UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI SALERNOUNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI SALERNO

FACOLTA’ DI INGEGNERIAFACOLTA’ DI INGEGNERIA

CORSO di CORSO di

TEORIA dello SVILUPPO dei PROCESSI CHIMICITEORIA dello SVILUPPO dei PROCESSI CHIMICI

Impostazione di una Simulazione con il metodo Monte Carlo Impostazione di una Simulazione con il metodo Monte Carlo di un caso per l’Ingegneria Chimica utilizzando software di un caso per l’Ingegneria Chimica utilizzando software

MatLab®.MatLab®.

rev. 1.5 del 13 giugno 2008rev. 1.5 del 13 giugno 2008

PROF.: ALLIEVIPROF.: ALLIEVI: : Attianese Ilaria matr.: 564/000046Attianese Ilaria matr.: 564/000046Michele Miccio Russo Giuseppina matr.: 564/000042 Michele Miccio Russo Giuseppina matr.: 564/000042 Torino EnzaTorino Enza matr.: 564/000037matr.: 564/000037

ANNO ACCADEMICO 2003-04ANNO ACCADEMICO 2003-04

Problema dei miscelatoriProblema dei miscelatori

Un’industria chimica produce una serie di componenti che vengono Un’industria chimica produce una serie di componenti che vengono combinati in combinati in 5 miscele5 miscele diverse da vendere ai consumatori. diverse da vendere ai consumatori.

L’azienda vuole stabilire se il numero di L’azienda vuole stabilire se il numero di miscelatori (miscelatori (mixersmixers)) è adeguato a è adeguato a soddisfare le richieste del mercato.soddisfare le richieste del mercato.

. V1cP1

. V

cP

. V2cP2

Dati Statistici Pregressi Dati Statistici Pregressi Media giornaliera degli ordini per ogni miscelaMedia giornaliera degli ordini per ogni miscela

Da un’analisi semplicistica potremmo concludere che sono Da un’analisi semplicistica potremmo concludere che sono necessari soltanto necessari soltanto 13 mixers13 mixers per sopperire alle richieste per sopperire alle richieste

giornaliere……MA NON È COSÌ!!!!!!!!!!!!giornaliere……MA NON È COSÌ!!!!!!!!!!!!

Miscele Media degli ordini per giorno

A 3.5

B 2.35

C 3.5

D 1.4

E 1.75

Totale 12.50

ordini/ordini/giornogiorno

PercentualePercentuale sul totalesul totale dei giornidei giorni

(n°)(n°) AA BB CC DD EE

11 2.12.1 14.314.3 0.40.4 2.12.1 36.736.7

22 20.320.3 49.049.0 8.78.7 58.758.7 53.953.9

33 34.634.6 26.626.6 44.844.8 37.137.1 8.78.7

44 22.422.4 8.78.7 37.437.4 2.12.1 0.70.7

55 12.912.9 1.41.4 8.78.7

66 4.64.6

77 2.72.7

88 0.40.4

Se guardiamo, infatti, la Se guardiamo, infatti, la distribuzione differenziale di frequenza percentualedistribuzione differenziale di frequenza percentuale degli degli ordini giornalieri, per es. per la miscela A, si ricava che ordini giornalieri, per es. per la miscela A, si ricava che ci sono ci sono ALMENO 5ALMENO 5 ordini piuttosto che 3.5 (valore medio) ordini piuttosto che 3.5 (valore medio) per (per (12.9 + 4.6 + 2.7 + 0.412.9 + 4.6 + 2.7 + 0.4) % della storia passata (ossia circa il 20%).) % della storia passata (ossia circa il 20%).

Dati Statistici Pregressi Dati Statistici Pregressi Distribuzione differenziale di frequenzaDistribuzione differenziale di frequenza

Istogramma degli Ordini/Giorni per la miscela C

0.4

44.8

37.4

8.7 8.7

-5

5

15

25

35

45

1 2 3 4 5

Ordini/Giorni

% d

i g

iorn

i

Istogramma degli Ordini/Giorni per la miscela B

1.4

49

14.3

26.6

8.7

0

10

20

30

40

50

1 2 3 4 5

Ordini/Giorni

% d

i gio

rni

Istogramma degli Ordini/Giorni per la miscela D

2.1 2.1

58.7

37.1

0

10

20

30

40

50

60

1 2 3 4

Ordini/Giorni

% d

i gio

rni

Istogramma degli Ordini/Giorni per la miscela E

0.7

53.9

36.7

8.7

0

10

20

30

40

50

1 2 3 4

Ordini/Giorni

% d

i g

iorn

i

Istogramma di Ordini/Giorni per la miscela A

0.4

34.6

22.4

12.9

4.6 2.72.1

20.3

0

5

10

15

20

25

30

35

1 2 3 4 5 6 7 8

Ordini/Giorni

% d

i gio

rni

Avendo a disposizione i Avendo a disposizione i dati relativi alla frequenza dati relativi alla frequenza degli ordini per ogni degli ordini per ogni miscela, se ne costruisce il miscela, se ne costruisce il diagramma:diagramma:

Dati Statistici Pregressi Dati Statistici Pregressi Distribuzione differenziale di frequenzaDistribuzione differenziale di frequenza

Se rappresentiamo la distribuzione di frequenza su di un Se rappresentiamo la distribuzione di frequenza su di un diagramma a tortadiagramma a torta, , otteniamo un sistema simile ad una roulette attraverso cui possiamo realizzare una otteniamo un sistema simile ad una roulette attraverso cui possiamo realizzare una vera e propria simulazione con il metodo Monte Carlo.vera e propria simulazione con il metodo Monte Carlo.

Facendo ruotare più volte la freccia in maniera casuale, le successive posizioni di Facendo ruotare più volte la freccia in maniera casuale, le successive posizioni di arresto genereranno una distribuzione degli eventi in funzione delle relative aree del arresto genereranno una distribuzione degli eventi in funzione delle relative aree del settore. settore.

Pie chart per la miscela A

8

2

17

5

6

4

3

Estrazione a sorte “manuale”Estrazione a sorte “manuale”

Prima di procedere alla simulazione:Prima di procedere alla simulazione:1) trasformiamo la 1) trasformiamo la distribuzione differenzialedistribuzione differenziale degli ordini giornalieri in una degli ordini giornalieri in una distribuzionedistribuzione di tipo di tipo cumulativocumulativo eded2) assegniamo a ciascun n° ordini (righe) e ciascuna miscela (colonna) un 2) assegniamo a ciascun n° ordini (righe) e ciascuna miscela (colonna) un rangerange di di numeri interinumeri interi, a partire da 0 sino a 999, a partire da 0 sino a 999

MiscelaMiscela AA Miscela Miscela BB Miscela Miscela CC Miscela Miscela DD MiscelaMiscela EE

Numero Numero di di ordiniordini

FrequenzaFrequenzacumulativa cumulativa percentualepercentuale

Numeri Numeri assegnatiassegnati

FrequenzaFrequenzacumulativa cumulativa percentualepercentuale

Numeri Numeri assegnatiassegnati

FrequenzaFrequenzacumulativa cumulativa percentualepercentuale

Numeri Numeri assegnatiassegnati

FrequenzaFrequenzacumulativa cumulativa percentualepercentuale

Numeri Numeri assegnatiassegnati

FrequenzaFrequenzacumulativa cumulativa percentualepercentuale

Numeri Numeri assegnatiassegnati

11 2.12.1 0-200-20 14.314.3 0-1420-142 0.4 0.4 0-30-3 2.12.1 0-200-20 36.736.7 0-366 0-366

22 22.422.4 21-22321-223 63.363.3 143-632 143-632 9.19.1 4-904-90 60.860.8 21-60721-607 90.690.6 397-905397-905

33 57.057.0 224-569224-569 89.989.9 633-898633-898 52.852.8 91-52791-527 97.997.9 608-978608-978 99.399.3 906-992906-992

44 79.479.4 570-793570-793 98.698.6 899-985899-985 90.290.2 528-901528-901 100.0100.0 979-999979-999 100.0100.0 993-999993-999

55 92.392.3 794-924794-924 100.0100.0 986-999986-999 98.998.9 902-988902-988

66 96.996.9 925-968925-968 100.0100.0 989-999989-999

77 99.699.6 969-995969-995

88 100.0100.0 996-999996-999

Simulazione “computerizzata”Simulazione “computerizzata”

GIORNOPROGRESSIVO

DELLASIMULAZIONE

A B C D E

Estratto n°Estratt

on° Estratto n°

Estratto

n°Estratt

on°

1 178 2 94 1 177 3 82 2 893 2

2 561 3 917 4 96 3 226 3 200 1

3 607 4 976 4 463 3 667 3 362 1

4 331 3 632 2 539 4 404 2 309 1

5 114 2 625 2 386 3 894 3 575 2

6 230 3 302 2 953 5 925 3 276 1

7 357 3 218 2 14 2 327 2 521 2

8 993 7 852 3 615 4 153 2 519 2

9 959 6 64 1 481 3 82 2 894 2

10 579 4 333 2 670 4 422 2 706 2

Estrazione “computerizzata”Estrazione “computerizzata”•Per ciascun giorno e per ciascuna miscela, estraiamo, con un generatore

di numeri casuali, un numero [0, 1] ed associamo un intero [0, 999] all’estratto.

•Il corrispondente n° ordini si deduce dalla tabella precedente.NB: per semplicità riportiamo i primi 10 giorni

GIORNOPROGRESSIVO

DELLASIMULAZIONE

A B C D EORDINI GIORNA

LIERI

ORDINIINEVASI

ORDINIRESIDUATI LAVORATI

1 178 2 94 1 177 3 82 2 893 2 10 - --2 561 3 917 4 96 3 226 3 200 1 14 1 --3 607 4 976 4 463 3 667 3 362 1 15 2 --4 331 3 632 2 539 4 404 2 309 1 12 - 115 114 2 625 2 386 3 894 3 575 2 12 - 116 230 3 302 2 953 5 925 3 276 1 14 1 --7 357 3 218 2 14 2 327 2 521 2 11 - 228 993 7 852 3 615 4 153 2 519 2 18 5 --9 959 6 64 1 481 3 82 2 894 2 14 1 --

10 579 4 333 2 670 4 422 2 706 2 14 1 --MEDIA,

VAR., ecc.

MEDIA,VAR.,

ecc.

MEDIA,VAR.,

ecc

Simulazione Simulazione (Ip.: 13 (Ip.: 13 mixers mixers a disposizione)a disposizione)

Costruzione della Tabella dei risultatiCostruzione della Tabella dei risultati

Possibili obiettivi attesi dalla Possibili obiettivi attesi dalla simulazionesimulazione

(e (e modelli matematicimodelli matematici per generarli) per generarli) •N. Ordini evasi nel giorno stesso•% Ordini evasi nel giorno stesso

•N. Ordini inevasi nel giorno stesso•% Ordini inevasi nel giorno stesso

•N. Ordini residuati ed evasi dopo x giorni di simulazione •% Ordini residuati ed evasi dopo x giorni di simulazione

•N. Ordini residuati ed evasi dopo 2 giorni•% Ordini residuati ed evasi dopo 2 giorni

•N. Giorni senza Ordini inevasi nel giorno stesso•% Giorni senza Ordini inevasi nel giorno stesso

•N. Miscelatori in grado di soddisfare evasione ordini (odierni e/o residuati) in x% dei giorni lavorativi

n° di ordini odiernin° di ordini odierni++

eventuali residuati evasieventuali residuati evasiNumero di giorniNumero di giorni %%

Percentuale Percentuale cumulativacumulativa

1313 10961096 54.854.8 54.854.8

1414 338338 16.916.9 71.771.7

1515 286286 14.314.3 8686

1616 153153 7.657.65 93.6593.65

1717 6565 3.253.25 96.996.9

1818 4444 2.22.2 99.199.1

1919 1414 0.70.7 99.899.8

2020 33 0.150.15 99.9599.95

2121 00 00 99.9599.95

2222 11 0.050.05 100100

Dai risultati ottenuti si evince che per riuscire a soddisfare tutte le richieste nei Dai risultati ottenuti si evince che per riuscire a soddisfare tutte le richieste nei 2000 2000 giornigiorni, abbiamo bisogno di , abbiamo bisogno di 22 miscelatori22 miscelatori. .

Riassumiamo in una tabella i risultati della simulazione (per Riassumiamo in una tabella i risultati della simulazione (per 13 mixers 13 mixers e e 2000 giorni2000 giorni):):

Obiettivo della Obiettivo della simulazionesimulazione:: n° ordini evasi nel giorno stesson° ordini evasi nel giorno stesso

Altri risultatiAltri risultatiLa simulazione è stata ripetuta in MatLabLa simulazione è stata ripetuta in MatLab®® facendo variare il facendo variare il numero di numero di miscelatorimiscelatori..

Riportiamo nella seguente tabella i dati ottenuti:Riportiamo nella seguente tabella i dati ottenuti:

Numero di Numero di miscelatorimiscelatori

Percentuale di Percentuale di ordini senza ritardiordini senza ritardi

Percentuale di Percentuale di giorni senza ritardigiorni senza ritardi

1313 48.7448.74 54.854.8

1414 69.1369.13 74.174.1

1515 81.2681.26 8585

1616 92.3792.37 94.2594.25

1717 95.6995.69 96.8596.85

1818 98.6998.69 99.199.1

1919 99.7799.77 99.8599.85

2020 100100 100100

Simulazione Simulazione in assenza di dati “storici”in assenza di dati “storici”

Associare tramite una legge matematica, ritenuta Associare tramite una legge matematica, ritenuta già già nota ed attendibilenota ed attendibile (ad es. una (ad es. una proporzioneproporzione), il ), il valore della valore della variabile “d’ingresso”variabile “d’ingresso” al al numero numero estratto dal estratto dal generatoregeneratore casualecasuale

Ipotizzare una Ipotizzare una legge di distribuzione di probabilitàlegge di distribuzione di probabilità, , ritenuta ritenuta realistica ed attendibilerealistica ed attendibile (ad es. una (ad es. una gaussianagaussiana), per la ), per la variabile “d’ingresso”variabile “d’ingresso” della ns. della ns. simulazionesimulazione ed utilizzare un ed utilizzare un comando comando softwaresoftware o o un un algoritmoalgoritmo di “estrazione” di di “estrazione” di numeri numeri secondo la secondo la distribuzione di probabilità presceltadistribuzione di probabilità prescelta

Ad es. per il n° ordini atteso per la Ad es. per il n° ordini atteso per la miscela Amiscela A per ogni nuovo per ogni nuovo giorno:giorno:

Si fa riferimento al problema dei miscelatori trattato come esempio di applicazione delle Tecniche di Montecarlo nel paragrafo 15.4 a pag. 442 del RUDD-WATSON. Si supponga di avere a disposizione 13 miscelatori e di volere quindi fare una simulazione. La distribuzione di frequenze degli ordini è la stessa in tab. 15.4-3. Si chiede quanto segue:

1 In base alla tabella allegata, calcolare la % di ordini rispetto al totale che non possono essere evasi nello stesso giorno dell’ordinazione.

2.a – Allo scopo di ridurre la varianza del risultato atteso da questa simulazione, discutere come si potrebbe proseguirla senza “estrarre” nuovi numeri, ma utilizzando gli stessi dati della tabella allegata e la tecnica delle “Antithetic Variates”

2.b – Ricordando che il Numero Estratto nella simulazione in Tabella è una variabile aleatoria X con una distribuzione di probabilità uniforme, dimostrare come la opportuna scelta della Variabile Antitetica Y comporta: cov(X,Y) < 0

2.c – Qual è in questo caso la % di ordini che non vengono evasi nel giorno stesso?

Problema 88Problema 88

Riduzione della varianza Riduzione della varianza con le variabili antitetichecon le variabili antitetiche

SEQUENZA DI ESTRATTI

(Var. Aleatoria uniformemente distribuita)

r1, r2, ... ri, ... rN-1, rN [0,1]

ISTANZE della VAR. ALEATORIA x1

(mappata su ri uniformemente distribuita)

x11, x12, ... x1i, ... x1N-1, x1N

MEDIA e VARIANZA del CAMPIONE

N

1i

21i1

21

N

1ii11 xx

1N

1 x

N

1x

SEQUENZA DI ESTRATTI

(Var. Aleatoria uniformemente distribuita)

1-r1, 1-r2, ... 1-ri, ... 1-rN-1, 1-rN [0,1]

ISTANZE della VAR. AL. ANTITETICA x2

(mappata su ri uniformemente distribuita)

x21, x22, ... x2i, ... x2N-1, x2N

MEDIA e VARIANZA del CAMPIONE

N

1i

22i2

22

N

1ii22 xx

1N

1 x

N

1x

Per essere la nuova stima di MEDIA e VARIANZA del CAMPIONE migliore

deve essere:

0)x,xcov(

24

1

2

xxx

21212

212

22x

21x

2x

21

Def. una nuova Var. Aleatoria dalle precedenti: x = (x1 + x2)/2

CovarianzaCovarianza

N

1iii

N

1iiixy

2x

2x

2x

2x

2xy

2x

2x

2

2x

22x

2x

2

x2x

22x

2x

2x

22

2

yxxy2

a

yxnyx1N

1yyxx

1N

1s

CAMPIONE UNDI COVARIANZA

0 :osostituend

x

x2x

x2xx

xxxx

xxx999xx999

x999xx999x

)y(E)x(E)xy(Eyx

x999y r-1r

GIORNOPROGRESSIVO

DELLASIMULAZIONE

A B C D EORDINIGIORNA

LIERI

ORDINIINEVASI

ORDINIRESIDUATI LAVORATI

1 821 5 905 4 822 4 917 3 106 1 17 4 --2 428 3 82 1 903 5 773 3 799 2 14 1 --3 392 3 23 1 536 4 332 2 637 2 12 - 114 668 4 367 2 460 3 595 2 690 2 13 - --5 885 5 374 2 613 4 105 2 424 2 15 2 --6 769 4 697 3 46 2 74 2 723 2 13 - --7 642 4 781 3 985 5 672 3 478 2 17 4 --8 6 1 147 2 384 3 876 3 480 2 11 - 229 40 2 935 4 518 3 917 3 105 1 13 - --

10 420 3 666 3 329 3 577 2 293 1 12 - 11

13711

(8,02%)4

(2.9%)

Simulazione “antitetica” Simulazione “antitetica” (Ip.: 13 (Ip.: 13 mixers mixers a disposizione)a disposizione)

Costruzione della Tabella dei risultatiCostruzione della Tabella dei risultati

Risultato finaleRisultato finale

Ad es.,

dall’applicazione della tecnica delle variabili antitetiche:

% ordini inevasi nel giorno =

(8.21 + 8.02)/2 = 8.12 %NB: Questo risultato è caratterizzato da una Dev. St. minore dei risultati singoli della simulazione

Per l’applicazione del metodo Monte Carlo utilizziamo come programma di calcolo Per l’applicazione del metodo Monte Carlo utilizziamo come programma di calcolo MatLabMatLab®®..Di seguito riportiamo l’algoritmo di calcolo:Di seguito riportiamo l’algoritmo di calcolo:

CollegamentoCollegamento

Matlab

. . . . . .