universidade federal do rio de janeiro instituto … · surgir foi o de derman & kani (1994)....
TRANSCRIPT
Análise de Performance da Aplicação do Modelo de Árvore de
Volatilidade Implícita em Relação ao Modelo de Black & Scholes
no Mercado Brasileiro
Carlos Eduardo Carneiro Pinto de Magalhães
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto COPPEAD de Administração
Mestrado em Administração
Orientador: Eduardo Facó Lemgruber
Rio de Janeiro - Brasil
Março de 2003
ii
Análise de Performance da Aplicação do Modelo de Árvore de
Volatilidade Implícita em Relação ao Modelo de Black & Scholes no
Mercado Brasileiro.
Carlos Eduardo Carneiro Pinto de Magalhães
Dissertação submetida ao corpo docente da COPPEAD da Universidade
Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à
obtenção do grau de Mestre.
Aprovada por:
___________________________________ Presidente da Banca
Prof. Eduardo Facó Lemgruber (COPPEAD/UFRJ)
___________________________________
Prof. Celso Funcia Lemme (COPPEAD/UFRJ)
___________________________________
Prof. Franklin de Oliveira Gonçalves (Banco BBM S.A.)
Rio de Janeiro, RJ
2003
iii
FICHA CATALOGRÁFICA
Magalhães, Carlos Eduardo Carneiro Pinto de.
Análise de Performance da Aplicação do Modelo de Árvore de
Volatilidade Implícita em Relação ao Modelo de Black & Scholes no
Mercado Brasileiro /
Carlos Eduardo Carneiro Pinto de Magalhães. - Rio de Janeiro:
UFRJ/COPPEAD, 2003
xx, 170p. il.
Dissertação (Mestrado em Administração)- Universidade Federal do Rio
de Janeiro - UFRJ, Instituto de Pós-Graduação em Administração –
COPPEAD, 2003.
Orientador: Eduardo Facó Lemgruber
1 - Volatilidade Implícita. 2. Árvore Binomial Implícita. 3. Efeito Sorriso
4. Dissertação (Mestrado - UFRJ/COPPEAD). I.Título
iv
Dedicatória
Dedico minha dissertação a meus pais, pelo apoio total que me deram durante o
mestrado e toda a minha vida e pela confiança que sempre tiveram em mim
v
Agradecimentos
Agradeço ao José Saliby a quem tantas vezes recorri para conseguir dados de
mercado.
Ao meu orientador Eduardo Faço Lemgruber que me incentivou a fazer essa
dissertação sobre este tema.
E aos meus amigos de turma que fizeram destes dois anos de mestrado, onde muito
foi aprendido, um período de muita descontração e sobretudo onde novas verdadeiras
amizades surgiram.
vi
RESUMO
MAGALHÃES., Carlos Eduardo Carneiro Pinto de. Análise de Performance da
Aplicação do Modelo de Árvore de Volatilidade Implícita em Relação ao Modelo
de Black&Scholes no Mercado Brasileiro Orientador: Eduardo Facó Lemgruber. Rio
de Janeiro: UFRJ/COPPEAD, 2003. Dissertação.
O mundo ideal, tal qual definido por Black & Scholes (1973), não é observável na
prática. Um dos elementos mais importantes e mais polêmicos para se chegar ao valor
justo do preço de uma opção é a volatilidade. A premissa de que ela é constante não é
verdadeira. Ao se calcular a volatilidade implícita de várias opções com diferentes
preços de exercícios e diferentes vencimentos, constata-se a presença de uma variação
de acordo com ambas variáveis. Costuma-se chamar ambas variações, genericamente,
de efeito smile. Começaram, então, a surgir estudos que buscavam obter informações do
smile para um posterior cálculo do valor de opções, de modo que o preço calculado
fosse compatível com aquela estrutura de volatilidade. Um dos primeiros modelos a
surgir foi o de Derman & Kani (1994). Este modelo usa a função de volatilidade
implícita obtida a partir do smile observado no mercado e, em seguida, usando esta
função, constrói uma árvore de volatilidade implícita que seja compatível com o smile
observado. Neste trabalho, o modelo de Derman & Kani (1994) será aplicado ao
mercado brasileiro, especificamente ao ativo de Telebrás PN, por ser o ativo com maior
volume de negociação de opções no período de estudo. O objetivo é verificar se este
modelo apresenta performance estática e dinâmica superior ao modelo de Black &
Scholes (1973). Como objetivo secundário, buscou-se identificar a melhor função que
fosse capaz de descrever o smile observado no mercado. São testadas, ao total, 20
abordagens distintas. O que se pode constatar, de uma maneira geral, é que a utilização
do modelo de Black & Scholes ainda é justificável quando se ajusta o valor da
volatilidade usada de acordo com uma função de volatilidade implícita que seja capaz
de incorporar o smile, gerando, então, os melhores. Nota-se, entretanto, que a diferença
de performance dinâmica entre as abordagens não foi estatisticamente significativa ao
se realizar seguros dinâmicos de portfólio, onde o parâmetro de hedge era dado pelo
delta de uma opção de venda.
vii
ABSTRACT
MAGALHÃES., Carlos Eduardo Carneiro Pinto de. Análise de Performance da
Aplicação do Modelo de Árvore de Volatilidade Implícita em Relação o Modelo de
Black&Scholes no Mercado Brasileiro Orientador: Eduardo Facó Lemgruber. Rio de
Janeiro: UFRJ/COPPEAD, 2003. Dissertação.
The ideal world, such as defined by Black & Scholes (1973), is in practice not
observed. One of the most important and also most polemic elements needed to achieve
the fair price of an option is the volatility. The assumption that it is constant is not true.
Calculating the implied volatility of various options over the same asset with different
maturities and strikes one can realize the presence of variations according to both
variables. They both are called, generically, by smile effect. So, many studies have
shown up trying to obtain information about the smile for the further pricing of options,
so that the calculated price would be compatible with the volatility structure. One of the
first that came to place was the one developed by Derman & Kani (1994). This model
makes use of a function of implied volatility obtained from option prices observed at the
market while growing an implied volatility tree compatible to the smile. In this
dissertation the model proposed by Derman & Kani (1994) will be applied to the
brazilian market, specifically to Telebras PN asset, for being the asset with the greatest
option volume negotiated during the period of study. The purpose is to assess whether
this model has a higher performance, both static and dynamic, in comparison to the
Black & Scholes (1973) model. As a secondary objective, it tries to identify the best
function capable of describing the observed market smile. Totally, 20 approaches are
tested. In general, it was realized that the use of the Black & Scholes (1973) model is
still justified when the value of the volatility as an input is adjusted according to a
function of volatility consistent with the smile, having then the best results.
Nevertheless, the difference of the dynamic performance among the approaches
obtained through dynamic portfolio insurance, where the hedge ratio is given by the
delta of a put, was not statistically significant.
viii
LISTA DE TABELAS
Tabela 1. Tabela com informações da amostra de opções de compra utilizada. No
Painel A estão apresentadas informações sobre o número de opções de
acordo com o número de dias úteis para o vencimento. No Painel B
procura-se mostrar o número observações em cada dia. ....................... 90
Tabela 2 Pontos utilizados para na regressão polinomial cúbica, visando o cálculo
da volatilidade implícita ATM no dia 24/01/2000. Note que foi usada
uma janela de 5 dias e que a variável explicativa é o moneyness
calculado por ( )1−SK ........................................................................ 100
Tabela 3 Nomes atribuídos a cada uma das 20 diferentes abordagens realizadas
para testar a eficiência dos modelos de Derman & Kani (1994) e Black &
Scholes (1973)................................................................................... 104
Tabela 4 Desenvolvimento da estratégia de Seguro Dinâmico, via compra e venda
do ativo de Telebrás PN, com uma posição inicial de mil lotes de mil
ações durante o período de 07/01/2000 a 14/02/2000, usando a
abordagem DK_F2. ........................................................................... 106
Tabela 5 Média e Desvio Padrão dos coeficientes das regressões bem como dos
indicadores de aderência para o cálculo da volatilidade implícita ATM
usando-se a moneyness ( )1−SK como variável explicativa. Apresenta
ainda a estatística t para testar a hipótese nula (bilateral) de que os
coeficientes e indicadores de aderência sejam igual a zero.
Probabilidades inferiores a 0,05 indicam que não se pode aceitar a
hipótese nula para um nível de significância de 5% ........................... 113
ix
Tabela 6 Média e Desvio Padrão dos coeficientes das regressões de Rosenberg,
bem como dos indicadores de aderência. ........................................... 114
Tabela 7 Comparação das médias dos EARs (Erro Absoluto Relativo) das
volatilidades implícitas ATM para as diferentes janelas utilizadas. O
teste t é feito sob a hipótese nula (unilateral) de que o erro relativo
absoluto médio de cada janela é maior que da janela anterior (as janelas
aparecem ordenadas crescentemente pelo EAR). O campo probabilidade
é a probabilidade de rejeição da hipótese nula para cada janela, onde
valores maiores que 5% indicam que os erros absolutos relativos médios
são estatisticamente iguais para a respectiva janela e a anterior a um nível
de significância de 5%....................................................................... 115
Tabela 8 Estatística t para a diferença entre as médias de EARs entre as diferentes
janelas da regressão da função de Rosenberg. .................................... 115
Tabela 9 Probabilidades associadas às estatísticas t para a diferença entre as
médias de EAR entre as diferentes janelas da regressão da função de
Rosenberg. ........................................................................................ 116
Tabela 10 Probabilidades associadas às estatísticas t para a média das diferenças
entre os EARs, ponto a ponto, para cada janela. Valores maiores que 5%
indicam que não se pode rejeitar a hipótese nula (bilateral) de que a
diferença média entre os EARs ponto a ponto, seja estatisticamente
significativa a um nível de significância de 5%.................................. 116
Tabela 11 Comparação das médias dos ERs e EARs dos preços entre as diferentes
abordagens com número de observações distintos. O teste t é feito sob a
hipótese nula (unilateral) de que o erro relativo absoluto médio de cada
x
abordagem é maior que da abordagem anterior (as abordagens aparecem
ordenadas crescentemente pelo EAR). O campo probabilidade é a
probabilidade de rejeição da hipótese nula para cada abordagem, onde
valores maiores que 5% indicam que os erros absolutos relativos médios
são estatisticamente iguais para a respectiva abordagem e a anterior a um
nível de significância de 5%. A linha tracejada indica os grupos de
abordagens estatisticamente similares que foram encontrados............ 117
Tabela 12 Comparação das médias dos ERs e EARs das volatilidades implícitas
entre as diferentes abordagens com número de observações distintos. O
teste t é feito sob a hipótese nula (unilateral) de que o erro relativo
absoluto médio de cada abordagem é maior que da abordagem anterior
(as abordagens aparecem ordenadas crescentemente pelo EAR). O
campo probabilidade é a probabilidade de rejeição da hipótese nula para
cada abordagem, onde valores maiores que 5% indicam que os erros
absolutos relativos médios são estatisticamente iguais para a respectiva
abordagem e a anterior a um nível de significância de 5%. A linha
tracejada indica os grupos de abordagens estatisticamente similares que
foram encontrados. ............................................................................ 119
Tabela 13 Média das médias dos ERs e EARs por prazo para o vencimento para
cada abordagem. Os dados estão em ordem decrescente de acordo com a
média do EAR. Em negrito estão os dias que foram deixados de fora. O
quadro abaixo apresenta um resumo para os dias usados no seguro e os
dias não usados.................................................................................. 121
xi
Tabela 14 Comparação das médias dos ERs e EARs dos preços entre as diferentes
abordagens, usando-se o mesmo número de observações. O teste t é feito
sob a hipótese nula (unilateral) de que o erro relativo absoluto médio de
cada abordagem é maior que da abordagem anterior (as abordagens
aparecem ordenadas crescentemente pelo EAR). O campo probabilidade
é a probabilidade de rejeição da hipótese nula para cada abordagem, onde
valores maiores que 5% indicam que os erros absolutos relativos médios
são estatisticamente iguais para a respectiva abordagem e a anterior a um
nível de significância de 5%. A linha tracejada indica os grupos de
abordagens estatisticamente similares que foram encontrados............ 123
Tabela 15 Comparação das médias dos ERs e EARs das volatilidades implícitas
entre as diferentes abordagens, usando-se o mesmo número de
observações. O teste t é feito sob a hipótese nula (unilateral) de que o
erro relativo absoluto médio de cada abordagem é maior que da
abordagem anterior (as abordagens aparecem ordenadas crescentemente
pelo EAR). O campo probabilidade é a probabilidade de rejeição da
hipótese nula para cada abordagem, onde valores maiores que 5%
indicam que os erros absolutos relativos médios são estatisticamente
iguais para a respectiva abordagem e a anterior a um nível de
significância de 5%. A linha tracejada indica os grupos de abordagens
estatisticamente similares que foram encontrados. ............................. 124
Tabela 16 Probabilidade associadas à estatística t para a média da diferença dos
EARs do preço, ponto a ponto, para cada par de abordagens. A diferença
de EAR é sempre da abordagem da linha menos a abordagem da coluna.
xii
Valores maiores que 5% indicam que a média da diferença entre os
EARs para o par de abordagens é estatisticamente igual a zero a um nível
de significância de 5%....................................................................... 125
Tabela 17 Probabilidade associadas à estatística t para a média da diferença dos
EARs da volatilidade implícita, ponto a ponto, para cada par de
abordagens. A diferença de EAR é sempre da abordagem da linha menos
a abordagem da coluna. Valores maiores que 5% indicam que a média da
diferença entre os EARs para o par de abordagens é estatisticamente
igual a zero a um nível de significância de 5%................................... 126
Tabela 18 Teste t sobre a hipótese nula (bilateral) de que os ERs médios tanto para
o preço como para a volatilidade implícita são iguais a zero. O campo
Prob é a probabilidade de rejeição da hipótese nula para cada abordagem,
onde valores maiores que 5% indicam que os erros relativos médios são
estatisticamente iguais a zero a um nível de significância de 5%........ 127
Tabela 19 Média das médias dos ERs e EARs por prazo para o vencimento para
cada abordagem. Os dados estão em ordem decrescente de acordo com a
média do EAR. Em negrito estão os dias que foram deixados de fora. O
quadro abaixo apresenta um resumo para os dias usados no seguro e os
dias não usados.................................................................................. 129
Tabela 20 Comparação das médias dos ERs e EARs dos valores do seguro entre as
diferentes abordagens.com diferentes números de seguros por
abordagem. O teste t é feito sob a hipótese nula (unilateral) de que o erro
relativo absoluto médio de cada abordagem é maior que da abordagem
anterior (as abordagens aparecem ordenadas crescentemente pelo EAR).
xiii
O campo probabilidade é a probabilidade de rejeição da hipótese nula
para cada abordagem, onde valores maiores que 5% indicam que os erros
absolutos relativos médios são estatisticamente iguais para a respectiva
abordagem e a anterior a um nível de significância de 5%. A linha
tracejada indica os grupos de abordagens estatisticamente similares que
foram encontrados. ............................................................................ 130
Tabela 21 Comparação das médias dos ERs e EARs dos valores do seguro entre as
diferentes abordagens.com número de seguros iguais. O teste t é feito sob
a hipótese nula (unilateral) de que o erro relativo absoluto médio de cada
abordagem é maior que da abordagem anterior (as abordagens aparecem
ordenadas crescentemente pelo EAR). O campo probabilidade é a
probabilidade de rejeição da hipótese nula para cada abordagem, onde
valores maiores que 5% indicam que os erros absolutos relativos médios
são estatisticamente iguais para a respectiva abordagem e a anterior a um
nível de significância de 5%. A linha tracejada indica os grupos de
abordagens estatisticamente similares que foram encontrados............ 131
Tabela 22 Probabilidades associadas à estatística t para a média da diferença dos
EARs do valor do seguro, seguro a seguro, para cada par de abordagens.
A diferença de EAR é sempre da abordagem da linha menos a
abordagem da coluna. Valores maiores que 5% indicam que a média de
diferença entre os EARs para o par de abordagens é estatisticamente
igual a zero a um nível de significância de 5%................................... 132
Tabela 23 Probabilidades associadas à estatística t para a media da diferença de
quantidade operada, seguro a seguro, para cada par de abordagens. A
xiv
diferença de quantidade operada é sempre da abordagem da linha menos
a abordagem da coluna. Valores maiores que 5% indicam que a média da
diferença entre as quantidades para o par de abordagens é
estatisticamente igual a zero a um nível de significância de 5%.As
abordagens aparecem em ordem crescente de quantidade total operada,
de cima para baixo e da esquerda para a direita.................................. 133
xv
LISTA DE FIGURAS
Figura 1. Esquema ilustrativo da evolução dos modelos de construção de árvore de
volatilidade implícita citados nesta dissertação. ................................... 81
Figura 2. Histograma da distribuição de observações opções de compra sobre o
ativo Telebrás PN de acordo com sua maturidade para o período de
15/08/1994 a 17/04/2000, após os cortes efetuados. ............................. 91
Figura 3. Gráfico com a evolução dos preços de fechamento do ativo Telebrás PN
entre os dias 18/08/1994 e 17/04/2000. Em destaque (de vermelho) estão
marcados os pontos correspondentes às datas de vencimento das opções
da amostra utilizada. ............................................................................ 92
Figura 4. Gráfico com a evolução dos retornos logarítmicos diários do ativo
Telebrás PN entre os dias 15/08/1994 e 17/04/2000. Em destaque (de
vermelho) estão marcados os retornos correspondentes às datas de
vencimento das opções da amostra utilizada. ....................................... 92
Figura 5 Gráfico da proxy taxa de juros livre de risco diária (CDI) no mercado
brasileiro, entre os dias 15/08/1994 e 17/04/2000. Em destaque (em
vermelho) estão marcadas as taxas de juros correspondentes aso dias em
que há vencimentos das opções da amostra utilizada............................ 94
Figura 6 Gráfico com a diferença entre a taxa de juros anual dada pelos contratos
de DI (cenário) e a taxa de juros real dada pelo CDI no mercado
brasileiro, entre os dias 28/08/1996 e 17/04/2000. Em destaque (em
vermelho) estão marcadas as diferenças de taxas de juros
correspondentes aos dias em que há vencimentos das opções da amostra
utilizada............................................................................................... 94
xvi
Figura 7 Esquema ilustrativo da construção da árvore de volatilidade implícita de
acordo com Derman & Kani (1994). Apresentam-se os elementos
necessários para a construção do )1n( + -ésimo nível da árvore. ........... 96
Figura 8 Esquema ilustrativo das correções sugeridas para a subida e descida da
árvore, a partir do centro. Para os nós extremos, em preto, utiliza-se a
correção proposta por Derman & Kani (1994). Nos demais nós, utiliza-se
a correção de Barle & Cakici (1995,1998). .......................................... 97
Figura 9 Visualização gráfica do procedimento de truncamento da função obtida a
partir de uma regressão polinomial cúbica com variável explicativa dada
por ( )1−SK . Note que para valores superiores ao valor máximo e
inferiores ao valor mínimo a função fica constante. Em destaque
(vermelho) está o valor da volatilidade implícita ATM, que é obtida
quando a moneyness for igual a zero. A reta maior em verde aponta para
este valor sobre a curva de ajuste.. ..................................................... 101
Figura 10 Evolução da Volatilidade Implícita ATM ao longo do período de análise,
de 15/08/94 até 14/04/2000. Em destaque (em vermelho) estão marcadas
as volatilidades implícitas ATM correspondentes aos dias em que há
vencimentos das opções da amostra utilizada..................................... 101
Figura 11 Ilustração dos dias usados na regressão com defasagem de 1 dia ou não,
com uma janela de 5 dias, para o caso específico do dia 24/01/2000. . 103
Figura 12. Comparação entre a distribuição de probabilidade livre de risco obtida de
árvores Binomiais Comuns (á esquerda) e árvores de Derman & Kani (á
direita) para diferentes números de passos. Foi escolhido o dia
03/01/2000 (35 dias para o vencimento) para ilustrar estas distribuições.
xvii
A volatilidade constante para a Binomial Comum foi de 53%
(volatilidade ATM)............................................................................ 110
Figura 13. Comparação entre a distribuição de probabilidades livre de risco obtida
de árvores Binomiais Comuns e árvores de Derman & Kani, com o
intuito de mostrar sua assimetria, com 20 e 80 passos. Foi escolhido o dia
03/01/2000 (35 dias para o vencimento) para ilustrar estas distribuições.
A volatilidade constante para a Binomial Comum foi de 53%
(volatilidade ATM)............................................................................ 111
Figura 14. Distribuições de probabilidade livre de risco segundo Derman & Kani
nos dias 04/01/2000 (34 dias para o vencimento) e 05/01/2000 (33 dias
para o vencimento) com diferentes números de passos....................... 111
Figura 15. Árvores de Derman & Kani geradas para o dia 03/01/2000 (35 dias para
o vencimento) com diferentes números de passos (da esquerda para a
direita , 20 – 40 – 60 – 80 passos). ..................................................... 112
Figura 16 Evolução das Médias dos EARs dos preços entre as diferentes
abordagens feitas.Em destaque (verde) está a data, a partir da qual se
dará o início da comparação dos EARs médios entre as diferentes
abordagens. Note que é exatamente a esquerda do traço verde que há
uma grande concentração de erros de maior amplitude. ..................... 122
xviii
ÍNDICE
1 INTRODUÇÃO......................................................................................... 1
2 REVISÃO DE LITERATURA................................................................... 7
2.1 Teoria De Avaliação De Opções..............................................................................................7
2.2 Preço Das Opções Como Fonte De Informação....................................................................11
2.3 Volatilidade Implícita E O Sorriso Da Volatilidade .............................................................12
2.4 Distribuições Implícitas.........................................................................................................33
2.4.1 Estimação da SPD..........................................................................................................34
2.4.1.1 Métodos Paramétricos...........................................................................................35
2.4.1.2 Métodos Não Paramétricos ...................................................................................40
2.5 Árvores Binomiais Implícitas................................................................................................45
2.5.1 Dupire (1993, 1994).......................................................................................................46
2.5.2 Cox, Ross & Rubinstein (1978)......................................................................................49
2.5.3 Derman & Kani (1994) ..................................................................................................50
2.5.4 Barle & Cakici (1995)....................................................................................................56
2.5.5 Chriss (1996) .................................................................................................................58
2.5.6 Hilliard & Schwartz (1996) ............................................................................................59
2.5.7 Rubinstein (1994) ..........................................................................................................60
2.5.8 Jackwerth (1997) ...........................................................................................................64
2.5.9 Derman, Kani & Chriss (1996).......................................................................................66
2.5.10 Rubinstein (1998)......................................................................................................70
2.5.11 Brown & Toft (1999).................................................................................................72
2.5.12 Nagot & Trommsdorff (1999)....................................................................................76
2.5.13 Muzzioli & Torricelli (2001) .....................................................................................77
2.5.14 Derman & Kani (1998)..............................................................................................78
xix
2.5.15 Ledoit & Santa-Clara (1998)......................................................................................79
2.5.16 Britten-Jones & Neuberger (1999) .............................................................................79
2.5.17 Esquema Resumido dos Modelos Supracitados ..........................................................80
2.5.18 Alguns Outros Modelos Que Tentam Incorporara O Smile .........................................81
3 METODOLOGIA.................................................................................... 87
3.1 Tipo de Pesquisa....................................................................................................................87
3.2 Universo e Amostra...............................................................................................................88
3.3 Coleta dos Dados ...................................................................................................................92
3.4 Modelos Utilizados ................................................................................................................95
3.4.1 Árvore de Volatilidade Implícita de Derman & Kani ......................................................95
3.4.2 Modelo Analítico de Black & Scholes (1973) .................................................................98
3.5 Cálculo da Volatilidade Implícita ATM ...............................................................................99
3.6 Determinação da Função de Volatilidade Implícita (IVF) .................................................102
3.7 Estratégia de Seguro Dinâmico de Portfólio.......................................................................104
3.8 Testes de Aderência / Eficiência..........................................................................................107
3.9 Limitações Metodológicas ...................................................................................................108
4 RESULTADOS ....................................................................................110
4.1 Resultados Preliminares .....................................................................................................110
4.2 Resultados Finais ................................................................................................................113
4.2.1 Performance Estática....................................................................................................113
4.2.2 Performance Dinâmica.................................................................................................129
xx
5 CONCLUSÕES E SUGESTÕES .........................................................134
6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...................................................142
7 ANEXOS..............................................................................................156
7.1 Anexo I ................................................................................................................................156
7.2 Anexo II...............................................................................................................................157
7.3 Anexo III .............................................................................................................................158
7.4 Anexo IV .............................................................................................................................159
7.5 Anexo V...............................................................................................................................160
7.6 Anexo VI .............................................................................................................................161
7.7 Anexo VII ............................................................................................................................163
7.8 Anexo VIII ..........................................................................................................................165
7.9 Anexo IX .............................................................................................................................166
7.10 Anexo X ..........................................................................................................................167
7.11 Anexo XI.........................................................................................................................169
1
11 IINNTTRROODDUUÇÇÃÃOO
Desde a publicação do artigo de Black & Scholes em 1973 sobre a precificação de
opções houve uma explosão de trabalhos teóricos e empíricos sobre o mesmo assunto.
Enquanto a maioria dos trabalhos procurava seguir a proposta de movimento browniano
geométrico, a possibilidade de hipóteses de distribuições alternativas logo emanou. Isto
se deve principalmente às seguintes condições de mundo ideais assumidas por Black &
Sholes (1973):
a) a taxa de juros de curto prazo é conhecida e constante ao longo do tempo;
b) preço do ativo segue um processo aleatório em tempo contínuo com uma taxa
de variância proporcional ao quadrado do preço do ativo. A distribuição de
possíveis preços do ativo ao final de qualquer intervalo de tempo finito é
lognormal. A taxa de variância (também chamada de desvio padrão) dos
retornos do ativo é constante;
c) ativo não paga dividendo ou qualquer outro tipo de distribuição;
d) a opção é Européia, ou seja, somente pode ser exercida no seu vencimento;
e) não há custos de transação em vender ou comprar tanto o ativo como a opção;
f) é possível captar recursos para comprar um ativo ou simplesmente aplicá-lo, à
taxa de juros de curto prazo;
2
g) não há penalidade em vender a descoberto. Um vendedor que não possua um
ativo irá simplesmente aceitar o preço do ativo do comprador, e irá concordar
em liquidar com o comprador em alguma data futura, pagando a ele uma
quantidade igual ao preço do ativo negociado naquela data.
Como não vivemos em um mundo ideal, tal qual assumido pelos autores, era evidente
a necessidade de se pesquisar novos modelos que fossem capazes, na medida do
possível, de suprir suas deficiências1. Cox & Ross (1976) derivam preços de opções
européias de acordo com várias alternativas, incluindo modelos de difusão absoluta,
puramente saltos, raiz quadrada da elasticidade constante da volatilidade. Merton (1976)
também apresenta um modelo que busca explicar as possíveis falhas de precificação de
Black & Scholes em que questiona a continuidade dos preços, sobretudo quando da
chegada de informações relevantes, podendo ocasionar saltos (descontinuidades).
Assim, ele propõe uma metodologia para precificação de opções quando o movimento
do ativo subjacente é composto de saltos e processos contínuos2. Surgiram ainda
extensões para a taxa de juros estocástica, aparecendo primeiro com Merton (1973),
enquanto os modelos de precificação de opções com volatilidade estocástica surgiram
primeiro com Hull & White (1976)3.
Contudo, testes realizados por Rubinstein (1987) deram suporte à implicação de
Movimentos Brownianos Geométricos (MBG) para o mercado de opções americano.
Todavia, após a crise de 1987, há evidências empíricas diferentes. Usando observações
1 Sobre este assunto veja trabalho de Bates (2001). 2 Para saber mais sobre modelos com saltos veja Bates (1988) e Craine, Lochstoer & Syrtveit (2000). Bates (1996)
aplica um modelos com ambos os componentes . 3 Carr (2001) faz um levantamento de vários modelos com volatilidade estocástica.
3
do índice de opções sobre o S&P500 de 1986 a 1992, Rubinstein (1994) documenta que
as violações do modelo de Black & Scholes são substancialmente maiores após a crise
de 1987 e crescentes ao longo do tempo. Esses mesmos padrões também foram
observados nos mercados de opções do Reino Unido, Alemanha e Japão por Gemmil &
Kamiyama (1997) e por Tompkins (1998).
Neste sentido, a premissa de que a volatilidade é constante ao longo do tempo,
tornou-se ainda mais fraca. A volatilidade pode variar de acordo com o preço de
exercício (strike) das opções de um mesmo ativo objeto, movimento este chamado de
sorriso da volatilidade (smile), bem como de acordo com os diversos vencimentos,
conhecida como a estrutura a termo da volatilidade. Costuma-se, entretanto, usar o
termo smile para ambos movimentos. Assim, o smile passou a ser uma preocupação
cada vez mais importante no mercado de opções. No período que sucedeu a crise de
1987, o índice de opções do S&P500 apresentou um forte smile, caracterizado por
volatilidades implícitas das opções decrescentes e convexas com o preço de exercício,
ao invés de serem constantes, como previstas por Black & Scholes. O tamanho das
violações era tão grande que não poderia ser explicado por imperfeições de mercado.
Muitos estudos sugeriram extensões ao modelo de Black & Scholes visando
incorporar o smile e outras evidências empíricas do modelo original. Estas extensões
podem ser agrupadas em dois grupos principais: modelos de volatilidade determinística
e modelos de volatilidade estocástica. Dentre os modelos de volatilidade determinística
podemos citar Rubinstein (1994), Dupire (1994) e Derman & Kani (1994). Dentre os
modelos de volatilidade estocástica podemos citar os modelos de Hull & White (1987),
Scott (1987) e Avellaneda & Zhu (1997).
4
A escolha de um modelo específico de precificação de opções tem, naturalmente,
implicações importantes em termos de precificação e implementação de estratégias
gerenciais de risco de portfólios de opções e outros derivativos. A utilização dos
parâmetros de hedge derivados dos modelos é de suma relevância para as mais diversas
estratégias implementadas, de modo que sua precisão torna-se crucial. Para o caso, por
exemplo, de opções exóticas, que são freqüentemente travadas com opções européias, é
importante um modelo que reflita bem as opções européias existentes no mercado para
uma precificação futura consistente. Mais recentemente, uma série de metodologias tem
buscado extrair a informação relevante dos preços dos contratos derivativos. Uma boa
parte dos esforços de pesquisa voltou-se a uma classe de modelos que considera os
preços de opções negociadas em mercado como fonte de informação.
Dentre os modelos de volatilidade determinística e que buscam extrair informações
dos preços das opções existentes no mercado, foi escolhido o modelo desenvolvido por
Derman & Kani (1994) como objeto de estudo desta dissertação. Trata-se de um modelo
de construção de árvores implícitas a partir do smile observado no mercado e,
relativamente aos demais, de implementação mais simples, sendo, portanto, um forte
argumento para sua utilização nos testes.
O objetivo deste trabalho é verificar se o modelo proposto por Derman & Kani possui
uma performance estática e dinâmica melhor que o modelo de Black & Scholes,
amplamente utilizado no mercado, por sua familiaridade e facilidade de implementação.
O atingimento desse objetivo será realizado pela comparação dos preços das opções
obtidas com ambos os modelos e sua discrepância em relação aos preços efetivamente
praticados no mercado, no que diz respeito à performance estática, e através da
5
implementação de algumas estratégias de hedge, para avaliar a performance dinâmica,
ou seja, se as taxas de hedge obtidas do modelo são mais afinadas com o mercado real.
Vale lembrar que esta dissertação está delimitada a utilização de somente dois
modelos de avaliação, o de Black & Schole (1973) e o de Derman & Kani (1994), de
modo que o escopo deste trabalho não considera outros que porventura poderiam ter
sido utilizados para o mesmo fim, já que um dos objetivos intermediários deste trabalho
é verificar de maneira representativa se um modelo que incorpore o smile observado no
mercado é mais eficaz que um modelo que assume a variabilidade da volatilidade.
Ressalta-se, ainda, que por se tratar de um modelo de volatilidade determinística,
torna-se relevante uma discussão acerca da melhor função de volatilidade implícita a ser
utilizada. Assim, como conseqüência do objetivo acima descrito, será feita uma análise
minuciosa da função que melhor representa a volatilidade implícita de uma ação, pois a
precisão do modelo utilizado depende significativamente desta função.
O presente trabalho está estruturado da seguinte maneira. No Capítulo 2 é
apresentado o referencial teórico no qual este trabalho se baseou, dando-se enfoque
especial aos modelos que buscam levar em consideração as informações contidas nos
preços das opções observadas no mercado. No capítulo 3 será apresentada a
metodologia desenvolvida pelo autor, desde a modelagem da árvore de volatilidade
implícita, passando pela descrição da função de volatilidade utilizada, até a
determinação das estratégias de hedge utilizadas, bem como dos índices de performance
estática e dinâmica. No quarto capítulo os resultados obtidos serão expostos e
analisados de acordo com os indicadores propostos. No quinto capítulo serão
apresentadas as conclusões e apontadas algumas sugestões para novos trabalhos. No
6
sexto capítulo apresentam-se as referências bibliográficas, as quais são seguidas pelos
Anexos, onde podem ser encontrados dados relevantes da amostra e algumas tabelas
com resultados estatísticos mais detalhados.
7
22 RREEVVIISSÃÃOO DDEE LLIITTEERRAATTUURRAA
2.1 TEORIA DE AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
De maneira resumida, um contrato derivativo é um contrato financeiro cujo resultado
(payoff) é definido como sendo uma função do valor futuro de um outro ativo (ou
muitos outros), também chamado de ativo subjacente ou ativo objeto. A teoria de
precificação de opções foca no problema de precificar e hedgiar contratos derivativos
de uma maneira consistente, dado um mercado onde os ativos subjacentes são
representados por processos estocásticos.
Um dos tipos mais simples de contrato derivativo é aquele que dá o direito ao seu
detentor de comprar, se lhe convier, uma ação de um ativo em uma data futura T por
um preço predefinido K , chamado de preço de exercício (strike). Este tipo de contrato é
intitulado de opção de compra européia com preço de exercício K e vencimento em T .
O termo européia refere-se à característica da opção de não poder ser exercida antes da
data de vencimento estipulada no contrato.
Como conseqüência da definição da opção de compra européia, este contrato, no seu
vencimento T , vale exatamente a diferença entre o preço do ativo subjacente ( TS ) e o
preço de exercício ( K ), para o caso de ST ser maior que K . No caso contrário, a opção,
obviamente, não será exercida e o contrato assume valor nulo. Assim, pode-se definir a
função de resultado da opção, também chamada de payoff como sendo:
( ) ( )KS0;MaxSh TT −= 2.1
8
onde o argumento TS é responsável pela incerteza na data de exercício.
Assim, uma opção de compra européia apresentará sempre um payoff positivo em
qualquer situação, de modo que a opção pode ser vista como um seguro contra subida
do preço da ação acima de um determinado valor K , que é precisamente o valor de
exercício. Como qualquer outro contrato de seguro, uma opção deve ter um certo valor.
Fazem-se, então, as seguintes perguntas: (i) Quanto vale este contrato hoje? (ii) Uma
vez que a opção foi vendida, que tipo de estratégia se pode usar para minimizar o risco
de ter que arcar com grandes prejuízos em função da subida do preço do ativo
subjacente? A primeira pergunta se preocupa com o a precificação correta, enquanto
que a segunda se preocupa com hedging.
De acordo com Cont (1997) uma forma ingênua, mas com bastante apelo intuitivo, de
se precificar uma opção seria através do valor presente do valor esperado do payoff da
opção, onde o termo esperado implica em uma densidade de probabilidade p obtida a
partir de análises estatísticas da evolução histórica )Sln()Sln(R 1ttt −−= . Assim o
valor esperado seria:
( ) ( )∫∞
=0
TTt,Tt-Tr- dSpSheE 2.2
Cont (1997) refere-se a esta regra de precificação como “expectation pricing”
(precificação do valor esperado)
Contudo, nada garante que tal regra de precificação seja consistente, no sentido de
que não seja possível encontrar uma estratégia livre de risco capaz de produzir lucro
9
negociando a esses preços. Tal tipo de estratégia é chamada de oportunidade de
arbitragem. A consistência de preços requer que, se duas estratégias dinâmicas tem o
mesmo payoff (com probabilidade um), então elas devem ter o mesmo preço inicial para
que não haja oportunidades de arbitragem. A aplicação da hipótese de não arbitragem é
o cerne do desenvolvimento de muitos modelos.
Assim, particularmente em relação ao modelo de Black & Scholes, onde os preços
dos ativos seguem um MBG (movimento browniano geométrico), a fórmula de
avaliação pelo valor presente do valor esperado do payoff pode gerar oportunidades de
arbitragem com os preços das opções obtidos. Contudo, o modelo baseia-se, de uma
maneira essencial, no fato de que o ativo subjacente segue um MBG do tipo:
( )tBtT eS σµ += 2.3
o que não descreve adequadamente a real dinâmica dos preços dos ativos, onde, tB é
um processo de movimento browniano (processo de wiener).
A metodologia de Black & Scholes foi subseqüentemente generalizada (Merton,
1992; Harrison & Kreps, 1979; Harrison & Pilska, 1981) para processos de difusão
definidos como soluções de equações diferenciais estocásticas do tipo:
( ) ( )( )ttttT dWSdtSSdS σµ += 2.4
onde tdW é um erro (noise) gaussiano (incremento de um processo de Wiener) e µ e
σ são funções determinísticas a partir do preço do ativo tS .
10
Harrison & Kreps (1997) mostraram que é possível representar o preço de uma opção
como valor presente esperado do payoff, entretanto, estes valores esperados não são
mais calculados de acordo com a densidade de probabilidade p real, mas sim com uma
outra densidade q neutra ao risco, diferente da primeira. Mais precisamente, eles
mostram que em um mercado onde os ativos são descritos por processos estocásticos,
verificando-se certas condições de regularidade, a ausência de oportunidades de
arbitragem é equivalente a existência de uma medida de probabilidade Q equivalente a
P , chamada de medida martingale equivalente, tal que todos os preços descontados são
Q -martingales. Isto significa que:
( ) ( )∫∞
=0
TTt,Tt-Tr- dSqSheC 2.5
ou seja, o preço de um derivativo qualquer C é o valor presente do valor esperado do
payoff com relação à densidade de probabilidade Tt,q do preço do ativo subjacente tS
no vencimento T sob a medida q . Isto não implica que os preços reais dos ativos sejam
martingales ou mesmo processos sem um drift (tendência). Na verdade há um drift
positivo na maioria dos casos e algum grau de previsibilidade. De outra forma, S é
normalmente um submartingale: ( ) iijp SFSE > para ij ≥ . Em particular, o preço de
uma opção de compra européia simples pode ser calculado da seguinte forma:
( ) ( ) ( )∫∞
−=0
TTt,Tt-Tr-
t dSqK,0SMaxerT,K,,SC 2.6
11
À densidade q foram dadas várias nomenclaturas na literatura: “probabilidade livre
de risco”, “state price density” (SPD) e “medida martingale equivalente”. Ao longo
desta dissertação estes nomes serão utilizados representando o mesmo conceito.
Do ponto de vista da teoria econômica, pode-se considerar o formalismo introduzido
por Harrison & Kreps como uma extensão do trabalho de Arrow (1964) e Debreu
(1959) para tempo constante. O trabalho destes últimos apresenta o conceito de ativos
elementares que pagam $1 na ocorrência de um evento específico e nada no caso
oposto. Estes ativos, também conhecidos como ativos Arrow-Debreu, definem em um
mundo discreto o que Harrison & Kreps definiram para uma economia contínua no
tempo e no espaço de estados (state space framework). Logo a SPD q é o equivalente
contínuo aos preços Arrow-Deberu.
Esta situação pode ser resumida da seguinte maneira. Em um mercado livre de
arbitragem cada ativo é caracterizado por duas densidades de probabilidade: a densidade
real Tt,p , a qual descreve variações aleatórias do preço do ativo S entre t e T , e a SPD
Tt,q , a qual é usada para a avaliação de opções sobre o ativo adjacente S . Estas duas
densidades são diferentes a priori, e somente em casos especiais tal qual no modelo de
Black & Scholes, argumentos de arbitragem não nos permitem calcular uma a partir da
outra.
2.2 PREÇO DAS OPÇÕES COMO FONTE DE INFORMAÇÃO
Os mercados mudaram drasticamente desde a publicação do famoso artigo de Black
& Scholes em 1973. Hoje, muitas ações são ativos muito volume e número de negócios
12
bastante elevados e seus preços são determinados pela relação entre oferta e demanda.
Dar preços a estas opções não deve mais ser a prioridade dos operadores, já que seus
preços de mercado são observações e não quantidades a serem determinadas por um
procedimento matemático. É natural que, contudo, o monitoramento dos preços das
opções continue sendo realizado, com o intuito de se aproveitar possíveis oportunidades
de arbitragem sobre opções mal avaliadas. Entretanto, a atividade de hedging continua
sendo um ponto de suma relevância mesmo para opções líquidas, uma vez que os
parâmetros de hedge não são observáveis, mas sim gerados pelo modelo utilizado,
deixando clara a significância de seu cálculo. Não obstante, vale ressaltar o caso da
precificação de opções exóticas que devem estar alinhadas com o preços da opções
européias tradicionais, pois estas servem de hedge para as primeiras.
Isto tem levado, em anos mais recentes, à emergência de uma nova direção nas
pesquisas, de acordo com a seguinte pergunta: o quê os preços das ações observados nos
mercados podem nos dizer a respeito das propriedades estatísticas do ativo subjacente?
Ou, nos termos já expostos: o que se pode inferir sobre as densidades p e q dos preços
das ações observado no mercado?
2.3 VOLATILIDADE IMPLÍCITA E O SORRISO DA
VOLATILIDADE
No modelo lognormal de Black & Scholes todas as opções são avaliadas de acordo
com cinco parâmetros:
a) preço do ativo subjacente, S ;
13
b) preço de exercício, K ;
c) taxa de juros livre de risco entre hoje e o vencimento da opção, em termos
anuais e sob capitalização contínua, r ;
d) prazo, medido em anos, entre hoje e a data de vencimento, T ;e
e) volatilidade anual do ativo subjacente entre hoje e o vencimento da opção, σ .
Assim, ficamos com a seguinte função:
( )σT,r,K,S,fCBS = 2.7
De todos os argumentos desta função, apenas a volatilidade não é observada
diretamente no mercado, podendo, assim, haver divergências entre os preços obtidos
para as opções por pessoas diferentes, uma vez que existe uma infinidade de maneiras
de se calcular a volatilidade, ficando a critério dos operadores a escolha da metodologia
a ser utilizada para a sua estimação. Para os demais fatores não há divergências, de
modo que somente a volatilidade, de acordo com o modelo de Black & Scholes, é
responsável pelas diferenças de precificação. Logo, o conhecimento de um dos dois
fatores, ou o preço ou a volatilidade, permite que se calcule o outro parâmetro. Na
prática, dado que a volatilidade não é observável, mas sim o preços P das opções,
inverte-se a fórmula de precificação da opção para determinar com qual volatilidade
uma determinada opção está sendo avaliada. Esta é, então, chamada de volatilidade
implícita.
14
Tradicionalmente, a volatilidade implícita tem sido calculada ou através da fórmula
de Black & Scholes ou pelo modelo binomial de Cox-Ross-Rubinstein (CRR).
Matematicamente:
( ) ( )( )( )PTK,T,r,K,SCTK, BStBSBS == σσσ , 2.8
Desta forma, os valores de volatilidade implícita podem ser obtidos a partir da
solução da equação acima. As fórmulas de precificação de opções freqüentemente não
podem ser invertidas, fazendo-se necessária a utilização de processos numéricos de
cálculo. Em geral, esses cálculos são implementados pela convergência da diferença
entre o preço da opção através da fórmula com uma determinada volatilidade inicial e o
preço P observado no mercado para o valor de zero. Vários algoritmos podem ser
utilizados. A escolha entre eles envolve um tradeoff entre robustez e velocidade de
convergência.
Na realidade, os operadores de mercado têm utilizado a equação de Black & Scholes
muito mais como uma forma de transformar preços em volatilidades, ou seja,
informações importantes para a precificação de outros derivativos, do que para a
precificação de opções propriamente dita.
Note que, contudo, os valores de volatilidade implícita não são necessariamente
iguais à volatilidade dos retornos estimada a partir de dados históricos do ativo
subjacente. Em geral os dois valores são diferentes. Tem sido debatido que a
volatilidade implícita é um bom previsor da volatilidade futura do ativo subjacente.
Argumenta-se que as volatilidades implícitas, por estarem olhando à frente, dado que
são formadas de expectativas de mercado sobre a previsão futura de preços e
15
volatilidade, seriam melhores previsores da volatilidade. Os estudos a respeito deste
tema dependem profundamente do tipo de dado utilizado e do período utilizado para
calcular a volatilidade (Chiras & Manaster,1978; Schmalensee & Trippi, 1978; Latané
& Rendleman, 1976; Beckers, 1981, Jackwerth & Rubinstein, 2001).
No mundo de Black & Scholes, a volatilidade implícita é constante e igual a
volatilidade do ativo subjacente. Porém, ao longo dos anos tornou-se claro que o
mercado não precifica todas as opções de um mesmo ativo subjacente de acordo com o
modelo de Black & Scholes. A opinião consensual é que o modelo serve razoavelmente
bem para opções dentro do dinheiro (at the money – ATM), com um ou dois meses para
o vencimento. Para outras opções, contudo, as discrepâncias entre o mercado e os
preços de Black & Scholes são grandes e sistemáticas. Estudos empíricos mostram uma
dependência sistemática das volatilidades implícitas com o preço de exercício e com o
tempo para o vencimento (Dumas, Fleming & Whaley 1996, 1998; Jackwerth, 1996;
Bates, 1996). A variação da volatilidade implícita com o vencimento é chamada de
estrutura a termo da volatilidade implícita, enquanto que a variação da volatilidade
implícita com o preço de exercício é referenciada como sorriso (smile) da volatilidade,
termo este que é às vezes usado para fazer referência a ambos padrões de
comportamento.
Sequer falar sobre sorriso da volatilidade é algo que pode parecer um absurdo. Em
primeiro, uma volatilidade constante é premissa do modelo; então, calculam-se várias
diferentes volatilidades para um mesmo ativo subjacente. Uma vez que o modelo de
Black & Scholes é rejeitado, volatilidades implícitas calculadas a partir dele não têm
significado real e, naturalmente, não deveriam mais ser interpretadas como verificação
16
de volatilidade do ativo subjacente. O fenômeno verdadeiro a respeito do sorriso da
volatilidade é que ou (i) imperfeições de mercado sistematicamente previnem os preços
de se adequarem a seus verdadeiros valores de acordo com Black & Scholes ou (ii) o
processo de preços do ativo subjacente difere de um processo de difusão com
distribuição neutra ao risco lognormal, assumido pelo modelo de Black & Scholes.
O sorriso da volatilidade é simplesmente um modo conveniente de ilustrar essa
observação que provavelmente desenvolveu-se por acidente histórico, motivado pelo
fato de que os operadores de opções cresceram acostumados a pensar em negociar em
termos de volatilidades implícitas de Black & Scholes.
Dentre os estudos que documentam o sorriso da volatilidade, o mais sistemático e
completo foi o realizado por Rubinstein (1985). Seu resultado mais robusto é que para
ações bem fora do dinheiro (out-of-the-money – OTM) a volatilidade implícita é
sistematicamente mais elevada para opções com vencimento mais próximo. Seus outros
resultados são estatisticamente significativos, mas mudam de acordo com o sub-período
analisado. Ele dividiu a amostra em dois sub-períodos: Período I de 23/08/1976 a
21/10/1977, e Período II de 24/10/1977 a 31/08/1978. Para calls (opções de compra) ele
observou que no Período I as volatilidades implícitas de opções com menores prazos
para o vencimento eram mais elevadas que as mais distantes do vencimento, mas o
resultado foi oposto no Período II. Além disso, no Período I, as volatilidades implícitas
eram mais elevadas para opções com preços de exercício menores, mas mais uma vez o
resultado foi o oposto no Período II. Assim, desvios sistemáticos do modelo de Black &
Scholes parecem existir, mas os padrões de desvios variam com o tempo.
17
Estudos subseqüentes feitos por Sheikh (1991) e por Heynen (1994) usam os testes
não paramétricos de Rubinstein para examinar padrões de volatilidade implícita em
opções de índice. Sheik encontrou efeito sorriso usando dados de calls do OEX de
março de 1983 a março de 1987. Ele observou que smiles constituem evidências contra
o modelo de Black & Scholes e a favor de um modelo de precificação de opções que
incorpore volatilidade estocástica. Heyken examinou a volatilidade implícita de opções
sobre o índice EOE, que são opções européias sobre um índice de 25 ativos bem
negociados na Amesterdam Stock Exchange. Usando a abordagem de Rubinstein e
dados de negociação de 23/01/1989 a 31/10/1989, ele encontrou efeitos sistemáticos do
smile, incluindo uma forma em U da estrutura a termo da volatilidade implícita.
Muitos outros autores acharam evidências de sorriso da volatilidade e estrutura a
termo das volatilidades implícitas nonflat (não constante), como Hodges (1996) e
Avallenda & Zhu (1995). Em muitos casos a volatilidade implícita apresenta um
mínimo no valor ATM (quando KSt = ) e tem uma forma convexa, justificando o nome
“smile” (Jackwerth, 1996; Potters, Cont & Bouchaud, 1998). Contudo, este não é
sempre o caso. A volatilidade implícita em gráfico como função do preço de exercício
K assume várias formas. Alguns destes padrões alternativos, bem conhecidos pelos
operadores de mercado, são documentados por Dumas, Flemig & Whaley (1996, 1998).
Alguns autores procuram entender a existência das variações da volatilidade com o
vencimento e preço de exercício. Dennis & Mayhew (1998) investigam a importância
relativa de vários fatores que possam explicar a existência do smile nos preços de
opções sobre ativos individuais na CBOE. Em primeiro eles verificam que, na média, o
coeficiente angular do sorriso da volatilidade é ligeiramente negativo, mas não tão
18
acentuado quanto do smile observado no índice de opções sobre o S&P500. Em
segundo, eles percebem que ações que têm betas maiores tendem a ter smiles mais
acentuados, bem como ações pequenas. Em terceiro, o smile tende a ser mais
negativamente inclinado para as ações mais negociadas. Em quarto, a profundidade do
smile sobre o índice S&P500 é significativamente relacionada ao índice put/call
volume, e não a qualquer outra medida de sentimento de mercado. Em quinto, eles
percebem que o índice put/call deve exercer algum papel em explicar o sorriso da
volatilidade sobre ações individuais, mas o sinal estimado do efeito não é robusto em
toda a amostra. Por último, ao contrário de previsões de modelos baseados em
alavancagem, empresas com mais alavancagem parecem apresentar smiles mais suaves.
Ederington & Guan (2000), usando dados de opções sobre índices, testam e rejeitam a
hipótese de que o smile sobre índice de opções é totalmente causado por premissas de
distribuições desapropriadas dado o modelo de Black & Scholes. Se o verdadeiro smile
é plano, então uma estratégia de negociação, na qual se compram opções com baixa
volatilidade implícita e se vendem opções com alta volatilidade implícita, não deveria
ser lucrativa, mesmo sem se levar em consideração custos de transação. Contudo, eles
constatam que tal estratégia gera ganhos substanciais, sem considerar custos de
transação. Além do mais, esses lucros variam de acordo com a previsão do modelo de
Black & Scholes, enquanto eles não deveriam, se o verdadeiro smile fosse plano. Seus
cálculos sugerem que, grosso modo, metade do efeito sorriso observado no mercado de
opções sobre índice de ativos é devido a um verdadeiro efeito sorriso. Eles argumentam
que o verdadeiro sorriso persiste apesar dos lucros substanciais antes dos custos de
transação, porque ao se manter o nível de risco do portfólio original, necessitam-se de
constantes rebalanceamentos, os quais consomem boa parte dos lucros.
19
Conseqüentemente, os autores alegam que o efeito sorriso não é uma evidência de
ineficiência de mercado.
Dumas, Fleming & Whaley (DFW) (1996, 1998) testam a performance predicativa e
de hedge de modelos que assumem a volatilidade como uma função determinística. Em
seu artigo, eles aplicam esta abordagem para precificar opções sobre o índice S&P500
durante o período de junho de 1988 a dezembro de 1993.
Dumas, Fleming & Whaley (1996,1998) propõem o uso de uma simplificação que
conserva a essência dos modelos de árvores implícitas e evita as dificuldades empíricas
destes modelos. As quatro especificações testadas pelos autores são as seguintes:
( );a%,1Max 0=σ 2.9
( )2210 KaKaa%,1Max ++=σ 2.10
( )KTaTaKaKaa%,1Max 432
210 ++++=σ 2.11
( )KTaTaTaKaKaa%,1Max 52
432
210 +++++=σ 2.12
Os autores especificam diretamente formas funcionais simples para a função de
volatilidade implícita sobre as variáveis preço de exercício K e maturidade T . Nesta
20
especificação o modelo de Black & Scholes é um caso particular em que os coeficientes
das funções são nulos com exceção da constante4.
Da mesma forma, coeficientes significativos permitem o ajuste ao smile e à estrutura
a termo da volatilidade, caso existam. Os autores mostram que especificações
relativamente parcimoniosas são capazes de gerar preços bastante próximos aos
observados. Uma diferença na proposta de DFW é que ao invés de estimar os
parâmetros destas equações através da minimização da soma dos erros ao quadrado
entre os preços gerados com esta função na árvore e os valores observados no mercado,
estas funções serão estimadas de acordo com o sorriso da volatilidade implícita, bem
como sua estrutura a termo, caso exista, observadas a cada dia.
Eles chegam às seguintes conclusões: em primeiro, embora haja uma flexibilidade
ilimitada em se especificar uma função para a volatilidade que seja sempre capaz de
descrever exatamente a estrutura observada dos preços das opções, seus resultado
indicam que um modelo mais parcimonioso funciona melhor de acordo com seu índice
de ajuste; em segundo, quando a função de volatilidade ajustada é usada para precificar
as opções na semana seguinte, os erros de previsão dos modelos de função de
volatilidade determinística tornam-se maiores na medida em que a função de
volatilidade torna-se menos parcimoniosa; e em terceiro, os índices de hedge
determinados pelo modelo de Black & Scholes parecem ser mais confiáveis que aqueles
obtidos a partir de modelos com funções de volatilidade determinística.
4 A especificação da função como o “máximo entre 1% e uma função determinística” é sugerida pelos autores apenas para assegurar volatilidades positivas. O 1% é arbitrário.
21
Tompkins (1998) olha para as funções de volatilidade implícita de uma maneira
diferente, separando os impactos do nível de volatilidade implícita e concentrando-se
em formas relativas das superfícies de volatilidade implícita. Este autor argumenta que
Dumas, Fleming & Whaley (1996,1998) devem estar corretos ao dizer que os níveis de
volatilidade implícita hoje (e de acordo com os strikes) não fornecem informações
relevantes sobre o futuro nível da volatilidade implícita. Contudo, segundo sua pesquisa,
Tompkins (1998) demonstra que este resultado pode estar ocorrendo devido a processos
de volatilidade estocástica. A partir do exame de superfícies de volatilidade implícita de
dezesseis mercados de opções diferentes (índice de ações, bonds, câmbio e contratos
futuros), ele demonstra a existência de consistência na forma de superfícies de
volatilidade para opções de mesma classe de ativo subjacente. De acordo com sua
abordagem, a maior parte (de 80 a 97%) da variância nas superfícies de volatilidade
implícita nos dezesseis mercados de opções foi explicada. A consistência entre os
modelos e a estabilidade ao longo do tempo devem sugerir que os participantes do
mercado estão usando algoritmos similares para ajustar os preços das opções
diferentemente dos valores sugeridos pelo modelo de Black & Scholes, e também
devem estar usando algoritmos similares para diferentes mercados de opções.
Em outro trabalho, Tompkins (2001) examina a natureza de processos de dispersão,
os quais podem ser observados em contratos futuros em quatro índices de ações.
Visando capturar as formas não normais e a interdependência dos processos de
dispersão empíricos, o autor identifica sete atributos. Com esses atributos para cada um
dos quatro mercados são examinados dois modelos alternativos de volatilidade
estocástica. Ele percebe que os mercados são melhor compreendidos com um modelo
que assuma que o processo do preço siga um processo gaussiano normal inverso
22
(“Normal Inverse Gaussian” – NIG) e que o processo estocástico da volatilidade seja
negativamente correlacionado com o processo NIG.
Baseado em uma parametrização ótima desse modelo, Tompkins (2001) calcula
numericamente os preços das opções em cada um dos mercados. Para todos os
mercados esse modelo de precificação tende a aumentar os preços de opções com
preços de exercício mais baixo e diminuir os valores de opções ATM e com altos
strikes.
Em seguida o autor expressa os preços das opções consistentes com seu modelo de
acordo com uma superfície de volatilidade implícita e compara com a verdadeira
superfície de volatilidade implícita de acordo com os preços observados no mercado.
Enquanto a superfície de volatilidade implícita simulada apresenta alguns pontos
similares com a real, observam-se algumas diferenças que são similares para os quatro
mercados. Para todas as superfícies os preços reais têm volatilidades implícitas maiores
do que os preços de opções consistentes com o modelo. Assim, o autor rejeita a hipótese
de que os modelos de volatilidade estocástica propostos sejam capazes de explicar a
existência do smile.
De maneira similar, Papanicolaou & Sircar (1998) estudam os problemas de
precificação e hedging de opções sobre ativos cujas volatilidades sejam estocásticas.
Novas fórmula assintóticas, válidas quando a volatilidade tem um pequeno componente
estocástico ou flutua em diferentes escalas de tempo, fornecem descrições detalhadas da
geometria das curvas de volatilidade implícita e são efetivas para a interpolação de
volatilidades implícitas observadas, ou como uma ferramenta para identificação de
parâmetros.
23
A utilidade de se separar as escalas de tempo nas quais os processo distintos do preço
e da volatilidade flutuam, permitem aos autores apresentar uma nova abordagem para a
modelagem de volatilidade estocástica, partindo-se de uma PDE, tal qual em Black &
Scholes (1973), com um coeficiente de volatilidade aleatório. Isso leva a uma
aproximação, que é o preço de acordo com Black & Scholes (1973) mais uma variável
gaussiana aleatória, que quantifica o risco da incerteza sobre a volatilidade. Eles
caracterizam, em particular, o risco ao precificar e hedgiar certas bandas que satisfazem
uma PDE e dependem somente da média e poder do espectro da densidade do processo
de volatilidade. A robustez em relação a outros modelos foi medida de acordo com o
ajuste ao smile observado no mercado.
Dando continuidade ao estudo de Dumas, Fleming & Whaley (1996,1998), os quais
fornecem evidências de que a função de volatilidade determinística muda
semanalmente, Rosenberg (2000) propõe uma nova classe de funções – Funções de
Volatilidade Implícita Dinâmica (DIVF)5 – que buscam contornar os problemas das
funções de volatilidade implícita, propiciando avaliação e hedging consistentes na
presença de funções de volatilidade implícita variantes no tempo. Em outras palavras, a
DIVF busca conciliar o ajuste das IVF com uma estrutura de dependência temporal para
as volatilidades. Assim, a DIVF modela separadamente (i) uma função de volatilidade
implícita relativa invariante no tempo e (ii) um processo para as volatilidades implícitas
ATM que governam as variações do nível da função relativa (i).
5 Do inglês Dynamic Implied Volatility Function.
24
A função da volatilidade implícita relativa usada por Rosenberg (2000), e definida
anteriormente por Tompkins (1995), onde o subscrito i refere-se ao ponto do cross
section dos preços de exercício para uma determinada data, foi a seguinte:
−=
T
1SK
fATMt
treli σ
σ 2.13
Esta equação faz uso de uma definição de moneyness em desvios padrão, a qual será
referida como moneyness padronizada. Esta definição tem a vantagem de normalizar a
moneyness tanto de acordo com o tempo para o vencimento, como para a volatilidade,
simultaneamente.
Quanto ao processo que rege a volatilidade implícita da “at-the-money”, a
especificação proposta pelo autor inclui uma constante, que capta a volatilidade de
longo prazo à qual o processo reverte, a primeira defasagem da volatilidade implícita e
um termo que capta o efeito assimétrico dos retornos negativos sobre a volatilidade. O
termo do efeito assimétrico, como cita o autor, é sugerido pelo trabalho de Engle & Ng
(1993), que encontraram nesta especificação uma performance superior na modelagem
da volatilidade. Assim, tem-se o segundo componente da função:
)r,0(Max tATM
1tATMt −++= − γασωσ 2.14
Finalmente, a volatilidade implícita ajustada pela DIVF será calculada através do re-
escalonamento da previsão de volatilidade ATM para as características específicas do
contrato e do momento pela função de volatilidade relativa (2.13). Chega-se, então, a
função de volatilidade dinâmica:
25
( )1relt,i
ATMit,i += σσσ 2.15
Seus testes, baseados na história das opções sobre o futuro de S&P500, mostram que
as funções de volatilidade implícita dinâmicas superam os modelos com funções de
volatilidade implícita determinística constante. A performance é ligeiramente superior
aos modelos que atualizam continuamente as funções de volatilidade implícita
deteminística. Contudo, uma significativa vantagem dos modelos de função de
volatilidade implícita dinâmica é que ele explica o comportamento dos preços das
opções de uma maneira internamente consistente. Isto é especialmente válido dado a
natureza parcimoniosa do modelo de função de volatilidade implícita dinâmica.
Buraschi & Jackwerth (1997) também estudam as implicações dinâmicas dos
modelos que usam funções de volatilidade determinística. De uma maneira geral os
autores alegam que seus achados indicam que uma importante dimensão da dinâmica
dos preços de opções, que é relevante para estratégias de hedge dinâmico, não é
capturada por modelos com função de volatilidade determinística. Como uma
implicação prática, eles sugerem que os modelos necessitam incorporar fatores de risco
adicionais para precificar opções exóticas, formar portfólios e construir estratégias de
gerenciamento de portfólio de maneira eficiente.
Coleman, Kim, Li & Verma (1999) comparam a performance de hedge dinâmicos,
em um mercado que apresenta smile, entre o método de volatilidade constante, o
método de volatilidade implícita e o método de função de volatilidade, função esta
determinada de acordo com o nível do ativo subjacente e do tempo de acordo com
Coleman, Li & Verma (1998). Com o exemplo sintético de uma opção européia, eles
26
demonstram que o método de função de volatilidade gera parâmetros de hedge
significativamente mais acurados, bem como menores erros de hedge. Usando dados do
mercado de opções sobre o índice futuro S&P500 e protegendo-se contra movimentos
do preços futuros, o método de função de volatilidade foi mostrado como o de melhor
performance, quando comparado com os métodos de volatilidade constante e implícita.
Carr & Madan (1997)6 discutem três estratégias de negociação envolvendo o risco da
volatilidade. O primeiro é de uma posição estática em opções, o segundo é uma
estratégia de delta-hedging e a terceira é a aposta direta na volatilidade com auxílio de
swaps. Eles alegam que, de acordo com certas premissas, pode-se precificar e hedgiar
determinados contratos de volatilidade sem especificar o processo da volatilidade.
Visando entender melhor a dinâmica das superfícies de volatilidade implícita, Cont &
Fonseca (2002) usam séries temporais de preços de opções sobre os índices S&P500 e
FTSE. Eles estudam as deformações de suas superfícies de volatilidade e mostram que
elas podem ser representadas por uma superfície aleatória flutuante definida por um
pequeno número de fatores ortogonais aleatórios. Eles identificam e interpretam a forma
de cada um destes fatores, estudam sua dinâmica e sua correlação com o índice
subjacente. Sua abordagem é baseada em uma decomposição de Karhunen-Loève das
variações diárias da volatilidade implícita obtidas de dados de mercado. Assim, eles
propõem um modelo de fator simples e ilustram como esta abordagem modela e
melhora as regras já conhecidas e utilizadas pelos operadores de opções para atualizar a
volatilidade implícita. Sua abordagem ainda dá justificativas para o uso do Vega para
6 Veja também Carr, Levis & Madan (2000)
27
medir o risco de volatilidade e fornece uma decomposição do risco de volatilidade como
a soma da contribuição de fatores empiricamente identificáveis.
Reisman (2001) assume que a volatilidade implícita das opções com um determinado
vencimento é uma função quadrática da moneyness. Os coeficientes desta função
quadrática (o smile) são dependentes do tempo e estocásticos. Em seu trabalho, o autor
deriva parâmetros de exposição do preço da opção para uma mudança local em cada um
dos coeficientes do smile, bem como um fórmula aproximada para seu valor ajustado ao
risco. Ambos são importantes ao se gerenciar a exposição do preço de um portfólio de
opções a mudanças nos coeficiente do smile.
Uma vez que se tem a superfície de volatilidade implícita, pode-se obter a superfície
de volatilidade local. Derman, Kani & Zou (1995) apresentam em seu trabalho uma
excelente explicação sobre o conceito de volatilidade local, fazendo uso, por exemplo,
da uma analogia com a estrutura a termo da taxa de juros. Além disso, eles dão
exemplos práticos de sua aplicação e propõem três heurísticas para se entender a relação
entre volatilidade local e volatilidade implícita. Em essência, seu modelo permite a
extração da volatilidade local de um índice em todas as datas futuras e níveis de
mercado, através de informações obtidas no mercado. Eles usam essas volatilidades
locais em mercados com smile acentuado para medir o sentimento (tendência) do
mercado de opções, para calcular a evolução das volatilidades implícitas de opções
padrões, para precificar opções sobre índices e para precificar e hedgiar opções
exóticas. Os autores mostram que, em mercados com efeito sorriso acentuado, todos
seus resultados apresentam grandes discrepâncias dos resultados obtidos pela
abordagem de Black & Scholes.
28
Crouhy & Galai (1995) também lidam com a questão de se hedgiar com a presença
de uma estrutura a termo de volatilidade. A questão levantada pelos autores é se os
parâmetros de hedge deveriam refletir a variância instantânea, a variância média durante
a vida da opção como no modelo de Black & Scholes (1973), ou uma combinação de
duas medidas de volatilidade. Em seu artigo, os autores mostram que, para opções cujo
ativo subjacente siga um processo com independência de caminho, os valores das
opções dependem somente da volatilidade média, enquanto que os parâmetros de hedge
dependem também do caminho da volatilidade futura. A sensibilidade dos parâmetros
de hedge da volatilidade de curto prazo depende do grau de moneyness da opção. Eles
mostram que isso é um problema mais sério para opções de curto prazo do que para as
de longo prazo. Embora estes autores não tenham lidado diretamente com a questão da
volatilidade local, seu entendimento acerca da sensibilidade da volatilidade é muito
similar aos apresentados por Derman, Kani & Zou (1995).
Um dos métodos de se obter a superfície de volatilidade local é através da construção
de árvores implícitas. Derman & Zou (1996) apresentam um método pseudo-analítico
para se extrair a superfície de volatilidade local a partir dos preços de opções negociadas
que apresentem o efeito sorriso. Eles mostram que a superfície de volatilidade local
obtida via simulação de Monte Carlo reproduz com razoável acurácia os preços das
opções que forneceram o smile.
Uma outra metodologia para a obtenção da superfície de volatilidade local é proposta
por Carr & Madan (1998). Fazendo uso somente do efeito sorriso observado em uma
única data de vencimento T e a premissa de independência de caminho, os autores
determinam analiticamente o processo do preço do ativo neutro ao risco, bem como a
29
superfície de volatilidade local para um horizonte arbitrário T'T ≥ . Sua premissa de
independência de caminho requer que cada valor futuro do preço do ativo St seja uma
função somente do tempo t e do nível tW , movimento browniano padrão (“Standard
Brownian Motion” – SBM) para todo )'T,0(t ∈ . Usando os preços de opções com
vencimento em T , Carr & Madan (1998) identificam essa função do preço da ação e
com isso determinam analiticamente o processo neutro ao risco para o preço do ativo
subjacente. Sua premissa de independência de caminho também implica que a
volatilidade local é uma função do preço do ativo e do tempo, a qual pode ser
representada explicitamente em termos da função conhecida de precificação do ativo
subjacente. Por fim, os autores desenvolvem fórmulas de precificação analíticas tanto
para opções simples, bem como para opções exóticas que sejam consistentes com o
smile observado no vencimento T .
Laurent & Leisen (1998) também partem dos preços das opções negociadas no
mercado para inferir o processo de evolução do ativo neutro ao risco. Eles consideram a
questão de que somente dados discretos de preços de opções são observados no
mercado e assumem que os preços dos ativos descontados seguem uma cadeia de
Markov. Eles provam que a existência de tal cadeia de Markov é equivalente à condição
de que os preços das opções são decrescentes e convexos com o preço de exercício e
crescentes com a data de vencimento.
Mais uma vez, fazendo uso de um modelo de precificação de opções de volatilidade
determinística e de diferença finita, Bodurtha & Jermakyan (1996) propõem um método
não paramétrico para a estimação da superfície de volatilidade implícita. Uma condição
30
que eles impõem, é que esta superfície seja suave. Para tal, entretanto, os autores
reconhecem que seu modelo tem um custo computacional bastante elevado.
Uma abordagem bastante interessante para lidar com a questão da incerteza acerca da
volatilidade, é a proposta por Avellaneda, Levy & Parás (1995). Eles apresentam um
modelo de precificação e hedge de derivativos onde a volatilidade não é conhecida
precisamente, mas, entretanto, assume-se que ela esteja compreendida entre dois valores
extremos minσ e maxσ . Esta banda pode ser inferida a partir de valores extremos de
volatilidade implícita de opções líquidas, ou dos picos para cima e para baixo de
volatilidade histórica do ativo ou de volatilidade implícita, que pode ser interpretada
como se estivesse definindo um intervalo de confiança para volatilidades futuras. Os
autores mostram que este modelo captura a importância da diversificação em se
gerenciar posições de derivativos. O modelo também pode ser usado sistematicamente
para construir hedges eficientes, usando-se outros derivativos conjuntos com o ativo
subjacente.
Paralelamente ao surgimento de tantos modelos que tentaram considerar uma
volatilidade não constante, apareceram na literatura trabalhos que procuram verificar
sua performance. Bates (1995), discute as técnicas empíricas empregadas ao se testar os
mais diversos modelos de precificação, e resume as principais conclusões encontradas
na literatura. Seu artigo dá especial foco a três categorias de opções financeiras: opções
sobre ações, opções sobre índices de ações e seus futuros, e opções sobre moeda e seu
futuro. Os testes de consistência entre séries de opções e tempo são divididos pelo autor
em duas categorias: aquelas que estimam parâmetros da distribuição a partir de séries
temporais e examinam as implicações para os preços das opções, e aquelas que estimam
31
parâmetros específicos ao modelo, implícitos nos preços das opções, e testam a previsão
da distribuição para a série de tempo subjacente. Eles concluem que estes tipos de
estudos ainda são muito recentes e que os preços das opções indicam um surgimento de
um fenômeno interessante que vale a pena ser modelado e testado contra a série
temporal dos preços do ativo subjacente. Mudanças na volatilidade esperada e
fenômenos de maior ordem estão implícitos nos preços das opções; se eles são
subseqüentemente realizados pelo ativo subjacente carece de mais investigações.
Flutuações nos vieses de moneyness ao longo do tempo sugerem a necessidade por
modelos com assimetria variável no tempo.
Corrado & Su (1997) usam o modelo de Hull & White (1988) de volatilidade
estocástica para analisar o processo estocástico do índice S&P500 dados os preços de
opções sobre o mesmo. Eles mostram que os parâmetros obtidos pela estimação do
processo de volatilidade estocástica podem ser usados para gerar previsões confiáveis
um dia à frente da relação entre preços das opções e o nível do índice.
Bakshi, Cao & Chen (1997) desenvolvem um modelo de precificação de opções que
admite volatilidade estocástica, taxa de juros estocástica e saltos aleatórios. Eles
mostram que esta fórmula fechada de precificação de opções é implementável na
prática, levando a taxas de hedge analíticas, contendo, ainda, muitas fórmulas de opções
como caso especial. Esta última característica tornou viável o estudo empírico de
performance relativa entre vários modelos.
De acordo com suas evidências empíricas, Bakshi, Cao & Chen (1997) apontam a
volatilidade estocástica como sendo o primeiro fator a ser levado em consideração para
se obter uma melhora em relação ao modelo de Black & Scholes (1973). Ao adicionar-
32
se saltos ao modelo, bem como taxa de juros estocástica melhoram-se as precificações
de opções com vencimento de curto e longo prazo, respectivamente. Objetivando-se
taxas de hedge, entretanto, a incorporação tanto de saltos como de taxa de juros
estocástica não parece melhorar ainda mais o modelo de volatilidade estocástica.
Arnold (2001), usando um procedimento de estimação de método generalizado de
momentos (“Generalized Method of Moments” – GMM) e fazendo cuidadosas
considerações sobre viéses existentes em literaturas anteriores, estima parâmetros para
um modelo de precificação de opções baseado em um processo estocástico de difusão
de saltos. Quando comparado a um modelo de volatilidade estocástica, o modelo de
saltos é mais robusto, mas nem sempre é o modelo superior.
Um pouco diferente fizeram Joundeau & Rockinger (1997). Em vez de analisarem
diferentes modelos, eles analisam as SPD obtidas por diferentes metodologias. Para tal,
eles implementam vários métodos para obter as densidades neutras ao risco. Estes
métodos variam dos não estruturais (como o caso de mistura de lognormais) aos
modelos totalmente estruturados (modelos de difusão de saltos e volatilidade
estocástica). Os autores também implementam métodos baseados em expansões de
Gram-Charlier e Edgeworth.
Como primeiro passo, eles comparam estes vários métodos em duas datas. A primeira
data corresponde a um mercado calmo, enquanto que segunda a um mercado mais
turbulento. Jondeau & Rockinger (1997) percebem que todos os modelos geram SPD
que diferem significativamente da lognormalidade usada como referência. Em relação à
estabilidade e velocidade de estimação, eles notam que os modelos de mistura de
lognormais e volatilidade estocástica requerem certo nível de correção/adaptação de
33
alguns parâmetros para continuar a estimar os demais, o que resulta em um
procedimento bem mais lento. Os demais métodos convergem rapidamente e geram
resultados mais estáveis.
Esses autores ainda vêem que os modelos diferem no que diz respeito à habilidade de
capturar as grandes assimetrias existentes nos dados. Em particular, os modelos de
aproximações polinomiais e volatilidade estocástica têm dificuldades com esta questão.
Em seguida, eles comparam os vários métodos ao longo do tempo, usando como critério
o erro relativo absoluto. Constatam, então, que o modelo de mistura de lognormais atua
bem em opções de curto prazo e que os modelos de difusão de saltos superam todos os
demais modelos para opções de longo prazo.
2.4 DISTRIBUIÇÕES IMPLÍCITAS
A evidência empírica dos pontos mencionados anteriormente aponta para uma
refutação do modelo de precificação de opções de Black & Scholes, exigindo uma
explicação satisfatória. Se a SPD não é lognormal, então não há razão para crer que um
único parâmetro, a volatilidade implícita, seja capaz de representar adequadamente toda
a informação contida nos preços das opções.
O acesso a grande bancos de dados de preços de opções de mercados organizados
adiciona uma dimensão complementar aos dados obtidos a partir de pesquisas empíricas
em finanças. Enquanto séries de informação no tempo fornecem apenas uma observação
por data, os preços de opções contêm toda uma gama de preços para cada vencimento e
cada preço de exercício, permitindo uma visão mais rica das variáveis de mercado.
34
Em teoria, a informação contida nos preços das opções reflete-se totalmente na
compreensão e especificação de toda a SPD q 7. Isso tem levado ao desenvolvimento de
novas metodologias que, a partir de uma base de dados de preços de opções, pesquisam
uma SPD q tal que a equação (2.6) seja válida no mercado. Tal distribuição q é
chamada de distribuição implícita, por analogia com a volatilidade implícita. Se for
considerada a premissa de ausência de possibilidades de arbitragem, a noção de
distribuição implícita coincide com o conceito de SPD definido acima. Mas mesmo que
não se adote este ponto de vista, a distribuição implícita ainda contem importantes
informações sobre o mercado.
2.4.1 Estimação da SPD
Dado que todos os preços de opções podem ser expressos em termos de uma única
função, a SPD q , pode-se imaginar procedimentos estatísticos para extrair q a partir de
uma base dados suficientemente grande de preços de opções. Diferentes métodos,
alguns bastante sofisticados, têm sido propostos para alcançar este objetivo. Cont (1997)
fornece a base para o contexto de classificação destes diferentes métodos em: expansão,
não paramétricos e paramétricos. Porém será usada uma categorização ligeiramente
diferente, sugerida por Jackwerth (1999), dado que as duas extensões básicas de
distribuições lognormais visam ou achar distribuições paramétricas mais flexíveis ou
tentar métodos não paramétricos.
7 Veja Bahra (1997) para maiores detalhes
35
Cada um destes métodos será analisado um pouco melhor a seguir, fazendo-se
distinção entre as possíveis subramificações
2.4.1.1 Métodos Paramétricos
Os métodos paramétricos podem ser divididos em três grupos:
1 - métodos de expansão: começam com uma distribuição básica e adicionam
correções, visando tornar o modelo mais flexível.
2 - métodos de distribuição generalizada: apresentam distribuições mais
flexíveis com parâmetros adicionais além dos dois parâmetros das
distribuições normal e lognormal.
3 - métodos de mistura: criam novas distribuições a partir da mesclagem de
distribuições mais simples.
Os métodos de expansão são, em conceito, relacionados à expansão de uma função de
uma série de Taylor ao redor de um ponto. Esses métodos aproximam a SPD através de
uma expansão em série que é truncada a partir de uma determinada ordem em que a
contribuição marginal possa ser considerada desprezível. Então, calibram-se os
parâmetros da expansão aos preços das opções observados no mercado.
De maneira geral, a aproximação pode ser escrita da seguinte forma:
( ) ( ) ( )∑∞
=+=≤−
1kkk0tT xPxPxSSP µ 2.16
36
O primeiro termo da expansão 0P corresponde ou à distribuição lognormal ou à
normal. Os termos seguintes podem então ser considerados como correções sucessivas
às aproximações lognormal ou normal, visando prover o modelo de maior flexibilidade.
A série é então truncada, resultando em uma aproximação paramétrica da SPD, a qual,
caso seja tratada analiticamente, permite a obtenção de expressões explícitas para preços
de opções.
A vantagem deste modelo reside no fato de sua maior flexibilidade possibilitar a
incorporação dos fatos já mencionados. Por outro lado, há uma grande preocupação com
esta classe de modelos. Algumas aproximações finitas podem levar à obtenção de
probabilidades negativas nas caudas extremas. Este fato não faz com que o modelo se
torne dispensável. Ele apenas não é apropriado para a precificação de opções muito fora
ou dentro do dinheiro (OTM ou ITM). Nestes casos o modelo precisa ser recalibrado.
Abadir & Rockinger (1997) usam funções hipergeométricas confluentes como base
para sua densidade neutra ao risco e derivam uma fórmula fechada para o preço de
opções que incorpore o smile. Abken, Madan & Ramaumurtie (1996) usam polinômios
de Hermite com quatro parâmetros. Esses polinômios são relacionados a sucessivos
derivativos observados na SPD e fornecem quatro termos de correção para a
distribuição normal.
Usando os mesmos polinômios, mas com restrições a alguns dos coeficientes,
Jondeau & Rockinger (1998) e Corrado & Su (1997) restringem sua atenção à classe de
expansão de Gram-Charlier. Jondeau & Rockinger (1998) ainda fornecem um algoritmo
37
que força os coeficientes, que são baseados nos momentos da distribuição normal, a
permanecerem dentro da região que garanta probabilidades positivas.
Brenner e Eom (1997) usam polinômios de Laguerre, que são correções à distribuição
gama. Como um benefício principal, os autores notam que a SPD aproximada tem
momentos não viesados.
Jarrow & Rudd (1982), Corrado & Su (1996), Longstaff (1995), e Rubinstein (1998)
usam expansões de Edgeworth. Aqui, a distribuição base (lognormal, lognormal,
normal, e binomial, respectivamente) é acrescida de termos de correções que
sucessivamente alcançam os quatros primeiros momentos. Esses momentos” são
fortemente relacionados com os momentos da distribuição implícita. Os autores, então,
procuram por um conjunto de momentos que proporcione o melhor ajuste entre os
preços de opções observados e os preços de opções baseados na SPD expandida.
Quem também usa a expansão de Edgeworth são Flamouris & Giamouridis (2000) e
Giamouridis & Tamvakis (2001). Eles apresentam uma nova metodologia para extrair
distribuições implícitas dos preços de opções americanas. É a primeira vez que se usa a
expansão de Edgenworth para obter informações de opções americanas. Este método
pode gerar distribuições com forma bimodais, uma típica característica das distribuições
que pertencem à família de mistura de duas distribuições lognormais. O método
proposto, contudo, é mais parcimonioso, exigindo a estimação de apenas quatro
parâmetros, quando no caso de mistura de duas lognormais seriam necessários seis. Essa
vantagem mostra-se significativa em mercados onde o número de opções com strikes
diferentes, negociadas com razoável liquidez, é relativamente pequeno.
38
Potters, Cont & Bouchaud (1998) usam expansão “cumulant” para adicionar um
simples termo de correção à distribuição normal, o qual busca ajustar a curtose da SPD.
Trata-se de uma escolha de certa forma atípica, uma vez que a maioria dos autores
busca corrigir pelo menos a assimetria. Eles são capazes de expressar sua correção
através da adição de um termo quadrático à função de volatilidade implícita que
incorpore o smile.
O método de distribuições generalizadas usa distribuições que sejam capazes de
incorporar mais flexibilidade, as quais tendem a ter um ou dois parâmetros adicionais
além dos dois parâmetros das distribuições normal e lognormal. Distribuições
generalizadas freqüentemente incorporam diferentes distribuições mais comuns, dado
um conjunto específico de entrada para seus parâmetros.
Aparicio & Hodges (1998) usam funções de beta generalizado de segunda ordem.
Esta família de distribuição, com quatro parâmetros, foi explorada primeiramente por
Bookstaber & McDonald (1987) e incorporam vários tipos de distribuições, tais como
lognormal, gama, exponencial, diversos tipos de distribuições de Burr e outras.
Sherrick, Garcia & Tirupattur (1996) usaram a distribuição de Burr III em contratos
futuros de olho de soja de 1988 a 1991 obtidos da CBT. Posner e Milevsky (1998) usam
a família das distribuições de Johnson.
O método de mistura obtém grande flexibilidade ao lidar com diferentes
probabilidades de diversas distribuições simples, cada qual com uma parametrização
distinta. Um problema com misturas é que o número de parâmetros cresce rapidamente.
Por exemplo, ao misturar três distribuições lognormais, fica-se com oito parâmetros.
Dois parâmetros são usados para cada uma das distribuições e duas outras
39
probabilidades são adicionadas, com a restrição de que elas somem um. Para o caso
específico de mistura de distribuições lognormais pode-se escrever:
( ) ∑=
−=N
1k k
ktktT
T
SLNwSt,T,Sq
σµ
, ∑=
=N
1kk 1w 2.17
onde ( )xLN é um distribuição lognormal com variância unitária e média r , a taxa de
juros livre de risco. A vantagem de tal procedimento é que o preço de uma opção é
simplesmente obtido como a média de preços de Black & Scholes para diferentes
volatilidades kσ , ponderadas com seus respectivos pesos kw de cada uma das
distribuições da mistura.
Dado que normalmente há apenas alguns poucos preços de opções observáveis para
diferentes preços de exercício, o método de mistura pode facilmente sobrepor os dados.
Mesmo assim, esta metodologia tende a ser ligeiramente mais flexível e é capaz de
gerar uma mais extensa variedade de formas para as distribuições de probabilidade que
as distribuições generalizadas.
Melick & Thomas (1997) usam a mistura de três distribuições lognormais. Eles
aplicam seu método a opções americanas sobre futuro de petróleo. Richey (1990) dá
exemplos de preços de opções onde a SPD dos retornos logaritmos é uma mistura de
distribuições normais.
40
2.4.1.2 Métodos Não Paramétricos
Uma das maiores limitações do modelo de Black & Scholes é que ele se baseia na
forte hipótese de que a distribuição de preços do ativo subjacente assume a forma
lognormal. Os modelos não paramétricos nos permitem evitar este tipo de problema ao
usar métodos estatísticos baseados em poucas premissas sobre o processo que regem os
dados.
Estes modelos tentam obter maior flexibilidade, ajustando a SPD aos preços das
opções observados no mercado. Em vez de demandar uma forma de distribuição
paramétrica, eles permitem funções mais gerais. Mais uma vez, de acordo com
Jackwerth (1999), pode-se dividir estes métodos em três grupos:
1 - regressão por kernel: são, em conceito, relacionados à regressões, nas quais
eles tentam ajustar uma função a dados observados. A grande diferença é que
regressões de kernel não especificam a forma dos parâmetros da função.
2 - métodos de máxima entropia: encontram uma distribuição de probabilidade
não paramétrica, a qual é o mais próximo possível, em termos de conteúdo, a
uma distribuição anterior, ao mesmo tempo em que satisfaz certas restrições,
tais como a precificação correta das opções observadas no mercado.
3 - método de ajuste de curva: trata-se de um método fracamente associado a
métodos que tentam ajustar a volatilidade implícita ou a SPD o melhor
possível com funções bem flexíveis. Uma medida de ajuste comumente
usada é a soma dos quadrados das diferenças entre preços de opções
41
observados no mercado e os preços sugeridos pelo método de ajuste de
curva.
Os métodos de kernel baseiam-se no conceito de que cada ponto (digamos, a
volatilidade implícita para determinado preço de exercício) deveria ser visto como o
centro de uma região onde a função verdadeira poderia estar passando. Quanto mais
longe um ponto está de um ponto observado, tão menos se torna provável que a função
verdadeira passe por aquele ponto distante. Um kernel [ ( )xk ], que freqüentemente é
assumido como sendo uma distribuição normal ( ( ) ( ) 2-0.5xe21/xn π= ), mede a
correspondente queda na semelhança quando se afasta do ponto observado.
Assim, caso se observam as volatilidades implícitas para diferentes preços de
exercício ( )ii Kσ , a regressão de kernel em uma dimensão é da forma:
( )∑
∑
=
=
=n
1i
i
n
1ii
i
h
K-Kh
K-K
K
σσ 2.18
onde h é a banda, a qual rege a precisão da regressão de kernel. Regressões de kernel
costumam requerer muitos dados, limitando seu uso. Além disso, elas tendem a
preencher dados ausentes de uma maneira não intuitiva.
Ait-Sahalia & Lo (1998) desenvolvem uma metodologia que faz uso de regressões de
kernel. Eles se baseiam em um resultado poderoso observado por Breeden &
Litzenberger (1978): se r)T,K,C(St , denota o preço de uma opção de compra, então sua
42
SPD pode ser obtida diretamente através da segunda derivada desta função com relação
ao preço de exercício:
( )2
2t)-r(T
TTt, K
CeSq
∂∂= 2.19
Através de regressões de kernel, Ait-Sahalia & Lo, estimam uma função C do preço
da opção e mostram que, sob algumas condições de regularidade, a segunda derivada
desta função converge para ( )TSq em grandes amostras. Contudo, a convergência é
lenta, tanto pela diferenciação, quanto pelo grande número de parâmetros na função C .
Mais tarde Aït-Sahalia, Wang & Yared (2001) usam este modelo para verificar se os
preços de opções observado no mercado refletem corretamente as probabilidades de
evolução do ativo subjacente. Eles mostram resultados empíricos aplicados sobre o
contrato futuro do índice S&P 500 e notam que as densidades estimadas são bastante
diferentes da Lognormal, apresentando significativa assimetria e curtose
Os métodos de máxima entropia tentam, efetivamente, maximizar a quantidade de
informação insuficiente, dadas as restrições. Ou seja, eles visam o menor prejuízo
possível, tendo em vista a falta de informações. No sentido de implementar tais idéias -
e de certa forma parecido com o ambiente bayesiano - escolhe-se uma distribuição ( iO )
a priori, e em seguida obtém-se a SPD ( iP ) ao maximizar-se a seguinte entropia cruzada
(cross-entropy):
∑
−
i i
ii O
PlnP 2.20
43
sujeita à restrições, tais como probabilidades positivas, soma das probabilidades igual a
um, e correta precificação das opções e do ativo subjacente. Se a distribuição ( iO ),
escolhida a priori, por acaso for a distribuição uniforme, então a entropia cruzada se
reduz a uma simples entropia:
ii
i PlnP∑− 2.21
Buchen & Kelly (1996) usam as distribuições uniforme e lognormal como
distribuições a priori e mostram alguns resultados. Stutzer (1996) deriva a SPD usando
distribuições históricas do retorno do ativo subjacente como distribuição a priori. Ele
restringe a SPD para que somente precifique o ativo subjacente corretamente. Então,
precificando as opções encontra evidências de uma assimetria da volatilidade, a qual
depende principalmente do tamanho da amostra de dados históricos usados para gerar a
distribuição histórica.
Os métodos de ajuste de curva são muito extensos, na medida em que tanto a função
da volatilidade implícita com os preços de exercício, quanto a SPD propriamente é
aproximada por uma função geral. A função envolvida tende a ser flexível e suave.
Dentre os métodos que tentam incorporar o smile, pode-se citar Shimko (1993) como
sendo pioneiro, ao ajustar o smile a um polinômio quadrático. Ele traduziu as
volatilidades implícitas em preços de opções e consegue gerar a SPD a partir da segunda
derivada com relação aos preços de exercício, de acordo com Breeden & Litzenberger
(1978). Ele finalmente incorpora caudas lognormais à SPD.
44
Malz (1997) propõem uma variação deste método, no qual um polinômio quadrático é
ajustado às volatilidades implícitas com seus deltas, ao invés de seus preços de
exercício. Os deltas são as derivadas, de acordo com Black & Scholes, do preço da
opção com o preço do ativo subjacente. O benefício é evitar a presença de caudas na
distribuição. A abordagem de Shimko é aplicada por Brown & Toft (1999) que usam
“splines” de sétima ordem.
Campa, Chang & Reider (1998) usam “splines” cúbicos para incorporar o sorriso da
volatilidade. Rosenberg & Engle (1997) usam um polinômio que se ajusta ao logaritmo
do smile, prevenindo automaticamente volatilidades implícitas negativas. Rosenberg
(1996) estende este método para o caso bivariado. Jackwerth (1999) maximiza a
suavidade do smile, conseguindo, assim, controlar o tradeoff entre ajuste de preço de
opção e suavidade explícita.
Os cálculos envolvidos em ajustar o smile não requerem iterações e podem ser
computados em um passo e em fórmulas fechadas. Eles não garantem, contudo, que as
probabilidades resultantes sejam positivas, condição esta que deve ser checada
separadamente.
O segundo grupo de métodos de ajuste de curva tenta obter diretamente a SPD.
Rubinstein (1994) minimiza a distância de probabilidades discretas para uma
distribuição lognormal definida a priori, sujeita a precificação correta tanto do ativo
subjacente como das opções. Jackwerth & Rubinstein (1996) mostram que as diferentes
maneiras de medir esta distância, tais como, calculando desvios quadrados ou absolutos,
ou mesmo “cross-entropy”, não afetam muito no resultado da SPD, desde que se
observem mais do que poucos preços opções. Jackwerth & Rubinstein (1996) ainda
45
introduzem um novo método que não necessita de uma distribuição a priori. Eles
maximizam a suavidade da SPD, de modo que ela precifique corretamente as opções.
Mayhew (1995) usa a mesma idéia de maximizar a suavidade da distribuição e
aproxima a densidade com “splines” cúbicos.
2.5 ÁRVORES BINOMIAIS IMPLÍCITAS
Uma vez encontrada a distribuição neutra ao risco, a SPD do ativo subjacente, fica a
questão de como o ativo chegou àquela distribuição. Em outras palavras, procura-se
encontrar um modelo de processo estocástico para o preço do ativo que resulte na
mesma distribuição terminal que é implícita a partir dos preços das opções.
Infelizmente, não existe um processo estocástico tão preciso. Além disso, mesmo que
fosse possível saber todas as SPD para as infinitas datas de vencimento futuro, não
haveria um único processo estocástico. A razão para isso é que o preço do ativo evolui
de acordo com ou um processo de difusão, um processo com saltos, ou muitos outros
processos alternativos, que podem incorporar saltos ou ainda outros fatores estocásticos,
tais como taxas de juros estocástica ou volatilidade estocástica.
Neste sentido, a construção de árvores implícitas, as quais se baseiam exclusivamente
em preços de opções observados no mercado, é uma boa metodologia a ser
implementada. Essa abordagem tem a capacidade de criar processo de evolução do
preço do ativo consistente com o smile observado no mercado, sendo, desta maneira,
uma solução mais adequada para a precificação de opções exóticas e extração de
parâmetros de hedge.
46
Neste trabalho será dado enfoque especial para os modelos de construção de árvores
implícitas, apresentando, ainda, alguns outros modelos que procuram incorporar o smile
ao dar preço para as opções. Os modelos serão apresentados respeitando-se até certo
ponto seu surgimento na literatura bem como suas características. De uma maneira geral
podemos classificar o surgimento destes modelos em duas etapas, de acordo com
Skiadopoulos (2001). Em primeiro vieram modelos de volatilidade determinística que
se ajustavam aos preços das opções européias existentes no mercado, foco desta
dissertação. Em seguida, vieram modelos de volatilidade estocástica que eram capazes
de precificar as opções de maneira consistente com o smile observado através da
evolução livre de arbitragem da superfície de volatilidade. Este segundo tipo de
modelos é mais genérico e engloba o primeiro.
Assim, esses modelos buscam identificar mais precisamente se, dado um conjunto de
preços de opções européias para todos os vencimentos e strikes, era possível encontrar
um processo de difusão neutro ao risco para o preço do ativo subjacente do tipo,
ttt
t t)dW,(Sr(t)dtS
dS σ+= 2.22
onde a volatilidade instantânea σ é uma função determinística do tempo e do preço do
ativo.
2.5.1 Dupire (1993, 1994)
O primeiro modelo de volatilidade determinística consistente com o smile,
desenvolvido para o caso de tempo contínuo, foi apresentado por Dupire (1994).
47
Define-se ( )TK,C como o preço de uma opção européia com preço de exercício K e
vencimento em T ; assume-se que exista um contínuo de todas as opções ( )( ) TK,TK,C
sendo negociadas e que seus preços hoje são consistentes com a condição de não
arbitragem. Breeden & Litzenberger (1978) mostraram que os preços das opções
européias observados diretamente no mercado nos levam a SPD terminal como função
do preço de exercício K , ou seja:
( ) ( )2
2t)-r(T-
T K
TK,CeK
∂∂=Φ 2.23
onde ( )KTΦ é a SPD terminal de TS condicional às informações na presente data t , e
r é a taxa de juros. Em geral a conversão não é verdadeira. A partir da SPD terminal
não se consegue chegar a um processo único que reja o preço do ativo hoje. Contudo,
Dupire (1994) prova que existe uma exceção. Dentro de algumas condições de
regularidade técnica, pode-se chegar a um processo único a partir da SPD terminal
implícita, caso seja feita a restrição de processos de difusão com volatilidade
determinística e livre de risco. Isto é provado por meio de uma equação de Komolgorov.
Logo, dado o seguinte processo:
t)dWb(x,t)dta(x,dx += 2.24
Assim, a equação de Komolgorov é dada por:
T
f
x
(af)
x
f)(b
2
12
2
∂∂=
∂∂−
∂∂ 2
2.25
48
onde (x) T)f(x, TΦ≡ . Em outras palavras, em geral a equação de Komolgorov é usada
para derivar as distribuições condicionais, partindo-se de um dado processo. Contudo,
neste caso, lida-se com o problema oposto: f é conhecida e b é desconhecida.
Restringindo-se à SPD (e assumindo, sem perda de generalidade, que a taxa de juros é
zero) a equação (2.15) torna-se:
T
f
x
f)(b
2
12
2
∂∂=
∂∂ 2
2.26
Como f pode ser escrita como 2
2
x
C
∂∂
( x equivale ao preço de exercício K ), Dupire
mostra que:
T
C
K
Cb
2
12
22
∂∂=
∂∂
2.27
Ambas derivadas são positivas por arbitragem. Assim,
2
2
K
T)C(K,T
T)C(K,2
T)b(x,
∂∂
∂∂
= 2.28
A equação (2.21) pode ser usada para determinar b , uma vez que tanto 2
2
K
T)C(K,
∂∂
e
T
T)C(K,
∂∂
são conhecidos do smile observado no mercado. Pode-se, então, inferir a
volatilidade instantânea no tempo T para um ativo com preço igual a K a partir do
conhecimento de preços de opções com vencimentos e strikes ao redor de T e K .
49
Voltando-se ao processo do ativo dado pela equação (2.15), obtém-se, de fato, a
volatilidade instantânea por:
t
tt S
t)b(St)(S
,, =σ 2.29
A equação (2.20) apresenta a questão da precificação de opções de uma maneira
diferente da equação diferencial parcial de Black & Scholes. Ela torna o problema de
precificação de opções em um problema sobre strikes e vencimentos com o preço do
ativo e o tempo fixo, e não um problema sobre o preço do ativo e tempo com strike e
vencimentos fixos. Contudo a abordagem feita por Dupire (1994) restringe-se
exclusivamente a opções européias.
Outra grande contribuição de Dupire (1994) foi o esboço feito para a representação
do processo através da construção de uma árvore trinomial. Entretanto, ele não
desenvolve essa metodologia tão detalhadamente como outros autores o farão.
2.5.2 Cox, Ross & Rubinstein (1978)
O primeiro modelo a descrever o processo de evolução do preço de um ativo através
da construção de árvores, no caso binomial, foi o desenvolvido por Cox, Ross &
Rubinstein (1978). O processo de evolução do preço do ativo, como no caso de Black &
Scholes, para o tempo contínuo é descrito pela equação diferencial estocástica:
dZdtS
dS σµ += 2.30
50
Cox, Ross & Rubinstein (1978) introduzem uma abordagem matemática bem mais
simples, a qual é um caso específico do modelo de Black & Scholes (1973), por estar
lidando com tempo discreto e não contínuo. Assim, dada sua construção, esta
metodologia dá espaço para um procedimento numérico simples e eficiente, inclusive
para o caso de exercício antecipado (opções americanas). Entretanto, na implementação
do processo descrito na equação (2.23), a ação evolui ao longo de uma árvore binomial
neutra ao risco com espaçamento logarítmico entre os preços constante, ou seja, a
volatilidade é constante bem como as probabilidades de transição, de modo que a árvore
é a mesma para todas as opções sobre o ativo subjacente, independente de seu preço de
exercício e vencimento. Este não é mais o caso quando se lida com árvores implícitas.
2.5.3 Derman & Kani (1994)
No mesmo ano em que Dupire (1994) divulgou seu trabalho, Derman & Kani (1994)
apresentaram um modelo para a construção de uma árvore binomial implícita
recombinativa, fazendo uso simultaneamente de indução para frente e para trás (forward
and backward induction, respectivamente), porém o processo de evolução que eles
pretendiam gerar deveria corresponder àquele observado na equação (2.15). Assim, o
modelo desenvolvido por Derman & Kani (1994) pode ser visto como a implementação
discreta da idéia de Dupire (1994).
A árvore de Derman & Kani (DK) tem intervalos de tempo uniformes que são
distantes em t∆ . Para construí-la, eles assumem que já têm os nós implícitos e suas
probabilidades de transição até o nível n . O preço do ativo conhecido no nó i e no
nível n , is , pode evoluir para um nó superior com preço 1iS + , ou para um nó inferior
51
com preço iS , no nível 1)(n + . O valor a termo do ativo is , já conhecido no nível n , é
igual a itr
i seF ∆= . A probabilidade (desconhecida) de se fazer uma transição para o nó
superior é denotada por ip . Chama-se de iλ o preço Arrow-Debreu no nó i)(n, , o qual
é computado através de indução para frente, como a soma, por todos os caminhos a
partir da raiz da árvore até o nó i)(n, , do produto das probabilidades de transição
descontadas a taxa livre de risco em cada nó de cada caminho que leve até o nó i)(n, .
Todo iλ no nível n é conhecido, pois os nós anteriores e suas probabilidades de
transição já foram obtidos até o nível n . De maneira resumida, podem-se expressar os
preços Arrow-Debreu da seguinte maneira:
=≤≤++=
=Λ −∆
nipara )p-(1
ni2para )p-(1p
1nipara p
e
1
i1-i
ntr
i
1
i1i
n
λλλ
λ 2.31
onde iΛ representa o preço Arrow-Debreu para o nó i no nível 1)(n + e iλ é o preço
Arrow-Debreu já conhecido no nó i do n -ésimo nível
O objetivo é determinar os nós do 1)(n + -ésimo nível no instante 1nt + e as
correspondentes probabilidades de transição. No total, há 12n + parâmetros que
definem a transição do nível n para o nível 1)(n + da árvore. Esses parâmetros são os
1n + preços de ativo iS e as n probabilidades de transição ip . Derman & Kani as
define usando o smile.
A distribuição de iS e as probabilidades de transição ip são obtidas usando os
valores teóricos dos n contratos a termo (forwards) e n opções européias, todas
52
vencendo em 1nt + . Eles requerem que esses valores teóricos se enquadrem nos valores
observados (interpolados) no mercado. Isso fornece 2n equações para os 12n +
parâmetros, assegurando que haja um ajustamento ao smile do dia. Eles usam o grau de
liberdade que falta para fazer com que o centro de sua árvore coincida com o centro da
árvore padrão de CRR, que tem volatilidade constante. Neste caso o centro da árvore
será sempre igual ao valor do preço da ação hoje, caso o número de nós em um
determinado nível seja ímpar. No caso do número de nós ser par, faz-se, então, com que
a média do logaritmo natural dos preços do ativo nos dois nós centrais (superior e
inferior, up e down, respectivamente) seja igual ao logaritmo do preço do ativo
observado hoje. Ou seja, a condição central usada no modelo pode ser expressa
matematicamente da seguinte forma::
))) hojedownup log(Slog(Slog(S =+
)log(S)Slog(S hoje
1
downup =× 2
2hojedownup SSS =× 2.32
A árvore implícita é neutra ao risco. Conseqüentemente, o valor esperado, um período
à frente, do ativo no nó i)(n, tem que ser igual a seu preço a termo, levando à equação:
ii1ii )Sp-(1SpF += + 2.33
onde iF é conhecido. Existem n equações destas, uma para cada i .
53
Assuma )t,C(s 1ni + e )t,P(s 1ni + , respectivamente, como os valores interpolados e
conhecidos dos valores de mercado de uma call e uma put com strike isK = e
vencimento em 1ntT += . Conhecem-se estes valores a partir da interpolação da curva do
smile com opções vencendo em 1nt + . Assim, o valor teórico de uma opção de compra
européia com preço de exercício em K e vencimento em 1nt + é dado pela soma, em
todos os nós i no 1)(n + -ésimo nível, da probabilidade descontada de se chegar em
cada nó j)1,(n + , multiplicada pelo payoff da opção de compra naquele nível, ou:
{ }∑=
+++∆
+ ×+=n
1j1jj K,0)-Max(S)p-(1pe)tC(K, 1j1jj
tr-1n λλ 2.34
Quando o strike K é igual a is , a contribuição da transição para o primeiro nó
superior pode ser separada das outras contribuições, a qual, usando a equação (2.26)
pode ser reescrita em termos dos preços Arrow-Debreu, dos preços dos ativos is e dos
contratos a termo itr
i seF ∆= , todos já conhecidos, de modo que se fica com:
∑+=
++∆ +=
n
ji1ij
iji1ii1nitr )s-(F)s-(Sp)t,C(se λλ 2.35
O primeiro termo depende do valor desconhecido de ip e do valor do nó superior
1iS + . O segundo termo é uma soma de quantidades já conhecidas.
Uma vez que se sabe tanto iF quanto )t,C(s 1ni + a partir do smile, podem-se resolver
simultaneamente as equações (2.26) e (2.28) e obter a probabilidade de transição ip em
termos de iS , ficando com:
54
[ ][ ] )S-(F-)t,C(se
)S-(Fs-)t,C(seSS
ii1nitr
iii1nitr
1ii
i
λλ
−∑−∑=
+∆
+∆
+ 2.36
i1i
iii S-S
S-Fp
+
= 2.37
onde ∑ expressa o termo somatório da equação (2.28).
Logo, podem-se usar estas equações para encontrar os valores de iS e
ip ,iterativamente, para os nós acima do centro da árvore, caso se saiba iS em um nó
inicial. Se o número de nós no 1)(n + -ésimo nível (ou seja, n é par), pode-se atribuir a
iS o valor do ativo hoje, de acordo com a condição central. Então, calcula-se o valor do
ativo 1iS + no nó acima pela equação (2.29), e se usa a equação (2.30) para achar ip .
Repete-se este processo, movendo-se do centro para cima, um nó de cada vez, até que se
chegue no nó mais alto de um determinado nível. Assim, infere-se a metade superior da
árvore em cada nível.
Se o número de nós no 1)(n + -ésimo nível for par, ou seja n é ímpar, inicia-se o
processo em primeiro lugar, identificando-se os valores iniciais de iS e 1iS + , para
1)/2(ni += , exatamente o nós logo abaixo e acima, respectivamente, do centro do
nível. Utilizando-se mais uma vez a condição central com 1ii SSS += , onde isS = é
igual ao preço do ativo hoje, e substituindo esta relação na equação (2.29), obtém-se a
fórmula para o nó superior (up) do centro da árvore no nível 1)(n + com n ímpar.
Matematicamente:
55
[ ]∑+∑+=
+∆
+∆
+ )t,C(se-F
-S)t,C(seSS
1nitr
i
1nitr
1ii
i
λλ
2.38
21)(nipara +=
Uma vez que se tem este nó inicial com o preço do ativo, pode-se continuar a calcular
os demais nós superiores de acordo com o procedimento já explicado.
De maneira similar podem-se calcular os nós abaixo do nó central em um
determinado nível, usando, entretanto, valores de puts ao invés de calls. A fórmula
análoga que define um preço de ativo em um nó inferior é a seguinte:
[ ][ ] )S-(F-)t,P(se
)S-(Fs-)t,P(seSS
1ii1nitr
1iii1nitr
i++
∆++
∆
+∑+∑=
i
i
λλ
2.39
onde o termo ∑ denota a soma ∑=
1-i
1jji )F-(sjλ de todos os nós abaixo daquele com preço
is , no qual a put tem seu strike. Sabendo-se o valor do preço do ativo no nó central,
pode-se usar as equações (2.32) e (2.30) para encontrar, nó por nó, os valores dos preços
do ativo e as probabilidades de transição dos nós inferiores.
Repetindo-se este processo em cada nível, pode-se usar o smile para achar as
probabilidades de transição e os valores dos nós de toda a árvore. Se isto for feito com
uma distância bem pequena entre os sucessíveis níveis da árvore e, usando-se valores de
calls e puts interpolados a partir do smile, pode-se obter uma boa aproximação discreta
do processo implícito neutro ao risco de evolução do ativo.
56
Ressalta-se o fato de que a probabilidade de transição ip em cada nó deve ficar entre
um e zero, para que se respeite a condição de não arbitragem. Por esta razão, ao mover-
se pela árvore, nó por nó, deve-se fazer a restrição de que o valor de cada novo preço de
ativo recém calculado fique entre os valores dos contratos a termo dos ativos vizinhos
no nível anterior, ou seja,
1i1ii FSF ++ << 2.40
Se o preço do ativo em um certo nó violar a inequação acima, deve-se substituir este
valor. Neste caso, escolhe-se um valor para o ativo naquele nó que mantenha a distância
logarítmica entre este nó e seu nó adjacente, a mesma que é observada em nós
correspondentes no nível anterior.
A grande vantagem do algoritmo de Derman & Kani é que ele fornece a evolução do
preço do ativo e as probabilidades de transição ao incorporar tanto a estrutura a termo
bem como o smile da volatilidade. Eles ainda mencionam o fato de que este
procedimento permite também a incorporação da estrutura a termo da taxa de juros.
2.5.4 Barle & Cakici (1995)
Por outro lado, Barle & Cakici (1995) percebem que o algoritmo de Derman & Kani é
falho ao tentar reproduzir o smile adequadamente quando a taxa de juros é elevada. A
razão é que, com altas taxas de juros, encontram-se probabilidades de transição
negativas mais freqüentemente, o que implica na substituição destes valores, de modo
que a árvore construída não incorpora de maneira completa a informação contida no
57
smile. Visando corrigir este problema Barle & Cakici (1995) propõem três modificações
principais ao modelo de Derman & Kani.
Em primeiro, eles sugerem que seja usado como strike no cálculo das opções o valor
do contrato a termo iF , em vez de is . Em segundo, em vez de fixar o centro da árvore
ao valor do ativo hoje S , ele sugere que se permita que seja deixado este valor variar de
acordo com a taxa de juros, logo, em um nível n , com um número ímpar de nós, o
centro da árvore seria igual a nrtSe De acordo com esta mudança, a condição central
observada na equação (2.25), para um número de nós impar em um nível, passaria a ser:
2idownup FSS =× 2.41
Em terceiro, quando há a necessidade de se corrigir algum valor de preço de ativo,
por ter violado a condição de não arbitragem, simplesmente substitua-o pela média dos
valores dos contratos a termo dos ativos nos nós vizinhos do nível anterior, ou seja:
2
FFS 1ii
1i+
++= 2.42
Eles sugerem esta modificação após terem experimentado toda uma gama de valores
entre os dois valores no numerador da equação acima e não terem notado grande
melhora do modelo entre qualquer valor adotado. Estas modificações de Barle & Cakici
são equivalentes a se trabalhar com os futuros do que com o preço do ativo hoje.
Um outro ponto que Barle & Cakici (1995) abordam é a questão da interpolação dos
preços das opções. Barle & Cakici sugerem que sejam interpoladas as volatilidades
58
implícitas e que se use a fórmula de Black & Scholes para precificar as opções
européias.
Ainda assim, seu método modificado embora eficaz para altas taxas de juros (eles
usaram um exemplo de 40% a.a.), tende a perder poder de ajustamento quando se
aumenta ainda mais a taxa de juros e quando o smile é muito acentuado.
2.5.5 Chriss (1996)
Dando continuidade ao modelo de Derman & Kani, Chriss (1996) descreve um
método único para a construção de árvores implícitas que seja capaz de lidar com a
entrada de dados (inputs) tanto de opções européias como de opções americanas.
Quando limitado à entrada somente de dados de opções européias, este método dá uma
abordagem ligeiramente diferente, mas essencialmente equivalente, a árvore de
volatilidade implícita de Derman & Kani, que lida com opções européias.
Em geral, o procedimento para a construção de árvores a partir de opções americanas
é muito mais lento que o método correspondente para opções européias. Enquanto
somente uma simples fórmula é necessária para o cálculo dos nós no último caso, no
caso de opções americanas requer-se a utilização de processos iterativos, em que se têm
que calcular o preço de uma opção americana em uma árvore binomial. Chriss (1996)
escolhe, neste sentido, o método iterativo da posição falsa, o qual converge rapidamente
para o valor correto da opção.
De acordo com Chriss (1996) seu método, além de ser uma ferramenta de
precificação de opções, resolve um problema sugerido por Rubinstein (1994).
59
Rubinstein discute vários métodos para se inferir a distribuição de preços neutra a risco
e volatilidades locais de um ativo a partir de preços de opções européias sobre aquele
ativo. Na época em questão, não havia um método que fizesse a mesma coisa para
opções americanas. Assim, o método proposto por Chriss (1996) permite que se infira
facilmente distribuições para o caso de opções americanas.
Os preços Arrow-Debreu de uma árvore de volatilidade implícita em cada passo da
árvore formam uma expressão da SPD implícita do ativo subjacente naquele passo, o
que é gerado por construção. Desta maneira, as árvores construídas por este método,
também levam a distribuições implícitas
2.5.6 Hilliard & Schwartz (1996)
Outro artigo que também apresenta uma abordagem que sirva para a precificação
consistente de opções tanto européias e americanas, via a construção de uma árvore
binomial recombinativa é o divulgado por Hilliard & Schawartz (1996). Contudo, este
método vai um pouco mais além, considerando, ainda, um processo de evolução do
ativo subjacente com volatilidade estocástica, assim como Hull & White (1987). Porém,
neste caso, o preço do ativo e a volatilidade podem ter correlação diferente de zero,
possibilitando o modelo precificar opções de maneira consistente com o sorriso da
volatilidade.
A base de seu algoritmo de precificação é a árvore binomial bivariada, requerendo-se
tanto que a função do payoff não dependa do caminho, de modo que esta metodologia
não serve para opções asiática e lookback, como que o processo estocástico siga certas
formas funcionais. De acordo com simulações feitas pelos autores, eles concluem que,
60
em geral, os resultados obtidos pelo modelo binomial bivariado são completamente
consistentes com o conceito de smile, podendo este modelo também ser usado para
produzir o smile de opções americanas.
2.5.7 Rubinstein (1994)
Rubinstein (1994) constrói uma árvore binomial implícita, usando somente indução
para trás e não indução para frente. Neste sentido sua árvore é uma extensão da árvore
de CRR. O input principal deste algoritmo é a distribuição implícita terminal de
probabilidade neutra ao risco do ativo subjacente. A partir desta distribuição infere-se
um processo estocástico único para o ativo subjacente, com o qual se pode calcular
parâmetros de hedge, por exemplo.
Rubinstein extrai a SPD a partir dos preços de opções européias observadas no
mercado com vencimento em T . Rubinstein propõem três abordagens para o cálculo
desta distribuição. Em primeiro ele sugere uma versão ligeiramente modificada para o
método de Longstaff (1990). Porém, ao testar este método, ele encontra diversos
problemas, caracterizados por probabilidades negativas, levantando um problema crítico
no mercado de opções, no qual somente se observam preços de exercício em intervalos
discretos.
Em segundo, Rubinstein apresenta o método proposto por Shimko (1993), que
fornece uma metodologia para implementar a idéia de Breeden & Litzenberger (1978),
mencionada anteriormente nesta dissertação. Shimko (1993) desenha primeiro o smile e
ajusta uma curva que passe pelo valor de opção com os strikes mais alto e mais baixo.
Isto lhe fornece volatilidades implícitas de Black & Scholes interpoladas. Usando a
61
fórmula de Black & Scholes, ele inverte a volatilidade implícita, resolvendo para o
preço da opção como uma função contínua do preço de exercício. Então, pegando a
segunda derivada desta função, ele determina a SPD implícita entre os strikes mais alto
e mais baixo. Embora Shimko use a fórmula de Black & Scholes, seu método não exige
que ela seja verdadeira. Ele simplesmente a usou como um mecanismo de tradução que
o permite interpolar volatilidades implícitas em vez de interpolar-se os próprios preços
das opções. Este método passou pelo teste que ele aplicou ao método de Longstaff
(1990).
Contudo, Rubinstein propõem um outro método, que vai acabar sendo usado pelo
autor. Em primeiro, estabelece-se uma estimativa a priori da SPD. Ele usa como
estimativa a priori a SPD observada pela construção de uma árvore de CRR com n
passos, tendo como parâmetro de volatilidade a média entre as volatilidades implícita
das duas opções de compra mais perto do dinheiro (“near-the-money”). Denotam-se os
valor do ativo em cada nó ao final da árvore, do mais baixo ao mais alto por jS , para
n0,...,j = . Denotam-se as probabilidades finais neutras ao risco por 'jP , onde
1Pj
'j =∑ . Para um número de passos n suficientemente grande, esta distribuição vai
ser aproximadamente lognormal. As constantes r e δ representam, respectivamente, a
taxa de juros livre de risco e a taxa de retorno em cada passo da árvore. Assume-se,
ainda, bS ( aS ) como os preços correntes de compra (venda) do ativo subjacente e biC
( aiC ) os preços de compra e venda observados simultaneamente sobre as opções de
compra européias m1,...,i = , vencendo no final da árvore. Escolhe-se mn >> .
62
As probabilidades implícitas neutra ao risco posteriores, jP , são obtidas pela solução
da seguinte programação quadrática:
( )∑j
2'jj
PP-PMin
j
, sujeita a : 2.43
∑ =j
j 1P e 0Pj ≥ para n0,...,j =
ab SSS ≤≤ onde n
jjj
n r)SP(S ∑= δ
aii
bi CCC ≤≤ onde [ ] n
jijji rK-S0,MaxPC
= ∑ para m1,...,i =
Tomando-se, então, como exógena a SPD em uma data futura em T, Rubinstein segue
adiante, dando início ao processo de construção da árvore implícita por indução para
trás. Para tanto ele estabelece cinco premissas:
1 - o retorno do ativo subjacente segue um processo binomial;
2 - a árvore binomial é recombinativa;
3 - os valores dos nós ao final da árvore são ordenados do menor para o maior;
4 - o taxa de juros é constante; e
5 - todos os caminhos que levem a um mesmo nó final têm a mesma
probabilidade neutra ao risco.
63
Levando-se em consideração estas premissas, pode-se construir toda a árvore
seguindo quatro passos bem simples:
1 - para cada nó j , calculam-se as probabilidades terminais de caminho
correspondendo ao nível T , a partir das probabilidades terminais;
2 - a partir das probabilidades de caminho no nível T , calculam-se as
probabilidades de caminho no nível 1T − ;
3 - a partir das probabilidades de caminho no nível 1T − , calculam-se as
probabilidades de transição do nível 1T − para o nível T ;
4 - usam-se as probabilidades de transição para calcular os retornos para os j -
ésimos nós no nível 1T − .
A repetição deste procedimento para cada nível da árvore leva a completa construção
da mesma. Então, o valor e parâmetros de hedge de qualquer instrumento derivativo
vencendo junto, ou antes, das opções européias podem ser calculados. Contudo, a árvore
só serve para opções européias com vencimento em T . Isto acontece porque se usa
como input somente opções européias com vencimento em T , de modo que a estrutura
a termo da volatilidade implícita não é capturada, o que pode ser considerada uma
limitação da técnica proposta por Rubinstein (1994).
A árvore binomial implícita se aplica somente a opções européias cujos vencimentos
sejam idênticos ao nível final da árvore. Por outro lado, o modelo de Derman & Kani
incorpora vencimentos intermediários, mas a construção da árvore depende do método
de interpolação e extrapolação escolhido. Além do mais, encontram-se freqüentemente
64
probabilidades de transição negativas, sinalizando que o modelo permite arbitragem.
Mesmo que o modelo seja modificado para excluir probabilidades neutras ao risco
negativas, mínimas perturbações das entradas de dados as reintroduziriam.
2.5.8 Jackwerth (1997)
Como solução para estes problemas, Jackwerth (1997) desenvolve uma árvore
binomial implícita generalizada. Ela é generalizada no sentido de que a simplicidade da
árvore implícita de Rubinstein é preservada, mas relaxa-se a premissa de que todos os
caminhos que levem ao mesmo nó final sejam igualmente prováveis. Isto permite que se
ajuste a árvore a preços de opções européias com vencimentos intermediários, ou seja,
com vencimentos que não coincidam com o final da árvore. Além do mais, as
probabilidades de transição são restringidas por construção a permanecerem no
intervalo entre zero e um, como é o caso das árvores implícitas de Rubinstein.
Sejam n,...,1,0i = os passos da árvore, igualmente distantes no tempo, e i,...,1,0j = ,
os nós em cada passo, começando com menor preço de ativo na base do passo. No
intuito de ajustar a árvore a preços de opções com vencimentos intermediários,
Jackwerth lida com probabilidades do nó (nodal probabilities), ao invés de lidar com
probabilidades de caminho (path probabilities), e ele usa uma função peso j,iw (weight
function), a qual tem uma interpretação particular. j,iw pode ser interpretada como a
parcela da probabilidade do nó no nó superior que vai para o nó que o antecede no passa
anterior. Para uma árvore binomial padrão, tal qual a árvore de CRR, i
jw j,i = , ou seja,
é uma função linear. Em uma árvore binomial implícita generalizada, j,iw é uma função
65
arbitrária. Esta função é determinada de modo que ela permita que a árvore se adeqüe à
opções com vencimentos intermediários. Jackwerth reporta que funções peso côncavas
explicam os preços de opções européias sobre o índice S&P500 melhor que, tanto
funções peso linear, quanto convexa. Uma função peso côncava indica que um caminho,
que primeiro desce e depois sobe, é mais provável de ser percorrido do que um caminho
que primeiro suba e depois desça.
Dadas as probabilidades dos nós e os preços dos ativos no tempo i , podem-se
encontrar, usando-se estes dois conjunto de dados, as probabilidades dos nós e os preços
do ativo no passo anterior seguindo-se três passos:
1 - ( ) nodal1j,i1j,i
nodalj,ij,i
nodalj,1i PwPw-1P ++− += 2.44
2 - nodal
j,1i
nodal1j,i
1j,ij,1i P
PwPp
−
++− == 2.45
3 - ( )[ ]
δr
SPSP1S 1j,ij,1ij,ij,1i
j,1i+−−
−
+−= 2.46
onde r e δ são, respectivamente, a taxa de juros e a taxa de dividendo por passo, e p é
a probabilidade de transição. Note-se, que desde que os pesos estejam entre 0 e 1, as
probabilidades de transição também permanecerão neste intervalo, evitando a
possibilidade de arbitragem.
A técnica de Jackwerth reconhece que a evolução das probabilidades de nó ao longo
de qualquer árvore é governada por um peso de probabilidade de transição. Mudando-se
a forma da função de peso, mudam-se as probabilidades de nó, isto é, mudam-se as
66
probabilidades de transição e as volatilidades locais. Ajustando-se a forma desta função
peso de acordo com opções européias, podem-se mudar as probabilidades de nó, de
modo que a precificação de opções com vencimento mais curto na árvore ficam
consistentes com os preços de opções com vencimento tanto longo quanto curto.
2.5.9 Derman, Kani & Chriss (1996)
Como solução para o problema de probabilidades de transição não aceitáveis, que
ocorrem no modelo de Derman & Kani (1994), Derman, Kani & Chriss (1996) propõem
a utilização de árvores trinomiais implícitas. Além disso, árvores trinomiais fornecem
uma aproximação bem melhor para o processo contínuo no tempo do que a árvore
binomial, para o mesmo número de passos. Isso é verdade pois há três possibilidades de
movimentos futuros de um passo para outro, em vez de somente dois8.
Um outro aspecto importante nas árvores trinomiais é que elas têm mais parâmetros
que as binomiais, de modo que estes parâmetros adicionais podem ser usados para se
escolher convenientemente o estado inicial (state space) de todos os preços dos nós na
árvore trinomial, deixando-se somente que as probabilidades de transição sejam
definidas pelos preços de opções observados no mercado. A “liberdade” que se tem em
fixar o state space permite que se obtenham probabilidades de transição aceitáveis. Por
outro lado, deve-se escolher cuidadosamente o state space de modo que a árvore seja
consistente com o smile.
8 Holland (2001) e Rubinstein (2000) discutem a questão da construção de árvores muitinomiais e trinomiais, respectivamente.
67
Derman, Kani & Chriss debatem a questão da determinação do state space em um
cenário onde a volatilidade varia significativamente com o vencimento e o strike,
gerando uma assimetria. Neste caso, a distância entre os nós tem que mudar de maneira
significativa com o tempo e o strike. O método que eles propõem para a determinação
do state space consiste de dois passos:
1 - assuma que a taxa de juros e a taxa de dividendos seja igual a zero, e
construa o state space que corresponda a uma árvore trinomial com
volatilidade constante (isto também é sugerido por Dupire (1994), quando
ele esquematiza a construção de uma árvore trinomial). Então, modifique o
intervalo de tempo entre os passos e, subseqüentemente, o espaçamento entre
os nós, de modo que se capture tanto a estrutura a termo da volatilidade
implícita como sua variação com o strike, ambos observados no mercado.
2 - então, se houver qualquer violação da condição de não arbitragem em
qualquer um dos nós, multiplicam-se todos os nós pelo fator de crescimento
it)r(e δ− . Isto é equivalente a trabalhar com preços futuros, ao invés de preços
a vista, como proposto por Barle & Cakici (1995), e irá, de fato, remover
todas as violações de probabilidades de transição.
Tendo-se, de antemão, o state space, o problema de construção da árvore implícita
fica reduzido ao cálculo de probabilidades de transição consistentes com o smile. Dupire
(1993,1994) esboça uma maneira para calculá-las. Sua técnica pode ser resumida da
seguinte maneira. Os preços Arrow-Debreu são implícitos pelos preços de mercado de
calls e puts européias. Então, as probabilidades de transição implícitas são calculadas,
ajustando as ao smile através de indução para frente e para trás simultaneamente.
68
Visando deixar a descrição de Dupire mais concreta, Skiadopoulos (2001) explica o
modelo de uma maneira mais simples. Assuma que é possível observar o preço de
opções de compra e venda européias para qualquer vencimento e strike. Então, o valor
teórico de uma opção de compra européia com preço de exercício K e vencimento na
data tn∆ , em um mercado completo, é dado por:
∑−=
−=n
njj,nj,n )0,KS(MaxQ)K,tn(C ∆ 2.47
Considerando )K,tn(C ∆ como observado no mercado, deve-se inverter, de alguma
maneira, a equação (2.47), para obter-se j,nQ (implied state prices). Assumindo que se
deseja computar a SPD implícita no passo n , começando-se no nó mais alto no passo
n , o preço de uma opção de compra européia com strike 1n,nS − e vencimento em tn∆ é
dado por:
)SS(Q)S,tn(C 1n,nn,nn,n1n,n −− −=∆ 2.48
Fórmula esta que pode ser rearrumada para dar n,nQ no nó )n,n( . Podem-se calcular
estes preços para os nós abaixo do centro da árvore de uma maneira similar, isto é, para
o nó )k,n( calcula-se k,nQ , escolhendo-se 1k,nSK −= .
Então, calculam-se os Qs para a metade inferior da árvore, começando do nó mais
abaixo da árvore e usando opções de venda. Este processo é repetido em cada passo da
árvore, completando o cômputo de j,nQ para todo )j,n( . Note que para a valorização
de opções européias, de maneira consistente com o smile, não se necessita das
69
probabilidades de transição neutras ao risco, mas somente os implied state prices.
Contudo, as probabilidades de transição tornam-se necessárias para a valorização de
opções mais complexas.
Assim, uma vez que já se possuem todos os Qs , pode-se calcular as probabilidades
de transição. Considere-se no nó )j,n( e já com as probabilidades de transição e os Qs
de todos os nós acima calculados. Deseja-se calcular as probabilidades de transição
j,npu , j,npm , j,npd do nó )j,n( para o nó superior, médio e inferior, respectivamente,
no próximo passo 1n + . Têm-se três variáveis desconhecidas, de modo que se tornam
necessárias três equações para resolver este problema. As três equações são dadas por:
(a) a indução para frente dos Qs :
j,nj,n1j,n1j,n2j,n2j,ntr
1j,1n QpuQpmQpd(eQ ++= ++++−
++∆ 2.49
(b) a indução para trás do preço do ativo:
1j,1nj,nj,1nj,n1j,1nj,ntr
j,n SpuSpmSpd(eS +++−+− ++= ∆ 2.50
(c) o preço a termo de um período:
)pupmpd(1 j,nj,nj,n ++= 2.51
A primeira equação pode ser rearrumada para dar j,npu diretamente. Resolve-se,
então, a segunda e terceira equações para j,npm e j,npd . Este procedimento é repetido
em cada passo da árvore até que todas a probabilidades de transição tenham sido
70
calculadas, as quais são obtidas por meio de indução para frente e para trás, o que
permite que a árvore trinomial construída se ajuste ao smile observado.
Este procedimento, apresentado de acordo com Skiadopoulos (2001), é, em essência,
o mesmo que o Derman, Kani & Chriss (1996) apresentaram. Estes últimos usaram
equações que eram muito similares àquelas que Derman & Kani (1994) usaram para a
construção de sua árvore binomial implícita.
2.5.10 Rubinstein (1998)
Rubinstein (1998) apresenta uma nova abordagem para a construção de árvores de
volatilidade implícita. Ele usa uma expansão de Edgeworth para transformar uma
densidade binomial padrão em uma densidade discreta padronizada unimodal, com
distância entre os pontos iguais. Essa distribuição tem a capacidade de se ajustar
aproximadamente tanto a curtose quanto a assimetria, previamente especificadas. Esta
densidade é ajustada para ter uma média igual a taxa livre de risco (corrigida para o caso
de pagamento de dividendo, se houver) e uma volatilidade previamente especificada.
Para sua construção começa-se, em primeiro, ajustando-se uma distribuição binomial
padronizada )x(b . Esta pode ser interpretada como uma forma discreta de uma função
de densidade contínua, na qual seus pontos são igualmente distantes um dos outros. Se
1n + é o número de pontos, então em cada passo n,...,0j = a variável aleatória x é
igual a [ ]n
n)j2( − com probabilidade )x(b associada igual a ( )2
21
)!jn(!j!n
−
Por exemplo, se 1n = , então, x é igual a 1− ou1 com probabilidades iguais a 21 Se
71
4n = , então x é igual a 1,0,1,2 −− ou 2 com probabilidades )x(b de 161 , 4
1 ,
83 , 4
1 e 161 . Note que esta distribuição tem média zero e variância de um.
Dada uma assimetria ξ e curtose κ , previamente especificadas, pode-se transformar
a densidade binomial padronizada )x(b em )x(f , uma densidade padronizada
aproximada com assimetria e curtose aproximadamente equivalentes às desejadas. Esta
transformação ocorre ao efetuar-se o seguinte cálculo:
)x(b
)15x45x15x(72
1
)3x6x)(3(24
1
)x3x(6
1
1
)x(f
2462
24
3
×
−+−+
+−−+
−+=
ξ
κ
ξ 2.52
Note que se a assimetria 0=ξ e a curtose 3=κ , então o fator de multiplicação é
igual a 1 , de modo que )x(b)x(f = .
Infelizmente, essa expansão é somente uma aproximação. Geralmente, ∑ ≠j
j 1)x(f
e os momentos são ligeiramente errados. Para corrigir isso, após a expansão, procede-se
uma mudança de escala nas probabilidades de modo a somarem um, substituindo
)x(f j por ∑j
j
j
)x(f)x(f
. Então, usando-se esta densidade re-escalada, calculam-se
sua média ∑≡j
jj x)x(fM e sua variância ao redor daquela média
∑ −≡j
2jj
2 )Mx)(x(fV . Finalmente, substituem-se os jx pela variável padronizada
72
de média zero e variância um V)Mx( j −
. Note que isto mantém que as variáveis jx
sejam igualmente distantes, já que 1jjj1j xxxx −+ −=− para 1n,...,1j −= .
Enquanto que esta modificação faz com que as probabilidades somem um, levando a
uma distribuição com média zero e variância um, a assimetria e curtoses resultantes
serão somente aproximadamente iguais às desejadas ),( κξ . Felizmente, na prática,
estes erros são bem pequenos e a aproximação tende a ser melhorada na medida em que
se escolhe um n bem grande, de modo que )x(b fique mais parecida com uma
distribuição normal.
Assim, Rubinstein (1998) mostra que a partir de uma distribuição de probabilidade
final do tipo previamente mostrado, pode-se aplicar a metodologia de Rubinstein (1994)
para construção de árvores binomiais implícitas, de modo a se obter o processo de
evolução do ativo, servido para a precificação de opções européias com datas de
vencimento mais próximas, bem como opções americanas e exóticas.
2.5.11 Brown & Toft (1999)
Brown & Toft (1999) apresentam um modelo de construção de árvores binomiais
implícitas a partir de múltiplas distribuições de probabilidade implícitas. Dupire
(1993,1994), Derman & Kani (1994), Derman, Kani & Chriss (1996) derivam processos
de preços de ativos que sejam consistentes com todos os preços de opções observados
no mercado. Seus métodos se baseiam, entretanto, no conhecimento de todos os valores
de opções para todos os possíveis vencimentos de preços de exercício. Já que tanto o
número de datas de vencimento como de strikes é limitado, esses autores assumem que
73
todos os outros valores de opções podem ser obtidos através de interpolação e
extrapolação dos preços de opções observados.
Neste sentido, Browm & Toft (1999) propõem um método alternativo que identifica
um processo binomial a partir dos preços de opções com datas de vencimento
disponíveis. Diferentemente de Dupire (1993,1994) e Derman & Kani (1994) eles não
assumem a existência de uma função do tipo )T,K(C , que incorpore todos os
vencimentos e preços de exercício. Eles somente consideram que esta função é válida
para datas de vencimento discretas, n21 T,...,T,T . O restante da estrutura é imposta ao se
fazer restrições econômicas, de natureza similar àquelas feitas por Rubinstein (1994).
Este método consiste de três etapas. Em primeiro lugar, determinam-se as SPDs para
todos os vencimentos disponíveis, podendo-se usar os mais diversos métodos existentes,
como o desenvolvido por Shimko (1993), Rubinstein (1994), Buchen & Kelly(1996), ou
Corrado & Su (1997). Ainda se usa o procedimento desenvolvido por Rubinstein (1994)
para determinar uma árvore binomial implícita entre a data atual e a primeira data de
vencimento disponível, 1T .
A principal contribuição da pesquisa de Brown & Toft reside no seu segundo passo
de seu procedimento. Neste ponto, determinam-se um conjunto de distribuições
condicionais (condicionais ao preço do ativo subjacente na data 1T ) que sejam
consistentes com os preços das opções vencendo tanto em 1T como em 2T , onde 2T é a
data de vencimento do segundo grupo de opções.
74
As distribuições de probabilidade condicionais devem satisfazer várias restrições
estatísticas e econômicas. Em primeiro, as probabilidades condicionais devem ser
positivas e somar um. Em segundo, elas devem ser neutras ao risco. Em terceiro, as
probabilidades de transição condicionais devem ser consistentes com a distribuição
incondicional dos retornos nas datas 1T e 2T . E, em quarto, restringem-se certas
distribuições condicionais a serem idênticas.
Na maioria dos casos, estas quatro restrições não levam a um único conjunto de
distribuições de probabilidade condicional. Por isso, escolhe-se uma distribuição
condicional que minimize a soma ponderada do quadrado dos desvios de um conjunto
de distribuições condicionais definidas anteriormente.
A terceira etapa do procedimento usa as distribuições condicionais entre 1T e 2T para
construir uma árvore “semi-recombinativa”. Brown & Toft (1999) usam o método de
Rubinstein (1994) para determinar uma árvore binomial única entre as duas datas de
vencimento para cada uma das distribuições condicionais. Eles combinam estas árvores
implícitas (uma para cada nó em 1T ) de modo que se obtém um processo binomial
implícito pelas distribuições condicionais. O processo binomial é semi-recombinativo
porque, embora as árvores implícitas compartilhem dos nós em 1T e 2T , elas não se
sobreporão geralmente entre as datas de vencimento.
Repetem-se as etapas dois e três até que todas as datas de vencimento tenham sido
incorporadas. O produto final deste procedimento é um processo binomial, obtido a
partir de opções com um número limitado de datas de vencimento, que pode ser usado
para precificar e hedgiar outros tipos de opções.
75
Brown & Toft (1999) usaram seu modelo para construir árvores implícitas usando os
índices de opções sobre o marco alemão e S&P500. De acordo com sua análise eles
mostram que estruturas de volatilidade implícita similares às observadas por Ait-Sahalia
& Lo (1998) e Jackwerth & Rubinstein (1996), para opções sobre o índice S&P500, e
Taylor & e Xu (1993), para opções sobre futuro de câmbio, eram consistentes com uma
forma interessante e intuitiva de dependência de caminho (path-dependency).
Em ambos os mercados, seu modelo prevê que um mercado flat seguido por uma
queda resulta em uma volatilidade local implícita maior que a observada quando há uma
queda seguida por um mercado flat. De maneira similar, o modelo prevê que uma queda
no mercado seguida por uma recuperação resulta em mais altas volatilidades locais
implícitas do que quando o mercado não se mexe. Para o índice S&P500, o modelo
ainda prevê que duas quedas consecutivas no índice levam a uma maior volatilidade
local implícita do que uma queda seguida por uma recuperação de mercado, ou seja, a
volatilidade local implícita responde assimetricamente aos retornos realizados.
Interessantemente, a dependência de caminho inerente ao modelo é consistente com a
evidência observada na literatura de GARCH assimétrico. Este modelo é o primeiro
modelo de árvore implícita que permite este tipo de dependência de caminho. Outros
tipos de modelos de construção de árvores que precificam as opções corretamente
aceitam somente que a volatilidade local dependa exclusivamente do preço do ativo e
do tempo, ignorando, assim, a evidência de importantes séries de tempo.
Este modelo engloba outros modelos existentes como casos especiais. Em primeiro,
se todas as opções em uma única data de vencimento são precificadas de acordo com a
árvore binomial de Cox, Ross & Rubinstein (1979), então este modelo assume a forma
76
da árvore padrão de CRR. Em segundo, se houver preços mais genéricos, mas ainda
livres de arbitragem, para uma única data de vencimento, então o procedimento de
Browm & Toft (1999) se reduzem aos de Rubinstein (1994). Finalmente, eles obtêm o
modelo trinomial de Dupire (1994) e Derman, Kani & Chriss (1996), caso eles juntem
dois passos binomiais em um único passo trinomial e assumam a existência de
distribuições implícitas em cada passo trinomial.
2.5.12 Nagot & Trommsdorff (1999)
Nagot & Trommsdorff (1999) propõem mais um modelo de construção de árvore
implícita. Seu modelo pertence a classe dos modelos de construção de árvores que
partem de uma SPD, estipulada a priori, tal qual os modelos de Rubinstein (1994) e
Jackwerth (1997). Eles alegam que estes modelos requerem grande quantidade de
informação. Em contraste a estes modelos, eles buscam por um modelo que seja de fácil
controle e manuseio, e que necessite de poucos parâmetros.
Uma vez que eles não pretendem assumir qualquer processo particular para a
evolução do preço do ativo, eles optam por aproximar numericamente o processo
implícito neutro ao risco por um processo trinomial flexível com quatro parâmetros
livres, o que é suficiente para abranger os quatro momentos centrais do processo
desconhecido.
Eles calibram sua árvore de acordo com os preços observados no mercado, de modo
que os quatro parâmetros livres )d,u,p,p( 21 são obtidos pela minimização da soma
dos desvios ao quadrado entre os valores observados e calculados, ou seja:
77
−+−∑ ∑
= =
j
1i
2l
1k
kITT
kmarket
2iITT
imarket
d,u,p,p)PutPut()CallCall(Min
mu
2.53
Ressalta-se, ainda, o fato de que a construção de sua árvore também é válida para o
caso de opções americanas, com vencimento antecipado. Isto pode ser obtido,
construindo-se a árvore de trás para frente.
2.5.13 Muzzioli & Torricelli (2001)
Mais recentemente, Muzzioli & Torricelli (2001) sugerem uma nova abordagem para
o modelo de Derman & Kani (1994) em mercados com problemas de liquidez. Um dos
pontos levantados pelos autores é o fato de ser considerada a paridade entre opções de
compra e venda (put and call parity – PCP) como verdadeira. O modelo de Derman &
Kani (1994) constrói uma árvore binomial implícita usando preços de opções de compra
para a parte superior da árvore e preços de opções de venda para a parte inferior,
assumindo, implicitamente, que a PCP é verdadeira. Contudo, em mercados ilíquidos,
nos quais a PCP não é necessariamente verdadeira, as árvores implícitas baseadas em
preços de opções de compra são diferente daquelas baseadas em preços de opções de
venda.
O efeito de precificar calls e puts com a mesma estimativa de volatilidade leva
geralmente a um fenômeno de má precificação. Isso nos leva a conclusão de que em
mercados ilíquidos, preços de calls e puts, focando em diferentes aspectos do processo
do ativo subjacente, carregam informações diferenciadas sobre a volatilidade do último.
Levando-se em consideração somente o preço de um tipo de opção e admitindo-se a
78
vigência da PCP, resulta em uma perda de informação sobre o processo de ativo
subjacente.
Assim, no seu artigo, Muzzioli e Torricelli (2001) estendem o modelo de Derman &
Kani (1994) para levar em consideração o risco de liquidez, permitindo, assim,
violações da PCP. Eles desenvolvem uma árvore que incorpora e reflete o risco de
liquidez, o efeito sorriso e a estrutura a termo da volatilidade. Para este fim, Construiu-
se uma árvore implícita, usando como parâmetros em cada nó valores do ativo e
probabilidades implícitas artificiais, adquiridas tanto de preços de opções de compra
como de venda.
Paralelamente ao desenvolvimento de modelos paramétricos de precificação de
opções, as árvores implícitas foram estendidas para múltiplos fatores, de modo a levar
em consideração tanto a volatilidade estocástica, como as estrutura a termo da
volatilidade implícita e o efeito sorriso.
2.5.14 Derman & Kani (1998)
Derman & Kani (1998) começaram ajustando uma árvore trinomial aos preços de
opções observados no mercado. As probabilidades de transição são corrigidas nesta
etapa. Visando incorporar volatilidade estocástica, eles permitem que as probabilidades
de transição variem de acordo com um processo estocástico, o qual deve ser
especificado exogeneamente. Conceitualmente, sua nova árvore está relacionada ao
modelo de taxa de juros de Heath, Jarrow & Morton (1992), e sofre de seus mesmos
problemas. O processo resultante é geralmente não markoviano já que a evolução da
79
superfície de volatilidade depende do caminho. Assim, os preços das opções devem ser
calculados através de uma exaustiva simulação de Monte Carlo.
2.5.15 Ledoit & Santa-Clara (1998)
Similar na essência, mas computacionalmente bem mais simples é a abordagem de
Ledoit & Santa-Clara (1998), que modelam volatilidades implícitas estocásticas como
opostas às volatilidades locais estocásticas de Derman & Kani (1998). Eles conseguem,
assim, obter as condições sobre as quais o processo conjunto do preço e da superfície de
volatilidade não permite arbitragem. Este processo conjunto pode ser calibrado aos
preços de opções observados no mercado. Opções exóticas ou ilíquidas podem ser
calculadas por meio de simulação de Monte Carlo.
2.5.16 Britten-Jones & Neuberger (1999)
Em um outro artigo, Britten-Jones & Neuberger (1999) são capazes de descrever um
conjunto de processos estocásticos que é compatível com os preços de opções
observadas no mercado. Em particular, esses processos compartilham as mesmas
previsões de volatilidade. Similar a Derman & Kani (1998), eles também fazem o uso
de árvores trinomiais implícitas, mas eles restringem o componente estocástico da
volatilidade a ser uma seqüência de Markov ao tornar a volatilidade discreta. As
probabilidades de transição são determinadas ao mover-se de um estado de volatilidade
para o próximo. Finalmente, eles ajustam as probabilidades de transição, de modo que
ao ajustar a árvore aos preços observados no mercado. Embora seja perdida um pouco
da generalidade de Derman & Kani (1998), esta árvore é mais rápida de ser processada,
e não precisa de simulações para precificar opções.
80
2.5.17 Esquema Resumido dos Modelos Supracitados
Com o objetivo de tentar agrupar os diversos modelos citados nesta parte do
referencial teórico foi feito um esquema, como pode ser observado na figura a seguir.
Este esquema tenta, de uma maneira aproximada, indicar a seqüência da evolução destes
modelos no tempo, bem como diferenciá-los de acordo com a abordagem adotada.
De uma maneira mais genérica, podemos observar três grandes grupos. Aquele que
está mais a direita tem por característica principal partir de uma SPD definida a partir de
alguma metodologia, para, então, proceder a construção da árvore. O grupo central
iniciado por Derman & Kani (1994), tem uma evolução bastante particular, lidando com
árvores binomiais com estrutura de volatilidade implícita adquirida de maneira exógena.
Note que o modelo de Brown & Toft (1999) foi considerado um misto entre estes dois
grandes grupos já mencionados. O terceiro grupo lida com os modelos que lidam com
árvores trinomiais e buscam, ainda, levar em consideração um componente de
volatilidade estocástica. A abordagem de Hilliard & Schwartz (1996) foi considerada
como estando entre o terceiro e o segundo grupo.
81
Figura 1. Esquema ilustrativo da evolução dos modelos de construção de árvore de volatilidade implícita citados nesta dissertação.
CRRBreeden &
Litzenbeerger
Dupire
Derman, Kani & Chriss
Derman & Kani
Barle & Cakici
Chriss
Muzzioli & Torricelli
Rubinstein
Jackwerth
Rubinstein
Nagot & Tromsdorf
Derman
& Kani
Ledoit &
Santa Clara
Britten Jones & Neuberger
Brown
& Toft
1978
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2001
Hilliard & Schwartz
CRRBreeden &
Litzenbeerger
Dupire
Derman, Kani & Chriss
Derman & Kani
Barle & Cakici
Chriss
Muzzioli & Torricelli
Rubinstein
Jackwerth
Rubinstein
Nagot & Tromsdorf
Derman
& Kani
Ledoit &
Santa Clara
Britten Jones & Neuberger
Brown
& Toft
1978
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2001
Hilliard & Schwartz
CRRBreeden &
Litzenbeerger
Dupire
Derman, Kani & Chriss
Derman & Kani
Barle & Cakici
Chriss
Muzzioli & Torricelli
Rubinstein
Jackwerth
Rubinstein
Nagot & Tromsdorf
Derman
& Kani
Ledoit &
Santa Clara
Britten Jones & Neuberger
Brown
& Toft
1978
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2001
Hilliard & Schwartz
2.5.18 Alguns Outros Modelos Que Tentam Incorporara O Smile
Carr, Tari & Zariphopoulou (1999) desenvolvem uma forma de precificar opções
através de fórmula fechada. O objetivo de seu trabalho é caracterizar toda a classe de
funções de volatilidade que permita que o preço do ativo seja transformado em um
movimento browniano padrão por, exclusivamente, mudança de escala. Uma vez que se
conhecem muitos resultados para o movimento browniano padrão, esses resultados
podem ser utilizados para se obter soluções de fórmula fechada para o preço de opções
com smile. Eles mostram que a classe de funções de volatilidade que permite esse tipo
de transformação é caracterizada por equação diferencial parcial totalmente linear.
Como resultado, eles obtêm muitas novas funções de volatilidade que levam a soluções
82
fechadas para o preço de opções, as quais envolvem somente distribuições ou funções
de densidade normais.
Sua abordagem envolve a especificação de uma função de payoff, a qual tem a
propriedade chave de que a função de precificação do ativo pode ser explicitamente
calculada e invertida. Eles ilustram seus resultados com três exemplos. Todos os três
exemplos podem ser generalizados.
Dempster & Richards (2000), após pesquisarem sobre a abordagem de programação
linear para a valorização de opções, aplicam um algoritmo de programação linear
acurado e, sobretudo, rápido para a precificação de opções americanas exóticas e
normais, ajustando seus preços ao smile observado no mercado dado os preços de
opções de compra européias comuns. Eles demonstram, primeiro, que o método básico
de diferença finita de Crank-Nocolson apresenta pouco erro e que as opções européias
observadas no mercado são precificadas com bastante acurácia, ajustando-se ao smile
observado. Em seqüência, eles constatam que, em função dos efeitos de volatilidade
local na fronteira ótima de exercício, os preços das opções americanas ajustados ao
smile diferem significativamente daqueles com volatilidade constante. Além disso, eles
também observaram efeitos similares para opções americanas exóticas, representadas
por opções asiáticas com preços de exercício fixos e discretos.
Mirfendereski & Rebonato (2001) apresentam uma abordagem paramétrica para a
modelagem de preços de opções na presença do efeito sorriso. Eles ajustam uma
distribuição beta generalizada de segunda ordem (GB2) ao minimizar as discrepâncias
ao quadrado entre os preços do modelo e os observados no mercado. Logo, ao expressar
83
a função de densidade em termos de m parâmetros, eles lidam com o problema em
termos de uma otimização m-dimensional, buscando minimizar 2χ , definido como:
[ ] [ ]{∑=
−+−
=n
1ii
fiti
marketPj
2
ifit
imarket
Cj
2
)|T,K(P)T,K(Pw)|T,K(C)T,K(Cw ΘΘ
χ
2.54
onde os pesos Cjw e Pjw devem ser escolhidos de modo a contemplar a liquidez ou
qualquer outro critério qualitativo, )T,K(C imarket e )T,K(P i
market são os preços de
opções de compra e venda, respectivamente, observados no mercado para um dado
vencimento T , )|T,K(C ifit Θ e )|T,K(P i
fit Θ são dados por:
∫∞
+−=0
fitTii
fit dx)|x()Kx()|T,K(C ΘϕΘ 2.55
∫∞
+−=0
fitTii
fit dx)|x()xK()|T,K(P ΘϕΘ 2.56
e )|x(fitT Θϕ é a função de densidade neutra ao risco ajustada. Note que Θ representa
uma dependência dos parâmetros da função de distribuição Θ .
Assim, os autores escolheram como função de densidade uma distribuição de
probabilidade da família de funções com quatro parâmetros, a GB2. Esta escolha é
motivada pelas seguintes razões:
84
(i) a densidade GB2, além de ser flexível, pode acomodar facilmente caldas
largas, (o que resulta no típico formato de volatilidades implícitas observadas
no mercado);
(ii) ela se degenera em uma distribuição lognormal quando são usadas certas
combinações dos quatro parâmetros, permitindo, assim, uma transição
conveniente, consistente, e suave para modelos de volatilidade constante; e
(iii) ela permite soluções analíticas que fazem com que a abordagem seja
tanto prática como eficiente.
A função GB2 é definida da seguinte maneira:
[ ] 0x,)bx(1)q,p(Bb
x|a|)x(
qpaap
1ap
≥+
= +
−
ϕ 2.57
onde p,b,a e q são os quatro parâmetros livres, e ),(B •• é a função beta, definida em
termos de função gama, como:
)qp(
)q()p()q,p(B
+=
ΓΓΓ
2.58
Eles, então, derivam fórmulas analíticas para o preço de opções de compra e venda,
as quais podem ser expressas de tal maneira que lembrem a aparência da fórmula de
Black & Scholes (1973). Eles ainda mostram que as estatísticas delta e gama podem ser
expressas em termos de expressões simples de fórmula fechada, o que também faz parte
do ambiente de Black & Scholes. A PCP é preservada, assim como a identidade do
gama de uma call e uma put.
85
Andersen & Andreasen (1999a, b) criticam a utilização de funções de volatilidade
determinísticas, dada a dinâmica da volatilidade ao longo do tempo. Em Andersen &
Andreasen (1999a, b) os autores apresentam uma estrutura para adicionar saltos de
Poisson aos modelos de difusão para o preço do ativo com funções de volatilidade
determinísticas. Eles desenvolvem uma equação integral diferencial parcial (“Partial
Integro-Differential Equation” – PIDE) para a evolução de preços de opções de compra
em função do strike e vencimento, e mostram como esta equação pode ser usada para
calibrar eficientemente os preços de opções observados no mercado. Para poder usar seu
modelo para precificar várias opções exóticas, os autores desenvolvem uma eficiente
técnica de diferença finita com estabilidade e propriedades de convergência atrativas.
Ao aplicar-se o algoritmo de calibragem ao índice S&P500 observam uma difusão
com volatilidade constante sobreposta a um significativo componente de saltos. Para
este índice eles encontram volatilidades entre 15 e 20% e uma chance de 9% (ao ano) de
que o índice caia aproximadamente 50%. Os autores alegam que embora seja possível
que o mercado realmente perceba tamanha possibilidade de crise, é mais provável que a
natureza extrema do parâmetro de salto seja reflexo da impossibilidade de se hedgiar
saltos e, como tal, incluí-los como um prêmio de risco em relação aos parâmetros
históricos. Numericamente, ajustar um modelo de difusão de saltos ao índice S&P500
parece ser mais robusto e mais fácil do que ajustar um modelo de função de volatilidade
determinística.
Eles ainda mostram que a evolução do sorriso da volatilidade em um modelo de
função de volatilidade deteminística ajustado ao dados observados do S&P500 é
86
altamente não estacionário e freqüentemente contra-intuitivo. O modelo de difusão de
saltos, por outro lado, produz quase que perfeita assimetria da volatilidade.
Em um outro trabalho os mesmos autores, Andersen & Andreasen (1998) discutem a
aplicação de funções de volatilidade não lineares ao mercado de Libor. Diferentemente
dos modelos lognormais, a abordagem proposta pelos autores é capaz de produzir
efeitos sorriso e assimetria consistentes com aqueles observados em muitos mercados de
caps e swaptions.
87
33 MMEETTOODDOOLLOOGGIIAA
3.1 TIPO DE PESQUISA
Quanto aos fins, a pesquisa será metodológica e aplicada.
É metodológica em virtude de buscar instrumentos de manipulação da realidade
(modelos de avaliação) que objetivem capturar as oscilações dos preços das opções em
função do comportamento da volatilidade ao longo do tempo.
É aplicada por ter como objetivo testar a eficiência de um modelo relativamente novo
ainda pouco usado no mercado financeiro, mas muito promissor (Modelo de Árvores de
Volatilidade Implícita) em relação ao modelo de avaliação utilizado como padrão, mas
com uma série de limitações importantes para sua validade (Modelo de Black &
Scholes, 1973).
Quanto aos meios de investigação a pesquisa será bibliográfica e experimental.
É bibliográfica por se basear em instrumental analítico desenvolvido em material
publicado em livros, revistas e na World Wide Web. Tais fontes estão descritas nas
Referências Bibliográficas.
É experimental por se tratar de uma investigação empírica na qual se busca
contemplar as influências das variações de volatilidade de acordo com o vencimento e
com o preço de exercício existentes no mercado, quando se for avaliar uma opção, bem
como extrair seus parâmetros de hedge.
88
Esta parte da dissertação está dividida em sete enfoques. Em primeiro, serão descritos
dados da amostra utilizados na pesquisa, suas fontes e alguns tratamentos que tiverem
que ser realizados. Em segundo, será explicado o modelo de construção de árvore de
volatilidade implícita utilizado, e as correções que lhe foram implantadas, assim como
apresentado o modelo benchmark de Black & Scholes. Em terceiro será explicado o
procedimento para o cálculo da volatilidade implícita, com enfoque especial a ATM.
Em quarto, serão descritas algumas funções de volatilidade implícita que serão
utilizadas, no intuito de se descobrir qual gera melhores resultados. Em quinto, será
apresentada a estratégia de seguro dinâmico para a análise dinâmica do modelo. Em
sexto, serão apresentados os indicadores de aderência e eficiência dos modelos em
relação aos dados observados no mercado e os gerados pelos modelos. E, finalmente,
serão citadas algumas limitações decorrentes da metodologia usada.
3.2 UNIVERSO E AMOSTRA
A pesquisa desta dissertação será aplicada sobre as opções de compra de Telebrás PN
no período que vai de 15/08/1994 a 17/04/2000.
As opções da Telebrás PN foram escolhidas em função de sua elevada liquidez na
Bovespa, tendo, assim, o perfil mais próximo possível do descrito por Black & Scholes
em seu artigo original. O período escolhido incorpora uma conjuntura econômica
interessante, existente a partir da criação do Plano Real, o que deu maior estabilidade e
eficiência ao mercado de capitais no Brasil. Incorpora, ainda, situações de choque
econômico, tal como as crises do México (1995), Sudeste Asiático, Rússia (1998) e
Brasil (1999), com a desvalorização do Real.
89
Vale ressaltar que foram eliminadas em cada dia as opções cujo número de negócio
fosse inferior a 10. Caso isso não fosse feito haveria um número substancialmente maior
de observações, porém a qualidade dos dados seria muito inferior. Ao proceder esse
tratamento, procura-se minimizar o problema da falta de simultaneidade entre as
cotações de fechamento do ativo subjacente e das séries de opções. Além deste corte foi
feito um segundo corte, que usou a volatilidade implícita como parâmetro. Para as
opções que sobraram, eliminaram-se aquelas cujas volatilidades implícitas deveriam ser
negativas, ou seja, mesmo com volatilidade praticamente igual a zero seu valor ficou
superior ao que deveria ser. Isto só pode ter ocorrido em função de assincronismo dos
inputs para o cálculo da opção. Logo, estes pontos também foram eliminados. Por fim,
optou-se, em cada dia, em utilizar a série de opções com o vencimento mais próximo.
Isso se deu pelo fato de que em apenas muito poucos dias, em aproximadamente 10%,
observou-se opções para o segundo vencimento, totalizando 252 observações, o que
contribuiria muito pouco.
A amostra final utilizada nos testes é formada por 7.618 observações de preços de
fechamento de opções de compra de Telebrás PN negociadas na Bovespa entre os dias
15/08/1994 e 17/04/2000, totalizando 1400 dias. Os preços de exercício da amostra têm
valores mínimo e máximo de R$18,00 e R$330,00. Na Tabela 1 podem ser encontradas
algumas informações sobre a amostra das opções.
Uma questão que não pode passar despercebida é que há uma grande concentração do
número de observações com distância para o vencimento de 11 a 30 dias, 49,62%,
enquanto que ao se aproximar do vencimento e se distanciar do vencimento o número
90
de observações diminui bem, sobre tudo no primeiro caso, representando somente
22,03% da amostra.
Tabela 1. Tabela com informações da amostra de opções de compra utilizada. No Painel A estão apresentadas informações sobre o número de opções de acordo com o número de dias úteis para o vencimento. No Painel B procura-se mostrar o número observações em cada dia.
Painel ANo de Observações de Acordo com o No de Dias de Úteis para o Vencimento
1 a 10 Dias 11 a 30 Dias 31 a 46 Dias Total17/10/94 47 88 54 18919/12/94 64 143 104 31120/02/95 58 120 67 24517/04/95 33 88 27 14819/06/95 37 67 37 14121/08/95 25 44 52 12116/10/95 35 59 29 12318/12/95 31 84 52 16712/02/96 24 81 23 12815/04/96 38 97 33 16817/06/96 51 104 45 20019/08/96 60 136 79 27521/10/96 35 117 116 26816/12/96 40 121 68 22917/02/97 39 104 54 19722/04/97 49 119 96 26416/06/97 62 138 44 24418/08/97 91 176 116 38320/10/97 45 110 90 24515/12/97 74 179 77 33018/02/98 32 106 74 21220/04/98 35 92 48 17515/06/98 49 107 48 20417/08/98 50 93 72 21519/10/98 58 136 80 27421/12/98 47 91 71 20908/02/99 49 108 0 15719/04/99 44 102 88 23421/06/99 64 124 79 26716/08/99 54 117 54 22518/10/99 41 104 76 22120/12/99 42 122 73 23721/02/00 86 178 86 35017/04/00 89 125 48 262
34 VencimentosResumo 0 a 10 Dias 11 a 30 Dias 31 a 50 Dias Total
Soma 1.678 3.780 2.160 7.618Percentual 22,03% 49,62% 28,35% 100,00%
Média 49 111 64 224Desvio Padrão 17 30 27 63
Painel BPercentual de Observações por Dia
Resumo 2 a 4 5 a 6 7 a 11 Total1.400 Dias 29,43% 46,79% 23,79% 100,00%
Vencimentos
Um outro ponto que deve ser percebido na amostra é que em 29,43% dos dias
observam-se no máximo 4 e no mínimo 2 pontos. A pequena quantidade de dados por
dia é um problema quando se deseja fazer regressões polinomiais diárias. Com 4 pontos,
por exemplo, uma regressão polinomial do 3º Grau terá sempre um R-2 de 100%
91
embora não apresente coeficientes estatisticamente robustos. A figura 2 apresenta um
histograma para o número de observações em cada dia da amostra.
Figura 2. Histograma da distribuição de observações opções de compra sobre o ativo Telebrás PN de acordo com sua maturidade para o período de 15/08/1994 a 17/04/2000, após os cortes efetuados.
3,86%
10,00%
15,57%
24,14%22,64%
11,43%
6,36%
3,79%
1,71%0,50%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
2 3 4 5 6 7 8 9 10 110%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Ao longo da amostra foram acompanhados 34 diferentes vencimentos de opções com
várias séries de opções. Vale lembrar que as opções, aqui utilizadas, são protegidas
contra o pagamento de dividendos, ou seja, o valor do preço de exercício, K , de uma
determinada série de opção é reduzido do valor do dividendo, D , anunciado, de modo
que a partir da data-ex o preço de exercício daquela série passa a ser DK − . A
evolução do preço da ação subjacente às opções de compra pode ser vista no gráfico da
Figura 3, e na Figura 4 pode ser vista a evolução dos retornos logarítmicos diários,
durante o período de análise.
92
Figura 3. Gráfico com a evolução dos preços de fechamento do ativo Telebrás PN entre os dias 18/08/1994 e 17/04/2000. Em destaque (de vermelho) estão marcados os pontos correspondentes às datas de vencimento das opções da amostra utilizada.
0
50
100
150
200
250
300
350
15/08/94 15/02/95 15/08/95 15/02/96 15/08/96 15/02/97 15/08/97 15/02/98 15/08/98 15/02/99 15/08/99 15/02/00
Figura 4. Gráfico com a evolução dos retornos logarítmicos diários do ativo Telebrás PN entre os dias 15/08/1994 e 17/04/2000. Em destaque (de vermelho) estão marcados os retornos correspondentes às datas de vencimento das opções da amostra utilizada.
-30%
-20%
-10%
0%
10%
20%
30%
40%
15/08/94 15/02/95 15/08/95 15/02/96 15/08/96 15/02/97 15/08/97 15/02/98 15/08/98 15/02/99 15/08/99 15/02/00
3.3 COLETA DOS DADOS
Para a realização da pesquisa necessita-se de determinadas informações:
1. preço do ativo subjacente;
93
2. preços das opções de compra e suas características, tais como preço de
exercício e tempo para o vencimento, e
3. taxa de juros livre de risco.
Para o preço do ativo foram utilizadas as cotações de fechamento em todo o período
de análise, 15/08/1994 a 17/04/2000, série esta obtida do Sistema Economática. Os
preços das opções de compra, bem como seus preços de exercício e datas de vencimento
foram obtidos diretamente da Bovespa para todo o período de análise.
Como melhor estimativa para a taxa de juros optou-se pela taxa de juros implícita nos
contratos futuros de DI. As séries de cotações de ajuste do DI foram obtidas no site da
BM&F9, calculando-se o cenário para o vencimento das opções. Na grande maioria das
situações, apenas um contrato de DI futuro é necessário para o cálculo do cenário,
porém, no caso de opções com vencimento mais longo, utiliza-se a estrutura a termo da
taxa de juros para extrair o cenário. Como não foi possível conseguir o cenário para
todo o período de análise, somente a partir do dia 28/08/96, nas datas anteriores foi
usado o próprio CDI como proxy do cenário.Por outro lado, para as correções dos saldos
de caixa no Seguro Dinâmico de Portfólio, que será explicado mais adiante, trabalhou-
se, como a melhor proxy para o valor da taxa de juros livre de risco, com o valor da taxa
de juros real do CDI, cujos valores também foram obtidos do Sistema Economática. A
Figura 5 apresenta a evolução desta taxa ao longo do período de análise. A figura 6
apresenta a diferença entre o cenário e o CDI. Nota-se que ela aumenta muito em dias
9 O site da BM&F pode ser encontrado na Internet em www.bmf.com.br
94
de grandes choques, evidenciando o nervosismo do mercado com relação às taxas de
juros futuras.
Figura 5 Gráfico da proxy taxa de juros livre de risco diária (CDI) no mercado brasileiro, entre os dias 15/08/1994 e 17/04/2000. Em destaque (em vermelho) estão marcadas as taxas de juros correspondentes aso dias em que há vencimentos das opções da amostra utilizada.
0,00%
0,05%
0,10%
0,15%
0,20%
0,25%
0,30%
15/08/94 15/02/95 15/08/95 15/02/96 15/08/96 15/02/97 15/08/97 15/02/98 15/08/98 15/02/99 15/08/99 15/02/00
Figura 6 Gráfico com a diferença entre a taxa de juros anual dada pelos contratos de DI (cenário) e a taxa de juros real dada pelo CDI no mercado brasileiro, entre os dias 28/08/1996 e 17/04/2000. Em destaque (em vermelho) estão marcadas as diferenças de taxas de juros correspondentes aos dias em que há vencimentos das opções da amostra utilizada.
-10%
-5%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
28/08/96 28/02/97 28/08/97 28/02/98 28/08/98 28/02/99 28/08/99 28/02/00
95
3.4 MODELOS UTILIZADOS
3.4.1 Árvore de Volatilidade Implícita de Derman & Kani
A construção da árvore de volatilidade implícita se deu de acordo com a metodologia
apresentada por Derman & Kani (1994). Para tanto, foi utilizada a fórmula (2.36) para o
cálculo dos nós acima do centro da árvore, quando o número de nós no passo é ímpar e
a fórmula (2.38) quando o número de passos é par. A condição central [vide
fórmula(2.32)], estabelecida pelos autores é que faz a diferença entre as fórmulas (2.36)
e (2.38), como já descrito na revisão de literatura. Para os nós abaixo do centro da
árvore utilizou-se a fórmula (2.39). Usando-se as fórmulas (2.37) e (2.31) calculam-se
as probabilidades de transição e os preços Arrow-Debreu. Vale lembrar que no nó
inicial (0,1) o preço Arrow-Debreu é igual a um. A Figura 7 apresenta um esquema de
como se procede a construção da árvore.
96
Figura 7 Esquema ilustrativo da construção da árvore de volatilidade implícita de acordo com Derman & Kani (1994). Apresentam-se os elementos necessários para a construção do
)1n( + -ésimo nível da árvore.
(n,i) si Strike
Si+1
Si
λi
pi
(n,2) s2
(n,1) s1
(n,n) sn
(n,n-1) Sn-1
Sn+1
Sn
Sn-1
λn
pn
λn-1
pn-2
S3
S2
S1
λ2
p2
λ1
p1
nó
nível
tempo
n n + 1
tn tn+1
Notação
r = taxa futura de juros conhecida emdeterminado nível.
si = preço do ativo conhecido no nó(n,i) no nível n; nó i; também é ostrike para as opções vencendo nonível n + 1.
Fi = preço futuro conhecido no níveln + 1 do preço do ativo conhecido si
no nível n.
Si = preço desconhecido do ativo nonó (n + 1, i).
λi = preço Arrow-Debreu conhecidono nó (n +1, i).
pi = probabilidade de transição neutraao risco desconhecida do nó (n, i)para o nó (n +1, i)
Em um primeiro momento, foram utilizadas as fórmulas exatamente como previstas
pelo modelo de Derman & Kani para a construção da árvore binomial implícita. Esse
procedimento foi implementado no Excel, fazendo uso da linguagem VBA. Ao testar a
árvore, constatou-se a sua já esperada instabilidade, evidenciada pela presença constante
de probabilidades de transição negativas ou maiores que a unidade. Seguindo a sugestão
dos próprios autores, quando da presença de condições de arbitragem, atribuiu-se ao
valor do ativo no nó em questão o valor que mantém a distância logarítmica entre ele e
seu nó adjacente igual à distância logarítmica dos nós correspondentes no passo
anterior. Esta correção, entretanto, não foi suficiente para evitar os problemas de
97
arbitragem, de modo que continuaram a existir probabilidades de transição fora do
intervalo apropriado10.
Assim, no intuito de solucionar este grave empecilho, procedeu-se uma das correções
sugeridas por Barle & Cakici (1995,1998). Estes autores propõem a substituição do
valor do ativo no nó que permite arbitragem, simplesmente pela metade da soma dos
valores dos futuros dos ativos no passo anterior, que estejam acima e abaixo do mesmo.
Este procedimento foi então aplicado em todos os casos. Porém não é claro qual medida
deve ser tomada para os extremos da árvore, ou seja, quando 1=i ou 1+= ni , já que
nestes casos não existem, no passo anterior, nós acima e abaixo dos mesmos,
respectivamente. A solução encontrada foi a de utilizar as correções de Barle & Cakici
(1995,1998) para os nós internos e para os nós extremos a correção de Derman & Kani
(1994). A figura 8 resume estes procedimentos.
Figura 8 Esquema ilustrativo das correções sugeridas para a subida e descida da árvore, a partir do centro. Para os nós extremos, em preto, utiliza-se a correção proposta por Derman & Kani (1994). Nos demais nós, utiliza-se a correção de Barle & Cakici (1995,1998).
Legenda:
1+is
11
−+ ×=
i
iii F
FSS
11
++ ×=
i
iii F
FSS
21
1+
++= ii
i
FFS
21−+= ii
i
FFS
1+is
1−is
is1+iS
iS
is
1−is
1+iS
iS
s i =valor conhecido do ativo no passo n e nó i
S i =valor desconhecido do ativo no passo n+1 e nó i
F i =valor futuro conhecido
no passo n+1 do valor s i no passo n
Derman & Kani [1994] Barle & Caciki [1995]
n n + 1Passo
10 Veja a fórmula (33) na Revisão de Literatura desta dissertação.
98
Uma segunda alteração que foi feita ao modelo original de Derman & Kani (1994) foi
a precificação das opções internas, necessárias para a construção progressiva da árvore,
de acordo com a fórmula analítica de Black & Scholes (1973) ao invés de se precificar
através da construção de uma árvore binomial simples de acordo com Cox, Ross &
Rubinstein (1978). Como, na medida em que se aumenta o número de passos da árvore
de CRR, esta converge para o valor obtido pelo modelo de BS, isto não leva a questões
conceituais do modelo e já havia sido sugerido também por Barle e Cakici (1995,1998).
Além disso, esta mudança torna o modelo computacionalmente bem mais rápido, o que
é uma grande vantagem, visto a necessidade de preços justos para as opções a todo
instante.
Através do modelo é possível precificar as opções, obter a distribuição de
probabilidade neutra ao risco, SPD, dada pelos valores dos preços Arrow-Debreu no
último passo da árvore, bem como calcular suas gregas. Uma outra ferramenta que foi
implementada foi o desenho da árvore binomial implícita, onde é possível perceber sua
assimetria ao longo de sua evolução.
Nesta dissertação foi usada uma árvore de volatilidade implícita com 150 passos.
3.4.2 Modelo Analítico de Black & Scholes (1973)
Como o modelo de Black & Scholes (1973) será usado como benchmark para o
modelo de construção de árvore de volatilidade implícita, cabe, neste momento, para
99
não deixar dúvidas quanto às fórmulas usadas, apresentar as mesmas11. Assim, o preço
de uma opção de compra com preço de exercício K é dado por:
)d(N)K(VP)d(NSC 21 ×−×= 3.1
onde:
( ) ( )t
t2RKSln
d
2
f
1 σ
σ++= 3.2
( ) ( )t
t2RKSln
d
2
f
2 σ
σ−+= 3.3
com fR 12 sendo a taxa de juros anual livre de risco; t sendo a fração anual do prazo de
vencimento da opção; 1d e 2d sendo as áreas sob a curva normal; e (.)VP a função do
valor presente, com taxa de desconto fR .
3.5 CÁLCULO DA VOLATILIDADE IMPLÍCITA ATM
A conta para a volatilidade implícita será feita pela simples inversão da fórmula de
Black & Scholes, tal qual sugerido pela fórmula (2.8). Contudo, a obtenção do valor da
volatilidade implícita ATM tornou-se uma tarefa mais elaborada em função da pequena
quantidade de dados observados em cada dia, fato este já mencionado. Como solução,
11 No caso de maiores dúvidas veja Lemgruber (1995) 12 Vale lembrar que trata-se de juros contínuos, logo no nosso caso que lidamos com juros discretos, deve-se
efetuar a seguinte transformação: ( )dcf RRR +== 1ln , onde cR é o juros contínuo e dR é o juros discreto.
100
em vez de usar somente o próprio dia para calcular a volatilidade implícita ATM, foi
usada uma janela de 5 dias, aumentando o número de pontos observados. A esses pontos
será ajustada uma curva polinomial do terceiro grau. Porém, como não se está utilizando
somente dados de um dia específico, em vez de usar o strike como variável explicativa,
será usada a moneyness ( )1−SK . Esta curva, entretanto, será travada em seus extremos,
de modo que para valores que fujam dos valores máximo e mínimo de moneyness, o
valor da volatilidade implícita ATM será igual ao valor da volatilidade implícita obtida
com os coeficientes da regressão e com moneyness igual a moneyness máxima ou
mínima, dependendo para que lado a moneyness original estava. A tabela 2 apresenta os
pontos usados para a regressão do dia 24/01/2000. A figura 9 ilustra o procedimento de
truncamento da função para o dia 24/01/2000 e a figura 10 apresenta a evolução da
volatilidade implícita ATM para todo o período de análise.
Tabela 2 Pontos utilizados para na regressão polinomial cúbica, visando o cálculo da volatilidade implícita ATM no dia 24/01/2000. Note que foi usada uma janela de 5 dias e que a
variável explicativa é o moneyness calculado por ( )1−SK
Volatilidade Implícita
227,09 237,09 247,09 257,09 267,09 277,09 287,09 297,09 310 320
18/01/00 55,50% 50,33% 48,82% 50,86% 48,55% 50,98% 50,32% 48,55% 48,13% 45,12% 257,6
19/01/00 - 61,48% 56,29% 54,45% 52,03% 52,69% 52,18% 51,55% 53,18% 49,56% 246,8
20/01/00 - 50,98% 51,04% 54,54% 51,20% 50,17% 48,40% 48,63% 51,28% 51,31% 242,0
21/01/00 - 55,34% 54,43% 57,30% 54,37% 52,75% 51,87% 51,63% 50,92% 53,23% 240,0
24/01/00 69,27% 58,25% 59,90% 56,96% 57,46% 55,64% 53,58% 52,56% 50,66% 52,11% 236,0
Data Moneyness
18/01/00 -0,118 -0,080 -0,041 -0,002 0,037 0,076 0,114 0,153 0,203 0,242
19/01/00 - -0,039 0,001 0,042 0,082 0,123 0,163 0,204 0,256 0,297
20/01/00 - -0,020 0,021 0,062 0,104 0,145 0,186 0,228 0,281 0,322
21/01/00 - -0,012 0,030 0,071 0,113 0,155 0,196 0,238 0,292 0,333
24/01/00 -0,038 0,005 0,047 0,089 0,132 0,174 0,216 0,259 0,314 0,356
Mínimo -0,118 Máximo 0,356
SpotData
101
Figura 9 Visualização gráfica do procedimento de truncamento da função obtida a partir de uma
regressão polinomial cúbica com variável explicativa dada por ( )1−SK . Note que para
valores superiores ao valor máximo e inferiores ao valor mínimo a função fica constante. Em destaque (vermelho) está o valor da volatilidade implícita ATM, que é obtida quando a moneyness for igual a zero. A reta maior em verde aponta para este valor sobre a curva de ajuste..
Max = 0,356Min = -0,118
y = 3,7696x3 - 1,1787x2 - 0,1321x + 0,5532R2 = 0,2041
30%
35%
40%
45%
50%
55%
60%
65%
70%
75%
-0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Figura 10 Evolução da Volatilidade Implícita ATM ao longo do período de análise, de 15/08/94 até 14/04/2000. Em destaque (em vermelho) estão marcadas as volatilidades implícitas ATM correspondentes aos dias em que há vencimentos das opções da amostra utilizada
0%
20%
40%
60%
80%
100%
120%
15/08/94 15/02/95 15/08/95 15/02/96 15/08/96 15/02/97 15/08/97 15/02/98 15/08/98 15/02/99 15/08/99 15/02/00
102
3.6 DETERMINAÇÃO DA FUNÇÃO DE VOLATILIDADE
IMPLÍCITA (IVF)13
Uma das questões mais importantes do modelo de construção de árvores de
volatilidade implícita é a determinação da função de volatilidade que deve ser usada,
cujo valor servirá de input para o cálculo dos valores das opções dentro da árvore.
Serão testadas as seguintes funções principais de acordo com um ajuste polinomial
cúbico:
Função 1: ( )it,i Kf=σ 3.4
Função 2:
−= 1S
Kfi
it,iσ 3.5
Função 3:
−
=T
SK
fRATM
i
i
i
ti σσ
1
, 3.6
Função 4: ATMiti σσ =, 3.7
As Funções 1 e 2 serão utilizadas, ora com as volatilidades implícitas observadas até
o mesmo dia e, ora com defasagem de 1 dia, ou seja até o dia anterior. Ressalta-se, que
em função da pequena quantidade de pontos será utilizada uma janela de 5 dias para a
13 Do inglês Implied Volatility Function.
103
regressão, procedimento idêntico ao usado para o cálculo da volatilidade implícita ATM
com função truncada entre os valores extremos. A Figura 11 ilustra os dias que serão
usados para as regressões com uma janela de cinco dias em ambos os casos.
Figura 11 Ilustração dos dias usados na regressão com defasagem de 1 dia ou não, com uma janela de 5 dias, para o caso específico do dia 24/01/2000.
DataNão
DefasadoDefasado 1
Dia
17/01/00 -5 -5
18/01/00 -4 -4
19/01/00 -3 -3
20/01/00 -2 -2
21/01/00 -1 -1
24/01/00 0 0
A função 3, por necessitar de uma prévia estimação da volatilidade implícita ATMR14
de acordo com a fórmula (2.14), terá 5 variações, dependendo do tamanho da janela
utilizada para a estimação de seus coeficientes. As janelas utilizadas serão de
21,63,126,252 e 1400 dias. A janela de 1400 dias foi feita, para replicar o procedimento
adotado por Rosenberg (2000), que fez a estimação com toda a sua amostra. Estes
modelos já são defasados de um dia por definição.
Para cada uma destas 9 funções serão feitos os cálculos dos preços das opções pela
construção da árvore de volatilidade implícita de Derman & Kain (1994), tal como
mencionada anteriormente, bem como usando-se a fórmula de Black & Scholes (1973).
Neste segundo caso ainda será feita a conta usando-se a função 4 e sua versão defasada
um dia, ou seja, com a volatilidade implícita ATM do dia anterior. Logo, serão testadas
14 O R ao lodo de ATM serve para diferenciar a volatilidade implícita ATM calculada pela regressão sugerida por Rosenberg da volatilidade implícita ATM estimada pelo procedimento explicado anteriormente. Note que a segunda é fonte de informação para o cálculo da primeira.
104
ao total 20 abordagens diferentes. A tabela 3 apresenta a nomenclatura que foi dada par
cada um dos casos. O campo de data início indica o primeiro dia em que foi feita a
precificação com aquela abordagem, em função da janela usada nas regressões.
Tabela 3 Nomes atribuídos a cada uma das 20 diferentes abordagens realizadas para testar a eficiência dos modelos de Derman & Kani (1994) e Black & Scholes (1973).
Nome Função Modelo Defasado 1 Dia Janela Data Início
DK F_1 1 Derman & Kani Não - 19/08/94
DK F_1 Def 1 Derman & Kani Sim - 22/08/94
DK F_2 2 Derman & Kani Não - 19/08/94
DK F_2 Def 2 Derman & Kani Sim - 22/08/94
DK F_3 R_21 3 Derman & Kani - 21 14/09/94
DK F_3 R_63 3 Derman & Kani - 63 17/11/94
DK F_3 R_126 3 Derman & Kani - 126 16/02/95
DK F_3 R_252 3 Derman & Kani - 252 23/08/95
DK F_3 R_1400 3 Derman & Kani - 1400 19/08/94
BS F_1 1 Black & Scholes Não - 19/08/94
BS F_1 Def 1 Black & Scholes Sim - 22/08/94
BS F_2 2 Black & Scholes Não - 19/08/94
BS F_2 Def 2 Black & Scholes Sim - 22/08/94
BS F_3 R_21 3 Black & Scholes - 21 14/09/94
BS F_3 R_63 3 Black & Scholes - 63 17/11/94
BS F_3 R_126 3 Black & Scholes - 126 16/02/95
BS F_3 R_252 3 Black & Scholes - 252 23/08/95
BS F_3 R_1400 3 Black & Scholes - 1400 19/08/94
BS F_4 4 Black & Scholes Não - 19/08/94
BS F_4 Def 4 Black & Scholes Sim - 22/08/94
3.7 ESTRATÉGIA DE SEGURO DINÂMICO DE PORTFÓLIO
Serão aplicadas estratégias de Seguro Dinâmico de Portfólio15 durante 25 dias úteis
para cada vencimento, logo, perfazendo um total de 34 seguros realizados. Foi
escolhido o intervalo entre os dias 30 e 6 do vencimento para a realização do seguro por
razões que serão explicadas mais adiante, nos resultados. Vale lembrar que ao se tomar
15 Para maiores detalhes veja Lemgruber, E.F., J.L. Becker, e R.F. Felício (1990)
105
esta medida é necessário recalcular os cenários, pois os tempos para o vencimento
ficaram diferentes. Esta estratégia objetiva segurar o valor de determinado portfólio de
acordo com a venda fictícia de uma opção de venda sobre o ativo que se deseja segurar,
implicando em uma necessidade de aporte de capital no valor desta opção. Através do
delta desta opção são realizadas operações de ajuste de posição com a finalidade de
evitar perdas.
De uma maneira geral esta estratégia faz com que a posição em risco do ativo tenda a
diminuir com uma queda do preço do mesmo, aumentando a posição em caixa, que é
corrigida pelo CDI, e tenda aumentar quando o preço do ativo está subindo, reduzindo,
naturalmente a posição em caixa.
Serão utilizadas as cotações de fechamento do ativo para efeito de ajuste de posição
via cálculo do delta da opção de venda utilizada no seguro. O preço de exercício será
determinado de acordo com o preço de fechamento do dia em que o seguro teve início.
Estes seguros serão realizados para cada uma das funções de volatilidade implícita
sugeridas na etapa anterior, para cada um dos 34 vencimentos. A tabela 4 ilustra a
realização deste seguro.
106
Tabela 4 Desenvolvimento da estratégia de Seguro Dinâmico, via compra e venda do ativo de Telebrás PN, com uma posição inicial de mil lotes de mil ações durante o período de 07/01/2000 a 14/02/2000, usando a abordagem DK_F2.
Quantidade de Lotes Posição
Inicial Operada Final de Risco de CaixaTotal
($)Valor Custo
07/01/00 25 215,99 (0,47) 1.000 -466 534 115.371 114.861 230.232 215.990 14.24210/01/00 24 228,90 (0,33) 534 136 670 153.428 83.780 237.208 222.956 14.25211/01/00 23 223,00 (0,37) 670 -44 627 139.710 93.601 233.311 219.049 14.26212/01/00 22 223,00 (0,39) 627 -14 613 136.653 96.724 233.377 219.105 14.27213/01/00 21 242,02 (0,24) 613 151 764 184.946 60.153 245.099 230.817 14.28214/01/00 20 251,00 (0,09) 764 147 911 228.713 23.290 252.003 237.711 14.29217/01/00 19 263,00 (0,11) 911 -17 895 235.302 27.651 262.953 248.652 14.30118/01/00 18 257,60 (0,12) 895 -19 875 225.486 32.655 258.141 243.830 14.31119/01/00 17 246,80 (0,17) 875 -49 826 203.824 44.885 248.709 234.389 14.32120/01/00 16 242,00 (0,19) 826 -14 812 196.398 48.378 244.776 230.445 14.33121/01/00 15 240,00 (0,22) 812 -36 775 186.111 57.075 243.186 228.846 14.34124/01/00 14 236,00 (0,21) 775 16 792 186.887 53.237 240.124 225.773 14.35126/01/00 13 239,00 (0,20) 792 6 798 190.750 51.786 242.536 228.176 14.36027/01/00 12 240,40 (0,18) 798 20 818 196.747 46.942 243.689 229.319 14.37028/01/00 11 235,00 (0,23) 818 -49 770 180.865 58.437 239.302 224.922 14.38031/01/00 10 229,50 (0,30) 770 -66 704 161.520 73.589 235.110 220.719 14.39001/02/00 9 232,50 (0,25) 704 51 755 175.458 61.814 237.271 222.871 14.40002/02/00 8 241,49 (0,12) 755 128 882 213.035 31.063 244.098 229.688 14.41003/02/00 7 249,50 (0,04) 882 73 955 238.387 12.799 251.186 236.766 14.42004/02/00 6 260,00 (0,01) 955 39 994 258.510 2.717 261.227 246.797 14.43007/02/00 5 265,50 (0,00) 994 5 999 265.309 1.388 266.697 252.258 14.43908/02/00 4 275,50 (0,00) 999 -1 999 275.103 1.588 276.691 262.241 14.44909/02/00 3 267,99 (0,00) 999 -3 996 266.846 2.347 269.193 254.734 14.45910/02/00 2 272,99 (0,00) 996 4 1.000 272.897 1.276 274.173 259.704 14.46911/02/00 1 265,01 (0,00) 1.000 0 1.000 265.005 1.192 266.197 251.718 14.47914/02/00 0 261,00 0,00 1.000 0 1.000 261.000 1.187 262.187 247.709 14.479
SeguroTaxa de Hedge
( ∆∆∆∆)Data Prazo
Preço Lote de mil
A quantidade final de lotes a cada dia é igual a um menos a taxa de hedge (1+∆)
multiplicado pela quantidade total de lotes que se deseja proteger, neste caso mil lotes.
Logo, a quantidade operada em determinado dia será igual a diferença entre a
quantidade final deste dia e a do dia anterior. Repare que a quantidade final de lotes de
Telebrás PN tendeu aos mil lotes originais, pois o preço do lote ficou acima do preço de
exercício da opção de venda européia, o que fez com que a taxa de hedge tendesse a
zero, forçando o investidor a recomprar o ativo. A posição de risco a cada dia é o valor
financeiro da posição no ativo, ou seja, é igual a quantidade final de lotes multiplicado
pelo seu preço. Já a posição em caixa equivale ao valor financeiro em caixa no dia
anterior corrigido pelo CDI somado ao saldo da operação com o ativo no dia. Quando
ocorre compra do ativo há saída de caixa e quando se realiza venda há entrada de caixa.
Desde o primeiro dia a posição em caixa já está acrescida do custo do seguro. Logo a
posição total é obtida pela soma das posições em risco e em caixa. O custo do seguro é
107
o valor da opção de venda européia corrigido a cada dia. O valor do seguro é a posição
de risco somado à posição de caixa subtraído o custo do seguro.
3.8 TESTES DE ADERÊNCIA / EFICIÊNCIA
A performance estática dos modelos para as diferentes funções de volatilidade
implícita será analisada de acordo com dois indicadores muito parecidos,
matematicamente, entretanto, com significados bem distintos. O primeiro indicador é o
erro relativo, dado por:
merc
merc
C
CCER mod−
= 3.8
onde mercC é o preço da opção de compra observado no mercado e modC é o preço da
opção calculado pelo modelo. Este indicador fornece o valor relativo do tanto que o
modelo está se distanciando do mercado, deixando claro ainda para que lado é este
desvio, ou seja, se é para mais ou para menos. Logo, valores positivos indicam que o
modelo tende a subestimar o mercado, enquanto que valores negativos sugerem uma
superestimação do mercado.
Necessita-se saber, entretanto, se no total o tamanho destes desvios em relação ao
valor observado no mercado é significativo. Para tanto, será usado o erro absoluto
relativo, dado por:
−=
merc
merc
C
CCABSEAR mod 3.9
108
Serão calculadas as médias dos dois erros para todos os pontos para cada uma das
abordagens. Aquela que apresentar a menor média de EAR será considerada a melhor
dentre aquelas aqui sugeridas.
Para a análise da performance dos Seguros Dinâmicos de Portfólios serão
comparados os desvios em relação ao valor teórico esperado, dado pelo valor máximo
entre o valor segurado e o valor do ativo no dia do vencimento, e o valor obtido pela
abordagem utilizada, com fórmulas similares às citadas anteriormente.
3.9 LIMITAÇÕES METODOLÓGICAS
O estudo apresenta uma série de limitações listadas a seguir:
• o estudo se limitou a analisar os modelos a partir de performances estáticas e
dinâmica em condições que não refletem a realidade de operações de arbitragem no
mercado, tal como a falta de simultaneidade entre as cotações das séries de opções e
do ativo objeto, o que pode distorcer os valores aferidos no estudo caso fossem
efetivamente realizados pelos operadores nos mercados de opções;
• este estudo partiu do pressuposto de que todas as opções de Telebrás PN são calls
européias, isto é, opções de compra que não podem ser exercidas antes do
vencimento;
• este estudo considerou que os ajustes decorrentes do Seguro Dinâmico de Portfólio
foram feitos de uma só vez ao final do dia de cada dia de negócio ao longo do
período estudado;
109
• os ajustes foram feitos pelos preços diários de fechamento dos ativos;
• não serão consideradas fricções de mercado (custos de transação, impostos,
depósitos de margem em garantia e impossibilidade de vendas a descoberto).
Quando inseridos, tais fatores podem modificar os valores absolutos aferidos por
cada um dos modelos;
• o estudo considerará que os investidores são neutros ao risco;
• na realização das operações se considerará que a liquidez do mercado não exerce
nenhuma influência nos preços das operações (inexistência de prêmios ou descontos
por liquidez).
110
44 RREESSUULLTTAADDOOSS
Nesta etapa da dissertação serão apresentados e discutidos os resultados encontrados
através da metodologia exposta anteriormente.
4.1 RESULTADOS PRELIMINARES
Uma questão bastante relevante do modelo de Derman & Kani é a quebra da
lognormalidade da distribuição de probabilidade livre de risco do ativo. As figuras que
seguem procuram ilustrar esta questão.
Figura 12. Comparação entre a distribuição de probabilidade livre de risco obtida de árvores Binomiais Comuns (á esquerda) e árvores de Derman & Kani (á direita) para diferentes números de passos. Foi escolhido o dia 03/01/2000 (35 dias para o vencimento) para ilustrar estas distribuições. A volatilidade constante para a Binomial Comum foi de 53% (volatilidade ATM)
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
14%
16%
18%
20%
0 100 200 300 400 500
Valores do Ativo
Pro
bab
ilid
ad
e
20 Pas s os 40 Pass os 60 Pas s os 80 Pas s os
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
14%
16%
18%
20%
0 100 200 300 400 500
Valores do Ativo
Pro
ba
bili
da
de
20 Pas s os 40 Pas s os 60 Pas s os 80 Pas s os
111
Figura 13. Comparação entre a distribuição de probabilidades livre de risco obtida de árvores Binomiais Comuns e árvores de Derman & Kani, com o intuito de mostrar sua assimetria, com 20 e 80 passos. Foi escolhido o dia 03/01/2000 (35 dias para o vencimento) para ilustrar estas distribuições. A volatilidade constante para a Binomial Comum foi de 53% (volatilidade ATM)
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
14%
16%
18%
20%
0 100 200 300 400 500
Valores do Ativo
Pro
ba
bili
dad
e
Im plícita Binom ial Com um
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
14%
16%
18%
20%
0 100 200 300 400 500
Valores do Ativo
Pro
bab
ilid
ad
e
Im plícita Binom ial Com um
Como pode ser notado, o processo de achatamento das probabilidades livre de risco, a
medida em que se aumenta o número de passos, está presente em ambos os casos. Outro
fato observado é que o desenho de ambas as distribuições também não se modifica
significativamente. As distribuições de Derman & Kani apresentam uma certa
assimetria para a direita e tem um formato ligeiramente bi-modal para este dia. Porém,
não se pode afirmar que o formato da distribuição obtida por Derman & Kani será
sempre igual. A figura abaixo apresenta outras distribuições.
Figura 14. Distribuições de probabilidade livre de risco segundo Derman & Kani nos dias 04/01/2000 (34 dias para o vencimento) e 05/01/2000 (33 dias para o vencimento) com diferentes números de passos.
0%
5%
10%
15%
20%
25%
0 100 200 300 400 500
Valores do Ativo
Pro
ba
bili
da
de
20 Pas s os 40 Pas s os 60 Pas s os 80 Pas s os
0%
5%
10%
15%
20%
25%
0 100 200 300 400 500
Valores do Ativo
Pro
ba
bili
da
de
20 Pas s os 40 Pas s os 60 Pas s os 80 Pas s os
112
Pode-se perceber que a distribuição de probabilidade livre de risco é função da
estrutura da volatilidade de cada dia e da construção da árvore com seus ajustes
internos.
Um outro ponto importante a ser abordado é o formato das árvores geradas por
Derman & Kani. Uma vez que a volatilidade não é constante, as probabilidades de
transição também não o serão, de modo que o espaçamento entre os nós difere bastante
ao longo da árvore, principalmente se comparados com os de uma Binomial Comum.
Abaixo estão ilustrados alguns exemplos.
Figura 15. Árvores de Derman & Kani geradas para o dia 03/01/2000 (35 dias para o vencimento) com diferentes números de passos (da esquerda para a direita , 20 – 40 – 60 – 80 passos).
221,02
28,87
573,87
4,6
782,9
0,02
1064,36
7,25
221,02
984,47
Em geral as árvores de Derman & Kani apresentam valores extremos superiores
menores que as árvores Binomiais Comuns e valores extremos inferiores menores. Isto
é um reflexo da redução da volatilidade para valores maiores do ativo e aumento da
volatilidade para valores menores, de modo que o espaçamento na subida (descida) da
árvore de Derman & Kani tenda a ser menor (maior). Adicionalmente, em função dos
ajustes que são necessários serem realizados nas árvores de Derman & Kani, pode
acontecer, em algumas circunstâncias, dos valores extremos superiores tenderem ao
infinito. Contudo, esta instabilidade não parece prejudicar a precificação das opções
113
como será visto mais adiante, pois as probabilidades atribuídas a esses valores extremos
são muito pequenas.
4.2 RESULTADOS FINAIS
4.2.1 Performance Estática
Como uma das primeiras regressões que se fez necessária foi aquela para calcular as
volatilidades implícitas ATM a cada dia, a qual será considerada como aquela que foi
observada no mercado, cabe uma análise dos coeficientes destas regressões, tal qual
apresentados na tabela 5.
Tabela 5 Média e Desvio Padrão dos coeficientes das regressões bem como dos indicadores de aderência para o cálculo da volatilidade implícita ATM usando-se a moneyness
( )1−SK como variável explicativa. Apresenta ainda a estatística t para testar a hipótese
nula (bilateral) de que os coeficientes e indicadores de aderência sejam igual a zero. Probabilidades inferiores a 0,05 indicam que não se pode aceitar a hipótese nula para um nível de significância de 5%
Coeficientes Aderênciaa0 a1 a2 a3 R-2 R-2 Ajust
Média 0,438 -0,351 4,190 -6,368 0,605 0,549Desvio Padrão 0,153 0,834 8,259 33,666 0,249 0,285Número de Dias 1.396 1.396 1.396 1.396 1.396 1.396Estatísitica t 106,6 -15,7 19,0 -7,1 90,6 72,1Probabilidade 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
Como pode ser notado, podemos considerar, na média, que os coeficientes destas
regressões são estatisticamente diferentes de zero, bem como os indicadores de
aderência. Para cada dia o valor da volatilidade implícita ATM é igual ao coeficiente a0,
que equivale a assumir o valor de K igual a S. Note que na média, a volatilidade
implícita ATM calculada foi de 43,8%. Uma questão que é importante de ser frisada é
que na média o R-2 Ajustado, indicador de aderência, foi de 54,9%. Embora este valor
114
não tenha sido tão elevado, a quantidade e a qualidade dos dados não permitiu a
obtenção de resultados melhores.
Em segundo lugar, apresento os dados relativos às regressões de Rosenberg com as
diferentes janelas. Estes dados podem ser vistos na tabela que segue.
Tabela 6 Média e Desvio Padrão dos coeficientes das regressões de Rosenberg, bem como dos indicadores de aderência.
Médias
Coeficientes Aderência
ωωωω αααα γγγγ R-2 R-2 Ajust
21 0,058 0,859 0,253 0,744 0,716
63 0,027 0,927 0,249 0,866 0,861
126 0,015 0,954 0,276 0,921 0,919
252 0,011 0,962 0,295 0,940 0,940
1400 0,007 0,976 0,302 0,972 0,972
Desvio Padrão
Coeficientes Aderência
ωωωω αααα γγγγ R-2 R-2 Ajust
21 0,078 0,173 0,447 0,194 0,215
63 0,027 0,065 0,193 0,101 0,104
126 0,011 0,029 0,129 0,048 0,049
252 0,007 0,023 0,082 0,048 0,049
1400 - - - - -
Janela
Janela
Conforme aumenta-se o número de dias da janela há uma tendência de que os
coeficientes α e γ aumentem e o coeficiente ω diminua. Como se tratam apenas de
dados descritivos, uma vez que estes valores têm uma dinâmica particular mudando
todos os dias, não julgo relevante uma comparação mais profunda entre suas médias, ou
até mesmo, testar, como no caso anterior, se seus valores podem se considerados
diferentes de zero. Contudo, como se tratam de equações que buscam prever a
volatilidade implícita ATM para o dia seguinte, acredito que uma análise dos EAR entre
115
a volatilidade implícita ATMR e a volatilidade implícita ATM observada16, torna-se
relevante. A tabela 7 apresenta esses valores.
Tabela 7 Comparação das médias dos EARs (Erro Absoluto Relativo) das volatilidades implícitas ATM para as diferentes janelas utilizadas. O teste t é feito sob a hipótese nula (unilateral) de que o erro relativo absoluto médio de cada janela é maior que da janela anterior (as janelas aparecem ordenadas crescentemente pelo EAR). O campo probabilidade é a probabilidade de rejeição da hipótese nula para cada janela, onde valores maiores que 5% indicam que os erros absolutos relativos médios são estatisticamente iguais para a respectiva janela e a anterior a um nível de significância de 5%.
Erro Absoluto Relativo
Média Desvio PadrãoNúmero de
Observações
1400 3,565% 5,907% 1.396252 3,669% 6,238% 1.148 0,564 28,63%126 3,763% 6,244% 1.274 0,535 29,65%63 3,802% 6,170% 1.337 0,231 40,87%21 4,136% 6,383% 1.379 1,943 2,61%
Rosenberg Estatística t Probabilidade
Para a expansão desta análise entre cada uma das janelas com todas as demais, veja as
tabelas 8 e 9 com as estatísticas t e suas probabilidades associadas, respectivamente.
Tabela 8 Estatística t para a diferença entre as médias de EARs entre as diferentes janelas da regressão da função de Rosenberg.
Estatística t
Janela 1400 252 126 63 21
1400252 0.564
126 1.129 0.535
63 1.401 0.785 0.23121 3.319 2.715 2.170 1.943
16 Vale lembrar, mais uma vez, que o que chamo de volatilidade implícita observada é na verdade aquela obtida através de regressões como descrito anteriormente.
116
Tabela 9 Probabilidades associadas às estatísticas t para a diferença entre as médias de EAR entre as diferentes janelas da regressão da função de Rosenberg.
Probabilidade Associada
Janela 1400 252 126 63 21
1400252 28,63%126 12,96% 29,65%63 8,07% 21,62% 40,87%21 0,05% 0,34% 1,51% 2,61%
Logo, aparentemente, todas as previsões são estatisticamente iguais, com exceção da
última, feita com janela de 21 dias. Entretanto, se consideramos que os dados estão
emparelhados e fizermos uma comparação entre a média da diferença de erros de cada
janela ponto a ponto, nota-se que podemos considerar as previsões de cada modelo
distintas, como pode ser observado na tabela 10.
Tabela 10 Probabilidades associadas às estatísticas t para a média das diferenças entre os EARs, ponto a ponto, para cada janela. Valores maiores que 5% indicam que não se pode rejeitar a hipótese nula (bilateral) de que a diferença média entre os EARs ponto a ponto, seja estatisticamente significativa a um nível de significância de 5%.
Janela 1400 252 126 63 211400 -252 0,02% -126 0,00% 3,61% -63 0,00% 0,29% 3,61% -21 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% -
De acordo com os dados acima17, constata-se que podemos considerar a utilização de
diferentes janelas para a regressão das equações de Rosenberg como elemento gerador
de diferenças entre as previsões de volatilidade implícita ATM.
17 No Anexo I encontram-se as tabelas com as correlações, médias, desvios-padrão e estatísticas t para a diferença de médias de EARs, ponto a ponto, para cada tamanho de janela utilizado.
117
Entrando, agora, na análise dos resultados das abordagens, a tabela 11, que segue,
apresenta os resultados dos erros relativos referentes ao preço das opções, bem como
seus desvios padrões e uma estatística t par testar a hipótese (unilateral) de que os
incrementos de EAR médio de uma abordagem para a outra são estatisticamente
significativos.
Tabela 11 Comparação das médias dos ERs e EARs dos preços entre as diferentes abordagens com número de observações distintos. O teste t é feito sob a hipótese nula (unilateral) de que o erro relativo absoluto médio de cada abordagem é maior que da abordagem anterior (as abordagens aparecem ordenadas crescentemente pelo EAR). O campo probabilidade é a probabilidade de rejeição da hipótese nula para cada abordagem, onde valores maiores que 5% indicam que os erros absolutos relativos médios são estatisticamente iguais para a respectiva abordagem e a anterior a um nível de significância de 5%. A linha tracejada indica os grupos de abordagens estatisticamente similares que foram encontrados.
Erro Relativo Erro Absoluto Relativo
MédiaDesvio Padrão
MédiaDesvio Padrão
BS F_3 R_252 -2,20% 29,59% 15,08% 25,55% 6.456BS F_3 R_1400 -2,62% 42,95% 15,68% 40,08% 7.600 1,308 9,55%DK F_3 R_252 -0,37% 38,86% 15,79% 35,51% 6.456 0,256 39,89%BS F_3 R_126 -2,95% 45,81% 15,80% 43,10% 6.884 0,016 49,37%
BS F_3 R_21 -2,68% 43,45% 15,87% 40,53% 7.524 0,159 43,69%BS F_3 R_63 -2,69% 44,03% 15,92% 41,15% 7.269 0,089 46,47%DK F_3 R_21 -0,23% 38,71% 16,14% 35,19% 7.524 0,558 28,84%DK F_3 R_1400 -0,58% 45,84% 16,39% 42,82% 7.600 0,498 30,94%DK F_3 R_126 -1,15% 56,66% 16,73% 54,15% 6.884 0,519 30,20%
DK F_3 R_63 -1,27% 55,83% 17,20% 53,13% 7.269 0,768 22,13%
BS F_2 -3,91% 71,95% 22,35% 68,51% 7.600 6,546 0,00%BS F_1 -2,07% 64,36% 23,22% 60,06% 7.600 1,266 10,28%
DK F_2 -6,63% 228,32% 27,09% 226,81% 7.600 1,488 6,84%
BS F_4 -1,51% 55,50% 30,66% 46,29% 7.600 6,710 0,00%DK F_2 Def -7,25% 190,64% 32,40% 188,00% 7.595 0,809 20,92%
BS F_4 Def -1,68% 57,46% 32,78% 47,23% 7.595 0,692 24,44%DK F_1 -10,23% 284,78% 32,81% 283,07% 7.600 0,009 49,63%DK F_1 Def -6,28% 216,85% 33,09% 214,40% 7.595 0,115 45,43%
BS F_2 Def 74,25% 4785,09% 191,40% 4781,84% 7.595 2,885 0,20%BS F_1 Def 139,34% 5446,69% 201,48% 5444,74% 7.595 0,161 43,59%
Abordagem Observações Estatística t Probabilidade
Matematicamente, dados dois modelos M1 e M2 o teste t é feito sobre a hipótese nula
de que o incremento de erro absoluto de M1 para M2 é não significativo. A estatística
do teste, para uma amostra de n observações é a seguinte:
118
nDP
EARMEARMt
M
MM
2
21 −= 4.1
De acordo com a tabela acima podemos identificar 8 conjuntos de abordagens cujos
elementos podem ser considerados estatisticamente similares18. Dentre as abordagens
que usam o modelo de Derman & Kani (1994), o que se saiu melhor foi o DK_F3_R252
sendo somente o terceiro melhor. Dentre as seis melhores, todos usaram o modelo de
Black & Scholes (1973), com exceção da abordagem citada anteriormente. Contudo, o
que fica muito claro é a predominância da função 3, que faz uso da estimação de
Rosenberg, na medida em que elas ocuparam todas as primeiras posições.
A tabela 12 apresenta as mesmas informações que a tabela 11, porém em relação às
volatilidades implícitas.
119
Tabela 12 Comparação das médias dos ERs e EARs das volatilidades implícitas entre as diferentes abordagens com número de observações distintos. O teste t é feito sob a hipótese nula (unilateral) de que o erro relativo absoluto médio de cada abordagem é maior que da abordagem anterior (as abordagens aparecem ordenadas crescentemente pelo EAR). O campo probabilidade é a probabilidade de rejeição da hipótese nula para cada abordagem, onde valores maiores que 5% indicam que os erros absolutos relativos médios são estatisticamente iguais para a respectiva abordagem e a anterior a um nível de significância de 5%. A linha tracejada indica os grupos de abordagens estatisticamente similares que foram encontrados.
Erro Relativo Erro Absoluto Relativo
MédiaDesvio Padrão
MédiaDesvio Padrão
BS F_3 R_1400 -0,77% 11,10% 7,20% 8,49% 7.600BS F_3 R_21 -0,79% 11,14% 7,23% 8,50% 7.524 0,321 37,39%BS F_3 R_63 -0,79% 11,21% 7,26% 8,58% 7.269 0,323 37,32%BS F_3 R_252 -0,83% 11,38% 7,30% 8,76% 6.456 0,349 36,35%BS F_3 R_126 -0,89% 11,35% 7,32% 8,72% 6.884 0,166 43,42%
DK F_3 R_1400 0,44% 11,81% 7,77% 8,90% 7.600 4,457 0,00%DK F_3 R_21 0,47% 11,79% 7,78% 8,87% 7.524 0,072 47,14%DK F_3 R_252 0,41% 12,10% 7,87% 9,19% 6.456 0,807 20,99%DK F_3 R_63 0,39% 12,11% 7,89% 9,19% 7.269 0,144 44,28%DK F_3 R_126 0,35% 12,15% 7,92% 9,23% 6.884 0,260 39,75%
DK F_2 0,15% 15,54% 9,52% 12,27% 7.600 11,404 0,00%BS F_2 -1,67% 19,06% 9,71% 16,49% 7.600 0,990 16,12%
BS F_1 -1,05% 18,19% 9,95% 15,26% 7.600 1,375 8,46%DK F_1 0,59% 16,60% 10,07% 13,21% 7.600 0,782 21,72%
DK F_2 Def 0,34% 19,36% 12,46% 14,82% 7.595 14,060 0,00%
DK F_1 Def 0,86% 19,79% 12,83% 15,09% 7.595 2,131 1,66%
BS F_4 2,87% 21,61% 14,42% 16,35% 7.600 8,474 0,00%
BS F_4 Def 2,85% 23,07% 15,79% 17,06% 7.595 7,013 0,00%
BS F_2 Def -1,26% 120,40% 18,76% 118,94% 7.595 2,172 1,49%BS F_1 Def -0,79% 133,96% 19,44% 132,55% 7.595 0,449 32,67%
ProbabilidadeAbordagem Observações Estatística t
Os resultados para as volatilidades implícitas não foram muito diferentes uma vez que
decorrem dos preços obtidos. Houve, entretanto uma maior quantidade de conjuntos
estatisticamente iguais. Neste caso, o que também ficou evidente, foi uma nítida
distinção entre os dois primeiros grupos, ambos empregando funções de Rosenberg,
sendo que o primeiro utiliza o modelo de Black & Scholes e o segundo Derman & Kani.
Um fato que pôde ser observado é que para determinados dias com prazo de
vencimento distintos, as médias dos erros médios por abordagem eram bastante
18 Veja em no Anexo II a tabela com a matriz de estatísticas t entre todas a médias de EARs de preço de cada uma das abordagens, bem como a probabilidade relacionada a cada estatística t.O Anexo III apresenta esses valores
120
diferentes. Esta observação influenciou na escolha do intervalo entre os dias 30 e 6 para
o vencimento como intervalo de realização do seguro para cada vencimento. A tabela 13
apresenta os valores das médias dos erros médios entre as abordagens para cada prazo.
Nota-se que ao escolher o intervalo entre os dias 30 e 6 para o vencimento, há uma
grande diminuição do erro que se estaria incorrendo.
referentes a diferença entre as médias de EARs da volatilidade implícita.
121
Tabela 13 Média das médias dos ERs e EARs por prazo para o vencimento para cada abordagem. Os dados estão em ordem decrescente de acordo com a média do EAR. Em negrito estão os dias que foram deixados de fora. O quadro abaixo apresenta um resumo para os dias usados no seguro e os dias não usados.
Médias Médias
Erro Relativo
Erro Relativo Absoluto
Erro Relativo
Erro Relativo Absoluto
45 1129,88% 1629,14% 37 -7,62% 19,71%
43 105,45% 277,18% 33 -5,46% 18,96%
42 5,85% 250,80% 26 0,45% 18,28%
44 17,14% 172,00% 11 4,64% 18,20%
39 118,56% 155,26% 24 -1,66% 17,46%
38 107,81% 148,16% 15 -5,05% 16,82%
35 -51,61% 69,71% 29 -6,11% 16,77%
46 -51,92% 52,26% 25 3,85% 16,63%
1 28,43% 48,53% 32 -3,44% 15,93%
41 -25,96% 43,05% 14 -4,25% 15,89%
2 23,09% 39,95% 16 -0,51% 15,89%
5 2,84% 35,03% 13 -3,20% 15,88%
3 23,24% 33,59% 23 -1,54% 15,63%
4 12,66% 33,07% 22 1,09% 15,14%
40 -11,23% 30,61% 18 -1,98% 15,08%
36 -11,57% 27,51% 12 -0,50% 14,88%
9 2,67% 24,54% 28 -2,71% 14,71%
30 -14,81% 24,28% 21 0,85% 14,02%
6 8,82% 23,35% 27 2,78% 14,00%
10 -3,08% 22,92% 17 -3,16% 13,67%
8 1,00% 22,31% 19 1,26% 13,58%
7 2,77% 21,33% 20 0,44% 12,04%
34 -6,98% 19,91% 31 -2,27% 11,83%
Médias
Erro Relativo
Erro Relativo Absoluto
Dias Não Usados
66,52% 149,15%
Dias Usados -0,72% 17,33%
Prazo Prazo
Resumo
Uma questão que surgiu, foi se a diferença de pontos observados em cada modelagem
estaria influenciando nos resultados, uma vez que a abordagem DK_F2 trabalha com
7.600 observações, enquanto que a abordagem DK_F3_R252 usa somente 6.456
122
observações. A figura 16 apresenta a evolução das médias dos EARs dos preços entre as
diferentes abordagens. Note que se compararmos todas as abordagens a partir do dia
23/08/1995, primeiro dia da abordagem que começa mais tarde, estaremos tirando
grande parte de erros das demais abordagens melhorando a comparação. Sendo assim,
serão feitas a seguir as comparações das abordagens todas começando no dia
23/08/1995, logo, com a mesma quantidade de observações.
Figura 16 Evolução das Médias dos EARs dos preços entre as diferentes abordagens feitas.Em destaque (verde) está a data, a partir da qual se dará o início da comparação dos EARs médios entre as diferentes abordagens. Note que é exatamente a esquerda do traço verde que há uma grande concentração de erros de maior amplitude.
0%
5000%
10000%
15000%
20000%
25000%
30000%
35000%
19/08/94 19/02/95 19/08/95 19/02/96 19/08/96 19/02/97 19/08/97 19/02/98 19/08/98 19/02/99 19/08/99 19/02/00
23/08/1995
As tabelas 14 e 15 são análogas as tabelas 12 e 13, com a única diferença que todas as
abordagens têm o mesmo número de observações.
123
Tabela 14 Comparação das médias dos ERs e EARs dos preços entre as diferentes abordagens, usando-se o mesmo número de observações. O teste t é feito sob a hipótese nula (unilateral) de que o erro relativo absoluto médio de cada abordagem é maior que da abordagem anterior (as abordagens aparecem ordenadas crescentemente pelo EAR). O campo probabilidade é a probabilidade de rejeição da hipótese nula para cada abordagem, onde valores maiores que 5% indicam que os erros absolutos relativos médios são estatisticamente iguais para a respectiva abordagem e a anterior a um nível de significância de 5%. A linha tracejada indica os grupos de abordagens estatisticamente similares que foram encontrados.
Erro Relativo Erro Absoluto Relativo
MédiaDesvio Padrão
MédiaDesvio Padrão
BS F_3 R_126 -2,20% 29,51% 15,06% 25,47% 6.456BS F_3 R_1400 -2,19% 29,57% 15,08% 25,53% 6.456 0,047 48,12%BS F_3 R_252 -2,20% 29,59% 15,08% 25,55% 6.456 0,002 49,92%BS F_3 R_63 -2,22% 29,60% 15,11% 25,55% 6.456 0,103 45,89%BS F_3 R_21 -2,25% 29,89% 15,21% 25,82% 6.456 0,323 37,34%DK F_3 R_21 -0,08% 29,31% 15,49% 24,88% 6.456 0,905 18,29%
DK F_3 R_252 -0,37% 38,86% 15,79% 35,51% 6.456 0,673 25,03%DK F_3 R_1400 -0,45% 40,08% 15,91% 36,78% 6.456 0,258 39,83%DK F_3 R_126 -0,68% 50,37% 16,14% 47,72% 6.456 0,393 34,71%DK F_3 R_63 -1,20% 51,47% 16,62% 48,72% 6.456 0,778 21,82%
BS F_2 -3,03% 55,65% 20,92% 51,66% 6.456 6,692 0,00%DK F_2 -1,16% 89,01% 21,06% 86,49% 6.456 0,128 44,90%BS F_1 -1,44% 53,02% 21,70% 48,39% 6.456 1,077 14,07%
DK F_2 Def -3,34% 90,86% 27,71% 86,60% 6.456 5,577 0,00%DK F_1 Def -2,88% 80,42% 28,79% 75,14% 6.456 1,146 12,59%DK F_1 -7,52% 212,40% 29,22% 210,51% 6.456 0,166 43,40%
BS F_4 -3,83% 56,51% 30,90% 47,46% 6.456 2,848 0,22%
BS F_4 Def -4,00% 59,12% 33,18% 49,09% 6.456 3,725 0,01%
BS F_2 Def 51,23% 2321,49% 107,24% 2319,57% 6.456 2,566 0,52%BS F_1 Def 56,40% 2347,49% 108,45% 2345,66% 6.456 0,041 48,35%
Abordagem Observações Estatística t Probabilidade
124
Tabela 15 Comparação das médias dos ERs e EARs das volatilidades implícitas entre as diferentes abordagens, usando-se o mesmo número de observações. O teste t é feito sob a hipótese nula (unilateral) de que o erro relativo absoluto médio de cada abordagem é maior que da abordagem anterior (as abordagens aparecem ordenadas crescentemente pelo EAR). O campo probabilidade é a probabilidade de rejeição da hipótese nula para cada abordagem, onde valores maiores que 5% indicam que os erros absolutos relativos médios são estatisticamente iguais para a respectiva abordagem e a anterior a um nível de significância de 5%. A linha tracejada indica os grupos de abordagens estatisticamente similares que foram encontrados.
Erro Relativo Erro Absoluto Relativo
MédiaDesvio Padrão
MédiaDesvio Padrão
BS F_3 R_126 -0,82% 11,36% 7,30% 8,74% 6.456BS F_3 R_252 -0,83% 11,38% 7,30% 8,76% 6.456 0,025 48,99%BS F_3 R_1400 -0,83% 11,38% 7,30% 8,77% 6.456 0,032 48,74%BS F_3 R_63 -0,83% 11,37% 7,31% 8,74% 6.456 0,053 47,88%BS F_3 R_21 -0,83% 11,39% 7,33% 8,76% 6.456 0,194 42,32%
DK F_3 R_21 0,41% 12,03% 7,86% 9,11% 6.456 4,651 0,00%DK F_3 R_126 0,37% 12,11% 7,87% 9,21% 6.456 0,092 46,35%DK F_3 R_1400 0,39% 12,11% 7,87% 9,20% 6.456 0,022 49,14%DK F_3 R_252 0,41% 12,10% 7,87% 9,19% 6.456 0,007 49,71%DK F_3 R_63 0,33% 12,25% 7,93% 9,34% 6.456 0,452 32,57%
DK F_2 0,33% 14,73% 9,32% 11,42% 6.456 9,810 0,00%BS F_2 -1,62% 18,82% 9,61% 16,26% 6.456 1,419 7,80%
BS F_1 -1,01% 17,83% 9,77% 14,95% 6.456 0,884 18,84%DK F_1 0,58% 16,41% 9,97% 13,05% 6.456 1,247 10,62%
DK F_2 Def 0,46% 18,72% 12,25% 14,17% 6.456 12,905 0,00%DK F_1 Def 0,94% 19,17% 12,59% 14,48% 6.456 1,876 3,03%
BS F_4 2,34% 21,87% 14,45% 16,58% 6.456 9,008 0,00%
BS F_4 Def 2,34% 23,36% 15,85% 17,31% 6.456 6,508 0,00%BS F_2 Def -1,89% 102,60% 17,71% 101,08% 6.456 1,478 6,97%BS F_1 Def -2,00% 128,21% 18,71% 126,85% 6.456 0,636 26,24%
Abordagem Observações Estatística t Probabilidade
A evidência de que a precificação por Black & Scholes, fazendo-se uso da função 3
com os coeficientes de Rosenberg, é superior às demais foi mais uma vez reafirmada,
formando um primeiro grupo19. Há neste grupo a primeira abordagem com o modelo de
Derman & Kani, porém em último lugar. Em seguida vêem as abordagens que usam o
modelo de Derman & Kani com a função 3. Note, todavia, que o verdadeiro conceito de
Black & Scholes com volatilidade constante para todas os strikes, representada pelas
abordagens BS_F4 e BS_F4_Def ocupam sempre as piores posições, ficando na frente
19 Veja em no Anexo IV a tabela com a matriz de estatísticas t entre todas a médias de EARs de preço de cada uma das abordagens, bem como a probabilidade relacionada a cada estatística t.O Anexo V apresenta esses valores referentes à diferença entre as médias EARs da volatilidade implícita.
125
somente das abordagens BS_F2_Def e BS_F1_Def, que tentam incorporar o simle,
porém com os coeficientes do dia anterior.
Assim como os EARs das equações de Rosenberg para diferentes janelas podem ser
considerados emparelhados, os EARs das diferentes abordagens, usando-se o mesmo
número de pontos observados, também o podem. Embora esta análise não vise alterar a
classificação das abordagens, ela retorna uma compreensão mais detalhada das
diferenças entre as abordagens. A tabela a seguir apresenta as probabilidades associadas
à estatística t feita sob a hipótese nula (bilateral) de que a média da diferença dos EARs
dos preços, ponto a ponto, entre as abordagens é igual a zero20.
Tabela 16 Probabilidade associadas à estatística t para a média da diferença dos EARs do preço, ponto a ponto, para cada par de abordagens. A diferença de EAR é sempre da abordagem da linha menos a abordagem da coluna. Valores maiores que 5% indicam que a média da diferença entre os EARs para o par de abordagens é estatisticamente igual a zero a um nível de significância de 5%.
AbordagemBS F_3 R_126
BS F_3 R_1400
BS F_3 R_252
BS F_3 R_63
BS F_3 R_21
DK F_3 R_21
DK F_3 R_252
DK F_3 R_1400
DK F_3 R_126
DK F_3 R_63
BS F_2 DK F_2 BS F_1DK F_2
DefDK F_1
DefDK F_1 BS F_4
BS F_4 Def
BS F_2 Def
BS F_1 Def
BS F_3 R_126 -BS F_3 R_1400 13,0% -BS F_3 R_252 15,3% 93,8% -BS F_3 R_63 0,0% 3,8% 6,7% -BS F_3 R_21 0,0% 0,0% 0,0% 0,1% -DK F_3 R_21 0,1% 0,1% 0,1% 0,2% 2,6% -DK F_3 R_252 3,9% 4,4% 4,4% 5,4% 10,5% 35,2% -DK F_3 R_1400 2,2% 2,5% 2,5% 3,1% 6,3% 22,0% 3,9% -DK F_3 R_126 4,1% 4,4% 4,4% 5,1% 8,0% 19,4% 6,7% 19,2% -DK F_3 R_63 0,4% 0,4% 0,4% 0,5% 0,9% 3,1% 17,7% 25,0% 51,7% -BS F_2 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% -DK F_2 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 88,9% -BS F_1 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,6% 51,8% -DK F_2 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% -DK F_1 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 25,3% -DK F_1 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,1% 0,3% 0,3% 58,1% 86,9% -BS F_4 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,2% 1,9% 52,1% -BS F_4 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 13,2% 0,0% -BS F_2 Def 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,2% 0,2% 0,2% 0,2% 0,3% 0,3% 0,3% 0,6% 0,6% 0,7% 0,8% 1,0% -BS F_1 Def 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,2% 0,2% 0,2% 0,3% 0,2% 0,3% 0,5% 0,6% 0,7% 0,8% 1,0% 91,9% -
Pode-se perceber, que ao assumir-se os EARs dos preços emparelhados, há uma
maior diferenciação de uma abordagem para a outra. Entre as três primeiras, que fazem
20 Veja no Anexo VI as tabelas com as correlações dos EARs do preço entre as diferentes abordagens, bem como a média da diferença entre os EARs do preço, ponto a ponto, para cada par de abordagens, seus desvios-padrão e estatística t.
126
uso das equações de Rosenberg, sugere-se, então utilizar aquela com a menor janela, ou
seja 126, que já é a primeira de qualquer forma. A tabela a seguir apresenta o mesmo
tipo de análise, realizado, entretanto, para as volatilidades implícitas21.
Tabela 17 Probabilidade associadas à estatística t para a média da diferença dos EARs da volatilidade implícita, ponto a ponto, para cada par de abordagens. A diferença de EAR é sempre da abordagem da linha menos a abordagem da coluna. Valores maiores que 5% indicam que a média da diferença entre os EARs para o par de abordagens é estatisticamente igual a zero a um nível de significância de 5%.
AbordagemBS F_3 R_126
BS F_3 R_252
BS F_3 R_1400
BS F_3 R_63
BS F_3 R_21
DK F_3 R_21
DK F_3 R_126
DK F_3 R_1400
DK F_3 R_252
DK F_3 R_63
DK F_2 BS F_2 BS F_1 DK F_1DK F_2
DefDK F_1
DefBS F_4
BS F_4 Def
BS F_2 Def
BS F_1 Def
BS F_3 R_126 -BS F_3 R_252 24,1% -BS F_3 R_1400 0,5% 2,8% -BS F_3 R_63 0,3% 7,2% 20,7% -BS F_3 R_21 0,0% 0,0% 0,0% 0,1% -DK F_3 R_21 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% -DK F_3 R_126 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 70,1% -DK F_3 R_1400 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 57,0% 88,2% -DK F_3 R_252 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 53,7% 83,2% 95,2% -DK F_3 R_63 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 2,7% 12,7% 9,5% 11,3% -DK F_2 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% -BS F_2 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 1,5% -BS F_1 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 4,6% -DK F_1 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 2,7% 12,5% -DK F_2 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% -DK F_1 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,1% -BS F_4 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% -BS F_4 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% -BS F_2 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,9% 13,3% -BS F_1 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,6% 6,7% 20,3% -
De uma maneira geral, as abordagens que apresentam similaridade na precificação
são as mesmas que apresentam similaridade nas volatilidades implícitas.
Cabe, agora, uma análise dos ERs, para verificar se existe uma tendência de
subprecificação ou superprecificação. A tabela 18 apresenta as estatísticas t para a
hipótese nula de que os ERs médios para cada abordagem sejam iguais a zero, e as
probabilidades associadas.
21 Veja no Anexo VII as tabelas com as correlações dos EARs da volatilidade implícita entre as diferentes abordagens, bem como a média da diferença entre os EARs da volatilidade implícita, ponto a ponto, para cada par de abordagens, seus desvios-padrão e estatística t
127
Tabela 18 Teste t sobre a hipótese nula (bilateral) de que os ERs médios tanto para o preço como para a volatilidade implícita são iguais a zero. O campo Prob é a probabilidade de rejeição da hipótese nula para cada abordagem, onde valores maiores que 5% indicam que os erros relativos médios são estatisticamente iguais a zero a um nível de significância de 5%
Erro Relativo Erro Relativo
Preço Volatilidade Impl.
Média Est t Prob Média Est t Prob
BS F_3 R_126 -2,196% -5,981 0,00% BS F_3 R_126 -0,824% -5,833 0,00%
BS F_3 R_1400 -2,191% -5,954 0,00% BS F_3 R_252 -0,828% -5,846 0,00%
BS F_3 R_252 -2,201% -5,976 0,00% BS F_3 R_1400 -0,828% -5,845 0,00%
BS F_3 R_63 -2,219% -6,024 0,00% BS F_3 R_63 -0,830% -5,867 0,00%
BS F_3 R_21 -2,255% -6,062 0,00% BS F_3 R_21 -0,833% -5,872 0,00%
DK F_3 R_21 -0,081% -0,222 82,40% DK F_3 R_21 0,410% 2,735 0,62%
DK F_3 R_252 -0,373% -0,771 44,05% DK F_3 R_126 0,372% 2,468 1,36%
DK F_3 R_1400 -0,452% -0,906 36,52% DK F_3 R_1400 0,387% 2,571 1,02%
DK F_3 R_126 -0,681% -1,086 27,74% DK F_3 R_252 0,406% 2,697 0,70%
DK F_3 R_63 -1,198% -1,871 6,14% DK F_3 R_63 0,334% 2,192 2,84%
BS F_2 -3,032% -4,377 0,00% DK F_2 0,333% 1,818 6,92%
DK F_2 -1,162% -1,049 29,42% BS F_2 -1,620% -6,916 0,00%
BS F_1 -1,437% -2,178 2,94% BS F_1 -1,008% -4,540 0,00%
DK F_2 Def -3,341% -2,954 0,31% DK F_1 0,584% 2,861 0,42%
DK F_1 Def -2,875% -2,873 0,41% DK F_2 Def 0,459% 1,969 4,90%
DK F_1 -7,517% -2,844 0,45% DK F_1 Def 0,945% 3,962 0,01%
BS F_4 -3,828% -5,444 0,00% BS F_4 2,340% 8,597 0,00%
BS F_4 Def -3,996% -5,431 0,00% BS F_4 Def 2,343% 8,059 0,00%
BS F_2 Def 51,235% 1,773 7,62% BS F_2 Def -1,889% -1,479 13,91%
BS F_1 Def 56,402% 1,931 5,36% BS F_1 Def -2,000% -1,254 21,00%
Abordagem Abordagem
Note que as melhores abordagens de acordo com o EAR médio do preço apresentam
um viés de superprecificação da opção. De uma maneira geral as funções 3 ao serem
usadas com o modelo de Black & Scholes tendem a gerar valores maiores que o
mercado, enquanto que esta mesma função com o modelo de Derman & Kani não
apresenta nenhuma tendência estatisticamente significativa. Para as demais funções não
foi possível identificar um padrão. Entretanto, ao expandir-se esta análise para o ER
médio das volatilidades implícitas para cada abordagem constata-se que praticamente
todos apresentam uma certa tendência a gerar volatilidades implícitas maiores ou
menores que as observadas no mercado. Concomitantemente com a tabela 14 percebe-se
que a função 3 juntamente com o modelo de Black & Scholes tende a gerar
volatilidades implícitas maiores que as observadas no mercado enquanto que esta
128
mesma função junto com o modelo de Derman & Kani tende para o lado oposto,
contudo, com amplitude aproximadamente igual a metade do caso anterior.
No que diz respeito à realização dos seguros dinâmicos, repare na tabela a seguir, que
a média das médias dos EARs por prazo nos dias não usados no seguro caiu bastante,
enquanto que a dos dias usados praticamente não se alterou.
129
Tabela 19 Média das médias dos ERs e EARs por prazo para o vencimento para cada abordagem. Os dados estão em ordem decrescente de acordo com a média do EAR. Em negrito estão os dias que foram deixados de fora. O quadro abaixo apresenta um resumo para os dias usados no seguro e os dias não usados.
Médias Médias
Erro Relativo
Erro Relativo Absoluto
Erro Relativo
Erro Relativo Absoluto
43 145,06% 304,56% 26 0,63% 18,41%
44 24,97% 180,84% 29 -7,93% 18,04%
39 137,79% 175,05% 24 -0,60% 17,77%
45 -108,07% 111,46% 37 -6,31% 17,54%
42 -42,87% 52,87% 15 -6,64% 17,33%
46 -51,92% 52,26% 25 3,96% 16,59%
1 24,92% 47,63% 23 -1,05% 16,16%
2 20,15% 38,47% 16 -1,05% 16,03%
41 -29,04% 38,08% 33 -2,02% 16,01%
5 -0,31% 34,86% 14 -4,21% 16,01%
3 22,31% 33,08% 34 -1,84% 15,67%
4 11,25% 32,39% 22 1,80% 15,24%
40 -10,24% 31,00% 12 -0,57% 14,95%
36 -13,34% 29,89% 18 -3,35% 14,94%
30 -17,04% 26,59% 13 -2,32% 14,73%
9 1,04% 25,69% 28 -4,15% 14,63%
10 -3,10% 23,71% 32 -1,44% 14,32%
35 -3,11% 22,54% 21 -0,23% 13,81%
6 6,69% 22,46% 27 2,22% 13,68%
8 -1,24% 22,36% 17 -2,57% 13,24%
7 1,91% 19,83% 19 -0,62% 13,20%
38 -10,25% 18,74% 31 -2,28% 11,78%
11 4,75% 18,44% 20 -0,80% 11,45%
Médias
Erro Relativo
Erro Relativo Absoluto
Dias Não Usados
4,92% 60,91%
Dias Usados -1,38% 17,41%
Prazo Prazo
Resumo
4.2.2 Performance Dinâmica
As tabelas 20 e 21 apresentam os resultados dos erros em relação ao valor teórico e
observado do seguro para cada uma das abordagens, sendo que a primeira considera
números diferentes de seguros (em função da data início de cada uma das abordagens),
130
enquanto que a segunda leva em consideração a mesma quantidade de seguros,
estabelecida por aquele que tem a menor quantidade, uniformizando a comparação.
Tabela 20 Comparação das médias dos ERs e EARs dos valores do seguro entre as diferentes abordagens.com diferentes números de seguros por abordagem. O teste t é feito sob a hipótese nula (unilateral) de que o erro relativo absoluto médio de cada abordagem é maior que da abordagem anterior (as abordagens aparecem ordenadas crescentemente pelo EAR). O campo probabilidade é a probabilidade de rejeição da hipótese nula para cada abordagem, onde valores maiores que 5% indicam que os erros absolutos relativos médios são estatisticamente iguais para a respectiva abordagem e a anterior a um nível de significância de 5%. A linha tracejada indica os grupos de abordagens estatisticamente similares que foram encontrados.
Erro Relativo Erro Absoluto Relativo Quatidade Total Operada
Média Desvio Padrão Média Desvio Padrão Média Desvio Padrão
BS F_3 R_252 0,312% 2,135% 1,507% 1,517% 1.982 740 28
DK F_3 R_252 0,392% 2,235% 1,576% 1,606% 2.067 655 28 0,225 41,17%BS F_2 Def 0,676% 2,388% 1,630% 1,853% 2.099 788 34 0,172 43,22%BS F_4 Def 0,677% 2,448% 1,644% 1,919% 2.112 803 34 0,040 48,43%BS F_2 0,671% 2,381% 1,648% 1,826% 2.091 779 34 0,013 49,50%BS F_1 0,665% 2,376% 1,648% 1,818% 2.114 764 34 0,001 49,98%BS F_3 R_126 0,508% 2,436% 1,653% 1,838% 2.037 739 31 0,015 49,39%BS F_3 R_21 0,591% 2,412% 1,666% 1,821% 2.088 750 33 0,041 48,37%BS F_1 Def 0,706% 2,407% 1,671% 1,852% 2.122 770 34 0,015 49,39%BS F_4 0,692% 2,463% 1,672% 1,919% 2.110 795 34 0,003 49,89%BS F_3 R_1400 0,637% 2,389% 1,680% 1,794% 2.108 749 34 0,027 48,92%BS F_3 R_63 0,598% 2,450% 1,706% 1,835% 2.076 759 32 0,080 46,85%DK F_2 0,721% 2,471% 1,708% 1,907% 2.129 722 34 0,005 49,79%DK F_3 R_1400 0,669% 2,485% 1,723% 1,892% 2.172 670 34 0,048 48,11%DK F_3 R_126 0,576% 2,571% 1,737% 1,959% 2.109 661 31 0,038 48,50%DK F_2 Def 0,677% 2,510% 1,738% 1,913% 2.135 752 34 0,004 49,83%DK F_3 R_63 0,648% 2,536% 1,748% 1,926% 2.149 673 32 0,030 48,80%DK F_3 R_21 0,658% 2,544% 1,752% 1,937% 2.142 679 33 0,010 49,60%DK F_1 0,830% 2,621% 1,768% 2,088% 2.219 743 34 0,045 48,23%DK F_1 Def 0,817% 2,678% 1,822% 2,107% 2.220 780 34 0,150 44,10%
ProbabilidadeObservaçõesAbordagem Estatística t
Não foi possível notar diferença estatisticamente significativa entre as abordagens. Na
verdade são todas muito parecidas. A probabilidade entre a primeira e a última, de que
suas médias sejam estaticamente iguais é de 19,5%22.
131
Tabela 21 Comparação das médias dos ERs e EARs dos valores do seguro entre as diferentes abordagens.com número de seguros iguais. O teste t é feito sob a hipótese nula (unilateral) de que o erro relativo absoluto médio de cada abordagem é maior que da abordagem anterior (as abordagens aparecem ordenadas crescentemente pelo EAR). O campo probabilidade é a probabilidade de rejeição da hipótese nula para cada abordagem, onde valores maiores que 5% indicam que os erros absolutos relativos médios são estatisticamente iguais para a respectiva abordagem e a anterior a um nível de significância de 5%. A linha tracejada indica os grupos de abordagens estatisticamente similares que foram encontrados.
Erro Relativo Erro Absoluto Relativo Quatidade Total Operada
Média Desvio Padrão Média Desvio Padrão Média Desvio Padrão
BS F_4 Def 0,325% 2,091% 1,433% 1,534% 1.981 795 28
BS F_2 Def 0,352% 2,088% 1,439% 1,530% 1.970 780 28 0,020 49,20%BS F_1 Def 0,354% 2,034% 1,465% 1,429% 1.995 759 28 0,096 46,21%BS F_4 0,334% 2,103% 1,468% 1,518% 1.977 785 28 0,010 49,62%BS F_1 0,327% 2,047% 1,472% 1,433% 1.988 754 28 0,016 49,38%BS F_2 0,348% 2,111% 1,478% 1,523% 1.963 771 28 0,021 49,18%BS F_3 R_63 0,312% 2,135% 1,506% 1,518% 1.983 740 28 0,099 46,10%BS F_3 R_21 0,311% 2,136% 1,506% 1,520% 1.983 739 28 0,000 49,99%BS F_3 R_126 0,311% 2,134% 1,507% 1,517% 1.982 740 28 0,002 49,93%BS F_3 R_1400 0,312% 2,134% 1,507% 1,517% 1.982 740 28 0,001 49,97%BS F_3 R_252 0,312% 2,135% 1,507% 1,517% 1.982 740 28 0,001 49,94%DK F_2 Def 0,423% 2,260% 1,564% 1,660% 2.017 741 28 0,180 42,94%DK F_2 0,458% 2,273% 1,573% 1,678% 2.018 718 28 0,030 48,81%DK F_3 R_252 0,392% 2,235% 1,576% 1,606% 2.067 655 28 0,008 49,68%DK F_3 R_63 0,399% 2,277% 1,579% 1,662% 2.076 662 28 0,012 49,54%DK F_1 0,505% 2,269% 1,588% 1,672% 2.102 732 28 0,026 48,96%DK F_3 R_1400 0,410% 2,318% 1,600% 1,701% 2.069 673 28 0,037 48,54%DK F_1 Def 0,461% 2,311% 1,607% 1,698% 2.089 757 28 0,023 49,09%DK F_3 R_126 0,407% 2,320% 1,609% 1,693% 2.065 666 28 0,006 49,78%DK F_3 R_21 0,423% 2,338% 1,616% 1,716% 2.053 674 28 0,020 49,19%
ProbabilidadeAbordagem Observações Estatística t
Mais uma vez não foi possível notar diferença estatisticamente significativa entre as
abordagens, havendo até mesmo um aumento do grau de similaridade. A probabilidade
entre a primeira e a última, de que suas médias sejam estaticamente iguais é de 28,9%23.
Porém, mais uma vez será feita a análise dos seguros considerando seus dados
emparelhados. A tabela 22 apresenta as probabilidades associadas à estatística t feita
sob a hipótese nula (bilateral) de que a média da diferença dos EARs dos valores do
seguro, seguro a seguro, entre as abordagens é igual a zero24.
22 Veja em no Anexo VIII a tabela com a matriz de estatísticas t entre todas a médias de EARs de valor do seguro de cada uma das abordagens, bem como a probabilidade relacionada a cada estatística t
23 Veja em no Anexo IX a tabela com a matriz de estatísticas t entre todas a médias de EARs de valor do seguro de cada uma das abordagens, bem como a probabilidade relacionada a cada estatística t
24 Veja no Anexo X as tabelas com as correlações dos EARs do valor do seguro entre as diferentes abordagens, bem como a média da diferença entre os EARs do valor do seguro, seguro a seguro, para cada par de abordagens, seus desvios-padrão e estatística t
132
Tabela 22 Probabilidades associadas à estatística t para a média da diferença dos EARs do valor do seguro, seguro a seguro, para cada par de abordagens. A diferença de EAR é sempre da abordagem da linha menos a abordagem da coluna. Valores maiores que 5% indicam que a média de diferença entre os EARs para o par de abordagens é estatisticamente igual a zero a um nível de significância de 5%.
AbordagensBS F_4
DefBS F_2
DefBS F_1
DefBS F_4 BS F_1 BS F_2
BS F_3 R_63
BS F_3 R_21
BS F_3 R_126
BS F_3 R_1400
BS F_3 R_252
DK F_2 Def
DK F_2DK F_3 R_252
DK F_3 R_63
DK F_1DK F_3 R_1400
DK F_1 Def
DK F_3 R_126
DK F_3 R_21
BS F_4 Def -
BS F_2 Def 88,61% -
BS F_1 Def 41,70% 58,09% -
BS F_4 44,52% 68,79% 95,27% -
BS F_1 47,51% 63,12% 81,89% 90,64% -
BS F_2 34,66% 37,44% 75,36% 82,69% 90,01% -
BS F_3 R_63 17,00% 16,38% 35,01% 47,99% 47,78% 24,88% -
BS F_3 R_21 17,43% 16,91% 35,17% 47,98% 47,47% 26,50% 98,09% -
BS F_3 R_126 16,71% 15,99% 34,30% 47,46% 47,11% 24,02% 53,19% 79,48% -
BS F_3 R_1400 16,27% 15,44% 33,72% 47,15% 46,75% 23,62% 55,27% 72,87% 82,89% -
BS F_3 R_252 16,11% 15,25% 33,26% 46,66% 46,18% 22,83% 33,04% 56,82% 43,99% 46,08% -
DK F_2 Def 29,11% 16,63% 41,26% 49,98% 49,67% 42,20% 57,72% 57,75% 58,06% 58,17% 58,41% -
DK F_2 24,74% 13,25% 33,88% 42,78% 41,73% 31,59% 47,57% 47,64% 47,90% 48,06% 48,25% 84,31% -
DK F_3 R_252 24,91% 14,55% 31,85% 41,85% 38,70% 31,95% 43,84% 43,71% 44,16% 44,31% 44,53% 82,32% 94,73% -
DK F_3 R_63 21,20% 11,01% 30,29% 39,51% 37,80% 28,58% 39,10% 39,06% 39,42% 39,51% 39,76% 78,05% 88,53% 90,36% -
DK F_1 13,78% 5,20% 21,43% 31,35% 29,83% 19,38% 32,89% 33,13% 33,20% 33,41% 33,50% 71,18% 74,61% 84,66% 88,71% -
DK F_3 R_1400 19,69% 10,49% 27,11% 35,37% 33,64% 25,12% 33,61% 33,54% 33,86% 33,99% 34,15% 44,87% 48,80% 40,51% 38,91% 84,02% -
DK F_1 Def 10,64% 3,52% 17,23% 25,07% 25,03% 14,81% 26,04% 26,15% 26,30% 26,46% 26,51% 40,90% 51,97% 65,26% 69,48% 60,98% 90,96% -
DK F_3 R_126 17,16% 8,81% 23,32% 31,64% 29,40% 21,35% 28,13% 28,02% 28,36% 28,47% 28,62% 39,67% 37,03% 18,95% 16,22% 73,30% 42,34% 97,96% -
DK F_3 R_21 17,06% 8,49% 22,96% 31,22% 28,92% 21,64% 28,60% 28,48% 28,82% 28,90% 29,03% 30,17% 28,51% 16,96% 20,09% 64,35% 34,57% 89,90% 71,23% -
Só houve um par de abordagens (DK_F1_Def e BS_F2_Def) cujas médias podem ser
consideradas estatisticamente distintas. Logo, a constatação anterior de que todos as
abordagens são estatisticamente iguais permanece válida, com apenas uma exceção.
Fica, então a pergunta se a quantidade total de lotes operados entre as abordagens
pode ser considerada um ponto relevante para a escolha entre as abordagens, visto que
ela influencia diretamente no custo (corretagens e emolumentos não considerados na
análise) de realização do seguro. A tabela 23 apresenta as probabilidades associadas à
estatística t feita sob a hipótese nula (bilateral) de que a média da diferença de
quantidades operadas, seguro a seguro, entre as abordagens é igual a zero25.
25 Veja no Anexo XI as tabelas com as correlações das médias de quantidades operadas entre as diferentes abordagens, bem como a média da diferença entre as quantidades médias operadas, seguro a seguro, para cada par de abordagens, seus desvios-padrão e estatística t
133
Tabela 23 Probabilidades associadas à estatística t para a media da diferença de quantidade operada, seguro a seguro, para cada par de abordagens. A diferença de quantidade operada é sempre da abordagem da linha menos a abordagem da coluna. Valores maiores que 5% indicam que a média da diferença entre as quantidades para o par de abordagens é estatisticamente igual a zero a um nível de significância de 5%.As abordagens aparecem em ordem crescente de quantidade total operada, de cima para baixo e da esquerda para a direita.
Abordagens BS F_2BS F_2
DefBS F_4
BS F_4 Def
BS F_3 R_1400
BS F_3 R_126
BS F_3 R_252
BS F_3 R_21
BS F_3 R_63
BS F_1BS F_1
DefDK F_2
DefDK F_2
DK F_3 R_21
DK F_3 R_126
DK F_3 R_252
DK F_3 R_1400
DK F_3 R_63
DK F_1 Def
DK F_1
BS F_2 -
BS F_2 Def 37,23% -
BS F_4 23,87% 53,04% -
BS F_4 Def 14,22% 26,45% 50,36% -
BS F_3 R_1400 17,55% 48,69% 81,42% 96,75% -
BS F_3 R_126 17,75% 48,84% 81,24% 96,48% 84,31% -
BS F_3 R_252 17,19% 48,33% 81,08% 96,43% 63,53% 98,17% -
BS F_3 R_21 17,34% 47,62% 79,50% 94,54% 49,87% 51,89% 56,22% -
BS F_3 R_63 15,95% 46,57% 79,00% 94,33% 30,51% 24,64% 35,28% 96,86% -
BS F_1 1,80% 15,63% 29,33% 58,68% 72,21% 72,68% 72,51% 75,67% 75,25% -
BS F_1 Def 1,41% 5,01% 9,09% 21,69% 50,63% 51,07% 50,82% 53,66% 52,86% 18,95% -
DK F_2 Def 1,13% 1,14% 3,61% 7,39% 18,09% 18,29% 18,13% 19,29% 18,81% 10,15% 15,38% -
DK F_2 0,80% 3,52% 8,74% 14,66% 12,28% 12,26% 12,24% 13,04% 12,50% 10,93% 22,42% 95,72% -
DK F_3 R_21 0,51% 1,35% 3,57% 5,30% 0,75% 0,73% 0,75% 0,76% 0,75% 3,06% 5,41% 16,55% 5,84% -
DK F_3 R_126 0,43% 1,04% 2,50% 3,85% 0,63% 0,61% 0,63% 0,63% 0,63% 2,01% 3,50% 9,24% 2,44% 8,92% -
DK F_3 R_252 0,84% 1,86% 3,53% 5,31% 1,26% 1,23% 1,26% 1,31% 1,27% 2,87% 4,67% 13,08% 4,52% 33,14% 90,26% -
DK F_3 R_1400 0,32% 0,82% 2,13% 3,24% 0,48% 0,47% 0,48% 0,48% 0,48% 1,84% 3,21% 7,94% 2,04% 12,03% 66,41% 87,53% -
DK F_3 R_63 1,40% 2,52% 4,03% 5,50% 2,46% 2,41% 2,45% 2,53% 2,47% 3,44% 4,80% 10,73% 4,32% 28,84% 57,56% 50,51% 75,42% -
DK F_1 Def 0,04% 0,10% 0,04% 0,12% 0,43% 0,42% 0,43% 0,47% 0,43% 0,03% 0,03% 0,72% 0,71% 28,46% 47,17% 49,88% 56,22% 68,15% -
DK F_1 0,02% 0,03% 0,01% 0,02% 0,17% 0,17% 0,17% 0,18% 0,17% 0,00% 0,00% 0,06% 0,31% 15,08% 28,41% 31,44% 36,15% 45,14% 51,97% -
Note que, genericamente, pode-se considerar que as abordagens que utilizam o
modelo de Black & Scholes formam um grupo enquanto que as que usam o modelo de
Derman & Kani outro, havendo uma preferência pelo primeiro dado que existe uma
menor quantidade de lotes a ser operada.
134
55 CCOONNCCLLUUSSÕÕEESS EE SSUUGGEESSTTÕÕEESS
Pode-se notar que o mundo ideal previsto por Black & Scholes, baseado em
premissas bem amarradas, não é, de fato, observado no mercado de açõe,s tanto
americano, quanto brasileiro, bem como em muitos outros países. Visando corrigir
algumas imperfeições de seu modelo, diversos autores seguiram caminhos diferentes,
mas sempre com o mesmo propósito de tentar encontrar um modelo que fosse capaz de
melhor refletir o comportamento do mercado e, conseqüentemente, gerasse preços mais
fidedignos com a realidade observada.
Dentre os cinco parâmetros para a precificação de uma opção de acordo com Black &
Scholes, o que gera e continuará a gerar grande polêmica será a volatilidade. Ela é fruto
tanto do comportamento passado do ativo subjacente como da expectativa de
comportamento futuro, ou ainda uma mescla de ambos.
Contudo, além de haver divergências entre os operadores a respeito do valor
volatilidade que servirá de input para precificação de uma opção, gerando os spreads de
compra e de venda, esta volatilidade não permanece constante para qualquer strike e
qualquer maturidade, contrariando as premissas peculiares ao modelo de Black &
Scholes, onde a volatilidade é constante para estas duas variáveis.
Este comportamento, mais conhecido como smile e estrutura a termo da volatilidade,
respectivamente, tornou-se muito evidente no mercado de ações americano desde a crise
de 1987. A partir de então, procurou-se entender melhor esse efeito, para saber suas
causas, bem como entendê-las de modo a auxiliar no desenvolvimento de um novo
modelo de precificação que fosse capaz de contemplar esse efeito.
135
Outros autores partem simplesmente do princípio de que esse efeito existe e procuram
lidar com o mesmo da melhor maneira possível. Houve início, então, dos modelos que
procuravam extrair dos preços das opções observadas no mercado informações
relevantes para a precificação futura de uma outra opção, que fosse condizente com o
quê o mercado estava pensando. Um outro ponto importante destes novos modelos era a
precificação de opções exóticas que pudessem ser travadas com opções normais de
maneira consistente.
Ressalta-se que todo o conceito básico por trás desses modelos advem do que é
chamado de volatilidade implícita. A volatilidade implícita, por sua vez, é obtida pela
inversão da fórmula proposta por Black & Scholes, onde o que se deseja calcular é a
volatilidade que levou àquele preço específico. Calculam-se, assim, várias volatilidades
implícitas sobre um mesmo ativo para diferentes strikes e vencimentos, obtendo a
superfície de volatilidade implícita. O modelo de Black & Scholes, entretanto, assume a
existência de somente uma única volatilidade, havendo, assim, um confronto de idéias.
O mercado parte, então, para a procura de um modelo que tenha aquela estrutura de
volatilidade, simplesmente ou desconsiderando a existência de tal dilema, ou, então, o
que pode ser também provável, ignorando-o. Logo, parte-se de uma premissa
conceitualmente equivocada para a elaboração de um modelo que seja capaz de levá-la
em consideração.
O que parece estar acontecendo é que o mercado, como um todo, aceitou aquela
premissa como verdadeira, e assim, sentiu-se mais confortável em partir para modelos
que, em vez de questioná-la, tomaram-na como entrada fundamental do modelo.
136
Derman & Kani (1994) foram um dos primeiros autores a desenvolver um modelo de
precificação de opções que tinha como input informações sobre o comportamento da
volatilidade observadas no mercado. Trata-se de um modelo discreto via construção de
uma árvore de volatilidade implícita. A SPD observada no último nó da árvore sugere
uma distribuição diferente da normal para os retornos do ativo, adequando-se conforme
o smile do ativo.
Uma questão que é muito importante neste modelo é a função de volatilidade
implícita utilizada, pois é ela que descreve a forma de comportamento da volatilidade de
acordo tanto com o strike quanto com o tempo.
O objetivo deste trabalho foi comparar o modelo de Derman & Kani (1994) no
mercado brasileiro, fazendo-se uso de algumas formas de funções de volatilidade
implícita que fossem capazes de refletir o comportamento da volatilidade, ou seja, o
smile, com o modelo de Black & Scholes (1973) e algumas adaptações ao mesmo. Foi
efetuada uma comparação tanto estática, visando a precificação propriamente dita de
uma opção, bem como do parâmetro de hedge Delta, aplicado a uma estratégia de
Seguro Dinâmico de Portifólio.
Em um primeiro momento se fez necessária a estimação das volatilidades implícitas
ATM, as quais serviriam de input para futuros cálculos. Em virtude da quantidade
limitada de observações diárias foi necessário utilizar um método que levava em
consideração uma janela de 5 dias. Tentou-se trabalhar com uma janela menor, mas
havia algumas seqüências de 4 dias, por exemplo, com número muito pequeno de
observações, comprometendo a estimação da volatilidade implícita ATM.
137
Estas volatilidades serviram de base para a estimação das volatilidades futuras, de
acordo com a equação de Rosenberg. Foram utilizados 5 diferentes tamanhos de janelas,
visando verificar se o tamanha da janela geraria resultados estatisticamente
significativos nos testes de performance estática e dinâmica. Em um primeiro momento,
pode-se notar que as previsões de volatilidade implícita ATM para cada tamanho de
janela podem ser consideradas estatisticamente diferentes, de acordo com um teste de
diferença de médias, considerando-se os dados emparelhados, contudo, o seu emprego
na precificação de opções gera diferenças muito pequenas e em estratégias de Seguro
Dinâmico não parece gerar resultados estatisticamente significativos.
Ao proceder-se uma análise de performance estática entre as 20 abordagens
apresentadas foi possível notar uma clara predominância das abordagens que faziam uso
das funções de Rosenberg associadas ao modelo de Black & Scholes. Logo em seguida
aparecem as abordagens que faziam uso do modelo de Derman & Kani com essas
mesmas funções. As funções 1 e 2 defasadas foram as que apresentaram os piores
resultados em ambos os modelos.
Foram feitas análises utilizando-se tamanhos diferentes de dados para cada
abordagem, em função da peculiaridade de cada uma e em seguida optou-se por analisar
todas com as mesmas quantidades de dados. Esta diferença de quantidade de
observações, entretanto, não implicou em qualquer mudança radical da performance das
abordagens utilizadas, permanecendo o que já fora dito.
O tamanho da janela para a estimação dos parâmetros da equação de Rosenberg
parece exercer alguma influência na performance, porém não é possível afirmar que
aquela que gera uma melhor previsão de volatilidade implícita ATM, será a que
138
precificará melhor as opções. Entretanto, as diferenças, embora estatisticamente
significativas, são muito pequenas para se justificar a utilização de uma em detrimento
de outra. Fato importante é que o tamanho da janela não exerce grande impacto nos
resultados obtidos, pelo menos para o ativo analisado, que foi Telebrás PN. Caso fossem
feitas essas mesmas análises com outros ativos nada garante que o tamanho da janela
continue a não influenciar os resultados finais.
Este trabalho ainda tentou testar a performance dinâmica das diversas abordagens via
construção de estratégias de Seguro Dinâmico de Portfólio, onde o emprego do Delta de
uma opção de venda é utilizado para o balanceamento diário. O que se pôde constatar
foi que não houve diferença estatisticamente significativa entre as 20 abordagens
analisadas, com exceção de uma, porém muito pequena, ao se comparar as diferenças
entre os EARs emparelhados. Logo, o parâmetro de hedge calculado por qualquer
modelo implicou em resultados estatisticamente iguais. Note, entretanto, que na
ordenação as abordagens que utilizaram o modelo de Black & Scholes ocuparam as
primeiras posições.
Dando continuidade à análise de performance dinâmica e visando tentar diferenciar as
abordagens comparou-se a quantidade de lotes operada entre as 20 abordagens, uma vez
que quanto menor o número de lotes operados, menor seriam os custos de
balanceamento. Neste caso, considerando-se os dados emparelhados e com o mesmo
número de observações contatou-se que as abordagens que empregavam o modelo de
Black & Scholes tendiam a superar o modelo de Derman & Kani.
De uma maneira geral pode-se dizer que o modelo de Derman & Kani (1994) supera
de fato o modelo de Black & Scholes (1973) tradicional. Porém, ao se fazer um ajuste
139
da volatilidade usada como input de acordo com a função sugerida por Rosenberg
(2000), a precificação por Black & Scholes parece superar o modelo de Derman & Kani
em todos os casos. No que diz respeito aos seguros dinâmicos, não foi possível constatar
diferenças de resultados entre qualquer abordagem efetuada. Acredito que isto tenha
ocorrido porque o Delta é calculado logo no início da árvore, ou seja, seus primeiros
nós, justamente onde as árvores de volatilidade implícita e binomial comum (que pode
vir a ser uma excelente aproximação do modelo de Black & Scholes) mais se
assemelham.
Vale lembrar que a relativa melhor performance do modelo de Black & Scholes em
relação ao Derman & Kani pode ter ocorrido em função dos erros inerentes à construção
da árvore. Enquanto que a utilização do modelo de Black & Scholes ajustado pelas
equações de volatilidade implícita apresenta erros cada vez maiores quanto menor for o
R-2 ajustado da equação que procura descrever o smile, o modelo de Derman & Kani
ainda pode errar ao não conseguir gerar uma estrutura de volatilidade equivalente àquela
usada como entrada para a sua construção. Isto se deve aos ajustes que são necessários
para evitar a existência de probabilidades de transição negativas ou maiores que um.
Barle e Cakici sugerem uma modificação que busca reduzir esses erros, o que levaria a
uma melhor replicação da função de volatilidade implícita usada. Acredito que, em
trabalhos futuros, a adoção de tais mudanças deva ser considerada.
Uma questão que não pode passar desapercebida, todavia, é que, de acordo com o
modelo de Derman & Kani, através da construção de apenas uma árvore de volatilidade
implícita para um ativo é possível precificar todas as opções sobre aquele ativo em um
determinado dia, enquanto que o modelo de Black & Scholes exige o cálculo separado
140
para cada opção individual. Em outras palavras, seria necessária a construção de uma
árvore binomial tradicional para cada strike com sua volatilidade associada, dada pela
função de volatilidade implícita escolhida.
Em termos práticos ainda é mais rápido usar o modelo de Black & Scholes ou CRR
que o Derman & Kani, porém, no caso da precificação de opções exóticas o modelo de
Derman & Kani pode ser mais indicado
Sugiro, assim, que trabalhos futuros avaliem a performance estática e dinâmica do
modelo de Derman & Kani com a utilização de opções exóticas, onde os passos finais
da árvore possam exercer maior influência. Sabe-se que no mercado brasileiro tais
opções são muito escassas, contudo, poder-se-ia criar uma opção exótica, precificá-la
por Derman & Kani e fazer o hedge com as opções observadas no mercado, que
também foram fonte de informação para a precificação da opção exótica. No seu
vencimento seria verificado a discrepância entre as duas abordagens.
Um dos grandes obstáculo com o qual este estudo teve que lidar foi a escassez de
dados e sua qualidade. Em primeiro lugar havia poucas opções sobre o ativo de Telebrás
PN negociadas com liquidez suficiente por dia, o que limitou bastante a amostra. Em
segundo, mesmo fazendo-se os cortes necessários, acredita-se ter incorrido em erros em
função do assincronismo dos dados, ou seja, valor de fechamento da opção com o valor
do ativo subjacente. Visando uma minimização deste erro, sugiro que se tente obter os
dados relativos ás opções de uma maneira mais consistente, tentando evitar que haja um
grande número de cortes da base de dados original. Isso poder ser conseguido,
observando-se os preços das opções em uma hora específica do dia e não no
141
fechamento. Uma alternativa ainda melhor seria a utilização de dados intraday, o que
praticamente eliminaria todo o tratamento que foi necessário ser dado aos dados.
Neste trabalho foram citados vários outros modelos mais recentes que parecem ter
uma performance superior. Neste sentido acredito que seu teste no mercado brasileiro
também seja valioso.
Por fim, sugiro que se tente empregar esta técnica com outros ativos e não somente no
que foi utilizado neste trabalho, bem como testar o modelo de Derman & Kani em
estratégias que possam usar as volatilidades locais como informação..
142
66 RREEFFEERRÊÊNNCCIIAASS BBIIBBLLIIOOGGRRÁÁFFIICCAASS
ABADIR, K.; ROCKINGER, M. Density-Embedding Functions. Working Paper, HEC,
(1997).
ABKEN, P.; MADAN, D.; RAMAMURTIE S. Estimation of Risk-Neutral and Statistical
Densities by Hermite Polynomial Approximation: With a Application to
Eurodollar Futures Options. Working Paper, Federal Reserve Bank of
Atlanta, (1996).
ADLER, A.; CORDEIRO, L.; FARIA, H.; LEMGRUBER, E.F. Árvores Binomiais
Implícitas: Aplicação para as Opções de Telebrás no Exercício de Abril de
1999. Relatórios Coppead 326 (1999).
AÏT-SAHALIA, Y.; LO, A. Nonparametric Estimantion of State-Price Densities
Implicit in Financial Asset Prices. Journal of Finance, 53, No. 2 (1998), p.
449 – 547.
AÏT-SAHALIA, Y.; WANG, Y.; YARED, F. Do Options Markets Correctly Price the
Probabilities of Movements of the Underlying Asset? Journal of
Econometrics 102, (2001), p. 67 – 110.
ANDERSEN, L; ANDREASEN, J. Jump-Diffusion Processes: Volatility Smile Fitting
and Numerical Methods for Pricing. Working Paper, General Re Financial
Products Corp., (1999a).
_______________ Jumping Smiles. Risk, 12, No. 11 (1999b), p. 65 – 68.
143
_______________ Volatility Skews and Extensions of the Libor Market Model.
Working Paper, General Re Financial Products Corp., (1997).
APARICIO, S.; HODGES, S. Implied Risk-Neutral Distribution: A Comparison of
Estimation Methods. Working Paper, Warwick University, (1998).
ARNOLD, T. Flattening The Volatility Smile: A Test of Option Pricing Models.
Working Paper, Lousiana State University, (2001).
AVELLANEDA, M.; LEVY, A.; PARÁS, A. Pricing and Hedging Derivative Securities in
Markets With Uncertain Volatilities. Applied Mathematical Finance, (1995).
AVELLANEDA, M.; ZHU, Y. An E-ARCH Model for The Term Structure of Implied
Volatility of FX Options. Applied Mathematical Finance, (1998).
_______________ A Risk-Neutral Stochastic Volatility Model. Applied
Mathematical Finance, (1997).
BAHRA, B. Implied Risk-Neutral Probability Density Functions from Option
Prices:Theory and Application. Working paper, Bank of England, (1997).
BAKSHI, G.; CAO, C.; CHEN, Z. Empirical Performance of Alternative Option
Pricing Models. Journal of Finance, 52, No. 5 (1997). p. 2003 – 2049.
BARLE, S.; CAKICI, N. How to Grow a Smiling Tree. Journal of Financial Engineering,
7, No. 2 (1998), p. 127 – 146.
____________ Growing a Smiling Tree. Risk 8, No. 10 (1995), p. 76 – 81.
144
BATES, D. Jumps and Stochastic Volatility: Exchange Rate Processes Implicit in
Deutsche Mark Options. The Review of Financial Studies, 9, No. 1 (1996), p.
69 – 107.
____________ The Skewness Premium: Option Pricing Under Asymmetric
Processes. Advances in Futures and Options Research, Vol. 9 (1997), p. 51 –
82.
____________ Testing Option Pricing Models. Statistical Methods in Finance,
Handbook of Statistics, Vol.14 (1995), p. 567 – 611.
____________ Pricing Options on Jump-Diffusion Processes. Working Paper 37-88,
RodneyL. White Center, Wharton School, University of Pensilvania, October
(1988).
____________ Empirical Option Pricing: A Retrospection. Working Paper,
University of Iowa and the National Bureau of Economic Research, January
(2001).
BACKERS, S. Standard Deviation Implied in Option Prices as Predictors of Stock
Price Variability. Journal of Banking and Finance, 5, No. 3 (1981), p. 363 –
381.
BLACK, F.; SHOLES, M. Pricing of Options and Corporate Liabilities. Journal of
Political Economy, 81 (1973), p. 637 – 659.
145
BODURTHA, J.; JERMAKYAN, M. Non-Parametric Estimation of an Implied Volatility
Surface. Working Paper, Georgetown University, (1996a).
____________ Regular Smiles. Working Paper, Georgetown University, (1996b).
BOOKSTABER, R.; MCDONALD, J. A General Distribution for Describing Security
Price Returns. Journal of Business, 60, No.3 (1987), p. 401 – 424.
BREEDEN, D.; LITZENBERGER, R. Prices of State-Contigent Claims Implicit in
Options Prices. Journal of Business, 51, (1978), p. 621 – 651.
BRENNER, M.; EOM, Y. No-Arbitrage Option Pricing: New Evidence on the Validity
of the Martingale Property. Working Paper, New York University, (1997).
BRITTEN-JONES, M.; NEUBERGER, A. Option Prices, Implied Price Processes, and
Stochastic Volatility. Journal of Finance, 55, No.2 (2000), p. 839 – 866.
BROWN, G; TOFT, K.B. Constructing Binomial Trees from Multiple Implied
Probability Distributions. Journal of Derivatives, 7, No.2 (1999), p. 83 – 100.
BUCHEN, P.; KELLY, M. The Maximum Entropy Distribution of an Asset Inferred
from Option Prices. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 31, No. 1
(1996), p. 143 – 159.
BURASCHI, A.; JACKWERTH, J. The Price of a Smile: Hedging and Spanning in
Option Markets. Working Paper, London Business School and University of
Wisconsin, October, (1997).
146
CAMPA, J.; CHANG, K.; REIDER, R. Implied Exchange Rate Distributions: Evidence
from OTC Option Markets. Journal of International Money and Finanace,
17, No.1 (1998), p. 117 – 160.
CARR, P. A Survey of Preference-Free Option Valuation with Stochastic Volatility.
Working Paper, Banc of America Securities, (2000).
CARR, P.; MADAN, D. Towards a Theory of Volatility Trading. Working Paper,
University of Maryland, (1990).
____________ Determining Volatility Surfaces and Options Values from an
Implied Volatility Smile. Working Paper, University of Maryland, (1998).
CARR, P.; LEWIS, K.; MADAN, D. On the Nature of Options. Working Paper,
University of Maryland, (2000).
CARR, P.; TARI, M.; ZARIPHOPOULOU, T. Closed Form Option Valuation with Smiles.
Working Paper, University of Wisconsin, (1999).
CHIRAS, D. P.; MANASTER, S. The Information Content of Option Prices and a Test
of Market Efficiency. Journal of Financial Economics, 6, No.2/3 (1978), p.
213 – 234.
CHRISS, N. Transatlantic Trees. Risk, 9, No. 7 (1996), p. 45 – 48.
COLEMAN, T.F.; KIM, Y.; LI, Y.; VERMA, A. Dynamic Hedging in a Volatile Market.
Working Paper, Cornell University, (1999).
147
COLEMAN, T.F.; LI, Y.; VERMA, A. Reconstructing The Unknown Local Volatility
Function. Working Paper, Cornell University, (1998).
____________ A New Method for American Option Pricing. Working Paper, Cornell
University, (1999).
CONT, R. Beyond Implied Volatility. In J. Kertesz and I. Kondor, eds., Econophysics.
Dordrecht: Kluwer, (1997).
CONT, R.; FONSECA, J. Dynamics of Implied Volatility Surfaces. Working Paper,
Ecole Polytechnique, (2002).
CORRADO, C.; SU, T.. Skewness and Kurtosis in S&P500 Index Returns Implied by
Option Prices. Journal of Financial Research, 19, No. 2 (1996), p. 175 – 192.
____________ Implied Volatility Skews And Stock Index Skewness and Kurtosis
Implied by S&P 500 Index Option Prices. Journal of Derivatives , 4, No. 4,
(1997), p.8 – 19.
____________ An Empirical Test of the Hull-White Option Pricing Model. The
Journal of Futures Markets, 8, No.4 (1997), p. 363-378.
COX, J.; ROSS, S. The Valuation of Options for Alternative Stochastic Processes.
Journal of Financial Economics, 3, No. ½ (1976), p. 145 – 166.
COX, J.; ROSS, S.; RUBINSTEIN, M. Option Pricing: A Simplified Approach. Journal
of Financial Economics, 7, No. 3 (1979), p. 229 – 263.
148
CRAINE, R.; LOCHSTOER, L.A.; SYRTVEIT, K. Estimation of a Stochastic-Volatility
Jump-Diffusion Model. Working Paper, University of California at Berkeley,
(1999).
CROUHY, M.; GALAI, D. Hedging With A Volatility Term Structure. The Journal of
Derivatives, 3,No.2 (1995), p. 45 – 52.
DAS, S.; SUNDARAM, R. Of Smiles and Smirks: A Term-Structure Perspective.
Journal of Financial and Quantitative Analysis, 34 (1999), p. 211 – 239.
DEBREU, G. The Theory of Value. John Wiley & Sons, New York, (1959)
DEMPSTER M.A.H.; RICHARDS D.G. Pricing American Options Fitting the Smile.
Mathematical Finance, Vol 10, No2 (2000), p. 157-177
DENNIS, P.; MAYHEW, S. Implied Volatility Smiles: Evidence From Options on
Individual Equities. Banking and Finance Department, Terry College of
Business, University of Georgia, Working Paper (2000)
DERMAN, E.; KANI, I. Riding on a Smile. Risk, 7, No. 2 (1994), p. 32 – 39.
____________ Stochastic Implied Trees: Arbitrage Pricing with Stochastic Term
and Strike Structure of Volatility. International Journal of Theoretical and
Applied Finance, 1 (1998), p. 7 – 22.
DERMAN, E.; KANI, I.; ZOU, J. Z.. The Local Volatility Surface – Unlocking the
Information in Index Option Prices. Financial Analysts Journal, (1996).
149
DERMAN, E.; ZOU, J. Z. Monte Carlo Valuation of Path-Dependent Options on
Indexes with a Volatility Smile. The Journal of Financial Engineering, 6,
No.2 (1997), p. 149 – 168.
DERMAN, E.; KANI, I.; CHRISS, N. Implied Trinomial Trees of the Volatility Smile.
Journal of Derivatives, 3, No. 4 (1996), p. 7 – 22.
DUMAS, B.; FLEMING, J.; WHALEY, R. Implied Volatility Functions: Empirical Tests.
Working Paper, HEC, (1996).
____________ Implied Volatility Functions: Empirical Tests. Journal of Finance, 53,
No. 6 (1998), p. 2059 – 2106.
DUPIRE, B. Model Art. Risk, 6, (1993), p. 118 – 121.
____________ Pricing With a Smile. Risk, 7, No. 1 (1994), p. 18 –20.
EDERINGTON, L. Why Are Those Optios Smiling? Working Paper, University of
Oklahoma, (2000).
ENGLE, R. F.; NG, V. K. Measuring and Testing the Impact of News on Volatility
Journal of Finance,48, No5. (1993), p. 1749 – 1778.
FLAMOURIS, D.V.; GIAMOURIDIS, D.G. Estimating Implied PDFs from American
Options: A New Semi-Parametric Approach. Proceedings of the Chicago
Board of Trade 13th Annual European Futures Symposium, Glasgow,
Scotland, (2000).
150
GIAMOURIDIS, D.G.; TAMVAKIS, M.N. A New Method for Recovering Implied PDFs
from American Options on Futures with an Application in the Interest
Rates Market. Working Paper, City University Business School, (2000).
HARRISON, J. M.; KREPS, D. Martingales and Arbitrage in Multiperiod Securities
Markets. Journal of Economic Theory, 20 (1979), p.381 – 408.
HARRISON, J. M.; PLISKA, S. Martingales and Stochastic Integrals in The Theory of
Continuous Trading. Stochastic Processes and Their Application, 11 (1981),
p. 215 – 260.
HEYNEN, R. An Empirical Investigation of Observed Smile Patterns. Working
Paper, Tinbergen Institute, Erasmus University, Rotterdam, (1994).
HILLIARD, J E.; SCHWARTZ, A. Binomial Option Pricing under Stochastic Volatility
and Correlated State Variables. Journal of Derivatives, 4, No.2 (1996), p. 23
– 39.
HODGES, H. M. Arbitrage Bounds on The Implied Volatility Strike and Term
Structures of European-Style Options. The Journal of Derivatives, Summer
(1996), p.23 – 35.
HOLLAND, L. C. Constructing Multinomial Option Pricing Models: Illustrations for
Practice and Education. Journal of Applied Finance, 11, (2001), p.7 – 15.
HULL, J. C.; WHITE, A. The Pricing of Options on Assets with Stochastic Volatilities.
The Journal of Finance 42, No. 2 (1987), p. 281 – 300.
151
JACKWERTH, J. Generalized Binomial Trees. Journal of Derivatives, 5, No. 2 (1997),
p. 7 –17.
____________ Option-Implied Risk-Neutral Distributions and Implied Binomial
Trees: A Literature Review. Journal of Derivatives, 7, No. 2 (1999), p. 66 –
82.
____________ Recovering Risk Aversion from Option Prices and Realized
Returns. The Review of Financial Studies, 13, No.2 (2000), p. 433 - 451
JACKWERTH, J.; RUBINSTEIN, M. Recovering Probability Distributions from Option
Prices. Journal of Finance, 51, No. 5 (1996), p. 1611 – 1631.
____________ Recovering Stochastic Processes from Option Prices. Working Paper,
University of Wisconsin, (2001).
JARROW, R.; RUDD, A. Approximate Option Valuation for Arbitrary Stochastic
Processes. Journal of Financial Economics, 10, (1982), p. 347 – 369.
JONDEAU, E.; ROCKINGER, M. Estimating Gram-Charlier Expansions under
Positivity Constraints. Working Paper, HEC, (1998).
____________ “Reading the Smile: The Message Conveyed by Methods Which Infer
Risk Neutral Densities.” Working Paper No. 47, Banque de France, June
(1997).
LATANÉ, H.; RENDLEMAN, R. J. Standard Deviations of Stock Price Ratios Implied
in Option Prices. The Journal of Finance, 31, No.2 (1976), p. 369 – 381.
152
LAURENT, J.; LEISEN, D.. Building a Consistent Pricing Model from Observed
Option Prices. Collected papers of the New York University Mathematical
Finance Seminar, Volume II (1999), World Scientific, ISBN 981-02-4225-5.
LEDOIT, O.; SANTA-CLARA, P. Reletive Pricing Options with Stochastic Volatility.
Working Paper, University of California, March (1999).
LEMGRUBER, E.F. Avaliação de Contratos de Opções. Edição Revisada e Ampliada
São Paulo: BM&F, (1995), 62p.
LEMGRUBER, E.F.; BECKER, J.L.; FELÍCIO, R.F., Seguro Dinâmico de Portfólio.
Relatório de Pesquisa, No. 97, Coppead/UFRJ, (1990).
LONGSTAFF, F. Option Pricing and the Martingale Restriction. Review of Financial
Studies, 8, No.4 (1995), p. 1091 – 1124.
MALZ, A. Estimating the Probability Distribution on the Future Exchange Rate
from Option Prices. Journal of Derivatives, 5, No. 2 (1997), p. 18 – 36.
MAYHEW, S. Implied Volatility. Financial Analysts Journal, 51, (1995), p. 8 – 13.
MELICK, W.; THOMAS, C. Recovering an Asset’s Implied PDF from Option Prices:
An Application to Crude Oil During de Gulf Crisis. Journal of Financial and
Quantitative Analysis, 32 (1997), p. 91 – 115.
MIRFENDERESKI, D.; REBONATO, R. Closed-Form Solutions for Options Pricing in
the Presence of Volatility Smiles: a Density-Function Approach. The
Journal of Risk, (2001), p. 5 – 25.
153
MUZZIOLI, S.; TORRICELLI, C. Derman e Kani Implied Trees in Illiquid Markets: A
Choquet Pricing Approach. Materiali di Discussione, Università di Modena e
Reggio Emilia, Dipartamento di Economia Politica, (2001).
NAGOT, I; TROMMSDORF, R. The Tree of Knowledge., Risk, 10, No.8 (1999), p. 99 –
102.
PAPANICOLAOU, G.C.; SIRCAR, K.R. Stochastic Volatility, Smile & Asymptotics.
Working Paper, February, (1998).
POSNER, S.; MILEVSKY, M. Valuing Exotic Options by Approximating the SPD with
Higher Moments. Journal of Financial Engineering, 7, No.2 (1998), p. 109 –
125.
POTTERS, M.; CONT, R.; BOUCHAND, J. Financial Markets as Adaptive Systems.
Europhysics Letters, 41, No.3 (1998), p. 239 – 244.
REISMAN, H. Quadratic Volatility Smiles. Working Paper, Technion-Israel Institute of
Technology, (2001)
RITCHEY, R. Call Option Valuation for Discrete Normal Mixtures. Journal of
Financial Research, 13, No.4 (1990), p. 285 – 295.
ROSENBERG, J. Pricing Multivariate Contigent Claims Using Estimated Risk-
Neutral Density Functions. Working Paper, University of California, San
Diego, (1996).
154
ROSENBERG, J.; ENGLE, R. Option Hedging Using Empirical Pricing Kernels.
Working Paper, New York University, (1997).
ROSENBERG, J.V., Implied volatility functions: A reprise. Journal of Derivatives, 7,
No.3 (2000), p.51 – 64.
RUBINSTEIN, M. Nonparametric Tests of Alternative Option Pricing Models Using
All Reported Trades and Quotes on the 30 Most Active CBOE Option
Classes from August 23, 1976, trough August 31, 1978. The Journal of
Finance, 40, No.2 (1985), p. 455 – 480.
____________ Implied Binomial Trees. Journal of Finance, 49, No. 3 (1994), p. 771 –
818.
____________ Edgeworth Binomial Trees. Journal of Derivatives, 5, No. 3 (1998), p.
20 – 27.
____________ As Simple as One, Two, Three. Risk, 8, No. 1 (1995), p. 44 – 47.
____________ Between Binomial and Trinomial Option Pricing Models. Working
Paper, University of California, Berkleey, (2000).
SCHAMALENSE, R.; TRIPPI, R. Common Stock Volatility Expectations Implied by
Option Premia. The Journal of Finance, 33, No.3 (1978), p. 129 – 147.
SHEERRICK, B.J.; GARCIA, P.; TIRUPATTUR, V. Recovering Probabilistic Information
from Option Markets: Tests of Distributional Assumptions. Journal of
Futures Markets, 6, No. 5 (1996), p. 545 – 562.
155
SHEIKH, A. Transaction Data Tests of S&P 100 Call Option Pricing. Journal of
Financial and Quantitative Analysis, 26, No.4 (1991), p. 727 – 752.
SHIMKO, D. Bounds on Probability. Risk, 6 (1993), p. 33 – 37.
SKIADOPOULOS, G. Volatility Smile Consistent Option Models: A Survey. Journal of
Theoretical and Applied Finance, 4, No. 3 (2001) p. 403-437
SMITHSON, C. From Black & Scholes to Black Holes. Risk, (1995).
STUTZER, M. A Simple Nonparametric Approach to Derivative Security Valuation.
Journal of Finance, 51 (1996), p. 1633 – 1652.
TOMPKINS, R. Implied Volatility Surfaces: Uncovering the Regularities for Options
on Financial Futures. Working paper, Vienna University of Technology and
Warwick University, (1998).
____________ Stock Index Futures Markets: Stochastic Volatility Models and
Smiles. The Journal of Future Markets, 21, No. 1 (2001). p. 43. (Working
Paper, Frankfurt MathFinance Institute, 1999.)
156
77 AANNEEXXOOSS
7.1 ANEXO I
Correlações
Janela 1400 252 126 63 211400 1,000252 0,994 1,000126 0,989 0,992 1,00063 0,976 0,973 0,978 1,00021
Médias
Janela 1400 252 126 63 211400 0,000252 0,001 0,000126 0,001 0,000 0,00063 0,002 0,001 0,001 0,00021 0,005 0,005 0,004 0,003 0,000
Desvios-Padrão
Janela 1400 252 126 63 211400 0,000252 0,007 0,000126 0,009 0,008 0,00063 0,014 0,015 0,013 0,00021 0,027 0,028 0,027 0,025 0,000
Estatística t
Janela 1400 252 126 63 211400 -252 3,717 -126 4,401 2,099 -63 4,995 2,988 2,099 -21 6,703 5,643 5,195 4,656 -
157
7.2 ANEXO II
Estatísticas t
BS F_3 R_252
BS F_3 R_1400 1,308DK F_3 R_252 1,617 0,256BS F_3 R_126 1,391 0,234 0,016BS F_3 R_21 1,705 0,419 0,177 0,159BS F_3 R_63 1,740 0,494 0,260 0,243 0,089DK F_3 R_21 2,628 1,146 0,867 0,847 0,664 0,558DK F_3 R_1400 2,668 1,444 1,214 1,197 1,046 0,959 0,498DK F_3 R_126 2,527 1,606 1,432 1,419 1,306 1,240 0,893 0,519DK F_3 R_63 3,414 2,449 2,267 2,254 2,135 2,066 1,703 1,311 0,768BS F_2 9,253 8,488 8,344 8,334 8,239 8,185 7,897 7,586 7,155 6,546BS F_1 11,821 10,948 10,784 10,772 10,664 10,602 10,273 9,919 9,427 8,733 1,266DK F_2 4,618 4,387 4,344 4,340 4,312 4,295 4,208 4,115 3,984 3,801 1,823 1,488BS F_4 29,337 28,205 27,992 27,976 27,836 27,756 27,329 26,869 26,232 25,331 15,643 14,000 6,710DK F_2 Def 8,030 7,752 7,699 7,695 7,661 7,641 7,536 7,423 7,266 7,044 4,660 4,255 2,461 0,809BS F_4 Def 32,659 31,550 31,341 31,326 31,189 31,110 30,692 30,241 29,616 28,734 19,241 17,632 10,488 3,913 0,692DK F_1 5,460 5,275 5,240 5,238 5,215 5,201 5,132 5,056 4,952 4,805 3,221 2,952 1,760 0,663 0,125 0,009DK F_1 Def 7,321 7,077 7,031 7,028 6,997 6,980 6,888 6,789 6,651 6,457 4,366 4,011 2,437 0,989 0,280 0,127 0,115BS F_2 Def 3,213 3,203 3,200 3,200 3,199 3,198 3,194 3,190 3,183 3,175 3,081 3,065 2,995 2,930 2,898 2,891 2,890 2,885BS F_1 Def 2,984 2,974 2,972 2,972 2,971 2,970 2,967 2,963 2,957 2,950 2,867 2,853 2,791 2,734 2,706 2,700 2,700 2,695 0,161
BS F_3 R_252
BS F_3 R_1400
AbordagemDK F_3 R_252
BS F_3 R_126
BS F_3 R_21
BS F_3 R_63
DK F_3 R_21
DK F_3 R_1400
DK F_3 R_126
DK F_3 R_63
BS F_2 BS F_1 DK F_2 BS F_4DK F_2
DefBS F_4
DefDK F_1
DK F_1 Def
BS F_2 Def
BS F_1 Def
Probabilidades Associadas
BS F_3 R_252
BS F_3 R_1400 9,6%DK F_3 R_252 5,3% 39,9%BS F_3 R_126 8,2% 40,8% 49,4%BS F_3 R_21 4,4% 33,8% 43,0% 43,7%BS F_3 R_63 4,1% 31,1% 39,8% 40,4% 46,5%DK F_3 R_21 0,4% 12,6% 19,3% 19,9% 25,3% 28,8%DK F_3 R_1400 0,4% 7,4% 11,2% 11,6% 14,8% 16,9% 30,9%DK F_3 R_126 0,6% 5,4% 7,6% 7,8% 9,6% 10,7% 18,6% 30,2%DK F_3 R_63 0,0% 0,7% 1,2% 1,2% 1,6% 1,9% 4,4% 9,5% 22,1%BS F_2 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%BS F_1 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 10,3%DK F_2 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 3,4% 6,8%BS F_4 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%DK F_2 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,7% 20,9%BS F_4 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 24,4%DK F_1 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,1% 0,2% 3,9% 25,4% 45,0% 49,6%DK F_1 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,7% 16,1% 39,0% 44,9% 45,4%BS F_2 Def 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,2% 0,2% 0,2% 0,2% 0,2%BS F_1 Def 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,2% 0,2% 0,2% 0,2% 0,2% 0,2% 0,3% 0,3% 0,3% 0,3% 0,3% 0,4% 43,6%
BS F_3 R_252
AbordagemBS F_3 R_1400
DK F_3 R_252
BS F_3 R_126
BS F_3 R_21
BS F_3 R_63
DK F_3 R_21
DK F_3 R_1400
DK F_3 R_126
DK F_3 R_63
BS F_2 BS F_1 DK F_2DK F_1
DefBS F_2
DefBS F_1
DefBS F_4
DK F_2 Def
BS F_4 Def
DK F_1
158
7.3 ANEXO III
Estatísticas t
BS F_3 R_1400
BS F_3 R_21 0,321BS F_3 R_63 0,637 0,323BS F_3 R_252 0,936 0,647 0,349BS F_3 R_126 1,137 0,837 0,528 0,166DK F_3 R_1400 5,628 5,319 5,000 4,627 4,457DK F_3 R_21 5,690 5,382 5,063 4,691 4,521 0,072DK F_3 R_252 5,890 5,615 5,330 4,997 4,845 0,871 0,807DK F_3 R_63 6,394 6,102 5,800 5,447 5,285 1,068 1,000 0,144DK F_3 R_126 6,460 6,177 5,884 5,542 5,385 1,296 1,230 0,399 0,260DK F_2 16,505 16,282 16,050 15,780 15,656 12,427 12,375 11,719 11,609 11,404BS F_2 13,279 13,112 12,940 12,739 12,647 10,242 10,203 9,715 9,633 9,480 0,990BS F_1 15,721 15,541 15,355 15,138 15,038 12,440 12,398 11,871 11,782 11,617 2,444 1,375DK F_1 18,936 18,728 18,513 18,262 18,147 15,147 15,099 14,490 14,387 14,197 3,604 2,369 0,782DK F_2 Def 30,943 30,757 30,566 30,342 30,240 27,565 27,522 26,979 26,887 26,717 17,273 16,173 14,757 14,060DK F_1 Def 32,507 32,325 32,137 31,918 31,817 29,191 29,149 28,616 28,526 28,359 19,088 18,008 16,618 15,934 2,131BS F_4 38,485 38,317 38,144 37,941 37,848 35,424 35,385 34,893 34,810 34,656 26,096 25,099 23,816 23,184 10,441 8,474BS F_4 Def 43,894 43,733 43,567 43,372 43,283 40,960 40,922 40,451 40,372 40,224 32,021 31,065 29,836 29,231 17,019 15,133 7,013BS F_2 Def 8,468 8,445 8,421 8,393 8,380 8,047 8,042 7,974 7,963 7,941 6,765 6,628 6,452 6,365 4,613 4,343 3,178 2,172BS F_1 Def 8,047 8,027 8,005 7,980 7,969 7,670 7,665 7,604 7,594 7,575 6,519 6,396 6,238 6,160 4,588 4,346 3,301 2,398 0,449
BS F_3 R_63
BS F_3 R_252
BS F_3 R_126
DK F_3 R_1400
BS F_2 BS F_1 DK F_1DK F_3 R_21
DK F_3 R_252
DK F_3 R_63
DK F_3 R_126
BS F_2 Def
BS F_1 Def
BS F_3 R_1400
BS F_3 R_21
DK F_2 Def
DK F_1 Def
BS F_4BS F_4
DefDK F_2Abordagem
Probabilidades Associadas
BS F_3 R_1400
BS F_3 R_21 37,4%BS F_3 R_63 26,2% 37,3%BS F_3 R_252 17,5% 25,9% 36,4%BS F_3 R_126 12,8% 20,1% 29,9% 43,4%DK F_3 R_1400 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%DK F_3 R_21 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 47,1%DK F_3 R_252 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 19,2% 21,0%DK F_3 R_63 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 14,3% 15,9% 44,3%DK F_3 R_126 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 9,8% 10,9% 34,5% 39,7%DK F_2 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%BS F_2 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 16,1%BS F_1 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,7% 8,5%DK F_1 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,9% 21,7%DK F_2 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%DK F_1 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 1,7%BS F_4 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%BS F_4 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%BS F_2 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,1% 1,5%BS F_1 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,8% 32,7%
BS F_3 R_1400
BS F_3 R_21
BS F_3 R_63
BS F_3 R_252
BS F_3 R_126
DK F_3 R_1400
DK F_3 R_21
DK F_2 Def
DK F_3 R_252
DK F_3 R_63
DK F_3 R_126
DK F_2AbordagemBS F_1
DefDK F_1
DefBS F_4
BS F_4 Def
BS F_2 Def
BS F_2 BS F_1 DK F_1
159
7.4 ANEXO IV
Estatísticas t
BS F_3 R_126
BS F_3 R_1400 0,047BS F_3 R_252 0,049 0,002BS F_3 R_63 0,152 0,105 0,103BS F_3 R_21 0,474 0,427 0,425 0,323DK F_3 R_21 1,396 1,348 1,346 1,240 0,905DK F_3 R_252 1,652 1,618 1,617 1,542 1,307 0,673DK F_3 R_1400 1,852 1,819 1,818 1,746 1,520 0,908 0,258DK F_3 R_126 1,821 1,796 1,795 1,739 1,565 1,093 0,592 0,393DK F_3 R_63 2,562 2,537 2,536 2,482 2,311 1,849 1,358 1,163 0,778BS F_2 9,108 9,085 9,084 9,033 8,871 8,436 7,973 7,789 7,426 6,692DK F_2 5,568 5,554 5,553 5,523 5,427 5,166 4,890 4,780 4,563 4,125 0,128BS F_1 11,030 11,005 11,004 10,949 10,777 10,312 9,818 9,622 9,234 8,450 1,306 1,077DK F_2 Def 11,740 11,726 11,726 11,695 11,599 11,339 11,063 10,953 10,737 10,299 6,307 6,179 5,577DK F_1 Def 14,676 14,660 14,659 14,624 14,513 14,214 13,895 13,769 13,520 13,015 8,414 8,267 7,573 1,146DK F_1 5,405 5,399 5,399 5,386 5,347 5,240 5,126 5,081 4,992 4,812 3,170 3,117 2,870 0,575 0,166BS F_4 26,819 26,794 26,793 26,737 26,562 26,087 25,584 25,384 24,989 24,190 16,906 16,673 15,575 5,400 3,585 2,848BS F_4 Def 29,657 29,632 29,631 29,577 29,407 28,949 28,462 28,269 27,886 27,114 20,072 19,846 18,784 8,946 7,191 6,478 3,725BS F_2 Def 3,193 3,193 3,193 3,191 3,188 3,178 3,168 3,164 3,156 3,139 2,990 2,986 2,963 2,755 2,718 2,703 2,644 2,566BS F_1 Def 3,199 3,198 3,198 3,197 3,194 3,184 3,174 3,170 3,162 3,146 2,998 2,994 2,971 2,765 2,729 2,714 2,656 2,578 0,041
BS F_3 R_126
BS F_3 R_1400
AbordagemBS F_3 R_252
BS F_3 R_63
BS F_3 R_21
DK F_3 R_21
DK F_3 R_252
DK F_3 R_1400
DK F_3 R_126
DK F_3 R_63
BS F_2 DK F_2 BS F_1DK F_2
DefDK F_1
DefDK F_1 BS F_4
BS F_4 Def
BS F_2 Def
BS F_1 Def
Probabilidades Associadas
BS F_3 R_126
BS F_3 R_1400 48,1%BS F_3 R_252 48,0% 49,9%BS F_3 R_63 43,9% 45,8% 45,9%BS F_3 R_21 31,8% 33,5% 33,5% 37,3%DK F_3 R_21 8,1% 8,9% 8,9% 10,8% 18,3%DK F_3 R_252 4,9% 5,3% 5,3% 6,2% 9,6% 25,0%DK F_3 R_1400 3,2% 3,4% 3,5% 4,0% 6,4% 18,2% 39,8%DK F_3 R_126 3,4% 3,6% 3,6% 4,1% 5,9% 13,7% 27,7% 34,7%DK F_3 R_63 0,5% 0,6% 0,6% 0,7% 1,0% 3,2% 8,7% 12,2% 21,8%BS F_2 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%DK F_2 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 44,9%BS F_1 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 9,6% 14,1%
DK F_2 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%DK F_1 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 12,6%DK F_1 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,1% 0,1% 0,2% 28,3% 43,4%BS F_4 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,2%BS F_4 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%BS F_2 Def 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,2% 0,3% 0,3% 0,3% 0,4% 0,5%BS F_1 Def 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,3% 0,3% 0,3% 0,4% 0,5% 48,4%
BS F_3 R_126
AbordagemBS F_3 R_1400
BS F_3 R_252
BS F_3 R_63
BS F_3 R_21
DK F_3 R_21
DK F_3 R_252
DK F_3 R_1400
DK F_3 R_126
DK F_3 R_63
BS F_2 DK F_2 BS F_1BS F_4
DefBS F_2
DefBS F_1
DefDK F_2
DefDK F_1
DefDK F_1 BS F_4
160
7.5 ANEXO V
Estatísticas t
BS F_3 R_126
BS F_3 R_252 0,025BS F_3 R_1400 0,057 0,032BS F_3 R_63 0,110 0,085 0,053BS F_3 R_21 0,304 0,278 0,247 0,194DK F_3 R_21 4,943 4,919 4,888 4,837 4,651DK F_3 R_126 4,985 4,961 4,931 4,880 4,696 0,092DK F_3 R_1400 5,008 4,984 4,954 4,903 4,719 0,113 0,022DK F_3 R_252 5,022 4,997 4,967 4,917 4,732 0,121 0,029 0,007DK F_3 R_63 5,395 5,371 5,341 5,291 5,110 0,571 0,480 0,459 0,452DK F_2 14,224 14,204 14,180 14,139 13,991 10,277 10,203 10,186 10,180 9,810BS F_2 11,406 11,392 11,375 11,346 11,242 8,634 8,583 8,570 8,566 8,307 1,419BS F_1 13,286 13,271 13,253 13,221 13,108 10,273 10,216 10,203 10,198 9,916 2,426 0,884DK F_1 16,474 16,457 16,436 16,400 16,270 13,020 12,956 12,940 12,935 12,612 4,028 2,260 1,247DK F_2 Def 28,075 28,059 28,039 28,006 27,887 24,894 24,835 24,821 24,816 24,518 16,614 14,986 14,054 12,905DK F_1 Def 29,343 29,328 29,308 29,276 29,159 26,232 26,174 26,160 26,155 25,864 18,131 16,538 15,626 14,502 1,876BS F_4 34,631 34,618 34,601 34,573 34,471 31,915 31,864 31,852 31,848 31,593 24,840 23,450 22,653 21,672 10,647 9,008BS F_4 Def 39,682 39,669 39,653 39,626 39,528 37,080 37,031 37,019 37,016 36,772 30,303 28,971 28,208 27,268 16,707 15,137 6,508BS F_2 Def 8,275 8,272 8,270 8,265 8,248 7,829 7,820 7,819 7,818 7,776 6,668 6,440 6,309 6,148 4,339 4,071 2,593 1,478BS F_1 Def 7,230 7,228 7,226 7,222 7,209 6,874 6,868 6,866 6,866 6,832 5,950 5,768 5,664 5,535 4,094 3,880 2,702 1,814 0,636
BS F_3 R_126
BS F_3 R_252
AbordagemBS F_3 R_1400
BS F_3 R_63
BS F_3 R_21
DK F_3 R_21
DK F_3 R_126
DK F_3 R_1400
DK F_3 R_252
DK F_3 R_63
DK F_2 BS F_2 BS F_1 DK F_1DK F_2
DefDK F_1
DefBS F_4
BS F_4 Def
BS F_2 Def
BS F_1 Def
Probabilidades Associadas
BS F_3 R_126
BS F_3 R_252 49,0%BS F_3 R_1400 47,7% 48,7%BS F_3 R_63 45,6% 46,6% 47,9%BS F_3 R_21 38,1% 39,0% 40,3% 42,3%DK F_3 R_21 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%DK F_3 R_126 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 46,4%DK F_3 R_1400 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 45,5% 49,1%DK F_3 R_252 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 45,2% 48,8% 49,7%DK F_3 R_63 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 28,4% 31,6% 32,3% 32,6%DK F_2 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%BS F_2 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 7,8%BS F_1 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,8% 18,8%DK F_1 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 1,2% 10,6%DK F_2 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%DK F_1 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 3,0%BS F_4 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%BS F_4 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%BS F_2 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,5% 7,0%BS F_1 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,3% 3,5% 26,2%
BS F_3 R_126
AbordagemBS F_3 R_252
BS F_3 R_1400
BS F_3 R_63
BS F_3 R_21
DK F_3 R_21
DK F_3 R_126
DK F_3 R_1400
DK F_3 R_252
DK F_3 R_63
DK F_2 BS F_2 BS F_1BS F_4
DefBS F_2
DefBS F_1
DefDK F_1
DK F_2 Def
DK F_1 Def
BS F_4
161
7.6 ANEXO VI
Correlações
AbordagemBS F_3 R_126
BS F_3 R_1400
BS F_3 R_252
BS F_3 R_63
BS F_3 R_21
DK F_3 R_21
DK F_3 R_252
DK F_3 R_1400
DK F_3 R_126
DK F_3 R_63
BS F_2 DK F_2 BS F_1DK F_2
DefDK F_1
DefDK F_1 BS F_4
BS F_4 Def
BS F_2 Def
BS F_1 Def
BS F_3 R_126 1,000BS F_3 R_1400 1,000 1,000BS F_3 R_252 0,999 1,000 1,000BS F_3 R_63 0,999 0,999 0,998 1,000BS F_3 R_21 0,994 0,994 0,994 0,995 1,000DK F_3 R_21 0,919 0,916 0,916 0,921 0,921 1,000DK F_3 R_252 0,610 0,608 0,608 0,610 0,604 0,691 1,000DK F_3 R_1400 0,593 0,592 0,591 0,594 0,587 0,673 0,993 1,000DK F_3 R_126 0,461 0,460 0,460 0,462 0,457 0,540 0,974 0,975 1,000DK F_3 R_63 0,474 0,471 0,471 0,473 0,465 0,519 0,355 0,361 0,265 1,000BS F_2 0,519 0,518 0,517 0,519 0,517 0,540 0,374 0,364 0,280 0,279 1,000DK F_2 0,442 0,442 0,441 0,441 0,444 0,462 0,321 0,313 0,243 0,238 0,437 1,000BS F_1 0,422 0,422 0,421 0,422 0,426 0,459 0,324 0,318 0,250 0,260 0,895 0,398 1,000DK F_2 Def 0,564 0,563 0,562 0,564 0,551 0,592 0,414 0,402 0,304 0,474 0,648 0,336 0,483 1,000DK F_1 Def 0,381 0,380 0,380 0,381 0,382 0,412 0,297 0,292 0,223 0,319 0,581 0,300 0,598 0,574 1,000DK F_1 0,125 0,125 0,125 0,125 0,126 0,116 0,080 0,076 0,063 0,065 0,154 0,080 0,195 0,101 0,147 1,000BS F_4 0,496 0,494 0,494 0,496 0,495 0,512 0,348 0,348 0,265 0,288 0,373 0,271 0,354 0,368 0,365 0,109 1,000BS F_4 Def 0,542 0,539 0,540 0,542 0,539 0,559 0,387 0,384 0,297 0,312 0,390 0,286 0,353 0,412 0,374 0,107 0,950 1,000BS F_2 Def 0,071 0,072 0,070 0,077 0,074 0,067 0,044 0,041 0,035 0,034 0,049 0,160 0,038 0,163 0,140 0,041 0,063 0,068 1,000BS F_1 Def 0,115 0,118 0,116 0,122 0,120 0,116 0,078 0,073 0,059 0,057 0,030 0,431 0,030 0,137 0,124 0,023 0,079 0,083 0,916 1,000
Médias
AbordagemBS F_3 R_126
BS F_3 R_1400
BS F_3 R_252
BS F_3 R_63
BS F_3 R_21
DK F_3 R_21
DK F_3 R_252
DK F_3 R_1400
DK F_3 R_126
DK F_3 R_63
BS F_2 DK F_2 BS F_1DK F_2
DefDK F_1
DefDK F_1 BS F_4
BS F_4 Def
BS F_2 Def
BS F_1 Def
BS F_3 R_126 0,00%
BS F_3 R_1400 0,01% 0,00%
BS F_3 R_252 0,02% 0,00% 0,00%
BS F_3 R_63 0,05% 0,03% 0,03% 0,00%
BS F_3 R_21 0,15% 0,14% 0,14% 0,10% 0,00%
DK F_3 R_21 0,43% 0,42% 0,42% 0,38% 0,28% 0,00%
DK F_3 R_252 0,73% 0,71% 0,71% 0,68% 0,58% 0,30% 0,00%
DK F_3 R_1400 0,85% 0,83% 0,83% 0,80% 0,70% 0,42% 0,12% 0,00%
DK F_3 R_126 1,08% 1,07% 1,07% 1,03% 0,93% 0,65% 0,35% 0,23% 0,00%
DK F_3 R_63 1,55% 1,54% 1,54% 1,50% 1,40% 1,12% 0,82% 0,71% 0,47% 0,00%
BS F_2 5,86% 5,84% 5,84% 5,81% 5,70% 5,42% 5,13% 5,01% 4,77% 4,30% 0,00%
DK F_2 5,99% 5,98% 5,98% 5,95% 5,84% 5,56% 5,26% 5,15% 4,91% 4,44% 0,14% 0,00%
BS F_1 6,64% 6,63% 6,63% 6,59% 6,49% 6,21% 5,91% 5,79% 5,56% 5,09% 0,79% 0,65% 0,00%
DK F_2 Def 12,65% 12,64% 12,64% 12,60% 12,50% 12,22% 11,92% 11,81% 11,57% 11,10% 6,80% 6,66% 6,01% 0,00%
DK F_1 Def 13,72% 13,71% 13,71% 13,68% 13,57% 13,29% 13,00% 12,88% 12,64% 12,17% 7,87% 7,73% 7,08% 1,07% 0,00%
DK F_1 14,16% 14,15% 14,14% 14,11% 14,01% 13,73% 13,43% 13,31% 13,08% 12,61% 8,30% 8,17% 7,52% 1,51% 0,44% 0,00%
BS F_4 15,84% 15,83% 15,83% 15,79% 15,69% 15,41% 15,11% 14,99% 14,76% 14,29% 9,99% 9,85% 9,20% 3,19% 2,12% 1,68% 0,00%
BS F_4 Def 18,12% 18,10% 18,10% 18,07% 17,97% 17,69% 17,39% 17,27% 17,04% 16,56% 12,26% 12,12% 11,48% 5,47% 4,39% 3,96% 2,28% 0,00%
BS F_2 Def 92,18% 92,17% 92,17% 92,13% 92,03% 91,75% 91,45% 91,33% 91,10% 90,63% 86,33% 86,19% 85,54% 79,53% 78,46% 78,02% 76,34% 74,06% 0,00%
BS F_1 Def 93,39% 93,37% 93,37% 93,34% 93,23% 92,95% 92,66% 92,54% 92,31% 91,83% 87,53% 87,39% 86,74% 80,73% 79,66% 79,23% 77,54% 75,27% 1,21% 0,00%
162
Desvio-Padrão
AbordagemBS F_3 R_126
BS F_3 R_1400
BS F_3 R_252
BS F_3 R_63
BS F_3 R_21
DK F_3 R_21
DK F_3 R_252
DK F_3 R_1400
DK F_3 R_126
DK F_3 R_63
BS F_2 DK F_2 BS F_1DK F_2
DefDK F_1
DefDK F_1 BS F_4
BS F_4 Def
BS F_2 Def
BS F_1 Def
BS F_3 R_126 0,00%
BS F_3 R_1400 0,79% 0,00%
BS F_3 R_252 0,88% 0,67% 0,00%
BS F_3 R_63 1,08% 1,30% 1,44% 0,00%
BS F_3 R_21 2,81% 2,87% 2,81% 2,61% 0,00%
DK F_3 R_21 10,12% 10,32% 10,33% 10,04% 10,11% 0,00%
DK F_3 R_252 28,40% 28,46% 28,47% 28,39% 28,64% 25,68% 0,00%
DK F_3 R_1400 29,84% 29,89% 29,91% 29,82% 30,06% 27,22% 4,60% 0,00%
DK F_3 R_126 42,48% 42,52% 42,53% 42,47% 42,63% 40,19% 15,44% 14,39% 0,00%
DK F_3 R_63 42,98% 43,05% 43,06% 42,99% 43,25% 41,64% 49,06% 49,32% 58,48% 0,00%
BS F_2 44,19% 44,21% 44,23% 44,17% 44,23% 43,58% 50,57% 51,36% 59,73% 60,33% 0,00%
DK F_2 78,63% 78,61% 78,63% 78,65% 78,51% 78,17% 82,29% 82,73% 88,06% 88,61% 79,05% 0,00%
BS F_1 44,15% 44,17% 44,18% 44,17% 44,10% 43,08% 49,87% 50,63% 58,87% 59,06% 23,16% 80,56% 0,00%
DK F_2 Def 75,25% 75,23% 75,26% 75,20% 75,51% 74,60% 78,82% 79,31% 85,22% 76,62% 66,13% 99,76% 76,10% 0,00%
DK F_1 Def 69,56% 69,58% 69,56% 69,55% 69,50% 68,73% 72,96% 73,37% 79,53% 75,40% 61,66% 96,08% 60,32% 75,31% 0,00%
DK F_1 208,86% 208,87% 208,86% 208,86% 208,83% 209,09% 210,66% 210,92% 212,91% 212,99% 208,87% 221,13% 206,62% 219,35% 212,85% 0,00%
BS F_4 41,26% 41,33% 41,31% 41,26% 41,30% 40,78% 48,38% 48,91% 57,70% 57,41% 55,62% 86,64% 54,47% 82,04% 72,75% 210,69% 0,00%
BS F_4 Def 41,28% 41,34% 41,33% 41,27% 41,35% 40,79% 48,18% 48,73% 57,39% 57,36% 55,70% 86,37% 55,46% 80,03% 72,80% 210,99% 15,37% 0,00%
BS F_2 Def 2317,9% 2317,9% 2317,9% 2317,7% 2317,8% 2318,0% 2318,3% 2318,4% 2318,4% 2318,4% 2317,6% 2307,3% 2318,3% 2307,1% 2310,3% 2320,6% 2317,1% 2316,8% 0,0%
BS F_1 Def 2342,9% 2342,8% 2342,8% 2342,7% 2342,7% 2342,9% 2343,2% 2343,3% 2343,3% 2343,4% 2344,7% 2309,7% 2344,7% 2335,4% 2337,6% 2350,2% 2342,4% 2342,1% 954,7% 0,0%
Estatística t
AbordagemBS F_3 R_126
BS F_3 R_1400
BS F_3 R_252
BS F_3 R_63
BS F_3 R_21
DK F_3 R_21
DK F_3 R_252
DK F_3 R_1400
DK F_3 R_126
DK F_3 R_63
BS F_2 DK F_2 BS F_1DK F_2
DefDK F_1
DefDK F_1 BS F_4
BS F_4 Def
BS F_2 Def
BS F_1 Def
BS F_3 R_126 -BS F_3 R_1400 1,515 -BS F_3 R_252 1,430 0,078 -BS F_3 R_63 3,590 2,070 1,834 -BS F_3 R_21 4,354 3,839 3,909 3,189 -DK F_3 R_21 3,433 3,249 3,240 3,071 2,227 -DK F_3 R_252 2,065 2,018 2,016 1,929 1,621 0,931 -DK F_3 R_1400 2,283 2,239 2,236 2,154 1,859 1,227 2,063 -DK F_3 R_126 2,046 2,015 2,014 1,954 1,751 1,298 1,829 1,304 -DK F_3 R_63 2,904 2,871 2,869 2,813 2,603 2,163 1,349 1,149 0,648 -BS F_2 10,647 10,615 10,609 10,564 10,361 10,000 8,145 7,834 6,423 5,730 -DK F_2 6,125 6,111 6,109 6,074 5,978 5,717 5,140 4,997 4,482 4,026 0,140 -BS F_1 12,088 12,056 12,051 11,996 11,826 11,583 9,525 9,196 7,590 6,923 2,729 0,647 -DK F_2 Def 13,511 13,497 13,492 13,468 13,301 13,163 12,155 11,960 10,911 11,640 8,259 5,364 6,346 -DK F_1 Def 15,854 15,832 15,836 15,801 15,692 15,539 14,312 14,101 12,774 12,970 10,255 6,466 9,435 1,144 -DK F_1 5,448 5,442 5,441 5,429 5,390 5,275 5,123 5,071 4,936 4,756 3,195 2,967 2,924 0,552 0,164 -BS F_4 30,850 30,773 30,782 30,759 30,524 30,364 25,099 24,633 20,554 19,997 14,428 9,134 13,571 3,124 2,339 0,642 -BS F_4 Def 35,263 35,183 35,192 35,179 34,907 34,837 28,998 28,479 23,853 23,206 17,688 11,280 16,627 5,487 4,849 1,507 11,893 -BS F_2 Def 3,195 3,195 3,195 3,194 3,190 3,180 3,170 3,165 3,157 3,141 2,993 3,001 2,965 2,770 2,729 2,701 2,647 2,569 -BS F_1 Def 3,203 3,202 3,202 3,201 3,198 3,188 3,177 3,173 3,165 3,149 3,000 3,040 2,973 2,778 2,738 2,709 2,660 2,582 0,101 -
163
7.7 ANEXO VII
Correlações
AbordagemBS F_3 R_126
BS F_3 R_252
BS F_3 R_1400
BS F_3 R_63
BS F_3 R_21
DK F_3 R_21
DK F_3 R_126
DK F_3 R_1400
DK F_3 R_252
DK F_3 R_63
DK F_2 BS F_2 BS F_1 DK F_1DK F_2
DefDK F_1
DefBS F_4
BS F_4 Def
BS F_2 Def
BS F_1 Def
BS F_3 R_126 1,000BS F_3 R_252 1,000 1,000BS F_3 R_1400 1,000 1,000 1,000BS F_3 R_63 0,999 0,999 0,999 1,000BS F_3 R_21 0,998 0,998 0,998 0,998 1,000DK F_3 R_21 0,919 0,919 0,919 0,919 0,920 1,000DK F_3 R_126 0,906 0,906 0,906 0,906 0,905 0,971 1,000DK F_3 R_1400 0,911 0,911 0,911 0,910 0,909 0,980 0,989 1,000DK F_3 R_252 0,910 0,910 0,910 0,909 0,908 0,981 0,991 0,993 1,000DK F_3 R_63 0,896 0,896 0,896 0,896 0,895 0,966 0,950 0,962 0,959 1,000DK F_2 0,649 0,648 0,648 0,648 0,649 0,722 0,714 0,717 0,718 0,707 1,000BS F_2 0,645 0,645 0,645 0,644 0,644 0,625 0,615 0,619 0,619 0,608 0,823 1,000BS F_1 0,562 0,562 0,562 0,561 0,562 0,565 0,557 0,560 0,560 0,553 0,786 0,914 1,000DK F_1 0,472 0,471 0,472 0,472 0,475 0,559 0,549 0,550 0,553 0,546 0,720 0,606 0,722 1,000DK F_2 Def 0,592 0,591 0,591 0,592 0,592 0,674 0,661 0,666 0,667 0,669 0,844 0,716 0,697 0,684 1,000DK F_1 Def 0,491 0,491 0,491 0,492 0,495 0,588 0,581 0,584 0,585 0,584 0,761 0,608 0,701 0,736 0,836 1,000BS F_4 0,424 0,423 0,423 0,425 0,425 0,566 0,552 0,556 0,556 0,556 0,549 0,399 0,415 0,498 0,552 0,536 1,000BS F_4 Def 0,458 0,457 0,456 0,458 0,459 0,590 0,576 0,579 0,579 0,578 0,559 0,409 0,423 0,498 0,586 0,571 0,950 1,000BS F_2 Def 0,123 0,123 0,123 0,126 0,123 0,138 0,137 0,134 0,135 0,133 0,204 0,169 0,154 0,173 0,301 0,257 0,156 0,184 1,000BS F_1 Def 0,078 0,080 0,079 0,083 0,079 0,094 0,093 0,091 0,093 0,089 0,159 0,106 0,116 0,120 0,255 0,253 0,126 0,152 0,869 1,000
Médias
AbordagemBS F_3 R_126
BS F_3 R_252
BS F_3 R_1400
BS F_3 R_63
BS F_3 R_21
DK F_3 R_21
DK F_3 R_126
DK F_3 R_1400
DK F_3 R_252
DK F_3 R_63
DK F_2 BS F_2 BS F_1 DK F_1DK F_2
DefDK F_1
DefBS F_4
BS F_4 Def
BS F_2 Def
BS F_1 Def
BS F_3 R_126 0,00%
BS F_3 R_252 0,00% 0,00%
BS F_3 R_1400 0,01% 0,00% 0,00%
BS F_3 R_63 0,01% 0,01% 0,01% 0,00%
BS F_3 R_21 0,03% 0,03% 0,03% 0,02% 0,00%
DK F_3 R_21 0,56% 0,56% 0,55% 0,55% 0,53% 0,00%
DK F_3 R_126 0,57% 0,57% 0,57% 0,56% 0,54% 0,01% 0,00%
DK F_3 R_1400 0,57% 0,57% 0,57% 0,56% 0,54% 0,01% 0,00% 0,00%
DK F_3 R_252 0,57% 0,57% 0,57% 0,56% 0,54% 0,01% 0,00% 0,00% 0,00%
DK F_3 R_63 0,63% 0,62% 0,62% 0,62% 0,59% 0,07% 0,06% 0,05% 0,05% 0,00%
DK F_2 2,02% 2,02% 2,01% 2,01% 1,99% 1,46% 1,45% 1,45% 1,45% 1,39% 0,00%
BS F_2 2,31% 2,31% 2,30% 2,30% 2,27% 1,75% 1,74% 1,73% 1,73% 1,68% 0,29% 0,00%
BS F_1 2,47% 2,47% 2,47% 2,46% 2,44% 1,91% 1,90% 1,90% 1,90% 1,85% 0,45% 0,16% 0,00%
DK F_1 2,67% 2,67% 2,67% 2,66% 2,64% 2,11% 2,10% 2,10% 2,10% 2,05% 0,65% 0,37% 0,20% 0,00%
DK F_2 Def 4,95% 4,95% 4,94% 4,94% 4,92% 4,39% 4,38% 4,38% 4,38% 4,32% 2,93% 2,64% 2,48% 2,28% 0,00%
DK F_1 Def 5,29% 5,29% 5,28% 5,28% 5,26% 4,73% 4,72% 4,72% 4,71% 4,66% 3,27% 2,98% 2,82% 2,61% 0,34% 0,00%
BS F_4 7,15% 7,15% 7,14% 7,14% 7,12% 6,59% 6,58% 6,57% 6,57% 6,52% 5,13% 4,84% 4,68% 4,47% 2,20% 1,86% 0,00%
BS F_4 Def 8,55% 8,55% 8,54% 8,54% 8,52% 7,99% 7,98% 7,98% 7,98% 7,92% 6,53% 6,24% 6,08% 5,88% 3,60% 3,26% 1,40% 0,00%
BS F_2 Def 10,41% 10,41% 10,40% 10,40% 10,38% 9,85% 9,84% 9,84% 9,84% 9,78% 8,39% 8,10% 7,94% 7,73% 5,46% 5,12% 3,26% 1,86% 0,00%
BS F_1 Def 11,41% 11,41% 11,41% 11,40% 11,38% 10,85% 10,84% 10,84% 10,84% 10,79% 9,39% 9,11% 8,94% 8,74% 6,46% 6,13% 4,27% 2,86% 1,00% 0,00%
164
Desvios-Padrão
AbordagemBS F_3 R_126
BS F_3 R_252
BS F_3 R_1400
BS F_3 R_63
BS F_3 R_21
DK F_3 R_21
DK F_3 R_126
DK F_3 R_1400
DK F_3 R_252
DK F_3 R_63
DK F_2 BS F_2 BS F_1 DK F_1DK F_2
DefDK F_1
DefBS F_4
BS F_4 Def
BS F_2 Def
BS F_1 Def
BS F_3 R_126 0,00%
BS F_3 R_252 0,19% 0,00%
BS F_3 R_1400 0,18% 0,13% 0,00%
BS F_3 R_63 0,33% 0,41% 0,37% 0,00%
BS F_3 R_21 0,55% 0,59% 0,58% 0,52% 0,00%
DK F_3 R_21 3,61% 3,62% 3,62% 3,62% 3,59% 0,00%
DK F_3 R_126 3,91% 3,92% 3,92% 3,93% 3,94% 2,20% 0,00%
DK F_3 R_1400 3,81% 3,82% 3,81% 3,83% 3,85% 1,83% 1,33% 0,00%
DK F_3 R_252 3,83% 3,83% 3,84% 3,86% 3,87% 1,80% 1,25% 1,13% 0,00%
DK F_3 R_63 4,16% 4,17% 4,17% 4,16% 4,18% 2,41% 2,94% 2,57% 2,66% 0,00%
DK F_2 8,79% 8,80% 8,80% 8,79% 8,79% 7,94% 8,07% 8,02% 8,01% 8,18% 0,00%
BS F_2 12,55% 12,54% 12,54% 12,56% 12,56% 12,74% 12,85% 12,80% 12,79% 12,92% 9,45% 0,00%
BS F_1 12,38% 12,37% 12,37% 12,38% 12,37% 12,35% 12,45% 12,42% 12,42% 12,50% 9,25% 6,61% 0,00%
DK F_1 11,79% 11,80% 11,80% 11,79% 11,76% 10,97% 11,09% 11,08% 11,05% 11,15% 9,28% 13,33% 10,60% 0,00%
DK F_2 Def 11,42% 11,43% 11,43% 11,42% 11,43% 10,47% 10,64% 10,57% 10,55% 10,54% 7,61% 11,63% 11,37% 10,87% 0,00%
DK F_1 Def 12,72% 12,72% 12,73% 12,71% 12,68% 11,73% 11,81% 11,78% 11,77% 11,79% 9,40% 13,70% 11,38% 10,10% 8,22% 0,00%
BS F_4 15,11% 15,13% 15,13% 15,11% 15,11% 13,68% 13,83% 13,79% 13,78% 13,79% 14,06% 18,01% 17,11% 15,15% 14,71% 15,07% 0,00%
BS F_4 Def 15,41% 15,43% 15,43% 15,41% 15,40% 14,02% 14,18% 14,14% 14,14% 14,14% 14,45% 18,27% 17,44% 15,66% 14,60% 14,94% 5,40% 0,00%
BS F_2 Def 100,4% 100,4% 100,4% 100,4% 100,4% 100,2% 100,2% 100,3% 100,3% 100,3% 99,4% 99,6% 99,9% 99,7% 97,8% 98,4% 99,8% 99,4% 0,0%
BS F_1 Def 126,5% 126,5% 126,5% 126,4% 126,5% 126,3% 126,3% 126,4% 126,3% 126,4% 125,5% 126,2% 126,0% 126,0% 124,0% 124,0% 125,8% 125,4% 63,4% 0,0%
Estatística t
AbordagemBS F_3 R_126
BS F_3 R_252
BS F_3 R_1400
BS F_3 R_63
BS F_3 R_21
DK F_3 R_21
DK F_3 R_126
DK F_3 R_1400
DK F_3 R_252
DK F_3 R_63
DK F_2 BS F_2 BS F_1 DK F_1DK F_2
DefDK F_1
DefBS F_4
BS F_4 Def
BS F_2 Def
BS F_1 Def
BS F_3 R_126 -BS F_3 R_252 1,174 -BS F_3 R_1400 2,799 2,198 -BS F_3 R_63 2,964 1,797 1,263 -BS F_3 R_21 4,832 4,156 3,732 3,285 -DK F_3 R_21 12,468 12,370 12,303 12,175 11,820 -DK F_3 R_126 11,745 11,667 11,595 11,445 10,978 0,384 -DK F_3 R_1400 12,088 12,024 11,955 11,774 11,287 0,569 0,149 -DK F_3 R_252 12,043 11,980 11,906 11,721 11,247 0,617 0,213 0,060 -DK F_3 R_63 12,114 12,025 11,971 11,872 11,406 2,212 1,528 1,670 1,586 -DK F_2 18,473 18,425 18,390 18,356 18,174 14,776 14,436 14,495 14,504 13,698 -BS F_2 14,775 14,771 14,747 14,684 14,554 11,019 10,861 10,887 10,886 10,453 2,440 -BS F_1 16,051 16,041 16,018 15,966 15,847 12,433 12,271 12,288 12,278 11,859 3,920 1,998 -DK F_1 18,234 18,193 18,175 18,151 18,046 15,483 15,242 15,235 15,271 14,755 5,661 2,212 1,535 -DK F_2 Def 34,818 34,774 34,754 34,732 34,583 33,689 33,074 33,266 33,314 32,968 30,933 18,260 17,518 16,825 -DK F_1 Def 33,409 33,385 33,347 33,360 33,293 32,397 32,099 32,172 32,192 31,766 27,946 17,480 19,883 20,802 3,307 -BS F_4 38,002 37,952 37,923 37,942 37,846 38,704 38,214 38,315 38,322 38,003 29,301 21,590 21,955 23,718 12,006 9,911 -BS F_4 Def 44,573 44,523 44,495 44,523 44,430 45,792 45,224 45,327 45,331 45,016 36,296 27,457 27,998 30,154 19,816 17,543 20,883 -BS F_2 Def 8,332 8,330 8,328 8,324 8,306 7,895 7,886 7,882 7,883 7,839 6,782 6,534 6,386 6,236 4,487 4,183 2,625 1,504 -BS F_1 Def 7,251 7,250 7,248 7,246 7,231 6,903 6,896 6,893 6,894 6,859 6,011 5,799 5,702 5,575 4,188 3,970 2,724 1,835 1,272 -
165
7.8 ANEXO VIII
Estatísticas t
BS F_3 R_252
DK F_3 R_252 0,225BS F_2 Def 0,387 0,172BS F_4 Def 0,414 0,206 0,040BS F_2 0,447 0,229 0,054 0,013BS F_1 0,450 0,231 0,055 0,013 0,001BS F_3 R_126 0,440 0,233 0,067 0,028 0,016 0,015BS F_3 R_21 0,499 0,284 0,111 0,070 0,058 0,057 0,041BS F_1 Def 0,514 0,299 0,127 0,085 0,073 0,072 0,056 0,015BS F_4 0,499 0,291 0,125 0,085 0,073 0,073 0,057 0,018 0,003BS F_3 R_1400 0,561 0,339 0,161 0,118 0,106 0,105 0,089 0,046 0,030 0,027BS F_3 R_63 0,612 0,401 0,232 0,192 0,180 0,179 0,164 0,123 0,108 0,106 0,080DK F_2 0,612 0,403 0,236 0,196 0,184 0,183 0,168 0,128 0,113 0,110 0,084 0,005DK F_3 R_1400 0,665 0,454 0,286 0,245 0,233 0,233 0,217 0,177 0,162 0,159 0,133 0,053 0,048DK F_3 R_126 0,651 0,457 0,301 0,264 0,253 0,252 0,238 0,201 0,187 0,184 0,161 0,087 0,082 0,038DK F_2 Def 0,702 0,494 0,327 0,288 0,276 0,275 0,260 0,220 0,205 0,202 0,176 0,098 0,092 0,045 0,004DK F_3 R_63 0,707 0,506 0,346 0,307 0,296 0,295 0,280 0,242 0,228 0,225 0,200 0,124 0,119 0,074 0,034 0,030DK F_3 R_21 0,724 0,521 0,359 0,320 0,309 0,308 0,293 0,254 0,240 0,237 0,212 0,136 0,131 0,084 0,045 0,041 0,010DK F_1 0,726 0,536 0,383 0,346 0,335 0,335 0,321 0,284 0,271 0,268 0,245 0,173 0,168 0,124 0,087 0,083 0,054 0,045DK F_1 Def 0,870 0,681 0,529 0,493 0,482 0,482 0,468 0,431 0,418 0,415 0,392 0,321 0,316 0,273 0,236 0,232 0,203 0,194 0,150
DK F_1DK F_1
DefDK F_3 R_126
DK F_2 Def
DK F_3 R_63
DK F_3 R_21
BS F_3 R_1400
BS F_3 R_63
DK F_2DK F_3 R_1400
BS F_3 R_126
BS F_3 R_21
BS F_1 Def
BS F_4BS F_2
DefBS F_4
DefBS F_2 BS F_1
BS F_3 R_252
DK F_3 R_252
Abordagem
Probabilidades Associadas
BS F_3 R_252
DK F_3 R_252 41,2%BS F_2 Def 35,1% 43,2%BS F_4 Def 34,1% 41,9% 48,4%BS F_2 32,9% 41,0% 47,8% 49,5%BS F_1 32,8% 41,0% 47,8% 49,5% 50,0%BS F_3 R_126 33,2% 40,9% 47,3% 48,9% 49,4% 49,4%BS F_3 R_21 31,0% 38,9% 45,6% 47,2% 47,7% 47,7% 48,4%BS F_1 Def 30,5% 38,4% 45,0% 46,6% 47,1% 47,1% 47,8% 49,4%BS F_4 31,1% 38,6% 45,1% 46,6% 47,1% 47,1% 47,7% 49,3% 49,9%BS F_3 R_1400 28,9% 36,8% 43,7% 45,3% 45,8% 45,8% 46,5% 48,2% 48,8% 48,9%BS F_3 R_63 27,3% 34,6% 40,9% 42,5% 42,9% 42,9% 43,6% 45,1% 45,7% 45,8% 46,9%DK F_2 27,2% 34,5% 40,8% 42,3% 42,8% 42,8% 43,4% 45,0% 45,5% 45,7% 46,7% 49,8%DK F_3 R_1400 25,5% 32,6% 38,9% 40,4% 40,9% 40,9% 41,5% 43,0% 43,6% 43,7% 44,8% 47,9% 48,1%DK F_3 R_126 26,0% 32,6% 38,3% 39,7% 40,1% 40,1% 40,7% 42,1% 42,6% 42,7% 43,7% 46,6% 46,8% 48,5%DK F_2 Def 24,4% 31,2% 37,3% 38,8% 39,2% 39,3% 39,8% 41,4% 41,9% 42,1% 43,1% 46,1% 46,4% 48,2% 49,8%DK F_3 R_63 24,2% 30,8% 36,6% 38,0% 38,5% 38,5% 39,1% 40,5% 41,1% 41,2% 42,1% 45,1% 45,3% 47,1% 48,6% 48,8%DK F_3 R_21 23,7% 30,3% 36,1% 37,5% 38,0% 38,0% 38,6% 40,0% 40,6% 40,7% 41,7% 44,6% 44,8% 46,7% 48,2% 48,4% 49,6%DK F_1 23,6% 29,8% 35,2% 36,6% 37,0% 37,0% 37,5% 38,9% 39,4% 39,5% 40,4% 43,2% 43,4% 45,1% 46,6% 46,7% 47,8% 48,2%DK F_1 Def 19,5% 25,0% 30,0% 31,3% 31,6% 31,7% 32,2% 33,4% 33,9% 34,0% 34,9% 37,5% 37,7% 39,3% 40,8% 40,9% 42,0% 42,4% 44,1%
DK F_3 R_21
DK F_1DK F_1
DefDK F_3 R_1400
DK F_3 R_126
DK F_2 Def
DK F_3 R_63
BS F_4BS F_3 R_1400
BS F_3 R_63
DK F_2BS F_1BS F_3 R_126
BS F_3 R_21
BS F_1 Def
DK F_3 R_252
BS F_2 Def
BS F_4 Def
BS F_2BS F_3 R_252
Abordagem
166
7.9 ANEXO IX
Estatísticas t
BS F_4 Def
BS F_2 Def 0,020BS F_1 Def 0,118 0,096BS F_4 0,121 0,100 0,010BS F_1 0,143 0,122 0,026 0,016BS F_2 0,156 0,135 0,045 0,035 0,021BS F_3 R_63 0,255 0,234 0,144 0,134 0,120 0,099BS F_3 R_21 0,255 0,234 0,144 0,134 0,120 0,099 0,000BS F_3 R_126 0,257 0,237 0,146 0,136 0,122 0,101 0,002 0,002BS F_3 R_1400 0,258 0,237 0,147 0,137 0,122 0,102 0,003 0,003 0,001BS F_3 R_252 0,259 0,239 0,148 0,139 0,124 0,103 0,004 0,004 0,002 0,001DK F_2 Def 0,416 0,398 0,315 0,306 0,293 0,274 0,183 0,183 0,182 0,181 0,180DK F_2 0,442 0,424 0,342 0,333 0,320 0,301 0,212 0,211 0,210 0,209 0,208 0,030DK F_3 R_252 0,470 0,451 0,365 0,356 0,342 0,323 0,229 0,229 0,227 0,227 0,225 0,040 0,008DK F_3 R_63 0,466 0,447 0,365 0,356 0,342 0,323 0,233 0,233 0,231 0,231 0,229 0,050 0,020 0,012DK F_1 0,489 0,471 0,389 0,380 0,367 0,348 0,258 0,258 0,256 0,256 0,254 0,076 0,046 0,038 0,026DK F_3 R_1400 0,518 0,500 0,419 0,411 0,398 0,379 0,291 0,291 0,289 0,288 0,287 0,112 0,082 0,075 0,063 0,037DK F_1 Def 0,542 0,524 0,443 0,435 0,421 0,403 0,314 0,314 0,313 0,312 0,311 0,135 0,105 0,098 0,086 0,060 0,023DK F_3 R_126 0,549 0,531 0,450 0,441 0,428 0,410 0,321 0,321 0,319 0,318 0,317 0,141 0,111 0,104 0,092 0,066 0,029 0,006DK F_3 R_21 0,563 0,545 0,465 0,456 0,443 0,425 0,337 0,337 0,335 0,335 0,334 0,160 0,130 0,123 0,111 0,086 0,049 0,026 0,020
DK F_3 R_126
DK F_3 R_21
DK F_3 R_63
DK F_1DK F_3 R_1400
DK F_1 Def
BS F_3 R_252
DK F_2 Def
DK F_2DK F_3 R_252
BS F_3 R_63
BS F_3 R_21
BS F_3 R_126
BS F_3 R_1400
BS F_1 Def
BS F_4 BS F_1 BS F_2BS F_4
DefBS F_2
DefAbordagem
Probabilidades Associadas
BS F_4 Def
BS F_2 Def 49,2%BS F_1 Def 45,4% 46,2%BS F_4 45,2% 46,0% 49,6%BS F_1 44,4% 45,2% 49,0% 49,4%BS F_2 43,9% 44,7% 48,2% 48,6% 49,2%BS F_3 R_63 40,0% 40,8% 44,3% 44,7% 45,3% 46,1%BS F_3 R_21 40,0% 40,8% 44,3% 44,7% 45,3% 46,1% 50,0%BS F_3 R_126 40,0% 40,7% 44,2% 44,6% 45,2% 46,0% 49,9% 49,9%BS F_3 R_1400 39,9% 40,7% 44,2% 44,6% 45,2% 46,0% 49,9% 49,9% 50,0%BS F_3 R_252 39,9% 40,7% 44,2% 44,5% 45,1% 45,9% 49,8% 49,8% 49,9% 49,9%DK F_2 Def 34,0% 34,7% 37,8% 38,1% 38,6% 39,3% 42,8% 42,8% 42,9% 42,9% 42,9%DK F_2 33,1% 33,8% 36,8% 37,1% 37,6% 38,3% 41,7% 41,7% 41,8% 41,8% 41,8% 48,8%DK F_3 R_252 32,1% 32,8% 35,9% 36,2% 36,7% 37,5% 41,0% 41,0% 41,1% 41,1% 41,2% 48,4% 49,7%DK F_3 R_63 32,3% 32,9% 35,9% 36,2% 36,7% 37,4% 40,9% 40,9% 40,9% 41,0% 41,0% 48,0% 49,2% 49,5%DK F_1 31,4% 32,1% 35,0% 35,3% 35,8% 36,5% 39,9% 39,9% 40,0% 40,0% 40,1% 47,0% 48,2% 48,5% 49,0%DK F_3 R_1400 30,4% 31,1% 33,9% 34,2% 34,7% 35,4% 38,7% 38,7% 38,7% 38,8% 38,8% 45,6% 46,8% 47,1% 47,5% 48,5%DK F_1 Def 29,6% 30,2% 33,1% 33,4% 33,8% 34,5% 37,8% 37,8% 37,8% 37,9% 37,9% 44,7% 45,8% 46,1% 46,6% 47,6% 49,1%DK F_3 R_126 29,4% 30,0% 32,8% 33,1% 33,6% 34,3% 37,5% 37,5% 37,6% 37,6% 37,7% 44,4% 45,6% 45,9% 46,4% 47,4% 48,9% 49,8%DK F_3 R_21 28,9% 29,5% 32,3% 32,6% 33,1% 33,7% 36,9% 36,9% 37,0% 37,0% 37,1% 43,7% 44,9% 45,2% 45,6% 46,6% 48,1% 49,0% 49,2%
DK F_1 Def
DK F_3 R_126
DK F_3 R_21
DK F_3 R_252
DK F_3 R_63
DK F_1DK F_3 R_1400
BS F_3 R_1400
BS F_3 R_252
DK F_2 Def
DK F_2BS F_2BS F_3 R_63
BS F_3 R_21
BS F_3 R_126
BS F_2 Def
BS F_1 Def
BS F_4 BS F_1BS F_4
DefAbordagem
167
7.10 ANEXO X
Correlações
AbordagensBS F_4
DefBS F_2
DefBS F_1
DefBS F_4 BS F_1 BS F_2
BS F_3 R_63
BS F_3 R_21
BS F_3 R_126
BS F_3 R_1400
BS F_3 R_252
DK F_2 Def
DK F_2DK F_3 R_252
DK F_3 R_63
DK F_1DK F_3 R_1400
DK F_1 Def
DK F_3 R_126
DK F_3 R_21
BS F_4 Def 1,000BS F_2 Def 0,990 1,000BS F_1 Def 0,993 0,988 1,000BS F_4 0,988 0,970 0,988 1,000BS F_1 0,984 0,973 0,994 0,994 1,000BS F_2 0,987 0,989 0,991 0,987 0,988 1,000BS F_3 R_63 0,984 0,987 0,990 0,982 0,987 0,996 1,000BS F_3 R_21 0,984 0,986 0,990 0,982 0,987 0,996 1,000 1,000BS F_3 R_126 0,984 0,987 0,990 0,982 0,987 0,996 1,000 1,000 1,000BS F_3 R_1400 0,984 0,987 0,990 0,982 0,987 0,996 1,000 1,000 1,000 1,000BS F_3 R_252 0,984 0,987 0,990 0,982 0,987 0,997 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000DK F_2 Def 0,922 0,961 0,928 0,894 0,906 0,942 0,946 0,946 0,946 0,947 0,947 1,000DK F_2 0,928 0,963 0,941 0,910 0,924 0,957 0,958 0,958 0,958 0,958 0,958 0,989 1,000DK F_3 R_252 0,918 0,954 0,934 0,902 0,922 0,948 0,957 0,957 0,957 0,957 0,957 0,986 0,994 1,000DK F_3 R_63 0,931 0,964 0,941 0,911 0,926 0,956 0,965 0,965 0,965 0,965 0,965 0,984 0,991 0,996 1,000DK F_1 0,948 0,975 0,958 0,929 0,942 0,967 0,968 0,967 0,968 0,968 0,968 0,979 0,990 0,981 0,983 1,000DK F_3 R_1400 0,920 0,956 0,932 0,900 0,917 0,948 0,957 0,957 0,957 0,957 0,957 0,989 0,993 0,998 0,998 0,983 1,000DK F_1 Def 0,947 0,974 0,955 0,930 0,938 0,965 0,964 0,964 0,964 0,964 0,965 0,987 0,987 0,977 0,976 0,993 0,980 1,000DK F_3 R_126 0,920 0,955 0,934 0,902 0,919 0,948 0,958 0,959 0,959 0,959 0,959 0,987 0,993 0,998 0,998 0,982 0,999 0,976 1,000DK F_3 R_21 0,917 0,955 0,931 0,897 0,916 0,944 0,953 0,954 0,953 0,953 0,954 0,989 0,993 0,998 0,997 0,983 0,999 0,979 0,999 1,000
Médias
AbordagensBS F_4
DefBS F_2
DefBS F_1
DefBS F_4 BS F_1 BS F_2
BS F_3 R_63
BS F_3 R_21
BS F_3 R_126
BS F_3 R_1400
BS F_3 R_252
DK F_2 Def
DK F_2DK F_3 R_252
DK F_3 R_63
DK F_1DK F_3 R_1400
DK F_1 Def
DK F_3 R_126
DK F_3 R_21
BS F_4 Def 0,00%
BS F_2 Def 0,006% 0,00%
BS F_1 Def 0,032% 0,026% 0,00%
BS F_4 0,035% 0,029% 0,003% 0,00%
BS F_1 0,039% 0,033% 0,007% 0,004% 0,00%
BS F_2 0,045% 0,039% 0,013% 0,010% 0,006% 0,00%
BS F_3 R_63 0,073% 0,067% 0,041% 0,039% 0,034% 0,028% 0,00%
BS F_3 R_21 0,073% 0,067% 0,041% 0,039% 0,034% 0,028% 0,000% 0,00%
BS F_3 R_126 0,074% 0,068% 0,042% 0,039% 0,035% 0,029% 0,001% 0,001% 0,00%
BS F_3 R_1400 0,074% 0,068% 0,042% 0,039% 0,035% 0,029% 0,001% 0,001% 0,000% 0,00%
BS F_3 R_252 0,074% 0,068% 0,043% 0,040% 0,035% 0,030% 0,001% 0,001% 0,001% 0,000% 0,00%
DK F_2 Def 0,131% 0,125% 0,099% 0,096% 0,092% 0,086% 0,058% 0,057% 0,057% 0,057% 0,056% 0,00%
DK F_2 0,140% 0,134% 0,108% 0,106% 0,101% 0,095% 0,067% 0,067% 0,067% 0,066% 0,066% 0,010% 0,00%
DK F_3 R_252 0,143% 0,137% 0,111% 0,108% 0,104% 0,098% 0,070% 0,069% 0,069% 0,069% 0,068% 0,012% 0,002% 0,00%
DK F_3 R_63 0,146% 0,141% 0,115% 0,112% 0,108% 0,102% 0,073% 0,073% 0,073% 0,072% 0,072% 0,016% 0,006% 0,004% 0,00%
DK F_1 0,155% 0,149% 0,123% 0,120% 0,116% 0,110% 0,082% 0,082% 0,081% 0,081% 0,080% 0,024% 0,014% 0,012% 0,008% 0,00%
DK F_3 R_1400 0,167% 0,161% 0,135% 0,132% 0,128% 0,122% 0,093% 0,093% 0,093% 0,093% 0,092% 0,036% 0,026% 0,024% 0,020% 0,012% 0,00%
DK F_1 Def 0,174% 0,168% 0,142% 0,139% 0,135% 0,129% 0,101% 0,101% 0,100% 0,100% 0,100% 0,043% 0,034% 0,031% 0,028% 0,019% 0,007% 0,00%
DK F_3 R_126 0,176% 0,170% 0,144% 0,141% 0,137% 0,131% 0,103% 0,103% 0,102% 0,102% 0,102% 0,045% 0,036% 0,033% 0,029% 0,021% 0,009% 0,002% 0,00%
DK F_3 R_21 0,182% 0,177% 0,151% 0,148% 0,144% 0,138% 0,109% 0,109% 0,109% 0,109% 0,108% 0,052% 0,042% 0,040% 0,036% 0,028% 0,016% 0,008% 0,007% 0,00%
168
Desvios-Padrão
AbordagensBS F_4
DefBS F_2
DefBS F_1
DefBS F_4 BS F_1 BS F_2
BS F_3 R_63
BS F_3 R_21
BS F_3 R_126
BS F_3 R_1400
BS F_3 R_252
DK F_2 Def
DK F_2DK F_3 R_252
DK F_3 R_63
DK F_1DK F_3 R_1400
DK F_1 Def
DK F_3 R_126
DK F_3 R_21
BS F_4 Def 0,00%
BS F_2 Def 0,214% 0,00%
BS F_1 Def 0,204% 0,246% 0,00%
BS F_4 0,236% 0,375% 0,246% 0,00%
BS F_1 0,283% 0,359% 0,160% 0,188% 0,00%
BS F_2 0,247% 0,228% 0,216% 0,243% 0,248% 0,00%
BS F_3 R_63 0,274% 0,249% 0,230% 0,285% 0,252% 0,127% 0,00%
BS F_3 R_21 0,277% 0,252% 0,231% 0,285% 0,251% 0,132% 0,009% 0,00%
BS F_3 R_126 0,275% 0,248% 0,230% 0,285% 0,253% 0,128% 0,005% 0,011% 0,00%
BS F_3 R_1400 0,272% 0,246% 0,228% 0,285% 0,252% 0,127% 0,007% 0,011% 0,005% 0,00%
BS F_3 R_252 0,273% 0,246% 0,228% 0,285% 0,252% 0,127% 0,006% 0,010% 0,004% 0,003% 0,00%
DK F_2 Def 0,642% 0,464% 0,628% 0,743% 0,705% 0,557% 0,539% 0,540% 0,539% 0,539% 0,538% 0,00%
DK F_2 0,627% 0,458% 0,589% 0,694% 0,651% 0,494% 0,491% 0,491% 0,490% 0,490% 0,490% 0,253% 0,00%
DK F_3 R_252 0,641% 0,483% 0,577% 0,696% 0,625% 0,511% 0,468% 0,466% 0,467% 0,467% 0,467% 0,282% 0,195% 0,00%
DK F_3 R_63 0,606% 0,450% 0,577% 0,684% 0,635% 0,494% 0,444% 0,444% 0,444% 0,444% 0,443% 0,295% 0,223% 0,159% 0,00%
DK F_1 0,535% 0,387% 0,511% 0,619% 0,578% 0,437% 0,434% 0,436% 0,434% 0,435% 0,433% 0,341% 0,234% 0,326% 0,308% 0,00%
DK F_3 R_1400 0,666% 0,507% 0,635% 0,740% 0,691% 0,550% 0,505% 0,504% 0,505% 0,505% 0,504% 0,248% 0,199% 0,150% 0,123% 0,310% 0,00%
DK F_1 Def 0,551% 0,401% 0,537% 0,629% 0,609% 0,459% 0,464% 0,465% 0,464% 0,465% 0,464% 0,274% 0,274% 0,364% 0,369% 0,198% 0,342% 0,00%
DK F_3 R_126 0,662% 0,508% 0,625% 0,732% 0,677% 0,544% 0,494% 0,493% 0,494% 0,494% 0,494% 0,277% 0,207% 0,130% 0,109% 0,324% 0,060% 0,368% 0,00%
DK F_3 R_21 0,686% 0,523% 0,649% 0,760% 0,703% 0,576% 0,532% 0,530% 0,531% 0,531% 0,531% 0,260% 0,205% 0,149% 0,146% 0,314% 0,087% 0,348% 0,094% 0,00%
Estatística t
AbordagensBS F_4
DefBS F_2
DefBS F_1
DefBS F_4 BS F_1 BS F_2
BS F_3 R_63
BS F_3 R_21
BS F_3 R_126
BS F_3 R_1400
BS F_3 R_252
DK F_2 Def
DK F_2DK F_3 R_252
DK F_3 R_63
DK F_1DK F_3 R_1400
DK F_1 Def
DK F_3 R_126
DK F_3 R_21
BS F_4 Def -
BS F_2 Def 0,145 -
BS F_1 Def 0,824 0,559 -
BS F_4 0,775 0,406 0,060 -
BS F_1 0,724 0,486 0,231 0,119 -
BS F_2 0,958 0,903 0,317 0,221 0,127 -
BS F_3 R_63 1,410 1,431 0,951 0,716 0,720 1,179 -
BS F_3 R_21 1,395 1,413 0,948 0,717 0,725 1,138 0,024 -
BS F_3 R_126 1,420 1,445 0,965 0,725 0,731 1,201 0,633 0,263 -
BS F_3 R_1400 1,435 1,465 0,977 0,730 0,737 1,212 0,601 0,350 0,218 -
BS F_3 R_252 1,441 1,472 0,987 0,738 0,747 1,233 0,991 0,578 0,784 0,748 -
DK F_2 Def 1,077 1,422 0,832 0,684 0,689 0,815 0,564 0,564 0,559 0,558 0,554 -
DK F_2 1,182 1,551 0,974 0,805 0,824 1,022 0,723 0,722 0,718 0,715 0,712 0,200 -
DK F_3 R_252 1,178 1,499 1,016 0,822 0,879 1,014 0,786 0,789 0,781 0,778 0,775 0,226 0,067 -
DK F_3 R_63 1,278 1,652 1,050 0,864 0,896 1,089 0,872 0,873 0,866 0,864 0,860 0,281 0,146 0,122 -
DK F_1 1,529 2,033 1,272 1,027 1,060 1,333 0,994 0,989 0,988 0,984 0,982 0,373 0,327 0,195 0,143 -
DK F_3 R_1400 1,323 1,678 1,123 0,944 0,979 1,173 0,979 0,981 0,974 0,972 0,968 0,769 0,703 0,846 0,875 0,204 -
DK F_1 Def 1,670 2,218 1,402 1,174 1,175 1,489 1,150 1,147 1,143 1,139 1,138 0,839 0,652 0,455 0,397 0,516 0,115 -
DK F_3 R_126 1,404 1,769 1,219 1,021 1,070 1,274 1,099 1,102 1,094 1,091 1,088 0,861 0,911 1,346 1,437 0,345 0,813 0,026 -
DK F_3 R_21 1,408 1,789 1,229 1,030 1,081 1,266 1,088 1,091 1,083 1,082 1,079 1,053 1,091 1,411 1,311 0,468 0,960 0,128 0,373 -
169
7.11 ANEXO XI
Correlações
Abordagens BS F_2BS F_2
DefBS F_4
BS F_4 Def
BS F_3 R_1400
BS F_3 R_126
BS F_3 R_252
BS F_3 R_21
BS F_3 R_63
BS F_1BS F_1
DefDK F_2
DefDK F_2
DK F_3 R_21
DK F_3 R_126
DK F_3 R_252
DK F_3 R_1400
DK F_3 R_63
DK F_1 Def
DK F_1
BS F_2 1,000BS F_2 Def 0,999 1,000BS F_4 0,997 0,997 1,000BS F_4 Def 0,997 0,998 0,999 1,000BS F_3 R_1400 0,996 0,994 0,990 0,991 1,000BS F_3 R_126 0,996 0,994 0,990 0,991 1,000 1,000BS F_3 R_252 0,996 0,994 0,990 0,991 1,000 1,000 1,000BS F_3 R_21 0,996 0,993 0,990 0,990 1,000 1,000 1,000 1,000BS F_3 R_63 0,996 0,994 0,990 0,991 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000BS F_1 0,998 0,997 0,998 0,998 0,994 0,994 0,994 0,993 0,994 1,000BS F_1 Def 0,997 0,997 0,998 0,998 0,992 0,991 0,992 0,991 0,992 0,999 1,000DK F_2 Def 0,991 0,994 0,994 0,994 0,984 0,983 0,984 0,983 0,984 0,993 0,995 1,000DK F_2 0,993 0,992 0,991 0,990 0,987 0,987 0,987 0,987 0,987 0,993 0,993 0,993 1,000DK F_3 R_21 0,985 0,984 0,980 0,980 0,987 0,988 0,987 0,987 0,988 0,984 0,984 0,986 0,993 1,000DK F_3 R_126 0,981 0,980 0,977 0,976 0,983 0,984 0,983 0,983 0,984 0,981 0,981 0,984 0,991 0,999 1,000DK F_3 R_252 0,976 0,975 0,972 0,971 0,979 0,979 0,979 0,979 0,979 0,977 0,978 0,979 0,988 0,995 0,996 1,000DK F_3 R_1400 0,980 0,979 0,975 0,975 0,982 0,982 0,982 0,982 0,983 0,978 0,978 0,982 0,990 0,997 0,998 0,994 1,000DK F_3 R_63 0,961 0,959 0,958 0,958 0,962 0,963 0,962 0,962 0,963 0,965 0,967 0,971 0,982 0,987 0,989 0,994 0,985 1,000DK F_1 Def 0,977 0,975 0,982 0,981 0,971 0,971 0,971 0,971 0,971 0,985 0,987 0,985 0,986 0,977 0,978 0,980 0,974 0,980 1,000DK F_1 0,977 0,978 0,985 0,984 0,970 0,970 0,970 0,969 0,970 0,986 0,989 0,988 0,982 0,973 0,972 0,971 0,967 0,971 0,991 1,000
Médias
Abordagens BS F_2BS F_2
DefBS F_4
BS F_4 Def
BS F_3 R_1400
BS F_3 R_126
BS F_3 R_252
BS F_3 R_21
BS F_3 R_63
BS F_1BS F_1
DefDK F_2
DefDK F_2
DK F_3 R_21
DK F_3 R_126
DK F_3 R_252
DK F_3 R_1400
DK F_3 R_63
DK F_1 Def
DK F_1
BS F_2 0
BS F_2 Def 7 0
BS F_4 14 7 0
BS F_4 Def 18 12 4 0
BS F_3 R_1400 19 13 5 1 0
BS F_3 R_126 19 13 5 1 0 0
BS F_3 R_252 19 13 5 1 0 0 0
BS F_3 R_21 20 13 6 2 1 1 1 0
BS F_3 R_63 20 13 6 2 1 1 1 0 0
BS F_1 25 18 11 7 6 6 6 5 5 0
BS F_1 Def 32 25 18 14 13 13 13 12 12 7 0
DK F_2 Def 54 47 40 36 35 35 35 34 34 29 22 0
DK F_2 55 48 41 37 36 36 36 35 35 30 23 1 0
DK F_3 R_21 90 84 76 72 71 71 71 70 70 65 58 36 35 0
DK F_3 R_126 102 95 88 84 83 83 83 82 82 77 70 48 47 12 0
DK F_3 R_252 104 97 89 85 84 84 84 84 84 78 72 49 48 13 1 0
DK F_3 R_1400 106 99 92 87 87 86 86 86 86 81 74 52 51 15 4 2 0
DK F_3 R_63 113 106 99 94 94 93 93 93 93 88 81 59 58 22 11 9 7 0
DK F_1 Def 126 119 112 108 107 107 107 106 106 101 94 72 71 36 24 23 20 13 0
DK F_1 139 132 125 121 120 120 120 119 119 114 107 85 84 49 37 36 33 26 13 0
170
Desvios-Padrão
Abordagens BS F_2BS F_2
DefBS F_4
BS F_4 Def
BS F_3 R_1400
BS F_3 R_126
BS F_3 R_252
BS F_3 R_21
BS F_3 R_63
BS F_1BS F_1
DefDK F_2
DefDK F_2
DK F_3 R_21
DK F_3 R_126
DK F_3 R_252
DK F_3 R_1400
DK F_3 R_63
DK F_1 Def
DK F_1
BS F_2 0
BS F_2 Def 40 0
BS F_4 62 61 0
BS F_4 Def 65 54 33 0
BS F_3 R_1400 74 94 115 117 0
BS F_3 R_126 74 95 115 118 2 0
BS F_3 R_252 73 94 114 117 1 2 0
BS F_3 R_21 76 96 117 120 5 5 5 0
BS F_3 R_63 73 94 115 117 3 3 3 4 0
BS F_1 53 66 54 64 85 85 85 87 85 0
BS F_1 Def 64 65 54 57 99 100 99 101 99 27 0
DK F_2 Def 105 92 96 102 134 135 134 136 134 91 80 0
DK F_2 102 115 122 130 119 118 118 119 117 96 98 89 0
DK F_3 R_21 157 167 182 188 130 130 130 129 129 151 154 134 95 0
DK F_3 R_126 174 183 196 204 148 147 148 147 147 165 167 146 105 36 0
DK F_3 R_252 193 204 213 223 167 166 167 167 166 180 182 168 122 70 57 0
DK F_3 R_1400 173 184 198 205 149 148 149 148 148 170 173 150 109 51 43 75 0
DK F_3 R_63 227 237 242 249 208 207 208 208 206 208 207 186 144 110 99 73 117 0
DK F_1 Def 165 172 147 157 181 181 181 182 180 130 122 131 129 173 173 174 183 170 0
DK F_1 167 166 142 149 182 182 181 182 181 124 115 117 137 174 179 184 190 182 105 0
Estatística t
Abordagens BS F_2BS F_2
DefBS F_4
BS F_4 Def
BS F_3 R_1400
BS F_3 R_126
BS F_3 R_252
BS F_3 R_21
BS F_3 R_63
BS F_1BS F_1
DefDK F_2
DefDK F_2
DK F_3 R_21
DK F_3 R_126
DK F_3 R_252
DK F_3 R_1400
DK F_3 R_63
DK F_1 Def
DK F_1
BS F_2 -
BS F_2 Def 0,907 -
BS F_4 1,205 0,636 -
BS F_4 Def 1,512 1,139 0,678 -
BS F_3 R_1400 1,391 0,705 0,237 0,041 -
BS F_3 R_126 1,385 0,702 0,240 0,044 0,200 -
BS F_3 R_252 1,403 0,711 0,242 0,045 0,480 0,023 -
BS F_3 R_21 1,398 0,722 0,262 0,069 0,686 0,654 0,587 -
BS F_3 R_63 1,447 0,740 0,269 0,072 1,045 1,185 0,946 0,040 -
BS F_1 2,518 1,458 1,072 0,550 0,359 0,353 0,355 0,313 0,319 -
BS F_1 Def 2,625 2,051 1,753 1,264 0,674 0,667 0,671 0,626 0,638 1,346 -
DK F_2 Def 2,719 2,715 2,206 1,859 1,373 1,367 1,372 1,335 1,350 1,696 1,467 -
DK F_2 2,866 2,218 1,773 1,495 1,593 1,594 1,595 1,560 1,583 1,656 1,244 0,054 -
DK F_3 R_21 3,046 2,645 2,211 2,024 2,893 2,901 2,892 2,883 2,890 2,283 2,013 1,425 1,977 -
DK F_3 R_126 3,119 2,756 2,373 2,176 2,964 2,973 2,964 2,960 2,964 2,470 2,221 1,745 2,384 1,763 -
DK F_3 R_252 2,844 2,505 2,216 2,023 2,672 2,683 2,672 2,657 2,670 2,311 2,085 1,558 2,100 0,989 0,124 -
DK F_3 R_1400 3,231 2,853 2,446 2,256 3,075 3,084 3,076 3,073 3,072 2,509 2,260 1,823 2,465 1,604 0,439 0,158 -
DK F_3 R_63 2,628 2,370 2,154 2,006 2,381 2,390 2,382 2,368 2,379 2,228 2,071 1,666 2,122 1,083 0,567 0,676 0,316 -
DK F_1 Def 4,039 3,676 4,033 3,622 3,116 3,124 3,121 3,082 3,115 4,125 4,096 2,905 2,915 1,092 0,730 0,686 0,587 0,415 -
DK F_1 4,401 4,209 4,657 4,279 3,492 3,489 3,493 3,463 3,484 4,854 4,937 3,856 3,248 1,479 1,093 1,025 0,928 0,764 0,652 -