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Universidade do Grande Rio Prof. José de Souza Herdy – UNIGRANRIO CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE CIÊNCIAS NA EDUCAÇÃO BÁSICA GESSÉ PEREIRA FERREIRA A VIABILIDADE DO ENSINO DE MATEMÁTICA DISCRETA NO ENSINO MÉDIO USANDO MODELAGEM DUQUE DE CAXIAS 2009

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Universidade do Grande Rio Prof. José de Souza Herdy – UNIGRANRIO

CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE CIÊNCIAS NA

EDUCAÇÃO BÁSICA

GESSÉ PEREIRA FERREIRA

A VIABILIDADE DO ENSINO DE MATEMÁTICA DISCRETA NO ENSINO MÉDIO USANDO MODELAGEM

DUQUE DE CAXIAS 2009

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Universidade do Grande Rio Prof. José de Souza Herdy – UNIGRANRIO

CURSO DE MESTRADO EM ENSINO DE CIÊNCIAS NA

EDUCAÇÃO BÁSICA

GESSÉ PEREIRA FERREIRA

A VIABILIDADE DO ENSINO DE MATEMÁTICA DISCRETA NO ENSINO MÉDIO USANDO MODELAGEM

DUQUE DE CAXIAS

2009

Dissertação apresentada à Universidade do Grande Rio “Prof. José de Souza Herdy”, como parte dos requisitos parciais para a obtenção do grau de mestre em Ensino das Ciências na Educação Básica. Orientadores: Abel Rodolfo Garcia Lozano Jacqueline de Cássia P. Lima

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CATALOGAÇÃO NA FONTE/BIBLIOTECA – UNIGRANRIO

F383v Ferreira, Gesse Pereira. A viabilidade do ensino de matemática discreta no ensino médio usando

modelagem / Gesse Pereira Ferreira. - 2009. 94 f. : il. ; 30 cm.

Dissertação (mestrado em Ensino de Ciências na Educação Básica) – Universidade do Grande Rio “Prof. José de Souza Herdy”, Escola de Educação, Ciências, Letras, Artes e Humanidades, 2009.

“Orientador: Prof. Abel Rodolfo Garcia Lozano.” “Co-Orientadora: Prof.ª Jacqueline de Cássia P. Lima.” Bibliografia: p. 74.

1. Educação. 2. Educação básica - Recursos de rede de computadores. 3. Matemática – Estudo e ensino. 4. Modelos matemáticos. 5. Teoria dos grafos. 7. Computação - Matemática. I. Lozano, Abel Rodolfo Garcia. II. Lima, Jacqueline de Cássia P. III. Universidade do Grande Rio “Prof. José de Souza Herdy”. IV. Título. CDD –370

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.

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Aos meus irmãos, Josenilton Ferreira e Dailva Ferreira, pela

compreensão da minha ausência nos momentos em família.

Ao meu amigo e irmão Willian da Silva Leal.

A Bruna Moreira Gonzalez e a Damiana Pereira Ferreira,

minha mãe, pelo amor e apoio incondicional.

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AGRADECIMENTOS

Aos meus orientadores

Abel Lozano

Jacqueline de Cássia

Aos professores do Mestrado

Clícia Valladares, Haydéia Reis e Wilma de Lima

Aos amigos

Ângelo dos Santos Siqueira, Josias Pereira Miranda,

Márcio Vinícius do Rosário Hilário e Zenildo Buarque de Morais Filho.

Aos amigos do Grupo de Estudo

Clailton Cordeiro, José Carlos G. Gaspar e Carlos Creppe.

Às pessoas que de alguma forma contribuíram para o acontecimento desta pesquisa

Adilson Manoel, Adriana Curvello, Ana Cristina, Geovane André, Ítalo Gato,

Lacêni Frazão, José Wilson, Junior Garcia, Marcelo Moura,

Maria de Fátima, Maximiliano Augusto, Miguel Puggian, Mônica Cardoso, Nuno José,

Renata Gonzalez, Roberto Mendonça, Sérgio Pessoa, Tina Pacheco e Valter Mattos.

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“O temor ao Senhor é o princípio do conhecimento, mas os loucos desprezam a sabedoria e a instrução”.

Pv 1:7

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RESUMO

O avanço tecnológico e o surgimento de uma sociedade virtual juntamente com a rapidez da comunicação convergem para uma mudança no ensino da Matemática. A Matemática Discreta, então, assume um papel importante dentro da nova ordem mundial, já que o computador, peça chave dessa revolução informática, apresenta estruturas finitas. Com isso, o objetivo principal desta pesquisa é mostrar a viabilidade do ensino de Matemática Discreta no Ensino Básico usando Modelagem Matemática como ferramenta de ensino-aprendizado, tendo como referenciais teóricos artigos, teses e outros trabalhos que apresentam argumentações em defesa da necessidade de se trabalhar com modelagem matemática e modelos discretos no ensino. Dentre tópicos da Matemática Discreta, escolhemos a Teoria dos Grafos justamente por ser um tema ligado a necessidade atual dos computadores. Além disso, está sendo utilizada largamente em pesquisas operacionais, podendo também ser explorada na matemática das séries inicias. O estudo aqui apresentado enumera características qualitativas, devido à interpretação/análise da participação dos alunos durante o processo tendo por objetivo investigar as possibilidades de se promover uma mudança no currículo da matemática pré-universitária e embora tenha testado uma nova teoria no âmbito da Educação Básica (a Teoria dos Grafos), os dados coletados não são analisados com procedimentos estatísticos, não possuindo, dessa forma, características quantitativas. A população alvo constituiu-se de alunos dos 1.º e 2.º anos do Ensino Médio, matriculados em dois estabelecimentos de ensino, situados em Duque de Caxias, um dos municípios do estado do Rio de Janeiro. .

PALAVRAS-CHAVE: Educação Matemática, Modelagem Matemática, Matemática Discreta e Teoria dos Grafos.

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ABSTRACT

The Advanced Technology and the appearing of a virtual society with “fast communication” converge to a Mathematics teaching changing. The Discret Mathematics assume an important role in the new world order, because computer, the key of informatics revolution has finite structures. However, the principal objective of this research is to show the feasibility of teaching of Discret Mathematic in Basic Teaching using Modeling Mathematics as a tool of learning-teaching with theoric references: articles, theses and others papers that presents argumentations in necessity defense of work with Modeling Mathematics and discret models in education. Among topics of Discret Mathematics, we chose the Graph theory just because it is a topic on the current need of computers. Moreover, it is being used widely in operations research and it may be exploited in Maths of initials series. The study presented here lists qualitative character due comprehension/analysis of student participations during the process it has the objective to investigate the possibilities of promoting a changing in the curriculum of Early Universitarian Mathematics and though it has tested a new theory in the ambit of Basic Education (Graphs Theory), the collected data aren’t analyzed with static procedures; this way, they don’t have qualitative characters. The target population consisted of students of 1st and 2nd stage of High School, maticulated in two schools, located in Duque de Caxias, one of Rio de Janeiro’s cities.

Key words: Mathematics Education, Mathematics Modeling, Discret Mathematics, Graphs Theory.

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Lista de Abreviaturas e Siglas

CEFET Centro Federal de Educação Tecnológica.

CREMM Centro de Referência de Modelagem Matemática no Ensino.

CNMEM Conferência Nacional sobre Modelagem na Educação Matemática.

CVM Centro Virtual de Modelagem.

EM Educação Matemática.

ENEM Encontro Nacional de Educação Matemática

GT10 Grupo de Trabalho de Modelagem Matemática.

IFRJ Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio de Janeiro.

LDB Lei de Diretrizes e Base da Educação Nacional.

PCNs Parâmetros Curriculares Nacionais.

SBEM Sociedade Brasileira de Educação Matemática.

SIPEM Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática.

UEFS Universidade Estadual de Feira de Santana.

UFMG Universidade Federal de Minas Gerais.

UFSC Universidade Federal de Santa Catarina.

UNIGRANRIO Universidade do Grande Rio.

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SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 12

2 MODELOS MATEMÁTICOS AO LONGO DA HISTÓRIA

2.1 Arquimedes e a Coroa do Rei Hieron ............................................................................... 16

2.2 O Modelo Planetário de Cláudio Ptolomeu ...................................................................... 19

2.3 O Problema das Pontes de Königsberg.............................................................................. 22

3 TENDÊNCIAS DA MODELAGEM MATEMÁTICA NO ENSINO

3.1 A Intensificação da Criação de Modelos e o Surgimento da Matemática Aplicada.......... 27

3.2 Tendências da Modelação Matemática no Brasil .............................................................. 29

4 MATEMÁTICA DISCRETA E CONCEITOS BÁSICOS DA TEORIA DOS GRAFOS

4.1 A importância da Matemática Discreta no Ensino ............................................................ 33

4.2 Introdução ao estudo dos Grafos ........................................................................................ 37

5. PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

5.1 Metodologia ...................................................................................................................... 43

5.2 População Alvo ................................................................................................................ 44

5.3 Participantes ..................................................................................................................... 45

5.4 Coleta de dados ................................................................................................................. 46

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6. ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DOS DADOS COLETADOS

6.1 Primeiro Momento – Apresentação do Problema Motivador............................................ 48

6.2 Segundo Momento – O Conceito de Modelação Matemática é Inserido.......................... 54

6.3 Terceiro Momento – Apresentação das Noções Básicas de Grafos .................................. 61

6.4 Quarto Momento - Retomada dos Problemas sob a Ótica dos Grafos................................64

6.5 Quinto Momento – Encerramento da Oficina ................................................................... 70

7.CONSIDERAÇÕES FINAIS .............................................................................................. 73

8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................ 74

APÊNDICE I – Problema 1..................................................................................................... 78

APÊNDICE II – Problema 2 ................................................................................................... 80

APÊNDICE III – Problema 3 .................................................................................................. 82

APÊNDICE IV – Problema 4.................................................................................................. 84

ANEXO I – Distância entre as Capitais Brasileiras ................................................................ 90

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1. Introdução

Se quiséssemos fazer uma divisão da matemática nos dias atuais poderíamos dividi-

la em dois domínios: o Contínuo e o Discreto. Dessa forma, não seria nenhum exagero

afirmar que os números reais estão para a Matemática Contínua assim como os inteiros estão

para a Matemática Discreta. Esta última vem ganhando cada vez mais importância,

principalmente em função do uso intenso dos computadores que, por sua vez, tratam

estruturas finitas.

Consideramos que o crescente uso dos instrumentos digitais e dos computadores em

várias atividades do cotidiano, como em uma simples operação bancária realizada em um

“caixa eletrônico”, por exemplo, bem como a maneira rápida com que se popularizou o uso

desses mecanismos, principalmente nos últimos vinte anos, vem orientando, de certa forma,

para um ensino que esteja mais atento com os aspectos processuais dessa ciência.

Dentre tópicos da Matemática Discreta como Análise Combinatória e Probabilidade,

que já fazem parte do currículo da Educação Básica, escolhemos a Teoria dos Grafos

justamente por ser um tema ligado à necessidade atual dos computadores.

Utilizada largamente em pesquisas operacionais, como problemas de redes de

computadores, redes de energia elétrica, distribuição de bens e serviço, escalonamento de

tripulações e outros, a Teoria dos Grafos pode também ser explorada na Matemática das séries

inicias do Ensino Fundamental.

Alguns problemas que envolvem grafos são adaptáveis ao propósito de exemplificar,

em sala de aula, atividades de modelagem, especialmente modelos discretos. Além disso, é

oportuno o uso dos grafos na Educação Básica, pois, suas aplicações exigem menos condições

matemáticas para utilização ou abordagem de situações-problema.

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Os grafos também podem ser utilizados na modelagem de problemas do cotidiano do

aluno e para inclusão de novas possibilidades de uso das novas tecnologias, contribuindo para

uma transversalidade e para que o educando entenda a importância da Matemática no

desenvolvimento tecnológico e científico.

A intensificação do ensino da Matemática Discreta na Educação Básica já é

defendida há algum tempo por vários países do mundo inclusive pelos Estados Unidos e

França. No Brasil, várias pesquisas vêm sendo feitas com o mesmo intuito, principalmente

nestes primeiros anos do século XXI.

Destacamos que para uma nação que pensa em melhorar o seu sistema educacional,

atentar-se às mudanças que ocorrem nos sistemas educacionais dos outros países é importante,

pois, através da pesquisa, poderemos adaptar teses relevantes que sejam favoráveis à realidade

e ao desenvolvimento do Brasil.

Vale ressaltar que a inclusão de novos temas pode agravar um problema já

conhecido: a quantidade excessiva de conteúdos no currículo da Matemática na Educação

Básica que cria uma dificuldade para docentes e discentes elegerem os conteúdos

considerados fundamentais.

Sendo assim, temos questões relevantes a considerar: é possível inserir mais temas

de Matemática Discreta no atual cenário da educação brasileira? Sendo possível, qual a

melhor ferramenta de ensino–aprendizagem para inserção desses tópicos?

Uma solução paliativa pode ser a construção de oficinas onde novos conceitos

possam ser experimentados, de forma que, principalmente professores e alunos, possam ter

acesso às novas teorias a fim de que se promova uma mudança de forma gradativa e prudente,

com a participação de todos os envolvidos com a educação.

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A necessidade de que a escola adote novos conteúdos - não significando a exclusão

de todos os conteúdos existentes - passa a ser fundamental para uma diminuição na dicotomia

entre o currículo abordado em sala de aula e a realidade enfrentada pelos alunos em seu dia a

dia.

A Modelagem Matemática é uma importante ferramenta para introdução de novos

tópicos em sala de aula. Além disso, é ideal para a implantação das idéias

socioconstrutivistas, em que a aprendizagem de uma nova teoria matemática é feita pela

introdução de uma situação-problema.

Nesse sentido, esta pesquisa é importante, pois seus resultados poderão servir como

referencial teórico para a agregação de conteúdos, na Educação Básica, que possam se

adequar mais à realidade atual. Para isso, partimos da hipótese de que é possível inserir temas

de Matemática Discreta no currículo do Ensino de Matemática na Educação Básica, usando

como principal ferramenta de ensino-aprendizagem a Modelação Matemática.

Divulgar a idéia central e alguns conceitos básicos sobre grafos, reforçar o uso de

modelação matemática, além de mostrar a viabilidade do ensino de Matemática Discreta no

Ensino Médio usando Modelagem Matemática são os objetivos desta pesquisa que, para

tornar a leitura mais agradável, está sendo dividida em capítulos.

Esclarecemos que em nenhum momento tivemos a intenção de aprofundarmos

estudo da Teoria dos Grafos e de nenhum outro tópico da Matemática abordado em nossa

investigação. Desta forma, dispensamos as demonstrações dos teoremas e das propriedades

que são citadas durante o desenvolvimento de todo o trabalho.

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2. Modelos Matemáticos ao longo da História

Grande parte do currículo abordado em matemática se desenvolveu, e ainda se

desenvolve, na tentativa de se resolver algum tipo de situação problema. Dessa forma, não

seria exagero afirmar que o processo de modelagem matemática já é praticado desde o início

da própria matemática. Para Biembengut e Hein (2003) “a modelagem é tão antiga como a

própria matemática, surgindo de aplicações na rotina diária dos povos antigos” (p.8).

Segundo Bassanezi (2006), um dos pioneiros em pesquisas sobre modelagem matemática no

ensino no Brasil, “modelagem matemática consiste na arte de transformar problemas da

realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem

do mundo real” (p.16). Outros pesquisadores apresentam definições mais específicas sobre

modelagem matemática: Barbosa (2007), por exemplo, com um enfoque para a Educação

Matemática, conceitua modelagem matemática como “um ambiente de aprendizagem em que

os alunos são convidados a investigar, por meio da matemática, situações com referência na

realidade” (p. 161).

Para tentarmos mostrar a veracidade da proposição feita por Maria Salet

Biembengut e Nelson Hein vamos apresentar três situações da História da Matemática (e por

que não dizer: da humanidade), em que podemos observar claramente o uso da modelagem

matemática para resolver uma situação problema. A primeira acontece durante a Antiguidade,

com a participação de Arquimedes de Siracusa; a segunda, no início da era Cristã, mas ainda

na Antiguidade, no século II, envolve Klaudius Ptolemaios; e a terceira, durante a Idade

Moderna1, tem, no elenco, a figura ímpar na História da Matemática de Leonhard Euler.

1 Para fins didáticos, a Idade Antiga ou Antiguidade é computada de cerca de 4.000 a.C. até 476 d.C., quando ocorre a queda do Império Romano do Ocidente e a Idade Moderna, vai de 1453 até 1789, com o advento da Revolução Francesa.

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É claro que poderíamos sugerir outras situações envolvendo modelagem matemática.

Situações, inclusive, anteriores a de Arquimedes de Siracusa. No século V a.C., por exemplo,

os egípcios, segundo o grego Heródoto2, usavam conceitos de geometria plana para que, após

as enchentes do rio Nilo, os agrimensores determinassem a redução sofrida pelo terreno,

passando o proprietário a pagar um tributo proporcional ao que restara. Eventos como esse,

em que se usa Matemática como ferramenta na solução de algum problema do cotidiano, são

comuns na história antiga da Matemática.

2.1 Arquimedes e a Coroa do Rei Hieron

Arquimedes nasceu em 287 a.C., na cidade de Siracusa, Sicília. É considerado o

maior matemático da Antiguidade. Para Aaboe (2002) “nenhum tratado de matemática

clássica supera os trabalhos de Arquimedes” (p. 93). Suas contribuições, não só em

matemática, mas também em física, foram tão importantes que o colocou no rol dos três

maiores matemáticos de todos os tempos, juntamente com o inglês Isaac Newton (1642-1727)

e o alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Segundo Garbi (2007) “a humanidade teve que

esperar dezenove séculos para que, com Newton, surgisse alguém que a ele pudesse ser

comparado” (p. 80).

Entre os vários trabalhos publicados por Arquimedes, existe o tratado Sobre os

Corpos Flutuantes, onde é encontrado o que hoje conhecemos como Teorema ou Princípio de

Arquimedes. Nesse trabalho, ele afirma que “todo corpo mergulhado em um fluido recebe um

empuxo3, de baixo para cima, igual ao peso do volume do fluido deslocado”. Nesse tratado,

segundo Boyer (1996), Arquimedes, “começando com um simples postulado, sobre a natureza

2 Heródoto viveu no século V a.C. e é considerado o Pai da História.3 Empuxo é a força, de sentido para cima, que o líquido exerce no corpo imerso em um líquido.

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da pressão dos fluidos, obtém resultados muitos profundos” (p. 84), como o teorema

supracitado.

Em uma obra notável sobre Arquitectura dividida em dez livros, sem uma data

precisa, Marcus Vitrúvio Pollio4, engenheiro e arquiteto romano que viveu no século I a.C.,

relata, no livro IX que trata de materiais de construção, de obras de edifícios públicos, de

decorações, de hidráulica e de máquinas acompanhando as noções práticas da teoria

correspondente, como Arquimedes teria descoberto o seu Princípio:

Hieron de Siracusa tendo chegado ao poder real, decidiu colocar em um templo, por causa de seus sucessos, uma coroa de ouro que havia prometido aos deuses imortais. Ofereceu assim um prêmio pela execução do trabalho e forneceu ao vencedor a quantidade de ouro necessária, devidamente pesada. Este, depois do tempo previsto, submeteu seu trabalho, finalmente manufaturado, à provação do rei e, com uma balança fez uma prova do peso da coroa. Quando Hieron soube, através de uma denúncia, que certa quantidade de ouro havia sido retirada e substituída pelo equivalente em prata, incorporada ao objeto votivo, furioso por haver sido enganado, mas não encontrando nenhum modo de evidenciar a fraude, pediu a Arquimedes que refletisse sobre isso. E o acaso fez com que ele fosse se banhar com essa preocupação em mente e ao descer à banheira, notou que, à medida que lá entrava, escorria pra fora uma quantidade de água igual ao volume do seu corpo. Isso lhe revelou o modo de resolver o problema. Sem demora, ele saltou cheio de alegria para fora da banheira e completamente nu, tomou o caminho de sua casa, manifestando em voz alta para todos que havia encontrado o que procurava. Pois em sua corrida ele não cessava de gritar: encontrei, encontrei... (MARTINS, 2000. p. 117)

Embora muitos autores considerem a história narrada por Vitrúvio como lenda

(talvez pelo fato de que em nenhuma obra de Arquimedes tal situação seja mencionada),

vamos mostrar, em uma linguagem matemática moderna, como Arquimedes pode ter

resolvido o problema, já que a sugerida na obra de Vitrúvio apresenta algumas falhas e é vista

4 Um pequeno trecho sobre a vida de Vitrúvio é encontrado no livro do português Fernando de Almeida e Vasconcellos chamado de História das Matemáticas na Antiguidade. Esta obra foi publicada em 1925. Vasconcellos, Coronel de Engenharia, foi professor de Cálculo Diferencial e Integral e de Probabilidade da Universidade de Lisboa.

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por muitos físicos (inclusive Galileo Galilei)5, como grosseira e muito longe de perfeição, e

que por isso não poderia ter sido essa a solução dada pelo gênio Arquimedes6.

Seja 1P o peso da coroa medido no ar, com 1P x y , onde x é a quantidade de

ouro e y a quantidade de prata.

E, 2P o peso da coroa mergulhada na água, com 2

x yP

d

, onde d R e 0.d

Ora, de fato 1P > 2P , por causa do empuxo.

Suponhamos agora, um bloco de ouro com peso 1A igual ao da coroa medidos no ar.

Daí, 1A nx , com 1 1A P e n R .

Segue-se que, medindo o bloco de ouro, mergulhado na água, encontramos um

peso 2A tal que, 2 '

nxA

d , com 'd R e ' 0d .

Analogamente, temos 1A > 2A .

As aferições foram feitas para que pudéssemos chegar a uma das conclusões:

1.º - Se os volumes fossem iguais os empuxos também o seriam e, portanto, 2A = 2P . Nesse

caso a denúncia seria falsa.

2.º - Se a coroa contiver prata, então seu volume será maior do que do bloco de ouro puro e o

empuxo também será maior. Com isso 2A > 2P . Nesse caso, estaria provado o furto do

ourives.

5 Galileo Galilei (1564-1642), notável cientista italiano, fez descobertas fundamentais no campo da Física e da Astronomia, revolucionando a ciência de sua época.6 Essa solução é bastante questionada. Maiores detalhes poderão ser encontrados no artigo escrito por Roberto de Andrade Martins intitulado Arquimedes e a coroa do rei: problemas históricos, que pode ser encontrado no sítio http://www.fsc.ufsc.br/ccef/port/17-2/artpdf/a1.pdf.

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Vale a pena acrescentar que, construindo um bloco de prata com o mesmo peso da

coroa, medidos no ar, poderíamos descobrir a proporção de prata usada pelo ouvires com uma

boa aproximação (através da resolução de um sistema de equações).

Lenda ou não, o fato é que, através de um modelo matemático, Arquimedes resolveu

uma situação problema que, aparentemente, não tinha nada a ver com mundo da matemática.

O tipo de modelo usado por Arquimedes, está inserido, nos dias de hoje, no campo da

Matemática Contínua, que descreveremos com mais detalhes posteriormente neste trabalho. É

importante acrescentar que, segundo Martins (2000), “o conhecimento científico atual pode

ser necessário para reconstruir o objeto de investigação” (p. 120). O gênio Arquimedes foi

morto em 212 a.C. em Siracusa, Sicília.

2.2 O Modelo Planetário de Cláudio Ptolomeu

Entre as diversas definições que podemos encontrar sobre o conceito de modelo

matemático, vamos adotar aqui a sugerida por Lima Filho (2008): “um modelo matemático é

uma representação aproximada e seletiva (respectivamente, em termos matemáticos) de uma

dada situação” (p. 16). Um exemplo de modelo matemático marcante é o modelo Geocêntrico

do Sistema Planetário apresentado por Ptolomeu no século II d.C. O sistema dominou a

astronomia durante quatorze séculos até ser refutado por Nicolau Copérnico7 (1473-1543) e

seu sucessores.

Klaudius Ptolemaios (c. 85 d.C. – 165 d.C.), que latinizado virou Claudius

Ptolemaeus e atualmente é conhecido como Cláudio Ptolomeu, foi matemático, astrônomo e

7 Astrônomo polonês estudou na Universidade de Cracóvia, Polônia. Conseguiu provar, matematicamente, a teoria do modelo heliocêntrico, mas não conseguiu apoio de quase ninguém; na época, o sistema de Ptolomeu e as idéias de Aristóteles eram doutrinas estabelecidas tanto na religião como na filosofia.

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geógrafo grego. Assim como Euclides de Alexandria8, pouco se sabe sobre sua vida, mas

acredita-se que tenha vivido também em Alexandria durante o segundo século d.C. Segundo

Boyer (1996), “Ptolomeu fez observações em Alexandria de 127 a 151 d.C. e por isso

supomos que nasceu pelo fim do primeiro século. Suidas, escritor que viveu no século dez,

diz que Ptolomeu viveu ainda sobre Marco Aurélio (imperador de 161 a 180 d.C.)” (p. 112).

Entre as obras publicadas por Ptolomeu vamos destacar a que os historiadores

consideram como a mais importante: O Almagesto. Composta por treze livros, a Síntese

Matemática, que os árabes traduziram chamando-a Al-Midschisti (do grego Megistos, “muito

grande”) donde derivou o nome Almagesto ou obra muito grande, é, segundo Vasconcellos

(1925), “uma enciclopédia das aplicações da Geometria à Astronomia, constituindo, como

depósito das observações dos antigos” (p. 470).

Ao contrário de Euclides, Ptolomeu faz uso do que conhecemos hoje como referência

bibliográfica, sendo as obras de Hiparco9 sua principal ferramenta matemática. Garbi (2007)

afirma que “Ptolomeu foi extremamente cuidadoso em seu celebre tratado, fazendo

referências minuciosas a seus antecessores (o que nos permitiu conhecer bastante da antiga

astronomia grega)” (p. 111).

No livro I do Almagesto, Ptolomeu marca a posição da Terra usando resultados de

Hiparco e considerando-a imóvel. Em seguida, com a Terra como centro do Universo,

distribui os corpos celestes, que giravam em torna dela, na seguinte ordem: Lua, Mercúrio,

Vênus, Sol e Marte. Os corpos, com exceção da Lua e do Sol que não possuíam epiciclo,

executavam basicamente dois movimentos:

Epiciclo: um pequeno círculo imaginário da esfera celeste, cujo centro se

encontrava na circunferência de um outro círculo;

8 Euclides (c. 330 a.C. – 275 a.C.) autor de Elementos, obra em treze livros dedicados à Matemática. Elementos de Euclides, possui uma parte direcionada a teoria dos números, mas o ponto forte da obra é a geometria, com 5 postulados e 467 teoremas.9 Geômetra e Astrônomo, Hiparco de Nicéia (c. 180 a.C. – 125 a.C.) é considerado o criador da Trigonometria.

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Deferente: o círculo imaginário descrito pelos corpos celestes em seus

movimentos em volta da Terra.

A figura abaixo é um esboço10 do sistema de Ptolomeu:

Ilustração 2.1 – Sistema Planetário de Ptolomeu

Embora Aristarco11 já tivesse defendido a tese de que a Terra estivesse em rotação

em torno de si mesma e, ao mesmo tempo, em torno do Sol, todas as atenções estavam

voltadas para o modelo Geocêntrico, defendido pelo grande filósofo Aristóteles12 e indo ao

encontro dos ideais teológicos da época que recusava qualquer sistema em que a Terra não

tivesse posição de destaque como centro do Universo.

No Almagesto, Ptolomeu elevou a astronomia matemática a uma posição nunca antes

alcançada, seguindo as idéias da escola pitagórica segundo a qual “os fenômenos naturais

podem ser descritos e previstos matematicamente”. A obra apresenta também, várias 10 Esboço retirado do sítio http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm14/Ptolemy.htm.11 Aristarco de Samos (c. 310 a.C. -230 a.C.), um dos pioneiros do heliocentrismo e o primeiro a calcular as distâncias entre o Sol, a Terra e a Lua.12 Aristóteles (384 a.C. – 322 a.C.) filósofo grego, fundou a lógica sendo um dos primeiros a elaborar um sistema filosófico dos corpos e do mundo físico que o cercava. Para Aristóteles, toda e qualquer matéria era composta de quatro elementos: Terra, Água, Fogo e Ar. Aristóteles defendia que os planetas, o Sol e a Lua giravam em torno da Terra em órbitas circulares e a Terra não se movia.

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contribuições para a trigonometria como o conceito do seno, valor aproximado de ,

resolução de triângulos esféricos e triângulos retilíneos. Estuda ainda a teoria dos eclipses, a

teoria dos planetas e apresentando, na época, um catálogo das estrelas.

A contribuição de Ptolomeu é tão importante que figura também entre os modelos do

universo, juntamente com os modelos de Newton e Einstein13, como mostra a tabela abaixo

destacada em Lima Filho (2008):

MODELO ÉPOCA TIPO DISCIPLINA EM QUE SE BASEIA

Babilônicos 2 000 a.C. Aritmético (estático) Aritmética

Ptolomeu Séc. II Geométrico Geometria Euclidiana

Newton Séc. XVII Analítico Cálculo

Einstein Séc. XX Geometria-diferencial Geometria-diferencial

Para Aaboe (2002), o Almagesto, “mais do que qualquer outro livro contribuiu para a

ideia tão básica nas atividades cientificas, de que uma descrição quantitativa e matemática dos

fenômenos naturais, capaz de fornecer predições confiáveis, é possível e desejável” (p. 131).

2.3 O Problema das Pontes de Königsberg

Afirmamos no início deste trabalho que grande parte da matemática se desenvolve,

ou se desenvolveu, na tentativa de se resolver algum tipo de situação problema. Queremos

13 Albert Einstein (1879 - 1955) professor, físico e matemático alemão naturalizado norte-americano conhecido principalmente por ter desenvolvido a Teoria da Relatividade, na qual expõe a célebre equação E = mc2, pela qual a energia E de uma quantidade de matéria, com massa m, é igual ao produto da massa pelo quadrado da velocidade da luz, representada por c. Em1921 ganhou o Prêmio Nobel de Física, pelos seus serviços prestados à Física Teórica e por seus trabalhos sobre efeitos fotoelétricos.

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esclarecer ao leitor que essa situação problema não precisa ser necessariamente de cunho

científico. A teoria das probabilidades, por exemplo, teve como ponto de partida uma

correspondência entre Pascal14 e Fermat15 que tratava sobre jogo de dados. De certa forma, a

Teoria dos Grafos tem um início bastante parecido, começando como um simples problema

entre os habitantes da cidade de Königsberg que também, pelo menos à primeira vista, não se

tratava de um problema científico.

Os habitantes de Königsberg na Prússia, hoje Kaliningrad, Rússia, costumavam

passear atravessando as sete pontes que ligavam o Rio Pregel à cidade.

Ilustração 2.2 -Esquema de pontes16 da cidade de Königsberg no século XVIII

14 Blaise Pascal (1623-1662). Matemático francês; trabalhou principalmente com as cônicas e com a hidrostática. Nenhuma de suas obras foi concluída, Pascal diversificava seus interesses e não se fixava. 15 Pierre de Fermat (1601-1665). Embora não tenha sido um matemático profissional, cursou Direito em Toulouse, o francês Pierre de Fermat é tido como moderno fundador da teoria dos números, devido sua grande contribuição dentro dessa área da Matemática.16 Figura retirada do sítio http://www.mat.uc.pt/~alma/escolas/pontes/

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Durante essa caminhada um fato intrigava aos que ali faziam tal percurso: seria

possível, partindo-se de qualquer uma das regiões, margens ou ilhas, atravessar as sete pontes

do Rio Pregel, sem passar duas vezes na mesma ponte, retornado ao ponto de partida? Essa

situação problema, tratada por muitos como lenda, enigma, recreação ou ainda como “charada

matemática”, ficou conhecida como O Problema das Pontes de Königsberg e coube ao grande

matemático Leonhad Euler resolvê-la.

Euler apresentou a solução do problema a Academia de Ciências Russa de São

Petersburgo no ano de 1736. Vale ressaltar que no ano anterior, 1735, a fama de Euler

começou a se espalhar pelo mundo ao encontrar a soma da série infinita dos inversos dos

quadrados dos números naturais e em 1976, publicou Mechanica, onde apresentou a mecânica

newtoniana dentro da linguagem do Cálculo Diferencial e Integral, um verdadeiro marco na

História da Física e o primeiro, dentre muitos outros trabalhos sobre o mesmo assunto,

publicado por Euler.

Em uma linguagem moderna, poderíamos dizer que Euler criou um modelo

matemático representado por um diagrama parecido com o da figura17 abaixo:

Ilustração 2.3 – Modelo matemático das pontes da cidade de Königsberg .

17 Diagrama retirado do sítio: http://users.prof2000.pt/agnelo/grafos/pontesh.htm

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No diagrama acima temos:

A, B, C e D são os pontos associados as partes que contém terra firme, onde

A e C são as duas margens e B e D são as ilhas. Os pontos são chamados,

atualmente, de vértices;

1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são as linhas que representam as sete pontes que ligam as

ilhas as margens e as ilhas entre si (linha 6). Essas linhas são chamadas de

arestas.

Ao elevar a charada matemática a um grau de problema de matemática, Euler, como

de costume, não se contentou em simplesmente resolvê-lo, deu também um rigor a solução.

Rigor em matemática tem a ver com definições, postulados, axiomas e, principalmente, com

teoremas.

Considerando que um vértice é par ou ímpar, dependendo do número de arestas

incidentes a ele seja par ou ímpar, Euler fez as seguintes descobertas:

1. Um diagrama pode ser atravessado começando e acabando num mesmo ponto sem

passar duas vezes na mesma aresta se, e somente se, todos os vértices forem pares.

2. Um diagrama que contém, no máximo, dois vértices ímpares também pode ser

atravessado, entretanto sem voltar ao local de partida.

3. Se o diagrama contém 2n vértices ímpares, onde n é um número inteiro qualquer, para

atravessá-lo serão necessárias n passagens distintas por uma mesma linha.

Em nosso diagrama, que representa o passeio pela cidade de Königsberg, todos os

vértices são ímpares e, portanto, podemos concluir, de acordo com o exposto acima, que não é

possível efetuar todo o percurso, retornado ao local de partida, sem cruzar duas vezes a

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mesma ponte. Este resultado, formulado nos dias atuais com maior elegância, é conhecido

como Teorema de Euler e é considerado como marco inicial da Teoria dos Grafos.

São muitas as contribuições de Euler para as Ciências Exatas, especialmente a

Matemática. Para muitos historiadores seria mais justo que tivéssemos, ao invés do “Power

Trio” (Arquimedes, Newton e Gauss), “O Quarteto Fantástico” (Arquimedes, Newton, Gauss

e Euler) completando o célebre time dos maiores matemáticos de todos os tempos.

Euler escreveu mais de 900 tratados e ainda publicou vários livros e estudos.

Acredita-se que nenhum outro matemático tenha superado Euler em produção científica. Para

Garbi (2007):

Ele foi um furacão que varreu o território da Matemática durante a maior parte do século XVIII e que, nas quase seis décadas de sua vida matematicamente produtiva, dominou o cenário mundial das Ciências Exatas, sem qualquer outra das grandes figuras da época pudesse disputar o cetro. Euler é, sem dúvida e de longe, o matemático que mais obras produziu em todos os tempos, cobrindo todas as áreas então conhecidas da Matemática e criando outras que não haviam sido sequer vislumbradas por seus antecessores. (GARBI, 2008. p. 242)

Leonhard Euler nasceu em 15 de abril de 1707, na Suíça. Em 1727 chega em São

Petersburgo, Rússia. Alcança em 1733, ao 26 anos de idade, o posto máximo da área de

Matemática da Academia. Em 1741 mudou-se para Alemanha e trabalhou como matemático

da corte sem se desligar totalmente da Academia Russa, continuando a receber seu salário e a

enviar a Ela incontáveis trabalhos. Em 1776 volta para Academia de São Petersburgo, ficando

totalmente cego em 1771, ainda assim escreveu um tratado de 775 páginas sobre Cálculo

Integral, chamado Institutiones calculi integralis. Euler morreu em 18 de setembro de 1783,

aos 76 anos. Seu corpo foi enterrado em São Petersburgo e até hoje a Rússia o considera um

dos seus grandes matemáticos, não só pelas três décadas que esteve a seu serviço, mas pelo

carinho com que o abrigou durante tanto tempo.

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3. Tendências da Modelagem Matemática no Ensino

3.1 A Intensificação da Criação de Modelos e o Surgimento da Matemática Aplicada

Mesmo estando, de certa forma, conscientes de que a modelagem matemática

caminha lado a lado com a própria História da Matemática, o termo em si é bem mais recente,

guardadas as devidas proporções. Biembengut e Hein (2003) afirmam que “a expressão, em

seu conceito moderno, surge durante o renascimento18, quando se constroem as primeiras

ideias da física apresentadas segundo linguagem e tratamentos matemáticos” (p. 8). Já a ideia

de modelo matemático, segundo Lima Filho (2008), “vem sendo amplamente usada por

engenheiros, físicos, estatísticos e economistas desde a década de 1940, pelo menos” (p. 15).

A modelagem matemática, então, serviu e serve como a principal ferramenta para

uso principalmente das outras ciências, promovendo uma inter-relação da matemática com as

outras áreas do conhecimento humano, se encaixado na corrente de pensamento conhecida

como estruturalismo19. Essa tendência contribuiu para o surgimento de um novo ramo dentro

da própria matemática, chamado de Matemática Aplicada, onde os matemáticos emprestam

sua capacidade de generalização para a criação de modelos que possam explicar fenômenos

aparentemente não matemáticos.

18 No início da Idade Moderna ocorreu em várias partes do continente europeu um movimento de transformação conhecido pelo nome de Renascimento. O Renascimento iniciou-se na Península Itálica e expandiu-se nos séculos XV e XVI para outras partes da Europa. Dentre outros fatores que justificam o pioneirismo italiano, destacamos a herança da rica cultura árabe que se sedimentou na Sicília, servindo de base para uma renovação, em especial na Medicina e na Matemática.19 O estruturalismo é um método de análise usado principalmente na segunda metade do século XX, sendo uma corrente do pensamento dentro das Ciências Humanas, que acredita na realidade social como um conjunto formal de relações; é largamente adotado dentro da Filosofia da Matemática.

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Com o crescente interesse dos matemáticos profissionais na Matemática Aplicada, os

modelos ganharam mais precisão e confiabilidade, passando a ser essencial nas estruturas das

ciências ditas não exatas. Adotaremos aqui a noção de Modelo Matemático sugerido por

Bassanezi (2006), como sendo “um conjunto de símbolos e relações matemáticas que

representam de alguma forma o objeto estudado” (p.20). Bassanezi (2006) acrescenta ainda

que “a importância do modelo matemático consiste em se ter uma linguagem concisa que

expressa nossas ideias de maneira clara e sem ambiguidade” (p. 20).

Podemos perceber claramente que o principal objetivo da modelagem matemática é

matematizar uma situação dada. Entretanto, o matemático tende a não se limitar em apenas

traduzir o problema para a linguagem matemática. O estudo deve vir acompanhado na

tentativa de generalizar a situação, de descobrir as possíveis estruturas matemáticas que estão,

de certa forma, inseridas dentro do problema. Como Euler fez com O Problema das Pontes de

Königsberg: modelou a situação e o generalizou, dando início a Teoria dos Grafos. É claro

que nem sempre é preciso uma nova teoria matemática para se modelar um problema.

Recentemente, em 2008, foi publicada uma obra intitulada: Modelos Matemáticos

nas Ciências Não Exatas: Um Volume em Homenagem a Euclides Custódio de Lima Filho20.

Nessa obra, podemos apreciar aplicações da matemática em vários artigos como, por

exemplo:

TEMA DO ARTIGO TEORIA MATEMÁTICA UTILIZADAA inferência em epidemiologia Probabilidade

Transporte linear com dados aleatórios Equações DiferenciasRotação em biomecânica usando quatérnios: formulação teórica e exemplos de aplicação

Teoria dos Quatérnios

Aplicação de ferramentas matemáticas em análises de imagens histológicas e

citológicasTeoria dos Grafos e Transformadas de

Fourier

20 O livro foi organizado por Eduardo Arantes Nogueira, Luiz Eduardo Barreto Martins e René Brenzikofer. A obra apresenta vários artigos que ligam a Medicina à Matemática ou a Biomatemática. É feita também uma homenagem ao Doutor Euclides Custódio de Lima Filho, médico, matemático e estaticista.

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Uma vez que as estruturas são identificadas, Lima Filho (2008) destaca as vantagens

do uso de modelos sustentados por alguma teoria matemática:

1. Informações novas sobre a situação problema;

2. Previsões e projeções;

3. Estratégias;

4. Economia: situações diferentes podem admitir um mesmo modelo.

3.2 Tendências da Modelação Matemática no Brasil.

A forma imparcial em que o processo de modelagem promove a matemática e as

diversas formas de se construir ciência, chamou a atenção dos educadores e a partir da década

de 1970 surgem os primeiros trabalhos, aqui no Brasil, sobre modelagem matemática no

ensino, promovidos, segundo Biembengut e Hein (2003), pelo professor Aristides Camargo

Barreto, da Pontifica Universidade Católica do Rio de Janeiro, seguido por Ubiratan

D’Ambrósio, representante brasileiro em Educação Matemática e pelo professor Rodney

Carlos Bassanezi da Universidade de Campinas.

Na década de 1980 surgem os primeiros Cursos de Pós-graduação em Modelagem

Matemática, coordenados principalmente pelo professor Bassanezi. A partir daí, a modelagem

matemática ganha proporções maiores como estratégia de ensino aprendizagem e em 2001 a

Sociedade Brasileira de Educação Matemática, SBEM, cria o Grupo de Trabalho (GT) de

Modelagem Matemática. Em Blumenau, Santa Catarina, a professora Maria Salett

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Biembegut funda, em 2006, o Centro de Referência de Modelagem Matemática no Ensino,

CREMM.

Segundo informações extraídas do próprio sítio oficial do GT de Modelagem

Matemática21, que também é conhecido por GT10 (por ter sido o décimo Grupo de Trabalho a

ser criado pela SBEM), o grupo tem como principal missão “favorecer o debate e a

colaboração dos pesquisadores brasileiros que realizam investigações sobre modelagem

matemática, na perspectiva da Educação Matemática, articulando o desenvolvimento dessa

frente de pesquisa no país”.

O GT10 se reúne a cada três anos durante o Seminário Internacional de Pesquisa em

Educação Matemática, SIPEM. Participa também da organização da Conferência Nacional

sobre Modelagem na Educação Matemática, CNMEM, e ainda do Encontro Nacional de

Educação Matemática, ENEM. Atualmente, na coordenação do GT10, encontram-se Jonei

Cerqueira Barbosa (UEFS), Ademir Donizete Caldeira (UFSC) e Jussara de Loiola Araújo

(UFMG).

Além da afinidade em usar o processo de modelagem matemática como ferramenta

de ensino aprendizagem, o GT10 possui em comum com CREMM a busca da integração dos

professores, e pesquisadores em geral, com o material disponível sobre modelação

Matemática22 . O CREMM apresenta como uma das principais metas “reunir, cada vez mais,

produções acadêmicas de modelagem do Brasil e demais países do mundo e divulgar esses

materias a todos os interessados e, ainda, promover um conjunto de ações virtuais e

presencias com apoio de pesquisadores e professores”. No sítio oficial23 do CREMM

21 As informações sobre o GT10 foram todas extraídas do endereço eletrônico: http://www.sbem.com.br/gt10/index.html.22 O uso do processo de modelagem matemática como método de ensino de matemática é chamado de modelação matemática.23 O endereço eletrônico do sítio oficial do CREMM é: http://www.furb.br/cremm/. O que estamos chamando de “principal meta do Centro de Referência de Modelagem Matemática no Ensino” também foi extraído do sítio oficial do CREMM.

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encontramos o endereço da Universidade Regional de Blumenau, o telefone, além do

endereço eletrônico. Tudo para facilitar o contato do pesquisador com CREMM.

Em 2007, o GT10 reuniu diversos artigos sobre modelação matemática e os publicou

em um livro intitulado Modelagem Matemática na Educação Matemática: Pesquisas e

Práticas Educacionais. A obra apresenta a modelagem matemática de diversas maneiras e em

diversas situações, fazendo emergir, de certa forma, quatro grandes áreas de concentração ou,

em outras palavras, as tendências da modelagem matemática no ensino:

I. Aspectos teóricos da modelagem matemática: em um primeiro momento, os artigos

apresentam uma preocupação com o aprofundamento teórico que contribua para a

aplicação da modelação matemática.

II. Modelagem e prática de sala de aula: aqui são apresentadas as pesquisas de campo

tanto no Ensino Básico como no Ensino Superior. É o momento onde as estratégias

são testadas.

III. Modelagem matemática e as tendências da informação e da comunicação – nessa

tendência, os artigos defendem o uso da modelagem matemática através dos

ambientes virtuais de aprendizagem.

IV. Modelagem matemática e formação de professores: a modelação matemática aqui é

apresentada como estratégia de ensino para o educador e para o educando.

Dentre os quinze artigos publicados em toda obra e distribuídos nas quatro grandes

áreas, destacamos o trabalho dos autores Abel Rodolfo Garcia Lozano e Clícia Valladares P.

Friedmann. Com o título Modelagem e Modelos Discretos: uma necessidade do ensino atual,

o artigo apresenta argumentações em defesa da necessidade de se trabalhar com modelagem

matemática e modelos discretos no ensino. Inserido dentro da segunda área de concentração -

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Modelagem e prática de sala de aula –, o texto enfoca a necessidade do ensino de Matemática

Discreta usando um exemplo relacionado com a Teoria dos Grafos. Esse artigo serve como

um das principais referências do nosso trabalho, já que as propostas que serão apresentadas

aqui vão ao encontro das questões defendidas por Clícia Valladares e por Abel Lozano.

Em tempo, queremos ressaltar que além do GT10 e do CREMM existem vários

outros grupos de estudos, aqui no Brasil, que defendem o uso da modelagem matemática

como estratégia de ensino aprendizado. Entre eles, destacamos o Centro Virtual de

Modelagem, o CVM, que além de funcionar como ambiente virtual para os pesquisadores

interessados em modelagem matemática tem sido também uma ponte entre a modelagem e a

internet, desenvolvendo projetos de modelagem on-line de forma colaborativa.

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4. Matemática Discreta e Conceitos Básicos de Teoria dos Grafos

4.1 A Importância da Matemática Discreta no Ensino

Tentar justificar se um determinado conteúdo ou currículo24 é importante dentro do

Sistema Educacional de um país não é uma tarefa tão fácil. Isso não ocorre somente com a

Matemática. Os obstáculos variam do aluno, durante o contato direto em sala de aula, aos

colegas educadores (geralmente, os que não trabalham ou não dependem diretamente do

conteúdo especificamente questionado). Ora, qual o professor que, com alguns anos em sala

de aula, não se deparou com a seguinte pergunta: por eu tenho que estudar isso? Ou ainda

com questões filosóficas maiores: para que isso serve em minha vida?

Infelizmente, muitos desses questionamentos não têm a intenção de sanar algum tipo

de dúvida sobre a aplicabilidade de alguma teoria, seja ela pertencente às áreas tecnológicas

ou não, e por mais que se justifique tal uso o receptor está, em geral, preparado para refutar a

explicação. É bem provável que, em sala de aula, este fenômeno contribua de forma

significativa para o fracasso de determinados conteúdos. Jurkiewicz e Leventhal (2008)

alertam que a “presença de participantes interessados é um ingrediente importante na

produção do sentido da aprendizagem” (p.235).

De qualquer forma, os conteúdos que são ministrados em sala de aula, juntamente

com toda estrutura educacional, “têm por finalidades desenvolver o educando, assegurar-lhe a

formação comum indispensável para o exercício da cidadania e fornecer-lhe meios para

24 Segundo Líbaneo, Oliveira, Toschi (2007), “compreende-se o currículo como um modo de seleção da cultura produzida pela sociedade, para a formação dos alunos; é tudo o que se espera seja aprendido e ensinado na escola”.

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progredir no trabalho e em estudos posteriores” (Art.22, Lei n.° 9.394/96). Fica a cargo

principalmente dos professores, que possuem contatos diretos em sala de aula com os

educandos, o desafio de superar as dificuldades e aplicar de forma flexível o projeto

pedagógico-curricular desenvolvido pela escola.

Entendemos, então, que a organização dos conteúdos precisa prever, de algum modo,

tentativas de enriquecimento do currículo. Líbaneo, Oliveira e Toschi (2007), alertam: “na

sociedade contemporânea, as rápidas transformações no mundo do trabalho, o avanço

tecnológico configurado a sociedade virtual e os meios de informação e comunicação incidem

fortemente na escola, aumentando os desafios para torná-la uma conquista democrática”

(p.14). Com isso, devemos estar atentos, pois em um mundo globalizado, as mudanças na

forma de se “pensar” a sociedade podem afetar diretamente na organização do currículo.

Não podemos negar que a popularização, pelo menos nos últimos vinte anos, do uso

de aparelhos digitais e computadores (sejam os pessoais ou os usados nos terminais de

bancos), vem acelerando as mudanças na sociedade. Segundo Jurkiewicz e Leventhal (2008):

“o advento das técnicas digitais e dos computadores como instrumento comum exercem

pressão inequívoca sobre o ensino da Matemática” (p.221). Os Parâmetros Curriculares

Nacionais (PCNs) alertam:

A denominada ‘revolução informática’ promove mudanças radicais na área do conhecimento, que passa ocupar um lugar central nos processos de desenvolvimento, em geral. É possível afirmar que, nas próximas décadas, a educação vá se transformar mais rapidamente do que em muitas outras, em função de uma nova compreensão teórica sobre o papel da escola, estimulada pela incorporação das novas tecnologias. (PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS ENSINO MÉDIO, 1999. p. 15)

A Matemática Discreta, de certa forma, assume um papel importante dentro do atual

cenário mundial já que o computador, peça chave dessa terceira revolução industrial25,

apresenta uma estrutura finita e o estudo dos sistemas finitos esta a cargo da Matemática

25 A terceira revolução industrial caracteriza-se principalmente pela utilização do conhecimento científico no processo de industrialização e tem o computador como o principal elemento desse fenômeno.

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Discreta. Segundo Lipschutz e Lipson (2004) “o computador é, basicamente, uma estrutura

finita, e muitas das suas propriedades podem ser entendidas dentro do arcabouço formado por

sistemas matemáticos finitos” (p. 6).

Para Friedmann (2003) “a influência dos computadores e o desenvolvimento de

campos da Matemática Discreta são dois fatores que têm levado algumas entidades ligadas ao

ensino a se interessar pela inclusão de temas ligados à Matemática Discreta na escola” (p.13).

Acreditamos que seja importante para uma nação, que pensa em melhorar o seu sistema

educacional, estar atenta às mudanças que ocorrem nos sistemas educacionais dos outros

países, não para copiar ideias, mas, para que através de pesquisas, poder adaptar teses

relevantes que sejam favoráveis à realidade e ao seu desenvolvimento.

Samuel Jurkiewicz e Gilda Leventhal (2008), em um artigo intitulado Oficina de

Matemática Discreta no Ensino, informam que alguns países já estão preocupados com o

ensino da Matemática Discreta. Os autores alertam que “a National Science Fundation dos

Estados Unidos patrocina um programa de desenvolvimento curricular de Matemática

Discreta” (p. 233) enquanto “o Ministério da Educação da França propõe explicitamente a

introdução do ensino de Teoria dos Grafos em certas vertentes do Ensino Médio” (p. 234).

Embora alguns autores evitem fazer tal diferenciação, nos dias atuais podemos

dividir a Matemática em dois domínios: o contínuo e o discreto. Talvez, tal resistência esteja

na dificuldade de se formular uma definição precisa do que seria Matemática Discreta.

Friedmann (2003) afirma que “qualquer tentativa de definir a Matemática Discreta traz

embutida a contraposição desta com a Matemática do Contínuo” (p.12). Para Scheinermann

(2003) podemos ilustrar essa diferença da seguinte maneira:

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A Matemática Contínua corresponde aos relógios analógicos (...), do ponto de vista de um relógio analógico, entre 12:02 pm e 12:03 pm há um número infinito de diferentes tempos possíveis, na medida em que o ponteiro dos segundos percorre o mostrador (...). A Matemática Discreta é comparada a um relógio digital, em que há apenas um número finito possível de tempos diferentes entre 12:02 pm e 12:03 pm. Um relógio digital não reconhece fração de segundos (...), a transição de um tempo para o próximo é bem definida e sem ambiguidade. (SCHEINERMANN, 2003. p. 7)

Dentre tópicos da Matemática Discreta como Análise Combinatória e Probabilidade,

escolhemos trabalhar com Grafos justamente por ser um tema ligado à necessidade atual dos

computadores. Para Friedmann e Lozano (2007), “a Teoria dos Grafos é um campo da

matemática que vem se desenvolvendo de forma acelerada e que envolve as mais diversas

aplicações (...)” (p.135). Entre essas aplicações podemos citar: problemas de redes de

computadores, distribuição de bens e serviço e elaboração de tabelas de horários, podendo

também ser explorada na matemática das séries inicias. Os mesmos autores completam:

“Alguns problemas da Teoria dos Grafos são adaptáveis ao propósito de exemplificar

atividades de modelagem e uso de modelos discretos dentro de sala de aula” (p.135).

Neste sentido, a modelagem matemática, então, serve como principal ferramenta para

introdução desse tópico em sala de aula. Segundo Biembengut e Hein (2003): “a escola é um

ambiente indicado para a criação e evolução de modelos” (p.10). Para Bassanezi (2006) “a

aprendizagem realizada por meio de modelagem facilita a combinação dos aspectos lúdicos

da matemática com seu potencial de aplicações” (p.16). Além disso, a modelagem

matemática é ideal para a implantação da idéias socioconstrutivistas26, onde a aprendizagem

de uma nova teoria Matemática é feita pela introdução de uma situação-problema.

26

Segundo as Orientações Curriculares para o Ensino Médio: Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias, “as ideias socioconstrutivistas da aprendizagem partem do princípio de que a aprendizagem se realiza pela construção dos conceitos pelo próprio aluno, quando ele é colocado em situação de resolução de problemas” (p. 81).

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37

4.2 Introdução ao Estudo dos Grafos

Mesmo cientes da importância da Teoria dos Grafos no atual cenário da Matemática

como ferramenta operacional no processo de modelagem de várias situações-problema,

atingindo áreas como engenharia, medicina, economia e a informática, nosso objetivo aqui

não é um aprofundamento rigoroso nas propriedades que decorrem da definição. Não tivemos

a preocupação com as formalidades típicas dos matemáticos. Dessa forma, os conceitos são

apresentados ao leitor com a finalidade de dar uma idéia geral sobre grafos e algumas de suas

aplicações.

Vamos analisar o seguinte problema: Max vai realizar o famoso “Regabofe” (festa

realizada anualmente em sua casa). Para que o convite da festa chegue a outras seis pessoas,

resolveu fazer uma corrente de convite com as seguintes condições:

Cada pessoa deve avisar a uma só outra, começando por ele mesmo.

Cada pessoa, ao avisar, deve comunicar à outra sobre que pessoas já sabem

da festa através dessa corrente (para evitar que uma pessoa seja avisada mais

de uma vez).

Cada aviso só pode ocorrer entre duas pessoas amigas (nem todas são).

Quando todos já souberem da festa, a última pessoa avisada, que deve ser

obrigatoriamente amigo do Max, deve comunicar a este que a corrente foi

concluída.

Sabendo que Max é amigo de Ana, Geovane e Fátima; Ana é amiga de Max, Márcio

e Adilson; Geovane é amigo de Max e Gustavo; Fátima é amiga de Max e Adilson; Gustavo é

amigo de Geovane e Márcio; Adilson é amigo de Ana e Fátima; Márcio é amigo de Ana e

Gustavo; exemplifique uma possível ordem de pessoas para a corrente do Max.

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38

Resolução: Seja cada pessoa associada a um ponto da seguinte forma: 1- Max, 2-Ana, 3-

Geovane, 4-Fátima, 5-Gustavo, 6-Adilson e 7-Márcio. Os pontos então serão ligados por

segmentos indicando pessoas amigas, isto é, a ausência de segmentos ligando dois pontos

indica duas pessoas que não devem avisar da festa uma à outra. Uma possível sequência é

13572641, modelada através da seguinte ilustração:

Ilustração 4.1

A ilustração acima trata-se do que conhecemos hoje como um grafo. Acabamos,

então, de modelar uma situação problema dispensando qualquer formalismo quanto à

conceituação matemática da Teoria dos Grafos. Em outras palavras procedemos a uma

modelagem em grafos.

Um grafo27 G = (V, A) é um conjunto não vazio de vértices (V) e um conjunto de

arestas28 (A), tais que cada aresta conecta em dois vértices.

27 Para a modelagem do problema anterior, representamos o grafo geometricamente, mas, existem outras representações, tais como: lista de adjacências, matriz de adjacência e matriz de incidência que não serão abordadas neste trabalho. 28 Aresta de um grafo não é uma reta ou curva, é um subconjunto de dois elementos do conjunto dos vértices.

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Ilustração 4.2 – Representação geométrica de um grafo com 5 vértices e 6 arestas

Representando os vértices pelos números 1, 2, 3, 4 e 5 e as arestas com as letras a, b,

c, d, e, f, conforme a ilustração abaixo:

Ilustração 4.3

Temos:

V = {1, 2, 3, 4, 5}.

A = {a, b, c, d, e, f} onde a = {1,2}, b = {1,3}, c = {2,3}, d = {3,4}, e = {2,4} e

f = {4,5}.

Alguns conceitos considerados como básicos no estudo de grafos:

1 – Ordem de um grafo é o seu número de vértices.

Exemplo: O grafo da ilustração 4.2 é de ordem 5.

2 – Dois vértices de um grafo são ditos adjacentes se ambos são extremidades de uma mesma

aresta.

3 - Uma aresta é dita incidente em um vértice, se esse vértice for uma de suas extremidades.

Exemplo:

1 2

3 4 5

a

bc

d

e

f

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Ilustração 4.4

4 - O grau de um vértice é a quantidade arestas que incidem nele.

Exemplo:

Ilustração 4.5

5 - O grau de um grafo é o grau do vértice com maior número de arestas incidentes.

Exemplo: o grafo da ilustração anterior tem grau 3.

6 – A soma dos graus dos vértices de um grafo é sempre o dobro do número de arestas.

Exemplo: Na ilustração anterior, temos:

I – Seqüência dos graus dos vértices: (3, 3, 3, 2, 1)

II – Soma = 3 + 3 + 3+ 2 + 1 = 12

III – Número de arestas = 6

1 2

3 4 5

a

bc

d

e

f

Vértices adjacentes

Arestas incidentes no

vértice 4

1 2

3 4 5

a

bc

d f

Vértice de grau 2

Vértice de grau 3

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IV – Portanto, a soma dos graus dos vértices, 12, é igual ao dobro do número de arestas, 6.

7 – Todo grafo possui um número par de vértices de grau ímpar.

8 - Um laço é uma aresta com extremidades em um mesmo vértice.

9 - Duas arestas com as mesmas extremidades são ditas paralelas29.

10 – Um vértice de grau zero é dito “um vértice isolado”.

Exemplo:

Ilustração 4.6

Uma das grandes vantagens de se trabalhar com grafos é que sua representação pode

ser feita através de linhas e pontos, não tendo a necessidade de um relacionamento com

componentes métricos, tais como: ângulos, ordenadas, distâncias. Com isso, o trabalho com

grafo exige menos condições matemáticas, ampliando-se, dessa forma, suas possibilidades

como ferramenta na modelagem de situações-problema.

Na literatura existente, segundo Bria (2001): podemos encontrar aplicações de

grafos, entre outros, nos seguintes contextos:

29 Grafos que apresentam arestas paralelas ou laços são ditos multigrafos.

Vértice isolado

LaçoArestas

paralelas

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Distribuição de serviços: água, luz, gás, etc.

Administração de trajetos ótimos: vendedor, carteiro, caminhão de lixo,...

Análise de mapas.

Coloração de mapas.

Organização de tráfego.

Alocação de horários.

Árvore de decisão.

Análise combinatória.

Grande parte dos exemplos envolvendo modelagem com grafos na educação básica

estão inseridos dentro de uma das seguintes áreas: questões eulerianas, questões

hamiltonianas, árvores, planaridade e coloração de vértices. Não é nosso desejo aqui nos

aprofundarmos nas peculiaridades da cada uma das áreas supracitadas, mas, informamos que

em nossa oficina, trabalhamos com exemplos de alocação de horários (problemas 1, 3 e 4) e

distribuição de serviço (problema 2), que podem ser resolvidos através de modelagem

matemática com grafos usando a técnica de coloração de vértices. Ressaltamos que um dos

objetivos desse trabalho é divulgar a ideia central e alguns conceitos básicos dos grafos em

uma abordagem informativa e introdutória.

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5. Procedimentos Metodológicos

5.1 Metodologia

A Educação Matemática (EM) pode ser considerada uma área de conhecimento das

Ciências Sociais ou Humanas, pois, segundo Fiorentini e Lorenzato (2007), isso acontece

porque:

A EM caracteriza-se como uma práxis que envolve o domínio do conteúdo específico (a matemática) e o domínio de ideias e processos pedagógicos relativos à transmissão/assimilação e/ou à apropriação/construção do saber matemático escolar. Entretanto, sendo a prática educativa determinada pela prática social mais ampla, ela atende a determinadas finalidades humanas e aspirações sociais concretas. (FIORENTINI; LORENZATO, 2007. p.5)

Como a grande maioria das pesquisas em Ciências Sociais30, o estudo aqui

apresentado enumera características qualitativas, devido à interpretação/análise da

participação dos alunos durante o processo tendo por objetivo investigar as possibilidades de

se promover a mudança no currículo da matemática pré-universitária e embora tenha testado

uma nova teoria no âmbito da Educação Básica (a Teoria dos Grafos), os dados coletados não

são analisados com procedimentos estatísticos, não possuindo, dessa forma, características

quantitativas.

Creswell (2007) divide os métodos de pesquisa em basicamente três grupos:

qualitativos, quantitativos e mistos. Vamos apresentar algumas características básicas de cada

grupo:

30 Souza (2004), por exemplo, afirma que o “objetivo das Ciências Sociais é essencialmente qualitativo”.(p.15).

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Técnicas qualitativas: apóia-se no conhecimento construtivista, estudo de

caso, questões abertas, dados de texto, coleta significados dos participantes

que traz valores pessoais para o estudo e estuda o contexto ou o ambiente dos

participantes.

Técnicas quantitativas: uso de conhecimento pós-positivista, experimentos,

questões fechadas, dados numéricos, verifica teorias ou explicações,

identifica variáveis para o estudo, observa e mensura as informações

numericamente.

Técnicas mistas: uso de conhecimento pragmático, questões abertas e

fechadas, dados quantitativos e qualitativos, desenvolve um raciocínio para

fazer a mistura e integra os dados em estágios diferentes da investigação.

Tomando como referência o exposto acima, confirmamos a característica qualitativa

da presente pesquisa, indo, dessa forma, ao encontro das ideias formuladas por vários

pesquisadores.

5.2 População Alvo

A população alvo constituiu-se de alunos dos 1.º e 2.º anos do Ensino Médio,

matriculados em dois estabelecimentos de ensino, situados na Baixada Fluminense: Instituto

Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio de Janeiro, IFRJ31 (unidade Duque de

31 No momento da realização da pesquisa de campo ainda se chamava Centro federal de Educação Tecnológica de Química (CEFET – Química).

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Caxias), escola pública federal, e no Colégio Alfa, escola da rede privada localizada no bairro

Centro em Duque de Caxias.

5.3 Participantes

Os alunos do Colégio Alfa, assim como os do IFRJ, foram selecionados após

consulta aos coordenadores pedagógicos das respectivas instituições. Por termos realizado a

oficina próximo aos exames finais do ano letivo (outubro e novembro de 2008) houve uma

preocupação com o rendimento dos participantes nas avaliações do 4.° bimestre. Com isso, o

aluno para ser convidado deveria não só ter um gosto especial pela Matemática, mas também

apresentar um rendimento favorável para sua participação.

Foram selecionados inicialmente trinta alunos das duas instituições e em seguida,

apresentados os objetivos do trabalho. Quatorze alunos não foram autorizados pelos

responsáveis a participarem das oficinas (todos alegaram preocupação com as avaliações

finais). Para os alunos que concordaram e puderam participar, solicitamos, como em Reis

(2007), que assinassem um termo de concordância, em que se comprometeriam a participar

como sujeitos potenciais da investigação, informados de que existiria a possibilidade futura de

divulgação dos resultados, de apresentações em Seminários e Congressos e livros em que

constariam as observações, análises e conclusões da pesquisa. No entanto, usaríamos

pseudônimos com o intuito de preservar as identidades dos envolvidos na investigação.

O critério de amostragem por acessibilidade foi utilizado para encerrar o número de

participantes. A técnica de acessibilidade admite que os elementos selecionados representem

o universo em questão. Vale acrescentar que, segundo Jurkiewicz e Leventhal (2008), “a

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presença de participantes previamente interessados é um ingrediente importante na produção

do sentido da aprendizagem” (p.233).

5.4 Coleta de dados

No intuito de obtermos as informações necessárias para o desenvolvimento desta

pesquisa, dividimos a oficina em cinco momentos:

Primeiro momento: Apresentação do problema motivador: Uma situação-

problema é apresentada ao aluno sem a formalização de conceitos. O

problema inicial é considerado de nível fácil e, pelo menos à primeira vista,

não tem nenhuma relação com a Matemática.

Segundo momento: Os conceitos de Modelagem Matemática e Modelação

Matemática são inseridos, bem como a importância da generalização dos

modelos32. Nesse momento, o segundo problema é apresentado e apesar de

aparentemente não ter conexão com o primeiro, carrega em sua essência

procedimentos análogos para o processo de generalização dos mesmos.

Terceiro momento: A terceira situação-problema é apresentada com o

objetivo de mostrar ao aluno que os conhecimentos matemáticos adquiridos

por ele até o presente momento podem não ser suficientes para a modelação

de alguns problemas. Nesse momento são introduzidas as noções de Teoria

dos Grafos.

32 Biembengut e Hein (2003) afirmam que “a modelação matemática norteia-se por desenvolver o conteúdo programático a partir de um tema ou modelo matemático e orientar o aluno na realização de seu próprio modelo-modelagem” (p. 18).

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Quarto momento: Nesse momento os problemas anteriores são retomados

sob a ótica da Teoria dos Grafos. A quarta situação-problema é apresentada e

neste momento o grau de dificuldade em resolver o problema tem como

principal objetivo mostrar ao aluno que, mesmo munido de ferramentas

matemáticas adequadas, em alguns casos é inviável a resolução dos

problemas sem o uso de recursos tecnológicos e a criação de modelos que

permitam a resolução da questão proposta e outras similares.

Quinto momento: Comentários finais sobre Modelagem Matemática e

sobre Teoria dos Grafos. Coleta de todo material deixado com os alunos e

encerramento da oficina.

Todos os encontros ocorreram aos sábados, com início às 8h e com o término às 12h.

Sempre com certa flexibilidade e tolerância com os imprevistos como os atrasos e com a

necessidade de alguns alunos nem sempre poderem ficar até o final.

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6. Análise e Interpretação dos Dados Coletados

6.1 Primeiro Momento: Apresentação do Problema Motivador

O primeiro encontro foi, sem dúvida nenhuma, o mais tenso e engraçado também.

De um lado a nossa equipe de pesquisadores, um pouco preocupada com a quantidade de

alunos que iriam comparecer à oficina; do outro os alunos, sem saberem exatamente qual o

assunto (ou assuntos), dentre vários tópicos da matemática, seria abordado no encontro.

Passando o primeiro momento de tensão dos pesquisadores visto que de fato os

alunos compareceram, todos eles - diga-se de passagem - tratamos de realizarmos uma

espécie de abertura oficial da oficina que tinha como objetivo divulgar a idéia central dos

grafos e, se possível, modelar uma situação problema com o uso dos mesmos. Na abertura,

não fizemos grandes formalidades, mas contamos com a presença da coordenadora do curso

de pós-graduação. Naquele momento notamos uma certa preocupação nos olhares dos alunos,

pareciam que se sentiam privilegiados por estarem participando do evento, mas que tinha uma

certa responsabilidade por se tratar de uma pesquisa.

Depois de fazermos as considerações iniciais, entregamos aos alunos uma folha com

o primeiro problema juntamente com outras em branco para usarem como rascunho.

Entregamos também: lápis, borracha e caneta. Embora todos alunos tivessem levado material

próprio, havíamos providenciado um quite contendo o material supracitado, daí, resolvemos

distribuir para todos os participantes.

De posse do primeiro problema e das ferramentas de apoio, tivemos o nosso

momento cômico: os alunos leram o problema e ficaram esperando que fossemos para o

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quadro expor alguma teoria antes que pudessem iniciar a resolução do mesmo. Não é de se

espantar, a maioria dos professores de matemática (e de outros currículos) costumam

apresentar um novo conteúdo da seguinte maneira:

Após colocar o título da aula, são apresentadas as definições referentes a

esse novo conteúdo;

Alguns exemplos são expostos;

São apresentados algumas propriedades ou teoremas, geralmente sem

demonstrações, muitas das vezes por falta de tempo;

São resolvidos alguns problemas ou exercícios de fixação;

O professor então deixa alguns exercícios como tarefa domiciliar;

As tarefas domiciliares são resolvidas;

Pronto: está tudo preparado para a apresentação de um novo conteúdo.

É claro que essa seqüência não acontece necessariamente nessa ordem e é

importante esclarecer ao leitor que não estamos propondo aqui uma discussão se é certo ou

errado, ou ainda se é bom ou ruim, essa maneira de apresentar um novo conteúdo. Não

estamos questionando a eficiência desse método. O que estamos querendo mostrar é como o

nosso aluno se comportou em um primeiro momento: esperou o professor tomar a frente da

situação como é de costume na maioria das nossas salas de aula.

Além disso, acreditamos que o espaço físico contribuiu para que eles, pelo menos

inicialmente, se comportassem daquela maneira, a semelhança era enorme com o que eles

estavam acostumados a freqüentar nas aulas regulares durante a semana: cadeiras do tipo

universitárias, quadro de giz com um pequeno espaço reservado para pincel ou projetores de

imagem e a presença do professor. Possivelmente, a grande novidade tenha ficado por conta

da presença de mais de um professor.

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Depois que os alunos perceberam que não iríamos para o quadro expor nenhum

tipo de teoria ou até mesmo algo que pudesse ajudar na resolução da situação proposta,

começaram as leituras (mais uma vez) do seguinte problema: No primeiro fim de semana de

novembro deste mesmo ano, a Universidade do Grande Rio estará promovendo uma série de

palestras sobre Ecologia, Doenças Sexualmente Transmissíveis (DST), Teoria da Relatividade

e Estatuto da Criança e do Adolescente (ECA). O “Público Alvo” está dividido basicamente

em três grupos: Ensino Fundamental (EF), Ensino Médio (EM) e Ensino Superior (ES). A

palestra sobre Teoria da Relatividade estará sendo oferecida somente para estudantes de nível

superior, enquanto as sobre DST e ECA não estarão sendo oferecidas aos estudantes de nível

fundamental e superior, respectivamente. Monte os horários das palestras, sabendo que serão

oferecidas, no mesmo dia, durante o turno da manhã, com as seguintes opções: 8h às 9h; 9h

30min às 10h 30min e 11h às 12h e só existe um Professor disponível para cada palestra.

Depois de algum tempo, os alunos começaram a apresentar seus resultados, muitos

deles bastante parecidos, por esse motivo separamos alguns para ficarem aqui registrados,

sem nos preocuparmos em identificar os autores, chamaremos apenas de alunos A, B, C e D,

respectivamente, de acordo com as ilustrações a seguir:

Ilustração 7.1 – solução do aluno A

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Ilustração 7.2 – solução do aluno B

Ilustração 7.3 – solução do aluno C

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Ilustração 7.4 – solução do aluno D

Pudemos destacar algumas poucas diferenças entre as soluções apresentadas pelos

alunos, relacionadas principalmente com as apresentações: alguns alunos escreveram por

extenso e outros utilizaram legendas. Percebemos uma certa agonia por parte dos mesmos que

desejavam, de alguma forma, equacionar o problema. Como havia alunos do 1.° e 2.° anos do

Ensino Médio misturados, ocorreram visões diferentes quanto à matemática envolvida no

problema.

Sugerimos que se formassem grupos, mas em nenhum momento os alunos se

agruparam para resolver o problema. Os alunos do 2.° ano arriscaram (em relação a

matemática por trás do problema) entre a teoria das matrizes, por terem organizado os

elementos em linhas e colunas, e a análise combinatória, em função das possibilidades de

escolha de cada palestra. Expor de forma escrita o que estavam pensando foi o ponto máximo

das dificuldades, mesmo com nossa insistência os alunos escreveram muito pouco, chegando

a apagar os rascunhos quando souberam que íamos recolher o material no final de cada

encontro (talvez preocupados com erros ortográficos ou por acharem que poderiam ter errado

a solução do problema).

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Mesmo com todas as dificuldades dos alunos em escrever os procedimentos que os

levaram a solucionar o problema, encontramos um desenvolvimento bem interessante de um

aluno do 1.° ano que usou teoria dos conjuntos para interpretar matematicamente a situação-

problema, fizemos questão de registrá-la na ilustração 7.5:

Ilustração 7.5 – solução do aluno E

Em todos os momentos tentamos tranqüilizar o grupo quanto à solução do problema:

desde que os pré-requisitos impostos pelo enunciado fossem respeitados, não existiria

resposta errada. Esse fato deixou o grupo um pouco intrigado, alguns alunos chegaram a

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perguntar: “o que isso tem a ver com a matemática?” É claro que não respondemos, fazia

parte do “jogo” levantarmos esse tipo de questionamento.

Ao final do primeiro encontro pudemos destacar algumas características do nosso

grupo:

O individualismo: em nenhum momento os alunos se agruparam na tentativa

de resolver o problema;

Dificuldade de expor o pensamento de forma escrita: a grande maioria dos

alunos tiveram bastante dificuldade em descrever os passos que os levaram a

resolver a situação-problema;

Uso de conhecimentos anteriores: todos os alunos, de alguma forma, tentaram

usar alguma “matemática” na resolução do problema, com destaque para a

teoria dos conjuntos, matrizes e análise combinatória.

6.2 Segundo Momento: O Conceito de Modelação Matemática é Inserido

Começamos o nosso segundo encontro com a ajuda de uma pequena exposição sobre

modelagem matemática. Com uso de um projetor de imagem, ampliamos as informações do

computador para o quadro branco, contamos para isso com a ajuda do programa Power Point.

Não foi pedido que os alunos fizessem qualquer tipo de anotação, também não os proibimos.

Queríamos apenas que ficassem atentos ao conhecimento que estava sendo compartilhado

com os mesmos.

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O nosso objetivo naquela etapa era fazer com que eles entendessem a nossa

estratégia de aula. Passamos algumas informações que julgamos importantes dentro do

processo de modelação matemática, tais como:

Incentivar a pesquisa;

Desenvolver habilidades em formular e resolver problemas;

Aplicar o conteúdo matemático;

Importância da generalização de modelos.

Utilizamos cenas do filme Uma Mente Brilhante estrelado por Russell Crowe em

2001. O filme é uma versão romantizada da vida do matemático americano John Nash que

ganhou Prêmio Nobel de Economia em 1994. Escolhemos, entre outras cenas, o momento em

que o matemático tenta achar um padrão no movimento dos pombos que se alimentam nos

arredores da universidade. Naquele momento, Nesh tenta modelar matematicamente uma

situação que aparentemente nada tem a ver com a matemática. Vale acrescentar que não

passamos o filme todo, apenas alguns trechos que focava modelagem matemática.

Aproveitamos a empolgação dos alunos com o matemático americano e entregamos

o segundo problema que tem o seguinte enunciado: Uma empresa de táxi aéreo deseja

explorar as regiões Sudeste, Sul e Centro-Oeste do Brasil. Para isso, em seu “Projeto Piloto”,

instalou heliportos nas capitais de todos os estados das regiões citadas e em Brasília. Utilize o

mapa abaixo e a tabela com as distâncias entre as capitais e faça uma estimativa sobre as

possíveis capitais “sedes” e o número mínimo de aeronaves necessárias para a realização do

projeto, sabendo que cada aeronave deverá atender em um raio máximo de 1 000 Km.

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Com o segundo problema entregamos também uma tabela com as distâncias entre as

capitais brasileiras juntamente com o Distrito Federal. Dessa vez, insistimos, desde o início,

que os alunos escrevessem o máximo possível sobre as etapas que os levaram a possíveis

soluções do problema. De certa forma, achamos que melhorou discretamente a questão da

escrita, como podemos perceber nas ilustrações 7.6 e 7.7:

Ilustração 7.6

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Ilustração 7.7

Ilustração 7.8 - Relato do aluno que desenvolveu a solução da ilustração 7.7.

Não seria exagero afirmamos que parte do objetivo da oficina foi alcançado nesse

segundo momento, pois, vários alunos conseguiram modelar o problema intuitivamente

usando grafos, como podemos confirmar nas ilustrações 7.9 a 7.14:

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Ilustração 7.9

Ilustração 7.10 - Relato do aluno que desenvolveu a solução da ilustração anterior.

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Ilustração 7.11

Ilustração 7.12 - Relato do aluno que desenvolveu a solução da ilustração anterior.

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Ilustração 7.13

Ilustração 7.14 - Relato do aluno que desenvolveu a solução da ilustração anterior.

Mesmo sabendo que nossos alunos estavam sobrecarregados (pois estavam próximos

as avaliações do 4.º bimestres em suas escolas) e que até poderíamos nos considerar

privilegiados por conseguirmos montar a oficina naquela época do ano, algumas questões nos

deixaram um pouco preocupados: nenhum aluno havia pesquisado na internet, ou em qualquer

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outro meio de pesquisa, do que se tratava o problema 1 que havia sido entregue no primeiro

encontro, ou em que parte da matemática tal situação estaria inserido.

Ficamos com uma dúvida: será que os alunos não gostaram da oficina e por isso não

se interessaram em pesquisar o assunto? De qualquer forma, a pergunta que surgiu no final do

primeiro encontro (o que isso tem a ver com matemática?) não foi respondida, pois

esperávamos que eles mesmos pudessem respondê-la.

O nosso segundo encontro chegou ao final e foi possível perceber uma melhoria no

texto escrita. Eles melhoraram bastante! Perderam o medo ou a vergonha e passaram a relatar

melhor os seus desenvolvimentos. Entretanto, continuaram bem individualistas: mais uma vez

não se agruparam na hora de trabalhar na resolução do problema. Notamos também, que, ao

contrário do problema anterior, pouco se usou dos conhecimentos matemáticos anteriores. Um

aluno cogitou o uso de vetores, mas, ficou só nisso mesmo. De qualquer maneira, foi muito

proveitoso o nosso segundo momento.

6.3 Terceiro Momento: Apresentação das Noções Básicas de Grafos

Iniciamos o terceiro momento um pouco mais à vontade com o grupo. Após todos se

cumprimentarem, fomos direto para o terceiro problema que apresenta o seguinte enunciado:

Em uma escola, a quantidade de aulas semanais para cada currículo do Ensino

Médio é dividida da seguinte maneira:

Matemática, 5 aulas;

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Língua Portuguesa, 5 aulas;

Física, 4 aulas;

Química, 4 aulas;

Biologia, 3 aulas;

Língua Estrangeira, 3 aulas;

História, 3 aulas; e

Geografia, 3 aulas.

Monte o quadro de horários para o ano letivo de 2009, sabendo que a escola já

possui alunos, pré-matriculados, suficientes para formar 20 turmas no “turno” da

manhã. Use o mínimo de professores possíveis de cada currículo e, observe ainda,

que nenhuma das turmas poderá ter mais de três aulas seguidas, do mesmo

currículo, no mesmo dia. Use o quadro abaixo como modelo.

Início de cada aula Seg. Ter. Qua. Qui. Sex.

1.ª 7h 30min

2.ª 8h 20min

3.ª 9h 10min

10h intervalo intervalo intervalo intervalo intervalo

4.ª 10h 20min

5.ª 11h 10min

6.ª 12h

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Os alunos ficaram um pouco assustados quando viram a quantidade de turmas, muitos

deles começaram a rir, parecendo não acreditar que o problema proposto tinha alguma coisa

em comum com a matemática. Mas, por incrível que pareça, começaram a realizar a tarefa. A

única reclamação foi que só havia uma tabela para poder criar os horários. Tratamos, então,

com a ajuda do nosso computador, de criar em uma única folha seis tabelas. Imprimimos e

tiramos cópias para todos os alunos, de tal forma que todos tivessem como criar os horários

das vinte turmas.

A partir daí, alguns alunos começaram a perceber a semelhança com o primeiro

problema. De certa forma, estavam novamente tendo que criar horário de “aula”. Inicia-se,

então, uma busca por um caminho com menor esforço. Com a certeza de que se tratava de

modelagem matemática, os alunos tentaram usar métodos de resolução semelhante ao do

primeiro problema, em busca de um modelo que pudesse atender às duas situações problema.

Enquanto uns realizavam a tarefa de forma braçal, outros ficavam cada vez mais

angustiados por perceberem que não havia uma forma de equacionar a situação dada. Pelo

menos não com os conhecimentos adquiridos por eles até aquele momento. Pedimos, então,

que dessem uma parada na execução da tarefa, pois, naquele momento, seria introduzida a

noção básica da teoria dos grafos.

Com olhares atentos e curiosos, os alunos anotavam tudo que podiam das

informações que eram passadas com a ajuda de um computador e um projetor. Basicamente,

foram transmitidas todas as informações sobre grafos que se encontram no capítulo 4 deste

trabalho. Além da resolução de alguns problemas clássicos, como “o Problema das Pontes de

Königsberg”. Aproveitamos também para falar um pouco sobre história da matemática e a

origem do estudo sobre grafos. Alguns problemas envolvendo coloração de vértices foram

apresentados e resolvidos, assim como alguns teoremas que além de apresentados foram

demonstrados.

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Poderíamos dizer que fomos felizes ao encerramos o nosso terceiro encontro, pois, a

terceira situação-problema foi apresentada com o objetivo de mostrar ao aluno que os

conhecimentos matemáticos adquiridos por ele até o presente momento poderiam não ser

suficientes para a modelação de algumas situações-problema. Entretanto, ficou aquela

sensação de que alguma coisa estava faltando. Esperávamos mais uma vez que eles

pesquisassem um pouco sobre a oficina antes do encontro, o que não aconteceu.

Embora alguns alunos tenham desenvolvido soluções braçais para o nosso terceiro

problema, resolvemos não registrá-las aqui, já que não era esse o objetivo do terceiro

momento. O comportamento do nosso grupo quase não sofreu alterações até aqui, apesar de

estarem mais à vontade entre si, continuaram resolvendo os problemas de forma individual;

melhoraram um pouco na escrita e continuaram buscando, pelo menos a grande maioria,

conhecimentos matemáticos anteriores para auxiliar na modelagem da situação-problema.

6.4 Quarto Momento: Retomada dos Problemas sob a Ótica dos Grafos

Logo na chegada dos alunos para o início do quarto momento pode-se perceber uma

certa euforia, agora não tinham mais nenhum tipo de suspense (ou pelo menos achavam que

não), já conheciam nossa estratégia de ensino-apredizagem, a modelagem matemática; e qual

ferramenta matemática poderiam usar: os grafos. Fizemos, então, a retomada dos problemas

um e dois, agora sob a ótica dos grafos.

Antes, porém, a pedido de alguns alunos, fizemos uma rápida retrospectiva do que

havíamos falado sobre grafos. Reconhecemos que no encontro anterior houve uma grande

quantidade de informações e que realizarmos uma espécie de revisão não atrapalharia na

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análise dos dados. Procuramos tirar as dúvidas que foram levantadas pelo grupo e,

novamente, entregamos uma folha contendo o primeiro problema. Sem ter acesso às soluções

anteriores, os alunos começaram a modelar a mesma situação vista anteriormente, agora com

auxílio dos grafos. Selecionamos algumas soluções desenvolvidas pelos alunos e a

apresentamos nas ilustrações abaixo:

Ilustração 7.15

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Ilustração 7.16

Ilustração 7.17

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Ilustração 7.18 - Relato do aluno que desenvolveu a solução da ilustração anterior.

Ilustração 7.19 - Relato e solução desenvolvidos por um aluno.

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Como praticamente estávamos pretendendo executar em um único encontro o que

havíamos feito em três, o tempo acabou ficando apertado, tanto para nós (em função das

nossas pretensões) quanto para os alunos, que tentavam fazer as soluções de forma acelerada

provocando até uma certa disputa saudável entre eles. Com isso, as justificativas para as

soluções foram em geral curtas, mas satisfatórias, guardadas as devidas proporções.

Depois de algum tempo, entregamos o segundo problema mesmo sabendo que alguns

alunos ainda estavam engajados no problema um. Sugerimos, então, que calculassem o

mínimo de cores para colorir o mapa que aparece no problema dois. Ressaltamos que tal

proposta já havia sido feita no segundo encontro, mas, como alguns alunos já haviam tido

contato com o teorema das quatro cores através de um livro didático (talvez em notas de

rodapé, ou em alguma parte reservada para curiosidades ou algo assim), deixamos, de

propósito, para retomar a questão no quarto momento.

É bem verdade que havíamos feito alguns exemplos de coloração de mapas no terceiro

encontro e que o mapa que se encontra no segundo problema, com dez estados, não é tão

difícil de se colorir, mas, o resultado foi bastante satisfatório. Vários alunos conseguiram

modelar o problema com auxílio dos grafos. Alguns deles, inclusive, elaborando roteiros que

contribuem para forma algorítmica de pensar, ou seja, desenvolvendo procedimentos

organizados, finitos e definidos. Destacamos duas dessas soluções e apresentamos ao leitor

nas ilustrações abaixo:

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Ilustração 7.20

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Ilustração 7.21

Próximo ao encerramento do nosso quarto momento surpreendemos os alunos

entregando o problema 4. Por ter o enunciado muito extenso não o incluímos aqui, o leitor

pode constatar tal fato dirigindo-se ao apêndice IV onde o mesmo está reproduzido na íntegra.

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Os alunos leram a questão e perceberam a semelhança com os problemas 1 e 3, em

seguida, comentaram sobre o crescente grau de dificuldade em se modelar cada um dos

problemas, aproveitamos a oportunidade para uma discussão sobre a importância da

generalização dos modelos.

Como já era esperado, o tempo realmente não foi suficiente, tivemos que encerrar o

nosso quarto momento com a sensação de que poderíamos produzir mais. A modelação do

problema 2 com o auxílio dos grafos, pelo método de coloração dos vértices, acabou ficando

comprometida. Alguns alunos pediram para desenvolver a solução em casa, como se fosse

uma espécie de tarefa domiciliar, o que foi prontamente aceito por nós. De qualquer maneira,

ficamos satisfeitos, já havíamos coletado material suficiente para nossa análise dados.

6.5 Quinto momento: Encerramento da Oficina.

Para o quinto momento não havia mais nenhum tipo de surpresa guardada para o

nosso grupo. Desta vez não tínhamos sequer tempo para isso. Tratamos logo de recolher todo

material que havia ficado para trás ao longo dos encontros, pois, mesmo não sendo nada

oficial, a não ser o que combinamos no quarto encontro, sempre sugerimos que os alunos

dessem uma “olhada”, em casa, nos problemas que eram propostos na oficina, mas sem fazer

qualquer tipo de exigência para não se tornar um dever de casa.

Do material recolhido no último encontro, constatamos não haver grandes novidades

nas soluções apresentadas pelos alunos, basicamente os procedimentos continuaram bastante

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parecidos. Os que foram feitos em casa diferenciavam-se apenas no quesito acabamento, se

comparados aos resolvidos em sala de aula. Nada que pudesse fazer com que substituíssemos

alguma solução apresentada posteriormente ou que fizesse com que anexássemos agora no

quinto momento.

A grande e única surpresa ficou por conta da solução literal do problema 4 proposta

por um dos alunos da nossa oficina. Vamos reproduzi-la aqui para o leitor através da

ilustração 7.22.

Ilustração 7.22

Esclarecemos ao leitor que a inclusão do problema 4 tinha a finalidade de mostrar ao

aluno que existem situações-problema reais que podem ser modeladas por grafos, mas que,

em geral, estaríamos lidando com um grande número de vértices e com tantas possibilidades

de ligações entre dois deles seria imprescindível o uso dos recursos tecnológicos, no nosso

caso o computador. Com isso, seria necessária a criação de um algoritmo, ou seja, uma

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sequência ordenada de procedimentos, que uma vez traduzida para a linguagem

computacional, permite que sua realização seja executada pela máquina.

Antes do encerramento da oficina, fizemos os comentários finais sobre Modelagem

Matemática e sobre Teoria dos Grafos. Além disso, levantamos algumas questões relevantes,

como a postura do aluno em sala de aula como mero receptor de informações, sugerimos que

os mesmos questionassem mais a origem e a aplicabilidade das informações que são passadas

em sala de aula pelos professores. Procuramos encorajar e incentivar o grupo, mostrando a

importância da pesquisa, não só para o engrandecimento da Matemática, mas, para qualquer

área que fosse escolhida por cada um presente naquele encontro.

O nosso grupo manteve basicamente as mesmas características do primeiro ao último

encontro. Sempre tentando resolver os problemas individualmente, com uma certa dificuldade

na escrita, com exceção de poucos, buscando sempre conhecimentos anteriores para tentar

resolver os problemas propostos. Mesmo depois de inserirmos as noções de grafos, alguns

alunos ainda tentavam usar o princípio multiplicativo para resolver os problemas. Não

poderíamos deixar de relatar que os mesmos em nenhum momento realizaram uma pesquisa

via internet ou outro veículo para o aprofundamento das informações passadas na oficina, até

mesmo para testar a veracidade das mesmas. Esse, talvez, tenha sido o ponto negativo, mas,

vale lembrar, não fazia parte do nosso objetivo.

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7. Considerações Finais

Ao representarmos uma situação problema através de pontos e linhas, ligando dois

pares desses pontos, sem nos preocuparmos com o caráter métrico, estamos fazendo uma

modelagem em grafos – tarefa cumprida já no segundo momento da oficina, mesmo antes de

inserirmos os conceitos básicos sobre grafos.

Portanto, é possível inserirmos mais tópicos de Matemática Discreta na Educação

Básica. Os grafos apresentam um grande número de aplicações – já mencionadas – e a sua

abordagem requer menos condições matemáticas.

Além disso, apresentar a teoria através de uma situação problema ficando a

formalização do mesmo como etapa final é essencial para a construção do pensar matemático

que deve ser desenvolvido pelo educando, característica do processo de modelagem

matemática que contribui para a democratização da aprendizagem de um novo conteúdo.

Ressaltamos que no decorrer da oficina, os problemas foram inseridos de tal forma

que não aparentam ter conexão um com o outro, nem mesmo com a matemática.

Contribuindo, dessa forma, para o desenvolvimento, no aluno, da capacidade de transformar

problemas da realidade em problemas matemáticos.

Não podemos deixar de considerar que a conexão matemática entre os problemas –

já que usamos uma mesma teoria para modelagem matemática dos mesmos – confirma a

importância da generalização de modelos. Pois, uma vez criados, os modelos matemáticos

podem gerar previsões, estratégias e economia em tomadas de decisão, já que situações

diferentes podem admitir um mesmo modelo.

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Tivemos ainda o privilégio de vermos nossos alunos aplicando a técnica de

coloração de vértices na resolução de situações problema, o que, de certa forma, abrilhantou

ainda mais nossas expectativas. O leitor interessado poderá fazer contato e obter acesso a todo

material da oficina, inclusive os que não foram publicados neste trabalho.

Acreditamos que a Educação Matemática no Brasil caminha na direção correta,

desenvolvendo pesquisas visando uma reformulação do currículo da matemática na Educação

Básica, de forma gradual e democrática, com a participação de pesquisadores, professores e

alunos, para não cometermos os mesmos erros do passado quando tópicos foram impostos

sem a participação de todos os envolvidos com a educação brasileira.

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8. Referências Bibliográficas

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SECRETARIA DE EDUCAÇÃO MÉDIA E TECNOLÓGICA – Parâmetros Curriculares

Nacionais – Ensino Médio, editado pelo ministério da Educação. 1999.

SOUZA, M. C. (Org.). Pesquisa social: teoria, método e criatividade. 23. ed. Petrópolis:

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Apêndice I

Problema Um

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Problema 1.

No primeiro fim de semana de novembro deste mesmo ano, a Universidade do Grande

Rio estará promovendo uma série de palestras sobre Ecologia, Doenças Sexualmente

Transmissíveis (DST), Teoria da Relatividade e Estatuto da Criança e do Adolescente (ECA).

O “Público Alvo” está dividido basicamente em três grupos: Ensino Fundamental (EF),

Ensino Médio (EM) e Ensino Superior (ES). A palestra sobre Teoria da Relatividade estará

sendo oferecida somente para estudantes de nível superior, enquanto as sobre DST e ECA não

estarão sendo oferecidas aos estudantes de nível fundamental e superior, respectivamente.

Monte os horários das palestras, sabendo que serão oferecidas, no mesmo dia, durante

o turno da manhã, com as seguintes opções: 8h às 9h; 9h 30min às 10h 30min e 11h às 12h e

só existe um Professor disponível para cada palestra.

“Tudo deveria se tornar o mais simples possível, mas não simplificado”.Albert Einstein

MESTRADO EM ENSINO DAS CIÊNCIAS NA EDUCAÇÃO BÁSICA

Modelagem matemática

Orientadores: Prof. Dr. Abel Rodolfo Garcia Lozano Profª. Drª. Jacqueline de Cássia Pinheiro LimaMestrandos: Gessé Pereira Ferreira

Willian da Silva Leal

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Apêndice II

Problema Dois

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Problema 2.

Uma empresa de táxi aéreo deseja explorar as regiões Sudeste, Sul e Centro-Oeste do

Brasil. Para isso, em seu “Projeto Piloto”, instalou heliportos nas capitais de todos os estados

das regiões citadas e em Brasília.

Utilize o mapa abaixo e a tabela com as distâncias entre as capitais e faça uma

estimativa sobre as possíveis capitais “sedes” e o número mínimo de aeronaves necessárias

para a realização do projeto, sabendo que cada aeronave deverá atender em um raio máximo

de 1 000 Km.

“Para Tales... a questão primordial não era o que sabemos, mas como sabemos”.Aristóteles

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Orientadores: Prof. Dr. Abel Rodolfo Garcia Lozano Profª. Drª. Jacqueline de Cássia Pinheiro LimaMestrandos: Gessé Pereira Ferreira

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Apêndice III

Problema Três

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Problema 3.

Em uma escola, a quantidade de aulas semanais para cada currículo do Ensino Médio é dividida da seguinte maneira:

Matemática, 5 aulas;

Língua Portuguesa, 5 aulas;

Física, 4 aulas;

Química, 4 aulas;

Biologia, 3 aulas;

Língua Estrangeira, 3 aulas;

História, 3 aulas; e

Geografia, 3 aulas.

Monte o quadro de horários para o ano letivo de 2009, sabendo que a escola já possui alunos, pré-matriculados, suficientes para formar 20 turmas no “turno” da manhã. Use o mínimo de professores possíveis de cada currículo e, observe ainda, que nenhuma das turmas poderá ter mais de três aulas seguidas, do mesmo currículo, no mesmo dia. Use o quadro abaixo como modelo.

Início de cada aula Seg. Ter. Qua. Qui. Sex.

1.ª 7h 30min

2.ª 8h 20min

3.ª 9h 10min

10h intervalo intervalo intervalo intervalo intervalo

4.ª 10h 20min

5.ª 11h 10min

6.ª 12h

“Não há ramo da matemática, por abstrato que seja, que não possa um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real”.

Lobachevsky

MESTRADO EM ENSINO DAS CIÊNCIAS NA EDUCAÇÃO BÁSICAModelagem matemática

Orientadores: Prof. Dr. Abel Rodolfo Garcia Lozano Profª. Drª. Jacqueline de Cássia Pinheiro LimaMestrandos: Gessé Pereira Ferreira

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Apêndice IV

Problema Quatro

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Problema 4.

Uma universidade vai realizar os exames finais de seu curso de Engenharia Mecânica, que serão aplicados em n dias, cada um com apenas dois horários disponíveis para a realização dos mesmos, às 8h e 13h.

Alguns alunos estão matriculados em mais de uma disciplina, excetuando-se às disciplinas que possuem pré-requisitos ainda não atingidos pelo aluno, e assim não podemos marcar os exames das disciplinas que possam ter alunos matriculados em ambas, no mesmo horário. Observe que disciplinas que possuem pré-requisito não possuem alunos em comum com o seu pré-requisito, portanto podem realizar seus exames no mesmo horário e dia.

Observações:I) A sala é grande suficiente para todos os alunos matriculados numa determinada disciplina e satisfaz todas as características requeridas para a realização do exame.

II)Desde que obedeça a seu pré-requisito, um aluno pode estar matriculado em qualquer

disciplina, de qualquer período.

Crie uma tabela e horários em que todos os exames sejam associados a uma célula de horário, obedecendo às restrições acima citadas, e que permita que cada aluno possa fazer todos os exames que lhe cabem, sem que tenha que fazer dois exames num mesmo dia e hora, procurando realizá-los no menor número de dias possível.

MESTRADO EM ENSINO DAS CIÊNCIAS NA EDUCAÇÃO BÁSICA

Modelagem MatemáticaOrientadores: Prof. Dr. Abel Rodolfo Garcia Lozano Profª. Drª. Jacqueline de Cássia Pinheiro LimaMestrandos: Gessé Pereira Ferreira

Willian da Silva Leal

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O quadro abaixo mostra todas as disciplinas oferecidas, bem como seus pré-requisitos,

indicando a disciplina através do seu código.

Curso de Engenharia Mecânica: Grade Curricular

Código Disciplinas Pré-Requisito

101 DESENHO MECÂNICO -

102INTRODUÇÃO À ENGENHARIA MECÂNICA

-

103 CÁLCULO I -

104 GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES -

105 PROGRAMAÇÃO DE COMPUTADORES -

106 QUÍMICA GERAL -

107 LABORATÓRIO DE QUÍMICA -

108 COMUNICAÇÃO E EXPRESSÃO -

109 EDUCAÇÃO FÍSICA DESPORTIVA -

112 MÉTODOS COMPUTACIONAIS 103

113DESENHO COM AUXÍLIO DO COMPUTADOR

101

114 FÍSICA I 103

115 LABORATÓRIO DE FÍSICA I 114

116 CÁLCULO II 103 - 104

117 PRÁTICA DE OFICINAS -

118 PROPRIEDADES DOS MATERIAIS 106 - 107

119 PSICOLOGIA APLICADA -

122 FÍSICA IIII 114 - 115

123 LABORATÓRIO DE FÍSICA III 122

124CÁCULO NUMÉRICO EM COMPUTADOR

104 -112

125 ESTÁTICA 114 - 115 - 116

126INTRODUCÃO À ENG. DE FABRICAÇÃO

114 - 115 - 117

127TRANSFORM. DE D\FASES DOS MATERIAIS

118

128 CÁLCULO III 116

10

Período

20

Período

30

Período

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89

131 DINÂMICA 125

132 MECÂMICA DOS FLUÍDOS I 128

133 RSISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 125

134 TERMODINÂMICA 116 - 122 - 123

135 CIRCUITOS ELÉTRICOS 128

136 ESTÁTÍSTICA I 116

137 USINAGEM DOS MATERIAIS 118 - 126

138INTROD. DAS TÉCNIC. ELETROMAGNÉTICAS

122 - 123

141 ELETOTÉCNICA 127 - 138

142 LABORATÓRIO DE ELETROTÉCNICA 141

143 RESISTÊNCIA DOS MARTERIAIS II 133

144 MECÂNICA DOS FLUÍDOS II 132

145 TRANSFERÊNCIA DE CALOR I 132 - 13445

146 ELEMENTOS DO MÁQUIINAS I 131

147 DINÂMICAS DAS MÁQUINAS 128 - 131

148 ESTÁTISTICA II 136

149 ENSAIOS DOS MATERIAIS 135

152 VIBRAÇÕES MECÂNICAS 128 - 131

153 INTRODUÇÃO À ELETRÔNICA 138

154 LABORATÓRIO DE ELETRÔNICA 153

155 SISTEMA FLUÍDOSMECÂNICOS I 144

156 ELEMENTOS DE MÁQUINAS II 143 - 146

157CONTROLE DE SISTEMAS DE MECÂNICOS

147

158LABORATÓRIO DE ENG. DOS MATERIAIS

149

159PROCESSOS METALÚRG. DE FABRICAÇÃO

135

160 TRANSFERÊNCIA DE CALOR II 144 - 145

163 INTRODUÇÃO À ADMINISTRAÇÃO -

164 SISTEMA FLÚIDOS MECÂNICOS II 144

165 MÁQUINAS TERMICAS 160

166 ENGENHARIA DE QUALIDADE 148

167GERAÇÃO, DISTRIB. E UTILIZ. DO VAPOR

160

168 CONFORMAÇÃO MECÂNICA 126 - 135

169 SIST. DE PROD. E AUTOM. DE 148

40

Período

50

Período

60

Período

70

Período

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90

MANUFAT.

170 INSTRUMENTAÇÃO 143 -145 - 149

173 ORGANIZAÇÃO DE EMPRESAS 163

174CONTROLE TÉRMICOS DE AMBIENTES

160

175LABORAT. DE PROCESSOS DE FABRICAÇÃO

135 - 159 - 168

176 AUTOVEÍCULO 164 - 165

177 SELEÇÃO DE MATERIAIS 135

178 LABORATÓRIO DE CALOR E FLUÍDOS 155 - 160 - 164

179 ECONOMIA PARA ENGENHARIA 148

180 DIREITO -

183 SOCIOLOGIA -

184LABORATÓRIO DE SISTEMAS TÉRMICAS

165 - 166 - 173

185MÁQUINAS DE ELEVAÇÃO E TRANSPORTE

164 -165

186 CUSTOS INDUSTRIAIS 178

187 PLANEJ. E CONTROLE DA PRODUÇÃO 163

188 MANUTENÇÃO INDUSTRIAL 173

189 CIÊNCAIS DO AMBIENTE -

Disciplinas Optativas

Código DisciplinasPré-

RequisitoCrédito

194 PESQUISA OPERACIONAL 169 60 4

195PROJETO DO RODUTO E DA FABRICA

169 60 4

196SISTEMA CED / CAD / CAM EM ENGENHARIA

112 - 116 60 4

197DESENHO 3D COM AUXÍLIO DO COMPUTADOR

- 60 4

198 TÓPICOS EM ENGENHARIA - VAR. VAR.

80

Período

90

Período

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91

MECÂNICA I

199TÓPICOS EM ENGENHARIA MECÂNICA II

- VAR. VAR.

200TUBULAÇÕES E VENTILAÇÕES INDUSTRIAL

144 - 145 60 4

201PROJETOS DE SISTEMAS MECÂNICOS

166 60 4

202 USINAS HIDRELÉTRICAS 143 60 4

203ESTRUTURA METÁLICA PARA ENG. MECÂNICA

173 60 4

204ERGONOMIA E SEGURANÇA DOA TRABALHO

173

205 PROTEÇÃO ANTICORROSIVA 106 - 107

206ENGENHARIA MECÂNICA ROVIARIA

152 - 166

“É das hipóteses simples que mais devemos desconfiar; porque são aquelas que tem mais possibilidades de passar desapercebidas”.

Poincaré

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92

Anexo I

Distância entre as Capitais Brasileiras

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93

DISTÂNCIA ENTRE AS CAPITAIS BRASILEIRAS - em KmNúmeros acima do 0 (zero) = Distâncias AÉREAS / Números abaixo do 0 (zero) = Distâncias RODOVIÁRIAS

Aracaju BelémBelo

Horizonte

Boa VistaBrasíli

aCampo Grande Cuiabá

Curitiba

Florianópolis

Fortaleza

GoiâniaJoão

PessoaMacap

á

Aracaju 0 1.641 1.248 3.022 1.292 2.155 2.121 2.061 2.207 815 1.461 486 1.967

Belém 2.079 0 2.111 1.432 1.592 2.212 1.778 2.665 2.904 1.133 1.693 1.636 329

B. Horizonte 1.578 2.824 0 3.117 624 1.118 1.372 820 973 1.893 666 1.726 2.349

Boa Vista 6.000 6.083 4.736 0 2.496 2.667 2.107 3.370 3.620 2.562 2.503 3.067 1.110

Brasília 1.652 2.120 716 4.275 0 878 873 1.081 1.314 1.687 173 1.716 1.791

C. Grande 2.765 2.942 1.453 3.836 1.134 0 559 780 1.007 2.547 705 2.593 2.309Cuiabá 2.775 2.941 1.594 3.142 1.133 694 0 1.302 1.543 2.329 740 2.495 1.822

Curitiba 2.595 3.193 1.004 4.821 1.366 991 1.679 0 251 2.670 972 2.545 2.836

Florianópolis 2.892 3.500 1.301 5.128 1.673 1.298 1.986 300 0 2.857 1.215 2.693 3.082

Fortaleza 1.183 1.610 2.528 6.548 2.200 3.407 3.406 3.541 3.838 0 1.854 555 1.451Goiânia 1.848 2.017 906 4.076 209 935 934 1.186 1.493 2.482 0 1.889 1.868

João Pessoa 611 2.161 2.171 6.593 2.245 3.357 3.366 3.188 3.485 688 2.442 0 1.964

Macapá 0

Maceió 294 2.173 1.854 6.279 1.930 3.040 3.049 2.871 3.168 1.075 2.125 395

Manaus 5.215 5.298 3.951 785 3.490 3.051 2.357 4.036 4.443 5.763 3.291 5.808

Natal 788 2.108 2.348 6.770 2.422 3.534 3.543 3.365 3.662 537 2.618 185

Palmas 1.662 1.283 1.690 4.926 973 1.785 1.784 2.036 2.336 2.035 874 2.253

Porto Alegre 3.296 3.852 1.712 5.348 2.027 1.518 2.206 711 476 4.242 1.847 3.889

Porto Velho 4.230 4.397 3.050 1.686 2.589 2.150 1.456 3.135 3.442 4.862 2.390 4.822

Recife 501 2.074 2.061 6.483 2.135 3.247 3.255 3.078 3.375 800 2.332 120

Rio Branco 4.763 4.931 3.584 2.230 3.123 2.684 1.990 3.669 3.976 5.396 2.924 5.356

R. Janeiro 1.855 3.250 434 5.159 1.148 1.444 2.017 852 1.144 2.805 1.338 2.448

Salvador 356 2.100 1.372 5.794 1.446 2.568 2.566 2.385 2.682 1.389 1.643 949

São Luis 1.578 806 2.738 6.120 2.157 2.979 2.978 3.230 3.537 1.070 2.054 1.660

São Paulo 2.187 2.933 586 4.756 1.015 1.014 1.614 408 705 3.127 926 2.770

Teresina 1.142 947 2.302 6.052 1.789 2.911 2.910 3.143 3.450 634 1.986 1.224

Vitória 1.408 3.108 524 5.261 1.239 1.892 2.119 1.300 1.597 2.397 1.428 2.001

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94

DISTÂNCIA ENTRE AS CAPITAIS BRASILEIRAS -em KmNúmeros acima do 0 (zero) = Distâncias AÉREAS / Números abaixo do 0 (zero) = Distâncias RODOVIÁRIAS

Maceió Manaus Natal Palmas Porto Alegre

Porto Velho Recife Rio

BrancoR.

Janeiro Salvador São Luis

S. Paulo Teresina Vitória

Aracaju 201 2.673 604 1.235 2.580 2.946 398 3.359 1.482 277 1.226 1.731 903 1.102

Belém 1.680 1.292 1.550 973 3.188 1.886 1.676 2.333 2.450 1.687 481 2.463 750 2.275

B. Horizonte 1.439 2.556 1.831 1.178 1.341 2.477 1.639 2.786 339 964 1.932 489 1.652 378

Boa Vista 3.089 661 2.983 1.988 3.785 1.335 3.103 1.626 3.428 3.009 1.913 3.300 2.169 3.394

Brasília 1.485 1.932 1.775 620 1.619 1.900 1.657 2.246 933 1.060 1.524 873 1.313 947

C. Grande 2.352 2.013 2.654 1.320 1.119 1.634 2.530 1.827 1.212 1.905 2.284 894 2.132 1.490

Cuiabá 2.302 1.453 2.524 1.029 1.679 1.137 2.452 1.414 1.575 1.915 1.942 1.326 1.862 1.745

Curitiba 2.259 2.734 2.645 1.693 546 2.412 2.459 2.601 675 1.784 2.599 338 2.362 1.076

Florianópolis 2.402 2.981 2.802 1.931 376 2.641 2.603 2.809 748 1.930 2.821 489 2.573 1.160

Fortaleza 730 2.383 435 1.300 3.213 2.855 629 3.300 2.190 1.028 652 2.368 495 1.855

Goiânia 1.656 1.912 1.948 724 1.497 1.813 1.829 2.138 936 1.225 1.662 810 1.467 1.022

João Pessoa 299 2.819 151 1.521 3.066 3.200 104 3.632 1.968 763 1.162 2.216 905 1.581

Macapá 2.009 1.054 1.874 1.177 3.341 1.724 2.005 2.159 2.687 2.000 803 2.664 1.079 2.545

Maceió 0 2.778 434 1.383 2.775 3.090 202 3.510 1.671 475 1.234 1.928 929 1.282

Manaus 5.491 0 2.765 1.509 3.132 761 2.833 1.149 2.849 2.605 1.746 2.689 1.921 2.865

Natal 572 5.985 0 1.527 3.172 3.179 253 3.616 2.085 875 1.071 2.320 843 1.706

Palmas 1.851 4.141 2.345 0 2.222 1.711 1.498 2.127 1.512 1.114 964 1.493 835 1.413

Porto Alegre 3.572 4.563 4.066 2.747 0 2.706 2.977 2.814 1.123 2.303 3.142 852 2.909 1.536

Porto Velho 4.505 901 4.998 3.662 0 3.190 449 2.707 2.808 2.274 2.463 2.362 2.835

Recife 285 5.698 297 2.058 3.779 4.712 0 3.618 1.874 675 1.209 2.128 934 1.483

Rio Branco 5.039 1.445 5.533 3.764 4.196 544 5.243 0 2.982 3.206 2.726 2.704 2.806 3.156

R. Janeiro 2.131 4.374 2.625 2.124 1.553 3.473 2.338 4.007 0 1.209 2.266 357 1.979 412

Salvador 632 5.009 1.126 1.454 3.090 4.023 839 4.457 1.649 0 1.323 1.453 994 839

São Luis 1.672 5.335 1.607 1.386 3.891 4.434 1.573 4.968 3.015 1.599 0 2.348 329 2.023

São Paulo 2.453 3.971 2.947 1.776 1.109 3.070 2.660 3.604 429 1.962 2.970 0 2.091 741

Teresina 1.236 5.267 1.171 1.401 3.804 4.366 1.137 4.900 2.579 1.163 446 2.792 0 1.713

Vitória 1.684 4.476 2.178 2.214 2.001 3.575 1.831 4.109 521 1.202 2.607 882 2.171 0