte-todo.

Porém, as soluções apresentadas às situações revelaram fortes indícios de que elas realizavam

o ensino de maneira procedimental, sem a percepção da relação existente entre numerador e

denominador.

Em relação a esse fato, alguns estudos afirmam que muitas vezes os professores

utilizam-se sempre de inteiros divididos em áreas iguais, favorecendo a percepção de que a

dupla contagem garantirá a representação correta da fração. Campos et al (1995), por

exemplo, já observava esse fato:

O modelo parte-todo (...) é tal que o professor apresenta sempre situações

típicas, por exemplo, o inteiro sempre dividido em partes iguais em que o

método de dupla contagem leva sempre a interpretações corretas. Dessa

forma, a simples contagem de partes leva à linguagem correta para indicar

a fração, sem que o aluno interprete, necessariamente, a fração como uma

relação entre a parte e o inteiro enquanto unidade (CAMPOS et al, 1995,

p.4).

Percebemos ainda, que algumas ideias contidas também nesse significado precisavam

ser melhor compreendidas por elas, como por exemplo a ideia de equivalência. A partir dessa

percepção, concordamos com as pesquisas que indicam que o ensino das frações apenas por

meio do significado parte-todo não é suficiente para a compreensão desse conteúdo e que

haveria a necessidade de aprofundar a discussão de questões relativas aos processos de ensino

e de aprendizagem envolvendo a relação parte-todo.

Em relação ao significado quociente, a nossa escolha está apoiada nos estudos que

apontam que esse significado pode favorecer a introdução do conceito de fração, se

considerarmos, por exemplo, que ele pode ser indicado como uma divisão e que tal ideia já

está presente em experiências vivenciadas pelos alunos em contextos da vida diária Nunes et

al (2005) inspirados em pesquisas realizadas por Streefland (1984).

68

Sendo assim, a nossa intervenção foi pautada em discussões e análises sobre as

possibilidades de introdução do conceito de fração por meio desses dois significados, de

modo que as professoras tivessem a oportunidade de refletir sobre suas práticas e sobre

resultados de pesquisa na área, de forma a ampliar os conhecimentos já construídos por elas.

3.4. O Percurso da Formação

O grupo investigado foi constituído por professoras que lecionavam para os anos

iniciais da rede estadual de São Paulo que participaram de um curso de formação continuada

desenvolvido por pesquisadores em Educação Matemática, no âmbito do Projeto Observatório

da Educação.

O módulo de formação em que foi abordado o tema Representação fracionária do

número racional, ocorreu no período de 04/09/2012 a 27/11/2012, com uma carga horária de

24 horas presenciais e 6 horas à distância. As atividades à distância foram realizadas em sala

de aula, com alunos de professoras participantes da formação. A respeito de tais atividades,

teremos uma seção deste trabalho dedicada à apresentação das informações coletadas durante

a sua realização, bem como a análise acerca das mesmas.

Toda a formação foi realizada por uma professora do Programa de Mestrado em

Educação Matemática da Universidade Anhanguera de São Paulo, acompanhado por outra

professora do Programa e uma doutoranda e observado pela mestranda que realiza esta

investigação.

Duas das oito sessões realizadas foram dedicadas à aplicação e análise dos

instrumentos diagnósticos já descritos anteriormente. Durante a análise das questões, feita

com os grupos, foi possível observarmos as primeiras reflexões das professoras sobre os

processos de ensino e aprendizagem de frações. A análise fez com que nossos sujeitos

tomassem consciência das suas dificuldades mesmo em situações parte-todo, a que elas

afirmavam conhecer e trabalhar em atividades de ensino. Elas reconheceram, também, suas

dificuldades para resolver situações com os invariantes e, sobretudo, a necessidade de maior

atenção para a conservação da unidade de referência. Além disso, ficou claro entre as

participantes as dificuldades encontradas nas situações quociente, pois também nessas, de

maneira geral, elas fizeram uso de estratégias partitivas, dificultando a sua resolução e, às

vezes, levando-as à representação equivocada da quantidade fracionária.

69

Considerando a análise das informações produzidas por meio dos instrumentos

diagnósticos, os estudos realizados, ao longo deste módulo de formação, tiveram a finalidade

de oferecer ao grupo das professoras participantes, a oportunidade de refletir sobre a

introdução do conceito de fração por meio dos significados parte-todo e quociente. Para tanto,

as professoras vivenciaram uma Sequência de tarefas, proposta pela Professora Terezinha

Nunes, em que o conceito de fração é iniciado por meio do significado quociente. Com essa

atividade objetivávamos refletir sobre os limites e possibilidades da utilização da Sequência,

no ensino e na aprendizagem das frações, a partir da análise das respostas dos alunos das

professoras que se dispuseram a aplicar a Sequência em sala de aula.

No intuito de aprofundar os conhecimentos manifestados pelas professoras acerca do

significado parte-todo, possibilitamos, ainda, que elas vivenciassem, durante a formação, uma

atividade com a literatura infantil “O pirulito do pato” e com o Tangram. Realizamos,

também, a leitura e discussão de estudos que abordam questões relacionadas ao conceito de

fração.

Nesse sentido, passaremos à descrição das sessões dedicadas à formação.

3ª sessão

A terceira sessão foi dedicada ao estudo e à análise das professoras de diferentes

situações com o significado parte-todo e quociente, apresentadas no questionário diagnóstico.

Apresentamos os dois significados para, em seguida, solicitar que as professoras, em grupo,

analisassem as questões por elas elaboradas nas primeiras sessões. Esse foi um rico momento

de discussão.

Na análise, elas refletiram sobre quais foram os significados explorados nas questões,

as semelhanças e diferenças entre as questões, quais os critérios utilizados e sobre o tipo de

situações elaboradas.

Durante tal proposta, foi possível perceber que houve predominância de questões que

envolviam o significado parte-todo. Em síntese, os pontos mais fortes, observados pelo grupo,

foram: a preocupação com o contexto e clareza da comanda e a percepção de que a fração é

parte de um todo. Quanto à classe de equivalência, observamos que não houve preocupação

do grupo com essa ideia. Nesse sentido, inferimos que isso se deve ao fato de que,

provavelmente, as professoras não conheciam e/ou não trabalhavam com esse invariante

lógico em sala de aula com seus alunos.

70

Em seguida, analisamos as respostas das situações apresentadas no segundo

questionário, procurando indicar o objetivo de cada um dos itens propostos.

Com a exploração desse instrumento, foi possível perceber quais os significados de

fração eram conhecidos e/ou trabalhados pelas professoras em suas atividades de sala de aula.

Durante a análise, realizada de maneira coletiva, a formadora foi pontuando alguns estudos e

pesquisas que apontavam os erros cometidos por professores e seus alunos ao estudarem o

conceito de fração.

A partir da análise de quais eram os significados que estavam presentes, em cada

atividade, e das respostas apresentadas, foi possível, ao grupo, traçar um diagnóstico do

conhecimento das professoras acerca das frações confirmando nossa análise inicial.

4ª e 5ª sessão

Apresentados e discutidos os diferentes significados que envolvem o conceito de

fração, o quarto encontro foi dedicado à vivência de uma Sequência de tarefas elaborada pela

Professora Terezinha Nunes em que ela sugere que o ensino do conceito de fração se inicie pelo

significado quociente. Duas sessões foram dedicadas à apresentação, vivência e discussão dessa

Sequência (ANEXO 1).

Dessa forma, a quarta sessão de formação foi iniciada, com a apresentação da

Sequência, momento em que a formadora chama a atenção para alguns aspectos relacionados à

mesma: qual a intenção, o que ela propõe, a partir de qual estudo foi elaborada, o que é

discutido e quais as possíveis implicações desta para o ensino e a aprendizagem do conceito de

fração.

Durante o estudo da Sequência foi possível retomar as dificuldades que as professoras

apresentaram ao responder uma situação quociente utilizando-se da estratégia do parte-todo,

comparando-a com a utilização da ideia de divisão. Nesse momento da formação, foi possível

observar como as professoras ficaram surpresas ao perceber as ideias presentes em situações

quociente:

[...] então dois é o dividendo, o cinco é o divisor, o que vai dar nas

repartições, nas divisões é quociente. Gente, que legal! Isso dá mais

propriedade naquilo que eu quero ensinar. Sabe? (PROFESSORA ANA).

Ao final da sessão, foi proposto pela formadora a aplicação da Sequência de tarefas na

sala de aula. Quatro professoras dos anos iniciais e uma dos anos finais ficaram motivadas e se

71

prontificaram a levar as atividades da sequência para a sala de aula e trazer os resultados para a

próxima sessão.

6ª e 7ª sessão

As sessões seis e sete da formação foram dedicadas à análise das respostas dos alunos

à Sequência de tarefas, o que permitiu a discussão dos limites e das possibilidades para o

ensino e a aprendizagem das frações e propondo possíveis encaminhamentos para a sala de

aula.

No primeiro momento da sexta sessão, as professoras foram convidadas a relatarem

sobre a experiência vivenciada em sala de aula quando da aplicação da Sequência de tarefas.

Muitas delas revelaram ter sido uma experiência bastante positiva:

[...] nós, professores, quando vamos ensinar fração, a gente vai aonde? No

livro. A gente vai no livro. E o livro não tem nada a ver com aquilo.

[referindo-se à Sequência]. Eu cheguei e falei [...] aqui mesmo eu olhei

[referindo-se à Sequência] e pensei: não vão conseguir. Eu não precisei

falar duas vezes: professora é assim, divide aqui. E ainda vinha na lousa e

dividia pra mim. Entendeu? Então nós ficamos atrás de ensinar a criança a

escrever por extenso, a fazer aquelas atividades que tem em vários livros,

porque todos os livros são iguais, e essa atividade aí veio de uma forma

diferente. Então é isso que nós estamos precisando, é de coisa diferente [...]

Então quer dizer, a gente pensa que a criança não sabe, porque da forma

como nós estamos ensinando lá, acompanhando com os livros, ele vai

demorar mais para aprender a dividir. Entendeu? Então foi o que eu percebi

nessa atividade (PROFESSORA IVONE).

Outro aspecto observado, nessa sessão é que essa atividade desenvolvida em sala de

aula com os alunos levou as professoras a refletirem sobre os processos de ensino e de

aprendizagem da fração. Vejamos o relato da Professora Eunice:

[...] o que eu observei foi o seguinte: como os meus alunos aprenderam

como nós, parte-todo, já estava enraizado na aprendizagem [...] eles

ficaram surpresos iguais nós ficamos aqui quando a gente descobriu essa

divisão, que era bem mais fácil do que dividir a barra em mil pedaços.

[referindo-se à Sequência]. Para eles também foi uma surpresa. [...] então

isso foi o que eu percebi de mais forte: a surpresa na hora que descobriram

que a fração é divisão (PROFESSORA EUNICE).

72

Nesse sentido, percebemos que a formação permitiu que as professoras aprofundassem

os conhecimentos a respeito dos significados da fração, uma vez que espontaneamente a

professora fez referência ao significado quociente que não era utilizado por ela.

O segundo momento da sessão foi dedicado à análise e reflexão das respostas dos

alunos à Sequência de tarefas vivenciada em sala de aula. Lembrando que a Sequência foi

aplicada a alunos do 1º, 2º, 4º, 5º, 7º e 8º anos. As imagens a seguir são registros da atividade

de análise feita pelas professoras:

Figura 14 - Imagens vídeo 1: Atividade desenvolvida com as professoras em sessão de formação14

Para auxiliá-las na análise, as professoras15

receberam uma tabela na qual era

registrado as respostas dos alunos (APÊNDICE 3). A utilização dessa tabela ajudou ao grupo

fazer uma análise mais detalhada sobre os erros mais frequentes, levantando hipóteses acerca

14

As imagens apresentadas foram autorizadas pela professora conforme TCLE. 15

As professoras fizeram a análise em grupo. O grupo era composto por uma professora que aplicou a Sequência

e duas ou três professoras que não haviam aplicado.

73

do pensamento do aluno. Em seguida, foi possível computar a quantidade de erros e acertos a

cada situação da Sequência de tarefas.

Somente na sétima sessão foi possível socializar e analisar em plenária as observações

feitas pelos grupos. Para tanto, apresentamos em Power point uma síntese do registro das

professoras. Durante a exposição, procuramos levantar hipóteses sobre a forma de pensar das

crianças, observamos ainda os resultados encontrados com alunos de diferentes faixas etárias.

Ao final, o grupo discutiu alguns encaminhamentos para o ensino.

Em seguida, num segundo momento da sétima sessão, foi proposta a vivência de outra

atividade com a Literatura Infantil “O Pirulito do Pato” de Nilson José Machado (2003).

Procuramos, assim, apresentar possibilidades de tratamento metodológico interdisciplinar para

o desenvolvimento dos significados selecionados. Observamos a necessidade de encontrar

estratégias que favorecessem aos alunos a utilização da partição, uma vez que o significado

quociente já havia sido introduzido anteriormente. A proposta era discutir as possibilidades de

trabalhar frações com esse livro, por se tratar de uma história em que dois patinhos ganham de

sua mãe um pirulito que eles terão que dividir com seus amiguinhos.

Outra intenção ao propor essa atividade que envolvia situação parte-todo foi iniciar

uma discussão sobre a língua materna e a Matemática. O estudo das frações utilizando-se

desse livro permite a contextualização do tema, considerado, pelas professoras, como

fundamental no processo de ensino e aprendizagem de qualquer conteúdo. Escolhemos essa

atividade, pois ela também foi desenvolvida por Garcia Silva (2007) e, segundo essa

pesquisadora, essa foi uma atividade que favoreceu a reflexão, do grupo investigado, sobre os

processos de ensino e aprendizagem da fração.

O livro permitiria a contextualização de uma situação, por meio da história de dois

patinhos que ganham um pirulito da mãe e têm que dividi-lo de forma diferente na medida em

que chegam seus amiguinhos. Possibilitaria ao aluno pensar sobre a relação entre o número

de pedaços do pirulito e o denominador da fração, e a compreender a relação de ordem de

frações unitárias. Poderia ampliar a compreensão do significado quociente na medida em que

ele problematizasse a situação por meio da alteração da quantidade de pirulitos e/ou de

patinhos.

Aproveitamos para discutir algumas dificuldades dos alunos na aprendizagem da

fração relacionadas às rupturas com ideias construídas acerca dos números naturais no

trabalho inicial com as frações. Algumas das professoras sugeriram a reescrita da história

pelos alunos, para estimular a criatividade, avaliar a escrita e a compreensão da ideia de

fração.

74

A seguir, apresentamos imagens que ilustram esse momento da formação:

Figura 15 - Imagens vídeo 2: Atividade desenvolvida com as professoras em sessão de formação

Ao recontar a história, quando as professoras foram levadas a explicarem o que

acontecia quando o denominador aumentava, foi possível discutir sobre uma das dificuldades

que geralmente são demonstradas pelos alunos e que é apontada, desde 1997, em documentos

oficiais do governo federal, os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN): no domínio dos

números naturais, as crianças constroem a relação 3 > 2, porém pode parecer-lhes

contraditório ao serem levadas a construir a relação 3

1 <

2

1.

8ª sessão

A oitava sessão objetivou refletir sobre a introdução do conceito de fração por meio do

significado quociente, a partir da qual as professoras puderam expressar-se sobre a Sequência

de tarefas propostas pela Professora Terezinha Nunes.

Em seguida, retomamos alguns dos itens apresentados no instrumento diagnóstico para

que as professoras pudessem analisar suas respostas, identificando quais haviam sido suas

dificuldades.

Durante a análise, tanto das respostas dos alunos à Sequência de tarefas, quanto da

resposta das professoras às atividades do diagnóstico, a formadora propôs alguns

encaminhamentos, à luz de outras pesquisas que foram realizadas e que apontam que o ensino e

a aprendizagem das frações apresentam resultados mais satisfatórios, se iniciado pela situação

quociente, a partir da qual deve ser apresentada outras situações.

Ao final do processo formativo, a formadora propôs a reflexão sobre um artigo,

intitulado “Sobre o ensino e a aprendizagem de frações” (CAMPOS, 2011). Esse artigo trata

75

de um estudo em que foi analisado, a partir de uma intervenção realizada em sala de aula de

uma escola de São Paulo, o nível de compreensão de alunos de 4º e 5º ano do Ensino

Fundamental sobre frações. Tal estudo investigou se os alunos lidavam mais facilmente com a

equivalência e ordenação de fração em situações quociente do que em parte-todo. O grupo

concluiu que muito do que a autora observou em seu estudo também foi observado nos alunos

investigados pelas professoras participantes da formação.

Nesse sentido, a formadora procurou refletir com o grupo sobre resultados de

pesquisas publicadas e sugeriu aos participantes que aprofundassem o estudo desses trabalhos.

Na tabela a seguir, apresentaremos a síntese da formação:

Tabela 4 – Síntese das sessões de formação

Título da Formação: Representação Fracionária do Número Racional

Objetivos da formação:

- Oferecer ao grupo de professores participantes da formação a oportunidade de refletir sobre a introdução

do conceito de fração, por meio dos significados quociente e parte-todo.

- Refletir sobre os limites e possibilidades de uma Sequência de Tarefas, proposta pela Professora Teresinha

Nunes em que o conceito de fração é iniciado por meio do significado quociente, para o ensino e

aprendizagem dos números racionais na representação fracionária.

- Refletir sobre limites e possibilidades do trabalho com situação parte-todo por meio da Literatura Infantil

Sessão Data Objetivo Pauta

1ª

04/09/2012 Apresentar a proposta do

curso

Traçar o perfil das professoras

participantes da formação;

aplicação do 1º instrumento

diagnóstico

1º Momento:

- Apresentação da Proposta do Curso:

contextualização do tema

2º Momento:

- Aplicação do Questionário Perfil

dos Professores: primeiro

Aplicar a primeira parte do 2º



3º Momento:

- Elaboração de situações envolvendo

frações: as consideradas

imprescindíveis pelos professores ao

ensinar esse tema.

-Socialização das questões elaboradas

76

2ª 11/09/2012

Refletir sobre o processo de

ensino e aprendizagem dos

números racionais.

Analisar diferentes situações

com os significados parte-todo

e quociente: segunda parte do

2º instrumento diagnóstico.

1º Momento:

- Resolução de situações-problema

com os significados parte-todo e

quociente.

3ª 18/09/2012 Estudar e analisar as diferentes

situações-problema com os

significados parte-todo e

quociente apresentadas no

questionário diagnóstico.

1º Momento:

- Estudo, análise e discussão coletiva

das situações-problema do

instrumento diagnóstico, bem como

das respostas apresentadas pelas

professoras a cada uma delas.

4ª 02/10/2012 Estudar uma proposta de

Sequência de Tarefas a fim de

introduzir o conceito de fração

por meio do significado

quociente.

1º Momento:

- Vivência da Sequência de Ensino

elaborada pela Professora Teresinha

Nunes.

5ª 23/10/2012 Discutir o significado

quociente a partir da vivência

de uma Sequência de Tarefas.

1º Momento:

- Discussão sobre o significado

quociente a partir da análise da

vivência da Sequência proposta por

Nunes (2003).

6ª 06/11/2012 Analisar as respostas dos

alunos do 1º, 2º, 4º e 5º ano do

Ensino Fundamental sobre a

Sequência proposta por Nunes

vivenciada em sala de aula.

1º Momento:

- Apresentação das respostas dos

alunos à Sequência de Tarefas

proposta pela Professora Terezinha

Nunes para a introdução do conceito

de fração por meio da situação

quociente.

77

2º Momento:

- Análise das respostas dos alunos a

Sequência de tarefas proposta pela

Professora Terezinha Nunes para a

introdução do conceito de fração por

meio da situação quociente, feita

coletivamente pelas professoras.

7ª 13/11/2012 Vivenciar uma proposta de

atividade com a Literatura

Infantil “O Pirulito do Pato”

1º Momento:

- Apresentação das análises feitas

pelas professoras. sobre as respostas

dos alunos do 1º, 2º, 4º e 5º ano do

Ensino Fundamental sobre a

Sequência proposta por Nunes


2º Momento:

- Estudo de uma proposta de

atividade com a Literatura Infantil “O

Pirulito do Pato”

8ª 27/11/2012 Sistematizar as discussões das

respostas dos alunos à

Sequência de Ensino


Discutir limites e

possibilidades da Sequência

para o ensino e a

aprendizagem das frações.

Propor encaminhamentos.

1º Momento:

- Sistematização das discussões a

respeito das respostas dos alunos

sobre a Sequência de ensino

vivenciada em sala de aula e levantar

os limites e possibilidades.

2º Momento:

- Elaboração de propostas de

encaminhamentos sugeridas pelas

professoras.

Com a tabela, apresentamos o design do processo formativo que foi realizado com o

objetivo de proporcionar às professoras participantes reflexões sobre os processos de ensino e

aprendizagem acerca da introdução do conceito de fração. Reiteramos que, durante a

78

formação, foi dada, às professoras, a oportunidade de discutirem resultados de pesquisas já

realizadas sobre o tema, fato que provocou uma reação positiva, uma vez que elas

reconheceram a importância da formação e das investigações que são realizadas com o

objetivo de contribuir com as práticas pedagógicas. O relato da Professora Lorena, por

exemplo, nos faz acreditar que a formação contribuiu para que elas refletissem a própria

prática e, nesse processo de reflexão, elas adquiriram autoconfiança (Serrazina, 1999) para

assumir suas limitações em relação ao objeto matemático:

[...] O professor não ensina, o aluno não aprende. O que aconteceu: você

percebe que são falhas que ocorreram no processo todo [referindo-se ao

processo de formação anteriormente vivenciado pelas docentes] [...] Então

não é porque o professor não ensina porque não quer. Ele não ensina

porque ele não quer ensinar errado, não é? E quem estava lá em cima

[referindo-se aos coordenadores da Secretaria Estadual da Educação] [...]

eles deixavam a gente assim num momento muito distante, até para se

comunicar a gente tinha aquele receio; não tinha aquela aproximação.

[referindo-se aos coordenadores da Secretaria Estadual da Educação] [...]

(PROFESSORA LORENA).

O sentimento da professora em relação aos elaboradores e implementadores do

currículo se aproxima com as descrições de Zeichner em suas discussões sobre o papel do

professor na reforma educacional. De acordo com esse pesquisador, raramente os professores

são vistos, pelos elaboradores das políticas educacionais, bem como pelos órgãos

governamentais, como agentes importantes no processo de reforma educacional (Zeichner,

2003). Sendo assim, “Em muitos projetos de reforma educacional de todo o mundo, a meta é

ter professores-funcionários irreflexivos e obedientes, que implementem fielmente o currículo

prescrito pelo Estado, empregando os métodos de ensino prescritos” (ZEICHNER, 2003, p.

37).

Dessa forma, os professores, no exercício da docência, passam a reproduzir um

modelo de currículo e de métodos de ensino que muitas vezes não condizem com as

expectativas que eles têm em relação aos processos de ensino e aprendizagem e em relação ao

seu papel como educador. Porém, Zeichner (1993) defende que a partir do momento em que

os professores compreenderem e aceitarem as reformas educacionais como suas, mudanças

qualitativas na prática de sala de aula acontecerão.

O depoimento da professora nos permitiu concluir que a formação favoreceu a

reflexão sobre a prática docente e proporcionou a ela esse sentimento de pertencimento.

Acreditamos, portanto que esse fato certamente contribuirá com mudanças significativas na

sua atuação profissional.

79

CAPITULO 4 - ANÁLISES DOS INSTRUMENTOS

DIAGNÓSTICOS

Objetivamos com este capítulo apresentar a análise dos protocolos que utilizamos para

o diagnóstico relativo ao conhecimento das professoras, sujeitos da pesquisa, sobre frações,

que serviu para nortear as discussões durante a formação.

É conveniente observar que no capítulo anterior fizemos a apresentação dos

instrumentos diagnósticos e do processo formativo, trazendo reflexões no âmbito geral. Neste

capítulo, porém, traremos as análises detalhada das informações produzidas relativas às três

professoras sujeitos da pesquisa.

4.1. Questionário de Entrada

Para esta investigação selecionamos como sujeitos um grupo de três professoras:

`Professora Ana, Professora Renata e Professora Marcela. Essa escolha se deu em razão

dessas terem participado de todas as atividades propostas durante o processo formativo e de

terem aplicado com seus alunos, em sala de aula, a Sequência de tarefas que foi proposta

durante a formação. A título de informação: estamos usando nomes fictícios para as

professoras. Dessa forma, garantimos o anonimato.

Utilizamos um “Questionário de Entrada” que nos permitiu conhecer o perfil das

professoras, sujeitos do nosso estudo. Por meio dele colhemos informações relacionadas à

formação acadêmica; experiência e atuação profissional; trajetória estudantil e formação

inicial e continuada, especialmente, a respeito das aulas sobre frações. Com a aplicação do

questionário obtivemos, ainda, informações sobre quais as metodologias desenvolvidas

durante o ensino de frações e a relação dessas com as que seus professores utilizavam. Esse

instrumento serviu também para que nossos sujeitos avaliassem seu aprendizado de

Matemática na Educação Básica, na sua formação inicial e continuada, especialmente, os

80

relacionados aos processos de ensino e aprendizagem de fração e quais influências observadas

na sua atuação.

As informações coletadas foram de fundamental importância para as discussões que se

seguiram durante toda a formação e nos ajudaram a coordenar as reflexões acerca do tema.

No que se refere à formação acadêmica, todas elas possuem formação em pedagogia,

duas fizeram pós-graduação, uma em Psicopedagogia, a Professora Ana, e uma em

Psicomotricidade, a Professora Marcela.

Em relação à experiência e atuação profissional, constatamos que as Professoras

Renata e Marcela possuem uma larga experiência, considerando o tempo em que lecionam

para os anos iniciais do Ensino Fundamental: 15 e 25 anos respectivamente. A Professora

Ana, no entanto, está no Magistério só há 6 anos.

No momento em que participaram do processo formativo a Professora Renata

lecionava para o 1 º ano, a Professora Ana para o 2º ano e a Professora Marcela para o 5º

ano. Questionadas sobre o ano de preferência para lecionar, duas delas afirmaram ter

preferência pelo 1º ano, expressando-se da seguinte maneira:

Hoje a primeira, porque eu me apaixonei vendo as crianças ficarem

alfabéticas, lendo e escrevendo e o olho brilhando de alegria (PROFESSORA RENATA).

[...] 1º ano. Adoro alfabetizar. Acho gratificante (PROFESSORA ANA).

Apesar de apresentarem argumentos diferentes, percebemos que o gosto pelo 1º ano

está relacionado ao prazer de ver as crianças evoluindo na aprendizagem da leitura e da

escrita. Provavelmente essas duas professoras não estão familiarizadas com o ensino da

Matemática, tão pouco de frações.

Já a Professora Marcela demonstra preferência pelo 5º ano, afirmando que a sua

preferência “está ligada a complexidade dos conteúdos e a motivação para desenvolver junto

com os alunos propostas que permitem ensinar e aprender” (PROFESSORA MARCELA).

Ao serem solicitadas a tecerem comentários sobre as aulas de Matemática,

especialmente, aquelas que tratavam de frações, durante sua trajetória estudantil, uma delas

(Professora Ana) disse gostar das aulas de Matemática. Porém, as outras duas disseram que

suas aulas eram baseadas apenas no livro, na lousa e no caderno, com foco no conteúdo, sem

nenhum contexto, sem a preocupação com o aprendizado e sem significado. Das três

professoras apenas uma referenciou as aulas sobre frações:

81

Eu me lembro que a professora passava na lousa sempre acompanhando

uma pizza ou um chocolate e depois passava muitos exercícios e o livro,

mas aí eu me perdia, porque só sabia fazer mediante as figuras

(PROFESSORA RENATA).

Com relação às metodologias utilizadas pelos seus professores de Matemática,

quando ensinavam frações, questionamos se estas seriam adequadas para os alunos de hoje,

todas elas responderam não, justificando a necessidade de se trabalhar com situações

práticas, com a utilização de mais recursos, com maior exploração dos conceitos ensinados

como ilustra a resposta da Professora a seguir:

[...] Para os alunos que temos hoje não basta ensinar conceitos; devemos

desenvolver situações didáticas onde os alunos apreendem os conceitos,

mas desenvolvam procedimentos necessários para resolver situações

problemas (PROFESSORA MARCELA).

Assim como a Professora Marcela, a Professora Ana também argumentou fazendo

referência à importância de trabalhar com situações-problema.

No que se refere a como elas avaliam o seu aprendizado de Matemática na Educação

Básica, uma delas, a Professora Ana, afirmou não ter apresentado dificuldades; as outras

duas, porém, não demonstraram satisfação, pois, segundo elas, eram baseados na

“decoreba”, e em exercícios repetidos que não estimulavam o raciocínio. Uma das

professoras ainda o avaliou como “desnecessário para a vida, mas que contemplava as

necessidades da escola daquela época” (PROFESSORA MARCELA).

Sobre o aprendizado da Matemática, especialmente, em relação aos processos de

ensino e aprendizagem das frações, durante a formação inicial, a Professora Renata disse ter

tido aulas de Metodologia da Matemática, ainda assim afirmou “não tive aprendizado”. A

Professora Ana o avaliou como “regular”. Afirmou que não estudou fração em seu tempo

de faculdade. Por fim, a Professora Marcela assegurou que sua graduação não teve nenhum

ensino relacionado com a área de Matemática afirmando que:

Todos os cursos que fiz são voltados para a área de humanas, mesmo a

pedagogia o foco foi o processo de desenvolvimento do sujeito

considerando suas habilidades e competências. Não houve nenhuma

relação com a área de matemática (PROFESSORA MARCELA).

Quanto à formação continuada sobre frações, elas foram unânimes em responderem

“não”. Uma das professoras, no entanto, expressou expectativas quanto à formação:

82

[...] esta é a primeira vez que tenho a oportunidade de participar de um

curso de ensino e aprendizagem de fração. Espero sinceramente poder

construir conhecimentos necessários para a prática pedagógica e melhor

construir estratégias didáticas que contemplem a necessidade de

aprendizagem dos alunos (PROFESSORA MARCELA).

Por fim, ao perguntar sobre fatos relacionados aos seus professores de Matemática

durante a trajetória estudantil que marcaram, positiva ou negativamente, e que hoje

influenciam na atuação profissional junto aos seus alunos, duas professoras (Professoras

Renata e Professora Ana) disseram ter experiências positivas com seus professores:

[...] muitas vezes eu ia pelo lado de raciocínio e meus amigos pela fórmula.

Meus professores explicavam as duas maneiras para atingir a todos (PROFESSORA ANA). Sim, a professora de matemática Dona Eliana, eu sempre ficava quieta no

fundo da sala e ela sempre adorava me chamar para ir à lousa, eu era

tímida e com isso foi muito bom, perdi a timidez e procurava estudar mais

para não errar na lousa (PROFESSORA RENATA).

A Professora Marcela, porém, afirma não ter tido nenhuma experiência boa.

“Nenhuma lembrança é boa. Todas são impossíveis, inconcebíveis como educadora”

(PROFESSORA MARCELA).

De maneira geral observamos, a partir das informações colhidas no presente

questionário, que as professoras tiveram pouca ou nenhuma experiência com as frações,

tanto em relação à formação inicial e continuada, quanto em relação aos processos de ensino

e aprendizagem. Pelo exposto, percebemos que mesmo aquela que se referiu às aulas sobre

frações relacionou-as apenas ao significado parte-todo. Pesquisas como as de Garcia Silva

(2007), Campos (2011) e Canova (2013) apontam que essa é a situação que está mais

presente na escola quando do ensino das frações.

Outro aspecto que observamos é que aquela seria a primeira oportunidade que elas

estavam tendo em participar de um curso de formação em educação matemática. Portanto, é

válido ressaltar a importância da participação das professoras em processos formativos, uma

vez que estes podem contribuir para que o professor adquira

[...] uma atitude profissional de maior empenhamento e investimento no

ensino de Matemática, com maior consciência dos desafios que se colocam

[...] maior sensibilidade para os problemas da aprendizagem da

Matemática, maior conhecimento da Matemática a ensinar e de como o

83

fazer, maior predisposição para planificar de forma cuidadosa e

aprofundada a aula de Matemática, maior conhecimento dos recursos a

mobilizar (SERRAZINA, 2010, p. 21).

Apresentada uma breve análise dos resultados do Questionário de Entrada,

passaremos, na próxima seção, à descrição da análise do segundo instrumento diagnóstico

referente às questões elaboradas pelas professoras (APÊNDICE 2).

4.2. Questões elaboradas pelas professoras

Na primeira parte do segundo instrumento diagnóstico solicitamos, às professoras, a

elaboração e resolução de cinco situações envolvendo fração. Pedimos que escolhessem

situações consideradas por elas como importantes para favorecer a introdução desse tema. Ao

propor essa atividade, pretendíamos olhar para o tipo de situação elaborada, os significados

explorados, bem como as estratégias utilizadas na resolução.

Partindo desse princípio, a nossa análise constará de dois momentos: primeiramente,

iremos analisar os significados de fração presentes em cada situação e se eram questões

consistentes (C) ou inconsistentes (I) e os tipos de situações (de representação ou invariante).

Em seguida, analisaremos as estratégias de resolução adotadas pelas professoras, verificando

a consistência ou não das respostas.

4.3. Significados de fração explorados e tipos de situações elaboradas: 2º instrumento

diagnóstico

Na análise consideramos a classificação proposta por Nunes et al (2003): parte-todo,

quociente, operador multiplicativo e quantidades intensivas.

Os dados desta primeira análise revelaram que houve predominância em explorar o

significado parte-todo, das 15 situações elaboradas, em 8 estavam presentes esse significado;

seguido do significado operador multiplicativo, 05 delas. Percebe-se com isso que, 53,3%

eram situações de parte-todo. O que nos faz inferir que, talvez, estes sejam os únicos

significados conhecidos e/ou trabalhados pelas professoras em sala de aula. A tabela 5, a

seguir, mostra essa primeira parte da nossa análise:

84

Tabela 5 - Significados de fração explorados nas situações elaboradas pelas professoras

Professoras

Significados

Parte-todo

Quociente

Quantidades

Intensivas

Operador

Multiplicativo

C I C I C I C I TOTAL

RENATA 3 1 1 5

ANA 3 2 5

MARCELA 2 3 5

TOTAL 8 1 6 15

Pelos dados da tabela, outro ponto que observamos é que nenhuma das professoras,

assim como as demais professoras participantes do processo formativo, elaborou situação com

o significado quociente. Esse é um dado que consideramos importante pelo fato de os

documentos oficiais brasileiros proporem que o significado quociente seja também trabalhado

com alunos dos anos iniciais do Ensino Fundamental. Também em razão de pesquisas como

as realizadas por Nunes et al (2007); Mamede (2007); Campos (2011) e Canova (2013)

revelarem que introduzir o ensino de frações utilizando-se de situações quociente pode

favorecer a aprendizagem desse conceito. Outro aspecto que justifica a importância desse

dado é que autores como Nunes têm chamado a atenção para o fato de que não existe

“transferência clara do conhecimento de notação aprendido em situações parte-todo para

situações quociente em séries próximas ao ensino desta notação” o que nos leva a inferir

sobre a necessidade de que o professor dos anos iniciais favoreça ao aluno vivências

utilizando também do quociente. Todavia cabe salientar que nesse grupo de professoras, todas

elaboraram a quantidade de situações solicitada, fato que não ocorreu com todos os

participantes da formação.

As figuras 16, 17, e 18 a seguir ilustram essa primeira parte da nossa análise. Nelas

estão alguns protocolos de situações, que consideramos consistentes, as quais foram

elaboradas pelas professoras:

85

Protocolo Professora Renata

Figura 16 - Situação elaborada pela Professora Renata – 2º instrumento diagnóstico

Protocolo Professora Ana

Figura 17 - Situação elaborada pela Professora Ana – 2º instrumento diagnóstico

Protocolo Professora Marcela Figura 18 - Situação elaborada pela Professora Marcela - 2º instrumento diagnóstico

A figura 19 mostra uma situação inconsistente que foi elaborada por um dos nossos

sujeitos:

86


Figura 19 - Situação elaborada pela Professora Renata – 2º instrumento diagnóstico

Essa é uma situação que consideramos inconsistente, uma vez que, embora nela esteja

presente a ideia do significado parte-todo, em nenhum momento, no enunciado, a professora

fez referência à quantidade de partes iguais que foi dividida cada uma das barras de chocolate.

Do ponto de vista do que aponta o currículo do estado de São Paulo, os dados

apresentados são significativos, uma vez que dos três significados apresentados para

introduzir frações para alunos do quinto ano, as professoras elaboraram somente um tipo. O

significado operador não é indicado por esse documento.

A Teoria do Conhecimento para o Ensino de Matemática (MTK) instituída por Ball et

al (2008), com base nos estudos de Shulman (1986) sobre as categorias de conhecimento para

o ensino prevê os domínios necessários para o ensino de Matemática: o Conhecimento do

Conteúdo da Disciplina (conhecimento matemático) e o Conhecimento Pedagógico do

Conteúdo Matemático. Ao considerarmos tal teoria, analisando uma das vertentes do

Conhecimento Pedagógico do Conteúdo Matemático: conhecimento do currículo, podemos

inferir, a partir das situações elaboradas pelas professoras, haver lacunas nos processos de

ensino e aprendizagem quando se trata de promover a introdução do conceito de fração. Essa

inferência se deve ao fato de termos observado quanto ao tipo de situação elaborada que:

▪ A Professora Renata elaborou 04 situações em que explorava apenas a ideia de

representação de frações e 01 em que explorava os invariantes ordem e equivalência.

▪ A Professora Ana elaborou 04 situações de representação e em 01 delas estava

presente a ideia do invariante ordem.

▪ A Professora Marcela elaborou apenas situações de representação.

87

Em síntese, apresentamos, por meio da tabela 6, o resultado da nossa análise quanto

aos significados e tipos de situações elaboradas.

Tabela 6 - Número de significados e tipo de situações elaboradas pelas professoras

Significado

Tipos de situações

Representar Invariantes

Ordem Equivalência TOTAL

Parte-todo 08 01 01 10

Operador

multiplicativo

05

-

-

05

TOTAL 13 01 01 15

Analisando a tabela 6, evidenciamos que os invariantes ordem e equivalência foram

explorados em apenas uma das situações. Isso evidencia a maior preocupação dos nossos

sujeitos com a elaboração de situações que envolvem a representação em detrimento de

situações utilizando as ideias de ordem e equivalência.

À luz da Teoria dos Campos Conceituais, que defende que na construção de um

conceito matemático é necessário considerar um conjunto de situações que dará significado a

esse conceito, um conjunto de invariantes operatórios em que objetos, propriedades estão

inter-relacionados e um conjunto de representações que podem ser utilizadas para representar

as situações, podemos inferir, mais uma vez, que a aprendizagem do conceito de fração parece

dar-se de forma comprometida, dado não termos percebido tais características nas situações

elaboradas nesse instrumento diagnóstico.

Essa é uma dificuldade apontada por pesquisadores já na década de 90 quando Nunes

e Bryant (1997) em seus estudos chamam a atenção para a forte tendência dos professores em

trabalhar o conceito de fração utilizando principalmente o significado parte-todo. Seus

estudos consideram a possibilidade de:

[...] que esta lacuna seja uma consequência da aprendizagem do aluno de

linguagem fracional na escola simplesmente através do procedimento de

dupla contagem (NUNES E BRYANT 1997, p. 212-213.).

88

Dessa forma, essas informações nos levam a inferir sobre a relevância da proposição

da formação que buscou ampliar os conhecimentos dos nossos sujeitos tanto sobre situações

parte-todo como quociente e também sobre seus invariantes.

Passaremos à análise das respostas às situações elaboradas nesta primeira parte do

segundo instrumento diagnóstico.

4.4. Respostas das professoras às situações elaboradas

Dedicaremos esta seção à análise das respostas das professoras às situações, por elas

elaboradas. Iremos caracterizá-las, segundo a resolução apresentada em respostas consistentes

ou inconsistentes. Com isso acreditamos ser possível observar se as estratégias por elas

utilizadas revelam o seu domínio ou não do conteúdo.

Um primeiro aspecto que observamos é que as respostas nos revelam que,

independente do tipo de situação elaborada (parte-todo ou operador multiplicativo), na

resolução, as professoras utilizaram-se principalmente da ideia de partição, o que é mais um

indício de que, possivelmente, elas promovem o ensino utilizando, sobretudo, do significado

parte-todo.


Figura 20 - Resposta da Professora Ana à situação por ela elaborada – 2º instrumento diagnóstico

89

Dentre as estratégias utilizadas na resolução das situações, houve predominância do

procedimento de desenhos e/ou operações.

Protocolo Professora Marcela

Figura 21 - Resposta da Professora Marcela à situação por ela elaborada – 2º instrumento diagnóstico

Outra característica interessante observada nas situações elaboradas pelas professoras

é a preocupação em apresentar um contexto próximo ao das crianças. As figuras 22, 23 e 24

ilustram uma situação elaborada por cada um dos nossos sujeitos de pesquisa, bem como a

resposta dada a essas situações.


Figura 22 - Situação elaborada pela Professora Renata e sua resposta à mesma – 2º instrumento diagnóstico

90

Na elaboração dessa situação, a Professora Renata partiu de uma situação do

cotidiano. Quanto à resposta consideramos que a professora apresentou uma solução válida:

ela se utilizou da ideia de operador para descobrir 3

1das páginas do livro; fez uso também da

ideia de proporcionalidade para calcular 3

2 do mesmo livro e ao final achou a diferença entre

o total de página e 3

2delas. Entretanto, vale ressaltar que a Professora Renata demonstrou

uma preocupação em apresentar seus dados de forma rigorosa, uma vez que indicou 2003

1

para 200600.3

1 .

A situação a seguir, foi apresentada pela Professora Ana.


Figura 23 - Situação elaborada pela Professora Ana e sua resposta à mesma – 2º instrumento diagnóstico

Mais uma vez percebemos a preocupação em elaborar uma situação do cotidiano da

criança. A professora respondeu a questão e demonstrou sua preocupação em apresentar uma

partilha equitativa. Analisando a resposta, consideramos que, possivelmente, ao elaborar o

problema a Professora Ana pensou em uma caixa com 12 bombons, todavia não indicou esse

dado na situação. Observa-se ainda que a situação envolve o significado parte-todo e a ideia

dos invariantes, ordem e equivalência.

91

A seguir expomos a situação apresentada pela Professora Marcela.


Figura 24 - Situação elaborada pela Professora Marcela e sua resposta à mesma – 2º instrumento diagnóstico

Nesta situação a professora também partiu de uma situação comum do dia a dia. Ela

respondeu corretamente. Quanto à estratégia de resolução, nosso sujeito fez uso da partição e

utilizou também a subtração.

A partir dos exemplos de resposta apresentados, na tabela 7, registramos a síntese da

nossa análise acerca das respostas que consideramos consistentes e que fizeram uso da

estratégia do cálculo de algoritmos e respostas consistente que utilizaram como estratégia de

resolução, a ideia de partição e, finalmente, das respostas que julgamos inconsistentes.

Tabela 7 - Número de respostas consistentes e que fizeram uso da estratégia do cálculo de algoritmos, respostas

consistentes que se utilizaram da estratégia de partição e número de respostas inconsistentes.

Respostas Consistentes e

que fizeram uso da

estratégia do cálculo de

algoritmos

Respostas Consistentes e

que se utilizaram da

estratégia de Partição

Respostas Inconsistentes

04 10 01

Pelos dados da tabela 7, observamos que as professoras demonstraram resolver

corretamente 93,3% das situações por elas elaboradas. As situações exploraram apenas dois

92

dos significados da fração e apresentaram um grau de dificuldade baixo, no sentido de que, as

professoras utilizaram-se predominantemente da ideia da fração própria.

Ressaltamos que ao solicitar a elaboração das situações procuramos investigar os

conhecimentos do conteúdo e do ensino das professoras sobre os significados de fração, que,

na perspectiva de Ball et al (2008), pressupõe a criação e escolha de exemplos e ilustrações

que poderiam propiciar a compreensão do conceito de fração, por alunos dos anos iniciais do

Ensino Fundamental.

Assim, as análises que fizemos dessa primeira parte do segundo instrumento

diagnóstico indicaram lacunas nos conhecimentos das professoras, sobretudo em relação ao

conhecimento do significado quociente e ao seu ensino.

4.5. Respostas das professoras às situações propostas na segunda parte do segundo

instrumento diagnóstico: significados parte-todo e quociente

Esta seção será dedicada à análise do conhecimento profissional docente das

professoras acerca do tema. Para tanto, iremos observar as respostas apresentadas, pelos

sujeitos, às diferentes situações com fração propostas, no questionário diagnóstico, em que

eram explorados os significados parte-todo e quociente.

Um primeiro aspecto que observamos nas resoluções apresentadas pelos sujeitos à

maioria das situações é que, de maneira geral, elas utilizaram-se como estratégia de

procedimentos resolutivos, os desenhos. Estudos como os de Nunes et al (2005) apontam que

“os desenhos servem como apoio para a lógica” (NUNES, 2005). Nesse sentido

consideramos ser fundamental analisar a resolução de cada uma das situações.

4.5.1. Respostas às atividades com o significado parte-todo

Objetivando facilitar o nosso olhar e a análise dos dados, decidimos categorizar os

tipos de situação: de representação, de ordem e de equivalência.

93

Situações de representação

No protocolo foram propostas três situações do tipo representação: a primeira delas,

com ícone, em que era solicitado que fossem identificadas as duas figuras cuja parte pintada

corresponderia à fração 12

7; a segunda não apresentava ícone e pedia que fosse identificada a

fração do todo que representaria a quantidade de torta que Rafael comeu, sabendo que ela foi

dividida em oito pedaços e ele comeu dois.

Observamos que todas as professoras responderam corretamente à primeira situação,

conforme ilustra a figura 25:

Professora Renata

Professora Ana

Professora Marcela

Protocolos Professora Renata, Professora Ana e Professora Marcela

Figura 25 - Resposta das Professoras Renata, Ana e Marcela à 1ª situação proposta – 2º instrumento

diagnóstico

Como podemos observar, as respostas não apresentaram nenhum indício do esquema

de resolução que as professoras adotaram para essa situação. O mesmo ocorreu com a

segunda situação.

A terceira situação era a seguinte:

“Na padaria do Senhor Joaquim são oferecidas pizzas como a representada a seguir

O garçom foi retirar duas mesas - mesa 1 e mesa 2- e observou que os fregueses não comeram

todos os pedaços de pizza.

”

Em seguida foi solicitado às professoras que, ao analisar a situação, elas

representassem a fração de pizza que havia sobrado em cada mesa. Verificamos que as

Professoras Marcela e Renata representaram corretamente as respectivas frações. A resposta

94

ao item “a” foi indicada nos estudos de Rodrigues (2005). Dessa forma, é possível perceber

que as professoras identificaram o todo e as partes. O mesmo ocorreu com a Professora Ana.

Verificamos, ainda, em relação à mesa 2, que as professoras representaram a fração na forma

mista. Esse é um tipo de representação que não foi apontado por Rodrigues como

possibilidade de resposta.

Professora Marcela

Professora Renata

Protocolos Professoras Marcela e Renata

Figura 26 - Resposta das Professoras Marcela e Renata à 4ª situação proposta – 2º instrumento diagnóstico

A Professora Ana, no entanto, no segundo item, registrou uma representação que não

condiz com a fração de pizza correspondente ao que havia sobrado na segunda mesa, como

podemos observar na figura a seguir:

Professora Ana


Figura 27- Resposta da Professora Ana à 4ª situação proposta – 2º instrumento diagnóstico

Percebemos, na resposta apresentada pela professora, que ela modificou a unidade de

referência ao considerar as duas pizzas da mesa 2 e não a “fração de pizza” que correspondia

à quantidade restante na mesa. Essa é uma dificuldade apontada nos estudos de Rodrigues

(2005). Apoiado nas ideias sobre o papel da unidade, desenvolvidas por Kieren (1981, 1993) e

95

Mack (1990), Rodrigues (2005) chama a atenção para a importância da compreensão do papel

da unidade de referência como ideia fundamental na construção do conceito de fração.

Situações que envolviam o invariante ordem

Para verificarmos a compreensão das professoras em relação à ordenação de frações

em situações com o significado parte-todo foram propostas duas situações. Dessa forma

analisaremos as respostas dos sujeitos a cada uma delas, em particular.

A primeira envolvia duas crianças, Bruna e Victor, que receberam uma barra de

chocolate de mesmo tamanho cada uma. Bruna comeu 5

3 do chocolate dela e Victor comeu

4

3 do chocolate dele. Perguntado sobre quem comeu mais chocolate, foi apresentada a

resposta de um aluno fictício em que ele afirmou que “Bruna e Victor comeram o mesmo

tanto, porque os dois comeram três pedaços dos seus chocolates”. Foi solicitado que as

professoras avaliassem se a resposta apresentada pelo estudante estava certa ou errada e

justificassem sua resposta. Ao final, pedimos ainda que as professoras apresentassem uma

solução e estratégias de ensino que explicassem a melhor forma de resolver tal situação.

As soluções apresentadas nos permitiram observar que as Professoras Ana e Renata

responderam corretamente ao primeiro item, ao considerar que a resposta do aluno estava

errada.

Professora Renata

Professora Ana

Protocolos Professora Renata e Professora Ana

Figura 28 - Resposta das Professoras Renata e Ana à 3ª situação proposta – 2º instrumento diagnóstico

96

Verificamos que para justificar suas respostas, as professoras apresentaram raciocínio

semelhante: ambas referiram-se à quantidade de partes em que cada chocolate havia sido

dividido. A Professora Ana fez referência à resposta do aluno, considerando que ele observou

apenas o numerador e não o número de partes divididas. Nesse sentido, ela parece ter

percebido a relação entre o numerador e o denominador. A Professora Renata, no entanto,

referiu-se apenas à quantidade de pedaços, não os relacionando à fração correspondente.

A Professora Marcela, no entanto, pois julgou, de maneira equivocada, que a resposta

do aluno estava correta.

Professora Marcela


Figura 29 - Resposta da Professora Marcela à 3ª situação proposta – 2º instrumento diagnóstico

A análise dos registros da professora indicam que ela considerou, assim como o aluno,

apenas a quantidade de pedaços que Bruna e Victor comeram da pizza, 3 pedaços, sem

considerar a diversidade de unidade de medida, ou seja, quartos e quintos. Vale ressaltar que

nesse tipo de situação esperávamos que as professoras observassem as relações assimétricas

da fração: a ideia de relação inversa entre denominador e a quantidade correspondente à

fração “[...] para o mesmo numerador, quanto maior o denominador, menor a fração”

(NUNES, et al, 2003, p. 3).

Em relação às estratégias de ensino para essa situação, a Professora Marcela não

apresentou resposta. A Professora Ana apenas referiu-se aos conhecimentos prévios,

utilização de desenhos e materiais concretos sem, contudo, explicitar mais claramente como

seria tais estratégias. Já a Professora Renata, apesar de ter apresentado uma estratégia válida,

97

não fez nenhuma referência à importância em considerar a equivalência de área (este é um

aspecto fundamental no ensino de frações).

Professora Ana

Professora Renata

Protocolos Professoras Ana e Renata

Figura 30 - Estratégias de ensino apresentadas pelas Professoras Ana e Renata: 3ª situação proposta – 2º


Em sintonia com Ball et al. (2008), na nossa análise sobre os Conhecimentos de

Conteúdo e de Ensino e os Conhecimentos de Conteúdo e de Estudantes foi possível perceber

que as professoras apresentam, ainda, dificuldades em interpretar o pensamento do aluno e em

propor estratégia de ensino que favoreçam a compreensão do conceito de fração e o

desenvolvimento de esquemas necessários à representação correta da fração correspondente à

situação proposta.

A outra situação que propomos acerca da ideia de ordenação de frações apresentava

duas crianças: Ana e Marta. Cada uma possuía um chocolate: ambos idênticos. Foi solicitado

que as professoras representassem a quantidade de chocolate que cada criança comeu,

considerando que Ana dividiu o seu chocolate em 7 partes iguais das quais comeu 4 e Marta

dividiu o seu chocolate em 10 partes iguais e comeu 5. O problema solicitava ainda, que as

professoras analisassem quem comeu mais (Ana ou Marta) e que justificassem suas respostas.

A análise dos protocolos nos mostra que todas as professoras representaram as frações

correspondentes às quantidades de chocolate apresentadas na situação. As Professoras

Marcela e Renata fizeram uso da mesma estratégia de resolução (por meio de desenhos).

Porém, somente a Professora Renata identificou tal invariante.

98


Figura 31 - Resposta da Professora Ana à 6ª situação proposta – 2º instrumento diagnóstico



99


Figura 33 - Respostas da Professora Renata à 6ª situação proposta – 2º instrumento diagnóstico

Analisando as justificativas, percebemos que todas as professoras usaram a mesma

lógica de raciocínio em seus argumentos. Porém tais argumentos não foram suficientes para a

Professora Marcela perceber a ordenação entre as frações, pois considerou que metade do

chocolate de Marta correspondia a uma quantidade maior do que a quantidade que Ana

comeu. Por outro lado, o registro da fração 2

1, contido no protocolo da Professora Ana,

parece ter favorecido a compreensão de que essa quantidade seria menor do que 7

4. A nossa

hipótese é que a professora tomou como referência a metade que é representada por 2

1 e para

descobrir que 7

4 era maior que a metade observou que o algarismo presente no numerador (4)

representava mais do que a metade do representado no denominador (7).

100

Situação que envolvia o invariante da equivalência

Para analisar a compreensão das professoras sobre a equivalência de frações com o

significado parte-todo, propusemos uma situação em que um índio e uma índia possuem uma

pizza idêntica, cada um. A situação sugere que o índio corta a sua pizza em 4 partes iguais e

come uma e, a índia corta a sua pizza em 8 partes iguais e come duas. Com isso, é solicitada a

representação fracionária que corresponde à quantidade que cada um come da pizza e que seja

identificado quem come mais ou menos pizza ou se ambos comem a mesma quantidade. Em

seguida, é solicitada, ainda, uma justificativa para a resposta dada à situação.

A análise das resoluções revelou que as três professoras investigadas identificaram a

equivalência das frações nessa situação, conforme podemos observar nos protocolos a seguir:


Figura 34 - Resposta da Professora Renata à 5ª situação proposta – 2º instrumento diagnóstico


Figura 35 - Respostas da Professora Marcela à 5ª situação proposta – 2º instrumento diagnóstico

101


Figura 36 - Respostas da Professora Ana à 5ª situação proposta – 2º instrumento diagnóstico

Um ponto que consideramos importante nas respostas, das professoras, é que elas

apresentaram argumentos diferentes para justificarem a equivalência entre as quantidades

fracionárias.

Professora Renta

Professora Marcela

Professora Ana

Protocolos Professora Renata, Professora Marcela e Professora Ana

Figura 37 - Justificativas das professoras referentes à resposta apresentada: 5ª situação proposta – 2º instrumento

diagnóstico

A Professora Renata utilizou-se da ideia de correspondência para justificar a

equivalência entre as frações. A Professora Marcela, também, fez uso da ideia da

proporcionalidade ao indicar que as quantidades eram percentualmente equivalentes. Por fim,

102

a Professora Ana referiu-se à quantidade de pedaços resultados da divisão, concluindo que as

frações correspondentes são equivalentes.

4.5.2. Respostas às atividades com o significado quociente

Ao analisar as respostas das professoras às situações com o significado quociente,

observamos que todas elas também se utilizaram do esquema da partição para resolvê-las.

Isso nos remete, mais uma vez, ao fato de que, possivelmente, promovem o ensino utilizando-

se, sobretudo, do significado parte-todo.

No entanto, observamos que embora tenham representado corretamente a maioria das

frações correspondentes a cada situação, ocorreram alguns equívocos no raciocínio das

professoras, os quais iremos discutir mais adiante.

Na análise iremos categorizar também por tipo de problemas: representação, ordem e

equivalência:

Situação de representação

Foram propostas duas situações em que era solicitada apenas a representação

fracionária das quantidades. Na primeira, foi solicitada a representação da fração referente a 4

chocolates que foram divididos igualmente com 5 crianças.

Observamos que as Professoras Renata e Ana representaram a fração que indicava a

quantidade de chocolate distribuída para cada criança. A Professora Marcela, no entanto, não

representou a fração que resultaria na quantidade de chocolate que cada criança recebeu,

conforme verificamos nas figuras:

103


Figura 38 - Respostas da Professora Renata à 8ª situação proposta – 2º instrumento diagnóstico



104


Figura 40 - Respostas da Professora Marcela à 8ª situação proposta – 2º instrumento diagnóstico

Ao observar os protocolos, percebemos que as professoras tiveram raciocínio e

apresentaram estratégias semelhantes. Os registros da Professora Ana sugerem que ela dividiu

cada chocolate em cinco partes, das quais considerou 5

1 de cada chocolate para cada criança;

utilizando-se do algoritmo da adição, chegou à conclusão de que a fração que representa a

quantidade que cada criança recebeu do chocolate é 5

4. O mesmo raciocínio parece ter sido

utilizado pela Professora Renata ao desenhar as barra de chocolate, dividi-las em cinco partes

e tomar uma de cada, resultando na fração 5

4. A Professora Marcela, no entanto, embora

tenha utilizado um raciocínio correto, ao registrar a fração 5

1, talvez se referindo ao que cada

criança recebeu de cada chocolate, não apresentou uma resposta que confirmasse a nossa

hipótese de que ela adicionaria as frações de modo a obter 5

4, pois ao final indicou apenas o

total de pedaços em que os chocolates foram divididos sem, contudo, fazer a representação

fracionária dessa quantidade. Percebemos na estratégia de resolução que as professoras aqui

investigadas mobilizaram o mesmo teorema em ação, que deu origem a um esquema já

apontado por outros pesquisadores (Carperter et al, 1994, apud Garcia Silva, 2007) e

observado em outros estudos (Garcia Silva, 2007): que é dividir cada barra de chocolate em

partes iguais e distribuir uma parte para cada uma das crianças.

105

Como as professoras utilizaram-se da partição para resolver a situação, julgamos que,

de modo geral, mesmo as que responderam corretamente parecem não ter percebido uma ideia

fundamental que só aparece em situações quociente: a presença de duas variáveis que podem

ser interpretadas a partir de dois significados. Este problema, por exemplo, pode ser

interpretado como a representação de 4 chocolates divididos por 5 crianças, como também a

parte que cada criança recebeu do chocolate.

Na segunda situação proposta, havia 2 bolos que foram divididos igualmente entre 5

pessoas. Passemos a observar o raciocínio das professoras ao representar a quantidade de bolo

que cada pessoa recebeu.

Professora Marcela

Professora Renata

Professora Ana

Protocolos Professora Marcela, Professora Renata e Professora Ana

Figura 41 - Resposta das Professoras Marcela, Renata e Ana à 9ª situação proposta – 2º instrumento

diagnóstico

Os registros no protocolo da Professora Ana sugerem que inicialmente ela dividiu

cada bolo em 10 partes. Porém parece ter feito a simplificação dos termos, uma vez que

registrou a fração 5

1; efetuando a adição das duas frações, concluiu que cada pessoa recebeu

5

2 de bolo.

Verificamos que a Professora Marcela também efetuou uma operação para chegar ao

resultado. Já a Professora Renata utilizou-se da ideia de correspondência para apresentar uma

solução à situação.

Situação que envolvia o invariante equivalência

A situação em que pretendíamos verificar a compreensão dos sujeitos da pesquisa em

relação ao invariante equivalência em situações quociente consistia em afirmar que 6 pizzas

idênticas seriam divididas igualmente entre 9 meninos. Da mesma forma, 3 meninas iriam

dividir igualmente 2 pizzas idênticas. O problema solicitava a representação da quantidade de

106

pizza que cada menino e cada menina receberia. Além disso, solicitou ainda que fosse

identificado quem comeu mais, menos ou se eles comeram a mesma quantidade. Por fim

solicitamos que as professoras justificassem a resposta apresentada.

Analisando as justificativas, percebemos que há indícios de que as Professoras Ana e

Renata demonstraram compreender a lógica da equivalência entre as quantidades de pedaços.




Figura 43 - Resposta da Professora Renata à 7ª situação proposta – 2º instrumento diagnóstico

107

Consideramos importante comentar os itens que mostram o raciocínio utilizado pelas

professoras na identificação de tal invariante.

Em relação à representação, observamos que a Professora Ana indicou, no espaço

destinado a apresentar a resposta, a fração 6

4 para ambos (meninos e meninas).

Possivelmente, ela considerou que cada menino recebeu 4 pedaços de 6

1 (ela dividiu cada

pizza em 6 pedaços) e as meninas também receberam 4 pedaços de 6

1. Dessa forma, há

indícios de que a professora considerou de forma correta como o todo referência, cada pizza.

Todavia, os registros contidos ao lado da situação, nos fazem acreditar que, embora

tenha respondido corretamente que ambos comeram a mesma quantidade, o processo de

resolução não ocorreu de maneira imediata. A Professora Ana, a princípio, considerou como

o todo referência, o número total de partes em que todas as pizzas foram divididas: 36 partes a

dos meninos e 12 partes a das meninas. Em seguida, distribuiu as partes e descobriu que tanto

os meninos como as meninas comeram 4 partes, o que, possivelmente, gerou as frações

12

4

36

4e , respectivamente. Ao final, a Professora Ana simplificou as duas frações

16

gerando3

1

9

1e . Porém ela abandonou essa ideia inicial, passando a tomar como unidade de

referência a fração de pizza.

A Professora Renata parece ter seguido a mesma linha de raciocínio. A sua

justificativa, assim como a da Professora Ana, indica que os argumentos por elas

apresentados estavam fundamentados na ideia de partição. Um aspecto importante,

identificado, é que para essa situação a Professora Renata, assim como a Professora Ana,

manteve a unidade de referência, tomando como base cada pizza.

A Professora Marcela, no entanto, parece ter identificado apenas a equivalência entre

as quantidades de pedaços de pizzas que cada menino e cada menina receberiam, ao perceber

a proporcionalidade entre as partes sem, contudo, identificar a equivalência entre as

quantidades fracionárias.

16

Durante a entrevista realizada um ano depois da formação a Professora Ana nos informou que onde se lê

9

1:

36

4 leia-se 9

1

36

4 .

108



Observando o protocolo, percebemos que a professora dividiu os 9 pedaços de cada

pizza entre três meninos, resultando em 3 pedaços. Como disse que cada menino receberia 2

pizzas, concluiu que cada um receberia 6 pedaços. O que a levou a representar incorretamente

a fração, pois considerou como unidade de referência o número total de partes em que todas

as pizzas foram divididas: 54 fatias a dos meninos e 18 fatias a das meninas e não as partes

em que uma pizza foi dividida. Com isso ela mudou o referencial.

Dessa forma, podemos inferir que se utilizar do esquema de partição, em situações

quociente, pode induzir ao erro de mudar a unidade de referência.

Esses registros nos sugerem que com as professoras ocorreu o que Nunes et al. (2005)

observou quando investigou alunos, ou seja, que não houve, para esta situação, a transferência

imediata do conhecimento de parte-todo para quociente.

Situação que envolvia o invariante ordem

A situação que proporcionou verificar a compreensão das professoras em relação à

ordenação de frações foi a seguinte: Numa pizzaria haviam duas mesas ocupadas: uma com 4

meninas e outra com 5 meninos. Para a mesa das meninas foram pedidas 2 pizzas e para a

mesa dos meninos foram pedidas 4 pizzas. A partir dessa situação, foi solicitado a

representação da fração que indicava a quantidade de pizza que cada menina e cada menino

comeu e que as professoras identificassem quem comeu mais e o porquê.

109

As Professoras Ana e Renata identificaram a ordenação entre as frações apresentadas

e suas justificativas foram bem semelhantes, como podemos perceber nas figuras a seguir:

Professora Ana

Professora Renata

Protocolos Professora Ana e Professora Renata Figura 45 - Resposta das Professoras Ana e Renata à 10ª situação proposta – 2º instrumento diagnóstico

Observamos que mesmo tendo identificado a ordenação, a Professora Ana demonstrou

dificuldade na representação da fração de pizza que cada menino comeu. Ela não apresentou

uma reposta válida, pois considerou que cada menino comeu 16

13 de pizza. Para chegar a essa

conclusão adicionou as frações 4

3 +

16

1.

Numa análise mais detalhada, percebemos que a professora, possivelmente pensou em

dividir cada uma das pizzas dos meninos em quatro partes, ou seja, em quartos. Como eram

quatro pizzas, considerou corretamente que no total teriam dezesseis pedaços de quartos. Ao

dividir os dezesseis pedaços entre os cinco meninos, chegou à conclusão de que cada um

receberia três pedaços de quartos. Por isso o registro da fração4

3. Esse raciocínio inicial

estava correto. Porém quando a professora foi realizar a divisão do 4

1de pizza restante entre

os cinco meninos ela equivocou-se duplamente: primeiro, ao mudar o referencial que

inicialmente era de pizza e passou a ser 4 pizzas )16

1( pizzasquatrode ; segundo, ao não

considerar que essa parte seria dividida entre os cinco meninos. Acreditamos que,

possivelmente, os dois enganos sejam de natureza diferente, ou seja, enquanto o primeiro

refere-se a um erro conceitual, o segundo pode ter ocorrido por desatenção. Isso nos faz

110

refletir sobre as implicações dessas dificuldades na prática pedagógica, especialmente, da

relativa à conservação da unidade, uma vez que tal ideia é fundamental, sobretudo quando o

professor utiliza-se do significado parte-todo.

Já a Professora Renata parece não ter apresentado grandes dificuldades: utilizando-se

do esquema de partição, fez a correspondência entre a quantidade de pizzas e a quantidade de

meninas e meninos, identificando assim a relação de ordem entre as quantidades.

Um ponto interessante é que as professoras partiram da ideia de metade para fazer a

comparação entre as quantidades e chegarem à conclusão de que cada menino comeu uma

quantidade maior de pizza do que cada menina. Nesse sentido, para essa situação, acreditamos

que as professoras conseguiram estabelecer a relação existente entre o numerador e o

denominador, o que não ocorreu na situação anterior.

Todavia, vale ressaltar que nenhuma delas utilizou como estratégia a procura de

frações equivalentes que representassem as duas situações (2

1 de pizza e

5

4 de pizza) a fim de

comparar as duas situações, possivelmente porque a simples comparação com a ideia de

metade permitiu resolver o problema. Salientamos ainda que para confirmar se esta estratégia

seria utilizada ou não pelas professoras poderíamos ter apresentado também uma situação em

que as frações a serem comparadas não possibilitassem a comparação com a metade,

poderíamos, por exemplo, pedir a comparação entre as frações 8

7 e

11

9.

A Professora Marcela parece não ter reconhecido tal invariante, uma vez que não

respondeu quem comeu mais.



111

Analisando os registros do protocolo, estes sugerem que o raciocínio inicial da

Professora Marcela em relação à quantidade de pizza que cada menina comeu está correto: ao

dividir cada pizza em 4 pedaços, considerou que cada menina comeu 4

1 de cada pizza. Porém

ao juntar as duas partes de pizza que cada menina comeu considerou o total de pedaços das

duas pizzas, adicionando numerador e denominador. O mesmo raciocínio foi utilizado para os

meninos. O que diferencia é que ela considerou que cada menino comeu 4 pedaços do total de

pedaços em que ela dividiu as pizzas: 20, resultando em 20

4. Dessa forma, ela mudou o

referencial e fez a representação errada da fração.

As análises que fizemos até o momento, nos permitiram perceber que o Conhecimento

Especializado do Conteúdo (Ball et al, 2008) - introdução do conceito de frações- encontra-se

fragilizado, uma vez que as professoras demonstraram dificuldades na resolução de situações

com significado quociente. Isso nos remete à hipótese de que a falta de domínio do

significado quociente compromete o conhecimento necessário para o ensino da introdução de

frações.

Quanto ao que Ball et al. (2008) definem como Conhecimento de Conteúdo e dos

Estudantes, procuramos verificar, por meio de uma situação em que indicava um erro de uma

aluna, como as professoras avaliariam esse erro e quais eram as propostas de intervenção que

elas indicariam para o ensino.

A Professora Marcela não respondeu essa situação. As Professoras Ana e Renata

avaliaram corretamente, ao considerar que a aluna errou.

Ela dividiu muito bem, mas não soube fazer a adição de fração. O mmc

deveria ser 4, não 6. Não podemos somar os denominadores

(PROFESSORA ANA).

Ela acertou na representação, mas errou na operação; na adição não se

pode somar os denominadores, e sim tirar o mmc [referindo-se ao mínimo

múltiplo comum] (PROFESSORA RENATA).

As afirmações das professoras acerca do erro da aluna estão baseadas no

desenvolvimento da técnica do algoritmo, uma vez que ambas fazem referência apenas ao

erro no cálculo da adição ou na ausência do cálculo do mínimo múltiplo comum. Em relação

às propostas de encaminhamento, as duas sugeriram estratégias ligadas ao procedimento:

“Trabalhar operações com frações” (PROFESSORA ANA).

112

Com isso, percebemos que nenhuma das professoras apontou o significado quociente

como possibilidade para introduzir frações. Da mesma forma, não fizeram nenhuma

referência acerca da importância em aprofundar sobre a equivalência de frações com os

alunos.

Dessa forma, consideramos que as resposta das professoras indicaram falhas também

em relação ao que Ball et al. (2008) definem Conhecimento de Conteúdo e dos Estudantes.

Nesse sentido, analisando os resultados aqui apresentados à luz das Teorias de

Shulman (1986) e de Ball et al. (2008), acreditamos que a falta de domínio desse conteúdo

específico, ou seja, a dificuldade de reconhecimento e compreensão do significado quociente

da fração implicaria igual ausência de conhecimentos para o ensino da introdução das frações

por meio do significado quociente.

Por fim, o questionário apresentou quatro situações em que estavam presentes os

significados quociente, parte-todo, razão e parte-todo, respectivamente e cuja resposta poderia

ser indicada pela fração 5

2. E foi solicitada às professoras que identificassem em quais delas

estavam presentes esses significados.

Verificamos que todas as professoras responderam corretamente. Porém duas delas, as

Professoras Ana e Renata afirmaram não terem segurança quanto à resposta apresentada.

Seus argumentos revelam que elas não identificaram os significados da fração. A Professora

Ana, por exemplo, afirma: “Fui por eliminatória, comecei olhando pelo parte-todo.”

(PROFESSORA ANA). Da mesma forma, a Professora Renata assume: “[...] eu iria na

média de quantos na (A) (B) (C) e (D) como na minha mãe mandou” (PROFESSORA

RENATA).

A Professora Marcela não apresentou resposta ao item . Em entrevista, ela afirma não

ter respondido por não saber justificar.

Na tabela 8 será descrito quantos dos nossos sujeitos acertaram ou erraram cada

situação:

113

Tabela 8 – Número de professoras que apresentaram uma resposta esperada às situações propostas no 2º

instrumento diagnóstico ou que apresentaram outras respostas

Situação / Significado Respostas esperadas Outras Respostas

1 / Parte-todo 3 -

2 / Parte-todo 3 -

3 / Parte-todo 2 1

4 / Parte-todo

Item a 3 -

Item b 2 1

5 / Parte-todo

Item a 3 -

Item b 3 -

6 / Parte-todo

Item a 3 -

Item b 3 -

7 / Quociente Item a 2 1

Item a 2 1

8 / Quociente 2 1

9 / Quociente 3 -

10 / Quociente

Item a 2 1

Item b 1 2

11 / Quociente

12 / Quociente, parte-todo,

razão e parte-todo

3 -

Diante das análises, dois aspectos que consideramos importantes merecem ser

pensados: um primeiro aspecto está relacionado à compreensão dos invariantes operatórios da

fração e o segundo sobre o papel da unidade de referência.

Quanto ao primeiro aspecto, a compreensão dos invariantes lógicos, observamos que

embora o significado parte-todo seja provavelmente o mais trabalhado pelas professoras, elas

parecem não ter claramente o domínio do conceito de ordenação e de equivalência nem

mesmo em situações com esse significado, uma vez que, em geral, as professoras se referiram

114

apenas a quantidade de pedaços sem estabelecer a relação existente entre o numerador e o

denominador da fração correspondente à quantidade de partes a qual elas se referiram.

O segundo aspecto está relacionado à importância em conservar a unidade de

referência. Concordamos com Campos e Rodrigues (2007) quanto à importância desse

conceito para a construção da ideia de fração:

No caso específico do conceito de fração, a idéia de que as frações só têm

sentido enquanto objetos matemáticos capazes de representar quantidades,

de comparar quantidades ou de operar com essas quantidades, passa

necessariamente pela idéia fundamental de que essas quantidades devem ser

expressas segundo um mesmo referencial (CAMPOS E RODRIGUES, 2007,

p.88)

Consideramos, assim como esses pesquisadores, tal conhecimento como de

fundamental importância. Nesse sentido, analisando tais resultados sob o ponto de vista de

Ball et all (2008) e Shulman (1986), julgamos que a falta de compreensão dos invariantes

ampliaria as dificuldades das professoras para ensinar o tema.

A análise do ocorrido, durante a aplicação desse questionário preliminar, nos permitiu

planejar as ações do processo formativo. Para ampliar a base de conhecimentos das

professoras envolvidas para ensinar frações, precisaríamos além de trabalhar com outros

significados que não o parte-todo, discutir questões ligadas à necessidade de fixação da

unidade de referência e aos invariantes operatórios (equivalência e ordem).

Além disso, procuramos também ampliar, durante o processo formativo, a ideia de

reflexão, considerando que procuramos ir além da reflexão da própria prática na medida em

que buscamos promover a reflexão coletiva a respeito das dificuldades enfrentadas nos

processos de ensino e de aprendizagem das frações, relacionando-os com a ampliação do

conhecimento de ideias fundamentais como a equivalência, ordem e unidade de referência.

115

CAPITULO 5 – ANÁLISE DO PROCESSO FORMATIVO

Neste capítulo descreveremos brevemente as reflexões das professoras, sujeitos da

pesquisa, explicitadas durante o processo formativo.

Como já foi descrito anteriormente, o módulo de formação cujo tema foi

Representação fracionária do número racional desenvolveu-se com a participação de um

grupo de professoras da rede estadual de São Paulo e pesquisadores em Educação Matemática

no âmbito do Projeto Observatório da Educação.

Reiteramos que duas das sessões do processo formativo foram destinadas à aplicação

dos instrumentos diagnósticos, cuja finalidade foi subsidiar a análise da formação e atuação

das professoras em relação à aprendizagem e ao ensino de Matemática, em especial, sobre as

frações. Objetivávamos ainda analisar o Conhecimento Profissional Docente (Shulman,1986;

Ball, 2008) e as reflexões (Serrazina, 1999) dos sujeitos acerca do tema.

De maneira geral, a análise desses instrumentos nos permitiu observar que os sujeitos

da nossa pesquisa apresentavam muito fortemente indícios de que realizavam o ensino desse

tema utilizando-se apenas do significado parte-todo. Tal resultado foi identificado logo na

primeira sessão, quando solicitamos às professoras a elaboração de situações envolvendo

frações, uma vez que na maioria das situações elaboradas estavam presentes esse significado.

Vejamos, por exemplo, uma das situações apresentadas pela Professora Ana:

“Camila estava ajudando sua mãe a fazer um bolo. Camila lia a receita enquanto a

mãe preparava a massa. Na receita Camila viu um número diferente: 2

1 . Você sabe o que

significa? Por que ele é escrito dessa maneira?” (PROFESSORA ANA).

A discussão, que ocorreu no grupo em que as Professoras Ana e Renata participavam,

sobre a resposta que a elaboradora apresentou ao problema, nos possibilitou perceber que elas

pareciam demonstrar segurança ao discutirem a ideia de partição.

Alguns trechos da discussão nos ajudam a observar esse fato:

Na resposta, a Professora Ana fez o desenho de uma xícara e pintou até a metade e

deu a seguinte explicação: “dividimos a xícara em duas partes, mas usamos apenas uma

parte” (PROFESSORA ANA).

116

Questionada sobre o fato de ter dividido a xícara somente em duas partes e da

possibilidade em dividi-la em quatro, a Professora Ana responde: “[...] sim, daria, só que

aqui ela encontrou isso [referindo-se a fração 2

1]” (PROFESSORA ANA).

Uma professora do grupo continuava a questionar: “Então! Mas aqui dividimos a

xícara em duas partes. Se eu pegasse a xícara e dividisse em quatro partes e só pegássemos

duas delas, não era metade? Então a divisão não é só em duas. Você pode dividir em quatro,

pode dividir em dez, pega apenas cinco...” (PROFESSORA SANDRA).

Nesse diálogo, percebemos também uma discussão sobre o invariante da equivalência

entre as frações, todavia não percebemos no diálogo referências a equivalência de área, mas

nos pareceu que tal ideia estava implícita. Dessa forma, percebe-se que nesse encontro elas já

identificam tal invariante em situações parte-todo.

Passada a fase diagnóstica, e, após analisarmos os instrumentos, iniciou-se o processo

formativo. Ainda nas primeiras sessões a Professora Formadora optou por comentar as

respostas apresentadas nos instrumentos diagnósticos. Os depoimentos das professoras, nesse

momento da formação, reforçaram o que já havíamos observado na análise dos instrumentos.

Ao discutirmos uma das situações em que foi apresentada a resposta de um aluno fictício a

uma situação que envolvia o invariante ordem, em situação parte-todo, verificamos que as

professoras tinham clareza desse significado da fração.

A situação envolvia duas crianças, Bruna e Victor. Ambos receberam uma barra de

chocolate de mesmo tamanho cada uma. Considerando que Bruna comeu 5

3 do chocolate dela

e Victor comeu 4

3 do chocolate dele, um aluno fictício afirmou que Bruna e Victor comeram

o mesmo tanto, pois os dois comeram três pedaços dos seus chocolates. Ao serem

questionadas sobre a resposta do aluno, a Professora Renata afirmou que estava errada e

argumentou: “Porque ela [referindo-se à Bruna] dividiu em 5 [partes] e comeu 3 [delas]. Ele

[referindo-se ao Victor] dividiu em 4. Ele comeu quase toda” (PROFESSORA RENATA).

A Professora Ana complementa argumentando que: “eu acho que ele [referindo-se ao

aluno fictício] só olhou o número de cima, ele não olhou em quantas partes foram divididas”

(PROFESSORA ANA).

Por fim, a Professora Renata reafirma a sua resposta: “Eu escrevi também errado.

[referindo-se à resposta do aluno fictício]. Porque a Bruna dividiu [o chocolate] em 5 partes e

117

comeu 3. Já o Victor dividiu em partes maiores, por isso ele comeu mais. Mas comeu a

mesma quantidade” (PROFESSORA RENATA).

Durante as discussões que ocorriam entre os professores, a formadora intervinha e, ao

referir-se aos significados de fração que são orientados, nos documentos oficiais brasileiros

(PCN), para serem trabalhados com os alunos nos anos iniciais da Educação Básica,

percebemos que as professoras desconheciam esses significados. A Professora Renata

assume isso ao afirmar: “É! Eu não sabia esse negócio de razão, parte-todo [...] Eu não

sabia. Estou aprendendo agora” (PROFESSORA RENATA).

Durante as discussões das situações com o significado quociente, contidas no

instrumento diagnóstico, as professoras apresentaram bastantes dificuldades. Isso,

provavelmente, ocorra em razão de elas utilizarem também, nessas situações, do esquema de

partição para resolver as situações. Uma das situações apresentada era a seguinte: “Nove

meninos irão dividir igualmente 6 pizzas e não deve sobrar nada. Três meninas irão dividir

igualmente 2 pizzas e também não deve sobrar nada. As pizzas são idênticas. Represente a

fração que cada criança irá receber de pizza.” Ao resolver, as professoras teriam que

identificar a equivalência entre essas quantidades.

Observemos os depoimentos de nossos sujeitos coletados durante a sessão de

formação quando se apresentou a situação acima descrita:

A Professora Marcela inicia a discussão ao afirmar: “nove, cada pizza foi dividida em

nove” (PROFESSORA MARCELA).

A Professora Renata apresenta como ela e o seu grupo pensaram em relação às pizzas

dos meninos:

Nós dividimos cada pizza em seis [pedaços]. Aí nós contamos: são seis

pizzas. Cada uma com seis pedaços dá trinta e seis pedaços, dividimos por

nove crianças, deu quatro pedaços para cada uma. Mas aí ficou quatro

sextos... (PROFESSORA RENATA).

Ao se referir às pizzas das meninas, ela afirma:

Olha, assim: o outro você dividiu em nove [pedaços], cada uma comeu um

pedaço de uma pizza. Esse nós dividimos em seis. Assim dois comeram de

uma pizza ... (PROFESSORA RENATA).

118

Nesse momento é possível perceber que a Professora Renata não conseguiu

argumentar e concluir seu raciocínio. Porém a Professora Ana tenta apresentar outra forma de

pensar:

[...] é assim: uma pizza tem seis pedaços. Uma criança só pegou quatro; só

que só sobraram dois, para a próxima [criança] pegar. Mas eu acho que

tudo bem. De qualquer jeito eles são do mesmo tamanho, os pedaços

(PROFESSORA ANA).

Percebemos que mesmo respondendo de forma acertada, as professoras demonstraram

encontrar mais dificuldades com situações quociente por utilizar a partição como esquema de

ação. Depois dessa discussão, durante a intervenção, a Professora Formadora introduziu uma

discussão sobre o significado quociente. Nesse momento já foi possível perceber que as

professoras pareciam surpresas com as ideias contidas nesse significado. Esse foi um

momento em que observamos uma desequilibração, conforme Piaget. Diante do exposto a

Professora Renata fez o seguinte questionamento: “Então quociente é divisão mesmo?”


Passado esse primeiro momento de discussão sobre o significado quociente, a resposta

à segunda situação proposta com esse significado foi imediata. A Professora Ana afirma, com

convicção: “É fácil: dois bolos divididos por cinco crianças... dois quintos” (PROFESSORA

ANA). E ainda exclamou, expressando surpresa: “Nossa! É fácil” (PROFESSORA ANA).

Considerando todas as dificuldades evidenciadas durante as discussões das situações

contidas nos instrumentos diagnósticos em relação aos significados da fração, optamos por

aprofundar, durante o processo formativo, sobretudo as situações que envolviam a ideia de

quociente.

Nesse sentido, a formação foi conduzida de forma a oportunizar, às professoras

participantes, reflexões sobre a introdução do conceito de fração por meio desse significado.

Dessa forma, foi proposta, no encontro seguinte, a vivência de uma Sequência de tarefas,

elaborada pela Professora Terezinha Nunes, apoiada na Teoria dos Campos Conceituais de

Vergnaud (1990) e nos estudos de Streefland (1991). A Sequência propõe introduzir o ensino

das frações por meio do significado quociente. Após a vivência da Sequência no encontro de

formação, as professoras a levaram para ser aplicada com seus alunos em sala de aula. Ao

fazer tal atividade, foi possível discutir, com elas, durante as sessões da formação, os limites e

as possibilidades dessa Sequência no ensino e na aprendizagem das frações.

119

Apresentaremos, a seguir, algumas das reflexões advindas desse momento da

formação sobre a aplicação da Sequência de tarefas em sala de aula com os alunos.

Para subsidiar nossa análise das reflexões, das professoras, acreditamos ser

imprescindível descrever os depoimentos delas quanto à realização dessa atividade:

[...] na minha quarta série onde a gente aplicou, [...] acho que teve bastante

influência do parte-todo. Então em alguns momentos eles tinham dificuldade

de pensar na fração como divisão por conta de ter já esse conhecimento do

parte-todo. Eles ficavam o tempo todo retomando essa ideia e procurando

justificar com parte-todo (PROFESSORA MARCELA).

O meu é o primeiro ano [...] achei muito extenso [referindo-se à Sequência].

[...] eles não conheciam nada. Eu achei que eles não iam conseguir nada e,

pelo contrário. Sabe aquela parte de divisão? Eles conseguiram, uma

beleza... Foram que foram ótimos, maravilhosos (PROFESSORA

RENATA).

O meu é segundo ano [...] eles também não têm influência nenhuma de

nada. Então para eles foi muito tranquilo. Assim essa parte de parte-todo,

eles não têm essa noção. Então foi tranquilo: ah! Então tá! Essa pizza e põe

aqui as crianças [referindo-se à fala do aluno sobre a forma como escreve a

fração]. Também achei muito extenso para eles, a gente até acabou

dividindo em dois dias porque não deu para fazer tudo em um e assim, se

tivesse lido tudo de uma vez não daria. [...] porque para eles uma atividade

tem que durar menos, muito tempo assim não dá (PROFESSORA ANA).

Na análise dos depoimentos das professoras, descritos acima, verificamos dois

aspectos que consideramos importantes: primeiro o fato de os alunos não terem experiência

escolar anterior com o significado parte-todo e, ao realizarem as atividades da Sequência,

demonstrarem melhor desempenho. O outro aspecto observado é que as professoras

consideraram a Sequência extensa.

Os depoimentos das professoras apresentam ainda os esquemas de ação de seus alunos

ao resolverem as atividades da Sequência. A Professora Ana, por exemplo, relata que mesmo

considerando que seus alunos não tiveram experiências escolares anteriores com situações

parte-todo, eles apresentaram algumas estratégias partitivas:

[...] teve um menininho, ele foi me explicar: dividiu esse, metade para esse,

metade para esse; ele dividiu, fez o desenho dividiu e ele ia fazendo com o

dedinho: esses para esses; esses para esses, para os bonequinhos

(PROFESSORA ANA).

120

Observamos na descrição apresentada pela professora, evidências de sua constatação

que também foi apontada pela Professora Renata.

Quando foi naquela parte que eram nove crianças e seis chocolates. Uma

dividiu bonitinho, ela falou: olha! Eu parto em três, em três, em três e dá

nove; depois eu pego mais três divido em nove. Olha o que eu achei foi

assim: com o chocolate foi fácil, agora quando chegou a da pizza, eles até

pensaram; eles pensam, mas não sabiam como colocar no papel; porque,

até então, eles ainda não sabem escrever direito, eles não sabem como

colocar, mas eles tinham um raciocínio. Eles falavam assim: ah! dá para

repartir em três. Só que na hora de repartir, eles repartiam em quatro.

Porque eles não tinham a noção de como repartir a pizza em três. Mas eles

pensam (PROFESSORA RENATA).

Analisando o relato da professora sobre a dificuldade apresentada por seu aluno,

constatamos, assim como afirma alguns teóricos que a divisão de uma grandeza contínua

parece trivial, mas não é. A discussão de tal constatação será apresentada na próxima seção

deste capítulo.

Durante a aplicação do instrumento fizemos a videogravação da resolução de alguns

alunos, o que nos permitiu observar algumas intervenções feitas pelas professoras. No

depoimento da Professora Ana, percebemos sua ação ao questionar a resposta do aluno:

[...] o que sobrou... mas aqui, olha sobrou três pedacinhos, e agora? Não

pode sobrar nada. [referindo-se a própria fala]. Não esse aqui dá para os

meninos que eles são mais legais. [referindo-se a resposta apresentada pelo

aluno] Então os meninos vão ganhar um pouquinho a mais [...] [referindo-se

ao novo questionamento feito por ela] ah! Guarda, come amanhã [referindo-

se a resposta do aluno] (PROFESSORA ANA).

Em relação à resposta do aluno, à intervenção feita pela professora, percebemos que

ele apoiou-se, na resolução da situação, do seu conhecimento informal. Quanto à intervenção

da professora, é possível verificar que ela apenas quis perceber como o aluno pensou sem,

contudo, aprofundar na discussão, visto que essa não era a intenção da atividade proposta.

A análise dos depoimentos das professoras, colhidos durante o processo formativo,

nos permitiu também observar outro aspecto importante: elas consideraram que expressões

contidas no enunciado como, por exemplo, “a mesma quantidade”, podem induzir à resposta

assertiva do aluno. Sobre esse aspecto, vejamos o que diz a Professora Ana:

121

É! Até a gente comentou: por conta do enunciado, talvez tenha interferido

um pouquinho. Porque ele fala: aí vão receber a mesma quantidade [...]

Então, alguns falam: ué! a mesma quantidade. Porque estava no enunciado

(PROFESSORA ANA).

A situação a que a professora se refere propõe que 4 pessoas dividam igualmente 3

chocolates. A tarefa solicita, dentre outras atividades, que as crianças demonstrem como elas

dividiriam as barras de chocolate e em seguida comparem a divisão que fizeram e, por fim,

que respondam a seguinte pergunta: “As duas formas de dividir podem dar a mesma

quantidade para cada um?”

Ao propor a reflexão sobre os limites e possibilidades da Sequência para o ensino e a

aprendizagem da introdução do conceito da fração, as professoras reconheceram aspectos

positivos. A Professora Marcela, por exemplo, relata:

[...] depois da aplicação dessa atividade, o retorno nas falas deles foram

muito significativas [...] eles gostaram muito e teve uma aluna que me

chamou atenção especial porque ela falou assim: professora eu não sabia

dividir, eu não gostava de dividir [...] porque eu sempre ficava com o

pedaço menor. Então ela viu a possibilidade de ser igual. [...] Então isso

ficou muito forte nela, essa questão da divisão (PROFESSORA

MARCELA).

O depoimento da Professora Marcela nos permite afirmar que os objetivos da

Sequência, com esse grupo de alunos, foram alcançados. De acordo com Nunes et al. (2003),

a finalidade da Sequência é introduzir o conceito de fração por meio do processo de divisão

indicada, favorecendo o aluno a apoiar-se no seu conhecimento informal, pois considera que

situações quociente partem da ideia intuitiva do aluno.

A Professora Ana também considera a influência positiva da Sequência nas suas

atividades de sala de aula.

Hoje eu li também, na minha sala, a história do Ali Babá, Ali Babá e os

quarenta ladrões e aí no final lá fala que pegaram lá a fortuna [...] o rei

dividiu, e dividiu para as pessoas pobres, só que ele achou justo que o Ali

Babá ficasse com um terço. [...] eu acho que antes dessa vivência teria

passado desapercebido. Aí hoje uma menina falou: esse negócio do terço foi

daquela folhinha que a gente fez quando a moça veio aqui? [relatando o

questionamento da aluna] É. [referindo-se a resposta dela] Daí deu para a

gente voltar nisso. Ah! Então o que vocês acham que é um terço que a gente

aprendeu? [...] quanto que era o tesouro? [...] então deu para retomar; isso

às vezes é uma coisa que vai ficar, assim pelo menos alguns já

interiorizaram alguma coisa (PROFESSORA ANA).

122

A experiência relatada pela Professora Ana evidencia o que Garcia Silva (2007)

também aponta como resultado das reflexões realizadas com seus sujeitos de pesquisa.

Consideramos que a reflexão durante nossa intervenção favoreceu algumas

mudanças importantes:

Quanto à prática pedagógica, com a discussão das possibilidades de

trabalhar o tema, utilizando literatura infantil e materiais manipuláveis,

como meios possíveis de contextualizar uma situação (GARCIA SILVA,

2007, p. 277).

Dessa forma, observamos assim como Garcia Silva (2007) que a formação favoreceu a

reflexão da prática pedagógica, sobretudo, da Professora Ana, uma vez que ela percebeu a

possibilidade de explorar ideias do conteúdo matemático em um contexto literário.

Para ilustrar as reflexões dos nossos sujeitos acerca da atividade desenvolvida em sala

de aula, acreditamos ser importante apresentarmos também as análises que fizemos dos

protocolos dos alunos. Dessa forma, a seção a seguir será dedicada a tal apresentação.

5.1. Respostas dos Alunos à Sequência de Tarefas: análise e discussão dos dados

A Sequência era composta por quatro situações, das quais apresentaremos a análise de

duas delas, uma vez que elas são suficientes e constituíram base fundamental para as reflexões

sobre frações dentro do processo formativo.

Na aplicação da Sequência, os alunos foram dispostos em carteiras individuais; cada

criança recebeu um caderninho contendo as ilustrações das questões propostas; nele cada

aluno, individualmente, registrava sua resposta às questões que foram apresentadas em Power

point e lidas pela professora. Em um momento da atividade, as crianças eram estimuladas a

refletir sobre suas respostas e a comparar com a do seu colega ao lado. Durante a realização

das atividades também fizemos registros com a utilização de recursos audiovisuais.

Apresentaremos a análise relativa à produção dos alunos da Professora Renata, da

Professora Ana e da Professora Marcela. Tratam-se de alunos do 1º, 2º e 5º anos,

respectivamente, do Ensino Fundamental. Participaram dessa atividade dezoito alunos do 1º

ano, vinte do 2º e vinte do 5º ano. Antes, porém, acreditamos ser necessário apresentar cada

situação para que o leitor possa melhor compreender.

123

A primeira situação da Sequência que iremos analisar é a que segue:

2ª situação

Quatro pessoas vão dividir 3 chocolates igualmente.

1- Vai ser possível dar uma barra para cada um?

2- Vai ser possível dar pelo menos metade para cada um?

3- Como você dividiria as barras de chocolate?

Figura 47 - Sequência de Tarefas: 2ª situação

De acordo com Nunes et al., a finalidade dessa atividade é introduzir o conceito de

fração por meio do processo de divisão indicada, favorecendo o aluno a apoiar-se no seu

conhecimento informal.

Com relação a essa situação, observamos que onze crianças do 1º ano, dezessete do 2º

ano e as vinte crianças do 5º ano, afirmaram, de maneira assertiva, ao responderem no

primeiro item, não ser possível dar uma barra de chocolate para cada pessoa. O fato de a

maioria dos alunos responderem corretamente ao item já era esperado, uma vez que

acreditávamos, assim como Nunes et al (2005), apoiadas em Strefland (1990) que eles iriam

fazer uso do pensamento intuitivo.

No que se refere à pergunta constante no segundo item, quinze crianças do 1º ano,

treze do 2º ano e dezenove crianças do 5º ano, disseram ser possível dar a cada pessoa pelo

menos metade do chocolate.

Essas informações nos permitem inferir que os alunos compreenderam a situação

proposta. No entanto, a análise das gravações feitas durante a realização da atividade nos

124

permite observar que, alguns alunos do 1º ano, não levaram em consideração o tamanho do

pedaço que seria dado a cada pessoa. O Vinícius, por exemplo, ao ser questionado sobre a

possibilidade de que cada pessoa receba pelo menos metade do chocolate, responde “sim”,

porém justifica da seguinte maneira:

“[...] porque tem três barrinhas; quatro crianças [...] dividir dá uma para

ele [indicando uma barra inteira dividida ao meio para o menino de boné],

uma para ele [indicando uma outra barra inteira dividida ao meio para o

outro menino]e uma para elas duas [indicando uma metade de barra para

cada uma das meninas]” (VINÍCIUS).

Vejamos imagens do vídeo em que o aluno faz as afirmativas descritas acima:

Estratégia de resolução apresentada pelo Vinícius – Aluno do 1º Ano

Figura 48 - Imagens vídeo do Aluno Vinícius - 1º Ano

Observamos que o Vinícius, assim como outros sete estudantes do 1º ano, já possuem

a ideia de metade do inteiro e que sua maior preocupação foi em verificar se cada pessoa

receberia, pelo menos, a metade do chocolate, mas não atentou para o fato de que os

chocolates deveriam ser divididos igualmente entre as quatro pessoas. Isso nos faz inferir

sobre a possível dificuldade que os alunos menores apresentam quando se trata de situações

em que diversos itens se interrelacionam.

Na análise das respostas apresentadas pelos alunos em relação ao terceiro item, em que

era solicitada a demonstração da maneira como dividiria as três barras de chocolates com as

quatro pessoas, verificamos, dentre as crianças que apresentaram uma resposta válida, que

elas utilizaram-se de duas estratégias:

dividiram duas barras de chocolate ao meio e uma em quartos, e fizeram a distribuição

entre as quatro pessoas;

125

dividiram cada uma das três barras de chocolate em quatro partes iguais e distribuíram

uma parte de cada uma das barras para cada pessoa.

A primeira estratégia de resolução foi utilizada por um aluno do 1º ano e dois alunos do

2º ano, conforme ilustra imagens a seguir:

Estratégia de resolução apresentada pelo Fábio – Aluno do 2º Ano

Figura 49 - Imagens vídeo de Aluno Fábio - 2º Ano

Essa mesma estratégia foi utilizada pelos alunos Artur e Mateus do 5ª ano, conforme

ilustram figuras a seguir:

Estratégia de resolução adotada pelo Artur – Aluno

do 5º Ano

Estratégia de resolução adotada pelo Mateus – Aluno

do 5º Ano

Figura 50 - Protocolos dos Alunos Artur e Mateus - 5º Ano

126

Essa representação foi a apresentada pela maioria dos alunos do 5º ano (treze).

Durante a aplicação da Sequência, tal fato nos chamou a atenção e resolvemos questionar o

Artur sobre sua forma de pensar, ele justificou: “esse daqui divide; tora no meio aí divide

para essas duas pessoas; esse daqui divide com esses dois e esse daqui tora em quatro

pedaços para dividir com eles” (ARTUR).

Dentre esses alunos do 5º ano, que se valeram de tal estratégia, observamos que a

divisão do último chocolate não foi imediata para todos os estudantes. Observamos que o

João, por exemplo, dividiu os três chocolates ao meio e, ao distribuí-los, possivelmente

percebeu que teria que dividir novamente as duas últimas metades ao meio, mais uma vez.

Estratégia de resolução apresentada pelo João - – Aluno do 5º Ano

Figura 51 - Protocolo do Aluno João - 5º Ano

Assim como o João, outro estudante dividiu as três barras ao meio e repartiu a ultima

em oito pedaços, justificando “eu divido no meio, mas vai sobrar mais um inteiro e dá para

cortar em 4 pedaços para cada um” (CAIO).

Quanto aos alunos do 2º ano que se utilizaram dessa estratégia, alguns não fizeram

relação com a área. Analisando a fala do Pedro, percebemos que, ao distribuir os chocolates

com as pessoas, ele considerou apenas a quantidade de pedaços, sem se preocupar com o

tamanho da fatia que cada uma iria receber. Ao ser solicitado para demonstrar a maneira

como fez a divisão, Pedro confirmou o que já havíamos percebido anteriormente:

A gente dá duas metades para ela e duas metades para ela [...] [referindo-se

à primeira barra de chocolate que ele havia dividido em quatro partes] (...)

duas para ele e duas para ele [referindo-se à segunda e terceira barras de

chocolate que ele havia dividido ao meio] [...] um chocolate é para as duas;

aí tem que ficar duas, aí tem que ficar dois pedacinhos para eles (PEDRO).

127

Ainda analisando as gravações feitas durante a realização da atividade com os alunos

do 2º ano, percebemos que para o Lucas, foi ainda mais difícil chegar a essa forma de dividir.

Vejamos como se deu o raciocínio do referido aluno:

De princípio, ele quis dividir cada chocolate em quatro partes:

“Eu coloquei assim, olha: eu já coloquei de uma em uma [...] três barras. Já dividi de

uma em uma. Quanto ficou? Ficou um, dois, três, quatro, cinco. Ficou cinco” (LUCAS).

E continua a pensar em voz alta: “Mas são quatro pessoas. Aí vai sobrar um

pedacinho...” (LUCAS), conforme mostra imagem:

Protocolo Lucas – Aluno do 2º Ano


Dessa forma, o aluno continua a buscar uma resposta que satisfaça o que lhe é

proposto na situação: “Será que dá pra dividir de dois em dois?” (LUCAS).

Outra criança sugere: “dá para dividir em três para cada” (PATRÍCIA).

O Lucas responde: “Não vai dá pra dividir em três. Fica nove; não vai dá pra todo

mundo” (LUCAS).

Percebemos na imagem, a seguir, que o Lucas continua a pensar, e chega a uma nova

conclusão:

128



“Dá para dividir em dez. Eu vou dá duas barras, dois pedacinhos para cada um; fica

dez... dá para dividir?” (LUCAS).

A imagem a seguir revela que ele apaga e começa a fazer nova divisão:

Protocolo Lucas – Aluno do 2º ano


Nesse momento, questionamos como ele fará para dividir com as quatro pessoas e ele

nos responde, conforme ilustrações a seguir:

“Dois pedaços para ela. Fica dois para ela; aí sobra mais dois, eu dou para ele;

sobra mais dois eu dou para ele” (LUCAS).

129



Ao contar novamente, o estudante percebe que não será possível fazer a divisão de

forma equitativa: “[...] um, dois, três, quatro; não vai dá” (LUCAS).

Contudo, continua a pensar, a contar e a buscar uma nova forma de dividir:

“Dá para dividir em oito [...] aí dá dois para cada um; dois pedaços para

cada uma pessoa [...] A primeira barra eu dividi em dois; aí eu divido a

outra em dois; aí eu divido a outra em dois. Fica oito pedaços; aí eu dou

dois pedaços pra ela, dois pedaços pra ela, dois pedaços pra ele e dois

pedaços pra ele” (LUCAS).



Após fazer nova divisão, afirma: “Eu divido assim, essa aqui em dois, essa aqui em

dois e essa aqui em dois. [referindo-se a cada barra de chocolate] Fica quanto? Um, dois, três,

quatro, cinco, seis. Fica seis” (LUCAS).

130

Nesse momento a criança pensa em voz alta: “Esse daqui eu dou para esse; esse

daqui eu dou para esse.” [correlacionando as duas primeiras barras de chocolate com as

quatro pessoas] (LUCAS), conforme imagem a seguir:



Percebemos que nesse momento houve uma pausa. Então perguntamos o que ele iria

fazer com os outros dois pedaços que sobraram, nos referindo à terceira barra de chocolate e o

Júnior inicia nova divisão e chega à seguinte conclusão:

“Dividir eles em... Ah! Já entendi. Eu divido eles em mais [...]: um pedaço

para ela, um pedaço para ela, um pedaço para ele. Um pedaço para ele [...]

aí sobrou uma barra inteira. [...] aí eu divido em quatro pedaços, aí eu dou

para cada um, um pedaço. Aí fica com duas barras eles; fica com dois

pedacinhos de barra (LUCAS).

A seguir, imagens da construção do pensamento conclusivo do aluno sobre a divisão

dos três chocolates para as quatro pessoas:

131

Protocolos Lucas – Aluno do 2º ano

Figura 58 - Imagens vídeo 7: Aluno Lucas - 2º Ano

Nesse sentido, de acordo com nossa análise, é possível perceber que na construção e

compreensão da ideia de partição, o aluno estabeleceu ligações e rupturas entre

conhecimentos (Vergnaud, 1993). A análise que fizemos da situação, nos permite, ainda,

afirmar que o estudante fez uso de esquemas que lhe possibilitou adquirir novas competências

a partir da reflexão, da exploração e de tentativas e erros. Dessa forma, na busca da resolução,

ele estabeleceu relações entre conhecimentos advindos de seu repertório, mas também

desenvolveu competências ainda não adquiridas por ele, por meio das quais compreendeu

novas ideias.

A outra estratégia identificada e utilizada por seis alunos do 2º ano e quatro alunos do

5º ano foi dividir cada uma das três barras de chocolate em quatro partes iguais e distribuir

uma parte de cada uma das barras para cada pessoa, ou seja, 4

1 de barra para cada pessoa. Já

os alunos do 1º ano não fizeram uso de tal estratégia de resolução.

Estratégia de resolução apresentada pelo José –

Aluno do 2º Ano

Estratégia de resolução apresentada pelo Júnior –

Aluno do 5º Ano

Figura 59 - Protocolos dos Alunos José e Júnior - 2º e 5º Ano

132

Observando as estratégias utilizadas pelas crianças, pudemos perceber que elas são as

mesmas indicadas por Garcia Silva (2007). A autora apoiada nos estudos de Carperter (1994)

observou também as duas estratégias aqui identificadas.

É importante notar que, mesmo não sendo perguntado sobre que fração representava a

parte que cada pessoa iria ganhar, dois alunos do 5º ano representaram também por meio de

fração. O aluno Wesley representou 2

1

4

1 e Ubiraci respondeu

4

3. Como não entrevistamos

os dois alunos, pudemos inferir que Wesley indicou as duas frações de chocolate distribuídas,

mas não a fração total que representava os dois pedaços; já Ubiraci ao dividir o chocolate em

quartos verificou o que cabia a cada pessoa.

Estratégia de resolução apresentada pelo Wesley –

Aluno do 5ºAno

Estratégia de resolução apresentada pelo Ubiraci

– Aluno do 5ºAno

Figura 60 - Protocolos dos Alunos Wesley e Ubiraci - 5º Ano

Ainda em relação ao item 3, um aluno do 2º ano parece ter se aproximado do caminho

descrito por Behr et al. (1992), ou seja, as três barras são unidas, formando uma unidade que é

dividida em quatro.

133

Estratégia: Carlos – Aluno do 2º Ano

Figura 61 - Protocolo do Aluno Carlos - 2º Ano

Três alunos do 5º ano e oito alunos do 1º ano não apresentaram uma resposta válida

para o item: dez deles dividiram os chocolates em meios, possivelmente por acreditar que

deveriam encontrar uma forma de dividir todos os chocolates em “partes iguais” (mesma

área). Já o terceiro aluno dividiu cada chocolate em cinco pedaços.

Apresentamos a seguir os protocolos dos alunos do 1º e 5º ano:

Estratégia: Bruna – Aluna do 1º Ano Estratégia: Paloma – Aluna do 5º Ano

Figura 62 - Protocolos das Alunas Bruna e Paloma - 1º e 5º Ano

134

Estratégia: Ubirajara – 5º ano

Figura 63: Protocolo do Aluno Ubirajara - 5º Ano

Analisando a estratégia utilizada pelo Ubirajara, aluno do 5º ano, observamos que ele

possivelmente utilizou-se da ideia de que deveria fazer quatro cortes no chocolate para que

pudesse dividi-lo em quatro partes. Reiteramos que a divisão de uma grandeza contínua

parece trivial, mas não é. Já em 1960 Piaget, Inhelder e Szeminska afirmavam que a

compreensão de frações implicava a construção de invariantes que serviriam como base para a

organização das ações da criança. Dos invariantes citados pelos autores, um deles diz respeito

à necessidade de saber sobre a relação existente entre o número de partes e o número de cortes

necessários para obter as partes, ou seja, que para dividir um todo contínuo em quatro partes

iguais serão necessários apenas três cortes. Nesse sentido, como apontado por Piaget et al

(1960), o estudante precisa antecipar o número de cortes que irá produzir e também prever

onde esses cortes devem ser feitos de forma a garantir que todas as partes tenham a mesma

área (conservação de área).

Ressalte-se que um aspecto que consideramos importante, nessa análise, é que a partir

dessa situação, os estudantes foram levados a levantar hipóteses e a fazer uso dos conceitos

matemáticos já conhecidos por eles, como por exemplo, o conceito de divisão, assim como

apontado por Nunes et al.

Um resultado que consideramos relevante também diz respeito à importância da

mediação do professor. Sob o nosso ponto de vista esse papel é fundamental uma vez que sua

intervenção poderá potencializar as reflexões dos estudantes. Assim acreditamos que se o

professor estimular a discussão, solicitando que os alunos comparem as diferentes

representações, isso possibilitará a busca de diferentes estratégias de resolução. Pois, por meio

135

dos questionamentos realizados pelo investigador, observados durante as gravações, pudemos

perceber o movimento de (re)elaboração das estratégias dos alunos.

Apresentaremos, a seguir, uma síntese das respostas dos alunos a essa situação:

Tabela 9: Respostas dos alunos à 2ª situação proposta na Sequência de Tarefas

Desenvolvida essa atividade, a Sequência propõe que seja feito o ensino da

representação fracionária por meio das ideais contidas no significado quociente. Posterior ao

ensino é proposta uma nova situação a qual passaremos à descrição da análise.

A terceira situação da Sequência propõe trabalhar com o invariante equivalência.

136

3ª situação

Seis crianças foram a uma pizzaria e pediram duas pizzas para repartir

igualmente. O garçom era muito simpático e trouxe uma pizza de cada vez para

eles não deixarem a pizza esfriar.

1. Como eles podem dividir a pizza? Que fração da primeira pizza cada

um vai ganhar?

2. Quando o garçom trouxer a segunda pizza, quanto cada um vai

ganhar?

3. Que fração cada um vai ganhar ao todo?

4. Se o garçom trouxer as duas pizzas de uma vez, eles podem dividir de

outra maneira? Como? Que fração da pizza cada um vai ganhar?

5. Veja essa duas frações. Você acha que elas mostram a mesma

quantidade de pizza? Como você chegou a essa conclusão?

Figura 64 - Sequência de Tarefas: 3ª Situação

Esta situação foi desenvolvida com o objetivo de investigar os argumentos utilizados

por estudantes durante a resolução de tarefas sobre equivalência de frações apresentadas na

situação Quociente.

Antes de trazermos a análise sobre a percepção das crianças acerca dessa ideia,

apresentaremos as respostas dadas aos outros itens propostos na situação.

Em relação ao primeiro item observamos que, embora os alunos tenham expressado de

modos diferentes, a maioria do1º ano (treze) e do 2º ano (quatorze) chegaram a uma resposta

válida referindo-se a fração de 6

1 para a porção da pizza que cada criança iria comer. O

mesmo ocorreu com todos os alunos do 5º ano.

Dentre os alunos do 1º ano que não apresentaram uma resposta válida, dois

137

responderam “2

1”; dois fizeram apenas rabiscos e um respondeu “6”, talvez se referindo à

quantidade de crianças apresentadas na situação. Quanto aos alunos do 2º ano, um respondeu

“cortando 1”; os demais (cinco) não responderam ao item.

No que se refere ao segundo item, seis alunos do 1º ano, doze do 2º ano e quatorze

alunos do 5º ano responderam de maneira assertiva que a fração da outra pizza também seria

“6

1”.

As demais respostas apresentadas foram: “2

1” (três alunos do 1º ano e um do 2º ano),

“6

2” (quatro alunos do 1º ano), “6” (um aluno do 1º ano), “2” (um aluno do 1º ano) e “1

para 6 crianças” (um aluno do 2º ano). Três alunos do 1º ano e seis do 2º ano não

apresentaram resposta.

Ainda em relação a esse item, três estudantes do 5º ano referiram-se apenas à

quantidade de pedaços indicando que seriam “2” (pedaços); um aluno respondeu: “eles

repartem a outra e comem 12” referindo-se ao total de pedaços das duas pizzas; e uma

criança respondeu “1”.

Nesse sentido, inferimos que os alunos que responderam “6

2” não levaram em

consideração o todo referência; os alunos que responderam “6” estavam se referindo à

quantidade de crianças apresentadas na situação. Por fim, os alunos que responderam “2”

estavam se referindo à quantidade de pedaços de pizza que cada criança ganharia.

Em relação ao terceiro item, em que era perguntado a fração de pizza que cada criança

ganharia ao todo, oito alunos do 1º ano, quatorze do 2º ano e treze do 5º ano responderam

assertivamente, dizendo que cada criança ganharia ao todo “6

2” de pizza.

As respostas não consideradas válidas foram: “2

1” (um aluno do 1º ano), “

6

1” (três

alunos do 1º ano), “6” (três alunos do 1º ano); “4

1” (um aluno do 2º ano) e “2” (dois alunos

do 5º ano). Dois alunos do 1º ano e cinco do 2º ano não responderam.

Ainda em relação ao terceiro item uma criança do 5º ano respondeu: “com duas pizzas

dá para cada um comer duas fatias”; outra respondeu: “vai ganhar 2 pedaços para cada

criança” e duas crianças responderam: “2”, talvez fazendo também referência a dois pedaços

138

de pizza. Analisando os itens 4 e 5, temos uma ideia de como os alunos lidam com o

invariante equivalência.

Com relação ao quarto item, percebemos com os alunos do 1º ano, que duas respostas

consideradas válidas foram apresentadas:

dividiu cada pizza em 3 partes: dois alunos

dividiu cada pizza em 6 partes: dois alunos.

Os demais alunos ou dividiram a pizza de diferentes maneiras ou não responderam o

item:

dividiu uma pizza ao meio e a outra em quartos: três alunos.

dividiu uma pizza em 5 partes e a outra em meios: um aluno.

dividiu uma pizza em 4 partes e a outra em oito: um aluno.

dividiu cada pizza em quartos: dois alunos.

dividiu cada pizza em 8 pedaços: um aluno.

dividiu uma pizza em 8 pedaços retangulares e outra em 5 pedaços: um aluno.

dividiu cada pizza em 7 partes: um aluno.

Já os alunos 2º ano, um fez a divisão da pizza em 6 partes e um aluno dividiu também

em 6 partes, porém na forma retangular; os demais alunos não deram resposta ao item. Vale

ressaltar que nenhum aluno do 1º ou 2º ano fizeram o registro da fração correspondente.

Ao analisarmos as respostas dos alunos do 5º ano quanto a outras formas de dividir a

pizza que cada criança ganharia, se o garçom trouxesse as duas de uma só vez, percebemos

que dez alunos responderam corretamente. Porém somente cinco deles fizeram a

representação fracionária da quantidade, como podemos observar nas figuras a seguir:

Estratégia: Victor - Aluno do 5º ano Estratégia: Fernanda – Aluna do 5º ano

Figura 65 - Protocolos dos Alunos Victor e Fernanda - 5º Ano

139

Já em relação ao item cinco, em que os alunos deveriam comparar as frações que

encontraram, verificando se estas representavam a mesma quantidade, eles não expressaram

compreender plenamente a ideia de equivalência, uma vez que mesmo aqueles que fizeram a

representação fracionária, responderam “não” a este item. Porém, os alunos que se referiram

apenas à quantidade de pedaços, disseram que os pedaços representavam a mesma quantidade

(alunos do 5º ano). Os alunos do 1º e 2º ano não apresentaram resposta a este item.

A seguir uma síntese das respostas dos alunos a essa situação:


141

Acreditamos ser fundamental, a partir da descrição da análise, destacar dois aspectos

que consideramos importante, observados com os alunos do 1º e 2º ano em relação à situação

proposta:

Primeiro em relação à divisão da pizza em três partes, observado pela pesquisadora

durante a aplicação da Sequência: alguns alunos que disseram ser possível dividir cada pizza

em três pedaços não conseguiram fazer tal divisão no desenho.

O segundo aspecto é em relação à representação. Percebemos que mesmo os alunos que

não fizeram uso do desenho representaram corretamente a fração de pizza. Esse fato nos

permite acreditar que o ensino de fração por meio da ideia de quociente favoreceu a

compreensão da representação fracionária da situação.

O aluno Diogo, por exemplo, ao ser questionado sobre a representação que havia feito

em reposta à fração de pizza que cada criança iria ganhar ao todo, ele nos responde,

apontando para o registro: “dois [apontando para o algarismo 2] dividido [apontando para o

traço] por seis [apontando para o algarismo 6].” (Diogo), conforme imagem ilustrativa a

seguir:

Estratégia: Diogo - aluno do 1º ano

Figura 66 - Imagem vídeo do Aluno Diogo - 1º Ano

Vale ressaltar, que o papel do professor nesse experimento foi bastante reduzido, uma

vez que objetivávamos analisar, durante o processo formativo, os registros espontâneos dos

alunos. Nesse sentido, solicitamos que o docente realizasse somente a leitura das situações,

sem nenhuma outra intervenção.

Dessa forma, reiteramos que em situação real de ensino, a mediação do professor seria

de fundamental importância uma vez que ao analisar os vídeos observamos que os alunos ao

compararem as frações equivalentes utilizaram-se dos conhecimentos intuitivos. O extrato, a

142

seguir, mostra a discussão sobre o ocorrido: “[...] a gente pegou a metade dos dois números,

do numerador e do denominador [...] O número assim da fração vai diminuir, só que eles vão

manter o mesmo que eles vão comer” (CÁSSIO).

Nesse sentido, de modo geral, a análise desses dados nos permitiu identificar que a

introdução do conceito de fração por meio do significado quociente pode favorecer a

compreensão do invariante equivalência, mas isso não ocorre de maneira espontânea; faz-se

necessária, portanto, a mediação do professor.

5.2. Reflexões advindas da avaliação do processo formativo

Ao final da formação, foi proposto um questionário avaliativo (APÊNDICE 4), por

meio do qual as professoras puderam expressar, mais uma vez, suas reflexões acerca do tema,

bem como sobre o processo formativo. De maneira geral, a análise dessa avaliação, nos leva a

acreditar que a formação favoreceu a reflexão da prática pedagógica, por parte das professoras

e que esse ato de refletir possibilitou autoconfiança. Essa é uma constatação que

consideramos importante, uma vez que “na medida em que os professores ganham confiança

na sua capacidade para ensinar Matemática têm maiores expectativas em relação às

capacidades dos seus alunos e propõe-lhes tarefas mais ricas” (SERRAZINA, 2010, p. 21).

Nesse sentido, consideramos fundamental, apresentar algumas observações que

expressam o sentimento das professoras.

Em relação ao trabalho desenvolvido em sala de aula, em anos anteriores, sobre o

tema, fração, as Professoras Ana e Renata afirmaram que se utilizavam apenas do significado

parte-todo, conforme podemos verificar nas figuras a seguir:

Professora Ana

Professora Renata



Observando a resposta da Professora Ana, percebemos que ela assume suas

limitações, afirmando que sentia “uma segurança equivocada” ao ensinar frações utilizando-

se do significado parte-todo.

143

A mesma dificuldade com o ensino das frações também é expressada pela Professora

Marcela, principalmente por considerar o seu conhecimento insuficiente, o que faz com que

ela reconheça também que o trabalho apenas com o significado parte-todo fragilizava a sua

abordagem durante o ensino: “As práticas pedagógicas que envolvia fração sempre foi um

desafio, pois sentia muita fragilidade em meus conhecimentos sobre esse conteúdo. A ideia

era sempre abordar o conteúdo por parte-todo” (Professora Marcela).

No que se refere ao aprimoramento da prática docente, as Professoras Ana e Renata

concluíram que introduzir o ensino das frações por meio do significado quociente facilita a

aprendizagem desse tema.

Professora Ana

Professora Renata



Ainda em relação ao aprimoramento da prática pedagógica, a Professora Marcela

reconhece a importância das discussões sobre os significados da fração na escolha de

estratégias que sejam apropriadas ao ensino:

Foi a oportunidade de apreender sobre os significados da fração, aplicar as

atividades e novamente discutir sobre os avanços e dificuldades

apresentadas tanto em relação às estratégias didáticas para o ensino deste

conteúdo, bem como é apropriado pelo aluno os conceitos de fração


Quanto ás dificuldades enfrentadas durante a formação, as Professoras Renata e Ana

relacionaram tal dificuldade ao uso da estratégia de partição na resolução das situações, bem

como ao desconhecimento dos diferentes significados da fração:

[...] compreender o que significava parte-todo, quociente e razão, pois eu

nunca havia aprendido e agora eu percebo claramente o que significa cada

um deles (PROFESSORA RENATA).

Como eu aprendi frações como “parte-todo” e isto está enraizado, durante

as atividades ficava tentando dividir os chocolates e pizzas em diversas

partes. Também contava todas as partes divididas e esquecia que deveria

contar de uma pizza ou um chocolate só (PROFESSORA ANA).

144

Percebemos que a Professora Ana admite apresentar outra dificuldade: o

reconhecimento do referencial a ser considerado. Reiteramos que essa dificuldade também foi

observada por Rodrigues (2005) em pesquisa realizada com alunos do 9º ano do Ensino

Fundamental, 3º ano do Ensino médio e alunos do Ensino Superior da área de exatas.

Em relação a essas dificuldades a Professora Marcela, afirma que tal dificuldade está

relacionada à formação inicial: “[...] isso se dá, a meu ver, pela fragilidade da formação em

relação ao conteúdo” (PROFESSORA MARCELA).

Porém o processo formativo parece ter favorecido mudanças na prática, considerando

que ao serem questionadas sobre a possibilidade de utilizar atividades realizadas durante a

formação em sala de aula, as professoras expressaram maior interesse por aquelas em que

foram explorados o significado quociente da fração. Reiteramos que o significado quociente

não era trabalhado pelas professoras em aulas ministradas por elas, antes da formação.

[...] as atividades da sequência da Professora Terezinha Nunes [...] mas

hoje eu falo que eu aplicaria por etapas e com isso podendo intervir


[...] a primeira parte da sequência da Terezinha Nunes (se eu pegar 1º ou 2º

ano). Se pegar o 3º em diante, realizarei a sequência inteira. O final da

sequência considerei muito complexa para o 1º e 2º ano (PROFESSORA

RENATA).

A sequência de tarefas que foi apresentada é bastante significativa para o

ensino de fração pelo significado quociente [...] principalmente

compreender que está relacionado ao processo de divisão e que considera

as vivências dos alunos [...] ao fazer a representação fracionária [referindo-

se às respostas dos alunos a uma das atividades da Sequência] se apoiaram

no ensino onde foi trabalhado a ideia de quociente. Isso favoreceu a

compreensão e resolução das questões [referindo-se as atividades da

Sequência] (PROFESSORA MARCELA).

A constatação de que o processo formativo favoreceu a reflexão da prática é

reafirmado nos depoimentos das professoras, citados acima, considerando que todas elas

fizeram observações quanto à maneira de aplicar a Sequência. Percebemos que elas sugerem,

a partir do que vivenciaram com seus alunos, mudanças pertinentes quanto ao

desenvolvimento dessa atividade.

145

CAPITULO 6 – DA PERCEPÇÃO À PRÁTICA DAS

PROFESSORAS

Neste capítulo, apresentaremos algumas considerações referentes às entrevistas e ao

trabalho realizado em sala de aula pelos nossos sujeitos de pesquisa, um ano após o processo

formativo.

Pretendíamos, por meio das informações coletadas nesses dois momentos, analisar se

houve e quais foram as implicações da formação na prática pedagógica dos sujeitos deste

estudo após a intervenção. Pretendíamos ainda, buscar resposta para uma de nossas questões

de pesquisa, qual seja: Quais são os possíveis saberes (re)construídos pelas professoras, a

partir da participação em um curso de formação continuada, quanto aos processos de ensino

e de aprendizagem do conceito de fração?

No primeiro momento da entrevista, as professoras foram motivadas a relatarem

pontos considerados por elas importantes que ocorreram nas sessões de formação. Nesse

sentido, a Professora Ana, afirma:

Pra mim uma das coisas que marcou bastante foi que eu sempre gostei de

matemática; tinha facilidade na escola, só que nunca entendi o porquê das

coisas. Então eu sempre soube fazer um monte de coisas [referindo-se ao

que respondeu no questionário diagnóstico inicial] só que eu não sabia o

porquê, porque que eu cheguei naquilo ali. Então, para uma professora

passar [referindo-se ao conteúdo] ela precisa saber o porquê e eu não sabia

[...] então o curso me ajudou muito, muito mesmo. É! Acho que o que mais

marcou foi isso mesmo (PROFESSORA ANA).

No que se refere ao objeto matemático, frações, a fala da professora é bastante

significativa, partindo do pressuposto de que, ao nosso entender, o que ela coloca é que a

formação levou-a a repensar a sua forma de ensinar esse conteúdo, pois antes ela trabalhava

apenas com o significado parte-todo, como podemos perceber em seu relato, a seguir:

(...) das frações, até a gente falou: nossa! Que simples. [referindo-se a

possibilidade de resolver situações quociente sem utilizar a partição como

estratégia] Então! A gente está acostumada a fazer de um jeito, somente de

um jeito e não vê outras possibilidades e aqui mostrou várias possibilidades

de fração [referindo-se aos diferentes significados]. Não é só pintar e contar

quantos; colocar o que está pintado em cima e o total embaixo [referindo-se

a utilização da ideia parte-todo somente como dupla contagem]. Isso ajudou

bastante (PROFESSORA ANA).

146

O depoimento da professora confirma estudos já citados anteriormente neste trabalho e

que chegaram à conclusão de que o ensino das frações é fortemente desenvolvido com a

utilização do significado parte-todo. Nesse sentido, observamos que a Professora Ana

demonstrou reconhecer a importância dos diferentes significados para a construção do

conceito da fração.

Da mesma forma, também a Professora Renata, relata o uso exclusivo do significado

parte-todo ao realizar o ensino desse tema:

Eu também senti a mesma coisa [referindo-se à formação]. O que me pegou

mais nas frações é porque eu pensava só de um jeito, aí depois no decorrer

do curso eu percebi que não [...] como foi no parte-todo, o que me pegou

muito foi na parte do parte-todo, porque eu chegava para eles [referindo-se

aos alunos] e só falava: olha você vai pintar, então você vai chegar e pintar

[...] então porque eu só pensava assim, no pintar, eu nunca pensei em falar

o porque. O que me marcou muito nessa parte foi isso: dá um significado

para aquilo que eu estava fazendo (PROFESSORA RENATA).

Um aspecto que consideramos interessante de ser pensado sobre o depoimento da

Professora Renata é que, embora o significado parte-todo seja o que era trabalhado por ela

em situação de sala de aula, antes da formação, percebemos que ela não tinha clareza das

ideias contidas nesse significado, uma vez que reconhece a necessidade de “dar significado”

(PROFESSORA RENATA) para o ensino que desenvolvia com seus alunos. Essa é uma

evidência que não foi verificada nos estudos que compõem a nossa revisão.

O relato da Professora Marcela reforça o que já foi dito pelas Professoras Ana e

Renata:

[...] o das frações que para mim também foi bastante novidade porque a

gente estava acostumada a usar fração somente como parte-todo e a gente

chegou lá [referindo-se ao curso de formação] e para resolver a gente

utilizou aqueles recursos mínimos que tínhamos [referindo-se ao processo de

dupla contagem] [...] eu achei gratificante demais essa formação


Em um momento da entrevista, questionamos sobre algumas experiências vivenciadas

pelas professoras nas sessões da formação em que elas resolveram situações que exploravam

o significado quociente.

A situação a que fizemos referência é a seguinte: Nove meninos irão dividir

igualmente 6 pizzas e não deve sobrar nada.Três meninas irão dividir igualmente 2 pizzas e

também não deve sobrar nada. As pizzas são idênticas. Represente a fração que cada criança

irá receber de pizza.

147

Com isso, pretendíamos explorar qual teria sido o pensamento da professora naquele

momento e como elas reagiriam diante dessa situação, passado um ano da ocorrência do

processo formativo.

Antes de descrever o que elas nos responderam, acreditamos ser necessário apresentar,

mais uma vez, os protolocos das professoras para que o leitor possa recordar qual teria sido a

resolução apresentada por cada uma delas naquele momento da formação:

Estratégia de Resolução – Professora Ana

Figura 69 - Protocolo da Professora Ana

Estratégia de Resolução – Professora Renata

Figura 70 - Protocolo da Professora Renata

148

Estratégia de Resolução – Professora Marcela

Figura 71 - Protocolo da Professora Marcela

Em relação a essa questão, as Professoras Ana e Renata assim se expressaram:

Então! Eu comecei dividindo as pizzas. Então vi pizzas, contei quantas

crianças tinham: quatro. Deixa eu dividir, então eu estava pensando em

tabuada: tenho que dividir um tanto que dê para todas essas crianças aqui.

Então eu coloquei assim: ah! dividir a pizza em seis pedaços. Então eu fiz

assim como se fosse uma tabuadinha simples, contando quantos pedaços...

se eu colocar em quatro não dá para dividir porque... ah por seis deu certo.

Então acabei indo por esse caminho... Eu percebi; eu não sei de onde que eu

tirei direito, eu fiquei fazendo um monte de conta e depois você vê que era

só colocar o número de pizza dividido pelo número de crianças. Não

precisava ficar dividindo, contando pedacinhos, vendo quanto era que dava

pra dividir, não tinha necessidade (PROFESSORA ANA).

Eu pensei assim: um número que eu pudesse dividir igualmente entre as

nove crianças, então só deu pra dividir cada pizza em seis pedaços. Então

eu dividiria essa daqui em seis, seis vezes seis deu trinta e seis, aí trinta e

seis eu ia dividir por nove, dá quatro. Aí dessa forma cada um ganharia

quatro pedaços (PROFESSORA RENATA).

Como a Professora Renata referiu-se apenas à quantidade de pedaços, fizemos o

seguinte questionamento: Aqui você não disse quatro pedaços de que tamanho. Quatro

pedaços de quanto?

Ela nos respondeu: “De um sexto. Seriam quatro pedaços de um sexto (...) foi isso que

eu pensei: numa divisão. Agora pensando faz sentido, quatro pedaços de um sexto”


Acreditamos que seja importante deixar claro para o leitor que na análise que fizemos

do protocolo da professora, em capítulo anterior, tinhamos levantado a hipótese de que ela,

149

possivelmente, estivesse referindo-se a pedaços de sextos. Porém, a sua fala revela que

naquele momento da formação, ela ainda não tinha essa consciência e que só a partir da

intervenção é que essa ideia foi construída.

Já a Professora Marcela nos afirmou:

Eu não conseguia fazer... eu tentei fazer... eu pensei numericamente- eu

dividi a pizza por 9 que totalizou 54 pedaços, depois fui distribuindo em

agrupamentos de três. Dividi em 54 partes, não considerei que o todo era a

pizza [...]Tudo o que eu vi sobre fração eu vi de parte-todo, nunca tinha

visto nada ligado ao quociente, ideia de divisão; eu tive muita dificuldade

para resolver (PROFESSORA MARCELA).

A partir dos depoimentos, questionamos as professoras sobre como elas responderiam

essa situação nesse momento. A Professora Ana afirma: “Hoje eu faria diferente: pensaria na

divisão; colocava seis pizzas divididas para nove crianças [referindo-se à maneira como é

ensinada a representação da fração em situações quociente]” (PROFESSORA ANA).

Da mesma forma, a Professora Marcela confirma:

Eu achei interessante utilizar a ideia de quociente, bem simples indicar a

quantidade de tortas que eu tenho ou os objetos que eu tenho e dividir pelas

pessoas e fica um pouco mais simples trabalhar assim [...] hoje eu sei. É

bacana você admitir que agora eu sei (PROFESSORA MARCELA).

A análise destes depoimentos nos dá a sensação de que discutir possibilidades de

trabalho das frações por meio de outro significado que não o parte-todo possibilitou às

professoras envolvidas demonstrar o que Serrazina (1999) chama de “um elevado grau de

consciencialização” que as ajudou a “reconhecer as suas falhas e fraquezas e a assumir um

forte desejo de ultrapassá-las” (SERRAZINA, 1999, p. 163). A autora, quando discute a

relação entre o processo de reflexão dos professores portugueses e a autoconfiança, obteve

resultados semelhantes aos aqui encontrados.

Em relação à Sequência de tarefas, proposta pela Professora Terezinha Nunes, para

introduzir o conceito de fração a partir da ideia de quociente, que foi vivenciada durante a

formação, questionamos sobre os limites e possibilidades do ensino a partir da mesma. Nesse

sentido, as professoras foram unânimes em reconhecer que esta pode favorecer o ensino,

porém os seus depoimentos apresentam algumas críticas que nos parecem pertinentes e que

merecem ser discutidas em estudos futuros:

150

Eu particularmente fiquei surpresa por eles não terem apresentado tanta

dificuldade porque como eles eram segundo ano, pequenos eu falei: nossa!

Eles não vão conseguir... divisão, fração. Não dá para fazer e na verdade dá

para fazer; eles nem apresentaram tanta dificuldade quanto eu achei que

eles apresentariam [...] Eu acredito que com a sequência dá para introduzir

legal com as crianças. As atividades finais, como é com o segundo ano acho

que teria que parar pela metade com eles [referindo-se às situações 3 e 4 da

Sequência de tarefas] (PROFESSORA ANA).

Sobre os saberes que possivelmente tenham sido (re)construídos durante o processo

formativo, a Professora Marcela assim se expressou:

Eu nunca havia participado de nenhum curso que discutiu fração dessa

forma; [referindo-se aos diferentes significados da fração] quando pedia um

pensamento mais elaborado eu tinha mais dificuldade. Eu não sabia fazer;

hoje ficou claro, o legal é isso, você passa a trabalhar determinado

conteúdo de forma consciente. Quando você não sabe você acaba passando

por cima; o professor tem um pouco disso; acaba meio que maquiando o

ensino. Assim acho que tenho hoje uma nova ação (PROFESSORA

MARCELA).

Resultados semelhantes aos nossos foram observados por Garcia Silva (2007). A

autora apoiada nos estudos de Blanco e Contreras (2002), conclui que “quando professores

têm pouco conhecimento dos conteúdos evitam ensinar temas que não dominam, mostram

insegurança perante circunstâncias não previstas e se apoiam na memorização, tanto quando

ensinam como quando avaliam” ( GARCIA SILVA, 2007, p. 239).

Ao final da entrevista, perguntamos às professoras quais atividades elas pretendiam

desenvolver com os alunos com os quais estavam trabalhando naquele momento para

introduzir frações. Elas nos responderam que haviam planejado trabalhar com o livro “O

pirulito do pato” para introduzir o ensino de frações, pois consideravam o livro como a

proposta mais adequada ao ano em que estavam lecionando naquele momento, uma vez que

lecionavam para crianças bem pequenas e dispersas. Argumentaram que naquela fase em que

seus alunos se encontravam, o uso da literatura infantil favoreceria tanto a atenção dos alunos

quanto a sua compreensão do conteúdo.

O que a gente [referindo-se a ela e a Professora Renata] achou que tinha

mais coerência com o primeiro ano que a gente adorou do curso foi o

Pirulito do pato (...) dá para ir mostrando essa coisa da divisão do pirulito.

Seria menos conteúdo por eles serem menorzinhos. Eu acho que essa aqui

fica mais fixa para o primeiro ano porque para nós ajudou muito o

concreto. Então colocar, tirar as palavras, número e colocar no concreto.

Isso ajuda para transferir para o número depois (PROFESSORA ANA).

151

Assim como a Professora Ana, também a Professora Renata argumentou por

considerar que o trabalho com crianças necessita estar pautado em algo que lhes possibilite a

manipulação de objetos concretos.

[...] com o pirulito já tem uma boa compreensão, porque eles mesmos de

acordo com o que eles estão vendo, estão vendo sendo repartido e depois o

que nós pensamos? Pra eles repartirem, para eles terem noção o porquê que

isso aqui é um terço (PROFESSORA RENATA).

Esse pensamento foi reafirmado também pela Professora Marcela, ao justificar:

[...] já apliquei na sala de aula do 5º ano com excelente resultado

[referindo-se ao ano anterior, quando participava da formação]. As crianças

adoraram ler a história e acompanhar as imagens em Power point, o que

favoreceu a compreensão do conceito e posterior construção da

representação de frações e seus significados (PROFESSORA MARCELA).

Dessa forma, a proposta das professoras seria, após apresentar a história do Pirulito do

Pato, que as crianças pudessem reproduzir a história com o apoio de material que elas

manipulariam e a partir dos quais pudessem transferir a linguagem verbal para a linguagem

dos números.

Essa foi uma das atividades que realizamos com as professoras, durante o processo

formativo. Nesse sentido, perguntamos sobre a possibilidade delas nos autorizarem a observar

a aula que elas haviam planejado e na qual elas iriam desenvolver tal atividade. Vale ressaltar

que a história trabalha com o significado parte-todo. Pensando nesse fato, perguntamos às

professoras sobre a possibilidade de ampliar as ideias contidas nesse significado para outros

significados da fração. Vejamos o que a Professora Ana nos respondeu:

Eu acho que você tem que fazer porque se não vai ficar naquela coisa que a

gente viveu. Só vê o parte-todo então se a gente sabe hoje que não é só

parte-todo, que dá pra ter outros caminhos, você tem que começar a passar

para os mais novinhos [referindo-se aos alunos] para que eles possam

interiorizarem que não tem só o parte-todo, que foi isso que aconteceu com

a gente (PROFESSORA ANA).

Percebemos no depoimento da professora que mais uma vez ela reforça o fato de que,

anterior à formação, ela conhecia apenas um significado de fração e esse era o que ela

utilizava no ensino desse tema. Da mesma forma, a Professora Renata também reafirma tal

fato: “[...] é porque nós aprendemos com o parte-todo” (PROFESSORA RENATA).

152

Nesse sentido, retornamos à escola para verificar como as professoras iriam realizar o

ensino. A próxima seção deste capítulo será dedicada à descrição do que observamos nas

aulas ministradas pelas professoras e à análise que fizemos do processo de ensino realizado.

6.1. Análise da atividade desenvolvida pelas professoras um ano após a formação

Reiteramos que a entrevista com nossos sujeitos foi realizada passado um ano do

processo formativo, o que nos possibilitou retornar à escola, no intuito de verificarmos como

as professoras desenvolveram a aula sobre o ensino de frações, pois acreditamos que “a

formação como desenvolvimento profissional tem que estar baseada nas práticas de sala de

aula” (SERRAZINA, 2013, p. 78). Passaremos, portanto, à descrição e análise do que

observamos.

De princípio, um fator que consideramos importante de ser evidenciado é que as três

professoras investigadas optaram por introduzir fração por meio da exploração do livro

infantil “O pirulito do pato”, de autoria de Machado (2003) e que, de maneira geral, elas

deram início à aula utilizando-se das mesmas estratégias: apresentação da história em Power

point, seguida da leitura interpretativa.

Passado esse primeiro momento, as Professoras Ana e Renata convidaram os alunos a

interpretarem a história da divisão do pirulito. Para tanto, ofereceram papel com desenhos

representando as partes em que o pirulito havia sido dividido e tesoura para que eles fizessem

o recorte das partes, de acordo com o contado na história, conforme retratam imagens a

seguir:

Alunos Professora Ana – 1° Ano

Figura 72 - Imagens vídeo: alunos realizando atividade sugerida pela Professora Ana

Na Sequência, as professoras propuseram o ensino do tema em questão, fração. Um

aspecto nos chamou a atenção. Pois percebemos que as três professoras, conseguiram reunir

153

as ideias contidas nos significados parte-todo (esse era o significado trabalhado na história) e

quociente. Observemos como isso ocorreu a partir do ensino na descrição a seguir:

“Existe uma coisa que se chama fração. Dá para a gente mostrar essa divisão do

pirulito com números agora. A gente fez com papel e agora a gente vai fazer com números.

Então olha só: quantos pirulitos tinham?” (PROFESSORA ANA).

Nesse momento as crianças respondem que havia um pirulito. Nesse sentido, a

professora segue o ensino, fazendo o registro na lousa:

“Um pirulito. Então olha: o número 1 [apontando para o registro que ela fez na lousa]

[...] esse tracinho que a prô vai colocar aqui olha, ele significa dividido [apontando mais uma

vez para o registro feito na lousa] (PROFESSORA ANA).

Dessa forma inicia a leitura, apontando para os registros contidos na lousa “Então

olha: um pirulito dividido...” (PROFESSORA ANA), conforme imagens a seguir:

Aula ministrada pela Professora Ana

Figura 73 - Imagem vídeo 1: Ensino desenvolvido pela Professora Ana17

A professora dá continuidade reforçando a pergunta: “um pirulito dividido para

quantos patinhos?” (PROFESSORA ANA).

Quando as crianças respondem, a professora registra o algarismo dois, concluindo a

representação da fração 2

1. Em seguida, faz a leitura da representação fracionária, como

mostra a imagem a seguir:

17

As imagens apresentadas neste artigo foram autorizadas pela professora conforme TCLE.

154



Feito o registro da primeira quantidade fracionária, a professora segue

problematizando, fazendo o registro de novas frações. Vejamos alguns trechos de como ela

prosseguiu no ensino:

[...] se eu fosse dividir um pirulito para quatro crianças, como que eu iria

colocar aqui? [referindo-se à forma de como fazer o registro da fração] Eu

tenho um pirulito, como que eu mostro aqui em números?[...] Olha um

pirulito [referindo-se ao registro que fez na lousa] [...] como que é o

dividido? [referindo-se ao registro do traço que indica divisão]

(PROFESSORA ANA).

[...] em cima eu coloco o número de quê? De patinhos ou de pirulito? [e faz

o registro na lousa] [...] E isso aqui? O quê que é esse traço? O que significa

ele? [...] Então é o número de pirulito dividido por... [referindo-se ao

registro da fração 4

1] (PROFESSORA ANA).

Vale ressaltar, que a todo instante ela reforça a divisão do pirulito em partes iguais

(ideia do parte-todo). Após registrar a representação de diferentes frações, a professora faz a

ilustração com desenhos (ideia do parte-todo), como podemos observar na imagem a seguir:



155

Estratégia de ensino semelhante foi observada nas aulas das professoras Renata e

Marcela. A professora Marcela, por exemplo, durante o ensino, faz alguns questionamentos

às crianças: “[...] como é que eu escrevo um inteiro dividido em dois? [...] se for dividido em

três? [...] dividido em quatro? [...] divido em cinco? Em seis? Se dividido em sete? E em

dez?” (PROFESSORA MARCELA).

A Professora Renata, antes de iniciar o registro das quantidades fracionárias que

apareciam na história, fez junto com as crianças o recorte do que representava cada parte

(ideia de parte-todo).

Alunos Professora Renata – 2° Ano

Figura 76 - Imagens vídeo: Alunos realizando atividade sugerida pela Professora Renata

Em seguida, iniciou o registro. Vejamos trechos do ensino:

“[...] e como que eu represento aqui? Um pirulito dividido por três? Como é que eu

faço? Como é que eu ponho?” [referindo-se à forma de como escrever a representação da

fração] (PROFESSORA RENATA).

As crianças responderam que ela deveria escrever o algarismo um (1), e indicar a

divisão com um traço abaixo do algarismo. A professora então questiona: “Ah! Se eu colocar

esse risco assim, significa que é dividir? (PROFESSORA RENATA). As crianças confirmam.

Dessa forma, ela inicia o registro na lousa, sempre dialogando com os alunos: “Este

um aqui em cima significa que eu tenho um pirulito. Aqui significa o quê? Esse risco. Esse

risco significa o quê? [...] Um pirulito dividido por... dois” (PROFESSORA RENATA),

conforme ilustram imagens a seguir:

156

Aula ministrada pela Professora Renata


A professora dá continuidade ao ensino, exemplificando a divisão do pirulito entre as

crianças, de modo a fazer a representação de várias frações. Um ponto interessante, observado

na aula da Professora Renata e que não foi explorado nas aulas das demais professoras é que

ela iniciou o ensino sobre a equivalência entre as quantidades fracionárias, uma vez que

durante a construção das representações fracionárias, chamou a atenção dos alunos para a

correspondência existente entre as partes que representavam terços e sextos do pirulito de

maneira que eles puderam perceber que um terço representa o mesmo que as duas partes de

um sexto:

“[...] então foi um sexto. Significa que tanto o Mateus como a Sabrina [referindo-se

aos alunos] receberam um sexto do pirulito [...] essas duas partes juntas é uma parte dessa?

[referindo aos pedaços de sextos e terços]” (PROFESSORA RENATA).

As imagens a seguir ilustram esse momento do ensino:

Aula ministrada pela Professora Renata


Ao analisar o que observamos durante as aulas, o que mais nos impressionou, é que,

de maneira geral, embora as professoras tenham ministrado o ensino a partir de uma situação

157

parte-todo, elas utilizaram-se da linguagem do significado quociente para mostrar às crianças

a representação das quantidades fracionárias. Nesse sentindo, podemos afirmar que houve,

para esse grupo de professoras, a preocupação em relacionar os conhecimentos das ideias

contidas em um significado e no outro.

Nesse sentido, acreditamos que o ensino do conceito de frações a partir da abordagem

dos diferentes significados favorece a compreensão desse conteúdo, pois de acordo com a

base teórica adotada na análise do nosso trabalho de pesquisa, os conhecimentos cuja

combinação do domínio do conteúdo matemático com a compreensão de todas as questões

relacionadas ao ensino de tal conteúdo, nesse caso, sobre os diferentes significados da fração

e seus invariantes, é fundamental para a eficácia no ensino da Matemática (Ball et al., 2008;

Shulman, 1986).

158

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Chegado o momento de apresentar nossas últimas considerações sobre o processo de

investigação que ocorreu ao longo de dois anos, iremos retomar pontos que consideramos

fundamentais durante a realização da pesquisa. Para tanto, apresentaremos de maneira sucinta

o desenvolvimento deste estudo, bem como nossas análises e reflexões sobre esse trabalho de

investigação que respondeu as nossas questões de pesquisa. Apresentaremos também

proposições de novas investigações acerca do tema em estudo.

Acreditamos ser conveniente retomar o objetivo da pesquisa, que foi pensado a partir

do desejo de buscar respostas para as nossas questões (Capítulo 1): analisar as mudanças de



curso de formação continuada.

Como aporte teórico, adotamos a Teoria dos Campos Conceituais de Gerard Vergnaud

(1990, 1993) e as pesquisas realizadas por Nunes et al. (2003, 2005, 2009) que nos ajudaram a

compreender questões relacionadas ao objeto matemático, frações. Adotamos também como

pressuposto teórico, Shulman (1986), Ball et al (2008) e Serrazina (1999, 2010), cujas teorias

nos permitiram realizar a análise das questões relativas à formação de professores, reflexões

sobre a prática pedagógica e conhecimento profissional docente. (Capítulo 2).

Com base nessas teorias e em resultados de pesquisas relacionadas ao tema, definimos

e organizamos a investigação. Tais pesquisas apontam fragilidades quanto à formação dos

professores (Garcia Silva, 2007; Teixeira, 2008; Cervantes, 2010 e Costa, 2011) e quanto ao

ensino e à aprendizagem do conceito de fração (Cardoso, 2009; Campos, 2011 e Canova,

2013).

Em relação à formação os estudos de Garcia Silva, por exemplo, indicam que alguns

fatores interferem no desenvolvimento profissional de docentes, como as dificuldades que

estes apresentam relacionadas ao conhecimento matemático, às crenças e concepções quanto

ao ensino das frações, propondo, portanto, que seja dado em cursos de formação inicial e

continuada, amplo enfoque para as frações, com análise em seus diferentes significados.

Nesse sentido, essa pesquisadora propõe também que os processos formativos sejam uma

oportunidade para que professores possam romper crenças e concepções sobre o ensino e

159

aprendizagem da Matemática, chamando a atenção para a necessidade de reflexões sobre a

prática pedagógica em ambientes colaborativos. (Garcia Silva, 2007).

Em relação à introdução do conceito de fração, como já foi mencionado anteriormente,

documentos oficiais como os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN orientam que desde os

primeiros anos do Ensino Fundamental, os alunos sejam levados a resolver situações em que

se faz necessário ampliar os conhecimentos sobre os números naturais, propondo, portanto, a

partir desse universo, que se explore o conceito de frações em diferentes significados:

quociente, parte-todo e razão. (BRASIL, 1997, p.54).

Porém muitos estudos que antecederam o nosso apontam que, em geral, o significado

parte-todo é o único explorado pelos professores em situação de ensino (Campos et al., 1995;

Garcia Silva, 2007; Nunes e Bryant, 1997 dentre outros). Essas investigações indicam que o

ensino utilizando-se apenas desse significado não é suficiente para a compreensão do conceito

de fração, pois este normalmente apóia-se apenas no “procedimento de dupla contagem”

(NUNES e BRYANT, 1997, p. 212-213). Dessa forma, sugerem sejam também explorados,

desde os anos iniciais, outros significados.

No intuído de ampliar essas discussões optamos por buscar apoio nos estudos de

Nunes et al (2009) que com base na Teoria dos Campos Conceituais e inspirados por

Streefland (1984) indicam o significado quociente como facilitador na introdução do conceito

de fração, bem como na compreensão de seus invariantes, ordem e equivalência. Seus estudos

apontam que introduzir o conceito de fração por meio do significado quociente torna-se

natural para a criança, uma vez que ela pode apoiar-se na ideia de divisão já anteriormente

experienciada em situações cotidianas.

Para tanto, vale ressaltar a importância de o professor apropriar-se de todas as ideias

subjacentes a esses dois significados. Sendo assim, motivadas por tais discussões, o nosso

trabalho de investigação ocorreu a partir de uma formação continuada. Essa foi organizada em

oito sessões, realizadas no contexto do Projeto Observatório da Educação com a participação

de pesquisadores em Educação Matemática e professoras dos anos iniciais do Ensino

Fundamental do estado de São Paulo e mais duas atividades que foram desenvolvidas,

decorridos um ano da formação: entrevista e observação de aula. Nesse sentido, pretendíamos

também com a nossa investigação constituir um grupo colaborativo de formação e pesquisa

com a finalidade de promover e analisar o conhecimento profissional docente das professoras

sobre a introdução do conceito de fração, quando estas se dispõem a pensar a prática

pedagógica e a promover inovações em suas aulas.

160

Dessa forma, o foco da nossa intervenção foi discutir e analisar com as professoras as

possibilidades de introduzir o conceito de fração por meio do significado quociente e parte-

todo, de modo a ampliar os conhecimentos que elas já possuíam acerca do significado parte-

todo.

Reiteramos, quanto à organização do nosso estudo, que este foi desenvolvido em três

fases: primeiramente inspirados na revisão literatura e no referencial teórico, elaboramos,

aplicamos e analisamos dois instrumentos diagnósticos que serviram de base para planejar as

sessões da formação dedicadas à intervenção, segunda fase da pesquisa. Por fim, passado um

ano do processo formativo, realizamos entrevistas com nossos sujeitos e retornamos à escola,

no intuito de observar a aula que elas haviam planejado para introduzir o ensino do conceito

de fração com seus alunos.

Na fase inicial propusemos que o grupo respondesse a um questionário com situações

parte-todo e quociente que vieram de fontes diversas: do Saresp, do Caderno de Apoio e

Aprendizagem Ler e Escrever da Prefeitura de São Paulo, da Prova de Mérito para professores

do Estado de São Paulo e dos estudos de Rodrigues (2005), Garcia Silva (2007), Cardoso

(2009), Costa (2011) e Canova (2013). Estes e outros estudos também nortearam muitas das

discussões que propusemos no curso da pesquisa, relacionadas ao tema.

Iniciamos a intervenção, esta desenvolvida em seis sessões de formação, apresentando

às professoras as análises que havíamos feito das resoluções indicadas por elas, a cada

instrumento diagnóstico. Tal atividade abriu espaço para discussões que, à luz do nosso

referencial teórico, levou as professoras às primeiras reflexões sobre equívocos cometidos por

elas, relacionando-os a resultados de pesquisas realizadas sobre o ensino e a aprendizagem

das frações e estabelecendo também relações com sua prática pedagógica.

No desejo de aprofundar tais discussões propusemos, a partir da apresentação da

Sequência de tarefas elaborada por Nunes et al. (2009), novas reflexões. Dessa forma,

pretendíamos discutir com as professoras outra possibilidade de se introduzir o ensino das

frações e, assim, tentar romper algumas das dificuldades apresentadas por elas na resolução

das situações quociente contidas no instrumento diagnóstico, bem como a crença de que o

ensino desse tema está relacionado apenas à ideia de partição. A Sequência, composta de

quatro situações, partindo de uma situação de divisão para depois registrar numericamente

várias frações, iniciando pela fração de metade (2

1), supostamente já conhecida pelos alunos,

foi inspirada em problemas desenvolvidos por Streefland (1990). As outras duas situações

buscavam favorecer a compreensão da ideia de equivalência, no intuito de levar o aluno a

161

perceber que diferentes frações podem representar a mesma quantidade desde que a unidade

de referência se mantenha. Antes, porém, a intenção seria ajudar a criança a compreender que

a representação fracionária da quantidade indicada na situação poderia ser obtida a partir da

ideia de divisão, ou seja, que o numerador seria a quantidade de “coisas” a ser dividida; o

denominador representaria o número de “pessoas” pelas quais seriam divididas e por fim, que

a relação entre as duas quantidades seria a representação da fração correspondente à

quantidade que cada “pessoa” receberia da “coisa” a ser dividida. A Sequência foi vivenciada

pelas professoras nas sessões de formação e também por seus alunos em sala de aula. Assim,

foi possível analisar os esquemas dos alunos e discutir com elas, os limites e possibilidades do

seu uso para introduzir o ensino do conceito de fração.

No que se refere ao significado parte-todo, para que as professoras tivessem a

oportunidade de ampliar os conhecimentos que elas já possuíam, propusemos a vivência de

uma atividade desenvolvida a partir do livro de literatura infantil “O pirulito do pato”. Essa

escolha se deve ao fato de acreditarmos que compreensões, como por exemplo, a de que

existe uma relação entre numerador e denominador de modo que essa relação entre os dois

símbolos numéricos representa uma única quantidade fracionária ainda não se apresentava de

maneira clara para as professoras.

Outra ideia que julgamos importante e que também parecia pouco compreensível para

as professoras é a de equivalência e ordem entre frações, pois embora elas tenham

demonstrado uso exclusivo do significado parte-todo quando ensinam frações, de maneira

geral, faziam referências apenas à quantidade de partes sem, contudo, estabelecer relações

entre as quantidades fracionárias.

Nosso estudo foi marcado por diferentes momentos de investigação, cujas análises

constituíram partes fundamentais à formatação desse trabalho. Primeiramente analisamos as

informações produzidas a partir dos instrumentos diagnósticos (Capítulo 4). Reiteramos que

esta nos ofereceu informações imprescindíveis ao planejamento e realização do processo de

intervenção. Depois fizemos a análise do processo formativo (Capítulo 5), a partir da qual

trouxemos as reflexões das professoras advindas da formação. Por fim, analisamos as

entrevistas concedidas pelas docentes e as observações oriundas da aula desenvolvida por elas

para introduzir o ensino de frações (Capítulo 6), ambas realizadas um ano após a formação.

Sendo assim, apresentaremos nos próximos itens um breve relato das análises dos

resultados. Em seguida, iremos retomar nossa questão de pesquisa no desejo de respondê-la e,

finalmente, pretendemos apresentar indicações de novos estudos.

162

Breve Relato dos Principais Resultados da Pesquisa

Neste item temos a pretensão de apresentar brevemente as nossas conclusões acerca da

análise referente ao instrumento diagnóstico que antecedeu o processo de intervenção.

Relataremos também conclusões sobre a análise da formação, bem como as reflexões

provenientes do processo formativo.

Saberes Matemáticos das Professoras no Início do Processo Formativo

Tomando como base o referencial teórico adotado neste estudo (Shulman, 1987; Ball

et al, 2008 e Serrazina, 1999), alguns saberes são necessários ao professor para o ensino de

Matemática: Conhecimento do Conteúdo da Disciplina e Conhecimento Pedagógico do

Conteúdo Matemático (Ball et al, 2008).

A análise das informações colhidas na primeira fase deste estudo, nos fez concluir que

as professoras não vivenciaram, na sua formação inicial e/ou em cursos de formação

continuada, situações que lhes permitissem refletir sobre os processos de ensino e

aprendizagem das frações. Portanto, aquela seria a primeira oportunidade das professoras de

participar de um curso de formação em Educação Matemática e de discutir essa temática.

Nessa fase, propusemos também outro instrumento, de caráter diagnóstico, composto

de duas partes: na primeira solicitamos a elaboração e resolução de situações que

consideravam imprescindíveis ao ensinar frações. Dessa forma, pretendíamos observar os

significados que provavelmente eram explorados em sala de aula e as estratégias de resolução

que utilizariam (Conhecimento do Conteúdo Especializado Ball et al, 2008). Na segunda parte

propusemos que as professoras respondessem a doze situações em que as frações eram

apresentadas por meio dos significados parte-todo e quociente. Dessa forma, poderíamos

analisar além de questões relacionadas ao conteúdo específico, frações, o Conhecimento de

Conteúdo e de Estudantes e o Conhecimento do Conteúdo e do Ensino (BALL et al, 2008).

A análise desses instrumentos nos trouxe algumas evidências sobre o conhecimento

profissional docente dos sujeitos investigados. Em relação à representação da fração,

observamos que as professoras utilizavam-se da ideia de dupla contagem para situações parte-

todo. Dessa forma, de maneira geral, elas conseguiam representar corretamente as frações

correspondentes às quantidades propostas em cada situação. Todavia, não ficou evidente se

elas reconheciam a relação existente entre essas duas quantidades como um quociente.

163

Esta constatação se deve ainda ao fato de que as justificativas e estratégias de ensino

por elas indicadas, não revelavam domínio suficiente acerca de como orientar o aluno

desenvolver esquemas de resolução que os levassem a enxergar a fração como o quociente de

uma divisão.

Sendo assim, pudemos concluir, quanto aos domínios necessários ao ensino de

Matemática, em relação à introdução do conceito de frações, que esses se encontravam ainda

fragilizados. Esta conclusão pode ser justificada se levarmos em consideração uma das

vertentes do Conhecimento Pedagógico do Conteúdo Matemático: conhecimento do currículo

(Ball et al, 2008). Nas situações elaboradas pelas professoras, na fase diagnóstica, ficou

evidente que elas não tinham conhecimento dos significados da fração que eram propostos nas

orientações curriculares, pois apenas um dos significados sugeridos nesse documento foi

evidenciado nas situações elaboradas. Dessa forma, pudemos concluir ainda haver, naquele

momento, lacunas quanto aos Conhecimentos de Conteúdo e do Ensino (Ball et al, 2008).

Fato evidenciado também nas estratégias de resolução, uma vez que estas eram baseadas em

técnicas de partição, o que nos fez acreditar que o ensino que elas realizavam era apenas

procedimental. Tal fato confirma o que já havia sido constatado por outras pesquisas, como

por exemplo, a desenvolvida por Costa (2011) em que ele concluiu que as frações eram

tratadas pelos seus sujeitos de pesquisa apenas do ponto de vista do algoritmo.

Quanto a compreensões sobre a equivalência e a ordenação de frações, percebemos

que as professoras investigadas, de maneira geral, não reconheciam a relação existente entre

as quantidades fracionárias, o que dificultou a identificação de tais invariantes, pois elas

referiam-se sempre à quantidade de partes, mesmo quando se tratava de situações parte-todo,

que era a mais conhecida antes do processo formativo.

Outro aspecto que pretendíamos observar e que decidimos denominar também de

invariante, uma vez que se constitui também ideia fundamental à compreensão do conceito de

fração, foi quanto à percepção da necessidade de conservação da unidade de referência. Em

relação a essa compreensão percebemos em diversas situações dificuldade em conservar a

unidade de referência, o que em alguns casos levou-as à representação equivocada da

quantidade fracionária.

Dessa forma, de maneira geral, concluímos em relação aos saberes das professoras

(Shulman, 1987; Ball et al, 2008):

- Quanto ao Conhecimento do Conteúdo: as professoras apresentavam melhor

desempenho nas situações parte-todo, confirmando o que elas haviam relatado no

“Questionário de Entrada” quando afirmaram não ter tido experiência com frações em sua

164

vida acadêmica e que o contato com esse tema se deu até aquele momento com o significado

parte-todo, que era o adotado por elas no ensino das frações. Aliado a isso, percebemos nas

situações em que elas teriam que analisar a resposta de um aluno fictício pouco domínio sobre

as ideias subjacentes ao conceito de fração, uma vez que não demonstravam perceber o que

levou o estudante a apresentar aquela resposta. Assim concluímos ainda haver a necessidade

de aprofundamento sobre os conceitos inerentes às frações, de modo que em situação de

ensino, as professoras tivessem a compreensão além de perceber os equívocos cometidos

pelos alunos, também analisá-los e sugerir encaminhamentos que os ajudem a superar

possíveis dificuldades.

- Quanto ao Conhecimento Curricular: constatamos que as professoras desconheciam

os significados da fração orientados nos documentos oficiais. Dessa forma, concluímos que a

ausência desse conhecimento poderia comprometer o seu ensino. Esse fato pode ser

constatado no depoimento da Professora Renata: “Eu não sabia esse negócio de razão, parte-

todo [...] eu não sabia. Estou aprendendo agora [referindo-se à formação]” (PROFESSORA

RENATA).

- Quanto ao Conhecimento Pedagógico do Conteúdo: percebemos que as professoras

enfrentavam muitas dificuldades ao propor questões para o ensino das frações, sobretudo, no

que se refere à busca de estratégias que atendessem às dificuldades dos alunos. Acreditamos

que essas dificuldades são decorrentes das formações, inicial e continuada. Isso nos leva a

concluir que esse fato parece refletir na maneira como elas ensinam, sendo o conhecimento

acerca das frações, adquiridos nessa fase, insuficientes ao desenvolvimento da prática

pedagógica.

Diante do exposto e à luz de Shulman (1986), Ball et al (2008) e Nunes et al (2003)

concluímos que a ausência de tais compreensões possivelmente ampliaram igualmente as

dificuldades das professoras para ensinar frações. Em razão desses resultados, como já foi

mencionado anteriormente, fez-se necessário, além do aprofundamento dos conceitos contidos

em situações parte-todo, a exploração do significado quociente, dos invariantes: ordem,

equivalência e unidade de referência por meio da reflexão de “situações de aula fictícias”,

elaboradas especialmente para alimentar a discussão do grupo.

165

Reflexões sobre o Objeto Matemático: concepções, crenças e saberes (re)construídos no

decorrer da formação

Motivadas por pesquisas anteriores à nossa sobre questões relacionadas tanto à

formação de professores quanto aos processos de ensino e aprendizagem das frações, mais

especificamente, sobre os significados que favorecem a sua introdução, nos propusemos a

realizar uma investigação, no intuito de verificar quais eram os conhecimentos (re)construídos

pelas professoras, sujeitos da pesquisa, sobre a introdução do conceito de fração desenvolvido

por meio de situações parte-todo e quociente.

Considerando como conhecimento profissional aqueles apontados por Shulman 1986,

1987 e Ball et al, 2008, que se desenvolvem “continuadamente ao longo do tempo, em

diálogo com as experiências” (SERRAZINA, 2013). Ao final deste estudo, chegamos à

conclusão de que os sujeitos investigados demonstraram não ter, tanto na formação inicial

quanto continuada, a oportunidade de vivenciar o aprendizado não só no que se refere às

frações, mas também de outros conteúdos matemáticos que lhes favorecessem desenvolver

tais conhecimentos. Dessa forma, chegamos também à conclusão de que isso poderia

repercutir na sua atuação em sala de aula.

Evidências desses fatos se revelaram em vários momentos da formação. Quando

discutimos, por exemplo, a gama de possibilidades para introduzir o conceito de fração,

partindo do que é orientado nos PCN, apresentando as professoras, as diferentes situações, os

vários esquemas que poderiam ser mobilizados pelos estudantes e as diversas representações a

fim de auxiliar na construção do conceito (Vergnaud, 1993). Percebemos que, inicialmente,

elas desconheciam os diferentes significados e ainda acreditavam, que todas as situações com

frações eram resolvidas somente por meio do significado parte-todo. As professoras só

conseguiram perceber que ideias partitivas nem sempre eram as mais adequadas para o ensino

do conceito de fração quando se depararam com situações mais complexas em que elas teriam

que discutir os invariantes operatórios, sobretudo, ordem, equivalência e conservação da

unidade de referência.

As fragilidades dos conhecimentos das professoras quanto às frações ficaram

evidenciadas também nos momentos da formação em que buscamos discutir com elas a

análise de esquemas utilizados por alunos na resolução de algumas situações e nas estratégias

de intervenção que elas utilizariam para ajudá-los a superar suas dificuldades.

Sendo assim, nossa pesquisa concluiu no que se refere às crenças e concepções

evidenciadas pelas professoras quanto ao ensino e aprendizagem do objeto matemático,

166

frações, que elas têm influenciado sua prática, comprometendo possivelmente, o aprendizado

de seus alunos.

Entretanto, há evidências de que o processo formativo ofereceu aos nossos sujeitos a

oportunidade de ampliar os seus conhecimentos, uma vez que com base na experiência que

lhes foi proporcionada, ao vivenciar a Sequência de Tarefas criada por Nunes et al, 2009

como possibilidade para introduzir o ensino das frações a partir do significado quociente,

dentre outras atividades, elas puderam contemplar discussões sobre ideias importantes já

descritas nesse trabalho.

As reflexões, nesse sentido foram voltadas para o levantamento de hipóteses relativas

ao pensamento do aluno e seus esquemas de resolução e à proposição de encaminhamentos de

estratégias didáticas que viessem contribuir para que o aluno compreendesse ideias

importantes na formação do conceito de fração.

O reconhecimento da importância do objeto matemático que nos propomos a

investigar foi expresso pela Professora Marcela ao afirmar:

Durante o curso foi possível perceber o quanto é fundamental, nas séries

iniciais, construir junto com o aluno o conhecimento de que a fração é a

representação da divisão de números inteiros. Assim, o aluno terá condições

de perceber que os números racionais não obedecem à mesma ordem de

grandeza que os números naturais (PROFESSORA MARCELA).

Nesse sentido, concluímos, a partir dos resultados descritos até aqui e com base nos

depoimentos das professoras que a formação contribuiu para que as docentes repensassem sua

prática pedagógica e (re)construíssem seus conhecimentos no que se refere aos significados

da fração, superando algumas crenças equivocadas que elas possuíam acerca desse conteúdo

matemático.

Os resultados que apresentamos até o momento, nos levam a concluir, ainda, que o

estudo das frações merece atenção especial nos cursos de formação de professores, sejam nos

cursos de Licenciatura em Matemática como também nos cursos de Pedagogia, dada a

importância desse conteúdo para a compreensão de outras ideias matemáticas e considerando

que os professores oriundos desses cursos serão responsáveis pela condução deste e de outros

temas.

167

Reflexões sobre o Processo Formativo: contribuições de um trabalho colaborativo

Reforçamos mais uma vez que a nossa proposta de pesquisa trouxe também como

objetivo a constituição de um grupo colaborativo de formação e pesquisa em que

pesquisadores em Educação Matemática e professoras da rede estadual, pudessem refletir

sobre o objeto matemático investigado, no intuito de ampliar os conhecimentos necessários à

prática pedagógica das professoras ao explorar o conteúdo frações com seus alunos.

Embora o tempo dedicado à formação tenha sido, a nosso ver, bastante curto, se

levarmos em consideração a grande quantidade de questões que surgiram, necessitando,

portanto, de maior tempo de reflexão, chegamos à conclusão de que essa despertou nas

professoras o desejo de continuarem discutindo sobre as frações e também sobre outros

conteúdos matemáticos: “[...] quero me aperfeiçoar cada vez mais, fazendo outros cursos na

área da Matemática” (PROFESSORA RENATA).

O depoimento da Professora Marcela também revelou satisfação em participar do

grupo, ao falar do envolvimento com as outras professoras:

[...] outro ponto bastante relevante durante a formação é a possibilidade de

discutir com os colegas sobre o tema estudado [referindo-se aos significados

da fração]. Acredito que esses momentos são fundamentais, pois todos têm a

oportunidade de expor o que pensam e o que sabem sobre o conteúdo sem

ter a preocupação de estar certo ou errado (PROFESSORA MARCELA).

As reflexões explicitadas pelas professoras, durante e depois do processo formativo,

parecem revelar um sentimento de pertença, de compreensão, de ajuda mútua, de confiança na

capacidade de poder aprender e ensinar. Nesse sentido, chegamos à conclusão de que a

formação contribuiu para despertar nas professoras “a necessidade de saberem mais

matemática” (SERRAZINA, 2013, p. 78) da mesma forma que a reflexão sobre sua atuação

(métodos, dificuldades, conhecimento do currículo, compreensão dos diferentes significados

da fração, etc.) feita conjuntamente contribuiu para que elas identificassem “as suas

fragilidades, mas também as suas potencialidades” (SERRAZINA, 2013, p. 78) acerca do

tema em estudo.

Nesse sentido, podemos afirmar que o processo de reflexão proporcionou melhorias

tanto no que se refere à compreensão do tema estudado quanto à possibilidade de

aprimoramento da prática docente, no sentido de que elas puderam experienciar, no decorrer

da formação, diferentes situações que lhes possibilitaram refletir sobre suas práticas em sala

de aula.

168

Por fim, as informações produzidas durante a formação nos levam a reiterar sobre a

necessidade de um enfoque mais amplo ao conceito de frações durante os processos

formativos. Concluímos, também, que para ampliar o conhecimento das professoras sobre o

ensino e a aprendizagem das frações, é necessário que tais processos formativos favoreçam

um trabalho colaborativo entre os envolvidos e que promovam uma constante reflexão sobre a

própria prática.

Reflexões sobre a Prática: implicações da formação

De acordo com o descrito anteriormente (capítulo 6), decorridos um ano do processo

formativo, realizamos entrevistas com os sujeitos deste estudo e assistimos a aula que elas

haviam preparado para introdução do tema frações. Dessa forma, foi possível perceber

implicações da formação na prática pedagógica. Sendo assim, a partir da análise da

observação dessa atividade, pudemos concluir que, de maneira geral, houve modificações no

modo de abordar o conteúdo, pois as professoras partiram de uma atividade com o significado

parte-todo e durante as discussões com os alunos percebemos que todas elas se referiam as

frações como um quociente. Observamos que efetivaram o ensino da representação

utilizando-se das ideias envolvidas no quociente e, dessa forma, notamos que estabeleceram

relações importantes contidas nos dois significados discutidos durante a formação.

Resposta à Questão de Pesquisa e Reflexões que indicam Pesquisas Futuras

À luz das teorias que discutem os conhecimentos necessários ao professor (Shulman,

1986, 1987 e Ball et. al., 2008) e à importância do ato de refletir a prática pedagógica

(Serrazina, 1999, 2010) que serviram de norte para organizarmos essa investigação, bem

como para fazermos a análise dos resultados das reflexões suscitadas no decorrer da

formação, pretendemos dar resposta a nossa questão de pesquisa, qual seja:

Quais são as mudanças de concepções dos professores participantes de um processo

de formação continuada que buscou ampliar os conhecimentos necessários ao ensino de

fração?

169

Frente às informações produzidas ao longo de toda investigação, podemos afirmar três

aspectos que consideramos importantes e que respondem a nossa questão de pesquisa,

confirmando o que já descrevemos anteriormente.

O primeiro aspecto é que, anterior à formação, as professoras apresentavam

conhecimento limitado sobre os significados das frações, pois trabalhavam apenas com o

significado parte-todo, desconheciam os demais significados (quociente e razão) orientados

nos documentos oficiais da educação e também se utilizavam apenas das ideias de partição na

resolução de qualquer situação, seja ela parte-todo, quociente ou razão. Foi possível

evidenciar que ao participar da formação, elas superaram, pelo menos em parte, tais

dificuldades e ampliaram seus conhecimentos “[...] compreender o que significava parte-

todo, quociente e razão, pois eu nunca havia aprendido e agora eu percebo claramente o que

significa cada um deles.” (PROFESSORA RENATA).

O segundo aspecto se refere ao fato de termos notado que as professoras não

dominavam os invariantes operatórios e ao final da formação apresentaram maior clareza

quanto à compreensão da ordem, equivalência e conservação da unidade de referência.

O terceiro aspecto esta relacionado à metodologia. Observamos que as limitações do

conhecimento do conteúdo também reduziam as possibilidades metodológicas uma vez que as

professoras abordavam o tema quase que exclusivamente por meio de situações parte-todo e

focavam no procedimento de dupla contagem. Após a formação obsevamos a utilização de

diferentes recursos como a literatura infantil, por exemplo, com suporte de materiais

manipuláveis. Finalmente, podemos concluir que a mudança de concepção quanto a esses três

aspectos refletiu diretamente na mudança da prática pedagógica das docentes investigadas.

Ainda em resposta à questão de pesquisa, podemos afirmar que alguns conhecimentos

como Conhecimento de Currículo (os diferentes significados da fração sugeridos nos

documentos oficiais), Conhecimento de Conteúdo e de Estudantes (capacidade de refletir

sobre a resposta do aluno) e Conhecimento de Conteúdo e de Ensino (capacidade de

relacionar diferentes significados e elaborar estratégias de intervenção) foram adquiridos

pelas professoras no decorrer da formação. Porém, acreditamos que o conhecimento

profissional das professoras será ampliado ao longo do tempo à medida que elas, no contexto

de outras formações, dialoguem com diferentes experiências vivenciadas “no contexto das

escolas em que leciona e com as turmas que vai encontrando.” (SERRAZINA, 2013, p. 79).

Sendo assim, não podemos desconsiderar a necessidade de que as escolas invistam em

um trabalho de formação mais efetivo, em caráter de continuidade possibilitando ampliar as

170

reflexões iniciadas, de modo que seja possível discutir constantemente a formação e a prática

pedagógica das professoras, pois

[...] sendo o conhecimento do professor um aspecto fundamental da sua

formação, este está interrelacionado com o nível de confiança do professor

quer relativamente à Matemática e ao seu ensino, quer aquilo que considera

que os seus alunos são capazes de aprender em Matemática (SERRAZINA,

2013, p. 77).

Entretanto, nossas reflexões ao final dessa pesquisa nos levam a algumas

preocupações e indagações: as dificuldades apresentadas por nossos sujeitos seriam as

mesmas dificuldades enfrentadas por outros professores? Até que ponto os cursos de

formação inicial e/ou continuada estão voltando seus olhares para as questões didáticas do

conteúdo específico de cada área? Será que o “mundo das pesquisas” está conseguindo

adentrar as escolas? De que maneira? De que maneira o diálogo iniciado no decorrer dessa

pesquisa pode ser fortalecido no âmbito escolar?

Por fim, vale ressaltar que a pesquisa realizada nasceu do desejo da pesquisadora em

encontrar respostas para questionamentos relacionados aos processos de ensino e

aprendizagem das frações, percebidos em sua atuação profissional. Sendo assim, ao final

deste estudo, os conhecimentos da investigadora também foram ampliados. Nesse sentido,

nasceu o desejo de que este estudo não se configure somente em um trabalho acadêmico, mas

que sirva de base para que as questões aqui levantadas cheguem às escolas e que colaborem,

em cursos de formação continuada, com reflexões, bem como com a prática de outros

professores. Dessa forma, no nosso papel de educadora e investigadora, essa será a

contribuição social que desejamos oferecer com o nosso estudo investigativo aqui descrito em

forma de dissertação.

171

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BALL, D. L.; THAMES, M. H.; PHELPS, G. Content Knowledge for Teaching: what makes

it special? In: Journal of Teacher Education. V. 59, n. 5, p. 389-407, novembro, 2008.

BEHR, M. J., LESH, R., POST, T. R., & SILVER, E. A. Rational number concepts. In: Lesh,

R.; Landau, M. (Ed.). Acquisition of mathematics concepts and processes. New York:

Academic Press. p. 91-126. 1983.

BEHR, M., HAREL, G., POST, T., & LESH, R. Rational number, ratio, proportion‖. In: D. A.

Grouws (Ed.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. New York:

Macmillan, p. 296-333. 1992.

BERTONI, N. E. Pedagogia. Educação e Linguagem matemática IV. Frações e números

fracionários. PEDEaD. 2009.

BOGDAN, R.; BIKLEN, S. Investigação qualitativa em educação. Uma introdução à teoria

e aos métodos. Porto: Porto Ed. 1999.

BRASIL, Ministério da Educação e do Desporto, Secretaria de Educação Fundamental.

Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática (1ª a 4ª série). Brasília-DF, 1997.

CAMPOS, T. M. M.; et al. Lógica das equivalências. Relatório de pesquisa não publicado.

São Paulo: PUC. 1995.

____________; NUNES, T.; LOBO COSTA, N. M.; CERAGIOLI, L. A Representação de

Quantidades Menores do que uma Unidade. Representing Quantities Smaller than the Unit.

Acta Scientiae, v. 14, n. 3, p. 365-373, 2013.

____________; RODRIGUES, W. R. A ideia de unidade na construção do conceito do

número racional. REVEMAT – Revista Eletrônica de Educação Matemática, V2.4, p. 68-93,

UFSC, 2007.

____________. Sobre o ensino e aprendizagem de frações. In: XIII Conferencia

Interamericana de Educación Matemática, 2011, Recife. Anais XIII Conferencia

Interamericana de Educación Matemática, 2011. Disponível em:

<http://www.cimm.ucr.ac.cr/ocs/index.php/xiii_ciaem/xiii_ciaem/paper/viewFile/2896/1194>

Acesso em: 25 março. 2013, às 20:02h.

CARDOSO, P. O Conceito de Fracção: um estudo com alunos do 6º ano de escolaridade.

Tese (Mestrado em Estudos da Criança) – Universidade do Minho, 2009.

____________; MAMEDE, E. Considerações sobre o Ensino-aprendizagem do Conceito de

Fracção à Luz de um Estudo com Alunos do 6º ano do Ensino Básico. In: Actas do X

Congresso Internacional Galego-Português de Psicopedagogia. Braga: Universidade do

Minho, 2009. ISBN- 978-972-8746-71-1.

http://www.cimm.ucr.ac.cr/ocs/index.php/xiii_ciaem/xiii_ciaem/paper/viewFile/2896/1194

172

CANOVA, R. F. Um estudo das situações parte-todo e quociente no ensino e aprendizagem

do conceito de fração. Tese (Doutorado em Educação Matemática) – UNIBAN/SP, São

Paulo, 2013.

____________. Crença, concepção e competência dos professores do 1º e 2º ciclos do ensino

fundamental com relação à fração. Dissertação (Mestrado) – PUC/SP, São Paulo, 2006.

COSTA, F. M. Concepções e Competências de Professores Especialistas em Matemática em

relação ao conceito de Fração em seus diferentes significados. Dissertação (Mestrado

Profissional em Ensino de Matemática) – PUC/SP, São Paulo, 2011.

DAMICO, A. Uma investigação sobre a formação inicial de professores de Matemática para

o ensino de números racionais no Ensino Fundamental. Tese (Doutorado em Educação

Matemática) – PUC/SP, São Paulo, 2007.

GARCIA SILVA, A. F. O desafio do desenvolvimento profissional docente: Análise da

formação continuada de um grupo de professores das séries iniciais do Ensino Fundamental,

tendo como objeto de discussão o processo do ensino e aprendizagem de frações. Tese

(Doutorado em Educação Matemática) – PUC/SP, São Paulo, 2007.

____________.CERVANTES, P. B. M.; CAMPOS, T. M. M. Sobre o conhecimento

profissional para o Ensino em um Processo Formativo. Revista Perspectivas de Educação

Matemática do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da Universidade

Federal de Mato Grosso do Sul. v. 5, Número Temático, p. 68-84. 2012

____________; CANOVA, R. F. O conceito de fração em livros didáticos brasileiros nos

anos iniciais. Relatório de pesquisa não publicado. Pós graduação em Educação Matemática.

UNIBAN/SP, São Paulo. 2011.

KIEREN, T. Personal knowledge of rational numbers: Its intuitive and formal development‖.

In: J. Hiebert & M. Behr (Eds.), Number concepts and operations in the middle-grades.

Reston (VA): National Council of Teachers of Mathematics, p. 53-92. 1988.

MACHADO, N. J. O Pirulito do Pato. São Paulo: Scipione. 2003.

MAMEDE, E. The Effects of situations on Children’s Understanding of Fractions. 2007. Tese

de PhD (não publicada), Oxford Brookes University. Oxford: OBU. 2007.

MONTEIRO CERVANTES, P. B. Uma formação continuada sobre as frações. Dissertação

(Mestrado em Educação Matemática) – UNIBAN/SP, São Paulo. 2010.

MUNIZ, C. A. O professor de matemática pesquisador. Programa Gestão da Aprendizagem

Escolar - Gestar II. Matemática: Caderno de Teoria e Prática 3.

TP3:matemáticanasformasgeométricasenaecologia.Brasília:Ministério da Educação,

Secretaria de Educação Básica, 2008.

NUNES, T.; BRYANT, P. Crianças fazendo matemática. Porto Alegre: Artes Médicas. 1997.

http://www.uniban.br/pos/educamat/pdfs/teses/2011/Dissertação%20Patricia.pdf

173

____________; CAMPOS, T. M. M.; MAGINA, S.; BRYANT, P. Introdução à Educação

Matemática: os números e as operações numéricas. 2ª ed. São Paulo: PROEM. 2002

____________; BRYANT, P., PRETZLIK, U. & HURRY, J. The effect of situations on

children´s understanding of fractions. Trabalho apresentado no encontro da British Society

for Research on the Learning of Mathematics, Oxford, Reino Unido. 2003.

____________. Usando na escola o conhecimento da vida diária: o caso das frações.

Palestra proferida no Sindicato dos Estabelecimentos de Ensino no Estado de São Paulo.

Congresso e Feira Saber 2005.

____________; CAMPOS, T. M. M.; MAGINA, S.; BRYANT, P. Educação matemática:

números e operações numéricas. São Paulo: Cortez. 2005.

____________; Bryant, P., Pretzlik, U., Bell, D., Evans, D., & Wade, J. La compréhension

des fractions chez les enfants. In M. Merri (Ed.), Activité humaine et conceptualisation (pp.

255-262). Toulouse: Presses Universitaires du Mirail. 2007.

____________; BRYANT, P. Key understandings in Mathematics learning, Paper 3:

Understanding rational numbers and intensive quantities. Nuffield Foundation. 2009.

Disponível em: <nuffield foundation.org/reports >. Acesso em 15 junho. 2013.

PEREIRA, M. D. Um estudo sobre interpretações das diretrizes curriculares para o curso de

licenciatura em matemática por uma instituição federal de São Paulo. Tese (Doutorado em

Educação Matemática) – UNIBAN/SP, São Paulo. 2013.

PIAGET, J.; INHELDER, B.; SZEMINSKA, A. The child’s conception of geometry. London:

Routledge, Kegen Paul. p. 40-127. 1960.

PONTE, J. P. Concepções dos professores de matemática e processos de formação.

In Educação Matemática: Temas de Investigação (pp. 185-239). Lisboa: IIE. 1992.

RODRIGUES, W. R. Números Racionais: um estudo das concepções dos alunos após o

estudo formal. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – PUC/SP. São Paulo. 2005.

SÃO PAULO (Estado). Relatório Pedagógico SARESP 2010: Sistema de Avaliação de

Rendimento Escolar. São Paulo: FDE. 2011.

SERRAZINA, M. L. Reflexão, conhecimento e práticas lectivas em Matemática num

contexto de reforma curricular no 1º ciclo”. Quadrante. Revista Teórica e de Investigação.

1999.

____________. A Formação Contínua de Professores em Matemática: o conhecimento e a

supervisão em sala de aula e a sua influência na alteração das práticas. International Journal

for Studies in Mathematics Education 2(1). 2010. Disponível em:

<http://periodicos.uniban.br/index.php/JIEEM/article/viewFile/112/92>. Acesso em 19

Outubro. 2013

174

____________. (2013). O Programa de Formação Continuada em Matemática para

Professores do 1º ciclo e a melhoria do ensino da Matemática. Da Investigação às práticas.

3(2), 75-97. Disponível em:

<http://www.eselx.ipl.pt/cied/publicacoes/revista_2013_2/LSerrazina.pdf>. Acesso em 22

abril. 2014.

SHULMAN, L. Those Who Understand: Knowledge Growth in Teaching. In: Educational

Researcher. American Educational Research Association, p. 1-24, 1986.

SHULMAN, L. Knowledge and teaching: Foundations of the new reform. Havard

Educacional Review, v. 57, n. 1, p. 1-21, Feb. 1987.

STREEFLAND, L. Fractions in Realistic Mathematics Education: A Paradigm of

Developmental Research. Norwell, MA: Kluwer Academic Publishers. 1991.

____________. Charming fractions or fractions being charmed? In: T. Nunes & P. Bryant

(Eds.), Learning and Teaching Mathematics. An International Perspective. Hove, Reino

Unido: Psychology Press, p. 347-372. 1997.

TARDIF, M.; RAYMOND. D. Saberes, tempo e aprendizagem do trabalho no magistério.

Educação & Sociedade, ano XXI, no 73, Dezembro/2000. Disponível em:

<http://www.scielo.br/pdf/es/v21n73/4214.pdf>. Acesso em 10 maio. 2012.

TEIXEIRA, A. M. O Professor, o Ensino de fração e o Livro Didático: um estudo

investigativo. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática) – PUC/SP, São

Paulo. 2008.

VERGNAUD, G. La théorie des champs conceptuels. Recherches en Didactique des

Mathématiques, 10 (23), p. 133-170. 1990.

____________. Epistemologia e psicologia da educação matemática. Mathematicsand

Cognition, p. 1-18. 1990.

____________. Teoria dos campos conceituais. In: Nasser, L. (Ed.) Anais do 1º Seminário

Internacional de Educação Matemática do Rio de Janeiro. p. 1-26. 1993.

____________. A contribuição da psicologia nas pesquisas sobre a educação científica,

tecnológica e profissional do cidadão. In: Fávero, M. H.; Cunha, C. da (Orgs.). Psicologia do

conhecimento: o diálogo entre as ciências e a cidadania. 2009.

____________. Teoria dos campos conceituais. In: CAMPOS, T.M.M. (Coord.). Curso

monográfico altos estudos. São Paulo: Uniban, 2010.

ZEICHNER, K. Formação reflexiva de professores: idéias e práticas. Lisboa:

Educa. 1993.

http://www.eselx.ipl.pt/cied/publicacoes/revista_2013_2/LSerrazina.pdf

http://www.scielo.br/pdf/es/v21n73/4214.pdf

175

ANEXO 1

OBSERVATÓRIO DA EDUCAÇÃO

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

Curso de Atualização em Matemática para Professores dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental

Diretoria de Ensino Norte 2

Representação Fracionária do Número Racional

SEQUÊNCIA DE TAREFAS ELABORADA PELA PROFESSORA TEREZINHA NUNES

1ª SITUAÇÃO:

- Seis meninas vão repartir igualmente um pacote de biscoito. O pacote está fechado. Não

sabemos quantos biscoitos há dentro.

1. Se cada menina receber um biscoito e não sobrar nenhum, quantos biscoitos tinham no

pacote?

2. Se cada menina receber meio biscoito e não sobrar nenhum, quantos biscoitos tinham no

pacote?

3. Se chegassem mais umas meninas e todas fossem receber a mesma quantidade, o que vai

acontecer quando elas distribuírem os biscoitos? Cada uma vai ganhar mais, menos, ou a

mesma quantidade que antes?

4. Um amigo seu disse que não sabe como resolver se elas ganham mais, menos, ou a mesma

quantidade. Explique para ele como ele pode saber.

176

2ª SITUAÇÃO:

- Quatro pessoas vão dividir 3 chocolates igualmente.

1. Vai ser possível dar uma barra para cada um?

2. Vai ser possível dar pelo menos metade para cada um?

3. Como você dividiria as barras de chocolate?

178

- Vamos escrever com números a quantidade que cada um recebeu.

Um chocolate dividido igualmente para duas crianças. Escrevemos 1 porque é um chocolate,

depois fazemos um traço para indicar a divisão, e em baixo escrevemos 2, porque é o número

de pessoas recebendo chocolates. Esse número é lido como um meio.

179

4. Se fosse um chocolate dividido igualmente para 3 crianças, como vamos escrever com

números a quantidade que cada um recebeu? Como vamos dizer esse número?







8. Se fossem 2 chocolates divididos igualmente para 3 crianças, como vamos escrever com






- Esses números são chamados frações. Eles indicam que fizemos uma divisão e quanto cada

um vai ganhar nessa divisão.

180

3ª SITUAÇÃO:

- Seis crianças foram a uma pizzaria e pediram duas pizzas para repartir igualmente. O

garçom era muito simpático e trouxe uma pizza de cada vez para eles não deixarem a pizza

esfriar.

1. Como eles podem dividir a pizza? Que fração da primeira pizza cada um vai ganhar?

2. Quando o garçom trouxer a segunda pizza, quanto cada um vai ganhar?

3. Que fração cada um vai ganhar ao todo?

4. Se o garçom trouxer as duas pizzas de uma vez, eles podem dividir de outra maneira?

Como? Que fração da pizza cada um vai ganhar?

5. Veja essas duas frações. Você acha que elas mostram a mesma quantidade de pizza? Como

você chegou a essa conclusão?

181

4ª SITUAÇÃO:

1. 9 crianças vão repartir igualmente 6 barras de chocolate. Mostre duas maneiras diferentes

para elas fazerem essa repartição de modo que todos ganhem a mesma coisa.

2. Escreva as frações que você encontrou.

3. Essas frações indicam a mesma quantidade de chocolate? Por quê?

182

APÊNDICE 1






Instrumento I

Questionário de Entrada

1. Dados pessoais:

Nome: _______________________________________________________________

Idade: _________e-mail: _________________________________________________

Telefone: __________________

2. Situação funcional:

Colégio onde leciona: ____________________________________________________

Cargo: ________________________________________________________________

3. Formação Acadêmica:

Ensino Médio: Sim ( ) Não ( ) Outro:________________________________

Ano de Conclusão:_______Instituição_________________________________________

Magistério/Cefam- nível médio: Sim ( ) Não ( )

Cefam ( ) Magistério ( ) Outro:__________________________

Ano de Conclusão:_______Instituição_________________________________________

Graduação: Sim ( ) Não ( )

Curso: __________________________________________________________________

Ano de Conclusão:_______ Instituição_________________________________________

Pós-Graduação: Sim ( ) Não ( )

Curso: ___________________________________________________________________

Ano de Conclusão:________ Instituição_________________________________________

4. Há quanto tempo você atua nos anos iniciais do Ensino Fundamental?

___________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

5. Qual sua série preferida para lecionar? Por quê?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

183

6. Comente sobre as aulas de Matemática que você teve quando era estudante, especialmente,

as que tratavam das frações - nos anos iniciais, nos anos finais do Ensino Fundamental (antigo

ginásio) e Ensino Médio (antigo colegial) .

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

7. Você acha que as metodologias utilizadas por seus professores de Matemática quando

ensinavam frações seriam adequadas para os alunos de hoje? Por quê?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

8. Como você avalia seu aprendizado de matemática na Educação Básica?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

9. Como você avalia seu aprendizado de Matemática quando estudava para ser professora

(formação inicial), especialmente, o relacionado aos processos de ensino e aprendizagem da

fração?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

10. Você participou de algum curso de formação continuada em que se discutiu questões

relacionadas aos processos de ensino e aprendizagem da fração?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

184

11. Na época em que você era aluno(a), algum de seus professores marcou, positiva ou

negativamente, sua vida estudantil a ponto de, hoje, você, como profissional, espelhar-se nele

para ensinar seus alunos? Comente.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

12. Você gostaria de acrescentar alguma informação sobre sua prática docente?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

Obrigada!!!!

185

APÊNDICE 2






Instrumento II

Nome: ________________________________________________

Escola:________________________________________________

Proposta 1: Elabore cinco situações envolvendo fração que você considera ser imprescindível

ao introduzir o ensino desse tema para alunos de 9 ou 10 anos.

Situação 1

Resolução

Situação 2

Resolução

186

Situação 3

Resolução

Situação 4

Resolução

Situação 5

Resolução

187

Instrumento II

ATIVIDADES FRAÇÕES ENVOLVENDO OS SIGNIFICADOS PARTE-TODO E QUOCIENTE

1- (SARESP, 2010) As duas figuras cuja parte pintada corresponde à fração 12

7 são:

2- (Prefeitura de São Paulo, 2010) Rafael dividiu uma torta em oito pedaços iguais

e comeu dois. Qual a fração que representa o pedaço que Rafael comeu?

3- Bruna e Victor receberam uma barra de chocolate de mesmo tamanho cada uma. Bruna

comeu 5

3 do chocolate dela e Victor comeu

4

3 do chocolate dele. Quem comeu mais

chocolate, Bruna ou Victor? Um aluno deu a seguinte resposta: Bruna e Victor comeram

o mesmo tanto, porque os dois comeram três pedaços dos seus chocolates.

- Na sua concepção a resposta do aluno está:

( ) Certa ( ) Errada

- Por que está certo? ou Por que está errado?

188

- Como você resolveria o problema? Você pode resolver por escrito, por meio de

operações ou qualquer tipo de representação

- Que estratégia de ensino você usaria para explicar para a classe a melhor forma de resolver o

problema?

4- Na padaria do Senhor Joaquim são oferecidas pizzas como a representada a seguir

O garçom foi retirar duas mesas - mesa 1 e mesa 2- e observou que os fregueses não comeram

todos os pedaços de pizza.

Mesa 1 Mesa 2

Analisando a situação podemos afirmar que:

a) A fração de pizza que representa a quantidade da sobra observada na Mesa 1 é

_______.

189

b) A fração de pizza que representa a quantidade da sobra observada na Mesa 2 é

________.

5- O índio corta a sua pizza em 4 partes iguais e come uma parte. A índia corta a sua pizza

em 8 partes iguais e come duas partes. As pizzas são idênticas. Represente a fração

que cada um comeu.

Porque ___________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

190

6- Ana divide seu chocolate em 7 partes iguais e come 4 parte. Marta divide seu chocolate

em 10 partes iguais e come 5. Os chocolates são idênticos. Represente a fração que

cada uma comeu.

Porque _____________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

191

7- Nove meninos irão dividir igualmente 6 pizzas e não deve sobrar nada.Três meninas irão

dividir igualmente 2 pizzas e também não deve sobrar nada. As pizzas são idênticas.

Represente a fração que cada criança irá receber de pizza.

Porque__________________________________________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

8- Foram divididos, igualmente, 4 chocolates para 5 crianças. Que fração representa o que

cada criança recebeu?

192

9- Dois bolos idênticos foram divididos igualmente para 5 pessoas. Quanto recebeu cada

uma?

10- Numa pizzaria haviam duas mesas ocupadas: uma com 4 meninas e outra com 5

meninos. Para a mesa das meninas foram pedidas 2 pizzas e para a mesa dos meninos

foram pedidas 4 pizzas.

- Escreva o número que representa a parte de pizza que cada um comeu.

As meninas: _________________

Os meninos: _________________

- Quem comeu mais, cada menina ou cada menino? Por quê?

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

193

11- A professora propôs o problema: “dividir três chocolates igualmente entre quatro

amigos. Quanto receberá cada um?”

Nívea apresentou a seguinte resposta:

O que você pode afirmar a respeito da resolução apresentada pela aluna?

Quais propostas você indicaria a professora para intervir diante da resposta do aluno?

194

12. No concurso de mérito foi apresentada aos professores a seguinte questão:

No guia de Planejamento e Orientações Didáticas – 4ª série é discutida a necessidade de

apresentar aos alunos diferentes significados das frações. A seguir são apresentadas quatro

questões cujas respostas podem ser indicadas pela fração 5

2.

V. Dividir dois chocolates igualmente entre cinco amigos.

VI. Dividir um bolo em cinco partes e comer duas dessas partes.

VII. Adicionar 5 ovos para cada 2 copos de farinha.

VIII. Dividir um retângulo em 5 partes iguais e pintar 2.

Os significados apresentados nessas situações são respectivamente:

(F) Parte-todo, parte-todo, quociente e razão.

(G) Quociente, parte-todo, parte-todo e razão.

(H) Quociente, parte-todo, razão e parte-todo.

(I) Razão, parte-todo, quociente e quociente.

(J) Parte-todo, quociente, parte-todo e razão.

- Se você participasse do concurso como você responderia a questão. Você

considera que essa foi uma questão fácil? Justifique.

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

195

APÊNDICE 3






SEQUÊNCIA DE TAREFAS PROPOSTA PELA PROFESSORA TEREZINHA NUNES ANÁLISE DAS RESPOSTAS DOS ALUNOS

SÉRIE/ANO: ____________________

1ª SITUAÇÃO

196

2ª SITUAÇÃO

197

CONTINUAÇÃO DA 2ª SITUAÇÃO

198

3ª SITUAÇÃO

199

4ª SITUAÇÃO

200

APÊNDICE 4






Avaliação do Curso “Representação Fracionária do Número Racional”

Professora, suas observações sobre o tema trabalhado e sobre as pautas desenvolvidas são

fundamentais para a Equipe que organizou este curso e, certamente norteará novas ações de

formação continuada.

Nome:............................................................................

E-mail:...................................................................

Telefone: ..........................

1. Das experiências vivenciadas no curso sobre Frações, qual você considera ser a mais

significativa do ponto de vista:

a) da atualização de conteúdo:

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

b) do Aprimoramento da Prática Docente :

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

2. Quais temas e formas de abordagens discutidos nos encontros você encontrou mais

dificuldades?

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

201

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

3. Destaque uma aprendizagem que tenha sido importante para você durante o curso:

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

4. Comente um pouco como foi o seu trabalho em anos anteriores quando abordou a

temática fração. Você sentia segurança ao ensinar esse tema?

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

5. Você considera que alguma das atividades vivenciadas durante nossos encontros não

será possível utilizar em sua sala de aula? Por quê?

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

6. Neste ano você desenvolveu em sala de aula alguma das atividades sugeridas em nossos

encontros, Quais? Conte como foi.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

202

7. Depois de participar dos nossos encontros em que situações você se sentirá mais

seguro(a) quando ensinar o conceito de fração?

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

8. No próximo ano (2013) você pretende desenvolver em sala de aula alguma das

atividades sugeridas em nossos encontros, Qual(is)?

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

9. O tempo destinado à formação foi suficiente para que você pudesse aprender mais sobre

os conteúdos propostos?

( ) sim ( ) não ( ) em parte

Justifique:_____________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

10. Escreva sugestões para que possamos aprimorar a organização deste curso, em relação

aos materiais utilizados e propostas de encaminhamento.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

11. Quais temas você gostaria que fossem discutidos em nossas formações?

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

12. Há ainda algum aspecto que queira comentar sobre o curso e que não foi abordado

nesta avaliação?

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

___________________________________________________________________

203

APÊNDICE 5






TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO

Nome do Projeto: FORMAÇÃO DE PROFESSORES DOS ANOS INICIAIS:

CONHECIMENTO PROFISSIONAL DOCENTE AO EXPLORAR A INTRODUÇÃO DO

CONCEITO DE FRAÇÃO

As informações a seguir estão sendo fornecidas para sua participação nesta pesquisa, o qual

tem como objetivo estudar o processo formativo de professores que lecionam para os anos

iniciais a fim de analisar o conhecimento profissional docente do professor, ao explorar a

introdução ao conceito de fração. Consideramos sua contribuição fundamental para a

produção de conhecimento da área de Educação Matemática

O material coletado durante o projeto, as atividades realizadas, as gravações de áudio e vídeo,

as transcrições, os registros escritos, será de uso exclusivo do grupo de pesquisa. Os

participantes terão seus nomes trocados por pseudônimos preservando a identidade dos

sujeitos em sigilo. Não será feita menção à Instituição onde a coleta ou intervenção foi

realizada para a preservação da identidade do grupo.

Os resultados dessa pesquisa poderão ser utilizados pelos pesquisadores em publicações em

periódicos, livros, eventos científicos, cursos e outras divulgações acadêmico-científicas. A

veiculação de imagem de sujeitos em divulgações científicas só será realizada com

consentimento, abaixo, dos envolvidos.

Em qualquer etapa do estudo, o sujeito participante da pesquisa terá acesso aos responsáveis

por essa pesquisa, para eventuais dúvidas ou esclarecimentos.na UNIBAN – Campus de

Maria Cãndida, sito à Rua Maria Cândida, 1.813 - São Paulo - SP . Para dúvidas ou

esclarecimentos sobre a ética da pesquisa, entre em contato com a Comissão de Ética – Rua

Maria Cândida, 1.813 – 7º andar Telefones (11) 2972-9008 - (11) 2972-9025, FAX: 2972-

9028 – E-mail: [email protected];

A qualquer participante é garantida a liberdade da retirada de seu consentimento para

participação da pesquisa, quando lhe convier.

Não há despesas pessoais para o participante em qualquer fase do estudo, assim como não há

compensação financeira relacionada à sua participação.

Declaro estar suficientemente informado a respeito das informações que li acima, ou que

foram lidas para mim, a respeito do projeto FORMAÇÃO DE PROFESSORES DOS

ANOS INICIAIS: CONHECIMENTO PROFISSIONAL DOCENTE AO EXPLORAR

A INTRODUÇÃO DO CONCEITO DE FRAÇÃO. Ficaram claros para mim quais são os

propósitos do estudo, os procedimentos, as garantias de confidencialidade e autorizo a

mailto:[email protected]

204

veiculação dos resultados para os usos mencionados. Está claro também que minha

participação é isenta de qualquer tipo de despesas. Assim sendo, concordo em participar deste

estudo e poderei retirar o meu consentimento a qualquer momento, antes ou durante o mesmo,

sem penalidades ou prejuízo para mim e sem prejuízo para a continuidade da pesquisa em

andamento.

Assinatura do sujeito de

pesquisa/representante legal Data / /

Declaro também meu consentimento na veiculação de minha imagem para fins de divulgação

científica.

Assinatura do sujeito de

pesquisa/representante legal Data / /

universidade anhanguera de sÃo paulo unian-sp … · Às colegas professoras da rede municipal de...

Documents