UNIVERSITI PUTRA MALAYSIA

KAEDAH PENENTUAN SAIZ p−ADIC FUNGSI FAKTORIAL DAN APLIKASI DALAM PEMBINAAN POLIHEDRON NEWTON

RAFIKA BINTI ZULKAPLI

IPM 2010 10

KAEDAH PENENTUAN SAIZ p −ADIC FUNGSI FAKTORIAL DAN APLIKASI DALAM PEMBINAAN POLIHEDRON NEWTON

RAFIKA BINTI ZULKAPLI

MASTER SAINS UNIVERSITI PUTRA MALAYSIA

2010

KAEDAH PENENTUAN SAIZ p − ADIC FUNGSI FAKTORIAL DAN APLIKASI DALAM PEMBINAAN POLIHEDRON NEWTON

Oleh

RAFIKA BINTI ZULKAPLI

Tesis Yang Dikemukakan ke Sekolah Pengajian Siswazah, Universiti Putra Malaysia Sebagai Memenuhi Keperluan Untuk Ijazah Master Sains

Oktober 2010

Abstrak tesis yang dikemukakan kepada Senat Universiti Putra Malaysia sebagai memenuhi keperluan untuk ijazah Master Sains

KAEDAH PENENTUAN SAIZ p − ADIC FUNGSI FAKTORIAL DAN APLIKASI DALAM PEMBINAAN POLIHEDRON NEWTON

Oleh

RAFIKA BINTI ZULKAPLI

Oktober 2010

Pengerusi: Profesor Dato’ Hj. Kamel Ariffin bin Mohd Atan, PhD Institut: Institut Penyelidikan Matematik

Penyelidikan tentang saiz p − adic ini adalah berkaitan dengan penentuan anggaran

hasil tambah eksponen ( ) ( )mod

2; exp

x q

if xS f q

qπ⎛ ⎞

= ⎜⎝ ⎠

∑%

%

m set

⎟ yang telah ditunjukkan

oleh penyelidik terdahulu bersandar kepada kekardinalan | |V iaitu bilangan unsur

dala { }mod | 0x

V x q f= ≡ mod q dengan x

f polinomial terbitan separa f

terhadap ( )1 2, ,..., nx x x x= .

Bagi q pα= dengan p perdana dan 0α > , telah ditunjukkan bahawa bagi

polinomial dua pembolehubah berpekali integer ( ),f x y , nilai | adalah bersandar

pula kepada saiz

|V

p − adic punca-punca sepunya xf dan yf polinomial terbitan separa

( ),f x y dap terha x dan y . Saiz p − adic punca sepunya ini pula didapati

bergantung kepada saiz p − adic pekali-pekali dalam ( ),f x y .

ii

Tumpuan penyelidikan yang dijalankan adalah untuk membangunkan suatu kaedah

itlak bagi menentukan saiz p − adic bagi fungsi faktorial dengan p perdana. Kajian

ini dimulakan dengan menentukan saiz p − adic fungsi faktorial yang melibatkan

nombor perdana ,p q dan eksponennya. Berdasarkan keputusan yang diperolehi,

kami meneliti pula saiz p − adic bagi dengan diungkapkan sebagai penghuraian

kuasa perdana yang berbentuk

!n

1 2

1 2p

n

... k

kpn p αα α= dengan 0iα > bagi . 1, 2,...,i k=

Hasil kajian yang diperoleh adalah rumus saiz p − adic bagi !pα , !qα , ( )!p qα β

dengan p q≠ , , 0α β > dan ( )31 2

1 2 3 !p p pαα α dengan 1 2p p≠ , 2 3p p≠ dan 1 3p p≠

sedemikian hingga 3

32

1 2p p pαα< dengan 1 2 3 0, ,α α α > .

Kemudian dengan mengaplikasikan hasil terdahulu ini diperolehi pula rumus saiz

p − adic bagi dengan !n 31 2

1 2 3k

kn p p p pα αα α= K dan 0iα >

0p n

bagi yang

dibahagikan kepada 2 kes peringkat n iaitu iaitu or

1, 2,...,i k=

d = dan . Rumus

ini juga digunakan untuk memperincikan lagi hasil keputusan yang diberikan oleh

penyelidik terdahulu.

0pord n >

Hasil yang diperoleh ini kemudiannya digunakan untuk menentukan saiz p − adic

hasil tambah dan hasil darab faktorial dengan berdasarkan syarat-

syarat tertentu. Seterusnya, rumus saiz

!, !n r 0n r> >

p − adic bagi ini juga digunakan untuk

menentukan saiz

!n

p − adic fungsi faktorial yang lain seperti dengan nrP

iii

iv

( )!

!rnP

n r=

− dan dengan n

rC( )

!! !

nr

nCr n r

=−

n bagi kes dengan syarat-

syarat yang telah ditetapkan.

Keputusan penentuan saiz

0n r> >

p − adic bagi ini diap ikan untuk membina

gamb ron Ne

polinomial yang berbentuk

nrC

n

likas

wton yang disekutukan dengan suatu arajah Newton dan Polihed

( ) ( ) ( ), ,f x y ax x y= + + lby [ ],x y dalam Ζ dengan

me( )yx,l ( ),f x y kali integ berpenandakan bahagian linear er dalam ruang Euklidan

berdimensi-tiga.

Abstract of thesis presented to the Senate of Universiti Putra Malaysia in fulfilment of the requirement for the degree of Master of Science

A METHOD FOR DETERMINATION OF p − ADIC SIZES OF FACTORIAL FUNCTIONS AND ITS APPLICATION IN THE CONSTRUCTION OF A

NEWTON POLYHEDRON

By

RAFIKA BINTI ZULKAPLI

October 2010

Chair: Professor Dato’ Hj. Kamel Ariffin bin Mohd Atan, PhD Institute: Institute for Mathematical Research

The research on determination of p − adic sizes is in relation to the research on the

estimation of the exponential sum of the type ( ) ( )mod

2; exp

x q

if xS f q

qπ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑%

% . The

value of has been shown by earlier researchers to depend on the estimate of

the cardinality

( ;S f q)

V , the number of elements contained in the set

{ }mo 0 modV x q≡d |x

q f= where x

f is the partial derivative of f with respect to

( )1 2, ,..., nx x x x= .

For q pα= , where p is a prime and 0α > , it is shown that for any polynomial

with two variables of integer coefficient, the value of | can be derived from the |V

p − adic sizes of common zeros for xf and yf where the polynomials are the partial

v

derivatives of ( , )f x y with respect to x and y . The p − adic sizes of the common

zeros in turn depend on the p − adic sizes of the coefficients of ( ),f x y .

pIn this study we propose a method on determining the − adic sizes of factorial

functions where p is a prime. This research begins with investigating the p − adic

sizes of prime numbers ,p q and their factorials. Based on the results, we generalize

a method for determining the p − adic sizes of where can be written as prime

power decomposition with n p

!n n

1 2

1 2kp p... k

αα α= where 0 for . 1, 2,...,i k=>iα

p −Based on the results, we present the formulae for determining the sizes of !pα ,

!qα , ( ! ( )3

3 !p p pα) 1 2

1 2α αp qα β for 1 2p p≠p q , , 0 and where α β >≠ , 2 3p p≠ and

1 3p p≠ such that 3

32

1 2p p pαα and 1 2, , 0< 3α α α > .

p −By using the previous results, we determine the adic sizes of where !n

1 2

1 2 ...n p p k

kpαα α= for pd nor = 0 and . These results are also used to further

detail the results given by previous researchers.

0pord n >

p −By using the formulae, we present the method to detemine the adic sizes of the

sum and the product of the factorial where n r based on some conditions.

Then we determine the

!,n !r 0> >

p − adic sizes of where nrP

( )!

!n

n r−n

rP = and where nrC

( )!

! !rn

rnC

r n=

− for n r by using the formulae of the 0> > p − adic sizes of

based on some conditions.

!n

vi

The formulae for determining the p − adic sizes of will be applied for

constructing Newton diagram and Newton polyheron associated with a polynomial

nrC

( ) ( ) (, n ),f x y ax by x y= + + l where ( ),x yl is the linear part of ( , )f x y with

integer coefficients in three-dimensional Euclidean space.

vii

PENGHARGAAN

Dengan nama Allah Yang Maha Pengasih Lagi Maha Penyayang.

Sebagai pemula bicara, saya ingin memanjatkan rasa syukur yang tidak terhingga

dengan izin dan limpah kurniaNya saya berjaya menyempurnakan penulisan tesis ini.

Saya ingin merakamkan ucapan terima kasih yang tidak terhingga kepada Pengerusi

Jawatankuasa Penyeliaan iaitu Profesor Dato’ Dr Hj. Kamel Ariffin bin Mohd Atan

yang banyak membantu dengan penuh kesabaran dan tidak jemu memberi nasihat

dan bimbingan sepanjang pengajian dan sehingga tesis ini berjaya disiapkan.

Tidak dilupakan juga jutaan terima kasih kepada Dr. Siti Hasana binti Sapar diatas

segala nasihat, tunjukajar dan pandangan yang diberikan sepanjang pengajian

sehingga selesainya penulisan tesis ini.

Ucapan terima kasih ini juga didedikasikan khas buat emak, ayah dan adik-adik yang

banyak berkorban dan sentiasa memberi sokongan yang tidak berbelah bahagi

sehingga selesainya penulisan tesis ini. Buat teman-teman seperjuangan dan juga

mereka yang membantu saya sepanjang pengajian di Inspem, terima kasih atas segala

nasihat dan bantuan yang diberikan serta kesudian anda berkongsi pahit manis

sepanjang penulisan tesis ini.

viii

Saya mengesahkan bahawa satu Jawatankuasa Peperiksaan Tesis telah berjumpa pada 21 Oktober 2010 untuk menjalankan peperiksaan akhir bagi Rafika binti Zulkapli bagi menilai tesis beliau yang bertajuk “Kaedah Penentuan Saiz p −Adic Fungsi Faktorial dan Aplikasi dalam Pembinaan Polihedron Newton” mengikut Akta Universiti dan Kolej Universiti 1971 dan Perlembagaan Universiti Putra Malaysia [P.U.(A) 106] 15 Mac 1998. Jawatankuasa tersebut telah memperakukan bahawa calon ini layak dianugerahi ijazah Master Sains. Ahli Jawatankuasa Peperiksaan Tesis adalah seperti berikut: Mohd. Rizam Abu Bakar, PhD Profesor Madya Fakulti Sains Universiti Putra Malaysia (Pengerusi) Mohamad Rushdan Md. Said, PhD Profesor Madya Fakulti Sains Universiti Putra Malaysia (Pemeriksa Dalam) Mat Rofa Ismail, PhD Profesor Madya Fakulti Sains Universiti Putra Malaysia (Pemeriksa Dalam) Hailiza Kamarulhaili, PhD Pensyarah Universiti Sains Malaysia (Pemeriksa Luar) ___________________________ SHAMSUDDIN SULAIMAN, PhD Profesor dan Timbalan Dekan Sekolah Pengajian Siswazah Universiti Putra Malaysia Tarikh: 18 Januari 2011

ix

Tesis ini telah dikemukakan kepada Senat Universiti Putra Malaysia dan telah diterima sebagai memenuhi syarat keperluan untuk ijazah Master Sains. Ahli Jawatankuasa Penyeliaan adalah sepeti berikut: Kamel Ariffin bin Mohd Atan, PhD Profesor Insitut Penyelidikan Matematik Universiti Putra Malaysia (Pengerusi) Siti Hasana binti Sapar, PhD Fakulti Sains Universiti Putra Malaysia (Ahli) _______________________________ HASANAH MOHD GHAZALI, PhD Profesor dan Dekan Sekolah Pengajian Siswazah Universiti Putra Malaysia Tarikh:

x

PERAKUAN Saya memperakui bahawa tesis ini adalah hasil kerja saya yang asli melainkan petikan dan sedutan yang tiap-tiap satunya telah dijelaskan sumbernya. Saya juga memperakui bahawa tesis ini tidak pernah dimajukan sebelum ini, dan tidak dimajukan serentak dengan ini, untuk ijazah lain sama ada di Universiti Putra Malaysia atau di institusi lain. __________________________ RAFIKA BINTI ZULKAPLI Tarikh: 21 Oktober 2010

xi

SENARAI KANDUNGAN Muka surat ABSTRAK ii ABSTRACT v PENGHARGAAN viii LEMBARAN PENGESAHAN ix PERAKUAN xi SENARAI RAJAH xvi SENARAI SIMBOL DAN SINGKATAN xvii BAB 1 PENGENALAN 1 1.1 Pendahuluan 1 1.2 Takrifan dan Rumus 1 1.3 Objektif dan Pernyataan Masalah 2 1.4 Sorotan Literatur 1.5 Penyusunan Tesis

4 7

2 SAIZ p − ADIC !qα 11 2.1 Pengenalan 11 2.2 Penentuan saiz p − adic !pα 11

2.2.1 Bilangan faktor dalam !pα dengan saiz p − adic 12 tertentu

2.2.2 Saiz p − adic !pα 14 2.3 Bilangan integer dengan m 0≠mord p 16

2.4 Penentuan saiz p − adic !qα dengan p q≠ 17

2.4.1 Bilangan faktor dalam !qα dengan saiz p − adic 18 tertentu

2.4.2 Saiz p − adic !qα 20 2.5 Kesimpulan 22 3 SAIZ ADIC DAN p − q − ADIC ( )!p qα β 23

3.1 Pengenalan 23 3.2 Penentuan saiz p − adic ( )!p qα β 23

3.2.1 Saiz p − adic ( )!pq 24

3.2.2 Saiz p − adic ( )!p qα 26

3.2.3 Saiz p − adic ( )!p qα β 29

3.3 Penentuan saiz q − adic ( )!p qα β 32

3.3.1 Saiz adic q − ( )!pq 32

3.3.2 Saiz adic q − ( )!p qα 33

xii

3.3.3 Saiz adic q − ( )!p qα β 36

3.4 Kesimpulan 38 4 SAIZ p − ADIC ( 31 2

1 2 3 !p p pαα α ) 39

4.1 Pengenalan 39 4.2 Penentuan saiz 1p − adic ( )32

2 3 !p pαα dengan 1 2 3p p p≠ ≠ 39

4.2.1 Saiz 1p − adic ( )2 3 !p p dengan 321 ppp ≠≠ 40

4.2.2 Saiz 1p − adic ( )2

2 3 !p pα dengan 321 ppp ≠≠ 43

4.2.3 Saiz 1p − adic ( )32

2 3 !p pαα dengan 321 ppp ≠≠ 46

4.3 Penentuan saiz 1p -adic ( )31 2

1 2 3 !p p pαα α dengan 1 2 3p p p≠ ≠ 50

4.3.1 Saiz 1p − adic ( )1 2 3 !p p p dengan 321 ppp ≠≠ 50

4.3.2 Saiz 1p − adic ( )1

1 2 3 !p p pα dengan 321 ppp ≠≠ 52

4.3.3 Saiz 1p − adic ( )1 2

1 2 3 !p p pα α dengan 321 ppp ≠≠ 55

4.3.4 Saiz 1p − adic ( )31 2

1 2 3 !p p pαα α dengan 321 ppp ≠≠ 58

4.4 Kesimpulan 62 5 SAIZ p − ADIC !n 64

5.1 Pengenalan 64 5.2 Penentuan saiz p − adic dengan !n 0pord n = 64

5.3 Penentuan saiz p − adic dengan !n 0pord n > 68 5.4 Perbandingan dengan keputusan terdahulu 71 5.4.1 Rumus oleh Koblitz (1977) 72 5.4.2 Rumus oleh Yang Gao Chen dan Wei Liu (2007) 72 5.5 Kesimpulan 75 6 SAIZ p − ADIC HASIL TAMBAH DAN HASIL DARAB 76 FAKTORIAL 6.1 Pengenalan 76

6.2 Penentuan saiz p − adic hasil darab dan hasil tambah faktorial

76

6.3 Penentuan saiz p − adic ! !n r 79 6.3.1 Saiz p − adic dengan ! !n r 0pord n = dan 0pord r = 79

6.3.2 Saiz p − adic dengan ! !n r p pord n ord r α= = 81

6.3.3 Saiz p − adic dengan ! !n r 0pord n = dan 0pord r > 83

6.3.4 Saiz p − adic dengan dan ! !n r 0pord n > 0pord r = 85

6.3.5 Saiz p − adic dengan ord! !n r p pn ord r≠ 86 6.4 Kesimpulan 88

xiii

7 SAIZ ADIC DENGAN p − ( !n r− ) n r> 7.1 Pengenalan

88 88

7.2 Saiz p − adic ( )!n r− dengan 0pord n = dan 0pord r = 88

7.3 Saiz p − adic ( )!n r− dengan p pord n ord r α= = 92

7.4 Saiz p − adic ( )!n r− dengan 0pord n = dan 0pord r > 95

7.5 Saiz p − adic ( )!n r− dengan dan 0pord n > 0pord r = 99

7.6 Saiz p − adic ( )!n r− dengan 0 p pord n ord r< < 102

7.7 Saiz p − adic ( )!n r− dengan 0p pord n ord r> > 106

7.8 Kesimpulan 109 8 SAIZ p − ADIC FUNGSI FAKTORIAL 111 8.1 Pengenalan 111 8.2 Penentuan saiz p − adic n rP 111

8.2.1 Saiz p − adic n dengan rP 0pord n = dan 0pord r = 112

8.2.2 Saiz p − adic n dengan rP p pord n ord r α= = 113

8.2.3 Saiz p − adic n dengan rP 0pord n = dan 0pord r > 115

8.2.4 Saiz p − adic n dengan dan rP 0pord n > 0pord r = 117

8.2.5 Saiz p − adic n dengan 0rP p pord n ord r< < 118

8.2.6 Saiz p − adic n dengan rP 0p pord n ord r> > 120

8.3 Penentuan saiz p − adic n rC 122

8.3.1 Saiz p − adic n dengan rC 0pord n = dan 0pord r = 123

8.3.2 Saiz p − adic n dengan rC p pord n ord r α= = 125

8.3.3 Saiz p − adic n dengan rC 0pord n = dan 0pord r > 127

8.3.4 Saiz p − adic n dengan dan rC 0pord n > 0pord r = 129

8.3.5 Saiz p − adic n dengan 0rC p pord n ord r< < 131

8.3.6 Saiz p − adic n dengan rC 0p pord n ord r> > 133

8.4 Kesimpulan 135 9 PEMBINAAN POLIHEDRON NEWTON 136 9.1 Pengenalan 136 9.2 Gambarajah Newton 137 9.3 Polihedron Newton 140 9.4 Kesimpulan 144

xiv

xv

10 HASIL KAJIAN, KESIMPULAN DAN CADANGAN 145 10.1 Hasil kajian 145 10.2 Kesimpulan 153 10.3 Cadangan 155 SENARAI RUJUKAN 156 BIODATA PELAJAR 158 SENARAI PENERBITAN 159