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UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA UNIBAN/SP PAULO MASANOBO MIASHIRO A TRANSIÇÃO DAS RAZÕES PARA AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA São Paulo 2013

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UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA UNIBAN/SP

PAULO MASANOBO MIASHIRO

A TRANSIÇÃO DAS RAZÕES PARA AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

São Paulo 2013

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UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

PAULO MASANOBO MIASHIRO

A TRANSIÇÃO DAS RAZÕES PARA AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Universidade Bandeirante Anhanguera, como exigência parcial para obtenção do título de MESTRE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob a orientação da Profa. Dra. Maria Elisa Esteves Lopes Galvão.

São Paulo 2013

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FOLHA DE APROVAÇÃO Aprovado em 15 de agosto de 2013. Banca de defesa: Profa. Dra. Maria Elisa Esteves Lopes Galvão, Uniban. Assinatura: ______________ Profa. Dra. Cristina Cerri, USP. Assinatura: _______________ Profa. Dra. Nielce Meneguelo Lobo da Costa, Uniban. Assinatura: _______________ Biblioteca

Bibliotecário: _________________________________________________ Assinatura: _________________________________ Data: ___ / ___ / ___

São Paulo, ___ de ________________ de 20____

 

 

 

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Autorizo a reprodução parcial ou total deste trabalho, por qualquer que seja o processo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos.

Assinatura:_________________________Local e data_______________________

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AGRADECIMENTO

A Deus, pela saúde e a disposição para o estudo e o trabalho.

A meus familiares, amigos, colegas e à todos os professores do Curso de Mestrado em Educação Matemática, que me ajudaram nesta jornada.

Ao meu irmão Wilson e sua esposa Alejandra, que tornaram possível a realização do meu sonho em cursar este mestrado.

A minha orientadora, Professora Doutora Maria Elisa Esteves Galvão, que com muito paciência, presteza e inteligência, conduziu esta pesquisa.

As Professoras Doutoras Cristina Cerri e Nielce M. Lobo da Costa, por participarem da minha banca e pelas valiosas sugestões que enriqueceram este trabalho.

A minha amiga, Professora Mariângela V. Canuto, pela revisão ortográfica desta dissertação.

Ao amigo, mestrando Marcelo Paiva pela ajuda com as fotografias.

A minha esposa Cleuza, pelo apoio e compreensão.

O autor.

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RESUMO

O objetivo deste trabalho é investigar a combinação do contexto experimental

com o contexto computacional, no ensino dos principais conceitos presentes na

transição das razões para as funções trigonométricas. No contexto experimental,

com os materiais concretos confeccionamos triângulos, discos e um dispositivo que

denominamos “ciclo trigonométrico”. No contexto computacional utilizamos o

programa educacional Cabri-Géomètre II, para permitir uma interação dos alunos

com as razões trigonométricas e com as propriedades dos arcos de uma

circunferência. Para introduzirmos o gráfico da função seno, criamos um modelo que

simulava o movimento de uma roda gigante.

Baseados na Teoria da Aprendizagem Significativa, de David Ausubel, e numa

minuciosa pesquisa na história da trigonometria, escolhemos os conceitos

relacionados à função seno, e com esses conceitos planejamos algumas atividades

que foram aplicadas a nove alunos de um curso superior de Licenciatura em

Matemática, nos moldes da metodologia do Design Based Research (DBR).

A análise dos dados nos levou à conclusão de que a estratégia de ensino nas

intervenções provocou e revelou algumas habilidades e conhecimentos adquiridos

pelos participantes, tais como as medidas em radianos, a construção de uma tabela

trigonométrica e do gráfico da função seno. O pequeno numero de estudantes e

suas frequências irregulares não recomendavam uma análise comparativa, no

entanto a experiência com as intervenções nos possibilitou observar que, para uma

aprendizagem significativa do conceito ”ciclo trigonométrico”, temos que confirmar

se todos os conceitos subsunçores estão devidamente consolidados na estrutura

cognitiva dos alunos, pois de acordo com o princípio da reconciliação integrativa ,

qualquer falha nesses conhecimentos (sistema cartesiano ortogonal, definição de

lugar geométrico do círculo, conjunto dos números reais e medidas em radianos)

poderá impossibilitar a combinação desses conceitos subsunçores necessários para

a construção desse conceito e a compreensão da função seno.

Palavras chave: Teoria da Aprendizagem Significativa; trigonometria; contexto

experimental e contexto computacional; Cabri-Géomètre II; tabelas trigonométricas e

o gráfico da função seno.

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ABSTRACT

 

The objective of this study is to investigate the combination of experimental

context and computational contexts, in order to teach the main concepts present in

the transition of the reasons for the trigonometric functions. In the experimental

context, with concrete materials, we made triangles, discs and a device called

“trigonometric cycle”. In the computational contexts we used the educational software

Cabri-Géomètre II, to allow student interaction with the trigonometric ratios, and the

properties of the arcs of a circle. To introduce the graph of sine function, we created

a model that simulates the movement of a giant wheel.

Based on the David Ausubels’ Meaningful Learning Theory, and on a

meticulous research in the history of trigonometry , we chose the concepts related to

the sine function , and used these concepts to plan activities, which were then

applied to nine undergraduate mathematics students, following the Design Based

Research Methodology (DBR).

Data analysis led us to the conclusion that the teaching strategy resulted in

interventions and revealed some skills and knowledge acquired by the participants,

such as measures in radians, building a table and graph of the trigonometric sine

function. The small number of students and theirs irregular frequencies, did not

recommended a comparative analysis, however the experience with the interventions

allowed us to observe that, for a significant learning of the concept “trigonometric

circle”, we must confirm if all concepts are subsumers properly consolidated in the

cognitive structure of the students, because according to the principle of integrative

reconciliation any failure in such knowledge (orthogonal cartesian system, defining

the locus of the circle, set of real numbers and measures in radians) may preclude

the combination of these concepts subsumers needed to build this concept and

understanding of the sine function.

Keywords: Theory of Meaningful Learning; trigonometry ; material context and

computational context ; Cabri-Géomètre II ; trigonometric tables and the graph of the

sine function .

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LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Classificação dos diferentes registros mobilizáveis no funcionamento matemático (fazer matemática, atividade matemática). .................................................................................... 77 Tabela 2 - Desempenho dos nove alunos no teste diagnóstico. ................................................ 95 Tabela 3 - Atividades da primeira intervenção. ............................................................................. 97 Tabela 4 - Atividades da segunda intervenção. .......................................................................... 108 Tabela 5 - Atividades da terceira intervenção .............................................................................. 116 Tabela 6 - Atividades da quarta intervenção ................................................................................ 125 Tabela 7 - Comparação do teste diagnóstico com o teste final. ............................................... 141  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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LISTA DE QUADROS

Quadro 1 - Teste diagnóstico, questões 1 – 4. .............................................................................. 93 Quadro 2 - Teste diagnóstico, questões 5 -6. ................................................................................ 94 Quadro 3 - 1ª Int., at.1. ...................................................................................................................... 98 Quadro 4 - 1ª int., at. 1, final da 1ª parte. ....................................................................................... 99 Quadro 5 - 1ª int., at. 1, início da 2ª parte. ................................................................................... 101 Quadro 6 - 1ª int., at. 2, início. ........................................................................................................ 102 Quadro 7 - 1ª int., at. 2, final. .......................................................................................................... 104 Quadro 8 - 1ª int., at. 3, problema 1. ............................................................................................. 106 Quadro 9 - 1ª int., at. 3, problemas de aplicação do seno. ........................................................ 107 Quadro 10 - 2ª int., at. 3. ................................................................................................................. 109 Quadro 11 - 2ª int., at. 4. ................................................................................................................. 111 Quadro 12 - 2ª int., at. 5. ................................................................................................................. 113 Quadro 13- 2ª int., at. 6. .................................................................................................................. 114 Quadro 14 - 2ª int., problemas sobre as medidas em radianos. ............................................... 115 Quadro 15 - 3ª int., at.1. .................................................................................................................. 118 Quadro 16 - 3ª int., at.1 ................................................................................................................... 118 Quadro 17 - 3ª int., at.1, leitura: definição de uma função periódica. ...................................... 120 Quadro 18 - 3ª int., at. 2. ............................................................................................................... 121 Quadro 19 - 3ª int., at. 2, tabela. .................................................................................................... 122 Quadro 20 - 3ª int., at. 2, final. ........................................................................................................ 124 Quadro 21- 4ª int., at. 1. .................................................................................................................. 126 Quadro 22 - 4ª int., leitura: definição de seno. ............................................................................. 128 Quadro 23 - 4ª int., at. 2. ................................................................................................................. 129 Quadro 24 - 4ª int., at. 2, questão. ................................................................................................. 129 Quadro 25 - 4ª int., at. 3. ................................................................................................................. 131 Quadro 26 - 4ª int., at. 4. ............................................................................................................... 134 Quadro 27 - Teste final, questões 1-2. .......................................................................................... 137 Quadro 28 - Teste final, questões 3-5. .......................................................................................... 138 Quadro 29 - Teste final, 6ª questão. .............................................................................................. 139 Quadro 30 - Teste final, questões 7- 8. ........................................................................................ 140  

 

 

 

 

 

 

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - A inclinação das pirâmides do Egito ............................................................................. 19 Figura 2 - Thales e o cálculo da altura de uma pirâmide com uma estaca. .............................. 20 Figura 3 -Gnômon. ............................................................................................................................. 20 Figura 4- Ilustração do Teorema de Pitágoras por decomposição............................................. 22 Figura 5 - Aristarco e a comparação de distâncias. ...................................................................... 23 Figura 6 - Esquema de Aristarco. .................................................................................................... 24 Figura 7 - Apolônio e os epiciclos. ................................................................................................... 25 Figura 8 - As observações de Eratóstenes para calcular o perímetro da Terra. ...................... 26 Figura 9 - Triângulos inscritos. ......................................................................................................... 27 Figura 10 - Ilustração do Sistema Ptolomaico. .............................................................................. 28 Figura 11 - A relação entre senos, arcos e cordas. ...................................................................... 29 Figura 12 - A Lei dos senos. ............................................................................................................. 30 Figura 13 - Teorema de Ptolomeu. .................................................................................................. 31 Figura 14 - O Teorema de Ptolomeu e o seno da diferença de dois ângulos. ......................... 32 Figura 15 - O Teorema de Pitágoras no Sulvasutra Katyayana. ................................................ 33 Figura 16 - As funções seno e tangente. ........................................................................................ 36 Figura 17 - A aritmetização da geometria. ..................................................................................... 40 Figura 18 - Fermat e o traçado das tangentes. ............................................................................. 42 Figura 19 - O contradomínio da função de Euler. ......................................................................... 47 Figura 20 - Definição da função de Euler. ...................................................................................... 47 Figura 21 - A função do Seno no Ciclo trigonométrico ........................................................................ 65 Figura 22 - Funções circulares e função seno. .............................................................................. 66 Figura 23 - O seno dos ângulos do 2º, 3º e 4º quadrantes. ........................................................ 67 Figura 24 - O domínio e o contradomínio da função sen x. ......................................................... 67 Figura 25 - Definição do seno. ......................................................................................................... 68 Figura 26 - O seno de alguns valores de x. ................................................................................... 69 Figura 27 - O princípio da assimilação, segundo Alsubel, Novak e Hanesian. ........................ 73 Figura 28 - Tratamento para o calculo da área de um paralelogramo....................................... 78 Figura 29 - Problema de Schoenfeld. .............................................................................................. 78 Figura 30 – Duas disposições dos elementos da figura do problema de Schoenfeld. ............ 79 Figura 31 - Reconhecimento de uma conversão. ......................................................................... 80 Figura 32 - Objetos do ambiente experimental .............................................................................. 88 Figura 33 - O dispositivo “ciclo-trigonométrico” ............................................................................. 89 Figura 34 - O dispositivo “ciclo trigonométrico” e a projeção ortogonal de um ponto sobre o eixo vertical. ......................................................................................................................................... 90 Figura 35 - Triângulos escalenos semelhantes. ............................................................................ 98  

 

 

 

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LISTA DE MANUSCRITOS

Manuscrito 1 - Aluno 7, 1a. ............................................................................................................... 99 Manuscrito 2 - Aluno 7, 1b. ............................................................................................................... 99 Manuscrito 3 - Aluno 7, at.1. ........................................................................................................... 100 Manuscrito 4- Aluno 7, at.1a. .......................................................................................................... 102 Manuscrito 5 - Aluno 8, at.2. ........................................................................................................... 103 Manuscrito 6 - Aluno 9, at.2. ........................................................................................................... 105 Manuscrito 7 - Aluno 3, at.3. ........................................................................................................... 110 Manuscrito 8 - Aluno 8, at.4. ........................................................................................................... 111 Manuscrito 9 - Aluno 3, at.6. ........................................................................................................... 114 Manuscrito 10 - Aluno 3, at.6. ......................................................................................................... 115 Manuscrito 11 - Aluno 8, at.6. ......................................................................................................... 116 Manuscrito 12 - Aluno 3, int. 3, at.6. .............................................................................................. 119 Manuscrito 13 - Aluno 4, int. 3, at.6. .............................................................................................. 119 Manuscrito 14 - Aluno 3, int. 3, at.6. .............................................................................................. 119 Manuscrito 15 - Aluno 7, 3ª int., at.2. ............................................................................................ 122 Manuscrito 16 - Aluno 4, 3ª int., at.2. ............................................................................................ 122 Manuscrito 17 - Aluno 7, 3ª int., gráfico. ....................................................................................... 123 Manuscrito 18 - Aluno 4, 3ª int., gráfico. ....................................................................................... 123 Manuscrito 19 - Aluno 2, 4ª int. at.1. ............................................................................................. 127 Manuscrito 20 - Aluno 4, 4ª int. at.2. ............................................................................................. 130 Manuscrito 21 - Aluno 2, 4ª int. at.2. ............................................................................................. 130 Manuscrito 22- Aluno 8, 4ª int., tabela. ......................................................................................... 132 Manuscrito 23 - Alunos 4 e 7, gráfico da função seno. .............................................................. 133 Manuscrito 24 - Aluno 8, gráfico da função seno. ....................................................................... 133 Manuscrito 25 - Aluno 1, TF, tabela trigonométrica e gráfico do seno. ................................... 142 Manuscrito 26 - Aluno 2, TF, função seno. .................................................................................. 143 Manuscrito 27 - Aluno 2, TF, gráfico da função seno. .......................................................... 144 Manuscrito 28 - Aluno 2, TF, função seno. .................................................................................. 144 Manuscrito 29 - Aluno 3, TF. ........................................................................................................ 145  

 

 

 

 

 

 

 

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Sumário  

INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 14 

Capítulo 1............................................................................................................................................. 17 

Uma breve história da trigonometria ........................................................................................... 17 

1.1  - A Antiguidade no Egito e na Grécia. ............................................................................. 18 

1.2  A trigonometria dos hindus e dos árabes. ...................................................................... 33 

1.3  A trigonometria no Renascimento. .................................................................................. 37 

1.4  A trigonometria a partir do século XVII ........................................................................... 38 

Capítulo 2............................................................................................................................................. 49 

Revisão de literatura .......................................................................................................................... 49 

2.1.  Pesquisas correlatas .......................................................................................................... 49 

2.1.1.  Parâmetros Curriculares Nacionais - terceiro e quarto ciclos do Ensino ........... 60 

2.1.2.  Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio – 2000. ............................ 61 

2.1.3.  Proposta Curricular do Estado de São Paulo – Matemática – Ensino Fundamental – Ciclo II e Ensino Médio, 2008 ....................................................................... 62 

2.2.  Análise da apresentação da função seno, em três livros didáticos de matemática para o ensino médio. ..................................................................................................................... 63 

Capítulo 3............................................................................................................................................. 70 

Referencial teórico ............................................................................................................................. 70 

3.0  . Introdução .......................................................................................................................... 70 

3.1.  A Teoria da Aprendizagem Significativa ......................................................................... 70 

3.1.  Registros de representação semiótica ............................................................................ 76 

Capitulo 4 ............................................................................................................................................. 82 

4.0.  Considerações teóricas da nossa metodologia. ................................................................ 82 

4.1. Objetivo, planejamento e procedimentos metodológicos. ................................................ 84 

4.2.  Sujeitos da pesquisa. ......................................................................................................... 85 

4.2.1.  Preparação do teste diagnóstico e do design inicial das quatro intervenções . 85 

4.2.2.  Planejamento final das quatro intervenções .......................................................... 87 

4.2.3.  Os objetos do ambiente experimental ..................................................................... 87 

4.2.3.1.  O dispositivo “ciclo trigonométrico” ...................................................................... 88 

4.2.3.2.  O programa Cabri-Géomètre II e o ambiente computacional .......................... 90 

Capitulo 5 ............................................................................................................................................. 92 

Relato das intervenções e análise dos resultados ........................................................................ 92 

5.  Apresentação do teste diagnóstico ...................................................................................... 92 

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5.1.1.  Resultado da aplicação do teste diagnóstico ............................................................. 95 

5.1.2.  Primeira intervenção ...................................................................................................... 97 

5.1.3.  Segunda Intervenção ................................................................................................... 108 

5.1.4.  Terceira intervenção .................................................................................................... 116 

5.1.5.  Quarta intervenção ....................................................................................................... 124 

5.2.  Apresentação do teste final ............................................................................................ 136 

5.2.1.  Resultados do teste final ............................................................................................. 140 

5.2.2.  Refletindo sobre o teste final e as intervenções ...................................................... 145 

Capítulo 6........................................................................................................................................... 148 

Considerações finais ........................................................................................................................ 148 

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................................. 151 

ANEXOS ............................................................................................................................................ 155 

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INTRODUÇÃO

Durante a última década trabalhamos como professor para aulas particulares

de física e matemática. Em 2008, ingressamos na Especialização em Educação

Matemática, como preparação para o mestrado, agora em andamento. Desde a

graduação, tivemos um grande interesse em compreender os processos de ensino e

da aprendizagem dos estudantes. Em 2011, ocupamos uma vaga de professor de

matemática para o ensino médio numa escola particular. Nesta tarefa, procuramos

aplicar e entender na prática, as teorias de aprendizagem estudadas recentemente.

Nas aulas particulares e na nossa experiência em sala de aula, constatamos

que, independentemente da procedência dos alunos, com frequência eles

confundiam as razões seno e cosseno, no triângulo retângulo e suas extensões ao

ciclo trigonométrico. As medidas em radianos provocavam inúmeras

incompreensões, erros e muita insegurança. A figura do ciclo trigonométrico e a

construção de gráficos também costumavam causar bastante embaraço. Enfim,

constatamos que a trigonometria ainda representava um enigma para muitos

estudantes, dificultando a resolução de problemas na matemática e na física, e

impedindo a compreensão de outras criações, tais como os números complexos e o

Cálculo Diferencial e Integral. Dessa forma, decidimos continuar no mesmo tema

que havíamos escolhido para a nossa monografia de especialização, e definimos o

nosso projeto de pesquisa nos seguintes termos: ”a transição das razões para as

funções trigonométricas”.

Nas pesquisas correlatas, verificamos que o trabalho de Briguenti (1994), foi

um dos primeiros a tratar da trigonometria com base na teoria da aprendizagem

significativa. Com essa escolha, a autora procurou trabalhar nos organizadores

prévios e nos conceitos subsunçores dessa teoria, e a partir daí, construiu seus

testes e suas atividades. Esse fato despertou nosso interesse pela teoria de

Ausubel. Nas pesquisas sobre o mesmo tema, verificamos que o programa

computacional Cabri-Géomètre II, tem sido empregado na trigonometria, ora num

ambiente estritamente computacional, ora combinado com materiais concretos.

Entre os trabalhos analisados, destacamos o de Lobo da Costa (1997), que recorreu

a esse software, utilizando arquivos prontos para serem manipulados pelos alunos.

Todavia nas suas considerações finais, a autora sugeriu que, nas futuras pesquisas

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com esse programa computacional, os pesquisadores permitam que os alunos

possam construir as figuras dinâmicas, ao invés de recorrerem aos arquivos prontos.

No contexto experimental, ela recomendou a montagem de dispositivos simples, a

fim de introduzir novos conceitos matemáticos. Aceitamos estas sugestões, e

montamos um dispositivo para o contexto experimental. No contexto do computador,

ministramos uma aula introdutória num laboratório de informática com e sobre o

Cabri-GéomètreII, tendo por base um roteiro da Galvão. Assim, possibilitamos que

os alunos construíssem as figuras dinâmicas durante as atividades, antes de

interagirem com o computador. Diante disso, formulamos nossa questão de

pesquisa:

-- Quais as contribuições de uma “estratégia de ensino” para a aprendizagem

significativa da transição das razões para as funções trigonométricas?

A nossa hipótese é que combinando adequadamente os materiais concretos

com o software Cabri-Géomètre II, e ajudando os alunos na construção das figuras

dinâmicas desse programa computacional, poderemos obter uma aprendizagem

significativa nos principais conceitos presentes na transição das razões

trigonométricas, para a função seno. Nas dissertações publicadas sobre esse

assunto, não encontramos exatamente a mesma questão de pesquisa ou a mesma

hipótese a ser confirmada, por estas razões, entendemos que o nosso projeto

poderá contribuir para a Educação Matemática.

Após definirmos o nosso tema, o referencial teórico, e os contextos de

abordagem, procuramos uma metodologia de natureza intervencionista, que

permitisse reajustes quando necessários, e possibilitasse uma melhoria educacional

com essa nova forma de aprendizagem. Assim escolhemos a metodologia do Design

BasedRasearch.

Esta pesquisa será apresentada em seis capítulos.

No capítulo I, realizamos um estudo histórico-epistemológico com o objetivo

de mostrar a evolução da trigonometria e destacaremos os principais matemáticos e

suas criações. Desde as razões trigonométricas que surgiram devido à semelhança

de triângulos estudada por Thales, até a função de Euler, que tornou possível a

extensão das funções seno e o cosseno para todos os quadrantes. Observamos que

nas intervenções que programamos, resumimos em apenas quatro tópicos esse

percurso histórico.

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16  

 

O capítulo II foi destinado à revisão de literatura. Para a nossa revisão

escolhemos quatro dissertações relacionadas ao tema: Briguenti (1994), Lobo da

Costa (1997), Lindegger (2000) e Goios (2010). Em seguida, analisamos os

Parâmetros Curriculares Nacionais e de alguns livros didáticos, sendo que, destes

últimos, destacamos apenas alguns aspectos ligados à apresentação da definição

da função seno.

No capítulo III, após justificarmos a escolha da Teoria da Aprendizagem

Significativa e da Teoria dos Registros de Representação Semiótica, fizemos uma

breve exposição sobre os aspectos dessas teorias que utilizamos em nosso

trabalho.

No Capítulo IV, discorremos sobre a metodologia que adotamos para nossa

pesquisa, o Design Based de Cobb et al, e sobre os princípios da Teoria da

Aprendizagem Significativa de Ausubel, Novak e Hanesian, que refletiram em

nossos procedimentos metodológicos.

No capítulo V destacamos alguns momentos e registros das intervenções e

analisamos dos dados provenientes dos testes realizados antes, durante e depois

dessas aplicações.

No capitulo VI refletimos sobre nossa experiência e encerramos com algumas

sugestões para futuros pesquisadores.

 

 

 

 

 

 

 

 

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Capítulo 1 Uma breve história da trigonometria

Na introdução do livro Episódios da antiga história da matemática, publicado

em 1964, o autor Asger Aaboe chama a atenção dos leitores para dois aspectos da

matemática: o caráter acumulativo, que não descarta os conhecimentos antigos,

para substituir pelos atuais, como o que ocorre, por exemplo, na física, e o caráter

dedutivo, que exige de suas teorias uma progressão ordenada, lógica, a partir de

axiomas, que se originaram de conteúdos antigos. Por outro lado, segundo Moreira,

(2006, p.15), Ausubel chama de “conceito subsunçor”, uma ideia, uma proposição

existente na estrutura cognitiva, capaz de servir de “ancoradouro” a uma nova

informação, para atribuir um significado a essa informação. A principal condição para

que ocorra uma aprendizagem significativa, é a existência desse conceito, na

estrutura cognitiva de quem aprende. Como nossa pesquisa busca uma

aprendizagem significativa na trigonometria, decidimos começá-la pela história da

matemática. Neste caminho, esperamos identificar e compreender os principais

conceitos subsunçores, que devem estar presentes desde as razões trigonométricas

até a moderna definição das funções seno e cosseno, para utilizá-los durante

nossas intervenções com os alunos.

Considerando os aspectos da matemática, apontados por Aaboe, a teoria de

Ausubel e as recomendações do PCN de 1998, quanto ao emprego do recurso da

história para auxiliar os alunos na construção dos conceitos, organizamos este

capítulo especialmente para o estudo da trigonometria, com os dados encontrados

em uma revisão bibliográfica em livros e textos de história da matemática.

Dividimos este capítulo em quatro períodos, agrupando as principais

conquistas da matemática voltadas ao desenvolvimento da trigonometria. Iniciamos

o primeiro período com a provável origem da geometria, há cerca de 4000 a.C., nas

medições dos agrimensores no antigo Egito. Neste período incluímos a antiga

Grécia, por volta do século VI a.C., com Thales de Mileto, desenvolvendo uma

geometria demonstrativa e Pitágoras e seus seguidores, estabelecendo as relações

métricas no triângulo retângulo. No segundo período, que se inicia no século V d.C.,

vamos encontrar, na Índia, uma função equivalente ao seno. Do século VIII ao

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18  

 

século X d.C., veremos que os árabes aperfeiçoaram a álgebra, construíram tabelas

de seno e introduziram o raio unitário. No terceiro período, o do Renascimento, que

teve início em 1453 com a queda do império Bizantino em Constantinopla (atual

Istambul), surgiram as primeiras publicações específicas à trigonometria. No quarto

e último período, relataremos como a trigonometria participou da invenção do

Cálculo Diferencial e Integral com Newton e Leibniz. Examinaremos também, em

que circunstâncias Euler criou a função E(x), que estendeu a trigonometria a todos

os quadrantes do ciclo trigonométrico.

1.1 - A Antiguidade no Egito e na Grécia.

De acordo com Piletti e Arruda, (1996, p.18), no antigo Egito as chuvas

provocavam enchentes e quando as águas voltavam ao normal deixavam um limo

muito fértil. A vida girava em torno dos ciclos das cheias e vazantes do rio Nilo, a

agricultura movia a economia e alimentava milhares de pessoas numa área de 3000

quilômetros de comprimento por 15 de largura. A preocupação com as vazantes do

rio Nilo e com a natureza levou os egípcios ao estudo da astronomia.

Segundo o historiador grego Heródoto, Sesóstris, rei do Egito que viveu há

aproximadamente 4000 anos, repartiu as terras entre os habitantes para o cultivo,

exigindo em troca o pagamento de impostos. Se a colheita fosse prejudicada pela

enchente excessiva, eram enviados os medidores de terras, afim de que o imposto

se tornasse justo, proporcional à área cultivada.

Conclusão de Heródoto: “Eu creio que foi daí que nasceu a geometria e que

depois ela foi passada aos gregos”. Na demarcação os egípcios usavam cordas,

estacas e objetos rudimentares, e foram, provavelmente, os primeiros topógrafos.

Segundo Eves (2004, p.38), para a escrita os gregos usavam o papiro,

material inventado pelos antigos egípcios a partir do papu, um junco aquático. No

papiro de Ahmes, de 1650 a.C.,comprado pelo egiptólogo escocês Henry Rhind,

encontram-se 85 problemas copiados de um trabalho antigo em escrita hierática

pelo escriba Ahmes. Muitos desses problemas eram geométricos e continham

fórmulas para o cálculo de áreas de terras e volumes de depósitos de grãos. Em um

deles, havia informações sobre o “seqt”. Esse material encontra-se no Museu

Britânico e mede cerca de 20 pés de comprimento por 13 polegadas de altura.

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19  

 

Para manterem constantes as inclinações das pirâmides, Boyer, (1996, p.13)

relata que os egípcios criaram um conceito semelhante ao da cotangente de um

ângulo. A inclinação era medida em seqt, palavra egípcia que significa a razão entre

o afastamento horizontal de uma reta obliqua em relação ao eixo vertical (a altura da

pirâmide), e a medida da altura. A figura 1 identifica essas medidas. A unidade de

medida da altura era o “cúbito” e a unidade do afastamento horizontal, a “mão”; duas

unidades diferentes no mesmo conceito.

 

Figura 1 - A inclinação das pirâmides do Egito Fonte: Lobo da Costa (1997, p.9), Dissertação PUC/SP.

O seqt da pirâmide de Quéops cujo lado media 440 cúbitos e a altura 280

cúbitos, foi calculado da seguinte maneira:

i) Para obterem o afastamento horizontal, tomaram a metade do lado: ii)

cúbitos.

iii) Multiplicaram 220 por 7 para converterem em “mãos” = 1540 mão.

iii) Calcularam: = ½ mãos por cúbito.

Na prática o seqt 5 ½ correspondia a percorrer a distância de 5 ½ mãos na

horizontal para aumentar a altura de 1 cúbito, durante a construção.

De acordo com Eves, (2004, p.95), Thales (640 a.C. – 564 a.C.), filósofo,

astrônomo e matemático que viveu em Mileto, na Grécia, ao visitar a pirâmide de

Quéops no Egito calculou a altura deste monumento recorrendo à semelhança dos

triângulos formados pelas alturas da pirâmide e de uma estaca que ele fincou na

areia e suas respectivas sombras, conforme ilustra a figura 2.

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20  

 

 

Figura 2 - Thales e o cálculo da altura de uma pirâmide com uma estaca. Fonte: Adaptação nossa, da figura de Mendes et al (2009, p.142)

Gnômons “eram instrumentos essencialmente constituídos de estiletes que

indicam a altura do Sol projetando uma sombra num plano horizontal. Inventado

pelos caldeus, foi introduzida na Grécia pelos pitagóricos” (Enciclopédia Delta

Larousse, 1970).

Esta palavra também serviu para designar a parte do relógio de Sol que mede

o tempo com o deslocamento lateral da sombra associado ao ângulo de elevação do

Sol. Os astrônomos repararam que ao amanhecer a sombra era longa, encurtava-se

ao meio dia e voltava a se alongar no entardecer.

 

Figura 3 -Gnômon. Fonte: Nosso acervo.

Segundo Struik, (1987, p.38), o estudo dos gregos na antiguidade tinha como

principal objetivo a compreensão do homem no universo de acordo com um

esquema racional, ajudando a colocar uma ordem no caos e a organizar as ideias

num encadeamento lógico. A partir dessas observações, percebemos a forte

influência da filosofia, no limiar da matemática grega, e destacamos a importância do

papel de Thales nesse cenário, que durante o sexto século a.C., de acordo com

Eves, (2004,p.94), para responder a algumas questões da matemática, comportou-

se como se o processo empírico do antigo Oriente não bastasse. Numa atmosfera

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21  

 

racionalista, Thales desenvolveu a geometria demonstrativa, impondo uma

matemática dedutiva. Por este motivo, ele foi considerado um dos “sete sábios” da

antiguidade, e o “primeiro matemático verdadeiro”, criador do princípio de que todas

as verdades matemáticas devem ser justificadas, demonstradas e provadas por

meio do raciocínio lógico. A ele são atribuídos os seguintes teoremas: qualquer

diâmetro divide um círculo em duas partes iguais; em um triângulo isósceles os

ângulos da base são iguais; dois triângulos que tenham um lado e os ângulos a eles

adjacentes respectivamente iguais são iguais. Quanto à proposição: um ângulo

inscrito num semicírculo é um ângulo reto, é possível que ele tenha aprendido numa

de suas viagens a Babilônia.

Durante suas pesquisas, os historiadores tiveram acesso a alguns

manuscritos e relatos, escritos vários séculos depois que os originais foram

produzidos. A principal fonte de informações sobre o desenvolvimento da geometria

grega encontra-se na abertura do livro I, dos Elementos de Euclides, contida no

Sumário Eudemiano de Proclo, filósofo e matemático neoplatônico que estudou em

Alexandria. Outro importante matemático e filósofo citado no Sumário Eudemiano é

Pitágoras, que nasceu em Samos, próximo a Mileto, onde vivia Thales. Segundo

Eves, (2004, p.97), tudo o que se refere a Pitágoras, são meras suposições, e é

possível que ele tenha nascido por volta de 572 a.C., viajado ao Egito e a Babilônia,

e devido aos conhecimentos adquiridos nessa viagem, tenha se tornado um místico,

e decidido fundar em Crotona, no sul da Itália um centro de estudo de filosofia,

matemática e ciências naturais, que funcionou como uma confraria secreta,. A

filosofia pitagórica buscava explicar, usando os números, as características do

homem e da matéria.

Conforme Eves, (2004, p.103), o teorema de Pitágoras, tradicionalmente

atribuído a ele, já era conhecido pelos babilônios há mais de um milênio, mas a

demonstração desse teorema por decomposição, provavelmente teria sido obra de

Pitágoras ou de seus seguidores, que continuaram com a irmandade por dois

séculos após sua morte, ocorrida por volta de 500 a.C.

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22  

 

Figura 4- Ilustração do Teorema de Pitágoras por decomposição.

Fonte: Eves (2004, p.103)

Para demonstrar esse teorema, a partir de um triângulo retângulo cujos

catetos tinham as medidas que representamos pelas letras e , e a hipotenusa

pela letra , os pitagóricos construíram dois quadrados, ambos com lados medindo

, e fizeram a decomposição desses quadrados em quadrados e triângulos

retângulos, utilizando as medidas e conforme a figura 3. Ambos os quadrados

maiores tinham a mesma área e possuíam, em comum, quatro triângulos

congruentes; logo as áreas restantes eram iguais, o que lhes permitiu concluir a

igualdade da área do quadrado construído sobre a hipotenusa do triângulo retângulo

e a soma das áreas dos quadrados construídos sobre seus catetos, que hoje

escrevemos como a relação:

De acordo com Arquimedes, Aristarco de Samos (310 a.C. – 230 a.C.) propôs

o sistema heliocêntrico um milênio e meio antes de Copérnico, mas suas anotações

se perderam. Desse astrônomo foi encontrado o tratado “Sobre os tamanhos e

distâncias do Sol e da Lua”, escrito por volta de 260 a.C., que assumia o sistema

geocêntrico. Segundo Boyer, (1996, p.109), Aristarco considerou que, quando a

metade da lua estava iluminada, o ângulo entre as linhas de vista ao Sol e à Lua

“diferia para menos de um ângulo reto para um trinta avos de um quadrante” (nessa

ocasião, na Grécia ainda não havia a divisão do circulo em 360° e nem as tabelas

trigonométricas).

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Figura 5 - Aristarco e a comparação de distâncias. Fonte:(lado direito da figura) RPM, vol.1, 1983;(lado esquerdo) Boyer (1996, p.109).

Hoje sabemos que a razão , conforme o esquema da figura 5 corresponde

ao , e o ângulo expresso em frações de quadraturas equivale a . Como os

ângulos internos no vértice e no vértice eram menores que , e

segundo Boyer (1996, p.108), havia um teorema que hoje pode ser expresso na

desigualdade: de onde ele concluiu que  

Assim Aristarco chegou à conclusão de que a distância da Terra ao Sol

estava entre 18 e 20 vezes a distância da Terra à Lua. Mesmo tendo errado devido à

precariedade dos instrumentos de medição, seu raciocínio estava correto e muito

melhor que os valores atribuídos por Arquimedes a Eudoxo e Fídias, que eram

respectivamente, de nove e doze vezes a mesma distância.

Tendo determinado as distâncias relativas do Sol e da Lua, e verificando que

ambos tinham o mesmo tamanho aparente, para um observador na terra, ele

deduziu que seus respectivos tamanhos estavam na mesma razão; de acordo com

Boyer (1996, p.109), . Aristarco observou que, durante o eclipse da lua, a largura da

sombra projetada pela terra era o dobro da largura da lua.

Na figura 6, usamos as seguintes abreviações:

= distância da Terra à Lua.

= distância da Terra ao Sol.

= raio do Sol.

= raio da Lua.

= raio da Terra.

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24  

 

 Figura 6 - Esquema de Aristarco.

Fonte: Boyer (1996, p.109)

Reproduzimos o esquema de Aristarco na figura 6, onde aparecem dois

triângulos semelhantes, com vértices nos pontos e , respectivamente.

Segundo Boyer (1996, p.109), usando a semelhança de triângulos, ele sabia

que: ;     mas e temos .

Aristarco havia concluído que a distância da Terra ao Sol era de

aproximadamente 19 vezes a distância da Terra a Lua, ou seja, estava entre 18 e 20

vezes. Utilizou essas medidas que ele considerava como verdadeiras e prosseguiu:

a) tomando e , ele substituiu esses valores na equação

(I) e simplificou a expressão, obtendo

b) tomando , ele substituiu esse valor na equação (I) e simplificou:

ou

Depois juntou os resultados de a) e b) e chegou as relações:

> e

Com esses cálculos, Aristarco chegou a conclusão que o raio da Terra era de

aproximadamente 2,8 vezes o raio da lua, e o raio do Sol correspondia a 6,6 vezes o

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25  

 

raio da Terra. Hoje sabemos que existem discrepâncias nesses valores, mas para os

recursos da época essas conclusões foram muito importantes.

De acordo com Eves (2004, p.198) Euclides, Arquimedes e Apolônio de

Perga, foram os três gigantes da matemática do século III a.C.. Apolôno (262 a.C. -

190 a.C.) também foi um importante astrônomo, o autor das Secções Cônicas, uma

extensa obra de oito livros. Segundo Boyer (p.98), Apolônio construiu uma figura,

para explicar o movimento dos planetas. Nessa figura o ponto , que representava

um planeta, girava uniformemente ao longo de um pequeno circulo (epiciclo) de

centro , que por sua vez, se movia ao longo de um círculo maior, conhecido como

deferente, cujo centro era a Terra ( ). A figura 7 mostra esse esquema:

 

Figura 7 - Apolônio e os epiciclos. Fonte: Boyer (1996, p.99)

Segundo Boyer (1996, p.109), Erastóstenes (275 a.C.- 195 a.C.) nasceu em ,

na costa sul do Mar Mediterrâneo, e foi um dos maiores talentos da antiguidade,

tendo sido geógrafo, autor de peças de teatro, crítico literário, filósofo, atleta e

matemático. É de sua autoria o algoritmo para a determinação dos números primos,

o “Crivo de Erastóstenes”.

De acordo com Boyer (1996, p.110), Eratóstenes observou que ao meio-dia

no dia do solstício de verão (o mais longo dia do ano, que no Hemisfério Norte,

ocorre no dia 21 de junho) os raios solares a prumo iluminavam e se refletiam no

fundo de um poço na cidade de Cirene. Nesse mesmo dia e hora em Alexandria, a

5000 estádios ao norte de Cirene, os raios solares, ao incidirem numa coluna

vertical, projetavam uma sombra indicando que a distância angular do Sol ao zênite,

era de um cinquenta avos de um círculo (7,2º), conforme mostra a figura 7.

Eratóstenes assumiu que devido à grande distância entre a Terra e o Sol, os raios

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26  

 

solares alcançavam a Terra em linhas praticamente paralelas e a diferença da

elevação do Sol em pontos distantes era devida à esfericidade da Terra.

Conhecendo a proposição da geometria euclidiana que garantia a igualdade dos

ângulos nos pontos C e O, quando duas retas paralelas são cortadas por uma

transversal, Eratóstenes deduziu que a mesma relação entre um arco de 7,2° e uma

volta completa com 360°, acontecia entre o perímetro da terra e um arco cujo

comprimento era a distância de Cirene a Alexandria. Com este ângulo, esta relação

seria de 50 vezes:

.

Com os recursos da época, a distância entre Alexandria e Cirene foi estimada

equivalente a 5 000 estádios, e o perímetro da Terra em 250 000 estádios, isto é, 50

vezes a distância de Cirene a Alexandria. Como cada estádio media cerca de um

décimo de milha, segundo Eratóstenes, o perímetro da Terra media o equivalente a

37000 quilômetros, com um erro de apenas 10% a menos da medida atual (site

www.astronoo.com/pt/terra.html, acesso em 26/04/2013), que é de 40007,5

quilômetros.

 

Figura 8 - As observações de Eratóstenes para calcular o perímetro da Terra. Fonte: Nossa adaptação na figura 10.3, Boyer (1996, p.111)

Segundo Struik (1987, p.55), na antiguidade, a hipótese de que o Sol, e não a

Terra, era o centro do movimento dos planetas, tinha poucos adeptos e a aceitação

desta suposição foi, em parte, devida ao prestígio de Hiparco, um astrônomo que fez

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27  

 

valiosas observações entre 141 e 127 a.C. O que se sabe a respeito desse cientista,

veio através de Ptolomeu, que viveu três séculos depois. Devemos a Hiparco a ideia

de localização dos pontos sobre a superfície terrestre através da latitude e da

longitude. Segundo Eves (2004, p.202), essas descobertas ocorreram no

Observatório de Rhodes. Hiparco desenvolveu um método que tomava como

referência as estrelas fixas, inventou o astrolábio, instrumento que determinava em

graus, a altura aparente das estrelas, e com esse instrumento observou e catalogou

a posição de 850 estrelas. Nesta época ainda não existiam instrumentos óticos para

a astronomia. Hiparco descobriu a precessão dos equinócios, um lento movimento

no polo terrestre que ocorre a cada 26,7 anos, hoje justificada pela Teoria da

Gravidade de Isaac Newton. Ele desenvolveu os primeiros estudos sobre a

trigonometria esférica, introduziu na Grécia a divisão do círculo em 360 partes iguais,

e compilou a primeira tabela trigonométrica. Por estas razões ele foi chamado de “o

pai da trigonometria”.

Segundo Maor, (1998, p.23), para Hiparco poder calcular o movimento dos

epiciclos sem a existência das tabelas de relações trigonométricas, ele considerou

que, nos triângulos inscritos na circunferência dos epiciclos, os lados correspondiam

às cordas relacionadas com seus respectivos ângulos centrais. Por séculos isto se

constituiu na principal tarefa da trigonometria.

 Figura 9 - Triângulos inscritos.

Fonte: Galvão (2008).

A figura 9 é uma simplificação do modelo dos epiciclos, onde as letras e

, representam o centro dos epiciclos, sobre a circunferência “deferente”, sobre o

qual se deslocam o centro dos epiciclos durante um ano. Nessa figura o ponto no

centro do deferente representa um observador na Terra.

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28  

 

Seus trabalhos se perderam, mas de acordo com outros autores, é possível

que ele tenha tabulado os comprimentos das cordas com um intervalo de 7.5°. De

acordo com Eves, (2004, p.203), o comentador Teon de Alexandria (sec. IV) atribuiu

a Hiparco a autoria de um tratado sobre a construção de uma “tábua de cordas”, em

doze livros.

Três séculos depois de Hiparco, no ano 150 d.C., viveu em Alexandria, o

astrônomo, geógrafo e matemático Klaudius Ptolomaios, ou Ptolomeu, que de

acordo com Aaboe, (1997, p.133), foi o autor da mais importante obra sobre a

trigonometria na antiguidade, o “Almagesto”, um manual de astronomia em 13 livros,

onde ele descreve suas observações sobre fatos astronômicos, considera o sistema

geocêntrico para o universo e apresenta uma tábua de cordas, para ângulos de ½°

a 180° com intervalos de 30’, detalhando cada etapa de sua construção. Com esta

obra, Ptolomeu deu sequência aos estudos de modelos geométricos para o

movimento do Sol, da lua e dos planetas, desenvolvidos por Eudoxo de Cnido.

 

Figura 10 - Ilustração do Sistema Ptolomaico. Fonte: Site: http://astrology.about,com acesso em 15/01/2012.

Segundo Katz, (2008, p.156), o “Almagesto” de Ptolomeu lançou o germe da

moderna ideia de função, apresentando algumas tabelas e exibindo relações

funcionais entre conjuntos e quantidades. Os antigos Babilônios compilavam tabelas

contendo informações sobre predições e detalhes de fenômenos celestes. Nesta

obra Ptolomeu deu um enorme passo ao fornecer uma base para o tratamento

computacional desses fenômenos de grandezas contínuas, não se restringindo a

apresentação das tabelas, mas também mostrando como interpolar para fornecer

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29  

 

valores funcionais para qualquer valor da “variável independente”. Assim a corda era

expressa como uma função de um arco, a inclinação do Sol como uma

função ) de longitude, e o tempo de elevação , como uma função de duas

variáveis, representadas pelo comprimento do arco lambda ao longo da elipse e a

latitude geométrica Ptolomeu frequentemente usava suas tabelas ao contrário,

isto é, descobria o arco de uma corda, usando o que hoje chamamos de função

inversa.

Aaboe, (2002, p.133) relata que para Ptolomeu, a função era definida

como sendo comprimento da corda que correspondia a um arco de α graus em um

círculo cujo raio media . Existia uma relação simples entre a corda e o atual seno

desse ângulo. Os cálculos eram feitos na base , segundo a matemática dos

babilônios, da seguinte maneira: no lado direito da figura 10, no triângulo retângulo

o seno do ângulo era igual a razão , então ele substituiu por :

que resultou em (1)

O segmento é a corda , conforme mostra a figura 11, e temos a

igualdade:

 

Figura 11 - A relação entre senos, arcos e cordas. Fontes: Aaboe (202, p.134).

Na unidade adotada por Ptolomeu, equivale à medida do dobro do raio,

substituindo resulta:

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30  

 

(1)

As relações entre os ângulos inscritos, os ângulos centrais e as medidas de

cordas de Ptolomeu, possibilitaram a descoberta de uma relação equivalente à lei

dos senos para qualquer triângulo. Dado um triângulo e sua circunferência

circunscrita, sabemos da geometria euclidiana plana, que a medida de todo ângulo

inscrito em um arco de circunferência tem a metade da medida do correspondente

arco.

 

Figura 12 - A Lei dos senos.

Fonte: Maor (1998, p.89)

Na figura 12, vemos que a medida da corda , é representada pela letra

“a” (medida do segmento ). Substituindo na equação (1) vai

resultar: ; dividindo ambos os termos desta igualdade por ,

, o que equivale a escrever:

Recorrendo ao mesmo raciocínio, nessa mesma figura, podemos deduzir

que:

ou , resultando em: =

ou , resultando em

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31  

 

Juntamos as relações dessas três últimas igualdades na expressão:

 

                                                            

Assim demonstramos a igualdade que hoje é conhecida com a Lei dos Senos.

Como consequência dessa última relação temos que, se o triângulo está inscrito

numa circunferência com diâmetro de comprimento unitário, então o comprimento de

cada um de seus lados coincide com o seno do ângulo oposto a ele.

Ptolomeu também estudou os quadriláteros inscritos e escreveu uma

proposição que ficou conhecida como o Teorema de Ptolomeu:

“Se é um quadrilátero convexo inscrito numa circunferência, então

ou seja:“ a soma dos produtos dos lados opostos de

um quadrilátero inscritível, é igual ao produto de suas diagonais”.

Para demonstrar o Teorema de Ptolomeu, construímos a figura 13,

desenhando um quadrilátero inscrito, Na diagonal desse quadrilátero

colocamos um ponto E, de modo que os ângulos e fossem iguais. Assim,

por construção, os triângulos são semelhantes, conforme podemos

observar. Da mesma forma, os triângulos e também são semelhantes, pois

os ângulos e são iguais, e os ângulos e também são iguais.

Figura 13 - Teorema de Ptolomeu.

Fonte: Aaboe (2002, p.147)

Somando (I) e (II) obtemos  

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32  

 

Como , podemos escrever: , e

assim provamos este teorema.

De acordo com Maor (1998, p.92), como caso especial do Teorema de

Ptolomeu, (quando um dos lados do quadrilátero é o diâmetro da circunferência de

diâmetro 1) podemos deduzir a fórmula do seno da diferença de dois ângulos.

 

Figura 14 - O Teorema de Ptolomeu e o seno da diferença de dois ângulos. Fonte: Aaboe (2002, p.149)

Nessa figura temos que, no triângulo retângulo , cuja hipotenusa tem

comprimento 1, α é o ângulo e β é o ângulo ; então:

.

Nesse mesmo triângulo ou  

Também observamos que no triângulo retângulo , é o ângulo , de

onde e  

Como o triângulo está inscrito numa circunferência de diâmetro unitário,

temos que o ângulo oposto a mede , e, usando a observação acima,

temos que

De acordo com o Teorema de Ptolomeu, no quadrilátero , temos:

 

Como , podemos escrever:

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33  

 

Substituindo pelos valores que encontramos:

 

Esta foi à fórmula mais importante que Ptolomeu utilizou para construir a sua

tabela, mas de acordo com Maor (1998, p.94), é possível que ela tenha sido

descoberta dois séculos e meio antes, por Hiparco.

1.2 A trigonometria dos hindus e dos árabes.

Sulvasutras é uma palavra hindu que significa “regras de cordas”, em

referência às cordas usadas para medidas; a palavra também serve para designar

livros de regras e rituais para a construção de altares. Nesses altares os hindus

ofereciam sacrifícios para os seus deuses, pedindo saúde, vida longa e fortuna.

Numa das versões, o Baudhayana Sulvasutra, escrito por volta de 800 a.C,

encontra-se o Teorema conhecido como de Pitágoras, da seguinte forma: “A corda

que é esticada através da diagonal de um quadrado, produz uma área igual ao

dobro do quadrado original”. Outro sulvasutra, o Katyayana Sulvasutra apresenta

uma versão mais geral: “a corda que é esticada ao longo do comprimento da

diagonal de um retângulo, produz uma área que seus lados horizontais e verticais

fazem juntos” (tradução nossa). Na figura 14 reproduzimos a ilustração desse texto:

 

Figura 15 - O Teorema de Pitágoras no Sulvasutra Katyayana. Fonte: Site: www.gap-system.org/~history/HistTopics/Indian_sulvasutras.htm 

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34  

 

De acordo com Boyer (1996, p.141), numa das versões dos Sulvasutras,

estão as regras para a construção de ângulos retos, usando uma corda dividida em

três partes, cada parte tinha um determinado comprimento. Esses comprimentos

formavam as tríadas pitagóricas (um grupo de três números inteiros, e positivos, x, y

e z, que satisfaziam a relação derivada do Teorema de Pitágoras: )

como 3, 4 e 5, ou 12, 35 e 37.

Segundo Boyer (1996, p.143), terminado o período dos Sulvasutras, no

século IV, teve início a idade dos Siddhantas (sistemas de astronomia). O Surya

Siddahanta (Sistema do Sol) é um texto épico que data de 400 d.C. Sabemos que

Ptolomeu se baseou na relação funcional entre as cordas de uma circunferência e

os ângulos centrais para construir sua tabela de cordas. Embora os hindus tenham

adquirido conhecimentos de trigonometria dos helênicos, eles aperfeiçoaram esses

conhecimentos, quando consideraram a relação funcional entre a metade da corda e

a metade do ângulo central, e, a partir dessa relação, construíram uma tabela para

servir de base para os cálculos da trigonometria esférica. “Assim, aparentemente

surgiu na Índia a precursora da função trigonométrica moderna que chamamos de

seno de um ângulo, e a introdução da função seno, representa a contribuição mais

importante dos Siddhantas à história da matemática” (Boyer, 1996, p.143).

Aryabatha, um matemático hindu que nasceu por volta de 475, foi o autor do

primeiro trabalho a se referir explicitamente ao seno como função de um ângulo.

Segundo Boyer, (1996, p.155), a palavra seno teve origem em uma série de erros de

tradução do sânscrito “jyâ-ardha”, que significa meia-corda. Aryabatha costumava

abreviar esse termo para jya ou o sinônimo jiva. Algum hindu, ao traduzir esta

palavra para o árabe, transcreveu foneticamente, sem considerar o significado

original. Os árabes a escreviam sem as vogais, mais tarde os escritores

interpretaram jb como jaib, que significa seio ou estar amamentando. No século XII,

foi traduzido do árabe para o latim por Gherardo de Cremona (1114-1187), o tradutor

dos clássicos gregos, como sendo sinus, que também significava seio, baia ou golfo.

A palavra sinus chegou à língua inglesa pelo ministro Edmund Gunter (1581-

1626), que mais tarde se tornou professor de astronomia no Greshan College, em

Londres, o inventor de um dispositivo mecânico para calcular logaritmos de senos e

tangentes. A notação abreviada sin, apareceu num desenho que descrevia sua

invenção.

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35  

 

Segundo Maor, (1998, p.38), a função cosseno surgiu da necessidade de

calcular o seno do ângulo complementar. Aryabatha chamava esses valores de

kotiya. O nome cosseno surgiu a primeira vez com Edmund Gunter que escreveu

co.sinus, foi modificado por John Newton para cossinus em 1658.

Enquanto que na Grécia o estudo da matemática estava à disposição de

qualquer um que se interessasse, na Índia, devido ao sistema de castas, apenas os

sacerdotes podiam se dedicar a essas pesquisas. Embora os hindus não fossem

muito hábeis na geometria, pouco preocupados com as demonstrações e a estrutura

lógica, devemos a eles o mais importante legado da matemática, o aperfeiçoamento

do sistema numérico de base decimal e posicional, e a notação do zero.

Na Arábia, em 766, o califa al-Mansur fundou a cidade de Bagdá às margens

do rio Tigres, e ela se tornou um próspero centro comercial e intelectual do Islam.

Harum al-Hashid, que o sucedeu em 766, fundou uma biblioteca em Bagdá

trazendo os clássicos gregos e textos científicos, e estabelecendo um programa de

tradução.

Durante o reinado de seu filho, al-Manun terminaram as traduções dos

Elementos de Euclides e do Almagesto de Ptolomeu. Nesses três últimos reinados,

foram chamados para Bagdá mestres da Síria e da Mesopotâmia, além dos judeus

nestorianos. Entre eles estava o astrônomo e matemático Mohamed ibu-Musa al-

Khowarizm, o autor de um livro de aritmética e álgebra de suma importância para a

história da matemática. Al-Khowarizm aprendeu com os hindus o sistema de

numeração decimal e o nome de seu livro “Al-jabr Wa ‘l muqabalah” deu origem a

palavra álgebra.

Na trigonometria, uma das mais significativas contribuições dos árabes foi do

astrônomo al-Battani (850-929), que adotou o jiva dos Siddhantas e teve a genial

ideia de introduzir a circunferência de raio unitário, demonstrando que a razão jiva

era válida para qualquer triângulo retângulo, independente do valor da hipotenusa.

No seu livro “Sobre o movimento das Estrelas”, al-Battani deu uma regra para se

encontrar a posição do Sol no horizonte, a partir do comprimento s da sombra de um

gnômon de altura , com o emprego das funções seno e seno versor (naquela

ocasião, a função cosseno ainda não existia, e o seno versor correspondia ao seno

do ângulo complementar)..

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36  

 

Segundo Maor, (1998, p.38), somente um século depois, com Abu‘l-Wefa

(940-998), estudioso da álgebra e da trigonometria, é que a fórmula acima pôde ser

escrita na forma:

Wefa construiu uma tabela de seno para arcos com intervalo de 1° com oito

casas decimais, introduziu o conceito de tangente e provavelmente de secante e de

cossecante.

A moderna palavra “tangente” surgiu pela primeira vez em 1583 no Geometria

Rotundi, obra do matemático dinamarquês Thomas Fincke (1561-1646); antes

disso, os escritores europeus usavam os termos relacionados à sombra do gnômon:

“sombra de uma linha reta” para a medida da sombra e “sombra virada” para a altura

do gnômon.

A palavra tangente vem do latim tangere, que significa tocar, e a sua

associação com a função tangente pode ser explicada com a construção da figura

15. Iniciamos a construção com uma circunferência e os lados de um ângulo central

medindo , e o segmento que divide esse ângulo em dois ângulos iguais a ;

em seguida traçamos uma linha paralela a e tangente ao círculo no ponto Q, e

prolongamos o segmento e até encontrar esta linha em e ,

respectivamente.

Desta forma:

Assim mostramos que a função tangente se relaciona com a reta tangente, da

mesma forma que a função seno se relaciona com a corda. De acordo com Boyer,

(1996, p.186), esta construção é a base para a moderna definição das seis funções

trigonométricas.

 

Figura 16 - As funções seno e tangente. Fonte: Maor (1998, p.39)

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37  

 

1.3 A trigonometria no Renascimento.  

De acordo com Maor (1998, p.41), com a queda de Constantinopla (atual

Istambul) em 1453, os refugiados que escaparam do oriente levaram preciosos

manuscritos sobre antigos tratados gregos para o ocidente. A Europa estava se

convalescendo da peste negra e a recente invenção da imprensa possibilitava a

difusão de obras eruditas, antes só acessíveis nos manuscritos. O crescimento da

matemática não foi tanto quanto o da literatura ou das ciências naturais. Eram raras

as pessoas que tinham um preparo para entender a matemática ou lerem os

clássicos gregos. Nesse período a trigonometria teve duas figuras notáveis,

Regiomontanus e Copérnico.

Johann Muller (1436-1476), conhecido como Regiomontanus, nasceu em

1436, na cidade de Konigsberg, atual Kaliningrad, na Alemanha. Estudou na

Universidade de Viena, onde conheceu o matemático e astrônomo Georg von

Peurbach (1423-1461) com quem fez uma grande amizade. Peurbach havia

estudado com o Cardeal Nicholas de Cusa, (filósofo, astrônomo e matemático que,

em visita a Constantinopla entrou em contato com as ciências gregas) e devido à

sua grande admiração por Ptolomeu, estava planejando publicar uma versão

corrigida do Almagesto, baseada numa tradução latina, mas morreu subitamente aos

38 anos de idade. Regiomontanus assumiu a tarefa de seu mestre, aprendendo o

grego para ler Ptolomeu no original e comprando manuscritos originais nas suas

viagens à Grécia e à Itália. Quando estava em Veneza em 1464, Regiomontanus

escreveu De Triangulis Omnimodis (Os triângulos de todas as espécies), a primeira

obra dedicada exclusivamente a geometria, em cinco livros. O livro I começa com as

definições de conceitos básicos de raio, igualdade, círculo, arco e corda, a função

seno e 56 proposições tratando de soluções geométricas nos triângulos planos. O

livro II trata da lei dos senos, com resolução de problemas. Os três últimos livros, da

geometria esférica e trigonometria, como ferramentas na astronomia. Ele também

traduziu do grego, as obras de Herão, Apolônio e Arquimedes. .

Em 1474, Regiomontanus publicou seu primeiro livro de matemática e

astronomia para fins comerciais, o Ephemerides, contendo uma tabela com a

posição do sol, da Lua e dos planetas para cada dia de 1475 a 1506.

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38  

 

Segundo Eves (2004, p.313), a astronomia contribuiu tanto para a

matemática, que a designação de matemático, significava astrônomo. Entre esses

astrônomos do século XVI, destacamos o escocês Nicolau Copérnico (1473-1543),

que nasceu em Torum, cursou a Universidade de Cracóvia, e foi à Bolonha para

estudar medicina, astronomia e direito. Mais tarde ele tornou-se professor nas

universidades européias, voltando à Polônia em 1505. Em 1506, observando os

corpos celestes, percebeu que as hipóteses geocêntricas de Aristóteles e Ptolomeu

não correspondiam à realidade e, contrariando também a Igreja, que colocava o

homem no centro do universo, revolucionou a visão do mundo ao defender a

hipótese de um sistema heliocêntrico, segundo a qual, a Terra movia-se em torno do

Sol. Em 1543 foi publicado o seu tratado “De Revolutionibus Orbitun Celestium”

(sobre as evoluções das órbitas celestes) com seções sobre trigonometria, tendo o

cuidado de dedicá-lo ao Papa.

1.4 A trigonometria a partir do século XVII

Este século se caracterizou pelos grandes avanços políticos, econômicos e

sociais, que motivaram as atividades intelectuais. A pesquisa na matemática

também teve grandes descobertas. John Napier (1550-1617) inventou os logaritmos

em 1614, para tornar menos trabalhoso os cálculos aritméticos, ajudado pelo cálculo

numérico e inspirado nas fórmulas trigonométricas que transformam uma

multiplicação em adição e subtração; Harriot e Willian Oughtred aperfeiçoaram a

notação e a codificação da álgebra; Galileu fundou a Dinâmica; Descartes e Fermat

inventaram a Geometria Analítica e o aumento das notações algébricas por Viète,

fez com que a trigonometria assumisse na primeira metade do século XVII, um

moderno caráter analítico.

Para Eves (2004, p.308), François Viète (1540-1603), foi o maior matemático

francês do século XVII, embora tenha sido membro do parlamento da província de

Bretanha, e se dedicado à matemática nas horas vagas. No seu mais importante

trabalho “In Arten”, ele introduziu uma notação para distinguir as incógnitas das

constantes, utilizando as vogais para as incógnitas e as consoantes para as

quantidades constantes e conhecidas. Após algumas décadas, Descartes preferiu

as letras x, y e z para as quantidades desconhecidas e as letras a, b e c, para

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39  

 

quantidades conhecidas. Na sua obra “Cânon Mathemáticus”, Viète construiu

tabelas das seis funções trigonométricas com ângulos em aproximações de minutos.

No lugar das frações sexagesimais ele usou as decimais e desenvolveu

métodos para resolver problemas de triângulos planos e esféricos com as seis

funções trigonométricas. Além dessas contribuições, ele introduziu na geometria

uma importante mudança: admitir um processo infinito, com a descoberta de sua

fórmula de produto infinito:

.

Maor (1998, p.51) observa que, enquanto os inventores da trigonometria

clássica estavam voltados para a aplicação nos céus, uma nova era teve início

baseando-se na mecânica da vida diária. Galileu descobriu que todos os problemas

de movimento podiam ser resolvidos em dois componentes de direções

perpendiculares, e verificou ainda que esses componentes podiam ser tratados

independentemente, um do outro, tornando assim a trigonometria indispensável ao

estudo dos movimentos. Na ocasião, a artilharia era considerada uma ciência, e

estudando a trajetória de uma bala de canhão, ele concluiu que no componente

vertical, ou seja, a altura máxima alcançada pela bala dependia do ângulo do

canhão em relação ao solo, podia ser calculada pela equação: h = , onde

vo é a velocidade inicial da bala e é o ângulo do canhão em relação ao solo.

Galileu também estudou o movimento pendular e as deformações da mola, e

verificou que a trigonometria podia ser aplicada nesses fenômenos físicos.

Segundo Boyer (1996, p.231), o termo “produto cartesiano” é um

anacronismo, pois Descartes estava longe de associar um sistema de coordenadas

formado com pares de números a um ponto geográfico. É possível que Nicole

Oresme, que nasceu na Normandia por volta de 1323, ao resolver um problema

sobre uma taxa de variação constante, tenha tido a brilhante ideia de traçar numa

figura ou num gráfico a maneira pela qual variam as coisas. Partindo do princípio de

que tudo que é mensurável, é imaginável na forma de quantidade contínua, Oresme

construiu um gráfico, velocidade x tempo para um corpo que se movia em

aceleração constante, representando o tempo na longitude (abscissas) na reta

horizontal e a velocidade na latitude (ordenadas), da mesma forma que construímos

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40  

 

atualmente. O uso das coordenadas não era novo, a ideia remonta a Apolônio que

nasceu em Perga por volta de 262 a.C., e é considerado junto com Euclides e

Arquimedes, um dos gigantes da matemática do século III a.C.. A originalidade na

ideia de Oresme foi representar na horizontal quantidade variável (tempo) e construir

um gráfico com esses dados, antecipando-se assim a geometria analítica.

Somente três séculos depois dos gráficos de Oresme, com desenvolvimento

do simbolismo e dos processos algébricos, é que a geometria analítica pode

desempenhar seu papel na aplicação da álgebra na geometria, com as contribuições

de Descartes e Fermat, que foram decisivas para este estudo.

Segundo Eves (2004, p.384), para os gregos, uma variável correspondia ao

comprimento de um segmento, o produto de duas variáveis a uma área de algum

retângulo, o produto de três variáveis ao volume de algum paralelepípedo; contudo

para Descartes, representava o quarto termo da proporção:

E não uma área, e poderia ser representado por um segmento de reta desde

que se conhecesse o comprimento . Com um segmento unitário, ele mostrou que

era possível representar, com um segmento de reta, qualquer potência de uma

variável e até mesmo o produto de duas variáveis, desde que se atribuíssem

valores. Para essa aritmetização da geometria, Descartes marcava o comprimento

num eixo dado, e um segmento de comprimento formando um ângulo com o

eixo de , com o objetivo de construir pontos em que para cada correspondesse

um satisfazendo uma relação dada, conforme ilustra a figura 17.

 

Figura 17 - A aritmetização da geometria. Fonte: Eves (2004, p.385)

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41  

 

De acordo com Eves (2004, p.389), na mesma ocasião que Descartes

articulava as bases da geometria analítica, esse assunto também atraía atenção de

outro gênio francês, Pierre de Fermat (1601-1665. Como conhecedor das línguas

clássicas, participou da restauração de obras perdidas da antiguidade, entre elas

“Lugares Planos” de Apolônio, com base nos clássicos gregos preservados.

Estudando essas obras e usando sua intuição, fez importantes descobertas

matemáticas por puro diletantismo, sem nada publicar, apenas trocando

correspondências com os matemáticos Descartes, John Wallis, Roberval, Blaise

Pascal e Cristian Huygens. Numa dessas correspondências com Roberval, ele

escreveu a equação geral da reta e da circunferência e discutiu sobre as hipérboles,

elipses e parábolas. Enquanto Descartes partia de um lugar geométrico para

encontrar sua equação, Fermat partia de uma equação para estudar o lugar

geométrico correspondente. Esses dois aspectos recíprocos formaram a base da

geometria analítica.

O traçado das tangentes era um problema antigo, que os gregos tinham

conseguido solucionar para alguns casos particulares. Descartes desenvolveu um

método para construir tangentes a uma curva, conhecendo-se a equação desta

curva, e o ponto de tangência. Este método dependendo do tipo de curva era muito

complicado. Segundo Garbi (2007, p.194), Fermat também desenvolveu um método

para o traçado das tangentes, quando pensou em melhorar a definição grega de

tangente: ”uma reta que tem somente um ponto com uma curva”, sabendo que esta

definição só servia para circunferências e elipses, pois qualquer paralela ao eixo de

uma parábola, corta esta parábola em apenas um ponto, mas não é tangente à

mesma. Para solucionar este desafio, ele teve a brilhante ideia de usar o conceito de

limite para ajudar a definição de tangente, traçando uma secante PP’ a uma curva

(fig.18), e ir aproximando indefinidamente P’ de P, para que estas secantes tendam

a uma reta definida, como a tangente procurada, cujo coeficiente angular,

posteriormente, é obtido por meio da trigonometria.

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42  

 

 

Figura 18 - Fermat e o traçado das tangentes. Fonte: Garbi (2007, p.198)

 

Segundo Boyer (1996, p.292), no começo do século XVII, o assunto que

despertava a atenção dos pesquisadores em matemática, era a teoria das

probabilidades, e um dos mais dedicados a esse assunto foi. Abraham De Moivre,

que nasceu em 1667, na província de Champagne, na França. Devido à perseguição

religiosa, imposta por Luiz XIV, com a revogação do Edito de Nantes, Moivre

emigrou para a Inglaterra, onde assistiu às aulas sem permissão e estudou

matemática por conta própria tornando-se professor para aulas particulares. Numa

dessas aulas conheceu Isaac Newton e o seu livro “Principia”, sobre a Teoria da

Gravitação, que De Moivre leu avidamente, e em pouco tempo tornou-se um

especialista no assunto. Em 1697 foi eleito para a Royal Society e mais tarde para

as academias de Paris e Berlim, contudo nunca foi aceito como professor

universitário por não ser inglês de nascimento. A ele devemos a fórmula que sugeriu,

sem justificar sua origem. que relaciona os números complexos com a trigonometria:

= .

De acordo com Boyer (1996, p.292), em 1642 na aldeia de Woolsthorpe, no

sul da Inglaterra nasceu Isaac Newton, um gênio que muito contribuiu para a física e

a matemática. Aos dezoito anos de idade quando estudava no Trinity College, a

leitura de um livro de astrologia comprado em uma feira, despertou em Newton o

interesse pela matemática. Não entendendo esse livro, procurou um de

trigonometria, e assim chegou até Os Elementos de Euclides, que achou muito

óbvio. Em seguida leu o La Géomètrie de Descartes, que considerou difícil. Como

autodidata, continuou suas pesquisas lendo Clavis de Oughtred, a Geometria a

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43  

 

Renato Des Cartes de Schooten, a Optica de Kepler, as obras de Viète, o

Arithmetica infinitorum de Wallis e o Geometrical Lectures de Isaac Barrow, o

primeiro Lucasian Professor de matemática em Cambridge. Mais tarde conheceu as

obras de Galileu, Fermat e Huygens. Em apenas dois anos ele absorveu

conhecimentos da matemática e da Física, que serviram de base para as suas

futuras descobertas.

Na matemática, segundo Katz (2008, p.539), entre as descobertas de Newton

estão o Teorema Binomial, de 1664, publicado por Wallis em 1685; um método para

encontrar raízes de polinômios de grau igual ou acima de 5 e o Método das Fluxões

(hoje conhecido como cálculo diferencial) que ele desenvolveu a partir dos binômios

e dos problemas que envolviam taxas de variação com variáveis contínuas ou fluxos

(a atual derivada), sistematizando com essa teoria os casos particulares de traçados

analíticos de tangentes que haviam sido encontrados há décadas. De acordo com

Stewart (2002, p.345), as “Geometrical Lectures”, mostraram que Barrow sabia como

calcular algebricamente as tangentes e as curvas, no estudo de um ponto em

movimento, e que o declive dessas retas numa representação correspondia a

velocidade desse ponto, mas não percebeu a natureza e o alcance do teorema

fundamental, pois mesmo que tenha apresentado resultados geométricos tratando

de tangentes e áreas, nunca os utilizou para calcular áreas.

Em 1646, nasceu em Leipzig, na Alemanha o grande gênio universal Gottfried

Wilhelm Leibniz, que em meio a muita polêmica disputou com Newton a invenção do

cálculo. Segundo Eves (2004, p.442), ainda na infância, Leibniz aprendeu o latim e o

grego sem qualquer ajuda, e aos doze anos de idade já tinha assimilado todo o

conhecimento da matemática, filosofia, teologia e leis, até então publicadas. Aos

quinze anos, ingressou na Universidade de Leipzig saindo como Bacharel em

Direito, aos vinte anos recusaram-lhe o titulo de doutor, devido a sua pouca idade.

Mudou-se para Nuremberg e na Universidade de Altdorf obteve seu doutorado. Mais

tarde se engajou no serviço diplomático, onde serviu por quarenta anos. Nessa

função viajou muito, e numa dessas viagens conheceu Huygens, que lhe deu

algumas aulas de matemática e o aconselhou a ler os tratados de Pascal. Em 1673,

quando participava de uma missão política em Londres, comprou um exemplar do

Lectiones geometricae de Barrow, conheceu Oldenburg e tornou-se membro da

Royal Society. Em 1676 voltou a Londres trazendo uma máquina de calcular que ele

inventara.

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44  

 

Segundo Garbi (2008, p.225), Leibniz viveu num século histórico da

matemática, em que foi criada a Geometria Analítica, o conceito de função (Leibniz

foi o primeiro a utilizar a palavra função no atual sentido matemático), o método de

Fermat para o traçado das tangentes (considerado como o germe do método

diferencial), o Método dos Indivisíveis de Cavalieri (indivisível de uma porção plana

é uma corda dessa porção e indivisível de um sólido dado é uma secção desse

sólido). Todas essas descobertas conduziam para uma nova modalidade de cálculo

que sistematizasse o método de “exaustão” (com esse método é possível mostrar

que a diferença entre a área de um polígono regular circunscrito a um círculo e a

área do círculo pode se tornar tão pequena quanto se deseje), que Eudóxo havia

criado há dois mil anos. Leibniz se conscientizou desse momento histórico e deu sua

contribuição na criação do Cálculo Diferencial e Integral.

Um dos mais importantes matemáticos da Suíça no século XVIII foi Leonhard

Euler (1707-1783). Segundo Eves (2004, p.473), Euler aprendeu os fundamentos da

matemática com o seu pai, um pastor calvinista, e, quando jovem, foi aluno de

Jacques Bernoulli, tornando-se amigo de seus filhos, os irmãos, Nicolaus e Daniel

Bernoulli. Devido a essa convivência, ele descobriu sua vocação para a matemática.

Euler estudou medicina, astronomia e línguas orientais. Por indicação dos irmãos

Bernoulli, tornou-se membro da Academia de São Petersburgo, onde permaneceu

por quatorze anos, para, em seguida, a convite de Frederico, o Grande, chefiar a

seção de matemática da Academia de Berlim. Depois retornou a São Petersburgo,

onde, aos 76 anos de idade, veio a falecer, sem nunca ter sido professor, mas um

escritor notável, autor de mais de 800 obras entre livros e artigos. Por ano, ele

produzia, em média, 800 páginas sobre a matemática pura e aplicada. Graças a sua

prodigiosa memória, mesmo depois de cego na velhice, continuou a produzir,

escrevendo numa lousa e ditando para um secretário. A Sociedade Suíça de

Ciências Naturais iniciou em 1909 uma edição completa em 76 volumes

substanciais, reunindo todas as obras de Euler.

Segundo Katz (2008, p.593), em março de 1739, Euler percebeu que a função

seno permitiria a solução analítica de tais equações de ordem superior. Diante disso,

apresentou um artigo à Academia de Ciências de São Petersburgo, com a resolução

de um problema sobre o movimento de um oscilador harmônico impulsionado por

duas forças, uma proporcional à distância e outra variando senoidalmente com o

tempo, com a seguinte equação diferencial:

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45  

 

Onde s representava a posição e t o tempo. Essa talvez tenha sido a primeira

vez que a função seno apareceu numa equação diferencial. Para estudar um

aspecto especial dessa solução, ele apagou o termo do seno para em seguida

multiplicar por b ds resultando em: . Integrou em relação à

e isolou ficando:

Esta expressão se tornou a primeira solução analítica que se tem registro.

Num segundo aspecto, para um caso geral, ele defendeu que a solução seria:

, sendo uma nova variável.

Nos anos seguintes, Euler continuou a discussão das resoluções de

problemas com equações diferenciais por correspondência com Johann Bernoulli.

Nessas resoluções, ele havia notado que o seno e as funções exponenciais foram

usadas nas soluções das mesmas equações, e deduziu que elas deveriam pertencer

a mesma classe de funções, as transcendentais. Como sua intenção era introduzir

essas funções no cálculo, ele acabou criando um método de resolução para as

equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, da forma:

Depois de tratar esse problema de várias maneiras, inesperadamente ele

descobriu que poderia substituir a equação diferencial dada, pela equação

algébrica:

 , 

Um polinômio irredutível nos fatores lineares e quadráticos, onde cada fator

linear , levou à solução , enquanto que cada fator quadrático na forma levou à solução:

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46  

 

 

Euler concluiu que a solução geral era a soma das soluções correspondentes

de cada fator. Assim, resolveu o problema proposto por Daniel Bernoulli em 1735,

que tratava da solução de , fazendo corresponder a equação algébrica

fatores como , resultando:

 

Embora ele não tenha dito como desenvolveu o seu método algébrico, na

solução da equação , podemos supor que Euler apenas generalizou

esse método. Como um trabalhador incansável, ele prosseguiu com suas pesquisas

e descobertas na matemática, e com a publicação do Introductio in analysin

infinitorum em 1748, estabeleceu as bases da análise, o estudo de processos

infinitos. Com o surgimento da análise, o conceito de função tornou-se fundamental.

No Introductio, Euler revelou que “às vezes, ele pensava em função menos

formalmente e mais geralmente como a relação entre duas coordenadas de pontos

sobre uma curva traçada a mão livre sobre um plano” (Boyer, 1996, p.306). Nessa

obra, com o tratamento estritamente analítico das funções trigonométricas, “o seno

deixou de ser um segmento de reta, e tornou-se um número ou uma razão, que

poderiam ser encontrados na ordenada de um ponto sobre um circulo unitário, ou no

número definido pela série ” (Boyer, 1996).

Segundo Lima (1991, p;42) tendo por base a Análise Matemática recém

criada em consequência dos Cálculos Infinitesimais, Euler inventou uma função que

modernizou as noções de seno e cosseno, definidas no triângulo retângulo e

permitiu substituir o ângulo por um número real Ele estabeleceu que o domínio de

sua função é o conjunto R dos números reais, e o contradomínio é, por definição,

o círculo de raio unitário no plano cartesiano (que representaremos por . Nesse

contradomínio, devido ao Teorema de Pitágoras, para as coordenadas e de

qualquer ponto , sempre vai valer a relação = 1. A figura 19 ilustra esse

detalhe:

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47  

 

 

Figura 19 - O contradomínio da função de Euler. Fonte: Lima (1991, p.43)

Segundo Lima (1991, p.44), com as condições estabelecidas sobre o domínio

e o contradomínio, Euler fixou a origem dos arcos no ponto de e

considerou com sentido positivo, todos os arcos que começavam nesse ponto, e

percorriam a circunferência no sentido anti-horário. Finalmente Euler definiu sua

função : R → da seguinte maneira: dado um número real , essa função faz

corresponder a cada valor de , um arco de comprimento com o ponto na

sua extremidade.

As coordenadas do ponto , definem o cosseno e o seno:

Na figura 20, ilustramos esta definição:

 

Figura 20 - Definição da função de Euler. Fonte: Lima (1991, p.45).

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48  

 

Portanto, de acordo com a função : R → , é a abcissa e é a

ordenada do ponto

A partir do trabalho de Euler, as funções trigonométricas passaram a fazer

parte do repertório das funções matemáticas e têm inúmeras aplicações na

descrição dos fenômenos periódicos.

Antes da invenção da função de Euler, só existiam as razões trigonométricas,

ou seja, o quociente entre os lados de um triângulo retângulo. O advento dessa

função estendeu o alcance das funções trigonométricas para além do triângulo

retângulo, e tornou possível se conhecer o cosseno e o seno de ângulos maiores

que 90º, e substituir as medidas em graus por números reais que expressam as

medidas em radianos de um arco num círculo de raio unitário. Devemos, portanto,

ao matemático Leonhard Euler (1707-1783) a transição das razões para as funções

trigonométricas que será objeto principal da nossa pesquisa.

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49  

 

Capítulo 2

Revisão de literatura

2.1. Pesquisas correlatas Procurando na literatura, pesquisas relacionadas à pesquisa sobre o ensino

da trigonometria, escolhemos as seguintes dissertações de mestrado para nossa

revisão:

• BRIGUENTI, Maria José Lourenção, UNESP de Rio Claro, Ensino e

aprendizagem da trigonometria; novas perspectivas da Educação Matemática,

1994, na área de concentração em ensino e aprendizagem da matemática e

seus fundamentos filosófico-científicos, sob a orientação da Drª. Celi Vasques

Crepaldi.

• LOBO DA COSTA, Nielce Meneguelo, PUC/SP, Funções seno e cosseno:

uma sequencia de ensino a partir dos contextos do “mundo experimental” e do

computador, 1997, na área de Ensino da Matemática, sob a orientação da Drª.

Sandra M.P. Magina.

• LINDEGGER, Luiz Roberto de Moura, PUC/SP, Construindo os conceitos

básicos da trigonometria no triângulo retângulo: uma proposta a partir da

manipulação de modelos, 2000, na área de Ensino da Matemática, sob a

orientação da Drª. Sandra M.P. Magina.

• GOIOS, Douglas Ferreira, UNIBAN/SP, Potencialidades didático-pedagógicas

de um objeto para a aprendizagem: uma análise através da Teoria da

Cognição Corporificada para o ensino de trigonometria, 2010, da linha de

pesquisa Tecnologias Digitais e Educação Matemática, sob a orientação da

Drª. Janete Bolite Frant.

Escolhemos a pesquisa de Briguenti (1994), não apenas pelo assunto, mas

por se fundamentar no mesmo referencial teórico que adotamos, a aprendizagem

significativa de Ausubel.

Diante das dificuldades demonstradas por seus alunos na aprendizagem da

trigonometria, Briguenti planejou sua pesquisa com a intenção de atingir a vários

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50  

 

objetivos distintos, dentre os quais destacamos dois, que aparentemente

encaminharam a pesquisa: segundo a autora, um deles era verificar as dificuldades,

as falhas nos conceitos básicos da trigonometria e as disciplinas que dificultam a

adaptação dos alunos no curso superior; o outro objetivo, pesquisar a adaptação da

Teoria da Aprendizagem Significativa para alunos do 1º e do 2º grau. Na prática,

esses dois objetivos transformam-se em duas pesquisas independentes.

Para pesquisar sobre as dificuldades básicas dos conceitos trigonométricos,

foram propostas12 questões numéricas a 103 alunos do ensino superior, nos cursos

de química, ciência da computação e licenciatura em matemática das unidades da

UNESP de Bauru e Araraquara. As três primeiras questões eram sobre as relações

trigonométricas num triângulo retângulo, acompanhadas das respectivas figuras. A

quarta questão mostrava a figura de um triângulo equilátero de lado medindo “l”, e

pedia que fosse calculado o seno, cosseno e a tangente do ângulo de 30°. Na quinta

e na sexta questões era dado o valor da tangente de um ângulo agudo, num

triângulo retângulo, e eram pedidos os valores do seno e do cosseno. Da primeira à

sexta questões, segundo a autora, o acerto dependia do conhecimento e da

aplicação dos conceitos básicos trigonométricos. A oitava questão era sobre a

menor determinação de um arco. A nona solicitava o domínio da função

. Na décima era perguntado se era igual a , na

décima primeira quais os valores de x, sabendo que , e a última

questão pedia para fosse determinado o sinal da expressão

.

Com os resultados dessas questões, Briguenti trabalhou na análise

quantitativa dos dados, construiu gráficos estatísticos e tabelas com as frequências

relativas aos acertos e concluiu que as dificuldades começaram com a interpretação

dos enunciados dos problemas e se estenderam pelas falhas nos conceitos básicos

e fundamentais relacionados às razões e funções trigonométricas, aspectos que,

provavelmente, impediram a formulação de hipóteses para a resolução dos

problemas. Comparado o desempenho dos grupos, Briguenti,(1994, p.42) atribuiu o

baixo desempenho dos alunos de licenciatura, à prova de vestibular que, em virtude

do grande número de vagas nessa área, permitiu o ingresso de alunos

despreparados para o curso e manifestou a preocupação de que esses profissionais

seriam lançados no mercado com graves falhas conceituais. Neste sentido esperava

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que sua pesquisa pudesse colaborar provocando uma reflexão para melhorar a

preparação dos professores de matemática “fortalecendo os conceitos básicos e

relevantes da Trigonometria, minimizando assim, as falhas conceituais

demonstradas” (Briguenti, 1997, p.43). Para pesquisar a adaptação da Teoria da

Aprendizagem Significativa ao ensino da trigonometria, Briguenti preparou as

atividades para dois grupos distintos. O primeiro destinado aos alunos de 8ª série do

1º grau (atual ensino fundamental) da rede estadual de ensino da cidade de Bauru,

aplicado em 6 horas/aulas, no qual foram propostas atividades como: desenhar,

medir e calcular as razões trigonométricas;

• Conhecendo-se o seno de um dos ângulos e a medida de um dos catetos,

calcular o outro;

• Conhecendo-se o valor da tangente de um ângulo, calcular as outras razões

trigonométricas;

• Com dois problemas contextualizando a tangente.

Nas pesquisas, com os alunos de 1° e 2° grau (atual ensino médio), a

pesquisadora não fez nenhuma avaliação quantitativa. Na terceira questão, cujo

enunciado era: Sabendo que construa um triângulo retângulo

ABC verificando a igualdade acima e determine o valor da hipotenusa. Nessa

questão os alunos erraram, pois não perceberam que poderiam utilizar o teorema de

Pitágoras. Na quinta questão, em que, com um triângulo equilátero, os alunos

tinham que calcular os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis, a

autora percebeu que os alunos desconheciam as propriedades desse triângulo.

Apesar dessas falhas, Briguenti ponderou que ocorreu uma aprendizagem

significativa, visto que os alunos desenvolveram o novo conhecimento apoiados nas

propriedades e conceitos estudados anteriormente. Em relação aos erros nas

resoluções dos exercícios, ela justificou dizendo que “os alunos não tinham

solidificado, na sua estrutura cognitiva, os conceitos básicos, dos quais dependiam o

sucesso desta aplicação” Briguenti (1994, p.138).

Para o segundo grupo, formado por 29 alunos da 2ª série do 2º grau, foram

necessárias 5 aulas para os experimentos, com a participação da professora de

matemática dessa classe. Devido à escolha da teoria da aprendizagem significativa

e a teoria de Bruner, Briguenti teve o cuidado de verificar com alguns materiais e

atividades extraclasse, se, na estrutura cognitiva desses alunos, já existia o conceito

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da semelhança de triângulos. Para isso, apresentou esquadros de 60°, de diferentes

tamanhos, mapas de diferentes dimensões, assim como miniaturas de carros e

prédios. Na rua pediu que medissem a altura de uma árvore, com uma trena e um

compasso para marcar o ângulo visual e medir a mesma árvore através do reflexo

de um espelho colocado no chão.

Em sala de aula, as atividades começaram com a construção de uma tabela

de seno e cosseno variando de 10° em 10°. Seguindo as instruções, os alunos

traçaram um semicírculo e com um dispositivo de transparência e projetaram uma

sequência de arcos para simular o movimento. Com a variação desses arcos e seus

valores, os alunos construíram tabelas. Numa outra atividade, foi pedido aos alunos

que desenhassem um arco em qualquer raio, e medissem o comprimento desse

arco com um barbante para verificarem a medida em radianos. Depois de comentar

sobre a necessidade da trigonometria no estudo dos movimentos circulares e

periódicos, para mostrar que qualquer número real pode corresponder a um ponto

no ciclo trigonométrico, a autora manda construírem um ciclo trigonométrico com

raio de 5 cm e pede que sobre ele sejam marcados arcos de um a seis radianos.

Apenas com a identificação das variáveis independente e dependente na

função e exemplos de gráficos de funções de 1º e 2º grau. Nenhum

aluno conseguiu construir o gráfico da função seno.

Nas suas considerações finais, a autora sugeriu que os professores que

propusessem atividades para ajudar os alunos na construção dos conceitos, sem,

contudo abandonar os textos de trigonometria; completou comentando sobre a

importância da hierarquia conceitual e da pré-disposição do aluno para a

aprendizagem.

Nessa pesquisa a autora declara: “o estudante brasileiro revela certa

tendência à aprendizagem mecânica e não à significativa. Isto se dá porque a nossa

maneira de ensinar está voltada para o desenvolvimento do comportamento

baseado no “conhecimento” e não tem a preocupação de desenvolver no aluno a

capacidade de traduzir uma forma simbólica para outra, um nível abstrato para

outro...” (Briguenti, 1994, p.13). A pesquisa de Briguenti é uma das primeiras neste

país, a tratar a trigonometria, com base na teoria da aprendizagem significativa. A

autora procurou trabalhar nos organizadores prévios e nos conceitos subsunçores

dessa teoria, a partir daí, construiu seus testes e suas atividades. Em nossa

pesquisa, adaptamos a atividade de Briguenti, para a construção de tabelas de seno

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para arcos variando de 10° em 10°, com o dispositivo de transparências, em uma de

nossas intervenções com o Cabri, que, com sua geometria dinâmica, permitiu

literalmente o aumento dos arcos enquanto exibia suas medidas. Também

adaptamos a atividade que a autora planejou para as medidas em radianos com um

barbante, para uma intervenção com o Cabri.

Prosseguindo no assunto trigonometria, selecionamos a pesquisa de Lobo da

Costa, (1997), devido ao tema e aos procedimentos metodológicos. Durante a sua

revisão bibliográfica, Lobo da Costa encontrou uma dissertação de 1992, sobre a

aquisição do conceito de função, da mexicana Wenzelburger.(1992) Segundo Lobo

da Costa, Wenzelburger (1992), depois de experimentar o ambiente do lápis e papel,

dos materiais concretos e do computador gráfico, deduziu que o melhor ambiente

para o ensino era o computacional. Para investigar a influência desses contextos no

ensino de trigonometria, Lobo da Costa decidiu que a sua pesquisa teria como

objetivo: identificar qual a melhor ordem na aplicação desses contextos, para

introduzir os conceitos das funções seno e cosseno.

A autora aplicou sua pesquisa a 32 alunos do 2º grau, na rede particular de

ensino, da cidade de São Paulo, divididos em três grupos identificando-os como A, B

e C. O grupo A, com 16 alunos, serviu como referência no contexto da sala de aula;

o grupo B, com 8 alunos, começou no contexto do mundo experimental para

encerrar no computador, e o grupo C, também com 8 alunos, com os contextos na

ordem inversa do B. Lobo da Costa planejou todas as atividades, tendo por base o

construtivismo de Piaget, assim procurou possibilitar a interação do sujeito com o

objeto, nas mais diferentes situações.

Ao verificar as vantagens e desvantagens para o professor, entre preparar as

situações com materiais concretos e no computador, Lobo da Costa lembrou que

esse último era menos dispendioso, sem o risco de quebrar o material ou falhar na

experiência. Com o computador, as figuras podiam ser construídas rapidamente e os

alunos sentiam-se atraídos pela resposta imediata desse equipamento. Na escolha

dos softwares, a autora optou pelo Graphamatica for Windows, para a construção de

gráficos e pelo Cabri-Géomètre II, por funcionar como um caderno de rascunho na

geometria dinâmica.

Para o mundo experimental, Lobo da Costa inventou três dispositivos

concretizando os conceitos e situações a serem estudadas na trigonometria. O

pêndulo de areia para as funções periódicas, a roda de caneta a laser para ligar o

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ciclo trigonométrico às funções seno e cosseno, e o alarme ótico para fornecer os

dados para a construção de um gráfico dessas funções. Segundo a autora, com eles

o professor pode desempenhar o papel de mediador numa zona de desenvolvimento

proximal (é a diferença de desenvolvimento mental, que uma criança pode atingir

sem ajuda de alguém, e com a ajuda de um adulto ou outra criança), conforme a

teoria sócio-interacionista de Vygotsky.

Lobo da Costa incluiu na sua pesquisa, uma análise sobre os obstáculos

epistemológicos (do desenvolvimento histórico e da prática educacional), e didáticos

(que dependem da escolha didática) no estudo da trigonometria. Dessa seção

destacamos a incomensurabilidade (números incomensuráveis dos pitagóricos).

Costa observou que no estudo das funções trigonométricas em R, surgiu o número

π, como obstáculo epistemológico. Quanto aos obstáculos didáticos, destacamos os

ligados ao conceito de função, e as medidas em radianos. Para a autora, os

conhecimentos das funções de 1º e 2º grau, e das funções exponenciais e

logarítmicas, podem se constituir num obstáculo para o entendimento das funções

trigonométricas, pois necessitam de uma redefinição de seno e cosseno, quando

saem da restrição dos ângulos agudos para valerem em qualquer número real.

Quanto às medidas em radianos, ela as considerou como uma dificuldade ligada à

mensuração, porque usamos dois sistemas de medidas, o decimal para

comprimento do arco de circunferência e o sexagesimal para o ângulo central

correspondente. Costa ponderou que o aprendizado anterior em graus, também

pode se tornar um obstáculo a introdução do radiano.

A avaliação dessa pesquisa se deu a partir de três testes para os três grupos

de sujeitos: um pré-teste, um teste durante e um teste após as atividades. Com as

taxas de acertos, foram construídos os gráficos estatísticos, que mostraram o

desempenho desses grupos. No pós-teste o desempenho do grupo A foi de 9,37%,

do grupo B, de 77,7% e do grupo C, de 70%. A autora atribuiu o baixo desempenho

do grupo A, a “falta de comprometimento com projeto, desses alunos, pois eles

sabiam que não participariam das seqüência didáticas, sendo apenas um grupo de

referências” (Lobo da Costa, 1997, p.143).

Nas suas considerações finais, ao verificar que o grupo que teve o melhor

desempenho, começou no contexto experimental e terminou no computacional, Lobo

da Costa concluiu que a melhor ordem de abordagem era a do grupo B. Tendo em

vista o sucesso na aprendizagem também na ordem inversa, a pesquisadora admitiu

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55  

 

que os dois ambientes foram necessários e complementares. A autora sugeriu que

os professores criem dispositivos, ao introduzirem novos conceitos matemáticos, a

exemplo de suas montagens com o material concreto.

Para as futuras pesquisas, Lobo da Costa recomendou que os alunos

construíssem os arquivos do Cabri, antes de trabalharem a trigonometria no

triângulo retângulo, e no ciclo trigonométrico. Desta forma, segundo ela, as

atividades serão menos formais e dirigidas, como foram as suas.

Os resultados da pesquisa de Lobo da Costa determinaram nossos

procedimentos metodológicos, pois planejamos nossas intervenções com as

atividades que tiveram início no contexto experimental para terminarem no

computacional, e nesse contexto tivemos a preocupação de substituir os arquivos

prontos do Cabri, com os quais iríamos trabalhar, pelas figuras construídas pelos

próprios alunos. Essa pesquisa também nos inspirou na criação de um dispositivo

para introduzirmos o ciclo trigonométrico e as funções seno e cosseno. Nossa

opinião é que a autora poderia se concentrar na teoria das situações didáticas de

Guy Brousseau, em cujo bojo já se encontram as ideias cognitivistas e

construtivistas de Piaget, Vygotsky e Vergnaud , para sintetizar essa pesquisa, uma

importante contribuição para a educação matemática.

Escolhemos a dissertação de Lindegger (2000), não apenas por se propor a

tratar dos conceitos básicos da trigonometria, mas devido ao emprego de materiais

concretos nessa proposta. Lindegger (2000), limitou o estudo da trigonometria às

relações trigonométricas no triângulo retângulo, enquanto que Briguenti (1994) e

Lobo da Costa (1997), o estenderam até as funções seno e cosseno. O objetivo

dessa pesquisa foi investigar uma abordagem a partir da manipulação de modelos,

para introduzir de modo claro, os conceitos das razões trigonométricas, seno,

cosseno e tangente. O autor chamou de modelos às representações concretas,

maquete, triângulos em madeira e dispositivos utilizados para auxiliar a

compreensão dos conceitos, e adotou essa denominação às construções

geométricas.

Além de se basear em Brousseau, Lindegger acrescentou, ao referencial

utilizado, as teorias sócio-construtivistas de Vygotsky, com a sua zona de

desenvolvimento proximal, e as ideias de Vergnaud sobre a formação de conceitos

na matemática, relacionados com as situações e resoluções de problemas.

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56  

 

Para testar a hipótese de que a aplicação de uma sequência didática, a partir

de situações-problemas é adequada para facilitar a construção e a apropriação dos

conceitos trigonométricos, o pesquisador trabalhou com alunos da 8ª série do ensino

fundamental divididos em dois grupos, o de referência, no qual participaram 32

alunos em 15 horas/aula, em sete encontros com a abordagem tradicional das

definições seguidas de exercícios, e a adoção de um livro didático; e o grupo

experimental, que contou com a participação de 24 alunos, em onze encontros que

totalizaram, 18 horas/aula de 50 minutos. Para verificar a compreensão dos

conceitos básicos da trigonometria em ambos os grupos, o autor aplicou pré-teste

com 9 questões.

Na sequência de ensino construída para onze encontros, segundo Lindegger,

cada conceito foi abordado, partindo da contextualização para a formalização. Como

exemplo dessa abordagem, escolhemos a atividade que teve como objetivo rever o

conceito de semelhança de triângulos, razão e proporção, a partir de um problema

para se medir a altura de uma árvore inacessível, com uma maquete. Nesse modelo,

em escala 1:50, próximo à miniatura da árvore se encontra um boneco de uma certa

altura conhecida. O autor recomenda que, depois de fazer um relato histórico, sobre

Thales medindo uma pirâmide com um bastão de altura conhecida, o professor

deverá reproduzir o esquema na lousa, com o desenho de uma árvore e um homem,

e os triângulos retângulos formados com os raios solares e as respectivas sombras.

Feito o esquema, o professor deverá entregar aos alunos a maquete e uma régua, e

pedir que eles discutam a solução. Depois de algum tempo ele poderá formalizar a

resolução.

Aproveitamos essa atividade para observar, nessa pesquisa, o momento

“adidático”, em que o professor não interfere na ação dos alunos e aguarda a

interação desses alunos com o desafio proposto nessa situação-problema, conforme

as etapas da aprendizagem propostas pela teoria das situações didáticas de Guy

Brousseau ( Brusseau, Didáctica das Matemáticas, 1996, p.48-50).

A partir dos dados coletados na sua pesquisa, Lindegger fez avaliações

qualitativas e quantitativas. Na avaliação quantitativa, ele constatou que no pré-

teste, no grupo de referência (GR) o índice de acertos foi de 0%, e no grupo

experimental (GE), o índice de acertos foi de 2,27%. Com esses resultados,

Lindegger deduziu que os dois grupos demonstraram desconhecer o assunto. No

pós-teste, o GR, teve um índice de acertos de 46,09%, enquanto que o GE atingiu

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69,32%, esse último, considerado pelo pesquisador como satisfatório. Na avaliação

individual por aluno, em uma tabela construída pelo autor, podemos verificar que, no

pós-teste, quatro alunos do GE acertaram 100% das questões, enquanto que

apenas um aluno do GR atingiu esse índice. Para sua avaliação qualitativa, o autor

transformou os dados quantitativos em qualitativos, com esse fim construiu tabelas

quantitativas com o percentual de acertos pelos sujeitos individualmente, e dessa

tabela ele classificou o desempenho em faixas de percentuais de acertos, ou seja,

considerou como de “bom desempenho”, os que acertaram 6, 7 ou 8 questões (75%-

100%); de “médio desempenho”, os que acertaram 4 ou 5 questões (50%-62,5%) e

de “fraco desempenho, os que acertaram de 0 a 3 questões (0%-37,5%). Com essa

classificação ele construiu uma nova tabela, segundo a qual no grupo experimental

55% tiveram um bom desempenho, 27% um médio desempenho e 18%, um fraco

desempenho.

Nas suas conclusões, o autor considerou satisfatórios os resultados

qualitativos e quantitativos, obtidos com a aplicação de uma sequência de ensino

nos moldes de Brousseau, nas quais estão implícitas as ideias de Vygotsky, com

sua ZDP e enfatiza que o processo da construção dos conceitos básicos da

trigonometria ganha força quando se parte da resolução dos problemas concretos

para os problemas formais.

Para as futuras pesquisas, Lindegger sugere que se relacione a sequência de

ensino em sala de aula e tarefas para casa, para que durante o intervalo entre as

aplicações das sequências, o aluno continue ligado à trigonometria e desenvolva

suas competências em situações significativas.

Com essa pesquisa, ratificamos a abordagem de nossa pesquisa, que

começou no contexto experimental, e terminou no computacional, conforme sugere a

pesquisa de Lobo da Costa (1997). Também consideramos de fundamental

importância, a constatação de Lindegger, quanto à eficiência do processo de

construção dos conceitos da trigonometria, quando se inicia nos problemas ligados a

realidade e se finaliza na sistematização da matemática.

Na procura de uma dissertação mais atual, sobre a aprendizagem na

trigonometria, encontramos a pesquisa de Goios (2010), diferente das que vimos

anteriormente, devido a área de pesquisa em que se encontra, ligada às tecnologias

e a peculiaridade da teoria da cognição corporificada, de Lakoff & Johnson, 2000 ;

Lakoff & Nuñes, 2001.

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58  

 

Para investigar quais os aspectos que influem no processo de ensino e

aprendizagem, nas aulas de trigonometria, Goios procurou analisar as metáforas

apresentadas pelos alunos nessas aulas, justificando com essa teoria, a relação das

metáforas com a matemática. Sem uma breve explanação sobre alguns conceitos

dessa teoria, este texto ficará sem sentido.

Segundo Lakoff & Johnson 2001, apud Goios, (p.25, 2010), as metáforas são

partes integrantes dos nossos pensamentos, e não se tratam apenas de simples

recursos poéticos, mas de pensamento e ação. Para esses autores, a maioria de

nossos pensamentos ocorre de forma metafórica e inconsciente. De acordo com

essa teoria, “metáfora conceitual” é um mecanismo cognitivo que permite partir de

um domínio conhecido (fonte) para inferir num domínio desconhecido (alvo). Para

exemplificar, Goios transcreveu o seguinte trecho da poesia de Chico Buarque, “vida

é viagem”:

Já conheço os passos dessa estrada.

Sei que não vai dar em nada.

Seus segredos sei de cor.

Já conheço as pedras do caminho (Grifos do autor)

Com esse exemplo, o autor mostrou que, com as metáforas passos e estrada,

podemos inferir as atitudes da vida, assim como as palavras pedras do caminho,

podemos inferir como as dificuldades que surgem durante a vida, desta forma do

domínio fonte “viagem”, constituído com as metáforas passo, estrada, caminho e

pedras, podemos inferir no domínio alvo “vida”, as atitudes, a linha de vida e as

dificuldades.

Segundo Goios, existem dois tipos de metáforas conceituais: a metáfora

básica, quando ocorre entre domínios distintos, como os versos que citamos, e a

metáfora de ligação que, associa o domínio fonte com as nossas experiências do

cotidiano e o domínio alvo aos conhecimentos da matemática. Para o pesquisador,

as metáforas de ligações nos ajudam a entender as ideias mais avançadas da

matemática. Nessa teoria os autores usam o termo “movimento fictivo” quando se

referem a objetos matemáticos com propriedades estáticas, numa linguagem

dinâmica, dando ideia de movimento. Por exemplo, a “função cresce”. Para

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59  

 

completar a relação dos conceitos utilizados por essa teoria, encontramos os

“objetos de aprendizagem (OA)”, definidos pelo MEC como sendo qualquer recurso

que possa ser reutilizado, para dar suporte ao aprendizado.

Essa pesquisa foi aplicada numa escola pública de Bragança Paulista, no

interior de São Paulo, em 2007, quando o IDESP- Índice de Desenvolvimento da

Educação do Estado de São Paulo, nessa instituição tinha sido de 2,00, enquanto a

média estadual na ocasião, era de 2,54. Dessa escola participaram oito alunos do

primeiro ano do ensino médio. Dividida em duas fases, a primeira fase dessa

pesquisa foi destinada a análise de materiais, entre os quais constavam os

aplicativos disponibilizados pela Rede Interativa Virtual de Educação - RIVED, que

se encontra no site: www.rived.mec.gov.br.

No OA do RIVED, intitulado “o mundo da trigonometria”, são apresentadas as

funções seno, cosseno e tangente, no ciclo trigonométrico. A abertura apresenta

uma animação com frases e imagens, sugerindo o uso da trigonometria no cotidiano,

exibindo imagens de botes descendo uma cachoeira, jogos de futebol, e jogos de

sinuca. Optando pela função seno, surge uma sequência de imagens auto

explicativas, que começa com a apresentação do ciclo trigonométrico, e termina com

associação da ordenada desse ponto com a função seno. Para a construção do

gráfico do seno, aparece a primeira imagem dinâmica, que permite que o aluno

possa “arrastar” o ponto P sobre o ciclo, e observar que este aplicativo vai

construindo o gráfico num eixo cartesiano, marcado com os intervalos de frações de

π radianos.

O primeiro encontro para as atividades com os alunos, foi dedicado à

comparação dos números racionais e irracionais, em frações, números decimais,

com questões numéricas e atividades em que os números se encontravam em tiras

de papéis para serem ordenados. O segundo encontro foi com o OA “o mundo da

trigonometria” para que os alunos estimassem os senos de alguns ângulos. Durante

as apresentações das figuras do aplicativo, Goios registrou o emprego da metáfora

pelos alunos, como “ciclo trigonométrico é relógio”, com o domínio fonte constituído

das palavras ponteiro de um relógio, movimento dos ponteiros e eixo do relógio, para

a inferência das palavras do domínio alvo: ângulos, variação de ângulos e ponto de

origem no plano cartesiano. Para o terceiro encontro, o pesquisador desenvolveu

com o software dinâmico Geogebra, um aplicativo para detalhar o ciclo

trigonométrico. Para finalizar os encontros, os alunos voltaram ao “mundo da

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60  

 

trigonometria”, comparando valores da função seno, estimando alguns valores de

seno, já que esse aplicativo não possui escala.

Nas suas considerações finais, após analisar detalhadamente as gravações

em áudio e vídeo, ele chegou à conclusão que “essas metáforas foram fundamentais

para que os alunos desenvolvessem seus conceitos sobre trigonometria, fazendo

uso dos conhecimentos prévios para inferências que permitiram a produção de um

conhecimento novo” (Goios, 2010, p.122).

A leitura dessa dissertação nos fez refletir sobre a importância das novas

teorias de aprendizagem para as pesquisas em educação matemática. Nunca nos

ocorreu que as metáforas tivessem um papel tão significativo na aprendizagem ,

assim como não podemos imaginar, para futuras pesquisas na trigonometria,

qualquer atividade em que os recursos dos softwares da geometria dinâmica e a

internet não participem.

2.1.1. Parâmetros Curriculares Nacionais - terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental 1998

A Secretaria do Ensino Fundamental do Ministério da Educação e do

Desporto elaborou este documento oficial para os professores do ensino

fundamental com o objetivo de promover um debate educacional que envolva

escolas, pais, governo e a sociedade para provocar um aperfeiçoamento no sistema

educativo brasileiro e orientar a prática escolar para que toda a criança tenha acesso

a um conhecimento matemático que o ajude a tornar-se um cidadão no mundo do

trabalho, das relações sociais e da cultura.

Repudiando a tradicional prática educacional em que o professor se limita a

apresentar oralmente todo o conteúdo, definindo, demonstrando e esperando que o

aluno aprenda pela reprodução, este documento propõe um professor organizador

da aprendizagem, que considere o aluno como o principal construtor nesse

processo, sem expor todo o conteúdo, mas fornecendo apenas as informações que

ele não possa conseguir sem ajuda.

Como eixo organizador do processo de ensino e aprendizagem, este

documento recomenda a resolução de problemas, que “possibilita aos alunos

mobilizar conhecimentos e desenvolver a capacidade de gerenciar as informações

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61  

 

que estão ao seu alcance” (PCN, p.40). Com esta prática, os alunos terão uma

melhor visão sobre os conceitos e procedimentos matemáticos.

Este parâmetro defende a importância dos recursos da história da

matemática, argumentando que ela pode esclarecer as ideias que estão sendo

construídas pelos alunos e inspirar o professor a novas formas de abordagem dos

conceitos matemáticos. O uso das tecnologias com o computador nas escolas

também não foi esquecido, tendo em vista o desenvolvimento de softwares que

possibilitem pensar, refletir e criar soluções. Procuramos acatar estas

recomendações, quando reservamos em nossa pesquisa, um capítulo

especialmente para a história da trigonometria, e programamos todas as nossas

intervenções com o software Cabri-Géomètre II.

2.1.2. Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio – 2000.

O objetivo principal dos parâmetros para o ensino médio é indicar direções

que possam propiciar aos alunos a formação adequada para sua vida num mundo

de mudanças, que cada vez mais exige o desenvolvimento de competências

matemáticas para os novos desafios profissionais e sociais. Segundo os PCNEM, ao

longo do ensino médio a matemática tem uma função formativa, e por esse motivo,

deve desenvolver no aluno o raciocínio dedutivo e gerar hábitos investigativos, que

podem ser usados em novas situações, além dos limites da matemática. Ao mesmo

tempo, a matemática tem um papel instrumental, ao colocar suas ferramentas à

disposição do aluno.

Os objetivos educacionais da resolução CNE/98, já atribuíam a matemática

um papel importante no desenvolvimento das competências essenciais, que

dependiam das habilidades de caráter gráfico, geométrico algébrico e estatístico. Os

PCNEM – 2000 confirmaram essas atribuições.

Este documento cita o estudo da trigonometria como exemplo de um tema

matemático capaz de contribuir para o desenvolvimento das competências e

habilidades para a compreensão de fenômenos periódicos e para enfrentar

situações-problemas, até mesmo para os alunos que não pretendem seguir a

carreira das ciências exatas, neste caso, sem a necessidade de se aprofundar em

equações e identidades trigonométricas, apenas analisando e colocando em prática

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62  

 

alguns aspectos dessas funções. Entre esses aspectos, podemos destacar a

aplicação da trigonometria em problemas de medições de lugares inacessíveis e a

análise dos gráficos das funções trigonométricas na construção de modelos

relacionados com os fenômenos periódicos.

2.1.3. Proposta Curricular do Estado de São Paulo – Matemática – Ensino Fundamental – Ciclo II e Ensino Médio, 2008

Com vistas ao desenvolvimento curricular, a Secretaria da Educação do

Estado de São Paulo fez um levantamento no seu acervo documental e técnico

pedagógico, e implantou um processo de consultas a escolas e professores, para

divulgar as melhores experiências escolares desse estado.

Após a publicação dos Parâmetros Curriculares Nacionais e a criação do

Enem, os especialistas que preparam esta proposta concluíram que os conteúdos

disciplinares das diversas áreas eram a principal matéria prima para a formação dos

alunos como cidadãos e como pessoas. Essas disciplinas eram fundamentais, mas

tornou-se claro que o foco estava no desenvolvimento das competências pessoais

dos alunos. Nesse sentido foram escolhidas três pares dessas competências

básicas. A primeira competência foi a expressão/compreensão, posto que a

matemática, ao lado da língua materna, compõe um par como um meio de

expressão e de compreensão da realidade. A segunda competência, relativa à

argumentação/decisão, coloca a matemática como um instrumento para o

desenvolvimento do raciocínio lógico e a capacidade de tomar decisões a partir dos

elementos disponíveis. A terceira competência, relativa ao par concreto/abstrato,

considera que os objetos matemáticos são exemplos imagináveis para se

compreender a permanente articulação entre as abstrações e a realidade concreta.

Um exemplo nesta última competência é o abstrato número 5, um elemento comum

a todas as coleções concretas que podem ser colocadas em correspondência com

os dedos de uma mão, sejam elas formadas por frutas, pessoas ou objetos.

Na matemática, esta proposta curricular para o Ensino Fundamental e Médio,

agrupou os conteúdos fundamentais em quatro grandes blocos matemáticos,

juntando as propostas anteriores nas quais constavam números, geometria e

medidas, ao tratamento da informação. Partindo do princípio de que os conteúdos

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63  

 

fundamentais são os meios para o desenvolvimento das competências pessoais,

esta proposta organizou uma sequencia entre eles, distribuindo-os pelas séries e

bimestres e escolhendo um grande tema por bimestre. Contudo, esta divisão não

deve ser compreendida como algo fechado e inflexível, e o nível de aprofundamento

de cada tema deverá ficar à critério do professor, assim como a escolha mais

conveniente dos conteúdos, em cada bimestre, de acordo com as circunstâncias e

sempre que for possível apresentar esses conteúdos empregando a tecnologia e os

materiais concretos.

Segundo esta proposta, as formas planas e espaciais poderão ser

trabalhadas em contextos concretos, na 5ª e 6ª série do ensino fundamental, e com

os teoremas de Tales e Pitágoras e as razões trigonométricas, na 7ª e 8ª série.

Neste período, deverá ser exigida das crianças a articulação do raciocínio lógico-

dedutivo. Este documento adverte que a geometria plana não deve ser um assunto

restrito ao ensino fundamental, enquanto que a espacial e analítica deve ser restrita

ao ensino médio, esses temas podem se sobrepor em qualquer época, e a

geometria deve ser trabalhada em todos os anos numa abordagem espiralada,

mudando apenas o aprofundamento. Assim o número irracional (pi) pode aparecer

nos cursos de geometria elementar, associado aos cálculos do círculo e da

circunferência, e voltar no ensino médio em contextos ligados a trigonometria.

2.2. Análise da apresentação da função seno, em três livros didáticos de matemática para o ensino médio.

 

Em nossa prática de ensino como professor do ensino médio, e em aulas

particulares de matemática, durante o estudo da definição da função seno,

constatamos que a maioria dos alunos, não conseguia entender na íntegra, o

significado e a combinação das palavras, letras e figuras nessa definição, em seus

respectivos livros textos.

Escolhemos três livros do ensino médio, para uma breve análise no tema

central de nossa pesquisa, a definição da função seno:

• Livro 1 – volume único para o ensino médio, 1994.

• Livro 2 – volume único para o ensino médio, 2005.

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64  

 

• Livro 3 – parte de uma coleção para o ensino médio, 2004.

Devido à grande variedade de registros de representação semiótica exigida

pela trigonometria (escrita algébrica, tabelas, figuras geométricas e gráficos),

estabelecemos como critério de análise a forma de apresentação, com as figuras, e

a escrita algébrica usada para designar as coordenadas cartesianas, a medida de

um arco e os eixos cartesianos, no encaminhamento e formalização da definição da

função seno.

No livro 1, conforme podemos ver na figura 21, é o ângulo central

correspondente ao arco . Nessa mesma figura, as letras e , foram usadas

para dar nome aos eixos cartesianos. Nosso parecer é que o emprego da letra

para representar a variável independente da função seno, e ao mesmo tempo

nomear o eixo cartesiano horizontal nessa definição, pode confundir o leitor que

ainda está se familiarizando com um novo conceito. Além disso, esses autores ao

definirem “seno (do arco ou do ângulo x)”, não observaram que x é um número

real, correspondente à medida em radianos do arco e o mesmo acontecendo

ao escreverem “do ângulo . Segundo Lima (1991, p.4), para considerar a função

definida para todo número real é preciso falar em seno de um número, em

vez de um ângulo. Na parte inferior dessa mesma figura os autores destacaram que

sem perceberem que não é a ordenada do ponto . O

recomendável seria: ).

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65  

 

 

Figura 21 - A função do Seno no Ciclo trigonométrico Fonte: Livro 1

 

No livro 2, conforme mostramos na figura 22, os autores optaram por definir

as funções circulares, substituindo as coordenadas do ponto P localizado no círculo,

pelas medidas dos segmentos, com extremos no ponto O no centro do círculo, e nas

projeções ortogonais de P, nos eixos verticais e horizontais. De acordo com esse

texto, “x é um ângulo agudo” e P é a extremidade de um arco correspondente a ele.

Nessa figura, embora o arco esteja destacado, faltou identificarem a origem do arco

com uma letra. Vejamos essa página:

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66  

 

Figura 22 - Funções circulares e função seno.

Fonte: Livro 2.

Nesta situação, para definir a função seno no primeiro quadrante, os autores

recorreram a razão seno no triângulo retângulo OP1P,e assim provaram que seno

de um número real x, era igual a medida do segmento OP1, que na figura aparece

como um vetor apontando para cima.

Depois de apresentarem como exemplo o seno do ângulo de 30º, esses

autores estenderam a função seno para os outros quadrantes, com os ângulos x, y e

z, cujas projeções ortogonais fizeram surgir os pontos X, Y e Z no eixo “senos”.

Novamente, deixaram de identificar a origem desses ângulos, e escolheram as letras

x e y, que, tradicionalmente, designam os eixos cartesianos. Na figura 23, essas

letras estão localizadas na extremidade dos respectivos arcos, como um ponto em

letra minúscula, cuja projeção ortogonal no eixo vertical, fez surgir o correspondente

ponto em letra maiúscula.

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67  

 

Figura 23 - O seno dos ângulos do 2º, 3º e 4º quadrantes.

Fonte: Nosso acervo.

De acordo com história da geometria analítica, no século XVII, Descartes

empregou as letras e num desenho com duas semi-retas concorrentes, com a

medida de x representando uma variável independente numa semi-reta horizontal.

Essa idéia deu origem aos eixos cartesianos (Eves, p.384). Influenciados pela

história da matemática, os livros didáticos, do ensino fundamental e do ensino

médio, costumam designar os eixos cartesianos com essas letras. Na figura 24,

vemos como os autores recorreram ao diagrama de Venn, para explicar o domínio e

imagem da função seno.

 

Figura 24 - O domínio e o contradomínio da função sen x. Fonte: Livro 2.

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68  

 

Na Teoria dos Registros de Representações Semióticas, vimos que “o acesso aos

objetos matemáticos, passa necessariamente por representações semióticas”, Duval

(2008, p.21), Na figura 23 (livro 2) deste capítulo, vimos que as letras

então distribuídas pelo círculo e pelos eixos horizontal e vertical, para mostrarem a

função seno em todos os quadrantes. Nosso parecer é que essas letras, dispostas

dessa forma, podem confundir o leitor com os dois eixos cartesianos, ou até mesmo

sugerir a participação dos três eixos da geometria espacial.

No livro 3, encontramos um exemplo ilustrado pela figura 25, em que o autor

empregou as letras e para nomear os eixos cartesianos. Nesse caso a letra

foi utilizada apenas para designar uma variável independente e não provocou

nenhuma dúvida..

Figura 25 - Definição do seno.

Fonte: Livro 3.

Ainda no livro 3, encontramos uma figura (que reproduzimos na figura 26),

que apresenta os diferentes arcos nos diferentes quadrantes, e seus respectivos

senos, determinados pela variação do número real x. Neste caso bastou à letra

(não foram usadas as letras e ), para mostrar a função seno em todos os

quadrantes.

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69  

 

 

Figura 26 - O seno de alguns valores de x. Fonte; Livro 3.

Nosso parecer é que, no livro 3, os registros de representações semióticas (a

escrita algébrica e as figuras geométricas) não deixam margens à dúvidas, e podem

contribuir para uma aprendizagem significativa, desse conceito tão complexo.

Para contornar o problema que poderia causar um duplo significado das

letras, na definição da função seno, procuramos preparar nossas intervenções,

evitando essas situações.

Segundo Duval (2004), enquanto que na biologia as células podem ser vistas

e estudadas por instrumentos, os objetos da matemática dependem apenas de suas

representações semióticas. Esse autor também adverte que não devemos confundir

um objeto matemático, com as suas diversas representações (a exemplo da função

seno que dispõe de muitas representações). Por essa razão, em nossa análise da

apresentação da função seno nesses livros didáticos, entendemos que qualquer

duvida provocada pela escrita algébrica ou pela figura, podem ser uma fonte de

confusão para o aprendiz.

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70  

 

Capítulo 3

Referencial teórico

3.0 . Introdução

Em nossa prática cotidiana verificamos que, com muita frequência, os alunos

resolvem problemas com a trigonometria utilizando os valores dos senos, cossenos

e tangentes de ângulos, sem ao menos compreenderem a origem desses valores.

Esses alunos não são capazes de interpretar as figuras e construir os gráficos das

funções trigonométricas. Procuramos identificar, na literatura da educação

matemática, as teorias de aprendizagem que poderiam dar suporte para o desafio

do ensino e da aprendizagem da trigonometria, e escolhemos a teoria da

aprendizagem significativa de Ausubel, Novak e Hanesian e os estudos dos registros

de representação semiótica de Duval, ambos cognitivistas, isto é, baseados no

funcionamento da estrutura cognitiva do aprendiz. Escolhemos a primeira por

elucidar como se desenvolve o processo de aprendizagem e quais as vantagens que

poderemos tirar desse entendimento, e a segunda pela importância do manuseio

desses registros na aprendizagem da trigonometria.

3.1. A Teoria da Aprendizagem Significativa

Ausubel, Novak e Hanesian, os autores da obra Psicologia Educacional

(1978, p.20), consideram que, para a melhoria da aprendizagem escolar, é urgente e

necessária a distinção entre os dois processos de aprendizagem, que os mesmos

classificam como por recepção ou por descoberta, e a distinção entre a

aprendizagem automática (ou mecânica) e significativa. Considera-se a

aprendizagem por recepção quando o aluno recebe pronto todo o conteúdo a ser

aprendido, ou seja, na sua forma final, ficando para este aluno a tarefa de

internalizar esse conteúdo, e por descoberta, quando o conteúdo a ser aprendido

não é dado pronto, mas deve ser descoberto pelo aluno, antes que possa ser

significativamente incorporado à sua estrutura cognitiva. Esses autores ressaltam

que tanto a aprendizagem por recepção, quanto a aprendizagem por descoberta,

podem ser automática ou significativa, porém sem estabelecer uma dicotomia entre

esses polos.

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71  

 

A maior parte das informações adquiridas pelos alunos tanto dentro como fora

da escola, é apresentada verbalmente, e sob o ponto de vista psicológico,

aprendizagem receptiva verbal é mais complexa, visto que ela exige um

amadurecimento intelectual. Assim uma criança em idade pré-escolar, adquire o

conceito “cadeira” por descoberta, depois de alguns encontros incidentais com esse

objeto, abstraindo as características comuns, para generalizar seus atributos, mas

não é capaz de compreender os conceitos “democracia” ou “aceleração”. Esses

autores lembram que a aprendizagem receptiva também é usada na solução dos

problemas diários e a aprendizagem por descoberta, muitas vezes é utilizada em

sala de aula para esclarecer, avaliar e integrar matérias. Todavia, Ausubel, Novak e

Hanesian (1978, p.24), alertam que apenas a “descoberta” da solução correta para

os problemas de matemática e ciência, sem a compreensão real das operações e

dos conceitos envolvidos, quando os estudantes memorizam problemas típicos,

fórmulas e manipulam símbolos algébricos, não se constitui num experimento

genuinamente significativo. Como exemplo, nesta pesquisa, durante os encontros

com os alunos, planejamos atividades com materiais concretos e com o software

Cabri, para que os alunos pudessem redescobrir as razões trigonométricas nos

triângulos retângulos semelhantes.

Nos casos de recepção e descoberta, a aprendizagem significativa só

acontece quando uma nova informação se relaciona de forma não arbitrária e não

literal, com algo que o aluno já esteja familiarizado, presente na sua estrutura

cognitiva; além disso, o material a ser aprendido tem que possuir um sentido lógico,

o que esses autores chamam de “potencialmente significativo”, e tem que haver por

parte do aluno uma disposição, para uma aprendizagem significativa. Segundo

Moreira (2006), nesse processo o novo conhecimento deve interagir com um

conhecimento específico existente na estrutura cognitiva do aprendiz, que Ausubel

nomeou de “conceito subsunçor”. Esse conceito pode ser uma ideia ou uma

proposição, “capaz de servir de ancoradouro a uma nova informação” Moreira (2006,

p.15).

Moreira (2006) observa que quando os conceitos e proposições são

apresentados verbalmente, mas o aluno ainda não dispõe dos subsunçores

necessários à aprendizagem significativa, ele pode aprender mecanicamente (ou

automaticamente), até que alguns elementos de conhecimento presentes na sua

estrutura cognitiva, ligados às novas informações, possam servir de subsunçores,

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72  

 

mesmo que pouco elaborados. Nessa situação, Ausubel, Novak e Hanesian (1978,

p.140) recomendam o emprego dos organizadores prévios, um material introdutório

que deve ser apresentado antes do material a ser aprendido, com as ideias mais

abrangentes dos conhecimentos precedentes, ou até mesmo que possuam

conceitos similares àqueles a serem aprendidos. É importante destacar que os

organizadores não são necessariamente textos escritos, podendo ser uma

discussão, uma demonstração, ou até mesmo um filme, dependendo das

circunstâncias envolvidas na aprendizagem.

Os autores Ausubel, Novak e Hanesian, (p.39, 1978), distinguem a

aprendizagem significativa em três tipos: representacional, proposicional e de

conceito. De acordo com essa teoria de aprendizagem, todos os tipos de

aprendizagem significativa dependem da aprendizagem representacional, que

consiste em atribuir significados a símbolos (geralmente palavras isoladas). A

aprendizagem significativa na combinação das palavras em proposições ou orações

é tratada na aprendizagem proposicional. As palavras isoladas também podem

representar ideias genéricas ou categorizadas, e são estudadas no terceiro tipo de

aprendizagem significativa, a de conceito. No entanto, Ausubel (1978, p.57) apud

Moreira (p.24, 2006) adverte que independentemente do tipo, o processo de

aquisições de informações resulta em mudança, tanto da nova informação adquirida,

quanto no aspecto especificamente relevante da estrutura cognitiva que se relaciona

com essa informação.

Ainda de acordo com Ausubel, Novak e Hanesian, (p.39, 1978), a

aprendizagem representacional é o tipo de aprendizagem significativa mais básica,

que condiciona os demais, e se constitui num processo que ocorre quando se

aprende o significado de símbolos particulares, geralmente as palavras isoladas, ou

o que elas representam. Nesse sentido, as palavras particulares em qualquer língua,

são símbolos compartilhados, que podem representar um conceito, uma situação ou

um objeto do mundo físico.

A aprendizagem proposicional é um processo que consiste em atribuir

significados a combinação de palavras em proposições ou sentenças. Ausubel,

Novak e Hanesian, (p.40, 1978) advertem que nesta modalidade, a aprendizagem

significativa não se limita ao aprendizado das palavras isoladamente, ou na

combinação dessas palavras, mas nas novas ideias expressas na forma

proposicional.

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73  

 

Depois de definir o conceito como objetos, eventos, situações ou

propriedades que possuem atributos comuns, designados por algum símbolo ou

signo, Ausubel, Novak e Hanesian ( p.47, 1978) estabelecem que a aprendizagem

de conceito é um processo que pode ocorrer de duas maneiras: por formação de

conceito, em crianças de idade pré-escolar, e por assimilação de conceitos em

crianças de idade escolar e com os adultos. Na primeira, quando os atributos são

obtidos por meio de experiências diretas e em etapas. Assim, as crianças podem

aprender o conceito “cachorro” depois de encontros sucessivos com cachorros,

gatos e etc., até que possam generalizar os atributos que constituem o conceito

“cachorro” numa certa cultura. À medida que o vocabulário da criança aumenta, e já

existam conceitos adquiridos por formação na sua estrutura cognitiva, novos

conceitos podem ser obtidos pelo segundo processo, o da assimilação.

Ao introduzir o processo da assimilação, Ausubel expôs a sua concepção

quanto à aquisição, retenção e organização dos conhecimentos na estrutura

cognitva. Segundo Moreira (2006, p.28), nesse processo, quando um novo conceito

ou uma proposição a, potencialmente significativo, é assimilado sob uma ideia,

conceito ou proposição, já estabelecido na estrutura cognitiva do aprendiz, ou seja,

um subsunçor A, a nova informação a, interage com o subsunçor A, e ambos se

modificam , transformando-se no produto interacional A’a’. Esse produto não

representa apenas o novo significado a’, mas inclui também a modificação da ideia-

ancora A. A essência desse princípio, é a interação do novo conhecimento com os

conceitos aprendidos anteriormente. Ausubel, Novak e Hanesian (1978, p.105)

fizeram o seguinte esquema para ilustrar o princípio da assimilação:

 Figura 27 - O princípio da assimilação, segundo Alsubel, Novak e Hanesian.

Fonte: Ausubel,Novak e Hanesian (1978, p.105).

Mas esse processo não encerra com o produto interacional A’a’. Depois de

um período de retenção, essas ideias se separam nas entidades individuais A’ e a’.

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74  

 

Num segundo estágio desse processo, com o esquecimento de a’, vai resultar

em apenas A’, o resíduo subsunçor modificado. Ausubel denomina essa redução de

memória de “assimilação obliteradora”, e considera que o inesperado nesse

processo de assimilação não só justifica a retenção das ideias aprendidas

significativamente, como também o da redução gradual dos significados recém

aprendidos, para a retenção dos conceitos e proposições mais estáveis na estrutura

cognitiva. Esse autor compara esse processo de redução memorística, que reduz a

um denominador comum uma experiência prévia e acumulativa ao processo de

formação de conceitos. Neste processo, um conceito abstrato é mais manipulável

que as dezenas de exemplos dos quais foi abstraído. ”O problema principal em

adquirir um conteúdo numa disciplina acadêmica, está em contrariar o processo

inevitável da assimilação obliteradora que caracteriza todo o processo de

aprendizagem significativa” (Ausubel, 1968, p.119).

Para esclarecer a comparação entre o sentido do termo assimilação proposta

por Piaget e a usada por Ausubel, Novak (1977) apud Moreira (2006), observa que

na concepção de Ausubel, o novo conhecimento interage com os conceitos e

proposições relevantes e específicos existentes na estrutura cognitiva, e não com

ela como um todo, conforme o sentido piagetiano.

Ao lembrar que no processo da aprendizagem significativa, a nova informação

deve interagir com os conceitos subsunçores do aprendiz, Moreira (2006), ressalta

que esta situação reflete a “subordinação” entre o novo material e os conceitos

subsunçores. Sob esse aspecto, Ausubel distingue dois tipos de aprendizagem

subordinada, a inclusão derivativa e a inclusão correlativa. Quando o material novo,

a ser aprendido é derivado (ou está implícito) de um conceito já estabelecido na

estrutura cognitiva, o significado desse material surge rapidamente e com pouco

esforço, ocorrendo assim uma inclusão obliterativa, pois os conceitos subsunçores

mais inclusivos “absorvem” o novo material. Porém, é mais comum que a nova

matéria de estudo, se aprenda pela inclusão correlativa, quando o novo material de

aprendizagem é uma extensão, uma elaboração, uma modificação ou uma limitação

de proposições aprendidas previamente.

Vimos que na aprendizagem subordinada, os conceitos subsunçores são

mais gerais e inclusivos que as novas informações. Quando acontecer o contrário,

isto é, quando o novo conceito for mais geral e inclusivo que as ideias já

estabelecidas na estrutura cognitiva, o novo conceito, A irá assimilar os conceitos a1,

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75  

 

a2, a3 . da estrutura cognitiva e a aprendizagem será superordenada. Por exemplo,

uma criança que já possua na sua estrutura cognitiva os conceitos dos animais

cachorro, gato e rato, ao aprender o conceito de mamífero, esse novo conceito mais

geral, irá assimilar todos esses animais.

Durante o processo de aprendizagem por subordinação, quando o conceito

subsunçor sofre alguma modificação, podemos dizer que, com esse conceito está

ocorrendo uma diferenciação progressiva. Mas, quando a nova informação é

aprendida por uma superordenação dos conceitos subsunçores, ou uma

recombinação de ideias (que não apresentam nenhuma dependência entre si)

presentes na estrutura cognitiva, dizemos que com esses conceitos, ocorreu uma

reconciliação integrativa.

Esses autores também defendem que, durante a aquisição de novos

conhecimentos pelos seres humanos, a organização mental forma naturalmente nas

suas estruturas cognitivas uma pirâmide ordenada hierarquicamente, onde as ideias

mais inclusivas ocupam o ápice dessa pirâmide, e englobam progressivamente as

ideias menos inclusivas, ou seja, a organização mental nos seres humanos segue o

princípio da diferenciação progressiva. Com base nessa organização mental, esses

autores recomendam aos professores que programem a apresentação dos novos

conteúdos de suas disciplinas, segundo esses princípios, ou seja, que comecem

pelas ideias mais gerais, para que elas já estejam disponíveis na estrutura cognitiva

dos alunos, como conceitos subsunçores, quando forem apresentas as novas ideias.

Ausubel, Novak e Hanesian (1978, pp.159-161) estendem suas concepções

quanto ao funcionamento do sistema cognitivo, para orientar os autores de livros-

texto, na organização dos capítulos e dos tópicos. Segundo esses autores, aplicar o

princípio da reconciliação integrativa na programação desses livros, é não segregar

idéias ou tópicos particulares dentro de seus respectivos capítulos, e sim explorar as

relações entre essas ideias, assinalando as semelhanças e diferenças significativas,

e reconciliar as inconsistências reais ou aparentes. Este princípio também se aplica

quando o assunto é organizado em linhas paralelas, ou seja, quando entre esses

tópicos não existir nenhuma dependência sequencial. Por outro lado, organizar um

assunto de acordo com os princípios da diferenciação progressiva, é começar pelas

ideias mais gerais e mais inclusivas, para permitir que essas ideias sejam

progressivamente diferenciadas.

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76  

 

Para se organizar uma sequencia de tarefas, os autores Ausubel, Novak e

Hanesian (1978, p.164) alertam que é preciso averiguar qual é a sequencia

particular mais eficiente, a partir de uma análise lógica dos tópicos, para utilizar o

princípio da reconciliação integrativa, o principio da diferenciação progressiva ou a

combinação dos dois.

3.1. Registros de representação semiótica

Diante da complexidade do ambiente tecnológico-computacional, na França,

na virada do milênio, foram realizados cursos de preparação para todos os

estudantes. Conforme os relatos de Raymond Duval, pesquisador em Educação

Matemática, durante esses eventos surgiram as seguintes questões:

Como podemos entender as dificuldades, frequentemente intransponíveis,

que alguns estudantes têm na compreensão da matemática?

Qual a natureza e em quais aspectos identificamos estas dificuldades?

Para Duval, as respostas a estas perguntas não estão restritas a um ramo da

matemática ou à sua história, mas podem ser encontradas numa abordagem

cognitiva. Segundo o pesquisador, uma abordagem cognitiva pode determinar a

origem dessa incompreensão e ajudar o estudante a compreender e controlar a

diversidade dos processos matemáticos. Para analisar esta situação é preciso saber

quais os sistemas cognitivos necessários ao acesso aos objetos matemáticos, como

se efetuam as múltiplas transformações do processo matemático e o que caracteriza

a matemática do ponto de vista cognitivo.

Segundo Duval (2003, p.p.13-14) sob o ponto de vista cognitivo, a matemática

se caracteriza pela grande variedade de representações semióticas (língua natural,

sistemas de numeração, figuras geométricas, escritas algébricas e formais,

representações gráficas) e pela importância dessas representações, baseada em

dois aspectos: o acesso aos objetos matemáticos (já que esses objetos não são

visíveis por instrumentos), e a possibilidade do tratamento matemático (nas

operações de calculo com o sistema de numeração decimal, nos algarismos indu-

arábicos que substituíram os algarismos romanos). A exemplo de Descartes, o

filósofo e matemático para o qual todo o conhecimento estava ligado a alguma

representação, Duval também chamou essas representações semióticas de registros

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77  

 

e classificou os sistemas cognitivos que dão acesso aos objetos matemáticos em

quatro tipos distintos de registros, conforme podemos visualizar na tabela a seguir:

Tabela 1 - Classificação dos diferentes registros mobilizáveis no funcionamento matemático (fazer matemática, atividade matemática).

Fonte: Duval, Registros de Representações Semióticas e Funcionamento da Compreensão em Matemática, in Machado (2008, p.14)

Sob o ponto de vista da aprendizagem e do ensino na matemática, existem

dois tipos de transformações de representações semióticas radicalmente diferentes:

os tratamentos e as conversões. De acordo com essa teoria, os tratamentos são as

transformações que acontecem dentro de um mesmo registro, por exemplo, a

transformação de uma fração em um número decimal ou na resolução de um

sistema de equações do primeiro e do segundo grau, com todas as transformações

desde a escrita do sistema, até a aplicação da fórmula Báskhara. Conferindo essas

operações na tabela de Duval, verificamos que elas permanecem dentro do mesmo

registro, classificadas como sistemas de escrita numérica e algébrica,

respectivamente. Já as conversões são as transformações de representações que

mudam de um registro para outro, por exemplo, durante a passagem da escrita

algébrica de uma função para o seu gráfico cartesiano.

REPRESENTAÇÃO

DISCURSIVA

REPRESENTAÇÃO

NÃO DISCURSIVA

REGISTROS

MULTIFUNCIONAIS:

Os tratamentos não

são algoritmizáveis

Língua natural

Associações verbais (conceituais).

Forma de raciocinar:

- Argumentação a partir de observações,

de crenças...

- Dedução válida a partir de definição ou

Teoremas.

Figuras geométricas planas

ou em perspectivas

(configurações nas dimensões:

0, 1, 2 ou 3)

- Apreensão operatória e não

somente perceptiva.

- Construção com instrumentos

REGISTROS

MONOFUNCIONAIS:

Os tratamentos são

principalmente

algoritmos.

Sistemas de escritas:

- Numéricas (binária, decimal,

fracionárias,...)

- Algébricas

- Simbólicas (línguas formais)

- Cálculo

Gráficos cartesianos.

- Mudanças de sistemas de

coordenadas.

- Interpolação, extrapolação.

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78  

 

Após observar numerosas vezes às falhas e os bloqueios dos estudantes em

diferentes níveis de ensino, Duval (1978, P.116) considerou como a primeira fonte

de incompreensão a complexidade e a especificidade do tratamento no registro

monofuncional. Como exemplo, ele escolheu o problema do cálculo da área de um

paralelogramo e considerou que naquela situação muitos alunos desconheciam a

fórmula da área dessa figura geométrica, e não eram capazes de “enxergar” que

através de um tratamento, ela podia ser reconfigurada e transformada num

retângulo, cuja fórmula já conheciam. Assim a reconfiguração poderia facilitar o

cálculo da área da figura original.

 Figura 28 - Tratamento para o calculo da área de um paralelogramo.

Fonte: Duval (2006, p.116)

Como segundo exemplo, Duval (2006) citou o problema de Schoenfeld (1986), proposto por Mesquita, em 1989, à alunos do ensino médio na França, com o seguinte enunciado:

O perímetro do triângulo , é maior que, menor, ou igual a soma da medida dos segmentos e ?

 Figura 29 - Problema de Schoenfeld.

Fonte: Duval (2006, p.118)

A figura 29 ilustra esse problema.

Para Duval, havia duas maneiras de procurar uma solução para esse

problema, uma delas tomando como eixo de simetria, e outra, tomando os dois

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79  

 

segmentos e , como eixos de simetria. Para ilustrar esses enfoques, o autor

construiu uma figura com as duas alternativas (figura 30). Duval constatou que a

maioria dos alunos tentou resolver com a primeira alternativa, mas a solução exigia a

segunda alternativa, a qual mais da metade dos alunos não conseguiu “enxergar”:

 Figura 30 – Duas disposições dos elementos da figura do problema de Schoenfeld.

Fonte: Duval (2006, p.118)

Prosseguindo nas suas pesquisas, sobre as falhas ou bloqueios nas

atividades da matemática, em alunos de diferentes níveis, Duval (2006), considerou

que a segunda fonte de incompreensão ocorria na conversão de representações ou

na mudança de registros e dependia do fenômeno de variabilidade do caráter de

congruência e não congruência entre duas representações do mesmo objeto e do

sentido de direção. Para analisarmos uma atividade de conversão, basta

compararmos o registro de partida, com o registro de chegada. Quando o registro

de partida transparece no registro terminal, podemos dizer que há uma congruência,

e quando isto não ocorre, dizemos que houve uma não congruência. Duval

exemplificou a congruência e a não congruência com as três situações seguintes:

A primeira na conversão da expressão “o conjunto dos pontos cuja ordenada

é superior à abscissa” na escrita algébrica . Neste caso a conversão inversa

permite reencontrar o registro de partida, logo trata-se de uma congruência.

A segunda situação partindo da expressão “o conjunto de pontos que tem

uma abcissa positiva”, para a expressão algébrica . Apesar da falta, na escrita

algébrica, de uma unidade significante que corresponda a “positivo”, na conversão

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80  

 

inversa ainda é possível voltarmos ao registro de partida, isto é, trata-se de uma

congruência.

Na terceira situação, que parte da expressão “o conjunto dos pontos que tem

abcissa e ordenada do mesmo sinal”, para a expressão algébrica , Duval

mostrou uma caso de não congruência, pois, da expressão , podemos voltar

ao registro de partida, mas não saberemos os sinais de e , respectivamente.

Quanto ao exemplo de fonte de incompreensão devido ao sentido da

conversão, o autor exibiu o seguinte teste de reconhecimento, que ele havia

aplicado em 1988 na França, aos alunos, com idades entre 15 a 16 anos, após uma

aula sobre as funções lineares. Nesse teste, os alunos tinham que reconhecer qual a

expressão algébrica correspondente a cada dos gráficos dessa figura (31).

Figura 31 - Reconhecimento de uma conversão.

Fonte: Duval (2006, p.113) No segundo gráfico dessa figura, a maioria dos alunos teve dificuldades de

reconhecer a expressão algébrica, fato que coloca em evidência o bloqueio causado

pelo sentido da conversão.

Além dessas fontes de incompreensão, Duval também associou os fracassos

e os bloqueios na compreensão dos conceitos, ao “enclausuramento” em um

registro, ou seja, quando o aluno não consegue reconhecer o mesmo objeto

matemático em duas representações diferentes. Nesse aspecto, o autor adverte que

jamais devemos confundir um objeto com a sua representação. Na biologia, os

objetos podem ser medidos ou observados por instrumentos, como o microscópio.

Na matemática, o acesso aos objetos passa pelas representações semióticas; por

esta razão a compreensão matemática está intimamente ligada ao fato de dispor de,

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81  

 

ao menos, dois registros de representações diferentes. Para o autor a compreensão

em matemática, requer a coordenação dos diferentes registros.

A teoria dos Registros de Representações Semióticas de Duval não se limita

aos aspectos que abordamos. Escolhemos apenas os aspectos que podem ter

alguma ligação com a nossa pesquisa. Para nós, são de especial importância, os

bloqueios que eventualmente possam surgir na compreensão, em razão dos

tratamentos ou conversões, entre os registros semióticos das funções

trigonométricas.

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82  

 

Capitulo 4

4.0. Considerações teóricas da nossa metodologia. 

Escolhemos a metodologia do Design Based Research, em razão de suas

características retrospectivas e reflexivas.

De acordo com Steffe e Thompson (2000), nos EUA, por volta de 1970, os

primeiros pesquisadores em Educação Matemática perceberam que, para poderem

entender a “matemática dos estudantes”, primeiro era preciso desenvolver novos

modelos de pesquisa com raízes na educação matemática, ao invés de simplificar e

usar os modelos criados fora da educação matemática, com a Epistemologia

Genética de Piaget e suas entrevistas clínicas; segundo, era necessário superar o

grande abismo que existia entre a prática de pesquisa e a prática de ensino, pois as

pesquisas sobre as atividades matemáticas dos estudantes deveriam se estender

por períodos mais longos, para que os pesquisadores pudessem avaliar a interação

dos conhecimentos matemáticos com os estudantes.

Collins (1999) relata que, na década de 90, surgiu nos EUA um movimento

liderado por Ann Brown para desenvolver uma nova metodologia que estudasse as

intervenções educacionais sob a bandeira do “design experiments” ou “design

research”. Essa teoria recomendava que para se estudar os fenômenos da

aprendizagem, era preciso substituir o ambiente do laboratório pelo mundo real.

Segundo Kelly (2002), os pesquisadores adotaram essa metodologia que teve suas

raízes no campo da engenharia, em números cada vez mais crescentes, e assim

usaram, na educação, as ferramentas das ciências. O primeiro artigo abordando o

Design Based Research, resumiu o pensamento de um grupo, cujos membros

tinham sólidos conhecimentos nas áreas das ciências cognitivas, psicologia,

antropologia, inteligência artificial, biologia, matemática, da interação homem-

computador, e algum envolvimento com a nova metodologia. Cobb, Confrey,

Disessa, Lehrer e Schauble, foram os membros desse grupo e os autores desse

artigo intitulado “design experiments in Educational Research”, publicado no

Educacional Research em 2003.

Em Cobb et al (2003), os autores ressaltaram que a metodologia do design,

deveria trabalhar num contexto sujeito a testes e revisões, sucessivas e iterativas,

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83  

 

de forma sistemática tendo como alvo um domínio específico da matemática. Nesse

artigo, a metáfora ”ecologia de aprendizagem” é utilizada para enfatizar que os

conceitos são projetados como sistemas de interação, e não como uma lista de

fatores distintos que influenciam o aprendizado. Na sequencia, Cobb et al

relacionaram algumas configurações e alvos dessa teoria:

• Para reproduzir em pequena escala uma versão da aprendizagem ecológica,

que estuda em profundidade cada detalhe, os professores-pesquisadores

devem preparar uma série de sessões de ensino com poucos estudantes.

• Nas salas de aulas experimentais, uma equipe de pesquisadores

colaboradores, deve assumir junto com o professor a responsabilidade da

instrução.

• Apoiar o desenvolvimento profissional de uma comunidade, com os estudos

desenvolvidos pelo professor e seus pesquisadores colaboradores.

Com esses objetivos, os pesquisadores Cobb et al (2003), identificaram as

seguintes características do Design Based Research (DBR):

Primeira característica: trata-se de uma nova teoria capaz de dar apoio ao

processo de aprendizagem não apenas para um aluno individualmente, mas para

uma classe e até mesmo uma comunidade. Segunda característica: sua natureza

intervencionista possibilita uma melhoria educacional nessa nova forma de

aprendizagem. Terceira característica: uma forte evidência de suas faces

prospectivas e refletivas. Com a face prospectiva, as hipóteses são colocadas em

prática e testadas em sala de aula, e com a face retrospectiva, no caso de algumas

dessas conjecturas serem rejeitadas, outras conjecturas alternativas poderão

substituí-las em novos testes.. Outra característica refere-se à iteratividade dessa

metodologia, provocada pelas repetições da terceira característica, que forma um

ciclo que só termina quando todas as conjecturas forem testadas e revisadas. A

quinta característica dessa metodologia é o pragmatismo, que surgiu como resultado

da aplicação de suas configurações , já mencionadas neste texto.

Os pesquisadores Cobb, Confrey, diSessa, Lehrer e Schauble, encerram esse

artigo no Educational Reseacher (Vol 32, nº 1, p.p. 9-13, ), alertando que as

configurações e características que eles identificaram na metodologia do DBR,

podem se tornar altamente promissoras para a melhoria da educação, desde que

elas sejam efetivamente gerenciadas.

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84  

 

Segundo Steffe e Thompson (2000), o principal motivo do uso dessa

metodologia pelos pesquisadores é entender como os estudantes raciocinam

durante a aprendizagem da matemática, daí a necessidade de se incluir em cada

episódio de ensino preparado para trabalhar em um certo conhecimento, um

observador e uma gravação para registrar esse evento, além de um professor e de

um aluno. Com a ajuda desses registros, podem ser preparados os episódios

subsequentes.

4.1. Objetivo, planejamento e procedimentos metodológicos.

O objetivo de nossa pesquisa foi verificar as contribuições de uma estratégia

de ensino, formada pela combinação do contexto experimental com o contexto

computacional, para a aprendizagem significativa dos principais conceitos presentes

na transição das razões para as funções trigonométricas. Com esse propósito

preparamos um “design” inicial com quatro intervenções, abrangendo os principais

conceitos do assunto, um teste diagnóstico, uma breve apresentação do programa

computacional Cabri-Géomètre II, e um teste final. Nossas intervenções foram

permeadas por atividades e testes. Com base nos resultados obtidos no teste

diagnostico, reformulamos nossas intervenções, com um “design” final.

Nossos procedimentos metodológicos foram embasados pelas características

prospectivas e retrospectivas da metodologia do Design Based Research. Com a

primeira, partimos da hipótese de que a aprendizagem tende a ser significativa,

quando, numa estratégia de ensino, forem utilizados materiais concretos em

combinação com o programa computacional Cabri-Géomètre, para cada tema, e

nesse contexto computacional, os alunos construíram e usaram as figuras dinâmicas

do Cabri-Géomètre. Pela característica retrospectiva, avaliamos o desempenho dos

alunos ao final de cada intervenção e, quando preciso, reformulamos a etapa

seguinte.

Para entendermos o raciocínio dos sujeitos de nossa pesquisa, gravamos em

áudio, fotografamos, guardamos os arquivos do Cabri-Géomètre e anotamos,

conforme as recomendações de Steffe e Thomson (2000), para a metodologia do

DBR.

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85  

 

4.2. Sujeitos da pesquisa.

Os sujeitos desta pesquisa foram nove alunos de um curso noturno de uma

universidade particular da cidade de São Paulo, que na época cursavam o terceiro

semestre de licenciatura em matemática. Devido ao reduzido número de

participantes, optamos por uma pesquisa qualitativa e abrimos mão de formar um

grupo de referência.

4.2.1. Preparação do teste diagnóstico e do design inicial das quatro intervenções

Quando planejamos o teste diagnóstico e preparamos o “design” inicial das

quatro intervenções, consideramos que os nossos sujeitos de pesquisa eram alunos

de um curso superior, no terceiro semestre de licenciatura em matemática.

Especialmente para alunos nesse estágio acadêmico, preparamos quatro

intervenções e planejamos quatro encontros. Refletimos que, provavelmente as

maiores dificuldades seriam relativas ao manuseio do software Cabri-Géomètre II.

Esse material se encontra nos anexos desta dissertação sob os títulos “Teste

diagnóstico” e “Design inicial das intervenções”.

A principal referência na construção desse teste diagnóstico foi a Teoria da

Aprendizagem Significativa de Ausubel, que denomina de “conceitos subsunçores”

todos os conhecimentos que devem estar presentes na estrutura cognitiva do

aprendiz para uma aprendizagem significativa do conceito da função seno. Assim,

identificamos os principais conceitos ligados à trigonometria, e considerando a

sequencia histórica dessas criações, começamos com as relações trigonométricas

no triângulo retângulo e prosseguimos com as medidas em radianos. Completamos

o nosso teste com duas questões sobre a função seno, com a intenção de

avaliarmos o entendimento do aluno quanto a essa função, e verificarmos se eles

eram capazes de completar uma tabela com os senos dos ângulos notáveis, para, a

partir dessa tabela, construir o gráfico da função. Ressaltamos que estávamos

trabalhando com alunos do ensino superior, que teoricamente, deveriam ter tido

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86  

 

algum contato com esses conhecimentos durante o ensino fundamental, médio e os

primeiros semestres da licenciatura em matemática.

Sintetizamos o teste em seis questões e para tornar nossa avaliação

qualitativa, substituímos a pontuação inicialmente definida numa escala de 0 a 10

por quatro classificações:

• Nenhuma noção (n.n)....................................................... 0 à 2. • Alguma noção (a.n.) ...........................................................3 à 5 • Entendimento parcial (e.p,) ................................................6 à 8 • Domínio do conceito (d.c.) ................................................9 à 10.

Na preparação do design inicial das quatro intervenções, levamos em conta

os conceitos subsunçores (da Teoria da Aprendizagem Significativa de Ausubel),

identificados na preparação do teste diagnóstico, a ordem que esses conceitos

surgiram na história da matemática, as dificuldades dos alunos nos tratamentos e

nas conversões das representações semióticas (segundo a Teoria dos Registros de

Representações Semióticas de Duval) utilizadas pela trigonometria, os Parâmetros

Curriculares Nacionais – do Ensino fundamental (1998) e do Ensino médio (2000),

as pesquisas correlatas de Briguenti (1994), Lobo da Costa (1997), Lindegger

(2000), Goios (2010); os livros: “Trigonometria Números Complexos” de Carmo,

Morgado e Wagner (2005), SBM; “Matemática, Contexto e Aplicações” de Dante

(2003), Editora Ática; Trigonometria da coleção Fundamentos da Matemática

Elementar de Gelson Iezzi; “Functions Modeling Change”, dos autores Connally,

Gleason e Hughes-Hallet e o livro ” Atividades com o Cabri-Géomètre II” de Baldin e

Villagra (2010), Eduscar.

A primeira intervenção teve como objetivo explorar as relações

trigonométricas no triângulo retângulo com o Cabri-Géomètre e ajudar os alunos na

construção de uma tabela para senos dos ângulos notáveis com a aplicação do

Teorema de Pitágoras. A construção dessa tabela exigiu inicialmente a divisão de

um triangulo equilátero, a aplicação do Teorema de Pitágoras com uma escrita

algébrica, o conceito das razões seno e cosseno e a passagem desses valores para

uma pequena tabela trigonométrica, ou seja, foram necessárias algumas conversões

e alguns tratamentos nos registros de representação semióticas nessa resolução.

Observamos que tanto nessa intervenção, quanto nas intervenções posteriores, a

teoria de Duval ajudou-nos a identificar e lidar com as dificuldades e os bloqueios

dos alunos. O objetivo da segunda intervenção neste planejamento era promover

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87  

 

situações com o Cabri-Géomètre e os materiais concretos, para as medidas em

radianos, mostrando que essas medidas independem das dimensões da

circunferência. No planejamento inicial da terceira intervenção o objetivo era criar um

organizador prévio para a função seno, com a contextualização de uma situação

para identificar e estudar um fenômeno periódico, e apresentar a definição do ciclo

trigonométrico. O objetivo do planejamento inicial da quarta intervenção era o estudo

da definição da função seno e a construção de gráficos dessa função, no papel e

com o Cabri-Géomètre.

4.2.2. Planejamento final das quatro intervenções

Após o teste diagnóstico, apoiados pelo Design Based Research, começamos

a reformular o planejamento inicial das intervenções. Diante das circunstâncias, logo

percebemos que seria impossível abrangermos os conceitos escolhidos em apenas

quatro intervenções, mas mantivemos a palavra “intervenção”, porque indiretamente

elas agrupavam as situações e as atividades propostas em torno de um assunto. O

planejamento final das intervenções se encontra nos anexos desta dissertação.

 

4.2.3. Os objetos do ambiente experimental  

Para esse ambiente, construímos com o EVA, três jogos com dois retângulos

proporcionais, para serem medidos, relacionados e comparados pelos alunos. Com

o mesmo material, recortamos discos e juntamos a arames com a medida dos

respectivos raios desses discos, que podiam ser “entortados” para possibilitarem a

medida de arcos. Com os triângulos escalenos foram propostas atividades

envolvendo a semelhança entre os triângulos; com os triângulos retângulos

trabalhamos as relações trigonométricas; com os discos de EVA acompanhados de

arames cortados nas medidas dos seus respectivos raios, estudamos as medidas

em radianos e com o dispositivo “ciclo trigonométrico” o objeto matemático que leva

esse nome.

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88  

 

Figura 32 - Objetos do ambiente experimental

Fonte: Nosso acervo.

4.2.3.1. O dispositivo “ciclo trigonométrico”  

Criamos esse dispositivo, para servir como uma extensão do giz e lousa,

durante as explicações que, como professor-pesquisador, tivemos que fazer sobre o

ciclo trigonométrico e a função seno. Para confeccioná-lo, usamos uma pequena

chapa de fibra de madeira medindo 26x26 cm, um disco de EVA com 20 de

diâmetro; reaproveitamos uma régua de madeira cujos números foram apagados

para uma gravação manual com os números decimais 0.3, 0.5, 0.7, 0.9.; recortamos

e dobramos 20 cm de arame; um cordão de algodão medindo aproximadamente 70

cm; dois suportes desmontáveis. Para construirmos esta peça nos inspiramos no

objeto matemático Ciclo Trigonométrico e procuramos materializar todos os

elementos desse objeto, que participam da definição do seno de um ângulo, quais

sejam, uma circunferência cujo raio passou a servir como unidade de comprimento e

um ponto de origem dos arcos orientados. O disco de EVA representa a

circunferência, o orifício em que aparece o cordão, a origem dos arcos, o cordão

cuja trajetória acompanha a curvatura da circunferência representa um arco

orientado ou a sua primeira determinação. As réguas de madeira representam os

eixos cartesianos com as coordenadas (a, b).

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89  

 

 

Figura 33 - O dispositivo “ciclo-trigonométrico” Fonte: Nosso acervo. Quando escrevemos alguns números decimais nesses eixos, nossa

preocupação não era a precisão da posição ou a quantidade dos números gravados,

e sim a ideia de identificarmos as coordenadas de um ponto , imagem da função

,  localizado na extremidade de um arco materializado pelo cordão. Nesse

equipamento, o arame que atravessa o centro da centro da circunferência (pode ser

movido manualmente como um ponteiro de relógio), foi colocado para materializar o

lado do ângulo formado pelo arco. Esse dispositivo é acompanhado por uma

pequena lanterna, que ao produzir um feixe de luz paralelo ao eixo horizontal,

ilumina a extremidade do cordão (arco e um ponto P), e materializa a projeção

ortogonal de um ponto do ciclo trigonométrico, sobre o eixo vertical, que surge como

uma sombra no eixo vertical, durante as explicações da definição da função seno,

conforme mostramos na figura 34. 

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90  

 

Figura 34 - O dispositivo “ciclo trigonométrico” e a projeção ortogonal de um ponto sobre o

eixo vertical. Fonte: Nosso acervo.

4.2.3.2. O programa Cabri-Géomètre II e o ambiente computacional

Em 1985, os pesquisadores Jean-Marie Laborde e Frank Ballemain, do

Instituto de Informática e Matemática da Universidade Joseh Fourier, em Grenoble,

na França, desenvolveram o programa computacional educativo Cabri-Géomètre

(abreviação da palavra francesa “cahier de brouillon intéractif”) especialmente para o

estudo da geometria plana. Trata-se de um software interativo, que possui

ferramentas capazes de construir na tela do computador, figuras dinâmicas

substituindo o lápis, o papel, a régua e o compasso. Essas figuras podem ser

deslocadas, ampliadas ou reduzidas, mas continuam preservando suas

propriedades. Com as ferramentas do Cabri-Géomètre, podemos dispor dos eixos

cartesianos, medir o comprimento de segmentos e arcos, medir ângulos, e transferir

o comprimento de um segmento para o outro, e até mesmo, transferir o comprimento

de um arco para um segmento. As construções dinâmicas desse programa

computacional podem facilitar o estudo dos teoremas da geometria euclidiana plana

e da trigonometria. Suas construções podem ser salvas em arquivos e revistas

passo a passo. Todos esses recursos a transformaram o programa computacional

Cabri-Géomètre II numa valiosa ferramenta educacional.

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91  

 

Durante nossas intervenções com os alunos, em cada assunto. sempre que

possível, procuramos alternar o material concreto e o programa computacional

Cabri-Géomètre II.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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92  

 

Capitulo 5

Relato das intervenções e análise dos resultados  

Este capítulo tem por objetivo a apresentação e análise dos testes iniciais e

finais, assim como das quatro intervenções que promovemos junto aos nove alunos

do curso de licenciatura, tendo como objetivo promover uma aprendizagem

significativa do conceito da função seno, usando materiais concretos e o programa

computacional dinâmico Cabri-Géomètre II.

Iniciamos esta seção com a apresentação do teste diagnóstico e os

resultados obtidos. Em seguida, faremos um relato analítico das quatro intervenções

que foram aplicadas no laboratório de informática. Encerramos com uma análise

sobre o teste final que aplicamos para avaliar o alcance de nossas atividades e

refletir sobre a nossa questão de pesquisa.

5. Apresentação do teste diagnóstico

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93  

 

Quadro 1 - Teste diagnóstico, questões 1 – 4.

 Fonte: nosso acervo.

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94  

 

Quadro 2 - Teste diagnóstico, questões 5 -6. 

Fonte: nosso acervo.

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95  

 

5.1.1. Resultado da aplicação do teste diagnóstico  

Conforme havíamos planejado, aplicamos o teste diagnóstico e com base nos

registros dos nove alunos. Lembramos os critérios estabelecidos para tornar nossa

avaliação qualitativa: substituímos a pontuação inicialmente definida numa escala de

0 a 10 por quatro classificações:

• Nenhuma noção (nn)....................................................... 0 a 2. • Alguma noção (an) ...........................................................3 a 5. • Entendimento parcial (ep) ................................................6 a 8. • Domínio do conceito (dc) ................................................9 a 10.

A partir dessas equivalências, construímos a seguinte tabela:

Tabela 2 - Desempenho dos nove alunos no teste diagnóstico.

Número das questões - conteúdo Número do aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1ª -

Relações trigonométricas no triângulo retângulo (cálculo do seno, cosseno e tangente) dc nn ep nn nn nn dc an nn

2ª - Rel.trig.triângulo retângulo (problema em uma situação real) an nn ep nn nn an nn nn nn

3ª -

Relações trigonométricas no triâng.retângulo + T.Pitágoras (cálculo do sen, cos e tg) nn nn an nn nn nn an nn nn

4ª -

a) Medidas em radianos (conversão) nn nn nn nn nn nn an an nn

b) Medidas em radianos (cálculo) nn nn nn nn an nn nn nn nn

c) Medidas em radianos (problema numa situação real) nn nn nn nn an nn nn nn nn

5ª -

Definição da função seno (identificação da variável independente e estudo no ciclo trigonométrico) an nn nn nn nn nn nn nn nn

6ª - Gráfico da função seno nn nn nn nn nn nn nn nn nn

Fonte: nosso acervo.

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96  

 

Com a tabela 2, observamos que os alunos de números 2 e 9, demonstraram

não ter nenhuma noção dos conceitos ligados á trigonometria (relações

trigonométricas no triângulo retângulo, medidas em radianos e a função seno).

O aluno nº4, não resolveu as questões de 1 a 5, mas conseguiu preencher

corretamente a tabela da 6ª questão, com os valores da função y = sen x. Este aluno

conhecia a correspondência das medidas em radianos dessa tabela, para as

medidas em graus, e chegou a usar sua calculadora científica para completá-la,

embora não tenha utilizado esses valores para traçar o gráfico do seno.

O aluno nº 7 acertou a 1ª questão, mostrando que conhecia as relações

trigonométricas no triângulo retângulo, mas na 2ª questão, com o problema da

escada encostada numa parede, não conseguiu esquematizar esta situação num

triângulo retângulo, desenhou um triângulo sem o ângulo reto, e, com o desenho

errado não enxergou a aplicação do seno de um dos ângulos. Na 6ª questão, apesar

de não ter preenchido a tabela para a construção do gráfico,ele escreveu

corretamente nessa folha, os valores dos senos e cosseno dos ângulos notáveis.

Os alunos nº1 e nº3 demonstraram conhecer as relações trigonométricas no

triângulo retângulo e a aplicação desse conceito numa situação real, acertando a 1ª

e a 2ª questão. Sobre a função seno na 5ª questão, o nº1 respondeu que a letra x da

função f “representa ordenada”, confundindo , que representa a

medida em radianos de um com a ordenada de um ponto , e o nº3

demonstrou total desconhecimento sobre esse conceito.

Nenhum dos alunos conseguiu traçar o gráfico da função seno, na sexta

questão.

Todos os erros e dificuldades encontrados nesse teste foram muito úteis para

a preparação da próxima etapa de nossa pesquisa. Tendo como metodologia o

Design Based Research, sabíamos que poderíamos reformular nossa primeira

intervenção. Assim, reescrevemos as atividades, modificando todas as situações de

modo a adequá-las aos sujeitos.

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97  

 

5.1.2. Primeira intervenção  

O objetivo principal foi trabalhar com as razões trigonométricas no triângulo

retângulo para torná-las conceitos relevantes e estáveis (subsunçores) na estrutura

cognitiva dos alunos, possibilitando uma aprendizagem significativa da definição da

função seno, como ordenada de um ponto P, situado na extremidade de um arco

AP, de medida . No quadro a seguir, temos um resumo das atividades

programadas.

Tabela 3 - Atividades da primeira intervenção. Sequência das atividades Temas Atividade 1

Semelhança de triângulos (medindo material concreto e relacionando lados+ Cabri)

Atividade 2

Relações trigonométricas no triângulo retângulo (descobrindo o seno com o Cabri)

Atividade 3

Construção de uma tabela com os Valores Notáveis do Seno (professor, lousa e giz, com as figuras do triângulo equilátero e do quadrado)

Resolução de problemas Usando a tabela atividade anterior.

Fonte: nosso acervo.

Esta intervenção foi aplicada ao longo de dois encontros, num tempo

aproximado de 90 minutos, nos dias 11 e 18 de maio de 2012. No primeiro encontro

compareceram sete alunos, correspondentes aos números 1, 2, 3, 4, 7, 8 e 9, e no

segundo encontro compareceram seis alunos (1, 2, 5, 6, 8 e 9). Em destaque,

reproduzimos a página que os alunos receberam para a primeira atividade desta

intervenção:

 

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98  

 

Quadro 3 - 1ª Int., at.1.

Fonte: nosso acervo.

Na 1ª parte dessa atividade, foram entregues jogos com triângulos escalenos

em EVA, conforme exibimos na figura a seguir:

 

Figura 35 - Triângulos escalenos semelhantes. Fonte: nosso acervo.

Nessa atividade os alunos trabalharam em duplas, um medindo e outro

anotando, mas cada um preencheu sua folha de participação. Durante as medições

com uma régua, um dos alunos queixou-se das dificuldades de se medir os

triângulos em EVA, por serem muito moles e se entortarem. Explicamos que não era

necessária muita precisão. O ideal seria que esses triângulos fossem recortados em

madeira compensada. Com exceção do aluno 5, que misturou as medidas em

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99  

 

centímetros e milímetros, todos conseguiram constatar a igualdade das razões que

havíamos proposto, respondendo às perguntas que formulamos. Em destaque, as

respostas do aluno 7:

Manuscrito 1 - Aluno 7, 1a.

Fonte: nosso acervo.

Seguindo as instruções da folha para o cálculo das razões ele escreveu:

Manuscrito 2 - Aluno 7, 1b.

Fonte: nosso acervo.

Depois de trabalhar com os triângulos escalenos, os alunos passaram para os

triângulos retângulos em EVA, e seguiram as instruções do texto:

Quadro 4 - 1ª int., at. 1, final da 1ª parte.

Fonte: nosso acervo.

Com exceção do aluno 9, todos os participantes mediram com uma régua, desenharam esses triângulos na folha e calcularam o seno do ângulo α. 

Como exemplo reproduzimos a figura do aluno 7.

 

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100  

 

Manuscrito 3 - Aluno 7, at.1.

Fonte: nosso acervo.

No final da primeira parte, explicamos aos alunos que estávamos trabalhando

com a comparação os lados dos triângulos maiores e menores, para identificarmos

diretamente a proporcionalidade entre os comprimentos dos lados desses triângulos

semelhantes (AAA). Destacamos que o principal objetivo dessa atividade era

relacionar as medidas dos lados de um mesmo triângulo, para que os alunos

descobrissem, e confirmassem, com triângulos retângulos semelhantes, que essa

relação entre os lados, a razão . para o mesmo ângulo α, é sempre uma constante

que tem um nome: seno do ângulo α.

Na 2ª parte desta atividade, os alunos começaram a trabalhar no contexto do

computador. Como o objetivo era reforçar a ideia de semelhança de triângulos,

pedimos que tratassem da figura no Cabri da mesma forma que lidaram com os

triângulos retângulos em material concreto.

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101  

 

Quadro 5 - 1ª int., at. 1, início da 2ª parte.

Fonte: nosso acervo.

Não exigimos nenhuma medida para o triângulo . Oito alunos

conseguiram construir esses triângulos, medir todos os lados, e usar a calculadora

do Cabri. Apenas o aluno 5 teve muitas dificuldades com as ferramentas desse

software, e não participou dessa construção, desculpando-se, afirmando que não

possuía um computador . Após esta tarefa com o Cabri, para justificar a

semelhança desses triângulos, os alunos 2 e 5, não escreveram nada nessa folha;

os alunos 1 e 9 responderam que os triângulos tinham a mesma medida; o aluno 6,

justificou com as palavras: “sim, porque os ângulos são iguais”; o aluno 8 escreveu:

“em qualquer um dos triângulos retângulos ao dividirmos co/ca (a medida do cateto

oposto pela medida do cateto adjacente) ou co/hip, sempre teremos medidas iguais,

porque eles são triângulos semelhantes seus ângulos são iguais”. Apenas o aluno 7

percebeu que a semelhança de triângulos também ocorre devido a

proporcionalidade de seus lados, conforme ele tentou explicar:

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102  

 

Manuscrito 4- Aluno 7, at.1a.

Fonte: nosso acervo.

Após todas as atividades com o Cabri, pedimos que os alunos respondessem

às perguntas que formulamos, antes de explicarmos as respostas corretas, porque

nossa intenção era conduzir o raciocínio desses alunos com essas perguntas, e

verificar se a construção das figuras com o Cabri influiu nos seus entendimentos.

Quadro 6 - 1ª int., at. 2, início.

Fonte: nosso acervo.

Nessa atividade com o Cabri, dos seis alunos presentes, somente o aluno 5

se negou a utilizá-lo. Mesmo com a nossa ajuda, preferiu acompanhar um colega e

não preencher a sua folha; o aluno 1, confundiu a nossa proposta, e calculou o seno

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103  

 

e o cosseno no mesmo triângulo, obtendo os resultados 0,57 e 0,82; os alunos 2, 6,

8 e 9, completaram esta atividade conforme mostra a tela do Cabri do aluno 8:

Tela 1 - Aluno 8 calculando o seno de Â.

Fonte: nosso acervo. Em destaque, as respostas do aluno 8:

Manuscrito 5 - Aluno 8, at.2.

Fonte: nosso acervo.

Como pesquisador, nesta atividade registramos o entusiasmo desses alunos

ao descobrirem a praticidade do software Cabri, que, em poucos minutos, lhes

permitiu desenhar, medir e calcular com precisão, sem a necessidade de digitar os

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104  

 

números, pois bastava clicar sobre as medidas que a calculadora reconhecia e

dividia.

No item c, pedimos que, com o mouse, deslocassem o segmento DE, e,

novamente, calculassem a razão: cateto oposto α/hipotenusa. Em seguida,

formulamos as perguntas para conduzir o raciocínio dos alunos:  

Quadro 7 - 1ª int., at. 2, final.

Fonte: nosso acervo.

Seguem as respostas do aluno 9, que no item “c” coincidiu com as dos outros

alunos:

Page 105: UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA UNIBAN/SP

105  

 

Manuscrito 6 - Aluno 9, at.2.

Fonte: nosso acervo.

.

No item c, verificamos que nenhum dos alunos respondeu que não

dependia; devido à semelhança entre esses triângulos, seus lados são proporcionais

e as razões entre os catetos opostos e suas respectivas hipotenusas são as

mesmas.

Antes de iniciarmos a atividade 3, cumprindo as funções de professor

aplicador, desenhamos na lousa um triângulo retângulo de medidas 3, 4 e 5

unidades, e calculamos as razões seno, cosseno e tangente dos dois ângulos

agudos.

Page 106: UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA UNIBAN/SP

106  

 

Quadro 8 - 1ª int., at. 3, problema 1.

Fonte: nosso acervo.

Incluímos as razões trigonométricas com os ângulos notáveis, para evitar que

esses alunos aprendessem mecanicamente, ou seja, que decorassem esses

valores, sem que ocorresse uma interação entre essas razões (a experiência de

terem calculado o seno e o cosseno desses ângulos, numa figura geométrica), nas

suas estruturas cognitivas.

Durante esta atividade, anotamos em nosso diário de bordo, as seguintes

observações: no triângulo equilátero, os alunos confundiram a letra “l” (ele

minúscula) com o número um; os alunos não perceberam que deveriam a aplicar do

teorema de Pitágoras para o cálculo do cateto cuja medida desconheciam

(correspondente a altura do triângulo equilátero); eles também não souberam fazer

as passagens algébricas, e racionalizar as frações. Toda essa situação nos fez

refletir sobre a inclusão do teorema de Pitágoras entre os conceitos subsunçores a

serem trabalhados. Como nenhum dos participantes conseguiu resolver o problema

1 do quadro 8, assumimos o papel de professor da pesquisa, e explicamos

Page 107: UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA UNIBAN/SP

107  

 

detalhadamente cada passo, na lousa. O mesmo ocorreu em relação ao segundo

problema do quadro 9.

Encerramos esta intervenção com os seguintes problemas:

Fonte: nosso acervo.

Dentre os seis alunos que participaram desse encontro, os de números 1, 6 e

8, resolveram corretamente a primeira questão (quadro 9), calculando a altura do

topo da escada em 3,4 metros. Nenhum dos alunos conseguiu fazer a segunda e a

terceira questão.

Para um retrospecto geral desta primeira intervenção, consideramos que a

maioria dos alunos (oito em nove) percebeu que a semelhança de triângulos se

traduz com a proporcionalidade dos lados desses triângulos, e que a razão entre o

cateto aposto a um ângulo e a hipotenusa (seno) é sempre a mesma quando

consideramos um determinado ângulo em triângulos retângulos semelhantes.

Contudo, nenhum dos alunos conseguiu calcular as razões trigonométricas dos

ângulos notáveis por não saberem aplicar o teorema de Pitágoras e pelas

dificuldades que encontraram nos tratamentos algébricos e racionalização de

frações. Também verificamos que três, dentre os seis alunos que participavam da

última atividade, resolveram apenas um problema (o mais simples que não exigia o

conhecimento do teorema de Pitágoras) dos três que propusemos para uma

Quadro 9 - 1ª int., at. 3, problemas de aplicação do seno.

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108  

 

contextualização e aplicação das razões trigonométricas. Sob a ótica da teoria de

Ausubel, para uma aplicação dos conceitos tratados nessas atividades, faltou nas

estruturas cognitivas desses alunos o conceito subsunçor Teorema de Pitágoras

(que não incluímos nessas atividades), e à luz da Teoria dos Registros de

Representações Semióticas, de Duval, teriam que superar as dificuldades que se

concentram no tratamento dos sistemas algébricos e numéricos (racionalização), e

na conversão do registro de representação semiótica da língua materna do

enunciado dos problemas para o registro nas figuras geométricas.

5.1.3. Segunda Intervenção

O objetivo principal era permitir que a medida em radianos se transformasse

num dos conceitos subsunçores para uma futura aprendizagem significativa da

função seno, na transição que estamos trilhando entre a trigonometria no triângulo

retângulo e as funções trigonométricas. Essa intervenção foi totalmente aplicada no

encontro do dia 25/05/2012, com a presença dos alunos 1, 3, 5 e 8.

Tabela 4 - Atividades da segunda intervenção. Sequência das atividades Temas Atividade 1

Unidade de medida padrão (Cabri)

Atividade 2

Conceito de ângulo e distinguir num ângulo central, o maior e o menor. (Cabri)

Atividade 3

Medidas em radianos (material concreto)

Atividade 4

Comparar as medidas em radianos Nos círculos maiores e menores, (Cabri)

Atividade 5

O número π (Cabri)

Atividade 6

Conversão de graus em radianos. (lápis e papel)

Fonte: nosso acervo.

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109  

 

Como tínhamos pouco tempo para muitas atividades, decidimos não aplicar

as duas primeiras, e começar pela terceira. Assim, após uma breve explicação sobre

a adoção de um padrão de medida para medir segmentos de retas, e um rápido

comentário sobre a definição de um ângulo iniciamos com a atividade 3: Nos

anexos desta dissertação, encontram-se as duas primeiras intervenções que

deixamos de aplicar.

Começamos a segunda intervenção pela atividade 3:

 Quadro 10 - 2ª int., at. 3. 

Fonte: nosso acervo.

Para essa atividade, cada um dos alunos recebeu um disco em EVA,

acompanhado de um pedaço de arame flexível na medida do raio, e uma fita

Page 110: UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA UNIBAN/SP

110  

 

métrica. O arame tinha que ser flexível para mostrarmos que, com a medida do raio

(numa reta), teríamos que medir o comprimento de um arco (uma curva).

Em destaque, as respostas do aluno 3:

Manuscrito 7 - Aluno 3, at.3.

Fonte: nosso acervo.

Como podemos ver nas respostas do aluno, ele acertou ao calcular as

medidas dos arcos em radianos, e respondeu que “as medidas em radianos são

proporcionais”, omitindo as palavras “à medida do raio”.

Durante as medições da atividade 3, com o material concreto discos de EVA,

devido às pequenas dimensões desses discos, pedimos aos alunos que

arredondassem os números decimais, desprezando os décimos de milímetros.

O aluno 3, registrou a medida do arco AD (semicírculo) como sendo de 24,6

cm, que resultou numa medida de 3 u.m.. Com um disco de raio medindo 10,4 cm, o

aluno 8 também acertou suas respostas, usando as mesmas palavras do aluno 3.

Os alunos 1 e 5, não conseguiram responder porque não entenderam as perguntas.

Antes do início da próxima atividade, explicamos como construir e como

medir o comprimento de um arco na tela do Cabri, para que, em seguida,

construíssem dois círculos concêntricos, conforme a figura 5 da atividade 4:

 

Page 111: UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA UNIBAN/SP

111  

 

Quadro 11 - 2ª int., at. 4.

Fonte: nosso acervo.

O aluno 8 fez as divisões de forma correta, com as circunferência que havia

construído, mas não respondeu a nossa pergunta. Apenas o aluno 3 completou esta

parte, vejamos suas respostas: Manuscrito 8 - Aluno 8, at.4.

Fonte: nosso acervo.

Page 112: UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA UNIBAN/SP

112  

 

O aluno 3 errou ao responder “Sim...”, a resposta que esperávamos era:

- Não, porque para um mesmo ângulo central, a razão entre o comprimento de um

arco e o respectivo raio sempre será o mesmo, independente da medida do raio. Daí

a validade das medidas em radianos.

Nesta atividade, os alunos 1 e 5 nada responderam. O aluno 5 chegou a

escrever A/B = 0.16 , mas interrompeu o registro sem qualquer explicação.

Passamos para a próxima atividade, na qual nosso objetivo era fazer com que

os alunos, nesta interação com o Cabri, redescobrissem o número π.

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113  

 

Quadro 12 - 2ª int., at. 5.

Fonte: nosso acervo.

Na figura a seguir, reproduzimos o trabalho dos alunos com o Cabri.

 

Tela 2 - Redescobrindo o número π.

Os alunos 3 e 8, responderam corretamente as perguntas da atividade 5

A seguir, a atividade 6:

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114  

 

Quadro 13- 2ª int., at. 6.

Manuscrito 9 - Aluno 3, at.6.

Fonte: nosso acervo.

Exibimos acima a resposta do aluno 3. Os alunos 3,5 e 8 preencheram

corretamente a tabela de conversão, e usando a regra de três, que incluímos neste

texto.

Para verificar o entendimento dos alunos, no que se refere às medidas em

radianos, propusemos três problemas:

 

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115  

 

Quadro 14 - 2ª int., problemas sobre as medidas em radianos.

Fonte: nosso acervo.

Os alunos 3 e 8, acertaram as respostas dos problemas a e b, conforme

mostramos a seguir: Manuscrito 10 - Aluno 3, at.6.

Fonte: nosso acervo.

No item c, o aluno 8 errou nos cálculos com os números decimais. Observamos que

a calculadora que esse aluno estava usando sempre separava, na tela, os números

de três em três dígitos com um ponto. Provavelmente esse aluno confundiu esse

ponto com uma vírgula, sem perceber que o valor de 2,889 era incompatível com o

raio de 460 metros:

 

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116  

 

Manuscrito 11 - Aluno 8, at.6.

Fonte: nosso acervo.

Ao final desta intervenção, considerando que dois dos quatro alunos

presentes tiveram um bom desempenho, não podemos avaliar a adequação das

atividades que planejamos para as medidas em radianos para o tratamento desse

conceito. Os recursos do programa educacional Cabri complementaram o material

concreto, conduzindo o raciocínio desses alunos. Ao final de cada atividade com o

Cabri, a motivação desses alunos aumentava. Constatamos isso durante a atividade

4, quando eles mediram o comprimento dos arcos e usaram a calculadora desse

aplicativo, encontrando as medidas em radianos. Lamentamos que, nesse encontro,

estavam presentes apenas quatro dos nove alunos que aceitaram participar de

nossa pesquisa.

5.1.4. Terceira intervenção  

O principal objetivo da terceira intervenção era o estudo do objeto matemático

ciclo trigonométrico e a apresentação da “roda-gigante”, um organizador prévio para

a introdução da função periódica seno.

Tabela 5 - Atividades da terceira intervenção Sequência das atividades Temas Atividade 1

Coordenadas dos pontos do ciclo trigonométrico. (Cabri)

Atividade 2

Construção do gráfico de uma função periódica. (Cabri)

Fonte: nosso acervo.

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117  

 

Realizamos esta intervenção, nos dias 01/06/2012 e 22/06/2012. Participaram

do primeiro encontro, os alunos 2, 3, 4 e 7, e do segundo encontro, os aluno 5 e 8.

Iniciamos esta intervenção com uma exposição, com o objetivo de

proporcionarmos aos alunos uma aprendizagem por recepção (na classificação da

teoria da aprendizagem significativa de Ausubel, quando “o que deve ser aprendido,

é apresentado ao aprendiz em sua forma final”, conforme Moreira (2006, p.17). Para

as explicações, recorremos ao dispositivo que criamos: “ciclo trigonométrico”, e, com

esse material, apresentamos aos alunos o objeto matemático ciclo trigonométrico.

Manuseamos esta peça, como uma extensão da lousa e giz, e aproveitamos a

oportunidade para falar sobre as medidas em radianos, os eixos cartesianos, os

quatro quadrantes, o círculo orientado, o ângulo central, os lados de um ângulo e

primeira determinação de um arco. Enquanto mostrávamos o cordão que

representava um arco, ouvimos o comentário do aluno 3, afirmando que a partir

daquele instante, passava a entender a medida 3,14 rd.

Numa segunda etapa, explicamos com o Cabri e um projetor de imagens, os

passos para a construção de um círculo de raio unitário. Na sequência, colocamos

um ponto no primeiro quadrante desse círculo. Com essa figura, repetimos as

explicações que havíamos feito anteriormente, e ativamos a ferramenta

“coordenadas”, mostrando que ao movimentar esse ponto, o programa dinâmico

atualizava imediatamente as coordenadas. O entusiasmo desses alunos naquele

momento, nos mostrou que o ato da construção dessa figura dinâmica, pode

contribuir para uma aprendizagem significativa, graças à motivação que provoca.

Nessa oportunidade, estávamos ansiosos para saber se esses alunos conseguiram

perceber com a figura dinâmica do Cabri, a genialidade de Euler, na criação do ciclo

trigonométrico, que possibilitou a aplicação do Teorema de Pitágoras nas

coordenadas dos pontos situados nesse ciclo.

Preparamos a atividade 1 para permitir que os alunos realizassem uma

redescoberta, usando as coordenadas dos pontos situados ao longo do ciclo

trigonométrico. Para representar o círculo unitário, orientado e com a origem no

ponto A, adotamos o símbolo S1, que encontramos no livro “Trigonometria números

complexos” de Carmo, Morgado e Wagner. Vejamos como foi proposta essa

atividade:

Page 118: UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA UNIBAN/SP

118  

 

Quadro 15 - 3ª int., at.1.

Fonte: nosso acervo.

Depois dessa apresentação, seguimos com as instruções:

Quadro 16 - 3ª int., at.1

Fonte: nosso acervo.

Os quatro alunos presentes no dia 1º de junho de 2012, realizaram com

sucesso essa tarefa. Vejamos as respostas e os comentários do aluno 3, idênticos

ao do aluno 7:

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119  

 

Manuscrito 12 - Aluno 3, int. 3, at.6.

Fonte: nosso acervo.

Respostas do aluno 4:

Manuscrito 13 - Aluno 4, int. 3, at.6.

Fonte: nosso acervo.

Do Aluno 3

Manuscrito 14 - Aluno 3, int. 3, at.6.

Antes da aplicação da próxima atividade, pedimos a todos que fizessem uma

leitura no seguinte texto:

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120  

 

Quadro 17 - 3ª int., at.1, leitura: definição de uma função periódica.

Fonte: nosso acervo.

Preparamos a atividade 2, adaptando uma contextualização do livro

“Functions Modeling Change: a preparation for calculus”, dos autores Connally,

Gleason, Hughes-Hallet et al, sobre a maior roda-gigante do mundo, construída às

margens do rio Thames, em Londres, que tem 500 pés de altura, com capacidade

para transportar 1400 passageiros em 60 cápsulas, numa volta que dura 20 minutos.

Ao escolhermos essa contextualização, nossa intenção foi prover a estrutura

cognitiva dos alunos, sujeitos de nossa pesquisa, com um organizador prévio para a

introdução de uma função periódica, e ao mesmo tempo propor uma situação em

que ocorrem duas conversões de registros de representações semiótica (quando o

aluno constrói uma tabela com base num enunciado, e quando, a partir dessa

tabela, faz um gráfico). De acordo com a teoria cognitiva dos registros de

representação semiótica de Duval, a conversão de registros, se constitui numa das

dificuldades na aprendizagem dessa disciplina,  e para ele “a compreensão em

matemática implica a capacidade de mudar de registro” (Duval, 2008, p.21).

Page 121: UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA UNIBAN/SP

121  

 

Quadro 18 - 3ª int., at. 2.

Fonte: nosso acervo.

Junto ao texto dessa atividade, entregamos um arquivo pronto e ajudamos os

alunos na construção dessa figura que criamos, contendo a nossa roda-gigante,

construída com a geometria dinâmica do Cabri, preparada para que fosse possível

medir a altura de um ponto situado no círculo, em intervalos de 5 minutos, e exibir do

lado esquerdo da figura, acima da palavra altímetro, uma medida em centímetros,

que variava no intervalo de 1 a 9 cm. O ponto do círculo que representava a

posição de um passageiro, podia ser manipulado pelos alunos com a ferramenta

“ponteiro”. Vejamos a continuação dessas instruções:

Page 122: UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA UNIBAN/SP

122  

 

Quadro 19 - 3ª int., at. 2, tabela.

Fonte: nosso acervo.

Seguem as respostas do aluno 7.

Manuscrito 15 - Aluno 7, 3ª int., at.2.

 

Fonte: nosso acervo.

Esse aluno não arredondou as medidas que viu no “altímetro". Os outros

alunos anotaram as medidas conforme as anotações do aluno 4, abaixo:

Manuscrito 16 - Aluno 4, 3ª int., at.2.

Fonte: nosso acervo.

Page 123: UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA UNIBAN/SP

123  

 

Vejamos o gráfico que o aluno 7 construiu a partir de sua tabela:

Manuscrito 17 - Aluno 7, 3ª int., gráfico.

Fonte: nosso acervo.

Do aluno 4

Manuscrito 18 - Aluno 4, 3ª int., gráfico.

Fonte: nosso acervo.

Os alunos 2 e 3 também construíram suas tabelas e seus gráficos, da

mesma forma que estes que acabamos de mostrar, e no final perguntamos:

Page 124: UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA UNIBAN/SP

124  

 

Quadro 20 - 3ª int., at. 2, final.

Todos concordaram que se tratava de uma função periódica, cujo período era

de 60 minutos. Nesta resposta o aluno 4 acrescentou: “concluí que em uma roda

gigante obtemos uma função de seno”.

No dia 22/06/2012, como compareceram apenas os alunos 5 e 8, fizemos

uma revisão das atividades anteriores e em seguida, repetimos tudo o que havíamos

feito com a 3ª intervenção. Os dois alunos participaram com entusiasmo, embora o

aluno 5, como das vezes anteriores, se limitasse a assistir sem usar o computador.

Ao final das atividades da 3ª intervenção, em vista dos bons resultados

apresentados pelos alunos, consideramos que o objetivo de submeter os alunos a

um organizador prévio para a introdução da função periódica seno, foi atingido. A

interação entre esses alunos e o computador foi excelente, pois a figura da

geometria dinâmica funcionou como um prático dispositivo para a construção dessa

tabela. Nossas atividades se mostraram eficientes e adequadas para esta

intervenção.

5.1.5. Quarta intervenção

O principal objetivo desta intervenção foi promover uma aprendizagem

significativa da função seno, com a construção do gráfico do seno.

Para explicar as etapas da divisão do ciclo trigonométrico em arcos de 30º, e

a construção do gráfico do seno com o software Cabri, essenciais para a quarta e

ultima intervenção, na semana anterior, comparecemos na sala de aula com o

projetor multimídia. Aproveitamos a oportunidade para reapresentar o nosso

dispositivo “ciclo trigonométrico”. Nesse dia estavam presentes os alunos 1, 2, 3, 4,

6, 7, 8.

Page 125: UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA UNIBAN/SP

125  

 

O intervalo entre a terceira e a quarta intervenção foi de dois meses e meio.

No segundo semestre, tivemos muitas dificuldades em combinar com os alunos a

continuação de nossa pesquisa. A quarta intervenção se deu em dois encontros, o

primeiro no dia 10/09/2012 com a participação dos alunos número 2, 3, 4, 7, 8 e 9, e

o segundo, após um intervalo de quase dois meses, no dia 05/11/2012, com a

participação dos alunos 2, 3, 4, 6, 7, 8 e 9.

Tabela 6 - Atividades da quarta intervenção Sequência das atividades Temas

Atividade 1

Validar os valores do seno e do cosseno, determinados pelas coordenadas cartesianas dos pontos do ciclo trigonométrico. (Cabri + calculadora científica)

Atividade 2

Definição do seno e a 1ª Relação Fundamental da Trigonometria. (Dispositivo ciclo + Cabri)

Atividade 3

Gráfico da função seno. (Cabri + papel milimetrado)

Atividade 4

Gráfico da função seno. (Cabri)

Fonte: nosso acervo.

Antes do início dessas atividades, desempenhando o papel de professor,

desenhamos na lousa, um ciclo trigonométrico com um ponto no primeiro quadrante,

e lembramos que com os eixos cartesianos, todos os pontos do círculo

trigonométrico poderiam ser identificados e localizados pelas suas coordenadas. Em

seguida entregamos aos alunos as instruções para a primeira atividade desta

intervenção:

Page 126: UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA UNIBAN/SP

126  

 

Quadro 21- 4ª int., at. 1.

Fonte: nosso acervo.

Com um projetor multimídia, orientamos os alunos na construção da figura

ciclo trigonométrico, com o ponto P e suas cordenadas.

A seguir, a tela do Cabri com a construção do aluno 2:

Page 127: UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA UNIBAN/SP

127  

 

 

Tela 3 - Aluno 2 na construção do Ciclo Trigonométrico Fonte: nosso acervo.

Com as coordenadas do Cabri II, o aluno 2 calculou as razões

trigonométricas do triângulo OPP’ no primeiro quadrante.:

Manuscrito 19 - Aluno 2, 4ª int. at.1.

Fonte: nosso acervo.

Conforme podemos ver, ele entendeu a nossa proposta inicial, acertou nas

respostas para o seno, o cosseno e a tangente, mas em seguida, ao invés de medir

o ângulo com o Cabri, errou ao confundir o seno com a tangente. Verificamos que os

alunos 7 e 9 entenderam a nossa proposta, e calcularam corretamente as razões

trigonométricas do ângulo que cada um construiu. Os alunos 3 e 4 se limitaram ao

valor do seno e os alunos 6 e 8 nada responderam.

Nesta atividade, dos sete alunos apenas dois responderam corretamente,

validando a passagem das relações trigonométricas do triângulo retângulo para o

primeiro quadrante do ciclo trigonométrico, com o Cabri e uma calculadora científica.

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128  

 

Antes da segunda atividade, pedimos que aos alunos que fizessem a leitura

do seguinte texto:

Quadro 22 - 4ª int., leitura: definição de seno.

Fonte: nosso acervo.

Como professor, reapresentamos nosso dispositivo “ciclo trigonométrico”

acompanhado de uma lanterna. A esse material concreto, associamos a imagem

correspondente à função, no ponto P, suas coordenadas, as projeções ortogonais

nos eixos, a medida de um arco e o significado da primeira determinação, enfim,

explicamos a definição da função seno, por intermédio de uma aprendizagem por

recepção, e estabelecer a ligação entre o concreto e o virtual. Terminada nossa

reapresentação, passamos para a atividade 2:

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129  

 

Quadro 23 - 4ª int., at. 2.

Fonte: nosso acervo.

Para uma aplicação dessa relação, propomos uma questão::

Quadro 24 - 4ª int., at. 2, questão.

Fonte: nosso acervo.

Por uma falha nossa redigimos e entregamos aos alunos, uma cópia da

atividade 2 com a palavra “sen2” , onde omitimos a letra . Como consequência, os

alunos responderam repetindo o nosso erro. Dos seis alunos que participaram desta

atividade, apenas os alunos 4 e 7, conseguiram escrever corretamente a primeira

Page 130: UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA UNIBAN/SP

130  

 

relação fundamental da trigonometria, e resolver o problema que finalizava essa

atividade. Manuscrito 20 - Aluno 4, 4ª int. at.2.

Fonte: nosso acervo.

Ainda na atividade 2, destacamos a resposta do aluno 2: Manuscrito 21 - Aluno 2, 4ª int. at.2.

Fonte: nosso acervo.

Nesta resolução, notamos que na terceira linha, ele escreveu 0,69 no lugar de

0,64 e fora do radicando, em seguida omitiu o sinal de igual escrevendo e

completou a questão com a expressão , enfim, com tantos equívocos, de

alguma forma ele chegou à resposta certa. Este fato nos chamou a atenção para as

dificuldades desses alunos em lidar com as expressões algébricas. O aluno 9

também cometeu erros dessa natureza. Segundo a teoria dos Registros de

Representação Semiótica de Duval, a compreensão em matemática, está associada

à coordenação entre os registros de representação. Nesse caso, como aconteceu

dentro dos registros da escrita algébrica, pode ser classificado como um erro no

“tratamento” da escrita algébrica. Na atividade 2, os alunos 6 e 8, nada

responderam.

Terminada a atividade 2, explicamos detalhadamente como dividir um circulo

em intervalos de , e como construir um arco que tinha como início o ponto A

(1,0), com o Cabri II e um projetor multi-mídia, para que todos pudessem reproduzir

a figura 4 da próxima atividade.

Page 131: UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA UNIBAN/SP

131  

 

Quadro 25 - 4ª int., at. 3.

Fonte: nosso acervo.

Os alunos trabalharam em duplas, na construção da figura 4, Que continha

um círculo demarcado com doze pontos em intervalos de 30º. Esses pontos

serviram de referência para o comprimento dos arcos, exigidos pela tabela 1. A

figura 4 se transformou num dispositivo para mostrar o valor da função seno nos

intervalos demarcados da seguinte forma: a partir do ponto A, os alunos (com o

mouse que controlava a ferramenta “ponteiro”) iam variando o comprimento dos

arcos, e anotando a novo valor do seno (ordenada) na tabela 1.

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132  

 

 

Tela 4 - Aluno 8, verificando o seno de 210º. Fonte: nosso acervo.

Na sequencia, exibimos a tabela construída pelo aluno 8. Todos preencheram

corretamente essa tabela, mas apenas os alunos 4 e 7 traçaram o gráfico com

perfeição, conforme reproduzimos a seguir:

 Manuscrito 22- Aluno 8, 4ª int., tabela.

Fonte: nosso acervo.

Page 133: UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA UNIBAN/SP

133  

 

Manuscrito 23 - Alunos 4 e 7, gráfico da função seno.

Fonte: nosso acervo.

As duplas formadas pelos alunos 3 e 9, e, 6 e 2 , assim como o aluno 8, que

trabalhou individualmente, erraram de forma idêntica na construção dos gráficos,

cometendo os mesmos erros (deixaram de associar os valores da tabela com as

coordenadas dos pontos no gráfico), ignorando a tabela que eles haviam construído,

conforme podemos ver no exemplo do aluno 8: Manuscrito 24 - Aluno 8, gráfico da função seno.

Fonte: nosso acervo.

Page 134: UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA UNIBAN/SP

134  

 

Nesta atividade para a construção do gráfico, verificamos que apenas dois

entre os sete alunos, entenderam que, nos dados da tabela, estavam as

coordenadas dos pontos para traçarem o gráfico. Lembramos que havíamos

fornecido aos alunos, o papel quadriculado com os eixos já traçados e com alguns

pontos do eixo horizontal, identificados com as medidas em radianos. Também

lembramos que numa intervenção anterior para a construção do gráfico da “roda-

gigante”, todos traçaram seus gráficos corretamente. Nessa ocasião a variável

independente do eixo horizontal, eram os minutos, e a tabela associava o tempo em

minutos com a altura da roda-gigante em centímetros.

A última atividade foi reservada para a construção do gráfico da função seno,

usando os recursos do Cabri, sem apelarmos para a ferramenta “lugar geométrico”

desse software, que traça automaticamente esses gráficos. Na ocasião explicamos

aos alunos que o “lugar geométrico” do Cabri II, facilitava o traçado do gráfico das

funções trigonométricas, mas não exigia o conhecimento das etapas dessas

construções.

Vejamos como foi proposta essa atividade:

Quadro 26 - 4ª int., at. 4.

Fonte: nosso acervo.

Na Tela 5, mostramos parte dessa construção, com as ferramentas

“Transferência de medidas” e “Rastro”. Nesse momento, o aluno deslocava com o

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135  

 

“mouse”, a extremidade do arco no terceiro quadrante, e via surgir na tela esse

gráfico:

Tela 5 - A construção da senoide pelos alunos

Fonte: nosso acervo.

Com a nossa ajuda, os sete alunos presentes conseguiram traçar uma

senoide, conforme havíamos planejado. “Observamos o interesse e a surpresa

desses alunos ao descobrirem como funcionava a ferramenta ‘transferência de

medidas”, que transferia as medidas de um arco no ciclo trigonométrico, para a reta

horizontal do sistema de coordenadas cartesianas (ponto crucial da definição da

função , em que é um número real que representa as medidas em radianos

de um arco).

No anexo desta dissertação, encontra-se em um CD com os arquivos (Cabri-

Géomètre II) dessa construção. Para se rever as etapas de construção de qualquer

figura desse CD, basta clicar em “Editar”, e escolher a opção “Rever construção”.

Com os resultados das questões dessa última intervenção, verificamos que

três dos sete alunos participantes, não perceberam que a relação fundamental da

trigonometria: tiveram como base a combinação das razões

trigonométricas no triângulo retângulo com o Teorema de Pitágoras no ciclo

trigonométrico. Vimos que sete alunos preencheram corretamente a tabela da

função seno com os dados da figura dinâmica do Cabri, mas apenas dois desses

alunos conseguiram desenhar o gráfico dessa função corretamente, fazendo

corresponder as coordenadas fornecidas pela tabela com os pontos do sistema

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136  

 

cartesiano. À luz da teoria dos registros de representações semióticas de Duval,

cinco desses alunos não realizaram a conversão do sistema escrito da tabela, para

o gráfico cartesiano. Na semântica dessa teoria, para a construção desse gráfico,

faltou a coordenação entre essas representações semióticas da matemática, o que,

segundo Duval, significa que esses alunos não compreenderam o objeto matemático

em questão. Analisando este episódio com a teoria de Ausubel, a aprendizagem

para a construção do gráfico do seno, não foi significativa porque na estrutura

cognitiva desses cinco alunos, faltaram os conceitos subsunçores relativos às

medidas em radianos, (lembramos que alguns desses alunos haviam participado da

construção do gráfico da “roda-gigante”, quando a variável independente era o

tempo em minutos), e as noções da geometria analítica que orientam a construção

do gráfico de uma função, a partir de uma tabela que contenha as coordenadas.

Nos nossos registros, consta que no dia 01/06/2012, os alunos de números 2, 3, 4

e 7 conseguiram construir o gráfico da “roda-gigante”. O encontro da construção do

gráfico do seno aconteceu no dia 05/11/2012, com a presença dos alunos 2, 3, 4, 6,

7, 8 e 9. O intervalo entre esses eventos foi de 126 dias. Acreditamos que a

frequência irregular desses alunos, e esse grande intervalo de tempo, tenham

contribuído para o esquecimento de alguns conceitos.

Considerando o desempenho dos alunos nessa última intervenção, o nosso

objetivo principal de promover uma aprendizagem significativa da função seno, não

foi totalmente atingido, mas temos que registrar um importante aproveitamento, visto

que todos conseguiram construir a tabela do seno e dois desses alunos perceberam

a consequência do Teorema de Pitágoras na primeira relação fundamental da

trigonometria (sen2x + cos2x = 1), e construíram o gráfico da função seno com perfeição.

 

5.2. Apresentação do teste final

Terminadas as quatro intervenções, aplicamos o teste final aos oito alunos.

Lembramos que no teste diagnostico haviam participado nove alunos. Neste evento,

a única ausência foi a do aluno 5, que deixou de comparecer as encontros, devido

as suas dificuldades no manuseio do computador.

 

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137  

 

Quadro 27 - Teste final, questões 1-2.

Fonte: nosso acervo.

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138  

 

Quadro 28 - Teste final, questões 3-5.

Fonte: nosso acervo.

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139  

 

Quadro 29 - Teste final, 6ª questão.

Fonte: nosso acervo.

A nossa pergunta b, estava mal formulada, visto que deixamos de escrever

.

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140  

 

Quadro 30 - Teste final, questões 7- 8.

 

Fonte: nosso acervo.  

5.2.1. Resultados do teste final  

Construímos essa tabela transportando os dados do teste diagnóstico e

agrupando as questões do teste final, nos conceitos da trigonometria no triângulo

retângulo, nas medidas em radianos e na função seno. Desta forma tornamos

possível a comparação entre esses dois testes.

O critério de avaliação do teste final foi o mesmo que usamos no inicial, onde

“nn” representa nenhuma noção, “an” corresponde alguma noção, “ep” significa

entendimento parcial e “dc” representa domínio do conceito. Incluímos nessa tabela,

a frequência de cada aluno (a quantidade de encontros que eles compareceram, no

total de nove). Vejamos a tabela 3:

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141  

 

Tabela 7 - Comparação do teste diagnóstico com o teste final. Aluno Freq. Conceitos Teste diagnóstico Teste final Progresso observado

1 6

• Relações trigonométricas no triângulo retângulo. an an

Construiu a tabela da função seno. • Medidas em radianos nn nn

• Função seno an an

2 7

• Relações trigonométricas no triângulo retângulo. nn an Aplicou a razão seno.

Reconheceu a. validade nos pontos P de S1 : P(a,b) → a2+b2=1 Construiu a tabela e esboçou o gráfico da função seno (sem ident. as med. no eixo horizontal)

• Medidas em radianos nn nn

• Função seno nn an

3 6

• Relações trigonométricas no triângulo retângulo. an an

• Medidas em radianos nn nn

• Função seno nn an

4 5

• Relações trigonométricas no triângulo retângulo. nn an Construiu a tabela e esboçou o gráfico

da função seno.(sem ident. as med. no eixo horizontal) Reconheceu a. validade nos pontos P de S1 : P(a,b) → a2+b2=1

• Medidas em radianos nn nn

• Função seno nn an

5 4

• Relações trigonométricas no triângulo retângulo. nn

(não fez)

• Medidas em radianos an

• Função seno nn

6 4

• Relações trigonométricas no triângulo retângulo. nn nn

(nenhum) • Medidas em radianos an nn

• Função seno nn nn

7 6

• Relações trigonométricas no triângulo retângulo. an an

Construiu a tabela e o gráfico (com linhas retas e s/nº) • Medidas em radianos an nn

• Função seno nn an

8 8

• Relações trigonométricas no triângulo retângulo. a.n. an

Construiu a tabela e o gráfico da função seno, errando med. eixo horiz. • Medidas em radianos nn nn

• Função seno nn an

9 5

• Relações trigonométricas no triângulo retângulo. nn nn

(nenhum) • Medidas em radianos nn nn

• Função seno nn nn

Fonte: nosso acervo.

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142  

 

A resposta do aluno 1 à pergunta: O que representa o x e o P nessa definição

foi: “corresponde abscissa, P ponto da ordenada”. A resposta esperada seria : x

representa um número real, que corresponde à medida do arco AP, e o ponto “P é a

imagem pela função E : →S1 , de uma infinidade de números reais, todos eles da

forma: ”   (Carmo, Morgado e Wagner, 2005,

p.37) para a variável independente x, ou seja P é o ponto E(x) cuja ordenada

corresponde ao seno de x. Em seguida, a tabela do seno e o respectivo gráfico

desse aluno: 

Manuscrito 25 - Aluno 1, TF, tabela trigonométrica e gráfico do seno.

Fonte: nosso acervo.

Conforme podemos ver nessa figura, o aluno 1 errou em toda a tabela (trocou

pelos números do cosseno) e não soube associar esses números para a contrução

do gráfico. Como ele não identificou as medidas no eixo cartesiano horizontal,

entendemos que faltou a esse aluno, o conhecimento dos conceitos sistema

cartesiano ortogonal e medidas em radianos.

A nossa pergunta b, estava mal formulada, visto que deixamos de escrever

. Vejamos as respostas do aluno 2:

 

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143  

 

Manuscrito 26 - Aluno 2, TF, função seno.

Fonte: nosso acervo.

Admitimos que cometemos um erro ao formularmos a pergunta do item “d”.

Deveríamos desmembrá-la em duas perguntas:

-- Porque vale a relação ¿

-- Qual a principal consequência dessa relação¿

O aluno 2 não conseguiu responder as perguntas sobre a função seno, e no item

c, confundiu a pergunta, cuja resposta correta seria: . No gráfico

que mostramos a seguir, acertou no desenho, mas deixou de identificar as medidas

dos eixos.

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144  

 

Manuscrito 27 - Aluno 2, TF, gráfico da função seno.

Fonte: nosso acervo.

 Manuscrito 28 - Aluno 2, TF, função seno.

Fonte: nosso acervo.

O aluno 3 acertou nas curvas do gráfico, mas não identificou os pontos dos

eixos cartesianos . Seguem as respostas desse aluno:

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145  

 

Manuscrito 29 - Aluno 3, TF.

Fonte: nosso acervo.

Os demais alunos apresentaram respostas semelhantes sobre a função seno,

sem entenderem nossas perguntas (que reconhecemos como mal formuladas), e

sem definirem a função seno.

Conforme podemos ver na nossa tabela 2, o maior progresso verificado na

comparação entre o teste diagnóstico e o teste final, foi em relação à construção da

tabela do seno, pois, no primeiro teste, apenas os alunos 4 e 8 haviam acertado, e

no final os alunos 1, 2 3, 4, 7 e 8 conseguiram construir essa tabela. Dentre esses

alunos, quatro conseguiram esboçar o gráfico da função seno, apesar de terem

omitido as medidas (em radianos) no eixo cartesiano horizontal. Não podemos

deixar de registrar que, no teste final, o aluno 4 demonstrou conhecer a validade da

relação a2 + b2 = 1, sendo a e b, coordenadas de um ponto P do ciclo S1, em

qualquer quadrante.

5.2.2. Refletindo sobre o teste final e as intervenções  

Conforme nosso planejamento inicial, aplicamos um teste inicial e um final,

sendo que, neste último, a maioria dos alunos não conseguiu resolver os problemas

sobre as razões trigonométricas e as medidas em radianos. No entanto, não

podemos esquecer que o objetivo deste trabalho era responder à seguinte questão

de pesquisa:

-- Quais as contribuições de uma “estratégia de ensino” para a aprendizagem

significativa da transição das razões para as funções trigonométricas?

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146  

 

De acordo com nossa questão de pesquisa, o objetivo principal deste trabalho

acadêmico, não se limitava à avaliação das resoluções e das respostas sobre a

função seno e sim de verificar quais as contribuições da estratégia de ensino

formada pela combinação do contexto experimental com o contexto computacional

do Cabri-Géometrè II, na aprendizagem significativa dos principais conceitos

presentes na transição das razões para as funções trigonométricas, adquiridas ao

longo das intervenções. Na maioria das atividades conseguimos combinar os

materiais concretos com o programa computacional Cabri-Géomètre II e ajudar os

alunos na construção das figuras dinâmicas propostas.

As contribuições de nossa estratégia de ensino, para a aprendizagem dos

conceitos presentes na transição das razões para as funções trigonométricas,

observadas nas intervenções foram as seguintes:

• A aprendizagem do cálculo das razões trigonométricas.

• A percepção de que as razões trigonométricas surgiram em decorrência da

semelhança entre triângulos retângulos.

• A aprendizagem do cálculo das medidas em radianos.

• A redescoberta do número π.

• A habilidade de construir uma tabela e um gráfico, a partir da contextualização

de uma função periódica ainda não identificada.

• A aprendizagem da construção de uma tabela e do gráfico da função seno.

Registramos que os últimos encontros para as intervenções, tiveram início por

volta de 21h10min, com duração média de oitenta minutos. Ao final desse período,

os alunos pediam que encerrássemos às pressas, preocupados com a insegurança

nas ruas. A falta de regularidade dos alunos em nossos encontros, também influiu

na nossa pesquisa. Verificamos que nenhum dos alunos compareceu em todas as

intervenções, e por esse motivo não comparamos os seus desempenhos. No dia do

teste final, alguns alunos atribuíram as dificuldades na resolução dos problemas, aos

intervalos entre os nossos encontros, que eles mesmos agendavam, em meio aos

seus compromissos pessoais e às provas acadêmicas.

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147  

 

Embora tenhamos feitos alguns registros dessas intervenções com algumas

fotos filmagens e gravações em áudio, decidimos descartá-las devido a baixa

qualidade técnica. E para preservar a identidade de nossos sujeitos de pesquisa.

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148  

 

Capítulo 6

Considerações finais

Planejamos cuidadosamente cada passo de nossa pesquisa, pautados na

Teoria da Aprendizagem Significativa de David Ausubel e na metodologia do Design

Based Research. Preparamos quatro intervenções especialmente para um grupo de

alunos de um curso superior de licenciatura em matemática, imaginando que

durante a aplicação, nossa maior preocupação estaria em observar e ajudar esses

alunos no manuseio dos materiais concretos e no uso do programa computacional

Cabri-Géomètre II. Contudo, durante as primeiras atividades, constatamos que

esses alunos desconheciam alguns dos conceitos fundamentais da matemática

essenciais para o estudo da trigonometria. Por essa razão reformulamos as

intervenções, procurando simplificar as questões e aumentar a quantidade de

exemplos. Assim, estendemos as quatro intervenções em nove encontros,

pressionados também pelo pouco tempo disponível dos alunos.

O reduzido número de sujeitos de nossa pesquisa e a irregularidade nas suas

frequências, não recomendavam que fizéssemos uma comparação ou uma

minuciosa análise qualitativa ou quantitativa no resultado dos testes e nas

intervenções, contudo, a experiência proporcionada com os nove alunos,

combinando o contexto experimental com o computacional, aumentou nossa crença

na potencialidade didática da combinação desses contextos, utilizados por Lobo da

Costa na pesquisa de sua dissertação de mestrado sobre as funções seno e

cosseno em 1997.

Constatamos que a aplicação da “estratégia de ensino”, formada pela

combinação do contexto experimental com o contexto computacional, com os alunos

construindo as figuras dinâmicas do Cabri II, trouxe diversas contribuições para a

aprendizagem significativa dos conceitos subsunçores da trigonometria. Na primeira

intervenção foi possível constatar que os nove alunos aprenderam a calcular as

razões seno, cosseno e tangente, e perceberam que a invariância dessas razões

surgiu das semelhanças de triângulos retângulos. Na segunda intervenção, há

evidências que pelo menos, dois dos quatro dos alunos que participaram desse

encontro, aprenderam como medir os arcos e o significado das medidas em

Page 149: UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA UNIBAN/SP

149  

 

radianos. Mas, consideramos que as contribuições mais importantes em nossa

pesquisa, aconteceram em decorrência da terceira e da quarta intervenção. Na

terceira intervenção após apresentarmos o dispositivo “ciclo trigonométrico” (que

criamos por sugestão de Lobo da Cota (1997)), ouvimos um dos alunos dizer que

naquele momento ele havia entendido o que representava a medida 3,14 rd. Ainda

nesse encontro, com a contextualização da roda-gigante, com o Cabri II, os alunos

conseguiram construir uma tabela e um gráfico de uma função ainda não

identificada. Também destacamos, que na quarta e última intervenção, a figura

dinâmica do Cabri II funcionou como um dispositivo prático, fazendo com que os seis

alunos presentes conseguissem preencher a tabela do seno, e um desses alunos

traçasse com perfeição o gráfico da função seno. Vale lembrar que, na ocasião do

teste diagnóstico, nenhum desses alunos, sabia construir a tabela do seno, e muito

menos esboçar o gráfico dessa função. Segundo Duval (2008, p.16), a conversão da

tabela para o gráfico, consiste em mudar de registro de representação conservando

o mesmo objeto matemático, e essa coordenação só ocorre com a compreensão

desse objeto.

Nas nossas pesquisas correlatas, vimos que em 1994, Brighenti publicou sua

dissertação de Mestrado em Educação Matemática sobre o ensino e a

aprendizagem da trigonometria, com aplicação da Teoria da Aprendizagem

Significativa de Ausubel. Sobre o mesmo tema e apoiada no mesmo referencial

teórico, esta pesquisadora publicou em 2003 o livro Representações Gráficas,

destinado aos professores de Licenciatura em Matemática. Nesse livro, assim como

na sua dissertação de mestrado de 1994, a autora defendeu o emprego dos

organizadores prévios, no ensino da trigonometria, justificando que ele favorecia a

prática dos princípios de diferenciação progressiva e a prática da reconciliação

integrativa, e sugeriu que o professor apresentasse o texto histórico sobre Thales de

Mileto e a determinação da altura das pirâmides de Quéops, na antiguidade, antes

de apresentar o conceito das razões trigonométricas. Segundo Brighenti (2003,

p.41), com esse organizador prévio, escolhido devido ao princípio da diferenciação

progressiva, as ideias mais gerais sobre o assunto são apresentadas em primeiro

lugar. O aluno poderá estabelecer as diferenças e as semelhanças entre os fatos

históricos e os fatos que ocorrem no seu cotidiano com a reconciliação integrativa.

Concordamos com a proposta de Brighenti, quanto ao emprego desse

organizador prévio, e também que o princípio da diferenciação progressiva pode

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150  

 

ajudar o aluno na aprendizagem das razões trigonométricas. No entanto, o estudo

das razões trigonométricas é uma parte de um conjunto de conceitos subsunçores

da trigonometria, e em nosso entendimento, o conceito mais complexo desse grupo

é o ciclo trigonométrico, cuja aprendizagem significativa depende do princípio da

reconciliação integrativa, para que haja a combinação dos seguintes conceitos:

sistema cartesiano ortogonal, definição de lugar geométrico do círculo, arco

orientado e as medidas em radianos e o conjunto dos números reais. Ressaltamos

que esses conceitos citados, são constituídos por ideias “paralelas”, que não

guardam entre si uma dependência sequencial, e nessa situação, de acordo com

Ausubel, Novak e Hanesian (1978, p.161), compreender parte do material não

pressupõe a compreensão do conjunto. Por esta razão, para a apresentação do ciclo

trigonométrico, defendemos que apenas um organizador prévio, não poderá dar

conta da aprendizagem do conceito do ciclo trigonométrico. Em nossa opinião, antes

de aplicarmos qualquer estratégia de ensino, para uma aprendizagem significativa

do conceito ”ciclo trigonométrico”, temos que confirmar se todos os conceitos

subsunçores estão devidamente consolidados na estrutura cognitiva dos alunos,

pois qualquer falha nesses conhecimentos (sistema cartesiano ortogonal, definição

de lugar geométrico do círculo, conjunto dos números reais e medidas em radianos)

poderá impedir a aplicação do princípio de reconciliação integrativa, ou seja, irá

impossibilitar a combinação desses conceitos subsunçores.

Para as futuras pesquisas no ensino e aprendizagem da trigonometria,

nossa sugestão é que continuem persistindo na combinação dos contextos materiais

e computacionais. Esperamos que este trabalho possa contribuir para a Educação

Matemática, e possa servir de inspiração para novos pesquisadores.

Page 151: UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA UNIBAN/SP

151  

 

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

AABOE, Asger, Episódios da História Antiga da Matemática, Sociedade Brasileira de

Matemática-SBM, trad. João B. Pitombeira de Carvalho, Rio de Janeiro, 1984.

AUSUBEL, David; NOVAK, ;HANESIAN, Helen, Psicologia Educacional, Tradução*

das professoras Eva Nick, Helena de Barros C. Rodrigues, Luciana Peotta, Maria

Ângela Fontes e Maria da Gloria R. Maron, da Universidade Santa Úrsula, do

Instituto de Psicologia da UFRJ, Editora Interamericana,1978. (*) Educational Psychology, a cognitive view, N.Y., Rinehart and Winston, New York, U.S.A.

BARBOSA, João Lucas M, Geometria Euclidiana Plana, Sociedade Brasileira de

Matemática-SBM, Rio de Janeiro, 2006.

BONGIVANNI, Vincenzo, A construção de uma tabela trigonométrica. Publicado na

Revista Iberoamericana de Educação Matemática - UNION, nº 18, junho de 2009.

BOYER, Carl C., História da Matemática, Editora, 470 p., Edgard Bucler, São Paulo,

1996.

BRASIL, Ministério da Educação e Cultura, Secretaria de Educação Fundamental,

Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasília, 1998. 148 p.

BRASIL, Ministério da Educação e Cultura, Secretaria da Educação Média e

Tecnológica, Coordenação Geral do Ensino Médio, Parâmetros Curriculares

Nacionais - Ensino Médio.2000.

CARMO, Manfredo Perdigão.; MORGADO, Augusto Cesar ; WAGNER, Eduardo,

Trigonometria Números Complexos. Sociedade Brasileira de Matemática (SBM),

Coleção do Professor de Matemática, Rio de Janeiro, 2005.165 p.

COBB, Paul; CONFREY, Jere; DISESSA, Andrea; LEHRER, Richard: SCHAUBLE,

Leona, Design Experiments in Educational Research, Educational Researcher;

Jan/Feb 2003; Wilson Education Abstracts, p.9. Encontrado no

site:<http:eec.edc.org/cwis_docs/NEWS_ARTICLES_JOURNAL/Cobb_Paul_Design

_Experiments>. Acesso em 30/03/2013

Page 152: UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA UNIBAN/SP

152  

 

CONNALLY, Eric; GLEASON, Andrew ; M.; HUGHES-HALLET, Deborah ;

CHEIFETZ, Philip ; DAVIDIAN, Ann; FLATH, Daniel; KALAYCIOUGLU, Selin;

LAHME, Brigitte; LOCK, Patti F.; MCCALLUN, Willian; MORRIS, Jerry; RHEA,

Karen; SCHIMIERER, Ellen; SPIEGLER, Adam ; MARKS, Elliot; AVENOSO, Frank;

QUINNEV, Douglas; YOSHIWARA, Katherine, Functions Modeling Change, a

preparation for calculus, John Wiley & Sons, Inc., U.S.A., 1998.

BRIGHENTI, Maria J. L., Ensino e aprendizagem da trigonometria; novas

perspectivas da Educação Matemática. Dissertação de Mestrado em Educação

Matemática, sob a orientação da Drª. Celi Vasques Crepaldi., Universidade Estadual

Paulista, Rio Claro, S.P.1994.

BRIGHENTI, Maria J. L., Representações gráficas – atividades para o ensino e a

aprendizagem de conceitos trigonométricos, 150 p., Editora da Universidade do

Sagrado Coração, Bauru, S.P., 2003.

DANTE, Luiz R., Matemática Contexto & Aplicações. Editora Ática, São Paulo, S.P.,

616 p., 2003.

DANTE, Luiz R., Matemática Contexto & Aplicações. Editora Ática, 626 p., São

Paulo, S.P., 2009.

DUVAL, Raymond, Semiósis e Pensamento Humano, registros semióticos e

aprendizagens intelectuais. Trad. Lênio F. Levy e Marisa R. A. Silveira, Livraria da

Física Editora, São Paulo, 2009.110 p.

DUVAL, Raymond, A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning

of mathematics, publicado na revista Educational Studies in Mathematics, pp.103-

131, 2006.

DUVAL, Raymond in MACHADO, Silvia Alcântara (org.) Aprendizagem em

matemática – Registros de Representação Semiótica, pp.11-33. Papirus editora,

Campinas, S.P., 2008.

Page 153: UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA UNIBAN/SP

153  

 

EVES, Howard, Introdução à história da matemática. Trad. Hygino H. Domingues,

.Editora Unicamp, Campinas, S.P., 2004.

FIORENTINI, Dario & LORENZATO, Sergio, Investigação em educação matemática.

Editora Autores Associados LTDA, Campinas, S.P., 2008.

GALVÃO, Maria E. E.L.. A História da Trigonometria. CEU- Centro de Extensão

Universitária, IME-USP/UNIFIEO.

GARBI, Gilberto G., A rainha das ciências – um passeio histórico pelo maravilhoso

mundo da matemática, 468 p., Editora Livraria da Física, São Paulo, S.P., 2007.

GOIOS, Douglas Ferreira, Potencialidades didático-pedagógicas de um objeto para a

aprendizagem: uma análise através da Teoria da Cognição Corporificada para o

ensino de trigonometria. Dissertação de Mestrado em Educação Matemática, sob a

orientação da Drª. Janete Bolite Frant, Universidade Bandeirante de São Paulo,

2010.

IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIGO, Roberto,

Matemática – volume único. Atual Editora, São Paulo, S.P., 2005.

IEZZI, Gelson, Fundamentos de matemática elementar 3: trigonometria. Coleção

para o ensino médio, Atual Editora, São Paulo, S.P., 2004.

LIMA, Elon Lages, Sobre a evolução de algumas ideias matemáticas, artigo da RPM,

nº 4, pp.1-8, Sociedade Brasileira de Matemática, Rio de Janeiro, R.J., 1991.

LINDEGGER, Luiz Roberto de Moura, PUC/SP, Construindo os conceitos básicos da

trigonometria no triangulo retângulo: uma proposta a partir da manipulação de

modelos. Dissertação de Mestrado em Educação Matemática, sob a orientação da

Drª. Sandra M.P. Magina, Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, 2000.

LOBO DA COSTA, Nilce M., Funções seno e cosseno: uma sequencia de ensino a

partir dos contextos do mundo experimental e do computador. Dissertação de

Mestrado em Educação Matemática, sob a orientação da Drª. Sandra M.P. Magina.

Pontifícia Universidade Católica, São Paulo, 1997.

Page 154: UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA UNIBAN/SP

154  

 

KATZ, Victor, A history of mathematics – an introduction., 992 p., Addison Wesley,

Washington, D.C., U.S.A., 2008.

MAOR, Eli, Trigonometric Delights, Princeton University Press, New Jersey, U.S.A.,

1998.

MOREIRA, Marco Antônio. A teoria da aprendizagem significativa e sua

implementação em sala de aula. Editora UnB, Brasília, 2006.186 p.

MIASHIRO, Paulo. M. A delicada transição do conteúdo tangente, como razão

trigonométrica, para o conteúdo função tangente, durante o processo de ensino e

aprendizagem. Monografia para Especialização em Educação Matemática, Pontifícia

Universidade Católica de São Paulo, 2010.

PILETTI, Nelson; ARRUDA, José J.A., Toda a História – História geral e história do

Brasil. 408 p., Editora Ática, São Paulo, S.P., 1996.

SECRETARIA DA EDUCAÇÃO DO ESTADO DE SÃO PAULO, Proposta Curricular

do Estado de São Paulo – Matemática – Ensino Fundamental – Ciclo II e Ensino

Médio.2008.

STEFFE, Leslie.P, & THOMPSON, Patrick W., Teaching experiment methodology:

underling principles and essential elements, org. R.Lesh e A.E. Kelly, “Research

design in mathematics and science education”, pp. 267-307, 2000., no site:

<http://pat-thompson.net/PDFversions/2000TchExp.pdf>Acessoem 30/03/2013.

STRIK, DirkJ, cap. 11, Por que estudar história da matemática, in História da técnica

e da tecnologia. Org. Ruy Gama, trad. Celia Regina.

YAMAMOTO, Yuiriko B. e VILLAGRA, Guilhermo A. L., Atividades com Cabri-

Géomètre II.EdufsCar- Inep, São Carlos, S.P., 2010. 240 p.

(fig.15) no site <www.gapsystem.org/~history/HistTopics/Indian_sulbasutras.html>,

acesso em 06/01/2012.

Page 155: UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA UNIBAN/SP

155  

 

ANEXOS

Anexo 1 - Teste Diagnóstico

1- De acordo com as medidas desta figura, calcular as seguintes relações trigonométricas: a) b) c) d)

2- Uma escada de 4 metros de comprimento está apoiada numa parede

perpendicular ao solo. Sabendo que o ângulo entre a escada e o solo é de 60°, calcular a altura do topo da escada.

Considerar:

3- Calcule o seno, cosseno, tangente dos ângulos agudos do triângulo retângulo em que um dos catetos mede 3cm e a hipotenusa mede 32 cm.

4- Conversão de medidas. a) A medida de um arco em radianos é . Encontrar sua medida em

graus, e calcular sua primeira determinação positiva. b) Calcular, em radianos, a medida de um ângulo central correspondente a

um arco de 18 cm, num círculo cujo raio mede 6 cm. c) Um parque público ocupa a área de um círculo cujo raio mede 460 m.

Encontre a distância percorrida por uma pessoa para dar uma volta em torno desse parque.

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156  

 

5- Estudo da função seno.

Se  

a) O que é, e o que representa a letra na função ? Responda e

indique na figura acima.

b) Qual é o domínio e o contra-domínio dessa função?

c) Se o ponto no ciclo, tem abscissas e ordenadas que

relação existe entre e ?

d) Qual é a diferença entre a função seno no triangulo retângulo, e a função

seno no ciclo trigonométrico.

e) Defina as funções seno e cosseno.

6- Complete a tabela e construa o gráfico da função seno:

0 π/6 π/4 π/3 π/2 π

3π/2 2π

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157  

 

 

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158  

 

Anexo 2 - Design Inicial das quatro intervenções

1ª INTERVENÇÃO.

Trigonometria no triângulo retângulo.

A trigonometria foi criada pelos matemáticos para se determinar a distância entre dois pontos inacessíveis.

Objetivo: explorar as relações trigonométricas no triângulo retângulo.

a) Com o Cabri, construir, medir e calcular a relação entre os lados de três triângulos retângulos justapostos, conforme o modelo a seguir:

 

Obs.: Se o triângulo retângulo (o maior) for construído a partir de uma reta horizontal, com o ponto E colocado sobre essa reta, “arrastando” esse ponto, podemos alterar as dimensões desse triangulo retângulo, sem a necessidade de construir os três triângulos.

b) Completar a Tabela 1 com as medidas obtidas na sua construção.

Para as medidas dos lados dos triângulos, usamos as três abreviações:

: cateto oposto, : cateto adjacente, : hipotenusa.

Ângulo Triângulo ADE ACF ABG

Tabela 1: Relações entre os lados desses triângulos retângulos.

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c) Compare as razões co/hip dos três triângulos e diga o nome dessa razão. R._______________

d) O que garante as definições de = e = para um dado ângulo α? R._______________

 

Objetivo: construir a tabela de valores notáveis do seno:

a) Para determinar o valor de sen 30°, construir com o Cabri II, um triângulo eqüilátero cujos lados meçam “l”, conforme o modelo a seguir:

Observe que a altura relativa à base AC divide esse triângulo eqüilátero em dois triângulos retângulos, cujos ângulos agudos são de 30º e 60º.

Com o triângulo MCB e o Teorema de Pitágoras, sabendo que a hipotenusa mede “l”, e um dos catetos a metade dessa hipotenusa, calcule a medida de , e com todas as medidas do triangulo MCB, aplique a razão para

chegar aos valores do e do .

b) Para determinar o valor de , construa com o Cabri, um quadrado conforme o modelo a seguir, em seguida, com o Teorema de Pitágoras, descubra quanto mede a diagonal desse quadrado, a exemplo do caso anterior, calcule o

.

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c) Com uma calculadora científica, encontre os valores dos senos e cossenos

desses ângulos e escrever ao lado da tabela para comparação.

Tabela 2: Tabela do seno para os ângulos notáveis.

Ângulos seno 30° 45° 60°

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2ª INTERVENÇÃO.

 

Objetivo: Conceito de ângulo.

Um ângulo é a reunião de duas semi-retas que têm a mesma origem, mas não estão contidas na mesma reta. O interior de um ângulo é definido como a intersecção dos semi-planos cujas origens são os lados do ângulo.

Objetivo: refletir sobre a correspondência entre cada arco de uma circunferência e o ângulo central.

a) Traçar uma circunferência com centro A e duas semi-retas com origem em seu centro; b) Marcar as intersecções B e C das semi-retas com a circunferência; c) Marcar o arco que está no interior do ângulo BÂC. d) Medir o ângulo e o arco. Esse arco é um arco menor da circunferência e sua medida, em graus, será dada pela medida do ângulo BÂC. O complementar da circunferência que está no exterior do ângulo será chamado um arco maior e sua medida em graus, será:

Figura para distinguir o arco menor do arco maior.

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Objetivo: mostrar que as medidas em radianos, independem das dimensões das circunferências, e podem substituir as medidas em graus.

a) Na figura acima, temos anotadas as medidas dos arcos e dos respectivos raios das circunferências. Podemos observar que as razões entre o comprimento do arco de cada circunferência e o respectivo raio é constante. Calcule essa razão.

b) Construa, com o CABRI, uma figura como a dada acima e verifique, usando a calculadora, a igualdade das razões entre o comprimento do arco e o raio da respectiva circunferência.

Nota importante: A medida do ângulo, em radianos, será a razão acima, isto é, a razão entre o comprimento do arco e o raio da circunferência em que está contido.

c) Encontre a medida, em radianos, do ângulo da figura abaixo.

 

Objetivo: Medida da circunferência e conversão de medidas com material manipulável

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Esta atividade será realizada sem o uso do Cabri, apenas com materiais manipuláveis (discos de isopor, fita métrica, fita adesiva, barbante, caneta hidrográfica), régua, esquadro, transferidor, calculadora, lápis e papel.

a) Com discos de raios variáveis, medir o perímetro e o diâmetro do disco com o barbante e preencher uma a tabela com esses dados.

A constante obtida acima é o número ______ conhecido comoπ , assim o comprimento de uma circunferência de raio será

b) Usando a constante π e o comprimento da circunferência dado acima, encontre a medida, em radianos dos ângulos da tabela abaixo.

Graus 90° 180° 270° 360° Radianos

c) Temos agora duas maneiras de medir ângulos: graus ou radianos. Estabeleça uma relação entre elas e preencha a tabela abaixo.  

rd

Graus

Responder:

- O que podemos aprender com essa experiência?

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3ª INTERVENÇÂO.

Para contextualizarmos o estudo de uma função cujo domínio apresenta uma periodicidade, construímos com o Cabri, uma roda-gigante1 que gira em sentido anti-horário, e demora uma hora para completar uma volta. Esta roda tem 8 cm de diâmetro, e sua plataforma de embarque A, se encontra a 5 cm de altura. O tempo de uma volta completa é de 60 minutos. Este “equipamento” dispõe de um “altímetro”, que indica a cada instante, a altura que se encontra um passageiro, em relação ao solo.

Roda-Gigante

Obs.: nesta figura dinâmica construída com o Cabri, a posição do passageiro pode ser alterada com o “ponteiro” (mouse). Os pontos foram colocados no circulo central, como os números de um relógio analógico, para servirem de referência de posição em relação ao tempo.

                                                            1 Esta contextualização é uma adaptação nossa, no texto de CONNALLY, GLEASON e HUGHES‐HALLET, do livro Functions Modeling Change, financiado pela National Science Fundation Grant, Editora Wiley & Sons, 1998, p. 258.  

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  Objetivo: criar uma função periódica no contexto de uma roda gigante e construir o gráfico dessa função. a) Vamos ajudá-lo a construir esta figura com o Cabri, ou a recorrer ao nosso

arquivo. Pegue o elevador e na plataforma A, embarque como passageiro nesta “roda-gigante”, e vá anotando na tabela 1, a sua altura de 5 em 5 minutos, de acordo com o “altímetro”.

t(min)  0  5  10  15  20  25  30  35  40  45  50  55  60 h(t) (cm)                                        

Tabela 1 – Altura do passageiro em relação ao solo.

t(min)  65  70  75  80  85  90  95  100 105 110  115  120 h(t) (cm)                                     

Tabela 2 – Altura do passageiro em relação ao solo. b) Com os dados da Tabela da roda-gigante complete os gráficos:

Figura 2 – Gráfico das alturas da roda-gigante em 60 minutos.

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Figura 3 – Gráfico das alturas da roda-gigante em 120 minutos.

Com os gráficos, responda as seguintes perguntas:

- Esta função é periódica? Caso seja, diga qual é o período?

:

Definição de ciclo trigonométrico.

Com base nas atividades anteriores, sabemos que o comprimento do arco de um ângulo de 1 rd é igual ao raio, e também sabemos que em qualquer circunferência, a razão entre o comprimento de um semicírculo pelo raio é aproximadamente 3,14. Esse número pode ser representado pela letra grega , e podemos dizer que ângulo correspondente a 180º equivale à Na figura a seguir, temos um círculo de raio unitário num sistema cartesiano ortogonal. Esse círculo é orientado, ou seja, nele todos os arcos começam no ponto A (1, 0) e terminam num ponto P qualquer.

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Para a definição2 de ciclo trigonométrico, associamos a cada número real x, com0 ≤ x ≤ 2π, um único ponto P da circunferência , de forma que se x = 0 , então P coincide com A; e se x>0 ,então o arco AP terá um comprimento x. Quando dois arcos têm a mesma extremidade e diferem entre si pela quantidade de voltas, dizemos que eles são congruentes. Assim o arco x é congruente aos arcos = x + k 2π, onde k= ±1, ±2,...

 

 

                                                            2 IEZZI, Gelson, Fundamentos da Matemática Elementar, Vol. 03, Trigonometria, p. 33‐34, 2003. 

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4ª INTERVENÇÂO

Estudo da função seno.

  Objetivo: Mostrar que a ordenada do ponto na extremidade do arco é igual ao valor do seno do ângulo correspondente no triangulo retângulo. – Construir no Sistema Ortogonal do CABRI um círculo unitário, e no primeiro quadrante deste círculo o arco AP, e encontrar as coordenadas desse ponto com a ferramenta “Equações ou Coordenadas”.

Figura 1 – Estudo da função seno

Na figura 1, temos o triangulo retângulo formado pelos pontos PP’O. Neste triangulo, de acordo com a definição de seno no triangulo retângulo, o seno do ângulo agudo P’ÔP é a razão entre as medidas do cateto oposto PP’ e a hipotenusa OP.

= = 0,79

 

Responda a pergunta e complete a afirmação: - Porque temos a igualdade: ? - Então o valor do seno é iguala _____________________

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  Definição3 de seno (como medida de um segmento) Dado um arco de medida x, definimos como a ordenada do ponto e representamos igualando em que é a medida do segmento orientado que acabamos de obter.

  Aproveitando a figura anterior, apagar o triângulo, medir o ângulo e deslocar o ponto P para preenchermos os dados da tabela, anotando apenas a ordenada do ponto P.

Figura 2 – Estudo da função seno (2)

x 0 (30°) (45°)

(90°) (120°) (135°) (150°) π (180°) (210°)

sen x

x (225°) (240°)

2π (360°)

sen x

Tabela 1- Valores do seno..

                                                            3 DANTE, Luiz R., Matemática – Contexto & Aplicações, p. 206, Editora Atica, 2003 

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  Com os dados da Tabela 1, construir o gráfico da função seno:

Figura 3 – Gráfico da função seno.

  Objetivo: Construir o gráfico4 da função seno com a ferramenta “Rastro”, em arcos negativos e positivos. As figuras a seguir ilustram as etapas dessa construção.

Figura 4 - Encontrando um ponto do gráfico.

                                                            4 BALDIN, Yuriko Yamamoto, VILLAGRA, Guilherme Antonio Lobos, Atividade com Cabri‐Géomètre II para curso de Licenciatura em Matemática e Professores do Ensino Fundamental Médio, ED UFSCar, 2. 

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Figura 5- Traçando o gráfico com o Lugar Geométrico do seno.

Figura 6 - Utilizando o Rastro para traçar o gráfico do seno.

Responda as perguntas: - Sabendo que as medidas no eixo estão em radianos, qual o período dessa função? R.: __________ - Observando esses gráficos, é possível determinar o domínio e a imagem da função seno? R.: -Depois dessas atividades, as figuras e tabelas que mostram as características dessa função tornaram-se mais elucidativas? E as relações entre elas?

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R.: Anexo 3 - Design Final das quatro intervenções

1ª INTERVENÇÃO.

Atividade 1 – Semelhança de triângulos.

1ª Parte – Com o material manipulável, uma régua e um transferidor, examinar triângulos semelhantes pela congruência dos três ângulos (caso AAA).

• Nos triângulos escalenos confeccionados em EVA, cujos lados medem respectivamente: e ’, verifique se:

= (constante) e anote as medidas e o resultado nesta folha:

Verifique também as relações:

e calcule e anote nesta folha.

Complete a frase: Quando os triângulos são semelhantes, a razão entre seus respectivos lados é uma _____________.

Responda a pergunta: Conhecendo apenas um dos ângulos desse triangulo, é possível deduzirmos os outros?

R: ____

• Com os triângulos retângulos.

Desenhe os triângulos nesta folha, com as medida dos lados e do ângulo α, em seguida verifique a razão entre o cateto oposto ao ângulo α e a hipotenusa (co/hip) nos três triângulos, anotando nesta folha.

Responda a pergunta: Conhecendo apenas um dos ângulos de um triangulo retângulo, é possível deduzirmos os outros?

2ª Parte – Com o Cabri II, construir os triângulos conforme a figura abaixo, e medir seus segmentos.

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Figura 15 – Semelhança de triângulos retângulos.

Com essas medidas, verifique que os triângulos ABC e AED são semelhantes. Justifique sua conclusão usando a calculadora do Cabri.

Atividade 2 - relações trigonométricas no triângulo retangulo. Vamos usar a mesma figura da atividade anterior com o Cabri, relacionando os lados em cada triângulo.

Figura 2 – A relação trigonométrica seno.

.

a) Com o Cabri II, calcular o seno do ângulo Â, no triângulo ABC (maior) e completar:

=

                                                            5  Nota da revisão: Com o Cabri II, os triângulos retângulos ABC e ADE da figura 1, podem ser substituídos por apenas um, desde que o primeiro (ABC) seja construído na seqüência:

i) A partir do ponto A, traçar uma semi-reta horizontal para a direita. ii) Em qualquer lugar dessa semi-reta, com a ferramenta “ponto sobre objeto”,colocar o ponto C. iii) Do ponto C, traçar uma perpendicular ao segmento AC. iv) Nessa perpendicular. Colocar o ponto B. v) Unindo os três pontos, traçar os lados do triângulo, com a ferramenta “segmento”. vi) Com a ferramenta “distância ou comprimento”, medir os 3 lados. vii) Agora para aumentar ou diminuir o triângulo ABC, basta deslocar com a ferramenta “ponteiro”

o ponto C, usando o mouse.

 

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b) Com o Cabri II, calcular o seno do ângulo Â, no triângulo ADE (menor) e completar:

c) Experimente deslocar o segmento DE e com as novas medidas, calcule o

seno do ângulo Â, e responda as perguntas:

- A razão seno, em relação a um determinado ângulo, depende das dimensões do triangulo retângulo? Justifique. R: - A razões cosseno e tangente, em relação a um determinado ângulo, dependem das dimensões do triangulo retângulo? Justifique.

• No final desta atividade, o professor deverá desenhar na lousa e um triangulo retângulo de medidas, 3, 4 e 5 unidades, identificar seus vértices, e em seguida calcular as razões seno, cosseno e tangente.

Atividade 3 – Resolução de dois problemas para a construção de uma tabela com os valores notáveis do seno. Obs.: resolver algebricamente, sem a necessidade de construção com o Cabri II. Problema1. No lado esquerdo da figura 3, vemos o triângulo equilátero . Cada lado desse triângulo tem a medida “l”, e é o ponto médio do segmento . No triângulo retângulo formado pela união dos pontos e , calcular a altura

( ) usando o teorema de Pitágoras, e com todas as medidas desse triangulo retângulo, calcular o seno dos ângulos dos vértices e , registrando-os na tabela 1. Lembrete: no triangulo eqüilátero, os 3 ângulos internos são iguais e medem 60°.

Figura 3 – O triângulo eqüilátero e o quadrado no estudo do seno

Problema 2. No lado direito da figura 3, vemos o quadrado , cujo lado mede “a”, e os pontos , e G formam um triangulo retângulo. A diagonal desse quadrado

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é a hipotenusa do triangulo retângulo formado pelos pontos . Calcular a diagonal d, e os senos dos ângulos dos vértices e registrando-os na tabela 1.

Tabela 1 – seno de ângulos notáveis. • O professor deverá verificar se os alunos conseguiram completar esta atividade,

para uma eventual ajuda.

Aplicação do seno na resolução dos seguintes problemas:

1. Uma escada de 4 metros de comprimento está apoiada numa parede

perpendicular ao solo. Sabendo que o ângulo entre a escada e o solo mede 60°, calcular a altura do topo da escada.

Dado: e considerar  

2. Calcule o seno, cosseno, tangente dos ângulos agudos do triângulo retângulo

em que um dos catetos mede e a hipotenusa mede .

3. (UFSE) Se os raios solares formam um ângulo α com o solo, qual é, aproximadamente, o comprimento da sombra de um edifício com de altura?

Dado:

• Depois de alguns minutos, caso seja preciso, o professor deverá resolver na lousa cada problema, e justificar cada etapa da resolução. 

 

 

 

α

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2ª INTERVENÇÃO.

Atividade 1. Adotando uma medida padrão. Objetivo: Mostrar o significado de uma medida padrão. Com o Cabri, traçar dois segmentos de reta, conforme mostra a figura, em seguida medir esses segmentos e considerar o menor, como unidade de medida.

Figura 1 – Medida padrão de um segmento.

:

Um ângulo é a reunião de duas semiretas que têm a mesma origem, mas não estão contidas na mesma reta. O interior de um ângulo é definido como a intersecção dos semiplanos cujas origens são os lados do ângulo.

Figura 2 – O ângulo BÂC e seu interior.

Atividade 2. Construir a figura 2 com o Cabri II, para estudar os conceitos de ângulos e arcos (distinguir o arco maior do arco menor).

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Figura 3 – O ângulo central BÂC e o arco BC

Com base na leitura sobre o ângulo, complete as definições:

Arco maior é __________________________________________

Ângulo do arco menor BC é ______________________________

Atividade 3. (com material concreto) Objetivo: A aprendizagem das medidas em radianos. Procedimentos: com o disco de EVA (material concreto), medir comprimento de arcos, tomando o raio como unidade padrão. Obs.: Iniciar os arcos pelo ponto A, no sentido anti-horário.

Figura 3 – A medição de arcos no material concreto.

I) Antes de começar a medir os arcos, meça o raio deste disco e anote: raio____ cm.

II) Com a fita métrica para acompanhar a borda do disco, a partir do ponto A faça a medida dos arcos AB, AC e AA. arco AB ; ____ cm = ___ u.m. arco AC: ____ cm = ___ u.m. arco AD: ____ cm = ___ u.m. arco AA: ____ cm = ___ u.m.

III) Divida cada uma destas medidas pela medida do raio, anotando nesta folha

Responda a pergunta: O que representam estas medidas? R: ____________________________________________

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Atividade 4 – Comparar as medidas em radianos, obtidas no círculo maior e no círculo menor, relativas ao mesmo ângulo.

Construir ou usar o arquivo do Cabri II com a figura 3, e medir os arcos e os raios dos dois círculos.

Figura 3 – Verificando a relação entre arcos e raios.

Efetuar as divisões:

=

=

Responder a pergunta: As medidas em radianos dependem do raio do círculo? Justifique.

R:

• O professor deverá acompanhar estas atividades para no final, se for necessário, esclarecer qualquer dúvida, fazendo uso do giz e da lousa.

Atividade 5 – O número irracional 3,1415...,e o comprimento do círculo.

Com o Cabri II, reproduzir a figura 4, colocando neste circulo um . Em seguida medir o comprimento do raio , e do . Com a calculadora dividir o comprimento do arco pelo raio, para obter a medida em radianos, e responder a pergunta:

Qual foi o valor aproximado do número encontrado, e como ele se tornou conhecido?

R: ____________

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Complete as frases6:

“ A constante é a razão entre o comprimento de qualquer semicírculo e o seu ___”

Se o arco der uma volta inteira (360°) a sua medida em radianos será ______________.

Figura 4 – Medidas de arcos em π radianos.

Atividade 5 – Conversão dos graus em radianos.

Fazer a conversão, com lápis e papel, recorrendo a regra de três:

grau radiano

180°------------ π

90° ------------ x

e preencher a tabela a seguir:

Medida do ângulo em graus

90° 180° 270° 360°

Medida do ângulo em radianos

Tabela – Conversão de medidas.

Responder: - O que podemos aprender com essa experiência?                                                             6       CARMO, M.P.; MORGADO, A. C.; WAGNER, E.; “Trigonometria/ Números Complexos”, Coleção do professor de Matemática – SBM, 2005. 

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Resolver os seguintes problemas:

d) A medida de um ângulo em radianos é 2π rd. Encontrar sua medida em

graus. e) Calcular, em radianos, a medida de um ângulo central correspondente a

um arco de 18 cm, num círculo cujo raio mede 6 cm. f) Um parque público ocupa a área de um círculo cujo raio mede 460 m.

Encontre a distância percorrida por uma pessoa para dar uma volta em torno desse parque.

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3ª INTERVENÇÃO.

Apresentação do material concreto “ciclo trigonométrico”.

Com o dispositivo “ciclo trigonométrico”, o professor deverá fazer breves comentários sobre: a escolha de um sentido para percorrer o ciclo, as medidas em radianos, a primeira determinação de um arco e demonstrar como se mede a altura do ponto localizado na extremidade do arco, com o objetivo de preparar os alunos para a atividade 2.

Foto 1 – Dispositivo “ciclo trigonométrico”.

i) Construção do ciclo trigonométrico.

Sejam u e v, os eixos cartesianos ortogonais de um plano. Tomemos uma circunferência com o centro no encontro desses eixos, um raio unitário e um ponto A, como origem dos arcos. Esta circunferência pode ser percorrida nos dois sentidos; convencionou-se que o sentido anti-horário seria positivo. Neste círculo orientado7, a medida algébrica do arco AP, é o comprimento desse arco.

                                                            7  CARMO, Manfredo P.; MORGADO, Augusto: WAGNER, Eduardo, Trigonometria Números Complexos, da Coleção do Professor de Matemática, SBM, 2005, p.35. 

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Figura2 – Arco no ciclo trigonométrico.

Para a definição8 de ciclo trigonométrico, associamos a cada número real x, com0 ≤ x ≤ 2π, um único ponto P da circunferência , de forma que se x = 0 , então P coincide com A; e se x>0 ,então o arco AP terá um comprimento x. Quando dois arcos tem a mesma extremidade e diferem entre si pela quantidade de voltas, dizemos que eles são congruentes. Assim o arco x é congruente aos arcos = x + k 2π, onde k= ±1, ±2,... Obs.: Embora a figura do ciclo trigonométrico seja formada pelos eixos cartesianos u e v, que o dividem o círculo em quatro partes, denominadas quadrantes, e pelo círculo orientado, esta representação é um ciclo trigonométrico, utilizado para o estudo das funções trigonométricas, e não se constitui no gráfico de uma função trigonométrica em particular, conforme veremos em breve Atividade 1 – Característica dos pontos do S1. Todos os pontos P(a, b) de S1, não coincidentes com os eixos cartesianos e em qualquer quadrante, formam com a sua projeção ortogonal no eixo horizontal e o ponto O, no vértice do ângulo central, um triângulo retângulo, cujos catetos têm a medida das coordenadas, e a hipotenusa, medindo 1 rd, conforme mostra a figura 3:

                                                            8  IEZZI, Gelson, Fundamentos da Matemática Elementar, Vol. 03, Trigonometria, p.33-34, 2003.

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Figura 3 – Pontos do S1.

Com o Cabri II, construir o ciclo trigonométrico (figura 3). Deslocar o ponto , onde corresponde a abscissa e a ordenada de . Observar que geometria dinâmica do Cabri II atualiza as coordenadas, de acordo com o deslocamento. Com essas coordenadas, verificar se para todos os quadrantes vale a relação (Teorema de Pitágoras no S1):

Completar: Ponto P no 1º quadrante:_____ + ____= ___ 2º quadrante:_____ + ____ = ___ 3º quadrante: _____+ ____ = ___ 4° quadrante: _____+ ____ = ___ Estudo de uma função periódica

 

Dizemos que uma função éperiódica de período , se existir um número real tal que , para todo real, em outras palavras, uma função é periódica se seus valores se repetem em intervalos de tempos regulares. Os gráficos dessas funções apresentam curvas que se repetem a cada período. Como exemplo, podemos citar um exame de eletrocardiograma num indivíduo saudável (este exame registra as variações dos potenciais elétricos, gerados pela atividade elétrica do coração).

Atividade 2 – RODA-GIGANTE9

Você terá que embarcar como passageiro numa roda-gigante que dispõe de um elevador para deixá-lo na plataforma de embarque, no ponto A da figura. Esta roda,

                                                            9 Esta contextualização é uma adaptação nossa, no texto de CONNALLY, GLEASON e HUGHES-HALLET, do livro Functions Modeling Change, financiado pela National Science Fundation Grant, Editora Wiley &Sons,1998, p.258. 

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que está representada em escala na figura, gira em sentido anti-horário, e o diâmetro de sua circunferência, na representação, é de 8 cm. A altura da plataforma A (a altura do centro da roda), na representação, é de 5 cm.

Figura 4 – Roda-gigante

Esta roda demora uma hora para dar uma volta completa e você dispõe de um altímetro que mede a altura em que você se encontra em relação ao solo (considerar desprezíveis as suas medidas e a medida da gôndola)

a) Marque, na figura acima, a posição a cada 5 minutos.

Tabela 1 – Altura do passageiro em relação ao solo. t (min) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 h(t) (cm) Tabela 2 – Altura do passageiro em relação ao solo. t (min) 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 h(t) (cm) b) Com os dados das Tabelas da roda-gigante complete os gráficos:

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Figura 5 – Gráfico das alturas da roda-gigante em 60 minutos.

Após a construção dos gráficos, responda as seguintes perguntas:

- Esta função é periódica? Caso seja, diga qual é o período e o que você concluiu destas atividades?

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4ª INTERVENÇÃO (duplas de alunos).

• O professor deverá reproduzir a figura 1 na lousa e lembrar que um ponto pode ser localizado pelas coordenadas. Mostrar que a medida dessas coordenadas corresponde à medida dos lados do triangulo retângulo OPP’. Ressaltar que a hipotenusa mede 1 (raio unitário).

Atividade 1 – Construir o ciclo trigonométrico, conforme o modelo da figura 1.

Figura 1–O triângulo OPP’ e as coordenadas do ponto P.

- Para esta atividade, devemos construir o ciclo trigonométrico, a partir da ferramenta: “mostrar os eixos”, aumentar com o “ponteiro” a distância de 0 a 1, e traçar a circunferência de centro (0,0) e raio 1.

- Colocar um ponto P no primeiro quadrante do ciclo, e com as coordenadas, fornecidas pelo Cabri, calcular o seno e o cosseno e a tangente do ângulo central Ô, no triângulo OPP’, usando as relações trigonométricas no triângulo retângulo:

Lembrar que medida OP = raio = 1

=

Compare os valores obtidos com os números fornecidos pelas coordenadas do Cabri II, e responda o que você entende por seno, cosseno e tangente, num triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 1 (círculo de raio unitário).

R:____________________________________________________________

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Pergunta: E se o ponto P estiver no 2º quadrante, como poderemos calcular essas relações trigonométricas?

R:_____________________________________________________________

A definição do cosseno e do seno de um número real  Sendo um círculo de raio unitário no plano cartesiano. Para um número real , medida de um arco de a função conhecida como a função de Euler, faz corresponder um ponto do círculo . Como ponto de um sistema de coordenadas cartesianas, o ponto pode ser representado pelo pelas coordenadas . Com essascoordenadas, podemos definir o cosseno de como a abscissa , e o seno de como a ordenada .   Na figura 2, observem que

Figura 2 – Definição das funções seno e cosseno.

• O professor deverá reapresentar o material concreto “ciclo trigonométrico”, para o estudo da função seno (medida de arcos; radianos; o ciclo que associa ao número real um ponto de que é a imagem de uma infinidade de números reais, todos eles da forma

Com o cordão mostrar a 1ª det. do arco e a função Completar as explicações na lousa, com a figura do ciclo trigonométrico.

Atividade 2 – Estudo das funções seno e cosseno.

Em atividades anteriores, já constatamos que com as coordenadas e do ponto em devido ao Teorema de Pitágoras, para os quatro quadrantes, se verifica a relação:

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Nota: a partir da figura 3, vamos chamar o ponto de  

Figura 3 – Relação fundamental da trigonometria.

Como as coordenadas do ponto foram definidas como o cosseno e o seno de x respectivamente, e correspondem às medidas dos catetos do triangulo retângulo , cuja hipotenusa mede 1. Com o Teorema de Pitágoras podemos deduzir que:

R: ___

Isolando , podemos escrever: ____________ ou isolando ,

podemos escrever: = _____________

Resolver as seguintes questões:

a) Sabendo-se que é igual a 0,8, e é a medida de um arco do primeiro quadrante, determinar os valores do e da .

b) Sabendo-se que é igual a , e é a medida de um arco do terceiro

quadrante, determinar os valores do e da .

• No final desta atividade, o professor deverá consolidar as relações fundamentais da trigonometria:

= 1 para todo x para todo x + kπ

Atividade 3 – Construção do gráfico da função seno. - Construir a figura 3 com o Cabri, colocar as coordenadas no ponto localizado na extremidade do arco x (apagar a abscissa), e com o “ponteiro” arrastar esse ponto

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de 30° em 30°, para preencher a tabela com os respectivos valores desta função. Com os dados dessa tabela, construir o gráfico em papel milimetrado.

Figura 4 - Estudo da função seno.

0° (30°)

(90°)

(120°)

(150°)

π (180°) (210°)

(240°)

2π (360°)

Tabela 1- Valores do seno. Atividade 4 – Construção do gráfico da função seno, com o Cabri II.

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Instruções para o professor

• Não usar o “lugar geométrico” do Cabri II, e sim a construção em etapas com as ferramentas “transferência de medidas” e “rastro”.

• Após a construção, salvar esta figura em um pen-drive, para estudá-las com a ferramenta “reconstrução” do Cabri II.

_____________________________________término das intervenções.

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Anexo 4 - Teste Final  

TESTE FINAL

1. De acordo com as medidas desta figura, calcular as seguintes relações trigonométricas:

2 Calcular a medida x, nos seguintes triângulos retângulos:

3 Um atirador se encontra a 30 metros de uma parede, com um alvo. Calcular a altura do centro desse alvo ao chão.

Dados: sen 12° = 0,20 e tg 12° = 0,21.

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4 Sendo cos x = - 0,67 , com , determinar sen x e tg x.

5 Medidas em radianos.

a - Calcular em graus e radianos, a medida correspondente a um arco de 24 cm, num círculo cujo raio mede 6 cm.

b - Um parque público ocupa a área de um círculo cujo raio mede 100m. Encontre a distância percorrida por uma pessoa para dar uma volta em torno desse parque. c - No problema anterior, que distancia corresponde a um angulo de π/6 rd?

6 Estudo da função seno.

Responda as seguintes perguntas: a) Como pode ser definida a função seno?

R:

b) O que representam o x e o P nessa definição? R:

c) Qual é o domínio e a imagem da função seno? R:

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d) Se o ponto P pertence ao ciclo, por que razão estando o ponto P(a,b) em qualquer quadrante, vale a relação a2 + b2 = 1, e qual a principal conseqüência dessa propriedade? R:____________________________________________________________

7 Complete a tabela e construa o gráfico da função seno :

0 π/2 π 3π/2 2π

8 Responda as perguntas. a) O dispositivo “ciclo trigonométrico” (utilizado pelo professor) esclareceu

algum conceito? Qual? b) Com a construção das figuras com o Cabri II, você aprendeu alguns

conceitos trigonométricos? Quais? R: