UNIVERZA V LJUBLJANIPEDAGOŠKA FAKULTETA

TEJA KOPRIVNIKAR

MATEMATIČNO MODELIRANJE ZOMBIAPOKALIPSE

MAGISTRSKO DELO

LJUBLJANA, 2018

UNIVERZA V LJUBLJANIPEDAGOŠKA FAKULTETA

DRUGOSTOPENJSKI MAGISTRSKI ŠTUDIJSKI PROGRAM POUČEVANJEPREDMETNO POUČEVANJE FIZIKE IN MATEMATIKE

TEJA KOPRIVNIKAR

Mentor: IZR. PROF. DR. MARKO SLAPAR

Somentor: DR. TADEJ STARČIČ

MATEMATIČNO MODELIRANJE ZOMBIAPOKALIPSE

MAGISTRSKO DELO

LJUBLJANA, 2018

Zahvala

Posebna zahvala gre vam, profesor dr. Marko Slapar, za nesebično pomoč pri nastajanjutega dela. Hvala, ker ste v meni vzbudili zanimanje za tematiko, s katero se še nisemsrečala in je v meni vzbudila ogromno kreativnosti, ki je prej nisem poznala v povezavi zmatematiko. Ste mentor, ki bi si ga vsak lahko le želel. Imela sem srečo, da sem imelapriložnost delati z vami, saj ste bili vedno pripravljeni poslušati kakršnokoli mojo zombiidejo ter jo podkrepiti s svojimi strokovnimi nasveti. Iskreno se zahvaljujem tudi somen-torju dr. Tadeju Starčiču za pomoč, sodelovanje in strokovne komentarje ter nasvete pripregledu magistrskega dela.

Prijateljicama Tini in Ani stokrat hvala, ker sta prisluhnili mojemu neprestanemu razgla-bljanju o zombijih in ker sta znali moje misli preusmeriti tudi kam drugam. Hvala za vsevspodbudne besede.

Za vso podporo in ljubezen se najlepše zahvaljujem svojemu fantu Mitji. Hvala, ker sime vspodbujal in motiviral pri mojem delu ter z mano pogledal marsikateri zombi film.

Največja zahvala pa gre mojim staršem. Hvala, ker sta verjela vame, me podpirala inmi stala ob strani skozi celoten študij. Brez vaju ne bi bila tu, kjer sem. Neprecenljivo jezavedati se, da se lahko vedno obrneš po nasvet ali pogovor na ljudi, ki ti tega nikoli neodrečejo. Hvala vama.

Iskrena hvala tudi vsem ostalim, ki ste mi na kakršenkoli način stali ob strani tekompisanja magistrskega dela.

Povzetek

V magistrskem delu predstavimo in obravnavamo načine modeliranja epidemije zombi-jev. Apokalipso zombijev, ki so v populacijo prǐsli z izbruhom epidemije, modeliramo zuporabo predpostavk, osnovanih na znanih filmih o zombijih. Spoznamo osnovni modelza modeliranje napada zombijev, ga analiziramo in s tem določimo ravnovesna stanja innjihovo stabilnost. Nato model dopolnimo z vključevanjem latentne dobe zombifikacije,v kateri so ljudje okuženi, ne pa tudi kužni. V nadaljevanju model prilagodimo še z do-datkom karantene in pa vplivom cepiv na potek epidemije. Za modeliranje apokalipsezombijev v magistrskem delu spoznamo še nekaj drugačnih pristopov. Najprej modelosnujemo na podlagi Lotka-Volterra plen-plenilec modela in predstavimo ciklična nihanjaštevila posameznikov v populaciji ljudi in zombijev. Predstavimo še model, v kateremprivzamemo agresiven pristop človeške populacije v spopadu z epidemijo zombijev. Zanalizo modelov poskušamo odgovoriti na vprašanje kako se zombi epidemija lahko raz-plete in ali človeštvo v primeru takšne epidemije lahko preživi. Srečanja ljudi in zombijevv populaciji zapǐsemo tudi v analogiji s kemijskimi reakcijami in iz tega oblikujemo novmodel. Ob tem nas zanima, ali začetna velikost populacije vpliva na razplet epidemijein kakšnim pogojem mora zadoščati. Za konec predstavimo možno strategijo preživetjazombi epidemije, v kateri predlagamo model skupnosti. Srečanja ljudi in zombijev za ko-nec obravnavamo s pomočjo difuzije in poskušamo ugotoviti, koliko časa imamo na voljo,preden nas ujame zombi.

Ključne besede: Matematično modeliranje, diferencialne enačbe, zombiji, epidemiološkimodeli, širjenje nalezljivih bolezni, osnovni reprodukcijski faktor.

Abstract

In the thesis, we introduce and study different approaches of modelling zombie epide-mic. We model the apocalypse of zombies, who came into the population through anoutbreak of an epidemic, with the use of assumptions based on popular zombie movies.We introduce and analyse the basic zombie model, determine steady states of the mo-del and their stability. We expand our model by adding different compartments to themodel, such as state of latency, quarantine and vaccination. In the thesis we introducesome other approaches for modelling the apocalypse of zombies. We begin with a modelbased on Lotka-Volterra predator-prey model and illustrate the periodic oscillations of thenumber of zombies and humans in population. Furthermore, we consider more aggressiveapproach in facing the zombie threat and try to answer the question whether the huma-nity survives. We describe the interactions between populations using an analogy withchemical reactions. We formulate a new model and consider whether the size of initialpopulation affects the outcome of epidemic. As a strategy for surviving the zombie epide-mic we propose the model in which we build a community. At the end we use diffusion todescribe the movement of zombies and calculate how much time we have before gettingcaught by a zombie.

Key words: Mathematical modelling, differential equations, zombies, epidemic models,spread of infectious diseases, basic reproductive number.

Kazalo

1 Uvod 1

2 Stabilnost kritičnih točk avtonomnih sistemov 4

3 Standardni epidemiološki modeli 73.1 Model SIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.1.1 Analiza modela SIR – Ključne ugotovitve . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 Ostali epidemiološki modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2.1 Model SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2.2 Model SIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2.3 Model SIRS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2.4 Model SIR z upoštevanjem rojstev in smrti . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3 Next Generation Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3.1 Splošni epidemiološki model za heterogeno populacijo . . . . . . . . 153.3.2 Model SEIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3.3 Model SEIR z upoštevanjem rojstev in smrti . . . . . . . . . . . . . 18

4 Modeliranje zombi apokalipse 204.1 Model SZR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2 Model SIZR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.3 Model SIZRQ – Model s karanteno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.4 Model SIZR s cepivom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.5 Model Lotka - Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.6 Agresivni model I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.7 Agresivni model II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.8 Model interakcij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.9 Model skupnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5 Difuzijsko gibanje zombijev 505.1 Rešitev difuzijske enačbe – 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.2 Bežati pred zombiji ali jih upočasniti? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.3 Rešitev difuzijske enačbe – 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6 Zaključek 61

Viri in literatura 62

1 Uvod

Zombiji, znani kot opotekajoči se kanibalistični stvori, so zelo razširjeni v današnji popkulturi. So ponovno oživela človeška trupla, ki se hranijo z mesom živih ljudi. Poznamo jihiz zgodnjih klasičnih grozljivk, kot je Noč živih mrtvecev režiserja Georgeja Romera, kjerso predstavljeni kot počasni, neokretni živi mrtveci brez sposobnosti mǐsljenja. Poznamojih tudi iz kasneǰsih filmskih uspešnic, kot sta 28 dni kasneje in Zora živih mrtvecev, vkaterih so zombiji hitreǰsi, okretnejsi in inteligentneǰsi, kot tudi iz noveǰsih uspešnh serij,kot je Igra prestolov, kjer strašni White walkerji lahko obudijo mrtve. Vsem filmom pa jeskupno to, da zombiji prežijo na ljudi in jih vztrajno spreobračajo v sebi enake. In čepravnas filmi ves čas navdajajo s strahom, nam kljub temu vedno dajejo kanček upanja. Kajpa bi se zgodilo v primeru dejanske zombi epidemije? Bi svet, kot ga poznamo, preplavilikalibalistični stvori ali bi za človeštvo le obstajala rešitev? Širjenje epidemije zombijevlahko opǐsemo s pomočjo matematičnih modelov, ki jih zapǐsemo kot sistem diferencial-nih enačb. Proučevanje le-teh nam omogoča napovedovanje poteka epidemije in s temnapoved o tem, ali se bo zgodila epidemija apokaliptičnih razsežnosti ali ne. Ko se epi-demija zombijev začne, ni jasno, kako naj se preživela oseba oziroma skupnost spopade zgrožnjo. Katero strategijo preživetja naj izbere? Ali je bolje biti na begu ali se skrivati?Epidemiološki modeli nam bodo pomagali raziskati ta vprašanja.

Kaj so pravzaprav zombiji? Sama beseda zombie izvira iz verske religije Vudu. Verjeliso, da lahko čarodeji ponovno obudijo mrtvega človeka. Ti oživeli ljudje oziroma zombijiso bili nato pod popolno oblastjo čarodeja, brez zmožnosti lastne volje. Tudi kasneje, vsrednjem veku, so verjeli, da se lahko duša mrtveca vrne in preganja žive. Danes pa soza nas zombiji nekaj povsem drugega. So ponovno oživela človeška trupla, ki se hranijo zmesom živih ljudi. Kot že omenjeno jih poznamo iz filmov, kot sta Romerova Noč živihmrtvecev in Zora živih mrtvecev, serije Živi mrtveci, navsezadnje pa jih lahko srečamotudi v računalnǐskih igricah Dead Rising, Call of Duty: Infinite Warfare Zombies, Resi-dent Evil 4 ali romanih Pride and Prejudice and Zombies, World War Z in mnogo drugih.Ne glede na to za ogled katerega filma se odločimo, vedno ugotovimo, da vsakega zombijavodi želja po tem, da ujame človeka in ga ugrizne. Z ugrizom zombi človeka, ki je tudiedini vir zombijevske hrane, okuži in nanj prenese virus, ki povzroči, da se prej ali slejtudi okužen človek spreobrne v kanibalistični stvor, širi virus naprej ter s tem povzročasekundarne okužbe. [3, 8, 25]

Če bi v zgornjem odstavku zamenjali besedo zombi z nekim drugim organizmom, bi nasopisana situacija hitro spomnila na širjenje kakšne nalezljive bolezni. Še več, v naravi po-znamo kar nekaj parazitov, ki kakor zombiji v znanstvenofantastičnih filmih, prizadanejosvojega gostitelja. Pri tem je prizadet živčni sistem gostitelja, kar spremeni njegovo ve-denje. Medvrstnem odnosu dveh organizmov, kot sta parazit in njegov gostitelj, pravimoparazitizem ali zajedalstvo. Paraziti, ki vplivajo na vedenje gostitelja, so pravzaprav po-gosti v naravi. Obstajajo npr. paraziti, za katerega znastveniki menijo, da lahko vplivajotudi na človeka in sicer v tolikšni meri, da spremenijo njegovo vedenje. Omenimo najprejglive, ki zajedajo insekte, jih pri tem ubijejo ali resno onemogočijo. Glive iz rodu Ophi-ocordyceps fungus gostiteljice mravlje in okužene mravlje pripravijo do tega, da ǐsčejopopolno okolje za nadaljno rast glive. Na primer, gliva O. unilateralicis okuži mravljevrste Camponotus leonardi. Okužena mravlja spremeni svoje vedenje tako, da zapustisvojo skupino in začne iskati zatočǐsče na spodnji strani rastlinskega lista, kjer ima gliva

1

popolne razmere za rast. Na tem mestu mravlja zagrize v list in se postavi v tako imeno-vani mrtvi oprijem, v katerem počaka, dokler je gliva ne ubije. Znotraj mravlje zrastejocevaste glivične strukture oziroma hife, ki jo sčasoma prerastejo. Nato gliva raztrosi svojetrose na območje pod listom in tako pripravi pogoje za novega gostitelja, ki bo ponovilproces. S tem se gliva na račun gostiteljskih mravelj uspešno razmnožuje.Drug primer, kiga bomo omenili, je živa nit iz rodu Nematomorpha, ki živi tudi v Sloveniji. To je dolg intanek parazit, ki se še kot ličinka naseli v telesni votlini kobilic. Kar je zanimivo, je to, daparazit kobilico prisili, da skoči v vodo, kar je izredno nenavadno in nenormalno vedenjeza to žuželko. Navadno se kobilice izogibajo vode. Okužene kobilice skočijo v vodo in sehitro utopijo. V vodi se nato dolga živa nit splazi iz telesa gostitelja in nadaljuje svoježivljenje. Nikakor ne smemo pozabiti omeniti še enega zelo razširjenega parazita, ki jeprisoten tudi v človeški populaciji. To je Toxoplasma gondii, parazitska pražival, ki seuspešno razmnožuje v mačkah, okuži pa lahko tudi glodalce in ljudi. Vpliva na živčevjeokuženih glodalcev, da ti postanejo bolj verjeten plen mačk ali drugače povedano – ko sepodgana okuži, jo mačka lažje ujame. Parazit je bil najden tudi v ljudeh. Posamezniki,okuženi s tem parazitom, imajo počasneǰse reakcije, mačji urin pa jim ne smrdi, temvečjim celo dǐsi. [6, 15, 19, 21]

Tako glive kot žive niti in toxoplasma gondii si na tak način zagotovijo svoj obstanek.Na račun drugih povečujejo svojo populacijo. Ali se to veliko razlikuje od naše fiktivnezombi apokalipse? Resnično ali ne, zgornji primeri nam dajejo razloge, zakaj bi bilo zombiepidemijo vredno proučiti.

Magistrsko delo bomo začeli s teoretičnimi izhodǐsči o linearnih sistemih diferencialnihenačb, v katerih bomo opisali pomen ravnovesnih oziroma kritičnih točk, ter spoznali po-jem stabilnosti, asimptotične stabilnosti in nestabilnosti kritičnih točk. Predstavili bomopostopek, s katerim aproksimiramo nelinearen sistem diferencialnih enačb z linearnim sis-temom okoli kritične točke. Nelinearnemu sistemu, ki ga analitično ne znamo rešiti, spostopkom linearizacije priredimo linearen sistem, ki ga znamo rešiti.

Širjenje nalezljivih bolezni že znamo modelirati s pomočjo različnih matematičnih mo-delov. V tretjem poglavju bomo predstavili te standardne epidemiološke modele, ki nambodo služili kot osnova za modeliranje zombi epidemije. Med drugimi bomo spoznali mo-dele SIR, SIS in SIRS ter metodo za določanje osnovnega reprodukcijskega faktorja, kije najpomembneǰsi faktor v matematični epidemiologiji, saj nam pove, ali bo prǐslo doepidemije ali ne. Obravnava kompleksneǰsih epidemioloških modelov, kot je model SEIR,zahteva drugačne pristope, zato bomo v tem poglavju predstavili tudi postopek za izračunosnovnega reprodukcijskega faktorja takšnih modelov, in sicer preko matrike naslednjihgeneracij.

V naslednjem poglavju bomo na podlagi epidemioloških modelov, predstavljenih v pr-vem poglavju, predstavili osnovni model za proučevanje zombi epidemije, imenovan SZR,ki je tudi prvi model za proučevanje zombijev. V tem modelu populacijo razdelimo v trirazdelke S, Z in R, kjer nam razdelek S predstavlja število posameznikov, ki so dovzetniza okužbo z zombi virusom, razdelek Z predstavlja število zombijev v populaciji, razde-lek R pa število umrlih posameznikov. Hitrost prehoda posameznikov med posameznimirazdelki matematično izrazimo s časovnimi odvodi in naš model oblikujemo kot sistemdiferencialnih enačb. Model analiziramo in ugotavljamo, kakšna je usoda človeške popu-

2

lacije v primeru zombi epidemije. Osnovnemu modelu nato dodajamo nove razdelke inpri tem proučujemo, kako posamezne dopolnitve vplivajo na preživetje človeštva.

Kot osnovo za model bomo uporabili tudi Lotka-Volterrov plen-plenilec model in ga apli-cirali na našo zombi situacijo. Značilno za ta model je, da si obravnavano populacijopredstavljamo kot interakcijo dveh živalskih oziroma človeških vrst, pri čemer je ena iz-med vrst plenilec, druga pa plen. Ob tem modelu bomo prikazali tudi obstoj ciklov, kiso potrebni za preživetje človeške vrste v primeru zombi epidemije. Srečanje človeškepopulacije in zombijev bomo predstavili tudi kot analogijo s kemijskimi reakcijami in zanalizo le-teh poskušali ugotoviti, od česa je odvisno naše preživetje. Našo pozornostbomo usmerili tudi k specifikam napadov zombijev in tako predpostavili, da so zombijiuspešneǰsi kadar napadajo v skupini. Privzeli bomo, da dva ali več zombijev uspešno na-pade in premaga vse, razen dobro oboroženih ljudi, medtem ko je posamezen zombi ubit.Preverili bomo kakšno strategijo moramo ubrati, da si zagotovimo najbolǰse možnostiza preživetje. Za konec poglavja bomo predstavili načrt za preživetje, v katerem bomopreživele razdelili v skupine glede na to, kako pogumni so posamezniki, in dodali še nekajidej za nadaljnje modeliranje in s tem poskušali pokazati, kako zelo vsestransko je mate-matično modeliranje.

V primeru dejanske zombi apokalipse ne bi zapravljali časa za matematično modeliranje,ampak bi najverjetneje čim prej želeli ubežati pred kanibalističnimi stvori. Koliko časaimamo, preden nas zombiji dohitijo, bomo v petem poglavju raziskovali tudi s pomočjodifuzije. Poskušali bomo ugotoviti, koliko časa imamo preden nas ujame zombi. Epide-mijo bomo proučevali v eno- in dvodimenzionalnem sistemu in si pri analizi pomagali sFourierovimi vrstami.

Diagrami v magistrskem delu so narisani s pomočjo matematičnega programa Mathe-matica, ki uporablja numerične metode s približki za risanje diagramov.

3

2 STABILNOST KRITIČNIH TOČK AVTONOMNIH SISTEMOV

2 Stabilnost kritičnih točk avtonomnih sistemov

Preden nadaljujemo z obravnavo modela SIR je pomembno, da posvetimo nekaj pozornostinelinarnim avtonomnim sistemom dveh ali več diferencialnih enačb in njihovim rešitvamokrog ravnovesnih oziroma kritičnih točk. Povzeto po [1] in [24].

Avtonomni sistem diferencialnih enačb je sistem oblike:

dx1dt

= f1(x1, x2, . . . , xn),

dx2dt

= f2(x1, x2, . . . , xn), (1)

...

dxndt

= fn(x1, x2, . . . , xn).

Če označimo x = (x1.x2, . . . , xn) in f(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fn(x)), potem lahko zgornjisistem zapǐsemo v obliki:

ẋ = f(x). (2)

Za avtonomne sisteme oblike ẋ = f(x) velja, da točke (vkolikor obstajajo) za katere veljaf(x) = 0 imenujemo kritične točke avtonomnega sistema ẋ = f(x). Ker v teh točkahvelja ẋ = 0, te točke ustrezajo konstantnim oziroma ravnovesnim rešitvam avtonomnegasistema diferencialnih enačb. Ravnovesne rešitve so rešitve, za katere je x(t) konstanten.

Ravnovesne oziroma kritične točke delimo na stabilne in nestabilne. Med stabilnimiimamo še podrazred asimptotično stabilnih kritičnih točk. Kritična točka x0 sistemaẋ = f(x) je stabilna, če za poljuben � > 0 obstaja δ > 0, da za vsako rešitev x = φ(t)sistema, ki ob t = 0 zadostuje ||φ(0) − x0|| < δ, zadošča ||φ(t) − x0|| < � za vsak t ≥ 0.To pomeni, da je kritična točka stabilna v primeru, ko rešitve, katerih začetna vrednostje dovolj blizu točke x0 (znotraj razdalje δ), tudi ostanejo blizu točke x0 (znotraj razdalje�).

Definirajmo še asimptotsko stabilnost. Naj bo ẋ = f(x) sistem enačb. Pravimo, daje kritična točka x0 sistema asimptotsko stabilna, če obstaja δ > 0, tako da je za vsakorešitev sistema φ(t), za katero velja ||φ(0)− x0|| ≤ δ, limita limt→∞ φ(t) = x0.

Vsaka asimptotsko stabilna kritična točka je tudi stabilna, medtem ko obratno ne ve-lja. Če kritična točka ni stabilna, pravimo, da je nestabilna. Opomnimo, da je v primerulinearnega sistema s konstantnimi koeficienti ẋ = Ax, kjer je A matrika z neničelno de-terminatno, edina kritična točka x = 0. Po [18] navedimo izrek, ki nam pove nekaj ostabilnosti ravnovesnih točk linearnega sistema.

Izrek 1. Imejmo n× n linearni sistem ẋ = Ax, kjer je A matrika reda n× n, z lastnimivrednostmi λ1, . . . , λn.

• Če je Reλi < 0 za vse i ∈ {1, . . . , n}, potem je kritična točka sistema asimptotskostabilna.

4

2 STABILNOST KRITIČNIH TOČK AVTONOMNIH SISTEMOV

• Če ima matrika nekatere lastne vrednosti z realnim deli enakimi nič in imajo telastne vrednosti geometrijsko večkratnost enako algebrajični, ostale lastne vrednostipa imajo realni del manǰsi od nič, je kritična točka stabilna.

• Če ima vsaj ena lastna vrednost pozitivni realni del, je kritična točka sistema nesta-bilna.

Poglejmo, kako je v primeru nelinearnega avtonomnega sistema (1). Naj bo J Jakobijevamatrika funkcije f :

J =

∂f1∂x1

∂f1∂x2

· · · ∂f1∂xn

∂f2∂x1

∂f2∂x2

· · · ∂f2∂xn

......

. . ....

∂fn∂x1

∂fn∂x2

· · · ∂fn∂xn

Če je x0 kritična točka sistema, potem linearnemu sistemu u̇ = (J(x0))u, u = x − x0,rečemo linearizacija sistema v kritični točki x0. Če det(J) 6= 0, potem so vse lastne vre-dnosti matrike različne od nič in lahko sklepamo glede stabilnosti kritičnih točk.

Po [18] sledi, da je kritična točka x0 nelinearnega sistema asimptotsko stabilna, če jekritična točka x0 linearnega sistema ẋ = Jx asimptotsko stabilna in so realni deli lastnihvrednosti matrike J negativni. Rešitev x0 je asimptotsko nestabilna, če ima J vsaj enolastno vrednost s strogo pozitivnim realnim delom. Če imajo vse lastne vrednosti matrikeJ negativni realni del, vsaj ena lastna vrednost pa je čisto imaginarna, potem se na pod-lagi linearizacije ne moremo odločiti.

Poglejmo si primer 2 × 2 sistema. Avtonomni sistem dveh diferencialnih enačb je sis-tem oblike:

dx

dt= F (x, y), (3)

dy

dt= G(x, y).

Linearni sistem, ki aproksimira nelinearni sistem (3), je naslednji:

d

dt

(u1u2

)=

(Fx(x0, y0) Fy(x0, y0)Gx(x0, y0) Gy(x0, y0)

)(u1u2

), (4)

kjer je u1 = x− x0 in u2 = y − y0. Matrika

J =

[Fx FyGx Gy

]v enačbi (4) je Jakobijeva matrika J funkcij F in G. Predpostavimo, da je determinantamatrike J v kritični točki (x0, y0) različna od 0. Sledi, da je točka (x0, y0) kritična točkasistema (4). Več o dokazu zgornjih trditev v [1].

Naj bosta λ1 in λ2 lastni vrednosti linearnega sistema, ki ustreza nelinearenemu sis-temu. Spodnja Tabela 1 prikazuje (ne)stabilnost kritične točke (0, 0) takšnega linearnegain nelinearnega sistema. Iz tabele je razvidno, da je lokalno linearni sistem nestabilenv točki, kadar sta obe lastni vrednosti negativni, ter asimptotično stabilen, kadar sta

5

2 STABILNOST KRITIČNIH TOČK AVTONOMNIH SISTEMOV

λ1, λ2 Linearni sistem Nelinearni sistemλ1 > λ2 > 0 Nestabilna Nestabilnaλ1 < λ2 < 0 Asimptotično stabilna Asimptotično stabilnaλ1 < 0 < λ2 Nestabilna Nestabilnaλ1 = λ2 > 0 Nestabilna Nestabilnaλ1 = λ2 < 0 Asimptotično stabilna Asimptotično stabilnaλ1,2 = a± ib

a > 0 Nestabilna Nestabilnaa < 0 Asimptotično stabilna Asimptotično stabilna

λ1,2 = ±ib Stabilna Nedoločeno

Tabela 1: Stabilnost ravnovesne točke linearnega in lokalno linearnega sistema.

obe pozitivni. Glede na to, da bomo lastne vrednosti in njihovo stabilnost določali spomočjo matrike linearizacije, premislimo, kaj nam o lastnih vrednostih povesta sled indeterminanta matrike. Naj bo A poljubna 2× 2 matrika naslednje oblike

A =

[a bc d

].

Potem lastne vrednosti matrike izračunamo na naslednji način:

det (A− λI) = det[a− λ bc d− λ

]= (a− λ) · (d− λ)− bc= (λ2 − (a+ d)λ+ (ad− bc))= (λ2 − sled(A)λ+ det(A)).

V primeru, ko je sled matrike (člen a + d) pozitivna, ima vsaj ena lastna vrednost pozi-tiven realni del, iz česar sklepamo na nestabilno kritično točko. Ko je sled matrike (člena + d) negativna in determinanta (člen ad − bc) pozitivna, sta realna dela obeh lastnihvrednosti negativna, kar pomeni asimptotično stabilno kritično točko.

Če na kratko povzamemo, je linearizacija torej matematična tehnika, ki je pogosto upo-rabljena, da nam poenostavi analizo sistemov nelinearnih diferencialnih enačb. V okoliciravnovesnega stanja priredimo nelinearnemu sistemu linearen sistem, ki ga znamo rešitiin je dober približek. Analiza lokalne stabilnosti je pomembna, saj nam pove, ali se sistemgiblje proti stabilnemu ravnovesju (stabilna kritična točka) ali proč (nestabilna kritičnatočka) od njega.

6

3 STANDARDNI EPIDEMIOLOŠKI MODELI

3 Standardni epidemiološki modeli

Preden se lotimo matematičnega modeliranja zombi apokalipse, se spomnimo nekaj epide-mioloških matematičnih modelov. Eden najbolj znanih epidemioloških modelov je zago-tovo model SIR, ki sta ga leta 1927 predstavila matematika Anderson Gray McKendrick inWilliam Ogilvy Kermack. Model SIR je matematični model, ki nam omogoča proučevanješirjenja nalezljivih bolezni in v katerem populacijo razdelimo v tri razdelke, hitrost pre-hoda posameznikov med posameznimi razdelki pa matematično izrazimo s časovnimi od-vodi. Model SIR nato formuliramo kot sistem treh diferencialnih enačb. Da naredimomodel SIR bolj realističen, modelu dodajamo (ali odvzemamo) različne razdelke in s temustvarjamo nove modele. Model SIR in pa nekaj izmed njegovih variacij so predstavljeniv tem poglavju, ki je povzeto po [13].

3.1 Model SIR

V modelu SIR razdelimo populacijo v tri razdelke: S, I in R. Razdelek S predstavljaštevilo vseh dovzetnih oziroma sprejemljivih posameznikov, torej zdravih posameznikov,ki se lahko okužijo z boleznijo oziroma virusom. Razdelek I predstavlja število okuženihposameznikov, R pa število ozdravelih ljudi, ki po ozdravitvi pridobijo trajno imunost inse z virusom ne morejo več okužiti. V ta razdelek spadajo tudi vsi posamezniki, ki sobili bodisi cepljeni bodisi izolirani od okolice, in pa tudi tisti posamezniki, ki so zaradibolezni umrli. Dovzeten posameznik v razredu S se lahko okuži, če pride v kontakt zokuženim človekom in tako preide v razdelek I. Okuženi posamezniki, ki se pozdravijo(in pa tudi tisti, ki umrejo), preidejo v razdelek R. Model tako lahko predstavimo sspodnjim diagramom.

S I R

Diagram 1: Model SIR.

Kot omenjeno, se dovzetni posamezniki lahko okužijo in s tem preidejo v razdelek I,medtem ko okuženi posamezniki lahko ozdravijo ali umrejo in se pri tem premaknejo vrazdelek R. Število posameznikov v razdelkih se torej spreminja s časom. Razdelke številaposameznikov S, I in R si lahko predstavljamo kot funkcije časa: S(t), I(t), R(t). Spodnjidiferenciali predstavjajo, kako se število posameznikov v posameznih razdelkih spreminjas časom:

dS

dt= −βSI, (5)

dI

dt= βSI − γI, (6)

dR

dt= γI. (7)

Koeficient β predstavlja stopnjo okuženosti in nam pove, kako lahko oziroma hitro sebolezen ali virus prenese na človeka. Koeficient γ pa predstavlja stopnja okrevanja.

Predpostavke, na katerih je model SIR osnovan, so naslednje:

7

3.1 Model SIR 3 STANDARDNI EPIDEMIOLOŠKI MODELI

• Velikost populacije je fiksna – v času epidemije ni rojstev in smrti, razen smrti, kiso posledica bolezni. To pomeni, da ni vstopa ali izstopa iz populacije, razen mordazaradi smrti, ki jo je povzročila bolezen.

• Do okužbe pride takoj ob stiku, inkubacijsko dobo bolezni zanemarimo.

• Populacija je homogeno premešana, kar pomeni, da ima vsak človek enako verje-tnost, da pride v stik z vsakim drugim človekom. Vsak razdelek tudi sestavljajoenako zdravi oziroma bolni posamezniki.

• Hitrost prehoda posameznikov iz razdelka S je sorazmerna produktu števila posame-znikov v razdelku S in števila posameznikov v razdelku I, kar v modelu predstavljačlen βSI.

• Posamezniki iz razdelka I prehajajo v razdelek R s hitrostjo, ki je sorazmerna številuposameznikov v razdelku I, kar predstavlja člen γI.

Zgoraj zapisani sistem treh diferencialnih enačb (5), (6) in (7) je klasični Kermack-McKendrickov epidemiološki model. Prikažimo ga še z diagramom z vključenima koe-ficientoma β in γ:

S I Rβ γ

Diagram 2: Model SIR z dodanimi parametri.

Seštejmo vse tri diferencialne enačbe:

dS

dt+dI

dt+dR

dt= 0,

d(S + I +R)

dt= 0.

Z integracijo dobimo rezultat S(t) + I(t) + R(t) = C, kar je v skladu z našimi predpo-stavkami, da je velikost populacije konstantna. Velikost celotne populacije označimo z Nin zapǐsimo:

N = S + I +R.

3.1.1 Analiza modela SIR – Ključne ugotovitve

Skupino okuženih posameznikov pripeljemo v populacijo zdravih posameznikov, dovzetnihza to bolezen. Zanima nas, ali bo prǐslo do izbruha epidemije ali ne. Če želimo analiziratizgornji model je dovolj, da premislimo o nenegativnih rešitvah za S, I in R. Ob časut = 0 naj veljajo naslednji začetni pogoji: S(0) = S0 > 0, I(0) = I0 > 0, R(0) = R0 = 0in S0 + I0 = N. Ob vsakem času t velja S

′ < 0, saj se število posameznikov v razdelku Szmanǰsuje s časom. Število posameznikov v razdelku I pa s časom bodisi narašča bodisise zmanǰsuje v skladu z naslednjim izrazom:

I ′ = dI/dt = βSI − γI = (βS − γ)I.

Ker velja I(t) > 0 v vsakem trenutku, je pozitivna oziroma negativna vrednost I ′ odvisnazgolj od člena (βS − γ). Dokler S > γ/β, velja I ′ > 0 in število posameznikov v razdelkuI narašča. Ker se število S zmanšuje s časom, se posledično začne zmanǰsevati (in sesčasoma približa 0) tudi število okuženih I (I ′ < 0). To se zgodi, ko S ≤ γ/β. Velja torej:

8

3.1 Model SIR 3 STANDARDNI EPIDEMIOLOŠKI MODELI

• V primeru, ko je vrednost S0 < γ/β: ni epidemije.

• V primeru, ko je vrednost S0 > γ/β: epidemija.

Opazimo pojav praga v točki S0 = γ/β oziroma kvalitativno drugačno obnašanje/širjenjeinfekcije nad to vrednostjo in pod njo.

R0 ≡ βS0/γ. (8)

Osnovni reprodukcijski faktor R0 je definiran kot delež sekundarnih okužb glede na pri-marne okužbe. Zapǐsimo zgornje ugotovitve z uporabo (8):

• Če R0 < 1, ni epidemije – Vsak okuženi posameznik okuži manj kot enega dovze-tnega posameznika v populaciji.

• Če R0 > 1, je epidemija – Vsak okuženi posameznik okuži več kot enega dovzetnegaposameznika v populaciji.

• R0 = 1, kritična vrednost.

Na tem mestu navedimo še nekaj ugotovitev, povezanih s klasičnim modelom SIR. Dokazebomo izpustili in so predstavljeni v [13]. Naj bo limt→∞ S(t) = S∞ število neokuženihljudi ob koncu epidemije. Zveza med osnovnim reprodukcijskim faktorjem (8) in številomljudi, ki se z boleznijo med epidemijo ne okužijo, je naslednja:

lnS0S∞

=β

γ(N − S∞) oziroma ln

S0S∞

= R0[1− S∞

N

]. (9)

Opazimo, da je število ljudi, ki se z boleznijo okužijo, enako N − S∞. Število posamezni-kov v razdelku S se v neskončnosti približuje neki končni vrednosti A, ki je nenegativna,število okuženih po dolgem času pa se približuje številu 0. Epidemija torej ne zamrezaradi pomanjkanja dovzetnih posameznikov, ampak zaradi pomanjkanja okuženih posa-meznikov.

Navedimo še implicitno povezavo med številom zdravih in številom okuženih posame-znikov v populaciji:

I(t) + S(t)− γβ

lnS(t) = N − γβ

lnS0.

Omenimo še, da je v splošnem težko določiti vrednosti S0 in S∞.

9

3.2 Ostali epidemiološki modeli 3 STANDARDNI EPIDEMIOLOŠKI MODELI

3.2 Ostali epidemiološki modeli

V nadaljevanju bomo predstavili še nekaj standardnih epidemioloških modelov, in sicermodel SI, model SIS, model SIRS in model SEIR. Pri modeliranju le-teh upoštevamoenake predpostavke kot pri modelu SIR.

3.2.1 Model SI

Model SI je model, v katerem je dana populacija razdeljena v samo dva razdelka, in sicerna razdelek posameznikov, ki so dovzetni za okužbo S, in na razdelek okuženih posame-znikov I. Tokrat nimamo razdelka imunih (R = 0) in ozdravljenih (γ = 0). Obravnava jepovzeta po [13].

Model SI predstavimo s spodnjim diagramom.

S Iβ

Diagram 3: Model SI.

Zapis modela SI s sistemom diferencialnih enačb je naslednji:

dS

dt= −βSI,

dI

dt= βSI.

Ravnovesne točke, so točke v katerih velja S ′ = 0 in I ′ = 0, iz česar sledi bodisi I = 0ali S = 0. V primeru, ko je I = 0, torej ko ni okuženih, dobimo S = N in ravnovesnostanje zapǐsemo kot (S, I) = (N, 0), pri čemer je N velikost celotne populaciije. To rav-novesno stanje je nestabilno, saj majhna sprememba v populaciji I povzroči, da se močnooddaljimo od tega ravnovesnega stanja. Namreč v primeru, ko I ni enak 0, gre funkcija I ′

proti neskončnosti oziroma po dolgem času velja limt→∞ I(t) = N . Ko imamo v populacijivsaj enega okuženega, se torej sčasoma okuži celotna populacija, to ravnovesno stanje pazapǐsemo kot (S,I),=(0,N).

Poǐsčimo ravnovesna stanja še na drugačen način. Ker je populacija fiksne velikosti, veljaN = S + I. Dobljeni sistem dveh diferencialnih enačb s pomočjo S = N − I zreduciramona eno diferencialno enačbo. Dobimo

I ′ = β(N − I)I oziroma I ′ = βN

(1− IN

)I.

Dobimo diferencialno enačbo, ki ji rečemo logistična enačba in jo v splošnem zapǐsemo nanaslednji način:

dy

dt= r(1− y

K)y. (10)

Rešitvi y = 0 in y = K imenujemo ravnotežni rešitvi enačbe (10). Točki y = K pravimotudi asimptotično stabilno ravnovesje ali kritična točka. V našem primeru je to ravnorešitev I = N , katero smo dobili tudi zgoraj in za katero smo sedaj ugotovili, da jestabilna ravnovesna točka.

10

3.2 Ostali epidemiološki modeli 3 STANDARDNI EPIDEMIOLOŠKI MODELI

3.2.2 Model SIS

Model SIS je model, ki je zelo podoben modelu SIR, le da tokrat model ne zagotavljatrajne imunosti. Okuženi posamezniki se takoj po ozdravitvi vrnejo v razdelek dovzetnihposameznikov S. Če model primerjamo z modelom SIR, je bistvena razlika v tem, daimamo pri modelu SIS neprenehen tok posameznikov v razdelek S, in sicer na račun oz-dravljenih okuženih. Podpoglavje je povzeto po [13].

Model prikažemo s spodnjim diagramom:

S Iβ

γ

Diagram 4: Model SIS.

Zapǐsimo model s sistemom diferencialnih enačb. Faktor β je stopnja okuženosti, faktorγ pa predstavlja faktor ozdravitve.

dS

dt= −βSI + γI,

dI

dt= βSI − γI.

Velikost populacije N = S+I je fiksna. Tako kot v primeru modela SIR lahko namreč obeenačbi seštejemo, dobljeno diferencialno enačbo integriramo in dobimo S + I = const. =N . Tako kot pri obravnavi modela SIR lahko tudi v tem primeru iz druge enačbe modelasklepamo, da je osnovni reprodukcijski faktor enak R0 = βS0/γ.Velja naslednje:

• Če N − γ/β > 0 oziroma R0 > 1 – epidemija. Funkcija I se približuje vrednostiN − γ/β.

• Če N − γ/β < 0 oziroma R0 < 1 – ni epidemije. Funkcija I se v neskončnostipribližuje limiti 0.

Dobljeni sistem dveh diferencialnih enačb lahko s pomočjo S = N−I zreduciramo na enodiferencialno enačbo. Dobimo

I ′ = (βN − γ)I(1− IN − γ

β

).

Tako kot v primeru modela SI smo tudi tokrat dobili logistično enačbo. Rešitvi enačbesta I = 0 in N − γ/β, kar lahko zapǐsemo kot naslednji ravnovesni stanji:

• (S1, I1) = (N, 0),

• (S2, I2) = (γ/β,N − γ/β).

Prvo ravnovesno stanje je nestabilno, drugo pa stabilno.

11

3.2 Ostali epidemiološki modeli 3 STANDARDNI EPIDEMIOLOŠKI MODELI

3.2.3 Model SIRS

Model SIR z upoštevanjem začasne imunosti preoblikujemo v model SIRS. V tem modeludodamo prehod posameznikov iz razdelka R v razdelek S in hitrost prehoda označimo zνR, kjer je ν faktor izgube imunosti. Kot v ostalih modelih, tudi tu predpostavimo, daje epidemija kratkotrajna, zato ne upoštevamo dinamike populacije. Obravnava modelaje povzeta po [13].

Model predstavimo s spodnjim diagramom in ga zapǐsimo kot sistem diferencialnih enačb.

S I Rβ γ

ν

Diagram 5: Model SIRS.

Pripadajoč sistem diferencialnih enačb:

dS

dt= −βSI + νR,

dI

dt= βSI − γI,

dR

dt= γI − νR.

Nadomestimo R = N − S − I in iz sistema treh enačb dobimo sistem dveh diferencialnihenačb:

dS

dt= −βSI + ν(N − S − I),

dI

dt= βSI − γI. (11)

Iz enačbe (11) dobimo osnovni reprodukcijski faktor, ki je enak R0 = βS0/γ. Za R0 < 1velja, da v primeru, ko v populacijo vpeljemo nekaj okuženih posameznikov, bo številoteh takoj začelo upadati, v nasprotnem pa se bo takoj začelo povečevati.

Z analizo modela dobimo dve ravnovesni stanji sistema, in sicer:

1. (S1, I1, R1) = (N, 0, 0),

2. (S2, I2, R2) = (γβ, νN−(γ/β)

γ+ν, N − γ

β− νN−(γ/β)

γ+ν).

Prepričamo se, da dobljene rešitve ustrezajo tudi tretji diferencialni enačbi modela. Za na-povedovanje širjenja epidemije si po 2 pomagamo z matriko linearizacije oziroma matrikoodvodov. Označimo jo z J in jo zapǐsemo:

J =

[∂S/∂S ∂S/∂I∂I/∂S ∂I/∂I

]=

[−(βI + ν) −(βS + ν)

βI βS − γ

]. (12)

Za prvo ravnovesno stanje (S1, I1, R1) = (N, 0, 0) dobimo naslednjo matriko:

J1 =

[−ν −(βN + ν)0 βN − γ

].

12

3.2 Ostali epidemiološki modeli 3 STANDARDNI EPIDEMIOLOŠKI MODELI

Ko je βS0 − γ < 0 oziroma R0 < 1, ima matrika negativno sled (vsota lastnih vrednostije negativna) in pozitivno determinanto (produkt lastnih vrednost je pozitiven). Ravno-vesno stanje je torej stabilno, kadar bo R0 < 1, in nestabilno, kadar R0 > 1.

V ravnovesnem stanju (S2, I2, R2) = (γβ, νN−(γ/β)

γ+ν, N − γ

β− νN−(γ/β)

γ+ν) dobimo naslednjo

matriko: [−ν(βN+ν)

ν+γ−(γ + ν)

ν(βN−γ)γ+ν

0

].

Dobljena matrika ima vedno negativno sled in pozitivno determinanto. Lastne vrednostimatrike so negativne, kar pomeni, da je stanje (S2, I2, R2) vedno stabilno.

Premislimo še, ali sta ravnovesni stanji dejansko možni. Za vsa ravnovesna stanja mora vvsakem trenutku veljati S, I, R > 0. Za prvo stanje to očitno velja, medtem ko za drugovelja, samo ko velja:

N > γ/β oziromaNβ

γ> 1.

Če upoštevamo N ≈ S0, dobimoR0 > 1.

Ravnovesna točka, v kateri ni epidemije, je stabilna, kadar je osnovni reprodukcijski faktormanǰsi od 1, ravnovesje, v katerem je prisotna okužba, pa je vedno stabilno, vendar jemožno samo, kadar je osnovni repodukcijski faktor večji od 1.

3.2.4 Model SIR z upoštevanjem rojstev in smrti

Pri modelu SIR, obravnavanem v preǰsnjem poglavju, smo zanemarili rojstva in smrti,saj je dinamika večine epidemij veliko hitreǰsa od dinamike rojstev in smrti. Kadar paproučujemo širjenje endemskih bolezni, ki trajajo dalǰse časovno obdobje, vpliva rojstev insmrti ne moremo zanemariti. Pri naslednji analizi modela SIR bomo torej poleg preǰsnjihpredpostavk upoštevali še rojstva in smrti v populaciji. Več o tem si lahko bralec preberev [4] in [13].

Naj bo b stopnja rojevanja in c stopnja umrljivosti. Stopnja umrljivosti se nanaša zgolj nasmrti, ki so nepovezane z endemijo. Definirajmo še stopnjo umrljivosti zaradi bolezni injo označimo z e. Predstavimo naš model SIR z upoštevanjem rojstev in smrti s spodnjimdiagramom:

S I Rb β γ

c c c

e

Diagram 6: Model SIR z upoštevanjem rojstev in smrti.

in ga zapǐsimo s sistemom diferencialnih enačb:

13

3.3 Next Generation Method 3 STANDARDNI EPIDEMIOLOŠKI MODELI

dS

dt= −βSI + bN − cS,

dI

dt= βSI − (γ + c+ e)I, (13)

dR

dt= γI − cR.

Označimo N = S+I+R, vendar v tem primeru N ni nujno konstanta. Velikost populacijese namreč spreminja kot

dN/dt = (b− c)N − eI.Zanima nas, kdaj bo bolezen prerasla v endemijo oziroma postala endemična. To se bozgodilo, če I ′ ostane nenegativen, torej

βSI − (γ + c+ e)I ≥ 0oziroma

βS

γ + c+ e≥ 1. (14)

Da bo bolezen prerasla v endemijo, mora biti v populaciji stalni dotok novorojenčkov ozi-roma posameznikov, dovzetnih za okužbo. Poudarimo, da za model SIR z upoštevanjemrojstev in smrti ugotovitve, naštete ob koncu tretjega poglavja, ne veljajo v celoti, saj sopripadajoče diferencialne enačbe drugačne, s tem pa tudi drugačen R0.

Kolikšen je torej osnovni reprodukcijski faktor v tem primeru? Poǐsčimo ravnovesnetočke oziroma stanja, v katerih velja, da so časovni odvodi enaki 0. Enačimo (13) z 0in ugotovimo, da mora enačba zadoščati bodisi I = 0 bodisi βS − γ − c − e = 0. Hitrougotovimo, da je prvo ravnovesno stanje brez epidemije enako (S, I, R) = (S0, 0, 0), kjerje S0 = bN/c. Iz drugega pogoja pa razberemo naš osnovni reprodukcijski faktor, ki jetorej enak:

R0 =βS0

γ + c+ e.

Za R0 > 1 velja, da bolezen preraste v epidemijo (oziroma v našem primeru v endemijo).Opazimo, da smo s tem postopkom prǐsli do podobnih zaključkov kot s premislekom pri(14).

3.3 Next Generation Method

Preǰsnji modeli so bili dokaj preprosti za obravnavo stabilnih točk, pri bolj zapletenihmodelih pa si lahko za napovedovanje širjenja epidemije pomagamo s posebno metodo,ki sta jo leta 2002 predstavila matematika van der Driessche in Watmough. Imenuje semetoda naslednje generacije oziroma po angleško Next Generation Method. Z njo lahkona bolj enostaven način izračunamo osnovni reprodukcijski faktor R0, ki je ključen faktorpri napovedovanju širjenja epidemij. Ta metoda je primerna za modele, v katerih imamodva ali več razdelkov okuženih posameznikov, kakor je to v primeru modela SEIR, ki gabomo omenili v nadaljevanju in v katerem imamo okužene posameznike tako v razdelkuE kot tudi v razdelku I. Podpoglavje je povzeto po [14] in [28].

14

3.3 Next Generation Method 3 STANDARDNI EPIDEMIOLOŠKI MODELI

3.3.1 Splošni epidemiološki model za heterogeno populacijo

Z naslednjim modelom bomo proučevail heterogeno populacijo, ki jo lahko razdelimo vhomogene razdelke znotraj populacije. Razdelki so takšni, da se posamezniki znotrajrazdelkov med seboj ne razlikujejo. Naj bo vektor x = (x1, ..., xn)

t, kjer je xi ≥ 0število posameznikov v posameznem razdelku. V modelu ločimo razdelke, ki predsta-vljajo okužene posameznike, in razdelke neokuženih posameznikov. Pravilna določitevomenjenih razdelkov je pomembna, saj je osnovni reprodukcijski faktor odvisen predvsemod določitve okuženih in neokuženih razdelkov. Dogovorimo se, da je prvih m razdelkovtistih, v katerih so okuženi posamezniki. Naj bo XS množica vseh ravnovesnih stanj brezbolezni. Dogovorimo se, da stanja brez bolezni oziroma disease free equilibriums od tunaprej označujemo s kratico DFE. Zapǐsimo:

XS ={x ≥ 0|xi = 0, i = 1, ...m

}.

Za izračun osnovnega reprodukcijskega faktorja so ključne predvsem nove okužbe v po-pulaciji, zato je pomembno, da razlikujemo med novimi okužbami in vsemi ostalimi spre-membami v populaciji. Naj bo Fi(x) stopnja pojavljanja novih okužb v razdelku i, V+i (x)stopnja prenosa posameznikov v razdelek i zaradi drugih dejavnikov in V−i (x) stopnja pre-nosa posameznikov iz razdelka i. Predpostavimo, da je vsaka izmed treh funkcij, Fi(x),V+i (x) in V−i (x), vsaj dvakrat zvezno odvedljiva glede na vsako spremenljivko. Modelvsebuje nenegativne začetne pogoje skupaj z naslednjim sistemom enačb:

ẋi = fi(x) = Fi(x)− Vi, i = 1, ..., n, (15)

kjer je Vi = V−i − V+i .

Funkcije morajo zadoščati tudi spodnjim predpostavkam:

• Vse funkcije so nenegativne, saj predstavljajo prenos posameznikov:

Če x ≥ 0, potem Fi(x),V+i ,V−i ≥ 0.

• V primeru, da je razdelek prazen, iz njega ni možen prenos posameznikov:

Če xi = 0, potem V−i = 0. (Oziroma če x ∈ XS, potem V−i = 0 za i = 1, ...,m.)

• Stopnja okuženosti neokuženih razdelkov je 0.

Če i > m, potem Fi(x) = 0.

• V primeru, ko v populaciji ni bolezni, ostane celotna populacija neokužena oziromav to populacijo ne vstopajo okuženi posamezniki:

Če x ∈ XS, potem Fi(x) = 0 in V+i = 0 za i = 1, ...,m.

Predpostavili bomo, da je DFE v (15) lokalna asimptotično stabilna rešitev stanjabrez bolezni. Če populacija ostane blizu DFE (v populacijo vpeljemo nekaj okuženihposameznikov in to ne vodi v epidemijo), potem se populacija vrne k DFE ponaslednjem sistemu:

ẋ = Df(x0)(x− x0), (16)kjer je Df(x0) matrika parcialnih odvodov

∂fi∂xj

v točki DFE, x0 (Jakobijeve matrike).

15

3.3 Next Generation Method 3 STANDARDNI EPIDEMIOLOŠKI MODELI

• Predopostavimo, da je stanje DFE stabilno v odsotnosti okužbe. Po [28] sledi:

Če F(x) = 0, potem imajo vse lastne vrednosti matrike Df(x0) negativen realnidel.

Lema. Naj bo x0 ravnovesno stanje brez bolezni in naj fi(x) zadostuje vsem zgornjimpredpostavkam. Potem sta matriki odvodov DF(x0) in DV(x0) naslednji obliki:

DF(x0) =[F 00 0

]in DV(x0) =

[V 0J3 J4

],

kjer sta F in V n× n matriki definirani kot:

F =[∂Fi(x0)∂xj

]in V =

[∂Vix0∂xj

],

kjer je 1 ≤ i in j ≤ m. Matrika F je nenegativna, V nesingularna M -matrika, vse lastnevrednosti matrike J4 imajo pozitivni realni del, J3 pa je neka matrika. Dokaz leme spu-stimo in si ga bralec lahko pogleda v viru [28].

Splošen R0 je definiran kot število novih oziroma sekundarnih okužb, ki jih povzročiokužen posameznik v dovzetni populaciji. Da določimo usodo okuženega posameznika,ki ga vpeljemo v populacijo, proučimo dinamiko linealiziranega sistema (16) (ponovneokužbe ne upoštevamo). Dobimo naslednji sistem:

ẋ = f(x) = Fi(x0)− Vi(x0) = −Vi(x0) = −DF(x0)(x− x0).

Po zadnji predpostavki je DFE tega sistema asimptotično stabilno stanje.

Brez dokaza navedimo naslednji izrek po [28].

Izrek 2. Imenujmo matriko FV −1 matriko naslednje generacije. Osnovni reprodukcijskifaktor je tedaj določen kot spektralni radij matrike FV −1:

R0 = φ(FV−1),

kjer je φ(FV −1) spektralni radij1 matrike FV −1.

1Spektralni radij matrike A je enak absolutno največji lastni vrednosti matrike A. [10]

16

3.3 Next Generation Method 3 STANDARDNI EPIDEMIOLOŠKI MODELI

3.3.2 Model SEIR

V model SIR vključimo latentno stanje posameznikov populacije, to je stanje,v kateremso posamezniki že okuženi, vendar še niso kužni za okolico. Razdelek označimo z E.Posamezniki iz tega razdelka prehajajo v razdelek okuženih s faktorjem κ. Prehajanjeposameznikov med posameznimi razdelki ponazorimo s spodnjim diagramom. Obravnavaje povzeta po [4].

S E I Rβ κ α

Diagram 7: Model SEIR.

Pripadajoči sistem diferencialnih enačb je naslednji:

dS

dt= −βSI,

dE

dt= βSI − κE,

dI

dt= κE − αI,

dR

dt= αI.

S pomočjo metode naslednjih generacij, ugotovimo kolikšen je osnovni reprodukcijski fak-tor za model SEIR. Ravnovesno stanje brez bolezni je torej (S,E, I, R) = (N, 0, 0, 0). Vdanem modelu SEIR imamo dva razreda okužene populacije, to sta E in I. Naj bo E prvirazdelek okužene populacije in I drugi razdelek. Matrika novih okužb F je naslednja:

F =[F1F2

]=

[βSI

0

].

Zapǐsemo matriko parcialnih odvodov F :

F =

[∂F1/∂E ∂F1/∂I∂F2/∂E ∂F2/∂I

]=

[0 βS0 0

].

V zgornjo matriko vstavimo ravnovesno stanje brez bolezni, to je (S,E, I, R) = (N, 0, 0, 0),in dobimo:

F =

[0 βN0 0

].

Zapǐsimo še matriko V :

V =[

κEαI − κE

]in pa matriko odvodov V :

V =

[∂V1/∂E ∂V1/∂I∂V2/∂E ∂V2/∂I

]=

[κ 0−κ α

].

Izračunamo inverzno matriko:

V −1 =1

κα

[α 0κ κ

]17

3.3 Next Generation Method 3 STANDARDNI EPIDEMIOLOŠKI MODELI

in zmnožimo matriki FV −1:

FV −1 =1

κα

[0 βN0 0

]·[α 0κ κ

]=

1

κα

[βNκ βNκ

0 0

].

Osnovni reprodukcijski faktor je po Izreku 2 enak največji lastni vrednosti matrike FV −1,kar je

R0 =κβN

κα=βN

α.

3.3.3 Model SEIR z upoštevanjem rojstev in smrti

Upoštevajmo vpliv rojstev in smrti na modelu SEIR in izračunajmo osnovni reproduk-cijski faktor. Konstanta e predstavlja stopnjo umrljivosti zaradi bolezni, f pa stopnjoprehoda posameznikov iz razdelka E v razdelek R, torej prehod tistih, ki ozdravijo, pre-den postanejo kužni. Povzeto po [13].

Predstavimo model z diagramom in zapǐsimo sistem enačb:

S E I Rb β κ α

c c c c

e e

f

Diagram 8: Model SEIR z upoštevanjem rojstev in smrti.

dS

dt= −βSI + bN − cS,

dE

dt= βSI − (c+ κ+ e− f)E,

dI

dt= κE − (c+ e+ α)I,

dR

dt= αI − cR + fE.

Ravnovesno stanje brez epidemije z rešitvijo E = I = 0 zapǐsemo kot (S,E, I, R) =(N, 0, 0, 0), kjer je N velikost celotne populacije. Pri modelu SEIR imamo dva razdelkaokužene populacije, E in I. Za prvi razdelek okuženih E je F1 = βSI, za drugi razdelekI pa je F2 = 0. Sledi:

F =[βSI

0

],

matrika parcialnih odvodov F , izračunana v ravnovesnem stanju pa :

F =

[∂F1/∂E ∂F1/∂I∂F2/∂E ∂F2/∂I

]=

[0 βN0 0

].

18

3.3 Next Generation Method 3 STANDARDNI EPIDEMIOLOŠKI MODELI

Zapǐsimo še V . Vrednost V1 = (c+ e+ κ+ f)E, V2 = −κE + (c+ e+ α)I, torej:

V =[

(c+ e+ κ+ f)E−κE + (c+ e+ α)I

].

Matrika V pa je:

V =

[∂V1/∂E ∂V1/∂I∂V2/∂E ∂V2/∂I

]=

[c+ e+ κ+ f 0

−κ c+ e+ α

].

Izračunamo inverzno matriko:

V −1 =1

(c+ e+ κ+ f)(c+ e+ α)

[c+ e+ α + f 0

+κ c+ e+ κ+ f

].

Zmnožimo matriki FV −1:

FV −1 =1

(c+ e+ κ+ f)(c+ e+ α)

[0 βN0 0

]·[c+ e+ α + f 0

+κ c+ e+ κ+ f

]=

1

(c+ e+ κ+ f)(c+ e+ α)

[βNκ βNκ(c+ e+ κ+ f)

0 0

]Osnovni reprodukcijski faktor je definiran kot spektralni radij matrike FV −1. Sledi:

R0 =κβN

(c+ e+ κ+ f)(c+ e+ α).

Rešitev lahko poenostavimo, če upoštevamo, da je e = 0 (ni smrti zaradi bolezni) in f = 0(ni ozdravitve v inkubacijski dobi). Dobimo:

R0 =κβN

(c+ κ)(c+ α).

V primeru, ko je R0 < 1, do izbruha epidemije v populaciji ne bo prǐslo. Za začetnovelikost populacije mora takrat veljati:

N <(c+ κ)(c+ α)

κβ.

19

4 MODELIRANJE ZOMBI APOKALIPSE

4 Matematično modeliranje širjenja zombi epidemije

Kadar govorimo o zombi epidemiji, pravzaprav govorimo o zombijih, ki preko stika z ljudmiprenašajo nalezljiv virus. Takšne vrste epidemijo si lahko pravzaprav predstavljamo kotprenašanje običajne nalezljive bolezni, le da se v našem primeru okužba prenaša tako, dazombi ugrizne posameznika, dovzetnega za okužbo. Zaradi tega lahko apokalipso zombijevmodeliramo podobno, kot znamo modelirati širjenje nalezljivih bolezni.

4.1 Model SZR

Nalezljive bolezni obravnavamo z modelom širjenja nalezljivih bolezni SIR, ki smo gapredstavili v preǰsnjem poglavju. V modelu SIR torej populacijo razdelimo v več razdel-kov, hitrost prehoda posameznikov med posameznimi razdelki pa matematično izrazimos časovnimi odvodi. Model SIR nato formuliramo kot sistem treh diferencialnih enačb.Podobno lahko v primeru zombijev populacijo razdelimo v tri razdelke, in sicer S, Z inR. Razdelek S predstavlja število posameznikov, ki so dovzetni za okužbo z virusomoz. boleznijo. Razdelek Z predstavlja število zombijev, torej tistih posameznikov, ki sookuženi z virusom in ga lahko prenašajo. Razdelek R v tem primeru predstavlja številoposameznikov, ki so na tak ali drugačen način umrli. V tem poglaju bomo predstavili inobravnavali prvi model za modeliranje zombi apokalipse, pri tem pa se bomo ukvarjalizgolj z zombiji, značilnimi za klasične grozljivke, torej tistimi, ki se gibljejo počasi, neo-kretno in niso zmožni razmǐsljanja. Obravnava povzeta po [16] in [28].

Model SZR tako lahko predstavimo s spodnjim diagramom.

S Z R

Diagram 9: Model SZR.

Razdelek R je sestavljen iz tistih posameznikov, ki so umrli naravne smrti in pa tistih,ki so umrli zaradi napada zombija. Ljudje, ki so umrli naravne smrti lahko vstanejo odmrtvih in postanejo zombiji. Stopnjo, s katero mrtveci vstajajo od mrtvih nam določaparameter ζ. V razdelek R, poleg že omenjenih, prehajajo tudi zombiji, ki so premagani(tako, da jim odstranimo glavo ali pa uničimo možgane). To se dogaja s stopnjo α. Do-vzetni posamezniki lahko umrejo naravne smrti (smrt nepovezana z zombiji) in tako izrazdelka S pridejo v razdelek R. Stopnjo umrljivosti nam podaja parameter δ. Po drugistrani pa lahko dovzetni posamezniki ob srečanju z zombijem, ki na njih prenese infekcijo(jih ugrizne), postanejo tudi sami zombiji ter tako preidejo iz razdelka S v razdelek Z.Stopnjo zombifikacije nam podaja parameter β. Novi zombiji lahko torej prihajajo v po-pulacijo le iz dveh virov: nedavno umrli vstanejo od mrtvih (iz R razdelka) ali dovzetniposamezniki izgubijo bitko z zombijem.

Privzamemo, da je stopnja rojevanja v času epidemije konstantna, in sicer λ. Prav tako

20

4.1 Model SZR 4 MODELIRANJE ZOMBI APOKALIPSE

predpostavimo, da zombiji ne napadajo drug drugega, želijo si le človeškega mesa. Zokužbo se lahko okužijo le ljudje, in sicer tako, da pridejo v kontakt z zombijem, ki jihugrizne.

Število ljudi oziroma zombijev v posameznem razredu se s časom spreminja. Številoposameznikov v razdelkih S, Z in R si torej lahko predstavljamo kot funkcije časa:S(t), Z(t), R(t). Zanima nas, kako se število posameznikov v teh razredih spreminja sčasom2. Časovni odvodi funkcij S, Z in R so naslednji:

dS

dt= λ− βSZ − δS,

dZ

dt= βSZ + ζR− αSZ,

dR

dt= δS + αSZ − ζR.

Predstavljen model za modeliranje zombi apokalipse so avtorji članka [16] objavili leta2009. Osnovan je na relativno preprostih predpostavkah in morda ne zavzema vsehznačilnosti zombi apokalipse. Bralca bi lahko zmotil razdelek R, saj so v njem takomrtvi ljudje, ki lahko ponovno vstanejo od mrtvih, kot tudi tisti pokončani zombiji, ki sene morejo več vrniti.

Za lažjo predstavo zgornjih enačb ponazorimo prehode med populacijami še z diagra-mom z upoštevanimi faktorji:

S Z RβSZ αSZλ

ζR

δS

Diagram 10: Model SZR z dodanimi faktorji prehoda med populacijami.

Dobili smo torej sistem treh diferencialnih enačb. Opazimo, da je ta sistem enačb boljzapleten od sistema enačb, ki ga dobimo pri proučevanju klasičnega SIR modela, pred-stavljenega v poglavju 3.1. Razlikujeta se v tem, da imamo tokrat v našem modelu večkot en nelineralni člen.

Seštejmo vse tri diferencialne enačbe:

dS

dt+dZ

dt+dR

dt= λ.

2Povprečni okuženi posameznik oziroma zombi v populaciji sreča βN posameznikov (na časovnoenoto), kjer je N velikost celotne populacije. Verjetnost, da zombi sreča zdravega posameznika je S/N .Sledi, da je število novih okužb oziroma zombijev (na časovno enoto) enako (βN)(S/N)Z = βSZ. Po-dobno sklepamo na število odstranjenih zombijev iz populacije (v časovni enoti), ki je enako αSZ.

21

4.1 Model SZR 4 MODELIRANJE ZOMBI APOKALIPSE

Integriramo obe strani enačbe in opazimo, da ko gre t→∞ in če λ 6= 0 :∫ (dS(t) + dZ(t) + dR(t)

)=

∫λ dt,

S(t) + Z(t) +R(t))

= λ · t,

S(t) + Z(t) +R(t)→∞.

Očitno je, da velikost razdelka S ne gre proti neskončnosti, torej mora proti neskončnostiiti bodisi Z bodisi R. V vsakem primeru je rezultat seveda usoden za človeško populacijo.Glede na to, da se izbruh epidemije zgodi v relativno kratkem časovnem intervalu, lahkopredpostavimo, da λ = 0 in δ = 0. Poenastavitev modela je:

dS

dt= −βSZ,

dZ

dt= βSZ + ζR− αSZ,

dR

dt= αSZ − ζR.

Če ponovno seštejemo in integriramo vse tri enačbe, ugotovimo, da je sedaj vsota S(t) +Z(t) +R(t) ob poljubnem času t enaka neki konstanti.

Poǐsčimo ravnovesna stanja poenostavljenega modela. Dobimo jih tako, da časovne od-vode naših razdelkov enačimo z 0 in nato rešimo dobljeni sistem enačb.

0 = −βSZ, (17)0 = βSZ + ζR− αSZ,0 = αSZ − ζR.

Faktor β, ki predstavlja stopnjo zombifikacije, je vedno nenegativen, zato iz (17) sledi, daje bodisi S = 0, bodisi Z = 0. V primeru, ko je Z = 0, sledi, da mora biti tudi R = 0,torej je celotna populacija v razdelku S, kar pomeni S = N . V primeru, ko je S = 0, papodobno sklepamo in pridemo do ugotovitve, da je celotna populacija okužena, in slediZ = N .

Ravnovesna stanja takšnega modela so naslednja:

1. (S1, Z1, R1) = (N, 0, 0) stanje brez okužbe,

2. (S2, Z2, R2) = (0, Z, 0) zombiji okužijo celotno populacijo.

Ravnovesna stanja nam, ne glede na njihovo stabilnost, pokažejo, da je sobivanje zombijevin ljudi nemogoče. Jakobijeva matrika je sledeča:

J =

−βZ −βS 0βZ − αS βS − αS ζαZ αS −ζ

.Jakobijeva matrika za ravnovesno stanje brez epidemije/bolezni (S1, Z1, R1) = (N, 0, 0): 0 −βN 00 βN − αN ζ

0 αN −ζ

.22

4.1 Model SZR 4 MODELIRANJE ZOMBI APOKALIPSE

Determinanta matrike je:

det(J − λI) = det

−λ −βN 00 βN − αN − λ ζ0 αN −ζ − λ

= −λ · det [βN − αN − λ ζαN −ζ − λ

],

karakteristični enačba pa:

−λ((βN − αN − λ) · (−ζ − λ)− αζN) = −λ((λ)2 + (ζ − (β − α)N)λ− βζN) = 0.

Ker ima vsaj ena lastna vrednost pozitivni realni del, je po Izreku 1 to ravnovesno stanjenestabilno.

Poglejmo še drugo ravnovesno stanje, v katerem svet preplavijo zombiji (S2, Z2, R2) =(0, Z, 0):

J =

−βZ 0 0βZ − αZ 0 ζαZ 0 −ζ

.Dobimo:

det(J − λI) = −λ(−βZ − λ)(−ζ − λ).

Imamo eno lastno vrednost, ki je enaka 0, ostali dve lastni vrednosti pa sta negativni.Obstaja možnost, da je to stanje stabilno, ne moremo pa zagotovo trditi. Povemo lahkole, da je linearizacija modela stabilna.

Na Slikah 1, 2 in 3 si za bolǰso predstavo poglejmo še grafični prikaz zgornje zombiepidemije. Vsi grafi so narisani s pomočjo numerične aproksimacije programa Mathema-tica. Modra barva predstavlja spreminanje populacije ljudi, oranžna populacijo zombijev,zelena pa populacijo odstranjenih posameznikov.

Slika 1: Diagram modela SZR brez zombijev. Parametri: λ = 0, β = 0.2, δ = 0, α =0.5, ζ = 0.5, S0 = 100, Z0 = 0, R0 = 0. Iz grafa je razvidno, da naš model zadostuje tudisituaciji, ko v populaciji ni zombijev. Kot omenjeno, je to ravnovesno stanje nestabilno.

23

4.1 Model SZR 4 MODELIRANJE ZOMBI APOKALIPSE

Slika 2: Diagram modela SZR. Upoštevani parametri so naslednji: λ = 0, β = 0.2, δ =0, α = 0.5, ζ = 0.5, S0 = 100, Z0 = 1, R0 = 0. Diagram prikazuje točko v bližini nestabil-nega ravnovesnega stanja (N,0,0). Razvidno je, da se vrednosti populacij ne vrnejo nazajv ravnovesno stanje, ampak se od njega oddaljijo in se približujejo drugemu ravnovesnemustanju (0,N,0).

Slika 3: Diagram modela SZR. Parametri: λ = 0, β = 0.2, δ = 0, α = 0.5, ζ = 0.5, S0 =1, Z0 = 20, R0 = 0. Diagram prikazuje točko v bližini ravnovesnega stanja (0,N,0). Raz-vidno je, da se vrednosti populacij vrnejo v ravnovesno stanje oziroma se ravnovesnemustanju (0,N,0) približujejo.

24

4.2 Model SIZR 4 MODELIRANJE ZOMBI APOKALIPSE

4.2 Model SIZR – Model z vključeno latentno dobo

Da bi naredili model bolj realističen, vključimo vanj še dodaten razdelek, ki mu pravimolatentno stanje. To je stanje, v katerem so posamezniki, ki so že okuženi z virusom,vendar še niso kužni in tako še ne morejo okužiti drugih v populaciji. Označimo ga z I.Posamezniki, ki izgubijo boj z zombijem, namreč ne postanejo takoj tudi sami zombiji,temveč mora pred tem preteči nekaj časa. V našem primeru je posameznik v razdelku Iod trenutka, ko ga je ugriznil zombi, do takrat, ko tudi sam postane zombi. Posameznikiiz tega razreda prehajajo v razred okuženih s faktorjem φ. Obravnava povzeta po [16].

Prehajanje posameznikov med posameznimi razredi lahko ponazorimo s spodnjim dia-gramom.

S I Z RβSZ φI αSZλ

ζR

δS

δI

Diagram 11: Model SIZR – Model z vključeno latentno dobo.

Model zapǐsemo z naslednjim sistemom diferencialnih enačb:

dS

dt= λ− βSZ − δS,

dI

dt= βSZ − φI − δI,

dZ

dt= φI + ζR− αSZ,

dR

dt= δS + δI + αSZ − ζR.

Upoštevajmo poenastavitev λ = 0 in δ = 0. Poǐsčemo ravnovesna stanja:

0 = −βSZ,0 = βSZ − φI,0 = φI + ζR− αSZ,0 = αSZ − ζR.

Hitro opazimo, da dobimo podobne rezultate kot pri prej omenjenem modelu in sicer jebodisi Z = 0 ali S = 0. Naš rezultat sta torej dve ravnovesni stanji, ki ju zapǐsemo kot:

1. (S1, I1, Z1, R1) = (N, 0, 0, 0) stanje brez okužbe,

25

4.2 Model SIZR 4 MODELIRANJE ZOMBI APOKALIPSE

2. (S2, I2, Z2, R2) = (0, 0, Z, 0) zombiji okužijo celotno populacijo.

Ponovno smo prǐsli do ugotovitve, da sobivanje zombijev in ljudi ni možno. Kljub temupreverimo še stabilnost teh dveh ravnovesnih stanj. Jakobijeva matrika linearizacije zamodel je naslednja:

J =

−βZ 0 −βS 0βZ −φ βS 0−αZ φ −αS ζαZ 0 αS −ζ

.V točki (N,0,0,0) je matrika linearizacije naslednja:

J1 = J(N, 0, 0, 0) =

0 0 −βN 00 −φ βN 00 φ −αN ζ0 0 αN −ζ

.Izračunajmo lastne vrednosti zgornje matrike:

det(J1 − λI) =

∣∣∣∣∣∣∣∣−λ 0 −βN 0

0 −φ− λ βN 00 φ −αN − λ ζ0 0 αN −ζ − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣= −λ ·

∣∣∣∣∣∣−φ− λ βN 0

φ −αN − λ ζ0 αN −ζ − λ

∣∣∣∣∣∣= −λ · ((−φ− λ)

∣∣∣∣−αN − λ ζαN −ζ − λ∣∣∣∣− φ ∣∣∣∣ βN 0αN −ζ − λ

∣∣∣∣)= λ(φ+ λ)(−αN − λ)(−ζ − λ)− (αNζ))− φ(−βN(ζ + λ))= λ((φ+ λ)(λ)(λ− λζ)− λφβN + βφζN).

Ker je zadnji člen (βφζN) > 0, ima ena lastna vrednost zagotovo pozitiven realni del. Toravnovesno stanje je torej nestabilno.

Preverimo še stabilnost drugega ravnovesnega stanja.

J2 = J(0, 0, Z, 0) =

−βZ 0 0 0βZ −φ 0 0−αZ φ 0 ζαZ 0 0 −ζ

.

26

4.2 Model SIZR 4 MODELIRANJE ZOMBI APOKALIPSE

Izračunajmo lastne vrednosti:

det(J2 − λI) =

∣∣∣∣∣∣∣∣−βZ − λ 0 0 0

βZ −φ− λ 0 0−αZ φ −λ ζαZ 0 0 −ζ − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣= −λ ·

∣∣∣∣∣∣−βZ − λ 0 0

βZ −φ− λ 0−αZ 0 −ζ − λ

∣∣∣∣∣∣= −λ · (−ζ − λ)

∣∣∣∣−βZ − λ 0βZ −φ− λ∣∣∣∣

= −λ · (ζ + λ)(βZ + λ)(φ+ λ).

Lastne vrednosti so torej naslednje: λ1 = 0, λ2 = −ζ, λ3 = −βZ in λ4 = −φ. Vse so nega-tivne oziroma enake 0. Iz tega lahko sklepamo, da je ravnovesno stanje (S2, I2, Z2, R2) =(0, 0, Z, 0) morda stabilno, ne moremo pa tega zagotovo vedeti.

Na Slikah 4, 5 in 6 si oglejmo še grafično ponazoritev opisanega modela. Slika 4 prika-zuje obnašanje epidemije v okolici nestabilnega ravnovesnega stanja, Slika 5 pa obnašanjeepidemije v okolici stabilnega ravnovesnega stanja. Na Sliki 6 je v primerjavi s Sliko 4,parameter φ zelo majhen. Iz diagrama je razvidno, da to vpliva na potek epidemije, sajse čas, ki ga imamo na voljo, preden svet preplavijo zombiji, podalǰsa kar za dvakrat.

Slika 4: Diagram modela SIZR. Upoštevani parametri so naslednji: λ = 0, β = 0.2, φ =0.9, α = 0.5, ζ = 0.5, S0 = 100, Z0 = 1, R0 = 0. Iz diagrama je razvidno, da se vrednosti vokolici nestabilnega ravnovesnega stanja (N,0,0,0) od stanja oddaljujejo in se približujejoravnovesnemu stanju (0,0,N,0).

27

4.3 Model SIZRQ – Model s karanteno 4 MODELIRANJE ZOMBI APOKALIPSE

Slika 5: Diagram modela SIZR. Upoštevani parametri so naslednji: λ = 0, β = 0.2, φ =0.9, α = 0.5, ζ = 0.5, S0 = 1, Z0 = 20, R0 = 0. Iz diagrama je razvidno, da se vrednosti vokolici ravnovesnega stanja (0,0,N,0), ravnovesnemu stanju (0,0,N,0) približujejo.

Slika 6: Diagram modela SIZR. Upoštevani parametri so naslednji: λ = 0, β = 0.2, φ =0.1, α = 0.5, ζ = 0.5, S0 = 100, Z0 = 1, R0 = 0.

4.3 Model SIZRQ – Model s karanteno

Ker si prizadevamo za pozitiven razplet oziroma za preživetje človeštva, lahko v modeledodajamo še drugačne razdelke. Preǰsnjemu modelu dodamo razdelek Q, ki predstavljakaranteno. Okuženi posamezniki so namreč v tem primeru odstranjeni iz populacije inpremaknjeni v razdelek Q. Ta razdelek torej vsebuje posameznike iz razdelka I ali razdelkaZ. Ti vstopajo v razdelek Q, s stopnjo κ oziroma σ. Predvidimo, da lahko posameznikipobegnejo iz karantene s stopnjo γ, vendar so takoj po pobegu ubiti in tako prestopijo vrazred R. Ti seveda lahko zopet postanejo zombiji. Podpoglavje je povzeto po [16].

Z upoštevanjem zgornjih predpostavk oblikujemo model in ga predstavimo z naslednjimdiagramom:

28

4.3 Model SIZRQ – Model s karanteno 4 MODELIRANJE ZOMBI APOKALIPSE

S I Z R

Q

βSZ φI αSZλ

ζR

δS

δI

κI

σZ

γQ

Diagram 12: Model SIZRQ – Model s karanteno.

Pripadajoče enačbe modelu so naslednje:

dS

dt= λ− βSZ − δS,

dI

dt= βSZ − φI − δI − κI,

dZ

dt= φI + ζR− αSZ − σZ,

dR

dt= δS + δI + αSZ − ζR + γQ,

dQ

dt= κI + σZ − γQ.

Če bi želeli določiti ravnovesna stanja in njihovo stabilnost, bi morali poiskati Jacobijevo5x5 matriko in jo analizirati za vsako stanje posebej. Dobili bi karakteristični polinomdo 5. stopnje, kar je težje za reševanje. Tokrat si bomo pri proučevanju stabilnosti rav-novesnih stanj pomagali z metodo naslednje generacije, predstavljeno v poglavju 3.3, in spomočjo osnovnega reprodukcijskega faktorja sklepali, kako bo potekala epidemija. Predobravnavo nastavimo še λ = δ = 0, saj epidemija poteka v kraǰsem časovnem obdobju.

Zapǐsimo enačbe poenostavljenega modela:

dS

dt= −βSZ,

dI

dt= βSZ − φI − κI, (18)

dZ

dt= φI + ζR− αSZ − σZ, (19)

dR

dt= αSZ − ζR + γQ,

dQ

dt= κI + σZ − γQ. (20)

29

4.3 Model SIZRQ – Model s karanteno 4 MODELIRANJE ZOMBI APOKALIPSE

V primeru modela SIZRQ imamo kar tri razdelke okužene populacije, to so I, Z in Q,torej moramo upoštevati enačbe (18), (19) in (20). Te tri enačbe ponazarjajo kako sespreminja število tistih, ki so na kakršenkoli način okuženi.

Najprej poǐsčimo ravnovesno stanje brez epidemije (DFE). Predpostavimo torej I = 0, izčesar sledi ravnovesno stanje, v katerem so vsi razdelki, razen razdelka S, prazni. Dobimostanje (N, 0, 0, 0, 0).

Zapǐsimo matriko F :

F =

βSZ00

.Sledi, da je matrika novih okužb F naslednja:

F =

0 βS 00 0 00 0 0

.Vstavimo ravnovesno stanje brez epidemije, torej (S1, I1, Z1, R1, Q1) = (N, 0, 0, 0, 0) indobimo:

F =

0 βN 00 0 00 0 0

.Zapǐsimo še matriko V :

V =

φI + κI−φI − ζR + αSZ + σZ−κI − σZ + γQ

.in pa matriko V :

V =

φ+ κ 0 0−φ αS + σ 0−κ −σ γ

.Sledi, da je inverzna matrika matriki V enaka:

V −1 =1

γ(φ+ κ)(αS + σ)

γ(αN + σ) 0 0

φγ γ(φ+ κ) 0φσ + κ(αS + σ) σ(φ+ κ) (φ+ κ)(αS + σ)

.Vstavimo ravnovesno stanje v matriko V in pomnožimo matriki F in V −1. Dobimo:

FV −1 =1

γ(φ+ κ)(αN + σ)

βNφγ βNγ(φ+ κ) 00 0 00 0 0

in torej:

R0 =βNφ

(φ+ κ)(αN + σ). (21)

30

4.3 Model SIZRQ – Model s karanteno 4 MODELIRANJE ZOMBI APOKALIPSE

Kot smo omenili v prvem poglavju, je osnovni reprodukcijski faktor najpomembneǰsifaktor v matematični epidemiologiji, ki nam pove, ali bo prǐslo do izbruha epidemije aline. Če je R0 > 1, bo prǐslo do izbruha epidemije, če je R0 < 1, pa ne. Če je populacijavelika, lahko osnovni reprodukcijski faktor zapǐsemo kot:

R0 ≈βφ

(φ+ κ)α. (22)

Po [16] bo stanje brez bolezni stabilno, samo ko bo R0 < 1, kar dosežemo tako, dapovečamo κ ali σ, torej povečamo stopnji, s katerima odstranjujemo okužene posame-znike in pa zombije iz populacije. Če zombiji hitreje okužujejo ljudi, kot ljudje pobijajozombije (β > α ), potem naše preživetje zavisi predvsem od tega, ali bomo v karantenodali dovolj posameznikov, ki so že okuženi, ampak še niso postali zombiji. Zaradi in-frastrukturnih in časovnih omejitev tekom epidemije zombijev nam problem predstavljatudi postavitev karantene za večje število okuženih posamenikov. Iz tega razloga v temprimeru pričakujemo R0 > 1.

Karantena oziroma zadrževanje zombijev je strategija, ki nam omogoče neke vrste nadzornad situacijo. Ugotovili smo, da bi bila uporaba karantene dobra odločitev, vse dokler biodkrivali dovolj veliko število okuženih posameznikov, ki še niso postali zombiji. Problemse pojavi pri identificiranju takšnih posameznikov. Okužene, a ne zombificirane posame-znike je težko prepoznati, saj jih od zdravih razlikuje le ugriz na telesu.

Na Sliki 7 in Sliki 8 predstavimo še grafično ponazoritev poteka zombi epidemije v rav-novesnem stanju (N, 0, 0, 0, 0) in v njegovi okolici.

Slika 7: Diagram modela SIZRQ. Upoštevani parametri so naslednji: λ = 0, β = 0.2,φ = 0.9, α = 0.9, ζ = 0.5, κ = 0.3, σ = 0.5, γ = 0.9, S0 = 100, I(0) = 0, Z(0) = 0,R(0) = 0, Q(0) = 0. Iz diagrama je razvidno, da se v ravnovesnem stanju (N,0,0,0,0),nahajajo zgolj dovzetni posamezniki.

31

4.4 Model SIZR s cepivom 4 MODELIRANJE ZOMBI APOKALIPSE

Slika 8: Diagram modela SIZRQ. Upoštevani parametri so naslednji: λ = 0, β = 0.2,φ = 0.9, α = 0.9, ζ = 0.5, κ = 0.3, σ = 0.5, γ = 0.9, S0 = 100, I(0) = 0, Z(0) = 1,R(0) = 0, Q(0) = 0. Iz diagrama je razvidno, da se vrednosti v okolici ravnovesnegastanja (N,0,0,0,0) od stanja oddaljujejo in se približujejo nekemu drugemu ravnovesnemustanju. Sklepamo, da je ravnovesno stanje (N, 0, 0, 0, 0) nestabilno.

4.4 Model SIZR s cepivom

Predstavljajmo si, da izumimo zdravilo, ki vsakega okuženega zombija pozdravi, vendarmu ne zagotavlja trajne imunosti. Tako se pozdravljeni zombi vrne v razdelek S, to-rej v razdelek dovzetnih posameznikov. Upoštevajmo tudi predpostavko, da je zdraviloučinkovito ne glede na to kako je nekdo postal zombi – preko ugriza ali pa je vstal odmrtvih – zdravilo deluje v vsakem primeru. Obravnava povzeta po [16].

Naj bo c faktor, ki predstavlja stopnjo ozdravljanja zombijev - cepivo. Ostali faktorjinaj ostanejo nespremenjeni. Diagram, ki prikazuje model s cepivom, je naslednji:

S I Z RβSZ φI αSZλ

ζR

δS

δI

cZ

Diagram 13: Model SIZR s cepivom.

32

4.4 Model SIZR s cepivom 4 MODELIRANJE ZOMBI APOKALIPSE

Dobimo naslednji sistem diferencialnih enačb:

dS

dt= λ− βSZ − δS + cZ,

dI

dt= βSZ − φI + δI,

dZ

dt= φI + ζR− αSZ − cZ,

dR

dt= δS + δI + αSZ − ζR.

Kot pri modelu SZR enačbe modela seštejemo in integriramo obe strani. V primeru, koje λ 6= 0, sledi:

limt→∞

S + I + Z +R =∞,

zato predpostavimo λ = δ = 0. Poǐsčemo ravnovesna stanja modela:

0 = −βSZ + cZ, (23)0 = βSZ − φI,0 = φI + ζR− αSZ − cZ,0 = αSZ − ζR.

Ko je Z = 0 dobimo naše trivialno stanje brez epidemije, torej:

(S1, I1, Z1, R1) = (N, 0, 0, 0).

Poglejmo, kaj dobimo v primeru, ko Z 6= 0. Iz enačb (23) dobimo:

S =c

β,

I =c

φZ,

R =αc

βζZ.

Naše ravnovesno stanje je torej enako (S2, I2, Z2, R2) = (cβ, cφZ,Z, αc

βζZ). Matrika lineari-

zacije je:

J =

−βZ 0 −βS + c 0βZ −φ βS 0−αZ φ −αS − c ζαZ 0 αS −ζ

.Matrika linearizacije v točki (S2, I2, Z2, R2) pa:

J(S2, I2, Z2, R2) =

−βZ 0 0 0βZ −φ c 0−αZ φ −αc

β− c ζ

αZ 0 αcβ

−ζ

.

33

4.4 Model SIZR s cepivom 4 MODELIRANJE ZOMBI APOKALIPSE

Izračunajmo lastne vrednosti matrike:

det(J(S2, I2, Z2, R2)− λI) = −(−βZ − λ) ·

−φ− λ c 0φ −αcβ− c− λ ζ

0 αcβ

−ζ − λ

= (−βZ − λ) · ((−φ− λ) ·

[−αc

β− c− λ ζαcβ

−ζ − λ

]+ φ ·

[c 0αcβ−ζ − λ

])

Z nekaj računanja pridemo do naslednjega rezultata:

det(J(S2, I2, Z2, R2)− λI) = (βZ + λ) · λ · (λ2 + (φ+αc

β+ c+ ζ)λ+

αφc

β+ φζ + cζ).

Vidimo, da je ena lastna vrednost enaka λ1 = −βZ, druga pa je λ2 = 0. Preostali dve seskrivata v kvadratnem izrazu. Člen (φ+ αc

β+ c+ ζ) je pozitiven, kar pomeni, da je vsota

lastnih preostalih dveh vrednosti negativna. V primeru, ko sta tudi preostali dve lastnivrednosti negativni, ni pozitivnih lastnih vrednosti in je to ravnovesno stanje, v kateremljudje in zombiji sobivajo, morda stabilno. Ljudje torej ne izumrejo, ampak preživijo vmajhnem številu. V splošnem pa ne moremo sklepati na stabilnost ravnovesnega stanja.Analize modela bi se lahko lotili tudi tako, da bi poiskali osnovni reprodukcijski faktors pomočjo metode naslednjih generacij. Za ponazoritev si poglejmo še spodnji Sliki 9 inSliki 10.

Slika 9: Diagram modela SIZR s cepivom. Parametri: λ = 0, β = 0.2, c = 0.4, φ = 0.9,δ = 0, α = 0.5, ζ = 0.5, S(0) = 100, I(0) = 0, Z(0) = 1, R(0) = 0. V okolici nestabilnegaravnovesnega stanja (N,0,0,0) se epidemija sčasoma od ravnovesnega stanja oddaljuje. Izgrafa je razvidno, da po nekem času število ljudi preneha upadati in da je sobivanje ljudiin zombijev možno.

34

4.5 Model Lotka - Volterra 4 MODELIRANJE ZOMBI APOKALIPSE

Slika 10: Diagram modela SIZR s cepivom. Parametri: λ = 0, β = 0.2, c = 0.4, φ = 0.9,δ = 0, α = 0.5, ζ = 0.5 , S(0) = 10, I(0) = 5, Z(0) = 5, R(0) = 10. V okolicistabilnega ravnovesnega stanja ( c

β, cφZ,Z, αc

βζZ) se epidemija sčasoma približuje nazaj k

temu ravnovesnem stanju.

4.5 Model Lotka - Volterra

Avtorji zgodnjega članka o matematičnem modeliranju zombijev, When Zombies Attack!:Mathematical Modelling of an Outbreak of Zombie Infection, so z uporabo različnih mo-delov napovedali bodisi izumrtje človeške populacije bodisi odstranitev vseh zombijeviz populacije. Čeprav je to učinkovit zaključek zombi katastrofe, so avtorji prezrli zelopomembno idejo filmske industrije, in sicer, to da ima veliko filmov o zombijih tudi na-daljevanja. To namiguje na to, da bi morali imeti bolj učinkovit model, ki bi opisovalciklična nihanja v številu zombijev in ljudi. To pomeni, da so na primer skoraj vsi zombijiuničeni v prvem delu, nato pa najdejo način, da se v pričetku nadaljevanja zopet vzdi-gnejo. V tem poglavju bomo posvetili pozornost temu, kako ustvariti nov model, ki nambo zagotavljal ciklična nihanja obeh populacij. Poglavje je povzeto po [17].

Namesto da zombije obravnavamo kot virus/bolezen, ki lahko okuži ljudi, si lahko pred-stavljamo, da zombiji, ki prenašajo bolezen, hkrati tudi prežijo na ljudi z namenom, dabi na njih prenesli bolezen. Matematika Alfred Lotka in Vito Volterra sta v poznem 19.stoletju in v začetku 20. stoletja neodvisno razvila model imenovan plen-plenilec. Tamodel se uporablja za proučevanje različnih sistemov, v katerih nastopata dve populaciji,plen in plenilci. Omenjeni model lahko uporabimo na našem primeru zombijev in tako,namesto da uporabimo epidemiološki model, uporabimo variacijo Lotka–Volterra modela,ki je prav tako kot model SIR model diferencialnih enačb prvega reda.

Preden zapǐsemo omenjen model z uporabo diferencialnih enačb, posvetimo nekaj po-zornosti še predpostavkam na katerih temelji naš model. Prva je ta, da v primeru, kozombijev ni, torej Z = 0, človeška populacija raste eksponentno. Predpostavimo, dak rasti populacije v majhni meri pripomorejo rojstva, velik del pa prispevajo migracijepreživelih v mesto. To lahko vidimo na primer v filmu 28 Days Later. Obratno predposta-vimo, da če S = 0, zombiji umrejo/propadejo v eksponentni odvisnosti (saj nimajo hrane).Predpostavimo, da vsaka smrt človeka pripomore k rasti zombijevske populacije in da jehitrost, s katero zombiji ubijajo ljudi linearna funkcija števila ljudi. Predpostavimo, daljudje brez težav najdejo hrano, saj gre za epidemijo, ki poteka v relativno kratkem času.Hrana zombijev so izključno ljudje in v času epidemije se okolje ne spreminja v dobro ene

35

4.5 Model Lotka - Volterra 4 MODELIRANJE ZOMBI APOKALIPSE

ali druge vrste – zombijev ali ljudi.

Model zapǐsemo z naslednjima diferencialnima enačbama:

dS

dt= αS − βSZ

dZ

dt= δSZ − γSZ − ζZ.

Enačbi sta izpeljani iz klasičnega Lotka -Volterra plen - plenilec modela, kjer je v našemprimeru plen dovzetni posameznik, plenilci pa so zombiji. Z matematičnega vidika se vprimerjavi z osnovnim SZR modelom ne spremeni veliko, bistvena razlika je v tem, da turazlikujemo med smrtjo zombija, ki ga ubije človek, in odstranitvijo zombijev iz sistema(zaradi drugih razlogov). Na tem mestu opomnimo, da koeficienti oziroma stopnje nisoenaki kot pri modelih, omenjenih v preǰsnjem poglavju. Podrobneje poglejmo naše dife-rencialne enačbe. Parameter α predstavlja stopnjo, s katero raste populacija dovzetnihposameznikov. Tokrat populacija ne raste zgolj na račun rojstev, temveč tudi na računmigracije ljudi v sistem. Parameter β je stopnja zmanǰsanja populacije ljudi ob srečanjuz zombijem, δ pa je stopnja zombifikacije ob srečanju človeka in zombija. Parameter γpredstavlja stopnjo, s katero ljudje uničujejo zombije, ζ pa stopnjo, s katero zombiji izgi-njajo zaradi drugih dejavnikov. Razdelek S predstavlja število ljudi, razdelek Z pa številozombijev v populaciji.

Analizirajmo zgornji sistem, tako da poǐsčemo ravnovesna stanja sistema:

0 = αS − βSZ,0 = δSZ − γSZ − ζZ.

Prva, več kot očitna rešitev je S = 0. Sledi, da je tudi Z = 0. Dobimo prvo ravnovesnostanje (S1, Z1) = (0, 0). Če S 6= 0, potem mora biti Z = αβ , iz česar sledi S =

γδ−γ . Drugo

ravnovesno stanje je torej (S2, Z2) = (γδ−γ ,

αβ).

Razǐsčimo stabilnost drugega ravnovesnega stanja. Jakobijeva matrika tega sistema jenaslednja:

J =

[α− βZ −βSZ(δ − γ) S(δ − γ)− ζ

].

Jakobijeva matrika za drugo ravnovesno stanje, (S2, Z2) = (γδ−γ ,

αβ):

J =

[0 − βζ

δ−γα(δ−γ)

β0

].

Dobimo:det(J − λI) = λ2 + αζ.

Sledi, da je determinata te matrike vedno pozitivna, sled matrike linearizacije pa je enaka0. Lastne vrednosti so v tem primeru imaginarne, zato so rešitve linearnega sistema pe-riodične. Izkaže se, da so tudi rešitve modela Lotka - Volterra periodične.

36

4.5 Model Lotka - Volterra 4 MODELIRANJE ZOMBI APOKALIPSE

Za stanje ( γδ−γ ,

αβ) trenutno ne moremo določiti, ali je stabilno ali nestabilno, in se s

tem v delu ne bomo ukvarjali, bralec pa si lahko kaj več o tem prebere v [11].

Predstavimo nekaj rešitev modela z grafičnim prikazom ciklov. Slika 11 in Slika 12 pri-kazujeta dva različna prikaza opisanih ciklov. Prva prikazuje, kako se število zombijevspreminja v odvisnosti od števila ljudi, druga pa deleža obeh populacij v odvisnosti odčasa.

Slika 11: Diagram modela Lottka - Voltera: Delež populacije zombijev v odvisnosti oddeleža ljudi v populaciji. Parametri notranjega in zunanjega cikla: α = 1, β = 1, δ =2, γ = 1, ζ = 1. Notranji cikel: S0 = 0.2, Z0 = 0.2, Zunanji cikel: S0 = 0.5, Z0 = 0.5.

Slika 12: Diagram modela Lottka - Voltera: Delež populacij v odvisnosti od časa. Upo-rabljeni parametri so enaki kot pri notranjem ciklu Slike 11. Modra krivulja prikazujespreminjanje populacije ljudi, oranžna pa zombijev.

Obstoj ciklov daje upanje človeštvu, da lahko preživijo izbruh epidemije zombijev. Na

37

4.6 Agresivni model I 4 MODELIRANJE ZOMBI APOKALIPSE

to je vplivala predvsem predpostavka, da lahko ljudje vstopajo v populacjo, kar pomenipovečanje njihovega števila. Ne smemo pa pozabiti, da to posledično pomeni tudi rastzombijske populacije (saj imajo zdaj na voljo več hrane). Cikli so zelo uporabni – vsaj zvidika medijev – saj omogočajo nadaljevanja priljubljenih serij, kot je The Walking Dead,ali pa nadaljevanja filmov, npr. Return of the Living Dead.

4.6 Agresivni model I

Zombiji so relativno ranljive žrtve. So brez gibčnosti in hitrosti, ki so jo imeli, ko sobili živi. Prav tako niso sposobni kakršnegakoli strateškega napada, saj ne razmǐsljajo.Posledično bi moral biti povprečen posameznik sposoben z lahkoto ubiti zombija. V filmuNight of The Living Dead prestrašeni preživeli z lahkoto obvladujejo posameznega zom-bija, medtem ko celotni hordi zombijev niso kos. Nevarnost zombijev namreč pride doizraza, kadar zombi ni sam, temveč je v družbi svojh kolegov. Čeprav imajo zombiji ogro-mno šibkih točk, sluh ni ena izmed njih. Hrup, kriki in zvok drugih zombijev privlačijoostale lačne zombije, ki se seveda pridružijo lovu na potencialni obrok. Prav tako zombijine poznajo strahu – brez kakršnegakoli oklevanja napadejo katerikoli izvor toplega mesa,zato jih nikakor ne smemo podcenjevati. V ta namen predvidimo, da je vsak posameznikvsaj minimalno oborožen in ima primerno znanje o zombijih. Poglavje je povzeto po [5]in [20].

Oblikujmo model, v katerem bomo upoštevali, da ljudje znamo biti agresivneǰsi, med-tem ko zombiji ne spreminjajo svoje taktike napadanja. So počasni in nekoordinirani teruspešno okužijo človeka zgolj v primeru, ko napadajo v skupini dveh ali več zombijev.Predpostavke našega tokratnega modela so naslednje

1. Posamezen zombi je ubit, kar je razvidno iz člena (a3SZ).

2. Zombiji so uspešni le, če so v skupini - dva zombija uspešno napadeta in premagatavse razen dobro oboroženih ljudi, kar je razvidno iz člena (a4SZ

2).

Kot nam je že poznano, označimo razdelek ljudi, dovzetnih za okužbo z oznako S, razde-lek zombijev pa z Z. Oba razdelka obravnavamo kot časovno spremenljivi funkciji S(t)in Z(t). Preden zapǐsemo naš model, proučimo, kaj se pravzaprav dogaja z našima po-pulacijama in v kakšni medsebojni interakciji sta. Naj bo a1 faktor, s katerim novi ljudjemigrirajo v območje okužbe, a2 stopnja umrljivosti (naravna smrt ali drugi vzroki, pričemer se umrli človek ne spreobrne v zombija), a3 stopnja, s katero ljudje ubijajo posa-mezne zombije, a4 stopnja, s katero skupine zombijev ubijajo oz. okužujejo ljudi, in a5stopnja umrljivosti zombijev. Število S0 naj bo število ljudi zunaj okuženega območja, kilahko v območje vstopajo.

Zapǐsimo zgoraj opisan model z difirencialnima enačbama:

dS

dt= a1S0 − a2S − a4SZ2,

dZ

dt= −a3SZ + a4SZ2 − a5Z.

Pripadajoča matrika linearizacije je naslednja:

J =

[−a2 −a4Z

−a3Z + a4Z2 −a3S + 2a4Z − a5

].

38

4.6 Agresivni model I 4 MODELIRANJE ZOMBI APOKALIPSE

Avtorji članka stopnje preoblikujejo tako, da postanejo nedimenzionalne in jih na ta načinpoenostavijo. Mi bomo analizo nadaljevali z obstoječimi stopnjami.

Poǐsčimo ravnovesna stanja modela:

0 = a1S0 − a2S − a4SZ2,0 = Z(−a3S + a4SZ − a5). (24)

Sledi, da je Z1 = 0 in posledično:

S1 =a1S0a2

.

Zapǐsimo matriko linearizacije v ravnovesnem stanju (S1, Z1):

J1 =

[−a2 0

0 −a3S + a5

].

Izračunamo lastne vrednosti:

det(J1 − λI) = det[−a2 − λ 0

0 −a3/a2S0 + a5 − λ

]= − (a2 + λ) · (−a3/a2S0 + a5 − λ).

Sledi λ1,2 < 0 za a5 < a3/a2S0. V tem primeru je torej ravnovesno stanje (S1, Z1) stabilno,kar pomeni, da v primeru majhne gostote zombi napadov epidemija ne izbruhne in ljudjepreživijo.

Poglejmo še ostale rešitve. Enačbi enačimo z 0 in ju seštejemo. Dobimo:

a1S0 − a2S − a4SZ2 − a3SZ + a4SZ2 − a5Z = 0,

a1S0 − a2S − a3SZ − a5Z = 0.Če Z 6= 0, potem mora biti:

S =a1S0 − a5Za2 + a3Z

. (25)

Vstavimo (25) v (24) in dobimo:

Z2,3 =a1S0a4 ±

√(a1S0a4)2 − 4a4a5(a2a5 + a3S0a1)

2a4a5.

Če je vrednost pod korenom pozitivna, potem imamo dve pozitivni ničli in torej še dvedodatni ravnovesni stanji. Veljati mora torej:

(a1S0)2 − (4a4a5(a2a5 + a3S0a1)) > 0.

Sledi:(a1S0)

2 > (4a4a5(a2a5 + a3S0a1)).

Poglejmo torej kakšne so naše rešitve. Predpostavimo, da je faktor a5 majhen v primerjaviz ostalimi in izračunajmo drugo ničlo:

lima5→0

Z2 =a1S0a4 −

√(a1S0a4)2 − (4a4a5(a2a5 + a3S0a1)

2a4a5.

39

4.6 Agresivni model I 4 MODELIRANJE ZOMBI APOKALIPSE

Ker gresta tako števec kot imenovalec v limiti proti vrednosti 0, uporabimo L’Hopitalovo

pravilo in odvajamo števec in imenovalec:

lima5→0

Z2 = lima5→0

−12−4a4a1a3S0−2a4a5a2√

(a1S0a4)2−(4a4a5(a2a5+a3S0a1

2a4= lim

a5→0

12−4a1a3a4S0a1a4S0

2a4=a3a4.

Poglejmo še večjo izmed ničel, torej:

Z3 =a1S0a4 +

√(a1S0a4)2 − (4a4a5(a2a5 + a3S0a1)

2a4a5.

Predpostavimo, da je faktor a5 majhen. Ker je člen (a1S0)2 veliko večji od člena 4a4a5(a2a5+

a3S0a1), potem lahko člen 4a4a5(a2a5 + a3S0a1) zanemarimo in dobimo:

lima5→0

Z3 =a1S0a4 +

√(a1S0a4)2

2a4a5=

2a1S0a42a4a5

=a1S0a5

.

Ker je a5 majhen, bo torej rešitev Z3 velika. Zapǐsimo še obe ravnovesni stanji:

(S2, Z2) = (a1a4S0 − a3a5a2a4 + a23

,a3a4

),

(S3, Z3) = (0,a1S0a5

).

Stabilnosti teh dveh ravnovesnih stanj ne bomo obravnavali. Predstavimo model še zgrafičnim prikazom. Na Sliki 13 in Sliki 14 je prikazana očitna razlika v preživetju človeštvav odvisnosti od agresivnosti ljudi. Razvidno je, da nam dovolj visoka agresivnost omogočapreživetje.

Slika 13: Manj agresivni model. Upoštevani parametri so naslednji: a1 = 0.5, a2 = 0.1,a3 = 0.3, a4 = 0.2, a5 = 0.2, S(0) = 10, Z(0) = 2. Iz diagrama je razvidno, da človeštvone preživi napada zombijev.

40

4.7 Agresivni model I