UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO CARLOS ALBERTO DE SOUZA CABELLO

RELAÇÕES INSTITUCIONAIS PARA O ENSINO DA NOÇÃO DE JUROS NA TRANSIÇÃO ENSINO MÉDIO E ENSINO SUPERIOR

SÃO PAULO 2010

CARLOS ALBERTO DE SOUZA CABELLO MESTRADO ACADÊMICO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

RELAÇÕES INSTITUCIONAIS PARA O ENSINO DA NOÇÃO DE JUROS NA TRANSIÇÃO ENSINO MÉDIO E ENSINO SUPERIOR

Dissertação submetida à Banca Examinadora da Universidade Bandeirante de São Paulo, como exigência parcial para a obtenção do título de Mestre em Educação Matemática. Orientador: Prof. Dra. TÂNIA MARIA MENDONÇA

CAMPOS e Coorientadora Prof.ª Dra. MARLENE ALVES DIAS.

SÃO PAULO 2010

Cabello, Carlos Alberto de Souza Relações Institucionais para o Ensino da Noção de Juros na Transição

Ensino Médio e Ensino Superior. / Carlos Alberto de Souza Cabello. São Paulo: [s.n.], 2010.

163f. Il. ; 30 cm. Dissertação de Mestrado para a obtenção do título de Mestre em

Educação Matemática. Programa de Pós Graduação em Educação Matemática da Universidade Bandeirante de São Paulo.

Orientadora: Prof. Dra. Tânia Maria Mendonça Campos e Coorientadora Prof.ª Dra Marlene Alves Dias.

À minha amada família,

MARIÂNGELA, RAFAELA e MARIA EDUARDA.

Em todas as minhas realizações,

sempre presentes.

AGRADECIMENTOS

A DEUS, por ter me concedido mais uma oportunidade na vida.

À PROFESSORA DOUTORA TÂNIA MARIA MENDONÇA CAMPOS e à PROFESSORA DOUTORA

MARLENE ALVES DIAS, pelo carinho, dedicação e paciência com os quais orientou esta

pesquisa. Fica muito difícil encontrar palavras que demonstrem meus

agradecimentos a vocês.

Ao PROFESSOR DOUTOR HERMÍNIO BORGES NETO, que participou da minha

qualificação dando sugestões que permitiram melhorar o trabalho.

Às queridas “professoras da Linha de Pesquisa Ensino e Aprendizagem”,

PROFESSORA DOUTORA LULU, PROFESSOR DOUTOR ALESSANDRO e PROFESSORA

DOUTORA VERA, pelos conhecimentos transmitidos de forma tão cuidadosa e

comprometida ao longo de todo o programa. Não posso deixar de registrar meu

carinhoso agradecimento.

A todos os colegas do programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da

Universidade Bandeirante de São Paulo, companheiros de caminhada com quem

muito aprendi.

Agradeço, em especial, à minha esposa e às minhas filhas, por entenderem a minha

falta em alguns momentos na preparação deste trabalho.

A todos os professores do programa de Pós-Graduação em Educação Matemática

da Universidade Bandeirantes de São Paulo, por todo o aprendizado e experiência

que proporcionaram.

RESUMO

CABELLO, Carlos Alberto de Souza. Relações Institucionais para o ensino da noção de juros na transição Ensino Médio e Ensino Superior. 2010. 197f. Dissertação de Mestrado – Programa de Pós Graduação em Educação Matemática. Universidade Bandeirante de São Paulo, São Paulo.

O objetivo deste trabalho é apresentar as possíveis relações institucionais para o ensino da noção de juros na transição Ensino Médio e Ensino Superior por meio de documentos oficiais, análise de livros didáticos e de alguns planos de ensino de universidades federais e particulares. Para o desenvolvimento da pesquisa escolheu-se como referencial central a abordagem antropológica de Chevallard e Bosch (1999), tendo como referenciais teóricos de apoio os trabalhos de Robert (1997), sobre os três níveis de conhecimentos esperados dos estudantes, e de Douady (1984; 1992), sobre articulações de domínios de quadros. Iniciamos a investigação a partir do trabalho de Bosch e Chevallard (1999), com intuito de fundamentar uma análise dos Parâmetros Curriculares do Estado de São Paulo, de três livros didáticos do Ensino Médio, dois do Ensino Superior e alguns planos de ensino de universidades federais e particulares. Analisamos o “topos” esperado do professor e do estudante. Elaboramos uma grade de análise para auxiliar a identificação dos ostensivos e não ostensivos nas tarefas apresentadas nos livros didáticos e planos de ensino. Essa grade de análise também propiciou condições de identificarmos os quadros numérico, algébrico e geométrico encontrados nas tarefas resolvidas e propostas. Na conclusão dessas análises identificamos pouca relação entre o conhecimento esperado do estudante diante das relações institucionais e livros didáticos, ou seja, os estudantes, por alguma razão, não apropriaram conhecimentos, tais como progressão aritmética, função afim, ao manipularem tarefas com juros simples e função exponencial, e noções de logaritmos, ao resolverem tarefas com o uso de conceitos de juros compostos. Percebemos que existe pouca coerência entre o que os estudantes trazem do Ensino Médio e o que é pedido e ensinado no Ensino Superior. Com poucas articulações entre os conhecimentos esperados e trazidos do Ensino Médio, não conseguem articular o aprendido na etapa escolar anterior para apropriar do novo conhecimento.

Palavras-chave: Noções de juros, ostensivos e não ostensivos níveis de conhecimentos, domínio ou quadros.

ABSTRACT

CABELLO, Carlos Alberto de Souza. Institutional Relations for Teaching Concept of Interest in Transition School and Higher Education. 2010. 197f. Master Thesis – Graduate Program in Mathematics Education. Bandeirantes University of São Paulo, São Paulo.

The aim of this paper is to present the possible institutional relationships to the teaching of the concept of interest in the transition and Higher Secondary Education by official documents, analysis of textbooks and teaching plans for some federal and private universities. To develop the research was chosen as a central reference anthropological approach Bosch and Chevallard (1999), having as theoretical support the work of Robert (1997) on the three levels of knowledge expected of students and Douady (1984, 1992 ) on areas of joint frames. We began this research from the work of Bosch and Chevallard (1999), in order to justify an analysis of the Curriculum of the State of Sao Paulo, three high school textbooks, two of Higher Education and some private education in federal and individuals. We analyze the "Topos” expected of the teacher and student. We developed a grid analysis to help identify the overt and not ostentatious in the tasks presented in textbooks and teaching plans. This grid of analysis also provided conditions for identifying the frames numerical, algebraic and geometric found and solved the tasks proposed. At the conclusion of this analysis we identified little relationship between knowledge expected of the student in the face of institutional relations and textbooks, or students for any reason not appropriated knowledge such as arithmetic progression, function in order to handle tasks with simple interest and exponential function and notions of logarithms to solve tasks using the concepts of compound interest. We realize there is little consistency between what students bring to school and what is required and taught in higher education with few links between the expected knowledge and brought high school. They can not articulate what they learned in school prior to step ownership of new knowledge.

Keywords: Concepts of interest, and not ostentatious ostentatious, levels of knowledge, domain, or frames.

LISTA DE TABELAS

TABELA 1: TAREFAS ANALISADAS ....................................................................... 98

TABELA 2: OBRAS ANALISADAS NA PESQUISA .................................................. 110

TABELA 3: TAREFAS RESOLVIDAS E PROPOSTAS NA OBRA DE DANTE, 2008................................................................................................................... 122

TABELA 4: TAREFAS RESOLVIDAS E PROPOSTAS NA OBRA DE GIOVANNI E BONJORNO, 2005. ........................................................................................... 127

TABELA 5: TAREFAS RESOLVIDAS E PROPOSTAS NA OBRA DE XAVIER & BARRETO, 2005. .............................................................................................. 131

TABELA 6: TAREFAS RESOLVIDAS E PROPOSTAS NA OBRA DE SOBRINHO, 2000................................................................................................................... 136

TABELA 7: TAREFAS RESOLVIDAS E PROPOSTAS NA OBRA DE PUCCINI, 2008...................................................................................................................ERRO! INDICADO

.

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 12

1 PROBLEMÁTICA, OBJETIVO E METODOLOGIA DA PESQUISA........................ 18

1.1 ............................................................................. 18 CONTEXTO DA PESQUISA

1.2 ..................................................................... 21 PROBLEMÁTICA DA PESQUISA

1.3 ............................................................................. 23 OBJETIVOS DA PESQUISA

1.4 ...................................................................... 24 METODOLOGIA DA PESQUISA

2 ABORDAGEM ANTROPOLÓGICA NA ANÁLISE DAS RELAÇÕES INSTI-TUCIONAIS PARA O ENSINO DA NOÇÃO DE JUROS NA TRANSIÇÃO ENSINO MÉDIO E ENSINO SUPERIOR................................................................... 27

2.1 ............................................................................ 27 CONSIDERAÇÕES INICIAIS

2.2 REFERENCIAL TEÓRICO CENTRAL ............................................................... 29

2.3 ........................................................... 41

AS NOÇÕES DE QUADRO E MUDANÇA DE QUADRO CONFORME DEFINIÇÃO DE DOUADY (1984, 1992)

2.4 OS TRÊS NÍVEIS DE CONHECIMENTO ESPERADOS DOS ESTUDANTES CONFORME DEFINIÇÃO DE ROBERT (1997, 1998)...................................... 42

2.5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................... 44

3 O “TOPOS” DO ESTUDANTE E DO PROFESSOR NOS DOCUMENTOS OFI-CIAIS ......................................................................................................................... 45

3.1 ............................................................................ 45 CONSIDERAÇÕES INICIAIS

3.2 ........................................................................................................... 48

OS PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS PARA O ENSINO MÉDIO (PCNEM)

3.3 ............................................................................................................... 59

OS PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS PARA O ENSINO MÉDIO (PCN+)

3.4 ..... 59

OS PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS PARA O ENSINO MÉDIO (PCN+) – PROPOSTAS PARA ENSINO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA

3.5 .............. 62 A NOVA PROPOSTA CURRICULAR DO ESTADO DE SÃO PAULO

3.6 .................................................................................. 68

ESTUDOS DE QUATRO PLANOS DE ENSINO DE UNIVERSIDADES PÚBLICAS E PRIVADAS

3.7 ............................................................ 69

ANÁLISE DO PLANO DE ENSINO DE DUAS UNIVERSIDADES FEDERAIS E DUAS UNIVERSIDADES PRIVADAS

3.7.1 ....................................................................... 70

ANÁLISE DO PLANO DE ENSINO DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS (UFAM)

3.7.2 .......... 70 Diretrizes curriculares do curso de Administração de Empresas

3.7.3 ...................... 71 Plano de ensino da Universidade Federal do Amazonas

3.7.4 ......................................................................... 73 Comentários e análises

3.8

74

ANÁLISE DO PLANO DE ENSINO DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL – INSTITUTO DE MATEMÁTICA – DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA..................................................................

3.8.1 ......................................................................... 75 Comentários e análises

3.9 ..... 75 ANÁLISE DO PLANO DE ENSINO DAS FACULDADES DAS AMÉRICAS

3.9.1 Comentários e análise .............................................................................. 77

3.10 PLANO DE ENSINO DA FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS – SÃO PAULO..... 77

3.10.1 Comentários e análises .......................................................................... 80

3.11 CONSIDERAÇÕES FINAIS .............................................................................. 80

4 OS TIPOS DE TAREFAS SOBRE JUROS SIMPLES E COMPOSTOS QUE SUSTENTAM AS RELAÇÕES INSTITUCIONAIS DO ENSINO MÉDIO E SUPERIOR ................................................................................................................ 82

4.1 ............................................................................ 82 CONSIDERAÇÕES INICIAIS

4.2 .............................................................................................................. 82

AS FERRAMENTAS DE ANÁLISE UTILIZADAS NA CONSTRUÇÃO DA GRADE

4.3 AS TAREFAS USUAIS SOBRE AS NOÇÕES DE JUROS SIMPLES E COMPOSTOS QUE ALIMENTAM AS RELAÇÕES INSTITUCIONAIS TANTO PARA O ENSINO MÉDIO COMO PARA O ENSINO SUPERIOR .................... 97

4.4 .................................................................................... 98 A GRADE DE ANÁLISE

4.5 FUNCIONAMENTOS DA GRADE: EXEMPLOS:............................................... 99

4.6 .............................................................................. 106 CONSIDERAÇÕES FINAIS

5 AS RELAÇÕES INSTITUCIONAIS EXISTENTES PARA INTRODUÇÃO E DESENVOLVIMENTO DAS NOÇÕES DE JUROS SIMPLES E COMPOSTOS NA TRANSIÇÃO ENSINO MÉDIO E ENSINO SUPERIOR ..................................... 108

5.1 ............................................................................ 108 CONSIDERAÇÕES INICIAIS

5.2 ................................................ 112 ANÁLISE DA OBRA DE DANTE ET AL. (2008)

5.2.1 Comentários e análise .............................................................................. 112

5.2.2 .................................................. 118 O “topos” do professor e do estudante

5.3 .................. 124 ANÁLISE DA OBRA DE GIOVANNI & BONJORNO ET AL. (2005)

5.3.1 Comentários e análise .............................................................................. 123

5.3.2 .................................................. 125 O “topos” do professor e do estudante

5.4 ........................ 127 ANÁLISE DA OBRA DE XAVIER E BARRETO ET AL. (2005)

5.4.1 O “topos” do professor e do estudante .................................................. 130

5.5 ........................................ 131 ANÁLISE DA OBRA DE SOBRINHO ET AL. (2000)

5.5.1 ........................................................................... 131 Comentários e análise

5.5.2 O “topos” do professor e do estudante .................................................... 135

5.6 ANÁLISE DA OBRA DE PUCCINI ET AL. (2008) ............................................. 138

5.6.1 Comentários e análise .............................................................................. 138

5.6.2 .................................................. 143 O “topos” do professor e do estudante

5.7 .............................................................................. 145 CONSIDERAÇÕES FINAIS

CONSIDERAÇÕES FINAIS E PERSPECTIVAS FUTURAS .......................................... 148

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................ 152

ANEXOS

ANEXO 1: DIRETRIZES CURRICULARES DO CURSO DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS ............................................................................................................... 157

ANEXO 2: PLANO DE AULAS DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS (UFAM) ...................................................................................................................... 159

ANEXO 3: PLANO DE AULAS DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL (UFRGS) ............................................................................................................ 160

ANEXO 3 (CONT.)............................................................................................................ 161

ANEXO 4: PLANO DE AULAS DA FACULDADE DAS AMÉRICAS ................................ 162

ANEXO 5: PLANO DE AULAS DA FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS DE SÃO PAULO (FGV-SP) ................................................................................................................... 163

12

INTRODUÇÃO

Em nossa prática, trabalhando com o Ensino Superior observamos que, em

geral, alguns estudantes não se apropriam de certos conhecimentos desenvolvidos

no Ensino Médio, o que é necessário para o desenvolvimento adequado do

processo de ensino e aprendizagem. Quando consideramos, mais especificamente,

a Matemática Financeira e, em particular, as noções de juros simples e compostos,

temos a sensação que nada foi trabalhado sobre essas noções nas etapas

anteriores da escolaridade.

Nas propostas institucionais as noções de juros simples e compostos são

abordadas no Ensino Fundamental e revisitadas no Ensino Médio. Além disso, em

nosso país, considerando as taxas de juros, as correções mensais de contas a

pagar e impostos, os cheques especiais e as vendas a prazo, entre outros

exemplos, parece-nos importante para os estudantes que terminam o Ensino Médio

dispor das ferramentas matemáticas necessárias para efetuar esses cálculos e

assim exercerem adequadamente a cidadania.

Dessa forma, nesta pesquisa nosso objetivo é estudar as possíveis relações

institucionais trabalhadas no Ensino Médio, quando se consideram as noções de

juros simples e compostos, de modo a identificar os conhecimentos prévios que

podem ser pelo menos mobilizados pelos estudantes que iniciam o curso de

Administração no Ensino Superior.

Ou seja, o que se desenvolve no Ensino Médio sobre a noção de juros

simples e compostos pode servir de apoio para o desenvolvimento da disciplina de

Matemática Financeira nos cursos universitários de Administração de Empresa.

Iniciamos este estudo a partir do seguinte questionamento:

13

1. Quais os conhecimentos prévios sobre a noção de juros simples e compostos

são desenvolvidos no Ensino Médio?

2. Quais as articulações entre esses conhecimentos e os conhecimentos

matemáticos necessários para o controle e justificativa das técnicas

associadas às noções de juros simples e compostos?

3. Qual o papel esperado do professor no trabalho com essas noções?

4. Qual o papel esperado dos estudantes no trabalho com essas noções?

5. Quais as indicações das Diretrizes Curriculares Nacionais dos cursos de

graduação em Administração para o ensino da noção de juros simples e

compostos para o curso de Administração?

6. Existe uma coerência entre o que é proposto para o Ensino Médio e Superior,

isto é, os conhecimentos prévios supostos disponíveis são trabalhados no

Ensino Médio conforme a expectativa do Ensino Superior?

O referencial teórico central escolhido para sustentar as análises propostas e

responder as questões acima são a Teoria Antropológica do Didático de Chevallard

(1992), Chevallard (1994) e Bosch e Chevallard (1999), que estuda, mais

especificamente, as relações institucionais que sobrevivem atualmente quando se

trabalha com as noções de juros e simples e compostos tanto no Ensino Médio

como no Ensino Superior.

Por outro lado, para melhor compreender as organizações matemáticas e

didáticas encontradas, recorremos ainda às noções de quadros e mudanças de

quadros segundo definição de Douady (1984, 1992) e níveis de conhecimento

esperados dos estudantes, conforme definição de Robert (1997).

Escolhido o referencial teórico, dividimos o trabalho de coleta dos dados em

três fases que correspondem à construção da ferramenta de análise dos livros

didáticos, o estudo das relações institucionais esperadas e existentes para o

trabalho com as noções de juros simples e compostos no Ensino Médio e na

14

sequência realizamos o mesmo estudo para o Ensino Superior, conforme descrição

das fases apresentadas abaixo.

Na primeira fase, construímos uma grade de análise, inspirada naquela

desenvolvida por Dias (1998) em sua tese, que estuda os problemas da articulação

de pontos de vista cartesiano e paramétrico no ensino de Álgebra Linear e que

serviu de ferramenta para a análise dos livros didáticos tanto de Ensino Médio como

do Ensino Superior.

Na segunda fase, analisamos as relações institucionais esperadas e

existentes, isto é, quais as organizações matemáticas e didáticas a que, em geral,

os estudantes se submetem quando se trabalha com as noções de juros simples e

compostos no Ensino Médio? Esse conceito é articulado com outras noções

matemáticas desenvolvidas nesta mesma etapa da escolaridade.

Essas análises, quando se considera o Ensino Médio, foram desenvolvidas

por meio do estudo dos documentos oficiais, em que são apresentadas as

expectativas institucionais ou relações institucionais esperadas para o

desenvolvimento das noções matemáticas a serem trabalhadas no Ensino Médio, e

de alguns livros didáticos indicados pelo Programa Nacional do Livro Didático do

Ensino Médio (PNLEM, 2009), e que, para efeito de análise, consideramos relações

institucionais existentes, isto é, as organizações matemáticas e didáticas a que, em

geral, os estudantes se submetem atualmente quando passam por essa etapa

escolar.

Na terceira fase, analisamos as relações institucionais esperadas e existentes

para o trabalho com a noção de juros simples e compostos nos cursos de

Administração no Ensino Superior.

Essas análises foram realizadas via planos de ensino de duas universidades

públicas e duas faculdades privadas para as relações institucionais esperadas e

livros didáticos indicados na bibliografia básica dos mesmos cursos para as relações

institucionais existentes, ou seja, o mesmo tipo de análise foi conduzido para

15

identificar algumas das organizações matemáticas e didáticas que sobrevivem

atualmente tanto no Ensino Médio como no Ensino Superior.

Numa quarta fase realizamos a construção de uma grade de análise,

inspirada na grade de Dias (1998), para o exame das relações institucionais

existentes. Observamos que a grade de análise permite identificar as tarefas usuais

que sobrevivem atualmente no processo de ensino e aprendizagem e estudar as

práticas institucionais privilegiadas nesse processo.

Em uma quinta fase fizemos um estudo das relações institucionais existentes

por meio da grade de análise construída com esse objetivo, via livros didáticos

indicados acima, tanto para o Ensino Médio como para o Ensino Superior.

E em uma última fase elaboramos uma análise das similaridades e diferenças

entre os resultados encontrados nos itens 3 e 4, ou seja, nos estudos das relações

institucionais esperadas e existentes tanto para o Ensino Médio como para o Ensino

Superior.

Os resultados deste estudo são aqui apresentados da seguinte forma.

No capítulo 1 caracterizamos nosso trabalho apresentando o contexto da

pesquisa, sua problemática e a metodologia específica empregada para o seu

desenvolvimento.

No capítulo 2 apresentamos o referencial teórico da pesquisa explicitando as

noções que servem de ferramenta de análise quando da construção da grade de

análise.

O capítulo 3 utilizou a noção de “Topos” do estudante e do professor

introduzida por Chevallard (1997) para examinar os documentos oficiais que

correspondem às relações institucionais que se espera sejam trabalhadas por

professores e estudantes do Ensino Médio e do Ensino Superior.

Os documentos analisados são: os Parâmetros Curriculares Nacionais, a

Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo quando se consideram o Ensino

16

Médio, as Diretrizes Curriculares Nacionais do Curso de Graduação de

Administração, os planos de ensino de duas universidades públicas e duas

faculdades privadas para o Ensino Superior.

No capítulo 4, apresentamos a grade de análise construída para identificar os

tipos de tarefas e as respectivas técnicas que constituem a prática atual para o

desenvolvimento da noção de juros simples e compostos tanto no Ensino Médio

como no Ensino Superior.

No capítulo 5 apresentamos os resultados das análises sobre as diferentes

propostas de trabalho com a noção de juros simples e compostos tanto para o

Ensino Médio como para o Ensino Superior.

Essas análises se apoiam na grade apresentada no capítulo 4, e, além de

permitir qual o trabalho privilegiado quando se introduz a noção de juros simples e

compostos no Ensino Médio e Superior, possibilita a comparação entre as relações

institucionais esperadas e existentes para uma mesma etapa escolar e a

identificação dos conhecimentos prévios que podem ser considerados pelo menos

mobilizável para os estudantes que ingressam no Ensino Superior.

Nas considerações finais constatamos que existe uma preocupação

institucional em propor mudanças tanto para “topos” do professor como para o

“topos” dos estudantes, em que o primeiro deve desenvolver seu trabalho como

orientador de tarefas que permitam aos estudantes encontrar suas próprias

soluções, a partir de seus conhecimentos prévios e procurando novas situações que

lhes deem autonomia para controlar a aprendizagem, sendo essa uma competência

importante para sua atuação na sociedade e no mundo do trabalho.

Mas essa nova relação institucional não é simples de alcançar e conduz a

necessidade de pesquisas e propostas de cursos que auxiliem os professores a

desenvolver diferentes tipos de atividades, em particular, as situações

contextualizadas, como propõem os documentos oficiais para motivar esse trabalho.

17

Observamos aqui que, mesmo considerando importante esse tipo de trabalho

a ser desenvolvido pelo professor, os documentos oficiais pouco ajudam, pois não

trazem orientações mais específicas sobre como desenvolver esse trabalho.

Finalmente, ressaltamos que os livros didáticos podem auxiliar professores na

proposta de novas tarefas e na articulação de diferentes conhecimentos e os

estudantes na organização de seus estudos.

Ressaltamos a importância e interesse do caderno da Nova Proposta do

Estado de São Paulo por ter sido construído sob a óptica de apresentar exemplos de

situações contextualizadas, o qual pode ser de grande valia para os professores.

Entretanto, vale observar que neles os conhecimentos prévios esperados, como

disponíveis são os conceitos de função afim e progressão aritmética para solucionar

tarefas que envolvem juros simples e função exponencial e progressão geométrica,

para resolver tarefas que envolvem juros compostos.

Tais conhecimentos supostos pelo menos mobilizáveis devem ser

identificados enquanto tal, pois podem dificultar o trabalho dos professores quando

isso não ocorrer, ou seja, os materiais didáticos analisados são ferramentas

importantes que precisam ser avaliadas e trabalhadas por professores e estudantes

em um mesmo compasso, para que as expectativas institucionais possam se

realizar.

 

 

 

 

 

 

18

Capítulo 1

PROBLEMÁTICA, OBJETIVO

E METODOLOGIA DA PESQUISA

1.1 CONTEXTO DA PESQUISA

Após me formar em Administração de Empresas com ênfase em Análises de

Sistemas, trabalhei em um Banco Comercial atuando como Analista de Suporte a

Sistemas Financeiros, e nessa profissão senti que as necessidades da Matemática

eram grandes, mas o conhecimento desenvolvido na escola pouco me auxiliavam no

desenvolvimento de minhas tarefas profissionais. Em função das necessidades do

Banco, fui convidado a envolver-me em Sistemas Financeiros e Sistemas

Informatizados. Para melhorar meu desempenho fiz uma Especialização Pedagógica

com ênfase em Matemática.

A partir de 1992, iniciei minha carreira como professor em uma Escola

Técnica, na qual ministrava aulas de Matemática e Administração Comercial. Nesse

contexto, algumas inquietações foram surgindo em minha prática.

Esse novo tipo de trabalho me levou ao curso de especialização em

Psicopedagogia, pois procurava entender as razões das dificuldades dos estudantes

e como poderia amenizá-las. Nessa época, tive a oportunidade de ingressar na

Docência do Ensino Superior, tendo a tarefa de trabalhar com Matemática

Financeira no Curso de Administração.

Reflexo da crise que as Instituições Financeiras enfrentavam naquela época,

acabei por ficar somente na carreira docente.

Em 2008, iniciei o mestrado em Educação Matemática, e, em função do meu

trabalho no curso de Administração com a disciplina de Matemática Financeira,

propus um projeto que pudesse me auxiliar a compreender as dificuldades

encontradas pelos estudantes do curso de Administração em relação às noções de

juros simples e compostos.

19

Como não trabalho essa disciplina no Ensino Médio, consideramos

interessante a possibilidade de inserir essa proposta no projeto Capes – Cofecub

que vem sendo desenvolvido por professores da Uniban, mais especificamente as

questões da transição entre o Ensino Médio e o Ensino Superior.

Nesse projeto, as questões associadas à transição entre o Ensino Médio e

Superior referem-se preferencialmente à Matemática que se trabalha nos primeiros

anos dos cursos de Bacharelado e Licenciatura em Matemática, o que difere em

relação ao trabalho a ser desenvolvido com os estudantes dos cursos de

Administração de Empresas, em que a Matemática funciona como ferramenta

explícita para desenvolver e explicar questões financeiras.

Outros estudos vêm sendo realizados por pesquisadores internacionais,

destacamos os trabalhos franceses de Artigue (2004) e Gueudet (2008), que são

pesquisadores com os quais estamos desenvolvemos o projeto de transição.

Em seu artigo de 2004, Artigue afirma que para as carreiras científicas

existem muitos desafios que indicam a necessidade da atenção dos pesquisadores

de Educação Matemática: massificação do ensino, defasagem em relação às

mudanças que se efetuaram no secundário e que não ocorre no universitário e a

evolução das novas tecnologias que afetam tanto as práticas matemáticas como a

ação didática.

Observamos aqui que, mesmo não se tratando de uma carreira científica, o

curso de Administração de Empresas enfrenta esse mesmo problema, e a questão

da inserção das novas tecnologias é uma das necessidades dos estudantes, uma

vez que no mercado profissional elas são dominantes, em particular, as calculadoras

financeiras e as planilhas tipo Excel.

Além disso, em Artigue (2004) notamos que a autora, ao estudar os trabalhos

sobre a aprendizagem de Matemática no nível universitário, mostra a evolução dos

mesmos e considera que eles colocam em evidência as questões sobre a

articulação de conhecimentos e representações, da flexibilidade na aprendizagem,

20

da crescente consideração das abordagens antropológicas e socioculturais e do

desenvolvimento de pesquisas sobre novos domínios ou setores de formação.

Essas novas questões são importantes para a nossa pesquisa, pois nela

tentamos compreender quais as propostas institucionais desenvolvidas no Ensino

Médio e Superior para diferentes tipos de instituições e verificar como esse trabalho

pode auxiliar professores e estudantes dessas duas etapas escolares a melhor

compreender e utilizar seus conhecimentos sobre as noções de juros simples e

compostos.

Observamos ainda que Gueudet (2008) considera que é possível analisar as

questões ligadas à transição entre o Ensino Médio e Superior de diferentes formas,

a saber: sobre os modos de pensar, sobre as organizações de conhecimentos,

sobre as linguagens de modos de comunicação e sobre as instituições.

No nosso trabalho nos centramos particularmente no estudo dos modos de

comunicação e nas matemáticas praticadas nas instituições. Ou seja, tratamos a

questão da comunicação observando as diferenças entre os sinais e os discursos

utilizados no Ensino Médio e o que se espera no Ensino Superior, e como as novas

regras de comunicação impõem um trabalho que ultrapassa a simples determinação

do resultado, mas é preciso discuti-lo e justificar seu impacto. No que se refere às

práticas das instituições, escolhemos o estudo das propostas institucionais via

documentos oficiais e livros didáticos para o Ensino Médio e Superior.

Acreditamos que o estudo comparado das propostas institucionais para o

Ensino Médio e Superior, que corresponde às relações institucionais esperadas, e a

análise dos livros didáticos indicados para essas duas etapas escolares podem

auxiliar a compreender tanto as novas regras de comunicação como as diferenças

que se impõem quando da transição entre o Ensino Médio e Superior, ou seja,

escolhemos a Teoria Antropológica do Didático como central para a realização

desse trabalho. Observamos ainda que ao iniciar nosso trabalho, fizemos uma

pesquisa das dissertações e teses dos últimos dez anos e encontramos apenas o

trabalho de Nascimento (2004), cujo objetivo é identificar o que sabem os

21

estudantes e o que pensam os professores do Ensino Médio a respeito da

Matemática Financeira nessa etapa da escolaridade.

Isso mostra que existem poucos estudos sobre as questões associadas à

Matemática Financeira, em particular, quando se considera a transição entre o

Ensino Médio e Superior e mais especificamente para um domínio diferente da

Matemática, ou seja, o curso de Administração de Empresas, no qual a Matemática

serve de ferramenta explícita para o cálculo dos resultados associados ao mercado

financeiro.

Apresentado o contexto da pesquisa, passamos à descrição da problemática.

1.2 PROBLEMÁTICA DA PESQUISA

Nesta pesquisa procura-se identificar, por meio do estudo documental das

relações institucionais esperadas e existentes, como estão sendo trabalhadas as

noções de juros simples e compostos na transição entre o Ensino Médio e Superior.

Observamos que este estudo pode auxiliar na proposição de novas formas de

comunicação e linguagem, assim como de novos tipos de tarefas e técnicas, que

poderão auxiliar professores e estudantes, tanto do Ensino Médio como do Ensino

Superior, a melhor desenvolver seu papel ao trabalharem com a noção de juros

simples e compostos. Ressaltamos que é importante para os estudantes dos cursos

de Administração de Empresas que eles tenham um discurso coerente que explique

e justifique os resultados encontrados.

Portanto, é preciso que os estudantes de Administração de Empresas, ao

terminarem o curso universitário, sejam capazes de utilizar seus conhecimentos

sobre as questões de Matemática Financeira em que as noções de juros simples e

compostos, em particular de juros compostos, serão objetos de reflexão diária para a

tomada de decisões.

Ressaltamos ainda que, embora em proporção menor, o mesmo ocorre com

os estudantes do Ensino Médio, que precisam da noção de juros compostos para ao

22

menos exercerem a cidadania, uma vez que o cotidiano exige o domínio desse

conhecimento para a tomada de decisão, pelo menos, para seus gastos pessoais.

Dessa forma, consideramos que é importante o trabalho com as diferentes

ferramentas matemáticas que possibilitam compreender as noções de juros simples

e compostos no Ensino Médio, e que é preciso saber que conhecimentos sobre

essas noções foram desenvolvidos nessa etapa escolar e, ainda, se os mesmos

podem servir de apoio para o estudo de Matemática Financeira no Ensino Superior,

isto é se desejamos trabalhar de forma articulada precisamos identificar as

ferramentas que temos a nossa disposição.

Para isso, partimos da questão enunciada abaixo, que possibilitou uma

primeira reflexão e o questionamento mais específico em função do

desenvolvimento da pesquisa.

O estudo das práticas institucionais esperadas e existentes para o trabalho com a

noção de juros simples e compostos na transição entre o Ensino Médio e Superior

permite identificar uma tendência que permita dar significado à sua aprendizagem?

Entendam-se aqui por práticas institucionais esperadas e existentes as

propostas institucionais em relação aos diferentes tipos de tarefas e técnicas que

são consideradas como conhecimentos a serem desenvolvidos nas instituições tanto

de Ensino Médio como de Ensino Superior visando à aprendizagem e aplicação das

noções de juros simples e compostos.

A partir desse questionamento consideramos que o trabalho desenvolvido no

Ensino Médio pode servir de apoio para a introdução da Matemática Financeira nos

cursos de Administração de Empresas e que em função disso no Ensino Superior é

preciso mostrar a relação entre o que foi desenvolvido no Ensino Médio, o que pode

ser utilizado da mesma forma e os novos modos de funcionamento em que se

consideram os novos modos de pensar, as novas linguagens, as novas formas de

comunicação e as novas expectativas institucionais que estão associadas às novas

práticas com a introdução das novas tecnologias.

23

Dessa forma, nesta pesquisa procuramos compreender como os

conhecimentos associados às noções de juros simples e compostos desenvolvidos

no Ensino Médio podem ser considerados pelo menos como mobilizáveis quando se

fazem necessários na disciplina de Matemática Financeira para os cursos de

Administração de Empresas no Ensino Superior.

Delineada a problemática da pesquisa, descrevemos abaixo o objetivo da

mesma.

1.3 OBJETIVOS DA PESQUISA

O objetivo desta pesquisa é identificar por meio da análise documental as

expectativas institucionais para o trabalho com as noções de juros simples e

compostos na transição entre o Ensino Médio e Superior quando se considera a

disciplina de Matemática Financeira para os cursos de Administração de Empresas.

Em função desse objetivo, os objetivos específicos são:

1. A identificação das relações institucionais esperadas do ponto de vista das

organizações matemáticas, didáticas e pedagógicas propostas tanto para o Ensino

Médio como para o Ensino Superior.

2. A identificação das relações institucionais existentes, ou seja, das propostas de

trabalho com as noções de juros simples e compostos que sobrevivem atualmente,

tanto para o Ensino Médio como para o Ensino Superior.

3. Verificar se existe coerência entre as relações institucionais esperadas e existentes e

qual a possibilidade do trabalho a ser efetuado na disciplina de Matemática

Financeira dos cursos de Administração de Empresas do Ensino Superior se apoiar

nos conhecimentos que se supõem tenham sido trabalhados e fazem parte da

estrutura cognitiva dos estudantes que ingressam no Ensino Superior.

Apresentados os objetivos da pesquisa passamos à metodologia utilizada para executá-la.

24

1.4 METODOLOGIA DA PESQUISA

Escolhemos o método da pesquisa documental para desenvolver esta

pesquisa, uma vez que nosso objetivo é identificar as expectativas institucionais

para o trabalho com as noções de juros simples e compostos, tanto no Ensino Médio

como no Ensino Superior, e verificar a possibilidade de utilizar os conhecimentos

desenvolvidos no Ensino Médio pelo menos como conhecimentos prévios

mobilizáveis quando da introdução da disciplina de Matemática Financeira nos

cursos de Administração de Empresas no Ensino Superior.

Para isso, utilizamos os documentos oficiais para o Ensino Médio:

Diretrizes Curriculares para o Ensino Médio (1998), Parâmetros Curriculares

Nacionais para o Ensino Médio (2000, 2002) e Nova Proposta Curricular do Estado

de São Paulo (2008).

Para o Ensino Superior pesquisamos as Diretrizes Curriculares Nacionais

para os Cursos de Administração de Empresas (Resolução n.º 04, de 13.07.2005) e

planos de ensino de quatro universidades, sendo dois de universidades federais:

Universidade Federal do Amazonas (UFAM) e Universidade Federal do Rio Grande

do Sul (UFRGS).

Analisamos também o plano de ensino da Fundação Getúlio Vargas (FGV-

SP) – Escola de Administração de Empresas de São Paulo e Faculdade das

Américas. Esses documentos permitem a análise das relações institucionais

esperadas. As relações institucionais existentes foram analisadas por meio de livros

didáticos indicados no Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio

(PNLEM – 2009), e as obras escolhidas para análise foram: Matemática, volume

único, de Luiz Roberto Dante (2008) avaliado e novamente aprovado pelo Programa

Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio (PNLEM, 2009), que, segundo os

avaliadores, traz uma abordagem inovadora dos conteúdos a serem trabalhados no

Ensino Médio.

25

Com o mesmo critério escolhemos a segunda obra, Matemática aula por aula,

de Claudio Xavier da Silva e Benigno Barreto Filho, et al. (2005), terceiro ano,

também reavaliada e aprovada pelo PNLEM (2009) e que trata explicitamente o

desenvolvimento histórico da matemática financeira.

Ainda em relação ao Ensino Médio, selecionamos a obra Matemática

completa, de José Ruy Giovanni e José Roberto Bonjorno, et al. (2005), primeiro

ano, que também compõe a lista dos livros analisados e aprovados pelo PNLEM

(2009) e que propõe exemplos de situações contextualizadas.

Para a análise no Ensino Superior, as obras selecionadas referem-se às

sugeridas nos Planos de Ensino, aos quais tivemos acesso.

A primeira obra escolhida é Matemática financeira, de José Dutra Vieira

Sobrinho, et al. (2000), em que percebemos que na abordagem proposta existe

pouca preocupação de justificar as técnicas desenvolvidas por meio de tecnologias

que mostram a possibilidade para o cálculo das diferentes aplicações financeiras,

em particular, quando se trabalha com a noção de juros compostos. A segunda obra,

Matemática financeira, de Abelardo de Lima Puccini, et al. (2008).

O estudo foi desenvolvido em seis fases:

1. Estudo dos trabalhos de pesquisa existentes, no contexto brasileiro, francês e

outros, sobre a problemática em questão, ou seja, a transição entre o Ensino

Médio e Superior, em particular, quando se considera o domínio da

Matemática Financeira e mais especificamente às noções de juros simples e

compostos.

2. Escolha e estudo do referencial teórico adotado como ferramenta de análise

para a pesquisa.

3. Estudo das relações institucionais esperadas para a introdução das noções

de juros simples e compostos, por meio da ferramenta didática “topos” do

professor e do estudante, via documentos oficiais tanto para o Ensino Médio

como para o Ensino Superior.

26

4. Construção de uma grade de análise, inspirada na grade de Dias (1998), par

análise das relações institucionais existentes. Observamos que a grade de

análise permite identificar as tarefas usuais que sobrevivem atualmente no

processo de ensino e aprendizagem e estudar as práticas institucionais

privilegiadas nesse processo.

5. Estudo das relações institucionais existentes por meio da grade de análise

construída com esse objetivo via livros didáticos indicados acima, tanto para o

Ensino Médio como para o Ensino Superior.

6. Análise das similaridades e diferenças entre os resultados encontrados nos

itens 3 e 4, ou seja, nos estudos das relações institucionais esperadas e

existentes tanto para o Ensino Médio como para o Ensino Superior.

Apresentados o contexto, a problemática, o objetivo e a metodologia da

pesquisa, relatamos no próximo capítulo o referencial teórico que sustenta as

análises propostas.

27

Capítulo 2

ABORDAGEM ANTROPOLÓGICA NA ANÁLISE DAS RELAÇÕES

INSTITUCIONAIS PARA O ENSINO DA NOÇÃO DE JUROS

NA TRANSIÇÃO ENSINO MÉDIO E ENSINO SUPERIOR

2.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS

Sendo o objetivo deste trabalho estudar as possíveis relações institucionais

tratadas no Ensino Médio, quando se reputam as noções de juros simples e

compostos, de forma a identificar os conhecimentos prévios que podem ser pelo

menos mobilizados pelos estudantes do curso de Administração que iniciam o

Ensino Superior, escolhemos como referencial teórico central a Teoria Antropológica

do Didático de Chevallard (1992, 1994, 1996) e Bosch e Chevallard (1999). Essa

teoria permite identificar as diferentes organizações para a introdução e o

desenvolvimento de um conceito matemático, no nosso caso, a noção de juros

simples e compostos quando se considera a transição entre o Ensino Médio e

Superior, em particular, quando se trabalha com essa noção nos cursos de

Administração.

Partimos assim da identificação das relações institucionais, e, como já

anunciado na introdução, distinguimos as relações institucionais esperadas, que

aqui são analisadas via documentos oficiais, em que observamos as diferentes

abordagens propostas para o trabalho com a noção de juros simples e compostos,

tanto no Ensino Médio como no Ensino Superior, e as relações institucionais

existentes, para as quais utilizamos os livros didáticos indicados pelo Programa

Nacional do Livro para o Ensino Médio PNLEM (2009), caderno do aluno e do

professor (2008), quando se considera mais especificamente a Nova Proposta

Curricular do Estado de São Paulo,1 livros didáticos indicados na bibliografia

básica para os cursos de Administração dos planos de ensino de duas universidades

federais (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Instituto de Matemática –

1 Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo: um conjunto de documentos dirigidos aos

professores da Rede Pública do Estado de São Paulo.

28

Departamento de Matemática Pura e Aplicada) e Universidade Federal do

Amazonas – Departamento de Administração) e duas Faculdades Privadas de São

Paulo (Faculdade das Américas – Curso Administração de Empresas) e Fundação

Getulio Vargas. (IMQ – Departamento de Informática e de Métodos Quantitativos

aplicados à Administração – FGV-EAESP). As universidades escolhidas

correspondem àquelas em que tivemos acesso aos planos de ensino.

Como já anunciamos acima, essas análises estão fundamentadas na Teoria

Antropológica do Didático (TAD), de Chevallard (1992, 1994, 1996) e de Bosch e

Chevallard (1999). Portanto, na sequência apresentamos uma breve discussão

sobre a Teoria Antropológica do Didático e sua evolução.

Chevallard (1992) posiciona o ensino no campo da antropologia do

conhecimento ou antropologia do ensino da matemática, que corresponde ao

subcampo antropologia da matemática, ou seja, o estudo do homem em confronto

com a matemática. Esse posicionamento conduz a uma expansão do quadro

escolar, uma vez que a didática está densa em toda a matemática ou ainda toda

atividade matemática supõe uma atividade de estudo. Isso conduz a conceber a

didática da matemática como a ciência do estudo e da ajuda ao estudo das questões

de matemática. Para isso, Chevallard (1992) parte do princípio de “que tudo é

objeto”, distinguindo dois tipos de objeto específicos: as instituições (I), as pessoas

(X) e suas posições nas instituições. Dessa forma, ele considera que as pessoas

contribuem para a existência das instituições, e o conhecimento e o saber podem

ser vistos como uma forma de organização. Isso lhe permite conceber a noção de

relação entre o que ele chama de elementos primitivos da Teoria Antropológica do

Didático: instituição (I), objeto do saber (O) e as pessoas (X), conforme CHEVALLARD,

1992, p. 86-87, apud COSTA, 2008, p. 8.

No caso particular do nosso estudo, as pessoas são os professores e os

estudantes que compõem as instituições de Ensino Médio e Superior, em particular

aqueles que contribuem para a existência dessas instituições e que participam do

processo de transição entre elas. O objeto do saber é a noção de juros simples e

compostos, e procuramos identificar qual a relação das pessoas e instituições com

esse objeto do saber.

29

Lembramos que Chevallard (1992) considera a relação entre o objeto do

saber (O) e os outros elementos de sua teoria, isto é, instituição (I) e as pessoas (X).

Isso lhe permite introduzir as instituições, os objetos do saber e as pessoas como

elementos primitivos que compõem a Teoria Antropológica do Didático (TAD), e a

partir deles considerar a questão das relações existentes entre esses elementos por

meio de uma forma que ele mesmo considera como quase axiomática.

Sem ser exaustivo, na sequência fazemos uma breve descrição dos principais

elementos da teoria antropológica do didático que servem de ferramenta para a

nossa pesquisa e que dessa forma são considerados como parte do que

denominamos referencial teórico central.

2.2 REFERENCIAL TEÓRICO CENTRAL

No desenvolvimento deste estudo, utilizamos como fonte para o nosso

referencial teórico central o trabalho desenvolvido por Bosch e Chevallard (1999)

sob o título A sensibilidade das atividades matemáticas aos ostensivos – objeto de

estudo e problemática, que trata das atividades matemáticas, de sua composição

enquanto materiais manipuláveis usados nas atividades matemáticas e em termos

de conceitos, ideias e representações.

Iniciamos com as noções de tarefas, técnicas, tecnologias e teorias que nos

permitem identificar as diferentes organizações do saber, denominadas por Bosch e

Chevallard (1999) de organizações praxeológicas, ou seja, as organizações que

permitem modelar as práticas sociais, seus componentes, sua evolução e seu

produto. Segundo os autores, a palavra praxeologia salienta a estrutura da

organização tarefa (T), técnica ( ), tecnologia ( ) e teoria ( ). Essa palavra

composta da palavra grega práxis, que significa “prática” e que envia ao bloco

prático técnico [tarefa (T), técnica (

)], e da palavra grega logos, que significa

“discurso fundamentado” e que envia ao bloco tecnológico-teórico [tecnologia ( ) e

teoria ( )]. Os autores consideram ainda que o bloco [tarefa (T), técnica ( )] está

associado ao saber-fazer e o bloco [tecnologia ( ) e teoria ( )], ao saber.

30

Sendo assim, essas organizações auxiliam a compreender as diferentes

propostas para o ensino e aprendizagem de uma determinada noção matemática, no

nosso caso a noção de juros simples e compostos, isto é, qual o papel do saber-

fazer e nas práticas sociais existentes.

Para justificar nossas escolhas e melhor compreender a proposta de Bosch e

Chevallard (1999), apresentamos a seguir um breve histórico sobre a evolução da

didática da matemática e da teoria antropológica do didático, segundo esses

autores.

Eles utilizam duas definições de “didática da matemática” apresentada por

Brousseau em dois momentos diferentes para mostrar que a didática evolui do

estudo das atividades de ensino, conforme Brousseau (1984), para o estudo das

condições de difusão dos saberes matemáticos úteis para as sociedades e para as

instituições da humanidade, segundo Brousseau (1994, 1995), isto é, o objeto de

estudo da didática da matemática se estende para além das práticas matemáticas

escolares, o que justifica seu estudo em termos de organizações praxeológicas,

segundo BOSCH E CHEVALLARD, 1999, p. 79, apud COSTA, 2008, p. 8.

Esse avanço da didática da matemática permite que busquemos diferentes

contextos elementos que auxiliem a composição de organizações praxeológicas que

levem em conta as necessidades do indivíduo para seu desenvolvimento pessoal e

profissional, uma vez que a didática da matemática ultrapassa o estudo restrito ao

quadro escolar, passando a considerar toda atividade matemática que supõe uma

atividade de estudo.

Dessa forma, o estudo dos diferentes tipos de tarefas relacionadas à noção

de juros simples e compostos e as necessidades matemáticas para o seu

desenvolvimento podem auxiliar na identificação das práticas existentes úteis para a

humanidade e até mesmo na construção de novas práticas que cumpram essa nova

função da didática da matemática.

Para exemplificar como a didática da matemática passa a considerar como

objeto de estudo toda atividade matemática, Bosch e Chevallard (1999) se refere à

31

noção de situação fundamental, introduzida por Brousseau (1994), cuja função é

caracterizar os conhecimentos matemáticos, isto é, um conhecimento é descrito por

meio de uma situação, conforme BOSCH E CHEVALLARD, 1999, p. 80-81, apud COSTA,

2008, p. 9.

Após ressaltarem que o conhecimento matemático pode ser descrito por meio

de uma situação, ainda referindo-se à teoria das situações de Brousseau (1994),

Bosch e Chevallard (1999) observam que a teoria das situações fornece uma nova

ruptura epistemológica, pois, segundo essa teoria, podemos aprender os

conhecimentos matemáticos por meio de atividades e problemas que esses

conhecimentos permitem realizar e resolver, conforme BOSCH E CHEVALLARD, 1999,

p. 81-82, apud COSTA, 2008, p. 10.

Isso conduz Bosch e Chevallard (1999) a considerar que as matemáticas

como uma atividade estruturada, que no caso da teoria das situações pode ser

desenvolvida em diferentes fases, que se realizam em situações e contra um meio.

Após mostrar que a teoria das situações já considera que se podem aprender os

conhecimentos matemáticos por meio de atividades e problemas que eles permitem

resolver, Bosch e Chevallard (1999) atentam para o fato de que é a noção de

transposição didática que possibilita o desenvolvimento da dupla ruptura

epistemológica provocada pela teoria das situações, isto é, a primeira ruptura que

consiste em reputar a matemática como a essência dos fenômenos didáticos e a

segunda que consiste em elaborar uma ciência do estudo desses fenômenos, o que

implica explicitar os modelos utilizados e submetê-los à prova, sujeitando-os às leis

da epistemologia experimental, que possibilita tratar a questão da especificidade

matemática da didática.

Segundo os autores, a transposição didática mostra que o saber matemático

é a origem de toda a problemática didática, podendo ser questionado. Isso os

conduz a considerar que as pesquisas em didática da matemática estão

condicionadas ao tipo de modelagem da matemática que utilizamos.

O texto abaixo deixa evidentes as afirmações acima, permitindo uma melhor

compreensão das relações entre a teoria das situações didáticas de Brousseau e a

32

noção de transposição didática de Chevallard, ou seja, como essas duas teorias se

complementam.

Nesse sentido, a noção de transposição didática deve ser interpretada como a possibilidade de desenvolver a dupla ruptura epistemológica provocada pela teoria das situações. Porque sua principal contribuição não é somente colocar em evidência a distância que separa o saber sábio do saber ensinado, e, portanto as transformações necessárias a que deve ser submetido todo objeto matemático para poder ser ensinado. O que mostra a noção de transposição didática é que o saber matemático (seja “sábio”, “ensinado” ou “a ensinar”) é a origem de toda problemática didática. Segue, então, que esse saber não pode ser tomado como um dado inquestionável e que as pesquisas em didática das matemáticas são condicionadas pelo tipo de modelagens da matemática a que recorremos [...] (BOSCH E CHEVALLARD, 1999, p. 82, apud COSTA, 2008, p. 12).

A importância do questionamento do saber matemático e a possibilidade de

aprender os conhecimentos matemáticos por meio de situações e problemas nos

conduziram ao estudo das relações institucionais esperadas e existentes no

processo de ensino e aprendizagem da noção de juros simples e compostos, pois

esse estudo nos permite identificar os diferentes tipos de tarefas propostas pela

comunidade educativa, as técnicas disponíveis, a possibilidade de criar e difundir

novas técnicas e as tecnologias e teorias que justificam e explicitam essas técnicas

e os tipos de tarefas a elas associados.

Para isso nos referimos, mais especificamente, ao trabalho de Chevallard

(1992), que por meio de uma exposição quase axiomática introduz os primeiros

elementos da Teoria Antropológica do Didático, ou seja, as noções de instituição (I),

objeto do saber (O) e pessoas (X) e suas posições nas instituições para considerar a

noção de relação institucional e relação pessoal com o objeto do saber.

Bosch e Chevallard (1999) consideram o saber matemático como uma forma

particular de conhecimento que possibilita algumas práticas institucionais que

necessitam de um método para a sua análise. Para eles, esse método deve permitir

a descrição das diferentes práticas e o estudo das condições para que elas possam

se realizar.

33

O texto abaixo coloca em evidência o que leva Bosch e Chevallard a

introduzir as noções de tipos de tarefas, técnicas, tecnologias e teorias como

elementos de um método de análise das práticas sociais das matemáticas. Esses

elementos constituem as organizações praxeológicas já definidas acima:

O saber matemático, enquanto forma particular de conhecimento é, portanto, fruto da ação humana institucional: é qualquer coisa que se produz se utiliza se ensina ou, mais genericamente, se transpõe nas instituições. Mas, a matemática, é, ainda, um termo primitivo, substância de algumas práticas institucionais – as práticas sociais das matemáticas. O que falta é a elaboração de um método de análise das práticas institucionais que permitem a descrição e o estudo das condições de realização (BOSCH E CHEVALLARD, 1999, p. 83, apud COSTA, 2008, p. 13).

Bosch e Chevallard (1999) associam os primeiros termos da teoria

antropológica à noção de organização praxeológica justificando que são essas

noções que permitem modelar as atividades matemáticas, pois toda prática

institucional pode ser analisada por meio de um sistema de tarefas que se dividem

no fluxo da prática, conforme BOSCH E CHEVALLARD, 1999, p. 84, apud COSTA, 2008,

p. 14. No nosso caso, analisamos o sistema de tarefas que constituem a introdução

e o desenvolvimento da noção de juros simples e compostos na transição entre o

Ensino Médio e Superior, observando quais os conhecimentos matemáticos que

sustentam o desenvolvimento das técnicas utilizadas.

Dando continuidade à explicitação desse novo método de análise das práticas

institucionais existentes para a modelagem das atividades matemáticas, Bosch e

Chevallard (1999) observam que a delimitação das tarefas depende do ponto de

vista adotado para essas análises.

No nosso caso, utilizamos documentos oficiais, livros didáticos e planos de

ensino de algumas instituições de Ensino Superior, pois nosso objetivo é identificar

os conhecimentos prévios desenvolvidos no Ensino Médio que podem ser pelo

menos mobilizados pelos estudantes do Ensino Superior. A delimitação das

diferentes tarefas em uma determinada prática institucional, na sequência explicitam

o que eles consideram como a noção de tarefa e que para eles a existência de uma

34

tarefa está associada à operacionalização de uma técnica, isso os conduz a

considerar diversos exemplos como podemos observar no texto abaixo.

Tudo, portanto, não é tarefa, existe em toda instituição atividade não analisada tipo de tarefa, e cuja menção por meio de verbos de ação de acepção mais ampla (por exemplo, “calcular”, “demonstrar”, etc.) deixa o conteúdo mal definido – falamos então de gênero de tarefa. A noção de tarefa vai se tornar restrita, com efeito, pelo segundo postulado, que supõe que o cumprimento de toda tarefa resulta da operacionalização de uma técnica. Aqui, ainda, pode-se entender o termo técnica no sentido amplo, como uma “maneira particular de fazer”, e não segundo a acepção comum de procedimento estruturado e metódico, mesmo algorítmico – que é um caso particular da técnica. Existe, com efeito, técnicas para resolver equações do segundo e do terceiro grau, mas também para fazer demonstrações por recorrência, para abrir portas, para se procurar uma informação por telefone (ou na Internet), para ler um jornal, para escrever um artigo de pesquisa, para rever sua lição, para fazer ficarem quietos os alunos no início das aulas, etc. Colocamos assim em execução, cotidianamente, um grande número de técnicas, com maior ou menor frequência. Pois toda técnica tem uma extensão limitada, uma vez que ela nos permite agir em certos casos e não em outros (tal equação não pode ser fatorada, a maçaneta desta porta é ao contrário, hoje os alunos estão muito falantes, etc.) (BOSCH E

CHEVALLARD, 1999, p. 84, apud COSTA, 2008, p. 16).

Bosch e Chevallard (1999) ressaltam ainda que existem formas

institucionalizadas para cumprir determinadas tarefas, o que tende à identificação do

tipo de tarefa à técnica normalmente utilizada. Após considerar que a vida

institucional é constituída de um amplo conjunto de tarefas para as quais existem

técnicas institucionalizadas, Bosch e Chevallard (1999) mostram como esses novos

conceitos se articulam com as noções primitivas da teoria antropológica,

esclarecendo o que eles entendem por relação institucional a um objeto do saber e

como essa relação faz emergir a relação pessoal de cada indivíduo com o objeto do

saber.

Isso conduz a considerar que a relação pessoal a um objeto do saber está

associada à instituição em que o sujeito se encontra num determinado momento ou

às instituições a que ele se submete durante sua vida, isto é, podem ocorrer distintas

relações desse mesmo sujeito com um mesmo objeto. Aqui observamos também a

importância desse tipo de análise quando se considera a transição Ensino Médio e

Superior, momento em que os indivíduos já dispõem de determinadas relações

35

pessoais associadas ao objeto do nosso estudo, ou seja, a noção de juros simples e

compostos.

Além de colocar em evidência a possibilidade de existência de diversas

relações institucionais e pessoais para um mesmo objeto do saber, Bosch e

Chevallard (1999) consideram ainda o fato de existirem tarefas e técnicas que se

tornam rotineiras, não provocando qualquer dificuldade em fazer uso delas, mas que

podem também existir tarefas problemáticas em que as técnicas desenvolvidas e

que já são rotineiras não são suficientes para resolvê-las. Isso conduz à geração de

uma nova técnica ou à adaptação de uma determinada técnica, o que caracteriza

certa evolução diante de uma necessidade nova.

Nesse momento, Bosch e Chevallard (1999) alertam que é comum o

abandono de uma tarefa problemática quando esta é desafiadora e as técnicas

existentes não permitem resolvê-las. Essa dificuldade está associada à necessidade

de produzir uma nova técnica, como se pode observar no texto abaixo, em que os

autores consideram alguns exemplos para justificar a necessidade de um estudo

que permita produzir novas técnicas.

[...] Partimos assim de um tipo de tarefas problemáticas – por exemplo, ”Como resolver uma equação do segundo grau?”, “Como medir o tempo?”, ”Como contar o número de pessoas em uma multidão?”, “Como introduzir a noção de número decimal?”. Se isto ocorrer, chegamos, após um processo de estudo mais ou menos longo, a produzir as técnicas que permitem fornecer as respostas às questões inicialmente colocadas. Um novo “saber-fazer” é construído, que devemos ainda organizar para lhe assegurar um funcionamento regular nas instituições (BOSCH E CHEVALLARD, 1999, p. 85, apud COSTA, 2008, p. 17).

Após esclarecer o que eles consideram como tipos de tarefas e as técnicas

que lhes podem ser associadas, Bosch e Chevallard (1999) apresentam o terceiro

postulado antropológico que concerne à ecologia das tarefas e técnicas, isto é, às

condições que possibilitam o uso nas instituições das novas técnicas produzidas

para resolver as tarefas problemáticas. Isto os conduz a reputar a necessidade de

um discurso descritivo e justificativo, denominado por eles de discurso tecnológico

ou tecnologia da técnica.

36

Essas tecnologias também necessitam de uma justificativa, o que conduz

Bosch e Chevallard (1999) a considerar como teoria da técnica o discurso que

justificar tecnologia da mesma técnica. Os autores observam ainda que essa

distinção tem caráter funcional e está associada ao tipo de tarefa a que nos

referimos. Para melhor explicitar o que eles denominam técnica, tecnologia e teoria,

Bosch e Chevallard (1999) consideram o exemplo abaixo.

Assim, a determinação do sinal do discriminante de uma equação do segundo grau pode ser um elemento de uma técnica de resolução deste tipo de equações, mas pode também ser considerado como um ingrediente tecnológico visando explicar e justificar um tipo de técnica mais elementar fundamentada na escrita e fatoração de uma diferença de dois quadrados. Inversamente, o que, num dado momento ou numa dada instituição, aparece como a justificação de certa técnica, pode também ser considerado, em outro momento, como uma tarefa (a tarefa consistindo em justificar uma técnica), que supõe execução de uma técnica particular e a elaboração de um ambiente tecnológico-teórico conveniente (BOSCH E CHEVALLARD, 1999, p. 86, apud COSTA, 2008, p.18).

Dessa forma, Bosch e Chevallard (1999) demonstraram como a abordagem

antropológica pode modelar o saber matemático em termos de objetos e suas

relações por meio da identificação dos diferentes tipos de tarefas, das técnicas que

lhes são associadas, das tecnologias e das teorias que as justificam.

Na sequência, Bosch e Chevallard (1999) salientam que a distinção entre

tipos de tarefas, técnicas, tecnologias e teorias cria uma diferenciação na

organização do conhecimento matemático, mas não determina a natureza deste.

Para isso, Bosch e Chevallard (1999) partem do seguinte questionamento:

Quais os ingredientes que compõem uma técnica, uma tecnologia, uma teoria?

Como podemos descrever a utilização de uma técnica? Segundo que critérios

podemos constatar essa utilização em uma situação particular? Como distinguir uma

técnica da outra? Existiriam invariantes transinstitucionais?

Para Bosch e Chevallard (1999) esse questionamento, apresentado por seu

aspecto teórico, mas que não esconde sua versão metodológica coincide com a

problemática que a didática se propõe a estudar, isto é, as condições de

37

desenvolvimento da atividade matemática e as restrições que regem seu ensino e

aprendizagem.

Observamos aqui a pertinência de nossa escolha em estudar as relações

institucionais esperadas e existentes por meio das atividades propostas aos

estudantes quando se considera a transição entre o Ensino Médio e Superior, pois

nossas análises permitem identificar as condições e as restrições do processo de

ensino e aprendizagem.

Esclarecida a forma de análise das possíveis organizações do conhecimento

matemático, Bosch e Chevallard (1999), ao questionar os critérios para a análise das

diferentes técnicas, de suas tecnologias e teorias, são conduzidos a considerar que

na cultura ocidental as práticas humanas são estruturadas entre atividades

“manuais” e “intelectuais”, em que se privilegiam as atividades intelectuais.

Para o caso da matemática, Bosch e Chevallard (1999) mostram que

seguimos essa mesma estrutura, isto é, em matemática trabalhamos “com a cabeça”

e utilizamos instrumentos materiais como lápis, régua, compasso, computador, etc.,

e não materiais, porém sensíveis como escritas, formalismos, discurso, etc. que,

mesmo tendo certas especificidades, só intervêm na atividade matemática como

sinais dos objetos que eles representam.

Após observar que na cultura ocidental o trabalho em matemática é efetuado

principalmente “com a cabeça” por meio de noções, raciocínios, ideias, intuições, e

que os instrumentos materiais e as representações são apenas suportes que não

fazem parte da atividade, Bosch e Chevallard (1999) questionam se é apenas a

ausência de um conceito que bloqueia a evolução do pensamento matemático.

Para eles, as ferramentas materiais e sensíveis podem modificar de maneira

catastrófica o desenvolvimento da atividade matemática. Isso lhes conduz a

considerar essa dimensão como parte da atividade, como se pode constatar no texto

a seguir:

Sabemos que a ausência de um conceito pode bloquear a evolução do “pensamento” matemático, tanto no nível histórico de uma

38

comunidade como no nível individual do pesquisador ou do aluno. [...] Acreditamos que a análise didática do desenvolvimento do saber matemático – capturado no tempo histórico, na história de vida de uma pessoa, ou na vida de uma classe – não pode considerar como secundária esta dimensão da atividade, lhe atribuindo apenas uma função instrumental na construção dos conceitos (BOSCH E

CHEVALLARD, 1999, p. 90, apud COSTA, 2008, p. 23).

Após considerarem o problema da natureza dos objetos matemáticos e de

sua função na atividade matemática, Bosch e Chevallard (1999) são conduzidos a

estabelecer uma dicotomia fundamental entre esses objetos distinguindo-os em dois

tipos: os objetos ostensivos e os objetos não ostensivos.

Para Bosch e Chevalllard (1999) os objetos ostensivos são aqueles que

adquirem para o sujeito humano uma forma material, sensível. Como exemplos de

objetos materiais eles consideram uma caneta, um compasso, etc., e como objetos

sensíveis, os gestos (ostensivos gestuais), as palavras, o discurso (ostensivos

discursivos), os esquemas, os desenhos, os grafismos (ostensivos gráficos), as

escritas e os formalismos (ostensivos escriturais).

Eles observam ainda que a característica dos ostensivos é que eles podem

ser manipulados, e isso vale tanto para os ostensivos materiais como para os

ostensivos sensíveis. Além disso, o não ostensivos só podem ser evocados por meio

da manipulação dos ostensivos que lhe são associados. Após definirem objetos

ostensivos e não ostensivos, Bosch e Chevallard (1999) explicitam a função deles

na atividade matemática e que se trata de objetos institucionais cuja existência, em

geral, não depende de uma única pessoa.

Além disso, toda técnica supõe a ativação de um conjunto de ostensivos e

não ostensivos, e a manipulação dos ostensivos são regrados pelos não ostensivos

que são evocados com a ajuda dos ostensivos. Isso conduz à existência de uma

dialética necessária entre ostensivos e não ostensivos, como podemos observar no

seguinte texto:

[...] os objetos ostensivos e os objetos não ostensivos estão unidos por uma dialética que considera os segundos como os emergentes da manipulação dos primeiros e, ao mesmo tempo, como meios de guiar e controlar esta manipulação (BOSCH E CHEVALLARD, 1999, p. 90-91, apud COSTA, 2008, p. 24).

39

O exemplo abaixo permite compreender como funcionam ostensivos e não

ostensivos na atividade matemática:

É pelo fato de poderem ser concretamente manipulados que os objetos ostensivos se distinguem dos não ostensivos. A notação logo e a palavra “logaritmo” são objetos ostensivos. Ao contrário, a noção de logaritmo é um objeto não ostensivo que não é possível manipular no sentido precedente. Podemos somente “tornar presente” representá-la – pela manipulação de certos objetos ostensivos associados, como a notação logo por exemplo. Na maioria dos casos, os objetos institucionais se veem associados a um objeto ostensivo privilegiado, seu nome, que permitirá uma evocação mínima. “Observamos, aqui, o jogo metafórico pelo qual os atores são frequentemente conduzidos a utilizar como se os objetos não ostensivos se mostrassem e pudessem ser efetivamente manipulados” (BOSCH E CHEVALLARD, 1999, p. 90, apud COSTA, 2008, p. 26).

Quando consideramos nossa prática diária no trabalho com Matemática

Financeira no curso de Administração de Empresas no Ensino Superior, destacamos

que, ao desenvolvermos atividades sobre o regime de capitalização exponencial,

necessitamos identificar o ostensivo capital, prazo de uma aplicação, taxa capital

resgatado e logaritmo, pois é o não ostensivo logaritmo que deverá ser manipulado

de forma a obter o prazo da referida aplicação.

Os pesquisadores atentam para o fato que toda atividade humana se

descreve, aparentemente, por meio da manipulação de objetos ostensivos, porém o

ser humano só é capaz de efetuar esta manipulação por meio dos objetos não

ostensivos que não aparecem como elementos principais da atividade desenvolvida.

Depois de explicitada a existência de uma dialética entre objetos ostensivos e

não ostensivos, não apenas no ambiente escolar, Bosch e Chevallard (1999)

mostram a importância dos ostensivos e não ostensivos no desenvolvimento das

atividades matemáticas em todos os seus níveis, isto é, técnico, tecnológico e

teórico. São eles que permitem executar as atividades, assim como compreendê-las

e controlá-las, conforme BOSCH E CHEVALLARD, 1999, p. 93, apud COSTA, 2008, p. 29.

Isso conduz Bosch e Chevallard a enfatizar que na análise de uma

determinada atividade matemática, se consideramos os ostensivos apenas como

40

sinal dos não ostensivos que constituem seu significado, faz prevalecer à dimensão

não ostensiva da atividade, considerando sua dimensão ostensiva como secundária.

Mas para Bosch e Chevallard (1999), se considerarmos a dimensão ostensiva

como constituintes fundamentais das organizações praxeológicas, não podemos

separar sua função semiótica de sua função instrumental, isto é, o ostensivo é

fundamental tanto na produção de sentido como na manipulação das técnicas,

tecnologias e teorias. A importância dos objetos ostensivos e não ostensivos para o

desenvolvimento das atividades matemáticas e sua valorização cultural dependem,

segundo Bosch e Chevallard (1999), de certo “desmatematização” da atividade

matemática. Como exemplo, os autores citam o caso do formalismo algébrico

presente no processo de algebrização das organizações matemáticas.

Consideramos assim que analisar as propostas de desenvolvimento do

processo de ensino e aprendizagem das noções de juros simples e compostos e as

necessidades em termos de ostensivos e não ostensivos matemáticos necessários

para a execução dessas propostas pode tornar esse trabalho mais eficaz, pois

podemos identificar conhecimentos prévios tanto do ponto de vista das noções (não

ostensivos) como de suas representações (ostensivos), e utilizá-los como

conhecimentos disponíveis para a introdução de novos conhecimentos.

Sendo nossas análises efetuadas por meio de uma grade de análise, para a

construção consideramos as tarefas habitualmente encontradas no Ensino Médio e

Superior e exame dos livros didáticos para a identificação das organizações

matemáticas existentes tanto no Ensino Médio como no Superior, de forma a

compreender quais as possibilidades de que serão encontrados meios para auxiliar

os estudantes a ultrapassar os obstáculos presentes na transição entre o Ensino

Médio e Superior.

Para tal foi necessário introduzir ainda como referenciais teóricos de apoio a

noção de quadro e mudança de quadros conforme definição de Douady (1984,

1992) e a noção de níveis de conhecimento esperados dos estudantes, segundo

definição de Robert (1997, 1998).

41

Iniciamos com uma breve descrição das noções de quadro e mudança de

quadro introduzido por Douady (1984) em sua tese.

2.3 AS NOÇÕES DE QUADRO E MUDANÇA DE QUADRO CONFORME

DEFINIÇÃO DE DOUADY (1984, 1992)

Sob uma perspectiva de teorização didática, Douady (1984, 1992) introduz a

noção de quadro em sua tese. Fundamentada em uma análise epistemológica da

forma de trabalho do matemático profissional, Douady (1984) considera que os

conceitos matemáticos funcionam como ferramentas explicitam antes de adquirirem

o status de objeto e serem trabalhados como tal.

Isso conduz Douady a definir as noções de ferramentas implícitas e

explícitas como:

Ferramenta implícita e explícita: Uma ferramenta implícita corresponde a um conceito em elaboração, e isto pode durar vários anos. Uma ferramenta explícita corresponde a uma utilização intencional de um objeto para resolver um problema (DOUADY, 1992, p. 134, apud ANDRADE, 2006, p. 12).

Segundo Douady, a noção de objeto é a seguinte:

Por objeto, entendemos o objeto cultural tendo seu lugar em um edifício mais amplo que é o saber das matemáticas, num dado momento, reconhecido socialmente. O objeto é matematicamente definido, independentemente de sua utilização. (DOUADY, 1992, p. 134, apud ANDRADE, 2006, p. 12).

Para exemplificar as definições de ferramenta implícita e explícita e objeto,

considerando as definições de Douady, escolhemos as situações abaixo que

correspondem ao nosso objeto matemático de pesquisa, ou seja, a noção de juros

simples e compostos. Quando se introduz a noção de juros simples e compostos no

Ensino Médio, em geral, consideram-se exemplos do tipo: Uma pessoa aplicou $

10.000,00 a juro composto de 1,8% ao mês. Após quanto tempo terá um total de $

11.543,00?

42

Nesse caso o estudante pode calcular juros sobre juros que corresponde a

aplicar a ferramenta implícita até encontrar o valor dado e assim determinar o tempo.

Após esse trabalho pode-se explicitar a ferramenta utilizada e escrever a fórmula

que corresponde à forma algébrica para o calculo de juros compostos. Isso conduz a

considerar que o objeto matemático segundo a definição de Douady (1992) se situa

em uma teoria bem definida, sendo assim um elemento do domínio do trabalho

matemático que Douady (1992) denomina quadro. No exemplo anterior observamos

que o trabalho matemático é desenvolvido no quadro numérico e ao se deduzir a

fórmula que permite calcular juros compostos é preciso traduzir o problema para o

quadro algébrico.

Segundo Douady(1992)”um quadro é constituído dos objetos de um ramo das

matemáticas. Considerando o trabalho do matemático, Douady (1992) define

mudança de quadros, que consiste na passagem de um quadro a outro e no

retorno quando necessário. O exemplo acima mostra possibilidade de passagem do

quadro numérico para o quadro algébrico. A didática de Douady(1992) define na

realidade ao transpor as características do trabalho dos matemáticos para os jogos

de quadros e dialética ferramenta-objeto. Os jogos de quadros são transposições

didáticas das mudanças de quadros organizados pelos professores O exemplo

apresentado acima deixa evidente a dialética ferramenta objeto que funciona na

passagem de um quadro para o outro.

Após essa breve descrição das noções de quadro e mudança de quadros e

de suas possibilidades para a análise didática, realizamos uma sucinta exposição

dos três níveis de conhecimentos esperados dos estudantes segundo definição de

Robert (1997 1999).

2.4 OS TRÊS NÍVEIS DE CONHECIMENTO ESPERADOS DOS ESTUDANTES

CONFORME DEFINIÇÃO DE ROBERT (1997, 1998)

A abordagem teórica dos três níveis de conhecimento esperados dos

estudantes, segundo definição de A. Robert (1997, 1999), é a seguinte:

43

O nível técnico corresponde a um trabalho isolado, local e concreto. Está

relacionado principalmente às ferramentas e definições utilizadas em uma

determinada tarefa. Para nossa pesquisa, sobre juros simples e compostos

identificamos as tarefas abaixo como correspondentes à aplicação direta da fórmula

para o cálculo de juros simples e montante.

Uma pessoa aplicou $ 3.000,00 à taxa de 2% ao mês durante 5 meses.

a) Quanto receberá de juros se o regime for de juros simples?

b) Que montante terá ao fim dessa aplicação?

O nível mobilizável corresponde a um início de justaposição de saberes de

um certo domínio, podendo até equivaler a uma organização. Vários métodos

podem ser mobilizados. O caráter ferramenta e objeto do conceito está em jogo,

mas o que se questiona é explicitamente pedido. Um saber é considerado

mobilizado quando o estudante o utiliza corretamente. Exemplos:

Determine o prazo em que duplica um capital aplicado à taxa de juro simples de 4% ao mês.

b) Calcule o juro composto que será obtido na aplicação de $ 25.000,00 a 25% ao ano, durante 72 meses.

Nessas tarefas é pedido explicitamente o cálculo dos juros simples e

composto, sendo necessário apenas mobilizar as fórmulas que permitem

desenvolver esses cálculos. O nível disponível corresponde, a saber, responder

corretamente o que é proposto sem indicações, de poder, por exemplo, dar

contraexemplos (encontrar ou criar), mudar de quadro (fazer relações), aplicar métodos

não previstos. Esse nível de conhecimento está associado à familiaridade, ao

conhecimento de situações de referências variadas, de ser capaz de questionar, de

dispor de uma organização. Exemplo:

Se uma mercadoria cujo preço é de $ 200,00 for paga em 6 meses, com taxa de 20% ao ano, quanto será pago de juros, no regime de capitalização linear?

2.5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Após essa breve descrição do referencial teórico utilizado na pesquisa,

passamos ao próximo capítulo, em que analisamos algumas das relações

institucionais esperadas dos professores e estudantes do Ensino Médio e Superior.

44

Essas análises levam em conta tanto o trabalho a ser realizado por cada qual

desses atores do processo de ensino e aprendizagem como a parte do conteúdo a

ser desenvolvido que lhes é proposta, isto é, qual o papel que professor e estudante

devem desempenhar para garantir o sucesso do processo de ensino e

aprendizagem.

Para isso, utilizamos a noção de “topos” do professor e do estudante, e com

essa ferramenta analisamos qual o papel esperado destes por meio de documentos

oficiais introduzidos a partir da Lei de Diretrizes e Bases de 1999 (L 9.394, de

20.12.1996).

45

Capítulo 3

O “TOPOS” DO ESTUDANTE E DO PROFESSOR

NOS DOCUMENTOS OFICIAIS

3.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS

Consideramos neste capítulo a análise das relações institucionais esperadas

dos estudantes e dos professores tanto do Ensino Médio como do Ensino Superior.

Para o Ensino Médio essas análises são feitas à luz dos Parâmetros Curriculares

Nacionais e da Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo, e para o Ensino

Superior utilizamos as Diretrizes Curriculares Nacionais do Curso de Graduação de

Administração e alguns planos de ensino de universidades públicas e privadas.

A escolha desses documentos e dos planos de ensino se deve ao fato que

eles representam propostas de diferentes formas de tratamento do conteúdo de

juros simples e compostos para as duas etapas escolares consideradas nessa

pesquisa.

Com o objetivo de melhor compreender o que é esperado do professor e do

estudante, propomos estudar o “topos”,2 que, conforme definição de Chevallard e

Grenier (1997) corresponde ao momento em que o estudante desempenha com

certa autonomia o seu papel na execução de uma tarefa didática que, em geral, lhe

é proposta pelo professor, cujo papel é de organizador do trabalho a ser realizado

pelo estudante e mediador, quando necessário.

Sendo assim, quando se introduz a noção de juros simples e compostos,

objeto de estudo desta pesquisa, podemos considerar que o papel do professor é de

organizar o estudo dessa noção reconhecendo os diferentes tipos de tarefas que

correspondem a esse tema. Isso se realiza com a ajuda das propostas institucionais,

dos livros didáticos e de outros documentos. Ao organizar essas tarefas, cabe ao

professor escolher as técnicas e tecnologias adequadas, ou seja, o papel central do

2 Topos: palavra grega que significa “lugar”. O “topos” do aluno é o lugar onde ele opera com relativa

autonomia em relação ao professor o papel que lhe é próprio na realização de uma tarefa didática. Este trabalho que reúne professor e aluno exige uma ação orquestrada, em que ambos são chamados a desempenhar seu papel em fases cooperativas (CHEVALLARD e GRENIER, 1997, p. 186, apud COSTA, 2000, p. 39).

46

professor é organizar o trabalho do estudante, enquanto ao estudante cabe aceitar o

professor como uma ajuda ao estudo. No entanto, o professor deve aos poucos ir se

desligando para o estudante se tornar responsável pelo seu próprio

desenvolvimento, adquirindo assim autonomia para realizar seu percurso de estudo.

Em resumo, o “topos” do professor está associado à organização matemática

e à didática de situações que permitam o desenvolvimento dos estudantes, de modo

que os mesmos sejam capazes de utilizar seus conhecimentos de forma autônoma

tanto para resolver problemas escolares como os que serão confrontados no seu

cotidiano, ou seja, o “topos” dos estudantes corresponde à possibilidade de construir

seu próprio percurso de estudo.

Para identificar o que se espera tanto do professor como do estudante do

Ensino Médio em relação aos seus “topos”, utilizamos os PCNEM e PCN+, a Nova

Proposta Curricular do Estado de São Paulo e as Diretrizes Curriculares, pois estes

documentos possibilitam identificar propostas que contribuem com o professor em

sua prática diária. Este pode realizar, por meio desses documentos, as escolhas

mais adequadas às características dos estudantes de uma determinada etapa

escolar, articulando ainda com as possíveis aplicações em seu ambiente de

trabalho. Sendo assim, numa primeira fase, analisamos a relação institucional

esperada para o trabalho com a noção de juros simples e juros compostos no

Ensino Médio e sua articulação com os conceitos matemáticos desenvolvidos nesta

etapa da escolaridade, identificando a função do professor e do estudante no

processo de ensino e aprendizagem respectivamente. Essas análises foram

desenvolvidas por meio do estudo dos documentos oficiais, quando se considera a

relação institucional esperada. Examinamos inicialmente os Parâmetros Curriculares

Nacionais privilegiando a identificação dos conhecimentos prévios esperados dos

estudantes quando se introduz a noção de juros. Similar procedimento foi adotado

para a verificação da nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo, ou seja,

destacando a “expectativa” da noosfera quanto ao papel a ser desempenhado tanto

pelo estudante como pelo professor, levando em conta nas propostas os

conhecimentos prévios do estudante e do professor. Finalizamos as análises

associando as nossas indagações em função das relações institucionais esperadas

para o Ensino Médio, tecendo um comentário sobre as regularidade e diferenças

47

existentes nestes documentos. Analisamos ainda sob a mesma óptica qual o papel a

ser desempenhado por estudantes e professores dos cursos de graduação em

Administração via Diretrizes Curriculares dos cursos de Administração e planos de

ensino de duas universidades públicas, Universidade Federal do Amazonas e

Universidade Federal do Rio Grande do Sul e duas Universidades Privadas,

Fundação Getulio Vargas e Faculdade das Américas, em função da disponibilidade

de seus planos de ensino.

Terminamos nosso estudo comparando o que é esperado do professor e

estudante nas duas etapas escolares examinadas e verificando se existe uma

coerência nessas duas propostas.

Iniciamos assim pela análise da proposta nacional, ou seja, os Parâmetros

Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM), em que identificamos que

nesses documentos a proposta é a de que os professores (topos do professor) não

se preocupem apenas em aprofundar os conhecimentos adquiridos no Ensino

Fundamental, mas que eles preparem seus estudantes para agirem como cidadãos

preparados para o mundo do trabalho. Isto corresponde a considerar uma formação

que os prepare para atuar de forma autônoma e ética em relação à compreensão e

desenvolvimento dos processos produtivos, ou seja, observamos a proposta de

formação de um estudante cujo “topos” é realizar seu trabalho escolar de forma

autônoma e responsável a fim de se desligar do professor e se tornar responsável

pelo seu próprio desenvolvimento escolar e profissional. No caso do nosso objeto de

estudo, essa autonomia é importante, pois o estudante deve estar preparado para

aplicar seus conhecimentos na sua vida profissional, em que não contará com o

professor para auxiliá-lo nos momentos de dificuldade. O texto abaixo deixa evidente

essa proposta do que se deseja do trabalho de professores e estudantes do Ensino

Médio, ou seja, do “topos” social3 esperado dos estudantes do Ensino Médio:

[...] dentre as finalidades do Ensino Médio não constam apenas a consolidação e aprofundamento dos conhecimentos adquiridos no Ensino Fundamental, com objetivo de ser uma continuidade, mas também de preparar para o trabalho e o exercício da cidadania, o

3 “Topos” social: consideramos aqui como “topos” social as expectativas quanto o papel que

professores e estudantes devem desempenhar no contexto social em que estão inseridos.

48

desenvolvimento da autonomia intelectual, a formação ética e a compreensão de como ocorrem os processos produtivos. (BRASIL, 1998, p. 69).

Essa reformulação do Ensino Médio é importante, pois leva em conta, além dos

conteúdos matemáticos, a inserção do indivíduo na sociedade por meio de sua cultura.

Entretanto, os professores podem encontrar dificuldades para desenvolver essas

orientações, pois elas não vêm acompanhadas de sugestões sobre as formas de

tratamento pedagógico que podem ser utilizadas para desenvolver esse tipo de trabalho,

nem de indicações mais precisas sobre novas abordagens didáticas que auxiliem a

construção de novas organizações didáticas, ou seja, não existe preocupação de, pelo

menos, citar trabalhos de Educação Matemática, os quais poderiam ajudar os

professores a encontrar novos caminhos para suas práticas habituais. Após essa rápida

apresentação da ferramenta utilizada para as análises e da forma como essa será

conduzida, dos objetivos e finalidades do novo Ensino Médio, e observando que as

análises propostas na sequência possibilitam compreender o enfoque relativo à

ampliação do debate sobre o ensino da Matemática e a socialização dos

conhecimentos nela desenvolvidos, passamos ao estudo mais específico do “topos”

do professor e do estudante nos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino

Médio.

3.2 OS PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS PARA O ENSINO MÉDIO

(PCNEM)

A proposta do novo Ensino Médio, em termos da lei que a regulamenta, deixa

evidente que esta etapa escolar não deve preparar apenas para a inserção no

Ensino Superior ou no ensino profissionalizante, mas deve contribuir para completar

a Educação Básica e preparar o indivíduo para a cidadania.

As mudanças propostas nos Parâmetros Curriculares Nacionais para o

Ensino Médio – PCNEM (BRASIL, 2002) refletem a necessidade de preparar os

estudantes para a vida, propiciando condições para que sejam cidadãos autônomos

capazes de exigir e exercer a cidadania por meio da procura constante de novos

desafios e de suas próprias condições para resolvê-los.

49

Acreditamos, assim, que é preciso estar constantemente em contato com as

novas estratégias e possibilidades de tratamento das ciências, em particular da

Matemática no desenvolvimento das diferentes formas de tratamento dos desafios

cotidianos que podem surgir quando da necessidade de encontrar solução para as

diferentes atividades cotidianas, especialmente aquelas que estão associadas ao

conhecimento científico. Nos PCNEM observamos que são inicialmente explicitadas

as condições gerais do processo de ensino e aprendizagem, isto é, se explica como

efetuar a escolha de conteúdos; algumas formas de trabalhar com os conteúdos

escolhidos, a importância da construção de um projeto pedagógico específico para

os diferentes grupos de estudantes, em que se levam em conta seus conhecimentos

prévios em função do novo conhecimento que se deseja introduzir e exemplos de

organização curricular que articulam conteúdos a serem trabalhados, formas de

tratamentos destes e projeto pedagógico.

Ao apontar que para a escolha dos conteúdos é preciso refletir sobre os

propósitos da formação matemática pretendida, destaca-se que se espera que os

estudantes, ao final do Ensino Médio, saibam usar a Matemática para solucionar

problemas da vida prática e articular soluções com outras áreas do conhecimento.

Nesse documento se ressalta ainda a importância de compreender a Matemática na

sua forma intrínseca, trabalhada por meio de teoremas e suas demonstrações, que

esse conhecimento é social e historicamente construído e, portanto permite o

avanço das ciências, sendo assim um instrumento essencial para o desenvolvimento

tecnológico e científico. Aqui podemos dizer que o “topos” do professor é mostrar a

importância da Matemática como ferramenta para o desenvolvimento da sociedade,

e fica a cargo do estudante procurar na escola e na sociedade exemplos que

possam ampliar os conhecimentos trabalhados no grupo ao qual ele pertence,

tornando-se assim autônomo e capaz de conduzir sua própria aprendizagem,

enxergando o professor como um orientador nesse processo, o que corresponde a

uma das expectativas institucionais propostas para o novo Ensino Médio.

Nos PCNEM observamos ainda que existem orientações sobre a forma de

desenvolver determinados conteúdos em que se enfatiza o desenvolvimento de

valores formativos articulados com o desenvolvimento dos conteúdos matemáticos.

Ou seja, espera-se que o professor seja capaz de criar situações que valorizem o

50

desenvolvimento do raciocínio lógico matemático que ele os estudantes a formular

novas questões, criar seus próprios modelos, desenvolver procedimentos lógico-

dedutivos. Para isso, a proposta considera que o professor pode mostrar a

importância das propriedades matemáticas por meio de um discurso justificativo que

articule a fórmula com os teoremas e propriedades que as sustentam e permitem

resolver diferentes tipos de tarefas, incluindo as de aplicação da Matemática em

situações cotidianas e nas outras ciências. Ou seja, espera-se que o professor

disponha de um conjunto de tipos de tarefas cujas técnicas possam ser justificadas

por meio de tecnologias adequadas tanto no nível técnico tecnológico como no nível

tecnológico teórico, isto é, mesmo não utilizando esse termo, o que se propõe é que

o professor disponha de uma organização praxeológica4 adequada ao grupo de

estudantes que participam do processo de ensino e aprendizagem.

Trata-se de uma proposta corrente, mas que necessita de um estudo mais

aprofundado que auxilie o professor a desenvolver o seu papel. Vemos aqui um

caminho que poderia ser trabalhado na formação de professores, pois, segundo

Boero (2008), cabe a noosfera:

O termo “noosfera” é utilizado por Chevallard para designar o sistema de instituições e pessoas que administram as relações entre a matemática dos matemáticos e a matemática do sistema de ensino. Os processos realizados na noosfera são sensíveis a influências externas (provenientes de política, cultura, etc.), mas eles se desenvolvem com relativa autonomia e inércia. Apesar dessa autonomia e inércia, os membros da noosfera têm responsabilidades especiais na preparação dos professores e no desenvolvimento curricular (em particular, os pesquisadores em educação matemática), agindo frequentemente sob a luz das teorias epistemológicas e psicológicas, acarretando na identificação sobre o que é matemática e como os estudantes aprendem. (BOERO, 2008, p. 3).

Apesar de alertar os professores sobre a necessidade de articulação dos

novos conteúdos e aqueles já trabalhados no Ensino Fundamental e nos três anos

do Ensino Médio, de levar em conta os conhecimentos prévios dos estudantes e de

4 Organização Praxeológica: Uma organização praxeológica ou praxeologia é composta de um certo

tipo de tarefa que deve ser realizada por meio de uma certa técnica, que deve ser justificada por meio de uma tecnologia que permite ao mesmo tempo pensá-la e produzi-la, devendo ainda ser justificada mediante uma teoria. A palavra praxeologia ressalta a estrutura da organização [tarefa/técnica/tecnologia/teoria], pois a palavra grega práxis, que significa “prática”, envia ao bloco prático-técnico, e a palavra grega logos, que significa “razão”, envia ao bloco tecnológico-teórico, conforme definição apresentada em Chevallard (2002).

51

revisitá-los sempre que possível propondo situações de maior complexidade, uma

vez que se espera que os estudantes tenham mais maturidade, não existe nenhuma

orientação a respeito de como realizar esse trabalho. Tanto a articulação de

conhecimentos como o trabalho considerando os conhecimentos prévios dos

estudantes são objetos de pesquisa que poderão auxiliar professores e estudantes a

compreender melhor o papel da Matemática tanto no âmbito escolar como no

profissional. É importante destacar que o documento, ao enfatizar o

desenvolvimento do valor formativo, coloca em evidência que é preciso abandonar

as práticas de memorização de um conjunto de regras, de utilização direta de

fórmulas, de resolução de exercícios repetitivos não acompanhados de explicações

e explicitações que, utilizando os termos de Chevallard, correspondem às

tecnologias das técnicas empregadas. Aqui observamos que cabe ao professor

encontrar meios para justificar a utilização das regras e fórmulas propondo tarefas

que despertem o interesse dos estudantes.Observamos ainda que, mesmo fazendo

parte do “topos” do professor, não existem orientações sobre como realizar esse

trabalho, o que é compreensível, pois se trata de uma questão que vem sendo

pesquisada em Educação Matemática e que precisa ser trabalhada intensamente na

formação de professores.

Quando se considera, mais especificamente, o tema Números e Operações,

que corresponde ao conteúdo associado aos conhecimentos prévios essenciais para

a introdução e desenvolvimento da noção de juros simples e compostos, o

documento enfatiza a necessidade de o professor criar situações que desenvolvam

a capacidade de solucionar problemas rotineiros sobre as noções de números

inteiros e decimais, destacando para esse último a importância de reputar suas

diferentes representações. Além disso, o documento ressalta a importância da

articulação desse conteúdo com as noções de porcentagem, proporcionalidade

direta e inversa, observando a relevância do cálculo mental e do uso de calculadoras

e a necessidade de levar em conta as representações por meio de tabelas e gráficos

na resolução de problemas envolvendo essas noções.

Nesse caso, o documento apresenta uma sugestão de situação cotidiana que

corresponde à leitura e interpretação de faturas, mais especificamente das contas de

água e luz. Apesar de justificar a utilização desses documentos no desenvolvimento

52

do trabalho matemático, observamos que se trata de uma forma de mostrar a

importância desse trabalho na formação do cidadão, mas que pouco auxilia o

trabalho do professor, que, mesmo tendo como justificar a importância da noção

matemática na vida cotidiana, pode não dispor das ferramentas matemáticas

essenciais para institucionalizar o conhecimento matemático em jogo de modo que

este possa ser utilizado em diferentes situações que nem sempre estão diretamente

relacionadas com as necessidades diárias dos estudantes.

Além disso, muitas dessas situações são trabalhadas de forma teórica, pois

são adaptadas ao conteúdo e não correspondem à realidade. Temos aqui mais uma

tarefa que faz parte do “topos” do professor, que necessita de formação específica

para ser desenvolvida de forma eficaz, pois o exemplo discutido no documento não

é tipicamente matemático, pois pode ser resolvido mentalmente sem a utilização das

representações mais específicas do conteúdo a que foi associado, no caso ao

estudo de funções.É importante observar que o documento corresponde a uma

proposta de trabalho em que não se levam em conta as diferentes conjunturas

sociais, culturais e educacionais que possam ser encontradas pelo professor, o que

justifica o fato de este enfatizar que o professor deve privilegiar a qualidade em

detrimento da quantidade de conteúdos a serem desenvolvidos no Ensino Médio,

proporcionando a possibilidade de criação de diversas organizações praxeológicas,

que, mesmo sendo adequadas a certo número de estudantes, podem no futuro ser

consideradas fontes de dificuldades. As escolhas dessas organizações ficam assim

totalmente a cargo do professor, que precisa estar bem preparado para não cometer

enganos que possam prejudicar o desenvolvimento de seus estudantes.

Observamos ainda que o documento ofereça orientações sobre a necessidade de

revisitar conteúdos, tais como as propriedades com números reais e as regras de

sinais para os números inteiros, mas também nesse caso apenas se salienta a

maturidade dos estudantes e nenhuma orientação mais específica é dada sobre

como se poderia realizar esse trabalho. Aqui, poderiam ser indicados trabalhos de

pesquisa em Educação Matemática para auxiliar o professor a encontrar novas

formas para o desenvolvimento dos conteúdos do Ensino Médio, em que se

pudessem articular conhecimentos da própria Matemática e das outras Ciências e

revisitar conhecimentos prévios supostos disponíveis, de modo que esses últimos se

tornem mais ricos, mais elaborados e mais diferenciados, e que tanto eles como os

53

novos conhecimentos adquiram significado para o aprendiz, tornado-se assim mais

estável, conforme afirmação de Moreira (2005), para caracterizar aprendizagem

significativa. Quando se consideram mais especificamente as orientações sobre o

conteúdo funções, observamos que essa noção deve ser tratada do ponto de vista

de suas aplicações em outras ciências, em particular como modelo de resolução de

problemas de movimento em física e de rendimentos financeiros associados às

aplicações financeiras que possam ser encontradas no cotidiano.Para isso, propõe-

se que se dê ênfase ao estudo do gráfico de uma função e sua interpretação por

meio de exemplos e situações contextualizadas que possam motivar os estudantes

à procura de novas situações cuja solução possa ser planejada e executada

mediante a utilização da noção de função e que as propriedades das funções

possam servir como ferramentas de justificativa e controle dos resultados

encontrados, ou seja, a noção de função é usada como uma tecnologia para

justificar as técnicas associadas aos modelos construídos para a resolução das

tarefas propostas aos estudantes. Como exemplo, é apresentado o caso da função

quadrática que pode ser desenvolvida por meio de situações contextualizadas e que

permite revisitar conceitos como o de gráfico de uma função, identificação da função

por meio de seu gráfico, estudo dos zeros de uma função e sua representação no

sistema cartesiano ortogonal, estudo do crescimento e do decrescimento por meio

do gráfico, relação entre o sinal dos coeficientes de uma função quadrática e as

propriedades do gráfico dessa função e estudo dos máximos e mínimos dessa

função. No documento é destacada a necessidade de tratar essas propriedades das

funções quadráticas por intermédio de situações que permitem compreendê-las,

evitando assim a memorização de regras, ou seja, dá-se destaque à discussão das

técnicas utilizadas para justificar as tarefas propostas pelo professor, o que supõe

que este disponha de uma tecnologia adequada. Nesse momento, observamos mais

uma vez que é papel do professor encontrar situações apropriadas para o

desenvolvimento do trabalho proposto, julgando que ele tenha sido preparado para

conceber esse tipo de tarefa. As propriedades das funções quadráticas podem ser

destacadas mediante a escolha de uma tarefa que necessite dessas propriedades,

que devem ser explicitadas pela tecnologia da técnica, como podemos observar no

exemplo abaixo. Todas essas propriedades das funções quadráticas possibilitam

explorar problemas como o apresentado abaixo.

54

Fonte: HAZZAN E BUSSAB, 2003, p. 83.

Para resolver a parte (a) dessa questão basta multiplicar a função demanda

por x que representa o preço do produto. Obtém-se assim uma função quadrática de

x que representa a função receita. Determinando a abscissa do vértice da parábola

que representa a variação dessa função, e substituindo na função demanda,

encontra-se o preço que maximiza essa função. Sendo a função lucro definida como

função receita menos função custo, para a solução da parte (b) obtém-se novamente

uma função quadrática, e para determinar o preço que maximiza o lucro basta

estabelecer o valor da abscissa do vértice da parábola que representa a função lucro

e substituir na função demanda. Se construirmos o gráfico da parábola que

representa a função lucro podemos determinar o intervalo em que o lucro é positivo.

A discussão apresentada acima mostra a necessidade de um discurso

tecnológico para descrever, explicar e justificar as técnicas empregadas na solução

da tarefa. Voltando ao documento e considerando ainda as noções de funções,

encontramos orientações sobre a organização matemática dos conteúdos

associados a essas noções e observamos que se propõe que se revisite a

trigonometria no triângulo retângulo e suas relações antes de abordar as noções

função seno e cosseno, mas ainda aqui não existem indicações para auxiliar o

professor a desenvolver esse trabalho. Outro exemplo está diretamente associado

ao nosso objeto de estudo, ou seja, às aplicações de Matemática Financeira, que

são propostas como motivadoras de situações que possibilitam a articulação das

noções matemáticas de função afim com a noção de juros simples e funções

exponencial, inversa e logarítmica com situações contextualizadas sobre juros

compostos.

55

Nesse caso, podemos mais uma vez lembrar que existem pesquisas em

Educação Matemática que podem auxiliar os professores a desenvolver esse

trabalho, lembrando que ele não é simples nem imediato e necessita de orientações

mais específicas. Apesar disso, podemos dizer que as orientações constituem

uma primeira abordagem, pois as indicações podem levar os professores à procura

de novos meios para tratar as questões apresentadas no documento. Isso possibilita

que o professor encontre uma nova forma de ação que pode influenciar os

estudantes e assim ambos serão capazes de cumprir os papéis que lhes são

atribuídos nessa nova concepção do Ensino Médio. Focamos aqui as noções

associadas à nossa pesquisa, mas o documento apresenta sugestões para o

conjunto de conteúdos matemáticos destacados para serem tratados no Ensino

Médio. Todos esses conteúdos, quando possível, são associados a aplicações em

outras ciências e situações contextualizadas.

Podemos resumir a análise acima das propostas do PCNEM que

correspondem às expectativas institucionais para o desenvolvimento da Matemática,

em particular, das aplicações de Matemática Financeira, utilizando nosso referencial

teórico central, isto é, a teoria antropológica do didático associada à noção de

“topos” do professor e do estudante da seguinte maneira:

Propor tarefas que permitam a contextualização dentro da própria

matemática e nas outras ciências (“topos” “do professor”).

Trabalhar com os objetos ostensivos (discursivos, visuais, gestuais,

gráficos) reconhecendo os não ostensivos que lhes são associados,

isto é, interpretar as diversas formas de representação dos objetos

matemáticos estudados no Ensino Médio (“topos” do professor e do

estudante).

Justificar as diferentes etapas do desenvolvimento de uma técnica por

meio de um discurso tecnológico, ou seja, evocar os não ostensivos e

as propriedades e teoremas que lhe são associados na manipulação

dos ostensivos que permitem a solução de um determinado tipo de

tarefa que constitui a organização praxeológica para o

56

desenvolvimento de uma determinada noção matemática (“topos” do

professor e do estudante).

Identificar e construir situações que auxiliem os estudantes a

reconhecer os ostensivos e não ostensivos e dessa forma sejam

capazes de produzir um discurso tecnológico que os auxilie a

ultrapassar as dificuldades e os obstáculos encontrados na solução

das tarefas que lhes são propostas (“topos” do professor).

Mostrar, por meio de um discurso tecnológico, a diferença entre os

ostensivos e sua relação com os não ostensivos e a necessidade de

escolhas adequadas que permitem resolver outras situações em

diferentes momentos e contextos (“topos” do professor).

Encontrar e construir novas tarefas e situações para o seu próprio

desenvolvimento, isto é, utilizar conhecimentos matemáticos de forma

autônoma para a solução de problemas escolares e nos diferentes

contextos que possam ser solicitados (“topos” do professor e do

estudante).

As expectativas apresentadas no PCNEM nos conduzem a considerar que se

espera que os estudantes, ao terminarem o Ensino Médio, sejam capazes de

identificar os ostensivos e não ostensivos mais adequados para resolver tarefas

escolares, profissionais e cotidianas em que esses conhecimentos representam uma

possibilidade de solução. Em relação ao “topos” do professor, ou seja, às

expectativas em relação ao trabalho do professor, identificamos a necessidade de

encontrar meios para reconhecer os conhecimentos prévios dos estudantes e criar

situações que se apoiem nesses conhecimentos para que estes possam auxiliar na

construção de novos conhecimentos. Apesar de deixar evidente que cabe ao

professor identificar os conhecimentos prévios dos estudantes e encontrar meios de

introduzir novos conhecimentos levando em conta a disponibilidade desses

conhecimentos, não encontramos nenhuma orientação que possa auxiliar o

professor no desenvolvimento desse trabalho. Lembramos aqui que, segundo

Moreira (2005), a noção de conhecimento prévio é a variável que mais influencia a

57

aprendizagem. No entanto, observamos que a aprendizagem significativa, ainda

conforme Moreira (2005) caracteriza-se pela interação entre o novo conhecimento e

o conhecimento prévio. As observações acima deixam evidente que é preciso

preparar o professor para que ele seja capaz de reconhecer os conhecimentos

prévios de seus estudantes e criar situações adequadas para os diferentes grupos

com os quais ele trabalha, ou seja, o professor precisa conhecer diferentes

organizações praxeológicas para que possa construir aquelas que mais se adaptam

a um determinado grupo de estudantes. Parece-nos interessante que os estudantes

sejam capazes de reconhecer seus conhecimentos prévios e aplicá-los em

diferentes situações, mas certamente esse trabalho deve ser desenvolvido desde as

primeiras séries do Ensino Fundamental para que os estudantes do Ensino Médio

sejam capazes de construir seu próprio conhecimento como prevê o texto abaixo:

Construir seu conhecimento utilizando seus conhecimentos prévios a partir da solução de situações propostas pelo professor; explicitar seu trabalho e o de seus pares na solução das situações que lhe são propostas; persistir e estimular seus colegas quando dificuldades se apresentarem (BRASIL, 1998, p. 40).

A análise do documento mostra que existe uma grande expectativa de que os

estudantes ao final do Ensino Médio sejam capazes de construir seus

conhecimentos e apresentá-los coerentemente, cooperando com seus pares diante

de dificuldades. Mas para isso é preciso que os professores sejam preparados para

desenvolver as atividades que correspondem ao seu “topos” e que os estudantes

sejam alertados do papel que eles devem desempenhar no processo de ensino e

aprendizagem. Devemos considerar ainda as situações adversas encontradas nesse

processo tanto por professores como por estudantes, e é preciso encontrar novos

meios que facilitem a execução dessa proposta. Na sequência apresentamos a

expectativas descritas nos PCN+ para o papel a ser desempenhado pelo professor e

estudante do Ensino Médio.

3.3 OS PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS PARA O ENSINO MÉDIO

(PCN+)

Inicialmente o PCN+ apresenta seus objetivos e enfatiza que não possui

pretensão normativa, tendo apenas a intenção de complementar os PCNEM,

58

oferecendo orientações educacionais, tendo em vista em sua essência o

desenvolvimento da escola em sua totalidade, concentrando-se assim nas

disciplinas da área de Ciências da Natureza, Matemática e suas tecnologias.

Descreve as mudanças do novo Ensino Médio apresentando alterações para que

este deixe de ser apenas uma fase preparatória para o Ensino Superior e assuma a

responsabilidade de complementar a Educação Básica, preparando os jovens para a

vida e também propiciando condições de continuidade na vida acadêmica e/ou de

enfrentar um mercado de trabalho extremamente competitivo. No documento se

destaca que, mesmo com as propostas de mudanças pelas quais o Ensino Médio

passa no Brasil e no mundo, essas novas propostas não menosprezaram as

disciplinas das áreas que lhe estão associadas – as Ciências da Natureza e

Matemática, Ciências Humanas, Linguagens e Códigos –, mas tentam suscitar a

interdisciplinaridade sem diluir e eliminar as disciplinas agregadas a essas áreas.

Segundo o documento, a função do Ensino Médio de complementar a

formação geral do estudante provoca uma ação articuladora sistêmica no interior de

cada área e em sua totalidade, de forma que existe a preocupação de dar sentido ao

conhecimento já no Ensino Médio por meio de situações contextualizadas que

necessitam da aplicação dos diferentes conhecimentos, por exemplo, relacionando

os conteúdos das disciplinas de Matemática e Física de modo que os estudantes

possam aplicar seus conhecimentos matemáticos para interpretar fenômenos físicos,

que podem ser considerados em situações de introdução de um novo conceito tanto

na disciplina de Matemática como na disciplina de Física, evitando o estudo

intradisciplinar que se desenvolveu durante um longo tempo.

Nas orientações do documento é possível identificar a atenção dada ao fato

de que a sociedade atual, que está condicionada a mudanças globais e

instantâneas, e na qual a informação tem sido gerada e propagada com uma

velocidade cada vez maior, necessita não somente de produzir um grande número

de dados, mas é preciso que o cidadão seja capaz de manipular e interpretar esses

dados transformando-os em conhecimento e agregando valor. O texto abaixo nos

descreve de forma mais detalhada as expectativas em relação às necessidades de

formação dos futuros cidadãos, ou seja, do “topos” que o estudante deve

desempenhar na escola e na sociedade.

59

 

O PCN+ aponta as transformações que estão ocorrendo nas escolas

posicionando o novo papel que professor e estudante devem desempenhar na

sociedade e destaca assim o novo significado da escola que precisa levar em conta

as necessidades da sociedade no desenvolvimento dos conhecimentos das

diferentes disciplinas que compõem áreas distintas, não restando fechada entre

seus muros sem se preocupar com seu entorno. Para isso, no documento podemos

identificar que os estudantes precisam assumir seu papel, porém para isso é preciso

que eles compreendam qual o papel da escola e do professor, ou seja,

necessitamos de estudos que mostrem como professores e estudantes podem se

apropriar de seus “topos” da forma como eles são definidos nos documentos oficiais.

Trata-se de propostas inovadoras e interessantes, mas que exigem um

preparo dos professores e estudantes para que possam ser realmente

implementadas, não basta apenas descrevê-las no documento sem indicar como

trabalhá-las. A inovação do papel da escola articulada com as orientações contidas

nos PCNEM, contemplando elementos que não eram explicitamente abordados,

demonstra novas preocupações, em que cada disciplina foca um conjunto de

saberes, não se limitando apenas a determinados tópicos, mas articulando

competências gerais e habilidades no sentido formativo. Mas, para que esse

trabalho tenha resultado, temos ainda que realizar diversas pesquisas e preparar

professores e estudantes para essa nova forma de apropriação do conhecimento.

Apresentamos a seguir as propostas de Matemática Financeira para o Ensino

Médio identificando qual o “topos” esperado do professor e do estudante.

3.4 OS PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS PARA O ENSINO MÉDIO

(PCN+) – PROPOSTAS PARA ENSINO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA

Entre as inovações sugeridas pelo PCN+ está o envolvimento de cada escola

e professores por meio da criação de um projeto pedagógico que possibilite o

desenvolvimento das competências almejadas, em que diversos fatores influenciam

60

a constituição desse projeto, e a escolha dos temas ligados às disciplinas tem uma

importância definidora.

Entre as sugestões encontramos: a exploração dos conteúdos associados

aos diferentes temas, à identificação da articulação de diferentes formas do

pensamento matemático, a contextualização do conhecimento matemático e a

possibilidade de considerar as razões históricas que deram origem e importância a

esses conhecimentos, porém se observa a necessidade de escolhas organizadas e

coerentes para evitar um trabalho centrado apenas na quantidade de informações.

Segundo os PCN+, os temas escolhidos devem apresentar relevância científica e

cultural, ou seja, quando se consideram a origem e a importância histórica devemos

levar em conta o potencial explicativo do material escolhido de modo que os

estudantes possam compreender os princípios estéticos e éticos associados aos

fatos mundiais que deram origem e relevância ao fato matemático estudado. Essa

forma de tratamento da história pode auxiliar os professores no desenvolvimento das

tecnologias associadas às técnicas por eles utilizadas para o desenvolvimento das

tarefas possíveis de serem trabalhadas no Ensino Médio, tanto quando se reputam

as aplicações na própria Matemática como nas outras ciências.

No último caso é preciso que o professor fique atento para o fato de que o

estudante deve dispor de conhecimentos associados a esse novo campo de

aplicação da noção matemática que se deseja trabalhar. Os temas são agrupados

entre grandes eixos, a saber:

Álgebra: números e funções; Geometria e medidas e Análise de dados

A noção de juros simples e compostos, objeto de estudo desta pesquisa,

encontra-se no bloco Álgebra: números e funções. Para essa noção a sugestão é

que se revisite a ideia de proporcionalidade e de juros simples e compostos, que já

deve ter sido trabalhada no Ensino Fundamental, articulando-a com o conceito de

função, ou seja, a noção de juros faz parte do bloco Álgebra: números e funções,

sendo articulada ao estudo das funções, que, conforme o PCN+ deve permitir que os

estudantes adquiram a linguagem algébrica justificando tratar-se da linguagem das

ciências. Em relação a esse citamos Chevallard (1994), que apresenta dois

61

exemplos de técnicas para a noção de proporcionalidade ressaltando que a

compreensão de uma noção difere segundo a técnica utilizada. Apresentamos

abaixo o exemplo proposto por Chevallard para mostrar duas técnicas que

sobrevivem atualmente no tocante à noção de proporcionalidade, ou seja, duas

praxeologias distintas para o tratamento dessa noção:

Fonte: CHEVALLARD, 1994, p. 6.

Além disso, sabemos que a álgebra se mostra bastante adequada para

modelar fenômenos intra e extrasmatemáticos e, em geral, seu ostensivo de

representação gráfica se mostra o mais adaptado para a interpretação e controle

dos resultados encontrados, principalmente para os tipos de tarefas trabalhadas no

Ensino Médio. Na sequência das sugestões para o desenvolvimento da noção de

função propõe-se abandonar o tratamento tradicional, em que se introduzem o

conjunto dos números reais e a noção intuitiva de conjuntos e suas operações e

relações, sendo a noção de função um caso particular da noção de relações entre

conjuntos, para dar ênfase à descrição de situações de dependência entre duas

grandezas, isto é, as situações contextualizadas que podem ser modeladas por meio

dos ostensivos de representação algébrica e representação gráfica que devem

permitir o planejamento, execução, justificação e controle do modelo desenvolvido.

Sugere-se ainda que se evite o tratamento formal excessivo, o que conduz ao

abandono das noções de funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras, que, sendo

utilizadas para tratar problemas em computação e informática, poderiam ser

contextualizadas nesse campo, que é atualmente bastante escolhido pelos

estudantes que desejam continuar seus estudos, ou seja, parece que existe certa

tendência em trabalhar com situações cotidianas deixando à margem as situações

contextualizadas em outras ciências. Isso pode se explicar pela necessidade de

dispor de conhecimentos prévios associados a essas ciências. Segundo as

62

sugestões dos PCN+, o tratamento dessas propriedades das funções fica totalmente

a cargo do Ensino Superior, o que corresponde a uma mudança nas relações

institucionais anteriores a esse documento, que ainda precisa ser assimilada.

Mesmo não se tratando de um conceito que tem relação direta com a noção

desenvolvida na nossa pesquisa, ela se mostra importante para que possamos

compreender a importância de estar atento à ecologia dos conhecimentos

matemáticos nas diferentes propostas de ensino e aprendizagem. No documento é

dada ênfase ao fato de que as funções permitem uma vasta gama de aplicações que

podem ser retiradas do cotidiano e das outras ciências. Nele se coloca em evidência

que a Matemática Financeira é uma área de conhecimentos que permite a aplicação

das funções exponenciais e logarítmicas, a análise da variação entre duas variáveis

para as quais a variável independente tem crescimento muito rápido, ou seja, além

de sugerir a aplicação dessas funções no estudo da Matemática Financeira,

recomenda-se que se interpretem os resultados mostrando como se dá a variação

de uma grandeza em relação à outra. Aqui podemos observar a necessidade de

uma tecnologia associada à técnica para justificar os resultados encontrados.

Apresentamos a seguir as expectativas institucionais que estão sendo

implementadas no estado de São Paulo a partir de 2008.

3.5 A NOVA PROPOSTA CURRICULAR DO ESTADO DE SÃO PAULO

A nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo foi lançada em 2008 e

pretende ser inovadora e ousada, apoiando-se em vários materiais pedagógicos

(apostilas, jornais e DVDs) que foram distribuídos a todas as escolas da rede pública

do Estado de São Paulo, ou seja, observamos aqui a necessidade de melhor

explicitar as propostas anteriores, um papel que pretende desempenhar essa nova

proposta a partir de seu lançamento.Inicialmente foi distribuído o Jornal do Aluno

(caderno com atividades para que os estudantes revisitem conteúdos trabalhados

nas séries anteriores), que corresponde a um dos materiais pedagógicos

desenvolvidos nessa Nova Proposta que deveria ser utilizado nos primeiros

quarenta dias letivos do ano de 2008.

63

O objetivo desse jornal era oferecer subsídios para professores e estudantes

na realização das atividades em sala de aula, para ser trabalhada em um período

chamado de recuperação intensiva, que enfatizaria a leitura, a produção de textos

pelos alunos e a Matemática. Esse recurso foi apresentado de acordo com as

orientações que constam do texto abaixo:

O material foi dividido em fundamental e médio, por disciplina/série e apresentava em seu teor o número específico de aulas necessárias para a aplicação de cada conteúdo predeterminado e trouxe de forma detalhada possibilidades de aplicação e de avaliação das atividades propostas para o aluno portador do Jornal (SÃO PAULO, 2008, p. 50).

Na sequência da implantação da nova Proposta Curricular do Estado de São

Paulo, após o período de recuperação intensiva com uso do Jornal do Aluno,

Revista do Professor e Vídeos Tutoriais, todas as escolas da rede receberam da

Secretaria de Estado da Educação o novo material, “Caderno do Professor”, que

indicaria os conteúdos e a forma de tratamento destes, que deveriam ser

trabalhados por professores e estudantes no início do primeiro bimestre.

A introdução desses cadernos está associada à necessidade de garantir pelo

menos o trabalho sobre um conteúdo mínimo e uma relação institucional mais

uniforme para as diversas escolas do Estado de São Paulo, como podemos

observar no texto abaixo:

O texto de Apresentação da Cartilha vem assinado pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo Maria Helena Guimarães de Castro que justifica a necessidade de uma Proposta Curricular com a seguinte frase: “A criação da Lei de Diretrizes e Bases (LDB), que deu autonomia às escolas para que definissem seus próprios projetos pedagógicos, foi um passo importante. Ao longo do tempo, porém, essa tática descentralizada mostrou-se ineficiente” (SÃO

PAULO, 2008a, SP).

A nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo é constituída por:

Ciências da Natureza e suas Tecnologias – Biologia, Química e Física – Matemática

e Ciências Humanas e suas Tecnologias História, Geografia, Filosofia e Psicologia e

Linguagens, Códigos e suas Tecnologias – Língua Portuguesa, Língua Estrangeira

Moderna, Arte e Educação Física.

64

Os objetivos essenciais expostos no documento pressupõem oferecer aos

estudantes uma formação vinculada com seu tempo, em que a escola assume uma

nova postura e uma aprendizagem que dá ênfase à articulação dos conteúdos e que

leve em conta o contexto cultural. O documento destaca ainda a importância do

saber fazer baseado na leitura e escrita, valorizando a produção de textos e

articulação das competências com a aprendizagem e o mundo do trabalho.

No texto abaixo identificamos as observações acima e mais uma vez

verificamos que existe uma preocupação para que se desenvolva uma relação

institucional com uma base comum de conhecimentos e competências nas diversas

escolas públicas estaduais de São Paulo.

A apresentação da Proposta Curricular do Estado de São Paulo está dividida em dois tópicos: Uma educação à altura dos desafios contemporâneos e Princípios para um currículo comprometido com o seu tempo. (Este segundo tópico apresenta os seguintes itens: I) Uma escola que também aprende; II) O currículo como espaço de cultura; III) As competências como referência; IV) Prioridade para a competência da leitura e da escrita; V) Articulação das competências para aprender e VI) Articulação com o mundo do trabalho. Assegura ainda que esta iniciativa procura “[...] garantir a todos uma base comum de conhecimentos e competências, para que nossas escolas funcionem de fato como uma rede [...]” priorizando a competência de leitura e escrita (SÃO PAULO, 2008a, p.15).

Podemos observar que as sugestões apresentadas na proposta ressaltam

que o trabalho é uma forma de associar o currículo com a realidade enfrentada pelos

estudantes, bem como que o currículo contribui para o entendimento da importância

do trabalho. Além disso, observamos a necessidade de que todos os integrantes do

processo de ensino e aprendizagem tenham uma participação ativa e comprometida

para propiciar aos jovens condições de caminhar em uma nova sociedade, em que

alguns fatores vêm sendo alterados e inovados, por exemplo, a necessidade de

comprovar as competências aprendidas na escola, cujo papel é oferecer uma

educação de qualidade que possibilite a inserção dos indivíduos, em particular, os

mais pobres, na sociedade. Atentamos que uma das preocupações da nova

Proposta Curricular do Estado de São Paulo é destacar que existe a necessidade de

as escolas públicas proporcionarem condições de aprendizado para que os

estudantes se apropriem do conhecimento de forma a se tornarem esclarecidos e

65

saberem utilizar o conhecimento obtido na escola para agregar valores e enfrentar

os desafios da sociedade moderna.

Adverte que “[...] não há liberdade sem possibilidade de escolhas [...]”, portanto é necessário que os alunos tenham “[...] acesso a um amplo conhecimento dado por uma educação geral, articuladora, que transite entre o local e o mundial [...]” (SÃO PAULO, 2008a, p. 11).

A Proposta Curricular ora discutida apresenta como princípios centrais: “[...] a escola que aprende, o currículo como espaço de cultura, as competências como eixo de aprendizagem, a prioridade da competência de leitura e de escrita, a articulação das competências para aprender e a contextualização no mundo do trabalho” (SÃO PAULO, 2008a, p. 11). Tendo um currículo que promove a aprendizagem de competências e habilidades, a atuação do professor, os conteúdos propostos, as metodologias e a aprendizagem dos alunos compõem um sistema comprometido com a formação de crianças e jovens em adultos aptos a exercer suas responsabilidades – trabalhar, constituir uma família e ser autônomo – e com condições de atuar na sociedade de forma produtiva (SÃO

PAULO 2008a, p. 13).

A principal característica dessa nova Proposta é desenvolver um currículo que

favoreça o desenvolvimento de competências e habilidades em que o “topos” do

professor e do estudante está centrado na responsabilidade e comprometimento de

ambos para que possam executar o projeto pedagógico em uma ação orquestrada

em que cada um cumpre seu papel, o que deve conduzir os estudantes à aplicação

dos conhecimentos aprendidos na escola de forma autônoma e produtiva no

contexto social e cultural que o cerca.Observa-se também que essa nova proposta

permite identificar um novo “topos” do professor que deve analisar as necessidades

dos diferentes grupos de estudantes e propor um trabalho que leve em conta seus

conhecimentos prévios e que permita a inserção de todos evitando as

desigualdades. Para isso, supõe-se que o professor encontre meios para estimular

os mais frágeis criando uma diversidade de tratamentos, isto é, não se escolhe um

tratamento igual para todos, mas procura-se manter pelo menos uma base comum.

Certamente cabe ao professor buscar novas estratégias e metodologias para

trabalhar essas diversidades.

Este currículo amparado no conceito de competências propõe que a escola e o professor indiquem claramente o que o aluno vai aprender, o que é indispensável que este aluno aprenda, garantindo desta forma a todos “[...] igualdade de oportunidades, diversidade de

66

tratamento e unidade de resultados. Quando os pontos de partida são diferentes, é preciso tratar diferentemente os desiguais para garantir a todos uma base comum” (SÃO PAULO, 2008a, p. 15).

Os propósitos apresentados na nova Proposta Curricular do Estado de São

Paulo lembram a autonomia concedida às escolas pela Lei de Diretrizes e Bases

para que definam seus próprios projetos pedagógicos. Passo importante e inovador

diante da heterogeneidade da população estudantil brasileira. O documento oferece

subsídios aos profissionais ligados à educação. Notamos que a preocupação central

do documento está em realizar um amplo levantamento do acervo documental e

técnico pedagógico existente e envolver escolas e professores com o objetivo de

sistematizar e compartilhar boas práticas articulando sucessos anteriores e novos

para uma significativa contribuição a todos os estudantes.

Identificamos princípios para promover uma escola que permita a promoção

de competências necessárias aos estudantes para que estes tenham condições de

enfrentar os novos desafios sociais e globais. Entre os objetivos da Nova Proposta

Curricular do Estado de São Paulo está o de aproximar conteúdos escolares com o

universo da cultura buscando instrumentos que deem aos estudantes condições de

enfrentar o mercado de trabalho. Uma das características da nova proposta é

manter a Matemática como uma área específica, proposta que sobreviveu a várias

sugestões passageiras e que hoje é ponto de partida para atualizações e novas

práticas.

No Estado de São Paulo, nas propostas curriculares elaboradas a partir de 1986 e em vigor até o presente momento, a Matemática era apresentada como uma área específica. Tais propostas constituíram um esforço expressivo, e em alguns sentidos pioneiro, na busca de uma aproximação entre os conteúdos escolares e o universo da cultura, especialmente no que tange às contextualizações e à busca de uma instrumentação crítica para o mundo do trabalho. Essa rica herança pedagógica sobreviveu a uma avalanche de novidades passageiras e serve agora de ponto de partida para que, incorporadas as necessárias atualizações, novos passos sejam dados para sua efetivação nas práticas escolares. Particularmente no que tange às áreas em que se organiza, a nova proposta inspirou-se na anterior, mantendo a área de Matemática como um terreno específico, distinto tanto das Linguagens quanto das Ciências Naturais (SÃO PAULO, 2008, p. 38).

67

Na sequência, o texto releva e resgata a posição da Matemática em outras

épocas apresentando a posição da Matemática e língua materna que em todas

essas propostas têm sido consideradas como eixo fundamental para a formação do

cidadão. Tendo afinidade ou não com a Matemática, as crianças estudam essa

ciência durante toda a Educação Básica e a utilizam de forma consciente ou não em

sua vida cotidiana, pois em nossa sociedade todas as pessoas direta ou

indiretamente lidam com números, medidas, gráficos nas mais variadas situações,

por exemplo, nas decisões de compra e venda em que os conhecimentos

matemáticos os auxiliam nas tomadas de decisões. O texto acima justifica a

manutenção de uma área específica para a Matemática e seu papel de ferramenta

para resolução de problemas em outras ciências, o que permite tratar exemplos

contextualizados, principalmente no Ensino Médio em que podemos articular os

conhecimentos matemáticos com os desenvolvidos nas disciplinas de física,

química, biologia, desde que os estudantes disponham de conhecimentos básicos

sobre essas ciências. Ou seja, quando existe a possibilidade de um trabalho

interdisciplinar, que vem sendo incentivado e que pode contribuir para incentivar os

estudantes a encontrar as relações entre os conhecimentos desenvolvidos nas

diferentes disciplinas, cabe ao professor buscar novas estratégias para favorecer

esse trabalho. Observamos ainda que os conteúdos matemáticos estão distribuídos

por séries e bimestre e que para as noções de função exponencial e logarítmica

supõe-se que sejam desenvolvidas no 3.º bimestre da 1.ª série do Ensino Médio e é

nesse momento que podemos trabalhar as noções de juros compostos. Mesmo se

esse trabalho não é proposto explicitamente nos documentos e cadernos,

lembramos aqui que se trata de uma aplicação muito frequente na vida cotidiana e

que pode auxiliar os estudantes a melhor exercer sua cidadania, pois estes são

constantemente bombardeados com propagandas que não correspondem à

realidade, as quais muitos deles não são capazes de avaliar corretamente.

Função exponencial e logarítmica Crescimento exponencial Função exponencial, equações e inequações. Logaritmos

68

Nesse momento, os professores poderiam recorrer a essas propagandas para

contextualizar o trabalho com as funções exponenciais e logarítmicas e mostrar sua

utilidade, mesmo para aqueles que não desejam continuar seus estudos ou que se

interessa por áreas em que não é necessário conhecimento específico desse tipo de

função. Considerando as necessidades para o desenvolvimento da disciplina de

Matemática Financeira nos cursos de Administração, identificamos, via planos de

ensino de duas universidades públicas, Universidade Federal do Amazonas e

Universidade Federal do Rio Grande do Sul, e duas universidades privadas,

Fundação Getúlio Vargas – Escola de Administração de Empresas de São Paulo e

Faculdade das Américas, que conhecimentos matemáticos trabalhados durante a

Educação Básica são supostos disponíveis ou se esses são revisitados durante a

introdução de novos conhecimentos de forma a auxiliar os estudantes na solução de

tarefas que serão submetidos durante sua vida escolar e profissional.

Apresentamos a seguir as análises realizadas nos planos de ensino das

quatro universidades citadas acima.

3.6 ESTUDOS DE QUATRO PLANOS DE ENSINO DE UNIVERSIDADES

PÚBLICAS E PRIVADAS

A análise dos quatro planos de ensino nos auxilia a compreender quais as

relações institucionais esperadas dos estudantes do Ensino Superior e se existe

uma preocupação em revisitar as noções de juros simples e compostos associando-

as aos novos conhecimentos ou se elas são supostas disponíveis e consideradas

apenas como parte do “topos” do estudante, que deverá se apropriar desses

conhecimentos de forma autônoma. Procuramos assim identificar nesses

documentos qual a relação institucional esperada dos estudantes dos cursos de

Administração quando se trabalha com Matemática Financeira e como os

conhecimentos matemáticos desenvolvidos no Ensino Médio são considerados

nessas propostas, ou seja, são supostos disponíveis ou são revisitados por meio de

exemplos específicos da disciplina, ou melhor, existe uma preocupação em

contextualizar a Matemática que se supõe tenha sido desenvolvida na Educação

Básica.

69

Observamos assim qual o “topos” esperado dos professores e estudantes

tanto do ponto de vista das noções matemáticas trabalhadas nesses cursos como do

trabalho didático que os professores devem realizar ao qual se espera que os

estudantes se submetam.

Para isso, consideramos nos conteúdos propostos se existem sugestões para

o tratamento das noções de juros simples e compostos. Essa análise é levada em

conta em função da bibliografia básica e complementar encontrada nesses

documentos, ou seja, isso nos permite identificar quais as relações institucionais

esperadas para o desenvolvimento das noções de juros simples e composto e como

essas noções devem ser reputadas e trabalhadas. Para identificar o “topos” de

professores e estudantes quanto ao trabalho didático a ser realizado, foram

considerados a metodologia proposta e o processo de avaliação.Os resultados

dessas análises são cruzados com os encontrados para o Ensino Médio e assim

respondemos a questão: Existe uma coerência entre o que é proposto para o Ensino

Médio e Superior?

No quadro abaixo, apresentamos as universidades escolhidas, sobre as quais

encontramos material na internet ou que professores disponibilizaram esse material.

Universidade Federal do Amazonas Universidade Federal do Rio Grande do Sul Fundação Getúlio Vargas – Escola de Administração de Empresas de São Paulo Faculdade das Américas

Apresentamos na sequência o estudo do trabalho esperado de professores e

estudantes do Ensino Superior via planos de ensino das universidades citadas

acima.

3.7 ANÁLISE DO PLANO DE ENSINO DE DUAS UNIVERSIDADES FEDERAIS E

DUAS UNIVERSIDADES PRIVADAS

Nessa análise identificamos inicialmente se existe coerência entre os planos

de ensino, das universidades consideradas e as orientações apresentadas nas

Diretrizes Curriculares Nacionais dos cursos de graduação em Administração

(anexo 1), quando se considera a noção de juros simples e compostos.

70

Verificamos também, nesses mesmos planos de ensino, qual a proposta para

o “topos” do professor e do estudante. Essa análise será fundamentada na

metodologia de ensino indicada nesses planos. Outra preocupação foi verificar que

conceitos são revisitados e quais os assuntos trabalhados pela primeira vez. Para

essa tarefa, identificamos nos conteúdos propostos se existem sugestões para o

tratamento das noções de juros simples e compostos ou se essas noções são

tratadas como conhecimentos disponíveis.Outro aspecto da análise dos planos de

ensino é verificar se o conteúdo programático indicado é coerente com o

desenvolvido nos livros didáticos que constituem a bibliografia básica e

complementar. Iniciamos pela análise do plano de ensino da Universidade Federal

do Amazonas (UFAM).

3.7.1 ANÁLISE DO PLANO DE ENSINO DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO

AMAZONAS (UFAM)

Para facilitar o entendimento de nossa análise preparamos dois quadros: o

primeiro demonstrando o que é indicado pelas Diretrizes Curriculares do Curso de

Graduação em Administração e, em seguida, outro quadro apresentando o plano de

ensino da UFAM (anexo 2), finalizando com uma análise centrada na identificação

do “topos” do professor e do estudante e na forma como é proposto o trabalho com

as noções de juros simples e compostos.

3.7.2 DIRETRIZES CURRICULARES DO CURSO DE ADMINISTRAÇÃO DE

EMPRESAS

O quadro abaixo demonstra os conteúdos curriculares indicados nas

Diretrizes Curriculares para os cursos de Administração de Empresas.

Os cursos de graduação em Administração deverão contemplar, em seus projetos pedagógicos e em sua organização curricular, conteúdos que atendam aos seguintes campos interligados de formação:

I – Conteúdos de Formação Básica: estudos relacionados com as Ciências Sociais, a Filosofia, a Psicologia, a Ética, a Política, o Comportamento, a Linguagem, a Comunicação e

71

Informação;II – Conteúdos de Formação Profissional, compreendendo Estudos da Teoria da Administração e das Organizações e suas respectivas funções, dos Fenômenos Empresariais, Gerenciais, Organizacionais, Estratégicos e Ambientais, estabelecidas suas inter-relações com a realidade social, objetivando uma visão crítica da validade de suas dimensões, bem como os aspectos legais e contábeis;

III – Conteúdos de Formação Complementar, compreendendo Estudos Econômicos, Financeiros e de Mercado, e suas inter-relações com a realidade nacional e internacional, segundo uma perspectiva histórica e contextualizada de sua aplicabilidade no âmbito das organizações e na utilização de novas tecnologias;

IV – Conteúdos de Estudos Quantitativos e suas Tecnologias, abrangendo Pesquisa Operacional, Teoria dos Jogos, Modelos Matemáticos e Estatísticos e aplicação de tecnologias que contribuam para a definição e utilização de estratégias e procedimentos inerentes à Administração.

Fonte: Diretrizes Curriculares do Curso de Administração. Parecer n. 67 CES/CNE 0146/2002, p. 15.

Atentamos que não existe uma preocupação específica em propor conteúdos

para as disciplinas dos cursos de Administração e que as orientações dão ênfase à

inter-relação entre conteúdos básicos, de formação profissional e complementar,

assim como os estudos quantitativos associados às tecnologias, que permitam a

utilização de estratégias e procedimentos próprios à Administração. Esse trabalho

faz parte do “topos” dos professores que compõem o grupo e que deverão organizar

os diferentes conteúdos de forma a integrá-los conforme a proposta acima.

Observamos ainda que existe a preocupação em propiciar ao egresso do curso de

Administração condições de ser flexível ao tratar situações inesperadas e

divergentes em seu campo de atuação.

3.7.3 PLANO DE ENSINO DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS

Os objetivos do plano de ensino da UFAM:

Desenvolver a capacidade de raciocinar em termos financeiros, ou seja, com referência à diferenciação do valor do dinheiro no tempo; Desenvolver a capacidade de manipular fluxos de caixa com vistas a avaliar valores presentes e futuros de entradas e saídas de recursos financeiros em uma empresa; Dominar a metodologia de consulta às Tabelas Financeiras e o manuseio de calculadora financeira.

Fonte: Plano de Ensino da Universidade Federal do Amazonas, 2007, p. 1.

72

A metodologia:

Aulas expositivas com auxílio do quadro branco, pincéis e retroprojetor.

Utilização, pelos alunos, de Tabelas Financeiras e de Calculadora Financeira para dar suporte ao aprendizado dos métodos e técnicas expostos em sala de aula.

Realização de trabalhos em grupo na própria classe, para consolidar a compreensão dos conceitos, métodos e técnicas ensinados nas aulas expositivas.

Consulta, pelos alunos, da Biblioteca e da Internet.

Fonte: Plano de Ensino da Universidade Federal do Amazonas, 2007, p. 1.

A análise do plano de ensino da UFAM permite verificar que existe coerência

com o sugerido pelas Diretrizes Curriculares do Curso de Administração, sendo

muito importante o entendimento da participação da relação do dinheiro no tempo

perante as flutuações do mercado financeiro nacional e internacional. O

conhecimento da capitalização linear e exponencial, ou seja, juros simples e juros

compostos possibilitam uma visão sobre os fatos financeiros e contábeis e suas

repercussões na sociedade como um todo, proporcionando ao estudante o exercício

de cidadania quando diante de negociações de compra venda e ou financiamentos.

Isso permite considerar que o “topos” esperado do estudante de

Administração está associado à capacidade de entender os processos gerenciais

econômicos financeiros e de produção. Essa competência é privilegiada no plano de

ensino da UFAM. Atentamos que as Diretrizes Curriculares sugerem processos para

aprendizagem do estudante diante de novas realidades em um mundo

organizacional competitivo. Identificamos no plano de ensino da UFAM a

preocupação em desenvolver condições para que o estudante seja capaz de pensar

financeiramente, articulando a relação do dinheiro no tempo, e entender a

necessária importância do papel dos recursos financeiros para a sobrevivência das

organizações. Outro aspecto da análise dos planos de ensino é verificar se o

conteúdo programático indicado é coerente com o desenvolvido nos livros didáticos,

relação dos conhecimentos existentes, que constituem a bibliografia básica e

complementar e que permite observar se existe uma preocupação de revisitar as

noções de juros simples e compostos desenvolvidos no Ensino Médio.

73

Para isso, identificamos os dois livros apontados na bibliografia básica –

Abelardo de Lima Puccini, Matemática financeira objetiva e aplicada, mencionado

neste trabalho por livro 1, e José Dutra Vieira Sobrinho, Manual de aplicações

financeiras HP-12C, indicado neste trabalho como livro 2.

No livro 2, nota-se que ocorre um forte destaque para o uso da Calculadora

Financeira HP12C, o que reflete bem as habilidades esperadas pelas empresas dos

egressos do curso de administração. Nesse livro, as noções de juros simples e

compostos são supostas disponíveis, ficando a cargo de o professor revisitá-las

quando necessário ou simplesmente deixar esse trabalho sob a responsabilidade

dos estudantes, ou ainda indicar outros meios que os auxiliem a se apropriar desses

conhecimentos. No livro 2, a ênfase é dada para a resolução de problemas

direcionados ao mercado imobiliário e bancário. Nesse caso, as noções de juros

simples e compostos também são supostas disponíveis.As indicações bibliográficas

deixam evidente que se espera que os estudantes disponham das ferramentas

matemáticas necessárias para o desenvolvimento dos conteúdos de matemática

financeira nos diferentes contextos associados à profissão do administrador.

3.7.4 COMENTÁRIOS E ANÁLISES

Observamos que existe certa coerência entre as Diretrizes Curriculares e o

Plano de Ensino da UFAM e que as noções de juros simples e compostos são

supostas disponíveis se considerarmos os livros indicados na bibliografia básica.

No entanto, existe a possibilidade de revisitar esses conteúdos, uma vez que

no apêndice dessas obras essas noções são consideradas por meio de fórmulas e

exemplos, o que indica a necessidade de um trabalho autônomo específico que fica

a cargo dos estudantes que não dispõem desses conhecimentos, ou seja, revisitar

conhecimentos prévios supostos disponíveis corresponde ao “topos” do estudante.

Na bibliografia complementar são sugeridos outros livros de Matemática

Financeira aplicada à análise de investimento, o que corresponde à capacidade de

transferir conhecimentos da vida e de experiências cotidianas para o campo

profissional, como indicam as Diretrizes Curriculares do Curso de Administração.

74

As análises mostram coerência entre as indicações das Diretrizes

Curriculares e o plano de ensino da UFAM, deixando evidente que as noções de

juros simples e compostos são consideradas como conhecimentos prévios

disponíveis, ficando a cargo de o professor revisitá-las, ou deixando esse trabalho

para os estudantes, que nessa etapa escolar se supõe tenham autonomia suficiente

para identificar suas dificuldades e procurar meios para superá-las.

Apresentamos a seguir as análises do plano de ensino da Universidade

Federal do Rio Grande do Sul – UFRGS (anexo 3).

3.8 ANÁLISE DO PLANO DE ENSINO DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO

GRANDE DO SUL – INSTITUTO DE MATEMÁTICA – DEPARTAMENTO DE

MATEMÁTICA PURA E APLICADA

Seguindo a mesma organização para a análise, apresentamos apenas um

quadro com o plano de ensino da UFRGS e alguns comentários conforme nossa

proposta inicial.

Os objetivos do plano de ensino da UFRGS:

Entender e resolver os problemas de empréstimos financeiros mais usuais do mercado financeiro através dos conceitos da Matemática Financeira.

Valer-se tanto de fórmulas quanto de recursos de cálculo pré-programados encontrados em

calculadoras financeiras para a solução dos problemas com empréstimos financeiros.

Fonte: Plano de Ensino da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, 2008, p. 1.

A metodologia:

O principal recurso didático é o de aulas expositivas. O conteúdo enfocará sempre aplicações práticas do mundo dos negócios. As provas de avaliação serão antecedidas por aulas de revisão da matéria. O uso da calculadora financeira será o principal instrumento de apoio.

Fonte: Plano de Ensino da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, 2008, p. 1.

75

A análise das Diretrizes Curriculares do Curso de Administração e do Plano

de Ensino da UFRGS permite identificar que o objetivo do Curso de Administração

dá ênfase às aplicações voltadas para o mundo dos negócios, o que coincide com

indicações das Diretrizes Curriculares. É possível identificar como “topos” do

professor a necessidade de revisitar os conteúdos desenvolvidos durante o curso

antes das avaliações. Nesse caso, podemos supor que as noções de juros simples e

compostos também podem ser revisitadas nas aulas durante o curso. Ao identificar

as relações institucionais esperadas em função dos livros didáticos considerados na

bibliografia básica, observamos que existe uma preocupação constante em revisitar

as noções matemáticas trabalhadas no Ensino Médio de forma contextualizada e,

quando possível, utilizando ferramentas de informática que integram o campo

profissional, como o Aplicativo Microsoft Excel.

3.8.1 COMENTÁRIOS E ANÁLISES

A análise dos objetivos e da metodologia propostos no plano de ensino da

UFRGS permite concluir que existe coerência com as indicações das Diretrizes

Curriculares do Curso de Administração. Em relação ao conteúdo, cabe também ao

professor escolher a melhor maneira de trabalhá-lo, e as noções de juros simples e

compostos parecem ser objeto de estudo quando os estudantes encontram

dificuldades, pois se considera um momento para revisão dos conteúdos antes das

avaliações, e podemos supor que nessas revisões é possível revisitar noções e

conceitos matemáticos que apresentam dificuldades para os estudantes.Além disso,

podemos mais uma vez considerar que esses estudantes têm autonomia suficiente

para procurar outros meios para superar as dificuldades encontradas, principalmente

aquelas associadas à falta de conhecimentos prévios supostos

disponíveis.Apresentamos a seguir as análises propostas para o Curso de

Administração da Faculdade das Américas.

3.9 ANÁLISE DO PLANO DE ENSINO DAS FACULDADES DAS AMÉRICAS

Dando continuidade à análise de planos de ensino das universidades

escolhidas, consideramos agora a Faculdade das Américas (anexo 4), uma

instituição privada de Ensino Superior localizada no interior de São Paulo.

76

Expomos abaixo os objetivos indicados no plano de ensino do Curso de

Administração da Faculdade das Américas para verificar se ele é coerente com as

Diretrizes Curriculares do curso.

Os objetivos do plano de ensino da Faculdade das Américas:

Fornecer subsídios para que o estudante seja capaz de agir, refletir, encontrar soluções para situações novas, saber pesquisar, dominar técnicas e conceitos de matemática financeira. Analisar e solucionar problemas que envolvam decisões quanto ao uso de dinheiro no tempo, tanto para as empresas como para os cidadãos.

Fonte: Plano de Ensino da Faculdade das Américas, 2009, p. 1.

O objetivo do curso é coerente com a proposta das Diretrizes Curriculares do

Curso de Administração, deixando claro que o egresso deste curso deve estar

preparado para solucionar problemas que envolvam decisões sobre as melhores

formas de utilização do dinheiro tanto para a aplicação no desenvolvimento das

empresas como para suas próprias escolhas enquanto cidadão. Para isso, cabe ao

estudante realizar trabalhos individuais e em grupos para complementar os estudos

desenvolvidos em sala de aula com o professor, isto é, o professor desenvolve o

conteúdo e propõe trabalhos para que os estudantes ampliem seus conhecimentos,

aprendam a trabalhar em grupo e se tornem autônomos, sendo capazes de resolver

situações escolares e profissionais para as quais eles deverão apresentar as

competências necessárias no final do curso. Observamos também que cabe ao

professor identificar os conteúdos que não são disponíveis e revisitá-los de modo

que a interação entre conhecimentos prévios e novos conhecimentos tornem os

primeiros mais ricos, mais diferenciados, mais elaborados em termos e significados,

e os segundos possam adquirir significado para o aprendiz, conforme afirma Moreira

(2005).Ressaltamos ainda que a bibliografia básica do curso é composta pelas

mesmas obras das universidades públicas aqui analisadas, ou seja, a relação

institucional esperada para o desenvolvimento do curso varia em função do trabalho

do professor e dos estudantes, ou seja, os livros podem auxiliar tanto professor

como estudante no desenvolvimento de uma relação pessoal aos objetos de

Matemática Financeira propostos no curso.

77

Ressaltamos ainda que esse curso, assim como os que já foram analisados,

considera importante o uso da calculadora financeira, e que esse recurso faz parte

do contexto diário das empresas, devendo assim ser reputado como mais uma

competência para os estudantes dos Cursos de Administração.

3.9.1 COMENTÁRIOS E ANÁLISE

A análise do plano de ensino da Faculdade das Américas permite considerar

que cabe ao professor identificar as dificuldades de seus estudantes e utilizar novas

estratégias para propor situações e tarefas que permitam que os estudantes

adquiram as competências necessárias para utilizar a Matemática Financeira como

uma ferramenta de trabalho que possa auxiliá-los na solução de problemas tanto

empresariais como cotidianos, bem como escolher a melhor forma de pagamento na

compra de uma determinada mercadoria. Certamente esse trabalho não fica

somente a cargo do professor; os estudantes também podem propor novas

situações que permitam ampliar seus conhecimentos e que os tornem autônomos na

análise e decisão do valor do dinheiro no tempo. Apresentamos a seguir uma breve

discussão sobre o que se espera do trabalho do professor e do estudante quando se

considera a disciplina de Matemática Financeira para o Curso de Administração da

Fundação Getulio Vargas – SP, uma das mais renomadas instituições dessa área.

3.10 PLANO DE ENSINO DA FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS – SÃO PAULO

Iniciamos com a apresentação da cópia dos objetivos do curso de Matemática

Financeira da Fundação Getulio Vargas – SP – FGV-SP (anexo 5).

Objetivos do plano de ensino da FGV-SP:

Esta disciplina tem por objetivo ensinar o aluno as diversas formas de fazer financiamentos e analisar investimentos como funções do valor do dinheiro no tempo.

Ensinar o aluno a utilizar calculadora financeira e algumas funções financeiras do Excel. Instrumentar o aluno com ferramentas básicas para poder entender o valor do dinheiro no tempo e através disso poder avaliar a conveniência de financiamentos e investimentos e encontrar as melhores alternativas para cada caso, tanto do lado do agente financeiro quanto de seu cliente ou parceiro.

78

Acompanhar e decidir sobre a melhor alternativa a cada momento de financiamentos e projetos de investimentos de longo prazo que requerem intervenções pela mudança das situações de mercado verificadas ao início.

Desenvolver nos alunos a lógica do raciocínio dedutivo e indutivo próprio dos assuntos relacionados à Matemática Financeira e ampliar o uso desse raciocínio a outras situações de negócios e do dia a dia.

Fonte: Plano de Ensino da Fundação Getúlio Vargas – SP, 2009, p. 1.

Considerando o plano de ensino apresentado acima, verificamos que, ao

descrever que o objetivo é o estudante aprender as diversas formas de

financiamentos e investimentos utilizando calculadora financeira e Excel, cabe ao

professor propor situações que permitam trabalhar com esse material e supõe-se

que os estudantes já disponham das noções de juros simples e compostos e

possam utilizá-las nessas situações. Espera-se ainda que os estudantes se tornem

autônomos e sejam capazes de aplicar a lógica do raciocínio dedutivo e indutivo em

situações de negócios e do cotidiano.Comportamento esperado de professores e

estudantes – Compromisso de ética entre professores e estudantes:

Respeito do professor a todos os alunos, preparando-se para as aulas, respondendo às dúvidas dos alunos e avaliando-os com isenção e imparcialidade, e procurando ajudá-los no que estiver ao seu alcance.

Respeito dos alunos ao professor e aos seus colegas comportando-se nas aulas de maneira a não prejudicar seu andamento normal e enriquecendo sempre que possível com perguntas e dúvidas pertinentes aos assuntos que estão sendo tratados.

Preparar-se para as aulas de maneira a aproveitar ao máximo os ensinamentos oferecidos.

Realização das provas por parte dos alunos de maneira totalmente individual sem procurar vantagens ilícitas, de modo a representar nas provas o caráter que prevalecerá no exercício de suas profissões e de seu comportamento perante a sociedade.

Fonte: Plano de ensino da Fundação Getulio Vargas, 2009, p. 1.

No plano de ensino da Fundação Getulio Vargas-SP encontramos a descrição

explícita do comportamento esperado dos professores e estudantes, em que é

possível identificar que cabe ao professor identificar as dificuldades dos estudantes

e encontrar estratégias para auxiliá-los.

Mas o estudante também é responsável por sua aprendizagem devendo se

preparar para as aulas e mesmo enriquecê-las com perguntas pertinentes, ou seja, o

estudante deve ser autônomo e ter responsabilidade por sua aprendizagem não

esperando que todo o trabalho fique a cargo do professor e possa ser objeto de

79

estudo somente em sala de aula. Essa explicitação do “topos” do professor e do

estudante é importante para a aprendizagem, pois deixa evidente que no processo

de ensino e aprendizagem é preciso que todos desenvolvam seu papel e se

respeitem. Finalizando a análise de planos de ensino,atentamos que a Fundação

Getulio Vargas apresenta algumas peculiaridades e similaridades.Entre as

semelhanças com os planos de ensino das outras duas Universidades e da

Faculdade analisados, percebemos a preocupação em seguir as sugestões das

Diretrizes Curriculares do Curso de Administração, destacando o uso do aplicativo

Excel e da calculadora financeira HP 12C, no que se refere a posicionar o estudante

diante das inovações tecnológicas, segundo o texto abaixo:

Conteúdos de Estudos Quantitativos e suas Tecnologias, abrangendo Pesquisa Operacional, Teoria dos Jogos, Modelos Matemáticos e Estatísticos e aplicação de tecnologias que contribuam para a definição e utilização de estratégias e procedimentos inerentes à Administração (Parecer n. 67 CES/CNE 0146/2002, p. 15).

Analisando as associações entre plano de ensino e Diretrizes Curriculares do

Curso de Administração verifica-se que um dos destaques é possibilitar aos

estudantes a apropriação de avaliação de financiamentos e investimentos, fato esse

que não ficou muito explícito nos planos de ensino das outras instituições

analisadas. A grande distinção do plano de ensino da Fundação Getulio Vargas com

os outros planos aqui examinados está no fato de que o plano da Fundação prevê o

comportamento esperado para professores e estudantes por meio do “Compromisso

de Ética entre Professores e Estudantes”, que deixa evidente qual o “topo” do

professor e do estudante desse curso, pois se trata de um compromisso válido para

todas as disciplinas do curso.Isso conduz o estudante a desenvolver uma forma de

trabalho, pois lhe é cobrada a responsabilidade pelo seu aprendizado explicitamente

por meio desse compromisso.

Finalmente, identificamos que, ao analisarmos as relações institucionais

esperadas em função dos conteúdos a serem trabalhados e dos livros didáticos

indicados na bibliografia básica, existe pouca diferença entre os quatro cursos e que

as mesmas estão diretamente associadas ao trabalho de professores e estudantes

80

no desenvolvimento do curso e na responsabilidade individual de cada um, como

deixa evidente o termo de compromisso desse curso.

3.10.1 COMENTÁRIOS E ANÁLISES

O estudo do Plano de Ensino da Fundação Getulio Vargas – Escola de

Administração de Empresas de São Paulo-SP apresenta como diferencial em

relação aos três outros analisados acima a introdução do “Compromisso de Ética

entre Professores e Estudantes”, que coloca em evidência a existência de um papel

para o professor e para o estudante no processo de ensino e aprendizagem, e

ambos devem trabalhar de forma orquestrada para não provocar ruídos que

prejudiquem o bom desenvolvimento da disciplina em particular e do curso de um

modo geral. Na sequência, fazemos algumas considerações sobre o capítulo no qual

analisamos o “topos” do professor e dos estudantes nos documentos oficiais, ou

seja, qual o papel que eles devem desempenhar segundo as propostas oficiais.

3.11 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Verificamos que existe uma preocupação institucional em propor mudanças

tanto para “topos” do professor como para o “topos” dos estudantes, em que o

primeiro deve desenvolver seu trabalho como orientador de tarefas que permitam

que os estudantes encontrem suas próprias soluções, utilizando seus

conhecimentos prévios e procurando novas situações que os permitam adquirir

autonomia para controlar sua aprendizagem, sendo essa uma competência

importante para sua atuação na sociedade e no mundo do trabalho.No entanto, essa

nova relação institucional não é simples de alcançar e conduz à necessidade de

pesquisas e propostas de cursos que auxiliem os professores a desenvolver

atividades constituídas de situações contextualizadas como propõem os documentos

oficiais, mas que dão poucas orientações sobre como desenvolver esse trabalho.

Apesar de os cadernos da Nova Proposta do Estado de São Paulo ter sido

construídos sob essa óptica e apresentarem exemplos de situações

contextualizadas, observamos que neles os conhecimentos prévios dos estudantes

81

são considerados uniformes e podem dificultar o trabalho dos professores quando

isso não ocorrer.Para os planos de ensino analisados verificamos que o principal

recurso didático são as aulas expositivas. no tocante ao conteúdo nos quatro planos

estudados, ocorre uma ênfase em aplicações práticas do mundo dos negócios.

Outro fato que observamos foi o uso da calculadora financeira HP12C; todos os

planos examinados induzem ao uso da máquina, e também há forte preocupação de

posicionar o estudante diante das relações do dinheiro no tempo.Notamos que de

uma forma geral nos planos analisados não existe explicitamente uma preocupação

em revisitar conceitos recorrentes, ficando a cargo do professor identificar as

dificuldades associadas a esses conceitos e propor estratégias que possibilitem o

avanço dos estudantes, que também são responsáveis por seu próprio

desenvolvimento e devem ser capazes de identificar dificuldades e procurar meio de

superá-las.

82

Capítulo 4

OS TIPOS DE TAREFAS SOBRE JUROS SIMPLES

E COMPOSTOS QUE SUSTENTAM AS RELAÇÕES

INSTITUCIONAIS DO ENSINO MÉDIO

E SUPERIOR

4.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS

Neste capítulo estudamos os tipos de tarefas que alimentam as relações

institucionais sobre as noções de juros simples e compostos tanto no Ensino Médio

como no Ensino Superior.

Para isso, a partir dos diferentes tipos de tarefas identificadas para essas

duas etapas escolares construíram uma grade de análise que permite identificar o

tipo de situação exposta no enunciado, os quadros em que a tarefa é enunciada e

aqueles que possibilitam sua solução, os ostensivos manipulados na execução das

tarefas e os não ostensivos evocados neste trabalho, o nível de conhecimento

esperado dos estudantes tanto em relação ao novo conhecimento como aos

conhecimentos prévios necessários para o desenvolvimento da tarefa. Essa grade

foi construída a partir da grade apresentada por Dias (1998), em sua tese que trata

da articulação de pontos de vista cartesiano e paramétrico no ensino de Álgebra

Linear.Antes de apresentar os tipos de tarefa com exemplos sobre o funcionamento

da grade, consideramos os quadros por nós identificados, os ostensivos e não

ostensivos, que são utilizados nas tarefas identificadas e que possibilitam a

descrição, interpretação e justificativa das técnicas empregadas, assim como

algumas das possíveis técnicas que sobrevivem institucionalmente quando se

trabalha com as noções de juros simples e compostos.

4.2 AS FERRAMENTAS DE ANÁLISE UTILIZADAS NA CONSTRUÇÃO DA

GRADE

Uma das noções que utilizamos como ferramenta para a análise das tarefas

sobre as noções de juros simples e compostos, que, em geral, são consideradas no

83

Ensino Médio e Superior, é aquela sobre quadro para a qual distinguimos: quadro

numérico, quadro algébrico e quadro geométrico. Para esses quadros apresentamos

sua descrição, assim como os conhecimentos esperados, conhecimentos prévios

disponíveis e um exemplo de ilustração.

Quadro numérico: quando se utilizam apenas dados numéricos para

enunciar e resolver a tarefa. Os conhecimentos prévios supostos disponíveis

são as noções de números naturais, inteiros, racionais e reais e suas

operações e propriedades. O exemplo abaixo corresponde a uma tarefa

simples de cálculo de porcentagem.

Exemplo:

Qual o valor de 45% de 60?

Fonte: Dante , 2008, p. 334

Solução: 45% = 0,45

45% de 60 = 0,45 x 60 = 27

27 é o valor que corresponde a 45% de 60.

Nessa tarefa espera-se que o estudante transforme a taxa percentual (45%)

em decimal (0,45) e então realize o produto para encontrar o valor pedido. Para isso,

é preciso dispor de conhecimentos sobre: porcentagem, sua representação decimal

e multiplicação com decimais.

Quadro algébrico: quando é necessário identificar as variáveis por letras que

no caso representam: prazo taxa, valor presente, valor futuro. É necessário

dispor de uma fórmula para determinar o que se pede na tarefa. No caso de

operações com capitalização linear (juros simples, M = C + j, j = C*i*t, onde M

= montante, C=capital, j = juros, i = taxa e t = tempo) e em capitalização

exponencial (juros compostos, M=C* (1 + i)t, onde M= montante, C= capital, i=

taxa, t=tempo) é preciso associar os dados da tarefa com as variáveis que as

representam na fórmula correspondente.

84

Exemplo:

Quanto receberá de juros, no fim de um semestre, uma pessoa que investiu, a juros

compostos, a quantia de R$ 6.000,00, à taxa de 1% ao mês?

Fonte: Dante 2008, p.335

Solução:

Primeira técnica: Calcular

1% de 6000 = 0,01. 6000 = 60 1% de 6060 = 60,6 1% de 6120,6= 61,206

1% de 6181, 806 = 61,81806 1% de 6243,6241 = 62,436241

1% de 6306,0603 = 63,060603

Somando: 60 + 60,6 + 61,206 + 61,81806 + 62,436241 + 63,060603 = 369,1209

Logo, a pessoa receberá 369,12 de juros.

A partir da primeira técnica podemos deduzir a fórmula: M=C (1 + i)t e utilizar a segunda

técnica para resolver a tarefa.

Segunda técnica: Identificar os dados da tarefa com as varáveis correspondentes e

determinar o que se pede.

C = 6000, t = 1 semestre= 6 meses, i = 1% = 0,01

M = 6000(1 + 0,01)6 = 6369,120604

Logo, a pessoa receberá 369,12 de juros.

A primeira técnica é bastante adequada para a passagem do quadro

numérico para o quadro algébrico, pois podemos resolver pelo menos uma tarefa

por meio dessa técnica e, a partir dela, deduzir a fórmula utilizada na segunda

técnica, o que permite mostrar que a álgebra torna o trabalho matemático mais

econômico. Nos dois casos é interessante utilizar uma calculadora, e, dependendo

dessa ferramenta, é necessário um trabalho específico para o seu uso.

Observamos ainda que, se a tarefa proposta exige apenas o cálculo de juros

simples, podemos associar essa noção com os conceitos de função afim e

progressões aritméticas e suas propriedades, enquanto para a noção de juros

85

compostos os conceitos de função exponencial e logarítmica e progressão

geométrica podem ser articulados para mostrar que as noções de juros simples e

compostos são casos particulares dos conceitos matemáticos considerados.

Atualmente no Ensino Médio a articulação considerada acima é indicada nos

Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio e trabalhada nos livros

didáticos. Esse trabalho articulado possibilita uma melhor compreensão tanto dos

conceitos matemáticos evocados quanto das noções de juros simples e compostos,

pois trata-se de uma forma de revisitar conhecimentos prévios de maneira a torná-

los mais ricos, mais diferenciados, mais elaborados em termos de significado,

adquirindo assim mais estabilidade. Além dessa interação entre novos

conhecimentos e conhecimentos prévios, esses últimos podem ser utilizados para o

desenvolvimento de situações contextualizadas como a apresentada

acima.Consideramos que trabalhar a passagem do quadro numérico para o quadro

algébrico pode servir também para mostrar para os estudantes um dos papéis da

álgebra que é reduzir os cálculos e facilitar o desenvolvimento do trabalho

matemático.

Quadro geométrico: corresponde à representação gráfica seja da função

afim que possibilita o estudo da noção de juros simples, seja da função

exponencial que permite tratar as questões de juros compostos. Na realidade,

o quadro geométrico poderia ser considerado apenas como uma conversão

entre o registro de representação algébrica de uma função e o registro de

representação gráfica se nos referíssemos ao trabalho de Duval (1995), e

quando articulamos as noções de juros simples e compostos com as noções

de função afim e a função exponencial respectivamente. O exemplo abaixo

ilustra a possibilidade de trabalhar no quadro geométrico para o

desenvolvimento da tarefa.

Exemplo:

Supondo um capital de R$ 800,00, aplicado à taxa de 40% ao ano, representar graficamente a

relação entre juros (em Reais) e tempo (em anos).

Fonte: DANTE 2008, p. 339

86

Solução proposta pelo autor:

Fonte: DANTE, 2008, p. 339.

Trata-se de uma tarefa que poderia ser resolvida diretamente por meio da

fórmula de juros simples (j = C*.i*.t, onde j = juros, C = capital, i = taxa e t = tempo).

Como capital e taxa são constantes, o produto Ci também é constante, logo os juros

variam com o tempo por meio da função j = f(t) = C*i*t, que representa uma função

linear. Isso permite a passagem ao quadro geométrico em que, por meio gráfico, é

possível verificar que se trata de uma função crescente, ou seja, os juros aumentam

no decorrer do tempo. Certamente esse trabalho só é proposto no Ensino Médio,

cujo objetivo é preparar o cidadão e não considerar apenas as aplicações

associadas ao mercado de trabalho, o que é enfatizado nos planos de ensino das

universidades analisadas no capítulo anterior, observando que estudamos os cursos

de Administração de Empresas cujo objetivo é justamente o desenvolvimento

profissional.

Na realidade, o estudo da função por meio de seu gráfico permite uma melhor

visualização, o que pode ser utilizado como recurso para apresentações e

principalmente para comparar resultados. A comparação de resultados é muito

importante para os Administradores de Empresas, mas o exemplo acima é pouco

adequado para o setor financeiro, em que, em geral, se trabalha com aplicações que

variam exponencialmente com o tempo, isto é, onde se privilegia a noção de juros

compostos. Outra ferramenta por nós utilizada para a distinção dos tipos de tarefas

87

sobre a noção de juros simples e compostos que alimentam as relações

institucionais são as noções de não ostensivos e ostensivos que correspondem às

representações internas (ou mentais) e às representações externas

respectivamente, sendo que o primeiro permite evocar o conceito ou noção que se

utiliza e o segundo, a manipulação desse mesmo conceito ou noção, ou seja, existe

uma relação dialética entre elas.Indicamos abaixo os não ostensivos e ostensivos

que, em geral, são evocados no desenvolvimento das tarefas sobre juros simples e

compostos habitualmente desenvolvidas no Ensino Médio e Superior.

Não ostensivos e ostensivos

- Adição, subtração, multiplicação, porcentagem e decimais.

Exemplo 1:

Se a taxa de inflação de janeiro é de 6% e a de fevereiro é de 5%, então a taxa de inflação do

bimestre janeiro-fevereiro será de?

Fonte: DANTE, 2008, p. 335.

Solução: Primeira técnica:

Como se trata de juros sobre juros podemos calcular 5% de 6% que é igual a 0,05. 0,06 = 0, 003 =

0,3%. Portanto a taxa total é igual 5% + 6% + 0,3% = 11,3%

Logo, a taxa de inflação no bimestre é de 11,3%.

Segunda técnica: solução do autor f1 = 1+0,06 = 1,06 f2=1+0,05= 1,05

facumulado= 1,06*1,05 = 1, 113 logo, a taxa de inflação é de 11,3% = 0,113

Fonte: DANTE, 2008, p. 335.

Para a primeira técnica é preciso dispor apenas dos ostensivos de

representação percentual e decimal e da representação de multiplicação e adição e

os não ostensivos porcentagem, números decimais, operações de adição e

multiplicação de números inteiros e decimais. Para a segunda técnica é preciso

considerar o capital inicial para o cálculo, o que corresponde a somar uma unidade

aos juros correspondentes, ou seja, o ostensivo de representação simbólica f = 1 + i.

No cálculo dos juros acumulados encontramos o valor final. Para determinar a taxa

entre os dois meses considerados é preciso tomar a taxa na representação decimal

88

e transformá-la para a representação percentual. Nesse caso, utilizamos os

ostensivos de representação simbólica, de representação percentual e de

representação decimal, e os não ostensivos em jogo são as noções de número

decimal e porcentagem.

Exemplo 2:

Fonte: DANTE, 2008, p. 336.

Na tarefa acima verificamos que o autor propõe duas técnicas para a sua

solução. Na primeira técnica os ostensivos em jogo são a representação percentual,

a representação decimal e as operações de multiplicação, adição e divisão de

números inteiros e decimais. Os não ostensivos correspondem às noções de

porcentagem, número decimal, multiplicação, divisão e adição. Na segunda técnica

os ostensivos são os mesmos, e para o cálculo do valor final é utilizada a fórmula 1

+ i, onde 1 representa o capital inicial e i, os juros, ou seja, é preciso dispor de

conhecimentos sobre o não ostensivo capital inicial e juros para compreender essa

nova formulação.

Para melhor ilustrar os ostensivos e não ostensivos, separamos as tarefas

sobre juros simples e compostos em função das operações e noções que permitem

sua solução, como é possível verificar no caso abaixo sobre juros compostos.

– Porcentagem, potenciação, logaritmos e regra de três.

Exemplo:

89

Fonte: DANTE, 2008, p. 339.

Para a tarefa acima é preciso dispor do ostensivo de representação algébrica

do montante para juros compostos (M = C * ft) cujo não ostensivo matemático

associado é a noção de função exponencial. Como é pedido o tempo em que o

capital dobra, necessitamos de uma representação simbólica para o não ostensivo

dobro. Após substituir os ostensivos de representação simbólica, onde f = 1 + i e i é

transformado em sua representação decimal, utiliza-se o não ostensivo logaritmo e

suas propriedades, cujo ostensivo é indicado por log. Finalmente, é preciso

transformar 0,64 de ano em meses, o que corresponde ao não ostensivo regra de

três cujo ostensivo é a multiplicação em cruz. As noções de juros simples e

compostos, como já indicamos acima, podem ser articuladas com as noções de

progressões aritméticas e geométricas respectivamente. Apresentamos abaixo

exemplos dessa articulação identificando os ostensivos e não ostensivos em jogo.

– Progressão aritmética, progressão geométrica e suas propriedades.

Exemplo: Progressão Aritmética e Juros Simples:

90

Fonte: DANTE, 2008, p. 152.

A primeira técnica utilizada pelo autor corresponde ao cálculo dos juros sobre

o capital utilizando apenas os ostensivos de representação percentual e decimal e a

multiplicação. O valor encontrado vai ser adicionado sucessivamente utilizando

apenas o ostensivo adição. Nesse caso, os não ostensivos em jogo são as noções

de porcentagem, número decimal, multiplicação e adição. Para determinar uma

fórmula que corresponde à representação simbólica para o cálculo de juros simples,

o autor articula a noção de juros simples com a noção de progressão aritmética.

Para isso, o autor relaciona o ostensivo de representação simbólica do termo geral

de uma progressão aritmética associando seus elementos, isto é, o n-ésimo termo

corresponde ao montante (an = M); o primeiro termo corresponde ao capital inicial

acrescido do juro do primeiro mês (a1 = C + C.i); a razão corresponde aos juros (r =

C.i); e o tempo corresponde a calcular (n – 1) quando n = t, ou podemos considerar

uma progressão aritmética em que o primeiro termo é a0, o que corresponde à M =

C + C*i*t, ou seja, M = C*(1 + i*t) .

O não ostensivo progressão aritmética é utilizada como meio para deduzir o

ostensivo de representação simbólica para a determinação de uma fórmula para o

cálculo de juros simples.

91

Exemplo: Progressão Geométrica e Juros Compostos:

Quanto receberá de juros, no fim de um semestre, uma pessoa que investiu, a juros

compostos, a quantia de R$ 6.000,00 à taxa de 1% ao mês.

Primeira técnica: Calculamos os valores relativos aos 6 meses.

Mês 0: 6.000,00

Mês 1: 6.000,00 + 6.000,00 x 0,01 = 6.060,00

Mês 2: 6.060,00 + 6.060,00 x 0,01 = 6.120,60

Mês 3: 6.120,60 + 6.120,60 x 0,01 = 6.181,806

Mês 4: 6.181,806 + 6.181,806 x 0,01 = 6.243,6241

Mês 5: 6.243,6241 + 6.243,6241 x 0,01 = 6.306,0603

Mês 6: 6.306,0603 + 6.306,0603 x 0,01 = 6.369,1209

Segunda Técnica: Podemos representar a sequência de valores por uma progressão

geométrica usando o termo geral an como o montante (an = M) como primeiro termo o

capital inicial ou valor principal (a1 = C + Cj), a razão é igual a 1 + j (q = 1 + j), e o tempo

igual ao número de termos (n = t). Assim, fazendo as trocas convenientes em an = a1qn – 1

temos: M = (C + Cj).(1+j)t-1 , considerando uma progressão geométrica onde o primeiro

termo é a0, temos: M = C(1 + j)t.

C= 6000; t= 1 semestre = 6 meses j= 1% (0,01) ao mês M = C * (1+j)t M = 6000*(1+0,01)6

M = 6.369,12

Fonte: DANTE , 2008, p. 338.

Observamos que na primeira técnica é preciso calcular a cada mês o juro

correspondente ao valor acumulado no mês anterior. Ao identificar a fórmula do

montante para juros compostos com a de uma progressão geométrica, observando a

diferença quando se considera o primeiro termo a0 ou a1, podemos mostrar para os

estudantes a importância desse conceito matemático para justificar a fórmula

utilizada e seu papel facilitador dos cálculos, principalmente quando se trabalha com

prazos maiores. Na primeira técnica, que corresponde ao cálculo sucessivo dos

juros nos meses considerados, utilizamos apenas os ostensivos de representação

percentual e decimal e a multiplicação e adição. O valor encontrado para cada mês

é tomado como novo capital para o mês seguinte. Nesse caso, os não ostensivos

em jogo são as noções de porcentagem, número decimal, multiplicação e adição.

92

Para determinar uma fórmula que corresponde à representação simbólica

para o cálculo de juros compostos podemos articular essa noção com o conceito de

progressão geométrica. Para isso, é preciso relacionar o ostensivo de representação

simbólica do termo geral de uma progressão geométrica associando seus elementos

com as noções de montante, capital inicial, taxa e tempo, conforme descrição

apresentada acima para a segunda técnica. O não ostensivo progressão geométrica

é utilizada como meio para deduzir o ostensivo de representação simbólica para a

determinação de uma fórmula para o cálculo de juros compostos. Podemos

considerá-lo como o objeto matemático que permite descrever, interpretar e justificar

a representação simbólica usualmente usada para o cálculo de juros compostos, ou

seja, a teoria da tecnologia que corresponde aos cálculos sucessivos que podem ser

representados por uma função exponencial.Na sequência, consideramos as

grandezas direta e inversamente proporcionais que correspondem a ostensivos

usualmente utilizados em tarefas que envolvem as noções de juros simples e

compostos.

– Grandezas diretamente e inversamente proporcionais

Exemplo: Grandezas Diretamente Proporcionais. Edgar teve um aumento de

8% e passou a receber R$ 1.680,00. Qual era seu salário antes do reajuste? O

salário anterior correspondia a 100%. Como houve um aumento de 8%, o novo

salário passou a corresponder a 100% + 8% = 108%. Observe que as grandezas

são diretamente proporcionais, logo teremos salário antes do reajuste:

R$ 1.555,55.

Porcentagem 100% 108%

Salário X 1680

Fonte: GIOVANNI & BONJORNO , 2005, p. 286.

Ao resolver essa tarefa, uma das possíveis formas para tal é o uso de uma

regra de três que corresponde a uma das técnicas para o cálculo de grandezas

diretamente proporcionais. Nesse caso, a regra de três corresponde a um dos

93

ostensivos para manipular grandezas diretamente proporcionais. Poderíamos

também considerar o não ostensivo função linear e associá-lo à noção de grandezas

diretamente proporcionais e por meio da manipulação dos ostensivos associados a

essa função determinar a solução da tarefa proposta, conforme exemplo abaixo.

Considerando 100% = 1, 108% = 1,08, f(1) = x e f(1,08) = 1680. Sendo f

linear, temos: f(1,08) = f(1,08 * 1) = 1,08 f(1). Logo, 1680 = 1,08.x, x = 1555,55.

Nesse caso, é necessário fazer a passagem do ostensivo de representação

percentual para o ostensivo de representação decimal. Ambas as técnicas

sobrevivem atualmente, mas no Ensino Médio no Brasil, em geral, privilegia-se a

primeira técnica, mesmo se a noção de função linear integrar a proposta curricular

dessa etapa escolar. Outra noção muito utilizada nas tarefas sobre porcentagem e

juros simples é a noção de equação do primeiro grau. – Equações do primeiro

grau. Exemplo 1:

A quantia de R$ 1.890,00 foi repartida entre três pessoas da seguinte forma: Marta recebeu

80% da quantia de Luís e Sérgio recebeu 90% da quantia de Marta. Quanto recebeu cada

pessoa?

Fonte: DANTE , 2008, p. 336.

Solução: Luis: x

Marta: 0,8 x Sérgio: 0,9x(0,8x) x + 0,8 x+ 0,72x = 1890 2,52x = 1890 x = 750 (Luis)

0,8 x = 0,8.750 = 600 (Marta) 0,72 x = 0,72.750 = 540 (Sérgio)

Sérgio recebeu 1890-750-600 = 540. Portanto, Luis recebeu R$ 750,00, Marta recebeu R$ 600,00 e

Sérgio recebeu R$ 540,00.

Fonte: DANTE , 2008, p. 336.

Na tarefa acima, após identificar as diferentes partes efetuando a passagem

do ostensivo de representação em língua natural em representação simbólica

explícita e modelar a tarefa recaindo em uma equação do primeiro grau, é preciso

manter um discurso em língua natural para justificar o trabalho com o não ostensivo

equação, que será manipulado por meio das regras e leis do cálculo literal, que

correspondem aos não ostensivos em jogo na tarefa.

94

Exemplo 2:

Um quadro, cujo preço de custo era R$ 800,00, foi vendido por R$ 980,00. Qual a porcentagem do

lucro sobre o preço de custo?

Fonte: GIOVANNI & BONJORNO 2005, p. 290

Solução:

Fazendo L= lucro; C= preço de custo e V= preço de venda, teremos: V = L+C L= V – C

L= 980 – 800 L= 180. A taxa percentual do lucro sobre o custo é de: 800

180

C

L = 0,225

logo L = 22,5%.

Fonte: GIOVANNI & BONJORNO, 2005, p. 290.

No exemplo 2 é preciso identificar os elementos do enunciado e considerar a

equação que relaciona preço de custo, preço de venda e lucro, para em seguida

determinar qual a porcentagem de lucro sobre o preço de custo.

Na realidade, trata-se de um problema de modelagem que possibilita a

aplicação da noção de equação, que necessita de um discurso adequado para seu

planejamento, execução e interpretação dos resultados encontrados. Estes supõem

ainda a passagem da representação decimal para a representação percentual que é

pedida na tarefa. Também, nesse caso, o não ostensivo equação é manipulada por

meio das regras e leis do cálculo literal, que correspondem aos não ostensivos em

jogo na tarefa. Outro não ostensivo importante para o desenvolvimento da noção de

juros simples e compostos é a noção de calendário contábil.

– Calendário contábil.

Exemplo: mês de trinta dias, ano com trezentos e sessenta dias;

Uma aplicação de R$ 50.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de

R$ 8.250,00. Indaga-se: Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação?

Fonte: Sobrinho, 2000, p. 22.

95

Solução: P= 50.000,00 J= 8.250,00 N= 180 dias I = ?

I = J: (C*n) I= 8.250,00: (50.000,00*180) = 0,00091667 ou 0,091667 ao dia.

Conforme é solicitado à taxa em anos, teremos Taxa anual = 360* 0,00091667, ou seja, 0,33

ou ainda 33% ao ano.

Fonte: SOBRINHO, 2000, p. 22.

Para desenvolver essa tarefa, além de dispor da noção de calendário contábil,

observamos que na fórmula I = J: (C*n), o não ostensivo divisão é representada

pelo ostensivo dois-pontos e o não ostensivo multiplicação é representado pelo

ostensivo * que correspondem às representações utilizadas, em geral, nas

calculadoras. É importante utilizar a equivalência de taxas para resolver tarefas

sobre variação financeira, ou seja, se a taxa é dada em anos, deve-se transformar o

prazo em anos. – Equivalência de taxas (EM, ES) Exemplo:

Uma pessoa aplica R$ 15.000,00 num título de renda fixa com vencimento no final de 61

dias, a uma taxa de 72% ao ano. Calcular o seu valor de resgate.

Fonte: SOBRINHO, 2000, p. 43.

Primeira Técnica: P= 15.000,00 n= 61 dias = 61/360; I = 72% ao ano S =?

S= P* (1+i)n S= 15.000*(1+0,72)61/360 S = 15.000*(1,72) 61/360 S= 16.443,73

Segunda Técnica:

P= 15.000,00; N= 61 dias; I = 72% ao ano; S =? Por regra de três simples, temos:

1 ano -------- 360dias

n -------- 61 1*61 = 360xn n = 0, 1694 anos

S= P* (1+i)n S= 15.000*(1+0,72)0,1694 S= 16.443,73

Fonte: SOBRINHO, 2000, p. 43.

Na primeira técnica dividimos o número de dias por 360, que correspondem

ao ano contábil e aplicamos a fórmula em que a multiplicação também é

representada pelo ostensivo, uma vez que os cálculos precisam ser efetuados em

uma calculadora.A diferença entre a primeira técnica e a segunda está na

proposição do cálculo da proporção de dias em relação ao ano contábil. Isso permite

revisitar a noção de proporcionalidade e assim compreendê-la melhor. Certamente o

96

trabalho proposto pelo autor é adequado para os cursos de Administração, mas

ressaltamos que esse mesmo exemplo pode ser utilizado como meio para auxiliar os

estudantes do Ensino Médio a articular a noção de calendário contábil e

proporcionalidade, que pode ser tratada por meio da técnica denominada “regra de

três simples” ou da técnica da função linear. Podemos ainda articular a noção de

juros simples com a noção de função linear e interpretar os resultados encontrados

por meio do ostensivo de representação gráfica.

– Juros simples e representação gráfica (EM, ES)

Exemplo: Suponhamos o capital de R$ 800,00 aplicado à taxa de 40% ao

ano. Qual seria a representação gráfica quando obtemos os juros em função do

tempo de aplicação por meio da equação. J=320*t

Essa funçaõ apresenta uma equação do tipo função linear

 

Fonte: DANTE , 2008, p. 339.

A representação gráfica dos juros em função do tempo, além de permitir a

articulação entre a noção de juros simples e função linear, auxilia a interpretação

dos resultados, pois é fácil verificar que a reta é crescente, ou seja, que os juros

aumentam proporcionalmente com o tempo. Na sequência, apresentamos a grade

de análise construída para identificar os diferentes tipos de tarefas e técnicas que

sobrevivem atualmente tanto no Ensino Médio como no Ensino Superior. Além

disso, é mediante essa grade que analisamos no capítulo que segue, por meio de

três livros didáticos indicados para o Ensino Médio e de dois livros do Ensino

Superior escolhido em função das bibliografias propostas nos planos de ensino

97

analisados, as relações institucionais existentes quando se trabalha a noção de juros

simples e compostos nessas duas etapas escolares.

4.3 AS TAREFAS USUAIS SOBRE AS NOÇÕES DE JUROS SIMPLES E

COMPOSTOS QUE ALIMENTAM AS RELAÇÕES INSTITUCIONAIS TANTO

PARA O ENSINO MÉDIO COMO PARA O ENSINO SUPERIOR

Na tabela abaixo relacionamos as tarefas sobre juros simples e compostos

usualmente encontradas tanto no Ensino Médio como no Ensino Superior.

Tarefa 1: Situação matemática para cálculo de acréscimo ou desconto (EM, ES).

Tarefa 2: Situação matemática para cálculo de Juros Simples (EM, ES).

Tarefa 3: Situação matemática para cálculo de Juros Compostos (EM, articulação entre juros simples e compostos e as noções de função afim, progressão aritmética e função exponencial, progressão geométrica respectivamente, ES sem articulação).

Tarefa 4: Situação matemática para cálculo de juros sobre depósito à vista, o Método Hamburguês (ES).

Tabela 1: Tarefas analisadas

Apresentamos a seguir nossa grade de análise que, como anunciado acima,

segue o modelo construído por Dias (1998) em sua tese para a análise dos

diferentes tipos de tarefas que permitem a articulação entre os pontos de vista

cartesianos e paramétricos no ensino de Álgebra Linear.

4.4 A GRADE DE ANÁLISE

Na grade identificamos os tipos de tarefas usualmente encontradas no

processo de ensino e aprendizagem das noções de juros simples e compostos tanto

para o Ensino Médio como para o Ensino Superior. Para as variáveis das tarefas

destacamos os quadros em que a tarefa é enunciada e os possíveis quadros de

solução das mesmas. Além disso, destacamos os ostensivos e não ostensivos que

permitem a solução das tarefas, destacando os não ostensivos que correspondem

98

aos conhecimentos prévios tanto dos estudantes como dos professores, observando

que os professores devem dispor de conhecimentos teóricos que permitem utilizar

os ostensivos discursivos necessários para descrever, interpretar e justificar as

técnicas escolhidas para desenvolver as diferentes tarefas. Dessa forma, para

especificar as tarefas em relação às diferentes técnicas, que segundo Chevallard

(1994), possibilitam a compreensão de um conceito, pois este depende da técnica

em que é utilizado e a técnica depende de todo o sistema de objetos não ostensivos

e ostensivos que ela permite ativar.

Escolhemos assim as variáveis de tarefa abaixo que nos parecem

importantes para identificar as diferentes relações institucionais associadas às

noções de juros simples e compostos, que podem ser trabalhadas tanto no Ensino

Médio como no Ensino Superior.

- Situação apresentada no enunciado;

- Quadros em que a tarefa é apresentada;

- Não ostensivos possíveis para o seu desenvolvimento, destacando quais correspondem

aos conhecimentos prévios dos estudantes e do professor;

- Ostensivos possíveis para a resolução da tarefa;

- Os quadros que podem ser usados na resolução da tarefa;

- Níveis de conhecimento esperados dos estudantes para a resolução da tarefa.

Apresentamos abaixo alguns exemplos de funcionamento da grade para as

quatro tarefas destacadas acima.

4.5 FUNCIONAMENTOS DA GRADE: EXEMPLOS:

Com o objetivo de apresentar o funcionamento da grade de análise,

consideramos a tarefa em geral seguida de exemplos que permitem melhor

compreender as possíveis técnicas que podem ser trabalhadas no Ensino Médio ou

no Ensino Superior.

– Tarefa 1: Situação matemática para cálculo de acréscimo ou desconto

(EM, ES). Exemplo 1:

99

Uma mercadoria que custa R$ 450,00 está sendo vendida com desconto de 8%. Qual o valor do desconto e por quanto a mercadoria será vendida?

Fonte: DANTE, 2008, p. 333.

Situação apresentada no enunciado

Determinar o desconto.

Quadro em que a tarefa é apresentada: Numérico.

Não ostensivos possíveis para o seu desenvolvimento, destacando quais correspondem aos

conhecimentos prévios dos estudantes e do professor: Porcentagem, operações de multiplicação

e divisão (“topos” do estuDante e do professor).

Ostensivos possíveis para a resolução da tarefa: Discurso oral, representação escrita,

representação em língua natural, representação gestual, representação percentual e representação

decimal associados aos não ostensivos descritos acima.

Os quadros que podem ser usados na resolução da tarefa: Numérico.

Níveis de conhecimento esperados dos estudantes para a resolução da tarefa:

Destacamos duas técnicas para a solução dessa tarefa, ambas são desenvolvidas no quadro

numérico e o nível de conhecimento esperado dos estudantes é o mobilizável, pois o desconto é

pedido explicitamente no enunciado. Observamos abaixo quais conhecimentos devem ser

disponíveis para a manipulação da técnica.

Primeira técnica: Calculamos a diferença 100% - 8% = 92%, que corresponde ao fator decimal 0,92 e

multiplicamos pelo valor da mercadoria. Nesse caso, o estuDante deve dispor de conhecimentos

sobre porcentagem, passagem da representação percentual (92%) para representação decimal (0,92)

e multiplicação de decimais, quando não utiliza uma calculadora.

Segunda técnica: Calculamos 8% = 0,08 do valor total da mercadoria e subtraímos o valor encontrado

do valor total. Essa técnica exige que os estudantes disponham dos mesmos conhecimentos

destacados na técnica anterior.

Exemplo 2:

Durante a entresafra o preço do café, que era de R$ 30,00 a saca, sofreu aumentos sucessivos de

10%, 5% e 15% nos três primeiros meses. Determinar o preço atual?

Fonte: BARRETO & CHAVIER , 2005, p. 28 .

Primeira técnica:

O preço atual é dado por: P1 = 30,00*1,1 = 33,00 P2 = 33,00*1,05 = 34,65 P3 = 34,65*1,15 = 39,85

P = R$ 39,95 Pi = C*(1+ji). Calcula-se cada Pj até obter o resultado final P.

100

A partir dos Pj podemos deduzir que P = C* (1+j1)* (1+j2)* (1+j3)*..... *(1+jn).

Segunda técnica:

P= 30,00*(1+10:100)* (1+5:100)*(1+15:100) P= 30,00*1,1*1,05*1,15 P = R$ 39,95

A partir dos Pj podemos deduzir que P = C*(1+j1)* (1+j2)* (1+j3)*..... *(1+jn).

Fonte: BARRETO & CHAVIER ET AL., 2005, p. 28.

Situação apresentada no enunciado:

Determinar o acréscimo (no caso, juros sobre juros).

Quadro em que a tarefa é apresentada: Numérico.

Não ostensivos possíveis para o seu desenvolvimento, destacando quais correspondem aos

conhecimentos prévios dos estudantes e do professor: Porcentagem, operações de adição e

multiplicação de decimais (“topos” do estuDante e do professor).

Ostensivos possíveis para a resolução da tarefa: Discurso oral, representação escrita,

representação gestual, representação em linguagem natural, representação percentual e

representação decimal.

Os quadros que podem ser usados na resolução da tarefa: Numérico.

Níveis de conhecimento esperados dos estudantes para a resolução da tarefa:

Nível mobilizável em relação à noção de juros sobre juros.

A primeira técnica exige apenas que o estuDante disponha de conhecimentos sobre a multiplicação

com decimais quando não utiliza uma calculadora.

Para utilizar a segunda técnica é preciso dispor de conhecimentos sobre a multiplicação e suas

propriedades e da multiplicação de decimais. É preciso dispor da propriedade associativa da

multiplicação e de situações de referência em que se deduz a fórmula utilizada na segunda técnica.

– Tarefa 2: Situação matemática para cálculo de Juros Simples (EM ES)

Exemplo 1:

Um capital de R$ 12.000,00 é aplicado à taxa de juros simples de 2% ao mês. Determine o valor do

montante após 6 meses.

Fonte: BARRETO & CHAVIER 2005, p. 23.

101

Primeira técnica: 2% de R$ 12.000,00 = 2:100 * 12.000,00= R$ 240,00 (Corresponde ao

juros em 1 mês); 6 * R$ 240,00 = R$ 1.440,00 (rendimento de juros simples ao final de 6

meses); Montante M= 12.000,00+1.440,00 = R$ 13.440,00 ( Montante após 6 meses).

Segunda técnica:

Montante= C+J onde J = J= C*i*n J= C*i*n J= 12000*0,02*6 = 1.440

M= C +J M = 12000+1440 M= 13.440,00.

Situação apresentada no enunciado

Determinar a variação de um capital a juros simples.

Quadros em que a tarefa é apresentada: Numérico e algébrico.

Não ostensivos possíveis para o seu desenvolvimento, destacando quais correspondem aos

conhecimentos prévios dos estudantes e do professor: Porcentagem, operações de adição e

multiplicação, porcentagem, equação do primeiro grau (“topos” do estuDante e do professor).

Ostensivos possíveis para a resolução da tarefa: Discurso oral, representação gestual,

representação escrita, representação em linguagem natural, representação percentual e

representação decimal.

Os quadros que podem ser usados na resolução da tarefa: Numérico e algébrico.

Níveis de conhecimento esperados dos estudantes para a resolução da tarefa:

Em relação a noção de juros simples a tarefa exige apenas o nível mobilizável, pois esse é

tratado explicitamente no enunciado.

Na primeira técnica utiliza-se apenas o quadro numérico, mas é preciso um discurso para

justificar o trabalho efetuado. Deve-se dispor de conhecimentos sobre adição e multiplicação

de decimais quando não se utiliza uma calculadora.

A segunda técnica é desenvlvida no quadro algébrico e se supõe que as fórmulas para o

cálculo do juros e do montante sejam disponiveis, além de conhecimentos sobre adição e

multiplicação de decimais quando não se utiliza uma calculadora.

Exemplo 2:

Determine o prazo em que se duplica um capital aplicado à taxa de juro

simples de 4% ao mês.

Fonte: GIOVANNI & BONJORNO et al., 2005, p. 295

Técnica: Para que um capital duplique temos M=2*C (montante)

102

M=2C

I=4% a.m = 0,04 a.m

M=C+J M= C+ (C*i*n) 2C=C*(1+0,04n) 2=1 +0,04n 2 – 1 = 0,04*n

1=0,04n n=1:0,04 n= 25 (meses)

Situação apresentada no enunciado

Determinar a variação de um capital a juros simples.

Quadros em que a tarefa é apresentada: Numérico e algébrico.

Não ostensivos possíveis para o seu desenvolvimento, destacando quais correspondem aos

conhecimentos prévios dos estudantes e do professor: Porcentagem, operações de adição e

multiplicação, noção de dobro, triplo..., equação do primeiro grau (“topos” do estudante e do

professor). 

Ostensivos possíveis para a resolução da tarefa: Discurso oral, representação escrita,

representação gestual representação em linguagem natural, representação algébrica, representação

de equação do primeiro grau, representação percentual e representação decimal.

Quadro que pode ser usado na resolução da tarefa: Algébrico.

Níveis de conhecimento esperados dos estudantes para a resolução da tarefa:

Trata-se de uma tarefa que exige apenas que se mobilizem conhecimentos associados à noção de

juros simples.

A técnica supõe que se disponha de conhecimento sobre a forma algébrica para representar dobro e

as regras e leis do cálculo algébrico para resolver uma equação do primeiro grau.

– Tarefa 3: Situação matemática para cálculo de Juros Compostos (EM,

articulação entre juros simples e compostos e as noções de função afim,

progressão aritmética e função exponencial, progressão geométrica,

respectivamente, ES sem articulação). Exemplo 1:

Qual deve ser o tempo para que a quantia de 30.000,00 gere um montante de 32.781,81, quando

aplicado à taxa de 3% ao mês, no sistema de juros compostos.

Fonte: DANTE , 2008, p. 338

Técnica:

C= 30.000,00 M= 32.781,81 i= 3% ao mês – 0,03 a.m t=?

M=C*(1+i)t (1+i)t = M : C (1+0,03)t = 32.781,81 : 30.000,00

103

(1,03)t = 1,092727 t . log1,03 = log1,092727 t = (log 1,092727) : (log 1,03) = 3

Logo, o tempo deverá ser de 3 meses.

Fonte: DANTE., 2008, p. 338

Situação apresentada no enunciado: Situação financeira.

Quadros em que a tarefa é apresentada: Numérico e algébrico.

Não ostensivos possíveis para o seu desenvolvimento, destacando quais correspondem aos

conhecimentos prévios dos estudantes e do professor: Porcentagem, números decimais,

operações de adição e multiplicação de números reais, equação do primeiro grau, equação

exponencial, logaritmos e suas propriedades (“topos” do estuDante e do professor). 

Ostensivos possíveis para a resolução da tarefa: Discurso oral, representação escrita,

representação em linguagem natural, representação algébrica de equações exponenciais e equações

do primeiro grau, representação percentual e representação decimal.

Os quadros que podem ser usados na resolução da tarefa: Numérico e algébrico.

Níveis de conhecimento esperados dos estudantes para a resolução da tarefa: Em  relação à 

noção de juros compostos, é preciso apenas mobilizar conhecimentos sobre a fórmula para cálculo. 

Para a manipulação da técnica é preciso dispor de conhecimentos sobre equações

exponenciais para identificá-la, de logaritmos e suas propriedades e das regras e leis para

resolver uma equação do primeiro grau. Observamos que para desenvolver a tarefa é

importante supor a possibilidade de utilizar uma calculadora.

Exemplo 2:

O capital de R$ 2.000,00, aplicado a juros compostos, rendeu após quatro meses juros de R$ 165,00.

Qual foi a taxa de juros?

Fonte: DANTE , 2008, p. 338.

Primeira técnica: C= 2.000,00 J = 165 M= C+J M= 2.000+165 = 2165 i= ?

t= 4 meses M=C*(1+i)t 2.165 = 2.000*(1+i )4 (1+i )4 = 2.165 : 2.000

(1+i )4 =1,0825 ((1+i )4 )1/4 = (1,0825) ¼ (1+i) = 1,020015981

i= 1,020015981 – 1 = 0,020015981

i= 0,020015981 * 100 = 2,0015981%

Logo a taxa de juros foi de aproximadamente de 2% ao mês.

Segunda técnica: C= 2.000,00 J = 165 M= C+J M= 2.000+165 = 2165

i= ? t= 4 meses M=C*(1+i)t 2.165 = 2.000*(1+i )4 (1+i )4 = 2.165 : 2.000

(1+i )4 =1,0825 4*log(1+i) = log1,0825 log(1+i) = (log1,0825):4

104

log(1+i) = 0,008607 (1+i)= 100,008607 1 + i = 1,02001 i = 1,02001 – 1

i = 0,02001 i = 2%

Fonte: DANTE , 2008, p. 338

Situação apresentada no enunciado: Situação financeira.

Quadros em que a tarefa é apresentada: Numérico e algébrico.

Não ostensivos possíveis para o seu desenvolvimento, destacando quais correspondem aos

conhecimentos prévios dos estudantes e do professor: Porcentagem, números decimais,

operações de adição, multiplicação, potenciação e radiciação, equação do primeiro grau, equação

exponencial, logaritmos e suas propriedades (“topos” do estuDante e do professor). 

Ostensivos possíveis para a resolução da tarefa: Discurso oral, representação escrita,

representação em linguagem natural, representação algébrica de equações exponenciais e

equações do primeiro grau, representação percentual e representação decimal,

representação fracionária, representação de logaritmos.

Quadros que podem ser usados na resolução da tarefa: Numérico e algébrico.

Níveis de conhecimento esperados dos estudantes para a resolução da tarefa:

Em relação à noção de juros compostos é preciso apenas mobilizar conhecimentos sobre a fórmula

para cálculo.

Para a manipulação da primeira técnica é preciso dispor de conhecimentos sobre equações

exponenciais para identificá-la e de potenciação, radiciação e suas propriedades. É preciso dispor

também da noção de equação do primeiro grau.

Na manipulação da segunda técnica é preciso dispor da noção de equações do primeiro grau e

exponencial e da noção de logaritmo.

Observamos que para desenvolver a tarefa utilizando a primeira ou a segunda técnica é importante

supor a possibilidade de utilizar uma calculadora.

– Tarefa 4: Situação matemática para cálculo de juros sobre depósito à vista,

o Método Hamburguês (ES). Exemplo 1:

Calcular o valor dos juros referentes às aplicações dos capitais R$ 20.000,00,

R$ 10.000,00 e R$ 40.000,00, pelos prazos de 65 dias, 72 dias e 20 dias, respectivamente, sabendo-

se que a taxa considerada é de 25,2% ao ano.

Fonte: SOBRINHO ET AL., 2000, p. 27

Técnica:

P1 = 20.000,00 P2 = 10.000,00 P3 = 40.000,00

105

N1 = 65 dias N2 = 72 dias N3 = 20 dias

I = 25,2% a.a I = 25,2% a.a I = 25,2% a.a

J1 =? J2 =? J 3= ?

Como a taxa é anual e os prazos são expressos em número de dias, é preciso considerar a taxa em

dias. No caso de juros simples temos: Taxa diária = 0, 252: 360 = 0, 0007 ou 0,07% ao dia.

J = C*I*N JT = 20.000*65*0,0007+10.000*72*0,0007+40000*20*0,0007= 1.974,00

Onde JT é o total dos juros dos três capitais. Situação apresentada no enunciado: Situação financeira. 

Quadros em que a tarefa é apresentada: Numérico e algébrico. Não ostensivos possíveis para o

seu desenvolvimento, destacando quais correspondem aos conhecimentos prévios dos

estudantes e do professor: Porcentagem, números decimais, operações de adição,

multiplicação, equação do primeiro grau, calendário contábil (“topos” do estudante e do professor).

Ostensivos possíveis para a resolução da tarefa: Discurso oral, representação escrita,

representação em linguagem natural, representação algébrica de equações do primeiro grau,

representação percentual e representação decimal

Os quadros que podem ser usados na resolução da tarefa: numérico e algébrico.

Níveis de conhecimento esperados dos estudantes para a resolução da tarefa:

Em relação à noção de juros basta mobilizar conhecimentos sobre cálculo de juros e conversão da

taxa anual em taxa diária.

É preciso mobilizar ainda o Método Hamburguês que consiste em determinar a soma dos juros

obtidos.

4.6 CONSIDERAÇÕES FINAIS

A identificação dos diferentes tipos de tarefas sobre a noção de juros simples

e compostos que sobrevivem no Ensino Médio e Superior possibilitou verificar que,

se tratarmos essas noções apenas do ponto de vista das aplicações financeiras, o

trabalho a ser realizado será muito reduzido, mas permitirá a utilização de técnicas

diferentes que estão associadas ao conhecimento prévio esperados dos estudantes,

principalmente no Ensino Médio. Em geral, as técnicas propostas exigem apenas a

utilização dos quadros numéricos e algébricos, sendo esse último privilegiado por

facilitar o trabalho matemático em jogo e reduzir os cálculos. As possíveis

articulações entre as noções de juros simples e compostos e funções afim e

106

exponencial e progressões aritméticas e geométricas, respectivamente, são

importantes, pois permitem revisitar conteúdos que já fazem parte dos

conhecimentos prévios dos estudantes do Ensino Médio. Atentamos que pode ser

uma forma de auxiliá-los a controlar os resultados encontrados na solução de tarefas

tanto escolares como da vida profissional, pois a noção de juros compostos é muito

utilizada no mercado financeiro. Observamos finalmente que o nível de

conhecimento exigido para a solução de tarefas que envolvem as noções de juros

simples e compostos é o mobilizável, mas que é preciso dispor de conhecimentos

sobre equações de primeiro grau e equações exponenciais, assim como das regras

e leis que permitem manipulá-las. Além disso, é preciso estar atento para o fato de

que as tarefas, em geral, exigem cálculos que necessitam que se disponha de uma

calculadora científica e que se tenha habilidade para fazê-la funcionar.

Para melhor compreender como se desenvolve o trabalho com a noção de

juros simples e compostos tanto no Ensino Médio como no Ensino Superior,

estudamos no capítulo que segue as relações institucionais existentes via análise de

alguns livros didáticos sugeridos para essas duas etapas escolares.

107

Capítulo 5

AS RELAÇÕES INSTITUCIONAIS EXISTENTES PARA INTRODUÇÃO

E DESENVOLVIMENTO DAS NOÇÕES DE JUROS SIMPLES

E COMPOSTOS NA TRANSIÇÃO ENSINO MÉDIO

E ENSINO SUPERIOR

5.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS

Para o estudo das relações institucionais existentes, quando se consideram a

introdução e o desenvolvimento das noções de juros simples e compostos na

transição entre o Ensino Médio e Superior, foram pesquisados alguns livros didáticos

dessas duas etapas escolares que correspondem a uma das ferramentas didáticas

importantes para apoiar o trabalho de professores e estudantes, e que é indicada

pelo Ministério da Educação, pois este fornece livros didáticos para o Ensino Médio

e exige que os cursos superiores disponham desse material em suas bibliotecas

como fonte de apoio para todos os que sentirem necessidade.

Observamos que os livros didáticos do Ensino Médio, distribuídos

gratuitamente para os estudantes, são avaliados por uma comissão do Ministério da

Educação e escolhidos pelos professores, o que permite identificar a proposta mais

ampla do trabalho do professor que tem a possibilidade de modificar a ordem e

complementar a organização apresentada no livro, utilizando-o como material de

apoio ao estudante. É com essa concepção que estudamos as possíveis relações

institucionais existentes para a introdução da noção de juros simples e compostos

no Ensino Médio. Igualmente, consideramos como instrumento de análise os livros

didáticos do Ensino Superior, pois eles, quando indicados nos planos de ensino,

permitem uma identificação das escolhas das instituições, representando uma das

fontes para o desenvolvimento das disciplinas a que se destinam. Sendo assim,

optamos por analisar três livros indicados para o Ensino Médio e dois para o Ensino

Superior, para os quais faremos uma breve justificativa da escolha a seguir.

A primeira obra escolhida para compor as análises das relações institucionais

existentes para o Ensino Médio é Matemática, volume único de Luiz Roberto Dante

108

(na sequência denominado apenas Dante, 2008), avaliado e novamente aprovado

pelo Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio (PNLEM, 2009), que,

segundo os avaliadores, traz uma abordagem inovadora dos conteúdos a serem

trabalhados no Ensino Médio. Os avaliadores observam ainda que o autor distribui o

conteúdo em uma sequência lógica privilegiando uma integração harmoniosa entre

os tópicos, ou seja, articulando conhecimentos prévios e novos conhecimentos.

Isso nos conduziu a escolher essa obra para análise, levando em conta

principalmente a questão da articulação de conhecimentos e a forma como o autor

introduz as noções associadas à Matemática Financeira, em particular, as noções de

juros simples e compostos que são trabalhadas após a introdução dos conceitos de

função afim e exponencial e progressões aritméticas e geométricas. Isso possibilita

uma revisita a esses conhecimentos tornando-os assim mais estáveis. Além do

resultado da avaliação, observamos se a obra atende às orientações institucionais

de preparar o estudante para exercer de forma autônoma a cidadania, sendo capaz

de tomar decisões tanto para a solução de problemas pessoais como para os que

envolvem o campo profissional, uma vez que estamos interessados em identificar as

relações institucionais esperadas e existentes para o trabalho com as noções de

juros simples e compostos na transição entre o Ensino Médio e Superior, ou seja,

que conceitos trabalhados no Ensino Médio podem servir como conhecimento prévio

para o desenvolvimento da disciplina de Matemática Financeira no Ensino Superior.

Com o mesmo critério escolhemos a segunda obra, Matemática aula por aula,

de Claudio Xavier da Silva e Benigno Barreto Filho, et al., 2005, terceiro ano,

também reavaliada e aprovada pelo PNLEM (2009). A justificativa dessa seleção se

deve ao fato de ela apresentar uma proposta em que se revisitam conhecimentos

prévios para a introdução de novas noções e se utiliza a história da Matemática e as

outras ciências para propor aplicações e motivar os estudantes, ou seja, trata-se de

uma obra que atende às propostas institucionais para o desenvolvimento da

Matemática no Ensino Médio. Ainda em relação ao Ensino Médio, selecionamos a

obra Matemática completa, de José Ruy Giovanni e José Roberto Bonjorno, et al.,

2005, primeiro ano, que também compõe a lista dos livros analisados e aprovados

pelo PNLEM (2009).

109

Observamos que, assim como as obras anteriores, o livro didático escolhido

também foi reavaliado em 2009, ou seja, as três obras compõem as diferentes listas

do PNLEM e vêm sendo utilizadas e aperfeiçoadas continuamente. Ressaltamos

ainda que sua escolha está associada também à proposta de revisitar

conhecimentos que se supõem tenham sido trabalhados no Ensino Médio e ao papel

de destaque dado ao uso de calculadoras, em particular, quando se introduzem as

noções de Matemática Financeira, ou seja, dentro da proposta institucional de

trabalho no Ensino Médio a obra atende às expectativas institucionais apresentadas

anteriormente. Apresentadas as justificativas de escolha das três obras do Ensino

Médio, passamos a breve descrição sobre a escolha das duas obras destinadas ao

Ensino Superior.

A primeira obra escolhida é Matemática financeira, de José Dutra Vieira

Sobrinho na sequência designado de Sobrinho et al., 2000, em que percebemos que

na abordagem proposta existe pouca preocupação de justificar as técnicas

desenvolvidas por meio de tecnologias que mostram a possibilidade para o cálculo

das diferentes aplicações financeiras, em particular, quando se trabalha com a

noção de juros compostos. No geral, justificam-se os termos utilizados no mercado

financeiro e a ênfase é dada à associação dos elementos da fórmula com esses

termos para a identificação e aplicação imediata. Ou seja, trata-se de um curso em

que a Matemática Financeira é trabalhada por meio da prática usual do mercado

financeiro, isto é, reconhecimento dos elementos que compõem uma fórmula e

aplicação da mesma, não é feita uma revisita de conhecimentos anteriores, isto é, os

conhecimentos prévios são supostos disponíveis.

Passamos à segunda obra, Matemática financeira, de Abelardo de Lima

Puccini, et al., 2008. Sua escolha está associada ao fato de se tratar do livro didático

contemplado nas bibliografias básicas de duas das quatro universidades para as

quais analisamos, via planos de ensino, as relações institucionais esperadas para o

desenvolvimento da disciplina de Matemática Financeira nos cursos de

Administração de Empresas. Outra motivação para essa escolha é que, em geral,

utilizamos essa obra nos nossos cursos de Matemática Financeira com as turmas de

Administração de Empresas, curso superior focado nesta pesquisa.

110

Observamos ainda que nesse livro o conteúdo de Matemática Financeira é

desenvolvido especificamente para cursos de administração e gestão, focando o uso

da calculadora HP12C, ou seja, trabalha-se com as aplicações cotidianas que fazem

parte das operações financeiras das instituições que compõem o mercado, em que

as noções de juros, em particular, juros compostos, estão constantemente em jogo.

Além disso, o autor articula os conhecimentos de juros simples e compostos

desenvolvidos no Ensino Médio quando justifica as técnicas empregadas para os

exemplos resolvidos, ou seja, existe uma preocupação de justificar técnicas

desenvolvidas por meio de tecnologias que mostram as diferentes possibilidades

para o cálculo das aplicações financeiras, em particular, quando se trabalha com a

noção de juros compostos. Após essa breve justificativa das escolhas dos livros a

serem analisados, indicamos na tabela 2 as obras examinadas neste trabalho e

observamos que o ano indicado na tabela para as obras do Ensino Médio

correspondem à primeira publicação da obra, que já havia sido avaliada e que foi

novamente indicada pelo PNLEM (2009), ou seja, trata-se de obras que vêm se

consolidando em função das expectativas institucionais que correspondem às

propostas indicadas nos PCNEM (1998) e Parâmetros Curriculares Nacionais PCN+

(2005). Para as obras do Ensino Superior consideradas neste trabalho indicamos

apenas o ano da edição utilizada nesta pesquisa.

Livro Ano PNLEM Etapa

1ª Matemática- Dante- Dante et al., Volume Único 2008 2009 EM

2ª Matemática- aula por aula- Xavier & Barreto et.al., 3ª série

2005 2009/2010/2011 EM

3ª Matemática- Completa – Giovanni, Giovanni & Bonjorno et al., 1ª série

2005 2009 EM

1ª Matemática Financeira- Sobrinho et al. 2000 ES

2ª Matemática Financeira Puccini et al. 2008 ES

Tabela 2: Obras analisadas na pesquisa

Uma vez escolhidas as obras a serem analisadas, para efeito de análise,

consideramos a introdução teórica, os exercícios resolvidos e os exemplos de

111

aplicações como a parte a ser desenvolvida pelo professor (“topos” do professor),

ficando a cargo dos estudantes os exercícios propostos (“topos” do estudante).

Para melhor identificar a proposta dos diferentes autores utilizamos a grade

de análise apresentada no capítulo anterior, que possibilita evidenciar a ênfase dada

à aplicação direta do conceito de juros simples e compostos ou da articulação

desses conceitos com as noções de função afim e exponencial e progressão

aritmética e geométrica respectivamente.

Delineada a forma como será apresentada a análise, expõe-se a seguir as

questões que a norteiam:

Quais os conhecimentos sobre a noção de juros simples e compostos desenvolvidos no

Ensino Médio que podem ser considerados como conhecimentos prévios disponíveis?

Quais as articulações entre esses conhecimentos e os conhecimentos matemáticos

necessários para o controle e justificativa das técnicas que lhes são associadas?

Qual o papel esperado do professor no trabalho com as noções de juros simples e

compostos?

Qual o papel esperado dos estudantes no trabalho com as noções de juros simples e

compostos?

Existe uma coerência entre as relações institucionais esperadas, ou seja, o que é

proposto para o Ensino Médio e Superior e as relações institucionais existentes?

Iniciamos assim nossas análises pelas obras do Ensino Médio, seguindo a

apresentação das justificativas da escolha, ou seja, a primeira obra é a de Dante

(2008).

5.2 ANÁLISE DA OBRA DE DANTE ET AL. (2008)

5.2.1 COMENTÁRIOS E ANÁLISE

O autor inicia mostrando a importância das noções de Matemática Financeira

para aplicações do cotidiano como: cálculo de prestações, pagamento de impostos,

rendimento de caderneta de poupança, entre outros, e motiva seu estudo por meio

112

de um exemplo em que o sujeito deve escolher entre deixar seu dinheiro aplicado na

caderneta de poupança e efetuar o pagamento da compra de um bem de consumo à

vista ou a prazo.A partir dessa observação, o autor introduz a noção de números

proporcionais, o que corresponde a revisitar as noções de fração, equivalência de

frações, grandezas diretamente e inversamente proporcionais, como podemos

observar no quadro abaixo.

Fonte: DANTE, 2008, p. 332.

Como exemplo de divisão em partes proporcionais, o autor considera a

criação de uma sociedade em que os sócios investem quantias diferentes e,

portanto, devem receber diferentes partes do lucro, como mostra o exemplo abaixo.

Fonte: DANTE, 2008, p. 333.

No exemplo acima identificamos a forma como o autor articula conhecimentos

prévios com novos conhecimentos, ou seja, ele introduz as questões associadas ao

mercado financeiro para motivar e nivelar os estudantes que tenham ainda

113

dificuldades em aplicar as noções identificadas acima como necessárias para o

desenvolvimento dos conceitos de Matemática Financeira. Atentamos que a

introdução de números proporcionais e grandezas direta e inversamente

proporcionais só são trabalhadas na obra do Dante, ou seja, trata-se de uma

abordagem específica desse autor que tem a preocupação de revisitar

conhecimentos prévios articulando-os com os novos conhecimentos. Ressaltamos a

importância dessa revisitação tanto do ponto de vista da possibilidade de tornar os

conhecimentos prévios mais estáveis e, portanto, disponíveis como da motivação do

trabalho a ser efetuado posteriormente, em que as noções apresentadas servem de

ferramenta explícita para o desenvolvimento das técnicas associadas à noção de

juros simples. Além dos conceitos de números proporcionais e divisão em partes

proporcionais, o autor revisita a noção de porcentagem, não ostensiva desenvolvida

no Ensino Fundamental e que se supõe possa ser evocada pelos estudantes do

Ensino Médio, o que leva à rápida apresentação e manipulação dos ostensivos de

representação escrita associados, ou seja, 9% é o mesmo que 1009 ou 0,09.

Nesse caso, o autor supõe que os estudantes do Ensino Médio possam

mobilizar o conceito de porcentagem e de suas diferentes formas de representação,

o que será considerado como conhecimento prévio disponível para o Ensino

Superior. Após essa rápida observação, o autor introduz as aplicações que

envolvem o cálculo da porcentagem de uma determinada quantia. Ainda nesse caso,

o trabalho apresentado deixa evidente que o autor supõe que os estudantes já

disponham desses conhecimentos, o que lhe faz considerar a questão dos

aumentos e descontos, assim como dos aumentos e descontos sucessivos, e a

propor problemas que envolvem porcentagem e outros conhecimentos prévios,

como a noção de equação, para encontrar uma solução, conforme mostra o exemplo

abaixo.

114

Fonte: DANTE, 2008, p. 333.

A partir da articulação entre conhecimentos prévios e conceitos de aplicações

para cálculo de aumentos e descontos que fazem parte do cotidiano do mercado

financeiro e da vida do cidadão, o autor introduz novos termos de Matemática

Financeira associando-os com seu significado e com a representação que permite

escrever as fórmulas que serão utilizadas para manipulá-los, como: capital, taxa de

juros, montante e período (tempo), como mostra o exemplo do quadro abaixo:

Fonte: DANTE, 2008, p. 337.

Essa introdução dos termos importantes de Matemática Financeira facilita a

introdução da noção de juros simples por meio de uma tarefa para a qual a técnica

utilizada é justificada adotando o conceito de porcentagem e aumentos sucessivos,

que corresponde à noção de juros simples, cuja fórmula que pode ser aplicada em

qualquer situação do mesmo tipo é generalizada. Percebemos que o autor trabalha

a passagem da representação em língua natural para a representação algébrica que

permite a manipulação da técnica e, consequentemente, sua descrição, explicação e

justificativa por meio de um discurso associado à teoria que o sustenta. Da mesma

forma, para a noção de juros compostos o autor apresenta um exemplo articulado

115

com os componentes envolvidos na fórmula, que corresponde ao ostensivo de

representação algébrica que possibilita a manipulação da técnica, como mostra o

exemplo abaixo:

Fonte: DANTE, 2008, p. 338.

Após essa introdução dos conceitos de juros simples e compostos, o autor

articula esses novos conhecimentos com as noções de função afim e exponencial

respectivamente, mostrando a importância do ostensivo de representação gráfica

para a visualização do trabalho algébrico desenvolvido no cálculo de juros por meio

da fórmula. As noções de funções afim e função exponencial são supostas

disponíveis para o estudantes do Ensino Médio e consequentemente para os

estudantes do Ensino Superior. Ressaltamos que as noções de Matemática

Financeira são propostas para serem trabalhadas após a introdução das noções de

função afim, quadrática, exponencial, logarítmica e trigonométrica, ou seja, a

Matemática Financeira é considerada uma aplicação em que são essas noções que

permitem justificar o trabalho matemático em jogo.Observamos que essa articulação

proposta por Dante para ser trabalhada no Ensino Médio é importante para os

estudantes de Administração de Empresas, pois o ostensivo de representação

gráfica permite uma rápida visualização dos resultados, o que se espera que se

apresente aos interessados a evolução e o desempenho da empresa no mercado de

forma simples e objetiva.O autor introduz ainda a noção de equivalência de capitais

destacando que o valor de uma quantia dependerá do momento em que ocorrer a

operação. Apresenta um exemplo dando ao estudante condições de realizar

116

escolhas ao trabalhar com a aplicação de capital em determinado tempo, como é

apresentado no exemplo abaixo:

Fonte: DANTE, 2008, p. 340.

Observamos finalmente que o autor é fiel à proposta dos documentos oficiais,

pois no capítulo destinado às progressões aritméticas e geométricas a articulação é

feita no sentido oposto, ou seja, os conhecimentos de Matemática Financeira e

função afim e exponencial são articulados com as noções de progressões

aritméticas e geométricas, ou seja, existe a preocupação constante de revisitar

conhecimentos prévios e utilizá-los como apoio para a introdução de novos

conhecimentos.

Logo, fica a cargo dos professores e estudantes interpretar, descrever,

explicar e justificar a articulação entre os conhecimentos de juros simples e

compostos e as noções de função afim e exponencial e progressões aritméticas e

geométricas, uma vez que a obra apresenta as condições necessárias para esse

trabalho. A seguir, apresentamos a parte do trabalho que consideramos para efeito

de análise como a ser desenvolvida pelo professor (“topos” do professor) e pelo

estudante (“topos” do estudante).

117

5.2.2 O “TOPOS” DO PROFESSOR E DO ESTUDANTE

Contextualizando as aplicações da Matemática com as necessidades do

mercado financeiro, deixando claro e evidente a necessidade do conhecimento da

Matemática Financeira para todos na sociedade, o autor destaca exemplos do

cotidiano de compra e venda, fazendo uma revisitação nas aplicações de números

proporcionais e porcentagem de uma quantia. Percebemos nessa breve introdução

realizada pelo autor a necessidade de o estudante possuir o domínio dos quadros

numérico e algébrico considerados no capítulo anterior. O exemplo sobre aplicações

de fator de atualização, aumentos e descontos sucessivos coloca em evidência a

necessidade dos conhecimentos associados aos dois quadros acima, que, em geral,

são desenvolvidos no Ensino Fundamental.

Fonte: DANTE, 2008, p. 335.

É importante observar que é necessário que o professor, ao introduzir os

conceitos de proporcionalidade e de porcentagem, tenha a preocupação de mostrar

a relação entre a Matemática e as aplicações financeiras, uma vez que os conceitos

matemáticos sustentam os cálculos associados a essas aplicações.

Fonte: DANTE, 2008, p. 335.

118

Na sequência, o autor introduz as noções de capitalização linear, juros

simples, contextualizando com aplicações bancárias em que destaca o uso de

quadro numérico e algébrico para identificar as incógnitas na resolução das tarefas

propostas. As tarefas estão associadas às aplicações financeiras como operações

de compra-venda e aplicação bancária, o que exige um estudo específico tanto do

professor como do estudante, pois as aplicações financeiras, em geral, na são

trabalhadas nos cursos de Matemática e exigem assim que professores articulem

diferentes conhecimentos, ou seja, trata-se aqui de tarefas que ultrapassam a

aplicação da Matemática no desenvolvimento de outras noções matemáticas. As

noções associadas aos quadros numérico e algébrico servem de ferramentas

explícitas para o desenvolvimento de tarefas do quadro da Matemática Financeira

que necessita do conhecimento de termos e representações próprios para o seu

desenvolvimento.

Fonte: DANTE, 2008, p. 338.

A tarefa abaixo se centra em uma aplicação bancária, em que professor e

estudante devem associar o enunciado às respectivas representações para

aplicarem a fórmula de cálculo de montante que na Matemática pode ser

considerada como uma função exponencial ou uma progressão geométrica.

Fonte: DANTE, 2008, p. 338.

119

Depois de apresentar as possibilidades de utilização das noções associadas à

Matemática Financeira colocando, em jogo os ostensivos que permitem manipulá-las

e os não ostensivos matemáticos que, ao serem evocados, descrevem, explicam e

justifica essa manipulação, o autor introduz o conceito de equivalência de capital,

que é muito usada em aplicações financeira bancárias e comerciais, demonstrando

por meio de algumas tarefas as possibilidades de articulação entre o numérico,

algébrico e geométrico. Além disso, no desenvolvimento desse trabalho o autor

apresenta exemplos em que é necessário utilizar a noção de logaritmo e suas

propriedades, que se supõe mobilizável, pois deve ter sido introduzida quando da

definição de função logarítmica e sua associação coma noção de função

exponencial. O autor finaliza o capítulo mostrando que os conceitos introdutórios de

equivalência de capitais podem ser mais bem compreendidos quando se trabalha no

quadro geométrico, o que facilita a introdução de fluxo de caixa em uma relação de

capital no tempo. Observamos que, ao relacionar prazo e capital, o autor espera que

o estudante disponha de conhecimentos das noções associadas aos quadros

considerados na pesquisa, pois esses conhecimentos podem facilitar a interpretação

das tarefas propostas, seja em aplicação em regime de capitalização linear, seja em

regime de capitalização exponencial, como é possível visualizar nos exemplos

abaixo:

Suponhamos o capital de R$ 800,00 aplicado à taxa de 40% ao ano. Qual seria a

representação gráfica quando obtemos os juros em função do tempo de aplicação

por meio da equação. J=320t

Essa função apresenta uma equação do tipo função linear

Fonte: DANTE, 2008, p. 339.

Fonte: DANTE, 2008, p. 339.

120

Os exemplos acima e abaixo correspondem à articulação entre a noção de

juros simples e a noção de função linear e afim, ou seja, o autor mostra como a

noção de função pode auxiliar a visualizar o resultado da operação financeira

considerada.

Fonte: DANTE, 2008, p. 339.

O exemplo que segue foi introduzido pelo autor para mostrar a articulação

entre a noção de juros compostos e a função exponencial. Esse trabalho auxilia a

compreender mais rapidamente a variação das duas funções e deixa evidente que o

gráfico da função exponencial cresce mais rapidamente que o da função afim,

deixando clara a escolha da aplicação a juros compostos pelo sistema financeiro.

Fonte: DANTE, 2008, p. 340.

Após a explicitação do trabalho, que para efeitos de análise é considerado

como a parte do professor, certamente considerando que o mesmo se realiza em

121

uma ação orquestrada com seus estudantes, passamos à verificação das tarefas

propostas que são aqui reputadas como a parte a ser desenvolvida pelos

estudantes. Tendo por referência nossa grade de análise apresentada no capítulo

anterior, indicamos abaixo a relação entre o número de tarefas que se supõe

comporem o trabalho do professor e do estudante no desenvolvimento das questões

associadas às noções relativas aos conteúdos de Matemática Financeira.

Resolvidas Propostas

Tarefa Quantidade % Tarefa Quantidade %

Tarefa 1 4 29 Tarefa 1 3 14

Tarefa 2 2 14 Tarefa 2 8 36

Tarefa 3 8 57 Tarefa 3 11 50

Tarefa 4 0 0 Tarefa 4 0 0

Total 14 1 Total 22 1

Tabela 3: Tarefas resolvidas e propostas na obra de Dante,2008.

Ainda para efeito de análise, consideramos as tarefas resolvidas como a parte

que corresponde ao trabalho (“topos”) do professor, e as tarefas propostas são

identificadas como pertencentes ao desenvolvimento dos conhecimentos de forma

autônoma (“topos”) pelos estudantes.

Atentamos que nessa obra o tipo de tarefa 1, “Situação Matemática para

Cálculo de Acrescimo ou Desconto”, apresenta 29% das tarefas resolvidas pelos

autores, possibilitando aos estudantes uma visão do uso da matemática para

trabalhar em situações do cotidiano diante de transações comerciais de varejo e em

situações de investimentos por instituições financeiras.

Observamos também que na obra se propõe 14% desse tipo de tarefa como

trabalho a ser realizado pelos estudantes, o que é compreensível, pois essa questão

corresponde a uma revisita aos conhecimentos já trabalhados no Ensino

Fundamental, e aqui se trata apenas de aprofundá-los e mostrar sua aplicabilidade.

122

A análise permite identificar que nessa obra a tarefa 2, “Situação Matemática

para Cálculo de Juros Simples”, foi privilegiada em apenas 14% das tarefas

resolvidas.Acreditamos que tal fato esteja associado a sua pouca utilidade quando

se consideram as aplicações financeiras, ou seja, aqui ela é útil para ilustrar as

noções matemáticas de função linear e afim e progressão aritmética.Isso fica mais

evidente quando se observa que 36% das tarefas propostas aos estudantes são do

tipo 2, proporcionando uma revisita aos conteúdos já trabalhados anteriormente, isto

é, existe uma intenção de tornar os conhecimentos prévios mais estáveis e mostrar

a aplicabilidade e importância deles. A tarefa 3, “Situação Matemática para Cálculo

de Juros Compostos”, pode ser considerada como a mais importante para o trabalho

com Matemática Financeira, pois 57% do que se considera como a parte a ser

desenvolvida pelo professor é composta de tarefas desse tipo, e a parte, que

segundo a forma de análise fica a cargo dos estudantes, corresponde a 50% de

tarefas do tipo 3. A ênfase dada a esse tipo de tarefa está associada a sua

importância nas aplicações financeiras, cujo regime de capitalização é o de juros

compostos. Observamos que a tarefa do tipo 3, além de ser a que corresponde às

aplicações do mercado financeiro, possibilita a revisita das noções de função

exponencial e logaritmo e suas propriedades permitindo assim uma articulação entre

a Matemática Financeira e as noções matemáticas que servem de ferramenta para a

sua sobrevivência.A tarefa 4, “Situação matemática para Cálculo de Juros sobre

Depósito à Vista – o Método Hamburguês”, não é trabalhada, pois trata-se de uma

aplicação específica que representa a premiação do cliente que mantém um capital

em conta corrente.Finalmente, podemos considerar que nessa obra o autor utiliza a

Matemática Financeira como exemplo de aplicação das noções de função afim,

linear e exponencial, da noção de logaritmo e suas propriedades e dos conceitos de

progressão aritmética e geométrica, o que lhes permite articular diferentes quadros e

manipular as técnicas que lhe são associadas por meio de ostensivos de

representação que permitem descrevê-las, explicá-las e justificá-las, evocando os

não ostensivos que os sustentam. Na sequência, apresentamos uma breve análise

da obra de Giovanni e Bonjorno et al. (2005).

123

5.3 ANÁLISE DA OBRA DE GIOVANNI & BONJORNO ET AL. (2005)

5.3.1 COMENTÁRIOS E ANÁLISE

Os autores iniciam a obra revisitando o conceito de porcentagem, destacando

a etimologia da palavra e articulando com operações varejistas do cotidiano das

pessoas.O exemplo abaixo mostra o tipo de tarefa utilizado para motivar os

estudantes no estudo da noção de porcentagem que se supõe tenha sido trabalhada

no Ensino Fundamental, e aqui servirá de suporte para o desenvolvimento das

noções de juros simples e compostos.

Fonte: GIOVANNI E BONJORNO, 2005, p. 286.

Observamos, por meio da tarefa acima, que implicitamente os autores

consideram os conceitos de equação e proporcionalidade como disponíveis, assim

como a noção de porcentagem, ou seja, eles apresentam um exemplo em que essas

noções são utilizadas como ferramentas explícitas do trabalho matemático a ser

desenvolvido. O novo conceito é a aplicação das noções matemáticas em exemplos

da vida cotidiana. Notamos também que entre as tarefas propostas existe a

preocupação em proporcionar ao estudante, por meio do encarte abaixo, o papel da

taxa de juros realizado pelo Banco Central no controle de emissão ou redução da

moeda.

124

Fonte: GIOVANNI E BONJORNO, 2005, p. 299.

A obra trata as noções de lucro e prejuízo via tarefas contextualizadas de

operações rotineiras de compra e venda e pequenos investimentos.

Além disso, na obra encontramos diferentes técnicas para resolver as tarefas

associadas às noções de acréscimos e descontos sucessivos, juros simples e

compostos, enfatizando que para o estudo dos juros composto é preciso dispor do

conceito de logaritmo e suas propriedades.

Nas tarefas resolvidas é possível identificar um discurso que justifica a técnica

empregada, assim como os não ostensivos utilizados para evocar os ostensivos

manipulados no desenvolvimento dessas técnicas.

Os ostensivos orais e gestuais estão implícitos no desenvolvimento da tarefa,

cabendo ao professor recuperá-los. No exemplo abaixo, quando os autores indicam

que estão utilizando o não ostensivo logaritmo, o professor deve usar ostensivos oral

e gestual (dos dois lados da igualdade) para explicitar a aplicação da propriedade.

125

Fonte: GIOVANNI E BONJORNO, 2005, p. 300.

Finalizam o capítulo oferecendo aos estudantes uma tabela demonstrando o

valor das parcelas de uma compra de um carro e descrevendo as variações para

negociação a prazo. Essa tarefa incentiva o estudante a usar a calculadora.

Observamos também que os autores deixam a cargo do professor a elaboração de

um discurso tecnológico adequado para justificar as diferentes técnicas.

Certamente isso se deve ao fato de que o livro será utilizado por estudantes

que se encontram em diferentes níveis em relação aos conhecimentos prévios

necessários para a execução da tarefa. Consideramos aqui os níveis técnico,

mobilizável e disponível definidos por Robert (1997). Para melhor identificar o

trabalho a ser realizado por professores e estudantes, apresentamos uma breve

descrição do que se supõe que esteja a cargo dos mesmos em função da grade de

análise desenvolvida no capítulo anterior.

5.3.2 O “TOPOS” DO PROFESSOR E DO ESTUDANTE

Na sequência fazemos a análise do “topos” do professor e do estudante

considerando a tabela abaixo, em que, para efeito de análise, as tarefas resolvidas

são da incumbência do professor e as propostas, dos estudantes.

126

Resolvidas Propostas

Tarefa Quantidade % Tarefa Quantidade %

Tarefa 1 5 36 Tarefa 1 10 19

Tarefa 2 4 29 Tarefa 2 14 27

Tarefa 3 5 36 Tarefa 3 28 54

Tarefa 4 0 0 Tarefa 4 0 0

Total 14 100 Total 52 100

Tabela 4: Tarefas resolvidas e propostas na obra de Giovanni e Bonjorno, 2005.

A tarefa 1, “Situação Matemática para Cálculo de Acrescimo ou Desconto”,

que corresponde a 36% das resolvidas e 19% das propostas, exige apenas que os

estudantes disponham de conhecimentos sobre as operações de multiplicação,

divisão e a noção de proporcionalidade e porcentagem. Já na tarefa 2, “Situação

Matemática para Cálculo de Juros Simples”, a obra apresenta uma situação

contextualizada, e 29% das tarefas propostas ficam a cargo do professor, e quase

na mesma proporção é esperado o empenho dos estudantes, uma vez que 27% das

tarefas propostas são do tipo 2.Verificamos assim que as tarefas 1 e 2 são utilizadas

como uma nova forma de revisitar conhecimentos associados às noções de

operações com números racionais, proporcionalidade, porcentagem e equação do

primeiro grau.A tarefa 3, “Situação Matemática para Cálculo de Juros Compostos”,

como na obra anterior, é privilegiada, pois cabe ao professor desenvolver 36% das

tarefas propostas, e para os estudantes ela corresponde à mais da metade do

trabalho a ser desenvolvido.

Como já discutido nas análises da obra anterior, essa ênfase pode ser vista

como a possibilidade de utilização da Matemática desenvolvida no Ensino Médio

como ferramenta para o cálculo das aplicações financeiras, atualmente muito

usadas pelos profissionais dessa área. A tarefa 4, “Situação matemática para

Cálculo de Juros sobre Depósito à Vista – o Método Hamburguês”, como na obra

anterior, não é abordada nessa obra.A grande diferença entre essa obra e a anterior

é que não existe uma preocupação dos autores em articular as noções de função

afim, linear exponencial e progressões aritméticas e geométricas com os conceitos

de Matemática Financeira, ou seja, revisitam-se apenas a noção de logaritmo e suas

127

propriedades para desenvolver os cálculos necessários.Os autores distribuem

equitativamente o trabalho do professor no desenvolvimento das três tarefas, mas

dão ênfase à tarefa 3 quando se considera o “topos” do estudante.Seguimos

apresentando uma breve análise da obra de Xavier e Barreto et al. (2005).

5.4 ANÁLISE DA OBRA DE XAVIER E BARRETO ET AL. (2005)

Os autores iniciam a obra fazendo um comentário sobre a importância da

Matemática Financeira, explicitando seu vínculo com a economia de mercado e

destacando a necessidade desse conhecimento para melhor interpretar os

mecanismos das operações financeiras com as quais nos confrontamos diariamente.

Após revisitar os conceitos de proporcionalidade e porcentagem, indica-se a

representação percentual em forma de fração como essencial para o trabalho a ser

desenvolvido na obra. Apresenta como exemplo motivador uma questão da prova do

Enem, exposta abaixo, em que se utilizam ostensivos de representação numérica.

Fonte: XAVIER E BARRETO, 2005, p. 19-20.

128

Essa escolha em apresentar temas sociais e econômicos do cotidiano é

sentida no desenvolvimento da obra. Notamos uma preocupação dos autores em

mostrar as diferentes formas de representação das porcentagens, o que permitirá a

aplicação mais adequada quando necessário. bO encaminhamento dado às

questões de Matemática Financeira na obra segue as orientações dos Parâmetros

Curriculares Nacionais, mas os exemplos retirados do Enem, em geral, são artificiais

e pouco ajuda na introdução do novo conceito. O exemplo abaixo deixa

evidente a falta de articulação entre a situação contextualizada e o conceito de

porcentagem que se deseja introduzir. Não existe um discurso que justifique como

tratar os dados da tabela.

Fonte: XAVIER E BARRETO, 2005, p. 20.

Para tratarem da noção de juros simples, os autores associam os dados da

tarefa aos elementos da fórmula e calculam os juros sem apresentar um discurso

que descreva, explique e justifique o trabalho matemático realizado.

A noção de equação é suposta disponível e o discurso sobre o

desenvolvimento da técnica fica a cargo do professor.

129

Fonte: XAVIER E BARRETO, 2005, p. 23.

No exemplo acima fica mais evidente que os autores consideram os

conhecimentos sobre porcentagem e suas representações, assim como a noção de

equação do primeiro grau como disponíveis utilizando apenas um discurso que

justifica os termos de Matemática Financeira dados na tarefa e os elementos da

fórmula que permite efetuar os cálculos.

Como já descrito para os exemplos anteriores, as tarefas desenvolvidas na

obra sobre aumentos e descontos sucessivos seguem a mesma abordagem, ou

seja, converte-se o enunciado nos elementos da fórmula e efetuam-se os cálculos,

podendo utilizar uma calculadora. O exemplo abaixo de aumentos sucessivos ilustra

a forma de trabalho própria da obra.

Fonte: XAVIER E BARRETO, 2005, p. 28

A noção de juros compostos não é introduzida nessa obra. Verificamos que

os autores introduzem a Matemática Financeira como um novo conteúdo, utilizando

como conhecimentos prévios as operações com números racionais, as noções de

proporcionalidade, porcentagem, equação do primeiro grau, supondo-as como

disponíveis. A articulação entre as noções de juros simples com os conceitos de

função afim, linear e progressões aritméticas não é trabalhada nessa obra;

130

encontramos esse trabalho apenas na primeira obra analisada neste estudo. Na

sequência, apresentamos uma breve descrição do trabalho esperado de professores

e estudantes segundo nossa proposta de análise.

5.4.1 O “TOPOS” DO PROFESSOR E DO ESTUDANTE

Semelhante ao processo que estamos desenvolvendo nas obras anteriores,

fazemos uma análise do “topos” do professor e do estudante considerando as

tarefas resolvidas atribuídas ao professor e as tarefas propostas conferidas aos

estudantes.

Resolvidas Propostas

Tarefa Quantidade % Tarefa Quantidade %

Tarefa 1 2 50 Tarefa 1 5 45

Tarefa 2 2 50 Tarefa 2 6 55

Tarefa 3 0 0 Tarefa 3 0 0

Tarefa 4 0 0 Tarefa 4 0 0

Total 4 100 Total 11 100

Tabela 5: Tarefas resolvidas e propostas na obra de Xavier & Barreto, 2005.

A tabela acima mostra que apenas as tarefas do tipo 1 e 2 são desenvolvidas

na obra. Destacamos a proporcionalidade encontrada no trabalho do professor e do

estudante. Considerando as propostas institucionais, observamos que o professor e

o estudante devem procurar outros materiais para desenvolver e estudar a noção de

juros compostos, que não é abordada explicitamente na obra e pode ser um fator de

dificuldade para aqueles que continuarem seus estudos, em particular, nos cursos

de Administração. Consideramos que a obra não apresenta explicitamente a noção

de juros compostos, mas esta é tratada por meio de uma tarefa complementar sobre

a trajetória histórica do cálculo de juros na Babilônia. Além disso, os autores tomam

em conta a noção de “juros sobre juros” que na realidade corresponde à noção de

juros compostos, permitindo assim que o professor escolha se deve ou não

aprofundar o tema. Isso mostra que os autores tentam contemplar as exigências

131

institucionais, mas algumas necessitam de um aprofundamento que depende das

diferentes turmas, e que fica a cargo do professor. Certamente, cabe ao professor

escolher e adaptar o trabalho apresentado na obra em função de sua turma e das

exigências institucionais de sua região, o que é indicado nos Parâmetros

Curriculares Nacionais e mostra a importância das diferentes obras, que possibilitam

uma flexibilidade no trabalho do professor, que pode adequá-las em função dos

conhecimentos prévios de seus estudantes. Continuando a nossa análise,

passamos aos livros por nós escolhidos e que fazem parte das ementas dos cursos

superiores de Administração considerados neste trabalho, em que é oferecida

Matemática Financeira.

5.5 ANÁLISE DA OBRA DE SOBRINHO ET AL. (2000)

5.5.1 COMENTÁRIOS E ANÁLISE

O autor inicia a obra agradecendo o sucesso dela entre os profissionais que

militam no mercado financeiro, demonstrando assim a recepção apropriada do livro

entre os técnicos, gerentes executivos e estudantes dessa matéria. O livro é

composto de onze capítulos e dois apêndices, sendo que o apêndice A traz uma

revisão sobre potências, progressões e interpolação, e o apêndice B apresenta as

tabelas financeiras. No capítulo 1, apresenta os conceitos de juros, capital e taxa

enfatizando a relação entre possuir o capital para a compra de bens de consumo ou

serviços e a possibilidade de emprestá-lo, assim como os riscos dessa segunda

opção.

Fonte: SOBRINHO, 2000, p. 19.

132

Após mostrar a importância do uso do capital e suas consequências, o autor

faz a exposição do trabalho algébrico que permite manipular os cálculos associados

ao regime de capitalização linear, ou juros simples.

Na sequencia, é apresentada uma série de tarefas resolvidas e propostas em

que se espera que o estudante disponha de conhecimentos sobre o conjunto dos

números naturais, racionais, inteiros e suas operações, noção de cálculo algébrico e

de equações do primeiro grau e mobilize os novos conhecimentos associados à

identificação dos elementos dados no enunciado com os conceitos e as

representações usados nas fórmulas para os cálculos de juros, montante, capital,

prazo e taxa. Ainda no capítulo 1, o autor apresenta o método hamburguês

mostrando que algum tempo atrás os bancos pagavam juros sobre os depósitos à

vista, propiciando assim uma reflexão entre oferta e demanda de capital pelos

bancos. É interessante destacar que o método hamburguês é um dos precursores

do cheque especial de hoje, em que se efetua o cálculo de juros sobre o saldo

devedor. Essas contas eram denominadas contas garantidas. Isso auxilia

professores e estudantes a entender melhor o desenvolvimento do sistema

financeiro e até mesmo das influências econômicas no País e principalmente a

importância do conhecimento da Matemática nesse contexto, propiciando condições

de exercer plenamente a cidadania consciente ao se relacionar com instituições

financeiras.

Fonte: SOBRINHO, 2000, p. 29.

133

No capítulo 2, “Capitalização Composta”, é trabalhada o conceito de

Montante e valor atual para pagamento único. O autor inicia o capítulo apresentando

os conceitos e simbologias utilizados para manipular as fórmulas que permitem

executar os cálculos associados a esse regime de capitalização. O trabalho é

realizado quase que exclusivamente no quadro algébrico e os conhecimentos

prévios de álgebra elementar como o conceito de equação do primeiro grau de

funções linear, afim e exponencial, assim como de logaritmos e suas propriedades

são supostos disponíveis. O discurso que acompanha as tarefas resolvidas, em

geral, explicita a conversão dos dados do problema para as representações

algébricas correspondentes, ou seja, trata-se principalmente da identificação dos

termos: prazo taxa valor futuro, valor presente, representação gráfica na relação do

valor futuro com taxa possibilitando uma melhor visualização e interpretação dos

resultados.

Fonte: SOBRINHO, 2000, p. 27.

O autor apresenta diversas situações-problema detalhando suas respectivas

soluções. É abordada também a questão da “Equivalência de taxas”, noção

importante para o estudo do processo da variação da taxa em função do prazo. O

exemplo abaixo deixa evidente que na obra o objetivo é descrever, explicar e

justificar os conceitos de Matemática Financeira, e a Matemática subjacente é

134

suposta disponível, ficando a cargo do professor e estudante explicitar esse trabalho

quando necessário.

Fonte: SOBRINHO, 2000, p. 27.

Fonte: SOBRINHO, 2000, p. 42.

O autor incentiva o uso da calculadora financeira HP12C e mostra a

necessidade de explicitar a forma como se calculam os juros de um empréstimo

quando se introduz essa nova ferramenta no curso, ou seja, a calculadora exige uma

nova técnica e consequentemente um novo discurso que a justifique. Observamos

que, ao introduzir a calculadora, o professor deve estar consciente da importância de

descrever, explicar e justificar a nova forma de cálculo que faz uso de outros

ostensivos de representação que precisam ser identificados nos botões da

calculadora, como é possível observar nos exemplos abaixo.

135

Fonte: SOBRINHO, 2000, p. 347

Fonte: SOBRINHO, 2000, p. 349.

Na sequencia, apresentamos as análises sobre o que se espera de

professores e estudante em função da nossa proposta de estudo do papel desses

dois atores na ação que se desenvolve no processo de ensino e aprendizagem.

5.5.2 O “TOPOS” DO PROFESSOR E DO ESTUDANTE

De acordo com a grade de análise criada no capítulo anterior, diante das

tarefas resolvidas e propostas no livro analisado, procuramos identificar a relação

entre o que corresponde à parte a ser desenvolvida pelo professor e o que fica a

cargo do estudante, ou seja, o “topos” do professor e o “topos” do estudante. A

tabela abaixo mostra a distribuição das tarefas de juros simples e compostos na

obra.

136

Resolvidas Propostas

Tarefa Quantidade % Tarefa Quantidade %

Tarefa 1 0 0 Tarefa 1 0 0

Tarefa 2 10 59 Tarefa 2 23 49

Tarefa 3 05 29 Tarefa 3 21 45

Tarefa 4 02 12 Tarefa 4 03 6

Total 17 100 Total 47 100

Tabela 6: Tarefas resolvidas e propostas na obra de Sobrinho, 2000.

Observando a tabela, verificamos que a tarefa 1, “Situação Matemática para

Cálculo de Acrescimo ou Desconto”, não é trabalhada na obra, o que permite supor

que se trata de um conhecimento prévio que pode estar disponível e que tenha sido

suficientemente trabalhado no Ensino Médio.Quanto à tarefa 2, “Situação

Matemática para Cálculo de Juros Simples”, notamos que o autor preocupa em

enfatizar aplicações do cotidiano do mercado financeiro deixando a cargo dos

estudantes revisitar os conceitos de progressão aritmética e geométrica e fazer a

articulação necessária, ou seja, o autor considera esse conhecimento pelo menos

mobilizável pelos estudantes, uma vez que ele é tratado apenas no apêndice, que é

indicado para estudos complementares. Esse apêndice também é usado para

indicar procedimentos para resolução de tarefas com o auxílio da calculadora

financeira HP 12C. Em relação ao número de tarefas, conforme nossa proposta de

análise, o professor desenvolve 59% das tarefas propostas e o estudante 49%, o

que é proporcional, pois o número de tarefas resolvidas é menor que o de tarefas

propostas.

No tocante à tarefa 3, “Situação Matemática para Cálculo de Juros

Compostos”, observamos que existe uma preocupação do autor em deixar a cargo

do estudante o desenvolvimento de tarefas como essa, pois entre aquelas resolvidas

encontramos 29% associadas a esse tipo, e que se supõe destinadas ao professor,

e 45% de tarefas propostas que ficam a cargo do estudante. É importante observar

que o autor dá ênfase às tarefas de juros simples e compostos tanto para o

desenvolvimento do trabalho suposto do professor como do estudante.

137

Além disso, a articulação desses conhecimentos com as noções de

progressão aritmética e geométrica, mesmo ficando a cargo do estudante, é

proposta em apêndice e pode ser trabalhada pelo professor.

A tarefa 4, “Situação Matemática para Cálculo de Juros sobre Depósito à

Vista – o Método Hamburguês”, em geral, introduzida no Ensino Superior e que se

apoia sobre as noções de juros, em especial, juros compostos, é suposta como o

novo conhecimento a ser introduzido, correspondendo principalmente à parte do

professor, 12% das tarefas resolvidas e 6% das propostas. Observamos ainda que o

autor aprensenta um diferencial quanto à abordagem do Método Hamburguês, pois

traz um histórico sobre esse método destacando sua aplicação no Brasil, ou seja, a

passagem da conta garantida para o cheque especial atual, em que a incidência e

necessidade de manipular juros compostos são evidentes.

Além disso, o livro faz referência a temas atuais mostrando por exemplo o

papel dos bancos na economia, evidenciando assim a importância da Matemática

Financeira tanto para estudantes do Ensino Médio quanto para os do Ensino

Superior, pois possibilita a escolha consciente das condições de pagamentos em

transanções comerciais e aquisições no mercado financeiro.Verificamos que nessa

obra o destaque é para aplicações bancárias e imobiliárias, pois as tarefas

pivilegiam essa porção do mercado financeiro, que nos parece a mais operante

atualmente.As tarefas são desenvolvidas quase que exlusivamente no quadro

algébrico e pouco se utiliza a representação gráfica que permitiria uma melhor

visualização dos resultados.

Em função da necessidade dos estudantes de conhecer a forma de trabalho

do mercado financeiro, a calculadora financeira HP 12C é introduzida no curso, e o

autor deixa evidente a necessidade de explicitar o trabalho a ser realizado, pois

temos uma nova representação para os objetos de Matemática Financeira.

Na sequência apresentamos a segunda e última obra escolhida para nossas

análises, lembrando que se trata do material que utilizamos em nossos cursos de

Matemática Financeira, bem como é citada nos quatro planos de ensino das

universidades discutidos neste trabalho.

138

5.6 ANÁLISE DA OBRA DE PUCCINI ET AL. (2008)

5.6.1 COMENTÁRIOS E ANÁLISE

O autor inicia a obra destacando os termos de Matemática Financeira e as

representações que possibilitam escrever as fórmulas que permitem manipular as

técnicas associadas à resolução das tarefas a serem desenvolvidas no

curso.Quanto à abordagem escolhida, o autor esclarece que o presente curso tem

como objetivo privilegiar as aplicações do mercado financeiro, o que o conduz a

introduzir a calculadora financeira HP12C e planilha eletrônica Excel.

Nos nove capítulos iniciais, todo o conteúdo é desenvolvido tendo como

princípio a hipótese de aplicação da Matemática Financeira em países onde a

moeda é estável, ou seja, a inflação é controlada. A obra traz ainda dois Apêndices

– Apêndice “A”, em que faz uma apresentação das principais funções financeiras

da calculadora financeira HP12C e um Simulador, auxiliando o estudante no

reconhecimento dessa nova forma de representação que implicará uma nova

maneira de trabalho com a Matemática. No Apêndice “B” são indicadas as funções

financeiras do aplicativo Microsoft Excel.

Tais recursos correspondem à outra forma de representar e calcular,

diferentes das anteriores, que necessita de um estudo em que explicite a maneira

de manipular esse novo ostensivo, mesmo que os não ostensivos que serão

evocados sejam os mesmos.

O autor se preocupa ainda em contextualizar os conceitos desenvolvidos nos

diferentes capítulos por meio de tarefas que são habitualmente usadas pelo

mercado financeiro, em particular, o mercado imobiliário e bancário. No capítulo 1,

“Conceitos básicos e Simbologia”, são oferecidos os conceitos de juros, unidades de

medidas articulados a fluxo de caixa, dando ao estudante uma visão conceitual do

valor do dinheiro no tempo e os objetivos da Matemática Financeira.

139

A introdução desse curso necessita de um discurso que justifica o trabalho

matemático a ser executado, tornando mais evidente à importância da tecnologia

que justifica a técnica.

Fonte: PUCCINI, 2008, p. 2.

Fonte: PUCCINI, 2008, p. 4.

Para introduzir a noção de fluxo de caixa, o autor insere uma nova

representação, ou seja, um ostensivo de representação gráfico dado na forma de

diagrama que permite visualizar a relação entre os diferentes períodos, enfatizando

que eles não são contínuos.

Na sequencia, o autor descreve e explica como efetuar os cálculos usando a

calculadora financeira HP 12C. Observamos aqui a necessidade de um longo

discurso tecnológico quando se introduz essa nova forma de representar os

elementos e de calculá-los.

140

Fonte: PUCCINI, 2008, p. 5.

Fonte: PUCCINI, 2008, p. 5.

No capítulo 2, “Juros Simples e Compostos – Conceitos” segue o autor

revisitando os conceitos de juros simples e compostos utilizando situações-problema

específicas, para as quais se supõe que as noções de proporcionalidade e

porcentagem, números reais, suas representações e propriedade, equações de

primeiro grau, função linear e afim, equação exponencial, função exponencial,

logaritmos e suas propriedades e suas respectivas representações sejam

conhecimentos prévios disponíveis.

141

Apresentamos abaixo o discurso seguido de uma situação contextualizada

considerada na obra e que colocam em evidência as afirmações expostas acima.

Fonte: PUCCINI, 2008, p. 13.

Fonte: PUCCINI, 2008, p. 13.

No capítulo 3, “Juros Simples – Fórmulas Básicas” são apresentadas as

fórmulas básicas de juros simples, e as tarefas resolvidas e propostas correspondem

à manipulação dessas fórmulas, que, como já indicamos acima, exige

conhecimentos prévios que se supõe tenham sido desenvolvidos no Ensino Médio,

sendo, portanto, disponíveis.

O exemplo abaixo justifica nossa interpretação quanto ao nível que se deseja

que os estudantes disponham em relação aos conhecimentos prévios necessários

para o desenvolvimento do curso.

142

Fonte: PUCCINI, 2008, p. 13.

No final do capítulo, o autor retoma o diagrama padrão de fluxo de caixa e

utiliza um discurso em língua natural, que poderá ser enfatizado pelo professor para

descrever, explicar e apresentar a relação entre o diagrama e a fórmula que

possibilita o cálculo dos juros. A obra faz uso de uma tecnologia adequada onde o

autor articula os conhecimentos sobre juros simples e suas representações

desenvolvidas no Ensino Médio com as novas técnicas e representações propostas

no Ensino Superior, e que correspondem à forma de tratamento do mercado

financeiro.

Fonte: PUCCINI, 2008, p. 25.

143

No capítulo 4, “Juros Compostos – Capitalização e Desconto”, o autor

apresenta os conceitos de juros compostos utilizando a mesma abordagem

considerada no capítulo anterior, e é a partir desse momento que introduz uma nova

forma de cálculo, ou seja, a calculadora financeira HP 12C, que é um novo ostensivo

para trabalhar as técnicas associadas à noção de juros compostos.

A própria noção de juros compostos, suas representações, as técnicas

desenvolvidas no Ensino Médio, assim como os conhecimentos prévios necessários

para manipular essas técnicas, são aqui supostos disponíveis. O exemplo abaixo

ilustra e justifica as afirmações descritas acima.

Fonte: PUCCINI, 2008, p. 48.

Apenas os quatro primeiros capítulos tratam explicitamente as noções de

juros simples e compostos, portanto nos retivemos nos exames desses capítulos e

apresentamos a seguir o que, segundo nossa forma de análise, corresponde ao

trabalho do professor e do estudante.

5.6.2 O “TOPOS” DO PROFESSOR E DO ESTUDANTE

Como para as obras anteriores, analisamos via grade de análise apresentada

no capítulo anterior o que se supõe como “topos” do professor e do estudante,

conforme nossa proposta de análise. A tabela abaixo permite distinguir a quantidade

de tarefas que correspondem ao trabalho do professor e do estudante e que o

144

número total de tarefas resolvidas é próximo do de tarefas propostas. Isso mostra

que o trabalho é distribuído proporcionalmente.

Resolvidas Propostas

Tarefa Quantidade % Tarefa Quantidade %

Tarefa 1 0 0 Tarefa 1 0 0

Tarefa 2 8 40 Tarefa 2 12 46

Tarefa 3 12 60 Tarefa 3 14 54

Tarefa 4 0 0 Tarefa 4 0 0

Total 20 100 Total 26 100

Tabela 7: Tarefas resolvidas e propostas na obra de Puccini, 2008.

Analisando a tabela acima, observamos que o autor supõe disponível a tarefa

1, “Situação Matemática para Cálculo de Acréscimo ou Desconto”, isto é, fica a

cargo de professores e estudantes revisitar os conhecimentos matemáticos

necessários para a sua solução.

Para a tarefa 2, “Situação Matemática para Cálculo de Juros Simples”, o

autor propõe uma revisitação aos conceitos básicos necessários para sua solução

por meio de uma situação-problema que articula o novo conhecimento, ou seja, a

noção de fluxo de caixa com os conhecimentos prévios supostos disponíveis.

Esse trabalho nos parece interessante, pois permite estabilizar os

conhecimentos prévios e dar significado ao novo conhecimento. Observamos ainda

que a noção de fluxo de caixa é importante no desenvolvimento do curso de

Administração. A diferença dessa obra para a anterior é a proposta do estudo das

formas de aplicação do dinheiro no tempo por meio de contextualizações associadas

às situações inflacionárias. Essa obra, como a anterior, enfatiza o uso da

calculadora financeira HP 12C e, além disso, propõe a utilização do aplicativo

Microsoft Excel, dando exemplos de tarefas em que os cálculos são desenvolvidos

por meio desse aplicativo. Cabe ao professor escolher a melhor forma de trabalho

com seus estudantes.

145

Para a tarefa 2, observamos que o número de tarefas resolvidas e propostas

são proporcional, o que indica que professores e estudantes são responsáveis pelo

bom desenvolvimento da disciplina. A tarefa 3, “Situação Matemática para Cálculo

de Juros Compostos”, que corresponde ao trabalho com a noção de juros

compostos, também é distribuída proporcionalmente quando se considera o trabalho

de professores e estudantes.O autor propõe um curso cuja responsabilidade de seu

sucesso depende do trabalho orquestrado de professores e estudantes na ação que

se desenvolve no processo de ensino e aprendizagem.

Verificamos que nessa obra o destaque é para aplicações bancárias e

investimentos, com evidência da utilização das ferramentas, como a calculadora

financeira HP 12C e o software Microsoft Excel, que compõem habitualmente a

prática dos profissionais da área financeira. Finalizamos apresentando algumas

considerações sobre as obras analisadas para mostrar que as relações institucionais

existentes são coerentes com as relações institucionais esperadas, e que, se o

trabalho existente para ser realizado no Ensino Médio for colocado em prática, os

estudantes de Administração terão mais condições de compreender as propostas

para o Ensino Superior e desenvolvê-las com maior autonomia.

5.7 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Ao iniciar a obra Matemática, Dante et al. (2008), especificamente o capítulo

27 – Noções de Matemática Financeira, comentam que entre suas aplicações estão

os recursos para auxiliar nas soluções de problemas financeiros.

A obra revisita o conceito de proporcionalidade e de juros simples e

compostos, utilizando como conhecimentos prévios mobilizáveis as noções de

números reais e suas representações, porcentagem e suas representações,

equação do primeiro grau, função afim e linear e suas representações, progressão

aritmética, equação exponencial, função exponencial e suas representações,

logaritmos e suas propriedades. Observamos que essa obra destinada ao Ensino

Médio, entre as outras analisadas, é a única que trabalha explicitamente a

articulação entre as noções de juros simples e compostos com as noções de

funções afim e linear e exponencial e progressões aritméticas e geométricas.

146

Esse trabalho possibilita uma maior estabilidade desses conhecimentos

prévios e permitem a utilização de outras formas de tratamento, em particular, as

representações gráficas das funções que auxiliam na visualização dos resultados.

É importante observar que o autor se preocupa em desenvolver tarefas que

correspondem a situações cotidianas de compra e venda e aplicações no mercado

financeiro. A obra Matemática completa, de Giovanni e Bonjorno et al. (2005),

também inicia revisitando a noção de porcentagem e suas representações e supõe

como disponíveis os conhecimentos sobre as noções de números reais e suas

representações, porcentagem e suas representações, equação do primeiro grau,

equação exponencial e logaritmos e suas propriedades.

Nesse caso, revisitar esses conhecimentos fica a cargo de professores e

estudantes. Ambos têm a mesma responsabilidade e podem negociar como efetuar

esse trabalho. A obra contextualiza os conceitos com aplicações financeiras do

cotidiano. Ao compararmos com a obra do Dante, percebemos algumas

similaridades, principalmente em relação às tarefas resolvidas e propostas em que

se privilegiam as transações bancárias e de varejo.

Um detalhe interessante é que na obra de Dante é destacada a importância

do contextualizar com o estudante conceitos e aplicações do fator de atualização,

conceito não encontrado em nenhuma das outras obras examinadas, nem nas obras

sugeridas para o Ensino Superior. Atentamos também que Bonjorno recorre a

alguns fatos históricos associados ao conceito tratado e conduz o estudante ao uso

da calculadora financeira. Ao considerar a obra de Xavier e Barreto (2005),

verificamos que a Matemática Financeira é apresentada como um pequeno

apêndice sintetizando conceitos de porcentagem, juros simples, compostos, lucros e

descontos.

Podemos concluir que, nas três obras indicadas pelo PNLEM (2009), está

presente uma preocupação em desenvolver o caráter ferramenta das noções de

juros simples e compostos, com exceção da obra de Dante que, ao articular essas

noções com as funções e progressões que lhe são associadas, também desenvolve

147

o caráter ferramenta e possibilita a descrição, explicação e justificativa da tecnologia

utilizada para efetuar esse mesmo trabalho sobre as técnicas.

Ao examinar as obras indicadas para o Ensino Superior, percebemos que na

obra de Sobrinho et al. (2000), Matemática financeira, existe a preocupação em

apresentar os conceitos essenciais das aplicações de juros, oferecendo os diversos

contextos vinculados a essas noções por meio das tarefas resolvidas, que

correspondem ao “topos do professor”.Verificamos também nessa obra a

preocupação em introduzir a nova forma de representação que corresponde ao

trabalho com a calculadora financeira HP12C.

Notamos também que o autor não se preocupou apenas em explicitar alguns

procedimentos e recursos da calculadora, mas propõe um apêndice em que

descreve, explica e justifica tanto os procedimentos necessários para utilizar esse

instrumento como a forma de trabalhar com tarefas específicas do mercado

financeiro. A outra obra analisada, Matemática financeira, de Puccini et al. (2008),

também introduz a nova representação que corresponde à calculadora financeira HP

12C, indo além ao tratar do uso do software Microsoft Excel, atualmente muito

utilizado no mercado financeiro. Nas duas obras analisadas, que correspondem ao

Ensino Superior, observamos que em relação às noções de juros simples e

compostos o trabalho desenvolvido no Ensino Médio é considerado como pelo

menos mobilizável para os estudantes que escolhem o curso de Administração.

Isso mostra a importância do trabalho a ser realizado pelos professores e

estudantes do Ensino Médio para que se possa executar de forma mais satisfatória

o que se planeja para ser desenvolvido com os estudantes de Administração do

Ensino Superior.Observamos que existem todos os meios para efetuar esse trabalho

de forma que os estudantes, ao iniciarem o Ensino Superior, não sejam

desestimulados pela falta de conhecimentos prévios e possam pelos menos

mobilizar esses conhecimentos quando necessário, isto é, que a transição entre o

Ensino Médio e Superior possa se realizar de forma menos traumática e sem tantas

dificuldades.

148

CONSIDERAÇÕES FINAIS

E PERSPECTIVAS FUTURAS

Finalizamos este trabalho com algumas considerações finais e perspectivas

futuras para as pesquisas sobre as relações institucionais esperadas e existentes

quando se considera a transição entre o Ensino Médio e Ensino Superior, em

particular, quando se introduz a noção de juros simples e compostos e quando se

revisita essa noção na disciplina de Matemática Financeira no Ensino Superior.

Retomamos aqui as questões iniciais que nortearam esta pesquisa e para as

quais avançamos alguns elementos de resposta, mas que ainda podem ser

trabalhadas e melhor elucidadas por pesquisas futuras associadas à aprendizagem

dos estudantes, quando considerados os conhecimentos prévios que podem ser

reputados pelo menos mobilizáveis na transição entre o Ensino Médio e Superior

para os estudantes, dos cursos de Administração.

1. Quais os conhecimentos prévios sobre a noção de juros simples e compostos são

desenvolvidos no Ensino Médio?

2. Quais as articulações entre esses conhecimentos e os conhecimentos matemáticos

necessários para o controle e justificativa das técnicas associados às noções de

juros simples e compostos?

3. Qual o papel esperado do professor no trabalho com essas noções?

4. Qual o papel esperado dos estudantes no trabalho com essas noções?

5. Quais as indicações das diretrizes Curriculares Nacionais dos cursos de graduação

em Administração para o ensino da noção de juros simples e compostos para o

curso de Administração?

6. Existe uma coerência entre o que é proposto para o Ensino Médio e Superior, isto é,

os conhecimentos prévios supostos disponíveis são trabalhados no Ensino Médio

conforme a expectativa do Ensino Superior?

Inicialmente, para esclarecer nossas escolhas tanto do referencial teórico

utilizado como das noções matemáticas, ressaltamos que a proposta do estudo das

relações institucionais esperadas e existentes quando se consideram as noções de

149

juros simples e compostos na transição entre o Ensino Médio e o Ensino Superior se

deve ao fato que se trata de um conceito que é utilizado por todos para o controle da

vida pessoal, pois vivemos em um mundo onde em geral tudo varia em função do

capital em relação ao tempo. A escolha da Teoria Antropológica do Didático (TAD)

como referencial teórico central para as análises propostas na pesquisa permite

mostrar a força dessa teoria para esse tipo de análise, pois possibilita compreender

melhor as organizações matemáticas e didáticas existentes em função de suas

práticas, isto é, dos tipos de tarefas e das técnicas associadas e do discurso que

permite descrever, explicar e justificar essas técnicas tanto do ponto de vista

tecnológico como teórico. Além disso, complementamos essas análises com as

abordagens teóricas em termos de quadro conforme definição de Douady (1984,

1992) e de níveis de conhecimento esperado dos estudantes conforme definição de

Robert (1997), que possibilitou identificar a forma como a noção estudada é

trabalhada no Ensino Médio e Superior e o nível de conhecimento esperado nas

duas etapas da transição. Observamos que a noção de juros simples e compostos é

abordada de diferentes formas no Ensino Médio, sendo considerados diferentes

quadros e sua articulação com noções reputadas como conhecimentos prévios, pelo

menos mobilizáveis, nessa etapa escolar.

Dessa forma, ressaltamos que, se realmente o trabalho proposto no Ensino

Médio for desenvolvido, as propostas encontradas para o Ensino Superior serão

adequadas, pois nesse momento podemos utilizar essas noções apenas como

ferramentas do trabalho matemático a ser efetuado e dar mais ênfase à introdução

de novas tecnologias, como a calculadora financeira e as planilhas eletrônicas.

Para melhor compreender as conclusões apresentadas acima, destacamos

que a análise das relações institucionais esperadas para o Ensino Médio e Superior

via documentos oficiais, ou seja, Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino

Médio (PCNEM) e Nova Proposta do Estado de São Paulo e os planos de ensino de

quatro Universidades, sendo duas públicas e duas privadas, respectivamente,

mostra que existe uma coerência entre o que é proposto no Ensino Médio e o

trabalho a ser realizado no Ensino Superior. Além disso, para o Ensino Médio, o

papel do professor e do estudante é bem definido tanto no que se refere às

organizações matemáticas quanto o que cada um deve dispor enquanto

150

conhecimento para caminhar em conjunto na introdução de novos conhecimentos,

como as organizações didáticas que deixam evidente a necessidade do trabalho

individual e autônomo dos estudantes no decorrer do processo de ensino e

aprendizagem. A análise das relações institucionais existentes via alguns livros

didáticos do Ensino Médio e Superior mostra que há coerência entre as expectativas

institucionais e o trabalho que, pela forma como se conduziram as análises, se

supõe seja desenvolvido por professores e estudantes.

Certamente, para cada obra analisada existem outras questões que poderiam

ter sido levadas em conta, mas estas ficam a cargo do professor que pode ou não

completar esse trabalho em função do conhecimento prévio de seus estudantes e da

participação deles no curso, isto é, se estão interessados em aprender e ser

autônomos ou apenas em repetir tarefas próximas para ter sucesso nas provas.

Além disso, consideramos que as análises dos livros didáticos possibilitam

identificar, de forma geral, qual o nível de conhecimento sobre as noções de juros

simples e compostos que podemos reputar como pelo menos mobilizável para os

estudantes que terminam o Ensino Médio, ou seja, trata-se do nível mobilizável em

relação à nomenclatura e às formulas associadas a esses conceitos. A questão da

articulação com as noções de função afim e exponencial e progressões aritméticas e

geométricas que poderia auxiliar a melhor compreenderem essas noções é

considerada apenas em um dos livros do Ensino Médio avaliado, e não é tratada no

Ensino Superior. Portanto, tanto para o Ensino Médio como para o Ensino Superior

os conhecimentos matemáticos necessários quando do trabalho com as noções de

juros simples e compostos necessitam apenas das noções de proporcionalidade,

operações com números reais, equações do primeiro grau, equações exponenciais e

a noção de logaritmo e suas propriedades.

No entanto, uma articulação entre esses conhecimentos e outros

conhecimentos, já discutidos acima, poderia auxiliar a melhor compreender esses

conceitos e tornar ambos mais ricos e estáveis. Finalmente observamos, por meio

da grade de análise construída para identificar os diferentes tipos de tarefas que

sobrevivem tanto no Ensino Médio como no Ensino Superior, que existe um número

151

reduzido de tarefas e que estas poderiam ser mais bem aproveitadas quando se

introduzem as noções de juros simples e compostos no Ensino Superior.

Como exemplo consideramos que os conhecimentos de progressão aritmética

associados aos processos de crescimento, quando uma série de valores, podem ter

sua variação (crescimento ou decrescimento). Os exemplos abaixo colocam em

evidência a possibilidade de articulação entre juros simples, proposta aritmética,

proporcionalidade e regra de três.

Exemplo 1: Qual o montante final de uma aplicação de $2.000,00, a juros simples contratados a 2%

ao mês, por 6 meses?

Observa-se também que no tratamento de juros simples existe

proporcionalidade entre taxa e tempo, em que os juros são lineares. É possível

também fazer uso da aplicação de “regras de três”, tal como a tarefa abaixo:

Exemplo 2: Qual a taxa mensal de juros simples que, em uma aplicação por 5 meses, elevou um

capital de $ 2.000,00 para $ 2.450,00?

Dessa forma, sendo a Matemática Financeira uma das formas de aplicar

determinados conceitos matemáticos, considera-se que para desenvolver esse

trabalho é necessário dispor de conhecimentos associados à articulação de

conceitos explicitados acima. É importante destacar que os estudantes não estão

partindo do “zero”, dado que possuem alguns conhecimentos como: progressão

aritmética (PA), regra de três, função afim, função exponencial, noções logaritmos.

Nossa prática deixa evidente que um dos grandes desafios é articular esses

conhecimentos na resolução de tarefas que envolvem “juros simples” e “juros

compostos”, foco deste trabalho. A articulação entre esses conhecimentos que os

estudantes já possuem acreditamos fazer parte do “topos” do professor, que é

mediar e demonstrar como utilizar na resolução de novas tarefas.

152

Parece-nos que trabalhar essas tarefas articulando conhecimentos

específicos de Matemática Financeira e conhecimentos matemáticos poderiam

auxiliar os estudantes, reduzindo o número de fracassos e evasões.

Esses conhecimentos são requisitos essenciais aos estudantes egressos dos

cursos superiores ao exercerem uma determinada profissão, tais como Gerente

Financeiro, Contador ou até mesmo Analista de Investimentos.

Isso sugere a necessidade de continuar essa pesquisa, a partir dos resultados

encontrados nas análises das relações institucionais esperadas e existentes. Poder-

se-ia construir uma nova organização centrada na articulação entre os

conhecimentos matemáticos desenvolvidos no Ensino Médio e as noções de juros

simples e compostos já trabalhadas com as novas tecnologias.Os estudantes dos

cursos de Administração devem se apropriar para motivar e dar sentido a estas

noções, uma vez que a Matemática Financeira pode ser considerada como uma

contextualização de conhecimentos matemáticos desenvolvidos no Ensino

Fundamental e Médio.Essa nova proposta mostra mais uma vez a importância das

análises das relações institucionais esperadas e existentes ou das organizações

praxeológicas para a identificação do que já está construído e do que é possível

propor para continuar e melhorar sem começar tudo do zero.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ANDRADE, Sirlene Neves. Possibilidades de articulação entre as diferentes formas

de conhecimento: a noção de função afim. 2006. Dissertação (Mestrado) –

UNICSUL, São Paulo.

ARTIGUE, M. Apprendre les mathématiques, ce qui nous enseignent les recherches

dans ce domaine. Cahier de Didactique des Mathématiques, IREM, Paris 7,

2004.

BOERO, Paolo. Processes and Products, Structures and Meaning in Mathematics

Classroom: Some Snapshots from the Last Century. Disponível em:

153

<http://www.unige.ch/math/EnsMath/Rome2008/WG5/Papers/BOERO.pdf>.

Acesso em: 28 fev. 2010.

BOSCH, M.; CHEVALLARD Y. La sensibilité de I´activité mathématique aux

ostensifs, Recherches en Didactique des Mathématiques, Grenoble, n. 19.01,

1999.

BRASIL. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares

Nacionais. (PCN): Matemática/Secretaria de Educação Média e Tecnológica.

Brasília: MEC, SEMTEC, 2002. 360 p.

BRASIL. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares

Nacionais: Ensino Médio : ciências da natureza e suas tecnologias. Ministério

da educação, Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Brasília: MEC,

SEMTEC, 2005. Disponível em:

<http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/CienciasNatureza.pdf>. Acesso

em: 20 abr. 2009.

BRASIL. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares

Nacionais: Ensino Médio. Ministério da Educação, Secretaria de Educação

Média e Tecnológica. Brasília: MEC, SEMTEC, 2002. p. 360.

BRASIL. Catálogo do Programa Nacional do Livro para o Ensino Médio:

PNLM/2005. Matemática. Brasília, 2004. Ministério da Educação Secretaria

de Educação Média e Tecnológica. Fundo Nacional de Desenvolvimento da

Educação. p. 83.

BROUSSEAU, G. Theorie des situations didactiques. Disponível em:

<http://icar.univ-

yon2.fr/equipe2/master/data/cours_A3S/Theorie_des_situations_2.pdf>.

Acesso em: 29 ago. 2008.

COSTA, Mariza Canjirano. Possibilidades de articulação dos ostensivos e não

ostensivos no ensino da noção de sistemas de duas equações lineares e

duas incógnitas. 2008. Dissertação (Mestrado) – Uniban, São Paulo.

154

CHEVALLARD, Y. Concepts fondamentaux de la didactique: perspectives apportées

par une approche anthropologique. Recherches en Didactique des

Mathématiques, La Pensée Sauvage, Grenoble, v. 12, p. 173-112, 1992.

––––––. La fonction professorale: esquisse d’un modèle didactique. Actes de la VIII

école d’été de Saint_Sauves d’Auvergne, 83-122. 1995.

––––––. Les outils sémiotiques du travail mathématique, Petitx, n. 42, p. 33-57,

1996.

––––––. Organiser l’étude: 1. Structures & fonctions. Cours donné à la XIe école

d’été de didactique des mathématiques (Corps, 21-30 août 2001). Paru dans

les actes correspondants, La Pensée Sauvage, Grenoble, p. 3-32, 2002.

––––––. Ostensifs et non-ostensifs dans l’activité mathématique 1994 Intervention au

Séminaire de l’Associazione Mathesis (Turin, 3 février 1994). Texte paru dans les

Actes du Séminaire pour l’année 1993-1994, p. 190-200.

CHEVALLARD Y. Et GRENIER, D. Le topos de I´éleve, Actes de la IX école d´eté de

didactique des mathématiques. Houlgate, França, 1997.

DIAS, M.A. Les problèmes d’articulation entre points de vue ‘cartésien’ et

‘paramétrique’ dans l’enseignement de l’algèbre linéaire. 1998. 500p. Thèse

(Dotorat) – Universoté Dennis Diderot (Paris 7), Publication de l’IREM Paris 7.

DOUADY, R. Jeux de cadre et dialectique outil objet dans l’enseignement des

mathématiques. 1984. Thèse (Dotorat) – Université de Paris VII, Paris.

––––––. Des apports de la didactique des mathématiques à l’enseignement.

Repères IREM, n. 6, p. 215, 1992.

DUVAL, R. Sémiosis et pensée humaine. Peter Lang, Paris, 1995.

155

GUEUDET, G. Investigating secondary-tertiary transition. Educational Studies in

Mathematics, 67/3, 237-254, 2008a.

––––––. La transition secondaire-supérieur : différents regards, différentes vues.

Intervention au Centre de Didactique Supérieur. Conférence invité de

l’Université de Liège. 2008b.

MOREIRA, M.A. Aprendizagem significativa crítica. Porto Alegre: Editora da

Universidade Federal do Rio Grande do Sul, 2005.

MORETTIN, Pedro A.; HAZZAN, S.; BUSSAB, W.O. Cálculo: funções de uma

variável e várias variáveis. São Paulo: Saraiva 2003. p. 103.

ROBERT, A. Quelques outils d’analyse epistemologique et didactique de

connaissances mathématiques à enseigner au lycée et à l’université. Actes

de la IX école d’été de didactique des mathématiques. Houlgate, França,

1997.

SÃO PAULO (ESTADO). Secretaria da Educação. Caderno do aluno: matemática,

ensino médio, 2.ª série. Secretaria da Educação, São Paulo: SEE, 2009. v. 1,

p. 43-47.

Livros didáticos analisados

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: livro do professor. São Paulo: Ática, 2004.

GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática completa: 1.ª série.

2. ed. São Paulo: FTD, 2005.

PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática financeira: objetiva e aplicada. 1.ª série do

Ensino Superior. 7. ed. São Paulo: Saraiva, 2008.

SILVA, Claudio Xavier da. Matemática aula por aula. 3.ª série. 2. ed. São Paulo:

FTD 2005.

156

VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática financeira. 7. ed. São Paulo: Atlas,

2000.

Planos de Ensino analisados

Diretrizes Curriculares Nacionais dos cursos de graduação em Direito, Ciências

Econômicas, Administração, Ciências Contábeis, Turismo, Hotelaria, Secretariado

Executivo, Música, Dança, Teatro e Design. 2003, p. 15-16.

Plano de Ensino da Universidade Federal do Rio Grande do Sul UFRGS, 2008, p. 1.

Plano de Ensino da Faculdade das Américas, 2009, p. 1.

157

ANEXOS

Anexo 1: Diretrizes Curriculares do Curso de Administração de Empresas

 

 

 

 

 

 

158

Anexo 1 (cont.)

 

 

 

159

Anexo 2: Plano de Aulas da Universidade Federal do Amazonas (UFAM)

 

160

Anexo 3: Plano de Aulas da Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS)

 

 

161

Anexo 3 (cont.)

162

Anexo 4: Plano de Aulas da Faculdade das Américas

 

163

Anexo 5: Plano de Aulas da Fundação Getulio Vargas de São Paulo (FGV-SP)