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Universita degli Studi dell’InsubriaFacolta di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

Appunti per i Corsi di Metodi Matematici della Fisica 1 (primo modulo) per la Laurea in Fisica,e Metodi Matematici della Fisica per la Laurea in Matematica

Italo GuarneriAnno Accademico 2017-18

4 ottobre 2018

INDICE

1. Richiami sui numeri complessi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1 Il campo C e il piano di Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 La Funzione Esponenziale, e le Funzioni Circolari. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Spazi Metrici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1 Definizioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Successioni Convergenti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Completezza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Compattezza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5 Continuita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.6 Funzioni Continue su un Compatto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.7 Il Piano Complesso Esteso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3. Funzioni di una variabile Complessa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1 Funzioni Olomorfe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1.1 Condizioni di Cauchy-Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.1.2 Rappresentazioni Conformi, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Regole di Derivazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3 Funzione Inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3.1 La Radice Quadrata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3.2 La radice n−ma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3.3 Il Logaritmo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3.4 Derivata della Funzione Inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4. L’Integrale Curvilineo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.1 Cammini Regolari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.2 Integrale Curvilineo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.3 Campi Conservativi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5. Il Teorema Integrale di Cauchy, e le sue conseguenze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.1 Funzioni Olomorfe, come campi vettoriali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.2 Primitive di una Funzione Olomorfa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.3 La Formula Integrale di Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.3.1 Integrali del tipo di Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.3.2 Formula Integrale di Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Indice 3

5.3.3 Funzioni Armoniche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.3.4 Principio del Massimo Modulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.3.5 Teorema di Liouville. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6. Funzioni Analitiche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.1 Serie di Funzioni Olomorfe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.1.1 Convergenza Uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.1.2 Teorema di Weierstrass. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.2 Sviluppi in Serie di Potenze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.2.1 Richiamo : il Criterio della Radice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.2.2 Serie di Potenze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.2.3 Sviluppi di un Integrale del tipo di Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.2.4 Sviluppo di Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.2.5 Serie Notevoli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7. Singolarita e Residui. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.1 Punti Singolari Isolati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7.1.1 Sviluppo di Laurent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.1.2 Classificazione delle Singolarita Isolate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.1.3 Singolarita all’ Infinito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7.2 Teorema dei Residui. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.2.1 Calcolo del Residuo in una Singolarita Polare. . . . . . . . . . . . . . . . 717.2.2 Applicazioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

8. Cenni sul Prolungamento Analitico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768.1 Il Teorema Fondamentale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

8.1.1 Ricostruzione di una funzione analitica, dal suo sviluppo di Taylor locale. 778.1.2 Prolungamento Analitico lungo un cammino. . . . . . . . . . . . . . . . . 78

8.2 Monodromia e Polidromia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798.3 Funzioni Analitiche Complete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

8.3.1 Superficie di Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 828.3.2 Alcuni Integrali di Funzioni Polidrome. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

9. Equazioni Differenziali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899.1 Esistenza e unicita delle soluzioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

9.1.1 Nell’ intorno di un punto ordinario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899.1.2 Prolungamento analitico delle Soluzioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 929.1.3 Struttura dello spazio delle soluzioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

9.2 Punti Singolari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 959.2.1 Equazione di Eulero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 969.2.2 Soluzioni Fondamentali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 969.2.3 Singolarita Regolari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

9.3 Equazione di Bessel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Indice 4

9.3.1 Funzioni di Bessel di 1a specie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1049.3.2 Funzioni di Bessel di 2a specie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1069.3.3 Andamento delle funzioni di Bessel di ordine reale, e argomento reale. . . 107

9.4 Equazioni della classe di Fuchs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1089.4.1 Equazione di Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

1. RICHIAMI SUI NUMERI COMPLESSI.

1.1 Il campo C e il piano di Gauss.

Un numero complesso e una coppia ordinata di numeri reali (x, y). La notazione universalmenteadottata per indicare il generico numero complesso e z, e l’insieme dei numeri complessi vieneindicato con C. Se z = (x, y) allora i numeri reali x e y vengono detti rispettivamente la partereale e la parte immaginaria di z; in simboli, si scrive x = ℜ(z) e y = ℑ(z). Nell’insieme Csono definite le seguenti operazioni di addizione e prodotto:

(x, y) + (x′, y′) = (x+ x′, y + y′)

(x, y)(x′, y′) = (xx′ − yy′, xy′ + x′y) , (1.1)

e si verifica che tali operazioni conferiscono a C la struttura algebrica di corpo commutativo.Il sottoinsieme di C costituito da tutti e soli i numeri complessi della forma (x, 0) e in evidentecorrispondenza biunivoca con R, ed anzi risulta essere un sotto-corpo di C, algebricamenteisomorfo a R. Pertanto esso viene senz’altro identificato con R, che diviene in tal modo unsottoinsieme dell’insieme dei numeri complessi. Si verifica facilmente che

z = (x, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0)

vale per ogni complesso (x, y). Dato che (x, 0) e (y, 0) sono stati identificati con i reali x e y, sipuo scrivere

z = x + iy , (1.2)

a patto di indicare con i il numero complesso (0, 1), che e chiamato la unita imaginaria. Usandola definizione del prodotto e immediato verificare che i2 = (−1, 0) cioe i2 = −1. La (1.2)e la rappresentazione rettangolare del numero complesso z. Questa rappresentazione e assaiconveniente, perche permette di eseguire calcoli algebrici sui numeri complessi, servendosi delleusuali regole del calcolo letterale, a cui basta aggiungere la regola i2 = −1.Si puo stabilire una corrispondenza biunivoca fra il piano Cartesiano e C, associando al puntodi ascissa x e ordinata y il numero complesso z = x + iy. Il piano Cartesiano, inteso comeimmagine geometrica di C, si dice il piano complesso, o Piano di Argand-Gauss, e gli assiprendono rispettivamente i nomi di Asse Reale, e Asse Immaginario. Di solito si usa la stessalettera ( p.es. z) per indicare un punto del piano complesso e il numero complesso ad essocorrispondente . Si chiama coniugazione complessa la applicazione di C in se stesso che alnumero z = x+ iy fa corrispondere il numero z∗ = x− iy, che vien detto il complesso coniugatodi z (e viene spesso denotato anche z). L’operazione di coniugazione complessa ha le proprieta:

(z∗)∗ = z , (z + z′)∗ = z∗ + z′∗ , (zz′)∗ = z∗z′∗ .

1. Richiami sui numeri complessi. 6

z=x+iy

y

x Asse Reale

Asse Immaginario

φ

ρ

0

Fig. 1.1: Coordinate nel piano complesso.

Nel piano complesso, la coniugazione e la riflessione rispetto all’asse reale. Valgono le equazioni:

ℜ(z) = x =1

2(z + z∗) , ℑ(z) = y =

1

2i(z − z∗) . (1.3)

La rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi si ottiene riferendo il piano complessoa coordinate polari ρ, ϕ (vedi la Fig.1.1). La coordinata ρ e la distanza del punto z dall’origine.Si chiama il modulo di z, e viene indicato con |z|. Valgono le

|z|2 = ℜ(z)2 + ℑ(z)2 = zz∗ ,

|z + z′| ≤ |z|+ |z′| ,|z − z′| ≥ ||z| − |z′|| ,

|zz′| = |z||z′| ,|z| = |z∗| . (1.4)

L’angolo ϕ si chiama l’argomento del numero z, viene talvolta denotato arg(z), e si intendeespresso in radianti, e misurato positivam. nel verso antiorario, a partire dal semiasse realepositivo. Esso non e definito per z = 0, e per z = 0 e definito soltanto a meno di multipliinteri di 2π. Pertanto la attribuzione dell’argomento a un numero complesso non e univoca.Di solito (ma non sempre) conviene rimuovere questa ambiguita convenendo che arg(z) vadascelto in un intervallo prefissato, solitamente [0, 2π) oppure (−π, π]. Cosi’ facendo, tuttavia, lacorrispondenza fra i numeri complessi e i loro argomenti non risulta continua; per es., se si decide0 ≤arg(z) < 2π, allora punti simmetrici rispetto al semiasse reale positivo ed arbitrariamentevicini l’uno all’altro hanno argomenti la cui differenza e arbitrariamente vicina a 2π. Risultaevidentemente

ℜ(z) = |z| cos(arg(z)) , ℑ(z) = |z| sin(arg(z)) , (1.5)

Servendosi di queste equazioni e facile verificare che l’argomento del prodotto di due numericomplessi z,z′ e eguale alla somma dei loro argomenti. Di conseguenza, l’argomento della


potenza n−ma di z = 0 e n volte l’argomento di z.Mediante questa regola e immediato provare che, per ogni intero n, ogni numero z = 0 possiedeesattamente n radici n−me distinte w1, w2, . . . wn, che hanno tutte modulo dato dalla radicen−ma aritmetica del modulo di z, e i cui argomenti sono arg(wj) = arg(z)/n + 2πj/n, (j =1, 2, . . . n).

1.2 La Funzione Esponenziale, e le Funzioni Circolari.

Definiamo, per z = x+ iy complesso arbitrario,

ez ≡ ex [cos(y) + i sin(y)] . (1.6)

dove ex e la funzione esponenziale reale. Mediante z → ez resta definita una applicazione diC in se, che si dice la funzione esponenziale complessa. Occorre notare che (1.6) e qui datacome una definizione, e come tale non deve essere dimostrata. E’ possibile definire la funzioneesponenziale complessa in altre maniere; avendo qui adottato la definizione (1.6), queste altredefinizioni verranno nel seguito dimostrate. A mo di giustificazione della definizione (1.6) sipuo (per ora) notare che:1) ogni volta che z e un numero reale, nella (1.6) si deve porre z = x e y = 0 e cosi’ la definizione(1.6) ricade nella funzione esponenziale reale;2) per ogni coppia di complessi z, z′, dalla (1.6) e dalle formule di addizione delle funzionicircolari segue che

ez+z′ = ez ez′,

e dunque la definizione (1.6) conserva, nel campo complesso, una fondamentale proprieta del-l’esponenziale reale. La funzione esponenziale definita in (1.6) ha ulteriori importanti partico-larita:

Teorema 1: La funzione ez non si annulla mai.

Dim.: Sia z = x+ iy e ez = 0. Siccome ex = 0 qualunque sia il reale x, da (1.6) segue che deveessere cos(y) = 0 e simultaneamente sin(y) = 0, ma questo e impossibile.

Teorema 2: La funzione esponenziale assume infinite volte ogni valore complesso diverso da0. Inoltre e periodica di periodo 2πi, cioe, ∀z ∈ C, risulta ez+2πi = ez.

Dim. Sia z = 0, e denotiamo ρ = |z| e ϕ = arg(z). Cerchiamo soluzioni w ∈ C per l’equazione:

ew = z . (1.7)

Essa richiede che|ew| = ρ ; arg(ew) = ϕ+ 2nπ , (n ∈ Z) .

La (1.6) mostra che |ew| = eℜ(w) e che arg(ew) = ℑ(w). Ne consegue che

ℜ(w) = ln(ρ) ; ℑ(w) = ϕ+ 2πn , (n ∈ Z) . (1.8)


Dato che z = 0 per ipotesi, risulta ρ > 0 e quindi il logaritmo di ρ e ben definito. Ciascunodegli infiniti numeri complessi

wn = ln(|z|) + iarg(z) + 2πni , (n ∈ Z) (1.9)

e dunque una soluzione di ew = z. Infine, se z = x+ iy,

ez+2πi = ex(cos(y + 2π) + i sin(y + 2π)) = ex(cos(y) + i sin(y)) = ez .

Ciascuna soluzione w di ew = z puo essere chiamata un logaritmo di z. Si e cosi’ provato cheogni numero complesso non nullo ammette infiniti logaritmi distinti.

Mettendo assieme le equazioni (1.5) e la definizione (1.6) si trova che per ogni complessoz = 0 vale

z = |z| ei arg(z) . (1.10)

Questo modo di scrivere i numeri complessi e noto come la rappresentazione polare .

Definizione 1: Il sottoinsieme di C costituito dai numeri di modulo 1 si chiama il cerchiounitario, e verra denotato S. Esso e un sottogruppo moltiplicativo di C, e si identifica coinumeri complessi della forma eiϕ con ϕ ∈ R.

Le funzioni circolari possono essere definite nel campo complesso mediante:

sin(z) =1

2i

(eiz − e−iz

),

cos(z) =1

2

(eiz + e−iz

). (1.11)

A (molto) parziale giustificazione di queste definizioni, si osservi che per z reale esse ricadononelle funzioni trigonometriche reali, come si vede subito usando la (1.6). Ulteriori funzionitrigonometriche, quali tangente e cotangente, si definiscono a partire da (1.2), utilizzando lestesse relazioni che valgono nel caso reale.

Esercizio 1: Si verifichi che la relazione sin2(z) + cos2(z) = 1 rimane valida nel campo complesso.

Esercizio 2: La diseguaglianza | sin(z)| ≤ 1, ben nota nel campo reale, rimane ancora valida nel campo

complesso?

2. SPAZI METRICI.

2.1 Definizioni.

Sia X un insieme arbitrario non vuoto, sulla natura dei cui elementi non si formula alcunaassunzione. X si dice uno spazio metrico, se in esso e definita una ”distanza”:

Definizione 2: Si dice distanza su X una funzione d : X × X → R che goda delle seguentiproprieta:1) ∀x, y ∈ X, d(x, y) ≥ 0, e inoltre d(x, y) = 0 se, e solo se, x = y;2) ∀x, y ∈ X, d(x, y) = d(y, x) ,3) ∀x, y, z ∈ X, d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z) (la diseguaglianza triangolare.) .

Nota 1: Su uno stesso insieme X e in generale possibile definire differenti ”distanze” (v. esempi

sotto), e cosi’ dar luogo a spazi metrici diversi.

Proposizione 1: ∀x, y, z ∈ X vale la ”2nda diseguaglianza triangolare”:

d(x, y) ≥ |d(x, z)− d(y, z)| . (2.1)

Dim.: riscrivendo le diseguaglianze triangolari:

d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) , d(y, z) ≤ d(x, y) + d(x, z)

si ottiene

d(x, y) ≥ d(x, z)− d(y, z) , d(x, y) ≥ d(y, z)− d(x, z) , (2.2)

che sono equivalenti alla singola diseguaglianza (2.1). Considereremo gli esempi seguenti di spazi metrici:Esempi:(1) X = R, d(x, y) = |x− y|.(2) X = C, d(z, z′) = |z − z′|.(3) X = C, d(z, z′) = |ℜ(z)−ℜ(z′)|+ |ℑ(z)−ℑ(z′)|.(4) X = C, d(z, z′) = 0 se z = z′, e d(z, z′) = 1 se z = z′.(5) X = Rn, lo spazio delle n−ple ordinate di numeri reali x ≡ (x1, x2, . . . xn) con

d(x, y) =

n∑

j=1

|xj − yj|21/2

.

2. Spazi Metrici. 10

Esercizio 3: Provare che (1)(2)(3)(4) sono spazi metrici.

Nota 2: L’esempio (2) e quello direttamente rilevante a questo corso. Ogni volta che ci si riferira a

C come spazio metrico si sottintendera che la metrica e quella di questo esempio. Lo stesso vale per

l’esempio (5), di cui (1) e un caso particolare. Riferendosi a Rn con n ≥ 1 si sottintendera sempre che

la distanza sia quella ”euclidea” sopra specificata.

Se x e un punto dello spazio metrico X con la distanza d, allora per ogni ϵ > 0 si puo definire

Bϵ(x) ≡ y ∈ X | d(x, y) < ϵ . (2.3)

che si chiama una sfera ( o palla, o bolla; in inglese, ”ball”) aperta di centro x e raggio ϵ.

Esercizio 4: Cosa sono le palle aperte nei casi degli esempi (2) e (3)?

Esercizio 5: Sia X l’intervallo chiuso [a, b] ⊂ R, con la distanza d(x, y) = |x− y|. Cosa sono le palle aperte

di centro a?

Definizione 3: Sia A un sottoinsieme di X. Si dice che un punto x ∈ X e un punto internodi A se ∃ϵ > 0 in modo che Bϵ(x) ⊆ A. Si dice che A ⊆ X e un intorno di x ∈ X, se x e unpunto interno di A.

Si noti che ogni punto interno ad A e un punto di A; ma il viceversa non e necessariamentevero.

Definizione 4: Si dice che A ⊆ X e un sottoinsieme aperto di X se ogni punto di A e unpunto interno di A; equivalentemente, se A e un intorno di ogni suo punto.

Per A ⊆ X, il complemento di A in X verra denotato con Ac.

Definizione 5: Si dice che B ⊆ X e un sottoinsieme chiuso di X, se il suo complemento Bc

e aperto.

A differenza dal linguaggio comune, i termini ”aperto” e ”chiuso” non sono l’uno la negazionedell’altro. Si trovano facilmente esempi di insiemi che non sono ne aperti ne chiusi; ed anchedi insiemi, che sono al tempo stesso aperti e chiusi. Per es., X stesso e un tale insieme.

Esercizio 6: Costruire esempi di sottoinsiemi di C che non sono aperti ne chiusi.

Esercizio 7: Provare che, nell’esempio (4), ogni insieme costituito da un singolo punto e al tempo stesso

aperto e chiuso.

Esercizio 8: Provare che ogni palla aperta (2.3) e un insieme aperto nel senso della definizione 4.

Definizione 6: Un punto x ∈ X si dice punto di frontiera di un insieme E ⊂ X, se ogniintorno di x contiene sia elementi di E, sia elementi di Ec. La frontiera di E e l’insieme ditutti i punti di frontiera di E.


2.2 Successioni Convergenti.

Si ricorda che una successione in X e una funzione s : N → X.

Definizione 7: Si dice che una successione s in X converge, se ∃s∞ ∈ X in modo che, ∀ϵ > 0,la successione s sta definitivamente in Bϵ(s∞); ossia , ∀ϵ > 0, ∃nϵ intero tale che d(sn, s∞) < ϵper ogni n > nϵ. Il punto s∞ si dice il limite della successione.

Nota 3: La definizione e equivalente a:

limn→∞

d(sn, s∞) = 0 .

Nota 4: Vista la Def.4, si puo anche dire, equivalentemente, che una successione converge a un certo

limite se essa sta definitivamente in ogni intorno di quel punto.

Esercizio 9: Provare che il limite di una successione convergente e unico.

Proposizione 2: Una successione di numeri complessi zn = xn + iyn converge al limite z∞ =x∞ + iy∞ se, e soltanto se,

limn→∞

xn = x∞ , limn→∞

yn = y∞ . (2.4)

Dim.: dal teorema di Pitagora :

d(zn, z∞) = |zn − z∞| =√(xn − x∞)2 + (yn − y∞)2,

si vede che se valgono le (2.4), allora zn converge a z∞ (v. la Nota 4). Sempre dal teorema diPitagora segue che i cateti non sono mai maggiori dell’ipotenusa:

|xn − x∞| ≤ |zn − z∞| , |yn − y∞| ≤ |zn − z∞|

e quindi se zn converge a z∞ allora valgono le (2.4).

Esercizio 10: Quali sono le successioni convergenti nel caso dell’esempio (4)?

Quali sottoinsiemi diX siano aperti ( o chiusi) e quali no dipende dalla metrica che si e introdot-ta in X, cioe dalla definizione di distanza che si e scelta. Puo tuttavia accadere che le famigliedi insiemi aperti costruite a partire da metriche (distanze) diverse risultino identiche. In quelcaso gli spazi metrici, pure diversi, posseggono esattamente le stesse successioni convergenti.

Esercizio 11: Servendosi dei risultati dell’Esercizio 4, provare che ogni insieme aperto dello spazio metrico

dell’Esempio (2) e anche aperto per lo spazio metrico dell’Esempio (3), e viceversa.

Definizione 8: Si dice che un punto x ∈ X e un punto limite di un sottoinsieme D ⊆ X, sesi puo trovare una successione di punti di D, distinti da x, che ha per limite x. L’insieme deipunti limite di un insieme D verra denotato Lim(D).


Teorema 3: Un sottoinsieme B di X e chiuso se, e solo se, contiene tutti i propri punti limite;e cioe, se Lim(B) ⊆ B.

Dim.: Passando ai complementi, la tesi e equivalente a: un insieme A e aperto se, e solo se,il suo complemento Ac non ha punti limite in A. Dunque mostriamo dapprima che se A none aperto, allora Lim(Ac) non e vuoto, e contiene almeno un punto di A. Infatti A non apertoimplica che almeno un punto x ∈ A non e interno a A, e dunque, per ogni ϵ > 0, si puo trovarein Bϵ(x) almeno un punto di Ac. In particolare, per ogni n intero si puo trovare in B1/n(x) unpunto xn ∈ Ac e dunque = x ∈ A. La successione xn converge ad x perche d(xn, x) < 1/n, equindi x e un punto limite di Ac, che appartiene ad A.Viceversa, mostriamo che se Ac ha un punto limite x∞ in A allora A non e aperto. Infatti deveesistere una successione xn di punti di Ac che converge a x∞ e dunque e definitivamente inogni intorno di x∞, senza essere mai in A. Dunque A non e un intorno del suo punto x∞ equindi non e un insieme aperto.

Definizione 9: Dato D ⊆ X si chiama chiusura di D, e si denota D, l’insieme D ≡ D ∪Lim(D).

Esercizio 12: Provare che B ⊆ X e chiuso, se e solo se B = B.

Proposizione 3: La chiusura D di D ⊆ X e un insieme chiuso, ed e il piu piccolo insiemechiuso che contiene D, nel senso che risulta D ⊆ B per ogni B ⊆ X chiuso, tale che D ⊆ B.

Dim.: Proviamo che D e chiuso: se x e un punto limite di D, allora per ogni intero n la pallaB1/n(x) contiene un punto xn ∈ D ∪ Lim(D). Si puo sempre assumere che questo punto sia inD; infatti, se fosse in Lim(D) ma non in D, allora, visto che B1/n(x) contiene, assieme a xn,tutta una palla aperta di centro xn (Esercizio 8), si potrebbe sempre trovare in questa palla unpunto x′n ∈ D, e usarlo per rimpiazzare xn. Dunque D non ha punti limite che non siano puntilimite di D, e cosi’ contiene tutti i propri punti limite. Grazie al Teor.3, D e chiuso.Sia ora D ⊆ B con B chiuso, e sia x ∈ D . Se x ∈ D, allora anche x ∈ B; e se invece x epunto limite di D, allora e anche un punto limite di B, e quindi e in B perche B e chiuso (v.il Teorema 3).

Definizione 10: D ⊆ X si dice denso se D = X; equivalentemente, se ogni punto di X chenon e un punto di D e un punto limite di D.

Un esempio classico e fornito dall’insieme Q dei razionali, che e un sottoinsieme denso di R(esempio (1)).

Esercizio 13: Provare che la frontiera ( Def.6) di un insieme e un insieme chiuso.


2.3 Completezza.

Definizione 11: Una successione xn nello spazio metricoX si dice una successione di Cauchyse risulta

limn,m→∞

d(xn, xm) = 0 .

ossia se, per ogni ϵ > 0, si puo trovare un intero nϵ in modo che d(xn, xm) < ϵ risulti vero ognivolta che n > nϵ e m > nϵ.

Proposizione 4: Ogni successione convergente e una successione di Cauchy.

Dim.: immediato, dalla diseguaglianza triangolare:

d(xn, xm) ≤ d(xn, x∞) + d(xm, x∞) .

Il viceversa non e necessariamente vero.Il controesempio classico e fornito da X = Q, l’insieme dei numeri razionali, con la distanza ordinariad(r, r′) = |r − r′|. Per ogni intero n, si definisca qn come il piu grande intero tale che q2n < 2 × 102n;esso e quindi definito dalle due diseguaglianze( qn

10n

)2< 2 <

(qn + 1

10n

)2

, (2.5)

che sono ambedue strette, o altrimenti 2 sarebbe il quadrato di un numero razionale. Il numerorazionale rn ≡ qn × 10−n e il miglior approssimante per difetto di

√2 con n cifre decimali. La prima

di queste diseguaglianze rimane verificata se qn viene sostituito da 10qn e n viene sostituito da n+ 1,e cio significa che qn+1 ≥ 10qn. Cio implica che la successione degli rn e non decrescente. Per ognicoppia di interi n e m vale r2m < 2 < (qn + 1)2 × 10−2n; dunque, se m > n, allora

rn ≤ rm < rn + 10−n . (2.6)

Dato ϵ > 0, si prenda nϵ in modo che 10−n < ϵ per n > nϵ; la (2.6) mostra che se m > n > nϵ allora

|rn − rm| < ϵ, e percio la successione rn e di Cauchy in Q. Essa non puo avere limite in Q, perche

il suo limite e√2 /∈ Q.

Definizione 12: Uno spazio metrico si dice completo se in esso ogni successione di Cauchy econvergente.

Dunque lo spazio Q non e completo. Invece, come e noto,

Teorema 4: R e uno spazio metrico completo.

Nei primi corsi di calcolo questo teorema e talvolta enunciato come ”sufficienza della condizionedi Cauchy” per la convergenza di successioni reali.

Corollario 1: C ed Rn sono spazi metrici completi.

Dim.: Sia zn = xn+iyn una succ. di Cauchy di numeri complessi. Siccome |xn−xm| ≤ |zn−zm|ad anche |yn − ym| ≤ |zn − zm|, ne scende che le successioni xn e yn sono di Cauchy in R,dunque ammettono limiti x∞ e y∞. E’ immediato verificare che la successione zn converge allimite z∞ = x∞ + iy∞. La dimostrazione per Rn e simile.


2.4 Compattezza.

Ricordiamo che si dice sottosuccessione di una successione s : N → X data, ogni successionein X che possa scriversi come s j dove j : N → N e una funzione strettamente crescente.Ricordiamo anche che ogni sottosuccessione di una successione convergente e anch’essa con-vergente, allo stesso limite; ed anche che successioni non-convergenti possono nondimeno averesotto-successioni convergenti, l’esempio piu ovvio essendo la successione (−1)n.

Definizione 13: Un sottoinsieme K di uno spazio metrico X si dice relativamente compattose ogni successione di punti di K ammette (almeno) una sottosuccessione convergente. Si dicecompatto se e chiuso ed e relativamente compatto.

Dunque in un compatto K ogni successione ammette una sottosucc. che converge, e il cui limitee un punto di K.

Definizione 14: Un sottoinsieme D ⊂ C si dice limitato, se e interamente contenuto in unapalla (2.3).

Esercizio 14: Si mostri che ogni successione convergente di punti di C e limitata.

Proposizione 5: Se K ⊂ C e compatto, allora e limitato.

Dim.: Sia, per assurdo, K compatto e non limitato. Allora, per ogni n intero, si puo trovareun punto xn ∈ K in modo che xn /∈ Bn(0), e cioe che |xn| ≥ n. Nessuna sottosuccessione dellasuccessione e limitata, dunque non esistono sottosuccessioni convergenti.

Teorema 5: (Bolzano-Weierstrass) Un sottoinsieme K di C e compatto, se, e solo se, echiuso e limitato.

Nota 5: La definizione 14, e tutte le proposizioni seguenti, sono valide per ogni spazio metrico Rn

(n ≥ 1)

2.5 Continuita.

In questa sezione si considerano applicazioni f : X → X ′ fra spazi metrici X,X ′ con le distanzerispettive d e d′ . Queste verranno generalmente chiamate ”mappe” salvo il caso in cui X ′ = Roppure X ′ = C, nel qual caso verranno chiamate ”funzioni”, a valori reali o complessi, definitenello spazio X. Se E ⊆ X, e G ⊆ X ′, si useranno le notazioni:

f(E) ≡ y ∈ X ′ | y = f(x) per qualche x ∈ E , f−1(G) ≡ x ∈ X | f(x) ∈ G .

Si noti che la seconda di esse non sottintende che la mappa f possieda una mappa inversaf−1 : Y → X

Definizione 15: Si dice che il limite di f in x0 ∈ X e y0 ∈ X ′, e si scrive y0 = limx→x0

f(x), se ogni

volta che G ⊆ X ′ e un intorno di y0 si puo trovare δ > 0 in modo che Bδ(x0) \ x0 ⊆ f−1(G).


Si verifica facilmente (Esercizio!) che questa definizione e equivalente alla seguente:

Definizione 16: limx→x0

f(x) = y0 se, e solo se, per ogni successione xn in X convergente a x0

con xn = x0 risulta che la successione f(xn) e convergente in X ′ a y0.

Definizione 17: Una mappa f : X → X ′ si dice continua in un punto x0 ∈ X se limx→x0

f(x) =

f(x0). Si dice che la f e continua su X, se e continua in ogni punto di X.

Assieme alla Def.15, questa definizione implica:

Proposizione 6: f e continua in x0 ∈ X se, e solo se, f−1(G) e un intorno di x0, ogni voltache G ⊆ X ′ e un intorno di f(x0).

Grazie alla definizione di intorno (Def.3) questa a sua volta implica:

Teorema 6: f : X → X ′ e continua, se, e solo se, per ogni sottoinsieme aperto A′ di X ′ risultache l’insieme

f−1(A′) ≡ x ∈ X | f(x) ∈ A′e un sottoinsieme aperto di X.

Teorema 7: Siano X,X ′, X ′′ spazi metrici, e siano f : X → X ′ e g : X ′ → X ′′ mappe continue.Allora la mappa g f : X → X ′′ e continua.

Dim.: esercizio.

Definizione 18: Due spazi metrici X e X ′ si dicono omeomorfi se esiste una mappa f : X →X ′ biettiva e continua, la cui inversa f−1 : X ′ → X anch’essa continua.

Due spazi metrici omeomorfi possono essere in un certo senso identificati da un punto di vista’topologico’.

Esercizio 15: Provare che una sfera ed un cubo in R3 sono omeomorfi, se si usa in ambedue la distanza

euclidea.

Assumiamo ora X ′ = C oppure X ′ = R, con la distanza canonica.

Esercizio 16: Sia x0 ∈ X fissato. Provare che f : X → R definita da f(x) = d(x, x0) e una funzione continua

su X. Concluderne che la funzione su C a valori in R definita da z |z| e continua.

Esercizio 17: Provare che le funzioni definite su C a valori in R definite da z ℜ(z), da z ℑ(z), e da

z |z| sono continue. Concluderne che se f : X → C e continua, allora ℜ(f) : X → R, ℑ(f) : X → R, e|f | : X → R sono anch’esse continue.

Teorema 8: Siano f : X → C e g : X → C funzioni continue, e sia a ∈ C arbitrario. Definiamole funzioni f + g : X → C, af : X → C, fg : X → C:

(f + g)(x) ≡ f(x) + g(x) , (af)(x) ≡ af(x) , (fg)(x) = f(x)g(x) .

Ciascuna di esse e una funzione continua.

Dim.: esercizio.


2.6 Funzioni Continue su un Compatto.

Teorema 9: (Weierstrass): Sia f : X → R una funzione continua sullo spazio metrico X, esia K ⊆ X un sottoins. compatto di X. Allora f ammette massimo e minimo in K: e cioe,esistono punti x− ∈ K e x+ ∈ K, tali che , ∀x ∈ K, f(x−) ≤ f(x) ≤ f(x+).

Dim.: dimostriamo anzitutto che f e superiormente limitata su K, cioe che esiste M ∈ Rtale che f(x) ≤ M , ∀x ∈ K. Se cio non fosse vero, per ogni n intero si potrebbe trovarexn ∈ K tale che f(xn) > n. Per definizione di compattezza, la successione xn ammetterebbeuna sottosuccessione xj(n) convergente a un qualche x∞ ∈ K. Allora, essendo f continua,dovrebbe valere f(x∞) = lim

n→∞f(xj(n)). Visto che f(xj(n)) > j(n) per costruzione, cio porta

all’assurdo f(x∞) = +∞. Si e cosı provato che l’insieme f(x) | x ∈ K e superiormentelimitato: sia dunque M il sue estremo superiore. Per ogni n ∈ N, si potra trovare xn ∈ K inmodo che f(xn) > M − 1/n. Per la compattezza di K, xn ha almeno una sottosuccessioneconvergente xj(n), e sia x+ il suo limite. Per la continuita di f , risulta

M ≥ f(x+) = limn→∞

f(xj(n)) ≥ limn→∞

(M − 1/j(n)) =M

dunque f(x+) = M , cioe x+ e un punto di massimo. La dimostrazione per il minimo segueosservando che il minimo di f(x) e massimo di −f(x), che e anch’essa una funzione continua .

Cammini in uno Spazio Metrico.

Un qualunque sottinsieme Y di uno spazio metrico X puo essere esso stesso inteso come unospazio metrico, con la stessa definizione di distanza. Cio e vero in particolare per un qualunqueintervallo chiuso [a, b] ⊂ R .

Definizione 19: Si chiama cammino (inglese: path) in uno spazio metrico X una mappacontinua γ da un intervallo chiuso [a, b] ⊂ R in X. Il sottoinsieme γ ⊆ X definito da γ ≡γ(t)|a ≤ t ≤ b si chiama la traccia, o sostegno, del cammino γ. I punti γ(a) ∈ X eγ(b) ∈ X si dicono gli estremi del cammino γ.

Esercizio 18: Per t ∈ [0, 1] si ponga γ1(t) = e2πit. Si mostri che γ1 e un cammino in C, e si individui la

traccia di γ1. Si osservi poi che γ2(t) = e4πit definisce un cammino γ2 in C, che e diverso da γ1, e tuttavia ha

la stessa traccia.

Esercizio 19: Mostrare che la traccia di un cammino e un insieme compatto.

Definizione 20: Un sottoinsieme D ⊆ X si dice connesso per archi se, comunque si scelganox1 ∈ D e x2 ∈ D, esiste un cammino γ : [a, b] → X tale che γ(a) = x1, e γ(b) = x2, e inoltre,∀t ∈ [a, b], γ(t) ∈ D.

Definizione 21: Un cammino γ : [a, b] → C si dice chiuso se i suoi estremi coincidono, cioe seγ(a) = γ(b). Un cammino γ si dice semplice se γ(t1) = γ(t2), t1 = t2 e possibile solo, al piu,se t1 = a e t2 = b.


Definizione 22: Il cammino inverso di un cammino γ : [a, b] → X e il cammino −γ :[−b,−a] → X definito da (−γ)(t) = γ(−t). Se γ1 : [a, b] → X e γ2 : [c, d] → X sonocammini tali che c = b e γ2(c) = γ1(b), il cammino somma γ1 + γ2 : [a, d] → X e definito da(γ1 + γ2)(t) = γ1(t) per a ≤ t ≤ b, e (γ1 + γ2)(t) = γ2(t) per c ≤ t ≤ d].

Definizione 23: Siano γ1 : [a, b] → X e γ2 : [c, d] → X due cammini in X. Se esiste unafunzione reale continua f : [a, b] → [c, d], strettamente crescente, tale che f(a) = c e f(b) = d,in modo che risulti γ1 = γ2 f , allora si dice che i cammini γ1 e γ2 sono equivalenti.

Due cammini equivalenti hanno la stessa traccia, e differiscono solo per una ”riparametrizza-zione”. La funzione f rappresenta un ”cambiamento di parametro”.

Esercizio 20: Si dica se i due cammini dell’esercizio 18 sono equivalenti.

Esercizio 21: Mostrare che la relazione fra cammini stabilita dalla definizione 23 e effettivamente una

relazione di equivalenza.

Esercizio 22: Mostrare che ogni cammino γ : [a, b] → X ha un cammino equivalente definito sull’intervallo

[0, 1]

Definizione 24: Una curva in X e una classe di equivalenza di cammini. Una curva chiusa(risp., semplice) e una classe di equivalenza di cammini chiusi (risp., semplici).

Nota 6: E’ facile vedere (Esercizio!) che: se due cammini γ1 e γ2 sono equivalenti; se uno dei due e

semplice (risp., chiuso) allora anche l’altro e semplice (risp., chiuso); se due cammini sono equivalenti, i

loro cammini inversi (v. la Def.22) sono equivalenti; che somme (v. la Def. 22) di cammini equivalenti

sono equivalenti. Si potra pertanto parlare della curva inversa di una curva data, ed anche della curva

somma di curve date.

Definizione 25: Una curva chiusa e semplice in C si dice una curva di Jordan.

Teorema 10: (di Jordan) Sia γ la traccia di una curva di Jordan. L’insieme C \ γ non econnesso per archi, ed e unione di due aperti disgiunti, uno dei quali e limitato, e l’altro no.Essi si dicono rispettivam. il dominio interno e il dominio esterno alla curva.

Nel seguito, il dominio interno a una curva di Jordan γ verra sovente denotato Int(γ).Una curva di Jordan possiede un verso, che e quello in cui viene percorsa da tutti i camminisemplici che la rappresentano.

Definizione 26: Una curva di Jordan si intende orientata positivamente nel verso che lasciaa sinistra la parte di piano ad essa interna.


Fig. 2.1: Proiezione Stereografica Polare.


2.7 Il Piano Complesso Esteso.

La retta reale estesa R = R ∪ −∞,+∞ si ottiene aggiungendo alla retta reale R due puntiall’infinito. Allo stesso ordine di idee appartiene la costruzione del cosiddetto ” piano complessoesteso” C, che si ottiene aggiungendo a C un ”punto all’infinito”, denotato ∞. L’insieme cosi’ottenuto viene dotato di una topologia, che lo rende omeomorfo ad una sfera. Illustriamo persommi capi questa costruzione.

La sfera di Riemann.

Sia Σ la superficie sferica di raggio 1 in R3, centrata in (0, 0, 0). Il ”polo Nord” di questa sfera eil punto: N ≡ (0, 0, 1), e il ”piano equatoriale” e il piano Z = 0, che identifichiamo senz’altrocon il piano complesso C. Tanto la sfera, che il suo piano equatoriale, sono spazi metrici con ladistanza che ereditano, in quanto sottoinsiemi, da R3.

• Definiamo una mappa σ : C → Σ come segue. Per z ∈ C, tracciamo la retta per z edN . Questa retta interseca Σ, oltre che in N , in un unico altro punto P ; allora definiamoσ(z) = P . I punti del piano esterni all’equatore vengono mappati nell’emisfero boreale,quelli interni all’equatore vengono mappati nell’emisfero australe, e i punti che si trovanosull’equatore vengono mappati in se stessi. Questa mappa e iniettiva, ed anche continua.Tuttavia non e suriettiva, perche nessun punto in C ha per immagine N . Pertanto lamappa σ−1 e definita solo su Σ\N. La mappa σ−1 e nota come ”Proiezione StereograficaPolare”.

• Ora modifichiamo l’ordinaria distanza in C, ridefinendo d(z1, z2) = d(σ(z1), σ(z2)). E’facile verificare, che con questa nuova distanza C e uno spazio metrico equivalente a Ccon la vecchia distanza d, nel senso che gli insiemi aperti sono gli stessi, e dunque anchele successioni convergenti sono le stesse.

• Aggiungiamo a C un nuovo elemento ∞, ossia passiamo a C ≡ C ∪ ∞. Definiamo lamappa σ : C → Σ mediante σ(z) = σ(z) per z ∈ C, e σ(∞) = N . E’ immediato verificareche questa mappa e biettiva da C su Σ.

• Infine facciamo di C uno spazio metrico, definendovi la distanza d(z1, z2) = d(σ(z1), σ(z2))per ogni coppia z1, z2 ∈ C; in tal modo, le distanze fra i punti di C rimangono le stesse, ein piu d(z,∞) = d(σ(z),N ). Gli intorni in C di ogni punto z ∈ C sono ancora intorni diquel punto in C; quanto al nuovo punto ∞, per δ > 0 abbastanza piccolo la palla Bδ(∞)e la proiezione stereografica di una ”calotta polare”, ed e quindi la parte di piano esternaad un certo cerchio. Ne scende che il dominio esterno ad una qualunque curva di Jordane un intorno di ∞. Infine, σ e continua assieme alla sua inversa.

Lo spazio C si chiama il piano complesso esteso, ed e per costruzione omeomorfo alla sfera Σ.Per questa ragione, viene talvolta chiamato ”Sfera di Riemann”.La costruzione di C come spazio metrico comporta :


Proposizione 7: Una successione zn converge a ∞: limn→∞ zn = ∞, se essa e definitiva-mente fuori da ogni palla (e quindi da ogni insieme limitato). Il limite a ∞ di una funzionef : C → C definito in un intorno di ∞ esiste ed e eguale ad a ∈ C, se per ogni ϵ > 0 si puotrovare R > 0 in modo che f(z) ∈ Bϵ(a) ogni volta che |z| > R.

Esercizio 23: Mostrare che C e compatto.

La sfera di Bloch.

L’introduzione in C di un ”elemento improprio” puo essere effettuata anche in un altro modo.Consideriamo lo spazio C2 \ (0, 0) delle coppie ordinate di numeri complessi (z1, z2), da cuiescludiamo (0, 0). Introduciamo una relazione:

(z1, z2) ∼ (z′1, z′2) se, e solo se, z1z

′2 − z2z

′1 = 0 ,

vale a dire, se i numeri z′1, z′2 si ottengono dai numeri z1, z2 moltiplicandoli per uno stesso

fattore complesso diverso da 0. E’ facile vedere che questa e una relazione di equivalenza inC2 \ 0, 0. L’insieme quoziente si chiama ”linea proiettiva complessa” CP1. In Fisica Teoricavien detto ’sfera di Bloch’, e i suoi elementi qubits. Possiamo stabilire una mappa da C a CP1

come segue; a z ∈ C associamo la classe di equivalenza di cui (z, 1) e rappresentante; a ∞associamo la classe di tutte le coppie del tipo (z, 0) con z = 0. Si puo anche dire che al puntodi CP1 rappresentato da (z1, z2) ∈ C2 \ (0, 0) corrisponde z = z1/z2 ∈ C, intendendo chez1/0 = ∞. Questa corrispondenza e biunivoca, e permette di identificare, in senso topologico,CP1 con il piano complesso esteso e quindi con una sfera, che e appunto detta sfera di Bloch.La corrispondenza fra la sfera Σ e CP1 ha aspetti importanti per la Fisica (v. Complementi).

Esercizio 24: Si consideri una trasformazione lineare non-singolare in C2:

z′1 = Az1 +Bz2 , z′2 = Cz1 +Dz2 ; (AD −BC = 0) .

Si verifichi che punti equivalenti in C2 \ 0, 0 hanno immagini equivalenti sotto questa trasformazione. Quindi

essa definisce una trasformazione in CP1 e di conseguenza una trasformazione in C. Si dica quale e quest’ultima

trasformazione. ( Rispo.: v. la Sez. 9.2.3, eq.(9.37).)

Nota 7: Nel piano complesso esteso esiste un solo punto all’infinito, dunque espressioni come ”z tende a −∞”,

che fanno riferimento a una direzione particolare, non hanno significato.

Esercizio 25: Provare che per ogni intero positivo n : limz→∞

zn = ∞, e per ogni intero n negativo limz→∞

zn = 0.

3. FUNZIONI DI UNA VARIABILE COMPLESSA.

L’oggetto principale di questo corso e costituito da funzioni f : D → C, dove D ⊆ C e ildominio della funzione. Si considereranno sempre funzioni il cui dominio D soddisfa certecondizioni minime, riassunte dalla seguente

Definizione 27: Si chiama dominio un sottoinsieme aperto e connesso per archi di C.

Se D e un dominio nel piano, specificare una funzione f : D → C significa assegnare ad ognipunto (x, y) ∈ D un numero complesso f(x + iy). Cio e equivalente a specificare due funzioniu, v di due variabili reali x, y: u(x, y) = ℜ(f(x+ iy)), e v(x, y) = ℑ(f(x+ iy)). Dopo di che,

f(z) = u(x, y) + iv(x, y) , z = x+ iy ∈ D ⊆ C . (3.1)

Le funzioni reali u e v si dicono la parte reale e la parte immaginaria della funzione f . Comeesempi immediati si possono considerare:- la funzione f(z) = z2, per la quale un calcolo immediato mostra che u(x, y) = x2 − y2, ev(x, y) = 2xy.- la funzione esponenziale, definita in (1.6). In questo caso, u(x, y) = ex cos(y), e v(x, y) =ex sin(y).La tradizionale classificazione delle funzioni di una variabile reale o complessa le divide nelleclassi seguenti:

• le Funzioni Algebriche: le funzioni che coinvolgono un numero finito di operazioni alge-briche, cioe somme, prodotti, potenze, divisioni, radici. Esse includono, come sottoclasse,le funzioni razionali, che non contemplano estrazioni di radice, e a loro volta le funzionirazionali includono i Polinomi, che non includono divisioni, e sono quindi le funzioni dellaforma

Pn(z) = a0 + a1z + a2z2 + . . .+ anz

n ,

dove a0, . . . an sono numeri complessi assegnati, e si assume an = 0. L’intero n ≥ 0 e ilgrado del polinomio. Ogni polinomio ha dominio C. Ogni funzione razionale e quindi ilquoziente di due polinomi:

R(z) =Pn(z)

Qm(z)

di grado n ed m rispettivamente. Si puo sempre assumere che il numeratore e il denomi-natore non abbiano zeri comuni e allora la funzione razionale non e definita in C ma soloin B = C \ a1, . . . al, dove l ≤ m e a1, . . . al sono gli zeri (distinti) del denominatore.

3. Funzioni di una variabile Complessa. 22

• le Funzioni Trascendenti: la definizione di questa classe e a questo punto prematura.Essa contiene in particolare le f. Trascendenti Elementari: la funzione Esponenziale, lefunzioni Circolari, le funzioni Iperboliche appartengono a questa sottoclasse.

Teorema 11: Una funzione f : D → C definita su un dominio D ⊆ C e continua in z0 =x0 + iy0, se, e solo se, la sua parte reale u e la sua parte immaginaria v sono continue in(x0, y0) ∈ D ⊆ R2.

Dim.: conseguenza immediata di Eserc. 16, Def.17, Prop.2.

Esercizio 26: Provare che f(z) = z∗ e una funzione continua su C.

3.1 Funzioni Olomorfe.

3.1.1 Condizioni di Cauchy-Riemann.

Definizione 28: Sia f : D → C, e z0 ∈ D. Si dice che la funzione f e olomorfa nel punto z0se esiste il limite

limh→0

f(z0 + h)− f(z0)

h.

Il valore di questo limite si dice la derivata di f nel punto z0 e si denota f ′(z0). La funzionef si dice poi olomorfa nel dominio D, se e olomorfa in ogni punto di D.

In maniera piu formale:

Definizione 29: f e olomorfa in z0 se esiste un numero complesso, denotato f ′(z0), tale che:∀ϵ > 0, ∃δ > 0 in modo che, ∀z ∈ Bδ(z0) \ z0,

f(z)− f(z0)

z − z0∈ Bϵ(f

′(z0)) . (3.2)

Queste definizioni sono formalmente identiche alla definizione di derivata di una funzione diuna variabile reale. Cio non ostante, la condizione (3.2) e assai piu impegnativa nel campocomplesso, di quanto non lo fosse nel campo reale. Sia, per esempio, D = C e f(z) = ℜ(z).Nel campo reale, questa e la funzione identica, dunque indefinitamente derivabile. Nel campocomplesso, invece,

f(z)− f(z0)

z − z0=

ℜ(z − z0)

z − z0.

Il membro destro di questa equazione vale 0 ogni volta che z − z0 e un numero immaginario, einvece vale 1 ogni volta che z− z0 e un numero reale; pertanto, il ”rapporto incrementale”, cioeil membro sinistro della (3.2,) assume sia il valore 0 che il valore 1 in Bδ(z0), qualunque sia ilvalore di δ > 0, e quindi non puo avvicinarsi a nessun limite. Dunque la funzione ℜ(z) non ederivabile in nessun punto.Tuttavia, al punto di vista geometrico, una funzione f(z) descrive una mappa del piano in se;


cio suggerisce che per sua derivata non si debba cercare un corrispettivo nel calcolo differenzialereale per funzioni da R in R, ma piuttosto in quello per funzioni da R2 in R2.

A questo proposito, ricordiamo che una mappa M : D → R2, assegnata mediante due funzioni realiu(x, y) e v(x, y) di due variabili reali (x, y), definite su un dominio D ⊆ R2, si dice differenziabile in unpunto P ≡ (x0, y0) ∈ D, se esiste una matrice 2× 2, che denotiamo TPM , i cui elementi sono funzionidi x0, y0 ma non di x, y, la quale verifica:∣∣∣∣ δuδv

∣∣∣∣ = TPM

∣∣∣∣ δxδy∣∣∣∣ +

∣∣∣∣ η1(x, y)η2(x, y)

∣∣∣∣ (3.3)

dove δx = x − x0, δy = y − y0, δu = u(x, y) − u(x0, y0), δv = v(x, y) − v(x0, y0), e dove η1 ed η2, altendere di δx e δy a 0, sono infinitesimi di ordine superiore a

√δx2 + δy2. Si dimostra che se questo

e vero allora le funzioni funzioni u e v ammettono le derivate parziali del primo ordine, e TM(x0,y0) siscrive, in termini di queste derivate, nel modo seguente:

TM(x0,y0) =

∣∣∣∣ ∂xu(x0, y0) ∂yu(x0, y0)∂xv(x0, y0) ∂yv(x0, y0)

∣∣∣∣ (3.4)

Questa matrice si chiama la matrice Jacobiana della mappa M nel punto (x0, y0). Essa definisce

una trasformazione lineare in R2 che approssima localmente nell’intorno di (x0, y0) la trasformazione

(x, y) (u, v) (che non e lineare in generale), tanto meglio, quanto piu il punto (x, y) e vicino al

punto (x0, y0). Si dimostra anche che se, viceversa, u e v ammettono derivate parziali del primo

ordine continue, allora la mappa M e differenziabile.

Definizione 30: f : D → C si dira regolare in D, se e olomorfa in D, e se la sua derivataf ′(z) e una funzione continua in D.

Nota 8: Questa definizione riproduce quella di ”funzione di classe C1” nel campo reale, dove essa

rappresenta un reale rafforzamento della nozione di funzione derivabile. Anticipiamo che, nel caso

complesso, cio non e piu vero, e la definizione 30 risultera essere equivalente alla 28. Questo fatto,

tutt’altro che evidente, rendera la definizione 30 pleonastica.

Teorema 12: Sia f : D → C, e siano u : D → R e v : D → R la parte reale e la parteimmaginaria di f (cfr. eq. (3.1)). Condizione necessaria e sufficiente perche f sia regolare inD e che le funzioni u(x, y) e v(x, y) ammettano derivate parziali del 1 ordine in ogni punto diD, che esse siano continue in D, e che verifichino le condizioni :

∂xu(x, y) = ∂yv(x, y) , ∂yu(x, y) = −∂xv(x, y) , (3.5)

in ogni punto (x0, y0) ∈ D; e risulta:

f ′(z0) = ∂xu(x0, y0) + i∂xv(x0, y0) = ∂yv(x0, y0)− i∂yu(x0, y0) . (3.6)

Le condizioni (3.5) sono note come condizioni di Cauchy-Riemann, o condizioni diolomorfismo, o condizioni di monogenita.


Dim.: se f e regolare in D, allora la (3.2) vale ∀z ∈ D. Come al solito denotiamo u(x, y) ≡ℜ(f(x + iy)), v(x, y) ≡ ℑ(f(x + iy)), e inoltre δx ≡ ℜ(z − z0) e δy ≡ ℑ(z − z0); infine,δu ≡ ℜ(f(z)− f(z0)), e δv ≡ ℑ(f(z)− f(z0)). Siccome f(z) e olomorfa in z0, deve valere:

f(z) − f(z0) = f ′(z0)(z − z0) + R(z, z0) , (3.7)

dove

limz→z0

R(z, z0)

z − z0= 0 . (3.8)

Introducendo le parti reali e immaginarie, la (3.7) si traduce in due equazioni reali, che possonoessere scritte sotto forma di un’unica equazione vettoriale:∣∣∣∣ δuδv

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ ℜ(f ′(z0)) −ℑ(f ′(z0))ℑ(f ′(z0)) ℜ(f ′(z0))

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ δxδy∣∣∣∣ +

∣∣∣∣ ℜ(R(z, z0))ℑ(R(z, z0))

∣∣∣∣ . (3.9)

La (3.8) assicura che le due componenti dell’ultimo vettore colonna sono infinitesimi di ordinesuperiore ripetto a

√δx2 + δy2 = |z − z0|; pertanto la (3.9) dice che la mappa del piano in

se che viene definita sul dominio D da (x, y) → (u(x, y), v(x, y)) e differenziabile nel punto(x0, y0), Come si e richiamato sopra, questo implica che le funzioni u e v ammettono le derivateparziali prime rispetto a x e y nel punto (x0, y0). Inoltre la matrice in (3.9) deve coincidere conla matrice Jacobiana (3.3) , e percio si vede che∣∣∣∣ ∂xu(x0, y0) ∂yu(x0, y0)

∂xv(x0, y0) ∂yv(x0, y0)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ ℜ(f ′(z0)) −ℑ(f ′(z0))ℑ(f ′(z0)) ℜ(f ′(z0))

∣∣∣∣ , (3.10)

da cui discendono subito le condizioni (3.5), nonche le (3.6). Essendosi assunta f(z) regolare,f ′(z) deve essere continua, e quindi dal Teor. 11 e dalle (3.6) segue che le derivate parziali diu e v devono essere continue.Viceversa, viene provato nell’analisi reale che se u e v hanno derivate parziali continue allorasono differenziabili, e percio, se queste derivate verificano le condizioni di Cauchy-Riemann.allora vale (3.9), e anche (3.7).

Esercizio 27: Servendosi delle condizioni di Cauchy-Riemann, mostrare che se f : D → C e una funzione a

valori esclusivamente reali, oppure a valori esclusivamente immaginari, e non e costante, allora non e olomorfa.

In particolare, la funzione f(z) = |z|2 non e olomorfa, salvo che per z = 0.

Esercizio 28: Mostrare che la funzione f(z) = z∗ non e olomorfa.

Esercizio 29: Trovare la piu generale funzione olomorfa, la cui parte immaginaria e costante lungo ogni retta

parallela all’asse reale.(Dic. 2008)

Definizione 31: Una funzione intera e una funzione definita su tutto C, ovunque olomorfa.

Esercizio 30: Mostrare che la funzione esponenziale, la funzione seno, e la funzione coseno sono funzioni

intere, e trovarne le derivate.

Esercizio 31: Trovare tutte le funzioni f(z), olomorfe in qualche dominio, che ivi si possono scrivere nella

forma f(z) = eiS(x,y) dove S(x, y) e una funzione a valori reali.


0 0.5 1 1.5 2 2.5

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 A

B

C

A’

C’

B’

0

Fig. 3.1: Il triangolo curvilineo A’B’C’ e l’immagine del triangolo ABC sotto la trasformazioneconforme z → ez.

3.1.2 Rappresentazioni Conformi,

Le mappe del piano che sono descritte da funzioni f(z) regolari hanno caratteristiche geome-triche distintive. Come si e visto, nell’intorno del generico punto (x0, y0) esse sono descritte, ameno di infinitesimi di ordine superiore, da una matrice Jacobiana che ha la forma particolare(3.10). Questa puo essere riscritta nella forma seguente:∣∣∣∣ ℜ(f ′(z0)) −ℑ(f ′(z0))

ℑ(f ′(z0)) ℜ(f ′(z0))

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ |f ′(z0)| 00 |f ′(z0)|

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ cos(arg(f ′(z0)) − sin(arg(f ′(z0))sin(arg(f ′(z0)) cos(arg(f ′(z0))

∣∣∣∣(3.11)

che la presenta come composizione di due trasformazioni piu semplici. Se f ′(z0)) = 0, la primadi queste (la matrice diagonale) rappresenta una omotetia, cioe una trasformazione che nonmodifica la direzione dei vettori ma solo le loro lunghezze, e quindi li allunga (o contrae) di unfattore |f ′(z0))|, indipendente dalla direzione. La seconda descrive una rotazione rigida di unangolo arg(f ′(z0)) nel senso antiorario. Dunque il carattere ”locale” della mappa piana definitada una funzione olomorfa e il seguente: in ogni punto, gli ”elementi di linea” vengono dilatati,in ragione indipendente dalla direzione; e vengono al contempo ruotati, di un angolo (positivo,o negativo) indipendente dalla loro direzione. Ne consegue che l’angolo che due linee formanointersecandosi in un punto z e eguale all’angolo che formano le loro immagini intersecandosinel punto f(z) (v. Fig. 3.1). Una mappa nel piano che gode di queste proprieta si dice unarappresentazione conforme. Dunque, una funzione olomorfa descrive una mappa conforme delpiano in se nell’intorno di ogni punto il cui la sua derivata non e nulla. Non e difficile vedereche anche il viceversa e vero.

Esercizio 32: Le funzioni f(z) = ℜ(z) e f(z) = z∗ non sono olomorfe, quindi le mappe corrispondenti non

sono conformi. Lo si verifichi per via geometrica diretta.


3.2 Regole di Derivazione.

La identita formale fra la definizione di derivata di una funzione f(z) della variabile complessaz, e la definizione di derivata di una funzione f(x) di una funzione di una variabile reale x,garantisce che le regole di derivazione note nel campo reale, e che sono ivi stabilite servendosiesclusivamente di proprieta dei numeri reali, che sono condivise dai complessi, rimangono for-malmente identiche nel campo complesso. Per illustrare questo utile principio (”trascrivere zal posto di x”) calcoliamo la derivata della funzione f(z) = zn per n ∈ N:

(z + h)n − zn

h=

n−1∑m=0

(nm

)zmhn−m−1

e quindi

limh→0

(z + h)n − zn

h=

(n

n− 1

)zn−1 = nzn−1 ,

che e formalmente identico al risultato reale, ed e stato ricavato esattamente nello stesso modo,grazie al fatto che il binomio di Newton rimane valido in C.In grazia di questo principio, diamo per stabilite le regole di derivazione seguenti:- La regola di derivazione della somma,- La regola di derivazione del prodotto,- La regola di derivazione del quoziente,- La regola di derivazione della funzione composta, o ”chain rule”: se f : D → C e g : C → Csono olomorfe, allora g f e olomorfa in D ∩ f−1(C) → C, e (g f)′(z) = g′(f(z))f ′(z).Una immediata conseguenza e:

Proposizione 8: Ogni polinomio e una funzione intera. Ogni funzione razionale e una funzioneregolare nel suo dominio.

Anche la regola di derivazione della funzione inversa rimane valida, ma questa nozione ealquanto delicata, e ne faremo oggetto di un discorso piu particolareggiato

3.3 Funzione Inversa.

Definizione 32: Sia f : D → C una funzione continua. Chiameremo inversa locale di f ognifunzione g : Ω → C anch’essa continua, tale che g(Ω) ⊆ D, e f(g(z)) = z per ogni z ∈ Ω. Seg(Ω) = D, allora g verra detta la funzione inversa globale di f .

Proposizione 9: Se g e una inversa locale di f , allora g e una funzione iniettiva, e Ω ⊆ f(D).Se g e inversa globale di f , allora f e funzione inversa globale di g, e quindi e un omeomorfismodi D su Ω; cioe e biettiva, continua, con inversa continua.

Dim.: g(z1) = g(z2) = z implicano z1 = f(g(z1)) = f(z) = f(g(z2)) = z2 quindi g e iniettiva.Se z ∈ Ω, allora z = f(z′) con z′ = g(z) ∈ D, cioe z ∈ f(D) e quindi Ω ⊆ f(D). Se g einversa globale, D = g(Ω), allora z ∈ f(D) implica z = f(z′) con z′ ∈ D = g(Ω) e quindi


z′ = g(z′′) per qualche z′′ ∈ Ω; allora z = f(g(z′′)) = z′′ ∈ Ω, e quindi f(D) ⊆ Ω che assiemeall’inclusione opposta, gia provata, implica Ω = f(D). Inoltre se z ∈ D allora z = g(z′), z′ ∈ Ωe f(z) = f(g(z′)) = z′; pertanto, g(f(z)) = g(z′) = z.

3.3.1 La Radice Quadrata.

Sia f : C → C data da f(z) = z2. Se in un dominio Ω e definita una funzione continuag : Ω → C tale che g(z)2 = z per ogni z ∈ Ω, allora la funzione g(z) si chiama una branca,o anche ramo, della radice quadrata. Per esempio, sia Ω = C \ z |ℑ(z) = 0,ℜ(z) ≤ 0.Questo dominio e il piano complesso, privato del semiasse reale negativo. Per z ∈ Ω definiamo:

g1(z) =√|z| ei arg(z)/2 , −π < arg(z) < π .

E’ immediato verificare che g e una branca della radice in Ω. Lo stesso e vero , per

g2(z) =√

|z| ei arg(z)/2 , π < arg(z) < 3π .

e le due funzioni g1 e g2 riproducono per ogni z ∈ Ω i due possibili valori della radice quadratadi un numero complesso. La natura solo locale di queste inverse risulta evidente da

g1(Ω) = z ∈ C | ℜ(z) > 0 , g2(Ω) = z ∈ C | ℜ(z) < 0 .

Non e possibile definire una inversa globale. Per convincerci di questo, notiamo che una taleg dovrebbe avere per dominio Ω = z2 | z ∈ C = C; e consideriamo il cammino chiusoγ(t) = e2πit, 0 ≤ t ≤ 1. Dovendo g essere continua, g γ dovrebbe essere una funzione continuasu [0, 1] ed assumere lo stesso valore in t = 0 ed in t = 1. Cio non puo accadere. Infattig(γ(t))2 = γ(t) richiede che, per ogni t ∈ [0, 1], g(γ(t)) sia una delle due radici di γ(t), e cioeg(γ(t)) = eiπt, oppure g(γ(t)) = −eiπt; ossia, che

g(γ(t)) = χ(t) eiπt

dove χ(t) e una qualche funzione su [0, 1] che assume solo i valori ±1, ed inoltre e continua,perche tale ha da essere g(γ(t)). Le uniche funzioni χ(t) con questi requisiti sono χ(t) = costante= 1 e χ(t) = costante = −1. Con una scelta o con l’altra, risulta lim

ϵ→0[g(γ(ϵ))−g(γ(1− ϵ)] = ±2

nonostante che limϵ→0

γ(ϵ) = 1 = limϵ→0

γ(1− ϵ) , contraddicendo la continuita di g.

Alla radice di questa difficolta sta il noto fatto che arg(z) non puo essere definito globalmentenel piano complesso in modo da essere continuo. In maniera non del tutto precisa ma efficacesi puo dire che non e possibile definire una branca della radice in nessun dominio Ω, in cui siapossibile descrivere un cammino chiuso γ lungo il quale l’incremento di arg(γ(t)) valga 2π, cioein nessun dominio mantenendosi all’interno del quale sia possibile ”girare una volta attornoall’origine”. Si noti che ogni dominio contenente l’origine offre questa possibilita, perche, es-sendo aperto, contiene un cerchio centrato in 0 di raggio sufficientemente piccolo, sul quale epossibile descrivere un cammino chiuso e semplice. Dunque non e possibile definire una brancadella radice in nessun dominio che contenga l’origine.In un qualunque dominio in cui si possa definire una branca della radice, se ne possono definiredue, e non piu di due.


3.3.2 La radice n−ma.

Una discussione analoga a quella svolta sopra per la radice quadrata si puo replicare per leinverse della funzione f(z) = zn con n intero. Esse non possono essere definite globalmente,ma solo in domini in cui non si possa ”girare attorno all’origine”. Nessuno di tali domini puocontenere l’origine. In ogni dominio in cui e definita una branca, ne sono definite esattamenten.

3.3.3 Il Logaritmo.

Sia f(z) = ez, definita su tutto C. Se in un dominio Ω e definita una funzione continuag : Ω → C tale che eg(z) = z per ogni z ∈ Ω, allora la funzione g(z) si chiama una branca, oanche ramo, del logaritmo. Per esempio, sia Ω = C \ z |ℑ(z) = 0,ℜ(z) ≤ 0. Questo dominioe il piano complesso, privato del semiasse reale negativo. Per z ∈ Ω, e k ∈ Z, definiamo:

gk(z) = ln(|z|) + i arg(z) , (2k − 1)π < arg(z) < (2k + 1)π . (3.12)

Ricordando la discussione dei logaritmi nella Sezione 1.2, si riconosce facilmente che ciascunadelle funzioni gk e una branca del logaritmo in Ω. Esistono dunque infinite branche distinte dellogaritmo.

Definizione 33: La funzione (3.12) con k = 0 si chiama la branca principale, o anche ladeterminazione principale, del Logaritmo.

Questa determinazione e quella che riproduce i valori della funzione ln dell’analisi reale quandoz e un numero reale positivo.Si riconoscera senza difficolta che la discussione svolta a proposito della nonesistenza di brancheglobali, e nemmeno di branche locali laddove si possa ”girare attorno all’origine”, svolta aproposito della radice, puo essere ripetuta alla lettera nel caso del logaritmo.

Esercizio 33: Come deve essere scelta la funzione reale g(x, y) affinche la funzione f(z) = f(x + iy) =

exp(ig(x, y)) sia olomorfa? (Apr 2002)

3.3.4 Derivata della Funzione Inversa.

Teorema 13: Sia f : D → C continua e olomorfa (risp., regolare), e dotata di una inversalocale g in Ω ⊆ C. g e olomorfa (risp., regolare) in ogni punto z ∈ Ω in cui f ′(g(z)) = 0, erisulta

g′(z) =1

f ′(g(z)). (3.13)

Dim. Sia a ∈ Ω. Sia δ > 0 tale che Bδ(a) ⊆ Ω, e sia h = 0 tale che a + h ∈ Bδ(a), Allorag(a+ h) = g(a) perche g e iniettiva, e quindi si puo scrivere:

1 =f(g(a+ h))− f(g(a))

h=f(g(a+ h))− f(g(a))

g(a+ h)− g(a)

g(a+ h)− g(a)

h


Siccome g e continua, g(a+ h)− g(a) tende a zero per h→ 0 e quindi il 1 fattore nel mombrodestro tende a f ′(g(a)). Dunque anche il 2ndo fattore deve ammettere limite, quindi g eolomorfa, e vale (3.13).

Corollario 2: Ogni branca g(z) della radice n−ma e regolare in ogni dominio in cui e definita,e la sua derivata e (nz)−1g(z).

Corollario 3: Ogni branca del logaritmo e regolare in ogni dominio in cui e definita, e la suaderivata e 1/z.

Nota 9: Il teorema (13) e tanto semplice quanto povero. Infatti l’esistenza di una inversa locale per

una funzione olomorfa f , in un intorno di ogni punto in cui f ′ = 0, che in questo teorema e assunta

come ipotesi, puo essere dimostrata.

4. L’INTEGRALE CURVILINEO.

4.1 Cammini Regolari.

Sia γ : [a, b] → C un cammino nel piano complesso, nel senso della Definizione 19. Dall’esercizio16 segue che le funzioni x : [a, b] → R e y : [a, b] → R rispettivam. definite da x(t) = ℜ(γ(t))e da y(t) = ℑ(γ(t)) sono continue. Viceversa, date due funzioni reali x(t), y(t) continue su unintervallo [a, b] ⊂ R, la funzione γ(t) ≡ x(t) + iy(t) definisce un cammino in C. Le funzionix(t) e y(t) sono le equazioni parametriche della curva piana γ. E’ conveniente raffigurarsi uncammino γ(t), (a ≤ t ≤ b) come il movimento di un punto nel piano fra gli istanti t = a e t = b.La traccia del cammino e allora la traiettoria descritta dal punto. In modo del tutto analogo,un cammino γ : [a, b] → Rn e specificato da n funzioni continue xj : [a, b] → R (1 ≤ j ≤ n), inmodo che γ(t) = (x1(t), . . . xn(t)).

Nel seguito chiameremo partizione di un intervallo [a, b] una qualunque famiglia finita dipunti Π = t1, t2, . . . tn con a = t1 < t2 < . . . < tn = b. Se una partizione consiste di n punti,l’intervallo [a, b] ne risulta diviso in n− 1 sotto-intervalli.

Definizione 34: Un cammino γ : [a, b] → C si dice regolare se le funzioni reali definiteper a ≤ t ≤ b da x(t) ≡ ℜ(γ(t)) e y(t) ≡ ℑ(γ(t)) sono funzioni derivabili, con derivatex(t), y(t) continue, e mai simultaneamente nulle (negli estremi a e b si fa riferimento alle derivatedestra e sinistra rispettivamente). Si dice regolare a tratti se si puo trovare una partizionet1, t2, . . . tn in modo che ciascuno dei cammini γj : [tj, tj+1] → C definiti per 1 ≤ j ≤ n − 1da γj(t) = γ(t) per tj ≤ t ≤ tj+1 sia un cammino semplice e regolare.

Se γ e un cammino semplice e regolare, allora la sua traccia γ e dotata di tangente in ognipunto, la cui direzione e quella del vettore ”velocita” (x(t), y(t)) . Lo stesso e vero nel caso diun cammino regolare a tratti, con l’eccezione al piu di un numero finito di punti.Tutte queste definizioni si trasferiscono in maniera ovvia ai cammini in Rn.

Definizione 35: Una curva regolare (risp.: regolare a tratti) e una classe di equivalenzadi cammini regolari (risp., regolari a tratti).

Dato un cammino γ : [a, b] → C, ed una partizione Π = t1, t2, . . . tn di [a, b], si consideri lasomma

V (γ,Π) ≡n−1∑j=1

d( γ(tj+1) , γ(tj) ) .

Questa e la lunghezza della poligonale che muove in linea retta da ciascun punto γ(tj) alpunto successivo γ(tj+1). Nel definire la ”lunghezza” di un cammino, si tiene ferma la nozione

4. L’Integrale Curvilineo. 31

elementare, che il percorso piu breve fra due punti e quello rettilineo; pertanto la lunghezza delcammino non potra essere minore di V (γ,Π) , per nessuna scelta della partizione Π.

Definizione 36: Un cammino γ in C (o in Rn) si dice rettificabile se l’insieme dei numeriV (γ,Π), al variare di Π nella classe di tutte le partizioni di [a, b], e superiormente limitato. Intal caso, l’estremo superiore dell’insieme si dice la lunghezza ℓ(γ) del cammino.

E’ facile vedere che ogni cammino equivalente ad un cammino rettificabile e esso stesso rettifi-cabile, ed ha la stessa lunghezza. Cio giustifica la seguente

Definizione 37: Una curva rettificabile e una classe di equivalenza di cammini rettificabili, ela sua lunghezza e la lunghezza comune di tutti i cammini nella classe.

Si badi che la lunghezza di un cammino rettificabile non e necessariamente la lunghezzadella traccia del cammino; si consideri ad es. il caso dell’esercizio 18. Il seguente fondamentaleteorema viene enunciato senza dimostrazione.

Teorema 14: Ogni cammino in C regolare a tratti e rettificabile.

ℓ(γ) =

∫ b

a

dt√x(t)2 + y(t)2 .

dove, al solito, x(t) = ℜ(γ(t)) e y(t) = ℑ(γ(t)).

Teorema 15: Ogni cammino in Rn regolare a tratti e rettificabile, e

ℓ(γ) =

∫ b

a

dt

√√√√ n∑r=1

xr(t)2 .

Corollario 4: Se γ1+γ2 e il cammino somma di due cammini regolari a tratti, allora ℓ(γ1+γ2) =ℓ(γ1) + ℓ(γ2).

Se γ : [a, b] → C e un cammino regolare a tratti, allora per ogni t ∈ (a, b] si puo definireun cammino γt su [a, t]: γt(t

′) = γ(t′) per a ≤ t′ ≤ t. Ciascuno di questi cammini e regolarea tratti. Denotiamo s(t) = ℓ(γt) per a < t ≤ b, e s(a) = 0 .La funzione s(t) e continua estrettamente crescente su [a, b] ed e di classe C1 a tratti. Grazie al Teorema Fondamentale delCalcolo, in ogni punto in cui x e y sono continue risulta

s(t) =d

dt

∫ t

a

dt′√x(t′)2 + y(t′)2 =

√x(t)2 + y(t)2 ,

che e il modulo del ”vettore velocita” del cammino γ nel punto γ(t).Dato che la funzione s : [a, b] → [0, ℓ(γ)] e continua strettamente crescente, ammette l’inversas−1 : [0, ℓ(γ)] → [a, b]. Di conseguenza, σ ≡ γ s−1 : [0, ℓ(γ)] → C e un cammino equivalentea γ. Quindi ogni curva rettificabile ammette una parametrizzazione, che usa la lunghezzadell’arco come parametro. Di nuovo, queste considerazioni si trasferiscono in modo ovvio alcaso di cammini regolari a tratti su Rn.


4.2 Integrale Curvilineo.

Se D ⊆ Rn e un dominio, un campo vettoriale in D e una mappa V : D → Rn, specificatada n funzioni Vj(x1, x2, . . . xn), (1 ≤ j ≤ n). I campi considerati nel seguito saranno sempreassunti continui, cioe le funzioni Vj verranno assunte continue. Un campo si chiamera regolarese queste funzioni sono derivabili, con derivate parziali prime continue.

Definizione 38: Sia D ⊆ Rn un dominio, γ : [a, b] → D un cammino in D regolare a tratti,e V : D → Rn un campo vettoriale continuo in D. Si dice integrale curvilineo del campolungo il cammino γ, e si indica con ∫

γ

V · dP , (4.1)

l’integrale ∫ b

a

dt V (γ(t)) · γ(t) ≡∫ b

a

dtn∑

j=1

Vj(x1(t), x2(t), . . . xn(t)) xj(t) ,

La abbreviazione ”·” e la stessa che viene spesso usata per il prodotto scalare di vettori in Rn:

x · y =n∑

j=1

xjyj .

e l’integrale (4.1) puo anche essere scritto in forma estesa :∫γ

[ V1(x1, . . . xn) dx1 + V2(x1, . . . xn) dx2 + . . .+ Vn(x1, . . . xn) dxn ] .

Espressioni del tipo di quella che appare fra parentesi quadre si usano per indicare le cosiddette1-forme differenziali su Rn, e non appaiono necessariamente solo sotto un segno di integrale.Per i fini presenti la definizione puramente formale ”una 1-forma e una espressione tale e tale”e sufficiente. Dalla definizione si ricavano facilmente le proprieta seguenti. V1 e V2 sono campiregolari in D ∈ Rn, γ1,2 : [a, b] → D sono cammini regolari a tratti, e a1,2 sono costanti realiarbitrarie.

Teorema 16: ∫γ

[a1V1 + a2V2] · dP = a1

∫γ

V1 · dP + a2

∫γ

V2 · dP ;∫γ1+γ2

V · dP =

∫γ1

V · dP +

∫γ2

V · dP ,∫γ

V · dP = −∫−γ

V · dP . (4.2)


Definizione 39: Sia D ⊆ C un dominio, γ : [a, b] → D un cammino in D regolare a tratti, ef : D → C una funzione continua in D. Si dice integrale di f lungo il cammino γ , e si indicacon ∫

γ

dz f(z) , (4.3)

l’integrale ∫ b

a

dt f(γ(t)) γ(t) .

Dalla definizione si ricavano facilmente le proprieta seguenti, che ricalcano le proprieta elencateper l’integrale curvilineo in Rn. Stavolta a1, a2 sono costanti complesse.

Teorema 17: ∫γ

dz [a1f1(z) + a2f2(z)] = a1

∫γ

dz f1(z) + a2

∫γ

dz f2(z) ;∫γ1+γ2

dz f(z) =

∫γ1

dz f(z) +

∫γ2

dz f(z) ,∫γ

dz f(z) = −∫−γ

dz f(z) . (4.4)

Sia in C che in Rn vale inoltre:

Teorema 18: ∫γ1

V · dP =

∫γ2

V · dP , e

∫γ1

dz f(z) =

∫γ2

dz f(z)

ogni volta che i cammini regolari a tratti γ1, γ2 sono equivalenti (in Rn e in C rispettivamente).

Dim.: date le definizioni degli integrali curvilinei in termini di integrale elementare, cio vienedirettamente dal teorema sul cambiamento della variabile d’integrazione. Grazie all’ultimo teorema, l’integrale curvilineo dipende dalla curva piuttosto che dal camminoche la rappresenta. Pertanto, per quanto riguarda gli integrali curvilinei, nel seguito siconfonderanno le curve con i cammini che le rappresentano. Se γ e un cammino,per ”curva γ” si intendera l’intera classe di equivalenza di cui γ e un rappresentante.

Dal Teor.18 discendono due diseguaglianze notevoli:

Teorema 19: ∣∣∣∣∫γ

V · dP∣∣∣∣ ≤

∫ ℓ(γ)

0

ds ||V (σ(s))||

≤ ℓ(γ)max ||V (x)|| | x ∈ γ∣∣∣∣∫γ

dz f(z)

∣∣∣∣ ≤∫ ℓ(γ)

0

ds |f(σ(s))|

≤ ℓ(γ)max |f(z)| | z ∈ γ . (4.5)

la seconda delle quali e nota come Lemma di Darboux.


Dim. Dimostriamo la seconda diseguaglianza.∫γ

dz f(z) =

∫ b

a

dt f(γ(t))γ(t) =

∫ ℓ(γ)

0

ds f(σ(s))σ(s) ,

dove σ : [0, ℓ(γ)] → D e la riparametrizzazione della curva, usando la lunghezza s. Ricordando∣∣∣∣∫ x2

x1

dx f(x)

∣∣∣∣ ≤∫ x2

x1

dx |f(x)| ≤ |x2 − x1| max|f(x)| | x1 ≤ x ≤ x2 ,

che e una proprieta elementare dell’integrale di Riemann per una funzione reale o complessacontinua a tratti, e usando |σ(s)| =

√x(t)2 + y(t)2 dt

ds= 1 si ricava subito la diseguaglianza di

Darboux. La prova della diseguaglianza in Rn e assai simile, ed usa in piu la diseguaglianza diCauchy-Schwarz per vettori a, b ∈ Rn: |a · b| ≤ ||a||||b||, che permette di scrivere

|V (σ(s)) · σ(s)| ≤ ||V (σ(s))|| ||σ(s)|| = ||V (σ(s))|| . .

Esercizio 34: Calcolare :∫γf(z) dz per f(z) = 1/(z − a), e γ : [0, 2π] → C dato da: γ(t) = a + Reit, con

a ∈ C assegnato, e R > 0 assegnato.Soluzione: Dalla definizione: ∫

γ

dz1

z − a=

∫ 2π

0

dt iReit1

Reit

=

∫ 2π

0

idt

= 2πi . (4.6)

4.3 Campi Conservativi.

Definizione 40: Un campo vettoriale V : D → Rn assegnato in un dominio D ∈ Rn si diceconservativo in D se risulta ∫

γ1

V · dP =

∫γ2

V · dP

ogni volta che γ1, γ2 sono curve regolari in D, che hanno gli stessi estremi.

Teorema 20: V : D → Rn e conservativo in D se, e solo se, risulta∫γ

V · dP = 0

per ogni curva chiusa e regolare γ contenuta in D.

Dim: Sia V conservativo. Consideriamo la curva chiusa e regolare rappresentata da un camminoγ : [a, b] → D con γ(a) = γ(b) e γ(t) ∈ D, ∀t ∈ [a, b]. Si prenda c ∈ (a, b) in modo che


o

o

o

o

o

D D

x’

x’’

γ1

γ2

γ

x0

x

x+h

I II

γ ’

Fig. 4.1: I: ad illustrazione del Teorema 20, (II): ad illustrazione del Teorema 21.

γ(c) = γ(a) . Si definiscano i cammini γ1(t) = γ(t) per a ≤ t ≤ c e γ2(t) = γ(t) per c ≤ t ≤ b.Risulta ∫

γ

V · dP =

∫γ1

V · dP −(−∫γ2

V · dP)

=

∫γ1

V · dP −∫−γ2

V · dP ; (4.7)

dove −γ2 il cammino inverso di γ2 (v. Def.22) e quindi ha per estremi γ1(a) e γ1(c). Poiche ilcampo e conservativo, gli integrali su γ1 e su −γ2 hanno lo stesso valore; dunque (4.7) si annulla.Viceversa, consideriamo due curve in D con gli stessi estremi, rappresentate dai cammini γ1 eγ2 in D. La curva γ1 − γ2 ≡ γ1 + (−γ2) e una curva chiusa in D . Se l’integrale del campolungo di essa e zero, allora

∫γ1V · dP =

∫γ2V · dP .

Definizione 41: Il campo V : D → Rn si dice campo gradiente se esiste una funzioneΦ : D → R tale che in ogni punto x ∈ D risulti V (x) = gradΦ(x). In tal caso la funzione Φ(x)si dice una funzione potenziale, o semplicemente un potenziale, del campo.

Teorema 21: Ogni campo gradiente e conservativo, e viceversa.


Dim.: Se V =grad Φ in D, e γ e un cammino in D di estremi x′ e x′′, allora∫γ

V · dP =

∫ b

a

dtn∑

j=1

Vj(γ(t))xj(t)

=

∫ b

a

dtn∑

j=1

∂jΦ(x1(t), x2(t), . . . xn(t)) xj(t)

=

∫ b

a

dtd

dtΦ(x1(t), x2(t), . . . xn(t))

= Φ(x′′)− Φ(x′) , (4.8)

dunque l’integrale dipende solo dagli estremi del cammino. Pertanto ogni campo gradiente econservativo.Supponiamo ora che il campo V sia conservativo in D. Dati x0 ∈ D, x ∈ D, ed un camminoγ in D di estremi x0 e x, l’integrale

∫γV · dP dipende solo dagli estremi x0 e x e quindi,

una volta fissato x0, definisce una funzione Φ(x) del secondo estremo x. Dimostreremo chequesta funzione e un potenziale del campo V in D. Dato x, consideriamo un punto x + htale che l’intero segmento di estremi x e x + h sia contenuto in D; siccome D e aperto, cio esicuramente vero per ||h|| sufficientemente piccolo . Allora, si puo calcolare Φ(x) =

∫γV · dP e

Φ(x+ h) =∫γ+γh

V · dP , dove γ e un arbitrario cammino in D da x0 a x, e γh : [0, 1] → D e il

cammino ”rettilineo uniforme”in D da x a x+ h definito da γh(t) = x+ th. Allora

Φ(x+ h)− Φ(x) =

∫γh

V · dP

=

∫ 1

o

dt V (x+ th) · h

=

∫ 1

0

dt V (x) · h + R(x, h)

= V (x) · h + R(x, h) , (4.9)

dove

R(x, h) =

∫ 1

0

dt [V (x+ th)− V (x)] · h .

Allora risulta:

|R(x, h)| ≤ ||h|| max||V (x′)− V (x)|| | x′ ∈ γh= ||h|| ||V (x′(h))− V (x)|| , (4.10)

dove x′(h) ∈ γh e un punto dove la funzione ||V (x′)−V (x)||, che e continua in x′ ∈ γh, assume ilsuo valore massimo. Questo punto x′(h) tende ad x quando h→ 0, quindi la funzione continua||V (x′(h)) − V (x)|| tende a 0. Quindi R(x, h), per h → 0, e infinitesimo di ordine superioread ||h||. La (4.9) vale per ogni vettore h purche sufficientemente piccolo (in norma). Possiamo


dunque fare tendere h a 0 mantenendo = 0 solo la sua componente j−ma hj e allora la (4.9) ela (4.10) mostrano che:

limhj→0

Φ(x1, x2, . . . xj + hj, . . . xn)− Φ(x1, x2, . . . xj, . . . xn)

hj= ∂jΦ(x) = Vj(x) .

Cio vale per ogni x ∈ D e per ogni 1 ≤ j ≤ n, dunque gradΦ(x) = V (x) in D.

Proposizione 10: Se V : D → Rn e un campo gradiente, e Φ : D → R e un potenziale delcampo V , allora i potenziali del campo V sono tutte e sole le funzioni Φ(x) + c, c ∈ R.

Dim.: Se V (x) =gradΦ(x) allora V (x) =grad(Φ(x)+c), ∀c ∈ R. Viceversa, se V (x) =gradΦ(x)e V (x) =grad(Φ′(x) allora grad(Φ − Φ′) = 0 in D. E’ noto che se una funzione reale su D, diclasse C1, ha derivate parziali del primo ordine nulle in D allora essa e una funzione costantesu D. .

Teorema 22: Condizione necessaria perche un campo regolare V : D → Rn sia conservativo eche in ogni punto x ∈ D e per ogni 1 ≤ j ≤ k ≤ n valga:

∂jVk(x) = ∂kVj(x) . (4.11)

Dim.: siccome il campo e conservativo in D, ammette un potenziale Φ : D → R, che deve essereuna funzione di classe C2 su D, perche il campo e supposto regolare; pertanto vale il Teoremasulla invertibilita dell’ordine delle derivazioni : ∂j∂kΦ = ∂k∂jΦ. Questo e equivalente a (4.11).

Nota 10: Nel caso di un campo V in R3 su un dominio D, si chiama rotore del campo il campodefinito in D da:

(rotV )j(x) = ∂kVl(x) − ∂lVk(x) ,

dove j, k, l e una permutazione ciclica di 1, 2, 3. Se in D e vera la (4.11), allora rot V = 0 in D,e il campo V si dice irrotazionale in D. Pertanto, se un campo regolare e conservativo, allora eirrotazionale.Una forma differenziale

V1(x1, x2, . . . xn) dx1 + V2(x1, x2, . . . xn) dx2 + . . . Vn(x1, x2, . . . xn) dxn

si dice esatta quando il campo V e conservativo; e si dice chiusa quando sono verificate le (4.11).

La condizione (4.11) non e sufficiente, in generale.

Esercizio 35: In D = R2 \ 0 si definisca il campo

V1(x1, x2) = − x2x21 + x22

; V2(x1, x2) =x1

x21 + x22.

Si verifichi che le condizioni (4.11) sono verificate ovunque in D, ma il campo non e conservativo. (considerare

un cammino γ circolare di centro 0...)


o r

||V||=1/r

0 a1

a2

a1+δ

1

a2+δ

2

Fig. 4.2: Sinistra: Esercizio 35. Destra: Esercizio 37.

Esercizio 36: Si definisca il campo V come nell’esercizio precedente, ma stavolta sul dominio D′ = R2 \(x1, 0) | x1 < 0. Si definisca Φ(x1, x2) come l’angolo in (−π, π) formato dal vettore (x1, x2) con la direzione

positiva dell’asse 0x1, misurato positivam. nel verso antiorario. Si mostri che Φ e un potenziale del campo V

in D′, e quindi il campo V e conservativo in D′.

I due esercizi precedenti suggeriscono che la sufficienza o meno delle condizioni (4.11) dipendanoda qualche caratteristica geometrica del dominio del campo. Una definizione informale di questacaratteristica e la seguente.

Definizione 42: Il dominio D ⊆ Rn si dice semplicemente connesso se ogni curva chiusae semplice in D puo essere contratta in un punto mediante una deformazione continua, senzauscire da D. Equivalentemente, se due arbitrarie curve semplici in D con gli stessi estremipossono essere trasformate l’una nell’altra, mediante una deformazione continua, senza usciremai da D,

Il dominio D dell’esercizio 35 non e semplicemente connesso; curve chiuse che abbiano 0 al lorointerno non possono essere deformate in un punto senza attraversare 0, che non e un puntodi D. Invece il dominio D′ dell’esercizio 36 e semplicemente connesso. Una formulazione piuprecisa della definizione 42 richiede la nozione di omotopia.

Definizione 43: Sia X uno spazio metrico. I cammini γ1,2 : [a, b] → X si dicono omotopi aestremi fissi se γ1(a) = γ2(a), γ1(b) = γ2(b) ed esiste una funzione continua Γ : [a, b]× [0, 1] →X tale che Γ(t, 0) = γ1(t) , Γ(t, 1) = γ2(t) ∀t ∈ [a, b], e inoltre Γ(a, s) = Γ(a, 0) eΓ(b, s) = Γ(b, 0) ∀s ∈ [0, 1]. Un cammino chiuso γ : [a, b] → X si dice omotopo a unacostante se esiste una Γ : [a, b] × [0, 1] → X continua, in modo che Γ(t, 0) = γ(t) ∀t ∈ [a, b],Γ(a, s) = Γ(b, s) ∀s ∈ [0, 1], e Γ(t, 1) = x0 = cost. per qualche x0 ∈ X.

Queste definizioni si trasferiscono immediatamente dai cammini alle curve.


Definizione 44: Un dominio D ∈ X si dice semplicemente connesso se ogni coppia di curve inD con gli stessi estremi sono omotope ad estremi fissi in D inteso come spazio metrico (con lastessa metrica di X); o anche se ogni curva chiusa e semplice in D e omotopa ad una costantein D.

Teorema 23: Se un campo vettoriale regolare V soddisfa le condizioni (4.11) in D ⊆ Rn, e De semplicemente connesso, allora V e conservativo in D.

Una versione pu precisa e:

Teorema 24: Se V soddisfa le (4.11) in D, e una curva chiusa e regolare γ in D e tracciatasulla frontiera di un dominio D′ ⊆ D semplicemente connesso, allora

∫γV · dP = 0.

Dim. del Teor. 23: si considera solo il caso di R2. Il teorema e una conseguenza immediata di:∫γ

V · dP =

∫ ∫D

dx1 dx2 ∂1V2(x1, x2)− ∂2V1(x1, x2) , (4.12)

che vale per un arbitrario campo regolare R2, e per ogni curva semplice e regolare orientatapositivam. rispetto al suo dominio interno D. A sua volta, la (4.12) e un caso particolare delTeorema di Stokes.

Esercizio 37: Provare la (4.12) nel caso in cui γ e la curva rettangolare di Fig.4.2. Soluzione: definiamo

γ1(t) = (a1 + tδ1, a2) ,

γ2(t) = (a1 + δ1, a2 + tδ2) ,

γ3(t) = (a1 + tδ1, a2 + δ2) ,

γ4(t) = (a1, a2 + tδ2) (4.13)

per 0 ≤ t ≤ 1, dopo di che risulta: γ = γ1 + γ2 − γ3 − γ4 e dunque∫γ

V · dP = δ1

∫ 1

0

dt [V1(a1 + tδ1, a2)− V1(a1 + tδ1, a2 + δ2)]

+ δ2

∫ 1

0

ds [V2(a1 + δ1, a2 + sδ2)− V2(a1, a2 + sδ2)]

= δ1δ2

∫ 1

0

dt

∫ 1

0

ds ∂1V2(a1 + tδ1, a2 + sδ2)− ∂2V1(a1 + tδ1, a2 + sδ2)] . (4.14)

L’ultima espressione scritta e il membro di destra nel teor. di Stokes.

5. IL TEOREMA INTEGRALE DI CAUCHY, E LE SUE CONSEGUENZE.

5.1 Funzioni Olomorfe, come campi vettoriali.

Sia data una funzione f : D → C, continua, e una curva γ in D. Dalla definizione 4.3, scrivendocome al solito u(x, y) = ℜ(f(x+ iy)), v(x, y) = ℑ(f(x+ iy)), γ(t) = x(t) + iy(t), si ottiene:∫γ

dz f(z) =

∫ b

a

dt [u(x(t), y(t))x(t)−v(x(t), y(t))y(t)] + i

∫ b

a

dt [u(x(t), y(t))y(t)+v(x(t), y(t))x(t)] ,

e questa, se il cammino γ viene pensato come un cammino in R2, si puo riscrivere come:∫γ

dz f(z) =

∫γ

V · dP + i

∫γ

W · dP , (5.1)

dove i campi V e W sono definiti su D ⊆ R2 da:

V (x, y) = (u(x, y) , −v(x, y)) , W (x, y) = (v(x, y) , u(x, y)) . (5.2)

Esercizio 38: Se V e un campo vettoriale in Rn, si dice linea del campo ogni curva regolare, la cui tangente

e in ogni punto diretta come il vettore del campo nello stesso punto. Si traccino le linee dei campi V e

W per la funzione f(z) = z (Fig.5.1). (Le equazioni parametriche di ogni linea del campo V , scritte come

x = x(t), y = y(t) devono verificare x(t) = u(x(t), y(t)) e y(t) = −v(x(t), y(t)) ...)

Se f e regolare in D (def.30), allora i campi V,W corrispondenti hanno proprieta particolari,che sono dettate dalle condizioni di Cauchy-Riemann 3.5:

∂xV1 + ∂yV2 = 0

∂xW1 + ∂yW2 = 0

∂xV2 − ∂yV1 = 0

∂xW2 − ∂yW1 = 0 . (5.3)

Nota 11: Se i campi V e W in R2 vengono tradotti in campi V e W in R3, attribuendo loro unaterza componente costante, queste condizioni diventano

div V = 0 , divW = 0 , rot V = 0 , rotW = 0 .

e cioe : ambedue i campi V e W sono al contempo solenoidali, e irrotazionali.

5. Il Teorema Integrale di Cauchy, e le sue conseguenze. 41

x

y

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

Fig. 5.1: Linee dei campi vettoriali V (linee piene) e W (linee punteggiate) per la funzione f(z) = z(a sinistra) e per la funzione f(z) = 1/z ( a destra).

Teorema 25: (Teor. di Cauchy, versione debole) Sia f : D → C una funzione regolare inD. Se D e semplicemente connesso, e γ e una curva chiusa e regolare in D, allora∫

γ

f(z) dz = 0 .

Dim.: come notato sopra, i campi V e W definiti in (5.2) sono irrotazionali in D e quindi latesi segue immediatamente da (5.1) e dal Teor.23.

Corollario 5: Nelle ipotesi del Teor.25, risulta∫γ1

dz f(z) =

∫γ2

dz f(z) ,

per ogni coppia di cammini regolari in D con gli stessi estremi.

Teorema 26: (Teorema Integrale di Cauchy) Il teor.25 e i suoi corollari rimangono validi,sotto l’ipotesi piu debole che f sia olomorfa in D.

La dimostrazione e omessa. La si puo trovare p. es. al link:http://www.dfm.uninsubria.it/GUARNERI/ica05-cit.pdf.

Definizione 45: Un dominio D ⊂ C verra detto un dominio standard (n+1)-volte con-nesso se la sua frontiera e costituita da un numero finito di curve chiuse, semplici, e regolariγ, γ1, . . . γn tali che γ1, . . . γn sono contenute nel dominio interno a γ, e inoltre, detto Int(γj) il

dominio interno a γj, risulta Int(γj) ∩ Int(γk) = ∅ ogni volta che j = k (v. la Fig.5.2) per unesempio con n = 1.)


−γ1

γ

z1

z2

γ2 −γ

2

Fig. 5.2: Ad illustrazione della prova del Corollario 6.

Definizione 46: Se D e un dominio, una funzione f si dice olomorfa nel dominio chiuso D see olomorfa in un dominio D′ tale che D ⊂ D′.

Corollario 6: Se D e un dominio standard (n+1)-volte connesso, e f e una funzione olomorfain D, allora risulta: ∫

γ

dz f(z) =n∑

j=1

∫γj

dz f(z) .

se tutte le curve γ, γj sono orientate positivamente.

Dim.: Consideriamo il caso n = 1 illustrato in Figura 5.2; la dimostrazione e facilmente esten-dibile al caso n > 1. f(z) e regolare nel dominio a ciambella D = Int(γ) \ Int(γ1), che non esempl. connesso ed e un dominio standard 2 volte connesso. Pratichiamo un ”taglio” (lineatratteggiata in figura), vale a dire escludiamo da D i punti del segmento tratteggiato; in talmodo otteniamo un nuovo dominio D′ che e semplicem. connesso. Descriviamo due camminisemplici γ2 e γ3 = −γ2 sul segmento escluso. In tal modo la curva regolare γ − γ1 + γ2 + γ3si svolge sulla frontiera di D′ spl. connesso , e quindi l’integrale di f(z) lungo questa curva siannulla. Tenendo presente che gli integrali lungo γ2 e γ3 = −γ2 hanno valori opposti,

0 =

∫γ−γ1+γ2+γ3

dz f(z) =

∫γ

dz f(z) −∫γ1

dz f(z) .


γ

Fig. 5.3: Esercizio 39.

Definizione 47: SeD e un dominio standard (n+1)−volte connesso, allora le curve γ,−γ1, . . .−γn si dicono il contorno completo di D, orientato positivam. rispetto all’interno di D, e l’in-tegrale di una funzione sul contorno completo di D e la somma degli integrali della funzione sututte queste curve. .

Corollario 7: Se f e olomorfa in D dove D e un dominio standard (n + 1)−volte connesso,allora l’integrale di f lungo il contorno completo di D orientato positivam. si annulla.

Dim.: e una ri-enunciazione del Corollario 6.

Esercizio 39: Calcolare∫γdz f(z) per γ(t) = t exp(5it/2) su 0 ≤ t ≤ π (v. Fig.5.3), e f(z) = [ez + e−z]2.

Risposta: 2πi.

Esercizio 40: Si mostri che non esiste f(z) olomorfa in |z| ≤ 1 tale che f(eiθ) = sin(θ) per 0 ≤ θ ≤ 2π.

(Feb. 2007)

Applicazione: Calcolo dell’Integrale di Fresnel.

L’integrale

I =

∫ +∞

0

dx e−ix2

(5.4)

e noto come Integrale di Fresnel. Si tratta di un integrale improprio, che ha un ruolo importantenell’Ottica. L’integrando non tende a zero per x → ∞, eppure l’integrale converge, com erisultera dal calcolo esplicito che segue. Consideriamo la curva γR = γ1,R+γ2,R+γ3,R illustratain Fig.5.4, per R > 0, e la funzione f(z) = e−z2 . Questa funzione e intera, percio il Teor. diCauchy impone

I1,R + I2,R + I3,R = 0 (5.5)

dove Ij,R =∫γj,R

dzf(z) (j = 1, 2, 3). Se scegliamo i cammini

γ1,R(t) = t 0 ≤ t ≤ R

γ2,R(t) = Reit 0 ≤ t ≤ π/4

−γ3,R(t) = teiπ/4 0 ≤ t ≤ R (5.6)


allora

I1,R =

∫γ1,R

dz f(z) =

∫ R

0

dt e−t2 ,

I3,R =

∫γ3,R

dz f(z) = −eiπ/4∫ R

0

dte−it2 . (5.7)

D’altra parte,

|I2,R| ≤∫ π/4

0

dt |f(γ2,R(t)||γ2,R(t)|

= R

∫ π/4

0

dt e−R2 cos(2t)

=R

2

∫ π/2

0

dt e−R2 cos(t) . (5.8)

Osservando che per 0 ≤ t ≤ π/2 vale cos(t) ≥ 1− 2t/π (v. Fig.5.4),

|I2,R| ≤R

2e−R2

∫ π/2

0

dt e2R2t/π =

π

4Re−R2

(eR2 − 1) .

Dunque,

limR→∞

I1,R =

√π

2, lim

R→∞I2,R = 0 ,

Allora da (5.5) segue che

I = −e−iπ/4 limR→∞

I3,R =

√2π

4(1− i) .

5.2 Primitive di una Funzione Olomorfa.

Definizione 48: Sia f : D → C una funzione continua. Se dice primitiva di f in D ognifunzione F : D → C olomorfa, tale che F ′(z) = f(z), ∀z ∈ D.

Proposizione 11: Se f : D → C ha una primitiva F : D → C, allora le primitive di f sonotutte e sole le funzioni F + c, c ∈ C.

Dim.: ricalca la dimostrazione della prop.10.

Teorema 27: (Teor. Fondamentale del Calcolo) Se f : D → C ha una primitiva F : D →C, allora, per ogni curva γ regolare in D :∫

γ

dz f(z) = F (z′′)− F (z′)


Im(z)

Re(z) 0

π/4

R

γ1

γ2

γ3

y=1−2x/π

π/2

y=cos(x)

Fig. 5.4: Ad illustrazione del calcolo dell’Integrale di Fresnel.

dove z′ e z′′ sono gli estremi di γ. In particolare,∫γ

dz f(z) = 0

per ogni curva chiusa e regolare in D.

Dim.: Sia γ : [0, 1] → D e z′ = γ(0), z′′ = γ(1).∫γ

dz f(z) =

∫ 1

0

dt F ′(γ(t))γ(t) (5.9)

=

∫ 1

0

dtd

dtF (γ(t)) = F (γ(1))− F (γ(0)) (5.10)

= F (z′′)− F (z′) , (5.11)

dove si e fatto uso del Teor. sulla derivata della funzione composta.

Teorema 28: 1. Se f : D → C e dotata di primitiva, allora e olomorfa in D;2. Se f : D → C e olomorfa e D e semplicemente connesso, allora f e dotata di primitiva in D.

Dim.: (1) si vedra in seguito che la derivata di una funzione olomorfa e a sua volta una funzioneolomorfa (cf. Corollario 9).(2) si fissi z0 ∈ D a piacimento. Grazie al Teor. di Cauchy, comunque si prenda z ∈ D,l’integrale

∫γdz f(z) assume lo stesso valore su qualunque cammino γ in D di estremi z0 e

z. Ne segue che i campi V e W definiti in (5.2) sono conservativi, e pertanto ammettonopotenziali Φ(x, y) e Ψ(x, y) in D. Dalle (5.2) segue immediatam. che la funzione F (x + iy) =Φ(x, y) + iΨ(x, y) e olomorfa, e verifica F ′(z) = f(z).

Nota 12: L’ipotesi che D sia sempl. connesso e cruciale: v. l’esercizio che segue. Tuttavia non e una

condizione necessaria, v. l’eserc.42.


Esercizio 41: Si mostri che la funzione f(z) = 1/z, che e olomorfa su D = C \ 0, non ha primitive in D.(

Il campo W definito da questa funzione e lo stesso dell’Esercizio 35...)

Vista la Proposizione 3, l’ultimo esercizio non fa che riasserire il fatto, gia noto, che non si puodefinire una branca del logaritmo in D. In ogni dominio in cui 1/z ammette una primitiva,questa e, a meno di una costante addittiva, una branca del logaritmo in quel dominio (v. ilCorollario 3.).

Esercizio 42: Calcolare

I =

∫γ

dz (z − a)n

per n ∈ Z, a ∈ C fissato, e γ una curva chiusa, semplice, reg. a tratti tale che a /∈ γ.

Soluzione: se n = −1 allora F (z) = (n + 1)−1(z − a)n+1 e una primitiva di (z − a)n (v. Sezione 3.2) (cio e

vero anche se n < −1, anche se il dominio di (z − a)n in quel caso non e semplicem. connesso). Dunque I = 0

grazie al Teor.27, perche gli estremi della curva chiusa γ coincidono. Se n = −1 , si puo trovare R > 0 in modo

che BR(a) ⊂Int(γ). Allora dall’esercizio 34 e dal Corollario 6 al Teor. di Cauchy segue I = 2πi se la curva e

orientata positivamente.

5.3 La Formula Integrale di Cauchy.

5.3.1 Integrali del tipo di Cauchy.

Sia γ una curva chiusa, semplice e regolare in C. Sia inoltre φ : γ → C una funzione continua.Per m intero positivo, e per z ∈ C \ γ, definiamo

Fm(z) =1

2πi

∫γ

dz′φ(z′)

(z′ − z)m. (5.12)

Teorema 29: Fm(z) e olomorfa in C \ γ, e la sua derivata e:

F ′m(z) = m Fm+1(z) ;

Dunque, ∀m, Fm(z) ammette derivate di tutti gli ordini.

Dim.: per prima cosa dimostreremo che Fm(z) e una funzione continua, sia nel dominio interno,che in quello esterno a γ. Siano dunque z e z + h ambedue nel dom. interno o ambedue inquello esterno.

Fm(z + h)− Fm(z) =1

2πi

∫γ

dz φ(z′)

[1

(z′ − z − h)m− 1

(z′ − z)m

]. (5.13)

Ora utilizziamo un risultato di algebra elementare, a proposito della scomposizione di unpolinomio in fattori:


Esercizio 43: Si mostri che ∀a, b ∈ C e per ogni intero n ≥ 1 vale:

am − bm = (a− b)m∑

k=1

am−kbk−1 .

( Se il membro sin. viene riguardato come un polinomio nella variabile a, allora a = b e uno zero; dunque

il polinomio si divide per a − b, p. es. mediante la regola di Ruffini. Oppure la tesi puo essere provata per

induzione su n.)

Questo permette di scrivere, dopo una semplice manipolazione,

Fm(z + h)− Fm(z) = h1

2πi

m∑k=1

∫γ

dz′ φ(z′)1

(z′ − z − h)m−k+1(z′ − z)k(5.14)

Siccome z ∈ C \ γ, che e un insieme aperto, per qualche ϵ > 0 risulta |z − z′| ≥ ϵ, ∀z′ ∈ γ.Inoltre |z′ − z − h| ≥ ||z′ − z| − |h|| e quindi se |h| < ϵ/2 allora |z′ − z − h| > |ϵ− ϵ/2| = ϵ/2.Insomma, per |h| abbastanza piccolo, risulta, usando la maggiorazione di Darboux (4.5),∣∣∣∣∫

γ

dz′ φ(z′)1

(z′ − z − h)m−k+1(z′ − z)k

∣∣∣∣ ≤ ℓ(γ)2m−k+1ϵ−1−m max|φ(z′)| | z′ ∈ γ ,

Cio mostra che ognuno degli integrali nella (5.14) si mantiene limitato quando h → 0; neconsegue che per h→ 0 la (5.14) tende a 0, e quindi Fm(z) e una funzione continua.Ora la (5.14) si puo riscrivere:

Fm(z + h)− Fm(z)

h=

m∑k=1

1

2πi

∫γ

dz′Φk(z′)

1

(z′ − z − h)m−k+1, (5.15)

dove

Φk(z′) =

φ(z′)

(z′ − z)k.

Ognuna di queste funzioni Φk(z′) e continua su γ, e percio, se la si sostituisce alla φ nella (5.12),

ciascun termine nella somma nel membro destro della (5.15) e del tipo (5.12). Il risultato appenaprovato mostra che esso e continuo come funzione di h, dunque ammette limite per h → 0, equesto limite e eguale al valore che si ottiene sostituendo h = 0. Ne discende che

limh→0

Fm(z + h)− Fm(z)

h=

m

2πi

∫γ

dz′φ(z′)

(z′ − z)m+1= mFm+1(z) .

Definizione 49: L’integrale (5.12) con m = 1 si dice l’integrale del tipo di Cauchy asso-ciato alla curva γ e alla ”densita” φ.

Esercizio 44: Si calcoli l’integrale del tipo di Cauchy associato ad una curva chiusa, semplice e regolare γ,

quando φ = 1 su γ. (Risposta: F1(z) = 1 nel dominio interno, e F1(z) = 0 nel dominio esterno.)

L’esercizio precedente illustra il fatto importante che, pur essendo olomorfa sia nel dominiointerno sia in quello esterno, la funzione definita da un integrale del tipo di Cauchy e in generalediscontinua attraverso la linea γ.


5.3.2 Formula Integrale di Cauchy.

Teorema 30: Sia f : D → C olomorfa nel dominio D semplicem. connesso, e sia γ una curvachiusa, semplice e regolare in D. Per ogni z ∈ Int(γ) risulta:

f(z) =1

2πi

∫γ

dz′f(z′)

z′ − z. (5.16)

Dim.: Fissiamo z ∈ Int(γ). Per δ abbastanza piccolo, la palla Bδ(z) ⊂ Int(γ). Sia γδ la curvachiusa sempl. e regolare sulla sua frontiera . Il dominio Int(γ)\ Int(γδ) e un dominio standard 2volte connesso, in cui la funzione (di z′) f(z′)(z′−z)−1 e olomorfa; pertanto, usando il Corollario6 del teor. di Cauchy, risulta:

1

2πi

∫γ

dz′f(z′)

z′ − z=

1

2πi

∫γδ

dz′f(z′)

z′ − z. (5.17)

Usando il risultato dell’esercizio 34,

1

2πi

∫γδ

dz′f(z′)

z′ − z=

1

2πi

∫γδ

dz′f(z′)− f(z)

z′ − z+ f(z) . (5.18)

Inoltre, ricordando che per z′ ∈ γδ risulta |z′ − z| = δ ,∣∣∣∣∫γδ

dz′f(z′)− f(z)

z′ − z

∣∣∣∣ ≤ 2πδδ−1 max|f(z′)− f(z)| | z′ ∈ γδ = 2π |f(zδ)− f(z)| , (5.19)

dove z′ = zδ e un punto di γδ in cui la funzione di z′ : |f(z′) − f(z)|, continua su γδ. assumeil valore massimo. Se δ → 0, zδ tende a z e quindi l’ultima espressione in (5.19) tende a 0.Questo fatto, assieme a (5.18) e a (5.17), prova la tesi.

Corollario 8: Una funzione olomorfa all’interno di una curva chiusa, semplice e regolare eunivocamente individuata dai valori che essa assume sulla curva stessa.

Corollario 9: Se f : D → C e olomorfa nel dominio D allora ivi e regolare ed anzi indefinita-mente derivabile.

Dim.: Qualunque z ∈ D e interno ad una curva chiusa, sempl. e regolare in D. Il Teoremaprecedente mostra che, all’interno di ogni tale curva, f(z) coincide con l’integrale del tipo diCauchy F1(z) associato alla curva scelta, e alla densita f su questa curva. Grazie al Teor.29, fammette derivate di tutti gli ordini. Grazie a questo risultato, d’ora in poi l’aggettivo ”regolare” scompare definitivamente.

Corollario 10: Nelle stesse ipotesi del Teor.30, per ogni intero n risulta:

f (n)(z) =n!

2πi

∫γ

dz′f(z′)

(z′ − z)n+1. (5.20)


La Formula di Cauchy ammette anche la seguente formulazione piu’ generale:

Teorema 31: SeD e un dominio standard (n+1)-volte connesso, e f(z) e una funzione olomorfain D, allora per ogni z ∈ D vale la formula (5.16) a patto di rimpiazzare l’integrale su γ conl’integrale sul contorno completo di D (vedi la definiz.47). Ossia:

f(z) =1

2πi

∫γ

−∫γ1

− . . .−∫γn

dz′

f(z′)

z′ − z.

Dim. Sia Dδ il dominio ottenuto escludendo da D un disco centrato in z, di raggio δ abbastanzapiccolo da essere contenuto interamente in D. Se γδ denota la curva chiusa semplice e regolaresulla frontiera del disco, allora, per la formula di Cauchy:

f(z) =1

2πi

∫γδ

dz′f(z′)

z′ − z. (5.21)

D’altra parte, f(z′)/(z′ − z) e olomorfa, come funzione di z′, nel dominio chiuso Dδ, che e undominio standard (n + 2)-volte connesso; pertanto il suo integrale sul contorno completo diDδ si annulla, grazie al Teorema di Cauchy, nella versione 7. Assieme all’equazione (5.21), cioporta direttamente alla tesi.

Esercizio 45: Servendosi della formula di Cauchy, calcolare l’integrale∫γdz sin(z)(4 + z2)−1, dove γ(t) =

i√2 + exp(2πit) per 0 ≤ t ≤ 1. (Risp.:−i(π/4) sinh(2)).

Esercizio 46: Posto, per t ∈ [0, 1], γa(t) = cos(πt)+ia−1 sin2(πt), si dica quali e quanti valori distinti assumel’integrale ∫

γa

dz1

1 + z2

al variare di a in ]0,+∞[. (Risp.: i valori sono ±π/2. V. la Fig. 5.5).

5.3.3 Funzioni Armoniche.

Se f e olomorfa nel dominio D, allora, grazie al corollario 9 della Formula Integrale di Cauchy,la sua parte reale u(x, y) e la sua parte immaginaria v(x, y) ammettono derivate di tutti gliordini in D, cioe sono funzioni di classe C∞. Allora si puo derivare la prima delle condizioni diCauchy-Riemann (3.5) rispetto ad x, e la seconda rispetto ad y; sommando membro a membrole due equazioni cosi’ ottenute si trova

∂2xu + ∂2yu = 0.

Derivando invece la prima (3.5) rispetto ad y e la seconda rispetto ad x, e sottraendo i risultati,si trova

∂2xv + ∂2yv = 0.

Definizione 50: Si chiama Laplaciano n-dimensionale l’operatore differenziale:

n =∂2

∂x21+

∂2

∂x22+ . . .+

∂2

∂x2n.


Definizione 51: (1) Una funzione u(x1, x2, . . . xn) definita su un dominio D in Rn, e dotatadi derivate parziali del 2 ordine continue, si dice funzione armonica in D se in D verifica laequazione di Laplace:

nu(x1, x2, . . . xn) = 0 .

(2) Se due funzioni armoniche in un dominio piano verificano le condizioni (3.5) di Cauchy-Riemann, allora vengono dette armoniche coniugate.

Si puo allora asserire che:

Teorema 32: (1) La parte reale u e la parte immaginaria v di una funzione f : D → C olomorfasono funzioni armoniche coniugate in D;(2) Se u(x, y) e una funzione armonica in un dominio D semplicem. connesso, allora esistonofunzioni v(x, y) armoniche in D che sono coniugate ad u. Esse differiscono l’una dall’altra peruna costante, e per ciascuna di esse risulta che f(z) ≡ u(x, y)+ iv(x, y) e una funzione olomorfain D.se una funzione u(x, y) e armonica in un dominio D ⊆ R2, allora e di classe C∞.

Dim.: (1) e’ conseg. diretta delle definizioni. Quanto a (2): nota u(x, y), definiamo il campovettoriale in D:

V1(x, y) = −∂yu(x, y) , V2(x, y) = ∂xu(x, y) .

grazie al fatto che u(x, y) e armonica, questo campo e irrotazionale in D:

∂yV1(x, y)− ∂xV2(x, y) = 2u(x, y) = 0 .

Allora esso ammette potenziale in D perche D e sempl. connesso. Detto v(x, y) un potenziale,risulta per definizione

V1(x, y) = ∂xv(x, y) = −∂yu(x, y) , V2(x, y) = ∂yv(x, y) = ∂xu(x, y) .

quindi u+ iv e olomorfa. Di conseguenza, la sua parte immaginaria v e armonica; inoltre, tantou che v sono di classe C∞ grazie all’osservazione fatta in apertura di questa sezione.

Nota 13: La proprieta C∞ e vera per funzioni armoniche in dimensione n arbitraria.

Esercizio 47: Determinare i numeri α, β ∈ R in modo che la funzione v(x, y) = sin(βxy) exp(x2 + αy2) sia

la parte immaginaria di una funzione intera.

5.3.4 Principio del Massimo Modulo.

Teorema 33: Sia f olomorfa in D sempl. connesso, e γ una curva chiusa semplice e regolarein D. Posto M ≡max|f(z)| | z ∈ γ, risulta |f(z)| ≤M , ∀z ∈ Int(γ). In altre parole, ”|f(z)|assume il suo valore massimo sul contorno del dominio in cui f e olomorfa”.


Dim.: per n intero arbitrario, f(z)n e olomorfa in D e quindi vale anche per essa la formula diCauchy: dato z ∈ Int(γ),

f(z)n =1

2πi

∫γ

dz′f(z′)n

z′ − z.

Esiste δ > 0 tale che per ogni z′ ∈ γ risulti |z′ − z| ≥ δ; pertanto, usando la maggiorazione diDarboux nella formula appena scritta,

|f(z)|n ≤ ℓ(γ)Mn

2πδ,

ossia

|f(z)| ≤ M

(ℓ(γ)

2πδ

) 1n

.

Cio vale per ogni intero n e quindi si puo prendere il limite per n→ ∞. In tal modo il fattoredi M nell’ultima diseguaglianza tende a 1 e si trova il risultato cercato.

5.3.5 Teorema di Liouville.

Teorema 34: Se una funzione intera e limitata, allora e costante. Ossia: se f : C → C e unafunzione intera, ed ∃M tale che |f(z)| < M per ogni z ∈ C, allora f(z) =cost.

Dim.: Dato z ad arbitrio, si consideri un cammino circolare γR semplice e regolare descritto sulcerchio di centro z e raggio R > 0. Dalla formula (5.20) con n = 1:

f ′(z) =1

2πi

∫γR

dz′f(z′)

(z′ − z)2.

Usiamo la maggiorazione di Darboux, tenendo presente che |z′ − z| = R sul cammino, e che|f(z′)| < M ovunque:

|f ′(z)| ≤ ℓ(γR)M

2πR2=

M

R

Poiche R > 0 e arbitrario, deve essere f ′(z) = 0, e poiche z e anch’esso arbitrario la derivatadi f si annulla dovunque; donde la tesi.

Applicazione: il Teorema Fondamentale dell’Algebra.

Questo famoso teorema asserisce che qualunque polinomio di grado n > 0:

Pn(z) = a0 + a1z + . . .+ anzn , (an = 0)

si annulla in almeno un punto z ∈ C. Verra qui dimostrato per mezzo del teor. di Liouville,al fine di illustrarne la utilita. Supponiamo, per assurdo, che Pn(z) = 0, ∀z ∈ C. AlloraQ(z) ≡ 1/Pn(z) e una funzione intera, perche il polinomio e una funzione intera. Per z = 0possiamo scrivere:

Q(z) =1

zn1

an + an−11z+ . . .+ a0

zn


da cui, ricordando l’Eserc.25, si vede che limz→∞Q(z) = 0. Dunque esiste R tale che all’esternodi BR(0) valga |Q(z)| < 1. D’altra parte in BR(0) la funzione continua |Q(z)| ammette massimo;sia esso M . Se M ′ e il maggiore fra M ed 1, allora |Q(z)| e ovunque limitata da M ′ e quindi,per il Teor. di Liouville, Q(z) =cost., che porta all’assurdo Pn(z) =cost.

Esercizio 48: Sia f(z) analitica in |z| ≤ 1, tale che f ′(0) = i. Provare che esiste un punto z0 tale che

|z0| = 1/2 e 2|f(z0)| ≥ 1. (Si scriva la formula di Cauchy (10) per la derivata prima, usando un cammino sulla

circonf. |z| = 1/2; si usi poi la maggioraz. di Darboux.) (Feb. 2008)

Esercizio 49: Sia f(z) olomorfa in B1(0), e tale che |f(z)| abbia un minimo isolato in z = 0. Provare che

f(0) = 0.(f(z) deve avere annullarsi in qualche punto. Altrimenti 1/f(z) sarebbe olomorfa in B1(0); ma il

massimo del modulo di questa funzione si registra in z = 0, contro il principio del max. modulo) (Apr 2002).

Esercizio 50: Si dica se esiste f(z) analitica in B1(0), tale che |f(z)| ≤ 1, e f ′(1/2) = 5.

Esercizio 51: Trovare i punti di massimo di |ez2 | in B1(i).

Esercizio 52: Posto g(x, y) =√x2 + y2 exp(−x2 − y2) e z = x+ iy, si dica se esiste una funzione intera tale

che |f(z)| = g(x, y), ∀z ∈ C.


−1 1

i

γ∞

γ3/2

γ2

Fig. 5.5: Cammini per l’Esercizio 46.

6. FUNZIONI ANALITICHE.

6.1 Serie di Funzioni Olomorfe.

6.1.1 Convergenza Uniforme.

Sia Ω un insieme arbitrario e per ogni intero n sia fn : Ω → C una funzione a valori complessidefinita su Ω. Si dice che la successione fn converge alla funzione limite f∞ : Ω → C nel sensopuntuale (cioe, punto per punto) se, per ogni punto ω ∈ Ω, risulta che la successione di numericomplessi fn(ω) data dai valori che le funzioni fn assumono nel punto ω e convergente, edha per limite il valore f∞(ω) che la funzione f∞ assume nel punto ω.Cio equivale a dire, che comunque si prenda ϵ > 0, ed un punto ω ∈ Ω, si potra trovare unintero nϵ,ω in modo che |fn(ω)− f∞(ω)| < ϵ ogni volta che n > nϵ,ω. Conveniamo che, in ognicaso, nϵ,ω denoti il piu piccolo intero con questa proprieta , e notiamo che, in generale, essodipendera sia da ϵ che da ω.

Esempio 1: Sia Ω =]0, 1[ e sia fn la funzione definita da fn(ω) = ωn per ogni ω ∈]0, 1[. Questa

successione di funzioni converge puntualmente, e il suo limite e la funzione identicam. nulla su ]0, 1[.

Se si vuole che |fn(ω) − f∞(ω)| = fn(ω) = ωn < ϵ per ogni n > nϵ,ω, si dovra prendere nϵ,ω almeno

maggiore di ln(ϵ)/ ln(ω), che e un numero tanto piu grande, quanto piu ω e vicino a 1. Comunque si

fissi 0 < ϵ < 1, questo numero assume valori arbitrariamente grandi al variare di ω in ]0, 1[.

Definizione 52: Si dice che la successione delle fn converge uniformemente alla funzionelimite f∞ se, per ogni ϵ > 0, nϵ,ω si mantiene limitato al variare di ω.

In maniera equivalente si potra dire che:

Definizione 53: La convergenza e uniforme se : definendo, per ogni n fissato, δn ≡ sup|fn(ω)−f∞(ω)|, risulta limn→∞ δn = 0.

E’ evidente che la successione fn introdotta nell’Esempio precedente non e uniformementeconvergente.Se Ω e uno spazio metrico, vale il seguente

Teorema 35: Se le funzioni fn : X → C sono continue, e convergono uniformemente a unafunzione limite f∞, allora anche questa funzione e continua.

Dim.: v. Complementi.

6. Funzioni Analitiche. 55

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

Fig. 6.1: Illustrazione dell’esempio 2: le funzioni f5(x),f10(x), f20(x).

Esempio 2: Sia Ω = [0, 1], e si consideri la successione di funzioni illustrate nella Figura 6.1:

fn(x) = 0 per 0 ≤ x ≤ 1/2, 1/2 + 2/n ≤ x ≤ 1 ,

fn(x) = n− n2|x− 1/2− 1/n| per 1/2 ≤ x ≤ 1/2 + 2/n . (6.1)

La funzione fn(x) e continua, nulla ovunque, salvo nell’intervallo di lunghezza 2/n che ha il primoestremo nel punto x = 1/2. Nella prima meta di questo intervallo essa cresce linearmente da 0 ad n,e nella seconda meta decresce linearmente da n a 0.Questa successione converge alla funzione identicamente nulla, ma in modo vistosamente non-uniforme(δn = n→ ∞!!).

Passaggio al limite, sotto il segno di integrale.

Si incontra molto spesso un problema che, in termini vaghi, si puo formulare cosi’: e possibile scambiarele operazioni di limite e di integrale? Rifacendoci all’esempio precedente, osserviamo che, per ogni n,∫ 10 dxfn(x) = 1, e quindi

limn→∞

∫ 1

0dx fn(x) = 1 =

∫ 1

0dx f∞(x) = 0 .

Dunque la convergenza puntuale, da sola, non basta a concludere che ”l’integrale del limite e eguale

al limite degli integrali”. Verra ora mostrato che la convergenza uniforme, invece, e una condizione

sufficiente (ma non necessaria: v. il primo esempio sopra). Vale infatti la seguente Proposizione, che

include anche il caso di funzioni reali integrate su un intervallo limitato della retta, ma e piu generale:

Proposizione 12: Sia γ una curva regolare in C, e siano fn : γ → C funzioni continue su γ.Se la successione fn converge uniformemente in γ ad una funzione f∞, allora:∫

γ

dz f∞(z) = limn→∞

∫γ

dz fn(z) .


Dim.: ∣∣∣∣∫γ

dz fn(z) −∫γ

dz f∞(z)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫γ

dz [fn(z)− f∞(z)]

∣∣∣∣≤ ℓ(γ) max|fn(z)− f∞(z)| | z ∈ γ , (6.2)

e il massimo che figura all’ultimo membro tende a 0, per definizione di conv. uniforme. Una serie

∑∞0 fn di funzioni fn : Ω → C su uno insieme arbitrario Ω si dice puntualmente

(risp.: uniformemente) convergente, se la successione sn delle somme ridotte sn(ω) ≡∑n

0 fn epuntualmente (risp., uniformemente) convergente. Tutte le proprieta discusse per le successionidi funzioni si trasferiscono immediatamente alle serie di funzioni. Vale il seguente criterio:

Teorema 36: (Il Criterio di Weierstrass) Sia data una serie∑∞

0 fn di funzioni fn : Ω → C.Se si puo trovare una serie numerica

∑∞0 cn, a termini positivi, e convergente, in modo che per

ogni n risulti |fn(ω)| ≤ cn. ∀ω ∈ Ω, allora la serie∑∞

0 fn e assolutamente e uniformementeconvergente.

Dim. se vale la condizione enunciata, allora per ogni ω ∈ Ω la serie∑∞

0 fn(ω) convergeassolutamente, grazie al Criterio del Confronto. Sia S(ω) la sua somma nel punto ω ∈ Ω.Allora:

|sn(ω)− S(ω)| =

∣∣∣∣∣∞∑

k=n+1

fk(ω)

∣∣∣∣∣≤

∞∑k=n+1

|fk(ω)|

≤∞∑

k=n+1

ck . (6.3)

L’ultima somma si puo rendere minore di qualunque ϵ > 0 prefissato, prendendo n grande asufficienza, indipendentemente da ω.

6.1.2 Teorema di Weierstrass.

Teorema 37: Se per ogni n intero fn : D → C e una funzione olomorfa nel dominio D , e lasuccessione fn(z) converge uniformemente in D, allora la funzione limite f∞(z) e olomorfain D. Inoltre, per ogni m e ogni z ∈ D risulta:

f (m)∞ (z) = lim

n→∞f (m)n (z) . (6.4)

Dim.: sia a ∈ D, sia δ > 0 tale che Bδ(a) ⊂ D, e sia γ una curva chiusa semplice e regolaretracciata sulla frontiera di Bδ(a). Siccome f∞ e limite uniforme di una successione di funzionicontinue su D, e essa stessa continua in tutto D, e in particolare su γ. Quindi puo essere usatacome densita su γ per definire in Bδ(a) un integrale del tipo di Cauchy:

g(z) =1

2πi

∫γ

dz′ f∞(z′)1

z′ − z.


cosicche, per le proprieta degli integrali del tipo di Cauchy:

g(m)(z) =m!

2πi

∫γ

dz′ f∞(z′)1

(z′ − z)m+1. (6.5)

Dato che ogni fn e olomorfa, le si puo applicare la formula integrale di Cauchy: per ogni interom,

f (m)n (z) =

m!

2πi

∫γ

dz′ fn(z′)

1

(z′ − z)m+1. (6.6)

Notiamo che |z′ − z| ≥ ||z′ − a| − |z − a|| = |δ − |z − a|| quando z′ ∈ γ; quindi (z′ − z)−m−1

e una funzione limitata su γ. Dunque per n → ∞ l’integrando in (6.6) tende all’integrando in(6.5) uniformemente su γ, e cosi’ si puo concludere che:

limn→∞

f (m)n (z) = g(m)(z) . (6.7)

In particolare, ponendo m = 0,

f∞(z) = limn→∞

fn(z) = g(z)

per ogni z ∈ Bδ(a); ma g(z), essendo definita da un integrale del tipo di Cauchy, e olomorfa inBδ(a) e in a in particolare, e quindi lo stesso e vero per f∞(z), che coincide con g(z) nell’intornodi a. Siccome a e arbitrario in D, f∞ e olomorfa in D. Infine, sostituendo f∞ a g(z) in (6.7)per m arbitrario si ottiene la (6.4).

6.2 Sviluppi in Serie di Potenze.

6.2.1 Richiamo : il Criterio della Radice.

Teorema 38: Se xn e una successione reale, esiste un reale M ed uno solo, (eventualmente±∞) tale che: xn e definitivamente minore di qualunqueM ′ > M ; ed e frequentemente maggioredi qualunqueM ′′ < M . Questo numero si dice il limite superiore della successione, e si denotalim xn oppure lim supxn.

Dim.: se un numero siffatto esiste, allora deve essere unico. Infatti, se M1 ed M2 avessero laproprieta enunciata, e M1 > M2, allora la successione dovrebbe essere definitivam. minore di(M1+M2)/2 > M2, e allo stesso tempo dovrebbe essere frequentem. maggiore di (M1+M2)/2 <M1, il che e impossibile. Se la successione e superiormente illimitata, definiamo M = +∞. Seinvece e superiormente limitata, definiamo, per ogni n intero positivo :

sn = sup xk | k ≥ n

Questa successione sn e monotona non crescente, dunque ammette limite, oppure diverge a−∞. Nell’ultimo caso si pone M = −∞. Altrimenti, si pone

M = limn→∞

sn .

Si verifica subito che M cosi’ definito ha la proprieta enunciata.


Esercizio 53: Provare che se la successione xn converge allora lim supxn = limxn.

Definizione 54: Per z ∈ C, la serie geometrica di ragione z e la serie:∑∞

0 zn .

E’ noto, e comunque facile da provare, che essa converge se e solo se |z| < 1, nel qual caso lasua somma e (1− z)−1.

Teorema 39: (Il Criterio della Radice): Sia∑∞

0 cn una serie numerica a termini positivi;e sia M =limsup n

√cn. Se M < 1 la serie converge, e se M > 1 la serie diverge.

Dim.: Se M < 1 allora si prenda θ con M < θ < 1. Dalla definizione di limsup discende subitoche cn < θn definitivamente, ed essendo θn il termine n-mo di una serie geometrica convergente,la serie data converge grazie al ”criterio del confronto”. Se, viceversa, M > 1, allora, sempreper la definizione di limsup , risulta cn > 1 frequentemente, e quindi la serie non converge.

6.2.2 Serie di Potenze.

Le serie di potenze sono serie di funzioni su C di un tipo particolare. Esse hanno la forma:∑n=0

cn (z − a)n , (6.8)

dove a e i coefficienti cn sono numeri complessi assegnati, indipendenti dalla variabile z. Ilpunto a si dice il centro della serie di potenze. Notiamo che una serie di potenze convergesempre nel suo centro (cioe per z = a).

Lemma 1: Se una serie di potenze (6.8) converge in un punto z0 = a, allora converge assolu-tamente e uniformemente in ogni cerchio chiuso BR(a) con 0 < R < |z0 − a|.

Dim.: la serie (6.8) con z = z0 converge ⇒ il suo termine n-mo tende a zero ⇒ esiste unacostante A > 0 tale che |cn(z0 − a)n| < A, ∀n. Se z ∈ BR(a), e 0 < R < |z0 − a|, allora, perogni n:

|cn(z − a)|n = |cn(z0 − a)n||z − a|n|z0 − a|−n < A

(R

|z0 − a|

)n

.

L’ultima espressione a destra e il termine n-mo di una serie numerica convergente; il Lemma equindi provato grazie al criterio di Weierstrass.

Definizione 55: Si dice raggio di convergenza della serie di potenze (6.8) il numero reale Rdefinito da

1

R= lim sup n

√|cn| ,

intendendo che R = 0 se il limsup nel membro di destra e +∞, e che invece R = +∞ se illimsup vale 0.

La ragione di questa definizione e chiarita dal seguente:


Teorema 40: la serie di potenze (6.8) converge, oltre che in z = a, in ogni punto z ∈ BR(a), e

non converge in alcun punto z ∈ BR(a)c. Il cerchio BR(a) si dice il cerchio di convergenza

della serie.

Dim.: Se R > 0 allora si applichi il Criterio della Radice (Teor. 39) alla serie a termini positivi∑∞0 |cn(z − a)n|. Dato che:

limsup n√|cn(z − a)n| = limsup |z − a| n

√|cn| =

|z − a|R

,

il Criterio della Radice mostra che la serie di potenze converge assolutam. se |z − a| < R . Sela serie convergesse in un punto z0 con |z0 − a| > R allora, per il Lemma 1 essa convergerebbeassolutamente in ogni punto z1 con R < |z1−a| < |z0−a| ; ma questo e escluso dal criterio dellaRadice. Infatti n

√|cn(z1 − a)n| > n

√|cn|Rn e quindi lim sup n

√|cn(z1 − a)n| > R lim sup n

√|cn| >

1. Teorema 41: Se R > 0, allora la somma della serie di potenze definisce una funzione S(z)olomorfa in BR(a). Le derivate di S(z) si possono calcolare derivando termine a termine laserie di potenze; p.es.,

S ′(z) =∞∑n=1

n cn (z − a)n−1 .

Di conseguenza, per ogni n intero,Sn(a) = n! cn . (6.9)

Dim.: dato che fn(z) = cn(z − a)n e una funzione intera per ogni n, la tesi e una immediataconseguenza del Lemma 1, e del teorema 37. Un corollario diretto e il Principio di Identita delle Serie di Potenze;

Teorema 42: Se le somme di due serie di potenze di centro a coincidono in un intorno di a,allora le due serie sono la stessa serie.

Dim. il teorema precedente (eq.(6.9)) mostra che tutti i coefficienti di una serie di potenze, edunque la serie medesima, sono univocamente determinati dalle derivate della sua somma nelcentro. Un’altra conseguenza, di grande utilita pratica, e la seguente:

Proposizione 13: Le serie di potenze si sommano e si moltiplicano come i polinomi, vale adire: se due serie di potenze

∑∞0 cn(z − a)n e

∑∞0 bn(z − a)n di centro a convergono in un

cerchio comune di centro a alle somme rispettive S(z) e T (z), allora in quel cerchio

S(z) + T (z) =∞∑n=0

(cn + bn)(z − a)n ,

S(z) T (z) =∞∑n=0

dn(z − a)n

dn =n∑

m=0

cm bn−m . (6.10)


Cio puo vedersi usando la (6.9), oppure sfruttando la proprieta di convergenza incondizionata,che hanno le serie assolutam. convergenti.

6.2.3 Sviluppi di un Integrale del tipo di Cauchy.

Teorema 43: Sia γ una curva chiusa semplice e regolare tracciata sul cerchio di centro a eraggio R > 0. Sia φ : γ → C una funzione continua, e sia F : C \ γ → C la funzione olomorfadefinita nel complemento di γ dall’integrale del tipo di Cauchy (v. Def.49). Allora

F (z) =∞∑n=0

cn (z − a)n per |z − a| < R

F (z) =+∞∑n=1

c−n (z − a)−n per |z − a| > R , (6.11)

dove, per ogni n ∈ Z,cn = sgn(n)

1

2πi

∫γ

dz′ f(z′)(z′ − a)−n−1 . (6.12)

Dim.: dalla definizione di integrale del tipo di Cauchy,

F (z) =1

2πi

∫γ

dz′ φ(z′)1

z′ − z. (6.13)

Sia z ∈Int(γ), cosi’ che |z − a| < R. Allora

1

z′ − z=

1

z′ − a− (z − a)=

1

z′ − a

1

1− z−az′−a

,

Se z′ ∈ γ allora |z′ − a| = R e dunque |(z − a|/|z′ − a| = |z − a|/R ≡ θ < 1; pertanto, l’ultimafrazione di destra si sviluppa in serie geometrica:

1

z′ − z=

1

z′ − a

1

1− z−az′−a

,=1

z′ − a

∞∑n=0

(z − a

z′ − a

)n

(6.14)

Per z fissato, questa serie converge uniformemente al variare di z′ ∈ γ, perch’e la serie dei suoimoduli e maggiorata termine a termine dalla serie il cui termine n-mo e θn/R. La serie che siottiene moltiplicandola termine a termine per φ(z′) converge anch’essa uniformemente percheφ, essendo continua, e limitata su γ. Allora quest’ultima serie puo essere sostituita nella (6.13),ed integrata termine a termine. In questo modo, definendo

cn =1

2πi

∫γ

dz′ φ(z′)1

(z′ − a)n+1, (6.15)

si trova direttamente la prima delle (6.11).Se invece z e nel dominio esterno a γ, la (6.13) vale immutata, ma in luogo di (6.14) scriviamo:

1

z′ − z= − 1

z − a

1

1− z′−az−a

, (6.16)


che viene dallo scambio di z′ e z in (6.14). Ora |z′−a|/|z−a| = R/|z−a| < 1 per z′ ∈ γ, sicchesi puo sviluppare l’ultima frazione in serie geometrica e procedere esattamente come prima,salvo per lo scambio fra z′ e z. Cosi’ si arriva direttamente alla seconda delle (6.11).

6.2.4 Sviluppo di Taylor.

Definizione 56: f : D → C si dice analitica nel dominio D se e sviluppabile in serie dipotenze nell’intorno di ogni punto a ∈ D; cioe se, comunque fissato a ∈ D, in tutto un cerchiodi centro a e raggio opportuno si puo scrivere

f(z) =∞∑n=0

cn (z − a)n (6.17)

dove i coefficienti cn dipendono dal punto a ma non da z.

Teorema 44: f : D → C e analitica in D, se, e solo se, e olomorfa in D.

Dim. Si e gia visto (Teor.41) che la somma di una serie di potenze e una funzione olomorfaall’interno del cerchio di convergenza. Resta quindi da dimostrare che, se f e olomorfa in D,allora e analitica in D. Se a ∈ D esiste tutta una palla di centro a e raggio R > 0, che econtenuta in D. Allora, se chiamiamo γ la curva chiusa, semplice, e regolare γ sul cerchio dicentro a e raggio R, vale la formula Integrale di Cauchy (5.16); altrimenti detto, vale (6.13)con f(z) in luogo di F (z) e f(z′) in luogo di φ(z′). Vale di conseguenza la prima delle (6.11),il che dimostra la tesi presente, e anche la (6.15). Ricordando le equazioni (5.20), quest’ultimasi puo anche scrivere:

cn =f (n)(a)

n!.

La serie (6.17) con i coefficienti appena scritti si chiama la serie di Taylor della funzionef(z) nel punto a.

Nota 14: Il cerchio in cui la serie di Taylor e stata ottenuta e assoggettato alla sola condizione di

essere contenuto in D, e cioe, che il suo raggio sia minore della distanza di a dalla frontiera del dominio

D in cui f e olomorfa, che e definita dal numero strettam. positivo d(a,Dc) ≡ infd(a, z) | z ∈ Dc.Pertanto il raggio di convergenza della serie di Taylor di f(z) nel punto a non puo essere

minore di quella distanza.

Nota 15: Lo sviluppo (6.17) di una funzione analitica data in un punto assegnato e unico ; cio segue

per es. dal Principio di Identita per le Serie di Potenze (Teor.42) .

6.2.5 Serie Notevoli.

Sono gli sviluppi di Taylor delle cosiddette Funzioni Trascendenti Elementari:


La serie Esponenziale.

La funzione esponenziale ez e olomorfa ovunque, dunque e analitica in tutto C, e pertanto ilsuo sviluppo di Taylor in qualsiasi punto ha raggio di convergenza ∞. Dato che tutte le suederivate sono eguali a ez, lo sviluppo nell’origine e :

ez =∞∑n=0

1

n!zn (6.18)

che e appunto nota come la serie esponenziale. Da esse si deducono, usando le definizioni(1.2), la serie del Seno:

sin(z) =∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)!z2n+1 (6.19)

e la serie del Coseno:

cos(z) =∞∑n=0

(−1)n

(2n)!z2n (6.20)

Tutte queste serie hanno raggio di convergenza ∞.

La serie Logaritmica.

Nel dominio D = |z| < 1 non e possibile ”girare attorno” al punto z = −1, e quindi sipuo definire il logaritmo ln(1 + z) come funzione olomorfa. Ci riferiamo alla determinazioneprincipale, cioe alla branca che assume il valore 0 nell’origine. La derivata n-ma e (−1)n−1(n−1)!(1 + z)−n, e quindi la serie di Taylor si scrive:

ln(1 + z) =∞∑n=1

(−1)n+1

nzn . (6.21)

Il raggio di convergenza di questa serie e 1.

Esercizio 54: Data la serie di potenze∞∑

n=1

2−n

n(z − 1)n ,

si dica quale ne e il raggio di convergenza, e quale valore assume la sua somma nel punto z = 0. (Feb. 2007)

La serie Binomiale.

La funzione (1 + z)α e definita, per ogni α complesso e per z = −1, da

(1 + z)α = eα ln(1+z) ,

e quindi presenta differenti determinazioni distinte (perche tale e il comportamento del loga-ritmo), a meno che α ∈ N. Nel cerchio unitario |z| = 1 il ln(1 + z) puo essere definita come


funzione olomorfa, dunque, grazie alla regola per la derivata della funzione composta, lo stessoe vero per questa funzione. Il calcolo diretto mostra che

dn

dzn(1 + z)α|z=0 = α(α− 1) . . . (α− n+ 1) , (6.22)

e quindi

(1 + z)α = 1 +∞∑n=1

α(α− 1) . . . (α− n+ 1)

n!zn . (6.23)

Se α non e un intero positivo, il raggio di convergenza e 1; infatti la funzione non e olomorfa inz = −1. Se α = m intero, tutti i coefficienti a partire dall’(m+1)-mo si annullano, e la serie siriduce ad un polinomio: il Binomio di Newton. Il raggio di convergenza e in quel caso ∞. Perquesta ragione la serie e detta serie Binomiale anche quando α e un n. complesso arbitrario.

Esercizio 55: Provare (6.22) per induzione su n.

Esercizio 56: Scrivere lo sviluppo di Taylor di f(z) = 1/(z+2)3 in z = i, e indicarne il raggio di convergenza.

(Lug. 2006)

7. SINGOLARITA E RESIDUI.

7.1 Punti Singolari Isolati.

Definizione 57: Si dice che a ∈ C e un punto singolare isolato per una funzione f(z), se essanon e olomorfa in a, ma e olomorfa in BR(a) \ a per R > 0 opportuno.

Un esempio ovvio e il punto 0 per f(z) = 1/z. Nel seguito indichiamo il ”disco forato” BR(a) \a con la notazione BR(a). Il comportamento di una funzione nell’intorno di un suo puntosingolare isolato viene analizzato mediante lo strumento che viene introdotto qui di seguito.

7.1.1 Sviluppo di Laurent.

Teorema 45: Siano a ∈ C, R > 0, ed f come nella Def.57. Per ogni z ∈ BR(a) vale lo sviluppodi Laurent:

f(z) =+∞∑

n=−∞

cn (z − a)n , (7.1)

La serie a destra dell’eguale in (7.1) si chiama appunto serie di Laurent ed e definita come lasomma delle due serie

+∞∑n=0

cn (z − a)n ,

+∞∑n=1

c−n1

(z − a)n(7.2)

che si dicono rispettivamente la parte regolare e la parte singolare dello sviluppo di Laurent.Per ogni n ∈ Z vale

cn =1

2πi

∫γ

dz f(z)1

(z − a)n+1( n ∈ Z ) . (7.3)

dove γ e una qualunque curva chiusa, semplice, e regolare contenuta in BR(a), orientatapositivamente, e avente il punto a nel suo dominio interno.

Dim.: sia z un arbitrario punto in BR(a). Siano γδ e γR′ cammini semplici e regolari tracciatisu due cerchi di centro a e raggi rispettivi δ e R′, con 0 < δ < |z − a| < R′ < R. Le due curve

7. Singolarita e Residui. 65

γδ, γR′ delimitano un dominio standard 2 volte connesso (v. Def.46) nel quale la funzione f(z′)e olomorfa; pertanto, grazie alla Formula di Cauchy nella versione del Teor.31,

f(z) =1

2πi

∫γR′

−∫γδ

dz′

f(z′)

z′ − z.

Tutti e due gli integrali nel 2 membro sono del tipo di Cauchy. Applicando al primo di essi laprima delle (6.11), ed al secondo la seconda delle (6.11) si ottiene:

f(z) =∞∑n=0

cn (z − a)n ++∞∑n=1

c−n (z − a)−n , (7.4)

dove i coefficienti cn sono dati dagli integrali (6.12) con il cammino di integrazione γR′ quandon ≥ 0, oppure con γδ quando n < 0. Ora il teor. di Cauchy assicura che tutti questi integralinon cambiano, se queste curve vengono rimpiazzate da una qualunque curva γ, semplice eregolare, interna a BR(a) , e contenente a al suo interno.

Esercizio 57: Provare che lo sviluppo di Laurent e unico. Soluz.: si moltiplica (7.1) term. a term. per

(z − a)−N−1 con N intero scelto ad arbitrio. Si integra la serie cosi’ ottenuta term. a term. su γ (notando

la convergenza uniforme!) e in tal modo, ricordando l’eserc.42, si trova che i coefficienti cN devono avere

necessariam. la forma (7.3).

7.1.2 Classificazione delle Singolarita Isolate.

Una singolarita isolata a per la funzione f(z) viene detta:

• eliminabile, o apparente, se la parte singolare della serie di Laurent di f(z) e ridottaa zero ; e cioe, se cn = 0, ∀n < 0.

• polare, o semplicemente un polo, se la parte singolare della serie di Laurent non e ridottaa zero, ma consiste di un numero finito di termini; cioe, se c−n = 0 definitivamente pern→ +∞. Si dice ordine del polo l’intero N ≥ 1 tale che c−N = 0 e c−n = 0 ∀n > N .

• essenziale, se se la parte singolare della serie di Laurent consiste di un numero infinitodi termini; cioe, se c−n = 0 frequentemente per n→ +∞.

Ciascuno dei tre tipi di singolarita e distinto da un comportamento caratteristico della funzione,che verra ora descritto in dettaglio.

Singolarita eliminabili.

Teorema 46: Sia a un punto singolare isolato per la funzione f(z). Le affermazioni seguentisono equivalenti:(1) esiste il limite di f(z) per z → a;(2) esistono η > 0 e M > 0 in modo che |f(z)| < M , ∀z ∈ Bη(a);(3) a e una singolarita eliminabile.


Dim.: Dimostremo che (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (1).(1) ⇒ (2): se si pone l = lim

z→af(z) allora, per definizione di limite ( Def.15), si puo trovare una

palla Bη(a) in modo che l’immagine per f di Bη(a) sia contenuta in B1(l), e quindi (2) e veracon M = 1 + |l|.(2) ⇒ (3): grazie a (7.3) per ogni n intero positivo si puo scrivere

c−n =1

2πi

∫γη′

dz f(z) (z − a)n−1 ,

dove γη′ e un cammino (chiuso, semplice , regolare) su un cerchio di centro a e raggio η′

arbitrario in (0, η). La maggiorazione di Darboux allora fornisce:

|c−n| ≤ 1

2πℓ(γη′)M (η′)n−1 = M (η′)n ,

dunque c−n = 0 perche n e positivo, e η′ e arbitrariam. piccolo.3)⇒ (1): se la parte singolare dello sviluppo di Laurent e assente, allora, in un intorno di a, laf(z) e data dalla somma di una serie di potenze convergente, di centro a, che e la parte regolaredello sviluppo di Laurent. La somma di una serie convergente e una funzione olomorfa, dunquecontinua, in ogni punto nel cerchio di convergenza, e pertanto ammette limite per z → a.

Corollario 11: Sia a una singolarita eliminabile per f(z), olomorfa in Bδ(a). Definendo:f(z) = f(z) per z ∈ Bδ(a), e f(a) = l = limz→a f(z), la funzione f(z) risulta olomorfa inBδ(a) senza eccezioni.

Dim.: la funzione f e precisamente la somma della parte regolare della serie di Laurent. Esercizio 58: Provare che la funzione definita in D = z |0 < |z| < 1 da

f(z) =1

ln(1 + z)− 1

z

con la determinazione principale del logaritmo, ha una singolarita eliminabile in z = 0. (Soluzione:

f(z) =1

z

1

ψ(z)− 1

(7.5)

dove ψ(z) = z−1 ln(1 + z). Ricordando la serie logaritmica,

ψ(z) =ln(1 + z)

z=

∞∑n=0

(−1)n

n+ 1zn ,

in D. Quindi ψ(z) ha una singolarita eliminabile in z = 0, e definendo ψ(0) = 1 risulta olomorfa anche nello

0. Dato che ψ(0) = 1, la (7.5) assieme alla definizione di derivata mostrano che il limite di f(z) in 0 esiste, se

esiste la derivata di 1/ψ(z) in z = 0. Essendo ψ(z) olomorfa nell’intorno di 0, e ψ(0) = 1 = 0, 1/ψ(z) e per

l’appunto olomorfa in 0, e la sua derivata in 0 vale −ψ′(0)/ψ(0)2 = 1/2. Questo ’e dunque il limite di f(z) in

0.)


Singolarita Polari.

Teorema 47: Sia a un punto singolare isolato di f(z). Le seguenti affermazioni sono equiva-lenti:(1) lim

z→af(z) = ∞ ,

(2) a e una singolarita polare,(3) esiste un intero N > 0 tale che il limite l = lim

z→a(z − a)Nf(z) esiste, diverso da 0 e da ∞.

Questo intero e l’ordine del polo.

Dim.: Sia δ > 0 tale che f sia olomorfa in Bδ(a). Se vale (1) allora si puo trovare δ1 ≤ δ in modoche |f(z)| > 1 per z ∈ Bδ1(a), e quindi la funzione ψ(z) ≡ 1/f(z) e olomorfa in z ∈ Bδ1(a);inoltre, grazie a (1), il limite di ψ(z) in a esiste e vale 0. Dunque, a e una singolarita eliminabileper ψ(z), che percio e sviluppabile in serie di Taylor nell’intorno di 0:

ψ(z) =∞∑n=0

bn(z − a)n ,

per 0 ≤ |z − a| < δ1. Siccome il limite di ψ in zero e nullo, bisogna che b0 = 0. Sia allora N ilminimo intero per cui bN = 0. Questo e un numero finito, o altrimenti ψ sarebbe nulla in tuttoun intorno di a, contro la definizione ψ = 1/f . Dunque, in 0 < |z − a| < δ1 vale:

ψ(z) = (z − a)N∞∑n=0

bn+N(z − a)n

con bN = 0. La somma della serie di potenze al secondo membro e una funzione φ(z) olomorfain 0 ≤ |z − a| < δ1, e φ(a) = bN = 0. Dunque, dato che φ, essendo olomorfa, e continua, valeφ(z) = 0 per ogni z in Bδ2(a) per un opportuno δ2 ≤ δ1. Allora la funzione 1/φ(z) e olomorfain Bδ2(a); quindi si sviluppa in serie di Taylor,

1

φ(z)=

∞∑n=0

dn (z − a)n

e inoltre d0 = 0. Ne segue che, in Bδ2(a),

f(z) =1

ψ(z)=

1

(z − a)N

∞∑n=0

dn (z − a)n =∞∑n=0

dn (z − a)n−N . (7.6)

L’ultima serie nel 2ndo membro e evidentemente lo sviluppo di Laurent di f(z) in a, e la suaparte singolare contiene non piu di N termini. Dunque, (1)⇒(2).Se vale (2) allora lo sviluppo di Laurent ha la forma (7.6) per un certo N > 0 con d0 = = 0.Allora limz→a(z − a)Nf(z) = d0. Quindi (2)⇒ (3). Infine, se vale (3), allora esiste δ > 0 inmodo che |(z − a)Nf(z)| > l/2, e quindi |f(z)| > l|z − a|−N/2, per ogni z ∈ Bδ(a); e quindideve valere (1) perche limz→a |z − a|−N = ∞ visto che N > 0.


Singolarita Essenziali.

Se a e una sing. essenziale, allora non e ne eliminabile, ne polare, e quindi dai Teor.46 e 47discende che una sing. isolata a e una singolarita essenziale se, e solo se, limz→a f(z) non esiste,ne finito, ne infinito. Cio suggerisce un comportamento complicato per f(z) nell’intorno di unpunto di singolarita essenziale.

Esercizio 59: Mostrare che z = 0 e una singolarita essenziale per la funzione f(z) = exp(1/z), scrivendone

la serie di Laurent.

Esercizio 60: Mostrare che, in un intorno arbitrariamente piccolo di z = 0 , la funzione f(z) = exp(1/z)

assume infinite volte ogni valore complesso c = 0. (Risolvere direttam. l’eq. exp(1/z) = c, per c = 0 assegnato,

nell’incognita z.)

Queste particolarita della funzione esponenziale sono condivise da tutte le funzioni che presen-tano singolarita essenziali. Infatti vale il:

Teorema 48: (Teor. di Picard) Se a e una singolarita essenziale per f(z) allora in ogniintorno di a la funzione f(z) assume infinite volte ogni valore complesso, con l’eccezione, al piu,di uno solo.

Dim.: omessa.

7.1.3 Singolarita all’ Infinito.

Per studiare il comportamento di una funzione f(z) a ∞ si osserva che nel piano complessoesteso il cambiamento di variabile z → w = 1/z scambia i punti 0 e ∞; pertanto, la naturadella singolarita che f(z) presenta a ∞ viene identificata con la natura della singolarita cheviene esibita in w = 0 dalla funzione g(w) = f(1/w). Percio si dice che z = ∞ e una singolaritaisolata per f(z), quando w = 0 e una sing. isolata per g(w), cioe se f(1/w) e olomorfa per0 < |w| < δ con δ > 0 opportuno. Cio equivale a dire, che f(z) e olomorfa per 1/δ < |z|, cioefuori da una palla di raggio convenientem. grande. La serie di Laurent in w = 0 della funzioneg(w):

g(w) =+∞∑

n=−∞

bnwn (7.7)

converge per 0 < |w| < δ. Di conseguenza, per |z| > 1/δ vale

f(z) =+∞∑

n=−∞

cnzn , cn = b−n . (7.8)

Questa serie si chiama la serie di Laurent di f(z) a ∞. La parte singolare di questa seriecorrisponde alla singolare della serie (7.7), quindi stavolta e la parte che contiene le potenze diz ad esponente positivo (strettamente).


Stabilito cio, il tipo di singolarita a ∞ si decide nello stesso modo che per le singolarita isolateordinarie, e cioe: ∞ e una singolarita apparente, se la parte singolare della serie di Laurent a∞ e assente. E’ una singolarita polare, se la parte singolare consiste di un numero finito > 0 ditermini, e quindi e un polinomio nella variabile z; il grado del polinomio si chiama l’ordine delpolo a ∞. E’ una singolarita essenziale, in tutti gli altri casi. Servendosi di questa definizione,e facile verificare che tutte le proprieta che sono state provate per i punti singolari ”al finito”si trasferiscono inalterate al punto ∞.

Proposizione 14: I coefficienti della serie di Laurent (7.8) a ∞ della f(z) verificano, per ognim ∈ C,

cn =1

2πi

∫γ

dz f(z)z−m−1 , (7.9)

essendo γ un arbitrario cammino chiuso, sempl., e regolare, nel cui dominio esterno (chiuso)f(z) e olomorfa.

Dim.: basta sostituire lo sviluppo (7.8) nel 2 membro di (7.9), e integrare termine a termine.

Esercizio 61: Quali sono le funzioni intere che ammettono limite (finito, o infinito) per z → ∞? (Feb. 2010)

Esercizio 62: Quanto vale il limz→∞ exp(−z2)?

Esercizio 63: Mostrare che sin(z) ha una singolarita essenziale a ∞.

Esercizio 64: Trovare lo sviluppo di Laurent in z = 0 di exp(w(z−1/z)/2), essendo w un arbitrario parametrocomplesso. Soluzione: per ogni z = 0,

ew(z−1/z)/2 = ewz/2 e−w/(2z)

=∞∑k=0

(w2

)k 1

k!zk

∞∑n=0

(w2

)n (−1)n

n!z−n

=+∞∑

m=−∞zm Jm(w) (7.10)

Per ogni intero m, il coefficiente Jm(w) si trova moltiplicando il termine n−mo della seconda delle due serieesponenziali per il termine (n+m)-mo della prima, e sommando i risultati su n. Si ottiene, per m ≥ 0,

Jm(w) =∞∑

n=0

(−1)n

n!(n+m)!

(w2

)m+2n

. (7.11)

Osservando che lo scambio z → 1/z accompagnato dal cambiamento di segno di w lasciano il 1 membro di(7.10) invariato, si trova che, per m < 0,

J−m(w) = Jm(−w) = (−1)m Jm(w) .

Esercizio 65: Mostrare che la serie di potenze della variabile w nel secondo membro di (7.11) ha raggio

di convergenza ∞, e pertanto, come funzione della variabile w, ciascuna delle Jm(w) e una funzione analitica

intera.


Definizione 58: La funzione analitica intera della variabile complessa w definita dalla (7.11)si chiama la funzione di Bessel di prima specie, e ordine intero m.

Le funzioni di Bessel verranno riprese in maggiore dettaglio nella Sezione 9.3.

Esercizio 66: Mostrare che per ogni m ∈ Z e per ogni w ∈ C vale:

Jm(w) =1

2π

∫ 2π

0

dt e−imt eiw sin(t) .

( Si usino le eq.(7.3), scegliendo γ(t) = eit.)

7.2 Teorema dei Residui.

Definizione 59: Se a e un punto singolare isolato per la funzione f(z), si dice residuo di f ina il coefficiente c−1 dello sviluppo di Laurent di f(z) in a. Esso verra denotato Res(f, a).

Proposizione 15: Sia δ > 0 tale che f sia olomorfa in Bδ(a). Allora:

Res(f, a) =1

2πi

∫γ

dz f(z) ,

dove γ e una qualunque curva chiusa, semplice, e regolare in Bδ(a), tale che a ∈ Int(γ).

Dim.: direttamente dalla equazione (7.3).

Teorema 49: Sia D ⊆ C un dominio, in cui una funzione f(z) e olomorfa, salvo per puntisingolari (poli, o singolarita essenziali) isolati. Sia γ una curva chiusa, semplice, e regolare inD, tale che nessuna delle singolarita di f(z) giaccia in γ. Allora l’integrale di f(z) su γ e egualea 2πi moltiplicato per la somma dei residui di f(z) in ciascuno dei punti singolari contenuti inInt(γ).

Dim.: Int(γ) essendo un insieme limitato, contiene al piu un numero finito di punti singolaridi f ; se cosi’ non fosse, infatti, i punti singolari avrebbero un punto limite in Int(γ); e questosarebbe un punto singolare non-isolato di f , contro le ipotesi. Siano a1, . . . an questi punti. Perogni aj si puo trovare un cammino circolare γj di centro aj, la cui traccia e contenuta in Int(γ).Le curve γ, γ1, . . . γn delimitano un dominio standard (n+ 1)-volte connesso e quindi:∫

γ

dz f(z) =n∑

j=1

∫γj

dz f(z) = 2πin∑

j=1

Res(f, aj) . (7.12)

La prima eguaglianza dal Corollario 6 al Teor. di Cauchy, e la seconda dalla Prop.15. Un’altra versione del Teorema dei Residui prende in considerazione i punti singolari esterni alcammino di integrazione:


Teorema 50: Sia γ una curva chiusa, semplice, e regolare, e sia f una funzione olomorfa in undominio D, che contiene il dominio esterno a γ. Se ∞ e una singolarita isolata per f , allora∫

−γ

dz f(z) = 2πin∑

j=1

Res(f, aj) + 2πi Res(f,∞) , . (7.13)

dove a1, . . . an sono i punti singolari di f nel dominio esterno, e il Residuo all’infinito:Res(f,∞) e dato da −c−1, essendo c−1 il coefficiente di 1/z nello sviluppo di Laurent di fall’∞.

Dim: si tracci un cammino circolare ΓR di centro 0, e raggio R tanto grande, da contenere tuttii punti singolari ”al finito” di f . Questo si puo fare, perche per assunzione ∞ e una singolaritaisolata. Intorno ad ognuno dei aj si tracci un cammino circolare γj, di raggio tanto piccolo,da essere interamente contenuto nel dominio 2-volte connesso delimitato da ΓR e da γ. In talmodo si sara costruito un dominio standard (n+ 2)-volte connesso, e dal teorema di Cauchy 6discende: ∫

−γ

dz f(z) =n∑

j=1

∫γj

dz f(z) −∫ΓR

dz f(z) ,

che dimostra l’enunciato, perche l’ultimo integrale vale precisamente−2πic−1 grazie alle formulagenerale (7.3) applicata, in questo caso, allo sviluppo di Laurent all’∞ (7.8).Nota 16: La versioni ”esterna” 50 ed ”interna” 49 del Teorema dei Residui sono perfettamente

simmetriche e si sintetizzano in l’integrale di f sul cammino γ (chiuso, sempl., regolare) e eguale a 2πi

moltiplicato per la somma dei residui di f nei suoi punti singolari, contenuti nel dominio piano che

viene lasciato a sinistra dal verso di γ; restando inteso, che fra i punti singolari si deve annoverare

anche ∞. Questa simmetria e pero ottenuta definendo il residuo a ∞ in modo fortemente asimmetrico

rispetto alle singolarita ”al finito”. Infatti, mentre nel caso di un punto singolare ”al finito” il residuo

e uno dei coefficienti della parte singolare dello sviluppo di Laurent, nel caso del punto ∞ il residuo

e uno dei coefficienti della parte regolare! Per cui, si puo avere un residuo non nullo a ∞, anche in

casi in cui ∞ non e una singolarita (o meglio: e una singolarita eliminabile). Ad es., la funzione 1/z

ha una singolarita eliminabile a ∞, ma il suo residuo a ∞ vale −1. Il residuo a ∞ di una funzione

f(z) non e dato dal residuo della funzione f(1/z) nello 0, ma bensi’ dal residuo nello 0 della funzione

−f(1/z)/z2.

7.2.1 Calcolo del Residuo in una Singolarita Polare.

Se a e un polo di ordine N per la funzione f(z), allora la funzione (z−a)Nf(z) ha una singolaritaeliminabile in z = a grazie al Teor.47(3). Dunque, in un intorno di z = a, essa ha lo sviluppodi Taylor:

(z − a)N f(z) =∞∑n=0

cn−N (z − a)n

dove i cm sono i coefficienti dello sviluppo di Laurent di f(z). Ne consegue:

Res(f, a) = c−1 =1

(N − 1)!

dN−1

dzN−1(z − a)N f(z) |z=a . (7.14)


In particolare, nel caso di un polo del 1 ordine,

Res(f, a) = limz→a

(z − a) f(z) . (7.15)

Esercizio 67: Calcolare∫γdz(1 + z4)−1 dove γ(t) = 5e2πit per 0 ≤ t ≤ 1, usando il Teor. dei Residui in

tutte e due le versioni 49 e 50.Risposta: 0.

Esercizio 68: Per t ∈ [0, 2π] sia γ(t) = 1 + exp(it). Calcolare l’integrale:∫γ

dz

(z

z − 1

)n

per ogni n intero positivo (Giu 2002).

7.2.2 Applicazioni.

Integrali di Funzioni Razionali di Seno e Coseno.

Per 0 < ϵ < 1 sia

I =

∫ 2π

0

dx1

1 + ϵ cos(x).

Questo integrale appartiene alla classe di integrali dichiarata nel titolo di questa sottosezione.Questi integrali si possono calcolare con metodi di routine, p. es. utilizzando le ”formuleparametriche” della Trigonometria. Essi si prestano tuttavia ad una svelta illustrazione dell’ideagenerale che sovrintende alle molteplici applicazioni del Teor. dei Residui al calcolo di integrali.Consideriamo il cammino γ(x) = eix per 0 ≤ x ≤ 2π, che e un cammino semplice regolaredescritto sul cerchio unitario in C. Notando che γ(x) = iγ(x) e che 2 cos(x) = γ(x) + 1/γ(x),possiamo scrivere:

I =1

i

∫ 2π

0

dx γ(x)2

ϵγ(x)2 + 2γ(x) + ϵ

=2

i

∫γ

dz1

ϵz2 + 2z + ϵ. (7.16)

La funzione f(z) = (ϵz2 + 2z + ϵ)−1 ha due punti singolari isolati:

z1,2 =−1±

√1− ϵ2

ϵ, (7.17)

e scrivendo

f(z) =1

ϵ(z − z1)(z − z2)

si riconosce che

limz→z1,2

(z − z1,2) f(z) =1

ϵ(z1,2 − z2,1),


Im

Re +R −R

+

+

+

a1

a2

Fig. 7.1: Cammino per il calcolo di Integrali Impropri.

che e finito, e = 0. Dunque z1 e z2 sono poli del 1 ordine, e Res(f, z1,2) e precisamente datodall’ultima espressione scritta. Dei due poli, si riconosce facilmente che solo z1 (corrispondenteal segno + in (7.17)) e interno a γ. Allora il teor. dei Residui da :

I =2

i2πi Res(f, z1) =

2π√1− ϵ2

.

Esercizio 69: Servendosi del teorema dei residui, calcolare l’integrale∫ 2π

0

dx sin2n(x)

per ogni intero positivo n. (Lug 2004)

Integrali Impropri.

Il Teorema dei Residui permette il calcolo di molti integrali impropri del tipo∫ +∞−∞ f(x)dx.

Il caso piu comune si presenta quando la funzione f(x) e la restrizione all’asse reale di unafunzione f(z), che in almeno uno dei due semipiani: ℑz ≥ 0 e ℑ(z) ≤ 0 e analitica, salvoper un numero finito di punti singolari isolati a1, a2, . . . , nessuno dei quali si trova sull’asse reale.Supponiamo, per fissare le idee, che questa situazione si presenti nel semipiano superiore; nelcaso essa si presentasse nel semipiano inferiore, il procedimento che segue andrebbe modificatoin modo del tutto ovvio. Usando il cammino illustrato in Fig.7.1, dal Teorema dei Residui siottiene: ∫ +R

−R

dx f(x) +

∫γR

dz f(z) = 2πi∑

Res(f, aj) , (7.18)


dove γR e la curva semicircolare di centro 0 e raggio R, e la somma e sui punti singolari contenutinel dominio a mezzaluna. Se avviene che:

limR→∞

∫γR

dz f(z) = 0, (7.19)

allora

limR→∞

∫ +R

−R

dx f(x) = 2πi∑j

Res(f, aj) , (7.20)

dove la somma e su tutti i punti singolari nel piano superiore.Il limite a sinistra nella (7.20) si chiama la parte principale dell’integrale, e si denota spesso

con P∫ +∞−∞ dxf(x). Se f(x) e integrabile nel senso improprio, o generalizzato, fra −∞ e +∞,

allora

P

∫ +∞

−∞dx f(x) = lim

R→∞

∫ +R

−R

dx f(x) =

∫ +∞

−∞dx f(x) ; (7.21)

Tuttavia puo accadere che una funzione f(x) non sia integrabile, e cio nonostante il limite nelmembro sin. esista. Per esempio, cio si verifica per f(x) = x. Dunque (7.20) fornisce un modoper calcolare, se non l’integrale improprio (che potrebbe non esistere), almeno la sua parteprincipale.La (7.19) e sempre verificata, quando f(z) e una funzione razionale, tale che limz→∞ zf(z) = 0.Infatti allora ∣∣∣∣∫

γr

dz f(z)

∣∣∣∣ ≤ πR max|f(z)| | z ∈ γR → 0

per R → ∞. La scelta del semipiano superiore o di quello inferiore e, in questi casi, arbitraria.L’esempio piu facile e f(x) = (1 + x2)−1. Scegliendo il semipiano superiore, ivi la funzione haun polo del 1 ordine nel punto z = i:

Res(f, i) = limz→i

(z − i)f(z) =1

2i,

che inserito nella (7.20) da il notorio risultato I = π.Una situazione meno ovvia, in cui (7.20) e verificata, e la seguente:

Teorema 51: (Lemma di Jordan): Sia f(z) = g(z) exp(itz) con t reale, e sia g(z) unafunzione, tale che: lim

R→+∞|g(Reiθ)| = 0 uniformemente in 0 ≤ θ ≤ π (cioe nel semipiano

superiore) oppure in −π ≤ θ ≤ 0 (cioe nel semipiano inferiore). Nel primo caso, (7.19) valecon γR tracciato nel semipiano superiore e t > 0, e nel secondo con γR tracciato nel semipianoinferiore, e t < 0.

Dim.: supponiamo che l’ipotesi sia verificata nel semipiano superiore. Allora, scrivendo γR(θ) =Reiθ per 0 ≤ θ ≤ π,∣∣∣∣∫

γR

dz eitzf(z)

∣∣∣∣ = R

∣∣∣∣∫ π

0

dθ f(Reiθ) eitR cos(θ)−tR sin(θ)

∣∣∣∣≤ 2R max|f(Reiθ)| | 0 ≤ θ ≤ π

∫ π/2

0

dθ e−Rt sin(θ) . (7.22)


assumendo t > 0, e notando che sin(θ) ≥ 2θ/π per 0 ≤ θ ≤ π/2 (cfr. il calcolo dell’integrale diFresnel):

2R

∫ π/2

0

dθ e−Rt sin(θ) ≤ 2R

∫ π/2

0

dθ e−2Rtθ/π ≤ π

2t,

che rimane limitato quando R → ∞, mentre invece max|f(Reiθ)| tende per ipotesi a 0.Dunque (7.19) e verificata. Se l’ipotesi del Lemma fosse invece verificata nel semipiano inferiore,il procedimento sarebbe simile, a patto di tracciare γR nel semipiano inferiore, e assumerestavolta t < 0. Il seguente esempio e di larga applicazione:

Trasformata di Fourier della Lorenziana.

La funzione di t definita da:

I(t) =1√2π

∫ +∞

−∞dx

1

a2 + x2eitx .

e la Trasformata di Fourier della funzione Lorenziana (a2 + x2)−1. Assumiamo a > 0. Laipotesi del Lemma di Jordan e verificata tanto nel semipiano superiore, che in quello inferiore.La funzione eitz/(a2 + z2) ha punti singolari isolati nei punti z± = ±ia, e

limz→z±

(z − z±)eitz

a2 + z2= ± eitz±

z+ − z−

cosicche i due punti sono poli del 1 ordine, con residui rispettivi

Res(±ia) = ±e∓ta

2ia.

Se t > 0 si traccia γR nel semipiano superiore, e da (7.20) segue che l’integrale vale πa−1 exp(−ta).Se t < 0 la si traccia nel semipiano inferiore; tenendo presente che stavolta la direzione positivadel cammino percorre l’asse reale nel verso negativo, si trova che l’integrale vale πa−1 exp(ta).I due risultati per t > 0 e per t < 0 si sintetizzano in:

1√2π

∫ +∞

−∞dx

1

a2 + x2eitx =

√π

a√2e−a|t| .

Esercizio 70: Calcolare l’integrale ∫ +∞

−∞dx

eix

x2 − 6x+ 10.

(Feb 2005)

8. CENNI SUL PROLUNGAMENTO ANALITICO.

8.1 Il Teorema Fondamentale.

Per zero di una funzione, nel seguito si intende un punto a del suo dominio, nel quale lafunzione si annulla: f(a) = 0.

Lemma 2: Sia f : D → C una funzione analitica, e sia a ∈ D uno zero di f . Allora e vera unadelle seguenti alternative: (1) a e uno zero isolato, cioe: ∃δ > 0 tale che a e l’unico zero di f inBδ(a), (2) f e identicamente nulla in tutto un intorno di a.

Dim.: sia∑∞

0 cn(z − a)n lo sviluppo di Taylor di f(z) in a. Dato che a e uno zero di f(z),almeno il primo coefficiente di Taylor c0 e nullo. Se tutti i coefficienti di Taylor si annullano,allora f(z) = 0 in tutto un intorno di a, cioe vale la alternativa (2). Se si esclude questaalternativa, allora esistono coefficienti non nulli; sia cN il primo di essi. Allora lo sviluppo diTaylor in a si puo scrivere:

f(z) = (z − a)N∞∑n=0

cn+N (z − a)n .

Sia g(z) la somma della serie a secondo membro. Essa e una funzione analitica in un intorno dia, e g(a) = cN = 0. Essendo g(z) continua, esiste δ > 0 tale che g(z) = 0 in Bδ(a). In questapalla, f(z) si annulla solo nel centro a. Questo Lemma esclude che la f(z) possa presentare una linea nodale, cioe che essa si annulliin tutti i punti di una linea passante per a. Proprio questo sarebbe il comportamento genericoper una funzione reale, ma e escluso nel caso di una funzione olomorfa. La ragione si capiscebene, ricordando le proprieta delle rappresentazioni conformi.

Teorema 52: (Teor. Fondamentale del Prolungamento Analitico) : Sia f analitica neldominio D. Se f(z) e identicam. nulla in un sottoinsieme aperto e non vuoto A di D, alloraf(z) e identicam. nulla in tutto D.

Dim.: fissiamo un punto a ∈ A e un altro punto z ∈ D \ A ad arbitrio. Dimostreremoche f(z) = 0. Dato che D e un dominio, e connesso per archi, e quindi si puo trovare uncammino γ : [0, 1] → D tale che γ(0) = a e γ(1) = z. Supponiamo f(z) = 0: allora l’insiemeC ≡ t ∈ [0, 1] : f(γ(t)) = 0 non e vuoto. Denotiamo t0 il suo estremo inferiore, e notiamoche, per ragioni di continuita, γ(t0) deve essere uno zero di f . Di conseguenza, t0 e strettamenteminore di 1. Esso e anche strettam. maggiore di 0. Infatti, γ e un mappa continua (per

8. Cenni sul Prolungamento Analitico. 77

definizione di cammino) e A e un insieme aperto, e quindi A′ ≡ γ−1(A) = t ∈ [0, 1] | γ(t) ∈ Adeve essere un insieme aperto in [0, 1]; percio, essendo γ(0) = a ∈ A, deve esistere δ > 0 inmodo che γ(t) ∈ A per 0 ≤ t < δ, e t0 non puo essere minore di questo δ. Per definizione dit0, tutti i punti γ(t) con t < t0 sono zeri di f , e poiche essi sono arbitrariamente vicini a γ(t0),quest’ultimo non e uno zero isolato. Allora, grazie al Teorema precedente, esiste un intorno diγ(t0), in cui f e identicamente nulla. Per la continuita di γ, γ(t) deve appartenere a questointorno, anche per ogni t in un intorno destro di t0. Per ogni tale t > t0 vale f(γ(t)) = 0, controla definizione di t0.

Corollario 12: Se f : D → C e g : D → C sono analitiche in un dominio comune D, e sef(z) = g(z) per ogni z in un sottoinsieme aperto di D, allora f e g coincidono in tutto ildominio D.

Definizione 60: Sia f(z) una funzione analitica assegnata in un dominio G. Se F (z) e unafunzione analitica in un dominio D ⊃ G, tale che F (z) = f(z), per ogni z ∈ G, allora si diceche F (z) e il Prolungamento Analitico della funzione f(z) al, o nel, dominio D.

La scelta dell’articolo ”il” nella dizione ”il Prolungam. Analitico...” e giustificata dal Corollarioprecedente, il quale assicura che se una funzione F (z) con le proprieta descritte esiste, alloraessa e unica.

Esercizio 71: Sia f(z) una funzione analitica non costante in B1(0), tale che f(1/n) = 0 per ogni n > 1

intero . Provare che 0 e un punto di singolarita essenziale. (Se esistesse il limite per z → 0 allora varrebbe 0 ;

ma allora non sarebbe uno zero isolato...)

Esercizio 72: Siano f(z) e g(z) analitiche in D, tali che f(z)g(z) e identicam. nulla in D. Provare che

almeno una delle due funzioni e identicam. nulla in D. (Feb. 2002)

8.1.1 Ricostruzione di una funzione analitica, dal suo sviluppo di Taylor locale.

Sia data una funzione f(z), analitica nel dominio D illustrato in Figura 8.1. Il suo sviluppo diTaylor nel punto a0 converge nel cerchio B0 illustrato. Come si e visto nella sez.6.2.4,questoraggiunge la frontiera del dominio di analiticita di f(z). Immaginiamo ora di non conoscere lafunzione f(z), ma solo il suo sviluppo di Taylor in a0; e proponiamoci di ricostruire la funzionef(z) in tutto il dominio, servendoci di questa informazione. Cio ha senso grazie al Corollario12, il quale assicura che lo sviluppo in a0 individua univocamente la funzione f(z) in tutto ildominio; infatti, detta f0(z) la somma della serie assegnata in B0, la funzione f(z) e il pro-lungamento analitico in D di f0(z), e come tale e unica. Si puo procedere nel modo seguente.Prendiamo un cammino con il primo estremo in a0 e muovendoci su di esso prendiamo un puntoa1, interno al cerchio B0. In questo punto la funzione f0(z) e analitica e quindi si sviluppa inserie di Taylor di potenze di z − a1. Questa serie altro non e che lo sviluppo di Taylor di f(z)in z = a1, e quindi converge in tutto il cerchio B1 di centro a1 illustrato; quindi converge anchein punti esterni al cerchio di partenza B0, nei quali la somma f0(z) della serie originale non edefinita, poiche quella serie ivi non converge. La somma f1(z) di questa nuova serie coincide


con f0(z) nell’intersezione di B0 e B1, e riproduce la funzione f(z) in tutto il cerchio B1. Ilprocedimento puo ora essere iterato, muovendosi lungo il cammino fino ad un nuovo punto a2nel cerchio B1. E’ chiaro che con questo genere di procedimento, scegliendo opportunamente ilcammino, e i punti a1, a2, . . . su di esso, si potra raggiungere qualunque punto del dominio D,e cosi’ ricostruire completamente la funzione f(z).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

D

a3

a0

a2

a1

Fig. 8.1: Catena di Sviluppi di Taylor per una funzione analitica in un dominio assegnato.

8.1.2 Prolungamento Analitico lungo un cammino.

Formalizziamo il procedimento descritto nella Sezione precedente. Chiamiamo elemento ana-litico di centro a ∈ C una coppia E ≡ (B, s) dove s e una serie di potenze di centro a, e B eun cerchio di centro a, nel quale la serie converge.Sia dato un cammino γ : [0, 1] → C, e per ogni t ∈ [0, 1] sia dato un elemento analiticoEt = (Bt, st) in modo che:

• ∀t ∈ [0, 1], il centro dell’elemento Et e il punto γ(t);

• ∀t ∈ [0, 1], si puo trovare δ > 0 in modo che se t′ ∈ [0, 1] e |t′ − t| < δ allora γ(t′) ∈ Bt; einoltre,

• st′ e lo sviluppo di Taylor della somma della serie st nel punto γ(t′).

Si noti che la seconda condizione e sempre soddisfatta, perche ognuno dei cerchi Bt e aperto, eil cammino e una funzione continua da [0, 1] in C.

Definizione 61: La famiglia di elementi analitici Et0≤t≤1 si dice un Prolungamento Ana-litico lungo il cammino γ. Si dice anche che l’elemento E1, il cui centro e il secondo estremo


del cammino, e ottenuto prolungando analiticamente lungo il cammino γ l’elemento E0, il cuicentro e il primo estremo del cammino. Gli elementi E0 e E1 si dicono rispettivamente l’elementoiniziale e l’elemento finale del proulngamento lungo γ.

Si verifichera facilmente, usando il Teorema Fondamentale, e il suo corollario, che

Proposizione 16: Se Et0≤t≤1 e E ′t0≤t≤1 sono due prolungamenti analitici lungo lo stesso

cammino γ, e E0 = E ′0, allora Et = E ′

t, per ogni t ∈ [0, 1].

La seguente affermazione e invece data senza dimostrazione.

Proposizione 17: Sia Et0≤t≤1 un prolungamento analitico lungo un cammino γ; e per ognit ∈ [0, 1] sia R(t) il raggio di Bt. Allora R(t) e una funzione continua di t, oppure R(t) = ∞per ogni t ∈ [0, 1].

Definizione 62: Un elemento analitico E = (B, s) si dice incondizionatamente prolunga-bile in un dominio D con D ⊃ B, se e possibile prolungarlo analiticamente lungo qualunquecammino in D che abbia il suo centro come primo estremo.

Se in un dominio D e definita una funzione analitica f(z), e γ e un cammino in D, per ognit ∈ [0, 1] sia Et l’elem. analitico definito dalla palla di centro γ(t) e dallo sviluppo di Taylordi f(z) nel punto γ(t). La famiglia Et0≤t≤1 e un prolungamento analitico lungo γ. Possiamodunque riassumere il contenuto della sezione 8.1.1 nel modo seguente:Sia f(z) analitica in un dominio D, sia a ∈ D, e sia Ea l’elemento analitico assegnato dallosviluppo di Taylor di f(z) nel punto a. L’elemento Ea e incondizionatamente prolungabile in D,e il suo prolungamento analitico lungo un qualunque cammino in D che abbia primo estremo ae secondo estremo b ∈ D e l’elemento analitico Eb che e univocamente definito dallo sviluppo diTaylor di f(z) nel punto b.

8.2 Monodromia e Polidromia .

Sia dato un elemento analitico E = (B, s), sia a il centro di B, e sia f0(z) la funzione analiticadefinita in B dalla somma della serie di potenze s . Ci chiediamo, se la f0(z) ammetta unprolungamento analitico in un dominio D ⊃ B (nel senso della def.60). Si puo pensare diusare, a questo scopo, la tecnica descritta nella sezione precedente, basata sulla costruzione diprolungamenti analitici lungo cammini che fuoriescono da B. Nella sez.8.1.1 l’esistenza di untale prolungamento analitico f(z) in un dominio piu grande D e stata assunta a priori. Questanon e una assunzione scontata; E puo non ammettere prolungamento analitico lungo nessuncammino uscente da B. Questo caso si presenta quando s e una serie di potenze del tipo dettolacunario, di cui un esempio e fornito dalla serie

∑n z

n!. Escludiamo questi casi estremi, esupponiamo che E sia incondizionatamente prolungabile in un dominio D ⊃ B (def.62). Cionon basta ad assicurare che f0(z) ammetta un prolungamento analitico f(z) in D, per la ragioneseguente. Siano γ1 e γ2 cammini in D, con primo estremo in a, e secondo estremo in b. Peripotesi, E puo essere prolungato sia lungo γ1, sia lungo γ2, ma non e detto che gli elementi


analitici finali E1 e E2 di centro b ottenuti in tal modo siano lo stesso elemento. Consideriamol’esempio seguente.Sia E l’elemento analitico di centro 1, con B il cerchio di centro 1 e raggio 1, e la serie

s(z) = 1 +∞∑n=1

1

2

(1

2− 1

). . .

(1

2− n+ 1

)(z − 1)n

n!. (8.1)

Questa e una serie binomiale (cfr. la sez.6.2.5), e la sua somma vale f0(z) =√z in B; la

determinazione della radice essendo quella per cui f0(1) = 1. Mostriamo che questo elementoanalitico e incondizionatam. prolungabile in D = C \ 1. Scegliamo un punto arbitrario bfuori da B ; per convenienza, nella figura b = −1. Denotiamo r la semiretta tratta dal punto0 attraverso il punto b = −1. Come si e discusso nella sezione 3.3.1, nel dominio D0 = C \ r edefinita una funzione olomorfa f(z) che e un branca della radice quadrata di z, e coincide conf0(z) in B. Essa e dunque il prolungamento analitico in D0 di f0(z) e quindi ci troviamo nellasituazione discussa nella sezione 8.1.1. Ne concludiamo che E e incondizionatamente prolun-gabile in D0. Osserviamo che essa e anzi incondizionatamente prolungabile lungo qualunquecammino in D = C \ 1. Infatti, scelto comunque un punto c /∈ r, il corrispondente sviluppo diTaylor di f(z) si trova subito osservando che

√z =

√c

√1 +

z − c

c,

e usando la serie binomiale per sviluppare la seconda radice al 2 membro in serie di potenzedi (z − c)/(c). Poiche il raggio di convergenza della serie binomiale e 1, lo sviluppo di Taylordi f(z) in c converge in tutto il cerchio che ha centro c e passa per 0. Percio il PA lungoun cammino e soggetto all’unica restrizione, che il punto 0 non puo mai essere attraversato.Possiamo in particolare prolungare E lungo i due cammini illustrati, che raggiungono b = −1lasciando il punto 0 da parti opposte. E’ chiaro che gli elementi finali ottenuti in b sono diversi,perche le rispettive serie di potenze nel punto b = −1 hanno per somme i due valori opposti di√b = ±i.

r −1 0

γ2

γ1

1

B

c

Fig. 8.2: L’elemento analitico assegnato nel cerchio B dalla serie (8.1) viene prolungato analiticamentelungo due cammini diversi γ1 e γ2 fino al punto finale b = −1. L’elemento analitico di centroc ha raggio |c|.


Nella situazione che abbiamo descritto il risultato del PA dipende dal cammino lungo ilquale esso viene effettuato. In questo caso si parla di polidromia del prolungamento analiticonel dominio D. In caso di polidromia, nel generico punto di D prolungamenti lungo camminidiversi producono elementi diversi, che quindi non possono essere identificati con gli sviluppi diTaylor locali di una unica funzione ben definita in D. Si parla invece di monodromia nel casoopposto. Condizioni sufficienti per la monodromia sono fornite dai Teoremi seguenti. Il primoviene dato senza dimostrazione, ed il secondo ne e una diretta conseguenza.

Teorema 53: Se E e incondizionatamente prolungabile in un dominio D, e γ1, γ2 sono duecammini in D, omotopi ad estremi fissi in D, (cfr. Def.43), allora i PA dei E lungo γ1 e γ2producono lo stesso elemento finale.

Corollario 13: (Teorema di Monodromia:) Sia E = (B, s) un elemento analitico incondi-zionatamente prolungabile in un dominio D semplicemente connesso. Allora esiste una ed unasola funzione f(z), analitica in tutto D, il cui sviluppo di Taylor nel centro di B e la serie s(z).

Nell’esempio precedente di Polidromia, il dominio di incondizionata prolungabilita D = C\0non era sempl. connesso.

Esercizio 73: Sia E l’elemento analitico definito da B = |z| < 1, s(z) =∑

n zn. Verificare che E e

incondizionatam. prolungabile in D = C \ 1, e che gli elementi analitici in tal modo definiti nei punti di D

sono gli sviluppi di Taylor locali di una unica funzione analitica in D.

Questo esercizio mostra che la condizione di sempl. connessione e sufficiente, ma non necessariaper la monodromia.

8.3 Funzioni Analitiche Complete.

In caso di polidromia, il punto generico funge da centro ad elementi analitici diversi, e inquel punto le serie di potenze appartenenti ad elementi diversi si sommano a valori diversi. Perquesta ragione, se di funzione si vuole ancora parlare, allora questa va intesa come una funzionepolidroma, o una funzione a piu valori.

Definizione 63: Sia E un elemento analitico, incondizionatam. prolungabile in un dominio D.Si dice funzione analitica completa (o anche globale) in D la collezione di tutti gli elementianalitici che vengono prodotti per prolungamento analitico di E lungo arbitrari cammini in D.

Nel seguito ci limitiamo al caso in cui il dominio D e il piano complesso, privato di una famigliaal piu numerabile di punti isolati a1, a2, . . .. Se l’elemento E e incondizionatam. prolungabilein D ma non in D, cio significa che ciascuno dei punti a1, . . . ha la particolarita, che E nonpuo essere prolungato lungo qualche cammino che lo attraversa. I punti che sono dotati diquesta caratteristica si chiamano punti singolari per la data funzione completa. Denotiamogenericamente con a uno di questi punti. Per ipotesi, si puo trovare un cerchio Bδ(a) in cuinon cadono altri punti singolari. Quindi gli elementi della data funzione completa, che hannocentro in punti b con |b − a| < δ/2, sono incondizionatam. prolungabili in Bδ(a). Se questi


prolungamenti hanno carattere monodromo, allora essi definiscono una funzione olomorfa inBδ(a), per la quale a e un punto singolare isolato nel senso della Def.57, e quindi ricade nellaclassificazione descritta nella sez.7.1.2. In questo caso si dice che il punto a e una sing. polare(risp., essenziale) per la data funzione analitica completa. Se invece i prolungamenti in Bδ(a)hanno carattere polidromo, allora il punto a si dice un punto di diramazione (inglese: branchpoint). La particolarita distintiva di un punto di diramazione e dunque questa: in un intornoarbitrariamente piccolo del punto e possibile descrivere cicli di polidromia attorno al punto.Un ciclo di polidromia e un cammino chiuso tale che gli elementi iniziale e finale del PA lungodi esso non coincidono (cioe, descrivendo un tale cammino la funzione non ritorna al valoreiniziale). Equivalentemente: se uno stesso elemento in Bδ viene prolungato lungo camminidiversi in Bδ(a), con gli stessi estremi, ma non omotopi a estremi fissi fra di loro, si trovanorisultati diversi.Questi risultati diversi sono al piu una infinita numerabile. Infatti, grazie al Teor.53, camminidiversi , ma tuttavia omotopi ad estremi fissi in Bδ(a), producono lo stesso risultato; da cuisi capisce, che non si possono trovare piu risultati diversi, di quanti non siano i cammini non-omotopi in Bδ(a)che connettono i dati estremi. E’ un risultato classico della topologia, chequesti sono precisamente un infinita numerabile. Infine, il numero di risultati diversi (finito, oinfinito) e lo stesso per tutti i punti di Bδ(a).

Esercizio 74: Provare l’ultima affermazione, usando la Proposizione 16.

Questo numero, diminuito di 1, si dice ordine del punto di diramazione.L’esempio piu semplice di funzione completa polidroma e quello presentato sopra. In questo

caso la funzione analitica completa si chiama semplicemente la funzione√z. Il dominio D e

il piano privato del punto 0, e in ogni punto del dominio la funzione completa presenta dueelementi analitici distinti; nel caso del punto c in Fig.8.2, essi sono definiti nello stesso cerchiodi raggio |c|, l’uno dalla serie (8.1), e l’altro dalla serie che si ottiene cambiando segno alla(8.1). Lo 0 e un punto di diramazione del 1 ordine per la funzione

√z. Im maniera assai

simile si introduce le funzione completa associata alla radice n-ma , che presenta un punto didiramazione di ordine n− 1 nello 0, e la funzione completa ln(z), per la quale 0 e un punto undi diramazione di ordine infinito.

8.3.1 Superficie di Riemann.

Una funzione polidroma non associa un unico valore a un punto del suo dominio, e quindi none una funzione nel senso stretto del termine. E’ possibile renderla tale, a patto di definirla,invece che su C , su una differente entita geometrica, nota come superficie di Riemann. Questacostruzione verra ora descritta in maniera informale, cominciando dal caso della funzione

√z.

A funzioni polidrome differenti corrispondono, in generale, differenti superfici di Riemann.

La Superficie di Riemann di√z.

In questa descrizione ci riferiamo costantemente alla Fig.8.3. Come si e visto, questa funzionepresenta un punto di diramazione in z = 0. Pratichiamo un taglio lungo il semiasse reale nega-tivo, al fine di impedire la possibilita di cicli di polidromia. Chiamiamo Foglio I, e denotiamo


Fig. 8.3: Il primo (sopra) e il secondo (sotto) foglio della superficie di Riemann della funzione√z.


Σ′, il piano cosi’ tagliato. In esso il semiasse reale negativo e il bordo superiore del taglio,rappresentato dalla linea piena. Nel Foglio I definiamo quella branca della radice, che per z = 1vale 1. In tutti gli altri punti, essa resta automaticamente definita dalla formula

√z =

√|z| exp(i arg(z)/2) ,

con la convenzione che −π < arg(z) ≤ π. Nei punti z del semiasse reale negativo, arg(z)vale dunque π, e quindi, in particolare,

√−1 = i. Il semiasse reale negativo e una linea

di discontinuita, perche avvicinandosi al semiasse negativo dal di sotto, arg(z) tende a −π.Dunque, sul bordo inferiore del taglio (linea tratteggiata), la funzione varrebbe −i nel punto−1.

Ora costruiamo una replica esatta del Foglio I, e denominiamola Σ′′ = Foglio II. In essaospiteremo l’altra determinazione, o branca , della radice quadrata. Dunque, nel Foglio II,π < arg(z) ≤ 3π; in particolare, i punti del semiasse negativo hanno argomento 3π, e cosi’√−1 = −i. Definiamo ora Σ = Σ′ ∪ Σ′′. Notiamo che Σ contiene due copie di ogni punto

del piano complesso originale , eccetto l’origine, e che a ciascuna di queste due copie e statoattribuito uno ed uno soltanto dei due valori che la funzione radice quadrata assumeva nelpunto originale. Pertanto , su Σ, la funzione

√z e definita in maniera univoca . E’ ora possibile

definire la topologia di Σ, in modo che questa funzione risulti continua. Cio vien fatto definendoopportunamente gli intorni dei vari punti di Σ. Ogni punto di Σ, che non si trovi sul semiassereale negativo di nessuno dei due fogli, possiede, in quanto punto del piano, intorni che nonsono intersecati dal taglio. Questi intorni si trasferiscono senz’altro nel ruolo di intorni dellostesso punto in Σ . Non cosi’ per i punti che appartengono al semiasse reale negativo di Σ′ odi Σ′′. Sia, per fissare le idee, b′ un punto del semiasse in Σ′; sia I ′ un intorno di b′ in Σ′, chenon contiene lo 0; e siano b′′, I ′′ le repliche di b′, I ′ in Σ′′. Risulta I ′ = I ′+ ∪ I ′−, e I ′′ = I ′′+ ∪ I ′′−,dove I ′± (rispettivam., I ′′±) sono le due parti in cui I ′ (rispettivam. I ′′) viene diviso dal semiassereale negativo. Conveniamo di associare il suffisso + (risp., −) alla parte, che e contenuta nelsemipiano ℑ(z) ≥ 0 (risp., ℑ(z) < 0). Allora gli intorni di b′ in Σ sono gli insiemi della formaI ′+ ∪ I ′′− , e gli intorni di b′′ sono quelli della forma I ′− ∪ I ′′+. In Figura 8.3 e rappresentato unintorno circolare di questo tipo, per un punto di Σ′ situato sul semiasse. I cicli di polidromiasono stati eliminati da questa costruzione. Ogni cammino continuo che partendo su un fogliovoglia girare attorno a 0 attraversa per forza di cose il taglio, e allora viene trasferito sull’altrofoglio. Cosi’, per chiudersi, un cammino in Σ attorno a 0 deve completare due giri, uno suciascun foglio. La discontinuita che la funzione radice presentava in ciascuno dei due fogli incorrispondenza del taglio e stata soppressa. Essa era dovuta al fatto, che in ciascun foglio lafunzione assume valori lontani in punti vicini, ma situati da parti opposte rispetto al taglio.Tali punti non risultano piu vicini in Σ. In effetti, la topologia su Σ riguarda come vicini puntidi Σ solo se essi, oltre ad essere vicini nel senso ordinario, portano valori vicini della funzione√z. Si deve infine notare che (1) Σ e una superficie nel senso che e localmente di dimensione

2, grazie al fatto che ogni suo punto ha, per costruzione, un intorno assimilabile ad un discodel piano ordinario; (2) la scelta del semiasse reale negativo come luogo del taglio e puramenteconvenzionale, perche una volta completata la costruzione, sulla superficie Σ non rimane tracciadel taglio.La costruzione precedente viene sovente visualizzata dicendo che Σ si ottiene incollando fra di loro


−1−0.5

00.5

1

−1

−0.5

0

0.5

1−1

−0.5

0

0.5

1

sqrt(z)

Fig. 8.4: Visualizzazione 3 dimensionale di una parte della superficie di Riemann della funzione√z.


i due fogli Σ′ e Σ′′ in modo che il bordo superiore di ciascun foglio combaci con il bordo inferiore

dell’altro (questo, perche√z assume lo stesso valore sui bordo superiore di un foglio e su quello

inferiore dell’altro). Se compiuta fisicamente nello spazio ordinario, una tale operazione produrrebbe

la superficie illustrata in Fig.8.4. Essa pero non e una immagine fedele della superficie di Riemann di√z. Infatti quest’ultima non puo essere immersa in Rn per n < 4. La autointersezione che si vede in

Fig.8.4 e un artifatto, prodotto dalla rappresentazione 3d di un oggetto 4d.

Altre Superfici di Riemann.

Le superfici di Riemann per la funzione n√z e per la funzione logaritmo si costruiscono in modo

analogo. I fogli vengono di nuovo prodotti mediante tagli lungo il semiasse reale negativo. Nelcaso di n

√z, essi sono in numero di n, e nel caso di ln(z) ve ne sono infiniti. In tutti e due i casi,

ogni foglio comunica con altri due fogli differenti. Esaminiamo un caso in cui sono presenti due

γ1

−1 1

γ2

γ3

0

Fig. 8.5: Un Foglio della superficie di Riemann della funzione√1− z2.

punti di diramazione: la funzione√1− z2 ( Fig.8.5). Riscriviamola nella forma

√1− z2 = i

√z − 1

√z + 1 , (8.2)

e notiamo che ciascuna delle due radici al 2 membro presenta un punto di diramazione del 1ordine: la prima in z = 1, l’altra in z = −1. Ogni cammino chiuso e semplice come γ1 e γ3 ,che contenga al suo interno uno e uno solo dei due punti, e quindi un ciclo di polidromia per lafunzione (8.2), perche lungo di esso una delle due radici non ritorna al valore originale.

Esercizio 75: Il cammino γ2 non e un ciclo di polidromia. Perche?

Per eliminare i cicli di polidromia basta praticare un taglio lungo l’asse reale, dal punto −1 alpunto +1. I due fogli della sup. di Riemann della funzione sono repliche del piano tagliato inquesto modo. Ciascuno di essi ospita una branca della funzione

√1− z2. Per fissare una branca

in un foglio basta scegliere in un punto arbitrario del foglio uno dei due valori della funzione.Ad esempio, si puo assumere

√1− z2 = i

√3 per z = 2. In tal modo, nel punto z = 0 dello

stesso foglio (bordo superiore, linea continua) la funzione assume il valore −1. Infatti se dalpunto z = 2 si raggiunge il punto z = 0 mantenendosi nel foglio allora l’argomento della primaradice in (8.2) aumenta di π/2, mentre quello della seconda radice non cambia; di conseguenza,anche l’argomento di (8.2) aumenta di π/2. Dal canto suo, il modulo cambia, da

√3 a 1, e in


conclusione (8.2) si moltiplica per 1/√3 exp(iπ/2) = i/

√3. Lo stesso argomento mostra che sul

bordo inferiore (linea tratteggiata) si registra il valore 1 in z = 0 e quindi il taglio e una lineadi discontinuita. Il secondo foglio ospita l’altra branca della funzione, percio sui bordi sup e infsi registrano i valori +1 e −1 rispettivamente in z = 0. La superficie di Riemann si costruisceincollando i due fogli in modo che i bordi sup e inf di un foglio combacino coi bordi inf e suprispettivamente dell’altro.

In generale, le varie branche di una stessa funzione polidroma possono esibire, nei rispet-tivi fogli, comportamenti assai diversi. Ad esempio, alcune di esse possono presentare puntisingolari, che sono assenti per altre.

Esercizio 76: Costruire i fogli della superficie di Riemann della funzione (1 +√z)−1. Verificare che in uno

di essi la funzione ha un polo, ma non nell’altro.

Esercizio 77: Costruire i fogli della superficie di Riemann della funzione√

1−√z. Verificare che in alcuni

di essi z = 1 e un punto di diramazione, ma non cosi’ in altri.

R

ε

γε

γ1

γ2

−1

γR

Fig. 8.6: Cammini per il calcolo dell’integrale (8.3).

8.3.2 Alcuni Integrali di Funzioni Polidrome.

1.- L’integrale

I =

∫ +1

−1

dx√1− x2

(con la radice aritmetica) e noto elementarmente, e offre una facile introduzione all’argomento.Consideriamo uno dei due fogli della superficie di Riemann di

√1− z2 illustrati in Fig.8.5.

Denotiamo f(z) la branca della funzione definita in questo foglio e proponiamoci di calcolare∫γ2dzf(z). Notiamo che f(z) e olomorfa ovunque, salvo il taglio; il punto a ∞ e una singolarita

isolata. Possiamo dunque applicare il Teorema dei Residui nella versione esterna (Teor.50):∫γ2

dz f(z) = −2πi Res(f,∞) ,


La serie di Laurent di f(z) a ∞ si calcola come segue:

√1− z2 = iz

√1− 1

z2= ±iz1 − 1

2z2+ . . .

avendo utilizzato la serie binomiale per |z| > 1; il segno ± dipende da quale delle due branchesi considera. Il Residuo a ∞ vale dunque ∓i/2, e cosi’

∫γ2dzf(z) = ±π. Immaginiamo di

deformare il cammino γ3 in modo da ridurlo al cammino chiuso che muove da −1 a +1 sulbordo inferiore, e ritorna da 1 a −1 sul bordo superiore. Su questo cammino, l’integrale valeprecisamente ±2I. D’altra parte, grazie al Teor. di Cauchy, questa deformazione non cambiail valore dell’integrale, e quindi I = π/2.2.-

I =

∫ +∞

0

dxxα−1

1 + x. (8.3)

dove α e un numero reale con 0 < α < 1. Ricordando che zα−1 = exp((α−1) ln(z)), si riconosceche la funzione f(z) = zα−1/(1 + z) e polidroma, a causa del punto di diramazione in z = 0.Costruiamo un foglio della superficie di Riemann, effettuando un taglio lungo il semiasse realepositivo (linea tratteggiata), dove z = |z| = x, e assumendo 0 ≤ arg(z) < 2π. In questofoglio scegliamo la branca del logaritmo che sul bordo superiore del taglio assume il valore realeln(x). Di conseguenza, sul bordo inf ln(z) = ln(x) + 2πi. Consideriamo il cammino chiusoΓϵ,R = γ1 + γR + γ2 + γϵ, dove : γ1 e il cammino uniforme descritto sul bordo sup dell’ assereale , dal punto ϵ al punto R; γR e un cammino semplice sul cerchio di centro 0 e raggio R,nel verso positivo; γ2 e il cammino uniforme descritto sul bordo inf dell’ asse reale , dal puntoR al punto ϵ; γϵ e un cammino semplice sul cerchio di centro 0 e raggio R nel verso negativo.Se 0 < ϵ < 1 < R allora , per il Teorema dei residui,∫

Γϵ,R

dz f(z) = 2πiRes(f,−1) = 2πi limz→−1

(z + 1)f(z) = 2πi zα−1|z=−1 = −2πi eπiα .

E’ importante rilevare che nel calcolo del residuo si e dovuta usare la particolare branca di f(z)che si e scelta nel foglio, cioe quella per cui arg(−1) = π. Notiamo che(∫

γ1

+

∫γ2

)dz f(z) =

(1− e2πiα

) ∫ R

ϵ

dxxα−1

1 + x.

perche la branca della funzione che si e scelta vale f(z) = xα−1/(1 + x) sul bordo superiore, ef(z) = exp(2πiα)xα−1/(1+x) sul bordo inferiore. Ora si prenderanno i limiti ϵ→ 0, R → +∞.

Esercizio 78: Provare, servendosi della maggiorazione di Darboux (Teor.4.5), e della condizione 0 < α < 1,che

limϵ→0

∫γϵ

dz f(z) = 0 , limR→+∞

∫γR

dz f(z) = 0 .

Da tutti questi risultati segue che:

I = −2πieπiα

1− e2πiα=

π

sin(πα).

Esercizio 79: Calcolare l’integrale∫ +∞0

dx ln(x)(1 + x2)−1. (Integrare la funzione ln2(z)(1 + z2)−1 sullo

stesso cammino illustrato in Figura 8.6)

9. EQUAZIONI DIFFERENZIALI.

In questo capitolo si tratta delle equazioni differenziali della forma:

u′′(z) + p(z)u′(z) + q(z)u(z) = 0 . (9.1)

Esse sono le equazioni alle derivate ordinarie, del secondo ordine, lineari. Si assume che lefunzioni p(z) e q(z) siano analitiche in un dominio D ⊆ C e si affronta il problema di trovareuna soluzione u(z) della eq.(9.1), analitica nello stesso dominio, che in un punto z0 assegnatoverifichi le condizioni iniziali (o condizioni di Cauchy):

u(z0) = α , u′(z0) = β ,

dove α e β sono numeri complessi assegnati. Nel seguito si denotera L l’operatore differenziale

L =d2

dz2+ p(z)

d

dz+ q(z) ,

in termini del quale la equazione (9.1) si scrive: (Lu)(z) = 0.

9.1 Esistenza e unicita delle soluzioni.

Si mostrera che il problema enunciato sopra ammette sempre una ed una sola soluzione locale,cioe limitatam. ad un intorno del punto z0 (Teor.54). L’esistenza di una soluzione globale, cioein tutto il dominio D di analiticita della equazione, potra essere stabilita solo nel caso in cui De semplicemente connesso (Teor.55).

9.1.1 Nell’ intorno di un punto ordinario.

Ogni punto z del dominio di analiticita delle funzioni p(z) e q(z) si chiamera un punto ordinarioper la equazione (9.1).

Teorema 54: Sia z0 un punto ordinario per la equazione (9.1). Se p(z) e q(z) sono analitiche inBR(z0), allora, comunque si scelgano i numeri complessi α e β, esiste una ed una sola funzioneu(z), analitica in BR(z0), che in BR(z0) soddisfa la (9.1), e inoltre verifica le condizioni

u(z0) = α , u′(z0) = β . (9.2)

9. Equazioni Differenziali. 90

Dim. : Per semplicita di notazione, e senza limitazione di generalita, assumiamo z0 = 0.Essendo p(z) e q(z) analitiche in BR(0), ivi si sviluppano in serie di Taylor:

p(z) =∞∑n=0

anzn , q(z) =

∞∑n=0

bnzn . (9.3)

Se la soluzione u(z) esiste in BR(0), deve essere olomorfa, quindi analitica e sviluppabile in seriedi Taylor in 0. Percio la cercheremo sotto forma di serie di potenze di centro 0, convergente inBR(0):

u(z) =∞∑n=0

cnzn , (9.4)

I coefficienti cn sono incogniti; ma i primi due, c0 e c1, si trovano immediatamente dalle con-dizioni (9.2): infatti u(0) = c0 e u′(0) = c1, quindi c0 = α e c1 = β. Per trovare gli altricoefficienti, imponiamo che Lu = 0. Ammesso che la serie (9.4) converga in BR(0), essa puoessere derivata termine a termine (v. Teor.41) un numero arbitrario di volte: in particolare lederivate prima e seconda sono date da:

u′(z) =∞∑n=0

(n+ 1)cn+1zn , u′′(z) =

∞∑n=0

(n+ 2)(n+ 1)cn+2zn . (9.5)

Dato che p(z) e q(z) sono analitiche in BR(0) per ipotesi, (Lu)(z) e essa stessa una funzioneanalitica in BR(0). Pertanto, se si vuole che (Lu)(z) sia nulla in BR(0), bisogna che tuttii coefficienti del suo sviluppo di Taylor in 0 siano nulli. Questi coefficienti si determinanosostituendo le serie (9.3) e (9.4) nella (9.1), e usando le regole di somma e moltiplicazione delleserie (Teor.13). Imponendo che ciascuno di essi si annulli, si trova che ∀n deve valere:

0 = (n+ 1)(n+ 2)cn+2 +n∑

k=0

an−k(k + 1)ck+1 +n∑

k=0

bn−kck (9.6)

Ponendo n = 0, c0 = α, c1 = β, questa equazione determina univocamente c2. Essendo in talmodo noti c0, c1, c2, riscrivendo (9.6) con n = 1 si ricava c3. Continuando in questo modo, leequazioni (9.6) determinano in modo univoco tutti i coefficienti cn. Cio dimostra che, se unasoluzione u(z) analitica in BR(0) esiste, che soddisfa le condizioni (9.2), allora essa e unica.Non resta quindi che mostrare che la serie (9.4), con i coefficienti cn (calcolati nel modo che sie detto) converge effettivamente in BR(0).

A questo scopo, mostreremo che il raggio di convergenza della serie (9.4), con i coefficienti cn de-terminati nel modo che si e detto, non e minore di R. Il raggio di convergenza e determinato dalcomportamento asintotico per n → ∞ dei coefficienti cn (v. (40). Questo comportamento e determi-nato, attraverso la (9.6), dal comportamento asintotico dei coefficienti an e bn, e a questo riguardosappiamo che, essendo p(z) e q(z) analitiche in Br(0), per ogni R

′ < R e per ogni n deve valere

|an| < AR′−n , |bn| < BR′−n


grazie al Corollario ??; dove i numeri A ≥ 0, B ≥ 0 non dipendono da n. Sostituendo nella (9.6)otteniamo :

(n+ 1)(n+ 2)|cn+2| ≤ (n+ 1)AR′−1n∑

k=0

R′−n+k+1|ck+1| + B

n∑k=0

R′−n+k|ck| , (9.7)

e quindi, denotando con C il piu grande dei due numeri AR′−1 e B,

(n+ 1)(n+ 2)|cn+2| ≤ (n+ 1)C

n+1∑k=0

R′−n+k|ck| + C

n+1∑k=0

R′−n+k|ck| (9.8)

= (n+ 2)CR′−nn+1∑k=0

|ck|R′k . (9.9)

Poniamo oraxk = |ck|R′k , (9.10)

e in tal modo troviamo che

xn+2 ≤ D

n+ 1

n+1∑k=0

xk (9.11)

deve valere per ogni n ≥ 1, dove D = CR′2. Quindi se scriviamo, per ogni m, Sm =∑m

0 xk, possiamoconcludere che

Sn+2 = Sn+1 + xn+2 ≤(1 +

D

n+ 1

)Sn+1 ,

da cui, prendendo i logaritmi:

ln(Sn+2) ≤ ln(S1) +

n∑k=0

ln(1 +D(k + 1)−1) < ln(S1) + D

n∑k=0

1

k + 1,

dove si e usata la diseguaglianza ln(1 + x) < x, valida per ogni x > 0 (Esercizio 80). Grazie allaulteriore diseguaglianza (Esercizio 81):

n∑k=0

1

k + 1< 1 + ln(n+ 1) , (9.12)

otteniamo :ln(xn+1) ≤ ln(Sn+2) < ln(S1) +D + D ln(n+ 1) ,

e quindi, usando (9.11), e rimpiazzando N = n+ 1:

|cN | < S1eDND 1

R′N ,

e infineN√

|cN | <[S1e

DND] 1N

1

R′ → 1

R′ per N → +∞ .

Cio mostra che N√|cN | e definitivamente minore di qualunque numero maggiore di 1/R′, e quindi

denotando con R il raggio di convergenza della serie (9.4):

1

R= lim sup N

√|cN | ≤ 1

R′


grazie alla eq.(??) nel teor.40. Poiche R′ e arbitrario con R′ < R, segue che R ≥ R e quindi la serie

(9.4) converge in BR(0).

Nel seguito, il Teorema appena provato verra denominato, per semplicita, Teorema Locale.

Esercizio 80: Mostrare che ln(1 + x) < x, ∀x > 0.

Esercizio 81: Provare che per ogni k ≥ 1 vale la diseguaglianza∫ k+1

kdx x−1 > (k + 1)−1. Servendosi di

questo risultato, provare la diseguaglianza (9.12).

Esercizio 82: Servendosi della tecnica usata per costruire la soluzione nel teorema precedente, determinare

la soluzione della equazione u′′(z) + u(z) = 0 che verifica u(0) = 1 e u′(0) = 0.

9.1.2 Prolungamento analitico delle Soluzioni.

Lemma 3: Siano p(z) e q(z) analitiche nel dominio D. Sia u0(z) una soluzione di (9.1) neldominio D0 ⊂ D. Se u0(z) ammette prolungamento analitico u(z) nel dominio D, allora u(z)e una soluzione di (9.1) in D.

Dim : Lu e il prolungam. analitico in D di Lu0. Dato che quest’ultima e identicam. nulla inD0, la tesi segue dal Teor. Fondamentale del PA (teor.52). Sia in particolare B0 una palla di centro z0 ∈ D. L’esistenza di soluzioni della (9.1) in B0 egarantita dal Teorema 54; sia dunque u0(z) una qualunque di esse. Il suo sviluppo di Taylor inz0 converge in B0 e identifica un elemento analitico E0 di centro z0.

Lemma 4: L’elemento E0 e incondizionatamente prolungabile in D.

Dim : Sia γ : [0, 1] → D un arbitrario cammino in D, di primo estremo γ(0) = z0. Si puotrovare δ > 0 in modo che nessun punto di γ disti meno di δ dalla frontiera di D (Esercizio83), e per ogni t ∈ [0, 1] sia Bt = Bδ(γ(t)). Se il cammino non esce da B0, definiamo t1 = 1. Seinvece il cammino esce da B0, definiamo t1 > 0 in modo che γ(t) ∈ B0 per 0 ≤ t ≤ t1 , e inoltre|γ(t1) − γ(0)| ≥ δ/2. Per 0 < t ≤ t1 poniamo α = u0(γ(t)) e β = u′0(γ(t)). Il Teorema 54stabilisce che in tutta la palla Bt esiste ed e unica la soluzione analitica ut(z) della (9.1), taleche ut(γ(t)) = α e u′t(γ(t)) = β. Per ϵ sufficientemente piccolo, la palla Bϵ(γ(t)) e contenutain B0 ∩ Bt. In essa, sia u0 che ut risolvono la equazione, e soddisfano le stesse condizioni(9.2) nel suo centro γ(t) ; pertanto, in questa palla esse coincidono, e di conseguenza hannolo stesso sviluppo di Taylor in γ(t) (Principio di Identita, Teor.42). Chiamiamo Et l’elementoanalitico definito da Bt e da questo sviluppo di Taylor. Se il cammino non esce da Bt1 per t > t1,prendiamo t2 = 1. In caso contrario, prendiamo t2 > t1 in modo che γ(t) ∈ Bt1 per t1 ≤ t ≤ t2, e|γ(t2)−γ(t1)| ≥ δ/2. Servendoci dello stesso procedimento col quale abbiamo costruito elementianalitici Et per 0 ≤ t ≤ t1, adesso definiamo elementi analitici Et per t1 ≤ t ≤ t2. Cio fatto,ripetiamo tutto il procedimento, definendo t3, . . ., finche non troveremo tn = 1. Questo devesuccedere prima o poi; infatti, se cosi’ non fosse, avremmo una successione monotona crescente,e quindi convergente, di istanti tn < 1: ma allora anche la successione dei punti γ(tn) dovrebbeconvergere, e quindi avere la proprieta di Cauchy; e cio non e possibile, perche per costruzione


|γ(tk+1) − γ(tk)| ≥ δ/2. L’intera costruzione avra alla fine assegnato ad ogni t ∈ [0, 1] unelemento analitico Et. La famiglia di elementi analitici Et0≤t≤1 e un Prolungamento Analiticolungo γ (cfr. Def.61). In effetti, se tk ≤ t′ < t′′ ≤ tk+1 allora le serie di potenze assegnaterispettivamente a Et′ e a Et′′ sono, per costruzione, gli sviluppi di Taylor nei punti rispettiviγ(t′) e γ(t′′) della stessa funzione utk(z); e lo stesso e vero se invece tk−1 < t′ ≤ tk ≤ t′′ < tk+1.Quindi, ciascuna di esse e lo svil. di Taylor della somma dell’altra, e cio verifica le proprietastabilite nella Def.61. .

Esercizio 83: Sia γ : [0, 1] → D un cammino in un dominio D ⊂ C. Provare che ∃δ > 0 tale che, ∀z ∈ γ,

Bδ(z) non contiene punti di frontiera di D.

I due Lemmi portano al Teorema di Esistenza e Unicita di soluzioni analitiche globali nel casodi dominio semplicem. connesso:

Teorema 55: Sia D un dominio semplicemente connesso in cui p(z) e q(z) sono analitiche; siaz0 ∈ D; e siano α, β due arbitrari numeri complessi. Esiste una ed una sola soluzione u(z) della(9.1) in D, che verifica u(z0) = α e u′(z0) = β.

Dim. : grazie al teorema di Monodromia (Cor.13), e al Lemma 4, la soluzione che vieneunivocamente individuata in un cerchio di centro z0 dalle condizioni assegnate nel punto z0(Teorema Locale) ammette prolungamento analitico u(z) in tutto D; e grazie al Lemma 3questa funzione, oltre a verificare le condizioni in z0, risolve la equazione in tutto D. Ognifunzione con le stesse proprieta deve coincidere, grazie alla unicita sancita dal teorema locale,con la u(z) nell’intorno di z0 e pertanto, grazie al teorema fondamentale del PA (Teor.52), devecoincidere con u(z) in tutto D. .

9.1.3 Struttura dello spazio delle soluzioni.

Se D ⊆ C e un dominio arbitrario (non vuoto), denotiamo A(D) l’insieme delle funzionif : D → C, analitiche in D. In A(D) definiamo le operazioni seguenti:

• prodotto per un numero complesso: se c ∈ C e f ∈ A(D), questa operazione e definitada (cf)(z) := cf(z)

• somma: se f ∈ A(D) e g ∈ A(D), allora la loro somma e definita da (f + g)(z) :=f(z) + g(z) .

E’ di immediata verifica, che A(D) dotato di queste operazioni diviene uno spazio vettorialecomplesso.Siano p(z) e q(z) due funzioni assegnate in A(D). Per ogni f ∈ A(D), la funzione Lf e ancorain A(D); inoltre, se α e β sono due numeri complessi arbitrari, e f(z), g(z) ∈ A(D), allora

L(αf + βg) = αLf + βLg , (9.13)

e quindi la mappa f → Lf definisce l’ operatore lineare L nello spazio vettoriale A(D). SiaS(D) il sottoinsieme di A(D), costituito dalle funzioni che risolvono la equazione (9.1) in D,


e quindi verificano Lf = 0. Dalla (9.13) segue che se f e g sono due soluzioni della equazione(9.1), allora anche αf + βg lo e. Cio significa, che S(D) e un sottospazio vettoriale di A(D). Ilteorema di esistenza globale (Teor.55) ha un corollario pressoche immediato:

Teorema 56: Se D e un dominio semplicemente connesso, in cui p(z) e q(z) sono analitiche,allora S(D) e uno spazio vettoriale complesso di dimensione 2.

Dim. : fissiamo ad arbitrio un punto z0 ∈ D e definiamo una mappa σz0 di C2 in S(D) comesegue: per ccc = (c0, c1) ∈ C2, σz0(ccc) ∈ S(D) e la soluzione della (9.1) in D, tale che u(z0) = c0e u′(z0) = c1. Che questa mappa sia ben definita e assicurato dal Teorema 55. Mostriamo cheσz0 e un isomorfismo di spazi vettoriali; la tesi ne risultera automaticamente dimostrata.

• σz0 e suriettiva: se u(z) e una soluzione arbitraria in D, allora essa e l’immagine per σz0del vettore che ha c0 = u(z0) e c1 = u′(z0);

• σz0 e lineare: se ccc = (c0, c1), ddd = (d0, d1), α, β ∈ C, e u = σz0(ccc), v = σz0(ddd), allora αu+βve ancora una soluzione, e verifica

(αu+ βv)(z0) = αc0 + βd0 ,

e anche:(αu+ βv)′(z0) = αc1 + βd1 ,

e quindi, grazie al teorema di unicita,

σz0(αccc+ βddd) = ασz0(ccc) + ασz0(ddd) ;

• σz0 e iniettiva; dato che e lineare, basta provare che σz0(ccc) = 0 implica ccc = 0, e questosegue subito dal Teorema di unicita.

Definizione 64: Per u e v funzioni in A(D), si dice Wronskiano di u e v la funzione definitain D da:

Wu,v(z) = det

(u(z) v(z)u′(z) v′(z)

)= u(z)v′(z)− u′(z)v(z) .

Teorema 57: Sotto le ipotesi del Teor.55, siano u(z), v(z) elementi di S(D). Allora Wu,v(z) =0, ∀z ∈ D, oppure Wu,v(z) = 0, ∀z ∈ D. Il primo caso si verifica se, e solo se, u e v sono vettorilinearmente indipendenti in S(D), e cioe costituiscono una base vettoriale per S(D).

Dim. : Sfruttiamo l’isomorfismo σz0 introdotto nella prova del Teorema 56. Poniamo ccc = σ−1z0(u)

e ddd = σ−1z0(v). Trattandosi di isomorfismo, u e v sono linearmente indipendenti in S(D) se, e

solo se, ccc e ddd sono linearmente indipendenti in C2. D’altra parte, e noto dalla Algebra Lineareche ccc = (c0, c1) e ddd = (d0, d1) sono vettori linearmente indipendenti in C2 se, e solo se,

det

(c0 d0c1 d1

)= 0 .


Questo determinante coincide con il Wronskiano di u e v nel punto z0, quindi u e v sono linearm.indip. se, e solo se, il loro Wronskiano non si annulla in z0. In questo argomento, la sceltadi z0 e del tutto arbitraria, quindi la conclusione e vera, comunque si sia scelto z0 ∈ D; e ciodimostra la tesi . Il Wronskiano di due soluzioni u(z) e v(z) verifica una equazione notevole. Si scriva la (9.1)per la funzione u(z), e per la funzione v(z); si moltiplichi la prima per v(z), e la seconda peru(z). Sottraendo m. a m. le due equazioni cosi’ ottenute, si trova:

v(z)u′′(z) − u(z)v′′(z) = p(z)v′(z)u(z) − u′(z)v(z) ,

che si puo riscrivere nella forma:

− W′u,v(z) = p(z)Wu,v(z) , (9.14)

che e nota come la equazione del Wronskiano. Servendosi di questa equazione, i coefficientip(z) e q(z) della equazione (9.1) possono sempre essere ricostruiti, se sono note due soluzioniu(z) e v(z) linearm. indipendenti. Si calcola il Wronskiano di u e v: sostituendolo in (9.14), sidetermina p(z); infine, q(z) si ricava direttamente dalla (9.1).

Nota 17: La eq. del primo ordine (9.14) si integra direttamente. Scelto ad arbitrio z0 ∈ D se D e semplicem.connesso allora per ogni altro punto z ∈ D

Wu,v(z) = Wu,v(z0)e−

∫ z dz′ p(z′) ,

dove l’integrale e calcolato lungo qualunque cammino in D di estremi z0 e z.

In conclusione: nel caso in cui il dominio di analiticita D della equazione e sempl. connesso,ogni soluzione in D si puo scrivere nella forma

Au(z) + Bv(z) , (9.15)

dove A e B sono costanti complesse arbitrarie, e u e v sono due soluzioni analitiche linearmindipendenti della equazione. Esse possono essere determinate, ad es., risolvendo la equazionesotto due diverse condizioni (9.2) in un punto arbitrario z0 ∈ D, specificate da due vettori ccc eddd linearmente indipendenti.

9.2 Punti Singolari.

Nel Teor.55 l’ipotesi che il dominio D di analiticita di p(z) e q(z) sia semplicem. connesso ecruciale. Essa e certamente violata quando una o tutte e due le funzioni p(z) e q(z) presentanodei punti singolari isolati. In questi casi possono non esistere soluzioni analitiche globali. Lesingolarita isolate di p(z) e/o q(z) si chiamano punti singolari della equazione. In questa sezioneci occupiamo del comportamento delle soluzioni nell’intorno di un punto singolare. Gli aspettigenerali di questo comportamento sono bene illustrati dall’esempio elementare seguente:


9.2.1 Equazione di Eulero.

Se nell’eq.(9.1) si pone p(z) = λ/z e q(z) = µ/z2, con λ e µ parametri complessi, si ottiene lacosiddetta equazione di Eulero. Il dominio di analiticitaD = C\0 non e semplicem. connesso.L’equazione e tuttavia risolubile elementarmente, mediante il cambiamento di variabile t =ln(z). Un calcolo immediato (Esercizio 84) mostra che, dette α1,2 le radici della equazione agliindici

α2 + (λ− 1)α + µ = 0 . (9.16)

la soluzione generale della equazione e combinazione lineare di due soluzioni particolari u1(z) eu2(z) , linearmente indipendenti, che hanno la forma

u1,2(z) = zα1,2 ; (9.17)

se α1 = α2, oppure la forma:

u1(z) = zα1 , u2(z) = zα1 ln(z) , (9.18)

se α1 = α2. Se α1,2 non sono numeri interi, nessuna di queste soluzioni e analitica in D,perche non e monodroma. Esse sono tuttavia soluz. locali dell’equazione, nel senso che, in unqualunque dominio sempl. connesso D′ ⊂ D, sono analitiche, e linearm. indipendenti, comeprevisto dal teor.55. Tuttavia la eq. non ha soluz. analitiche globali in D ( eccetto u ≡ 0).

Esercizio 84: Scrivere la soluzione generale della eq. di Eulero. (Posto t = ln(z), w(t) = u(z) = u(et), la

funzione w soddisfa una equazione a coefficienti costanti, che si risolve in modo standard.)

9.2.2 Soluzioni Fondamentali.

Sia a un punto singolare isolato per la equazione (9.1), e sia R > 0 tale che p(z), q(z) sonoanalitiche nel disco forato BR(a) := BR(a) \ a. Ricaviamo da questo disco un dominioB×

R(a) semplicemente connesso, escludendone un raggio scelto ad arbitrio; per es., questo raggiopotrebbe essere quello definito da rrr = a − x |0 ≤ x < R, e allora B×

R(a) = z ∈ BR(a) :−π < arg(z − a) < +π. Nel dominio sempl. connesso B×

R(a) vale il Teor.56; sia dunqueu(z) una soluzione della equazione in B×

R(a), non identicam. nulla . In generale, il taglio rrre una linea di discontinuita per u(z), poiche i valori che essa assume sui due bordi del tagliosono diversi (cfr. l’esempio della eq. di Eulero). Essa e analiticam. prolungabile attraverso iltaglio (Lemma 4), tuttavia il prolungamento analitico attraverso il taglio produce in generaleuna nuova funzione u+(z), che e ancora una soluzione grazie al Lemma 3. Siano allora u1(z)ed u2(z) due soluzioni analitiche linearm. indipendenti in B×

R(a), cioe una base vettoriale inS(B×

R(a)). Ciascuna di esse puo essere prolungata analiticamente attraverso il taglio, dandoluogo ad una nuova soluzione della equazione in B×

R(a) (grazie al Lemma 3). Siano u+1 (z) e u+2 (z)

le due nuove soluzioni cosi’ ottenute. Ciascuna di esse deve potersi scrivere come combinazionedelle funzioni u1(z) ed u2(z), perche esse sono una base nello spazio delle soluzioni in B×

R(a); equindi, deve valere

u+1 (z) = a11u1(z) + a12u2(z)

u+2 (z) = a21u1(z) + a22u2(z) . (9.19)


La matrice

AAA =

(a11 a12a21 a22

)(9.20)

si chiama matrice circuitale (circuit matrix). In termini vettoriali: l’operazione S definita inS(B×

R(a)) dal prolungam. analitico, ossia: (Su)(z) = u+(z) e lineare. La matriceAAA e la matriceche rappresenta l’operatore lineare S sulla base prescelta u1, u2.

Esercizio 85: Scrivere la matrice circuitale per la equazione di Eulero, sulla base specificata in (9.17) oppure

in (9.18).

Proposizione 18: u(z) ∈ S(B×R(a)) e un autovettore dell’operatore S corrispondente ad un

certo autovalore λ ( ossia: u(z) non e identicam. nulla, e u+(z) = λu(z)) se, e solo se, de-terminando le costanti b1 e b2 in modo che u(z) = b1u1(z) + b2u2(z), risulta che il vettorebbb := (b1, b2) ∈ C2 e autovettore della matrice AAA′, trasposta della matrice AAA, corrispondente allostesso autovalore λ. Ossia,

a11b1 + a21b2 = λb1 , (9.21)

a12b2 + a22b2 = λb2 . (9.22)

Dim. : (b1u1(z) + b2u2(z))+ = b1u

+1 (z) + b2u

+2 (z) = (b1a11 + b2a21)u1(z) + (b1a12 + b2a22)u2(z),

e la tesi segue da (b1u1(z) + b2u2(z))+ = λ(b1u1(z) + b2u2(z)).

Proposizione 19: La matrice circuitale non e singolare, cioe det(AAA) = 0.

Dim. : Se la matrice fosse singolare, allora u+1,2 sarebbero linearmente dipendenti e quindi illoro Wronskiano (Def.64) sarebbe identicam. nullo in B×

R(a) (Teor57). Il Wronskiano di u+1,2(z)e il prolungam. analitico del Wronskiano di u1,2(z), che non e mai nullo in B×

R(a) (Teor.57);pertanto non puo essere identicam. nullo, per il Teor. Fondam. del PA. Ricordiamo dall’ Algebra Lineare, che una matrice quadrata, come la AAA, puo essere sempreposta nella forma normale di Jordan, scegliendo una base appropriata.

Definizione 65: Si dicono soluzioni fondamentali per la equazione (9.1) nell’intorno delpunto singolare isolato a, due soluzioni (generalmente polidrome) u1(z) e u2(z) tali che lamatrice circuitale costruita usando come base queste soluzioni si presenta nella forma normaledi Jordan.

Analizziamo queste soluzioni fondamentali. Per trovare la forma normale occorre anzituttorisolvere l’equazione secolare:

det(AAA − λ111) = 0

nell’incognita λ; 111 e la matrice identica. Questa e una equazione del 2 grado, e possiede dueradici λ1,2. Distinguiamo due casi:

I. λ1 = λ2. In questo caso la matrice AAA′ possiede due autovettori linearm. indipendenti, bbb(1) ebbb(2). Dalla Proposizione (18) segue che esistono due soluzioni u(1,2)(z) linearmente indipendenti,che verificano u(1,2)+(z) = λ1,2u

(1,2)(z). La matrice circuitale associata a questa base e diagonale.


II. λ1 = λ2. Soltanto un autovettore di A′ e garantito. Prendiamo come funzione di base u1 ilcorrispondente autovettore di S; come seconda funzione di base u2, prendiamo una arbitrariasoluzione linearm. indipendente da u1. Su questa particolare base, la matrice circuitale ha laforma (

λ1 0a21 λ1

)(9.23)

(l’eguaglianza degli elementi diagonali e richiesta dal fatto che gli zeri del determ. secolare de-vono coincidere). Queste considerazioni portano alla seguente caratterizzazione delle soluzionifondamentali.

Teorema 58: Una delle soluzioni fondamentali in BR(a) per la equazione (9.1) si presenta nellaforma:

u1(z) = (z − a)α1 f1(z) . (9.24)

L’altra puo presentarsi anch’essa nella stessa forma:

u2(z) = (z − a)α2 f2(z) , (9.25)

oppure puo avere la forma

u2(z) = u1(z)f2(z) + ln(z − a) , (9.26)

dove α1,2 sono costanti complesse, definite a meno di una arbitraria costante addittiva intera, ele f1,2(z) sono funzioni analitiche (monodrome) in BR(a). La forma (9.26) della 2nda soluzionepuo presentarsi solo nel caso II della matrice circuitale.

Dim. : Sia u(z) ∈ S(B×R(a)) una funzione con la proprieta u+(z) = λu(z); λ = 0 grazie alla

Prop.19, percio , se poniamo α = ln(λ)/(2πi), allora la funzione

(z − a)α = e1

2πiln(λ) ln(z−a)

ha la stessa proprieta della u(z) , perche il PA attraverso il taglio cambia ln(z−a) in ln(z−a)+2πi. Di conseguenza, la funzione f(z) := u(z)/(z − a)α rimane inalterata dal PA, ed e quindimonodroma e analitica in BR(a). Nel caso I, tutte e due le soluzioni fondam. hanno quindi laforma (9.24). Nel caso II, una ha ancora la stessa forma: l’altra, invece, non e necessariamenteun autovettore di S (cfr. la 2a riga della matrice (9.23)); invece ha la proprieta che :

u+2 (z) = a21u1(z) + λ1u2(z) ,

Se a21 = 0, allora anche la u2(z) e un autovettore, e quindi ha la forma (9.24). Non cosi’ einvece a21 = 0. In quel caso, (u2/u1)

+ = u2/u1 + a21/λ1; cioe, il rapporto u2/u1 cambia per unfattore addittivo costante in seguito al PA. La funzione a21 ln(z− a)/(2πiλ1) ha esattamente lostesso comportamento, e quindi, posto c = a21/(2πiλ1), la funzione g(z) = u2/u1 − c ln(z − a)resta inalterata dal PA ed e quindi monodroma e analitica. Dato che c = 0, possiamo ridefinireu2 moltiplicandola per l’inessenziale fattore c−1 e allora u2 prende la forma (9.26) con f2(z) =c−1g(z)f1(z).


9.2.3 Singolarita Regolari.

Le funzioni f1,2(z) che compaiono nella forma generale delle soluzioni fondamentali hanno, apriori, una singolarita isolata in z = a, e quindi possono essere sviluppate in serie di Laurent inBR(a). Pertanto, almeno una delle due soluzioni fondamentali puo essere sempre scritta nellaforma:

u1(z) = (z − a)α1

+∞∑n=−∞

cn(z − a)n . (9.27)

Dato che α1 e definito a meno di un intero arbitrario, possiamo sempre assumere che la sin-golarita di f1(z) nel punto a sia eliminabile oppure essenziale. Infatti, se la serie in (9.27)contiene solo un numero finito di termini di indice negativo, ossia esiste N > 0 intero in modoche c−N = 0 e c−n = 0 per n > N , allora basta ridefinire α1 come α1−N per eliminare la partesingolare della serie di Laurent.

Definizione 66: Il punto singolare a si dice un punto singolare regolare, se le funzionif1,2(z) nelle soluzioni fondamentali (9.24) oppure (9.26) non presentano singolarita essenzialiin a, e quindi possono essere assunte analitiche anche nel punto a.

Teorema 59: Il punto a e una singolarita regolare, se, e solo se, e al massimo un polo del 1ordine per p(z), e un polo del 2 ordine per q(z).

Di questo Teorema non diamo la dimostrazione completa. A grandi linee, la necessita dellacondizione viene provata ricostruendo il comportamento di p(z) e q(z) da quello delle soluzioni,secondo quanto si e detto subito dopo la eq. (9.14). Per provare la sufficienza, si sostituiscelo sviluppo (9.27) nella equazione. In questo modo si determinano gli esponenti α1,2 e i coef-ficienti dello sviluppo di Taylor almeno della f1(z), che viene quindi calcolata esplicitamente.Almeno nel caso in cui la differenza degli esponenti calcolati non e un numero intero, anche icoefficienti della f2(z) possono essere calcolati in questo modo. Questo procedimento ha grandeimportanza pratica, perche e quello che viene concretamente utilizzato per risolvere la equazio-ne differenziale, e quindi verra subito descritto qui di seguito. Una volta calcolati i coefficientidello sviluppo, per completare la prova della sufficienza occorre mostrare che gli sviluppi cal-colati sono convergenti, ma questa parte verra omessa.Per semplicita di scrittura, assumiamo a = 0. La condizione enunciata su p(z) e q(z) permettedi scrivere:

p(z) =p0(z)

z, q(z) =

q0(z)

z2, (9.28)

dove p0(z) e q0(z) sono analitiche senza eccezioni in BR(0), e dunque ammettono gli sviluppidi Taylor

p0(z) =+∞∑n=0

anzn , q0(z) =

+∞∑n=0

bnzn . (9.29)

Cerchiamo la soluzione nella forma:

u(z) = zα+∞∑n=0

cnzn ; (9.30)


Per prima cosa, sostituiamo le (9.28) nella equazione differenziale, e liberiamo dai denominatori.Cosi’ la equazione prende la forma:

z2u′′(z) + zp0(z)u′(z) + q0(z)u(z) = 0. (9.31)

Ora scriviamo

zu′(z) =∞∑n=0

(n+ α)cnzn+α , z2u′′(z) =

∞∑n=0

(n+ α)(n+ α− 1)cnzn+α , (9.32)

e sostituiamo i vari sviluppi in serie nella equazione (9.31). In tal modo, l’intero membrosinistro della equazione si trova sviluppato in serie di potenze zn+α; per ogni n, eguagliamo a 0il corrispondente coefficiente . Possiamo sempre assumere c0 = 1, perche la soluzione e data ameno di un arbitrario fattore moltiplicativo costante. Allora per n = 0 troviamo l’equazione

F0(α) := α(α− 1) + a0α + b0 = 0 , (9.33)

che si chiama la equazione agli indici per la data equazione differenziale, nel dato puntosingolare. Essa e una equazione algebrica di secondo grado, e fornisce due radici, o indici, oesponenti caratteristici α1,2. Per n = 1,

[α(α + 1) + a0(α + 1) + b0]c1 + αa1 + b1 = F0(α + 1)c1 + αa1 + b1 = 0.

e per n = 2:F0(α + 2)c2 + [a1(α + 1) + b1]c1 + a2α + b2 = 0 .

E’ ora facile vedere che, definendo Fk(x) = akx + bk per k ≥ 1, l’equazione che si ottieneannullando il coeff. di zn+α si scrive:

cnF0(α+ n) + cn−1F1(α + n− 1) + . . .+ c1Fn−1(α + 1) + Fn(α) = 0 . (9.34)

Si puo quindi procedere ricorsivamente. Prima di tutto, si sceglie una radice α1 della equazioneagli indici (n = 0), e la si sostituisce nella equazione per (n = 1). In tal modo si calcola c1.Sostituendo il valore trovato per c1 nella equazione per n = 3, si calcola c2 - e cosi’ di seguito.Questo processo puo, tuttavia , arrestarsi: infatti la equazione n-ma (9.34) puo essere risoltaper cn, solo a patto che il coefficiente di cn non sia nullo; cioe, a patto che F0(α1 + n) = 0,cioe che α1 + n = α2. Questo inconveniente non puo mai verificarsi per se la differenza deidue indici α1 e α2 non e un numero intero, e allora tutti i coefficienti cn sono calcolabili perricorrenza. Dopo avere cosi’ determinato una delle soluzioni fondamentali, si ripete daccapola procedura, impostando l’altro indice α2, e cosi’ si determina anche la seconda soluzionefondamentale. Le due soluzioni hanno quindi la forma (9.24),(9.25). L’inconveniente non sipresenta nemmeno quando la differenza degli indici e un numero intero n, a patto che l’indicescelto α1 sia, dei due, quello con la parte reale maggiore. Allora e ancora possibile calcolare laprima sol. fondamentale per ricorrenza . Pero quando si reimposta l’altro indice per calcolarela seconda soluz. fondamentale, all’n-mo passo si trova che il coefficiente di cn vale zero. Aquel punto puo accadere che, per un caso fortuito, anche gli altri termini in (9.34) si annullino;


allora si puo scegliere cn ad arbitrio, e passare oltre senza difficolta. Se invece questa favorevolecoincidenza non si verifica la 2nda soluz. fondamentale non puo essere trovata con questoprocedimento. Questo caso evidentemente corrisponde alla forma (9.26) della 2nda soluzionecanonica, che non puo essere trovata sotto forma di una serie di potenze, perche include ancheun termine logaritmico.

Esercizio 86: Trovare α ∈ R \ 0 in modo che la equazione differenziale:

u′′(z) +α

z2u(z) = 0

abbia una soluzione analitica intera.

Comportamento delle soluzioni a ∞.

Se il punto ∞ e una singolarita isolata per le funzioni p(z) e q(z), allora, per studiare ilcomportamento a ∞ delle soluzioni della equazione (9.1), si effettua il cambiamento di variabilit = 1/z, w(t) = u(z) = u(1/t). Se la u(z) risolve (9.1) in un intorno di ∞ , p.es. in |z| > R,allora un facile calcolo mostra che la w(t) risolve l’equazione:

w′′(t) + w′(t)

[2

t− 1

t2p

(1

t

)]+

1

t4q

(1

t

)w(t) = 0 (9.35)

in un intorno di 0. Il problema si riconduce quindi allo studio delle soluzioni di (9.35) nell’intornodel punto singolare t = 0, e si possono applicare i risultati precedentemente stabiliti. Inparticolare, ∞ si dira una singolarita regolare per la (9.1), se tale e t = 0 per la (9.35). Vistoil Teor.59, cio accade quando:

1.[2t− 1

t2p(1t

)]ha al piu un polo del 1 ordine in t = 0. Cio richiede che p(1/t) si annulli

per t→ 0, e quindi che limz→∞ p(z) = 0.

2. 1t4q(1t

)ha al piu un polo di ordine non superiore a 2 in t = 0. Cio richiede limz→∞ zq(z) =

0.

Riassumendo:

Proposizione 20: Il punto ∞ e una singolarita regolare per la equazione (9.1) se, e solo se, euno zero per la funzione p(z), e uno zero almeno del 2 ordine per la funzione q(z).

La equazione agli indici nel punto ∞ per la equazione (9.1) e la equaz. agli indici per la (9.35)in t = 0, cioe :

α2 + (a0 − 1)α + b0 = 0

a0 = limt→0

t

[2

t− 1

t2p

(1

t

)]= 2− lim

z→∞zp(z) , b0 = lim

t→0t21

t4q = lim

z→∞z2q(z) . (9.36)

Possiamo ora rifrasare i risultati delle sezioni precedenti, per adattarli al caso della singolaritaa ∞:


Teorema 60: Sia ∞ una singolarita regolare per l’equazione (9.1), e siano α1,2 le radici dellaequazione agli indici (9.2.3). In un intorno di ∞ l’equazione possiede una coppia di soluzionilinearmente indipendenti. Queste hanno la forma:

u1,2(z) = z−α1,2

∞∑n=0

c(1,2)n z−n

in tutti i casi in cui α1 − α2 /∈ Z; altrimenti, una di esse puo avere la forma

u2(z) = u1(z)

ln(z) +

+∞∑n=0

bnz−n

.

Cambiamenti di Variabile.

Nella soluzione delle equazioni dotate di singolarita regolari si utilizzano frequentemente certicambiamenti di variabili, che sono descritti in questa sezione. Consideriamo la mappa del pianoesteso τ : C → C in se stesso definita da

τ(z) =Az +B

Cz +D; (AD −BC = 0) . (9.37)

Essa si dice una Trasformazione Omografica, o anche Trasformazione di Mobius. La condizionesui coefficienti A,B,C,D assicura che la mappa e biettiva. Questa classe di trasformazioniinclude in particolare le trasformazioni del tipo

z → Az ; z → 1

z; z → z +B (9.38)

e anzi si verifica facilmente che ogni trasformazione (9.37) puo essere ottenuta componendotrasformazioni dei tipi (9.38).

Proposizione 21: Se si effettua un cambiamento omografico di variabile z → t = τ(z), v(t) =u(z), allora la equazione (9.1) per la funzione u(z) si trasforma in una equazione dello stessotipo per la funzione v(t) ; e se z = a e una singolarita regolare per la (9.1), con indici α1,2,allora t = τ(a) e una singolarita regolare per la nuova equazione, con gli stessi indici.

Esercizio 87: Dimostrare la Prop.21. (Basta provarla per le trasformazioni (9.38).)

Proposizione 22: Sia z = a una singolarita regolare per (9.1) con indici α1,2. Se si poneu(z) = (z − a)βv(z) allora la funzione v(z) soddisfa ancora una equazione del tipo (9.1) conuna singolarita regolare in z = a, con gli indici α1,2 − β. Se ∞ e una singolarita regolare perla prima equazione, con gli indici ν1,2, allora ∞ e una singolarita isolata anche per la 2ndaequazione, e gli indici sono ν1,2 + β.

Dim. : per calcolo diretto.


9.3 Equazione di Bessel.

u′′(z) +1

zu′(z) +

(1− ν2

z2

)u(z) = 0 (9.39)

Questa equazione ricorre frequentemente in vari campi della matematica applicata. In questeapplicazioni il parametro ν e sovente un numero intero, e comunque e di solito reale, maqui potra assumere valori complessi arbitrari. Per fissare le idee conveniamo che ℜ(ν) ≥ 0.L’equazione ha punti singolari in 0 e ∞; di questi, 0 e una singolarita regolare, ma ∞ non loe. Applichiamo il procedimento descritto in precedenza nella sez.9.2.3 per calcolare le soluzionifondamentali relative al punto 0. Secondo la teoria generale, queste soluzioni saranno analitichenel piano, tagliato lungo una semiretta. Possiamo ad es. scegliere il semiasse reale negativo.Notiamo che p0(z) = 1 e q0(z) = z2 − ν2. Quindi la equazione agli indici in 0 si scrive:α(α− 1) + a0α+ b0, dove a0 = p0(0) = 1 e b0 = q0(0) = −ν2. L’equazione agli indici e dunqueα2−ν2 = 0, con le radici ±ν. Dei due indici in 0 scegliamo quello con la parte reale piu grande,che e ν, e cerchiamo la soluzione nella forma:

u(z) = zν+∞∑n=0

cnzn , (9.40)

Riscriviamo la equazione nella forma

z2u′′(z) + zu′(z) + (z2 − ν2)u(z) = 0 ,

e inseriamoci la (9.40), nonche le

zu′(z) =+∞∑n=0

cn(n+ ν)zn+ν , z2u′′(z) =+∞∑n=0

cn(n+ ν)(n+ ν − 1)zn+ν .

Annullando il coefficiente di zn+ν si trova, per n ≥ 2, la equazione:

n(2ν + n)cn = − cn−2 , (9.41)

Lasciando c0 indeterminato per il momento, questa equazione fornisce:

c2 = − 1

2.2(ν + 1)c0 ,

c4 =1

2.24(ν + 1)(ν + 2)c0 ,

. . .

c2k = (−1)k1

22kk!(ν + 1)(ν + 2) . . . (ν + k)c0 (9.42)

. . . (9.43)


e quindi tutti i coefficienti di indice pari vengono determinati senza problemi, grazie al fattoche nessuno dei denominatori puo annullarsi, grazie a ℜ(ν) ≥ 0. Scegliendo c1 = 0, tutti icoefficienti dispari risultano nulli. Si usa ora scegliere

c0 =1

2νΓ(ν + 1). (9.44)

siccome zΓ(z) = Γ(z+1) ogni volta che ℜ(z) ≥ 0, risulta (ν+k)(ν+k−1) . . . (ν+1)Γ(ν+1) =Γ(ν+k+1), e quindi, sostituendo in (9.42) e quindi in (9.40), si trova la soluzione fondamentalecercata nella forma

u(z) =+∞∑k=0

(z2

)2k+ν (−1)k

k!

1

Γ(ν + k + 1). (9.45)

Per ogni valore del parametro ν, la serie a destra dell’eguale definisce una funzione Jν(z) chesi chiama la Funzione di Bessel, di 1a specie, e ordine ν. Abbiamo dunque trovato che: laequazione di Bessel (9.39) possiede sempre una soluzione fondamentale data dalla funzione diBessel di 1a specie e ordine ν, con ℜ(ν) ≥ 0.

9.3.1 Funzioni di Bessel di 1a specie.

Per ogni valore del parametro complesso ν, la funzione di Bessel di 1a specie, e ordine ν, edefinita da:

Jν(z) =+∞∑k=0

(z2

)2k+ν (−1)k

k!

1

Γ(ν + k + 1). (9.46)

Nel caso che ν sia intero negativo, (ν = −n con n un intero naturale) i termini con k ≤ −1+ncontengono al denominatore la funzione Gamma calcolata nei suoi poli, e si intendono nulli.Pertanto,

J−n(z) =∞∑k=n

(z2

)2k−n

(−1)k1

Γ(k − n+ 1)

che, introducendo l’indice m = k − n, diventa:

J−n(z) =∞∑

m=0

(z2

)2m+n

(−1)m+n 1

Γ(m+ 1)(m+ n)!= (−1)nJn(z) . (9.47)

Se ν non e intero, Jν(z) e una funzione polidroma, e possiede una branca che ha valori reali sulsemiasse reale positivo. Quando ν e intero e monodroma, e dunque analitica in tutto il piano.Scrivendo Γ(n + k + 1) = (n + k)!, si riconosce nella Jn(z) la funzione analitica intera a suotempo introdotta (Esercizio 64).Le proprieta delle funzioni di Bessel riempiono un considerevole capitolo della Analisi. Nelleseguenti sezioni se ne citano pochissime fra le piu semplici. Un repertorio abbastanza vasto eaccessibile in rete, p. es. a:http://mathworld.wolfram.com/topics/BesselFunctions.html


Ordine intero.

Le funzioni di Bessel di 1a specie e ordine intero sono funzioni intere, e assumono valori realisull’asse reale. Esse posseggono la rappresentazione integrale:

Jn(z) =1

2π

∫ 2π

0

dt e−inteiz sin(t) (9.48)

che e stata ricavata nell’ Esercizio 64. Utilizzando questa rappresentazione, si ottengono varieproprieta notevoli. Per esempio: utilizzando la regola di Integrazione per Parti (sfruttandoe−int = in−1d/dte−int):

Jn(z) =1

2π

z

2n

∫ 2π

0

dt cos(t)e−inteiz sin(t) ,

da cui, sostituendo cos(t) = (eit + e−it)/2, e usando ancora (9.48),

2n

zJn(z) = Jn+1(z) + Jn−1(z) . (9.49)

In modo analogo, da:

J ′n(z) =

i

2π

∫ 2π

0

dt sin(t)e−inteiz sin(t)

si ricava2J ′

n(z) = Jn−1(z) − Jn+1(z) . (9.50)

Le (9.49), (9.50) sono esempi di cosiddette Relazioni di Ricorrenza per le funzioni di Bessel.Qui sono state derivate per le funzioni di ordine intero, ma sono in realta valide per funzioni diordine arbitrario, come si potrebbe verificare a partire dalla definizione (9.45).

Ordine semidispari.

Quando ν = n + 12con n intero, e solo allora, la funzione Jν(z) si puo esprimere in termini di

funzioni trascendenti elementari. Per esempio, per ν = 12, nella (9.45) figura Γ(k + 3/2) per k

intero; allora

Γ

(k +

3

2

)=

(k +

1

2

)Γ

(k +

1

2

)=

(k +

1

2

)(k − 1

2

)Γ

(k − 1

2

)=

(k +

1

2

)(k − 1

2

). . .

1

2Γ

(1

2

)=

(2k + 1)(2k − 1) . . . 3 · 12k+1

√π , (9.51)

dove si e usato

Γ(1/2) =

∫ +∞

0

dt e−tt−1/2 = 2

∫ ∞

0

dx e−x2

=√π .


Sostituendo in (9.45),

J1/2(z) =+∞∑k=0

(−1)k

k!2k · 1 · 3 . . . (2k + 1)√π

z2(k+1/2)

2−1/2=

√2

πz

+∞∑k=0

(−1)kz2k+1

(2k + 1)!,

ossia:

J1/2(z) =

√2

πzsin(z) .

Usando questa equazione assieme alle relazioni di ricorrenza (9.49),(9.50), e possibile esprimerele funzioni di ordine semidispari qualsiasi in termini di trascendenti elementari.

9.3.2 Funzioni di Bessel di 2a specie.

La differenza degli indici della equazione di Bessel e eguale a 2ν. Secondo la teoria generale,se 2ν non e intero, il procedimento col quale abbiamo determinato la prima soluz. fondam. apartire dall’indice ν puo essere ripetuto usando l’altro indice −ν, e cosi’ la seconda soluzionefondamentale e la funzione J−ν(z). Occupiamoci della seconda soluzione nel caso in cui invecela differenza degli indici 2ν e un numero intero, cioe ν e un numero semi-intero. Usando nellaricorrenza (9.41) l’indice −ν, il coefficiente di cn nella (9.41) si annulla quando n = 2ν. Allorasi presentano due casi:

• ν e un numero semidispari. La costruzione non si arresta, perche qui si verifica la circo-stanza eccezionale menzionata nella sez.9.2.3. Infatti n e dispari, e quindi e dispari anchen− 2; perci’o cn−2 = 0, e quindi anche il 2 membro della relazione di ricorrenza per n = 2ν si an-nulla. Basta dunque porre c2ν = 0, e procedere oltre. La seconda soluzione fondamentalecostruita in questo modo e quindi ancora la J−ν(z), ed e indipendente dalla prima .

• ν e un numero intero. Occorre che c2ν−2 = 0 = . . . = c0, e quindi si deve cominciare laricorrenza da c2ν , che rimane a priori indeterminato. Conviene porlo eguale al valore dic0 che si era scelto in precedenza. In questo modo (cf. le eqs. (9.47), e precedente ) sicostruisce precisamente la funzione J−ν(z). Questa soluzione non e indipendente dallaprima soluz. fondamentale, perche per ν intero J−ν(z) = (−1)νJν(z).

Dunque per ν = n intero la seconda soluz. fondamentale non puo essere la funzione J−n(z).Invece deve avere la forma generale (9.26). Esistono varie scelte possibili per questa secondasoluzione; esse costituiscono la famiglia piuttosto vasta delle funzioni di Bessel di 2a specie,e ordine ν. Come le loro sorelle di prima specie, esse sono definite anche per ν non intero;pero, quelle di ordine intero presentano una singolarita logaritmica nell’origine, come previstoda (9.26) . Qui ne presentiamo un solo tipo.

Per illustrare l’idea che sovrintende alla definizione di questa soluzione, ricordiamo come il problema”della 2a soluzione” viene risolto nel caso elementare della equazione a coefficienti costanti:

u′′(z) − 2u′(z) + (1 + ϵ2)u(z) = 0 .


Per ϵ = 0 essa possiede le soluz. linearm. indipendenti : u(ϵ)1,2(z) = et1,2z dove t1,2 = 1 ± iϵ. Pensati

come vettori nello spazio vettoriale di dimensione 2 delle soluzioni, essi tendono a diventare collineari

nel limite ϵ → 0, e quindi per ϵ = 0 non costituiscono piu una base. Tuttavia, per questa stessa

ragione il vettore u(ϵ)1 −u(ϵ)2 non tende ad allinearsi con u

(ϵ)1 . Anzi, se lo riscaliamo mediante un fattore

ϵ−1 per impedirgli di annullarsi nel limite ϵ → 0, esso tende al vettore v(z) = 2izez, che e ( a parte

l’inessenziale fattore 2i) la seconda soluzione linearm. indipendente usualm. utilizzata nel caso ϵ = 0.

Per ν non intero, J−ν(z) e Jν(z) sono linearm. indipendenti; quindi, la funzione cos(νπ)Jν(z)−J−ν(z) e linearm. indipendente dalla Jν(z). Quando ν tende a un intero qualunque n, questafunzione tende a 0. Allora la ”rinormalizziamo”, definendo, per ν non intero,

Yν(z) =cos(νπ)Jν(z) − J−ν(z)

sin(νπ)(9.52)

e sottintendendo che se invece ν = n intero si deve prendere il limite ν → n del secondomembro. Questa funzione si chiama la funzione di Weber di ordine ν, ed e un particolaretipo di funzione di Bessel di 2a specie.In conclusione: la soluzione generale della equazione di Bessel (9.39) si puo sempre scriverenella forma

AJν(z) + BYν(z) ,

con A,B costanti arbitrarie . Nel caso in cui ν non e un numero intero, la si puo anche scriverenella forma

CJν(z) + DJ−ν(z) .

9.3.3 Andamento delle funzioni di Bessel di ordine reale, e argomento reale.

Per ν reale, e z reale positivo, il comportam. di Jν(x), Yν(x) si puo rozzamente riassumere comesegue:

• Il comportam. asintotico per x→ 0 (ν = −1,−2, . . .) segue direttamente dalle definizioni1

Jν(x) ∼ 1

Γ(ν + 1)

(x2

)ν

,

Y0(x) ∼ 2

πln(z) ,

Yν(z) ∼ −Γ(ν)

π

(z2

)−ν

, ( ν > 0 ) . (9.53)

• Come funzione di x, a grandi valori di x le funzioni Jν(x) e Yν(x) hanno la forma di unaoscillazione smorzata (v.Fig.9.1).

1 queste formule riportano solo i termini dominanti per x → 0. Per questa ragione da esse non appare lasingolarita logaritmica di Yν quando ν > 0.


Cio si puo intuire notando che per x → ∞ la equazione di Bessel tende a diventare identica

alla equazione u′′(z) + u(z) = 0. Questo suggerisce di cercarne la soluzione nella forma u(x) =

w(x) sin(x + c). Per sostituzione diretta, con un facile calcolo si trova che deve essere w(x) ∼x−1/2.

Mediante metodi esatti di approssimazione asintotica si prova che, per x→ ∞ e ν fissato:

Jν(x) ∼(

2

πx

) 12

cos(x− νπ/2− π/4) ,

Yν(x) ∼(

2

πx

) 12

sin(x− νπ/2− π/4) . (9.54)

Fig. 9.1: Funzioni di Bessel di prima specie e ordine ≤ 20.

9.4 Equazioni della classe di Fuchs.

Le singolarita regolari sono note anche come singolarita Fuchsiane. Le equazioni (9.1) chehanno un numero finito di singolarita isolate, tutte quante Fuchsiane, si chiamano equazionitotalmente Fuchsiane, oppure equazioni della classe di Fuchs. Dati due n-ple di punti distinti inC, z1, . . . , zn e a1, . . . , an, con n ≤ 3, e sempre possibile trovare una trasformazione omograficaτ (9.37) in modo che τ(z1) = a1, . . . , τ(zn) = an. Pertanto, sfruttando la Prop.21, nello studiodelle equazioni della classe di Fuchs con n ≤ 3 singolarita ci si puo sempre ricondurre a casi incui queste singolarita si trovano in punti decisi a priori.Per n = 1, conviene assumere a1 = ∞. Le funzioni p(z) e q(z) devono essere intere, e nulle


all’infinito; quindi sono identicam. nulle. L’unica eq. della classe di Fuchs con 1 singolarita ela equazione u′′(z) = 0.Per n = 2, conviene assumere a1 = 0 e a2 = ∞. Allora la funzione p0(z) := zp(z) deveessere intera, con una singolarita eliminabile a ∞: dunque p0(z) =cost.= λ. Analogamente,si trova q0(z) := z2q(z) =cost.= µ. Si trova cosi’ che qualunque eq. della classe di Fuchs con2 singolarita puo essere ridotta, con un cambiamento omografico di variabile, alla equazionedi Eulero. Le equazioni totalm. Fuchsiane con 3 singolarita sono considerate nella prossimasezione.

9.4.1 Equazione di Gauss.

La Equazione Ipergeometrica, o Equazione di Gauss:

z(z − 1)u′′(z) + [(α + β + 1)z − γ]u′(z) + αβu(z) = 0 (9.55)

e una equazione della classe di Fuchs con tre singolarita situate in 0,1,∞. In un certo senso eanche l’unica equazione di questo tipo; infatti,

Proposizione 23: Una equazione della classe di Fuchs con tre singolarita puo sempre esserericondotta alla Equazione Ipergeometrica, servendosi di opportuni cambiamenti di varibile.

Dim. : supponiamo che (9.1) sia nella classe di Fuchs, con tre singolarita. Come si e dettosopra, queste singolarita possono essere trasferite in 0, 1,∞ con una opportuna trasformazioneomografica. Per avere le proprieta richieste (teor.59, prop.20) la funzione p(z) deve avere laforma:

p(z) =a

z+

b

z − 1+ p1(z)

dove p1(z) e intera, e deve annullarsi a ∞, perche p(z) deve annullarsi a ∞ . Per il teor. diLiouville (Teor.34), p1(z) ≡ 0. Invece la funzione q(z) deve avere la forma:

q(z) =r

z+

r′

z − 1+

s

z2+

t

(z − 1)2+ q1(z) ,

con q1(z) intera; la condizione a ∞ richiede, come prima , q1(z) = 0. In piu, anche zq(z)deve annullarsi a ∞, e cio richiede r′ = −r. Le funzioni p(z) e q(z) trovate in tal modoindividuano una equazione differenziale nota come equazione di Riemann, che quindi dipendeda 5 parametri a, b, r, s, t. Scriviamo le equazioni agli indici della equazione di Riemann neipunti 0, 1,∞. Nell’ordine:

α2 + (a− 1)α + s = 0 ,

α2 + (b− 1)α + t = 0 ,

α2 + (1− a− b)α + s + t − r = 0 . (9.56)

Denotiamo λ1, λ2 gli indici nello 0; µ1, µ2 gli indici in 1; e ν1, ν2 gli indici a ∞. Allora, per noteproprieta delle equazioni di 2ndo grado,

λ1 + λ2 + µ1 + µ2 + ν1 + ν2 = 1− a+ 1− b+ a+ b− 1 = 1 ,


Questa relazione di Riemann fra gli indici riduce a 5 il numero di indici indipendenti - tantiquanti sono i parametri necessari a specificare la equazione. Ne scende che una equazione dellaclasse di Fuchs con singolarita in 0, 1,∞ e univocamente individuata, quando ne sono noti gliindici nei tre punti. Grazie alla Prop.22, mediante il cambiamento di variabile:

u(z) = zλ1(z − 1)µ1v(z)

possiamo sempre ridurci al caso in cui gli indici λ1 e µ1 sono nulli. La equazione di Riemann cheviene risolta da v(z) e facile da individuare: prima di tutto, dalle radici (0, λ2), (0, µ2), (ν1, ν2)delle equazioni quadratiche (9.4.1) si risale in maniera elementare ai coefficienti delle medesimeequazioni; poi da questi coefficienti si ricavano i parametri a, b, r, s, t, u, e quindi le funzioni p(z)e q(z). I 4 indici rimasti devono verificare la relazione di Riemann, quindi possono essere espressiin funzione di 3 parametri, e cio vien fatto come segue: λ2 = 1 − γ, µ2 = γ − α − β, ν1 = α,ν2 = β. Grazie a questa particolare scelta dei 3 parametri indipendenti α, β, γ le soluzioni dellaequazione finale si scriveranno, com esi vedra, in una forma relativamente semplice. In questomodo si ricava direttamente la equazione (9.55).

Esercizio 88: Ricondurre la equazione di Legendre:

[(1− z2)u′(z)]′ + n(n+ 1)u(z) = 0

ad una equazione Ipergeometrica.

Funzioni Ipergeometriche.

Applichiamo il procedimento generale descritto nel seguito del Teor.59 alla risoluzione dellaequazione di Gauss nell’intorno di 0. Uno degli indici in 0 e nullo; cio significa che una dellesoluzioni fondamentali e sempre analitica in B1(0) (il cerchio unitario), inclusa l’origine. Sosti-tuendo nella equazione la serie a coefficienti indeterminati

∑∞n=0 cnz

n , e assumendo c0 = 1, sitrova facilmente, per n ≥ 1:

cn =α(α + 1) . . . (α + n− 1)β(β + 1) . . . (β + n− 1)

γ(γ + 1) . . . (γ + n− 1)

1

n!. (9.57)

La serie di potenze che ha questi coefficienti si chiama la serie Ipergeometrica. Se α oppure β eun intero negativo, la serie e in realta un polinomio. Altrimenti, la serie ha raggio di convergenza1 (perche il punto 1 e l’altra singolarita della equazione). Dalla teoria generale sappiamo, chela somma della serie e incondizionatam. prolungabile in C\1. Il prolungamento produce unafunzione (o meglio, una famiglia a 3 parametri (α, β, γ) di funzioni), in generale polidrome:

Definizione 67: La Funzione Ipergeometrica F (α, β, γ ; z) e la funzione analitica completain C \ 1 ottenuta dalla serie Ipergeometrica per prolungamento analitico.


Esercizio 89: Verificare che:

F (α, β, β ; z) = (1 − z)−α ,

zF

(1

2,1

2,3

2; z2

)= arcsin(z) ,

zF (1, 1, 2 ; z) = log(1− z) . (9.58)

Definizione 68: L’n-mo polinomio di Legendre e l’n-mo polinomio di Cebysev sono rispet-tivamente definiti da:

Ln(z) = F (−n, n+ 1, 1 ; (1− z)/2) , Pn(z) :=(2n)!

22nn!F

(−n, n, 1

2; (1− z)/2

).

Cerchiamo una seconda soluz. fondamentale della eq. di Gauss. Qui e nel resto di questasezione ci limitiamo al caso in cui la differenza degli indici non e intera. In B1(0), questa so-luzione deve avere la forma z1−γf(z), dove f(z) e analitica nell’intorno di 0, e - vista la Prop.22 - e soluzione della eq. di Gauss con gli indici 0 − 1 + γ, 0 in 0, e α + 1 − γ, β + 1 − γ a∞. Ne consegue, che f(z) e la soluzione analitica nell’intorno di 0 della Eq. Ipergeometrica diparametri α′, β′, γ′ legati ad α, β, γ da 1− γ′ = γ − 1, α′ = α + 1− γ, β′ = β + 1− γ. Quindi,la soluzione cercata e z1−γF (α + 1− γ, β + 1− γ, 2− γ ; z).Le soluzioni fondam. negli intorni di 1 e di ∞ possono essere trovate a partire da quelle trovatenell’intorno di 0, sfruttando trasformazioni omografiche che permutano i tre punti, e le Prop.21e 22. In particolare:

• nell’intorno di z = 1, l’eq. di Gauss ha un indice zero, e quindi una soluzione fondam.analitica. La trasformazione z → 1 − z scambia i punti 0 e 1, conservandone gli indici.Pertanto la soluzione cercata e la funzione ipergeometrica di 1− z con parametri α′ = α,β′ = β, 1 − γ′ = γ − α − β; quindi e la funzione F (γ − β, γ − α, 1 + α + β − γ ; 1− z).La 2nda soluz. fondamentale si ottiene in modo analogo dalla 2nd sol. fondam. trovatain 0, quindi e data da: (1− z)γ−α−βF (α, β, γ − α− β + 1 ; 1− z).

• la trasformazione z → 1/z scambia i punti 0 e ∞, conservandone gli indici. Pertanto seu(z) e la soluz. della equazione che corrisponde all’indice α a ∞, allora zαu(1/z) risolvela eq. di Gauss con un indice 0 nell’origine, e parametri 1−γ′ = α, β′ = 1−γ+α, 1−γ′ =−α + β. La prima soluzione cercata e quindi z−αF (α, 1 + α − γ, 1 + α − β; ; 1/z). Laseconda si trova dalla prima scambiando α e β.

universit a degli studi dell’insubria facolt a di scienze ... notes...1. richiami sui numeri...

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