universidade federal de santa catarina processos de ... · systems and of diffusion. the two models...
TRANSCRIPT
U N I V E R S I D A D E F E D E R A L DE S A N T A C A T A R I N A
P R O C E S S O S DE T R A N S P O R T E EM M I S T U R A S G A S O S A S : F O R M A S EX
P L l C I T A S DO S C O E F I C I E N T E S DE D I F U S Ã O O R D I N Á R I A E V I S C O S I D A D E
D I S S E R T A Ç Ã O S U B M E T I D A A U N I V E R S I D A D E F E D E R A L DE S A N T A CA
T A R I N A P A R A A O B T E N Ç Ã O DO GRVVtl-DE " M E S T R E EM CIÊNCIAS"'.
' S Ò N I A M A G A L H Ã E S D O S S A N T O S
/
F L O R I A N Ó P O L I S
S A N T A C A T A R I N A - B R A S I L
S E T E M B R O - 197 7
P R O C E S S O S DE T R A N S P O R T E EM M I S T U R A S G A S O S A S : F O R M A S E X P L ^
C I T A S D O S C O E F I C I E N T E S DE D I F U S Ã O O R D INAR IA E V I S C O S I D A D E
S O N I A M A G A L H Ã E S D O S S A N T O S
E S T A D I S S E R T A Ç Ã O F O I J U L G A D A A D E Q U A D A P A R A A O B T E N Ç Ã O DO
.TÍ T U L O DE
" M E S T R E EM C I Ê N C I A S "
E S P E C I A L I D A D E E N G E N H A R I A M E C Â N I C A E A P R O V A D A EM S U A F O R M A
F I N A L P E L O C U R S O DE P O S - G R A D U A Ç Ã O .
P R O F . P A U L O C E S A R P H I L I P P I , M . Sc
A P R E S E N T A D A P E R A N T E A B A N C A E X A M I N A D O R A C O M P O S T A D O S P R O
F E S S O R E S :
A
minha mãe, Edith
Aos
meus dois Newtons:
esposo e filho
. A G R A D E C I M E N T O S
A a u t o r a a g r a d e c e ã F u n d a ç ã o U n i v e r s i d a d e do Ri o
G r a n d e , a q ua l é v i n c u l a d a , p e l a sua l i b e r a ç ã o .
A o s P r o f e s s o r e s C l o v i s R a i m u n d o M a l i s k a e HyppcS
l i t o do V a l l e P e r e i r a F i l h o , p e l a a j u d a e i n c e n t i v o ; à
C A P E S , p e l a c o n c e s s ã o ■ de a p o i o f i n a n c e i r o ; â D i v a A n g £
l in a S a v i S c a l c o , p e l o r á p i d o a t e n d i m e n t o no p e d i d o d e
a r t i g o s c i e n t í f i c o s ; a o s P r o f e s s o r e s A r n o B o l l m a n n e MÚ_
cio S o u t o , p e l o e m p r é s t i m o do p r o g r a m a T R A L E ; ao s a m i
go s A n t ô n i o F á b i o C a r v a l h o da S i l v a , pe la c o o p e r a ç ã o
c o n s t a n t e , a O s m a r C o e l h o e P a u l o C a r l e s s o , p e l o s d e s e
n h o s e L u i z H e n r i q u e da S i l v a p e l a d a t i l o g r a f i a e a to
d o s os c o l e g a s e f u n c i o n á r i o s q ue c o l a b o r a r a m p a r a a
r e a l i z a ç ã o d e s t e t r a b a l h o .
De um m o d o 'e s p e c i a l , a g r a d e c e a o r i e n t a ç ã o a m i
ga , d e d i c a d a e o b j e t i v a do Pro f. P a u l o C e s a r P h i l i p p i .
Í n d i c e
P A G .
C A P Í T U L O I - I N T R O D U Ç Ã O ......;................ .................. 1
C A P I T U L O II - P R O C E S S O S DE T R A N S P O R T E EM M I S T U R A S B I N A
R I A S . ..................................... ........... . 4
2.1 - A E q u a ç ã o de B o l t z m a n n ............................. . 4
2.2 - A E q u a ç ã o G e r a l do T r a n s p o r t e ......................... 6
2.3 - 0 M é t o d o de E n s k o g ......................................... g
2.4 - V i s c o s i d a d e de S i s t e m a s . G a so s o s a u m C o m p o n e n t e . 16
2.5 - E x p r e s s õ e s G e r a i s p a r a os C o e f i c i e n t e s de Difu_
são O r d i n á r i a e V i s c o s i d a d e de M i s t u r a s B i n á r i a s 17
2.6 - As I n t e g r a i s de C o l i s ã o .................................. 20
C A P I T U L O III - P O T E N C I A I S I N T E R M O L E C U L A R E S ............ . - 23
3.1 - Os P o t e n c i a i s I nt e r m o 1 ecu l a r e s ............ ........... 23'
3 .2 - 0 P o t e n c i a l de L e n n a r d - J o n e s .......................... 24
3 . 3 - .0 P o t e n c i a l d e S u t h e r l a n d ............................... 25
3.4 - As I n t e g r a i s de C o l i s ã o p a r a o P o t e n c i a l d e Lejn
n a r d - J o n e s ............................................. '...... 25
3 .5 - As I n t e g r a i s de C o l i s ã o p a r a o P o t e n c i a l de Su
t h e r l a n d ....... ............ .................................. 28
C A P Í T U L O IV - 0 C O E F I C I E N T E DE V I S C O S I D A D E D E S I S T E M A S
G A S O S O S A UM C O M P O N E N T E ....................... 33
4.1 - E x p r e s s õ e s G e r a i s ............ ............... 3 3
4.2 - M o d e l o de S u t h e r l a n d ................... .................. 33
4. 3 - M o d e l o de L e nn a rd - J o n e s .............. .................. 34
4.4 - R e s u l t a d o s e C o m p a r a ç õ e s ................................ 35
V
VI
C A P Í T U L O V - O C O E F I C I E N T E D E D I F U S Ã O O R D I N Á R I A ...... 41
5.1 - E x p r e s s õ e s G e r a i s ................ -...... ............ 41
5.2 - M o d e l o de S u t h e r l a n d ................ .................... 42
5.3 - M o d e l o de L e n n a r d - J o n e s .......... ................ 47
5.4 - R e s u l t a d o s e C o m p a r a ç õ e s ............................... 54
C A P Í T U L O VI - V I S C O S I D A D E DE M I S T U R A S B I N Ã R I A S ......... 65
6.1 - P r e l i m i n a r e s ...................... ......................... 65
6. 2 A E x p r e s s ã o E x a t a ...................... .................. 65
6. 3 - A E x p r e s s ã o A p r o x i m a d a d e B u d d e n b e r g e W i l k e . . . 69
6.4 - R e s u l t a d o s e C o m p a r a ç õ e s .............................. 70
C A P Í T U L O V I I - C O N C L U S Õ E S ......................................... 74
B I B L I O G R A F I A .......................................................... . . 76
A P Ê N D I C E 82
vil
Í n d i c e d e _ t a b e l a s
' PAG,
fi) *T a b . 1 - A j u s t e d e ............. ........... . 27
f 2 1 *T a b . 2 - A j u s t e d e * ^ 1 2 ^ .......................... 27
Tab . 3 - V a l o r e s d e ....................................... 30
Tab. 4 - V a l o r e s de ....... .................... ......... 32
Tab. 5 - O C o e f i c i e n t e de V i s c o s i d a d e do N i t r o g ê n i o . .. 35
T a b . 6 - 0 C o e f i c i e n t e de V i s c o s i d a d e da A m ó n i a . . . . . . . 37
T a b . ' 7 - 0 C o e f i c i e n t e de V i s c o s i d a d e do D i ó x i d o d e Ejn
x o f r e ....................................................... • 39 v.
Tab. 8 - V i s c o s i d a d e de G a s e s S i m p l e s ....................... 40
^ g M é t o d o s de o b t e n ç ã o d o s p a r â m e t r o s de c o l i s ã o ,m o d e l o d e L e n n a r d - J o n e s .............................. - 4 3
Tab . 10 - C o e f i c i e n t e de D i f u s ã o O r d i n á r i a da M i s t u r a
H 2 -A .......................................................... 50
Tab. 1 1 - C o e f i c i e n t e de D i f u s ã o O r d i n á r i a da M i s t u r a
N 2 -C0 . ............................... ......... . ............ 57
Ta b. 12 - C o e f i c i e n t e de D i f u s ã o O r d i n á r i a - e m M i s t u r a s
B i n á r i a s ............................................... . • • 58
Tab . 13 - V i s c o s i d a d e da M i s t u r a H 2 ~ C 0 2 .................... 68
T a b . 14 - V i s c o s i d a d e da M i s t u r a H 2 - N 2 ■ ......... '........... 71
Tab . 15 - V i s c o s i d a d e de M i s t u r a s B i n á r i a s ................. 73
v l l l
I N C Í X C E D E F I G L I R A S
PAG.
Fi g . 1 - 0 C o e f i c i e n t e de V i s c o s i d a d e do N i t r o g ê n i o .... 35
Fig. 2 - 0 C o e f i c i e n t e d e V i s c o s i d a d e da A m ó n i a .......... 37
F ig . 3 - 0 C o e f i c i e n t e de. V i s c o s i d a d e do D i ó x i d o d e E n x £
f r e ............................................................ 39
Fig . 4 - C o e f i c i e n t e d e D i f u s ã o O r d i n á r i a da M i s t u r a
H 2 -A ............................................................ 49
Fig. 5 - C o e f i c i e n t e de D i f u s ã o O r d i n á r i a da M i s t u r a -
N 2 -C0 .......................................................... 56
Fig. 6 - V i s c o s i d a d e da M i s t u r a H 2 ~ C 0 2 ....................... - 67
Fig. 7 - V i s c o s i d a d e da M i s t u r a H 2 - N 2 ................ ....... 71
ix
R E S U M O
P r o c e s s o s d e t r a n s p o r t e em m i s t u r a s c a r a c t e r i z a m - s e por
uma g r a n d e i n f l u ê n c i a da t e m p e r a t u r a e c o n c e n t r a ç ã o d o s c o m p o n e n
t e s s o b r e os c o e f i c i e n t e s de t r a n s p o r t e .
N e s t e t r a b a l h o são b u s c a d a s f o r m a s e x p l í c i t a s , em pri_
m e i r a a p r o x i m a ç ã o , p a r a os c o e f i c i e n t e s de v i s c o s i d a d e e d i f u s ã o
o r d i n á r i a q u e s e j a m u t i l i z á v e i s em p r o b l e m a s de c o n t o r n o e n v o l
v e n d o m i s t u r a s , a t r a v é s do uso c o m p a r a t i v o dos p o t e n c i a i s m o l e c u
l a r e s de S u t h e r l a n d e L e n n a r d - J o n e s . Os p a r â m e t r o s de c o l i s ã o a,
e/ k e O l 2 ‘ e 1 2 ^ ^ s ^° c o n s i d e r a d o s c o mo p a r â m e t r o s de a j u s t e ã
r e a l i d a d e e x p e r i m e n t a l , t e n d o si do o b t i d o s em a m b o s os c a s o s , u_
san.do-se d a d o s de v i s c o s i d a d e de s i s t e m a s g a s o s o s a um componen_
te e de d i f u s ã o . Os d o i s m o d e l o s c o m os p a r â m e t r o s a j u s t a d o s são
c o m p a r a d o s c o m d a d o s e x p e r i m e n t a i s d e s t e s c o e f i c i e n t e s , ha fa_i
xa de 0 - 1 0 0 0 °C .
Os p a r â m e t r o s de c o l i s ã o a s s i m o b t i d o s são u t i l i z a d o s
p a r a o c á l c u l o da v i s c o s i d a d e de s i s t e m a s g a s o s o s a d o i s c o m p o
n e n t e s em c o n j u n ç ã o c o m as e x p r e s s õ e s e x a t a s de E n s k o g - C h a p m a n
e a p r o x i m a d a de B u d d e n b e r g e W i l k e .
Os r e s u l t a d o s e n c o n t r a d o s l e g i t i m a m a u t i l i z a ç ã o de
um p o t e n c i a l m o l e c u l a r "mais s i m p l e s ( S u t h e r l a n d ) p a r a a obteri
çã o de e x p r e s s õ e s p a r a os c o e f i c i e n t e s de v i s c o s i d a d e e d i f u s ã o
o r d i n á r i a .
T R A N S P O R T P R O C E S S I N . G A S E O U S M I X T U R E S : O R D I N A R Y D I F F U
S I O N C O E F F I C I E N T S A N D V I S C O S I T Y IN E X P L I C I T S F O R M S .
T r a n s p o r t p r o c e s s in m i x t u r e s ar e c h a r a c t e r i z e d by a
m a r k e d i n f l u e n c e of t h e t e m p e r a t u r e an d c o n c e n t r a t i o n of . t h é
c o m p o n e n t s on t h e t r a n s p o r t c o e f f i c i e n t s .
In t h i s w o r k we are l o o k i n g f o r e x p l i c i t s f o r m s , as a
f i r s t a p p r o x i m a t i o n , f o r t h e v i s c o s i t y a n d o r d i n a r y d i f f u s i o n
c o e f fi ci en t s. . T h e s e c o e f f i c i e n t s , we hope, w i l l be u s a b l e in
m i x t u r e s b o u n d a r y v a l u e s p r o b l e m s , by the. c o m p a r a b l e u s a g e of
S u t h e r l a n d an d L e n n a r d - J o n e s m o l e c u l a r p o t e n t i a l s . T h e c o l i s i o n
p a r a m e t e r s a, e/ k a n d 0 ^ 2 * e 1 2 w e r e a d m i t e d as adjusta_
ble p a r a m e t e r s to fit t h e e x p e r i m e n t a l d a t a , b o t h c a s e s hav e
b e e n o b t a i n e d , u s i n g v i s c o s i t y d a t a of o n e c o m p o n e n t g a s e o u s
s y s t e m s a n d of d i f f u s i o n . T h e t w o m o d e l s w i t h t h e a d j u s t a b l e pa_
r a m e t e r s w e r e c o m p a r e d w i t h e x p e r i m e n t a l d a t a in 0-1000°C tempjB
r a t u r e r a n g e .
T h e o b t a i n e d c o l i s i o n p a r a m e t e r s h a ve b e e n u s e d f o r
c o m p u t a t i o n of t h e v i s c o s i t y of d o u b l e c o m p o n e n t g a s e o u s s y s t e m s
t o g e t h e r w i t h t h e e x a c t e x p r e s s i o n of E n s k o g - C h a p m a n a n d t h e
a p r o x i m a t e d e x p r e s s i o n of B u d d e n b e r g and W i l k e .
T h e f o u n d r e s u l t s j u s t i f i e t h e us e of t h e s i m p l e mole_
c u l a r p o t e n t i a l ( S u t h e r l a n d ] in o r d e r to o b t a i n e x p r e s s i o n s fo r
v i s c o s i t y a n d o r d i n a r y d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t s .
1
C A P Í T U L O I
■ I N T R O D U Ç Ã O
P r o c e s s o s de t r a n s p o r t e em m i s t u r a s são c a r a c t e r i z a d o s
p e l a f o r t e d e p e n d ê n c i a d o s c o e f i c i e n t e s de t r a n s p o r t e da t e m p e r a
t u r a e c o n c e n t r a ç ã o d o s c o m p o n e n t e s , seu e s t u d o se r e v e s t i n d o de
i m p o r t â n c i a , t a n t o em s i t u a ç õ e s e n v o l v e n d o . e q u i p a m e n t o s indu-s-
t r i a i s ( p a r t i c u l a r m e n t e os da i n d ú s t r i a q u í m i c a ) , q u a n t o na ' aná_
l i s e de p r o c e s s o s n a t u r a i s , o n d e e s c o a m e n t o s p o d e m ser produz_i
do s ou m o d i f i c a d o s p e l a p r e s e n ç a de g r a d i e n t e s de t e m p e r a t u r a e
c o n c e n t r a ç ã o .
A s s i m , em s i s t e m a s de c o m b u s t ã o a v e l o c i d a d e de q u e i m a
de uma c h a m a c o n t r a a m i s t u r a ’não q u e i m a d a e s t á d i r e t a m e n t e rela_
c i o n a d a c o m a d i f u s ã o do s c o m p o n e n t e s qu e se f o r m a m p e l a disso_
c i a ç ã o do c o m b u s t í v e l na z o n a de r e a ç ã o [44]. Da m e s m a f o r m a ,
e s c o a m e n t o s a t m o s f é r i c o s são i n f l u e n c i a d o s a p r e c i a v e l m e n t e t a £
to p o r v a r i a ç õ e s da t e m p e r a t u r a q u a n t o da c o n c e n t r a ç ã o do v a p o r
d ' á g u a p r e s e n t e na a t m o s f e r a [45] .
0 p r o b l e m a da d e t e r m i n a ç ã o de f o r m a s e x p l í c i t a s p a r a
os c o e f i c i e n t e s de t r a n s p o r t e p a r a m e i o s g a s o s o s , c o n s t i t u í d o s
de m o l é c u l a s c o m g r a u s de l i b e r d a d e de t r a n s l a ç ã o a p e n a s ( a p r o x i
m a ç ã o m o n o a t ô m i c a ) p r ó x i m o s ao e q u i l í b r i o , f o i s u c e s s i v a m e n t e £
b o r d a d o por:
M a x w e l l [ l ] , q u e a t r i b u i n d o às m o l é c u l a s do m e i o um
c o m p o r t a m e n t o de e s f e r a s r í g i d a s , c o l i d i n d o d e m o d o e l á s t i c o , po_
de d e t e r m i n a r f o r m a s p a r a os c o e f i c i e n t e s de v i s c o s i d a d e , condiu
t i b i l i d a d e t é r m i c a e d i f u s ã o o r d i n á r i a em f u n ç ã o ..de,.-', p a r â m e t r o s
r e l a c i o n a d o s c o m o l i v r e p e r c u r s o m é d i o j
M a x w e l l [2 ], q u e em t e r m o s d a s e q u a ç õ e s d e transferêin
cia da m a s s a , q u a n t i d a d e de m o v i m e n t o e e n e r g i a - q u e e x p r e s s a m
a c o n s e r v a ç ã o d o s v a l o r e s m é d i o s d e s t a s q u a n t i d a d e s , o b t i d a s por
i n t e g r a ç ã o no e s p a ç o de v e l o c i d a d e s - p ô d e d e t e r m i n a r as p r o p r i £
d a d e s de t r a n s p o r t e , i n d e p e n d e n t e m e n t e do con he c. im en to da f u n ç ã o
d i s t r i b u i ç ã o , em m e i o s c u j a s m o l é c u l a s são p o s s í v e i s de s e r e m
a s s o c i a d a s a p o n t o s m a t e r i a i s , i n t e r a g i n d o e n t r e si c o m uma f°£.
ça r e p u l s i v a p r o p r o c i o n a l a r " ® ;
B o l t z m a n n [3], q ue i n t r o d u z i n d o a e q u a ç ã o de c o n s e r v a
ç ã o da f u n ç ã o d i s t r i b u i ç ã o de v e l o c i d a d e s f(r, c, t) (r = r a i o
v e t o r p o s i ç ã o ; c = v e l o c i d a d e m o l e c u l a r ; t = t e m p o ] , a e q u a ç ã o
d e B o l t z m a n n , p o d e d e t e r m i n a r a forma, da d i s t r i b u i ç ã o de veloc_i
d a d e s no e q u i l í b r i o : a f u n ç ã o d i s t r i b u i ç ã o d e M a x w e l l ;
H i l b e r t [4], q u e m o s t r o u c o m o a t e o r i a c i n é t i c a d o s g<3 .
ses p o d e ser f o r m a l m e n t e c o n s t r u í d a ( q u a n d o as m o l é c u l a s são
f e r a s e l á s t i c a s ) , p r o p o n d o um' m é t o d o d e s o l u ç ã o p a r a a e q u a ç ã o .
d e B o l t z m a n n a t r a v é s de a p r o x i m a ç õ e s s u c e s s i v a s e m o s t r a n d o q u e
o e s t a d o d e um g á s p r ó x i m o ao e q u i l í b r i o f i c a c o m p l e t a m e n t e defi_
n i d o p e l a t e m p e r a t u r a T, a v e l o c i d a d e m e d i a c 0 e a m a s s a espff--i
c í f i c a p ;
C h a p m a n [5], q u e r e t o m a as e q u a ç õ e s d e t r a n s f e r ê n c i a
de M a x w e l l , o b t e n d o os c o e f i c i e n t e s de t r a n s p o r t e em t e r m o s de
i n t e g r a i s de c o l i s ã o (que são f u n ç õ e s a p e n a s do p r o c e s
so de c o l i s ã o em si) para : i) c e n t r o s d e f o r ç a p r o p o r c i o n a i s a
r “p - ; , ii) e s f e r a s r í g i d a s e l á s t i c a s ; e iii) e s f e r a s r í g i d a s e_n
v o l t a s p o r um; c a m p o de f o r ç a s f r a c a m e n t e a t r a t i v o ( p o t e n c i a l de
S u t h e r l a n d ) ;
E n s k o g [6], q u e u t i l i z a n d o a p r o x i m a ç õ e s s u c e s s i v a s e a
s u b d i v i s ã o das d e r i v a d a s t e m p o r a i s de p , c 0 e T i n d u z i d a pe la
s u b d i v i s ã o da f u n ç ã o d i s t r i b u i ç ã o , f = f *■ ̂ ) + + f(2) + .
o b t é m a s e g u n d a a p r o x i m a ç ã o ã s o l u ç ã o da e q u a ç ã o de B o l t z m a n n ,
d e t e r m i n a n d o os c o e f i c i e n t e s de t r a n s p o r t e p a r a os t r ê s m o d e l o s
de i n t e r a ç ã o m o l e c u l a r c o l o c a d o s no p a r á g r a f o a c i m a ;
C h a p m a n e C o w l i n g [7], q u e e x p r e s s a m os c o e f i c i e n t e s
de t r a n s p o r t e , em q u a l q u e r a p r o x i m a ç ã o , em t e r m o s d a s i n t e g r a i s
de c o l i s ã o fijj^fr) » a t r a v é s da u t i l i z a ç ã o d e e x p a n s õ e s em poli_
n õ m i o s de S o n i n e ( i n t r o d u z i d o s p or B u r n e t t [42]) .
D e s d e C h a p m a n e C o w l i n g a p r e o c u p a ç ã o p e l o c á l c u l o d a s
i n t e g r a i s de c o l i s ã o , p a r a p o t e n c i a i s de i n t e r a ç ã o a r b i t r á r i o s em
m e i o s m o n o a t õ m i c o s , a p a r e c e l a t e n t e no s t r a b a l h o s d e H ir sc hf el _
der, B i r d e S p o t z (v. [9]), p a r a um p o t e n c i a l d e i.nteração de
L e n n a r d - J o n e s 1 2 -6 , c u l m i n a n d o c o m a o b t e n ç ã o d o s p a r â m e t r o s a
e e / k p a r a g a s e s s i m p l e s a p a r t i r de d a d o s de v i s c o s i d a d e l_9J
e de H a s o n (v. [2 3 ]) p a r a p o t e n c i a i s do t i p o E x p - 6 .
P a r a -a d i f u s ã o , t é c n i c a s e x p e r i m e n t a i s p a r a a deterrrâ
n a ç ã o do c o e f i c i e n t e de d i f u s ã o o r d i n á r i a em t e m p e r a t u r a s d i f £
r e n t e s da a m b i e n t e f o r a m d e s e n v o l v i d a s , c o m o as de N e y e A r m a
t e a d (v. [4 3] ), B o y d , S t e i n , S t e i n g r i m s o o n e R u m p e l [l3], A m d u r ,
I r v i n e , M a s o n e R o s s [ l 4 ] , S t r e h l o w [ l 6 ] , W a l k e r e W e s t e n b e r g [l9]
e' L i n e r e W e i s s m a n [37j , p o s s i b i l i t a n d o a C o n f r o n t a ç ã o dos m o d e
los c o m a r e a l i d a d e e x p e r i m e n t a l . e o c á l c u l o dos p a r â m e t r o s y de
colisão, i n e r e n t e s a e s t e s mod elos, p a r a a l g u n s p a r e s , u s a n d o - s e
os m é t o d o s g r á f i c o s da r a z ã o [lE>] , da . i n t e r s e c ç ã o [8] e da tran_s
l a ç ã o [l5j .
E s t e t r a b a l h o o b j e t i v a a o b t e n ç ã o de f o r m a s e x p l í c i t a s
p a r a os c o e f i c i e n t e s de d i f u s ã o o r d i n á r i a e v i s c o s i d a d e q ue se_
j a m u t i l i z á v e i s em p r o b l e m a s de t r a n s p o r t e e n v o l v e n d o m i s t u r a s .(Z ) *
E s t e s c o e f i c i e n t e s d e p e n d e m de i n t e g r a i s Cr], c u j a dependen_
cia de T* = k T / e i 2 p o d e ser d e t e r m i n a d a um a v ez q u e se c o n h e ç a
a r e l a ç ã o e n t r e o â n g u l o de d e s v i o x. 0 p a r â m e t r o de i m p a c t o b,
e a v e l o c i d a d e r e l a t i v a e n t r e d u a s m o l é c u l a s por o c a s i ã o da coli_
são, g . P a r a i s to , o p o t e n c i a l de i n t e r a ç ã o ¥ e n t r e c a d a pa r
de m o l é c u l a s n e c e s s i t a s e r c o n h e c i d o .
D o i s p o t e n c i a i s são u t i l i z a d o s , o d e S u t h e r l a n d e o de
L e n n a r d “J o n e s .
As i n t e g r a i s de c o l i s ã o a s s o c i a d a s c o m o p o t e n c i a l de
S u t h e r l a n d , são c a l c u l a d a s a d m i t i n d o - s e qu e a p a r t e a t r a t i v a ag e
c om o uma p e r t u r b a ç ã o s o b r e a p a r t e r e p u l s i v a .
(l ) *As i n t e g r a i s 2 tr] a s s o c i a d a s c o m o p o t e n c i a l de
L e n n a r d -J 0 nes e s t ã o t a b e l a d a s em t e r m o s de T* [lo].
r o í * ' r í 1 *O b t i d a s as r e l a ç õ e s (r) = íi12 (r) (T*3 p a r a os
d o i s p o t e n c i a i s , os d a d o s d e v i s c o s i d a d e e d i f u s ã o p o d e m e n t ã o
se r u s a d o s p a r a a d e t e r m i n a ç ã o d o s p a r â m e t r o s d e c o l i s ã o a [ a i 2 ),
e/ k (e 1 2 / k ) .
P R O C E S S O S D E T R A N S P O R T E EM M I S T U R A S B I N A R I A S
2.1 - A E Q U A Ç Ã O DE B O L T Z M A N N
P a r a um s i s t e m a g a s o s o s i m p l e s : i) c o n s t i t u í d o p o r mo
l é c u l a s i d ê n t i c a s p o s s í v e i s de s e r e m a s s o c i a d a s a p o n t o s m a t e
r i a i s , c o m p o t e n c i a l e s f e r i c a m e n t e s i m é t r i c o e de c u r t a a ç ã o ; i i )
s u f i c i e n t e m e n t e d e n s o de m o d o a qu e a sua f u n ç ã o d i s t r i b u i ç ã o de
v e l o c i d a d e s ,
dN ,f ( r , c, t) = ---1--- (2 .1 )
d r dç
(onde dN é o n ú m e r o p r o v á v e l de m o l é c u l a s qu e e n t r e os i n s t a n
t e s t e t + dt se e n c o n t r a m no e l e m e n t o de v o l u m e dr, e n t r e
r e r + dr , do e s p a ç o f í s i c o e c o m v e l o c i d a d e s e n t r e c e
ç + dç) p o s s a ser c o n s i d e r a d a um a f u n ç ã o c o n t í n u a do r a i o - v e t o r
p o s i ç ã o r, da v e l o c i d a d e c e do t e m p o t , m a s t a m b é m iii) sjj
f i c i e n t e m e n t e r a r e f e i t o de m o d o , qu e a p e n a s c o l i s õ e s b i n á r i a s ’
n e c e s s i t e m ser c o n s i d e r a d a s ; o p r o b l e m a da d e t e r m i n a ç ã o de f o r
m as e x p l í c i t a s p a r a as eq.uações de t r a n s p o r t e se r e d u z à s o l u ç ã o
da e q u a ç ã o de B o l t z m a n n £3J ,
3 f ■ 9 f 3f M l . .— + c . — . + a . — = li I (f f.. - ffi) gb db de dei (2 . 2 )31 ~ 3 r " 3 c J J J 1 -1
on de, a = f o r ç a e x t e r n a a g i n d o p o r u n i d a d e de m a s s a d ó g á s ;
g = [ç^-ç| = m o d u l o da v e l o c i d a d e r e l a t i v a e n t r e d u a s m o l é c u l a s
no i n s t a n t e da c o l i s ã o ; e = â n g u l o que d e f i n e o p l a n o de coli_
são; b = p a r â m e t r o de i m p a c t o ; f ’ = f ( r , c ^ , t ) , s e n d o c| a v e l £
c i d a d e da p r i m e i r a mò 1 écu la . a p ó s . a c o l i s ã o e~ f ̂ , f ( r , c ̂ t ) se_n
aòt.Hc| a v e l o c i d a d e da ■ s e g u n d á ' rno.l é c u l á a p ó s a co 1 i são , 1 a s'" in t_e
,.grais s e n d o a v a l i a d a s s o b r e t o d o o e s p a ç o de v a r i a ç ã o d a s variá_
v e i s de i n t e g r a ç ã o .
9 e f— , r e f l e t e a t a x a de v a r i a ç a o do n ú m e r o de m o l é c u l a s do gás
em r, dr e c o m v e l o c i d a d e s em c, dc no i n s t a n t e t, dt devi_
do ao p r o c e s s o d e c o l i s ã o n e c e s s i t a n d o , p a r a a sua a v a l i a ç ã o em
t e r m o s de r, ç e t , do r e l a c i o n a m e n t o e n t r e e s t a s v a r i á v e i s e
as v a r i á v e i s c' e c^ , o qu e é f e i t o [7] a t r a v é s do â n g u l o de
d e s v i o x da v e l o c i d a d e r e l a t i v a g ,
0 t e r m o da d i r e i t a da e q u a ç ã o (2.2), t a m b é m e s c r i t o
í b d r X ( b , g) = n - 2 --- ----------- ----------- ----—— (2.3)
''rm r'2 [ l _ (b/r) -2 (ip / n g )]
on d e , 41 = e n e r g i a p o t e n c i a l de i n t e r a ç ã o e n t r e c a d a pa r de molé_
c u i a s ; n = mm]_/(m + m]_) = m a s s a r e d u z i d a , m . m j = m a s s a s da s molécu_
las qu e c o l i d e m ; r = d i s t â n c i a e n t r e os s e u s c e n t r o s ; e r m = d i s
t â n c i a m í n i m a de aproximação-, A s o l u ç ã o de,
1 - ( b / r )2 - 2 \p/r)g2 = 0 (2.4)
dá o v a 1 o r d e r m •
P a r a u ma m i s t u r a b i n á r i a , a d m i t i n d o - s e as m e s m a s hipõ_
t e s e s f e i t a s a c i m a , a e q u a ç ã o de B o l t z m a n n p a r a o p r i m e i r o corapo
n e n t e a s s u m e a f o r m a ,
3 f 1 3fi 3 f 1 3 efi---- + c, . ---- + a n . — A. = - 1—L (2 .5 )3t 3r 3 ç x 3t
3 e f 1o t e r m o de c o l i s ã o ----- s e n d o e s c r i t o co mo a soma de d u a s con
3t _ t r i b u i ç õ e s c o r r e s p o n d e n t e s às t a x a s de v a r i a ç ã o da f u n ç ã o distr_i
b u i ç ã o f^(r, c ]_ , t) d e v i d a s âs c o l i s õ e s de m o l é c u l a s de m e s m a
e s p é c i e ,
3 e^ 1J
1 - 1( - ^ p ) =|yl( f , f í " f f l 3 l n b db dE d s (2 .6 )
e de e s p é c i e s d i f e r e n t e s ,
1 - 2
o n de ,
§11 = I - ‘ - 1 ' e §12 ' -1 " -2
2 . 2 - A E Q U A Ç Ã O G E R A L DO T R A N S P O R T E
2 . 2 . 1 - G á s s i m p l e s
Se 0 é u m a p r o p r i e d a d e i n e r e n t e a uma m o l é c u l a (0 = m,
0 = mç , 0 = 1 / 2 m c z ), a sua e q u a ç a o de c o n s e r v a ç a o p o d e ser obt_i
da m u l t i p l i c a n d o - se a . e q u a ç ã o (2 .2 ] p o r 0 e i n t e g r a n d o - s e a equa
ç ão r e s u l t a n t e s o b r e t o d o o e s p a ç o de v e l o c i d a d e s .
■ í ‘
30 V-f- dc = \ 0 ^ 2— dç (2 .8 )
_i f) - ° 0 ° ond e, V = .~r- + ç . —r— + a . —r— dt ' dr 3 c
D e s e n v o l v e n d o - s e os t e r m o s da e q u a ç ã o (2 .8 ) e e x p r e s -
sando-s'e a e q u a ç ã o r e s u l t a n t e em t e r m o s d a s v a r i á v e i s r, C, t ,
o n d e Ç = c - c Q = v e l o c i d a d e de f l u t u a ç ã o de uma m o l é c u l a , e
So (r,t) = (l/n ) f . ç d ç = v e l o c i d a d e m é d i a ' d o gás, o b t é m - s e
- Dn 0 3 3 ---- n 0 ' " 3 0n A 0 = —--- + n 0 —5— . c n + — . n 0 C - n { ^ - + +■
Dtr v • L » n ■ l i JCJ w n i - . , w ' ~9r ~° 3 r ~ Dt - 9r
D Ç q , 30 30 P _j*_
Dt ‘ 3C " 3Ç - : 3r+ (a -' Trf—O . ~ - Ç : c 0 } (2.9)
' D 3 3 - ron d e , ---- 3 ---- + c 0 . ----- ; g = ( l / n ) g f dc = v a l o r m e d i o de
Dt 3t - 3T J„ , - Ç 3 e
g pa ra uma f u n ç a o gtr, o, t) a r b i t r a r i a ; n A 0 = 1 0 — — dç =✓ (3 "C
ta xa de v a r i a ç ã o da p r o p r i e d a d e 0 p or c o l i s õ e s na u n i d a d e de
v o l u m e . ; n = n ú m e r o de m o l é c u l a s do gás p or u n i d a d e de v o l u m e ,
e i n d i c a o d u p l o p r o d u t o e s c a l a r ( a :b ]= £ E a a g b g a .
1 2F a z e n d o - s e s u c e s s i v a m e n t e 0 = m ; 0 = . m C e- 0 = j mC
o b t é m - s e , r e s p e c t i v a m e n t e , as e q u a ç õ e s de c o n s e r v a ç ã o d a - m a s s a ;
7
d a q u a n t i d a d e d e m o v i m e n t o e d a e n e r g i a p a r a o gás,
D t ar -°
3 °Ço. p - P ( a --------) = 0 [2.11)
3r = ~ Dt
D (nE ) _ 3 a 3------- + nE ---- . c n + ---- . q + p : ---- c n = 0 C2.12)Dt 3 r 3r . ~ s 3r ~°
on d e , p = nm = m a s s a especifica do g a s ; , p = p C C = t e n s o r t e n -
- 1 2 sao; E = e n e r g i a de t r a n s l a ç a o d e u m a m o l é c u l a do g a s = — mC e
q = nEC r e p r e s e n t a a d e n s i d a d e d e f l u x o de c a l o r .
D e sd e qu e ,
Ê = KT (2.13)2
3 n Kc v = ------- - (2.14)
2 p
o nde, k = c o n s t a n t e d e B o l t z m a n n e T é a t e m p e r a t u r a a b s o l u t a ,
a- e q u a ç ã o (2 .1 2 ) p o d e ser r e e s c r i t a ,
D (P c v T ) 3 3 3 ---- -- --------- t p c v T ) . 5o * q * ç = ~ S o = 0
ou, u s a n d o - s e a e q u a ç ã o (2 .1 0 )
D (c0 T ) 3 3.p -------- + —— . q + p : ---- ç D = 0 (2.15)
Dt 3£ “ ■ = . 3r
2 .2 . 2 - M i s t u r a s b i n á r i a s
A p a r t i r da e q u a ç ã o (2.9), f a z e n d o p a r a o p r i m e i r o g á s
6
1 2de uma m i s t u r a g a s o s a , &i = , J32 = m lÇl' ^ 3 = 2" m lC i e d e ’ m£.
do s i m i l a r p a r a o s e g u n d o gás, ao s o m a r m o s 0 s - r e s u l t a d o s são ob_
t i d a s as e q u a ç õ e s de c o n s e r v a ç ã o da m a s s a , da q u a n t i d a d e de movi_
m e n t o e de e n e r g i a , .a s ab er ,
DP
Dt+ p
9 r(2.16)
9r
D g 0 .
Dt(2.17)
D C n E ) _ 9 ;; 3+ nE (-— . c n ) +
Dt 9 £ 9 r
on de, .p.= n-^m^ + r>2m 2 = m a s s a e s p e c í f i c a da m i s t u r a ;
p = p i Ç 1 Ç 1 + p 2 - 2 Ç 2
11 n n 2 „ ̂ 1 n n 2 „ ê 1 n 2 1 p 29 ” 2 1 1 1 2 2 2 2 ; “ 2 m l 1 2 m 2 2
= — f Si dc^. p a r a u m a f u n ç ã o g i C r , cj, t) 1 n i /
va ao c o m p o n e n t e i.
r e l a t i
Do m e s m o m o d o , p a r a 0^ = 1 na e q u a ç ã o (2.9), o b t é m -
se a e q u a ç ã o da d i f u s ã o p a r a o p r i m e i r o c o m p o n e n t e .
Pl
Dt 9 rÇo + 9r
(j 1 ) = 0 (2 . 18)
on d e , j 1 = Pi Cj = d e n s i d a d e de f l u x o d i f u s i v o do c o m p o n e n t e 1 .
3 3n kU s a n d o - s e E = —1— KT e c,
• 2n e r g i a p o d e ser c o l o c a d a na f o r m a ,
9D ■ (c w T )
Dt 9 r
2 p, a e q u a ç a o da js
3 £Ço
(2.19)
as e q u a ç õ e s ( 2 . 1 6 ) , ( 2 . 1 7 ) , ( 2. 18 ) e (2.19) se c o n s t i t u i n d o nu m
s i s t e m a de s e i s e q u a ç õ e s e s e i s i n c ó g n i t a s (p^, P, T e as t r ê s
c o m p o n e n t e s da v e l o c i d a d e c 0 ) a m e n o s d a s d e n s i d a d e s de f l u x o
j 1 , p e q qu e n e c e s s i t a m do c o n h e c i m e n t o d a s s o l u ç õ e s f]_ e f 2
da e q u a ç ã o de B o l t z m a n n ( e q u a ç ã o (2 .5)) p a r a s e r e m a v a l i a d a s em-
t e r m o s de p^, p , ç 0 e T .
2. 3 - 0 M É T O D O D E E N S K O G
As eqs . , (2 . 1 0 ) , (2..11-) e (2 .1 5 ): c q u e a va. 1 ia.rri :a s d e r i v a d a s
t e m p o r a i s de n, ç 0 e T, e n v o l v e m os f l u x o s p e q os q u a i s
d e p e n d e m do c o n h e c i m e n t o d e f p a r a a sua d e t e r m i n a ç ã o . A d m i t i n
d o - s e q ue a e q u a ç ã o (2 .2 ) p o s s a s e r r e s o l v i d a po r a p r o x i m a ç õ e s su
c e s s i v a s , as d e r i v a d a s t e m p o r a i s de n, c Q e T d e t e r m i n a m a de
f í O l q u e a f e t a , p o r s ua vez, a e q u a ç ã o da q u a l f d ) é d e t e r m i
nada. No e n t a n t o , f a i n d a não e s t á c o m p l e t a m e n t e d e t e r m i n a d a
n e s t e e s t á g i o . E s t a d i f i c u l d a d e f o i c o n t o r n a d a por E n s K o g [6] u_
s a n d o as d i v i s õ e s em Vf e 3 ef / 3 t i n d u z i d a s p e l a d i v i s ã o de
f.
P a r a um s i s t e m a g a s o s o a um c o m p o n e n t e , a e q u a ç ã o de •
B o l t z m a n n , e q u a ç ã o (2.2), p o d e s e r c o l o c a d a na f o r m a
e ( f ) = 0 (2 .2 0 )
ón d e ,•■n 9 e f
e ( f ) = P f + J ( f f 2 ) e J ( f f 2 ) -------— .31
l u ç ã o f
A s u b d i v i s ã o de f a c a r r e t a uma s u b d i v i s ã o no t e r m o
£( f ) em p a r t e s + J ^ ^ ) c a d a uma da s ■ f m se n d o
e s c o l h i d a s de m o d o a que,
e C 0 ) = e ) (f (0 ) ) = q (2 .2 2 )
P a r a m e i o s p r ó x i m o s ao e q u i l í b r i o , E n s k o g o b t e v e a s£
da e q u a ç ã o (2 .2 0 ) p o r a p r o x i m a ç õ e s s u c e s s i v a s , f a z e n d o
f = f ( 0 ) + f í l i + f (2 ) + (2 .2 1 )
e a s s i m s u c e s s i v a m e n t e , a s o l u b i l i d a d e d a s e q u a ç õ e s (2 .2 2 ) ,
(2 .2 3) , .... s e n d o o c r i t é r i o p a r a a d i v i s ã o de e(f ) nas p a r t e s
e ^ i 3 . S u b s t i t u i n d o - s e a e q u a ç ã o (2.21) na e q u a ç ã o (2.20) e u s a n
d o ~ s e a l i n e a r i d a d e d o s o p e r a d o r e s V e J ,
E ( f ) = J ( f f 1 ) + t?(f)
= J ["( E f [r] ) ( E í ] + P CS f trI )r . s r
= ííí( E f C r 3 ' E f C s ] ' - I f C r ] ,E db de. d c 1 +r s r s
a r C r ) ' 3 v r ( r ) 3 ( r )+ —%— £ f + c *---- f + a • ---- f
31 dr r - - 3ç
= E E 3 (f ír3f 1ts3 ).+ £ PCf Cr ] ) r s
= J (f ) + J ( f ( C n f j n ) + J ( f C l 3f 1( 0 ) ) + ... +.
CO), . flrjí(l)P ( f ) + P f f ) +
(2.24)
A d e r i v a d a t > ( f ^ 3 ) c o n t é m t e r m o s p r o p o r c i o n a i s a
JLü ̂ JLL e —r° -f q u e p o r sua vez , d e p e n d e m d o s f l u x o s ,3t ’ 3t 3 t
p = ^ m C C f d c (2.25)
e
5 = / " T " m C 2 C f d c (2.26)
A s u b d i v i s ã o de f i n t r o d u z uma s u b d i v i s ã o n os f l u x o s
p e q
(0 ) (1 ) - (2 ) r? 971p = p + ' p + <P **■«•• 12« 27 J
11
(r ) C Cr)p = J m C Ç f l dç r = 0, 1. ... C2.28)
q = Q f ü ̂ + q C1 ̂ + q (2 -1 + . . . (2.29)
o n d e ,
qC r ) = J l m c 2 C f [ r ) dc . r = 0 , 1 , ... (2.30)
de m o d o que, as e q u a ç õ e s qu e r e l a c i o n a m as g r a n d e z a s m a c r o s c ó p i
cas (2 .10), (2.11) e (2.15) p o d e m s e r r e e s c r i t a s na f o r m a ,
9 n ” r 9 r n 9 o n 9 l n 9— = l \ + A ---- + ... -------— . ( n c Q ) (2.31)9 1 r = 0 9 1 9 1 9 1 9 r - °
e i g u a l a n d o i g u a i s p o t ê n c i a s de X ,•
9 o n 9----------. [n c _) (2.32)
9 1 9 r
9 r n
9 10 r > 0 (2.33)
a i n t r o d u ç ã o do c o e f i c i e n t e X Á v i s a n d o c a r a c t e r i z a r os t e r
mo s de m e s m a o r d e m .
O b s e r v a n d o o m e s m o p r o c e d i m e n t o f e i t o na e q u a ç ã o (2. 31 )
o b t é m - s e ,
^o ^o ^ 1 9 (o )------ = - (cD . ---- ) c 0 + a - ---- ---- . p (2.34)9 t ~° 9r p 9r
9 Ç n ̂ 9 r r 1. p lrJ (r > o) (2.35)
3t ' p 9£. =
9 0 tc vT3 9 f _ P C0) 3 Ç 0 1 9 C0 ) ---------- = - c n . ---- (c,,T) - ------ : ----- - - — ---- . q
91 - • p ■ 9 r p 9 r ~(2.3 6)
12
a r (cv T:i 1 3 (r) g Cr) . 3 n ---:------- = - — •---- . q - ------ : —-— c 0 r > 0 [2.37)
B t P ô r " P 3 r ~
P a r a uma f u n ç ã o - a r b i t r á r i a F que d e p e n d a de t a t r a
v é s d o s p a r â m e t r o s n, c 0 , T a r - é s i m a d e r i v a d a t e m p o r a l de F
p o d e se r c o l o c a d a i g u a l a,
3 r F 3 F 3 r n 3F 3 r? o 3F 9 r T= — - 2— + ---- . - ^ - 2- + --- (2.38)
3 1 3 n 3 1 3 ç 0 ,3t 3T 3t
Da m e s m a f o r m a , a d e r i v a d a Vf e o t e r m o J ( f f i ) são
s u b d i v i d i d o s ,
Vf = (— + x — + ... + c . ——— + a • —-—) ( f í0:i+ X f C 1 ) + . . . ) =3 t 3t 3 r 3c
3 Q f (0) 3 f (0 ) 3 f t°) 3 x f t 0 ^= .(-------- + c , ------- + a . ------- ) + X (--------- +
3 1 • " 3 r " 9 Ç 3 1
3 f (l) 9 f (l) 9 f (l)
+ -------- + c «------- + a .------- 3 + . . . (2.39)3 1 3 Í - 3 ç
j ( f f x ) = j(f.í oí f j o í ) + X [ j ( f c o ^ f ^ ^ + j ( f !l 0) f m ] +
+ X 2 [jf'f[1) f ^ 1 3 ) +■ ...] + ... (2.40)
A d e t e r m i n a ç ã o d o s t e r m o s d e Vf e J ( f f j ) q ue c o m r
~ [ í ) ** «Vp o e m c a d a e ( c o r r e s p o n d e n t e a s u b d i v i s ã o de e ( f) ) d e v e ser
c o e r e n t e co m o f a t o de q u e em m e i o s p r o x i m o s ao e q u i l í b r i o os
p r o c e s s o s d i s s i p a t i v o s - i s t o é, os p r o c e s s o s de c o l i s ã o - são
b a s t a n t e m a i s i n t e n s o s que os p r o c e s s o s g e r a d o s p e l o s g r a d i e n t e s
(r )i m p o s t o s . Ist o e q u i v a l e a d i z e r q u e em c a d a e q u a ç a o p a r a f ,
3 e f C r ') n (r) - •---- -—— >> j ou que os i - e s i m o s t e r m o s da e q u a ç ã o (2.39)
3 t
são de m e s m a o r d e m qu e os .i + 1 - é s i m o s t e r m o s da e q u a ç ã o (2.40).
L o g o ,
V [0) = 0 (2.41)
e c o r r e s p o n d e n t e m e n t e .
j t o ) . f ( o ) j [ 2
J U I ■- J C f C 0 3 f j 1 3 ) + J ( f ^ 03 f [ 1 ] ) (2
As e q u a ç õ e s e ^ 3 = O c o r r e s p o n d e n t e s ao mo do de
d i v i s ã o acima são t o d a s s o l ú v e i s (c on fo rm e [7]), o b t e n d o - s e ,
e (D) , J (01 , „ ( 0 ) , J ( f (0> f (0), , 0 (2
E (i) . , 1 1 1 , p d ) , J ( f [0 ) f ( l ) ) t
S o f 1-03 3 f ̂ 0 ̂ 3 f (0:)+ c.------- + a.------- = 0 (2
A e q u a ç a o (2.45) c o n d u z [3] ã,
An f “” m f { 0) - tn f’(0) * tn f\!OÍ . (2
e, p o r t a n t o , £.n f ^ 3 é u m i n v a r i a n t e de c o l i s ã o , s e n d o uma
b i n a ç ã o l i n e a r de i n v a r i a n t e s ,
„ + i2) m r * „ l3) I m r 2 r2í , n f = a + a . mC + a m L
o n d e , a ^ 3 , a ^23 e a ^ 3 são c o n s t a n t e s em r e l a ç ã o a.C.
O b t e n d o -se a ^ 3 , a ^23 e a ̂ 3 , d e t e r m i n a - s e
f tü) , n . B - m C 2 / 2 K T (2
2n KT
.43)
.44 )
sub-
. 4 5 )
.46 )
.47)
corn
.48)
.49)
qu e é a p r i m e i r a a p r o x i m a ç ã o da f u n ç ã o d i s t r i b u i ç ã o d e vel o:c ida_
de s, a f u n ç ã o d i s t r i b u i ç ã o de M a x w e l l . ' .
D a í d a s e q u a ç õ e s (2 .2 8) , ( 2. 30 ) e (2 .49) v ê - s e q u e os t e r m o s
(0 ) (0 )P -
na s e q u a ç õ e s (2.34) e (2 .36 ) são r e s p e c t i v a m e n t e i g u a i s a zero
e a p ^ ^ = n kT .5 , a p r e s s ã o h i d r o s t á t i c a .js •*
A p a r t i r do m o d o de d i v i s ã o de c a d a um a d a s equaçõ^es
= 0 , é p o s s í v e l d e t e r m i n a r a s e g u n d a a p r o x i m a ç ã o de f .
Da e q u a ç ã o (2.2), d e B o l t z m a n n , e s c r i t a em t e r m o s da
v e l o c i d a d e de f l u t u a ç ã o C e ,
D0 í-n f (o:i
Dt
Do *(0 )
Dt(0 )
(2.50)
o b t é m - s e , da e q u a ç ã o (2.42)
+ C ’Dt 3r
1 . - + —
P
8 P 3í.n f
ar 3 C
(0 )
3 í, n f ( 0 )
3C
3
3 r(2.51)
p o d e n d o ser r e e s c r i t a na f o r m a
= f (o)(C2 - 5/2 ) C . V £ n T + 2 C°C : V c,
on d e ,
m 1/2 C = (-- - —-) C
2k T
(2.52)
(2.53)
C°C = C C ----— 6 ( ô : C C) (2.54)
com.
<5 = d e l t a de K r o n e c k e r
P o r o u t r o l ad o, d e f i n i n d o - s e .
15
n 2 I C F ) 5 f tG) ( F 1 + F - F ’- F I ) g n 'b d b de (2.55)
e r e l a c i o n a n d o - s e a e q u a ç ã o a c i m a c o m a e q u a ç ã o ( 2 . 4 4 ) , o b t é m - s e
J C i ) = n 2 I ( 0 ( 1 ) ) (2.56)
a d ) ' m - * {0) c J 11o n d e 0 e d e f i n i d o p o r f = f 0 .
S u b s t i t u i n d o - s e a s e q u a ç õ e s (2.51) e (2.56) na e q u a ç ã o
(2 .4 6) , o b t é m - s e ,
n 2 I ( 0 C 1 ) ) = -f [0) { (C 2 -5 /2 ) Ç.VÍ,n T + 2 Ç°Ç : V c 0 } (2.57)
A l i n e a r i d a d e de I C 0 } ) em 0 ^ ^ ( c o n f o r m e a e q u a ç ã o
(2 . 5 5 ) ) e do la do d i r e i t o da e q u a ç ã o (2.57) em Ví,n T e V c 0 m o £
t r a q u e a s o l u ç ã o 0 ^ ^ da e q u a ç ã o (2.57) d e v e ser u m a c o m b i n a
çã o l i n e a r de V & n T e V ç Q , p o d e n d o ser e s c r i t a [7 ] na f o r m a ,
r 1 ) 1 2 KT 1 / 2 2• =. ---- (---- ) A . V £ n T - ---- B : Vc_ + os-, +
n m ' n *
1 2+ a-, . mC + a q ---- m C (2.58)
~ J 2
1 y - ~ « —o n d e + a 2 • mÇ + - — m . C e a s o l u ç ã o da e q u a ç a o h o m o g £
nea a s s o c i a d a ã e q u a ç ã o (2 .5 7),
n 2 I ( 0 m ) = 0 (2.59)
S u b s t i t u i n d o - s e 0 ^ ' * da e q u a ç ã o ( 2 .5 8) na e q u a ç ã o
( 2.57), o b t é m - s e as e q u a ç õ e s i n t e g r a i s em A e B s e g u i n t e s ,
n I (A ) = f t0 ) ( C 2 - 5 / 2 ) Ç (2.60)
n I(B) = f (0) Ç°C (2.61)
as â q u a ç õ e s a c i m a s e r v i n d o p a r a m o s t r a V q u e A e B d e v e m t e r
a f o r m a A = A ( C ) Ç e B = B( C) Ç ° Ç . P o r o u t r o l a d o , as defi_
n i ç õ e s ,
16
J■ M ' i
dc = n (2.62)
c f d c - s n ç 0 (2.63)
m C 2 d c = — KT (2.64)2
p o d e m s e r u s a d a s p a r a m o s t r a r q u e = “3 = P * com,
/■f [0 í A ( C ] C 2 d ç = 0 (2.65)
a e q u a ç ã o (2.65) se c o n s t i t u i n d o co mo uma c o n d i ç ã o a u x i l i a r â d_e
t e r m i n a ç ã o de A , em a d i ç ã o ’ ã e q u a ç ã o (2.60).
Um a vez d e t e r m i n a d o 0 ^ 3 a s o l u ç ã o f da e q u a ç ã o
(2 .2 ) p o d e e n t ã o s e r e s c r i t a , em s e g u n d a a p r o x i m a ç ã o ,
f = f CCn (1 + 0 C1 1 ) (2 .6 6 )
2.4 - V I S C O S I D A D E DE S I S T E M A S G A S O S O S A UM C O M P O N E N T E
Da' d e f i n i ç ã o da d e n s i d a d e de f l u x o d e q u a n t i d a d e de mo
v i m e n t o ,
? 3 I m C C f dc (2.67)
e d a s e q u a ç õ e s (2.66) e ( 2 .5 8) , o b t é m - s e a e x p r e s s ã o q u e determi_
na 0 d e s v i o , em r e l a ç ã o â p r e s s ã o h i d r o s t á t i c a , do t e n s o r p
d ) r 1 3 c°i a c°j 1 , 1p.. = - 2 y (------ + ——— ) ------- ( V . C 0 ) 6 -m
1 2 3 x j 3 x -i 3 - 1JJ
o n d e ,
y = KT [B, b ] (2.68)
é 0 c o e f i c i e n t e de v i s c o s i d a d e e
[?■ ?] ■B : I( B) dc (2.69)
0 t e n s o r B p o d e ser d e t e r m i n a d o da e q u a ç ã o ( 2 . 6 1 ) , fa
z e n d o - s e a. e x p a n s ã o de B ( C 2 ) em p o l i n ó m i o s de S o n i n e ^ 2 ^ , .
00
B = E b p S ^ õ t C 2 ) P = 1
d e f i n i d o por,
S n C x } = l ( - x ) P (m + n ) / p ! ( n - p ) !m p = 0 n ' P
/
o n d e [ m + n ) n _p = ( m + n ) ( m + n - l ) . . . ( m + p + l ) , e s a t i s f a z e n d o a ■ '’re l a
•ção de o r t o g o n a l i d a d e ,
- x „ ( p ) , , c ( q ) f , 5/2 . _ ,e S 5 / 2 5/2 ^x ^ * x dx = 0 p a r a p / q
= "H (5/2 + p +1) p a r a p = q
(2.70)
o b t e n d o - s e o s i s t e m a de e q u a ç õ e s l i n e a r e s no s c o e f i c i e n t e s b p de
B ( C 2 ] # s e g u i n t e ,
CO
£ b p b pq = 5/2 para.; q = 1 (2 71)
P = 1= 0 p á r a q ^ 1
o n de .
b pq Ç ° Ç s t p - l ) ( C 2 ) , C ° C s ' ^ n ( C 2 ) (2.72)
E m p r i m e i r a a p r o x i m a ç ã o , de a c o r d o c o m as e q u a ç õ e s
(2.71) e (2. 68) ,
5 KT
M i 'b l 1
(2.73)
2 . 5 - E X P R E S S Õ E S G E R A I S P A R A O S C O E F I C I E N T E S D E D I F U S Ã O O R D I N Á
R I A E V I S C O S I D A D E DE M I S T U R A S B I N A R I A S .%
P a r a m i s t u r a s c o n s t i t u i d a s de d o i s c o m p o n e n t e s , u m a ex^
t e n s ã o dos m é t o d o s do s pagfos. 2. 3 e 2.4 c o n d u z [7 ] à s o l u ç ã o , em
s e g u n d a a p r o x i m a ç ã o , da e q u a ç ã o (2.5), o b t e n d o - s e p a r a as d e n s i
d a d e s d e f l u x o , d e m a s s a e q u a n t i d a d e de , m o v i m e n t o ;
P m-i m 2 P i P 2 P 1 •= - --------- °12 { * 1 V£ n P]_ - ----- -(a-j-aj)- V p + k f Ví,n T}
m 2 ■ PP ” ~ ■ PP -■ 0
«V ;v . (2.74)
f 1 1 Tl 9 C 0 i 3 c o -j I 1 .P . = - 2 y - (— --- + - -— ) - - (V. c o ) 6 ±i ( 2 . 7 5 )iJ 12 í x , . 3 X i 3 " ^ J
o n d e .
D 22 = C o e f i c i e n t e d e D i f u s ã o O r d i n á r i a = ( n i n 2 / 3 n ) {D ,D}
(2.76)m 0 = m x + m 2
kj E R a z ã o d e d i f u s ã o t é r m i c a = { D , A } / { D , D } (2 .77)
2y = . V i s c o s i d a d e da m i s t u r a = —-— k n 2 T { B , B } (2.78)
Os t e r m o s { A , A } , { A , D}, { D , D } e { B , B } são a g r u p a m e n
t o s do tipo,
{ F , G } = x 2 [ F , G J 1 + ■x1x2 L f x + F 2 . G ! + G 2 ] i 2 + ><2 [F -GJ 2 C 2 *79)
o n d e [F.G]]^ e [ F . G ^ são i n t e g r a i s do t i p o ,
[ F , G ] 1 = | G 1 í 1 (F) d c x (2.80)
c o m Gi = G ( c -̂ ) . e
I ! (F ) = — ~ í ( l f { 0) f í0) (Fj + F - F ^ - F ’ ) g x i b db d e dc (2.81)
1
e ,
f F i + F 2 ̂ G l + G 2lf CO) (0) ( - F ' -F ’ )1 2 1 2 1 22 J 1 2 2 n i n 2 )■
x ( G 2 + G 2 ”G 2 “ d t> - d £ d c ̂ ^ ̂ 2 (2 *8 2 )
os t e r m o s A ]_, A 0 , , B 2 * D ± e D 2 s e n d o , os c o e f i c i e n t e s d a s s£
l u ç õ e s 8 C*a s 0 2 u n d a a p r o x i m a ç ã o ã e q u a ç ã o de Bolt:z
m a n n , e q u a ç ã o (2.5),
(1) a CO) ( i _ a . V i n T - Ü T . [ x 1 7 A n p x - ( a , - a 2 )- — Vp] -J. I ~ P p ~ ~ Pp
- 2 §i : V c 0 } (2.83)
ri ] rni r P 1 P 2 p 1 -if , = f , J ( l - A 2 . V £ n T - D 2 . [xiViln P l --------- ( a i “a 2 ) ---------V p ] -* ^ " P P ” ~ P p
- 2 B 2 : V c 0 } (2.84)
Da m e s m a f o r m a que nos p a g f o s 2 .3 é 2.4, e s t e s c o e f i
c i e n t e s s a t i s f a z e m as e q u a ç õ e s i n t e g r a i s ,
f j 0:i (C2 - 5/2) Ci = n 2 11 f A 1 ) + n 2 n 2 I i 2 [A i + A 2 ) '(2.85)
r n i 7 7f ^ UJ ( q . - 5/2) ç 2 = n 2 + n i n 2 ^ l ^ l * ^ (2.86)
x - 1 f j 03 C x = n 2 1 1 (Di ) + n : n 2 I 1 2 ( D 1 + D 2 ) ( 2 . 8 7 )
- x " 1 f 2 Ü) Ç 2 = n 2 1 2 ̂ 9 2 ̂ + n 1 n 2 1 21 í D 1 + D 2 ) (2.88)
■f { 01 C !0 Ç 2. = n 2 I ]_ C D + n 1 n 2 l 12 í B x + B 2 ) (2.89)
r n ) „•* o 7f 2 C 2 Ç.2 = n 2 I 2 C§2 3 + n 1 n 2 1 21 [§l + §2) ' (2.90)
q u e ' p o d e m ser r e s o l v i d a s f a z e n d o - s e a e x p a n s ã o d e s t e s c o e f i c i e n
t e s em p o l i n ó m i o s de S o n i n e .
Na e q u a ç ã o (2.74 ) os q u a t r o t e r m o s q u e c o m p õ e m o lado
d i r e i t o da e q u a ç ã o e s t ã o a s s o c i a d o s , r e s p e c t i v a m e n t e :
i) à t e n d ê n c i a de d i f u s ã o d o s c o m p o n e n t e s p a r a r e d u z i r a fal
ta de h o m o g e n e i d a d e cio g a s , c ü j a r c o m p o s i ç ã o , não é' u n i f o r m e
ii) ã a ç ã o d i f e r e n c i a d a de um c a m p o de f o r ç a s e x t e r n o s o b r e
os d o i s c o m p o n e n t e s , c o r r e s p o n d e n d o , p . e x . , ã d i f u s ã o de
p a r t í c u l a s c a r r e g a d a s e l e t r i c a m e n t e n u m gás i o n i z a d o sob
a ç ã o de um c a m p o e l é t r i c o ;
iii) à t e n d ê n c i a d e d i f u s ã o d a s m o l é c u l a s m a i s p e s a d a s p a r a
r e g i õ e s de m a i o r p r e s s ã o d e v i d o à não u n i f o r m i d a d e d e £
ta, e f e i t o u t i l i z a d o , p. e x . , na c e n t r i f u g a ç ã o de. g a s e s ;
iv) ã i n f l u ê n c i a d e g r a d i e n t e s de t e m p e r a t u r a r e s u l t a n d o em
d i f u s ã o t é r m i c a no s e n t i d o de m o d i f i c a r o e s t a d o de h o m £
g e n e i d a d e do gás, p e r m i t i n d o a s e p a r a ç ã o p a r t i c u l a r m e n
te de m i s t u r a s de i s ó t o p o s , u t i l i z a n d o - s e , p. ex., a co
lu na d e s e p a r a ç ã o de C l u s i u s e D i c k e l (v. [7]) .
2. 6 - AS I N T E G R A I S D E C O L I S Ã O
2 . 6 . 1 - D e t e r m i n a ç ã o d a s i n t e g r a i s de c o l i s ã o
P a r a se d e t e r m i n a r os c o e f i c i e n t e s de t r a n s p o r t e é njs
c e s s á r i o a v a l i a r - s e as i n t e g r a i s do t i p o d e f i n i d o p e la e q u a ç ã o
(2.72).
I st o i m p l i c a em e f e t u a r i n t e g r a ç õ e s s o b r e t o d a s as va_
r i á v e i s , e s p e c i f i c a n d o um e n c o n t r o e n t r e d u a s m o l é c u l a s , o q u e
p o d e ser f e i t o s o m e n t e q u a n d o a n a t u r e z a da i n t e r a ç ã o e n t r e elas
é c o n h e c i d a .
C h a p m a n e C o w l i n g [7 ] m o s t r a r a m q ue é p o s s í v e l e x p r e s(£ )
s ar as i n t e g r a i s a c i m a em f u n ç a o de i n t e g r a i s de c o l i s ã o ír )
d e f i n i d a s por,
s n 1/2 J°°J e " Y y 2 r + 2 ( 1 - c o s * x) gb db dy (2.91)
o n d e ,
21
2 . 6 . 2 - V i s c o s i d a d e de s i s t e m a s g a s o s o s a um c o m p o n e n t e
U s a n d o - s e a d e f i n i ç ã o a c i m a , e q u a ç ã o (2 .9 1) , a e q u a ç ã o
(2 .7 3 ) p o d e s e r r e e s c r i t a na f o r m a ,
U = 5 KT / 8 0 C2] (2) (2.92)
o •c o e f i c i e n t e de v i s c o s i d a d e p o d e n d o e n t ã o ser o b t i d o , em p r i m e i
ra a p r o x i m a ç a o , a p a r t i r do c o n h e c i m e n t o do p o t e n c i a l i n t e r m o l ^
c u l a r , da e q u a ç ã o (2.91) e da e q u a ç ã o Ç2.3) (que e x p l i c i t a x = X
(g , b ) ) . . -
2 . 6 . 3 - V i s c o s i d a d e e d i f u s ã o de m i s t u r a s b i n á r i a s
A f i m de se o b t e r e x p r e s s õ e s m a i s s i m p l e s p a r a estes,
coefici e n t e s . , p o d e - s e d e f i n i r ,
A = n { 2) (2) / 5 n ^ J Cl). (2.93)
E = KT / 8 M 1 M 2 (2.94)
o n de ,
m-, m ? —i— e 1% = ----
■ ■ m o
p o d e n d o - s e r e e s c r e v e r as e q u a ç õ e s (2.76) e (2.78) na f o r m a ,
3E
1 2 n m 0
(2.95)
x 1 R 1 x 2 R 2 + Xj x 2 R 12
1 x í R l / [«l]1* x 2 R 2 / t“2 V !<l ><2 R 12
(2.96)
o n d e ,
R = 1 + M, A / M 9 , R, s I + n 2 A/M-, (2.97)I 3 1 ^ ^
R 12 5 E / 2 + E / 2 [^2 ] i + 2 C2/3-A) (2.98)
R 12 = E / 2 [ y ^ [y2lt + 4 A / 3 E M 2 (2.99)
□s c o e f i c i e n t e s de v i s c o s i d a d e p a r a s i s t e m a s g a s o s o s
a um c o m p o n e n t e e p a r a m i s t u r a s b i n á r i a s , e q u a ç õ e s (2.92) e
(2 .96 ), são a n a l i s a d o s no s C a p í t u l o s IV e VI, e 0 c o e f i c i e n t e de
d i f u s ã o o r d i n á r i a , e q u a ç ã o ( 2 . 9 5 ) , é a n a l i s a d o no C a p í t u l o V, pa_
ra d o i s p o t e n c i a i s de i n t e r a ç ã o , S u t h e r l a n d e L e n n a r d - J o n e s , co
l o c a d o s no C a p í t u l o III.
P O T E N C I A I S I N T E R M O L E C U L A R E S
3.1 - OS P O T E N C I A I S I N T E R M O L E C U L A R E S •
As e x p r e s s õ e s o b t i d a s no C a p í t u l o II a p l i c a m - s e a qual_
q u e r t i p o de m o l é c u l a s - e s f e r i c a m e n t e s i m é t r i c a s p o s s u i n d o some_n
- (&)te e n e r g i a de t r a n s l a ç a o , ma s e l a s e n v o l v e m as f u n ç õ e s (r),
q u e p o d e m s o m e n t e ser a v a l i a d a s q u a n d o a lei d e i n t e r a ç ã o e n t r e
as m o l é c u l a s é c o n h e c i d a .
E n t r e os m a i s c o n h e c i d o s e s t ã o os m o d e l o s m o l e c u l a r e s :
i) de e s f e r a s ' r í g i d a s sem c a m p o s de f o r ç a s ;
ii) de S u t h e r l a n d , c a r a c t e r i z a d o p o r e s f e r a s r í g i d a s e n v o l t a s
por um c a m p o de f o r ç a s f r a c a m e n t e a t r a t i v o j
iii) de L e n n a r d - J o n e s 12 - 6 , c a r a c t e r i z a d o p o r um c a m p o de fojr
ç as r e p u l s i v o a c u r t a s d i s t â n c i a s e a t r a t i v o a d i s t â n c i a s
m a i o r e s ;
iv) de B u c k i n g h a m m o d i f i c a d o CExp. 6), c a r a c t e r i z a d o p o r um
c r e s c i m e n t o - e x p o n e n c i a l da p a r t e r e p u l s i v a , a c u r t a s dijs
t â n c i a s , em c o n t r a s t e ao c r e s c i m e n t o p r o p o r c i o n a l a r Y do
p o t e n c i a l de L e n n a r d - J o n e s ;
0 ma is u t i l i z a d o em p r o b l e m a s de t r a n s p o r t e [38] s e n d o
o p o t e n c i a l de L e n n a r d -J o n e s 1 2 - 6 , c a r a c t e r i z a d o p o r s o m e n t e dois
p a r â m e t r o á , e x t e n s i v a m e n t e c a l c u l a d o s p a r a s i s t e m a s g a s o s o s , es
p e c i a l m e n t e a p a r t i r de d a d o s de v i s c o s i d a d e de g á s s i m p l e s . 0
p o t e n c i a l de B u c k i n g h a m m o d i f i c a d o [ E x p . -6), m e n o s e x p l o r a d o em
r e l a ç ã o ao a n t e r i o r , r e f l e t e m e l h o r , no e n t a n t o , as c a r a c t e r í s t i
cas de um p o t e n c i a l i n t e r m o 1 e c u 1 a r r e a l [7 J s ua c o l o c a ç ã o em t e r
mo s de t r ê s p a r â m e t r o s (na l u g a r de d o i s ) , a j u s t á v e i s a o s d a d o s
e x p e r i m e n t a i s , a p a r e n t e m e n t e c o n t r i b u i n d o p a r a uma m e l h o r aproxjl
m a ç á o a e s t e s d a d o s . 0 a u m e n t o de p r e c i s ã o q u e se o b t é m no cálcu^
lo d o s c o e f i c i e n t e s de t r a n s p o r t e p e l a u t i l i z a ç ã o d e s t e p o t e n
c i a l é, c o n t u d o , p e q u e n o [7 ].
24
N e s t e t r a b a l h o , em c o n j u n ç ã o c o m a p r o b l e m a da defcerrni
n a ç ã o d e f o r m a s e x p l í c i t a s p a r a os c o e f i c i e n t e s de v i s c o s i d a d e e
d i f u s ã o o r d i n á r i a , d o i s p o t e n c i a i s são d i s c u t i d o s : o de L e n n a r d -
J o n e s e o de S u t h e r l a n d .
3. 2 - 0 P O T E N C I A L DE L E N N A R D -J O N E S '
A d m i t e - s e q u e a f o r ç a F e n t r e as m o l é c u l a s sej a 're_
p u l s i v a q u a n d o p r ó x i m a s e a t r a t i v a q u a n d o a f a s t a d a s . I s t o p o d e
■ser r e p r e s e n t a d o a t r a v é s de uma f o r ç a [7] ,
ond e,
F =•12rY
'12
-Y ’C 3 . 1 ]
r = é a. s e p a r a ç ã o i n t e r m o l e c u l a r
K.1 2 » ^12* Y e y' = s®° c o n s t a n t e s e y > . y ’ .
Em g e r a l , é c o n v e n i e n t e u s a r a e n e r g i a p o t e n c i a l d e ijn
t e r a ç ã o r ) , qu e se r e l a c i o n a c o m F a t r a v é s de.
F Cr) =d ip
d r(3.2)
Q u a n d o ^( r) = 0 , r t ò r n a - s e ig u a l a,
l
K 12 CY * - 1 D
K Í 2 tY - D
y - y >
C 3 . 3 }
P o r o u t r o lado, o v a l o r m í n i m o de i|>(r) c o r r e s p o n d e a,
r • Y - i - , - 1 Y - Y 9 1 y
e ■1 2 -
( Y - l ) CY -13 KY "
12 J
y-y(3.4)
Os p a r â m e t r o s a i2 e E 12 J c'ue d i m e n s õ e s de c o m
p r i m e n t o e e n e r g i a , r e s p e c t i v a m e n t e , são c o n s t a n t e s c a r a c t e r í s
t i c a s d as m o l é c u l a s q u e c o l i d e m .
Em t e r m o s d e a i2 e e 12 ' ^ C r ) se e s c r e v e ,
25
ip ( r 3 = 3 £ 1 2 i í g 1 2 ^ r ̂ ~ ^ 0 1 2 ^ r ̂ ^ ̂ ( 3 . 5 )
o n d e , ' 1
1 [ Y - l ) Y ' l n£ =
Y - Y c y ’- d y ’- i
Y “ Y(3.6)
P a r a m o l é c u l a s e s f é r i c a s e não p o l a r e s , t o m a n d o - se
Y - 13 e Y ' = 7 , ’{'(r) é d e n o m i n a d o o p o t e n c i a l d e L e n n a r d -
J o n e s 12-6,
iMr ) = 4 e 12 { (a1 2 / r ) 12 - (a 1 2 / r ) 6 } (3.7)
3 . 3 - 0 P O T E N C I A L DE S U T H E R L A N D
P a r a o c a s o em q u e K.}2 >:> K ^ 2 , c o n f o r m s a e q . ( 3 . 1 ) ,
a p a r t e a t r a t i v a do p o t e n c i a l de i n t e r a ç ã o p o d e ser c o n s i d e r a d a
c om o uma p e r t u r b a ç ã o s o b r e a p a r t e r e p u l s i v a , e ..os. t e r m o s ~ âm
9 (^ 1 2 ̂ d e s p r e z a d o s . A s s i m , . p a r a a d i s t r i b u i ç ã o de e n e r g i a p o t e n
c i a i de S u t h e r l a n d ,
' M r ) = co r < a 12
- ‘ 6 (3.8)12
ip(r) = - £ 2 2 (---- ) r > °12
3.4 - AS I N T E G R A I S D E C O L I S Ã O P A R A 0 P O T E N C I A L DE L E N N A R D -J O N E S
Os c o e f i c i e n t e s de t r a n s p o r t e , na sua f o r m a m a i s o p e r a
c i o n a l , são a p r e s e n t a d o s ( e q u a ç õ e s (4.1) e (5 .1 )) em f u n ç ã o de
( & )o , d e f i n i d a por,12 [rJ
n (!t) , •_ Q 1 2 < r )
U )
12 (r) = « ( M n r . , (3.9)12 (r) e s f e r a s r í g i d a s
o n de .
26
• r£ *s i g n i f i c a f i s i c a m e n t e o d e s v i o de q u a l q u e r m o d e l o
12 [ r Jp a r t i c u l a r em r e l a ç ã o ao m o d e l o i d e a l d e e s f e r a s
r í g i d a s , e 1
r a ]. . - r . . r e p r e s e n t a a i n t e g r a l de c o l i s ã o
• 12 (r) e s f e r a s r í g i d a s & ....p a r a u m p o t e n c i a l de i n t e r a ç ã o c_a
r a c t e r i z a d o por
ip ( r ) = » r < a-, ?
(3.1tl)
.ijí (r ) = 0 • r i . a 1 2
P a r a o p o t e n c i a l de L e n n a r d - J o n e s 1 2 - 6 as i n t e g r a i s
f o r a m c a l c u l a d a s po r H i r s c hf eld e r , B i r d e S p o t z [sQ e
e n c o n t r a m - s e t a b e l a d a s [ l o j , em f u n ç ã o da t e m p e r a t u r a r e d u z i d a
*ü 12 (r)
T* , d e f i n i d a por.
kT
12T* = ------ (3.11)
ond e,
. k = é a c o n s t a n t e de B o l t z m a n n , em ergs/° K
T = é a t e m p e r a t u r a da m i s t u r a g a s o s a , em °K .
Os v a l o r e s d a s i n t e g r a i s d e c o l i s ã o ^ 2 ^ ( 1 ) e ^ 1 2 ^ ( 2 )
f o r a m a j u s t a d o s em f u n ç ã o de T* , a t r a v é s do m é t o d o d o s m í n i
m os q u a d r a d o s , u s a n d o - s e o p r o g r a m a T R A L E (" T ra d u t o r de Lingu_a
g e m E s t a t í s t i c a " ) [4 1 J qu e a u x i l i a em c á l c u l o s e s t a t í s t i c o s de a_
n á l i s e de r e g r e s s ã o .
A f a i x a de v a r i a ç ã o de T* é de 0 , 3 0 a 4 0 0 . F o r a m
t e s t a d a s v á r i a s e x p r e s s õ e s de a j u s t e e d i v e r s a s d i v i s õ e s d e s t e
i n t e r v a l o . As q u e m e l h o r e s r e s u l t a d o s a p r e s e n t a m e s t ã o e s p e c i f i
c a d a s nas T a b e l a s 1 e 2.
27
T A B E L A 1 - A j u s t e de 1 1 2 ̂ C13
I N T E R V A L O E X P R E S S Ã O
E R R O M É D . %
E R R O
m A x . %
I N C I D . ER R O .
MÃX. (T* )C O E F I C I E N T E S
0,3 ± T* 1 - 1 A + B l o g T * + C ( l o g T * ) 2 0 . 1 2 2 0 . 28 9 0.3
A = 0 . 6 9 4 7 1 4 9
B = 0 . 3 5 3 2 4 5 2
C= 0 . 0 7 2 5 4 3 5 3
1 < T * <. 5 A + B l o g T * + C ( l o g T * ) 2 0 . 1 0 1 0 . 288 1 . 3 5
A = 0 . 6 9 3 2 4 7 4
B= 0 . 3 6 8 2 9 3 1
C;=-0. 0 3 7 6 1 0 7 2
5 < T * <. 4 0 0 A + B l o g T * + C ( l o g T * ) 2 0 . 2 3 8 0 . 574 10
A = 0 . 9 2 9 7 3 0 1
B= 0 . 1 3 6 5 9 6 8
C = 0 . 0 1 7 9 1 5 9 7
T A B E L A 2 - Aj u s t e de 1 / 2 ^(2 )
-
I N T E R V A L O E X P R E S S Ã OE R R O M Ê D . %
E R R O M Á X . %
I N C I D . E R R OM Ã X . ( T * )
C O E F I C I E N T E S
0, 3 <_ T* <_ 1 A + B l o g T * + C ( l o g T * D'2 0 . 1 1 8 0 . 3 1 2 0.7
A = 0 . 6 2 9 9 3 64
B = 0 . 3 2 6 7 5 6 2
C = 0 . 0 8 4 3 4 5 8 1
1 < T*' :<_ 5 A + B l o g T * + C ( l o g T * ) 2 0 . 1 3 1 0 . 346 1. 3
A = 0 . 6 2 8 2 3 5 1
B = 0 . 3 5 0 7 9 4 9
C = ~ 0 . 0 4 3 5 5 4 4 2
5 < T* <_ 4 0 0 A + B l o g T * + E (l o g T * ) 2 0 . 2 1 4 0. 535 10
A = 0 . 8 5 6 8 9 8 1
B= 0 . 1 2 0 0 8 8 6
C = 0. 0 1 3 8 4 3 1 1
3 . 5 - AS I N T E G R A I S DE C O L I S Ã O P A R A O P O T E N C I A L D E S U T H E R L A N D
D e f i n i n d o - s e
y = b / r (3.12)
y 0 = b / o 12 (3.13)
. V m = b / r m - (3.14)
a eq. ( 2 . 3 ) c o r r e s p o n d e n t e ao â n g u l o de d e s v i o p a r a o p o t e n
c ia l de S u t h e r l a n d t o r n a - s e ,
Ô ■/ V m - E ^ í y / Y o 5 1 / 2
X = n - 2 / (1 - y 2 + — ---_ - — dy (3.15)'0 K T y
E n c o n t r o s c u j o s p a r â m e t r o s de i m p a c t o seja s u p e r i o r a
o\2 i n d u z e m , n e s t e c as o , um t e r m o p r o p o r c i o n a l a K \ 2 ^ no intjí
g r a n d o de - c o r r e s p o n d e n t e a 1 - c o s ^ X, X.7~\ , p o d e n d o
ser d e s p r e z a d o , em c o e r ê n c i a c o m a s e c ç ã o (3.3). I s t o i m p l i c a :
i) e m c o n s i d e r a r a p e n a s e n c o n t r o s c u j o p a r â m e t r o de i m p a c t o .este
ja e n t r e 0 e °\2 ! e 1 -*-) em f a z er rm » a d i s t â n c i a m í n i m a eji
t r e os c e n t r o s d a s m o l é c u l a s em c a d a c o l i s ã o , i g u a l a 0 1 2 (ou
y m = y D í■
E x p r e s s a n d o o i n t e g r a n d o em s é r i e s de T a y l o r em e-j^/kT
na e q u a ç ã o (3 .15 ), o b t é m - s e ,
‘ X = Xo + A ^ (3.16)KT
on de ,
H o 2 - 1 /2= n - 2 / (1 - y^) dy . (3.17)
é o â n g u l o de d e s v i o p a r a e s f e r a s r í g i d a s e
Yo 7 " 3 / 2 *(1 - y 2 ) y °dy (3.18)
S e n d o ,
29
Ü 12 t r l e s f e r a s r í g i d a s
12 2 n KT 1/2 (---- ;-------)
1+ (-1 )2 -
1 + i(r+1 )
(3.19)
o n d e , ò b t é m - s e de a c o r d o c o m as e q u a ç õ e s (2.91) e (3 .9 ),
. m *12 (r)
(3.20)
q u e p a r a l = 1 , u s a n d o - s e a eq. (3.16) e e x p a n d i n d o
e 1 2 c o s ( A - 4 ^ )
kT
12sen (A ---- )
KT
em s é r i e s de T a y l o r em12
KT
flllí *12 (r)
r12 (r + 1 ) :
- Y 2r + 2
y2 Y.
2 r + 2 r ? \ 1/22y0 ) 2 - 3 / 2
y 2 V o 6
(1 - y )
y ̂ b dy db d ( y 2 )'12
KT(3.21)
S u b s t i t u i n d o b e db de a c o r d o c o m as e q u a ç õ e s
(3.12) , (3.13) e (3.14) ,
« í 1 J *O = • 1 +12 Cr) (r + 1 ) : ! Y 2 r ) d ( Y 2 )
30
y 0.1
2-6 A 2 Í / 2 , I y° ' firi 2 , ~ 3/2 V 1 _ y 0 ) d y.o I y 6 c i - y / ) dy
1 2
kT
(3.22)
C o m o , g e n e r i c a m e n t e .
a c 2 _r
J 0C* dC = —~ 01 1 / 2 ír+i:i (̂ — 0 '• (3.23)
v e m que, na e q u a ç ã o (3.22)
4
( r + 1 ) : J oY (. y 2r ) d ( Y 2 ), =
~ r +1
(3.24 )
e a e q u a ç ã o ,(3.22) t o r n a - s e
I l r (ô]n ̂ 1 ̂ * 12 (r)
1 + (3.25)
c o m
I l r (ô)r +1
(3.26)
I l(6) = f 1 y o 2 " 0 2 V / 2 d w / V0 „ 6 m _ „ 2 ,“3 / 2 dy (3.27)( l ~ y 0 2) . d y ° y<5[l-y2 )
E s t a i n t e g r a l c o n v e r g e no i n t e r v a l o 0 - 1 e seu r_e
s u l t a d o , o b t i d o pe la r e g r a de S i m p s o n , em f u n ç ã o de 6 é d a d o pe
la T a b e l a 3.
T A B E L A 3 - V a l o r e s de I^Cô)
6 2 3 4 6 8
I 2 (6 ) 0 . 1 3 3 1 0 . 1 1 3 8 0 . 1 0 0 5 ■0.0833 0 . 0 7 2 2
P a r a £ = 2 , a eq. (3.20) t o r n a - s e
' r 2
Í2[2) * 12 (r)
Y Y2 r + 2
(1 -co s x) b db d (; v )(3.28)
31
o n de , p e l a e q . (3 .1 6 ),
cos X =2 A £ 2 2
co s 2 X 0 c o s -------- - sen 2 x n s e nkT
2 A e i 2E x p a n d i n d o em s e r i e de T a y l o r co s --------- e
2A e i 2 e 1 2 sen -------- em
kT
kT kT
,(2 ) * = J
12 Cr) " 0 l 2 2 (r+l)!
a, ~21 2 ( r + 1 ):
” Y 2 2 r + 2 ' 3 28 I 1 e . Y y Q H - V o )
1 / 2
. b d b d C Y 3 - 4 / e2i - a / I o " Y Y 2r + 2 y 0 C i - y 0 2 31 / 2
b d b d ( Y )12
kT
De a c o r d o c o m a eq. (3 .19), o p r i m e i r o t e r m o[21 *
, e i g u a l a 1 , de m o d o que 1 2 [ r J
24 / - Y 2 r + 1r = 1 + -------- e ,Y ^ r d(.-y.) .
12 (r) ( r + 1 ) I J Q
4 - 5 2 - 6 ? ^ 2 9 í(2 y 0 _ y 0 ] ( 1 _ yo ) a i 2 d yo J
/o yo
y D
12kT
o u
, ( 2 ) * 12 (r)
= 1 +12
r +1
4- 5 '2-5 1 / 2( 2 y 0 - y 0 ) (i - y 0 ) d y t
0
•12kT
2A £ ! 2
kT
( 3 ■ 2 9 L
/
(3.30)
d e
(3.31)
(3.32)
32
on d e ,
N u m a f o r m a c o n d e n s a d a ,
„ ( 2 ) * 4 I 2 (S )f l . ^ C r ) = 1 + ---- — ---- C3.33)12 r+1 y*
I 2 (6 ) = I C6 y 0 4 ' 6 - 3 y 0 2 " 6 ) ( 1 - y Q 2 ) 1 / 2 d y Q .0
V° Cl - y 2 ) ' 3 / 2 y s dy (3.34)0
A i n t e g r a l (3.34) c o n v e r g e no i n t e r v a l o 0-1 e o r £
s u l t a d o , o b t i d o p e l a r e g r a dê S i m p s o n , é d a d o p e l a T a b e l a 4.
T A B E L A 4 - V a l o r e s de I 2 (ô)
6 2 3 4 6 8
1 2 t6 3 0 . 1 7 5 2 .0.1589 0 . 1 4 6 7 ■0.1302 0 . 1 1 6 7
B a s e a n d o - s e no s a j u s t e s d a s T a b e l a s 1 e 2, ha condi_
ç õ e s de o b t e r - s e os c o e f i c i e n t e s de t r a n s p o r t e , p a r a o p o t e n c i a l
de L e n n a r d - J o n e s .
P e l a s e q u a ç õ e s (3.25) e (3 .3 3) , em c o n j u n t o c o m as Ta^
b e l a s 3 e 4, o b t é m - s e os c o e f i c i e n t e s de t r a n s p o r t e , p a r a o p £( 1 ) * ( 2 ) *
t e n c i a l de S u t h e r l a n d , t o d o s em f u n ç a o de fi12 (r) ou & 12 (r).
Em [38J , a p r e s e n t a - s e uma e x p r e s s ã o de a j u s t e p a r a1
— , o b t i d a p o r Luf t e K h a r b a n d a ,
8^2 C 2 ) ‘
1 *T a = 0 . 6 9 7 (1 + 0 . 3 2 3 ln T*J (3.35)
í ^ 2 ) (2 )
qu e f o r n e c e um d e s v i o m é d i o , em t o d a a f a i x a de t e m p e r a t u r a s re
d u z i d a s T* (0.3 a 400 ), da o r d e m de 2%.
0 C O E F I C I E N T E DE V I S C O S I D A D E DE S I S T E M A S
G A S O S O S A U M C O M P O N E N T E
4.1 - E X P R E S S Õ E S G E R A I S/
O p r o b l e m a da d e t e r m i n a ç ã o do c o e f i c i e n t e de v i s c o s i d ^
de de s i s t e m a s g a s o s o s a um c o m p o n e n t e , a p a r t i r de p a r â m e t r o s
de c o l i s ã o , fo i s u c e s s i v a m e n t e a b o r d a d o p o r M a x w e l l £l] que, s £
p o n d o as m o l é c u l a s c o m p o r t a n d o - s e c o m o e s f e r a s r í g i d a s , o b t e v e
uma e x p r e s s ã o e m q u e há i n d e p e n d ê n c i a e n t r e v i s c o s i d a d e e p r e s
são, M a x w e l l [V], b a s e a n d o - s e n a s i n t e r a ç õ e s e n t r e m o l é c u l a s sjb
g u n d o uma f o r ç a i n v e r s a m e n t e p r o p o r c i o n a l ã q u i n t a p o t ê n c i a de
sua s e p a r a ç ã o , C h a p m a n QãJ , q u e o b t e v e o c o e f i c i e n t e de viscosi^
d a d e p a r a t r ê s m o d e l o s de i n t e r a ç ã o m o l e c u l a r : i) c e n t r o s de f o r
ça i n v e r s a m e n t e p r o p o r c i o n a i s ã n - é s i m a p o t ê n c i a da d i s t â n c i a
m ú t u a j i i ) e s f e r a s r í g i d a s e l á s t i c a s j e iii ) e s f e r a s r í g i d a s £
l á s t i c a s e n v o l v i d a s p o r um campo- de f o r ç a s a t r a t i v o , E n s k o g jjf] ,
'que a t r a v é s da o b t e n ç ã o da s e g u n d a a p r o x i m a ç ã o à s o l u ç ã o da equa^
ção de Bol t z ma nn , . o b t e v e e x p r e s s õ e s a n á l o g a s às de C h a p m a n pa ra
os m o d e l o s m e n c i o n a d o s e C h a p m a n e C o w l i n g , q u e e x p r e s s a m
a v i s c o s i d a d e , em p r i m e i r a a p r o x i m a ç ã o , em t e r m o s da i n t e g r a l de
, . - n ( 2 ) * c o l i s ã o í! j2 ] <
H = 0 . 0 0 2 6 6 9 (Wf)1/2/Cff2 flf21 * ) (4.1)
( 2 ]o n de , Œ é d e f i n i d o p e l a eq. (3.9). e M é a m a s s a m o l e c u
lar do c o m p o n e n t e .
4 . 2 - M O D E L O DE S U T H E R L A N D
P a r a e s t e t i p o de i n t e r a ç ã o m o l e c u l a r , c o n f o r m e a eq ua
ç ã o (3.33),
34
(2 ) j. 4 1 7 (<5 )
0 Í (2) - 1 * - f
A d m i t i n d o , p a r a a p a r t e a t r a t i v a do p o t e n c i a l , uma va
r i a ç ã o de a c o r d o c o m 6 = 6 e u t i l i z a n d o os r e s u l t a d o s da Tabjj
la 4, a e q u a ç ã o (4.1) t o r n a - s e ,
267 x 1 0 ' 7 w ? r~ Iy = -------- ------- ( M T ) / [l + 0 . 1736 ( e / K J / T J (4 .3 )
o J
qu e r e e s c r i t a f o r n e c e ,
267 x 1 0 " 7 (M T )1 / 2 / p = a 2 [T + 0 . 1 7 3 6 ( e / k) /7 ] (4.4)
2 2 Da e q u a ç a o (4.4) v e r i f i c a - s e q ue 0 e 0 . 1 7 3 6 o e /k
p o d e m ser i n t e r p r e t a d o s c o m o os c o e f i c i e n t e s A e B, r e s p e c t i v a
m e n t e , de um a j u s t e na f o r m a A + B/ T , com,
a = A 1 / 2 (4.5)
e / k = B / 0 . 1 7 3 6 A (4.6)
U t i l i z a n d o - s e o m é t o d o s d o s m í n i m o s q u a d r a d o s , d e a c o r
do c o m o p r o g r a m a TRALE. ( s e c ç ã o 3 . 4 ) , os c o e f i c i e n t e s A e B f o
r a m o b t i d o s a p a r t i r d os d a d o s e x p e r i m e n t a i s d i s p o n í v e i s e m [V] ,
[l0], [l2], [3 8] e [39] p a r a 15 g a s e s ( T a be la 8 ). I n t r o d u z i n d o
e s t e s d a d o s na e q u a ç ã o (4.3), os c o e f i c i e n t e s de v i s c o s i d a d e p £
d e m e n t ã o ser d e t e r m i n a d o s .
4 .3 - M O D E L O DE L E N N A R D -J 0 NE S
A p a r t i r da e q u a ç ã o (4.1) e da T a b e l a 2, a v i s c o s i d a d e
de um gás s i m p l e s , p a r a e s t e p o t e n c i a l , é dad a por,
y = 2 6 7 x 1 0 -- ( M T )1 / 2 [a + B l o g T * + C ( l o g T * ) 2J (4.7)
a 2
o n d e ,
A, B e C são os c o e f i c i e n t e s de a j u s t e s o b t i d o s na Tab. 2
T ( ° K )
F I G 1 - 0 C O E F IC IE N T E DE V ISC O S ID A D E DO N IT R O G ÊN IO .
. T ab . - 5 : Coef i c i ente de V i s c o s i d a d e do Nitrogênio
temperatura (o K)
J Jexp.
Xicjg/cms
Su ihe r l an d S/k:560.60K, Ú 3.213Ã
Lennard-Jones £/k^79.8°K,0-3.749^ Re f.
7>JJX10g/cms
erro%
7 Si X10g/cms
erro% J J exp.
100.00 698 693.8 0.6 1 709.0 1 .58 1 0200.00 1 295 1 302.3 0.56 1299.3 0.33 1 0 ’293.1 0 1 74 6 1 759.4 0.7 7 1740.1 0.34 7
238.20 1 768 1 782.3 0. 8 1 1 762.2 0.3 2 1 2300.20 178 1 1 791.2 0.57 1 770.9 0.57 1 2572.30 2 797 2798.9 0.0 7 2 759.4 1 .34 7
701.30 3 14 1 3183.4 1.35 3150.6 0.3 1 7763.30 3 374 3 354.4 0.58 3329.6 1.3 1 7
873.30 3 664 3639.8 0.6 6 3635.3 0.7 8 7986.30 393 0 3913.0 0.4 3 3935.6 0.14 7
1 098.30 419 2 416 7.4 0.5 9 422 1. 5 0.7 1 71 200.00 4452 4386.3 1 .47 4472. 5 0.4 6 10
4 . 4 - R E S U L T A D O S E C O M P A R A Ç Õ E S
A e x p r e s s ã o de S u t h e r l a n d p a r a a v i s c o s i d a d e t e m sido
u s a d a na f o r m a .
267 x 10 7 I / ? r T ,y = -------------- C MT D / [l + S/T] (4.8)
o
o n d e S (a c o n s t a n t e de S u t h e r l a n d ) , é c a l c u l a d a a p a r t i r de day
do s de v i s c o s i d a d e em d u a s t e m p e r a t u r a s p r ó x i m a s T e T ’, us an
d o - s e ,
u T 3 /2 T 1 + SV = C--- r) — ------ (4.9)1
T ' T + S
A e q u a ç ã o (4.8) s e n d o i n t e r p r e t a d a m a i s co mo uma f o r m a de a j u s t e
a e s t e s d a d o s , em i n t e r v a l o s p e q u e n o s de t e m p e r a t u r a , do que co_
mo uma lei r e a l da v a r i a ç ã o da v i s c o s i d a d e c o m a t e m p e r a t u r a .
Da m e s m a fo r m a , H i r s c h f e l d e r , C u r t i s s e B i r d [10] a p r e
s e n t a m uma c o m p a r a ç ã o e n t r e os d i v e r s o s m o d e l o s p a r a o c á l c u l o
da v i s c o s i d a d e de s i s t e m a s g a s o s o s a u m c o m p o n e n t e , e a t r i b u e m
ao m o d e l o de S u t h e r l a n d um a b o a a p r o x i m a ç ã o a p e n a s e n t r e 100 e
2 5 0 °K p a r a o N 2 e N e , p.ex.
N e s t e t r a b a l h o , p r o c u r a - s e m o s t r a r que , q u a n d o os par_â
m e t r o s de c o l i s ã o a e e/ k são i n t e r p r e t a d o s s i m u l t a n e a m e n t e
c o m o c o e f i c i e n t e s de a j u s t e s à r e a l i d a d e e x p e r i m e n t a l ( s e c ç ã o
4 .2 ), a a p r o x i m a ç ã o o b t i d a c o m e s t e s p a r â m e t r o s t o r n a - s e b a s t a n
te boa ( s u p e r i o r , na m a i o r i a d o s c a s o s , à a p r o x i m a ç ã o de Len-
n a r d - J o n e s ) , m e s m o em f a i x a s a m p l a s de t e m p e r a t u r a .
A s s i m , a F i g u r a 1 m o s t r a a v a r i a ç ã o do c o e f i c i e n t e de
v i s c o s i d a d e do n i t r o g ê n i o c o m a t e m p e r a t u r a , n u m a f a i x a e n t r e
100 °K e 1 2 0 0 °K, os e r r o s m é d i o s e m á x i m o s se n d o , r e s p e c t i v a
m e n t e , de 0 . 7 1 % e 1 . 4 7 % ( T a b e l a 8 , cols . 5 e 6 ), p a r a o m o d e l o
de S u t h e r l a n d , e de 0 . 6 8 3 % e 1 . 5 8 % ( T a b e l a 8 , c o l s . 9 e 10) p a ra
o m o d e l o de L e n n a r d - J o n e s .
Na F i g u r a 2, é e s t a b e l e c i d a a v a r i a ç ã o do c o e f i c i e n t e
de v i s c o s i d a d e da a m ó n i a , c o n s t i t u í d a de m o l é c u l a s p o l a r i z a d a s ,
37
T ( ° K )
F IG .2 - 0 C O E F IC IEN T E DE V ISCOSIDADE DA AMON1A.
Tob.—6 : Coeficiente de Viscosidade do AmSnia
tempe- rot ura( o K )
exp.X107g/cms
Sutherl and 6/k=4224.7"ki Ú=2.344 Ã
Lennard-Jones Ê/k=558.3°K, (J-2.9A° Re f.
7JL|XtOg/cms'
erro%
JJXlOg/cms
erro°//o
J J .exp.
273.15 900 899. 1 0.1 0 951.5 5.7 337 3. 15 I 3 1 0 1 305.9 0.3 1 1 295.7 1 .0 9 3847 3 . 15 1 69 0 1 710.0 1.18 1 647.7 2.5 0673.15 2 510 2489.2 0.83 2 353.4 6.2 4
n u m a f a i x a de t e m p e r a t u r a s e n t r e 2 7 3 . 1 5 °K e 6 7 3 . 1 5 °K, os er
ro s m é d i o s e m á x i m o s se n d o , . / re sp ec ti v a m e n t e , de 3 . 8 8 9 % e 6 . 2 4 %
( T a b e l a 8 , c o l s . 9 e 10) p a r a o m o d e l o de L e n n a r d -J o n es , e de
0 . 6 1 % e 1 . 1 8 % ( T a b e l a 8 , c o l s . 5 e 6 ) p a r a o m o d e l o de S u t h e r
land.
Na F i g u r a 3, o c o e f i c i e n t e de v i s c o s i d a d e do d i ó x i d o
de e n x o f r e é m o s t r a d o no i n t e r v a l o de 2 5 5 . 3 7 °K a 5 8 8 . 7 1 °K ,
a p r e s e n t a n d o e r r o s m é d i o s e m á x i m o s de 0 . 6 4 % e 1 . 4 6 % ( T a b e l a 8 ,
col s. 5 ,e 6 ) p a r a o m o d e l o de S u t h e r l a n d , e de 2 . 7 5 2 % e 6 . 1^5%
( T a b e l a 8 » c o l s . 9 e 10) p a r a o m o d e l o de L e n n a r d -J o n e s .
As T a b e l a s 5, 6 e 7 a p r e s e n t a m os r e s u l t a d o s dos cál^
c u l o s p a r a o c o e f i c i e n t e de v i s c o s i d a d e d o s g a s e s N'2 » N H 3 e S O 2
m e n c i o n a d o s a c i m a , os e r r o s m é d i o s (Tab.8 , cols. 4.e 6 ) s e n d o calcula_
do s c o m o a m é d i a a r i t m é t i c a do s d e s v i o s em v a l o r a b s o l u t o d a s _e
q u a ç õ e s (4.3) e (4.7) em r e l a ç ã o ao s d a d o s e x p e r i m e n t a i s (col.2)
na s t e m p e r a t u r a s m o s t r a d a s (col. 1 ). .
A T a b e l a 8 a p r e s e n t a uma s í n t e s e da a n á l i s e do c o e f i
c i e n t e de v i s c o s i d a d e p a r a 15 g a s e s , os e r r o s m é d i o s (cols. 5 e
9) v a r i a n d o , r e s p e c t i v a m e n t e , de 0 . 0 5 % p a r a o á l c o o l e t í l i c o a
1 . 9 6 % pa ra o n e ô n i o , no m o d e l o de S u t h e r l a n d , e de 0 . 1 5 3 % p a r a o
a c e t a t o de e t i l a a 3 . 8 8 9 % pa ra a a m ó n i a , no m o d e l o de L e n n a r d -
J o n e s . P a r a e s t e m o d e l o , os v a l o r e s de e/ k e o ( c o l s . 7 e 8 ) £
t i l i z a d o s f o r a m os o b t i d o s em [ l 0].
0 s r e s u l t a d o s , a p e s a r de o b v i a m e n t e não v a l i d a r e m o po_
t e n c i a l de S u t h e r l a n d c o m o .um m o d e l o r e a l de i n t e r a ç ã o m o l e c u l a r
- o que é s e n t i d o , em p a r t e , p e l a d i s p e r s ã o dos v a l o r e s de a
e e/ k que o c o r r e , q u a n d o se usa d i f e r e n t e s p a r e s de t e m p e r a
t u r a s - p r o p i c i a m e x p r e s s õ e s s i m p l e s e p r e c i s a s p a r a 0 c á l c u l o
dos c o e f i c i e n t e s de v i s c o s i d a d e de s i s t e m a s g a s o s o s a um c o m p o
n e n t e , em f a i x a s e x t e n s a s de t e m p e r a t u r a .
39
FIG. 3 - 0 C O E F IC IE N T E DE V ISC O S ID A D E DO DIOXIDO DE E N X O F R E .
Tab.- 7 : Coeficiente de Viscosidade do Dioxido de Enxofre
t empe- ratu ra ( o K )
J-lexperi-
mentalX107g/cms
Sutherlande/k:2380.4K,(j--3522A
Le n ri a rd - Jones £/k= 335.4k , Ú =4.112A Re f.
J4X1Ò^/cms
e rro% 7^XlOg/cms
e rro%
J J exp.
255.37 ! 04 1 1 05 1 7 1 .03 1 1 05. 0 6.1 5310.93 132 4 1304. 6 1 . 46 1 349. 8 1 .95366.48 15 6 2 1 550. 5 0. 74 1 594. 4 2.08422.04 1 78 5 178 8. 6 0.20 1834. 5 2.77 3947 7.59 200 8 2018. 9 0.5 4 2062. 6 2.72533.15 223 2 2241 5 0.42 2280. 5 2. 1 8588.71 245 5 2456. 6 0. 06 2489. 5 1 .41
T a b .— 8: v i s c o s i d a d e de Gases Simples
Gás
Faixade
temperatura(O K )
Su therland Lennard-JonesRe f.
J-J exp..£ / k
( o K )G (/ ?)
erro med.
dejj ( % )
erro max.
de J4 ( % )
6 / k
( o K ) ^A0 )
erromed.
d e j f (% )
erromax.
de J J ( % )
n 2 100 1 200 56 1 3. 21 3 0.7 1 1 .47 79. 80 3.749 0.68 1 .58 7,10,1 2
°2100800
673 3.018 0.39 0.84 1 1 3- 00 3.433 0. 56 1.34 1 0
A 100 1 200
720 3.012 1 .1 4 1 .89 1 1 6. 00 ■ 3.465 1 .06 2.29 10,1 2
co2 (7 3 1 200
1 354 3.390 0.54 1 .27 213. 00 3.897 0.85 1 .55 10, 12,38
CH4 100773 78 1 3.370 1 .06 2.00 144.00 .3.796 0.93 3 .87 10,38
n h 3 273673
4225 2.344 0.6 1 1 .1 8 558. 3 0 2.900 3.89 6.24 38
h 2 255 1 088
606 2.335 0.9 5 2.3 1 38.00 2.915 1 .26 2.7 1 12,39
He255
1 088 444 ! .914 0.84 2.20 10.22 2.576 1 .1 8 2 .63 12,39
Ne 100 1 000
31 8 2.339 1 .96 3.35 27.50 2.858 1 .20 3.2 1 10,12
so2 25 5 588
2 38 0 3.522 0.64 1 .46 335.40 4.1 1 2 2.75 6.15 39
CO 255 1 088
789 3.069 0.73 1 .47 110.00 3.590 1 .00 2.3 5 39
*r255
1 088636 3.14 6 0.25 0.63 84.00 3.689 0.92 1 .36 39
Acetona 37 3 598
3 300 4.072 0.1 8 0.26 560.20 4.600 0.58 1 .76 38
Alcoole t ílic o
383573 2403 3.905 0.05 0.08 362.60 4.530 0 .4 1 0.5 6 38
Acetato de etila
398598
3047 4.6 19 0.1 8 0.22 52 1. 30 5.205 0.1 5 0.35 38
0 C O E F I C I E N T E DE D I F U S Ã O O R D I N Á R I A
5.1 - E X P R E S S Õ E S G E R A I S/
E s t u d o s s o b r e o c o e f i c i e n t e de d i f u s ã o o r d i n á r i a f o r a m
e f e t u a d o s p o r M a x w e l l £l] sem s u c e s s o no e n t a n t o , M a x w e l l [ V ] ,
a d m i t i n d o as m o l é c u l a s c o m o c e n t r o s de f o r ç a s i n v e r s a m e n t e p r o
p o r c i o n a i s â . q u i n t a p o t ê n c i a da d i s t â n c i a e n t r e se us c e n t r o s ,
C h a p m a n Qf] q u e c o n s i d e r a n d o t r ê s t i p o s de i n t e r a ç ã o m o l e c u l a r :
i) c e n t r o s de f o r ç a i n v e r s a m e n t e p r o p o r c i o n a i s ã n - é s i m a p o t ê n
cia da d i s t â n c i a m ú t u a j ii) e s f e r a s r í g i d a s e l á s t i c a s ; e iii)
e s f e r a s r í g i d a s e l á s t i c a s e n v o l v i d a s p o r um c a m p o de f o r ç a s a t r a
t i vo , o b t e v e D^ 2 p r o p o r c i o n a l à t e m p e r a t u r a a b s o l u t a , em te r-- C £ )
mos das i n t e g r a i s de c o l i s ã o do t i p o £2 . 1 d e f i n i d o s no Capí_r n 1 ^ l s J ? / 2 (1 )
t u l o II, e E n s k o g [_6j que o b t e v e O-^ p r o p o r c i o n a l a T ^ ^ 1 2 Cl)
p a r a os m e s m o s m o d e l o s .
C h a p m a n e C o w l i n g [7] e x p r e s s a m 0 c o e f i c i e n t e de difu_
são o r d i n á r i a , em p r i m e i r a a p r o x i m a ç ã o , na f o r m a ,
D0 . 0 0 2 6 2 8
12
q Ml + Mo T (— --- -
2 M]_ M 2
1 / 2/ a Í 2 , (í) t 5 -1 ’
(1 ) *òn dè , ^12 ̂ B d e f i n i d o p e l a e q u a ç a o (3.9); M^, M 2 são as
m a s s a s m o l e c u l a r e s do s ".component es {■■ p = p r e s s ã o em atm. j T= t e m
pe r a t ura em °K. - '
Da e q u a ç ã o (5.1), 0 c o e f i c i e n t e de d i f u s ã o o r d i n á r i a
em p r i m e i r a a p r o x i m a ç ã o i n d e p e n d e das • p r o p o r ç õ e s dos c o m p o n e n t e s
da m i s t u r a . 'Em m i s t u r a s o n d e m 2 /n)i >:> 1 , a c o n c e n t r a ç ã o dos
c o m p o n e n t e s p o d e c o n t u d o i n f l u i r s o b r e a d i f u s ã o , a c a r r e t a n d o \ja_
r i a ç õ e s de at é 6 % {jJ > d e v e n d o - s e n e s t e cas o t o m a r a s e g u n d a a
p r o x i m a ç ã o da e q u a ç ã o (5.1).
42
M e d i ç õ e s p r e c i s a s do c o e f i c i e n t e de d i f u s ã o em t e r m o s
da c o n c e n t r a ç ã o d o s c o m p o n e n t e s são, no e n t a n t o , m u i t o r a r a s e
d i f í c e i s de s e r e m o b t i d a s ( T34J e [j35] » p . e x . ) , o q u e i m p e d e uma
a v a l i a ç ã o co rr e t a ' da s e g u n d a a p r o x i m a ç ã o d e s t e c o e f i c i e n t e em r £
l a ç ã o a d a d o s e x p e r i m e n t a i s . E m v i r t u d e d i s s o , a e q u a ç ã o (5.1) é
u s a d a n e s t e t r a b a l h o , i n c l u s i v e p a r a 'siste mas o n d e n^/ni} >> 1 .
A o b t e n ç ã o do s p a r â m e t r o s de c o l i s ã o 0 ^ 2 e e 1 2 / k Pa.
ra s i è t e m a s c o m m o l é c u l a s d i f e r e n t e s p o d e ser f e i t a : i) a t r a v é s
de l e i s de c o m b i n a ç ã o e m p í r i c a s a p a r t i r dos p a r â m e t r o s a e e/k
dos c o m p o n e n t e s (a m a i s c o n h e c i d a a s s o c i a a ^ + a 2 / 2 a °i2 e
( ' e 1 ..£2 ) * - 2 -a e j 2 )jii) u s a n d o - s e d i r e t a m e n t e os d a d o s de difjj
são .
As l e i s de c o m b i n a ç ã o m o s t r a r a m - s e a d e q u a d a s a p e n a s em
a l g u n s c a s o s , q u a n d o u s a d a s em c o n j u n ç ã o c o m o m o d e l o E x p -6 (p.
ex., H e -A , H g - C 0 2 > H 2 - C 0 2 , [23]).
A o b t e n ç ã o de 0 ^ 2 e e 1 2 /'̂ <- d i r e t a m e n t e a p a r t i r de
d a d o s e x p e r i m e n t a i s , p o r o u t r o l a do , f i c a c o m p l i c a d a p e l o e r r o a
qu e e s t ã o s u j e i t a s as m e d i ç õ e s do c o e f i c i e n t e de d i f u s ã o che
g a n d o , em a l g u n s c a s o s , ã. f a i x a de 3 - 5 % ( v . , p . e x . [js], exp. de
c r o m a t ó g r a f 0 ) e m e s m o s u p e r i o r e s - e p e l a d e p e n d ê n c i a , c o l o c a d a
a c i m a , do c o e f i c i e n t e de d i f u s ã o da c o n c e n t r a ç ã o do s ■ c o m p o n e n t e s .
N e s t e t r a b a l h o , os p a r â m e t r o s de c o l i s ã o 0 12 e e 1 2 ^
são o b t i d o s d i r e t a m e n t e a p a r t i r do s d a d o s de d i f u s ã o , t a n t o p£
ra o modelo- de L e n n a r d - J o n e s , q u a n t o p a ra 0 m o d e l o de S u t h e r l a n d
p r o c u r a n d o - s e , s e m p r e que p o s s í v e l , u t i l i z a r d a d o s c o n f i á v e i s com
d e s v i o s de m e d i ç ã o p r e v i s t o s - f a z e n d o - s e , em a d i ç ã o , uma a n á l i
se c o m p a r a t i v a dos m é t o d o s de o b t e n ç ã o d e s t e s p a r â m e t r o s , a t r a
vés do c á l c u l o dos e r r o s m é d i o s e m á x i m o s em r e l a ç ã o aos d a d o s
de d i f u s ã o .
5.2 - M O D E L O DE S U T H E R L A N D
eDe a c o r d o c o m as e q u a ç õ e s (3.25) e (3 .26), p a r a . est
p o t e n c i a l ,
(1 ) * 2 1 1 ( 6 )
n i2 m = 1 + — — <5 ‘2 >
TABELA
9 -
Métodos
de
obtenção
dos
parametros
de
colisão,
modelo
de
Lennard-Jones
43
L L . • c n c n cn c n c n P n c n c n c n c nL L l * * * * *Cd ' ■* W ' ' w '
O 0 o 0 3 o 0 3 œ o 0 3 o* < T D * 0 3 T D * 0 3 T D T D * Í D T D i(0O 0 3 O 0 3 O 0 3 0 3 O 0 3 O
T D í D T D 0 3 T D T D 0 3 T D 0 3U J o o • H C O O • M C o • H o O • H Ç o o • H C o1— Í í 0 i f l D C O - H * Í D i Í D c n - H * Í 0 c n * 0 3 * 0 3 t n - H i Í D * OD e n « H * í DC Û c n 0 5 o n c n c n O - Q c n o c n c n o n c n c n o n t no 3 ZJ ü e ZJ D ü £ a o o = 3 a E D = 3 ü E D
q - , t * " c n o q - q _ c n o q - c n q - 4 - c n o q - q - c n o q -L U • H • H * H ü • H • r H • H O • H • H c n • H • H • H ü • H • H • H O • Ho T D T D >
0 3■ Q " O >
0 3T D > 0 3
uT D T D >
0 3T D T D >
0 3T D
tn 0 ) CD Q ) - a 0 3 œ 0 T D 0 3 0 3 D 0 3 . 0 0 3 T 3 0 3 0 3 0 3 T J 0 3o X ) T D T D T D t d T D T D U - P T D T D T D T D T D T D T Da C fl c n c n c n c na t n t n c n a ] c n c n c n 0 3 c n c n - H c n c n c n 0 3 t n c n c n o ] c nf - o o o u o o o U O □ E O O o u O O o k O
U J t d t d U Ò lQ T D T D T D f c O T D T D T D T D T D b O T D T D T D b o T Dz : í O (ü ( D 0 3 t a c a • O J CD ( D 0 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 3 Í D 0 3 0 3 0 3 0 3
t d “ D X J Í - . T D T 3 T 3 í* T D T D T D T D T D T D U T D T D T D U " O
r v u n C O C O C O r H r H i— 1 u n u n c n c n * 3 * C O C OC N ' L D C O 0 3 c n C O O o O C N 1— i [ \ í \ C M C N C NH O < v f r M f—H *— 1 C N C N C N C O C N C N C N C O v f v f
W • - • ■ > • • • . ■ • • • . •
C N C N C O C O C O C O C O C O C N C O C O C O C M C O C O
O a o o ç - f a a o O cn o o O o oC O o o o o C D O o o u n a ov f C O C O r~ H C O C N C O O r \ C O o C O o C N
C M O - • • - - ■ • • • • • • • . • • -i— I ' i v . C D v f (— ( C O cn C N C N o u n r \ cn L O
U ) C D ■ sf «— i
C O C O C O C O u n u n c nr H
C O C O C O cnC N
i— i r H
cn
m 1 1 1 i< c n 0 C N < C N C N C N O 2 A
C L X X X x a . 3 : u O
RE
F
.
*. c n u n
C O *c n c n c n
35
*r H 'C N . 2
1 i— ! C N 2
1 c n
35
OO 0 3 O 0 3 o 0 3 ï í ü í - l 0 O 0 o
* < T D ‘ Í D T D ^ 0 3 T D O c n ‘0 T D * 0 3 T D * 0 3o OD O CO O 0 3 1 ü 0 í O - P 0 3 O Í D O2 T D 0 3 ' O <D T D 0 u T D í O T D ODL U O • H C o o • H C o • H O O o c n o o O • H C • H C oH - i 0 3 c n - H * f lD * 0 3 c n - H * 0 3 c n * c o * 0 3 í Í D ^ ■ 0 3 - P i í O c n c n - H « c aC O c n o _ o c n c n o n c n o c n c n c n 0 c n t n c o o n O X D t nO □ ü E Z3 D ü E D ü Z 3 D = 3 - p D * H D O E ü E D
. c n o q - q - c n o q - c n q - q - q - c q - E q - t n o c n o q -L U •H • H ü • H • H • H ü • H • H c n • H * H • H * H * H • H • H ü • H o • HO T D > T D T D > . T D > í D T D T D T D T D 0 T D > > T D
0 3 0 3 É-4 0 T D 0 0tn 0 3 0 3 T 3 0 3 0 3 0 3 T D 0 3 0 3 D 0 3 0 3 0 T D 0 0 0 T D 0 T D 0o T D T D T D " D T D T D T D 4 J T D T D T D T D • T D T D T D T3a c n c n c n O c n c n c n
o c n c n í d c n c n c n o i c n c n - H c n c n c n T D c n o c n c n 0 3 e n 0D t n
i— O o u o o O S-i O o £ o o O O o o O OD o U o u OU J T D T D Ü O T D T D T D b O T D T D T D T D T D - P t d c n T D ü T D & Û T D & 0 T Ds : r D 0 3 0 0 3 Í D CD 0) OD 0 3 0 3 í ü 0 3 í ü ' Q ) 0 3 * H 0 3 * H 0 3 0 0 3 0 0 3
T D T D U '□ T D T D Í h T D T 3 T D T D T D T D E T D > T D E T D í i T J í h T D
r \ O O cn cn œ cn O C N C O | \ cn ^ í - O OC N ^ 1—1 u n v f O u n u n u n O D C O cn C O P v . a i—1 i—1.—1 o< ^ f r s . C O C O C 3 o a cn O o o o i— 1. r H r H
D . w . > . « • . . • • « . • . •C N C N C N C N C O c o C O C N C O c o c o c o C O c o C O
a C D O C N o a C D O f \ o o o o C D C D«3- a a c n o o O O ^ r o o o o O OC O r \ C N C O u n ' r H C N ^ f u n c n c o c o u n [\
C N . - O • • • • • • • • • • > . • • •r H - - ' a C O r\ rv. ^ f O C D c o cn r\ c o c o r HW.j un i—i C N r H C N C N C O ^ f co co to co co co C D
r H
IX i< 33 e A V3
CL H N « c X 2
este
trabalho
[continuação)
- TABELA
9 -
Métodos
de
obtenção
dos
parâmetros
de
colisão,
modelo
de
Lenna rd-Jones
44
RE
F
.
* 15 L D
r HC D C D C D
*r HC N
r HC N 2
1
21
35
*C D C D
o 0 3 0 3 O 0 3 0 3 O 0 oK C X X i ( D " O X I i(ü X ) * í Do Í D r o O < u q j c n Í D O (D o2 X X CD X O <D X J Í D X í DÜ J O O • H • H C O • H P * < D o ^ o • H C O O • H C aI - t f U 1(0 c n c n H * í D 0 1 i f D O : r o Z J t t u 0 3 * H Í Í O Í Í O 0 3 • H t f Dm CO CD o o £ 3 c n O c n 0 3 c n - P c n O - D c n c n O - Q 0 3o D 3 o o E Z J a Z J c n D c n Z 3 U E D n ü e Z J
q - q - c n 0 3 O < 4 - c n t f - u q - «h q - c n o H - q - c n o q -U J • H • H • H • H ü • H • h c n • H 0 3 • H f E • H • H o • H • H • H o • Ho " O X > > x > < D " □ - p X ) X 3 > X J X I > X J
0 3 t i c • 0 3 0 3cn 0 0 3 0 3 0 3 X 0 3 0 3 a 0 3 • r H 0 3 X ) 0 3 0 3 X J 0 3 0 3 0 X J 0o X X X X “D X - P X J X I * H X I I D X I X 3 X J X X )Q c n c n O c n Ü CO c nO c n 0 3 c n c n f ü c n c n - H 0 3 X I c n o c n * H c n t u c n c n c n f D 0 3H - O O o o U o o E O o O ü O E O Í - . o o o U O
\ J j x " D x x tx O " O X X 3 - p X J c n X I k X X ) X J X J b 0 Xs : f D f D f ü Í D 0 3 ( 0 ( D 0 3 Í D ' 0 3 ( D * H f D 'C D 0 3 0 c a ■ t o f ü 0 í D
x X X ) X Í h X X X ) X J E X J > X J - P X I Í H X J X J X J í-> “ O
O o C O C O C O C D l \ i— i r v o o C O C D C DC M C N c n c n c n O U I C D c o C D C N C D O< - l o < C O O C D C D C D C D C N C N C N C N ( N C N c n C D C D
b • > • » • • ■ • • • « • • •0 0 c n c n c n c n C N c n c n c n c n c n c n c n c n
C O O o a C D o O a o o o o o o^ «— 1 o C D C D o C D o o o C D o o a
C N o o O o a c n U D u n c n c o C D o oC N O ■ • • • • • • • • • • • « • ,1-----1 ' -----' CD o c n o c n r \ c n C N CD r —1 c o( J CO L O CD O c o CD o c o c o c o d D c o t o c o C N
f— t 1— 1 C N C N i— i r H L D C N r H i— !
cr C N O i S J * ' Í N< O C N 0 3 u X c )C L C J 2 a u
U _ __, ,—, CD CD ,_k CO \ , r \ m ,_^ r~~% c oÜ J •íí CN •íc rH cn * CN * 1—Icr *—’ 1 ' '—' *— '
o 0 O 4j .* < X * ÍD '0 X Jo CD O Ê E 02: X fD OÜ J O O o *H C O O - ü O O o O O O oh- í ( ü líD *fD 03 *H *ro i(D tn líD *<D * tD « ÍD i(D fü líO * ÍDCD cn cn cn O X3 03 03 o cn 03 cn cn 03 cn o 03 cnO D 13 D ü E Z J r j ü íD D a □ ■ n Z ) *H D n
q- q- q- cn o q- q- cn u q- q- q- q- q- E q- q-LU •H •H •H O •tH •H •H t>0 *H •H •H *H *H í-« •H •HO X J X ) ~o > X X > 0 X X X X X '0 X X
0 U 4-5C/) 0 0 0 0 X 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0o u X J X X X X X 0 X X X X X O X Xa cn * íDo cn 03 cn cn ca cn 03 cn • 03 cn 03 cn cn cn cn cnt— o O o o U o O o q- O o O o O D o oUJ • X X J X x &o X X X '(D X J X X X x q- X Xs : fD íD CD ta 0 íD íD ÍD ÉH (D fD íD (D f0 *H • ÍD tD
X ) X J X X ÍH X X X CUD X X X X X X X X
CN t3 - CO o c n c n O r s CN rH oCN ^ in U l LO CN CN •sj* u n CD t n CO CD c n c orH 0 < u n cn CN CD c o í\ co co c n CD cOO ^ ■ • > ■ • • ■ > • • • ■ m •
cn c n c n cn cn <3- r̂ c n c n cn CN cn CN c n
o rH o a o CD o o í \ o CN oJ t l . . <— ■ CN t n o o o t n o CO o o o O CD\ ^ O CN CD CN o o cn CD o <3- co O
CN N O • ■ • • • • • • • • « • t •i-H - w O CD LD co c n i \ rv . c0 CD CN t n O
CN cn O CO CD CN «3* l \ CO CO CD CN«—l rH f—H CN cn rH i—i rH cn cn
(T i cn i cn O CN CN 1 CN . i CO< CN X ' CN X CN CN O O 0 0 O CN L LC L 2 2 ! o ^
NH
CO C J A X U X CO
Este
trabalho.
(continuação )
- TABELA
9 -
Métodos
de
obtenção
dos
parâmetros
de
colisão,
modelo
de
Lennard-Jones REF
.
*CO CD CD
29
29
29
*CD CD CD CD
* 25
25
O CD o 0 a) o CD O CD O 0 0 ol< TD i ca "D TD * (D TD * <0 td 2 co TD TD í(Dt_> 0D o fO o CÜ O fO o <ID (D Oz “O <Ü "D TD fO TD <13 TD CD TD TD <0LU O •H C o •H o •H C «H C O •H C o O •H O •H C OH- *0D cn *h *<D cn *cu cn *h tn *H Itü cn -H »fü *<D cn i (D cn *h * HDCÜ cn O -O cn o cn o X ] O -□ cn Ó XD cn cn o cn a .o cnO 23 ü E D ü Z3 O E O £ D ü £ o D ‘ o d a £ □
4- cn o 4- cn 4- tn o cn o q- cn o 4- 4- cn 4- cn o 4-LU «H •H ü •H •h cn •H o •H O •H •H ü •H *H •h cn *H •H ü *Ha TD > ■a > <ü TD > > TD > TD TD > íü TD > TD
0 U Q CD CD U 0cn ■ CD CD -Q 0 CD D CD CD ~0 CD TD CD CD “O CD CD 0 3 0 0 TD 0o "D "O TD TD TD TD • TD . TD TD "O TD TD -P TD TD TDa tn cn cn cn cn cn cno tn cn tu cn cn *h cn cn co cn co cn cn tü cn cn GO -H cn cn (ü cni— o o u o o E o o £-* O É-. o o u o o O E o o u OU J td TD b£) TD td TD TD ClO "O txC "O X J uc TD TD TD TD TD bü TDh: (D (D 0 íü (D CD HD fO CD íD CD tu ro 0 (0 ca (D 0 íü fD 0 <U
td "D í- U td iD td TD í-t TD í-4 TD TD U TD TD TD TD TD TD Í-. TD
CD CD CD CD o LD CN *J* f\ r\ cn CD CDCM ' 1—1 CO CO CO CN CO CD LD LD LO in CN CDH O < CO CD CD CD CD CD LO LO LD un in rH CO CO
Ü ^ • • • ■ • « ■ ■ • • • • • • •co CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO
o o o o o o o LO o o o o .CD o oz-' o o o o o o i\ o o o o o LD
CN o Cs) o CN o CD CD o rv LD r—1 CO CDCN O • • • • • • • • • • « • • •r-H '—' rH o CO N o CO CD CN CD r\ CO CN aU) in o CD o CO o CD cn CD cn CD CD LD r\ CD
(—1 I—1 1—1 1—1 C O C N C N
cr C O< c n a C N C N X uCL ^ o ^ o 2
REF
.
25
25
,7 •k 22 CD CD cn
20
20 cn
*cn CD
O 0 o •h | 0 0 o 0 o*< TD *0D i—1 TD TD *0D TD * HDL> fü O •H ÍD <Ü O CÜ o
TD ro _a TD TD íD "O 03U J o •H C O o ■H O O o O •H •H C o O *r4 C Oh- *<ü cn -H 1 fü IÍ0 *ro *<ü *í0 i(ü cn cn -H í (D *í0 cn »H *roCD cn o -Q co cn D cn cn cn cn Q o .a cn cn o n cnO D a E o o “O ZJ n D D ü ü E D ZJ a £ a
4- cn o 4- 4- C <D 4- 4- 4** 4- cn cn o 4- 4- cn o 4-U J •H ♦H Ü •H •H O O •H ■H •rl *H *H •H O •r4 •H •h a •Ha TD > TD TD ü *H TD TD TD TD > > TD U > TD
0 £ 0 0tn 0 0 TD 0 0 0 U 0 0 0 0 0 0 TD 0 0 0 TD 0o TD TD TD TD TD '0 TD TD TD -o TD TD TD TD TD TDa cn 4-3 cn cno tn cn ro tn cn cn cn cn tn cn cn cn co cn cri tn co tni— O o u o O O 0 O O o o o o u O O o u OHU TD TD bJ3 TD TD TD TD TD TD TD TD TD TD fcO TD TD TD W) TDs : (D (O CD to tü fü (O (D CÜ í0 (D fü 03 0 tü fü co 0 HD
TD TD Íh TD TD TD TD TD TD TD TD TD TD Í-. TD TD TD í-i m
O i—1 CD CD CD CD CD CD CD CO O) O CD CD OCN ^ in CO CO CD CO CO CO i—1 CM CO CN r\ LD inH O < O CN CN co CO CO CO LD CO CO cn CO LO LDC» ^ « • • • . • • • -• > • • « ■ •
CO CO CO CO CO CO co co CO co co CO CN CO co
co a CD CD o CD a a o o o o a o a'—' CN o LD CD o O CD a a o o o CN o o
O o CD rH 1—í CO cn o o a o cn a coCN O • • • ■ • • • • ■ • • ■ > • •rH '—' rv. rH LD co CO co o i \ o CN co
u CD CN CN CD rH CD CD o tn co C O LD c n o COC N C N C N C N rH rH r-H rH rH 'C N rH
cr C O C N •< X < CN O 2 A
0- 2 z : u
Este
trabalho.
(continuação)
- TABELA
9 -
Métodos-de
obtenção
dos
parâmetros
de
colisão,
modelo
de
Lennard-Jones.
46.
L LU Jc r
*C D C O
C Mc n C D C D
* *v _ ;
r ^ /— ■» * K
1
21
2!
21 L D
C O
o 0 3 O 0 OX J i CD X J * 0 3
o ( D O 0 3 0 Í D OX J 0 3 O X I Í D
L U o • H C O o O O O O O O o O * í D o tn • H C Oh - * 0 3 Ü 3 - H * 0 3 O J * í ü * 0 J * 0 3 * í D l(ü * 0 3 l í D * < u * í ü o í í O í O i n »h * 0 3c a CO o j d c n a c n . c n c n c n c n c n c n c n c n 0 c n u o n c no □ O Ê Z I - H z j Z J Z J z > Z J • z j Z J n Z3 c n D Z 3 ü £ D
q - C fl o 4 - £ < 4 - q - q - q - q - q - q - q - q - u q ~ - p c n o q -L U • H • H O • r H í n ■ rl • H • H • H * H • H • H • H 0 ♦h c n • H O • Ha • D > X ) ' 0 3 X J X I X I X I X ) X ) X I X ) X I - p X I * H > X I
0 3 - P c B 0cn CD 0 3 U CD 0 3 0 3 0 0 0 0 0 0 0 • H 0 0 X J 0o * o ~o X ) O X ) X ] X ) X J X J • X ) X ) X I X I X J • X J X )O c n i íD O c n c nO t f ) t n í d c n c n CO t n c n c n c n c n c n c n c n X J t n o c n í ü c n
f— O O í - 4 o D o o o o o o o o o o o o o U o1 _ U “ O X ) tU 3 X ) 4 - X I X J x j X ) X ) X J X J X I X J • p ~ o c n X J b O X J
< u CD 0 3 ( D * H í D í d ( D ( D í D ( D í D í ü r ü ' 0 ( D * H í D 0 í ü
u X ) f n X J X ] X ) X I X ! X J X J X ) X I X J X J E X J > X J u X )
C O C M o C M C N ! C M r \ O C D C O o C O C D L D o mC N ^ C O C O o C O C O C O « d - r \ C O C D < 3 “ C N C D •— i C O OH O < i— l C O < 3 * v f * C O C O C O r H rH i \ L D L O L D JZD 1 • • > • • • • • • • • • • • • • • t—i
C O C O C O C O C O C O C M C M C M C O C O C O C O C O c o C O Í DJ D
0 31— 1 o o o o a rH C D C M C D C D í \ C D o o o U
r - s o o o o o o L O O C D O o C O O o o o * P\ ^ C D i n o a C D < 3 “ CO O C D L D r \ O o LD o
C M O • • • • • • • • • • • » • • • • 0rH rH c n C D C O CO C O C D r \ C O r H C M t n C M C O L H - P
U ) V j - r \ C O C D CO CO C D C D L D C D O L D C D L D c nr—H rH «— 1 rH i— 1 rH L U
c r 1 C M i 1 C Mi
< C M o 0 C M
za
0 O u *—«
C L x u X 2: H G X C J < ^ ■íc
RE
F
.i.
C D C D C D r ^*
C D C D C D* *
c n c n C D c n c n
34
• K
O 0 O 0 0 o 0 0 o 0
í < X J > Í D X ) X 3 * Í 0 X ) X I * 0 3 X Jo ( D O Í D 0 3 O 0 3 ( D O Í D
X J í ü X I X J í ü X J X J í ü X JL U O • H C O • H o O • H C o • H o o • H C o □ o • H O Oh - * 0 3 c n *h * 0 3 c n * 0 3 1 0 3 c n - H í í D c o 1 0 3 í 0 3 c n ’ H * 0 3 i 0 3 * í ü CO * Í Ü * 0 3C D c n O J D c n o c n c n O X 3 CO o c o c n o n c n . c n c n O c n c n
O D a £ Z) Ü D D ü £ D o a = J ü £ Z3 D Z J O Z J Dq - c n o q - c n q - q - c o o q - c n q - q - c n o q - q - q - c n q ~ q ~
L U • H • H ü • H • h c n • H * H • H ü * H • h c n • H • t H • h a • H • H • H • h c n • H • H
a X I > X I > 0 3 X I X J > X I > 0 3 X J X I > X J X J X I > 0 J X I X j
0 Ui 0 u 0c n 0 0 X J 0 0 Z J 0 0 0 X ) 0 0 □ 0 0 0 X I 0 0 0 0 D 0 0
o X J X J X J X I - P X J X J X I X I X J - P X J X J X J X J X J X I X 3 - P X I X Jo c n c n c o c n c n c n
o c n c n í d c n c n *h c n c n t n 0 3 C 0 C O * H c n c n c n í ü CO t n c n c n * h c n CO
i— o o U o o £ o o o u O o £ o o o U O o o o E o O'L U X ) X J b C X 3 X 3 X J X J X I M X J X I X I X J X I b O X I X J X J X J X I X J
Í Ü 0 3 0 í ü 0 3 0 0 3 f D 0 3 0 0 J 0 3 0 0 J í ü 0 3 0 0 3 0 í ü Í D 0 O J í üX I X J Í-H X J X J X I X ) X J X J £h X J X I X I X 3 X J X J Í -* X I X J X J X J X J X J X J
C D C M C N C N O C O L D c n L D l \ C M U I c n L D i n . L D L O c— 1C M ^ C M r H r H 1— 1 C O c o c n C D C D r H < 3 - C N C N C M C M C M C O " 3 "H O < C D L D L D L D < 3 - C M C O c o c o C O i~ H c o C O C O c o C O C M C N
o — ■ ■ ■ • • c • • • « • • • • • ■ ■ •
C O C O c o C O c o C O c o c o c o C M c o C O c o C O c o C O c o c o
r x . o o o C D o o a r H o C D C D o o o rH
C D o o o O C N o o o r \ r \ o o O o o o « tf *\ ^ o o C D C D o C O C O C D C M rH C M o O rH r ^ C D i nC N O « • • • . • • • • • ■ • • • • • • •r H ^ i— i C N rH C D rH r \ co co C O C O i n f \ CO í\ o C M 0 30 CO rH C D rH C D C D C D c o L D C D C O L O C D C D C D
rH c—1 r H i—1
cr 1 - 1 <3- 1 co 1 1 C M
< O C M C M X C N X C N C M C M C D
Q_ CJ o X CJ X ^ X z: x cn
47
que, a d m i t i n d o - s e a p a r t e a t r a t i v a do p o t e n c i a l v a r i a n d o de a c o r
do c o m <5 = g e u t i l i z a n d o os r e s u l t a d o s da T a b e l a 3, t o r n a a e
q u a ç ã o ( 5 . 1 ) , p a r a p = 1 atm.
2 6 2 .8 0 , X. I O ' 5 3 V ’t . ^ i / 2 / ( I . 0 . 1 6 6 7 ( c 1 2 / K ) / t |
12 a 2.. 2 M iM 2
(5.3)
q u e p o d a ser r e e s c r i t a na f o r m a ,
2 6 2 . 8 0 x I O ' 5 , ( t 3 ^ . M ^ l / 2 - c r ^ [i . 0 . 1 6 6 7 U 1 2 / k ) / f ]
° 1 2(5.4)
0 merribro e s q u e r d o da e q u a ç ã o (5.4) s e n d o c o n h e c i d o , pa
ra t e m p e r a t u r a s o n d e se d i s p õ e de m e d i ç õ e s d e D ^ , p e r m i t e in-2 2
t e r p r e t a r e 0 . 166 7 x o. „ (e-io/k) c o m o os c o e f i c i e n t e s A12 12 '
e B, r e s p e c t i v a m e n t e , d e um a j u s t e na f o r m a A + B / T , com,
1/2a 12 = A (5.5)
e 1 2 /k = B / 0 . 1667 A (5.6)
U s a n d o - s e o m é t o d o dos m í n i m o s q u a d r a d o s ( p r o g r a m a TRA_
LE), c o n f o r m e s e c ç ã o 3.4, os c o e f i c i e n t e s e a j 2 f o r a m
o b t i d o s a p a r t i r dos d a d o s e x p e r i m e n t a i s c o n t i d o s n a s r e f e r ê n
ci as da T a b e l a 12 (col. 11), p a ra 34 m i s t u r a s b i n á r i a s . Uma. vez
c a l c u l a d o s , a e q u a ç ã o (5.3) p o d e e n tã o ser u s a d a p a r a a deterrni
n a ç ã o de 0 ^ 2 •
5.3 - M O D E L O D E L E N N A R D - J 0 N E S
P a r a e s t e p o t e n c i a l , os .métodos de d e t e r m i n a ç ã o dos pa_
r ã m e t r b s m o l e c u l a r e s e i 2 / k e G\2 a t r a v é s d e d a d o s de d i f u
são, e s s e n c i a l m e n t e g r á f i c o s , f o r a m d i s c u t i d o s po r S t r e h l o w £l 6j
e B u n d e (de a c o r d o c o m ■ Q?l[] ) , q u e os c l a s s i f i c a m em.: i) m é t o d o
da razão; ii) m é t o d o da t r a n s l a ç ã o ; e iii) m é t o d o da i n t e r
sec ç ã o .
No p r i m e i r o caso., u s a - s e a r a z ã o , o b t i d a a p a r t i r da
e q u a ç ã o (5.1), em d u a s t e m p e r a t u r a s d i f e r e n t e s Ti e T 2 ,
D T 3 / 2U 1 1 2
□ T 3 / 22 T 1
(5.7)
on d e .g = f l 12 ( 1 ) CT2 ) / Í2i 2 f l ) ( T i ) .
Da d o Tj e a r a z a o a = T 2 /T]_ , o b t é m - s e B , poden_
d o - s e e n t ã o c o n s t r u i r um g r a f i c o de T ^ * em f u n ç ã o de $ p a r a vá
r i o s a . E n c o n t r a - s e o v a l o r de £ ^ 2 /k i n t r o d u z i n d o o v a l o r de
6 o b t i d o e x p e r i m e n t a l m e n t e da e q u a ç ã o (5.7) e o de a, r e l a t i v o
às d u a s t e m p e r a t u r a s .
S t r e h l o w Q b ] m o s t r o u , qu e p a r a se o b t e r v a l o r e s e x a
tos de £ 1 2 ^ a P a r t i r de d a d o s e x p e r i m e n t a i s e s t e s v a l o r e s de
v e r i a m e s t a s n e c e s s a r i a m e n t e nu m a f a i x a de t e m p e r a t u r a s tal qu e
k T i / e i 2 : 1“3 , te ndo sido, no e n t a n t o , a p l i c a d o , e n t r e o u t r o s ,
p o r S r i v a s t a v a e M a d a n , em c o n j u n t o , e B u n d e (de a c o r d o c o m {j!lJ )
em c a s o s onde d a do s e x a t o s f o r a m a v a l i a d o s s o b r e u ma l a r g a fai^
xa de t e m p e r a t u r a s .
No m é t o d o da t r a n s l a ç ã o , s u g e r i d o p o r A m d u r , R o s s e Ma^
son D * ] , a e q u a ç ã o (5.1) é r e e s c r i t a na f o r m a .
log2 6 2 . 0 0 x 10 5 3 / 2 Mj + M 2' 1 / 2
D j 2 2 M x M 2
. n ( 1 ) *= log n 12 (1}+ 2 1 o g o 12
(5.8)
com,
log T = log ( k T / e 1 2 ) + log (e1 2 / k ̂ (5.9)
de a c o r d o c o m a d e f i n i ç ã o de t e m p e r a t u r a r e d u z i d a , e q . (3.11).
P a r a um c o n j u n t o de d a d o s e x p e r i m e n t a i s T, D j 2 são
c o n s t r u í d o s d o i s g r á f i c o s : i) o t e r m o da e s q u e r d a da e q . ( 5 . B ) x
log T j e ii) log «-[2 3 Cl J X log ( k T / £ 1 2 í -
Ao s o b r e p o r - s e os p o n t o s da s d u a s curvas., f a z - s e uma
(S/3UJO)
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
T(°K)
FIG.4- COE FI CI ENT E DE DIFUSÃO ORDINARIA DA
MISTURA H2-A.
Tab.—10: C o e f i c i e n t e de D i fusao Ord inar ia da M is tu ra h 2~ A
t e mpe- ° l 2Sutherland
£ 12 /k=U5O.9K,0|2=2.236A te n n a rd - Jo n e s Ref.
( o K ) ( cm2/ s )D 1 2
(cm V s )e r r o
%£12 /k ( o l< ) ( A )
D t 2 ( c m2/ s )
e r ro %
° I2exp.
14 6.84 2.735 0.8095 2.232 87.90 0.828 0.7859 5.08 64.30 3.1 9 3 0.7460 9. 89 1 6
64.1 0 3.1 9 3 0.7465 9. 83146.84 2.735 0.8488 2. 27
295.40 0.830 0.8252 0.58 64.30 3.19 3 0.7797 6 .05 3 864.10 3.1 9 3 0. 780 3 5. 98
146.84 2.735 1 .18 1 5 6. 35354.20 1 .1 1 1 1 .1 592 4.34 64.30 3.19 3 1 .065 6 4. 0 9 1 6
64.1 0 3.19 3 1.0661 4.04146.84 2.735 1 .589 7 7. 25
4 18.00 1.714 1 .5704 8.38 64.30 3.1 9 3 1 .4034 18.1 2 1 664.1 0 3.1 9 3 i .4042 18. 08
14 6:84 2.7 35 1 .7978 2.15448.00 1 .760 1 .7799 1 .1 3 64.30 3-1 93 1 .5749 10. 5 1 3 8
64.1 0 3.1 9 3 1 .5757 10. 47146.84 2.735 3.2427 1 .02
628.00 3.210 3.2319 0.68 64.30 3.1 9 3 2.7623 13.94 3 864.1 0 3.1 9 3 2.7637 1 3.90
146.84 2.735 4.9826 2.5 2806.00 4.860 4.9553 1 .9 6 64.30 3.1 9 3 4.183 8 13.9 I 3 8
64.10 3.1 93 4.1859 13.87146.84 2.735 6.6409 2.4 8
9 58.00 6.8 10 6.623 2 2.74 64.30 3.1 9 3 5.5766 18.1 1 3864.1 0 3.1 93 5.579 5 ! 8. 07
146.84 2.735 7.969 3 1.61i 069.00 8. 100 7.9447 1.9 2 64.30 3.1 9 3 6.692 1 1 7. 38 3 8
64.1 0 3.1 93 6.6955 1 7. 34
51
t r a n s l a ç ã o nos d o i s e i x o s i g u a i s a 2 log » na s o r d e n a d a s , e
log n as a b c i s s a s .
No m é t o d o de i n t e r s e c ç ã o de B u c k i n g h a m Dfl , a e q u a ç ã o
(5.1) é r e e s c r i t a na f o r m a ,
o 1 / 20 . 0 0 2 6 2 8 [T + / 2 W 1 M£]
°i2 ----------- . n r ;--------------- --- [ 5 -10)12 12 (1) .
y
ü v a l o r e x p e r i m e n t a l de D-^ n u m a d a d a t e m p e r a t u r a T é
■substituído na e q u a ç ã o (5.10) e p a r a d i v e r s o s v a l o r e s a r b i t r á
r i o s de e j 2 / k » sã° a v a l i a d o s os v a l o r e s c o r r e s p o n d e n t e s de Q\2'
D e s t e m o d o , uma s é r i e de v a l o r e s de e i 2 ^ ^ e °12 sao
d e t e r m i n a d o s e uma c u r v a é t r a ç a d a c o m eles. T a i s c u r v a s são o_b
t i d a s para c a d a t e m p e r a t u r a , o c e n t r o g e o m é t r i c o de t o d o s os pojn
t o s de i n t e r s e c ç ã o f o r n e c e n d o os v a l o r e s de £ 1 2 /^ e °12 c*a
tura. S r i v a s t a v a e S r i v a s t a v a [j?l] d e t e r m i n a r a m e s t e s p a r â m e t r o s
pel o m é t o d o de i n t e r s e c ç ã o , p a r a t r i s p a r e s de g a s e s : N e ~A, N e -
- K r . e A - K r .
Um o u t r o m é t o d o p a r a a o b t e n ç ã o d e a 12 e E 1 2 ^ foi
p r o p o s t o por S r i v a s t a v a e S r i v a s t a v a [21] q u e p r e s s u p õ e a u t i l i
z a ç ã o dos d a d o s de d i f u s ã o e v i s c o s i d a d e de m i s t u r a s b i n á r i a s ob_
t i d o s num a m e s m a t e m p e r a t u r a . No e n t a n t o , v e r i f i c o u - s e que é mu_i
to r a r o é n c o n t r a r - s e d a d o s e x p e r i m e n t a i s d e s t e s d o i s c o e f i c i e n
te s em t e m p e r a t u r a s i g u a i s .
Em r e l a ç ã o aos m é t o d o s d e s c r i t o s a f o r m a de a j u s t e (T£
b e l a 1 ), c o n d u z a uma a l t e r n a t i v a n u m é r i c a , d e s c r i t a a s e g u i r ,
qu e p e r m i t e a u t i l i z a ç ã o d os d a d o s de d i f u s ã o em f a i x a s -amplas
de t e m p e r a t u r a .
De a c o r d o c o m a e q u a ç ã o (5.1) e T a b e l a 1, o c o e f i c i e n
te de d i f u s ã o o r d i n á r i a de m i s t u r a s b i n á r i a s , p a r a e s t e potencjl
al, é d a d o por
2 6 2 . 8 0 x l 0 ~ 5 f T 3 .j y . M ^ l / 2 / £ + B 1 ogT * + C (10 gT * )T
°12 p a ^ 2 ' 2Ma M 2
(5.11)
52
o n d e A, B e C são os c o e f i c i e n t e de a j u s t e a p r e s e n t a d o s na Ta_
b e l a 1 .
A e q u a ç a o (5.11 ) p o d e e n t ã o s er u s a d a , em d u a s t e m p e r a
t u r a s d i f e r e n t e s T ]_ e T 2 , p a r a d e t e r m i n a ç ã o de £ 1 2 ^^ e a 12»
-1 2D Ai + B 1l o g(kT 1 / e 1 2 ) + C x [log( K T j /£ i 2 )J ■ j, 3/ 2r i = -------- -------- 1---_ -------------------------- - (— ) (5.12)
- °2 A 2 + B 2log(kT2 / e 1 2 ) +- C 2 [Iog(kT.2 / e 1 2 )I] T 2
o n d e ,
□ x = c o e f i c i e n t e de d i f u s ã o D 12 na t e m p e r a t u r a T ]_
D 2 = c o e f i c i e n t e de d i f u s ã o D ]_2 na t e m p e r a t u r a T 2
A]_, = c o e f i c i e n t e s d e a j u s t e c o r r e s p o n d e n t e s a
•fçA 2 , B 2 , C 2 = c o e f i c i e n t e s de a j u s t e c o r r e s p o n d e n t e s a T 2
F a z e n d o ,
E = e 1 2 / k (5.13)
e
Dl T n 3/ 2F = ( 2) (5.14)
□ 2 1
o b t é m - s e ,
F =Ai + B i l o g T i - B ^ l o g E + C ̂ £(log 1 j ) 2 - 2logT]^ l o g E + (logE ) _]
A 2 + B 2 l o g T 2 - B 2 log E + C 2 0 1oSt 2 í2 " 2 logT2 log E + (logE ) 2J
(5.15)
D e f i n i n d o a g o r a ,
X = log E (5.16)
e n c o n t r a - s e ,
G 1 " H 1 X + c l x2 = F CG2 " h2X + C 2 X 2] (5.17)
onde,
G 1 = A i + B x l o g T i + C 1 (1 o g T 2 )2 (5 .1 8 )
53
H], = B]_ + 2Cj_ log 1 1 C5 . 19 )
G 2 = A 2 + B 2 1 og T 2 + C 2 (lo'gT2 )2 _ (5 .2 0 )
H 2 - = B 2 + 2 C 2 l o g T 2 (5 . 21 )
ond e,
R e a g r u p a n d o a e q u a ç ã o (5 .1 7), o b t é m - s e ,
P X 2 - QX + R = .0 (5.22)
P = C ]L - C 2 F (5.23)
Q = H], - H 2 F (5.24)
R = G i - G 2 F (5.25)
Da e q u a ç ã o (5 .22), as r a í z e s ,
Q + ( q 2 - 4 P R ) 1 / 2X = ------- i------------------ ■ (5.26)í 2 P
e .
Q - ( V - 4 P r V / 2X 2 = ------- *------------ L---- (5.27)
2P
d e p e n d e m de t e r m o s em A, B e C, po r sua vez f u n ç õ e s de £ 1 2 ^ '
Is t o e x i g e um a s o l u ç ã o p o r t e n t a t i v a s ( A p ê n d i c e A), c o r r e s p o n d e n
te s às t r ê s f a i x a s nas q u a i s f o i s u b d i v i d i d o o i n t e r v a l o de a j u s
te da i n t e g r a l (• *) ■
P a r a c a d a p a r d e t e m p e r a t u r a s a e q u a ç ã o (5.22) f o r n e c e
12 r a í z e s , d a s q u a i s - ao m e n o s em p r i n c í p i o - a p e n a s uma é tal
q u e T } * = T j / e ^ e T 2 * = T 2 / e * f i c a m e n q u a d r a d a s . d e n t r o das
f a i x a s p r e c o n i z a d a s p e l o s p a r â m e t r o s A ^ ( A 2 ), B j ( È 2 ) e C i ( C 2 ) i-
n i c i a l m e n t e a r b i t r a d o s .
C a s o s de i n e x i s t ê n c i a e m u l t i p l i c i d a d e de r a í z e s possí^
ve is , f o r a m no e n t a n t o o b s e r v a d o s , o q u e p o d e se d e v e r t a n t o a
é r r o s de m e d i ç ã o n os v a l o r e s e x p e r i m e n t a i s u t i l i z a d o s q u a n t o ã
n a t u r e z a do m o d e l o . Os e r r o s no a j u s t e de • Q ue se c o n s
t i t u e m em o u t r a c a u s a de i n e x i s t ê n c i a e m u l t i p l i c i d a d e de raí -
54
zbs, são no e n t a n t o a b s o r v i d o s p e l o s d e s v i o s e x p e r i m e n t a i s , seni
pre s u p e r i o r e s ou da m e s m a o r d e m que os p r i m e i r o s [j. 3j s ■ |~29] .
Os v a l o r e s e ^ 2 / K e °12 c*a m i s t u r a são o b t i d o s c o m o
no m é t o d o de i n t e r s e c ç ã o , a t r a v é s d a s m é d i a s ,\
e 1 2 / K = [^(ei2//k ^ 2 ’̂ e 1 2 /̂ ^ ^ 2 ’^e 1 2 //̂ ^ 3 ......... ^e 1 2 ^ ^ ^ nl ^
(5.28)
e,
^°12^i+ ^a 1 2 ^ 2 + ^a 1 2 ^ 3 + ‘ • , + ^a 1 2 ^ no 12 = ---------------------------------------------
n
• o n d e os (e]_2 / K ) ^ e s ão os o b t i d o s c o r r e s p o n d e n t e s a
c a d a v a l o r p o s s í v e l de X-j_, s o l u ç ã o de (5.22).
5.4 - R E S U L T A D O S E C O M P A R A Ç Õ E S
A T a b e l a 9 c o n t é m os v a l o r e s de £ 1 2 /^ e a \2 c a l c u
l a d o s n e s t e t r a b a l h o , em c o m p a r a ç ã o c o m os o b t i d o s na bibliogra_
fia, p a r a o m o d e l o de L e n n a r d - J o n e s , c o m a e s p e c i f i c a ç ã o do méto_
do u s a d o p a r a a sua o b t e n ç ã o .
O b s e r v a - s e que, em g e r a l , as r e g r a s d e c o m b i n a ç ã o cojn
d u z e m a v a l o r e s d e e i 2 ^k e °\2 b a s t a n t e d i f e r e n t e s d o s c a l c u
l a d o s a p a r t i r d o s d a d o s d e d i f u s ã o e / o u v i s c o s i d a d e de m i s t u
ras, ã e x c e s s ã o d o s p a r e s N e -A, H 2 “0 2 » H 2 " ^ 2 ’ N e _ K r .
E s t a d i f e r e n ç a p e r s i s t e m e s m o q u a n d o se u t i l i z a a p e n a s
.os d a d o s de d i f u s ã o p a r a o c á l c u l o , p o d e n d o ser d e v i d a t a n t o à
uti li za çã o' de d a d o s . e x p e r i m e n t a i s d i f e r e n t e s q u a n t o .ao m é t o d o u-
sado, 0 que, em a m b o s os c a s o s , r e f l e t e o c a r á t e r a p r o x i m a d o do
m o d e l o e a d i f i c u l d a d e de se e n c o n t r a r m e d i ç õ e s p r e c i s a s do cae
f i c i e n t e de d i f u s ã o em f a i x a s e x t e n s a s de t e m p e r a t u r a .
As F i g u r a s 4 e 5 (e c o r r e s p o n d e n t e m e n t e as T a b e l a s 10
e 11) são b a s t a n t e r e p r e s e n t a t i v a s d e s t a s i t u a ç ã o . A s s i m , a pri_
m e i r a m o s t r a 0 c o e f i c i e n t e de d i f u s ã o o r d i n á r i a do par ' H 2 -A ,
c a l c u l a d o s u s a n d o - s e o m o d e l o de L e n n a r d - J o n e s , n u m a f a i x a de
t e m p e r a t u r a s de 2 8 7 . 9 0 - 1 0 6 9 °K . A c o r r e l a ç ã o ' f e i t a e n t r e
os t r ê s d a d o s de m a i o r c o n f i a b i l i d a d e ( T a b e l a 10., col. 9 ) p a r a a
o b t e n ç ã o de e 1 2 / ̂ e °12 n ®° a p r e s e n t o u r e s u l t a d o s satisfatcí
r i o s , a p e n a s u ma r ã í z da e q u a ç ã o (5.22), t e n d o sido o b t i d a e c omo
um v a l o r m u i t o e l e v a d o , os v a l o r e s . d e 2 .= 2; 735 .A ,e £ 1 2 ^ =
1 4 6 . 8 4 0 °K s e n d o c a l c u l a d o s a p a r t i r dos d a d o s c o n t i d o s em (3éT]
qu e i n f e l i z m e n t e não a p r e s e n t a os e r r o s e n v o l v i d o s n a s m e d i ç õ e s .
E m r e l a ç ã o a e s t e s d a d o s a c o r r e l a ç ã o é b a s t a n t e boa (erro m é d i o
de 2 . 0 1 % ) , a p r e s e n t a n d o , no entarito, e r r o s de 2 . 2 3 % , 6 , 3 5 % e
7 . 2 5 % em r e l a ç ã o a o s d a d o s de m a i o r c o n f i a b i l i d a d e jj. 6""| •
Um a s i t u a ç ã o , d e c e r t a f o r m a o p o s t a , é m o s t r a d a na FjL
g u r a 5 ( c o r r e s p . T a b e l a 11) p a r a o p a r N ? - C 0 , os v a l o r e s d e Len_
n a r d - J o n e s de £ 1 2 ^ = 5 1 . 2 4 0 °K e a \2 ~ 3 . 8 1 0 A° , t e n d o sido
o b t i d o s a p a r t i r d o s d a d o s c o n t i d o s em 29 c o m d e s v i o s p r e v i s
t o s de m e d i ç ã o i n f e r i o r e s a 1% . O b s e r v a - s e uma bo a c o n c o r d â n
cia (erro m é d i o de 0 . 7 6 % ) na f a i x a 1 9 4 - 3 7 3 °K. A c i m a de 400°K £
p e n a s os v a l o r e s D j 2 = 0 . 3 5 2 c m 2 / s ( T = 4 0 0°K ) , D 1 2 = 0 . 5 1 0 c m 2 /s
(T = 500°K) e D 2 2 = 0 . 598 c m ^ / s (T = 550°K) c a l c u l a d o s a p a r t i r
de d a d o s de v i s c o s i d a d e do p a r Q27J , se e n c o n t r a m d i s p o n í v e i s .
E s t e s v a l o r e s e s t ã o um p o u c o abaixo. 3%) da c u r v a p r e v i s t a , f £
to e s t e c o n s t a t a d o p e l o s p r ó p r i o s a u t o r e s , de um m o d o g e r a l , em
r e l a ç ã o a d a d o s de m e d i ç ã o d i r e t a .
A T a b e l a 12 a p r e s e n t a uma s í n t e s e da a n á l i s e e f e t u a d a
pa ra 34 pa re s . O b s e r v a - s e q u e o m o d e l o de L e n n a r d - J o n e s , c o m os
p a r â m e t r o s 0 ^ 2 e e i 2 //̂ c a l c u l a d o s n e s t e t r a b a l h o , , c o n s t i t u i
uma boa a p r o x i m a ç ã o (erro m é d i o i n f e r i o r a 2%) pa ra 27 p a r e s , s£
p e r i o r , na m a i o r i a d o s c a s o s , às o b t i d a s na b i b l i o g r a f i a , em r £
l a çã o aos d a d o s u s a d o s .
0 m o d e l o de S u t h e r l a n d , da m e s m a f o r m a , a p r e s e n t a e r
ros m é d i o s i n f e r i o r e s a 2% p a r a 27 pares:- H e - N e , H e ~A ,- N e ~A ,
H 2 " H e* H 2 ~° 2' h 2 ' C 0 ' C 0 - 0 2 , H 2 " C H 4 , H 2 - N H 3 , H ? - C 0 2 , H 0 - N 2 , H e - 0 2 ,
h 6 - c o 2 , c h 4 - c o 2 , n h 3 -a, n 2 - c o 2 , n 2 -co, n 2 - n h 3 , o 2 - n h 3 . h 2 -i\i2 o,
S 0 2 - C 0 2 , A - X e , C 0 2 -IM2 0, N g - K r , A - K r , H 2 -SF g e N H 3 - K r , s u p e r i o r
em r e l a ç ã o às a p r o x i m a ç õ e s o b t i d a s c o m o m o d e l o de L e n n a r d - J o n e s
em 15 c a so s. P a r a os p a r e s N 2 -A e 0 2 ~A não fo i p o s s í v e l e s t £
b e l e c e r uma c o r r e l a ç ã o u s a n d o - s e os d a d o s d i s p o n í v e i s .
A a n á l i s e a c i m a v a l i d a a u t i l i z a ç ã o do m o d e l o de Su-
56
therland para. a obtenção de form as explícitas para o C o e f i c i e n
te de Difusão Ordinária, o que é, como no caso da viscosidade
ex tremamente conveniente, dada a si mpl icidade das mesmas.
EOCM
Q~
Ntn - o
S -O'
(O -d
9-cs
tn-
d
CVJ "fr - a
ro - Ó
co ro - ô
(Oto - a8-
NOJ .Ò'íC \ JO
aCO .O
Ifio
cyÔ
01Q lO
^ Amdur e Shuler (29) O Weissmann e Mason(27) — Sutherland
---- Lennard-Jones(estetrabalho ).
---- Lennard-Jones (9)
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550T (°K )
FIG. 5 - COEFICIENTE DE DIFUSÃO ORDINARIA DA M ISTURA N2-C0
Tob . — 11: C o e f i c i e n t e de D i f u s ã o Ordinár io da Mistura N^CO
tem pe- °I2exp.
{ c m2/s )
S u t herl a nd Sl2/K = 386.03K,Úí2:3.1l9̂ L e n n a r d - Jo n e s Re f.
( o K )Dl 2
( c m2/s )e rro
%8 12 /k
( 0 K )612
( /f)0(2
( cm2/s )erro
%1 2
e X p,
5 1.24 3.8 10 0 .1 038 1. 061 0 0 .0 0 3.636 0. 0940 10. 4 1
6 8 .2 0 3.636 0. 1 059 0. 89I 94.70 O.l 05 O.l 04 1 0 .7 8 1 04 .00 3.636 0. 0927 1 1. 63 29
37.20 3.920 0. 1 057 0. 741 00.00 3.635 0. 094 1 10. 36
83.80 3.742 0. 094 1 10. 365 1.24 3.8 10 0. 1 866 0. 36
1 00.00 3 .636 0.1 739 6. 5068.20 3 .636 0. 1 919 3. 2 1
273.20 O.l 86 O.l 864 0. 25 1 04.00 3 .636 0.1 7 19 7. 55 2 937.20 3.920 0. 1 857 0. 1 1
1 00.00 3.635 0. 1 740 6. 4583.80 3 .742 0 .1 722 7. 375 1.24 3.8 10 0. 2423 0 . 1 3
1 0 0 .0 0 3. 636 0. 2296 5. 0868.20 3 .636 0. 2.5 1 5 3. 96
3 I 9.60 0.242 0.2426 0. 27 1 04.00 3 .636 0. 2273 6. 07 2937.20 3 .920 0. 24 1 1 0 . 33
100.00 3 .635 0. 2298 5. 0383.80 3.74 2 0 . 2266 6. 335 1.24 3.8 10 0. 3133 1. 47
100.00 3 .6 3 6 0. 30 1 1 5. 3 168.20 3. 6 36 0. 3283 3. 25
3 7 3.00 0.3 I 8 0.3 I 34 1 .4 2 1 0 4.00 3. 636 0. 2982 6. 22 2937.20 3.920 0. 31 1 8 1. 92
10 0.00 3.6 35 0. 301 2 5. 2683.80 3 .742 0. 296 1 6. 875 1.24 3.8 10 0. 351 9 3. 5 1
1 0 0.00 3 .6 3 6 0. 3399 0.00468.20 3.6 36 0. 3688 8. 47
400.00 0.340 0.35 1 6 3. 4 1 1 04.00 3 .6 3 6 0. 3368 0. 92 2737.20 3.920 0. 3503 3. 04
1 0 0.00 3.635 0. 340 1 0. 0583.80 3 .742 0. 3339 1. 795 1.24 3.8 10 0. 51 0 1 2. 64
100.00 3 .636 0. 4990 0. 4268.20 3 .636 0. 5345 7. 55
500.00 0. 497 0.5053 1 .6 9 1 0 4.00 3 .636 0. 4950 0. 40 2 737.20 3.920 0. 5078 2. 1 7
1 00.00 3 .635 0. 4993 0. 4883.80 3.742 0.4879 1. 8 15 1.24 3.8 10 0. 5977 2. 7 1
10 0.00 3.63 6 0. 5884 1. 1 168.20 3.63 6 0. 6263 7. 62
550.00 0.582 0.589 1 1 .2 3 1 0 4.00 3.63 6 0. 5847 0. 46 2 737.20 3.920 0. 5950 2. 24
10 0.00 3.63 5 0. 5687 1. 1 683.80 3.742 0. 571 8 1. 7 5
TABELA
12
- Coeficiente
de
difusão
ordinária
em
misturas
binárias.
58
Ü- CM □_ UJ r-1 Xcr o üj
7,27
,38
40
rHCN
*r\ 27
, 38 27
CMC-1 O CO «sT rs rs 0 rH LD CD CD tn cn cn cn
o ■ Q rH CO cn tn rH LD co rH co cn CO CD CN CO CDcr x o\° • « • • • • • ■ « • • • • • •cr v c UJ ID rs CO rH CD (Sv 0 O O 0 0 O rH CN 0 tntu 2: 0 r rH rH
CM0 ■ rH O CD CD CO O CO œ rH CO CD LD rH CO CD CD cncr 0 a LO cn LD CO CD CM cn CD cn CN CO CM tn CN CO
tn cr tu o\° • • • • • • • • • • ■ • • • • •LU tu 2= UJ 1—i 0 LD Kl" rs. CO 0 O O CD 1—1 rH a rH
ao•—)Q - rs 0 O CD CD CD CD 0 CM CO rs CD 0 0 rsCT CN —̂•> r—! LO <3* O LD LO un CO CO CD co rs CD rH 1—1 Ln< —1 o < S}“ rs CO CO O CD 0 CD O O 0 0 1—1 1—1 1—1
O *—- > • • • • . • ■ • • • • • • • • • •
z: CM CM CM CM CO CO cn CM CO cn cn co cn cn cn CNLU_ J
O O O CN 0 0 CD O rs 0 CD CD 0 0 0 OO O LO 0 0 0 O a 0 O 0 0 0 CO
\ CO rs rs CM CO tn 1—1 CN LD LD CO CD tn rs *i*CM 0 • ■ • ■ • • ■ • ■ • • • • • • •—1 0 CO r\ rs CD O co CD N CO CD «—i rsCO LD 1—í CM rH CM CM cn . sf* co co CO CO CD CO co co
-rH
0 0 CD ^r 0cr x rH CO rs cncr ' c o\° • • • •tu z : si rH 0 *3*
0 . en tn CO tna cr a CO CD <3- coz: cr tu o\° • • ■ •
< LU SI rH O 0 1—i-j
crUJ 0 co 0 tnx CM CD CM rsJ— 1—1 o< CO «—H tn cnX) D l_—/ • • • •cn 1—1 CM CN 1—1
rs cn cnCM LD cn cn
/—s CO CM rs <3-\ * • • ■CM □ rs rH CD CD1—1 CO O cnU CO tn co
<cr CO CO cn cn
IU 3 CM a CN CNa h~ UI CO tn tn
<< cr 1 j i 1X LU 0H CL CM cn cn cn< 5= CD rs rsLU LU CM co CM CN
h-
<crZD CD 031— z : < < XCO 1 1 1 1M œ 0 CD CNs : X X 2: X
(continua)
Ccontinuação ]
- TABELA
12
- Coeficiente
de
difusão
ordinária
em
misturas
binárias.
59
U_ CM LU rHCT Q
CLXLU
16 ,
38
i
or—1
IX
rsCM
rHrH
%rHrH
CD
27
LZ ' L
CMo •• rH in CM rs CO CD CD CO rH •LD rH O rH (X CO co cocr x O CM rH o CD vf co CD LD rH CO LD rs. rH O t—1 rHcr »< o\° • • - • • • • • • » • • • • •uj 2: UJ rs CO CO CM CM. CO CM O vr CO CM Vf rs LD co I\
a «—i rH rH
CMo . - t—i o un a LD CD co rH Vf vf rs CO CM co rs co v fcr a a rH CM rH co Vf rH CM CD i—1 vf rs. co vf CDcr tu o\° . • ■ • « ■ • . • • ■ « • • • ■ ■
cn UJ SI LU CO CM CM rH rH rH rH Vf rH rH i—1 rH CM co co vfUJ a rH rH
o*“> in co CO CO •—1 rH 1—\ LD LD CD CD CO CM CM CM ai CM . *—' co 05 OD CO a O CD CM —1 rs rs CM rH rH rH coO rH o< rH i—t rH CM CM CM CO CM CM (N CO LO LD tn vfcr Ü • ■ » ■ • • • • • • ■ • • • •< CM CO CO CO co CO CO CM CO CO CO CO CO CO co co
UJ_J a o o vf o o D O CD CD o í\ o o o o
v f a o Vf CD CD a O rs o a CO a o o o\ v: cO co rH CO <3* CM co O rs co o o o CD CD oCM o • • • ■ • • • • • • ■ • - • • ■i—( CD «sf rs rH CO CD CM CM o LO rH CM i—1 co rH
CO co CO co CD m LO. LD CO CD CD CO rH CD rH O)—1 rH rH rH
o • co co CO CMcr x co ix CD «—lcr vü o\° • • • •lu s : CO rH CM CO
o • co CO vf rHa cr a CD CO CM CO
cr 'üj o\° * • ■ «< lu s : CM O i—l rH
crUJ CD CD CO COX CM CO CO rsi - »—i o < CM CD CO oZD D .—' ■ • ■ •tn CM CM CM CO
vf vf CM aCM O CO oCD LO CO rH• • • •
CM o O CO CD CDi—1 *—» LO co CD COU) rH co Vf . ^
rH
< CT)cr co a 00 O
LU ZD O LO CM oO h- i—1 LD LO LD
< ^< cr 1 1 1 1X UJ oH d ’—' CO CO CO CO< s: CO rx rs rsU_ ÜJ C\I CM CM CM
h- .
<cr3 CM O CMh- < O o Oco 1 1 1 1M CN CM CM Os: X X X u
(continuação)
- TABELA
12
- Coeficiente
de
difusão
ordinária
em
misturas
binárias
IL rsl CL LU rH x CT Q LU
CO co i—1 CO
i—irH CN
C OCO
COCM
CO co cm co;
cn r\ CM
CO rHrH CO
* *CD . CO
CN
CMO • rH
cr x o cr < o\° LU 21 LU
a
CD•co
CM<3-
COL O
CDCO
COCO
i\ co cn coco CM O LD
C-H LD
O C O
r\
oCO
c—h r— LD
CO CO
oLD
CO
CO
rsi rx o <—I
L D LD CO
01LU
Iacr<
LU
CM( 1 • i—i cr a a cr hjj o\ °LU Sü LU
Q
LD
CO St*
C\3
CD
CM
COí\
CM
r\co
LDLD
O LO CN CD
CM CN CN CM CN CM
st*CO
CM
CD rH LD CO CO O ) CD CD
!\ r\ CM CM
CO CN CM CN CO
CNrH '0<D ^
CO un LD CO CD CD CN CO CO
L D
cnco
co co co co
rxiHCO
CN
CN LD LD l_n LD LD LD ^ CM CM CN CN CM CO rH CO CO CO CO CO CM
CO CN O CM CO cO O CO r H «tf* C O S}*
CM CM .CO CO
CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO co
CN oI—I '—'O)
^ o OJ oCO <3-
ooCO
ooco
•sT N CO CO CD CO CO LD
r\CM
COCO
r\ o a a a
rH CM CO
oo
COCO
LDLD
Ool\
sr
oost*
aco
ooCD
CMCD
rH O O OO O O OCO LD O O
H CD •3" CON CD N
Oaco
coco
oosr
coco
o -cr x cr^ o\® Lu s:
cost*
CM
st*LD
CMS}*
COcn
o
crLUX}—ZDcn
o •cr a crui o\° iu z:
coo CD
OCM
CM
i\
CM ^rH 0 < t> w
COOCD
CN
unCOCO
CN
CNr\CD
CM
CDCO
CM
CM Oi—I ‘—'
<jl)
unr\coco i— i CO
CDOCD
COCO
01T\*3*
CNuncoCNr\co
<cr
L U 3Q hr
<< cr ^X L U OH CL ^< s:L L . L U
H*
<cr3h-01M
COCMun
cor\CN
sf-XuICN
X
COcoin
coí\CM
coX
ICM
X
coUI
COcoCN
CM2ICM
X
Ointn
cor\CM
CN
0 u1CM
X
(continuação)
- TABELA
12
- Coeficient-e
de
difusão
ordinária
em
misturas
binárias.
* *rH i—t rs CO CN f“H tn a
• . rH CO CO . co CO co CM rHLL C\J CL. CO CO COÜJ rH X * * % * cn CO •* cn *cr a ÜJ rs co CD rs rs CD rs rs
CN rH i—1
CNo ■ i-H o . ^r o co a LD rs CO CD CN cn CN co CD co «tf- *sT CD CO Ocr x O rs a co o CO co CN LD CN CD tn CN tn cn cn rs. o CO CO o rHcr v c o\° ■ • • • • • • • • • • • • • « • • • •üj z : ÜJ i—i CO CO ' o cn rs co CN tn CN rH CN rH o rH rH CM CO CO a
Q CN rH rH i—i
CNo ■ i—i CN LD LD CN co CO rH CO LD CD cn CN cn CN CO cn cn LO rs. acr a a i—1 O O O ■ |\ o CO 3̂* co CO i—i l\ cn CM cn cn cn «tf- CD CO cn
CO cr tu o\° • • • • • ■ • • • • ■ • ■ • • • • • •ÜJ üj LU LD i—1 CN O rH <tf* i—1 o CN O rH O o cn o o a CN Ps CO CN
Q rHo
1 r—1 rs O co > CO CD CO cn cn a rH CD CD co cn cn cn CD cn cn aa CN <3* rs CO ’ cn CN CD a tn rs CO cn co cn cn cn rH CN co CNcr rH O < CN co co co 1—1 1—1 CO cn cn o CN CN 00 •tf* CO CO co tn CO CO tn< O 1—' • • • ■ • • ■ • • • • • • • • • • •
CO CN CN CN co co CO co cn . co co cn cn cn cn cn cn cn cn co cnzÜJ_J 1—1 t—! CN cn o rs CD a cn o CD co a CD CD CD o o o o
,—, tn a CD o a a o CN o tn cn a a CD a o o , a a\ LD co a *3" cn to CD CD o o o CD rH rH cn cn o o o o oCN o • • - • • • • • • ■ • - • • ■ ■ ■ • •rH CO co CD r\ CO r-H Sl- rH co í\ i—i <3* • LD cn cn cn CD rs o CN <tf-
D CO co CD co LD CO CD CD CN co CN (N cn i—i cn cn O tn co cn tn1—1 . CN i— i— CN CN CN CN rH rH rH rH i—i
o ■ i\ CD cn CN CD CO f~Hcr x CN CN rH cn *3" cncr ' c o\° • ■ • • •uj e : r—í CN O CN CN r H o
1—1
a o ■ r—H r—1 CN CO 1—I r H ocr o CN (—1 rH m co
< cr tu o\° • « * • • •_i üj s : CO <—f O 1—1 rH CD ocrLUX CO *3" LD CD CN cn\— CN " , '—’ CO co cn «tf- CO CO rsr} (—i ’Q < o co CN . CD O CO cocn to • . • • • •
CO CN C\! CN CO C\l cn
CD f—1 CO cn cn rs. CN/—> LD cn LD o o co "tf*
\ t—1 co LD CN cn cn CNCN o • • • ■ »i—t «—* rs •—i CO co CD CN
w CO o co a CO rH CO*3" co LD cn a CD
rH i—f
<cc CO co CO CO [S. cn CO
uj r j r s * a CO ao CD cn COa h- si- co C N cn cn CN
< —< cr ^ l i 1 i i 1X ÜJ oh- CL CO CO CO co cn cn< s : r s r s r s . r s IS. in r s
L L UJ CN CN CN CN CN CN CMH
.< CNcr CN CN O CN
o CN CN O CJ < oH- ( f ). 2 O CJ 1 i CJc o \ 1 l 1 cn 1M (N CU 0 0 X X CMsz x X X X u
[continuação]
- TABELA
12
- Coeficiente
de
difusão
ordinária
em
misturas
binárias.
62
REF
.
CN CL rH X Q LU
CDOJ
IX . CN
rHrH
OrH
27
7,
10
j 7,
10
CMO • iH rH rH rx CO CD CD CN CD O rH CN IX CD CD CO rH Ocr x a LO ’tf* CD O CO CO 00 IX CD rx CD CD CO CD CN CN CMcr < o\° • • • • • ■ • * • • • • • • • • •Lu z: UJ CO CD CO i—l CO a o CO CD CD o CO co CD UI CD CD
o i—l rH rH rH rH
CMo ■r—1 CD CO CO rx rH rH CO CD <3- IX CD CD rH aD LD O COcr a Q rx CO CO CO LD rH rH CD CN CD rH CD CO CO CO rH rH
CO cr iu o\° • ■ ■ • • • • • • ■ « • • • ■ • •LU tu z: UJ O CD CN IX rH LD rH CN CM IX «—1 rH CO CN CM CO CO
CDO *
c1 o CD CD CD O LD CM rx IX rx rx CD o O CD CDo CN rH CO CO CO CN CO CD LD LD tn i_n rx LD LD CN CM CMcr i—l o < CO CD CD CD O) CD rx LD LO LD LD tn co un LD. CO *3-< D »—' • • • • • • • ■ • • • • • • ■ •
CD CO CO CO CO CO CO CO CO CO co co CN co CO CM CO CO
LU_) CD o o o o o o LD o a a o a o O o o CD
/—> Vf* o . o o o o o rx o o o o CN o o LTi o O\ (N o CM o CN o CO CD o rx rx tn ui o CO CO o CMCM O • • • • • - ■ • • • - • • • * ■ ■rH i—1 o CO {X o CO CD CM o IX co rx co rx CD LD0) LD o CD o CO o CO CD O CD CD CD CD o co CD rH CD
rH rH rH rH CN rH CN rH
a • rH COCL X <3* CDcr 'c o\° • • 1 1Lu z: CO LD
o o • o COCL Q CO
< cr uj o\° ■ • 1 1_i Lu z: rH CMorLUX CD rHh- CN r~~> rH O
r-H Q < i—1 CD 1 1CO D '—' • -
co CO
o CDCO O
\ O CDCN O • • • 1 1!-1 '—' CD OCO CO CM
CO LD
<ce O a CO co
LU 3 LD in CD CDC)t— LD ui CN CN
< ^< cc ^ 1 i t 1X ÜJ oM a. co CO CO< s: CD rx rx IXLL UJ «—1 CM CN CM
f-
<crn O CNH- • a O < <Ul » 1 1 1M CN CN CN CMs: 2 2 O
TABELA
12
- Coeficiente
de
difusão
ordinária
em
misturas
binárias.
6 3 jj
otíOocoDc
•PcoÜ
UL CM LU i—lcr a
CLXLU
r—1CO
nCDC\l
31
TE '
6
CDCM 17
15 ,
31
24
CMO * rH <tf- ST cn O ST CO CM CD CD cn aD r\ «tf- tn sr CO CO CDcr x O [\ o CO f;—| • CD r\ lo rH CM rH CO sr CO CM co rH rH CMcr *< o\° ■ • • • . • • • • • • • - • • • • •Lu z : LU sí- o o CO i—1 CD O O rH O co co rH i—1 CD CO <tf* CO
a 1—1 rH •—1 rH rH
CMo • (—t CO co rH I\ CD «H CD CO a CN l\ CD CD CD rH CM CD CM ✓cr a a «tf- o CO CD CO lo rH CD rH CD co sj- sr CD CD CO rv
cn cr 'üj o\° ■ • • • • ■ ■ • • • * • ■ • • • •ÜJ LU EI LU i—1 o o i—1 O o co O o O e—1 i—1 IS N co sr CO K
Clo
i CM sr st" sT *3" co o co lo CD ST a O CO co CO CMa CM ,—, LO LD Ln CM CM si* sr tn cn LO sr CM st* co co co CO CDcr »—1 □ < LD ST co st* cm a CD rv. CD CO O cn cn CD CD CO CO< D • ■ • • • • ■ • • « • • • • • • •z : CO CO co CO CO sT sT co co co co ST co co CO CO CN COzLU_! o 1—1 sT CD o [\ O cn CD CD CO O o o o CD r\ a
/—, CM co O O o LO O co O O rH O O CD o O sr oO CM sT CD CM O o co O O CM O O CD o O «tf- <tf-
CM o - • • • ■ • • * • • • • • • • ■ • •i—! '—- 1\ O cn LO CD Ln r\ sT CO CD o sT s}- co O CD CM
0) CM co o CO CD CM sj* sr C0 LO CD O co cn CD COrH 1—1 rH CN CO rH rH rH r—1 rH CM CM rH rH i—1
o - CD CM <tf- CD CD i—l incr x CM rH CD l\ CM LO cocr c o\° • • « « ■ • •üj ^ CO O O o rH (N CD
rH
a a • CO o CM LO rH CD Lncr a CD 1—1 CO LO O rH CO
< cr \ ü o\° ■ • • • • ■ •Lu s : rH a O o c—1 i—i CM
crLU ■“X sr co a CO co i—1H— CM /~\ r\ r\ CD r\ rH s fZ) i—s o< cn co r\ in o CO srCO Ü • • • ■ • ■ •
CM CM CM co co CO CM
O sT sT co [\ sr srr~~s CD fM sT UI sT co cnCO O C0 r\ CO CO co
CM o « ■ • • • • •f—1 v__/ CM O cn tn CO o inU) r\ CD r CD o CD sr rH
i\ CO f\ ST O o rHrH rH i—! rH
<cr co CO o CO CO a CDLu n CM i\ LD r\ in CMa h- LD sr LO co in sr
< t—<< cr 1 i 1 i i iX LU oM Q_ co co CO co co CM< s: co CD [\ CD r\ CD srLL LU CM CM CM CM CM rH CN
\—
< CM CDcr co co O O CN CN .rD X X CM L) Oh- 'ZL 2 1 CD 1 U01 1 1 1 CM X CM 1M CM CM CM O i O • 0s : 2 O X 1X1 < u 2
(continuação)
- TABELA
12
- Coeficiente
de
difusão
ordinária
em
misturas
binárias
Li. CM LU i—lcr q E
XP
.
i—i CM 2
1
13,
1B
25
CM .o - i-H CD i—i CO CO LO «tf* CO rs. CO LD CO LO CM «tf*o : x Q CO CO co cn ' CO rH co o cn o rx rH LO rH rxcr ' c o\° • • • » ■ • • • . • • ■ • • • • •Lu s : LU CO rH i—1 o 1—1 CM rH co CN) CM co cn o o CM o
a rH cn
fMo - rH CO •tf" LD O rs pH 1—1 cn CM LO LO «tf* cn ao i—í COcr o O CO CD O CD cn i—1 co co cn i—1 CO «tf- rH CN CO CM
cn cr 'tu o\° • • • • • • ■ • • • ■ • • • ■ ■LU tu s : LU r-H O (—1 O CD i—1 a o o rH rH i—l O) O rH O
a i—1 CMo•—)t CQ rs rH T\ CD a co co cn <tf" a rH O LO CO cna CM /—> O un cn co O «tf- CM cn r-H co cn co CM CO •tf*cr i—i o < CM CM CM CM CM CM rs in LO LO cn co rH cn co< o ‘—' • • • ■ ■ • ■ • • • • • • • - •
CM CO CO co co CO co co co CO CO' CM CO co co co
LU-J O o o o o a rx o o o CD CM O cn o CD
o o o o o co o o o O CD CD <tf* o LO\ CO LO un cn •tf- CO rs o a LO O CO o rH co cn
CM o • • • • • • • • • • ■ • • • •rH '—' CO rv CO «tf* CN] cn CM LO CM co LO LO O CM o 'tf*
CJ o CO CD CO CO CO a LD CO LO «tf* cn cm LO rs COLD i—! r-H H rH rH co co CO CM CM
a • cn CO i—i rscr x co CM <tf- LOcr '< o\° * • • •Lu z : i—i CM CM O
a o • CM CO I\ r\cr a rx co CM «tf*
< cr UJ o\° • • - ■_j üj s : CD r-H rH ocrUJX rs. un cn cn(— CM <3* LO rH CM=) i—i o=c CO co co rsCO • - • •
CM co CM CM
LO LO O 05CD CO cnCD «tf- LO co
CM o • • • •i—1»—' CD cn cn CM
W CO «—i rs. [s.C\! co rs CO
r H r H
<cr CO CO CO CO
UJ ZD i—1 r*H r H coa h CO CO }̂- co
<< cr 1 1 1 tX UJ oW CL co CO CO í̂*< z : rx rx CO LOLL LU CM CM CM CM
h-
<cr CO Í-.3 U LL-H* U cn 1co 1 i cn1—1 0 i CM X21 < X
65
C A P Í T U L O VI
V I S C O S I D A D E DE. M I S T U R A S B I N A R I A S
6 . 1 - P R E L I M I N A R E S '
D e v i d o à c o m p l e x i d a d e d a s e q u a ç õ e s q ue e s t a b e l e c e m o
c o e f i c i e n t e de v i s c o s i d a d e de m i s t u r a s , e s p e c i a l m e n t e par a s i s t e
mas c o m m a i s de d o i s c o m p o n e n t e s , a l é m d a s f o r m a s e x a t a s propos_
t as p or C h a p m a n e C o w l i n g [7] e H i r s c h f e l d e r , C u r t i s s e B i r d [ l o ]
e n t r e o u t r o s , i n ú m e r a s e x p r e s s õ e s a p r o x i m a d a s t i m sido propo_s
tas.
D e s t a s a p r o x i m a ç õ e s , a m a i s u s a d a [7 ] e [38] é a de
B u d d e n b e r g e W i l k e [li],» o b t i d a de uma e x p r e s s ã o e m p í r i c a de S_u
t h e r l a n d (v. [11J D e T h i e s e n (v. [ll]), d e p o i s d e s i m p l i f i c a d a
por. S c h u d e l ( v . [ll]).
N e s t e t r a b a l h o , f o r a m t e s t a d o s , e m p r i m e i r a a p r o x i m a
ção, os d o i s t i p o s de e x p r e s s õ e s , a e x a t a e a a p r o x i m a d a , u s a n d o
se os m o d e l o s de L en-nard- J o n e s e de S u t h e r l a n d , p a r a 11 m i s t u r a s .
6.2 - A E X P R E S S Ã O E X A T A
De a c o r d o c o m a e q u a ç ã o (2 .98), o c o e f i c i e n t e d e v i s c o
s i d a d e de uma m i s t u r a g a s o s a b i n á r i a p o d e ser c o l o c a d a na fo rm a,
X 1 R 1 + X 2 R 2 X 1 X 2 R 12 _ (6 1)
onde.
x 1 R l / [tJl ] l + x 2R 2 / ̂ 2 ] 1 + X 1 X 2R 12
r = J L . + u a /M (6.2)1 3 1 2
R „ = --- - + M 0 A / M , (6.3)2 3 2 1
66
E . E 2 R 12 = — ---— + — ---— + 2 ( — ----A) [6.4)
2 [y i] x 2 [ y 2] x
4 A (Mj + M 2 j 2
2 [vt l] ! [p.2] ! . 3E M 1 M 2
R 12 = — ---—— ---:— + -------- ;---------- (6.5)
onde,
[y l]]_ e Lv 2 I i sao as p r i m e i r a s a p r o x i m a ç õ e s d o s c o e f i c i e n t e s
de v i s c o s i d a d e dos g a s e s c o n s t i t u i n t e s da m i s t u r a ; xj e x 2 são
as f r a ç õ e s do s c o m p o n e n t e s 1 e 2 na m i s t u r a ; M 2 = - m a s s a s m £
l e c u l a r e s d o s c o m p o n e n t e s 1 e 2, r e s p e c t i v a m e n t e .
t e n d o - s e ,
0 v a l o r de E é c a l c u l a d o a p a r t i r da e q u a ç ã o (2.97),ot^
61 2 x 1 0 “5 D (M + M )------------- ----------------- (6>6)
A q u a n t i d a d e A é a d i m e n s i o n a l e d e f i n i d a p e l a e q u a ç ã o
(2.93), p o d e n d o ser o b t i d a em f u n ç ã o de i n t e g r a i s do t i p or n ̂ *
n ^ l î ) ,
n t2í- *0,4 . ■{21 (6.7)
• a n *“12 d )
d e . m a n e i r a que, a m e n o s d e A, 0 c o e f i c i e n t e de v i s c o s i d a d e de' jj
ma m i s t u r a p.ode ser c o l o c a d o em t e r m o s do c o e f i c i e n t e de d i f u s ã o
o r d i n á r i a e dos c o e f i c i e n t e s de v i s c o s i d a d e do s c o m p o n e n t e s , já
e x p l i c i t a d o s em f u n ç ã o da t e m p e r a t u r a nos C a p í t u l o s .IV e V.
E s t e p a r â m e t r o f o i c a l c u l a d o , u s a n d o - s e 0 m o d e l o de
L e n n a r d - J o n e s c o m os c o e f i c i e n t e s Q\ 2 e e 1 2 //̂ o b t i d o s da Ta_
b e l a 12 a p a r t i r de d a d o s de d i f u s ã o , p a r a os 11 p a r e s , n u m a fo_i
xa de t e m p e r a t u r a e n t r e 2 7 3 . 1 5 e 1 3 0 0 °K. O b s e r v o u - s e um d e s v i o
m á x i m o de 0 , 9 1 % , c o r r e s p o n d e n t e ã m i s t u r a H 2 - 0 2 » de m o d o que,
p a r a ca da par, 0 p a r â m e t r o A p o d e ser c o n s i d e r a d o c o n s t a n t e , i-
g u a l ao seu v a l o r m é d i o na f a i x a de t e m p e r a t u r a s e x p o s t a s . E s t e s
v a l o r e s e s t ã o m o s t r a d o s na T a b e l a 15, col. 3.
67
XFI6. 6 - VISCOSIDADE DA MISTURA Hz - CO2 , X - n^/n
6 8
Tob. — 13: V i s c o s i d a d e da M i s t u r a H g - COg ( A = 0.4395 ]
temperatura(o K )
JJm Sut h erlond lennard - Jones Re f. JJm exp.
exp.
X107g/cms
x =
nH2/ n
JJmexata
X10g/cms
JJm a prox.
X10g/cms
erroexota
/o
erro ap rox.
°//o
JJmexata
X10g/cms
JJm apro x.
X10g/cms
erroexata
%
erroaprox.
%1386 0. 1000 I 3 78.6 I 3 8 I. 7 0.533 0.304 I 3 84. I 1387. 2 0. 133 0.0871392 0. 1420 I 382. 1 I 3 86. 9 0.706 0.363 I 388.0 1392.7 0. 281 0.0511406 0. 2500 1389.8 1399•7 1 .148 0.446 I 396.8 1406. 4 0. 648 0. 032
273.1 6 1415 0.3550 1394.0 1410.4 1 .479 0.31 9 I 402.3 1418. 3 0. 894 0.236 - 10141 7 0.5000 1389.7 1418. 7 1 .926 0.120 I 400.0 1428. 4 1 . 195 0.810134 1 0.7500 1308.5 1370.6 2.421 2.212 1323.5 1385. 1 1 .302 3.29 11163 0. 9010 1 12 2.4 1193.5 3.485 2 .62 5 I I40.0 1211. 1 1 .973 4.1441493 0 0000 1497.0 1497.0 0.268 0.268 I 50I.5 1 501. 5 0.572 0.572150 1 0.199 3 1513.8 1522. 1 0.859 1 .408 I 520.3 1 528. 3 1 .287 1 .82 1
300.00 1506 0. 4129 1519.3 1542. 8 0.888 2.445 I 528. 1 1551. 1 1 .470 2.998 91370 0.7850 1387.5 1461. 5 1 .278 6.679 1400.2 1474. 1 2.206 7.60189 1 1 .0000 891 .6 891. 6 0.069 0.069 899.6 899. 6 0.962 0.962
194 4 0.0000 1941.8 1941. 8 0.1 1 2 0.11 2 1940.8 1940. 8 0. 163 0. 163194 5 0.199 3 1956.5 1968. 2 0.592 1.19 7 1958.7 1 970. 0 0.709 1 .289
400.00 193 3 0.4129 1953.0 1985.7 C.036 2.730 1 953.4 1990. 4 1 .315 2.970 91713 0. 7850 1753.1 1 851. 8 2.344 8.104 1757.8 1856. 9 2.616 8.404108 1 1 ■ 000 1 101.0 1 10 1. 0 1 .852 1 .852 1085.2 1085. 2 0. 395 0.3952353 0. 0000 2 344. 5 2344. 5 0.359 0.359 2 336.4 2336. 4 0. 703 0.7032358 0. 199 3 2 356. 1 2371. 2 0.078 0.56 3 2 353.6 2 367. 9 0. 184 0.420
500.00 232 1 0.412 9 2 342. 9 2 384. 5 0.947 2.73 7 2 345.8 2 385.9 1 .071 2.799 92026 0.7850 2 078. 0 2199. 3 2.567 8.555 2 080.5 2 202. 3 2. 691 8.7041 256 1 .0000 1284.4 1284. 4 2 .267 2.26 7 1255.3 1 255. 3 0.055 0-0552 542 0.199 3 2 542.4 2 559. 2 0.019 0.678 2 538.3 2 553. 9 0.144 0.471
550.002 506 0.4129 2 524.4 2 570. 1 0.737 2.56 2 2 527. 1 2 571.0 0. 842 2.5942 173 0. 7850 2 228. 2 2 360. 2 2.544 8.6 1 7 2 231.8 2 364.2 2.707 8.799134 1 1.0000 1368.8 1368. 8 2.073 2.073 1335.7 1 335. 7 0.387 0.387
69
6.3 " A E X P R E S S Ã O A P R O X I M A D A DE B U D D E N B E R G E W I L K E
S u t h e r l a n d [v.lfj. e T h i e s e n [yí.ll.] o b t i v e r a m , i n d e p e n d e n
t e m e n t e , uma e x p r e s s ã o , s i m p l e s e b e m a j u s t a d a n u m a f a i x a a m p l a
de t e m p e r a t u r a s 1 p a r a o c o e f i c i e n t e de v i s c o s i d a d e de m i s t u r a s ,
*■*2( 6 . 8 )
1 + x 2 /xi A 1 + * l / x 2 B
o n d e , A e B são c o n s t a n t e s d e t e r m i n a d a s e x p e r i m e n t a l m e n t e p a ra
c a d a m i s t u r a b i n á r i a .
A e q u a ç ã o (6.8) f oi s i m p l i f i c a d a p o r S c h u d e l [ll], q u e
m o s t r o u que,
A p i B P o---— = ---- - = C (6.9)
y 2
D e a c o r d o c o m a e q u a ç ã o (6.9), a e q u a ç ã o (6.8) t o r n a -
se,
Ml ]i2
^m +1 + C x 2 /xj . P j / P i 1 + C x l / x 2 ' M 2 / P 2
(6.10)*
P e l a e q u a ç ã o (6.10) p o d e - s e e s t a b e l e c e r o c o e f i c i e n t e
de v i s c o s i d a d e de m i s t u r a s em f u n ç ã o d a s f r a ç õ e s m o l a r e s , conhje
c e n d o - s e os v a l o r e s e x p e r i m e n t a i s da s v i s c o s i d a d e s d o s g a s e s cons
t i t u f n t e s da m i s t u r a , p a r a uma d a d a t e m p e r a t u r a .
P a r a a o b t e n ç ã o da c o n s t a n t e C, B u d d e n b e r g e W i l K s [ l l }
a c o m p a r a r a m c o m v á r i a s p r o p r i e d a d e s do s i s t e m a , a p l i c a n d o - a na
e q u a ç ã o (6.10), u s a n d o d a d o s e x p e r i m e n t a i s d e v i s c o s i d a d e .
0 m e l h o r a j u s t e f oi o b t i d o e x p r e s s a n d o C em f u n ç ã o do
c o e f i c i e n t e de d i f u s ã o o r d i n á r i a , a s a b e r ,
1 . 4 2 7 0 - 9 7 2C = (----------) (6.11)
d 12
A e q u a ç ã o C6.ll ) f o i r e a j u s t a d a p o r q u e , n e c e s s a r i a m e n
te, as c o n s t a n t e s da e q u a ç ã o de S u t h e r l a n d - T h i e s e n d e v e m ser ad_i
m e n s i o n a i s . A s s i m ,
1 . 3 8 5(6.12)
u 1 2
S u b s t i t u i n d o a- e q u a ç ã o (6.12) na e q u a ç ã o (6.10), o b t é m
s e ,
y l ’ M 2 P m = ---------:------------------ + -------------------------- (6.1.3)
1 . 3 8 5 y ]_ X 2 1 . 3 8 5 y o x i1 + ----------- - . — 1 + ----------— . —
□12 PI *1 D 12 P 2 x 2
onde', y i e p 2 = v i s c o s i d a d e dos c o m p o n e n t e s 1 e 2 na temperatjj
ra da m i s t u r a ; p ]_ e p 2 = m a s s a e s p e c í f i c a do s . c o m p o n e n t e s 1 e 2
na p r e s s ã o e t e m p e r a t u r a da m i s t u r a ; ou,
x 2y m ~ . 1 1 3 . 6 8 2 T x 2 x 2 1 1 3 - 6 8 2 T x j
(6.14)
+ __ __________— — —r. +
6.4 - R E S U L T A D O S E C O M P A R A Ç Õ E S
As e x p r e s s õ e s (6.1) (com os p a r â m e t r o s A da T a b e l a 15)
e (6.14) f o r a m u t i l i z a d a s p a r a a o b t e n ç ã o da v i s c o s i d a d e de m i £
t u r a s u t i l i z a n d o - s e , em a m b o s os c a s o s , os m o d e l o s de S u t h e r l a n d
e L e n n a r d - J o n e s , c o m p a r a t i v a m e n t e , p a r a o c á l c u l o do s coeficiejn
t e s de d i f u s ã o e v i s c o s i d a d e d o s c o m p o n e n t e s .
•A F i g u r a 6 m o s t r a -a d e p e n d ê n c i a , p a r a os m o d e l o s L e n -
n a r d - J o n e s e S u t h e r l a n d , da v i s c o s i d a d e do p a r H2 - C 0 2 » c a l c u l a
da u s a n d o - s e a e x p r e s s ã o e x a t a da e q u a ç ã o (6.1), c o m a f r a ç ã o mo
lar d'o H 2 em t r ê s t e m p e r a t u r a s d i f e r e n t e s (273. 15 , 500 e 550°K).
O b s e r v a - s e uma bo a c o n c o r d â n c i a c o m os d a d o s e x p e r i m e n t a i s em t £
da a f a i x a . d e f r a ç õ e s m o l a r e s , n a s’ t e m p e r a t u r a s a n a l i s a d a s ( S u
t h e r l a n d : s r r o m é d i o de 1 . 2 6 % e L e n n a r d -J o n e s : e r ro m é d i o de
1 . 0 0 % ) .I
P a r a e s t e par, a s s i m c o m o p a r a os p a r e s N 2 - C O 2 e H e -A,
a v i s c o s i d a d e a p r e s e n t a um m á x i m o em r e l a ç ã o às v i s c o s i d a d e s dos
FIG. 7 - V I S C O S I D A D E DA M I S T U R A H2 - N2 , x = flH2/n
To b. — 14: V i s c o s i d a d e da M i s t u r a H^ ~ Ng ( A = 0.4 4 0 5 )
tempe-rolura( o K)
JJmexp.
X!Og/cms
X-
nu /n 2
S u th e r lo n d L e n n a rd - Jo n e s Ref.JJmexp.
J-|mexata
X107g/cms
JU m aprox.
XlOg/cms
erroexata
%
erroaprox.
%
JJmexata
XlOg/cms
JJmaprox.
XlOg/cms
erroexata
%
erroaprox.
%
273.16
l!67 0 0.1590 1646. 8 1 658.9 1.38 9 0 .68 1 1 6 30.8 I 642.8 2.343 1.625
101600 0. 3900 1587.2 1623.0 0.799 1 .441 1 573.5 I 608.6 1 .654 0.539
1 449 0.6520 1436.5 1 505.6 0.863 3.91 1 1429.4 I 496.8 1.351 3.3 0 4
123 5 0.7950 1275.6 1 356.7 0.7 2 8 5.581 1 275.3 1 354.4 0.747 5. 4 0 1
1 274 0. 8030 1265. 1 1 345.0 0.69 4 5.579 1 265.4 1 343.2 0.674 5. 43 5
292.00
| 74 6 0.0000 1754.4 1 754.4 0.48 3 0. 48 3 1 73 5.2 1735.2 0.61 2 0.6 1 2
9.1 70 0 0. 2500 1 71 1.9 1 733.7 0.70 5 1 .984 1 69 5.0 1716.2 0.29 3 0.95 5
1 60 9 0.5000 1617.4 1 669.7 0.52 6 3. 773 1 604.8 1 655.8 0. 258 2.909
1 39 6 0. 7500 1403.9 1486.4 0.56 6 6.476 1399.5 I 480. 1 0. 252 6.02 7
882 1.0000 873.4 873.4 0.97 2 0 .972 883.9 883.9 0.210 0.2 1 0
c o m p o n e n t e s .
Os e r r o s em r e l a ç ã o a o s d a d o s e x p e r i m e n t a i s e s t ã o roo s_
t r a d o s na T a b e l a 13, t a n t o p a r a a e x p r e s s ã o e x a t a q u a n t o par a a
a p r o x i m a d a (c u j o s e r r o s m é d i o s são de 2 . 2 9 % - S u t h e r l a n d e 2 . 2 5 %
- L e n n a r d - Jo n es , r e s p e c t i v a m e n t e ) ••
A F i g u r a 7 e a T a b e l a 14, m o s t r a m o c o e f i c i e n t e de v i £
c o s i d a d e do p a r ^ 2 ~ ^ 2 e m terfn°s da f r a ç ã o m o l a r do H 2 , nas t e m
p e r a t u r a s de 273.16° K e 292°K . O b s e r v a - s e , p a r a e s t e c a s o y a
s u p e r i o r i d a d e do m o d e l o d e S u t h e r l a n d , em c o n j u n ç ã o c o m a e x p r e ^
•são e x a t a , q u e a p r e s e n t a u m e r r o m é d i o de 0 . 7 7 % em r e l a ç ã o aos
v a l o r e s m e d i d o s , c o m p a r a d o c o m 0 . 8 4 % ( e x p r e s s ã o e x a t a , L e n n a r d -
J o n e s ) , 3 . 0 9 % ( e x p r e s s ã o a p r o x i m a d a , S u t h e r l a n d ) e 2 . 7 0 % ( e x
p r e s s ã o a p r o x i m a d a , L e n n a r d - J o n e s ) .
A T a b e l a 15 s u m a r i z a a a n á l i s e de v i s c o s i d a d e f e i t a pja
ra os 11 p a r e s , as c o l u n a s 4, 5, 6 e 7 m o s t r a n d o os erros- m é
d i o s de v i s c o s i d a d e ( c a l c u l a d o s c o m o a m é d i a a r i t m é t i c a d a s d i f £
reriças em v a l o r a b s o l u t o d o s v a l o r e s c a l c u l a d o s e m e d i d o s de v i £
c o s i d a d e p a r a c a d a f r a ç a o m o l a r , nas d i f e r e n t e s t e m p e r a t u r a s ) .
O b s e r v a - s e um a boa c o n c o r d â n c i a d a s e x p r e s s õ e s e x a t a s de L e n n a r d
- J o n e s e de S u t h e r l a n d , e x c e t o p o s s i v e l m e n t e p a r a o p a r H 2 -C0 ,
c om e r r o s m é d i o s de 2 . 5 4 % e 2 . 5 6 % , r e s p e c t i v a m e n t e .
As e x p r e s s õ e s a p r o x i m a d a s de B u d d e n b e r g e W i l k e a p r e
s e n t a m s e m p r e e r r o s s u p e r i o r e s ãs e x a t a s , se c o n s t i t u i n d o com o u_
ma bo a a p r o x i m a ç ã o em 6 e 4 do s 11 c a s o s pa ra os m o d e l o s de Le n
n a r d - J o n e s e S u t h e r l a n d , r e s p e c t i v a m e n t e . .
P a r a os 11 p a r e s a n a l i s a d o s , os er r o s m é d i o s g l o b a i s
o b t i d o s f o r a m de 1 . 4 2 % e 1 . 0 9 % p a ra os m o d e l o s de S u t h e r l a n d e
L e n n a r d - J o n e s , r e s p e c t i v a m e n t e , q u a n d o se usa a e x p r e s s ã o e x a t a
e q u a ç ã o (6.1).- C o m a e x p r e s s ã o a p r o x i m a d a , e q u a ç ã o ( 6 . 1 4 ) , os er
ros m é d i o s f o r a m de 3 . 0 9 % e 2 . 7 0 % ( S u t h e r l a n d e L e n n a r d - J o n e s ,
r e s p e c t i v a m e n t e ) .
0s r e s u l t a d o s i n d i c a m a u t i l i z a ç ã o do m o d e l o de S u t h e r
l an d em c o n j u n ç ã o c o m a e x p r e s s ã o e x a t a , e q u a ç ã o (6.1), p a r a os
, s i s t e m a s a n a l i s a d o s , como um m e i o de a l i a r a s i m p l i c i d a d e (equi_
v a l e n t e a da e x p r e s s ã o a n a l i s a d a ) â p r e c i s ã o (erro m é d i o g l o b a l
de 1 . 42%).
TABELA
15
- Viscosidade
de
misturas
binárias
73
CO i—trH rH
• O o i—1 O OIL_ CL * . rH H rH rH 1—1 »LU p. X O CD O O cn Ocr Lu H * rH rH * . * * * * cn r~H
cn cn O cn CD* rH *
cn CD
O X CO CM CO cn cn. LO CO a LD rH rsO M o LD í̂* CO CO co CN CO rs cn rs cn01 cr □ cr o\° • - • • • • • • • • • •
LU cr u j n co i—i • cH rH a CN CN CM CN o rH2 UJ ^ <Or-,!
acr< o a CO LD cn CN cn O '3" *3* cn cn rH
o M 1— CO lo sj- i—1 rs a LD CO co i—i cncr q < o\° • • ■ • • * • • • « -
LU cr tu x 1—1 o . rH O o rH CM O CD •—i rH_J UJ E UJ
o x Lfl I\ cn cn cn CO rs COo w o 1—1 co rs co CN CO o cn cn LDcr □ cr o\° • • ■ • • • • • • ■
Cl cr tu cr o f—I O CM CN cn CM o CNUJ SI <
<
rv-Ll.UJXf— o < o o rH rH co CO rs cn CN • <—1X) □ H h o CD CO CM - un rs CO cn fs.CO cr □ < ô\° • • ■ 1 « • ■ • • > •
cr tu x CM O rH rH i—1 CN o CD rH i—1uj s: UJ
o CD o LO O LO O UI a a LOo cn cn o o cn CM O rH CM rH
< sj* <3* •sf . co *3*r̂ ^r *sf* <3- sj' «sj* «st*■ m ■ • ■ ■ • • ■ ■ •
a O o o CD a O O o O o
<o cr_J X) cn cn cn O o CO CM o cn< f— CM CN CN O L O cn CD L D CN> < ^ LD in LT) cn ln LD . CM CM LT) cn i_n
‘ d uj cr ^ ) i 1 rs i i i 1 1 cn iLU d LU O cn cn cn CM o cn cn cn a CN cn
CL ' rs cn rs a rs rs r\ CD i\^ s: CN CN CN cn CN CN CN cn CM ‘M LU
h-
cr CM CNZ D 0) o O O CM CM o1— < 03. X < u U CJ 2 o CJ <cn 1 1 i i 1 1 1 1 i ii—i CN 1 CN CN CN CM r CN CM CN CN CDz: X < X 2 a X X X X 2 : X
74
c a p 1 T _ u _ L o _ _ _ v i i
C O N C L U S Õ E S
As i n t e g r a i s de c o l i s ã o , a s s o c i a d a s c o m o p o t e n c i a l de
S u t h e r l a n d , são c a l c u l a d a s a d m i t i n d o - s e q u e a p a r t e a t r a t i v a a^ge
com o uma p e r t u r b a ç ã o s o b r e a p a r t e r e p u l s i v a , o b t e n d o - s e a f o r m a
ge ra l, = 1 + 4 / r + l . I ^ C ô l / T * , o n d e a i n t e g r a l X ̂ C Ô ) é
c a l c u l a d a u s a n d o - s e a r e g r a de S i m p s o n , p a r a v á r i o s 6 .
As i n t e g r a i s a s s o c i a d a s c o m o p o t e n c i a l de
L e n n a r d - J o n e s f o r a m c a l c u l a d a s p o r H i r s c h f e l d e r , B i r d e S p o t z
(v. [9]), e n c o n t r a n d o - s e t a b e l a d a s em t e r m o s de T* fio] . Uma f or -
ma de a j u s t e e b u s c a d a na f a i x a T : 0,3 - 400, o b t e n d o - s e
A + B 1.0 g T* + C (log T * ) 2
para
r i ) * r21 *1 / ^ 2 f13 e 1 / n i2 (2)
f o i * f í, 1 * *O b t i d a s as r e l a ç õ e s Q (r) = (rí (T 3 p a r a os
d o i s p o t e n c i a i s , os d a d o s d e v i s c o s i d a d e e d i f u s ã o p o d e m e n t ã o
ser u s a d o s p a r a a d e t e r m i n a ç ã o d o s p a r â m e t r o s de colisão. 0 (0 1 2 ^
e e/ k ( e - ^ / k ) , o que, em p r i n c í p i o , p o d e ser f e i t o a p a r t i r . de
d o i s v a l o r e s d o s c o e f i c i e n t e s ( v i s c o s i d a d e e d i f u s ã o ) em d u a s
t e m p e r a t u r a s d i f e r e n t e s . 0 c a r á t e r a p r o x i m a d o do m o d e l o e os ejr
ros de m e d i ç ã o e n v o l v i d o s a c a r r e t a m no e n t a n t o uma d i s p e r s ã o bas^
t a n t e g r a n d e nos v a l o r e s c a l c u l a d o s . I s t o c o n d u z â i n t e r p r e t a ç ã o
dos p a r â m e t r o s de c o l i s ã o c o m o p a r â m e t r o s d e a j u s t e do m o d e l o ã
r e a l i d a d e e x p e r i m e n t a l .
E m c o n j u n ç ã o c o m a u t i l i z a ç ã o do .modelo de S u t h e r l a n d ,
as f o r m a s o b t i d a s , t a n t o p a r a a v i s c o s i d a d e de g ás s i m p l e s q u a n
to p a r a a d i f u s ã o , p e r m i t e m o c á l c u l o de a C o - ^ ) e e / k ( e ^ / ^ )
u t i l i z a n d o - s e d i r e t a m e n t e o m é t o d o dos m í n i m o s q u a d r a d o s .
P a r a a v i s c o s i d a d e de s i s t e m a s g a s o s o s a um c o m p o n e n t e
o s r e s u l t a d o s o b t i d o s m o s t r a m a s u p e r i o r i d a d e d e s t e m o d e l o em r £
l a ç ã o ao de L e n n a r d - J o n e s (co m os p a r â m e t r o s a e e / k o b t i d o s
de |10 | ), m e s m o em f a i x a s e x t e n s a s de t e m p e r a t u r a , p a r a a maio_
ria do s 15 c a s o s a n a l i s a d o s .
P a r a a d i f u s ã o , uma t é c n i c a . n u m é r i c a é d e s e n v o l v i d a ■p a
ra a o b t e n ç ã o d o s p a r â m e t r o s 2 e £ 1 2 /k ~ L e n n a r d - J o n e s , em
c o n t r a p o s i ç ã o a o s m é t o d o s e s s e n c i a l m e n t e g r á f i c o s da r a z ã o , da
t r a n s l a ç ã o e da i n t e r s e ç ã o , o b t e n d o - s e uma m e l h o r a p r o x i m a ç ã o em/
19 d o s 28 p a r e s em q u e se d i s p u n h a de d a d o s de e a 1 2 ‘
M e s m o p a r a e s t e c a s o , o m o d e l o de S u t h e r l a n d se consti^
tu i co mo uma bo a a p r o x i m a ç ã o (erro m é d i o i n f e r i o r a 2%), em 27
dos 34 p a r e s a n a l i s a d o s s u p e r i o r e s a de L e n n a r d - J o n e s p a r a 15 pa_
res.v
Os p a r â m e t r o s de c o l i s ã o , a s s i m c a l c u l a d o s , são utiljL
z a d o s para a o b t e n ç ã o da v i s c o s i d a d e de s i s t e m a s g a s o s o s a d o i s
c o m p o n e n t e s em c o n j u n ç ã o c o m as e x p r e s s õ e s e x a t a s de E n s k o g -
C h a p m a n e a p r o x i m a d a de B u d d e n b e r g e W i l k e , o b s e r v a n d o - s e ' um
q u a d r o s e m e l h a n t e ao a n t e r i o r .
Co mo c o n c l u s õ e s f i n a i s , p o d e - s e c o l o c a r que, em se t ra
t a n d o da o b t e n ç ã o de f o r m a s e x p l í c i t a s p a r a os c o e f i c i e n t e s de
v i s c o s i d a d e (t ant o de gás s i m p l e s q u a n t o de m i s t u r a ) e d i f u s ã o ,
a u t i l i z a ç ã o do m o d e l o de S u t h e r l a n d c o n d u z a r e s u l t a d o s i d ê n t i
cos e m e s m o s u p e r i o r e s a de L e n n a r d - J o n e s , o q u e ac re d i t a m o s , ser
b a s t a n t e s i g n i f i c a t i v o , dad o:
i) à s i m p l i c i d a d e do m o d e l o ; . .
ii) ã p o s s i b i l i d a d e de o b t e n ç ã o d i r e t a dos p a r â m e t r o s de colji
são .
A u t i l i z a ç ã o de p a r â m e t r o s de c o l i s ã o q u e r e f l i t a m m £
l h o r o c o m p o r t a m e n t o f í s i c o de um s i s t e m a g a s o s o , a e x t e n s ã o d e £
te t r a b a l h o a f a i x a s m a i o r e s d e t e m p e r a t u r a s e a a n á l i s e e m e s m o
o b t e n ç ã o de m o d e l o s m a i s p r ó x i m o s a o s r e a i s s e r á p o s s í v e l , uma
vez qu e se d i s p o n h a de u ma q u a n t i d a d e m a i o r de v a l o r e s experimejn
t a i s c o n f i á v e i s .
B I B L I O G R A F I A
M A X W E L L , J.C-. - II u st rat io n s of t h e D y n a m i c a l T h e o r y of
G a s e s . P h i l . Ma g . , vol. 19, pp. 1 9- 32 ; vol. 20, p p . 21-
37 (I 860), in - Brush,. S . G., K i n e t i c t h e o r y , vol. 1 ,
pp. 1 4 8 - 1 7 1 . P e r g a m o n P r e s s , O x f o r d (1965).
M A X W E L L , J.C. P h y l o s o p h i c a l T r a n s a c t i o n s of t h e R o y a l
S o c i e t y of L o n d o n , vol. 157, pp. 4 9 - 8 8 (1867) , in -
B r u s h , S . G., K i n e t i c t h e o r y , vol. 2, pp. 2 3 - 8 7 . P e r g £
mon P r e s s , O x f o r d (1966).
B O L T Z M A N N , L. - F u r t h e r S t u d i e s on th e T h e r m a l E q u i l i b r i u m
of Gas M o l e c u l e s . S i t z u n g s b e r i c h t e A k ad . Wiss.-, . V i e n
na, p a r t e II, vol. 6 6 , pp. 2 7 5 - 3 7 0 (1872), in - B r u s h ,
S . G., K i n e t i c t h e o r y , vol. 2, pp. 8 8 - 1 7 5 . P e r g a m o n
P r e s s , O x f o r d (1966).
HILB"ERT~'--D~ - Foifndat ions”of t h e K i n e t i c T h e o r y of G a s e s T-
M a t h e m a t i s c h e A n n a l e n , vol. 72, pp. 3 6 2 - 5 7 7 (1912), in-
B r u s h , S . G., K i n e t i c T h e o r y , vol. 3, pp. 8 9 - 1 0 1 . P e r g £
mo n P r e s s , O x f o r d (1972)
C H A P M A N , S. - T h e K i n e t i c T h e o r y of S i m p l e an d C o m p o s i t e
M o n o a t o m i c G a s e s : V i s c o s i t y , T h e r m a l C o n d u c t i o n an d D i f
fus io n' «. Pr o c . R o y a l S o c i e t y , vol. A - 9 3 , p p- 1 - 2 0 ( 1 9 1 6 )
in - B r u s h , S . G., K i n e t i c T h e o r y , vol. 3, p.p. 1 0 2 - 1 1 9 .
P e r g a m o n P r e s s , O x f o r d (1972).
E N S K 0 G , D. - K i n e t i c T h e o r y of P r o c e s s e s in D i l u t e G a s e s .
A l m q v i s t e W i k s e l l s B o k t r y c k e r i - A . B . , U p p s a l a (1917 J ,
in - B r u s h , S . G., K i n e t i c T h e o r y , vol. 3, pp. 1 2 5 - 2 2 5 .
P e r g a m o n P r e s s , O x f o r d (1972).
C H A P M A N , S., C O W L I N G , T. G. - M a t h e m a t i c a l T h e o r y of Non -
U n i f o r m G a s e s . 2a. ed., C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s ,
L o n d r e s ( 1 9 7 0 ) .
B U C K I N G H A M , R.A . - T h e C l a s s i c a l E q u a t i o n of S t a t e of G a
s e o u s H e l i u m , N e o n and A r g o n . Proc. R o y a l Soc., vol.
' A -168 , pp. 2 B 4 - 2 8 3 (1938 ).
HI R. SCH FE LDE R , J . 0 , BI R D, R . B., S P O T Z , E.L. - T h e T r a n s p o r t
P r o p e r t i e s of G a s e s and G a s e o u s M i x t u r e s . II. C h e m i R e v s .
vol. 44, pp. 2 0 5 - 2 3 1 (1949).
H I R S C H F E L D E R , J . O . , C U R T I S , C.F., BIRO, R B . - M o l e c u l a r
T h e o r y of G a s e s an d L i q u i d s , 2a. e d ., J o h n W i l e y &
S o n s Inc., N e w Y o r k (1964).
B U D D E N B E R G , J . W . , . W I L K E , C.R. - C a l c u l a t i o n of G as M i x t u r e
V i s c o s i t i e s . Ind. Eng. C h e m . , vol. 41, pp. 1 3 4 5 - 1 3 4 7
(19 4 9).
WI L K E , C.R. - A V.isco s it y'. E q u a t ion f o r G a s M i x t u r e s . J.
---- 9 h-e m.. fa-h-y s-.-, -vo 1 1.8 _BP ■ __.5JL 7_- 5 1_9 _ (1 9 5 0 ) .
BOYD, C . A . , S T E I N , N . , S T E I N G R I M S S O N , V., R U M P E L , W.F. -
An I n t e r f e r o m e t r i c M e t h o d of D e t e r m i n i n g D i f f u s i o n C o e f
f i c i e n t s in G a s e o u s S y s t e m s . J. Ch e m . P h y s . , vol. 19,
pp. 5 4 8 - 5 5 2 (1 95 1) .
A M D U R , I., I R V I N E , J.W. ,Jr., M A S O N , E. A., R O SS , J. - Dif_
f u s i o n C o e f f i c i e n t s of t h e S y s t e m s C O 2 - C O 2 and C O 2 - N 2 O.
J. Ch e m . P h y s . , vol. 20, pp. 4 3 6 " 4 4 3 (1952).
A M D U R , I., R O S S , J., M A S O N , E . A‘. - I n t e r m o l e c u l a r P o t e n
t i a l s f o r t h e S y s t e m s C 0 2 -C 0 2 and C O 2 --N2 O. J . C h e m . P h y s .
vol. 20, pp. 1 6 2 0 - 1 6 2 3 (1952).
[l6j S T R E H L O W , R.A. - T h e T e m p e r a t u r e D e p e n d e n c e o f t h e M u t u a l
D i f f u s i o n C o e f f i c i e n t f o r F o u r G a s e o u s S y s t e m s . J . C h e m .
P h y s . , vol. 21, pp. 2 1 0 1 - 2 1 0 6 (1953).
[17] A M D U R , I., S C H A T Z K I , T.F . - D i f f u s i o n C o e f f i c i e n t s of t h e
S y s t e m s X e ~X e a n d A - X B • J.'Chem.; P h y s . , vol. 27, pp.
1 0 4 9 - 1 0 5 4 (1957 ) .
[18] B R O K A W , R.S . - A p p r o x i m a t e F o r m u l a s f o r t h e V i s c o s i t y a n d
T h e r m a l C o n d u c t i v i t y of G a s M i x t u r e s . J. C h e m . P h y s . ,
vol. 29, pp. 3 9 1 - 3 9 7 (1 958).
[19] W A L K E R , R . E . , W E S T E N B E R G , A . A. - M o l e c u l a r D i f f u s i o n S t u
d i e s in G a s e s a t ' H i g h T e m p e r a t u r e . I. T h e " P o i n t S o u r
ce" T e c h n i q u e . J. C h e m . P h y s , vol. 29, pp. 1 1 3 9 - 1 1 4 6
(1958).
[20] W A L K E R , R . E . , W E S T E N B E R G , A.A . - M o l e c u l a r D i f f u s i o n S t u
d i e s in G a s e s at H i g h T e m p e r a t u r e . II. I n t e r p r e t a t i o n
of r e s u l t s on t h e H e - N 2 an d C 0 2 ” N 2 S y s t e m s . J. C h e m .
P h y s . , vol. 29, pp. 1 1 4 7 - 1 1 5 3 (1958).
[21] S R I V A S T A V A , B . N . , S R I V A S T A V A , K.P. - M u t u a l D i f f u s i o n o f
P a i r s of R a r e G a s e s at D i f f e r e n t T e m p e r a t u r e s . J. C h e m .
P h y s . , vol. 30, pp. 9 8 4 - 9 9 0 (1959).
[2 2 ] B R O K A W , R . S . - T h e r m a l C o n d u c t i v i t y of N i t r o g e n - C a r b o n
D i o x i d e M i x t u r e s . J. C h e m . P h y s . , vol. 31, pp. 571 -
572 (1959).
[23] WE I S S M A N , S., S A X E N A , S . C . , M A S O N , E . A . - I n't er mo 1 ec u 1 a r '
F o r c e s f r o m D i f f u s i o n and T h e r m a l D i f f u s i o n M e a s u r e
m e n t s . P h y s . of F l u i d s , vol. 3, pp. 5 1 0 - 5 1 8 (1960).
[24] WE I S S M A N , S., S A X E N A , S . C. , M A S O N , E.A. - D i f f u s i o n a nd
T h e r m a l D i f f u s i o n in N e -C02> Ph y s . of F l u i d s , vol. 4,
pp. 6 4 3 - 6 4 8 (1 961).
79
[25] S R I V A S T A V A , B . N. , S R I V A S T A V A , I.B. - S t u d i e s on M u t u a l Di f
f u s i o n of P o l a r - N o n p o l a r Ga s M i x t u r e s . J . C h e m . P h y s . ,
vol. 36, pp. 2 6 1 6 - 2 6 2 0 (1962).
[26] M A S O N , E..A., M O N C H I C K , L. - T r a n s p o r t P r o p e r t i e s of P o l a r -
Ga s M i x t u r e s . J. C h e m . P h y s . , vol. 36, pp. 2 7 4 6 - 2 7 5 7
(1962) .
[27] W E I S S M A N , S., M A S O N , E . A . - D e t e r m i n a t i o n of G a s e o u s - Di f
f u s i o n C o e f f i c i e n t s f r o m V i s c o s i t y M e a s u r e m e n t s . J . C h e m .
P h y s . , vol. 37, pp.- 1 2 8 9 - 1 3 0 0 (1962).%
[28] G I D D I N G S , J . C . , S E A G E R , S.L. - M e t h o d f o r R a p i d D e t e r m i n a -v
t i o n of D i f f u s i o n C o e f f i c i e n t s . Ind. Eng. C h e m . , v o l . 1,
pp. 2 7 7 - 2 8 3 (19 62) .
[29] A M D U R , I, S H U L E R , L.M. - D i f f u s i o n C o e f f i c i e n t s of t h e Sys_
terns C O - C O a nd C 0- N 2 - J* Ch e m . P h y s . , vol. 38, p p . 188-
19 2 (1963).
[3 0 ] MA S O N , E . A . , WE I S S M A N , S., W E N D T , R.P. - C o m p o s i t i o n Depejn
d e n c e of G a s e o u s T h e r m a l D i f f u s i o n F a c t o r s an d M u t u a l
D i f f u s i o n C o e f f i c i e n t s . Ph y s . of.: F l u i d s , vol. 7, pp.
1 7 4 - 1 7 9 (1964).
[3 1 ] W E I S S M A N , S. - E s t i m a t i o n of D i f f u s i o n C o e f f i c i e n t s f r o m
V i s c o s i t y M e a s u r e m e n t s : P o l a r a nd P o l y a t o m i c G a s e s .
J. Ch em. P h y s . , vol. 40, pp. 3 3 9 7 - 3 4 0 6 (1964).
[32] H 0 L S E N , J . N . , S T R U N K , . M.R. - B i n a r y D i f f u s i o n C o e f f i c i e n t s
in N o n p o l a r G a s e s . Ind. Eng. Chem . F u n d . , vol. 3, pp.
1 4 3 - 1 4 6 (1964).
[3 3 ] B U R N E T T , D. - V i s c o s i t y an d T h e r m a l C o n d u c t i v i t y of G a s
M i x t u r e s . A c c u r a c y of S o m e E m p i r i c a l F o r m u l a s . J. C h e m .
P h y s . , vol. 42, PP- 2 5 3 3 - 2 54 0 (196 5).
ou
[34] V A N H E I J N I N G E N , R . J . J . , F E B E R W E E , A., V A N ÜO'STEN, A., BEE-
N A K K E R , J . J . M . - D e t e r m i n a t i o n of' t h e D i f f u s i o n C o e f f i
c i e n t of t h e S y s t e m N 2 ~^2 as a F u n c t i o n of T e m p e r a t u
re a nd C o n c e n t r a t i o n . P h y s i c a , vol. 32, pp. 1 6 4 9 - 1 6 6 2
(1 96 6) . ’ ... :
[35] V A N H E I J N I N G E N , R . J . J . , H A R P E , J . P . , B E E N A K K E R , J . J . M .
D e t e r m i n a t i o n of t h'e D i f f u s i o n C o e f f i c i e n t s of B i n a r y
M i x t u r e s of t h e N o b l e G a s e s as a F u n c t i o n of T e m p e r a t ^
re and C o n c e n t r a t i o n . P h y s i c a , vol. 38, p p .1-34 (1968 ) .
[36] W E I S S M A N , S., D U B R O , G.A. - D i f f u s i o n C o e f f i c i e n t s fo r
C 0 2 “CH4. J. C h e m . P h y s . , vol. 54, pp. 18 8 1 - 1 8 8 3 ( 1 9 7 1 ) .s '
[3 7 ] LI N E R , J . C . , W E I S S M A N N , S. - D e t e r m i n a t i o n of t h e T e m p e r a
t u r e D e p e n d e n c e of G a s e o u s D i f f u s i o n C o e f f i c i e n t s U s i n g
Gas C h r o m a t o g r a p h i c - A p p a r a t u s . J. C h e m . P h y s . , vol.
56, pp. 2 2 8 8 - 2 2 9 0 (1972).
[38] R E ID , R . C . , S H E R W O O D , T.K. - T h e P r o p e r t i e s of G a s e s a n d
L i q u i d s , 2a. ed., M c G r a w - H i l l B o o k C o m p a n y , N e w York.
(1966).
[39] W E L T Y , J . R . , W I L S O N , R . E . , W I C K S , C.E. - F u n d a m e n t a l s of
M o m e n t u m , H e a t a nd Mass. T r a n s f e r . J o h n W i l e y & S o n s ,
Inc., N e w Y o r k (1969).
[40] M A S O N , E . A . , M A R R E R O , T.R. - A d v a n . At. Mol. P h y s . , vol.
6, pp. 156 (19 70 ). a p u d L I N E R , J . C . , W E I S S M A N , S.
[ 3 7 ] .] :
[41] S I L V A F I L H O , Y.V. - " T r a d u t o r de L i n g u a g e m E s t a t í s t i c a " -
( TR AL E ). C O P P E , P u b l i c a ç ã o n 9 48, R i o d e J a n e i r o (1 96 8) .
[42] B U R N E T T , D. - T h e D i s t r i b u t i o n of V e l o c i t i e s in a S l i g h t l y
N o n - U n i f o r m Gas. P r o c . Lo nd. M a t h . S o c . , vol.. 39 ,
pp. 385 ( 1 935 ) .
H U T C H I N S O N , F . J . , - S e l f - D i f f u s i o n in A r g o n . J . C h e m .P h y s •>
vol. 17, pp. 1 0 0 1 - 1 0 8 6 (1949).
L E W I S , B., V O N EL B E , G. - C o m b u s t i o n , F l a m e s an d E x p l o
s i o n of G a s e s . A c a d e m i c P r e s s , N e w Y o r k (1961).
G E B H A R T , B., P E R A , L. - T h e n a t u r e of v e r t i c a l n a t u r a l con
v e c t i o n f l o w s r e s u l t i n g f r o m t h e c o m b i n e d b u o y a n c y e f
f e c t s of t h e r m a l an d m a s s d i f f u s i o n . Int. J. Heat Md^ss
T r a n s f e r , vol. 14, pp. 2 0 2 5 - 2 0 5 0 (1971).
M É T O D O N U M É R I C O P A R A A D E T E R M I N A Ç Ã O DE 0 12 E
e 1 2 /K A P A R T I R D O S D A D O S DE D I F U S Ã O O R D I N A
R I A P A R A O M O D E L O DE L E N N A R D -J D N E S .
M o s t r a - s e a s e g u i r o f l u x o g r a m a e o p r o g r a m a
c o r r e s p o n d e n t e s a e s t a d e t e r m i n a ç ã o .
83
( i n i c i o -)
Valores de A,B,C p/ as tres faixas de temperat.(Tab. 1)
Ler dados de massas temperaturas e coef. de difusão de dois
pontos
Valores de A, B,C e temperat. limites p/ os dois pontos em todas as combinações possiveis.(Tab.l)------ ~~T~~
K z O
Calculo das raizes X| e X2 da eq. 5.22
p/cada combinação
E ,^ EX P (X, )e 2-e x p (X 2)
Teste das raizes J = 0 , E = Ei
v . T D A : T D L I A ' ( g )
84
// J O B T O O F 5 0 0 U 5 01
L D 3 D R I V E 0 0 0 0 0001
C A * T S P E C O O F 3 0 0 0 5
C A R T A V A I L P H Y D R I V EOOF 5 0 0 05 O O F 1 O OF 3 OOF 4
0 0 0 50 0 0 00 0 0 10 0 0 30 0 0 4
V2 Mil A C T U A L L 6K C O N F I G 16K
* E Q U A T ( P R N T Z | P R N Z )
// F OR ✓
* I O C S ( C A R D , 1 4 0 3 P R I N T E R )« L I S T S O U R C E P R O G R A M ♦EXT EN DE D PRECISION!
A 1 = 0 . 6 9 4 7 1 4 9 A2 = 0 . 6 9 3 2 4 7 4 A 3 = U . 9 2 9 7 3 0 1 B 1 = 0 . 3 5 3 2 4 5 2 8 2 = 0 . 3 6 8 2 9 3 1 6 3 = 0 . 1 3 6 5 9 6 8 C 1 = 0 . 0 7 2 5 4 3 5 3 C 2 = - 0 . 0 3 7 6 1 0 7 2 C 3 = 0 . 0 1 7 9 1 5 9 7
100 R E A D ( 2 , 1 0 ) T A , D 1 2 A , T 8 , D 1 2 B , X M 1 , X M 2 » K , J K10 F O R M A T ( F 6 . 2 , 1 X , F 6 . 4 , F 7 . 2 , 1 X ,F 6 . 4 , I X ,F 6 . 3 »F 7 . 3 » 1 X , I 2 » I X , I 2)
I F ( T A - 9 9 9 . 0 0 ) 2 2 0 , 3 , 2 2 0220 1=0
A A = A I BA = B 1 C A = C 1 A B = A 1 6 B = B 1 C ß = C 1 T D L I A = 0 .T O L F A = 1 .T D L I B = 0.T D L F B = 1 .I K= 1 GU TO I
11 A A = A 1
BA = B1 C A = C 1 Aß = A2
83 = 82 C B = C 2
T D L 1A=0.T O L F A = 1.T D L I B = 1 .T D L F B = 5 .I K = 2GO TO 1
12 AA = A 1 BA = B1 C A = C 1 A B = A 3 BB = B3 C B = C 3
T D L I A = 0 .
8 5
TDL F A = 1.T 0 L I ß = 5 .T D L F B = 4 0 0 .
I K = 3 GO TO 1
14 A A = A 2 B A = B 2 CA = C2 A B = A 2 8B = B2 CB = C2 T D L I A = 1 .T D L F A = 5 .T D L I 3=1.T D L F B = 5 .IK = 4GO T3 1
15 AA = A2 DA = B2 CA = C2 A B = A 3 BB = 03 CB = C 3T D LI A = 1.T D L F A = 5 .TDLIri=5.T D L F B = 4 Ü Ü .I K = 5 GO TO 1
18 A A = A 3 B A = B 3 C A - C 3 A 6 = A 3 B fc = B 3 C B = C 3 TDLI4=í>.T D L F A = 4 O O *TDLÍ B = 5.TDL F B = 4 0 ü .IK = 6
1 F = ( D 1 2 A / D 1 2 6 ) * ( T B / T A ) * * 1 . 5G A = A A + B A * A L Ü 3 ( T A ) * C A * (A L 0 3 {T A )**2) G B = A 6 + B B* A L 0 3 ( T 3 )+ C Ö * ( A L Ü G (T 3 ) ^ ^ 2 ) H A = (8 A + 2 * C A * A L U G (T A )) H B = 8 B + 2 * C B * A L 0 G (T3)P = C A - C B * F Q = H A—H B ^ F R = G A - G B * F
D Ê L T A = « * * 2 - 4 * P * RI F {DEL T A )30, 120, 120
C C A L C U L O D A S R A I Z E S12Ü X 1 = ( Q + S Q R T ( Q # * 2 - 4 * P * R ) ) / ( 2 * P )
X2 = ( Q - S £ R T ( Q * * 2 - 4 * P * R ) ) / ( 2 * P )E1 = E X P (XI )E 2 = t X P ( X 2 )
C T E S T E DAS R A I Z E SJ = 0 t = E 1
130 T D A = T A / c
T D B = T B / EI F (T D A - T 3 L I A ) 5 0 , 4 0 , 4 0
40 1 F ( T D A - T D L F A ) 6 0 » 6 0 , SO 60 IF ( T O B - T O L I B ) 5 0 , 7 0 , 7 0
70 I F ( T O Q - T O L F Û ) 8 8 , 8 8 , 5 0 88 XA = A A + 8 A * A L Ü G ( T D A ) + C / \ * ( A L 0 3 ( T D A ) )**2
S 1 2 = S Q R T ( 2 . 6 2 8 * 0 . 0 0 1 / 0 1 2 A * X A * S Q R T ( T A * * 3 . * { X M 1 + X M 2 ) / (2. * X M 1 * X M 2 ) ) )
W R I T E ( 5 , 9 ) E , S 1 2 , K , J K , T D L I A , T D L I 6 , T A , T B9 F O R M A T ! IX, '£=* , E 1 2 . 5 » 7 X , 1 S 1 2 = * , F 6 . 3, 7 X , * K = * , I 2 , 7 X , » J K= • , I 2 , 7 X , ' T D L * I A = f , F 7 . 3 , 7 X , * T D L I B = * , F 7 . 3 , 3 X , ' T A = < , F 6 . 2 , 3 X , * T B = ' , F 6 . 2 , //)
5 0 J = J+ 1 ' .GO T 0 ( 9 0 , 1 1 0 ) , J
90 E = E 2G O TO 130
30 X M I M = Q / ( 2 . * P )E = E X P ( X M I N ) .F F = P * X M I M *'*2-a*XMIN + R Y = A8 S (F F )
T D A = T A 7 £T D B = Tb/t
X A = A A + 6 A * A L 0 S ( T D A ) + C A * { A L O G ( T D A ) ) * * 2S12 = SQHT( 2 . 6 2 - ô * 0 . ü 0 1 / 0 1 2 A * X A * S Q R T ( T A * * 3 . * ( Xtol+XM2}/ { 2 . * X M 1 * X M 2 ) ) ) WR IT E t5 ,2 0) fc j,S 12 ,K ,JK , TDLI A ,T D L I B ,T A , T B ,X M I N , F F ,Y , D E L T A , P , Q , R
2 0 F O R M A T ( IX,*E = * , E 1 2 . 5 , 7 X , •S 1 2 = 1 ,F 6 . 3 , 7 X , ' K = « , 1 2 , 6 X , »JK = * , I 3 , 7 X , •T D L
* l A = , , F 7 . 3 , 7 X , ' T D L I B = * , F 7 . 3 , 3 X , ,T A = , t F 6 . 2 , 3 X , * T B = , , F 6 . 2 , / / , l X , ,X M I N* = ' , E 1 2 . 5 , 3 X , 1F F = * ,El 2 . 5 , 3 X , •A B S ( F F ) = • , E l 2 . 5 , 3 X , * D E L T A = * ,F 9 . 5 , 3 X , ' P * = ' , F 9 . 5 , 3 X , ' Q = * , F 9 . 5 , 3 X , ' R = ' , F 9 . 5 , //)
110 1=1+1I F ( 1 - 5 ) 5 , 5 , 1 0 0
5 GO T O ( l l f 1 2 , 1 4 , 1 5 , 1 8 ) , 1 8 CA LL E X I T
E N D
f e a t u r e s s u p p o r t e d
E X T E N D E D P R E C I S I O N .
IOCS .
C O R E R E Q U I R E M E N T S F O R C O M M O N Ô V A R I A B L E S 168 P R O G R A M 1 1 1 6
E M D OF C O M P I L A T I O N
// X E Q