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Universidade Federal de UberlândiaFaculdade de Engenharia Mecânica

Simulação de Grandes Escalas da Turbulência,

com Modelagem Sub-Malha Dinâmica

por Aristeu da Silveira Neto

Uberlândia, abril de 2001

UFU LTCM

Turbulência nos Fluidos

Características mais importantes da Turbulência:

• Difusão;

• Dissipação;

• Vorticidade;

• Tridimensionalidade;

• Continuidade;

• Impredisbilidade;

• Altos números de Reynolds;

• Largo Espectro de Energia;

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Log [E(k)]

Log(k)kI

Efeitos viscosospredominantes

Zona inercial doespectro

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I

Escoamento sobre uma cavidade, ilustrando o processo de transmissão de injeção de energia do escoamento médio para os turbilhões da camada cizalhante e para o interior da cavidade.

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Modelagem Sub-Malha da Turbulência

• Modelagem Sub-Malha de Smagorinsky

•Modelagem Função Estrutura de Velocidade

•Modelagem Dinâmica

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•Simulação Numérica Direta - SND

•Simulação Numérica Clássica

•Simulação de Grandes Escalas

•Simulação de Grandes Escalas é uma metodologia intermediária à Simulação Direta e à simulação via equações médias de Reynolds;

•Em SGE, as estruturas turbulentas transportadoras de energia são resolvidas diretamente da solução das equações filtradas e, apenas as menores estruturas são modeladas;

•Considerando-se que as menores estruturas tendem a ser mais homogêneas e isotrópicas e menos afetadas pelas condições de contorno, espera-se que os modelos advindos sejam mais universais e independentes dos diferentes tipos de escoamentos, quando comparados com a metodologia média clássica;

•As metodologias de SND e SGE são semelhantes no sentido que ambas permitem a obtenção de resultados tridimensionais e transientes das equações de Navier-Stokes.

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•Equações filtradas: revisão

ijijij

j

i

jioji

j

i LCx

u

xx

puu

xt

u

1

0i

i

x

u

jjj

jjj

j

LCx

T

xTu

xt

T

•Sendo assim, SGE continua a exigir malhas refinadas. No entanto, torna-se possível resolver escoamentos a altos números de Reynolds

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.

Re

LeonarddeturbulentoFluxoTuTuL

cruzadoturbulentoFluxoTuTuC

malhasubturbulentoFluxoTu

LeonarddeTensoruuuuL

cruzadoTensoruuuuC

malhasubynoldsdeTensoruu

jjj

jjj

jj

jijiij

jijiij

jiij

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iji

j

j

itij k

x

u

x

u

3

2

k

j

k

ikijij x

u

x

uCL

12

•Testes de importância relativa

.

RD ijijL CLD . ijM SD 2.

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Modelo sub-malha de Smagorinsky

•Este modelo foi proposto por Smagorinsky (1963), baseando-se na hipótese do equilíbrio local para as pequenas escalas, ou seja, que a produção de tensões turbulentas sub-malha seja igual à dissipação:

ijijtijji SSSuu 2 /2/3

1 jiuuc

Na expressão para ,

2/1

jiuu e l, são as escalas de velocidade e de comprimento respectivamente.

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•Como a viscosidade turbulenta é proporcional à escala de velocidade e de comprimento, tem-se que:

jit uuc 1

•Com estas três equações, chega-se a uma expressão para a viscosidade turbulenta:

ijijSt SSC 2

•A constante de Smagorinsky, CS =0,18, foi determinada analiticamente por Lilly (1967), para turbulência homogênea e isotrópica.

•Aplicações para escoamentos não homogêneos e não isotrópicos?

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Modelo sub-malha Função Estrutura de Velocidade

•Chollet e Lesieur (1982) apresentaram o formalismo para o cálculo de (viscosidade turbulenta) e (difusibidade turbulenta) no espaço de Fourier

•Eles chegaram à seguinte expressão para a viscosidade turbulenta no espaço de Fourier:

c

ctct k

tkEtk

,,

•A constante t+ é determinada fazendo-se um balanço de energia

como segue:

ck

t tdktkEk0

2 ,2

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Considerando-se 3/53/2, kCtkE K

2/33/2 Kt CObtém-se

Observa-se que o cálculo da viscosidade turbulenta no espaço de Fourier exige determinar o nível de energia cinética turbulenta na freqüência de corte.

Buscando-se aplicar este modelo no espaço físico, Métais e Lesieur (1990) mostraram que é possível fazer esta passagem, utilizando-se do conceito de Função Estrutura de Velocidade de Ordem 2:

2

2 ,,,, txutrxutrxF

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•Batchelor (1953), mostra que existe um dualismo entre a função estrutura (definida no espaço físico) e o espectro de energia (definido no espaço de Fourier), válido para turbulência homogênea e isotrópica.

•Com este dualismo e com um espectro de energia de Kolmogorov, chega-se ao seguinte resultado:

txFtkxE c ,,03,0,,

Logo,

Com

r

txutrxutrxF 2

2 ,,,,

txFCtx Kt ,,104,0,, 22/3

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•Estes dois modelos são mais apropriados para escoamentos turbulentos plenamente desenvolvidos e fora de regiões parietais. Para escoamentos em transição e escoamentos parietais, um modelo alternativo foi proposto por Germano (1993)

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Modelagem dinâmica sub-malha

•A modelagem sub-malha convencional envolve uma constante de proporcionalidade imposta de forma ad-hoc. Apesar das limitações advindas deste fato, conseguiu-se, nos últimos anos, avanços extremamente importantes na área de simulação numérica dos escoamentos turbulentos.

•Os resultados que podem ser obtidos em turbulência completamente desenvolvida e fora das regiões parietais colocam a SGE hoje como uma ferramenta paralela à experimentação em laboratórios (Bradshaw et al., 1996, e Gharib, 1996).

•Uma das principais limitações diz respeito a análise de escoamentos em transição e nas proximidades de paredes, em conseqüência da imposição de uma constante de proporcionalidade

•A determinação dinâmica de uma função de proporcionalidade no cálculo da viscosidade turbulenta pode representar avanços importantes.

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•A base desta modelagem é o uso de dois filtros com comprimentos característicos diferentes

•No primeiro, utiliza-se as dimensões da malha para calcular o seu comprimento característico. Ele é denominado filtro a nível da malha;

•No segundo utiliza-se um múltiplo das dimensões das malhas para calcular o comprimento característico. Ele é denominado filtro teste;

•Com base no uso dos dois níveis de escalas (acima da malha), conclui-se que, na modelagem dinâmica, utiliza-se informações do nível de energia contido nas menores escalas resolvidas, situadas entre as escalas dos dois filtros

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f(t)

t

Função original

Função filtrada uma vez

Função filtrada duas vezes

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•A base matemática dos modelos dinâmicos são as equação de Navier-Stokes:

j

i

jiji

j

i

x

u

xx

puu

xt

u

1

j

i

jiii

j

i

x

u

xx

puu

xt

u

1

Primeiro processo de filtragem

jijiij uuuu Tensor de Reynolds sub-malha

generalizado

UFU LTCM


ij

j

i

jiji

j

i

x

u

xx

puu

xt

u

1

Chega-se a:

Aplica-se agora um novo filtro G, de comprimento característico superior ao comprimento do primeiro filtro, sobre a equação seguinte:

j

i

jiii

j

i

x

u

xx

puu

xt

u

1

j

i

jiji

j

i

x

u

xx

puu

xt

u

ˆˆ1ˆ

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•Onde a seguinte relação entre os comprimentos característicos dos dois filtros é utilizada

2ˆ

•Define-se o tensor das tensões relativas ao segundo filtro, também chamadas de sub-teste, como sendo:

jiij uuju

iuT ˆˆ

Logo, tem-se que:

ij

j

i

jiji

j

i Tx

u

xx

puu

xt

u

ˆˆ1ˆˆ

ˆ

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Filtrando-se a seguinte equação:

ij

j

i

jiji

j

i

x

u

xx

puu

xt

u

1

ij

j

i

jiji

j

i

x

u

xx

puu

xt

u

ˆˆˆ1ˆ

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Subtraindo-se uma equação da outra, entre as duas abaixo:

ij

j

i

jiji

j

i Tx

u

xx

puu

xt

u

ˆˆ1ˆˆ

ˆ

ij

j

i

jiji

j

i

x

u

xx

puu

xt

u

ˆˆˆ1ˆ

Tem-se, ijijj

jij

Tx

uuju

iu

x

ˆˆˆ

Define-se, daí, o tensor global de Leonard:

ijijjiji Tuuju

iuL ̂ˆ

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•A parte anisotrópica do tensor de Reynolds global sub-malha pode ser modelada com a hipótese de Bousinesq

ijijtijij

ij SStxcS 2,223

•Modelando-se as tensões sub-teste de Reynolds de forma análoga, tem-se:

ijijij

ij SStxcTT ˆˆˆ,23

2

•Filtrando-se a primeira destas duas equações, tem-se:

ijSij

StxcSijtijij

ij

2,2ˆ2ˆ

3ˆ

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Utilizando-se estas três equações, mais a identidade de Germano, isola-se a função de proporcionalidade procurada:

jiji

jiji

MM

MLtxc

2

1,

jijiji SSSSM 22 ˆˆˆ

Com Mi j e Li j dados por:

jiji uuj

ui

uL ˆ

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Resultados Ilustrativos

1. Simulação de Grandes Escalas de escoamentos sobre uma cavidade retangular

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0 4 8 12 16 20 24 28 32 36-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0Fl

utua

ção

do C

oef.

de

Pres

são

( cp

' )

Tempo ( t )

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,00,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

St = 0,66

Den

sida

de E

spec

tral

( c

p'cp

' )

Número de Strouhal ( f h c / u inf )

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2. Cavidade Simétrica com Efeitos Térmicos

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(a) t=4.1 h/U

(b) t=20.7 h/U

(c ) t=41.5 h/U

(d) t=62.2 h/U

(e) t=124.7 h/U

(f) t=207.3 h/U

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Simulação de Grandes Escalas da convecção mista sobre um cilindro rotativo aquecido

T0.08900.08310.07720.07120.06530.05940.05340.04750.04160.03560.02970.02370.01780.01190.00590.0059

T0.06340.05920.05490.05070.04650.04230.03800.03380.02960.02540.02110.01690.01270.00850.00420.0042

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UFU LTCM


103 104 105 106 107 108 109 1010

0

10

20

30

40

50

60

70 Churchill e Chu (1975) Qureshi e Ahmad (1987) Present Work - Smagorinsky Model Present Work - Dynamic Model

Mea

n N

u

Ra*

0.5 1 1.5 2 2.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

D

D

DD

DDD

DD D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D

D D

0 graus30 graus60 graus90 graus

270 grausD

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0.5 1 1.5 2 2.5

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

D D D

D

D

D

D

D

D

D

D

D

D

D

D

DDD

D

DDDDD

DD

DD D D D D D D D D D D D D D

DD

D

D

D0 graus30 graus60 graus90 graus

270 grausD

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0 100 200 300

Coordenada Tangencial [graus]

5

10

15

20

25

30

35N

ulo

cal

Ra* = 1e06 - Mod. SmagorinskyRa* = 1e08 - Mod, SmagorinskyRa* = 1e06 - Mod. DinamicoRa* = 1e08 - Mod. Dinamico

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T0.12290.11470.10650.09830.09010.08190.07370.06550.05730.04910.04090.03270.02450.01630.00830.0081

T0.08030.07490.06960.06420.05890.05350.04820.04280.03750.03210.02680.02140.01610.01070.00540.0053

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0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

-5

0

5

10

15

20

25

Ra* = 6e07 Ball (experimental) Smagorinsky Dinâmico

Nu m

édio

Inverso do Número de Froude []

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3,8 s

T0.06040.05640.05240.04830.04430.04030.03630.03220.02820.02420.02010.01610.01210.00810.00400.0040

3,9 s

T0.06040.05640.05240.04830.04430.04030.03630.03220.02820.02420.02010.01610.01210.00810.00410.0040

4,0 s

T0.06040.05640.05240.04830.04430.04030.03630.03220.02820.02420.02010.01610.01210.00810.00400.0040

0 1 2 3 4

0

500

1000

1500

Dynamic Model (Ra* = 1e09) u* [16][30] v* [16][30] u* [1][30] v* [1][30]u*

= u

/( /D

)

time [s]

0 1 2 3 4

30

40

50

60

70

80Dynamic Model Ra* = 1e09

Mea

n N

u

time [s]

SGE - Modelagem Dinamica Ra*=109.

2,5 s

T0.07780.07250.06730.06200.05680.05150.04630.04100.03570.03050.02520.02000.01470.00950.00420.0042

2,6 s

T0.08080.07530.06990.06440.05900.05350.04810.04270.03720.03180.02630.02090.01540.01000.00460.0046

2,8 s

T0.07950.07410.06880.06340.05800.05260.04720.04180.03650.03110.02570.02030.01490.00950.00420.0042

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000 Dynamic Model (Ra* = 1e10) u* [16][30] u* [1][30] v* [16][30] v* [1][30]

u* =

u/( /D

)

tempo [s]

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

30

40

50

60

70

80Dynamic Model Ra* = 1e10

Mea

n N

u

time [s]

SGE - Modelagem Dinamica - Ra*=1010

Simulação Numérica de Grandes Escalas de um sistema de Jatos Tridimensionais

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Simulação de Grandes Escalas - Aplicação Industrial

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Simulação de Grandes Escalas com Modelagem Dinâmica- Aplicação Industrial

Modelagem e Simulação de Hidrociclones

0 1 2 3 4 5 6 7 8r

0

5

10

15

20

25

30

35

z

100 cm/s

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0 1 2 3 4r (cm )

0

5

1 0

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

z(cm)

v2 8 9 .8 2 82 7 0 .5 0 62 5 1 .1 8 42 3 1 .8 6 22 1 2 .5 4 11 9 3 .2 1 91 7 3 .8 9 71 5 4 .5 7 51 3 5 .2 5 31 1 5 .9 3 19 6 .6 0 9 37 7 .2 8 7 55 7 .9 6 5 63 8 .6 4 3 71 9 .3 2 1 9

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040r (m )

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

v (m

/s)

experim enta l

SG E (C s=0.24)

Contornos da velocidade tangencial (cm/s) ao longo do hidrociclone

(Re=26600)

Porque SGE com Modelagem Dinâmica?

Presença de interface líquido/gás -> Método de Captura de interface;

• Fortes efeitos de rotação -> Anisotropias

•k-eps?

•K-eps RNG?

•SGE convencional?

•Escoamento tipicamente em transição;

•SGE com modelagem dinâmica?

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Simulação de Grandes Escalas com Modelagem Dinâmica

de Escoamentos Bifásicos

Aplicação: Estudo da absorção de gases residuais por gotas em movimento:

Torres Spray: Dessulforização de Gases de chaminé (FGD): SO2 e outros componentes ácidos HCl e HF são absorvidos por gotas contendo CaCO3.

Objetivo: estudar a transição de escoamentos no interior e exterior de bolhas e gotas

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Esquema de uma Torre Spray

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Modelo Matemático considerando recirculações

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Fator de aumento global versus número de Pe

D

uPe

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Do modelo utilizado, apenas reações instantâneas foram consideradas. O modelo pode ser modificado para explicar reações a taxas finitas.

Estudos mais completos são necessários para obtenção de uma

estimativa mais precisa do grau de circulação dentro da gota

com sólidos suspensos, e as alterações na circulação em função

do tempo em que a gota viaja ao longo o lavador.

Para elevados números de Pe (Pe>3000) há um pequeno benefício no aumento da área específica ou da solubilidade. A elevados números de Pe, a convecção do gás solúvel próximo à interface é o fator dominante na absorção.

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Simulação Numérica de Grandes Escalas de Escoamentos Tridimensionais

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Simulação de Grandes Escalas - Aplicação Industrial

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Considerações Finais

• SGE se apresenta como uma importante ferramenta de análise numérica de problemas de engenharia, assim como ferramenta de análise física;

• SGE com modelagem sub-malha de Smagorinsky não se

a análise de escoamentos em transição e a análise de escoamentos próximo de paredes;

• SGE com modelagem sub-malha de Dinâmica sinaliza para a possibilidade de modelar o processo de transição bem como modelar escoamentos parietais;

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