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“LOB1053 - FÍSICA III“
Prof. Dr. Durval Rodrigues Junior
Departamento de Engenharia de Materiais (DEMAR)Escola de Engenharia de Lorena (EEL)
Universidade de São Paulo (USP)Polo Urbo-Industrial, Gleba AI-6 - Lorena, SP 12600-970
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULOEscola de Engenharia de Lorena – EEL
Rodovia Itajubá-Lorena, Km 74,5 - Caixa Postal 116CEP 12600-970 - Lorena - SP Fax (12) 3153-3133Tel. (Direto) (12) 3159-5007/3153-3209
USP Lorenawww.eel.usp.br
Polo Urbo-Industrial Gleba AI-6 - Caixa Postal 116CEP 12600-970 - Lorena - SP
Fax (12) 3153-3006Tel. (PABX) (12) 3159-9900
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UNIDADE 8 –
CAMPOS MAGNÉTICOS PRODUZIDOS POR CORRENTES
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Lei de Biot - Savart
AmT1026,1
AmT104 67
0⋅
×≈⋅
×= −−πμ
o campo magnético produzido por cargas em movimento (correntes) é:
De maneira análoga à que o campo elétrico produzido por cargas é:
rrdqr
rdqEd rr
30
20 4
1ˆ4
1πεπε
==
onde é um elemento de comprimento sobre a linha de corrente, é um vetor que vai de até o ponto P e
ldr
lidr
34 rrlidBd orr
r ×=
πμ
rr
é a permeabilidade do vácuo.
Edr
Bdr
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Campo num ponto P qualquer
∫×
=C r
rlidB 20 ˆ
4
rr
πμ
x
z
lidr
P
rr
⊗ Bdr
y
C
(Lei de Biot-Savart)
34 rrlidBd orr
r ×=
πμ
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Linhas de Campo MagnéticoAs linhas de campo magnético são linhas a partir das quais
pode-se visualizar a configuração do campo magnético de uma dada distribuição de correntes no espaço. No entorno de um fio longo transportando uma corrente, elas são da forma:
Observe que as linhas de são fechadas.Br
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Campo magnético de um fio retilíneo
2
sin4 r
dsidB o θπμ
=
222 sRr +=
Integrando-se em tem-se:
== ∫ θθθθ
πμπ
dRRiB 22
2
0
0
sin/sin/sin
4
θθ
θ dRdssR
2sintan =→−=
RiB
πμ
40=
θ
(fio semi-infinito)
Ri
πμ
20
A lei de Biot-Savart 34 rrlIdBd orr
r ×=
πμ
Mas:
se reduz a:
Sentido do campo : dado pela regra da mão direita (ver figura)
Br
longo com corrente i
Bv
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⊥Bdr
⊥+= BdBdzBdrrr
||)(
∫∫ == αcos)( || dBdBzB
)90(sin4
02
0
rdsidB
πμ
=
22222 cose
zRR
rRzRr
+==+= α
Substituindo essas três relações na integral de B(z) tem-se:
∫∫ +==
espira
dszR
iRdBzB 2/3220
|| )(4)(
πμ
2/322
20
)(2)(
zRiRzB+
=μ
Campo magnético de uma espira
Como a soma vetorial dos se anula:
O campo de uma espira de corrente não tem simetria suficiente para ser calculado pela lei de Ampère. Usaremos a lei de Biot-Savart paracalcular em pontos do eixo central da espira.B
r
Temos:
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Campo magnético de uma espira
2/322
20
)(2)(
zRiRzB+
=μ
30
2)(
zNiAzB
πμ
=
3
20
2)(
zRizB μ
≈
30
2)(
zzB μ
πμ rr
=
Para pontos afastados ( ):Rz >>
(A espira se comporta como um ímã)
Lembrando que é a área da espira e é o seu momento magnético:
AR =2π niA ˆ=μr
Vimos:
≈
onde N é o número de espiras.
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Força entre dois condutores com correntes
abbba BldiFdrrr
×=
A corrente do fio a gera um campo na posição do fio b:
O fio a produz no fio b uma força dada por:
)(4 30 ∫∫∫
××==
a
a
bb
ab
b rrldldiiFdF
baba
rrrrr
πμ
Para dois fios paralelos, a força sobre um comprimento L do fio b vale:
abba BLiFrrr
×=
== oab
ba BiL
F 90sindii ab
πμ2
0
Esta expressão possibilita a definiçãodo ampère.
diB a
a πμ2
0=∫×
=a
aaa r
rldiB 20 ˆ
4
rr
πμ
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Canhão sobre trilhos
• Força magnética como acelerador de projéteis
Corrente percorre os trilhos condutores ligados por um fusível condutor que se funde ao se estabelecer corrente criando um gás condutor.
A expansão do gás empurra o projétil!
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Exemplo
• Intensidade de cada campo:
• Módulo de
• A fase
• faz um ângulo com o eixo x dado por :
2,1,45cos2 0
0 == nd
iB nn π
μ
μT190T1089,145cos2
422
210
0 ≈×=+= −iid
Bπ
μ
0
2
1 25A32A15arctanarctan =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=
BBφ
00 7045 =+φ
Dois fios transportam correntes i1 e i2 em sentidos contrários. Obter a intensidade , direção e sentido de em P. Adote i1 =15A, i2 =32A e d=5,3cm.
Br
Br
Br
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Exemplos
Ex. 1) Sustentação de fios percorridos por corrente.
Ex. 2) Campo criado por dois fios paralelos percorridos porcorrentes opostas.
Ex. 3) Ex. 13, pg. 215, Halliday, Física 3, 4ª edição.
Ex. 4) Ex. 31, pg. 216, Halliday, Física 3, 4ª edição.
Ex. 5) Campo devido a uma corrente em um arco circular (seguindo o ex. 4 anterior, próximo slide).
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devido a uma corrente em um arco circular
• campo magnético no ponto C
• para os segmentos 1 e 2 da figura (a) é nulo (vetoresparalelos e anti-paralelos)
• no segmento 3 são perpendiculares entre si.
RiBπφμ
40=
rsd vr×
rsd vr e
φ
Br
onde é o ângulo subentendidopelo arco.
,
Neste caso:
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A Lei de AmpèreCircuitação de um campo vetorial
• Cada linha de é uma curva fechada.• A determinação de pode ser feita em termos da sua
circuitação.
dlrddlrd φθθφ =⇒= coscos
ididrridBrBdl
C0
00
22cos μφ
πμφ
πμφθ ==== ∫∫∫∫
RIB
πμ
20=Intensidade de :
∫∫ =⋅CC
BdlldB θcosrri
θ θφd
Br
Br
BrB
r
rrldr
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A Lei de Ampère
A lei de Ampère é geral, mas a sua utilidade no cálculo docampo magnético devido a uma distribuição de correntesdepende da simetria do problema.
envoC
ildB μ=⋅∫rr
)(cos 21021 iiBdliiiC
env −=⇒−= ∫ μθ
Da figura ao lado tem-se:
Então:
( )21 iildB oC
−=⋅∫ μrr
(lei de Ampère)
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Campo magnético fora de um fio retilíneo
0011
cos iBdlldB μθ ==⋅ ∫∫rr
1cos00 =⇒= θθ
possui simetria cilíndrica em torno do fio e a mesma intensidade em todos os pontos a uma distância r do mesmo.
é paralelo a
)2(cos11
rBdlBBdl πθ == ∫∫
rIB
πμ2
00=Da lei de Ampère: (fora do fio)
Br
ldr
Br
longo com corrente
Curva 1 ( r>R ):
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Campo magnético no interior de um fio
Curva 2 (
)2(cos22
rBdlBBdl πθ == ∫∫
A corrente envolvida pela curva 2(de raio r) é:
))( 22
02env r(
RIrji π
ππ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
⇒== 2
2
000)2(RrIirB env π
πμμπ (dentro do fio)
O sentido de é dado pela regra da mão direita.
Rr ≤
rRIB 2
00
2πμ
=
Br
longo de raio R
:)
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Gráfico da intensidade de de um fio
• Para
• Para
Rr ≤
Rr ≥
rRiB 2
0
2πμ
=
riB
πμ
20=
Br
:
:
retilíneo longo com corrente
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Solenóides e Toróides
• Um fio longo enrolado formando uma bobina em espiral é chamado de solenóide.
• O campo magnético do solenóide é a soma vetorial dos campos produzidos por cada uma das voltas do fio que o forma.
Solenóide compacto Solenóide esticado
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Solenóides e ToróidesO campo no interior de um solenóide é praticamente uniforme. As
figuras abaixo mostram um solenóide ideal e um solenóide real. Em ambos os casos os campos fora do solenóide são fracos, em comparação com os do interior.
Aplicando-se a lei de Ampère à curva abcd, havendo N voltas num comprimento h do solenóide:
env
b
a
c
b
d
c
a
dC
ildBldBldBldBldB 0μ=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅ ∫ ∫ ∫ ∫∫rrrrrrrrrr
)(0 nhiienv =
00inB μ=
;
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ = espiras de densidade a é
hNn
=0 =0 =0)( nhiBh 00μ=
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Campo de um Toróide
NIldBC
0μ=⋅∫rr
)2( rBldBC
π=⋅∫rr
)( toróider2INB 0
πμ
=
A figura mostra o enrolamento de um toróide de N voltas, transportando uma corrente I. é diferente de zero apenas no interior do toróide. Sua intensidade varia com r.
Aplicando-se a lei de Ampère para a curva tracejada em azul, tem-se:
Br
nr
N≈
π2Note que como , esta expressão é parecida à do campo de
um “solenóide enrolado”.
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Exemplos
Ex. 1) Tira condutora (Ex. 2, pg. 199, Halliday, Física 3, 4ª ed.).
Ex. 2) Ex. 12, pg. 215, Halliday, Física 3, 4ª edição.