università degli studi di cassino facoltà di ingegneria corso di laurea in ingegneria delle...

Università degli Studi di Cassino

Facoltà di Ingegneria

Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni

Tesi di Laurea

STIMA DEI PARAMETRI DEI SEGNALI NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA IN PRESENZA DI INTERFERENZA ARMONICA

RelatoreRelatore

Chiar.mo Prof. Chiar.mo Prof.

Consolatina LiguoriConsolatina Liguori

CandidatoCandidato

Petricca RiccardoPetricca Riccardo

Matr. 17/00115

ANNO ACCADEMICO 2002-2003

2

SommarioSommario DFT e FFT : cause di errore.DFT e FFT : cause di errore. Metodi tradizionali presenti in letteratura per la Metodi tradizionali presenti in letteratura per la

determinazione dei parametri di un segnale nel determinazione dei parametri di un segnale nel dominio della frequenza.dominio della frequenza.

Metodo Proposto in questo lavoro : IFFTcMetodo Proposto in questo lavoro : IFFTc– Determinazione della correzione su frequenza (Determinazione della correzione su frequenza (fficic), ampiezza (), ampiezza (AAicic) e fase ) e fase

((φφicic)) dei segnali in presenza di Interferenza Armonica. dei segnali in presenza di Interferenza Armonica.

Caratterizzazione Metrologica degli algoritmi:Caratterizzazione Metrologica degli algoritmi:– Errore ResiduoErrore Residuo– IncertezzaIncertezza

Confronto tra IFFTc e gli altri metodi. Confronto tra IFFTc e gli altri metodi. Metodo per risolvere toni nascosti.Metodo per risolvere toni nascosti.

3

ObiettivoObiettivo

ff

|| X(f

)X

(f) ||

Sia dato lo spettro di un generico segnale reale

NToni = ?

massimo ki : fi , Ai , φi = ?

Gli approcci presenti in letteratura prevedono di elaborare i campioni della DFT nell’intorno del massimo ki dello spettro d’ampiezza, al fine di valutarne frequenza (fi), ampiezza (Ai) e fase (φi).

f1 , A1

f2 , A2

f3 , A3

f4 , A4

ProblemaProblema

I campioni della DFT sono intrinsecamente affetti da errori I campioni della DFT sono intrinsecamente affetti da errori dovuti principalmente a tre cause:dovuti principalmente a tre cause:

4

EAi

fi fm=kiΔf

Ai

Am

δi

1.1. AliasingAliasing dovuto alla banda del segnale in analisi ed alla frequenza di campionamento.dovuto alla banda del segnale in analisi ed alla frequenza di campionamento.

Per evitare problemi di “aliasing” nell’uso dell’algoritmo di FFT si suppone sempre l’utilizzo a monte del Per evitare problemi di “aliasing” nell’uso dell’algoritmo di FFT si suppone sempre l’utilizzo a monte del circuito di campionamento di opportuni filtri anti-aliasing circuito di campionamento di opportuni filtri anti-aliasing

2.2. Dispersione Spettrale o Spectral LeakageDispersione Spettrale o Spectral Leakage

Cause di errore nella DFT (1/3)Cause di errore nella DFT (1/3)

x(t) A/DLPFAnti-aliasing

x(n)

fs

dovuto al rapporto in genere non intero dovuto al rapporto in genere non intero esistente fra la frequenza di campionamento e esistente fra la frequenza di campionamento e le frequenze delle armoniche del segnale di le frequenze delle armoniche del segnale di analisi, indicato come campionamento analisi, indicato come campionamento asincrono, e la cui entità dipende anche asincrono, e la cui entità dipende anche dall’operazione di finestratura.dall’operazione di finestratura.

S. L. S. L.

3.3. Interferenza ArmonicaInterferenza Armonicadovuta alla presenza di componenti armoniche del segnale di analisi “vicine” in dovuta alla presenza di componenti armoniche del segnale di analisi “vicine” in frequenza (legata a frequenza (legata a ΔΔff)). Per un segnale multifrequenziale, interferenza armonica è . Per un segnale multifrequenziale, interferenza armonica è il fenomeno che si manifesta quando i campioni spettrali relativi alla il fenomeno che si manifesta quando i campioni spettrali relativi alla i-esimai-esima armonica dipendono anche da quelli delle altre componenti (vedi figura).armonica dipendono anche da quelli delle altre componenti (vedi figura).

Può essere molto dannoso in quanto toni forti possono nascondere toni deboli.Può essere molto dannoso in quanto toni forti possono nascondere toni deboli.


Contributo del 2° lobo sul 1° tono spettrale

Contributo del 1° lobo sul 2° tono spettrale

6


Esempio dell’effetto combinato dell’Interferenza Armonica e Esempio dell’effetto combinato dell’Interferenza Armonica e dello Spectral Leakage su un segnale con due sole armoniche.dello Spectral Leakage su un segnale con due sole armoniche.

7

Metodi tradizionali per la stima dei parametri Metodi tradizionali per la stima dei parametri

dei segnali nel dominio della frequenzadei segnali nel dominio della frequenza Metodi d’interpolazione mediante parametri energetici Metodi d’interpolazione mediante parametri energetici

(Energy based-paramethers algorithms).(Energy based-paramethers algorithms).– Si basano sulla valutazione di alcuni parametri relativi all’energia delle

componenti spettrali, da cui, applicando le proprietà della DFT, si ricavano le stime di δi , Ai e φi. Questi parametri si calcolano su pochi campioni locati nella banda B=[-K,K].

Ρ Risentono molto dell’Interferenza ArmonicaRisentono molto dell’Interferenza Armonica (hanno un (hanno un comportamento a soglia per d<9bin le stime non sono affidabili).comportamento a soglia per d<9bin le stime non sono affidabili).

Metodi basati sull’uso di Stimatori:Metodi basati sull’uso di Stimatori:– MLE MLE (Maximal Likelihood Estimator)(Maximal Likelihood Estimator) – LSM LSM (Least Square Method)(Least Square Method)

Ρ Necessitano la conoscenza a-priori del modello d’analisi.Necessitano la conoscenza a-priori del modello d’analisi. Interpolated FFT:Interpolated FFT:

– IFFT su due punti (IFFT2p)IFFT su due punti (IFFT2p)– IFFT con interpolazione su più punti (WIFFT)IFFT con interpolazione su più punti (WIFFT)

» IFFT3p (three-points IFFT)» IFFT5p (five-points IFFT)

8

IFFT (1/2)IFFT (1/2)Lo spettro d’ampiezza di un segnale con Lo spettro d’ampiezza di un segnale con PP componenti frequenziali: componenti frequenziali:

è caratterizzato da è caratterizzato da PP picchi, se non ci sono toni nascosti. picchi, se non ci sono toni nascosti.

Il picco corrispondente all’Il picco corrispondente all’i-esimo i-esimo tono frequenziale può essere identificato con l’indice tono frequenziale può essere identificato con l’indice kki i

Si ha quindi che la stima della frequenza è data dalla conoscenza di:Si ha quindi che la stima della frequenza è data dalla conoscenza di:

Con la tecnica IFFT (Interpolated FFT) si realizza un’interpolazione dei campioni della Con la tecnica IFFT (Interpolated FFT) si realizza un’interpolazione dei campioni della DFT, basata sullo spettro della finestra. In particolare l’IFFT classica, quella su due punti DFT, basata sullo spettro della finestra. In particolare l’IFFT classica, quella su due punti (2-points IFFT o IFFT2p), determina le componenti frequenziali, considerando solo i due (2-points IFFT o IFFT2p), determina le componenti frequenziali, considerando solo i due più alti campioni corrispondenti al picco dello spettro.più alti campioni corrispondenti al picco dello spettro.

ki-1 ki+1ki ki-1 ki+1ki

La IFFT stima La IFFT stima δδii considerando il rapporto considerando il rapporto ααii tra questi due tra questi due

campioni:campioni:

9

IFFT (2/2)IFFT (2/2)Per la finestra di Hanning abbiamo:

IFFT con interpolazione su più puntiUna delle varianti principali dell’algoritmo di IFFT è l’interpolazione dell’FFT su un numero variabile di punti (Weighted Multipoint Interpolated FFT), in particolare noi consideriamo quella su tre e su cinque punti (IFFT3p e IFFT5p).In questo caso δ può essere ricavato nel seguente modo:

IFFT3p

IFFT5p

10

Algoritmo Proposto: IFFTc (1/2)Algoritmo Proposto: IFFTc (1/2)Le formule di interpolazione viste sono state determinate considerando del tutto trascurabile Le formule di interpolazione viste sono state determinate considerando del tutto trascurabile l’interferenza armonica.l’interferenza armonica. Se questa non è più trascurabile le relazioni non sono più valide.Se questa non è più trascurabile le relazioni non sono più valide. Si Si consideri il segnale consideri il segnale x(t), x(t), i campioni spettrali del segnale finestrato sono dati da:i campioni spettrali del segnale finestrato sono dati da:

Evidenziando in queste relazioni i contributi di interferenza sull’Evidenziando in queste relazioni i contributi di interferenza sull’ i-esimai-esima componente spettrale componente spettrale dovuti alle dovuti alle P-1P-1 componenti del segnale otteniamo: componenti del segnale otteniamo:

I contributi dell’interferenza armonica trascurati nell’IFFT possono essere eliminati I contributi dell’interferenza armonica trascurati nell’IFFT possono essere eliminati dalle formule d’interpolazione. dalle formule d’interpolazione. Per poter quindi stimare le caratteristiche del segnale si può far riferimento al Per poter quindi stimare le caratteristiche del segnale si può far riferimento al coefficiente α “corretto”: coefficiente α “corretto”:

11

Algoritmo proposto: IFFTc (2/2)Algoritmo proposto: IFFTc (2/2)

ALGORITMO IFFTcALGORITMO IFFTc1.1. IFFT2pIFFT2p

– Ad ogni picco dello spettro d’ampiezza del segnale si applica IFFT2p per stimare la Ad ogni picco dello spettro d’ampiezza del segnale si applica IFFT2p per stimare la frequenza, ampiezza e fase della corrispondente componente spettrale non frequenza, ampiezza e fase della corrispondente componente spettrale non considerando gli effetti dell’Interferenza Armonica. (per ogni considerando gli effetti dell’Interferenza Armonica. (per ogni ii: : ffii , A , Aii , , i i ))

2.2. CorrezioneCorrezione – Usando le stime ottenute al passo precedente si determina per ogni picco i fattori di Usando le stime ottenute al passo precedente si determina per ogni picco i fattori di

correzione usando i due campioni dell’IFFT. (per ogni correzione usando i due campioni dell’IFFT. (per ogni ii: : FFii e e BBi i ))

3.3. IFFT2p sui campioni correttiIFFT2p sui campioni corretti– In questo modo le frequenze, ampiezze e fasi calcolate risultano corrette dall’effetto In questo modo le frequenze, ampiezze e fasi calcolate risultano corrette dall’effetto

dell’Interferenza Armonica. (per ogni dell’Interferenza Armonica. (per ogni ii: : fficic , A , Aic ic , , ic ic ))

Le equazioni per la stima dei parametri delle componenti spettrali vanno modificate ottenendo le relazioni:

12

Al fine di mostrare la validità del metodo proposto, IFFTc è stato Al fine di mostrare la validità del metodo proposto, IFFTc è stato confrontato con i metodi tradizionali:confrontato con i metodi tradizionali:– Metodi Basati sul calcolo di parametri energetici (Energy)Metodi Basati sul calcolo di parametri energetici (Energy)– IFFT o IFFT2pIFFT o IFFT2p– IFFT3pIFFT3p– IFFT5pIFFT5p

Al fine di facilitare la lettura dei grafici ed evidenziare le differenze:Al fine di facilitare la lettura dei grafici ed evidenziare le differenze:

È stato analizzato il caso di un segnale con:È stato analizzato il caso di un segnale con:– due tonidue toni– tre tonitre toni– PP toni toni

Verifica Procedura (1/2)Verifica Procedura (1/2)

IFFTIFFT

2p2p

IFFTIFFT

cc

IFFTIFFT

3p3p

IFFTIFFT

5p5p

EnergyEnergy

MethoMethodd

13

Verifica Procedura (2/2)Verifica Procedura (2/2) Segnale in ingresso con due soli toni:Segnale in ingresso con due soli toni:

con con ffdx dx = f= fsxsx+ d+ d1212ff ; ; ffss=800=800 Per entrambi i toni sono stati confrontati gli errori su:Per entrambi i toni sono stati confrontati gli errori su:

– Frequenza Frequenza ff o sul o sul δδ– AmpiezzaAmpiezza– FaseFase

Analisi al variare: Analisi al variare: » Frequenza (Frequenza (ffsx sx , , ffdxdx))» Distanza tra i toni (Distanza tra i toni (dd1212) ) » Ampiezza (AAmpiezza (Asx sx , , AAdxdx))» Fasi iniziali (Fasi iniziali (φφsxsx , , φφdxdx)) » Punti della DFT (Punti della DFT (NN))

14

Analisi al Variare della frequenzaAnalisi al Variare della frequenza

AAsxsx=A=Adxdx=100 =100 ; ; sxsx==dxdx=0 =0 ; ; dd1212=5=5 ; ; N=256 ;N=256 ;

ffsxsx variabile da f variabile da fsxsx=5 ad f=5 ad fsxsx=115.=115.

Errore su Errore su sxsx Errore su Errore su dxdx

0 20 40 60 80 100 120-1

0

1

2

3

4

5

6x 10

-3

fsx

erro

re s

ul d

elta

arm

onic

a sx

Errore sul delta armonica sinista

IFFTIFFT corretta

0 20 40 60 80 100 120 140-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1x 10

-3

fsxva

lore

ass

olu

to e

rro

re in

fre

q a

rmo

nic

a d

x

Errore in freq. armonica destra

IFFTIFFT corretta

IFFIFFTT

IFFTIFFTcc

6·10-3 1·10-3

L’errore non dipende dalla frequenza ma solo dal L’errore non dipende dalla frequenza ma solo dal , quindi i valori di , quindi i valori di ff possono essere possono essere mantenuti costante sia per IFFT che IFFTcmantenuti costante sia per IFFT che IFFTc

15

Analisi al Variare della distanza Analisi al Variare della distanza tra i toni (1/2)tra i toni (1/2)

AAsxsx=A=Adxdx=100 ; =100 ; sxsx==dxdx =0 ; =0 ; ffsxsx=(N/2+0.65)=(N/2+0.65)ΔΔff

dd12 12 variabile da dvariabile da d1212 =3 a d =3 a d1212 =20 =20..

Errore su Errore su ffsxsx Errore su Errore su AAsxsx

IFFIFFTT

IFFTIFFTcc

4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

d12

valo

re a

ssol

uto

erro

re in

freq

arm

onic

a sx

Errore in freq. armonica sinistra

IFFTIFFT correttaIFFT3pIFFT5pEnergy

4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

d12

valo

re a

ssol

uto

erro

re in

am

piez

za a

rmon

ica

sx

Errore in ampiezza armonica sinistra


IFFT3IFFT3pp

IFFT5p

EnergEnergyy

0.08 1

Anche per la stima della fase si ottengono risultati analoghi.Anche per la stima della fase si ottengono risultati analoghi.

Il metodo basato sull’energia ha come detto all’inizio un comportamento a soglia.Il metodo basato sull’energia ha come detto all’inizio un comportamento a soglia.

Per la WIFFT bisogna tener conto del numero di punti di interpolazione e della distanza in bin dei toni.Per la WIFFT bisogna tener conto del numero di punti di interpolazione e della distanza in bin dei toni.

16

Analisi al Variare della distanza Analisi al Variare della distanza tra i toni (2/2)tra i toni (2/2)

Errore su Errore su ffdxdx Errore su Errore su AAdxdx

IFFIFFTT

IFFTIFFTcc

4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

d12

valo

re a

ssol

uto

erro

re in

freq

arm

onic

a de

stra

Errore in freq. armonica dx


4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

d12

valo

re a

ssol

uto

erro

re in

am

piez

za a

rmon

ica

dx

Errore in ampiezza armonica destra


IFFT3IFFT3pp

IFFT5IFFT5pp

EnergEnergyy

0.090.9

L’errore sia sulla stima della frequenza che dell’ampiezza con IFFTc è L’errore sia sulla stima della frequenza che dell’ampiezza con IFFTc è ridotta rispetto a tutti gli altri metodi di due ordini di grandezza.ridotta rispetto a tutti gli altri metodi di due ordini di grandezza.

17

Analisi al Variare dell’ampiezza (1/2)Analisi al Variare dell’ampiezza (1/2)

sxsx==dx dx =0 ; =0 ; ffsxsx=(N/2+0.65)=(N/2+0.65)ΔΔff ; N=256 ; ; N=256 ; dd12 12 =3 ; =3 ;

AAsx sx variabile da variabile da AAsxsx=1=1 ad Aad Asxsx=100 ; A=100 ; Adxdx=100 ; =100 ;


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

Adx/Asx

valo

re a

ssol

uto

erro

re in

freq

arm

onic

a si

nist

ra


IFFTIFFT correttaIFFT3p

IFFIFFTT

IFFTIFFTcc

IFFT3IFFT3pp

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.5

1

1.5

2

2.5

Adx/Asx

valo

re a

ssol

uto

erro

re in

freq

arm

onic

a dx

Errore in freq. armonica destra


2.51.4∙10-2

18

Analisi al Variare dell’ampiezza (2/2)Analisi al Variare dell’ampiezza (2/2)

Errore su Errore su ffdxdx Errore su Errore su AAdxdx

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4x 10

-3

Adx/Asx

valo

re a

ssol

uto

erro

re in

am

piez

za a

rmon

ica

sx



IFFIFFTT

IFFTIFFTcc

IFFT3IFFT3pp

Come atteso, gli errori incrementano sulla seconda sinusoide e decrescono Come atteso, gli errori incrementano sulla seconda sinusoide e decrescono sulla prima, mentre sulla prima, mentre AAsxsx cresce; infatti il tono più grande interferisce di più ed è cresce; infatti il tono più grande interferisce di più ed è

meno suscettibile di quello piccolo.meno suscettibile di quello piccolo.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Adx/Asx

valo

re a

ssol

uto

erro

re in

am

piez

za a

rmon

ica

dx

Errore in ampiezza armonica destra


0.251.4·10-3

19

Analisi al Variare della faseAnalisi al Variare della fase

AAsxsx=A=Adxdx=100 ; =100 ; ffsxsx=(N/2+0.65)=(N/2+0.65)ΔΔff ; ; dd1212 =5 ; N=256 ; =5 ; N=256 ;

sx sx variabile da variabile da sxsx=0 a =0 a sxsx=2=2ππ ; ; dx dx =0.=0.


0 50 100 150 200 250 300 350 4000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

fase

valo

re a

ssol

uto

erro

re in

freq

uenz

a ar

mon

ica

sx


IFFTIFFTcIFFT3p

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

fase

valo

re a

ssol

uto

erro

re in

am

piez

za a

rmon

ica

sx


IFFTIFFTcIFFT3p

IFFIFFTT

IFFTIFFTcc

IFFT3IFFT3pp

Si osserva che per ambedue i toni gli errori massimi della IFFT e IFFT3p si hanno Si osserva che per ambedue i toni gli errori massimi della IFFT e IFFT3p si hanno per per sxsx=0 =0 e pere per sxsx== ; l’effetto sistematico residuo della IFFTc e molto più piccolo ; l’effetto sistematico residuo della IFFTc e molto più piccolo

di quello della IFFT e IFFT3p, anche se ha lo stesso comportamento. di quello della IFFT e IFFT3p, anche se ha lo stesso comportamento.

0.016 0.12

20

Analisi al Variare di Analisi al Variare di NNAAsxsx=A=Adxdx=100 ; =100 ; sxsx==dxdx =0 ; =0 ; ffsxsx=(N/2+0.65)=(N/2+0.65)ΔΔff ; ; dd12 12 =20=20 ; ;

N=N={{128 , 256 , 512 , 1024 , 2048128 , 256 , 512 , 1024 , 2048}}..


4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 240

1

2

3

x 10-4

d12

valo

re a

ssol

uto

erro

re in

freq

arm

onic

a de

stra


IFFT.256IFFTc.256IFFT3p.256IFFT.512IFFTc.512IFFT3p.512IFFT.1024IFFTc.1024IFFT3p.1024IFFT.2048IFFTc.2048IFFT3p.2048

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 240

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

d12

valo

re a

ssol

uto

erro

re in

am

piez

za a

rmon

ica

sx


IFFT.256IFFTc.256IFFT3p.256IFFT.512IFFTc.512IFFT3p.512IFFT.1024IFFTc.1024IFFT3p.1024IFFT.2048IFFTc.2048IFFT3p.2048

IFFIFFTT

N=25N=2566

IFFTIFFTcc

N=25N=2566

IFFT3IFFT3pp

N=256N=256

IFFIFFTT

N=51N=5122

IFFTIFFTcc

N=51N=5122

IFFT3IFFT3pp

N=512N=512

** * * IFFTIFFTN=102N=102

44

IFFTIFFTcc

N=102N=10244

IFFT3IFFT3pp

N=1024N=1024

La variabilità con IFFTc è ridotta rispetto agli altri metodi per tutti i valori di La variabilità con IFFTc è ridotta rispetto agli altri metodi per tutti i valori di NN..

IFFTIFFTN=204N=204

88

IFFTIFFTcc

N=204N=20488

IFFT3IFFT3pp

N=2048N=2048

*+ + +

3·10-4 0.018

21

Analisi per tre toni (1/2)Analisi per tre toni (1/2) Segnale con tre toni:Segnale con tre toni:

concon ffcen cen = f= fsxsx+ d+ d1212ff ; ; ffdx dx = f= fcencen+ d+ d2323ff ; ; ffss=800=800

È stata valutata la dipendenza da:È stata valutata la dipendenza da:– Frequenza (Frequenza (ffsx sx , , ffcencen , , ffdxdx))

– Distanza tra i toni (Distanza tra i toni (dd12 12 ,, dd23 23 ) )

– Ampiezza (Ampiezza (AAsx sx , , AAcen cen , , AAdxdx))

– Fasi iniziali (Fasi iniziali (φφsxsx , , φφcen cen , , φφdxdx))

– Punti della DFT (Punti della DFT (NN))

Si ottengono risultati analoghi al caso con due armoniche Si ottengono risultati analoghi al caso con due armoniche ma con un lieve degrado delle stime poiché ogni armonica ma con un lieve degrado delle stime poiché ogni armonica risente non più di un solo tomo ma di due toni interferenti.risente non più di un solo tomo ma di due toni interferenti.

22

Analisi per tre toni (2/2)Analisi per tre toni (2/2)AAsxsx=A=Acencen=A=Adxdx=100 ; =100 ; sxsx==cencen==dxdx =0 ; =0 ; ffsxsx=110; N=1024; =110; N=1024;

ffss=800; =800; dd12 12 ==dd23 23 ==dd variabile da d=3 a d=20.variabile da d=3 a d=20.

Errore sulla stima della frequenza Errore sulla stima dell’ampiezzaErrore sulla stima della frequenza Errore sulla stima dell’ampiezza

L’armonica centrale è la più penalizzata (come si evince dalle figure).L’armonica centrale è la più penalizzata (come si evince dalle figure). Gli errori di IFFTc sono visibilmente inferiori.Gli errori di IFFTc sono visibilmente inferiori.

Errore sulla stima dell’ampiezza

d

d

d

3 arm.

2 arm. 3 arm.

1 arm. 2 arm.

1 arm.

2 arm. 3 arm.1 arm.

0 0 0 00

0.1

0.2

0.3

0.4

0 0 0 00

0.005

0.01

0 0 00

0.1

0.2

0.3

0.4

d

d

d

3 arm.

2 arm. 3 arm.1 arm.

IFFT

IFFTc

IFFT3p

d

d

d

3 arm.

2 arm. 3 arm.

1 arm. 2 arm.

1 arm.

Errore sulla stima dell’ampiezzaErrore sulla stima dell’ampiezza

d

d

d

3 arm.

2 arm. 3 arm.

1 arm. 2 arm.

1 arm.

2 arm. 3 arm.1 arm.

0 0 00

0.01

0.02

0.03

0.04

0 0 00

1

2

3x 10

-30 0 0

0

0.02

0.04

0.06

IFFT

IFFTc

IFFT3p

Errore sulla stima della frequenza

d

d

d

3 arm.

2 arm. 3 arm.

1 arm. 2 arm.

1 arm.

2 arm. 3 arm.1 arm.

IFFIFFTT

IFFTIFFTcc

IFFT3IFFT3pp

0.04

0.06

3·10-3

0.4

0.4

0.01

23

Analisi per Analisi per PP toni toni Il segnale in analisi è:Il segnale in analisi è:

Sono state effettuate prove per Sono state effettuate prove per P=4 , P=5 , P=10 e P=20.P=4 , P=5 , P=10 e P=20. Per questi valori di Per questi valori di PP sono state nuovamente effettuate le sono state nuovamente effettuate le

simulazioni viste nel caso di due e tre toni.simulazioni viste nel caso di due e tre toni. Anche in questo caso valgono considerazioni analoghe alle Anche in questo caso valgono considerazioni analoghe alle

precedenti.precedenti. Le stime peggiorano in quanto la singola armonica subisce Le stime peggiorano in quanto la singola armonica subisce

l’interferenza di l’interferenza di P-1P-1 toni adiacenti. toni adiacenti. L’algoritmo IFFTc è meno influenzato dall’aumento di L’algoritmo IFFTc è meno influenzato dall’aumento di PP

infatti a differenza degli altri metodi non c’è la infatti a differenza degli altri metodi non c’è la sovrapposizione degli effetti dell’interferenza e un sovrapposizione degli effetti dell’interferenza e un conseguente degrado della stima. conseguente degrado della stima.

24

IncertezzaIncertezza Per i metodi analizzati l’incertezza è stata valutata Per i metodi analizzati l’incertezza è stata valutata

con un approccio di tipo “con un approccio di tipo “white boxwhite box”.”. Metodo “Metodo “white boxwhite box”:”:

– Analisi teoricaAnalisi teorica» si applica la legge di propagazione delle incertezze alle si applica la legge di propagazione delle incertezze alle

relazioni ricavate dalla teoria.relazioni ricavate dalla teoria.– Verifica numericaVerifica numerica

» si fa lavorare il software su dati di un modello in grado di si fa lavorare il software su dati di un modello in grado di simulare i segnali reali.simulare i segnali reali.

– Validazione sperimentaleValidazione sperimentale» si passa a lavorare su segnali reali.si passa a lavorare su segnali reali.

La sorgente di incertezza considerata è il rumore che viene introdotto La sorgente di incertezza considerata è il rumore che viene introdotto nella fase di conversione A/D, che è la causa di incertezza principale nella fase di conversione A/D, che è la causa di incertezza principale nelle valutazioni di interesse. nelle valutazioni di interesse. I risultati sperimentali presenti in letteratura evidenziano infatti che la principale fonte di incertezza nell’algoritmo della DFT risulta essere la quantizzazione seguita dal jitter il che permette di non considerare le altre fonti di errore.

25

Propagazione Incertezza (1/3)Propagazione Incertezza (1/3)

Alle formule ricavate per IFFT è stata applicata la legge di propagazione dell’incertezza (UNI CEI 9) ottenendo per αi , δi , fi ed Ai le seguenti espressioni per l’incertezza:

Algoritmo di IFFTAlgoritmo di IFFT

26


Metodo basato sull’EnergiaMetodo basato sull’Energia

Alle formule per il metodo basato sull’Energia è stata applicata la legge di propagazione dell’incertezza ottenendo:

IFFT con Interpolazione su più puntiIFFT con Interpolazione su più puntiCon approccio simile è stato caratterizzato dal punto di vista metrologico anche l’algoritmo IFFT con interpolazione su più punti. Si può osservare che:

IFFT3p ha un’incertezza minore di quella di IFFT5p ma maggiore di IFFT2p

IFFT5p presenta un’incertezza maggiore di IFFT3p e IFFT2p

27


Per IFFTc usando lo stesso approccio si ricava l’incertezza su Per IFFTc usando lo stesso approccio si ricava l’incertezza su δδii : :

Per quanto concerne l’incertezza su Per quanto concerne l’incertezza su ααicic questa dipende dall’incertezza sui questa dipende dall’incertezza sui campioni campioni XXgg(k(kii)) e e XXgg(k(kii+1) +1) e dall’incertezza sui fattori di correzionee dall’incertezza sui fattori di correzione F Fii ee B Bii.. Si Si dimostra che quest’ultime possono essere trascuratedimostra che quest’ultime possono essere trascurate

IFFTcIFFTc

16 18 20 22 24 26 28

5.6

5.8

6

6.2

6.4

6.6

6.8

7

7.2

7.4

7.6x 10

-5

d

Ince

rte

zza

su

delta

Incertezza su delta

IFFT.rumIFFTc.rum

16 18 20 22 24 26 28

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x 10-4

d

Ince

rte

zza

su

delta

Incertezza su delta

IFFT.rumIFFTc.rum

IFFT + IFFT + rumorerumore

IFFTc + rumoreIFFTc + rumore

Incertezza suIncertezza su δδi i ee δδicic Incertezza suIncertezza su δδi i e e δδicic 7.6·10-5

3.5·10-4

28

Incertezza tipo della frequenzaIncertezza tipo della frequenzaCome specificato dalla norma:Come specificato dalla norma: ““l’incertezza descrive completamente l’incertezza descrive completamente l’affidabilità di una misura solo se il risultato è corretto da tutti gli effetti l’affidabilità di una misura solo se il risultato è corretto da tutti gli effetti sistematici, i quali determinano uno scostamento del valore misurato da quello sistematici, i quali determinano uno scostamento del valore misurato da quello del valore vero convenzionale e che significativamente influenzano le stimedel valore vero convenzionale e che significativamente influenzano le stime””..

A tal fine si definisce una nuova variabileA tal fine si definisce una nuova variabile

dove dove ii è restituito dallo specifico algoritmo e è restituito dallo specifico algoritmo e EE tiene conto dell’errore tiene conto dell’errore

residuo. In particolare, residuo. In particolare, EE è una variabile casuale a valor medio nullo (che è una variabile casuale a valor medio nullo (che

di conseguenza non altera il valore stimato dall’algoritmo) e con una dev. di conseguenza non altera il valore stimato dall’algoritmo) e con una dev. st. relativa all’errore residuo.st. relativa all’errore residuo.

L’incertezza di deve essere valutata comeL’incertezza di deve essere valutata come

è l’incertezza sul valore è l’incertezza sul valore stimato stimato

è l’incertezza dovuta all’errore residuo ed è uguale alla deviazione è l’incertezza dovuta all’errore residuo ed è uguale alla deviazione standard della variabile casuale standard della variabile casuale E E ..

29

Confronto Incertezze (1/2)Confronto Incertezze (1/2)L’incertezza dovuta all’errore residuo è valutata per ogni metodo misurando la dev. st. su un set di L’incertezza dovuta all’errore residuo è valutata per ogni metodo misurando la dev. st. su un set di segnali simili. In particolare, dato che l’analisi esposta precedentemente mostra che l’errore residuo segnali simili. In particolare, dato che l’analisi esposta precedentemente mostra che l’errore residuo dipende principalmentedipende principalmente dai dai ddijij,, i set di prova sono stati realizzati variando i set di prova sono stati realizzati variando 11 in [ in [-0.5, 0.5-0.5, 0.5], ], 22 in [ in [--

ππ/2, /2, ππ/2/2], e anche ], e anche ddijij è stato fatto variare in [è stato fatto variare in [dd00–0.5, d–0.5, d00+0.5+0.5].]. In Tabella sono riportati i valori delle In Tabella sono riportati i valori delle

dev. st. rispetto a dev. st. rispetto a dd00, per un segnale con due toni per i diversi metodi considerati., per un segnale con due toni per i diversi metodi considerati.

N=256 ; fN=256 ; f11=N/4+=N/4+

dd00

IFFTIFFT

2p2p

IFFTIFFT

cc

IFFTIFFT

3p3p

IFFTIFFT

5p5p

EnergyEnergy

44 5.0E-3 8.8E-5 4.0E-3 1.6E-2 1.3E-1

55 2.4E-3 2.0E-5 1.3E-3 1.2E-3 5.7E-1

66 1.3E-3 6.3E-6 5.5E-4 4.3E-4 5.4E-1

77 8.3E-4 2.4E-6 2.8E-4 2.2E-4 3.2E-2

88 5.5E-4 1.1E-6 1.6E-4 1.3E-4 5.4E-4

99 3.8E-4 5.3E-7 9.8E-5 8.5E-5 9.6E-5

1010 2.8E-4 2.9E-7 6.3E-5 5.9E-5 4.7E-5

1111 8.3E-5 1.1E-7 1.2E-5 1.5E-5 1.2E-5

1212 4.1E-5 1.4E-7 4.7E-6 7.0E-6 9.1E-6

N=256 ; fN=256 ; f11=N/4+=N/4+

dd00

IFFTIFFT

2p2p

IFFTIFFT

cc

IFFTIFFT

3p3p

IFFTIFFT

5p5p

EnergyEnergy

44 2.5E-2 8.8E-5 1.9E-2 9.8E-2 2.4E-1

55 1.2E-2 2.0E-5 6.3E-3 1.2E-2 4.5E-1

66 6.6E-3 6.2E-6 2.7E-3 2.8E-3 1.07

77 4.1E-3 2.4E-6 1.4E-3 1.2E-3 4.8E-1

88 2.7E-3 1.1E-6 7.8E-4 6.6E-4 1.4E-2

99 1.9E-3 6.1E-7 4.8E-4 4.3E-4 1.5E-3

1010 1.4E-3 4.5E-7 3.1E-4 2.9E-4 3.8E-4

1111 4.0E-4 5.3E-7 5.9E-5 7.5E-5 4.1E-5

1212 2.0E-4 7.0E-7 2.3E-5 3.5E-5 2.0E-5

30

Confronto Incertezze (2/2)Confronto Incertezze (2/2)

N=256 ; fN=256 ; f11=N/4+=N/4+

dd00

IFFTIFFT

2p2p

IFFTIFFT

cc

IFFTIFFT

3p3p

IFFTIFFT

5p5p

EnergyEnergy

44 2.5E-2 8.8E-5 1.9E-2 9.8E-2 2.4E-1

55 1.2E-2 2.0E-5 6.3E-3 1.2E-2 4.5E-1

66 6.6E-3 6.2E-6 2.7E-3 2.8E-3 1.07

77 4.1E-3 2.4E-6 1.4E-3 1.2E-3 4.8E-1

88 2.7E-3 1.1E-6 7.8E-4 6.6E-4 1.4E-2

99 1.9E-3 6.1E-7 4.8E-4 4.3E-4 1.5E-3

1010 1.4E-3 4.5E-7 3.1E-4 2.9E-4 3.8E-4

1111 4.0E-4 5.3E-7 5.9E-5 7.5E-5 4.1E-5

1212 2.0E-4 7.0E-7 2.3E-5 3.5E-5 2.0E-5

N=256 ; fN=256 ; f11=N/4+=N/4+

dd00

IFFTIFFT

2p2p

IFFTIFFT

cc

IFFTIFFT

3p3p

IFFTIFFT

5p5p

EnergyEnergy

44 5.0E-2 8.8E-5 3.6E-2 2.0E-1 2.5E-1

55 2.4E-2 2.0E-5 1.2E-2 2.7E-2 3.0E-1

66 1.3E-2 6.2E-6 5.4E-3 8.0E-3 1.08

77 8.2E-3 2.4E-6 2.8E-3 2.8E-3 9.0E-1

88 5.4E-3 1.2E-6 1.6E-3 1.4E-3 5.3E-2

99 3.8E-3 8.2E-7 9.6E-4 8.7E-4 6.2E-3

1010 2.8E-3 7.6E-7 6.3E-4 5.9E-4 1.4E-3

1111 6.7E-4 1.2E-6 9.2E-5 1.2E-4 6.5E-5

1212 4.0E-4 1.4E-6 4.7E-5 6.9E-5 3.6E-5

Come si può vedere, IFFTc è caratterizzata da un E molto più basso di quello degli altri metodi (fino a 2-3 ordini di grandezza); anche la variabilità con d e N è notevolmente ridotta.

31

4 6 8 10 d12

0

4·10-4

4 6 8 10 d12

0

0.4

3·10-5

12 14 16 18 d12

0

12 14 16 18 d12

0

1·10-3

12 14 16 18 d12

0

2·10-3

4 6 8 10 d12

0

0.4

IFFTIFFT IFFTcIFFTc IFFT3IFFT3pp

Esempi di Incertezza Combinata (1/2)Esempi di Incertezza Combinata (1/2)

iu

Per quantificare meglio il contributo del Per quantificare meglio il contributo del EE all’incertezza totale è necessario introdurre alcuni all’incertezza totale è necessario introdurre alcuni

parametri riguardanti la configurazione hardware (parametri riguardanti la configurazione hardware (NNbitbit , , VVfs fs , del convertitore A/D), la condizione , del convertitore A/D), la condizione

operativa del convertitore (operativa del convertitore (NN) come anche le caratteristiche del segnale d’ingresso. ) come anche le caratteristiche del segnale d’ingresso.

Fig. (a)

32

Esempi di Incertezza Combinata (2/2)Esempi di Incertezza Combinata (2/2)

128 256 512 1024 2048 N0

4·10-5

1.5·10-3

0

128 256 512 1024 2048 N0

6·10-4

128 256 512 1024 2048 N

6 7 8 9 10 11 Nbit

0

6 7 8 9 10 11 Nbit

0

6 7 8 9 10 11 Nbit

0

2·10-3

2·10-3

2·10-3

IFFTIFFT IFFTcIFFTc IFFT3IFFT3pp

Prove al variare di:Prove al variare di:

(a) (a) dd1212 con con NN e e NNbitbit fissi fissi

(b) (b) NN con con dd1212 e e NNbitbit fissifissi

(c) (c) NNbitbit con con dd1212 e e N N fissifissi

Fig. (b) Fig. (c)

33

Metodo per la risoluzione di Metodo per la risoluzione di toni nascostitoni nascosti

Esempio: Presenza di toni nascosti

34

Idea alla base del nuovo metodoIdea alla base del nuovo metodo

110 120 130 140 150 1600

10

20

30

40

50

60

110 120 130 140 150 1600

10

20

30

40

50

60

105 110 115 120 125 130 135 140 145 1500

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

-

=

Spettro Spettro

AmpiezzaAmpiezza

SpettroSpettro

IFFTcIFFTc

Spettro Spettro

differenzadifferenza

110 120 130 140 150 1600

10

20

30

40

50

60

110 120 130 140 150 1600

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

110 120 130 140 150 1600

10

20

30

40

50

60

-

=

Segnale con toni nascosti

105 110 115 120 125 130 135 140 145 1500

10

20

30

40

50

60

f

Sp

ettr

o A

mp

iezz

a

Spettro Ricostruito

Spettro RicostruitoSpettro Ricostruito Ricompare il Tono NascostoRicompare il Tono Nascosto

35

ConclusioniConclusioniDall’esame dei risultati si evidenzia che:Dall’esame dei risultati si evidenzia che:

– Errore ResiduoErrore Residuo» L’errore residuo presentato da IFFTc è sempre minore di quello L’errore residuo presentato da IFFTc è sempre minore di quello

presentato dagli altri metodi. presentato dagli altri metodi. » Mentre i metodi tradizionali risentono del variare delle Mentre i metodi tradizionali risentono del variare delle

caratteristiche dei segnali in ingresso, soprattutto alla distanza caratteristiche dei segnali in ingresso, soprattutto alla distanza tra i toni, IFFTc è poco sensibile alle specifiche caratteristiche tra i toni, IFFTc è poco sensibile alle specifiche caratteristiche del segnale. del segnale.

» IFFTc restituisce quindi stime più accurate.IFFTc restituisce quindi stime più accurate.

– IncertezzaIncertezza» Nel confronto si è tenuto conto oltre alla variabilità dei risultati Nel confronto si è tenuto conto oltre alla variabilità dei risultati

forniti anche dell’errore residuo che va ad aumentare, forniti anche dell’errore residuo che va ad aumentare, opportunamente combinato, l’incertezza del risultato finale.opportunamente combinato, l’incertezza del risultato finale.

» L’algoritmo proposto presenta i valori di incertezza più bassi L’algoritmo proposto presenta i valori di incertezza più bassi per ogni genere di segnali in ingresso. per ogni genere di segnali in ingresso.

36

Messa a punto e caratterizzazione metrologica Messa a punto e caratterizzazione metrologica della tecnica per la misura dei parametri dei della tecnica per la misura dei parametri dei segnali anche in presenza di toni nascosti.segnali anche in presenza di toni nascosti.

““Intelligent FFT-Analyzer”:Intelligent FFT-Analyzer”:

realizzazione di uno strumento di misura che realizzazione di uno strumento di misura che impiega le relazioni ottenute per fornire in tempo impiega le relazioni ottenute per fornire in tempo reale le caratteristiche dei segnali con la loro reale le caratteristiche dei segnali con la loro incertezza.incertezza.

Sviluppi FuturiSviluppi Futuri

università degli studi di cassino facoltà di ingegneria corso di laurea in ingegneria delle...

Documents