universidade federal do rio de janeiro - pós-graduação im · nissenzweig estende o resultado de...
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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Bases de Schauder em Espacos de Banach
Nelson Dantas Louza Junior
Dissertacao de Mestrado apresentada ao
Programa de Pos-graduacao do Instituto
de Matematica, da Universidade Federal do
Rio de Janeiro, como parte dos requisitos
necessarios a obtencao do tıtulo de Mestre
em Matematica.
Orientadora: Luiza Amalia de Moraes
Rio de Janeiro
Novembro de 2008
Aos meus pais
Nelson e Deize.
Ao meu irmao
Bruno
e a minha avo
Altair.
iii
Agradecimentos
A Deus, por me dar forca todos os dias.
A minha orientadora, Professora Luiza Amalia de Moraes, por todo seu apoio, dedicacao,
paciencia e incentivo ao longo da minha formacao superior.
Aos professores da graduacao Nedir do Espırito Santo e Ivo Fernandez Lopez pelo apoio
e dedicacao durante o inıcio da minha formacao superior.
Aos meus parentes e amigos que sempre estiveram ao meu lado incentivando na minha
formacao matematica.
A CAPES e A FAPERJ pelo apoio financeiro durante a realizacao deste trabalho.
iv
Resumo
Bases de Schauder em Espacos de Banach
Nelson Dantas Louza junior
Orientadora: Luiza Amalia de Moraes
O objetivo desse trabalho e fazer um estudo dos espacos de Banach com base de
Schauder. Estudamos as propriedades basicas desses espacos, dando enfase aos espacos com
bases contrateis e aos espacos com bases incondicionais. Provamos os teoremas de Bessaga-
Pelczynski, de Johnson-Rosenthal e de Hagler-Johnson. Estes teoremas conduzem as solucoes
parciais que apresentamos para o seguinte problema proposto por A.Pelczynski:
”Todo espaco de Banach de dimensao infinita tem um quociente de dimensao
infinita com base de Schauder?”
A partir dos teoremas Johnson-Rosenthal e Hagler-Johnson provamos tambem o teorema
de B. Josefson e A. Nissenzweig que diz que: ”Se E e um espaco de Banach com dimensao
infinita, entao existe uma sequencia (ψn)∞n=1 normalizada tal que limn→∞
ψn(x) = 0 para cada
x ∈ E”.
v
Abstract
Schauder Basis in Banach Spaces
Nelson Dantas Louza Junior
Supervisor: Luiza Amalia de Moraes
The main purpuse of this work is to present a study of Schauder basis of a Banach
space. We state the elementary properties of the Banach spaces with Schauder basis, with
emphasis in the spaces with shrinking basis and in the spaces with unconditional basis. We
present the Bessaga-Pelczynski Theorem, the Johnson-Rosenthal Theorem and the Hagler-
Johnson Theorem. Theses theorems lead up to some partial solutions to the following prob-
lem proposed by A. Pelczynski:
”Does every infinite dimensional Banach space have an infinite dimensional
quotient with a Schauder basis?”
By using the Johnson-Rosenthal Theorem and the Hagler-Johnson Theorem we also prove
the following result due to B. Josefson and A. Nissenzweig: If E be an infinite dimensional
Banach space, then there is a sequence (ψn)∞n=1 in E ′ such that ||ψn|| = 1 for every n ∈ N
and limn→∞
ψn(x) = 0 for every x ∈ E”.
vi
Sumario
1 Resultados Preliminares de Analise Funcional e Espacos Metricos 4
2 Bases de Schauder 24
2.1 Nocoes preliminares sobre bases de Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Bases contrateis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3 Bases incondicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3 O Teorema de Josefson-Nissenzweig 61
vii
Introducao
Dizemos que uma sequencia (xn)∞n=1 e uma base de Schauder em um espaco de Banach
X se para todo x ∈ X existe uma unica sequencia (αn)∞n=1 de escalares tal que x =∞∑
n=1
αnxn.
Neste trabalho faremos um estudo das bases de Schauder de um espaco de Banach e
de algumas consequencias importantes da existencia de base de Schauder na estrutura do
espaco.
E facil mostrar que todo espaco de Banach com base de Schauder e separavel e o
problema de decidir se todo espaco de Banach separavel teria base de Schauder ficou aberto
por muitos anos e e conhecido como o problema de base. Em 1973 P. Enflo mostrou,
atraves de um exemplo, a existencia de um espaco de Banach separavel sem base de Schauder.
Por sua complexidade, decidimos nao incluir o exemplo de Enflo aqui mas remetemos o
leitor interessado a [4]. Muitos matematicos trabalharam e trabalham no problema de
determinar condicoes sob as quais um espaco de Banach tem base de
Schauder. Nesta dissertacao apresentaremos a prova de que todo espaco de Banach de
dimensao infinita tem um subespaco de dimensao infinita com base de Schauder. Alem disso,
apresentaremos resultados que mostram que, sob certas condicoes, um espaco de Banach
X tem um espaco quociente de dimensao infinita com base de Schauder, o que implica na
existencia de um espaco quociente de dimensao infinita separavel. Assim, alguns dos
resultados que apresentaremos fornecem solucoes parciais para o seguinte problema (ainda
aberto no caso geral) apresentado por A. Pelczynski em [12]:
Todo espaco de Banach de dimensao infinita tem um quociente de dimensao
infinita com base de Schauder ?
Concluımos nossa dissertacao apresentando uma demonstracao do Teorema de Josefson-
Nissenzweig. Este teorema foi obtido independente e simultaneamente por B. Josefson [6]
e A. Nissenzweig [11] e tem aplicacoes importantes em analise, sobretudo no estudo das
funcoes holomorfas em espaco de Banach de dimensao infinita. Por exemplo, S. Dineen
mostrou em [3] que se X e um espaco de Banach de dimensao infinita tal que existe uma
sequencia (ϕn)∞n=1 ⊂ SX′ que seja pontualmente convergente a zero, entao existe uma funcao
holomorfa definida em X que nao e limitada nos limitados de X. O Teorema de Josefson-
Nissenzweig estende o resultado de Dineen a todos os espacos de Banach X de dimensao
infinita.
Este trabalho esta dividido em tres capıtulos. No Capıtulo 1 enunciaremos os resultados
de Analise Funcional e da Teoria de Espacos Metricos que serao usados nos Capıtulos 2 e 3.
O Capıtulo 2 esta dividido em tres secoes. Na primeira secao definiremos base de Schauder
de um espaco de Banach , daremos exemplos e apresentaremos resultados estabelecendo
condicoes necessarias e suficientes para que uma sequencia (xn)∞n=1 seja base de Schauder
para o espaco span{xn : n ∈ IN}, isto e, seja uma sequencia basica. Na segunda secao
definimos e estudamos as bases contrateis e as bases limitadamente completas. Na terceira
secao introduzimos o conceito de base incondicional e apresentamos condicoes necessarias
e suficientes para que uma sequencia basica seja incondicional. Apresentamos tambem
exemplos de espacos de Banach com base de Schauder incondicional e de um espaco de
Banach cuja base de Schauder nao e incondicional. Entre os resultados mais importantes do
Capıtulo 2 estao:
• Teorema de Mazur: Seja X um espaco de Banach com dimensao infinita. Entao existe
um subespaco fechado de dimensao infinita de X com uma base de Schauder.
• Teorema de James: Seja (en)∞n=1 uma base de Schauder de um espaco de Banach X.
Entao X e reflexivo se e somente se (en)∞n=1 e uma base contratil e limitadamente
completa.
Como corolario do Teorema de James mostramos que se X e um espaco de Banach tal
2
que X ′ tem um subespaco reflexivo de dimensao infinita, entao X tem um espaco quociente
de dimensao infinita com base de Schauder.
No Capıtulo 3, apresentaremos resultados que estabelecem condicoes sob as quais um
espaco de Banach X tem um quociente isomorfo ao espaco c0, e condicoes sob as quais
X tem um espaco quociente isomorfo a ℓ2. Estes resultados sao solucoes parciais para o
problema da existencia de quociente de dimensao infinita com base de Schauder. O ultimo
resultado que apresentamos e o Teorema de Josefson-Nissenzweig, que diz que se X e um
espaco de Banach de dimensao infinita entao existe uma sequencia (ϕn)∞n=1 ⊂ X ′ tal que
||ϕn|| = 1 para cada n ∈ IN e limn→∞
ϕn(x) = 0 para cada x ∈ X. Um dos resultados chave
para a demonstracao que apresentaremos para o Teorema de Josefson-Nissenzweig e o que
diz que se X e um espaco de Banach real tal que X ′ contem uma copia de ℓ1 mas nenhuma
sequencia pontualmente convergente a zero em X ′ e equivalente a base canonica de ℓ1, entao
X contem uma copia de ℓ1 (ver Teorema 3.2).
3
Capıtulo 1
Resultados Preliminares de Analise
Funcional e Espacos Metricos
O objetivo deste capıtulo e tornar nosso trabalho mais acessıvel , apresentando uma co-
letanea das definicoes e resultados da Analise Funcional e da teoria de Espacos Metricos
que serao usados nos Capıtulos 2 e 3. Daremos sempre referencia de onde os resultados nao
demonstrados podem ser encontrados.
Estaremos interessados em espacos vetoriais reais ou complexos, e representaremos por
IK o corpo dos reais ou dos complexos. Consideraremos sempre X e Y espacos vetoriais
sobre o mesmo corpo IK.
Quando X for um espaco normado, denotaremos por BX a bola fechada de centro na
origem e raio 1 e por SX a esfera de centro na origem e raio 1, isto e, BX = {x ∈ X; ||x|| ≤ 1}
e SX = {x ∈ X; ||x|| = 1}. Dados a ∈ X e r > 0, a bola fechada de centro a e raio r e a
bola aberta de centro a e raio r serao denotadas por Br(a) e Br(a), respectivamente. Assim
Br(a) = {x ∈ X; ||x − a|| ≤ r} e Br(a) = {x ∈ X; ||x − a|| < r}.
Dado um conjunto qualquer F denotaremos por |F | a sua cardinalidade.
Lema 1.1. Seja E um espaco vetorial, e sejam ϕ1, . . . , ϕn, ϕ funcionais lineares tais que
n⋂
i=1
ϕ−1i (0) ⊂ ϕ−1(0).
Entao ϕ e combinacao linear de ϕ1, . . . , ϕn.
Demonstracao. Seja T : E −→ IK definida por
T (x) = (ϕ1(x), . . . , ϕn(x))
.
Entao T e linear, e segue da hipotese que T−1(0) ⊂ ϕ−1(0). Se definimos ψ : T (E) −→ IK
por ψ(T (x)) = ϕ(x), entao ψ esta bem definida e e linear. Seja Ψ : IKn −→ IK uma
transformacao linear tal que Ψ|T (E) = ψ. Se (e1, . . . , en) e a base canonica de IKn entao
ϕ(x) = ψ(T (x)) = Ψ(T (x)) = Ψ(ϕ1(x), . . . , ϕn(x)) = Ψ(n∑
i=1
ϕi(x)ei) =n∑
i=1
ϕi(x)Ψ(ei)
.
Como consequencia deste lema temos a seguinte proposicao.
Proposicao 1.1. Sejam E um espaco vetorial e ϕ1 . . . ϕn funcionais lineares definidos em E
tais que {ϕ1 . . . ϕn} e um conjunto linearmente independente. Entao existem x1, . . . , xn ∈ E
linearmente independentes tais que E = span{x1, . . . , xn} ⊕n⋂
i=1
ϕi−1(0) e ϕj(xi) = δi,j para
cada i, j ∈ {1, . . . , n}.
Proposicao 1.2. Sejam M espaco metrico, X um subconjunto denso de M e N um espaco
metrico completo. Se f : X −→ N e uma aplicacao uniformemente contınua, entao existe
uma unica extensao uniformemente contınua F : M −→ N .
Demonstracao. Veja [7] Proposicao 10, p. 177.
5
Proposicao 1.3. (Desigualdade de Holder) Sejam p, q > 1 tais que 1p+1
q= 1. Se (x1, . . . , xn),
(y1, . . . , yn) ∈ IKn entao
n∑
i=1
|xiyi| ≤
(n∑
i=1
|xi|p
) 1
p(
n∑
i=1
|yi|q
) 1
q
.
Demonstracao. Veja [5], Teorema 1.5, p. 3.
Proposicao 1.4. (Desigualdade de Minkowski) Seja p ≥ 1. Se (x1, . . . , xn),
(y1, . . . , yn) ∈ IKn entao
(n∑
i=1
|xi + yi|p
) 1
p
≤
(n∑
i=1
|xi|p
) 1
p
+
(n∑
i=1
|yi|p
) 1
p
.
Demonstracao. Veja [5], Teorema 1.7, p. 4.
A seguir, definiremos alguns espacos de sequencias que sao exemplos classicos de espacos
normados e que aparecerao muitas vezes neste trabalho. Todos estes espacos sao completos,
isto e, sao espacos de Banach.
Dado 1 ≤ p < ∞ um numero real fixo, definimos ℓp como sendo o conjunto de todas
as sequencias (xn)∞n=1 tais que xn ∈ IK para todo n ∈ IN e∞∑
n=1
|xn|p < ∞. Tornamos ℓp
um espaco vetorial sobre IK com as seguintes operacoes: se x = (xn)∞n=1 e y = (yn)∞n=1
estao em ℓp e λ ∈ IK entao x + y = (xn + yn)∞n=1 e λx = (λxn)∞n=1. Definindo a norma
||x||p =
(∞∑
n=1
|xn|p
) 1
p
para todo x = (xn)∞n=1 ∈ ℓp, mostra-se que (ℓp, || · ||p) e um espaco
normado. Alem disso (ℓp, || · ||p) e um espaco completo. A partir de agora denotaremos por
ℓp o espaco de Banach (ℓp, || · ||p).
Definimos ℓ∞ como sendo o conjunto de todas as sequencias (xn)∞n=1 tais que
xn ∈ IK para todo n ∈ IN e supn|xn| < ∞. Tornamos ℓ∞ um espaco vetorial com x + y
e λx definidas como em ℓp. Definindo ||x||∞ = supn|xn| para todo (xn)∞n=1 ∈ ℓ∞ obtem-se
6
uma norma em ℓ∞. E facil ver que (ℓ∞, || · ||∞) e um espaco de Banach. Denotaremos este
espaco de Banach por ℓ∞.
Definimos c0 como sendo o conjunto de todas as sequencias (xn)∞n=1 tais que xn ∈ IK para
todo n ∈ IN e limn→∞
xn = 0. Observe que c0 & ℓ∞ e e claro que c0 e um subespaco fechado
de ℓ∞. Considerando em c0 a norma induzida pela norma de ℓ∞, segue que c0 = (c0, || · ||∞)
e um espaco de Banach. Denotaremos este espaco de Banach por c0.
Definimos o espaco vetorial Lp[0, 1] para p ∈ [1,∞) como o conjunto das funcoes
mensuraveis f : [0, 1] → IK tais que∫ 1
0|f(x)|p dx e finita munido das operacoes usuais
de adicao e produto por escalar. A funcao ||f ||p = (∫ 1
0|f(x)|p dx)
1
p para toda f ∈ Lp[0, 1]
define uma seminorma em Lp[0, 1]. Dadas f, g ∈ Lp[0, 1], dizemos que f e equivalente a g se
f(x) = g(x) quase sempre. Seja Lp[0, 1] o correspondente espaco quociente , isto e, o con-
junto das classes de equivalencia munido da norma quociente |||[f ]|||p = inf{||g|| : g ∈ [f ]}
para cada [f ] ∈ Lp[0, 1] onde [f ] = {g ∈ Lp[0, 1]; f e equivalente a g}. E facil verificar que
|||[f ]|||p = ||f ||p para cada [f ] ∈ Lp[0, 1] e que este espaco vetorial e um espaco normado
completo. (veja [5], Teorema 1.14, pagina 8). Denotaremos |||.|||p = ||.||p e (Lp[0, 1], ||.||p)
por Lp.
Definicao 1.1. Sejam X um espaco vetorial e∞∑
n=1
xn uma serie em X. Dizemos que a serie
∞∑
n=1
xn e incondicionalmente convergente se∞∑
n=1
xπ(n) converge para toda permutacao π de
IN .
Proposicao 1.5. Sejam∞∑
n=1
xn uma serie em um espaco de Banach X e x ∈ X. Sao
equivalentes:
(1) Para todo ǫ > 0, existe um conjunto finito F ⊂ IN tal que
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣x −∑
n∈ F ′
xn
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ < ǫ para
todo F ′ ⊂ IN finito com F ′ ⊃ F .
(2) Se π e uma permutacao dos naturais entao∞∑
n=1
xπ(n) = x.
7
Demonstracao. (1) ⇒ (2): Temos por hipotese que para todo ǫ > 0 existe um conjunto
finito F ⊂ IN tal que
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣x −∑
n∈F ′
xn
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ < ǫ para todo F ′ ⊂ IN finito com F ′ ⊃ F . Como F
e um conjunto finito, existe n0 ∈ IN tal que o conjunto A = {π(1), . . . , π(n0)} contem F .
Assim
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣x −n∑
i=1
xπ(n)
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ < ǫ para todo n ≥ n0.
(2) ⇒ (1): Por absurdo suponha que exista ǫ > 0 tal que para cada F ⊂ IN finito existe
F ′ finito tal que F ⊂ F ′ ⊂ IN e
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣x −∑
n∈F ′
xn
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≥ ǫ.
Se F0 = {1} entao existe F1 ⊃ {1, 2} tal que |F1| < ∞ e
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣x −∑
n∈F1
xn
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≥ ǫ.
Se M0 = F1 \ {1} temos que |M0| ≥ 1 e podemos escrever M0 = {m1, . . . , m|M0|} onde
2 = m1 < m2 < · · · < m|Mo|. Seja π : {1, 2, . . . , 1+ |M0|} −→ F0∪M0 definida por π(1) = 1 e
π(1+ p) = mp se p ∈ {1, . . . , |M0|}. Observemos que n0 = 1 < 2 ≤ 1+ |Mo| = n1 e que F1 =
{π(1), . . . , π(1 + |M0|) = m|M0|} de modo que temos
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣x −n1∑
n=1
xπ(n)
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣x −∑
n∈F1
xn
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≥ ǫ.
Consideremos agora o conjunto {1, . . . , n1}. Pela hipotese de absurdo F2 ⊃ {1, . . . , n1 + 1}
tal que |F2| < ∞ e
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣x −∑
n∈F2
xn
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≥ ǫ. E claro que F2 ⊃ F1.
Se M1 = F2 \F1 temos que |M1| ≥ 1 e podemos escrever M1 = {m|M0|+1, . . . ,m|M0|+|M1|}
onde m|M0|+1 < m|M0|+2 < m|M0|+|M1|. Observemos que 1 < n1 = |M0| + 1 < n1 + 1 ≤
|M0|+ |M1|+1 = n2. Definindo π(1) = 1 e π(1+p) = mp para cada p ∈ {1, . . . , |M0|, |M0|+
1, . . . , |M0| + |M1|} temos: π(1) = 1, π(n1) = π(1 + |M0|) = m|M0|, π(n2) = π(1 + |M0| +
|M1|) = m|M0|+|M1| e F2 = F1 ∪ M1 = {π(1), π(2) = m1, . . . , π(1 + |M0|) = m|M0| =
π(n1), π(1+ |M0|+1) = m|M0|+1, . . . , π(1+ |M0|+ |M1|) = m|M0|+|M1| = π(n2)} de modo que∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣x −n2∑
n=1
xπ(n)
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣x −∑
n∈F2
xn
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≥ ǫ. E claro que F2 ⊃ F1. Ou seja, existe n2 > n1 > 1
tal que
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣x −n2∑
n=1
xπ(n)
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≥ ǫ,
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣x −n1∑
n=1
xπ(n)
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≥ ǫ onde n1 = 1 + |M0|, n2 = 1 + |M0| + |M1|
e π e injetiva, e π({1, . . . , n1}) = F1 ⊃ {1, 2} e π({1, . . . , n2}) = F2 ⊃ {1, . . . ,m|M0|+1}.
8
Suponhamos que existam nk > nk−1 > · · · > n1 > 1, onde np = 1 + |M0| + · · · + |Mp−1|
para cada p ∈ {2, . . . , k}, tal que
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣x −
np∑
n=1
xπ(n)
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≥ ǫ para cada p ∈ {2, . . . , k}, π e injetiva
e π({1, . . . , np}) = Fp ⊃ {π(1), . . . , π(np−1) + 1} para cada p ∈ {2, . . . , k}. Pela hipotese de
absurdo existe Fk+1 ⊃ {π(1), . . . , π(nk−1) + 1} tal que |Fk+1| < ∞ e
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣x −
∑
n∈Fk+1
xn
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣≥ ǫ. E
claro que Fk+1 ⊃ Fk. Se Mk = Fk+1 \ Fk temos que |Mk| < ∞ e podemos escrever
Mk = {m1+|M0|+···+|Mk−1| + 1, . . . ,m1+|M0|+···+|Mk|}.
Definamos π : {1, . . . , m1+|M0|+···+|Mk|} −→ Fk∪Mk definida por π({1, . . . , m1+|M0|+···+|Mk−1|}) =
Fk dado pela π da hipotese de inducao e π(1 + p) = mp para cada p ∈ {|M0| + · · · +
|Mk−1|, . . . , |M0| + · · · + |Mk|} temos que π e injetiva e π({1, . . . , m1+|M0|+···+|Mk|}) = Fk+1.
Consideremos nk+1 = 1 + |M0| + · · · + |Mk|, temos que nk+1 > nk e
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣x −
nk+1∑
n=1
xπ(n)
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≥
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣x −
∑
n∈Fk+1
xn
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣≥ ǫ. Por inducao existe uma permutacao dos naturais π tal que para cada
m ∈ IN existe n > m onde
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣x −n∑
n=1
xπ(n)
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≥ ǫ. O que contraria a hipotese.
Definicao 1.2. Dizemos que uma serie∞∑
n=1
xn em um espaco de Banach X e uma serie
incondicionalmente de Cauchy se dado ǫ > 0 existe um conjunto finito F ⊂ IN tal que∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∑
n∈F ′
xn
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ < ǫ para qualquer conjunto finito F ′ ⊂ IN com F ′ ∩ F = ∅.
Proposicao 1.6. Seja∞∑
n=1
xn uma serie em um espaco de Banach X. Entao a serie∞∑
n=1
xn
e incondicionalmente de Cauchy se somente se e incondicionalmente convergente.
Demonstracao. (⇐) Pela Proposicao 1.5 existe x ∈ X para o qual dado ǫ > 0 tem-se
um conjunto finito F ⊂ IN tal que
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∑
n∈G
xn − x
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ < ǫ2
para todo conjunto finito G ⊂ IN
que contem F . Sejam F ′ ⊂ IN finito tal que F ′ ∩ F = ∅ e considere o conjunto finito
9
G ⊂ IN tal que G = F ∪ F ′. Podemos ver que
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∑
n∈F ′
xn
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∑
n∈G
xn − x + x −∑
n∈F
xn
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∑
n∈G
xn − x
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ +
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∑
n∈F
xn − x
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤ ǫ2
+ ǫ2
= ǫ. Logo a serie∞∑
n=1
xn e incondicionalmente de
Cauchy.
(⇒) Temos por hipotese que dado ǫ > 0 existe um conjunto finito F1 ⊂ IN tal que∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∑
n∈F ′
xn
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ < ǫ se F ′ ⊂ IN e um conjunto finito com F ′ ∩ F 1 = ∅.
Seja ǫ > 0 fixado arbitrariamente. Consideremos n1 = 1+max |F1|. Dados m ≥ n ≥ n1 e
K ′ = {n, n + 1, . . . , m}, temos que K ′ ∩F1 = ∅ e assim
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
m∑
i=n
xi
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∑
n∈K′
xn
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ < ǫ. Podemos
ver desta maneira que a sequencia das somas parciais da serie∞∑
n=1
xn e uma sequencia de
Cauchy em X. Portanto existem x ∈ X e n0 ∈ IN tais que
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
m∑
i=1
xi − x
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ < ǫ para todo
m ≥ n0.
Podemos supor que n0 > n1. Tomando F = {1, . . . , n0} temos que para todo F ′ ⊂ IN tal
que F ′ ⊃ F basta considerar G = F ′\F para obter G∩F = ∅ e consequentemente
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∑
n∈F ′
xn − x
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∑
i∈G
xi
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ +
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n0∑
i=1
xi − x
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤ 2ǫ. Daı usando a Proposicao 1.5 concluımos a convergencia in-
condicional da serie para x.
Proposicao 1.7. Seja∞∑
i=1
xi uma serie em um espaco de Banach X. Sao equivalentes:
(1) A serie∞∑
i=1
xi e incondicionalmente convergente.
(2) A serie∞∑
i=1
xnie convergente para toda sequencia crescente (ni)
∞i=1 ⊂ IN
10
(3) A serie∞∑
i=1
ǫixi e convergente para toda escolha de ǫi ∈ {1,−1}.
Demonstracao. (1) ⇒ (2): Como a serie∞∑
i=1
xi e incondicionalmente convergente, temos pela
Proposicao 1.5 que dado ǫ > 0 existe um conjunto finito F ⊂ IN para o qual
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∑
n∈F ′
xn
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ < ǫ
sempre que o conjunto F ′ ⊂ IN for finito e F ′ ∩ F = ∅.
Sejam (ni)∞i=1 ⊂ IN uma sequencia crescente e k0 ∈ IN tal que nk0
> max F . Sejam
k, l ∈ IN tais que k ≥ l > k0. Considerando F ′ = {nl, . . . , nk} temos que
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
l∑
i=k
xni
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∑
i∈F ′
xi
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ < ǫ. A partir dai podemos concluir que a serie∞∑
i=1
xniconverge.
(2) ⇒ (1): Pela Proposicao 1.6, basta mostrar que a serie∞∑
i=1
xi e incondicionalmente de
Cauchy. Suponhamos por absurdo que a serie∞∑
i=1
xi nao seja incondicionalmente de Cauchy.
Entao existe ǫ0 > 0 tal que para cada conjunto finito F ⊂ IN existe um conjunto F ′ ⊂ IN
tal que F ′ ∩ F = ∅ e
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∑
i∈F ′
xi
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≥ ǫ0.
Tomando F1 = {1} vai existir um conjunto finito F ′1 ⊂ IN tal que F ′
1 ∩ F1 = ∅ e∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
∑
i∈F ′
1
xi
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣≥ ǫ0. Se F2 = {1, 2, . . . , max F ′
1} entao existe um conjunto finito F ′2 ⊂ IN tal
que F ′2 ∩ F2 = ∅ e
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
∑
i∈F ′
2
xi
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣≥ ǫ0. Podemos ver que max F ′
1 < min F ′2. Suponha que
existam conjuntos finitos F ′j ⊂ IN tais que max F ′
j < min F ′j+1 e
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
∑
i∈F ′
j
xi
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣≥ ǫ0 para
j ∈ {1, . . . , n− 1}. Se Fn+1 = {1, 2, . . . , max F ′n} entao existe um conjunto finito F ′
n+1 ⊂ IN
11
tal que F ′n+1∩Fn+1 = ∅, max F ′
n < min F ′n+1 e
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
∑
i∈F ′
n+1
xi
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣≥ ǫ0. Segue por inducao que existe
uma sequencia (F ′i )
∞i=1 ⊂ IN de conjuntos finitos tais que
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
∑
i∈F ′
i
xi
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣≥ ǫ0 e max F ′
i < min F ′i+1
para i ∈ IN .
Seja pj =
j∑
k=1
|Fk|. Por construcao podemos escrever F ′1 = {n1, . . . , np1
} onde n1 <
n2 < · · · < np1e, para todo j > 1, podemos escrever F ′
j = {npj−1+ 1, . . . , npj
} onde
npj−1+1 < npj−1
+2 < · · · < npj. Alem disso, por construcao os conjuntos F ′
j sao dois a dois
disjuntos e npj−1< npj−1
+ 1 para qualquer j = 2, 3 · · · de modo que existe uma enumeracao
crescente (nj)∞j=1dos elementos de
∞⋃
j=1
F ′j na qual aparecem primeiro todos os elementos de
F1 em ordem crescente seguidos por todos elementos de F2 em ordem crescente e assim por
diante. Por hipotese existe k0 ∈ IN tal que se l ≥ j > k0 temos
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
l∑
i=j
xi
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ < ǫ0. Considerando
o conjunto finito F ′k ⊂ IN tal que min F ′
k > k0 obtemos
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
∑
i∈F ′
k
xi
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣< ǫ0, o que contradiz a
hipotese de absurdo.
(1) ⇒ (3): Por hipotese temos que dado ǫ > 0 existe um conjunto finito F ⊂ IN tal que∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∑
i∈F
xi
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ < ǫ se F ′ ∩ F = ∅.
Seja n0 ∈ IN tal que n0 > max F . Consideremos uma sequencia (ǫi)∞i=1 onde ǫi ∈ {1,−1}.
Dados m ≥ n ≥ n0, considere G = {i : n ≤ i ≤ m; ǫi = 1} e
K = {i : n ≤ i ≤ m ǫi = −1}. Podemos ver que, G ∩ F = ∅ e K ∩ F = ∅, e
consequentemente
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
m∑
i=n
ǫixi
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∑
i∈G
xi +∑
i∈K
−xi
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∑
i∈G
xi
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ +
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∑
i∈K
xi
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ < ǫ + ǫ = 2ǫ.
Donde concluımos a convergencia da serie∞∑
i=1
ǫixi.
(3) ⇒ (1): Pela Proposicao 1.6, negar (1) e negar que a serie∞∑
i=1
xi e incondicionalmente
12
de Cauchy. Suponhamos que a serie∞∑
i=1
xi nao seja incondicionalmente de Cauchy. Entao
ja vimos que existem um ǫ0 > 0 e uma sequencia (Fk)∞k=1 ⊂ IN de conjuntos finitos tais que
max Fk < min Fk+1 e
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∑
i∈Fk
xi
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≥ ǫ0. Definimos uma sequencia de escalares (ǫi)∞i=1 tal que
ǫi = 1 para i ∈∞⋃
k=1
Fk e ǫi = −1 caso contrario. Considerando a sequencia (nk)∞k=1 onde
nk = min Fk para cada k ∈ IN temos nk = min Fk ≤ max Fk ≤ min Fk+1 − 1 = nk+1 − 1 <
min Fk+1 = nk+1, isto e, nk ≤ min Fk+1−1 = nk+1−1 < nk+1, Fk ⊂ {nk, nk +1, . . . , nk+1−1}
e
(⋃
j 6=k
Fj
)∩ {nk, nk + 1, . . . , nk+1 − 1} = ∅ entao
nk+1−1∑
i=nk
xi +
nk+1−1∑
i=nk
ǫixi = 2∑
i∈Fk
xi. Assim
para cada k ∈ IN temos que
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
nk+1−1∑
i=nk
xi
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ +
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
nk+1−1∑
i=nk
ǫixi
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≥∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
nk+1−1∑
i=nk
xi +
nk+1−1∑
i=nk
ǫixi
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ = 2
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∑
i∈Fk
xi
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≥ 2ǫ.
Como por (3) as series∞∑
i=1
xi e∞∑
i=1
ǫixi convergem, para k suficientemente grande devemos
ter 2ǫ ≤
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
nk+1−1∑
i=nk
xi
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ +
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
nk+1−1∑
i=nk
ǫixi
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ < ǫ2
+ ǫ2
= ǫ o que e um absurdo. Consequentemente, a
serie∞∑
i=1
xi e incondicionalmente convergente.
Sejam X e Y espacos normados. Dizemos que um operador linear T : X −→ Y e limitado
se sup||x||≤1
||T (x)|| < ∞. Denotamos por L(X,Y ) o conjunto de todos os operadores lineares
T : X −→ Y que sao limitados
Observacao 1.1. Definindo ||T || = inf{c > 0; ||Tu|| ≤ c||u|| para todo u ∈ X} para todo
operador linear T : X −→ Y , temos:
1) ||T || = supu6=0
||Tu||||u||
= sup||u||=1
||Tu|| = sup||u||≤1
||Tu||.
2) T e contınuo se, e somente se ||T || < ∞, isto e se e somente se T ∈ L(X, Y ).
3) || · || define uma norma em L(X, Y ).
13
Proposicao 1.8. Se X e Y sao espacos normados, entao L(X,Y ) e um espaco normado
com as operacoes usuais de funcoes e com a norma acima.
Demonstracao. Veja [7] p
A partir de agora L(X,Y ) denotara este espaco normado.
Definicao 1.3. Sejam X e Y espacos normados. Dizemos que uma aplicacao T : X −→ Y
e um isomorfismo entre X e Y se for uma aplicacao linear bijetiva contınua e com inversa
contınua.
Definicao 1.4. Sejam X e Y espacos normados. Dizemos que X e Y sao isomorfos se
existe um isomorfismo T entre X e Y . Se o isomorfismo T for uma isometria (isto e,
||Tu|| = ||u|| para todo u ∈ X) entao dizemos que X e Y sao isometricamente isomorfos.
Teorema 1.1. Suponhamos que X e um espaco normado de dimensao finita n e seja
{x1, . . . , xn} uma base de X. Entao a aplicacao que levan∑
i=1
λixi ∈ X em (λ1, . . . , λn) ∈ IKn
estabelece um isomorfismo entre X e IKn.
Demonstracao. Veja [2], Teorema 1, p. 1.
A partir do teorema anterior temos que todo espaco normado de dimensao finita e fechado.
Definicao 1.5. Seja X um espaco normado. O dual topologico de X, denotado por X ′, e o
espaco normado L(X, IK).
Observacao 1.2. Se E e um espaco normado, {ϕ1, . . . , ϕn} ⊂ E ′, {x1, . . . , xn} sao os pon-
tos de E dados pela Proposicao 1.1 e δxi(ϕ) = δij para cada i, j ∈ {1, . . . , n}, entao e facil
verificar que {δx1, . . . , δxn
} e um subconjunto linearmente independente de (span{ϕ1, . . . , ϕn})′
e, consequentemente, gera (span{ϕ1, . . . , ϕn})′. Alem disso, pelo Teorema 1.1 a funcao que a
cadan∑
i=1
λixi associan∑
i=1
λiδxie um isomorfismo entre span{x1, . . . , xn} e (span{ϕ1, . . . , ϕn})
′
14
Teorema 1.2. Sejam X um espaco normado e Y um espaco de Banach. Entao L(X, Y ) e
um espaco de Banach. Em particular, X ′ e um espaco de Banach.
Demonstracao. Veja [5], Proposicao 1.19, p. 11.
Exemplo 1.1. Dado ξ = (ξn)∞n=1 ∈ ℓ1, seja Tξ : c0 −→ IK definido por Tξ(x) =∑∞
n=1 ξnxn
para todo x = (xn)∞n=1 ∈ c0. A aplicacao T : ℓ1 −→ (c0)′ definida por T (ξ) = Tξ estabelece
um isomorfismo isometrico entre (c0)′ e ℓ1, isto e, (c0)
′ = ℓ1 a menos de uma isometria.
Exemplo 1.2. Seja 1 ≤ p ≤ ∞ e tomamos p′ tal que 1p
+ 1p′
= 1 se p > 1 (ou p′ = ∞ se
p = 1). Dado ξ = (ξn)∞n=1 ∈ ℓp′ , seja Tξ : ℓp −→ IK definido por Tξ(λ) =∑∞
n=1 ξnλn para
todo λ = (λn)∞n=1 ∈ ℓp. A aplicacao T : ℓp′ −→ (ℓp)′ definida por T (ξ) = Tξ estabelece um
isomorfismo isometrico entre (ℓp)′ e ℓp′ , isto e, (ℓp)
′ = ℓp′ a menos de uma isometria.
Exemplo 1.3. Seja ℓmp = {(λn)∞n=1 ∈ ℓp : λn = 0, n > m}, para 1 ≤ p ≤ ∞. E claro que
ℓmp′ ⊂ ℓp′ e a aplicacao T do Exemplo 1.2 restrita a ℓm
p′ estabelece um isomorfismo isometrico
entre (ℓmp )′ e ℓm
p′ .
Proposicao 1.9. (Extensao de Operadores Lineares Limitados) Sejam X um espaco nor-
mado, G um subespaco de X e Y um espaco de Banach. Se T : G −→ Y e um operador
linear limitado, entao existe extensao T : G −→ Y linear e limitada tal que T x = Tx para
todo x ∈ G e ||T || = ||T ||.
Demonstracao. Seja x ∈ G. Logo, existe uma sequencia (xn) em G tal que limn→∞
xn = x.
Como T e um operador linear limitado, temos que a sequencia (Txn) e de Cauchy no espaco
de Banach Y . Portanto, existe y ∈ Y tal que limn→∞
Txn = y. Como isto vale para todo x ∈ G,
podemos definir T : G −→ Y como sendo T x = y, onde y = limn→∞
Txn para alguma sequencia
(xn) em G tal que limn→∞
xn = x. Como T e uniformemente contınua, segue que T esta bem
definida. E facil ver que T e um operador linear limitado tal que T x = Tx para todo x ∈ G
e, alem disso, ||T || = ||T ||.
15
Teorema 1.3. (Teorema de Hahn-Banach) Sejam X um espaco normado e G ⊂ X um
subespaco. Se f : G −→ IK e linear e contınua, entao existe f : X −→ IK, linear e contınua
tal que f(x) = f(x) para todo x ∈ G e ||f || = ||f ||.
Demonstracao. Veja [5], Teorema 2.4, p. 40.
Como consequencias imediatas do Teorema de Hahn-Banach temos:
Corolario 1.1. Sejam X um espaco normado e x ∈ X, x 6= 0. Entao existe f ∈ X ′ tal que
||f || = 1 e f(x) = ||x||.
Corolario 1.2. Seja X um espaco normado. Se f(x) = 0 para toda f ∈ X ′, entao x = 0.
Corolario 1.3. Seja X um espaco normado. Para todo x ∈ X tem-se
||x|| = supf∈BX′
|f(x)|
Lembremos que um subconjunto A de um espaco vetorial e convexo se, dados quaisquer
x, y ∈ A, o segmento de reta que liga estes dois pontos esta contido em A, isto e, tx+(1−t)y ∈
A para todo t ∈ [0, 1].
Teorema 1.4. (Forma Geometrica do Teorema de Hahn-Banach) Sejam X um espaco
normado sobre IR, A e B subconjuntos convexos nao vazios de X tais que A ∩ B = ∅.
Suponhamos que A e aberto. Entao existem α ∈ IR e f ∈ X ′ tais que f(x) < α ≤ f(y) para
todo x ∈ A e y ∈ B.
Demonstracao. Veja [5], Corolario 2.13, p. 43.
Teorema 1.5. (Teorema de Banach-Steinhaus) Sejam X um espaco de Banach e Y um
espaco normado. Seja (Tα)α∈I ⊂ L(X, Y ) tal que supα∈I
||Tαx|| e finito para cada x ∈ X. Entao
tem-se que supα∈I
||Tα|| e finito.
16
Demonstracao. Veja [5], Teorema 3.12, p. 68.
Como consequencia do Teorema de Banach-Steinhaus temos:
Corolario 1.4. Seja B um subconjunto de um espaco normado X. Entao B e um sub-
conjunto limitado de X se, e somente se f(B) e um subconjunto limitado de IK para todo
f ∈ X ′.
Demonstracao. Veja [5], Corolario 3.15, p. 69.
Teorema 1.6. (Teorema da Aplicacao Aberta) Sejam X e Y espacos de Banach. Se
T : X −→ Y e uma aplicacao linear contınua sobrejetiva entao T e uma aplicacao aberta.
Demonstracao. Veja [5], Teorema 2.24, p. 50.
Corolario 1.5. Sejam X e Y espacos normados e T : X −→ Y uma aplicacao linear
contınua. Definindo T : X/ker T −→ Y por T (x) = T (x) para cada x ∈ X/ker T temos que
T e uma aplicacao linear contınua e bijetora. Entao X/ ker T e isomorfo a Y
Definicao 1.6. Sejam X e Y espacos normados e T : X −→ Y uma aplicacao. O grafico
de T e o conjunto GT = {(x, y) ∈ X × Y ; y = Tx}.
Teorema 1.7. (Teorema do Grafico Fechado) Sejam X e Y espacos de Banach e seja
T : X −→ Y uma aplicacao linear. Entao T e contınuo se, e somente se o grafico de T e
fechado em X × Y .
Demonstracao. Veja [5], Teorema 2.26, p. 51.
Proposicao 1.10. Sejam X e Y espacos de Banach e T ∈ L(X, Y ). Se existe δ > 0 tal que
para todo x ∈ X
||T (x)|| ≥ δ ||x|| (∗)
17
entao T (X) e fechado em Y . Alem disso T e um isomorfismo entre X e T (X) ⊂ Y .
Demonstracao. Seja (T (xn))∞n=1 uma sequencia em T (X) que converge para y. Por sua con-
vergencia (T (xn))∞n=1 e uma sequencia de Cauchy.
Dado n,m ∈ IN temos ||T (xn − xm)|| ≥ δ ||xn − xm||. Donde concluimos que (xn)∞n=1 e
uma sequencia de Cauchy em X. Como X e um espaco de Banach existe x ∈ X tal que
limn→∞
xn = x. Pela continuidade de T temos que limn→∞
T (xn) = T (x) e consequentemente
T (x) = y. Donde concluimos que T (X) e um espaco fechado.
Diretamente de (∗) vemos que T e uma aplicacao injetiva com inversa contınua, con-
cluindo assim a demonstracao.
Definicao 1.7. Sejam X e Y espacos normados e seja T ∈ L(X, Y ). Definimos a transposta
de T , e denotamos por T ′, como sendo a aplicacao T ′ : Y ′ −→ X ′ definida por T ′(ϕ) = ϕ◦T
para todo ϕ ∈ Y ′.
Observacao 1.3. Observe que como T : X −→ Y e ϕ : Y −→ IK sao lineares e contınuas,
temos que ϕ◦T : X −→ IK e linear e contınua. Daı T ′ esta bem definida. A linearidade de T ′
e clara. Alem disso, pelo Teorema de Hahn-Banach (corolario 1.3) temos que sup||ϕ||≤1
|ϕ(Tx)| =
||Tx||, donde segue que ||T ′|| = sup||x||≤1
||Tx|| = ||T ||. Concluımos daı que T ′ ∈ L(Y ′, X ′) e
||T ′|| = ||T ||.
Teorema 1.8. Sejam X um espaco de Banach, Y um espaco normado e T : X −→ Y uma
aplicacao linear com grafico fechado. Se T ′ tem inversa contınua entao T (X) = Y .
Demonstracao. Veja [17] Teorema 9.4, p. 235.
18
Definicao 1.8. Seja X um espaco vetorial. Uma aplicacao linear P : X −→ X e chamada
uma projecao de X sobre o subespaco Y de X se P (X) = Y e P (y) = y para cada y ∈ P (X)
Observemos que dada uma projecao P : X −→ X e facil verificar que X = ker P ⊕P (X).
Definicao 1.9. Um subespaco Y de um espaco de Banach X e dito complementado em X
se existe uma projecao limitada de X sobre Y . Seja Y1 um subespaco fechado de um espaco
de Banach X . Dizemos que Y2 e o complemento topologico de Y1 em X se X = Y1 ⊕ Y2 e
Y2 e um subespaco fechado de X.
Proposicao 1.11. Sejam X e Y espacos de Banach e T um isomorfismo de X sobre Y . Se
X1 e complementado em X com complemento topologico X2, entao T (X1) e complementado
em Y com complemento topologico T (Y2).
Demonstracao. Veja [5], Fato 5.4, p. 138.
Lema 1.2. (Lema de Riesz) Seja X um espaco normado. Se Y e um subespaco fechado
proprio de X, entao para todo ǫ > 0 existe x ∈ SX tal que dist(x, Y ) ≥ 1 − ǫ.
Demonstracao. Veja [5], Lema 1.23, p. 13
O teorema que enunciaremos a seguir e uma consequencia do Lema de Riesz.
Teorema 1.9. (Teorema de Riesz) Seja X um espaco normado. Entao BX e compacta se,
e somente se, a dimensao de X e finita.
Demonstracao. Veja [5], Teorema 1.24, p. 14.
Seja (X, Γ) um espaco de topologico. Diremos que uma famılia B ⊂ Γ e uma base de Γ
se dado U ∈ Γ existe C ⊂ B tal que U =⋃{V : V ∈ C}
19
Um conjunto S e uma sub-base para uma topologia Γ em X se S e uma colecao de
subconjuntos de Γ tal que as intersecoes finitas de elementos de S formam uma base para Γ.
Dada qualquer colecao S de subconjuntos nao vazios de X tal que a uniao dos elementos de
S da X, existe uma topologia em X que tem S como sub-base. A seguir, definiremos uma
topologia em espacos normados que, no caso dos espacos de dimensao infinita, e estritamente
menos fina do que a topologia da norma e, no caso de espacos de dimensao finita, coincide
com a topologia da norma. Esta topologia desempenha um papel muito importante na
Analise Funcional.
Definicao 1.10. Seja X um espaco normado. A topologia fraca de X, denotada por ω, e a
topologia que tem como sub-base a colecao S = {ϕ−1(A); ϕ ∈ X∗, A ⊂ IK aberto }.
Dizemos que a topologia da norma e a topologia forte de X e indicamos por β. A partir
da definicao, e facil ver que ω ⊂ β. Pela definicao de topologia fraca, temos que a colecao
{Vϕ,ǫ(x0); x0 ∈ X; ϕ ∈ X ′; ǫ > 0}, onde Vϕ,ǫ(x0) = {x ∈ X; |ϕ(x − x0)| < ǫ} para x0 ∈ X,
ϕ ∈ X ′ e ǫ > 0, forma uma sub-base para a topologia fraca de X. E facil verificar que uma
sequencia (xn)∞n=1 converge para x ∈ X na topologia fraca se, e somente se, ϕ(xn) → ϕ(x)
para toda ϕ ∈ X ′. Neste caso, dizemos que (xn)∞n=1 converge fracamente para x e indicamos
este fato por xnω→ x. Denotaremos por (X,ω) o espaco X munido da topologia fraca ω.
Dizemos que (xn)∞n=1 e uma sequencia fraca de Cauchy se (f(xn))∞n=1e uma sequencia de
Cauchy para cada f ∈ X ′.
Seja K um subconjunto de um espaco normado X. Neste trabalho K representara o
fecho de K na topologia da norma e Kω
representara o fecho de K na topologia fraca. Em
geral, K $ Kω. O seguinte resultado e uma consequencia do Teorema de Hahn-Banach:
Teorema 1.10. Sejam X um espaco normado e K um subconjunto convexo de X. Entao
Kω
= K.
Demonstracao. Veja [1] , Teorema III.7, p. 38.
20
Teorema 1.11. Sejam X e Y espacos de Banach. Entao T ∈ L(X, Y ) se, e somente se
T ∈ L((X,ω), (Y, ω)).
Demonstracao. Veja [1], Teorema III.9, p. 39.
Sejam X um espaco normado, X ′ o dual de X com a norma usual e representaremos por
X ′′ o dual topologico de X ′. Definimos J : X −→ X ′′ por Jx = δx para todo x ∈ X, onde
δx : X ′ −→ IK e definida por δx(f) = f(x) para toda f ∈ X ′. J e chamada de aplicacao
canonica X em X ′′. E facil ver que J esta bem definida, e linear e e uma isometria entre X
e J(X). Portanto X e J(X) ⊂ X ′′ sao isometricamente isomorfos.
Definicao 1.11. Dizemos que um espaco de Banach X e reflexivo se J for sobrejetora.
Neste caso, X e X ′′ sao isometricamente isomorfos.
Teorema 1.12. Seja X um espaco de Banach. Entao X e reflexivo se, e somente se BX e
compacta na topologia fraca de X.
Demonstracao. Veja [1], Teorema III.16, p. 44.
Proposicao 1.12. Seja X um espaco de Banach reflexivo. Se M e um subespaco vetorial
fechado de X entao M e um espaco de Banach reflexivo.
Demonstracao. Veja [1], Proposicao III.17, p. 45.
Seja X ′ o dual topologico de um espaco normado X. Podemos considerar em X ′, alem das
topologias forte e fraca, uma outra topologia importante, a chamada topologia fraca-estrela,
que definiremos a seguir.
Definicao 1.12. Seja X um espaco normado. A topologia fraca-estrela de X ′, denotada
por ω∗, e a topologia que tem como sub-base a colecao S = {ϕ−1(A); ϕ ∈ J(X) ⊂ X ′′, A ⊂
IK aberto } = {δ−1x (A); x ∈ X,A ⊂ IK aberto }.
21
E claro que a topologia fraca-estrela de X ′ e menos fina do que a topologia fraca de
X ′. Da definicao temos que a colecao S = {Wx,ǫ(ϕ0); x ∈ X, ϕ0 ∈ X ′, ǫ > 0}, onde
Wx,ǫ(ϕ0) = {ψ ∈ X ′; |(ψ − ϕ0)(x)| < ǫ} para x ∈ X, ϕ0 ∈ X ′ e ǫ > 0 e uma sub-base para
a topologia fraca-estrela. Alem disso, uma sequencia (ϕn)∞n=1 ⊂ X ′ converge para ϕ ∈ X ′
na topologia fraca-estrela se, e somente se, ϕn(x) → ϕ(x) para todo x ∈ X. Neste caso,
dizemos que (ϕn)∞n=1 converge fraca estrela para ϕ e indicamos este fato por ϕnω∗
→ ϕ.
Pelo Teorema de Riesz, a bola unitaria de um espaco de Banach X ′ e compacta na
topologia da norma, se e somente se, a dimensao de X ′ e finita. O teorema que enunciaremos
a seguir mostra que, quando considerarmos em X ′ a topologia fraca-estrela, a situacao muda
completamente.
Teorema 1.13. (Teorema de Banach-Alaoglu-Bourbaki) Seja X um espaco de Banach.
Entao o conjunto BX′ e compacto na topologia fraca-estrela de X ′.
Demonstracao. Veja [1], Teorema III.15, p. 42.
Teorema 1.14. Seja X um espaco de Banach. Entao (BX′ , ω∗) e metrizavel se e somente
se X e separavel.
Demonstracao. Veja [5], Teorema 3.24, p. 72.
Teorema 1.15. (Rosenthal) Se E um espaco de Banach que nao tem um subespaco isomorfo
a l1 entao toda sequencia limitada em E possui uma subsequencia fracamente de Cauchy.
Demonstracao. Veja [2], p. 201
Teorema 1.16. (Pelczynski) Seja X um espaco de Banach separavel que contem um
subespaco isomorfo a l1. Entao X ′ contem um subespaco isomorfo a L1[0, 1].
Demonstracao. Veja [13], Teorema 3.4, p. 241.
22
Teorema 1.17. Seja X um espaco de Banach. Se X tem um subespaco isomorfo a ℓ1 entao
X tem um espaco quociente isomorfo a ℓ2.
Demonstracao. Veja [9], Teorema 4.1, p. 317.
23
Capıtulo 2
Bases de Schauder
Neste capıtulo definimos base de Schauder de um espaco de Banach, damos exemplos e apre-
sentamos resultados estabelecendo condicoes necessarias e suficientes para que uma sequencia
(xn)∞n=1 seja base de Schauder para o espaco span{xn : n ∈ IN}, isto e, seja uma sequencia
basica. Definimos e estudamos tambem as bases contrateis, limitadamente completas e in-
condicionais.
2.1 Nocoes preliminares sobre bases de Schauder
Definicao 2.1. Uma sequencia (xn)∞n=1 em um espaco normado X e dita uma base de
Schauder de X, se para todo x ∈ X existe uma unica sequencia (αn)∞n=1 de escalares tal
que x =∞∑
n=1
αnxn (onde a serie converge em norma).
Exemplo 2.1. Consideremos os espacos de sequencia c0 e ℓp, para p ∈ [1,∞). Seja (en)∞n=1
a sequencia contida em c0 e ℓp, para p ∈ [1,∞), tal que para cada n ∈ IN en = (δnk)∞k=1 onde
δnn = 1 e δnk = 0 se n 6= k. E facil verificar que a sequencia (en)∞n=1 e uma base de Schauder
para os espacos c0 e ℓp, para p ∈ [1,∞). Por outro lado, (en)∞n=1 nao e base de Schauder
24
para ℓ∞ pois, por exemplo, nao existe (λn)∞n=1 ⊂ IK tal que (1, 1, 1, . . .) =∞∑
n=1
λnen em ℓ∞.
Definicao 2.2. Dizemos que um conjunto A e linearmente independente se todo subconjunto
finito de A for linearmente independente.
Observacao 2.1. Toda base de Schauder de um espaco normado X e linearmente inde-
pendente. Com efeito, suponha por absurdo que exista uma base de Schauder (xn)∞n=1 que
nao seja linearmente independente, e seja B = {xi1 , . . . , xin} um subconjunto finito de
(xn)∞n=1 que nao e linearmente independente. Entao existe um ij ∈ {i1, . . . , in} e
β1, . . . , βj−1, βj+1, . . . , βn escalares tais que xnij=
j−1∑
k=1
βkxik +n∑
k=j+1
βkxik . Por outro lado,
para cada i ∈ IN temos que xi =∞∑
n=1
αnxn onde αn = δin para cada n ∈ IN . Isto contraria
o fato de existir uma unica sequencia de escalares (αn)∞n=1 tal que xij =∞∑
n=1
αnxn. Donde
concluımosque toda base de Schauder de um espaco normado e linearmente independente.
Definicao 2.3. Dizemos que uma sequencia de projecoes (Pn)∞n=1 esta associada com uma
base de Schauder (xn)∞n=1 de um espaco normado X ,se para todo n ∈ IN , Pn : X −→ X
e dada por Pn(x) =n∑
i=1
αixi para todo x =∞∑
i=1
αixi ∈ X. Cada Pn e dita uma projecao
associada a (xn)∞n=1.
Lema 2.1. Sejam (xn)∞n=1 uma base de Schauder de um espaco normado X e (Pn)∞n=1 a
sequencia de projecoes associada a (xn)∞n=1. Entao temos:
(1) dim Pn(X) = n para todo n ∈ IN .
(2) PnPm = PmPn = Pmin(n,m) para todo n,m ∈ IN .
(3) limn→∞
Pn(x) = x.
Demonstracao. (1): Como para cada x ∈ Pn(X) temos que x =n∑
i=1
αixi com α1, . . . , αn ∈ IK
25
e (xn)∞n=1 e um conjunto linearmente independente, temos que o conjunto {x1, . . . , xn} e uma
base para Pn(X) e assim dim Pn(X) = n.
(2): Suponhamos que m ≤ n. Se x ∈ X entao existe uma sequencia de escalares
(an)∞n=1 tal que x =∞∑
i=1
aixi. Pela definicao de Pn e Pm temos PnPm(x) = PnPm(∞∑
i=1
aixi) =
Pn(m∑
i=1
aixi) =m∑
i=1
aixi e PmPn(x) = PmPn(∞∑
i=1
aixi) = Pm(n∑
i=1
aixi) =m∑
i=1
aixi. Assim
PnPm(x) = PmPn(x) = Pmin(n,m)(x) para cada x pertencente a X.
(3): Se x ∈ X entao existe uma sequencia de escalares (an)∞n=1 tal que x = limn→∞
n∑
i=1
aixi.
Pela definicao de Pn temos que Pn(x) =n∑
i=1
aixi para cada n ∈ IN . Desta maneira vemos
que x = limn→∞
Pn(x).
Proposicao 2.1. Seja (Pn)∞n=1 uma sequencia de projecoes limitadas definidas em um espaco
normado X. Se as projecoes satisfazem as condicoes (1), (2) e (3) do Lema 2.1 entao sao
projecoes associadas com uma base de Schauder de X.
Demonstracao. Pela condicao (1), do Lema 2.1, temos que dimP1(X) = 1. Assim existe
e1 ∈ X, e1 6= 0 tal que P1(X) = span{e1}.
Afirmamos que ker P2 ⊂ ker P1 e P1(X) ⊂ P2(X). Com efeito, seja y ∈ ker P2. Como
P1P2 = P1 temos que P1(y) = P1P2(y) = P1(0) = 0. Donde concluımosque y ∈ ker P1. Alem
disso, dado y ∈ P1(X) existe um x ∈ X tal que y = P1(x) ∈ X e, como por hipotese P1P2 =
P1 temos que y = P1(x) = P2(P1(y)) donde concluımosque y ∈ P2(X) e consequentemente
P1(X) ⊂ P2(X). E claro que P1(X) 6= P2(X).
Vamos mostrar agora que kerP1 ∩ P2(X) 6= {0}. Com efeito, como P1(X) & P2(X)
existe u ∈ P2(X) \ P1(X) tal que u 6= 0. Pela observacao feita, apos a Definicao 1.8,
podemos escrever X = kerP1 ⊕ P1(X). Desta maneira existem u1 ∈ P1(X) e z ∈ ker P1 tais
26
que u = z + u1. Como u1 ∈ P2(X) e u ∈ P2(X) temos que z ∈ P2(X). Alem disso, se z = 0
entao u = u1 ∈ P1(X), o que e um absurdo. Assim temos que z 6= 0.
Obtemos assim que existe e2 ∈ ker P1 ∩ P2(X) e e2 6= 0 e claramente {e1, e2} e uma base
para P2(X).
Suponhamos, que {e1, . . . , ej} e uma base para Pj(X) tal que, para cada j ∈ {1, · · · , n},
ej ∈ ker Pj−1 ∩ Pj(X) e ej 6= 0.
Analogamente como foi feito para P1 e P2 obtemos que ker Pn+1 ⊂ ker Pn, Pn(X) ⊂
Pn+1(X) e ker Pn ∩ Pn+1(X) 6= {0}.
Seja en+1 ∈ Pn+1(X) \ ker Pn tal que en+1 6= 0. Seja (λi)n+1i=1 ⊂ IK tal que 0 =
n+1∑
i=1
λiei =
n∑
i=1
λiei + λn+1en+1. Temos que 0 = Pn(0) = Pn(n+1∑
i=1
λiei) = Pn(n∑
i=1
λiei) + λn+1Pn(en+1) =
n∑
i=1
λiPn(ei) =n∑
i=1
λiei. Donde concluımos que λ1 =, . . . , = λn = 0. Consequentemente,
0 =n+1∑
i=1
λiei = λn+1en+1 e assim λn+1 = 0. Desta maneira {e1, · · · , en+1} e um conjunto
linearmente independente.
Como {e1, · · · , en+1} ⊂ Pn+1(X) e dim Pn+1(X) = n+1 temos que span{e1, · · · , en+1} =
Pn+1(X)
Seja x ∈ X. E claro que existe um escalar α1 tal que P1(x) = α1e1. Da mesma maneira
existem escalares α′1 e α2 tais que P2(x) = α′
1e1 + α2e2. Como P1P2 = P1 e, por construcao,
e2 ∈ ker P1, temos que α1e1 = P1(x) = P1P2(x) = α′1P1(e1) + α2P1(e2) = α′
1e1, donde con-
cluımos que α′1 = α1 e P2(x) = α1e1 +α2e2. Seja n ∈ IN . Suponhamos que existam escalares
α1, . . . , αn tais que Pn(x) =n∑
k=1
αkek. Como o conjunto {e1, . . . , en+1} gera Pn+1(X) existem
escalares α′1, . . . , α
′n, αn+1 tais que Pn+1(x) =
n∑
k=1
α′kek + αn+1en+1. Como PnPn+1 = Pn e
27
en+1 ∈ ker Pn temos quen∑
k=1
αkek = Pn(x) = PnPn+1(x) = Pn(n∑
k=1
α′kek) + αn+1Pn(en+1) =
n∑
k=1
α′kek. Usando o fato do conjunto {e1, . . . , en} ser linearmente independente temos que
α′i = αi para i ∈ {1, . . . , n}, donde concuimos que Pn+1(x) =
n+1∑
k=1
αkek. Segue por inducao
que existe uma sequencia de escalares (αn)∞n+1 tal que Pn(x) =n∑
k=1
αkek para cada n ∈ IN .
Alem disso, temos tambem por hipotese que limn→+∞
Pn(x) = x e consequentemente, x =∞∑
i=1
αiei. Suponha que exista uma outra sequencia de escalares (βn)∞n=1 s que x =∞∑
i=1
βiei.
Como para cada n ∈ IN Pn e contınua obtemos que Pn(x) =n∑
i=1
βiei, daı temos que βiei =
Pi(x) − Pi−1(x) = αiei. concluımosassim, que a sequencia (en)∞n=1 e uma base de Schauder.
Definicao 2.4. Seja (Pn)∞n=1 uma sequencia de projecoes. Dizemos que (Pn)∞n=1 e uniforme-
mente limitada se supn∈IN ||Pn|| < +∞.
Proposicao 2.2. Seja (Pn)∞n=1 uma sequencia de projecoes associada com a base de Schauder
(en)∞n=1 de um espaco normado X. Se a sequencia (Pn)∞n=1 e uniformemente limitada entao
(en)∞n=1 tambem e base de Schauder do fecho de X no completamento de X.
Demonstracao. Por X ser um espaco normado temos tambem que X e um subespaco
normado do completamento de X. Como X e denso em X, Pn e uniformemente contınua em
X e Pn(X) e completo para cada n ∈ IN , pela Proposicao 1.2 temos que Pn : X → Pn(X)
e uniformemente contınua para cada n ∈ IN .
Seja n ∈ IN . Pela continuidade de Pn vemos que Pn e uma aplicacao linear e supn∈IN
∣∣∣∣Pn
∣∣∣∣ ≤sup
n∈IN (‖Pn‖). Como Pn estende Pn, e claro que Pn(X) = Pn(X) e assim dim P n(X) = n.
Se x ∈ X entao existe (xn)∞n=1 ⊂ X tal que limn→+∞
xn = x. Para cada m,n ∈ IN temos
28
||Pm(x) − x|| = ||Pm(x) − Pm(xn) + Pm(xn) − xn + xn − x||
≤ ||Pm||||x − xn|| + ||Pm(xn) − xn|| + ||xn − x||
≤ (supn∈IN‖Pn‖ + 1)||x − xn|| + ||Pm(xn) − xn||
Dado ǫ > 0 existe n0 ∈ IN tal que ‖x − xn‖ < ǫ/(supn∈IN‖Pn‖ + 1) para n ∈ IN
e n ≥ n0. Fixemos n0 ∈ IN . Temos que existe m1 ∈ IN tal que se m ≥ m1 entao
||Pm(xn0) − xno
|| < ǫ/2. Segue daı existencia de m0 ∈ IN tal que
∣∣∣∣Pm(x) − x∣∣∣∣ ≤ (sup
n∈IN‖Pn‖ + 1) ||x − xn0|| + ||Pm(xn0
) − xn0||
< (supn∈IN ||Pn|| + 1)ǫ/2(sup
n∈IN ||Pn|| + 1) + ǫ/2 = ǫ
para cada m ≥ m0. Donde concluımos que Pm(x) −→ x para cada x ∈ X.
Seja x ∈ X entao existe uma sequencia (xn)∞n=1 contida em X tal que limn→∞
xn = x.
Se i, j ∈ IN , pela continuidade de Pi, Pj, Pi e Pj temos que
Pi(Pj(x)) = Pi( limn→∞
(Pj(xn)) = limn→∞
Pi(Pj(xn))
= limn→∞
Pi(Pj(xn)) = limn→∞
(Pmin{i,j}(xn))
= Pmin{i,j}(x).
Donde concluımos que Pi ◦ Pj = Pmin{i,j}. De maneira analoga temos que Pj ◦ Pi =
Pmin{i,j}.
Como e1 ∈ P1(X) e ei ∈ Pi(X) ∩ ker Pi−1 para todo i ∈ IN temos que e1 ∈ P1(X) e
ei ∈ Pi(X)∩ ker P i−1. Segue pela demonstracao da Proposicao 2.2 que (ei)∞i=1 e uma base de
Schauder de X.
29
Lema 2.2. Seja (ei)∞i=1 uma base de Schauder do espaco de Banach (X, ‖.‖). Definimos |||.|||
em X por |||x||| = supn∈IN
||n∑
i=1
aiei|| para x =∞∑
i=1
aiei ∈ X. Entao:
(1) |||.||| e uma norma em X, (ei)∞i=1 e uma base de Schauder do espaco (X, |||.|||) e a
sequencia das projecoes de (X, |||.|||)em (X, |||.|||) associada com esta base de Schauder e
limitada por 1.
(2) |||.||| e equivalente a ||.|| em X.
Demonstracao. (1): Primeiro mostraremos que |||.||| e uma norma. Como para cada x ∈
X existe uma sequencia de escalares (αn)∞n=1 tal que x =∞∑
n=1
αnxn temos que |||x||| =
supn∈IN
||n∑
i=1
aiei|| e limitada.
E facil verificar que |||0||| = 0 e que |||λx||| = |λ| |||x||| para cada λ ∈ IK.
Pela continuidade de ||.|| segue que ||x|| = || limn→∞
n∑
i=1
aiei|| = limn→∞
||n∑
i=1
aiei||. Como
|||x||| ≥ ||∑n
i=1 aiei|| para cada n ∈ IN temos que |||x||| ≥ limn→∞
||∑n
i=1 aiei|| = ||x||. Segue
daı que se |||x||| = 0 temos x = 0.
Finalmente, existem sequencias de escalares (ai)∞i=1 e (bi)
∞i=1 tais que x =
∞∑
i=1
aiei e
y =∞∑
i=1
biei. Pela definicao de |||.||| temos que |||x + y||| = supn∈IN
||n∑
i=1
(ai + bi)ei||. Fixemos
n ∈ IN . Podemos ver que
30
||n∑
i=1
(ai + bi)ei|| ≤ ||n∑
i=1
aiei|| + ||n∑
i=1
biei||
≤ supn∈IN
||n∑
i=1
aiei|| + supn∈IN
||n∑
i=1
biei||
= |||x||| + |||y|||.
Donde concluımos que |||x + y||| = supn∈IN
||n∑
i=1
(ai + bi)en|| ≤ |||x||| + |||y||| e consequente-
mente |||.|||, e uma norma em X.
Vamos usar a Proposicao 2.1 para mostrar que (ei)∞n=1 e uma base de Schauder do espaco
(X, |||.|||). Para cada n ∈ IN considere a projecao Pn associada com a base de Schauder
(en)∞n=1 de (X, |||.|||). Sabemos que Pn(X) tem dimensao n e Pn(x) =n∑
i=1
aiei para todo
x =∞∑
i=1
aiei ∈ X. Entao a sequencia (Pn)∞n=1 satisfaz as condicoes (1) e (2) do Lema 2.1
Como∞∑
i=1
aiei converge em (X, ||.||), a sequencia (sn) = (n∑
i=1
aiei)∞n=1 e uma sequencia
de Cauchy em (X, ||.||). Desta maneira, dado ǫ > 0 existe m0 ∈ IN tal que se n ≥ m ≥ m0
entao ||n∑
i=m+1
aiei|| < ǫ. Tomando m ≥ m0 podemos ver que
|||x − Pm(x)||| = supn∈IN
||Pn(x − Pm(x))|| = supn∈IN
||Pn(x) − PnPm(x)||
= supn∈IN
||Pn(x) − Pm(x)|| = supn≥m
||n∑
i=m+1
aiei|| < ǫ,
donde concluımos que limm→+∞
Pm(x) = x em (X, |||.|||). Assim, pela Proposicao 2.1, a
sequencia (ei)∞i=1 e uma base de Schauder de (X, |||.|||).
Definimos |||Pn||| = sup|||x|||≤1
|||Pn(x)||| a norma da projecao Pn : (X, |||.|||) −→ (X, |||.|||).
31
Tomando |||x||| = supn∈IN
||n∑
i=1
aiei|| ≤ 1 temos que ||n∑
i=1
aiei|| ≤ 1 para n ∈ IN e
consequentemente, pela condicao (2) do Lema 2.1, ||PnPm(x)|| = ||n∑
i=1
aiei|| ≤ 1 para
1 ≤ n ≤ m. Vemos assim que para cada n ∈ IN fixado
|||Pm||| = sup|||x|||≤1
|||Pm(x)||| = sup|||x|||≤1
supn∈IN
||PnPm(x)||
= sup|||x|||≤1
sup1≤n≤m
||PnPm(x)|| = sup|||x|||≤1
sup1≤n≤m
||n∑
i=1
aiei||
≤ sup|||x|||≤1
|||x||| = 1.
(2): Seja X o fecho do espaco (X, |||.|||) no complemento de X. Pela Proposicao 2.2, temos
que (ei)∞i=i e base de Schauder de X. Se x ∈ X, existe uma unica sequencia de escalares (αi)
∞i=1
para qual x =∞∑
i=1
αiei na norma |||.|||. Como pelo item (1), |||x||| ≥ ||x|| para x ∈ X temos
que (sn) = (n∑
i=1
αiei)∞n=1 e uma sequencia de Cauchy em (X, ||.||). Por outro lado, (X, ||.||) e
um espaco completo e por isso existe x ∈ X para qual x =∞∑
i=1
αiei na norma ||.||.
Pelo item (1) temos que, se x =∞∑
n=1
αiei = limm→∞
Pm(x) = x na norma ||.||, entao
limm→∞
Pm(x) = x na norma |||.|||. Pela unicidade dos limites temos x = x, o que implica
em (X, |||.|||) ser completo.
Como a aplicacao IX : (X, |||.|||) −→ (X, ||.||) e uma bijecao linear contınua entre espacos
de Banach, temos pelo Teorema da Aplicacao Aberta (Teorema 1.6), que as normas |||.||| e
||.|| sao equivalentes em X.
Teorema 2.1. (Banach) Se (ei)∞i=1 e uma base de Schauder de um espaco normado X entao
32
a sequencia (Pn)∞n=1 das projecoes associada com (ei)∞i=1 e uniformemente limitada.
Demonstracao. Pelo Lema 2.2, temos que |||Pn||| ≤ 1 para n ∈ IN . Como as normas ||.|| e
|||.||| sao equivalentes, existe uma constante real positiva a para qual ||x|| ≤ |||x||| ≤ a||x||
para cada x ∈ X. Segue que ||Pn(x)|| ≤ |||Pn(x)||| ≤ |||Pn||| |||x||| ≤ a||x|| para todo n ∈ IN
e x ∈ X. Consequentemente supn∈IN
||Pn|| ≤ a, ou seja, a sequencia (Pn)∞n=1 e uniformemente
limitada.
Definicao 2.5. Seja (xn)∞n=1 uma base de Schauder de um espaco de Banach X. Para cada
k ∈ IN considere o funcional linear x′k : X −→ IK tal que x′
k(x) = ak para todo x =∞∑
n=1
anxn ∈ X. A sequencia (x′n)∞n=1 e chamada de sequencia dos funcionais coordenadas da
base de Schauder (xn)∞n=1.
E facil verificar que (x′n)∞n=1 e linearmente independente.
Observacao 2.2. Como x′n = Pn − Pn+1, pelo Teorema 2.1 temos que a sequencia dos
funcionais coordenadas de uma base de Schauder e uma sequencia de funcionais contınuos.
Definicao 2.6. Sejam X um espaco vetorial, Λ um conjunto qualquer e (xλ)λ∈Λ uma famılia
contida em X. Definimos span{xλ; λ ∈ Λ} como o espaco vetorial gerado pela famılia
(xλ)λ∈Λ, isto e, formado pelas combinacoes lineares finitas dos elementos da famılia.
Proposicao 2.3. Sejam (en)∞n=1 uma base de Schauder em um espaco de Banach X, (Pn)∞n=1
a sequencia de projecoes associada com (en)∞n=1 e (e′n)∞n=1 a sequencia dos funcionais coor-
denadas de (en)∞n=1. Entao:
(1) Para cada n ∈ IN , se P ′n : X ′ −→ X ′ e definida por P ′
n(f) = f ◦Pn para cada f ∈ X ′
e Pn : X −→ X, temos que P ′n(f) =
n∑
i=1
f(ei)e′i =
n∑
i=1
J(ei)(f)e′i onde J : X −→ X ′′ e o
mergulho canonico.
33
(2) A sequencia (P ′n(f))∞n=1 e w*-convergente para f ∈ X ′
(3) (e′n)∞n=1 e uma base de Schauder do espaco span{e′n; n ∈ IN}. Em particular limn→∞
P ′n(f) =
f para todo f ∈ span{e′n; n ∈ IN} e ||P ′n|| = ||Pn|| para n ∈ IN .
Demonstracao. (1): Para cada n ∈ IN consideremos P ′n : X ′ −→ X ′ tal que P ′
n(f) = f ◦ Pn
para f ∈ X ′. Como Pn e uma aplicacao linear contınua temos que P ′n(f) ∈ X ′ para cada
f ∈ X ′.
Se x ∈ X, entao x =∞∑
i=1
e′i(x)ei. Assim, para cada f ∈ X ′ podemos escrever P ′n(f)(x) =
f(Pn(x)) = f(n∑
i=1
e′i(x)ei) =n∑
i=1
f(ei)e′i(x) para todo x ∈ X. Donde concluimos que P ′
n(f) =
n∑
i=1
f(ei)e′i para f ∈ X ′.
(2): Sejam f ∈ X ′ e x =∞∑
i=1
e′i(x)ei ∈ X. Como f e contınua, temos que limn→∞
P ′n(f)(x) =
limn→∞
f(Pn(x)) = f(x), donde concluımos que (P ′n(f))∞n=1 e ω∗-convergente para f ∈ X ′.
(3): Por (1), dimP ′n(X ′) = n para cada n ∈ IN . Consideremos m,n ∈ IN . A igualdade
P ′nP ′
m = P ′mP ′
n = P ′min(m,n) segue de P ′
nP ′m(f) = f ◦PnPm = f ◦Pmin(m,n) = P ′
min(m,n)(f) para
cada f ∈ X ′.
Seja Qn = P ′n|span{e′i;i∈IN} para cada n ∈ IN . Observe que ||Qn|| ≤ ||P ′
n|| e, como
||P ′n|| = ||Pn|| para cada n ∈ IN , pela Observacao 1.3, temos que (Qn)∞n=1 e uma sequencia
uniformemente limitada de projecoes contınuas definidas em span{e′i; i ∈ IN}. Dado qualquer
f ∈ span{e′i; i ∈ IN}, existem a1, . . . , an ∈ IK (com n ∈ IN) tais que f =n∑
i=1
aie′i. Tomando
qualquer m ∈ IN tal que m ≥ n temos Qm = P ′m(f) = f , de modo que lim
n→∞Qn(f) = f .
Como e′1 ∈ Q1(span{ei; i ∈ IN}) e e′i ∈ Qi(span{ei; i ∈ IN}) ∩ ker Qi−1 para todo
i ∈ IN , segue pela demonstracao da Proposicao 2.2, que (e′i)∞i=1 e uma base de Schauder do
span{ei; i ∈ IN}. Finalmente, como (Qn)∞n=1 e uma sequencia uniformemente limitada de
34
projecoes, (e′i)∞i=1 e tambem uma base de Schauder de span{ei; i ∈ IN} pela proposicao 2.2.
Segue pelo Lema 2.1 que limn→∞
P ′n(f) = f para cada f ∈ span{ei; i ∈ IN}
Definicao 2.7. Uma sequencia de elementos (xn)∞n=1 de um espaco de Banach e dita uma
sequencia basica se (xn)∞n=1 e uma base de Schauder para span{xn; n ∈ IN}.
Observacao 2.3. Todo espaco de Banach com base de Schauder e separavel.
Teorema 2.2. Seja (xn)∞n=1 uma sequencia de vetores nao nulos em um espaco de Banach
X. Entao (xn)∞n=1 e uma sequencia basica se e somente se existe uma constante real K > 0
tal que ∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
aixi
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤ K
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
m∑
i=1
aixi
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ (∗)
para quaisquer (ai)∞i=1 ⊂ IK e m,n ∈ IN com n ≤ m. A menor constante que satisfaz (∗) e
chamada constante basica, e e denotada por bc{xn}.
Demonstracao. (⇒): Suponhamos que (xn)∞n=1 e uma sequencia basica e seja
(ai)∞i=1 ⊂ IK escolhido arbitrariamente. Seja (Pn)∞n=1 a sequencia de projecoes canonicas
associada com (xn)∞n=1. Pelo Teorema 2.1, temos que K = supn∈IN
||Pn|| < ∞. Entao para todo
x ∈ span{xn; n ∈ IN} e m,n ∈ IN com n ≤ m temos:
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
aixi
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ = ||Pn(x)|| = ||Pn(Pm(x))|| ≤ ||Pn|| ||Pm(x)|| ≤ K
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
m∑
i=1
aixi
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ .
(⇐): Suponhamos que, (xn)∞n=1 e uma sequencia de vetores nao nulos e existe uma
constante real K > 0 tal que
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
aixi
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤ K
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
m∑
i=1
aixi
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ para toda escolha (ai)∞i=1 ⊂ IK e
m,n ∈ IN com n ≤ m.
35
Para cada n ∈ IN consideremos o operador
Pn : span{xi; i ∈ IN} −→ span{xi; i ∈ IN}
definido por
Pn(k∑
i=1
aixi) =n∑
i=1
aixi se k ≥ n
e
Pn(k∑
i=1
aixi) =k∑
i=1
aixi se k < n.
Desta maneira Pn e uma aplicacao linear e ||Pn|| ≤ K para todo n ∈ IN .
Se x ∈ span{xi; i ∈ IN}, entao existem p ∈ IN e {λ1, . . . , λp} ⊂ IK para os quais
x =
p∑
i=1
λixi. Tomando m ≥ p temos que Pm(x) = x e assim limn→∞
Pn(x) = x. E claro que para
cada m,n ∈ IN dim Pn(X) = n e PnPm = PmPn = Pmin{n,m}. Entao pela Proposicao 2.1, a
sequencia (xn)∞n=1 e uma base de Schauder do espaco span{xi; i ∈ IN}. Consequentemente,
como (Pn)∞n=1 e uniformemente limitada, temos pela Proposicao 2.2 que a sequencia (xn)∞n=1
e uma sequencia basica.
Lema 2.3. Seja F um subespaco de dimensao finita de um espaco de Banach X de dimensao
infinita. Se ǫ e um numero real positivo entao existe x ∈ X com ||x|| = 1 tal que ||y|| ≤
(1 + ǫ) ||y + λx|| para todo y ∈ F e λ ∈ IK.
Demonstracao. Suponhamos, sem perda de generalidade, que ǫ < 1. Como SF e um sub-
conjunto limitado e fechado de F e F tem dimensao finita, temos que SF e um subconjunto
compacto de F e, consequentemente, um subconjunto compacto em X. Consideremos a
famılia de abertos (B ǫ2(y))y∈SF
. Temos que esta famılia forma uma cobertura aberta de SF .
Portanto existem y1 . . . yn ∈ SF para os quais SF ⊂k⋃
i=1
B ǫ2(yi). Desta maneira se y ∈ SF
existe i ∈ {1 . . . k} tal que ||y − yi|| < ǫ2.
36
Pelo Corolario 1.1 do Teorema de Hanh-Banach existem funcionais lineares y′1, . . . , y
′n ∈
SX′ tais que y′i(yi) = ||yi|| = 1 para todo i ∈ {1, . . . , n}. Suponha que {y′
1, . . . , y′k}
seja o subconjunto linearmente independente de y′1, . . . , y
′n. Pela Proposicao 1.1, temos que
k⋂
i=1
y′i(0)
−16= ∅, e por isso existe x ∈ SX tal que y′
i(x) = 0 para i ∈ {1 . . . n}. Dados quaisquer
y ∈ SF e λ ∈ IK sabemos que existe yi ∈ {y1, . . . , yn} tal que ||y − yi|| < ǫ2. A partir dai
temos
||y + λx|| = ||y − yi + yi + λx|| ≥ ||yi + λx|| − ||y − yi||
≥ −ǫ
2+ ||yi + λx|| ≥ |y′
i(yi + λx)| −ǫ
2
= 1 −ǫ
2≥
1
1 + ǫ
para todo λ ∈ IK.
Sejam y ∈ F \ {0} e λ ∈ IK. Considere y0 = y||y||
e λ0 = λ||y||
. Segue que ||y0 + λ0x|| ≥1
1+ǫ
e consequentemente ||y|| ≤ (1 + ǫ)| ||y + λx||.
Teorema 2.3. (Mazur) Seja X um espaco de Banach com dimensao infinita. Entao existe
um subespaco fechado de dimensao infinita de X com uma base de Schauder.
Demonstracao. Dado ǫ > 0, escolhemos uma sequencia (ǫn)∞n=1 de numeros reais positivos
tais que∞∏
n=1
(1 + ǫn) ≤ 1 + ǫ.
Seja x1 ∈ SX . Consideremos F1 = span{x1}. Pelo Lema 2.3, existe x2 ∈ SX tal que cada
x ∈ F1 e λ ∈ IK temos ||x|| ≤ (1 + ǫ1) ||x + λx2||. Consideremos F2 = span{x1, x2}. Pelo
Lema 2.3, existe x3 ∈ SX tal que para cada x ∈ F2 e λ ∈ IK temos ||x|| ≤ (1+ ǫ2) ||x + λx3||.
Assumimos que x1, . . . , xn+1 ∈ SX sao tais que para cada x ∈ Fn = span{x1, . . . , xn} e
λ ∈ IK temos ||x|| ≤ (1 + ǫn) ||x + λxn+1||. Pelo Lema 2.3, existe xn+2 ∈ SX tal que
37
para cada x ∈ Fn+1 = span{x1, . . . , xn+1} e λ ∈ IK temos ||x|| ≤ (1 + ǫn+1) ||x + λxn+2||.
Segue por inducao a existencia uma sequencia (xn)∞n=1 contida em SX tal que se x ∈ Fi =
span{x1, . . . , xi} e λ ∈ IK temos ||x|| ≤ (1 + ǫi) ||x + λxi+1|| para todo i ∈ IN .
Seja (λn)∞n=1 ∈ IK. Para m,n ∈ IN com n ≤ m temos
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
λixi
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤ (1 + ǫn+1)
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n+1∑
i=1
λixi
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
≤ · · · ≤
(m∏
i=n+1
(1 + ǫi)
) ∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
m∑
i=1
λixi
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
≤
(m∏
i=1
(1 + ǫi)
) ∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
m∑
i=1
λixi
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤ (1 + ǫ)
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
m∑
i=1
λixi
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
Desta maneira segue pelo Teorema 2.2, que (xn)∞n=1 e uma sequencia basica. Assim
span{xn; n ∈ IN} e um subespaco de X com dimensao infinita e base de Schauder.
Observemos que se a sequencia (Pn)∞n=1 e a sequencia das projecoes canonicas associadas
a base de Schauder (xn)∞n=1 entao ||Pn|| ≤∞∏
i=n
(1 + ǫi) para todo n ∈ IN . Donde concluımos
que limn→∞
||Pn|| = 1.
Definicao 2.8. Seja (xn)∞n=1 uma sequencia basica em um espaco de Banach X e seja (yn)∞n=1
uma sequencia basica em um espaco de Banach Y . Dizemos que (xn)∞n=1 e equivalente a
(yn)∞n=1 se para toda sequencia de escalares (an)∞n=1 temos que∞∑
n=1
anxn converge se e
somente se∞∑
n=1
anyn converge.
Proposicao 2.4. Seja (en)∞n=1 uma sequencia basica em um espaco de Banach X e seja
(fn)∞n=1 um sequencia em um espaco de Banach Y . Sao equivalentes:
(1) (fn)∞n=1 e uma sequencia basica equivalente a (en)∞n=1
38
(2) Existe um isomorfismo T entre os espacos span{en; n ∈ IN} e span{fn; n ∈ IN} tal
que T (en) = fn para cada n ∈ IN
(3) Existem constantes positivas C1 e C2 tais que para cada n ∈ IN e a1, . . . , an ∈ IK
temos1
C1
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
aiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
aifi
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤ C2
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
aiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
Demonstracao. (1) ⇒ (2): Definimos T : span{en; n ∈ IN} −→ span{fn; n ∈ IN} por
T (x) =∞∑
n=1
anfn para cada x =∞∑
n=1
anen ∈ span{en; n ∈ IN}. E claro, por definicao, que T
e uma aplicacao linear e T (en) = fn para cada n ∈ IN .
Dado x ∈ span{en; n ∈ IN}, existe uma sequencia de escalares (an)∞n=1 tal que x =∞∑
n=1
anen. A equivalencia entre (en)∞n=1 e (fn)∞n=1 garante que y =∞∑
n=1
anfn ∈ span{fn; n ∈ IN}
e claro que T (x) = y. Portanto T esta bem definido. Analogamente, dado y ∈ span{fn; n ∈
IN} existe uma sequencia de escalares (bn)∞n=1 tal que y =∞∑
n=1
bnfn, e a equivalencia entre
(en)∞n=1 e (fn)∞n=1 garante que x =∞∑
n=1
bnen ∈ span{en; n ∈ IN} e e claro que T (x) = y.
Assim, T e uma aplicacao sobrejetiva.
Dados x, z ∈ span{en; n ∈ IN}, existem sequencias de escalares (αn)∞n=1 e (βn)∞n=1 tais
que x =∞∑
n=1
αnen e z =∞∑
n=1
βnen. Se T (x) = T (z), pela definicao de T temos que∞∑
n=1
αnfn =
∞∑
n=1
βnfn. Como (fn)∞n=1 e uma sequencia basica temos que αn = βn para cada n ∈ IN o que
garante a injetividade de T .
Vamos mostrar a continuidade de T usando o Teorema do Grafico Fechado.
Consideremos as sequencias (xk)∞k=1 ⊂ span{en; n ∈ IN} e (T (xk))
∞k=1 ⊂ {fn; n ∈ IN} tais
que x = limk→∞
xk e y = limk→∞
T (xk) com x ∈ span{en; n ∈ IN} e y ∈ span{fn; n ∈ IN}. Como
(en)∞n=1 e (fn)∞n=1 sao sequencias basicas, x =∞∑
n=1
anen com (an)∞n=1 ⊂ IK e y =∞∑
n=1
bnfn
39
com (bn)∞n=1 ⊂ IK. Para cada k ∈ IN consideremos xk =∞∑
n=1
aknen e T (xk) =
∞∑
n=1
aknfn com
(akn)∞n=1 ⊂ IK.
Para cada s ∈ IN sejam os funcionais
e′s : span{en; n ∈ IN} −→ IK e f ′s : span{fn; n ∈ IN} −→ IK
tais que e′s(u) = λs para cada u =∞∑
i=1
λiei ∈ span{en; n ∈ IN} e f ′s(v) = αs para cada
v =∞∑
i=1
αifi ∈ span{fn; n ∈ IN}. Pela continuidade de e′s e f ′s e pelo fato de x = lim
k→∞xk
e y = limk→∞
T (xk), obtemos que as = limk→∞
aks e bs = lim
k→∞ak
s . Donde concluimos a seguinte
igualdade as = bs para cada s ∈ IN . Consequentemente, T (x) = y e T tem grafico fechado.
Como span{en; n ∈ IN} e span{fn; n ∈ IN} sao espacos de Banach, segue pelo Teorema do
Grafico Fechado (Teorema 1.7), a continuidade de T . Alem disso, como T e sobrejetiva, temos
pelo Teorema 1.6, que T−1 e contınua. Portanto T e um isomorfismo entre span{en; n ∈ IN}
e span{fn; n ∈ IN}
(2) ⇒ (3): Sejam a1, . . . , an ∈ IK com n ∈ IN . Observemos que T (n∑
i=1
aiei) =n∑
i=1
aifi e,
pela continuidade de T e sua inversa, temos
||n∑
i=1
aifi|| = ||T−1(n∑
i=1
aiei)|| ≤ ||T−1||||n∑
i=1
aifi||
e
||n∑
i=1
aifi|| = ||T (n∑
i=1
aiei)|| ≤ ||T || ||n∑
i=1
aiei||.
Daı, como ||T || 6= 0, temos
1
||T−1||||
n∑
i=1
aiei|| ≤ ||n∑
i=1
aifi|| ≤ ||T || ||n∑
i=1
aiei||.
(3) ⇒ (1): Sejam m, n ∈ IN com n ≤ m , e a1, . . . , am ∈ IK. Como (ei)∞i=1 e uma
40
sequencia basica existe uma constante positiva K tal que
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
aiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤ K
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
m∑
i=1
aiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ .
Alem disso, por hipotese, existem constantes positivas C1 e C2 tais que
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
aiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤ C1
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
aifi
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ (1)
e ∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
aifi
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤ C2
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
aiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ (2).
A partir das tres desigualdades anteriores temos
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
aifi
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤ C1C2K
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
m∑
i=1
aifi
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ .
Segue, pelo Teorema 2.2, que (fi)∞i=1 e uma sequencia basica.
Pelas desigualdades (1) e (2) temos que dada uma sequencia (ai)∞i=1 de escalares a
sequencia (i∑
j=1
ajej)∞i=1 e uma sequencia de Cauchy se e somente se a sequencia (
i∑
j=1
ajfj)∞i=1
e de Cauchy. Donde concluimos a equivalencia entre as sequencias (ei)∞i=1 e (fi)
∞i=1.
Teorema 2.4. Sejam (en)∞n=1 uma sequencia basica em um espaco de Banach X, (Pn)∞n=1 a
sequencia de projecoes associada com (en)∞n=1 e (e′n)∞n=1 a sequencia dos funcionais coorde-
nadas de (en)∞n=1. Suponhamos que (fi)∞i=1 e uma sequencia em X tal que
∞∑
i=1
||ei − fi|| ||e′i|| < 1. Temos:
(1) (fi)∞i=1 e uma sequencia basica em X equivalente a (ei)
∞i=1
(2) Se span{ei; i ∈ IN} e complementado em X entao span{fi; i ∈ IN} tambem e com-
plementado em X.
41
(3) Se (ei)∞i=1 e uma base de Schauder de X entao (fi)
∞i=1 tambem e uma base de Schauder
de X. Alem disso, se (f ′i)
∞i=1 e a sequencia dos funcionais coordenadas da base (fi)
∞i=1 entao
span{e′i; i ∈ IN} = span{f ′i ; i ∈ IN}.
Demonstracao. (1): Sabemos, pelo Teorema de Hahn-Banach (Teorema 1.3), que para cada
i ∈ IN existe gi ∈ X ′ tal que ||gi|| = ||e′i|| e gi estende e′i. Considere C =∞∑
i=1
||ei − fi|| ||e′i||.
Para cada n ∈ IN e x ∈ X fixados consideremos Sn =n∑
i=1
||ei − fi|| |gi(x)|. Podemos ver
que
Sn =n∑
i=1
||ei − fi|| |gi(x)| ≤ ||x||n∑
i=1
||ei − fi|| ||gi|| ≤
(∞∑
i=1
||ei − fi|| ||gi||
)||x|| ≤ C ||x||
para cada n ∈ IN. Como (Sn)∞n=1 e uma sequencia crescente e limitada, (Sn)∞n=1 converge e
alem disso limn→∞
Sn ≤ C ||x||, ou seja,∞∑
i=1
||ei − fi|| ||gi(x)|| ≤ C ||x||.
Consideremos S : X −→ X definida por S(x) =∞∑
i=1
gi(x)(ei − fi). Como a serie
∞∑
i=1
gi(x)(ei−fi) e absolutamente convergente para cada x ∈ X e X e um espaco de Banach,
temos que esta serie converge e S esta bem definida em X. E facil ver que S e linear. Como
||S(x)|| =
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
∞∑
i=1
gi(x)(ei − fi)
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤∞∑
i=1
|gi(x)| ||ei − fi|| ≤ C ||x|| para cada x ∈ X, S e uma
aplicacao linear e contınua com ||S|| ≤ C < 1.
Consideremos T = I − S onde I e a identidade em X. Entao T e uma aplicacao linear
contınua de X em X e
||T (x)|| = ||x − S(x)|| ≥ | ||x|| − ||S(x)|| | ≥ (1 − C) ||x|| .
Como 1 − C > 0, segue pela Proposicao 1.10 que T e um isomorfismo entre X e o
subespaco fechado T (X) de X.
42
Suponhamos que T (X) 6= X. Pelo Lema 1.2, existe x ∈ SX tal que dist(x, T (X)) > C.
Mas por outro lado temos ||T (x) − x|| = ||S(x)|| ≤ C, de modo que T (X) 6= X implica num
absurdo. Desta maneira T e um isomorfismo de X sobre X tal que T (ei) = fi para cada
i ∈ IN .
Como T e uma aplicacao contınua e T (ei) = fi para cada i ∈ IN , temos a seguinte
inclusao T (span{en; n ∈ IN}) ⊂ span{fn; n ∈ IN}.
Se y ∈ span{fn; n ∈ IN} entao existe uma sequencia (yn)∞n=1 ⊂ span{fn; n ∈ IN}
tal que limn→∞
yn = y. Como T−1 e uma aplicacao contınua, span{en; n ∈ IN} e um es-
paco fechado e (T−1(yn))∞n=1 ⊂ span{en; n ∈ IN}, temos pela definicao de T que
T−1(y) ∈ span{en; n ∈ IN}. Consequentemente, existe uma unica sequencia de escalares
(bi)∞i=1 tal que T−1(y) =
∞∑
i=1
biei, e assim y = T (T−1(y)) =∞∑
i=1
bifi. Donde concluımos que
T−1(span{fn; n ∈ IN}) ⊂ span{en; n ∈ IN} e consequentemente (fi)∞i=1 e uma sequencia
basica. Segue pela Proposicao 2.4 a equivalencia entre as sequencias (ei)∞i=1 e (fi)
∞i=1.
(2): Na demonstracao de (1) vimos que T e um isomorfismo entre X e X tal que
T (span{en; n ∈ IN}) = span{fn; n ∈ IN}. Como span{en; n ∈ IN} e complementado em X
temos, pela Proposicao 1.11, que span{fn; n ∈ IN} e complementado em T (X) = X.
(3): Seja T o isomorfismo entre X e X definido na demonstracao de (1). Se (en)∞n=1 e
uma base de Schauder de X temos que X = span{en; n ∈ IN} e, da demonstracao de (1),
temos que X = T (span{en; n ∈ IN}) = span{fn; n ∈ IN}. Assim, (fi)∞i=1 e base de Schauder
de X.
Seja (P ′n)∞n=1 a sequencia de projecoes associada com (e′n)∞n=1. Entao, pela Proposicao
2.3, temos que P ′n(f ′) =
n∑
i=1
f ′(ei)e′i para cada f ′ ∈ X ′ e (P ′
n(f ′))∞n=1 e w∗ convergente para
f ′ para cada f ′ ∈ X ′. Em particular, para cada x ∈ BX e i ∈ IN temos limn→∞
P ′n(f ′
i)(x) =
43
∞∑
j=1
f ′i(ej)e
′j(x) = f ′
i(x) e assim para x ∈ BX e k, i ∈ IN tais que k > i temos
|(f ′i − P ′
k)(x)| =
∣∣∣∣∣
∞∑
j=k+1
f ′i(ej)e
′j(x)
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣
∞∑
j=k+1
f ′i(ej − fj)e
′j(x)
∣∣∣∣∣ ≤ ||f ′i ||
∞∑
j=k+1
||ej − fj||∣∣∣∣e′j
∣∣∣∣ .
Assim, fazendo k → ∞ temos que ||f ′i − P ′
k|| → 0, e entao f ′i ∈ span{e′n; n ∈ IN}.
Portanto, temos que span{f ′i ; n ∈ IN} ⊂ span{e′n; n ∈ IN}.
Seja (T−1)′ : X ′ −→ X ′ a transposta de T−1. Por definicao (T−1)′ e a aplicacao linear
contınua tal que (T−1)′(f)(y) = f(T−1(y)) para f ∈ X ′ e y ∈ X.
Seja y =∞∑
j=1
f ′j(y)fj ∈ X. Para cada i ∈ IN temos
(T−1)′(e′i)(y) = (T−1)′(e′i)(∞∑
j=1
f ′j(y)fj) = e′i(T
−1(∞∑
j=1
f ′j(y)fj))
= e′i(∞∑
j=1
f ′j(y)T−1(fj)) = e′i(
∞∑
j=1
f ′j(y)ej) = f ′
i(y).
Donde concluımosque (T−1)′(e′i) = f ′i para cada i ∈ IN .
Como ||f ′i || = ||(T−1)′(e′i)|| ≤ ||(T−1)′|| ||e′i||, temos que
n∑
i=1
||ei − fi|| ||f′i || ≤
∣∣∣∣(T−1)′∣∣∣∣
n∑
i=1
||ei − fi|| ||e′i||
para todo n ∈ IN . Daı e da convergencia da serie∞∑
i=1
||ei − fi|| ||e′i||, concluımos que
∞∑
i=1
||ei − fi|| ||f′i || converge.
Finalmente, consideremos a sequencia (y′k)
∞k=1 tal que y′
k =k∑
j=1
e′i(fj)f′j. Trocando (P ′
n)∞n=1
e (e′n)∞n=1 por (y′n)∞n=1 e (f ′
n)∞n=1 obtemos, usando o mesmo argumento usado acima, que
limk→∞
y′k = e′i, e consequentemente ,span{e′n; n ∈ IN} ⊂ span{f ′
n; n ∈ IN}.
44
2.2 Bases contrateis
Definicao 2.9. Seja (en)∞n=1 uma base de Schauder de um espaco de Banach X e (e′n)∞n=1 a
sequencia dos funcionais coordenadas de (en)∞n=1. Dizemos que (en)∞n=1 e uma base contratil
se span{e′i; i ∈ IN} = X ′.
Definicao 2.10. Uma base de Schauder (en)∞n=1 de um espaco de Banach X e
dita limitadamente completa se∞∑
j=1
ajej converge para toda sequencia de escalares (aj)∞j=1
tal que supn∈IN
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
j=1
ajej
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ < ∞.
Proposicao 2.5. Sejam (en)∞n=1 uma base Schauder de um espaco de Banach X, (Pn)∞n=1 a
sequencia de projecoes associada com (en)∞n=1 e (e′n)∞n=1 a sequencia de funcionais coordenadas
de (en)∞n=1. Entao sao equivalentes:
(1) (ei)∞i=1 e uma base contratil.
(2) (e′i)∞i=1 e uma base de Schauder de X ′.
(3) limn→∞
||f |Gn|| = 0 para toda f ∈ X ′ onde Gn = span{ei; i > n}.
Demonstracao. (1) ⇒ (2): Como (ei)∞i=1 e uma base contratil temos por definicao
span{e′i; i ∈ IN} = X ′. Segue, pela Proposicao 2.3, que (e′i)∞i=1 e base de Schauder do
span{e′i; i ∈ IN} = X ′.
(2) ⇒ (1): Se (e′i)∞i=1 e uma base de Schauder de X ′ entao span{e′i; i ∈ IN} = X ′ e desta
maneira temos que (ei)∞i=1 e uma base contratil.
(1) ⇔ (3): Sejam P : X −→ X uma projecao limitada e P ′ : X ′ −→ X ′ definida por
45
P ′(f) = f ◦ P para toda f ∈ X ′. Podemos ver que
||P ′(f)|| = ||f ◦ P || = sup||x||≤1
||f(P (x))|| = supy∈P (BX)
||f(y)||
para cada f ∈ X ′ e alem disso,
BP (X) ⊂ P (BX) ⊂ ||P ||BX ∩ P (X) ⊂ ||P ||BP (X).
Sejam f ∈ X ′ e n ∈ IN . Como IX − Pn e uma projecao temos:
∣∣∣∣f |(IX−Pn)(X)
∣∣∣∣ = sup{|f(x)| ; x ∈ B(IX−Pn)(X)} ≤ sup{|f(x)| ; x ∈ (IX − Pn)(BX)}
≤ sup{|f(x)| ; x ∈ ||IX − Pn||B(IX−Pn)(X)}
= sup{|f(||IX − Pn|| y)| ; y ∈ B(IX−Pn)(X)}
= ||IX − Pn|| sup{|f(y)| ; y ∈ B(IX−Pn)(X)}
≤ (||Pn|| + 1)∣∣∣∣f |(IX−Pn)(X)
∣∣∣∣ .
Donde
∣∣∣∣f |(IX−Pn)(X)
∣∣∣∣ ≤ sup{|f(x)| ; x ∈ (IX − Pn)(BX)} ≤ (||Pn|| + 1)∣∣∣∣f |(IX−Pn)(X)
∣∣∣∣ (i).
Alem disso, de
||f − P ′n(f)|| = sup
||x||≤1
||(f − P ′n(f))(x)|| = sup
||x||=1
||f(x − Pn(x))||
obtemos
||f − P ′n(f)|| ≤ sup{|f(x)| ; x ∈ (IX − Pn)(BX)} (ii).
Apartir de (i) e (ii) vemos que
∣∣∣∣f |IX−Pn(X)
∣∣∣∣ ≤ ||f − P ′n(f)|| ≤ (||Pn|| + 1)
∣∣∣∣f |IX−Pn(X)
∣∣∣∣ (iii).
Daı temos que limn→∞
P ′n(f) = f para cada f ∈ X ′ se e somente se lim
n→∞||f |Gn
|| = 0 para
cada f ∈ X ′ (onde Gn = span{ei; i > n}), o que mostra a equivalencia entre (1) e (3).
46
Proposicao 2.6. Sejam (en)∞n=1 uma base de Schauder em um espaco de Banach X, (Pn)∞n=1
a sequencia de projecoes associada com (en)∞n=1 e (e′n)∞n=1 a sequencia dos funcionais coor-
denadas de (en)∞n=1. Se (ei)∞i=1 e uma base contratil entao a aplicacao T : X ′′ −→ S, onde
S = {(ai)∞i=1 ⊂ IK; |||(ai)
∞i=1||| = sup
n∈IN
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
aiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ < ∞} definida por T (x′′) = (x′′(e′i))∞i=1 e
um isomorfismo entre X ′′ e S.
Demonstracao. E claro que S e um espaco vetorial. Como, por definicao, |||(an)∞n=1||| e
finito sempre que (an)∞n=1 ∈ S, temos por argumento semelhante ao usado na demonstracao
do Lema 2.2, que (S, |||.|||) e um espaco normado.
Pela Proposicao 2.5, (ei)∞i=1 e uma base de Schauder de X ′. Seja (e′′i )
∞i=1 ⊂ X ′′ a sequencia
dos funcionais coordenadas de (e′i)∞i=1 e (P ′
i )∞i=1 a sequencia de projecoes associada com (e′i)
∞i=1.
Para todo n ∈ IN , seja P ′′n : X ′′ −→ X ′′ definida por P ′′
n (x′′) = x′′ ◦ Pn para todo x′′ ∈ X ′′.
Para x ∈ X, x′ ∈ X ′, x′′ ∈ X ′′ e n ∈ IN temos, pela Proposicao 2.3, que P ′n(x′) =
n∑
i=1
x′(ei)e′i,
P ′′n (x′′) =
n∑
i=1
x′′(e′i)e′′i =
n∑
i=1
x′′(e′i)J(ei) (onde J e o mergulho canonico) e ||P ′′n || = ||P ′
n|| =
||Pn||.
Se K = bc{ei}, ja vimos que ||Pn|| ≤ K para todo n ∈ IN . Seja T : X ′′ −→ S tal que
T (x′′) = (x′′(e′i))∞i=1. Entao temos que T e uma aplicacao linear tal que
|||T (x′′)||| = supn∈IN
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
x′′(eiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ = supn∈IN
||P ′′n (x′′)|| ≤ K ||x′′|| .
Donde concluımosque T esta bem definida, e contınua e ||T || ≤ K.
Se (x′′i )
∞i=1 e (y′′
i )∞i=1 pertencem a S e sao tais que T (x′′) = T (y′′), temos (x′′(e′i))
∞i=1 =
(y′′(e′i))∞i=1. Como (e′i)
∞i=1 e uma base de Schauder de X ′, obtemos daı que que x′′(x′) = y′′(x′)
para cada x′ ∈ X ′, e desta maneira x′′ = y′′. Logo a aplicacao T e injetiva.
Seja agora (ai)∞i=1 uma sequencia de escalares tal que |||(ai)
∞i=1||| < ∞. Pelo Teorema 1.13,
BX(0) e ω∗-compacta em X ′′. Alem disso, como X ′ e separavel, ja que (ei)∞i=1 e uma base
47
contratil, temos pelo Teorema 1.14 que (BX , ω∗) e metrizavel. Assim a sequencia limitada
(Sn)∞n=1 =
(n∑
i=1
aiJ(ei)
)∞
n=1
possui uma subsequencia (Snj)∞j=1 que converge na topologia
ω∗ para algum x′′ ∈ X ′′. Por essa convergencia temos que limj→∞
Snj(x′) = x′′(x′) para todo
x′ ∈ X ′. Em particular para cada i ∈ IN temos que x′′(e′i) = ai, ou seja, (x′′(ei))∞i=1 = (ai)
∞i=1.
Consequentemente T e uma aplicacao sobrejetiva.
Alem disso ||x′′|| ≤ lim supn→∞
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
aiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤ |||(ai)∞i=1||| e T (x′′) = (ai)
∞i=1 de modo que
||||T (x′′)||| ≥ ||x′′||. Mostramos assim que T e um isomorfismo entre X ′′ e S.
Teorema 2.5. Sejam (en)∞n=1 uma base de Schauder de um espaco de Banach X, (Pn)∞n=1 a
sequencia de projecoes associada com (en)∞n=1 e (e′n)∞n=1 a sequencia dos funcionais coorde-
nadas de (en)∞n=1. Se (ei)∞i=1 e limitadamente completo, entao X e isomorfo a
span{e′i; n ∈ IN}′.
Demonstracao. Denotemos Z = span{e′i; i ∈ IN} e definamos uma aplicacao J : X −→ Z ′
por J(x)(z) = z(x) para cada x ∈ X e z ∈ Z. E claro que , para cada x ∈ X fixado,
J(x) : Z −→ IK e linear. Alem disso, e facil verificar que J(x+λ) = J(x)+λJ(y) para todo
x, y ∈ X e λ ∈ IK. Como, para cada x ∈ X e z ∈ Z temos que∣∣∣J(x)(z)
∣∣∣ = |z(x)| ≤ ||z|| ||x||,
concluımos daı que J(x) ∈ Z ′ para todo x ∈ X e J e contınua com ||J || ≤ 1.
Para cada n ∈ IN e x ∈ X temos, pelo Corolario 1.2 do Teorema de Hahn-Banach, a
existencia de x′ ∈ SX′ tal que x′(Pn(x)) = ||Pn(x)||. Como P ′n(X ′) = span{e′i; 1 ≤ i ≤ n},
temos que P ′n(x′) =
n∑
i=1
x′(ei)e′i =
n∑
i=1
J(ei)(x′)e′i ∈ Z, onde J : X −→ X ′′ e o mergulho
canonico, e ||P ′n(x′)|| ≤ K onde K = sup
n∈IN||P ′
n|| < ∞. Por definicao temos
J(Pn(x))(P ′n(x′)) = P ′
n(x′)(Pn(x)) = x′ ◦ Pn ◦ Pn(x) = x′(Pn(x)) = ||Pn(x)||
48
e consequentemente,
∣∣∣∣∣∣J(Pn(x))
∣∣∣∣∣∣ ≥ J(Pn(x))(
P ′n(x′)
||P ′n(x′)||
) =1
||P ′n(x′)||
J(Pn(x))(P ′n(x′)) =
||Pn(x)||
||P ′n(x′)||
≥1
K||Pn(x)|| .
Donde concluimos que ∣∣∣∣∣∣J(Pn(x)
∣∣∣∣∣∣ ≥ 1
K||Pn(x)|| .
Agora, usando a continuidade de J e da norma e o fato de limn→∞
Pn(x) = x, obtemos∣∣∣∣∣∣J(x)
∣∣∣∣∣∣ ≥ 1
K||x||. Assim,
1
k||x|| ≤
∣∣∣∣∣∣J(x)
∣∣∣∣∣∣ ≤ ||x|| (1)
para todo x ∈ X.
Mostraremos agora que J e uma aplicacao sobrejetora.
Observamos inicialmente que, pela Proposicao 2.3, (e′n)∞n=1 e uma base de Schauder do
espaco Z e e facil verificar que (J(en))∞n=1 e a sequencia dos funcionais coordenadas de
(e′n)∞n=1. Seja (Pn)∞n=1 a sequencia de projecoes associada a (e′n)∞n=1. Pela Proposicao 2.3
temos que Pn
′: Z ′ −→ Z ′ definida por Pn
′(z′) = z′ ◦ Pn satisfaz Pn
′(z′)
ω∗
→ z′ em Z ′ e
supn
∣∣∣∣∣∣Pn
′∣∣∣∣∣∣ = sup
n
∣∣∣∣∣∣Pn
∣∣∣∣∣∣ = sup
n||Pn|| ≤ K < ∞.
Dado qualquer w ∈ Z, temos que w =∞∑
i=1
J(ei)(w)e′i de modo que para todo n ∈ IN e
para todo z′ ∈ Z ′ temos que
Pn
′(z′)(w) = z′◦Pn(w) = z′
(n∑
i=1
J(ei)(w)e′i
)=
(n∑
i=1
z′(e′i)J(ei)
)(w) = J
(n∑
i=1
z′(e′i)ei
)(w).
Segue daı que para todo n ∈ IN e para todo z′ ∈ Z ′ temos∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣J(
n∑
i=1
z′(e′i)ei
)∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣Pn
′(z′)
∣∣∣∣∣∣ ≤ k ||z′||
e daı, usando (1) obtemos∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
z′(e′i)ei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤ K
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣J(n∑
i=1
z′(e′i)ei)
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤ K2
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
z′(e′i)ei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ .
49
Daı, como (ei)∞i=1 e limitadamente completa, temos que
∞∑
i=1
z′(e′i)ei converge em X para um
x ∈ X. Como J e uma aplicacao contınua temos
J(x) = limn→∞
J(n∑
i=1
z′(e′i)ei) = limn→∞
n∑
i=1
z′(e′i)J(ei) = limn→∞
Pn
′(z′).
Usando o fato de que a sequencia (P ′n(z′))∞n=1 converge w∗ para z′ obtemos que z′ = J(x),
logo J e uma aplicacao sobrejetora.
Teorema 2.6. (James) Sejam (en)∞n=1 uma base Schauder de um espaco de Banach X,
(Pn)∞n=1 a sequencia de projecoes associada com (en)∞n=1 e (e′n)∞n=1 a sequencia dos funcionais
coordenadas de (en)∞n=1. Entao X e reflexivo se e somente se (ei)∞i=1 e uma base contratil e
limitadamente completa.
Demonstracao. (⇒): Suponhamos que X seja um espaco reflexivo. Como (ei)∞i=1 e uma
base de Schauder de X temos, pelo Teorema 2.1, que a sequencia (Pn)∞n=1 de projecoes
associada com (en)∞n=1 e uniformemente limitada. Pela Proposicao 2.3, temos a existencia
de uma sequencia de projecoes (P ′n)∞n=1 tal que P ′
n(f)w∗
→ f para cada f ∈ X ′, ou seja
P ′n(f)(x) → f(x) para cada f ∈ X ′ e x ∈ X. Por outro lado, como X e um espaco reflexivo,
para cada x′′ ∈ X ′′ existe x ∈ X tal que J(x) = x′′ com x′′(f) = f(x) para cada f ∈ X ′.
Assim x′′(P ′n(f)) → x′′(f) para cada x′′ ∈ X ′′. Donde concluimos que P ′
n(f)w→ f para cada
f ∈ X′
e consequentemente X ′ = span{e′i; i ∈ IN}ω. Como span{e′i; i ∈ IN} e convexo,
temos pelo Teorema 1.10, que span{e′i; i ∈ IN}ω = span{e′i; i ∈ IN}, e desta forma (ei)∞i=1 e
uma base contratil.
Como (ei)∞i=1 e uma base contratil temos, pela Proposicao 2.6, que existe um isomor-
fismo T de X ′′ sobre S = {(ai)∞i=1 ⊂ IK; |||(ai)
∞i=1||| = sup
n∈IN
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
aiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ < ∞} definido
por T (x′′) = (x′′(e′i))∞i=1 para cada x′′ ∈ X ′′. A todo x =
∑∞i=1 aiei ∈ X corresponde
50
T (J(x)) = (J(x)(e′i))∞i=1 = (e′i(x))∞i=1 = (ai)
∞i=1. Assim, J(X) corresponde a Y1 = {(ai)
∞i=1 ⊂
IK :∑∞
i=1 aiei converge}. Como X e reflexivo, J(X) = X ′′ e temos que T (X ′′) = Y1 ou seja,
{(ai)∞i=1 ⊂ IK :
∞∑
i=1
aieiconverge} = {(ai)∞i=1 ⊂ IK : |||(ai)
∞i=1||| = sup
n
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
aiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ < ∞}.
Donde concluımosque (ei)∞i=1 e uma base limitadamente completa.
(⇐): Como (ei)∞i=1 e uma base contratil, usando a mesma notacao da primeira parte
da demonstracao temos que T estabelece um isomorfismo de X ′′ sobre S. Mas se (ei)∞i=1 e
limitadamente completa, temos que∞∑
i=1
aiei converge se e somente se supn
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
aiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ < ∞.
Segue daı que
S = {(ai)∞i=1 ⊂ IK; |||(ai)
∞i=1||| = sup
n∈IN
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
aiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ < ∞}
= {(ai)∞i=1 ⊂ IK :
∞∑
i=1
aiei converge}
= {(J(∞∑
j=1
ajej(e′i)))
∞i=1 :
∞∑
i=1
aiei; converge}
= {(J(x)(e′i)∞i=1 : x ∈ X}.
Como S = {(x′′(e′i)∞i=1 : x′′ ∈ X ′′} e T e injetivo, concluımos que J(X) = X ′′ e, con-
sequentemente, X e reflexivo.
Exemplo 2.2. Consideremos os espacos de sequencia ℓp, para p ∈ (1,∞). Como sabemos
esses espacos sao reflexivos , pelo teorema 2.6, suas bases canonicas sao bases contrateis e
limitadamente completas.
Exemplo 2.3. Seja ℓ1 o espaco das sequencias convergentes em IK. Como ℓ′1 = ℓ∞, temos
pelo Exemplo 1.2, que existe um isomorfismo isometrico T : ℓ∞ −→ ℓ′1 que leva a sequencia
(ei)∞i=1 onde δnn = 1 e δnk = 0 se n 6= k em (e′i)
∞i=1 a sequencia dos funcionais coordenada da
51
base canonica (ei)∞i=1 de ℓ1. Assim (ei)
∞i=1 nao pode ser uma base contratil ja que a sequencia
(ei)∞i=1 nao e base de Schauder de ℓ∞.
Exemplo 2.4. Consideremos o espaco de sequencia c0. Como c′0 = ℓ1 e pelo Exemplo 1.1,
existe um isomorfismo isometrico T : ℓ1 −→ c′0 que leva (ei)∞i=1 a base canonica de ℓ1 em
(e′i)∞i=1 a sequencia dos funcionais coordenada da base canonica (ei)
∞i=1 de c0, temos assim
que (ei)∞i=1 e uma base contratil. Pelo Teorema 2.6, (ei)
∞i=1 nao e uma base limitadamente
completa ja que c0 nao e reflexivo.
Corolario 2.1. Seja E um espaco de Banach. Se E ′ tem um subespaco reflexivo de dimensao
infinita entao E tem um espaco quociente de dimensao infinita com base de Schauder.
Demonstracao. Seja K um subespaco reflexivo de dimensao infinita de E ′. Pelo Teorema 2.3,
existe um subespaco fechado de dimensao infinita N de K com base de Schauder. Como N
e um subespaco fechado de um espaco reflexivo temos que tambem e um espaco reflexivo.
Seja δx(f) = f(x) para toda f ∈ N ′ e para todo x ∈ N . Como N e reflexivo, a aplicacao
δ : N −→ N ′′ definida por δ(x) = δx para todo x ∈ N e um isomorfismo isometrico de N
sobre N ′′.
Seja (ei)∞i=1 uma base de Schauder de N . Pelo Teorema 2.6, temos que (ei)
∞i=1 e uma base
contratil , ou seja, span{e′i; i ∈ IN} = N ′. Consequentemente, pela Proposicao 2.3, temos
que (e′i)∞i=1 e um base de Schauder de N ′.
Consideremos a inclusao S : N −→ E ′ e o mergulho canonico J : E −→ E ′′. Definamos
T : E −→ N ′ por T = S ′◦J onde S ′ e a transposta de S. Seja T ′ a transposta de T . Fixados
arbitrariamente y ∈ Ne x ∈ E temos:
T ′(δy)(x) = δy(T (x)) = δy(S′(J(x))) = S ′(J(x))(y) = J(x)(S(y)) = S(y)(x)
de modo que T ′ = S ◦ δ−1. Consequentemente, (T ′)−1 : N ′′ −→ E ′ e uma aplicacao contınua
e, pelo Teorema 1.8, temos que T (E) = N ′.
52
Seja T : E/kerT −→ N ′ definida por T (x) = T (x) para todo x ∈ E/kerT . Temos que T
e uma aplicacao linear contınua e bijetora. Como E e N ′ sao espacos de Banach e T e uma
aplicacao contınua e sobrejetiva, segue pelo Teorema 1.6, que T e uma aplicacao aberta.
O que implica em T ser uma aplicacao contınua. Pelo Teorema 1.6, vemos que T e um
isomorfismo entre E/kerT e N ′. O que completa a demonstracao.
2.3 Bases incondicionais
Definicao 2.11. Uma base de Schauder (ei)∞i=1 de um espaco de Banach e dita incondicional
se para todo x ∈ X a serie x =∞∑
i=1
aixi converge incondicionalmente. Uma sequencia (xi)∞i=1
e chamada de um sequencia basica incondicional se e uma base de Schauder incondicional
do span{xi; i ∈ IN}.
Exemplo 2.5. A base de Schauder canonica (ei)∞i=1 dos espacos c0 e ℓp, para p ∈ [1,∞), e
incondicional.
Com efeito, se x ∈ c0, existe uma sequencia (ai)∞i=1 de escalares tal que x =
∞∑
i=1
aiei.
Como a serie e convergente, dado ǫ > 0 existe n0 ∈ IN tal que
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
m∑
i=n
aiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∞
< ǫ para todo
m ≥ n ≥ n0.
Seja (ǫi)∞i=1 uma sequencia de escalares que assume apenas os valores 1 e -1. Para todo
m ≥ n ≥ n0 temos
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
m∑
i=n
ǫiaiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∞
= supn≤i≤m
|ǫiai| = supn≤i≤m
|ai| =
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
m∑
i=n
aiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∞
< ǫ. Pela
Proposicao 1.7, temos que a serie∞∑
i=n
ǫiaiei e incondicionalmente convergente e assim (ei)∞i=1
e uma base de Schauder incondicional para c0.
Analogamente mostra-se que (ei)∞i=1 e uma base de Schauder incondicional para ℓp, p ∈
53
[1,∞).
Exemplo 2.6. Neste exemplo mostraremos uma base de Schauder que nao e incondicional.
Seja (ei)∞i=1 a base de Schauder canonica de c0. Para cada n ∈ IN consideremos xn =
n∑
i=1
ei. Primeiro vamos mostrar que se x =∞∑
i=1
αiei entao x =∞∑
i=1
βixi, onde βn = αn−αn+1.
Com efeito, podemos ver que para cada n ∈ IN temos
n+p∑
i=n
βi =
n+p∑
i=n
(αi −αi+1) = αn −αn+p+1
Como∞∑
i=1
αiei converge temos que a sequencia (|αi|)∞i=1 converge para zero e assim
∞∑
i=n
βi = αn (∗). A partir dessa igualdade temos que x =∞∑
i=1
αiei =∞∑
i=1
(∞∑
k=i
βk)ei
Podemos ver que para cada n ∈ IN temosn∑
i=1
βixi =n∑
i=1
(n∑
j=1
(βj)ei =n∑
i=1
(αi − αn+1)ei.
A partir daı temos
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
βixi − x
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∞
=
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
ei(αi − αn+1) − x
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∞
≤
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
eiαi − x
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∞
+
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
eiαn+1
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∞
=
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
eiαi − x
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∞
+ |αn+1|
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
ei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∞
=
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
eiαi − x
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∞
+ |αn+1| .
Assim fazendo n → ∞ temos que se x =∞∑
i=1
αiei entao x =∞∑
i=1
βixi.
Suponhamos que exista uma outra sequencia de escalares (γi)∞i=1 tal que x =
∞∑
i=1
γixi.
Para cada n ∈ IN temos quen∑
i=1
γixi =n∑
i=1
γi
(i∑
j=1
ej
)=
n∑
j=1
(n∑
i=j
γj
)ej donde concluımos
que x =∞∑
i=1
αiei =∞∑
i=1
(∞∑
k=i
γk
)ei. Como (ei)
∞i=1 e uma base de Schauder temos que
∞∑
i=n
βi =∞∑
i=n
γi para cada n ∈ IN . Temos entao que βn =∞∑
i=n
βi−∞∑
i=n+1
βi =∞∑
i=n
γi−∞∑
i=n+1
γi =
γn para cada n ∈ IN , e portanto (xi)∞i=1 e base de Schauder de c0.
54
Seja S = {(βk)∞k=1;
∞∑
k=1
βk seja convergente}. Argumento analogo ao usado na
demonstracao da Proposicao 2.2 mostra que |||(βk)∞k=1||| = sup
n∈IN
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
k=1
βk
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∞
e uma norma
em S.
Vamos mostrar que (xi)∞i=1 nao e uma base incondicional.
Consideremos a aplicacao T : c0 −→ S tal que T (x) = (αk−αk+1)∞k=1 para x =
∞∑
i=1
αiei ∈
c0.
Sejam x =∞∑
i=1
aiei, y =∞∑
i=1
biei ∈ c0 e λ ∈ IK. Podemos ver facilmente que T (x + λy) =
T (x) + λT (y). Portanto T e uma aplicacao linear. Vamos supor agora que T (x) = T (y) e
vamos definir as sequencias de escalares (βi)∞i=1 e (γi)
∞i=1 tais que βi = ai−ai+1 e γi = bi−bi+1.
Como foi demonstrado em (∗), para cada i ∈ IN temos ai =∞∑
n=i
βn e bi =∞∑
n=i
γn, logo T e
uma aplicacao injetiva.
Vamos mostrar que T e uma aplicacao sobrejetiva. Seja (βk)∞k=1 ∈ S. Para cada k ∈ IN
consideremos αk =∞∑
n=k
βn. Podemos ver de maneira imediata que βk =∞∑
n=k
βn −∞∑
n=k+1
βn =
αk − αk+1 e supi∈IN |αi| = sup
i∈IN
∣∣∣∣∣
∞∑
n=i
βn
∣∣∣∣∣ < ∞. Tomando x =∞∑
n=1
αnen temos que x ∈ c0
e pela definicao de T temos T (x) = (βk)∞k=1, sendo assim T e uma aplicacao sobrejetiva.
Sejam x =∞∑
n=1
αnen ∈ c0 e βn = αn − αn+1 para cada n ∈ IN . Temos entao que ||x||∞ =
supn∈IN
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
k=1
βk
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ = |||(βk)∞k=1||| e T e um isomorfismo isometrico.
Como a serie∞∑
n=1
(−1)n
ne convergente temos que
((−1)n
n
)∞
n=1∈ S e T−1
(((−1)n
n
)∞
n=1
)∈
c0, consequentemente∞∑
n=1
(−1)n
nxn ∈ c0. Suponhamos que x =
∞∑
n=1
1
nxn ∈ c0, entao existe
55
uma sequencia (αi)∞i=1 ∈ IK tal que x =
∞∑
i=1
αiei e∞∑
i=n
1
i= αn. O que implicaria na
convergencia da serie∞∑
n=1
1
n, que e um absurdo. Como a serie
∞∑
n=1
(−1)n
nxn converge e a serie
∞∑
n=1
1
nxn diverge temos, pela Proposicao 1.7, que a serie
∞∑
n=1
(−1)n
nnao e incondicionalmente
convergente e assim (xi)∞i=1 nao e base de Schauder incondicional.
Proposicao 2.7. Seja (ei)∞i=1 uma sequencia em um espaco de Banach X. Sao equivalentes:
(1) (ei)∞i=1 e uma sequencia basica incondicional.
(2) Existe uma constante K tal que para a1, a2, . . . , an ∈ IK com n ∈ IN e ǫi ∈ {1,−1}
para i ∈ {1, . . . , n} tem-se ∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
ǫiaiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤ K
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
aiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ .
(3) Existe uma constante L tal que para a1, a2, . . . , an ∈ IK com n ∈ IN e todos os
subconjuntos σ de {1, . . . , n} tem-se
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∑
i∈σ
aiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤ L
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
aiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ .
Demonstracao. (1) ⇒ (3): Seja Y = span{ei; i ∈ IN}. Dado σ ⊂ IN finito definimos uma
aplicacao Pσ : Y −→ Y tal que Pσ(x) =∑
i∈σ
aiei para todo x =∞∑
i=1
aiei ∈ Y . Temos que Pσ
esta bem definido. Podemos ver de maneira imediata que e uma aplicacao linear.
Vamos mostrar que Pσ tem grafico fechado. Sejam (xk)∞k=1 e (Pσ(xk))
∞k=1 sequencias
em Y tais que limk→∞
xk = x e limk→∞
Pσ(xk) = y com x, y ∈ Y . Considere x =∞∑
i=1
aiei e
y =∞∑
i=1
biei. Para cada k ∈ IN considere xk =∞∑
i=1
aki ei e Pσ(xk) =
∑
i∈σ
aki ei para (ak
i )∞i=1IK.
Pela continuidade dos funcionais coordenadas de (ei)∞i=1, temos que a sequencia (ak
i )∞k=1
converge para ai para i ∈ IN . Pela mesma razao (aki )
∞k=1 converge para bi para i ∈ IN .
56
Consequentemente temos bi = ai para cada i ∈ σ, bi = ai = 0 para cada i ∈ IN\σ e
Pσ(x) = y. Assim Pσ tem grafico fechado e, pelo Teorema do Grafico Fechado (Teorema 1.7),
e uma aplicacao contınua.
Consideremos a famılia de operadores (Pσ)σ∈IN f
onde IN f e o conjunto dos subconjun-
tos finitos de IN e x =∞∑
i=1
aiei ∈ Y . Como a serie∞∑
i=1
aiei converge incondicionalmente
temos, pela Proposicao 1.6, que dado ǫ > 0 existe um conjunto finito F ⊂ IN tal que∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∑
i∈A
aiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ < ǫ para A ⊂ IN finito e A∩F = ∅. Seja K0 =
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∑
i∈F
aiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ entao para cada σ ⊂ IN
finito
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∑
i∈σ
aiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∑
i∈F c∩σ
aiei +∑
i∈F∩σ
aiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤ K0 + ǫ. Portanto (Pσ(x))σ⊂IN e uma famılia
limitada para cada x ∈ Y e, pelo Teorema de Banach-Steinhaus (Teorema 1.5), temos que
(Pσ)σ⊂IN e uma famılia uniformemente limitada, e daı existe uma contante positiva L tal
que ||Pσ(x)|| ≤ L ||x|| para todo σ ⊂ IN finito e x ∈ Y . Portanto para a1, . . . , an ∈ IK com
n ∈ IN e para cada σ ⊂ {1, . . . , n} temos
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∑
i∈σ
aiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣Pσ(n∑
i=1
aiei)
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤ L
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
aiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ .
(3) ⇒ (2): Consideremos os escalares a1, . . . , an com n ∈ IN e ǫi ∈ {1,−1} para i ∈
{1, . . . , n}. Vamos definir σ = {i; ǫi = 1} e σ′ = {i; ǫi = −1}. Por hipotese temos
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
ǫiaiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∑
i∈σ
aiei −∑
i∈σ′
aiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∑
i∈σ
aiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ +
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∑
i∈σ′
aiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤ 2L
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
aiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ .
Tomando K = 2L segue que dados os escalares a1, . . . , an com n ∈ IN e ǫi ∈ {1,−1} para
i ∈ {1, . . . , n} temos ∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
ǫiaiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤ K
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
aiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ .
(2) ⇒ (3): Dados os escalares a1, . . . , an com n ∈ IN e o conjunto σ ⊂ {1, . . . , n}
57
definimos ǫi = 1 se i ∈ σ e ǫi = −1 se i ∈ {1, . . . , n}\σ. Segue da hipotese que∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∑
i∈σ
aiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ =1
2
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
(ǫiaiei + aiei)
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤1
2
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
ǫiaiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ +1
2
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
aiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤ K
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
aiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ .
Isto completa a demonstracao de (2) ⇒ (3).
(2) ⇒ (1): Como (2) e (3) sao equivalentes, existe L > 0 tal que dada qualquer sequencia
(λi)∞i=1 de escalares e qualquer m ∈ IN temos
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
λiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤ L
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
m∑
i=1
λiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ para todo n ≤ m.
Daı, pelo Teorema 2.2, temos que (ei)∞i=1 e uma sequencia basica com bc{ei} ≤ L. Seja
agora∞∑
i=1
aiei uma serie convergente. Dado ǫ > 0, seja n0 ∈ IN tal que
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
m∑
i=n
aiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ < ǫ
para todo m ≥ n ≥ n0. Para cada m ≥ n ≥ n0 fixado, tomando b1, . . . , bm tais que bi = 0
para 1 ≤ i ≤ n − 1 e bi = ai para n ≤ i ≤ m temos quem∑
i=1
ǫibiei =m∑
i=n
ǫiaiei para
qualquer escolha dos ǫi ∈ {1,−1}. Alem disso, por (2) temos que existe K > 0 tal que∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
m∑
i=1
ǫibiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤ K
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
m∑
i=1
biei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ para cada escolha de ǫi ∈ {1,−1} para i ∈ {1, . . . ,m}. Segue
daı que
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
m∑
i=n
ǫiaiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤ K
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
m∑
i=n
aiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣. Como isto vale para todo m ≥ n ≥ n0, temos que
∞∑
i=1
ǫiaiei converge para toda escolha de (ǫi)∞i=1 ⊂ {1,−1} e daı, pelo Teorema 1.7,
∞∑
i=1
ǫiaiei
converge incondicionalmente. Portanto, (ei)∞i=1 e uma sequencia basica incondicional.
Observacao 2.4. A menor constante que satisfaz a condicao (2) na proposicao anterior e
chamada constante basica incondicional da sequencia (ei)∞i=1 e e denotada por ubc{ei}
Lema 2.4. Seja (ei)∞i=1 um sequencia basica em um espaco de Banach X. Entao para todas
as sequencias de escalares (ai)∞i=1 tais que
∞∑
i=1
aiei converge e toda sequencia de escalares
(λi)∞i=1 limitada temos
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
∞∑
i=1
λiaiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤ ubc{ei}(sup |λi|)
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
∞∑
i=1
aiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
58
Demonstracao. Sejam (ai)∞i=1 uma sequencia de escalares tal que
∞∑
i=1
aiei converge e (λi)∞i=1
uma sequencia de escalares limitada. Para cada n ∈ IN consideremosn∑
i=1
λiaiei. Pelo Corolario
1.1, existe um funcional linear x′ ∈ SX tal que x′(n∑
i=1
λiaiei) =
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
λiaiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣. Definindo uma
sequencia de escalares (ǫi)∞i=1 tal que ǫi = 1 se aix
′(ei) ≥ 0 e ǫi = −1 se aix′(ei) < 0, temos
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
λiaiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ = x′(n∑
i=1
λiaiei) =n∑
i=1
λiaix′(ei) ≤
n∑
i=1
|λi| |aix′(ei)|
≤ ( sup1≤i≤n
|λi|)n∑
i=1
ǫiaix′i(ei) = ( sup
1≤i≤n|λi|)x
′(n∑
i=1
ǫiaiei)
≤ ( sup1≤i≤n
|λi|) ||x′||
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
ǫiaiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤ ( sup1≤i≤n
|λi|)ubc{ei}
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
aiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ .
Como isto vale para todo n ∈ IN e a norma e contınua, fazendo n → ∞ obtemos o resultado.
Teorema 2.7. Seja X um espaco de Banach separavel. Se X tem uma base de Schauder
incondicional que nao e limitadamente completa, entao X contem uma copia de c0.
Demonstracao. Seja (ei)∞i=1 uma base incondicional de X que nao e limitadamente completa.
Entao existe uma sequecia de escalares (ai)∞i=1 tal que
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
aiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤ 1 para todo n ∈ IN e a
serie∞∑
i=1
aiei seja divergente. Consequentemente, pelo criterio de Cauchy existe um ǫ > 0
tal que para cada n ∈ IN tomando q0 = 1 existem qn > pn > max{n, qn−1} tais que∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
qn∑
i=pn
aiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≥ ǫ.
Segue por inducao, a existencia de sequencias de naturais (pn)∞n=1 e (qn)∞n=1 tais que
pn < qn < pn+1 < qn+1 e
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
qn∑
i=pn
aiei
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≥ ǫ para cada n ∈ IN . Considere a sequencia
(un)∞n=1 tal que un =
qn∑
i=pn
aiei. Por uma escolha apropriada, obtemos (βn)∞n=1 ⊂ {0, 1}
59
tal que supn
|βn| = 1 em∑
n=1
un =∞∑
n=1
βnanen para todo m ∈ IN e, pelo Lema 2.4, temos
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
m∑
n=1
un
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤ K
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
∞∑
n=1
anen
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤ K onde K = ubc{ei}. Novamente, pelo Lema 2.4, temos que
para qualquer sequencia de escalares (λn)∞n=1 vale
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
m∑
n=1
λnun
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤ K(supn
|λn|)
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
m∑
n=1
un
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤
K2(supn
|λn|) = K2 ||(λn)mn=1||∞. Por outro lado como (ei)
∞i=1 e uma base incondicional temos,
pela Proposicao 2.7, que para cada i ∈ {1, . . . , m},
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
m∑
n=1
λnun
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≥1
K||λiui|| ≥
ǫ
K|λi| ,
ou seja,
ǫ
K||(λn)m
n=1||∞ ≤
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
m∑
n=1
λnun
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ .
Consequentemente, (un)∞n=1 e equivalente a base canonica de c0.
60
Capıtulo 3
O Teorema de Josefson-Nissenzweig
Neste capıtulo apresentamos resultados que estabelecem condicoes sob as quais um espaco de
Banach X tem um quociente isomorfo ao espaco c0 e condicoes sob as quais X tem um espaco
quociente isomorfo a ℓ2. Estes resultados sao solucoes parciais para o problema da existencia
de quociente de dimensao infinita separavel. O ultimo resultado que apresentaremos e o
Teorema de Josefson-Nissenzweig, que diz que se X e um espaco de Banach de dimensao
infinita entao existe uma sequencia (ϕn)∞n=1 ⊂ X ′ tal que ||ϕn|| = 1 para cada n ∈ IN e
limn→∞
ϕn(x) = 0 para cada x ∈ X. A demonstracao para o Teorema de Josefson-Nissenzweig
usa os dois resultados acima mencionados.
Teorema 3.1. (Bessaga − Pelczynski) Seja X um espaco de Banach. Se X ′ tem um
subespaco isomorfo a c0 entao X tem um espaco quociente isomorfo a ℓ1.(De fato X tem um
subespaco complementado isomorfo a ℓ1.)
Demonstracao. Por hipotese existe um isomorfismo R : c0 −→ A onde A e um subespaco
fechado de X ′. Se (ei)∞i=1 e a base canonica de c0, entao para cada x ∈ c0 existe uma
sequencia de escalares (λi)∞i=1 tal que x =
∞∑
i=1
λiei isto e x = (λi)∞i=1 e lim
i→∞λi = 0. Como R
61
e um isomorfismo temos que
1
||R−1||supi∈IN
||λi|| ≤ ||R(x)|| =
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
∞∑
i=1
λiR(ei)i
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤ ||R|| supi∈IN
||λi||
para todo (λn)∞n=1 ∈ c0. Considere a = 1||R−1||
e b = ||R||. Definindo ϕn = R(en)||R(en)||
para cada
n ∈ IN temos que
a
bsup
n∈IN|λn| ≤
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
∞∑
i=1
λiϕi
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤b
asup
n∈IN|λn| (1)
para todo (λi)∞i=1 ∈ c0.
Seja ρ = (ξn)∞n=1 ∈ ℓ1. Usando a notacao do Exemplo 1.1 temos que Tρ(en) = ξn para
cada n ∈ IN e e claro que∞∑
i=1
|Tρ(ei)| ≤ ∞.
Para cada x ∈ X consideremos o funcional linear Jx ◦R : c0 −→ IK onde Jx ◦R ∈ X ′′ e o
funcional linear associado a x pelo mergulho canonico J : X −→ X ′′. Como Jx ◦R ∈ ℓ1 = c′0
temos que∞∑
i=1
|Jx ◦ R(ei)| < ∞ e assim
∞∑
i=1
|ϕi(x)| =∞∑
i=1
|R(ei)(x)|
||R(ei)||=
∞∑
i=1
∣∣∣∣Jx ◦R(ei)
||R(ei||
∣∣∣∣ ≤1
a
∞∑
i=1
|Jx ◦ R(ei)| < ∞. (2)
Como para cada n ∈ IN temos que {ϕ1, . . . , ϕn} e um conjunto linearmente independente,
pela Proposicao 1.1 concluımos que existem x1, . . . , xn ∈ X tais que X = span{x1, . . . , xn}⊕n⋂
k=1
ker ϕk. Comon⋂
k=1
ker ϕk e um subespaco fechado de X, temos que X/
n⋂
k=1
ker ϕk e um
espaco de Banach. Alem disso temos que X/
n⋂
k=1
ker ϕk e um espaco de dimensao finita n
que e isomorfo a {x1, . . . , xn} e sabemos que, com a notacao estabelecida na Proposicao
1.1, que existe um isomorfismo T entre span{x1, . . . , xn} e (span{ϕ1, . . . , ϕn})′ definido por
T (n∑
i=1
λixi) =n∑
i=1
λiδxi. Para simplificar a escrita, vamos denotar (span{ϕ1, . . . , ϕn})
′ por
span {ϕ1, . . . , ϕn}′. Para cada x ∈ X existe uma unica decomposicao x =
n∑
i=1
aixi + y com
62
y ∈n⋂
k=1
ker ϕk e e facil verificar que definindo Fn(x) =n∑
i=1
λiδxipara todo x =
n∑
i=1
aixi + y
com y ∈n⋂
i=1
ker ϕk obtemos um isomorfimo entre X/
n⋂
k=1
ker ϕk e span{ϕ1, . . . , ϕn}′. Para
cada n ∈ IN seja Qn : X −→ X/
n⋂
i=1
ker ϕi a aplicacao quociente canonica. Consideremos a
aplicacao Fn ◦ Qn : X −→ span{ϕ1, . . . , ϕn}′. Temos que
Fn ◦ Qn(x)(ϕ) =n∑
i=1
aiϕ′i(
n∑
j=1
bjϕj) =n∑
i=1
aibi =n∑
j=1
bjϕj(n∑
i=1
aixi + y) = ϕ(x) (3)
para cada x =n∑
i=1
aixi + y ∈ X e ϕ =n∑
i=1
biϕi ∈ span{ϕ1, . . . , ϕn}.
Seja (ǫn)∞n=1 uma sequencia de numeros reais tal que 0 < ǫn < 1 para cada n ∈ IN e∞∑
i=1
ǫn < +∞.
Para cada u ∈ span{ϕ1}′ tal que ||u|| ≤ 1, consideremos B ǫ1
3(u). Temos assim que C =
{B ǫ13(u); u ∈ Bspan{ϕ1}′} e uma cobertura aberta do conjunto compacto Bspan{ϕ1}′ . Assim
existem u11, . . . , u
1n1
∈ Bspan{ϕ1}′ tais que Bspan{ϕ1}′ ⊂n1⋃
i=1
Bǫ1/3(u1i ) e consequentemente existe
um conjunto A1 = {x11, . . . , x
1n1} ⊂ BX tal que F1 ◦ Q1(x
1i ) = u1
i para cada i ∈ {1, . . . , n1}.
Para u ∈ span{ϕ1}′ com ||u|| ≤ 1 existe x ∈ A1 tal que ||u − F1 ◦ Q1(x)|| < ǫ1
3. Assim,
usando (3) para cada ψ ∈ span{ϕ1} temos
||u(ψ) − ψ(x)|| = ||u(ψ) − F1 ◦ Q1(x)(ψ)|| ≤ ||u − F1 ◦ Q1(x)|| ||ψ|| < ||ψ||ǫ1
3.
Como A1 e um conjunto finito e por (2)∞∑
n=1
|ϕn(x)| < +∞ para cada x ∈ X, existe p2 > 1
tal que |ϕp2(x)| < ǫ1
3para todo x ∈ A1. Vamos considerar p1 = 1.
Analogamente, como Bspan{ϕ1,ϕ2}′ e um conjunto compacto, obtemos via aplicacao F2◦Q2
que existe um conjunto B2 = {x21, . . . , x
2n2} ⊂ BE tal que para cada u ∈ Bspan{ϕ1,ϕ2}′ e para
qualquer ψ ∈ span{ϕ1, ϕ2} existe x ∈ B2 tal que ||u − F2 ◦ Q2(x)|| < ǫ23
e consequentemente
||u(ψ) − ψ(x)|| = ||u(ψ) − F2 ◦ Q2(x)(ψ)|| < ||u(ψ) − ψ(x)|| ||ψ|| <ǫ2
3||ψ|| .
63
Consideremos o conjunto A2 = A1 ∪ B2. Como, por (2),∞∑
n=1
|ϕn(x|) < +∞ para qualquer
x ∈ X e A2 e um conjunto finito, existe p3 > p2 tal que |ϕp3(x)| < ǫ2
3para cada x ∈ A2.
Segue indutivamente que existe uma sequencia crescente de conjuntos finitos
(An)∞n=1 ⊂ BX tal que:
(i) para cada u ∈ span{ϕp1, . . . , ϕpn
}′ com ||u|| ≤ 1 existe x ∈ An tal que |u(ψ) − ψ(x)| ≤
ǫn
3||ψ|| para qualquer ψ ∈ span{ϕp1
, . . . , ϕpn}.
(ii)∣∣ϕpn+1
(x)∣∣ ≤ ǫn
3.
Para simplificarmos a notacao vamos considerar αn = ϕpnpara qualquer n ∈ IN .
Afirmamos que para qualquer ψ ∈ span{α1, . . . , αn}:
||ψ − λαn+1|| ≥ǫn
3||ψ|| para cada λ ∈ IK (4).
Com efeito, podemos considerar sem perda de generalidade que ||ψ|| = 1. Para
demonstrar (4) consideraremos dois casos: |λ| ≥ 2 e |λ| < 2.
Se |λ| ≥ 2, como ||αn|| = 1 para todo n ∈ IN ,
||ψ − λαn+1|| ≥ ||λαn+1|| − ||ψ|| = |λ| ||αn+1|| − ||ψ|| = |λ| − 1 ≥ 1 − ǫn.
Se |λ| ≤ 2, dado ψ ∈ span{α1, . . . , αn} com ||ψ|| = 1, temos pelo Corolario 1.1 que existe
u ∈ span{α1, . . . , αn}′ tal que ||u|| = 1 e u(ψ) = ||ψ|| = ||u|| = 1. Sabemos que existe
x ∈ An ⊂ BE tal que |u(ψ) − ψ(x)| ≤ ǫn
3e ||αn+1(x)|| ≤ ǫn
3. Consequentemente, obtemos
que
||ψ + λαn+1|| ≥ |(ψ + λαn+1)(x)| ≥ − |λαn+1(x)| + |u(ψ) − u(ψ) + ψ(x)|
≥ − |λαn+1(x)| + |u(ψ)| − |u(ψ) − ψ(x)| > 1 −ǫn
3− 2
ǫn
3= 1 − ǫn.
Seja ψ ∈ span{α1, . . . , αn} e g = ψ||ψ||
. Por (4) temos que ||g − λαn+1|| ≥ 1 − ǫn para
64
todo λ ∈ IK. Para cada λ considere λ||ψ||
. Segue que ||ψ + λαn+1|| = ||ψ||∣∣∣∣∣∣g + λ
||ψ||αn+1
∣∣∣∣∣∣ ≥
(1 − ǫn) ||ψ||.
O que conclui a demonstracao de (4).
Agora vamos usar (4) para mostrar que (αn)∞n=1 e uma sequencia basica em X ′.
Sejam m,n ∈ IN com m ≥ n e λ1, . . . , λm ∈ IK. Podemos ver que
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
m∑
j=1
λjαj
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ = ||λ1α1 + · · · + λmαm|| ≥ (1 − ǫm−1) ||λ1α1 + · · · + λm−1αm−1||
≥ (1 − ǫm−1)(1 − ǫm−2) ||λ1α1 + · · · + λm−2αm−2|| ≥m−1∏
j=n
(1 − ǫj)
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
j=1
λjαj
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
≥∞∏
j=n
(1 − ǫj)
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
j=1
λjαj
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≥∞∏
j=1
(1 − ǫj)
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
j=1
λjαj
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ .
Pelo Teorema 2.2, temos que (αn)∞n=1 e uma sequencia basica em X ′. Considere-
mos (α′n)∞n=1 a sequencia dos funcionais coordenadas associada com a sequencia (αn)∞n=1
e seja (Sn)∞n=1 a sequencia de projecoes associada a (αn)∞n=1. Para cada n ∈ IN , temos que
Sn : span{αn; n ∈ IN} −→ span{αn; n ∈ IN} e definida por Sn(ψ) =n∑
j=1
α′j(ψ)αj para cada
ψ =∞∑
j=1
α′j(ψ)αj ∈ span{αn; n ∈ IN}. Temos tambem que
||Sn(ψ)|| ≤1∏∞
j=n(1 − ǫj)
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
m∑
j=1
α′jαj
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
para cada m ≥ n. Fazendo m → ∞ temos que
||Sn(ψ)|| ≤1∏∞
j=n(1 − ǫj)
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
∞∑
j=1
α′jαj
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ =1∏∞
j=n(1 − ǫj)||ψ|| .
Como consequencia obtemos que limn→∞
||Sn|| = 1. Como Sn =n∑
j=1
α′jαj para cada n ∈ IN
65
temos que α′(ψ)αn = (Sn−Sn−1)(ψ) para cada n ∈ IN e ψ =∞∑
i=1
α′i(ψ)αi e consequentemente
temos que ||α′n|| = ||Sn − Sn−1|| ≤
2∏∞
j=1(1−ǫj)
para cada n ∈ IN .
Seja agora, T : X −→ span{α′n; n ∈ IN} tal que T (x)(ψ) = ψ(x) =
∞∑
j=1
α′j(ψ)αj(x) para
cada x ∈ X e ψ =∞∑
i=1
α′i(ψ)αi ∈ span{αn, n ∈ IN}. Podemos ver que T e uma aplicacao
linear.
Vejamos que T (X) ⊂ span{α′n, n ∈ IN}. Para cada n ∈ IN temos que
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
j=1
α′jαj(x)
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤n∑
j=1
∣∣∣∣α′j
∣∣∣∣ |αj(x)| ≤n∑
j=1
2∏∞j=1(1 − ǫj)
|αj(x)| ≤2∏∞
j=n(1 − ǫj)(
n∑
j=1
|αj(x)|).
Como, por (2), a serie∞∑
j=1
|ϕj(x)| converge, temos pela Proposicao 1.7 que a serie∞∑
j=1
|αj(x)|
converge, e desta maneira obtemos que (n∑
j=1
∣∣α′jαj(x)
∣∣)∞n=1 e uma sequencia de Cauchy em
span{α′n; n ∈ IN}. Temos entao que T (x) =
∞∑
j=1
α′jαj(x) ∈ span{α′
n; n ∈ IN} e T esta
bem definida. Alem disso, como |T (x)(ψ)| = |ψ(x)| ≤ ||ψ|| ||x|| para cada x ∈ X e ψ ∈
span{αn; n ∈ IN} concluimos que ||T (x)|| ≤ ||x||, e assim T e uma aplicacao contınua.
Finalmente, vamos mostrar que span{α′n; n ∈ IN} ⊂ T (X).
Basta mostrar que dado u ∈ span{α′n, n ∈ IN} tal que ||u|| ≤ 1
2e dado ǫ > 0 existe
x ∈ BX tal que ||T (x) − u|| ≤ ǫ
Com efeito, se u ∈ span{α′n; n ∈ IN} satisfaz ||u|| ≤ 1
2, existe uma sequencia (un)∞n=1 ⊂
span{α′n; n ∈ IN} tal que lim
n→∞un = u. Assim, dado ǫ > 0 existe n0 ∈ IN tal que ||un0
|| ≤ 1
e ||un0− u|| ≤ ǫ. Seja uno
=n∑
j=1
λjα′j com λ1, . . . , λk ∈ IK. Como u0 ∈ span{α′
i : i ∈ IN},
limn→∞
||Sn|| = 1 e∞∑
j=1
ǫj < +∞ existe um n ∈ IN tal que un0∈ span{α′
1, . . . , α′n}, ||Sj|| ≤ 2
66
para todo j ≥ n e∞∑
j=n
ǫj < ǫ. Segue daı que∣∣∣∣α′
j
∣∣∣∣ ≤ ||Sj − Sj−1|| ≤ 4 para cada j ≥ n.
Seja ψ =∞∑
j=1
α′j(ψ)αj ∈ span{αn; n ∈ IN} , com ||ψ|| ≤ 1 e defina Sn(ψ) =
n∑
j=1
α′j(ψ)αj
para cada n ∈ IN . E claro que ||Sn(ψ)|| ≤ 2. Como uno=
n∑
j=1
λjα′j temos que
uno(ψ) =
n∑
j=1
λjα′j(ψ) =
n∑
j=1
λjα′j(
∞∑
i=1
α′i(ψ)αi) =
n∑
j=1
λjα′j(
n∑
i=1
α′j(ψ)αi) =
n∑
j=1
λjα′j(Sn)(ψ).
Por (i) existe x ∈ An tal que |un0(ψ) − ψ(x)| ≤ ǫn
3||ψ|| para qualquer ψ ∈ span{α1, . . . , αn}.
Segue daı e de (ii) que
|(un0− T (x))(ψ)| = |un0
(ψ) − ψ(x)| =
∣∣∣∣∣un0(ψ) −
∞∑
j=1
α′j(ψ)αj(x)
∣∣∣∣∣
≤
∣∣∣∣∣un0(ψ) −
n∑
j=1
α′j(ψ)αj(x)
∣∣∣∣∣ +
∣∣∣∣∣
∞∑
j=n+1
α′j(ψ)αj(x)
∣∣∣∣∣
≤ |un0(ψ) − ψ(x)| +
∞∑
j=n+1
∣∣α′j(ψ)
∣∣ |αj(x)|
≤ǫn
3||ψ|| +
∞∑
j=n+1
∣∣∣∣α′j
∣∣∣∣ ||αj|| ||ψ|| ||x||ǫj
3
≤ 2ǫn
3+
∞∑
j=n+1
4ǫj
3≤
1
3ǫ + 4
ǫ
3= 2ǫ
para cada ψ ∈ span{αn; n ∈ IN} tal que ||ψ|| ≤ 1. Donde concluımosque ||un0− T (x)|| ≤
2ǫ. Assim dado u ∈ span{α′n; n ∈ IN} com ||u|| ≤ 1
2existe x ∈ BX tal que
||u − T (x)|| = ||u − un0+ un0
− T (x)|| ≤ ||u − un0|| + ||un0
− T (x)|| ≤ 3ǫ.
Mostramos entao que B 1
2
(0) esta contida em T (BX) e segue daı que span{α′n; n ∈ IN} ⊂
T (X), e consequentemente, temos span{α′n : n ∈ IN} = T (X).
67
Mostraremos agora que span{α′n; n ∈ IN} e isomorfo a ℓ1. Por (1) temos que
a
bsup
1≤k≤n|λk| ≤
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
j=1
λjαj
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤b
asup
1≤k≤n|λj| para todo (λn)∞n=1 ∈ c0
e desta maneira span{αn; n ∈ IN} e isomorfo a c0. Daı podemos ver que a aplicacao
S : c0 −→ span{αn : n ∈ IN}
(λ)∞j=1 7−→ S((λ)∞j=1) =∞∑
j=1
λjαj
estabelece um isomorfismo entre c0 e span{αn : n ∈ IN}.
Entao S ′ : span{αn : n ∈ IN}′ −→ ℓ1 e tambem um isomorfismo e temos que ||S|| = ||S ′|| <
∞ e como a transposta (S−1)′de S−1 e contınua, temos que ||(S−1)′|| < ∞.
Vamos mostrar que span{αn : n ∈ IN}′ = span{α′n : n ∈ IN}.
Ora, para todo f ∈ span{αn : n ∈ IN}′ e ψ =∞∑
k=1
α′k(ψ)αk ∈ span{αn : n ∈ IN}
temos f(ψ) = f(∞∑
k=1
α′k(ψ)αk) = (
∞∑
k=1
α′k(ψ)f(αk)) de modo que span{αn : n ∈ IN}′
⊂ span{α′n : n ∈ IN}.
Alem disso, pela Proposicao 2.3, (α′n)∞n=1 e uma sequencia basica em span{αn : n ∈ IN}′,
ou seja, span{α′n : n ∈ IN} ⊂ span{αn : n ∈ IN}′.
Dado qualquer∞∑
k=1
akα′k ∈ span{αn : n ∈ IN}′ temos que S ′(
∞∑
k=1
akα′k) ∈ ℓ1 e para todo
(λn)∞n=1 ∈ c0 temos
S ′(∞∑
k=1
akα′k)((λn)∞n=1) =
∞∑
k=1
akα′k(S((λn)∞n=1)) =
∞∑
k=1
akα′k(
∞∑
j=1
λjαj) =∞∑
k=1
akλk,
de modo que,
S ′(∞∑
k=1
akα′k) = (ak)
∞k=1.
68
Desta maneira vemos que∞∑
k=1
|ak| = ||(an)∞n=1||1 =
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣S′(
∞∑
k=1
akα′k)
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣1
≤ ||S||
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
∞∑
k=1
akα′k
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣.
Por outro lado,
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
∞∑
k=1
akα′k
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ = ||(S)′−1((an)∞n=1)|| ≤ ||(S ′)−1|| ||(an)∞n=1||1. Entao existem
constantes A = 1||S||
e B = ||((S ′)−1|| tais que
A ||(an)∞n=1||1 ≤
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
∞∑
k=1
akα′k
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤ B ||(an)∞n=1||1
para todo (an)∞n=1 ∈ ℓ1. Assim pela, Proposicao 2.4, a sequencia (αn)∞n=1 e equivalente a base
canonica de ℓ1.
Consideremos a aplicacao S ′◦T : X −→ ℓ1. Como T e S ′ sao aplicacoes lineares contınuas
e sobrejetivas temos que S ′ ◦T : X −→ ℓ1 e linear contınua e sobrejetiva e consequentemente
X/ ker(S ′ ◦ T ) e isomorfo a ℓ1.
Teorema 3.2. (Johnson−Rosenthal) Seja E um espaco de Banach. Suponha que E ′ tenha
uma sequencia basica (ψn)∞n=1 tal que:
(1) (ψn)∞n=1 e equivalente a base de Schauder canonica de ℓ1
(2) limn→∞
ψn(x) = 0 para todo x ∈ E
Entao E tem um espaco quociente isomorfo a c0.
Demonstracao. Como (ψn)∞n=1 e uma sequencia basica em E ′ equivalente a base canonica
(en)∞n=1 de ℓ1, pelo Teorema 2.4, existe um isomorfismo
S : span{ψn, n ∈ IN} −→ span{en, n ∈ IN} = ℓ1
sobrejetivo tal que S(ψn) = en para todo n ∈ IN , e temos que dados quaisquer λ1, . . . , λn ∈ IK
69
vale
a
n∑
k=1
|λk| ≤
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
k=1
λkψk
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤ b
n∑
k=1
|λk| (1)
para a = 1||S||
e b = ||S−1||.
Como limn→∞
ψn(x) = 0 para todo x ∈ E, da mesma forma como na demonstracao do
Teorema 3.1, podemos encontrar uma sequencia (pn)∞n=1 ⊂ IN e uma sequencia crescente de
conjuntos finitos (An)∞n=1 ⊂ BE tal que:
(a) para cada u ∈ span{ψp1, . . . , ψpn
}′ com ||u|| ≤ 1 existe x ∈ An tal que |u(ψ) − ψ(x)| ≤
ǫn
3||ψ|| para todo ψ ∈ span{ψp1
, . . . , ψpn}.
(b)∣∣ψpn+1
(x)∣∣ ≤ ǫn
3para cada x ∈ An.
(Observamos que na demonstracao do Teorema 3.1 foi usado apenas que
limn→∞
ψn(x) = 0 para cada x ∈ E, fato este que la foi obtido como consequencia de∞∑
n=1
|ψn(x)| < ∞ para todo x ∈ E).
Para simplificar a notacao, vamos escrever ψpn= ϕn para todo n ∈ IN . Da mesma
maneira como foi feito na demonstracao do Teorema 3.1 obtemos que (ϕn)∞n=1 e uma sequencia
basica em E ′.
E claro que a sequencia (ϕn)∞n=1 = (ψpn)∞n=1 satisfaz (1).
Seja (ϕ′n)∞n=1 uma sequencia dos funcionais coordenadas de (ϕn)∞n=1.
Usando a transposta S ′ : span{ψn; n ∈ IN}′ −→ ℓ′1 mostramos que para todo λ1, . . . , λn ∈
IK e n ∈ IN temos que
1
bsup
1≤j ≤n|λj| ≤
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
j=1
λjϕ′j
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤1
asup
1≤j ≤n|λj|
onde a = 1||S||
e b = ||S−1||.
Daı obtemos tambem, pelo Teorema 2.4, que (ϕ′n)∞n=1 e uma sequencia basica equivalente
70
a base de Schauder canonica (en)∞n=1 de c0.
Finalmente, definimos a aplicacao T : E −→ span{ϕn; n ∈ IN}′ da seguinte maneira:
para todo x ∈ E, T (x) : span{ϕn; n ∈ IN} −→ IK e a aplicacao dada por T (x)(ϕ) = ϕ(x),
ou seja, para cada x ∈ E e ϕ =∞∑
n=1
ϕ′n(ϕ)ϕn ∈ span{ϕn; n ∈ IN} temos que
T (x)(ϕ) = ϕ(x) =∞∑
n=1
ϕ′n(ϕ)ϕn(x).
Como limn−→∞
ψn(x) = 0 para todo x ∈ E temos que (ϕn(x))∞n=1 ∈ c0 e, consequentemente,
T (x) =∞∑
n=1
ϕ′nϕn(x) ∈ span{ϕ′
n; n ∈ IN}, o que mostra que T (X) ⊂ span{ϕ′n; n ∈ IN}.
Por argumento analogo ao usado na demonstracao do Teorema 3.1 temos tambem que
span{ϕ′n; n ∈ IN} ⊂ T (E), e consequentemente T (E) = span{ϕ′
n; n ∈ IN}, o que com-
pleta a demonstracao.
Definicao 3.1. Seja X um conjunto nao vazio e (Xn)∞n=1 um sequencia de subconjuntos nao
vazios de X. A sequencia (Xn)∞n=1 e dita uma arvore, se para cada n ∈ IN , X2n e X2n+1 sao
subconjuntos disjuntos de Xn.
Seja ℓ∞(X) o espaco (sobre o corpo dos reais) das funcoes limitadas de X em IR, munido
da norma do supremo.
Proposicao 3.1. Seja X um conjunto nao vazio e (Xn)∞n=1 uma arvore de subconjuntos de
X. Seja (fn)∞n=0 uma sequencia limitada em ℓ∞(X). Suponha que existe δ > 0
(−1)kfn(x) ≥ δ para cada x ∈ Xk com 2n ≤ k < 2n+1 e n ∈ IN(∗).
Entao (fn)∞n=1 e uma sequencia basica equivalente a base canonica de ℓ1.
Demonstracao. Como, por hipotese, (fn)∞n=1 e uma sequencia limitada em ℓ∞(X) temos que
supj∈IN
||fj|| < ∞.
71
Se λ0, . . . , λn ∈ IR com n ∈ IN , temos que∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
j=0
λjfj
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∞
≤n∑
j=0
|λj| ||fj||∞ ≤ supj∈IN
||fj||∞
n∑
j=0
|λj| .
sem perda de generalidade vamos assumir λk 6= 0 para todo k ∈ IN . Como
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
j=0
λjfj
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∞
=
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
j=0
(−λj)fj
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∞
, podemos assumir que λ0 ≤ 0.
Por (∗) temos
−1f0(x) ≥ δ para cada x ∈ X1,
e de −1 = λ0
|λ0|segue que
λ0f0(x) ≥ λ0δ para cada x ∈ X1.
Tambem por (∗) vemos que f1(x) ≥ δ se x ∈ X2 e −f1(x) ≥ δ se x ∈ X3. se λ1 < 0 segue
que λ1f1(x) ≥ |λ1| δ para x ∈ X3. Por outro lado, se λ1 > 0 temos que λ1f1(x) ≥ |λ1| δ para
x ∈ X2. Obtemos entao que
λ0f0 + λ1f1 ≥ (|λ0| + |λ1|)
sobre X2 ou X3.
Repetindo esse procedimento obtemos por inducao quen∑
j=0
λjfj ≥n∑
j=0
|λj| δ
para um subconjunto Xj0 onde j0 ∈ {2n, 2n + 1, . . . , 2n+1 − 1}. Consequentemente temos∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
j=0
λjfj
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∞
= supx∈X
∣∣∣∣∣
n∑
j=0
λjfj(x)
∣∣∣∣∣ ≥ supx∈Xj0
∣∣∣∣∣
n∑
j=0
λjfj(x)
∣∣∣∣∣ ≥n∑
j=0
|λj| δ
e, assim
(n∑
j=0
|λj|)δ ≤
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
j=0
λjfj
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∞
≤ supj∈IN
||fj||∞ (n∑
j=0
|λj|).
Donde concluimos, pelo Teorema 2.4, que a sequencia (fn)∞n=1 e uma sequencia basica
equivalente a base canonica de ℓ1.
72
Definicao 3.2. Seja (ϕn)∞n=1 um sequencia limitada em E ′ onde E e um espaco de Banach.
Uma sequencia (ψn)∞n=1 em E ′ e dita um bloco se existem sequencias crescentes (pn)∞n=1 e
(sn)∞n=1de numeros naturais tais que p1 < s1 < p2 < s2 < p3 < s3 · · · e ψn =sn∑
j=pn
αjϕj com
n ∈ IN , αpn, . . . , αsn
∈ IR esn∑
j=pn
|αj| = 1.
Observacao 3.1. Seja (ϕn)∞n=1 um sequencia limitada em E ′ onde E e um espaco de Banach
e seja (ψn)∞n=1 um bloco de (ϕn)∞n=1. Definimos δ(ϕn) = sup||x||=1
lim supn→∞
|ϕn(x)|. Podemos ver
que
δ(ϕn) = sup||x||=1
lim supn→∞
|ϕn(x)| ≤ supn∈IN
||ϕn|| < ∞.
Para cada n ∈ IN consideremos ψn =sn∑
j=pn
αjϕj com αj ∈ IR para todo pn ≤ j ≤ sn. Se
x ∈ SE, temos que
|ψn(x)| =
∣∣∣∣∣
sn∑
j=pn
αjϕj(x)
∣∣∣∣∣ ≤sn∑
j=pn
|αj| |ϕj(x)| ≤sn∑
j=pn
|αj| ( supsn≤j≤pn
|ϕj(x)|) = supsn≤j≤pn
|ϕj(x)| .
Assim, podemos ver que lim supn→∞
|ψn(x)| ≤ lim supn→∞
suppn≤j≤sn
|ϕj(x)| ≤ lim supn→∞
|ϕn(x)|. Con-
sequentemente, temos que δ(ψn) ≤ δ(ϕn). Vemos assim que
δ(ψn) ≤ δ(ϕn),
sempre que (ψn)∞n=1 e um bloco de (ϕn)∞n=1.
Lema 3.1. Seja E um espaco normado. Se (ϕn)∞n=1 e uma sequencia limitada em E ′, entao
existe um bloco (ψn)∞n=1 de (ϕn)∞n=1 tal que δ(ψn) = δ(ρn) para todo bloco (ρn)∞n=1 de (ψn)∞n=1.
Demonstracao. Primeiro mostraremos que a relacao bloco e transitiva. Seja (gn)∞n=1 um
bloco de (ϕn)∞n=1. Desta forma existem sequencias crescentes (pn)∞n=1 e (sn)∞n=1, de numeros
naturais tais que p1 < s1 < p2 < s2 < p3 < s3 · · · , com gn =sn∑
j=pn
αjϕj para n ∈ IN , onde
73
αpn, . . . , αsn
∈ IR esn∑
j=pn
|αj| = 1. Seja agora (fn)∞n=1 um bloco de (gn)∞n=1. Da mesma maneira
existem sequencias crescentes (rn)∞n=1 e (tn)∞n=1, de numeros naturais tais que r1 < t1 < r2 <
t2 < r3 < t3 · · · , com fn =tn∑
j=rn
βjgj para n ∈ IN , onde βrn, . . . , βtn ∈ IR e
tn∑
j=rn
|βj| = 1.
Consideremos γprn, γprn+1, . . . , γstn
∈ IK tais que γk = βjαi para k ∈ {prj, . . . , stj} com
j ∈ {rn, rn+1, . . . , tn} e i ∈ {pj, pj+1, . . . , sj} e γk = 0 caso contrario. Podemos ver que fn =tn∑
j=rn
βjgj =tn∑
j=rn
βj(
sj∑
i=pj
αiϕi) =
stn∑
i=prn
γiϕi. Alem disso temos que
stn∑
i=prn
|γi| =tn∑
j=rn
(
sj∑
i=pj
|βjαi|) =
tn∑
j=rn
|βj| (
sj∑
i=pj
|αi|) =tn∑
j=rn
|βj| = 1. Desta maneira vemos que (fn)∞n=1 e um bloco de (ϕn)∞n=1.
A cada sequencia limitada (ϕn)∞n=1 em E ′ associamos
ǫ(ϕn) = inf{δ(ψn); (ψn)∞n=1 e um bloco de (ϕn)∞n=1}.
Pela Observacao 3.1, para cada bloco (ψn)∞n=1 de (ϕn)∞n=1 temos que δ(ψn) ≤ δ(ϕn) e
consequentemente temos a seguinte desigualdade ǫ(ψn) ≤ δ(ϕn) ja que todo bloco e um
bloco dele mesmo. Pela transitividade da relacao “ser bloco de”para todo bloco (ψn)∞n=1
de (ϕn)∞n=1, temos que o conjunto dos blocos de (ψn)∞n=1 esta contido no conjunto dos blocos
de (ϕn)∞n=1, e desta maneira ǫ(ϕn) ≤ ǫ(ψn).
Mostraremos que existe um bloco (ψn)∞n=1 de (ϕn)∞n=1 tal que δ(ψn) = ǫ(ψn).
A partir da definicao de ǫ(ϕn) obtemos um bloco (ψ1n)∞n=1 de (ϕn)∞n=1 tal que δ(ψ1
n) ≤
ǫ(ϕn) + 1. Suponha que existam blocos (ψ1n)∞n=1, . . . , (ψ
mn )∞n=1 tais que (ψk
n)∞n=1 e um bloco
de (ψk−1n )∞n=1 e δ(ψk
n) ≤ ǫ(ψk−1n ) + 1
kpara k ∈ {2, . . . ,m}. Pela definicao de ǫ(ψm
n ) existe
um bloco (ψm+1n )∞n=1 de (ψm
n )∞n=1 tal que δ(ψm+1n ) ≤ ǫ(ψm
n ) + 1m+1
. Segue por inducao que
existe uma sequencia de blocos ((ψkn)∞n=1)
∞k=1 tais que (ψk
n)∞n=1 e um bloco de (ψk−1n )∞n=1 e
δ(ψkn) ≤ ǫ(ψk−1
n ) + 1k
para k ≥ 2. Para cada n ∈ IN considere ψn = ψnn temos assim
que (ψn)∞n=1 e a sequencia diagonal de ((ψkn)∞n=1)
∞k=1. Como (ψj
n)∞n=1 e bloco de (ψj−1n )∞n=1
para todo j ∈ IN , temos, por construcao, que (ψjn)∞n=1 e um bloco de (ψk
n)∞n=1 para j ≥ k.
74
Consequentemente, (ψn)∞n=1 e um bloco de (ψkn)∞n=k para todo k ∈ IN . Como (ψk
n)∞n=k e um
bloco de (ϕn)∞n=1 para cada k ∈ IN segue que (ψn)∞n=1 e um bloco de (ϕn)∞n=1. Desta maneira
vemos que
δ(ψn) ≤ δ(ψkn)
e
ǫ(ψkn) ≤ ǫ(ψn)
para cada k ∈ IN . Por outro lado temos por construcao que
δ(ψkn) ≤ ǫ(ψk−1
n ) +1
k≤ ǫ(ψk
n) +1
k
para cada k ∈ IN , consequentemente lim supk→∞
δ(ψkn) ≤ lim sup
k→∞ǫ(ψk
n). Segue assim que
δ(ψn) ≤ lim supk→∞
δ(ψkn) ≤ lim sup
k→∞ǫ(ψk
n) ≤ ǫ(ψn) ≤ δ(ψn),
donde concluimos que δ(ψn) = ǫ(ψn).
A partir dessa igualdade temos que dado um bloco (ρn)∞n=1 de (ψn)∞n=1 temos
δ(ψn) = ǫ(ψn) ≤ δ(ρn) ≤ δ(ψn),
o que conclui a demonstracao.
Teorema 3.3. (Hagler − Johnson) Seja E um espaco de Banach real tal que:
(1) E ′ tem um subespaco isomorfo a ℓ1.
(2) (ϕn(x))∞n=1 nao converge a zero para algum x ∈ E sempre que (ϕn)∞n=1 e uma sequencia
basica em E ′ equivalente a base canonica de ℓ1.
Entao:
(a) E tem um subespaco isomorfo a ℓ1.
(b) E tem um espaco quociente isomorfo a ℓ2.
75
Demonstracao. Pelo Teorema 1.17, basta mostrar (a). Como E ′ tem um subespaco isomorfo
a ℓ1, existe uma sequencia basica (ϕn)∞n=1 ⊂ E ′ equivalente a base canonica de ℓ1. Sendo
assim, existem constantes reais estritamente positivas a e b tais que
a
(n∑
j=1
|λj|
)≤
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
j=1
λjϕn
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ≤ b
(n∑
j=1
|λj|
)(∗)
para λ1, . . . , λn ∈ IR e n ∈ IN . Vamos assumir sem perda de generalidade que b = 1.
Pelo Lema 3.1, existe um bloco (ψn)∞n=1 de (ϕn)∞n=1 tal que δ(ρn) = δ(ψn) para todo bloco
(ρn)∞n=1 de (ψn)∞n=1. E claro que todo bloco de (ϕn)∞n=1 satisfaz (*). Se (fn)∞n=1 e um bloco
de (ϕn)∞n=1, entao existem sequencias crescentes de numeros positivos (pn)∞n=1 e (sn)∞n=1 tais
que p1 < s1 < p2 < s2 · · · , e fn =sn∑
j=pn
αjϕj com αpn, . . . , αsn
∈ IR esn∑
j=pn
|αj| = 1. Para
λ1, . . . , λn ∈ IR temos que
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
j=1
λjfj
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
n∑
j=1
λj(
sj∑
i=pj
αiϕi)
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣. Segue por (∗) que
a(n∑
i=1
|λi|) ≤
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
λifi
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
s1∑
j=p1
λ1αjϕj + · · · +sn∑
j=pn
λnαjϕj
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
≤
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
s1∑
j=p1
λ1αjϕj
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ + · · · +
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
sn∑
j=pn
λnαjϕj
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
≤ b(
s1∑
j=p1
|λ1αj| + · · · +sn∑
j=pn
|λnαj|)
= b(n∑
i=1
|λi|si∑
j=pi
|αj|) = b
n∑
i=1
|λi| .
Assim, mostramos que (fn)∞n=1 e uma sequencia basica equivalente a base canonica de ℓ1.
Como (ψn)∞n=1 e um bloco de (ϕn)∞n=1 temos que e equivalente a base canonica de l1 e
por hipotese, existe um x ∈ E tal que a sequencia (ψn(x))∞n=1 nao converge para zero. Assim
existe um ǫ0 positivo tal que para cada n ∈ IN existe m ≥ n de maneira que |ψm(x)| ≥ ǫ0.
Como consequencia, lim supn→∞
∣∣∣∣ψm(x
||x||)
∣∣∣∣ ≥ǫ0
||x||, e assim temos δ(ψn) ≥ 0. Consideremos
76
δ = δ(ψn) e ǫ ∈ IR tal que 0 < ǫ < δ. Pela definicao de δ temos que lim supn→∞
|ψn(x)| ≤ δ
para todo x ∈ SE. Desta maneira existe x0 ∈ SE e um conjunto N1 ⊂ IN infinito tal
que |ψn(x0)| ≤ δ − ǫ para cada n ∈ N1. Sem perda de generalidade, vamos assumir que
ψn(x0) ≤ −δ + ǫ para cada n ∈ N1. Seja ǫ′ ∈ IR tal que 0 ≤ ǫ′ ≤ ǫ3. Consideremos as
sequencias N2 = (pn)∞n=1 e N3 = (sn)∞n=1 tais que N ′1 = N2 ∪ N3 e p1 < s1 < p2 < s2 · · · .
Como a sequencia (νn)∞n=1 = (ψpn−ψsn
2)∞n=1, e um bloco de (ψn)∞n=1, pelo Lema 3.1 temos
δ(νn) = δ(ψn) = δ. Da mesma maneira como foi feito anteriormente existe x1 ∈ SE e um
conjunto J ⊂ IN infinito tal que∣∣12(ψsj
− ψpj)(x1)
∣∣ ≥ δ− ǫ′ para cada j ∈ J . Daı temos que
12(ψpj − ψsj
)(x1) ≥ δ − ǫ′ para cada j ∈ J . Como (ψpj)∞j=1 e (ψsj
)∞j=1 sao blocos de (ψn)∞n=1
temos que
δ(ψpn) = δ(ψsn
) = δ(ψn) = δ.
Segue que lim supn→∞
|ψpn(x1)| ≤ δ e lim sup
n→∞|ψpn
(x1)| ≤ δ. Entao existe um j0 ∈ IN tal que
∣∣ψpj(x1)
∣∣ ≤ δ + ǫ′ e∣∣ψsj
(x1)∣∣ ≤ δ + ǫ′ para j ≥ j0.
A partir dessas desigualdades temos que para cada j ∈ J tal que j ≥ j0
ψpj(x1) = ψpj
(x1) − ψsj(x1) + ψsj
(x1)
≥ ψpj(x1) − ψsj
(x1) −∣∣ψsj
(x1)∣∣
≥ 2(δ − ǫ′) − (δ + ǫ′) = δ − 3ǫ′
e
ψsj(x1) = ψsj
(x1) − ψpj(x1) + ψpj
(x1)
≤∣∣ψsj
(x1) − ψpj(x1)
∣∣ +∣∣ψpj
(x1)∣∣
≤ 2ǫ′ − 2δ + δ + ǫ′ = 3ǫ′ − δ.
Assim, existem subconjuntos infinitos disjuntos N ′2 e N ′
3 de N1 tais que,
ψn(x1) ≥ δ − ǫ para todo n ∈ N ′2
77
e
ψn(x1) ≤ ǫ − δ para todo n ∈ N ′3.
Da mesma maneira como fizemos para N1 obtemos sequencias N4 = (rn)∞n=1 N5 =
(tn)∞n=1, N6 = (un)∞n=1 e N7 = (vn)∞n=1 tais que r1 ≤ t1 ≤ r2 ≤ t2 · · · , e u1 ≤ v1 ≤ u2 ≤
v2 · · · com N ′2 = N4 ∪ N5 e N ′
3 = N6 ∪ N7. Consideremos a sequencia (yn)∞n=1 tal que
yn = 14(ψrn
− ψtn + ψun− ψvn
). Vemos que (yn)∞n=1 e um bloco de (ψn)∞n=1 e pelo Lema 3.1
temos que δ(yn) = δ(ψn). Desta maneira, dado 0 < ǫ′ < ǫ7
existe um x2 ∈ SE e um conjunto
infinito K ⊂ IN tais que
yk =1
4(ψrk
− ψtk + ψuk− ψvk
)(x2) ≥ δ − ǫ′
para cada k ∈ K. A partir dessa desigualdade obtemos um k0 ∈ IN tal que
ψrk(x2) ≥ δ − 7ǫ′ para cada k ≥ k0,
ψtk(x2) ≤ −δ + 7ǫ′ para cada k ≥ k0,
ψuk(x2) ≥ δ − 7ǫ′ para cada k ≥ k0,
ψrk(x2) ≤ −δ + 7ǫ′ para cada k ≥ k0.
Consequentemente encontramos subconjuntos infinitos disjuntos N ′4 e N ′
5 de N ′2 e subcon-
juntos infinitos disjuntos N ′6 e N ′
7 de N ′3 tais que
ψn(x2) ≥ δ − ǫ para cada n ∈ N ′4 ∪ N ′
6
e
ψn(x2) ≤ −δ + ǫ para cada n ∈ N ′5 ∪ N ′
7
78
Procedendo indutivamente encontramos uma arvore (N ′p)
∞p=1 de subconjuntos de IN tal que
(−1)pψn(xm) ≥ δ − ǫ para cada n ∈ N ′p e 2m ≤ p ≤ 2m+1 com xm ∈ SE e m ≥ 0.
Seja o conjunto Ψp = {ψn : n ∈ N ′p} para todo p ∈ IN . Podemos ver que (Ψn)∞n=1
e uma arvore de subconjuntos de BE′ tal que (−1)pψn(xm) ≥ δ − ǫ para cada ψ ∈ Ψp,
2m ≤ p ≤ 2m+1e m ≥ 0. Pela imersao canonica J : E −→ E ′′ temos que xm(ψ) = ψ(xm)
para cada m ∈ IN e ψ ∈ Ψp. Como consequencia, temos
(−1)pxm(ψ) ≥ δ − ǫ para cada ψ ∈ Ψp, 2m ≤ p ≤ 2m+1e m ≥ 0.
Segue pela Proposicao 3.1, que (xn)∞n=1 e uma sequencia basica equivalente a base canonica
de ℓ1.
Definicao 3.3. Seja (xn)∞n=1 uma sequencia em um espaco normado X. Dizemos que (xn)∞n=1
e normalizada se ||xn|| = 1 para cada n ∈ IN .
Teorema 3.4. Seja E um espaco de Banach real separavel. Se E ′ tem um subespaco iso-
morfo a ℓ1 entao E tem espaco quociente de dimensao infinita com base de Schauder.
Demonstracao. Como E ′ tem um subespaco isomorfo a ℓ1 existe uma sequencia basica con-
tida em E ′ equivalente a base canonica de ℓ1. Se existe uma sequencia basica (ψn)∞n=1 contida
em E ′ equivalente a base canonica de ℓ1 tal que limn→∞
ψn(x) = 0 para todo x ∈ E temos pelo
Teorema 3.2 que E tem um espaco quociente isomorfo a c0. Suponhamos que para toda
sequencia basica (ψn)∞n=1 de E ′ isomorfa a base canonica de ℓ1 exista um x ∈ E tal que
(ψn(x))∞n=1 nao converge a zero . Entao, pelo Teorema 3.3, existe um espaco quociente de
E isomorfo a ℓ2.
Teorema 3.5. (Josefson-Nissenzweig) Seja E um espaco de Banach com dimensao infinita.
Entao existe uma sequencia (ψn)∞n=1 normalizada tal que limn→∞
ψn(x) = 0 para cada x ∈ E.
79
Demonstracao. Em primeiro lugar, consideremos E e um espaco de Banach real. Se E ′ tem
um subespaco isomorfo a ℓ1, entao, pelo Teorema 3.4, existe um espaco quociente E/M
de dimensao infinita com base de Schauder. Sejam (fn)∞n=1 uma base de Schauder nor-
malizada do espaco E/M , (f ′n)∞n=1 a sequencia dos funcionais coordenadas de (fn)∞n=1 e
Q : E −→ E/M a aplicacao quociente. Como (fn)∞n=1 e base de Schauder de E/M temos
que Q(x) =∞∑
n=1
f ′n(Q(x))fn para cada x ∈ E. Como a aplicacao Q e sobrejetora, para cada
fn existe yn ∈ E tal que fn = yn = yn + M . Como 1 = ||fn|| = ||yn|| = infx∈yn
||x|| entao existe
en pertencente a classe yn tal que ||en|| ≤ 2, ou seja, para cada n ∈ IN existe en ∈ E tal
que Q(en) = fn e || en|| ≤ 2. Entao temos que f ′n ◦Q(en) = f ′
n(fn) = 1 e como consequencia
temos 1 = ||f ′n ◦ Q(en)|| ≤ ||f ′
n ◦ Q|| ||en|| ≤ 2 ||f ′n ◦ Q||. Assim, ||f ′
n ◦ Q|| ≥ 12
para cada
n ∈ IN .
Consideremos ψn = f ′
n◦Q||f ′
n◦Q||para cada n ∈ IN . Vemos que a sequencia (ψn)∞n=1 esta contida
em E ′ e e normalizada. Alem disso, como ||fn|| = 1 para todo n ∈ IN e Q(x) =∞∑
n=1
f ′n(Q(x))fn
para cada x ∈ E, temos que limn−→∞
ψ(x) = limn−→∞
f ′n ◦ Q(x)
||f ′n ◦ Q||
= 0.
Suponhamos agora, que E ′ nao tenha um subespaco isomorfo a l1. Seja x′1 ∈ E ′ \ {0}, e
considere Y1 = span{x′1}. Segue, pelo Lema de Riesz (Lema 1.2), que existe x′
2 ∈ SE′ tal
que ||x′1 − x′
2|| ≥12. Indutivamente, usando o Lema de Riesz , existe uma sequencia (x′
n)∞n=1
contida em SE tal que ||x′n − x′
m|| ≥ 12
para cada m,n ∈ INcom m 6= n. Pelo Teorema
de Rosenthal (Teorema 1.15) temos que existe uma subsequencia (y′n)∞n=1 de (x′
n)∞n=1 que e
fracamente de Cauchy. Em particular, limn→∞
x′′(y′n+1 − y′
n) = 0 para todo x′′ ∈ E ′′. Ou seja,
para cada x′′ ∈ E ′′ temos que dado ǫ > 0 existe n0 ∈ IN tal que∣∣∣∣x′′(y′
n+1 − y′n)
∣∣∣∣ < ǫ para
n ≥ no. Considerando z′n = y′n+1 − y′
n para cada n ∈ IN , temos que ||z′n|| =∣∣∣∣y′
n+1 − y′n
∣∣∣∣ ≥ 12
e limn−→∞
x′′(z′n) = 0 para cada x′′ ∈ E ′′. Definindo ψn = z′n||z′n||
para cada n ∈ IN , temos que
||ψn|| = 1 para cada n ∈ IN e limn−→∞
Jx(ψn) = limn−→∞
ψn(x) = 0 para todo x ∈ E.
Finalmente, seja E um espaco de Banach complexo. Considerando E como espaco de
80
Banach real, temos pela primeira parte da demonstracao que existe uma sequencia (fn)∞n=1
de funcionais lineares sobre E em IR tais que ||fn|| = 1 para cada n ∈ IN e limn→∞
fn(x) = 0
para todo x pertencente a E. Definindo a sequencia (ψn)∞n=1 por ψn(x) = fn(x) − ifn(ix)
para cada x ∈ E vemos que ||ψn|| ≥ 1 para todo n ∈ IN e limn→∞
ψn(x) = 0 para todo x ∈ E.
Passando a sequencia (ϕn)∞n=1 tal que ϕn = ψn
||ϕn||para cada n ∈ IN , segue que ||ϕn|| = 1 para
todo n ∈ IN e limn→∞
ϕn(x) = 0 para todo x pertencente a E. Isto completa a demonstracao
do teorema.
O Teorema de Josefson-Nissenzweig foi provado independentemente por B. Josefson [6] e
A. Nissenzweig [11] em 1975. Josefson estava interessado em problemas na area de Holomorfia
em dimensao infinita. Antes de mencionar mais explicitamente aplicacoes deste teorema
nesta area, apresentaremos algumas definicoes.
Definicao 3.4. Sejam E e F espacos de Banach. Dizemos que A : Em −→ F e uma
aplicacao m-linear se e uma aplicacao linear em cada variavel.
Definicao 3.5. Sejam E e F espacos de Banach. Dizemos que P : E −→ F e um polinomio
m-homogeneo se existe uma aplicacao m-linear A tal que P (x) = A(x, ..., x) para cada x ∈ E.
A seguinte definicao estende aos espacos de Banach complexos o conceito de funcao
holomorfa definida em IC com valores em IC.
Definicao 3.6. Sejam E e F espacos de Banach dizemos que f : E −→ F e uma aplicacao
holomorfa se para cada a ∈ E existe uma bola aberta Br(a) ⊂ E e uma sequencia (Pn)∞n=1
onde cada Pn e um polinomio n-homogeneo contınuo tal que f(x) =∞∑
n=0
Pn(x − a) converge
uniformemente para cada y ∈ Br(a).
Sabemos que toda funcao holomorfa f : IC −→ IC e limitada nos subconjuntos limitados
de IC. Dineen mostrou em [3] que se E e um espaco de Banach de dimensao infinita onde
existe uma sequencia (Φn) ⊂ E ′ normalizada tal que limn→∞
Φn(x) = 0 para cada x ∈ E,
81
entao existe uma funcao holomorfa de E em IC que nao e limitada na bola unitaria de E.
O Teorema de Josefson-Nissenzweig mostra que na verdade o resultado de Dineen e valido
para qualquer espaco de Banach de dimensao infinita. Alem disso, Josefson mostrou, como
consequencia de seu teorema, que se E e um espaco de Banach de dimensao infinita e B e
um subconjunto de E onde toda funcao holomorfa de E em IC e limitada, entao B e denso
em parte alguma.
82
Referencias Bibliograficas
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84