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Università di Bergamo Facoltà di Ingegneria Anno Accademico 2003 - 2004 Corso integrato di Meccanica tessile (modulo di Tessitura) Ing. Matteo Mutti – PROMATECH S.p.A.

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Corso integrato di Meccanica tessile (modulo di Tessitura) – Ing. Matteo Mutti 5° lezione

Pagina 1

Università di BergamoFacoltà di Ingegneria

Anno Accademico 2003 - 2004

Corso integrato di Meccanica tessile(modulo di Tessitura)

Ing. Matteo Mutti – PROMATECH S.p.A.

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QUINTA LEZIONE

• Meccanica delle macchine:

- schema di trasmissione di potenza del telaio

- il motore

- la trasmissione

- il volano

- la frizione

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Finora ci siamo occupati del gruppo di comando di una macchina per tessere, arrivando a determinare per ogni elemento della catena cinematica le condizioni di moto e le forze necessarie ad imprimere tale moto, riassunte sinteticamente nella coppia necessaria all’albero a camme per movimentare un intero gruppo di comando, come si vede in figura.In questa lezione ci occuperemo dell’analisi della meccanica del telaio da un punto di vista più ampio, secondo la logica propria della meccanica delle macchine.Il centro della nostra attenzione non sarà più il gruppo di comando, che diventerà un elemento della catena di potenza, ma la macchina nel suo complesso.

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Meccanica delle macchine

Coppia all'albero a camme

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

[° telaio]

[Nm

]

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In figura è rappresentato in forma schematizzata il sistema di trasmissione della potenza meccanica necessaria ad imprimere al telaio le suemovimentazioni principali: inserzione delle pinze e battuta del pettine.Abbiamo 2 gruppi di comando collegati fra loro dall’albero del battente, che comandano contemporaneamente, e da un albero di collegamento, deputato alla trasmissione di potenza meccanica lungo il telaio.Fra questo albero di collegamento e l’albero a camme di ciascun gruppo di comando esiste un rapporto di trasmissione, che fa sì che l’albero di collegamento ruoti ad una velocità diversa dall’albero a camme.La potenza necessaria a muovere l’albero di collegamento e con esso i gruppi di comando, viene fornita da un motore asincrono trifase, connesso all’albero di collegamento da un’opportuna trasmissione, a cui è solidale un volano.Come si può vedere in figura, l’albero di collegamento non è continuo, ma frazionato: da un lato il motore col volano, dall’altro i gruppi di comando. La connessione fra le due parti viene garantita da una frizione.Nel corso della presente lezione analizzeremo i compiti di ciascuno degli organi rappresentati in questo schema.

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Meccanica delle macchine

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Cominciamo a considerare il lato destro del nostro schema, che comprende i gruppi di comando e l’albero di collegamento.

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Meccanica delle macchine

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In termini meccanici, lo schema precedente si traduce nello schema qui raffigurato: il singolo gruppo di comando necessita di una determinata coppia all’albero a camme, coppia che viene trasmessa dall’albero di collegamento mediante accoppiamenti dentati, con relativo rapporto di trasmissione.Si noti che la presenza di un rapporto di trasmissione fa sì che la coppia trasmessa dall’albero di collegamento sia sensibilmente inferiore alla coppia richiesta da ciascun gruppo.Analizziamo il medesimo schema considerando il flusso di potenza.

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Meccanica delle macchine

-800.000

-600.000

-400.000

-200.000

0.000

200.000

400.000

600.000

800.000

0 60 120 180 240 300 360

-800.000

-600.000

-400.000

-200.000

0.000

200.000

400.000

600.000

800.000

0 60 120 180 240 300 360

-800.000

-600.000

-400.000

-200.000

0.000

200.000

400.000

600.000

800.000

0 60 120 180 240 300 360

ωt ωt

ωc

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Quello che si conserva lungo la trasmissione, in assenza di dissipazioni, è la potenza.E’ quindi la potenza trasmessa dall’albero di collegamento che è pari alla somma delle potenze richieste dai 2 gruppi di comando.La coppia è invece dipendente dal rapporto di trasmissione.Come dimostra la formula in figura, la coppia trasmessa dall’albero di collegamento è tanto minore, quanto maggiore è la velocità dell’albero di collegamento stesso, rispetto a quella del telaio (che è la velocitò di rotazione dei gruppi di comando).Usualmente l’albero di collegamento ha una velocità superiore a quella del telaio e per questo viene gergalmente chiamato albero veloce.

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Meccanica delle macchine

ωt ωt

ωc

( )( )

c

tptc

tpttpttptccc

CCC

CCCCWWCW

ωω

ωωωω

⋅+=

⋅+=⋅+⋅=+=⋅=

-100.000

-80.000

-60.000

-40.000

-20.000

0.000

20.000

40.000

60.000

80.000

100.000

0 60 120 180 240 300 360

-100.000

-80.000

-60.000

-40.000

-20.000

0.000

20.000

40.000

60.000

80.000

100.000

0 60 120 180 240 300 360

-100.000

-80.000

-60.000

-40.000

-20.000

0.000

20.000

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La coppia trasmessa dall’albero veloce, dal punto di vista della meccanica delle macchine, è più che sufficiente a rappresentare tutta la parte destra del nostro schema iniziale.Lo schema in figura diventa quindi il seguente.

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Meccanica delle macchine

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Abbiamo un motore, una trasmissione, un volano, una frizione ed un utilizzatore, di cui è nota la coppia richiesta istante per istante.Ci siamo ricondotti ad un classico schema della meccanica delle macchine, di cui è opportuno riprendere alcune nozioni di base.

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Meccanica delle macchine

-800.000

-600.000

-400.000

-200.000

0.000

200.000

400.000

600.000

800.000

0 60 120 180 240 300 360

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Una macchina è per definizione un elaboratore di energia, che trasforma una potenza entrante per produrre qualcosa di utile.Compito del motore è fornire la potenza entrante.In termini meccanici il motore è definito da una curva caratteristica, che indica le condizioni di coppia e di velocità a cui il motore è in condizioni di funzionare.In altre parole, la coppia motrice erogata da un motore è in generale funzione della velocità di rotazione dell’albero d’uscita del motore stesso. Questa funzione prende il nome di caratteristica meccanica del motore e curva caratteristica la sua rappresentazione grafica.La coppia generata dal motore ad albero fermo è detta coppia di spunto, la velocità del motore a coppia nulla è detta velocità di sincronismo.In figura è rappresentata la curva caratteristica di un motore asincrono trifase. E’ immediatamente visibile come questo tipo di motore sia in grado di erogare una coppia pressoché costante fino all’approssimarsi della velocità di sincronismo, attorno alla quale è in grado di funzionare per valori di coppia sensibilmente diversi.In prima approssimazione il motore asincrono trifase riassume gli andamenti di 2 motori ideali: motore a coppia costante sino a poco oltre la velocità di coppia massima e motore a velocità costante in prossimità del sincronismo.

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Meccanica delle macchineIl motore

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0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000

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Come abbiamo detto, il motore è il componente deputato alla produzione di potenza, destinata all’utilizzatore, che fa il lavoro per cui la macchina è progettata.L’intersezione della curva caratteristica del motore con quella dell’utilizzatore determina la condizione di funzionamento a regime della macchina.In figura vediamo un esempio di intersezione.ω0 è la velocità di funzionamento a regime della macchina rappresentata dalle curve in figura.Si noti come tale condizione di funzionamento sia una condizione di equilibrio stabile. Se infatti la macchina tendesse a rallentare, la coppia del motore diverrebbe immediatamente superiore a quella dell’utilizzatore, producendo un’accelerazione che riporterebbe alla velocità ω0. Identicamente, se la macchina tendesse ad accelerare, la coppia dell’utilizzatore sarebbe superiore a quella del motore, la macchina sarebbe così costretta a decelerare e tornerebbe alla velocità di regime ω0.Le variazioni di coppia indotte da una variazione di velocità sono tanto più ampie, quanto più la condizione di regime è prossima alla velocità di sincronismo.

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Meccanica delle macchineIl motore

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0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000

ω0

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Si definisce rendimento del motore il rapporto fra la potenza meccanica erogata dal motore stesso e la quantità di energia primaria elaborata dal motore nell’unità di tempo, per generare tale potenza.Tale rendimento è chiaramente variabile con la velocità di rotazione del motore e presenta un massimo per una velocità ωopt, che ottimizza lo sfruttamento dell’energia primaria disponibile.Se la macchina deve operare a lungo in condizioni di regime, è opportuno che la velocità di regime ωo concida con quella di massimo rendimento ωopt, o quantomeno se ne discosti di poco.E’ quindi necessario interporre fra motore ed utilizzatore di untrasformatore meccanico, che porti la macchina a funzionare nell’attorno della condizione di ottimo.Facendo riferimento alla figura, dobbiamo fare in modo che, visto dal motore, la curva caratteristica dell’utilizzatore passi dalla linea blu a quella azzurra.Questo è il compito della trasmissione.

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Meccanica delle macchineIl motore

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0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000

ω0 ωopt

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Il motore, identificato in figura dalla sua curva caratteristica, viene collegato tramite il suo albero d’uscita a quello d’ingresso della trasmissione. A sua volta l’albero d’uscita della trasmissione è collegato a quello d’ingresso dell’utilizzatore, anch’esso rappresentato dalla sua curva caratteristica.Meccanicamente la trasmissione è identificata dal rapporto di trasmissione τ, definito come il rapporto fra la velocità dell’albero di uscita e quella dell’albero entrante.Nelle considerazioni fatte finora τ era implicitamente pari ad 1, dal momento che la velocità del motore e dell’utilizzatore erano uguali.In tal caso ragionare in termini di coppia o di potenza era del tutto equivalente. Nel momento in cui si introduce una trasmissione e quindi velocità diverse, è più facile ragionare in termini di potenza.

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Meccanica delle macchine

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0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 30000

10

20

30

40

50

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80

90

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0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000

La trasmissione

ωm ωu

m

u

ωωτ =

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La figura è del tutto equivalente alla precedente, se non per il fatto che le curve caratteristiche del motore e dell’utilizzatore sono curve potenza –velocità e non più coppia – velocità.In condizioni di regime, senza cioè accumuli di energia all’interno della trasmissione, e in assenza di dissipazioni per attrito, il bilancio di potenza si riduce all’uguaglianza fra la potenza erogata dal motore, funzione della velocità del motore, e quella richiesta dall’utilizzatore, funzione della velocità dell’utilizzatore.Il legame fra la velocità del motore e quella dell’utilizzatore permette di scrivere l’equazione di equilibrio delle potenze in funzione di una delle 2 velocità.

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Meccanica delle macchine

( ) ( ) uuummm

um

WWWWWW

====

ωω

La trasmissione

ωm ωu

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 30000

50000

100000

150000

200000

250000

300000

0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000

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Nel caso in cui l’equazione sia scritta in funzione della velocità motore, l’intersezione delle 2 curve di potenza permette di trovare la velocità di funzionamento a regime del motore, nel caso in cui sia scritta in funzione della velocità dell’utilizzatore, viene determinata la velocità di funzionamento a regime dell’utilizzatore.

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Meccanica delle macchine

( ) ( )uumm

m

u

WW ωωωωτ

=

=

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 30000

50000

100000

150000

200000

250000

300000

0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000

La trasmissione

ωm ωu

( ) ( )

( )uuu

m

mumm

WW

WW

ωτω

ωτω

=

⋅=

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In figura vengono rappresentate le possibili velocità di regime del motore al variare del rapporto di trasmissione.Si può facilmente notare che la velocità di regime tende a crescere quanto più τ tende a decrescere.Per τ molto grandi abbiamo quindi una velocità di regime prossima a 0, per τ molto piccoli prossima alla velocità di sincronismo.

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Meccanica delle macchineLa trasmissione

Albero motore

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000

τ=3/2

τ=1

τ=1/2

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Per meglio chiarire il concetto, rifacciamoci ad un’esperienza comune di trasmissione, il cambio della bicilcetta.In figura è riportata la caratteristica del motore umano, un decremento lineare della coppia erogata al crescere della velocità.Parimenti sono riportate le curve caratteristiche del carico per un percorso pianeggiante. In questo caso non è necessario vincere la forza di gravità, costante al variare della velocità, ma solo le forze d’attrito di contatto (che crescono quasi linearmente con la velocità) e aerodimaniche (che crescono quadraticamente con la velocità).Per un rapporto di trasmissione pari ad 1 (stella anteriore con numero di denti pari a quella posteriore) abbiamo una condizione d’esercizio per la quale eroghiamo bassa coppia, giriamo le gambe velocemente e per ogni pedalata avanziamo di una distanza pari alla circonferenza della ruota posteriore.Se aumentiamo il rapporto di trasmissione (ossia, se lo induriamo, come dicono i ciclisti), aumentiamo sensibilmente la coppia erogata, diminuiamo la frequenza di pedalata, ma complessivamente andiamo più veloce, perché abbiamo raddoppiato la strada percorsa per ogni pedalata effettuata.Viceversa, se alleggeriamo il rapporto, pedaliamo come forsennati avanzando di pochissimo.

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Meccanica delle macchineLa trasmissione

Biciletta in pianura

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Frequenza di pedalata [%]

Cop

pia

[%]

τ=1

τ=1/2

τ=2

τ=4

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In figura riportiamo il medesimo diagramma, riferito però ad un percorso in salita.Rispetto alla condizione precedente la caratteristica di carico ha una componente costante al variare della velocità, dovuta alla forza di gravità da vincere.Questo ci porta in generale ad avere condizioni di esercizio corrispondenti a coppie elevate e frequenze di pedalata basse (fino a doversi alzare sui pedali).In ogni caso la presenza di una trasmissione consente al ciclista di individuare il miglior compromesso fra il suo motore e la strada che sta percorrendo.

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Biciletta in salita

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Frequenza di pedalata [%]

Cop

pia

[%]

Meccanica delle macchineLa trasmissione

τ=1

τ=1/2

τ=2

τ=4

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In figura vengono rappresentate le possibili velocità di regime dell’utilizzatore al variare del rapporto di trasmissione.In questo caso, al crescere di τ si ha dapprima un aumento di velocità, sino a raggiungere un massimo per un valore di τ tale da portare l’intersezione delle due curve in corrispondenza della potenza massima del motore.Aumentando ulteriormente τ, la velocità dell’utilizzatore inizia a decrescere, in quanto il numero di giri del motore scende più rapidamente di quanto aumentino i giri dell’utilizzatore per il mutato rapporto di trasmissione.

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5° LezionePagina 19

Meccanica delle macchineLa trasmissione

Albero utilizzatore

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000 3300 3600 3900 4200 4500

τ=3/2τ=1

τ=1/2

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Abbiamo visto come il bilancio di potenze possa essere visto sia dal lato del motore, che da quello dell’utilizzatore.E’ evidente però che una macchina è caratterizzata dalla curva di potenza dell’utilizzatore, che indica la potenza necessaria perché la macchina adempia il suo scopo.Noto quindi l’andamento della potenza assorbita al variare della velocità e stabilito il numero di giri massimo ωumax a cui si desidera che l’utilizzatore funzioni, si dovrà impiegare un motore che sia in grado di erogare una potenza maggiore o uguale alla potenza massima richiesta dall’utilizzatore Wu=Wu(ωumax).A questo punto, determinato il motore e di conseguenza la sua curva caratteristica, si interporrà fra motore ed utilizzatore una trasmissione il cui rapporto di trasmissione sia tale da far corrispondere la velocità ωumaxdell’utilizzatore a quella del motore, cui corrisponde la potenza Wm=Wu(ωumax).

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Meccanica delle macchine

( ) ( )uumm

m

u

WW ωωωωτ

=

=

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 30000

50000

100000

150000

200000

250000

300000

0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000

La trasmissione

ωm ωu

( ) ( )

( )uum

m

mumm

WW

WW

ωτω

ωτω

=

⋅=

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Tornando al nostro schema iniziale, abbiamo caratterizzato l’utilizzatore, il motore e le trasmissioni.Dobbiamo ora approfondire il compito svolto dal volano e dalla frizione.

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5° LezionePagina 21

Meccanica delle macchine

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In tutte le considerazioni fatte finora è sempre stata sottinteso un concetto: la macchina funziona a velocità costante.Questa condizione di funzionamento viene definita di regime assoluto.In effetti, ragionando sulla trasmissione abbiamo visto che esiste un percorso per arrivare alla velocità di regime, ossia all’intersezione fra la curva caratteristica del motore e quella dell’utilizzatore. Un percorso durante il quale la macchina varia la sua velocità e con essa variano nel tempo tutte le grandezze che da essa dipendono.Tale percorso di definisce regime transitorio.Situazioni tipiche di transitorio sono l’avviamento e l’arresto della macchina.

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Meccanica delle macchineIl volano

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000

ω0

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Analizziamo allora le condizioni di transitorio, riferendoci in particolare al solo motore.Il motore è in generale una macchina che trasforma un certa energia entrante Le, in un lavoro meccanico utile uscente Lu, a prezzo di una quota di energia dissipata nella trasformazione Lp.Nell’adempiere a questi compiti, il motore accumula anche al suo interno una certa quantità di energia I.Il bilancio energetico del motore è quindi il seguente:Le = Lu + Lp + ∆IPassando dal bilancio di energia a quello delle potenze:

Nel caso particolare di regime assoluto, il bilancio di potenze si semplifica, perdendo il termine di accumulo d’energia, assumendo la forma:

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Meccanica delle macchineIl volano

Le

Lp

Lu∆I

dtdIWWW pue ++=

ILLL pue ∆++=

pue WWW +=

dtdIWWW pue ++=

pue WWW +=

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Riscrivendo l’equazione precedente nella forma:

Si evidenzia l’espressione della potenza uscente, nella forma in cui è effettivamente rilevata sperimentalmente, allorché si traccia la curva caratteristica del motore.Considerando la potenza dissipata invariante fra transitorio e regime e a parità di potenza entrante la potenza ricavata all’albero è, perciò:

Risulta quindi che la potenza uscente dal motore in transitorio eguaglia quella erogata in condizioni di regime, depurata della fetta che va ad incrementare l’energia interna del motore.Ipotizzando che tale energia interna sia essenzialmente energia cinetica, l’equazione precedente assume la forma:

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5° LezionePagina 24

Meccanica delle macchineIl volano

Le

Lp

Lu∆I

dtdIW

dtdIWWW upeu −=−−=

peu WWW −=

dtdTWW uu −=

dtdIW

dtdIWWW upeu −=−−=

peu WWW −=

( )ee WW =

dtdTWW uu −=

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La formula precedente ci consente di estendere anche al transitorio l’utilizzo delle curve caratteristiche ottenute a regime, pur di conoscere l’energia cinetica posseduta dalle masse interne al motore.Se assumiamo che tali masse possano essere rappresentate da un’unica massa (di momento d’inerzia Jm) solidale con l’albero d’uscita del motore stesso, l’energia cinetica del motore assume la forma:

E quindi il bilancio di potenza del motore in regime transitorio diventa:

Dividendo entrambi i membri per la velocità di rotazione dell’albero, passiamo dalle potenze alle coppie e l’equazione precedente assume la forma:

La coppia erogata all’albero motore è quindi pari a quella espressa della curva caratteristica, diminuita di un termine inerziale, che prende il nome di coppia d’inerzia.

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Meccanica delle macchineIl volano

Le

Lp

Lu∆I

2

21 ω⋅= mJT

ωωω &⋅⋅−=

⋅−=−= mumuuu JWJ

dtdW

dtdTWW 2

21

( )ω

ωωωωω

&

&&

⋅−=

⋅⋅−=⋅⋅−=⋅=

muu

mumuuu

JMM

JMJWMW

2

21 ω⋅= mJT

ωωω &⋅⋅−=

⋅−=−= mumuuu JWJ

dtdW

dtdTWW 2

21

( )ω

ωωωωω

&

&&

⋅−=

⋅⋅−=⋅⋅−=⋅=

muu

mumuuu

JMM

JMJWMW

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Quanto visto finora per il motore vale anche per l’utilizzatore, così che il bilancio di potenza di una macchina in transitorito diventa:

Dividendo poi per la velocità di rotazione, si arriva all’equilibrio di coppie:

La coppia motore in transitorio deve quindi eguagliare la somma della coppia resistente dell’utilizzatore e delle coppie d’inerzia, siano esse del motore o dell’utilizzatore.Se ad esse si aggiunge una massa inerziale fine a se stessa (un volano d’inerzia JV), l’equilibrio di coppie diventa:

Guardando questa formula, l’introduzione di un’inerzia aggiuntiva (il volano) parrebbe assolutamente dannosa, comporterebbe infatti un’ulteriore richiesta di coppia al motore.Vediamo allora quando l’introduzione di un volano è vantaggiosa.

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5° LezionePagina 26

Meccanica delle macchineIl volano

Le

Lp

Lu∆I

( ) ω&⋅++= rmrm JJMM

( ) ωωωωωω ⋅⋅++=⋅⋅+=⋅⋅− &&& rmrrrmm JJWJWJW

( ) ω&⋅+++= Vrmrm JJJMM

( ) ωωωωωω ⋅⋅++=⋅⋅+=⋅⋅− &&& rmrrrmm JJWJWJW

( ) ω&⋅++= rmrm JJMM

( ) ω&⋅+++= Vrmrm JJJMM

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Immaginiamo di poter trascurare ogni altra inerzia della macchina, appartenga essa al motore o all’utilizzatore, e di avere una macchina semplice costituita da un motore, un volano ed un utilizzatore.La formula precedente si semplifica ulteriormente, diventando:

Nel caso in cui l’utilizzatore abbia la curva caratteristica in figura, nel caso ossia in cui l’utilizzatore sia sempre resistente al motore, l’introduzione di un volano è puramente dannosa.Vediamo però cosa succede nel caso in cui l’utilizzatore non sia solo resistente al motore.

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Meccanica delle macchine

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 30000.00

10.00

20.00

30.00

40.00

50.00

60.00

70.00

80.00

90.00

100.00

0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000

Il volano

Utilizzatore

ω&⋅+= Vrm JMM

ω&⋅+= Vrm JMM

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Il telaio è un tipico utilizzatore di questo tipo.In alcuni momenti la sua coppia è positiva, ossia resistente al motore, in altri è negativa, ossia si somma a quella del motore.Si noti che, mentre nella figura precedente la caratteristica di carico era diagrammata in funzione della velocità, in questo caso essa è diagrammata in funzione dei gradi telaio.La coppia resistente offerta dal telaio al motore varia infatti istante per istante, anche qualora la velocità sia costante.Il telaio è quindi una macchina in perenne transitorio, anche quando si dice che essa è a regime.Di seguito vedremo di approfondire meglio questo concetto.L’equazione che descrive il fenomeno è sempre quella vista in precedenza, ma la coppia resistente non è più funzione della sola velocità di rotazione ω della macchina, ma anche della sua posizione α.

Vediamo allora di risolvere l’equazione precedente rispetto all’accelerazione del telaio, in modo da determinarne la velocità istantanea

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5° LezionePagina 28

Meccanica delle macchine

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000

ω&⋅+= Vrm JMM

Il volano

Utilizzatore

-800.000

-600.000

-400.000

-200.000

0.000

200.000

400.000

600.000

800.000

0 60 120 180 240 300 360

ωαωωω

&

&

⋅+=⋅+=

Vrm

Vrm

JMMJMM

),()(

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Abbiamo visto nella quarta lezione che le forze in gioco nel meccanismo di comando del telaio crescono quadraticamente con la velocità di rotazione del telaio stesso.Nota quindi la coppia istante per istante ad una data velocità di rotazione, lo è a qualsiasi altra velocità.Definita ω0 la velocità di rotazione di riferimento, a cui è nota la coppia M0richiesta dal telaio per ogni posizione angolare α del telaio stesso, la coppia richiesta dal telaio ad una generica velocità ω risulta allora:

L’equazione di equilibrio delle coppie diventa allora:

Ma essendo risulta:

Equazione differenziale che, risolta rispetto ad α, ci dà posizione, velocità ed accelerazione istantanea del telaio.

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5° LezionePagina 29

Meccanica delle macchineIl volano

ωαωωω

&

&

⋅+=⋅+=

Vrm

Vrm

JMMJMM

),()(

20

2

0 )(),(ωωααω ⋅=MMr

ωωωαω &⋅+⋅= Vm JMM 20

2

0 )()(

αωααα &&&

& ⋅+⋅= Vm JMM 20

2

0 )()(

20

2

0 )(),(ωωααω ⋅=MMr

ωωωαω &⋅+⋅= Vm JMM 20

2

0 )()(

αω &=

αωααα &&&

& ⋅+⋅= Vm JMM 20

2

0 )()(

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In figura è diagrammata la velocità del telaio ottenuta risolvendo l’equazione precedente.Il transitorio è composto da un fase iniziale continua, nella quale i pendolamenti propri del moto periodico del telaio sono impercettibili. In questa fase il motore spende energia essenzialmente per accelerare il volano.Si ha poi una fase transitoria in cui i pendolamenti diventano sensibili ed infine una fase di pseudo regime, nella quale la velocità è mediamente costante.

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5° LezionePagina 30

Meccanica delle macchineIl volano

Velocità telaio

0

100

200

300

400

500

600

700

0 360 720 1080 1440 1800 2160 2520 2880 3240 3600 3960 4320

[° telaio]

[rpm

]

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Questa è la curva di coppia richiesta al motore in corrispondenza della velocità telaio vista in precedenza.Si ha una fase iniziale nella quale il motore segue essenzialmente la sua curva caratteristica ed una fase finale nella quale il motore insegue istante per istante il carico variabile richiesto dal telaio, a volte erogando coppia ed altre ricevendone.Finora abbiamo risolto l’equazioni che regolano il transitorio di una macchina ed in particolare di un telaio.Abbiamo visto che il volano è presente in queste equazioni, ma non abbiamo ancora ben definito il suo ruolo.A tal fine diagrammiamo velocità del telaio e coppia del motore per diverse taglie di volani.

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5° LezionePagina 31

Meccanica delle macchineIl volano

Coppia motore

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 360 720 1080 1440 1800 2160 2520 2880 3240 3600 3960 4320

[° telaio]

[Nm

]

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In figura vediamo il transitorio di avviamento del telaio al variare dell’inerzia del volano.Per inerzie basse, il transitorio è molto veloce, il telaio raggiunge in pochi cicli la propria velocità di regime, attorno alla quale ha però oscillazioni sensibili.Viceversa, per inerzie elevate, il transitorio è molto lungo, ma l’irregolarità periodica, ossia l’oscillazione attorno alla velocità di regime, è molto ridotta.

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5° LezionePagina 32

Meccanica delle macchineIl volano

Velocità telaio

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 360 720 1080 1440 1800 2160 2520 2880 3240 3600 3960 4320 4680 5040 5400 5760 6120 6480 6840 7200

[° telaio]

[rpm

]

JV

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In termini di coppia richiesta al motore, maggiore è l’inerzia del volano e più la condizione d’esercizio s’avvicina a quella di sincronismo, con piccole oscillazioni di coppia.La situazione è totalmente opposta per bassi valori d’inerzia del volano.Potremmo paragonare il volano ad un serbatoio d’energia, il motore ad una pompa di energia e la macchina periodica come un’utenza che a volte chiede e a volte dà energia.Se il serbatoio è grosso, la pompa richiede molto tempo a riempirlo ma, una volta riempito, è impegnata solo a rabbocarlo. E’ il serbatoio che riesce infatti a farsi carico dei picchi di richiesta dell’utenza.Viceversa, se il serbatoio è piccolo, si riempie velocemente, ma è la pompa che soddisfa il grosso delle esigenze dell’utenza.

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5° LezionePagina 33

Coppia motore

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

0 360 720 1080 1440 1800 2160 2520 2880 3240 3600 3960 4320 4680 5040 5400 5760 6120 6480 6840 7200

[° telaio]

[Nm

]

Meccanica delle macchineIl volano

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Immaginiamo ora di aver riempito il serbatoio e di eliminare la pompa.Il diagramma riporta la velocità del telaio, una volta raggiunto il regime, avendo eliminato il motore.Si vede chiaramente che il telaio continua a funzionare attorno alla velocità di regime, con un’irregolarità periodica che è propria del volano.In base a questo diagramma potremmo dire che a regime potremmo spegnere il motore.In effetti, il telaio è una macchina che deve vincere essenzialmente le forze d’inerzia. Se si trascurano gli attriti e quel minimo di energia trasmesso al tessuto, tutta la coppia necessaria serve ad accelerare e decelerare le masse interne della macchina che, quando accelerano, prendono energia, ma quando decelerano la restituiscono.Trascurano gli attriti, in un ciclo macchina l’energia assorbita e quella restituita si pareggiano.Tornando all’esempio del serbatoio, l’energia spillata e quella riversata in un ciclo massimo sono le medesime. Non serve una pompa che rabbocchi.

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Meccanica delle macchineIl volano

Velocità telaio

605

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635

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0 60 120 180 240 300 360 420 480 540 600 660 720 780 840 900 960 1020 1080

[° telaio]

[rpm

]

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In figura è apprezzabile la minima differenza prodotta dall’introduzione del motore, sul profilo di velocità della macchina.In estrema sintesi, il telaio può essere paragonato ad un pendolo ideale.Una volta accumulata la necessaria energia potenziale, il pendolo si muove in un campo di forze conservative e quindi non ha bisogno di ulteriori apporti di energia.Similmente il telaio, sempre trascurando attriti ed energia ceduta al tessuto.

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Meccanica delle macchineIl volano

Velocità telaio

605

610

615

620

625

630

635

640

0 60 120 180 240 300 360 420 480 540 600 660 720 780 840 900 960 1020 1080

[° telaio]

[rpm

]

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In figura abbiamo la caratteristica di potenza del motore e del telaio.Come sempre la caratteristica del motore è diagrammata in funzione della velocità del motore stesso, quella del telaio in funzione della posizione angolare del telaio stesso.Per quanto il motore abbia una potenza massima disponibile ben superiore a quella richiesta istantaneamente dal telaio, bisogna ricordare che la potenza nominale è quella che il motore stesso eroga alla velocità di massimo rendimento, prossima a quella di sincronismo.La caratteristica del motore in figura è quella di un motore asincrono trifase con potenza di targa di 7.5 KW a 2920 rpm.Come si vede dalla figura, il telaio richiede potenze istantanee superiori a 80 Kw.Senza l’aiuto del volano il motore dovrebbe avere una taglia sensibilmente superiore.In estrema sintesi possiamo dire che il motore eroga la potenza dissipata dalla macchina, per attrito o perché ceduta al tessuto, alla movimentazione della stessa a regime ci pensa essenzialmente il volano.

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Meccanica delle macchineIl volano

0

50

100

150

200

250

0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000

[KW

]

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

0 60 120 180 240 300 360[KW

]

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Non ci rimane ora che approfondire l’ultimo elemento della nostra trasmissione di potenza: la frizione.

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Meccanica delle macchineLa frizione

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In tutte le valutazioni fatte finora, abbiamo sempre assunto che la coppia motrice sia superiore a quella resistente per tutti i valori di velocità inferiori a quella di regime.La differenza fra la coppia motrice e quella resistente è in questo caso sempre positiva fino alla velocità di regime ed è quindi tale da permettere alla macchina di accelerare dalla velocità nulla a quella di regime.In questi casi la macchina è in grado di avviarsi da ferma.

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Meccanica delle macchine

0

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40

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60

70

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90

100

0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000

ω0

La frizione

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Possono però presentarsi situazioni come quelle in figura, nelle quali la coppia motrice non è sempre superiore a quella resistente ed in particolare non lo è allo spunto, pur consentendo il raggiungimento di una corretta velocità di regime.In questi casi la macchina non è in grado di partire da ferma.Fra le possibili soluzioni al problema dell’avviamento da fermo di macchine di questo tipo, una delle più semplici e meno costose consiste nell’avviare inizialmente il solo motore e collegare l’utilizzatore solo quando il motore ha raggiunto un regime di giri a cui può fornire una coppia superiore a quella dell’utilizzatore.In questo caso si ha una prima fase del transitorio in cui si avvia il solo motore, con utilizzatore scollegato e quindi coppia resistente nulla. Così essendo, il motore si porta rapidamente alla sua velocità di funzionamento a vuoto ω0, mentre l’utilizzatore rimane fermo.A questa prima fase ne succede quindi una seconda, nella quale l’albero motore (rotante alla velocità ω0) e quello dell’utilizzatore (fermo) vengono messi in collegamento.

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Meccanica delle macchineLa frizione

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0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000

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Il collegamento dell’albero utilizzatore all’albero motore avviene per mezzo di dispositivi che prendono il nome di innesti.Gli innesti più utilizzati permettono un collegamento graduale fra i due alberi. Fra questi i più comuni sfruttano l’attrito fra superfici striscianti per trasmettere la coppia dal motore all’utilizzatore. Per questi vengono detti innesti a frizione o più semplicemente frizioni.In figura è schematicamente rappresentata una frizione a disco.L’albero motore e l’albero utilizzatore sono fisicamente sconnessi. Su ognuno di essi è calettato un disco e fra i dischi è interposto materiale ad alto coefficiente d’attrito (detto ferodo).Nel momento in cui la frizione viene innestata, una molla preme fra loro i due dischi, consentendo la trasmissione per attrito fra i due alberi.La coppia trasmissibile per attrito dalla frizione dipende chiaramente dalla superficie d’attrito, dal coefficiente d’attrito dei ferodi e dalla forza che la molla esercita per tenere i dischi a contatto.Al fine di non avere slittamenti fra le parti collegate dalla frizione, è necessario che tale coppia trasmissibile sia maggiore della coppia massima esercitata dal motore. In questo modo i due alberi in condizioni normali si comportano come se fossero solidali. Solo condizioni anomale di sovraccarico possono permettere lo slittamento dei dischi. La capacità della frizione di limitare la coppia trasmessa, fa sì che, in tali casi il motore non venga sovraccaricato. Possiamo dire che la frizione in queste situazioni si comporta da fusibile meccanico.

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Meccanica delle macchineLa frizione

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Analizziamo ora come avviene il transitorio di collegamento fra motore ed utilizzatore.Il motore gira alla propria velocità di funzionamento a vuoto quando, per effetto dell’innesto, si trova una coppia resistente Mf, pari alla coppia trasmissibile per attrito dalla frizione.Identicamente l’utilizzatore vede la medesima coppia Mf, come coppia motrice che lo fa accelerare dalla velocità iniziale nulla.

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0.00

20.00

40.00

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80.00

100.00

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0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000

Mf

0

20

40

60

80

100

120

0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000

Mf

Meccanica delle macchine

ωm ωu

La frizione

Mf

Mf

mω& uω&

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Analizzando motore ed utilizzatore come macchine separate, le equazioni che regolano il loro transitorio sono le seguenti:

Che ci permettono di determinare la decelerazione del motore e l’accelerazione dell’utilizzatore, fino al momento in cui le velocità dell’uno e dell’altro vengono a coincidere.In quel momento la velocità relativa dei due alberi è nulla, non si ha più strisciamento fra i dischi della frizione, i due alberi sono a tutti gli effetti solidali.Essendo Mf superiore alla coppia motore, salvo anomali picchi della coppia resistente Mu, tale condizione di solidarietà viene mantenuta indefinitamente.

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0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000

Mf

0

20

40

60

80

100

120

0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000

Mf

Meccanica delle macchine

ωm ωu

La frizione

Mf

Mf

mω& uω&

fmmm MMJ −=⋅ω& ufuu MMJ −=⋅ω&

fmmm MMJ −=⋅ω&

ufuu MMJ −=⋅ω&

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L’integrazione delle equazioni del transitorio ci permettono di determinare la velocità del motore e dell’utilizzatore, che sono diagrammate in figura.Il motore (curva rossa) decelera dalla velocità di sincronismo fino alla velocità di regime ωr, mentre l’utilizzatore accelera da 0 a ωr.Al tempo ts le due velocità si eguagliano.Da lì in avanti la frizione esaurisce il suo compito.Per ottenere i diagrammi in figura è stato ipotizzato che motore ed utilizzatore abbiano la medesima inerzia.

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Meccanica delle macchineLa frizione

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000

ω [rpm]

t [m

s]

ωr

ts

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In questo caso è invece diagrammata la situazione in cui il motore ha un’inerzia di un ordine di grandezza inferiore all’utilizzatore.Si vede immediatamente come questo comporti una brusca decelerazione del motore, tale da portare la condizione di regime in una zona in cui la coppia motrice è inferiore a quella resistente.In questo caso ritorneremmo alla condizione di avviamento da fermo, con il motore incapace di portare la macchina a regime.Per scongiurare questo rischio, è necessario incrementare l’inerzia sull’albero motore, eventualmente calettando un volano sull’albero stesso. Questa è un’ulteriore ragione che spiega la necessità di impiegare volani.

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5° LezionePagina 44

Meccanica delle macchineLa frizione

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000

ω [rpm]

t [m

s]

0

20

40

60

80

100

120

0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000

Mf

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Finora abbiamo compreso che la frizione va impiegata allorché l’avviamento da fermo sarebbe altrimenti impossibile. Nel telaio non è così.Le forze resistenti sono infatti essenzialmente inerziali e quindi crescenti col quadrato della velocità. A velocità nulla tali forze sono nulle ed il motore ha coppia abbondantemente sufficiente a far partir la macchina.Il problema è che il transitorio di avviamento è troppo lungo.Come si può vedere in figura, servono più di 6 cicli completi della macchina prima di raggiungere una velocità prossima a quella di regime.Questo fa sì che, dopo un arresto e la successiva ripartenza, vi siano alcune cicli di tessimento condotti in condizioni sensibilmente diverse da quelle che si hanno poi a regime.Queste diverse condizioni si ripercuotono sull’aspetto del tessuto, determinando difetti, che vengono denominati segni di fermata.L’impiego di una frizione nel telaio serve a portare la macchina a regime nel minor tempo possibile, vediamo come.

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Meccanica delle macchineLa frizione

Velocità telaio

0

100

200

300

400

500

600

700

0 360 720 1080 1440 1800 2160 2520 2880 3240 3600 3960 4320

[° telaio]

[rpm

]

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La figura precedente si riferiva ad un avviamento, durante il quale il motore si avviava trascinando con sé tutto il telaio.Frapponendo una frizione fra il gruppo motore – volano ed il telaio, il motore può essere avviato trascinando con sé il solo volano.Per quanto il transitorio possa essere lungo (in figura esso dura 9 cicli macchina), esso non influenza minimamente il tessuto, in quanto il telaio in questa fase è fermo.Quando il gruppo motore – volano ha raggiunto la velocità di regime, si innesta la frizione, in modo da accelerare il telaio.

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Meccanica delle macchine

ωm ωu

La frizione

Mf

Mf

0

100

200

300

400

500

600

700

0 360 720 1080 1440 1800 2160 2520 2880 3240 3600 3960 4320

[° telaio]

[rpm

]

-800.000

-600.000

-400.000

-200.000

0.000

200.000

400.000

600.000

800.000

0 60 120 180 240 300 360

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E questo è il risultato che si ottiene.In poco più di un quarto di ciclo macchina la frizione esaurisce il suo compito, portando la macchina al 70% della velocità di regime.Da lì in avanti il transitorio prosegue normalmente.

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5° LezionePagina 47

Meccanica delle macchineLa frizione

Velocità in transitorio

0

100

200

300

400

500

600

700

0 180 360 540 720 900 1080 1260 1440 1620 1800 1980 2160 2340 2520 2700 2880 3060 3240 3420 3600 3780 3960 4140 4320

[° telaio]

[rpm

]

Volano Telaio

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In figura è apprezzabile il sensibile effetto prodotta dalla presenza della frizione.

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5° LezionePagina 48

Meccanica delle macchineLa frizione

Velocità in transitorio

0

100

200

300

400

500

600

700

0 180 360 540 720 900 1080 1260 1440 1620 1800 1980 2160 2340 2520 2700 2880 3060 3240 3420 3600 3780 3960 4140 4320

[° telaio]

[rpm

]

Volano Telaio Senza frizione

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Tutti i risultati visti finora sono stati ottenuti mediante le semplici formule viste nel corso delle nostre lezioni. I diagrammi in figura ci permettono di confrontare i transitori prodotti da 2 diversi volani, in base ai nostri calcoli ed in base a rilievi sperimentali.Si può innanzitutto notare l’ottimo accordo teorico – sperimentale, ad ulteriore conferma della buona modellazione effettuata.Si nota altresì un ulteriore effetto del volano. Tanto minore è la sua inerzia e tanto più le prime battute sono inferiori alla velocità di regime.Questo contrasta in parte con quanto visto in sede di analisi del comportamento del volano. Avevamo visto infatti che tanto minore era la sua inerzia e tanto più veloce era il raggiungimento della velocità di regime, a prezzo di una maggior irregolarità periodica.In quel discorso non era però presente la frizione, introducendo la quale si ha un comportamento in transitorio profondamente diverso, come visto. In presenza della frizione, un volano a minore inerzia diminuisce più velocemente la propria velocità e raggiunge quindi più velocemente il sincronismo col telaio, che avviene quindi ad una velocità più bassa. Da quel punto in avanti si rientra nel campo del transitorio col solo volano ed infatti si vede che, pur partendo da una velocità minore (per la ragione appena detta), la velocità di regime viene raggiunta leggermente prima.

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5° LezionePagina 49

Meccanica delle macchineLa frizione

Transitorio telaio - 625 rpm -

0

100

200

300

400

500

600

700

0 360 720 1080 1440 1800 2160 2520 2880 3240 3600 3960 4320

[° telaio]

[rpm

]

J=0.8 misurataJ=0.8 calcolataJ=0.3 misurataJ = 0.3 calcolata

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Questo dettaglio del diagramma precedente ci conferma che la minor inerzia del volano viene pagata in termini di maggior irregolarità periodica.Potrebbe lasciar perplessi la minima differenza che si riscontra, riducendo di più della metà l’inerzia del volano.In effetti essa è solo una delle diverse inerzie volaniche presenti sul telaio (ruote dentate, dischi della frizione, alberi rotanti a velocità costante, pulegge ecc.), che per semplicità abbiamo trascurato nelle nostre analisi e che invece sono considerate in questi diagrammi.

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5° LezionePagina 50

Meccanica delle macchineLa frizione

Transitorio telaio - 625 rpm -

600

605

610

615

620

625

630

635

640

645

3600 3660 3720 3780 3840 3900 3960 4020 4080 4140 4200 4260 4320

[° telaio]

[rpm

]

J=0.8 misurataJ=0.8 calcolataJ=0.3 misurataJ = 0.3 calcolata

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Corso integrato di Meccanica tessile (modulo di Tessitura) – Ing. Matteo Mutti 5° lezione

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Abbiamo quindi visto il ruolo di ognuno dei componenti la trasmissione di potenza del telaio, che possiamo riassumere come di seguito:•Un motore asincrono trifase viene avviato e con esso un volano, cui è collegato mediante opportuna trasmissione. In questo momento il telaio è fermo;•Premendo lo start del telaio, viene innestata la frizione, in modo che l’energia accumulata dal volano, supportata da quella erogata dal motore, porti il telaio a regime con un transitorio d’avviamento molto breve;•Raggiunto il regime, il telaio, per effetto della variabilità del carico richiesto, pendola attorno alla velocità di regime, tanto più quanto minore è l’inerzia del volano.In estrema sintesi questa è la modalità di funzionamento di un telaio.

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Meccanica delle macchine

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TEMI D’ESAME

Data la curva caratteristica del motore e la coppia richiesta all’albero veloce ad una data velocità di riferimento ω0, calcolare e diagrammare, per diverse dimensioni di volano:

•La velocità del telaio;

•La coppia richiesta al motore.

I più volenterosi possono aggiungere la frizione.

Relazionare il metodo di calcolo e commentare i risultati ottenuti.

Per diverse geometrie (raggio di base, interasse, braccio del bilanciere, interasse fra i centri delle rotelle) tracciare:

•Il profilo principale e coniugato;

•Il diagramma dell’angolo di pressione.

La legge di moto è del tutto a piacere, ad esempio potrebbe essere:

Relazionare il metodo di calcolo e commentare i risultati ottenuti.

Per alcuni casi significativi tracciare:

•Il diagramma di spostamento, velocità e accelerazione;

•Il diagramma delle traiettorie delle 2 aste adiacenti al telaio;

•Il diagramma dell’angolo di trasmissione.

Per un quadrilatero manovella – bilanciere determinare la coppia sulla manovella, imposte inerzie a piacere.

Relazionare il metodo di calcolo e commentare i risultati ottenuti.

Calcolo del transitorio d’avviamento

Per gruppo da 5 persone

Tracciatura del profilo di una camma

Per gruppo da 4 persone

Risoluzione del quadrilatero articolato

Per gruppo da 5 persone

2)cos(1 απ ++

=y

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